Verižni ulomek

Verížni ulómek je v matematiki izraz oblike:

$\xi =a_{0}+{\cfrac {1}{a_{1}+{\cfrac {1}{a_{2}+{\cfrac {1}{a_{3}+\,\cdots }}}}}}\!\,,$

kjer je a₀ neko celo število, vsa druga števila a_n pa so naravna števila (oziroma pozitivna cela števila) in se imenujejo delni količniki. Daljši izrazi so določeni podobno. Če so števci različni od 1, se izraz imenuje posplošeni verižni ulomek. Zaradi jasnosti se neposplošeni verižni ulomek imenuje tudi navadni, enostavni ali pravilni verižni ulomek.

Opis

Verižni ulomki nastanejo zaradi želje po »matematično čistih« predstavitvah realnih števil.

Večina ljudi pozna desetiško predstavitev realnih števil:

$r=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}10^{-i}\!\,,$

kjer je a₀ poljubno celo število, vsak a_i pa je element {0, 1, 2, ..., 9}. V tej predstavitvi je na primer število π izraženo s celoštevilskim zaporedjem (OEIS A000796) {3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, ...}.

Takšna predstavtev ni brez pomanjkljivosti. Ena težava je pojava poljubne konstante 10 v zgornji enačbi. Zakaj 10? To je posledica biološke pogojenosti in ne nečesa kar bi bilo povezano z matematiko. 10 se uporablja, ker je standardna osnova našega številskega sistema (10 prstov). Prav tako bi se lahko uporabljala osnova 8 (osmiški sistem) ali osnova 2 (dvojiški sistem). Druga težava je, da v tem sestavu mnogo racionalnih števil ni moč izraziti s končnim številom členov v takšnem zapisu. Število 1/3 je na primer izraženo kot neskončno zaporedje {0, 3, 3, 3, 3, ....}.

Zapis z verižnimi ulomki je predstavitev realnih števil, ki se ogne takšnim težavam. Premisli se kako se lahko opiše število kot je 415/93, katerega vrednost je približno 4,4624. To je zaokroženo enako 4. Dejansko je malo več od 4, približno 4 + 1/2. 2 v imenovalcu ni v redu, saj je pravilni imenovalec malo več kot 2, približno 2 + 1/6, tako da je 415/93 v približku 4 + 1/(2 + 1/6). Vendar 6 v imenovalcu spet ni pravilen, saj je pravilni imenovalec malo več kot 6, 6 + 1/7. Tako je 415/93 dejansko 4+1/(2+1/(6+1/7)) in to je točna vrednost.

Če se izpusti trivialne dele izraza 4+1/(2+1/(6+1/7)), se dobi okrajšan zapis verižnega ulomka [4; 2, 6, 7]. Po navadi se prvo vejico nadomesti s podpičjem. Takšen zapis je prvi uporabil nemški matematik Oskar Perron v svojem enciklopedičnem delu o verižnih ulomkih Teorija verižnih ulomkov (Die Lehre von den Kettenbrüchen) iz leta 1913.

Predstavitev realnih števil z verižnimi ulomki ima več prikladnih značilnosti:

• predstavitev števila z verižnim ulomkom je končna, če in samo če je število racionalno.
• predstavitve »preprostih« racionalnih števil z verižnimi ulomki so kratke.
• predstavitev poljubnega racionalnega števila z verižnim ulomkom je edina, če na koncu ni 1. Za vsako racionalno število, izraženo kot verižni ulomek $[N;a,...,z]$ pri z > 1, obstaja zapis z 1 na koncu $[N;a,...,z-1,1]$.
• predstavitev iracionalnega števila je edinstvena.
• členi verižnega ulomka se bodo ponavljali, če in samo če je število kvadratična iracionala, oziroma, če je realna rešitev kvadratne enačbe.
• okrajšanje predstavitve števila x z verižnim ulomkom vodi do racionalnega približka za x, ki je v določenem smislu »najboljši« racionalni približek.

