Fisica 3 BGU

Física 3 BGU Serie Ingenios EDITORIAL DON BOSCO PRESIDENTE DE LA REPÚBLICA Rafael Correa Delgado MINISTRO DE EDUCACIÓN Augusto Espinosa Andrade VICEMINISTRO DE EDUCACIÓN Freddy Peñaiel Larrea VICEMINISTRA DE GESTIÓN EDUCATIVA Daysi Valentina Rivadeneira Zambrano SUBSECRETARIO DE FUNDAMENTOS EDUCATIVOS Miguel Ángel Herrera Pavo SUBSECRETARIO DE ADMINISTRACIÓN ESCOLAR Mirian Maribel Guerrero Segovia DIRECTORA NACIONAL DE CURRÍCULO María Cristina Espinosa Salas DIRECTORA NACIONAL DE OPERACIONES Y LOGÍSTICA Ada Leonora Chamorro Vásquez EDITORIAL DON BOSCO OBRAS SALESIANAS DE COMUNICACIÓN Marcelo Mejía Morales Gerente general Eder Acuña Reyes Dirección editorial Eder Acuña Reyes Adaptación y edición de contenidos Eder Acuña Reyes Creación de contenidos nuevos Luis Felipe Sánchez Coordinación de estilo Luis Felipe Sánchez Revisión de estilo Pamela Cueva Villavicencio Coordinación gráica Pamela Cueva Villavicencio Diagramación Darwin Parra O. Ilustración Darwin Parra O. Diseño de portada e ilustración En alianza con Grupo edebé Proyecto: Física 3 Bachillerato Antonio Garrido González Dirección general José Luis Gómez Cutillas Dirección editorial María Banal Martínez Dirección de edición de Educación Secundaria Santiago Centelles Cervera Dirección pedagógica Juan López Navarro Dirección de producción Equipo de edición Grupo edebé © grupo edebé, 2010 Paseo San Juan Bosco, 62 08017 Barcelona www.edebe.com EDITORIAL DON BOSCO ISBN 978-9942-23-020-1 Primera impresión: Agosto 2016 Este libro fue evaluado por la Escuela Politécnica Nacional, y obtuvo su certiicación curricular el 7 de septiembre de 2016. Este libro de texto que tienes en tus manos es una herramienta muy importante para que puedas desarrollar los aprendizajes de la mejor manera. Un libro de texto no debe ser la única fuente de investigación y de descubrimiento, pero siempre es un buen aliado que te permite descubrir por ti mismo la maravilla de aprender. El Ministerio de Educación ha realizado un ajuste curricular que busca mejores oportunidades de aprendizaje para todos los estudiantes del país en el marco de un proyecto que propicia su desarrollo personal pleno y su integración en una sociedad guiada por los principios del Buen Vivir, la participación democrática y la convivencia armónica. Para acompañar la puesta en marcha de este proyecto educativo, hemos preparado varios materiales acordes con la edad y los años de escolaridad. Los niños y niñas de primer grado recibirán un texto que integra cuentos y actividades apropiadas para su edad y que ayudarán a desarrollar el currículo integrador diseñado para este subnivel de la Educación General Básica. En adelante y hasta concluir el Bachillerato General Uniicado, los estudiantes recibirán textos que contribuirán al desarrollo de los aprendizajes de las áreas de Ciencias Naturales, Ciencias Sociales, Lengua y Literatura, Matemática y Lengua Extranjera-Inglés. Además, es importante que sepas que los docentes recibirán guías didácticas que les facilitarán enriquecer los procesos de enseñanza y aprendizaje a partir del contenido del texto de los estudiantes, permitiendo desarrollar los procesos de investigación y de aprendizaje más allá del aula. Este material debe constituirse en un apoyo a procesos de enseñanza y aprendizaje que, para cumplir con su meta, han de ser guiados por los docentes y protagonizados por los estudiantes. Esperamos que esta aventura del conocimiento sea un buen camino para alcanzar el Buen Vivir. Ministerio de Educación 2016 Presentación Física 3 BGU ahora mismo es una página en blanco que, como tú, posee un ininito potencial. Te presentamos Ingenios, el nuevo proyecto de Editorial Don Bosco que hemos diseñado para impulsar lo mejor de ti y que te acompañará en tu recorrido por el conocimiento. Ingenios: • Fomenta un aprendizaje práctico y funcional que te ayudará a desarrollar destrezas con criterios de desempeño. • Propone una educación abierta al mundo, que se integra en un entorno innovador y tecnológico. • Apuesta por una educación que atiende a la diversidad. • Refuerza la inteligencia emocional. • Releja los propósitos del Ministerio de Educación que están plasmados en el currículo nacional vigente. • Deja alorar la expresividad de tus retos. • Incorpora Edibosco Interactiva, la llave de acceso a un mundo de recursos digitales, lexibles e integrados para que des forma a la educación del futuro. • Es sensible a la justicia social para lograr un mundo mejor. Física 3 BGU te presenta los contenidos de forma clara e interesante. Sus secciones te involucrarán en proyectos, relexiones y actividades que te incentivarán a construir y fortalecer tu propio aprendizaje. Las ilustraciones, fotografías, enlaces a páginas web y demás propuestas pedagógicas facilitarán y clariicarán la adquisición de nuevos conocimientos. Construye con Ingenios tus sueños. Índice 0 Prohibida su reproducción un temidad átic a Herramientas matemáticas Contenidos 1. Cálculo diferencial (11 - 12) 2. Cálculo integral (13 - 14) 3. Resolución de problemas (15) 2 1 un temidad átic a Mecánica I Objetivos • Describir los fenómenos que aparecen en la naturaleza, analizando las características más relevantes y las magnitudes que intervienen y progresar en el dominio de los conocimientos de física, de menor a mayor profundidad, para aplicarlas a las necesidades y potencialidades de nuestro país. • Comprender que la física es un conjunto de teorías cuya validez ha tenido que comprobarse en cada caso, por medio de la experimentación. • Comunicar información con contenido cientíico, utilizando el lenguaje oral y escrito con rigor conceptual, interpretar leyes, así como expresar argumentaciones y explicaciones en el ámbito de la física. Contenidos 1. Descripción del movimiento (18 - 33) 1.1. Magnitudes de movimiento 1.2. Causas del movimiento 1.3. Aplicaciones de la leyes de Newton 1.4. Movimiento de rotación 2. La Tierra en el universo. Modelos del universo (34 - 41) 2.1. Fuerzas gravitatorias 2.2. Ley de gravitación universal 2.3. Estudio del campo gravitatorio de la Tierra 2.4. Leyes de Kepler un temidad átic a Mecánica II Objetivos • Describir los fenómenos que aparecen en la naturaleza, analizando las características más relevantes y las magnitudes que intervienen y progresar en el dominio de los conocimientos de física, de menor a mayor profundidad, para aplicarlas a las necesidades y potencialidades de nuestro país. • Reconocer el carácter experimental de la física, así como sus aportaciones al desarrollo humano, por medio de la historia, comprendiendo las discrepancias que han superado los dogmas, y los avances cientíicos que han inluido en la evolución cultural de la sociedad. Contenidos 1. Movimiento armónico simple (54 - 59) 1.1. Ecuaciones del movimiento armónico simple 1.2. Ecuación de la velocidad 1.3. Ecuación de la aceleración 2. Oscilador armónico simple (60 - 63) 2.1. Dinámica del oscilador armónico simple 2.2. Péndulo simple 3. Ondas (64 - 83) 3.1. Fenómenos ondulatorios 3.2. Características de las ondas armónicas 3.3. Ondas sonoras 3.4. Fenómenos básicos Prohibida su reproducción 2 3 3 un temidad átic a Campos eléctricos y magnéticos Objetivos • Comprender la importancia de aplicar los conocimientos de las leyes físicas para satisfacer los requerimientos del ser humano a nivel local y mundial, y plantear soluciones a los problemas locales y generales a los que se enfrenta la sociedad. • Comunicar resultados de experimentaciones realizadas, relacionados con fenómenos físicos, mediante informes estructurados, detallando la metodología utilizada, con la correcta expresión de las magnitudes medidas o calculadas. Contenidos 1. Fuerzas eléctricas (96 - 98) 1.1. Carga eléctrica 1.2. Ley de Colulomb 2. Estudio del campo eléctrico (99 - 104) 2.1. Descripción del campo eléctrico 2.2. Determinación del campo eléctrico 2.3. Fuentes del campo magnético 3. Magnetismo (105 - 106) 3.1. Fuentes del magnetismo 3.2. Explicación del magnetismo natural 4. Estudio del campo magnético (107 - 115) 4.1. Descripción del campo magnético 4.2. Representación del campo magnético 4.3. Fuentes del campo magnético 4 un temidad átic a Electromagnetismo Objetivos • Integrar los conceptos y leyes de la física, para com- • Describir los fenómenos que aparecen en la natura- prender la ciencia, la tecnología y la sociedad, ligadas a la capacidad de inventar, innovar y dar soluciones a la crisis socio ambiental.indispensable para la vida con el propósito de fomentar el uso de energías renovables. leza, analizando las características más relevantes y las magnitudes que intervienen y progresar en el dominio de los conocimientos de física, de menor a mayor profundidad, para aplicarlas a las necesidades y potencialidades de nuestro país. Contenidos 1. Inducción de la corriente eléctrica (132 - 139) 1.1. Experiencias de Faraday Prohibida su reproducción 1.2. Flujo magnético 3. Síntesis electromagnética (146 - 147) 3.1. Ecuaciones de Maxwell 4. Naturaleza de la luz (148 - 153) 1.3. Ley de Lenz 4.1. Ondas electromagnéticas 1.4. Ley de Faraday 4.2. Propagación rectilínea de la luz 2. Aplicaciones de la ley de inducción electromagnética (140 - 145) 2.1. Generadores eléctricos 2.2. Autoinducción 4.3. Velocidad de propagación 5. Fenómenos luminosos (154 - 159) 5.1. Relexión y refracción 5.2. Interferencia y difracción 5.3. Polarización 4 5 Física moderna I un temidad átic a Objetivos • Desarrollar habilidades para la comprensión y difusión de los temas referentes a la cultura cientíica y de aspectos aplicados a la física clásica y moderna, demostrando un espíritu cientíico, innovador y solidario, valorando las aportaciones de sus compañeros. • Reconocer el carácter experimental de la física, así como sus aportaciones al desarrollo humano, por medio de la historia, comprendiendo las discrepancias que han superado los dogmas, y los avances cientíicos que han inluido en la evolución cultural de la sociedad. Contenidos 1. Sistemas de referencia (172) 4. Radiación térmica del cuerpo negro (183 - 184) 4.1. Hipótesis de Planck 2. La relatividad en la mecánica clásica (173 - 175) 2.1. Transformaciones de Galileo 3. Limitaciones de la física clásica (176 - 182) 3.1. Mecánica relativista: relatividad especial 6 5.1. Teoría cuántica de Einstein 6. Espectros atómicos (188 - 189) 6.1. Modelo atómico de Bohr 7. Mecánica cuántica (190 - 191) 3.2. Postulados de Einstein 7.1. Dualidad onda-partícula 3.3. Transformaciones de Lorentz 7.2. Aplicaciones de la mecánica cuántica Física moderna II Objetivos • Desarrollar habilidades para la comprensión y difusión de los temas referentes a la cultura cientíica y de aspectos aplicados a la física clásica y moderna, demostrando un espíritu cientíico, innovador y solidario, valorando las aportaciones de sus compañeros. • Comunicar resultados de experimentaciones realizadas, relacionados con fenómenos físicos, mediante informes estructurados, detallando la metodología utilizada, con la correcta expresión de las magnitudes medidas o calculadas. Contenidos 1. Radioactividad (204 - 206) 1.1. Radiaciones alfa, beta y gamma 1.2. Desintegración radiactiva 1.3. Efectos biológicos y aplicaciones de la radiactividad 2. El núcleo atómico (207 - 208) 2..1 Fuerzas nucleares Prohibida su reproducción un temidad átic a 4.2. Ondas electromagnéticas 5. Efecto fotoeléctrico (185 - 187) 2.2. Energía de enlace 3. Reacciones nucleares (209 - 211) 3.1. Reacciones nucleares y radiactividad 3.2. Fisión nuclear 3.3. Fusión nuclear 5 Prohibida su reproducción Destrezas con criterios de desempeño: 6 Unidades 1 2 3 4 5 6 ✓ • Determinar la posición y el desplazamiento de un objeto (considerado puntual) que se mueve, a lo largo de una trayectoria rectilínea, en un sistema de referencia establecida y sistematizar información relacionada al cambio de posición en función del tiempo, como resultado de la observación de movimiento de un objeto y el empleo de tablas y gráicas. • Explicar, por medio de la experimentación de un objeto y el análisis de tablas y gráicas, que el movimiento rectilíneo uniforme implica una velocidad constante. • Obtener la velocidad instantánea empleando el gráico posición en función del tiempo, y conceptualizar la aceleración media e instantánea, mediante el análisis de las gráicas velocidad en función del tiempo. • Elaborar gráicos de velocidad versus tiempo, a partir de los gráicos posición versus tiempo; y determinar el desplazamiento a partir del gráico velocidad versus tiempo. • Analizar gráicamente que, en el caso particular de que la trayectoria sea un círculo, la aceleración normal se llama aceleración central (centrípeta) y determinar que en el movimiento circular solo se necesita el ángulo (medido en radianes) entre la posición del objeto y una dirección de referencia, mediante el análisis gráico de un punto situado en un objeto que gira alrededor de un eje. ✓ • Diferenciar, mediante el análisis de gráicos el movimiento circular uniforme (MCU) del movimiento circular uniformemente variado (MCUV), en función de la comprensión de las características y relaciones de las cuatro magnitudes de la cinemática del movimiento circular (posición angular, velocidad angular, aceleración angular y vel tiempo). ✓ • Resolver problemas de aplicación donde se relacionen las magnitudes angulares y las lineales. • Indagar los estudios de Aristóteles, Galileo y Newton, para comparar sus experiencias frente a las razones por las que se mueven los objetos y despejar ideas preconcebidas sobre este fenómeno, con la inalidad de conceptualizar la primera ley de Newton (ley de la inercia) y determinar por medio de la experimentación que no se produce aceleración cuando las fuerzas están en equilibrio, por lo que un objeto continúa moviéndose con rapidez constante o permanece en reposo (primera ley de Newton o principio de inercia de Galileo). ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ • Explicar la segunda ley de Newton mediante la relación entre las magnitudes: aceleración y fuerza que actúan sobre un objeto y su masa, mediante experimentaciones formales o no formales. • Explicar la tercera ley de Newton en aplicaciones reales. • Reconocer que la fuerza es una magnitud de naturaleza vectorial, mediante la explicación gráica de situaciones reales para resolver problemas donde se observen objetos en equilibrio u objetos acelerados. • Explicar que la intensidad del campo gravitatorio de un planeta determina la fuerza del peso de un objeto de masa (m), para establecer que el peso puede variar pero la masa es la misma. • Explicar el fenómeno de la aceleración cuando un cuerpo que cae libremente alcanza su rapidez terminal, mediante el análisis del rozamiento con el aire. • Describir el movimiento de proyectiles en la supericie de la Tierra, mediante la determinación de las coordenadas horizontal y vertical del objeto para cada instante del vuelo y de las relaciones entre sus magnitudes (velocidad, aceleración, tiempo); determinar el alcance horizontal y la altura máxima alcanzada por un proyectil y su relación con el ángulo de lanzamiento, a través del análisis del tiempo que se demora un objeto en seguir la trayectoria, que es el mismo que emplean sus proyecciones en los ejes. • Explicar que el movimiento circular uniforme requiere la aplicación de una fuerza constante dirigida hacia el centro del círculo, mediante la demostración analítica y/o experimental. • Deducir las expresiones cinemáticas a través del análisis geométrico del movimiento armónico simple (MAS) y del uso de las funciones seno o coseno (en dependencia del eje escogido), y que se puede equiparar la amplitud A y la frecuencia angular w del MAS con el radio y la velocidad angular del MCU. • Determinar experimentalmente que un objeto sujeto a un resorte realiza un movimiento periódico (llamado movimiento armónico simple) cuando se estira o se comprime, generando una fuerza elástica dirigida hacia la posición de equilibrio y proporcional a la deformación. ✓ • Identiicar las magnitudes que intervienen en el movimiento armónico simple, por medio de la observación de mecanismos que tienen este tipo de movimiento y analizar geométricamente el movimiento armónico simple como un componente del movimiento circular uniforme, mediante la proyección del movimiento de un objeto en MAS sobre el diámetro horizontal de la circunferencia. ✓ • Explicar que se detecta el origen de la carga eléctrica, partiendo de la comprensión de que esta reside en los constituyentes del átomo (electrones o protones) y que solo se detecta su presencia por los efectos entre ellas, comprobar la existencia de solo dos tipos de carga eléctrica a partir de mecanismos que permiten la identiicación de fuerzas de atracción y repulsión entre objetos electriicados, en situaciones cotidianas y experi-mentar el proceso de carga por polarización electrostática, con materiales de uso cotidiano. • Clasiicar los diferentes materiales en conductores, semiconductores y aislantes, mediante el análisis de su capacidad, para conducir carga eléctrica. • Conceptualizar la ley de Coulomb en función de cuantiicar con qué fuerza se atraen o se repelen las cargas eléctricas y determinar que esta fuerza electrostática también es de naturaleza vectorial. ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Unidades 1 2 3 4 5 6 ✓ • Establecer que el trabajo efectuado por un agente externo al mover una carga de un punto a otro dentro del campo eléctrico se almacena como energía potencial eléctrica e identiicar el agente externo que genera diferencia de potencial eléctrico, el mismo que es capaz de generar trabajo al mover una carga positiva unitaria de un punto a otro dentro de un campo eléctrico. • Comprobar que los imanes solo se atraen o repelen en función de concluir que existen dos polos magnéticos, explicar la acción a distancia de los polos magnéticos en los imanes, así como también los polos magnéticos del planeta y experimentar con las líneas de campo cerradas. • Determinar experimentalmente que cuando un imán en barra se divide en dos trozos se obtienen dos imanes, cada uno con sus dos polos (norte y sur) y que aún no se ha observado monopolos magnéticos libres (solo un polo norte o uno sur), reconoce que las únicas fuentes de campos magnéticos son los materiales magnéticos y las corrientes eléctricas, explica su presencia en dispositivos de uso cotidiano. • Explicar el funcionamiento del motor eléctrico por medio de la acción de fuerzas magnéticas sobre un objeto que lleva corriente ubicada en el interior de un campo magnético uniforme. • Conceptualizar la ley de Ampère, mediante la identiicación de que la circulación de un campo magnético en un camino cerrado es directamente proporcional a la corriente eléctrica encerrada por el camino. • Describir las relaciones de los elementos de la onda: amplitud, periodo y frecuencia, mediante su representación en diagramas que muestren el estado de las perturbaciones para diferentes instantes. • Reconocer que las ondas se propagan con una velocidad que depende de las propiedades físicas del medio de propagación, en función de determinar que esta velocidad, en forma cinemática, se expresa como el producto de frecuencia por longitud de onda. ✓ • Clasiicar los tipos de onda (mecánica o no mecánica) que requieren o no de un medio elástico para su propagación, mediante el análisis de las características y el reconocimiento de que la única onda no mecánica conocida es la onda electromagnética, diferenciando entre ondas longitudinales y transversales con relación a la dirección de oscilación y la dirección de propagación. ✓ • Explicar fenómenos relacionados con la relexión y refracción, utilizando el modelo de onda mecánica (en resortes o cuerdas) y formación de imágenes en lentes y espejos, utilizando el modelo de rayos. • Explicar que la luz exhibe propiedades de onda pero también de partícula, en función de determinar que no se puede modelar como una onda mecánica porque puede viajar a través del espacio vacío, a una velocidad de aproximadamente 3 x 108 m/s y explicar las diferentes bandas de longitud de onda en el espectro de onda electromagnético, estableciendo relaciones con las aplicaciones en dispositivos de uso cotidiano. • Identiicar que se generan campos magnéticos en las proximidades de un lujo eléctrico variable y campos eléctricos en las proximidades de lujos magnéticos variables, mediante la descripción de la inducción de Faraday según corresponda. • Establecer la ley de gravitación universal de Newton y su explicación del sistema copernicano y de las leyes de Kepler, para comprender el aporte de la misión geodésica francesa en Ecuador, con el apoyo profesional de don Pedro Vicente Maldonado en la conirmación de la ley de gravitación, identiicando el problema de acción a distancia que plantea la ley de gravitación newtoniana y su explicación a través del concepto de campo gravitacional. • Explicar los fenómenos: radiación de cuerpo negro y efecto fotoeléctrico mediante el modelo de la luz como partícula (el fotón) y que a escala atómica la radiación electromagnética se emite o absorbe en unidades discretas e indivisibles llamadas fotones, cuya energía es proporcional a su frecuencia (constante de Planck). • Indagar sobre el principio de incertidumbre de Heisenberg, en función de reconocer que para las llamadas partículas cuánticas existe una incertidumbre al tratar de determinar su posición y velocidad (momento lineal) simultáneamente. • Identiicar que los electrones y el núcleo atómico se encuentran unidos por fuerzas eléctricas en función de determinar su importancia en el desarrollo de la física nuclear. • Distinguir que la radiactividad es el fenómeno por el cual el átomo radiactivo emite ciertas —radiaciones— y este se transfor¬ma en otro elemento químico (el objetivo de los alquimistas), y establecer que hay tres formas comunes de desintegración radiactiva (alfa, beta y gamma) debido a la acción de la fuerza nuclear débil, para analizar los efectos de la emisión de cada una. • Explicar mediante la indagación cientíica la importancia de las fuerzas fundamentales de la naturaleza (nuclear fuerte, nuclear débil, electromagnética y gravitacional), en los fenómenos naturales y la vida cotidiana. • Determinar que los quarks son partículas elementales del átomo que constituyen a los protones, neutrones y cientos de otras partículas subnucleares (llamadas colectivamente hadrones), en función de sus características. • Analizar la incidencia del electromagnetismo, la mecánica cuántica y la nanotecnología en las necesidades de la sociedad contemporánea. ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ ✓ Prohibida su reproducción ✓ ✓ ✓ 7 El proyecto de Física 3 Para empezar Unidad 0 Contenidos Activa tu conocimiento con el gráfico Una unidad inicial para facilitar los nuevos aprendizajes. Tu unidad arranca con noticias y temas que te involucran en los contenidos. Proyecto Aprendemos física a través de actividades. Ejercicios y problemas Propuesta de actividades interdisciplinarias, que promueven el diálogo y el deseo de nuevos conocimientos. Prohibida su reproducción Un alto en el camino 8 Y, además, se incluye una evaluación quimestral con preguntas de desarrollo y de base estructurada. Experimento Zona Wifi Te convertirás en un joven física. Aprenderás la física en relación con la sociedad. Resumen Para finalizar Evaluando tus destrezas con criterios de desempeño Autoevaluación Conéctate con: UE: AQ NT EN CUE TEN RA DO LCULA CA : IÉN TIC O UP Y TAMB EN GR ¿Qué signiican estos íconos? Prohibida su reproducción Síntesis de lo aprendido Actividades interactivas Enlaces web Videos Periles interactivos Documentos Presentaciones multimedia Colaboratorios 9 Prohibida su reproducción 0 Herramientas matemáticas OBJETIVOS: Al inal de esta unidad serás capaz de: • Comprender los conceptos matemáticos y efectuar las operaciones necesarias en el estudio de este curso. • Valorar la utilidad de las herramientas matemáticas en el estudio de la física. http://goo.gl/qzsLNZ 10 1. Cálculo diferencial Algunas de las magnitudes más importantes en física se relacionan a través del cálculo diferencial. lim b→ a f (b ) − f (a ) b −a Si este límite existe, lo representamos por f′(a) y decimos que la función ƒ es derivable en el punto a. Si llamamos h a la diferencia b − a, también podemos escribir lo siguiente: f (a + h ) − f (a) f′ ( a ) = lim h→ 0 h Si consideramos una función, ƒ′, que asigne a cada punto de abscisa x el valor de la derivada de ƒ en este punto, obtendremos la función derivada de ƒ o, simplemente, la derivada: La derivada de la función ƒ en el punto de abscisa x = a es la pendiente de la recta tangente a la gráica de la función en el punto (a, ƒ (a)). Por ello, la ecuación de la recta tangente a la gráica de ƒ en el punto ( a, ƒ (a)) es: y − ƒ(a) = ƒ′(a) (x − a) Q f (a + h) Llamamos derivada de la función f en el punto de abscisa x = a al límite, si existe: Interpretación geométrica de la derivada Q1 Q2 Q3 f (a) f′ : ℝ → ℝ P y - f(a) = f′(a)(x - a) h3 h2 f (x + h ) − f (x ) x → f′ (x )= lim h→ 0 h ƒ(x) = k, k ∈ ℝ ƒ′ (x) = 0 ƒ(x) = xn ƒ′ (x) = n ∙ xn−1 ƒ(x) = ln x f ′(x )== ƒ′(x) ƒ(x) = ex ƒ (x) = sen x ƒ (x) = cos x Tabla 1 ƒ′(x) = ex 1 x ƒ′(x) = cos x h A continuación te presentamos las derivadas de las principales funciones, así como las reglas que permiten derivar funciones conseguidas al operar con otras funciones. ƒ′(x) = −sen x Derivada de la función suma Derivada del producto de una constante por una función Derivada de la función producto Derivada de la función cociente Derivada de la función compuesta: regla de la cadena IÉN y también: El cálculo de la función derivada de una función f simpliica el proceso de cálculo del valor de la derivada de ƒ en diferentes puntos. Así, para calcular ƒ′ (0), ƒ′ (−1) y ƒ′ (2), bastará sustituir x por 0, −1 y 2 en la función derivada ƒ′. ƒ(x) = g(x) + h(x) ⇒ ƒ′(x) = g′(x) + h′(x) ƒ(x) = k ∙ g(x) ⇒ ƒ′(x) = k ∙ g′(x) ƒ(x) = g(x) ∙ h(x) ⇒ ƒ'(x) = g′(x) ∙ h(x) + g(x) ∙ h′(x) ƒ (x ) = g (x ) h(x ) ⇒ ƒ′(x ) = g′ ( x ) ⋅ h( x ) − g(x ) ⋅ h′ ( x ) [h(x )]2 ƒ(x) = (g ∘ h) (x) ⇒ ƒ′(x) = g′(h(x)) ∙ h′(x) Combinando las reglas de la tabla 2 con las derivadas de las funciones que aparecen en la tabla 1, podemos derivar multitud de funciones. Tabla 2 Prohibida su reproducción Función derivada h1 B Función f (x) 11 Ejemplo 1 Calcula la función derivada de f (x) = x2 y la derivada de esta función en x = 0, x = −1 y en x = 2. — Aplicamos la fórmula de la derivada de una potencia: — Sustituimos x por 0, −1 y 2 en la función derivada ƒ′: ƒ′ (0) = 2 ∙ 0 = 0 ƒ′ (−1) = 2 ∙ (−1) = −2 ƒ′ (2) = 2 ∙ 2 = 4 Ejemplo 2 ƒ′ (x) = 2x p′(x) = 3 x2 × cos x + x3 ∙ (−sen x) Halla la derivada de las siguientes funciones: a. ƒ(x) = x3 − 2 x2 + 1 b. p(x) = x3 × cos x a. q(x) = cos 2 x d. m(x) = sen2 x a. Derivamos cada uno de los sumandos: ƒ1(x) = x3 ⇒ ƒ1′ (x) = 3x2 ƒ2(x) = −2x2 ⇒ ƒ2′(x) = −2 ∙ (x2)′ = −2 ∙ 2x = −4x ƒ3(x) = 1 ⇒ ƒ3′ (x) = 0 ƒ′(x) = 3 x2 − 4x b. La función p es un producto de dos funciones, x3 y cos x: g(x) = x3 ; g′ (x) = 3x2 ; h (x) = cos x h′(x) = −sen x ; p(x) = g (x) ∙ h (x) p′(x) = 3 x2 cos x − x3 sen x c. La función q es la composición de dos funciones, 2x y cos x: j(x) = 2x ; j′(x) = 2 ; k(x) = cos x ; k′(x) = −sen x — Aplicamos la regla de la cadena: q(x) = (k ∘ j)(x) = k (j (x)) q′(x) = k′(j (x)) ∙ j′(x) = −sen 2 x ∙ 2 = −2 sen 2 x d. La función m es la composición de dos funciones, sen x y x2, porque sen2 x = (sen x )2: n(x) = sen x ; n′ (x) = cos x ; r (x) = x2 ; r′ (x) = 2x — Aplicamos la regla de la cadena: p′(x) = g′ (x) ∙ h (x) + g (x) ∙ h′ (x) m(x) = r (n (x)) ; m′ (x) = r′ (n (x)) ∙ n′ (x) m′(x) = 2 sen x (cos x) = 2 sen x cos x 3.1. Derivada de una función vectorial respecto a un escalar En física es muy común el trabajo con vectores de V3 que deben derivarse. Para ello, lo primero es tener en cuenta que las reglas de derivación son las mismas, aunque en ocasiones la notación se cambia para destacar la variable respecto a la cual se deriva. Prohibida su reproducción     r (t ) = rx (t )i +ry (t ) j + rz (t )k 12  dr = dt    d (rx i + ry j +rz k ) dt    d (rx i ) d (ry j ) d (rz k ) = + + dt dt dt Aplicamos la derivada de la función producto y, como   los vectores i, j y k son constantes, obtenemos: B Veamos cómo hallar la derivada del vector con respecto al tiempo. IÉN y también:   dr = r (t ) dt  d r (t) d rx (t )  d ry (t )  d rz (t )  = i + j + k dt dt dt dt 2. Cálculo integral Acabamos de ver cómo obtener la función derivada de una función ƒ. Ahora nos plantearemos el problema inverso: dada una función ƒ, cómo hallar otra función F cuya derivada sea ƒ. La función F recibe el nombre de primitiva de ƒ. Derivación f′ f Una función F es una primitiva de ƒ si y sólo si F′(x) = ƒ (x). Integración Integración Por ejemplo, si ƒ (x) = 3 x2, una primitiva de ƒ sería F(x) = x3, ya que F′ (x) = ƒ (x). Pero fíjate en que F1 (x) = x3 − 3, F2 (x) = x3 + 5 y F3 (x) = x3 − 11 también son primitivas de ƒ (x) = 3x2, ya que la derivada de todas ellas es 3x2. 2.1. Integrales indeinidas Hemos visto que una función no tiene una única primitiva y que la diferencia entre dos cualesquiera de ellas es una constante. El conjunto formado por todas las primitivas de una función ƒ recibe el nombre de integral indefinida y se denota por: ⌠f (x )dx Esta expresión se lee: integral de ƒ diferencial de x. Así, si F es una primitiva de ƒ , escribiremos: Del comportamiento de la derivada respecto a la suma de funciones y al producto de una función por una constante, se obtienen las siguientes propiedades de las integrales indeinidas: . ⌠k ⋅ f (x )d x = k ⋅ ⌠f ( x ) dx ⌡ ⌡ ⌠ f (x )dx = F( x ) + C ⌡ donde C ℝ ∈ ℝ es una constante llamada constante de integración. A partir de la tabla 1 (pág. 15) podemos obtener de manera inmediata las siguientes integrales indefinidas: • 0 dx = C • • 1 dx = In (x) + C x • k dx = kx +C • • sen x dx = − co s x + C • co s x dx = se n x + C . ⌠ (f (x) + g (x ))dx = ⌡ = ⌠f ( x ) dx +⌠g( x ) dx ⌡ ⌡ x +C n +1 x n dx = • ex dx = ex + C Calcula las integrales indeinidas siguientes: ⌠ 3 a. ⌠ ⌡ x dx ; b. ⌡ 3 ⌠ x x dx ; c. ⌠ ⌡ 8 x dx ; d. ⌡ (3 x + e ) d x 2 x 3 +1 x4 ab. ⌠x 3 dx = +C = +C ⌡ 3 +1 4 2 2 +1 5 3 ⌠x 3 dx = x 3 +C = x 3 +C 2 = bc.⌠ x dx ⌡ ⌡ 5 2 +1 3 3 d. c x2 8 x dx = 8 ⌠x dx =8 ⋅ +C = 4x ⌡ 2 e. (3 x + e x )d x =⌠3 x dx + ⌠e x d x d )⌠ ⌡ ⌡ ⌡ 2 +C 2 2 ⌠3 x dx = 3 ⌠x d x = 3 ⋅ x +C = 3 x +C 1 1 ⌡ ⌡ 2 2 ⌠e x d x = e x +C 2 ⌡ 3x 2 ⌠(3 x +e x )d dx = +e x +C ⌡ 2 Prohibida su reproducción n +1 • Ejemplo 3 Propiedades de las integrales indeinidas 13 B 2.2. Integrales deinidas IÉN Una de las aplicaciones más importantes de las integrales es el cálculo del área bajo una curva, es decir, del área de la superficie comprendida entre una curva y el eje de abscisas. La relación entre esta área y la integral de la función que define la curva viene dada por el teorema de Barrow. y también: Si ƒ(x) = 0 en [a, b], F(b) − F(a) será negativa, y por tanto, el área coincidirá con el valor absoluto de esta diferencia. Si ƒ es una función continua y positiva en [a, b] y F es una primitiva de ƒ, el área A, limitada por la curva y = ƒ(x), el eje de abscisas y las rectas x = a y x = b, es igual a F(b) − F(a). La diferencia F(b) − F(a) recibe el nombre de integral definida de ƒ entre a y b, y se denota por: a ⌠ f (x )dx . ⌡ b Con esta notación podemos escribir el resultado anterior del modo siguiente: b Ejemplo 4  Calcula el área de la supericie limitada por la curva ƒ(x) = x2 + 2 x − 3, el eje de abscisas y las rectas x = 0 y x = 2. Si observamos la igura, vemos que ƒ(x) no tiene signo constante en el intervalo [0, 2]. • En el intervalo [0, 1) la función es negativa. 8 6 y = x2 + 2x - 3 4 -6 -4 -2 2 -2 -4 B IÉN Prohibida su reproducción y también: Al efectuar la integral indeinida de un vector de V3, obtendremos tres constantes de integración, Cx, Cy y Cz, cada una de ellas correspondiente a una de las componentes del vector. • En el intervalo (1, 2] la función es positiva. Por tanto, debemos fraccionar el cálculo del área en dos subintervalos: A = 2 2.3. 14 = ⌠ (x )dx ⌡ a 4 1 2 ⌠ 2 ⌠ (x +2x − 3 )dx + (x 2 + 2 x −3 )dx = ⌡ ⌡ 0 1 = x3 +x 2 − 3 x 3 = 1 0 + x3 + x 2 −3 x 3 −5 7 12 + = =4 3 3 3 2 = 1 Integral de una función vectorial respecto a un escalar De la misma manera que los vectores pueden derivarse, también pueden integrarse, sea mediante una integral indefinida o mediante una integral definida entre dos puntos. La manera de llevarlo a cabo coincide con la manera de derivarlas: si se conocen las componentes del vector, las componentes de la integral son las integrales de cada una de ellas en la forma habitual. Veamos la integración del vector con respecto al tiempo.     v (t ) = v (t )i +v (t ) j +v (t )k   ⌠ ⌠ V (t) = i ⌠ ⌡vx (t )dt + j ⌡v y (t )dt + k ⌡v z (t )dt Comprensión del enunciado — Lee atentamente el enunciado y asegúrate de que entiendes lo que se explica y lo que se pide. — Anota los datos del problema y lo que concretamente se pide. — Cuando sea apropiado, dibuja un esquema de la situación y anota en él los datos. En esta fase has de pensar una forma de resolver el problema, ya sea directamente o a través de una serie de pasos intermedios. No pierdas nunca de vista a dónde quieres llegar, es decir, qué se ha preguntado. Planificación — Determina qué leyes físicas actúan y cuáles son sus expresiones matemáticas. — Diseña una manera de utilizar estos principios para, a partir de los datos que tienes, encontrar lo que se pide. — En ocasiones puede ser conveniente utilizar una estrategia de resolución: resolución gráfica, ensayo-error, razonamiento inverso… Ahora debes resolver el problema empleando la estrategia que has diseñado. Ejecución — Simplifica las expresiones matemáticas. Lleva a cabo el mayor número posible de manipulaciones algebraicas antes de sustituir por los valores reales. — Comprueba que las unidades estén todas en el mismo sistema y que sean coherentes. Si es necesario, efectúa la conversión de unidades adecuada. — Sustituye las cantidades dadas en las ecuaciones y lleva a cabo los cálculos. Da el resultado con las unidades y el número de cifras significativas apropiadas. Finalmente, debes comprobar si la solución obtenida coincide con lo que se pedía. Revisión del resultado — Comprueba si la respuesta tiene una magnitud apropiada. — Razona si el valor obtenido es posible. y también: Para conocer la validez de un resultado experimental, debe determinarse el error cometido al efectuar la medida. Error absoluto: E a = (a
