Функција

За остала значења, види Функција (разврставање).

Функција је, уопште, правило придруживања једног елемента из скупа Х (домен функције) другом из скупа У (кодомен функције). За записивање функција користимо ознаке као што је $f:X\rightarrow Y,$ или $y=f(x),$ а природу скупова који учествују описујемо фразама каква је на пример: функција реалне променљиве. Опсег, распон или подручје дефиниције функције ф је скуп вредности, ф(x), за x из домена ф.

Дефиниције

Функција је један од основних појмова математике. Посебно погледајте: Аналитичка функција, График функције, Непрекидна функција, Тригонометријске функције, Хиперболичке функције. Дефиниција функције као променљиве величине је несавршена јер се при томе користи нестроги појам променљиве величине и зато се обично користи савременији приступ овом проблему преко теорије скупова.

Аналитичка дефиниција

Ако две променљиве количине стоје у таквој вези да се мењањем вредности једне количине мења вредност и друге, онда је друга функција прве.

Основна карактеристика функције је да за једну улазну вредност добија највише једна излазна вредност.

Функција може имати више променљивих.

Дефиниције из теорије скупова

Скуп се у математици узима за основни појам. Декартов производ скупова је скуп уређених парова. Уређени пар елемената чине било каква два елемента код којих се, из било којих разлога, зна који од њих је први, а који други. Затим, релација (математика) је непразан подскуп Декартовог производа скупова, и коначно, функција је једна врста релације, слика десно. На слици десно, пре свега, дата је релација $f=\{(a,\alpha ),(b,\beta ),(c,\beta )\}.\,$ Зашто такву релацију називамо и функција?

Дефиниција: Нека су А и Б непразни скупови. Тада се бинарна релација $f\subseteq A\times B$ зове функција или пресликавање из А у Б, ако важи $(\forall x\in A)(\exists !y\in B)y=f(x).$

Последњи израз је формула написана помоћу квантора сваки (обрнуто слово А) и постоји тачно један (обрнуто Е са узвичником) која се чита: "за свако икс из А постоји тачно једно ипсилон из Бе такво да је y=ф(x)". То значи да на графу, десно, из сваког од елемената скупа $A=\{a,b,c\}$ полази по тачно једна стрелица, која представља (по тачно један) уређени пар (за свако од слова $a,b,c.$ ) Другим речима, функција је таква врста релације где је сваки елеменат једног од скупова тачно по једном први.

Друга, еквивалентна дефиниција: бинарна релација ф из А у Б је функција ако је

((x,y)\in f\wedge (x,z)\in f)\Rightarrow (y=z).

Ова дефиниција поставља исти критеријум: ако су оригинали једнаки (х=х) тада су и копије једнаке (y=з). Дакле, не може исти оригинал произвести различите копије!

Елементи скупа А називају се аргументи, независно променљиве, оригинали пресликавања, ликови, или елементи домена. Скуп А је скуп првих елемената уређених парова, на графу то је полазни скуп стрелице, назива се домен, подручје вредности (ранг), итд. функције ф. Скуп Б назива се кодомен (контрадомен) функције, скуп копија, слика, итд. Често се домен функције ф означава са ${\mathcal {D}}(f)$ , а кодомен понекад ${\mathcal {K}}(f).$ На наведеном графу је ${\mathcal {D}}(f)=A,\;{\mathcal {K}}(f)=B$ и ф је функција са А у Б, што пишемо $f:A\rightarrow B,$ или $f:x\rightarrow y,\;x\in A,\;y\in B.$ Често уместо $y$ стављамо $f(x)$ , па је $y=f(x),\;x\in A,\;y\in B.$

Дефиниција: Функција $f:A\rightarrow B$ зове се сурјекција, или "на"-пресликавање, ако је ${\mathcal {K}}(f)=B.$

Помоћу квантора ту исту дефиницију пишемо: $(\forall y\in B)(\exists x\in A)\;y=f(x).$ Једноставније речено, функција је сурјекција ако и само ако су сви елементи десног скупа (Б) нечије слике. На горњем графу ка елементу γ не иде нити једна стрелица. Према томе, дата функција није сурјекција. Сурјекција по дефиницији дозвољава „дупле копије“.

