Rovnica (matematika)

Rovnica je vzťah rovnosti medzi dvoma algebrickými výrazmi, ak sa na rozdiel od rovnosti (identity) dá dosadiť len niekoľko špecifických hodnôt. Napríklad vzťah rovnosti F (x) = f (x) medzi dvoma funkciami tej istej premennej sa označuje rovnica s jednou neznámou, ak je správny len pre určité hodnoty spomenutej premennej.

Inak vyjadrené, ide o výrokovú funkciu, ktorá každému oboru definície pevne zvolených zobrazení F a f priraďuje výrok "hodnota zobrazenia F v bode x sa rovná hodnote zobrazenia f v bode x".

Niektoré javy nemožno opísať iba pomocou jednej rovnice. Preto sa stretávame aj so sústavami rovníc.

Znak rovná sa

Graficky sa rovnica vyjadruje znakom = medzi dvoma algebraickými výrazmi. Rovnice sa často používajú aj na to, aby sme niečo definovali. V takom prípade sa to, čo definujeme píše spravidla vľavo a znak = sa často nahradí znakom :=, alebo sa nad rovná sa napíše "def"; napríklad definícia derivácie funkcie je:
$f'(x_{0}):=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}$

Takisto sa niekedy rovnica používa na vyjadrenie, že sa niečo má niečomu rovnať (požiadavka), vtedy sa často nad rovná sa pripíše výkričník.

Základné definície

• Symbol x sa nazýva neznáma; ak má rovnica namiesto jednej neznámej x viacero neznámych x₁, x₂…x_n (často označované ako x, y, z…), hovoríme, že je rovnicou o n neznámych
• Symbol a sa spravidla nazýva koeficient neznámej; pri rovniciach o n neznámych máme zároveň n koeficientov neznámych a₀, a₁…a_n (často označované ako a, b, c…)
• Koreň alebo riešenie rovnice je každý prvok oboru pravdivosti rovnice
• Obor pravdivosti rovnice (zjednodušene povedané množina riešení) je množina všetkých tých x z definičného oboru oboch zobrazení F a f (čiže oboru definície rovnice), pre ktoré je výrok F (x) = f (x) pravdivým výrokom
• Obor definície rovnice je množina, z ktorej možno dosadzovať prvky ako premenné, ktoré sú koreňmi rovnice.

Premenná, neznáma, parameter

Pojem premenná je v zásade identický s pojmom neznáma, no pri rovniciach s jednou neznámou sa premenné delia na:

• neznáme = premenné, ktoré chceme z rovnice určiť
• parametre = ostatné premenné

Ak rovnica neobsahuje premenné, napr. 3 + 1 = 4, tak čisto formálne hovoríme o výroku, inak o výrokovej forme.

Delenie podľa počtu neznámych

• rovnica s jednou neznámou
• rovnica s viacerými neznámymi

Delenie podľa riešiteľnosti

• všeobecne platná rovnica alebo identická rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení ktoréhokoľvek prvku oboru definície, teda má vždy riešenie (napr. x + y = y + x)
• riešiteľná rovnica alebo splniteľná rovnica je rovnica, ktorá je pravdivým výrokom po dosadení niektorých prvkov oboru definície, ale nepravdivým výrokom pre ostatné prvky oboru definície (napr. 2x + 4 = 2, kde riešením je len číslo –1 z oboru definície všetkých čísiel)
• neriešiteľná rovnica alebo nesplniteľná rovnica je rovnica, ktorej obor pravdivosti je prázdna množina, teda nemá riešenie (napr. x + 1 = x)

Veľa rovníc je však neriešiteľných len pre obor definície z určitej množiny čísiel, napr. x² = 2 je neriešiteľná pre racionálne čísla, ale riešiteľná pre reálne čísla.

Delenie podľa typu zobrazení F a f

• algebrická rovnica
• nealgebrická rovnica (transcendentná rovnica)

Vektorový a maticový zápis pre lineárne rovnice

Keďže množinu riešení (koreňov) každej algebraickej rovnice môžeme chápať ako aritmetický vektor – tzv. vektor neznámych x^T = (x₁, x₂…x_n) a množinu koeficientov neznámych ako aritmetický vektor a^T = (a₀, a₁…a_n), môžeme všeobecný vzorec pre lineárne rovnice s viacerými neznámymi a₀x₀ + a₁x₁ +…+ a_nx_n = b, aby sme ušetrili miesto, alternatívne zapísať ako
a^Tx = b.

