１のｎ乗根

siegmund です．

mathworld のページ
http://mathworld.wolfram.com/TrigonometryAngles. …
を見ていましたら，mathematica で
FunctionExpand[Sin[2π/11]]
などとやると，sin(2π/11) の具体的表式が出てくることがわかりました．
おい，かんべんしてくれよ，というような式です．
複素数の 3/5 乗などあって気持ちの悪い表式ですが，
共役な項などあるのでもっと簡単にはなりそうです．
N で近似値を出させると，ちゃんと虚部はゼロ(精度範囲で)になり，
sin(2π/11)の値が出てきます．

Mathematica の標準設定では mπ/n の三角関数で n≦6 の場合は
自動的に解析的表式に置き換えられるようです．

なお，grothendieck さんが No.3 で紹介されているページには
But this quintic equation has a cyclic Galois Group,
and so x, and hence sin(π/11) ,
can be expressed in terms of radicals,
although the explicit expression is quite complicated.
と書いてあります．
this quintic equation とは x=sin^2(Pi/11) の５次方程式です．

No.11の方へのibm_111さんの補足

[結局、任意のnに対して、代数的解法が存在して
しかも、アルゴリズムもあるんでしょうか？]
に対して。

岩波講座　現代数学への入門
代数入門２　上野健爾著　（岩波書店）
のＰ．２６２に
「実は１の原始ｎ乗根はすべて、有理数から累乗根を繰り返しとることによって表示することができることが知られている」
とあるのを見つけました。

ただ、この本にもその式は載っていません。
n　=　5　の場合がわずかに書かれているのみです。
他の本も数冊見ましたが、n = 7　の場合ですら、最後まで解き切った式は載っていませんでした。
n = 11 については、記述そのものに出会うこともできませんでした。

以前の回答で、ガロア群等についての説明はまったくだめです。

無視してください。あれでは
x^3+x^2-2x-1=0
の解が有理数の三乗根と四則演算では表せないことを言っているだけです。

さて、１の11乗根についてですが、
五次式
x^5+x^4-4x^3-3x^2+3x+1-0
を解けばよいわけです。
この方程式のガロア群は必然的に5次巡回群になります。
一方、有理数体に1の5乗根を添加した体をFとします。
Fの元の五乗根を添加してできた体はF上ガロア拡大となり、ガロア群は5次巡回群です。
このことから、Fの元をうまくとれば、その五乗根を添加した体の部分体として上の五次方程式のガロア拡大体が含まれるのではないかと思います。
つまり、「1の五乗根をで表される数の五乗根」と1の五乗根を使って1の11乗根は表されると思われます。

この方面はあまり詳しくないので、自信はありません。

siegmund です．

nakaizu さん：
> 1のｎ乗根が正の実数の累乗根と四則演算だけで表すことは不可能です。
> １の４乗根であるiが正の実数の累乗根で表されないからです。

1のn乗根が累乗根と四則だけで書けるというのは，
z = a + bi の形で，実数 a,b が正の実数の累乗根と四則演算だけで書けている
という意味です．
他の回答者の方々も同じ認識と思います．

で，７乗根の件ですが，
> たしかに１の7乗根は
> x^3+x^2-2x-1=0
> という三次方程式を解けば、求めることができます。
> そして、この三次方程式はカルダノの公式で解くことができますが、
> その際に三乗根の中身が虚数になります。
は nakaizu さんの言われるとおりですが，
３乗根の中身が虚数でも別に問題ないような気がします．

絶対値は本質的ではないので，偏角だけ問題にします．
中身の偏角部分を cosφ + i sinφ としますと，
cos(φ/3) と sin(φ/3) がわかればいいわけで，
３倍角公式を使えば，また３次方程式を解くことにより，
cos(φ/3) と sin(φ/3) が得られます．
多分，３つの解とも実解で，
偏角が 2π/3 ずつ異なっていることに対応していると思います．

カルダノの公式の３つの解の式と虚数の３乗根の分枝の選び方の組み合わせ
についてははちょっと注意がいるかと思いますが，
これで解が出せるのではないでしょうか．

> なぜならば、この方程式のガロア拡大は3次拡大ですが、
> 実数の3乗根を添加してできる体のガロア拡大は6次拡大だからです。
> よって、この方程式の解は実数の3乗根だけでは表すことはできません。
ここらへん(実はもっと前か？)が昔挫折したところで，
ちょっと(はるかに？)私の理解を越えます．
まったく，情けない(^^;)

いろいろ探していたら，７乗根に関してこんな
http://www80.sakura.ne.jp/~aozora/taiwa/node19.h …
ページを見つけました．
θ=2π/7 として
cosθ＋cos(2θ)＋cos(4θ) = -1/2
sinθ＋sin(2θ)＋sin(4θ) = (√7)/2
が導けるようです．
これだと，４次方程式を解いて cosθと sinθがわかると思います．