Дефиниција: Функција $f:A\rightarrow B$ зове се ињекција, или "1-1"-пресликавање, ако важи $(\forall x_{1},x_{2}\in A)(f(x_{1})=f(x_{2}))\Rightarrow (x_{1}=x_{2}).$

То је дефиниција по форми обрнута оној другој дефиницији функције: иста копија не може бити резултат копирања различитих оригинала. На датом графу, елеменат β је копија два оригинала и према томе дата функција ф није ињекција. Ињекција по дефиницији дозвољава да у скупу копија постоје елементи који уопште нису резултат пресликавања.

Дефиниција: Функција која је сурјекција и ињекција зове се бијекција.

Бијекцију називамо и обострано једнозначно пресликавање.

Тешкоће прве теорије скупова

Бијекција је одиграла важну улогу у разматрању појма бесконачности и њему сродних појмова. Ако постоје два скупа и макар једна функцију међу њима која је бијекција онда та два скупа имају исти број елемената. То значи да ако за два бесконачна скупа, рецимо бројева, пронађемо бар једно бијективно пресликавање међу њима, тада кажемо да они имају једнако много елемената. То је једна од основних идеја оснивача теорије скупова Кантора и Дедекинда.

Почетну идеју скупова је убрзо, почетком 20. века, уздрмао британски математичар и филозоф, Бертран Расел, нашавши неколико недоследности у Канторовој теорији. Данас се те недоследности обично називају парадоксима теорије скупова. Расел је указао на парадокс празног скупа, који је разрешен захтевом да је празан скуп подскуп сваког скупа. Његов други парадокс је парадокс скупа свих скупова. Идеја скупа свих скупова је контрадикторна, тако да данашња теорија скупова, једноставно, не захтева постојање свеобухватног, "универзалног скупа".

Испитивање тока функције

Испитати ток функције $f(x)$ значи оидредити сљедеће

Подручје дефиниције

За одређивање подручја дефиниције функције $f(x)$ потребно је познавати елементарне функције

Парност

Парност функције $f(x)$ провјерава се помоћу дефиниције:

Функција $f(x)$ је парна ако је $f(-x)=f(x)$ за сваки $x\in {\mathcal {D}}$ , а непарна ако је $f(-x)=-f(x$ ) за сваки $x\in {\mathcal {D}}$ .

Код парне и непарне функције подручје дефиниције мора бити симетрично у односу на координантни почетак $O(0,0)$ .

Примјер

$\displaystyle x^{n},\qquad n\in \mathbb {N}$

је парна за $n=2k$ паран, а непарна за $n=2k+1$ непаран па је:

$\displaystyle f(-x)=(-x)^{n}=(-1)^{n}x^{n}=(-1)^{n}f(x)$ .

Функција $\vert x\vert$ је парна: ако је $x>0$ , тада је $-x<0$ па вриједи

$\displaystyle \vert -x\vert =-(-x)=x=\vert x\vert$

За $x<0$ је $-x>0$ па вриједи

$\displaystyle \vert -x\vert =-x=\vert x\vert$

Периодичност

Периодичност функције провјерава се помоћу дефиниције

Функција $f(x)$ је периодична ако постоји број $P\neq 0$ такав да за сваки $x\in {\mathcal {D}}$ вриједи
$\displaystyle f(x+P)=f(x)$

Тада мора вриједити $x+P\in {\mathcal {D}}$ . Најмањи такав позитивни број $P$ основни период или период функције $f(x)$ .

Примјери периодичних функција су тригонометријске функције.

Елементарна функција не може бити периодићна ако не садржи неку од тригонометријских функција.

Нула функције

Нула функције одређују се рјешавањем једначине $f(x)=0$

Асимптоте функције

Асимптоте могу бити вертикалне, хоризонталне и косе. Одређују се налажењем лимеса и L'Хоспиталовим правило, ако је потребно.

Асимптота функције је права са особином да удаљеност између тачке на графику функције и те праве тежи ка нули $(0$ ) када тачка на графику одмиће у бесконачност.

Права $x=x_{0}$ је вертикална асимптота функције $f(x)$ у тачки $x_{0}$ с лијеве стране ако је $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=+\infty$ или $\lim _{x\to x_{0}-0}f(x)=-\infty$ .

