Femtegradsligning

Grafisk fremstilling av en femtegrads-ligning med tre reelle røtter.

En femtegradsligning er en polynomligning av femte grad i en variabel. Den har en meget spesiell plass i moderne matematikk da den ikke i alminnelighet kan løses ved algebraiske metoder. Det betyr at dens røtter ikke kan uttrykkes ved de fire aritmetiske regningsartene kombinert med rotutdragninger. Dette ble først bevist av Niels Henrik Abel og formulert mer generelt av Évariste Galois.

Den generelle femtegradsligningen kan skrives som

$a_{5}x^{5}+a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0$

hvor koeffisientene vanligvis antas å være heltall eller rasjonale tall. I det siste tilfellet kan man sette koeffisienten a₅ = 1. Ifølge algebraens fundamentalteorem har en slik ligningen av femte grad alltid fem røtter x_k  med k = 1, .., 5. De vil i alminnelighet være komplekse tall og betyr at ligningen kan omformes til

$(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})(x-x_{5})=0.$

Kjenner man røttene, er det derfor trivielt å skrive ned den ligningen som de tilfredsstiller. Ved bruk av numeriske metoder kan røttene beregnes så nøyaktig som man måtte ønske. Men eksistensen av et algebraisk uttrykk for røttene reflekterer dypere, matematiske egenskaper ved slike ligninger som har vært avgjørende for utviklingen av blant annet tallteori som i dag har fått praktisk betydning i kryptering av elektronisk kommunikasjon.

Løsninger

Da ligningens grad er et oddetall, vil minst en av disse røttene være et reelt tall på samme måte som for tredjegradsligningen. De andre vil da bestå av to kompleks konjugerte par, to reelle og et kompleks konjugert par eller så er alle fire reelle. Hvilke typer som opptrer for en bestemt ligning avhenger av verdiene til koeffisientene.

Femtegradsligningen kan løses algebraisk hvis den eksakte verdien av en rot er kjent. Kalles denne roten for $x_{1}$, vil ligningen da kunne omformes til $(x-x_{1})P_{4}(x)=0$ hvor polynomet $P_{4}(x)$ er av fjerde grad. De fire andre røttene til den gitte femtegradsligningen vil nå følge fra fjerdegradsligningen $P_{4}(x)=0$ som har algebraiske løsninger.

Et enkelt eksempel er femtegradsligningen $x^{5}-2x^{4}-x+2=0$. Ved inspeksjon ser man at $x_{1}=2$ er en rot. Ligningen kan dermed omformes til $(x-2)(x^{4}-1)=0$. Da fjerdegradspolynomet her lar seg faktorisere som $P_{4}(x)=(x^{2}-1)(x^{2}+1)$, er de fire andre røttene $\pm 1$ og $\pm i$. Derimot har den tilsynelatende enklere ligningen $x^{5}-x+1=0$ ingen algebraiske løsninger.

Man kunne forvente at en eksakt rot av femtegradsligningen vil inneholde ledd med 5-te-rot av enklere uttrykk som igjen finnes algebraisk fra koeffisientene. Et eksempel på en slik mer komplisert ligning er $x^{5}+15x-44=0$ som har løsningen

$x_{1}={\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{5}]{3+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{5}]{3-2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt[{5}]{-1-{\sqrt {2}}}}.$

Dette var også utgangspunktet for Abels bevis som gjorde det klart at denne antagelsen ikke er generelt gyldig. Den førte til en selvmotsigelse. Fra og med dette gjennombruddet var det klart at algebraiske løsninger av femtegradsligningen i alminnelighet ikke kan finnes.

Historie

På midten av 1500-tallet offentliggjorde Cardano en algebraisk formel for beregning av røttene til tredjegradsligningen. De kunne finnes ved en omskrivning av ligningen til en hjelpeligning eller resolvent av andre grad. Løsning av andregradsligningen hadde da vært kjent i mer enn tusen år. Samtidig viste han også hvordan røttene til fjerdegradsligningen kunne finnes fra en tilsvarende resolvent av tredje grad som derfor også ville gi algebraiske løsninger. Det var derfor nærliggende å tro at for femtegradsligningen ville det finnes en resolvent av fjerde grad som vil kunne gi slike eksakte løsninger også for denne.

I over to hundre år lyktes ingen med å finne en slik fremgangsmåte. På slutten av 1700-tallet viste Lagrange at ombytte eller permutasjoner av røttene kunne brukes til å skaffe bedre innsikt i deres egenskaper. På tross av dette kunne han ikke finne noen resolvent med mindre grad enn seks. Dette kunne tyde på at femtegradsligningen generelt ikke var algebraisk løsbar. Arbeidet til Lagrange ble videreført av Paolo Ruffini som i 1799 offentliggjorde et bevis for at dette virkelig var tilfelle. Det vakte liten interesse, var vanskelig å forstå og viste seg å snart være mangelfullt. Men i 1824 kunne Niels Henrik Abel publisere et fullstendig bevis uten å ha hatt kjennskap til Ruffinis arbeid. Dette viktige resultatet at femtegradsligningen ikke er generelt algebraisk løsbar, går i dag under navnet Abel-Ruffinis teorem. Resten av sitt korte liv brukte Abel til å finne ut av hva som karakteriserte de ligningene som representerte unntak til denne generelle egenskapen.

Omtrent samtidig med Abels siste år arbeidet Évariste Galois med det tilsvarende problemet basert på en mer generell, matematisk behandling av permutasjonene av røttene i en ligning av en vilkårlig høy grad. Disse nye metodene dannet grunnlaget for dagens gruppeteori. Galois viste hvordan hver ligning kunne tilordnes en bestemt, endelig gruppe som maksimalt kan være symmetrigruppen $S_{n}$. Den tilsvarer ombytte av alle røttene til en ligning av $n{-}te$ grad. Avhengig av hvordan denne «Galois-gruppen» er sammensatt av undergrupper, bestemmer den om ligningen kan løses algebraisk. For femtegradsligningen og tilsvarende ligninger av grad $n\geq 5$, viser denne Galois-teorien at for slike ligninger er det i alminnelighet umulig. Men for bestemte verdier av koeffisientene i ligningen, vil Galois-gruppen bli mindre og dermed tillate slike eksakte løsninger. På den måten hadde Galois funnet det kriteriet for løsbarhet som Abel hadde arbeidet for å finne.

Se også

• Andregradsligning
• Tredjegradsligning
• Fjerdegradsligning
• Diskriminant

Litteratur

• A. Stubhaug, Et foranskutt lyn: Niels Henrik Abel og hans tid, Aschehoug, Oslo (1996). ISBN 82-03-16697-0.
• D. Cox, Galois Theory, John Wiley & Sons, New York (2012). ISBN 978-1-118-07205-9.