Análisis Matemático 2ed Apostol

Análisis Matemático Segunda edición T. M. Apostol , 4 ¡AL REY EnTÉ Análisis Matemático Segunda edición Tom M. Apostol Califormia Institute of Technology (En) EDITORIAL REVERTÉ Barcelona - Bogotá - Buenos Aires - Caracas - México Título de la obra original: Mathematical Analysis Versión original publicada en lengua inglesa por: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading, Massachusetts, U. S. A. Copyright O by Addison-Wesley Publishing Company. Al Rights Reserved Edición en español: O Editorial Reverté, S. A., 1976 Edición en papel: ISBN: 978-84-291-5004-9 Edición e-book (PDF): ISBN: 978-84-291-9448-7 Versión española por: Dr. José Pla Carrera Doctor en Matemáticas Profesor de la Facultad de Matemáticas en la Universidad de Barcelona Revisada por: Dr. Enrique Linés Escardó Catedrático de la Facultad de Ciencias de la Universidad de Madrid Propiedad de: EDITORIAL REVERTE, S. A. Loreto, 13-15. Local B 08029 Barcelona. ESPAÑA Tel: (34) 93 419 33 36 Fax: (34) 93 419 51 89 reverte(Vreverte.com www.reverte.com Reservados todos los derechos. La reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos, queda rigurosamente prohibida sin la autorización escrita de los titulares del copyright, bajo las sanciones establecidas por las leyes. H 628 A mis padres Prólogo Una ojeada al índice anadlítico pondrá de manifiesto que este libro de texto trata temas de análisis a nivel de «Cálculo superior». La pretensión ha sido proporcionar un desarrollo de la materia que sea honesto, eficaz, puesto al día y, al mismo tiempo, que no resulte pedante. El libro constituye una transición del Cálculo elemental a cursos más avanzados de la teoría de las funciones real y compleja e introduce al lector un poco en el pensamiento abstracto que ocupa el análisis moderno. La segunda edición difiere de la primera en muchos aspectos. La topología en conjuntos de puntos se explica al establecer los espacios métricos generales, así como el espacio euclídeo n-dimensional, y se han añadido dos nuevos capítulos sobre la integración de Lebesgue. Se ha suprimido lo referente a integrales lineales, análisis vectorial e integrales de superficie. Se ha cambiado el orden de algunos capítulos, se han escrito totalmente nuevos algunos apartados y se han añadido ejercicios nuevos. El desarrollo de la integración de Lebesgue se deduce de la propuesta de Riesz-Nagy que se enfoca directamente a las funciones y sus integrales y no depende de la teoría de la medida. El tratamiento aquí está simplificado, puesto a la vista y un tanto reordenado para estudiantes de cursos inferiores. La primera edición se ha seguido en cursos de matemáticas de distintos niveles, desde el primer curso de estudiantes no graduados al primero de graduados, tanto como libro de texto, como de rejferencia suplementaria. La segunda edición conserva esa flexibilidad: por ejemplo, los capítulos 1 al 5, 12 y 13 son un curso de cálculo diferencial de funciones con una o más variables; los capítulos 6 al 11, 14 y 15, un curso de teoría de la integración. Son posibles muchas otras combinaciones: cada profesor puede elegir los temas que se acomoden a sus necesidades consultando el diagrama de la página siguiente, que expone la interdependencia lógica de los capítulos. Quisiera expresar mi gratitud a muchas personas que se tomaron la molestia de escribirme sobre la primera edición. Sus comentarios y sugerencias influ- yeron en la preparación de la segunda. Debo dar las gracias especialmente al doctor Charalambos Aliprantis, que leyó detenidamente todo el manuscrito de la obra e hizo numerosas observaciones oportunas, además de proporcionarme algunos de los nuevos ejercicios. Por último, quisiera hacer patente mii agradecimiento a los estudiantes de Caltech, cuyo entusiasmo por las matemáticas fue el primer incentivo para esta obra. T. M. A. VII INTERDEPENDENCIA EL SISTEMA REALES Y EL DE DE 1 l LÓGICA LOS LOS DE LOS CAPÍTULOS NÚMEROS COMPLEJOS 2 ALGUNAS NOCIONES BASICAS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS | 3 ELEMENTOS DE EN CONJUNTOS ! TOPOLOGÍA DE PUNTOS 4 LÍMITES Y CONTINUIDAD ! 5 DERIVADAS Y 6 FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA Y CURVAS RECTIFICABLES $ Y SERIES 8 INFINITAS PRODUCTOS Y CÁLCULO INFINITOS DE VARIAS 12 DIFERENCIAL VARIABLES —l Y — 7 LA INTEGRAL DE RIEMANN-STIELTIJES 9 SUCESIONES DE FUNCIONES FUNCIONES PROBLEMAS | Y 14 INTEGRALES MÚULTIPLES DE RIEMANN Y LA 10 INTEGRAL — DE LEBESGUE | 11 SERIES DE FOURIER E INTEGRALES DE FOURIER y TEOREMA CAÁLCULO 16 DE CAUCHY Y DE RESIDUOS y Y 15 INTEGRALES DE LEBESGUE MULTIPLES 13 IMPLÍCITAS Y DE EXTREMOS ... 7 E . (supremo) O ! VIÍ El sistema de los números reales y el de los complejos Introducción Los axiomas de cuerpo Los axiomas de orden Representación geométrica de los números reales Intervalos Los enteros Teorema de descomposición única para enteros Los números racionales Los números irracionales Cotas superiores; elemento máximo, cota superior 00 1 1.1 1.2 00 Capítulo ANAN = Indice analítico mínima El axioma de completitud Algunas propiedades del supremo Propiedades de los enteros deducidas del axioma de completitud La propiedad arquimediana del sistema de los números reales Los números racionales con representación decimal finita Aproximaciones decimales finitas de los números reales Representaciones decimales infinitas de los números reales Valor absoluto y desigualdad triangular La desigualdad de Cauchy-Schwarz Más y menos infinito y la extensión R* del sistema de los números reales Los números complejos Representación geométrica de los números complejos La unidad imaginaria Valor absoluto de un número complejo Imposibilidad de ordenar los números complejos Exponenciales complejas Otras propiedades de las exponenciales complejas El argumento de un número complejo Potencias enteras y raíces de números complejos Los logaritmos complejos Potencias complejas Senos y cosenos complejos Infinito y el plano complejo ampliado C* Ejercicios X X Capítulo Índice 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 Capítulo Capítulo Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Introducción Notaciones Pares ordenados Producto cartesiano de dos conjuntos Relaciones y funciones Más terminología referente a funciones Funciones uno a uno e inversas Funciones compuestas Sucesiones Conjuntos coordinables (equipotentes) Conjuntos finitos e infinitos Conjuntos numerables y no numerables El conjunto de los números reales no es numerable Álgebra de conjuntos Colecciones numerables de conjuntos numerables Ejercicios 3 3.1 3.2 33 3.4 Elementos de topología en conjuntos de puntos 4 Límites y continuidad Introducción Sucesiones convergentes en un espacio métrico Sucesiones de Cauchy Espacios métricos completos Límite de una función Límites de funciones con valores complejos Límites de funciones con valores vectoriales Funciones continuas 4.1 4.2 4.3 44 4.5 4.6 4.7 4.8 Introducción El espacio euclídeo R" Bolas abiertas y conjuntos abiertos de R La estructura de los conjuntos abiertos de R! Conjuntos cerrados Puntos adherentes. Puntos de acumulación Conjuntos cerrados y puntos adherentes Teorema de Bolzano-Weierstrass Teorema de encaje de Cantor Teorema del recubrimiento de Lindelóf Teorema del recubrimiento de Heine-Borel Compacidad en R* Espacios métricos Topología en espacios métricos Subconjuntos compactos de un espacio métrico Frontera de un conjunto Ejercicios analítico 39 39 39 40 41 41 42 43 45 45 46 Índice XI analítico 4.9 4.10 4.11 4.12 4.13 4.14 4.15 4.16 4.17 4.18 4.19 4.20 4.21 422 4.23 Capítulo 5 Capítulo 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 La continuidad de las funciones compuestas Funciones complejas y funciones vectoriales continuas Ejemplos de funciones continuas Continuidad y antiimágenes de conjuntos abiertos y cerrados Funciones continuas sobre conjuntos compactos Teorema de Bolzano Conexión Componentes de un espacio métrico Conexión por arcos Continuidad uniforme Continuidad uniforme y conjuntos compactos Teorema del punto fijo para contracciones Discontinuidades de las funciones reales Funciones monótonas Ejercicios 9%6 97 97 98 100 102 102 104 106 107 109 110 111 113 115 116 Derivadas Introducción Definición de derivada Derivadas y continuidad Álgebra de derivadas La regla de la cadena Derivadas laterales y derivadas infinitas Funciones con derivada no nula Derivadas cero y extremos locales Teorema de Rolle Teorema del valor medio para derivadas Teorema del valor intermedio para las derivadas Fórmula de Taylor con resto Derivadas de funciones vectoriales Derivadas parciales Diferenciación de funciones de una variable compleja Ecuaciones de Cauchy-Riemann Ejercicios 125 125 125 126 127 128 129 130 131 132 132 134 136 137 138 140 142 146 Funciones de variación acotada y curvas rectificables Introducción Propiedades de las funciones monótonas Funciones de variación acotada Variación total Propiedad aditiva de la variación total La variación total [a,x], como función de x Funciones de variación acotada expresadas como diferencia de 153 153 153 154 156 157 158 Aplicaciones topológicas (homeomorfismos) dos funciones crecientes Funciones continuas de variación Curvas y caminos acotada: 159 159 161 XII Capítulo Índice 6.10 6.11 6.12 Caminos rectificables y longitud de un arco Propiedades de aditividad y de continuidad de la longitud de arco Caminos equivalentes. Cambios de parámetros Ejercicios 161 163 164 165 7 71 7.2 7.3 74 7.5 7.6 7.7 7.8 79 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 La integral de Riemann-Stieltjes Introducción Notación La definición de la integral de Riemann-Stieltjes Propiedades lineales Integración por partes Cambio de variable en una integral de Riemann-Stieltjes Reducción de una integral de Riemann Funciones escalonadas como .integradores Reducción de una integral de Riemann-Stieltjes a una suma finita Fórmula de sumación de Euler Integradores monótonos crecientes. Integrales superior e inferior Propiedades aditiva y lineal de las integrales superior e inferior Condición de Riemann Teoremas de comparación Integradores de variación acotada Condiciones suficientes para la existencia de las integrales de Riemann-Sticltjes Condiciones necesarias para la existencia de las integrales de Riemann-Stieltjes Teoremas del valor medio para las integrales de Riemann-Stieltjes La integral como función del intervalo El segundo teorema fundamental del Cálculo integral Cambio de variable en una integral de Riemann Segundo teorema del valor medio para integrales de Riemann Integrales de Riemann-Stieltjes dependientes de un parámetro Derivación bajo el signo integral Intercambio en el orden de integración Criterio de Lebesgue para la existencia de las integrales de Riemann Integrales complejas de Riemann-Stieltjes Ejercicios 169 169 170 171 171 174 175 176 177 179 181 181 185 186 187 189 Series infinitas y productos infinitos Introducción Sucesiones convergentes y divergentes de números complejos Límite superior y límite inferior de una sucesión real Sucesiones monótonas de números reales Series infinitas Introducción y supresión de paréntesis Series alternadas Convergencia absoluta y condicional 223 223 223 224 225 226 227 229 230 747 7.18 7.19 7.20 7.21 7.22 7.23 7.24 7.25 7.26 7.27 Capítulo analítico 8 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 193 194 195 196 197 199 200 201 203 203 205 211 212 Índice Capítulo analítico 8.9 8.10 8.11 8.12 8.13 8.14 8.15 8.16 Parte real y parte imaginaria de una serie compleja Criterios de convergencia para las series de términos positivos La serie geométrica El criterio de la integral Las notaciones O grande y o pequeña El criterio del cociente y el criterio de la raíz Criterios de Dirichlet y de Abel Sumas parciales de la serie geométrica %z" sobre el círculo 8.17 8.18 8.19 8.20 8.21 8.22 8.23 8.24 8.25 8.26 8.27 Reordenación de series Teorema de Riemann para series condicionalmente convergentes Series parciales Sucesiones dobles Series dobles Teorema de reordenación para series dobles Una condición suficiente para la igualdad de series reiteradas Multiplicación de series Sumabilidad de Césaro Productos infinitos Producto de Euler para la función zeta de Riemann Ejercicios Sucesiones de funciones Convergencia puntual de sucesiones de funciones Ejemplos de sucesiones de funciones reales Definición de convergencia uniforme Convergencia uniforme y continuidad La condición de Cauchy para la convergencia uniforme Convergencia uniforme de series infinitas de funciones Una curva que llena todo el espacio Convergencia uniforme e integración de Riemann-Stieltjes Sucesiones convergentes con convergencia no uniforme que pueden ser integradas término a término Convergencia uniforme y diferenciación Condiciones suficientes para la convergencia uniforme de series Convergencia uniforme y sucesiones dobles Convergencia en media Serie de potencias Multiplicación de series de potencias El teorema de sustitución Recíproca de una serie de potencias Series reales de potencias Serie de Taylor generada por una función Teorema de Bernstein La serie binómica Teorema del límite de Abel Teorema de Tauber Ejercicios 9 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10 9.11 9.12 9.13 9.14 9.15 9.16 9.17 9.18 9.19 9.20 9.21 9.22 9.23 unidad |z|=1 CU 231 231 232 232 234 235 236 237 238 240 241 243 244 245 247 248 250 252 255 256 265 265 206 268 269 270 271 272 274 275 278 280 281 282 284 289 290 291 292 293 294 297 298 300 301 XIV Índice Capítulo 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 analítico La integral de Lebesgue Introducción Integral de una función escalonada Sucesiones monótonas de funciones escalonadas Funciones superiores y sus integrales Las funciones integrales de Riemann como ejemplo de las funciones superiores La clase de las funciones integrables de Lebesgue en un intervalo general Propiedades básicas de la integral de Lebesgue Integración de Lebesgue y conjuntos de medida cero Teoremas de convergencia monótona de Levi Teorema de convergencia dominada de Lebesgue Aplicaciones del teorema de convergencia dominada de Lebesgue Integrales de Lebesgue sobre intervalos no acotados como límite de integrales sobre intervalos acotados Integrales de Riemann impropias Funciones medibles 307 307 308 309 312 Lebesgue Diferenciación bajo signo integral Intercambio en el orden de integración Conjuntos medibles de la recta real La integral de Lebesgue en subconjuntos arbitrarios de R Integrales de Lebesgue de funciones complejas Productos interiores y normas El conjunto L?() de las funciones de cuadrado integrable El conjunto L(1) como espacio semimétrico Un teorema de convergencia para series de funciones de L*(1) Teorema de Riesz-Fischer Ejercicios 342 345 349 352 355 356 357 358 360 360 302 303 373 373 373 374 11.8 11.9 11.10 Series de Fourier e integrales de Fourier Introducción Sistemas ortogonales de funciones El teorema de óptima aproximación Serie de Fourier de una función relativa a un sistema ortonormal Propiedades de los coeficientes de Fourier Teorema de Riesz-Fischer Los problemas de convergencia y representación para series trigonométricas Lema de Riemann-Lebesgue Integrales de Dirichlet Una representación integral para las sumas parciales de una 11.11 Teorema 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 10.11 10.12 10.13 10.14 10.15 10.16 10.17 10.18 10.19 10.20 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 Capítulo 11 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 Continuidad de funciones definidas por medio de integrales de serie de Fourier de localización de Riemann 316 318 319 323 323 330 333 335 337 340 376 377 378 380 381 383 386 387 Índice analítico 11.12 11.13 11.14 11.15 11.16 11.17 11.18 11.19 11.20 11.21 11.22 Capítulo 12 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8 12.9 12.10 12.11 12.12 12.13 12.14 Capítulo 13 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 13.6 13.7 Capítulo 14 14.1 14.2 XV Condiciones suficientes para la convergencia de una serie Fourier en un punto particular Sumabilidad de Cesáro para series de Fouriér Consecuencias del teorema de Fejer Teorema de aproximación de Weierstrass Otras formas de series de Fourier Teorema de la integral de Fourier Forma exponencial del teorema de la integral de Fourier Transformadas integrales Convoluciones Teorema de convolución para transformadas de Fourier Fórmula de sumación de Poisson Ejercicios de Cálculo diferencial de varias varables Introducción La derivada direccional Derivadas direccionales y continuidad La derivada total La derivada total expresada por medio de las derivadas parciales Aplicación a las funciones complejas La matriz de una función lineal La matriz jacobiana Regla de la cadena Forma matricial de la regla de la cadena Teorema del valor medio para funciones diferenciables Una condición suficiente de diferenciabilidad Una condición suficiente para la igualdad de las derivadas parciales cruzadas Fórmula de Taylor para funciones de R” en R Ejercicios Funciones implícitas y problemas de extremos Introducción Funciones con determinante jacobiano no nulo El teorema de la función inversa El teorema de la función implícita , Extremos de funciones reales de una variable Extremos de funciones reales de varias variables Problemas Ejercicios de extremos condicionados Integrales múltiples de Riemann Introducción Medida de un intervalo acotado de R" 388 389 391 392 393 394 39% 397 399 401 403 407 417 417 417 418 419 421 422 423 425 427 428 430 432 434 437 439 445 445 447 451 453 455 456 460 466 471 471 471 XvVI Índice 14.3 14.4 14.5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 Capítulo 15 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6 15.7 15.8 15.9 15.10 15.11 15.12 15.13 analítico Integral de Riemann de una función acotada definida en un intervalo compacto de R Conjuntos de medida cero y criterio de Lebesgue patra la existencia de una integral múltiple de Riemann Cálculo de una integral múltiple por integración reiterada Conjuntos medibles Jordan en R* Integración múltiple sobre conjuntos medibles Jordan El contenido de Jordan expresado como integral de Riemann Propiedad aditiva de la integral de Riemann Teorema del valor medio para integrales múltiples Ejercicios Integrales de Lebesgue múltiples Introducción Funciones escalonadas y sus integrales Funciones superiores y funciones integrales Lebesgue Funciones medibles y conjuntos medibles de R* Teorema de Fubini para la reducción de la integral doble de una función escalonada Algunas propiedades de los conjuntos de medida cero Teorema de Fubini para la reducción de integrales dobles Criterio de Tonelli-Hobson de integrabilidad Cambios de coordenadas | ! Fórmula de cambio de variables en integrales múltiples Demostración de la fórmula de cambio de variables para transformaciones lineales de coordenadas Demostración de la fórmula de cambio de variables para la función característica de un cubo compacto Complemento de la demostración de la fórmula de cambio de variables Ejercicios Capítulo 16 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10 160.11 16.12 Teorema de Cauchy y cálculo de residuos Funciones analíticas Caminos y curvas en el plano complejo Integrales de contorno La integral a lo largo de caminos circulares expresada en función del radio El teorema de la integral de Cauchy para un círculo Curvas homotópicas Invariancia de las integrales de contorno en las homotopías Forma general del teorema de la integral de Cauchy Fórmula de la integral de Cauchy Número de giros de un circuito con respecto a un punto La no acotación del conjunto de puntos con número de giros igual a cero Funciones analíticas definidas por integrales de contorno 472 475 475 480 482 483 484 486 488 491 491 492 493 494 497 499 501 504 505 511 511 514 521 523 527 527 528 529 532 533 534 536 538 539 540 542 544 Índice analítico 160.13 16.14 16.15 10.16 16.17 16.18 16.19 16,20 16.21 16.22 16.23 16.24 16.25 16.26 16.27 Desarrollo en serie de potencias de las funciones analíticas Desigualdades de Cauchy. Teorema de Liouville Separación de los ceros de una función analítica El teorema de identidad para funciones analíticas Módulos máximo y mínimo de una función analítica El teorema de la aplicación abierta Desarrollos de Laurent para funciones analíticas en un anillo Singularidades aisladas Residuo de una función en un punto singular aislado Teorema de Cauchy del residuo Números de ceros y de polos en una región Cálculo de integrales reales por medio de residuos Cálculo de la suma de Gauss por el método de los residuos Aplicación del teorema del residuo a la fórmula de inversión para transformadas de Laplace Aplicaciones conformes Ejercicios Índice de símbolos especiales Indice alfabético XvVII 546 548 549 551 551 553 554 557 559 560 561 562 565 570 572 575 585 589 Análisis matemático CAPÍTULO 1 El sistema de los números reales y el de los complejos 1.1 INTRODUCCIÓN El Análisis matemático estudia conceptos relacionados de alguna manera con los números reales; por ello empezaremos nuestro estudio del Análisis con una discusión del sistema de los números reales. Existen diversos métodos para introducir los números reales. Uno de ellos parte de los enteros positivos 1, 2, 3, ..., que considera conceptos no defini- dos, utilizándolos para construir un sistema más amplio, los números racionales positivos (cocientes de enteros positivos), los mnegativos y el cero. Los números racionales son utilizados, a su vez, para construir los números irracionales, números reales como y2 y , que no son racionales. El sistema de los números reales lo constituye la reunión de los números racionales e irracionales. A pesar de que estas cuestiones constituyen una parte importante de los fundamentos de la Matemática, no las describiremos aquí con detalle. Es un hecho que, en la mayor parte del Análisis, nos interesarán solamente las propiedades de los números reales antes que los métodos utilizados para construir- los. Por lo tanto, consideraremos los números reales mismos como objetos no definidos, sometidos a ciertos axiomas de los que extraeremos ulteriores propiedades. Dado que el lector está, probablemente, familiarizado con la mayoría de las propiedades de los números reales que consideraremos en las páginas que siguen, la exposición será más bien breve. Su propósito es examinar las carac- terísticas más importantes y persuadir al lector de que, de ser necesario, todas las propiedades se podrían deducir a partir de los axiomas. Tratamientos más detallados podrán hallarse en las referencias del final de este capítulo. Por conveniencia usaremos la notación y la terminología de la teoría de conjuntos elemental. Supongamos que $ designa un conjunto (una colección de objetos). La notación x € $S significa que x está en el conjunto $, escribiendo x €£ $ para indicar que x no está en $. | Un conjunto S es un subconjunto de T si cada elemento de $ está también en T. Lo indicaremos escribiendo S C 7. Un conjunto es no vacío si contiene, por lo menos, un elemento. 2 El sistema de los números reales y el de los complejos Suponemos que existe un conjunto no vacío R de elementos, llamados números reales, que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación. Los axiomas se clasifican de manera natural en tres grupos a los que nos referiremos como axiomas de cuerpo, axiomas de orden y axioma de completitud (llamado también axioma del supremo o axioma de continuidad). 1.2 LOS AXIOMAS DE CUERPO Junto con el conjunto R de los números reales admitimos la existencia de dos operaciones, llamadas suma y multiplicación, tales que, para cada par de nú- meros reales x e y, la suma x minados unívocamente por x e axiomas que a continuación se trarios en tanto no se precise + y y el producto xy son números reales detery, satisfaciendo los siguientes axiomas. (En los exponen, x, y, 7 representan números reales arbilo contrario.) Axioma l1. Xx + Y = Y + X, Xy = yx (leyes conmutativas). Axioma 2. X + (y + z) = (X + 9) + 7, Axioma 3. Xx(y + Z) = Xy + xz x(y7) = (xy)2 (leyes asociativas). (ley distributiva). Axioma 4. Dados dos números reales cualesquiera x e y, existe un número real z tal que x + 2 = y. Dicho número z se designará por y — x; el número x—x se designará por 0. (Se puede demostrar que O es independiente de x.) Escribiremos — x en vez de 0 — x y al número — x lo llamaremos opuesto de x. Axioma 5. Existe, por lo menos, un número real x £ 0. Si x e y son dos números reales con x = 0, entonces existe un número Z tal que xz = y. Dicho número z se desginará por y|x; el número x|x se designará por 1l y puede demostrarse que es independiente de x. Escribiremos x-! en vez de 1|x si x50 y a x' lo llamaremos recíproco o inverso de x. De estos axiomas pueden deducirse todas las leyes usuales de la Aritmé- tica; por ejemplo, —(—2 =x, (+9'=x, —— » =y—x x—)= x + (—3), etc. (Para un desarrollo más 1.3 AXIOMAS LOS DE detallado, ver Referencia 1.1.) ORDEN Suponemos también la existencia de una relación < que establece una ordenación entre los números reales y que satisface los axiomas siguientes: El sistema Axioma NOTA. de los números 6. reales y el de los complejos Se verifica una y sólo una de las relaciones x = y, x <y, 3 X > y. X > y significa lo mismo que y < . Axioma 7. Si x < y, entonces, para cada z, es Axioma 8. Si x > 0 e y > 0, entonces xy > 0. Axioma 9. Si x> y e y > Z, entonces x+ Z< y + Z. x > Z. NOTA. Un número real x se llama positivo si x > 0 y negativo si x < 0. Designaremos por R* el conjunto de todos los números reales positivos y por R- el conjunto de todos los números reales negativos. De estos axiomas pueden deducirse las reglas usuales que rigen las operaciones con desigualdades. Por ejemplo, si tenemos que x < y, entonces xz < yZ si Z es positivo, mientras que xZ > yZ si Z es negativo. Además, si x > y y Z > W con y y w positivos, entonces xz > yWw. (Para una discusión más detallada de estas reglas ver Referencia 1.1.) NOTA. El simbolismo x< y se utiliza para abreviar la afirmación: [ X < Resulta, pues, que 2 < 3 ya que y O X 2<< 3; y = y.9) 2< 2 ya que 2 = 2. El símbolo > se utiliza de forma análoga. Un número real x se llama no negativo si x — 0. Un par simultáneo de desigualdades tales como x < y, y < Z se abrevia por medio de la expresión x < y Z. El teorema que sigue, que no es más que una consecuencia inmediata de los axiomas precedentes, se utiliza a menudo en las demostraciones del Aná- lisis. Teorema 1.1. Sean a y b números reales tales que a< b+ € para cada € > O. (1) Entonces a < b. Demostración. Si b < a, entonces la desigualdad (1) no se satisface para e = (a — b)/2 puesto que | b+e=b+ a-b 2 = a+b 2 < a+a 2 =a 4 El sistema de los números reales y el de los complejos Por lo tanto, por el axioma 6, resulta que 2 <b. El axioma 10, axioma de completitud, será enunciado en la sección 1.11. 1.4. REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS REALES Los números reales son, a menudo, representados geométricamente como pun- tos de una recta (denominada recta real o eje real). Se elige un punto para que represente el 0 y otro a la derecha del O para que represente el 1, como muestra la Fig. 1.1. Esta elección determina la escala. Con un conjunto apropiado de axiomas para la Geometría euclídea a cada punto de la recta real corresponde un número real y uno sólo y, recíprocamente, cada número real está representado por un punto de la recta real y uno solo. Es usual referirse al punto x en vez de referirse al punto correspondiente al número real x. y y 0 o 1 — T y Figura 1.1 La relación de orden admite una interpretación geométrica simple. Si x < y, el punto x está a la izquierda del punto y, como muestra la figura 1.1. Los nú- meros positivos están a la derecha del 0 y los números negativos están a la izquierda del 0. Si a < », un punto x satisface las desigualdades y sólo si, x está entre a y b. 1.5 a < x<bsi, INTERVALOS El conjunto de todos los puntos comprendidos entre a y b se denomina inter- valo. A menudo es importante distinguir entre los intervalos que incluyen sus extremos y los intervalos que no los incluyen. NOTACIÓN. La notación (x:x verifica P) designa el conjunto de todos los números reales x tales que satisfacen la propiedad P. Definición 1.2. Supongamos a< b. El intervalo abierto (a, b) se define por (a, bd = (x:a < x < D). El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto (x:a < x < b). Los intervalos semiabiertos (a, b] y [a, b) se definen análogamente utilizando, respectivamente, las desigualdades a < x <b y a< x < b. Los intervalos infinitos se definen como sigue: (a, +00) = (x:x > a), [a, +00) = (x:x > a), El sistema de los números reales y el de los complejos (-00,a) = (x:x <a), 5 (-—0o,a] = (x:x<a). Se utiliza a veces el intervalo (—oo, + vo) para designar la recta real R. Un solo punto es considerado como un intervalo cerrado «degenerado». NOTA. Los símbolos + 00 y —oo se Utilizan aquí tan sólo por conveniencias de notación y no deben ser considerados como números reales. Más adelante extenderemos el sistema de los números reales incluyendo estos dos símbolos, pero, mientras no lo hagamos, el lector deberá entender que todos los números reales son «finitos». 1.6 LOS ENTEROS En esta sección se describen los enteros como un subconjunto especial de R. Antes de definir los enteros conviene introducir la noción de conjunto inductivo. Definición 1.3. Un conjunto de números reales se denomina ductivo si tiene las dos propiedades siguientes: a) b) conjunto in- El número 1 está en el conjunto. Para cada x del conjunto, el número x + 1 está también en el conjunto. Por ejemplo, R es un conjunto inductivo. También lo es R*. Definiremos los enteros positivos como aquellos números reales que pertenecen a todos los conjuntos inductivos. Defjinición 1.4. Un número real se denomina entero positivo si pertenece a cada uno de los conjuntos inductivos. designa por Z*. El conjunto de los enteros positivos se El conjunto Z* es, a su vez, inductivo. Contiene al número 1, al número 1 + 1 (designado por 2), al número 2 + 1 (designado por 3), y así sucesivamente. Como Z* es subconjunto de cada uno de los conjuntos inductivos consideraremos a Z* como el menor conjunto inductivo. Esta propiedad de Z* se denomina, a menudo, principio de inducción. Suponemos al lector familiarizado con las demostraciones por inducción que se basan en este principio. (Ver Referencia 1.1.) Ejemplos de tales demostraciones se dan en la sección siguiente. Los opuestos de los enteros positivos se llaman enteros negativos. Los enteros positivos junto con los enteros negativos y el O (cero), forman un conjunto Z que llamaremos, simplemente, conjunto de los enteros. 6 El sistema 1.7 TEOREMA DE PARA ENTEROS de los números DESCOMPOSICIÓN reales y el de los complejos ÚNICA Si n y d son enteros y si n = cd para algún entero c, diremos que d es un divisor de n, o que n es un múltiplo de d, y escribiremos d|n (se lee: d divide a n). Un entero 7 es primo si n > 1 y si los únicos divisores positivos de n son 1 y n. Si n > 1 y n no es primo, entonces n es compuesto. El entero 1 no es ni primo ni compuesto. Esta sección expone algunos resultados elementales acerca de la descom- posición de enteros, culminando con el teorema de descomposición única, llamado también el teorema fundamental de la Aritmética. El teorema fundamental establece que (1) cada entero n > 1 puede ser re- presentado como producto de factores primos y que (2) esta descomposición es Única, salvo en el orden de los factores. Es fácil probar la parte (1). Teorema 1.5. Cada entero n > 1 es primo o producto de primos. Demostración. Utilizaremos la inducción sobre n. El teorema se verifica tri- vialmente para n =2. Supongamos que es cierto para cada entero k con 1<k<n.Si n noes primo, admite un divisor d con 1 < d< n. Por lo tanto, n = cd, con 1 <c<n. Puesto que tanto c como d son <n, cada uno es primo o es producto de primos; luego n es un producto de primos. Antes de probar la parte (2), la unicidad de la descomposición, introduciremos otros conceptos. Si dja y d|b, diremos que d es un divisor común de a y b. El teorema que sigue demuestra que cada par de enteros es combinación lineal de a y de b. Teorema forma l1.6. a y b posee un divisor común que Cada par de enteros a y b admite un divisor común d de la d = ax + by donde x e y son enteros. Además, cada divisor común de a y b divide a d. Demostración. Supongamos primeramente que a > 0 y b = 0 y procedamos por inducción sobre n = a + b. Si n = 0, entonces a-= b = 0 y podemos tomar d = 0 con x = y = 0. Supongamos entonces que el teorema ha sido probado para 0, 1, 2, ..., n— 1. Por simetría podemos suponer a= b. Si b =0, en- tonces d = a, x = 1, y = 0. Si b> 1 podemos aplicar la hipótesis de induc- a>=n—b<n— 1. Por lo tanto existe ción a a —b y a b, ya que su suma es un divisor común d de a — b y b de la forma d = (a — bx + by. Este entero d El sistema de los números reales y el de los complejos divide también a (a — ») + b = a, luego d es un divisor común de a y de b y tenemos que d = ax + (y — )b, es combinación lineal de a y 5. Para completar la demostración debemos probar que cada divisor común divide a d. Como un divisor común divide a a y a b, dividirá también a la combinación lineal ax + (y — x)b = d. Esto completa la demostración si a > 0 y b = 0. Si uno de ellos o ambos fuesen negativos, aplicaríamos el resultado que acabamos de demostrar a |a| y |b|. NOTA. Si d es un divisor común de a y b de la forma d = ax + by, entonces — d es también un divisor común de la misma forma, — d = a(— x) + b—y). De estos dos divisores comunes sólo el no negativo se denomina el máximo común divisor de a y de b y se designa por mcd(a, b) o, simplemente, por (a, b). Si (a, b) = 1, se dice que a y b son primos entre sí. Teorema 1.7 (Lema de Euclides). Si albc y (a, b) = 1, entonces alc. Demostración. Como (a, b) = 1, podemos escribir 1 = ax + by. Por lo tanto, Teorema 1.8. Si un número primo p divide a ab, entonces pla o p|b. En ge- C = acx + bcy. Pero ajacx y albcy, luego alc. heral, si un número primo p divide al producto a, ... a;, entonces p divide a uno de los factores por lo menos. Demostración. Supongamos que plab y que p no divida a a. Si probamos que (p, a) = 1, el lema de Euclides implica que p|b. Sea d = (p, a). Entonces d|p, luego d = 1 0 d = p. No puede ser que d = p ya que día, pero p no divide a a. Por lo tanto, d = 1. Para demostrar la afirmación más general se procede por inducción sobre el número k de factores. Los detalles se dejan al lector. Teorema 1.9 (Teorema de descomposición única). Cada entero n> 1 puede ser representado como producto de factores primos, y si se prescinde del orden de los factores la representación es única. Demostración. Procederemos por inducción sobre n. El teorema es cierto para n = 2. Supongamos, entonces, que es cierto para todos los enteros mayores que 1 y menores que n. Si n es primo, no hay nada que demostrar. Supongamos, por lo tanto, que n es compuesto y que admite dos descomposiciones en factores primos; a saber n = P.P2 ** D. = 4192 q- (2) Deseamos probar que s-= t y que cada p es igual a algún q. Dado que p, divide a q -q: ... d:, divide por lo menos a uno de los factores. Cambiando los 8 El sistema de los números reales y el de los complejos índices de las q, si es necesario, se puede suponer p,/q,. Por lo tanto, p, = 4 ya que tanto p, como q, son primos. En (2) simplificamos p, en ambos miembros y obtenemos n — =P2 Ps = 4217de P1 Como n es compuesto, 1 n]p, < n; luego por la hipótesis de inducción las dos descomposiciones de n/p, son idénticas, si se prescinde del orden de los factores. Por lo tanto, lo mismo minada. 1.8 LOS NÚMEROS es cierto para (2) y la demostración está ter- RACIONALES Los cocientes de enteros a/b (donde b 0) se llamarán números racionales. Por ejemplo, 1/2, — 7/5, y 6 son números racionales. El conjunto de los números racionales, que designaremos por Q, contiene a Z como subconjunto. Observe el lector que todos los axiomas de cuerpo y todos los axiomas de orden se verifican en Q. Suponemos que el lector está familiarizado con ciertas propiedades elemen- tales de los números racionales. Por ejemplo, si a y b dia (a + b)/2 también lo es y está comprendida entre dos números racionales hay una infinidad de números plica que, dado un número racional cualquiera, no número racional «inmediato superior». 1.9 LOS NÚMEROS son racionales, su mea y b. Así pues, entre racionales, lo cual imsea posible hablar del IRRACIONALES Los números reales que no son racionales se denominan plo, los números <v2, e, 7 y e" son irracionales. irracionales. Por ejem- En general no es fácil probar que un cierto número particular es irracional. No existe ninguna demostración simple de la irracionalidad de e”, por ejemplo. Sin embargo, la irracionalidad de números tales como x/5 3 no es excesivamente difícil de establecer y, de hecho, probaremos fácilmente el siguiente: Teorema 1.10. Si n es un entero positivo que no sea un cuadrado perfecto, entonces An es irracional. Demostración. Suponemos en primer lugar que > 1 que sea cuadrado perfecto. Si admitimos que contradicción. Supongamos sores comunes. Entonces que yn = a/b, donde nb? = a* y, dado que n no admite ningún divisor yn es racional, llegamos a a y b son enteros el primer miembro sin divi- de esta El sistema de los números reales y el de los complejos 9 igualdad es un múltiplo de n, también lo será a”. Sin embargo, si a* es múltiplo de n, a deberá serlo ya que n no admite divisores > 1 que sean cuadrados perfectos. (Esto se ve fácilmente examinando la descomposición de a en facto- res primos.) Todo ello significa que a = cn, donde c es un entero. Entonces la ecuación nb? = a* se transforma en nb? = ce?*n”, o b = nc”. El mismo argumento prueba que b debe ser asimismo múltiplo de n. Entonces a y b serían ambos múltiplos de n, lo cual contradice el hecho de que a y b carecen de divisores comunes. Esto finaliza la demostración en el caso de que n no admita un divisor > 1 que sea cuadrado perfecto. Si n admite un factor que sea cuadrado perfecto, podremos escribir n = m*k, donde k > 1 y k no admite divisores > 1 que sean cuadrados perfectos. Por lo tanto /n = m kK; y si n fuese racional, el número yk sería también racional, contradiciendo lo que acabamos de demostrar. Un tipo distinto de argumentación es preciso para probar que el número e es irracional. (Suponemos cierta familiaridad con la exponencial e? del Cálculo elemental y su representación como serie infinita.) Teorema 1.11. Si e =1 el número e es irracional. + x + x/21 + x*/31 + ... + x"/n! + ..., entonces Demostración. Probaremos que e es irracional. La serie e+! es una serie alternada con términos que decrecen constantemente en valor absoluto. En tales series el error cometido al cortar la serie por el n-ésimo término tiene el signo algebraico del primer término que se desprecia y, en valor absoluto, es menor que el del primer término que se desprecia. Por lo tanto, si s, = "- , — IY/K!, tenemos la desigualdad — O<e!-5s de la que se obtiene 2k-—1 , 1 <——, 2! 0< (2k — D'(e! — su-1) <><>, 2k 2 (3) para todo entero k > 1. Ahora bien (2k — 1)!s,;-, es siempre un entero. Si e fuese racional, entonces podríamos elegir K suficientemente grande para que 2k — 1)!e-! fuese también un entero. A causa de (3) la diferencia entre am- bos enteros debería ser un número comprendido entre 0 y 4, lo cual es imposible. Luego e NOTA. no es racional y, por Para una demostración tanto, e tampoco lo es. de la irracionalidad de r, ver Ejercicio 7.33. Los antiguos griegos sabían de la existencia de los números irracionales allá por el año 500 a.C. Sin embargo, una teoría satisfactoria de tales números 10 El sistema de los números reales y el de los complejos no sería desarrollada hasta finales del siglo diecinueve en que tres teorías dis- tintas son introducidas al mismo tiempo por Cantor, Dedekind y Weierstrass. En la Referencia 1.6 puede hallarse información acerca de las teorías de De- dekind y Cantor y sus equivalencias. 1.10 COTAS SUPERIORES; ELEMENTO COTA SUPERIOR MÍNIMA (SUPREMO) Los números irracionales aparecen MÁXIMO, en AÁlgebra cuando se pretenden resolver ciertas ecuaciones cuadráticas. Por ejemplo, se desea un número real x tal que x? =2. De los nueve axiomas enumerados anteriormente no puede deducirse si en R existe 0 no un número x, puesto que Q satisface también estos nueve axiomas y hemos probado que no existe ningún número racional cuyo cua- drado sea 2. El axioma de completitud nos permitirá introducir los números irracionales en el sistema de los números reales y proporcionar al sistema de los números reales una propiedad de continuidad que es fundamental en muchos de los teoremas de Análisis. Antes de describir el axioma de completitud, es conveniente introducir una terminología y una notación adicionales. Definición 1.12. Sea S un conjunto de números reales. Si existe un número real b tal que x < b para todo x de $, diremos que b es una cota superior de S y que S está acotado superiormente por b. Decimos una cota superior ya que cada número mayor que b también es una cota superior. Si una cota superior b es, además, un elemento de $, b se denomina último elemento o elemento máximo de S. A lo sumo habrá uno. de tales b. Si existe tal número b, escribiremos b = máx $. Un conjunto mente. carente de cotas superiores se denomina no acotado superior- Las definiciones de los términos cota inferior, acotado inferiormente, primer elemento (o elemento mínimo) pueden formularse análogamente. Si S tiene un elemento mínimo, designaremos a dicho mínimo por mín $. Ejemplos. 1. 2. El conjunto R* = (0, + 0) es un conjunto no acotado superiormente. No posee ni cotas superiores ni elemento máximo. Está acotado inferiormente por 0, pero no posee elemento mínimo. El intervalo cerrado S = [0, 1] está acotado superiormente por 1 e inferiormente por 0. De hecho, máx S = 1 y mín $ =0. El sistemade 3. los números reales y el de los complejos El intervalo semiabierto S = [0, 1) está acotado superiormente rece de elemento máximo. Su elemento mínimo es 0. 11 por 1, pero ca- Para conjuntos como los del ejemplo 3 que están acotados superiormente pero que carecen de elemento máximo, existe un concepto que sustituye al de elemento máximo. Se denomina extremo superior o supremo del conjunto y se define como sigue: Defjinición 1.13. Sea S un conjunto de números reales acotado superiormen- te. Un número real b se denomina propiedades siguientes: a) b) extremo superior de $S si verifica las dos b es una cota superior de $. Ningún número menor que b es cota superior de $. Ejemplos. Si S = [0, 1] el elemento máximo 1 es asimismo extremo Si S = [0, 1), el número 1 es extremo superior de $, aun cuando $ mento máximo. Es fácil probar que un conjunto no puede tener dos superior de $. carece de ele- extremos superiores distintos. Por lo tanto, si existe extremo superior de $, existe sólo uno y puede hablarse del extremo superior. Es corriente, en la práctica, referirse al extremo superior de un conjunto por medio del término más breve de supremo, abreviado sup. Adoptamos esta convención y escribimos b =supS, para indicar que b es el supremo de $S. Si S tiene un elemento máximo, entonces máx $ = sup $. ma El extremo análoga. 1.11 Nuestro EL inferior o ínfimo de $, designado AXIOMA último axioma DE del por inf $, se define de for- COMPLETITUD sistema de los números reales involucra la noción de supremo. Axioma 10. superiormente b = sup $. Todo conjunto no vacío S de números reales que esté acotado admite un supremo; es decir, existe un número real b tal que Como consecuencia de este axioma se obtiene que todo conjunto no vacío de números reales acotado inferiormente admite un ínfimo. 12 1.12 El sistema ALGUNAS de los números PROPIEDADES DEL reales y el de los complejos SUPREMO En esta sección se discuten algunas propiedades fundamentales del supremo, que se utilizarán en este texto. Existe un conjunto análogo de propiedades para el ínfimo que el lector formulará por sí mismo. La primera de ellas establece que todo conjunto de números con un supremo contiene números tan próximos como se quiera a dicho supremo. Teorema 1.14 (Propiedad de la aproximación). Sea S un conjunto no” vacío de números reales con un supremo que se designa por b = sup $S. Entonces, para cada a< b, existe un x de $ tal que a Demostración. < x < D. Ante todo, x < b para todo x de $. Si fuese x <a para todo x de $, entonces a sería una cota superior para S menor que el supremo que -es la cota superior mínima. Por lo tanto, x > a para un x de $, por lo menos. Teorema 1.15 (Propiedad aditiva). A y B, sea C el conjunto Dados dos subconjuntos no vacíos de R, C=Xx+y:xeA, Si tanto yeB). A como B tienen un supremo, entonces C tiene un supremo y sup C = sup A + sup Z. Demostración. Sea a = sup A, b = sup B. Si Z E C, entonces 7 = x + y, don- de x E A, y E B, luego 2=x + y<a + b. Por lo tanto a + b es una cota superior de C, luego C admite un supremo, sea c = sup C y c <a+- b. Vere- mos ahora que a + b <c. Elijamos un e > 0. Por el teorema 1.14 existe un x de A y un y de B tales que a—E<X b-e<y. Sumando estas desigualdades, obtenemos a+b-2<x+)y<ec. Luego, a + b<c + 2e para cada e > 0 y, por el teorema 1.1, a+ b<<ec. La demostración del teorema que sigue se deja como ejercicio para el lector. El sistema de los números reales y el de los complejos Teorema 1.16 (Propiedad de la comparación). 13 ñDados dos subconjuntos no vacíos S y T de R tales que s <t para todo s de $ y todo t de T, si T tiene supremo, entonces $S tiene supremo, y sup $ < sup 7. 1.13 DEL PROPIEDADES DE LOS ENTEROS AXIOMA DE COMPLETITUD DEDUCIDAS Teorema 1.17. El conjunto Z* de los enteros positivos acotado superiormente. Demostración. Si Z* estuviese acotado 1, 2, 3, ..., no está superiormente, entonces Z* admitiría un supremo, tal como a = sup Z*. Por el teorema 1.14 tendríamos que a—1 < n para algún n de Z". Por lo tanto » + 1 >a para esta n. Esto contra- dice el hecho de ser a = sup Z* ya qule n+ 1 EZ". Teorema n> x. 1.18. Para cada número real x existe un entero positivo n tal que Demostración. Si no fuese así, existiría un x que sería una cota superior para Z*, en contradicción con el teorema 1.17. 1.14 LA PROPIEDAD ARQUIMEDIANA DE LOS NÚMEROS REALES El teorema que sigue enuncia la propiedad DEL SISTEMA arquimediana del sistema de los números reales. Geométricamente dice que todo segmento lineal, por largo que sea, puede recubrirse por medio de un número finito de segmentos lineales de longitud positiva dada, por pequeña que sea. Teorema 1.19. Si x>0 y si y es un número tero positivo n tal que nx > y. Demostración. número real existe un en- Aplicar el teorema 1.18 sustituyendo x por y/x. 1.15 LOS NÚMEROS DECIMAL FINITA Un real arbitrario, de RACIONALES la forma CON REPRESENTACIÓN 14 El sistema de los números reales y el de los complejos donde a, es un entero no negativo y a,, ..., d, SOn enteros 0<a;<9, se expresa usualmente de la siguiente forma: r Dicha expresión ejemplo, 11 2 recibe el nombre aº.a1a2 satisfacen "'a,,. de representación —1 ==2 =00, 50 107 10 Los números = que decimal finita de r. Por 29 2 5 “==7++2-=1,5. 4 10 1072 * reales de este tipo son necesariamente racionales y, de hecho, todos ellos son de la forma r = a/10”, donde a es un entero. Sin embargo, no todos los números racionales pueden expresarse mediante representaciones decimales finitas. Por ejemplo, si 1/3 pudiese expresarse así, tendríamos que 1/3 = a/10" o 3a = 10" para un cierto entero a. Pero esto es imposbile ya que 3 no divide a ninguna potencia de 10. 1.16 APROXIMACIONES DECIMALES DE LOS NÚMEROS REALES FINITAS Esta sección utiliza el axioma de completitud para demostrar que los números reales pueden aproximarse, con la exactitud que se desee, por medio de números racionales que admitan representación decimal finita. Teorema 1.20. Suponemos x = 0. Entonces, un decimal finito r, = a, . a,a, ... a, tal que para todo entero n = 1, existe r,,$x<rn+—l—. 10" Demostración. Sea S el conjunto de todos los enteros no negativos <cx. $ es no vacío, ya que 0 €ESS, y está acotado superiormente por x. Por lo tanto, $ admite un supremo: a, = sup $. Es fácil ver que a, € S; luego a, es un entero no negativo. Llamaremos a a, el mayor entero contenido en x, y escribiremos a, = [X]. Es claro que a0$x<aº+1. Sea ahora a, = [10x— 10a,], el mayor entero contenido en 10x — 10a,. Como 0< 10x— 10a, = 10(x—a,) < 10, tenemos que 0 < a, <9 y a1 _<_ 10x_ 10a0 <a1 + 1. El sistema de los números reales y el de los complejos 15 En otras palabras, a, es el mayor entero que satisface las desigualdades dy * as + — a <xXx<ao+ 10 * + 10 En general, habiendo elegido a,, ..., ay-, con entero que satisfaga las desigualdades as a, ay + L+'-+—.<x<ao * Entonces 10 0 < a, <9 10" * 1 . 0 <a; <9, sea a, el mayor a + +":+ 10 a, + | 10" . 4 0 y tendremos rn$x<r,,+—1-, 10” donde r,, = a, . a,a, ... an. Esto completa la demostración. Es fácil verificar que x es, de hecho, el supremo del conjunto de los números racionales r,, r,, ... 1.17 REPRESENTACIONES DECIMALES DE LOS NÚMEROS REALES INFINITAS Los enteros a,, a,, a,, ..., Obtenidos en la demostración del teorema 1.20 pue- den utilizarse para definir una representación decimal infinita de x. Escribiremos X = aº.alazº" para indicar que a, es el mayor entero que satisface (4). Por ejemplo, si x = 1, obtendremos a, = 0, a, = 1, a, =2, a, = 35 y d, = 0 para todo n = 4. Por lo tanto, podemos escribir 1 = 0,125000 - -Si intercambiamos los signos de definición ligeramente diferente de tos 7, satisfacen Y, < x < r. + 107”, cesarios no son los mismos que en desigualdad < y < en (4), obtenemos una representación decimal. Los decimales finisin embargo los dígitos a,, a,, a,, ..., Te(4). Por ejemplo, si aplicamos esta segunda definición a x = $, obtenemos la representación decimal infinita $ = 0,124999 - -El que un número real admita dos representaciones decimales distintas es un simple ejemplo del hecho de que dos conjuntos diferentes de números reales pueden tener el mismo supremo. 16 El sistema 1.18 VALOR de ABSOLUTO los números reales Y DESIGUALDAD y el de los complejos TRIANGULAR En Análisis son bastante frecuentes los cálculos con desigualdades. Son de par- ticular importancia las que se relacionan con la noción de valor absoluto. Si x es un número real, el valor absoluto de x, desginado por |x], se define como sigue: x] = X, — X, six>0, . SI x < 0. Una desigualdad importante concerniente a los valores absolutos viene dada por el siguiente: Teorema 1.21. si —a<x<a. Si a= 0, entonces tenemos la desigualdad |x|<a si, y sólo Demostración. De la definición de |x| se obtiene la desigualdad — |x| < x < |x], ya que x = |x).0 x = —|x|. Si suponemos que |x]| < a, podemos escribir —a < — k| <x < |x] <a y la mitad del teorema queda demostrada. Recíprocamente, si suponemos — a< x<a, entonces, si x > 0, tenemos que || = x <a, mien- tras que si x <0, tenemos que kx| =—x <a. En ambos casos obtenemos que |x] <a y el teorema queda demostrado. Podemos Teorema utilizar este teorema para demostrar la desigualdad triangular. 