Resolução de problemas na formação inicial de professores de
Matemática
Problem solving in the initial training for teachers of Mathematics
_______________________________
LOURDES DE LA ROSA ONUCHIC1
ROSILDA DOS SANTOS MORAIS2
Resumo
O objetivo deste texto é o de apresentar parte de um Estudo de Caso, realizado em um
curso de Licenciatura em Matemática, nos anos de 2010-2011, visando a contribuir
com as muitas ações movidas por todos os envolvidos na formação inicial docente, no
sentido de melhor preparar esses profissionais, nessa importante etapa de formação.
Numa reformulação do curso, a Resolução de Problemas (RP) veio a ser uma das novas
disciplinas, cuja ementa apregoava o trabalho com Tendências no Ensino de
Matemática. Nesta pesquisa, dar-se-á ênfase ao trabalho desenvolvido com futuros
professores nessa disciplina, com enfoque para a Resolução de Problemas como
metodologia de ensino sob seus aspectos teórico e prático. Acredita-se que o trabalho
docente é reflexo da vivência do professor ao longo de sua trajetória e espera-se que,
vivenciando diferentes metodologias de trabalho nessa etapa da formação, o futuro
professor esteja mais bem preparado para exercer a docência. Ao final de três
semestres do trabalho na disciplina, verificou-se que os futuros professores eram
capazes de trabalhar com a Metodologia estendendo-a, inclusive, para outros
contextos.
Palavras chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Formação de
Professores.
Abstract
This paper aims to present part of a Case Study carried out in an Initial Training for
Teachers of Mathematics, in the years 2010-2011, in order to contribute to the many
actions done by those involved in the initial teacher’s training in order to better prepare
these professionals, in this important stage of formation. Having reformulated the
course, Problem Solving (RP) came to be one of the new subjects, where the curriculum
claimed to work with Trends in the Teaching of Mathematics. In this research, emphasis
will be given to working with future teachers in this subject, focusing on Problem
Solving as a teaching methodology in its theoretical and practical aspects. It is believed
that teaching is a reflection of the experience of the teacher throughout his career and it
is expected that experiencing different working methodologies in this stage of training
future teachers are better prepared to work as teachers. After three semesters of work
on the subject, it was found that prospective teachers were able to work with the
methodology by extending it even to other contexts.
Keywords: Mathematics Education; Problem Solving; Teacher Training.
1
2
UNESP/RC – lronuchic@gmail.com
UNESP/RC – rosildamorais7@gmail.com
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INTRODUÇÃO
A formação inicial docente tem sido muito discutida nas últimas décadas, pois o
trabalho realizado com alunos, futuros professores, nessa etapa de formação, tem efeito
direto na sala de aula.
O local onde o professor deveria iniciar seu trabalho como educador para uma grande
massa da população - a escola - tem sido o lugar onde, efetivamente, ele tem aprendido
a exercer a docência, condição que deveria iniciar-se quando ingressou na universidade
e onde os saberes profissionais3 deveriam ser adquiridos. Embora possa se reconhecer
que os conhecimentos dos professores sejam “provenientes de várias fontes e
construídos em tempos diferentes” (CURI, 2011, p.78), não se pode negar o papel da
universidade, o de possibilitar que os saberes profissionais sejam lá construídos.
Entretanto, a universidade tem deixado muito a desejar na formação inicial docente,
pois forma seus professores a qualquer custo para atender às demandas sociais que
clamam por esses profissionais. O preço pago é o despreparo desses professores que, na
grande maioria, quando colocados na sala de aula para exercer o papel que lhe foi
designado, repetem velhas práticas, aquelas que aprenderam quando foram alunos, na
Escola Básica.
Nas últimas décadas, muitos têm sido os esforços para mudar esse cenário, mas são
tantas as variáveis que caracterizam a instituição escola que toda mudança parece
ínfima. Esses esforços são constatados quando se faz uma busca rápida nas várias
tendências no ensino e observam-se as diferentes áreas que se juntaram à Matemática no
movimento de discussão e reflexão em torno das dificuldades de aprendizagem dos
estudantes.
Este trabalho de pesquisa pretende se apresentar como mais um desses movimentos, no
sentido de mudar o tão difícil cenário da formação inicial docente. Ele traz elementos
que contribuem com a crença de que, se houver uma mudança nas bases, quando o
professor está ainda se tornando professor, aquilo que ele aprendeu, na universidade,
poderia vir a incorporar-se à sua prática, pois teve relação direta com o que iria ensinar.
O foco deste texto será o trabalho de alunos, futuros professores, depois de terem
3
Tardif (2010): saberes profissionais – conhecimentos, competências, habilidades, etc., utilizados
efetivamente no trabalho diário, pelo professor, para desempenhar suas tarefas e atingir seus objetivos.
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vivenciado, na prática, metodologias de ensino que poderão ser encampadas em seu
trabalho quando se tornarem professores.
1. A FORMAÇÃO INICIAL DOCENTE
A formação inicial docente de professores em geral e de Matemática em particular tem
sido motivo de preocupação de pesquisadores ao longo da história do ensino de
Matemática, sendo mais evidenciada a partir do início do século XX. Pesquisas (BALL
& COHEN,1999; FIORENTINI,2003; SILVER,2006; MOREIRA & DAVID,2007;
ALBUQUERQUE, 2006) têm apontado que a formação inicial docente é deficiente,
mas que tem havido empenho de todos os envolvidos na área no sentido de melhorar
essa prática. Ao encerrar os cursos de formação inicial, o professor recém-formado não
se sente apto para atuar na sala de aula da Educação Básica, pois, nos anos que passou
na universidade, não lhe foi oferecida a segurança necessária para o exercício da
docência.
