Endüstri Mühendisliði Dergisi
Cilt: 24 Sayý: 1 Sayfa: (12-26)
Makale
PLASTİK ENJEKSİYON MAKİNELERİNİN VARDİYA BAZINDA
ÇİZELGELENMESİ PROBLEMİ İÇİN BİR HEDEF PROGRAMLAMA
MODELİ
Serhat KAYA, Tuğba SARAÇ*
Eskişehir Osmangazi Üniversitesi, Endüstri Mühendisliği Bölümü, Eskişehir
serhat.kaya@mail.com, tsarac@ogu.edu.tr
ÖZET
Bu çalışmada, plastik parça üreten bir fabrikanın üretim tesislerinde sıra bağımlı hazırlık süreli bir özdeş paralel makine
çizelgeleme problemi ele alınmıştır. Problemin amaçları, son işin tamamlanma zamanının ve toplam gecikmenin enküçüklenmesidir. Çok amaçlı yapıda olan ve sürece özel kısıtlar içeren problem için bir hedef programlama modeli geliştirilmiştir. Geliştirilen model hem küçük boyutlu bir problem hem de bir gerçek hayat problemi kullanılarak test edilmiştir. Bu
problemlerin çözümünde GAMS/Cplex çözücüsü kullanılmıştır. Elde edilen çizelge işletmenin çizelgesiyle karşılaştırılmıştır.
Anahtar Kelimeler: Özdeş paralel makine çizelgeleme, sıra bağımlı hazırlık süresi, hedef programlama, vardiya
bazlı çizelgeleme
A GOAL PROGRAMMING MODEL FOR SHIFT-BASED SCHEDULING PROBLEM OF
PLASTIC INJECTION MACHINES
ABSTRACT
In this study, an identical parallel machine scheduling problem with sequence dependent setup times is considered
at a plastic product manufacturing plant. The objectives of the problem are to minimize makespan and total tardiness. A
goal programming model is developed for this multi-objective problem which includes special process constraints. The
developed model is tested using both a small sized instance and a real life problem. GAMS/Cplex solver is used for solving
these problems. Obtained schedule compared with the company’s own schedule.
Keywords: Identical parallel machine scheduling, sequence dependent setup times, goal programming, shift-based
scheduling
* İletişim yazarı
12
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
1. GİRİŞ
• Akış Tipi Yerleşim (Flow Shop Layout, Fm): Üretilen
ürüne özel olarak tasarlanmış makineler ürünün
akışına göre bir hat oluşturacak şekilde dizilmiştir.
• Atölye Tipi Yerleşim (Job Shop Layout, Jm): Üretilen her ürünün kendine özgü bir işlem rotası vardır.
β alanında ifade edilebilecek süreç karakteristikleri
ve sembolleri ile probleme ait kısıtlardan bazıları
aşağıdaki gibidir:
• Hazır Olma Zamanı (rj ): j işine ait hazır olma
zamanı gelmeden önce işleme başlanamaması
durumunu ifade eder.
• Sıra Bağımlı Hazırlık Süreleri (sij): i ve j işlemleri
arasındaki sıra bağımlı hazırlık süresini ifade etmektedir. i ve j işleri arasındaki hazırlık süresi işlemin
gerçekleştiği k makinesinin özelliklerine de bağlı ise
hazırlık süresi üç indisli olarak (sijk) gösterilmektedir.
• İş Kesintileri (prmp): Herhangi bir makinede işlem
gören bir iş yerine o makineye başka bir iş yüklenebilmesini ve daha sonra o işin tekrar aynı makineye
ya da benzer özelliklere sahip paralel bir makineye
yüklenebileceği durumu ifade etmektedir.
• İşlerin Öncelik Kısıtları (prec): Bir işin işlem görmeye başlamasından önce bir ya da daha fazla işin
tamamlanmış olması gerektiğini ifade etmektedir.
• İş Bölünmesi (split): Mevcut sistemdeki herhangi
bir işin bölünebildiği ve o işe ait bölünen işlemlerin
eş zamanlı olarak birbirinden bağımsız bir şekilde
farklı makinelerde gerçekleştirilebildiği durumu
ifade etmektedir.
• Makine Uygunluk Kısıtları (Mj ) : j işinin paralel
makinelerin tamamında değil, bir alt kümesinde
işlem görebildiği durumu ifade etmektedir.
γ alanında çizelgeleme probleminin amaç ya da
amaçları yer alır. Bu amaçlardan bazıları aşağıda
verilmiştir:
• En Büyük Tamamlanma Zamanı (Cmax): Son işin
tamamlanma zamanıdır.
• Toplam Gecikme (∑Tj ): Teslim tarihinden daha
geç tamamlanmış işlerin gecikme sürelerinin toplamıdır.
• Toplam Ağırlıklı Tamamlanma Zamanı (∑ wj.Cj ):
n tane işe ait tamamlanma zamanlarının ağırlıklı
toplamıdır.
• En Büyük Gecikme (Lmax): Çizelgelenen işlerin
Günümüzde işletmeler arasındaki rekabet gittikçe
artmaktadır. İşletmeler hem müşteri taleplerine etkin
bir şekilde cevap vermek, hem de kendi çıkarlarını
göz önünde bulundurmak zorundadırlar. Bu sebeple,
tedarikten üretime, taşıma ve dağıtımdan, bilgi işlem
ve iletişime kadar birçok alanda karar alma süreçleri
giderek zorlaşmaktadır.
Bir üretim sisteminde temel amaç pazarın talebinin
zamanında karşılanmasıdır. Bu amacı gerçekleştirmek
için üretimin eldeki stok miktarı, makinelerin kapasitesi, bakım planları ve işçi verimliliği gibi üretim
kısıtları göz önünde bulundurularak planlanması ve
oluşturulan planların ortaya çıkacak beklenmedik
gelişmeler karşısında sürekli güncellenmesi gerekmektedir. Üretim sisteminin çoğunlukla dinamik bir yapıya
sahip olması nedeniyle atölye bazında problemler çok
karışıktır. Ayrıca bu problemlere ait kararlar zaman
kısıtı altında ele alınacağından hızlı bir çözüm de gerekmektedir. Üretim çizelgeleme problemleri bunların
bir örneğidir (Saraç, 2009).
Çizelgeleme problemleri genellikle α | β | γ
gösterimiyle ifade edilmektedir. Burada α sembolü
çizelgelenecek olan j işinin işlem gördüğü atölyenin
makine ortamını, β sembolü süreç karakteristiklerini
ve probleme ait kısıtları, γ ise çizelgelenecek olan
problemin amaç ya da amaçlarını ifade etmektedir
(Pinedo, 2002).
α sembolüyle ifade edilebilecek makine ortamlarından bazıları aşağıda yer almaktadır.
• Tek Makine (Single Machine): n sayıda işin tek bir
makinede çizelgelenmesini ifade etmektedir.
• Özdeş Paralel Makineler (İdentical Parallel Machines, Pm): m tane paralel özdeş makine ifade edilmektedir. j işinin işlenebileceği tüm makinelerde
işlem süresi aynıdır.
• Farklı Hızlara Sahip Paralel Makineler (Uniform
Parallel Machines, Qm): Farklı işlem kapasitelerine
sahip olan m adet paralel makine söz konusudur.
