Dipol

En dipol (gresk δίς (dis) = to, πόλος (pólos) = akse) i fysikken kan være elektrisk bestående av to nærliggende, motsatt elektriske ladninger eller magnetisk bestående av en elektrisk strøm som går i en liten, lukket sløyfe.

Enhver dipol kan tilordnes en positiv og en negativ «pol» eller «ladning». Den beskrives matematisk som en vektoriell størrelse som kalles dipolmomentet med retning fra den negative til den positive polen. For en magnetisk dipol kalles den positive polen for en «nordpol» N, mens den negative polen kalles for «sydpol» S.

Mange molekyl som er sammensatt av forskjellige atomer, har ofte elektriske dipolmoment. Hvert elektron som går i en lukket bane i et atom, skaper en magnetisk dipol. I tillegg har elektronet selv et slikt magnetisk moment på samme måte som de fleste atomkjerner. Dette skyldes deres spinn som er en kvantemekanisk effekt.

Jordens magnetfelt kan med god nøyaktighet forklares ved eksistensen av en magnetisk dipol i Jordens midte forårsaket av elektriske strømmer i dens indre. Denne dipolen har sin nordpol i nærheten av Sydpolen, mens dens magnetiske sydpol ligger litt vest for Nordpolen.

Elektriske og magnetiske dipoler kan defineres ved en multipolutvikling. Har man en lokalisert fordeling av elektrisk ladning, vil det elektriske potensialet i et punkt med avstand r, kunne skrives som en rekkeutvikling i potenser av 1/r. Første ledd kalles en elektrisk monopol og avtar som 1/r med avstanden. Denne er proporsjonal med den totale ladningen og gir opphav til et Coulomb-potensial. Neste ledd avtar som 1/r² og skyldes det elektriske dipolmomentet til ladningsfordelingen.

For en lokalisert fordeling av elektriske strømmer vil derimot det første monopolleddet i en tilsvarende rekkeutvikling bli null. I vanlig, elektromagnetisk teori kan ikke magnetiske monopoler opptre. Derimot vil det neste leddet i rekkeutviklingen bidra, og dette kalles for det magnetiske dipolmomentet for strømfordelingen. Etter dipolleddene kommer bidrag fra kvadrupoler hvis effekt avtar enda raskere med avstanden.

Elektriske og magnetiske dipoler med moment som varierer med tiden, vil sende ut elektromagnetisk stråling med en bestemt fordeling i rommet. Dette benyttes ved bruk av dipolantenner.

Elektrisk dipol

Det elektriske potensialet i et punkt r som skyldes punktladninger q_i lokalisert i bestemte posisjoner r_i, er gitt ved summen over Cloulomb-potensialene fra hver av dem,

V(\mathbf {r} )=\sum _{a}{q_{a} \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{a}|}

Hvis nå feltpunktet r ligger langt unna alle disse ladningene, kan man rekkeutvikle denne summen i potenser av r_a /r. Det gir

V(\mathbf {r} )={Q \over 4\pi \varepsilon _{0}r}+{\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }} \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}

når man ser bort fra høyere ledd. Her er r = |r| og ${\hat {\mathbf {r} }}$ = r/r en enhetsvektor i retning mot feltpunktet. I det første leddet er Q = ∑q_i den totale ladningen, mens

\mathbf {p} =\sum _{a}q_{a}\mathbf {r} _{a}

er definert som det totale, elektriske dipolmoment til ladningsfordelingen. I denne grensen r >> r_i ser ladningene ut som om de er konsentrert i et punkt slik at potensialet

V_{d}(\mathbf {r} )={\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }} \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}

sies å være potensialet for en punktdipol uten noen utstrekning, men likevel med et endelig dipolmoment.^[1]

I det enkleste tilfellet består en slik dipol kun av to motsatte ladninger q₁ = +q og q₂ = -q. Den totale ladningen for denne fordelingen er Q = 0, mens det elektriske dipolmomentet blir p = q d hvor vektoren d = r₁ - r₂ har retning fra den negative til den positive ladningen.

Det elektriske dipolmomentet i SI-systemet uttrykkes i enheter av C⋅m. Derimot innen kjemi brukes fremdeles ofte enheten debye i CGS-systemet og betegnet som D. I molekyler måles avstanden mellom atomer i enheter av ångstrøm betegnet med Å, mens typiske ladninger er elementærladningen e til elektronet. Dermed defineres 1D ≈ 0.2082 e⋅Å ≈ 3.3356⋅10⁻³⁰ C⋅m.

