Dynamic and Stochastic General Equilibrium (DSGE) Models: An Introduction

Documentos de Trabajo 2010 | 47 Modelos de Equilibrio General Dinámico y Estocástico (EGDE): una introducción Guillermo Escudé BCRA Julio de 2010 Banco Central de la República Argentina ie | Investigaciones Económicas Julio, 2010 ISSN 1850-3977 Edición Electrónica Reconquista 266, C1003ABF C.A. de Buenos Aires, Argentina Tel: (5411) 4348-3582 Fax: (5411) 4348-3794 Email: investig@bcra.gov.ar Web: www.bcra.gov.ar Las opiniones vertidas en este trabajo son exclusiva responsabilidad de los autores y no reflejan necesariamente la posición del Banco Central de la República Argentina. La serie Documentos de Trabajo del BCRA está compuesta por material preliminar que se hace circular con el propósito de estimular el debate académico y recibir comentarios. Toda referencia que desee efectuarse a estos Documentos deberá contar con la autorización del o los autores. Modelos de Equilibrio General Dinámico y Estocástico (EGDE): una introducción1 Guillermo J. Escudé Banco Central de la República Argentina 1 de julio, 2010 1 Agradezco a Omar O. Chisari por su estímulo para escribir este trabajo y a Nicolás Grosman por sus comentarios sobre el mismo. Fue escrito como contribución al libro "Progresos en Economía Computacional", editado por Omar O. Chisari, Asociación Argentina de Economía Política y presentado en la Academia Nacional de Ciencias Económicas el 29 de agosto de 2008 y en la Reunión Anual de la A.A.E.P. el 19 de noviembre del mismo año. La presente versión contiene algunas correcciones y extensiones. 2 3 CONTENTS Modelos de Equilibrio General Dinámico y Estocástico (EGDE): una introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Formulación de los modelos EGDE . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Conceptos formales sobre los modelos EGDE y su solución . . . . 4. Ejemplo sencillo de un modelo EGDE . . . . . . . . . . . . . . . 5. Uso de Dynare y MATLAB para resolver el modelo y realizar simulaciones estocásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Conceptos básicos de la estimación Bayesiana de un modelo EGDE 7. Uso de Dynare para estimar el modelo . . . . . . . . . . . . . . . 8. Conclusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 9 13 19 27 31 39 39 Modelos de Equilibrio General Dinámico y Estocástico (EGDE): una introducción 1. Introducción Los modelos de Equilibrio General Dinámico y Estocástico (EGDE) se han convertido en forma creciente en los últimos años en un vehículo para sistematizar, analizar y proyectar complejos procesos económicos susceptibles del ser analizados con métodos cuantitativos modernos, incluyendo el análisis de las políticas macroeconómicas. Parten de la tradición del equilibrio general comenzado con el trabajo pionero de León Walras: "Elementos de economía política pura, o teoría de la requeza social" (de 1874) y modernizado con métodos matemáticos y conceptos económicos desarrollados muy posteriormente. En particular, se suele especi…car el comportamiento de agentes económicos: familias, empresas, gobierno, etc. así como los mercados en que interactúan, precisando la estructura de cada mercado. En la literatura macroeconómica, lo más común es que coexistan mercados con competencia perfecta (con o sin libre entrada) con mercados con competencia monopolística. Este último concepto, generado por Edward Chamberlin en su revolucionaria "Teoría de la Competencia Monopolística (de 1933), pudo ser tratado en forma matemática más precisa a partir del trabajo de Dixit y Stiglitz (1977).1 En los modelos macroeconómicos microfundados el comportamiento de (al menos) los agentes privados es modelado en base a objetivos (utilidad, bene…cios) y restricciones (presupuestarias y/u otras) explícitos. Y el funcionamiento de la economía está dado por condiciones de equilibrio de mercado que tienen la función de enlazar dichos comportamientos entre sí. Durante muchas décadas la teoría del equilibrio general fue esencialmente estática. Si bien muchos trabajos incluían mercados intertemporales, como la "Teoría del Valor", de Gerard Debreu (de 1959), el tiempo aparecía colapsado en un instante en que todas las transacciones se de…nían para todos los tiempos y puntos geográ…cos. La introducción explícita del tiempo y de la incertidumbre, así como de los métodos matemáticos dinámicos y estocásticos de las ciencias naturales (ecuaciones diferenciales y en diferencias, determinísticas 1 Véase también Blanchard y Kiyotaki (1987), la colección de modelos de competencia monopolística en Bénassy (2002), y el modelo canónico de la Macroeconomía Nuevo Keynesiana en Galí (2008). 4 y estocásticas) se fueron introduciendo paulatinamente en el cuerpo principal de la teoría económica a través de un prolongado período. En el caso de modelos macroeconómicos dinámicos en que las autoridades ejercen una política económica sistemática (monetaria, cambiaria, …scal, etc.), ésta puede representarse a través de una regla de política simple, la cual puede o no tener retroalimentación (feedback). Por ejemplo, en el caso de una "regla de Taylor" para la política de tasa de interés de un Banco Central, éste determina la tasa de interés como función de otras variables endógenas, como la in‡ación o el PIB. Tales variables retroalimentan a la determinación de la tasa de interés. En cambio, si se representa una política de tipo de cambio …jo, el Banco Central mantiene el tipo de cambio nominal constante, existiendo una regla de política (sumamente sencilla) sin retroalimentación. En lugar de una regla de política simple, el …jador de políticas puede tener una regla de política óptima. En este caso se explicita una función objetivo que representa las preferencias del …jador de políticas y se obtiene una regla de retroalimentación que surge de optimizar el valor esperado de la función objetivo bajo las restricciones que impone el resto de la economía. Un modelo macroeconómico puede tener más de una regla de política (simple u óptima). Diversos trabajos han tratado reglas …scales junto con reglas de tasa de interés. Varios trabajos del autor de este trabajo (a través del modelo EGDE ARGEM y algunas variantes más sencillas) han considerado reglas de retroalimentación simultáneas, tanto simples como óptimas, para la tasa de interés y la tasa de depreciación nominal de la moneda, ambas manejadas por el banco central en un marco consistente. Una aplicación particularmente importante de los modelos EGDE a la macroeconomía es el desarrollo de los modelos Nuevo Keynesianos. Éstos han encontrado maneras convenientes de modelar la “pegajosidad de precios” (price stickiness).2 La más usual es la que surge de Calvo (1983) y consiste en asignar a los in…nitos productores monopolísticos una probabilidad de no poder modi…car el precio en cualquier período dado. Esto genera una dicotomía entre los productores que eligen el precio que maximiza su bene…cio esperado y los productores que deben contentarse con mantener el precio del período anterior. Y da lugar a la Ecuación de Phillips Nuevo Keynesiana, una ecuación en diferencias que típicamente da la dinámica de una tasa de in‡ación en base a la de sus determinantes (parciales, en la medida en que se trate de una ecuación dentro de un sistema de ecuaciones). En el caso de la in‡ación de precios de bienes producidos tal determinante suele ser el costo marginal, o la brecha del producto. Desarrollos ulteriores han permitido que dicha ecuación se ajuste mejor a los datos mediante una ampliación del esquema para permitir que los productores que no pueden optimizar en el presente puedan al menos indexar sus precios a la in‡ación pasada, existiendo diversas variantes concretas. Por supuesto, un modelo macroeconómico puede tener varias ecuaciones de Phillips, en la medida que tenga varios índices de precios que re‡ejen …jación de precios en un contexto de competencia monopolística. Por ejemplo, los modelos ARGEM y ARGEMmy del autor de este trabajo tienen 4 y 3 ecuaciones de 2 Si bien el término "pegajosidad" no ha sido muy utilizado en las traducciones al castellano, es la traducción correcta de la palabra en inglés "stickiness", a veces traducida como "rigidez". Ésta última tiene un correlato exacto en inglés ("rigidity") y tiene un signi…cado algo diferente. Por ello, me parece correcto dar a cada palabra su traducción más exacta. 5 Phillips, respectivamente, para las dinámicas de las in‡aciones de precios domésticos, salarios, bienes importados y (en el caso de ARGEM) bienes manufacturados exportados. Por limitaciones de espacio, en este trabajo nos limitaremos a sintetizar los principales conceptos que subyacen a los modelos EGDE en general, incluyendo su calibración y estimación, y a desarrollar e implementar en Dynare/MATLAB un modelo EGDE muy sencillo, de economía cerrada, sin gobierno y sin “pegajosidad de precios”. Por consiguiente, no tendremos lugar para reglas de política ni para la ecuación de Phillips. Dichas ampliaciones, y muchas otras, pueden verse en Walsh (2003), en Woodford (2003) y en Galí (2008). El plan del resto del trabajo es el siguiente. En la sección 2 hacemos una descripción general de los modelos EGDE y en la sección 3 le damos una cierta estructura matemática al modelo, su aproximación lineal o log-lineal, y su solución. En la sección 4 detallamos un modelo macroeconómico sencillo, donde hay competencia monopolística en la producción de bienes, y encontramos su estado estacionario no estocástico (EENE). En la sección 5 se muestra cómo utilizar el programa Dynare desde MATLAB para resolver el modelo de la sección anterior y realizar simulaciones estocásticas. En la sección 6 se presentan conceptos básicos de la estimación Bayesiana de un modelo EGDE. En la sección 7 se muestra cómo utilizar Dynare/MATLAB para estimar los parámetros del modelo de la sección 4. La sección 8 concluye el trabajo. 