1.22. Para números reales arbitrarios x e y se verifica IX + y) < lxX| + |y]) — (desigualdad triangular) Demostración. 'Tenemos que — |x| <x < |x] y que — |y| <y < |y|. Sumando obtenemos — (X| + |y)) <x + y < |x] + |y| y, en virtud del teorema 1.21, concluimos que |* + y| < |x] + |y|. Esto demuestra el teorema. A menudo se utilizan, otras formas de la desgiualdad triangular. Por ejem- plo, si en el teorema 1.22 hacemos la — b| x =a—ce y= c—b, resulta < la — e| + |c — bl. Asimismo, del teorema 1.22, obtenemos |x] > |x + y| — |y|. Haciendo x =a + », y =—b, resulta la + b| > la| — 1bl. El sistema de los números reales y el de los complejos Intercambiando a y b obtendremos, además, y por lo tanto 17 |a + b| > |b| — |a| = — (|a| — |b)), la + b| > |Ia| — |b||. Por inducción podemos probar asimismo las generalizaciones 1.19 Vamos LA X + X) + *77 + Xal < 1Xil + lX,l + -77+ 1Xl |xl +x2 +'”+xnl DESIGUALDAD DE > |xll — |x2| — Ixn|º CAUCHY-SCHWARZ a deducir ahora otra desigualdad usada a menudo Teorema 1.23 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz). en Análisis. Si a, ..., an y b,, ..., bn son números reales cualesquiera, se tiene E A) (E7 Además, la igualdad se verifica si, y sólo si, existe un número ayx + b = 0 para cada k = 1, 2, ..., n. Demostración. tanto Una suma de cuadrados no puede ser nunca real x tal que negativa. Por lo tenemos n - (a,x + b >0 k=1 para todo número real x, y es igualdad si, y sólo si, cada término es cero. Esta desigualdad puede escribirse en la forma Ax*? + 2Bx + C > 0, donde A=Zaí,… - B=Íakbk, P C=Zb,%. - S1 A > 0, hacemos x = — B/A a fin de obtener B? — AC < 0) que es la desigualdad deseada. Si 4 = 0, la demostración es trivial. 18 El sistema de los números reales y el de los complejos NOTA. Utilizando notación vectorial, la desigualdad de Cauchy-Schwarz toma la forma (ab < lal*|bl?*, donde a = (a,, ..., a,), b = (b,, ..., b,) son dos vectores n-dimensionales, a b — Z akbk, k=1 es su producto escalar, y |a|| = (a-a)'7” es la longitud de a. 1.20 DEL MÁS Y MENOS INFINITO Y LA EXTENSIÓN SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES R* En esta sección extenderemos el sistema de los números reales adjuntando dos «puntos ideales» designados por los símbolos + 00 y —oo («más infinito» y «menos infinito»). Dejinición 1.24. Por sistema ampliado de los números reales, R*, entenderemos el conjunto de los números reales R junto con dos símbolos + 0o y —vo que satisfagan las siguientes propiedades: a) Si x E R, tenemos X + (+09) = +oo, X — (+0) = —o, X/(+00) = x/(—00) b) = 0. X + (—0) = —oo, X — (—00) = +o, Si x> 0, tenemos X(+00) = +oo, X(—00) = —oo. = —oo, X(—00) = +oo. c) Si x< 0, tenemos X(+00) d) (+00) + (+009) = (+ 9X+00) = (—0X—09) (— 0) + (—09) = (+ 9)(—00) = —o0. e) Si xE R, entonces — = +o, <x<+oo. NOTACIÓN. Utilizaremos el símbolo (—o0o, + v00) para designar a R y [—oo, + vo] para designar a R*. Los puntos de R se llaman «finitos» para distinguirlos de los puntos «infinitos» + vo y —oo. El sistema de los números reales y el de los complejos 19 La razón principal para introducir los símbolos + 00 y —oo es de pura conveniencia. Por ejemplo, si definimos + v0 como el sup de un conjunto de números no acotado superiormente, resulta que, en R*, todo subconjunto no vacío de R tiene un supremo. El supremo es finito si el conjunto está acotado superiormente e infinito si no está acotado superiormente. Análogamente, definimos que el ínfimo de todo compuesto no acotado inferiormente es tonces todo subconjunto no vacío de R tiene ínf en R*. — 0o. En- Para ciertos trabajos posteriores acerca de los límites, conviene además introducir la siguiente terminología. Definición 1.25. Cada intervalo abierto (a, + vo) se dice que es un entorno de + co, o una bola con centro + vo. Cada intervalo abierto (—ovo, a) se dice que es un entorno de — oo, o una bola con centro —oo. 1.21 LOS NÚMEROS COMPLEJOS De los axiomas que gobiernan la relación < se deduce que el cuadrado de un número real no es nunca negativo. Entonces, ecuaciones cuadráticas elementales tales como, por ejemplo, x? = —1 no poseen solución entre los números reales. Un nuevo tipo de números, llamados números complejos, debe introducrise para conseguir soluciones de tales ecuaciones. Resulta entonces que la introducción de tales números proporciona, al mismo tiempo, soluciones de las ecuaciones algebraicas generales de la forma aAy + A,X + ::* + ayx" = 0, donde los coeficientes a,, a,, ..., 4, SOn números reales cualesquiera. (Este re- sultado es conocido como Teorema fundamental del Álgebra.) Definiremos talle. ahora los números complejos y los discutiremos con cierto de- Defjinición 1.26. Por número complejo entenderemos un par ordenado de mnúmeros reales, que designaremos por (X., X,). La primera componente, x,, se llama parte real del número complejo; la segunda componente, x,, se llama parte imaginaria. Dos números complejos x = (X,, X,) e y = ,, y,) son iguales, y escribiremosx = y, si, y sólo si, x, = y, Y X, = Yy. Definimos la suma x + y y el producto xy por X +y NOTA. = (X + Y1, X2 + Y2), Xy = (X1); — X2Y2, X1y2 + X2 1). El conjunto de todos los números complejos será designado por C. Teorema 1.27. Las operaciones de suma y multiplicación que acabamos dejinir satisfacen las leyes conmutativa, asociativa y distributiva. de 20 El sistema Demostración. los números Solamente demostraremos demostraciones tonces de reales y el de los complejos la propiedad distributiva; las otras son más simples. Si x = (X,, x>), y = (y,, ,) y Z = (Z,, ,), en- tenemos X(y + 2) = X1, X)(71 + 21, y2 + 22) = (X1y¡ + X121 — X2Y9 — X272, X1Y) + X177 + X2)1 + %271) (X1)1 — X2)2, X1Y2 + X2)1) + (X12 — X272, X177 + X271) Xy Teorema + XxzZ. l1.28. (X, X2) (X¡, + x2)(19 (0, 0) = 0) — (X¡, (X x2)9 X2), (X, X2>)(0, 0) = (xla x2) + (—xla (0, 0), _x2) — (0) O) Demostración. Las demostraciones son inmediatas a partir de las definiciones, lo mismo que en los teoremas 1.29, 1.30, 1.32 y 1.33. Teorema 1.29. Dados dos números complejos x = (xX,, x,) € y = (,,, y,), existe un número complejo z tal que x + Z = y. De hecho, 7 = (y, — ,, Y, — x>). Este Z se designa por y —x. El número complejo (—x,, — X,) se designa por — X. Teorema 1.30. Para cualquier par de números complejos x e y, tenemos (—x)y = x(—7) = —(x7) = (—1, Ox7). Definición 1.31. Si x = (X,, X,)£ (0, 0) e y son números complejos, mos x = [Xx,/(x; + x3)), — x,/? + X)], e y/x = yx1. Teorema 1.32. Si x e y son números complejos con mero complejo z tal que xz = y, a saber, 7 = yXx. defini- x + (0, 0), existe un nú- Revisten especial interés las operaciones con números complejos cuya parte 1maginaria es O. Teorema 1.33. X1 0) + (7,0) = (X, + 71,0), Xi> O71, 0) = 171 0), X1, 0/(71, 0) = (x,/7,, 0), — siy, = 0. NOTA. Es evidente, que en virtud del teorema 1.33, podemos realizar las operaciones aritméticas de los números complejos de parte imaginaria nula operan- El sistema de los números reales y el de los complejos 21 T +y = (Z] + Y1, 22 + Y) Y = (Y1 Y9) Yx= (71, 72) ! ¡ 0 = (0,0) Figura Z| = (71, 0) 1.2 do tan sólo con las partes reales por medio de las operaciones de los números reales. Por lo tanto, los números complejos de la forma (, 0) tienen las mismas propiedades aritméticas que los números reales. Por esta razón es conveniente considerar el sistema de los números reales como un caso particular del sistema de los números complejos, y convendremos en identificar el número complejo (x, 0) con el número real x. Por eso escribiremos x = (x, 0). En particular, 0 = (0, 0) y 1= (1, O). - 1.22 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Así como los números reales se representan geométricamente como puntos de una recta, los números complejos se representan como puntos de un plano. El número complejo x = (X,, x,) puede ser imaginado como el «punto» de coordenadas (x,, x,) Hecho esto, la definición de suma coincide con la suma según la regla del paralelogramo. (Ver Fig. 1.2.) La idea de expresar geométricamente los números complejos como puntos de un plano fue formulada por Gauss en su disertación de 1799 e, indepen- Figura 1.3 22 El sistema de los números reales y el de los complejos dientemente, por Argand en 1806. Más tarde Gauss ideó la expresión un tanto desafortunada de «número complejo». Los números complejos admiten otras representaciones geométricas. En vez de utilizar puntos de un plano, se pueden utilizar puntos de otras superficies. Riemann encontró que la esfera es especial- mente adecuada para este propósito. Se proyectan los puntos de la esfera desde el Polo Norte sobre el plano tangente a la esfera en el Polo Sur y entonces a cada punto del plano le corresponde un punto sobre la esfera. Con excepción del Polo Norte, a cada punto de la esfera le corresponde un punto sobre el plano y sólo uno. Esta correspondencia se denomina una proyección estereográfica. (Ver Fig. 1.3.) 1.23 LA UNIDAD IMAGINARIA Conviene a veces considerar el número complejo (x,, x,) como un vector bidimensional de componentes x, y x,. Sumar dos números complejos utilizando la definición 1.26 es lo mismo que sumar dos vectores componente a compo- nente. El número complejo 1 = (1, 0) juega el mismo papel que el vector unitario de dirección horizontal. El análogo al vector unitario de dirección vertical vamos a introducirlo ahora. Dejinición 1.34. unidad imaginaria. El número complejo (0, 1) se representa por i y se llama Teorema 1.35. Cada número complejo x = (x,, x,) puede representarse en la jorma x = X, + ix,. Demostración. X; = (X1, 0), Xy + IX) = — X, = (0, D(%,, 0) = (0, x>), (X1, 0) + (0, x,) = (1, x>). El próximo teorema expresa que el número complejo ¿ proporciona una solu- ción para la ecuación x? = —l. Teorema l1.36. i =—l|1. Demostración. i 1.24 VALOR = ABSOLUTO (0, 1X0, DE 1) = UN (—1,0) = NÚMERO —1. COMPLEJO Vamos a extender ahora el concepto de valor absoluto al sistema de los números complejos. El sistema de los números Dejinición 1.37. reales y el de los complejos 23 Si x = (X,, x,), definimos el módulo, o valor absoluto, de x como el número real no negativo |x| dado por X| Teorema = vx1 + X. 1.38. 1) |1(0, 0| = 0, y |x]) > Osix = 0. 1) |x/y] = |x]/Iy], siy + 0. li) |y = Ixl 171 iv) 1X1 O| = TXil Demostración. Las afirmaciones (1) y (1v) son inmediatas. Para demostrar (i1), consideremos x = X, + iX,, y = y, + y,, entonces xy = X,y, — X,y, + X,y + X,y,). La afirmación (11) se sigue de la relación y* = X177 + X2y5 + x177 + Xy7 = (x1 + x)07 + 97) = 1x/*1y7”. La ecuación (iii) puede deducirse de (ii) escribiéndola en la forma |x| = |y| |x/y|. Geométricamente, |x] representa la longitud del segmento que une el origen con el punto x. En general, |x — y| es la distancia entre los puntos x e y. Utilizando esta interpretación geométrica, el siguiente teorema establece que uno de los lados de un triángulo es menor que la suma de los otros dos lados. Teorema 1.39. Si x e y son números complejos, entonces IX + y| < IX| + |y| desigualdad triangular) La demostración se deja como ejercicio para el lector. 1.25 IMPOSIBILIDAD Todavía no hemos DE ORDENAR LOS NÚMEROS COMPLEJOS definido ninguna relación de la forma x< y, si x e y son números complejos cualesquiera, ya que es imposible dar una definición de < para los números complejos que satisfaga las propiedades dadas por los axio- mas 6 al 8. Para justificarlo, supongamos que fuese posible definir una relación de orden < que satisficiera los axiomas 6, 7 y 8. Entonces, como ¿0, se debiera tener i >0 o ¿< 0, porel axioma 6. Supongamos que ¿ > 0. Entonces tomando x = y = i en el axioma $, tendríamos ¿? > 0, 0o — 1> 0. Sumando 1 a ambos miembros (axioma 7), obtendriamos 0 > 1. Por otro lado, aplicando el axioma 8 a — 1 > 0, hallaríamos 1 > 0. Tendríamos, pues, 0 > 1 y también 1>0, que, por el axioma 6, es imposible. Así pues, suponer que i> 0 lleva a contradicción. [¿Por quéla desigualdad — 1 > 0 no era ya una 24 El sistema de los números contradicción?] Un razonamiento reales y el de los complejos análogo prueba que no es posible ¿ < 0. Por lo tanto, los números complejos no pueden ser ordenados de tal suerte que se verifiquen los axiomas 1.26. 6, 7 y 8. EXPONENCIALES COMPLEJAS La exponencial e* (x real) ha sido mencionada anteriormente. Deseamos definir e para z complejo de tal suerte que las principales propiedades de la función exponencial real se conserven. Las citadas propiedades de e” para x real son la ley de los exponentes, e":e”: = e":17:, y la ecuación e* = 1. Daremos una definición de e para Z complejo que conserve estas propiedades y que: se reduzca-a la exponencial ordinaria cuando 7 sea real. Si escribimos Z = x + iy (x, y reales), entonces para que se verifique la ley de los exponentes deberíamos tener e*+*7 = e"e', Queda entonces por definir lo que significa e*7. Definición 1.40. Si 7 = x + iy, definimos e* = e"+7 como plejo e = e" (cos y + i sen y). el número com- Esta definición* coincide claramente con la función exponencial real cuan- do z es real (esto es, y = 0). Probaremos a continuación que la ley de los exponentes se cumple. Teorema 1.41. Si z, = x, + iy, y Z, = X, + iy, son dos números complejos, entonces tenemos ezlezz — ezl+zz. Demostración. e 21 e"(cos y, + iseny,), e? = e(cos y, + iseny), e'e? = ee| cos y, cos y, — sen y, sen y, + i(cos y, sen y, + sen y¡ cos y>)]. * Es posible dar muchos argumentos para motivar la ecuación e'” = cos y + ¡ sen y. Por ejemplo, escribamos e*” = f(y) + ig(y) e intentemos determinar las funciones de variable real f y g a fin de que las leyes usuales de las operaciones con exponenciales reales sean aplicables también a las exponenciales complejas. Diferenciando formalmente se obtiene e" = 9(y) —if(), si suponemos que (e*”Y = ¿e*”?. Comparando estas dos expresiones para e'”, vemos que f y g deben satisfacer las ecuaciones f(y) = 2'(3), f y) = — 20). La eliminación de g conduce a f(y) = — f'(y). Como deseamos que e* = 1, debemos tener que f(0) = 1 y f(0) = 0. -Ello prueba que f(y) = cos y y 20) = — fG) = sen y. Por supuesto, este razonamiento no prueba nada, pero indica ostensiblemente que la definición e*” = = Cos y + ¡ sen y es razonable. El sistema de los números reales y el de los complejos 25 Ahora bien, e":e”: = e*:**:, ya que x, y X, son ambos reales. Además, COS y; COS Y, — sen y¡ sen y, = cos ( y¡ + y,) y COS y¡ seny, + sen y; Cos y, = sen(y, + 7>), y por lo tanto ee 1.27 OTRAS — e **| cos (y, + y,) + isen(y, PROPIEDADES + y,)) = e. DE LAS EXPONENCIALES COMPLEJAS En los teoremas siguientes Z, ,, Z, designan números complejos. Teorema l1.42. Demostración. Teorema e*e = e' = 1. Por lo tanto, e* no puede ser cero. 1.43. Demostración. Teorema e* jamás es cero. Si x es real, entonces |e**| = 1. |e**!? = cos? x + sen” x = 1, y |e**| > 0. 1.44. Demostración. e* = 1 si, y sólo si, Z es un múltiplo entero de 2mi. Si 7 = 2rin, donde n es un entero, entonces e = cos (2n) Recíprocamente, supongamos que e" sen y = 0. Como que e? - 0, entero. Pero cos (kr) = (— 1Y. Por Como e? >0, k debe ser par. prueba el teorema. Teorema 1.45. Demostración. 1.28 EL + i sen(27n) = |1. e* = 1. Esto significa que e* cos y =1 y debe ser sen y = 0, y = kr, donde K es un lo tanto, e? = (— 1Y ya que e cos (kr) = 1. Por lo tanto e = 1 y entonces x = 0. Esto e*: = e*: si, y sólo si, Z, — Z, = 2rin (donde n es un entero). e*: = e*: si, y sólo si, e:”: = ARGCGUMENTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Si el punto Z = (x, y) = x + iy se representa en cordenadas polares r y 0, podemos escribir x = r cos 9 e y = r sen 6, es decir, Z = r cos 0 + ir sen 0 = re Los dos números r y 9 determinan a z de forma única. Recíprocamente, el nú- 26 El sistema de los números reales y el de los complejos mero positivo r está determinado unívocamente por Z; de hecho, r = |z|. Sin embargo, z determina el ángulo 9 salvo múltiplos de 27. Hay una infinidad de valores de 6 que satisfacen las ecuaciones x = |Z] cos 8, y = |z] sen 6, pero na- turalmente cada dos difieren en .un múltiplo de 2r. Cada uno de estos valores de 9 se llama un argumento de Z pero se distingue uno de ellos y se denomina argumento principal de Z. Defjinición 1.46. Sea 7 = x + iy un número complejo no nulo. El único número real 6 que satisface las condiciones x = |z| cos 6, y = |z|sen6, —nT <O < +7 se llama el argumento principal de z, y se representa por 0 = arg (z). La anterior discusión origina inmediatamente el siguiente teorema: Teorema 1.47. Todo número complejo 770 puede ser representado forma 7 = re', donde r = |z| y 0 = arg (7) + 2rn, siendo n un entero. en la NOTA. Este método de representar a los números complejos es particularmente útil en relación con la multiplicación y la división, ya que se tiene . . (rlelºl)(rzelºz) Teorema 1.48. . = rirge'01+62) C e io re - r, e'(61—02) “i z,7, 7 0, entonces arg (7,7,) = arg (7,) + arg (z,) + 2mn (Z1> Z2), donde 0, H(Z¡, y ZZ) — +19 — 1, si —n si —27 si < arg (7,) + arg (7,) < +17, < —7T, arg (Zl) + arg (22) < n < arg (7,) + arg (7,) < 27. Demostración. Si Z, = |Z,|-e*; Z, = |Z,]-e**, donde 0, = arg (7,) y 6, = arg (7,), entonces Z,2Z, = |Z,2Z,|e**-%). Como —m<0,< +7 y —í<0,< +r, tenemos —2r-<0, + 8,<2r. Por lo tanto existe un entero 7 tal que —r < 0, + 6, + 2m <m. Este número n es, precisamente, el n(Z,, 7,) dado en el teo- rema, y para este n tenemos arg (7,27,) = 0, +0, +2an. Esto prueba el teorema. 1.29 POTENCIAS ENTERAS DE NÚMEROS COMPLEJOS Y RAÍCES Defjinición 1.49. Dados un número complejo Z y un número entero n, definimos la n-ésima potencia de Z como sigue: El sistema de los números reales y el de los complejos Z =1 z Z*l =77, 27 sin>0, = (Z "Y, sizX0 y n>0. El teorema 1.50 establece que se verifican las reglas usuales de los exponentes. La demostración, que se puede hacer por inducción, se deja como ejercicio. Teorema 1.50. Dados dos enteros m y n, tenemos, para Z + 0, z7 Teorema 1.51. Si — y Z- 0, y si n es un entero positivo, entonces existen exac- tamente n números complejos n-ésimas de Z), tales que n 2k = Z, Además, (2,2,y = z7z2. distintos para Z,, Z,, ..., Zn-1 Vllamados ráíces cada k = 0, 1,2,...,n — l1. estas raíces son dadas por las fórmulas Z, = Re'*, donde d = 28 (2) | 27k (k =0,1,2,...,n — 1). n n 12R= |z|”, NOTA. Las n raíces n-ésimas de z están igualmente espaciadas sobre el círculo de radio R = |z|/”, con centro en el origen. Demostración. Los n números complejos Re**, 0O <<k<n—1, y cada uno de ellos es una raíz n-ésima de z, ya que (Rei4>k)n — Rnein4>¡< — |Zlei[arg (z) + 27k] g eAri/3 Figura 1.4 e>ri/3 = z, son distintos 28 El sistema de los números reales y el de los complejos Debemos probar ahora que no hay otras raíces n-ésimas de Z. Supongamos que w = Ae** es un número complejo tal que w” = z. Entonces |w|” = |z|, de donde A” = |z], 4 = |2]'7”. Por lo tanto w”" = z puede escribirse e**" — eiP2r5()], que implica m —arg (7) = 2rk para algún entero k. Luego « = [arg (Z) + 27k]/n. Pero mientras k toma todos los valores, w toma sólo los valores distintos Z,, ..., Zn-1. (Ver Fig. 1.4.) 1.30 LOS LOGARITMOS COMPLEJOS En virtud del teorema 1.42, e* nunca es cero. Es natural preguntarse si hay otros valores que e* no puede tomar jamás. El teorema siguiente prueba que el cero es el único valor excepcional. Teorema 1.52. Si z es un número complejo -+ 0, existen números jos w tales que e” = Z. Uno de tales w es el número complejo comple- log |z| + i arg (7), y todos los demás tienen la forma log |z| + ¡ arg (7) + 2nmi, donde n es un entero. Demostración. Como que e |*1+? ars (2) — ¿elos lél e? ars (7) — [z| e? *"8 (7) — 7, vemos que w = log |z] + ¿ arg () es una solución de la ecuación e” = 7. Pero si Y, es otra solución, entonces e” = e”: y, por lo tanto, w — w, = 2nmi. Definición 1.53. Sea 270 un número complejo dado. Si w es un número complejo tal que e* = Z, entonces w se denomina un logaritmo de Z. El valor particular de w dado por w = log |z| + iarg (7) se llama logaritmo principal de Z, y para este w escribiremos w = Log . EJEMPLOS 1. 2. 3. Puesto que |i| =1 y arg (i) = 7/2, Log (i) = i/2. Puesto que |—i| = 1 y arg (—i) = —r/2, Log (—i) = —iz/2. Puesto que |—1| =1 y arg (—1) = 7, Log (—1) = ñi El sistema 4. de los números reales y el de los complejos Si x > 0, Log (x) = log (x), ya que 5. Puesto que |1 + i| = 2 Teorema 1.54. |x] = x y arg (x) =0. 29 - y arg (1 + ) = a/4, Log (1 + ) =log V2 + irí4. Si 7,7, 7 0, entonces Log (7,7,) = Log 2, + Log 7, + 2rin(z,, ,), donde ní(z,, 2,) es el entero definido en el teorema 1.48. Demostración. Log (2,7,) = log |2,2,| + ¡ arg (7,7,) = log |z,| + log |z,| + i [arg (7,) + arg (7,) + 2nn(z,, 7,)]. 1.31 POTENCIAS COMPLEJAS Utilizando los logaritmos complejos, podemos potencias complejas de números complejos. Dejinición nimos 1.55. dar ahora una definición de las Si Z- 0 y si w es un número 7 — complejo cualquiera, defi- ewLogz EJEMPLOS 1. ¿! = g'Lost — ci(in/2) _ ,-"/2 2, (_l)l — eiLog(-1) — ¿1() — ¿- 3. Si n es un entero, entonces z"*+1 — e"+1)Logz _ ¿nLogzoLogz — 27 por lo que la definición 1.55 no se contradice con la definición 1.49. Los dos teoremas siguientes nos suministran las reglas de cálculo con potencias complejas: Teorema 1.56. 7:7: = 7:1% sj 7£0. Demostración. Z Teorema 1.57. w +w2 _ e(vv¡+w2)l.ogz — e w1 Log z e ,w2 Log Z Si z,7, 5% 0, entonces (Z,22)” w _ w w = 2773e 2mi , w "(2122), = 7179 30 El sistema de los números reales y el de los complejos donde n(z,, 7,) es el entero definido en el teorema 1.43. Demostración. (2,2,)” = e” 1s (2172) — ¿w[Logz1+Logz2+2ain(z1,22)] 1.32 SENOS Y COSENOS Definición 1.58. NOTA. Cuando Teorema COMPLEJOS Dado un número complejo z, definimos z es real, estas igualdades 1.59. concuerdan con la definición 1.40. Si z7 = x + y, entonces tenemos cos Z = cos x cosh y — ? sen x senh y, sen 7 = sen x cosh y + 7 cos x senh y. Demostración. 2 cos La demostración 7=e** +e"* = e cos x + i sen x) + e”(cos x — sen ) = cos x(e + e 7) —i sen Xe — e”) = 2 cos x cosh y —2i sen x senh y. para sen Z es análoga. Más propiedades de los senos y cosenos se dan en los ejercicios. 1.33 INFINITO Y EL PLANO COMPLEJO AMPLIADO C* A continuación extendemos el sistema de los números complejos adjuntando un punto ideal designado por el símbolo vo. Dejinición 1.60. Por sistema de los números complejos ampliado C* en- tenderemos el plano complejo C junto con un símbolo oo que satisfaga las si- guientes propiedades: a) b) C) Si ZE C, entonces se tiene 7 + v00 = Z—vo =v0, Z/0 Si Z€E C, pero Z + 0, entonces Z(00) = v y Z/0 =v0. 0 + 0 = (|)(0) = 0. = 0. El sistema de los números reales y el de los complejos 31 Defjinición 1.61. Cada conjunto de C de la forma (z:|z| > r >0) mina entorno de co, o bola con centro en oo. se deno- El lector puede preguntarse por qué a R le hemos adjuntado dos símbolos, +mo y —oo, mientras que a C sólo le adjuntamos un símbolo, vo. La res- puesta radica en el hecho meros reales, mientras que que ciertas propiedades de se verifiquen sin excepción, de que existe una relación de orden < entre núentre números complejos no sucede lo mismo. Para los números reales que involucran la relación < es necesario disponer de dos símbolos, + v y —oo, tales como los definidos anteriormente. Ya hemos mencionado, por ejemplo, que cada conjunto no vacío tiene un sup en R*. En C resulta más conveniente disponer de un solo punto ideal. A modo de ilustración, recordemos que la proyección estereográfica establece una correspondencia uno a uno entre los puntos del plano complejo y los puntos de la superficie de la esfera, distintos del Polo Norte. La aparente excepción del Polo Norte puede ser eliminada considerándolo la imagen geométrica del punto ideal co. Así conseguiremos una correspondencia uno a uno entre el plano complejo ampliado C* y la superficie total de la esfera. Es evidente, desde un punto geométrico, que si el Polo Sur se coloca en el origen del plano complejJO, el exterior de un «amplio» círculo en el plano se colocará, por proyección estereográfica, en un «pequeño» casquete esférico alrededor del Polo Norte. Ello ilustra con claridad por qué hemos definido un entorno de co mediante una -desigualdad de la forma |z] >r. EJERCICIOS Enteros 1.1 Demostrar que no existe un primo máximo. (Una demostración por Euclides.) 1.2 Si n es un entero positivo, probar la identidad algebraica a" — b = (a — b) n—1 Z era conocida akb"_1_k. k=0 1.3 Si 2"— 1 es primo, probar que n es primo. donde p es primo, se llama un primo de Mersenne. Un primo de la forma 2?— 1, 1.4. Si 2 + 1 es primo, entonces n es una potencia de dos. Un primo de la forma 2?" + 1 se llama un primo de Fermat. Indicación: Utilizar el ejercicio 1.2. 1.5 Los números de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ..., son definidos recursivamente por la fórmula x, ., = X, + Xy-1,€0N X¡ = X, = |. Probar que (X, X,+1) = 1 y que x, = (a" — b"Y(a — b), donde a y b son las raíces de la ecuación x* — x — 1 =0. 32 El sistema de los números reales y el de los complejos 1.6 Probar que cada conjunto no vacío de números enteros mer elemento. Este es el principio de buena ordenación. Números racionaes positivos posee pri- e irracionales 1.7 Hallar el número racional cuya expresión decimal es 0,3344444... 1.8 Probar que la expresión decimal de x terminará en ceros (o en nueves) si, y sólo si, x es un número racional cuyo denominador es de la forma 2”5”, donde m y n son enteros no negativos. 1.9 1.10 Probar que x/2 + 3 es irracional. Si a, b, c, d son racionales y si x es irracional, probar que (ax + b)/(cx + d) es, en general, irracional. ¿Cuándo se dan las excepciones? 1.11 Dado un número real cualquiera x > 0, probar que hay un irracional entre 0 y x. 1.12 Si a/b <<c/d con b >0, d > 0, probar que (a + o)/(b + d) está entre a/b y cld. 1.13 Sean a y b enteros positivos. Probar que x/2 está siempre entre las dos fracciones a/b y (a + 2b)/(a + b). ¿Qué fracción está más próxima a 2? 1.14 Probar que Vn—1 + Vn + 1 es irracional para todo entero n —> l1. 1.15 Dado un número real x y un entero N > 1, probar que existen enteros 7 y k con OLK<N tales que |kx—h| < 1/N. Indicación. Considerar los N + 1 números íx — [£x] para t = 0, 1, 2, ..., N y probar que algún par difiere a lo más I/N. 1.16 Si x es irracional, probar que existe una infinidad de números racionales h/k con k > O tales que |x—h/k| < 1/k?. Indicación. Suponer que sólo existe un número finito h,/k,,..., h./k. y aplicar el ejercicio 1.15 para llegar a contradicción, con N > 1/8, donde 8 es el menor de los números |X — 1.17 Sea x un número racional positivo de la forma n X = aA h;/k;|. b donde cada a, es un entero no negativo con a, <<k—1 Sea [x] el mayor entero contenido en x. Probar que a, = k k — 1)! x] para k =2, ..., n, y que n es el menor entero Recíprocamente, probar que cada número racional positivo en esta forma de una manera y una sola. Cotas para k>2 y a, >0. [x], que a,= [kK! x] — tal que n! x es entero. x puede ser expresado superiores 1.18 Probar que el sup y el inf de un conjunto, si existen, son únicos. 1.19 Hallar el sup y el inf de cada uno de los siguientes conjuntos de números reales: a) Todos los números de la forma 2?+3-+5-7,donde p, q y r toman todos los valores enteros positivos. El sistema de los números reales y el de los complejos b) S = íx:3x? — 10x + 3 < O). c) $ = (x: (x—a) (x—b) (x—c) 1.20 Probar la propiedad de (x—d)<0), la comparación para donde supremos 33 a<b<c<d. (Teorema 1.16). 1.21 Sean A y B dos conjuntos de números positivos acotados superiormente, y sea a — sup A, b = sup B. Sea C el conjunto de todos los productos de la forma xy, donde x € A e y € B. Probar que ab = sup C. 1.22 Sean x real > 0 y k entero >2. Sea a, el mayor definidos a,, a,, ..., An_1, Sea a, el mayor entero tal que a a kK k ao+—l+—%+ a) Probar que <x y, supuestos a .. O <<a, <k— 1 para cada entero + E< X. k" i = 1, 2,... y probar que x es el sup del b) Sea r, =a, + ak? +a,k-2+ ... + a,k" conjunto de los números racionales r,, r,, ... NOTA. Cuando k = 10 los enteros a,, a,, a,,... son los dígitos de una represen- tación decimal de x. Para un k cualquiera obtenemos una representación en base K. Desigualdades 1.23 Probar la identidad n 2 (2 akbk) k=1 Nótese que 1.24 Probar de Lagrange n n. esta identidad 4 de n < de Cauchy-Schwarz. n 2 (Z a',t)(2 bí) k=1 k=1 n (E ct) . k=1 Minkowski: n (Z (ay + bk)2) 1/2 n < (2 aí) k=1 1/2 n + (Z bí) k=1 Es la desigualdad triangular (ab; — aby. reales arbitrarios a,, b,, C,; tenemos n la desigualdad lsk<j<n la desigualdad implica números reales » k=1 (E akbkck) k=1 1.25 Probar número = (2 ai) (Z bí) k=1 que para para ||a +b|| < lal| + ||b]| para vectores n dimensionales, lall = (2 ai)“2. k=1 Si a, >a,>...Za, y b >b,>...—> b,, probar Indicación. (Ea)(Es) =15 an ZISJSRSn (ak — . k=1 donde a = (a,,..., a,), b = (b,,..., b,1) y 1.26 1/2 aj)(bk — b_,) > 0. que 34 El sistema Números complejos 1.27 Expresar los de siguientes los números números complejos a) (1 + Ds c) 5 + P6 1.28 En cada caso, determinar 1.29 Si en x + iy = |x la forma los complejos a + bi. todos los valores reales x e y que satisfacen la rela- — »| b) x + iy = (X — Y, 7 = x + iy, x e y reales, el complejo conjugado Z = Xx—iy. y el de b) (2 + 3D/(3 — 4i, d) 1(1 + D/0 +i9). ción dada. a) reales Probar que: 100 c)2i'º=x+iy. k=0 de z es el número complejo a) 77 + Z7 = 71 + Z, D) 7177 = 717,, c) z7 = |z]*, d) z + 7 = al doble de la parte real de z. €) (7 — 7)/i = al doble de la parte imaginaria de z. 1.30 Describir geométricamente el conjunto de los números facen cada una de las condiciones siguientes: complejos a) |z| = 1, b) |z] < 1, c) |z| < 1, d) e) f) 1.31 z + Dados 7Z=1, tres números z — Z=i, complejos z,, Z, + Zy + Z; = 0, probar que estos tres equilátero inscrito en el círculo unidad Z,, Z, tales que Z+7= z que satis- lz. |z,| = |z,| = lz,| =1 números son los vértices y centrado en el origen. de un y triángulo 1.32 Si a y b son números complejos, probar que: a) la — b|? < (1 + la|*)A + |6]”). b) Si a= 0, entonces gativo. |a + b| = la| + |b| si, y sólo si, b/a es real y no ne- 1.33 Si a y b son números complejos, probar que la — b| = |1 — ab| si, y sólo si, la| =1 Ja — b| < |1 — ab]? o |b| = 1. ¿Para qué números a y b es válida la desigualdad 1.34 Si a y c son números reales constantes, azz + bZ + bz+c=0 b es complejo, probar que la ecuación (a*£0,72=x+-+ji): representa un círculo en el plano xy. 1.35 Recordemos la definición de la inversa de la tangente: dado un número real t, tg-1(1) es el único número real 6 que satisface las dos condiciones siguientes: — T 2 <O< n +-, 2 te 0=. s El sistema Si de los números reales y el de los complejos 35 z = x + jy, probar que a) arg (z) = 8 (Z) , x si x > O, b) arg (z) = tg” (J—¡) + 7, D si x < 0, y > 0, c) arg (z) = tg* (X) X si — , d) arg (z) = 7ísix=0,y> 1.36. Definimos el siguiente Z, < 7, Si tenemos i) |z1] < |z2| x < 0,y <O, 0; arg (z) = —gsix= «pseudo-orden» de números o lz,| i) |7,] = y 0, y < O. complejos: arg(7,) diremos que < arg (7,). ¿Cuáles de los axiomas 6, 7, 8, 9 se satisfacen con esta relación? 1.37 ¿Cuáles de los axiomas 6, 7, 8, 9 se satisfacen si la pseudo-ordenación se define como sigue? Diremos i) 1.38 Establecer que (x,, y,) x1 < < (%,, Y,) si tenemos x2 y demostrar 0) un ii) teorema x1 = x2 análogo e y1 * vienen dadas por 1 satisfacen la ecuación x, a, ..., ", y2. al teorema (7,/7,) en función de arg (7,) y arg (z,). 1.39 Establecer y demostrar un teorema análogo al teorema (7,/7,) en función de Log (7,) y Log (z). 1.40 Probar que las raíces n-ésimas de 1 (llamadas también unidad) < 1.48, expresando 1.54, expresando arg Log raíces n-ésimas de la donde w = e*7i/", y probar que las raíces l +x+2»x+:..-— X 10 1.41 a) Probar que |zi| < e" para todo complejo b) Probar 1.42 que que sea z. no existe una Si w = u + iv(u, v reales), zw 1.43 a) Probar que Log — constante M probar z -£ 0. > 0 tal que |cos z| < M cualquiera que eu log |z] —varg(z)el[vlog Iz| +uare (2)] (7”) = w Log z + 2rin, donde n es un entero. b) Probar que (z): = zva e*"ine. donde n es un entero. 1.44 i) Si 0 y a son números reales, —7 < 0< + r, probar que (cos ii) Probar que, en 0 + ¡ sen general, 0Y = cos la restricción haciendo 0 = —r y a=4. (a0) + ¿ sen (a6) — 7 < 0 << +7 es necesaria en (1) 36 El sistema de los números reales y el de los complejos 111) Si a es un entero, probar que la fórmula de (i) se verifica sin necesidad de imponer restricciones a 0. En este caso se conoce como el teorema de Moivre. 1.45 Utilizar el teorema de Moivre (ejercicio 1.44) para obtener las identidades trisonométricas sen 30 = 3 cos? 0 sen 0— sen?* 6, cos 30 = cos: 9 — 3 cos / sen? 6 válidas para todo 0 real. ¿Son válidas si 9 es complejo? 1.46 Definimos tg z = (sen z7)/(cos z) y probar que, para sen 2x + ¿ senh tg 7 = cos 2x + cosh Z = X + y, se tiene 2y 2y 1.47 Sea w un número complejo dado. Si w £ +1, probar que existen dos valores de 7 = x + iy que satisfacen las condiciones cos 7 =w y —7 << X< +r. Hallar estos valores cuando w =í y cuando w =2. 1.48 Demostrar la identidad de Lagrange para números complejos: n 2 b 2 = » n lal k=1 k=1 n - ?- k=1 >; lab, — aphil”. lsk<j<n Utilizarla para deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz para números complejos. 1.49 a) Probar, utilizando la Moivre, que ecuación de la parte imaginaria de la fórmula de sen n0 = sen" 0[(Í) cotg"-10 — (';) cotg" 30 + (';) cotg"-50 — +-. : , b) Si O< 8 < 7/2, probar sen que (2m + 1) 0 = sen?"+1 0P ,, (cotg? 6) donde P,, es el polinomio Pm(x)=(2ml+ de grado m dado por 1 )x"' 1)x"'—(2m3+ 1+(m5+ 2m + 1 )x m 2 ... Utilizar este resultado para demostrar que P,, tiene ceros en los m puntos distintos x,, = cotg? (5k/(2m + 1)) para k = 1, 2,..., m. c) Demostrar que la suma de los ceros de P,, viene dada por Ícotgº nk k=1 y que la suma m + de sus cuadrados Zcotg4 k=1 2m 7k 2m + 1 _ m(2m _ m(2m 1 — 3 viene dada — 1Y4m* 45 1) > por + 10m — 9) - El sistema NOTA. de los números Estas identidades pueden reales y el de los complejos 37 utilizarse para demostrar que $_, -* = 7?/6 y Yn-117* = 7*/90. (Ver ejercicios 8.46 y 8.47.) 1.50 para Probar que z” — 1 = [[k-1 (2 — e?""") para todo complejo z. Utilizar esto deducir la fórmula n—1 sen*7 _ k=1 REFERENCIAS 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 SUGERIDAS n PARA _ 2 n—1 para n > 2. POSTERIORES ESTUDIOS Apostol, T. M., Calculus, Vol. 1, 2.* ed. Ed. Reverté, S. A., Barcelona. Birkhoff, G., y MacLane, S., A Survey of Modern Algebra, 3.* ed. Macmillan, New York, 1965. (Hay traducción al castellano. Ed. Vicens Vives, Barcelona.) Cohen, L., y Ehrlich, G., The Structure of the Real-Number System. Van Nostrand, Princeton, 1963. Gleason, A., Fundamentals of Abstract Analysis. Addison-Wesley, Reading, 1966. Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Press, 1952. 10.2 ed. Cambridge University 1.6 Hobson, E. W., The Theory of Functions of a Real Variable and the Theory of 1.7 1.8 1.9 1.10 Fouriers Series, Vol. 1, 3.2 ed. Cambridge University Press, 1927. Landau, E., Foundations of Analysis, 2.* ed. Chelsea, New York, 1960. Robinson, A., Non-Standard Analysis. North-Holland, Amsterdam, 1966. Thurston, H. A., The Number Svstem. Blackie, London, 1956. Wilder, R. L., Introduction to the Foundations of Mathematics. 2.* ed. Wiley, New York, 1965. CAPÍTULO 2 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 2.1 INTRODUCCIÓN Al estudiar las distintas ramas de la Matemática es útil manejar la notación y la terminología de la Teoría de conjuntos. Esta teoría, desarrollada por Boole y por Cantor a finales del siglo diecinueve, ha tenido una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas del siglo veinte. Ha unificado muchas ideas, aparentemente desconexas, y ha ayudado a reducir muchos conceptos matemáticos a sus fundamentos lógicos de una manera elegante y metódica. - No daremos un desarrollo sistemático de la teoría de conjuntos; nos limitaremos a discutir algunos de sus conceptos básicos. El lector que desee explorar este terreno más ampliamente puede consultar las referencias del final de este capítulo. Una colección de objetos, considerados como una sola entidad, se llamará conjunto. Los objetos de la colección se llamarán elementos o miembros del conjunto y diremos que pertenecen al conjunto o que están contenidos en él. El conjunto, a su vez se dice que, los contiene o está compuesto por sus ele- mentos. Nuestro interés radica, principalmente, en los conjuntos de entes matemáticos; esto es, conjuntos de números, puntos, funciones, curvas, etc. Sin embargo, como la mayor parte de la teoría de conjuntos no depende de la naturaleza de los objetos individuales de la colección, supone una gran economía de imaginación estudiar conjuntos cuyos elementos puedan ser de cualquier tipo. Es a causa de esta cualidad de generalización por lo que la Teoría de conjuntos ha tenido un efecto tan grande en la mayor parte de los desarrollos matemáticos. 2.2 NOTACIONES Los conjuntos los designaremos, usualmente, por medio de letras mayúsculas : A,B, C,...,X, Y, Z, 39 40 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos y los elementos por medio de letras minúsculas: a, b, c, ..., X, y, Z. Se escribe x € S para indicar que «x es un elemento de », o que «x pertenece a $». Si x no pertenece a $, se escribe x € S. A veces para designar un conjunto escribiremos sus elementos entre llaves; por ejemplo, el conjunto de los enteros pares positivos menores que 10 se expresa por medio de (2, 4, 6, 8). Se escribe S = (x:x satisface a P) para indicar que $ los cuales se verifica la propiedad P. A partir de un conjunto dado es dos subconjuntos del conjunto dado. enteros positivos menores que 10 que un subconjunto del conjunto de los En general, ACB, decimos si todo que elemento un posible formar nuevos conjuntos, llamaPor ejemplo, el conjunto de todos los son divisibles por4, es decir, (4, 8), es enteros pares positivos menores que 10. conjunto de A es la colección de los x para pertenece A es subconjunto a B. La de afirmaciór B, y se escribe A — B no elimi- na la posibilidad de que sea B — 4. De hecho, son simultáneas 4 =B y BCA si, y sólo si, 4 y B tienen los mismos elementos. En este caso, decimos que A y B son iguales y escribimos A = B. Si A y B mo son iguales, escribimos A £ B.Si1 ACB, pero A £ B, entonces se dice que A es un subconjunto propio de B. Conviene considerar la posibilidad de un conjunto sin elementos; tal conjunto se llama conjunto vacío y se le considera, por convenio, subconjunto de todo conjunto. El lector puede hallar útil imaginar un conjunto como una caja que contiene ciertos objetos, sus elementos. El conjunto vacío es, entonces, una caja vacía. El conjunto vacío se designa por el símbolo . 2.3 PARES ORDENADOS Consideremos un conjunto de dos elementos a y b; es decir, el conjunto (a, b). En virtud de nuestra definición de igualdad, este conjunto es igual al conjunto (b, a), ya que no se halla involucrada la cuestión del orden. Sin embargo, es necesario considerar también conjuntos de dos elementos en los que el orden sea importante. (, es el tos Por ejemplo, en Geometría analítica plana, las coordenadas y) de un punto representan un par ordenado de números. El punto (3, 4) distinto del punto (4, 3), mientras que el conjunto (3, 4) es el mismo que conjunto (4, 3). Cuando deseemos considerar un conjunto de dos elemena y b, ordenados, escribiremos los elementos entre paréntesis: (a, b). En- tonces a es el primer elemento y b el segundo. Es posible dar una definición de par ordenado de objetos (a, b) que involucre teoría de conjuntos. Tal definición es la siguiente: Definición 2.1. (a, b) = taj, la, djj. tan sólo el lenguaje de la Algunas nociones Esta definición básicas de la teoría de conjuntos establece que (a, b) es un conjunto 41 que contiene dos ele- mentos (a) y(a, b). Utilizando dicha definición se puede demostrar el siguiente teorema: Teorema 2.2. (a, b) = (c, d) si, y sólo si, a= c y b=d. Este teorema muestra que la definición 2.1 es una definición «razonable» de par ordenado, en el sentido de que el objeto a se distingue del objeto b. La demostración del teorema 2.2 es un ejercicio instructivo para el lector. (Ver ejercicio 2.1.) 2.4 PRODUCTO CARTESIANO DE DOS CONJUNTOS Definición 2.3. Dados dos conjuntos A y B, llamaremos producto cartesiano de A y B, y lo representaremos A X B, al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) tales que aC A y b E B. Ejemplo. Si R representa el conjunto de todos los números reales, entonces a R x R le corresponde el conjunto de todos los números complejos. 2.5 RELACIONES Sean x e y números terpretado como como como un número reales, de modo las coordenadas xy = l, Cada Y FUNCIONES complejo). x que el par ordenado Encontramos, + yY una de estas expresiones (x, y) pueda ser in- rectangulares de un punto del plano xy (o = 1, x con +y frecuencia, < 1, expresiones x < . determina un cierto conjunto tales (a) de pares orde- nados (x, y) de números reales ; es decir, el conjunto de todos los pares ordenados (x, y) para los que la expresión se satisface. Un tal conjunto de pares orde- 2y =1 T + y? = 22 +y<1l x<y 42 Algunas nados se llama relación plana. nociones Se llama básicas de la teoría de conjuntos grafo de la relación al conjunto de puntos del plano que le corresponde si a cada par ordenado de la relación se le asocia un punto del plano. Los grafos de las relaciones descritas en (a) están dibujados en la Fig. 2.1. El concepto de relación puede formularse con tal generalidad que los objetos x e y del par (x, y) no hayan de ser, necesariamente, números, sino que puedan ser objetos de cualquier naturaleza. Dejinición 2.4. Se llama relación a todo conjunto de pares ordenados. Si S es una relación, el conjunto de todos los elementos x que aparecen como primeros elementos de los pares (x, y) de $S se llama dominio de $S y se designa por D(S). El conjunto de los segundos elementos y se llama redorrido de S y se designa por R(S). El primer ejemplo dibujado en la Fig. 2.1 es un tipo especial de relación, conocido con el nombre de función. Definición 2.5. Una función F es un conjunto de pares ordenados (x, y) ninguno de los cuales tienen el mismo primer elemento. Esto es, si (x, y) € F y (X, 2) E F, entonces y = Z. La definición de función requiere que, para cada x del dominio de F, exista exactamente un y tal que (x, y) E F. Es costumbre en x y escribir llamar a y el valor de F y = F en vez de (x, y) E F, para indicar que el par (x, y) pertenece al conjunto F. En lugar de la descripción de una función F mediante la presentación de los pares que contiene, es de ordinario preferible describir el dominio de F y luego para cada x del mismo indicar la manera de obtener el valor F(x). En relación con esto, disponemos del siguiente teorema cuya demostración se deja de ejercicio para el lector. Teorema a) b) 2.6 2.6. Dos funciones F y G son igudles si, y sólo si, OF) = G) ( y G tienen el mismo F(x) =G(x) para todo x del F). MÁS TERMINOLOGÍA dominio), REFERENTE y A FUNCIONES Cuando el 9(7) es un subconjunto de R, entonces F se denomina función de una variable real. Si OF) es un subconjunto de C, el sistema de los números complejos, entonces F se denomina función de una variable compleja. Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 43 Si I) es un subconjunto de un producto cartesiano A X B, entonces F es una función de dos veriables. En este caso los valores de la función se de- signan por F(a, b) en vez de Fí((a, »)). Una función de dos variables reales es aquella cuyo dominio es un subconjunto de R x R. Si S es un subconjunto de 9(F), diremos que F está definida en S. En este caso, el conjunto de los F(x) con x E S se denomina imagen de S por F y se designa por F(S). Si 7 es un conjunto cualquiera que contenga a F(S), entonces F se llama también aplicación de S en T. Esto se expresa, corrientemente, escribiendo F:S >T. Si F(S) = 7, se dice que la aplicación es sobre T. Una aplicación de S en sí mismo se denomina a veces transformación. Consideremos, por ejemplo, la función de una variable compleja definida por la ecuación F(7z) = Z”. Esta función aplica cada sector S de la forma 0 <arg (7) < a < r/2 del plano complejo Z sobre un sector F(S) determinado por las desigualdades 0 <arg [F(7)] < 2a. (Ver Fig. 2.2.) F(S) a R R b Z F Figura 2.2 Si dos funciones F y G satisfacen la relación de inclusión G <F, se dice que G es una restricción de F o que F es una extensión de G. En particular, si $ es un subconjunto de D) y si G está definida por la ecuación G(x) = F() para todo x de $, entonces se dice que G es la restricción de F a S. La función G consta de los pares de la forma (x, F(x)), con x € S. Su dominio es $ y su recorrido es F(S). 2.7 FUNCIONES UNO A UNO E INVERSAS Dejinición 2.7. Sea F una función definida en S. Se dice que F es uno uno en $ si, y sólo si, para todo x e y de $, F(x) = F() implica x = y. a 44 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Esto equivale a decir que una función que es uno a uno en $ asigna valo- res distintos a elementos de $ distintos. Estas funciones se llaman también inyectivas. Son importantes puesto que, como veremos en seguida, poseen inver- sas. Sin embargo, antes de establecer la definición de inversa de una función, conviene introducir una noción más general, que es la de inversa de una relación. Dejinición 2.8. Dada una relación S, la nueva relación $ definida por S = ((0,5): (6, ) e S) se llama la inversa de $. Así,un par ordenado (a, b) pertenece a $ si, y sólo si, el par con los elementos invertidos, (b, a), pertenece a S. Cuando $ es una relación plana, esto significa, simplemente, que el grafo de $ es el simétrico del grafo de S con respecto a la recta y = x como eje de simetría. En la relación definida por x < , la relación inversa se define por y < . Defjinición 2. 9. Supongamos que la relación F es una función. C0nszderemos la relación inversa F, que puede ser o no ser una función. Si F es también una función, entonces F se llama inversa de F y se designa por F-. La Figura 2.3(a) ilustra un ejemplo de una función F para la que fF no es función. En la Fig. 2.3(b) tanto F como su inversa son funciones. El siguiente teorema nos dice que toda función que sea uno a uno en su dominio posee, siempre, una inversa. F : i (a) Figura 2.3 (b) Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 45 Teorema 2.10. Si la función F es uno a uno en su dominio, también una función. entonces F es Demostración. probar Para probar que F es una función, debemos que si (x, YE F y (x, y E F, entonces y =. Pero (x, y) E F significa que y, Y EF; esto es, x = F(). Análogamente, (x, 7) € F significa que x = F(Z). Por lo tanto F(y) = F(Z) y, como que hemos supuesto que F es uno a uno, ello implica y = 7. Luego, 7 es una función. NOTA. El mismo argumento prueba que si F es uno a uno en un subconjunto S de 9I7), entonces la restricción de F a S posee una inversa. 2.8 FUNCIONES COMPUESTAS Definición 2.11. Dadas dos funciones F y G tales que R(F) = DG), se puede construir una nueva función, la compuesta G o F de F y G, definida como sigue: para cada x del dominio de F, (G o FYx) = G[F(X)1. Como que R(7) C D(G), el elemento F(x) está en el dominio de G, y por lo tanto tiene sentido considerar G[F(x)]. En general, no es verdad que G o F = F o G. De hecho, F oG sólo tiene sentido si el recorrido de G está contenido en el dominio de F. Sin embargo, la ley asociativa, He (G o F) = (HoG)oF, se verifica siempre que ambos miembros tengan sentido. (La verificación será un ejercicio interesante para el lector. Ver ejercicio 2.4.) 2.9 SUCESIONES Entre los ejemplos más importantes de funciones nidas en subconjuntos de los enteros. se hallan las que están defi- Definición 2.12. Por sucesión finita de n términos entenderemos una función F cuyo dominio sea el conjunto de números (1, 2, ..., n). El recorrido de F es el conjunto (F(1), F(?), F(3), .... F(n)), ordinariamente desginado por (F,, F,, F,, ..., F,). Los elementos del recorrido se llaman términos de la sucesión naturaleza. Defjinición 2.13. y, además, pueden ser objetos arbitrarios de cualquier Por sucesión infinita entenderemos una función F cuyo do- minio sea el conjunto (1, 2, 3, ...) de todos los enteros positivos. El recorrido 46 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos de F, esto es, el conjunto (F(1), F(?), F(3), ...). se designa también por (F F,, ...), y el valor F,, se llama el término n-ésimo de la sucesión. Por motivos de brevedad, usaremos en ocasiones la notación designar la sucesión infinita cuyo término n-ésimo es F,. (F,) F para Sea s — (s,) una sucesión infinita, y sea k una función cuyo dominio es el conjunto de los enteros positivos y cuyo recorrido es un subconjunto del conjunto de los enteros positivos. Supongamos que k «conserva el orden» o, con otras palabras, «es creciente», esto es, supongamos k(m) La función compuesta so uno de tales n se tiene < k(n), que sim<n. K está definida para todo entero n > 1, y para cada (s o k)(n) = Sum- Una tal función compuesta se llama una subsucesión de s. De nuevo, por motivos de brevedad, utilizaremos a menudo, lo notación (sk(x,) O f(s,) para designar la subsucesión de (s,) cuyo n-ésimo término es s(»). Ejemplo. 2.190 Sea s = (1/n) y sea K definida por k(n) = 2”. Entonces s o k = (1/27). CONJUNTOS COORDINABLES (EQUIPOTENTES) Definición 2.14. Dos conjuntos A y B son coordinables, o equipotentes, y se escribe A ¿ B si, y sólo si, existe una función uno a uno F cuyo dominio es el conjunto A y cuyo recorrido es el conjunto B. Se dice también que F establece una correspondencia uno a uno entre los conjuntos A y B. Es claro que cada conjunto A es coordinable consigo mismo (tomar como de A). Además, F la función «identidad» definida por F(x) = x para todo x si A _-B entonces B- A, ya que si F es una función uno a uno que hace a A coordinable con B, entonces F- hará B coordinable con 4. También, si 4 -B y si B_C, entonces A _ C. (La demostración se deja al lector.) 2.11 CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS Se dice que un conjunto $ es finito y que contiene n elementos si S - (1, 2,...,n». El entero n se llama número cardinal o simplemente cardinal de S. Es un ejercicio fácil demostrar que si (1, 2, ..., ny — (1, 2, ..., mj entonces m = n. Por Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 47 lo tanto, el cardinal de un conjunto finito está bien definido. El conjunto vacío se considera también finito. Su cardinal se define por 0. Los conjuntos que no son finitos se llaman infinitos. La diferencia principal entre ambos es que un conjunto infinito puede ser semejante a alguno de sus subconjuntos propios, mientras que un conjunto finito nunca podrá ser se- mejante a uno de sus subconjuntos propios. (Ver ejercicio 2.13.) Por ejemplo, el conjunto Z* de todos los enteros positivos es semejante al subconjunto pro- pio (2, 4, 8, 16, ...) formado por las potencias de 2. La función uno a uno F que los hace semejantes 2.12 CONJUNTOS está definida por F(x) = ?