In this work we will present an extension of the repunit sequence related to repunit numbers with a negative subscripts. Our main objective is to establish properties of this new sequence, as well as the Binet formula, the generating... more
In this work we will present an extension of the repunit sequence related to repunit numbers with a negative subscripts. Our main objective is to establish properties of this new sequence, as well as the Binet formula, the generating functions and the classical identities. The identities of Catalan, Cassini and d'Ocagne related to a sequence of numbers are important because they describe an elegant relationship between the elements of the sequence.
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Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como... more
Neste trabalho, realizamos uma investigação acerca das matrizes geradoras da sequência repunidade. Apresentamos uma matriz R que descreve cada elemento da sequência repunidade em termos das potências da matriz R. Além disso, como resultado dessa investigação, demonstramos algumas identidades, destacando a Identidade de Cassini. Apresentamos também a matriz tridiagonal que estabelece uma expressão para o determinante de uma matriz tridiagonal, mostramos que a forma recursiva da sequência repunidade surge como consequência no cálculo do determinante de uma matriz tridiagonal.
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Resumo Neste artigo apresentamos um estudo acerca da soma iterara de algarismos de um número concatenado. A soma iterada de algarismos de um número inteiro não negativo n consiste em iteradas vezes adicionar os algarismos do número n até... more
Resumo Neste artigo apresentamos um estudo acerca da soma iterara de algarismos de um número concatenado. A soma iterada de algarismos de um número inteiro não negativo n consiste em iteradas vezes adicionar os algarismos do número n até que o resultado seja 0 ≤ r < 9, do qual alcançamos a soma iterada de n e a denotamos por S* (n) = r. Alinhados a esse processo iterativo da aplicação S* estendemos à concatenação de um número n e procuramos determinar o padrão de repetição em S*(n[k]), ou seja, dado um número n qualquer, fazemos uma k-concatenação e obtemos n[k] = nn. .. nn, então, aplicamos S* ao número concatenado, isto é, determinamos o resultado S*(n [k]) para cada k ≥ 1. Apresentamos novas propriedades em relação ao tema. O trabalho também visa contribuir, como material de consulta para docentes, com atividades não rotineiras em sala de aula.
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This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of... more
This note presents results related to divisibility or multiplicity between two numbers in the class of integers called smoothly undulating numbers of the type uz[n]. The main result is to characterize and display the types of divisors of some types of numbers uz[n], and we show an algorithm to determine the greatest common divisor between two numbers uz[n].
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Neste artigo apresentamos algumas propriedades da sequência de Conway ordenada. Tais propriedades estão relacionadas com órbitas e pontos fixos. Nosso principal resultado é determinar uma limitação para a quantidade de algarismos na... more
Neste artigo apresentamos algumas propriedades da sequência de Conway ordenada. Tais propriedades estão relacionadas com órbitas e pontos fixos. Nosso principal resultado é determinar uma limitação para a quantidade de algarismos na órbita de qualquer número natural x, ou seja, começando com qualquer termo inicial finito, os termos da sequências terão comprimento limitado a no máximo 21 algarismos, e, portanto, as órbitas são relativamente periódicas.
Nestas notas consideramos um subconjunto dos números naturais chamado de números ondulantes. Neste subconjunto numérico, nosso interesse está centrado em propriedades relacionadas a mudança de base, critérios de divisibilidade e... more
Nestas notas consideramos um subconjunto dos números naturais chamado de números ondulantes. Neste subconjunto numérico, nosso interesse está centrado em propriedades relacionadas a mudança de base, critérios de divisibilidade e primalidade. Utilizamos o software matemático Octave para escrever um código com o objetivo de listar os números primos suavemente ondulantes menores que 1013.
