Uniformno tlakovanje

Uniformno tlakovanje je v geometriji vrsta teselacije ravnine s stranskimi ploskvami pravilnega mnogokotnika (uniformni polieder ima pravilne mnogokotnike kot stranske ploskve) z edino omejitvijo, da so ogliščnouniformni.

Uniformno tlakovanje je možno v evklidski in hiperbolični ravnini.

Večino uniformnih tlakovanj se lahko izdela s pomočjo Wythoffove konstrukcije tako, da se prične z grupo simetrije in posamezno generatorsko točko znotraj osnovne domene. Ravninska grupa simetrije ima mnogokotniško osnovno domeno in se jo lahko predstavi z zaporedjem zrcal v zaporednih ogliščih.

Osnovna domena trikotnika je (p q r) kjer so p, q in r cela števila, večja od 1, ter pravokotni trikotnik (p q 2). Trikotnik lahko obstaja kot sferni trikotnik, evklidski ravninski trikotnik ali hiperbolični ravninski trikotnik, kar je odvisno od vrednosti p, q in r.

Obstaja več simboličnih shem za imenovanje teh oblik.

Coxeterjeve grupe

evklidska ravnina
orbiterična simetrija	Coxeterjeva grupa			opombe
kompaktne
*333	(3 3 3)	${\tilde {A}}_{2}$	[Δ]	3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
*442	(4 4 2)	${\tilde {B}}_{2}$	[4,4]	5 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*632	(6 3 2)	${\tilde {G}}_{2}$	[6,3]	7 zrcalnih oblik, 1 prirezana oblika
*2222	(∞ 2 ∞ 2)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {I}}_{1}$	[∞] × [∞]	3 zrcalne oblike, 1 prirezana oblika
nekompaktne (frizijske)
*∞∞	(∞)	${\tilde {I}}_{1}$	[∞]
*22∞	(2 2 ∞)	${\tilde {I}}_{1}$ × ${\tilde {A}}_{2}$	[∞] × [ ]	2 zrcalni obliki, 1 prirezana oblika

hiperbolična ravnina
orbiterična simetrija	Coxeterjeva grupa		opombe
kompaktne
*pq2	(p q 2)	[p,q]	2p+2q < pq
*pqr	(p q r)		pq+pr+qr < pqr
parakompaktne
*∞p2	(p ∞ 2)	[p,∞]	p>=3
*∞pq	(p q ∞)		p,q>=3, p+q>6
*∞∞p	(p ∞ ∞)		p>=3
*∞∞∞	(∞ ∞ ∞)

Uniformno tlakovanje evklidske ravnine

Za podrobne podatke o tej temi glej tlakovanje s pravilnimi mnogokotniki.

Obstajajo grupe simetrije na evklidski ravnini, ki se jo konstruira iz osnovnih trikotnikov (4 4 2) in (3 3 3). Vsakega se lahko prikaže kot množico črt odboja, ki deli ravnino v osnovne trikotnike.

Ta simetrija ustvarja tri pravilna tlakovanja in sedem polpravilnih. Številna polpravilna tlakovanja so ponovitve z različnimi konstruktorji.

Prizmatična grupa simetrije, ki je predstavljena z (2 2 2 2) pomeni skupino dveh vzporednih zrcal, ki imata v splošnem pravokotno osnovno domeno.

Naslednja prizemska grupa simetrije, ki jo predstavlja (∞ 2 2) in ima neskončno osnovno domeno. Konstruira dve uniformni tlakovanji apeirogonsko prizmo in apeirogonsko antiprizmo.