* para cada x de Z*. NUMERABLES Y NO NUMERABLES Un conjunto S se dice que es infinito numerable si es coordinable con el conjunto de todos los enteros positivos; esto es, si S — (1,2,3,...). En este caso existe una función f que establece una correspondencia uno a uno entre los enteros positivos y los elementos de $; por consiguiente, el conjunto $ puede ser descrito como sigue: S = 0), 1(2), 503), - -- + A menudo se utilizan subíndices y f(k) se designa por a, (o por otra notación semejante) y se escribe, entonces, S = (a,, a,, a;, ...). Lo importante aquí es que la correspondencia nos permite utilizar los enteros positivos como «etique- tas» de los elementos de S. Un conjunto infinito numerable se dice que tiene cardinal No (léase: Defjinición 2.15. álef subcero). Un conjunto S es numerable si es o bien finito o bien infi- nito numerable. Un conjunto que no sea numerable se llama no numerable. Las palabras numerable y no numerable son sustituidas a veces por contable y no contable. Teorema 2.16. Todo subconjunto de un conjunto numerable es numerable. Demostración. Sea S un conjunto numerable dado y supongamos que ACS$. Si A es finito, no hay nada que demostrar, por lo tanto podemos suponer que A es infinito (lo cual significa que S también lo es). Sea s = (s,) una sucesión infinita de términos todos distintos tal que S-= '[S1, 5'2,...). 48 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Se define una función en el conjunto de los enteros positivos como sigue: Sea k(1) el menor entero positivo m tal que s, € 4. Suponiendo que k(1), k(2), ..., kK(n — 1) han sido definidas, sea k(n) el menor entero positivo m > k(n — 1) tal que s, € 4. Entonces k conserva el orden: m > n implica k(m) > K(n). Se forma entonces la función compuesta sok. El dominio de soKk es el conjunto de los enteros positivos y el recorrido de s o k es A. Además, s 9 k es uno a uno, ya que s[k(m)] implica P s[xX(m)], Sk(n) — Sk(m)> que significa kK(n) = k(m), y esto implica n = m. Esto prueba el teorema. 2.13 NO EL ES CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES NUMERABLE El siguiente teorema demuestra que existen conjuntos infinitos no numerables. Teorema 2.17. El conjunto de todos los números reales no es numerable. Demostración. Es suficiente demostrar que el conjunto de los x que satisfacen 0 < x< 1 es no numerable. Si los números reales de este intervalo fuesen numerables, existiría una sucesión s = (s,) cuyos términos constituirían todo el intervalo. Probaremos que esto es imposible construyendo, dentro del intervalo, un número real que no sea término los s, como decimales infinitos: Sn — de esta sucesión. 0.un,1un,2un,3 Una vez escritos . .._ donde cada z, ; es 0, 1, ..., 0 9, consideramos el número real y cuya expresión decimal es y = 0.0,0,03 ..., donde U, = e 2, Si Un n £ , 1, Siv,, =1 Entonces ningún término de la sucesión (s,) puede ser igual a y, ya que y difiere de ;s, en el primer decimal, de s, en el segundo decimal, ..., de s, en el n-ésimo decimal. (Una situación como s, = 0,1999... e y = 0,2000... no puede darse por la manera como han sido elegidas las v,.) Como 0 < y 1, el teo- rema queda demostrado. Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 49 Teorema 2.18. Si 7+ designa al conjunto de todos los enteros positivos, entonces el producto cartesiano Z* X Z* es numerable. Demostración. Se define la función f en Z* X Z* como f(m, n) = 2"3", Entonces de 7*. 2.14 f es uno ALGEBRA a uno DE si mnneZ* sigue: xZ*. en Z* X Z* y el recorrido de f es un subconjunto CONJUNTOS Dados dos conjuntos A, y A,, definimos un nuevo de A, y A,, designado A, U 4,, como sigue: conjunto, llamado reunión Definición 2.19. La reunión A, U A; es el conjunto cuyos elementos son los elementos que pertenecen a A, 0 a A, o a ambos. Esto es lo mismo que decir que A, U A, consta de los elementos que per- tenecen por lo menos a uno de los conjuntos A,, A,. Como en esta definición no se hallan involucradas cuestiones de orden, la reunión A, U 4A, es la misma que A, U A,; esto es, la reunión de conjuntos es conmutativa. La está dada de tal manera que la reunión de conjuntos es asociativa: A1 U (A2 U A3) — (Al U A2) U definición A3. La definición de reunión puede extenderse a colecciones finitas o infinitas de conjuntos: Dejinición 2.20. Si F es una colección arbitraria de conjuntos, entonces la reunión de todos los elementos de F se define como el conjunto de los elementos que pertenecen a uno, por lo menos, de los conjuntos de F, y se designa por U 4. AeF Si F es una colección finita de conjuntos, F = (A,, ..., An), se escribe UA= AEF UAk=A1UA2U"'UA,¡. k=1 Si F es una colección numerable, F = (A,, A,, ...), Se escribe U4=U4 AeF k=1 =4 4 50 Algunas Defjinición 2.21. nociones básicas de la teoría de conjuntos Si F es una colección arbitraria de conjuntos, la intersec- ción de F se define como el conjunto cuyos elementos son los elementos que pertenecen a todos los conjuntos de F, y se designa por n 4. AeF La intersección de dos conjuntos A, y A; se desgina por A, NA, y consta de los elementos comunes a ambos conjuntos. Si A, y A, no tienen elementos comunes, entonces A, N A, es el conjunto vacío y A, y A, se llaman disjuntos. Si F es una colección finita (como más arriba), se escribe nA=ROIAR=AInA20"'nAH, AeF y si F es una colección numerable, se escribe 0A=kn AeEF Ak=AlñAzñ"' =1 Si los conjuntos de la colección carecen de elementos comunes, su intersección es el conjunto vacío. Nuestras definiciones de reunión e intersección son, además, aplicables cuando F no es numerable. Por el modo como se han definido las reuniones y las intersecciones, las leyes conmutativas y asociativas se satis- facen automáticamente. Definición 2.22. El complemento B—AA, se define como el conjunto B- de A A=x:x€eB, relativamente pero a B, designado por x£4A). Nótese que B — (B — 4) = A siempre que A C B. Nótese también que B — A =BSBNA es vacío. Las nociones de reunión, intersección, la Fig. 2.4. B A A uB Figura 2.4 y complementario B A AnB están ilustradas en B A A-A Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Teorema 2.23. Sea F una colección junto B, se tiene de conjuntos. Entonces 51 para cada con- B- U4=Nn(-4), y B- NA4=U6B-1. Demostración. Sea S = U ,rA, T = N a.r (B — A). Si xEB—S, entonces x E B, pero x E S. Por lo tanto, no es cierto que x pertenezca a uno, por lo menos, de los A de F; por lo tanto x no pertenece a ninguno de los A de F. Luego, para cada A de F, xE B— . Pero esto implica que xE7, luego B— tra que SET. Deshaciendo los pasos, se obtiene que B— S =T. mento semejante. Para 2.15 COLECCIONES NUMERABLES Definición 2.24. demostrar la segunda NUMERABLES DE T =B—S, y esto demues- afirmación, utilizar un argu- CONJUNTOS Si F es una colección de conjuntos tal que, cada dos con- juntos de F distintos, son de conjuntos disjuntos. disjuntos, se dice entonces que F es una colección Teorema 2.25. Si F es una colección numerable de conjuntos disjuntos, tal como F = (A,, A,, ...), en la que cada conjunto A, es numerable, entonces la reunión U*, A; es también numerable. Demostración. Sea A, = íd1n Q2n> A3,n...),n = 1,2,...,y sea S = U , Entonces todo elemento x de S está en uno de los conjuntos de F y, por lo tanto, x = dm,, para un cierto par de enteros (m, n). El par (m, n) está univocamente determinado por x, ya que F es una colección de conjuntos disjuntos. Por lo tanto la función f definida por f(x) = (m, n) si x = ama, X ES, tiene dominio S. El recorrido f(S) es un subconjunto de Z *X7*(donde Z*es el conjunto de los enteros positivos) y por lo tanto es numerable. Pero f es uno a uno y por consiguiente S — f(S), que equivale a decir que $ es numerable. Teorema 2.26. Si F = (A,, A,, ...) es una colección numerable tos, sea G = (B,, B,, ...), donde B, = A, y, para n > 1, n—1 B,.l — An — U k=1 Ak' de conjun- 52 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Entonces G es una colección de conjuntos disjuntos, y se tiene que 0 U 4 = 00 U B- Demostración. Cada conjunto B, se ha construido de forma que carezca de elementos comunes con los conjuntos anteriores B,, B,, ..., B,_,. Por lo tan- to G es una colección de conjuntos disjuntos. Sea 4 = U-1 4, y B=U2, B,. Probaremos que A = B. Ante todo, si x € A, entonces x € A; para un cierto K. Si n es el menor de estos k, entonces x E 4,, pero x € U7-1 4,, lo cual significa que x € B,, y entonces x € B. Por consigueinte A C B. Recíprocamente, si x E B, entonces x E B,, para algún n, y entonces x E A,, para este mismo . Luego x € A y esto prueba que BC 4. - Utilizando los teoremas 2.25 y 2.26, se obtiene inmediatamente el Teorema 2.27. Si F es una colección numerable de conjuntos numerables, entonces la reunión de todos los conjuntos de F es un conjunto numerable. Ejemplo 1. El conjunto Q de todos los números racionales es un conjunto numerable. Demostración. Sea A, el conjunto de todos los números racionales positivos que tienen denominador ». El conjunto de todos los números racionales positivos es igual a [; 4,. De aquí se sigue que Q es numerable, ya que cada An lo es. Ejemplo 2. El conjunto S de intervalos con extremos racionales es numerable. Demostración. Sea (x,, x,, ...) el conjunto de números racionales y sea 4A, el conjunto de todos los intervalos cuyo extremo izquierdo es x,, y cuyo extremo derecho es un número racional. Entonces A4, es numerable y lo es S = U,ͺ= 1 Ar- EJERCICIOS 2.1 Demostrar el teorema 2.2. Indicación. (a, b) = (c, d) significa ((a), (a, b)) = Uc), (c, d)). Recuérdese ahora la definición de conjuntos iguales. 2.2 Sea S una relación y sea 9(S) su dominio. D il) li1) La relación S se llama reflexiva si- a = 9(S) implica (a, a) ES, simétrica si (a, b) E S implica (b, a)ES, rransitiva si (a, b)ES y (b, c)E S implica (a, ) ES. Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 53 .Una relación que sea reflexiva, simétrica y transitiva se llama relación de equivalencia. Determinar cuál de estas propiedades satisface $, si S es el conjunto de todos los pares de números reales (x, y) tales que a) x < , b) d) x? + y? = 1, x < y, c) x < e) x? + y*? < 0, ) |»|, x? +x=y+y. 2.3 Las siguientes funciones F y G están definidas para todo número real x por las ecuaciones dadas. En cada uno de los casos en que la función compuesta G o F pueda definirse, dar el dominio de G o F y una fórmula (o fórmulas) para (G o FYXx). a) F(x) = 1 — x, G(x) = x*? + 2x. b) F(x) = x + 5, G(x) = c) = G0) = F(x) 2 X , Si 0 <x<l X> = , |x]/x,s1 x * 0, G(0) = Xx*,? 1, en los casos restantes, Hallar F(x) si G(x) y G[F(x)]] vienen SIO< . 0, dados x< 1. 1, en los casos restantes. por: d) G(x) = x*, G[F(x)] e) G(x) = 3 + x + x?, G[F(x)]) = x? — 3x + 5. = x* — 3x? + 3x — 1. 2.4 Dadas tres funciones F, G, H, ¿qué restricciones deben imponerse a sus dominios para que las cuatro funciones compuestas que siguen estén definidas? G oF, .Suponiendo HoG, Ho(GoF), que sea posible definir H o (G o r) y (H o G6) o F, probar la ley asociativa He(GoF) 2.5 (HoG)oF. = (H:06)oF. Probar las siguientes identidades de la teoría de conjuntos para reuniones e in- tersecciones : a) AU(BUC)=(AUBIVEO, AN(BNAC) =(ANBINC. b) AN(BUC) =(ANBIU(ANO). c) (4UB)IN(AUC)= d) AU(BNEC). (4 U BIN(BU CIN (CU A)=(ANBUN(ANC)UI(BNO). e) AN(B- 0) =(41B) - UNO). f) (4 - CIN(B- C) g) (4 - BIU B = Asi, 2.6 Sea f:S —> T una bar que =>=(AnB)-€E. y sólo función. Si A HA U B) = F(A) U f(B) Generalizar este resultado al caso si, BCA. y B son subconjuntos yY . fANB)s< de reuniones arbitrarios de S. pro- SA SB). e intersecciones arbitrarias. 54 2.7 Algunas Sea f:S > T una nociones función. Si básicas de la teoría de conjuntos Y C 7, se designa por f-(Y) junto de S que f aplica en Y. Esto es, f- (Y) = x:xeS Y = f-'(3)], ) F U Z] = /-1(7) d) f-7 A Y) = fY) subcon- y fuJeY). El conjunto f—1-(Y) se llama la antiimagen de Y por f. Probar guientes para subconjuntos arbitrarios Y de $ e Y de T7. a) al mayor las propiedades b) FIS-"(7)] < Y, U F-1(7), S1) 9 S-(T- Y=5-50). — f) Generalizar (c) y (d) para reuniones e intersecciones arbitrarias. 2.8 Aludimos al ejercicio 2.7. Probar que f[f-(Y Y = Y para cada subconjunto de T si, y sólo si, 7 = f(S). 2.9 Sea f:S — T una función. Las siguientes proposiciones son equivalentes. a) f es uno a uno en $. b) f(A NB) = f(A)N f(B) para todos los subconjuntos A, B de $, c) d) si- Y f-(A) = A para cada subconjunto A de $, Para todos los subconjuntos disjuntos A y B de $, las imágenes f(4) y f(B) son disjuntas, e) Para todos los subconiuntos A y B de S con BC4A, tenemos HA — B) = f(A) — f(B). 2.10 Probar que si 4 = B y BC, entonces A »C. 2.11 Si (1, 2, ..., n) (1, 2, ..., m), entonces n = m. 2.12 Si S es un conjunto infinito, probar que S contiene un subconjunto infinito numerable. Indicación. Elíjase un elemento a, de S y considérese S — (a). 2.13 tente 2.14 B— 2.15 Probar que cada conjunto infinito S contiene un subconjunto propio equipoas. Si A es un conjunto numerable y B es un conjunto no numerable, probar que A es equipotente a B. Un número f(x) = 0, donde real se llama algebraico f(x) = a, + a,x + ... + a,X teros. Probar que el conjunto si es raíz de una es UN polinomio ecuación con algebraica coeficientes en- de todos los polinomios con coeficientes enteros es numerable y deducir que el conjunto numerable. de todos los números algebraicos es asimismo 2.16 Sea S un conjunto finito de n elementos y sea 7 la colección de todos los subconjuntos de S. Probar que 7 es un conjunto finito y hallar el número de elementos de 7. 2.17 Sea R el conjunto de los números reales y sea $S el conjunto de todas las funciones a valores reales cuyo dominio es R. Probar que S$ y R no son coordinables. Indicación. Supongamos que S < R y sea f una función uno a uno tal que f(R) = $. Si a ER, sea e, = f(a) la función a valores reales de S que corresponde al número real a. Definimos ahora h por medio de la ecuación h(x) = 1 + 2,(x) si x E R, y pro- bar que h€EE S. Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos 55 2.18 Sea $S la colección de todas las sucesiones cuyos términos sean los enteros O y 1. 2.19 Probar que los siguientes conjuntos son numerables: a) el conjunto de todos los círculos del plano complejo de radio racional y de centro de coordenadas racionales, b) toda colección de intervalos disjuntos de longitud positiva. Probar que S$ es no numerable. 2.20 Sea funa función a valores reales definida para todo x del intervalo 0 < x < 1. Supongamos que existe un número positivo M que verifica la siguiente propiedad: para cada elección, con un número finito de puntos x,, X,, ..., X, del intervalo O<x< 1, la suma SX) + -- + SED| < M. Sea S el conjunto de los x de O< x< 1 para los que f(x) £ 0. Probar que $S es numerable. 2.21 Hallar la falacia de la siguiente «demostración» de que el conjunto de todos los intervalos de longitud positiva es numerable. Sea (X,, .X,, ...) el conjunto numerable de todos los números racionales y sea / un intervalo una función de longitud positiva. Entonces 7 contiene una infinidad de puntos ra- cionales x,, pero de entre estos habrá uno que tendrá un índice n mínimo. Definimos F por medio de la ecuación F(7) = n, si x, es el número racional de menor índice que pertenece al intervalo 7. Esta función establece una correspondencia uno a uno entre el conjunto de todos los intervalos y un subconjunto de los enteros positivos. Por lo tanto el conjunto de todos los intervalos es numerable. 2.22 Sea S la colección de todos los subconjuntos de un conjunto dado 7. Sea f:S >R una función a valores reales definida en $S. Se dice que la función f es aditiva si F(A U B) = f(A) + f(B) siempre que A y B sean subconjuntos disjuntos de T. Si f es aditiva, probar que, para todo par de subconjuntos A y B, se tiene y FA Y B) = f(A) + f(B.— A) f(A Y B) = f(A) + 1(B) — FA N B). 2.203 Aludimos al ejercicio 2.22. Suponemos que f es aditiva y suponemos además que las siguientes relaciones se verifican para dos subconjuntos particulares A y B de T7: HA U B) = FA + SB) — SA)SB) FAN B) = SAB), donde A' =T — A, B"_= calcular el valor de f7). REFERENCIAS 2.1 T —B. SUGERIDAS Probar PARA — JA + f(B) = (), que estas relaciones POSTERIORES determinan f(7), ESTUDIOS y Boas, R. P., A Primer of Real Funcions. Carus Monograph York, 1960. No. 13. Wiley, New 56 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Algunas nociones básicas de la teoría de conjuntos Fraenkel, A., Abstract Set Theory, 3.? ed. North-Holland, Amsterdam, 1965. Gleason, A., Fundamentals of Abstract Analysis. Addison-Wesley, Reading, 1966. Halmos, P. R., Naive Set Theory. Van Nostrand, New York, 1960. (Hay traducción francesa. Ed. Gauthier Villars. Hay traducción castellana). Kamke, E., Theory of Sets. F. Bagemibl, translator. Dover, New York, 1950. Kaplansky, 1., Set Theory and Metric Spaces. Allyn and Bacon, Boston, 1972. Rotman B., y Kneebone, G. T., The Theory of Sets and Transfinite Numbers. Elsevier, New York, 1968. CAPÍTULO 3 Elementos de topología en conjuntos de puntos 3.1 INTRODUCCIÓN La mayor parte del capítulo anterior trata de conjuntos «abstractos», esto es, conjuntos de objetos cualesquiera. En este capítulo consideraremos conjuntos de números reales, conjuntos de números complejos y, en general, conjuntos en espacios de más dimensiones. En este estudio es conveniente y útil utilizar la terminología geométrica. Así, hablaremos de conjuntos de puntos de la recta real, conjuntos de puntos . del plano, o conjuntos de puntos de espacios de mayor número de dimensiones. Más adelante estudiaremos funciones definidas en conjuntos de puntos, y es conveniente poseer un cierto conocimiento acerca de algunos tipos fundamentales de conjuntos de puntos, tales como conjuntos abiertos, conjuntos cerrados y conjuntos compactos, antes de abordar el estudio de las funciones. El estudio de estos conjuntos se llama topología en conjuntos de puntos. 3.2 EL Un punto ESPACIO del espacio EUCLÍDEO (X, X;). Análogamente, R" bidimensional es un par un punto en un espacio ordenado de tridimensional números es una reales. terna or- denada de números reales: (X,, X,, X;). Es, pues, adecuado considerar una n-pla ordenada de números reales y referirnos a él como a un punto del espacio n-dimensional. Definición 3.1. reales (X,, Sea n> 0 un entero. Un conjunto ordenado de n números X , ..., X,) se llama punto n dimensional nentes. Los puntos o vectores se designarán negrita; por ejemplo, X = (X, X9, ..., X,) y = (ylay29'º'ayn)' 57 o por medio vector con n compo- de una sola letra en 58 Elementos de topología en conjuntos de puntos El número x, se llama k-ésima coordenada del punto x o k-ésima componente del vector x. El conjunto de todos los puntos n-dimensionales se llama espacio euclídeo n-dimensional o simplemente n-espacio, y se designa por R". Puede ocurrir que el lector se pregunte qué ventajas presenta trabajar en espacios de más de tres dimensiones. En realidad, el lenguaje de los n-espa- cios hace fácilmente comprensibles cuestiones más complicadas. El lector quizás esté lo suficientemente familiarizado con análisis vectorial de tres dimensiones, para percatarse de la ventaja que representa el poder escribir las ecuaciones de un movimiento que posee tres grados de libertad por medio de una sola ecuación vectorial en vez de tener que utilizar tres ecuaciones escalares. Existe una ventaja análoga cuando el sistema posee n grados de libertad. Otra ventaja que se obtiene estudiando n-espacios para un n cualquiera es que, de una vez, se estudian todas las propiedades que son comunes a los 1-es- pacios, 2-espacios, 3-espacios, etc., esto es, propiedades independientes de la dimensión del espacio Los espacios de más dimensiones se presentan como algo totalmente natural en campos tales como la Relatividad, y la Mecánica estadística y cuántica. Incluso espacios de infinitas dimensiones son corrientes en Mecánica cuántica. Definiremos ahora las operaciones algebraicas con puntos n-dimensionales : Definición Definimos: a) Igualdad: b) Suma: 3.2. Sean X = x = (X,, y ..., Xn) €e y = (,. si,ysólº x+y=(xl c) Multpilicación por números d) Diferencia: e) Vector nulo u origen: Si, X1 = 19 --.,X = n- +yla--ºaxn+yn)' reales (escalares): ax = (ax,,..., ax;,) X — y =X Producto interior o producto escalar: Xy = 2 Xk Vk=1 (a real). + (—l)y. 0 = (0,...,0). f) -... Yn) elementos de R”. Elementos de topología en conjuntos de puntos 59 g) Norma o longitud: lll = 0) = (2 xí)1/2. k=1 La norma ||x — y|| se llama distancia entre x e y. NOTA. Usando la terminología del Álgebra lineal, R” es un ejemplo de espacio vectorial (o linealD). Teorema 3.3. Designemos por x e y dos puntos de K. Entonces se tiene: a) b) |x| =0, y ||| = 0 si, y sólo si, x = 0. |lax|| = la| ||| para todo número real a. d) e) ix-y| < Ixil IIyl |x + yll < || + lyl c) | — yl = |y — xd. (desigualdad de Cauchy-Schwarz). (desigualdad triangular) Demostración. Las afirmaciones (a), (b). y (c) se deducen inmediatamente de la definición, y la desigualdad de Cauchy-Schwarz se demostró en el teorema 1.23. La afirmación (e) se sigue de (d) ya que X + y* = 2 (X + y) k=1 = 2 Xk k=1 + 2xxyk + Y) = Ixl* + 2x-y + llyl* < Ix]* + 21x/ Iyl + 1y1* = Cl + fiy1D?. NOTA. A veces la desigua_ldad triangular se escribe en la forma X — zl < 1X — yl + 1y — zil Esta expresión se deduce de (e) reemplazando x por x —y e y por y —z. lXl — ylN < x — y Dejinición 3.4. El vector coordenado k-ésima componente unidad u, de K es el vector cuya es 1 y todas las restantes son cero. ASsí, u, = (1,0,...,0), u, = (0,1,0,...,0), ..., u, = (0,0,...,0, 1). Si x = (X, ..., X1) entonces x = X,U, + ... + XnU, Y X, = X-U,, X, = X-U,, .... Xn = X Un. Los vectores u,, ..., Uy S€ llaman también vectores base. 60 Elementos 3.5 BOLAS ABIERTAS de topología Y CONJUNTOS en conjuntos de puntos ABIERTOS DE R" Sea a un punto de RK” y sea r un número positivo dado. El conjunto de todos los puntos x de R* tales que IX — al <r, se denomina n-bola abierta de radio r y centro a. Designamos este conjunto por B(a) o por Bla; P). La bola B(a; r) consta de todos los puntos cuya distancia a a es menor que r. En R' este conjunto es un intervalo abierto con centro en a. En R? es un disco circular, y en R* es una esfera sólida con centro en a y radio r. 3.2. Definición de punto interior. Sea S un subconjunto de R", y supon- gamos que a E S. Entonces a se denomina punto n-bola abierta con centro en a, contenida en $. interior de $S si existe una En otras palabras, cada uno de los puntos interiores a de S puede ser rodeado por una n-bola B(a) C S. El conjunto de todos los puntos interiores de S se llama interior de S y se designa por int S. Cada conjunto que contiene una bola con centro en ase denomina 3.6. Defjinición de conjunto entorno de a. abierto. todos sus puntos son interiores. En S = int S. (Véase ejercicio 3.9.) Un conjunto S de R” es abierto si otras palabras, S es abierto si, y sólo si, Ejemplos. En R! el tipo más simple de conjunto abierto es un intervalo. abierto. La unión. de dos o más intervalos abiertos es también abierta. Un intervalo cerrado [a, b] no es un conjunto abierto ya que sus extremos a y b no son puntos interiores del intervalo. Ejemplos de conjuntos abiertos en el plano son: el interior de un disco; el producto cartesiano de dos intervalos abiertos unidimensionales. El lector debe tener en cuenta que un intervalo abierto de R'!, considerado como subconjunto del plano, no es un conjunto abierto. De hecho, ningún subconjunto de R! (salvo el conjunto vacío) puede 2-esfera. En R”, ser abierto en R?, ya que tanto el conjunto vacío tales conjuntos (¿Por qué?) son conjuntos abiertos. El producto cartesiano (a19 de intervalos abiertos abierto de R” b1) (am unidimensionales llamado intervalo como no pueden el mismo contener una espacio R”, bn) (a,, b)), ..., (a. b,) es un conjunto abierto n-dimensional. por (a, b), donde a = (a,, ..., a,) y b = (b,, ---, D) Lo designaremos Elementos de topología en conjuntos de puntos 61 Los dos teoremas siguientes demuestran cómo a partir de conjuntos abiertos de R* es posible obtener nuevos conjuntos abiertos. Teorema 3.7. es abierta. Demostración. S= U arÁ. menos, n-bola de los La reunión de una colección conjuntos de S. Dado La Teorema 3.8. es abierta. Demostración. abiertos Sea F una colección de conjuntos abiertos y sea S su reunión, Supongamos que de abierta B(x) C 4. Pero punto in_terior abierto. arbitraria de conjuntos x € S. Entonces F. Sea ACS, que intersección cada x € 4. x debe Como A estar en uno, es luego B(x)C punto de S es un de una colección abierto, por existe lo una S y por lo tanto x es un punto interior, S es finita de conjuntos abiertos Sea S = [|7 Ar, donde cada A; es abierto. Supongamos que x ES. (Si $ es vacío, no hay nada que demostrar.) Entonces x € A; para todo k= 1, 2, ..., M, y por lo tanto existe una n-bola abierta B(x; r;) C Az. Sea r el menor de los números positivos 7,, 7,, ..., ?m. Entonces x € B(x:r) C S. Esto es, x es un punto interior y por lo tanto $ es abierto. Vemos entonces que, a partir de conjuntos abiertos dados, se pueden formar nuevos conjuntos abiertos haciendo reuniones arbitrarias o intersecciones finitas. Las intersecciones arbitrarias, en cambio, no siempre producirán conjuntos abiertos. Por ejemplo, la intersección de todos los intervalos abiertos de la forma (— 1/n, 1/n), donde n = 1, 2, 3, ..., es el conjunto reducido únicamente a 0. 3.4 LA ESTRUCTURA DE LOS CONJUNTOS ABIERTOS DE R' En R' la reunión de una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos es un conjunto abierto y, sorprendentemente, cada conjunto abierto de K* no vacío se puede obtener de esta manera. Esta sección está destinada a demostrar esta afirmación. Ante todo introduciremos el concepto de intervalo componente. 3.9. Definición de intervalo componente. Sea S un subconjunto abierto de K'. Un intervalo abierto I (que puede ser finito o infinito) se llamará intervalo componente de S si ICS y si no existe ningún otro intervalo abierto J-7 1 tal que ICIES. 62 Elementos de topología en conjuntos de puntos En otras palabras, un intervalo componente de S no puede ser un subconjunto propio de ningún otro intervalo abierto contenido en $. Teorema 3.10. Cada punto de un conjunto a un intervalo componente de S y a uno solo. abierto no vacío S pertenece Demostración. Supongamos que x E S. Entonces x está contenido en algún intervalo abierto 7 con ICS. Existen muchos de tales intervalos pero el «mayor» de ellos será el intervalo componente deseado. Dejamos para el lector la demostración de que este intervalo es 1, = (a(x), b(x)), donde alx) = inf fa: (a, x) < S), b(x) = sup 1b : (x, b < S). Puede ocurrir que a(x) sea —voo y puede ocurrir que b(x) sea +oo. Es claro que no existe ningún intervalo abierto J tal que 1, CJ ÉS, luego 1, es un intervalo componente de $ que contiene a x. Si J, fuese otro intervalo componente de $ conteniendo a , entonces la reunión 7, U J, sería un intervalo contenido en S y que contendría a 1, y a J,. Por lo tanto, por definición de intervalo componente, se tendría 1, U J;, = 1, e I, U J; Teorema 35.11 (Teorema de la recta real). una colección = J,, luego L, = J-. de representación para los conjuntos Cada conjunto abierto no vacío S de K numerable de intervalos componentes abiertos es la reunión de de $, disjuntos. Demostración. Si x ES, sea 1, el intervalo componente de S que contiene a x. nales. intervalo La reunión de todos los intervalos 7, es, evidentemente, S. Si dos de ellos, 1; € I, tienen un punto en común, entonces su reunión /7, U/7, es un intervalo abierto contenido en :S y que contiene a 1, y a 1,. Por lo tanto, I, UI, = 1, e 1,UI, = 1,, luego 1, = 1,. Por lo tanto los intervalos 7, forman una colección disjunta. Resta demostrar que forman una colección numerable. A este fin, supongamos que (X,, X,, Xs, ...) designa el conjunto numerable de los números racioEn cada componente /, habrá una infinidad de x,, pero entre ellos uno sólo con el menor índice n. Definiremos entonces una aplicación F por medio de la ecuación F(7,) = n, si x,, es el número racional de 7, con el menor índice n. Esta función F es uno a uno ya que F(1,) = F(1,) = n implica que 1, € 1, tienen en común a x, y ello implica que 7, = 1,. Por tanto F establece una correspondencia uno a uno entre los intervalos 7, y un cierto subconjunto de los números naturales. Esto termina la demostración. NOTA. Esta representación de S es única. De hecho, si S es reunión de in- tervalos abiertos disjuntos, entonces estos intervalos serán necesariamente los intervalos componentes de S. Es una consecuencia inmediata del teorema 3.10. Elementos de topología en conjuntos de puntos 63 Si S es un intervalo abierto, entonces la representación contiene sólo un intervalo componente, a saber, $ mismo. Por lo tanto, ningún intervalo abierto de R' puede expresarse como reunión de dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos. Esta propiedad se designa también diciendo que un intervalo abierto es conexo. El concepto de conexión en conjuntos de R” se estudia más amplia- mente en la sección 4.16. 3.)5 CONJUNTOS 3.12 CERRADOS Defjinición de conjunto cerrado. su complementario R" — $S es abierto. Un conjunto S de R" es cerrado si Ejemplos. Un intervalo cerrado [a, b] de K' es un conjunto cerrado. El producto cartesiano [ala b1] de n intervalos mado cerrados X X unidimensionales intervalo cerrado [a, b] n-dimensional. [am es un bn] conjunto cerrado de R”, lla- El siguiente teorema, consecuencia inmediata de los teoremas 3.7 y 3.8, muestra cómo construir nuevos conjuntos cerrados a partir de conjuntos cerrados dados. Teorema 3.13. La reunión de una colección finita de conjuntos cerrados es cerrada, y la intersección de una colección arbitraria de conjuntos cerrados es cerrada. Otra relación guiente teorema. entre conjuntos Teorema 3.14. Si A B— A es cerrado. Demostración. Basta dos conjuntos cerrados. es abierto y B cerrado, observar de dos conjuntos abiertos, 3.0 PUNTOS abiertos y cerrados y que ADHERENTES. es la que entonces A expresa — B el si- es abierto y que A — B = A n (R” — B) es la intersección B — 4 = BN (R" — A) es la intersección de PUNTOS DE ACUMULACIÓN Los conjuntos cerrados pueden definirse por medio y por medio de los puntos de acumulación. de los puntos adherentes 64 Elementos de topología en conjuntos de puntos 3.15 Definición de punto adherente. Sea S un subconjunto de R”, y sea x un punto de K, no necesariamente de S. Entonces se dice que x es adherente a S si toda n-bola B(x) contiene un punto de S, por lo menos. Ejemplos 1. Si xE'S, entonces x es adherente a S, ya que cada n-esfera B(x) contiene a x. 2. Si S es un subconjunto de R acotado superiormente, entonces el sup $ es adherente a. Ciertos puntos son adherentes a S porque cada bola B(x) contiene puntos de $ distintos de x. Estos puntos se llamarán puntos de acumulación. 3.16. Definición de punto de acumulación. ces x se llama punto de acumulación menos un punto de $ distinto de x. Si S =R" y x E R”, enton- de S si cada n-bola B(x) contiene por lo En otras palabras, x es un punto de acumulación de $ si, y sólo si, x es adherente a S — (x). Si x€E'S pero x no es un punto de acumulación de S$, se dice que x es un punto aislado de $. Ejemplos 1. El conjunto de los números de la forma 1/n, n = 1, 2, 3, ... tienen al cero como punto de acumulación. 2. El conjunto de los números racionales tiene a cada racional como punto de acumulación. 3. Cada punto del intervalo cerrado [a, b] es un punto de acumulación del conjunto de los números del intervalo abierto (a, b). Teorema 3.17. Si x es un punto de acumulación de S, entonces toda n-bola B(x) contiene infinitos puntos de $. Demostración. Supongamos lo contrario; es decir, que exista una n-bola B(x) que contenga sólo un número finito de puntos de S distintos de x; llamémosles a,, a, ..., an. Si r es el menor de los números positivos X — ay entonces B(x; X — l, .., IX — anl r/2) será una n-bola de centro x que no contendrá ningún punto de S distinto de x. Conitradicción. Este teorema implica, en particular, que un conjunto que no posea una infinidad de puntos carece de puntos- de acumulación. El recíproco, sin embargo, es falso. Por ejemplo, el conjunto de los enteros (1, 2, 3, ...) es un conjunto infinito que carece de puntos de acumulación. En una sección pos- terior demostraremos que los conjuntos infinitos contenidos en una esfera po- Elementos de topología en conjuntos de puntos 65 seen siempre un punto de acumulación. Éste es un resultado importante conocido como 3.7. teorema de Bolzano-Weierstrass. CONJUNTOS CERRADOS Y PUNTOS ADHERENTES Un conjunto cerrado se ha definido como el complementario de un conjunto abierto. El teorema siguiente presenta otra definición de conjunto cerrado. Teorema 3.18. Un conjunto S de R” es cerrado si, y sólo si, contiene todos sus puntos adherentes. Demostración. Supongamos que $ es cerrado y que x es adherente a $. De- seamos probar que x € S. Supongamos que x € S y llegaremos a una contradicción. S1 x € S, entonces x € R” —$ y, como que R" —$ es abierto, alguna n-bola B(x) está contenida en R” — S. Entonces B(x) no contiene puntos de $, en contradicción con el hecho de que x es adherente a $. Para probar el recíproco, supongamos que $S contiene todos sus puntos adherentes y demostraremos entonces que $ es cerrado. Sea x E R” —$. En- tonces x € S, luego x no es adherente a $. Por lo tanto, existe una bola B(x) que no corta a S, por consiguiente B(x) - R” — $. Así pues, R” — $ es abierto y, entonces, S es cerrado. 3.19. Definición de adherencia. El conjunto de todos los puntos adherentes de un conjunto dado S se llama adherencia de S y se designa por $. Para todo conjunto se tiene que S C S ya que todo punto de $ es adherente a S. El teorema 3.18 prueba que la inclusión opuesta $'C S se verifica si, y sólo si, $ es cerrado. Por lo tanto se tiene: Teorema 3.21. 3.20. Un conjunto S es cerrado si, y sólo si,. S = S. Definición de conjunto derivado. de acumulación na por $. El conjunto de todos los puntos de un conjunto S se llama conjunto derivado de $S y se desig- Es claro que, para todo conjunto S, $ = SUS$”. ma 3.20 implica tiene: que $ es cerrado Por lo tanto, el teore- si, y sólo si, S C S. En Teorema 3.22. Un conjunto S de R sus puntos de acumulación. otras palabras, se es cerrado si, y sólo si, contiene todos 66 3.8 Elementos TEOREMA DE de topología en conjuntos de puntos BOLZANO-WEIERSTRASS 3.23. Definición de conjunto acotado. Se dice que un conjunto S de R" está acotado si está contenido totalmente en una n-bola Bla; r) para algún r > 0 y algún a de R”. Teorema 3.24 (Bolzano-W eierstrass). Si un conjunto acotado S de R contiene una infinidad de puntos, entonces existe por lo menos un punto de R* que es un punto de acumulación de $. Demostración. Para fijar ideas daremos primero la demostración en el caso R'. Como $ es un conjunto acotado, está contenido en un cierto intervalo [—a, al. Uno, por lo menos, de los subintervalos [—a, 0], [0, a] contiene un subconjunto infinito de S. Llamemos a este subintervalo [a,, b,]. Dividamos [a,, b,] en dos partes iguales y obtendremos un subintervalo [a,, b,] que contendrá un sub- conjunto de $, infinito ; y continuemos este proceso. De esta manera hemos obtenido una colección numerable de intervalos tales que el n-ésimo intervalo [a,, b,] tiene longitud b, — a, = a/2"-!. Es claro que el sup de los puntos extremos de la izquierda a, y el inf. de los puntos extremos de la derecha b, coinciden; llamémosle x. [¿Por qué son iguales?] El punto x será de acumulación de $S ya que, si r es un número positivo, el intervalo [a,, b,] estará contenido en B(x; r) siempre que n sea suficientemente grande para que b, — a, < r/2. El intervalo B(x; r) contiene un punto de $ distinto de x y, por lo tanto, x es un punto de acumulación de S. Esto prueba el teorema para R'. (Obsérvese que el punto de acumulación x puede pertenecer o no a $) Ahora daremos una demostración para KR”, n> 1, extendiendo las ideas seguidas al tratar el caso R'. (El lector podrá seguir la demostración en el caso R? recurriendo a la Fig. 3.1.) Elementos Como de topología en conjuntos de puntos $ está acotado, S podrá ser incluido 67 en una cierta n-bola B(0; a), a > 0, y por lo tanto en el intervalo n-dimensional J, definido por las desigualdades —a Aquí J, designa <x, el producto <a (K = 1,2,...,n). cartesiano Jy = 19 x M x .- x 1O esto es, el conjunto de puntos (X,, ..., X), donde x; E 1, y donde es un intervalo unidimensional —a < x, <a. Cada intervalo 1, subdividir en dos subintervalos IC I: e IC definidos por las desigualdades —a < x, < 0; Ahora, consideramos cada 7,0 se puede IN:0<x,<a. todos los productos cartesianos de la forma 1, I --7 x 1, (a) donde cada k; =1 o 2. Hay, exactamente, 2” productos de este tipo y, además, cada uno de ellos es un intervalo n-dimensional. La reunión de estos 2" intervalos es el intervalo original J,, que contiene a S; y por lo tanto, uno por lo menos de los ?” intervalos (a) contiene una infinidad de puntos de $. Elijamos uno de los que verifican esta propiedad y llamémosle J,; podrá ex- presarse también J =19 x 19 x--- x 19 donde cada 7,% es uno de los subintervalos de 1, de longitud a. Procedamos ahora con J, de la misma manera como hemos procedido con J,, dividiendo cada intervalo 7;? en dos partes iguales y obteniendo un intervalo n-dimensional J, que contenga una infinidad de puntos de $. Si continuamos este proceso, obtendremos una colección numerable de intervalos n-dimensio- nales J,, J,, J;, ..., tales que el intervalo m-ésimo J,, verifica la propiedad de contener un subconjunto infinito de S y se puede expresar en la forma J = 19 x IM x .. x [ Escribiendo 14 = [af”, b tenemos (m) bk _. (m) ak _ 2m—2 donde IM CP 68 Elementos de topología en conjuntos de puntos Para cada K fijo, el sup de todos los extremos de la izquierda a, ”, (m = 1, 2, ...), deberá ser igual al inf de todos los extremos de la derecha b,”, (m = = 1, 2, ...), y este valor común lo designaremos por ,. Afirmamos ahora que el punto t = (f,, t,, .... 1) es un punto de acumulación de $S. Para verlo, basta tomar una z-bola B(t; r). El punto t pertenece a cada uno de los intervalos J.. Jo, ..., Construidos anteriormente, y cuando m es tal que a/2” < r/2, el entorno incluirá a J,,. Pero como J,, contiene una infinidad de puntos de S$, también los contendrá B(t; r), lo que demuestra que t es, realmente, un punto de acumulación de $. 3.29 TEOREMA DE ENCAJE DE CANTOR Como aplicación del teorema de Bolzano-Weierstrass, demostraremos rema de encaje de Cantor. Teorema 3.25. Sea (Q,, Q,, ...) una colección numerable vacíos, de R" tales que: l) 1) Qk+1 C Qk (k — l, 2, 3, Cada uno de los conjuntos el teo- de conjuntos, no ) Q; es cerrado y Q, está acotado. Entonces la intersección [? , Q,. es cerrada y no vacía. Demostración. Sea S = [)r-1 21 Entonces S es cerrado en virtud del teore- ma 3.13. Para probar que $S es no vacío, bastará encontrar un punto x que pertenzca a S. Podemos suponer que cada uno de los Q; contiene una infinidad de puntos de $S; en otro caso la demostración es trivial. Formemos entonces una colección de puntos distintos A = f(x,, X,. ...), donde x, € Or. Como A es un conjunto infinito contenido en el conjunto acotado Q,, poseerá un punto de acumulación; llamémosle x. Probaremos que x€ES verificando que, para cada K, x C Q;. Es suficiente probar que x es un punto de acumulación de cada uno de los Q;, ya que todos ellos son conjuntos cerrados. Pero cada entorno de x contiene una infinidad de puntos de A, y como todos ex- cepto (quizás) un número finito de los puntos de A pertenecen a Q;, este entorno contiene una infinidad de puntos de Q;. Por lo tanto, x es un punto de acumulación de Q; y el teorema queda demostrado. 3.10 TEOREMA DEL RECUBRIMIENTO DE LINDELOF En esta sección introducimos el concepto de recubrimiento de un conjunto y demostramos el teorema del recubrimiento de Lindelof. concepto se hará patente en algunos trabajos posteriores. La utilidad de este Elementos de topología en conjuntos de puntos 69 3.26. Dejinición de recubrimiento. Una colección de conjuntos F'se deno- mina recubrimiento de un conjunto dado S si S =r A. Se dice también que la colección F recubre a $S. Si F es una colección de conjuntos abiertos, entonces F se denomina recubrimiento abierto de $. Ejemplos 1. La colección de todos los intervalos de la forma 1/n < x < 2/n, (n =2, 3, 4, ...), es un recubrimiento abierto del intervalo 0 < x < 1. Es un ejemplo de recubri2. 3. miento numerable. La recta real R! está recubierta por la colección de todos los intervalos abiertos (a, b). Este recubrimiento es no numerable. Sin embargo, contiene un recubrimiento numerable de R', a saber, todos los intervalos de la forma (n, n+2), donde n recorre los valores enteros. Sea S$ = ((x, y):x > 0, y > 0). La colección F de todos los discos circulares con centros en (x, x) y radios x, x > 0, es un recubrimiento de S. Este recubrimiento no es numerable. Sin embargo contiene un recubrimiento numerable de $, a sa-- ber, todos los círculos para los que x es racional. (Ver ejercicio 3.18.) El teorema del recubrimiento de Lindelóf establece que todo recubrimiento abierto de un conjunto $ de R” contiene una subcolección numerable que también recubre a S. La demostración utiliza el siguiente resultado preliminar: Teorema 3.27. Sea G = (A,, A;,, ...) la colección numerable de todas las n-bolas de radio racional y con centro en puntos de coordenadas racionales. Supongamos que x C R y sea S un conjunto abierto de R" que contenga a x. Entonces una, por lo menos, de las n-bolas de G contiene a x y está contenida en $S. Esto es, se tiene xEA,E£S Demostración. La colección G es numerable x € R” y si $ es un n-bola B(x; les, para algún A; de G. conjunto abierto r)<CS. Encontramos en virtud del teorema 2.27. Si que contiene a x, entonces existe una un punto y de $, de coordenadas «próximo» a x y, tomándolo como raciona- centro, hallaremos entonces un entorno en G interior a B(x; 7) y que contenga a x. Si X = (X, X2, ... , Xn), sea y, un número racional tal que |y, — xx| < r/(4n) para cada K = 1, 2, ..., n. Entonces ly — xll < 1y — Xil + * r + 1, — Xil <¿-¡. 70 Elementos de topología en conjuntos de puntos Figura 3.2 A continuación consideremos un número racional q tal que r/4 < g <r/2. de Lindelóf). Supongamos Entonces x € B(y; q) y B(y; a) = B(x;: NES. Pero Bly; q)EG y por lo tanto el teorema queda demostrado. (Ver Fig. 3.2 para el caso K”.) Teorema 3.28 (teorema del recubrimiento que A — R" y que F es un recubrimiento abierto de A. Entonces subcolección numerable de F que también recubre a A. Demostración. Sea G = (A,, A;s, ...) la colección numerable existe una de todas las n-bolas de centros y radios racionales. Este conjunto G se utilizará para extraer de F una subcolección numerable que recubra a á. Supongamos que x € A. Entonces existe un conjunto abierto S de F tal que x € S. Por el teorema 3.27, existe una n-bola A; de G tal que x € 4,<'$. Para cada $ existe una infinidad numerable de tales 4A;, pero una de entre todas, por ejemplo la de índice más pequeño; sólo elegiremos llamémosle m = = mMx). Tenemos entonces que x € A-m(x, < S. El conjunto de todas las n-bolas Am(x, obtenidas cuando x recorre todos los elementos de A es una colección numerable de conjuntos abiertos que recubre a A. A fin de lograr una subcolección numerable de F que recubra a A, hacemos corresponder a cada conjunto Azx(x, uno de los conjuntos S de F que contenga a Ayx(x,. Esto acaba la demostración. 3.11 TEOREMA El teorema abierto de numerable. y acotado, to. La DEL RECUBRIMIENTO DE del recubrimiento de Lindelóf establece un conjunto arbitrario 4 de R” se puede El teorema de Heine-Borel nos dice que entonces podemos reducir el recubrimiento demostración requiere el teorema HEINE-BOREL que de un recubrimiento extraer un recubrimiento si, además, A es cerrado a un recubrimiento fini- de encaje de Cantor. Teorema 3.29 ( Heine-Borel). Sea F un recubrimiento abierto de un conjunto A de K, cerrado y acotado. Entonces existe una subcolección finita de F que también recubre a áÁ. Elementos de topología Demostración. Una subcolección 71 de puntos en conjuntos numerable de F, llamémosla (7,, l,, ...), recubre a A, en virtud del teorema 3.28. Consideremos, para m — 1, la reunión finita S. = U h. k=1 Es abierta, ya que es reunión de conjuntos abiertos. Probaremos que, para algún valor de m, la reunión $,, recubre a á4. A este fin consideremos el complementario R” — $,,, que es cerrado. Definimos una colección numerable de conjuntos (Q,, Q,, ...) de la siguiente manera: Q, = A, y para m> 1, O = AN (R — $. Esto es, Q,, consta de todos los puntos de A que están fuera de $,. S1 podemos probar que, para algún valor de m, el conjunto Q,, es vacío, habremos demostrado que, para este valor de m, ningún punto de A está fuera de $,. ; en otras palabras, habremos probado que existe un $,, que recubre a 4. Observemos las siguientes propiedades de los conjuntos Q,,: Cada conjunto O es cerrado, ya que es intersección del conjunto cerrado A y el conjunto cerrado R* — S». Los conjuntos Q,, son decrecientes, ya que los conjuntos $,. son crecientes; esto es, Om:, = Om. Los conjuntos Q,,, por ser subconjuntos de A, están acotados. Por lo tanto, si ninguno de los conjuntos Q,, es vacío, podemos aplicar el teorema de encaje de Cantor para concluir que la intersección n,º¿º=1 0, tampoco es vacía. Ello implica la existencia de un cierto punto de A que pertenezca a todos los conjuntos Qn, 0, lo que es equivalente, la existencia de un punto de A que esté fuera de todos los conjuntos $,,. Pero esto es imposible, ya que 4 = U y esto termina la demostración. 3.12 COMPACIDAD EN 1 S,. Por lo tanto algún Q,, debe ser vacío, R- Acabamos de ver que, si un conjunto S de R* es cerrado y acotado, entonces todo recubrimiento abierto de S puede reducirse a un recubrimiento finito. Es natural preguntarse si podrían existir conjuntos distintos de los cerrados y- acotados que verificasen también esta propiedad. Tales conjuntos se llamarán compactos. 3.30. Definición de conjunto compacto. Un conjunto S de R" se llama compacto si, y sólo si, cada recubrimiento abierto de S contiene un subrecubrimiento finito; esto es, una subcolección finita que también recubra a $. El teorema de Heine-Borel establece que todo conjunto acotado, es compacto. Probaremos ahora el recíproco. de R”, cerrado y 72 Elementos Teorema 3.31. de topología en conjuntos de puntos Sea S un subconjunto de R". Entonces las tres afirmaciones siguientes son equivalentes: a) b) c) $S es compacto. $ es cerrado y acotado. Todo subconjunto infinito de S tiene un punto de acumulación Demostración. en $. Como se indicó antes, (b) implica (a). Si probamos que (a) im- plica (b), que (b) implica (c) y que (c) implica (b), habremos establecido 1a equivalencia de las tres afirmaciones. Supongamos que se verifica (a). Probaremos primero que $S está acotado. Elijamos un -punto p de $S. La colección de n-bolas B(p; %K), k = 1, 2, un recubrimiento abierto de S. Por compacidad, una subcolección finita también recubre a $ y, por lo tanto, $ está acotado. A continuación probaremos que $ es cerrado. Supongamos que no lo fuese. Existiría un punto y que sería un punto de acumulación de $ y tal que y €£S. Si x ES, sea r, = |x — y||/2. Cada r, es positivo ya que y € S y la colección (Bx; r): x€ S) es un recubrimiento abierto de S. Por compacidad, mero finito de estos entornos recubre a $, por lo que es un nú- P C kL_)1 B(X,; r,)Designemos por r al menor de los radios r,, r,, ..., ,. Es fácil comprobar que la bola B(y; r) no tiene puntos en común con ninguna de las bolas B(x;; r7;). De hecho, si x E B(y; r), entonces ||x — y|| <r <rx, y por la desigualdad triangular tenemos que ||y — xx|| < ||y — x|| + ||x — xx||, luego lX — Xel = ly — Xel — 1x — yI = 27 — 1X — yl > re Por lo tanto, x € B(x;; r,). Resulta, pues, que B(y; r) S es vacío, en con- tradicción con el hecho de que y es un punto de acumulación de $. Esta contradicción prueba que $ es cerrado y, por lo tanto, que (a) implica (b). Supongamos que se verifica (b). En este caso la demostración de (c) es inmediata, ya que si 7 es un subconjunto infinito de S, entonces 7 está acotado (puesto que $S lo está), y por el teorema de Bolzano-Weierstrass 7 posee un punto de acumulación que llamaremos x. Ahora bien, x es también punto de acumulación de S y por lo tanto x €'S, dado que $ es cerrado. Por todo lo cual (b) implica (c). Supongamos que se verifica (c). Probaremos (b). Si S no estuviese acotado, entonces para cada m > 0' existiría un punto x,, de $ tal que |||| > m. La colección 7 = (x,, X, ...) constituiría un subconjunto infinito de $ y entonces, Elementos de topología en conjuntos de puntos 73 por (c), 7 admitiría un punto de acumulación en S. Pero para m > 1 + y|| tenemos m en contradicción Todo con — YI = lXal — ly > m — lyl > 1, el hecho de que y sea un punto ello prueba que $S está acotado. Para terminar la demostración tenemos que probar de acumulación de 7. que $S es un conjunto cerrado. Sea x un punto de acumulación de S. Como cada entorno de x con- tiene infinitos puntos de S, podemos considerar los entornos B(x; 1/k), donde K= 1, 2, ..., obteniendo así un conjunto numerable de puntos distintos, que llamaremos to x también infinito de S, 7 = (x,, x,, ...), contenido en $, tal que x, € B(x; es un punto la parte de acumulación de 7. Como 1/k). El pun- 7 es un subconjunto (c) del teorema nos dice que 7 debe poseer un punto de acumulación en S. Si podemos demostrar que x es el único punto de acumulación de 7 habremos terminado la demostración del teorema. Para ello supongamos que y -+ x. Entonces, por la desigualdad triangular tendremos que ly — x| < 1y — Xel + 1Xy — XI < ly — Xl + 1/k, si m ET. Si k, se toma suficientemente grande para que 1/k < 1l|y — x|| siempre que k> K,, la última desigualdad conduce a la siguiente: +y — x|| < ||y — xellEsto prueba que x; € B(y ; r) donde k > k,, si r = i ||y —x||. Por lo tanto y no puede ser un punto de acumulación de 7, con lo cual queda demostrado que (c) implica (b). 3.13 ESPACIOS MÉTRICOS Las demostraciones de algunos de los teoremas de este capítulo dependen tan sólo de unas pocas propiedades de la distancia entre puntos y no dependen en absoluto del hecho de que los puntos sean de R”. Cuando estas propiedades de la distancia se estudian en abstracto conducen al concepto de espacio métrico. 3.32. to de tro 1. 2. 3. 4. Definición de espacio métrico. * Un espacio métrico es un conjun- M, no vacío, de objetos (que llamaremos puntos) dotado de una función d M X M en R (que llamaremos la métrica del espacio) que satisface las cuapropiedades siguientes, cualesquiera que sean los puntos x, y, Z de M: d(x, x) = 0. díx, y) > 0 si xL£y. d(x, y) = d(y, ). díx, y) < d(x, z) + d(z, y). 