x ) Ea = error absoluto a = valor aproximado obtenido en la medición x = valor verdadero o exacto de la medida Error relativo: Er = Ea x Er = error relativo Ea = error absoluto x = valor verdadero o exacto de la medida Toda medida experimental presenta cierto error. Por ello, sólo expresaremos las medidas con sus cifras signiicativas. Son signiicativas todas las cifras de una medida que se conocen con certeza, más una dudosa. El cero no es signiicativo cuando se utiliza para indicar la situación de la coma decimal. • Cuando se suman o restan cantidades, se redondea el resultado de manera que tenga el mismo número de cifras después de la coma decimal que el número de la serie que tiene el menor número de cifras decimales. • Cuando se multiplican o dividen cantidades, se redondea el resultado de manera que tenga el mismo número de cifras signiicativas que el factor de menor número de cifras signiicativas. Prohibida su reproducción Antes de abordar la resolución de un problema es imprescindible entender su enunciado. B 3. Resolución de problemas IÉN 15 1 1 # Mecánica I Prohibida su reproducción contenidOS: 16 1. Descripción del movimiento 2. La Tierra en el universo. Modelos del universo 1.1. Magnitudes de movimiento 2.1. Fuerzas gravitatorias 1.2. Causas del movimiento 2.2. Ley de gravitación universal 1.3. Aplicaciones de la leyes de Newton 2.3. Estudio del campo gravitatorio de la Tierra 1.4. Movimiento de rotación 2.4. Leyes de Kepler Noticia: La observación y posteriormente el estudio de los cuerpos celestes atrajo al hombre desde la antigüedad. De esta forma surgen desde tiempo remotos, teorías que intentan explicar el movimiento de estos cuerpos. Así por ejemplo Ptolomeo de Alejandría establece un sistema en el que la Tierra ocuparía el centro del universo y en torno a ella se moverían los demás cuerpos celestes describiendo órbitas cuya forma sería una epicicloide (el planeta describiría con movimiento uniforme un círculo, epiciclo, cuyo centro se desplazaba a lo largo de otro círculo de mayor radio que está ocupado en su centro por la Tierra, este último círculo recibe el nombre de deferente). http://goo.gl/r2Ckh3 Después de leer el recurso: 1. Realiza un resumen donde se evidencie la evolución de los sistemas del universo. 2. Investiga sobre la vida y obra de lo hombres de ciencia que realizaron aportes en este campo. Prohibida su reproducción En contexto: 17 B 1. Descripción del movimiento IÉN A veces resulta difícil saber si un cuerpo está en movimiento o no. Así, imagina que Ana y Berta viajan en autobús mientras sus amigos Carlos y Daniel las saludan desde la calle. Desde el punto de vista de Ana, Carlos parecerá moverse, en cambio Berta estará en reposo. Pero para Daniel, Carlos permanece en reposo y Berta está en movimiento. y también: • Móvil: cuerpo en movimiento respecto a un determinado sistema de referencia. Para saber si un cuerpo está en movimiento o no y, si lo está, determinar qué tipo de movimiento describe, necesitamos ijar un sistema de referencia. Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas cartesianas, más un reloj, respecto a los cuales describimos el movimiento de los cuerpos. La posición de un móvil es el punto del espacio donde se encuentra en un instante determinado, es decir, respecto a un sistema de referencia. El movimiento se da cuando varía la posición de un cuerpo, en un intervalo de tiempo, respecto a un sistema de referencia 1.1. Magnitudes del movimiento En el estudio de cualquier movimiento es necesario deinir previamente las magnitudes trayectoria, posición, desplazamiento, velocidad y aceleración.  Vector de posición, r: vector que va del origen de coordenadas O al punto P donde está el móvil.   En general, varía con el tiempo, r = r (t ). Y  r0 Trayectoria: curva descrita por los puntos porlos que ha pasado el móvil. P0   ∆r Vector desplazamiento, ∆r, entre dos puntos P0 y P: vector con origen en P0 y extremo en P. P  y Se calcula restando  al vector de posición r el vector de posición r0:  r Prohibida su reproducción  j O  i x X Ecuación del movimiento: describe la posición del móvil a lo    largo del tiempo. r (t ) = x(t )i +y(t ) j x (t ) e y (t ) son las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. 18 Ejemplo 2 Ejemplo 1    El vector de posición de un móvil es r ( t ) = 5 t i − 3 t 2 j, en unidades SI. Determina: a. la posición del móvil en los instantes t = 2 s y t = 5 s; b. el vector desplazamiento entre los instantes t = 2 s y t = 5 s, y su módulo; c. la ecuación de la trayectoria, dibújala aproximadamente. 3 t 2  j,    — Datos: r (t ) = 2t i +(6t + 5) j , en unidades SI en unidades SI a. Los vectores de posición se obtienen sustituyendo el valor correspondiente de t en la expresión  de r (t ): a. Hallamos la ecuación de la trayectoria a partir de las ecuaciones paramétricas del movimiento:      r(2 s ) = 5 ⋅2 i − 3 ⋅2 2 j = (10 i −12 j )m      r (5 s ) = 5 ⋅5 i − 3 ⋅5 2 j = (25 i −75 j )m Y (m) 25 20 15 10 x = 2t b. Para calcular el vector desplazamiento entre los instantes t = 2 s y t = 5 s, restamos los vectores de posición en esos instantes:     = r −r0 = r (5 s ) −r (2 s )      r = (25 i −75 j )m − (1 0 i − 12 j )m =   = (15 i −63 j )m  r 15 m )2  63 m)2  64 , 8  t  5t y  3t  -20 y = −3 x2 = −3 25 -30 -40 x 5 2 = -20 -15 -10 -5 5 1 0 15 -5 -10 -15 X (m)      ∆ r = r −r0 = r (4 s )−r (1s )      ∆ r = (2 ⋅ 4 i + (6 ⋅ 4 +5) j )− (2 ⋅1i + (6 ⋅1+5 ) j )    ∆ r =(6 i +18 j )m El módulo del vector desplazamiento es: -10 x 5 5 X (m) 0 10 20 30 40 0 2 x 2 y = 3x +5 t = b. Para calcular el vector desplazamiento entre los instantes t = 1 s y t = 4 s, restamos los vectores de posición en esos instantes:  c. Hallamos la ecuación de la trayectoria a partir de las ecuaciones paramétricas del movimiento: x y = 6 t +5 La trayectoria es una recta. Su módulo es:   y = −3  5 2  ∆ r = (6 m )2 +(18 m)2 = 19 ,0 m -50 -60 -70 -80 -90 -100 -110 2 y = -3 (x5) La trayectoria es una parábola. Y (m) 2. El vector de posición de un móvil viene dado    por la expresión r (t   (4 t 2 i  (t 2 +2 t j , en unidades SI. Determina: a. La posición del móvil para t = 1 s y para t = 3 s. b. El vector desplazamiento entre estos instantes y su módulo. c. La ecuación de la trayectoria.  s s==∆ r r ==19, 0 m 3. El vector de posición de un móvil viene dado por la   expresión rt  t 3 i 8t j, en unidades SI. a. Determina la ecuación de la trayectoria y dibuja esta última aproximadamente entre t = 0 s y t = 10 s. b. Determina los vectores de posición para t = 2 s y t = 5 s. c. Calcula el vector desplazamiento entre estos instantes. Actividades 1. Dibuja un sistema de referencia en una dimensión, otro en dos dimensiones y un tercero en tres dimensiones, y representa sobre ellos la posición de un punto. c. La distancia recorrida por el móvil coincide con el módulo del vector desplazamiento porque la trayectoria es rectilínea: Prohibida su reproducción   r (t )  5 t i — Datos:   El vector de posición de un móvil r (t ) = 2t i +(6t + 5) j , en unidades SI. Determina: a. la ecuación de la trayectoria; b. el vector desplazamiento entre los instantes t = 1 s y t = 4 s, y su módulo; c. la distancia recorrida por el móvil. d. Calcula la distancia recorrida. 19 Velocidad Vector velocidad media Vector velocidad instantánea Es el  cociente entre el vector desplazamiento,  Es el vector al que tiende el vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t, tiende a cero (∆t → 0). Es decir, es la derivada del vector de posición respecto al tiempo. Ejemplo 3 ∆  =  −0 , y el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t = t − t0.     ( − 0 ) ∆ vm   (t − t0 ) ∆t El vector de posición de un móvil    r( t) = ( t 2 −2) i + 5 t j, en unidades SI. Determina: es a. El vector velocidad media entre t = 0 s y t = 2 s. b. El vector velocidad instantánea en función del tiempo.    — Datos: r (t ) = (t 2 −2 )i + 5 t j, en unidades SI a. Calculamos los vectores de posición en t = 0 s y t = 2 s:     r (0 s ) = (0 2 −2 )i + 5 ⋅0 j = −2 i m      r (2 s ) = (2 2 −2 )i + 5 ⋅ 2 j = (2 i + 10 j )m    dr ∆r v(t ) = lim = ∆t → 0 ∆t dt Aplicamos la deinición del vector velocidad media:         (2 i +10 j ) − ( −2 i )  −0  (2 s )− (0 s ) vm = = = t −t0 (2 s −0 s ) 2s      (4 i +10 j ) m = ( 2i +5 j ) m//s vm = 2s b. Para obtener la velocidad instantánea derivamos el vector de posición:     d r(t ) =(2 t i + 5 j ), unidades SI v (t ) = dt Aceleración Vector aceleración media Vector aceleración instantánea Es el cociente entre la variación   del vector velocidad instantánea, ∆v = v − v 0 y el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t = t − t0. Es el vector al que tiende el vector aceleración media cuando el intervalo de tiempo transcurrido, ∆t, tiende a cero (∆t → 0). Es decir, es la derivada del vector de posición respecto al tiempo.  am   ∆v ∆t    (v −v 0 ) (t − t0 ) Ejemplo 4 Prohibida su reproducción  La velocidad de un móvil es v ( t ) = 6 t i −( t + 2) j, en unidades SI. Determina: Aplicamos la deinición del vector aceleración media: a. El vector aceleración media entre t = 0 s y t = 3 s. b. El vector aceleración instantánea en función del tiempo.        v −v 0 v (3 s ) −v (0 s ) am = = = (6 i − j )m//s2 t − t0 3 s − 0s  20     dv ∆v a(t) = lim = ∆ t → 0 ∆t dt   — Datos: v(t ) = 6t i −(t + 2 ) j, en unidades SI a. Calculamos los vectores velocidad en t = 0 s y t = 3 s:      s ) = 60 ⋅ i − (0+2 v (0 )j = −2j m/s      s ) = 63 ⋅ i − (3+ 2 ) j = (1 8 i − 5j ) m/s v (3 b. Para obtener la aceleración instantánea derivamos el vector velocidad:     dv (t ) =(6 i − j ) m/s2 a (t ) = dvt Componente tangencial: Expresa la dv variación del módulo de la velocidad. a t = dt A  un   at ut Eje tangencial    a = a t +a n    a = a t u t +a n u n  a  an Un automóvil toma una curva de 142 m de radio con una velocidad cuyo módulo aumenta en el tiempo según la ecuación v( t) = 2,5 t + 5, en unidades SI. Calcula la aceleración tangencial y la aceleración normal en el instante t = 3 s. — Datos: R = 142 m v (t ) = 2,5 t + 5, en unidades SI — La aceleración tangencial es la derivada del módulo de la velocidad: at = Radio de curvatura Eje normal Ejemplo 5 Componentes intrínsecas de la aceleración dv (t ) =2, 5 m/s 2. No varía con el tiempo. dt Hallamos el módulo de la velocidad y la aceleración normal en t = 3 s. Componente normal: Expresa la variav2 an = ción de la dirección de la velocidad. R v (3 s)=2 ⋅ + 5=1 , 53 2 , 5m/s an = v 2 (1 2 , 5m/s )2 = =1 ,1 m/s 2 R 1 4 2m Deducción de la velocidad y del vector de posición t v t     dv      a= ⇒ dv = adt ⇒ ⌠ dv = ⌠ a d t ⇒ v = v 0 +⌠ adt dt ⌡ ⌡ ⌡ t v t  Si conocemos el vector aceleración y las condiciones iniciales del movimiento, podemos determinar la velocidad; y una vez conocida ésta, hallar el vector de posición. 0 0 0 t t r     ⌠   ⌠  dr v= d ⇒ d r = v dt ⇒ ⌠ ⇒ = = + r vdt r r v dt 0  dt ⌡ ⌡ ⌡ t t r  0 0 0      — Datos: a = 2t i ; v 0 =− i m/s ; r0 = 6 i m — Integramos la ecuación de la aceleración para obtener la velocidad:   t  t      t2  i v = v 0 +⌠ ad t = −i + ⌠ 2t i d t = −1 +2 2 ⌡ ⌡ t 0 0 t 0 La ecuación del vector de posición es:   t3 r (t ) = −t + 6 i , en unidades SI 3 → → → 7. Dado el vector velocidad v (t ) = 3t i + t j , en unidades SI, calcula: a. el vector aceleración instantánea para t = 2 s y su módulo; b. las componentes tangencial y normal de la aceleración en t = 2 s. 8. La aceleración de un movimiento rectilíneo viene   dada por la ecuación a = 3t i . Calcula las ecuaciones de la velocidad y de la posición en función del tiempo, sabiendo que en el instante inicial   v 0 =0, 5 i m/s y   t 0 = 4 i m. Actividades 4. Recuerda el concepto de celeridad y defínelo. 5. Di si el vector velocidad tiene una componente tangencial y una componente normal. Razona tu respuesta. 6. El vector de posición de un móvil es    r (t ) = 2t 3 i + t 2 j , en unidades SI. Calcula: a. la velocidad media entre los instantes t = 0 s y t = 3 s; b. la velocidad instantánea; c. la aceleración media entre los instantes t = 0 s y t = 3 s; d. la aceleración instantánea; e. la velocidad y la aceleración en el instante t = 1 s. t       t3 r = r0 +⌠ v d t = 6 i +⌠ (t 2 − 1)i d t = 6 + −t i 3 ⌡ ⌡ t 0 Prohibida su reproducción Ejemplo 6  La aceleración de un movimiento rectilíneo viene La ecuación de la velocidad es v (t) = (t2a−= 1) 2 t i.,   a = 2 t i. dada por la ecuación Calcula las ecuaciones en unidades SI. de la velocidad y de la posición en función del tiem- — Integramos la ecuación de la velocidad para   po, sabiendo que en el instante inicial v 0 = −i m/s y r0 = 6 i m. obtener la ecuación de la posición: 21 Estudio de algunos movimientos B Dependiendo de la trayectoria que describe el móvil distinguimos diversos tipos de movimientos. Vamos a estudiar los más sencillos. y también: Repasa el cálculo de las integrales deinidas en Herramientas matemáticas (pág. 13). Movimientos rectilíneos En el estudio de estos movimientos tomaremos el eje OX en    la dirección del movimiento. Así, los vectores a, v y r tendrán una sola componente y los expresaremos en forma escalar. Descripción Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) a=0 a = constante Es aquel en que un móvil se desplaza sobre Es aquel en que un móvil se desplaza sobre una trayectoria rectilínea manteniendo la una trayectoria rectilínea manteniendo la acelvelocidad constante. eración constante. Aceleración t Ecuación de la velocidad v = v 0 +⌠ ad t = v 0 +0 ⌡ t v = v 0 +⌠ ad t ⌡ t v = v 0 =c onstante v = v 0 + a (t −t 0) t 0 0 t x = x 0 +⌠ v dt ⌡ t Ecuación de la posición t 0 0 x = x 0 + v (t −t 0 ) x = x 0 +v 0(t −t0 ) + ∆t x α ∆t Prohibida su reproducción Ejemplo 7 x0 v0 ∆x v = tg α = ∆x ∆t t Un automóvil parte del reposo con una aceleración de 2 m/s2, que mantiene durante 10 s. A continuación, mantiene la velocidad constante durante medio minuto. Calcula la distancia total recorrida. v0 = 0 m/s 1 a(t −t0 )2 2 m s2 x1 t1 - t0 = 10 s t2 - t1 = 30 s ∆v α t Gráicas 0 x0 = 0 m t0 = 0 s 0 v ∆x = v ∆t a =2 t x = x 0 +⌠ v dt = x 0 +⌠ [ v 0 + a(t −t0 )] dt ⌡ ⌡ t t v 22 IÉN a = tg α = ∆t ∆v ∆t t x x0 t Primera etapa: MRUA. Hallamos la posición y la velocidad al inal de esta etapa: 1 x 1 = x 0 +v 0(t 1 − t 0) + a (t 1 − t0 )2 = 2 1 m = 2 2 ⋅(10 s ) 2 = 100 m 2 s m m v1 = v0 + a (t1 −t 0 ) =2 ⋅ 10 s = 20 2 s s Segunda etapa: MRU. Hallamos la posición inal del automóvil, que coincide con la distancia total recorrida: m x 2 = x 1 +v 1(t 2 −t 1 ) =100 m +20 ⋅30 s = 700 m s Movimiento vertical de los cuerpos Es un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, cuya aceleración constante es la de la gravedad, g = 9,8 m/s2. Las ecuaciones de este movimiento para el sistema de referencia de la igura son las del MRUA para una componente negativa de la aceleración a = −g: y = y 0 + v 0t  t 0   1 g t  t0 2 2 v  v 0  gt  t0  Según el valor de v0 podemos tener tres casos: O X Desde una ventana que está a 20 m del suelo se lanza verticalmente hacia arriba una piedra con una velocidad de 10 m/s. Calcula: a. la altura máxima que alcanza y el tiempo que tarda en alcanzarla; b. el tiempo total que está en el aire. Y (m) O O X Las ecuaciones del movimiento de la piedra son: 1 y = y 0 +v 0 t  gt 2 ; y 2 20 m v  v 0 gg t ; v  10 m s 10 m s 9, 8 1 m t  9, 8 2 t 2 2 s m s 2 t a. En el instante en que la piedra alcanza la altura máxima, su velocidad es cero: 0 ! 10 # $ "9 ,8 # 2 $ t t O X g ! 1, 02 $ Para determinar la altura máxima sustituimos este valor del tiempo en la ecuación de la posición: m 1 m y=2 0 m +1 0 ⋅1 ,0 2s − 9 , 8 ⋅ (1 ,0 ,1 2s )2=2 5 m 2 s2 s b. La piedra está en el aire hasta que llega al suelo. En ese momento y = 0. m 1 m 2 0= 2 0m +1 0 ⋅t − 9 ,8 ⋅ t s 2 s2 La solución positiva de la ecuación es t = 3,28 s. v0 > 0 v Caída libre v v0 = 10 m/s 20 Y v0 = 0 X Lanzamiento vertical hacia arriba Desde una venta- Y (m) na de un quinto piso se lanza una piedra 15 m verticalmente hacia v01 = - 5 m/s abajo con una velocidad de 5 m/s. Al v02 = 15 m/s mismo tiempo, se lanza otra piedra desde 6 m el segundo piso en la misma vertical y hacia arriba con una O velocidad de 15 m/s. Si cada piso tiene una altura de 3 m, calcula en qué momento y a qué altura se encuentran las dos piedras. X Las ecuaciones de la posición para cada piedra son: 1 2 1 , , gt ; y 1 '15 ,& 5 % & 9* 8 2 t 2 2 2 1 2 1 , , 2 y 2 'y 02 . v 02 % & t% ; y 2 '6 , .15 % & 9* 8 % 2 2 2 y 1= y 01 +v 01 t & Ambas piedras se encontrarán cuando sus posiciones coincidan: /1 151 5 0 1 =/ 2 1 1 94 8 0 2 26 315 0 94 8 0 2 ; 15 1 50 26315 0 2 2 De donde resulta t = 0,45 s. Para calcular a qué altura se encuentran, sustituimos este valor de t en la ecuación de una de las piedras: y 1 = 15 m −5 m 1 m ⋅ 0, 45 s − 9, 8 ⋅ (0 , 45 s )2 =11,8 m 2 s s2 Prohibida su reproducción Lanzamiento vertical hacia abajo v Ejemplo 8 Y v0 < 0 Ejemplo 9 Y 23 Composición de movimientos En la naturaleza existen movimientos en dos dimensiones, que son la combinación de dos movimientos simples. Para estudiar estos movimientos compuestos debemos: —Distinguir claramente la naturaleza de cada uno de los movimientos simples componentes. —Aplicar a cada movimiento componente sus propias ecuaciones. B —Hallar las ecuaciones del movimiento compuesto sabiendo que: • El vector de posición del móvil se obtiene sumando vectorialmente los vectores de posición de los movimientos    2 2  componentes, r = x i + y j . Su módulo es r = x +y . IÉN y también: • La velocidad se obtiene sumando vectorialmente los vectores velocidad de los movimientos componentes Lanzamiento horizontal: Movimiento parabólico con α = 0 ( v0y= 0).    v = vx i + vy j . • El tiempo empleado en el movimiento compuesto es igual al tiempo empleado en cualquiera de los movimientos componentes. Composición de dos MRU perpendiculares Descripción Es la composición de un MRU sobre el eje X y otro MRU sobre el eje Y. Eje X: MRU Ecuaciones de la posición y la velocidad Ecuación de la trayectoria Eje Y: MRU Despejamos t − t0 en la ecuación de x y sustituimos su valor en la ecuación de y: vy <x 0 ;y > y0 ? (x vx vx y > y 0 ? k (x < x 0 ) x + v 0 y 8t 6 t 0 9 6 < x 0) 7 v0 y 1 g 8t 2 6g 8t 6 t0 9 6 t0 92 Donde v0x = v0 cos α ; v0y = v0 sen α Despejamos t − t0 en la ecuación de x y sustituimos su valor en la ecuación de y: @ B @0 C A BA v 0x 0 ; yC y 0 D v 0y 1 g (x B x 0 )2 D (x Bx 0 ) 2 v 0x 2 v 0x y= y 0 +A (x B x 0 )DB (x B x 0 )2 Lanzamiento de un proyectil con un cierto ángulo de inclinación. Y y P (x y)    r = xi + y j del río v y j   vy  + tg α = v x i  j α O  i  vx v0y Corriente v = Prohibida su reproducción 50 vy y = y0 + vy (t − t0) Y 24 Es la composición de un MRU sobre el eje X y un MRUA con la aceleración de la gravedad, a = −g, pobre el eje Y. Eje Y: MRU = Movimiento de una barca sometida a la corriente de un río. Gráica de la trayectoria Movimiento parabólico Eje X: MRU x = x0 + v0x (t − t0) ; vx = v0x = constante x = x0 + vx (t − t0) : < :0 >  Su módulo es v = v x2 + v y2 . x y0 vy α  v0 vx vy  v v0x vx Orilla del río X O X Ejemplo 10 Ejemplo 11 Una barca cruza un río de 30 m de anchura. Si la velocidad de la corriente es de 4 m/s y la barca desarrolla una velocidad de 2 m/s perpendicular a la corriente, calcula: a. El tiempo que tarda la barca en cruzar el río. b. La distancia que recorre. c. La ecuación de su trayectoria. Se lanza un balón desde un montículo de 50 m de altura, con una velocidad de 100 m/s que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Calcula: a. la altura máxima; b. el tiempo de movimiento y el alcance. Y t0 = 0 s v0y  j O vy = 2 m/s  i    r = xi +yj    v = vx i + vy j O vx = 4 m/s α X x y = vy t ; t = vy = m 2 s =15 s b. Calculamos el desplazamiento de la barca debido a la corriente: m x = v x t ; x =4 ⋅ 15 s = 60 m s El desplazamiento perpendicular a la corriente es y = 30 m. Por tanto, la distancia recorrida es: x 2 +y 2 = (60 m )2 +(30 m )2 = 67, 1 m c. Para determinar la ecuación de la trayectoria despejamos el tiempo de la coordenada x y lo sustituimos en la coordenada y: x = 4t t = x 4 y = 2t y = 2 X Calculamos las componentes de la velocidad inicial: v 0 x = 100 cos 30 ° = 86, 6 a. Hallamos el tiempo que tarda la barca en cruzar el río a partir de la ecuación de la coordenada y: 30 m y r = x0 = 0 m x x ; y = 4 2 m m ; v 0 y = 100 sen 30 ° = 50 s s a. En el punto de altura máxima se cumple que vy = 0: v y E v 0 y F gt t E v 0 y Fv y g E 50 HIJ F 9G 8 0 H IJ HIJ 2 E 5G 1 s Para hallar la altura máxima sustituimos este valor de t en la ecuación de la coordenada y: 1 y = y 0 +v 0 y t − g t 2 2 m m 1 y máx = 50 m +50 ⋅ 5, 1 s − 9, 8 ⋅ (5 ,1 s )2 =177 , 5m 2 s s2 b. Cuando el balón llega al suelo, y = 0: = + v 0y t 1 2 gt 2 1 2 2 0 M 50 N50 t L 9, 8 t ; 4, 9 t L50 t L 50 = 0 2 K K0 L El tiempo de movimiento es t = 11,1 s. Para hallar el alcance sustituimos este valor de t en la ecuación de la coordenada x: m x = x 0+v 0x t = 8 6 ,6 ⋅1 1 ,1 s =9 6 1 ,3 m s 10. Se lanza un proyectil desde la cima de una montaña de 200 m de altura, con una velocidad de 50 m/s y un ángulo de inclinación de 45°. Calcula: a. la altura máxima que alcanza; b. la velocidad en el punto más alto; c. el alcance. Actividades 9. Un barquero desea cruzar un río de 100 m de ancho con una barca que desarrolla una velocidad de 36 km/h en dirección perpendicular a una corriente de 2 m/s. Determina: a. el tiempo que tarda en cruzar el río; b. la distancia que recorre la barca; c. la ecuación de la trayectoria. S TIC Comprueba los resultados del ejemplo 11 con la siguiente simulación de tiro parabólico: Visita: https://goo.gl/UZwMh1 Prohibida su reproducción 30 m y α = 30° v0x IC Y y0 = 50 m v0 = 100 m/s 25 Movimiento circular Es aquél cuya trayectoria es una circunferencia. Para su estudio se introducen las magnitudes angulares. Magnitudes angulares Magnitud Velocidad angular media Es el cociente entre el ángulo girado, ∆ϕ, y el intervalo de tiempo transcurrido. ωm Velocidad angular instantánea ω ωm = ∆ ∆t − =  0 t −t 0 Y t P Es el valor de la velocidad angular media cuando el intervalo de tiempo transcurrido tiende a cero (∆t → 0). Es decir, es la derivada de la posición angular respecto al tiempo. ω= Aceleración angular media Unidad SI Definición R ∆t ∆ϕ ϕ ϕ0 O ω − ω0 ω αm = ∆ = t − t0 ∆t Y Es el valor de la aceleración angular media cuando el intervalo de tiempo transcurrido tiende a cero (∆t → 0). Es decir, es la derivada de la velocidad angular respecto al tiempo. α= Prohibida su reproducción Descripción ω Velocidad angular Radián por segundo al cuadrado (rad/s2 o rad ∙ s−2) z R ω0 ∆ϕ P0 O X Vector aceleración media Vector aceleración instantánea El móvil describe una trayectoria circular con velocidad angular constante (at = 0, an = ω2 R).  El móvil describe una trayectoria circular con aceleración angular constante (at = α R constante, an = ω2 R). v1 t2 = 30 s  v2 t3 = 45 s Aceleración angular ∆t dω dt t1 = 15 s ∆ϕ ∆ϕ Posición angular 26 X d  dt P α P0 Es el cociente entre la variación de la velocidad angular y el intervalo de tiempo transcurrido. αm Aceleración angular instantánea Radián por segundo (rad/s o rad ∙ s−1) t0 ∆ϕ O R  v3 α=0 ω = constante ϕ = ϕ0 + ω (t- t0)  v0 t0 = 0 s  v2 t2 = 30 s  v1 ∆ϕ3 t3 = 45 s O ∆ϕ2 ∆ϕ1 R  v3 t1 = 15 s t0 = 0 s α = constante ω = ω 0 + α (t - t0) ϕ = ϕ 0 + ω 0 (t − t 0 ) + 1 α (t − t 0 ) 2 2 1.2. Causas del movimiento Una pelota de golf que está inicialmente en reposo se pone en movimiento cuando un jugador la golpea con su palo. Esta pelota se detiene cuando es interceptada por un objeto en su trayectoria, como por ejemplo un seto de arbustos. La pelota también puede cambiar la dirección de su movimiento cuando choca con una cerca o con el palo del banderín. Toda modiicación del movimiento de un cuerpo se debe a la acción de una o varias fuerzas. 2.1. Leyes de Newton Un cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme si no actúa ninguna fuerza sobre él, o si la resultante de las fuerzas que actúan es nula. — Sobre un cuerpo siempre actúa alguna fuerza (su peso, el rozamiento…). No obstante, si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo es nula, la situación equivale a que no actúe ninguna fuerza sobre él. — Para que un cuerpo se mantenga en MRU debe actuar sobre él una fuerza que se oponga a la de rozamiento y la neutralice. Segunda ley o ley fundamental de la dinámica → Si sobre un cuerpo actúa una fuerza resultante, F, éste adquiere una aceleración, → a , directamente proporcional a la fuerza aplicada, siendo la masa, m, del cuerpo la constante de proporcionalidad.   F = ma — Si la fuerza resultante sobre el cuerpo es cero, su aceleración también será cero y éste permanecerá en reposo o en MRU como airma la primera ley. — Si la fuerza resultante es diferente de cero, la aceleración tiene la misma dirección y sentido que la fuerza resultante. Ejemplo 12 Ejemplo 13 Calcula la fuerza que debe comunicarse a un cuerpo de 300 kg de masa para que se deslice por el suelo con velocidad constante si el coei m = 300 kg ciente de rozamiento N cinético es de 0,3.  Calcula la aceleración de un paquete de 2 kg que asciende verticalmente atado a una cuerda cuya tensión es de 30 N. F La resultante debe valer cero para que el cuerpo se mueva a velocidad constante:  Fr µc = 0,3  p R = F - Fr = 0 ⇒ F = Fr Calculamos la fuerza de rozamiento: Calculamos la resultante: F = T - p = T - mg F = 30N - 2 kg ⋅ 9,8 m/s2 = 0,4N Calculamos la aceleración: F = m a= Fr = µcN = µcp = µcmg = 0,3 ⋅ 300kg ⋅ 9,8 m/s2 = 882 N → 10, 4 N F = m 2 kg p Tercera ley o principio de acción y reacción Si un cuerpo ejerce una fuerza F12 sobre otro cuerpo, éste a → su vez ejerce sobre el primero una fuerza F21 con el mismo módulo y dirección, pero de sentido contrario: → = m = 2 kg a = 5, 2 m/s 2 — Las dos fuerzas F12 y F21, llamadas de acción y reacción, son simultáneas. — Aunque ambas fuerzas son opuestas, no se anulan mutuamente, debido a que se ejercen sobre cuerpos distintos. Ejemplo 14 → aa = a ⇒ T = 30 N Dibuja la fuerza peso de una persona y su fuerza de reacción e indica sobre qué cuerpos están aplicadas.  p → R Prohibida su reproducción Primera ley o ley de la inercia 27 B IÉN 1.3. Aplicaciones de las leyes de Newton y también: Las leyes de Newton nos permitirán resolver los problemas de dinámica. Para aplicar las leyes de Newton: 1. Dibujamos un esquema con todas las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo del problema. 2. Elegimos un sistema de coordenadas conveniente para cada cuerpo y determinamos las componentes de las fuerzas a lo largo de estos ejes. 3. Aplicamos las leyes de Newton. 4. Resolvemos las ecuaciones o los sistemas de ecuaciones resultantes. 5. Comprobamos el resultado. En las páginas siguientes estudiaremos algunos ejemplos simples de movimientos bajo la acción de fuerzas constantes para ilustrar las aplicaciones de estas leyes. Dinámica del movimiento rectilíneo En este tipo de problemas puede ser conveniente tomar el eje OX, en la dirección del movimiento. De esta manera    los vectores a, v y r tienen una sola componente y pueden expresarse en forma escalar. A continuación estudiaremos el movimiento de un cuerpo sometido a fuerzas constantes que se desliza sobre un plano y el movimiento de un sistema de dos cuerpos unidos por una cuerda. Movimiento en un plano horizontal El cuerpo de la igura se desliza sobre una supericie ho→ rizontal por acción de la fuerza F. Representamos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y calculamos su aceleración.  Fn = F sen β Ft = F cos β  Fr  N β  Ft Movimiento en un plano inclinado El cuerpo de la igura asciende por el plano incli→ nado por acción de la fuerza F. Representamos todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo y calculamos su aceleración.  pn = p cos α N pt = p sen α  F  Fr  p Eje tangencial: Ft - Fr = ma → F cos β - Fr = ma [1] Eje normal: N + Fn - p = 0 → N = p - Fn = mg - F senβ La fuerza de rozamiento es: Fr = µ c N = µc (mg - F sen β) Sustituimos en [1]: α Prohibida su reproducción  pn F - pt - Fr = ma → F - mg sen α - Fr = ma [1] Eje normal: N - pn = 0 → N = pn = p cos α = mg cos α La fuerza de rozamiento es: Fr = µc N = µc mg cos α Sustituimos en [1]: F − mg sen α − µc mg cos α = ma a = F − mg (sen α + µ c cos α)) m Ejemplo 15 Ejemplo 16 Calcula la aceleración del bloque de la igura superior si F = 20 N, α = 30 , m = 2 kg y µc = 0,1. Calcula la aceleración del bloque de la igura superior si F = 50 N, α = 45°, m = 3 kg y µc = 0,1. Sustituimos los datos del problema en la expresión de la aceleración: O P 28 F cos β − µ c (mg − F sen β) m α Eje tangencial: F cos β − µ c (mg − F sen β) = m a a =  p 20 co s 30° − 0, 1(2 ⋅ 9 ,8 − 20 ⋅ se n 30°ϒ) m = 8, 2 2 2 s Sustituimos los datos del problema en la expresión de la aceleración: a = 50 − 3 ⋅9,8 (se n 4 5° + 0, 1 ⋅ c os 45°ϒ ) m =9, 0 2 3 s Dinámica del movimiento circular Para describir este tipo de movimiento precisamos las componentes intrínsecas de la aceleración y las magnitudes angulares. Movimiento circular uniforme Este movimiento tiene las siguientes características: — El módulo de la velocidad es constante, por lo que no existe aceleración tangencial, at. — La dirección de la velocidad varía constantemente, por lo que existe aceleración normal o centrípeta, an. En consecuencia, debe existir una fuerza resultante que produzca tal aceleración. Esta fuerza tiene la dirección normal a la trayectoria y se llama fuerza centrípeta. F c = m a n ;F c =m  v  an v2 R  v Ejemplo 17 Ejemplo 18 Una bola de 150 g, atada al extremo de una cuerda de 40 cm de longitud, gira apoyándose sobre una mesa horizontal sin rozamiento a razón de 15 vueltas por minuto. Calcula: a. La velocidad angular en rad/s. b. La tensión de la cuerda. — Datos: La bola de la igura gira en el aire con MCU a razón de una vuelta por segundo. Si la longitud de la cuerda es de 0,3 m y la masa de la bola es de 100 g, calcula: a. la tensión de la cuerda; b. el ángulo que forma con la vertical. ω = 15 rpm N T R = 0,4 m p  v  v Fc =m ω2 R m = 0,15 kg  R Fc α l = 0,3 m  T Y  α Ty  Tx X  p a. Hallamos la velocidad angular en rad/s: ω = 15 π rad rev 2π rad 1 min ⋅ ⋅ = 60 s 2 s min 1 rev b. La tensión de la cuerda es la fuerza centrípeta: T = m ω 2 R =0, 15 kg ⋅ π rad 2 s Eje X: Tx = Fc ; T sen α = m ω 2 R Eje Y: Ty = p ; T cos α = m g a. De la primera ecuación obtenemos la tensión de la cuerda. Teniendo en cuenta que R = l sen α: T sen α = mω2l sen α T = mω2l = 0,1 kg ⋅ (2 π rad/s)2 ⋅ 0,3 m = 1,2 N b. De la segunda ecuación obtenemos el ángulo α: co s α = 2 ⋅ 0, 4 m = 0, 15 N mg 0, 1 kg ⋅ 9, 8 m/s 2 = = 0, 82 T 1,2 N De donde deducimos que α = 34,9°. Prohibida su reproducción Aplicamos la segunda ley de Newton teniendo en cuenta que la fuerza resultante en la dirección radial es la fuerza centrípeta: 29 Movimiento circular uniforme La igura representa un objeto que gira en un plano vertical atado al extremo de una cuerda. Las fuerzas que actúan sobre el objeto son su peso y la tensión de la cuerda. Puede apreciarse que en cada punto la resultante de estas fuerzas es distinta. Por tanto, se trata de un movimiento circular con velocidad variable y aceleración no constante.  p  T 3 1  T Eje normal  T  T  p Eje tangencial 4  p 2 Veamos cuál es el valor de la resultante en cuatro puntos del recorrido. Punto 1 (arriba) Punto 2 (abajo) Eje normal: Fc = T2 − p Eje normal: Fc = T3 Eje normal: Fc = T4 Eje tangencial: Ft = 0 Eje normal: Ft = 0 Eje normal: Ft = 0 Eje normal: Ft = −p T 1 + p =m v = m ω2R R Ejemplo 19 2 T 2 − p =m v = m ω2R R Una piedra de 100 g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de una cuerda de 50 cm de longitud. Calcula la velocidad mínima que debe tener la piedra en el punto superior de su trayectoria para que la cuerda se mantenga tensa. — Datos: m = 0,1 kg R = 0,5 m En el punto superior: v2 R La cuerda se mantiene tensa mientras existe una tensión T ≥ 0. El límite correspondiente a la velocidad mínima es T = 0: 0 + mg =m En este caso: QR n T + p =m v 2 mín ; v mín = g R R = 9, 8 m m ⋅0, 5 m = 2, 2 2 s s Observamos que el resultado es independiente de la masa de la piedra. 11. Una bola atada al extremo de una cuerda de 0,5 m de longitud gira en el aire con una velocidad constante en módulo. Si la cuerda forma un ángulo de 11,5° con la vertical, calcula el módulo de la velocidad. 12. Una bola gira verticalmente atada al extremo de una cuerda. Explica por qué la bola no cae en el punto más alto de la trayectoria, pese a que actúa sobre ella la fuerza del peso. ¿En qué se emplea esta fuerza? 2 T3 = m v R =m ω 2R T4 = m Ejemplo 20 v2 =m ω 2R R Una piedra de 100 g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de un hilo de 50 cm de longitud. Se aumenta la velocidad de la piedra hasta que el hilo se rompe por no poder aguantar la tensión. Si el límite de resistencia del hilo es de 7,5 N, calcula la velocidad con que saldrá disparada la piedra y di qué tipo de trayectoria seguirá. — Datos: m = 0,1 kg R = 0,5 m Tmáx = 7,5 N La cuerda se romperá en el punto inferior de la trayectoria, donde la tensión es máxima: T máx − p = v = 0, 5 m ⋅ − mg T mv 2 ; v = R máx m R 7, 5 N − 0, 1 kg ⋅ 9, 8 m/s 2 = 5, 7 m/s 0,1 kg La piedra seguirá un movimiento parabólico correspondiente a un tiro horizontal con velocidad inicial de 5,7 m/s.  v  g 13. Una piedra de 150 g de masa gira en un plano vertical atada al extremo de un hilo de 80 cm de longitud. Se aumenta la velocidad de la piedra hasta superar el límite de resistencia del hilo, que es de 10 N. a. Calcula la velocidad con que saldrá disparada la piedra. b. Di en qué punto de la trayectoria ocurrirá esto. Justiica tu respuesta. Actividades Prohibida su reproducción Punto 4 (derecha) Eje normal: Fc = T1 + p 2 30 Punto 3 (izquierda) 1.4. Movimiento de rotación El momento de una fuerza se deine vectorialmente, por la siguiente expresión:   M     M =r ×F    F α O  El momento M de una fuerza F respecto a un punto O es un vector con las siguientes características: Módulo: M = F∙r∙sen α Dirección: perpendicular al plano que forman los vectores   r y F. Sentido: el de avance de un sacacorchos o un tornillo que  girase aproximando r a F por el camino más corto (regla del sacacorchos).  r Con esta magnitud podemos conocer la eicacia de una fuerza para producir rotación alrededor de un eje que pasa por un punto O. En ocasiones, puede calcularse directamente respecto a un eje, por ejemplo, si se trata de un eje de simetría del cuerpo. Su unidad en el SI es el newton metro, N∙m. Si sobre un cuerpo actúan simultáneamente varias fuerzas externas, el momento resultante es igual a la suma vectorial de los momentos de cada una de las fuerzas: n n               M = M 1 +M 2 + M 3 +… + M n =∑ M i = ∑ ri × Fi i =1 → Determina el momento de la fuerza F1 de la igura respecto del punto P. Después, calcula el momento resultante → si existe además una fuerza F2 = (1, 0, 0) N aplicada en el punto (0, 1,2, 0) m.  Y  T  (0, 1, 2, 0) UV F 2 T (1, 0, 0) N → — Hallamos el momento de la fuerza F1 P Z  — Datos: r1 = (1,2, 0, 0) UV F1 =(0, S 3, 0) N; r2 1,2 m X  F 1 = (0, − 3, 0) N     M 1 = r1 ×F 1 = (1, 2, 0, 0) m ×(0, − 3, 0) N      M 1 = [1, 2 i × ( −3 j )] N ⋅ m = −3 , 6 k N ⋅m → — Calculamos el momento de la fuerza F2 y lo sumamos al momen→ to de la fuerza F1 para hallar el momento total:     M 2 = r2 ×F = (0 , 1, 2, 0) m ×(1, 0, 0) N      M 2 = (1, 2 j × i ) N ⋅m = −1, 2 k N ⋅ m          M = M 1 +M 2 = −3, 6 k N ⋅ m + (−1, 2 k N ⋅ m) = −4 ,8 k N ⋅m → 15. Calcula el momento de la fuerza F1 = (3, 5, 1) N aplicada en el punto (1, 2, 1) m respecto al origen de coordenadas. Actividades 14. Di qué tipo de movimiento tendrá un cuerpo sometido a una fuerza resultante nula y a un momento de las fuerzas no nulo. ¿Y un cuerpo sometido a una fuerza resultante no nula? Prohibida su reproducción Ejemplo 21 i =1 31 B Momento de inercia Los tres cuerpos de la igura tienen la misma masa y el mis→ mo radio. Si les aplicamos la misma fuerza F, perpendicular al radio y en su periferia, les proporcionaremos el mismo momento de la fuerza. α1 α2  F α3 r  F  F r m r m m Los tres cuerpos empezarán a girar con aceleraciones angulares diferentes, es decir, responderán de manera diferente a las fuerzas aplicadas. La relación entre el momento de la fuerza aplicada a un cuerpo y la aceleración angular producida se expresa mediante la segunda ley de Newton para la rotación o ecuación fundamental de la dinámica de rotación: y también: Un sólido rígido es cualquier sistema formado por partículas tales que las distancias entre ellas permanecen constantes incluso bajo la acción de fuerzas. Sólido rígido discreto Consta de un número inito de partículas, cada una con una masa mi. Utilizaremos el subíndice i para referirnos a una cualquiera de las partículas. M = ∑mi (M: masa total) i Sólido rígido continuo Consta de un número ininito de partículas, de modo que están ininitamente próximas entre ellas. Una partícula cualquiera será un diferencial de masa, dm. M = ⌠dm ⌡    M =Ια donde I es la constante de proporcionalidad, denominada momento de inercia, y se calcula respecto al mismo eje que el momento de la fuerza. El momento de inercia I de una partícula respecto de un eje es el producto de su masa m por el cuadrado de la distancia al eje de giro r. Ι = mr 2 Su unidad en el SI es el kg∙m2. Como esta magnitud tiene en cuenta la posición de la masa respecto al eje de rotación, su valor depende deleje de giro escogido. Prohibida su reproducción Momento de inercia de un sólido rígido discreto Si tenemos un sistema de n partículas que describen circunferencias de radios r1, r2 …, su momento de inercia es: Ι = m 1r12 +m 2 r22 … Ι =∑ m i ri2 Y la ecuación fundamental de la dinámica de rotación:     M = Ι α =∑ m i ri2 α 32 m1 r 1  v2 r2 m3  v3 m1 m3 Eje m2 dm dm m4 Sólido rígido discreto Sólido rígido continuo La ecuación fundamental de la    dinámica de rotación, M = Ι α, es similar a la ecuación fundamental de la dinámica de tras lación, F = m a. Según esta ecución, la aceleración angular es un vec  tor paralelo a M y del mismo sentido. m2 Si tenemos un cuerpo de masa M dividido en dm, cada uno a una distancia r del eje de rotación, su momento de inercia es: Ι = ⌠ r2 dm ⌡ M Y la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: r3 (M: masa total) Momento de inercia de un sólido rígido continuo ω  v1 IÉN     M = Ι α = ⌠ r 2 dm α ⌡ M Eje r3 dm v3 r2 dm v2 dm r1 v1 ω En el siguiente cuadro aparecen las fórmulas de los momentos de inercia de algunos cuerpos de composición homogénea respecto a los ejes señalados. Ι = M R2 Ι = M R2 R L 2 Barra delgada 1 Ι= ML2 12 1 MR 2 2 R R = 0,2 m F = 0,5 N 1 M (R 12 +R 22 ) 2 2 2 MR 3 R Esfera maciza Ι= R 2 MR 2 5 Paralelepípedo sólido R2 R1 Ι= 1 M (a 2 +b 2 ) 12 a b Hasta ahora, los problemas de cinemática y de dinámica que has resuelto sólo incluían traslaciones de partículas. Ahora, vamos a observar en un ejemplo cómo se utilizan las magnitudes y se aplican las leyes propias de los movimientos de rotación. Ejemplo 22 ω  F Eje R 1 Ι = MR 2 2 R m = 0,25 kg Ι= Cilindro sólido Ι= Z R Cilindro hueco de pared gruesa Disco macizo Ι= Esfera hueca Cilindro hueco Un disco de 20 cm de radio y 250 g de masa gira alrededor de un eje perpendicular a él y que pasa por su centro. Calcula: a. su aceleración angular si es sometido a una fuerza de 0,5 N tangente en un punto de su periferia; b. su velocidad angular pasados 10 s. a. Calculamos el momento de la fuerza y el momento de inercia del disco para poder aplicar la ecuación fundamental de la dinámica de rotación: → • Al ser la fuerza tangente al disco, F y R son per pendiculares:   M = F R =0, 5 N ⋅ 0, 2 m = 0, 1 N ⋅ m    Según el sistema de coordenadas escogido: • El momento de inercia del disco es: 1 1 Ι = M R 2 = ⋅ 0, 25 kg ⋅ (0, 2 m) 2 = 5 ⋅10 −3 kg ⋅ m 2 2 2         −0, 1 k N ⋅m M = M = Ι α; α = = − 20 k rad ⋅ s −2 Ι 5 ⋅ 10 −3 kg ⋅m 2 b. Aplicamos las ecuaciones del MCUA: ω = ω0 + αt = 0 + (-20 rad⋅s-2) ⋅ 10 s = -200 rad⋅s-1 18. Comprueba que al dividir las unidades del momento de la fuerza entre las del momento de inercia resultan las de la aceleración angular. 17. Tres masas de 1 kg cada una se sitúan en los vértices de un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 3 m y 4 m. Calcula el momento de inercia del sistema según gire en torno al primer cateto o al segundo. 19. Relaciona la dirección y el sentido de la aceleración angular de un cuerpo con el momento resultante sobre dicho cuerpo. Actividades 16. El momento de inercia de una partícula, ¿depende del eje elegido? ¿Y el de un sistema discreto de partículas? ¿Por qué? Prohibida su reproducción Aro delgado 33 B 2. La Tierra en el universo IÉN y también: El irmamento ha sido objeto de estudio por parte de los astrónomos desde la antigüedad. Su preocupación fue dar una explicación razonable al movimiento aparentemente errático de los cuerpos celestes y determinar nuestra posición en el universo. Etapas del método cientíico — Observación de la realidad. — Formulación de hipótesis. — Experimentación. — Organización de los datos experimentales. — Extracción de conclusiones y formulación de una ley. — Elaboración de una teoría. Si se producen nuevas observaciones o hechos que no se ajustan a la teoría, ésta debe ampliarse o ser sustituida por una nueva. A continuación repasaremos los diferentes modelos del universo que se defendieron a lo largo de la historia hasta llegar a Newton. Este repaso histórico nos permitirá comprender las etapas del método cientíico; es decir, el camino que se sigue en la ciencia hasta aceptar una nueva ley. Modelos del universo Los seis planetas del sistema solar que van desde Mercurio hasta Saturno son visibles a simple vista y ya habían sido descubiertos en la antiguedad. Fueron los ilósofos griegos quienes hicieron las primeras especulaciones sobre la estructura del universo. Aristóteles (384-322 a. C.) planteaba un modelo geocéntrico del universo, esto es, con la Tierra en su centro y los demás cuerpos celestes girando a su alrededor. Estos cuerpos debían de moverse por esferas transparentes con un movimiento circular uniforme, que en la Antigüedad se consideraba la forma más perfecta del movimiento. El astrónomo griego C. Ptolomeo, en el siglo II d. C. propusoun modelo geocéntrico del universo más perfeccionado que el de Aristóteles. El modelo ptolemaico consideraba que la Tierra era el centro del universo y que la Luna, el Sol y los planetas giraban en órbitas circulares o epiciclos alrededor de unos puntos que, a su vez, giraban alrededor de la Tierra. Durante catorce siglos, hasta Copérnico, los astrónomos aceptaron las teorías ptolemaicas. . . . . Estrellas . .fijas . Sol . Mercurio . . . Prohibida su reproducción . . . . . . . . Luna . . Venus . . . . . . . Saturno . . . . . . . Sol Venus . . . . . . . . . . . . . Marte . . . . . . . . . . . . . . Mercurio . . . Júpiter . . . . . . . . . . . . Luna Tierra . . . . . . . . . . . . . . Tierra . . . Saturno . . . Marte ... . . Estrellas . ..fijas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . El astrónomo polaco N. Copérnico (1473-1543) inició una revolución en la astronomía con su teoría heliocéntrica. Este astrónomo propuso un modelo en el cual la Tierra giraba alrededor del Sol, como los demás planetas, y la Luna daba vueltas alrededor de la Tierra mientras ésta estaba en movimiento. Copérnico todavía creía que los movimientos de los cuerpos del Sistema Solar eran circulares y conservó la idea de los epiciclos superpuestos a las órbitas descritas por los planetas alrededor del Sol. Júpiter . . . De los ilósofos griegos, el único que ideó un modelo heliocéntrico, en el que era la Tierra la que giraba alrededor del Sol, fue Aristarco de Samos, hacia el año 280 a. C. Esta teoría no tuvo muchos seguidores, pues era común considerar la Tierra como el lugar más importante y el centro del universo. 34 El primer telescopio de Galileo se conserva en el museo de Florencia https://goo.gl/l4rzCO El físico italiano Galileo Galilei (1564-1642) construyó un telescopio hacia el año 1610 e hizo lo que nadie había hecho antes: enfocar con su telescopio el irmamento. Él fue el primero en darse cuenta de la verdadera magnitud del universo: descubrió estrellas nunca vistas hasta entonces y observó la supericie de la Luna, los satélites de Júpiter, las fases de Venus, las manchas solares... Para sus explicaciones adoptó, casi a costa de su vida, el modelo heliocéntrico de Copérnico, pero siguió suponiendo órbitas circulares para los planetas. El mismo año de la muerte de Galileo nació Isaac Newton (1642-1727). Sus estudios e investigaciones abarcaron un gran número de disciplinas: mecánica, óptica, matemáticas... Enunció las leyes de la dinámica y la ley de la gravitación universal. Newton supuso que el hecho de que la Luna gire alrededor de la Tierra en lugar de salir despedida en línea recta se debe a la presencia de una fuerza que la empuja hacia la Tierra y la hace describir una circunferencia. Llamó a esta fuerza gravedad y supuso que actuaba a distancia, pues no hay nada que conecte físicamente la Tierra y la Luna. Newton demostró que la misma fuerza que hace caer un objeto sobre la Tierra mantiene a la Luna en su órbita. A partir de las leyes de Kepler, Newton dedujo la ley de la gravitación universal. 