高3の微分についての質問です。 ある説明に「数学IIで扱ったのは多項式関数で、この時極限値は必ず存在

多項式関数と一般の関数が「違う」という考え方が、そもそも微妙。

「一般の関数」とは、「関数であれば、どんな関数でも」ということだから、
当然「多項式関数」も含んでいる。
多項式関数でない関数も含んでいるわけで、
多項式関数と一般の関数とは何が違うのか？と言われれば、
「一般の関数は多項式関数でない場合もある」に尽きる。
正方形と長方形は何が違うのか？と、ちょっと似ている。

では、多項式関数でない関数が多項式関数と異なるどんな性質を持つか？
と言えば、そのひとつに、連続とは限らない、微分可能とは限らない
というものがある。例えば、f(x)=1/x は x=0 において連続ではない。
多項式関数でない関数の中にも f(x)=sin(x) のように任意の x で微分可能
なものもあり、「連続とは限らない」は連続でない場合もある という意味で
常に連続ではない という意味ではない。

多項式関数と言うのは恐らく

f(x)=x^2+2x+1

のように各項がax^n(nは0または自然数)の形になっているものを指しているのだと思いますが、関数には三角関数や指数関数のようにその形になっていないものもあります。「一般の」とは「特別な場合を考えない」と言う事ですから、「一般の関数」とは各項がax^nの形になっていない場合を含んだ、文字通りの「一般的な形の関数」と言う事です。

多項式関数は、多項式で定義した関数のこと。

多項式
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%9A%E9%A0%85 …

但し、WikiPedia でも触れてるけど、中高での多項式は
一般的な数学用語の「多項式」と意味が違うので、ひょっとすると
高校で f(x) = x とかは多項式関数とは呼ばないかも。
整式関数かな・・・しらんけど(^^;

質問の多項式関数の多項式は普通の数学用語の多項式のことだと思う。

このご質問は、結局「関数」って何なの？ ということだと思いますんで、ちょっとガチっぽく説明してみます。

[1] 数学において、関数 f とは「それぞれのxにナニカを1つだけ対応させるモノ」ってことです。単にそれだけ。そして、「関数 f によってxに対応させられているナニカ」のことを f(x) と書く。また、「関数 f で対応を決めてあるxの集合」をこの関数 f の定義域と言います。関数の定義域をアンマリ意識しない人が多いけれども、実はケッコウ重要です。

[2] 多項式関数とは「多項式で表せる関数」という意味です。言い換えると、多項式関数 fは、定義域が実数（あるいは複素数）全部の集合であって、ある非負の整数nと、実数（あるいは複素数）の列 a[k] (k=0〜n)が存在して、
「どんなxについても、もしxが定義域の要素ならば
　　f(x) = Σ{k = 0〜n} a[k](x^k)
を満たす」
という性質を持つ、そういう特別な種類の関数です。
　ご承知の通り、これをxで微分して得られる導関数は、定義域が実数（あるいは複素数）全部の集合であって、
　　f'(x) = (df/dx)(x) = Σ{k = 1〜n} k a[k](x^(k - 1))
と表せる。だから、多項式関数の導関数は多項式関数です。
　ちなみに、このfに対してxによる微分を(n+1)回繰り返して得られる導関数（(n+1)階導関数）をgと書くと、gは多項式関数で、ご承知の通り
　　g(x) = 0
であり、これは「定義域が実数（あるいは複素数）全部の集合であって、どんなxにも0を対応させる関数」です。

[3] 多項式では表せない関数はナンボでもあります。馴染みのありそうなものを挙げると、
　定義域が実数全部の集合であって、
　　f(x) = sin x
という関数や、定義域が0を除く実数全部の集合であって
　　f(x) = 1/x
という関数や、定義域が{1, -1}を除く実数全部の集合であって
　　f(x) = 1/(1 - x^2)
という関数は、定義域にあるどんなxにおいても微分できます。しかし、定義域に入っていないxについては、xに対応するナニカf(x)がそもそも決められていません（これを「f(x)が定義されない」という言い方で表現します）から、式が意味を持ちません。つまり導関数f'の定義域はfの定義域と同じです。
　定義域が実数全部の集合であって
　　f(x) = |x|
という関数とか、定義域が非負の実数全部の集合であって
　　f(x) = √x
という関数は、定義域に入っているxのうちx=0 のときにだけ微分できません。つまり導関数f'の定義域は「fの定義域から0を除いたもの」になるわけです。
　一方、定義域が整数全部の集合であって
　　f(x) = 2x + 1
という関数は、どんなxにおいても微分できません。（見かけは多項式でも、定義域が整数に限定されているから、多項式関数ではない、ってことです。）

[4] さて、関数は「四則演算とべき乗を組み合わせた式」で表せるとは限りません。たとえば定義域が実数全部の集合であって
　　f(x) = (x>0なら1, x<0なら-1, x=0なら0)
というのも関数です。（fを「符号関数」と呼んで、sgn(x)と書くことがあります。）これも、定義域に入っているxのうちx=0 のときにだけ微分できません。
　また、定義域が実数全部の集合であって
　　f(x) = (xが有理数なら0, さもなくば1)
という関数は、どんなxにおいても微分できません。

[5] 数を数に対応させるものばかりが関数ではありません。たとえば、定義域が多角形全ての集合であって、
　　f(x) = （xが正多角形なら赤, さもなくば青）
というのも関数です。多角形を色に対応させる関数ですね。このような関数では、ご存知の意味での「微分」はそもそも考えられません。

[6]さて高校数学では、しばしば定義域を明示することなく、いきなり
　　f(x) = 1/(1 - x^2)
のような式だけを書いて関数を与えることがあります。（もちろん、必ず定義域を明示する注意深い人もいるでしょうけれど。）
　1と-1が定義域から除外されるべきであることはこの式から明らかですが、それだけでは定義域がはっきりしない。実際、fの定義域は「複素数全部の集合から1と-1を除いたもの」とか「実数全部の集合から1と-1を除いたもの」とか「自然全部の集合から1を除いたもの」とか、それどころか「0＜x＜πである無理数全部の集合」とか、いろいろあり得ます。
　こういうのは高校数学では「式が意味を持つという条件のもとで、文脈から推測して、できるだけ大きな集合を定義域だと考えろ」という暗黙の合意があるんだと解釈します。すなわち、特に断りがなければ、定義域を「実数全部の集合か複素数全部の集合から、式がナンセンスになる要素(この場合は-1と1)を除いたもの」と考えることになります。

多項式関数とは

　f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
みたいなものです。

それ以外にも
　f(x) = 1/(x - 1)
とか
　f(x) = tan(x)
　f(x) = |x|
みたいな関数もあります。

例えば y = 1/x では x→0 の極限値を持たない.