2. Formulación de los modelos EGDE En la modelación del comportamiento humano, las expectativas con respecto al futuro constituyen una importante complicación en comparación con la forma de modelar los procesos dinámicos en las ciencias naturales. En las últimas décadas, la llamada "revolución de las Expectativas Racionales" ha permitido una primera forma rigurosa de modelar las expectativas.3 Se trata de un método utilizado en forma muy generalizada por los economistas para modelar el comportamiento humano. Se usa muy ampliamente, no porque sea particularmente realista sino porque es la manera más sencilla de modelar el comportamiento de manera tal que no se dé la situación también poco realista de que los individuos se equivoquen todo el tiempo de manera sistemática. Más recientemente se ha desarrollado una ampliación del modelo de expectativas racionales mediante la teoría del aprendizaje (learning). En los modelos con aprendizaje los agentes sí se equivocan pero van aprendiendo sobre la marcha cómo ajustar sus expectativas de manera que las expectativas racionales sólo se obtienen como límite de ese proceso.4 Los equilibrios dinámicos en modelos económicos determinísticos (o sea, sin incertidumbre) que tienen variables de…nidas como expectativas de acontecimientos futuros constituyen senderos de ensilladura (saddlepaths) que tienden hacia un estado estacionario que constituye un punto de ensilladura (saddlepoint). Mientras el valor de las variables predeterminadas (también llamadas variables "de estado") está ligado a su valor pasado, el valor de las no-predeterminadas está determinado por el salto necesario para ubicarse en un sendero no explosivo (ver Begg (1982)). Por eso también son llamadas variables "de salto". El supuesto de expectativas 3 El trabajo pionero fue de John F. Muth "Rational Expectations and the Theory of Price Movements", de 1966. Véase Blanchard y Fisher Lectures (1989) para múltiples aplicaciones. 4 Para este tópico el libro crucial es Evans y Honkapohja (2001) 6 racionales en los modelos dinámicos pero determinísticos es denominado previsión perfecta. Esto se debe a que la trayectoria futura de las variables sujetas a expectativas coincide exactamente con el valor esperado (bajo certidumbre). Tanto en el caso particular de previsión perfecta como en el más general de expectativas racionales, se supone que los agentes conocen el modelo de la economía y forman previsiones correctas con respecto al futuro. En en caso de modelos con incertidumbre, o sea, estocásticos, es el valor esperado (en el sentido probabilístico) por los agentes para las variables futuras el que debe coincidir con los valores que se derivan de la solución del modelo. Pues se supone que los agentes conocen las distribuciones de probabilidades supuestas para las variables estocásticas que afectan al modelo pero no las realizaciones particulares de esas variables. Para formular modelos EGDE se comienza modelando los procesos decisorios de los agentes económicos (privados y/o públicos) mediante problemas de optimización estocástica. Esto da lugar a condiciones de primer orden (como la ecuación de Euler del proceso de decisión de una familia). También se obtienen otras ecuaciones tales como condiciones de equilibrio de mercados, identidades entre variables (como la de…nición de la tasa de in‡ación en términos de los niveles de precio en los períodos t y t 1), reglas de política, etc. Algunas de las ecuaciones típicamente contienen funciones auxiliares, como primas de riesgo, costos de transacción, costos de ajuste, etc., que ayudan a hacer la dinámica del modelo más ajustada a la dinámica observada de las variables involucradas. Algunas de las ecuaciones del modelo estarán in‡uenciadas por perturbaciones estocásticas (para que el modelo sea de EGDE y no simplemente EGD). Es usual que al menos algunas de las ecuaciones contengan variables exógenas dotadas de una dinámica representada por procesos estocásticos autoregresivos (típicamente AR(1)). Tales ecuaciones pueden simplemente adicionarse a las ecuaciones que surgen de la teoría y entonces las variables correspondientes pueden ser tratadas como las demás variables endógenas. El modelo dinámico normalmente contiene diversos parámetros: algunos provenientes de la teoría económica (como el factor de descuento intertemporal o diversas elasticidades), algunos contenidos en funciones auxiliares que pueden ser más ad-hoc, y otros provenientes de los procesos estocásticos exógenos (como los coe…cientes de persistencia o las varianzas -y quizás covarianzas- de las variables estocásticas i.i.d. que afectan a tales ecuaciones). Una parte importante del proceso de construcción y solución de modelos EGDE que estamos describiendo consiste en darles valores numéricos a los parámetros. Ello puede hacerse mediante calibración o mediante estimación econométrica. En realidad, típicamente se calibra por lo menos un subconjunto de los parámetros. Y cada vez más se estima econométricamente a otro subconjunto. La necesidad de calibrar en forma directa a algunos de los parámetros responde a los problemas de identi…cación que usualmente presentan los modelos EGDE, los que di…cultan la estimación econométrica de los mismos. Para la calibración, puede utilizarse los grandes ratios del estado estacionario de la economía particular que se desea modelar (Consumo/PIB, etc), o bien valores de parámetros provenientes de estudios anteriores parecidos, o provenientes de estudios microeconómicos relevantes. En el caso de estimación econométrica pueden utilizarse métodos clásicos ("frecuentistas") o métodos Bayesianos. Es cada vez más frecuente el uso de métodos Bayesianos para obtener los valores estimados de 7 algunos de los parámetros de los modelos EGDE. Los métodos Bayesianos permiten complementar la información contenida en los datos (series de tiempo) con información experta del investigador a través de la elección atinada de distribuciones a priori. Cuando hay variables nominales o crecimiento económico, muchas de las variables no serán estacionarias (en el sentido de las series de tiempo). Por ello, para obtener una solución del modelo es usual previamente transformar a muchas de las variables para que sean estacionarias. En particular, se suele expresar a las variables en términos reales, dividiéndolas por un índice de precios representativo de la evolución de las variables nominales. Y cuando hay crecimiento se debe transformar a las variables que crecen (en forma ya sea determinística ya sea estocástica) para convertirlas en estacionarias (eliminando la tendencia). Es posible que haya más de una tendencia estocástica, en cuyo caso el proceso de transformación puede ser más complicado. Los modelos dinámicos cuyas variables son estacionarias suelen tener un "estado estacionario no estocástico" (EENE)5 que describe la situación (estática) hacia la cual tiende la economía (representada mediante la transformación de todas las variables de manera tal que sean estacionarias) en el largo plazo cuando las variables estocásticas adoptan sus valores medios. En la metodología usual aplicada a los modelos EGDE es necesario obtener el (o los6 ) EENE del modelo para obtener su solución. Para ello, se procede a eliminar los rezagos o adelantos de las variables y darles los valores medios (esperados) a las variables estocásticas. Se obtiene así un modelo estático que típicamente tendrá al menos algunas ecuaciones no lineales. Este modelo impone restricciones conjuntamente sobre los parámetros del modelo y los valores de EENE de las variables del modelo. Cuando el modelo es medianamente grande, puede ser muy di…cultoso resolver ese modelo estático (que representa el remoto futuro), dados valores para todos los parámetros del mismo. En ese caso el proceso de construcción del EENE asociado a un conjunto de valores numéricos de los parámetros tiene aspectos casi artesanales y constituye una etapa muy importante del proceso de solución. En la próxima sección veremos cómo puede obtenerse el EENE de un modelo concreto aunque muy sencillo. Usualmente no es posible obtener una solución analítica para el modelo dinámico no lineal y debe recurrirse a una aproximación lineal de las ecuaciones no lineales del modelo.7 Lo más frecuente es trabajar con una aproximación log-lineal, o sea, lineal en los logaritmos de las variables del modelo. A continuación ilustraremos este proceso mediante dos ejemplos muy sencillos. En primer lugar, supongamos que una de las ecuaciones del modelo es xt = aytb ; 5 (1) Lamentablemente, en el español se utiliza la misma palabra "estacionario" para la estacionaridad en el sentido de series de tiempo y para el "estado estacionario" (en inglés steady state), que es un concepto totalmente diferente (de no variación en el tiempo) referido al punto al cual tienden las trayectorias de equilibrio en el horizonte in…nito. 6 Más adelante veremos que el tamaño (el módulo) de las raíces de la ecuación característica (o, en forma equivalente, de los eigenvalores generalizados) del modelo es crucial para la unicidad y estabilidad de sus soluciones. Cuando el modelo presenta una "raíz unitaria" (un eigenvalor de valor unitario), existen in…nitos EENE y debe seleccionarse uno de ellos si se quiere obtener una solución del modelo. Alternativamente, puede eliminarse la raíz unitaria modi…cando el modelo. 7 A veces también se utiliza una aproximación de segundo orden (o cuadrática). 8 donde a y b son parámetros. En el EENE se tiene x = ay b . Luego, dividiendo término a término la ecuación (1) por su expresión de EENE se tiene b yt y xt = x (2) : Devinimos el desvío logarítmico de una variable xt con respecto a su EENE como x bt log xt : x Entonces tomando logaritmos de (2) se tiene la expresión log-lineal de (1): x bt = bb yt : Cabe señalar que en este caso no se trata de una aproximación sino de una transformación exacta. Para ver el caso de una aproximación tomemos un segundo ejemplo de ecuación no-lineal: xt = aytb + ztc : (3) En este caso al dividir por la ecuación del EENE se tiene: ay b aytb + ztc xt = = x ay b + z c ay b + z c = A yt y b + (1 A) b yt y zt z + c zc ay b + z c zt z c (4) : donde para abreviar notación en la última igualdad se ha de…nido ay b : ay b + z c A Al tomar logaritmos de ambos lados de (4) se tiene: x bt log A yt y b + (1 yt zt A) z b = log Aelog(( y ) ) + (1 = log Aebbyt + (1 A) ecbzt c ! c zt A) elog(( z ) ) f (b yt ; zbt ) : En este caso obtenemos una función no-lineal f (b yt ; zbt ) que debe ser aproximada en forma log-lineal. El Teorema de Taylor dice que una aproximación lineal (o sea, descartando todos los términos de la serie de Taylor de orden mayor que uno) en torno al punto (0; 0) (o sea, donde las variables x e y están en sus valores de EENE) es: f (b yt ; zbt ) = f (0; 0) + f1 (0; 0) ybt + f2 (0; 0) zbt ; donde fi denota la derivada parcial de f con respecto a la variable i-ésima. A partir de la de…nición de f (b yt ; zbt ) (y usando la regla de la cadena y teniendo en 9 cuenta que la derivada de log(x) con respecto a x es 1=x y la derivada de ebx con respecto a x es bebx ) se comprueba fácilmente que: f (0; 0) = log Aeb0 + (1 A) ec0 = log(1) = 0; 1 Abebbyt ; f1 (b yt ; zbt ) = cb z bb y t t Ae + (1 A) e f1 (0; 0) = Ab; 1 f2 (b yt ; zbt ) = (1 A) cecbzt ; Aebbyt + (1 A) ecbzt f2 (0; 0) = (1 A) c: Por consiguiente, la aproximación log-lineal de f (b yt ; zbt ) es f (b yt ; zbt ) = Abb yt + (1 A) cb zt : y por lo tanto la aproximación log-lineal de (3) es: x bt = Abb yt + (1 A) cb zt : Cuando hay muchas ecuaciones y algunas de ellas son muy complicadas, puede ser muy ardua la tarea de obtener las aproximaciones log-lineales de las ecuaciones del modelo a mano. En ese caso conviene aprender a utilizar las herramientas (como el Symbolic Math Toolbox de MATLAB) que tienen programas como MATLAB o SCILAB para hacer esa aproximación. O bien puede utilizarse un programa como Dynare que lo hace automáticamente utilizando esas mismas herramientas de MATLAB o SCILAB. Una vez que se tiene una representación del modelo loglineal de…nido en torno a un EENE se pasa a la etapa de obtener una solución. 