74 Elementos de topología en conjuntos de puntos El número no negativo d(x, y) puede considerarse como la distancia entre x e y. En estos términos el significado intuitivo de las propiedades 1 a 4 es claro. La propiedad 4 se llama la desigualdad triangular. Un espacio métrico se designa, a menudo, por medio de (M, d) a fin de recalcar que en la definición de espacio métrico tanto el conjunto M como la métrica d juegan Ejemplos 1 M=R"; 2. 3. 4. su papel. díx, y) = |Ix — yl||. Esta métrica se llama métrica euclídea. Cuando distingue del espacio euclídeo R? puesto que consta de los mismos puntos y de la misma métrica. M es un conjunto no vacío; díx, y) =0 si x = y, d(x, y) =1 si x*y. Esta métrica se llama métrica discreta, y (M, d) se llama espacio métrico discreto. Si (M, d) es un espacio métrico y si $ es un subconjunto no vacío de M, entonces (S, d) es también un espacio métrico con la misma métrica o, mejor aún, con la métrica resultante de restringir d a SX$. Se llama a menudo la métrica rela- tiva inducida por d sobre S, y S es un subespacio métrico S. 6. 7. de M. Por ejem- plo, los números racionales Q con la métrica d(x, y) = |x — y| constituyen un subespacio métrico de R. M=R?; díx, y = V(x, —y + 4(x, — y,), donde x = (x,, ,) € y = (y,, y). El espacio métrico (M, d) no es un subespacio del espacio euclídeo R? ya que la métrica es distinta. M = ((x,, x>): xÍ + x3 = 1), la circunferencia unidad de R?; dí(x, y) = la longitud del menor de los arcos que sobre la circunferencia unidad unen a los puntos Xx e y. M = X1, X2, X3) : x1 + x3 + x3 = 1), es la superficie esférica unidad díx, y) = la menor de las longitudes rica unidad, une a los puntos x e y. 8. M = R"; d(x, y)= lX, — y,| + ... + 9. nos refiramos al espacio euclídeo R”, se sobreentenderá que su métrica es la euclídea si no se especifica alguna otra. M=C, el plano complejo; d(z,, 7,) = |z, — z,|. Como espacio métrico, C no se M = R"; 3.14 d(x, y) = max TOPOLOGÍA EN (), — yl ESPACIOS de los arcos que, sobre en R:; la superficie esfé- . — Yal- ... lX, — Yal)- MÉTRICOS Las nociones básicas de la topología en conjuntos de puntos se pueden extender a un espacio métrico arbitrario (M, d). Si a EM, la bola B(a; r) de centro en a y radio r > 0 es el conjunto de todos los puntos x de M tales que d(x, a) <r. Algunas veces designaremos a esta bola por medio de By(a; r) a fin de recalcar que sus puntos pertenecen a M. Si S es un subespacio métrico de M, la bola B:(a; r) es la intersección de S con la bola By(a; P). Elementos de topología en conjuntos de puntos 75 Ejemplos. En el espacio euclídeo R! la bola B(0; 1) es el intervalo abierto (—1, 1). En el subespacio métrico S = [0, 1] la bola By(0; 1) es el intervalo semiabierto [0, 1). NOTA. La apariencia geométrica de una bola de R” no es necesariamente «esférica» si la métrica no es la métrica euclídea. (Ver ejercicio 3.27.) S1 SC M, un punto a de $ se llama punto interior de S si alguna de las bolas By(a; r) está contenida en S. El interior de $, int $, es el conjunto de los puntos interiores a S. Un conjunto $ es abierto en M si todos sus puntos son interiores; es cerrado en M si M —S es abierto en M. Ejemplos 1. Cada bola B,(a; r) de un espacio métrico M es abierta en M. 2. En un espacio métrico discreto M cada subconjunto $S es abierto. De hecho, si x € S, la bola B(x; 1) consta sólo de puntos de S (ya que sólo contiene a x), 3. luego S es abierto. ¡Por lo tanto cada subconjunto de M es también cerrado! En el subespacio métrico S = [0, 1] del espacio métrico euclídeo R', cada intervalo de la forma [0, x) o (x, 1], donde 0 < x < 1, es un conjunto abierto en $. Estos conjuntos no son abiertos en R'. El ejemplo 3 muestra que, si $ es un subespacio métrico de M, los con- juntos abiertos en S no son necesariamente abiertos en M. El siguiente teorema describe la relación que juntos abiertos en $. existe entre los conjuntos abiertos en M y los con- Teorema 3.33. Sea (S, d) un subespacio métrico de (M, d), y sea X un subconjunto de S. Entonces X es abierto en $ si, y sólo si, para algún conjunto A Demostración. X= abierto en M. ANnS Supongamos que A es abierto en M y sea X = ANnS.SIix E X, entonces x C 4 y por lo tanto By(x; r) C A para algún r > 0. Por lo tanto BA(x; r) = Bulx; RANASCANS = Y, luego X es abierto en $. Recíprocamente, supongamos que X es abierto en S. Probaremos que X =ANS para un conjunto A, abierto en M. Para todo x de X existe una bola B:(x; r,) contenida en X. Ahora bien, B.(x; r,) = Bulx; ,) NS. Si hacemos A entonces A es abierto en M = U xeX BM(x; rx)> y es fácil verificar que 4 N S$ = X. 76 Elementos de topología en conjuntos de puntos Teorema 3.34. Sea (S, d) un subespacio métrico de (M, d) y sea Y un subconjunto de S. Entonces Y es cerrado en $ si, y sólo si, Y = BANS para algún conjunto B cerrado en M. Demostración. Si Y = BA S, donde B es cerrado en M, entonces donde A es abierto en M, luego Y que =SNB == SA(IM— Y sea cerrado en $. B = M— A A)=S—A: Recíprocamente, si Y es cerrado en S, sea X = S—Y. abierto en $, luego X = ANS, donde A es abierto en M y Entonces de ahí Y es Y=S-XYX=S-(ANSI=S-A=Sn(M-A)=SAnB, donde B = M — A es cerrado en M. S1 SC M, un punto x de M se llama punto adherente de S si cada bola Bulx; r) contiene un punto de $S, por lo menos. Si x es adherente de S — (x), entonces se dice que x es un punto de acumulación de S. La clausura $ de $ es el conjunto de todos los puntos adherentes de $, y el conjunto derivado $' es el conjunto de todos los puntos de acumulación de $S. Entonces, $ =S U$”. Los teoremas que se dan a continuación son válidos en cada espacio métrico (M, d) y se demuestran exactamente igual a como se demostraron en el caso del espacio euclídeo R”. En las demostraciones, la distancia euclídea Ix — y|| deberá ser reemplazada Teorema 3.35. b) por la métrica d(x, y). (a) La reunión de una colección arbitraria de conjuntos abier- tos es abierta, y la intersección de una colección finita de conjuntos abiertos es abierta. La reunión de una colección finita de conjuntos cerrados es cerrada, y la intersección de una Teorema 3.36. Si A y B— A es cerrado. colección arbitraria de conjuntos es abierto y B es cerrado, Teorema 3.37. Para cada uno afirmaciones son equivalentes: a) S es cerrado en M. de cerrados entonces los subconjuntos S de es cerrada. A — B M es abierto las siguientes b) S contiene a todos sus puntos adherentes. c) S contiene a todos sus puntos de acumulación. d S=5 Ejemplo. Sea M = Q el conjunto de números racionales con la métrica euclídea de R!. Sea S el conjunto de todos los números racionales en el intervalo abierto (a, b), donde tanto a como b son irracionales. Entonces S es un subconjunto cerrado de Q. Elementos ma de topología en conjuntos de puntos 77 En nuestras demostraciones del teorema de Bolzano-Weierstrass, del teorede encaje de Cantor, y de los teoremas del recubrimiento de Lindelóf y de Heine-Borel hemos utilizado no sólo pacio euclídeo R”, sino también propiedades las propiedades métricas del es- especiales de R” que, en gene- ral, no son válidas en un espacio métrico arbitrario (M, d). Para poder exten- der estos teoremas a los espacios métricos habrá que imponer a M ciertas restricciones posteriores. Una de estas extensiones se esboza en el ejercicio 3.34. La trario. sección siguiente 3.15 SUBCONJUNTOS describe la compacidad COMPACTOS DE en un UN espacio ESPACIO métrico arbi- MÉTRICO Sea (M, d) un espacio métrico y sea S$ un subconjunto de M. Una colección F de subconjuntos abiertos de M se llama recubrimiento abierto de $S si S< UAEF 4. Un subconjunto S de M se llama compacto si cada recubrimiento abierto de S contiene un subrecubrimiento finito. S se dice que está acotado si S C B(a; r) para algún r > 0 y algún a de M. Teorema 3.38. Sea S un subconjunto compacto de un espacio métrico Entonces: 1) $S es cerrado y acotado. i) Cada subconjunto infinito de S posee un punto de acumulación en $. Demostración. Para demostrar (i) reharemos la demostración del teorema M. 3.31 y usaremos la parte de la argumentación que demostraba que (a) implica (b). El único cambio que debemos realizar consiste en reemplazar la distancia euclí- dea ||x— y|| por la métrica d(x, y) a lo largo de toda la demostración. Para probar (1i1) se procede por contradicción. Sea 7 un subconjunto infinito de S y supongamos que $ no contiene ningún punto de acumulación de 7. Entonces, para cada punto x de $, existirá una bola B(x) que no contendrá ningún punto de 7 (si x £ 7) o un punto de 7 solamente (el mismo x, cuando x E T). Cuando x recorre S, la reunión de estas bolas B(x) es un recubri- miento abierto de S. Como $S es compacto, una subcolección finita recubre a |S y por lo tanto también recubre a 7. Pero esto contradice el hecho de que Y sea infinito y cada una de las bolas contenga a lo sumo un punto de 7. NOTA. En el espacio euclídeo R”, cada una de las propiedades (i) y (ii) es equivalente a la compacidad (teorema 3.31). En un espacio métrico general, la propiedad (ii) es equivalente a la compacidad (para una demostración, ver la referencia 3.4), pero en cambio la propiedad (1) no lo es. El ejercicio 3.42 nos suministra un ejemplo de un espacio métrico M en el que ciertos subconjuntos cerrados y acotados no son compactos. 78 Elementos Teorema pacto M. 3.39. de topología en conjuntos de puntos Sea X un subconjunto cerrado de un espacio métrico com- Entonces X es compacto. Demostración. Sea F un recubrimiento abierto de Y, es decir Y C Ur 4. Probaremos que un número finito de los conjuntos A recubre a Y. Como que X es cerrado su complementario M — X es abierto, luego F U ((M— X)) es un recubrimiento abierto de M. Pero M es compacto, luego este recubrimiento contiene un subrecubrimiento finito que podemos suponer que incluye M — X. Por lo tanto MCC A U:::VA,U(M — Y). Este subrecubrimiento recubre también a X y, como que M — X no contiene puntos de X, podemos suprimir el conjunto M — X del subrecubrimiento y, a pesar de todo, sigue recubriendo a X. Entonces X C 4,U...UA,, luego X es compacto. 3.16 FRONTERA DE UN CONJUNTO Defjinición 3.40. Sea S un subconjunto de un espacio métrico M. Un punto x de M se llama punto frontera de $S si cada bola By(lx; r) contiene, por lo menos, un punto de $S y, por lo menos, un punto de M — S. El conjunto de todos los puntos frontera de S se llama frontera de $S y se designa por 0S. El lector puede verificar fácilmente que S =SNM-S. Esta fórmula prueba que 0S es cerrado en M. Ejemplo. En R”, la frontera de una bola B(a; r) es el conjunto de puntos x tal que ||x—al| =r. En R:, la frontera del conjunto de los números racionales es todo en R!. En -los ejercicios y también en el capítulo 4 se desarrollan otras propiedades de los espacios métricos. EJERCICIOS Conjuntos abiertos y cerrados en R' y R? 3.1 Probar que un intervalo abierto de R' es un conjunto abierto y que un intervalo cerrado es un conjunto cerrado. Elementos 3.2 de topología en conjuntos de puntos 79 Determinar todos los puntos de acumulación de los siguientes conjuntos de R' y decidir a) b) c) d) e) f) g) h) 3.3 Lo a) b) c) d) e) f) cuándo los conjuntos son abiertos o cerrados (o cuándo no lo son). Todos los enteros. El intervalo (a, b] Todos los números de la forma 1/n, (n = 1, 2, 3, ...). Todos los números racionales. Todos los números de la forma 2- + S5, (m, n = 1, 2, ... Todos los números de la forma (—1Y + (1/m), (m, n =1, 2, ..). Todos los números de la forma (1/n) +(1/m), (m, n = 1, 2, ...). Todos los números de la forma (—1Y/[1+(1/n)], (n = 1, 2, ...). mismo que en el ejercicio 3.2 para los siguientes conjuntos de R: Todos Todos Todos Todos Todos Todos los los los los los los números complejos números complejos números complejos puntos (x, y) tales puntos (x, y) tales puntos (x, y) tales 3.4 Probar que cada nales e irracionales. conjunto abierto z tales que |z| > 1. z tales que |z| > 1. de la forma (1/n) + (i/m), (m, n=1, 2,...). que x>—y? < 1. que x > 0. que x = 0. no vacío S de R! contiene números racio- 3.5 Probar que los únicos conjuntos de R' que son a la vez abiertos y cerrados son el conjunto vacío y R'!. ¿Existe una afirmación análoga para R?? 3.6 Probar que cada conjunto cerrado en R' es la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos. 3.7 Probar que un conjunto cerrado y acotado, no vacío, S de R' o bien es un intervalo cerrado o bien S podrá obtenerse a partir de un intervalo cerrado suprimiendo una colección disjunta mnumerable de intervalos abiertos cuyos extremos pertenecen a $. Conjuntos 3.8 abiertos Probar que y cerrados las n-bolas conjuntos abiertos en R”. de R" abiertas y los intervalos abiertos n-dimensionales 3.9 3.10 Probar que el interior de un coniunto de R* es abierto en R”. Si SC R?”, probar que int $ es la reunión de todos los subconjuntos 3.11 Si S y 7 son subconjuntos de R”, probar son abiertos de R" que están contenidos en $S. Esto se describe diciendo que int S es el mayor de los subconjuntos abiertos de $. (int$) N (int 7) = int (S N7), 3.12 Sean S' y $, respectivamente, junto S de R”. Probar que: a) b) c) d) que y el conjunto $S es cerrado en R”; esto es, Si SC 7, entonces S C 77. (CUTY =S UZ7”. (S) =. (5 Y CS”. (int S) V (int 7) £ int (S U 7). derivado y la clausura de un con- 80 3.13 Elementos e) $S es f) $ es a S. Sean S de topología en conjuntos de puntos cerrado en R”. la intersección de todos los subconjuntos cerrados de R” que contienen Esto es, $ es el menor conjunto cerrado que contiene a $S. y 7 subconjuntos de R”. Probar que SNA T < SNTy qe SNAT £ SATsi S es abierto. NOTA. Las afirmaciones de los ejercicios 3.9 hasta 3.13 son verdaderas en cualquier espacio meétrico. 3.14 Un conjunto S de R* se llama convexo si, para cada par de puntos x e y de $ y cada número real 6 que satisfaga 0 < 6 < 1, se verifica que Óx + (1 — 0y ES. Dar una interpretación geométrica de esta definición (en R? y R$) y probar que: a) b) C) Cada n-bola de R” es convexa. Cada intervalo abierto n-dimensional es convexo. El interior de un conjunto convexo es convexo. a) Si x es un punto de lación de cada uno Si x es un punto de ción de uno, por lo d) La clausura de un conjunto convexo es convexa. 3.15 Sea F una colección de conjuntos de R”, y sea S = UAGF Ay T= nAGF A. Para cada una de las siguientes afirmaciones dar una demostración o un contraejemplo. b) 3.16 Probar que el conjunto acumulación de 7, entonces x es un punto de acumude los conjuntos A de F. acumulación de S, entonces x es un punto de acumulamenos, de los conjuntos A de F. S de los números racionales del intervalo (0, 1) no puede expresarse como la intersección de una colección numerable de conjuntos abiertos. Indicación. Expresemos S = (X,, x,, ...), supongamos que S = n;2º=1 Sto donde cada uno de los ; es abierto, y construyamos una sucesión (0Q,) de inter- valos cerrados tales que 0,,, teorema Teoremas de la intersección acerca de los de C O, =S, Cantor recubrimientos y tales que x, * O,. para en obtener una Entonces, utilizar el contradicción. R* 3.17 Si SC R?”, probar que la colección de puntos aislados de S es numerable. 3.18 Probar que el conjunto de los discos abiertos del plano xy con centro en (x, x) y radio x > 0, x racional, es un recubrimiento numerable del conjunto f((x, y): x > 0, y > 0). 3.19 2, 3, rema 3.20 trar La colección F de los intervalos abiertos de la forma (1/n, 2/n), donde n = ..., es un recubrimiento abierto del intervalo (0, 1). Probar (sin utilizar el teo3.31) que ninguna subcolección finita de F recubre a (0, 1). Dar un ejemplo de un conjunto S que sea cerrado pero no acotado y enconun recubrimiento abierto numerable F tal que ningún subconjunto finito de F recubra a S. 3.21 Dar un conjunto S de R* que verifique la siguiente propiedad: para cada x de $, existe una n-bola B(x) tal que B(x) N S es numerable. Probar que $ es numerable. | 3.22 Probar que toda colección de conjuntos abiertos disjuntos de R” es necesariamente numerable. Dar un ejemplo de colección de conjuntos cerrados disjuntos que no sea numerable. Elementos 3.23 de topología en conjuntos de puntos 81 Supongamos que S C R”. Un punto x de R* es un punto de condensación de S si toda n-bola B(x) tiene la propiedad que B(x)n S no es numerable. Probar que si S$ no es numerable, entonces existe un punto x en $ de modo que x es un punto de condensación de $. 3.24 Supongamos que S C R” y que $ no es numerable. tos de condensación de $S. Probar que: a) S —7 es numerable, b) c) T d) 7 Nótese que 3.25 Sea 7 el conjunto de pun- SN7 no es numerable, es un conjunto cerrado, no posee puntos aislados. el ejercicio 3.23 es un caso especial de (b). Un conjunto de R” se llama perfecto si S = $, esto es, si $ es un conjunto cerrado que carece de puntos aislados. Probar que, si F es un conjunto cerrado no numerable de R”, puede expresarse en la forma F = A UB, donde A es perfecto y B es numerable (teorema de Cantor-Bendixon). Indicación. Espacios Utilizar el ejercicio 3.24. métricos 3.26 Probar que, en todo espacio métrico (M, d), tanto el conjunto vacío (Y como el espacio entero M son, a la vez, abiertos y cerrados. 3.27 Considerar en R” las dos métricas siguientes: di(x, y) = lsisn max |x; — vil, — d(x, y)= $i=1 |x; — Dil. En cada uno de los espacios métricos siguientes, probar que la bola B(a; la apariencia geométrica que se indica: a) b) c) d) r) tiene en (R?, d), un cuadrado de lados paralelos a los ejes de coordenadas. en (R?, d), un cuadrado cuyas diagonales son paralelas a los ejes. Un cubo en (RS, d). Un octaedro en (R3, d;). 3.28 Sean d, y d, las métricas definidas en el ejercicio 3.27 y sea ||x— yl| la métrica euclídea usual. Comprobar que se verifican las siguientes desigualdades, cualesquiera que sean los puntos x e y de R”: d (X, y) < IX — yl < d.(x, ) 3.299 Si (M, d) es un espacio métrico, y — dd(x, y) < Vn|x — v| <ndGx, y. se define d'(x, y) = 069 = d(x, 7) dy . Probar que d' también es una métrica para M. Obsérvese que 0 < d'(x, y) < 1 para todo x, y de M. 3.30 Probar que cada subconjunto finito de un espacio métrico es cerrado. 3.31 En un espacio métrico (M, d), el conjunto B(a; r) = (x:d(x, a) < r) se llama bola cerrada de radio r > 0 y centro en el punto a de M. 82 Elementos de topología en conjuntos de puntos a) b) 3.32 Probar que B(a; r) es un conjunto cerrado. Dar un ejemplo de un espacio métrico en el que B(a; r) no sea la adherencia de la bola abierta B(a; r). En un espacio métrico M, si ciertos subconjuntos verifican AC SC A, donde A es la adherencia de A, entonces se dice que A es denso en S. Por ejemplo, el conjunto Q de los números racionales es denso en T, probar que A es denso en 7. 3.33 Con referencia al ejercicio en R. Si A 3.32, diremos que un es denso espacio en S y $ es denso métrico M es sepa- rable si posee un subconjunto numerable A que sea denso en M. Por ejemplo, R es separable ya que el conjunto Q de los números racionales es un subconjunto denso numerable. 3.34 Probar que cada espacio euclídeo R* es separable. Con referencia al ejercicio 3.33, probar que el teorema del recubrimiento de Lindelóf (teorema 3.28) es válido en todo espacio métrico separable. 3.35 Con referencia al ejercicio 3.32, si A es denso en $S y si B es abierto en S$, probar que BC AN B. Indicación. Ejercicio 3.13. 3.36 Con referencia al ejercicio 3.32, probar que A N B es denso en $ en el supuesto de que A y 3.37 Dados trica p en el Por ejemplo, d (X,> Y,) + Subconjuntos B sean densos en $ vy de que B sea abierto en $. dos espacios métricos (S, d,) y (S,, d,), es posible construir una méproducto cartesiano $, X $,, a partir de d, y de d,, de varias maneras. si x = (X,, X,) € y = ,, y,) son elementos de $, X ,, sea po(x, y) = dy(X,. Y,). Probar que p es una métrica para $, X S, y construir otras. compactos de unm espacio métrico Probar cada una de las afirmaciones siguientes, concernientes a un espacio métrico arbitrario (M, d) y a subconjuntos S, 7 de M. 3.38 Supongamos que S C 7 C M. Entonces $ es compacto en (M, d) si, y sólo si, S es compacto en el subespacio métrico (7, d). 3.39 Si S es cerrado y 7 es compacto, entonces $ N 7 es compacto. 3.40 La intersección de una colección arbitraria de subconjuntos compactos de M, es compacta. - 3.41 La reunión de un número finito de subconjuntos compactos de M es compacta. 3.42 Consideremos el espacio métrico Q de los números racionales con la métrica euclídea de R. Sea $S el conjunto de todos los números racionales del intervalo abierto (a, b), donde a y b son irracionales. Entonces S es un subconjunto de Q, cerrado y acotado, que no es compacto. Miscelánea de propiedades del interior y de la frontera Si A y B designan subconjuntos cualesquiera de un espacio métrico M, probar que: 3.43 int 4 = M — M — . 3.44 int (M .3.45 — A) = M int (int 4) = int 4. — 4. Elementos de topología en conjuntos de puntos 83 3.46 a) int (_1 4) = -1 (int 4),donde cadaA; = M. b) int (uer A) S (Jaer c) 3.47 3.48 3.49 3.50 3.51 3.52 Dar un ejemplo en el que la igualdad de (b) no se verifique. a) Uaer (int 4) = int (Uuer A). b) a) Dar un ejemplo de una colección finita F que no satisfaga la igualdad en (a). int (04) = Y si A es abierto o si A es cerrado en M. b) Dar un ejemplo para el que int (0.4) = M. _ Si int 4 = int B = Q y si A es cerrado en M, entonces int (4 Y B) =. Dar un eiemplo en el que int A=int B=Q0), pero para el que int (4 V B) = M. A=ANM-A yódA=o0M-A. SiAn B =, entonces A U B) = 74 VIB. REFERENCIAS 3.1 3.2 3.3 3.4 (iNt A), si F es una colección infinita de subconjun- tos de M. Boas, SUGERIDAS R. P., A New York, Gleason, A., Kaplansky, Simmons, G New York, Primer PARA POSTERIORES of Real Functions. Carus ESTUDIOS Monograph No. 13. Wiley, 1960. Fundamentals of Abstract Analysis, Addison-Wesley, Reading, 1966. 1., Set Theory and Metric Spaces. Allyn and Bacon, Boston, 1972. .F., Introduction to Topology and Modern Analysis. McGraw-Hill, 1963. CAPÍTULO 4 Límites y continuidad 4.1 INTRODUCCIÓN Suponemos al lector ya familiarizado con el concepto de límites tal como es introducido en el Cálculo elemental donde es corriente presentar varios tipos de límites. Por ejemplo, el límite de una sucesión de números simbolizamos cuando escribimos reales (x,), que lim x, = , n>o significa que para cada número e > O existe un entero N tal que lX, — A| <e siempre que n>N. Este límite pretende transmitir la idea intuitiva de que x,, puede estar suficientemente próximo a A en el supuesto de que n sea suficientemente grande. También se da el límite de una función, indicado por medio de la notación lim f(x) = A, x>p que significa que para cada e > 0) existe otro número 5 > O tal que I/(x) — Al < e siempre que 0 < |x — p| < ó. Esta definición expresa la idea de que f(x) puede conseguirse tan próxima a A como queramos, siempre que x se tome lo suficientemente próximo a p. Las aplicaciones del Cálculo a los problemas geométricos y físicos del es- pacio tridimensional y a las funciones de varias variables nos obligan a extender estos conceptos a R”. Es tan necesario como fácil dar un paso más e introducir límites en el marco más general de los espacios métricos. Esto simplifica la teoría puesto que elimina restricciones innecesarias y al mismo tiempo cubre casi todos los aspectos necesarios del Análisis. Primeramente discutiremos los límites de las sucesiones de puntos de un espacio métrico y después discutiremos los límites de funciones y el concepto. de continuidad. 85 56 Límites y continuidad 4.2 SUCESIONES CONVERGENTES EN UN ESPACIO MÉTRICO Definición 4.1. Una sucesión (Xn) de puntos de un espacio métrico (S, d) es convergente si existe un punto p de S que satisfaga la siguiente propiedad: Para todo < > O existe un entero N tal que dlX,, P) < € siempre que n = N. Diremos también que X,) converge hacia p y escribiremos x, —> p cuando n —> o0, o simplemente x, — p. Si no existe un tal número p de S$, se dice que la sucesión (X,) es divergente. NOTA. La definición de convergencia implica que X,>p La convergencia euclídeo KR'. Ejemplos 1. En un espacio para X, todo <M de la sucesión un sucesión M>0 d(x,, p) >0. (d(Xx,, p)) hacia O se realiza en el espacio euclídeo R', una n. Si una para Si, y sólo si, sucesión creciente (x,) está se llama creciente si X, < Xy y, acotada premo de su recorrido, sup (x,, X,, ...). Análogamente, 2. superiormente (esto es, si y para todo nñ), entonces (x,,) converge hacia el su(x,) se llama decreciente si Xy., < X, para todo n. Cada sucesión decreciente acotada inferiormente converge hacia el ínfimo de su recorrido. Por ejemplo, (1/n) converge hacia 0. Si (a,) y (b,) son sucesiones reales que convergen hacia 0, entonces (a, + b,) también converge hacia 0. Si 0O<c,<a, para todo n y si fa,) converge hacia 0, entonces (c,) también converge hacia 0. Estas propiedades elementales de las sucesiones de R! pueden ser útiles para simplificar algunas de las demostra- 3. ciones concernientes a límites En el plano complejo C, sea hacia 1 + 2i puesto que de un espacio Z, = 1 + n métrico general. + (2— 1/n)i. Entonces (7,) converge 1 1 d(Z», 1 + 2iY = |z, — (l + 2i)? = a + ] - O cuando n luego d(z,, n>oo, 1-+2i)>0. Teorema 4.2. Una sucesión (X,y de un espacio métrico (S, d) puede converger hacia un punto de $, a lo sumo. Demostración. Supongamos que X, —>p y que x, —>q. Probaremos En virtud de la desigualdad triangular se tiene que p = q. Límites y continuidad 87 0 < d(p, q) < d(p, x,) + d(x,. q). Como dí(p, x.) >0 y d(x,, q)>0 se tiene que d(p, q) = 0, luego p = qSi una sucesión (x,) converge, el único punto hacia el que converge se llama límite de la sucesión y se designa por medio de lim x, o por medio de lim,.. X. Ejemplo. En el espacio euclídeo R! tenemos que lim,., » 1/n = 0. La misma sucesión en el subespacio métrico 7 = (0, 1] no converge puesto que el único candidato para el límite es 0 y O £ 7. Este ejemplo muestra que la convergencia o divergencia de una sucesión depende tanto del espacio elegido como de la métrica. Teorema 4.3. En un espacio métrico (S, d), suponemos T = (%,, X,. ...) es el recorrido de (x,). Entonces: a) b) T está acotado. p es un punto de adherencia que x,—>p y que de T. Demostración. a) Sea N el entero que corresponde a e = 1 en la definición de convergencia. Entonces todo x, con n > N está en la esfera B(p; 1), luego cada punto de 7 está en la esfera B(p; r), donde r =1 + max Por lo tanto, 7 está acotado. b) Como cada esfera B(p; (d(p9 xl)9'ººsd(pa xN—l))º ) contiene un punto de 7, p es adherente a 7. NOTA. Si T es infinito, cada bola B(p; de 7, luego p será punto de acumulación €) contendrá una infinidad de puntos de 7. El teorema siguiente prueba el recíproco de la parte (b). Teorema 4.4. Dado un espacio meétrico (S, d) y un subconjunto T CS, si p es un punto de S adherente de T, entonces existe una sucesión (x,) de puntos de T que converge hacia p. Demostración. Para cada entero n> 1 existe un punto d(p, X,) < 1/n. Por lo tanto d(p, x,) —>0, luego x, — p. x, de 7 tal que Teorema 4.5. En un espacio métrico (S, d) una sucesión (Xx,) converge hacia p si, y sólo si, cada subsucesión (Xy(1)) converge hacia p. Demostración. Supongamos que x, > p y consideremos una subsucesión (Xx(n)). Para cada e > O existe un N tal que n > N implica d(x,, p) < e. Como 83 Límites y contínuidad Xxn)Y es una subsucesión, existe un entero M tal que k(n)>N para n > M. Por lo tanto, n > M implica d(Xx:), P) < €, que prueba que Xk(n) —> D. El recíproco misma. 4.3 se verifica trivialmente, ya que SUCESIONES DE (x,) es una. subsucesión de sí CAUCHY S1 una sucesión (x,) converge hacia el límite p, sus términos avanzados deben aproximarse a p y por lo tanto aproximarse entre enunciada más formalmente en el siguiente teorema. sí. Esta propiedad está Teorema 4.6. Supongamos que ÍX,) converge en un espacio métrico (S, d). Entonces para cada e > Q existe un entero N tal que dlXn, Xm) <e — siempre que N>N y m>=N. Demostración. Sea p = lim x,. Dado e > 0, sea N tal que d(x,, p) < €/2 siempre que n = N. Entonces d(Xm, p) < £/2 si m = N. Si tanto 7 como m son ma- yores o iguales que N por la desigualdad triangular tenemos d(X,, X,) < d(%,, p) + d(p, x,) < ; + 4.7. Definición de la sucesión de Cauchy. <e 2 =e Una sucesión (x,) de un espa- cio métrico se llama sucesión de Cauchy si satisface (llamada la condición de Cauchy): Para cada € > O existe un entero N tal que d(Xn, Xm) E- la siguiente condición siempre que n> N y m>N. El teorema 4.6 establece que toda sucesión convergente es una sucesión de Cauchy. El recíproco, en general, es falso en un espacio métrico general. Por ejemplo, la sucesión (1/n) es una sucesión de Cauchy en el subespacio euclídeo 7 = (0, 1] de K', pero en cambio dicha sucesión no converge en T7. Sin embargo, el recíproco del teorema 4.6 es cierto en cada espacio euclídeo R*. Teorema 4.8. En el espacio euclídeo R* toda sucesión de Cauchy es con- vergente. Demostración. Sea (x,) una sucesión de Cauchy de R* y sea T = (x,, X,. ...) el recorrido de la sucesión. Si 7 es finito, entonces todos los términos de f(x,) excepto un número finito son iguales y por lo tanto (x,) converge hacia este valor común. Límites y continuidad 89 Supongamos ahora que 7 es infinito. Utilizaremos el teorema de Bolzano- Welierstrass para demostrar que 7 posee un punto de acumulación p, y a con- tinuación probaremos que (x,) converge hacia p. Debemos probar, ante todo, que 7 está acotado. Esto se sigue de la condición de Cauchy. En efecto, cuando e =1 existe un N tal que n> N implica ||x, — xyv|| < 1. Esto significa que todos los puntos x,, con 7 > N pertenecen a la bola de radio 1 y centro x, luego 7 está contenido en una bola de radio 1 + M y centro O, si M designa al mayor de los números ||x,||, .... ||xv||. De donde, al ser 7 un conjunto infinito acotado, admitirá un punto de acumulación p en R* (en virtud del teorema de Bolzano-Weierstrass). Probaremos ahora que fx,) converge hacia p. Dado e > 0 existe un N tal que |x, — xm|| < £/2 siempre que n > N y m = N. La bola B(p; se tiene ||xn — €/2) contiene un punto x,, con pl| < "xn — xml| + lem — p|l m = N. Luego, si E 5 < E '2' = + n = N, E, luego lim x, = p. Esto termina la demostración. Ejemplos 1. El teorema 4.8 es, a veces, Útil para probar la convergencia de una sucesión cuyo límite no se conoce de antemano. Por ejemplo, consideremos la sucesión de R' definida por — 1W-1 xn=1_.l_+.1._l+...+(_l)__ 2 Si m> n>N, obtenemos |xm—xn|= 3 d (agrupando 1 n+1 — n los 1 n+2 términos sucesivos +...il m en pares) que <15_l_, n N luego ||x,, — X,|| < e siempre que N > 1/e. Por lo tanto la sucesión (,) es una sucesión de Cauchy y por consiguiente converge hacia un cierto límite. Puede 2. probarse (ver simple vista. el ejercicio 8.18) que este límite es log 2, lo cual no es obvio a Dada una sucesión real (a,) tal que |a,,. — an+1) < 3|an+1 — a,| para todo nZ 1, podemos probar que (a,) converge sin necesidad de conocer su límite. Sea b, = |ad,+1 — a,|. Entonces 0< b,;, < b,/2 luego, por inducción, b,., < b /2". Por lo tanto b, —>0. Así pues, si m > n tenemos m—1i Am — n = Z(ºk+1 -1 k=n 1 luego |a,,,—- a,,l < k=2nka b,.(l — ay; 1 +5+"'+'2—mle.) Ello implica que (a,) es una sucesión de Cauchy, luego <2bn' (a,) es convergente. 90 4.4 Límites y continuidad ESPACIOS MÉTRICOS COMPLETOS Defjinición 4.9. Un espcio métrico (S, d) se llama completo si toda sucesión de Cauchy de S converge en S. Un subconjunto T de S se llama completo si el subespacio métrico (T, d) es completo. Ejemplo 1. Cada uno de los espacios euclídeos R* es completo (teorema 4.8). En particular, R* es completo, pero el subespacio 7 = (0, 1] no es completo. Ejemplo 2. El espacio R* con la métrica d(x. y) = max¡ <i<n |X; — Y¡| es completo. El teorema que damos a continuación relaciona la completitud con la compacidad. Teorema 4.10. to T es completo. Demostración. el recorrido En todo espacio métrico (S, d), cada subconjunto compac- Sea (x,) una sucesión de Cauchy en 7 y sea A = (xX,, X,, ...) de (x,).Si A es finito, entonces (x,) puntos de A, luego (x,) converge en T. converge hacia uno de los S1 A es infinito, el teorema 3.38 nos asegura que A admite un punto de acumulación p en 7 puesto que 7 es compacto. Probaremos ahora que x, — p. Dado < > 0, elijamos N tal que n > N y m> N implique d(x., Xm) < £/2. La bola B(p; €/2) contiene un punto x,, con desigualdad triangular nos conduce a m>=N. Por lo tanto si n> N la (X, p) < d(x,. X) + d(Xm, P) < g + 5f = E, luego ¡x, —> p. De lo cual se deduce que toda sucesión de Cauchy en 7 admite límite en 7, luego T es completo. 4.5 LÍMITE DE UNA FUNCIÓN En esta sección consideraremos dos espacios métricos (S, d:) y (T, dr), donde ds y dr designan las métricas respectivas. Sea 4 un subconjunto de $S y sea f: A>T una función de A en 7. Dejinición 4.11. tación Si p es un punto de acumulación lim f(x) = b, x>D de A y si bET, la no- (1) Límites y continuidad 91 significa lo siguiente: Para cada € > O existe un 8 > O tal que dr(f(x), b) <e El es b», remos La mo siempre que x E A,x £ p, y ddx, p) $. símbolo dado en (1) se lee «el límite de f(x), cuando x tiende hacia p, o «f(x) es próximo a b cuando x es próximo a p». A menudo indicaesto escribiendo f(x) > b cuando x — p. definición formaliza la idea intuitiva de que f(x) puede hacerse tan próxi- a b como se desee siempre que se elija x suficientemente próximo B3(P) NA Figura de acumulación de A a a p fin de / (ver Fig. 4.1). Se requiere que p sea un punto 4.1 que tenga sentido considerar puntos x de A suficientemente próximos a p, con x % p. Sin embargo, no es necesario que p pertenezca al dominio de f, y tampoco lo es que b deba pertenecer al recorrido de f. NOTA. La definición puede ser formulada en términos de bolas. Así, (1) se verifica si, y sólo si, para toda bola Br(b) existe una bola B,(p) tal que B:(p) N A sea no vacío y, además, 1) € Br(b) Formulando siempre de esta manera, que x E B4(p) N A, XED. la definición tiene sentido cuando bos) pertenecen al sistema ampliado de los números reales R* p o b (0 am- o al sistema ampliado de los números complejos C*. Sin embargo, en lo venidero, entenderemos que p y b son finitos salvo que se indique explícitamente que pueden ser infinitos. El teorema que sigue a continuación relaciona los límites de funciones con los límites de sucesiones convergentes. Teorema 4.12. bET. Entonces Supongamos que p es un punto de acumulación lim f(x) = », x>»Dp de A y que (2) 992 Límites y continuidad SI, y sólo si, lim f(x,) = b, (3) n>o para toda sucesión Demosiración. tal que (x,) de puntos de A — (p) Si se verifica dr(f(x), b) <e (2), entonces siempre para que x € A que sea convergente cada y 0 < hacia p. e > 0 exiíste un ds(x, p) <3%. 8 > 0 (4) Como p es adherente a A—(p). por el teorema 4.4, existe una sucesión X.) en A — (p) convergente hacia p. Para el 8 que interviene en (4), existe un entero N tal que n > N implica ds(x., p) < 8. Entonces (4) implica que drf(X.). b) < € para n = N, y por lo tanto (f(x,)) converge hacia b. Así pues, (2) implica (3). Para probar el recíproco supondremos que se verifica (3) y que (2) es falso, llegando a una contradicción. Si (2) es falso, entonces para algún e > O y todo 5 > 0 existe un punto x de A (donde x puede depender de 5) tal que 0 < ds(x,p)<ó pero — dr(f(x), b) > . (5) Tomando $ = 1/n, n = 1, 2, ..., esto significa que existe una sucesión (.x,) de puntos de A — (p) tal que 0 < ds(X,,P) < 1n pero d(f(x,), b) > e. Es evidente entonces que hemos obtenido una sucesión (x,) que converge hacia p pero en cambio tradice a (3). NOTA. la sucesión no converge hacia b, lo cual con- Los teoremas 4.12 y 4.2 prueban que una función no puede tener dos límites diferentes cuando 4.6 f(f(x,)) LÍMITES DE x — p. FUNCIONES CON VALORES COMPLEJOS Sea (S, d) un espacio métrico, sea 4 un subconjunto de S, y consideremos dos funciones f y g definidas sobre A y con valores complejos, f: A>C, 2: A>C La suma f + g se define como la función cuyo valor en cada punto x de A es el número complejo f(x) + ¿(x). La diferencia f — , el producto f-g, y el cociente f/g se definen análogamente. Es sabido que el cociente sólo está definido en aquellos puntos x en los que 2(x) + 0. Límites y continuidad 93 Las reglas usuales para el cálculo con límites vienen dadas en el teorema que sigue. Teorema 4.13. Sean f y g dos funciones con valores complejos definidas en un subconjunto A de un espacio métrico (S, d). Sea p un punto de acumulación de A, y supongamos que lim f(x) = a, lim g9(x) = b. x->p Entonces tendremos x>p también: a) lim,., [/(x) + 96)] =a + b, b) lim,.. , S(x)9(x) = ab, ) lim,., , f(%)/9(x) = a/b si b£+0. Demostración. Probaremos (b), dejando las otras partes como ejercicio. Dado € con O<e < 1, sea € un segundo número que satisfaga 0 < e < 1, que dependerá de e en la forma que precisaremos más adelante. Existe un 8 > O tal que si xE A y d(x, p) < $, entonces A = la + (f(9 — al <la + ENs — Haciendo |9(x) — bl < €'. y (x) —al <e <ld +1. f(x)g(x) — ab = f(x)g(x) — bf(x) + bf(x) — ab, tenemos /()90x) — abl < IF 19() — DI + 151 176) — al < (|a| + 1)e' + |ble' = e'(la| + |b] + 1). Si elegimos e = e/(|a| + |b] + 1), veremos que [f(x)g(x) — ab| < < siempre que x EA 4.7 y dlx, p) < $, y esto demuestra LÍMITES DE FUNCIONES CON (b). VALORES VECTORIALES De nuevo, sea (S, d) un espacio métrico y sea 4 un subconjunto de $S. Consideremos dos funciones f y g, definidas sobre A, con valores vectoriales tomados en R”, f:A>R% g:4->R. El cociente de funciones con valores vectoriales no está definido (si k >?), pero es posible definir la suma f + g, el producto M (si A es real) y el pro- ducto escalar f-g por medio de las fórmulas 94 Límites (f + 909 = 1() + 80), — AUNE) = 416), y continuidad — E-9)4) = 10)-9() para todo x de A. Se tienen entonces las siguientes reglas para calcular los límites de funciones con valores vectoriales. Teorema 4.14. Sea p un punto de acumulación lim f(x) = a, x>Dp de A y supongamos que lim g(x) = b. x>p Entonces se tiene también: a) lim,.,, LÍ(X) + g(x)] =a +b, b) lim,.,, 2f(x) = 1a para cada escalar X, C) lim,. , f(x) - g(x) = a-b, d) lim..,, IfC)I| = llall. Demostración. Probaremos sólo las partes (c) y (d). Para probar (c) hagamos 1():8() — a-b = [f() — al-[g(x) — b] + a-[g(x) — b] + b-[f(9) — al. La desigualdad de Cauchy-Schwarz 0< < y la desigualdad triangular nos dan () -g(x) — a-bl MO — al lgo) — bl + lall lge) — bl + 1b| IfC) — al Cada uno de los términos de la derecha tiende a O cuando x—>p, f(X)- g(1) — a-b. Esto prueba (c). Para demostrar (d), obsérvese que HIECN — lall | < 11869 —l NOTA. Sean f., ...., f, n funciones con válores reales definidas f: A—>R” la función con valores vectoriales definida por f = T). f.(%). --.. h) Entonces f., ..., f. se llaman componentes para indicar dicha relación. Si a = (a,, ..., luego sobre A, y sea si xEA4. de f, y se escribe f = (f,, ..., f,) Q,), entonces para cada r = 1, 2, ..., n tenemos 1f,(x) — a,| < IM() — all < 2 1f.(x) — a,. Estas desigualdades demuestran que lim,., f(X) = a si, y sólo si, limo.p'f.(X) = apara cada r. Límites y continuidad 4.8 FUNCIONES 95 CONTINUAS La definición de continuidad que se.da en Cálculo elemental puede extenderse a funciones definidas de un espacio métrico a otro. Definición 4.15. Sean (S, ds) y (T, dr) espacios métricos y sea f: S >T una función de S en T. La función f se llama continua en un punto p de $S si para cada € > O existe un 8 > O tal que Ar(f(x). f(P)) < e siempre que ds (X, p) < $. Si f es continua en todos los puntos del subconjunto A continua en A. de S$, se dice que f es Esta definición refleja la idea intuitiva de que puntos cercanos a p se apli- can, por medio de f, en puntos cercanos a f(p). Puede expresarse, también, en términos de bolas: una función f es continua en p si, y sólo si, para cada e > 0, existe un 8 > 0 tal que 1BsW: 9) = Brlfp): =). Aquí Bs(p; $) designa una bola de S; su imagen, por medio de f, debe estar contenida en la bola Br(f(p); €) de T. (Ver Fig. 4.2.) Si p es un punto de acumulación de $, la definición de continuidad im- plica que lim f(x) = S). Xx>Dp S1 p es un punto aislado de S (un punto de $S que no es de acumulación de 5), entonces toda yf definida en p será continua en p ya que para $ suficiente- mente pequeño existe un único x que satisface d:(X, p) dr(F(p). f(»)) = 0. $, a saber x = p, y Teorema 4.16. Sea f: S>T una función de un espacio métrico (S, ds) en otro espacio métrico (T, dr), y supongamos que p E S. Entonces f es continua Bs(p; 8) Brif(p);€) Imagen de Bs(p; 5) T Figura 4.2 $ 9%6 Límites en p si, y sólo si, para cada sucesión y continuidad (x,) de S convergente en p, la sucesión (U(x,)) de T converge hacia f(p); en símbolos, linm f(Xx,) = f (lim n+ n> x,,) . o La demostración de este teorema es análoga a la del teorema 4.12 y se deja de ejercicio para el lector. (El resultado puede deducirse también del teo- rema 4.12 pero el hecho de que algunos de los términos de la sucesión (x,) puedan ser iguales a p presenta una dificultad de orden menor en el razonamiento.) El teorema se enuncia a veces, diciendo que para funciones continuas el símbolo de límite y el símbolo de la función pueden intercambiarse. En estos intercambios es preciso un cierto cuidado, ya que algunas veces (f(x,)) converge a pesar de que (%,) es divergente. Ejemplo. Si x,>* e y, >y en un espacio métrico (S, d), entonces d(x,, y,)—> d(x, y). (Ejercicio 4.7.) El lector puede verificar que d es continua sobre el espacio métrico (S X5, p), donde p es la métrica del ejercicio 3.37 con S, =$, = $. NOTA. La continuidad de una función f en un punto p recibe el nombre de propiedad local de f, puesto que depende sólo del comportamiento de f en las inmediaciones del punto p. Una propiedad de 7 referente al dominio entero de f se denomina propiedad global. Así, la continuidad de f en su dominio es una propiedad global. 4.9 LA CONTINUIDAD DE LAS FUNCIONES COMPUESTAS Teorema 4.17. Sean (S, d;), (T, dr) y (U, dv) espacios métricos. Sean f:S - T y 2: f(S)> U funciones, y sea h la función compuesta definida sobre S por medio de la ecuación h(x) = a(f(x)) — para todo x de $. Si f es continua en p y si g es continua en f(p), entonces h es continua en p. Demostración. ' Sea b = f(p). Dado dy(2(y). 2(b) < e Para este $ existe un $ tal que Combinando e > 0, existe un 8 > 0 tal que siempre que dr(y, b) < $. dr(f(x). f(p) 8 siempre que di(x, p) < *. estas dos desigualdades y haciendo y = f(x), obtenemos dy(híx), h(p)) < e luego 7 es continua en p. siempre que d.(x, p) < , Límites y continuidad 4.10 FUNCIONES CONTINUAS Teorema 4.18. 97 COMPLEJAS Y FUNCIONES VECTORIALES, Sean f y g dos funciones con valores complejos, continuas en un punto p de un espacio métrico (S, d). Entonces f + e, f — g y f-g son todas ellas continuas en p. El cociente f|g también es continuo en p si g(p) 0. Demostración. El resultado es trivial si p es un punto aislado de $. Si p es un punto de acumulación de $, el resultado se sigue del teorema 4.13. Existe, además, un teorema análogo para las funciones con valores vecto- riales, que se demuestra de la misma manera, utilizando el teorema 4.14. Teorema 4.19. Sean f y g dos funciones continuas en un punto p de un espacio métrico (S, d), y supongamos que f y g toman sus valores en R". Entonces cada una de las siguientes funciones es continua en p: la suma f + g, el producto M para cada número real A, el producto escalar f-g, y la norma ||£||. Teorema 4.20. Sean f., ..., fn, n funciones reales definidas sobre un subcon- junto A de un espacio métrico (S, ds) y sea f = (f., .... f.). Entonces f es continua en un punto p de A si, y sólo si, cada una de las funciones f,, ..., f es continua en p. Demostración. Si p es un punto aislado de A no hay nada que demostrar. Si p es un punto de acumulación, obsérvese que f(x)— f(p) cuando x-—>p si, y sólo si, f.(x) — f:(p) para cada k = 1, 2, ..., . 4.11 EJEMPLOS DE FUNCIONES CONTINUAS Sea $ = C, el plano complejo. Es un ejercicio trivial demostrar que las siguientes funciones con valores complejos son continuas en C: a) b) las funciones constantes, definidas por f(z) = c para todo z de C; la función identidad, definida por f(z) = 7 para todo z de C. Aplicando polinomios repetidamente el teorema 4.18 se establece la continuidad de los f(z) = aq + a,7 + ay7 + donde los a; son números -- + az", complejos. Si S es un subconjunto de C en el que el polinomio f no se anula, enton- ces 1/f es continua en $. Por lo tanto una función racional 2/f, donde g y f son 98 Límites y continuidad polinomios, es continua en cada uno minador sea no nulo. Las funciones reales del Cálculo de los puntos elemental, de C en los que el deno- tales como la función expo- nencial, trisgonométrica, logarítmica, son continuas en todos los puntos en que están definidas. La continuidad de estas funciones elementales justifica la práctica común de calcular ciertos límites substituyendo la «variable independiente» por el valor límite; por ejemplo, lin e* = e =1. x>0 La continuidad de las funciones exponencial y trigonométrica complejas es una consecuencia de la continuidad de las funciones reales correspondientes y del teorema 4.20. 4.12 CONTINUIDAD Y ANTIIMÁGENES ABIERTOS Y CERRADOS DE CONJUNTOS El concepto de antiimagen es útil para globales de las funciones continuas. dar dos importantes 4.21. Sea f: S —>T una función de un cierto Defjinición de imagen inversa. conjunto S en otro conjunto T. Si Y es un subconjunto caracterizaciones de T, la antiimagen de Y por f, designada por f“Y), se define como el mayor de los subconjuntos de S que se aplica en Y por medio de f; esto es, f“(Y) = (x: xES NOTA. y f(YEY). Si f admite función inversa f+, la antiimagen de Y por medio de f coincide con la imagen directa de Y por medio de f+, y en este caso no hay ambigiiedad en la notación f(Y). Nótese también que f-1(4) = f '(B) si ASBET. Teorema 4.22. Sea f: S>T una función de S en T. Si XCS e YET tenemos: a) Y = fY) implica f(() C Y. b) Y = f() implica X Cf “). La demostración del teorema 4.22 es inmediata por cuanto no es más que una traducción directa de la definición de los símbolos f(Y) y f(F), y se deja al lector. Obsérvese que, en general, no es posible concluir que Y = f(X) implice X = f(Y). (Ver el ejemplo en la Fig. 4.3.) Límites y continuidad Figura Nótese que 99 4.3 las afirmaciones de la siguiente manera: del teorema SSr Obsérvese asimismo que juntos A y B de T. 4.22 pueden xX<f expresarse también 0. f“'(A U B) = f1(4)U f'(B) para todos los subcon- Teorema 4.23. Sea f: S->T una función de un espacio meétrico (S, ds) en otro (T, dr). Entonces f es continua en $S si, y sólo si, para cada conjunto ubierto Y de T, la antiimagen f(Y) es abierta en $. Demostración. Sea f comtinua sobre S, sea Y un abierto de 7, y sea p un punto de f(Y). Probaremos que p es interior a f'(Y). Sea y = f(p). Como que Y es abierto entonces tenemos Como que f es continua Por lo tanto, que Br(y; Bs(p; 6) =S *F(Bs(p; ] luego p es un punto e)C Y para un cierto e > 0. en p, existe un 8 > O tal que f(B.(p; 3) C Br(y; *). =S -'[Br(Y; ] =S-1(7), interior a f“(Y). Recíprocamente, supongamos que f'(Y) es abierto en S para todo subcon- junto abierto Y de 7. Elijamos p en $ y sea y = f(p). Probaremos que f es continua en p. Para cada valor e > 0, la bola Br(y; ) es abierta en T, luego f '"(Br(y; +)) es abierto en S. Ahora bien, si p E f (Br(y; E)) entonces existe un 8>0 tal que B.(p; 5)< f'(Br(y; )). Por consiguiente, f(B.(p; 5)) < C Br(y; £), luego f es continua en p. Teorema 4.24. Sea f:S >T una función de un espacio métrico (S, d:) en otro (T, dr). Entonces f es continua en $ si, y sólo si, para cada conjunto cerrado Y de T, la antiimagen f(Y) es cerrada en $. 100 Límites Demostración. Si Y es cerrado en STAplíquese ahora el teorema T, entonces 7 — Y es y continuidad abierto en T y Y=S8-f'(7). 4.23. Ejemplos. La imagen de un conjunto abierto por medio de una aplicación continua no es necesariamente abierta. Un contraejemplo muy simple es el de las funciones constantes que aplican todo S en un único punto de R'!. Análogamente, la imagen de un conjunto cerrado en una aplicación continua no tiene por qué ser cerrada. Por ejemplo, la función real f(x) = arctg x aplica R'! en el intervalo (—7/2, 4.13 FUNCIONES CONTINUAS SOBRE El teorema que sigue prueba que la imagen función continua es un conjunto compacto. bales de las funciones continuas. CONJUNTOS 7/2). COMPACTOS de un conjunto compacto en una Es otra de las propiedades glo- Teorema 4.25. Sea f: S>T una función de un espacio métrico (S, d:) en otro (T, dr). Si f es continua en un subconjunto compacto X de $, entonces la imagen NX) es un subconjunto compacto de T; en particular, f(X) es un conjunto cerrado y acotado de T. Demostración. Sea F un recubrimiento abierto de f(Y), es decir f£(X) C Uer 4. Probaremos que un número finito de conjuntos A recubre a f(X). Como f es continua sobre el subespacio métrico (X, d;) podemos aplicar el teore- ma 4.23 para concluir que cada uno de los conjuntos f(4) es abierto en (Y, d). Los conjuntos f1(4) forman un recubrimiento abierto de X y, como X es compacto, un número finito de ellos recubre a X; sea Y C f(4)) U...Uf'(4,). Entonces =I | <SI-1(4)) u ---US-A)] N sO luego f(X) es compacto. cerrado y acotado. Como A, U ADI OVFA corolario del teorema (4)] U A 3.38, vemos que f(X) es Definición 4.26. Una función £: S > R* está acotada en $S si existe un número positivo M tal que |f(x)]| < M para todo x de $. Como f está acotada en $S si y sólo si f(S) es un subconjunto de R*, tendremos el siguiente corolario del teorema 4.25. acotado Límites y continuidad Teorema 4.27. espacio euclídeo entonces 101 Sea f: S—> R* una función de un espacio métrico S en el R*. Si f es continua en un subconjunto X, compacto en $, está acotada en X. Este teorema posee importantes implicaciones en el caso de funciones rea- les. Si f es una función real, acotada sobre X, entonces f(X) es un subconjunto de R, acotado, luego posee supremo, sup f(), e ínfimo, inf f(X). Además, inf f(X) < f(X) < sup f(X) =para cada x de Y. El próximo teorema prueba que una función continua f alcanza efectivamente los valores sup f(X) e 1nf f(X) si X es compacto. Teorema 4.28. Sea f:S —>R una función real de un espacio métrico S en el espacio eucliídeo R. Supongamos que f es continua en un subconjunto X, compacto en S. Entonces existen puntos p y q de X tales que S) = inf f() Sa) = sup ). NOTA. Como que f(p)< f(x) < f(g) para todo x de X, los números f(p) y f(q) se llaman, respectivamente, los valores mínimo y máximo globales o absolutos de f en X. Demostración. El teorema 4.25 demuestra que f(X) es un subconjunto cerrado y acotado de R. Sea m = inf f(Y). Entonces m es adherente a f(Y) y, por ser 1(X) cerrado, m € f(X). Por lo tanto, m = f(p) para un cierto p de X. Análogamente, f(7) = sup f(X) para un cierto q de X. Teorema 4.29. Sea f: S>T una función de un espacio métrico (S, ds) en otro (T, dr). Supongamos que f es uno a uno sobre S, de modo que la función inversa f-! existe. Si S es compacto y si f es continua en S, entonces f es continua en f(S). Demostración. Por el teorema 4.23 (aplicado a f+) bastará probar solamente que para cada conjunto cerrado X de S la imagen f(X) es cerrada en 7. (Obsérvese que f(X) es la imagen inversa de X por medio de f-.) Como X es cerrado y S es compacto, X es compacto (por el teorema 3.39), luego f(X) es compacto ma (por el teorema 4.25) y por lo tanto f(X) es cerrado (por el teore- 3.38). Esto acaba la demostración. 