• Bağımsız Makineler (Unrelated Parallel Machine,
Rm): Birbirinden bağımsız üretim hızlarına sahip m
adet paralel makine ifade edilmektedir.
13
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
geç tamamlanma süreleri toplamını enküçüklemeyi
amaçlayan paralel makine çizelgeleme probleminin
çözümünde karma tamsayılı programlama ve tavlama
benzetimi yöntemlerini kullanmışlardır.
öngörülen ve gerçekleşen teslim tarihleri arasında
oluşan enbüyük sapma değeridir.
Ele alınan problem mevcut kısıtlar ve amaçlar göz
önünde bulundurulduğunda özdeş paralel makine
çizelgeleme probleminin özel bir halidir ve literatürde
çizelgeleme problemleri için kullanılan sınıflandırma
biçimine göre aşağıdaki gibi gösterilebilir.
Zhu ve Heady (2000) toplam ağırlıklandırılmış
erken tamamlanma ve gecikme sürelerini enküçüklemeyi amaçlayan çizelgeleme probleminin çözümünde karma tamsayılı programlama yaklaşımını
kullanmışlardır.
Pm | sij , prosese özel kısıtlar | ∑Tj , Cenb
Erişilebilir literatür dikkate alındığında çizelgeleme
problemleriyle ilgili birçok çalışma bulunmaktadır.
Ancak özdeş paralel makine ve sıra bağımlı hazırlık
süresini aynı anda ele almış çalışmaların sayısı sınırlıdır. Allahverdi (2008) çalışmasında sıra bağımlı
hazırlık süreli çizelgeleme problemlerine ait çalışmaları
ayrıntılı bir şekilde incelemiştir.
Gendreau vd. (2001) son işin tamamlanma
zamanını en küçüklemeyi amaçlayan çizelgeleme
probleminin çözümü için alt sınır yöntemini ve sezgisel
yöntemleri kullanmışlardır.
Kurz ve Askin (2001) hazır olma zamanına bağlı,
son işin tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlayan çizelgeleme probleminin çözümünde tamsayılı
programlama, gezgin satıcı problemi ve genetik algoritma yaklaşımlarını kullanmışlardır.
Heady ve Zhu (1998), her işin her makinada
üretilemediği durumda erken tamamlama ve gecikme
maliyetlerini enküçüklemeye yönelik paralel makine
çizelgeleme problemi için sezgisel bir çözüm yöntemi
önermişlerdir.
Tahar vd. (2006) iş bölünmesi olduğu durumda
son işin tamamlanma zamanını enküçüklemeyi amaçlayan çizelgeleme probleminin çözümü için sezgisel
yöntemleri kullanmışlardır.
Balakrishnan vd. (1999) hazır olma zamanına
bağlı toplam ağırlıklandırılmış erken tamamlanma ve
gecikme sürelerini enküçüklemeyi amaçlayan paralel
makine çizelgeleme problemini karma tamsayılı programlama yaklaşımıyla çözmüştür.
Gharehgozli vd. (2008) sıra bağımlı hazırlık süreli
ve serbest kalma zamanlı paralel makine çizelgeleme
probleminin çözümü için karma tamsayılı bir hedef
programlama modeli geliştirmişlerdir.
Sivrikaya vd. (1999) hazır olma zamanına bağlı
özdeş paralel makinelerin iki tipi için toplam ağırlıklandırılmış erken tamamlanma ve gecikme sürelerini
enküçüklemeyi hedefleyen çizelgeleme problemini
genetik algoritma yöntemiyle çözmeyi amaçlamıştır.
Toksari ve Guner (2009) eş zamanlı öğrenme
etkisi, doğrusal bozulma ve sıra bağımlı hazırlık süreli,
erken tamamlanma ve gecikme sürelerini enküçüklemeyi amaçlayan paralel makine çizelgeleme probleminin çözümünde karma tamsayılı programlama
yaklaşımını kullanmışlardır.
Vignier vd. (1999) hazırlık süreleri toplamını içeren
maliyetleri enküçüklemeyi amaçlayan paralel makine
çizelgeleme probleminin çözümü için sezgisel yöntem,
genetik algoritma ve dal sınır algoritması yöntemlerini
kullanmışlardır.
Bu çalışmada, literatürde yer alan diğer çalışmalardan farklı olarak, vardiya bazında çizelgeleme
yapılmaktadır. Bu yaklaşım, bazı vardiyalarda üretim
yapılmaması, bazı makinelerin bazı vardiyalarda
çalışmaya elverişli olmaması gibi durumların dikkate
alınabilmesini de mümkün kılmaktadır. Ayrıca ele
alınan problem, enjeksiyonla plastik parça üretim
sürecine özel bazı kısıtları da içermektedir. Hem vardiya bazlı çizelgeleme yapılması hem de sürece özel
Park vd. (2000) toplam ağırlıklandırılmış gecikme süresini enküçüklemeyi hedefleyen çizelgeleme
problemini çözmek için sezgisel yöntemleri ve sinir
ağlarını kullanmışlardır.
Radhakrishnan ve Ventura (2000) erken ve
14
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
Plastik, kalıp içinde katı hâle gelinceye kadar işlem
devam eder. Kullanılan ham maddenin özelliğine,
parça ebatlarına ve ağırlığına bağlı olarak işlemin
süresi değişkenlik gösterir.
• Soğutma: Enjekte edilen eriyik ham maddenin,
kalıbın içinde katılaşmasını sağlar.
• Kalıp Açma: Kapama ünitesi kalıbın iki tarafını
ayrılacak şekilde açılır.
• Çıkarma: Kalıp tipine göre maçalar veya iticiler
aracılığıyla bitmiş parça kalıptan çıkarılır.
kısıtlar dikkate alındığında, erişilebilen literatürde bu
kapsamda benzer bir çalışmaya rastlanmamıştır.
Çalışmanın izleyen bölümünde ele alınan problem tanıtılmıştır. Üçüncü bölümde geliştirilen hedef
programlama modeli ayrıntılı bir şekilde açıklanmış
ve önerilen model ve GAMS/Cplex çözücüsü kullanılarak çözülen problemlerin sonuçları tartışılmıştır.
Çalışmanın son bölümünde ise elde edilen sonuçlar
ve gelecek çalışmalara yönelik öneriler sunulmuştur.
Mengene bölümünün üzerinde hareket ettiği silindirler arasındaki mesafeye kolon aralığı denir. Bir
kalıbın enjeksiyon makinesine bağlanabilmesi için
kalıp en ve boyunun makinenin kolon aralığından
küçük olması gereklidir. Yine bir kalıbın enjeksiyon
makinesine bağlanabilmesi için kalıbın derinliğinin
kapama aralığıyla uyumlu olması gereklidir. Sonuç
olarak; bir kalıp, sadece teknik kısıtları sağlayan makinelere bağlanabilmektedir (Saraç, 2007).
2. ELE ALINAN PROBLEM
Bu çalışmada, plastik parça üreten bir fabrikanın
bünyesinde yer alan plastik enjeksiyon makinelerinin
çizelgelenmesi problemi ele alınmıştır. Söz konusu
firma, plastik enjeksiyon, boyama, serigrafi ve tampon baskı konularında faaliyet göstermektedir ve yan
sanayi konumundadır.
