Bisubjunksjon

Bisubjunksjon (også ekvijunksjon, ekvivalens eller biimplikasjon) er en sannhetsfunksjon i setningslogikken (latin bis = «to ganger», sub = «under», aequus = «lik», junctio = implicatio = «forbindelse», valere = «å gjelde»). Bisubjunksjonen av to utsagn er sann hvis og bare hvis begge eller ingen av disse utsagnene er sanne. Den symbolske skrivemåten for bisubjunksjonen av to utsagn A og B er

$\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B}$

og kan uttales som følger:

• «hvis og bare hvis A, så B,»
• «om og bare om A, så B,»
• «av A følger B og vice versa,»
• «A er tilstrekkelig og nødvendig for B.»

I noen programmeringsspråk eller andre sammenhenger der særtegn ikke kan brukes, skrives også «XNOR» eller likhetstegn («=») istedenfor «↔». «XNOR» er avledet av det engelske uttrykket exclusive nor (i og med at bisubjunksjonen er negasjonen av en «eksklusiv eller»).

Ekvivalens brukes til tider synonymt med bisubjunksjon, men begrepet er formelt sett kun forbeholdt bisubjunksjoner som er sanne. Symbolet for ekvivalens er «$\Leftrightarrow$» eller «≡» mot bisubjunksjonens «$\leftrightarrow$» og «=».

Av og til omskrives også A ↔ B som «hviss A, så B» (til dels «omm A, så B»). Skrivemåten «hviss» følger det engelske forbildet iff (for if and only if), men bør brukes med forsiktighet, siden det lett kan forveksles med «hvis», som har en annen betydning: Forskjellen mellom biimplikasjonen («hviss») og implikasjonen («hvis») er at den sistnevnte også er sann hvis bare konklusjonen er sann, men ikke premissen. I motsetning til implikasjonen er derfor biimplikasjonen kommutativ: «hvis og bare hvis A, så B» er ekvivalent med «hvis og bare hvis B, så A», eller symbolsk:

$(\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow (\mathbf {B} \leftrightarrow \mathbf {A} )$.

Legg merke til at «$\leftrightarrow$» og «$\Leftrightarrow$» nettopp ble brukt til å uttrykke ulike ting: Den sistnevnte symbolet betegnet en sann ekvivalens mellom to utsagn. De to enkeltutsagnene kan derimot godt være falske, derfor brukes «↔» i disse.

Den eksklusive disjunksjonen kan uttrykkes gjennom andre sannhetsfunksjoner:

• som «hvis A, så B, og hvis B, så A», $(\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow ((\mathbf {A} \rightarrow \mathbf {B} )\land (\mathbf {B} \rightarrow \mathbf {A} ))$;
• som negasjon av en eksklusiv disjunksjon, $(\mathbf {A} \leftrightarrow \mathbf {B} )\Leftrightarrow \neg (\mathbf {A}$ $\mathbf {B} )$.

Autoritetsdata