z^3=1を満たす複素数を答えよ、これよくわかりません。教えてください。 複素数の章のなにを勉強すれ

既に出ている通り解き方はいくつもあります。

一番簡単なのは3次方程式を解く方法です。
z³=1
z³-1=0
(z-1)(z²+z+1)=0
1/4 (z-1){4z²+4z+4}=0
1/4 (z-1){(2z+1)²+3}=0
1/4 (z-1)(2z+1+i√3)(2z+1-i√3)=0
(z-1){z-(-1+i√3)/2}{z-(-1-i√3)/2}=0
z=1, (-1±i√3)/2

実係数の3次方程式は少なくとも1つの実数解を持つので、それを見つければ因数定理によって残った2次方程式を解くだけです。
カルダノの公式を用いればその実数解を求めることができますが、高校程度の数学で出題されている問題ならばカルダノの公式を使うまでもなく実数解を見つけられる問題しか出題されないと思われます。(カルダノの公式は私が現役の数年前まで高校のカリキュラムに含まれていたので、先輩のお古の教科書や参考書には掲載されていたのですが、私の年代(1970代末)には消滅していました。)

複素数とはどのような数なのかという基本さえ押さえておけばそれで良いのではないかと思います。

高校の範囲を逸脱してもいいのであれば、オイラーの公式やドモアブルの公式を使って図形的に求めるのが簡単です。

z^3-1^3と考えて、下記サイトの公式を使います。

http://hensa40.cutegirl.jp/archives/493
z^3-1^3=(z-1)(z^2+z+1)=0
z^2+z+1=0
を解の公式で解きます。

高校一年生で習う「x^3-1」の因数分解をするだけ

複素数かどうかに関係なく、3次方程式を解けばいいだけ。

ド・モアブル

別に複素数の詳しい知識は不要だと思いますが？

1を左辺に移項して因数分解すればよいでしょう。