21. Explica la diferencia fundamental entre el modelo del universo de Ptolomeo y el de Copérnico. ¿Qué modelo se acepta actualmente? Actividades 20. ¿Qué tipo de movimiento realizaban los cuerpos celestes según la escuela aristotélica? Prohibida su reproducción El astrónomo alemán J. Kepler (1571-1630) colaboró con el famoso astrónomo Tycho Brahe durante los últimos años de la vida de este último. Brahe le legó un completísimo catálogo estelar con anotaciones de los movimientos de los planetas, sobre todo de Marte. A partir del estudio de estos datos y de sus propias observaciones, Kepler se dio cuenta de que las teorías de Brahe no encajaban con una supuesta órbita circular, aunque sí con un modelo heliocéntrico. Sus estudios le llevaron a la conclusión de que todos los planetas describen órbitas elípticas y, siguiendo el modelo heliocéntrico de Copérnico, enunció sus tres leyes sobre el movimiento de los planetas: Planeta 1. Todos los planetas describen órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos. Sol 2. La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. 3. El cuadrado del período del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. T 2 = CR 3 Las leyes de Kepler son válidas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y para el movimiento de los satélites alrededor de un planeta. 35 Visión actual del universo La astronomía que podemos llamar clásica se ha ocupado desde los tiempos de la cultura griega de conocer como funciona el universo. Así, las teorías de Aristóteles, Ptolomeo, Copérnico, Galileo, Kepler y Newton, con todas las mejoras matemáticas del cálculo ininitesimal del siglo XIX, proporcionan datos de una precisión satisfactoria sobre el funcionamiento del universo dentro de lo que podríamos llamar corto plazo. El llamado corto plazo en lo referente al universo se puede considerar 50 000 años hacia el pasado o hacia el futuro. Así, podemos disponer de calendarios de eclipses, de pasos de cometas famosos..., dentro de este margen citado. que inluyenen un sistema es posible determinar completamente el futuro de este sistema. Esto se llamó «física determinista». El problema es poder conocer todas las causas que pueden inluir en un sistema cuando es complejo. Pero teóricamente el futuro físico de un sistema está determinado. Sorprendentemente la teoría de la relatividad destruyó el principio determinista de la física newtoniana. El postulado «ningún fenómeno físico puede superar la velocidad de la luz» introducido por la teoría de la relatividad imposibilita la predicción completa del futuro del universo. Por ejemplo, las estrellas más lejanas de la Tierra que se han detectado son supernovas, algunas de las cuales están a 10 000 millones de años luz. Solamente podemos conocer su existencia cuando percibimos la luz procedente de la explosión estelar. Por tanto, todas las predicciones que hayamos hecho sobre el movimiento de las galaxias quedan invalidadas porque no hemos podido tener en cuenta la influencia de la citada estrella. Prohibida su reproducción Sin embargo, las revolucionarias teorías de la mecánica cuántica y la relatividad han sugerido perspectivas mucho más ambiciosas en lo que podríamos llamar la adivinación del pasado y del futuro. 36 La astronomía que podríamos llamar moderna se ha planteado la siguiente pregunta: ¿Es posible saber qué pasó en el universo si nos vamos a un pasado tan remoto como queramos? ¿Es posible saber que ocurrirá en el universo en un futuro tan lejano como queramos? Newton ya se planteó de una manera ilosóica esta cuestión. La respuesta clásica a la cuestión fue que si conocemos todas las causas http://goo.gl/0BuxzB El astrónomo inglés Edmund Halley pronosticó en 1705 que en el año 1758 el cometa Halley pasaría cerca de la Tierra. Una supernova es una explosión estelar que tiene lugar al inal de la vida de algunas estrellas muy masivas. A pesar de esta limitación sobre el acceso al pasado y al futuro, la extraordinaria imaginación de los cientíicos ha permitido establecer algunas airmaciones difícilmente discutibles, como la teoría del big bang para explicar el origen del universo o la existencia de agujeros negros. UE 2.1. Fuerzas gravitatorias NT T Ten en cuenta que: Expresa el valor de la fuerza de atracción entre dos masas y puede enunciarse de este modo: Dos partículas materiales se atraen mutuamente con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa.  u2 m1  F21  F12 r  m1 m 2  F 21= −G u2 r2 → F12 = fuerza ejercida por la partícula de masa m1 sobre la partícula de masa m2 → F21 = fuerza ejercida por la partí cula de masa m2 sobre la partícula de masa m1 G = constante de gravitación universal, de valor 6,67 ∙ 10−11 N ∙ m2 ∙ kg−2 m1 y m2 = masas de las partículas m2  u1  m1 m 2  F 12 = −G u1 r2 r = distancia entre las partículas u1 = vector unitario en la dirección de la recta que une las dos partículas, y con sentido de la partícula 1 a la 2 → u2 = vector unitario en la dirección de la recta que une las dos partículas, y con sentido de la partícula 2 a la 1 → Las fuerzas gravitatorias tienen las características siguientes: — La dirección del vector fuerza es la de la recta que une las dos masas. El signo menos que aparece en la expresión de → la fuerza indica que los vectores F12 y u1, al igual que los vec→ tores F21 y u2, tienen sentidos contrarios. Es decir, las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas. — Son fuerzas a distancia. No es preciso que exista ningún medio material entre las masas para que dichas fuerzas actúen. — Siempre se presentan a pares. Si la partícula 1 atrae a → la partícula 2 con una fuerza F12, la partícula 2, a su vez, → atrae a la partícula 1 con una fuerza F21. Ambas fuerzas tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentidos contrarios. Son fuerzas de acción y reacción: → → F12 = −F21   m m F 12 = F 21 =G 1 2 2 r IÉN y también: Aunque la ley de la gravitación universal ha sido enunciada para masas puntuales, Newton demostró que la fuerza gravitatoria ejercida por un objeto esférico sobre otro del mismo tipo situado cerca de él es la misma que actuaría si los objetos tuvieran toda su masa concentrada en el centro de la esfera. Las mayores masas que encontramos son las del Sol, los planetas, los satélites como la Luna… Todos ellos tienen forma aproximadamente esférica y gran radio. No son puntuales, pero la ley de gravitación universal continúa siendo válida. Prohibida su reproducción 2.2. Ley de la gravitación universal ¿Por qué órbitas elípticas? Kepler mostró cómo se movían los planetas alrededor del Sol, pero no pudo explicar qué clase de fuerzas causan estos movimientos. En 1684, C. Wren (1632-1723), noble y arquitecto inglés, interesado por el tema, ofreció un premio para quien lograra desentrañar el misterio. El problema llegó a oídos del astrónomo inglés E. Halley (1656 - 1742), amigo íntimo de Newton, quien planteó a éste la pregunta: ¿Cómo debe ser la fuerza que el Sol ejerce sobre los planetas para que éstos se muevan de acuerdo con las leyes de Kepler? Newton abordó el problema inmediatamente y dedujo que una fuerza que disminuye con el cuadrado de la distancia da lugar a órbitas elípticas. Como respuesta a la pregunta de su amigo Halley, enunció la ley de la gravitación universal. B Isaac Newton expuso la ley de la gravitación universal en su célebre libro Philosophiae naturalis principia mathematica (1687). Esta ley dio paso a un nuevo modelo del universo. 37 2.3. Estudio de campo gravitatorio de la Tierra Sabemos que dos cuerpos cualesquiera se atraen con una cierta fuerza gravitatoria por el hecho de tener masa, si bien, al menos uno de estos cuerpos debe tener una gran masa para que dichas fuerzas sean apreciables. Existen en la naturaleza enormes masas, como el Sol, la Tierra, la Luna, los planetas… Todas ellas pueden considerarse masas esféricas y, por tanto, se comportan como masas puntuales para objetos situados en su exterior. A continuación, estudiaremos el campo gravitatorio terrestre porque sus efectos nos atañen muy directamente, aunque los resultados que obtengamos son aplicables también a otros cuerpos celestes. B La Luna. El campo gravitatorio de la Tierra es la perturbación que ésta produce en el espacio que la rodea por el hecho de tener masa, modiicando las propiedades físicas y geométricas de este espacio. IÉN y también: La intensidad del campo gravitatorio terrestre, o simplemente campo gravitatorio, es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro de la Tierra.  u h P  g Intensidad del campo gravitatorio terrestre Para describir el campo gravitatorio de la Tierra se utiliza el vector intensidad del campo gravitatorio. → La intensidad del campo gravitatorio terrestre, g, en un punto del espacio es la fuerza con que la Tierra atrae a la unidad de masa situada en ese punto. La expresión de la intensidad del campo gravitatorio terrestre es la correspondiente al caso de una masa esférica en un punto exterior.  g= −G  M  g = −G 2T u ; r G=constante de gravitación universal, de valor 6,67 ⋅ 1011 N⋅m2⋅kg-2 M T=masa de la Tierra, de valor 5,98 ⋅ 10 24 kg Ejemplo 23 Prohibida su reproducción r = distancia del centro de la Tierra al punto P donde calculamos el campo. 38 Calcula el valor de la intensidad del campo gravitatorio sobre la supericie de la Tierra. — Datos: M = 5,98 ⋅ 10 kg T r = RT + h 2 (R T +h )  u R T = radio de la Tierra, de valor 6,37 ⋅ 10 6 m h = distancia de la supericie terrestre al punto P u = vector unitario en la dirección de la recta que une el centro de la Tierra con el punto P y con sentido del centro de la Tierra a P. Hallamos el módulo del campo gravitatorio: g =G 24 RT = 6,37 ⋅ 106 m MT g = 6, 67 ⋅10 −11 N ⋅ m2 kg 2 ⋅ MT RT 2 5, 98 ⋅ 10 24 kg (6 , 3 7 ⋅ 10 6 m)2 = 9, 8 N kg Peso de un cuerpo Nos encontramos en el campo gravitatorio de la Tierra. Por eso, sobre nosotros, y sobre todos los cuerpos de nuestro alrededor, actúa una fuerza que nos mantiene sobre su supericie. Esta fuerza es el peso.  g h  p RT → El peso, p, de un cuerpo es la fuerza con que la Tierra lo atrae. El peso de un cuerpo situado a cierta distancia de la Tierra puede: — Hacer caer el objeto sobre la supericie terrestre. — Mantener el objeto o satélite en órbita alrededor de la Tierra. En el primer caso, la caída tiene lugar con una aceleración a la que llamamos aceleración de la gravedad y represen→ tamos mediante el vector g. Así, aplicando la segunda ley de Newton, el peso de los cuerpos puede expresarse como   B La fuerza peso, al igual que el vector campo gravitatorio, tiene en cualquier punto dirección radial y sentido dirigido hacia el centro de la Tierra. IÉN y también: La unidad de la intensidad del campo gravitatorio, N/kg, coincide con la de la aceleración de la gravedad, m/s2. N = kg m s2 kg kg ⋅ = m s2 p = m g. Es decir, la aceleración de la gravedad coincide con la intensidad del campo gravitatorio terrestre. Por tanto, la gravedad no es constante, sino que disminuye al aumentar la distancia sobre la supericie de la Tierra. Un satélite artiicial tiene 500 kg de masa. Calcula su peso: a. En la supericie de la Tierra. b. A una altura de 20 000 km sobre la supericie. — Datos: m = 500 kg ; h = 20 000 km = 2 ⋅ 107 m a. Calculamos la intensidad del campo gravitatorio en la supericie terrestre: g =G g = 6, 67 ⋅10 −11 N⋅m kg 2 2 MT RT MT = 5,98 ⋅ 1024 kg 5, 98 ⋅ 10 24 kg N ⋅ = 9, 8 2 6 kg (6 , 3 7 ⋅ 10 m) Hallamos el peso del satélite en este lugar: N = 4 900 N kg ; RT = 6,37 ⋅ 106 m b. Calculamos la intensidad del campo gravitatorio a una altura de 20 000 km: g =G 2 P = m g ; p =500 kg ⋅ 9, 8 ; MT (R T +h )2 2 4 2 kg 5 81 ⋅ 0 ,9 1N ⋅ m −1 71 =6 ⋅ 0 ⋅ ,6 6 2 [(6 ,3 7+ 2 0 ) ⋅1 0 m)]2 kg g =0 ,5 7N/kg Hallamos el peso del satélite en este lugar: p =m g p = 500 kg ⋅0, 57 N = 285 N kg Prohibida su reproducción Ejemplo 24 En el segundo caso, el peso o fuerza de atracción gravitatoria actúa como fuerza centrípeta, imprescindible para describir una órbita cerrada. Esto ocurre con la Luna o los satélites artiiciales. 39 B 2.4. Leyes de Kepler IÉN y también: Las leyes de Kepler son válidas para el movimiento de los planetas alrededor del Sol y para el movimiento de los satélites alrededor de un planeta. El astrónomo alemán J. Kepler (1571-1630) dedujo entre los años 1600 y 1620 las leyes del movimiento planetario, a partir de las observaciones astronómicas del danés Tycho Brahe (1546-1601). Las leyes de Kepler fueron enunciadas en la unidad anterior. Ahora estamos en condiciones de demostrarlas a partir de los conocimientos adquiridos en esta unidad. Primera ley de Kepler Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de sus focos. Podemos deducir que las órbitas son planas a partir de la conservación de la dirección del momento angular de los planetas.  v  Fc Las fuerzas gravitatorias son fuerzas centrales, su dirección es la del radio, por tanto el momento de estas fuerzas respecto al centro (el Sol) es nulo y el momento angular de un planeta es constante:  M =0   L =M c =0 ;  L =c te.  L m Planeta  r Sol    El momento angular se deine como L = r ×mv ; es decir, es perpendicular a los vectores → ry→ v . La dirección de L→ es → → constante, por lo que r y v estarán siempre en el mismo plano (la órbita es plana). Sabemos que una fuerza de atracción central da lugar a un movimiento circular uniforme o elíptico. Ahora bien, las órbitas de los planetas tienen muy poca excentricidad (para la Tierra es 0,017 y para Plutón (planeta enano), la más elíptica, 0,25). Segunda ley de Kepler La recta que une un planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Esta ley se deduce de la conservación del módulo del momento angular de los planetas. El módulo del momento angular puede expresarse:    ds L = r × mv =r mv se n φ = rmv =r m dt  r dφ 2 dφ =mr L =rm dt dt Prohibida su reproducción El área barrida es la de un sector circular: 40 2 dA = r ds rr dφ r dφ = = 2 2 2 Comparando ambas expresiones, obtenemos:  dA L =2 m dt  v m  r dϕ dA ds = r dϕ  Y puesto que L es constante, también lo será el cociente dA/dt. Este cociente se denomina velocidad areolar, y mide la velocidad a la que se barren las áreas. Primera ley de Kepler El cuadrado del período del movimiento de un planeta es directamente proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol. T2 = Cr3 Hemos obtenido las expresiones de la velocidad orGracias a esta ley, podemos determinar las masas bital, v, y del período de revolución, T, de un satélite: de los planetas que tienen al menos un satélite cuyo período de revolución y su radio orbital se conocen. 2π r M Por ejemplo, actualmente se envían satélites artiiciav = G ; T = r v les alrededor de Venus para medir su masa, ya que no tiene satélites naturales. Para deducir la relación entre el período de revolución y el radio de la órbita, sustituimos la expresión de La masa del planeta se deduce directamente de la v en la expresión de T y elevamos al cuadrado: tercera ley de Kepler: 4π 2 3 r GM M = 4 π 2r 3 GT 2 y también: Determina la masa de Marte sabiendo que uno de sus dos satélites, Fobos, describe una órbita circular de 9,27 × 106 m de radio alrededor del planeta en 7,5 h. Elipse: lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a otros dos ijos es constante. — Datos: r = 9,27 ⋅ 106 m ; T = 7,5 h = 2,7 ⋅ 104 s Hallamos la masa de Marte a partir de la tercera ley de Kepler: M = 4π 2r 3 GT 2 = 4π2(9, 27 ⋅ 106m)3 667 , ⋅ 10−11 N ⋅m2 ⋅ (2 , 7 ⋅ 10 4 s )2 kg 2 IÉN B = 6 , 4 7 ⋅10 23 kg A 23. Di en qué zona es mayor la velocidad de un planeta: cerca del Sol o lejos de éste. Justiica tu respuesta. Actividades 22. ¿Qué forma tiene la órbita de los planetas? ¿Y la de los satélites? 26. Investiga acerca de los planetas del Sistema Solar y construye una tabla que recoja la distancia media al Sol, el período de revolución, la velocidad orbital y la masa de cada uno de ellos. 27. Newton relacionó las mareas oceánicas con las fuerzas gravitatorias del Sol y de la Luna sobre la Tierra. Busca información sobre la forma en que se producen las mareas y sus clases. Redacta un informe. 28. Formen grupos de trabajo, busquen información sobre los temas siguientes y redacten un informe: a. ¿Por qué un año tiene cuatro estaciones? b. ¿Por qué se producen los eclipses de Sol y de Luna? c. ¿Por qué la Luna tiene cuatro fases? F O c F´ A´ B´ La excentricidad de la elipse, e, se deine como: 24. Los planetas, en general, no son visibles, pues no llega hasta nosotros la luz que relejan. Razona cómo podemos predecir su existencia sin necesidad de enviar una sonda al espacio. —Explica cómo determinan los cientíicos la masa de los planetas. 25. Determina la masa de Júpiter si uno de sus satélites, Calisto, tiene un período de revolución de 16,7 días y un radio orbital de 1,88 × 109 m. a b c a Representa el achatamiento de la elipse y su valor es siempre menor que 1, pues c < a. e = Sol Venus Marte Júpiter Mercurio Tierra Saturno Urano Neptuno Prohibida su reproducción Ejemplo 25 B T 2= 41 Problemas resueltos A Una polea en forma de disco de 15 cm de radio y 2 kg de masa tiene un surco en su periferia en el que se encuentra enrollada una cuerda de masa despreciable. Si del inal de la cuerda cuelga un cuerpo de 0,5 kg de masa, calcula: a. el momento de la fuerza sobre la polea; b. la aceleración angular de la polea; c. la aceleración del cuerpo; d. la tensión de la cuerda; e. la velocidad del cuerpo a los 10 s, si parte del reposo, y su energía cinética en ese momento; f. la velocidad angular de la polea cuando el cuerpo ha caído 15 m. — Datos: mp = 2 kg Rp = 15 cm = 0,15 m mc = 0,5 kg t = 10 s x = 15 m  T  T  T  P Planteamos las ecuaciones fundamentales de la dinámica de rotación y de traslación, así como la relación entre las aceleraciones tangencial y angular. a. Como la cuerda está tirante, la tensión T vale lo mismo sobre la polea y sobre el cuerpo que cuelga. Esta fuerza es la que produce el momento y, como es perpendicular al radio: M = RT sen 90o. b. Hallamos el momento de inercia de la polea, 1 2 que será el de un disco Ι disco = M R , y 2 y aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica: M = Ια a = αR Ια =mc α R p −T =m c a ; p − R pR α= mc R 2 + Ι 1 1 MR 2 = ⋅ 2 kg (0 ,15 m)2 = 0 ,0 2 25 kg ⋅ m 2 2 2 p = m c g =0, 5 kg ⋅ 9, 8 m ⋅ s −2 = 4, 9 N Ι disco = α = 4, 9 N ⋅ 0, 15 m pR = mc R 2 + Ι 0, 5 kg (0, 15 m)2 + 0, 0225 kg ⋅m 2 c. La aceleración lineal del cuerpo será igual a la aceleración tangencial de los puntos de la periferia de la polea. La calculamos a partir de la relación entre las aceleraciones angular y tangencial: a = at = αR. d. Aplicamos la ecuación fundamental de la dinámica de traslación: F = p - T = mca a = α R =21,78 rad ⋅ s −2 ⋅ 0,15 m = 3, 27 m ⋅s 2 T = −2 −2 0 ,0225 kg ⋅ m ⋅ 21,78 rad ⋅ s Ια = = 3, 27 N R 0, 15 m M = RT =0, 15 m ⋅ 3, 27 N = 0, 49 N ⋅ m e. Hallamos la velocidad del cuerpo al cabo de 10 s aplicando las ecuaciones del MRUA y la energía cinética a partir de la deinición de energía cinética de traslación: 1 2 mv 2 v = v 0 +at Ec t = ,2 ,7 m ⋅s −1 v = 0+3 7m ⋅ s −2⋅ 1 0s = 3 2 1 2 E c t = mv 2 1 , 5kg ⋅ (3 , 7m ⋅ s −12 ) =2 , 3J Ec t = ⋅0 2 6 7 2 f. Obtenemos el tiempo transcurrido a partir de las ecuaciones del MRUA; la velocidad angular de la polea, a partir de las ecuaciones del MCUA. 1 1 2 at = 0 + 0 + at 2 2 2 2 ⋅ 15 m = = 3, 03 s 3,27 m ⋅ s −2 x = x 0 +v 0 + t = 2x a ω = ω0 +α t = 0 +21,7 8 rad ⋅ s −2 ⋅ 3, 03 s = = 66, 0 rad ⋅ s −1 1. Un cilindro de 5 kg de masa y 0,75 m de radio lleva 2. Una polea de 1 kg de masa y 25 cm de radio enrollada en su periferia una cuerda mediante la con forma de disco lleva enrollada en su perifecual se le ejerce una fuerza de 20 N. Calcula: ria una cuerda de la que cuelga un cuerpo de 2 kg. Calcula: a. El momento de la fuerza. a. La aceleración angular de la polea y la b. Su aceleración angular. aceleración lineal del cuerpo. c. Su velocidad angular al cabo de 3 min. b. La tensión de la cuerda. Actividades Prohibida su reproducción M =R T Ια RT = Ι α ; T = M =Ια R α = 21, 7 8 rad ⋅ s− 2 — El enunciado nos plantea la combinación del movimiento de traslación del cuerpo con el movimiento de rotación de la polea. 42 Las cuatro ecuaciones anteriores forman un sistema con cuatro incógnitas, que resolvemos: Problemas resueltos B Tres masas de 2 ⋅ 10 5 kg, 4 ⋅ 10 5 kg y 2 ⋅10 5 kg están situadas en los vértices de un triángulo equilátero de 5 ⋅ 10 3 m de lado. Calcula: a. El campo gravitatorio en el ortocentro del triángulo. b. La fuerza que actuaría sobre una masa de 3 ⋅ 103 kg al situarse en este punto. c. El potencial gravitatorio en dicho punto. d. La energía potencial gravitatoria que adquiriría una masa de 3 ⋅103 kg al situarse en dicho punto. — Datos: α α = 30° M1 = 2 ⋅ 105 kg α α = 30° L 2 b. Calculamos la fuerza que actuaría sobre la masa m: r X   N   F =m g =3 ⋅ 10 3 kg ⋅1, 6 ⋅ 10−12 j = 4, 8 ⋅ 10− 9 j N kg M3 = 2 ⋅ 105 kg El ortocentro es el punto P donde se cortan las alturas del triángulo. Calculamos la distancia de este punto a cada una de las masas: cos α W L 2 ; r r L 2 W cos α     g = g 1 +g 2 +g 3       g = −g 1 cos α i − g 1s en α j +g 2 j +g 3 cos α i −g 3 s en α j    g = 0i + (−2 ⋅1,6 ⋅ 10 −12 se n 30 o + 3, 2 ⋅ 10 −12) j N/kg   g = 1, 6 ⋅10 −12 j N/kg Y  g3 El campo gravitatorio resultante es la suma vec→ → → torial de g1, g2 y g3.   g = (−g 1 cos α + g 3 c os α ) i +  + (−g 1 se n α + g 2 − g 3 se n α) j  g2 P g 3 = g 1 =1,6 ⋅ 10 −12 N/kg c. Calculamos el potencial gravitatorio debido a cada una de las tres masas: V 1 =G 2, 5 ⋅ 10 3 m cos 30o W W V 1= − 4, 6 ⋅ 10−9 J/kg 2, 9 ⋅ 10 3 m V 2 =G a. Calculamos el módulo del campo gravitatorio debido a cada una de las tres masas: g 1 =G M1 r 2 =6, 67 ⋅ 1 0 −11 g 1 = 1, 6 ⋅10 g 2 =G M2 r2 =6, 67 ⋅ 10 −11 2 ⋅ 10 5 kg N ⋅ m2 kg −12 2 (2 , 9 ⋅ 10 3 2 m) N ⋅ m2 4 ⋅ 10 5 kg kg 2 (2 , 9 ⋅ 10 3 m)2 g 3 = g 1 =1,6 ⋅ 10 −12 N/kg M2 r =−6, 67 ⋅10 −11 5 N ⋅ m 2 4 ⋅ 10 kg 2, 9 ⋅ 10 3 m kg 2 V 2 = −9, 2 ⋅ 10 −9 J/kg V 3 =V 1 =− 4, 6 ⋅10 −9 J/kg El potencial gravitatorio resultante es la suma de V1, V2 y V3. V = V1 + V2 + V3 = −1,8 ∙ 10−8 J/kg N/kg g 2 = 3, 2 ⋅10 −12 N/kg 5 M1 N ⋅ m 2 2 ⋅ 10 kg =−6, 67 ⋅10 −11 r kg 2 2, 9 ⋅ 10 3 m d. Calculamos la energía potencial gravitatoria que adquiriría la masa m: 3. Calcula, para el sistema de masas de la igura: a. la intensidad del campo gravitatorio en el punto P; b. el módulo de la fuerza que actuaría sobre una masa de 100 kg al situarse en este punto; c. el potencial gravitatorio en el punto P; d. la energía potencial gravitatoria que adquiriría una masa de 100 kg al situarse en este punto. M2 = 1000 kg M1 = 1000 kg P M3 = 2 000 kg 70 m Actividades Ep = mV = 3 ∙ 103 kg ∙ (−1,8 ∙ 10−8 J/kg) = −5,4 ∙ 10−5 J Prohibida su reproducción L=  g1 g 2 = 3, 2 ⋅10 −12 N/kg Teniendo en cuenta que g3 = g1, resulta: 5⋅ 10 3 m M2 = 4 ⋅ 105 kg El ortocentro es el punto P donde se cortan las alturas del triángulo. Calculamos la distancia de este punto a cada una de las masas: M4 = 2 000 kg 43 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. Explica la diferencia entre vector desplazamiento y distancia recorrida. —¿En qué caso coincide el módulo del vector desplazamiento con la distancia recorrida? 2. La aceleración de un móvil es constante en módulo y perpendicular a su trayectoria en todo momento. ¿Qué clase de movimiento sigue el móvil? 3. Describe y representa las siguientes fuerzas e indica dónde están aplicadas las fuerzas de reacción: a. la normal; b. el rozamiento que se opone al desplazamiento de una mesa sobre el suelo; c. la tensión que ejerce una cuerda sobre un bloque. 4. Un ciclista circula sobre una pista circular peraltada. Dibuja el esquema de las fuerzas que actúan sobre el ciclista y explica por qué no se cae. 5. Una masa puntual describe una trayectoria circular. a. Si su cantidad de movimiento se reduce a la mitad, ¿cómo variará su momento angular? b. Si el radio del círculo se triplica mientras se mantiene constante la velocidad lineal, ¿cómo variará su momento angular? Justiica tus respuestas. 2 Practica lo aprendido 10. Se lanza una pelota desde una terraza situada a 20 m de altura con una velocidad de 10 m/s que forma un ángulo de 45° con la horizontal. Determina: a. El tiempo que tarda en llegar al suelo; b. La ecuación de su trayectoria; c. Si chocará con una pared de 10 m de altura situada a 20 m de la vertical de la terraza. 11. Una rueda de 20 cm de radio gira a 20 rpm. Calcula: a. la velocidad angular en rad/s; b. la velocidad lineal de los puntos de la periferia y de los que están a 5 cm del centro; c. el ángulo descrito en 10 s, expresado en radianes, y el número de vueltas efectuadas en este tiempo. 12. Una escopeta de feria de 2 kg dispara una bala de 10 g a una velocidad de 150 m/s. Calcula la velocidad de retroceso de la escopeta. 13. Dibuja el esquema de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos de la igura y calcula la aceleración del sistema y la tensión de la cuerda. m 1 = 2 kg µ c = 0,2 6. La ecuación del movimiento de un móvil es:    r (t ) = (t 2 −3 t )i + (2 t 2 +4 )j , en unidades SI Calcula: a. la velocidad media entre los instantes t = 1 s y t = 2 s; b. la velocidad instantánea; c. la aceleración media entre los instantes t = 1 s y t = 2 s; d. la aceleración instantánea. Prohibida su reproducción 7. La aceleración de un movimiento rectilíneo es   a = 6t i . Calcula el vector velocidad y el vector de posición en función del tiempo, sabiendo que en el     instante inicial v 0 = −8 i m/s y r0 = 9 i m. 44 8. Desde el suelo se lanza una piedra verticalmente hacia arriba con una velocidad de 30 m/s. En el mismo momento, se deja caer otra piedra desde una altura de 20 m. Determina a qué altura y en qué momento se encuentran. 9. Un avión vuela en dirección Sur-Norte a 810 km/h cuando comienza a soplar viento de 144 km/h en dirección Oeste-Este. Calcula: a. el tiempo que tarda el avión en avanzar 1 km en dirección Norte; b. la distancia que recorre en este tiempo respecto a la Tierra; c. la ecuación de la trayectoria. m 2 = 4 kg 14. Calcula el momento de inercia de una pelota de tenis respecto a un eje que pase por su centro, si su masa es de 60 g, su radio de 8 cm y es hueca por dentro. 15. Un objeto puntual de 150 g de masa está atado a una cuerda que pasa por un agujero practicado en una mesa. El objeto gira sobre la mesa a razón de tres vueltas por segundo cuando r = 20 cm. r = 20 cm r = 5 cm m ω0 F Si mediante la fuerza F, aplicada sobre la cuerda, acortamos r hasta que mide 5 cm, calcula la velocidad angular del objeto en ese momento. 1 Piensa y resuelve 16. Describe los modelos del universo propuestos por Ptolomeo (geocéntrico) y Copérnico (heliocéntrico). 29. Calcula el campo y el potencial gravitatorios que crea una masa puntual de 2 kg a 50 cm de distancia. 30. Determina el campo gravitatorio creado por el sistema de la igura en los puntos P y Q. 17. Enuncia las leyes de Kepler. 18. Enuncia la ley de la gravitación universal y explica las características principales de las fuerzas gravitatorias. 19. Explica qué es un campo de fuerzas y pon ejemplos. 20. Explica qué relación existe entre las energías potencial y cinética de una partícula que se mueve bajo la acción de un campo de fuerzas conservativo. Demuestra matemáticamente esta relación. 21. Explica qué diferencia existe entre las magnitudes intensidad del campo gravitatorio y potencial gravitatorio. 22. ¿Qué relación existe entre el trabajo del campo gravitatorio y la diferencia de potencial gravitatorio? 23. Al separar dos masas, ¿aumenta o disminuye su energía potencial gravitatoria? ¿Cuál es el signo del trabajo realizado por el campo gravitatorio? 24. Explica qué elementos se utilizan para representar gráicamente un campo de fuerzas como el gravitatorio. 1,06 m P m1 = 1 kg 0,7 5m 90° Q 5m 0,7 m2 = 2 kg 31. Calcula la energía potencial de un sistema de dos masas puntuales de 0,5 kg y 0,75 kg separadas una distancia de 2 m. 32. Halla el potencial gravitatorio que crea una masa puntual de 450 g a una distancia de 50 cm. — ¿Qué energía potencial gravitatoria adquiere una masa de 3 g al situarse en este punto? 33. Determina el valor de la masa que crea un potencial gravitatorio de −5 × 10−9 J/kg a una distancia de 2 m. 25. ¿Cuál es el signiicado físico de la magnitud lujo gravitatorio? Practica lo aprendido 26. Calcula la fuerza con que se atraen una libreta de 150 g y un libro de 200 g, supuestos puntuales, si están separados una distancia de 10 cm. 27. Determina la distancia a la que se encuentran dos masas puntuales de 10 kg cada una si se atraen con una fuerza de 10−5 N. 28. Calcula la masa de dos partículas iguales que se atraen con una fuerza de 10−4 N cuando están separadas una distancia de 3 mm. —¿Qué energía potencial gravitatoria adquiere una masa de 500 kg al situarse en este punto? M2 = 4 ⋅ 106 kg 4 ⋅ 103 m M1 = 2 ⋅ 106 kg 3 P 3 0 ⋅1 m Prohibida su reproducción 2 34. Calcula el potencial gravitatorio creado por el sistema de la igura en el punto P. 45 Práctica de laboratorio N•1 Poleas de masa DESPRECIABLE y poleas inerciales investigamos: α En una máquina de Atwood como la de la igura 1, inicialmente en equilibrio con dos masas iguales M, al añadir un exceso de masa pequeñísimo ∆m en uno de los cuerpos que cuelgan, éstos inician un movimiento con aceleración constante a y en un tiempo t recorren 2x un espacio s = 2 a t2. t Si llamamos a las dos masas mA = M + ∆m y mB = M, y a las tensiones de la cuerda TA y TB, tenemos: mAg - TA = mA a (1) TB - mBg = mB a (2)⎬ TA m R TB TA TB a a mA g Polea de masa despreciable Si la masa de la polea es despreciable, entonces tenemos TA = TB, que sustituido en el sistema de ecuaciones (1) y (2), da: a= Polea inercial (mA- mB ) (mA + mB) g mB g (3) Prohibida su reproducción Si la polea tiene una masa m, es preciso considerar su rotación. Teniendo en cuenta el momento de las tensiones TA y TB respecto del centro de rotación de la polea, y aplicando la ecuación de la dinámica de rotación, obtenemos (TA − TB)R = I α. Tomando como 2x momento de inercia de la polea I= 2 m R2 donde R es su radio, y haciendo uso de t 1 m a, que, sustituido en el sistema de ecuaciones (1) y (2), α = a/R, llegamos a TA - TB= 2 da: 46 a= objetivo: 2(mA- mB ) 2 (mA + mB) + m g (4) En esta experiencia obtendremos experimentalmente los valores de la aceleración, a, en una polea de masa negligible y en una polea inercial y los compararemos con los valores teóricos predichos. • Polea de masa despreciable (de plástico o material ligero) y polea inercial (de hierro o material pesado) • Dos masas iguales M = 100 g y una masa • Hilo • Balanza y regla o cinta métrica • Cronómetro ∆m = 1 g Procesos: 1. Pesa las masas que utilizarás M, m y ∆m, y mide el radio de la polea R. 2. Prepara el montaje de la igura 1 utilizando la polea ligera. Coloca el cero de la regla a la altura inicial de la masa A. 3. Deja ir el sistema a la vez que pones en marcha el cronómetro. Mide el tiempo que la masa A tarda en recorrer diversas distancias. Haz tantas mediciones como sea necesario y anota en la tabla 1 la media aritmética de los valores obtenidos. 4. Calcula los cuadrados de los tiempos medidos y anótalos en la tabla 1. s(cm) 0 t2(s2) 0 t(s) 0 10 20 30 50 100 Tabla 1. Polea de masa negligible 5. Representa gráicamente los valores obtenidos de s respecto de t 2 y calcula la pendiente. A partir de la ecuación del MRUA, s = 1 a t2 deduce el valor experimental de la 2 aceleración a. Compáralo con el valor teórico predicho. Práctica de laboratorio N•1 materiales: 6. Repite la experiencia utilizando la polea inercial. Completa la tabla 2 con los valores obtenidos y, a partir del pendiente de la gráfica, calcula el valor de la aceleración a. Compáralo con el valor teórico predicho. 0 t2(s2) 0 t(s) Cuestiones: 0 10 20 30 50 100 Tabla 2. Polea inercial • Demuestra las expresiones (3) y (4), que permiten calcular la aceleración en el caso de una polea de masa despreciable y en el caso de una polea inercial. • En la gráica de s respecto de t2, ¿para qué valores del tiempo hay más separación respecto de la recta ajustada? ¿A qué crees que es debido? • ¿En qué caso (polea de masa despreciable o polea inercial) el valor experimental de la aceleración es más próximo al valor teórico? ¿Por qué? • Explica cómo se puede utilizar la máquina de Atwood para determinar el valor de g. Prohibida su reproducción s(cm) 47 ZONA SOCIEDAD Velocidad máxima La velocidad de un automóvil debe permitir a su conductor detener el vehículo dentro de la distancia de seguridad ante cualquier incidente. Si aumenta la velocidad, también lo hacen la distancia de reacción y la de frenado, por lo que el conductor deberá guardar una distancia de seguridad mayor. Circular a una velocidad excesiva es extremadamente peligroso, pues si el conductor no logra detener el vehículo dentro de la distancia de seguridad, se producirá una colisión cuyas consecuencias pueden ser funestas. Turismos y motocicletas Autobuses y mixtos Vías rápidas 100 Otras carreteras Autopistas y autovías 120 100 Camiones y Automóviles articulados con remolque Bicicletas y ciclomotores 40 sólo autovías 90 80 90 80 80 40 90 80 70 70 40 Vías urbanas 50 50 50 50 40 Zonas residenciales 20 20 20 20 20 50 La conocida señal de tráico que indica la velocidad máxima permitida ayuda al conductor a mantener su velocidad dentro de unos márgenes de seguridad. Este límite depende de la vía por la que se circula y del tipo de vehículo. 193 m Límites máximos de velocidad, expresados en km/h. El golpe recibido por un automóvil en una colisión a las velocidades indicadas es equivalente al que recibiría en una caída libre desde las alturas que muestra la igura. Prohibida su reproducción 75,6 m 11 m 53 70 18,2 m 85 28,5 m 100 40 m 120 160 m 100 m 93 m 134,7 m 110 m 54 m 140 150 160 170 185 200 220 km/h Normalmente, el choque se produce a menos velocidad, ya que los conductores frenan ante la inminencia del choque. 48 1 Resumen Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA) Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) t v = v 0 +⌠ ad t = v 0 +0 t v = v 0 +⌠ ad t ⌡t 0 Ecuación de la velocidad ⌡ t v = v 0 = c ons tante 0 v = v 0 +X (Y −t 0 ) ⌡t 0 Ecuación de la posición Eje X: MRU Eje Y: MRUA Eje X: MRU x = x 0 + vx (t - t 0) Eje Y: MRU y = y 0 + vy (t - t 0) x = x0 + v0x (t - t0) ; vx = v0x = constante 1 g (t − t0 )2 2 −g (t −t 0 ) y = y 0 +v 0 y (t − t 0 ) − v y = v 0y Donde v0x = v0 cos α ; v0y = v0 sen α Movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) ω = constante ω = ω0 + α (t - t 0) 2 t − t0 ) + α( t − t0 ) ϕ =ϕ 0 + ω 0 ( 1 2 ϕ = ϕ0 + ω (t - t 0) Posición angular 1 a (t − t0 )2 2 Movimiento parabólico Movimiento circular uniforme (MCU) Velocidad angular t ⌡t 0 x = x 0 +v 0 (t − −t 0) + x = x 0 +v (t −t 0 ) Composición de dos MRU perpendiculares Ecuaciones de la posición y la velocidad t ⌡t 0 x = x 0 +⌠ v dt = x 0 +⌠ [v 0 + a (t −t0 )]dt t x = x 0 +⌠ v dt Dinámica de traslación Segunda ley de Newton o ley fundamental de la dinámica    dp  F = m a O b ien F = dt Teorema de conservación de la cantidad de movimiento Momento de una fuerza    M= r ×F  p =c onstante Dinámica de traslación Momento de inercia Momento cinético o angular Ι =⌠ r 2 d m Ι = ∑m i ri2 ⌡M sólido rígido discreto sólido rígido continuo Ecuación fundamental de la dinámica de rotación    M =Ι α Teorema de conservación del momento angular   Si M = 0    L = r ×p   L =Ι ω Prohibida su reproducción  Si F = 0  L =c ons tante 49 Para finalizar 1 La aceleración de un movimiento rectilíneo vie  ne dada por la ecuación a = (12t 2 − 6t ) i . Calcula las ecuaciones de la velocidad y de la posición en función del tiempo, sabiendo que en el     instante inicial v 0 = 5 i m/s y r 0 = − 5 i m. 10 Un objeto de 150 g unido al extremo de una 2 Se lanza un proyectil desde 10 m de altura con una velocidad inicial de 360 km/h que forma un ángulo de 40° con la horizontal. Calcula: a. Dibuja un esquema de las fuerzas que actúan sobre cada cuerpo. b. Calcula la velocidad lineal con que gira el cuerpo que está sobre la mesa y las componentes tangencial y normal de la aceleración. cuerda gira sobre una mesa horizontal con MCU de radio 20 cm. La cuerda pasa por un agujero practicado en la mesa y está unida por el otro extremo a un cuerpo de 1,5 kg que está en reposo. a. La altura máxima b. La posición 3 s después del lanzamiento. c. El alcance. 3 4 6 ¿Por qué el potencial gravitatorio y la energía potencial gravitatoria son siempre negativos? ¿Qué signiicado físico tiene este signo? Prohibida Prohibida su su reproducción reproducción 9 ¿Qué relación existe entre el campo y el potencial gravitatorios? ¿Es posible que dos observadores den para el mismo cuerpo energías potenciales diferentes y ambos tengan razón? 12 13 14 15 Una masa puntual de 50 kg está situada en el origen de coordenadas. Calcula: c. El potencial gravitatorio en dicho punto. d. La energía potencial gravitatoria que adquiere una masa de 20 kg al situarse en dicho punto. Un disco circular en reposo de 0,5 m de radio y 1 kg ∙ m2 de momento de inercia lleva una cuerda sin masa enrollada en su periferia. Si tiramos de la cuerda con una fuerza constante de 2 N y el rozamiento es despreciable, calcula: a. la aceleración angular del disco; b. la longitud de cuerda desenrollada al cabo de 10 s. Determina el módulo del campo gravitatorio de la Luna en su supericie. (ML = 7,47 × 1022 kg; RL = 1 740 km) Halla el valor del potencial gravitatorio en el punto medio del segmento que une dos partículas de masas 12 g y 18 g separadas 1 cm. En tres vértices de un cuadrado de 5 m de lado se disponen otras tantas masas de 12 kg. Calcula: a. el campo gravitatorio en el cuarto vértice; b. el trabajo realizado por el campo para llevar un cuerpo de 12 kg desde dicho vértice hasta el centro del cuadrado. a. El campo gravitatorio en el punto (3, 4) m. b. La fuerza que actuaría sobre una masa de 20 kg al situarse en este punto. Pon algún ejemplo de movimiento en el que se cumpla el teorema de conservación del momento angular y descríbelo. Calcula el momento de inercia de la Tierra en su giro alrededor del Sol. Para ello, considera la Tierra un cuerpo puntual de 6 ⋅ 1024 kg de masa que gira en una órbita circular de 1,5 ⋅ 108 km de radio alrededor del Sol. Explica las características principales de las fuerzas de acción y reacción. Un patinador de 75 kg de masa, que está parado en el centro de una pista de hielo, lanza un disco de 300 g con una velocidad de 12 m/s. ¿Qué velocidad tendrá el patinador inmediatamente después del lanzamiento? 8 50 ¿Cuánto tardará en pararse un disco que gira a 60 rpm si empieza a frenar con una aceleración angular constante de 2 rad/s2? 5 7 11 16 Una masa se desplaza en un campo gravitatorio desde un lugar en el que su energía potencial vale −80 J hasta otro donde vale −160 J. ¿Cuál de estos resultados es el trabajo realizado por el campo? . Explica qué es el peso de un cuerpo y de qué 17 factores depende. 24 Cuando en la supericie terrestre se coloca un objeto en el platillo de una balanza, se consigue el equilibrio al colocar en el otro platillo pesas de un valor total de 5 kg. Determina qué pesas se necesitan para equilibrar la balanza con el mismo objeto en la supericie de la Luna. 25 Un satélite de 1 000 kg de masa describe un movimiento circular alrededor de la Tierra. Sabiendo que tarda dos días en dar una vuelta a la Tierra, calcula: a. el radio de la órbita del satélite; b. su aceleración normal; c. su energía potencial gravitatoria. 26 Determina la masa del planeta Marte sabiendo que tiene un satélite situado en una órbita circular de 9,4 ∙ 106 m de radio alrededor del planeta y que el período de revolución de dicho satélite es de 460 min. Halla la expresión de la velocidad de escape para un cuerpo situado en la supericie de la Tierra. Enuncia las leyes de Kepler del movimiento planetario. —Demuestra la tercera ley de Kepler para una órbita circular a partir de la ley de la gravitación universal. Calcula la intensidad del campo gravitatorio terrestre a una altura de 275 km sobre la supericie de la Tierra. —Determina hasta qué altura debemos ascender para que g se reduzca en un 15 %. 