Zadnja značilnost je zelo pomembna in ne velja za običajno desetiško predstavitev. Okrajšanje desetiške predstavitve da racionalni približek števila, vendar običajno ne dobrega. Če se na primer okrajša število 1/7 = 0,142857... na več mestih, se dobi približke 142/1000, 14/100 in 1/10. Očitno je najboljši racionalni približek kar »1/7«. Okrajšanje desetiškega zapisa π da približka 31415/10000 in 314/100. Zapis števila π z verižnim ulomkom je [3; 7, 15, 1, 292, ...]. Z okrajšavo tega zapisa se dobi odlične približke 3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, ... Imenovalca 314/100 in 333/106 sta skoraj enaka, vendar je napaka približka 314/100 devetnajstkrat večja kot pri 333/106. Kot približek števila π je [3; 7, 15, 1] več kot stokrat točnejši od 3,1416.

Računanje verižnih ulomkov

Poljubno neničelno realno število ξ se lahko zapiše kot verižni ulomek $[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\cdots ]\!\,$, kjer je

$a_{0}=\lfloor \xi \rfloor ,\xi _{0}=\xi -a_{0}\!\,,$

$a_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{\xi _{0}}}\right\rfloor ,\xi _{1}={\frac {1}{\xi _{0}}}-a_{1}\!\,,$

$\ldots$

$a_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{\xi _{n-1}}}\right\rfloor ,\xi _{n}={\frac {1}{\xi _{n-1}}}-a_{n}\!\,,$

$\ldots$

in $\lfloor \xi \rfloor \!\,$ celi del števila $\xi \!\,$.

Da se izračuna verižni ulomek števila ξ, se najprej zapiše celi del ξ. Nato se odštete ta del od števila ξ. Če je razlika enaka 0, se konča, drugače pa se izračuna obratno vrednost razlike in ponovi postopek. Postopek se konča, če in samo če je ξ racionalen.

Izračun verižnega ulomka za 3,245
$3\,$	$3,245-3\,$	$=0,245\,$	$1/0,245\,$	$=4,082\,$
$4\,$	$4,082-4\,$	$=0,082\,$	$1/0,082\,$	$=12,250\,$
$12\,$	$12,250-12\,$	$=0,250\,$	$1/0,250\,$	$=4,000\,$
$4\,$	$4,000-4\,$	$=0,000\,$	Končaj
verižni ulomek za 3,245 je [3; 4, 12, 4]
$3,245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}$

Število 3,245 se lahko zapiše tudi kot [3; 4, 12, 3, 1].

Ta algoritem je primeren za realna števila. Če se ga uporablja pri računanju s plavajočo vejico, se lahko pridobi nesmisle. Zaradi tega je vsako število s plavajočo vejico točno racionalno število (kjer je imenovalec po navadi potenca 2 v sodobnih računalnikih ali potenca 10 na elektronskih računalih) in v takšnih primerih se lahko za točne rezultate uporabi različica Evklidovega algoritma.

Oblike zapisov verižnih ulomkov

Najbolj razširjen okrajšan zapis verižnih ulomkov je:

$\xi =[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}]\!\,$

in včasih tudi:

$\xi =\left\langle a_{0};a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \!\,,$

oziroma tudi brez podpičja:

$\xi =\left\langle a_{0},a_{1},a_{2},a_{3}\right\rangle \!\,.$

Znan je tudi Pringsheimov zapis:

$\xi =a_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a_{3}}}\!\,$

ali redkejši zapis, podoben zgornjemu:

$\xi =a_{0}+{\frac {1}{a_{1}+}}{\frac {1}{a_{2}+}}{\frac {1}{a_{3}+}}\!\,.$

Neskončne verižne ulomke se lahko določi tudi kot limite:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ]=\lim _{n\to \infty }[a_{0};a_{1},a_{2},\,\ldots ,a_{n}]\!\,.$

Ta limita obstaja za poljubna pozitivna cela števila a₁, a₂, a₃ ...

Zgodovina verižnih ulomkov

Zametke računanja verižnih ulomkov je moč videti v Evklidovem algoritmu (300 pr. n. št.) saj gre v bistvu za isto stvar in algoritem kot stranski rezultat enakovredno da člene zapisa verižnih ulomkov.

Indijski matematik in astronom Aryabhata I. je uporabljal verižne ulomke pri računanju linearnih nedoločenih enačb, oblike $ax+c=by$ (diofantska enačba, Aryabhatov algoritem), sicer ne popolnoma v današnjem smislu.