George Polya, já em 1962, em seu livro Mathematics and Discovery (1962), ressaltou a
fragilidade dos cursos de formação inicial de professores para a Escola Secundária,
dizendo que a preparação de professores para esse nível de ensino era insuficiente e que
competia, aos Departamentos de Educação e Departamentos de Matemática, ou seja, a
todos os envolvidos na formação inicial docente, ações para mudar o cenário. Essa
mudança deveria, segundo Polya, iniciar-se pela revisão dos cursos oferecidos a futuros
professores da Escola Secundária.
Anterior a Polya, em 1908, Félix Klein, no livro Elementary Mathematics from an
Advanced Standpoint: Arithmetic, Algebra, Analysis, já havia manifestado preocupação
com a formação docente, alegando que jovens universitários, recém-formados, eram
confrontados com problemas na sala de aula que não se referiam, em nenhum aspecto,
às coisas com as quais eles haviam sido envolvidos na escola. Até aquele momento, a
prioridade dos professores de Matemática, em sua maioria homens, voltava-se à ciência
sem nenhuma preocupação com a matemática escolar.
Mais de um século se passou, desde as primeiras preocupações com a formação inicial
docente e reconhece-se que muito já foi feito objetivando melhorar essa importante
etapa da formação, sejam por meio de congressos, artigos, grupos de pesquisa,
seminários, simpósios, etc. Contudo, a realidade desses cursos, no que diz respeito a
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transformações que visam a melhor preparar o docente, capacitando-o à proficiência de
ensino4, caminha a passos lentos. Uma justificativa para essa lentidão, como apontou
Garcia Blanco (2003), refere-se aos distintos estamentos que envolvem a formação
docente: sociedade, instituições, pesquisadores, formadores de professores, professores
e alunos. Para a autora, apesar de a formação docente estar em constante processo de
evolução, essas particularidades fazem com que ela seja vista e sentida como
problemática. Um aspecto do problema, relativo a essa etapa da formação,
seria a definição de programas de formação que respondessem
às demandas provenientes dos distintos setores afetados; um
programa que possibilitasse a formação de profissionais do
ensino com capacidade para desenvolver suas tarefas no âmbito
de sua própria e contínua aprendizagem e desenvolvimento
profissional (GARCIA BLANCO, 2003, pp.51-52).
Silver (2006) afirmou que apesar de o cenário estar longe do desejado, há um progresso
significativo realizado ao longo das últimas décadas, especificamente a partir da década
de 1990, com currículos mais provocativos e instigantes; relatos de experiências bem
sucedidas no ensino de Matemática estão à disposição com mais facilidade; há uma
melhor noção do que vem a ser um professor de matemática bem “qualificado”; e o
desenvolvimento da consciência para a necessidade de uma melhor qualificação
profissional.
O presente trabalho traz resultados, que corroboram com as expectativas de Garcia
Blanco e Silver, no que se refere às ações movidas para melhorar o cenário atual,
relativo à formação inicial docente de professores de Matemática, com a universidade
reformulando o currículo, o professor formador e os professores em formação, todos
De acordo com Silver (2006) “um professor de Matemática proficiente tem um conhecimento
profundo de matemática, tanto dentro quanto fora do currículo escolar; ele sabe como os alunos
aprendem e operam mentalmente o conhecimento matemático (essa competência do professor é
o conhecimento conceitual para ensinar). A proficiência no ensino de matemática também inclui
um repertório fluente de procedimentos pedagógicos (fluência procedimental para ensinar),
juntamente com a habilidade para planejar aulas e materiais didáticos e para avaliar de que
forma decisões e ações pedagógicas particulares podem influenciar a aprendizagem dos alunos
(competência estratégica e raciocínio adaptativo para ensinar). Finalmente, outro componente
crucial do ensino proficiente é uma orientação rumo a um aperfeiçoamento contínuo do
conhecimento e do desempenho do indivíduo enquanto professor (disposição produtiva para
ensinar)” (p.129).
4
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engajados no trabalho de enfrentar os desafios de uma nova proposta curricular em
atendimento às necessidades urgentes de melhorias na formação inicial. Embora se
reconheça a complexidade da sala de aula, acredita-se que, na formação inicial docente,
o futuro professor, vivenciando diferentes abordagens metodológicas, terá a
oportunidade de examinar conteúdos matemáticos com profundidade, refletindo sobre
eles, de forma a atender mais e melhor às dificuldades de seus estudantes.
2. A METODOLOGIA
Dentre os conjuntos de estratégias designados qualitativos, nesta pesquisa, por se tratar
de um caso específico – professores em formação na disciplina Resolução de Problemas
trabalhando com diferentes abordagens metodológicas – dentro de um sistema mais
amplo, escolhemos o Estudo de Caso. Como procedimento, foi adotada a observação
participante, uma das estratégias dessa metodologia, que teve o professor formador
como observador. Essa estratégia de pesquisa permite um acompanhamento mais
prolongado e minucioso das situações, utilizando uma linguagem e uma forma mais
acessível do que apresentam outros relatórios de pesquisa (LÜDKE, 1986;
GOLDENBERG, 2003).
Na observação participante, o professor formador teve seus registros anotados em um
diário de campo. Buscou-se, nessas anotações, valorizar o trabalho dos estudantes,
futuros professores, no que se refere ao aprofundamento das discussões ocorridas nos
grupos de trabalho. Os estudantes eram constantemente questionados, pelo professor
formador, sobre a Matemática que poderia ser explorada em cada problema dado ou
pesquisado e sobre outros casos que teriam passado despercebidos aos estudantes. O
professor formador, nesse trabalho, pretendia chamar atenção dos estudantes para as
sutilezas do processo de escolha e preparo de atividades, o que se tornaria comum no
dia a dia de sua prática docente.