3. Conceptos formales sobre los modelos EGDE y su solución Existen diversos métodos, todos interrelacionados, para obtener la solución de la aproximación log-lineal de un modelo EGDE. Para la mayoría de los métodos de solución es importante distinguir entre las variables endógenas que son predeterminadas (también llamadas variables de estado) y las no-predetermindas (también llamadas variables de salto). Las variables predeterminadas tienen condiciones iniciales. El trabajo pionero es el de Blanchard y Kahn (1980). También está el método de coe…cientes indeterminados de McCallum (1983), el de la descomposición QZ de Klein (2000), el de Sims (2000), el de King y Watson (1998), y el de Uhlig (1990). En Uhlig (1990) y en Campbell (1992) se explica como log-linealizar ecuaciones con algo más de profundidad de lo que se vio arriba. Los capítulos 4 a 8 del curso de Soderling (2003) son muy didácticos para resolver modelos monetarios EGDE tanto con reglas simples de política como con reglas óptimas. Actualmente existen abundantes programas de MATLAB gratuitamente accesibles por internet para resolver este tipo de modelo. Entre ellos están Dynare del CEPREMAP de París y AIM de la Reserva Federal. Un modelo EGDE puede sintetizarse mediante un sistema de ecuaciones (normalmente no lineales), dinámicas y estocásticas, junto con la caracterización de las variables estocásticas que las afectan. Por ejemplo, las siguientes expresiones muestran en forma estilizada 1) las ecuaciones del modelo expresadas en forma 10 vectorial, donde f es un vector de funciones, cada una de las cuales depende de (al menos un subconjunto de) las variables y parámetros indicados, Wt es el vector de variables endógenas, "t es el vector de variables estocásticas, y es el vector de parámetros, 2) la media del vector de variables estocásticas "t (en este caso las medias son nulas), 3) la matriz de varianzas y covarianzas de las variables estocásticas (que se supone constante en el tiempo): Et f (Wt+1 ; Wt ; Wt 1 ; ; "t+1 ) = 0 Et ("t+1 ) = 0 Et ("t+1 "0t+1 ) = ; Las ecuaciones pueden contener variables con más de un rezago y más de un adelanto. Pero en general pueden introducirse nuevas variables para eliminar rezagos y adelantos8 hasta obtener este formato (si se va a utilizar el método de Uhlig, por ejemplo), o bien en un formato aún más sencillo que elimina las variables rezagadas (si se va a utilizar el método de Klein o el de Sims, por ejemplo). En estos últimos casos, puede de…nirse los vectores W1;t = Wt 1 y Xt = (Wt ; W1;t ) y escribir el sistema de ecuaciones del modelo como: Et f (Xt+1 ; Xt ; ; "t+1 ) = 0: Como ya dijimos, dado que típicamente contienen ecuaciones no lineales, los modelos EGDE no son en general resolubles en forma analítica. Por consiguiente, es usual recurrir a la aproximación lineal (de primer orden en una expansión de Taylor) o cuadrática (de segundo orden) de las ecuaciones que no son lineales. Tomemos el caso de la aproximación lineal puesta en el formato adecuado para usar el método de Klein. Se tiene entonces el sistema en el formato: A ( ) Et Xt+1 = B ( ) Xt + C ( ) "t+1 ; (5) donde hemos enfatizado que al menos algunos de los coe…cientes de las matrices A, B, C, dependen de algunos de los elementos del vector de parámetros . A menudo se tiene un modelo cuya aproximación de primer orden tiene 1) procesos autoregresivos de primer orden (AR(1)): Zt = M Zt 1 + C0 "t ; donde M es una matriz cuadrada estable (con todos sus eigenvalores menores que uno), 2) ecuaciones sin términos expectacionales del tipo Et xt+1 (para alguna variable endógena xt ), algunas de las cuales pueden contener términos que re‡ejan shocks estocásticos, y algunas de las cuales pueden ser puramente estáticas, 3) ecuaciones que incluyen términos expectacionales. En tal caso la estructura 8 Véase los detalles en Binder y Pesaran (1999). 11 de las matrices A, B y C sería la siguiente: 3 32 2 Zt+1 I 0 0 5 4 Y1;t+1 5 = 4 A10 ( ) A11 ( ) 0 Et Y2;t+1 A20 ( ) A21 ( ) A22 ( ) 3 3 2 32 2 Zt C0 ( ) B00 ( ) 0 0 4 B10 ( ) B11 ( ) B12 ( ) 5 4 Y1;t 5 + 4 C1 ( ) 5 "t+1 : 0 Y2;t B20 ( ) B21 ( ) B22 ( ) A los efectos de la solución del modelo puede colapsarse las dos primeras …las de ecuaciones de…niendo los vectores X1;t = (Zt ; Y1;t ), X2;t = Y2;t , donde la segunda igualdad sólo denota un cambio de notación. Queda entonces: A011 ( ) 0 0 A21 ( ) A22 ( ) 0 0 B11 ( ) B12 ( ) 0 B21 ( ) B22 ( ) X1;t X2;t X1;t+1 Et X2;t+1 C( ) 0 + = "t+1 : Se tiene entonces el vector de variables endógenas Xt dividido en el subvector de variables predeterminadas X1;t (o variables de estado) y el subvector de variables no predeterminadas X2;t (o de salto). El primer bloque de ecuaciones (que corresponde a las variables predeterminadas) muestra el conjunto de ecuaciones que no incluye términos expectacionales, algunas o todas de las cuales puede estar afectada por shocks i.i.d. "jt+1 . Y en el segundo bloque de ecuaciones (que corresponde a variables no predeterminadas) todas las ecuaciones contienen algún término expectacional y ninguna está afectada por shocks i.i.d. Este es precisamente el formato que se tiene en (5). De…namos la innovación (o error de pronóstico a un paso adelante) en t de una variable x como xt+1 Et xt+1 . Obsérvese que si tomamos el valor esperado en t de la primera …la de ecuaciones y restamos la ecuación resultante de la primera …la de ecuaciones obtenemos (suponiendo que A011 es inversible): X1;t+1 Et X1;t+1 = A011 ( ) 1 C ( ) "t+1 : O sea, el vector de innovaciones de las variables predeterminadas es exógeno, pues el vector de shocks "t+1 es exógeno. Como dice Klein (2000), las variables predeterminadas pueden de…nirse como aquéllas variables que tienen un valor inicial exógeno y cuyas innovaciones son exógenas. No sucede lo mismo con las variables incluidas en X2;t . Dejemos de lado por el momento la parte estocástica de la ecuación (5) y concentrémonos en el par (o ‘lápiz’) de matrices (A,B), ambos de n n. El problema del "eigenvalor generalizado" es una generalización del problema del eigenvalor para el caso de una sola matriz. En el problema de eigenvalor se trata de encontrar escalares j y vectores xj tales que Axj = j xj , o sea, tales que (A j I) xj = 0: Los eigenvalores son las raíces (en general complejas) de la ecuación característica: det(A I) = 0. En el caso generalizado se trata de encontrar escalares j y vectores xj tales que Axj = j Bxj : 12 A los escalares j se los denomina eigenvalores generalizados y a los vectores xj eigenvectores generalizados. Obsérvese que si B es no singular, j y xj son los eigenvalores y eigenvectores de la matriz B 1 A: Pero si det (B) = 0 puede tenerse uno o más eigenvalores in…nitos j = 1, con lo que se quiere representar que Bxj = 0. Cuando existe un tal que det(A B) 6= 0 se dice que el par de matrices (A,B) es regular. En caso contrario, se dice que es singular. Sólo los pares regulares nos interesan aquí.9 Cualquiera que sea el método de solución que se utilice, para que exista una solución y ésta sea única, debe satisfacerse las llamadas condiciones de BlanchardKhan: 1. El número ng de eigenvalores generalizados fuera del disco unitario (o sea, tales que j j j > 1, sean …nitos o in…nitos, reales o complejos) debe ser igual al número ns de variables de salto, o sea, de variables que en algúna ecuación …guran en su valor esperado (en t) para t + 1. Si ng > ns, el modelo es explosivo: no existe solución convergente. Si ng < ns, el modelo es indeterminado: existen in…nitas soluciones convergentes. 2. Como el método de solución consiste en expresar a las variables de salto de la solución como función lineal de las variables de estado de la solución, también debe cumplirse una condición de inversibilidad de una cierta submatriz cuadrada. Ésta es la llamada ‘condición de rango’. (Véase Klein (2000) y Soderlind (2003).) Si la solución existe y es única puede expresarse como una ecuación de transición10 para las variables predeterminadas: X1;t = D ( ) X1;t 1 + E ( ) "t y una ecuación que liga a las variables no-predeterminadas con las predeterminadas contemporáneas: X2;t = F ( ) X1;t : Se ha enfatizado que las matrices que dan la solución también dependen de los parámetros del modelo (así como las matrices A, B, C). Insertando la primera en la segunda, también puede expresarse la solución como: X1;t X2;t = D( ) 0 F ( )D( ) 0 X1;t X2;t 1 1 + E( ) F ( )E ( ) "t o sea Xt = M ( ) Xt 1 + N ( ) "t : (6) (Ver Binder y Pesaran (1999) y Soderling (2003) para más detalles.) 9 Si el par (A,B) es regular y B es singular se sabe que el par tiene p eigenvalores generalizados …nitos y n p eigenvalores generalizados in…nitos, donde p es el grado del polinomio característico det(A B). 10 También se dice "ecuación de política", pero no necesariamente en el sentido de política gubernamental, sino en el más general de política de los agentes económicos, sean públicos o privados. 13 Una vez que se ha resuelto el modelo satisfactoriamente, es útil analizar sus propiedades determinísticas mediante el análisis impulso-respuesta. Con este método se obtienen las respuestas dinámicas de las variables endógenas del modelo ante perturbaciones de una sola vez de los shocks i.i.d. que impactan sobre las variables exógenas del modelo (variables que se convierten en endógenas al incorporar los procesos autoregresivos como ecuaciones adicionales del modelo). La observación de estos grá…cos usualmente constituye una forma de resumir el funcionamiento dinámico de la parte determinística del modelo. Son útiles para analizar los mecanismos de transmisión de la política, para lo cual se incorporan shocks a las reglas de política. También sirven para ayudar en la calibración de parámetros y para detectar errores o de…ciencias del modelo. 