SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
2015
Hidrodinámica- Breve apunte teórico
FUNDAMENTOS TEORICOS
Hidrodinámica
Ahora analizaremos en forma muy elemental el comportamiento de los fluidos en
movimiento. Cuando un fluido está en movimiento, el flujo se puede clasificar en dos tipos:
a) Flujo estacionario o laminar si cada partícula de fluido sigue una trayectoria
uniforme y estas no se cruzan, es un flujo ideal. Por ejemplo el humo de cigarrillo justo
después de salir del cigarro es laminar. En el flujo estacionario la velocidad del fluido
permanece constante en el tiempo. Sobre una velocidad crítica, el flujo se hace turbulento.
b) Flujo turbulento es un flujo irregular con regiones donde se producen torbellinos.
Por ejemplo el humo de cigarrillo en la parte superior alejada del cigarro es turbulento.
El flujo laminar se vuelve turbulento por efecto de la fricción que también está
presente en los fluidos y surge cuando un objeto o capa del fluido que se mueve a través de él
desplaza a otra porción de fluido; lo notas por ejemplo cuando corres en el agua. La fricción
interna en un fluido es la resistencia que presenta cada capa de fluido a moverse respecto a
otra capa. La fricción interna o roce de un fluido en movimiento se mide por un coeficiente
de viscosidad. Por efecto de la viscosidad parte de la energía cinética del fluido se
transforma en energía térmica, similar al caso de los sólidos. Debido a que el movimiento de
un fluido real es muy complejo, consideraremos un modelo de fluido ideal con las siguientes
restricciones: fluido incompresible, es decir de densidad constante, no viscoso, flujo
estacionario e irrotacional, en este último caso se refiere a la rotación de cada partícula de
fluido y no del fluido como un todo, que puede tener una trayectoria curva o girar.
Caudal
En dinámica de fluidos, caudal (Q) es el volumen de fluido que pasa por determinado
elemento en la unidad de tiempo. Normalmente se calcula a partir del flujo, volumen que
pasa por un área dada en la unidad de tiempo.
1
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
2
2015
� = �� � ∗ �
� = �� � ∗
��
/��
� �
(1)
(2)
La fórmula principal para hallar el caudal de un fluido es:
Figura 1
El caudal se relaciona fácilmente con la velocidad a la que se desplaza el fluido.
Consideremos un tubo por el que se desplaza un fluido. La sección interna (área) del tubo es
A y la velocidad a la que se desplaza el fluido (cada molécula del fluido) es v. Ahora
tomemos arbitrariamente un cierto volumen dentro del tubo. Ese volumen (un cilindro) es
igual a la superficie de su base (que no es otro que la sección del tubo, A) por la altura (un
cierto Δx):
= �∗ ∆
(3)
Al cabo de cierto intervalo de tiempo (Δt) todo el volumen habrá atravesado el área de
adelante. Justamente así teníamos definido el caudal:
�=
y recordando que
= ∆ /∆ nos queda:
/∆
(4)
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
3
2015
�= � ∗
∆
=�∗
∆
(5)
El caudal es igual a la velocidad a la que se mueve el fluido por la sección del conducto.
Ecuación de continuidad
La trayectoria seguida por una partícula de fluido estacionario se llama línea de
corriente, así que por definición la velocidad es siempre tangente a la línea de corriente en
cualquier punto. Por lo tanto las líneas de corriente no se pueden cruzar, sino en el punto de
cruce, la partícula de fluido podría irse por cualquiera de las líneas y el flujo no sería
estacionario. Un conjunto de líneas de corriente forma un tubo de corriente o de flujo (figura
1), las partículas de fluido se pueden mover sólo a lo largo del tubo, ya que las líneas de
corriente no se cruzan.
Figura 2
Considerar un fluido que se mueve a lo largo de un tubo de corriente, cuya sección
transversal aumenta en dirección del flujo, como en la figura 1. En un intervalo � en la
sección más angosta del tubo de área � , el fluido se mueve una distancia �
=
� . La
masa contenida en el volumen � �
es �
= � � � . De manera similar, en la
sección ancha del tubo de área � , se obtienen expresiones equivalentes en el mismo � ,
cambiando el subíndice 1 por 2. Pero la masa se conserva en el flujo estacionario, esto es la
masa que cruza por � es igual a la masa que pasa por � en el intervalo de tiempo � ,
entonces:
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
∆
4
2015
=∆
��
⟹ �� ∆
∆ = � �
��
= � � ∆
∆
(6)
(7)
(8)
= � �
Esta se llama ecuación de continuidad, representa la conservación de la masa:
significa que la masa no puede ser creada ni destruida, sólo se puede transformar, similar a la
conservación de la energía.