O fenômeno aqui estudado é o trabalho com estudantes, em um curso de Licenciatura
em Matemática com duração de três anos, em uma universidade particular na cidade de
Piracicaba, São Paulo. Para esse trabalho foi proposto, aos estudantes, o estudo de
diferentes Tendências Pedagógicas no ensino de Matemática a fim de que pudessem
vivenciar diferentes metodologias de trabalho na formação inicial e que, no exercício da
docência, pudessem experimentá-las com seus alunos uma vez que adquiriram, ao longo
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da formação, alguma maturidade com esse trabalho. Dentre as Tendências estudadas, a
Metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática através da Resolução
de Problemas foi escolhida como metodologia de trabalho para um estudo prático nos
dois semestres subsequentes.
Nessa Metodologia “o problema é o ponto de partida e, na sala de aula, através da
resolução de problemas, os alunos devem fazer conexões entre diferentes ramos da
Matemática, gerando novos conceitos e novos conteúdos” (ONUCHIC;ALLEVATO,
2011, p.81). Assim, os problemas devem ser selecionados, de antemão, pelo professor, e
trabalhados em sala, com os alunos, seguindo um roteiro de aula sugerido por Onuchic e
Allevato (2011): “1. preparação do problema; 2. leitura individual; 3. leitura em
conjunto; 4. resolução do problema; 5. observar e incentivar; 6. registro das resoluções
na lousa; 7. plenária; 8. busca por consenso; 9. formalização do conteúdo” (p.83-84).
A Metodologia foi aplicada pelo professor formador, sob seu aspecto prático, isto é,
problemas foram trabalhados, respeitando o que propõem Onuchic e Allevato (2011),
no segundo semestre da disciplina Resolução de Problemas. Em um semestre
subsequente, terceiro da disciplina, já com uma teoria construída, os alunos trabalharam
com a Metodologia pesquisando por problemas, resolvendo-os e elaborando um plano
de aula que foi aplicado por cada um dos grupos a seus colegas de sala.
3. A DISCIPLINA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA
INSTITUIÇÃO
O curso de Licenciatura em Matemática da universidade em estudo havia sido
reformulado em 2007, com uma nova proposta pedagógica visando a atender às
demandas atuais na formação docente.
A disciplina Resolução de Problemas era uma das disciplinas da nova grade e sua
ementa apregoava que fossem apresentadas diferentes tendências do ensino e da
pesquisa em Educação Matemática. Por essa razão, optou-se por trabalhar textos
teóricos sobre diferentes tendências em Educação Matemática no primeiro semestre do
oferecimento da disciplina, que tinha duração de três semestres, dentre as quais a
Resolução de Problemas foi uma das abordadas. No segundo semestre, foram propostos
problemas que deveriam ser resolvidos à luz dos pressupostos teóricos da Metodologia
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de Ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas.
Por último, no terceiro semestre, os alunos deveriam preparar um projeto de aula de
Matemática onde considerariam essa metodologia como eixo norteador. Esse trabalho
foi realizado no segundo semestre de 2010 e durante todo o ano de 2011. O estudo
abrangeu as dimensões teórica e prática5 da Resolução de Problemas6.
4. O DESENVOLVIMENTO DA DISCIPLINA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Inicialmente foi proposto, aos 11 (onze alunos) do curso de Licenciatura em
Matemática, o estudo de algumas tendências do ensino e da pesquisa em Educação
Matemática. Foram contempladas: O Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática
Através da Resolução de Problemas; O uso de Tecnologias no Ensino de Matemática; e
a Modelagem Matemática como estratégia de ensino. O favoritismo em relação a esses
temas e não a outros dentro da grande área da Educação Matemática deu-se em razão da
necessidade de delimitar o trabalho.
No primeiro semestre do oferecimento da disciplina Resolução de Problemas, quarto
semestre do curso, seu desenvolvimento compreendeu o estudo teórico das tendências
escolhidas e a elaboração, pelos alunos, de um relatório final. Após esse semestre foilhes proposto que as aulas fossem desenvolvidas tendo a Metodologia como eixo
norteador, seguindo o que propõem Onuchic e Allevato (2011). Com isso, no segundo
semestre, problemas foram propostos pelo professor formador aos alunos, que se
organizaram em cinco grupos para resolvê-los. Para cada aula, com duração de 120
minutos, foi proposto um problema. Desses problemas propostos, pelo professor
formador, não constam suas resoluções aqui, visto não ser essa a pretensão deste
trabalho.
Iniciado o terceiro semestre dessa disciplina, último período do curso, aos alunos foi
dada a tarefa de buscar por diferentes problemas, procurando identificar aqueles que
seriam considerados bons, isto é, problemas que serviriam como ponto de partida para o
ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática, como pressupõe a Metodologia de
5
Considera-se teoria o estudo da Resolução de Problemas a partir de conceitos e proposições a ela
referentes. O aspecto prático refere-se à aplicação da Metodologia nas aulas de Matemática.
6
Os R e P maiúsculos indicam a Resolução de Problemas como teoria e, r e p, referem-se ao ato de
resolver problemas.
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ensino-aprendizagem-avaliação de Matemática através da Resolução de Problemas.
Nela, o professor precisa pesquisar problemas apropriados à construção de novos
conceitos e conteúdos, como afirmam Onuchic e Allevato (2011):
os problemas são postos aos alunos antes de lhes ter sido
apresentado, formalmente, o conteúdo matemático necessário
ou mais apropriado à sua resolução que, de acordo com o
programa da disciplina para a série atendida, é pretendido pelo
professor. Dessa forma, o ensino-aprendizagem de um tópico
matemático começa com um problema que expressa aspectoschave desse tópico, e técnicas matemáticas devem ser
desenvolvidas na busca de respostas razoáveis ao problema
dado. A avaliação do crescimento do aluno é feita
continuadamente, durante a resolução do problema (p.85).