4. Ejemplo sencillo de un modelo EGDE En esta sección se desarrolla con bastante detalle un modelo sencillo que es representativo de la tradición del Ciclo Económico Real (Real Business Cycle -RBC) y que es debido a Jesús Fernández-Villaverde.11 Supongamos que la familia representativa tiene la siguiente función de utilidad intertemporal: Et 1 X t [log ct + (log (1 (7) lt ))] ; t=0 donde c es el consumo, l es el trabajo, es el factor de descuento intertemporal, y es un parámetro que da la magnitud de la utilidad que proporciona el ocio (tiempo sin ejercer trabajo remunerativo) en relación con la del consumo. La familia está sujeta a sus restricciones presupuestarias (una para cada t): ct + kt+1 = wt lt + rt kt + (1 (8) )kt : Se observa que la familia ahorra acumulando un stock de capital que se deprecia a la tasa , y que obtiene ingresos laborales y un rendimiento rt sobre su stock de capital. Usando (8) para eliminar ct de (7) la función a maximizar es: Et 1 X t [log (wt lt + rt kt + (1 )kt kt+1 ) + (log (1 lt ))] : t=0 Las condiciones de primer orden dan: ct 1 1 = ct lt Et 1 ct+1 (1 + rt+1 ) = wt para t = 0; 1; :::. A la primera de estas ecuaciones, que es dinámica, se suele llamar "ecuación de Euler". 11 Puede encontrarse este ejemplo y otros en su sitio de internet (http://www.econ.upenn.edu/ ~jesusfv/). 14 Suponemos ahora que hay unas empresas perfectamente competitivas que producen (o empaquetan) los bienes …nales tomando como insumos los bienes producidos por empresas monopolísticamente competitivas. Estas últimas son in…nitas y están indexadas en el intervalo [0,1]. Cada una produce una variedad diferente, si bien las variedades son algo sustituibles entre sí en el consumo. La empresa representativa de las que producen los bienes …nales tiene una función de producción de tipo CES (elasticidad de sustitución constante): 1""1 0 1 Z " 1 (9) yt = @ (yit ) " diA 0 donde " > 1 es la elasticidad de sustitución para cualquier par de variedades. El problema que enfrenta la empresa que produce el bien …nal es determinar la cantidad que comprará de cada variedad (en calidad de insumos) de manera tal que se maximice su bene…cio, tomando como dado el precio de cada variedad (que es …jado por cada monopolista, como veremos más abajo): 8 0 9 9 8 1""1 > > Z1 Z1 Z1 = < = < " 1 " @ A pit yit di = max pt pit yit di : (yit ) di max pt yt yit > yit : ; > : ; 0 0 0 La derivada con respecto a yit del último término entre llaves es: 1""1 1 0 1 Z " 1 1 " @ " 1 pt (yit ) " diA (yit ) " pit " 1 " 0 = pt yt (yt ) " 1 " 1 " (yit ) 1 " yit yt = pt pit : Por lo tanto, al igualarla a cero se tiene la condición de primer orden: 1 " pit = pt yit yt yit = yt pit pt o bien: ; (10) : (11) " Introduciendo (11) en (9), luego de elevar ambos lados a (yt ) " 1 " = Z1 " 0 yt pit pt " #""1 di = (yt ) " 1 " (pt ) " 1 " " 1 Z1 se obtiene: (pit )1 " di: 0 Simpli…cando, se tiene el índice de precios (dual de (9)): 0 pt = @ Z1 0 (pit )1 " 111" diA : (12) 15 Además, introduciendo (11) en la parte del costo del bene…cio del productor del bien …nal: Z1 0 pit yit di = Z1 pit pt pit yt 0 " di = yt (pt )" Z1 (pit )1 " di = yt (pt )" (pt )1 " = yt pt ; 0 donde la penúltima igualdad utiliza (12). Por consiguiente, el bene…cio del productor …nal es nulo y el producto de los índices de precios y cantidades da la suma (integral) de los valores de todas las variedades producidas. Además, (10) constituyen las funciones de demanda que enfrenta cada uno de los productores monopolísticos de las diferentes variedades. Pasamos ahora al problema de los productores (monopolísticos) de bienes. Se supone que cada productor i dispone de la misma función de producción de rendimientos constantes a escala: yit = kit (ezt lit )1 (13) donde la productividad zt sigue un proceso estocástico: zt = zt 1 + et ; 0< < 1: Aquí et es un shock estocástico distribuido a lo largo del tiempo en forma independiente e idéntica (i.i.d.). Más precisamente, suponemos que para todo t, et N (0; z ). Para maximizar bene…cios, el monopolista debe minimizar costos para un nivel de producto dado, o sea: min (wt lit + rt kit ) sujeto a kit (ezt lit )1 wt ;rt = yit : El Lagrangiano es: wt lit + rt kit mct kit (ezt lit )1 yit ; donde hemos llamado mct al multiplicador de Lagrange puesto que mide el aumento en el costo ante un aumento marginal en la producción yit (que en la minimización es constante). Las condiciones de primer orden de este problema son: wt = (1 rt = ) yit mct lit yit mct : kit Dividiendo término a término para eliminar el costo marginal se tiene wt : rt kit = lit 1 En particular, esto signi…ca que todos los monopolistas eligen el mismo ratio entre los dos factores de producción. Además, despejando el costo marginal de la primera de las dos condiciones de primer orden se tiene: mct = 1 1 wt lit : yit (14) 16 Luego, utilizando también la segunda condición de primer orden el costo mínimo es: 1 1 wt lit = wt lit : wt lit + rt kit = wt lit + yit mct = wt lit + 1 1 Introduciendo esto en (14) se comprueba que el costo marginal es igual al costo medio: wt lit + rt kit mct = ; yit lo que debe ser obvio pues hay rendimientos constantes a escala. Volviendo a la función de producción (13), se deduce directamente que yit = lit kit lit yit = kit lit zt e kit (ezt )1 1 : Como ya vimos que los ratios entre factores son iguales para todos los monopolistas, también lo son las productividades medias del trabajo y del capital. Por consiguiente, las condiciones de primer orden pueden también escribirse en forma independiente del i particular: wt = (1 rt = ) yt mct lt yt mct : kt Más aún, la función de producción puede directamente escribirse en términos agregados:12 yt = kt (ezt lt )1 Ahora que ya tenemos las demandas de factores que minimizan el costo podemos pasar a la …jación de precios de cada monopolista. Para ello podemos plantear el bene…cio como: pit yit pt (wt lit + rt kit ) = pit yit pt mct yit = (pit pt mct ) yit : El monopolista maximiza su bene…cio sujeto a la función de demanda proveniente del productor de bienes …nales (9) suponiendo que no tiene in‡uencia alguna en el índice agregado de precios, o sea: max (pit pt mct ) yit sujeto a yit = yt pit pt " : O bien, maximiza: (pit 12 pt mct ) yt pit pt " = yt (pt )" (pit )1 " pt mct (pit ) " : Cuando el modelo incorpora "pegajosidad de precios", como en el modelo básico Nuevo Keynesiano, la dispersión de precios hace que la función de producción agregada contenga un factor adicional, que re‡eja la dispersión de precios. Véase Woodford (2003) y Yun (2005). 17 Con un poco de álgebra, puede ponerse la condición de primer orden como: pit = " " 1 pt mct ; o sea, el precio es un markup sobre el costo marginal nominal.13 Cuanto mayor es la elasticidad de sustitución " entre las variedades menor es ese markup. Además, también el precio es el mismo para todos los monopolistas. Por consiguiente, el precio de cada monopolista es igual al del agregado: pit = pt , y el costo marginal es simplemente la inversa del markup:14 mct = " 1 " : Luego, también podemos escribir las condiciones de primer orden del problema de minimización de costos de la siguiente manera: wt = 1 rt = 1 1 " 1 " (1 ) yt lt yt : kt Por último, de…nimos la inversión neta: it = kt+1 (1 )kt ; y expresamos la condición de equilibrio en el mercado de bienes: yt = ct + it : Podemos ahora juntar las siguientes 8 ecuaciones que conforman un modelo macroeconómico EGDE que en principio determina la evolución de las variables ct ; it ; yt ; rt ; wt ; lt ; kt ; y zt en un entorno del EENE, dados valores de los parámetros ; ; ; ; "; ; . 1 = ct wt = yt = lt = kt = yt = it = zt = 13 Et ct 1 ct+1 (1 + rt+1 1 lt kt (ezt lt )1 1 1 (1 ) yt =wt " 1 yt =rt 1 " ct + it kt+1 (1 ) kt zt 1 + et ; ) 0< < 1; et N (0; ): La existencia de "pegajosidad de precios" complica bastante la …jación del precio y da lugar a la "ecuación de Philips Nuevo Keynesiana". Ver Walsh (2003), capítulo 5 y Woodford (2003), capítulo 3. 14 En la ecuación de Phillips Nuevo Keynesiana, esto tendría validez sólo en el EENE. 18 Para resolver el modelo, primero debemos contar con el EENE que corresponde a un conjunto de valores de los parámetros. Para ello, uno puede suponer que las variables endógenas están en sus valores de EENE. Denotemos dichos valores mediante las respectivas variables sin subíndice de tiempo. Para que una variable endógena xt esté en estado estacionario, en todo t debe ser Et xt+1 = xt = xt = x: 1 Además, la variables estocástica debe estar en su valor medio (o esperado), por lo cual la última ecuación queda así: (1 ) z = E(e) = 0; lo que implica z = 0. Entonces, el resto del sistema de ecuaciones del EENE se reduce a: 1 = w = y = wl = rk = y = i = (1 + r ) c 1 l k l1 1 (1 1 " 1 y 1 " c+i k La primera de estas ecuaciones determina r: 1 r= (1 )y ) Para las demás, mediante simple sustitución se llega a las siguientes dos ecuaciones: ! 1 1 1" (1 ) l k = 1 l 1 l k l 1 1 " 1 = r a partir de las cuales se deduce primero: l= 1 1+ " " 1 r 1 y luego, secuencialmente: k = 1 " 1 r i = k y = k l1 c = y i c w = : 1 l !1 1 l 19 Por consiguiente, dados valores "sensatos" de los parámetros podemos obtener el correspondiente EENE en forma secuencial. Obsérvese que los valores de los parámetros deben garantizar que sean positivas estas variables, o sea, deben cumplirse ciertas restricciones de signo. En muchos casos, además, pueden haber múltiples EENE para un mismo conjunto de valores de los parámetros y habrá que elegir uno de ellos (suponiendo que estén separados, o sea, que exista un pequeño entorno de cada uno de ellos que no contiene a ningún otro). 5. Uso de Dynare y MATLAB para resolver el modelo y realizar simulaciones estocásticas Dynare es un conjunto de programas desarrollado en CEPREMAP, París, que se monta sobre MATLAB15 y permite hacer muchas cosas, en particular, resolver modelos EGDE y estimar parámetros de modelos EGDE. En esta sección se ilustra el uso de Dynare/MATLAB para resolver el modelo EGDE desarrollado en la sección precedente y para usar la solución para realizar simulaciones estocásticas. Para ello es necesario escribir un archivo con extensión .mod (desde MATLAB, por ejemplo). Supongamos que el archivo se llama RBC_FV.mod. A los efectos de poner aclaraciones dentro del código, es útil saber que todo texto que siga al símbolo ‘//’ en el mismo renglón es ignorado por Dynare en el archivo .mod (a diferencia de MATLAB, que ignora lo que sigue al símbolo ‘%’ en los archivos .m). Además, todo texto que …gure entre los símbolos ‘/*’ y ‘*/’ es ignorado por DYNARE aunque esté en renglones diferentes. El código debe contener la siguiente estructura (de bloques): -el preámbulo: lista los nombres de las variables y parámetros, -el modelo: lista las ecuaciones que integran el modelo, -los shocks: de…ne las perturbaciones estocásticas que afectan al modelo, -cómputos: instruye a Dynare para que realice determinados cómputos. Los bloques están conformados por instrucciones especí…cas, algunas de las cuales deben necesariamente estar en el código (mientras que otras pueden no estar pues depende de lo que uno quiera que Dynare haga). El siguiente es el código del archivo RBC_FV.mod que implementa el modelo que vimos (abajo explicamos qué signi…ca cada cosa): close all; // 1. De…nición de variables (endógenas y exógenas) var y c k i l w r z; varexo e; // 2. De…nición de parámetros y sus valores parameters beta psi delta alpha rho sigma epsilon; alpha = 0.33; beta = 0.99; delta = 0.023; psi = 1.75; rho = 0.95; 15 Hay versiones de Dynare para SCILAB, para OCTAVE, y para otros programas de base. Sin embargo, tienden a actualizarse más lentamente que las versiones para MATLAB. 