Anatolij Alexejevič Karacuba

Anatolij Alexejevič Karacuba
ruský matematik
Narodenie	31. január 1937 Groznyj, Rusko, vtedy Ruská SSR, ZSSR
Úmrtie	28. september 2008 (71 rokov) Moskva, Rusko
Odkazy
Commons	Anatolij Alexejevič Karacuba
Biografický portál

Anatolij Alexejevič Karacuba (rus. Анатолий Алексеевич Карацуба; 31. január 1937, Groznyj, Rusko, vtedy Ruská SSR, ZSSR — 28. september 2008, Moskva, Rusko) bol ruský matematik, autor prvého efektívneho algoritmu na násobenie veľkých čísiel.

Štúdium a práca

Karacuba za mlada

Anatolij Karacuba študoval v rokoch 1944 - 1954 na chlapčenskej strednej škole v Groznom, ktorú ukončil s vyznamenaním. Už v mladých rokoch preukázal neobyčajný matematický talent. Ako žiak prvých ročníkov riešil úlohy zadávané študentom posledných ročníkov.

V roku 1959 dokončil úspešne štúdium na Lomonosovovej Moskovskej štátnej univerzite, na Katedre matematiky a mechaniky. Titul kandidát vied získal v roku 1962 vypracovaním dizertácie na tému Špeciálne racionálne trigonometrické sumy a ich aplikácie. Vedúcim jeho práce bol N. M. Korobov. Po jej obhájení začal Karacuba pracovať na Katedre matematiky a mechaniky Moskovskej štátnej univerzity. V roku 1966 získal titul doktor vied v odbore matematika s prácou Metóda trigonometrických súm a vety o stredných hodnotách a stal sa členom matematického ústavu V. A. Steklova AV ZSSR.

Po roku 1983 bol Anatolij Karacuba považovaný za jedného z popredných sovietskych odborníkov a výskumníkov v oblasti teórie čísiel. Bol vedúcim oddelenia teórie čísiel Steklovovho inštitútu, profesorom na oddelení teórie čísiel Moskovskej štátnej univerzity (od roku 1970) a profesorom na oddelení matematickej analýzy Moskovskej štátnej univerzity (od roku 1980). Jeho výskum bol zameraný na trigonometrické rady a integrály, Riemannovu zeta funkciu, konečné automaty a efektívne algoritmy.

A. Karacuba vyškolil 15 doktorandov, sedem z nich neskôr získalo titul doktor vied.

Ocenenia

• 1981: Čebyševova cena Sovietskej akadémie vied
• 1999: Vynikajúci ruský vedec
• 2001: Vinogradovova cena Ruskej akadémie vied

Prvé práce z informatiky

Ako študent Moskovskej štátnej univerzity navštevoval Anatolij Karacuba seminár vedený Andrejom Nikolajevičom Kolmogorovom a vyriešil dva problémy, ktoré Kolmogorov formuloval. Tieto problémy boli podstatné pre rozvoj teórie automatov a ich vyriešenie odštartovalo nový smer v matematike, teóriu efektívnych algoritmov.

Automaty

Edward F. Moore definuje vo svojom článku „Gedanken-experiments on Sequential Machines“ automat $S$ typu $(n;m;p)$ ako zariadenie, ktoré má $n$ stavov, reaguje na $m$ vstupných symbolov a dáva na výstupe $p$ symbolov. V spomínanej práci je vyslovených a dokázaných 9 viet o štruktúre $S$. Takéto automaty dostali neskôr meno Moorove automaty. V závere svojho článku formuluje problém týkajúci sa zlepšenia odhadov zo svojich viet 8 a 9:

Veta 8 (Moore). Majme ľubovoľný $(n;m;p)$ automat $S$, ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, potom existuje experiment dĺžky $n(n-1)/2$, ktorý určí stav automatu $S$.

Karacuba dokázal v roku 1957 dve vety, ktoré dávajú úplnú odpoveď na Moorov problém týkajúci sa zlepšenia odhadu v jeho Vete 8.

Veta A (Karacuba). Ak $S$ je $(n;m;p)$ - automat ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, tak existuje experiment dĺžky nanajvýš $(n-1)(n-2)/2+1$, ktorý identifikuje stav automatu $S$.

Veta B (Karacuba). Existuje $(n;m;p)$ automat, ktorého každé dva stavy sú rozlíšiteľné, taký, že dĺžka najkratšieho experimentu, ktorým je možné zistiť jeho stav je rovná $(n-1)(n-2)/2+1$.

Tieto dve vety dokázal Karacuba v štvrtom ročníku univerzity v rámci ročníkového projektu. Príslušný článok bol publikovaný v júni 1960. Až do dnes (12.04.2010) táto tzv. Moore-Karacubova veta ostáva jediným presným nelineárnym odhadom v teórii automatov a podobných problémoch teórie výpočtovej zložitosti.

