PSL(2,7)

Алгебрична структура → Теорія груп Теорія груп
Основні поняття Підгрупа Нормальна підгрупа Комутант Фактор-група Гомоморфізм груп (Напів-)прямий добуток Пряма сума
Алгебричні властивості Комутативна група Циклічна група Впорядкована група Група перетворень Розв'язна група
Скінченні групи Класифікація простих скінченних груп Скінченна циклічна група Cp Скінченна p-група Теорема Лагранжа Теореми Силова Симетрична група Sn Діедрична група Dn Знакозмінна група An 4-група Кляйна PSL(2,7) Групи Матьє M11 M12 M22 M23 M24 Групи Конвея Co1 Co2 Co3 Групи Янко J1 J2 J3 J4 Групи Фішера F22 F23 F24 Група чорної скриньки Монстр (М)
Топологічні групи Група Лі Загальна лінійна група GL(n) Спеціальна лінійна група SL(n) Ортогональна група O(n) Спеціальна ортогональна група SO(n) Унітарна група U(n) Спеціальна унітарна група SU(n) Симплектична група Sp(n) Прості Групи Лі G₂ F₄ E₆ E₇ E₈ U(1) Група Лоренца Група Пуанкаре Група кватерніона

У математиці проєктивна спеціальна лінійна група PSL(2,7) (ізоморфна GL(3,2)) — скінченна проста група, що має важливі застосування в алгебрі, геометрії та теорії чисел. Вона є групою автоморфізмів квартики Кляйна, а також групою симетрії площини Фано. Маючи 168 елементів, PSL(2,7) є другою за величиною з найменших неабелевих простих груп (першою є знакозмінна група A₅, яка має 60 елементів — група обертань ікосаедричної симетрії).

Визначення

Повна лінійна група GL(2,7) складається з усіх оборотних 2×2-матриць над F₇, скінченним полем із семи елементів, тобто таких, що мають ненульові визначники. Підгрупа SL(2,7) складається з усіх матриць з одиничним визначником. Таким чином, PSL(2,7) — фактор-група: SL(2,7)/{I, −I},

отримана ототожненням I та -I, де I — одинична матриця. У цій статті ми маємо на увазі під G будь-яку групу, ізоморфну PSL(2,7).

Властивості

G = PSL(2,7) має 168 елементів. Це можна побачити, полічивши можливі стовпці. Є 7² − 1 = 48 можливих перших стовпців, 7² − 7 = 42 можливих других стовпців. Щоб досягти рівності визначника одиниці, слід поділити на 7 − 1 = 6, а потім поділити на 2, щоб ототожнити I та −I. Результат дорівнює (48×42)/(6×2) = 168.

Загальновідомо, що PSL(n,q) є простою для n, q ≥ 2 (де q — певний степінь простого числа), якщо не (n,q) = (2,2) або (2,3). PSL(2,2) ізоморфна симетричній групі S₃ і PSL(2,3) ізоморфна знакозмінній групі A₄. Фактично, PSL(2,7) є другою за величиною з неабелевих простих груп після знакозмінної групи A₅ = PSL(2,5) = PSL(2,4).

Число класів спряженості та кількість незвідних представлень дорівнює 6. Число класів дорівнює 1, 21, 42, 56, 24, 24. Розмірності незвідних подань дорівнюють 1, 3, 3, 6, 7, 8.

Таблиця характерів

${\begin{array}{r|cccccc}&1A_{1}&2A_{21}&4A_{42}&3A_{56}&7A_{24}&7B_{24}\\\hline \chi _{1}&1&1&1&1&1&1\\\chi _{2}&3&-1&1&0&\sigma &{\bar {\sigma }}\\\chi _{3}&3&-1&1&0&{\bar {\sigma }}&\sigma \\\chi _{4}&6&2&0&0&-1&-1\\\chi _{5}&7&-1&-1&1&0&0\\\chi _{6}&8&0&0&-1&1&1\\\end{array}},$

де:

$\sigma ={\frac {-1+i{\sqrt {7}}}{2}}.$

Нижче в таблиці описано класи спряженості в термінах порядку елементів у класах, числа класів, мінімальний многочлен усіх представлень у GL(3,2) та запис функції для представлення в PSL(2,7).

Порядок	Розмір	Мінімальний многочлен	Функція
1	1	x+1	x
2	21	x2+1	−1/x
3	56	x3+1	2x
4	42	x3+x2+x+1	1/(3−x)
7	24	x3+x+1	x+1
7	24	x3+x2+1	x+3

Порядок групи дорівнює 168 = 3·7·8, звідки випливає існування підгруп Силова порядків 3, 7 і 8. Легко описати перші дві — вони циклічні, оскільки будь-яка група з простим порядком циклічна. Будь-який елемент класу спряженості 3A₅₆ утворює силовську 3-підгрупу. Будь-який елемент класів спряженості 7A₂₄, 7B₂₄ утворює силовську 7-підгрупу. Силовська 2-підгрупа є діедральною групою порядку 8. Її можна описати як централізатор будь-якого елемента класу спряженості 2A₂₁. У поданні GL(3,2) силовська 2-підгрупа складається з верхніх трикутних матриць.