Foram disponibilizadas algumas aulas para a pesquisa de problemas e, ao final, cada
grupo selecionou um problema para trabalhar, tendo a metodologia adotada como
suporte. Após a escolha do problema, uma nova etapa, que incluía, além da resolução
do problema; o questionamento sobre quais conceitos poderiam ser desenvolvidos a
partir do problema; o levantamento de questões norteadoras; o pensar num problema
auxiliar7; e verificar se o enunciado era suficientemente claro; foi iniciada. Toda essa
etapa, que ocorreu durante as aulas de Resolução de Problemas na biblioteca da
universidade, foi acompanhada pelo professor formador, que trabalhou com os grupos
questionando-os, sobre a clareza do enunciado dos problemas, conceitos que poderiam
ser explorados e a possibilidade da construção de outros conceitos ainda não abordados,
bem como, se um mesmo problema poderia ser trabalhado em diferentes níveis de
ensino.
Após a seleção e o estudo do problema, os alunos, futuros professores, organizaram-se,
em seus grupos, para elaborar seu plano de aula. Essas aulas foram ministradas nos
meses de outubro e novembro de 2011.
5. O TRABALHO DO G1
7
“é aquele de que tratamos, não por ele mesmo, mas porque esperamos que o seu tratamento nos auxilie a
resolver um outro – o nosso problema original. Este último é o fim a que desejamos chegar; o problema
auxiliar é o meio pelo qual tentamos chegar ao nosso objetivo” (POLYA, 1995, p.119).
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Priorizou-se por apresentar nesta pesquisa o resultado do trabalho de um único grupo de
alunos, futuros professores, chamado neste texto de G1. No entanto, é importante
ressaltar que os outros quatro grupos elaboraram e aplicaram suas aulas aos demais
colegas de sala, da mesma forma que fez o G1. Durante a apresentação do problema do
G1, os demais alunos trabalharam em seus grupos e contribuíram significativamente em
cada uma das etapas propostas pelo grupo. Assim, houve a participação efetiva de todos
os alunos, dentre os quais, alguns terão suas falas trazidas para este texto (esses
estudantes foram chamados de A1, B1 e C1).
A escolha por apresentar a aula do G1, neste texto, deu-se pela possibilidade de discutir
cada detalhe da aula por eles aplicada, bem como, por ter sido esse o único grupo a
propor o trabalho com a metodologia estudada na disciplina Resolução de Problemas
em duas disciplinas diferentes.
O professor formador ministrava nessa turma duas disciplinas sendo a Resolução de
Problemas, objeto deste estudo, e o Estágio Supervisionado. O Estágio estava
organizado da seguinte forma: no primeiro semestre de ocorrência, as aulas aconteciam
na universidade e, nessa etapa, eram estudados documentos oficiais que o regulamentam
como, também, eram dadas orientações aos alunos de como elaborar um plano de aula.
A aula, que seria elaborada pelos alunos para regência, deveria ser ministrada na
universidade ao professor e aos colegas de sala antes de ser aplicada na escola, local
onde o Estágio, sob seu ponto de vista prático, ocorria. No segundo período do Estágio,
os estudantes, futuros professores, iam para as escolas da rede de ensino público e
ocupavam salas de aula de Matemática, apenas observando o trabalho do professor. Já
no terceiro período do Estágio, faziam-se as regências.
A necessidade de abordar o Estágio Supervisionado neste texto justifica-se em razão de
o G1 ter sugerido trabalhar com a Resolução de Problemas como metodologia de
trabalho de sala de aula, e por sua vez com o mesmo problema, nas duas disciplinas
coordenadas pelo professor formador. Ao ser consultado sobre a possibilidade dessa
ocorrência, o professor não se opôs ao trabalho proposto pelo G1. Contrário a isso,
valorizou o trabalho do grupo que visualizou a possibilidade de estender o problema
para outra disciplina.
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As regências do Estágio Supervisionado ocorreram no mesmo semestre da aplicação do
problema escolhido pelo G1 na Resolução de Problemas. No entanto, diferentes
abordagens foram dadas ao problema em cada uma das disciplinas.
O problema trabalhado pelo G1:
“É dada uma folha de cartolina como na figura abaixo.
Cortando a folha na linha pontilhada
resultará um retângulo. Determine esse
retângulo, sabendo que a área é máxima”
(IEZZI, MURAKAMI, 1977, p. 132-A).
Figura 1
Esse problema foi adaptado para a aula de Estágio.
Na folha entregue pelo G1 aos colegas, o triângulo da Figura 1 não tinha indicadas as
medidas dos catetos (Figura 2), pois uma das etapas pretendidas pelo grupo era a de
que pudessem medir, com régua, suas dimensões e, posteriormente, definir os intervalos
reais, fechados, com os quais poderiam trabalhar. Ao solicitar a medição, desejava-se
que os alunos fizessem uso de instrumentos de medida – no caso a régua – para
trabalhar com intervalos reais. Esses intervalos determinariam o domínio real da função,
que seria definida no final da aula. A proposta era a de que o aluno pudesse, por ele
mesmo, observar o que era um intervalo real, como também verificar, nesse intervalo, o
domínio da função.