Za začetnika teorije verižnh ulomkov velja italijanski matematik Rafael Bombelli. Prvič jih je uporabil leta 1572 pri računanju kvadratnih korenov. Odkril je tudi, da se dajo iracionalna števila zelo točno aproksimirati z verižnimi ulomki. Aproksimiral je ${\sqrt {13}}$. V tem času se je z verižnimi ulomki ukvarjal tudi Pietro Antonio Cataldi. Tudi Cataldi je na podoben način s periodičnim verižnim ulomkom izrazil ${\sqrt {18}}\$:

${\begin{aligned}{\sqrt {18}}&=[4;{\overline {4,8}}]\\&=\left\{4,{\frac {17}{4}},{\frac {140}{33}},{\frac {577}{136}},{\frac {4756}{1121}},{\frac {19601}{4620}},{\frac {161564}{38081}},{\frac {665857}{156944}},{\frac {5488420}{1293633}},{\frac {22619537}{5331476}},{\frac {186444716}{43945441}},\ \cdots \right\}\!\,.\end{aligned}}$

Cataldi jih je sistematično zapisal v svoji razpravi Trattato del modo brevissimo di trovare la radice quadra delli numeri ... o iskanju kvadratnih korenov števil, objavljeni v Bologni leta 1613. Cataldi je pisal verižne ulomke še v obliki:

$a_{0}.\,$ &${\frac {n_{1}}{d_{1}}}.$ &${\frac {n_{2}}{d_{2}}}.$ &${\frac {n_{3}}{d_{3}}}\!\,,$

kjer pike označujejo kam sledijo naslednji ulomki.

Z delom Johna Wallisa so verižni ulomki dobili svoje upravičeno mesto v matematiki. V svoji knjigi Algebrski traktat (Tractatus de algebra), (izšla leta 1685) je Wallis našel π na 35 decimalk s približkom neskončnega verižnega ulomka:

${\begin{aligned}\pi &=[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,3,13,1,3,4,2,6,6,1,\,...]\\&={\frac {10576765661816118725}{3366689074005314168}}=3,14159265358979323846264338327951738\!\,.\end{aligned}}$

Prvi neskončni (posplošeni) verižni ulomek je zapisal lord Brouncker v svojem delu iz leta 1659 za razvoj števila 4/π na podlagi Wallisovega produkta za π/2.

V svojem delu Matematično delo (Opera Mathematica) je Wallis leta 1695 tudi prvič uporabil izraz »verižni ulomek«. V slovenščino je izraz uvedel Josip Plemelj.

Christiaan Huygens je uporabljal verižne ulomke pri aproksimaciji prestavnih razmerij in o tem napisal članek. Huygens je našel približek:

${\frac {77708431}{2640858}}=[29;2,2,1,5,1,4,\ldots ]\!\,.$

Značilnosti in teorijo verižnih ulomkov sta naprej razvila Huygens leta 1703 in Leonhard Euler leta 1744. Lagrange je mislil, da bi bilo mogoče prepoznati vsako algebrsko število iz njegovega verižnega ulomka. Periodičnost verižnih ulomkov za kvadratične iracionale je dokazal sedemnajstletni Évariste Galois leta 1828.

Uporaba verižnih ulomkov

• računanje približkov realnih števil.
• dokazovanje iracionalnosti števil. S pomočjo verižnih ulomkov so dokazali iracionalnost Riemanove funkcije ζ za ζ(3).
• algoritem praštevilskega razcepa SQFOF (SqFoF, Square Form factorisation).
• računanje približkov časovnih obdobij (tropsko leto, mesec ipd).

Končni verižni ulomki

Za končne verižne ulomke velja:

$[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n},1]=[a_{0};a_{1},a_{2},a_{3},\,\ldots ,a_{n}+1]\!\,.$

Za vsak končni verižni ulomek obstaja drug končni verižni ulomek, ki predstavlja isto število. Na primer

$[2;3,1]=[2;4]=9/4=2,25\!\,.$

Vsak končni verižni ulomek je racionalno število, in vsako racionalno število lahko zapišemo na točno dva različna načina kot končni verižni ulomek. V enem zapisu je končni člen verižnega ulomka enak 1. Drug zapis ima en člen manj, zadnji člen pa mora biti večji od 1, razen če je edin.