102 Límites y continuidad Ejemplo. Este ejemplo muestra que la compacidad de $S es esencial en el teorema 4.29. Sea ¡S = [0, 1) con la métrica usual de R! y consideremos la función f con valores complejos definida por f(x) = e?"i* Ésta es una aplicación continua uno mpara0O<x<1. a uno del semi-intervalo abierto [0, 1) en el círculo unidad |z| = 1 del plano complejo. Sin embargo, f-! no es continua en el punto f(0). Por ejemplo, si x, = 1 — (X,) no converge en $S. 4.14 APLICACIONES 1/n, la sucesión TOPOLÓGICAS (f(x,)) converge hacia f(0) pero (HOMEOMORFISMOS) Definición 4.30. Sea f: S>T una función de un espacio métrico (S, ds) en otro (T, dr). Supongamos también que f es uno a uno en S, de modo que la función inversa f existe. Si f es continua sobre S y f es continua sobre f(S), entonces diremos que f es una aplicación topológica o un homeomorfismo, y los espacios métricos (S, d:) y (f(S), dr) se llaman homeomorfos. Si f es un homeomorfismo, entonces f- también lo es. El teorema 4.23 prueba que un homeomorfismo aplica subconjuntos abiertos de S en subconjuntos abiertos de f(S). Aplica asimismo subconjuntos cerrados de S en sub- conjuntos cerrados de f(S). Una propiedad de un conjunto que permanezca invariante frente a las distintas aplicaciones topológicas, las propiedades de ser abierto, Un ejemplo importante de Se trata de una aplicación f: S la métrica; es decir, se llama una propiedad topológica. Así pues, cerrado, compacto son propiedades topológicas. homeomorfismo lo constituyen las isometrías. > T que es uno a uno sobre $S y que conserva d1—(f(X), f(y)) — d8(xv y) para todos los puntos x e y de $S. Si existe una isometría de (S, ds) en (f(S). dr), los dos espacios métricos se llaman isométricos. Las aplicaciones topológicas son particularmente interesantes en la teoría de curvas. Por ejemplo, un arco simple es la imagen topológica de un intervalo, y una curva cerrada simple es la imagen topológica de una circunferencia. 4.15 TEOREMA DE BOLZANO Esta sección está dedicada al famoso teorema de Bolzano que concierne a una propiedad global de las funciones reales continuas en intervalos compactos [a, b] de R. Si la gráfica de f está por encima del eje de las x en a y por debajo del eje de las x en », el teorema de Bolzano afirma que la gráfica debe Límites y continuidad 103 cruzar, por lo menos una vez, a dicho eje entre a y b. Nuestra nombre de la conservación demostración se basará en una propiedad local de las funciones continuas conocida con el de propiedad Teorema 4.31. del signo. Sea f definida en un intervalo S de K. Supongamos que f es continua en un punto c de S y que f(c) + 0. Entonces existe una bola unidimensional B(c; 8) tal que f(x) tiene el mismo signo que f(c) en B(c; 5) NS. Demostración. Supongamos tal que que f(c)> 0. Para cada < > 0 existe un 8>0 Hc) — e < f() < f(c) + e — siempre que x E B(c; INS. Elijamos el ó que corresponde a e = f(0)/2 (este € es positivo). Entonces se tiene 4 f(c) < f(x) <¿ f(c) siempre que x € B(c; $) NS, luego f(x) tiene el mismo signo que f(c) en B(c; 5)n$S. La demostración es análoga en el caso f(c) < 0, excepto en el hecho de que hay que elegir e = — f(0). Teorema 4.32 (Bolzano). Sea f real y continua en un intervalo compacto [a, b] de R, y supongamos que f(a) y f(b) tienen signos opuestos; esto es, supongamos que f(af(b) < 0. Entonces existe, por lo menos, un punto c del intervalo abierto (a, b) tal que f(c) = 0. Demostración. Por definición, supongamos que (a) > 0 y f(b) < 0. Sea A = (x: x E [a, b] y f(x) = 0). A es no vacío, puesto que a € A, y A está acotado por b. Sea c = sup A. Entonces a < c< b. Probaremos que f(c) = 0. Si f(c) + 0, existe una bola unidimensional B(c; $) en la que f tiene el mis- mo signo que f(c). Si f(c) > 0, entonces habrá puntos x > c en los que f(x) > 0, en contradicción con la definición de c. Si f(c) < 0, entonces c — 98/2 es una cota superior para A, contradiciéndose, de nuevo, la definición de c. Por consiguiente debemos Del teorema tener f(c) = 0. de Bolzano se deduce dio para funciones continuas. fácilmente el teorema del valor interme- Teorema 4.33. Supongamos que f es real y continua en un .intervalo compacto S de R. Supongamos que existen dos puntos a < B de S tales que 104 Límites a) F f(6). Entonces en el intervalo (a, f). f toma todos los valores comprendidos y continuidad entre f(x) y f(S) Demostración. Sea k un número comprendido entre f(x) y f(8) y apliquemos el teorema de Bolzano a la función ¿ definida en [x, 6] por medio de la ecuación e(x) = f(x) — K. El teorema del valor intermedio, juntamente con el teorema 4.29, implican que la imagen cotinua de un intervalo compacto S por medio de una función real es otro intervalo compacto; a saber Linf /(S), sup /(5)]. (Si f es constante en $, entonces el intervalo sería siguiente extiende esta propiedad a escenarios más tricos. 4.16 degenerado.) La sección amplios de espacios mé- CONEXIÓN En esta sección se describe el concepto de conexión y su relación con la continuidad. Dejinición 4.34.Un espacio métrico S se dice que es no conexo si S= AUB, donde A y B son conjuntos abiertos disjuntos de S, no vacíos. Diremos que S es conexo si no es no conexo. NOTA. Un subconjunto X de un espacio métrico S se llama conexo si, considerado como subespacio métrico de $, es un espacio métrico conexo. Ejemplos 1. 2. 3. 4. El espacio métrico S = R — (0) con la métrica usual euclídea es no conexo, ya que es unión de dos conjuntos abiertos disjuntos no vacíos, los números positivos y los números reales negativos. Cada intervalo abierto de R es conexo. Esto se demostró en la sección 3.4 como consecuencia del teorema 3.11. El conjunto Q de los números racionales, considerado como subespacio del espacio euclídeo R', es no conexo. En efecto, Q = 4 U B, donde A consta de todos los números racionales < y2 y B de todos los números racionales > x/í Análogamente, cada bola de Q es no conexa. Cada espacio métrico S contiene subconjuntos no vacíos conexos. En efecto, para cada p de $ el conjunto (p) es conexo. Para relacionar la conexión con la continuidad introduciremos el concepto de función a dos valores. Límites y continuidad 105 Dejinición 4.35. Una función real f que es continua en un espacio métrico S se llama función a dos valores sobre $ si f(S) = (0, 1). En otras palabras, una función a dos valores es una función continua cuyos únicos valores posibles son O y 1. Puede ser considerada como una función continua de $ en el espacio métrico 7 = (0, 1), donde 7 está dotado de la métrica discreta. Recuérdese que cada subconjunto de un espacio métrico discreto 7 es a la vez abierto y cerrado en 7. Teorema 4.36. Un espacio métrico S es conexo si, y sólo si, cada una de las funciones a dos valores definidas en S es constante. Demostración. definida sobre Supongamos que $S es conexo y sea f una función a dos valores S. Queremos probar que f es constante. B = f"((1)) las antiimágenes de los subconjunos Sean A = f((0)) (0) y (1). Como y (0) y (1) son subconjuntos abiertos del espacio métrico discreto (0, 1), tanto A como B son abiertos en $S. Por lo tanto, $ = A UB, donde A y B son con- juntos abiertos disjuntos. Pero, al ser S conexo, o A es vacío y B =, o bien B es vacío y A = $S. Tanto en un caso como en el otro, f es constante en $. Recíprocamente, supongamos que $ es no conexo, luego S = A UB, donde A y B son subconjuntos de $S abiertos disjuntos y no vacíos. Presentaremos ahora una función a dos valores definida sobre S que no será constante. Sea _ 10 f(x)—il si XxEA, si XxEB. Como que A y B son no vacíos, f toma los valores 0 y 1 y por tanto no es constante. Además, f es continua sobre S ya que la imagen inversa de cada subconjunto abierto de (0, 1) es abierto en $. A continuación demostramos nexo es conexa. que la imagen continua de un conjunto co- Teorema 4.37. Sea f: S > M una función de un espacio métrico S en otro M. Sea X un subconjunto conexo de $. Si f es continua en X, entonces f(X) es un subconjunto conexo de M. Demostración. Sea g una función a dos valores definida sobre f(X). Probaremos que g es constante. Consideremos la función compuesta h definida en X por medio de la ecuación h(x) = e(f(x)). Entonces h es continua en X y puede tomar solamente los valores 0 y 1, luego-% es una función a dos valores en X. Como que X es conexo, h es constante en X y esto implica que g es constante en f(X). Por consiguiente f(X) es conexo. 106 Límites y continuidad Ejemplo. Como un intervalo X de R' es conexo, cada imagen continua f(Y) es conexa. Si f toma valores reales, la imagen f(X) es otro intervalo. Si f toma valores en R”, la imagen f(Y) se llama curva de R". Entonces, cada curva de R” es conexa. Como corolario al Teorema 4.37, tenemos el teorema siguiente que es una extensión del de Bolzano. Teorema 4.38 (Teorema del valor intermedio para funciones reales continuas). Sea f una función real continua definida en un subconjunto conexo S de R”. Si f alcanza dos valores distintos sobre S, tales como a y b, entonces para cada c comprendido entre a y b existe por lo menos. un punto x de S en el que f(x) =c. Demostración. ' La imagen f(S) es un subconjunto conexo de R'. Por lo tanto, (S) es un intervalo que contiene a a y a b (ver ejercicio 4.38). Si algún valor c comprendido 4.17 entre a y b no estuviese en f(S), entonces COMPONENTES DE UN ESPACIO f(S) no sería conexo. MÉTRICO Esta sección demuestra que todo espacio métrico S puede expresarse de forma única como reunión de «trozos» conexos, llamados componentes. Ante todo demostraremos el siguiente. Teorema 4.39. Sea F una colección de subconjuntos conexos métrico S tal que la intersección U = Uuer 4 es conexa. Demostración. Como de un espacio T = ( .r A es no vacía. Entonces, la reunión T- Q, existe un t de T7. Sea f una función a dos valores definida sobre U. Probaremos que f es constante en U probando que f(x) = f(t) para todo x de U. Si x € U, entonces x € A para un cierto A de F. Como A es conexo, f es constante sobre A y, como t E A, f(x) = f(1). Todo punto x de un espacio métrico S$ pertenece, por lo menos, a un subconjunto conexo de $, a saber (x). Por el teorema 4.39, la reunión de todos los subconjuntos conexos que contienen a x es también conexo. A esta reunión la llamaremos componente de S, y la designaremos por U(x). Así, U(x) es el subconjunto de $ conexo maximal que contiene a x. Teorema 4.40. Todo punto de un espacio métrico S pertenece a una única y determinada componente de S. En otras palabras, las componentes de S forman una colección de conjuntos disjuntos cuya reunión es $. Límites y continuidad 107 Demostración. Dos componentes distintas no pueden tener ningún punto x en común ; en otro caso (por el teorema 4.39) su reunión sería un conjunto conexo más grande que contendría a x. 4.18 CONEXIÓN POR ARCOS En esta sección se describe una propiedad especial, llamada conexión por arcos, que poseen algunos euclídeo R”. Dejinición 4.41. (pero no todos) los Un conjunto S de R conjuntos conexos de un espacio se llama arco-conexo si, para cada par de puntos a y b de $, existe una función f:[0, 1] —> $S tal que f(0=a NOTA. y f(1)=b. Una tal función se llama un camino de a a b. Si f(0)+ f(1), la imagen de [0, 1] por medio de f se denomina arco, que une a con b. Entonces, $S es arco-conexo si cada dos puntos distintos de S pueden unirse por medio de un arco contenido en $S. Los conjuntos arco-conexos se llaman también hexos por caminos. Si f(t) = tb + (1 — ()a para O<< 1, la curva que a y b se llama segmento rectilíneo. coune Ejemplos 1. Cada conjunto convexo de R” es arco-conexo, ya que el segmento rectilíneo que une dos puntos del -conjunto está en el conjunto. En particular, las bolas n-dimensionales abiertas y las cerradas son arco conexas. 2. El conjunto de la figura 4.4 (reunión de dos discos cerrados tangentes) es arco conexo. Figura 4.4 3. u ] Figura 4.5 El conjunto de la figura 4.5 consiste en todos los puntos de la curva descrita por y = sen (1/x), O< x < 1, y los del segmento horizontal —1 < x < 0. Este conjunto es conexo pero no arco conexo (ejercicio 4.46). El teorema que sigue relaciona la conexión por arcos con la conexión. 108 Límites y continuidad Teorema 4.42. Todo conjunto S de R* arco-conexo es conexo. Demostración. Sea g una función a dos valores definida sobre $S. Probaremos que g es constante sobre $S. Elijamos un punto a de $. Si x € S, unamos a con x por medio de un arco 1' contenido en S. Como que T' es conexo, g es constante sobre I' luego ¿(x) = ¿(a). Pero, al ser x un punto arbitrario de S, queda demostrado que g es constante sobre $, y que $ es conexo. Hemos visto anteriormente que hay conjuntos conexos que no son arco conexos. Sin embargo, ambos conceptos son equivalentes en el caso de conjuntos abiertos. Teorema 4.43. Demostración. Un conjunto abierto conexo Sea S un conjunto x ES. Probaremos de R* abierto y conexo es arco-conexo. de K” y supongamos que que x puede unirse con cualquier otro punto y de $S por medio de un arco contenido en S. Designemos por A el subconjunto de $ for- mado por los puntos que pueden unirse con x, y sea B = S — 4. Entonces S= AUB, donde A y B son disjuntos. Ahora demostraremos que tanto A como B son abiertos en R”. Sea aC A y unamos a con x por medio de un arco 1' contenido en $. Como que a E S y $ es abierto, existe una bola n-dimensional B(a) C S. Cada y de B(a) puede unirse con a por medio de un segmento rectilíneo (contenido en $) y por lo tanto con x por medio de TI'. Así pues, si y € B(a), entonces y C 4. Esto implica que B(a) C 4, y por lo tanto A es abierto. Para ver que B también es abierto, supongamos que b € B. Entonces existe una bola n-dimensional B(b) C S, ya que $ es abierto. Ahora bien, si un punto y de B(b) pudiese unirse con x por medio de un arco 1”, contenido en $, el punto b también podría unirse con x, uniendo primeramente b con y (por medio de un segmento rectilíneo contenido en B(b)) y utilizando después I”. Pero como b € A, ningún punto de B(b) deberá pertenecer a A. Así, B(b) C B, luego B es abierto. Hemos obtenido, por lo tanto, una descomposición S = A UB, donde A y B son conjuntos de R” abiertos y disjuntos. Pero, A es no vacío ya que x E.A. Como que $ es conexo, B deberá ser vacío, con lo cual S = 4. Ahora bien, es evidente que A es arco-conexo ya que cualquier par de puntos de A pueden unirse por medio de un arco conveniente, uniendo primeramente cada uno de ellos con x. Por consiguiente, S es arco-conexo y la demostración está terminada. NOTA. Un camino f:[0, 1]>S se llama poligonal si la imagen de [0, 1] por medio de f es la reunión de un número finito de segmentos rectilíneos. El mis- Límites mo y continuidad 109 argumento utilizado para demostrar el teorema 4.43 prueba además cada conjunto conexo de R” es conexo por poligonales; que es decir, cada par de puntos del conjunto puede unirse con un arco poligonal contenido en el con- junto. Teorema 4.44. Todo conjunto abierto S de R* puede expresarse de forma única como reunión de una familia disjunta numerable de conjuntos conexos y abiertos. Demostración. Por el teorema 4.40, las componentes de S constituyen una colección de conjuntos disjuntos cuya reunión es S. Cada componente 7 de $S es abierta, puesto que si x E 7 existe una bola n-dimensional B(x) contenida en S. Como B(x) es conexo, B(x) C 7, luego T es abierto. Por el teorema de Lindelóf (teorema 3.28), las componentes de S constituyen una colección numerable, y por el teorema 4.40 la descomposición en componentes es única. Dejinición 4.45. Un conjunto de R" se llama región si es la reunión de un conjunto conexo abierto con alguno, ninguno, o todos sus puntos frontera. Si ninguno de sus puntos frontera está incluido en la región, se dice que ésta es una región abierta. Si todos los puntos frontera están incluidos, se dice que la región es una región cerrada. NOTA. Algunos autores utilizan la palabra especialmente en el plano complejo. 4.19 CONTINUIDAD Supongamos dominio en vez de región abierta, UNIFORME que f está definida en un cierto espacio métrico sus valores en otro espacio métrico (T, dr), y supongamos (S, ds) y tiene que f es continua en un subconjunto A de $S. Entonces, dado un punto p de A y un e > 0, existe un 8 > 0 (que depende de p y de ) tal que, si x € 4, entonces dr(f(x). f(p)) < : siempre que d.(x, p) < . En general no se debe esperar que, fijado e, el mismo valor de 8 sirva para cada punto p de A. Sin embargo, puede ocurrir. Cuando ocurre, se dice que la función es uniformemente continua en áA. Dejinición 4.46. Sea f:S —> T una función de un espacio métrico (S, ds) en otro espacio métrico (T, dr). Entonces se dice que f es uniformemente continua en un subconjunto A de $ si verífica la siguiente condición: 110 Límites y continuidad Para cada < > O existe un 8 > O (que que si XE A y p E A entonces dr(f(x). f(p)) < : depende exclusivamente de siempre que dg(x, p) < %. ¿) tal (6) A fin de insistir en la diferencia entre continuidad sobre A y continuidad uniforme sobre A consideraremos los siguientes ejemplos de funciones reales. Ejemplos 1. Sea f(x) = 1/x para x > 0 y consideremos A = (0, 1]. Esta función es continua en A pero no es uniformemente continua en A. Para demostrarlo, sea e = 10, y supongamos que encontrásemos un 38, O<< S< 1, que satisficiese la condición de la definición. Haciendo x = 8, p = 8/11, tendríamos |x — p| <$ y 11 1 10 > 0. ISO —— FADI = ——=— r 5>1 2. Luego para esos dos puntos tendríamos siempre |f(x)— f(p)| > 10, en contra de la definición de continuidad uniforme. Sea f(x) = x*? si xER! y tomemos A = (0, 1] como antes. La función formemente continua sobre A. Para demostrarlo, observemos que 0) Si |*—p| — ID es uni- = l* — P*| = 1E — PRE + P| < 21x — nl $, entonces |f(x) — f(p)| < 28. Luego, si e está dado, 0 = €l/2 para garantizar que |f(x)— f(p)| < < para cada par x, p con Esto prueba que f es uniformemente continua sobre A4. basta tomar |Xx—p| <$. Un ejercicio instructivo consiste en demostrar que la función del ejemplo 2 no es uniformemente continua sobre R'. 4.20 CONTINUIDAD UNIFORME Y CONJUNTOS COMPACTOS La continuidad uniforme en un conjunto A implica la continuidad en A. (El lector puede comprobarlo.) El recíproco también es cierto si 4 es compacto. Teorema 4.47 ( Heine). Sea f:S —> T una función definida entre dos espacios métricos (S, ds) y (T, dr). Sea A un subconjunto compacto de S y supongamos que f es continua en A. Entonces f es uniformemente continua en A. Demostración. bola Bs(a; Dado que e > 0, a cada punto a de A se le puede asociar una ), con r dependiendo de a, tal que dr(f(x). a)) < -;- siempre que x € B.4(a; ) NA. Límites y continuidad 111 Consideremos la colección de las bolas By(a; r/2) de radio r/2. Recubren a 4 y, como A es compacto, basta un número finito de ellas para recubrir a A, o sea AS U Bda,; k=1 2 E). En cualquiera de las bolas de doble radio, B¿(a;; 7;) se tiene dr(f(x). (a) < —28— siempre que x €E.By(a; 74) N 4. Sea 8 el menor de los números r7,/2, ..., m/2. Probaremos que este 3 satisface la definición de continuidad uniforme. En efecto, consideremos dos puntos de A, por ejemplo x y p, con d(x, p) < 5. En virtud de la anterior discusión existirá una bola Bg(a;; r./2) que contenga a x, luego E dr(S(x), F(ay)) < Por la desigualdad triangular tenemos que ds(p, ay) < d<(p, X) + ds(x, ay) < Ó + r_; < r_; + > = Yy Por lo tanto, p € Bs(as ; r,) N'S, y entonces tenemos también que dr(f(P). f(ar)) < €/2. Utilizando, una vez más, la desigualdad triangular obtenemos d1(f(x), S(P)) < dr(SC), a) + drlfla, SOP)) < 56 + 2£ = e. Esto 4.21 termina la demostración. TEOREMA DEL PUNTO FIJO PARA CONTRACCIONES Sea f::S > S una función de un espacio métrico (S, d) en sí mismo. Un punto p de S es un punto fijo de f si f(p) = p. La función f se denomina contrac- ción de $ si existe un número positivo o coeficiente de contracción), tal que d(f(X). f(7)) <« dx, y) % < 1 (llamado constante de contracción para todo x, y de $. (7) 112 Límites y continuidad Es evidente que continua. una contracción de un espacio métrico es uniformemente Teorema 4.48 (Teorema del punto fijo). Una contracción f de un espacio métrico completo S tiene un único punto fijo p. Demostración. Si p y p' son dos puntos fijos, (7) implica d(p, p) < « d(p, p). luego d(p, p) = 0 y p = p'. Luego f posee, a lo sumo, un punto fijo. Para probar que existe uno, elijamos un punto x de $S y consideremos la sucesión de iteraciones : x, S), 170 Es decir, se define recurrentemente la sucesión (p,) por medio de: Po = X, Pn+1 =f(Pn), n=0,1,2,... Probaremos que (7,) converge hacia un punto fijo de f. Ante todo demostra- remos que (p,) es una sucesión d(pn+lº pn) — de Cauchy. De d(f(pn)af(pn-—l)) < (7) obtenemos ad(pm pn—l)> y, entonces, por inducción, resulta que dPn+1> Pa) donde c = d(p,.p,). m > h, Utilizando m-i < la 2 dlp:, Ppo) = desigualdad m—i dP P) < Y dlDii: k=n ) S € )=c k=n CO”, triangular a n — 1 — hallaremos, m Q < (4 1 — para n QA e. Como 4” —> 0 cuando n — oo, dicha desigualdad triangular prueba que fp,) es una sucesión de Cauchy. Pero como $S es completo, existe un punto p de $ tal que P,— p. Por la continuidad de f, 1) = f<lim p…) = lim f(p,) = lim p.ri = D. n>o n>» oo n>o luego p es un punto fijo de f. Esto acaba la demostración. Muchos teoremas importantes de existencia del Análisis son consecuencias fáciles del teorema del punto fijo. Damos ejemplos en los ejercicios 7.36 y 7.37. La referencia 4.4 lo aplica al Anmálisis numérico. Límites 4.22 y continuidad 113 DISCONTINUIDADES DE LAS FUNCIONES REALES El resto de este capítulo lo dedicaremos a estudiar propiedades especiales de funciones reales definidas en subintervalos de R. Sea f una función real definida sobre un intervalo (a, b). Supongamos que c E [a, b). Si f(x) > A cuando x — c con valores mayores que c, diremos que A es el límite lateral por la derecha de f en c y lo indicaremos, escribiendo lim f(x) = 4. xX>IC+ El límite lateral por la derecha se designa también por medio de f(c+). En la terminología e, 0 significa que para todo e > 0 existe un 8 > O tal que ) — f(c+)| <e siempre que c< X<c +385<EB. Nótese que f no necesita estar definida en el punto c. Si f está definida en c y es f(c+) = f(c), diremos que f es continua por la derecha en c. Los límites laterales por la izquierda y la continuidad en c se definen Si a<c< análogamente si c E (a, bl. por la izquierda b, entonces f es continua en c si, y sólo si, He) = Hc+) = Ñ(c—). Diremos que c es una discontinuidad de f, si f no es continua caso deberá darse alguna de las siguientes condiciones: a) b) c) O no existe f(c+) o no existe f(c—). Tanto f(c+) como f(c—) existen pero son distintos. Tanto f(c+) como f(c—) existen y f(c+) = f(c—)£ f(O. En el caso (c) se dice que el punto c es una en c. En este discontinuidad evitable, ya que la discontinuidad podría evitarse volviendo a definir f en c de suerte que el valor de f en c fuese f(c+) = f(c—). En los casos una discontinuidad aunque volvamos inevitable dado a definir f en c. (a) y (b), se dice que c es que la discontinuidad no puede evitarse Dejinición 4.49. Sea f una función definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. Si f(c+) y f(c—) existen en un punto interior e, entonces: a) b) C) f(c)— f(c—) se llama el salto de f a la izquierda de c, f(c+)— f(c) se llama el salto de f a la derecha de e, f(c+)—f(c—) se llama el salto de f en c. 114 Límites y continuidad Si alguno de ellos es distinto de 0, entonces se dice que f tiene una discontinui- dad de salto en c. En los puntos extremos a y b, sólo consideraremos uno de los saltos laterales, el salto a la derecha en a, f(a+)— f(a), y el salto a la izquierda en b, 15) — 16—). Ejemplos 1. La función f definida por f(x) = x/|x| si x £ 0, f(0) = 4, tiene una discontinui- 2. dad de salto en 0, independiente del valor de A. Aquí f(0+) = +1 y f(0—) = —I. (Ver fig. 4.6.) La función f definida por f(x) = 1 si x=* 0, f(0) = 0, posee un salto de discon- tinuidad evitable en 0. En este caso f(0+) = f(0—) =1. Figura 4.6 Figura 4.7 3. La función f definida por f(x) = 1/x si x £ 0, f(0) = 4, tiene un punto de discontinuidad inevitable en 0. En este caso f(0+) y f(0—) no existen. (Ver fig. 4.7.) 4. La función f definida por f(x) = sen (1/x) si x = 0, f(0) = 4, posee una discon5. tinuidad inevitable en O ya que f(0+) y f(0—) no existen. (Ver fig. 4.8.) La función f definida por f(x) = x sen (1/x) si x = 0, f(0) = 1, tiene un punto de discontinuidad evitable en 0, ya que f(0+) = f(0—) = 0. (Ver fig. 4.9.) í Figura 4.8 NU;. Figura 4.9 Límites y continuidad 4.23 FUNCIONES 115 MONÓTONAS Definición 4.50. Sea f una función real definida en un subconjunto S de R. Entonces f es creciente (o no decreciente) en $S si para todo par de x e y de $, x<y implica f(X)<(f0). Si x < y implica f(x) < f(y), entonces f se llama estrictamente creciente sobre $S. (Las funciones decrecientes se definen análogamente.) Una función se llama monótona en $ si es creciente o decreciente en $. Si f es una función creciente, entonces —f es una función decreciente. Gra- cias a este resultado tan simple, resulta que en muchas de las situaciones que involucren funciones ciones crecientes. Probaremos que monótonas las funciones bastará considerar monótonas sólo el caso en intervalos de compactos las fun- poseen siempre límite lateral por la derecha y límite lateral por la izquierda. Por lo tanto sus discontinuidades (si tiene) deben ser discontinuidades de salto. Teorema 4.51. Si f es creciente en [a, bl, entonces f(c+) y f(c—) existen las dos para cada c de (a, b) y se tiene He—) <£ I) < F(e+). En los puntos extremos se tiene f(a) < f(a+) y f(b—) < f(b). Demostración. Sea A = (f(x): a< x < c). Como f es creciente, este conjunto está acotado superiormente por f(c). Sea « = sup A. Entonces « < f(c) y probaremos que f(c—) existe y es igual a e. Para ello probaremos c— primero que para cada e > 0 existe un ó > 0 tal que d< x<c implica |f(x)—a| <e. Pero como « = sup A, existe un elemento f(x,) de A tal que « — e < f(x ) <«. Como f es creciente, para cada x de (x,, c) tenemos también que « — e < f(x) < < , y por lo tanto |f(x) — «| < e. Por consiguiente, el número 8 = c — , tiene la propiedad requerida. (La demostración de que f(c+) existe y es — f(c) es análoga y sólo algunas modificaciones triviales son necesarias en el caso de los puntos extremos.) Existe, además, un teorema análogo lector puede formular por sí mismo. para funciones decrecientes que el 116 Límites y continuidad Teorema 4.52. Sea f estrictamente creciente en un conjunto S de R. Eñntonces f existe y es estrictamente creciente en f(S). Demostración. f Como f es estrictamente creciente, es uno a uno en $, luego existe. Para ver que f+ es estrictamente creciente, sean y, < y, dos puntos de f(S) y sea x, = f (), x, = f-1(y,). No puede ser que x, > x,, ya que entonces tendríamos también que y, > y,. La única alternativa es x, < x,, y esto significa que f-! es estrictamente creciente. El teorema 4.52 junto con el teorema 4.29 conducen a: Teorema 4.53. Sea f estrictamente creciente y continua en un intervalo compacto [a, b]. Entonces f es continua y estrictamente creciente en el intervalo U(a). f(b)]. NOTA. El teorema 4.53 nos dice que una función continua, estrictamente creciente es una aplicación topológica. Recíprocamente, toda aplicación topológica de un intervalo [a, b] sobre un intervalo [c, d] debe ser una función estrictamente monótona. La verificación de este muy instructivo para el lector. (Ejercicio 4.62.) hecho constituye un ejercicio EJERCICIOS Límites de sucesiones 4.1 42 Probar cada una de las afirmaciones siguientes acercade sucesiones de C. a) b) C) 7?>0 si |z| < 1; (7”) diverge si |z| > 1. Si Z, >0 y si (c,) está acotada, entonces (c,,7,) — 0. Z"/n! —>0 para cada complejo z. d) Si a, = / n? + 2—n, Si ap., = (,,, entonces a, — 0. + a,)/2 para todo n = 1, expresar a, en función de a, y a,, y demostrar que a, — (a, + 2a,)/3. Observación: d,.7 — d,.1 = a, — An41)4.3 Si O<x,<1 y si X,,, =1— V1 — x, para todo n 1, probar que (x,) es una sucesión decreciente con límite 0. Probar además que x,,,,/X, > $. 4.4 Dos sucesiones de enteros positivos (a,) y (b,) se definen recursivamente haciendo a, = b, =1 e igualando las partes racionales e irracionales de la ecuación ay + b, V2 = (ay_1 + b.-1V22 paran>2. Probar que a,? —2b,? = 1 para n 2 2. Deducir que a,/b,— J2 por medio de valores > x/5, y que 2b,/a, > V2 por medio de valores <2. Límites y continuidad 4.5 Una 4.7 En sucesión real 117 (x,) satisface 7X,,,, = X,? + 6 para n Z2 1. Si x, =3, pro- bar que la sucesión crece y hallar su límite. ¿Qué ocurre si x, =3 o si x, = 3? 4.6 Si la,| < 2 y la,,, — an4 1| < $a7 1 — a7| para todo n> 1, probar que (a) converge. un espacio métrico (S, que dX,, y,)> d(% ). d) suponemos que x, —>Xx y que y, —>y. Probar 4.8 Probar que en un espacio métrico compacto (S, d), cada sucesión de S admite una subsucesión convergente en $. Esta propiedad implica también que $S es compacto, pero no se pide una demostración de este resultado. (Una demostración puede encontrarse en las referencias 4.2 o 4.3.) 4.9 Sea A un subconjunto de un espacio que A es cerrado. Probar que el recíproco completo. Límites NOTA. métrico S. Si A es completo, probar también es cierto siempre que $S sea de funciones En los ejercicios 4.10 a 4.28 todas las funciones serán reales. 4.10 Sea f definida en un intervalo abierto (a, Consideremos las des afirmaciones siguientes: a) lim |/Gx + A - foY| = 0; pero 4.11 que (a) siempre (a) no. Sea f definida implica en R?. Si los dos límites lm f7y en el que Consideremos lim,.,, f(X, y—>b ) SO ) = y) y lim,,;f(x, x>a — íºº8( Xy d)f(x'y)_Ío ' 2 — 7 (X +)) sen(1/x) sen (1/y) sen x — sen y e) S(x, y) = [ te x—tgy cOS? x sigue: SI(X,y)$(0,0),Í( +)y c) f(x, y) = 1—c sen (xy) _ y>b ahora las funciones f definidas en R? como X Pb). = L unidimensionales —y —2__3 f(x,y)= x € (a, (b) se verifique lim [llim f(x, »] = lim flim fGx, »)] = L. x—-+>a a) que h>0 (b), y dar un ejemplo (X.3y)>(a,b) y si existen bar que supongamos b) lim |f(x + h) - f« — M| =0. h>0 Probar b) y 0. 0,0) )_= , si(x, ») * (0, 0), /(0, 0) = 0. six £ 0,1(0, y) = ». six£X0 e y =0, six=00y=0. si te x * tg y, si tg x = tg y. y), pro- 118 Límites y continuidad En cada uno de los ejercicios anteriores, determinar cuándo existen los límites que se proponen y calcular los que existan: lim [im /(x, y)] ; x>0 4.12 lim flim f(x, 7)] ; y->0 y>0 x—-+>0 hm _ (X,y)>(0.0) f(x, y. Si x € 0, 11 probar que el siguiente límite existe, lim [lim cos?" (m! 7x)] , m>XO y que su valor es 0 o 1, según Continuidad 4.13 para 4.14 de funciones n>o que x sea irracional o racional. reales Sea f continua en [a, b] y sea f(x) = 0 si x es racional. Probar que f(x) =0 todo x de [a, b]. Sea f continua en el punto a = (a,, a,, ..., a,) de R”. Conservemos a,, a,, ..., a, fijos y definamos una ecuación nueva función g de una sola variable real definida por la g(x) _ f(X, dZ2y ..., an)— Probar que g es continua en el punto x = a,. (Este resultado suele expresarse diciendo que una función continua de n variables es continua en cada una de ellas separadamente.) 4.15 Probar por medio de un ejemplo que el recíproco cida en el ejercicio 4.14 no es verdadero en general. 4.16 Sean f, g y h definidas en [0, 1] como sigue: f(x) = g(x) = h(x) = 0, f(x) =1 y 2(x) =, de la proposición estable- siempre que x sea irracional; siempre que x sea racional; h(x) = 1/n, si x es el racional h(0) = 1. m/n (irreducible); Probar que f no es continua en ningún punto de [0, 11, que ¿g es continua sólo en y = 0, y que 7 sólo es continua en los puntos irracionales de [0, 1]. 4.17 Para cada x de [0, 1], sea f(x) = x si x es racional, y sea f(x) = 1 — x si x es irracional. Probar que: a) f(f(x)) = x para todo x de [0, 1]. b) f(x) + f(1 d) f toma c) 4.18 — x) = 1 para todo x de todos los valores comprendidos 1]. entre O y 1. e) fx+y)— f(x)— f(y) es racional para todos los x e y de [0, 1]. Sea f definida en R y supongamos que existe por lo menos un punto x, de R en el que f es continua. face la ecuación Supongamos fE + Probar [0, f es continua sólo en el punto x = $. que existe una constante también que, para cada x e y de R, f satis- = 1Y) + 0). a tal que f(x) = ax para todo r. Límites y continuidad 119 4.19 Sea f continua en [a, b] y definamos g como sigue: e(a) = f(a) y, para a< « < b, g(x) es el máximo de los valores de f del intervalo [a, x]. Probar que ¿ es continua en [a, b]. 4.20 Sean f,, ..., f,, m funciones reales definidas en un conjunto S de R”. Supongamos que cada f; es continua en el punto a de S. Definir una nueva función f como sigue: Para cada x de $, f(x) es el mayor de los m valores f,(x), ..., fm(x). Dis- cutir la continuidad de f en a. 4.21 Sea f:S —>R continua en un conjunto abierto S de R”, supongamos que p E S y que f(p) > 0. Probar que existe una bola n-dimensional B(p; r) tal que f(x) > 0 para cada x de la bola. 4.22 Sea f definida y continua en un conjunto cerrado S de R. Sea A =(Xx:xES y fx)=0). Probar que A es un subconjunto cerrado de R. 4.23 Dada una función f:R —R, definimos dos conjuntos A y B en R? como sigue: A = (4,»):y <SO)h B=1(%,9:7 > S). Probar que f es continua en R si, y sólo si, tanto 4 como B son subconjuntos abiertos de R?. 4.24 Sea f definida y acotada en un intervalo compacto $S de R. Si T7 CS, el número Q (T) = sup (f(x) — f(9): xe T, y E T) se llama número oscilación de f en T. Si x€ESS, la oscilación de f en x se define como 0() = lim B6 -+0+ D) el 5). Probar que este límite existe siempre y que wr(x) = 0 si, y sólo si, f es continua en x. 4.25 Sea f continua en un intervalo compacto [a, b]. Supongamos que f tiene un máximo local en x, y un máximo local en x,. Probar que debe existir un tercer punto entre ¡x, y x, en el que f posea un mínimo local. NOTA. Decir que f posee un máximo local en x, significa que existe una bola unidimensional B(x,) tal que f(x) < f(x,) para todo x de B(x)N [a, b]. Los mínimos locales se definen análogamente. 4.26 Sea f una función real, continua en [0, 1], con la siguiente propiedad: para cada número real y, o no existe ningún x de [0, 1] para el cual f(x) = y o bien existe uno exactamente. Probar que f es estrictamente monótona en [0, 1]. 4.27 Sea f una función definida en [0, 1] con la siguiente propiedad: Para cada número real y, o no existe ningún x en [0, 1] que verifique f(x) = y,o bien existen exactamente dos valores de x en [0, 1] para los cuales f(x) = y. a) Probar que f no puede ser continua en [0, 11. b) Construir una función f que tenga esta propiedad. c) Probar que una función con esta propiedad discontinuidades en [0, 1]. debe tener una infinidud de 120 4.28 Límites En cada caso, dar un ejemplo de una función que f(S) = 7, o explicar de un T = (0, 1]. b) $ = (0, 1, T = (0, 1) U (1,2). d) e) £) g) S S S S = = = = Continuidad [0,1]V [0,1] x [0,1] x (0,1) x en espacios los ejercicios que T =el [2,3], [0,1], [0,1], (0, ), van conjunto no puede de los números 7=(0,1). 7 =R?2. 7 =(0,1) x 0, 1). T=R?2. existir tal f: racionales. métricos del 4.29 al 4.32, suponemos de un espacio métrico (S, d;) en otro (7, dr). 4.29 Probar que f es continua en $ si, y sólo si, f- '(int B) < int f-1(B) 4.30 , continua sobre S de modo ejemplo .por qué a) S = (0, 1), c) S = R', En por medio y continuidad Probar que f es continua en $ f(A) < f(A) que f:S— 7 es una función para todo subconjunto B de 7. si, y sólo si, para cada subconjunto A de $S. 4.31 Probar que f es continua en $ si, y sólo si, f es continua sobre cada subconjunto compacto de S. Indicación. Si x, —>p en S, el conjunto f(p, X., X,, ...) eS compacto. 4.32 Una función f:S —7 se denomina aplicación cerrada en $S si la imagen f(4), de cada uno de los cerrados A de , es cerrada en 7. Probar que f es continua y cerrada si, y sólo si, / (A) = f(A) para cada subconjunto A de $. 4.33 Dar un ejemplo de una función continua f y de una sucesión de Cauchy de S para los que (f(x,)) no sea de Cauchy en T7. 4.34 Probar que el intervalo (—1, 1) de R' es homeomorfo (x,) a R'. Ello demuestra que ni la completitud ni la acotación son propiedades topológicas. 4.35 La sección 9.7 contiene un ejemplo de una función f, continua en [0, 1], con f(O, 1)) = [0, 1) X [0, 1]. Probar que dicha f no puede ser uno a uno sobre [0, 1]. Conexión 4.36 Probar que un espacio métrico S es no conexo si, y sólo si, no existe ningún subconjunto A de S, A S, que sea a la vez abierto y cerrado en $. 4.37 Probar que dos, semiabiertos, un espacio métrico S es conexo si, y sólo si, los únicos subcon- juntos de S que son a la vez abiertos y cerrados en S son el vacío y el propio $. 4.38 Probar que los únicos subconjuntos conexos de R son (a) el conjunto vacío, (b) los conjuntos formados por un solo punto, y (c) los intervalos (abiertos, cerrao infinitos). Límites y continuidad 121 4.39 Sea Y un subconjunto conexo de un espacio métrico S. Sea Y un subconjunto de S tal que X C Y C Y, donde Y es la clausura de Y. Probar que Y también es conexo. En particular, esto prueba que X es conexo. 4.40 Si x es un punto de un espacio métrico S, sea U(x) la componente de $ que contiene a x. Probar que U(x) es cerrado en $. 4.41 Sea S un subconjunto abierto de R. Por el teorema 3.11, $ es la reumión de una colección numerable y disjunta de intervalos abiertos de R. Probar que cada uno de estos intervalos abiertos es una componente del subespacio métrico $S. Explicar por qué esto no contradice al ejercicio 4.40. 4.42 Se da un conjunto compacto S de R” con la siguiente propiedad: Para cada par de puntos a y b de $S y para cada e > 0 existe un conjunto formado por número finito de puntos (xo, X,,..., X,) en $ con Xo = ay X, = b tal que ka—'xk_¡l| < € pa_1'ak= un 1',2,...,". Probar o refutar: $S es conexo. 4.43 Probar que un espacio métrico S es conexo si, y sólo si, cada subconjunto no vacío de $ tiene una frontera no vacía. 4.44 Probar que cada subconjunto convexo de R” es conexo. 4.45 Se da una función f:R” >R” que sea continua en RK” y uno a uno. Si A es abierto y no conexo de R”, probar que f(4) es un abierto no conexo de £ (R”). 4.46 Sea A = ((x, y):0O << x < 1, y = sen 1/x), B = ((x, y):y = 0, —1<x < 0) y sea S$ = A UB. Probar que $ es conexo pero no arco-conexo. (Ver la figura 4.5, sección 4.18.) 4.47 pactos (1 Sea F =(F,, de R” tales F,, ...) una colección numerable de conjuntos conexos y comque F;.., C F; F, es conexa y cerrada. para cada K > 1. Probar que la intersección 4.48 Sea S un conjunto conexo y abierto de R”. Sea 7 una componente Probar que R* —7 es conexo. 4.49 Sea (S, d) un espacio métrico de S y cada r > 0, el conjunto Continuidad uniforme 4.50 que una Probar función conexo no acotado. Probar (x: d(x, a) = r) es no vacío. que es uniformemente continua de R” — $. que para cada en un conjunto a $ es también continua en $. 4.51 Si f(x) = x*? para cada x de R, probar que f no es uniformemente continua en R. 4.52 Supongamos que f es uniformemente continua sobre un conjunto acotado S de R". Probar que f debe estar acotada en $. 4.53 Sea f una función definida en un conjunto $ de R” y supongamos que f(S) C R”. Sea g definida en f(S) con valores en R*”, y sea h la función compuesta definida por h(x) = g[f(x)]) si xE S. Si f es uniformemente continua en $S y g es uniformemente continua en f(S), probar que h es uniformemente continua en $S. 4.54 Supongamos que f:S — 7 es uniformemente continua en $, donde $ y 7 son espacios métricos. Si (x,) es una sucesión de Cauchy una sucesión de Cauchy en 7. (Comparar en S, probar que con el ejercicio 4.33.) (f(x,)) es 122 Límites y continuidad 4.55 Sea f:S >T función de un espacio métrico S en otro espacio métrico T7. Supongamos que f es uniformemente continua en un subconjunto A de $S y que 7 es completo. Probar nua en á4. que existe una única extensión de f a A uniformemente 4.56 En un espacio métrico (S, d), sea 4 un subconjunto una función f,:S —>R* por medio de la ecuación conti- no vacío de S. Definimos Ja(x) = inf (d(x, ) : y € 4) para cada x de $S. El número f,(x) se llama la distancia de x a 4. a) Probar que f, es uniformemente continua sobre $. b) Probar que A = (x:x€S y f,(x) = 0). 4.57 En un espacio métrico (S, d), sean A y B subconjuntos cerrados disjuntos de $S. Probar que existen subconjuntos U y Y de $ abiertos disjuntos tales que ACU y BECV. Indicación. Sea e(x) = f,(x) — f:(), siguiendo la notación del ejercicio 4.56, y consideremos g-1(—oo; 0) y g-1(0, +>0). Discontinuidades 4.58 Localizar y clasificar las discontinuidades mediante las siguientes ecuaciones: de las funciones a) f(x) = (sen x)/x b) f(x) = e'/* si x5 0, f(0) = 0. si x F 0, f(0) = 0. c) f(x) = e? + sen (1/x) d) f(x) = 1/(1 — e1/%) si x=0, f(0)=0. si x £ 0, f(0) = 0. ) fa) =e f definidas en R: 4.59 Localizar los puntos de R? en los que cada una de las funciones del ejercicio 4.11 no es continua. Funciones monótonas 4.60 Sea f definida en un intervalo abierto (a, b) y supongamos que para cada punto interior x de (a, b) existe una bola unidimensional B(x) en la que f es creciente. Probar que f es una función creciente en todo (a, b). 4.61 Sea f continua en un intervalo cerrado [a, b] y supongamos que máximos y mínimos locales en el interior del intervalo. (Ver la NOTA ejercicio 4.25.) Probar que f debe ser monótona en [a, b|. 4.62 Si f es uno a uno y continua en [a, b], probar que f ha de ser monótona en [a, b]. Esto es, probar que cada aplicación topológica de un intervalo [c, d] debe ser estrictamente monótona. 4.63 Sea f una teriores tales que función creciente definida en a < X¡ < Xy < --< [a, b] y sean x,, Xy < b. Deducir de numerable. la parte (a) que el conjunto de estrictamente [a, b] sobre ..., X, n puntos a) Probar que Xk=1 Ú Cx+) — Sk—)]) < HB—) — Ha+). b) f carece de que sigue al las discontinuidades de in- f es Límites y continuidad c) Probar 123 que f posee puntos de continuidad en cada uno de los subinter- valos abiertos de [a, b]. 4.64 Dar un ejemplo de una función f, definida y estrictamente creciente conjunto S$ de R tal que f- no sea continua en f(S). 4.65 Sea f estrictamente creciente en un subconjunto S de R. Supongamos imagen f(S) verifica una de las propiedades siguientes: (a) f(S) es abierto; conexo; (c) f(S) es cerrado. Probar que f debe ser continua en $. Espacios 4.66 métricos y puntos Sea B(S) el conjunto en que un la (b) f(S) es fijos de todas las funciones reales definidas y acotadas conjunto $, no vacío. Si f € B(S), sea en un IFI= sup CO El número ||f|| se llama la «norma sup» de f. a) Probar que la fórmula d(f, ) = ||f — e|| define una métrica d en B(S). b) Probar que el espacio métrico (B(S), d) es completo. Indicación. Si (f,) es una sucesión de Cauchy en B(S), probar que (f,(x)) es una sucesión de Cauchy de números reales para cada x de $. 4.67 Con referencia al ejercicio 4.66 consideremos el subconjunto de B(S) de todas las funciones continuas y acotadas en S, que designaremos C(S), en donde S designa ahora un espacio métrico. a) Probar que C(S) es un subconjunto cerrado de B(S). b) Probar que el subespacio métrico C(S) es completo. 4.68 Recurrir a la demostración del teorema del punto fijo (teorema 4.48) para las cuestiones de notación. a) Probar que d(p, p,) < d(x, f(x))x"/(1 — o). Esta desigualdad, útil en trabajos numéricos, proporciona una aproximación de la distancia existente entre p, y el punto fijo p. Se da un ejemplo en (b). Tomar f(x) = i(x + 2/x), S = [1, +o0]. Probar que f es una contracción b) de $ cuya constante de contracción es y = 4 y cuyo punto fijo es p = y. Formar la sucesión (p,) empezando por x=p, =1 y probar que P, — V21<27. 4.69 Probar, utilizando contraejemplos, que el teorema del punto fijo no tiene por qué verificarse si (a), el espacio métrico subyacente no es completo, o bien si (b), la constante de contracción « = 1. 4.70 Sea f:S — una función de un espacio métrico completo (S, d) en sí mismo. Supongamos que existe una sucesión real (a) convergente hacia O tal que d(f"(x), PO< a,díx, y) para todo n Z 1 y todo x, y de $, donde f" es la n-ésima iteración Probar que de f, es decir, P = f), FHO f tiene un punto a f” para un m conveniente. 4.71 Sea f:S—>$S una fijo. función de d = F0) para n =1. Indicación. Aplíquese un métrico espacio f(x), S(y)) < d(x, Y) el teorema (S, d) en del punto sí mismo fijo tal que 124 Límites y continuidad siempre que x = y. a) b) 4.72 Pn+1 Probar que f posee a lo sumo un punto fijo, y dar un ejemplo función % de este tipo sin puntos fijos. Si S es compacto, probar que f admite un punto fijo exactamente. ción. Probar que g(x) = d(x, f(x)) alcanza un mínimo en S. de una Indica- c) Dar un ejemplo en el que, siendo S compacto, f no sea una contracción. Supongamos que f satisface la condición del ejercicio 4.71. Si x€'S, sea p, = x, — a) b) f(p-n)a y Probar Cn — que d(vap p'n+1) (c,) es una para n Z 0. sucesión decreciente, y sea c = lim Cy Supongamos que existe una subsucesión ( Pr(n)) Convergente hacia un cierto punto q de $S. Probar que c = d(9,/(0)) = d(f(a),SIS(a)D. Deducir REFERENCIAS 4.1 4.2 4.3 4.4 que q es un punto SUGERIDAS fijo de f y que p, — . PARA POSTERIORES ESTUDIOS Boas, R. P., A Primer of Real Functions. Carus Monograph No. 13. Wiley, New York, 1960. Gleason, A., Fundamentals of Abstract Analysis. Addison-Wesley, Reading, 1966. Simmons, G. F., Introduction to Topology and Modern Analysis, McGraw-Hill, New York, 1963. Todd, J., Survey of Numerical Analysis. McGraw-Hill, New York, 1962. CAPÍTULO 5 Derivadas .1 INTRODUCCIÓN Este capítulo trata de la derivada, concepto fundamental del Cálculo diferencial. Dos tipos distintos de problemas —el problema físico, que consiste en buscar la velocidad instantánea de una partícula móvil, y el problema geométrico, que consiste en buscar la recta tangente a una curva en un punto dado—, ambos conducen de forma muy natural a la noción de derivada. No nos interesaremos ni por las aplicaciones físicas ni por las aplicaciones geo- métricas; rivadas. Este dedicaremos nuestra atención a las propiedades generales de las de- capítulo tratará, ante todo, de las derivadas de funciones de una variable real y, especialmente, de funciones reales definidas en intervalos de R. Estudiará también brevemente las derivadas de funciones de valores vectoriales de una variable real, y las derivadas parciales, ya que estos temas no envuelven ideas nuevas. Mucho de lo que se expone será familiar al lector, pues se trata de Cálculo elemental. Un tratamiento más detallado de la teoría de la derivación para funciones de varias variables involucra cambios realmente importantes y por ello se desarrollará en el capítulo 12. La última parte de este capítulo trata de las derivadas plejas de una variable compleja. 5.2 DEFINICIÓN DE de funciones com- DERIVADA Si f está definida sobre un intervalo abierto (a, b), entonces para cada dos puntos distintos x y c de (a, b) podemos considerar el cociente de diferencias (*) 10 -f X Mantenemos do x>e. * c fijo y estudiamos Este cociente se conoce con —c el comportamiento el nombre de este cociente de cociente incremental. 125 (N. de t.) cuan- 126 Derivadas Dejinición 5.1. Sea f una función real definida en un intervalo abierto (a, b), y supongamos que c E (a, b). Diremos que f es diferenciable en c siempre que el límite EEO x>c X —<c exista. El límite, designado por f(c), se llama derivada de f en c. Este método de calcular límites define una nueva función f, cuyo dominio está formado por aquellos puntos de (a, b) en los que f es diferenciable. La función f se llama la primera derivada de f. Análogamente, la n-ésima deri- vada de f, designada por f', es la primera derivada de f”-?, para n =2, 3, ... (según mnuestra definición, sólo es posible considerar f si f- está definida en un cierto intervalo abierto). Otras notaciones con las que el lector puede estar familiarizado son 1A = DO = j—í (0) = 4ydx |x=c [donde y = f()]. o notaciones similares. La función f se escribe, a veces, f'. produce f a partir de f se llama diferenciación. 5.5 DERIVADAS El proceso que Y CONTINUIDAD El teorema que se da a continuación permite reducir algunos de derivadas a teoremas de continuidad. de los teoremas Teorema 5.2. Si f está definida en un intervalo (a, b) y es diferenciable en un punto c de (a, b), entonces existe una función f* (que depende de f y de c) continua en c y que satisface la ecuación S) — I) = £ — *Q (1) para todo x de (a, b), con f*(c) = f(c). Recíprocamente, si existe una función f*, continua en c, que satisfaga (1), entonces f es diferenciable en c y Me) = ). Demostración. Si f(c) existe, sea f* definida en (a, b) como r =0 sigue: sixxe 9 -fO Entonces f* es continua en c y (1) se verifica para todo x de (a, b). Derivadas 127 Recíprocamente, si (1) se verifica para una cierta función f* continua en c, entonces dividiendo por x —c y haciendo x—>c vemos que f(c) existe y es igual a f*(c). Como Teorema consecuencia 5.3. Demostración. inmediata de (1) se obtiene: Si f es diferenciable en c, entonces f es continua en c. En (1) hagamos x-—>ec. NOTA. La ecuación (1) tiene una interpretación geométrica que ayuda a adquirir una intuición de su significado. Como que f* es continua en c, f*(x) es aproximadamente igual a f*(c) = f(c) si x es próximo a c. Reemplazando f*(x) por f(c) en (1) obtenemos la ecuación I) = Fc + FE que será aproximadamente — ), correcta cuando x — c sea pequeño. En otras pa- labras, si f es diferenciable en c, entonces f es aproximadamente una función lineal en las proximidades de c. (Ver Fig. 5.1.) El Cálculo diferencial explota, continuamente, esta propiedad geométrica de las funciones. (2, (7)) Tangente 4 con pendiente f'(c) — — ST l 1 — Y) J ! Figura 5.4 ALGEBRA DE a S E - — — — — (c J(0)), | fe) — 10) 5.1 DERIVADAS El siguiente teorema describe las fórmulas usuales para diferenciar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de dos funciones. Teorema 5.4. Supongamos que f y g están definidas en (a, b) y son diferenciables en c. Entonces f + 2, f—e£ y f-g son también diferenciables en c. Esto es asimismo verdadero para f|g si g(c) -+ 0. Las derivadas dadas por las fórmulas siguientes: en c están 128 Derivadas a) U + () =9 +90, b) (f-9)(0 = f(J9'(c) + F'O9(0), ) — f19)(c) = 959 g(o—* HO Demostración. Probaremos , en el supuesto (b). Utilizando S) = Fc) + X — )S*(X), el teorema de que g(c) 0. 