Figura 2
Desejando que, em atendimento ao problema, cada grupo desenhasse um ou mais
retângulos inscritos no triângulo dado, imaginando que pudessem ser o de área máxima,
o G1 teve como objetivo para a resolução desse problema, no Estágio Supervisionado,
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construir gráficos de funções como, por exemplo, a construção do gráfico de uma
Função Quadrática - cujas variáveis, nesse caso, eram a base dos retângulos inscritos
no triângulo e sua respectiva área - por meio da construção de uma tabela de valores,
com pares ordenados, e do software Graph®. Por sua vez, na aula de Resolução de
Problemas o enfoque dado foi para as relações algébricas e geométricas necessárias
para a resolução do problema.
Os conceitos que poderiam ser trabalhados nesse problema e elencados pelo G1 foram:
Área de Figuras Planas; Congruência de Triângulos; Semelhança de Triângulos; Razão
e Proporção; Expressões Algébricas; Plano Cartesiano; Noção Empírica de Função;
Noção Empírica de Limite; Intervalos Reais; Função Quadrática; Gráficos de Funções;
Pontos de Máximos e Mínimos; Limites e Derivadas.
As questões a seguir foram elaboradas pelo G1 para o direcionamento da aula:
1. Quais as dimensões da figura?
2. Quais os possíveis valores para as bases e alturas do retângulo procurado?
3. Dado o triângulo ABC (desenhado e recortado numa cartolina), podem-se inserir, dentro
desse triângulo, alguns retângulos que, visualmente, aparentam ter área máxima? Ao
registrar, na Tabela 1, os valores das bases dos retângulos construídos e de suas
respectivas áreas como pares ordenados, resultantes do produto da base escolhida pela
altura identificada no retângulo, obter-se-á uma coletânea de retângulos. Algum desses
retângulos aparenta ser o retângulo procurado?
Tabela 1
Número da
Base (x cm)
Área [A(x) cm2]
medição
1
2
...
9
10
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4. Pode-se perceber que, para cada valor da base do retângulo, existe uma área
correspondente, o que nos sugere que a área da figura é função da base. Sendo assim,
sejam x, a medida da base do retângulo construído, e A(x) a área A em função de x
formando pares ordenados (x,A(x)), que podem ser plotados no Plano Cartesiano. Para
isso, utilizando o software Graph®, responda: a) Qual o comportamento desses pares
ordenados no Plano Cartesiano? Que tipo de figura esses pares ordenados sugerem?; b)
Matematicamente pode-se construir uma lei de formação para essa figura, ou seja, uma
expressão analítica que representa a relação funcional entre a base do retângulo e sua
área? c) Essa figura apresenta pontos extremos? Quais seriam esses pontos?; d) De que
modo se podem encontrar esses pontos e o que eles nos fornecem?
5. Existe algum padrão de semelhança e congruência de triângulos nesse problema?
Caso exista, observando esse padrão, você é capaz de deduzir alguma relação algébrica
que lhe permita encontrar a função determinada anteriormente pelo software Graph®?
6. Você percebe algum outro método que lhe permita “desconfiar” de ter encontrado o
retângulo de área máxima procurado?
7. De quais conceitos matemáticos esse problema trata?
Obs: A altura necessária para o cálculo da área foi obtida pelo processo de medição,
com régua, indo do x assumido como base do retângulo, até a hipotenusa do triângulo
ABC. As questões levantadas pelo G1 não foram entregues aos demais colegas de sala.
Elas eram lançadas à medida em que o problema ia sendo desenvolvido.
6. O DESENVOLVIMENTO DA AULA DO G1
Na aula de Estágio Supervisionado, o G1 propôs o que chamou de “método
experimental”, pois cada aluno traçou, no triângulo da Figura 1, retângulos que
imaginava ter área máxima, mediu com régua suas dimensões e calculou sua área. Os
registros (base do retângulo e área respectiva) foram colocados na Tabela 1 e, em
seguida, registrados num Plano Cartesiano na planilha do Graph®, um software livre
disponível na web para download. Uma das ferramentas desse aplicativo, após inserir os
pontos numa tabela, plota os pontos no Plano Cartesiano. Em outra ferramenta do
aplicativo pode-se pedir uma melhor curva para a série de pontos selecionados e,
concomitantemente, o aplicativo dá a expressão analítica da função que, no caso do
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problema em discussão, representava a curva obtida a partir dos pares ordenados
coletados. A expressão analítica encontrada referia-se a uma Função Quadrática, cujo
valor máximo indicava o par ordenado procurado. O passo seguinte caracterizou-se pela
busca das coordenadas desse par ordenado.
Sobre a questão 4a), ao serem questionados, todos os alunos concordaram que a figura
seria algo parecido com uma Parábola, representação geométrica de uma Função
Quadrática, cujas particularidades (concavidade, zeros e vértice) passaram a ser
trabalhadas. Foi possível notar nessa etapa, no registro de alguns alunos, pontos
dispersos em relação aos demais, o que os motivou a retomar o processo de medição,
verificando que se tratava de erros aleatórios.
O estudo realizado levou o G1 a
trabalhar o cálculo do vértice da parábola e o coeficiente angular da reta tangente à
curva no par ordenado procurado (nesse ponto o coeficiente angular, obtido pela
Derivada da função, é nulo). Assim, cada aluno pôde calcular a base, que levava à área
máxima do retângulo, encontrando sua altura máxima pelo processo de medição, e
esgotando o que havia sido proposto para a aula do Estágio Supervisionado.
O principal objetivo do G1 para a aula de Estágio Supervisionado foi o de trabalhar com
a Metodologia nas aulas de Matemática, num curso de formação inicial docente,
contando com o apoio das Tecnologias da Informação (TICs) como ferramenta de
trabalho.