Dipolfeltet

Det elektriske feltet kan finnes fra potensialet ved sammenhengen E = - ∇V. Brukes her potensialet forårsaket av en punktdipol, finner man at

\mathbf {E} (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}{\big [}3(\mathbf {p} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {p} {\big ]}-{1 \over 3}\mathbf {p} \,\delta (\mathbf {r} )

hvor siste leddet med Diracs deltafunksjon kommer fra det singulare punktet r = 0 hvor potensialet divergerer.^[2] Ser man bort fra dette leddet, kan man alternativt skrive det ved bruk av kulekoordinater (r, θ, φ) som

\mathbf {E} (r>0)={p \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{3}}\left(2\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\right)

når dipolen har sin akse langs z-aksen hvor θ = 0. Feltet er derfor symmetrisk om denne aksen og avtar med tredje potens av avstanden fra dipolens sentrum som er i origo.

Dipol i ytre felt

Energien til en elektrisk dipol bestående av to ladninger ±q med avstand d i et ytre potensial V(r) er gitt ved summen av energiene ±qV til hver av ladningene. Det gir totalenergien

U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E}

der p = q d er dipolmomentet og E = - ∇V er det ytre, elektriske feltet som dipolen befinner seg i. Energien er minimal når dipolen har samme retning som feltet og maksimal når den er motsatt retning. I enhver annen retning virker det et dreiemoment

\mathbf {T} =\mathbf {p} \times \mathbf {E}

på den som prøver å vri den tilbake til posisjonen langs feltet hvor den har minst energi.^[2]

Hvis det ytre feltet E ikke er konstant, vil kraften på de to ladningene i dipolen være litt forskjellige og en nettokraft vil virke på den. Denne har størrelsen

\mathbf {F} =(\mathbf {p} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {E}

og vil prøve å trekke dipolen i den retningen hvor feltet øker.

Molekylære dipolmoment

Molekyl er sammensatt av flere atomer ved kjemisk bindinger. Disse skyldes vanligvis utveksling av et eller flere elektron. Dette har alltid en viss tilbøylighet å bli trukket mot det ene eller andre atomet i forskjellig grad. Resultatet kan bli en liten forflytning av elektrisk ladning i molekylet. En slik ubalanse i ladningsfordelingen gir opphav til et permanent dipolmoment.^[3]

I symmetriske molekyl som O₂ eller N₂ vil ikke et slikt dipolmoment kunne oppstå. Men i et molekyl bestående av to forskjellige atomer som for eksempel HCl, vil elektronet i hydrogenatomet H trekkes mot kloratomet Cl som dermed blir negativt ladet og danner den ene enden av en elektrisk dipol. Det resulterende dipolmentet for HCl er 1.03 D.

Mens bindingen i molekylet HCl er kovalent, er den kjemiske bindingen i koksalt NaCl hovedsakelig ionisk. Da denne er sterkere enn den kovalente, blir også dette molekylet mer polarisert og får derfor et større dipolmoment på 8.5 D.

Oksygenatomene i kulldioksid CO₂ ligger på en linje symmetrisk på hver side av kullatomet C slik at dette molekylet ikke har noe dipolmoment. Derimot i vannmolekylet H₂O som er holdt sammen av hydrogenbindinger, utspenner de to hydrogenatomene en vinkel på 104° på hver side av oksygenatomet som trekker deres elektroner mot seg. Det dannes dermed en asymmetrisk ladningsfordeling slik at vannmolekylet får et dipolmoment på 1.85 D.^[3]

Elektrisk dipolstråling

Elektriske ladninger som beveger seg, vil vanligvis skape elektromagnetisk stråling som brer seg utover med lyshastigheten. For lokaliserte ladninger eller en strømfordeling med endelig utstrekning, er det viktigste bidraget til denne prosessen det som nå kalles elektrisk dipolstråling.

Dens egenskaper kan finnes fra vektorpotensialet som slike strømmer J = J(r,t) gir opphav til. Når strømmen skyldes ladninger i bevegelse med hastigheter mye mindre en lyshastigheten c, kan dette fra beregnes fra integralet

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\mu _{0} \over 4\pi r}\int \!d^{3}x'\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-r/c)

hvor r er avstanden til strømkilden og antas å være mye større enn dennes utstrekning. Dette kan forenkles ved å benytte at strømmen skyldes elektriske punktladninger q_a, hver med hastighet v_a = d r_a /dt. Den resulterende strømtettheten kan da skrives som

\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{a}q_{a}\mathbf {v} _{a}(t)\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{a}(t))

ved bruk av Diracs δ-funksjon. Integralet for vektorpotensialet kan dermed lett utføres ved å benytte at

\int \!d^{3}x\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{a}q_{a}\mathbf {v} _{a}(t)={d \over dt}\sum _{a}q_{a}\mathbf {r} _{a}(t)={d \over dt}\mathbf {p} (t)

da summen her er det totale, elektriske dipolmomentet til ladningene. Vektorpotensialet tar på denne måten den reduserte formen

\mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\mu _{0} \over 4\pi r}{\dot {\mathbf {p} }}(t-r/c)

hvor prikken over dipolmomentet indikerer den tidsderiverte.