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Um estudo sobre os números mágicos de Ball na base 10 e algumas propriedades são apresentadas em Costa [4] e em Costa e Mesquita [5]. Neste último os autores mostraram que todo número mágico de Ball é múltiplo de 99, enquanto que em [4]... more
Um estudo sobre os números mágicos de Ball na base 10 e algumas propriedades são apresentadas em Costa [4] e em Costa e Mesquita [5]. Neste último os autores mostraram que todo número mágico de Ball é múltiplo de 99, enquanto que em [4] é mostrada a relação entre a quantidade de números mágicos de Ball e a sequência de Fibonacci. Neste trabalho estendemos o conceito de número mágico de Ball para qualquer base numérica b>2, números mágicos de Ball generalizados. Exibimos algumas propriedades e mostramos que para qualquer base b>2, o número mágico de Ball generalizado é múltiplo de (aa)b, em que a=b-1. Além disso, seguindo Webster [10] e Costa [4], apresentamos uma relação entre os números mágicos de Ball generalizados e a sequência de Fibonacci.
Research Interests: Mathematics and Sequences
Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn indica os números formados pela repetição da unidade, tal abordagem ocorre em referência as propriedades das sequências de Lucas, conforme... more
Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades Rn, em que Rn indica os números formados pela repetição da unidade, tal abordagem ocorre em referência as propriedades das sequências de Lucas, conforme abordado por Jaroma (2007). Em destaque, para a sequência numérica das repunidades mostramos que também vale as Identidade de Catalan e Cassini. Em 1978 Yates afirmara que existe um fascínio pelos números repunidades, que advém da sua aplicação em vários problemas de recreação matemática. Aqui também exibimos algumas propriedades inerentes a classe numérica dos $R_n$, mostramos algumas relações entre repunidades e potências de repunidades com algum expoente natural; e mais, estudamos a relação de divisibilidade entre seus termos, em especial a característica do fator primo da repunidade. Ademais, provamos a conjectura proposta por Costa e Santos (2022) acerca do quociente de um tipo de repunidade
Um passeio pela sequência repunidade A walk through the repunit sequence Resumo Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades , em que indica os números formados pela repetição da unidade, tal... more
Um passeio pela sequência repunidade A walk through the repunit sequence Resumo Neste trabalho, consideramos uma sequência formada apenas pelos números repunidades , em que indica os números formados pela repetição da unidade, tal abordagem ocorre em referênciaàs propriedades das sequências de Lucas, conforme abordado por Jaroma (2007). Em destaque, para a sequência numérica das repunidades mostramos que também valem as Identidades de Catalan e Cassini. Em 1978 Yates afirmara que existe um fascínio pelos números repunidades, que advém da sua aplicação em vários problemas de recreação matemática. Aqui também exibimos algumas propriedades inerentes a classe numérica dos , mostramos algumas relações entre repunidades e potências de repunidades com algum expoente natural; e mais, estudamos a relação de divisibilidade entre seus termos, em especial a característica do fator primo da repunidade. Ademais, provamos a conjectura proposta por Costa e Santos (2022) acerca do quociente de um tipo de repunidade.
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Neste artigo apresentamos um estudo acerca dos números formados pela repetição da unidade em uma base b > 1 qualquer, chamado de repunidade generalizada. Destacamos alguns resultados relacionados à divisibilidade envolvendo as repunidades... more
Neste artigo apresentamos um estudo acerca dos números formados pela repetição da unidade em uma base b > 1 qualquer, chamado de repunidade generalizada. Destacamos alguns resultados relacionados à divisibilidade envolvendo as repunidades generalizadas e apresentamos dois resultados importantes: o primeiro (e mais importante) é um procedimento para determinar o mdc entre duas repunidades generalizadas, o qual é uma generalização para qualquer base b do resultado apresentado por Tarasov[16] na base decimal; e o segundo mostra que o produto de duas repunidades generalizadas jamais é um quadrado perfeito.
Os números monodígitos podem ser vistos como casos particulares dos números inteiros quasemonodígitos. Contudo, em Beiler [1] observa-se que nenhum monodígito, não repunidade, é um número primo. Enquanto que em Williams [2] são... more
Os números monodígitos podem ser vistos como casos particulares dos números inteiros quasemonodígitos. Contudo, em Beiler [1] observa-se que nenhum monodígito, não repunidade, é um número primo. Enquanto que em Williams [2] são apresentadas algumas propriedades dos números quaserrepunidades e uma lista de primos nesta classe. Nestas notas, motivados pelos trabalhos [1, 2, 3, 4] expomos nossa pesquisa acerca dos quasemonodígitos, apresentamos algumas propriedades relativas a critérios de divisibilidade e quadrados perfeitos, também exibimos os números primos em três subclasses de quasemonodígitos. As ferramentas e propriedades utilizadas nas demonstrações dos resultados são elementares, envolvendo essencialmente divisibilidade e congruência.