Neskončni verižni ulomki

Vsak neskončni verižni ulomek je iracionalno število, in vsako iracionalno število se lahko zapiše na točno en način kot neskončni verižni ulomek.

Neskončni verižni ulomki iracionalnih števil pridejo prav, saj njihovi prvi členi nudijo odlične racionalne približke števila. Ti približki se imenujejo tudi konvergenti verižnega ulomka. Sodi približki so manjši od števila, lihi pa večji.

Za verižni ulomek $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots ]$ so prvi štirje približki (oštevilčeni od 0 do 3):

${\frac {a_{0}}{1}},\qquad {\frac {a_{0}a_{1}+1}{a_{1}}},\qquad {\frac {a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0}}{a_{2}a_{1}+1}},\qquad {\frac {a_{3}(a_{2}(a_{0}a_{1}+1)+a_{0})+(a_{0}a_{1}+1)}{a_{3}(a_{2}a_{1}+1)+a_{1}}}\!\,.$

Z drugimi besedami, števec tretjega približka se tvori z množenjem števca drugega približka s tretjim količnikom in prištetjem števca prvega približka. Na podoben način se tvori imenovalce.

Če obstaja naslednji člen s števci $h_{1},h_{2},\ldots$ in imenovalci $k_{1},k_{2},\ldots$, poten je ustrezna rekurzivna enačba:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2},\qquad k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}\!\,.$

Sosednja zaporedna približka sta dana z enačbo:

${\frac {h_{n}}{k_{n}}}={\frac {a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}}{a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}}}\!\,.$

Nekateri izreki

Če je a₀, a₁, a₂, ... neskončno zaporedje naravnih števil, določimo zaporedja $h_{n}$ in $k_{n}$ rekurzivno:

$h_{n}=a_{n}h_{n-1}+h_{n-2}$			$h_{-1}=1$		$h_{-2}=0$
$k_{n}=a_{n}k_{n-1}+k_{n-2}$			$k_{-1}=0$		$k_{-2}=1$

Izrek 1

Za vsak pozitivni $\xi \in \mathbb {R}$ velja:

$\left[a_{0},a_{1},\,\ldots ,a_{n-1},\xi \right]={\frac {\xi h_{n-1}+h_{n-2}}{\xi k_{n-1}+k_{n-2}}}\!\,.$

Izrek 2

Približki [a₀, a₁, a₂, ...] so dani z:

$\left[a_{0},a_{1},\,\ldots ,a_{n}\right]={\frac {h_{n}}{k_{n}}}\!\,.$

Izrek 3

Če je n-ti približek verižnega ulomka $h_{n}/k_{n}$, potem velja:

$k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}=(-1)^{n}\!\,.$

Posledica 1: Vsak približek je izražen z najmanjšim členom (saj, če bi $h_{n}$ in $k_{n}$ imela netrivialni skupni delitelj, bi delila $k_{n}h_{n-1}-k_{n-1}h_{n}$, kar je nemogoče).

Posledica 2: razlika med sosednjima zaporednima približkoma je enotski ulomek:

$\left|{\frac {h_{n}}{k_{n}}}-{\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}\right|=\left|{\frac {h_{n}k_{n-1}-k_{n}h_{n-1}}{k_{n}k_{n-1}}}\right|={\frac {1}{k_{n}k_{n-1}}}\!\,.$

Ali drugače rečeno, dva sosednja zaporedna približka sta sosednja ulomka.

Posledica 3: Verižni ulomek je enakovreden vrsti z izmeničnimi členi:

$a_{0}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{k_{n+1}k_{n}}}\!\,.$

Posledica 4: Matrika:

${\begin{bmatrix}h_{n}&h_{n-1}\\k_{n}&k_{n-1}\!\,\end{bmatrix}}$

ima determinanto +1 ali -1, in zato pripada grupi 2x2 unimodularnih matrik $S^{*}L(2,\mathbb {Z} )$.

