三角関数系が直交性を持つといいことがあるのか？

おっしゃる通り、1次独立であれば一意性をもって級数展開できる。

例えば1変数実関数のマクローリン展開の場合
　　f(x) 〜 Σ(a[n] x^n)
と一意的に展開でき、その一意性は関数系{1,x,x^2,...}の1次独立性に由来する。そして、a[n]を知るにはf(x)のn階微分を計算する必要がある。

　一方、多項式の定義域を-1≦x≦1 の範囲に限定した場合、
　　T(n,x) = cos(n arccos(x))
とすると、T(n,x)はxの多項式で表される。具体的には
　　T(0,x) = 1
　　T(1,x) = x
　　T(2,x) = 2x^2 -1
　　T(3,x) = 4x^3 - 3x
　　T(4,x) = 8x^4 - 8x^2 +1
　　：
　　T(n+1,x) = 2xT(n,x)-T(n-1,x)
（|x|＞1でもT(n,x) = cosh(n arccosh(x))と拡張できるのだけれども、それはさておき）そして内積を
　　p・q = ∫{x=-1〜1}( p(x) q(x) /√(1-x^2)) dx
とするとTは正規直交関数系になります。（チェビシェフの直交多項式系）
　もちろん、関数系{1,x,x^2,...}は
　　1 = T(0,x)
　　x = T(1,x)
　　x^2 = (T(0,x)+T(2,x))/2
　　x^3 = (3T(1,x) + T(3,x))/4
　　x^4 = (3T(0,x) + 4T(2,x) + T(4,x))/8
　　:
のようにTで表せる。さて、Tによる直交級数展開
　　　　f(x) ～ Σ(b[n] T(n,x))
のb[n]を知るには、f(x) T(n,x)/√(1-x^2) の積分を計算する必要がある。
　他にも、内積の積分の重み（Tの場合なら 1/√(1-x^2)）や定義域(=内積の積分範囲)が異なる様々な正規直交多項式系があります。ルジャンドル多項式系、ヤコビの多項式系、ラゲル多項式系、ソニンの多項式系、などなど。

　で、本題。
　「どっちがどう優れているの？」という問いは、まず「どんな定義域の何を展開するか」によるわけで、上記の例ならn階微分と内積とどっちが計算し易いかはfが何であるかによって違う。さらに重要なのは、「級数展開の結果を、その後どう使う場合の話なのか」という文脈による（例えば、b[n]を知れば、ある方程式の解の（例えば）ベッセル関数系による級数展開の係数c[n]がすぐわかる、なんて場合もある）ということ。これらを指定しなくては「どっちがどう優れているの？」と尋ねても意味をなさないでしょう。だから結局、どの手を使うのが具合が良いかは、一般論で語れることじゃなくて、個別の問題による。

ベクトル全てが、直交の時1次独立であるといいます。

１つでも直交でないベクトルを含む場合は1次従属といいます。
ある周期関数ｆ（ｘ）は
f(x) = a₀/ 2 + ∑[n=1~∞] (an cos nx + bn sin nx)
と、直交ベクトルsin(nx)とcos(nx)で表される。
∫[-π~π]sin(nx)sin(nx)=π, ∫[-π~π]cos(nx)cos(nx)=π
∫[-π~π]sin(mx)sin(nx)=0, ∫[-π~π]cos(mx)cos(nx)=0
∫[-π~π]sin(nx)cos(nx)=0
直交性を持つがゆえに、展開できます。
メリットは、ＦＴ変換機能付き分析器に応用されています。
ＦＴ－ＩＲは試料に吸収されなかった赤外線を直交ベクトルに展開して
横軸に三角関数、縦軸に係数をとったチャートを瞬時に描きます。
また、ＭＲＩも体内から反射する電磁波を直交ベクトルに展開して図
にします。

関数の内積（言葉はどうでもいい，単に二つの関数の定義域上の重み付き積分）が定義できて，ある関数列がその内積に関して直交性があれば，その関数列で級数表示した場合の係数が，連立せず個々に独立して解ける，というだけの話ではないですか。

だから，ベッセル関数もルジャンドルの多項式もある内積を定義すれば直交性を持つからベンリー。

無限次元のベクトル空間は不案内ですが、

有限次元でもやっかいな一次独立な基底の係数計算が
無限次元で有限の時間に求まりますかね？

無理そうな気がします。

ベクトル全てが、直交の時1次独立であるといいます。

１つでも直交でないベクトルを含む場合は1次従属といいます。
関数