20 sigma = (0.007/(1-alpha)); epsilon = 10; // 3. Ecuaciones del modelo model; (1/c) = beta*(1/c(+1))*(1+r(+1)-delta); psi*c/(1-l) = w; y = (k(-1)^alpha)*(exp(z)*l)^(1-alpha); w = y*((epsilon-1)/epsilon)*(1-alpha)/l; r = y*((epsilon-1)/epsilon)*alpha/k; c+i = y; i = k-(1-delta)*k(-1); z = rho*z(-1)+e; end; // 4. Valores del EENE /* initval; y=0.7; c=0.50; k=8.00; i=0.18; l=0.30; w=1.77; r=0.03; z=0.00; end; */ // 5. De…nición de los shocks estocásticos y sus varianzas shocks; var e = sigma^2; end; // 6. Pedido de cálculos check; steady; stoch_simul(periods=1000,order=1,irf=60); rplot y c; El comando "close all;" pide que se cierren los grá…co abiertos. No es necesaria pero a menudo es conveniente cuando el modelo tiene muchas variables y uno lo corre varias veces. Un punto muy importante sobre el bloque que comienza con "model;" es que di…ere con respecto al modelo teórico que vimos arriba en lo que concierne a la variable k. La convención de Dynare es que toda variable del período t (y que, por consiguiente, no lleva ninguna especi…cación temporal) debe ser decidida en ese período. En el modelo teórico, kt es decidida en t 1 (o sea, en t se decide kt+1 ). Por ello, siempre que aparece esa variable en el código del modelo, aparece 21 rezagada un período con respecto a la especi…cación del modelo teórico. Si uno escribe el modelo exactamente como vimos en la sección teórica, Dynare no podrá resolverlo pues no se cumplirán las condiciones de Blanchard-Khan. En tal caso, Dynare produce el siguiente mensaje de error: Blanchard Kahn conditions are not satis…ed: indeterminacy. El mensaje especi…ca que hay más variables adelantadas (o que "miran hacia delante") que eigenvalores fuera del disco unitario. Esto se debe a que Dynare automáticamente cuenta cuántas variables están seguidas de (+n) (donde n es un número natural) y encuentra que hay tres tales variables: c, r, y k. Pero al calcular los eigenvalores generalizados encuentra que sólo hay dos fuera del disco unitario. Esto signi…ca que hay in…nitos senderos que conducen al EENE, o sea, indeterminación. En cambio, al rezagar k en el código, Dynare sólo contará dos variables seguidas de (+1), o sea, se cumplirán las condiciones de Blanchard-Kahn. Los valores del EENE dados mediante el bloque que comienza con "initval;" pueden ser aproximados. Siempre que sean lo su…cientemente aproximados, Dynare utiliza métodos numéricos para obtener el EENE exacto. Además, puede omitirse el bloque si se tiene un archivo .m aparte que calcula el EENE pues en ese caso, aunque estuviera el bloque Dynare lo ignoraría. Obsérvese que hemos anulado ese bloque pues usamos un archivo de MATLAB ‘RBC_FV_steadystate.m’ que instruye a MATLAB cómo calcular el EENE. Abajo mostramos el código de para ese archivo. El comando "check;" pide que se calcule los eigenvalores generalizados y se informe si se cumplen las condiciones de Blanchard y Kahn. El comando "steady;" pide que se calcule e informe el EENE. El comando "stoch_simul(periods=1000, order=1,irf=60);" pide que se realice una simulación estocástica para 1000 períodos (luego de obtener una aproximación de primer orden y resolver el modelo con el método de Klein, que es el default) y que se muestre el grá…co de las funciones de impulso-respuesta de todas las variables para 60 períodos. Hay muchas otras opciones para este comando que pueden verse en Grifolli (2007). Si no se desea que se gra…quen las funciones de impulso-respuesta para todas las variables (lo cual es frecuente si el modelo es grande), se lista las variables a gra…car. Por ejemplo, si el comando es "stoch_simul(periods=1000, order=1, irf=60) y c;" sólo se gra…carán las funciones de impulso-respuesta correspondientes a y y c. El comando "rplot y c;" pide que se gra…que las series simuladas y, c, para los 1000 períodos. Dynare automáticamente busca si en la carpeta en que está el archivo .mod existe un archivo .m de tipo función con el mismo nombre pero con ‘_steadystate’ agregado al …nal. Si existe, ignora el bloque "initval;-end;" del archivo .mod. Si no existe, utiliza el valor aproximado de ese bloque para calcular el valor exacto. El contenido del archivo función ‘RBC_FV_steadystate.m’ podría ser el siguiente: function [ys,check]=RBC_FV_steadystate(junk,ys) alpha = 0.33; beta = 0.99; delta = 0.023; psi = 1.75; rho = 0.95; 22 sigma = (0.007/(1-alpha)); epsilon = 10; z = 0; r=1/beta+delta-1; l=1/(1+((epsilon/(epsilon-1))-(delta*alpha/r))*(psi/(1-alpha))); k=(((1-1/epsilon)*alpha/r)^(1/(1-alpha)))*l; i=delta*k; y=k^alpha*l^(1-alpha); c=y-i; w=psi*c/(1-l); check=0; ys=[ y c k i l w r z ]; Es necesario especi…car los mismos valores para los parámetros dados en el archivo .mod. Obsérvese que hemos volcado en el archivo exactamente los mismos pasos que encontramos arriba para calcular en forma secuencial el EENE del modelo. El vector ‘ys’ será utilizado por Dynare para realizar la aproximación lineal de las ecuaciones del modelo en un pequeño entorno del EENE computado. Para ejecutar el archivo .mod se escribe en la línea de comando de MATLAB: Dynare RBC_FV. Para que MATLAB procese este comando es necesario que el directorio vigente (Current Directory) sea aquel en el que se encuentra el archivo RBC_FV. Si no fuera así es muy fácil utilizar la ventanita Current Directory para modi…carlo. Además, el directorio en el que están los archivos de Dynare deben estar en el Sendero (Path) de MATLAB. Si no fuera así es necesario utilizar el comando de MATLAB Set Path para incluir ese directorio en el Sendero. Suponiendo que todo está bien, luego de unos 3 segundos, aparece en la pantalla: 23 1. Un informe sobre los eigenvalores del modelo: EIGENVALUES: Modulus 0.95 0.9521 1.074 2.24E+15 Real Imaginary 0.95 0.9521 1.074 -2.24E+15 0 0 0 0 There are 2 eigenvalue(s) larger than 1 in modulus for 2 forward-looking variable(s) The rank condition is verified. 2. El EENE computado: STEADY-STATE RESULTS: y c k i l w r z 0.892084 0.707986 8.00426 0.184098 0.302733 1.7769 0.033101 0 3. El número y tipo de variables del modelo: MODEL SUMMARY Number of variables: Number of stochastic shocks: Number of state variables: Number of jumpers: Number of static variables: 8 1 2 2 4 Obsérvese que el modelo contiene las 8 variables endógenas ct ; it ; yt ; rt ; wt ; lt ; kt ; y zt , así como un shock estocástico et . Además, dos de las variables aparecen rezagadas: kt 1 ; y zt 1 (las variables de estado), y dos de las variables aparecen adelantadas: ct ; y rt (las variables de salto). Por último, hay 4 variables (it ; yt ; wt ; lt ) que no aparecen ni rezagadas ni adelantadas (las variables estáticas). 4. La matriz de covarianza de los shocks exógenos: MATRIX OF COVARIANCE OF EXOGENOUS SHOCKS Variables e e 0.000109 24 5. La solución numérica del modelo: POLICY AND TRANSITION FUNCTIONS y i Constant 0.892084 0.184098 k(-1) 0.019712 -0.024926 z(-1) 0.834868 0.625969 e 0.878809 0.658915 l 0.302733 -0.008644 0.135264 0.142383 w 1.776903 0.090002 0.868999 0.914736 k 8.004256 0.952074 0.625969 0.658915 z c 0.707986 0.044638 0.208899 0.219894 0 0 0.95 1 r 0.033101 -0.003206 0.028389 0.029884 Cada variable está expresada como función lineal de las variables de estado y los shocks estocásticos. Esto es como en (6), excepto que aquí aparece el equivalente del bloque superior de la transpuesta de M ( ), o sea, [D0 ; D0 F 0 ], eliminándose los bloques de ceros. 6. Los 4 primeros momentos de las variables simuladas: MOMENTS OF SIMULATED VARIABLES VARIABLE MEAN STD. DEV. VARIANCE SKEWNESS KURTOSIS 0.896929 0.02996 0.000898 0.176342 -0.460896 0.711097 0.016527 0.000273 -0.030178 -0.638589 8.05272 0.259642 0.067414 -0.067516 -0.667294 0.185831 0.016676 0.000278 0.343519 -0.350055 0.302951 0.0034 0.000012 0.334313 -0.36738 1.785268 0.045879 0.002105 0.034035 -0.581609 0.03308 0.000759 0.000001 0.131732 -0.458343 0.00444 0.030183 0.000911 0.24479 -0.40871 y c k i l w r z 7. Las correlaciones entre las variables simuladas: CORRELATION OF SIMULATED VARIABLES VARIABLE y c k i l w r z y c 1 0.9014 0.7594 0.9032 0.7786 0.962 0.3904 0.991 k 0.9014 1 0.9662 0.6284 0.4302 0.9854 -0.0467 0.8353 i 0.7594 0.9662 1 0.4068 0.1831 0.9082 -0.3025 0.6654 l 0.9032 0.6284 0.4068 1 0.9726 0.7518 0.7477 0.9526 w 0.7786 0.4302 0.1831 0.9726 1 0.5778 0.8817 0.8557 r 0.962 0.9854 0.9082 0.7518 0.5778 1 0.1243 0.9168 z 0.3904 -0.0467 -0.3025 0.7477 0.8817 0.1243 1 0.5102 0.991 0.8353 0.6654 0.9526 0.8557 0.9168 0.5102 1 8. Las primeras 5 autocorrelaciones de las variables simuladas: AUTOCORRELATION OF SIMULATED VARIABLES VARIABLE y c k i l w r z 1 0.9547 0.9927 1.0009 0.9132 0.9008 0.9808 0.9093 0.941 2 0.907 0.9785 0.9944 0.8299 0.807 0.956 0.8241 0.8814 3 0.8623 0.9628 0.9852 0.7539 0.7219 0.9311 0.746 0.8262 4 0.8185 0.9451 0.9735 0.6821 0.642 0.9051 0.6727 0.7731 5 0.778 0.9263 0.9596 0.6186 0.5717 0.8795 0.6078 0.7249 25 9. Los grá…cos de las funciones de impulso-respuesta: -3 y 0.01 4 0.005 2 c x 10 k 0.06 0.04 0.02 0 20 40 60 0 -3 i 0.01 2 0 0 -0.01 20 -4 5 x 10 20 40 60 -2 40 0 60 20 l x 10 40 60 40 60 w 0.01 0.005 20 r 40 60 40 60 0 20 z 0.02 0 0.01 -5 20 40 60 0 20 10. Los grá…cos de las variables simuladas que se pidió: Plot of y c 1 0.95 0.9 y c 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0 200 400 600 Periods 800 1000 1200 11. El tiempo que llevó hacer los cómputos: Total computing time : 0h00m03s Obviamente, si se vuelve a correr el archivo todo será igual excepto lo que tiene que ver con la simulación estocástica. Por ejemplo, el grá…co de las variables simuladas en una segunda corrida es: 26 Plot of y c 1 y c 0.95 0.9 0.85 0.8 0.75 0.7 0.65 0 200 400 600 Periods 800 1000 1200 Cuando se desee obtener la misma simulación estocástica con varias corridas diferentes, puede agregase la opción "simul_seed=n" al comando"stoch_simul", donde n es un número entero que determina la "semilla" para el generador de números aleatorios (o más bien seudo-aleatorios). A veces uno desea ver las funciones de impulso-respuesta con porcentajes (o tanto por uno) en el eje de ordenadas. Pues cuando el modelo es grande las variables pueden tener valores de estado estacionario muy diversas que uno no siempre recuerda. En cambio, siempre es claro lo que signi…ca un impacto relativo: por ejemplo, un aumento de un desvío estándar en el shock aumenta a la variable y en 0.03 (o sea, el 3%). Para ello, es necesario hacer algunas modi…caciones al código. Las variables que …guran en el archivo .mod deben estar de…nidas en logaritmos. Para ello puede, por ejemplo, en el preámbulo llamarse a la variable del producto ly (en lugar de y) y reemplazar en el bloque del modelo la variable y por la expresión exp(ly). Se hace lo mismo para todas las variables endógenas. En el archivo .m que calcula el EENE se mantiene todo igual excepto que al …nal debe agregarse ecuaciones que de…nan los logaritmos de las variables. Por ejemplo, para cada variable se agrega una ecuación del siguiente tipo: ly = log(y); y al …nal se de…ne el vector de outputs ys, mediante las variables endógenas ly, etc. Puede o no seguirse el mismo procedimiento para las variables sujetas a procesos autoregresivos, como z. Para hacerlo en nuestro ejemplo, sin embargo, habría que escribir la ecuación del proceso autorregresivo en forma no lineal: exp(lz)=exp(lz(-1))^rho*exp(e); y en las ecuaciones de la función de producción reemplazar z por lz. Además, en el archivo .m para el cómputo del EENE, habría que especi…car z=1 (en lugar de z=0). Con esos cambios, las funciones de impulso-respuesta resultantes tienen el mismo aspecto, excepto que ahora también z está en logaritmo, o sea, se trata de un cambio en tanto por uno de la variable sometida al shock y se ve las respuestas también en tanto por uno (como antes de hacer los cambio correspondientes a z). 27 6. Conceptos básicos de la estimación Bayesiana de un modelo EGDE El enfoque Bayesiano de la econometría tiene un buen fundamento en la teoría de la decisión (ver Bauwens et al (1999)), aun cuando la mayoría de los econometristas se ocupan más de hacer "informes cientí…cos" (scienti…c reporting) que de tomar decisiones. Un grupo creciente de econometristas, sin embargo, se orienta hacia el apoyo de decisiones de política económica (en bancos centrales, ministerios, etc.). El enfoque Bayesiano tiene mucho que aportar a las decisiones bajo incertidumbre. A diferencia de la econometría clásica (o "frecuentista"), los Bayesianos consideran que es lícito y deseable que el investigador tome en cuenta la información (a menudo subjetiva) que pueda tener sobre los parámetros a estimar antes de tomar en cuenta a los datos. Hay cierta diferencia en la interpretación misma de las probabilidades entre las dos escuelas. Mientras que los "clásicos" fundamentan la probabilidad en la frecuencia de los acontecimientos (de allí el mote de "frecuentistas") los Bayesianos consideran que representa fundamentalmente la incertidumbre (expresada a menudo como la disposición a realizar apuestas sobre resultados inciertos), que es en gran medida subjetiva. De allí que mientras los "clásicos" tratan a los parámetros como constantes …jas pero desconocidas, los Bayesianos los toman como variables aleatorias y les asignan una densidad probabilística a priori. La estimación Bayesiana puede verse como un puente entre la calibración y la estimación por Máxima Verosimilitud (MV). Se reemplaza la calibración (de al menos un subconjunto) de los parámetros por la especi…cación de una densidad a priori de los parámetros a estimar: p ( =M ) donde M denota un modelo particular y los parámetros de ese modelo. La densidad a priori puede ser muy poco informativa o informativa en diversos grados según los desvíos estándares supuestos. Por ejemplo, si se usa una densidad uniforme sólo se está dando información sobre los valores mínimo y máximo del parámetro, por lo cual sería una densidad poco informativa si se trata de un intervalo relativamente amplio. En cambio, las densidades normal, gama, beta, etc., suelen ser más informativas. Desde aquí damos por sentado que se trata de un modelo en particular y eliminamos la M de la densidad a priori y de las restantes densidades. La distribución conjunta de los datos YT y de los parámetros , (YT ; ) puede factorizarse de dos maneras diferentes: (YT ; ) = p (YT = ) p ( ) ; (YT ; ) = p (YT ) P ( =YT ) ; donde YT contiene las observaciones hasta el período T . En la primera factorización p (YT = ) es la densidad de muestreo, o sea, la densidad de los datos condicional en el valor de los parámetros. Dividiendo la segunda por la primera término a término surge la versión de densidad del Teorema de Bayes: P ( =YT ) = p (YT = ) p ( ) ; p (YT ) (15) el cual juega un papel central en el enfoque Bayesiano. Puede interpretarse como una fórmula que muestra cómo a partir de los datos (provenientes de un experimento de muestreo particular) se ve modi…cada la densidad a priori p ( ) y convertida en la densidad a posteriori P ( =YT ) : 28 La función de verosimilitud surge directamente de la densidad de muestreo: L ( ; YT ) = p (YT = ) ; donde L es considerada como función de . En el caso de modelos dinámicos la densidad de muestreo es recursiva: p (YT = ) = p (y0 = ) T Y p (yt =Yt 1 ; ) : t=1 Además, la densidad predictiva (o marginal) de muestreo (que …gura en el denominador de (15)) es sólo una constante, pues proviene de integrar la densidad de muestreo sobre todos los valores posibles de . Luego, la densidad a posteriori es proporcional al producto de la función de verosimilitud y la densidad a priori: P ( =YT ) _ L ( ; YT ) p ( ) : A ese producto se lo denomina "densidad a posteriori no normalizada" K ( =YT ). Puede verse a la estimación Bayesiana como una extensión de la estimación de MV. Pues consiste en obtener los parámetros que maximizan la densidad a posteriori no normalizada (o, lo que es lo mismo, el logaritmo de la densidad a posteriori no normalizada): max ln K ( =YT ) = ln L ( =YT ) + ln p ( ) : (16) La estimación por MV puede verse entonces como el caso particular (o límite) de la estimación Bayesiana en que la densidad a priori es nada informativa (y por consiguiente es como si desapareciera el segundo término del lado derecho de (16)). Se observa que la solución del modelo EGDE (6) tiene la forma de un vector autoregresivo (VAR). Sin embargo, a diferencia de los VAR no restringidos que se ve en gran parte de la literatura (e.g. Hamilton (1994)), estos VAR están (muy) restringidos. Se observa, en particular, una abundancia de ceros, una parte de los cuales se observan directamente en la estructura de la matriz M( ) D( ) 0 F ( )D( ) 0 ; re‡ejando que las únicas variables que aparecen rezagadas en (6) son las variables predeterminadas. (En un VAR no restringido, aparecerían los valores rezagados de todas las variables en cada ecuación.) Tales restricciones implican que para estimar los VAR que surgen de la solución del modelo EGDE sean necesarias técnicas distintas que las usuales. Las llamadas "restricciones inter-ecuaciones" ("cross-equation restrictions") surgen del supuesto de expectativas racionales, ya que parámetros que sólo aparecen asociados a variables esperadas en el futuro desaparecen a los efectos de la estimación. Por otro lado, diferentes variables pueden estar afectadas por los mismos parámetros y shocks estocásticos, haciendo que diferentes series de datos contengan información relevante para más de una variable y planteando difíciles problemas de identi…cación. En general, los métodos de estimación pueden clasi…carse según la cantidad de información que utilicen. Los métodos de "información plena" (full information) tratan de explotar el conjunto de restricciones inter-ecuaciones que el modelo 29 EGDE genera. Tales son la estimación de Máxima Verosimilitud (MV- Maximum Likelihood) y los métodos de estimación Bayesianos. Los métodos de "información limitada" (limited information) usan menos información, o sea, explotan sólo algunas de las restricciones que plantea el modelo. Si bien son menos e…cientes, tienen la ventaja de que evitan contaminar la estimación con errores de especi…cación en partes del modelo que pueden no ser de interés central. El Método Generalizado de Momentos (GMM), por ejemplo, es un método de información limitada. En este trabajo, sólamente vemos métodos de información plena (y estos sólo muy someramente). Dos problemas típicos que debe afrontar el que desee estimar un modelo EGDE son 1) el potencial error de especi…cación del modelo, 2) la falta de identi…cación o bien la débil identi…cación (ver An y Schorfheide (2007)). Debido a que a menudo los modelos EGDE presentan menos shocks aleatorios que variables (potencialmente) observables, o sea, variables para las que se podría utilizar alguna serie de datos en la estimación, la estimación por MV está afectada por el hecho de que en tales casos la matriz de covarianzas del modelo EGDE será singular. Se trata de un problema de error de especi…cación, pues puede argumentarse que en un modelo su…cientemente "realista" habrían más shocks que (o al menos tantos shocks como) variables. En la literatura se conoce esta cuestión como el problema de la singularidad estocástica. Se han propuesto muchas maneras de solucionar este problema, entre las cuales están las obvias de agregar shocks adicionales, ya sea estructurales (en las ecuaciones del modelo), ya sea errores de medición de las variables observables (las que se han de contrastar con los datos). Otro enfoque es el de encontrar procedimientos que permitan estimar a pesar de la singularidad. Por supuesto, hay muchas otras fuentes posibles de errores de especi…cación. Los problemas de identi…cación surgen debido a que no se tiene su…cientes observaciones informativas o bien porque existen diferentes valores de los parámetros que dan lugar a la misma distribución de probabilidades de las variables a estimar. Es usual en la macroeconomía que no todas las variables del modelo sean observables. Pueden haber variables no observables, o latentes, que no tienen una contrapartida directa en los datos a utilizar.16 Para estimar parámetros con métodos de información plena, puede ampliarse la solución (6) obtenida de un modelo (lineal o aproximado linealmente) para incluir un segundo bloque de ecuaciones que contiene: 1) la relación entre las variables del modelo Xt y las variables observables Yt (que tenemos como series de tiempo), 2) posibles errores de medición t de estas variables: Xt = M ( ) Xt 1 + N ( ) "t Yt = QXt + t : (17) Se suele llamar a este para de ecuaciones la representación de espacio de estados del sistema (o modelo) lineal, donde la primera ecuación es la ecuación de estados y la segunda es la ecuación de observaciones. Además, se hace el supuestos de que 16 A diferencia de los problemas que surgen por el supuesto de expectativas racionales, las variables latentes son muy comunes en los sistemas usados en la ingeniería y en las ciencias exactas. 