G₂

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

G₂ в математиці — назва трьох простих груп Лі (комплексної, дійсної компактної і дійсної розділеної), пов'язаної з ними алгебри Лі ${\mathfrak {g}}_{2}$, а також кількох алгебричних груп. Є найменшою з п'яти виняткових простих груп Лі, рангом 2 і розмірністю 14, з точними нетривіальними скінченновимірними лінійними представленнями. Всього G₂ має два фундаментальних представлення розмірністю 7 і 14, перше з яких відповідає короткому кореню системи коренів G₂.

Компактна форма G₂ є групою автоморфізмів алгебри октоніонів або підгрупою групи SO(7), що залишає на місці фіксований 8-вимірний спінор (в її спінорному представленні).

Реализації

Існують 3 прості дійсні алгебри Лі, ассоційовані з даної системою коренів.

Алгебричні властивості

Схема Динкіна

Система коренів G₂

Незважаючи на те, що кореневі вектори можна розмістити в 2-вимірному просторі, більш симетричним виглядає їх вираження трьома координатами, сума яких дорівнює нулю:

(1,−1,0), (−1,1,0)

(1,0,−1), (−1,0,1),

(0,1,−1), (0,−1,1),

(2,−1,−1), (−2,1,1),

(1,−2,1), (−1,2,−1),

(1,1,−2), (−1,−1,2),

і прості додатні кореневі вектори

(0,1,−1), (1,−2,1).

Група Вейля/Кокстера

Для алгебры G₂ це — група диедра D₁₂ 12 порядку.

Матриця Картана

${\begin{pmatrix}2&-3\\-1&2\end{pmatrix}}$

Спеціальні голономії

G₂ — одна з тих спеціальних груп, які можуть бути групами голономії ріманової метрики. Многовиди, що мають G₂-голономії, називаються G₂-многовидами.

Посилання

• John Baez, The Octonions, Section 4.1: G₂, Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145—205 [Архівовано 9 грудня 2008 у Wayback Machine.]. Онлайн HTML версія [Архівовано 6 листопада 2019 у Wayback Machine.].