5.2, escribiremos — 9(x) = alc) + (x — e)9*(). Entonces SD — I9(c) = X — IX) Dividiendo por x—c ciones + y haciendo que x—>c de las otras afirmaciones son análogas. FI)] + ( — ) obtendremos F*CI*E. (b). Las demostra- De la definición se sigue inmediatamente que si f es constante en (a, »), entonces f = 0 en (a, b). También, si f(x) = x, entonces f(x) = 1 para todo . Aplicando repetidamente el teorema 5.4 obtenemos que si f(x) = x" (n entero positivo), entonces f(x) = nx"-! para todo x. Aplicando, de nuevo, el teorema 5.4 vemos que todo polinomio admite derivada en todo R y que cada fun- ción racional admite derivada en los puntos en los que está definida. 2.)9 LA REGLA DE LA CADENA Un resultado más profundo lo constituye la llamada regla de la cadena para la diferenciación de funciones compuestas. Teorema 5.5 (Regla de la cadena). Sea f definida en un intervalo abierto S y sea g definida en fS), y consideremos la función compuesta gf definida en S por medio de la ecuación (g * NPE) = 20()). Supongamos que exista un punto c de $ tal que f(c) sea un punto interior de f(S). Si f es diferenciable en c y g es diferenciable en f(c), entonces g o f es diferenciable en c y se tiene que (9 2S'(0) = 9 IF Demostración. Utilizando el teorema fo) — f(c) = X — 5.2 podemos f*(x) escribir para todo x de $, Derivadas donde 129 f* es continua en c y f*(c) = f(c). Análogamente, 9(7) — 9LU/(]) = [y — ]9*(, para todo y de un cierto Aquí Elijamos abierto 7 de (S) que contenga a f(C). x de $ tal que y = f(x) E 7 ; tenemos afO En subintervalo $* es continua en f(c) y g*(f(0)) = g'Tf(C)]. — al o] = L/G) — virtud del teorema H* de continuidad = E — )OO de las funciones 9*[1(x)] — a* 5(0)] = a U/(c)] Por lo tanto, si dividimos como 5.6 (2) por x —c lim g[f(x)] — Xx>c — X entonces y hacemos c[f(º)] — ) compuestas, cuando x—c. que x—>c, obtenemos g'[f(c)]f'(c), pretendíamos. DERIVADAS LATERALES Y DERIVADAS INFINITAS Hasta ahora, la afirmación de que f tenía derivada en c significaba que c era interior a un cierto intervalo en el que f éstaba definida y que el límite que definía f(c) era finito. Es conveniente extender el campo de nuestras ideas con vistas a la discusión de las derivadas en los extremos de los intervalos. Es asimismo deseable introducir las derivadas infinitas, de forma que la interprepretación geométrica de una derivada como la pendiente de la recta tangente sea válida aun en el caso en el que la tangente sea vertical. En tal caso no es posible demostrar que f es continua en c. Sin embargo, exigiremos explícitamente que lo sea. Definición 5.6. Sea f una función definida en un intervalo cerrado S y supongamos que f es continua en el punto c de S. Entonces f admite derivada lateral por la derecha de c si el límite lateral por la derecha lin 109 =SO XxXcC+ existe y es finito, o si es +0 Las derivadas laterales por X —c 0 —vo. Este límite lo designaremos por f.(c). la izquierda, designadas por f -(c), se definen 130 Derivadas Ti T2 T3 T4 T5 T6 T7 Figura 5.2 análogamente. Además, si c es un punto interior de S, entonces diremos que f posee derivada f(c) = +o0 si ambas derivadas laterales en c valen +0oo. (La derivada f(c) = —oo se define análogamente.) Es claro que f posee una derivada (finita o infinita) en un punto interior c Si, y sólo si, f+(c) = f-(c), en cuyo caso f .(0 = f (0 = f(0). La figura 5.2 ilustra algunos de estos conceptos. En el punto x, tenemos que f+(x,) = —oo. En el punto x, la derivada lateral por la izquierda es O y la derivada lateral por la derecha vale —1. Además, f(x,)) = —oo, f-« f10X,) = +1, f(X,) = +oo, y f-(x,) =2. No existe derivada ni por el otro) en x;, ya que f no es continua en dicho punto. 5.7 FUNCIONES CON DERIVADA NO = —1, (ni por un lado NULA Teorema 5.7. Sea f definida en un intervalo abierto (a, b) y supongamos que para cada c de (a, b) tenemos f(c) > 0 o f(c) = +oo. Entonces existe una bola unidimensional B(c) < (a, b) en la que fO Demostración. > f(c) six > e, y fx) Si f(c) es finito y positivo podemos < f(c) six <c. escribir S) — I) = x — )/*()), donde vación f* es continua del signo en c y f*(c) = f(c) > 0. Por la propiedad de las funciones continuas de la conser- existe una bola unidimensional Derivadas 131 B(c) = (a, b) en la que f*(x) tiene el mismo signo que f*(c), y esto significa que f(x)— f(c) tiene el mismo signo que x—e. Si f(c) = +oo, existe una bola unidimensional 10 -O , X cuando —€C B(c) en la que x * c. En esta bola el cociente es, de nuevo, positivo y la conclusión sigue como antes. Un resultado análogo al del teorema 5.7 es válido, naturalmente, si f(c) o si f(c) = —vo en algún punto interior c de (a, ?b). 5.8 DERIVADAS CERO Y EXTREMOS < O LOCALES Dejinición 5.8. Sea f una función real definida en un subconjunto S de un espacio métrico M, y supongamos que a E S. Entonces f posee un máximo- local en a si existe una bola B(a) tal que 1() < (a) para todo x de B(an$S. Si f(x) = f(a) para todo x de Bla) NOTA. Un máximo S, entonces f posee un mínimo local en a es el máximo local en a. absoluto de f en el subconjunto B(a) N'S. Si f tiene un máximo absoluto en a, entonces a es un máximo local. Sin embargo, f puede poseer máximos locales en varios puntos de S sin que posea máximo absoluto en el conjunto $. El teorema que sigue establece una relación entre las derivadas nulas y los extremos locales (máximos o mínimos) en puntos interiores. Teorema 5.9. Sea f definida en un intervalo abierto (a, b) y supongamos que f posee un máximo local o un mínimo local en un cierto punto interior c de (a, b). Si f posee derivada (finita o infinita) en c, entonces f(c) debe ser cero. Demostración. Si f(c) es positiva o +00, entonces f no puede tener un extremo local en c, en virtud del teorema 5.7. Análogamente, f (c) no puede ser negativa ni —o0. Luego, dado que existe derivada en c, la única posibilidad que queda es f(c) = 0. El recíproco del teorema 53.9 es falso. En general, el saber que f(c) =0 no basta para deducir que f tiene un extremo en c. De hecho, es posible que 132 Derivadas carezca de ellos, como puede verificarse por medio del ejemplo f(x) = x* y c = 0. En este caso, f(0) = 0 pero f es creciente en todo entorno de 0. Además, conviene insistir en el hecho de que f puede tener un extremo local en c sin que f(c) sea cero. Por ejemplo, f(x) = |x] tiene un mínimo en x =0 pero, naturalmente, no existe la derivada en 0. El teorema 5.9 presupone que f tiene derivada (finita o infinita) en c. El teorema presupone también que c es un punto interor de (a, »b). En el ejemplo f(x) = x, donde a < x <b, f alcanza su máximo nunca 5.9 y su mínimo en los puntos extremos pero en cambio f(x) no es cero en [a, b]. TEOREMA DE ROLLE Es geométricamente evidente que una curva suficientemente «regular» que corta al eje ox en los puntos extremos del intervalo [a, b] debe poseer un «punto de viraje» en algún punto comprendido entre a y b. El enunciado preciso de este resultado se conoce con el nombre de teorema de Rolle. Teorema 5.10 (Rolle). en cada uno de los puntos bién que f es continua en existe un punto interior c, Demostración. Supongamos que f posee de un intervalo abierto los puntos extremos a y por lo menos, en el que Supongamos derivada (finita o infinita) (a, b), y supongamos tamb. Si f(a) = f(b), entonces f(c) = 0. que f nmo es cero en ningún punto de (a, b) y llegaremos a una contradicción. Como que f es continua en un conjunto compacto, alcanza su máximo M y su mínimo m en algún punto de [a, b]. Ninguno de dichos valores extremos puede ser alcanzado en un punto interior (pues en ese caso f se anularía); por lo tanto la función los alcanza en los extremos del intervalo. Como f(a) = f(b), entonces m = M, y por lo tanto f es constante en [a, b]. Esto contradice el supuesto de que f no es cero en ningún punto de (a, b). Luego f(c) = 0 para algún c de (a, ?b). 5.10 TEOREMA Teorema 5.11 DEL VALOR (Teorema MEDIO PARA del valor medio). DERIVADAS Sea f una función con deri- vada (finita o infinta) en cada uno de los puntos de un intervalo abierto (a, b), y supongamos además que f es continua en los extremos a y b. Entonces existe un punto c de (a, b) tal que S06) — Sa) = F — a). Geométricamente, este teorema establece que una curva suficientemente re- gular que una dos puntos 4 y B posee una tangente con la misma pendiente Derivadas 133 que la cuerda AB. El teorema 5.11 lo deduciremos de un teorema más general que se refiere a dos funciones f y g que juegan un papel simétrico. Teorema 5.12 ( Teorema del valor medio generalizado). funciones continuas que poseen derivada (finita o puntos del intervalo abierto (a, b) y cada una es tremos a y b y, además, no existe ningún punto x el que f(x) y g(x) sean ambas infinitas. Entonces se tiene Sean f y g dos infinita) en cada uno de los continua en los puntos exdel interior del intervalo en para algún punto c interior FOLIG6) — 9(a)] = 9'(OLF(6) — a). NOTA. Cuando e¿(x) = x, se obtiene el teorema 5.11. Demostración. Sea h(x)= f(x)- [g(b) — e(a)] — e(x)- [f(b) — f(a)]. Entonces 7'(x) es finito si f(x) y g(x) son ambas finitas, y 7'(x) es infinito si una de las deri- vadas f(x) o g'(x) es infinita. (La hipótesis excluye e] caso de que ambas sean infinitas.) Además, 7 es continua en los exremos a y b, y h(a) = h(b) = = f(a)2(b) — ela)f(b). Por el teorema de Rolle existe un punto interior c en el que 7'(c) = 0, lo que demuestra la proposición. NOTA. dolo El lector podrá a la curva interpretar el teorema del plano x = 8(0), y = 1(1), a<1<b. coordenado 5.12 geométricamente, refirién- xy cuyas ecuaciones paramétricas son Existe una extensión de este teorema que no requiere la hipótesis de contmuidad en los extremos. Teorema 5.13. Sean f y g dos funciones, cada una de ellas con derivada (finita o infinita) en cada punto de (a, b). Supongamos también que en los extremos a y b existen los límites f(a+), g(a+), f(b—), g(b—) y son finitos. Supongamos además que no existe ningún punto x de (a, b) en el que las derivadas f(x) y g(x) sean ambas infinitas. Entonces para algún punto interior c tenemos FOLIG-) — 9(a+)] = 9 (OLFB—) — Fa+)1Demostración. Definamos dos nuevas funciones F y G en [a, b] como FO =1) F(a) = f(a+), y G)=80) G(a) = g(a+), si xE(a, ) F(5) = 1(b—-), G(b) = 9(6-). sigue: 134 Derivadas Entonces F y G son continuas en [a, b] y podemos aplicar el teorema 5.12 a F y G a fin de obtener la conclusión deseada. El resultado que sigue es una consecuencia inmediata del teorema del valor medio. Teorema 5.14. Suponemos que f posee una derivada (finita o infinita) en cada uno de los puntos del intervalo (a, b) y que f es continua en los extremos a y b. a) b) C) Si f toma sólo valores positivos (finitos o infinitos) en (a, b), entonces f es estrictamente creciente en [a, b|. Si f toma sólo valores negativos (finitos o infinitos) en (a, b), entonces f es estrictamente decreciente en [a, b]. Si f es cero en todo (a, b), entonces f es constante en [a, b]. Demostración. Elijamos x < y y apliquemos al subintervalo [x, y] de [a, b]. Obtendremos S) — SE) = Todas las afirmaciones esta ecuación. Aplicando el teorema (( del teorema — x) siguiente 5.14(c) a la diferencia el teorema del valor medio donde cE(x, . se deducen inmediatamente f — g se obtiene: Corolario 5.15. Si f y g son continuas en [a, b] y tienen derivadas i¡guales en (a, b), entonces f — g es constante en [a, b]. 5.11 TEOREMA DEL VALOR PARA LAS DERIVADAS de finitas INTERMEDIO En el teorema 4.33 se ha demostrado que una función f continua en un intervalo compacto [a, b] alcanza todos los valores comprendidos entre su máximo y su mínimo en el intervalo. En particular, f alcanza cada uno de los valores comprendidos entre f(a) y f(b). Un resultado análogo es válido para las funciones que se obtienen como derivadas de otras. Teorema 5.16 (teorema del valor intermedio para derivadas). Supongamos que f está definida en un intervalo compacto [a, b] y que posee derivada (finita o infinita) en cada uno de los puntos interiores. Supongamos, además, que f posee derivadas laterales finitas f.(a) y f-(b) en los puntos extre- Derivadas 135 mos, con f.(a) =f (b). Entonces, si c es un número real comprendido f.(a) y f-(b), existe por lo menos un punto interior x tal que f(x) =. Demostración. Definamos una nueva 9(x) = 709 = a(º) función g como entre sigue: si x-£a, g(a) = la). Entonces g es continua en el intervalo cerrado [a, b]. Por el teorema del valor intermedio de las funciones continuas, g alcanza cada uno de los valores comprendidos entre f.(a) y [f(b) — f(a)]/(b — a) en el interior de (a, b). Por el teorema del valor medio, tenemos que ¿(x) = f(c) para algún c de (a, x), en donde x E (a, b). Por lo tanto, f toma todos los valores entre f.(a) y [f(b)— — f(a)]/(b —a) en el interior (a, b). Un argumento análogo aplicado a la función h, definida por h(X) — f(JC) — f(b) x — b si x£b, h(b) = f'(b), prueba que f alcanza todos los valores comprendidos entre [f(b) — f(a)]/(b — a) y f-(b) en el interior (a, b). Combinando estos resultados, vemos que f alcanza cada uno de los valores comprendidos entre f.(a) y f-(b) en el interior (a, b), lo cual termina la demostración. NOTA. El teorema 5.16 es asimismo válido si una o ambas derivadas late- rales f.(a) y f-(b) es infinita. La demostración en este caso se obtiene considerando la función auxiliar g definida por medio de la ecuación ¿(x) = f(x) — cx, si x € [a, b]. Los detalles se dejan al lector. El teorema del valor intermedio demuestra que una derivada no puede cam- biar de signo en un intervalo si no toma el valor cero. Por lo tanto, tenemos el siguiente teorema, que es más fuerte que el 5.14(a) y (b). Teorema 5.17. Sea f con derivada (finita o infinita) en (a, b) y continua en los extremos a y b. Si f(x) + 0 para todo x de (a, b), entonces f es estrictamente monótona en a, b. El teorema del valor intermedio tonas son necesariamente continuas. prueba también que las derivadas Teorema 5.18. Supongamos que f existe y es monótona abierto (a, b). Entonces f es continua en (a, b). en un monó- intervalo 136 Derivadas Demostración. Supongamos que f tuviese una discontinuidad en algún punto c de (a, b); llegaremos entonces a una contradicción. Elijamos un subintervalo cerrado [x, 6] de (a, b) que contenga a c en su interior. Como que f es monótona en fx, $, la discontinuidad en c debe ser una discontinuidad de salto (por el teorema 4.51). Por lo tanto f omitiría alguno de los valores comprendidos entre f(a) y f($), en contradicción con el teorema del valor intermedio. 2.12 FÓRMULA Como hemos observado aproximadamente ecuación DE una TAYLOR CON RESTO anteriormente, si f es diferenciable en c, entonces f es función lineal en las proximidades S) = I) + FE es aproximadamente correcta cuando de c. Esto es, la — , x — c es pequeño. El teorema de Taylor nos dice que;, en general, f puede aproximarse por medio de un polinomio de grado n — 1 si f posee derivadas hasta el orden n. Además, el teorema de Taylor proporciona una expresión útil para calcular el error cometido en esta aproximación. Teorema.5.19 (Taylor). Sea f una función que admita derivada n-ésima f") finita en todo el intervalo abierto (a, b) y supongamos que f"-) es continua en el intrevalo cerrado [a, b]. Supongamos que c E [a, b]. Entonces, para todo x de [a, b], x -£ e, existe un punto x, interior al intervalo, que une x con c tal que A—1 (k) 0) = 10 + k;foº(x — (n) + f——n(jº—) (x — o El teorema de Taylor se obtiene como consecuencia de un resultado más general que, a su vez, es una extensión directa del teorema del valor medio generalizado. Teorema 5.20. Sean f y g dos funciones que posean derivadas n-ésimas f y g finitas en un intervalo abierto (a, b) y derivadas (n — 1) continuas en el intervalo cerrado [a, b]. Supongamos que c € [a, b]. Entonces, para todo x de [a, b], x =, existe un punto x, interior al intervalo, que une x con c tal que [f(x) ¡;)f—O ( - c)*] ) = [O [g(x) kZ;ºO - )]. Derivadas 137 NOTA. Para el caso especial en que g(x) = (x—eo?, tendremos g“X(c) =0 para O< <<n—1 y g'(x) =n!. Este teorema se reduce entonces al teorema de Taylor. Demostración. Para simplificar, supongamos c < b y x > c. Mantengamos fijo y definamos dos nuevas funciones F y G como sigue: n—1 (K) n—1 (k) x F(1) = 10 + Y fk——fº (x — % G() = 9(1) + Y %$º(x — 5, para cada ? de fc, x]. Entonces F y G son continuas en el intervalo cerrado [c, x] y tienen derivadas finitas en el intervalo abierto (c, x). Por lo tanto, el teorema 5.12 se puede aplicar y podemos Fa Esto conduce escribir Gx) — G(O) = G'(x )[ F(x) — F(c)], donde x, E (c, X. a la ecuación F'x)La(x) — G(0)] = CEE — F(O), (a) ya que G(x) = 2(x) y F(x) = f(). S1, ahora, calculamos la derivada de la suma que define F(7), teniendo en cuenta que cada uno de los términos de la suma es un producto, encontramos que todos los términos se destruyen salvo uno, y se obtiene (x = 0= F'(t) Análogamente, — (), p 10 obtenemos — Y G'(t), (1) = (X=D (1). (1) Si hacemos ? = x, y substituimos en (a), obtenemos la fórmula de este teorema. 2.13 DERIVADAS DE FUNCIONES VECTORIALES Sea f:(a, b) > R” una función vectorial definida en un intervalo abierto (a, b) de R. Entonces f = (f,, ..., f,), donde cada componente ,, es una función real definida en (a, b). Diremos que f es diferenciable en un punto c de (a, b) si cada una de las componentes , es diferenciable en c y definimos 138 Derivadas T(e) = (1(c), ... f()). En otras palabras, la derivada f'(c) se obtiene diferenciando cada una de las componentes de f en c. A la vista de esta definición no es sorprendente que nos preguntemos cuáles de los teoremas de diferenciación son válidos para funciones vectoriales. Por ejemplo, si f y g son funciones vectoriales diferenciables en c y si A es una función real diferenciable en c, entonces la suma f +g, se tiene el producto Xf, y el producto escalar f-g son diferenciables en c y (f + 8)(0) = f(0) + £(0), A(O = 72'()f() + UIFO), (£- 8)'(0) = f(0)-2(0) + 19:81(0). Las demostraciones se obtienen fácilmente si se consideran las componentes. Existe también una regla de la cadena para diferenciar funciones compuestas que se prueba de la misma manera. Si f es vectorial y u es real, entonces la función compuesta g, dada por g(x) = f[u(x)], es vectorial. La regla de la ca- dena establece que g'(c) = fiu(o)]w'(0), si el dominio de f contiene un entorno de u(c) y si w(c) y f'[u(c)] existen. El teorema del valor medio establecido en el teorema 5.11 no se verifica en el caso de funciones vectoriales. Por ejemplo, si f(?) = (cos , sen t) para todo f real, entonces f(2 7) — f(0) = 0, pero f(£) no es nunca cero. De hecho, ||f(5)|| = 1 para todo t. Una versión modificada del teorema del valor medio para funciones vectoriales será desarrollada en el capítulo 12 (teorema 12.8). 2.14 DERIVADAS PARCIALES Sea S un conjunto abierto del espacio euclídeo R”, y sea f: S >R una función real definida en S. Si x = (X,, ..., X1) y € = (C,, ..., Cn) Son dos puntos de S$ con las coordenadas correspondientes iguales excepto en el k-ésimo lugar, esto es si x; = €; para ¡£ k y si x, X c;, entonces podemos considerar el límite i 09 -10 Xk Ck xk — Ck Derivadas 139 Cuando este límite existe, se le llama derivada parcial de f con respecto de la k-ésima coordenada y se designa por medio de DS(O, — hO. % (6), k o por alguna otra expresión análoga. Nosotros adoptaremos la notación Df(c). Este proceso produce n nuevas funciones D,f, D.f, ..., D.,f definidas en los puntos de S en los que los correspondientes límites existen. La diferenciación parcial no es, realmente, un muevo concepto. Podemos considerar a f(x,, ...., X,) como una función de una sola variable cada vez, dejando las demás fijas. Es decir, si introducimos una función g definida por g(xk) — f(C1, ... ck—la xk9 ck+la ... cn)a entonces la derivada parcial Dif(c) es precisamente la derivada ordinaria g(c;). Esto se enuncia usualmente diciendo que para diferenciar f con respecto a la k-ésima variable, se suponen constantes las otras variables. Siempre que tengamos que generalizar un concepto de R' a R” procura- remos conservar las propiedades más importantes que, en el caso unidimensio- nal, la existencia de la derivada en c implica la continuidad en c. Por lo tanto, lo óptimo sería disponer un concepto de derivada para funciones de varias variables que implicara la continuidad. Para las derivadas parciales no ocurre esto. Una función de n variables puede poseer derivadas parciales en un punto con respecto de cada una de las variables y no ser continua en dicho punto. Illustraremos esta afirmación por medio variables: S, y) = X + l, , del ejemplo de una función con dos y, si x=00y=0, en otro caso. Las derivadas parciales D.f(0, 0) y D.f(0, 0) existen ambas. x->0 X — 0 En efecto: x>0 X y, análogamente, D.f(0, 0) = 1. Por otro lado, es claro que esta función no es continua en (0, O). La existencia de las derivadas parciales con respecto de cada variable separadamente implica la continuidad con respecto de cada variable separada- mente; pero como hemos visto, ello no implica necesariamente la continuidad respecto de todas las variables simultáneamente. La dificultad que presentan 140 Derivadas las derivadas parciales proviene de su misma definición: en ella estamos obligados a considerar sólo una variable cada vez. Las derivadas parciales nos proporcionan una medida de la variación de una función en la dirección de cada uno de los ejes. Existe un concepto más general de derivada que no restringe nuestras consideraciones a las direcciones particulares de los ejes coordenados. Este concepto será desarrollado en el capítulo 12. El propósito de esta sección es Únicamente el de introducir la notación de las derivadas parciales, ya que las utilizaremos ocasionalmente antes de alcanzar el capítulo 12. S1 f tiene derivadas parciales D.f, ..., D,f en un conjunto abierto S, entonces podemos también considerar sus derivadas parciales. Éstas se llamarán derivadas parciales de segundo orden. Escribiremos D,.f para designar la derivada parcial de Df con respecto de la r-ésima variable. Entonces, Dr,kf= Dr(Dkf)' Las derivadas parciales de orden superior se definen análogamente. Otras notaciones son Dr,kf .15 — DIFERENCIACIÓN COMPLEJA a f OX, ÓX DE ? p.art , — FUNCIONES a A f ÓX, 0X, ÓX, DE UNA . VARIABLE En esta sección discutiremos brevemente las derivadas de las funciones complejas definidas en subconjuntos del plano complejo. Tales funciones son, naturalmente, funciones vectoriales cuyo dominio y recorrido son subconjuntos de R”?. Todas las consideraciones del capítulo 4 concernientes a los límites y a la continuidad de las funciones vectoriales se aplican, en particular, a las fun- ciones de una variable compleja. Existe, sin embargo, una diferencia esencial entre el conjunto C de los números complejos y el conjunto complejos.) sistema que verifica los axiomas R” de los vec- tores n dimensionales (cuando n > 2) que juega un importante papel en este momento. En el sistema de los números complejos disponemos de las cuatro operaciones algebraicas de sumar, restar, multiplicar y dividir, y estas operaciones verifican muchas de las propiedades «usuales» del Álgebra que son válidas en el sistema de los números reales. En particular verifican los cinco primeros axiomas de los números reales enumerados en el capítulo 1. (Los axiomas 6 al 10 involucran la relación de orden <, que no existe entre números Todo algebraico 1 al 5 se llama cuerpo. (Para una discusión más amplia de los cuerpos, véase la referencia 1.4.) Derivadas 141 La multiplicación y la división no pueden ser introducidas en R” (para n > 2) de forma que R” sea un cuerpo * que contenga a C. Como la división es posible en €, es posible asimismo formar el cociente fundamental de diferencias z) — f(O)I/(z— c) que fue utilizado para definir la derivada en R, y entonces se presenta de forma clara cómo hay que definir la derivada en C. Definición 5.21. Sea f una función compleja definida en un conjunto abierto $ de C, y sea c E S. Entonces f es diferenciable en c si el límite z>c Z— = S) C existe. Por medio de este proceso de calcular límites se obtiene una nueva función compleja f definida en aquellos puntos Z de S donde f(z) existe. Las derivadas de orden superior f”, f”, ... se definen, como es natural, de forma análoga. Las siguientes proposiciones son válidas para funciones complejas definidas en un conjunto abierto $; sus demostraciones son exactamente las mismas que las utilizadas en el caso real: a) f es diferenciable tal que en c si, y sólo si, existe una función f*, continua en c, S) — S) = €7 — )S*(), para todo z de S, con f*(c) = f(0). NOTA. Si hacemos en la forma e(z) = f*(7)—f(c), S) = I) + FZ la ecuación de (a) podemos ponerla — ) + glzXz — 9 donde g(7)> 0 cuando z>c. Esta expresión se llama la fórmula de Taylor de primer orden para f. * Por ejemplo, si fuese posible definir una multiplicación en R* que dotara a R* de estructura de cuerpo, conteniendo a C, podríamos razonar como sigue: Para cada x de R* los vectores 1, x, x”, x* serían linealmente dependientes (ver Referencia 5.1, p. 558). Entonces para cada x de R', se verificaría una relación del tipo a, + a,X + a,X” + a,x* = 0, donde Ao; A,, A,, A, SON NÚMETrOS reales. Pero cada polinomio de grado tres con coeficientes reales es un producto de un polinomio lineal por un polinomio cuadrático con coeficientes reales. Las únicas raíces de tales polinomios son o bien números reales o bien números complejos. 142 Derivadas b) C) $i f es diferenciable en c, entonces f es continua en c. Si dos funciones f y g tienen derivadas en c, entonces su suma, su diferencia, su producto y su cociente tienen también derivadas en c y se obtienen por medio de las fórmulas usuales (como en el teorema 5.4). En el caso de f|g, debemos suponer que g(c) 0. dy La regla de la cadena es válida; es decir, tenemos (9*5)'(0) = 9 IF (C), si el dominio de g contiene un entorno de f(c) y si f(c) y 2 [f(c)] existen. Si f(z) =z, se obtiene f(z) =1 para todo z de C. Por (c) reiterado, se tiene que f(7) = nz"7! cuando f(z) = 7 (n es un entero positivo). Esto también se verifica cuando n es un entero negativo, siempre que 77 0. Por lo tanto, es posible calcular las derivadas de los polinomios racionales complejas utilizando las mismas Cálculo 5.16 elemental. ECUACIONES DE complejos. y de las funciones técnicas que las empleadas en el CAUCHY-RIEMANN Si f es una función compleja de una variable compleja, podemos valor de la función en la forma escribir cada FZ) = ulz) + inz), donde u y v son funciones reales de una variable compleja. Podemos, además, considerar 4 y y como funciones reales de dos variables reales y escribir en- tonces f(Z) = ulx, y) + ÍU(X, y)a si Z=X+ Ly. En ambos casos, escribiremos f = 4 + iv y nos referiremos a u y a v designándolas parte real y parte imaginaria de f. Así, en el caso de la función exponencial compleja f, definida por f(z) = e = e cos y + ie'seny, las partes real e imaginaria vienen dadas por ulX, y) = e* cos y, Análogamente, cuando Vx, y) = e seny. f(z) = Z? = (x + iy)”, obtenemos ulx, Y) = X — Y, — v(x,7) = 2x7. Derivadas una 143 En el próximo teorema veremos que la existencia de la derivada f impone severa restricción a las partes real e imaginaria Z y v. Teorema 5.22. Sea f =u + iv definida en un conjunto abierto S de C. Si f(c) existe para un c de S$, las derivadas parciales D ulc), D,u(c), D,víc) y D,v(c) existen y se tiene S) = Diulc) + i DyO), (3) f'(e) = (4) D, u(c) — i D,ulo). Esto implica, en particular, que D ulc) = D- u(c) y NOTA. Las dos últimas ecuaciones de Cauchy-Riemann. Generalmente D u(c) = se conocen se escriben u _ 0v óx y Demostración. Como nida en $ tal que Óv 0 — D,ulo). por el nombre en la forma — de ecuaciones Óu Óy que f(c) existe, es posible encontrar una función f* defi- S) — J) = (2 — e)S*7), donde f* es continua Z = X + I, donde ) en c y f*(c) = f(c). Escribamos c =a+ib, y 4A(7) y B(Z) son reales. Obsérvese f*(z) = A(z) + iB(Z), que A(7) — A(c) y B(Z) — B(c) cuan- do 7z>c. Considerando sólo aquellos números z de S para los que y = b y tomando las partes real e imaginaria de (5), tenemos ulx, b) — u(a, b) = (x — a)A(x + ib), V(x, b) — v(a, b) = (x — a)B(x + ib). Dividiendo por x—a y haciendo que x—>a obtenemos D ulc) = A(c) y D v(c) = B(o). Como que f(c) = Alc) + ¿B(c), esto prueba (3). Análogamente, considerando aquellos Z de S$ con x = a tenemos y que prueba (9). D-u(c) = A(o) D2u(C) — _B(C)a 144 Derivadas El teorema que sigue da algunas aplicaciones de las ecuaciones de CauchyRiemann. Teorema 5.23. Sea f = u + iv una función con derivada en cada uno de los puntos de un disco abierto D centrado én (a, b). Si u, v o |f| son constantes * en D, entonces f es constante entonces f es constante. en D. Además, si f(7) = 0 para todo z de D, Demostración. Supongamos que u es constante en D. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann prueban que D,y = D,v = 0 en D. Aplicando dos veces el teo- rema del valor medio unidimensional, obtenemos para un y entre b e y, u(X, y) — v(x, b) = (y — 5)D:u(x, y) = 0, y para un X entre a y , v(x, b) — v(a, b) = (x — a)D (x', b) = 0. Por lo tanto v(x, y) = vía, b) para todo (x, y) de D, luego v es constante en D. Un razonamiento constante. Supongamos análogo demuestra que si v s constante, ahora que |If| es constante en D. Entonces constante en D. Derivando parcialmente tenemos uD,u - En virtud escribirse + vD,v de las ecuaciones de = O, uD,u + vD,v Cauchy-Riemann vD,u entonces Z es f? =4 + Y” es = 0. la segunda ecuación puede — uD v = 0. Combinando ésta con la primera, podemos eliminar D,v y obtenemos (u?+v>D,u = 0. Si u?+v? = 0, entonces 4 = v= 0, luego f = 0. Si 4?+vY? L£0, entonces D,u = 0; luego u es constante y f también. Finalmente, si / = 0 en D, ambas derivadas parciales D,v y D,v son cero en D. De nuevo, como en la primera parte de la demostración, obtenemos que f es constante en D. El teorema 5.22 nos dice que una condición necesaria para que la función f =u + iv posea derivada en c es que las cuatro derivadas parciales D,u, D,u, Dv, D,v existan en c y satisfagan las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Esta * Aquí |f| designa la función cuyo valor en z es If(Z)|. 145 Derivadas condición no es, sin embargo, siguiente ejemplo. Ejemplo. suficiente, como Sean u y v definidas como X ux, Y) X (X, y) = =7 — Y +) —7 x3+y3 x? + y? podemos ver considerando el sigue: siG,7) 7 (0,0), u(0,0) = 0, si (x, y) £ (0,0), n(0,0) = 0. Es fácil comprobar que D, u(0, 0) = D v(0, 0) = 1 y que Dou(0, 0) = —D,v(0, 0) = — 1, por lo tanto las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verifican en (0, 0). A pesar de todo, la función f = u + iv no puede tener derivada en z = 0. En efecto, para x = 0, el cociente diferencial se convierte en 1a) - 1f0 _ —7 + z—0 mientras que _, ¡y + |, para x = y, es 1() -SO__xi Zz—0 X + IX _1+i 2 . y por lo tanto f(0) no existe. En el capítulo 12 demostraremos que las ecuaciones de Cauchy-Riemann son suficientes para establecer la existencia de la derivada de f =u + iv en c si las derivadas parciales de 4 y y son continuas en un entorno de c. Para ilustrar cómo hay que utilizar este resultado en la práctica, obtendremos la derivada de la función exponencial. Sea f(7) = e? = u + iv. Entonces UlX, Y) = e cos y, V(x, y) = e" seny, y por lo tanto D ulx, y) = e* cos y = D>u(x, y), Doulx, y) = —e'seny = — D ulx, )). Como estas derivadas parciales son continuas en todo R? y satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann, la derivada f(z) existe para todo z. Para calcularla usaremos el teorema 5.22 y obtendremos f(z) = e cos y + iesen y = f(7). Entonces, la función exponencial es su misma derivada (como en el caso real). 146 Derivadas EJERCICIOS Funciones reales En los ejercicios que siguen se supone, siempre que las fórmulas para derivar las funciones elementales sea necesario, que se conocen trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. 5.1 Una función f satisface una condición de Lipschitz de orden « en c si existe un número positivo M (que puede depender de c) y una bola unidimensional B(c) tales que 1S) — FO| < M| — el si x € B(0), x*ec. a) Probar que una función que satisface una condición de Lipschitz den « es continua en c si « > 0, y derivable en c si 4 > 1. b) de or- Dar un ejemplo de una función que satisfaga la condición de Lipschitz de orden 1 en c para la que f(c) no exista. 5.2 En cada uno de los siguientes casos, determinar los intervalos en los que la función f es creciente o decreciente y determinar los máximos y mínimos (si existen) en el conjunto en el que f está definida. a) f(x) 5.3 = x? + ax + »b, x ER. b) f(x) = log (x? — 9), X| > 3. C) f(x) = x?3(x — 1Y O<x<|. d) f(x) = (sen x)/x if x * 0, f(0) = 1, 0<x<z7/2. Buscar posible un polinomio S1) = a, f del menor fA2) = grado a, FE = tal que D, X2) = D, donde x, £ x, y a,, a,, b,, b, son números reales dados. 5.4 Se define f como sigue: f(x) = e 1/%” si x £ 0, f(0) = 0. Probar a) f es continua para todo . que b) f es continua para todo x, y que f()(0) = 0, (7 = 1, 2, ...). 5.5 Definimos f, 2 y h como sigue: f(0) = 2(0) = HO) y, si x = 0, f(x) = sen (1/x), elx) = x sen (1/x), h(x) = x? sen (1/x). Probar que a) f'(x) = —1/x* cos (1/x), si x * 0; f(0) no existe. c) '(x) h(0) b) 9'(x) = sen(1/x) 5.6 dos Obtener la fórmula funciones — 1/x cos (1/x), si x £ 0; = 2xsen (1/x) — cos (1/x), si x * 0; de Leibnitz para la derivada 9'(0) no existe. = 0; lim,..o 7 (x) no existe. n-ésima del producto f y e¿: /y h"(x) =— (n-k) kZ=(:)(n(k) f (k) Xx)g (x), n donde (k) k n —O h de Derivadas 147 5.7 Sean f y g dos funciones definidas en todo R y con derivadas finitas terceras F(x) y 2 (x) para todo x de R. Si f(x) g(x) = 1 para todo x, probar que las relaciones de (a), (b), (c) y (d) se verifican en todos los puntos en los que el denominador no es cero: a) F(XS) b) FSE) c) Fe f _ 9e3 + 9 0)/9(x) = 0. — 25 0/50) — 90)/9(x) = 0. FOO S)9 ) 50 fE (f"(x))º _ 9"09) o 2U”mM) 90 _ 90 90 _, _3 (g"(x))º_ 2190 NOTA. La expresión que aparece en el primer miembro de (d) se llama Schwarz de f en x. e) Probar que f y ¿ tienen la misma derivada de Schwarz si 9(x) = derivada de [af(x) + bl/ [cf(x) + dl,donde ad — bc + 0. Indicación. Si c -+ 0, escribir (af + b)X(cf + d) = (a/c) + (bc — ad)[ic(ef + d)] y aplicar la parte (d). 5.8 Sean f., f., £,, £, cuatro funciones con derivadas en (a, b). Definamos F por medio del determinante F(x) a) Probar 9 que F(x) = L) 9 , si x E (a, b). existe para cada x de (a, b) y que F(x) = b) h) Y fE 91(xX) ) 9:(X) fFx) 9i(x) H() 9>(x) Establecer y probar un resultado más general para determinantes de orden ». 5.9 Dadas n funciones f,, ..., f,, derivables hasta el orden n en (a, b), definimos una función W, llamada el Wronskiano de f., ..., f, como sigue: Para cada x de (a, b), WIx) es el valor del determinante de orden n que en la X-ésima fila, m-ésima columna, tiene al elemento f$,'f"”(x), donde k = 1, 2, ..., n y m = 1, 2, ..., n. [La expresión [O(x) designa a f,(x).] a) Probar que W'1(x) se obtiene b) Supongamos Cf(X) + ... para cada x NOTA. Un conjunto conjunto linealmente c) reemplazando la última fila del nante que define W(x) por las derivadas n-ésimas f”(x),..., determi- fP(x). que existen n constantes C., ..., Cy, NO mulas, tales que + cafy(X) =0 para todo x de (a, b). Probar que W(x) = 0 en (a, b). de funciones que satisface una relación de este tipo se llama dependiente sobre (a, b). La anulación del Wronskiano en todo el intervalo (a, b) es necesaria, pero no es suficiente para que f,, ..., f,, sean linealmente dependientes. Probar 148 Derivadas que en el caso de dos funciones, si el Wronskiano se anula en (a, b) y si una de las funciones no se anula en (a, b), entonces constituyen un conjunto linealmente dependiente en (a, b). El teorema 5.10 del valor medio Dada una función f definida y derivable con derivada finita en (a, b) y tal que lim,.,- f(X) = +00, probar que lim,_,_ f(x) o no existe o es infinito. S.11 Probar que la fórmula del valor medio puede escribirse en la forma: fE + h) — f() , donde Fijar 0 < 8 < 1. Determinar 9 en función En + 6, de x y de % cuando a) f(x) = x*, b) f(x) = , C) f(x) = e”, d) f(x) = log x, x £ 0 y hallar lim,,, 6 en cada 5.12 = f el teorema 5.20 hacemos caso. f(x) = 3x*—2x3—x?+1 Probar que f(x)/2(x) nunca es igual al cociente [f(1) < 1. ¿Cómo conciliar esto con la igualdad f6) - f _ ra 9(b) — 9(a) 9(x1) a) f(x) = senx, posible encontrar una — g(x) = cos x; clase general y ag(x) = 4x>—3x?—2x. — f(OX/[e(1) — g(0)] si O << x a< x, < b, que se obtiene del teorema 5.20 cuando n = 1? 5.13 En cada uno de los casos especiales del teorema x =b, y demostrar que x, = (a + b)/2. ¿Es x > 0. 5.20, b) S(x) = e, de pares de tomar n = 1, c =a, — 9(x) = e. funciones f y g para los que X, sea siempre (a + b)/2 y tales que los ejemplos (a) y (b) pertenezcan a dicha clase? 5.14 Dada una función f definida y con derivada finita f en el intervalo semiabierto 0 < x < 1 y tal que |f ()| < 1, definimos Demostrar que el lim,,. a, existe. 5.15 Supongamos a, = f(1/n) para n = 1, 2, 3, ... Indicación. Utilizar la condición de Cauchy. que f posee derivada finita en cada uno valo abierto (a, b). Supongamos además que lim,,,f(x) de los puntos del inter- existe y es finito para uno de los puntos interiores c. Demostrar que el valor de este límite deberá ser f(c). 5.16 Sea f continua en (a, b) con derivada finita f en todo (a, b), excepto quizás en c. Si lim,., , f (x) existe y vale A, entonces f(c) existe también y vale A4. 5.17 Sea f continua en [0, 1], f(0) = 0, f (x) finito para cada x de (0, 1). Probar que si % es creciente en (0, 1), entonces también lo es la función g definida por medio de la ecuación e2(x) = f(x)/. 5.18 Supongamos que f posee derivada finita en (a, b) y es continua en [a, b] con f(a) = f(5) = 0. Probar que para cada real A existe un c de (a, b) tal que f (c) = Mf(c). Indicación. Aplicar el teorema de Rolle a ¿(x) f(x) para una g conveniente que dependa de A. Derivadas 149 5.19 Supongamos que f es continua en [a, b] y que posee una derivada segunda f” finita en el intervalo abierto (a, b). Supongamos que la cuerda que une los puntos A = (a, f(a)) y B = (b, f(b)) corta a la gráfica de la función f en un tercer punto P distinto de A y de B. Probar que f”(c) = 0 para un c de (a, b). 5.20 Si f posee derivada tercera f” finita en [a, b] y si Sa) = F(a) = f(6) = F(6) = 0, probar que f”(c) = 0 para un c de (a, ?b). 5.21 Sea f una función no negativa y que admita tercera derivada finita f” en el intervalo abierto (0, 1). Si f(x) = 0 para dos puntos, por lo menos, de x en (0, 1), entonces f (c) = 0 para un c de (0, 1). 5.22 Supongamos que f admite una derivada finita en un cierto intervalo (a, +0>0). a) Si f(x) >1 y f(x)>c cuando x—> +oo, probar que c = 0. b) Si f(x)> 1 cuando x—> +o0, probar que f(x)/x— 1 cuando x — +oo. c) Si f(x) >0 cuando x > +v, probar que f(x)/x — Ocuando x—> +oo. 5.23 Sea h un número positivo fijo. Probar que no existe ninguna función f que satisfaga las tres condiciones siguientes: f(x) existe para x Z 0, f(0) = 0, f(x) Z h para x >0. 5.24 Si h > 0 y f(x) existe (y es finita) para cada x de (a — h, a+ 1), y si f es con- tinua en [a — h, a + hl, probar que se tiene: a) Ta + h);f(º“ H - Fa 0 +f(ía-0h, O<O<1: O< h c) A<1. Si f”(a) existe, probar Fa — lim/e + 9 — 259) + fa -h h-0 h d) Dar un ejemplo en el que exista el límite del cociente que aparece en (c) pero f“(a) no exista. 5.25 Sea f una función con derivada finita en (a, b) y supongamos que c E (a, b). Considerar la siguiente condición: Para cada e > 0 existe una bola unidimensional Blc; 8), cuyo radio 8 depende sólo de e y no de e, tal que si x € B(c; 8) y xX“c, entonces Sx) — Fc) — f(OI < . Probar que f es continua en (a, ») si esta condición se verifica en todo (a, b). 5.26 Sea f con derivada finita en (a, b) y continua en [a, b], con a < f(x) < b para todo x de [a, b] y | (x)) < « < 1 para todo x de (a, b). Probar que f posee un único punto fijo en [a, b]. 150 5.27 Derivadas Dar un par de funciones f y g con derivadas finitas en (0, 1) tales que pero que 5.28 lim,_, f (x)/2'(x) no exista, eligiendo g de modo que Demostrar el siguiente teorema: ' (x) nunca valga cero. Sean f y g dos funciones con derivadas n-ésimas finitas en (a, b). Supongamos que, para algún punto interior c de (a, b), f(c) = f(c) = ... = f"-D(c) = 0, y que dc) = g(c) = ... = 2"-D(c) = 0, pero que g"Xx) nunca in 70 - 220 90 es cero en (a, b). Probar que x>c 9x) NOTA. f y g(” no se suponen continuas en c. Indicación. (x F(x) = () — definir G 5.29 “- c)n—1f(n—l)(c) (n — a análoga, y aplicar el teorema de forma Haciendo b 1! 5.20 a las funciones F y G. Probar que la fórmula que aparece en el teorema de Taylor se puede escribir de la forma siguiente: S) = % 24 N E-9 y, E- de -7 + — G- f(n)(x1), donde x, es un punto interior al intervalo que une x con c. Sea 1—0 = (X—x)/(xX—oc). Probar que O< 6< 1 y deducir la siguiente forma del término complementario (debida a Cauchy): 1Indicación. Tomar 9"'x-o (n — 1)! fPOx + (A — Oel G(t) = g(1) = + en la demostración Funciones vectoriales 5.30 Si una función vectorial f es diferenciable del teorema en c, probar 5.20. que (D = lim 1 Hc + » - £o]. h>0 h Recíprocamente, si este límite existe, probar que f es diferenciable en c. 5.31 Una función vectorial f es diferenciable en cada punto de (a, b) y tiene norma |I£f| constante. Demostrar que f(1)-f'(1) = 0 en (a, b). 5.32 Una función vectorial f no es nunca cero y posee una derivada f' continua en R. Si existe una función real A tal que £ (1) = MDf(1) para todo , entonces existe una función real positiva 4 y un vector constante c tales que f(1) = u(t)-c para todo 1. Derivadas Derivadas 5.33 151 parciales Consideremos la función f definida en R? por las siguientes fórmulas: a, »=-—X +y Probar que las derivadas si(,»E(0,0) f(0,0)=0. parciales D. f(x, y) y Dof(x, y) existen para cada (, y) de R? y expresar dichas derivadas explícitamente en función de x e y. Probar, además, 5.34 que f no es continua en (0, 0). Sea f definida en R? como sigue: 2 — f(x, ») = yííT% 2 si (x, y) * (0,0), /(0,0) = 0. Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de f en el origen, cuando existan. Funciones 5.35 complejas Sea S un conjunto abierto de C y sea S* el conjunto de los complejos con- jugados z, cuando z € $S. Si f está definida sobre $, definir g sobre S* como sigue: 9(7)=/(z), complejo conjugado de f(z). Si f es diferenciable en c, probar que g es diferenciable en € y que 91(5) = f(c). 5.36 i) En cada uno de los siguientes ejemplos escribir f = u + iv y hallar fórmulas explícitas para u(x, y) y v(x, y) a) f(z) = sen z, b) f(z) C) f(z) = |zl, e) f(z) = argz g) f(z) = e”, d) f(z) = 7, S) =logz Z-+0), h) f(z) = z* (a complejo, (Z * 0), = cosz, z = 0). (Estas funciones están definidas tal como se indicó en el capítulo 1.) i) Probar que u y v satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann para los siguientes valores de z: Para todo z en (a), (b), (g); ningún z en (c), (d), (e); todos los Z excepto los números reales z < 0 en (), (h). (En la parte (h), las ecuaciones de Cauchy-Riemann se verifican para todos los z si % es un entero no negativo, y se verifican para todo z £ 00 si « es un entero negativo.) 111) Calcular las derivadas f(z) en (a), (b) (), (g), (), en el supuesto de que existan. 5.37 Escribir f = u + iv y suponer que f posee derivada en cada uno de los puntos de un disco abierto D centrado en (0, 0). Si au” + bv? es constante en D para ciertos números reales a y », no ambos nulos, probar que f es constante en D. 152 Derivadas REFERENCIAS 3.1 5.2 SUGERIDAS PARA POSTERIORES ESTUDIOS Apostol, T. M., Calculus, Vol. 1. 2.? ed. Ed. Reverté, S: A., Barcelona, Bogotá, Buenos Aires, Caracas, México. Chaundy, T. W., The Differential Calculus. Clarendon Press, Oxford, 1935. CAPÍTULO 6 Funciones de variación acotada y curvas rectificables 6.1 INTRODUCCIÓN Algunas de las propiedades básicas de las funciones monótonas fueron descritas en el capítulo 4. En este breve capítulo se estudian las funciones de variación acotada, una clase de funciones íntimamente relacionada con las funciones mo- nótonas. Veremos que estas funciones están en estrecha conexión con las curvas que poseen longitud finita (curvas rectificables). Juegan también un papel en la teoría de la integración de Riemann-Stieltjes que desarrollaremos en el próximo capítulo. 6.2 PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES MONÓTONAS Teorema 6.1. Sea f una función creciente definida en [a, b] y sean X, X., ..., Xn n+ 1 puntos tales que a = Xo Tenemos entonces < X¡ < X, -< X, = D. la desigualdad -1 X VGa+) - S) k=1 Demostración. < Supongamos que f(x+) < f01) y O1) que < 16) — Aa). y, € (Xx, Xr11). Para 1<k<n—1 tenemos <1Cx—), luego fXx+) — f—) <10%) — fO-1)- Si sumamos estas desigualdades, la suma de la derecha nos da f(,_) — f(7)Puesto que f(y,-,) — (,) < f(b) — f(a), esto completa la demostración. La diferencia f(x,+) — f(x.—) es, además, el salto de f en x;. El teorema anterior nos dice que, para cada colección finita de puntos x; de (a, b), la suma de los saltos en estos puntos está siempre acotada por f(b)— f(a). Este resultado nos servirá para demostrar el teorema siguiente. Teorema 6.2. Si f es monótona nuidades de f es numerable. en [a, b], entonces el conjunto 153 de disconti- 154 Funciones de variación acotada y curvas rectificables Demostración. Supongamos que f es creciente y sea $,, el conjunto de puntos de (a, b) en los que el salto de f es superior a 1/m, m > 0. Si x, < X, <-.. < X»-, están en $,,, el teorema 6.1 nos asegura que n—l1 < f(5) — f(a). Esto significa que $, debe ser un conjunto finito. Pero el conjunto de discon- tinuidades de f en (a, ») es un subconjunto de la reunión U%-1 S., y por lo tanto numerable. (Si f es decreciente, el argumento se aplica a —f.) 6.3 FUNCIONES Definición 6.3. DE VARIACIÓN ACOTADA Si [a, b] es un intervalo compacto, un conjunto de puntos P — (x03 xl? ... xn)a que satisfaga las desigualdades a = Xy < X1 *** < X_1 se llama partición de [a, b]. El intervalo < X, =, [Xx_., x] se llama k-ésimo subin- tervalo de P y se escribe Ax, = Xy — Xk-., Con lo que Y x=1 Axy, = b—a. La colección de todas las particiones posibles de [a, b] se designará por medio de V[a, bl. Dejinición 6.4. Sea f definida en a, b]. Sí P = (X,, X., ..., X) es una partición de la, b], escribiremos Af = f(X1)— f(Xr.--), para k = 1, 2, ..., n. Si existe un número positivo M tal que » 1AfI < M k=1 para toda partición de [a, b], entonces diremos que f es de variación acotada en [a, b]. Los dos teoremas que siguen proporcionan riación acotada. ejemplos de funciones de va- Teorema 6.5. en f[a, b]. Si f es monótona en [a, b], entonces f es de variación acotada Demostración. Sea f creciente. Entonces para cada partición de [a, b] tenemos Af 2 0 y por lo tanto n Y. 1ARL = 2 Af = Z JG - SE-)) = 106) - Aa). k=1 Funciones de variación acotada y curvas rectificables 155 Teorema 6.6. Si f es continua en [a, b] y si f existe y está acotada en el interior, es decir que |f(xX)] < A para todo x de (a, b), entonces f es de variación acotada en [a, b]. Demostración. el teorema del valor medio, tenemos — Xr-1) en donde %r € Xk 1 X1)- - J- 1) =S = F Af Esto Aplicando implica Z JAl = Z SA Ax < A D Axy = A(b — a). Teorema 6.7. Si f es de variación acotada en [a, b], es decir que , |Afr] para toda partición de [a, b], entonces f está acotada en [a, b]. De hecho, CD| Demostración. < |1f(a)| Supongamos que P = (a, x, b), obtenemos ) + M para todo x de fa, b]. x E€(a, b). Utilizando la partición especial — Fal + 156) - F| < M. f| < a)| + M. Idéntica desigualdad se Esto implica que |f(x) — f(a)| < M, Ejemplos 1. Es fácil construir continuas verifica si x <M =4 0 si X = D. funciones que no sean de variación acotada. Por ejemplo, sea f(x) = x cos (7/(2x)) si X = 0, f(0) = 0. Entonces f es continua en [0, 1], pero si consideramos es fácil comprobar, 2n » k=1 h la partición calculando, 1 l l 2n 2n 2n— 2 =—+—+ en 2n subintervalos que + — 2n—2 + + Esta suma no está acotada para todo n, ya que la serie 21 (1/n) diverge. En este ejemplo la derivada f existe en (0, 1) pero f no está acotada en (0, 1). Sin embargo, f está acotada en todo intervalo compacto que no contenga el origen y, por lo tanto, f es de variación acotada en tales intervalos. 156 2. 3. Funciones de variación acotada y curvas rectificables Un ejemplo análogo al primero lo proporciona la función f(x) = x? cos (1/r) si x£0, f(0) = 0. Dicha función f es de variación acotada en [0, 1], ya que f está acotada en [0, 1]. De hecho, f(0) = 0 y, para x £ 0, f(x) = sen (1/x) + 2x cos (1/x), luego |(x)|) < 3 para todo x de [0, 1]. La acotación de f no es condición necesaria para que f sea variación acotada. Por ejemplo, considérese la función f(x) = x1/3. Esta función es monótona (y por lo tanto de variación acotada) sobre todo intervalo finito. Sin embargo, f (x)—> +v0 cuando x —>0. 6.4 VARIACIÓN Defjinición 6.8. TOTAL Sea f una función de variación acotada en fa, b] y sea 3 (P) la suma >x=1 |Af:] correspondiente a la partición P = (x,, X., .... Xn) de [a, bl. El número V (a, b) = sup () (?): P e F[a, b |, se llama variación total de f en el intervalo [a, b]. NOTA. Si no hay peligro de confusión, escribiremos Dado Y ; en vez de Y ((a, b). que f es de variación acotada en [a, b], el número más Y ; > 0, ya que cada suma ; (P) > 0. Y además Y(a, f es constante en [a, bl. V es finito. Ade- b) = 0 si, y sólo si, Teorema 6.9. Supongamos que f y g son dos funciones de variación acotada en [a, b]. Entonces también lo es su suma, su diferencia y su producto. Ade- más, se tiene en donde A = sup f|9(x)] : x e [a, b ), Demostración. B = sup (1) : x e [a, b]). Sea h(x) = f(x)g(x). Para cada partición P de [a, b] se tiene A| = 1/00)90%) — J19 - 1)1 = 1/)90) — F- )90)] + VU4-)90) — J- )9- )I < ALARI + BIA9: Esto implica que / es una función de variación acotada y que Y, < AVy + BVY>. Las demostraciones correspondientes a la suma y la diferencia son muy simples y las omitiremos. Funciones de variación acotada y curvas rectificables 157 NOTA. Los cocientes no han sido incluidos en el teorema anterior ya que el recíproco de una función de variación acotada no es, necesariamente, de variación acotada. Por ejemplo, si f(x) > 0 cuando x — x,, entonces 1/f no estará acotada en ningún intervalo que contenga el punto x, y (por el teorema 6.7) 1/f no puede ser de variación acotada en tal intervalo. Para poder extender el teorema 6.9 a los cocientes, es suficiente excluir las funciones cuyos valores lle- guen a ser tan próximos a cero como se desee. Teorema 6.10. Sea f una función de variación acotada en [a, b] y supongamos que f está acotada de forma que no se pueda aproximar a cero; esto es, supongamos que existe un número positivo m tal que 0 < m< de [a, b|. Entonces V, < V,/m”. g = 1/f es también de variación |f(x)| para todo x acotada en fa, b] y Demostración. [Ag.] 6.5 = PROPIEDAD 1 1 ) J- 1) ADITIVA DE |= LA AJ 116791107 VARIACIÓN ¡ < M _—m* TOTAL En los dos últimos teoremas el intervalo [a, b] se conservó fijo y Y ¡(a, b) era considerada función de f. Ahora fijaremos f y estudiaremos la variación total como función del intervalo [a, b], con lo cual obtendremos la siguiente propiedad aditiva. Teorema 6.11. Sea f de variación acotada en [a, bl, y supongamos que c E (a, b). Entonces f es de variación acotada en [a, c] y en [c, b] y se tiene V (a, b) = Demostración. Probaremos V (a, c) + V(c, b). en primer lugar que f es de variación acotada en [a, c] y en [c, b]. Sea P, una partición de [a, c] y sea P, una partición de [c, b]. Entonces P, =P, UP, es una partición de [a, b]. Si X (P) designa la suma > [Afr] correspondiente a la partición P ( en el intervalo escribir apropiado), 2 (P) + X () = Y (P9) < V(a, b). podemos (1) Esto prueba que cada suma %$ (P) y (P,) está acotada por V¡(a, b) y ello significa que f es de variación acotada en [a, c] y en [c, b]. De (1) se obtiene también la siguiente desigualdad 158 Funciones de variación acotada y curvas rectificables V(a, c) + Vi(c, b) < V (a, »), en virtud del teorema 1.15. Para obtener la desigualdad en el otro sentido, sea P = (x,, X;, ..., Xn) € C[a, b] y sea P, = P U (c) la (probablemente nueva) partición obtenida al añadir el punto c. Si c € [Xx-_,, Xr], entonces tenemos O — F- )I< 1) — HJ + A — J- y por lo tanto 3 (P) < >(P,). Ahora bien, los puntos de P, que están en [a, cl determinan una partición P, de [a, c] y los que están en [c, b] una partición P, de [c, b]. Las sumas correspondientes a estas particiones están relacionadas por = ) < X P) = EP) + EP < V(a,c) + V(c,b). Por consiguiente, Y ¡(a, c) + Y ¡(c, b) es una cota superior para cada suma 3, (P). Puesto que dicha cota no puede ser menor que el extremo superior, tenemos V(a, b) < Vi(a, c) + V(c, »), que termina la demostración. 