Na aula de Resolução Problemas foram levantadas outras possibilidades de resolução
do problema e, com elas, conceitos matemáticos importantes foram construídos. Duas
dessas possibilidades envolviam construções por dobraduras.
6.1 DOBRADURAS
Os alunos trabalharam na resolução do problema proposto pelo G1 em seus respectivos
grupos, aqueles organizados no início da disciplina Resolução de Problemas. O
integrante de um desses grupos, chamado neste texto de A1, construiu o triângulo ABC
com as medidas propostas pelo problema e o recortou. Percebeu que, ao sobrepor, por
dobradura, o vértice A e o vértice C, do triângulo ABC, ao vértice B, acabavam por
construir um retângulo que se inscrevia perfeitamente no triângulo ABC (Figura 3).
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Figura 3
A1 disse que a composição de dois triângulos retângulos idênticos formou o retângulo
BEDF, não havendo outra possibilidade de compor um retângulo, a partir de dois
triângulos, que fosse inscrito no triângulo retângulo ABC. Sabendo que a soma das
áreas dos dois triângulos (BFD e BDE) corresponde à área de um retângulo, A1
verificou que o retângulo obtido é o de área máxima procurado. Constatou ainda,
utilizando a régua, que os vértices F e E do retângulo BEDF eram pontos médios dos
catetos AB e BC, respectivamente, do triângulo retângulo ABC. Desse modo, as
dimensões do retângulo de área máxima procurado eram:
A1 prolongou sua análise acerca do problema, questionando-se se o segmento de reta
poderia ser a mediana relativa ao lado AB do triângulo e bissetriz do ângulo B. Para
tanto, A1 percebeu as seguintes congruências nos triângulos retângulos AFD (adjacente
ao lado DF) e DEC (adjacente ao lado DE):
Figura 4
Em seguida, A1 afirmou: resulta de (1), (2) e (3) e do caso Lado Ângulo Lado (LAL)
para congruência de triângulos, que os triângulos retângulos AFD e DEC são
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congruentes. Portanto, as hipotenusas AD e DC possuem a mesma medida o que torna o
ponto D ponto médio do lado AC do triângulo retângulo ABC. Concluiu-se então que o
segmento
é a mediana relativa ao lado AC do triângulo ABC.
Para verificar se
era bissetriz do ângulo B, condição que A1 não foi capaz de
resolver, o G1 fez a seguinte intervenção: Sejam os triângulos ADB e BDC vistos na
Figura 5.
Figura 5
Do caso de congruência de triângulos visto anteriormente, disse o G1, temos que os
lados AD, BD e CD são congruentes. Sendo assim, os triângulos ADB e BDC são
isósceles o que implica em
bem como, D
. Contudo, os lados
AB e BC são diferentes, o que torna também diferentes os ângulos
forma, concluiu o G1, o segmento de reta
. Dessa
não é bissetriz do ângulo B.
O que foi descrito anteriormente, resultado do trabalho do G1 em Plenária8 com os
demais colegas, foi ocorrendo à medida que eram levantadas questões sobre o
problema. Todos os questionamentos feitos por A1 foram discutidos pelo G1. Além
disso, G1 auxiliou em conceitos que A1 não compreendia ou mesmo que apresentava
algum grau de dificuldade, como no caso de verificar se
era ou não bissetriz. Todo
esse trabalho esteve sob a supervisão e orientação do professor formador.
Depois de verificar, por dobradura, qual era o retângulo procurado e de responder às
questões levantadas, com o apoio da Geometria Euclidiana Plana sobre ponto médio,
mediana e bissetriz, o G1 sugeriu buscar comprovação, por meio da Álgebra, de que o
retângulo procurado era, de fato, aquele que A1 havia encontrado.
8
Plenária é o momento de discussão em que participam todos os alunos. Nessa etapa são apresentadas
todas as diferentes formas de resolução do problema proposto. O professor se coloca como um mediador,
como um guia (ONUCHIC; ALLEVATO; 2011). Nesta pesquisa, além do que propõem Onuchic e
Allevato, considerou-se Plenária todos os momentos de discussão geral que envolvia todos os alunos.
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Antes de atender à solicitação do G1, um estudante, chamado nesse texto de B1,
pertencente a outro grupo de trabalho, desenhou o triângulo AGC - que na Geometria
Euclidiana Plana é a reflexão do triângulo ABC, sendo
o eixo de simetria -
formando um retângulo (Figura 6) de medidas 6cm e 8cm. Ao dobrar o retângulo ao
meio, verticalmente e horizontalmente, foram gerados 4 (quatro) retângulos menores
com dimensões congruentes, ao menos experimentalmente. Um desses retângulos ficou
perfeitamente inscrito dentro do triângulo ABC, conforme a figura a seguir:
Figura 6
Dessa forma, B1 argumentou que a área máxima do retângulo procurado seria igual a
um quarto da área do retângulo ABCG:
S = área do retângulo ABCG
Visto que as dobraduras foram feitas em cima dos pontos médios dos lados do retângulo
ABCG, constatou B1, foi imediato afirmar que as medidas dos lados do retângulo de
área máxima inscrito no triângulo ABC é igual à metade das medidas dos lados do
retângulo ABCG. Dessa forma, as dimensões do retângulo de área máxima procurado
são 3cm e 4cm, visto que (3cm) x (4cm) = 12cm2, que corresponde a ¼ da medida da
área do retângulo ABCG. A constatação de B1 não foge ao que A1 havia concluído
sobre as dimensões do retângulo de área máxima.
Nesse instante, um integrante de outro grupo de trabalho, chamado neste texto de C1,
questionou se o retângulo de área máxima (área igual a 12cm2), inscrito no triângulo
ABC, seria único.