Podobne môžeme množinu koeficientov neznámych každej sústavy lineárnych rovníc chápať ako maticu – tzv. maticu sústavy:
A = ${\begin{pmatrix}a_{0prvejrovnice}&a_{1prvejrovnice}&a_{2prvejrovnice}...\\a_{0druhejrovnice}&a_{1druhejrovnice}&a_{2druhejrovnice}...\\...\\a_{0poslednejrovnice}&a_{1poslednejrovnice}&a_{2poslednejrovnice}...\end{pmatrix}}$

a množinu riešení môžeme chápať tak ako hore, takže celkovo, aby sme ušetrili miesto, alternatívne môžeme sústavu lineárnych rovníc zapísať takto: Ax =b

Vysvetlivky

• tučné písmo znamená, že ide o vektor alebo maticu
• T znamená transponovaný vektor, čiže vektor jednoducho píšeme do riadku (netransponovaný vektor teda píšeme do stĺpca)

Riešenie rovnice

Na nájdenie riešení (koreňov) rovnice spravidla potrebujeme úpravy:

• Ekvivalentná úprava rovnice je taká úprava, ktorá nemení obor pravdivosti rovnice. Takýmito úpravami sú sčítanie a odčítanie algebraických výrazov, ako aj násobenie a delenie číslami nerovnými nule.
• Neekvivalentná úprava rovnice je každá iná úprava. Takýmito úpravami sú napríklad umocnenie a odmocňovanie – pri umocňovaní môžu vzniknúť nové korene, pri odmocňovaní zas korene odpadnúť.

Pri sústavách rovníc sa navyše rozlišujú viaceré spôsoby zohľadnenia skutočnosti, že je rovníc viac ako jedna, a že spolu súvisia, pozri Riešenie sústavy rovníc.

Príklady počítania rovníc

Príklad č.1:

$5-7x=0$

Postup:

1. Prenesieme konštantu na pravú stranu a zmeníme jej znak: $5-7x=0\rightarrow -7x=-5$
2. Vydelíme obidve strany rovnice číslom -7: $-7x=-5\rightarrow x={\frac {5}{7}}$
3. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $x={\frac {5}{7}}=0,7142857143$

Príklad č.2:

$x^{2}=3y+x$

Postup:

1. Prenesieme premennú na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $x^{2}=3y+x\rightarrow x^{2}-3y=x\rightarrow -3y=x-x^{2}$
2. Vydelíme obe strany rovnice číslom -3: $y=-{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{3}}x^{2}$
3. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{3}}x^{2},x\in \mathbb {R}$
4. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-{\frac {1}{3}}x+{\frac {1}{3}}x^{2},x\in \mathbb {R}$

Príklad č.3:

$(x+y)^{2}=?$

Postup:

1. Do premenných $x$ a $y$ dosadíme ľubovoľné kladné čísla, v tomto prípade použijeme $x=2$ a $y=3$.
2. Čísla si dosadíme do vzorca: $(x+y)^{2}=(2+3)^{2}$ Ďalej: $(2+3)^{2}=5^{2}=25$
3. Ďalej: $x^{2}=4$ a $y^{2}=9$.
4. Číslo 25 zložíme následujcou rovnicou: $25=2^{2}+2\cdot 2\cdot 3+3^{2}$
5. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$

Príklad č.4:

$1116=94y+38n$

Postup:

1. Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $1116=94y+38n\rightarrow 1116-94y=38n$
2. Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: $1116=94y+38n\rightarrow -94y=38n-1116$
3. Obe strany rovnice vydelíme číslom -94: $y=-{\frac {19}{47}}n+{\frac {558}{47}}$
4. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-{\frac {19}{47}}n+{\frac {558}{47}},n\in \mathbb {R}$
5. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-{\frac {19}{47}}n+{\frac {558}{47}},n\in \mathbb {R}$

Príklad č.6:

${\frac {5x-3}{4}}={\frac {4x-3}{3}}$

Postup:

1. Rovnicu zjednodušíme násobením do kríža: $3(5x-3)=4(4x-3)$
2. Prvú zátvorku vynásobime číslom 3: $15x-9=4(4x-3)$
3. Druhú zátvorku vynásobime číslom 4: $15x-9=16x-12$
4. Premennnú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $15x-9-16x=-12$
5. Konštantu prenesieme na pravú stranu a zmeníme jej znak: $15x-16x=-12+9$
6. Časť $15x-16x$ zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: $-x=-12+9$
7. Vypočítame súčet: $-x=-3$. Ďalej vynásobime obe strany rovnice číslom -1: $-x\cdot -1=-3\cdot -1=3$
8. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $x=3$

Príklad č.7:

$(x^{5}+3y+2x)=(5y+x^{3})$

Postup:

1. Premennú prenesieme na ľavú stranu a zmeníme jej znak: $x^{5}+3y+2x-5y=x^{3}$
2. Premenné $x^{5}$ a $2x$ prenesieme na pravú stranu a zmeníme ich znaky: $3y-5y=x^{3}-x^{5}-2x$
3. Časť $3y-5y$ zjednodušíme pomocou sčítania a odčítania členov s rovnakým základom mocnín: $-2y=x^{3}-x^{5}-2x$
4. Obe strany rovnice vydelíme číslom -2: $y=-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{5}+x$
5. Riešenie $y$ zapíšeme v parametrickej forme: $y=-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{5}+x,x\in \mathbb {R}$
6. Konečné riešenie a výsledok rovnice je: $y=-{\frac {1}{2}}x^{3}+{\frac {1}{2}}x^{5}+x,x\in \mathbb {R}$

Matematický portál