Izrek 4

Vsak približek je bolj točen kot prejšnji. Če je n-ti približek enak $[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{n}]=x$, potem velja:

$\left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{r}]-x\right|>\left|[a_{0};a_{1},a_{2},\ldots a_{s}]-x\right|$

za vse $r<s<n\!\,.$

Posledica 1: lihi približki stalno naraščajo, vendar so vedno manjši od $\xi .$

Posledica 2: sodi približki stalno padajo, vendar so vedno večji od $\xi .$

Izrek 5

${\frac {1}{k_{n}(k_{n+1}+k_{n})}}<\left|x-{\frac {h_{n}}{k_{n}}}\right|<{\frac {1}{k_{n}k_{n+1}}}\!\,.$

Posledica 1: vsak približek je točnejši od prejšnjega, katerega imenovalec je manjši od imenovalca približka

Posledica 2: vsak približek, ki takoj sledi velikemu količniku, se najmanj razlikuje od verižnega ulomka.

Polpribližki

Če sta ${\frac {h_{n-1}}{k_{n-1}}}$ in ${\frac {h_{n}}{k_{n}}}$ sosednja zaporedna približka, potem se vsak ulomek oblike:

${\frac {h_{n-1}+ah_{n}}{k_{n-1}+ak_{n}}}\!\,,$

kjer je $a$ nenegativno celo število in kjer so števci in imenovalci med $n$ in $n+1$, imenuje polpribližek, sekundarni približek ali vmesni ulomek. Po navadi pomeni, da je člen polpribližek to, da je lahko približek, ne pa to, da je približek vrsta polpribližka.

Polpribližki razvoja verižnega ulomka realnega števila $\xi$ vsebujejo vse racionalne približke, ki so boljši od vsakega približka z manjšim imenovalcem. Druga uporabna značilnost je, da za dva zaporedna polpribližka a/b in c/d velja $ad-bc=\pm 1$.

Najboljši racionalni približki

Najboljši racionalni približek realnega števila ξ je racionalno število ${\begin{matrix}{\frac {n}{d}}\end{matrix}}\!\,$, $d>0\!\,$, ki je bližje ξ kot katerikoli približek z manjšim imenovalcem. Ker je najboljši racionalni približek vedno približek ali polpribližek, se lahko pravilni verižni ulomek za ξ x uporabi za vse najboljše racionalne približke za ξ po naslednjih treh pravilih:

1. skrajšanje verižnega ulomka in morebitno povečanje njegovega zadnjega izraza.
2. vrednost povečanega izraza ne more biti manj kot polovico vrednosti.
3. če je končni člen so, posebno pravilo odloča ali je njegova polovična vrednost dopustna. (Glej spodaj)

Pravilni verižni ulomek za število 0,84375 je na primer [0;1,5,2,2]. Tu so vsi njegovi najboljši racionalni približki.

[0;1]	[0;1,3]	[0;1,4]	[0;1,5]	[0;1,5,2]	[0;1,5,2,1]	[0;1,5,2,2]
${\begin{matrix}1\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {3}{4}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {4}{5}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {5}{6}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {11}{13}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {16}{19}}\end{matrix}}$	${\begin{matrix}{\frac {27}{32}}\end{matrix}}$

Strogo monotono naraščanje imenovalcev pri dodajanju členov dovoljuje algoritmu obstoj limite, bodisi na velikosti imenovalca ali bližine približka.

Za vključitev novega člena v racionalni približek sta potrebna le dva predhodna približka. Če je a novi člen, potem sta novi števec in imenovalec:

n_k+1 = n_k−1 + a n_k

d_k+1 = d_k−1 + a d_k

Začetna »približka« (za prva dva člena) sta 0/1 in 1/0. Tu so približki za [0;1,5,2,2].

ak			0	1	5	2	2
nk	0	1	0	1	5	11	27
dk	1	0	1	1	6	13	32

Strogi opis pravila razpolovitve je, da je razpolovljen člen ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a_{k}$ dopusten, samo in samo če:

[a_k; a_k−1, …, a₁] > [a_k; a_k+1, …].

Velikokrat se za računanje zaporednih členov uporabljo nekaj podobnega kot je Evklidov algoritem največjega skupnega delitelja. Dodatne vrednosti, ki jih da algoritem, omogočajo ustreznejšo preveritev. Tu je, na primer, računanje členov za število 0,84375 = ${\begin{matrix}{\frac {27}{32}}\end{matrix}}$ (kjer $\lfloor \xi \rfloor$ označuje funkcijo celi del).