Plastik enjeksiyon; granül halinde gelen plastik
ham maddenin sıcaklık yardımıyla eritilip bir kalıp
içine enjekte edilerek şekillendirilmesi ve soğutularak
kalıptan çıkarılmasını içeren bir üretim yöntemidir. Bu
yöntemle en küçük bileşenlerden bahçe mobilyalarına
kadar çok çeşitli ebat ve kategorilerde plastik parçalar
üretilebilmektedir. En yaygın üretim yöntemlerinden
birisi olan plastik enjeksiyon işlemin gerçekleştirildiği
makine, plastik enjeksiyon makinesi olarak adlandırılmaktadır. Bir plastik enjeksiyon parçasının üretim
süreci aşağıdaki aşamalardan oluşmaktadır:
Ele alınan üretim sürecinde 14 adet ham madde,
16 adet renk ve 197 adet kalıp kullanılarak 23 adet
enjeksiyon makinesinde toplam 439 farklı çeşit ürün
üretilmektedir.
İşletmede bulunan enjeksiyon makineleri tonajlarına göre üç sınıfa ayrılmıştır.
Tablo 2.1 Enjeksiyon Makinelerinin
Tonajlarına Göre Grupları
Tonaj
Makine Sayısı
• Kapama: Bir enjeksiyon makinesi üç ana parçadan oluşur. Bunlar kapama ünitesi (mengene),
enjeksiyon ünitesi ve kalıptır. Enjeksiyon ünitesinde
ham madde haznesi yer alır. Bu ünite ham maddenin gerekli sıcaklığa kadar ısıtılarak eritilmesi
ve uygun basınç ve hızda kalıba enjekte edilmesi
görevini yerine getirir. Kapama ünitesi, enjeksiyon
ve soğutma esnasında kalıbı basınç altında tutan
ünitedir.
• Ütüleme: Parçanın istenen ölçülerde olması ve
görünümünde çöküntü gibi hataların oluşmaması
için uygulanan bir işlemdir. Bu aşamada kalıp içine
enjekte edilmiş olan plastik eriyiğin, basınç uygulanarak kalıp boşluğunu iyice doldurması sağlanır.
90-250
6
300-360
6
380-700
11
Bu çalışmada 380-700 tonaj grubunda yer alan
11 adet plastik enjeksiyon makinesinin çizelgelenmesi
problemi ele alınmıştır. İlgili tonaj grubunda yer alan
makinelerde bir adet ham madde, 9 adet renk ve 45
adet kalıp kullanılarak 165 adet ürün üretilmektedir.
Üretim tesisinde standart olarak haftada 6 iş günü
boyunca günde 3 vardiya ve bir vardiya 8 saat olacak
şekilde üretim yapılmaktadır. Enjeksiyon makineleri
günde 21 saat çalışmaktadır. Üretim planları her aybaşında ana sanayi işletmesine ait üretim programı
15
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
3.1 Hedef Programlama
baz alınarak hazırlanmaktadır. Hazırlanan planlar
haftalık periyotlara dönüştürülmektedir, aynı zamanda
günlük olarak takip edilmektedir. İşletmede bulunan
enjeksiyon makinelerinin farklı teknik özelliklere sahip
olmaları sebebiyle her ürün her makinede üretilememektedir. Öte yandan ürünlerin üretilebildikleri makinelerdeki üretim süreleri ise eşittir. Ayrıca işletmede
kullanılan her bir kalıp sadece bir çeşit ham madde
cinsiyle çalışmaktadır. Teknik özellikler dikkate alındığında hangi enjeksiyon makinesinde hangi kalıpların
kullanılabileceği belirlidir.
Herhangi bir doğrusal programlama modeli, amaç
fonksiyonu ve kısıtlayıcı kümesi şeklinde iki bölümde
incelenebilir. Çok amaçlı programlamada en büyükleme veya en küçükleme şeklinde oluşturulan amaç
fonksiyonları kısıtlayıcı kümesine göre eniyilenir. Bu
eniyileme sürecinde amaç fonksiyonlarının olabildiğince iyi değerler alması istenir. Yani amaç fonksiyonları sınırlandırılmamıştır. Hedef programlama
yaklaşımın da ise kullanıcıya, amacın öncelikleri (üstünlükleri) bakımından bir çözüm sunulurken, karşıt
amaçların mevcut olmasına da izin verilir. Hedeflere
ulaşılıp ulaşılmadığını göstermek için sapma değişkenleri kullanılır. Amaç hedeflerden sapmayı en aza
indirmektir.
Bazı makinelerde ürünlerin işleme girme sırasına
göre hazırlık süreleri farklılık göstermektedir, diğer bir
deyişle enjeksiyon makinelerindeki hazırlık süreleri sıra
bağımlıdır. Operatör yokluğu, makine parçası arızası,
kalıp arızası, planlı bakım, ham madde hatası gibi bazı
sebeplerden dolayı herhangi bir vardiyada çalışmayan makineler bulunabilmektedir. Ayrıca resmi tatil,
bayram gibi nedenlerle bazı vardiyalarda hiç üretim
yapılmamaktadır.
3.2 Ele Alınan Problem İçin Hedef
Programlama Modeli
Ele alınan problemin işletme politikaları gereği
belirlenen hedefler doğrultusunda çözümünü bulmak
için geliştirilen hedef programlama modeli, modele ait
varsayımlar, parametreler, karar değişkenleri, kısıtlar
ve açıklamaları aşağıda yer almaktadır.
Çalışmanın gerçekleştirildiği işletme ile ana sanayisi arasında yapılan anlaşma gereği eğer firma ürünleri
teslim etmekte gecikirse, ana sanayi üretiminde duruşa sebep olduğu için belli bir bedel ödemek zorundadır. Bu nedenle, işletmede hazırlanan çizelgelerin
belirlenen teslim tarihlerine gecikmesiz bir şekilde
uyması istenmektedir. Plastik enjeksiyon makinelerinde kullanılan kalıpların makinelere bağlanması ve
sökülmesi, üretim sürecinde kullanılan renklerin dönüşümü için harcanan süreler bazen bir vardiyaya kadar
uzayabilmektedir. Bu nedenle ele alınan problemin
bir diğer amacı ise son işin tamamlanma zamanını
enküçüklemek olarak belirlenmiştir. Böylece hazırlık
sürelerinin azaltılması da sağlanacaktır.
•
•
•
•
Varsayımlar
İşler bölünemez.
Başlangıç hazırlık süreleri, sıra bağımlı hazırlık
süreleri ve işlem süreleri makinelere göre farklılık
göstermez.
Planlama dönemi boyunca birinci vardiyadan
başlamak üzere ardışık olacak şekilde çalışılmayan
vardiyaların olmasına izin verilir ve bu durumda
planlama uzayı çalışılmayacak dönemin bitiminden
başlatılır.
Ara vardiyalarda çalışma olmaması durumunda
planlama periyodu bölünür.
Kümeler
N = {1,2,…,n} iş kümesi
M = {1,2,…,m} makine kümesi
R = {1,2,…,r} kalıp kümesi
V = {1,2,…,o} vardiya kümesi
3. GELİŞTİRİLEN HEDEF PROGRAMLAMA
MODELİ
Bu bölümde öncelikle hedef programlama yaklaşımı hakkında genel bilgi verildikten sonra geliştirilen
hedef programlama modeli tanıtılmıştır. Daha sonra,
örnek problem ve gerçek hayat problemi için önerilen
modelle elde edilen sonuçlar sunulmuştur.