18 Calcula la distancia que recorre una partícula en 3 s de caída libre cuando se abandona en un punto próximo a la supericie de la Luna. 19 Contesta razonadamente a las preguntas: a. ¿Varía la aceleración de la gravedad con la altura sobre la supericie de la Tierra? 27 Explica por qué un satélite geoestacionario tiene una posición ija respecto a la Tierra. 28 Explica qué tipos de órbitas puede tener un satélite en función del signo de su energía mecánica. b. ¿Tiene el mismo valor el peso de un cuerpo en la Tierra que en la Luna? 20 Explica por qué el valor de la aceleración de la gravedad y el de la intensidad del campo gravitatorio terrestre coinciden en cada punto. 21 Explica la diferencia entre peso y masa. 22 Repasa en la página 65 cómo representar un campo gravitatorio. Luego, representa el campo gravitatorio terrestre. 23 Un cuerpo se eleva cierta altura sobre la supericie de la Tierra. Di si en este proceso el cuerpo gana o pierde energía potencial gravitatoria. —¿Qué signiica la ganancia o pérdida de energía potencial gravitatoria? —¿Qué condición debe cumplir un cuerpo para abandonar el campo gravitatorio terrestre? 29 Razona por qué la trayectoria de los planetas alrededor del Sol debe ser plana. 30 Determina el valor de la gravedad a una altura de 450 km sobre la supericie terrestre. (Masa y radio de la Tierra:MT = 5,98 ∙ 1024 kg, RT = 6 370 km; gravedad al nivel del mar: g0 = 9,8 m/s2) 31 Calcula el peso de un objeto de 25 kg de masa situado: a. sobre la supericie de la Tierra; b. a una altura de 3 000 km sobre la supericie. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 51 2 Mecánica II contenidOS: Prohibida su reproducción 1. Movimiento armónico simple 1.1. Ecuaciones del movimiento armónico simple 3.1. Ondas mecánicas 1.2. Ecuación de la velocidad 3.2. Características de las ondas armónicas 1.3. Ecuación de la aceleración 3.3. Ondas sonoras 2. Oscilador armónico simple 2.1. Dinámica del oscilador armónico simple 2.2. Péndulo simple http://goo.gl/8g0ynC 52 3. Ondas 3.4. Fenómenos básicos Noticia: Según la Organización Mundial de la Salud, en la Unión Europea alrededor de 40% de la población está expuesta al ruido del tráico con un nivel equivalente de presión sonora que excede 55 dB(A) en el día y 20% están expuestos a más de 65 dB(A). Si se considera la exposición total al ruido del tráico se puede calcular que aproximadamente la mitad de los europeos vive en zonas de gran contaminación sonora. http://goo.gl/qLZjJ2 1. Menciona los efectos negativos que puede ocasionar el ruido en los seres humanos. 2. Además de los efectos que provoca el ruido en los seres humanos, ¿qué daños ocasiona a la naturaleza? Prohibida su reproducción En contexto: 53 1. Movimiento armónico simple Las agujas de un reloj se mueven constantemente. Sin embargo, su trayectoria es siempre → → la misma y, a intervalos regulares de tiempo, su posición r, su velocidad v y su aceleración → normal an se repiten. Decimos que se trata de un movimiento periódico. Un cuerpo, o una partícula de este, describe un movimiento periódico cuando las variables posición →r , velocidad v→ y aceleración →a de su movimiento toman los mismos valores después de cada intervalo de tiempo constante denominado período. ω = cte. Y  r O Y ω = cte. P X O  an P  v X Un ejemplo de movimiento periódico es el movimiento circular uniforme, MCU. En él, el móvil se desplaza siguiendo una trayectoria circular con velocidad angular ω constante. Supongamos que en un momento dado se encuentra en el punto P y presenta unos valores determinados para su vector de posi→ → ción r, su velocidad lineal v y su aceleración → → a = a n. Transcurrido un tiempo constante, denominado período, habrá recorrido una circunferencia completa, volverá a estar en la misma posición P y se repetirán los valores de dichas varia→ → → bles r, v y an. El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra, el de ésta alrededor del Sol o el movimiento de las agujas de un reloj son ejemplos de movimientos periódicos. Pero no todos los movimientos periódicos son circulares. Observa los cuerpos de la igura. Se mueven alternativamente a uno y otro lado de una posición central o de equilibrio siguiendo siempre la misma trayectoria. Decimos que efectúan un movimiento oscilatorio o vibratorio. Una partícula describe un movimiento vibratorio u oscilatorio cuando se desplaza sucesivamente a un lado y a otro de su posición de equilibrio repitiendo a intervalos regulares de tiempo sus variables cinemáticas. Prohibida su reproducción Cada vez que el cuerpo vuelve a la posición de partida moviéndose en el mismo sentido, decimos que ha efectuado una oscilación y en ello ha invertido un tiempo constante, el período. 54 Las oscilaciones de un péndulo, las de un cuerpo que vibra libremente al colgarlo de un muelle o las de una cuerda en un instrumento musical son ejemplos de oscilaciones mecánicas. En ellas el sistema oscilante es una masa inicialmente separada de su posición de equilibrio. Cuando estas oscilaciones son muy rápidas, se denominan vibraciones y el movimiento correspondiente, movimiento vibratorio. Para observar un caso concreto de movimiento vibratorio podemos efectuar un montaje como el de la igura. Colocamos un cuerpo de masa m sujeto a un muelle elástico de longitud l, ijo por un extremo, que puede deslizarse sin rozamiento por una supericie horizontal. l m → Al aplicar una fuerza Fext al muelle, desplazamos el cuerpo una longitud x de su posición inicial de reposo O hasta el punto D. Al cesar la fuerza, el cuerpo: B Es decir, describe un movimiento rectilíneo oscilatorio en torno al punto O, que se convierte en centro de oscilación o de equilibrio. Cuando la fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo varía periódicamente de manera proporcional al desplazamiento, el cuerpo describe un movimiento vibratorio que se denomina movimiento armónico simple, MAS. x X O D Y  i B Observa que este movimiento se produce porque el muelle → ejerce sobre el cuerpo una fuerza recuperadora F que lo devuelve a la posición de equilibrio    F = −K r = −Kx i X D  r • Vuelve a la posición D, de nuevo vuelve a la posición B, y así sucesivamente. → x O  F • Se detiene momentáneamente en B. K: constante recuperadora del muelle → r: vector de posición → i: vector unitario según el sentido positivo del eje X  Fext ¢ r • Sobrepasa la posición O hasta alcanzar la posición B. X O D Y  i B IC Si tomamos como origen de referencia la posición de equilibrio, es decir, aquella posición donde el muelle no ejerce → ninguna fuerza sobre el cuerpo, la fuerza recuperadora F → tiene la dirección del vector de posición r, pero sentido contrario a éste y podemos expresarla vectorialmente a partir de la ley de Hooke: X  F O X D O x A S TIC Comprueba el funcionamiento de un movimiento armónico simple en la página: Visita: http://goo.gl/x1EHYl 2. ¿Puede un movimiento periódico no ser oscilatorio? Cita un ejemplo. 3. Di por qué no todos los movimientos oscilatorios son armónicos. 4. El diapasón es una varilla metálica doblada en forma de «U» y sujeta por su centro. Al ser golpeado, vibra emitiendo un sonido. Las oscilaciones de sus extremos se denominan vibraciones. ¿Por qué? Actividades 1. Describe brevemente lo fundamental de cada uno de estos movimientos: periódico, oscilatorio y armónico simple. Prohibida su reproducción El movimiento oscilatorio de un cuerpo sobre una trayectoria recta es armónico simple cuando está sometido a la acción de una fuerza de restitución proporcional al vector posición, con origen en su punto de equilibrio o centro de oscilación, y de sentido contrario. 55 B IÉN y también: 1.1. Ecuaciones del movimiento armónico simple En este libro se utiliza f como símbolo de la frecuencia, pero también es posible representarla mediante la letra griega ν. Para describir completamente el MAS debemos obtener las ecuaciones que nos permitan conocer la posición, la velocidad y la aceleración de una partícula en un instante dado. Pero antes hemos de recordar y deinir algunas características de este movimiento. Características de un MAS — Vibración u oscilación: distancia recorrida por la partícula en un movimiento completo de vaivén. — Centro de oscilación, O: punto medio de la distancia que separa las dos posiciones extremas alcanzadas por la partícula móvil. — Elongación, x: distancia que en cada instante separa la partícula móvil del centro de oscilación O, tomado como origen de las elongaciones. Viene dada por la coordenada de posición de la partícula en un momento dado. Consideramos positivos los valores de esta coordenada a la derecha del punto O y negativos a su izquierda. — Amplitud, A: valor máximo de la elongación, o sea, la distancia entre el origen O y el punto D. — Período, T: tiempo empleado por la partícula en efectuar una oscilación completa. Prohibida su reproducción Observa: — A y ϕ 0 determinan el valor de la elongación x en t = 0, ya que entonces x = A sen ϕ0. — Si ϕ0 = 0, entonces para t = 0, x = 0; es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula está en el centro de oscilación. — El valor de x se repite cada vez que el ángulo ω t + ϕ0 aumenta en 2 π rad: sen (ωt + ϕ0) = = sen (ωt + ϕ0 + 2 π) 56 1 . Su unidad en el SI es el hercio, Hz, siendo T −1 1 Hz = 1 s . — Pulsación, ω: número de períodos comprendidos en 2π unidades de tiempo (ω = 2 πf). Su unidad en el SI es rad ∙ s−1. O X x A A D B x = A sen (ω t + ϕ0) ωt + ϕ0: ángulo de fase o fase (rad) ϕ0: fase inicial o constante de fase (rad) Una partícula posee un movimiento armónico simple a lo largo de un eje X cuando su elongación x, o coordenada de posición sobre este eje, se expresa mediante una función sinusoidal del tiempo dado. ωt (rad) T 4 π  rad,, la partícula se 2 T 2 halla en la posición x = +A al comenzar a contar el tiempo. 3T 4 π 3π 2 T 2π — Si ϕ0= f = La ecuación fundamental del movimiento armónico simple describe cómo varía el valor de la elongación x a lo largo de una trayectoria recta con el transcurso del tiempo. Esta variación x = f (t) viene expresada en la ecuación siguiente mediante una función seno de un ángulo que, como es sabido, varía periódicamente. t (s) — Cuando sen (ωt + ϕ0) vale +1 ó -1, la elongación x vale +A o -A. La partícula se halla en las posiciones extremas de su trayectoria. — Frecuencia, f: número de oscilaciones efectuadas en la unidad de tiempo. Es la inversa del período 0 0 2 sen (ωt) 0 x (m) +1 +A 0 −1 0 0 X A 0 −A 0 x = A sen ω t O –A +A ϕ0=0 T 4 T 3T 2 4  2  3 2 T 2π (ωt) t Período y frecuencia en el MAS B Veamos cómo, a partir de la ecuación general del MAS, podemos obtener el valor del período y de la frecuencia en función de la pulsación ω. y también: Ecuación general del MAS en función del coseno Esta ecuación se expresa también de la siguiente forma: x = A cos (ωt + ϕ′0) Sabemos que en t = 0, x = A sen ϕ0; pero, al transcurrir el tiempo, el ángulo de fase ωt + ϕ0 aumenta y cuando el tiempo vale un período T, es decir, cuando la partícula vuelve a tener la misma posición y velocidad, el ángulo ωT + ϕ0 es igual al ángulo de partida ϕ0 más 2π radianes. Y como dos ángulos que diieren en 2π radianes tienen el mismo seno, tenemos que: En la práctica podemos utilizar una u otra forma para expresar un movimiento armónico determinado siempre que tengamos en cuenta que entre una y otra hay una diferencia x = A sen ϕ 0 = A sen (ω T + ϕ 0) = A sen (2 π + ϕ 0) de fase de Es decir: de donde resulta: 2π 2π ;ω = ω T ωt + ϕ 0 = 0 x = A sen 0 = A ⋅ 0 = 0 El período T del MAS es independiente de la amplitud. recordamos que la frecuencia ω 1 f = ; ω =2 π ≠f , tenemos: 2π T f es radianes. x = A sen (ω t + ϕ 0): Obtenemos de aquí una importante conclusión: Si ≠ 2 Así, la posición inicial (t = 0), por ejemplo con ϕ 0 = 0, es diferente. — Si utilizamos la función ωT + ϕ0 = 2 π + ϕ0 T = IÉN igual la partícula en movimiento se halla en el centro de oscilación. a — Si utilizamos la función x = A cos (ωt + ϕ′0): x = A cos 0 = A ⋅ 1 = A Así, al sustituir los valores del período y de la frecuencia en la ecuación general del MAS, vemos que esta ecuación también se expresa: 2π x = A s en (ωt +ϕ0 ) = A se n ( t + ϕ0 ) = A s en (2π f t + ϕ0 ) la partícula se halla en el punto de máxima elongación. Cierta partícula se mueve con MAS según la siguiente ecuación x = 0,05 sen 20 π t, en unidades SI. Calcula: a. la fase inicial; b. la amplitud; c. la pulsación; d. el período; e. la frecuencia; f) el valor de la elongación en t = 0 s y en t = 0,025 s. — Datos: x = 0,05 sen 20 π t a. Fase inicial: ϕ 0 = 0 Por tanto, la partícula comienza el movimiento en x = 0. b. Amplitud: A = 0,05 m c. Pulsación: ω = 20π rad/s d. Calculamos el período: 2π 2π T = = = 0, 1 s ω 20π s −1 e. Hallamos la frecuencia: f = 20 π s −1 ω = = 10 Hz 2π 2π f. Calculamos la elongación, x, cuando t = 0 s: x = 0,05 sen (20 π ⋅ 0) = 0,05 sen 0 ; x = 0 La partícula se encuentra en el centro de oscilación. A continuación t = 0,025 s: la calculamos cuando x = 0,05 sen (20 π ⋅ 0,025) ; x = 0,05 sen (0,5 π) x = 0, 05 s en (20π ⋅0 ,025) ; x = 0, 05 s en (0 , 5 π) x= = 0, 05 s en π =0, 05 m 2 Prohibida su reproducción Ejemplo 1 T La partícula se halla en el punto de máxima elongación. 57 B IÉN 1.2. Ecuación de la velocidad y también:    d(x i ) d x   dr i ; vi = = v = dt dt dt dx v = dt Para obtener la ecuación de la velocidad del MAS, sólo hemos de derivar x = A sen (ω t + ϕ0), respecto al tiempo. v = t (s) ωt (rad) T 4 π 0 T 2 cos (ωt) +1 0 2 π 3T 4 3π 2 T 2π +Aω v vmáx = +A ω 0 −1 Observa: v = A ω co s ( ωt + ϕ0 ) v (m∙s-1) 0 d [A sen (ωt + ϕ 0 )] dx = dt dt -Aω 0 0 +1 +Aω v = A ω cos ωt OT 4 T 3T 4 π 2 π 2 -vmáx = -A ω — La gráfica de la velocidad está desfasada π 2 3π 2 ϕ0 = 0 t T 2π (ωt) respecto a la gráfica de la elongación x. — Si ϕ0 = 0, entonces para t = 0, v > 0; es decir, al iniciarse el movimiento, la partícula se desplaza en sentido positivo. π 3π IÉN y también: La velocidad puede expresarse fácilmente en función de la posición ocupada por la partícula. Como sen 2 α + cos 2 α = 1, también se cumple: se n 2 (ωt + ϕ0 ) +cos 2 (ωt + ϕ 0 ) =1 co s (ωt + 0) = = ± 1 − se n (ωt + ϕ0 ) 2 Prohibida su reproducción Por lo tanto: ϕ ϕ ϕ Ejemplo 2 B — Cuando x = ±A, la velocidad es nula; lo que ocurre para ω t = , ... si 0 = 0, es decir, cuando la 2 2 partícula se halla en los extremos de la trayectoria. — Cuando x = 0, la velocidad toma su valor máximo absoluto, v = ±Aω, lo que ocurre para ω t = 0, π, 2π… si ϕ0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en el centro de oscilación. Un cuerpo vibra con MAS según la ecuación x = 0,05 se n 3t + , 2 unidades SI. Calcula: a. el valor de la elongación cuando t = π s; b. la velocidad del cuerpo cuando t = — Datos: x = 0, 05 s en 3t + 58 π 2 π s ; c. el período y la frecuencia. 2 ; A = 0, 05 m ; ω =3 rad/ss ; a. Calculamos el valor de x para t = π s: x=0 5sen 3 Z + ,0 Z =0 5sen ,0 0 = πrad 2 7 Z 2 2 3 3 Z Z =0 =0 5⋅− 5m Z + 5sen x =0 en 2 ,0 ,0 ( 1 ) =−0 ,0 ,0 5se 2 2 b. Sustituimos t = π s ; en la ecuación de la velocidad v = Aω cos(ωt + ϕ0): 2 v = 0, 05 ⋅3 c os 3 t + ϕ π 2 =0, 15 c os 3 π 2 + π 2 4π v = 0, 15 c os =0, 15 c os 2π = 0, 15 ⋅1 = 0, 15 m /s 2 c. Calculamos el período y la frecuencia: T = v = ±ω A 2 − x 2 π ≠ ω 3 s −1 2π 2π = −1 = 2, 09 s ; f = = =0, 48 Hz ω 2π 2π 3s B 1.3. Ecuación de la aceleración y también: A partir de la ecuación de la velocidad, v = Aω cos (ωt + ϕ0 ), podemos obtener la ecuación de la aceleración derivando la primera respecto al tiempo. d [A ω cos (ωt + ϕ0 )] dv = dt dt a = -A ω sen (ω t + ϕ0) 2 Y como x = A sen (ωt + ϕ0) la expresión anterior se transforma en: a = -ω 2 x La aceleración es proporcional a la elongación y de sentido contrario a ésta. Esta condición es necesaria para que un movimiento periódico sea un MAS. t (s) ωt (rad) T 4 π T 2 π 0 a (m∙s-2) +1 -Aω 2 3T 4 3π 2 T 2π 0 2 0 −1 +Aω2 0 ωt = π O T 4 0 , 2 ... si 0 = 0, a = -Aω 2 sen ωt 2 -amáx = -A ω 2 2 es decir, cuando la partícula se halla en los extremos de la trayectoria. — Cuando x = 0, la aceleración es nula, lo que ocurre para ωt = 0, π, 2 π… si ϕ0 = 0, es decir, cuando la partícula se halla en el centro de oscilación. a amáx = +A ω2 0 0 Observa: — La gráica de la aceleración está desfasada p respecto a la gráica de la elongación x. — Cuando x = ±A, la aceleración toma sus valores máximos absolutos a = A ω2, lo que ocurre para π 3π 3π 2 π T 2 3T 4 2π ϕ0 = 0 (ωt) T t La aceleración es función armónica del tiempo. En cierto movimiento armónico simple en el que ϕ0 = 0, T = 0,2 s y A = 0,3 m, calcula la elongación, la velocidad y 1 1 3 1 la aceleración cuando t vale sucesivamente s, s, s y s. 20 10 20 5 — Datos: 0 = 0 ; T =0, 2 s ; A = 0, 3 m ; ω = t (s) x = A sen (ωt + ϕ0 ) (m) 1 10 0,3 ⋅sen 10[ ⋅ 1 20 3 20 1 5 0, 3 ⋅ s en 10π ⋅ 0, 3 ⋅ s en 10\ ⋅ 1 = 0, 3 20 1 =0 10 3 = −0, 3 20 0, 3 ⋅ s en 10π ⋅ 1 =0 5 2π 2π = =10 π rad ⋅ s −1 T 0, 2 v = A ω cos (ωt + ϕ0 ) (m ⋅ s -1) 0, 3 ⋅ 10π c os 10π ⋅ 0, 3 ⋅ 10π c os 10 π ⋅ 1 =0 20 1 = −3π 10 0, 3 ⋅ 10π c os 10 π ⋅ 3 =0 20 0, 3 ⋅ 10π c os 10 π ⋅ 1 = 3π 5 a = - ω 2 x (m ⋅ s -2) -(10 π)2 ⋅ 0,3 = -30 π2 -(10 π)2 ⋅ 0 = 0 -(10 π)2 ⋅ (-0,3) = 30 π2 -(10 π)2 ⋅ 0 = 0 Prohibida su reproducción Ejemplo 3 0 sen (ωt)    d (vi ) dv   dv a = i = ;ai= dt dt dt dv a = dt ± a = IÉN 59 2. Oscilador armónico simple D e5 d7 o. go :// p htt p gl/ Hasta ahora, nuestro estudio del MAS se ha limitado a sus características cinemáticas. En este apartado estudiaremos la dinámica y la energía del MAS, aplicadas a un ejemplo concreto de oscilador armónico (sistema animado de MAS debido a la acción de una fuerza recuperadora). 2.1. Dinámica del oscilador armónico simple A partir de la ecuación de la aceleración del MAS podemos calcular la fuerza que debe actuar sobre un cuerpo o partícula de masa m a fin de que oscile con dicho movimiento. Movimiento de un resorte O F =m a  Fext x=0 F=0 →  F → a X x (x positiva) Al cesar la Fext, el resorte comienza a comprimirse, ya que ejerce una fuerza recuperado→ ra F opuesta al desplazamiento. Ésta tiende siempre a llevar al cuerpo a la posición de equilibrio y produce en él una aceleración → a.  a  F O 2 a = −ω x X Al aplicar una fuerza Fext en la dirección del eje X, el cuerpo se desplaza de la posición de equilibrio.  O Aplicando la ecuación fundamental de la dinámica y sustituyendo en ella el valor de la aceleración del MAS, tenemos: X x Como m y ω no varían, aparece una constante K (K = mω2), denominada constante elástica o recuperadora: F = -K x Esta expresión indica que en el MAS la fuerza es proporcional al desplazamiento y opuesta a él. Es decir, se dirige siempre hacia el punto de equilibrio O, punto en el que se anula. Conocemos esta fuerza porque aparece cuando deformamos un cuerpo elástico, por ejemplo, un resorte. La constante K es siempre positiva y, cuanto mayor sea, mayor será la fuerza que atrae al móvil hacia la posición O de equilibrio. La fuerza que produce un MAS es una fuerza central, dirigida hacia el punto de equilibrio y proporcional a la distancia a éste. A partir de las expresiones anteriores podemos obtener las relaciones que ligan la pulsación y el período de este movimiento con la masa m y la constante K. m ω2 = K ; ω = Prohibida su reproducción (x negativa) 60 Una vez sobrepasada la posición de equilibrio, la fuerza recuperadora cambia de sentido, aunque el cuerpo continúa desplazándose hacia la izquierda.    F =m a    ma = −Kx i F = −K x i  K  xi a= − m F = −m ω 2x Y puesto que T = 2π ω K m , podemos calcular el período de un movimiento producido por una fuerza recuperadora: T = 2π m K El período de un oscilador sometido a una fuerza elástica depende de su constante recuperadora y de su masa, pero no depende de la amplitud del movimiento. m = 200 g = 0,200 kg x0 = 5,0 cm = 0,05 m K = 5,0 N/m X O X O x = 5,0 cm X O a. Determinamos la pulsación para hallar el período: ω ] K ;ω m T = ] 5 N/m 0, 200 kg ] 2π 2π = s = 0, 4π s ω 5 5, 0 rad/s b. A t0 = 0, el cuerpo se halla en el máximo valor de la elongación, en el sentido positivo del desplazamiento. Por tanto, A = x0 = 0,05 m y ϕ0 = π/2. x = A se n (^t + v = A ^ co s (ωt + 0) = 0) 0 ,05 se n 5 t + =0 ,05 ⋅ 5 co s 5 t + v = 0_ 25 ` ab 5t + a = −A ^ d se n (^t + 0) π 2 π π 2 c =− 0 ,05 ⋅ 5 d se n 5t + a = −e_ c 5 b en 5t + π π c c c. Como el módulo de la velocidad es máximo si cos (ωt + ϕ0) = ± 1: vmáx = ± A ω = ± 0,25 m/s El módulo de la aceleración es máximo cuando sen (ωt + ϕ0) = ±1: amáx = ± A ω2 = ± 1,25 m/s2 d. Aplicamos la expresión de la fuerza recuperadora para calcularla: Fx = -K x ; Fx = -5 N⋅m-1 ⋅ 0,05 m = -0,25 N Actividades 5. Un cuerpo de masa m está unido a un resorte horizontal de constante recuperadora K, que oscila con MAS sobre una supericie horizontal sin rozamiento. a. Determina el valor de su aceleración si: x = 0, x = +A, x = −A. b. Di para qué valores de x la aceleración es máxima. 6. Un cuerpo unido a un resorte horizontal oscila con movimiento armónico simple sobre una supericie horizontal sin rozamiento. Si se duplica la masa del cuerpo, ¿cómo variarán la frecuencia, la frecuencia angular, el período, la velocidad máxima y la aceleración máxima? 7. Un cuerpo de 200 g se sujeta al extremo libre de un resorte de constante recuperadora K = 25 N/m y se le hace oscilar verticalmente. Calcula: a. la amplitud del movimiento; b. el período. 8. Cierto resorte tiene sujeto un cuerpo de 2,0 kg en su extremo libre y se requiere una fuerza de 8,0 N para mantenerlo a 20 cm del punto de equilibrio. Si el cuerpo realiza un MAS al soltarlo, halla: a. la constante recuperadora del resorte; b. el período de su oscilación. 9. Calcula la constante recuperadora de un resorte sabiendo que, si se cuelga un cuerpo de 50 g del extremo libre del resorte y se le hace oscilar verticalmente, el período vale 1,5 s. Prohibida su reproducción Ejemplo 4 Se conecta a un resorte de constante elástica K = 5,0 N/m un cuerpo de 200 g de masa que puede oscilar libremente sobre una supericie horizontal sin rozamiento. Estirando el resorte se desplaza el cuerpo 5,0 cm desde la posición de equilibrio y se suelta desde el reposo. Calcula: a. el período del movimiento; b. las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo; c. los valores máximos de la velocidad y de la aceleración; d. la fuerza recuperadora cuando x = 0,05 m. 61 2.2. Péndulo simple Péndulo físico o compuesto Es un cuerpo rígido de masa no puntual m que gira en un plano vertical alrededor de un eje ijo que pasa por un punto O. Éste no coincide con el centro de masas G del cuerpo. Eje fijo O ϕ L′ m G  p El plano de rotación coincide con el del dibujo. Se puede demostrar que en el péndulo físico: — Su movimiento es armónico simple, siempre que se consideren desplazamientos muy pequeños. — Su período vale: Ι mg L T = 2π I = momento de inercia L′=distancia desde el eje de oscilación al centro de masas Por comparación con el período del péndulo simple: L g T = 2π Ι Prohibida su reproducción La expresión se denomimL na longitud equivalente del péndulo compuesto, Le. De este modo se obtiene el período para el péndulo físico: 62 T = 2π Le g Le = longitud de un péndulo simple que oscilara con el mismo período que el péndulo físico y en el mismo lugar. Si suspendemos una pequeña partícula material de masa m de un hilo de longitud L, inextensible y de masa despreciable, y la separamos un pequeño ángulo α de su posición vertical de reposo, la partícula se comporta como un oscilador armónico. Este sistema recibe el nombre de péndulo simple o matemático. El movimiento del péndulo es periódico y oscilatorio. Pero, ¿es también armónico simple? Para que la partícula se mueva con MAS debe desplazarse sobre una trayectoria recta y estar sometida a una fuerza recupe→ → radora F = -Kxi, es decir, proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto. α h L  T B C A x  p En realidad, la trayectoria del péndulo es un arco de circunferencia, pero puede suponerse recta para valores muy pequeños del ángulo α. Durante las oscilaciones, las energías cinética Ec y potencial Ep varían de la siguiente manera: — En el punto B el péndulo sólo posee Ep, de valor mgh, e igual al trabajo realizado para llevar el péndulo desde la posición de equilibrio A hasta B. — Al dejarlo en libertad, desciende hacia A, disminuye su Ep y aumenta su Ec en la misma cantidad, debido a que la energía mecánica es constante. — En A su velocidad es máxima y su Ep nula. Continúa su movimiento hasta C donde de nuevo su Ec es nula y su Ep es máxima. En ausencia de rozamiento, el proceso se repite indeinidamente. En la posición B actúan sobre el péndulo dos fuerzas: su → → peso, → p = mg, y la tensión del hilo, T. Si descomponemos el → → peso en dos componentes, F1 y F2: — En la dirección del hilo, la componente → F1, de módulo mg cos α, contrarresta la tensión del hilo, ya que en este momento la velocidad del péndulo es nula. → → L α  T  h — La componente F2, perpendicular a F1 y de F2 B  módulo mg sen α, actúa siempre hacia la A x  α F1 posición de equilibrio, es decir, en sentido p opuesto al desplazamiento, por lo que es una fuerza restauradora responsable del movimiento: F2 = -m g sen α Para valores pequeños del ángulo α, podemos considerar aproximadamente iguales el valor de sen α y el de α, medido en radianes. Así, el valor de la fuerza resulta: F2 = -m g sen α ≈ -m g α Como: α = Y si K = mg , tenemos : F 2 = −Kx , L arco x = radio L F2 = − mg x L lo que corresponde al valor de la fuerza recuperadora del movimiento armónico. El movimiento del péndulo simple es un movimiento armónico simple siempre que se consideren desplazamientos muy pequeños. Así, el período T de la oscilación pendular valdrá: m =2π K T = 2π Como sabemos también que f g 2π ω ω= 2π = T m ; mg L T = 2π L g se deduce que en el péndulo simple la frecuencia angular será: 2π 2π L g = g ; L ω = g L De aquí concluimos que el período y la frecuencia angular del péndulo simple: — Son independientes de su masa y de la amplitud de la oscilación. Desplazamos 20° un péndulo simple de 1 m de longitud y 20 g de masa y después lo soltamos. Calcula: a). su período; b. su energía potencial en su posición más elevada respecto de la posición de equilibrio. T = 2j L =2j g 1h =2 s 9, 8 h ⋅ i −2 b. La posición más elevada será h: Y L α = 20° O a. Calculamos el período del péndulo: L cos α m = 20 g = 0,02 kg L=1m h = L - L cos α Por tanto, si Ep = m g h: Ep =mg (L −L cos α ) h = L– L cos α 11. Calcula el período de un péndulo simple: a. De L = 0,556 m si g = 9,75 m/s2. b. En la Luna (g = 1,96 m/s2) si su período es de 2 s en un lugar de la Tierra en que g = 9,8 m/s2. Actividades 10.Tenemos un reloj de péndulo que adelanta. Justifica si hemos de aumentar o disminuir la longitud del péndulo para corregir la desviación. — Si un péndulo simple tiene, en cierto lugar, T = 2 s y L = 1 m, di si otro péndulo simple con T = 5 s tendrá una longitud mayor o menor. Ep =mg L (1 −cos α ) m Ep = 0, 020 k g ⋅ 9, 8 2 ⋅1 m (1−0, 940) s Prohibida su reproducción Ejemplo 5 — Sólo dependen de la longitud del hilo y del valor de la aceleración de la gravedad. 63 B 3. Ondas IÉN y también: Las ondas sonoras proporcionan un ejemplo en el que es fácil advertir: la perturbación inicial, la transmisión de energía y el retraso. — En un foco sonoro, como puede ser un instrumento musical, se produce una perturbación: la vibración de algunas partículas de aire. — La vibración se transmite a las partículas próximas: la energía que reciben les permite reproducir el movimiento vibratorio inicial, sin realizar más desplazamiento que una pequeña oscilación en torno a la posición de equilibrio. — La perturbación va alcanzando los puntos más alejados del foco sonoro inicial y, al cabo de cierto tiempo, las vibraciones llegan a nuestro oído, donde son percibidas como sonido. Más de una vez hemos visto las ondas producidas en la supericie del agua de un estanque al dejar caer en ella una piedra, o las formadas en una cuerda cuando la sacudimos. ¿Qué tienen en común todas estas ondas? ¿Qué las caracteriza? Las ondas producidas en el agua solamente desplazan arriba y abajo cualquier objeto que lote en ella, como un trozo de corcho, pero no lo desplazan en la dirección en que avanzan las ondas. Cuando el agua se queda en reposo, el objeto se encuentra en su posición inicial. Este hecho se interpreta admitiendo que la onda, al propagarse por la supericie del agua, no realiza un transporte neto de las partículas materiales, sino de la energía capaz de hacerlas oscilar.la interpretó del siguiente modo: Un movimiento ondulatorio es una forma de transmisión de energía, sin transporte neto de materia, mediante la propagación de alguna forma de perturbación. Esta perturbación se denomina onda. En general, en todo fenómeno de propagación de ondas, y a pesar de su diversidad, podemos apreciar algunos elementos comunes: — Una perturbación inicial que se transmite de unos puntos a otros, sin desplazamiento neto de la materia, desde un foco emisor. — Una transmisión de energía a través de un medio. — Cierto retraso entre el instante en que se produce la perturbación inicial y el instante en que ésta va alcanzando sucesivamente los puntos más alejados. Podemos establecer una clasiicación de las ondas según necesiten o no un medio material para propagarse. Prohibida su reproducción — Ondas mecánicas: Propagación de una perturbación de tipo mecánico a través de algún medio material elástico por el que se transmite la energía mecánica de la onda. El medio material puede ser el aire, el agua, una cuerda... y es indispensable para la existencia de la onda. Ejemplos de ellas son las ondas sonoras, las producidas en una cuerda de una guitarra... — Ondas electromagnéticas: Transmisión de energía electromagnética mediante la propagación de dos campos oscilatorios, el eléctrico y el magnético, que no requiere medio físico ya que son variaciones periódicas del estado eléctrico y magnético del espacio, y por eso se propagan también en el vacío. Ejemplos de ellas son la luz visible, las ondas de radio, los rayos X... 64 IC 3.1. Ondas mecánicas las siguientes páginas dedicaremos nuestra atención a las ondas mecánicas, aunque muchos de los conceptos y propiedades de éstas son aplicables a las ondas electromagnéticas. Podemos clasiicar las ondas mecánicas teniendo en cuenta la dirección de propagación de la onda en relación con el movimiento de las partículas del medio. Explica las características de las ondas longitudinales y las transversales con la ayuda de la simulación que encontrarás en la página web: Visita: Si mantenemos un movimiento vibratorio haciendo oscilar la cuerda arriba y abajo repetidas veces, y de forma periódica, se produce una perturbación continua, denominada tren de ondas, que se propaga por la cuerda. Las partículas de ésta se desplazan verticalmente en torno a su posición de equilibrio. Movimiento de la onda Posición inicial de la cuerda Una onda es transversal si su dirección de propagación es perpendicular a la dirección de la oscilación que provoca en las partículas del medio perturbado. Ondas longitudinales A un resorte, ijo por un extremo y en posición horizontal, le aplicamos un movimiento repentino de compresión y expansión a derecha e izquierda. El pulso de onda producido da lugar a que la región comprimida de las espiras se propague a lo largo del resorte. Hemos provocado la formación de una onda viajera longitudinal. La repetición de estos impulsos provoca la aparición de un tren de ondas similares; cada región comprimida va seguida de una zona distendida. Movimiento de la onda Zona Zona comprimida distendida Una onda es longitudinal si su dirección de propagación es paralela a la dirección de la oscilación que provoca en las partículas del medio perturbado. Las ondas sonoras son un ejemplo típico de esta clase de ondas. Ondas supericiales Al dejar caer un cuerpo en la supericie del agua, se forman ondas que no son propiamente longitudinales ni transversales; son una combinación de ambas. Cada partícula supericial, elevada a una cresta al ser alcanzada por la onda, se desplaza en dirección horizontal y, seguidamente, en dirección vertical, para volver rápidamente a su posición de equilibrio. Las partículas situadas en un valle se desplazan en dirección vertical y, luego, horizontalmente para volver también a la posición de equilibrio. Cada partícula realiza un movimiento cuya trayectoria es prácticamente circular. Movimiento de la onda Cresta Movimiento de las partículas Valle Las ondas supericiales producidas en un líquido se caracterizan por hacer oscilar las partículas de éste tanto paralela como perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Prohibida su reproducción Si en el extremo libre de una cuerda tensa horizontal damos una sacudida vertical repentina, se forma una cresta o protuberancia llamada pulso de onda o simplemente pulso. Éste es una perturbación instantánea que se transmite mediante una onda viajera y recorre la cuerda desplazando los distintos puntos de ésta hacia arriba y hacia abajo para volver a la posición inicial apenas pasa la onda. Zona Zona comprimida distendida TIC http://goo.gl/QqOAaq Ondas transversales Movimiento de la partícula S 65 B Velocidad de las ondas mecánicas IÉN y también: La velocidad de las ondas transversales en una cuerda se expresa matemáticamente como: v = T µ T = tensión de la cuerda µ = masa por unidad de longitud Ejemplo 1 Calcula la velocidad de propagación de un pulso de onda en una cuerda de 2,00 m de longitud y 100 g de masa si de ella cuelga un cuerpo de 3,00 kg. L = 2,00 m T m = 3,00 kg T Masa de la cuerda = = 100 g = 0,100 kg p El peso de la masa suspendida será la tensión de la cuerda: T = mg T = 3,00 kg × 9,8 m/s2 = 29,4 N El valor de µ es: 0,100 kg : 2,00 m = 0,05 kg/m — La velocidad valdrá: 66 m 29, 4 N = 24, 2 s 0, 05 kg ⋅ m −1 La velocidad de propagación de una onda es la distancia a la que se transmite la onda dividida por el tiempo que emplea en ello. La velocidad de propagación de una onda mecánica depende de las propiedades del medio en el que se transmite. — La velocidad de propagación de las ondas transversales en una cuerda depende de la tensión de ésta y de su masa por unidad de longitud. Las ondas mecánicas transversales sólo pueden propagarse a través de los sólidos, donde la rigidez de éstos permite el desarrollo de las fuerzas recuperadoras. — La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en sólidos depende de la constante elástica del cuerpo y de su densidad, puesto que estas ondas provocan contracciones y dilataciones en las partículas del sólido. En un medio sólido, la velocidad de las ondas longitudinales es mayor que la de las transversales. La velocidad de propagación de las ondas longitudinales en los luidos depende del módulo de compresibilidad (cociente entre la tensión y la deformación del medio) y de la densidad del medio. — La velocidad de propagación de las ondas supericiales en un líquido depende de la naturaleza de éste y de la profundidad. 12. Cita algún fenómeno que pueda ser considerado como movimiento ondulatorio. ¿Se propaga mediante ondas mecánicas? 13. Deine onda transversal y onda longitudinal. 14. Di por qué las ondas transmitidas por una cuerda son transversales. 15. ¿Por qué las ondas de compresión y expansión transmitidas por un resorte son longitudinales? — Explica cómo establecer una onda transversal en un resorte. 16. Di de qué factores depende la velocidad de propagación de una onda. 17. Di en cuál o cuáles de los siguientes medios se pueden propagar las ondas mecánicas transversales y longitudinales: a. luidos; b. sólidos. 18. En el extremo de una piscina olímpica de 50 m de longitud se genera una onda que tarda 90 s en atravesarla. ¿Cuál es la velocidad de la onda? Actividades Prohibida su reproducción v = Cuando observamos unos fuegos artiiciales, primero vemos el fogonazo producido por la explosión de un cohete y luego oímos su sonido. Esto es debido a que la luz tiene una velocidad de propagación mayor que la del sonido. Ondas armónicas De entre todos los movimientos ondulatorios, nos interesan en especial los movimientos ondulatorios armónicos. Su nombre alude a que pueden expresarse matemáticamente mediante una función seno o coseno. Aunque pueden ser de distintas clases, todos ellos tienen un origen semejante: en algún punto del medio se produce una perturbación mediante el movimiento armónico simple generado por un oscilador armónico. Llamamos ondas armónicas a las que tienen su origen en las perturbaciones periódicas producidas en un medio elástico por un movimiento armónico simple. Las ondas reales, no son en realidad armónicas, a lo sumo son aproximadamente armónicas. 