Dette enkle resultatet har samme form som vektorpotensialet fra en ladet partikkel i bevegelse. Man kan derfor ta over uttrykket for den utstrålte energien fra denne ved å erstatte dens hastighet v med den tidsderiverte av dipolmomentet p. Strålingsintensiteten gjennom en liten romvinkel dΩ i retning n er dermed

{dP \over d\Omega }={(\mathbf {n} \times {\ddot {\mathbf {p} }})^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}={{\ddot {p}}^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}\sin ^{2}\theta

når den danner vinkelen θ med ${\ddot {\mathbf {p} }}$ . Når akselerasjonen til dipolen har samme retning som dipolen selv, er strålingen hovedsakelig konsentrert i retninger på tvers av dens retning. Ingen stråling kommer ut langs dipolens akse. Den er også polarisert som for en punktpartikkel. Den utstrålte energien har samme fordeling som ved magnetisk dipolstråling bortsett fra at de elektriske og magnetiske strålingsfeltene er byttet om.

Hvis dipolen utfører harmoniske svingninger med vinkelfrekvens ω, er p(t) = p₀ cosωt. Den dobbeltderiverte med hensyn på tiden vil dermed gi en faktor ω² slik at den utstrålte energien er gitt ved

{dP \over d\Omega }={\omega ^{4}p_{0}^{2} \over 32\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}\sin ^{2}\theta

Her inngår en ekstra faktor 1/2 som er middelverdien av termen cos²ωt som oscillerer mellom 0 og 1. Dette resultatet gjelder også for en dipolantenne eller Hertz-dipol. Den har en utstrekning som er mye mindre enn bølgelengden til strålingen slik at den kan beskrives tilnærmet som en puktformig kilde.

Magnetisk dipol

Selv om det ikke finnes magnetiske ladninger, kan man likevel beskrive en magnet som om den består av slike. En slik effektiv eller tilnærmet beskrivelse kommer frem fra den mikroskopisiske forklaringen av magnetisering basert på elektronenes bevegelse i atomer og deres spinn.^[4]

Størrelsen til en magnetisk dipol er gitt ved dens magnetiske moment som vanligvis betegnes som m eller μ og måles i enheter av A·m² = J/T.

For en magnetisk punktdipol m er denne analogien eksakt. Den har et magnetiske feltet H(r > 0) som har nøyaktig samme, matematiske form som forskyvningsfeltet D fra en elektrisk dipol p. Den eneste forskjellen opptrer i det singulære punktet r = 0. Generelt har man at

\mathbf {H} (\mathbf {r} )=\mathbf {H} (r>0)+{2 \over 3}\mathbf {m} \,\delta (\mathbf {r} )

Denne forskjellen opptrer fordi den magnetiske punktdipolen beskrives som en lukket strømsløyfe i grensen hvor dens areal går mot null, mens den elektriske dipolen dannes av to motsatte ladninger hvis avstand går mot null.^[5]

På samme måte vil et magnetisk dipolmoment m i et ytre magnetfelt B beskrives ved de samme ligningene som for et elektrisk dipolmoment p i et ytre, elektrisk felt E.

Jordmagnetisme

Det var Gilbert som allerede i 1600 foreslo at det Jorden selv er en gigantisk magnet. Vel to hundre år senere foreslo Ampère at denne er en magnetisk dipol som skyldes elektriske strømmer i Jordens indre. I dag er denne hypotesen for det jordmagnetiske feltet i stor grad bekreftet. Størrelsen av dipolen er målt å være nesten 10²³ A·m².^[4]

Da retning N på en kompassnål er definert å peke mot nord og motsatt poler tiltrekker hverandre, betyr det at det er sydpolen S til den jordmagnetiske dipol som befinner seg i nærheten av Nordpolen. Og på samme måte befinner nordpolen N til dipolen seg i nærheten av den geografiske Sydpolen.