İndisler
i ve j ∈ N belirli bir işi göstermek için kullanılan indislerdir.
16
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
k ∈ N iş sırasını göstermek için kullanılan indistir.
l ∈ M bir makineyi göstermek için kullanılan indistir.
v ∈ V bir vardiyayı göstermek için kullanılan indistir.
r ∈ R bir kalıbı göstermek için kullanılan indistir.
Parametreler
n
: iş sayısı
m
: makine sayısı
r
: kalıp sayısı
o
: vardiya sayısı
pj
: j. işin işlem süresi
hj
: j. iş birinci sırada üretilirse gerekecek hazırlık
süresi (başlangıç hazırlık süresi)
sij
: i. işten hemen sonra j. işin üretimine geçilebilmesi için gerekecek hazırlık süresi (sıra
bağımlı hazırlık süresi)
dj
: j. işin müşteriye teslim edilmesi gereken
zaman
vardiyav : v. vardiyanın çalışma süresi
glv :
Bir makine planlı bakım gibi nedenlerle bazı
vardiyalarda üretime elverişli olmayabilir. Bu
parametre değeri hangi makinelerin, hangi
vardiyalarda üretime elverişli olduğunu belirtmektedir (l. makine v. vardiyada üretime
elverişli ise 1, diğer durumlarda 0).
ejr
: Bu parametre hangi işlerin, hangi kalıp ile
üretilebileceğini belirtmektedir (j. iş r. kalıp ile
gerçekleştirilebiliyorsa 1, diğer durumlarda
0).
wrl
: Sadece ilgili makinenin teknik kısıtlarını
sağlayan kalıplar makinelere bağlanabilir.
Bu parametre hangi kalıbın hangi makinaya
bağlanabileceğini göstermektedir (r.kalıp l.
bjl
:
sayi
sure
pper
:
:
:
makineye bağlanabiliyorsa 1, diğer durumlarda 0).
Çizelgelenecek işlerin hangi makinelerde
üretilebildiğini gösterir (j. iş l. makinede
yapılabiliyorsa 1 diğer durumlarda 0). Bu
parametre değeri ejr, ve wrl parametre değerleri kullanılarak elde edilir.
Çok büyük pozitif bir sayı
Çalışma süresi (vardiya)
Planlama periyodu (Cenb için hedef değer)
Karar Değişkenleri
xjkl
: j işinin hangi sırada hangi makineye atandığını gösteren karar değişkenidir (j. iş k. sırada
l. makineye atandıysa 1, diğer durumlarda
0).
Cj
: j. işin tamamlanma zamanı
Cenk : m makine içinde işlem gören son işin tamamlanma zamanı
qjv
: İşin hangi vardiyaya atandığını gösteren
karar değişkeni (j. iş v. vardiyaya atandıysa
1, diğer durumlarda 0).
fj
: j. işin tamamlandığı vardiyayı gösteren karar
değişkeni
Tj
: j. işin gecikme süresi. Tj = enb{Cj - dj , 0}
S1+j
: j. iş için hedeflenen sıfır gecikmeden pozitif
yönlü sapma
S1-j
: j . iş için hedeflenen sıfır gecikmeden negatif
yönlü sapma
S2+
: Son işin tamamlanma zamanı için hedeflenen değerden pozitif yönlü sapma
S2: Son işin tamamlanma zamanı için hedeflenen değerden negatif yönlü sapma
Kısıtlar
Cj + sayi *(1 – xj,k,l ) ≥ hj + pj
Cj + sayi*(2 – xi,k-1,l – xj,k,l ) ≥ Ci + si,j + pj
x
j, k, l
1
j
x
k
j, k, l
1
l
≥
17
≥(
∀ j, k=1, l
∀ i≠j, k >1, l
(1)
(2)
∀ k, l
(3)
∀j
(4)
∀
∀
∀
∀
–
)≥
–
–
∀
∀ i≠
)≥
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
∀
∀
bj,l ≥ xj,k,l
fj ≥ (Cj / sure)
j, k, l
j
xi, k-1, l 0
i
Cenk ≥ Cj
fj + sayi*(1 – xj,k,l ) ≥ v* qjv
q
j, v
f j fi 1 sayi* ( 2 xi, k-1, l x j, k, l )
q
j, v
f j fi 1 sayi* ( 2 xi, k-1, l x j, k, l )
v
v
fj + sayi*(2 – xi,k-1,l – xj,k,l ) ≥ v* qjv
fi - sayi*(2 – xi,k-1,l – xj,k,l ) v* qjv + sayi*(1- qjv)
vardiyav ≥ qjv
gl,v +1 ≥ qjv + xj,k,l
(7)
Cenb - S2+ + S2- = pper
{0,1}
{0,1}
fj ≥ 0 ve tamsayı
(8)
∀j
(9)
∀ j, k=1, l
(11)
∀ j, k=1, l
(10)
∀ j, k=1, l, v
(12)
∀ i≠j, k > 1, l
∀ i≠j, k > 1, l
Cenk , S2+ , S2- ≥ 0
enk z = ∑ S1+j + S2+
(13)
(14)
∀ i≠j, k > 1, l, v
(15)
∀ j, v
(17)
∀ i≠j, k > 1, l, v
(16)
(18)
(19)
∀j
(20)
∀ j, k, l
(22)
(21)
∀ j, v
(23)
∀j
(25)
∀j
Cj , Tj , S1+j , S1-j ≥ 0
(6)
∀ k > 1, l
∀j
Tj - S1+j + S1-j = 0
qjv
∀j
∀ j, k, l, v
Tj ≥ Cj - dj
xj,k,l
(5)
∀j
fj (Cj / sure)+ 1
x
∀ j,k, l
(24)
(26)
(27)
18
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
(1) numaralı kısıt, j işi bir makineye ilk sırada
atanırsa j işine ait tamamlanma zamanının, başlangıç
hazırlık süresi ve işlem süresi toplamından büyük
ya da eşit olmasını sağlar. (2) numaralı kısıt, j işi bir
makinede ikinci ya da daha büyük bir sıraya atanırsa,
tamamlanma zamanının bir önceki işin tamamlanma
zamanı, sıra bağımlı hazırlık süresi ve ilgili işin işlem
süresi toplamından büyük ya da eşit olmasını sağlar.