3.2. Características de las ondas armónicas Para estudiar estas magnitudes tomaremos como ejemplo la producción de un tren de ondas armónicas transversales en una cuerda tensa. Varilla vibratoria P Movimiento de la partícula Propagación de la onda transversal P b Movimiento de la partícula Y +A P c Acoplamos una varilla vibra- Varilla λ vibratoria O X toria en el extremo libre de la P cuerda; el movimiento armónid -A e co de la varilla se comunica a cada partícula de la cuerda de modo que todos sus puntos oscilarán armónicamente en dirección vertical. B Tomamos un sistema de referencia XY, de modo que el eje X coincida con la dirección de propagación y tenga su origen en el foco emisor, extremo de la varilla. Cada punto de la cuerda queda determinado por su abscisa x y por la ordenada y, que indica su desviación de la posición de equilibrio. — Longitud de onda, ⋌: es la distancia mínima entre dos puntos consecutivos que se hallan en el mismo estado de vibración. Su unidad en el SI es el metro, m. — Período, T: es el tiempo que emplea el movimiento ondulatorio en avanzar una longitud de onda, o bien el tiempo que emplea un punto cualquiera afectado por la perturbación en efectuar una oscilación completa. Su unidad en el SI es el segundo, s. — Frecuencia, f: es el número de ondas que pasan por un punto del medio por unidad de tiempo. También puede deinirse como el número de oscilaciones que efectúa un punto del medio por unidad de tiempo. Su unidad en el SI es el hercio, Hz, igual a 1s −1. y también: Si consideramos la propagación de la onda como un MRU, podemos expresar la velocidad de propagación como: v = s t Relación entre longitud de onda, velocidad y período: puesto que en el tiempo T la onda avanza una distancia igual a la longitud de onda: v = y como f = 1 ; T λ T v =λ f Esta expresión se aplica a todos los tipos de ondas armónicas. Prohibida su reproducción — Amplitud de la onda, A: es el valor máximo de la elongación, y, de las partículas del medio en su oscilación. Su unidad en el SI es el metro, m. IÉN 67 Función de onda Supongamos una onda armónica unidimensional que se propaga a lo largo del eje X en su sentido positivo, como consecuencia de cierta perturbación periódica producida en el punto O. Propagación de la onda Velocidad,v Y +A O x -A y P X La expresión matemática que describe el estado de vibración de cada partícula en función del tiempo es la ecuación fundamental del MAS en la dirección del eje Y a que está sometida la partícula situada en el foco emisor: B y = A se n (ωt +ϕ0 ) = A s en IÉN y también: La función de onda, de igual modo que el MAS, también puede expresarse con la función coseno: ⎡ x ⎞⎤ ⎛t ⎢2π ⎝⎜ T − λ ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ y t x =A Elegir una forma u otra expresión depende de las condiciones iniciales. Hay que recordar que: α = π⎞ ⎛ ⎜⎝α − 2 ⎟⎠ Por lo que la equivalencia entre las dos formas es: y =A =A ⎡ x ⎞⎤ ⎛t ⎢2 π ⎜⎝ T − λ ⎟⎠ ⎥ = ⎣ ⎦ ⎡ x ⎞ π⎤ ⎛t ⎢2 π ⎜⎝ T − λ ⎟⎠ − 2 ⎥ ⎣ ⎦ 2π t +ϕ0 T A = amplitud de la onda ω = pulsación del MAS = ϕ0 = fase inicial del MAS Si consideramos ahora otro punto P de abscisa x, la partícula situada en P vibrará con MAS con cierto retraso t′, ya que x la onda tardará un tiempo t = en llegar a él, siendo v la v velocidad de la onda. Es decir, el valor de la elongación en el punto P para el instante t será el mismo que el valor de la elongación del punto O en el instante t - t′, o bien, t− x x ⎞ ⎛ Así: y t x = y ⎜t − 0⎟ ⎝ v v ⎠ ⎤ ⎡2 π ⎛ x⎞ ⎡2π ⎤ ⎢ t ⎜⎝t − v ⎟⎠ + ϕ0 ⎥ ⎢ t t − t ′ +ϕ0 ⎥ = A ⎣ ⎦ ⎦ ⎣ ⎡ ⎤ ⎛t ϕ ⎞ x − y t x =A + 0 ⎟⎥ ⎢2 π ⎜ 2 π ⎠ ⎥⎦ T vT ⎝ ⎢⎣ ϕ0 Puesto que λ = vT, y si llamamos , ϕ0 = tenemos: 2π y t x =A y t x = A x ⎡ ⎞⎤ ⎛t ⎢2 π ⎜⎝ T − λ +φ0⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Si elegimos como tiempo inicial, t0 = 0, el momento en que la partícula situada en el foco emisor tiene un estado de vibración descrito por y = 0 y por vy = A ω, la fase inicial será cero, ϕ0 = 0. De este modo, la ecuación anterior se expresa como: IC y t x =A S Prohibida su reproducción TIC 68 Experimenta con las ondas que se pueden obtener modiicando las constantes que las determinan. Accede para ello a la página: Visita: http://goo.gl/LD0Fc5 2π T x ⎞⎤ ⎡ ⎛t ⎢2 π ⎜⎝ T − λ ⎟⎠ ⎥ ⎣ ⎦ Esta ecuación del movimiento ondulatorio armónico o función de onda permite calcular para un tiempo dado, t, el valor de la elongación, y, correspondiente a una partícula dada de abscisa, x; es decir, permite conocer el estado de vibración de cada una de las partículas. La función de onda, y, representa el valor de la elongación para cada punto del medio en función del tiempo. B Número de ondas Podemos simpliicar la expresión de la función de onda introduciendo una nueva magnitud, el número de ondas, k, cuya unidad en el SI es el m-1: t x − + ϕ0 λ T =A se n y (t, x ) = A sen ( ω t - k x + ϕ 0) Ejemplo 6 y (t, x ) = A sen ( ωt - k x ) La función de onda de una onda armónica en una cuerda es, en unidades SI: y = 0,001 sen (314 t + 62,8 x). Determina: a. en qué sentido se mueve la onda y con qué velocidad; b. la longitud de onda, el período y la frecuencia; c. las ecuaciones de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo para una partícula de la cuerda que se encuentra en el punto x = -3 cm. — Datos: y = 0,001 sen (314 t + 62,8 x) x = −3 cm = −0,03 m Comparando la función de onda dada con la ecuación general y = A sen ( ωt + kx + ϕ 0), podemos determinar: o l 2 q l 314 l62, 8 p −1 a. El signo positivo del término kx indica que la onda se mueve en el sentido negativo del eje X. Para determinar la velocidad, sustituimos en la siguiente expresión los datos del problema: v = λf = 2 k2 ω = m 3 1 4 rad ⋅ s −1 =5 s 6 2 , 8 m −1 t x − λ T y (t , x ) = A s e n (ωt + k x ) La función de onda que describe la propagación de una onda en el sentido positivo del eje X también puede expresarse como: y (t, x ) = A sen (k x - ωt ) b. La longitud de onda vale: El período vale: T = 2  = ω La frecuencia vale: = λ= 2 2 = =0, 1 m k 62, 8 m −1 2 314 rad ⋅ s −1 = 0, 02 s 1 1 = = 50 Hz T 0, 02 s c. La ecuación de la velocidad se obtiene derivando la función de onda respecto al tiempo: v = dy =0, 001 ⋅ 314 c os (314 t + 62 , 8 x ) dt v = 0,314 cos (314 t + 62,8 x ) rad ns −1 ; ϕ0 = 0 son válidas cuando la onda se propaga en el sentido positivo del eje X. y (t , x ) = A sen 2 Si, además, elegimos las condiciones iniciales de forma que ϕ 0 = 0: 2 T t x − λ T Si la onda se propaga en el sentido negativo del eje X, la función de onda será: 2t 2 x − + 0 T λ ϕ (ωt - k x + ϕ 0): ángulo de fase o fase de la onda (rad) ϕ 0: fase inicial (rad) = 0, 001 m; ω = y (t , x ) = A sen 2  y (t , x ) = A se n (ωt − k x )  k Las expresiones dadas para la función de onda: 2 λ Y como ω = 2 ,la función de onda puede expresarse de la forma: y (t , x ) = A sen 2  y también: Para x = - 0,03 m: v = 0,314 cos (314t - 1,88) (SI) La aceleración de la partícula se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo: a = dv = − 0, 001 ⋅ 314 2 sen (314 t + 62, 8 x ) dt Para x = -0,03 m: a = -98,6 sen (314 t - 1,88) (SI) Prohibida su reproducción k= IÉN 69 Doble periodicidad de la función de onda La expresión matemática obtenida para la función de onda y revela una importante propiedad: el movimiento ondulatorio armónico sigue una ley doblemente periódica. Es decir, se trata de una función de dos variables, el valor y de la perturbación depende tanto del tiempo t como de la posición x del medio que consideremos. Para demostrar esta periodicidad, analizaremos cómo depende y de una de las variables al mantener ija la otra. Periodicidad respecto a la posición (x) La gráica nos muestra cómo varía y en función de x para un tiempo t constante. Observamos que el valor de y se repite periódicamente para intervalos de x iguales a la longitud de onda λ. Y O y x1 λ x2 x3 = x1 +λ T x4 y x5 = x1 +2 λ X y t1 t2 y t3 = t1 +T t4 y t5 = t1 +2 T t En efecto, la elongación y (t, x) de la partícula situada en la posición x para un tiempo t es: La elongación y (t, x + n λ) de la partícula cuando está en la posición x + n λ, donde n ∈ ℤ para el mismo tiempo t, es: La elongación y (t + nT, x) de la misma partícula para un tiempo t + nT, donde n ∈ ℤ, es: y (t , x + n λ ) =A sen t x − λ T 2π 2π t− (x +n λ ) λ T y (t , x + n λ ) =A sen 2π ≠ t x − λ T y (t , x )= A sen 2π y (t + uv , x ) =A sen t x − λ T 2π 2π (t + nT ) − x T λ y (t + n T , x ) = A se n 2π −2π n Y, puesto que sen α = sen (α - 2 π n), se cumple: y (t, x ) = y (t, x + n λ) Prohibida su reproducción O T En efecto, la elongación y (t, x) de la partícula cuando está en la posición x al tomar un tiempo constante t es: y (t , x ) = A sen 2π t x − + 2π n λ T Y, puesto que sen α = sen (α + 2 π n), se cumple: y (t, x ) = y (t + n T, x ) En consecuencia, para un tiempo ijo t, la elongación y se repite de forma periódica para las posiciones x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ… En consecuencia, para una posición x determinada, la elongación y se repite periódicamente para los tiempos t, t + T, t + 2 T, t + 3T… Así, las partículas separadas por un número entero de longitudes de onda (x, x + λ, x + 2 λ, x + 3 λ…) están en fase. Si se encuentran separadas por un número im- Así, los estados de vibración de una partícula para tiempos que difieren un número entero de períodos (t, t + T, t + 2T, t + 3T...) están en fase. Si los tiempos difieren un T número impar de semiperíodos t , t + ... , están en 2 oposición de fase. Para un tiempo ijo, la elongación y es una función sinusoidal de la posición x, cuyo período es la longitud de onda λ. par de medias longitudes de onda x , x + tán en oposición de fase. 70 En la gráica observamos cómo varía y en función de t para un valor constante de x. Observamos que la elongación y se repite para intervalos de t iguales al período T. Y λ y Periodicidad respecto al tiempo (t) λ ... , es2 Para una posición ija, la elongación y es una función sinusoidal del tiempo t, cuyo período es T. 3.3. Ondas sonoras La vibración de las cuerdas de una guitarra, la de una campana, un timbre eléctrico, una copa de cristal o la de nuestras cuerdas vocales mueve las capas de aire del entorno. Estas vibraciones de los cuerpos se transmiten mediante un movimiento ondulatorio. Si la vibración llega a través del aire a nuestro oído, provoca en el tímpano vibraciones que son transmitidas al oído interno y, de allí, al cerebro, produciendo una sensación que llamamos sonido. El sonido es una vibración o perturbación mecánica de algún cuerpo que se propaga en forma de ondas a través de cualquier medio material elástico. La onda mediante la cual se propaga el sonido a través de un medio material elástico se denomina onda sonora. Ésta se caracteriza por tener una frecuencia dentro del intervalo de percepción del oído humano normal de 20 Hz a 20 000 Hz. Ejemplos de onda sonora son las generadas por las cuerdas vocales, por los instrumentos de música... Sin embargo, no todas las ondas son audibles para el oído humano: — Las ondas infrasónicas, cuyas frecuencias están por debajo del intervalo audible (frecuencias inferiores a 20 Hz). Son las generadas, por ejemplo, por los temblores de tierra. — Las ondas ultrasónicas, cuyas frecuencias están por encima del intervalo audible (frecuencias superiores a 20 000 Hz). Son las generadas, por ejemplo, al inducir vibraciones en un cristal de cuarzo con un campo eléctrico alterno. Mecanismo de formación de las ondas sonoras Las ondas sonoras son un caso particular de ondas longitudinales. Consisten en sucesivas compresiones y dilataciones del medio de propagación, producidas por un foco en movimiento vibratorio. Al paso de la onda, el medio experimenta variaciones periódicas de presión. Al empujar el émbolo hacia la derecha, el gas se comprime en la región más próxima a éste aumentando la presión y la densidad del gas. Se forma un pulso de compresión que viaja hacia la derecha. Émbolo vibrante Compresión Al empujar el émbolo hacia la izquierda, el gas próximo a éste se expansiona disminuyendo su presión y su densidad; se produce un pulso de enrarecimiento que se propaga por el cilindro. Enrarecimiento Al hacer oscilar el émbolo rápida y periódicamente, viaja por el cilindro un tren de compresiones y enrarecimientos; la onda longitudinal se propaga por el tubo, siendo λ la distancia entre dos compresiones o dos enrarecimientos sucesivos. Compresión Enrarecimiento λ Prohibida su reproducción La igura muestra el mecanismo de formación y propagación de las ondas sonoras unidimensionales, mediante un émbolo vibratorio situado en un extremo de un cilindro estrecho de longitud indeinida que contiene un gas. 71 s smáx La gráica muestra el desplazamiento, respecto a la posición de equilibrio, de cada pequeño elemento de volumen del gas del cilindro al paso de una onda. Onda de desplazamiento O Cualquier elemento de volumen oscila con movimiento armónico, desplazándose paralelamente a la dirección de propagación de la onda, el eje OX. Este desplazamiento, s, varía sinusoidalmente a lo largo del eje OX. X -smáx ∆P Llamamos amplitud de desplazamiento, smáx, al máximo desplazamiento de un pequeño elemento de volumen del medio respecto a su posición de equilibrio. Onda de presión ∆Pmáx O X -∆Pmáx Los desplazamientos de las partículas del gas dan lugar a una variación de la presión a lo largo del eje OX. Esta variación se produce también sinusoidalmente aunque con un ≠ desfase de rad respecto a la gráica anterior. 2 Llamamos amplitud de presión, ∆Pmáx, al cambio máximo de la presión a partir de su valor en el equilibrio. B Como se ve al comparar ambas gráicas: IÉN y también: Prohibida su reproducción 72 — ∆P es nula cuando el desplazamiento es máximo. La onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o como una onda de presión. 19. Deine el sonido desde el punto de vista físico y pon ejemplos cotidianos de ondas sonoras. 20. ¿Por qué decimos que las ondas sonoras son longitudinales? 21. ¿Cuáles son los límites de frecuencia de las ondas sonoras para que sean audibles por el oído humano? 22. Justiica la siguiente airmación: Hay sonidos para los cuales todos somos sordos. 23. Di qué ondas tienen mayor frecuencia, las ultrasónicas o las infrasónicas. 24. Recuerda la relación entre la frecuencia de un movimiento ondulatorio y su energía. A continuación, deduce si tiene mayor energía una onda ultrasónica o una onda infrasónica. 25. Describe el mecanismo de formación y propagación de una onda sonora. Haz un dibujo que lo ilustre. 26. Una onda sonora puede considerarse como una onda de desplazamiento o una onda de presión. ¿Qué diferencia de fase existe entre el desplazamiento y la presión de una onda sonora? Actividades Las ondas sonoras, como cualquier onda mecánica, necesitan un medio material elástico para su propagación; en el vacío el sonido no se propaga. La naturaleza longitudinal de las ondas sonoras se pone de maniiesto por el hecho de que los luidos, tanto los líquidos como los gases, son capaces de transmitirlas; lo que es debido a que éstos pueden experimentar compresiones y enrarecimientos, es decir, variaciones de presión sucesivas. — ∆P es máxima cuando el desplazamiento es cero. Velocidad de las ondas sonoras La velocidad de las ondas sonoras es independiente de la fuente sonora, pero depende de la naturaleza del medio de propagación. vs = E d vI E = módulo de Young o elasticidad de volumen wz{|}| ~z ~ Velocidad en los líquidos SI : N m €  Pa d = densidad del sólido ‹ Q d vg = Q = módulo de compresibilidad del líquido ‚ƒ„ † SI : Velocidad en los gases N ‡ ˆ Š ‰† d = densidad del líquido γ RT γP ; vg = d M γ = coeiciente adiabático (γ(aire) = 1,4) P = presión del gas (Unidad SI: Pa) R = constante universal de los gases (8,314 J ⋅K -1 ⋅mol -1) T = temperatura absoluta M = masa molar del gas B Las ondas sonoras se propagan más rápidamente en los sólidos que en los líquidos y en éstos más que en los gases: y también: — La mayor velocidad se da en los sólidos, ya que el módulo de Young de los sólidos es mayor que el módulo de compresibilidad de los líquidos y los gases. Al igual que en todas las ondas mecánicas, se cumple la relación entre la velocidad de estas, su longitud de onda y su frecuencia: Ejemplo 7 — En los gases, dada su pequeña densidad, la velocidad debiera ser mayor que en los líquidos. Sin embargo, es mayor en éstos, ya que el módulo de compresibilidad de los gases, γP, es menor. v = λf La velocidad del sonido en el aire a 20 °C es aproximadamente de 340 m/s. Calcula el valor de la velocidad de las ondas sonoras en el agua sabiendo que su densidad es 1,0 ∙ 103 kg/m3 y su módulo de compresibilidad vale 2,16 ∙ 109 N/m2. ¿Cuál es la longitud de onda de las ondas sonoras en el agua si su frecuencia es 1000 Hz? — Velocidad de propagación del sonido en el agua: v = 2, 16 ⋅ 10 9 N m 2 Q m ;v = = 1470 3 3 d s 1, 0 ⋅ 10 kg m — Longitud de onda: v = λf ; λ = 1470 m /Œ v ;λ = =1, 47 m f 1000 Hz 27. Di qué fundamento físico tiene el hecho de que los indios pusieran el oído en tierra para determinar la presencia de soldados en su territorio. desde que se vio el relámpago hasta que se oye el trueno y dividirlos por 3. Razona por qué es efectivo este método. 28. En un extremo de una viga de hierro de 100 m se ha colocado un despertador. a. ¿Se oirá el tictac al poner el oído sobre el otro extremo de la viga? b. ¿Se oirá a través del aire a la misma distancia? 30. Halla la velocidad de las ondas sonoras en el aire: 29. Para conocer la distancia en kilómetros a la que cayó un rayo suele emplearse este procedimiento: contar los segundos transcurridos a. a 0 °C y b) a 30 °C. (Maire = 28,8 ⋅ 10 -3 kg ⋅mol -1) 31. En una tempestad se ha oído el trueno 10 s después de verse el relámpago. ¿A qué distancia se produjo el relámpago? Actividades — Datos: d = 1,0 ⋅ 103 kg/m3 Q = 2,16 ⋅ 109 N/m2 f = 1 000 Hz IÉN Prohibida su reproducción Velocidad en los sólidos 73 3.4. Fenómenos básicos Una vez estudiado el movimiento ondulatorio en general, es importante considerar algunos fenómenos básicos, como la difracción, la relexión, la refracción y la polarización, que experimentan las ondas. Muchos fenómenos ondulatorios pueden ser interpretados haciendo uso del principio propuesto en 1678 por el físico y astrónomo holandés Ch. Huygens (1629-1695), para corroborar su modelo ondulatorio de la luz. Este principio es aplicable a todo tipo de ondas y proporciona una interpretación general y sencilla de dichos fenómenos ondulatorios. Para la comprensión de este principio hemos de considerar previamente algunos conceptos: Superficies de onda esféricas Rayos Foco puntual emisor Superficies de onda plana Rayos — Frente de onda o supericie de onda. Dado un foco productor de ondas en un medio homogéneo e isótropo, la supericie de onda es la supericie constituida por todos los puntos que en un momento dado vibran en concordancia de fase. Las distintas supericies de onda, alejadas entre sí una distancia igual a la longitud de onda, reúnen todos los puntos del medio que se hallan en el mismo estado de vibración. — Rayos. Son las rectas que indican la dirección de propagación del movimiento ondulatorio. Estas rectas son normales a los frentes de onda en cada uno de sus puntos. — Supericie de onda plana. Si consideramos frentes de onda esféricos suicientemente alejados del foco emisor, los rayos serán prácticamente paralelos entre sí y cada supericie de onda puede considerarse plana. El principio de Huygens enuncia una propiedad fundamental de cada uno de los puntos de un frente de onda que permite predecir cómo será el nuevo frente algún tiempo más tarde. Así, conociendo los sucesivos frentes de onda, es posible saber cómo tendrá lugar la propagación de un movimiento ondulatorio determinado. Todo punto de un frente de onda se convierte en un centro puntual productor de ondas elementales secundarias, de igual velocidad y frecuencia que la onda inicial, cuya supericie envolvente constituye un nuevo frente de onda. Foco puntual emisor Rayos B Prohibida su reproducción A 74 C P1 P2 Ondas elementales Frente de onda inicial D P3 ∆r = v∆t Nuevo frente de onda Cada punto del frente de onda AB, como P1, P2 y P3, se convierte, según el principio de Huygens, en centro productor de ondas esféricas secundarias que se propagan con la misma velocidad v que la onda inicial. La supericie envolvente de estas ondas secundarias esféricas, indicada por la línea CD, constituye un nuevo frente de onda. La formación sucesiva de nuevos frentes de onda mediante este mecanismo justiica la propagación del movimiento ondulatorio. Frente de onda inicial Rayos A P1 P2 C P3 B D Ondas elementales Nuevo frente de onda ∆r = v∆t Difracción Foco puntual Foco puntual Pantalla Pantalla Si la abertura es de tamaño superior a la longitud de onda, las ondas se propagan siguiendo la dirección rectilínea de los rayos que parten de la fuente. Si la abertura es de tamaño comparable a la longitud de onda, los rayos cambian su dirección al llegar a ella. Este fenómeno recibe el nombre de difracción. Este comportamiento no puede explicarse basándonos en la propagación rectilínea de las ondas. La explicación es proporcionada por el principio de Huygens: el oriicio se ha convertido en un centro emisor de ondas, lo que permite a la onda propagarse detrás del obstáculo. La difracción es la desviación en la propagación rectilínea de las ondas, cuando éstas atraviesan una abertura o pasan próximas a un obstáculo. La difracción también se produce si las ondas son interceptadas por algún obstáculo, siempre que su tamaño sea igual o inferior a la longitud de onda, o llegan a la esquina de un objeto. En este último caso, las ondas parecen rodear el objeto y alcanzan puntos ocultos al foco. Por ello, percibimos las ondas sonoras aunque se interponga algún obstáculo en su propagación, produciéndose la impresión de que el sonido lo ha rodeado. Comprobación del principio de Huygens Las ondas secundarias del principio de Huygens no deben considerarse como un simple recurso geométrico. Puede comprobarse experimentalmente la existencia de las ondas secundarias mediante el siguiente dispositivo experimental. Material: una cubeta de cristal (dimensiones 40 × 60 × 5 cm), agua, gomaespuma, un cilindro de 2 o 3 cm de diámetro y 35 cm de longitud, un listón de madera de 40 cm de largo con dos aberturas efectuadas a 10 y a 30 cm. Procedimiento: — Recubre las paredes de la cubeta con gomaespuma para evitar la relexión de las ondas. — Vierte agua en la cubeta hasta una altura de 0,5 cm. — Coloca en mitad de la cubeta el obstáculo con las aberturas. — Desplaza el cilindro adelante y atrás por el fondo de la cubeta para producir ondas planas. Resultados: — Observa las ondas producidas al otro lado del obstáculo. — Interpreta este fenómeno. 33. Razona si son verdaderas o falsas las airmaciones: a. la difracción se produce siempre que se intercepta la propagación de las ondas; b. según el principio de Huygens, todos los puntos de un frente de onda pueden considerarse como un foco emisor. 34. Completa la igura, en la que AB, CD y EF representan frentes de onda y O es el foco emisor: a. Dibuja cuatro puntos sobre AB y otros cuatro sobre CD, que se convertirán en nuevos focos emisores. b. Dibuja las ondas circulares emitidas por dichos puntos de modo que resulten las envolventes CD y EF. c. Dibuja los rayos procedentes de O. E C A O B D Actividades 32. En el experimento de la cubeta de ondas con una pantalla provista de dos oriicios, representa: a. los rayos correspondientes al tren de ondas paralelas; b. las ondas circulares procedentes de los dos oriicios. Prohibida su reproducción Observemos qué sucede si intercalamos un obstáculo en el camino de las ondas circulares producidas en una cubeta de ondas. F 75 Relexión y refracción IC Por tanto, para oír nuestro propio eco la supericie en que se relejan las ondas debe estar situada al menos a 17 m de nosotros. S TIC Prohibida su reproducción Comprueba las leyes de la relexión y de la refracción a partir del principio de Huygens accediendo a la página web: 76 Visita: http://goo.gl/F5DfyO Reflexión Rayo refle jado Supongamos que una onda, onda incidente, llega a la supericie de separación de dos medios materiales. Esta onda puede considerarse plana si suponemos que el foco emisor está suicientemente alejado. — El ángulo que el frente de Normal onda incidente AB forma con la supericie de separación Onda al chocar con ésta recibe el incidente nombre de ángulo de inciOnda i r dencia i. Este ángulo es igual reflejada D B al que forma el rayo incidente r con la normal a la supericie i en el punto de incidencia A. A A′ A″ C — Conforme la onda va chocanSuperficie de separación do con la supericie de separación, cada punto de ésta se convierte en centro emisor de ondas. Así, mientras la onda recorre la distancia BC, los puntos A, A′ y A′′ han empezado a producir sucesivamente ondas secundariasde igual velocidad v que la onda incidente. Concretamente, las ondas secundarias originadas en A recorren una distancia AD en el mismo tiempo en que la onda incidente recorre BC, y estas dos distancias son iguales. ente incid ∆s = 340 m ⋅ s-1 ⋅ 0,1 s = 34 m Los dos fenómenos, relexión y refracción, y las leyes que los rigen pueden interpretarse mediante aplicación del principio de Huygens. Rayo Relexión del sonido El eco es consecuencia de la relexión de las ondas sonoras. Se produce cuando oímos un sonido determinado y, poco después, las ondas relejadas de éste. Esto se debe a que nuestro oído sólo diferencia dos sonidos si el intervalo de tiempo que transcurre entre la percepción de uno y otro es, al menos, de una décima de segundo. En este tiempo la distancia recorrida por las ondas sonoras en el aire vale ∆s = v ∆t Cuando un movimiento ondulatorio que se propaga por un medio alcanza la supericie que le separa de otro medio de distinta naturaleza, parte de la energía es devuelta al medio de procedencia: decimos entonces que ha tenido lugar la relexión de la onda. Al mismo tiempo, otra parte de la energía de la onda incidente se transmite al segundo medio produciéndose la refracción de la onda. — La envolvente DC de estas ondas secundarias es el frente de onda de la onda relejada; su dirección de propagación es perpendicular a DC. — El ángulo de relexión r es el ángulo formado por el frente de onda relejada DC y la supericie de separación, y es igual al formado por el rayo relejado y la normal en el punto de incidencia A. Llamamos relexión al fenómeno por el cual, al llegar una onda a la supericie de separación de dos medios, es devuelta al primero de ellos junto con una parte de la energía del movimiento ondulatorio, cambiando su dirección de propagación. De acuerdo con la construcción gráica, se deduce la igualdad de los triángulos ABC y ADC, y de los ángulos i y r, lo que permite deducir las llamadas leyes de la relexión: 1.a El rayo incidente, la normal a la supericie en el punto de incidencia y el rayo relejado están situados en el mismo plano. a 2. El ángulo de incidencia i y el ángulo de relexión r son iguales. Refracción i D r A′′ A′ A Superficie B de separación Onda incidente Normal Rayo incidente i Rayo refractado r C Onda refractada Ejemplo 8 — Conforme los puntos de la supericie son alcanzados por el movimiento ondulatorio, se convierten en centros emisores. El radio de las ondas secundarias formadas en el segundo medio es menor que en el primero, debido a que en su interior disminuye la velocidad de propagación. Concretamente, las ondas secundarias originadas en A recorren una distancia AD en el mismo tiempo en que la onda incidente recorre BC, donde AD es menor que BC. — La envolvente de las ondas secundarias da el nuevo frente de la onda refractada, DC. — El ángulo de refracción r es el formado por la supericie de separación con el frente de la onda refractada DC, y es igual al ángulo formado por el rayo refractado y la normal en el punto de incidencia A. Una onda de naturaleza eléctrica está deinida por E = 10-3 cos (200 ∙ - 5 ∙ 1010 t) (SI). Calcula: a. la longitud de onda y la frecuencia; b. el índice de refracción del medio en el que se propaga la onda respecto al vacío, donde viaja a una velocidad de c = 3 ∙ 108 m∙s-1. — Datos: A = 10-3 N⋅C-1; k = 200 m-1; ω = 5 ⋅ 1010 s-1 a. La onda responde a la expresión y = A cos(kx - ωt). Comparando esta ecuación con la dada, obtenemos: λ = 2π k  λ = 2π 200 m −1 = 0Ž 03 m Llamamos refracción al fenómeno por el cual, al llegar una onda a la supericie de separación de dos medios, penetra y se transmite en el segundo de ellos junto con una parte de la energía del movimiento ondulatorio, cambiando su dirección de propagación. De acuerdo con la construcción gráica, resultan las relaciones BC = AC sen i; BC = v1t, y AD = AC sen r; AD = v2t; de donde se obtiene: v t v BC AC sen i sen i = 1 = 1 = = AD v2 sen r AC sen r v2 t Todas estas consideraciones permiten enunciar las leyes de la refracción: 1.a El rayo refractado, la normal y el rayo incidente están en el mismo plano. a 2. La razón entre el seno del ángulo de incidencia y el del ángulo de refracción es una constante igual a la razón entre las respectivas velocidades de propagación del movimiento ondulatorio. Esta cantidad constante n21 se denomina índice de refracción relativo del segundo medio respecto al primero. v sen i = 1 = n 21 sen r v2 Esta expresión recibe el nombre de ley de Snell de la refracción, en honor del matemático holandés W. Snell (1591-1626), quien la dedujo experimentalmente en 1621. f = ω 5 ⋅ 10 10 s −1 ;f = = 7, 96 ⋅10 9 Hz 2 2 b. Calculamos la velocidad de propagación en el medio a partir de la expresión: v =λ f = 2 k ⋅ 5 ⋅1010s−1 ω ω 8 = ;v = =2 ,5⋅1 m⋅ s−1 0 2 k 200 m−1 Y con ella hallamos el valor del índice de refracción: n 21 = sen i = sen r = 3 ⋅ 10 8 ⋅ 1 v1 c == = = = 8 = 1, 2 1 v2 v 2, 5 ⋅ 10 ⋅ Actividades 35. Cierta onda pasa de un medio a otro de índice de 36. La velocidad de una onda es 0,1 m×s−1 y su longitud de onda, 0,02 m. Penetra en otro medio con refracción relativo respecto al primero mayor que un ángulo de incidencia de 30o y la longitud de la unidad. Razona cómo varían la velocidad, la freonda en este segundo medio es 0,01 m. Calcula: cuencia, el período y la longitud de onda. El ángulo a. la frecuencia de la onda; de r fracción, ¿será mayor o menor que el ángulo b. su velocidad en el segundo medio; c. el valor de incidencia? Justiica la respuesta. del seno del ángulo de refracción. Prohibida su reproducción Consideremos una onda plana que incide sobre la supericie de separación de dos medios materiales, y que la velocidad de propagación en el segundo medio v2 es menor que en el primero v1. 77 B Polarización Otro fenómeno ondulatorio de gran importancia es la polarización. Éste adquiere especial interés en las ondas luminosas y es característico únicamente de las ondas transversales. IÉN y también: En las ondas transversales, las vibraciones que realizan las partículas afectadas por la onda pueden producirse a lo largo de cualquier dirección perpendicular a la dirección de propagación. Decimos que una onda no está polarizada cuando son igualmente posibles todas las direcciones de oscilación de las partículas del medio a lo largo del tiempo; o bien, cuando la onda está formada por la superposición de muchas ondas cuyas vibraciones tienen lugar en distintas direcciones, como en el caso de la luz. De lo contrario, hablamos de ondas polarizadas. Veamos los tipos básicos de polarización. Polarización rectilínea o lineal Una onda está polarizada rectilíneamente si la vibración tiene lugar siempre siguiendo rectas con la misma dirección perpendicular a la dirección de propagación. En ese caso, llamamos plano de polarización al formado por la dirección de vibración y la dirección de propagación. En la igura, el plano de polarización es el plano YZ. Z Dirección de vibración Polarización circular y polarización elíptica Una onda está polarizada circularmente o elípticamente si la vibración de un punto a lo largo del tiempo tiene lugar siguiendo, respectivamente, círculos o elipses situados en planos perpendiculares a la dirección de propagación de la onda. Y Dirección de propagación Plano de vibración Dirección de propagación O Y O X Z X Podemos conseguir una onda de este tipo sacudiendo constantemente arriba y abajo el extremo libre de una cuerda ija en el otro extremo, de modo que todos sus puntos vibren siempre en el mismo plano. Y α 90o O X 78 Dirección de propagación Cómo polarizar ondas en una cuerda Se puede polarizar linealmente una onda en una cuerda al hacerla atravesar una ranura situada en determinada dirección. La ranura sólo permite la transmisión de la componente (análogamente a los vectores) de la onda que vibra a lo largo de ella. En la igura una primera ranura polariza linealmente la onda. La segunda ranura, que forma un ángulo α con la primera, permite pasar la onda en parte. Finalmente, una tercera, perpendicular a la segunda, anula el movimiento ondulatorio, ya que la onda no posee componente horizontal. 37. Razona si es verdadera o falsa esta airmación: Po- 38. La polarización es una propiedad característica larizar una onda signiica restringir de algún modo de las ondas transversales. ¿Por qué? la forma de vibración de las partículas del medio 39. ¿Es posible polarizar las ondas sonoras? obligando a todas ellas a vibrar en un solo plano. Actividades Prohibida su reproducción Z Este tipo de polarización puede obtenerse haciendo vibrar el extremo libre de una cuerda tensa, de modo que formemos círculos o elipses, manteniendo paralelos los planos de vibración. Fenómenos por superposición de ondas Hasta ahora hemos considerado el comportamiento de una sola onda procedente de un foco emisor. Pero es frecuente que varias ondas, procedentes de focos diferentes, se propaguen en el mismo medio y coincidan en algún punto de éste superponiéndose. La superposición de dos o más movimientos ondulatorios en un punto del medio se denomina interferencia. Principio de superposición Los fenómenos de interferencia se rigen por el principio de superposición. y2 y1 y2 y1 y1 + y2 y2 y2 Un punto de un medio que es alcanzado simultáneamente por dos ondas que se propagan por él experimenta una vibración que es suma de las que experimentaría si fuera alcanzado por cada una de las ondas por separado. Cuando las dos ondas se separan después de la interferencia, continúan su propagación sin sufrir modiicación alguna. Un ejemplo cotidiano de este principio es el hecho de poder escuchar varias conversaciones a la vez, sin perturbación del sonido original y pese a haber tenido lugar diversas interferencias. y1 y1 Las ondas se atraviesan unas a otras y prosiguen su propagación independientemente después de haber interferido. 9.1. Interferencia de dos ondas armónicas coherentes = A se n (ωt − k r ) +se n (ωt − k r ) = = 2 A se n ( ωt −k r ) +( ωt −k r ) (ωt − k r ) + (ωt −k r ) co s = 2 2 = 2 A co s k r′ O′ NT Ten en cuenta que: Repasa las ecuaciones para la transformación de sumas de razones trigonométricas en productos que encontrarás en Herramientas matemáticas (pág. 6). r −r r +r s en ωt − k 2 2 Esta última expresión es la de un movimiento ondulatorio de la misma frecuencia y longitud de onda que los movimientos que interieren, y su amplitud Ar y su fase dependen de las distancias r y r′ a los focos emisores. Por tanto, la ecuación del movimiento a que está sometido el punto de interferencia P es: y r = A r se n ωt − k r +r 2 ‘’“‘” – r — 2 – co • k r −r 2 Prohibida su reproducción y r = y + y = A se n (ωt −k r) + A sen (ωt −k r ) = O UE Según el principio de superposición, la elongación resultante yr es: P r T Trataremos la interferencia de dos ondas armónicas coherentes (las que están en fase o cuya diferencia de fase es constante), y e y′, que coinciden en el punto P después de recorrer las distancias r y r′. Para mayor simplicidad, supondremos que tienen la misma frecuencia, amplitud, longitud de onda y velocidad, y que la vibración de ambas se produce en la misma dirección perpendicular al plano de la igura. 79 Interferencia constructiva y destructiva B ′ − ′ −′ − ∆ ϕ ∆ ϕ∆ ϕ A consecuencia de la superposición de ondas, en el punto donde tiene lugar πésta puede producirse una intensiicaπ π ción de las ondas componentes o una debilitación de éstas, λ λ λ incluso su anulación. ′ − ′ −′ − IÉN Vamos a considerar los dos casos extremos que pueden ocurrir respecto a la amplitud de la onda resultante Ar, y las condiciones que cumplen en ellos la diferencia de fase, ∆ϕ, y la diferencia de recorridos, ∆r = r′ - r. y también: La diferencia de fase entre las ondas y e y′ es: = ( ωt − k r ) − ( ωt − k r ) = k (r − r ) ฀ ′฀− ฀฀′ − ′ − ฀ ฀ ฀฀π ฀฀λπ ฀฀฀฀πλ ฀฀ ฀฀ λ ′ − ′ −′ λ− λ λ ฀ ∆ ϕ฀ ∆฀ϕ∆฀ϕ฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ฀฀ ∆ϕ ∆ϕ∆ϕ π π π ′ − ′ −′ − π π π Para ello, en primer lugar sustituimos en la expresión de la la onda resultante el valor de la diferencia de fase: r′ − r ∆ϕ ′ − ′ −′ − π amplitud π π π π πde λ λ λ 2−A ′ − A r =′ ′− k ∆∆=ϕϕ2 ∆ Aϕ 2 2 2π ππ deπ k = y, por otro lado, el valor : λ λλ λ ∆ ϕ ∆ ϕ∆ ϕ π π π r′ − r Ar =′ 2 ′−−A ′ − k 2 π =′2′−−A ′ − π π π Interferencia constructiva r′ − r λ Decimos que se produce interferencia constructiva cuando Ar es máxima en valor absoluto. Para ello, la diferencia de recorridos ha de veriicar: La amplitud del movimiento resultante es máxima, e igual al doble de la amplitud de los movimientos componentes, en los puntos en que la diferencia ฀ ′− r′ − r ฀ r ฀ ′฀− ฀฀′ − ฀r ′ −฀r ฀ ′ − 1′ − ′ − ฀฀ rr′ − r ′π− r π πr π = n πde recorrido de las ondas es cero o un número en฀πr ฀r=′฀− ฀ ฀฀π ฀ λ฀π ฀฀=π±π π±r฀1฀π ππ ′ −π r=′ − n ππ= n πλ ฀− ฀฀฀ππ λ′฀ ฀ π = ± 1 tero de longitudes de onda. Las ondas llegan en = ± 1 ; y debe cumplirse ฀ ฀ ฀ λ λ ฀ ฀ λ ฀฀λ λ ฀ λ λλ ฀ λ λ฀ ฀฀ λ ฀ concordancia de fase a estos puntos. λ λ λ′ − λ r ′ − r ′= − ′2r−′n−+ 1 ′ nλ 0 1 2 n = 0,=1, Por tanto: λ ; siendo n = 0, 1, r′ −rr== nλ ; ; siendo 2− ฀ ∆ ϕ฀ ϕ ∆฀฀ϕ∆฀ϕ฀ π π∆ π ϕ ฀ ∆฀ϕ∆฀ ϕ = ±1∆ ϕ ∆∆ϕ∆ ฀ cumplirse debe === 2 =0 ฀ n1 +1 2 = n π ฀฀=∆;=ϕ ϕ฀฀0 ∆nnϕ ฀฀∆ = ∆ϕϕ 10฀1 ± ฀ ฀ π2π+ 2 ฀฀ = ± 1 ฀ ฀ 2฀ ฀ 2 2 2 ฀ ฀ = ± = n π 2 2 2 ฀฀฀ 2 ฀฀฀฀฀ 2 ฀฀ 2 2 2 O′ πn =n0,=1,0, 1, ∆ϕ =(2n ∆ϕ∆ϕ+=(2n 1) n+ π 1) ;π siendo +π 1)∆ϕ ; siendo Por tanto: ∆ϕ π ∆ϕ ∆ϕ π π Interferencia destructiva Decimos que se produce interferencia destructiva ′− π ฀ ′− ฀ cuando Ar es mínima. π ′− π ππ =π2 n +1 ฀ r′ − ฀ ′ −2 n + ฀ r฀฀′ − ฀ ฀ ′λ−recorridos ′− = 1 π ฀ ฀ 2 λ Para ello,฀฀฀฀πla diferencia de ha de veriicar: ฀ π π = 2 n + 1 π λ฀ ฀฀ = 0฀ π λ 2 λ 2 λ฀ ฀ λ ฀ λ r −r r −r λ π co s π 0; π = (2 n +1) λ− ′= λ λ =0 1 2 λ λ 2 =0 1 2 ′− =0 1 2 ′ − r ′=−2 n +1 2 λ r − r = (2 n + 1) ; siendo n = 0, 1, 2 ... 2 ∆ϕ π ฀ ∆ ϕ฀ ∆∆ϕϕ ∆ ϕ π = 2 n +1 =0 ฀฀∆∆ϕϕ฀฀฀ ∆ ϕ฀ ฀ = 2 n =+12 n π+1 π ==00 de diferencia ฀ debe veriicar: ฀fase 2 2 ฀ ฀ ฀ = 0 ฀ ฀ ฀฀ 2 2 2 ฀฀ 2 ฀ ฀ 22 ฀฀ ∆ϕ ∆ϕ π ∆ϕ = (2 n +1) π cos ∆ϕ = 0;; debe cumplir ππ π 2 2 ∆ϕ 2 ∆ϕ Prohibida su reproducción ฀ 80 Y la r O ∆ϕ = (2 n + 1) π ; siendo n = 0, 1, 2... P r′ r′ - r= λ La amplitud del movimiento resultante es nula para todos los puntos en los que la diferencia de recorrido de las ondas es un número impar de semilongitudes de onda. Las ondas llegan en oposición de fase a estos puntos. r O O′ r′ λ = 2 r r′ P En el supuesto, más general, de interferencia de ondas con la misma frecuencia pero diferente amplitud, las condiciones para que se produzca interferencia constructiva o destructiva son las que hemos hallado anteriormente. Sin embargo, en la interferencia destructiva la amplitud de la onda no llega a anularse en ningún punto. Los puntos en los que se produce la interferencia constructiva y destructiva reciben los nombres de vientres y nodos. Líneas ventrales Llamamos vientres a los puntos que las ondas alcanzan en concordancia de fase para los que la amplitud es máxima. ∆r = λ ∆r = 0 ∆r = 2 λ ∆r = 3 λ λ Llamamos nodos a los puntos que las ondas alcanzan en oposición de fase para los que la amplitud es nula. O d O′ Se produce la interferencia de las ondas de ecuaciones y1 = 0,2 sen (200 t − 0,5 r) e y2 = 0,2 sen (200 t − 0,5 r′) (SI). Determina: a) la función de onda resultante; b) el valor de la amplitud resultante en un punto que dista 8 m y 10 m de los dos focos emisores; c) la ecuación de las líneas nodales producidas. y1 = 0,2 sen (200 t − 0,5 r ) y2 = 0,2 sen (200 t − 0,5 r′) — Datos: a. Función de onda resultante: y ™ = y 1 +y 2 =2 A y r = 0, 4 k ˜′ −˜ 2 ωt − k ˜′ −˜ 2 r′ − r r′ + r 0,5 200 t −0 ,5 = 2 2 = 0, 4 0 25 r ′ −r 200 t − 0, 25 r ′ − r SI 41. Cuando dos ondas interieren constructiva o destructivamente, ¿se produce alguna ganancia o alguna pérdida de energía en el sistema? A r = 0,4 cos [0,25 (10 - 8)] = 0,4 cos 0,5 = 0,35 m c. La condición que cumplen los nodos es: r − r = (2 n + 1) λ 2 que, en función del número de ondas, se escribe: r − r = (2 n + 1) 2π π = (2 n + 1) k 2k El valor de k es de 0,5 m-1, por lo tanto: r′ - r = (2n + 1) 2π siendo n = 0, 1, 2... que es la ecuación de las líneas nodales, determinada cada una de ellas por un valor de n. Dichas expresiones corresponden a hipérbolas. 42.Dos ondas que se propagan por el mismo medio interieren en un punto a 1,5 m del foco emisor de una onda y a 1,75 m del de la otra. Si la ecuación de ambas es y = 0,25 cos 4 π (10 t − x) (SI), determina: a. la longitud de onda; b. si en el punto considerado, la interferencia es constructiva o destructiva. Actividades 40. Di si la interferencia es una propiedad de algún tipo de ondas o de todas ellas. b. La amplitud resultante es Ar = 0,4 cos [0,25 (r′ − r )]. Por lo tanto, para r = 8 m y r′ = 10 m, se tiene: Prohibida su reproducción Ejemplo 9 Las líneas que los unen se denominan, respectivamente, líneas ventrales y líneas nodales. Cada línea ventral o nodal está formada por los puntos cuya diferencia de distancias a dos puntos ijos, los focos de ambas ondas, es una constante (r′ − r = constante). Por lo tanto, se trata de hipérbolas en el plano de la igura. 