Resumo Um estudo sobre os números mágicos de Ball na base 10 e algumas propriedades são apresentadas em Costa [4] e em Costa e Mesquita [5]. Nesteúltimo os autores mostraram que todo número mágico de Ballé múltiplo de 99, enquanto que em... more
Resumo Um estudo sobre os números mágicos de Ball na base 10 e algumas propriedades são apresentadas em Costa [4] e em Costa e Mesquita [5]. Nesteúltimo os autores mostraram que todo número mágico de Ballé múltiplo de 99, enquanto que em [4]é mostrada a relação entre a quantidade de números mágicos de Ball e a sequência de Fibonacci. Neste trabalho estendemos o conceito de número mágico de Ball para qualquer base numérica b > 2, números mágicos de Ball generalizados. Exibimos algumas propriedades e mostramos que para qualquer base b > 2, o número mágico de Ball generalizadó e múltiplo de (aa) b , em que a = b − 1. Além disso, seguindo Webster [10] e Costa [4], apresentamos uma relação entre os números mágicos de Ball generalizados e a sequência de Fibonacci.
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Seja $x_n$ um número com $ n $ algarismos. Para $ n \geq 2 $, o número de $ n $ algarismos obtido pela inversão da posição dos algarismos de $ x_n $ é chamado de número reverso de $ x_n $ e é indicado por $ x_n'$. Admita que $ x_n... more
Seja $x_n$ um número com $ n $ algarismos. Para $ n \geq 2 $, o número de $ n $ algarismos obtido pela inversão da posição dos algarismos de $ x_n $ é chamado de número reverso de $ x_n $ e é indicado por $ x_n'$. Admita que $ x_n > x_n '$ e escreva o número mágico de Ball $ B = (x_n - x_n') + (x_n - x_n ')' $. Em Webster\cite{webs}, e de forma independente em Costa e Mesquita \cite{costa2}, mostra-se que todo número de Ball $B$ é múltiplo de 99. Para cada $k\geq 0$ inteiro, considere $ x_{2k} $ (ou $ x_ {2k + 1} $) um número qualquer e $ B (k) $ a quantidade de possíveis números mágicos de Ball, ou seja, correspondentes às quantidades de algarismos $ 2, 4, 6, \ldots, 2k, \ldots $ (ou $ 3, 5, 7, \ldots, 2k + 1, \ldots $) temos a associado a sequência $ 1, 4, 12, \ldots, B (k), \ldots $ que representa a quantidade de números da Ball. Webster considera o caso particular em que o primeiro algarismo do número $ x_{n} $ é sempre maior que o último algarismo e obtém...
Research Interests:
Neste trabalho estudamos a aplicação S, soma dos algarismos, para os números racionais. A aplicação S é bem conhecida em números inteiros, principalmente em problemas olímpicos (IZMIRLI, 2014; ZEITZ, 1999). Costa et al. (2021) estenderam... more
Neste trabalho estudamos a aplicação S, soma dos algarismos, para os números racionais. A aplicação S é bem conhecida em números inteiros, principalmente em problemas olímpicos (IZMIRLI, 2014; ZEITZ, 1999). Costa et al. (2021) estenderam a aplicação S a um número racional positivo x com representação decimal finita. Destacamos o seguinte resultado: dado um número racional positivo x, com representação decimal finita, e soma dos seus algarismos 9, quando x é dividido por potências de 2 ou 5, o número resultante mantém a soma dos seus algarismos igual a 9. Aquele estudo foi motivado pela afirmação atribuída a Nikola Tesla (1856-1943) (COSTA et al., 2021), ao dividirmos (ou multiplicarmos) consecutivamente por 2 os algarismos do ângulo 360º, associado geometricamente à uma circunferência, os ângulos (medido em grau) resultantes têm a propriedade de que a soma dos algarismos é (sempre) igual a 9. Por exemplo, temos que S(360)=9, assim também teremos que S(180) = S(90) = S(45) = S(22,5)=...
