さっぱりわかりません！至急おねがいします！ aを3以上の奇数の定数とする。方程式ax-2y=1を満た

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質問者：kyurumi
質問日時：2017/11/04 12:44
回答数：2件

さっぱりわかりません！至急おねがいします！

aを3以上の奇数の定数とする。方程式ax-2y=1を満たす自然数の組(x,y)について、次の問いに答えよ。

(1)組(x,y)は無数に存在することを示せ。

(2)組(x,y)の列(x1,x2),(x2,y2),…,(xn,yn),…が、条件「n≧2についてxnは、x1,x2,…x(n-1)のどの項とも異なる」を満たすとする。

このとき、極限値lim[n→∞]1/n(y1/x1+y2/x2+…yn/xn)をaを用いて表せ。必要ならば、lim[n→∞]logn/n=0を利用してよい。

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回答 (2件)

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No.2

回答者： stega
回答日時：2017/11/04 14:36

考え方です

方程式はxy平面上の直線を表します。
(1)
(x,y)の組はその直線上の点で、直線は無限に長いため、自然数という条件のもとでも、無数にあります。
(2)
「どの項とも異なる」は
任意のn≧2での話なので、「(xn,yn)は１つとして同じものがない」ことを意味しているだけです。
「表せ」と言っているのは直線の傾きに(y切片/xn)を加えたものの平均です。
1/xnの平均の問題に帰着します。
aは3以上の奇数ということからxnの列がどうなるかに気を付けます

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No.1

回答者： mathstudent
回答日時：2017/11/04 13:14

方針だけ言います。

(1)aは3以上の奇数の定数なので、a=2n+1(nは自然数)と置いてあげましょう。

a=2n＋1とおくと、(2n＋1)x－2y=1となりますが、この不定方程式の一つの解は、x=1、y=nとなることから、この不定方程式の一般解は、自然数kを用いてx=2k－1、y=(2n＋1)k－(n＋1)となります。

よって、a=2n＋1から、x=2k－1、y=ak－(a＋1)/2と表せます。もちろん、どんな自然数kでも方程式を満たしますので、解が無数にあることは示されました。

(2)

ヒントとして、(xk,yk)=(2k－1、ak－(a＋1)/2)とすると、yk/xk=(a/2)－(1/(4k－2))となります。

そこで1/(4k－2)の和が問題となりますが、対数関数y=logxとの面積の比較で不等式を立ててみてください。