1のn乗根は累乗根と四則だけでかける理由は，
巡回群のあたりがキーポイントになっているような気がするのですが，
どなたか達者な方，ご教示を．

回答でなくて，「ついでに教えて下さい」になっていますね．

下の回答で「正の実数の累乗根」は「正の有理数の累乗根」の間違いです。

ただしくは１の7乗根は

「有理数から累乗根と四則演算で虚数にならないように作られる数」と虚数単位iの四則演算
で表すことはできません。

ということです。
11乗根も同様です。
ところどころ有理数と書くべきところを実数と書いています。すみませんが適当に修正して読んでください

1のｎ乗根が正の実数の累乗根と四則演算だけで表すことは不可能です。

１の４乗根であるiが正の実数の累乗根で表されないからです。
ならば、正の実数の累乗根とiを使えば、表されるかというとこれも間違いです。
さきほどから１の7乗根について書かれていますが、この場合もうまくいきません。
たしかに１の7乗根は
x^3+x^2-2x-1=0
という三次方程式を解けば、求めることができます。
そして、この三次方程式はカルダノの公式で解くことができますが、その際に三乗根の中身が虚数になります。
これは本質的に解決できません。
なぜならば、この方程式のガロア拡大は3次拡大ですが、実数の3乗根を添加してできる体のガロア拡大は6次拡大だからです。
よって、この方程式の解は実数の3乗根だけでは表すことはできません。
つまり、１の7乗根は実数の三乗根を使って表すことは不可能です。
同様に１の11乗根も実数の累乗根だけを使ったのでは表すことはできません。

１のｎ乗根は累乗根と四則だけで表されるというのは複素数の累乗根を認めた上でのことだと思います。

物理屋の siegmund です．

こういう話は好きなのですが，なにせ群論関係の力不足で私には手に余ります．
昔，学生の時に数学科の授業を聴いて挫折した苦い思い出が...

grothendieck さんの No.6 ですが，
ibm_111 さんのご質問の意図は四則と開平ということではないと思います．

例えば，７乗根に対応する
(1)　　z^7 = 1
ですと，因数分解して
(2)　　z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0
を問題にすればよいわけで，z + 1/z = w とでもおけば，
w の３次方程式が得られます．
カルダノの公式で３次方程式は解けますから，
結局(1)の解は四則と平方根，３乗根で表すことができます．
３乗根が含まれますので，定規とコンパスでの正７角形の作図はできませんが，
とにかく１の７乗根の具体的表式はわかります．

ところが，１１乗根ですと(2)に対応する式が
(3)　　z^10 + z^9 + ・・・ + z + 1 = 0
となり，同じように w で書きますと今度は５次方程式になってしまいます．
アーベルが示したように，一般の５次方程式の解の公式は存在しません．
でも，確か１のｎ乗根はべき根と四則で書けるはずだった．
では，具体的にはどうやって求めればいいのだろうか？
更に，n=11 以上の場合の一般的処方箋はあるのか？

ibm_111 さんのご質問の意図は上のようなことだと思います
(一部 mickel131 さんと重なっています)．
(私が質問意図解説してどうする(^^;))

頭の中で，ガロア群，アーベル群，拡大体，位数，などの言葉が飛び交っていますが，
結局わかりません．
なんとも情けない回答(？)でした．

ibm_111さん、こんにちは。

１のn乗根を四則と開平で表わすという問題だと思います。そうだとすると、これは任意のnについては不可能です。(先に引用したURLの最初にも書いてあります)。もし11のn乗根を四則と開平で表わすことができるなら、正11角形が定規とコンパスで作図可能なはずです。しかし定規とコンパスで作図可能なのはフェルマー素数だけで、11はフェルマー素数ではありません。

ibm_111さん、こんにちは。

御質問の件は
多分、円分体の話になると思います。
ただ、私はあまり詳しくないですし、はっきりいうと
ここの掲示板で代数的にある程度高度な問題は解答がつかないのと思うので、他の掲示板の方が良いような気がします。（こんな事書くと削除されるかな）
yahooの数学掲示板で代数的な話題を扱っているトピックがありますので、それだったらある程度回答が期待できると思います。
あと、参考文献をできるだけ思い出して欲しいですね。

１１次方程式　x^11=1　の解の１つを

x =cos(2Pi/11)+i*sin(2Pi/11)
として、
cos(2Pi/11)とsin(2Pi/11)
の値を級数展開した式で求めたらいいのではないでしょうか？
cos(x)=1-x^2/(2!)+x^4/(4!)-x^6/(6!)+x^8/(8!)-・・・
sin(x)=x/(1!)-x^3/(3!)+x^5/(5!)-x^7/(7!)+・・・
この式を適当なところで切って、x =2Pi/11 を代入して使う、というのはどうでしょう？
-----------------------------------------------
[高校で習うやり方では求められない最小のnです。]
高校でのやり方で途中までやってみました。
0=x^11-1　を因数分解して
0=(x-1)(x^10+x^9+x^8+・・・+x^3+x^2+x+1)
自明な解 x=1 は除外して、
x^10+x^9+x^8+・・・+x^3+x^2+x+1=0（相反方程式）
x≠0　だから、両辺をxで割って、x+1/x=t
とおき、・・・途中略・・・、
t^5+t^4-4t^3-3t^2+3t+1 =0　・・・＠

５次方程式には、累乗根と四則だけで表せる解の公式はないため、一般的には解けない。エルミートという人が５次方程式
の解を楕円関数とかを使って表した、という記述を読んだことがあるような気がします。（自信全くなし。）（＠も合っているか自信なし。）