Nollrum

Nollrummet eller kärnan till en linjär avbildning $F:\mathbb {U} \rightarrow \mathbb {V}$ (där $\mathbb {U}$ och $\mathbb {V}$ är två vektorrum) definieras som:

$N(F)=\{{\bar {u}}\in \mathbb {U} :F({\bar {u}})={\bar {0}}\}$

Det vill säga mängden av alla vektorer i $\mathbb {U}$ som avbildas på nollvektorn, alltså "som blir 0". Att nollrummet gör skäl för sitt namn och inte bara är en delmängd utan även ett underrum till $\mathbb {U}$ visas med hjälp av definitionen av en linjär avbildning, ty om ${\bar {u}},{\bar {w}}\in N(F)$ och $\alpha \in \mathbb {R}$ så gäller:

1. $F({\bar {u}}+{\bar {w}})=F({\bar {u}})+F({\bar {w}})={\bar {0}}\Rightarrow {\bar {u}}+{\bar {w}}\in N(F)$
2. $F(\alpha {\bar {u}})=\alpha F({\bar {u}})=\alpha {\bar {0}}={\bar {0}}\Rightarrow \alpha {\bar {u}}\in N(F)$

vilket är ekvivalent med att $N(F)$ är ett underrum av $\mathbb {U}$.

Tolkning

Om nollrummet består av åtminstone någon nollskild vektor, det vill säga om $N(F)\not =\{0\}$, och avbildningen $F$ kan skrivas med matrisen $A$ följer att:

• $Ax=0$ har icke-triviala lösningar.

• $A(x+z)=Ax+Az=Ax$, om $z\in N(F).$

Det vill säga att om du har funnit en lösning $x$ till ekvationen $y=Ax$ så är även $x+z$ en lösning, en lösningsstruktur som bekant återfinns även då man löser linjära differentialekvationer. Det innebär också att det finns en inbyggd osäkerhet i det system som beskrivs av ekvationen $y=Ax$. Om $A$ är någon slags transform som verkar på en insignal $x$ och ger en utsignal $y$ så kan du, givet enbart utsignalen $y$, inte veta om insignalen i det här fallet var $x$ eller $x+z$.

Att $z$ hör till nollrummet behöver dock inte betyda att den inte har någon som helst effekt på systemet. Tänk dig att $y=Ax$ nu beskriver en kloss som vi applicerar olika stora krafter på under en viss tid. $y$ står för klossens position och hastighet vid sluttidpunkten, $x$ innehåller de olika krafter som vi vill applicera och $A$ beskriver vilken effekt respektive kraft har på klossens slutposition och sluthastighet. Att $Az=0$ innebär i det här fallet inte nödvändigtvis att klossen står still under hela tidsperioden, utan den kan röra sig fram och tillbaka i princip hur som helst så länge den står still i sin ursprungsposition väl vid sluttidpunkten.

Exempel

• Bestäm $N(F)$ om $F$ är en ortogonalprojektion i ett plan.

Lösning: Vid en ortogonalprojektion projiceras varje vektor ner i planet, alltså att man från en given vektor enbart erhåller den komposant som är parallell med planet. $N(F)$ består således av de vektorer som helt saknar en komposant parallell med planet, det vill säga som är ortogonala mot planet. Således består $N(F)$ av alla vektorer längs planets normallinje.

• Bestäm en bas till $N(F)$ om $F:$ $\mathbb {R}$ ⁴ $\rightarrow$ $\mathbb {R}$ ⁴ ges av matrisen $A$:

${\begin{pmatrix}2&1&-1&-4\\0&1&-1&0\\0&2&-2&0\\1&0&0&-2\end{pmatrix}}$

Lösning: $N(F)$ består av alla de vektorer $X$ för vilka $AX=0$, en ekvation som vi tecknar och sedan löser med stegvis gausselimination:

$\left[{\begin{array}{rrrr|r}2&1&-1&-4&0\\0&1&-1&0&0\\0&2&-2&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\to \left[{\begin{array}{rrrr|r}0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0\\1&0&0&-2&0\end{array}}\right]\Leftrightarrow {\begin{alignedat}{7}x_{2}&&\;=\;&&x_{3}\\x_{1}&&\;=\;&&2x_{4}\end{alignedat}}$

$x_{3}=t,x_{4}=s\Rightarrow x_{2}=t,x_{1}=2s\Rightarrow X={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\x_{4}\end{pmatrix}}=s{\begin{pmatrix}2\\0\\0\\1\end{pmatrix}}+t{\begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix}}=s{\bar {v}}+t{\bar {u}}$ där vektorerna ${\bar {v}}$ och ${\bar {u}}$ alltså spänner upp $N(F)$ och således utgör en bas för nollrummet.

Se även

• Värderum
• Dimensionssatsen
• Kolonnrum
• Radrum

Referenser

• Janfalk, Ulf, Linjär Algebra, 2013, Matematiska institutionen, Linköpings Universitet