$a_{0}=$	$\lfloor {\begin{matrix}{\frac {27}{32}}\end{matrix}}\rfloor$	$=0$,		$f_{0}$	$=27-32a_{0}$	$=27$
$a_{1}=$	$\lfloor {\begin{matrix}{\frac {32}{27}}\end{matrix}}\rfloor$	$=1$,		$f_{1}$	$=32-27a_{1}$	$=5$
$a_{2}=$	$\lfloor {\begin{matrix}{\frac {27}{5}}\end{matrix}}\rfloor$	$=5$,		$f_{2}$	$=27-5a_{2}$	$=2$
$a_{3}=$	$\lfloor {\begin{matrix}{\frac {5}{2}}\end{matrix}}\rfloor$	$=2$,		$f_{3}$	$=5-2a_{3}$	$=1$
$a_{4}=$	$\lfloor {\begin{matrix}{\frac {2}{1}}\end{matrix}}\rfloor$	$=2$,		$f_{4}$	$=2-1a_{4}$	$=0$

Z uporabo vrednosti f na ta način, je za ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a_{k}\!\,$ preveritev dopustnosti ${\begin{matrix}{\frac {d_{k-2}}{d_{k-1}}}\end{matrix}}>{\begin{matrix}{\frac {f_{k}}{f_{k-1}}}\end{matrix}}\!\,$. Za $a_{3}\!\,$ v primeru je ${\begin{matrix}{\frac {d_{1}}{d_{2}}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {1}{6}}\end{matrix}}\!\,$ in ${\begin{matrix}{\frac {f_{3}}{f_{2}}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\!\,$, zato ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a_{3}\!\,$ ni dopusten. Za $a_{4}\!\,$ ${\begin{matrix}{\frac {d_{2}}{d_{3}}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {6}{13}}\end{matrix}}\!\,$ in ${\begin{matrix}{\frac {f_{4}}{f_{3}}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\frac {0}{1}}\end{matrix}}\!\,$, tako da je ${\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}a_{4}\!\,$ dopusten.

Približki števila ξ so najboljši približki tudi v strožjem smislu. n/d je približek za ξ samo in samo, če je |dξ - n| najmanjša relativna napaka med vsemi približki mm/c pri c ≤ d, oziroma, če velja |dξ - n| < |cξ - m| dokler je c < d.

Verižni ulomek za π

Pri računanju približkov za π se vzame $a_{0}=\lfloor \pi \rfloor =3\!\,$, določi $u_{1}={\frac {1}{\pi -3}}\!\,$ $\approx {\frac {113}{16}}=7,0625$ in $a_{1}=\lfloor u_{1}\rfloor =7$, $u_{2}={\frac {1}{u_{1}-7}}\approx {\frac {31993}{2000}}=15,9965\!\,$ ter $a_{2}=\lfloor u_{2}\rfloor =15\!\,$, $u_{3}={\frac {1}{u_{2}-15}}\!\,$ $\approx {\frac {1003}{1000}}=1,003\!\,$. Če se nadaljuje na ta način, se lahko najde poljubno mnogo členov neskončnega verižnega ulomka za π [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...]. Tretji približek za π je [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,14159292035..., kar je že zelo točno.

Naj so najdeni količniki kot zgoraj [3; 7, 15, 1]. Z naslednjim postopkom se lahko takoj zapiše približne ulomke, ki izhajajo iz teh količnikov, brez, da bi se računalo verižni ulomek.

Prvi količnik deljen recimo z 1, bo dal prvi ulomek, ki bo premajhen, namreč 3/1. Z množenjem števca in imenovalca prvega ulomka z drugim količnikom in prištevanjem števila 1 s števcem se dobi drugi ulomek 22/7, ki bo prevelik. Če se nadaljuje na enak način, se dobi tretji ulomek, ki je premajhen. Tako je za tretji količnik, ki je enak 15, za števec (22 · 15 = 330) + 3 = 333 in za imenovalec (7 · 15 = 105) + 1 = 106. Tretji približek je tako 333/106. Enako za četrti približek. Četrti količnik je 1, velja 333 krat 1, kar je 333, prišteje se 22, imenovalec predhodnega ulomka, kar da 355. Podobno 106 krat 1 je 106, prišteje se 7, in dobi 113.