(3) numaralı kısıt herhangi bir makinede herhangi bir
sıraya en fazla bir iş atanmasını sağlar. (4) numaralı
kısıt her işin herhangi bir makinede herhangi bir sıraya atanmış olmasını garanti eder. (5) numaralı kısıt
teknik özellikler sebebiyle ürünlerin üretilemedikleri
makinelere atanmasını engeller. (6) ve (7) numaralı
kısıtlar bir işin tamamlandığı vardiyayı temsil eden
karar değişkeni değerinin, o işin tamamlanma zamanının vardiya çalışma süresine oranlanmasıyla ortaya
çıkan değerden büyük en küçük tamsayı olmasını
sağlar. (8) numaralı kısıt çizelgelenecek işlerin makinelere aralarda boşluk olmayacak şekilde ardışık
sıralamasıyla atanmasını sağlar. (9) numaralı kısıt Cenb
değişkeni değerinin tüm işler arasında tamamlanma
zamanı en büyük olan değerden büyük ya da o değere eşit olmasını sağlar. (10), (11) ve (12) numaralı
kısıtlar herhangi bir makinede ilk sıraya atanacak
olan herhangi bir işin başlangıç ve bitiş vardiyaları
arasında işlem görmeye devam ettiğinin belirlenmesini sağlar. (10) ve (11) numaralı kısıtlar çizelgenin
ilk sırasında yer alan bir işin işlem gördüğü toplam
vardiya sayısının o işin tamamlandığı vardiya değeri
kadar olmasını sağlar. (12) numaralı kısıt ise ilk sıraya
atanmış olan işin, tamamlandığı vardiyadan sonraki
vardiyalara atanmasını engelleyerek o işin başlangıç
ve bitiş vardiyaları arasında hangi vardiyalarda işlem
görmeye devam ettiğinin belirlenmesini sağlar. (13),
(14), (15) ve (16) numaralı kısıtlar ikinci ya da daha
büyük sıraya atanmış olan işlerin başlangıç ve bitiş
vardiyaları arasında hangi vardiyalarda işlem görmeye
devam ettiğinin belirlenmesini sağlar. (17) numaralı
kısıt resmi bayram ve tatil gibi durumlarda çalışma
yapılmayacak vardiyalara iş atamasının yapılmasını
engeller. (18) numaralı kısıt planlı bakım vb. özel sebeplerle bazı makinelerin bazı vardiyalarda çalışmaya
elverişli olmadığı durumlarda, işlerin bu makinelere
atamasını engeller. (19) numaralı kısıt bir işin gecikme
süresinin, ilgili işin tamamlanma zamanı teslim zamanından büyük olduğu durumlarda sıfırdan farklı değer
almasını sağlar. Eğer bir iş teslim zamanından önce
tamamlanmışsa o işin gecikme süresi sıfır değerini
alır. (20) numaralı kısıt her bir işin gecikme değerinin
sıfır değerini almasını hedeflemektedir. Kısıttaki S1+j
değişkeni hedeflenen sıfır gecikmeden pozitif yönlü sapmayı temsil eder. Pozitif yöndeki bu sapma
istenmeyen bir durum olduğu için bu değer amaç
fonksiyonunda enküçüklenmek istenir. (21) numaralı
kısıt ile son işin tamamlanma zamanının planlama döneminin toplam süresine eşit olması hedeflenir. Kısıtta
yer alan, S2+ değişkeni hedeflenen değerden pozitif
yönlü sapmayı temsil etmektedir. Pozitif yöndeki bu
sapma istenmeyen bir durum olduğu için bu değer
amaç fonksiyonunda enküçüklenmek istenir. (22),
(23), (24), (25) ve (26) numaralı kısıtlar matematiksel
modelde yer alan karar değişkenlerine ait işaret kısıtlarıdır. (27) matematiksel modelin amaç fonksiyonunu
belirtir. Amaç fonksiyonu her iş için hedeflenen sıfır
gecikmeden pozitif yönlü sapmalar toplamının ve son
işin tamamlanma zamanı için hedeflenen değerden
pozitif yönlü sapmanın en küçüklenmesidir.
Geliştirilen matematiksel modelin türeteceği
çözümleri inceleyebilmek için bir örnek problem
türetilmiştir. Örnek probleme ait parametreler ve
problemin önerilen model kullanılarak GAMS/Cplex
çözücüsüyle çözülmesiyle elde edilen sonuçlar izleyen
bölümde yer almaktadır.
3.3 Örnek Problem
A işletmesi üretim tesisleri standart olarak haftada
6 işgünü boyunca günde 3 vardiya ve bir vardiya 8
saat olacak şekilde faaliyet göstermektedir. İşletmenin
üretim planları ana sanayiden alınan aylık üretim
programı verilerine göre 3 günlük çizelgeler halinde
hazırlanmaktadır. Ana sanayi kuruluşundan alınan
üretim programında 3 günlük planlama periyodu için
6 adet iş bulunmaktadır. Planlanacak 6 adet iş iki farklı
kalıp kullanılarak üretilmektedir ve bu işlerin yapılabildiği 3 adet özdeş paralel makine bulunmaktadır. Tablo
3.1-3.6’da, mevcut işlere ait işlem süreleri, başlangıç
hazırlık süreleri, teslim zamanları, sıra bağımlı hazırlık
19
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
kalıp 1 ve 3 numaralı makinelere, 2 numaralı kalıp
ise 2 ve 3 numaralı makinelere bağlanabilmektedir.
süreleri, iş-kalıp ilişkisi, kalıp-makine ilişkisi, iş-makine
ilişkisi, makine-vardiya ilişkisini temsil eden parametre
değerleri yer almaktadır.
Tablo 3.4. İş - Makine İlişkisi
(bjl parametresi)
Tablo 3.1. Çizelgelenecek İşlere Ait
Parametre Değerleri
j
hj
dj
pj
1
43
2100
1800
2
87
1900
1415
3
98
2800
1700
4
77
2400
1300
5
46
2600
1715
6
64
3000
2200
bjl =
1
2
1
0
2
1
0
3
0
4
2
3
1
1
0
1
2
1
0
1
3
0
1
1
4
1
0
1
5
0
1
1
6
0
1
1
e
j, r
∀ j,l
* wr, l
r
Tablo 3.2. İş-Kalıp İlişkisi (ejr parametresi)
1
1
Tablo 3.4’te hangi işlerin hangi makinelerde
üretilebilir olduğu bilgisi yer almaktadır. Örneğin, 1
numaralı işin 1 ve 3 numaralı makinelerde üretilebileceği ancak 2 numaralı makinede üretilemeyeceği
görülmektedir. Tabloda yer alan değerler iş-kalıp
ilişkisi (ejr) ve kalıp-makine ilişkisi (wrl) parametre
değerleri kullanılarak aşağıda yer alan (28) numaralı
formül yardımıyla hesaplanmıştır.
Tablo 3.1’de çizelgelenecek işlere ait başlangıç
hazırlık süresi (h j), teslim zamanı (dj ) ve işlem süresi
(pj ) bilgileri yer almaktadır. Örneğin 1 numaralı iş
çizelgenin ilk sırasında yer alırsa gerekecek hazırlık
süresi 43 dakikadır. Ayrıca 1 numaralı işe ait işlem
süresi 1800 dakikadır ve yine 1 numaralı işin teslim
zamanı çizelgenin sıfır anında başladığı kabul edildiğinde 2100 dakikadır.
j/r
j/l
(28)
Tablo 3.5. Makine-Vardiya İlişkisi (glv parametresi)
l/v
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
0
1
6
0
1
Tablo 3.5’te hangi makinelerin hangi vardiyalarda
çalışabilir durumda olduğu bilgisi yer almaktadır. Yukarıda yer alan bilgilere göre bütün makineler bütün
vardiyalarda çalışabilir durumdadır.
Tablo 3.2’de hangi işin hangi kalıp ile üretilebileceği belirtilmektedir. Örneğin 2 numaralı iş 1 numaralı
kalıp ile üretilebilmektedir. 6 numaralı iş ise 2 numaralı
kalıp ile üretilebilmektedir.