Efektívne algoritmy

Efektívne algoritmy predstavujú časť výpočtovej matematiky, ktorá študuje algoritmy vyčísľovania danej funkcie s danou presnosťou za podmienky použitia čo najmenšieho počtu bitových operácií. Za predpokladu, že je číslo zadané v dvojkovej sústave, sa znaky 0 a 1 nazývajú bity (analógia cifier v desiatkovej sústave). Jedna bitová operácia je definovaná ako zapísanie niektorého zo znakov 0, 1, plus, mínus alebo zátvorka, ďalej zreťazenie, odčítanie a súčet dvoch bitov. Andrej Nikolajevič Kolmogorov ako prvý sformuloval problém o bitovej zložitosti vyčíslenia. "Zložitosť násobenia $M(n)$ je definovaná ako počet bitových operácií postačujúcich na vyčíslenie súčinu dvoch $n$-ciferných čísiel podľa zadaného algoritmu."

Ak uvažujeme násobenie dvoch $n$-ciferných celých čísiel bežnou školskou metódou "pod seba" dostaneme horný odhad $M(n)=O(n^{2})$. Andrej Kolmogorov vyslovil v roku 1956 hypotézu, že dolný odhad zložitosti $M(n)$ je pre každý algoritmus násobenia tiež rádu $n^{2}$. Čiže, že nie je možné vyčísliť súčin dvoch $n$-ciferných celých čísiel rýchlejšie ako s pomocou $n^{2}$ operácií. Táto $n^{2}$ hypotéza sa zdala byť prijateľnou, nakoľko v celej histórii nebol známy žiadny rýchlejší algoritmus násobenia a zdalo sa, že ak by nejaký rýchlejší algoritmus existoval, už by ho niekto objavil.

A. Karacuba však našiel v roku 1960 novú metódu násobenia dvoch $n$-ciferných čísiel dnes známu ako Karacubov algoritmus. Jeho zložitosť je $M(n)=O(n^{\log _{2}3})=O(n^{1,58496\ldots }),$ čo vyvracia $n^{2}$ hypotézu. Tento svoj výsledok prezentoval Karacuba na Kolmogorovom seminári na Moskovskej štátnej univerzite, čím sa aj zavŕšila činnosť tohoto semináru. Prvú prácu, ktorá vysvetľovala nový algoritmus pripravil sám Kolmogorov, kde prezentoval dva medzi sebou nesúvisiace výsledky dvoch svojich študentov. Kolmogorov presne uvádza, že jedna z viet (nezaoberajúca sa rýchlym násobením) patrí J. Ofmanovi a druhá veta (opisujúca prvý rýchly algoritmus násobenia) patrí A. Karacubovi. Karacubov algoritmus sa zvykne nazývať aj metóda rozdeľuj a panuj, binárne rozštiepenie, či princíp dichotómie.

Na základe Karacubovej myšlienky bolo neskôr nájdené množstvo ďalších rýchlych algoritmov. Z nich najznámejšie sú priame zovšeobecnenia Karacubovho algoritmu, ako sú Schönhage–Strassenov algoritmus a Strassenov algoritmus násobenia matíc. V posledných rokoch sa termín rozdeľuj a panuj používa pre algoritmy, pri ktorých sa problém rozdelí na časti; nemusí nutne ísť o priame spojenie s algoritmom rýchleho násobenia.

Francúzsky matematik a filozof Jean-Paul Delahaye sa odvoláva na Karacubov algoritmus ako na «jeden z najužitočnejších výsledkov matematiky».

Karacubov algoritmus je implementovaný v každom modernom počítači a to nielen ako softvér ale aj ako hardvér.

Práce v teórii čísiel

A. Karacuba publikoval výsledky svojej vedeckej práce vo viac ako 160 odborných článkoch a napísal 5 monografií.

Trigonometrické sumy a integrály

p-adická metóda v odhade trigonometrických súm

A. Karacuba objavil tzv. $p$-adickú metódu pre odhad istých trigonometrických súčtov, tzv. $L$-súm

$S=\sum _{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p)},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,$

Význam jeho odhadov spočíva najmä v tom, že umožňujú presnejšiu lokalizáciu núl tzv. Dirichletových L-radov.

Viacnásobné trigonometrické sumy

V rokoch 1960 - 1980 sa A. Karacuba venoval teórii viacnásobných trigonometrických súm, teda súm tvaru

$S=S(A)=\sum _{x_{1}=1}^{P_{1}}\dots \sum _{x_{r}=1}^{P_{r}}e^{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}$ , ãäå $F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{t_{1}=1}^{n_{1}}\dots \sum _{t_{r}=1}^{n_{r}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{t_{1}}\dots x_{r}^{t_{r}}$

Kľúčovým výsledkom Karacubovej teórie je istá veta o strednej hodnote, podobne ako je to aj vo Vinogradovovej teórii trigonometrických súm. Tvrdenie vety je nasledovné