81 UE NT Ondas estacionarias T Ten en cuenta que: Otras formas de expresar una onda estacionaria Es frecuente utilizar la forma: y = 2 A sen (kx ) cos (ωt ) Ésta se deduce a partir de las ecuaciones de las ondas que interieren expresadas del modo: y 1= A se n (kx −ωt ) y 2 = A se n (kx −ωt ) Consideremos el caso de una onda que se propaga por cierto medio e incide perpendicularmente sobre una pared relejándose en ella. La onda resultante de la interferencia de la onda incidente y de la onda relejada tiene unas características especiales y recibe el nombre de onda estacionaria. Llamamos onda estacionaria a la onda producida por interferencia de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia que se propagan en la misma dirección y sentido contrario. y 1 +y 2 = = A [se n (kx −ωt ) +sen (kx − ωt )] = = 2 A se n (kx − ωt ) +(kx + ωt ) 2 ( kx −ωt ) −( kx + ωt ) ⋅co s = 2 = 2 A se n kx c os (−ωt ) ⋅ y 1 +y 2 =2 A se n (kx ) cos (ωt ) También se utiliza la expresión: y = 2 A cos (kx ) cos (ωt ) Ésta se deduce siguiendo los mismos pasos que en la ecuación anterior a partir de las ecuaciones: y 1 = A cos (ωt - kx ) B y 2 = A cos (ωt + kx ) IÉN Prohibida su reproducción y también: 82 • En una onda armónica de ecuación y = A sen(ωt-kx ), la amplitud es una constante que no depende del tiempo ni de la posición. • En una onda que presenta pulsaciones, la amplitud en un punto determinado varía con el tiempo. • En la onda estacionaria, la amplitud en un instante determinado de tiempo depende del punto considerado. Estas ondas se producen, por ejemplo, cuando un medio limitado, como un tubo o una cuerda, se ve afectado por un movimiento ondulatorio; las ondas estacionarias son provocadas por las relexiones que este movimiento experimenta en los extremos del medio. Ecuación de la onda estacionaria Para obtener la ecuación de la onda estacionaria producto de la interferencia, aplicamos el principio de superposición. Supongamos dos ondas armónicas, de igual amplitud y frecuencia, que se propagan en sentido contrario siguiendo el eje OX. Tomando como origen la pared donde tiene lugar la relexión, las elongaciones producidas en un punto de abscisa x en el instante t valen: y 1 = A sen (ωt - kx ) ; y 2 = A sen (ωt + kx ) La elongación resultante se obtendrá a partir de la suma: yr = y1 + y2 = A [sen (ωt - kx) + sen (ωt + kx)] = 2A cos (-kx) sen (ωt) = 2A cos (kx) sen (ωt) La amplitud resultante Ar viene dada por el término 2A cos (kx). Por tanto, la ecuación de la onda estacionaria toma la forma siguiente: y r = 2 A cos (kx ) sen (ωt ) = A r sen (ωt ) La onda estacionaria es armónica de igual frecuencia que las componentes y su amplitud, Ar, es independiente del tiempo, pero varía sinusoidalmente con la abscisa x. Por lo tanto, excepto los puntos en que la amplitud es nula (los nodos), que no oscilan, todos los puntos de la onda oscilan armónica y verticalmente respecto de OX y alcanzan a la vez la posición de equilibrio. Puesto que los nodos se encuentran siempre en reposo, la onda estacionaria parece permanecer ija sobre la dirección de propagación (de ahí su nombre), no viaja y, por lo tanto, no transporta energía. Al no existir transporte de energía, no podemos considerar las ondas estacionarias como ondas en sentido estricto. Y O X Y O X Y X O Y λ — 4 0 2λ — 4 3λ — 4 4λ — 4 5λ — 4 6λ — 4 O 7λ — 4 8λ — 4t 1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 X Vientres y nodos de la onda estacionaria Posición de los vientres Ar es máxima en valor absoluto, e igual al doble de la amplitud de las ondas que interieren, en todos los puntos cuya abscisa x cumple cos (kx) = ±1. Es decir: kx =nπ ; x = x =2 n λ 4 Posición de los vientres La amplitud resultante Ar es nula en todos los puntos cuya abscisa x es tal que cos (kx) = 0. Es decir: nπ λ =2 n k 4 kx = = λ 2π π 1 π +n π ; x = +n π = k 2 2 λ π λ π (2 n +1) = (2 n +1) +n π = 4 2 4π n = 0 , 1, 2, 3 ... Son puntos de amplitud máxima en valor absoluto, es decir, vientres o antinodos de la onda estacionaria, aquéllos cuya abscisa x respecto de un foco vale 0 o un número par de cuartos de longitud de onda. λ x = (2 n +1 ) n = 01 , , 234 , , ... 4 Son puntos de amplitud nula, es decir, nodos de la onda estacionaria, aquéllos cuya abscisa x respecto de un foco vale un número impar de cuartos de longitud de onda. Distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos Se obtiene mediante el cálculo de la diferencia de posición de dos vientres (o dos nodos) consecutivos. En ambos casos es la misma. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ — Distancia entre nodos: x n − x n −1 =(2 n + 1) 4 −[2 (n − 1) +1] 4 = ( 2 n +1 − 2 n +2 − 1) 4 = 2 4 = 2 La distancia entre dos vientres o dos nodos consecutivos es igual a media longitud de onda. Por tanto, la distancia entre un vientre y un nodo es de un cuarto de longitud de onda. Prohibida su reproducción λ — Distancia entre vientres: xn − xn−1 =2n 4 − [2 (n −1)] 4 = n 2 − n 2 + 2 = 2 83 Problemas resueltos A Una partícula de masa m se mueve a lo largo del eje X bajo la acción de una fuerza elástica, F = -kx. Cuando t = 2 s, la partícula pasa por el punto de equilibrio con velocidad positiva y cuando t = 4 s, su velocidad es de +4 m/s. Si el período de la oscilación es de 16 s, calcula: a. la amplitud del movimiento; b. su aceleración en t = 2 s; c. su velocidad máxima. d. Escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. e. Dibuja la gráica de la elongación en función del tiempo, entre t = 0 s y t = 18 s. — Datos: x (2 s) = 0 ; v (4 s) = 4 m/s ; T = 16 s b. En el punto de equilibrio la aceleración es cero. Lo comprobamos: a (t) = −A ω 2 se n (ωt + ϕ0 ) a (2 s ) = −14, 4 16 s 8 2 se n se n π + ϕ 0 =0 4 8 π +ϕ =0 rad o π rad 0 4 El ángulo ha de ser de 0 rad para que la velocidad en este punto, que viene dada por el coseno, sea positiva. Por tanto: ϕ0 = − π rad 4 Utilizamos la expresión de la velocidad en t = 4 s para hallar la amplitud, A: x (t ) = 1 4 ,4⋅sen π t − π 8 4 5⋅c os v (t ) = 5 ,6 πt − π 2⋅ s en a(t) = −2 ,2 π t −π 8 Prohibida su reproducción 84 t (s) x 0 -0,71 A 2 0 6 A 10 0 v (4 s ) = A π co s π ⋅4 − π = 4 m/s 14 -A A π co s π = 4 m/s ; A =14, 4 m 8 4 18 0 8 4 1. Un oscilador armónico simple se encuentra en x = 3,36 m con una velocidad de 0,216 m/s cuando t = 5 s. Si su pulsación es ω = 0,1 rad/s, determina: a. su frecuencia; b. su amplitud; c. la fase inicial; d. la aceleración en t = 5 s; e. la posición, la velocidad y la aceleración en t = 0s. f. Escribe las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración en función del tiempo. g. Dibuja la gráfica de la elongación en función del tiempo, entre t = 0 s y t = 60 s. 8 4 4 e. Para representar la función hallamos la elongación en varios puntos y los representamos. Para facilitar la representación escogemos los puntos de elongaciones máximas, mínimas y cero. v ( t) = A ω co s (ωt +ϕ0 ) 8 4 d. Las expresiones de la elongación, la velocidad y la aceleración son: 8 π ⋅ 2 +ϕ 0 8 v m á x = ± A ω = ±1 4 , 4 m ⋅ π rad/s = ± 5 , 6 5 m /s 8 x (t ) = A sen (ωt + ϕ0 ) x (2 s ) = 0 =A sen π ⋅ 2 − π = 0 m/s 2 c. La velocidad máxima se produce cuando el coseno del ángulo de fase es ±1. Por ello: a. Determinamos la pulsación a partir del período y escribimos la ecuación de la elongación para t = 2 s. 2π 2π π ω= = = rad/s T π x (m) A = 14,4 m 10 5 -5 5 10 15 t (s) -10 -A = -14,4 m 2. Una partícula de 1 g de masa oscila con un MAS de 10 3 π Hz de frecuencia y una aceleración en el extremo de su recorrido de 8,0 × 103 m/s2. Calcula: a. la pulsación; b. la amplitud del movimiento; c. la velocidad de la partícula cuando la elongación es de 1,2 mm. d. Si la velocidad es de 4 m/s cuando t = 2 s, determina la fase inicial y escribe las ecuaciones de la elongación, la velocidad y la aceleración. Problemas resueltos B Un cuerpo de 1,4 kg de masa se conecta a un muelle de constante elástica 15 N/m. El sistema se hace oscilar sobre un plano horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 20 cm, calcula: a. la energía total del sistema; b. la energía cinética y la potencial cuando el desplazamiento del cuerpo es de 13 cm; c. la velocidad máxima del cuerpo. d. Escribe la ecuación del MAS correspondiente. — Datos: m = 1,4 kg ; A = 20 cm = 0,20 m ; K = 15 N/m ; x = 13 cm = 0,13 m Hemos de tener en cuenta que el sistema tendrá un MAS y que su energía total será constante dado que no existen pérdidas por rozamiento. a. Calculamos la energía total del sistema: E = 1 1 N K A 2 = ⋅ 15 ⋅ 0, 20 2 m 2 = 0, 3 J 2 2 m 3. Conectamos un cuerpo de 0,6 kg de masa a un resorte de constante recuperadora K = 10 N/m. El sistema oscila sobre una supericie horizontal sin rozamiento. Si la amplitud del movimiento es de 5 cm, calcula: a. la energía mecánica total del sistema; b. la velocidad máxima del cuerpo; c. la energía cinética y la potencial del cuerpo si x = 2 cm. b. Hallamos la Ep en la posición x = 0,13 m: Ep = 1 1 N Kx 2 = ⋅ 15 ⋅ 0, 13 2 m 2 = 0, 13 J 2 2 m Como E = Ec + Ep, calculamos así el valor de Ec: Ec = E - Ep = 0,3 J - 0,13 J = 0,17 J c. El cuerpo tiene vmáx cuando Ec es máxima: Ec máx = E =0, 3 J 1 1 Ec = mv 2 ; Ec máx = m (v máx )2 2 2 2 Ec máx 2 ⋅ 0, 3 J V má x = ± = ± = ± 0, 65 m/s 1,4 kg m d. Calculamos la pulsación y suponemos ϕ0 = 0 para escribir la ecuación del MAS correspondiente: ω= K 15 N/m = = 3, 3 rad/s m 1,4 kg x = A se n (ωt +ϕ0 ) = 0, 2 s en (3 , 3 t ) m 4. A un muelle, ijo por uno de sus extremos y situado en una supericie horizontal sin rozamiento, se le sujeta por el otro extremo un cuerpo de m = 0,5 kg. Al tirar del cuerpo, alargar el muelle 10 cm y soltarlo, el sistema empieza a oscilar con un período de 2 s. Determina: a. la energía cinética y la potencial máximas; b. la velocidad máxima del cuerpo. c. Explica cómo cambiarían las energías si m = 2 kg. C a. Hallamos ω y A para después calcular Epmáx: ω= A = α ⋅L =0, 175 rad ⋅1 m =0, 175 m Ep máx = — Datos: α = 10° L=1m α = 10° = 0,175 rad g = 9,8 m/s2 m = 0,1 kg 5. Un péndulo simple está constituido por una masa puntual de 0,5 kg que cuelga de un hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 8° en un lugar con g = 9,8 m/s2, determina: a. su energía potencial máxima; b. su velocidad máxima. 9, 8 m/s 2 g = = 3, 1 rad/s 1m L Ep máx = 1 1 K A 2 = m ω2A 2 2 2 1 ⋅ 0, 1 kg ⋅ (3 ,1 rad/s) 2 ⋅ (0 ,175 m)2 =0 ,015 J 2 b. La velocidad máxima será: vmáx = ±Aω = ±0,175 m ⋅ 3,1 rad/s = ±0,54 m/s 6. La longitud de un péndulo simple es de 0,248 m y tarda 1 s en efectuar una oscilación completa de α = 18°. Determina: a. g en ese punto; b.la velocidad máxima; c. la fuerza máxima que tiende a llevarlo a la posición de equilibrio si m = 5 g. Prohibida su reproducción Un péndulo simple consta de una esfera puntual de 0,1 kg de masa suspendida de un hilo de 1 m de longitud. Si oscila con una amplitud de 10° en un lugar con g = 9,8 m/s2, determina: a. su energía potencial máxima; b. su velocidad máxima. 85 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. Responde: a. ¿Qué valor tiene la aceleración de un oscilador armónico si su velocidad es máxima? b. Cuando la elongación es máxima, ¿cuánto vale la aceleración? 2. La ecuación de un MAS cualquiera cumple la expresión x = A sen (ω t + ϕ 0). Determina el valor de la fase inicial ϕ0 si el movimiento comienza: a. en el centro de oscilación; b. en el punto extremo de las elongaciones positivas; c. en el punto extremo de las elongaciones negativas. 3. Determina la distancia que recorre una partícula con MAS de amplitud A durante un período. — Di si podemos determinar la posición de una partícula que se desplaza con MAS, en el instante en que su velocidad es nula. ¿Podemos conocer con estos datos el sentido de su desplazamiento? 4. Relaciona las magnitudes del MAS con las del MCU y explica mediante un dibujo la relación entre ambos tipos de movimiento. 5. Estiramos el extremo de un muelle que está sujeto por el otro extremo y lo soltamos para que comience a oscilar. Di si la fuerza aplicada es la fuerza elástica del sistema. En caso contrario, señala sus semejanzas y diferencias. 6. Tenemos un sistema formado por un resorte del que cuelga una masa m. Si estiramos de la masa y, a continuación, la soltamos, el sistema comienza a oscilar. Explica si, al cambiar la masa que cuelga del resorte, cambia el período. Justiica tu respuesta. Prohibida su reproducción — Un oscilador armónico de constante K al que se une una masa m oscila con un período T. Determina el período si duplicamos m. 86 7. Determina los puntos de la trayectoria de un oscilador con MAS en el que son iguales la energía cinética y la energía potencial. 8. Di dónde oscilará más despacio un péndulo, en la Tierra o en la Luna. ¿Y al compararlo con Júpiter? Razona tus respuestas. 9. Un sistema real, en el que existen fuerzas de rozamiento, ¿puede tener un MAS? Justiica tu respuesta. 2 Practica lo aprendido 10. Una partícula se desplaza con MAS de 150 Hz de frecuencia y 5 cm de amplitud. Calcula: a. el período; b. la pulsación. c. Escribe la ecuación de la elongación si en el instante t = 0 pasa por el centro de oscilación con velocidad positiva. 11. Calcula el valor de la velocidad máxima de un MAS de expresión: x = 0,20 sen (10t + π/2), en unidades del SI. — ¿Podemos predecir exactamente la posición de la partícula cuando su velocidad es máxima? ¿Y el sentido de su movimiento? 12.Lee las características de los siguientes MAS y determina lo que se pide: a. La pulsación y el período si a = -90 m/s2 cuando x = 0,10 m. b. La aceleración cuando x = -0,01 m si su frecuencia es de 5 Hz. c. El período y la ecuación de la elongación si la expresión de la aceleración es a = -2 x y la amplitud vale 0,01 m. 13. La aceleración de un MAS vale a = -16 π 2 x. Si la máxima elongación es de 0,04 m y se ha comenzado a contar el tiempo cuando la aceleración tiene su máximo valor absoluto en el sentido de los desplazamientos positivos, calcula los valores absolutos máximos de la velocidad y de la aceleración. 14. Un resorte cuya constante recuperadora vale K = 20 N/m está ijo por su extremo superior. Si le colgamos un cuerpo de 300 g de su extremo libre y lo dejamos oscilar: a. ¿Cuál es la posición más baja que alcanza?; b. ¿Cuánto vale el período del movimiento? 15. Se ija un cuerpo de 1,8 kg al extremo libre de un muelle de constante K = 20 N/m, se alarga el muelle hasta una distancia de 30 cm de su posición de equilibrio y se deja libre. Determina la Ec y la velocidad en la posición de equilibrio. cada uno de ellos o depende de la frecuencia de las ondas sonoras? Piensa y resuelve 16. Indica las características fundamentales que distinguen a cada una de las siguientes clases de ondas: mecánicas, transversales, longitudinales, supericiales, armónicas. 17. En las ondas armónicas, ¿qué expresión matemática relaciona velocidad, longitud de onda y frecuencia? 18. Un movimiento ondulatorio longitudinal de frecuencia 500 Hz se propaga en una varilla de hierro a la velocidad de 4 500 m/s y en el aire a 340 m/s. a. ¿En qué caso es mayor la longitud de onda? b. ¿Cuántas veces es mayor? 19. ¿Qué le ocurre a la longitud de onda si se duplica el período? 20. ¿Qué le sucede a la velocidad de una onda en una cuerda tensa si duplicamos la frecuencia? (No se ha modiicado la tensión de la cuerda.) 21. Deine función de onda. De ella se dice que es doblemente periódica: respecto de la posición de las partículas y respecto del tiempo. ¿Qué quiere decir esto? 22. Di qué signiica que dos partículas de un medio por el que se propaga una onda están en fase. 23. Expresa matemáticamente la energía mecánica total de una onda armónica. a. ¿Cómo se deduce? b. ¿Con qué unidad se mide? 24. Una fuente de vibraciones armónicas produce una onda en una cuerda sometida a tensión constante. Si se duplica la potencia del movimiento ondulatorio, ¿en qué factor cambiará la amplitud? ¿Y la frecuencia? 25. Elige la opción correcta y razónala. La amplitud de una onda está relacionada con: a. la longitud de onda; b. el período; c. la frecuencia; d. la intensidad. 26. Explica a qué fenómenos se debe que disminuya la energía de una onda al alejarse del foco emisor. 27. Calcula las longitudes de onda de los ultrasonidos emitidos por los siguientes animales: a. murciélago, f = 120 000 Hz (velocidad de las ondas sonoras en el aire: 340 m ∙ s-1); b. delfín, f = 200 000 Hz (velocidad de las ondas sonoras en el agua: 1435 m ∙ s-1). 28. Di qué es y cómo se mide la potencia de un foco sonoro. 29. Describe qué es el umbral de audición y el umbral de dolor para las ondas sonoras. ¿Es constante 30. Si el nivel de intensidad sonora de un violín es de 40 dB, ¿cuántos violines serán necesarios para aumentar este nivel hasta 60 dB? 31. Si la intensidad de un sonido se multiplica por 100, ¿cuánto aumenta el nivel de intensidad sonora? 2 Practica lo aprendido 32. Una cuerda de 1,0 m de longitud y 10,0 g está sometida a una tensión de 30 N. ¿Cuál será la velocidad de propagación de una onda transversal por la cuerda? 33. Calcula la pulsación, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de una onda descrita por y = sen (0,5 x − 200 t + 2,5), en unidades SI. 34. La ecuación de una onda armónica viene dada por y = 0,05 sen (1992 t − 6x), en unidades SI. a. Calcula la amplitud, la frecuencia y la longitud de onda. b. Calcula la distancia recorrida por la onda en 3 s. c. Escribe la ecuación de una onda idéntica a la anterior que se propague en sentido contrario. 35. Dada la siguiente ecuación de la onda armónica y = 3 sen (8 t − 0,5x), deduce: a. la amplitud, el período, la frecuencia y la longitud de onda; b. la velocidad de la onda y la elongación de una partícula situada en la posición x = +15 m cuando t = 4 s. 36. Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación y = 0,4 cos (50 t − 2x), en unidades SI. Calcula: a. la velocidad de propagación de la onda; b. la elongación y la velocidad de vibración de una partícula situada a 20 cm del foco en t = 0,5 s; c. la elongación y la velocidad máximas. 37. Una onda armónica de f = 100 Hz y A = 0,5 m se propaga con una velocidad de 10 m/s en el sentido positivo del eje OX. Si en t0 = 0 la elongación en el origen de coordenadas es 0,5 m, halla: a. la ecuación de la onda; b. la diferencia de fase entre dos puntos separados 0,2 m. Prohibida su reproducción 1 87 Práctica de laboratorio N•2 Conservación de la energía mecánica en el movimiento armónico simple x = x1 = 0 Cuando en un muelle de constante recuperadora K que cuelga verticalmente de uno de sus extremos se añade una masa adicional m, el muelle se alarga debido al peso añadido y, si se deja libre, el sistema muelle/masa describe un movimiento armónico simple (MAS) de período T y amplitud A dados por: O x x = x0 mg x = x2 T = 2π m k y A = mg K (donde g es la aceleración de la gravedad) Variación de la energía mecánica en el MAS En este MAS el sistema se mueve entre las posiciones extremas x1 = 0 y x2 = 2 medidas respecto del origen O (extremo del muelle antes de colgar la masa). Cuando el sistema pasa de la posición x1 a la posición x2, la energía potencial gravitatoria disminuye y la energía potencial elástica aumenta según: 2 2 |∆Epg| = 1 K (x2 - x1) 2 En x1 y x2 la energía cinética del sistema es nula; por lo tanto, por la conservación de la energía mecánica tenemos: |∆Epg| = m g (x2 - x1) Prohibida su reproducción Efecto del frotamiento con el aire 88 Este MAS no se mantiene indeinidamente, porque la energía se va disipando a causa del frotamiento con el aire. Así, la amplitud de oscilación va disminuyendo hasta que el sistema se detiene. La posición inal de equilibrio x0 (medida respecto de O) es aquélla en la que la fuerza elástica y el peso se equilibran: m g = K x0. De esta expresión se deduce el valor de K: mg K= (2) x0 Objetivo de la experiencia En esta experiencia comprobaremos que, en las posiciones extremas del MAS de un sistema muelle/masa que oscila verticalmente, la disminución de energía potencial gravitatoria coincide con el aumento de la energía potencial elástica. Obtendremos el valor de la constante elástica a partir de la posición de equilibrio (determinación estática) y lo compararemos con el deducido a partir de la medición del período (determinación dinámica). • Muelle ligero y soporte • Diversas pesas entre 100 g y 1 kg • Regla, cronómetro y balanza Procesos: 1. En esta experiencia deberán trabajar en parejas. En primer lugar, pesen la masa m. A continuación, cuelguen el muelle solo en el soporte. Alineen el cero de la regla con el extremo inferior del muelle. (aunque no coincida exactamente con x2). Este tiempo medido es el período T. Anoten los valores de x2 y T en la tabla 1. 3. Dejen oscilar el sistema hasta que se vaya amortiguando y se pare (o bien detenedlo vosotros). Midan la posición final x0. A partir de x0, calculen el valor de K mediante la ecuación (2). Apunten estos valores en la tabla 1. 2. Cuelguen con mucho cuidado la masa m en el muelle y dejen libre el sistema. (En el supuesto de que la amplitud de las oscilaciones sea demasiado grande, sustituyan la masa por una más ligera). Inmediatamente después de iniciarse el movimiento oscilatorio, uno de ustedes tendrá que tomar buena nota de la posición más baja en la regla (x2) a la que llega el muelle durante el MAS. El otro compañero o compañera habrá de poner en marcha el cronómetro cuando la masa pase por primera vez por la posición x2 y lo detendrá al cabo de una oscilación, cuando vuelva a estar en el punto más bajo m=................. x2 (mm) a= x2 - x 1 (mm) 2 4. Comprueben si se verifica el principio de conservación de la energía mecánica mediante la ecuación (1). Tengan en cuenta que hemos escogido como origen x1 = 0. 5. Desenganchen la masa m y repitan todo el proceso con una masa más grande. Anoten los resultados en la tabla 1. T (ms) x0 (mm) Práctica de laboratorio N•2 Material: K (N·m–1) m=................. m=................. Tabla 1 6. A partir del valor del período T, deduzcan el valor de la constante elástica K (determinación dinámica). Cuestiones: • ¿Se cumple el principio de conservación de la energía mecánica para la masa m? Señala las posibles fuentes de error en la realización de la experiencia. • ¿Coinciden los valores de K calculados mediante las determinaciones estática y dinámica? ¿Cuál de estos valores crees que es más iable? • A partir de los valores que has medido, ¿cómo deducirías el valor de la velocidad de la masa m en un punto cualquiera x situado entre x1 y x2? Prohibida su reproducción Comparen este valor con el obtenido mediante la determinación estática. 89 ZONA SOCIEDAD http://goo.gl/oKJ4uK Fenómenos de resonancia ¿Sabías que el puente de Tacoma Narrows fue destruido por un viento que no era demasiado fuerte? Sucedió en 1940, en Washington, y la causa fueron las vibraciones resonantes inducidas por el viento. Puente destruido Tacoma Narrows 1940 ¿Sabías que existen pavimentos capaces de destrozar los amortiguadores de un coche sin ser excesivamente accidentados? Los amortiguadores de los coches constan de un émbolo que se mueve verticalmente por el interior de un cilindro lleno de aceite, un líquido prácticamente incompresible. Se sitúan dentro de un muelle elástico de acero que ija la rueda a la estructura del automóvil. Por ello, un pavimento capaz de hacer entrar en resonancia a los amortiguadores es especialmente perjudicial. ¿Sabías algunos insectos mueven sus alas 120 veces por segundo y, sin embargo, sólo envían tres impulsos nerviosos cada segundo? 90 https://goo.gl/nRf6p9 Prohibida su reproducción Para conseguirlo, envían los impulsos nerviosos con la frecuencia adecuada al movimiento natural de las alas, es decir, ambas frecuencias están en resonancia. ¿Sabías que una cantante puede romper una copa de cristal con su voz? Para lograrlo, le basta escoger una nota que haga entrar en resonancia a la copa y mantenerla el tiempo suiciente. La copa oscilará cada vez más ampliamente hasta romperse. http://goo.gl/KJ4N9J iOw n8H .gl/ oo ://g http Cuando la rueda encuentra un obstáculo, el muelle se comprime. El amortiguador absorbe su sacudida y frena su movimiento de vibración impidiendo que se comprima y se distienda más de una vez. 2 Ecuaciones del MAS x = A se n (ωt + ϕ0 ) Movimiento vibratorio armónico simple v = A ω co s (ωt + ϕ0 ) ; v =±ω Resumen A 2 −x 2 2 a = −A ω se n (ωt + ϕ 0 ) ; a = −ω 2x Relaciones entre las magnitudes del MAS 2π 1 T = ;f = ω T → → Fuerza recuperadora en la dirección del eje X: F = -Kxi 1 1 KA 2 co s 2 (ωt +ϕ0 ) ; Ep = KA 2 se n 2 (ωt + ϕ0 ) 2 2 1 Ec máx = Ep máx =E = K A 2 2 Ec = m ω 2 = K ; T =2π≠ Relaciones: Péndulo simple: Relación entre longitud de onda, velocidad y período T = 2π ≠ m K L g ; ω= g L   λ = λf v = T   — Propagación en el sentido positivo del eje OX: t x y = A se n 2π − = A s en (ωt −k x ) Ondas armónicas Función de onda (onda que vibra en la dirección del eje OY) T λ — Propagación en el sentido negativo del eje OX: y = A sen 2π t x + T › = A sen (ω t +k x ) — Número de ondas: k = Velocidad en sólidos, líquidos y gases  Q š  v s = d ;v l = d ;v g =  Nivel de intensidad sonora    2π λ γP d Ondas sonoras β = 10 log I ; I 0 = 1 ⋅10 −12 W ⋅ m −2 I0 = γRT M Prohibida su reproducción Oscilador armónico simple 91 Para finalizar 1 Enuncia el principio de Huygens y di si es aplicable a las ondas electromagnéticas. 2 Di en qué consiste la difracción de las ondas y pon algún ejemplo. ¿Es cierto que la difracción sólo se produce en ondas transversales? 3 Podemos oír la conversación que mantienen unas personas aunque estemos separados de ellas por la esquina de un ediicio. Pero no podemos oírla si nos situamos detrás de una casa y ellas están en la fachada. Explica la razón. 4 Enuncia el concepto de índice de refracción y las leyes de la refracción. 5 Una onda sonora plana penetra desde el aire al agua formando cierto ángulo con la normal. Razona si la onda refractada se acercará a la normal o se alejará de ésta. 6 Cierta onda que se propaga por una cuerda tensa se releja en la pared a la que está ijada. La onda relejada, ¿está en fase con la incidente o en oposición de fase? Si la ecuación de la onda incidente es y = 0,02 sen (50 t − 3 x), escribe la ecuación de la onda relejada. 7 Deine: polarización; polarización rectilínea, circular y elíptica. ¿Cómo podrían lograrse con una cuerda tensa y ija por un extremo estos tres tipos de polarización? 8 Indica razonadamente si son verdaderas o falsas estas airmaciones: a. la interferencia entre ondas procedentes de dos fuentes en fase es constructiva en cualquier punto del espacio; b. dos fuentes desfasadas 180o son incoherentes. 9 Prohibida Prohibida su su reproducción reproducción 10 92 Representa una gráica que muestre las pulsaciones en un punto en función del tiempo y sobre ella indica: a) el período de la onda resultante; b) el período de las pulsaciones. 13 Relexiona sobre si el efecto Doppler en la luz tiene algún efecto visible. 14 Nos hallamos en una barca en el mar entre un barco y los acantilados de la costa. Si tardamos 8 segundos en oír el sonido procedente de una explosión en el barco y 12 segundos en oír el eco procedente de los acantilados, ¿a qué distancia nos encontramos del barco y de la costa? 15 Una onda de frecuencia 225 Hz pasa de un medio donde se propaga a 120 m∙s-1 a otro donde viaja a la velocidad de 210 m∙s-1. Calcula: a. el índice de refracción del segundo medio respecto del primero; b. las longitudes de onda en cada uno de ellos. 16 Dos ondas armónicas de la misma frecuencia, f = 50 Hz, y la misma amplitud, A = 2 cm, que se propagan a 100 cm∙s-1, llegan a un mismo punto P que dista 5 cm y 9 cm de dos focos coherentes. Calcula la ecuación del movimiento vibratorio producido en el punto P. 17 Dos focos emisores envían ondas sonoras coherentes de 100 Hz con la misma amplitud. En un punto P que dista de cada foco 83,4 m y 80 m, se ha situado un aparato registrador de sonido. Sabiendo que la velocidad de las ondas es de 340 m/s, determina si el aparato registrará sonido cuando interieren en él las ondas procedentes de los dos focos. 18 Las frecuencias de dos diapasones son 380 Hz y 374 Hz. Si vibran al mismo tiempo, calcula la frecuencia de la pulsación y la frecuencia de la onda resultante de la interferencia. Dos violinistas separados dos metros tocan la misma nota. ¿Existirán puntos en la habitación donde, a causa de la interferencia, no se oiga? 11 Si una cuerda está vibrando con seis vientres, algu- nos puntos de ella pueden tocarse sin perturbar su movimiento. ¿Cuántos son? 12 Razona si es correcto o no: Cuando una cuerda de violín se pulsa con el arco, vibra con una única frecuencia, que es la fundamental. Un tubo abierto por los dos extremos da el mismo sonido fundamental que un tubo cerrado por un extremo de longitud la mitad. ¿Por qué? 19 La interferencia de las ondas de ecuaciones y1 = 2 sen (1500 t − 250 x) e y2 = 2 sen (1500t + 250 x), en el SI, da lugar a una onda estacionaria. Calcula: a. la ecuación de esta onda; b. la distancia entre dos antinodos consecutivos. 20 Justiica si en un MAS la aceleración y el vector de posición pueden tener el mismo sentido. ¿Y la aceleración y la velocidad? ¿Y la velocidad y el desplazamiento? 28 Una partícula inicia un MAS en el extremo de su trayectoria, en el sentido de los desplazamientos positivos, y tarda 0,1 s en llegar al centro de ésta. Si la distancia entre los dos extremos de la trayectoria es 0,2 m, calcula: a. el período del movimiento; b. la pulsación; c. la posición de la partícula 1 s después de iniciado el movimiento. 29 Colgamos una masa puntual de 5 kg de un resorte elástico cuya constante elástica tiene un valor K = 500 N/m. Una vez el conjunto está en equilibrio, desplazamos la masa 10 cm y la dejamos oscilar libremente. Determina: a. la ecuación del MAS que describe el movimiento de la masa puntual; b. las posiciones de la masa en las que su aceleración es nula. c. Haz un análisis cuantitativo de los cambios que experimenta la energía del oscilador. 30 Se hace vibrar una cuerda de 4,2 m con oscilaciones armónicas transversales perpendiculares a la cuerda. Si f = 300 Hz, A = 10 cm y las ondas generadas tardan 0,02 s en llegar al otro extremo de la cuerda, determina: a. la ecuación de onda; b. la longitud de onda, el período y la velocidad de transmisión de la onda; c. el desplazamiento, la velocidad y la aceleración máximos transversales. 31 Desde un punto situado en un medio homogéneo e isótropo se transmiten ondas esféricas. Si la potencia del foco emisor es de 5 W, calcula la intensidad de la onda a 3 m del foco. 32 En una competición deportiva, 1000 espectadores gritan al mismo tiempo con un nivel de intensidad sonora de 90 dB cada uno. Calcula el nivel de intensidad sonora del conjunto. 21 Determina el valor de la elongación de un MAS en el instante en que su velocidad tiene la mitad de su valor máximo. Expresa el resultado en función de la amplitud, A. 22 Explica cómo varía la energía de un oscilador lineal en los siguientes casos y justiica tu repuesta: a. Se duplica la amplitud. b. Se duplica la frecuencia. c. Se duplica la amplitud y se reduce la frecuencia a la mitad. 23 Determina la relación entre los períodos de dos péndulos con la misma masa y que oscilan en el mismo sitio, si uno de ellos tiene el doble de longitud que el segundo. 24 Deine onda longitudinal y onda transversal. Pon un ejemplo de cada una de ellas e indica en cada caso la magnitud que se propaga y sus características. 25 Di cuál es el signiicado físico de la fase inicial, ϕ0, de la función de onda. Elige la opción que creas correcta y justifícala. 26 Un vibrador produce ondas en la supericie de un estanque a intervalos regulares de tiempo. Si se ajusta el vibrador de modo que produzca un número triple de ondas por segundo, en este caso las ondas: a. se propagan con triple velocidad; b. se propagan con un tercio de la velocidad; c. tienen longitud de onda triple; d. tienen un tercio de la longitud de onda. 27 La ecuación de una onda transversal en una cuerdaes y (x, t ) = 0,02 sen π (20 t + 2 x ), en unidades SI. Determina la aceleración en función del tiempo para un punto situado en x = -0,3 m. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 93 3 Campos eléctricos y magnéticos contenidOS: Prohibida su reproducción 1. Fuerzas eléctricas 1.1. Carga eléctrica 3.1. Fuentes del magnetismo 1.2. Ley de Colulomb 3.2. Explicación del magnetismo natural 2. Estudio del campo eléctrico 4. Estudio del campo magnético 2.1. Descripción del campo eléctrico 4.1. Descripción del campo magnético 2.2. Determinación del campo eléctrico 4.2. Representación del campo magnético 4.3. Fuentes del campo magnético https://goo.gl/tKF0go 94 3. Magnetismo Película: En el presente video tendrás la oportunidad de conocer las disímiles aplicaciones de los imanes y electroimanes en la ciencia, la técnica y la vida cotidiana. https://goo.gl/tpambF Luego de observar el video responde: 1. ¿Cómo se construye un electroimán? 2. Menciona algunas de las aplicaciones del magnetismo en la ciencia y en la técnica. Prohibida su reproducción En contexto: 95 1. Fuerzas eléctricas Las fuerzas eléctricas están presentes, de forma directa o indirecta, en la mayoría de nuestras actividades diarias: cuando usamos la luz eléctrica para iluminarnos o el frigoríico para conservar los alimentos, o cuando viajamos en transportes accionados por motores eléctricos. B Bombilla de bajo consumo. IÉN y también: Los cuerpos cargados eléctricamente por frotamiento pierden su carga después de un cierto tiempo. Además, la descarga es más rápida en ambientes húmedos. Esto es debido a que los electrones en exceso de un objeto con carga negativa son atraídos por las cargas positivas de las moléculas de agua presentes en el aire. Por el contrario, los objetos con carga positiva toman los electrones ligados débilmente de las moléculas de agua. El agua es una molécula polar O 2– Prohibida su reproducción H+ H+ A A T T T G G T G C A C C G A 1.1. Carga eléctrica La carga eléctrica de un cuerpo tiene su origen en la estructura atómica de la materia. La corteza del átomo está formada por electrones, partículas con carga negativa, mientras que el núcleo del átomo está formado por protones, partículas con carga positiva del mismo valor absoluto que la carga del electrón, y neutrones, sin carga eléctrica. En condiciones normales, los cuerpos son neutros porque tienen el mismo número de protones y electrones. Sin embargo, algunos átomos se desprenden fácilmente de sus electrones más externos adquiriendo carga eléctrica. La electrización es el proceso por el que un cuerpo adquiere carga eléctrica. El ADN Las moléculas de ADN, que constituyen el material genético de un individuo y son esenciales en la síntesis de proteínas, están formadas por dos cadenas (doble hélice) que se mantienen unidas por las fuerzas eléctricas de los puentes de hidrógeno. C Es más, las fuerzas eléctricas son responsables de una gran diversidad de fenómenos naturales. La elasticidad de una goma de borrar o la viscosidad del aceite son el resultado de fuertes interacciones eléctricas entre sus átomos y moléculas. También los procesos químicos, como la formación de enlaces o el metabolismo de nuestro propio cuerpo, son gobernados por fuerzas eléctricas. A T Por ejemplo, cuando frotamos una varilla de vidrio con un pañuelo de seda, una pequeña fracción de electrones del vidrio pasa al pañuelo, que queda con carga negativa, mientras que el vidrio queda con carga positiva. También el ámbar y otras resinas se cargan negativamente al ser frotadas con lana. Varilla de vidrio + + + + + + + + + – – – + – – – – – – – – – – – – – – – – – Pañuelo de seda 96 –– – – Varilla de plástico –– –– –– – – –– + + –– + + + – + + + + + + + + + Paño de lana Propiedades de la carga eléctrica Conservación de la carga eléctrica Cuantización de la carga eléctrica Al frotar un bolígrafo de plástico con un paño de lana no se crea una carga eléctrica neta. Algunos electrones pasan del paño al bolígrafo, de modo que el número de electrones en exceso en el bolígrafo es justamente el número de electrones que faltan en el paño. El bolígrafo adquiere una cierta carga negativa y el paño, la misma carga pero positiva. En 1909, Robert Millikan (1868-1953) conirmó que la carga eléctrica siempre se presenta en paquetes discretos, como un múltiplo entero de cierta carga e. Decimos que la carga eléctrica está cuantizada. q1 = 0 q1′ q2 = 0 Situación inicial: q1 + q 2 = 0 e q 2′ Situación final: q1′ + q 2′ = 0 En todo proceso la carga eléctrica total permanece constante. Cualquier carga eléctrica es un múltiplo entero de una unidad elemental de carga. Esta unidad elemental es justamente la carga del electrón, cuyo valor absoluto denotamos por e. Experimentalmente no se ha encontrado todavía ninguna carga libre de valor 2 1 eó− e 3 3 Sería natural, por tanto, utilizar el valor de e como unidad para medir la carga eléctrica de un cuerpo. Sin embargo, su uso sería bastante incómodo debido a su valor tan pequeño. En el Sistema Internacional, la unidad de carga eléctrica es el culombio, C, que se relaciona con la unidad elemental de carga de esta manera: e = 1,602 ⋅10 −19 C En cambio, las cargas en movimiento pueden ser de mayor magnitud. Por ejemplo, por el ilamento de una bombilla típica de 220 V y 60 W circulan 0,27 C cada segundo. B La conservación de la carga es, pues, un principio tan importante como el principio de conservación del momento lineal o el de conservación de la energía. El culombio es una unidad muy grande para medir cargas eléctricas en reposo. Las experiencias de electrización por frotamiento dan lugar a cargas del orden de nanoculombios (1 nC = 10-9 C). Esto puede darnos una idea de la magnitud de un culombio. 3. Describe varios ejemplos de procesos físicos que pongan de maniiesto el principio de conservación de la carga eléctrica. 4. Responde: a. ¿Cuántos electrones equivalen a una carga de −39 C? b. ¿Cuántos culombios equivalen a una carga de 4 ∙ 1020 electrones? 5. Además del frotamiento, existe otro tipo de electrización denominado inducción electrostática. Investiga en qué consiste y redacta un informe. 6. Investiga por qué algunos camiones que transportan productos inlamables arrastran una cadena metálica. y también: https://goo.gl/jpo57i 2. Probablemente habrás observado que al peinarte tu peine atrae algunos cabellos. Interpreta este hecho. Actividades 1. Explica de dónde procede la carga eléctrica de los cuerpos. ¿Por qué unos cuerpos se cargan positivamente y otros negativamente? IÉN El físico inglés J. J. Thomson (1856 - 1940) descubrió el electrón en 1897. En 1906 recibió el premio Nobel por su trabajo. Su hijo, G. P. Thomson (18921975), recibió también el premio Nobel en 1937 por la demostración experimental de que el electrón, en ciertas circunstancias, presenta un comportamiento ondulatorio. Prohibida su reproducción La carga eléctrica se conserva en todos los procesos físicos observados, incluidos aquellos que implican creación o desintegración de partículas. Así, en ciertos procesos radiactivos, el neutrón se desintegra dando lugar a un protón, un electrón y otra partícula neutra, el neutrino, conservándose la carga eléctrica. 97 B 1.2. Ley de Coulomb En 1785, Charles Augustin de Coulomb enunció la ley que expresa el valor de la fuerza que se ejercen mutuamente dos cargas eléctricas: IÉN y también: Para simpliicar fórmulas posteriores, la constante K suele escribirse en la forma: K = La fuerza de atracción o repulsión entre dos cargas eléctricas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa. 1 ε = constante dieléctrica o permitividad 4 πε La constante dieléctrica del vacío se denota por ε0 y su valor es: ε0 = 8,854 ⋅ 10 -12 C 2 ⋅ N-1 ⋅ m -2 Para otros medios materiales se acostumbra a expresar: ε = ε 0ε r ε = constante dieléctrica relativa La constante εr es una magnitud sin dimensiones característica de cada medio. Cuanto mayor es εr (y por tanto menor es K), más débiles son las interacciones electrostáticas. En el vacío εr = 1. Sustancia εr Agua 80 Aire 1 Azufre 4 Madera 2–8 Porcelana 6–8 Vidrio 4 – 10 Constantes dieléctricas relativas de algunas sustancias a 20 °C.   Q F21 u 2 1 +  Q Q F 21 = K 1 2 r http://goo.gl/nfC5LZ Prohibida su reproducción 98 u1  Q Q F 12 = K 1 2 r 2  u1 Q 1 y Q 2 = cargas eléctricas. r = distancia entre las cargas. → u1 = vector unitario en la dirección de la recta de unión de las cargas y sentido de Q 1 a Q 2. → u2 = vector unitario en la dirección de la recta de unión de las cargas y sentido de Q 2 a Q 1. → F21 = fuerza ejercida por Q 2 sobre Q 1. K +  u2 → F12 = fuerza ejercida por Q 1 sobre Q 2. = constante de proporcionalidad cuyo valor depende del medio. En el vacío y en el aire es igual a 9⋅109 N⋅m2 ⋅ C-2. Esta constante también depende del sistema de unidades usado. Las fuerzas eléctricas tienen las características siguientes: — La fuerza está dirigida → a lo largo de la recta de unión de → las cargas. La fuerza es→repulsiva si las cargas son del mis→ mo signo (los vectores F12 y u1 tienen el mismo sentido, al igual que los vectores F21 y u2). En cambio, si las dos cargas son de signo contrario, estos vectores tendrán sentidos contrarios. Así, dos cargas de distinto signo se atraen. — Son fuerzas a distancia, no es preciso que exista ningún medio material entre las cargas para que dichas fuerzas actúen. — Siempre se presentan a pares, como airma el principio → → de acción y reacción. Esto es, las fuerzas F12 y F21 tienen igual módulo y dirección pero sentidos opuestos.   