Tablo 3.6. Sıra Bağımlı Hazırlık Süreleri (sij parametresi)
Tablo 3.3. Kalıp-Makine İlişkisi
(wrl parametresi)
i/j
1
2
3
4
5
6
1
0
90
80
90
75
100
100
80
80
70
r/l
1
2
3
2
95
0
1
1
0
1
3
100
100
0
100
75
75
2
0
1
1
4
95
80
110
0
75
85
5
90
110
115
85
0
90
6
85
80
90
95
100
0
Tablo 3.3’te hangi kalıbın hangi makinelere bağlanılabilir olduğu gösterilmektedir. Örneğin 1 numaralı
20
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
Tablo 3.6’ da işlere ait sıra bağımlı hazırlık süresi
bilgileri yer almaktadır. Tabloda yer alan bilgilere göre
örneğin 1 numaralı işten hemen sonra 2 numaralı iş
çizelgelenirse 90 dakika hazırlık süresi gerekecektir.
Ancak 2 numaralı işten hemen sonra 1 numaralı iş
çizelgelenirse gerekecek hazırlık süresi 95 dakikadır.
Tablo 3.8. Diğer Karar Değişkenlerinin
Değerleri
Geliştirilen hedef programlama modeli GAMS/
Cplex çözücüsü yardımıyla çözülmüştür. Ayrıca hedef
programlamanın yapısı gereği amaç fonksiyonunda
yer alan farklı hedeflerin, ağırlıkları değiştikçe önem
derecesi fazla olan hedeflere yakın olacak şekilde yeni
çözümler türetilmektedir. w1: Tüm işler için hedeflenen
sıfır gecikmeden pozitif sapmaların enküçüklenmesi
amacının ağırlık değeri ve w2: Son işin tamamlanma
zamanı için belirlenen hedeften pozitif sapmanın
enküçüklenmesi amacının ağırlık değeridir.
2
1
1
4
2
5
3
3
2
6
p2
Makine3 h2
p5
Makine1 h1
p1
500
S1+j
qjv
1
1843
4
-
1,2,3,4
2
1502
4
-
1,2,3,4
3
3576
8
776
4,5,6,7,8
4
3233
7
833
4,5,6,7
5
1761
4
-
1,2,3,4
6
3772
8
772
4,5,6,7,8
p6
S26
Makine2 h3
0
fj
Ayrıca 3 numaralı iş 8. vardiyada tamamlanmıştır
ve 4, 5, 6, 7 ve 8. vardiyalar boyunca işlem görmeye
devam etmiştir. Son olarak 3 numaralı işin teslim
zamanının 776 dakika gecikmiş olduğu belirtilebilir.
Ayrıca tablodaki bilgilerden Cenb karar değişkeninin
3772 değerini almış olduğu görülmektedir. Elde edilen
çözümün Gantt Şeması Şekil 3.1’de verilmiştir.
Tablo 3.7. xjkl Karar Değişkeni
Değerleri (xkl = j formatında)
1
Cj
Tablo 3.7’de hangi makineye hangi sırada hangi işin atandığı bilgileri yer almaktadır. Örneğin 2
numaralı makineye 1 numaralı sırada 5 numaralı
iş atanmıştır. Matematiksel modelde yer alan diğer
karar değişkenlerinin aldığı değerler Tablo 3.8’de
yer almaktadır. Örneğin 3 numaralı işin tamamlanma
zamanı 3576 dakikadır.
Amaç fonksiyonunda yer alan hedeflerin eşit ağırlık derecesine sahip olduğu kabul edildiğinde (w1=1,
w2=1), GAMS/Cplex çözücüsüyle elde edilen sonuçlar
aşağıdaki gibidir.
l/k
j
p3
s53
S14
1000
1500
2000
Şekil 3.1 Örnek Problemin Gantt Şeması
21
p4
2500
3000
3500
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
Son olarak 3 numaralı işin teslim zamanının 823
dakika gecikmiş olduğu belirtilebilir. Ayrıca tablodaki
bilgilerden Cenb karar değişkeninin 4051 değerini almış
olduğu görülmektedir.
Amaç fonksiyonunda yer alan hedefler incelendiğinde hedeflenen sıfır gecikmeden pozitif sapmalar
toplamı (∑ S1+j) 2381 değerini almaktadır. Diğer bir
hedef olan son işin tamamlanma zamanı için belirlenen hedeften pozitif sapma değeri S2+ ise 272 değerini
almıştır. Amaç fonksiyonunda yer alan hedefler eşit
ağırlık derecesine sahip olduğunda amaç fonksiyonu
2653 değerini almaktadır.
Amaç fonksiyonunda yer alan hedefler incelendiğinde hedeflenen sıfır gecikmeden pozitif sapmalar
toplamı (∑ S1+j) 2356 değerini almaktadır. Diğer bir
hedef olan son işin tamamlanma zamanı için belirlenen hedeften pozitif sapma değeri S2+ ise 551 değerini
almıştır. Amaç fonksiyonunda yer alan hedefler arasında 100 / 1 ilişkisi olduğu durumda sıfır gecikmeden
pozitif sapmalar toplamı (∑ S1+j) beklendiği üzere 25
dakika azalmıştır. Ancak son işin tamamlanma zamanı
için belirlenen hedeften pozitif sapma değeri S2+ ise
279 dakika artmıştır.
Diğer bir durumda, amaç fonksiyonunda yer alan
sıfır gecikmeden pozitif sapmalar toplamının (∑S1+j )
önemi 100 olarak belirlenmiştir. Bu durumda önemi
arttırılan sapma değerinin küçülmesi beklenmektedir.
Tablo 3.9. xjkl karar değişkeni
değerleri (xkl = j formatında)
l/k
1
2
1
2
4
2
5
6
3
1
3
3.4 Gerçek Hayat Problemi
İşletmeden alınan veriler yardımıyla 10 iş, 6 makine ve 3 vardiya çizelgelenmesi için orta boyutlu bir
gerçek hayat problemi oluşturulmuştur. Problemin parametre değerleri Tablo 3.11-3.16’da yer almaktadır.
Amaç fonksiyonunda yer alan sıfır gecikmeden
pozitif sapmalar toplamının (∑ S1+j) öneminin 100
olarak alındığı durum için elde edilen xjkl karar değişkeni değerleri Tablo 3.9’da yer almaktadır. Örneğin
3 numaralı makineye 2 numaralı sırada 3 numaralı
iş atanmıştır. Matematiksel modelde yer alan diğer
karar değişkenlerinin aldığı değerler ise Tablo 3.10’da
verilmiştir.
Tablo 3.11. Çizelgelenecek İşlere
Ait Parametre Değerleri
Tablo 3.10. Diğer Karar Değişkenlerinin
Değerleri
j
hj
dj
pj
1
85
2560
290
2
85
10080
260
3
85
3780
885
4
85
1230
310
5
85
1230
960
6
85
1230
860
7
85
1230
290
8
85
3780
295
j
Cj
fj
S1+j
qjv
1
1843
4
-
1,2,3,4
2
1502
4
-
1,2,3,4
9
85
1230
645
3
3623
8
823
4,5,6,7,8
10
85
2560
330
4
2882
7
482
4,5,6,7
5
1761
4
-
1,2,3,4
6
4051
9
1051
4,5,6,7,8,9
Tablo 3.11’de çizelgelenecek işlere ait hj, d j ve pj
parametrelerinin değerleri yer almaktadır. Örneğin 1
numaralı iş çizelgenin ilk sırasında yer alırsa gerekecek
hazırlık süresi 85, işlem süresi 290 ve teslim zamanı
da 2560 dakikadır.
