別れた子供の貯金がしたい

離婚して別れた子供が二人います。 赤ちゃんの頃に私が子供名義で通帳を作って、コツコツ貯めていました。 子供手当てやお年玉やお祝いで頂いたお金は一切入ってません。 その通帳は私の手元にあり、今後も貯金を続けて 将来子供が大きくなったときに渡したいのですが、贈与税がかかるとか 他に何か問題になりますか？ また、子供の住まいも変わったのですが、住所変更をしていません。 このまま旧住所のまま貯金を続けることは無理でしょうか？ 元夫は「子供に会わせないから養育費も受け取らない」と言われました。 それに何に使われるかもわからないので、子供に確実に渡したいと思ってます。