6.6 LA VARIACIÓN TOTAL f[a, x] COMO FUNCIÓN DE x Ahora mantendremos fija la función f y el punto inicial del intervalo y estudia- remos la variación total como función del punto extremo de la derecha del intervalo. La propiedad aditiva de la variación total implica consecuencias importantes para esta función. Teorema 6.12. Sea f una función de variación acotada en [a, b]. Sea Y definida en [a, b] como sigue: V_(x) = Y (a, x) si a<< x< b, V(a) = 0. Entonces: 1) 1) Y es una función creciente en [a, b]. Y —fes una función creciente en [a, bl. Demostración. Si a < x < y < b, podemos escribir V (a, y) = Y (a, x)+V (x, y)Esto implica que Y(y)— Y (x) = Y (x, y) > 0. Luego Y(x) < Y(y), e (1) se verifica. Para demostrar (1i), sea D(x) = Y (X) — f(x) si x € [a, b]. Entonces, si a < x<y<b, tenemos D(y — DE) = Y() — 709 — O — S) = V7(x, ») — 1O Pero de la definición de Y (x, y) se sigue que fO - fE) < Y,(x, 7). — F- Funciones de variación acotada y curvas rectificables 159 Esto significa que D(y) — D(x) = 0, y (1i) se verifica. NOTA. Para ciertas funciones , la variación total Y (a, x) se puede expresar como una integral. (Ver ejercicio 7.20.) 6.7. FUNCIONES DE VARIACIÓN ACOTADA EXPRESADAS COMO DIFERENCIA DE DOS FUNCIONES CRECIENTES La simple y elegante caracterización de las funciones de variación acotada que damos a continuación es consecuencia del teorema 6.12. Teorema 6.13. Sea f definida sobre [a, b]. Entonces f es de variación acotada en la, b] si, y sólo si, f puede expresarse como diferencia de dos funciones crecientes. Demostración. Si f es de variación acotada en V — D, en donde Y es la función del teorema [a, b], podemos escribir f = 6.12 y D = V —f. Tanto Y como D son funciones crecientes en [a, b]. El recíproco se deduce inmediatamente de los teoremas 6.5 y 6.9. La representación de una función de variación acotada como diferencia de dos funciones crecientes no es Única. Si f = f, — f,, en donde f, y f, son crecientes, se tiene también que f = (f, + 2)— (f; + £), siendo g una función cre- ciente arbitraria, y ello nos proporciona una nueva representación de f. Si g es estrictamente creciente, también lo serán f, + g y f, + g. Por consiguiente, el teorema 6.13 es asimismo válido si reemplazamos «creciente» por «estrictamente creciente». 6.8 FUNCIONES CONTINUAS DE VARIACIÓN ACOTADA Teorema 6.14. Sea f una función de variación acotada en f[a, b]. Si x € (a, b], sea YV(x) = V ,(a x) y hagamos V(a) = 0. Entonces cada punto de continuidad de f también es un punto de continuidad de V. El recíproco también es cierto. Demostración. Puesto que V es monótona, los límites laterales por la derecha y por la izquierda V(x+) y V(x—) existen para cada punto x de (a, b). En virtud del teorema 6.13, lo mismo es cierto para f(x+) y f(x—). Sia<<x<y<b, se verifica [por definición de Y ((x, y)] que 0 < 1/(7) — SI Haciendo < 7(7) — 76). que y — x, obtenemos 0 < IfX+) — fO| < Y(X+) - Y(). 160 Funciones Análogamente, de variación 0 < |f(x) — f(x—)| < acotada Y (x) — V(x—). can que todo punto de continuidad de y curvas Estas rectificables desigualdades impli- VY es también un punto de continui- dad de f. Para demostrar el recíproco, sea f continua en un punto c de (a, b). Entonces, dado e > 0, existe un 8 > 0 tal que 0 < |x—ec| < $ implica |f(x) — f(c)| < £/2. Para este mismo e, existe una partición P de [c, b], por ejemplo P = Xo, X1, ... , Xn), tal que Agregando Xo = €, X, = b, , Ve, b) - 2* < =1Y 1AFid. más puntos a P únicamente S [Afr] y por lo tanto podemos fica que conseguiremos considerar que 0 < x, que aumente la suma — x, < $. Esto signi- Afl = 101) -FO <>, con lo que la desigualdad anterior se convierte en V (c, b) - < 2 2 + X 1f <Í + VG D), k=2 2 ya que (xX,, X, .... Xn) es UNa partición de [x,, b]. Tenemos, por tanto, V¡(c, b) — Pero 0 < V(x,) — V(c) Vi(x1, b) < ¿. = V(a, x,) — VJ(C, x1) — V (a, ) V¡(C, b) — V¡(X¡, b) < E. Con lo cual hemos probado que O<x, —ce<ó implica 0< V(x,) — V(c) < €. Esto demuestra que V(c+) = V(c). Un razonamiento análogo lleva al resultado Y (c—) = V(O). El teorema queda entonces demostrado para todos los puntos interiores de [a, b]. (Para los puntos extremos son necesarias ciertas modificaciones triviales.) Combinando el teorema 6.14 con el 6.13, podemos establecer Funciones de variación acotada y curvas rectificables 161 Teorema 6.15. Sea f una función continua en [a, b]. Entonces f es variación acotada en [a, b] si, y sólo si, f se puede expresar como diferencia de dos funciones crecientes continuas. NOTA. El teorema se verifica también si reemplazamos «creciente» por «estrictamente creciente». Es claro que las discontinuidades de una función de variación acotada (si existen) deberán ser discontinuidades de salto en virtud del teorema 6.13. Además, el teorema 6.2 nos dice que constituyen un conjunto numerable. 6.2 CURVAS Y CAMINOS Sea f:[a, b] >R" una función vectorial, continua en un intervalo compacto [a, b] de R. Cuando t recorre [a, b], los valores f(t) de la función describen un conjunto de puntos de R” llamado gráfica de f o curva descrita por f. Una curva es un subconjunto compacto y conexo de R” dado que es la imagen continua de un intervalo compacto. La función f se llama un camino. Es a veces útil imaginarse una curva como trazada por una partícula móvil. El intervalo [a, b] puede ser interpretado como un intervalo de tiempo y el vector f(r) determina la posición de la partícula en el instante t. En esta in- terpretación, la función f se denomina un movimiento. Distintos caminos pueden dibujar la misma curva. Por ejemplo, las dos funciones complejas f(l) — e2nir, g(t) — e—-2nít, O < 1< 1, dibujan ambas el círculo unidad x* + y? = 1, pero los puntos son recorridos en sentidos opuestos. El mismo círculo lo dibuja cinco veces la función h(1) = e, 6.190 O< CAMINOS <1. RECTIFICABLES A continuación introducimos Y LONGITUD el concepto DE UN ARCO de longitud de un arco de curva. La idea consiste en aproximar la curva por medio de polígonos inscritos, técnica aprendida de los antiguos geómetras. Nuestra intuición nos asegura que la longitud de cualquier polígono inscrito no excederá a la de la curva (dado que la línea recta es el camino más corto entre dos puntos), luego la longitud de una curva deberá ser una cota superior de las longitudes de todos los polígonos inscritos. Por consiguiente, parece natural definir la longitud de una curva como el extremo superior de las longitudes de todos los polígonos inscritos posibles. 162 Funciones de variación acotada y curvas rectificables Para la mayoría de las curvas que aparecen en la práctica, esto proporciona una definición útil de longitud de arco. Sin embargo, como veremos en seguida, existen curvas para las cuales el extremo superior de las longitudes de los polígonos inscritos no existe. Por tanto, es necesario clasificar las curvas en dos categorías: las que tienen longitud y las que no. Las primeras se denominan rectificables, las segundas no rectificables. Daremos ahora una descripción formal de estas ideas. Sea f£:[a, b] > R” un camino en R”. Para una partición cualquiera de [a, b], dada por P = ítº, ( PEO t,,,), los puntos f(t,), f(t)), .... £(£..) son los vértices de un polígono inscrito. (Puede verse un ejemplo en la figura 6.1.) La longitud de este polígono mos por A(P) y se define como la suma Af(P) — í "f(tk) — la designare- f(tk-l)llº f(t5) (1) Figura f(l6) 6.1 Defjinición 6.16. Si el conjunto de números A (P) está acotado para todas las particiones P de [a, b], entonces el camino f se llama rectificable y su longitud de arco, designada por A(a, b), se define por Aygla, b) = sup LA(?): P e 9[a, bl). Si el conjunto de números Ay(P) no está acotado, f se llama no rectificable. Existe un método fácil para caracterizar todas las curvas rectificables. Teorema 6.17. Consideremos un camino f:[a, b]—>R" de componentes £ = (f,, ... fa). Entonces f es rectificable si, y sólo si, cada componente f es de variación acotada en [a, b]. Si f es rectificable, tenemos las desigualdades V.(a, b) < A¿la, b) < Y¡(a, b) + ::: + V,(a, »), (k = 1,2,...,n), ) Funciones en donde de variación acotada y curvas rectificables 163 V1(a, b) desgina la variación total de f en [a, bl. Demostración. Si P = Cto, t,, ..., tm) €ES UNA partición de [a, b] tenemos 27 15009 — HC-I < AP) < 2 2150 — HE ' para cada k. Todas las afirmaciones del teorema se siguen fácilmente (3) de (3). Ejemplos 1. Como hemos indicado anteriormente, la función dada por f(x) = x cos (7/(2x)) para x 7 0, f(0) = 0, es continua pero no es de variación acotada en [0, 1]. Por lo cual su grafo no es una curva rectificable. 2. Es posible demostrar (ejercicio 7.21) que si f' es continua en [a, b], entonces f es rectificable y su longitud de arco puede obtenerse por medio de una integral. D Ayla, b) = f MO 6.11 PROPIEDADES DE DE LA LONGITUD Sea f = (f,, ..., f.) un de las componentes f [a, b]. En esta sección función del intervalo Teorema 6.18. ADITIVIDAD DE ARCO Y DE CONTINUIDAD camino rectificable definido en [a, es de variación acotada en cada fijamos f y estudiamos la longitud [x, y]. Ante todo demostraremos b]. Entonces cada una subintervalo [x, y] de de arco A:+(x, y) como una propiedad aditiva. Si c E (a, 6) tenemos Aga, b) = Aga, c) + Aye, b). Demostración. Añadamos el punto c a la partición P de [a, b]; obtendremos así una partición de [a, c] y una partición de [c, b] que designaremos, respectivamente, P, y P, tales que AP) < A?1) + AgP:) < Ayga, €) + Aiye, b). Esto implica que A(a, b) < Ay(a, c) + A(c, b). Para obtener la desigualdad en el otro sentido, sean P, y P, particiones arbitrarias de [a, c] y [c, b], respectivamente. Entonces P=P1UP2, 164 Funciones de variación acotada y curvas rectificables es una partición de [a, b] para la que tenemos AP1) + AP2) = AdP) < Ara, b). Puesto que el supremo de todas las sumas A:(P,) + A+(P,) es la suma A(a c) + Á c, b) (ver teorema 1.15), el teorema está demostrado. Teorema 6.19. Consideremos un camino rectificable f definido en [a, b]. Si x € (a, b], sea s(x) = A+(a, x) y sea s(a) = 0. Entonces tendremos: 1) La función s así definida es creciente y continua en [a, b]. 1) $i no existe ningún subintervalo de [a, b] en el que f sea constante, entonces s es estrictamente Demostración. Si creciente en [a, b)]. a< x <y <b, el teorema 6.18 implica s(y) — s(x) = A(x, y) > 0. Ello prueba que s es creciente en [a, b]. Además tenemos que s(y)—s(x)>0 a no ser que A:+(x, y) = 0. Pero, en virtud de la desigualdad (2), A(x, y) =0 implica V.(x, y) = 0 para cada K y esto, a su vez, implica que f es constante en [x, y]. Por consiguiente (i1) se verifica. | Para demostrar que s es continua, utilizaremos, de nuevo, la desigualdad (2) para escribir 0 < s(y) — s(x) = Arx, Y) < Z) Vilx, y)Si hacemos que y —>x, obtenemos que cada término Y;(x, y) —>0 y por consiguiente s(x) = s(x+). Análogamente, s(x) = s(x—) y la demostración está terminada. 6.12 CAMINOS EQUIVALENTES. CAMBIOS DE PARAMETRO En esta sección se analiza una clase de caminos en la que todos tienen el mismo grafo. Sea f:[a, b]-> R” un camino de R* y sea u:[c, d| > [a, b] una función real, continua y estrictamente monótona en [c, dj con recorrido [a, b]. Entonces la función compuesta g = f o 4 dada por g(') = f[u(1)] para c <<t <d, es un camino cuya gráfica coincide con la de f. Dos caminos f y g como los mencionados se llaman equivalentes. Se dice que ambas funciones proveen representaciones paramétricas distintas de una misma curva. La función u define un cambio de parámetros. Designemos por C la gráfica común a los dos caminos equivalentes f y g. Funciones de variación acotada y curvas rectificables 165 Si u es estrictamente creciente, se dice que f y g dibujan a C en la misma dirección. Si u es estrictamente decreciente, se dice que f y g dibujan a C en direcciones opuestas. En el primer caso, se dice que u preserva el orden; en el segundo caso, que invierte el orden. Teorema 6.20. Sean f:[a, b] >R" y g:[c, d| > R dos caminos en R”, cada uno de los cuales es uno a uno en su dominio. Entonces f y g son equivalentes si, y sólo si, tienen la misma gráfica. Demostración. Caminos equivalentes tienen, necesariamente, la misma gráfica. Para demostrar el recíproco, supongamos que f y g tienen la misma gráfica. Puesto que f es uno a uno y continua en el conjunto compacto [a, b], en virtud del teorema 4.29 sabemos que f- existe y es continua en su gráfica. Definamos u(t) = f*[g(1)] si + E [c, d]. Entonces u es continua en [c, d] y g(1) = f[u(?)]. El lector podrá comprobar fácilmente que u es estrictamente monótona, y que por lo tanto f y g son caminos equivalentes. EJERCICIOS Funciones 6.1 6.2 de variación acotada Determinar cuáles de las siguientes funciones son de variación acotada en [0, 1]. a) f(x) = ** sen (1/x) si x- 0, f(0) = 0. b) f() = Vx sen (1/x) si x+£0, f(0) =0. Una función f, definida en [a, b], verifica una condición uniforme de Lipschitz de orden « > 0 en [a, b] si existe una constante M >0 tal que |f(x) — fG)| < M|x — y|* para todo x e y de [a, b]. (Comparar con el ejercicio 5.1.) a) b) c) Si f es una tal función, probar que « > 1 implica que f es constante en [a, b], mientras que y = 1 implica que f es de variación acotada en [a, b]. Dar un ejemplo de una función f que satisfaga una condición uniforme de Lipschitz de orden « < 1 en [a, b] tal que f no sea de variación acotada en [a, b)]. Dar un ejemplo de una función f que sea de variación acotada y que; sin embargo, no satisfaga ninguna condición uniforme de Lipschitz en [a, b]. 6.3 Probar que una función polinómica f es de variación acotada en todo intervalo compacto [a, b]. Describir un método que permita calcular la variación total de f en [a, b] conociendo los ceros de la derivada f. 6.4 Un conjunto no vacío S de funciones reales definidas en un intervalo [a, b] se llama espacio vectorial de funciones si verifica las siguientes propiedades: a) Si fCS, entonces cf E S para cada número real c. b) Si fES y gE'S, entonces f + gES. El teorema 6.9 demuestra que el conjunto Y de todas las funciones de variación acotada en [a, b] constituye un espacio vectorial. Si S es un espacio vectorial que con- 166 Funciones de variación acotada y curvas rectiticables tiene todas las funciones monótonas en [a, bl, probar que Y C'S. Este resultado puede enunciarse diciendo que las funciones de variación acotada constituyen el menor espacio vectorial que; contiene a todas las funciones monótonas. 6.5 Sea f una función real definida en [0, 1] tal que f(0) > 0, f(x)* x para todo x, y fx) < f(y) siempre que x <y. Sea A = (x:f(x) > x). Probar que sup AEA y que f(1)> 1. 6.60 Si f está definida en todo R', entonces se dice que f es de variación acotada en (—o, +o0) si f es de variación acotada en cada intervalo finito y si existe un número positivo M tal que Y,(a, b) < M para todo intervalo compacto [a, b]. La variación total de f en (—o, +0>>0) es, entonces, el supremo de todos los múmeros V¡(a, b), —m<a< b< +07, y se designa por V ,(—o, +00). Definiciones análogas se aplican a los intervalos infinitos semiabiertos [a, +00) y (—oo, bl. a) Establecer y demostrar para el intervalo infinito (—o, +00) teoremas análogos a los teoremas 6.7, 6.9, 6.10, 6.11 v 6.12. Demostrar que el teorema 6.5 es cierto para (—oo, +00) si «monótona» se sustituye por «monótona y acotada». Establecer y demostrar una modifica- b) 6.7 ción análoga para el teorema 6.13. Supongamos que f es una función de variación acotada en [a, b] y sea P Como es usual, escribimos A(P) = Los = *[Xº, x1,...,x,,)€?[a, b]. Af,. = f(x,) — fQr- ), K = 1, 2, (k: Af > 0, B(P) = (K: Añ ..., n. Definimos < 0). números Pr(a, b) = sup : 2 Af : P e Pfa, b] ) keA(P) ngla, b) = sup [ z Af| : P e Pfa, b]: keB(P) se llaman, respectivamente, variaciones positivas y negativas de f en [a, b]. Para cada x de (a, b], sean V(x) = Y(a, x), plx) = pr(a, x), n(x) = n,(a, x), y Ví(a) = p(a) = n(a) = 0. Demostrar que se tiene: a) Y(x) = p(x) + n). b) 0 < p(x) < Y(x) y 0 < n(x) < Y(x). C) p y n son crecientes en [a, b]. d) f(x) = f(a) + p(x)— n(x). teorema 6.13.) (La e) 2(x) = V(x) + f(x) — f(a), parte (d) da una mnueva — 2n(x) = Y() — f) + demostración del a). f) Cada uno de los puntos de continuidad de f es también un punto de continuidad de p y de n. Funciones de variación acotada y curvas rectificables 167 Curvas 6.8 Sean f y g funciones f(e) = e? a) 6.9 complejas definidas site [0,1], como sigue: 0(1) = e" si t € [0,2]. Demostrar que f y £ tienen el mismo grafo pero en cambio, con la definición de la sección 6.12, no son equivalentes. de acuerdo b) Probar que la longitud de g es el doble que la de f. Sea f un camino rectificable de longitud L definido en [a, b], y supongamos que f no es constante en ningún subintervalo gitud de arco dada por s(x) = A+(a, x) si a) Probar que s-! existe y es continua b) Definir g(t) = f[s-1(1)] si 1 € [0, L] y de [a, b]. Si s designa la función lona< x<b, y s(a) = 0. en [0,. Li. probar que g es equivalente a f. Dado que f(1) = g[s(/)], la función g nos proporciona una representación de la gráfica de f que tiene por parámetro la longitud de arco. 6.10 Sean f y g dos funciones reales continuas y de variación acotada definidas en [a, b], con 0 < f(x) < ¿(x) para cada x de (a, b), f(a) = e(a), f(b) = ¿(b). Sea h la función compleja definida en el intervalo [a, 2b — a] como sigue: a) b) c) h) = 1 + if(1), sia<!<b, h(t) = 2b — 1 + 19(2b — »), sib<1<2b-—a. Demostrar Explicar que por entre f, e2 y h. Demostrar / describe una medio de un rectificable I. las relaciones <x<b, existentes fx) <y < 9(x)) es una región del plano R? cuya frontera es la curva T. Sea H la función compleja definida en [a, 25 —a] como sigue: H(t) = £ + 4i [9(25 — 1) — fQb — 1)], Probar que la región H describe una So = (x,D:a < x <b, sia<r<b, Á H(t) = t — +i [9(1) — f(1)], e) geométricas que el conjunto de puntos S = (X, »»:a d) curva dibujo curva f sib<1r<2b-—a. rectificable 1', que es la frontera de - 90 < 2y < 9(x) — f- Probar que S, posee al eje de las abscisas como eje de simetría. (La región S, se llama la simetrización de S con respecto al eje de las abscisas.) f) Probar que la longitud de T', no excede a la longitud de T'. 168 Funciones Funciones absolutamente de variación acotada y curvas rectificables continuas Una función real f definida en [a, b] se llama absolutamente continua en [a, D) si, para cada < > 0, existe un 8 > O tal que Y. 16 — Fal <e k=1 para cada n subintervalos abiertos disjuntos (a;, b;) de [a, b], n = 1, 2, ..., tal que la suma de sus longitudes 3x-1 (b — a,) sea menor que 6. Las funciones absolutamente continuas intervienen en la teoría de la integración y diferenciación de Lebesgue. Los ejercicios propuestos a continuación dan algunas de sus propiedades elementales. 6.11 Probar que cada función absolutamente variación acotada en [a, b]. continua en [a, b] es continua y de NOTA. Existen funciones continuas y de variación acotada que no son absolutamente continuas. 6.12 Probar que f es absolutamente continua si satisface una condición uniforme de Lipschitz 6.13 de orden 1 en [a, b]. (Ver ejercicio 6.2.) Si f y g son absolutamente continuas en [a, b], probar que cada una de las siguientes funciones también lo es: |f|, cf, (c constante), e está acotada en valor absoluto por un número REFERENCIAS 6.1 6.2 SUGERIDAS PARA f+¿2, f-g; mayor que cero. POSTERIORES además f/g si ESTUDIOS Apostol, T. H., Calculus, Vol. 1, 22 ed. Ed. Reverté, S. A. Barcelona, Bogotá, Buenos Aires, Caracas, México. Natanson, I. P., Theory of Functions of a Real Variable, Vol. 1, ed. rev. Traductor, Leo F. Boron. Ungar, New York, 1961. CAPÍTULO 7 La integral de Riemann - Stieltjes 7.1 INTRODUCCIÓN El Cálculo trata principalmente dos problemas geométricos: encontrar la tangente a una curva, y hallar el área limitada por una curva. El primero se resuelve por medio de un paso al límite, conocido con el nombre de diferencia- ción; el segundo, por medio de otro paso al límite —la integración— del que trataremos ahora. El lector recordará que en el Cálculo elemental para hallar el área de una región limitada por la gráfica de una función positiva f definida en [a, bl, dividíamos el intervalo [a, b] en un cierto número de subintervalos, por ejem- plo n, designando por medio de Ax; la longitud del intervalo k-ésimo, y considerábamos las sumas de la forma $-1 f(1,) - Axx, en donde 7 designa un cierto punto del intervalo k-ésimo. Una suma de este tipo es una aproximación, me- diante rectángulos, del área que intentamos calcular. Si f es una función con comportamiento suficiente regular en [a b] —por ejemplo, continua—, entonces cabe la esperanza de que estas sumas tengan un límite cuando n — oo, si hace- mos las subdivisiones cada vez más finas. Lo expuesto es lo que constituye, hablando grosso modo, la definición de Riemann de la integral definida (? f(x) dx. (Más adelante daremos una definición precisa.) Los dos conceptos, derivada e integral, se presentan por caminos verdaderamente diferentes y es un hecho realmente notable que resulte que ambos con- ceptos están íntimamente relacionados. Si consideramos la integral definida de una función continua f como una función de su límite superior, es decir escribimos F(x) = rf<t) de, entonces F posee derivada y F'(x) = f(x). Este importante resultado prueba que, en un cierto sentido, la diferenciación y la integración son operaciones inversas. En este capítulo se estudia el proceso de integración con cierto detalle. En 169 170 La integral de Riemann-Stieltjes realidad consideramos un concepto más general que el de Riemann: a saber, la integral de Riemann-$Stieltjes, que involucra dos funciones f y «. El símbolo que utilizamos para designar tales integrales es f'; f(x) dalx), o alguno similar, y la integral de Riemann se obtiene como caso particular cuando u(x) = x. Cuando « tiene derivada continua, la definición es tal que la integral de Sieltjes l5 1) dalx) se convierte en la integral de Riemann [ f(x) «'(x) dx. Sin embargo, la integral de Stieltjes tiene sentido en el caso en que « no es diferenciable e incluso cuando no es continua. De hecho, es al tratar con funciones discontinuas % cuando se hace patente la importancia de la integral de Stieltjes. Eligiendo adecuadamente una función discontinua «, una suma finita o infinita puede expresarse como una integral de Stieltjes, y la sumación y la integral de Riemann ordinaria son casos especiales de este proceso más general. Los problemas físicos que consideran la distribución de masas que son en parte discretas y en parte continuas pueden ser abordados utilizando la integral de Stieltjes. En la teoría matemática de la probabilidad esta integral es un instru- mento muy útil que hace posible la consideración simultánea de variables aleatorias continuas y discretas. 'En el capítulo 10 estudiaremos otra generalización de la integral de Riemann, conocida con el nombre de integral de Lebesgue. 7.2 ÑNOTACIÓN Para abreviar establecemos ciertos convenios de notación y de terminología que se utilizarán a lo largo de este capítulo. Trabajaremos con un intervalo com- pacto [a, b] y, salvo advertencia explícita, todas las funciones designadas por f, g a, $, etc., se considerarán funciones reales definidas y acotadas en [a, b]. Las funciones complejas se tratarán en la sección 7.27, y las extensiones a fun- ciones no acotadas y a intervalos infinitos se desarrollarán en el capítulo 10. Como en el capítulo 6, una partición P de [a, b] es un conjunto finito de puntos, por ejemplo P = Xo, X1, ... , X), tal que a = x, < X, < ... < X_1 << Xy = b. Una partición P” de [a, b] es más fina que P (0 un refinamiento de P) si P< P”, que se expresa también escri- biendo P 2 P. El símbolo Axa; designa la diferencia Ac í Ad = «(x,) — «(xx_1), luego = a(b) — a(a). El conjunto de todas las posibles partitciones de [a, b] se designa por C[a, b]. La integral de Riemann-Stieltjes La norma 171 de una partición P es la longitud del mayor de los subintervalos de P y se designa por medio de ||P||. Obsérvese que P2P — implica — IP| < IPI. Esto es, los refinamientos de una partición hacen recíproco no se verifica necesariamente. 7.5 LA DEFINICIÓN DE LA INTEGRAL decrecer DE su norma, pero el RIEMANN-STIELTJES Definición 7.1. Sea P = [X,, X., ..., X,) Una partición punto del subintervalo [Xr_,, xr]. Una suma de la forma de [a, b] y sea t, un S(P, f, a) = ¡;f(tk) Ad se llama una suma de Riemann-Stielties de f respecto de «. Diremos que f es Riemann-integrable respecto de « en fa, b]l, y escribiremos «f E R(x) en [a, b]» si existe un número A que satisface la siguiente propiedad: para cada e > 0, existe una partición P, de [a, b] tal que, para cada partición P más fina que P, y para cada elección de los puntos t;, del intervalo [Xr_,, Xr], se tiene |S(P, f, a) — A| <. Cuando tal número A existe, es Único y se representa por medio de 1 fda o por medio de |2f(x) du(x). Diremos también que existe la integral de Riemann-Stieltjes (, f de. Las funciones f y « se denominan, respectivamente, integrando e integrador. En el caso particular en que «(x) = x, escribiremos S(P, f) en vez de S(P, f, a), y f E R en vez de f E R(x). La integral se llama, entonces, integral de Riemann y se desgina por |2f dx o por [ f(x) dx. El valor numérico de f2 f(x) da(x) depende exclusivamente de f, , a y b, y no depende en absoluto del símbolo x. La letra x es una «variable muda» y puede ser subs- tituida por cualquier otro símbolo conveniente. NOTA. Ésta es una de las diversas definiciones aceptadas de la integral de Rie- 7.4 PROPIEDADES mann-Stieltjes. Otra el ejercicio 7.3. definición (que no es equivalente a esta) se establece en LINEALES Es fácil demostrar que la integral opera de forma lineal tanto sobre el integrando como sobre el integrador. Éste es el sentido de los dos teoremas que siguen. 172 La integral de Riemann-Stielties Teorema 7.2. Si f E R(a) y si g € R(a) en [a, b], entonces c.f + c,g € R(x) en [a, b] (para todo par de constantes c, y c,) y se tiene í Demostración. escribir b (Cf + czg)da=clí Sea h =c,f +c,g. Dada S(P, h, ) = ¡; h(t,) Ad — CIS(P9.f: d) b fda+czí una partición = c ;f(tk) Ad + CZS(P9 g b g da. P de [a, b] podemos + C2 ¡; g(t) Ad (Z). Dado e > 0, elijamos P”, tal que P> P”, implique |S(P, f, «) — 2f del < , y elijamos P”, tal que P, P2 P”, implique |S(P, g, a)— 5 g de| < €. Si tomamos =P , UP",, entonces, para P más fina que P, se tiene b b |S(P,h,a)—cljfda—czÍ g de < Iclls + I62'89 a y esto prueba el teorema. Teorema 7.3. Si f E R(x) y f E RI(P) en [a, bl], entonces [a, b] (para todo par de constantes c, y c,) y se tiene bed(c1a + c,P) = e, íbfda f C R(c,a + c,6) en + C, bedB. La demostración es análoga a la del teorema 7.2 y se deja como ejercicio. Un resultado en cierta manera análogo a los dos teoremas anteriores nos dice que la integral también es aditiva con respecto al intervalo de integración. Teorema 7.4. Supongamos que c E (a, b). Si dos de las integrales de (1) existen, entonces la tercera también existe y además se tiene chda+íbfda=íbfda. Demostración. Si P es una partición de [a, b] tal que c EP, P =P a,c| y (1) sean P" =P|cbl, La integral de Riemann-Stieltjes 173 las particiones correspondientes a [a, c] y a [c, b], respectivamente. Las sumas de Riemann-Stieltjes asociadas a estas particiones están ligadas por la ecuación S(P,J ) = SPFJ 0) + SPF 0). Supongamos que (e f de e [? f dn existen. Entonces, dado ¿ > 0, existe una partición P”, de [a, c] tal que SP f, a) — chda E < 5 . , siempre que P” sea más fina que P”,, a y una partición P”, de [c, b] tal que 8 IS(P”9f9 a) — Íbfdd < 5 . siempre que P" " sea más 7 fina que P”.. 1A c Entonces P, = P , UP”, es una partición de [a, b] tal que si P es más fina que P, se verifica P 2 P,' y P”> P,”. Luego, si P es más fina que P., podemos combinar los resultados precedentes para obtener la desigualdad S(P,f,a)—chda—íbfda < E. Esto demuestra que l% f de existe y es igual a [c f de + Y f da. El lector puede verificar fácilmente que un razonamiento análogo prueba el teorema en los casos restantes. Utilizando la inducción matemática, podemos demostrar un resultado parecido para una descomposición de [a, b] en un número finito de subintervalos. NOTA. El tipó de razonamiento utilizado anteriormente no permite demostrar que la integral fc f de exista siempre que | f de existe. La conclusión es, sin embargo, correcta y en el caso de integradores « de variación acotada, este resultado será demostrado más adelante en el teorema 7.25. Definición 7.5. Si a < b, definimos f3 fda = — If,' fda ( f da. Definimos también [afde =0. siempre La ecuación del teorema 7.4 puede, entonces, escribirse como íbfda+ícfda+íafda=0. que sigue: exista 174 7.5 La INTEGRACIÓN POR integral de Riemann-Stieltjies PARTES En las integrales de Riemann-Stieltjes existe una notable relación entre el integrando y el integrador. La existencia de [? f de implica la existencia de _Íf'. « dí, y el recíproco también es cierto. Además, entre ambas integrales se verifica una relación muy sencilla. Teorema 7.6. Si f E R(x) en [a, b], entonces a« E R(f) en [a, b] y se tiene í 1) dalx) + j - 0) dfo) = fb)46) — Haxaa). b NOTA. Esta ecuación, que expresa una cierta ley de reciprocidad para la integral, se conoce con el nombre de fórmula de integración por partes. Demostración. Sea e > 0 un número real dado. Como que ff,' f de existe, habrá un partición P, de [a, b] tal que para cada P” más fina que P., tenemos |S(P',f, a) — íbfda < E. (2) Consideremos una suma de Riemann-Stieltjes arbitraria para la integral |2 « df, por ejemplo S(P, a, f) = 2 al(ty) Af = Z A — ,; ()1 - en donde P es más fina que P,. Si hacemos 4 = f(b)«(b) — f(a)x(a). tendremos la identidad A Restando = las dos últimas ;f(xk)ºº(xk) ecuaciones A — S(P,%1) = Y Sa) k= — ;f(xk-1)a(xk-1)- obtendremos — a(1)] + 21 = [a0t) — Cxi-1)]- Las dos sumas de la derecha pueden combinarse en una sola suma de la forma S(P”, f, %), en donde P” es la partición de [a, b] obtenida juntando los pun- La integral de Riemann-Stielties 175 tos x; y tr. Entonces P” es más fina que P y por lo tanto más fina que P,. Luego, la desigualdad (2) es válida y ello significa que tenemos A—S(P,a,f)—J'bfda siempre que P sea más y vale A —I3fdo¿. 7.0 fina que P,. Pero CAMBIO DE VARIABLE EN UNA DE RIEMANN-STIELTJES < E, esto nos asegura que (? « df existe INTEGRAL Teorema 7.7. Sea f E R(x) en [a, b] y sea g una función continua estrictamente monótona definida en un intervalo S de extremos c y d. Supongamos que a = gc), b = ad). Sean h y $ las funciones compuestas definidas como sigue: h) =SL96)], 820 = al9()], si xES. Entonces h E R($) en S y tenemos que [? f da = (h df. Esto es, J f() do(t) = Í SI9c9)] dfolaC]). 9(d) d a(c) c Demostración. Para precisar supongamos que g es estrictamente creciente en $. (Ello implica c < d.) Entonces g es uno a uno y posee una inversa g-! continua y estrictamente creciente en [a, b]. Por lo tanto, a cada partición P = [Yo» ---. Ya) de [c, dl, corresponde una y sólo una partición P” = (x,, ...., Xn) de [a, b] con x; = 2(y,). De hecho, podemos escribir P =gP) y P=2"(P). Además, un refinamiento de P produce un refinamiento correspondiente de P”, y recíprocamente. Dado e > 0, existe una partición P”, de [a, b] tal que P” más fina que ?P, implica |S(P”, f, «) — lé f de| < e. Sea P, = g-(P”) la partición de [c, d] correspondiente, y sea P = (y,, ..., Y,) Una partición de [c, dj más fina que P,. For- memos una suma de Riemann-Stieltjes S(P, h, $) = 2 h(uy) ABr, 176 en La integral de Riemann-Stieltjes la que u E yr 1. y.1 y AR = P0r) — PO ). Si hacemos + = g(u,) y X = 2(7r), entonces P” = (x,, ..., X,) es uUna partición de [a, b] más fina que P”,. Además, tenemos entonces S(P, h, B) = ;f[g(uk)]ía[g(yk)] — e[g9(7-)I = ,;f(tk)ía<xk> — aXy-1)) = SQP”,£, 0), ya que t; € [Xx-., Xr]. Por lo tanto, |S(P, h, 6) — [2f de| < < y el teorema está demostrado. NOTA. Este teorema se aplica en particular a las integrales de Riemann; esto es, cuando «u(x)= x. Otro teorema de este tipo, en el que no se requiere que g sea monótona, será demostrado más adelante para las integrales de Riemann. (Ver teorema 7.36.) 7.7 HREDUCCIÓN A UNA INTEGRAL DE RIEMANN El teorema que sigue nos dice que podemos reemplazar el símbolo d«u(x) por (x) dx en la integral [? f(x) dx(x) siempre tinua. que « posea una derivada a con- Teorema 7.8. Supongamos que f E R(x) en [a, b] y supongamos que « posee una derivada « continua en [a, b]. Entonces la integral de Riemann _ÍZ fx) a'(x) dx existe y se verifica b b í f(x) dalx) = í fOxa"(x) dx. Demostración. Sea g(x) = f(x)x (x) y consideremos una suma de Riemann S(P, 9) = Z (1) Ax; = k;f(tk)a'(tk) Axk. La misma partición P y la misma elección de los t, puede utilizarse para formar la suma de Riemann-Stieltjes S(P,f, a) = k;f(tk) Aoy. La integral de Riemann-Stieltjes 177 Aplicando el teorema del valor medio, podemos escribir Ad = a (v,) Ax;, en donde v; E (Xx_., X5. y por lo tanto, S(P, f, Y) — SEP, 9) = ,;f(tk>[a'(vk> — () Axe. Dado que f está acotada, tenemos |f(x)|) < M para todo x de f[a, b], siendo M > 0. La continuidad de ' en [a, b] implica la continuidad uniforme en [a, b]. Por lo tanto, dado e > 0, existe un 8 > O (que sólo depende de ) tal que 0 < |x| — y| < ó implica imp laa(x) (x) —a' (I < 2M(6 8 — a) . Si tomamos una partición P”, de norma ||?”,|| < 8, entonces para cada partición más fina P tendremos que |(v1) — « (tX)| < e/[2M(b — a)] en la ecuación pre- cedente. Para tal partición P tenemos, pues, IS(P, S, a) — SP, 9)I < ; Por otro lado, puesto que f E-R(x) en [a, b], existe una partición P", tal que si P es más fina que P”, se tiene SP f, a) — va f de < E —. 2 Combinando estas dos últimas desigualdades, vemos que cuando P es más fina que P, = P U P”, tenemos |S(P, g) — [? f da| < <, y esto completa la demostración. NOTA. Un resultado más fuerte que no requiere la continuidad de « se demues- tra en el teorema 7.35. 7.8 FUNCIONES ESCALONADAS COMO INTEGRADORES S1 « es constante en todo el intervalo [a, b], la integral _Í2 f de existe y vale 0, ya que cada suma S(P, f, «) = 0. Sin embargo, si « es constante excepto en un punto en el que presenta una discontinuidad de salto, la integral [? f de no tiene por qué existir y, si existe, no tiene por qué valer cero. Una descripción más completa la da el siguiente teorema : 178 La integral de Riemann-Stieltjes Teorema 7.9. Dados a < c < b, definimos « en [a, b] como lores «(a), «(c), a(b) son arbitrarios: a(x) = a(a) alx) = a(b) sigue: Los: va- si a<x<ec, si C <ÓxX<D. Sea f una función definida en [a, b] de manera que una por lo menos de las funciones f o % sea continua a la izquierda de c y una por lo menos lo sea a la derecha de c. Entonces f E R(x) en [a, b] y se tiene J f de = floo(e+) — o(c—). NOTA. El resultado es válido si c = a, con tal de que escribamos «a(c) en lugar de a(c—), y es válido para c = b si escribimos «(c) en lugar de «(c+). Más adelante demostraremos (teorema 7.29) que la integral no existe si f y « son discontinuag a la derecha o a la izquierda de c. Demostración. Si c E P, cada término de la suma S(P, f, ) es cero excepto en los dos términos procedentes del subintervalo separado por c; así SUP, H a) = F- 1)La(c) — a(c—)] + Atla(c+) — a(o)], en donde 1y , <c <t;. Esta ecuación se puede escribir también: A = J(%k-1) — FILa(A) — a(e—)] + A — FILA(C+) — AC en donde A = S(P, f, a) — f(O[a(c+) — a(c—)]. Por lo tanto tenemos JA| < 1(%-1) — FO A(e) — a(c— ) + 150) — FO HAC+) — ADSi f es continua en c, para cada e > 0 existe un 8 > 0 tal que |P|| < 8 implica -1 -A <e y — K-O <e En este caso, obtenemos la desigualdad JA| < ela(c) — a(c—)I + ela(c+) — a). Pero esta desigualdad es legítima tanto si f es continua en c como si no lo es. Por ejemplo, si f es discontinua a la derecha y a la izquierda de c, entonces La integral de Riemann-Stieltjes 179 a(c) = a(C—) y alc) = c+) y obtenemos A = 0. Por otra parte, si f es continua a la izquierda pero discontinua a la derecha de c, deberá verificarse a(c) = a(c+) y obtendremos |A| < e la(c) — a(c—)|. Análogamente, si f es con- tinua a la derecha y discontinua a la izquierda de c, tendremos «(c) = «(c—) y |A| << |a(c+) — ao)|. Por lo tanto, la última desigualdad escrita se verifica en todos los casos. Esto termina Ejemplo. El teorema la demostración. 7.9 nos dice que el valor de la integral de Riemann-Stieltjes puede ser alterado cambiando el valor de f en un solo punto. Los ejemplos que siguen muestran además tales cambios. Sea que la existencia de la integral puede a(lx) = O, si Sa) si-l<x<+1. =1, XY £ 0, a(0) = resultar afectada por —1, En este caso, el teorema 7.9 implica [!, f da = 0. Pero si volvemos a definir f de tal manera que f(0) =2 y f(x) =1 si x—0, se ve fácilmente que f!1, fda no existe. Efectivamente, división, obtenemos si P es una S(P, L a) = F — integral. Para probar esto que contiene a 0 como punto de sub- [alx,) — a(0)] + F1) [a(0) — alx,—>)] f(tk) en donde *r-2 < Mk-1 < 0 < la elección de 1y y t;_,. Por en una integral de Riemann número finito de puntos sin partición — f(tk—l)a 1y < X. El valor de esta suma es 0, 1 ó —1, según lo cual !, f da no existe en este caso. Sin embargo, (? f(x) dx, podemos cambiar los valores de f en un que ello afecte ni a la existencia ni al valor de la basta considerar el caso en que f(x) =0 para todo x de [a, b], excepto para un punto, por ejemplo x = c. Para una tal función es obvio que |S(P, P| < I)| |IP||. Puesto que ||P|| puede hacerse tan pequeño como se quiera, hemos probado que ?? f(x) dx = 0. 7.9 REDUCCIÓN DE UNA INTEGRAL A UNA SUMA FINITA DE RIEMANN-STIELTJES El integrador « del teorema 7.9 es un caso particular de una clase importante de funciones conocidas con el nombre de funciones escalonadas. Estas funcio- nes son constantes en todo el intervalo salvo para un número finito de discontinuidades de salto. Definición 7.10 ( función escalonada). A una función « definida en [a, b| se le llama función escalonada si existe una partición a= X, < X, << X, =D 180 La integral de Riemann-Stieltjes de modo que « sea constante en cada subintervalo abierto (Xx_., Xr). Al número aAlXr+) — a(X,—) se le llama el salto en x; si 1 <<k<n. El salto en x, es alx, +) — a) » en Xn ES a(xn)_'º¿(xn—)º Las - funciones escalonadas establecen conexión mann-Stieltjes y las sumas finitas: Teorema 7.11 (Reducción de una integral de Riemann-Stieltjes suma finita). Sea « una función en Xx, en donde escalonada X1, ... son las entre las integrales de Rie- a una definida en [a, b] con salto ur Xa descritas en la definición 7.10. Sea f una función definida en [a, b] tal que f y « no sean ambas discontinuas a la derecha o a la izquierda de cada x;. Entonces [% f de existe y se tiene J 109 dal) = Y Fesda Demostración. Por el teorema 7.4, j3fdo¿ puede tegrales del tipo considerado en el teorema 7.9. escribirse como suma de in- Una de las funciones escalonadas más simple es la función parte entera. Su valor en x es, precisamente el valor del mayor entero menor o igual que x y se designa por [x]. Así pues, [x] es el único entero que satisface las desigualdades [x] < x < [x] + 1. Teorema 7.12. Cada suma finita puede expresarse como una integral de Riemann-Stieltjes. De hecho, dada una suma finita 3 x- ¡ ax, definimos f en [0, n] como sigue: 1x) =ax si k—1<x<k (k=1,2, ..., n), f(0)=0. Entonces » a= en donde [x] es el mayor Demostración. k=1 22109 = í " 109 díl, entero < x. La función parte entera es una función escalonada continua por la derecha. y con salto igual a 1 en cada entero. La función f es continua por la izquierda en 1, 2, ..., n. Basta aplicar el teorema 7.11. La integral de Riemann-Stieltjes 7.10 FÓRMULA DE SUMACIÓN 181 DE EULER Utilizaremos las integrales de Riemann-Stieltjes para obtener una fórmula notable conocida con el nombre de fórmula de sumación de Euler, que relaciona la integral de una función en un intervalo [a, b] con la suma de los valores de la función en los puntos enteros de [a, b]. Se utiliza a veces para aproximar integrales mediante sumas 0, recíprocamente, para estimar los valores de ciertas sumas por medio de integrales. Teorema 7.13 (Fórmula de sumación tinua f en [a, b], entonces se tiene de Euler). Si f posee derivada con- Y 1) = J 10 de + í 1 ((69) dx + SA — SOX)). a<n<b en donde ((x) = x — [x]. Si a y b son enteros, se obtiene — a- %) » 110 J; 0) 2 1(1) = Lb f dx + Lbf,(x) (x NOTA. 2:a<n<b Demostración. significa la suma desde n = [a] + 1 a n = [b]. Aplicando el teorema 7.6 (integración por partes), tenemos Í S) d(x — [Lx]) + í (x — [x]) dfí(x) = SC5Xb — [b]) — S(aXa — [a]). Puesto que la función parte entera posee saltos unidad en los enteros [a] + 1, [a] + 2, ..., [b], podemos escribir j 101 = E 0. Si combinamos esta igualdad con la ecuación anterior, el teorema se deduce inmediatamente. 7.11 INTEGRADORES MONÓTONOS CRECIENTES. INTEGRALES SUPERIOR E INFERIOR La teoría de la integración de Riemann-Stieltjes la desarrollaremos desde ahora para integradores monótonos crecientes, y veremos más adelante (en el teore- 182 ma La integral de Riemann-Stieltjes 7.24) que esto es tan general como variación acotada. estudiar la teoría para integradores de Cuando « es creciente, las diferencias Ax; que aparecen en las sumas de Riemann-Stieltjes son todas ellas no negativas. Este hecho tan simple juega un papel esencial en el desarrollo de la teoría. Por brevedad, utilizaremos la abreviatura «27 en [a, b]» para indicar que «z es creciente en [a, b)». Como establecimos anteriormente, para hallar el área de la región limitada por una función se consideran las sumas de Riemann Sf(1-)Ax, como aproximaciones al área por medio de rectángulos. Tales sumas aparecen también en ciertos problemas físicos que requieren para su resolución el uso de integrales. Otro método de aproximación a estos problemas se obtiene al considerar las sumas A T Figura .u 4) (« , l 7.1 superior e inferior de Riemann. Por ejemplo, en el caso de las áreas, podemos considerar aproximaciones por «exceso» y por «defecto» mediante las sumas >MiAxk y >mrAxx, en donde M;, y m;, designan, respectivamente; el sup y el ínf de los valores de la función en el k-ésimo subintervalo. Nuestra intuición geométrica nos dice que las sumas superiores son por lo menos tan grandes como el área a determinar, mientras que las sumas inferiores no pueden exceder a dicha área. (Ver Fig. 7.1.). Por lo. tanto, parece natural preguntarse : ¿Cuál es el menor valor posible de las sumas superiores? Esto nos lleva a considerar el ínf de todas las sumas superiores, que es un número real llamado la integral superior de f. La integral inferior se define análogamente como el sup de todas las sumas inferiores. Para funciones razonables (por ejemplo, para funciones continuas) estas dos integrales son iguales a [? f(x) dx. Sin embargo, en general, estas integrales son diferentes y plantean un problema verdaderamente importante: el de hallar condiciones relativas a la función para que las integrales superior e inferior coincidan. Trataremos ahora este tipo de problema para las integrales de Riemann-Stieltjes. La integral de Riemann-Stielties Definición 7.14. Sea P una partición de (a, b] y sea Myf) = sup U(x): x e [Xx-1> Xel); m S) = Los 183 inf (x): x e [Xr-1> Xx])- números U(P, f, a) = Z Myf) An — se llaman, respectivamente, sumas pecto a « para la partición P. NoTA. Se verifica > 0 y podemos — LEP,fo0= kZ M S) Ac, superior e inferior siempre m(f) < escribir también y M(f). Si «7 que my(f)Aau de Stietjes de f con res- en [a, b], entonces Ax; > < Mi(f)Axx, de lo que se sigue que las sumas inferiores no exceden nunca a las sumas superiores. Además, si tr C [Xk-1 Xx], entonces MAS) < J) < MU). Por lo tanto, cuando « 7, tenemos las desigualdades L(P,f, a) < SP, f, a) < UP, f, y) que relacionan las sumas superior e inferior con las sumas de Riemann-Stiel tjes. Estas desigualdades, que utilizaremos frecuentemente en lo que sigue, no tienen por qué verificarse si % no es una función creciente. El siguiente teorema prueba que para « creciente, un refinamiento de la partición aumenta las sumas inferiores y disminuye las sumas superiores. Teorema 7.15. Supongamos que a« 7 en [a, b]. Entonces: 1) Si P” es más fina que P, tendremos U(P', f a) < UP, f a) y L(P',f ) > LP, f a). i1) Para cada par de particiones P, y P,, tendremos L(P.,f, 0) < U(P>,f, )Demostración. Es suficiente probar (1) cuando P” posee sólo un punto más que P, por ejemplo c. Si c está en el subintervalo ¿-ésimo de P, podemos escribir U(P', f, a) = ,; Myf) A kFi + M'[a(c) — a(x;-)] + M'Talx) — ao)], 184 La en donde M' y M” Pero, dado que integral de Riemann-Stieltjes designan, respectivamente el sup de f en [x;_., c] y fc, x;]. M <Mif) y M'<M( se tiene U(P”, f, «) < U(P, f, «). (La desiguadad existente entre las sumas inferiores se demuestra análogamente.) Para probar (11), sea P = P, UP,. Se tiene entonces L(P.,f, a) < LUP,f, a) < U(P,f, a) < NoTa. De este teorema se sigue también (para « creciente) m| a(b) — a(a)] < L(P,, en donde U(P,, f a). £ a) < UP,, £ a) < M [x(5) — a(a)], M y m designan el sup y el ínf de f en [a, b]. Dejinición 7.16. Supongamos que a 7 en fa, b]. La integral superior de Stieltjes de f respecto de « se define como sigue: íbfda = inf (U(P, f, a) : P e F[a, b |). La integral inferior de Stietjes se define análogamente: b 'í f da = sup L(P, f, a) : P e I[a, b]). NoTA. A veces escribiremos I(f, «) e I(f, «) para designar las integrales superior e inferior. En particular, si x(x) = x, las sumas superiores e inferiores se designan por U(P, f) y L(P, f) y se llaman las sumas superior e inferior de Riemann. Las correspondientes integrales, designadas Teorema 7.17. Supongamos que « 7 en [a, b]. Entonces If, x) < Tf, ). integrales superior e inferior de Riemann. por J. G. Darboux (1875). Demostración. Dado [% f(x) dx y [% f(x) dx, se llaman Fueron introducidas por primera vez e > 0, existe una partición P, tal que U(P,,f, a) < TF a) + ¿. La integral de Riemann-Stielties 185 Por el teorema 7.15, se tiene que I(f, «) + e es una cota superior de todas las sumas inferiores L(P, f, ). Por lo tanto, I(f, «) < T(f, «) + e, y, puesto que e es arbitrario, ello implica I(f, x) < I(f, <). Ejemplo. Es fácil dar un ejemplo en el que I(f, a) < I(, a). Sea a«(x) = x y defi- namos f en [0, 1] como f(x) = sigue: 1, si x es racional, f(x) = 0, si x es irracional. Entonces para cada partición P de [0, 1], tenemos M;(f) = 1 y m(f) = 0, ya que cada subintervalo contiene tanto racionales como irracionales. Por consiguiente, U(P, f) =1 y LUP, f) = O para toda P. Se deduce que, para [a, b] = [0, 11, tenemos rb Ífdx=l Obsérvese que se obtendría el mismo dex=0. resultado y f(x) = 1 cuando x es irracional. 7.12 b e si f(x) =0 cuando x es racional, PROPIEDADES ADITIVA Y LINEAL DE LAS INTEGRALES SUPERIOR E INFERIOR Las integrales superior e inferior gozan de muchas de las propiedades de la integral. Por ejemplo se tiene que b í e fda=ífda+J a a b f da, c sia <<c< b, y la misma igualdad se verifica en el caso de la integral inferior. Sin embargo, ciertas igualdades que se verifican con integrales se convierten en desigualdades cuando se reemplazan aquéllas por integrales superiores e inferio- AN r(f+g)da íbfdoz 1V res. Por ejemplo, se tiene [ b í(f+g)da +í b g da, b a+ígda. Estas observaciones puede verificarlas el lector sin ninguna dificultad. (Ver ejercicio 7.11.) 186 7.13 La integral de Riemann-Stieltjes CONDICIÓN DE RIEMANN Si esperamos que la integral superior y la integral inferior sean iguales, también debemos esperar que las sumas superiores sean tan próximas como queramos a las sumas inferiores. Parece pues natural buscar aquellas funciones f para las que la diferencia U(P, f, x) — L(P, f, «) puede hacerse arbitrariamente pequeña. Definición 7.18. Diremos que f satisface la condición de Riemann respecto de « en fa, b] si, para cada < > 0, existe una partición P, tal que si P es más fina que P, implica 0 < U(P, f, a) — LP, f, a) < €. Teorema 7.19. Supongamos que « 7 en [a, b]. Entonces las tres afirmaciones que siguen son equivalentes: 1) f € R(2) en fa, bl. 11) f satisface la condición de Riemann 111) 1(, %) = T(f, 2). Demostración. respecto de a en fa, b]. Probaremos que la parte (i) implica la parte (ii), que (1i) impli- ca (11i) y que (1i1) implica (i). Supongamos que se verfica (1). Si «(b) = «(a), entonces (ii) se verifica trivialmente, por lo tanto podemos suponer que a(a) < «(?). Dado e > 0, elegimos P, tal que para toda partición P más fina que P, y todas las elecciones de 7; y ,, en [Xk-.. Xx], se verifique k;f(rk) Ao, — A < E — 3 .1) Auy — A| <“,3 k=1 en donde A = f ':l f de. Combinando estas desigualdades, obtenemos 2 0) — 1091 An Dado que My(f) — m,(f) = sup (1(0)—f(x):x, cada h > 0 es posbile elegir t; y ,, tales que I) — SA > KS) X < 2 3 — . en [Xr-1.Xr]), se sigue que para — mUf) — h. La integral de Riemann-Stielties 187 y eligiendo h = 1e/[a(b) — «(a)] podemos escribir U(P, f, Y — LP, f, a) = E“ [M,(S) — mi(f)] Acy < Z [S() — FA)] An + h Z Ady < €. Por consiguiente (1) implica (ii). Supongamos ahora que (ii) se verifica. Dado e > 0, existe una partición P, tal que P más fina que P, implica U(P, f, «) < L(P, f, «) + €. Por lo tanto, para una tal P se tiene I(£ y) < UUP, £ a) < LEP, £, a) + e < Uf a) + €. Esto es, I(f, ) < I(f, ) + Pero en virtud del teorema lo tanto (ii) implica (111). Finalmente, supongamos común. Probaremos que f? tal que UP, f, «) < T(f, a) mo P”, tal que € para cada e > 0. Por consiguiente, I(f, «) < Nf, a). 