Nech $n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}$ sú prirodzené čísla, $P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})$,$m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)$. Nech ďalej $\Omega$ je $m$-rozmerná kocka: $0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1$, $0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}$, v n-rozmernom Euklidovom priestore a $J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots ,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int }}|S(A)|^{2K}dA$. Potom pre každé $\tau \geq 0$ and $K\geq K_{\tau }=m\tau$ platí pre strednú hodnotu $J$ nasledovný odhad: $J\leq K_{\tau }^{2m\tau }\varkappa ^{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}2^{8m\varkappa \tau }(P_{1}\dots P_{r})^{2K}P^{-\varkappa \Delta (\tau )}$, kde $\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}$, $\gamma \varkappa =1$, $\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{\tau })$, $P=(P_{1}^{n_{1}}\dots P_{r}^{n_{r}})^{\gamma }$, a prirodzené čísla $\nu _{1},\dots ,\nu _{r}$ sú takéto: $-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0$ , $s=1,\dots ,r$.

Táto veta o strednej hodnote spolu s lemmou o počte priesekov s mnohorozmerným rovnobežnostenom sú základom pre Karacubov odhad veľkosti násobnej trigonometrickej sumy. Označme znakom $Q_{0}$ najmenší spoločný násobok čísiel $q(t_{1},\dots ,t_{r})$ s podmienkou $t_{1}+\dots t_{r}\geq 1$, pre $Q_{0}\geq P^{1/6}$. Potom platí odhad

$|S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu (Q_{0})}(\tau (Q_{0}))^{r-1}P_{1}\dots P_{r}Q^{-0.1\mu }+2^{8r}(r\mu ^{-1})^{r-1}P_{1}\dots P_{r}P^{-0.05\mu }$,

kde $\tau (Q)$ je počet deliteľov čísla $Q$ a $\nu (Q)$ je počet rôznych prvočíselných deliteľov čísla $Q$.

Odhad Hardyho funkcie vo Waringovom probléme

Na základe $p$-adickej modifikácie Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradovovej metódy odhadu trigonometrických súm získal Karacuba nový odhad známej Hardyho funkcie z tzv. Waringovho problému:

$\!G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.$

Viacrozmerná verzia Waringovho problému

A Karacuba získal aj nasledovný výsledok vo viacrozmernom analógu Waringovho problému:

Uvažujme systém rovníc

$x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i}$,

$i=0,1,\dots ,n$,

kde $N_{i}$ sú dané celé kladné čísla rovnakého rádu $N_{0}\to +\infty$. Nech ďalej $x_{\varkappa },y_{\varkappa }$ sú neznáme, taktiež však kladné celé čísla. Potom uvedená sústava rovníc má riešenie ak $k>cn^{2}\log n$ a, z druhej strany, ak $k<c_{1}n^{2}$, tak existujú čísla $N_{i}$, že sústava riešenie nemá.

Riemannova zeta-funkcia

Selbergova hypotéza

V roku 1984 A. Karacuba dokázal, že pre každé pevné $\varepsilon$, spĺňajúce podmienku $0<\varepsilon <0.001$ a pre dostatočne veľké $T$ a $H=T^{a+\varepsilon }$, $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ je pravda, že interval $(T,T+H)$ obsahuje najmenej $cH\ln T$ núl funkcie $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}$, kde $z\mapsto \zeta (z)$ je Riemannova zeta-funkcia.

Uvedené tvrdenie vyslovil ako hypotézu A. Selberg v roku 1942 a sám ho aj dokázal pre prípad $H\geq T^{1/2+\varepsilon }$. Vie sa, že Selbergov a Karacubov odhad sa už nedajú zlepšiť, čo sa týka rádu rastu pri $T\to +\infty$.

Rozloženie núl Riemannovej zeta-funkcii na krátkych úsekoch na kritickej priamke

A. Karacuba získal viaceré výsledky týkajúce sa početnosti núl Riemannovej zeta-funkcie na krátkych intervaloch ležiacich na kritickej priamke. Dokázal, že analóg Selbergovej hypotézy platí pre takmer všetky intervaly $(T,T+H]$, $H=T^{\varepsilon }$, kde $\varepsilon$ je ľubovoľné malé kladné číslo. V roku 1992 objavil novú metódu skúmania núl Riemannovej zeta-funkcie na superkrátkych intervaloch na kritickej priamke, $(T,T+H]$, ktorých dĺžka $H$ rastie s $T$ pomalšie ako akákoľvek kladná mocnina $T$. Špeciálne dokázal, že pre každé čísla $\varepsilon$, $\varepsilon _{1}$ spĺňajúce podmienky $0<\varepsilon ,\varepsilon _{1}<1$ platí, že takmer všetky intervaly $(T,T+H]$ s $H\geq \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}$ obsahujú aspoň $H(\ln T)^{1-\varepsilon _{1}}$ núl Riemannovej zeta-funkcie. Tento odhad je blízky dôležitého odhadu plynúceho z Riemannovej hypotézy.

Iné projekty

Commons

• Commons ponúka multimediálne súbory na tému Anatolij Alexejevič Karacuba