Uma nova problemática foi instaurada e, nesse momento, questionou-se, inclusive, o
enunciado do problema que dizia: “Determine esse retângulo, sabendo que a área é
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máxima”. Veja que o uso da palavra “esse” determina um único retângulo, mas, naquele
momento, com o questionamento de C1, todos os alunos pensaram na possibilidade de
haver outros retângulos. Por exemplo, o retângulo de base 3cm e altura 4cm poderia ser
um dos inscritos no triângulo ABC? E o retângulo de base 2cm e altura 6cm?
Após algum tempo, C1 argumentou que se a base do retângulo está sobre o lado BC do
triângulo ABC, esta base – que denotaremos por b – está contida no intervalo real ]0;8[.
Do mesmo modo, se a altura do retângulo está sobre o lado AB do triângulo ABC, esta
altura – que denotaremos por h – está contida no intervalo real ]0;6[ :
Para resolver essa questão, o que permitiria encontrar as dimensões do retângulo de área
máxima de forma segura, o G1, apoiado na Álgebra, apresentou a solução a seguir.
6.2 MÉTODO ALGÉBRICO
Nessa etapa, estando os alunos em seus grupos de trabalho, o G1, em Plenária, por meio
de questionamentos, buscou por uma função que relacionava a área do retângulo com
sua base a partir da semelhança de triângulos, nos triângulos ABC e AED (Caso:
Ângulo Ângulo Ângulo - AAA).
Figura7
Assim, utilizando a fórmula que calcula a área A do retângulo DEFC (um retângulo
genérico que indica o de área máxima procurado) e a relação de semelhança entre os
triângulos ABC e AED, o G1 escreveu:
, lembrando que duas
figuras são semelhantes quando seus ângulos são iguais e seus lados são proporcionais.
De (2) temos:
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y=
Finalmente, substituindo (3) em (1) teremos que:
A(x) = x.
Assim, A é uma Função Quadrática que depende de x, cujo gráfico apresenta um único
ponto de máximo. Por essa razão, poder-se-ia encontrar um único retângulo de
dimensões máximas, derrubando, por meio da Álgebra, a conjectura de que poderia
haver mais de um retângulo de área 12cm² inscrito no triângulo ABC e garantindo que o
enunciado do problema, com o uso da palavra “esse”, estava correto.
Fazendo uso dos conhecimentos prévios sobre o cálculo do vértice da Parábola e
gráfico de uma Função Quadrática, G1 deu continuidade: Seja xv a abscissa do vértice
da Parábola, que nesse caso, coincide com a medida da base do retângulo de área
máxima procurado. Então:
Substituindo x = 4cm em (3), tem-se:
y = 3cm.
Com isso o G1, juntamente com os demais grupos, concluiu que existia um único
retângulo de área máxima igual a 12cm2 inscrito no triângulo retângulo ABC. Como
justificativa para C1, foi-lhes dito que havia outros retângulos com área igual a 12cm2,
como já havia sido diagnosticado. Contudo, não eles são perfeitamente inscritíveis no
triângulo ABC.
Outra forma de resolver o problema, mas que não foi abordada pelo G1, seria com o
apoio da Geometria Analítica.
Se o triângulo ABC fosse desenhado no Plano Cartesiano, estando seus catetos
apoiados no sistema de eixos coordenados, poder-se-ia, por meio da equação da reta
f(x) = y = x + b, encontrar o coeficiente angular da reta ( ) e o coeficiente linear ( ).
Isso porque, a equação da reta procurada determina a hipotenusa do triângulo ABC,
sendo que o coeficiente angular é dado pela equação
=
=
= .A
figura mostra que a reta procurada y = ax + b é decrescente. Assim, o coeficiente
angular é negativo. Logo,
. O coeficiente linear, ponto onde a reta intercepta o
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eixo
, é 6, ou seja,
= 6. A equação procurada é, então, y =
.
Com essa equação, atribuindo-se valores para x que, no caso do problema, é a variável,
calcula-se a altura y analiticamente e, consequentemente, a área desses retângulos.
Existem infinitos retângulos inscritíveis no triângulo ABC (e isso pode ser comprovado
atribuindo-se qualquer valor real positivo para x pertencente ao domínio da função).
Contudo, só há um deles com área igual a 12cm² inscrito no triângulo ABC. Logo, ele é
o de área máxima.
O G1, durante o estudo dos conceitos que poderiam ser ensinados com o problema,
verificou a possibilidade de abordar o conceito de Derivada. Durante a aplicação do
problema, essa abordagem não foi sugerida pelos demais colegas e coube ao G1
apresentá-la.
Considerando que as Funções Polinomiais são diferenciáveis em todo o seu domínio,
disse o G1, a Derivada de Primeira Ordem
Polinomial
da Função
, interpretada geometricamente como o coeficiente
angular da reta tangente à curva num dado ponto da função, quando igualada a zero,
indica os pontos de máximo ou de mínimo da função. Igualando
a zero, obtém-se
x = 4, que é ponto de máximo da função e o valor da base do retângulo de área máxima.
Para calcular o valor de y, largura do retângulo, basta substituir x = 4 em (3):
y=
, obtendo o valor de y, que é 3.
Essa abordagem, usando conceitos do Cálculo Diferencial e Integral, encerra uma
ampla gama de conceitos importantes que podem ser abordados com esse problema,
mostrando-nos que um único problema, que inicialmente pareceu ser muito simples
com a resolução empírica por meio de dobraduras, pode ser trabalhado desde as séries
iniciais do Ensino Fundamental II, passando pelo Ensino Médio com os importantes
conceitos de Função Afim e Função Quadrática e, com mais rigor, no Ensino Superior,
com a abordagem do Cálculo Diferencial e da Geometria Analítica.