S štirimi količniki [3; 7, 15, 1] se tako dobi štiri ulomke:

${\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots \!\,.$

Ti približki so izmenično manjši in večji od vrednosti števila π, ter se ji vedno bolj približujejo. Razlika med danim približkom in številom π je manjša od obratne vrednosti zmnožka imenovalcev tega približka in naslednjega približka. Ulomek 22/7 je na primer večji od π, vendar 22/7 − π je manj kot 1/(7 · 106), kar je enako 1/742. Dejansko je 22/7 − π manjše od 1/790.

Te značilnosti izhajajo iz dejstva, da če se išče razliko med sosednjima ulomkoma, so bo dobil ulomek, katerega števec bo vedno enak 1, imenovalec pa zmnožek obeh imenovalcev. Tako je razlika med 22/7 in 3/1 enaka 1/7, prevelika; med 333/106 in 22/7 enaka 1/742, premajhna; med 355/113 in 333/106 enaka 1/11978, premajhna, in tako naprej. V tem smislu se lahko z uporabo teh razlik izrazi ulomke na drug in zelo enostaven način, kjer so vsi števci enaki 1, imenovalci pa zmnožki dveh sosednjih imenovalcev. namesto zgoraj zapizanih ulomkov imamo tako vrsto:

${\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 7}}-{\frac {1}{7\cdot 106}}+{\frac {1}{106\cdot 113}}\cdots .$

Prvi člen je, kot se vidi, prvi ulomek. Prvi in drugi člen dasta drugi ulomek 22/7. Prvi trije členi dajo tretji ulomek 333/106 in podobno naprej. Celotna vrsta je enakovredna izvirni vrednosti.

Verižni ulomki nekaterih števil

Čeprav se v neskončnem verižnem ulomku za π ne da najti kakšnega vzorca, to ne velja za vsa števila. Za število e, osnovo naravnih logaritmov so verižni ulomki preprostejši:

$e\,\,\,\,\,\,=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,\ldots ]\!\,,$

${\sqrt {e}}=[1;1,1,1,5,1,1,9,1,1,13,1,1,17,\ldots ]\!\,,$

$e^{\frac {1}{4}}\,\,\,=[1;3,1,1,11,1,1,19,1,1,27,1,1,35,\ldots ]\!\,,$

$e^{\frac {1}{8}}\,\,\,=[1;7,1,1,23,1,1,39,1,1,55,1,1,71,\ldots ]\!\,,$

Seveda pa to ne velja za vsa transcendentna števila kot sta Gelfondova konstanta z verižnim ulomkom:

$e^{\pi }=[23;7,9,3,1,1,591,2,9,1,2,34,1,16,1,30,1,1,4,1,2,\ldots ]\!\,$

ali Gelfond-Schneiderjeva konstanta:

$2^{\sqrt {2}}=[2;1,1,1,72,3,4,1,3,2,1,1,1,14,1,2,1,1,3,1,3,\ldots ]\!\,.$

Še posebej zanimiv verižni ulomek ima število, ki ga je raziskoval Ramanudžan leta 1913 in 1914, in ga je Simon Plouffe imenoval Ramanudžanova konstanta:

$e^{\pi {\sqrt {163}}}=[262537412640768743;1,1333462407511,1,8,1,1,5,1,4,1,7,1,1,1,9,1,1,2,12,4,1,15,4,299,3,\ldots ]\!\,.$

Gelfond je dokazal, da so števila oblike $e^{\pi {\sqrt {d}}}$ za pozitivni celi d trancendentna.

Število z neskončnim pravilnim verižnim ulomkom (OEIS A060997):

$\alpha _{0}=[1;2,3,4,5,\ldots ,n,n+1,\ldots ]=1,43312742672231175831718345577599182043\ldots \!\,$

je iracionalno.