F12 = −F 21 Ch. A. de Coulomb. 2  F12 Q2  r → → F 12 = F 21 =K — Experimentalmente comprobamos que las fuerzas eléctricas veriican el principio de superposición. En el caso de tener tres o más cargas eléctricas puntuales, la fuerza resultante sobre una de ellas es la suma vectorial de todas las fuerzas que las demás cargas ejercen sobre ésta. Q1 Q Q1 +  F21 Q2 – 2 r2  F1    F1 = F21 + F31  F31 Q3 – UE 2. Estudio del campo eléctrico NT Ten en cuenta que: T Una carga eléctrica, simplemente con su presencia, perturba el espacio que la rodea creando a su alrededor un campo de fuerzas que recibe el nombre de campo eléctrico. Interacción entre cargas eléctricas en movimiento Considera dos cargas, Q y q, separadas una gran distancia. Si ahora movemos Q rápidamente, la carga q se verá afectada por dicho movimiento. Pero esta interacción necesita cierto tiempo para propagarse. Por tanto, la carga q se verá afectada con un cierto retraso. Este retraso diiculta la interpretación de que las cargas interaccionan instantáneamente a distancia, como nos sugiere la ley de Coulomb. De hecho, esta ley no es válida para cargas en movimiento rápido. En este caso el campo eléctrico nos ofrece una interpretación más adecuada de la interacción entre cargas eléctricas. Llamamos campo eléctrico a la perturbación que un cuerpo produce en el espacio que lo rodea por el hecho de tener carga eléctrica. Cuando otra carga eléctrica se sitúa en esta región del espacio, interacciona con el campo y experimenta una fuerza eléctrica. 2.1. Descripción del campo eléctrico Los campos eléctricos se describen mediante dos magnitudes fundamentales: una vectorial, la intensidad del campo eléctrico, y otra escalar, el potencial eléctrico. Intensidad del campo eléctrico Para describir un campo eléctrico asignamos a cada punto del espacio un vector que denominamos intensidad del campo eléctrico. → La intensidad del campo eléctrico, E, en un punto del espacio es la fuerza que actuaría sobre la unidad de carga positiva situada en ese punto. La unidad de la intensidad del campo eléctrico en el SI es el newton por culombio (N/C). La deinición anterior nos permite calcular el campo eléctrico creado por una carga puntual Q. Para ello colocamos una carga de prueba q en un punto P del espacio situado a una distancia r de la carga Q. El campo eléctrico en ese punto será la fuerza por unidad de carga. → Donde u es un vector unitario en la dirección de la recta de unión de la carga Q con el punto P y con sentido de la carga Q al punto P. —Es radial y disminuye con el cuadrado de la distancia, por lo tanto se trata de un campo central. —Su sentido depende del signo de Q. Si la carga es negativa, el campo eléctrico se dirige hacia la carga; si es positiva, se aleja de ésta. La fuerza eléctrica sobre una carga q situada en un punto en que la intensidad del campo eléctrico es→E se expresa:  Q  E =K r2 Q Q + – r P  u  E  E r  u P Prohibida su reproducción Como podemos observar, el campo eléctrico creado por una carga puntual Q tiene las siguientes propiedades: u 99 Ejemplo 1 Calcula el campo eléctrico creado por una carga Q = +2 µC en un punto P situado a 30 cm de distancia en el vacío. Calcula también la fuerza que actúa sobre una carga q = -4 µC situada en el punto P. Q = + 2 ⋅ 10-6 C P +  u  E r = 0,3 m — Calculamos el campo eléctrico en el punto P:  N Q   N ⋅ m 2 2 ⋅ 10 −6 C  E = K 2 u ; E =9 ⋅ 10 9 ⋅ u = 2 ⋅10 5 u C r (0 , 3 m )2 C2 — Calculamos la fuerza eléctrica que actúa sobre q:    N  F = q E =−4 ⋅10−6 C ⋅ 2 ⋅ 10 5 u = −0, 8u N C Ejemplo 2 La fuerza es atractiva, como corresponde a dos cargas de signo contrario. Su módulo es F = 0,8 N. Dos cargas puntuales, Q1= +1 µC y Q2= +3 µC, están situadas en el vacío a 50 cm una de otra. Calcula el campo eléctrico en un punto P situado sobre el segmento que une las dos cargas y a 10 cm de Q1. Q1 = +1 ⋅ 10-6 C u2  u1   E2 P E1 r1 = 0,1 mr2 = 0,4 m + Q2 = +3 ⋅ 10-6 C + — Calculamos el campo eléctrico creado por Q1 en P:  N ⋅ m 2 1 ⋅ 10−6 C  Q  ⋅ E 1 = K 21 u 1 =9 ⋅ 10 9 u1 (0 ,1 m )2 r1 C2  5  E 1 = 9 ⋅10 u 1 N/C Prohibida su reproducción 100 8. Calcula el campo eléctrico creado por una carga de +4 µC a una distancia de 50 cm si: a. el medio exterior a la carga es el vacío; b. el medio exterior es el agua. 9. Determina a qué distancia de una carga puntual de 120 nC situada en el vacío la intensidad del campo eléctrico es de 6 750 N/C.  N ⋅ m 2 3 ⋅ 10−6 C  Q  E 2 = K 22 u 2 =9 ⋅ 10 9 ⋅ u2 (0 , 4 m )2 r2 C2   E 2 = 1, 7 ⋅10 5 u 2 N/C El campo eléctrico resultante en el punto P es la → → suma vectorial de E1 y E2. Para hallarlo tendre→ mos en cuenta que → u2 = −u . 1      E = E 1 +E 2 = 9 ⋅10 5 u1 N/C + 1,7 ⋅10 5 u 2 N /C    E = 9 ⋅ 10 5 u1 N/C −1,7 ⋅ 10 5 u1 N /C   E = 7, 3 ⋅10 5 u 1 N/C Su módulo es E = 7,3 ⋅ 105 N/C. 10. Dos cargas eléctricas puntuales de +3 µC y -2 µC están separadas 40 cm en el vacío. Calcula el campo eléctrico en el punto medio del segmento que las une. 11. Dos cargas puntuales, Q1 = +4 µC y Q2 = +1 µC, están separadas 30 cm en el vacío. Calcula el campo eléctrico en un punto del segmento que une las cargas situado a 12 cm de Q1. —Determina la fuerza que actúa sobre una carga Q3 = −0,5 μC situada en dicho punto. Actividades 7. Di cómo varía la intensidad del campo eléctrico creado por una carga puntual con la distancia. Dibuja una gráica que represente dicha variación. Calculamos el campo eléctrico creado por Q2 en P: UE Potencial eléctrico Una vez acercadas las cargas, podríamos recuperar fácilmente el trabajo realizado. Bastaría dejarlas libres y aprovechar su movimiento. Decimos que el trabajo realizado sobre las cargas al acercarlas ha aumentado su energía potencial eléctrica. Ten en cuenta que: T Si queremos acercar dos cargas positivas, debemos realizar un trabajo contra las fuerzas eléctricas de repulsión entre las cargas. Este trabajo no depende del camino seguido para acercar las cargas, sino que sólo depende de sus posiciones iniciales y inales. Decimos que el campo eléctrico es conservativo. NT Energía potencial de un sistema de cargas Deinimos la energía potencial de un sistema de cargas ijas como el trabajo que debemos realizar contra el campo para formar el sistema, trasladando cada carga desde una distancia ininita hasta la posición inal que ocupa. De este modo, la energía potencial eléctrica del sistema de tres cargas de la igura es: La diferencia de energía potencial eléctrica de una carga entre un punto A y otro punto B es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico para trasladar dicha carga de A a B. Ep A − Ep B Q2 B   = ⌠ F ⋅d r ⌡ A + Usando esta expresión general podemos calcular la energía potencial eléctrica de una carga puntual q en el campo eléctrico creado por otra carga puntual Q situada a una distancia r. B r12 B    Qq  Ep A − Ep B =⌠ F ⋅ d r = ⌠ K 2 u ⋅ d r r ⌡ ⌡ A A r23 + r13 + Q1 Q3 Como el trabajo no depende del camino seguido, escogemos una trayectoria radial para simpliicar los cálculos:      u ⋅ d = u ⋅ d r co s 0 ϒ = d r =d r Ep B De donde: Ep = K B A Q  u q + + A dr B r Qq +C r La constante C es arbitraria y depende de la elección del origen de energía potencial. Generalmente, asignamos el valor cero de energía potencial a los puntos situados a distancia ininita de la carga que crea el campo (r → ∞). Con esta elección obtenemos C = 0 y la energía potencial eléctrica resulta: Ep = K Qq r Observa que esta expresión coincide con la del trabajo si colocamos el punto B en el ininito. Esto nos permite dar una interpretación física de la energía potencial eléctrica: La energía potencial eléctrica de una carga q en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la carga q desde dicho punto hasta el ininito. Prohibida su reproducción Ep A B 1 ⌠ dr = K Q q − 2 r ⌡ A r Qq Qq K −K rB rA 101 B IÉN y también: Relación entre el campo y el potencial eléctricos: B   V A −V B =⌠ E ⋅ d r ⌡ A En el caso de que existan varias cargas puntuales, se cumple el principio de superposición: El potencial eléctrico resultante es igual a la suma de los potenciales debidos a cada una de las cargas. n V = Σ V i =V 1 +V 2 +... Otra magnitud fundamental en la descripción del campo eléctrico es el potencial eléctrico. Éste representa la energía potencial de la unidad de carga positiva situada en un punto del campo eléctrico. La diferencia de potencial eléctrico entre un punto A y otro punto B es igual al trabajo realizado por el campo eléctrico al trasladar la unidad de carga positiva de A a B: B   V A −V B =⌠ E ⋅ d r ⌡ A Calculemos esta diferencia en el caso del campo eléctrico creado por una carga puntual Q. B i =1 UE r Q NT Ten en cuenta que: T Una unidad que se utiliza con frecuencia en electrónica y física atómica es el electrón-voltio. No es una unidad de potencial eléctrico sino de energía. Un electrón-voltio, eV, se deine como la energía que adquiere un electrón que es acelerado por una diferencia de potencial de 1 voltio. 1 eV = 1,602 ⋅ 10  dr  u B  B   Q  V A −V B =⌠ E ⋅ d r = ⌠ K 2 u ⋅ d r r ⌡ ⌡ A A El electrón-voltio -19 + A J Elegimos una trayectoria radial: œ ⋅ d r   B dr 1 V A −V B =KQ ⌠ 2 = KQ − r r ⌡ A B A  = œ ⋅ d r co s 0 ϒ= d r = d r =K Q Q −K rA rB Si asignamos un valor cero de potencial a los puntos situados a distancia ininita de la carga Q (r → ∞), obtenemos: V =K Q r Observa que esta expresión coincide con la del trabajo por unidad de carga si colocamos el punto B en el ininito. De aquí deducimos la interpretación física del potencial eléctrico: El potencial eléctrico en un punto del espacio es el trabajo que realiza el campo eléctrico para trasladar la unidad de carga positiva desde dicho punto hasta el ininito. Prohibida su reproducción La unidad de potencial eléctrico y de diferencia de potencial eléctrico en el SI es el J/C y recibe el nombre de voltio (V). 102 Si en lugar de la unidad de carga positiva se traslada una carga eléctrica q de A a B, el trabajo realizado por el campo eléctrico será: W = q (VA - VB ) La energía potencial eléctrica de una carga en un punto del espacio se relaciona con el potencial eléctrico en dicho punto de esta manera: Ep = qV B IÉN y también: Distribuciones discretas de carga: formadas por cargas eléctricas puntuales aisladas. 2.2. Determinación del campo eléctrico Hemos visto cómo hallar el campo eléctrico creado por una carga puntual y que para calcular el creado por una distribución discreta de cargas aplicamos el principio de superposición. Ahora bien, ¿cómo calculamos el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga eléctrica? Distribuciones continuas de carga: la carga eléctrica se distribuye por todo el espacio sin dejar huecos. A escala microscópica, la carga está cuantizada, pero a veces muchas cargas están tan próximas que pueden considerarse distribuidas de forma continua. De la misma manera que utilizamos el teorema de Gauss para determinar el campo gravitatorio de cuerpos con cierto volumen, como una esfera maciza, este teorema nos permite determinar el campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga con algunas simetrías sencillas. Las distribuciones homogéneas se caracterizan por su densidad de carga: Antes de enunciar el teorema de Gauss, es necesario introducir una magnitud llamada lujo eléctrico. Densidad de carga volúmica, ρ= Q Densidad de carga supericial, El lujo del campo eléctrico o lujo eléctrico, Φ, a través de una supericie es una medida del número de líneas de campo que atraviesan dicha supericie. σ= Q S Densidad de carga lineal, λ= Q L Cálculo del lujo eléctrico Campo uniforme y superficie plana Campo variable y superficie cualquiera   Φ = E ⋅ S = E S co s α Ejemplo 3 El lujo eléctrico representa el número de líneas de campo que atraviesan la supericie S′, que es la proyección de S en la dirección perpendicular a las líneas de campo. S′ α α  E  S El lujo total a través de la supericie S se obtiene sumando todas las contribuciones: → dS R S  dS  E S Sustituimos el valor de E en la expresión del flujo eléctrico y tenemos en cuenta que sobre la esfera el valor de r es constante, r = R. Ÿ → E dS Φ =⌠d Φ ⌡ S   ⌠ Φ= E ⋅d S ⌡ S S Determina la expresión del lujo eléctrico de una carga eléctrica puntual Q a través de una supericie esférica de radio R centrada en la carga. +Q Dividimos la supericie S en pequeños elementos ininitesimales dS, y para cada uno de ellos deinimos su → correspondiente vector supericie dS, perpendicular a la supericie ininitesimal y de módulo dS. ⌠ E ¡ d S ⌡S ⌠ K Q u ¡ d S ⌡S r2    K  Q ⌠  u ¡dS 2 R ⌡S  El producto escalar es  ⋅ d ž =  ⋅ d ž cos  ; cos 0° ≈ dS y la integral se reduce al área de la esfera, S = 4 π R 2. Φ =K Q Q Q ⌠ 4 R2 = d S = K 2 S =K R R2⌡ S R2  Q =4 KQ =  ε0 Prohibida su reproducción → Deinimos el vector S como un vector perpendicular a la supericie S y de módulo igual al valor de esta supericie. El lujo eléctrico es igual al producto escalar: 103 B Teorema de Gauss y también: Como acabamos de ver en el ejemplo 3, el lujo eléctrico que atraviesa una supericie cerrada depende únicamente de la carga eléctrica total que hay en su interior y del medio en que se encuentra. Este resultado se recoge en el teorema de Gauss: Observa en la siguiente gráica el continuo intercambio de energías: la Ep almacenada en el resorte se transforma continuamente en Ec y viceversa. La energía total E se mantiene constante. El lujo eléctrico a través de una supericie cerrada S es proporcional a la carga eléctrica neta Q que encierra la supericie. ¢ £ ⌠ E d S ⌡ ¤ £ IÉN E Q ε0 Aplicaciones del teorema de Gauss El teorema de Gauss nos permite determinar el campo eléctrico creado por distribuciones continuas de carga con una geometría sencilla. Para ello aplicamos el teorema de Gauss → sobre una supericie escogida de manera que el vector E pueda extraerse de la integral. 1 2 Kx 2 Ep = 1 mv 2 2 Campo creado por una distribución esférica de carga en el exterior — El plano cargado se caracteriza por su densidad — La esfera, de radio R, tiene una carga Q distribuida uniformemente. — Por simetría, el campo es radial y sólo depende de la distancia r al centro de la esfera. — Elegimos como supericie de Gauss, SG, una esfera concéntrica con la distribución de carga, de radio r > R. — Calculamos el lujo eléctrico a través de SG. Sobre la supericie de Gauss el campo eléctrico → E tiene módulo constante y dirección paralela → a dS. — Por simetría, las líneas de campo son paralelas entre sí y perpendiculares al plano. — Elegimos como supericie de Gauss, SG, un paralelepípedo perpendicular al plano. — Calculamos el lujo eléctrico a través de SG. Sólo contribuyen al lujo eléctrico las caras paralelas al plano, S1 y S2. El lujo a través de las otras caras → → es nulo porque E y dS son perpendiculares.   Φ = ⌠ E d S =⌠ E d S + ⌠ E d S ⌡ ⌡ ⌡ S S S Φ = ES 1 + ES 2 = 2 ES G 1   Φ = ⌠ E ⋅ dS = ⌠ E ⋅ dS = ES ⌡ ⌡ S S 2 G  ⃖ Φ = 2 ES Q Φ= ε0 Q 2 ES = ε 0 ¥ ¦  E S2 G = E 4 r 2 G Aplicamos el teorema de Gauss: — Aplicamos el teorema de Gauss: SG  E Q ; E 4 r 2 ε0 ¦ Q ε0 E = 1 ⋅ 4 0 Q r2 El campo eléctrico creado por un plano ininito de carga es uniforme. El campo eléctrico creado por una distribución esférica de carga en un punto exterior es el mismo que crearía una carga puntual Q situada en el centro de la esfera. 12. Determina el flujo eléctrico a través de una superficie esférica situada en el interior de un campo eléctrico uniforme. 13. Determina el campo eléctrico creado por una corteza esférica cargada uniformemente en el interior y en el exterior. Q E= 2Sε 0  S2 S S1  S1  dS SG + + + + + r R + + + Q+  E + + + Actividades Prohibida su reproducción Ep = t Campo creado por un plano infinito cargado uniformemente Q supericial de carga constante σ = . S 104 0 UE 3. Magnetismo En la actualidad, las aplicaciones del magnetismo continúan siendo muy importantes: almacenamos información en los discos magnéticos de los ordenadores y grabamos música en cintas magnéticas, generamos campos magnéticos para acelerar partículas y, a partir de éstas, creamos isótopos radiactivos con aplicaciones médicas… El magnetismo es también fundamental en el funcionamiento de televisores, altavoces y aparatos de medida eléctricos. 3.1. Fuentes del magnetismo Un imán es un cuerpo capaz de atraer fuertemente los objetos de hierro. Las propiedades magnéticas de los imanes son conocidas desde la Antigüedad. También sabemos, desde el siglo XIX, que las corrientes eléctricas presentan propiedades magnéticas como los imanes. Como veremos, las propiedades magnéticas de los imanes y de las corrientes eléctricas tienen un origen común: el movimiento de cargas eléctricas. Ten en cuenta que: T Entre los siglos XI y XII se extendió el uso de la brújula en la navegación. A diferencia del uso de cuadrantes y de la observación del Sol y otras estrellas, la brújula permitía una orientación precisa incluso con muy mal tiempo. En consecuencia, este instrumento magnético facilitó los viajes por mar durante los meses nubosos de invierno y ayudó a incrementar el comercio marítimo. NT El fundamento de la brújula La brújula es esencialmente una aguja imantada. El hecho de que una brújula indicase siempre la misma dirección fue, durante bastante tiempo, objeto de muchas supersticiones. Hasta que su uso se hizo sistemático, muchos capitanes de navío solían usar las brújulas en secreto para no despertar en su tripulación temores infundados. La explicación cientíica del funcionamiento de la brújula se consiguió en 1600, cuando William Gilbert (1544-1603) sugirió la hipótesis de que la Tierra es un gran imán con sus polos magnéticos cerca de sus polos geográicos. htt p:/ /g oo .gl /lB D2 QU Propiedades generales de los imanes El primer imán natural conocido fue la magnetita (tetraóxido doble de hierro(II) y dihierro(III): Fe3O4), un mineral bastante común en la región de Magnesia (Asia Menor). Según la tradición, fue descubierto por un pastor al acercar la punta de hierro de su bastón a una piedra de magnetita y comprobar cómo éste era atraído. También el hierro, el cobalto, el níquel o las aleaciones de dichos metales pueden convertirse en imanes artiiciales. Éstos son los imanes que usamos habitualmente. N N N S — El polo norte del imán se orienta hacia el Norte geográico de la Tierra y el polo sur del imán, hacia el Sur geográico. Si acercamos dos imanes distintos, observamos que polos de igual tipo se repelen y que polos de diferente tipo se atraen. S S N S N N S S N S — Todo imán presenta dos polos magnéticos. Así, si rompemos un imán por la mitad, no obtenemos un polo norte y un polo sur aislados, sino que obtenemos dos imanes más pequeños, cada uno de ellos con su pareja de polos norte y sur. Prohibida su reproducción En un imán, la capacidad de atraer al hierro es mayor en sus extremos o polos. Los dos polos de un imán reciben el nombre de polo norte y polo sur, debido a que un imán tiende a orientarse según los polos geográicos de la Tierra, que es un gran imán natural. 105 B IÉN y también: El sentido de la desviación de una aguja imantada en las proximidades de una corriente eléctrica depende del sentido de la corriente. Se determina mediante la regla de la mano derecha: Se sitúa la mano derecha con la palma dirigida hacia abajo sobre el hilo conductor, de forma que el dedo pulgar señale el sentido de la corriente eléctrica, los otros dedos señalan hacia donde se desvía el polo norte de la aguja. N S Experiencia de Oersted En 1820 se comunicó el descubrimiento de H. C. Oersted (1777-1851): una corriente eléctrica desviaba la aguja imantada de una brújula. corriente voltaje corriente voltaje c.c. c.v. c.c. c.v. Si por el alambre no circula corriente, la aguja indica su habitual dirección norte. Al hacer pasar una corriente, la aguja tiende a orientarse en la dirección perpendicular a ésta. La desviación es mayor cuando aumenta la intensidad de la corriente. Hasta la experiencia de Oersted los fenómenos eléctricos y magnéticos se estudiaban por separado. Esta experiencia puso de maniiesto que electricidad y magnetismo están estrechamente relacionados. Posteriormente, y gracias a los trabajos de A. M. Ampère (1775-1836) y J. C. Maxwell (1831-1879), se uniicaron la electricidad y el magnetismo en una teoría electromagnética. 3.2. Explicación del magnetismo natural Experiencias posteriores a la de Oersted conirmaron que las corrientes eléctricas producen los mismos efectos que los imanes. Prohibida su reproducción a Disposición de los dipolos magnéticos en un material no imantado 106 b Disposición de los dipolos magnéticos en un material imantado Ampère observó que las corrientes eléctricas se atraían o repelían entre sí y que podían atraer limaduras de hierro. En 1823, sugirió que el magnetismo natural era debido a pequeñas corrientes cerradas en el interior de la materia. En la actualidad, identiicamos esas pequeñas corrientes con el movimiento de los electrones en el interior de los átomos. Un electrón que gira alrededor del núcleo equivale a una corriente que produce los mismos efectos magnéticos que un pequeño imán. Por otro lado, los electrones giran sobre sí mismos produciendo efectos magnéticos adicionales. Podemos imaginar que en cualquier material existen muchos imanes de tamaño atómico. En la mayoría de los casos, estos pequeños imanes o dipolos magnéticos están orientados al azar y sus efectos se cancelan. Sin embargo, en ciertas sustancias, estos dipolos magnéticos están orientados en el mismo sentido. En tal caso, los efectos de cada dipolo magnético se suman formando un imán natural. 4. Estudio del campo magnético Las fuerzas magnéticas pueden ser debidas a corrientes eléctricas y a imanes. Como hemos visto, en ambos casos las fuerzas son originadas por cargas eléctricas en movimiento. Una carga eléctrica en movimiento, además de crear un campo eléctrico, crea una nueva perturbación del espacio que llamamos campo magnético. El campo magnético es la perturbación que un imán o una corriente eléctrica producen en el espacio que los rodea. Esta perturbación del espacio se maniiesta en la fuerza magnética que experimenta cualquier otra carga en movimiento dentro del campo magnético. También los imanes experimentan fuerzas magnéticas en los campos magnéticos. En cambio, una carga en reposo no experimenta fuerza magnética alguna. 4.1. Descripción del campo magnético Para determinar la intensidad del campo magnético se deine el vector campo magnético → o inducción magnética, B. Supongamos que en una región del espacio existe un campo magnético y que en ella situamos una carga de prueba q. Experimentalmente comprobamos que: — Si la carga está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre ella. — Si la carga se mueve con una velocidad → v, experimenta una fuerza magnética con las siguientes características: • Es proporcional al valor de la carga, |q| • Es perpendicular a la velocidad → v. • Su módulo depende de la dirección de la velocidad: si el vector → v tiene una cierta dirección, la fuerza magnetica es nula; si el vector → v es perpendicular a la dirección anterior, la fuerza magnética es máxima. A partir de lo anterior se deine el vector inducción magnética, B, en un punto del espacio: — Su dirección es la del movimiento de las cargas sobre las que la fuerza magnética es nula.  F + q  v  B α Regla de la mano derecha — Su módulo es: B = F q v | | sen α F = fuerza magnética v = velocidad de la carga → α = ángulo que forman los vectores → v y B. La unidad de inducción magnética en el SI es el tesla (T). La inducción magnética es de 1 T cuando la fuerza que actúa sobre una carga de 1 C, que se desplaza con una veloci→ dad de 1 m/s perpendicularmente a B, es de 1 N. Prohibida su reproducción — Su sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. Esta regla es aplicable a cargas positivas. Si la carga es negativa, la fuerza actúa en la misma dirección pero en sentido contrario. 107 B IÉN 4.2. Representación del campo magnético y también: La relación del tesla con otras unidades del SI es: 1T = N C ⋅ m ⋅ s −1 =1 N A ⋅m El tesla es una unidad bastante grande: el campo magnético terrestre es algo menor de 10-4 T y el de un potente imán es de unos 0,1 T. Por eso en muchos casos se utiliza como unidad el gauss (G). 1 G = 10−4 T Las líneas de inducción magnética nos permiten visualizar un campo magnético. Al igual que las líneas de campo eléctrico, estas líneas se trazan de modo que cumplen las condiciones siguientes: — En cada punto del espacio el vector inducción magnética, B, es tangente a las líneas de inducción y tiene el mismo sentido→que éstas. — La densidad de las líneas de inducción magnética en una región es proporcional al módulo de B en dicha región. Esto es, el campo magnético es más intenso en las regiones donde las líneas de inducción están más juntas. Sin embargo, las líneas de inducción magnética presentan importantes diferencias respecto a las líneas de campo eléctrico: — Las líneas de inducción no tienen principio ni in, pues son líneas cerradas. Así, en un imán, las líneas de inducción salen del polo norte del imán, recorren el espacio exterior, entran por el polo sur y continúan por el interior del imán hasta su polo norte. UE — Las líneas de inducción no nos indican la direc→ ción de las fuerzas magnéticas. Recuerda que estas fuerzas son siempre perpendiculares a B. N S Imán recto N S Imán de herradura NT Prohibida su reproducción T Ten en cuenta que: 108 Material: hilo conductor de cobre, de unos 60 cm de longitud, una cartulina, limaduras de hierro, una fuente de alimentación de 12 V. Procedimiento: — Haz un pequeño agujero en la cartulina y pasa por él el hilo conductor. Procura que, a ambos lados de la cartulina y a lo largo de una distancia de unos 25 cm, el hilo forme una línea recta perpendicular a la cartulina. — Con la cartulina en posición horizontal, esparce las limaduras Ι de hierro de forma uniforme alrededor del hilo. — Cierra el circuito conectando los extremos del hilo a la fuente. Resultados: Observa cómo las limaduras se ordenan alrededor del hilo formando circunferencias centradas en éste. Puedes obtener unas buenas iguras dando pequeños golpecitos a la cartulina. — Interpreta los hechos observados. — ¿Dónde son más claras las circunferencias, cerca o lejos del hilo? ¿Por qué? corriente voltaje c.c. c.v. 4.3. Fuentes del campo magnético La mayor parte de los campos magnéticos utilizados en la industria y en los laboratorios son creados por corrientes eléctricas que circulan a través de una bobina. En este apartado veremos cómo determinar el campo magnético creado por diferentes corrientes eléctricas. Campo magnético creado por un elemento de corriente: ley de Biot y Savart Consideremos un pequeño elemento de conductor de longitud dl, recorrido por una intensidad de corriente I, y calculemos su contribución al campo magnético en un punto cualquiera → del espacio. → B Para poder describir circuitos de distinta forma, asignamos a dl un carácter vectorial: es un vector con la dirección y el sentido de la intensidad de corriente en el elemento de conductor. → Llamamos elemento de corriente al producto Idl. → El campo magnético dB creado por un elemento de corriente Idl en un punto P del espacio viene dado por la ley de Biot y Savart:  dl Ι α  u  B  r  dB = 4 P µ 0 =constante de proporcionalidad que recibe el nombre de permeabilidad y cuyo valor en el vacío es: ⋅   Ι d l ×u r2 y también: Para representar un campo magnético perpendicular al papel y con sentido hacia fuera, utilizaremos un punto. Si el sentido es hacia dentro del papel, utilizaremos un aspa. → u =vector unitario en la dirección de la recta que une el elemento de conductor dl y el punto P, y con sentido de dl a P µ 0 = 4 π ⋅ 10−7 T⋅m⋅A−1 Ι = intensidad de la corriente → 0 IÉN a → B hacia fuera b → B hacia dentro r =distancia del elemento de conductor dl al punto P d l =elemento de conductor → El campo magnético dB creado por un elemento de corriente I dl en un punto P del espacio veriica las siguientes propiedades: → → → — La dirección de dB viene determinada por el producto vectorial I dl × u. Por tanto, el vector → → → dB es perpendicular a dl y también a u, y su sentido viene determinado por la regla de la mano derecha. dB = 4 ⋅ r2 α = ángulo entre los vectores dl y u → Para determinar el campo magnético B creado por un conductor C en un punto del espacio, lo descomponemos en elementos de corriente y sumamos todos los campos elementales.     Ι d l ×u B = ⌠ dB =⌠ 0 ⋅ r2 ⌡ ⌡ C C 4 Prohibida su reproducción → — El módulo de dB es directamente proporcional a la intensidad de la corriente I e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia r del elemento de conductor dl al punto P.  0 Ι d l se n α → → 109 B IÉN Teorema de Ampère y también: Las líneas de campo eléctrico comienzan en las cargas positivas y terminan en las negativas. Esta propiedad del campo eléctrico se releja en el teorema de Gauss, que dice que el número neto de líneas de campo que atraviesan una supericie cerrada es proporcional a la carga neta en su interior. + Q Φe = Q ε0 En cambio, las líneas de inducción magnética no empiezan ni terminan en ningún punto, sino que forman curvas cerradas. Por tanto, el número neto de líneas de inducción o lujo magnético a través de una supericie cerrada es siempre cero. IC S S TIC N Φm = 0 Comprueba el campo magnético generado por una corriente en la página: El teorema de Gauss relaciona el campo eléctrico con sus fuentes, las cargas eléctricas, y nos permite determinar el campo eléctrico para distribuciones de carga con simetría sencilla. Ahora queremos obtener un teorema que relacione el campo magnético con sus fuentes, las corrientes eléctricas. El teorema de Ampère nos permitirá determinar el campo magnético creado por algunas corrientes eléctricas de simetría sencilla. Antes de enunciar este teorema, es preciso introducir el concepto de circulación del campo magnético. Se llama circulación del campo magnético a la integral, a lo largo de una trayectoria cerrada, del producto → escalar del vector inducción magnética B, por el ele→ mento de trayectoria dl.   ⌠ B ⋅d l ⌡ C Como ejemplo, calcularemos la circulación del campo magnético creado por una corriente rectilínea de intensidad I a lo largo de una circunferencia de radio R centrada en el hilo conductor. Ι En este caso las líneas de inducción forman circunferencias concéntricas centradas en el hilo. Por tanto, los vecto→ → res B y dl son paralelos. Ade→ más, el módulo de B es constante sobre la circunferencia C y su valor es: B = Visita: http://goo.gl/wdp4eh Prohibida su reproducción  B  B  dl C  dl  B µ0Ι 2πr Calculamos la circulación del campo magnético: ⌠ ⌡   B ⋅d l =⌠ ⌡ C C B d l =B ⌠ ⌡ C d l =B 2 r = 0 Ι 2 r ⋅ 2 r = 0 Ι Observa que, en este caso, la circulación del campo magnético sobre la circunferencia C es igual al producto de µ0 por la intensidad de corriente IC que atraviesa la supericie limitada por C. El teorema de Ampère es la generalización de este resultado: La circulación del campo magnético sobre cualquier curva cerrada C es igual al producto de la permeabilidad µ0 por la intensidad de corriente eléctrica IC que atraviesa la supericie limitada por la curva cerrada C. ⌠ ⌡ 110  dl C   B ⋅ d l = 0 Ι C l — A partir de la expresión obtenida en el apartado anterior, calcula la inducción magnética en el interior de un solenoide de 400 espiras y 25 cm de longitud por el que circula una corriente de 2 A. — Por simetría, las líneas de inducción magnética en el interior del solenoide y lejos de sus extremos son rectas paralelas. En el interior del solenoide, el campo magnético es constante; en el exterior, es prácticamente nulo. Para aplicar el teorema de Ampère escogemos como trayectoria un rectángulo de lados a y b como se muestra en la igura. l En los lados del rectángulo perpendiculares al eje del solenoide, los vectores dl y B son perpendiculares, y por ello B ∙ dl = 0. Por tanto, la única contribución no nula a la circulación es la del segmento interior al solenoide y paralelo a su eje. I a ⌠ ⌡ C C b B   B ⋅ d l =B b La intensidad de corriente IC que pasa a través de la supericie limitada por el rectángulo es igual al número de espiras que atraviesan el rectángulo multiplicado por la intensidad de corriente I que recorre cada espira. N El número de espiras que atraviesan el rectángulo es igual a la densidad de espiras, , multiplicada por la l longitud b:  Aplicamos el teorema de Ampère: ⌠ B ⋅ d l = ⌡ 0 Ι C ; B b = φ0 Ι C =φ0 UE — Sustituyendo los valores numéricos, obtenemos: B = 4π ⋅10 − 7T N bΙ l B =φ0 N Ι l m 400 2 A = 4 ⋅ 10 −3T ⋅ A 0, 25 m NT Ten en cuenta que: T Validez del teorema de Ampère El teorema de Ampère sólo es válido para corrientes eléctricas continuas en el espacio. Un ejemplo de corriente no continua en el espacio es la descarga de un condensador conectando sus placas con un conductor. +Q −Q Interruptor Ι Resistencia La corriente eléctrica no es continua porque las cargas eléctricas no atraviesan el dieléctrico entre las placas del condensador. Para poder incluir estos casos, J. C. Maxwell modiicó el teorema de Ampère como veremos en la unidad 9. 16. Deine circulación del campo magnético y escribe su expresión matemática. 17. Utiliza el teorema de Ampère para hallar el campo magnético creado por una corriente rectilínea indeinida. Comprueba que el resultado coincide con el obtenido a partir de la ley de Biot y Savart en el ejemplo 4. Actividades 14.Enuncia el teorema de Ampère y explica cuál es su utilidad principal. 15. Un solenoide formado por 350 espiras tiene una longitud de 24 cm. Calcula la inducción magnética en su interior si la intensidad de la corriente que circula por él es de 2 A. Prohibida su reproducción Ejemplo 4 Utiliza el teorema de Ampère para determinar la inducción magnética en el interior de un solenoide de N espiras y longitud l por el que circula una corriente de intensidad I. 111 Acción del campo magnético sobre cargas eléctricas en movimiento Si acercas un pequeño imán a la pantalla de un televisor en funcionamiento, podrás ver que los contornos y los colores de la imagen se deforman ligeramente cerca del imán. Esto es debido a que el campo magnético del imán ejerce fuerzas magnéticas sobre los electrones que chocan con la pantalla luorescente del televisor. Fuerza magnética sobre una carga en movimiento: ley de Lorentz Al estudiar el concepto de inducción magnética habíamos indicado que la fuerza ejercida por un campo magnético sobre una carga eléctrica veriica las siguientes propiedades: — Si la carga está en reposo, no actúa ninguna fuerza sobre ella. → — Si la carga se mueve con una velocidad v, experimenta una fuerza magnética con las siguientes características: Q2 = -2 µC • Es proporcional al valor de la carga, ⏐q⏐. Q1 = +5 µC r2 = 8 cm – + r1 = 5 cm P • Es perpendicular a la velocidad → v. + r3 = 5 cm Q3 • Su módulo depende de la dirección de la velocidad: si el vector → v tiene una cierta dirección, la fuerza magnéti= +5 µC ca es nula; si el vector → v es perpendicular a la dirección anterior, la fuerza magnética es máxima. B Estas propiedades pueden ser resumidas en una ecuación vectorial que recibe el nombre de    ley de Lorentz: F = q (v ×B) IÉN y también: Si en la región donde se mueve la crarga q existe un → campo eléctrico E, además → del campo magnético B, la fuerza de Lorentz que experimenta la carga será: Prohibida su reproducción     F = q ( E +v × B ) 112 — El módulo de la fuerza de Lorentz es: F = ⏐q⏐ v B sen α donde α es el ángulo que → → forman los vectores v y B.  F  B α — La dirección de la fuerza de q +  Lorentz es la determinada por v → → el producto vectorial v × B. Es decir, la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad de la carga y al campo magnético. Su sentido viene dado por la regla de la mano izquierda. • La fuerza magnética que actúa sobre una carga es siempre perpendicular a la velocidad de la carga, es decir, a su trayectoria. Por tanto, una fuerza magnética sobre una carga eléctrica no realiza trabajo. • La fuerza magnética, por ser siempre perpendicular al vector v, no puede modiicar el → módulo de la velocidad de la carga. En cambio, sí puede modiicar su trayectoria. F = m ac = m 1 qv B = m  v  B 2 v R X v2 R X X X X X  F R = IÉN y también: La relación del tesla con otras unidades del SI es: 1 T =1 q X + X X XR X X X X X X X X X X mv qB N C ⋅m ⋅ s −1 =1 N A ⋅m Ejemplo 5 Ejemplo 6 Calcula la fuerza que un campo magnético de 2 ∙10-4 T ejerce sobre una carga eléctrica de +1 µC que se mueve perpendicularmente al campo con una velocidad de 104 m/s. Un electrón penetra en un campo magnético uniforme de 10-3 T con una velocidad de 3 ∙ 107 m/s perpendicular al campo. Calcula: a. la fuerza que actúa sobre el electrón; b. el radio de la órbita circular que describe. (Carga y masa del electrón: -e = -1,6 ∙ 10-19 C, me = 9,1 ∙ 10-31 kg) Z Q = +1 ⋅ 10−6 C 90° X + α= v = 104 m/s F B = 2 ⋅ 10−4 T Y — Aplicamos la ley de Lorentz para hallar la fuerza magnética: a. La fuerza es perpendicular a v y B. Su sentido es el contrario al que determina la regla de la mano izquierda, pues la carga es negativa. Su módulo vale: B = 10−3 T X X X X X X X X X X X X R −19 , ⋅ 10 F = e v B =16 C ⋅ 3 ⋅ 10 X F e− _ X X X X X v = 3 ⋅ 107 m/s X X X X X X X X X X X X 7m s ⋅ 10 N A ⋅m −3     F = q (v ×B) = qv B sen α k F = 4, 8 ⋅10   m N F =10−6 C ⋅10 4 ⋅ 2 ⋅ 1 0−4 sen 90ϒ k s A ⋅m   F = 2 ⋅10−6 k N b. El electrón seguirá un movimiento circular uniforme cuyo radio será: Su módulo es F = 2 ∙ 10-6 N. 19. Una carga eléctrica positiva se mueve paralelamente a un hilo conductor rectilíneo. a. Describe la fuerza magnética que actúa sobre la carga. R = N 9, 1 ⋅ 10−31 kg ⋅ 3 ⋅ 10 7 m ⋅s −1 mv = 0, 17 m = eB 1, 6 ⋅ 10−19 C ⋅ 10 −3 T b. ¿Cómo afecta el sentido de la corriente a la fuerza? 20. Un protón penetra en un campo magnético uniforme de 0,2 T con una velocidad de 3 ∙ 107 m/s perpendicular al campo. Calcula: a. la fuerza magnética que actúa sobre el protón; b. el radio de la órbita circular que describe. (Carga y masa del protón: +e = +1,6 ∙ 10-19 C, mp = 1,67 × 10-27 kg) Actividades 18. ¿En qué dirección debe entrar un electrón en un campo magnético uniforme para que no se ejerza ninguna fuerza magnética sobre él? −15 Prohibida su reproducción La fuerza centrípeta que actúa sobre la carga es justamente la fuerza de Lorentz, F = qvB. De la ecuación 1 , obtenemos el radio de la circunferencia descrita por q: B Así, si una carga positiva q entra en un campo magnético uniforme con una velocidad perpendicular al campo, la fuerza de Lorentz le obligará a seguir un movimiento circular uniforme. Podemos relacionar el radio R de la circunferencia con la inducción magnética B y la velocidad v de la carga. 113 IC S TIC Aplicaciones de la fuerza de Lorentz Veriica los efectos de un campo magnético sobre cargas en movimiento siguiendo el enlace web: El funcionamiento de muchos instrumentos de laboratorio y aparatos industriales se basa en las acciones que un campo magnético produce sobre las cargas eléctricas en movimiento. Ahora describiremos dos de las aplicaciones más destacables: el espectrómetro de masas y el ciclotrón. Visita: http://goo.gl/Lg9pMg Espectrómetro de masas Inventor El espectrómetro de masas fue diseñado en 1919 por F.W. Aston y, más tarde, K. Bainbridge lo perfeccionó. Aplicaciones El espectrómetro de masas constituye un medio excelente para determinar la existencia de isótopos de un determinado elemento químico y su abundancia en la naturaleza. De esta manera se comprobó que el magnesio natural está compuesto por un 78,7 % de 24Mg , un 10,1 % de 25Mg y un 11,2 % de 26Mg (donde 24,25,26, son las masas atómicas respectivas de los isótopos de Mg).  