Tablo 3.10’da görülebileceği gibi 3 numaralı işin
tamamlanma zamanı 3623 dakikadır. Ayrıca 3 numaralı iş 8.vardiyada tamamlanmıştır ve 4., 5., 6., 7. ve
8. vardiyalar boyunca işlem görmeye devam etmiştir.
Tablo 3.12’de gerçek hayat probleminde çizelgelenecek işlerin hangi kalıplarla üretilebileceğini
22
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
örneğin, 2 numaralı kalıp dışında diğer kalıpların
2 numaralı makineye bağlanmaya uygun olmadığı
görülmektedir.
Tablo 3.12. İş-Kalıp İlişkisi (ejr parametresi)
j/r
1
2
3
4
5
6
1
1
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0
0
4
0
0
1
0
0
0
5
0
0
0
1
0
0
6
0
0
0
0
1
0
7
0
0
0
0
0
1
8
0
0
0
0
0
1
9
0
0
0
0
0
1
10
1
0
0
0
0
0
Tablo 3.14’te işlerin hangi makinelerde üretilebileceğini gösteren iş-makine ilişkisi parametre değerleri yer almaktadır. Tabloda yer alan verilere göre 2
numaralı makineye sadece 3 numaralı iş atanabilir
durumdadır. Bunun dışında kalan diğer işler ise 2
numaralı makine dışındaki tüm makinelere atanabilir
durumdadır.
Tablo 3.15. Makine-Vardiya
İlişkisi (glv parametresi)
gösteren iş-kalıp ilişkisi parametre değerleri yer almaktadır. Örneğin 4 numaralı iş 3 numaralı kalıp ile
üretilebilmektedir.
Tablo 3.13. Kalıp-Makine İlişkisi (wrl parametresi)
r/l
1
2
3
4
5
6
1
1
0
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
3
1
0
1
1
1
1
4
1
0
1
1
1
1
5
1
0
1
1
1
1
6
1
0
1
1
1
1
l/v
1
2
3
1
1
1
1
2
1
1
1
3
1
1
1
4
1
1
1
5
1
1
1
6
1
1
1
Tablo 3.15’te makinelerin hangi vardiyalarda çalışmaya elverişli olduğu bilgisi yer almaktadır. Mevcut
durum değerlerine göre bütün makineler belirlenen
planlama döneminde çalışmaya elverişlidir.
Tablo 3.16’da çizelgelenecek işler için sıra bağımlı
hazırlık süreleri yer almaktadır. Örneğin 1 numaralı
işten hemen sonra 2 numaralı iş çizelgelenirse gerekli
olan hazırlık süresi 90 dakikadır. Ancak 2 numaralı
işten hemen sonra 1 numaralı iş çizelgelenirse gerekli
olan hazırlık süresi 30 dakikadır.
Tablo 3.13’te kalıpların hangi makinelere bağlanabileceğini gösteren kalıp-makine ilişkisi parametre
değerleri yer almaktadır. Tabloda incelendiğinde,
Tablo 3.14. İş-Makine İlişkisi (bjl parametresi)
j/l
1
2
3
4
5
6
1
1
0
1
1
1
1
2
1
0
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
1
4
1
0
1
1
1
1
5
1
0
1
1
1
1
6
1
0
1
1
1
1
7
1
0
1
1
1
1
8
1
0
1
1
1
1
9
1
0
1
1
1
1
10
1
0
1
1
1
1
Geliştirilen hedef programlama modeli, hedeflerin
eşit öneme sahip olduğu durum göz önünde bulundurularak GAMS/Cplex ile 84 saniyede çözülmüştür.
Tablo 3.17’de işletmenin oluşturduğu çizelge için
xjkl karar değişkeni değerleri xkl = j formatında yer almaktadır. Örneğin 1 numaralı iş 1 numaralı makinede
ilk sırada 10 numaralı iş 1 numaralı makinede ikinci
sırada işlem görmektedir.
İşletmenin oluşturduğu çizelge için diğer karar
değişkeni değerleri ise Tablo 3.18’de yer almaktadır.
Örneğin 8 numaralı işin tamamlanma zamanı 1395
23
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
Tablo 3.16. Sıra Bağımlı Hazırlık Süreleri (sij parametresi)
i/j
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0
90
240
240
240
240
240
210
240
0
2
30
0
180
180
180
180
180
120
180
30
3
150
200
0
120
120
120
120
200
120
150
4
150
200
120
0
120
120
120
200
120
150
5
150
200
120
120
0
120
120
200
120
150
6
150
200
120
120
120
0
120
200
120
150
7
150
200
120
120
120
120
0
90
0
150
8
140
120
180
180
180
180
60
0
60
140
9
150
200
120
120
120
120
0
80
0
150
10
0
90
240
240
240
240
240
210
240
0
göre bütün işler teslim tarihlerine uygun olarak çizelgelenmiştir ve son işin tamamlanma zamanı 1395
değerini almıştır. Son işin tamamlanma zamanı için
hedeflenen değer 1260 dakikadır ve son işin tamamlanma zamanı için hedeflenen değerden pozitif sapma
değişkeni 135 değerini almıştır.
Tablo 3.17. İşletmenin Oluşturduğu
Çizelge İçin xjkl Karar Değişkeni Değerleri
(xkl = j)
l/k
1
2
3
1
1
10
2
2
3
-
-
3
4
-
-
4
5
-
-
5
6
-
-
6
7
9
8
Tablo 3.19 ve 3.20’de gerçek hayat probleminin
önerilen hedef programlama modeli kullanılarak
GAMS/Cplex’te çözülmesiyle elde edilen karar değişkeni değerleri yer almaktadır.
Tablo 3.19. Gerçek Problem İçin
Elde Edilen xjkl Karar Değişkeni
Değerleri (xkl = j)
Tablo 3.18. İşletmenin Oluşturduğu Çizelge
İçin Diğer Karar Değişkeni Değerleri
l/k
1
2
3
1
8
4
-
2
3
-
-
3
1
10
2
4
5
-
-
1
5
6
-
-
-
1,2
6
7
9
-
2
-
1,2
375
1
-
1
8
1395
3
-
2,3
9
1020
2
-
1,2
10
705
2
-
1,2
j
Cj
fj
S1+j
qjv
1
375
1
-
1
2
1055
2
-
2
3
970
2
-
1,2
4
395
1
-
5
1045
2
6
945
7
Tablo 3.19’da gerçek problem için elde edilen xjkl
karar değişkeni değerleri yer almaktadır. Örneğin 8
numaralı iş 1 numaralı makinede birinci sırada işlem
görmektedir. Bunun yanı sıra 4 numaralı iş 1 numaralı
makinede ikinci sırada işlem görmektedir.
Tablo 3.20’de gerçek hayat problemi için hedef
programlama modeliyle elde edilen diğer karar değiş-
dakikadır. Aynı zamanda 8 numaralı iş 2 ve 3 numaralı
vardiyalarda işlem görmüştür. İşletmenin çizelgesine
24
Plastik Enjeksiyon Makinelerinin Vardıya Bazında Çizelgelenmesi Problemi İçin Bir Hedef Programlama Modeli
Tablo 3.20. Gerçek Problem İçin Elde Edilen
Diğer Karar Değişkeni Değerleri
hedeflenen değerden daha küçüktür. Bu durumda S2karar değişkeni 205 değerini almaktadır. Elde edilen
çözümün Gantt Şeması Şekil 3.2’de verilmiştir.
j
Cj
fj
S1+j
qjv
1
375
1
-
1
2
1055
2
-
2
3
970
2
-
1
4
870
2
-
1
Tablo 3.21. Sonuçların Karşılaştırılması
5
1045
2
-
1
∑Tj
6
945
2
-
1
7
375
1
-
1
8
380
1
-
1
9
1020
2
-
1
10
705
2
-
1
Aşağıdaki tabloda işletmenin çizelgesi ve önerilen
modelle elde edilen hedef değerlerinin karşılaştırması
yer almaktadır.
