En Lie-algebra, i matematikk, er en algebraisk struktur. Den har navn etter den norske matematikeren Sophus Lie, som jobbet med transformasjonsgrupper i forbindelse med differensialligninger. Hver Lie-algebra svarer til en eller flere Lie-grupper, og Lie-algebraen sees ofte på som de infinitesimale generatorene til en Lie-gruppe.
Lie-algebra
Lie-algebra har fått sitt navn etter den norske matematikeren Sophus Lie (1842−1899).
Oppbygning
En Lie-algebra er et vektorrom g utstyrt med en kommutator-relasjon mellom to vektorer. For to vilkårlige vektorer \(X\) og \(Y\) skrives dette som regel \( [X,Y] \). Denne operasjonen er bi-lineær og skal igjen gi en vektor i g. Operasjonen har i tillegg følgende egenskaper:
- \([X,Y]=-[Y,X]\) (antisymmetrisk).
- \( [X,X] = 0\).
- \( [[X,Y],Z]+[[Y,Z],X]+[[Z,X],Y] = 0\) (Jacobi-identiteten).
Dimensjonen til Lie-algebraen er gitt ved dimensjonen som et vektorrom. Heisenberg-algebraen har for eksempel dimensjon 3 og kan representeres ved tre basis-elementer \(x, y, z\). Heisenberg-algebraen er da definert med kommutatorrelasjonene: \([x,y] = z, [y,z] = 0, [z,x] = 0\) (resten følger fra bi-lineæritet og kravene over).
Ulike algebraiske strukturer
Det er vanlig å klassifisere Lie-algebraene etter deres algebraiske struktur. De vanligste typene er:
- Abelske algebraer: Her er alle kommutatorer null
- Nilpotente algebraer: Eksempel: Heisenberg-algebraen
- Løsbare (solvable) algebraer
- semi-simple algebraer: Disse er alle klassifisert og inneholder blant annet de ortogonale, symplektiske, spesielle lineære og de eksepsjonelle algebraene
Relasjonen til Lie-gruppene
Alle Lie-grupper har en assosiert Lie-algebra. Til en Lie-algebra hører det også (minst én) Lie-gruppe. Denne relasjonen kan gjøres eksplisitt ved eksponentialavbildningen.
Kommentarer
Kommentarer til artikkelen blir synlig for alle. Ikke skriv inn sensitive opplysninger, for eksempel helseopplysninger. Fagansvarlig eller redaktør svarer når de kan. Det kan ta tid før du får svar.
Du må være logget inn for å kommentere.