30 "t y t tienen distribuciones normales17 y especi…camos los valores esperados y las matrices de covarianzas de los shocks del modelo "t y de los errores de medición t: Et ("t "0t ) = Et ( 0t t ) = Et ("t ) = 0; Et ( t ) = 0; " : Esto coloca la solución del modelo EGDE en un formato conveniente pues permite aplicar el …ltro de Kalman para la estimación recursiva de la función de verosimilitud L ( ; YT ). En Hamilton (1994) se muestra que el …ltro de Kalman permite calcular el pronóstico lineal de cuadrados mínimos de las variables de estado condicional en las observaciones pasadas: bt+1jt X b (Xt+1 jYt ) E b (Xt+1 jYt ) donde Yt = (Xt ; Xt 1 ; :::; X1 ; ) es el vector de observaciones pasadas, y E es la proyección lineal de Xt+1 sobre Yt . Cada pronóstico tiene una matriz asociada de error cuadrático medio (ECM): Ptjt 1 E Xt+1 bt+1jt X Xt+1 La función de verosimilitud está dada por:18 LYet jYt 1 (Yt jYt 1 ) = (2 ) exp n=2 jQ0 Ptjt 1 Q + 1 Yt 2 btjt Q0 X j 0 1 bt+1jt X 0 : 1=2 Q0 Ptjt 1 Q + 1 Yt btjt Q0 X 1 Es típico que la función de verosimilitud presente secciones planas, o con muy poca curvatura, haciendo que no pueda encontrarse un estimador de MV mediante procedimientos numéricos. Si bien las estimación Bayesiana utiliza a la función de verosimilitud, aún una densidad a priori poco informativa puede introducir su…ciente curvatura en la densidad a posteriori no normalizada K ( =YT ) para permitir la maximización numérica y el uso de técnicas de simulación de Monte Carlo con Cadenas de Markov (MCMC) para obtener una aproximación de la densidad a posteriori. Los métodos numéricos se han ido convirtiendo en herramientas indispensables en la econometría, tanto clásica como Bayesiana. En la econometría clásica, se los usa principalmente para maximizar una función objetivo (como la de verosimilitud). En el enfoque Bayesiano se desea computar la densidad a posteriori no normalizada (DAPNN), que puede describirse mediante sus diversos momentos. Como normalmente no tiene forma analítica, el problema típico es el de evaluar numéricamente integrales que corresponden a los momentos de la DAPNN. Por 17 Si los shocks y errores no fueran normales, no podría utilizarse el …ltro de Kalman y habría que recurrir, por ejemplo, al "…ltro de partículas" ("particle …lter "). 18 El capítulo sobre el …ltro de Kalman en Hamilton (1994) es muy informativo. La estimación de modelos EGDE por MV está muy clara en Ruge-Murcia (2005). Para los métodos Bayasianos, ver An y Schorfheide (2007) y Gri¤oli (2007). 31 ser métodos numéricos, se trata de una aproximación. El valor esperado de una función g( ) bajo una densidad p( ) es: Z E [g ( )] = g ( ) p ( ) d : Si g ( ) = (o sea, g() es la función identidad), se tiene la media de la distribución a posteriori (DAP). Si en cambio g ( ) = [ E ( )] [ E ( )]0 , se tiene la matriz de covarianzas de la DAP, etc. La mayoría de las reglas de aproximación de la integral utilizan un promedio …nito ponderado: Z n X g( )p( )d ' wj g ( j ) p ( j ) : j=1 En los métodos MCMC, se utilizan procedimientos aleatorios para elegir los valores j (y a veces las ponderaciones wj ). Los métodos MCMC son algoritmos para muestrear distribuciones de probabilidad mediante la construcción de una cadena de Markov que tiene una cierta distribución deseada como distribución de equilibrio. Se utiliza el estado de la cadena luego de un elevado número de pasos como muestra de la distribución deseada. La calidad de la muestra mejora a medida que aumenta el número de pasos. El punto delicado es determinar cuantos pasos se necesitan para que exista convergencia a la distribución estacionaria dentro de un márgen aceptable de error. Existen diferentes métodos MCMC, entre ellos los de Metropolis-Hastings (MH).19 En lugar de utilizar ponderaciones, como arriba, MH utiliza un mecanismo de rechazo para decidir si una extracción aleatoria pertenece o no a la DAP. 7. Uso de Dynare para estimar el modelo Primero se intenta obtener la solución del modelo EGDE partiendo de un vector de parámetros . Si ese valor implica que no se cumplen las condiciones de Blanchard-Kahn, se le da un valor de cero a la DAPN. Si se cumplen, se utiliza el …ltro de Kalman para evaluar la función de verosimilitud asociada a (17). Dynare computa el modo de la DAPNN maximizando (16) con respecto a utilizando métodos numéricos. Luego computa la DAPNN de los parámetros. Para ello utiliza una variante de MH llamada "Metropolis Caminata Aleatoria" (Random Walk Metropolis - RWM). Los pasos son los siguientes (ver Gri¤oli (2007)): 1. Elige un 0 de partida, típicamente el modo computado, 2. Extrae una propuesta a partir de una distribución "saltarina" (jumping) J j t 1 =N t 1 ;c m ; donde m es la inversa del Hessiano computado en el modo de la DAP, y c es un factor de escala, 3. Computa el ratio de aceptación r= 19 K ( =YT ) P ( =YT ) = ; t 1 P =YT K t 1 =YT Nicholas Metropolis, fue el primero (por orden alfabético) de cuatro autores de un artículo de 1953 que propuso estos algoritmo en la física matemática (o estadística). W. Keith Hastings hizo en 1970 una extensión. 32 4. Acepta o rechaza la propuesta t = t 1 según la siguiente regla: con probabilidad min(r; 1) con probabilidad 1-min(r; 1): 5. Se repiten los pasos 2-4 muchas veces. La razón por la cual se sigue esta complicada secuencia es que se trata de visitar todo el dominio de la DAP. A veces es mejor dar unos pasos hacia abajo con la esperanza de obtener luego grandes pasos hacia arriba (en lugar de haber preferido siempre privilegiar pequeños pasos hacia arriba). El factor de escala juega un papel importante en esto. Si c es demasiado pequeño, la tasa de aceptación será demasiado alta y es más probable que la búsqueda se estanque cerca de un máximo local. Pero si es demasiado grande, la tasa de aceptación será demasiado baja y puede ser que se busque demasiado en las colas de la distribución de probabilidades. Por último, la densidad predictiva (o marginal) de muestreo p(YT ) permite comparar modelos diferentes. Existen dos maneras diferentes de computarla (en forma aproximada). En la "aproximación de Laplace", se supone que la forma funcional de la DAPNN es Gaussiana. Esta es la manera más sencilla, ya que no requiere pasar por el algoritmo RWM. La otra forma de computar da densidad marginal de muestreo es la "estimación de promedio armónico", que usa la información proveniente de RWM. Dynare calcula ambas, como vemos abajo. En lo que resta de esta sección se ilustra cómo puede emplearse Dynare para que utilice datos arti…ciales (o sintéticos) generados por una simulación estocástica del modelo (como se vio arriba) para estimar, mediante MV así como los métodos Bayesianos vistos en la sección anterior, los parámetros del modelo. Por supuesto, lo más usual sería estimar los parámetros a partir de series de tiempo de datos observados. Pero como no tenemos tales datos para una economía concreta y este modelo concreto, recurrimos a fabricarlos. Para ello agregamos a continuación del comando "stoch_simu(.);" el comando "datatom…le(‘simuldataRBC’,[]);". Este le pide a Dynare que se guarden los datos simulados en un archivo .m (por ello "tom…le", o sea, “to m-…le”) nuevo denominado "simuldataRBC". Para la estimación puede usarse el mismo archivo que detallamos arriba o bien uno nuevo similar al anterior pero: 1) sin especi…car los valores de los parámetros que se van a estimar (en este caso todos), 2) especi…cando las variables observables mediante el comando "varobs y;" (ya que en este caso se supone que sólo la serie arti…cial para la variable "y" se usa en la estimación), 3) agregando un bloque adicional que estipula, a) en el caso de la estimación por MV, un valor inicial para la estimación recursiva de la función de verosimilitud mediante el …ltro de Kalman (y, si se desea, límites mínimo y máximo para cada parámetro a estimar), b) en el caso de la estimación Bayesiana, las densidades a priori de los parámetros a estimar, así como sus medias y desvíos estándar. En el caso de MV, puede agregarse el siguiente bloque para especi…car los valores iniciales para comenzar el algoritmo de Kalman: 33 estimated_params; alpha, 0.33; beta, 0.98; delta, 0.023; psi, 1.72; , rho, 0.93; epsilon, 10.5; stderr e, 0.012; end; así como los comandos varobs y; estimation(data…le=simuldataRBC); Se especi…ca que "y" es la variable observable y el nombre del archivo que contiene los datos a utilizar. Las demás variables se toman como latentes (y son estimadas en base al …ltro de Kalman). Como se supone que la variable misma es observable, en este caso no es necesario agregar una ecuación que la vincule con las variables de estado, o sea, una ecuación de observación. Por ejemplo, si la serie de datos contuviera los factores de crecimiento de y habría que agregar al bloque "model;-end;" del archivo .mod la ecuación de observación "gy=y/y(-1)", declarando previamente la nueva variable endógena "gy" en el preámbulo y "gy=1" en el bloque initval;-end; (o bien en el archivo "RBC_FV_steadystate"). Se obtiene el siguiente resultado: RESULTS FROM MAXIMUM LIKELIHOOD parameters Estimate s.d. alpha 0.3918 beta 1.0299 delta 0.1199 psi 1.7194 rho 0.9308 epsilon 10.5002 standard deviation of shocks Estimate e 0.0134 Total computing time : 0h01m00s 0.0157 0.0023 0.0019 0.0192 0.0362 0.107 s.d. 0.0018 t-stat 24.9421 442.6259 63.8126 89.7515 25.7374 98.1394 t-stat 7.5992 Como se ve, la estimación de resulta mayor que uno, lo cual no tiene sentido económico. Podemos poner límites a ese parámetro cambiando el renglón correspondiente de "estimated_params;-end" por "beta, 0.98, 0.9, 0.999;". En este caso, el resultado es: 34 RESULTS FROM MAXIMUM LIKELIHOOD parameters Estimate s.d. alpha 0.3956 beta 0.999 delta 0.0758 psi 1.7154 rho 0.9342 epsilon 10.5002 standard deviation of shocks Estimate t-stat 0.0994 0.0082 0.0336 0.1593 0.0111 20.0331 3.9797 122.1242 2.2582 10.7704 84.2912 0.5241 s.d. t-stat e 0.013 0.0027 Total computing time : 0h00m31s 4.8678 Si bien ahora la estimación de está dentro del rango indicado, se observa que está justo en el límite superior, lo cual señala