Önerilen Model
0
1055
İşletmenin Çizelgesi
0
1395
Tablo 3.21’de yer alan sonuçlara göre ∑Tj değeri
hem işletme tarafından hazırlanan çizelgede hem de
önerilen modelle elde edilen çizelgede sıfır değerini
almaktadır. Bu durum işlerin teslim zamanlarına
uygun olarak çizelgelendiği anlamına gelmektedir.
Ancak son işin tamamlanma zamanını temsil eden
Cenb değeri işletme tarafından hazırlanan çizelgede
1395 değerini alırken önerilen modelle elde edilen
çizelgede 1055 değerini almaktadır. Sonuçlar karşılaştırıldığında önerilen modelle elde edilen çizelge ile
son işin tamamlanma zamanı için % 24’lük bir iyileş-
keni değerleri yer almaktadır. Örneğin, 4 numaralı işin
tamamlanma zamanı 870 dakikadır. 4 numaralı iş 2
numaralı vardiyada sona ermiştir ve 1 ve 2 numaralı
vardiyalarda işlem görmüştür. Ayrıca çizelgelenen
bütün işler teslim zamanlarına uygun olarak çizelgelenmiştir. Son işin tamamlanma zamanı 1055 değerini
almıştır ve bu değer son işin tamamlanma zamanı için
p9
Makine6
h7
Makine5
h6
p6
Makine4
h5
p5
Makine3
h1
Makine2
h3
Makine1
h8
0
Cenb
p7
p1
p10
s10,2
p2
p3
p8
s8,4
P4
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700 750 800 850 900 950 10001050
Şekil 3.2. Gerçek Problemin Gantt Şeması
25
Serhat Kaya, Tuğba Saraç
tirme sağlanmıştır. Ayrıca her iki hedef değerine de
ulaşılmıştır. Ayrıca büyük boyutlu bir problemin (30
iş, 11 makine, 12 vardiya) önerilen modelle çözülmesi
denenmiş ancak GAMS / Cplex çözücüsüyle çözüm
elde edilememiştir.
4.
Symposium on Emerging Technologies and Factory
Automation, ETFA 1, 671-678.
5.
rules. Computers and Industrial Engineering 38, 189-202.
6.
Bu çalışmada bir plastik parça üreticisinin üretim
tesislerinde yer alan plastik enjeksiyon makinelerinde
ürünlerin hangi sırayla üretilmesi gerektiğinin belirlendiği n iş m makine özdeş paralel makine çizelgeleme
problemi ele alınmıştır. Çalışma, ele alınan süreç
özellikleri ve vardiya bazlı çizelgeleme yapılması
nedeniyle literatürde ilk olma özelliğini taşımaktadır.
Gerçek hayatta çizelgeleme yapılırken vardiyalara ait
bilgilerin dahil edilmesi kaçınılmazdır. Önerilen model
bunu mümkün kılmaktadır.
- tardiness Penalties and Sequence – Dependent Set – Up
Times. International Journal of Production Research 38,
2233-2252.
7.
Zhu, Z., Heady, R. B., 2000. Minimizing the Sum of
Earliness/tardiness in Multi Machine Scheduling : A Mixed
Integer Programming Approach. Computers and Industrial
Engineering 38, 297-305.
8.
Gendreau, M., Laporte, G., Guimaraes, E. M., 2001.
A Divide and Merge Heuristic for the Multiprocessor
Scheduling Problem with Sequence Dependent Setup
Times. European Journal of Production Research 133,
183-189.
9.
Kurz, M.E., Askin, R.G., 2001. Heuristic Scheduling of
Parallel Machines with Sequence – Dependent Set – Up
Times. International Journal of Production Research 39,
3747-3769.
10. Pinedo, M., 2002. Scheduling: Theory, Algorithms and
Systems. 2nd Ed., Prentice Hall, 568p.
Çalışmanın devamında, büyük boyutlu problemlerin çözümü için sezgisel yöntemlere başvurulması
önerilmektedir. Ayrıca verileri ve çözüm sonrası elde
edilecek sonuçları değerlendirmek ve düzenlemek için
bir ara yüz geliştirilmesi önerilmektedir.
11. Tahar, D.N., Yalaoui, F., Chu, C., Amadeo, L., 2006.
A Linear Programming Approach for Identical Parallel
Machine Scheduling with Job Splitting and Sequence
Dependent Setup Times. International Journal of
Production Economics 99, 63-73.
12. Saraç, T., 2007, Genelleştirilmiş Karesel Çoklu Sırt Çantası
KAYNAKÇA
Problemi İçin Melez Bir Çözüm Yaklaşımı, Doktora Tezi,
Heady, R.B., Zhu, Z., 1998. Minimizing the Sum of
Eskişehir Osmangazi Ü. Fen Bil. Ens., s.90 – 108.
Job Earliness and Tardiness in a Multimachine System.
13. Allahverdi, A. 2008. A Survey of Scheduling Problems
International Journal of Production Research 36, 1619-
with Setup Times or Costs. European Journal of
1632.
Operational Research 187, 985-1032.
Balakrishnan, N., Kanet, J. J., Sridharan, S. V., 1999.
14. Gharehgozli, A. H., Tavakkoli – Moghaddam, R. Zaerpour,
Early/tardy Scheduling with Sequence Dependent Setups
N. 2008. A Fuzzy – Mixed Integer Goal Programming
on Uniform Paralel Machines. Computers and Operations
Model for a Parallel – machine Scheduling Problem with
Research 26, 127-141.
3.
Radhakrishnan, S., Ventura, J. A., 2000. Simulated
Annealing for Parallel Machine Scheduling with Earliness
Ele alınan problemin çözümü için bir hedef programlama modeli geliştirilmiştir. Geliştirilen hedef
programlama modeli ile küçük boyutlu problemin ve
işletmeden alınan verilere dayalı orta boyutlu problemin çözümüne ulaşılabilirken, yine işletmeden alınan
verilerle oluşturulan büyük boyutlu problem için ise
çözüm elde edilememiştir.
2.
Park, Y., Kim, S., Lee, Y. H., 2000. Scheduling Jobs on
Parallel Machines Applying Neural Network and Heuristic
4. SONUÇ VE ÖNERİLER
1.
Vignier , A., Sonntag, B., Portmann, M. C., 1999. Hybrid
Method for a Parallel Machine Scheduling Problem. IEEE
Sequence – Dependent Setup Times and Release Dates.
Sivrikaya – Serifoglu, F., Ulusoy, G., 1999. Parallel
Machine Scheduling with Earliness and Tardiness
15. Toksari, M. D., Guner. E., 2009. Parallel Machine
Penalties. Computers and Operations Research 26, 773-
Scheduling Problem to Minimize the Earliness/tardiness
787.
Costs with Learning Effect and Deteriorating Jobs.
26