Ця група та її силовська 2-підгрупа дають контрприклад для різних теорем про нормальне p-доповнення для p = 2.

Дії на проєктивні простори

G=PSL(2,7) діє за допомогою дробово-лінійного перетворення на проєктивну пряму P¹(7) над полем зі 7 елементів: Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL(2, 7)}}$ і $x\in \mathbf {P} ^{1}(7),\ \gamma \cdot x={\frac {ax+b}{cx+d}}$

Кожен автоморфізм прямої P¹(7), що зберігає орієнтацію, виходить таким способом, а тоді, G=PSL(2,7) можна розуміти геометрично як групу симетрій проєктивної прямої P¹(7). Повна група можливих автоморфізмів, що зберігають орієнтацію, є розширенням порядку 2 групи PGL(2,7) і група колінеацій проєктивної прямої є повною симетричною групою точок.

Однак PSL(2, 7) також ізоморфна групі PSL(3,2) (= SL(3,2) = GL(3,2)), спеціальній (загальній) лінійній групі 3×3 матриць над полем із 2 елементами. Подібно G = PSL(3,2) діє на проєктивну площину P²(2) над полем з 2 елементами, відому також як площина Фано: Для $\gamma ={\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}\in {\mbox{PSL}}(3,2)$ і $\mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbf {P} ^{2}(2),\ \gamma \ \cdot \ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}ax+by+cz\\dx+ey+fz\\gx+hy+iz\end{pmatrix}}$

Знову в такий спосіб виходить будь-який автоморфізм P²(2), тоді G = PSL(3,2) можна геометрично розуміти як групу симетрії цієї проєктивної площини. Площину Фано можна описати як добуток октоніонів.

Симетрії квартики Кляйна

Квартику Кляйна можна реалізувати як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3

Квартику Кляйна можна також реалізувати як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3

Квартика Кляйна — проєктивний многовид над комплексними числами C, визначений многочленом четвертого степеня

x³y + y³z + z³x = 0.

Він є компактною рімановою поверхнею роду g = 3 і є єдиною такою поверхнею, для якої розмір конформної групи автоморфізмів досягає максимуму 84(g−1). Ця межа виникає внаслідок теореми Гурвіца про автоморфізми, яка виконується для всіх g>1. Такі «поверхні Гурвіца» рідкісні. Наступний рід, для якого така поверхня існує, це g=7, а наступний після нього — g=14.

Як і для всіх поверхонь Гурвіца, квартикам Кляйна можна задати метрику сталої від'ємної кривини і потім замостити правильними (гіперболічними) семикутниками, як фактор-простір семикутної мозаїки порядку 3. Для квартики Кляйна це дає мозаїку з 24 семикутників. Двоїсто, її можна замостити 56 рівносторонніми трикутниками з 24 вершинами, кожна 7-го порядку, як фактор-простір трикутної мозаїки порядку 7.

Квартика Кляйна виникає в багатьох галузях математики, таких як теорія представлень, теорія гомологій, множення октоніонів, велика теорема Ферма.

Група Матьє

PSL(2,7) є максимальною підгрупою групи Матьє M₂₁. Групи Матьє M₂₁ і M₂₄ можна побудувати як розширення PSL(2,7). Ці розширення можна інтерпретувати в термінах мозаїк квартики Кляйна, але не можна реалізувати геометричними симетріями мозаїк.

Дії групи

PSL(2, 7) діє на різні множини:

• Якщо інтерпретувати її як лінійні автоморфізми проєктивної прямої над F₇, вона діє 2-транзитивно на множину з 8 точок зі стабілізатором порядку 3. (PGL(2,7) діє строго 3-транзитивно з тривіальним стабілізатором.)
• Якщо інтерпретувати її як автоморфізми мозаїки квартики Кляйна, вона діє транзитивно на 24 вершини (або, двоїсто, на 24 семикутники) зі стабілізатором порядку 7 (що відповідає обертанню навколо вершини/семикутника).
• Якщо інтерпретувати її як підгрупу групи Матьє M₂₁, що діє 21 точку, вона діє транзитивно на 21 точку.

Література

• David A. Richter. How to Make the Mathieu Group M₂₄.

• Ezra Brown, Nicholas Loehr. Why is PSL (2,7)≅ GL (3,2)? // Am. Math. Mon.. — 2009. — Т. 116, вип. 8. — С. 727–732. — DOI:10.4169/193009709X460859.

Посилання

• The Eightfold Way: the Beauty of Klein's Quartic Curve (Silvio Levy, ed.)
• This Week's Finds in Mathematical Physics — Week 214 (John Baez)
• The Klein Quartic in Number Theory (Noam Elkies)
• Projective special linear group: PSL(3,2)