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CONSIDERAÇÕES FINAIS
Retomando o que disse Garcia Blanco (2003), no início deste texto, quando falou dos
estamentos que envolvem a formação docente, veem-se, no que foi aqui apresentado,
algumas dessas particularidades em movimento, que poderiam solucionar, ao menos na
esfera que compete aos que aqui foram citados, essa problemática. Viu-se: a instituição
com um novo projeto curricular, o formador de professor direcionando seu trabalho às
novas tendências do ensino de Matemática e, os alunos, interessados em conhecer novas
práticas, todos engajados num movimento de mudança.
A metodologia adotada possibilitou ao futuro professor estabelecer a relação entre
conceitos matemáticos abordados nos diferentes níveis de ensino, da Educação Básica
ao Ensino Superior. Espera-se que o aprendizado adquirido venha a incorporar sua
prática docente, trabalhando a Matemática sob o ponto de vista de seu desenvolvimento,
inter-relacionando os conteúdos, valorizando os conhecimentos prévios dos estudantes,
fazendo conexões com conceitos já apreendidos e/ou com experiências já vivenciadas, a
fim de promover uma aprendizagem mais significativa. A Metodologia de EnsinoAprendizagem-Avaliação de Matemática Através da Resolução de Problemas apresentase como uma possiblidade de trabalho que pode vir a ser incorporada em sua prática.
Um aspecto positivo que pôde ser observado foi o de alunos engajados em um forte
processo de formação em função das condições de trabalho às quais foram expostos
permitindo, inclusive, que o conhecimento adquirido numa disciplina transcendesse
para além dela.
Agradecimentos: Agradecemos aos ex-alunos, atuais professores da Educação Básica,
Luís Ricardo Alves Soares e Renata Roque que muito contribuíram com este trabalho.
REFERÊNCIAS
ALBUQUERQUE, C. et al. (2006). A Matemática na Formação inicial de professores.
Lisboa: APM e SPCE. Disponível em http://www.apm.pt/files/_9095_lq_45d9e33dcb34b.pdf . Acesso em: 20 nov. 2013.
BALL, D. L.; COHEN, D. K. (1999). Developing practice, developing practitioners:
toward a practice – based theory of professional education. In G. Sykes and L. Darling –
Hammond (Eds). Teaching as the learning profession: Handbook of policy an practice
(pp.3-32). San Francisco: Jossey Bass.
Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.15, n.3, pp.671-691, 2013
690
CURI, E. (2011). A formação inicial de professores para ensinar matemática: algumas
reflexões, desafios e perspectivas, 75-93. In REMATEC: Revista de Matemática, Ensino
e Cultura/ Universidade Federal do Rio Grande do Norte. – Ano 6. n.9 (jul. 2011). –
Natal, RN:EDUFRN – editora da UFRN.
FIORENTINI, D. (2003). Em busca de novos caminhos e de outros olhares na formação
de professores de Matemática - Apresentação. In: FIORENTINI, Dario (Org.).
Formação de Professores de Matemática: Explorando novos caminhos com outros
olhares. Campinas, SP: Mercado das Letras, 2003. p. 7-16.
GARCIA BLANCO, M.M. (2003). A formação inicial de professores de Matemática:
Fundamentos para a definição de um curriculum. In: Formação de professores de
Matemática: explorando novos caminhos com outros olhares. Dario Fiorentini (Org).
Campinas, SP: Mercado de Letras. p.51-86.
GOLDENBERG, M. (1997/2003). A arte de pesquisar – Como fazer uma pesquisa
qualitativa em Ciências Sociais. 7ª Edição. Rio de Janeiro - São Paulo: Record editora.
IEZZI, G.; MURAKAMI, C. (1977). Fundamentos de Matemática Elementar –
Conjuntos Funções. 3ª Edição. São Paulo: Atual Editora.
KLEIN, F. (1908/1924). Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint:
Arithmetic, Algebra, analysis. 3ª ed. USA. Editora: Cosimo Classis.
MOREIRA, P. C.; DAVID, M.M.M.S. (2007). A formação matemática do professor:
licenciatura e prática docente escolar. Belo Horizonte: Autêntica, 2007. 116p.
ONUCHIC. L.R.;ALLEVATO, N.S.G. (2011). Pesquisa em resolução de Problemas:
caminhos, avanços e novas perspectivas. In: Boletim de Educação Matemática
(BOLEMA), UNESP – IGCE. – v.5, n.41, Dezembro de 2011.
ONUCHIC. L.R. (1999). Ensino-aprendizagem de Matemática através da resolução de
problemas. In: Pesquisa em Educação Matemática: concepções & perspectivas. 5ª
reimpressão. Maria Ap. V. Bicudo (Org). Editora Unesp: Rio Claro.
POLYA, G. (1962). Mathematical Discovery – on understanding, learning, and teaching
problem solving. v.I. John Wiley & Sons, INC., New York. London. Library of Congress
Catalog Card Number: 62-8784.
________ (1945/1995). A Arte de Resolver Problemas: um novo aspecto do método
matemático. Tradução e adaptação: Heitor Lisboa de Araújo. 2ª reimpressão. Rio de
Janeiro: Interciência, 1995. 196p.
SILVER, E. A. (2006). Formação de Professores de Matemática: desafios e direções. In:
Boletim de Educação Matemática (BOLEMA). UNESP – IGCE. - Ano 19 - n.26. Rio
Claro: Unesp, 2006.
TARDIF, M. (2010). Saberes docentes e formação profissional. 11.ed. – Petrópolis, RJ:
Vozes, 2010.
Educação Matemática Pesquisa, São Paulo, v.15, n.3, pp.671-691, 2013
691