Research Interests: Physics and Humanities
Um número inteiro positivo a é equilibrado pela média aritmética se um de seus algarismos for a média aritmética dos outros algarismos. Aqui queremos estudar ou determinar condições para que a seja um número equilibrado.
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Let K be a unital associative and commutative ring and let K 〈 X 〉 be the free unital associative K-algebra on a non-empty set X of free generators. Define a left-normed commutator [a_1, a_2, ... , a_n] inductively by [a_1, a_2] = a_1 a_2... more
Let K be a unital associative and commutative ring and let K 〈 X 〉 be the free unital associative K-algebra on a non-empty set X of free generators. Define a left-normed commutator [a_1, a_2, ... , a_n] inductively by [a_1, a_2] = a_1 a_2 - a_2 a_1, [a_1, ... , a_n-1, a_n] = [[a_1, ... , a_n-1], a_n] (n > 3). For n > 2, let T^(n) be the two-sided ideal in K 〈 X 〉 generated by all commutators [a_1,a_2, ... , a_n] ( a_i ∈ K 〈 X 〉 ). It can be easily seen that the ideal T^(2) is generated (as a two-sided ideal in K 〈 X 〉) by the commutators [x_1, x_2] (x_i ∈ X). It is well-known that T^(3) is generated by the polynomials [x_1,x_2,x_3] and [x_1,x_2][x_3,x_4] + [x_1,x_3][x_2,x_4] (x_i ∈ X). A similar generating set for T^(4) contains 3 types of polynomials in x_i ∈ X if 1/3∈ K and 5 types if 1/3∉ K. In the present article we exhibit a generating set for T^(5) that contains 8 types of polynomials in x_i ∈ X.
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Let K be a field and let N = {1,2, ...}. Let R_n=K[x_ij| 1< i< n, j∈ N] be the ring of polynomials in x_ij (1 < i < n, j ∈ N) over K. Let S_n = Sym ({1,2, ..., n }) and Sym ( N) be the groups of the permutations of the sets... more
Let K be a field and let N = {1,2, ...}. Let R_n=K[x_ij| 1< i< n, j∈ N] be the ring of polynomials in x_ij (1 < i < n, j ∈ N) over K. Let S_n = Sym ({1,2, ..., n }) and Sym ( N) be the groups of the permutations of the sets {1,2,..., n } and N, respectively. Then S_n and Sym ( N) act on R_n in a natural way: τ (x_ij)=x_τ(i)j and σ (x_ij)=x_iσ (j) for all τ∈ S_n and σ∈ Sym( N). Let R_n be the subalgebra of the symmetric polynomials in R_n, R_n = {f ∈ R_n |τ (f) = f for eachτ∈ S_n } . In 1992 the second author proved that if char (K)= 0 or char(K)=p > n then every Sym ( N)-invariant ideal in R_n is finitely generated (as such). In this note we prove that this is not the case if char (K)=p< n. We also survey some results about Sym ( N)-invariant ideals in polynomial algebras and some related results.
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Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que participavam estudantes a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental, com objetivo de treinamento para competição matemática. Nela enfatizamos a... more
Neste artigo relatamos nossa experiência em uma oficina de resolução de problemas, em que participavam estudantes a partir do sétimo ano do Ensino Fundamental, com objetivo de treinamento
para competição matemática. Nela enfatizamos a importância entre a resolução de problemas e o
processo de aprendizagem dos conceitos aritméticos associados aos números repunidades (repetição de unidade), buscando o desenvolvimento de habilidades nos estudantes, tais como: investigar,
descobrir, propor, conjecturar e validar conceitos acerca dos números repunidades, explorando situações-problemas.
para competição matemática. Nela enfatizamos a importância entre a resolução de problemas e o
processo de aprendizagem dos conceitos aritméticos associados aos números repunidades (repetição de unidade), buscando o desenvolvimento de habilidades nos estudantes, tais como: investigar,
descobrir, propor, conjecturar e validar conceitos acerca dos números repunidades, explorando situações-problemas.