7.17, tenemos también la desigualdad opuesta. Por que I(f, «) = I(f, «) y designemos por A dicho valor f de existe y es igual a A. Dado e > 0, elegimos P”, + < para toda P más fina que P”... Elegimos asimis- LP, f %) > I5, %) — € para toda P más fina que P",. Si P, = P, U P"., podemos escribir I(£a) — e < LP,, a) < SUP, f a) < U(P, f a) < T£ 4) + € para cada P más fina que P,. Pero dado que I(f, x) = T(f, v) = 4, se deduce que ISP, f, x) — A| < € siempre que P sea más fina que P,. Todo ello prueba que Jofdoa existe y es igual a A y la demostración 7.14 TEOREMAS DE del teorema queda concluida. COMPARACIÓN Teorema 7.20. Supongamos que a 7 en [a, b]. Si f € R(a) y g € R(a) en [a, b] y si f(x) < glx) para todo x de [a, bl, entonces tenemos Í fx) dalx) < Í g(x) da(lx). 188 La integral de Riemann-Stieltjes Demostración. Para cada partición P, las correspondientes sumas de RiemannStieltjes satisfacen S(P, f, a) = k;f(tk) Ady < 2 g(t) Aa, = S(P, 9, a), ya que « 7 en [a, b]. De lo que se deduce fácilmente el teorema. En particular, este teorema implica que [7 () da(x) > 0 siempre que g(x) > > 0 y a7 Teorema en fa, bl. 7.21. Supongamos que « 7 en [a, b]. Si f € R(x) en [a, b], entonces f| E R() en [a, b] y tenemos la desigualdad J f de| < Í 6 de(oo. b Demostración. b Utilizando la notación de la definición 7.14, podemos escribir MiÚS) — mÚ) = sup UC) — 0) : x, y ENPxp-1, Xi])- Dado que la desigualdad ||f(x)| — IF(I| < 1/G) — O| tenemos MA — mFD se satisface siempre, < MUP) — muf). Multiplicando ambos miembros por A27 y sumando respecto de K, se obtiene U(P, 1f1, «) — LEP, IFI, a) < UCP,J q) — LEP,£ 0)), para cada partición P de [a, b]. Aplicando la condición de Riemann, se obtiene que |f| € R(x) en [a, b]. La desigualdad del teorema se sigue haciendo g = |f| en el teorema 7.20. NotTa. El recíproco del teorema 7.21 es falso. (Ver ejercicio 7.12.) Teorema 7.22. Supongamos que ?* € R(x) en [a, bl. Demostración. Ultilizando M « 7 la notación = [M0I5D]* en [a, b]. Si f '€E R(a) en [a, bl, entonces de la definición y 7.14, tenemos mMS> = [mIL1)]?. La integral de Riemann-Stieltjes Por lo tanto podemos 189 escribir MS*) — m(S) = [M0US) + mOFSDIEMCA ) — m0IFD] < 2M| MfI) — m1F1)], en donde M designa una cota superior de |f| en [a, b]. Aplicando la condición de Riemann, la demostración queda terminada. Teorema 7.23. Supongamos que a7 en [a, b]. Si f '€E R(x) y g € R(x) en [a, b], entonces el producto f -g 'E R(a) en [a, b]. Demostración. Se utiliza el teorema 7.22 juntamente con la identidad 2)9() = L/() + 9607 — [O 7.15 INTEGRADORES DE VARIACIÓN — [90)]*. ACOTADA En el teorema 6.13 veíamos como toda función « de variación acotada en f[a, b] se podía expresar como diferencia de dos funciones crecientes. Si Y = 4%, — , es una tal descomposición y si f € R(a,) y f '€ R(a;) en [a, b], se sigue en virtud de la linealidad que f € R(c) en [a, b]. Sin embargo, el recíproco no siempre es verdadero. Si f E R(x) en [a, b], es posible elegir funciones crecientes «, y X, tales que a = , — ,, pero de tal manera que ninguna de las integrales f f de,, S f de, exista. La dificultad se halla, naturalmente, en el hecho de que la descomposición % = X, — , no sea Única. Sin embargo, es posibl. demostrar la existencia de una descomposición, por lo menos, para la cual el recíproco es verdadero a saber, cuando <«, es la variación total de « y a, = «, se la definición 6.8.) Teorema 7.24. mos por V(x) la Supongamos que ces f'E R(Y) en — . (Recuérde- Supongamos que « es de variación acotada en [a, b]. Designevariación total de « en [a, x] si a< x<b, y sea V(a) = 0. f está definida y acotada en [a, b]. Si f'E R(a) en [a, b], entona, b]. Demostración. Si V(b) = 0, entonces Y es constante y el resultado es trivial. Supongamos por lo tanto que Y(b) > 0. Supongamos además que |f(x)| < M si x E [a, b]. Como Y es creciente, basta demostrar que f satisface la condición de Riemann respecto de Y en [a, b]. 190 La integral de Riemann-Stieltjies Dado e > 0, elegimos P, tal que para todo refinamiento P y toda elección de puntos ; y f, en [xx_,, Xr] se verifique 2, 0) — k=1 — y — VO< E An| < 4 - AM l4 +—. Para P más fina que P, podemos establecer las dos desigualdades Y M () — m IA%I < — mNIAR — 1a) <>> y que, sumándolas, nos dan U(P, f, Y) — L(P, f, Y) < . Para demostrar la primera desigualdad, observemos que y por lo tanto í — mAPIAY, [M(S) — [Acl) 2M < ';1 (AY, — AV — |Aur| = 0 |Acl) - 2M <V(b) — Z |Aockl) < É 2 Para demostrar la segunda desigualdad, sea A(P) = (K : Au, > O B(P) = (k: Aa, < O), y sea h = 1e/V(b). Si k € A(P), elegimos ; y £7 tales que I) — S) > MUFS) — m(f) — h; pero, si k '€ B(P), elegimos Entonces t; y f7 tales que f(1) — f(tx) > Mf — m.(f) — h. Z [M:(S) - m(S)] ¡Ac] < Z() [S() — FT [Acal + keB(P) Y Y) — Sa [Aal + h k=1 Y [Aul Todo ello prueba que f € R(V) en [a, b]. D <=+h6)=5+ 4 4 | = Z [S() — F()] Aa + h Z JAc La integral de Riemann-Stieltjes 191 Nota. Este teorema (juntamente con el teorema 6.12) nos induce a reducir la teoría de la integración de Riemann-Stieltjes para integradores de variación acotada al caso de integradores crecientes. Entonces el criterio de Riemann es aplicable y nos proporciona un instrumento verdaderamente útil en nuestro trabajo. Como primera aplicación con el teorema 7.4. obtendremos un resultado íntimamente relacionado Teorema 7.25. Sea « de variación acotada en [a, b] y supongamos que f “E R (4) en la, b]. Entonces f'E R(%) en cada subintervalo [c, dl de [a, bl. Demostración. Sea V(x) la variación total de « en [a, x], con Y (a) = 0. Entonces 4 = Y — (V —), en donde tanto Y como Y —« son ambas crecientes en [a, b] (teorema 6.12). Por el teorema 7.24, f € R(7), y por lo tanto fE R(Y — ) en (a, b]. Por consiguiente, si el teorema es verdadero para integradores crecientes, se tiene que f:E R(V) en [c, d] y f '€ R(Y — x) en [c, d], luego f E R(4) en f[c, di. Por lo tanto, es suficiente demostrar el teorema cuando «7 en [a, b]. En virtud de teorema 7.4. es suficiente probar que cada una de las integrales ff de y Jf de existe. Supongamos que a < c < b. Si P es una partición de [a, x], sea A(P, x) la diferencia A(P, x) = U(P, £ a) — LUP, f a), de las sumas superior e inferior asociadas al intervalo [a, x]. Dado que f'E R(x) en [a, b], la condición de Riemann se verifica. Por lo tanto, dado e > 0, existe una partición P, de poner que c E ción P”, de fa, P =P UP, es [a, b] tal que A(B, b) < < si P es más fina que P,. Podemos suP,. Los puntos de P, que pertenecen a [a, c] definen una partic]. Si P es una partición de [a, c) más fina que P”,, entonces una partición de [a, b] obtenida juntando los puntos de P” con los puntos que P, posee en [c, b]. Ahora bien, la suma definida por A(P”, c) contiene sólo parte de los términos de la suma definida por A(P, término es > 0 y dado que P es más fina que P ., tenemos b). Como cada A(P', c) < A(P, b) < ¿. Esto es, P” más fina que P”, implica A(P”, c) < €. Por lo tanto, f satisface la condición de Riemann en [a, c] y [£ f de existe. El mismo argumento prueba naturalmente que 14 f de existe, y por el teorema 7.4 se sigue que | f de existe. El teorema, que sigue es una aplicación de los teoremas 7.23, 7.21 y 7.25. 192 La integral de Riemann-Stieltjes Teorema 7.26. Supongamos que f E R(x) y g € R(a) en [a, b], en donde en [a, b]. Definimos a 7 F(O) = j " f(0) da(t) G(x) = J “ 9(1) do(t) f x e [a, 6. Entonces f € R(G), g E RIF), y el producto f- g € R(a) en [a, b] y se tiene í " f0990) del = J " () 406 — í b 9(x) dF(X. Demostración. La integral f f-gda cada partición P de [a, b] se tiene existe en virtud del teorema 7.23. Para S(P, , 0) = Y 1a) í 9(1) dn(1) = Y> J * fa990) del), J 109900 dalx) = Y) J fD9(o) dao). Por consiguiente, si M, = sup (|2(X)|:x E [a, b]), tenemos |S(P S G6)— be-g de 2 j U — SO9(1) do(t) A < M, » í * 900 — FO da(o) < M, Y) J [M.(f) — mf)] de(t) MÁU(P, f, a) — L(P, f oc)). Puesto que fE R(a), para cada e > 0 existe una partición P, tal que P más fina que P, implica U(P, f, x) — L(P, f, «) < €. Ello demuestra que f € R(G) en [a, b] y que f f-g de = [ f dG. Un razonamiento análogo prueba que g € R(F) en [a, b] y que f f-g de = f g aF. NOTA. El teorema 7.26 es válido también si « es de variación acotada en [a, b]. La integral de Riemann-Stieltjes 7.1466 193 CONDICIONES SUFICIENTES PARA LA EXISTENCIA DE LAS INTEGRALES DE RIEMANN-STIELTJES En la mayoría de los teoremas anteriores hemos supuesto que ciertas integrales existian y hemos estudiado entonces sus propiedades. Es natural que nos pre- guntemos: ¿Cuándo existirá la integral? Dos condiciones ramente útiles, responden a esta pregunta. suficientes, verdade- Teorema 7.27. Si f es continua en [a, b] y si « es de variación acotada en [A, b], entonces f E R(4) en [a, b]. NOTA. En virtud del teorema 7.6, se obtiene una segunda condición suficiente al intercambiar f y « en la hipótesis. Demostración. Es suficiente demostrar el teorema para «7 con a(a) < a(b). La continuidad de f en [a, b] implica la continuidad uniforme, esto es dado e > 0 podemos encontrar un é > 0O (que depende tan sólo de €) tal que X — y| <ó implica |f(x) — SO| < e/A, en donde 4 = 2[a(b) — a(a)]. Si P, es una partición de norma tonces para P más fina que P, se tendrá Myf) — máf) < ¿JA, ya que Mf) —- mi(f) = sup f(X) — f():x, y en desigualdad por Ax; y sumando, se obtiene U(P.f a) — L(P,£a) < y por en [a, En guiente ||P.|| < 8, en- [r-1. xx]). Multiplicando la ka D An =< 2 k=1 lo tanto se verifica la condición de Riemann. Por lo tanto, f E R(ú) b]. particular, para u(x) = x, los teoremas 7.27 y 7.6 proporcionan el sicorolario: Teorema 7.28. Cada una de las siguientes condiciones es una'condición suficiente para que exista. la integral ? f(x) dx: a) b) f es continua en [a, bl. fes de variación acotada en [a, D. 194 7.17 La integral de Riemann-Stieltjes cCONDICIONES NECESARIAS PARA LA EXISTENCIA DE LAS INTEGRALES DE RIEMANN-STIELTJES Cuando « es de variación acotada en [a, b], la continuidad de f es suficiente para que exista la integral [? f da. Sin embargo, la continuidad de f en todo [a, b] no es necesaria. Por ejemplo, en el teorema 7.9 veíamos que, cuando la función « es escalonada, la función f puede definirse arbitrariamente en [a, b] con la condición de que f sea continua en los puntos de discontinuidad de «. El próximo teorema nos dice que, si queremos que la integral exista, debemos evitar las discontinuidades comunes tanto por la derecha como por la izquierda. Teorema 7.29. Supongamos que « 7 en [a, b] y sea a < c < b. Supongamos además que tanto « como f son discontinuas por la derecha en x = c; esto es, supongamos que existe un e > O tal que para cada 8 > O existen valores de x e y en el intervalo (c, c+5) para los que ) — FO = € la(y) — ac| = e. Entonces la integral Íf. fx) dalx) no existe. Tampoco existe integral si « y f son discontinuas por la izquierda en c. Demostración. Sea P una partición de [a, b] que contenga al punto c como punto de partición y consideremos la diferencia U(P, f, ) — L(P, f, a) = k=1 Y, [MS) — muF)] AcxSi el intervalo i-ésimo contiene al punto c como extremo izquierdo, entonces U(P,f, a) — L(P, f, a) > [MF) — mÁILa(x;) — a(0)1, ya que cada término de la suma es > 0. Si c es una discontinuidad por la derecha común, que podemos suponer a(x;:) — a(c)> e. Por que el punto .x; se ha elegido de tal manera consiguiente, M:i(f) — mi:(f) > e. Luego, las hipótesis del teorema implican U(P, f, 4) — L(P, £, a) > , y la condición de Riemann no puede verificarse. (Si c es un punto tinuidad por la izquierda común, el argumento es análogo.) de discon- La integral de Riemann-Stieltjes 7.18 TEOREMAS DEL VALOR DE RIEMANN-STIELTJES 195 MEDIO PARA LAS INTEGRALES Si bien las integrales aparecen en gran número y variedad de problemas, son relativamente pocos los casos en que el valor de la integral puede obtenerse explícitamente. Sin embargo, a menudo es suficiente disponer de una estimación de la integral más que de su valor exacto. Los teoremas del valor medio que se dan en esta sección son particularmente útiles para obtener tales estimaciones. Teorema 7.30 (Primer teorema del valor medio para integrales de Rie- mann-Stieltjes). Supongamos que « 7 y que f E R(x) en [a, b]. Si M y m designan, respectivamente, el sup y el inf del conjunto ff(x):x E [a, b]). Entonces existe un número real c que satisface m < c < M tal que íb f() dalx) = c Jv b du(x) = c[a(b) — a(a)]. En particular, si f es continua en [a, b], entonces c = f(x,) para cierto x, de [a, b]. Demostración. Si a(a) = (b), el teorema se verifica trivialmente, ya que ambos miembros son 0. Por lo tanto, podemos suponer que «(a) < «(b). Dado que todas las sumas superiores e inferiores verifican m| «(b) — «(a)] < LP, £ a) < U(P, £ a) < MTa(5) — «a)], la integral [? f de debe estar comprendida entre ambas cotas. Por consiguiente, el cociente c = (J f de)/( (* de) está comprendido entre m y M. Si f es continua en [a, b], el teorema de [a, b]. del valor intermedio hace que c = f(x,)) para algún x, Un segundo teorema de este tipo puede obtenerse a partir del primero, uti- lizando el método de integración por partes. Teorema 7.31 (Segundo teorema del valor medio para integrales de Riemann-Stieltjes). Supongamos que « es continua y que f7 en [a, b]. Entonces existe un punto x, en [a, b] tal que í "10 deo) = f(a) J * dao) + f06) j da(o). 196 La Demostración. Por el teorema integral de Riemann-Stieltjes 7.6, tenemos b b [ 109 de = s) — Sa) - J 0() df(>) a Aplicando el teorema 7.30 a la integral de la derecha, obtenemos J S) dalx) = Sa)Lalxo) — aa)] + F(BLa(b) — alxo)], en donde x, E [a, b], que es la afirmación que pretendíamos 7.19 LA INTEGRAL COMO FUNCIÓN DEL demostrar. INTERVALO Si f € R(x) en [a, b] y si « es de variación acotada, entonces (por el teorema 7.25) la integral [*f de existe para cada x de [a, b] y puede estudiarse como una función de x. Ahora de esta función. obtendremos algunas de las propiedades de Teorema 7.32. Sea % una función de variación acotada en [a, b] y supongamos que f E R(x) en [a, b]. Definimos F por medio de la ecuación F(x) = J f da, Entonces 1) 11) 111) se si x E [a, bl. tiene: F es de variación acotada en [a, b]. En cada uno de los puntos en los que « es continua, F también lo es. Si a7 en fa, bl, la derivada F'(x) existe en cada punto x de (a, b) en que A (X) exista y f sea continua. Para tales x, se tiene F(x) = S)) Demostración. implica que Es suficiente suponer que « 7 en [a, b]. S1 x -+ y, el teorema 7.30 F(y) — FG = J " f de = e[a(y) — (), en donde m < c< M (siguiendo la notación del teorema 7.30). Las afirmaciones (1) y (1i1) se siguen inmediatamente de esta ecuación. Para probar (iii), dividamos por y —x y observemos que c — f(x) cuando y >«x. La integral de Riemann-Stieltjes 197 Si juntamos el teorema 7.32 con el teorema 7.26 obtenemos el siguiente teorema que convierte una integral de Riemann de un producto f-g en una integral de Riemann-Stieltjes [? f dG con integrador continuo de variación acotada. Teorema 7. 33. Si fE R y 2E R F(x) = í fOdt, en fa, b], sean X 66 = í g(t) dt si x E a, bl. a Entonces F y G son funciones continuas y de variación acotada en [a, b]. Además, f E R(G) y g E RIF) en a, b], y tenemos J fODI0) de = í 10 d000) = í 9() 4FG9. b b b Demostración. Las partes (1) y (11) del teorema 7.32 prueban que F y G son continuas y de variación acotada en [a, b]. La existencia de las integrales y las dos fórmulas obtenidas para [? f(X)e(x) dx se siguen del teorema 7.24, al hacer a(x) = X. NOTA. Cuando a(x) = x, la parte (i11) del teorema 7.32 es a veces llamada primer teorema fundamental del cálculo integral. Establece que F'(x) = f(x) en cada uno de los puntos de continuidad de f. En el próximo apartado daremos un teorema, compañero del anterior, y que se conoce con el nombre de segundo teorema fundamental. 7.00 EL SEGUNDO INTEGRAL TEOREMA El teorema que sigue nos dice cómo Teorema 7.34 (El segundo FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO hay que integrar una derivada. teorema fundamental del Cálculo integral). Supongamos que f E R en [a, b]. Sea g una función definida en [a, b] tal que la derivada g' exista en (a, b) y cuyo valor sea g (x) = f() Supongamos y satisfacen además que, para cada x de (a, b). en los extremos, los valores g(a+) y g(b—) 9(a) — 9(a+) = 9(6) — 9(b—). existen 198 La integral de Riemann-Stieltjes Entonces se tiene que í f(9) de = j 9'(5) dx = 9(b) — g(a). b Demostración. b Para cada partición de [a, b], podemos escribir 9(b) — a(a) = 2 [90) — 90x-] = Z 9 (1) Axy = k;f(tk) Axp, en donde ¿; es un punto de (x_,, x,) determinado por el teorema del valor medio del Cálculo diferencial. Pero, para un e > 0, podemos tomar la partición suficientemente fina para que lg(b) — g(a) — J 100 d PEO Í f(9) d < E, y ello prueba el teorema. Combinando el segundo teorema fundamental del cálculo con el teorema 7.33 se obtiene un teorema más fuerte que el teorema 7.8. Teorema 7.35. Supongamos que f E R en fa, b]. Sea « una función continua siguientes integrales existen y son iguales: en [a, b] y cuya derivada « sea integrable de Riemann en [a, b]. Entonces las Í f(x) dalx) = í .f(x)oc'(x) dx. Demostración. En virtud del segundo mos, para cada x de [a, b], teorema fundamental del cálculo a(x) — a(a) = Íx a'(t) dt. a Haciendo g = a en el teorema 7.33 obtenemos NOTA. el teorema 7.35. En el ejercicio 7.34 se enuncia un resultado relacionado con éste. tene- La integral de Riemann-Stieltjes 721 CAMBIO DE VARIABLE 199 EN UNA INTEGRAL DE RIEMANN La fórmula que aparece en el teorema 7.7 para el cambio de variables en una integral, a saber sg f de = 5*f_ h dB, adquiere la forma 9(d) ga(c) fO de = J N ONORA cuando «(x) = x y g es una función estrictamente monótona con derivada g continua. Esto es válido si f € R en [a, b]. Cuando f es continua, podemos utilizar el teorema 7.32 para evitar la restricción de que g sea monótona. De hecho, tenemos el siguiente teorema: Teorema 7.36 (Cambio de variable en una integral de Riemann). Su- pongamos que g posee derivada continua g en un intervalo fc, dl. Sea f continua en ¿l [c, dl) y definamos F por medio de la ecuación F() = | fodt sixegle, ). g9(c) Entonces, para cada x de [c, di, la integral [ f[2(1)]2'(1) dt existe y vale F[g(x)]. En particular, tenemos g(d) a(c) 1() de = í fg(1I9"(1) de d Demostración. Como tanto g como la función compuesta fog son continuas en [c, d], la integral en cuestión existe. Definamos G en [c, dj como sigue: G(x) = f " Aa(t9"(1) dr. Debemos probar que G(x) = F[g(x)]. Utilizando el teorema 7.32, tenemos 0'(X) = Sl 9()I9'(x); y, en virtud de la regla de la cadena, la derivada de F[g(x)] es también fleX)]g (x), ya que F(x) = f(x). Por consiguiente, G(x) — FTge(x)] es constante. Pero, para x = c, tenemos G(c) = 0 y F[g(c)] = 0, luego la constante debe ser cero. Así pues, G(x) = F[g(x)] para todo x de [c, d]. En particular, cuando x = d, obtenemos G(d) = Flg(d)], que es precisamente la última ecuación del teorema. 200 La integral de Riemann-Stieltjes 9(S) 9(d) 9) O--—--———--N----[-1--8 Figura -—--—- 7.2 NOTA. Algunos libros demuestran el anterior teorema con la hipótesis suplementaria de que g' es no nula en todo [c, dl, que implica, naturalmente, la monotonía de g. La anterior demostración muestra que esto no es necesario. Ob- sérvese que, al ser g continua en [c, d], gl[c, d]) es un intervalo que contiene al intervalo que une ge(c) con g(d). En particular, el resultado es válido si g(c) = g(d). Esto hace que este teorema sea particularmente útil en las aplicaciones. (Véase la figura 7.2 para una g admisible.) Realmente existe una versión más general del teorema 7.36 que no requiere ni la continuidad de f ni la de ¿, pero la demostración es mucho más complicada. Supongamos que h € R en [c, d]j y, si x € [c, d], consideremos e(x) = [% h(1) dt, en donde a es un punto fijo de [c, d]. Entonces, si f € R en g([c, d)). la integral [4 f[g(1)] h(1) dt existe y se tiene 9(d) g9(c) d , 1() dx = [ SIg(INE e. Éste parece ser el teorema más general acerca del cambio de variable en integral de Riemann. (Para una demostración, consúltese el artículo de H. telman, Mathematical Gazette, 45 (1961), pp. 17-23.) El teorema 7.36 es el especial que se obtiene al considerar que h es continua en [c, d] y que f es tinua en ¿([c, d)). 7.022 SEGUNDO TEOREMA DEL VALOR PARA INTEGRALES DE RIEMANN MEDIO Teorema 7.37. Sea g continua y supongamos que f7 dos números reales que satisfagan las desigualdades A < f(a+) y una Kescaso con- en f[a, b]. Sean A y B B > f(6—). La integral de Riemann-Stieltjes 201 Entonces existe un punto x, de [a, b] tal que ) J f0900) dx = A í En partcular, si f(x) X - g9(x) dx + B J b 9(x) dx. Xo a 7 0 para todo x de [a, b], tenemos b i) r fC9(x) dx = B í g(x) dx, en donde x, Efa, bl. *o NOTA. La parte (ii) se conoce con el nombre de teorema de Bonet. Demostración. Si a(x) = [% e(1) dí, entonces a = g, y el teorema 7.31 es aplicable, y se obtiene J 1090 de = 1a) J * 909 de + f0) J * 9() de Esto prueba (1) siempre que A = f(a) y B = f(b). Ahora bien, si A y B son dos números reales que satisfacen las desigualdades A <<f(a+) y B= f(b—), podemos volver a definir f en los extremos a y b asignándole los valores f(a) = 4 y f(b) = B. La función f modificada es asimismo creciente en [a, b] y, como hemos indicado anteriormente, el hecho de cambiar el valor de f en un número finito de puntos no afecta en absoluto el valor de la integral de Riemann. (Es claro que el punto x, de (1) dependerá de la elección de A y de B.) Haciendo A = 0, la parte (ii) se sigue de la parte (1). 7.23 INTEGRALES DE RIEMANN-STIELTJES DE UN PARÁMETRO Teorema 7.38. DEPENDIENTES Sea f continua en cada punto (x, y) de un rectángulo O = (x, »:a<x<b, c<y <d). Supongamos que « es de variación acotada en [a, b] y sea F la función nida en [c, d] por medio de la ecuación Hw=Jnnwww. a defi- 202 La integral de Riemann-Stieltjes Entonces F es continua en [c, d|. En otras palabras, si y, € [c, d|, tenemos lim í f% y) da) = J * im fCG, y) d(x) y yo a Y yo = J f(x, yo) da(o). b Demostración. Supongamos que a7 en [a, b]. Como que Q es un conjunto compacto, f es uniformemente continua en Q. Por lo tanto, dado e > 0, existe un 8 > O (que depende sólo de ¿) tal que, para cada par de puntos Z = (x, )) y 2 =, y) de O tales que |l2—z| <$, tenemos |f(x, y) — f(x. y)| < €. Si ly —y | < $, tenemos FO) - FO < í (, ») — SG y) daa) < efo(b) — a(a)]. Esto establece la continuidad Naturalmente, cuando de F en [c, di. u(x) = x, este resultado se convierte en un teorema de continuidad para las integrales de Riemann que dependen de un parámetro. Sin embargo, es posible obtener un teorema mucho más útil para integrales de Riemann que el que se obtiene haciendo a(x) = x si se utiliza el teorema 7.26. Teorema 7.39. Si f es continua en el rectángulo [a, b] X [c, dl, y si en [a, b], entonces la función F definida por la ecuación g£R F(y) = f 9()f(x, y) dx, b es continua en [c, dl|. Esto es, si y, E [c, dl, tenemos lim J 90O SG, y) de = í 9()SCr, yo) dx. y>yo Demostración. Ja a Si G(x) = [7 g(0) dt, el teorema [PÍCx, y) dG(x). Aplíquese ahora el teorema 7.38. 7.26 prueba que F(y) = La integral de Riemann-Stieltjes 7.04 DERIVACIÓN BAJO 203 EL SIGNO DE INTEGRAL Teorema 7.40. Sea QO = ((x, y :a<x< b, c<y< d). Supongamos que % es de variación acotada en [a, b] y, para cada y fijo de [c, dl, supongamos que la integral H»=ínmwww, b a existe. Si la derivada parcial D,f es continua para cada y de (c, d) y viene dada por en Q, la derivada F(y) existe F'(y) = Í Daf(, y) dec NOTA. En particular, cuando g € R en [a, b] y a(x) = [% 2(1) df, obtenemos F(y) = Í 966 y) de F'() = j 9() D,SCx, y) dx. a Demostración. Si y, E (c, d) e y 5 y,, tenemos FO - FG _ [PLE y — o a -17 qy - f D2 f(x, 7) do(x), » — Yo en donde y está comprendido entre y e y,. Como que D,f es continua en Q, se obtiene la conclusión razonando análogamente a como se razonó en la demostración del teorema 7.38. 7.05 INTERCAMBIO EN EL ORDEN DE INTEGRACIÓN Teorema 7.41. Sea Q = ((x, y :a <xx<b, c<y< d). Supongamos que « es de variación acotada en a, b], 6 es de veriación acotada en [c, dl, y f es continua en Q. Si (x, y) C O, definimos F(y) = Í f(x, y) da(x), — G() = J f0x, y) dB(. 204 La integral de Riemann-Stielties Entonces F E R(6) en [c, dij, G E R(a) en [a, bl, y tenemos J F(y) dB(y) = J G(x) de(). d b c En otras palabras, a podemos intercambiar el orden de integración como sigue: J [ j f0x, y) aBl y)] da(x) — J [ Í 0y) da(x)] dBC y. Demostración. Por el teorema 7.38, F es continua en [c, dl y por lo tanto F € R(6) en [c, d|. Análogamente, G € R(x) en [a, b]. Para demostrar la igualdad de ambas integrales, es suficiente considerar el caso en que « 7 en [a, b] y 87 en [e, dl. En virtud de la continuidad uniforme, dado ¿ > 0 existe un ó > 0) tal que para cada par de puntos Z = (, 3) y 7 = (, y) de 0, con |[7-—z| < $, se tiene |f(xa y) _f(x,a y')l < €E. Subdividimos ahora el rectángulo en n? rectángulos iguales, subdividiendo [a, b] y [c, dj en n partes iguales cada uno, en donde n se ha elegido de tal manera que 6G-9 _8 , nZ Escribiendo A-9.8 E xk=a+k(b_a) yk=c+k(d—c), n para k = 0, 1, 2, ..., n, tenemos n-1 d b n n-1 í (í 1057 dB(Y)) delx) = 2 í c J Aplicamos dos veces el teorema convierte en C » Xk 7.30 al segundo (J y-1 1( y) d5(y)) da(x). miembro. La doble n ) n— Xy j=0f(x,í, y;)[B(y¡+l) _ B(yj)][a(xk+l) — oz(xk)], suma se La integral de Riemann-Stieltjies 205 en donde (x, y';) pertenece al intervalo Q;,; que tiene por vértices. opuestos los puntos (Xr, Y;) y (Xr+1> Y;+1). Análogamente, obtenemos Í - (íbf(x,' y) da(x)) dB( » ||M ;f(x',:, YILA(Y;+1) — BODILC+1) — C1 en donde (x";, y";)) € Or,;. Pero f(Xx, y ;) — f(X"x, Y' )| < € y por lo tanto j G(x) da(x) ——í F(y) d¡3(y)l b d ';) [aXp+1) < ºí;) [A(Y;+1) — BO — A%1)] = e[ P(d) — PCcI[a(b) — «(a)]Puesto que € es arbitrario, esto implica la igualdad entre ambas integrales. El teorema 7.41 junto con el teorema 7.26 nos da el siguiente resultado para las integrales de Riemann. Teorema 7.42. Sean f continua en el rectángulo [a, b] X c, d]. Si [a, b) y si hE R en [c, dl, entonces tenemos J*b [J'd g(x)h( y)S(x. y) dy] dx = J [J g CR g(xy)(f(x, y) dx] dy. Demostración. Sea u(x) = j'j,º g(u) du y sea P(y) = fí…' h(v) dv, y apliquemos teoremas 7.26 y 7.41. 7.2066 CRITERIO DE LEBESGUE DE LAS INTEGRALES DE en PARA LA RIEMANN los EXISTENCIA Cada función continua es integrable de Riemann. Sin embargo, la continuidad no es ciertamente necesaria, pues hemos visto que f € R cuando f es de varia- ción acotada en fa, b]. En particular, f puede ser una función monótona con un conjunto numerable de discontinuidades y aun así la integral [? f(x) dx existe. En realidad, existen funciones con un conjunto infinito no numerable de discontinuidades que son.integrables de Riemann. (Ver ejercicio 7.32.) Por lo 206 La integral de Riemann-Stieltjes tato, parece natural preguntarse «cuántas» función siendo integrable según Riemann. discontinuidades puede poseer una El teorema definitivo en este sen- tido fue descubierto por Lebesgue y lo demostraremos en esta sección. La idea que se halla detrás del teorema de Lebesgue se hace patente si examinamos qué condiciones impone al conjunto de las discontinuidades de f la condición de Riemann. La diferencia entre las sumas superior e inferior de Riemann viene dada por 2 [M(f) — m(S)] Axz, y, hablando «grosso modo», f es integrable si, y sólo si, esta suma puede hacerse suficientemente pequeña. Descompongamos esta suma en dos partes, S, + ,, en donde $, contiene sólo los subintervalos cuyos puntos son todos de continuidad de f, y S, contiene los restantes sumandos. En $,, cada diferencia My(f) — muf) es pequeña en virtud de la continuidad y, por lo. tanto, aunque en S, aparezca un gran número de sumandos puede conseguirse que sea pequeña. En $,, sin embargo, las diferencias M,(f) — mx(f) no tienen por qué ser necesariamente pequeñas; pero puesto que están acotadas (pbr M, por ejem- plo), tenemos |S,| < M XAx;, por lo cual S, será pequeña siemre que la suma de las longitudes de los subintervalos correspondientes a $, lo sea. Por lo tanto, podemos esperar que el conjunto de discontinuidades de una función integra- ble pueda recubrirse por medio de intervalos cuya longitud total sea pequeña. Ésta es la idea central del teorema de Lebesgue. Para formularlo con ma- yor precisión introduciremos los conjuntos de medida cero. Dejinición 7.43. Un conjunto S de números reales posee medida cero si, para cada < > O, existe un recubrimiento numerable de S por medio abiertos, tales que la suma de sus longitudes sea menor que e. Si designamos re que a los intervalos por medio sc Ua.b) de (a;, b;), la definición ; (by — a,y < y de intervalos requie- (3) Si la colección de intervalos es finita, el índice k de (3) recorre un conjunto finito. Si la colección es infinita numerable, entonces k irá de 1 a vo, y la suma de las longitudes es la suma de una serie infinita, dada por N Í (b — a) = lim » (, — a. N>o0 k=1 La integral de Riemann-Stieltjes 207 Junto con la definición, precisamos algunos resultados acerca de los conjuntos de medida cero. Teorema 7.44. Sea F una colección numerable de conjuntos de R, por ejemplo F= cada uno de los cuales tiene íF1>F29"')9 medida cero. Entonces su unión o e) S — U Fk9 k=1 tiene también Demostración. medida cero. Dado e > 0, existe un recubrimiento numerable de F, por me- dio de intervalos abiertos, la suma de cuyas longitudes es menor que €/2”. La reunión de todos estos recubrimientos de $S es asimismo un recubrimiento numerable de S por medio de intervalos abiertos y la suma de las longitudes de todos los intervalos es menor que Ejemplos. Como un conjunto formado por un solo punto tiene medida cero, se tiene que cada subconjunto numerable de R tiene medida cero. En particular, el conjunto de los números racionales tiene medida cero. Sin embargo, existen con- juntos no numerables que tienen medida cero. (Ver el ejercicio 7.32.) A continuación Dejinición 7.45. TCSS, el número introduciremos el concepto de oscilación. Sea f una función definida y acotada en un intervalo $S. Si Q(T) = sup U(x) — S) :xe T, se llama número la oscilación de f en T. La oscilación O (x) = lim h>0+ vET;, de f en x se define como el Q(B(x; h) nS). NOTA. Este límite existe siempre, ya que Q,(B(x; h) n'S) es una función creciente de h. En realidad, T, C T, implica Q(7 ) < QxT,). Además, 07(x) = 0 S1, y sólo si, f es continua en .. (Ejercicio 4.24). 208 La integral de Riemann-Stieltjes El teorema que sigue nos dice que si wr(x) < e en cada uno de los puntos de un intervalo compacto [a, b], entonces (,(7) < € para todo subintervalo 7 suficientemente pequeño. Teorema 7.46. Sea f una función definida y acotada en [a, bl, y sea e > O un número real dado. Supongamos que w¡(X) < € para cada x de [a, b]. Entonces existe un 8 > O (que depende tan sólo de ) tal que para cada subintervalo cerrado T =fa, b], se tiene que Q (T) < e siempre que la longitud de T sea menor que ¿. Demostración. B(x; 0:) tal que Para cada x de [a, b] existe una bola unidimensional B, = Q,(B, N [a, b]) < 04(x) + [E — 0/(X)] = . El conjunto de todas las bolas B(x; 8,/2) de amplitud la mitad constituyen un recubrimiento de (a, b]. En virtud de la compacidad, un número finito de ellas recubre a f[a, b] (supongamos que este número es K). Sean los radios correspondientes 8,/2, ..., 8x/2 y sea 8 el menor de estos números k. Cuando el intervalo 7 tenga longitud menor que $, entonces 7 estará parcialmente recubierto por una, por lo menos, de estas bolas; sea, por ejemplo, B(x,; 8,/2). Sin em- bargo, la bola B(x,; 8,) recubre totalmente a 7 (ya que $, > 28). Además, en B(x,; 8,) N la, b] la oscilación de f es menor que e. Ello implica que 2,(7) < € y el teorema está demostrado. Teorema 7.47. Sea f una función definida y acotada e > Q se define el conjunto J, como sigue: J, = (x:xe [a, b], en [a, b]. Para cada 0((x) > €). Entonces J, es un conjunto cerrado. Sea x un punto de acumulación de J,. Si x€£J,, Demostración. 07(x) €. Por lo tanto existe una bola unidimensional B() tal que tenemos Q (B(X) n [a, b1) < . Por lo tanto, ningún punto de B(x) pertenecerá a J,, contradiciendo el hecho de que x sea de acumulación de J,. De donde, x E J, y J, es cerrado. Teorema 7.48. (Criterio de Lebesgue para la integrabilidad de Rie- mann.) Sea f una función definida y acotada en [a, b] y sea D el conjunto de las discontinuidades tiene medida cero. de f en [a, b]. Entonces f E R en [a, b] si, y sólo si, D La integral de Riemann-Stieltjes 209 Demostración. (Necesidad.) Supondremos, en primer lugar, que D no tiene medida cero y demostraremos que f no es integrable. Podemos escribir D como una reunión numerable de conjuntos D= UD, en donde D, = íx:w¡(x) > -1;? Si xE D, entonces w(x) r =1, 2, .... > 0, luego D es la reunión de los conjuntos D,, para Ahora bien si D no tiene medida cero, entonces alguno de los conjuntos D, tampoco la tendrá (en virtud del teorema 7.44). e > 0 para el cual cualquier colección numerable Por consiguiente, existe un de intervalos abiertos que recubra D, tendrá una suma de longitudes > e. Para una partición P de [a, b] tenemos U(P, f) — LEP, ) = k=1 Y [Mi(S) — mAP)] Ax = Si + S = S, en donde $, contiene los términos que provienen de subintervalos que en su interior contienen puntos de D, y S, contiene los términos restantes. Los intervalos abiertos de $, recubren D;,, excepto posiblemente a un subconjunto finito en D,, de medida 0, luego la suma de sus longitudes es, por lo menos, Esto significa que — muf) = 1 y por lo tanto S; > r “Y MXS) e. Pero 1 n en estos intervalos tenemos U(P,S) — LP. S) > -f, para cada partición P, luego la condición de Riemann no se verifica. Por con- siguiente, f no es integrable de Riemann. En otras palabras, si f E R, entonces D tiene medida cero. | (Suficiencia). Ahora supondremos que D tiene medida cero y demostraremos que se verifica la condición de Riemann. De nuevo cscribimósD=U3,, D, en donde D, es el conjunto de los puntos x en los que 0,(x) > 1/r. Dado que D, < D, cada D, tiene medida cero, por lo que cada D, se puede recubrir por medio de intervalos abiertos, cuyas longitudes sumen < 1/r. Puesto que D, es compacto (teorema 7.47), un número finito de dichos intervalos recubrirá a D,. 210 La integral de Riemann-Stieltjies La reunión de estos intervalos es un conjunto abierto que designaremos A,. El complementario B, = [a, b] — A, es la reunión de un número finito de subintervalos cerrados de [a, b]. Sea 7 un subintervalo típico de B,. Si x '€ 7, entonces 0/(x) < 1/r y entonces, en virtud del teorema 7.46, existe un 8 > 0 (que sólo depende de r) tal que 7 puede ser subdividido en un número finito de subinter- valos T de longitud < 8 en los que Q,(7) < 1/r. Los extremos de todos estos subintervalos definen una partición P, de [a, b]. Si P es más fina que P, podemos escribir wnn—unn=gyMwwwmawn=&+sb en donde $, contiene los términos que provienen de los subintervalos que con- tienen puntos de D,, y S, contiene los términos restantes. En el k-ésimo término de S, tenemos l Myf) — mXf) < — r y entonces S, < b — r Puesto que A; recubre todos los intervalos que intervienen en $,, tenemos 815…_, r en donde m y M son el sup y el ínf de f en [a, b]. Por consiguiente U(P,f) — L(P, ) < * —-—m+b-—a - . Dado que esto se verifica para cada r — 1, la condición de Riemann ca, luego f E R en f[a, b]. se verifi- NOTA. Una propiedad se verifica casi en todo un subconjunto S de R si se verifica en todo S salvo en un conjunto de medida 0. Luego, el teorema de Lebesgue establece que una función f acotada en un intervalo compacto [a, b] es integrable de Riemann [a, b]. Las siguientes en [a, b] si, y sólo si, f es continua casi en todo afirmaciones (algunas de las cuales han sido probadas an- teriormente en este mismo capítulo) son consecuencias inmediatas del teorema de Lebesgue. Teorema [a, b]. 7.49. a) Si f es de variación acotada en [a, b], entonces f =R en La integral de Riemann-Stieltjes b) c) d) e) Si f 211 ER en fa, bl, entonces f E R en [c, d| para cada subintervalo [c, dl C c [a, b; f ER y P ER en a, b]. También f-g E R en [a, b] siempre que g'ER en f[a, bl. Si fER y g ER en fa, b], entonces f/|eg E R en [a, b] siempre que acotada en valor absoluto por un número mayor que 0. Si f y g son funciones acotadas con las mismas discontinuidades en entonces f'E R en [a, b] si, y sólo si, g E R en fa, b]. Sea £ E R en [a, b] y supongamos que m < g(x) < M para todo x de Si f es continua en [m, MI, la función compuesta h definida por f[e(x)] es integrable de Riemann en [a, bl. NOTA. fER g esté a, b], [a, b|. h(x) = La afirmación (e) no se verifica necesariamente si se supone sólo que en [m, M]. 7.27. (Ver ejercicio 7.29.) INTEGRALES COMPLEJAS DE RIEMANN-STIELTJES Las integrales de Riemann-Stieltjes de la forma (? f da, en las que f y « son funciones complejas definidas y acotadas en un intervalo [a, b] son de gran im- portancia en la teoría de funciones de variable compleja. Pueden introducirse utilizando exactamente la misma definición que la utilizada en el caso real. La definición 7.1 tiene perfectamente sentido cuando f y « son funciones comple- jas. Las sumas de los productos f(1)[a(x,) — a(x.-1)] utilizadas para formar las sumas de Riemann-Stieltjes deben interpretarse como sumas de productos de números complejos. Puesto que los números complejos verifican las propieda- des conmutativa, asociativa y distributiva que se verifican también en el caso de los números reales, no debe, pues, sorprendernos que las integrales complejas satisfagan muchas de las propiedades de las integrales reales. En particular, los teoremas 7.2, 7.3, 7.4, 7.6 y 7.7 (así como sus demostraciones) son válidos (palabra por palabra) cuando f y « son funciones complejas. (En los teoremas 7.2 y 7.3, las constantes c, y c, pueden ser números complejos.) Además, disponemos del siguiente teorema que reduce la teoría de las integra- les complejas de Stieltjes al caso real. Teorema 7.50. Sean f = f, + if, y % = Qy + a, funciones nidas en el intervalo [a, b]. Se tiene, entonces, complejas ífda=(í f, de, —szdaz>+i(í f, de +ífldaz), b b b b siempre que existan las cuatro integrales del segundo miembro. b defi- 212 La integral de Riemann-Stieltjes La demostración del teorema 7.50 es inmediata a partir de la definición y se deja como ejercicio para el lector. El uso de este teorema nos permite extender al caso complejo muchas de las propiedades importantes de las integrales reales. Por jemplo, la conexión entre la diferenciación y la integración establecida en el teorema 7.32 es válida s definimos las nociones de continuidad, diferenciabilidad y variación acotada por medio de las componentes, como hacíamos en el caso de las funciones vectoriales. Diremos entonces que la función compleja « = «%, + ix%, es de variación acotada en [a, b] si cada componente «, y , es de variación acotada en [a, b]. Análogamente, la derivada e«'(1) está definida por la ecuación a'(1) = 1() + ia5(t) siempre que las derivadas o',(t) y .,(1) existan. (Las derivadas laterales se definen análogamente.) Con estos convenios, los teoremas 7.32 y 7.34 (los teoremas fundamentales del Cálculo integral) son válidos cuando f y « son funciones complejas. Las demostraciones se obtienen directamente utilizando el teorema 7.50 y los teoremas correspondientes del caso real. Volveremos a ocuparnos de las integrales complejas en el capítulo 16, al estudiar con más detalle las funciones complejas de una variable compleja. EJERCICIOS Integrales 7.4 7.2 de Riemann-Stieltjes Probar que Ja dalx) = a(b) — a(a), directamente a partir de la definición 7.1. Si f € R(a) en [a, b] y si (2 f de = 0 para cada f monótona que « es constante en [a, b]. 7.3 La siguiente definición de la integral de Riemann-Stieltjes en [a, b], probar es bastante usual en textos matemáticos: Se dice que f es integrable respecto de « si existe un número real A que satisfaga la siguiente propiedad: para cada e > 0 existe un 0 > O tal que para cada partición P de [a, b] con norma ||P|| < 8 y cada elección de 1, en [Xr_,, Xx], tenemos IS(P, f, u) — A| < . a) b) 74 Probar que si f? f dn existe según esta definición, entonces existe también de acuerdo con la definición 7.1 y ambas integrales son iguales. Sean f(x) = u(x) = O para a < x < c,f(x) = «(x) =1 para c< x < b,f(c)=0, au(c) = 1. Probar que ( f de existe de acuerdo con la definición 7.1 pero no existe según Si fER la definición esta segunda definición. según la definición 7.1, probar que [? f(x) dx existe también según 7.3. (Contrastar este resultado con el ejercicio 7.3(b). Indicación. Sea I = 12/(x) dx, M = sup (f(x)): x e [a, b]). Dado < > 0, elegir P, tal que U(P., f < ] + e/2 (con la notación de la sección 7.11). Sea N el número visión de P, y sea 8 = e/(2MN). Si ||P|| < 8, hagamos U(P,f) = » MS)Ax, = $ + 5, de puntos de subdi- La integral de Riemann-Stieltjes 213 en donde $, es la suma de los términos que pertenecen a aquellos subintervalos de P que carecen de puntos de P, y $, es la suma de los términos restantes. Entonces S1 < U(P,,f) < I + e2 y por lo tanto y S, < NMIP|| < NMó = eN, U(P, f) < 1 + e. Análogamente, L(P, f) > I — esi|P| < ó mpara algún $. Por lo tanto IS(P, f — 1| < € si ||P|| < min (6, 5. 7.5 Sea (a,) una sucesión de números reales. Para x = 0, definimos [x] A(x) = Y a, = Z; (A n<Xx en donde [x] es la parte entera de x y las sumas vacías valen cero. Sea f una fun- ción con derivada continua en el intervalo Stieltjes para deducir la fórmula que sigue: 1< x<a. Utilizar las integrales de Y ayf(n) = - f — ACIS 09 de + AS(O). ns<a 1 7.6 Utilizar la fórmula integral de Stieltjes para i 3)2_&= 7.7 Euler Suponer 1 de sumación de Euler, o la integración deducir las siguientes identidades: s—1+SJ<1 "X por partes en una . x[s+]1 de ss7l que f es continua en [1, 2n] y utilizar la fórmula de sumación o la integración de por partes para demostrar 5 0900 = [ S6 - 20372 s 2n 2n k=1 7.8 Sea p,(X) = x — [x] — 4 si x + entero, y sea $,(x) = 0 si x = entero. Sea también p,(x) = 10 $() dt. Si f” es continua en [1, n] probar que la fórmula de suma- ción de Euler implica que . 0(XS ”(x) dx + S1) + I) Zn:f(k) = Ílnf(X) dx — J:l 2 k=1 7.9 Hágase f(x) = In x en el ejercicio 7.8 y pruébese lan =(n+idinn-n+1+ que í n 1 $—Ííi)dt. 214 La integral de Riemann-Stielties 7.10 Si x z 1, sea m(x) el número de primos n(x) = 2 < x, esto es, 1, PSx en donde del número la suma primo está extendida establece que a todos los lim 7(x) n x>0 Esto se demuestra dada por usualmente primos p< x. El teorema =1. X estudiando números una %x) = Y función $, íntimamente relacionada, Inp, PSX en donde, de nuevo, la suma está extendida a todos los primos p < x. Tanto la función 7 como la función $ son funciones escalonadas con salto en los números primos. Este ejercicio demuestra cómo, por medio de la integral de Riemann-Stieltjes, es posible relacionar estas dos funciones. a) Si x>2, probar que r(x) y $() se pueden expresar por medio de las siguientes integrales de Riemann-Stieltjes : I(x) = J " Mrdr(o, 0)= Í 0). 3/2 NOTA. 3 2 1n t El límite inferior puede substituirse por cualquier otro número del intervalo abierto (1, ?2). b) Si xZ2, utilizar la integración Ix) por partes para X = n(x) 1n x — J x) + J * () 7N(x) = 1n x probar ZZ_(I_) di, 2 | o t In?t Estas relaciones son útiles para demostrar que el teorema del número primo es equivalente Si a7 a la relación lim,., , 9()/x = 1. en [a, b], probar que se verifica: a) rfda=chda+rfda, b b (a<c<b), b wÍa+masífa+Íga ajv+ma b V 7.11 b dea+Í b g da. La integral de Riemann-Stieltjes 7.12 Dar un ejemplo de una 215 función acotada f y de una nidas en [a, b] tales que |f| € R(x%) pero para las que función creciente « defi- ? f de no exista. 7.13 Sea « una función continua de variación acotada en [a, b]. Supongamos g < R(a) en [a, b] y definamos 6(x) = 17 9(£) dalt) si x € [a, b]. Probar que: a) que Si f7 en [a, b], existe un punto x, de [a, b] tal que rde = 1a) fºg de + f(6) f' g de b) Si, además, f es continua en [a, b], se tiene también [ a F0090) deto) = 1) [ea:/0f 0a a xo 7.14 Supongamos que f € R(x) en [a, b], en donde « es de variación acotada en [a, b]. Si V(x) designa la variación total de y en [a, x] para cada x de (a, b], y V (a) = 0, probar que J en donde M la desigualdad b < fb F| dY < MY(b), f da es una cota superior de |f| en [a, b]. En particular, cuando u(x) = x, se transforma en b J— S(x) dx| < M(b — a). 7.15 Sea (,) una sucesión de funciones de variación acotada en [a, b]. Supongamos que existe una función « definida en [a, b] tal que la variación total de ad — , en [a, b] tienda hacia cero cuando n —+o0. Supongamos además que «(a) = 0,(a) = 0 para cada n = 1, 2, ... Si f es continua en fa, b], probar que b b lim J fx) da,(x) = í f(x) dalx). n+ 7.16 0 a a Si fe R(a), /* € R(4), g € R(), y 9? € R(a) en [a, b], probar que 211 Cuando S) 1) 90) 0| 2 de de “ )] "0 - ( Í fy da(x)) ( J 9 da(x)) - ( J fJ9(-) da(x))z. b «7 b en [a, b], deducir la desigualdad de Cauchy-Schwarz ( j f0090) da(x)) < ( J f da(x)) ( Í 90 da(x)). 2 (Comparar con el ejercicio 1.23.) b b 216 La integral de Riemann-Stielties 7.17 Supongamos que fe R(a), gy € R(a), y / 9 € R(a) en [a, bl. Probar que ; J [ J 1() - SeM(ÁW) — 269) da<y)] do(x) b b - (a(b) — a(a)) J f0990) dl — ( J 10 da(x)) ( J 90 da(x)). b b b a S1 a27 en f[a, b], deducir la desigualdad b b b ( J f(x) da(x)) ( J 9(x) da(x)) < (a(b) — a(a))í F(x) a(x) dalx) en donde tanto f como g son crecientes (o decrecientes) en [a, desigualdad inversa se verifica si f crece y g decrece en [a, b]. Infegrales 7.18 b]. Probar que la de Riemann Supongamos que f E R en [a, b]. Utilizar el ejercicio 7.4 para demostrar que el límite . lim n>o existe y vale [? f(x) dx. b-ac n ) n Deducir que : n _n hm2k2+n2—z, 7.19 b-a 2:fa+k k=1 . y 11m2(n n> o 2 k=1 + k?)2,-1/2=_ MA+/?). Definir fO) = ( J x o 2 e” dt) , g(x) = Í 1 S o >—x2(t2+1) 1+1 di. a) Probar que 21(x) + f(x) = 0 para todo x y deducir que e(x) + f(x) = 7/4. b) Utilizar (a) para demostrar que lim J x>o Jo e * dt = lx/; 2 7.20 Supongamos que g € R en [a, b] y definamos f(x) = [7 9(1) dí si x € [a, b]. Probar que la integral f% |9(1)| drt da la variación total de f en [a, x]. 7.21 Sea f = (f,, ..., f,) una función vectorial con derivada Probar que la curva descrita por f tiene por longitud Aya, 5) = J ICO d continua f' en [a, b]. La integral de Riemann-Stieltjes 7.22 Si f"+D 217 es continua en [a, x], definimos h = -n! J Ja€ — DE*D(O) dr. a) Demostrar que (x) Ik—l(x) 7.23 — Ik,(x) — f — (a)l(c.x' a)k' k — 19 29 e. A b) Utilizar (a) para expresar el resto de la fórmula de Taylor como una integral (ver Teorema 5.19). Sea f una función continua en [0, a]. Si x € [0, a], definimos f (x) = f(x) y sea ha(= J (X — S(O dí, n! n=0,1,2,... 0 a) Probar que la n-ésima derivada de f,, existe y es igual a . b) Demostrar el siguiente teorema de M. Fekete: El número de cambios de signo de f en [0, a) no es inferior al número junto ordenado de cambios de signo del con- a), J1(a), - - - , Sla). c) Indicación. Procédase por inducción matemática. Usar (b) para demostrar el siguiente teorema de L. Fejér: El número de cambios de signo de f en [0, a] no es inferior al número de cambios de signo del conjunto ordenado f(0), J - f(1) dt, r 1f(1) de, J - f(1) dr. 0 0) ) 7.24 Sca f una función continua positiva en [a, b]. Si M que f alcanza en [a, b], probar que lim 7.25 Una cuadrado (J b fxyY dx) 0 < x < 1,0 < y < º b) c) el máximo valor = M. función f de dos variables reales está definida en cada punto (x, y) del unidad f(x, y) = [ 1, a) 1/n designa Calcular 2y, 1 como sigue: si X es racional i x es irracional 13 f(x, y) dx y 10 S(. y) dx en términos de y. Probar que ó f(x, y) dy existe para cada x fijo y calcular términos de x y t para O<x < 1,0<<1. Sea fó/(x, y) dy en F(x) = 11 f(x, y) dy. Probar que 1ó F(x) dx existe y calcular su valor. 218 7.26 La integral de Riemann-Stieltjes Definimos f en [0, 1] como fx) =2”, sigue: para n = 0, 1, 2, ... f(0)=0; si 21< a) Dar dos motivos por los que Í)f(x) dx existe. b) Sea F(x) = 13 f(t) dt. Probar que para O< x<1 x<2-; entonces se tiene F() = x4(x) — 34(Y, en donde A(x) = 2-[-1n2/1n?], siendo [y] la parte entera de y. 7.27 Supongamos que f posee una derivada monótona f(xX) 2 m > O para todo x de [a, bl. Probar que J " cos f(x) dx decreciente que satisface 2 =—. a Indicación. Multiplicar y dividir el integrando por f (x) y utilizar el teorema 7.37(i1). 7.208 Dada una sucesión decreciente de números reales (G(n)) tal que G(n)—>0 cuando n — 0, se define una función en [0, 1] por medio de (G(n)) como sigue: NO) = 1; si x es irracional, entonces f(x) = 0; si x es el número racional irreducible m/n, entonces f(m/n) = G(n). Calcular la oscilación w;(x) en cada x de [0, 1] y probar que f E R en [0, 1]. 7.29 Sea f la función definida en el ejercicio 7.28 con G(n) = 1/n. Sea ¿(x) = 1 si O< x< 1, g(0) no es integrable 7.30 Utilizar le 7.31 Ultilizar el y si f(x) 2 m > = 0. Probar de Riemann teorema de teorema de 0 para todo que la función compuesta % definida por h(x) = e[f(x)] en [0, 1], a pesar de que f € R y g€E R en [0, 1]. Lebesgue para demostrar el teorema 7.49. Lebesgue para demostrar que si f € R y g E R en fa, b] x de [a, b], entonces la función 7 definida por hx) = FUy es integrable de Riemann en [a, b]. 7.32 Sea 1 = [0, 1] y sea A, =1— (1, 3) el subconjunto de 7 obtenido suprimiendo en ] los puntos del intervalo abierto que constituye el tercio central de /; esto es, A, = [0, 31 U 5, 1]. Sea A, el subconjunto de 4A, obtenido suprimiendo el tercio central abierto de [0, 1] y el de [?, 1]. Continuar este proceso y definir A,, A,, ... El conjunto € = a) C es un b) xEC ssi, c) C es no 7.33 d) n,º,º= 1 A, Se llama conjunto de Cantor. Probar que conjunto compacto que tiene medida cero. y sólo si, x = Y ». , a,3”, en donde cada a, 0 es 0 0 es 2. numerable. Sea f(x) = 1 si xEC, Este ejercicio proporciona es irracional. .Sea f(x) = x"(1 a) b) f(x) =0 una si x € C. Probar que fE R demostración (debida — x)/|n!. Probar que: en [0, 1]. a Ivan Niven) de que 7* O< f(x) < 1/n! si O< x<1. Cada una de las k-ésimas derivadas f“*)(0) y f“(1) es un entero. Supongamos entonces que 7? = a/b, en donde a y b son enteros positivos, y sea Z (— DY PG 1?7 F() = b kK=0 219 La integral de Riemann-Stieltjes Probar que: c) F(0) y F(1) son enteros. d) 72a"f (x) sen nx = dí (F'() sen nx — nF(x) cos nx). X e) F(1) + F(0) = na"Jl f(x) sen 7x dx. 0 f) Utilizar (a) y (e) para deducir que 0 < F(1) + F(0) < 1 si n es suficiente- mente grande. Esto contradice (c) y prueba que 7* (y por lo tanto r) es irracional. 7.34 Sea « una función real, continua en el intervalo [a, b] con derivada «' finita y acotada en (a, b). Sea f una función definida y acotada en [a, b] y supongamos que las integrales b J 1() dalx) — y b J f() a'(x) dx existen. Probar que ambas integrales son i