Права $x=x_{0}$ је вертикална асимптота функције $f(x)$ у тацки $x_{0}$ с десне стране ако је

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=+\infty$ или

$\lim _{x\to x_{0}+0}f(x)=-\infty$ .

Вертикалне асимптоте се могу налазити у тачкама прекида функције или у отвореним рубовима подручја дефиниције.

Примјер

Права $x=0$ је вертикална асимптота функције ${\frac {1}{x}}$ с обје стране.

Права $x=0$ је вертикална асимптота функција $\ln x$ , $\log x$ и $\log _{2}x$ с десне стране. У овом случају вертикална асимптота се налази у рубу подручја дефиниције.

Права $y=y_{0}$ је хоризонтална асимптота функције $f(x)$ на лијевој страни ако је $\lim _{x\to -\infty }f(x)=y_{0}$ . Права $y=y_{0}$ је хоризонтална асимптота функције $f(x)$ на десној страни ако је $\lim _{x\to +\infty }f(x)=y_{0}$ .

Примјер

Права $y=0$ је хоризонтална асимптота функције ${\frac {1}{x}}$ на обје стране, као и $y=0$ хоризонтална асимптота функција $2^{x}$ и $e^{x}$ на лијевој страни.

Ако је

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k,\qquad \lim _{x\to -\infty }(f(x)-kx)=l,$

при чему је

$\displaystyle k\neq 0,-\infty ,+\infty ,\qquad l\neq -\infty ,+\infty$ тада је права $y=kx+l$ коса асимптота функције $f(x)$ са лијеве стране.

Косу асимптоту функције $f(x)$ са десне стране дефинишемо аналогно.

Удаљеност од тачке на кривој до асимптоте је $d(M,L)$ . Према дефиницији асимптоте $d(M,L)\to 0$ када $x\to +\infty$ . Како је $\cos \alpha \neq 0$ константа, закључујемо да $\displaystyle d(M,L)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad d(M,N)\to 0\quad \Leftrightarrow \quad \lim _{x\to +\infty }\vert f(x)-(kx+l)\vert =0$ .

Задњи услов, који је еквивалентан са

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx-l)=0$ је нужан и довољан услов за постојање косе асимптоте.

Горња једнакост је еквивалентна са

$\lim _{x\to +\infty }(f(x)-kx)=l$ .

$\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)-kx-l}{x}}=0$ па је

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{x}}=k$ .

При томе треба водити рачуна о сљедећем:

код тражења хоризонталних и косих асимптота лимесе када $x\to -\infty$ и када
асимптоте је најбоље тражити у описаном редосљеду, $x\to +\infty$ увијек треба рачунати посебно
треба бити опрезан у случају парних корјена када $x\to -\infty$ ,

Примјер

$\displaystyle \lim _{x\to -\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-\lim _{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x^{2}}}{x}}=-1$ .

Екстреми функције

Код одређивања екстрема функције потребно је провјерити нжзне и довољне услове екстрема.

Провјера нужних услова врши се по теореми

Нека је функција $f(x)$ непрекидна у тачки $c$ . Ако функција $f(x)$ има локални екстрем у тачки $c$ , тада је $c$ критична тачка функције $f(x)$ .

Потребно је начи стационарне и критичне тачке по дефиницији

Нека је функција $f(x)$ непрекидна у тачки $c$ . Тачка $c$ је стационарна тачка функције $f(x)$ ако је $f'(c)=0$ . Тачка $c$ је критична тачка функције $f(x)$ ако је $c$ стационарна тачка или ако $f(x)$ није диференцијабилна у тачки $c$ .

Тј. потребно је одредити подручје дефиниције првог извода $f'(x)$ и ријешити једначину $f'(x)=0$ . Провјера довољних услова може се вршити на три нацина:

помоћу промјене предзнака првог извода на основу теореме

Ако први извод $f'(x)$ мијења предзнак у критичној тачки $c$ , тада функција $f(x)$ има локални екстрем у тачки $c$ . При томе вриједи сљедеће
ако $f'(x)$ мијења предзнак са $-$ на $+$ , тада је $f(c)$ локални минимум, а ако $f'(x)$ мијења предзнак са $+$ на $-$ , тада је $f(c)$ локални максимум.