Osnovni trikotniki so pravokotni trikotniki: (p q 2)

(p q 2)	osnovni trikotniki	starševsko	prisekano	rektificirano	dvojnoprisekano	dvojnorektificirano (dual)	kantelirano	omniprisekano (kantiprisekano)	prirezana oblika
Wythoffov simbol		q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläflijev simbol		t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dinkinov diagram
konfiguracija oglišč		p^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p.2q.2q)	q^p	(p.4.q.4)	(4.2p.2q)	(3.3.p.3.q)
kvadratno tlakovanje (4 4 2)	V4.8.8	{4,4}	4.8.8	4.4.4.4	4.8.8	{4,4}	4.4.4.4	4.8.8	3.3.4.3.4
šestkotno tlakovanje (6 3 2)	V4.6.12	{6,3}	3.12.12	3.6.3.6	6.6.6	{3,6}	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Splošni osnovni trikotniki: (p q r)

Wythoffov simbol (p q r)	osnovni trikotniki	q \| p r	r q \| p	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Coxeter-Dinkinov diagram
konfiguracija oglišč		(p.q)^r	(r.2p.q.2p)	(p.r)^q	(q.2r.p.2r)	(q.r)^p	(q.2r.p.2r)	(r.2q.p.2q)	(3.r.3.q.3.p)
trikotniško tlakovanje (3 3 3)	V6.6.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	(3.3)³	3.6.3.6	6.6.6	3.3.3.3.3.3

Uniformna tlakovanja hiperbolične ravnine

Glavni članek: uniformna tlakovanja v hiperbolični ravnini.

Znanih je neskončno veliko uniformnih tlakovanj s konveksnimi mnogokotniki v [[hiperbolična ravnina|hiperbolični ravnini. Vsako tlakovanje je osnovano na drugi grupi zrcalne simetrije (p q r).

Pravokotni osnovni trikotniki: (p q 2)

(p q 2)	starševsko	prisekano	rektificirano	dvojnoprisekano	dvojnorektificirano (dualno)	kantelirano	omniprisekano (kantiprisekano)	prirezana oblika
Wythoffov simbol	q \| p 2	2 q \| p	2 \| p q	2 p \| q	p \| q 2	p q \| 2	p q 2 \|	\| p q 2
Schläflijev simbol	t{p,q}	t{p,q}	r{p,q}	2t{p,q}=t{q,p}	2r{p,q}={q,p}	rr{p,q}	tr{p,q}	sr{p,q}
Coxeter-Dinkinov diagram
konfiguracija oglišč	p^q	(q.2p.2p)	(p.q.p.q)	(p.2q.2q)	q^p	(p.4.q.4)	(4.2'p.2q')	(3.3.p.3.q)
(hiperbolična ravnina) (5 4 2)	{5,4}	4.10.10	4.5.4.5	5.8.8	{4,5}	4.4.5.4	4.8.10	3.3.4.3.5
(hiperbolična ravnina) (5 5 2)	{5,5}	5.10.10	5.5.5.5	5.10.10	{5,5}	5.4.5.4	4.10.10	3.3.5.3.5
(hiperbolična ravnina) (7 3 2)	{7,3}	3.14.14	3.7.3.7	7.6.6	{3,7}	3.4.7.4	4.6.14	3.3.3.3.7
(hiperbolična ravnina) (8 3 2)	{8,3}	3.16.16	3.8.3.8	8.6.6	{3,8}	3.4.8.4	4.6.16	3.3.3.3.8

Splošni osnovni trikotniki (p q r)

Wythoffov simbol (p q r)	q \| p r	r q \| p	r \| p q	r p \| q	p \| q r	p q \| r	p q r \|	\| p q r
Coxeter-Dinkinov diagram
konfiguracija oglišč	(p.r)^q	(r.2p.q.2p)	(p.q)^r	(q.2r.p.2r)	(q.r)^p	(q.2r.p.2r)	(r.2q.p.2q)	(3.r.3.q.3.p)
hiperbolična (4 3 3)	(3.4)³	3.8.3.8	(3.4)³	3.6.4.6	(3.3)⁴	3.6.4.6	6.6.8	3.3.3.3.3.4
hiperbolična (4 4 3)	(3.4)⁴	3.8.4.8	(4.4)³	3.6.4.6	(3.4)⁴	4.6.4.6	6.8.8	3.3.3.4.3.4
hiperbolična (4 4 4)	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	(4.4)⁴	4.8.4.8	8.8.8	3.4.3.4.3.4