problemas. La estimación Bayesiana permitirá mejorar la estimación mediante el uso de densidades a priori. En el caso Bayesiano, agregamos el siguiente bloque para especi…car las densidades a priori, así como las medias y los errores estándar de cada parámetro: estimated_params; alpha, beta_pdf, beta, beta_pdf, delta, beta_pdf, psi, gamma_pdf, rho, beta_pdf, epsilon, gamma_pdf, stderr e, inv_gamma_pdf, end; 0.35, 0.99, 0.025, 1.75, 0.95, 10, 0.01, 0.02; 0.002; 0.003; 0.02; 0.05; 0.003; inf; En nuestro caso se estipularon densidades beta para cuatro de los parámetros, gamma para y gamma invertida (tipo1) para el error estándar de e. En el caso de , , y , se trata de parámetros que según la teoría deberían estar entre 0 y 1. Por ello se utiliza la distribución beta, que tiene soporte en ese rango. Además, obsérvese que se le dio un error estándar muy bajo a la densidad a priori para , justamente para evitar que se alejara mucho del valor medio asignado: 0.99. La idea es que, al utilizar métodos Bayesianos, el investigador utiliza información adicional a la que está en los datos. Esa información incluye su con…anza en el modelo y la teoría en que se basa: en este caso esa teoría indica que debe estar entre 0 y 1. En el caso de los parámetros , que mide la utilidad del ocio en relación con la del consumo, y ", que mide la elasticidad de sustitución entre variedades de bienes, se podría tener cualquier valor positivo. Por ello en ambos casos se utilizó como densidad a periori la densidad gamma, que tiene su soporte en (0, 1). Por último, en el caso del error estándar de e, que también puede tener cualquier valor positivo, se utilizó como a priori la densidad gamma-inversa. Esta tiene soporte también en (0, 1), pero tiene la particularidad de que tiende a alejarse del cero, razón por la cual a veces se la utiliza para evitar que el error estándar dé excesivamente pequeño. En el caso de algunas densidades a priori 35 (como la beta generalizada, la gamma generalizada, y la uniforme) debe agregarse un tercer y un cuarto parámetro. Los comandos a utilizar son los siguientes: varobs y; estimation(data…le=simuldataRBC,nobs=200,…rst_obs=500, mh_replic=2000,mh_nblocks=2,mh_drop=0.45,mh_jscale=0.8,mode_check,forecast=12); Se pide a Dynare que: 1) Utilice el archivo de datos simulados ‘simuldataRBC’. 2) Utilice 200 observaciones (de las 2100 generadas), 3) Comenzando por la número 500. 4) Calcule el modo de la densidad posterior utilizando el algoritmo de MetropolisHastings (MH) para construir la densidad a posteriori, con 2000 replicaciones. 5) Que lo haga con dos cadenas paralelas de MH. 6) Que deseche el primer 45% de las extracciones de MH y sólo use las restantes. 7) Que utilice una escala de 0.8 para la distribución "saltarina" (jumping) en el algoritmo de MH. (Esta escala determina qué porcentaje de las extracciones se aceptan. Se suele considerar adecuada una tasa de aceptación entre el 20% y el 40%). 8) Que produzca grá…cos para cada uno de los parámetros estimados con la distribución posterior calculada puesta de cabeza en un entorno del modo calculado. Se trata de un diagnóstico para detectar errores: por ejemplo, que el modo no esté en el valle de la densidad posterior. 9) Que produzca grá…cos de la distribución posterior de un pronóstico para 12 períodos posteriores al …n de la muestra usada en la estimación. Debe haber al menos tantos shocks como variables observables para evitar el problema de la singularidad estocástica. En este caso, como hay un shock no puede haber más de una variable observable. Dynare produce, entre otros, los siguientes resultados: I. Grá…cos 1. Las densidades a priori SE_e alpha 150 beta 20 300 100 200 10 50 0 100 0 0.05 0.1 0 0 delta 0.5 1 0 0.98 psi 200 20 10 100 10 5 0 0 0.02 0.04 epsilon 200 100 0 9.99 10 10.01 0 1.6 1.8 1 rho 2 0 0.7 0.8 0.9 1.02 36 2. Los grá…cos del modo y la densidad a posteriori invertida SE_e alpha -675 beta 1000 500 -680 0 0 -685 -500 -690 0.005 0.01 0.015 -1000 0 delta 0.5 1 -1000 0.95 rho -600 -600 -660 -650 -650 -680 -700 0.02 0.03 1 psi 0.04 -700 1.6 1.8 2 -700 0.7 0.8 0.9 epsilon -660 -680 -700 9.98 10 10.02 Se ve que para todos los parámetros el pico de la densidad construida a partir de métodos de simulación coincide con el modo obtenido por optimización, como debe ser. A veces esto no es así, señalando problemas. Se observa que en este caso la estimación de está dentro del rango aceptable desde un punto de vista económico. También puede pedirse esta opción para la estimación por MV. No lo hicimos para ahorrar espacio. 3. Una comparación de las densidades posteriores y a priori SE_e alpha 600 beta 40 200 20 100 400 200 0 0.010.020.030.040.05 0 delta 0.3 0.35 0.4 0 0.98 0.985 0.99 0.995 psi rho 20 10 10 5 100 50 0 0.02 0.04 0 1.65 1.7 1.75 1.8 0 0.8 1 epsilon 100 0 9.99 10 10.01 La línea verde representa el modo de la densidad posterior calculado numéricamente. No es bueno que la distribución posterior sea demasiado diferente de la densidad a priori, pero tampoco que sea demasiado parecida. En el primer caso, 37 puede ser conveniente cambiar la densidad a priori o su media o varianza. En el segundo caso, los datos no están aportando a la estimación: se impone la densidad a priori. Lo ideal es que los datos hagan su aporte. Por supuesto, esto depende de muchas cosas. Con pocos datos, es probable que aporten poco. Se observa que para varios de los parámetros (particularmente ), los "datos" no han aportado información adicional a la dada mediante la densidad a priori, a pesar de que, como generamos datos arti…ciales, pudimos utilizar una serie larga. En cambio, para y el error estándar de e el modo de la densidad posterior está alejado del modo de la densidad a priori y la varianza es menor (es más alta y estrecha la densidad). En estos casos, los "datos" han hecho su aporte, corrigiendo a la densidad a priori. Otra consideración es que es deseable que la densidad posterior se parezca a una normal. Pues lo que hace MH es construir una aproximación Gausiana en torno al modo del posterior. Densidades posteriores bimodales señalan problemas. 3. Un diagnóstico multivariado de convergencia de las cadenas paralelas Interval 7 6 5 4 1000 1100 1200 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 2000 1600 1700 1800 1900 2000 1600 1700 1800 1900 2000 m2 6 4 2 1000 1100 1200 1300 1400 1500 m3 20 10 0 1000 1100 1200 1300 1400 1500 El eje horizontal representa las diferentes iteraciones de MH solicitadas. Las líneas rojas (azules) representan medidas de los vectores de parámetros dentro de (entre) las cadenas solicitadas. Hay tres medidas: "interval" representa un intervalo de con…anza del 80% en torno a la media, "m2" mide la varianza y "m3" el tercer momento. Además del diagnóstico multivariado que mostramos, Dynare produce un grá…co de este tipo para cada parámetro (diagnósticos univariados) que omitimos para no ocupar demasiado espacio. Las líneas roja y azul convergen, como es ideal. Sin embargo, también sería deseable que estuvieran más planas, al menos en la parte …nal, para estar seguros de que hay convergencia en el tiempo. 38 4. Pronósticos de las variables c i 0.75 0.7 0.65 k 9 0.24 0.22 0.2 0.18 0.16 1 10 20 8 7 1 l 10 20 6 0.06 1.9 0.3 0.04 1.8 10 20 0.02 1 y 0.05 0.9 0 1 10 20 10 20 1.7 1 10 20 z 0.95 0.85 10 w 0.32 1 1 r 20 30 -0.05 1 10 20 Se observan dos bandas de con…anza. La primera describe la incertidumbre debida a los parámetros y la segunda incluye, además, la incertidumbre relacionada con los shocks futuros. Se observa que el pronóstico para y parte desde el …n de la muestra. Para las variables no observables, Dynare muestrea a partir de la distribución posterior de los parámetros. II. Cuadros Dynare produce también cuadros que resumen los principales resultados numéricos. El primero contiene los resultados de la optimización numérica: RESULTS FROM POSTERIOR MAXIMIZATION parameters prior mean mode alpha beta delta psi rho epsilon 0.35 0.99 0.025 1.75 0.95 10 standard deviation of shocks prior mean e 0.01 0.3333 0.9899 0.0251 1.7509 0.8861 10 mode 0.0093 s.d 0.0093 0.0027 0.0031 0.02 0.035 0.0016 s.d. 0.0006 . t-stat 35.8586 370.2191 8.2057 87.5862 25.297 6395.2438 t-stat 16.2292 prior beta beta beta gamm beta gamm prior invg pstdev 0.02 0.002 0.003 0.02 0.05 0.003 pstdev Inf Log data density [Laplace approximation] is 653.728950. La primera y última columnas muestran la media y el desvío estándar de las densidades a priori. La segunda y tercera columnas dan el modo y el desvío estándar calculadas por medio de métodos de optimización numérica. El estadístico t del modo se basa en el supuesto (probablemente erróneo en el caso de estimación Bayesiana) de que la distribución es normal. Se observa abajo la aproximación de Laplace del logaritmo de la densidad predictiva (o marginal) de muestreo. 39 El segundo cuadro incluye los resultados de la simulación MCMC: ESTIMATION RESULTS Log data density is 654.324042. parameters prior mean alpha beta delta psi rho epsilon 0.35 0.99 0.025 1.75 0.95 10 standard deviation of shocks prior mean e 0.01 post. mean 0.3355 0.9896 0.0256 1.7481 0.8991 10 post. 0.0097 conf. 0.3206 0.9866 0.021 1.7167 0.8399 9.9957 mean conf. 0.0085 interval 0.3493 0.9927 0.0302 1.777 0.9628 10.005 interval 0.0108 prior beta beta beta gamm beta gamm prior pstdev 0.02 0.002 0.003 0.02 0.05 0.003 pstdev invg En este cuadro se muestra los resultados de la simulación MH (así como la repetición de información sobre las densidades a priori). En la segunda columna se ve la media de la densidad posterior y en las siguientes dos columnas un intervalo de con…anza. Se observa arriba de todo la estimación de promedio armónico del logaritmo de la densidad predictiva (o marginal) de muestreo. Además de lo visto hay muchas opciones adicionales. Dynare produce en forma automática una gran cantidad de archivos con los resultados de las corridas, incluyendo los grá…cos en formato pdf. 8. Conclusión Los modelos EGDE se han convertido en una forma cada vez más utilizada de estudiar complejos fenómenos dinámicos y estocásticos en diversos campos de la economía. Son utilizados cada vez más por tomadores de decisiones que quieren analizar los efectos de diferentes decisiones de política, o que quieren contar con proyecciones hechas con métodos rigurosos. Con este trabajo hemos querido brindar una primera aproximación para quienes quieran acercarse a este campo fascinante de la modelación matemática del quehacer humano, dando no solo una síntesis de cómo se construyen los modelos EGDE sino también cómo se puede calibrar o estimar a sus parámetros. 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