Astroide
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Um astroide é um tipo específico de curva matemática: uma hipocicloide com quatro vértices. Especificamente, é o lugar geométrico de um ponto num círculo que gira quatro vezes dentro de um círculo fixo num raio.[1][2] Pela geratriz dupla, é também o lugar geométrico de um ponto num círculo, na medida em que gira dentro de um círculo fixo com o raio em 4/3 vezes. Pode igualmente ser definido como uma envoltória de um segmento de reta com um ponto de extremidade em cada um dos eixos. Por conseguinte, é a envoltória da barra móvel do Tresmalho de Arquimedes.
O nome contemporâneo deriva da palavra grega que significa "estrela". Originalmente, foi proposto na forma de "Astrois", pelo astrónomo austríaco Joseph Johann von Littrow em 1838.[3][4] A curva possui vários nomes, que incluem tetracúspide (ainda utilizado), cubocicloide, e paraciclo. É praticamente similar à evoluta de uma elipse.
Equações
[editar | editar código-fonte]Se o raio do círculo fixo for a, então a equação é feita por:[1]
Isto implica que um astroide é também uma superelipse.
As equações paramétricas são:
Uma equação pedal em relação à origem é:
A equação de Whewell é:
E a equação de Cesàro é:
A equação polar é:[5]
O astroide é um lugar geométrico real de uma curva algébrica plana de género zero. Tem a seguinte equação:[6]
O astroide é portanto uma curva algébrica real de sexto grau.
Derivação da equação polinomial
[editar | editar código-fonte]A equação polinomial pode ser derivada da equação de Leibniz através da álgebra elementar:
Em ambos os lados do cubo:
Em ambos os lados do cubo de novo:
Mas desde que:
Siga assim:
Sendo:
ou:
Propriedades métricas
[editar | editar código-fonte]- Uma área envolvente[1]
- Comprimento da curva
- O volume da superfície de revolução da área envolvente sobre o eixo x.
- A área da superfície de revolução sobre o eixo x
Propriedades
[editar | editar código-fonte]O astroide tem quatro vértices nas singularidades do plano real, os pontos da estrela. Possui mais duas singularidades complexas na infinidade, e quatro pontos duplos complexos, tendo um total de dez singularidades.
A curva dupla relativa ao astroide é a curva cruciforme, com a equação: A evoluta de um astroide é duas vezes maior.
Ver também
[editar | editar código-fonte]Referências
- ↑ a b c Yates, R.C. (1952). «Astroid». A Handbook on Curves and Their Properties (em inglês). Ann Arbor, MI: J. W. Edwards. p. 1 ff.
- ↑ Nunes, Paulo (1 de dezembro de 2015). «Astroide». Knoow.net
- ↑ Littrow, Joseph Johann von (1838). «§99. Die Astrois». Kurze Anleitung zur gesammten Mathematik (em alemão). Viena: [s.n.] p. 299
- ↑ Loria, Gino (1902). Spezielle algebraische und transscendente ebene kurven. Theorie und Geschichte (em alemão). Lípsia: [s.n.] p. 224
- ↑ Weisstein, Eric W. «Astroid». MathWorld (em inglês)
- ↑ «Astroid ∗» (PDF) (em inglês). Xah Code. p. 3. Consultado em 11 de março de 2019
- Lawrence, J. Dennis (1972). A catalog of special plane curves (em inglês). [S.l.]: Dover Publications. p. 4–5,34–35,173–174. ISBN 0-486-60288-5
- D, Wells (1991). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry (em inglês). Nova Iorque: Penguin Books. p. 10–11. ISBN 0-14-011813-6
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Astroide», Enciclopédia de Matemática, ISBN 978-1-55608-010-4 (em inglês), Springer
- «Astroide» (em inglês). na Universidade de St Andrews
- «Astroide» (em francês). na Enciclopédia das Formas Notáveis [ligação inativa]
- «Astroide» (em inglês). na 2dcurves.com
- «Astroide» (em inglês). no Dicionário Visual de Curvas Planas Especiais
- «Barras de um astroide» (em inglês). no Wolfram Demonstrations Project de Sándor Kabai