De geomagnetiske strømmene forandrer seg hele tiden. Det betyr at den jordmagnetiske dipolen også langsomt beveger seg. Den magnetiske nordpolen vil derfor forflytte seg, noe som må tas hensyn til ved bestemmelse av misvisningen på hvert sted.

Over mye lengre tidsrom av størrelsesorden millioner av år har dipolen fullstendig forandret retning. Det kalles en magnetisk polvending. Da misvisningen forandrer seg raskere i dag enn tidligere, kan det tyde at vi langsomt går mot en ny slik reversering av de magnetiske polene.

Magnetisk dipolstråling

Et magnetisk moment m(t) som varierer med tiden, vil også kunne stråle ut elektromagnetisk energi. Når hastighetsvariasjonen ikke er for rask, kan slik magnetisk dipolstråling beregnes på analogt vis med strålingen fra en tidsvariabes, elektrisk dipol. Den vil ha samme vinkelfordeling enn den elektriske, men være vanligvis mye mindre enn denne for den samme fordelingen av elektriske ladninger og strømmer.^[2]

Atomære dipolmoment

I atomfysikk og kjernefysikk betegner man ofte magnetiske dipolmoment som μ istedenfor m. Et elektron som beveger seg med en dreieimpuls L i en bane rundt en atomkjerne, gir opphav til et magnetisk moment som er

{\boldsymbol {\mu }}_{L}=-{e \over 2m_{e}}\mathbf {L}

Minustegnet skyldes at elektronets ladning er negativ og m_e er dets masse.^[6] På samme måte vil dets kvantemekaniske spinn S frembringe et magnetisk moment som kan skrives som

{\boldsymbol {\mu }}_{S}=-g_{e}{e \over 2m_{e}}\mathbf {S}

hvor g-faktoren til elektronet med meget god tilærmelse har verdien g_e = 2. Det totale magnetiske momentet for elektronet i en slik atomær bane er dermed

{\boldsymbol {\mu }}=-{e \over 2m_{e}}(\mathbf {L} +2\mathbf {S} )

På grunn av g-faktoren 2 har dette i alminnelighet en litt annen retning enn den totale dreieimpulsen J = L + S til elektronet. Men likevel kan man ved bruk av kvantemekanikk beregne et effektivt, magnetisk moment definert som

{\boldsymbol {\mu }}_{eff}=-g{e \over 2m_{e}}\mathbf {J}

hvor nå g er Landés g-faktor. Den har verdien

g=1+{\frac {\,j(j+1)+s(s+1)-\ell (\ell +1)}{2j(j+1)}}

hvor $\ell =0,1,2,\ldots$ er kvantetallet for den orbitale dreieimpulsen L, $s=1/2$ er kvantetallet for spinnet S og $j=\ell \pm 1/2$ er kvantetallet for den totale dreieimpulsen J.^[6] Kjenner man verdien til disse kvantetallene, kan man også beregne verdien til atomets magnetiske moment. Magnetismen til materialer som inneholder sjeldne jordarter kan forklares på denne måten.

Se også

Referanser

^ C.A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics, Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.
^ ^a ^b ^c D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.
^ ^a ^b P.W. Atkins, Physical Chemistry, Oxford University Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-855196-7.
^ ^a ^b G.L. Verschuur, Hidden Attraction: The History and Mystery of Magnetism, Oxford University Press Oxford (1993). ISBN 0-19-510655-5.
^ A. Zangwill, Modern Electrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.
^ ^a ^b R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, John Wiley & Sons, New York (1985). ISBN 0-471-87373-X.

Eksterne lenker

USGS Geomagnetism Program
Fields of Force Arkivert 14. desember 2010 hos Wayback Machine.: a chapter from an online textbook
Electric Dipoles on Project PHYSNET

[Brau-1] C.A. Brau, Modern Problems in Classical Electrodynamics, Oxford University Press, Oxford (2004). ISBN 0-19-514665-4.

[Griffiths-2] D.J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice Hall, New Jersey (1999). ISBN 0-13-805326-X.

[Atkins-3] P.W. Atkins, Physical Chemistry, Oxford University Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-855196-7.

[Verschuur-4] G.L. Verschuur, Hidden Attraction: The History and Mystery of Magnetism, Oxford University Press Oxford (1993). ISBN 0-19-510655-5.

[Zangwill-5] A. Zangwill, Modern Electrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge (2013). ISBN 978-0-521-89697-9.

[ER-6] R. Eisberg and R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles, John Wiley & Sons, New York (1985). ISBN 0-471-87373-X.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]