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The digital roots S* (x), of a n positive integer is the digit 0 ≤ b ≤ 9 obtained through an iterative digit sum process, where each iteration is obtained from the previous result so that only the b digit remains. For example, the... more
The digital roots S* (x), of a n positive integer is the digit 0 ≤ b ≤ 9 obtained through an iterative digit sum process, where each iteration is obtained from the previous result so that only the b digit remains. For example, the iterated sum of 999999 is 9 because 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 = 54 and 5 + 4 = 9. The sum of the digits of a positive integer, and even the digital roots, is a recurring subject in mathematical competitions and has been addressed in several papers, for example in Ghannam (2012), Ismirli (2014) or Lin (2016). Here we extend the application Sast to a positive rational number x with finite decimal representation. We highlight the following result: given a rational number x, with finite decimal representation, and the sum of its digits is 9, so when divided x by powers of 2, the number resulting also has the sum of its digits 9. Fact that also occurs when the x number is divided by powers of 5. Similar results were found when the x digit sum is 3 or 6.
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This paper discusses the function of Financial Education and the importance of such a subject to be presented and developed elementary education. It aims to attain a study about the approach of Financial Mathematics and Financial... more
This paper discusses the function of Financial Education and the importance of such a subject to be presented and developed elementary education. It aims to attain a study about the approach of Financial Mathematics and Financial Education, moreover explaining the relevance of contents, which ones prepare the students to be organized people, and thus, dealing with concrete situations, in the context of the new practices rise. In which the mastery of financial matters goes crucial. Methodologically, beyond the bibliographic and documentary research, experience reports are used to contextualize the reflection on Financial Education. The results indicate that Financial Mathematics such as a discipline or a subject school can be a step for the citizen's financial literacy. Financial Education is linked to the awareness development about the money rational using, in order to avoid people of being exploited by the financial system.
Sabe-se que os números reais, , é um conjunto ordenado, bem como é um corpo ordenado. Neste mostraremos que o conjunto dos números complexos, , pode ser ordenado. No entanto, o corpo complexo não pode ser ordenado. Palavras-chave: corpo... more
Sabe-se que os números reais, , é um conjunto ordenado, bem como é um corpo ordenado. Neste mostraremos que o conjunto dos números complexos, , pode ser ordenado. No entanto, o corpo complexo não pode ser ordenado. Palavras-chave: corpo real, corpo complexo e ordem.
It can be easily seen that the ideal $T^{(2)}$ is generated (as a two-sided ideal in $K \langle X \rangle$) by the commutators $[x_1, x_2]$ $(x_i \in X)$. It is well-known that $T^{(3)}$ is generated by the polynomials $[x_1,x_2,x_3]$ and... more
It can be easily seen that the ideal $T^{(2)}$ is generated (as a two-sided ideal in $K \langle X \rangle$) by the commutators $[x_1, x_2]$ $(x_i \in X)$. It is well-known that $T^{(3)}$ is generated by the polynomials $[x_1,x_2,x_3]$ and $[x_1,x_2][x_3,x_4] + [x_1,x_3][x_2,x_4]$ $(x_i \in X)$. A similar generating set for $T^{(4)}$ contains 3 types of polynomials in $x_i \in X$ if $\frac{1}{3} \in K$ and 5 types if $\frac{1}{3} \notin K$. In the present article we exhibit a generating set for $T^{(5)}$ that contains 8 types of polynomials in $x_i \in X$.
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Resumo. A busca por padrões na Matemática e em muitas outras ciências constitui uma importante ferramenta de descoberta e desenvolvimento. Inúmeros são os exemplos do fascínio e quase obsessão que muitos matemáticos experimentaram na... more
Resumo. A busca por padrões na Matemática e em muitas outras ciências constitui uma importante ferramenta de descoberta e desenvolvimento. Inúmeros são os exemplos do fascínio e quase obsessão que muitos matemáticos experimentaram na busca por padrões ao longo da história. O Matemático S. Ramanujan disse certa vez: "EXISTEM PADRÕES EM TUDO". Com esse espírito, apresentamos e estudamos propriedades de uma sequência um tanto quanto incomum, a sequência que conta algarismos. De modo um pouco mais preciso, definimos uma sequência restrita ao intervalo real [0, 1] cujos elementos são obtidos a partir do registro da quantidade de algarismos do elemento anterior. A partir dessa definição algumas propriedades são estudadas.