Števila s periodičnim verižnim ulomkom so natanko rešitve kvadratne enačbe s celoštevilskimi koeficienti. Imenujejo se kvadratna iracionalna števila. Najpreprostejši verižni ulomek nasploh ima število zlatega reza Φ:

$\Phi =[1;{\overline {1}}]\!\,$

in njegova obratna vrednost:

$\Phi ^{-1}=[0;{\overline {1}}]\!\,.$

Podobno:

${\sqrt {2}}=[1;{\overline {2}}]\!\,,$

${\sqrt {3}}=[1;{\overline {1,2}}]\!\,,$

${\sqrt {5}}=[2;{\overline {4}}]\!\,,$

${\sqrt {6}}=[1;{\overline {2}}]\cdot [1;{\overline {1,2}}]\!\,,$

${\sqrt {7}}=[2;{\overline {1,1,1,4}}]\!\,,$

${\sqrt {8}}=[2;{\overline {1,4}}]\!\,,$

${\sqrt {10}}=[3;{\overline {6}}]\!\,,$

${\frac {{\sqrt {3}}-1}{2}}=[0;{\overline {2,1}}]\!\,.$

Števila s periodičnimi verižnimi ulomki imajo različno dolge preriode.

Večina drugih iracionalnih števil nima periodičnih ali enostavnih verižnih ulomkov. Hinčin je dokazal, da imajo za skoraj vsa realna števila ξ delni količniki osupljivo značilnost: njihova geometrična sredina je konstantna, znana kot Hinčinova konstanta K ≈ 2,6854520010..., in je neodvisna od vrednosti števila ξ. Lévy je pokazal, da se n-ti koren imenovalca n-tega približka verižnega ulomka za skoraj vsa realna števila približuje mejni vrednosti, znani kot Lévyjeva konstanta z vrednostjo približno 3,2758229...

Fermat-Pellova enačba

Verižni ulomki so pomembni pri reševanju Fermat-Pellove diofantske enačbe. Za pozitivni celi števili $p$ in $q$ velja $p^{2}-2q^{2}=\pm 1$ samo in samo če je $p/q$ približek v razvoju verižnega ulomka za ${\sqrt {2}}$.

Verižni ulomki in kaos

Verižne ulomke uporabljajo tudi pri raziskovaju v teoriji kaosa, kjer povezujejo pojem Fareyjevih ulomkov, ki jih obsega Mandelbrotova množica, s pojmom vprašalne funkcije Minkowskega in modularno grupo Γ.

Protismerni premikalni operator za verižne ulomke je preslikava $h(x)=1/x-\lfloor 1/x\rfloor ,$ imenovana Gaussova preslikava, ki klesti števke verižnega ulomka: $h([0;a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ])=[0;a_{2},a_{3},\ldots ]$. Prenosni operator te preslikave se imenuje Gauss-Kuzmin-Wirsingov operator. Porazdelitev števk v verižnih ulomkih je dana z ničelnim lastnim vektorjem tega operatorja, in se imenuje Gauss-Kuzminova porazdelitev.

Glej tudi

• Stern-Brocotovo drevo

Viri

• Grasselli, Jože (2008), Enciklopedija števil, Matematika – fizika : zbirka univerzitetnih učbenikov in monografij, zv. 45, Ljubljana: DMFA – založništvo, COBISS 243138304, ISBN 978-961-212-209-6, ISSN 1408-1571, OCLC 449615476
• Skubic, Katja (2014). Verižni ulomki in neskončne vrste (diplomsko delo). Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta, Matematika in računalništvo. COBISS 10216009. OCLC 898599403. Pridobljeno 4. januarja 2020.
• Skubic, Katja (2016). Teoretični in didaktični vidiki verižnih ulomkov (magistrsko delo). Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta. COBISS 11288137. OCLC 965878667. Pridobljeno 4. januarja 2020.

Zunanje povezave

• Spletno računalo verižnih ulomkov (angleško)
• Linas Vepstas The Minkowski Question Mark and the Modular Group SL(2,Z) Arhivirano 2006-02-08 na Wayback Machine. (2004) pojasnjuje izomorfizme verižnih ulomkov. (angleško)
• Linas Vepstas Continued Fractions and Gaps (2004) pojasnjuje kaotično zgradbo v verižnih ulomkih. (angleško)
• Verižni ulomki na Stern-Brocotovem drevesu na cut-the-knot (angleško)
• Francois Balsalobre cfc – računalo verižnih ulomkov (cli) Arhivirano 2006-01-07 na Wayback Machine. za POSIX in Cygwin (angleško)
• Verižni ulomki in Fermatov zadnji izrek. (angleško)
• Elementarni uvod v verižne ulomke (angleško)