Para un fluido incompresible, es decir de densidad constante, la ecuación de
continuidad se reduce a:
�
=�
=
(9)
esto es, el producto del área por la rapidez normal a la superficie en todos los puntos a lo
largo del tubo de corriente es constante. La rapidez es mayor (menor) donde el tubo es más
angosto (ancho) y como la masa se conserva, la misma cantidad de fluido que entra por un
lado del tubo es la que sale por el otro lado, en el mismo intervalo de tiempo. La cantidad
Av, que en el SI tiene dimensiones de m3/s, se llama flujo de volumen, (� = flujo).
Ecuación de Bernoulli
Cuando fluye el fluido por un tubo de sección transversal no uniforme y de un nivel a
otro, por la ecuación hidrostática, la presión cambia a lo largo del tubo (figura 2). La fuerza
de la presión
en el extremo inferior del tubo de área � es
=
� . El trabajo
realizado por esta fuerza sobre el fluido es
= � = � � = � ,
donde � es el volumen de fluido considerado. De manera equivalente en el nivel superior,
si se considera un mismo intervalo de tiempo el volumen � de fluido que cruza la sección
superior de área � es el mismo, entonces el trabajo es
= − � � = − � . El
trabajo neto realizado por las fuerzas en el intervalo de tiempo � es:
=
+
=
−
∆
(10)
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
5
2015
Figura 3
Parte de este trabajo se usa en cambiar tanto la energía cinética como la energía
potencial gravitacional del fluido. Si � es la masa que pasa por el tubo de corriente en el
tiempo � , entonces la variación de energía cinética es:
∆
�
= ∆
−
∆
(11)
Y la variación de energía potencial gravitacional es:
∆
�
=∆
�
− ∆ �
(12)
Por el teorema del trabajo y la energía se tiene:
=∆
−
�
+∆
�
⇒
∆
−
∆
+∆
= �
−
�
+��
∆ =
(13)
�
− ∆ �
(14)
Dividiendo por � y como � = � /� , se obtiene la ecuación de Bernoulli para un
fluido no viscoso, incompresible, estacionario e irrotacional.
−
− ��
(15)
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
+ �
6
2015
+ ��
=
+ �
+��
(16)
La ecuación de Bernoulli, que es un resultado de la conservación de la energía
aplicada a un fluido ideal, generalmente se expresa como:
+ �
+ ��
=
(17)
Teorema de Torricelli
Este teorema es una aplicación del principio de Bernoulli, el cual va a estudiar el flujo
de un líquido contenido en un recipiente, a través de un pequeño orificio que está bajo la
acción de la gravedad. El Teorema de Torricelli es una expresión matemática que nos indica
la velocidad de salida de un líquido a través de un orificio practicado en la pared de un
recipiente abierto a la atmósfera. La forma explícita es:
= √ �ℎ
(18)
Esta expresión puede obtenerse aplicando la ecuación de Bernoulli a dos puntos de la
figura 4, uno de ellos colocado en la superficie libre del líquido y el otro en el orificio de
salida. Debe considerarse además que el nivel del líquido en el recipiente prácticamente no
disminuye. La ecuación deBernoulli, aplicada desde un punto 1 en la superficie libre hasta el
centro de lavena contracta, punto 2, establece que:
SISTEMAS DINÁMICOS I
Comisión 3
Universidad Tecnológica Nacional
Facultad Regional San Rafael
7
2015
Figura 4
�
+
��
+
=
�
+
��
+
(19)
En este caso, las presiones
y , son iguales a la presión atmosférica que se toma como
referencia. Generalmente, la velocidad en la superficie libre, , es suficientemente pequeña,
dada la gran sección del depósito, para poderdespreciarla frente al resto de términos. Si
además tomamos el punto 2 como punto de referencia de elevación, entonces − = �.
Con todo esto, la ecuación anterior se escribe como:
�=
Bibliografía
�
⇒
= √ ��
(20)
Bedford, A., Fowler, W. (2000) "Mecánica para Ingeniería. Dinámica". Pretince Hall.
Sears, Zemansky, Young, Freedman. (1999). '" Física Universitaria". Vol. I, Pearson.
P. A. Tipler y G. Mosca.(2005). “Física para la Ciencia y la Ingeniería”. Vol. I,
Reverté.