Dihedral vinkel

Dihedral vinkel mellom to plan α og β.

Dihedral vinkel er definert som vinkelen mellom to plan. Navnet kommer fra det greske ordet ἕδρα (hedra) som betyr flate. Vinkelen er definert å være null hvis planene er parallelle med hverandre. Hvis de ikke er det, er den lik vinkelen som de utgjør når planene begge betraktes langs deres felles skjæringslinje. Vinkelen benyttes ofte i forbindelse med romlig geometri og struktur av kjemiske forbindelser.

Et plan i et 3-dimensjonalt rom er beskrevet ved ligningen ax + by + cz = d hvor a, b, c og d er konstanter. Et punkt på planet er angitt ved posisjonsvektoren r = (x,y,z). Ligningen kan skrives mer kompakt som n⋅r = d når man innfører vektoren n = (a,b,c) som står normalt på planet.

Er man gitt to plan, kan de beskrives ved ligningene n⋅r = d og n'⋅r = d' . Den dihedrale vinklen mellom dem er da gitt ved vinkelen φ mellom de to normalene n og n'. Når disse er kjente, kan størrelsen til vinkelen bestemmes fra det matematiske uttrykket

$\cos \phi ={\mathbf {n} \cdot \mathbf {n'} \over |\mathbf {n} ||\mathbf {n'} |}$

Den dihedrale vinkelen tar verdier mellom null og 180°. I litteraturen benyttes ofte den ekvivalente betegnelsen torsjonsvinkel.

Kjemiske anveldelser

Dihedral vinkel mellom tre bindingsvektorer vist i rødt, grønt og blått som forbinder fire atomer.

En kjemisk binding mellom to atomer i en viss avstand mellom hverandre kan illustreres ved en vektor (matematikk) hvis retning angir den sterkeste bindingen. Egenskapene til et kjemisk forbindelse er bestemt av hvordan atomene i molekylene er satt sammen i forhold til hverandre.

Tre atomer som ikke ligger på en rett linje, definerer et plan. Et fjerde atom gjør det da mulig å definere et nytt plan. Den relative posisjonen av fire atomer avhenger derfor av den dihedrale vinkelen mellom disse to planene. Denne vinkelen bestemmer med andre ord de kjemiske egneskapene til et molekyl med fire eller flere atomer.

Bindingsvektoren mellom de to første atomene kan man betegne med vektor (matematikk)en b₁. Likedan kan b₂ være bindingsvektoren mellom det andre og det tredje atomet. Disse tre atomene ligger i et plan hvis normal da er b₁× b₂.

Hvis man nå antar at et fjerde atomet er bundet til det tredje med bindingsvektoren b₃, så blir egenskapene til denne konfigurasjonen av fire atomer avhengig av hvor langt det fjerde atomet befinner seg fra planet som utgjøres av de tre første atomene. Dette er bestemt av den dihedrale vinkelen mellom dette opprinnelige planet og planet som utgjøres av vektorene b₂ og b₃. Da dette har normalvektoren b₂× b₃, kan vinkelen nå finnes fra definisjonen

$\cos \phi ={(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})\cdot (\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3}) \over |(\mathbf {b} _{1}\times \mathbf {b} _{2})||(\mathbf {b} _{2}\times \mathbf {b} _{3})|}$

Komponentene til hver av bindingsvektoren kan finnes fra posisjonene til de fire atomene som må bestemmes på annen måte.

Projiserte vektorer

Dihedral vinkel kommer klart frem når de to bindingsvektorene b₁ og b₃ projiseres på et plan normalt på den grønne bindingsvektoren b₂.

Denne vinkelen kommer tydelig frem når man ser de fire atomene langs en akse parallell med bindingsvektoren b₂. Langs denne ligger det andre og det tredje atomet som faller sammen i et punkt. Det første planet som inneholder det første atomet, ser da ut som en rett linje langs projeksjonen av b₁ på et plan vinkelrett på b₂. Den dihedrale vektoren er da vinkelen mellom denne projeksjonen og den tilsvarende projeksjonen av b₃ på det samme planet.

Ut fra dette synspunktet kan man nå beregne den dihedrale vinkelen φ ved å beregne projeksjonene av de to vektorene b₁ og b₃ på planet normalt på b₂. Matematisk kan det gjøres ved å innføre en operator P som gir projeksjonen

$P(\mathbf {v} )=\mathbf {v} -{(\mathbf {v} \cdot \mathbf {b} _{2}) \over (\mathbf {b} _{2}\cdot \mathbf {b} _{2})}\mathbf {b} _{2}$

av en vilkårlig vektor v. Vektoren P(v) ligger nå i planet normalt til b₂. For eksempel er P(b₂) = 0 som viser at projeksjonen av b₂ blir et punkt som forventet. Enhver vektor som er normal til b₂, vil forbli uforandret under projeksjonen.

Med bruk av disse projiserte vektorene er nå den dihedrale vektoren gitt ved det ekvivalente uttrykket

$\cos \phi ={P(\mathbf {b} _{1})\cdot P(\mathbf {b} _{3}) \over |P(\mathbf {b} _{1})||P(\mathbf {b} _{3})|}$

Det kan man vise ved å bruke vektoridentiteten (a×b)⋅(c×d) = (a⋅c)(b⋅d) - (a⋅d)(b⋅c). Den relaterer produktet (b₁× b₂)⋅(b₂× b₃) til produktet P(b₁)⋅P(b₃) og gir i tillegg at |P(b₁)| = |b₁× b₂|/|b₂|. Tilsvarende gjelder for |P(b₃)|.

Litteratur

• J.P. Glusker, M. Lewis and M. Rossi, Crystal Structure Analysis for Chemists and Biologists, John Wiley & Sons, New York (1994). ISBN 0-89573-273-4.