помоћу другог извода на основу теореме

Нека је у стационарној тачки $c$ функција $f(x)$ два пута диференцијабилна. Ако је $f''(c)\neq 0$ , тада функција $fx)$ има локални екстрем у тацки $c$ . При томе вриједи сљедеће
ако је $f''(c)>0$ , тада је $f(c)$ локални минимум, а ако је $f''(c)<0$ , тада је $f(c)$ локални максимум.

помоћу виших извода на основу теореме

Нека функција $f(x)$ има у некој $\varepsilon$ -околини тачке c непрекидног извода до укључиво реда $n$ , при чему је $n\geq 3$ .
Нека је $\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$
Ако је $n$ непаран, тада функција $f(x)$ има инфлексију у тачки $c$ . Ако је $n$ паран и ако је уз то још и $f'(c)=0$ , тада функција $f(x)$ има локални екстрем у тачки $c$ и то минимум за $f^{(n)}(c)>0$ и максимум за $f^{(n)}(c)<0$ .

Интервали монотоности

Посто смо начли први извод $f'(x)$ функције $f(x)$ интервале монотоности одређујемо одређујуци предзнак од $f'(x)$ на основу теореме

Нека је функција $f(x)$ диференцијабилна на интервалу $(a,b)$ . Тада вриједи

функција $f(x)$ је растућа на интервалу $(a,b)$ ако и само ако је $f'(x)\geq 0$ за сваки $x\in (a,b)$ Функција $f(x)$ је опадајућа на интервалу $(a,b)$ ако и само ако је $f'(x)\leq 0$ за сваки $x\in (a,b)$ Ако је $f'(x)>0$ за сваки $x\in (a,b)$ , тада је функција $f(x)$ строго растућа на интервалу $(a,b$ Ако је $f'(x)<0$ за сваки $x\in (a,b)$ , тада је функција $f(x)$ строго опадајућа на интервалу $(a,b)$ .

Конкавност и конвексност функције

Потребно је одредити други извод $f''(x)$ ,а онда интервале конвексности и конкавности помоћу теореме

Нека је функција $f(x)$ два пута деиференцијабилна на интервалу $(a,b)$ . Ако је $f''(x)>0$ за сваки $x\in (a,b)$ , тада је функција $f(x)$ строго конвексна на интервалу $(a,b)$ . Ако је $f''(x)<0$ за сваки $x\in (a,b)$ , тада је функција $f(x)$ строго конкавна на интервалу $(a,b)$ .

Тачке инфлексије

Потребно је наћи тачке у којима други извод $f''(x)\$$ мијења предзнак, односно тачке које испуњавају довољне услове инфлексије по теореми

Нека је функција два пута деференцијабилна на некој $\varepsilon$ -околини тачке $c$ , осим можда у тачки $c$ . Ако $f''(x)$ мијења предзнак у тачки $c$ , тада функција $f(x)$ има инфлексију у тачки $c$ .

За провјеру довољних услова инфлексије можемо користити и више изводе на основу теореме

Нека функција $f(x)$ има у некој $\varepsilon$ - околини тачке $c$ непрекидне изводе до укључиво реда $n$ , при чему је $n\geq 3$ . Нека је
$\displaystyle f''(c)=f'''(c)=\cdots =f^{(n-1)}(c)=0,\qquad f^{(n)}(c)\neq 0.$
Ако је $n$ непаран, тада функција $f(x)$ има инфлексију у тачки $c$ .
Ако је $n$ паран и ако је уз то још и $f'(c)=0$ , тада функција $f(x)$ има локални екстрем у тацки $c$ и то минимум за $f^{(n)}(c)>0$ и максимум за $f^{(n)}(c)<0$ .

У том случају потребно је прво наци тачке у којима је други извод $f''(x)$ једнак нули, односно тачке које задовољавају нужан услов инфлексије по теореми

Ако функција $f(x)$ има инфлексију у тачки $c$ и ако $f''(c)$ постоји, тада је $f''(c)=0$ .

Граф функције

График функције се црта на основу добијених информација.

Вањске везе

списак категорија математичких функција