B Descripción El espectrómetro de masas consta de: una cámara de ionización donde se producen iones de cierta sustancia, una región donde se aceleran estos iones mediante un campo eléctrico y otra región en donde se desvían los iones mediante un campo magnético. Funcionamiento — En la cámara de ionización se ionizan diferentes isótopos de un mismo elemento químico. Los iones obtenidos tienen diferentes masas, pero igual carga eléctrica. — Estos iones, inicialmente en reposo, son acelerados mediante una diferencia de potencial ΔV. El incremento de energía cinética de los iones es igual a su pérdida de energía potencial eléctrica: 1 mv 2 = q ΔVV 2 Por tanto, adquieren una velocidad: v = 2 q ΔV m R  v Pantalla receptora + q ΔV − + Cámara de ionización → — Los iones penetran perpendicularmente en un campo magnético uniforme B. En esta región describen órbitas circulares de radio: mv R = qB El valor del radio puede medirse directamente en el espectrómetro de masas haciendo incidir los iones sobre una pantalla o una película fotográica después de que hayan recorrido una semicircunferencia. Observa que, como los diferentes isótopos tienen igual carga eléctrica q pero diferente masa m, sus radios de desviación son distintos y podemos separarlos y determinar su relación masa-carga. 114 R 2B 2 m = q 2 ΔV 21. Explica cuáles son las principales aplicaciones del espectrómetro de masas. 23. Dibuja el esquema de un espectrómetro de masas e indica en él sus principales elementos. 22. Explica cómo determinarías la masa de los diferentes isótopos de un elemento químico que inciden sobre la pantalla de un espectrómetro de masas. 24. La precisión de un espectrómetro de masas aumenta al introducir un elemento llamado selector de velocidades. Investiga y describe en qué consiste dicho elemento. Actividades Prohibida su reproducción BR m = q v Fuerza magnética sobre un elemento de corriente Un conductor por el que circula una corriente eléctrica experimenta una fuerza cuando está situado en un campo magnético. Esta fuerza es la resultante de todas las fuerzas de Lorentz que el campo magnético ejerce sobre las cargas que forman la corriente. → q +  v Ι + + + + + +   v dt = d l UE Consideremos un elemento de corriente Ι dl. La carga eléctrica que transporta este elemento en un tiempo dt es dq = Ι dt. Si suponemos que todas las cargas tie→ nen la misma velocidad v, la fuerza de Lorentz sobre el elemento de corriente puede escribirse como: NT Ten en cuenta que: T        d F = d q (v ×B) = Ι dt (v ×B) = Ι (v dt ×B) → Pero → v dt es justamente→el vector dl. Por tanto, sobre un ele→ mento de corriente I dl, un campo magnético B ejerce la fuerza:    d F = Ι (d l ×B ) Para determinar la fuerza magnética que actúa sobre un conductor C, lo descomponemos en elementos de corriente y sumamos todas las fuerzas elementales: Acción del campo magnético sobre una espira Una espira rectangular por la que circula una corriente eléctrica experimenta un par de fuerzas al situarse en un campo magnético. La espira tiende a girar por efecto de las fuerzas magnéticas, de modo que su plano se coloque perpendicularmente a las líneas de inducción.  F Ι  B     F = ⌠ dF =Ι ⌠ (d l × B) ⌡ ⌡ C C X X F X X X X X X X X X  B En este efecto se basan los motores eléctricos y los aparatos de medida, como el galvanómetro. B    F = Ι (l × B ) X  F X X Ι X X → l l = vector de módulo l con la dirección y el sentido de la intensidad de corriente Su módulo es: F = Ι l B sen α IÉN y también: Para estudiar circuitos de diferentes formas se asigna al→ elemento de conductor dl un carácter vectorial: tiene la dirección y el sentido de la intensidad de corriente en cada punto. Llamamos elemento de co→ rriente al producto I dl. Prohibida su reproducción En el caso de un hilo conductor rectilíneo de longitud l situado en un campo magnético uniforme B, el valor de la fuerza total sobre el hilo es: 115 Problemas resueltos A Las cargas eléctricas Q1 = +140 μC y Q2 = +230 μC están situadas en los extremos de la diagonal mayor de un rombo y las cargas Q3 = −80 μC y Q4 = −60 μC están situadas en los extremos de la diagonal menor. Si la diagonal mayor del rombo mide 80 cm y la diagonal menor 50 cm, calcula: a. El campo eléctrico en el centro del rombo. b. La fuerza que actúa sobre una carga de +25 μC al situarse en este punto. c. El potencial eléctrico en dicho punto. d. La energía potencial eléctrica que adquiere una carga de +25 μC al situarse en dicho punto. Y Q1 = +1,4 ⋅ 10-4 C N  N ⋅ m 2 −6 ⋅10−5 C  Q  E 4 =K 24 u 4 =9 ⋅109 ⋅ (− i )=8, 6 ⋅106 i 2 2 C (0, r4 2 5 m ) C E =  u2   u3 E4  u1  E1  u4 – D = 0,8 m  E2 (−29 ⋅ 10 6 N/C) 2 + (5, 0 ⋅ 10 6 N/C) 2 = = 5, 8 ⋅10 6 N/C X + Q2 = +2,3 ⋅ 10-4 C a. Calculamos el campo eléctrico creado por cada una de las cargas en el centro del rombo:  N N ⋅ m 2 14 , ⋅10−4 C  Q  E 1 =K 21u1 =9 ⋅109 − j ) =7 ,9 ⋅106 j ⋅ (− 2 2 C (0 ,4 m ) r1 C Prohibida su reproducción  N Q  N ⋅ m 2 −8 ⋅10−5 C  i = −115 ⋅ , ⋅107 i E 3 =K 23 u 3 =9 ⋅109 2 2 C (0 ,25 m ) r3 C Su módulo es: d = 0,5 m 116 N j C        E =E 1+ E2 + E 3 + E 4 = (−2 ,9 ⋅10 6 i +5, 0 ⋅10 6 j ) N/C C Q4 = -6 ⋅ 10-5 C Q3 = -8 ⋅ 10-5 C + –  N ⋅ m 2 2, 3 ⋅10−4 C  Q  E 2 =K 22 u 2 =9 ⋅109 ⋅ j =129 , ⋅107 r2 (0 ,4 m )2 C2 El campo eléctrico resultante es la suma vectorial de los campos debidos a cada una de las cargas: — Datos:  E3 N  N ⋅ m 2 14 , ⋅10−4 C  Q  − j ) =7 ,9 ⋅106 j ⋅ (− E 1 =K 21u1 =9 ⋅109 2 2 C (0 ,4 m ) r1 C N  N ⋅ m 2 2, 3 ⋅10−4 C  Q  E 2 =K 22 u 2 =9 ⋅109 ⋅ j =129 , ⋅107 j 2 2 C r2 (0 ,4 m ) C  N Q  N ⋅ m 2 −8 ⋅10−5 C  ⋅ i = −115 , ⋅107 i E 3 =K 23 u 3 =9 ⋅109 2 C r3 C 2 (0 ,25 m ) N  N ⋅ m 2 −6 ⋅10−5 C  Q  ⋅ (− i )=8, 6 ⋅106 i E 4 =K 24 u 4 =9 ⋅109 2 2 C r4 (0,25 m ) C b. Hallamos la fuerza que actúa sobre la carga de 25 µC: F = q E = 2, 5 ⋅ 10 −5 C ⋅ 5, 8 ⋅ 10 6 N = 145 N C c. Calculamos el potencial eléctrico creado por cada una de las cargas en el centro del rombo: V1 =K Q1 N ⋅m 2 1,4 ⋅10−4 C =9 ⋅10 9 ⋅ = 3, 15 ⋅10 6 V r1 0,4 m C2 V 2 =K Q2 N ⋅m 2 2, 3 ⋅10−4 C =9 ⋅10 9 ⋅ = 5, 17 ⋅10 6 V r2 0,4 m C2 V 3 =K Q3 N ⋅m 2 −8 ⋅10−5 C =9 ⋅10 9 ⋅ = −2, 88 ⋅10 6 V r3 0,25 m C2 V 4 =K Q4 N ⋅m 2 −6 ⋅10−5 C =9 ⋅10 9 ⋅ = −2, 16 ⋅10 6 V r4 0,25 m C2 El potencial eléctrico resultante es la suma algebraica de los potenciales de cada una de las cargas: V = V1 + V2 + V3 + V4 = 3,28 ⋅ 106 V d. Hallamos la energía potencial que adquiere la carga de 25 µC: Ep = qV = 2,5 ⋅ 10-5 C ⋅ 3,28 ⋅ 106 V = 82 J Problemas resueltos B Aplica el teorema de Gauss para determinar el campo y el potencial eléctricos creados por un hilo de longitud ininita cargado uniformemente con una densidad lineal de carga λ. Por tanto, el lujo eléctrico es: § ¨ ⌠ E ⋅ d S = ⌠E dS = E S =E 2π r h ⌡ ⌡ S S — Utiliza el resultado para hallar el campo y el potencial eléctricos creados por un hilo muy largo con una carga de -150 µC por metro de longitud a una distancia de 25 cm. Escoge como origen de potencial los puntos situados a 20 cm del hilo. Aplicamos el teorema de Gauss teniendo en cuenta que la carga eléctrica en el interior del cilindro es Q = λh. — Datos: El campo eléctrico creado por un hilo de longitud infinita cargado uniformemente es inversamente proporcional a la distancia al hilo. Calculamos la diferencia de potencial a partir del campo: -1 r = 0,25 m r 0 = 0,20 m Escogemos como supericie gaussiana un cilindro de radio r y altura h cuyo eje coincide con el hilo.  dS  h E =  E   u dS  u  E  dS  dS © 2π ª « = λ« ; ε0 © = λ 2π ε 0 ª B  B    λ V A −V B =⌠ E ⋅ d r = ⌠ u ⋅ dr = ⌡ ⌡ A 2πε 0 r A  E r Q ; ε0 El potencial disminuye de forma ilimitada al aumentar r. Por tanto, no podemos escoger el origen de potencial para r = ∞. En este caso elegimos como origen de potencial el correspondiente a una distancia arbitraria r = r0, con lo que obtenemos: r ¬ V =− In r0 ­π ε 0  E  E — Sustituimos los datos del enunciado para hallar el campo y el potencial eléctricos: E = Por simetría, el campo eléctrico es perpendicular al hilo y depende sólo de la distancia a éste. En las dos bases del cilindro, el campo eléctrico   es perpendicular al vector supericie, E ⊥ dS , y, por tanto, el lujo eléctrico es cero. Sobre la supericie lateral del cilindro, el campo eléctrico es paralelo al vector supericie y tiene módulo constante. λ λ ⌠B dr = (In rB −In rA ) 2 ε0 r 2πε 0 ⌡ π A r λ In A V A −V B =− 2π ε 0 rB −15 , ⋅10 −4 C ⋅ m −1 λ = 2π ε 0 r 2π ⋅ 8, 854 ⋅10 −12 C 2 ⋅N −1 ⋅ m −2 ⋅ 0, 25 m E = −108 , ⋅10 7 N/C El signo negativo indica que el campo eléctrico está dirigido hacia el hilo: V =− λ r In 2π ε 0 r r0 −1, 5 ⋅10−4 C ⋅m −1 0,25 m V=− = In −12 2 −1 −2 0,20 m 2π ⋅ 8, 854 ⋅10 C ⋅N ⋅m =6, 0 ⋅10 5 V Prohibida su reproducción λ = -1,5 ⋅ 10 C⋅m -4 Φ= 117 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. Explica las propiedades principales de la carga eléctrica. 2. Una carga positiva penetra en un campo eléctrico uniforme. Describe su movimiento si: a. La velocidad inicial tiene la dirección y el sentido del campo. b. La velocidad inicial tiene sentido opuesto al campo. c. La velocidad inicial forma un cierto ángulo con el campo. 3. El potencial eléctrico es constante en cierta región del espacio. ¿Cómo es el campo eléctrico en esa región? 4. Dibuja las líneas de campo y las supericies equipotenciales para una carga puntual positiva. 5. Explica cómo se distribuye la carga eléctrica en un conductor. ¿Cómo podemos proteger un aparato sensible de un campo eléctrico? 6. Explica qué es la capacidad de un condensador. — ¿Cómo afecta el dieléctrico interpuesto entre las armaduras a un condensador plano? 2 Practica lo aprendido Prohibida su reproducción 7. Dos cargas eléctricas puntuales de +4,0 ∙ 10-9 C y +2,0 ∙ 10-9 C están separadas 6 cm en el vacío. Calcula la fuerza eléctrica que se ejercen mutuamente. 118 8. Dos cargas eléctricas, Q1 = +5 µC y Q2 = -4 µC, están separadas 30 cm. Colocamos una tercera carga Q3 = +2 µC sobre el segmento que une Q1 y Q2 y a 10 cm de Q1. Calcula la fuerza eléctrica que actúa sobre Q3. 9. Dos cargas eléctricas puntuales de +1 × 10-5 C y -1 ∙ 10-5 C están separadas 10 cm en el vacío. Calcula el campo y el potencial eléctricos: a. En el punto medio del segmento que une ambas cargas. b. En un punto equidistante 10 cm de ambas cargas. 10. Dos cargas eléctricas puntuales de +4 ∙ 10-8 C y −3 ∙ 10-8 C están separadas 10 cm en el aire. Calcula: a. el potencial eléctrico en el punto medio del segmento que las une; b. el potencial eléctrico en un punto situado a 8 cm de la primera carga y a 6 cm de la segunda; c. la energía potencial eléctrica que adquiere una carga de +5 ∙ 10-9 C al situarse en estos puntos. 11. Calcula el trabajo necesario para trasladar una carga de +1 C: a. de un punto de potencial -25 V a un punto de potencial +25 V; b. entre dos puntos de una supericie equipotencial. 12. Calcula el campo y el potencial eléctricos a una distancia de 50 cm del centro de una esfera de 30 cm de radio que tiene una carga de +4,3 ∙ 10-6 C distribuida uniformemente por todo su volumen. 13. Se ha comprobado que el campo eléctrico terrestre es perpendicular a la supericie de la Tierra, se dirige hacia ésta y tiene módulo 110 N/C. Calcula la densidad supericial de carga de la Tierra y su carga eléctrica total. (Radio de la Tierra: RT = 6 370 km) 14. Entre las placas de un condensador plano existe una separación de 1 mm y una diferencia de potencial de 1 000 V. Si el dieléctrico es polietileno (εr = 2,3), calcula la carga inducida por metro cuadrado en la supericie del dieléctrico. 15. Cuatro cargas iguales de +3 ∙ 10-4 C están situadas en el vacío en los vértices de un cuadrado de 1 m de lado. Calcula: a. el campo eléctrico en el centro del cuadrado; b. el módulo de la fuerza eléctrica que experimenta una de las cargas debido a la presencia de las otras tres. 16. Una esfera metálica hueca y sin carga eléctrica, de radio R, tiene una carga puntual Q en su centro. Utiliza la ley de Gauss para determinar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de la esfera. — Determina la intensidad del campo eléctrico en un punto situado a 10 cm de una carga puntual Q = 3 ∙ 10-6 C si el radio de la esfera es R = 5 cm. Fuerzas entre corrientes paralelas Ampère estudió las fuerzas magnéticas que ejercen mutuamente dos corrientes paralelas. Observó que si las corrientes eléctricas tenían el mismo sentido, los hilos se atraían; mientras que si las corrientes eran de sentidos contrarios, los hilos se repelían. Supondremos que la longitud Ι Ι Ι Ι l de los conductores es mucho   B2 B1   mayor que su separación d,  F12 F21 B1    de modo que podamos apliB2 F21 F12 car los resultados obtenidos d d para corrientes indeinidas. Dos corrientes paralelas de senDos corrientes paralelas del Entonces, el campo magnétitidos contrarios se repelen. mismo sentido se atraen. co que el conductor 1 crea a → una distancia d es: El vector B1 es perpendicular al conductor 2. Por tanto, la fuerza que ejerce el conductor 1 sobre el conductor 2 es: 1 2 La fuerza que experimentan los conductores por unidad de longitud es: Dos hilos conductores rectilíneos y paralelos, de gran longitud, están separados 10 cm. Si por ellos circulan corrientes de 2 A y 5 A en el mismo sentido, calcula la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de longitud y di si es atractiva o repulsiva. I2=5A — Datos: d = 10 cm = 0,1 m I1=2A — Esta fuerza es atractiva, porque las corrientes tienen el mismo sentido. Su módulo es: 26. Calcula la fuerza magnética que actúa sobre un hilo rectilineo de 4m de longitud por el que circula una corriente de 2,5 A cuando se le aplica un campo magnético uniforme de 2 ∙ 10-2 perpendicular al hilo. 27. Explica como podemos determinar si las corrientes eléctricas que circulan por dos hilos rectilineos y paralelos tienen el mismo sentido o sentidos contrarios. 28. Dos hilos conductores, muy largos, rectilineos y paralelos, por los que circulan corrientes de 2 A y 3 A en sentidos contrarios, están separados 12 cm. Calcula la fuerza que se ejercen mutuamente por unidad de longitud y di si atractiva o repulsiva. Actividades 25. ¿Que orientación debe tener una corriente eléctrica en un campo magnético uniforme para no experimentar ninguna fuerza magnética? Prohibida su reproducción ¿Por qué se deine el amperio para un valor de la fuerza entre corrientes igual a 2 ∙ 10-7 N? ¿Cuál sería el valor de la fuerza para corrientes de 2 A? 1 La fuerza ejercida por el conductor 2 sobre el conductor 1, → F21, tiene el mismo módulo y dirección, pero sentido contrario, pues estas fuerzas cumplen el principio de acción y re→ → acción: F12 = -F21 Ejemplo 7 Deinición de amperio A partir de la interacción entre dos corrientes paralelas se deine la unidad de intensidad de corriente eléctrica en el SI, a la que se da el nombre de amperio (A), en honor de Ampère. Un amperio es la intensidad de corriente eléctrica que circula por dos conductores rectilíneos paralelos e indeinidos, separados una distancia de un metro en el vacío, cuando ambos se atraen o se repelen con una fuerza de 2 ∙ 10-7 N por metro de longitud. 2 119 Práctica de laboratorio N•3 Campo magnético de una bobina Consideramos una bobina cuyo eje se coloca perpendicularmente a la dirección de la inducción magnética terrestre (Bt). Cuando por la bobina no circula corriente eléctrica, una brújula situada en un punto cualquiera del eje de la bobina señala la dirección Norte-Sur. Ahora bien, cuando se hace circular corriente eléctrica por la bobina, ésta crea un campo magnético (o inducción magnética) en la dirección del eje, Bb, que se superpone con el terrestre y hace que la aguja de la brújula se desvíe un ángulo a respecto de su posición inicial. En esta disposición, tenemos: tg α = Bb/Bt. La expresión de Bb, que se obtiene de la integración de la ley de Biot y Savart aplicada a cada elemento diferencial de la bobina, es: N B b = B t tg α Bt I S α α Bb N S X Figura 1 N = número de espiras Bb = N µ0 I R2 (1) 2(x2 + R2) 3/2 I = intensidad de corriente µ0 = permeabilidad del vacío, R = radio de la bobina igual a 4p·10–7 T·m·A–1 x = distancia del punto considerado al centro de la bobina Objetivo de la experiencia En esta experiencia comprobaremos que una bobina por la que circula una corriente eléctrica crea un campo magnético que se superpone al terrestre. Con los valores del ángulo de desviación de la brújula a diferentes distancias del centro de la bobina veriicaremos la expresión teórica de la inducción magnética. Prohibida su reproducción Material: • Bobina de hilo de cobre de 100 vueltas y de unos 15 cm de radio • Fuente regulable de corriente continua • Brújula • Regla o cinta métrica • Interruptor • Cables de conexión 120 1. Mide el radio R de la bobina y prepara el circuito eléctrico de la figura 1 dejando abierto el interruptor. 2. Sitúa la brújula a una distancia x = 20 cm medida desde el centro de la bobina y asegúrate de que las direcciones de la aguja de la brújula y del eje de la bobina son perpendiculares. Cierra el interruptor del circuito y regula la fuente de alimentación de manera que circule una intensidad de corriente constante de unos 0,25 A (la fuente regulable puede sustituirse por una pila y una resistencia óhmica de valores adecuados). 3. Observa la desviación de la aguja de la brújula y anota el valor del ángulo a. A continuación, abre el interruptor para que la aguja recupere su posición. A partir del ángulo a, calcula la inducción magnética de la bobina Bb (toma el valor Bt = 0,5 G). Calcula también los valores de x2 + R2 y 1/(x2 + R2)3/2. Anota los resultados en la tabla 1. 4. Repite todo el proceso para diversos valores de x hasta completar la tabla 1. Cada vez, antes de cerrar el circuito, es preciso que te asegures de que la bobina sea perpendicular a la dirección de la brújula. Posición x (cm) Ángulo α 20 25 30 35 40 45 50 Bb = Bt tg α (G) x2 + R2 (cm2) a= 1 (cm-3) (x2 + R2)3/2 Tabla 1 Práctica de laboratorio N•3 Procesos: • Representa gráicamente la inducción magnética de la bobina Bb respecto de 1/(x2 + R2)3/2 y calcula la pendiente de la recta. Compárala con el valor teórico dado por la ecuación (1). Cuestiones: • ¿Qué valores experimentales de x se acercan más a la recta ajustada? ¿A qué crees que es debido? • Razona qué resultados se obtendrían para valores negativos de x. — ¿Qué sucede si se invierte el sentido de circulación de la intensidad? Compruébalo experimentalmente. • Diseña, haciendo uso de este montaje experimental, un procedimiento para medir la inducción magnética terrestre Bt. Prohibida su reproducción • Justiica e interpreta la expresión de Bb en función de x. 121 ZONA SOCIEDAD El magnetismo terrestre En 1600 W. Gilbert explicó el funcionamiento de la brújula suponiendo que la Tierra era un gigantesco imán con sus polos magnéticos cerca de sus polos geográicos. Sin embargo, aún no se conocen de forma satisfactoria las causas de su campo magnético. Polo Norte geográfico Sur magnético S N Ángulo de declinación S N Polo Sur geográfico Norte magnético En cualquier lugar de la Tierra, la aguja imantada de una brújula se orienta hacia el Norte geográico. Esto demuestra que las líneas de inducción del campo magnético terrestre van de Sur a Norte geográico. El polo Norte geográico de la Tierra coincide aproximadamente con el sur magnético, y el polo Sur geográico con el norte magnético. Sin embargo, las direcciones Norte-Sur geográica y magnética no coinciden exactamente. El ángulo que forman ambas líneas se denomina ángulo de declinación magnética y varía de unos lugares a otros de la Tierra. Además, se ha demostrado que el eje magnético de la Tierra se traslada lentamente hacia el Oeste a razón de un grado de longitud cada cinco años. Las rocas de la corteza terrestre son un registro de cómo ha evolucionado el campo magnético terrestre durante, por lo menos, los últimos 2 500 millones de años. Estos estudios paleomagnéticos concluyen que el campo magnético ha ido variando en intensidad y que ha invertido su sentido Sur - Norte aproximadamente cada millón de años. La intensidad del campo magnético terrestre es extremadamente pequeña. Cerca de los polos se da el valor máximo, de unos 5 ∙ 10-5 T, cien veces más débil que el campo magnético creado por el imán de un juguete. Prohibida su reproducción Sabemos, a través del estudio de las ondas originadas en los terremotos, que una parte del núcleo terrestre es líquido. Esta parte, la más externa del núcleo, constituye una sexta parte del volumen de la Tierra y un tercio de su masa. 122 Actualmente, se acepta que la causa del magnetismo terrestre es el lento movimiento del núcleo, pues las cargas eléctricas que contiene su capa externa dan lugar a corrientes eléctricas. Con todo, no existe todavía un modelo satisfactorio que explique totalmente el magnetismo terrestre. Los cientíicos continúan investigando. Corteza Manto superior Manto inferior R2 R1 Núcleo externo líquido R1 = 1220 km R2 = 3485 km Núcleo interno sólido 3 Resumen Analogías entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico — El campo gravitatorio creado por una masa puntual y el campo eléctrico creado por una carga puntual son campos centrales. Sus líneas de campo son abiertas y tienen simetría radial. — Son campos conservativos, por lo que tienen una energía potencial y un potencial asociados. El trabajo realizado contra el campo se almacena en forma de energía potencial, de modo que puede recuperarse íntegramente. — La intensidad del campo es directamente proporcional a la masa o a la carga que lo crea, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre esta masa o carga y el punto donde calculamos el campo. Diferencias entre el campo eléctrico y el campo gravitatorio Campo eléctrico — Las fuerzas gravitatorias siempre son atractivas. Las líneas de campo siempre señalan a la masa que lo crea. — La constante G es universal. Es decir, el campo gravitatorio no depende del medio en el que actúa. En el vacío: K = 9 ⋅ 109 N ⋅ m2 ⋅ C-2 Fuerza G = 6,67 ⋅ 10-11 N ⋅ m2 ⋅ kg-2 Campo eléctrico Campo gravitatorio  Qq  F =K 2 u r  Mm  F = −G 2 u r  Intensidad de campo Relación entre fuerza e intensidad de campo Energía potencial Potencial Relación entre energía potencial y potencial Relación entre fuerza y energía potencial Relación entre intensidad de campo y potencial =¯ ® Q  u r2   F =q E ° p =± V =K Qq r Q r Ep = qV  M  E = −G 2 u r   F =m g E p = −G V = −G Mm r M r E p = mV B   Ep A − Ep B =⌠ F ⋅ d r ⌡ A B   V A −V B =⌠ E ⋅ d r ⌡ A B   V A −V B =⌠ g ⋅ d r ⌡ A Prohibida su reproducción — Las fuerzas eléctricas pueden ser atractivas (entre cargas de signos opuestos) o repulsivas (entre cargas del mismo signo). Las líneas de campo siempre se originan en las cargas positivas y terminan en las cargas negativas. — La constante K varía de un medio a otro. Es decir, el campo eléctrico depende del medio en el que actúa. Campo gravitatorio 123 Para finalizar 1 Explica el signiicado de la frase: la carga eléctrica está cuantizada. 2 Dos cargas eléctricas idénticas de -3,5 µC están situadas en los puntos (1, 0) m y (1, -4) m. Determina en qué punto (o puntos) del plano se anula el campo eléctrico. 10 a. La separación entre las placas. b. La aceleración que experimenta una partícula de 5 g de masa y carga eléctrica igual a +2,5 × 10-9 C situada entre las placas. — ¿Es también nulo el potencial eléctrico en ese punto (o puntos)? En caso contrario, determina su valor. 3 Al trasladar una carga q de un punto A al ininito se realiza un trabajo de 1,25 J. Si se traslada del punto B al ininito, se realiza un trabajo de 4,5 J. c. La variación de la energía potencial de la partícula al pasar de la placa negativa a la positiva. 11 Se hace vibrar una cuerda de 4,2 m con oscilaciones armónicas transversales perpendiculares a la cuerda. Si f = 300 Hz, A = 10 cm y las ondas generadas tardan 0,02 s en llegar al otro extremo de la cuerda, determina: a. la ecuación de onda; b. la longitud de onda, el período y la velocidad de transmisión de la onda; c. el desplazamiento, la velocidad y la aceleración máximos transversales. 12 Desde un punto situado en un medio homogéneo e isótropo se transmiten ondas esféricas. Si la potencia del foco emisor es de 5 W, calcula la intensidad de la onda a 3 m del foco. 13. En una competición deportiva, 1000 espectadores gritan al mismo tiempo con un nivel de intensidad sonora de 90 dB cada uno. Calcula el nivel de intensidad sonora del conjunto. 14 Calcula la pulsación, la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de propagación de una onda descrita por y = sen (0,5 x − 200 t + 2,5), en unidades SI. 15 La ecuación de una onda armónica viene dada por y = 0,05 sen (1992 t − 6x), en unidades SI. a. Calcula la amplitud, la frecuencia y la longitud de onda. b. Calcula la distancia recorrida por la onda en 3 s. c. Escribe la ecuación de una onda idéntica a la anterior que se propague en sentido contrario. 16 Una onda transversal se propaga por una cuerda según la ecuación y = 0,4 cos (50 t − 2x), en unidades SI. Calcula: a. la velocidad de propagación de la onda; b. la elongación y la velocidad de vibración de una partícula situada a 20 cm del foco en t = 0,5 s; c. la elongación y la velocidad máximas. a. Calcula el trabajo realizado al desplazar la carga del punto A al B. ¿Qué propiedad del campo eléctrico has utilizado? b. Si q = -5 µC, calcula el potencial eléctrico en los puntos A y B. 4 Deine onda longitudinal y onda transversal. Pon un ejemplo de cada una de ellas e indica en cada caso la magnitud que se propaga y sus características. 5 Di cuál es el signiicado físico de la fase inicial, ϕ0, de la función de onda. 6 7 Prohibida Prohibida su su reproducción reproducción 8 124 9 Elige la opción que creas correcta y justifícala. Un vibrador produce ondas en la supericie de un estanque a intervalos regulares de tiempo. Si se ajusta el vibrador de modo que produzca un número triple de ondas por segundo, en este caso las ondas: a. se propagan con triple velocidad; b. se propagan con un tercio de la velocidad; c. tienen longitud de onda triple; d. tienen un tercio de la longitud de onda. La ecuación de una onda transversal en una cuerdaes y (x, t ) = 0,02 sen π (20 t + 2 x ), en unidades SI. Determina la aceleración en función del tiempo para un punto situado en x = -0,3 m. ¿Pueden cortarse dos supericies equipotenciales de un campo eléctrico? Justiica tu respuesta. Dada la siguiente ecuación de la onda armónica y = 3 sen (8 t − 0,5x), deduce: a. la amplitud, el período, la frecuencia y la longitud de onda; b. la velocidad de la onda y la elongación de una partícula situada en la posición x = +15 m cuando t = 4 s. Entre dos placas planas existe una diferencia de potencial de 15 V. Si la intensidad del campo eléctrico entre las placas es de 30 N/C, calcula: 17 Utiliza el resultado del ejemplo anterior para determinar el campo y el potencial eléctricos creados por un hilo muy largo cargado con +30 µC por metro de longitud a una distancia de 3 m. Escoge el origen de potencial a 1 m del hilo. 20 Dos ondas de 0,6 de amplitud en el SI, 40 cm de longitud de onda y 800 Hz de frecuencia se propagan por una cuerda en sentidos contrarios. 21 — Representa esquemáticamente el vector intensidad del campo eléctrico sobre una circunferencia de 3 m de radio centrada en el hilo. 18 a. Escribe la ecuación de cada onda y de la onda resultante de su interferencia. — Utiliza el resultado para hallar el campo eléctrico creado por una corteza cilíndrica muy larga de 20 cm de radio cargada con +5 ∙ 10-6 C por metro cuadrado a una distancia de 30 cm del eje. Una oscilación de 0,18 m de amplitud y 240 Hz de frecuencia se propaga de manera que tarda 32 s en llegar a un punto situado a 360 m del foco emisor. a. Escribe la función de onda. b. Calcula el módulo de la velocidad con la que se mueve el punto de x = 35,5 m en t = 8,56 s. b.¿Cuánto tarda un punto alcanzado por la onda en efectuar 150 oscilaciones? ¿Cuántas oscilaciones hace en 2 min? 19 Aplica el teorema de Gauss para determinar el campo eléctrico en el interior y en el exterior de un cilindro hueco de longitud ininita y radio R cargado uniformemente con una densidad supericial de carga σ. c.Indica las coordenadas de los vientres de la onda resultante de la interferencia. c. Calcula la diferencia de fase en un instante dado de dos puntos situados a 68,45 m de distancia. d.Indica las coordenadas de los nodos de la onda resultante de la interferencia. d. Calcula el módulo de la aceleración del punto x = 89,419 m en t = 6,89 s. b. Calcula la frecuencia de los armónicos 3, 7 y 20. Una onda plana con una amplitud inicial de 30 mb y 500 Hz que representa propagación de la luctuación de la presión en un gas a lo largo del eje de abscisas pierde intensidad como consecuencia de la absorción del medio de manera que tras recorrer 54 m en 0,15 s su amplitud ha disminuido un 70 %. c. Si colocamos el origen de coordenadas en uno de los extremos de la cuerda, indica las coordenadas de los nodos correspondientes al 5.° armónico. a. Escribe la ecuación de onda y calcula la amplitud de onda y el valor de la luctuación de presión en t = 6,0003 s en un punto situado a 15 m del foco emisor. d. Si reducimos la longitud de la cuerda a 2/3 de su longitud, ¿cuáles serían las frecuencias de los tres primeros armónicos? b. Calcula la distancia del foco en la cual la onda ha reducido su amplitud a 1 % del valor inicial. La cuerda de un instrumento musical tiene una longitud de 80 cm y una frecuencia de vibración fundamental de 540 Hz. 22 a. Calcula la velocidad de propagación de la onda vibratoria en la cuerda. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 125 Proyecto ESTUDIO DEL LANZAMIENTO HORIZONTAL elegiMOS Alguna vez te has preguntado cómo poder determinar experimentalmente la ecuación que rige el movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente. Uno de los movimientos analizados en el presente libro es el movimiento parabólico y un caso particular de éste movimiento es el lanzamiento horizontal. En este proyecto investigarás cómo determinar la ecuación que describe el movimiento de un cuerpo lanzado horizontalmente, así como las gráicas de éste movimiento. PlanifiCAMOS Materiales: • Rampa de madera o tubo de plástico cortado a la mitad en forma de canal • Cinta métrica • Cronómetro • Papel carbón • Esfera metálica http ://g oo. gl/l wo 1M 126 http://goo.gl/jAnrzd Prohibida su reproducción U desarrollAMOS 1. Organiza las actividades que debes desarrollar para medir las magnitudes que aparecen en la tabla. Distancias, X(m) H1 H1 H1 H1 H1 H1 Tiempo, t (s) Valor más probable (t ̅) 2. Comprueba la posible relación entre las variables seleccionadas 3. Realiza los gráicos necesarios 4. Analiza si puedes realizar un análisis por regresión lineal 5. Realiza un análisis de todo el trabajo y preséntalo en un informe escrito Prohibida su reproducción Altura, H (m) 127 Un alto en el camino 1. En la supericie de un planeta de radio R = 1,25 RT la aceleración de la gravedad es 14,7 m/s2. Calcula: a. La relación entre las masas del planeta y de la Tierra. a. 2,34 b. La altura desde la que debe caer un objeto en dicho planeta para que llegue a su super icie con la misma velocidad con que llegaría a la supericie terrestre cuando cae desde 275 m. b. 183,3 m 2. Un satélite de telecomunicaciones de 1500 kg de masa describe una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 500 km sobre su supericie. Calcula: a. La velocidad orbital. b. El período de revolución. d. La aceleración centrípeta. Soluciones: a. 7,6 ∙ 103 m/s; b. 5,7 ∙ 103 s; c. −4,35 ∙ 1010 J; d. 8,4 m/s2 3. Calcula: a. el potencial gravitatorio creado por una masa puntual M = 2 kg a una distancia de 1 m y a una distancia de 40 cm; b. el trabajo que realiza el campo gravitatorio para trasladar una segunda masa m = 500 g desde el primer punto hasta el segundo. b. 1,0 ⋅ 10-10 J Prohibida su reproducción 4. Calcula el campo y el potencial gravitatorios que una esfera de 500 m de radio y 6 000 kg de masa crea en un punto situado a 300 m de su supericie. 128 6 Umbriel, satélite de Urano, describe una órbita circular de 2,67 ∙ 108 m de radio alrededor del planeta con un período de revolución de 3,58 × 105 s. Calcula: a. la masa de Urano; b. el período de revolución de otro de sus satélites, Oberón, cuyo radio orbital es de 5,86 ∙ 108 m. 7. Con la ayuda de un programa para realizar gráicas construye las que representan la variación de la gravedad con la altura partiendo de g0 (gravedad en la supericie de un planeta) en los casos siguientes: a. La Tierra (g0 = 9,8; RT = 6 370 000 m) b. Marte c. La energía mecánica de traslación. a. -1,3 ⋅ 10-10 J/kg, -3,3 ⋅ 10-10 J/kg; c. La energía potencial gravitatoria de una partícula debida a la presencia de las otras tres. c. -8,9 ⋅ 10-11 J a. 0 N/kg; b. 3,2 ⋅ 10-11 N; 6,3 ⋅ 10-13 N/kg; -5,0 ⋅ 10-10 J/kg 5. Cuatro partículas iguales de 1 kg de masa están situadas en los vértices de un cuadrado de 2 m de lado. Determina: a. El campo gravitatorio en el centro del cuadrado. b. El módulo de la fuerza gravitatoria que experimenta cada partícula debido a la presencia de las otras tres. (g0 = 3,8; RM = 3 380 000 m) 8. Con un programa de simulación de movimientos (del tipo Interactive Physics 2000) genera el movimiento de un satélite en torno a la Tierra. (Toma los datos de algún problema de esta unidad). 9. Demuestra que la fuerza elástica de un muelle es conservativa y deduce la expresión de la energía potencial elástica. 10. Busca en Internet representaciones gráicas de líneas de fuerza y supericies equipotenciales en el caso de dos o tres masas diferentes. Con los dibujos encontrados prepara una presentación mediante un programa informático adecuado. 11. Mediante algún programa adecuado para realizar gráicas representa gráicamente la variación del potencial gravitatorio a lo largo del eje de abscisas en los siguientes casos: a. Una masa de 1011 kg situada en (0,0). b. Una masa de 1011 kg situada en (0,0) y otra de 2 · 1011 kg en (10,0). c. Una masa de 1011 kg situada en (0,0), una de 2 · 1011 kg en (10,0) y una tercera de 3 · 1011 kg en (50,0). Las coordenadas se expresan en metros. ≠ x cos (5 ≠ t ). es y = 2 cos 6 Calcula: a. la amplitud, la longitud de onda y la velocidad de propagación de las ondas que interieren para producir la onda estacionaria; b. la posición de los nodos y la distancia entre un nodo y un vientre consecutivos; c. la velocidad instantánea de vibración de una partícula en x = 6 m y la velocidad máxima. a. 1 m; 12 m; 30 m⋅ s-1; b. 3(2 n + 1) m; 3 m; c. 10 π sen (5 πt ); 10 π m⋅ s-1 13. Una cuerda de 1,2 m de longitud está sujeta por un extremo. Al pulsarla, se produce una onda estacionaria en la que se advierten cuatro vientres, siendo la frecuencia de la vibración de 120 Hz. Calcula: a. la longitud de onda; b. la frecuencia fundamental. 14. La amplitud de una onda esférica disminuye en un factor 3 al avanzar, desde un cierto punto A, 5 m en la dirección radial. — ¿Cuál es la distancia entre dicho punto A y el foco de la onda? 2,5 m 15. Calcula la velocidad del sonido en el aire a la temperatura de 10 °C. 338,2 m × s -1 16. Vemos un relámpago y, transcurridos 5 s, oímos el trueno. — Si suponemos ininita la velocidad de la luz a través del aire y que la velocidad del sonido es 340 m ∙ s -1, calcula a qué distancia está la tormenta. Sol.: 1700 m 17. Si sabemos que la velocidad de propagación del sonido por el aire es 340 m ∙ s-1 y a través del agua es 1435 m ∙ s-1, calcula la longitud de onda de un sonido de 5 Hz según se propague por el aire o el agua. λaire = 68 m; λagua = 287 m 18. Un tren se desplaza con una velocidad de 60 km/h y su silbato suena con una frecuencia de 1000 Hz. Calcula la frecuencia percibida por un observador en reposo junto a la vía si: a. el tren se aproxima a él; b. el tren se aleja de él. a. 1051,7 Hz; b. 953,2 Hz 19. Calcula la tensión en una cuerda de piano de 2 m de longitud y masa por unidad de longitud igual a 0,005 kg×m−1, sabiendo que la cuerda tiene una frecuencia fundamental de 65 Hz. 338 N 20. Las longitudes de onda de la luz roja y la luz verde son, respectivamente, 6,2 ∙ 10-7 m y 5,4 ∙ 10-7m, y la velocidad en el aire de ambas es 3 ∙ 108m∙s-1. Calcula a qué velocidad debe circular un vehículo para que al conductor le parezca verde la luz roja de un semáforo. 4,46 ⋅ 107 m ⋅ s-1 21. Con un dispositivo capaz de registrar sonidos (teléfono móvil, MP3-grabador, etc.). capta algunos sonidos de la vida cotidiana que permitan apreciar el efecto Doppler (p. ej., la sirena de una ambulancia). Haz que los escuchen tus compañeros/as y amigos/as y pídeles que te digan si la fuente sonora se está alejando o acercando al observador. 22. Si consideramos que la velocidad del sonido en el aire es de 340 m/s, calcula las longitudes de onda correspondientes a las frecuencias inferior y superior del umbral de audición. 17 m; 0,017 m 23. La ecuación de una onda transversal viene dada por la expresión x y = 0,1 sen 2 ≠ 2t − , 1, 5 en unidades SI. Determina: a. la frecuencia, la longitud de onda y la velocidad de fase; b. los puntos que están en fase y en oposición de fase en un instante determinado con el punto x = 2 m. 24. Representa, con la ayuda de un programa para dibujar gráicas, la función de una onda armónica unidimensional de λ = 2π y T = π, en unidades SI, es decir la función: y (x, t ) = A sen (x - 2t ) Procede a representar cinco gráicas de la función en los instantes: 0 s; 0,2 s; 0,4 s; 0,6 s y 0,8s. Prohibida su reproducción 12. La ecuación de una onda estacionaria en el SI 129 4 Electromagnetismo contenidOS: 1. Inducción de la corriente eléctrica 1.1. Experiencias de Faraday Prohibida su reproducción 1.2. Flujo magnético 130 3. Síntesis electromagnética 3.1. Ecuaciones de Maxwell 4. Naturaleza de la luz 1.3. Ley de Lenz 4.1. Ondas electromagnéticas 1.4. Ley de Faraday 4.2. Propagación rectilínea de la luz 2. Aplicaciones de la ley de inducción electromagnética 2.1. Generadores eléctricos 2.2. Autoinducción 4.3. Velocidad de propagación 5. Fenómenos luminosos 5.1. Relexión y refracción 5.2. Interferencia y difracción 5.3. Polarización En física, el término luz se usa en un sentido más amplio e incluye todo el campo de la radiación conocido como espectro electromagnético, mientras que la expresión luz visible señala especíicamente la radiación en el espectro visible. La luz, como todas las radiaciones electromagnéticas, está formada por partículas elementales desprovistas de masa denominadas fotones, cuyas propiedades de acuerdo con la dualidad onda partícula explican las características de su comportamiento físico. https://goo.gl/trEZNH Noticia: https://goo.gl/yOAMjt En contexto: Luego de leer todo lo relacionado con la luz, responde: 2. ¿En qué consiste el fenómeno de la refracción de la luz? 3. Menciona los hombres de ciencia aportaron al conocimiento de la luz. Prohibida su reproducción 1. Explica con tus palabras que es la luz. 131 B IÉN y también: Michael Faraday Nació en Surrey (Inglaterra) el 22 de septiembre de 1791. Murió en Hampton Court (Inglaterra) el 25 de agosto de 1867. Faraday trató, como otros investigadores de su época, de producir una corriente eléctrica a partir de campos magnéticos. Durante diez años no obtuvo ningún éxito, ya que en sus experimentos utilizaba imanes y bobinas en posiciones estáticas. Sin embargo, su tenacidad le permitió demostrar que la inducción de corriente eléctrica requiere un campo magnético variable. Faraday, a causa de su poca instrucción, prácticamente no sabía matemáticas. De hecho, es el único gran físico del que se puede decir que desconocía por completo el cálculo diferencial, carencia que compensó con una enorme habilidad para trazar gráicos. Podemos airmar, sin temor a exagerar, que la inducción electromagnética es un fenómeno de capital importancia en la sociedad actual. Las centrales eléctricas producen por inducción electromagnética la electricidad que llega a nuestros hogares; los generadores y motores eléctricos, los transformadores… funcionan gracias a la inducción de corriente eléctrica. ¿Puedes imaginar un día cualquiera sin estos inventos? 1.1. Experiencias de Faraday La experiencia de Oersted demostró que una corriente eléctrica crea a su alrededor un campo magnético. Desde ese momento muchos cientíicos intentaron obtener el fenómeno inverso, esto es, producir (o inducir) una corriente eléctrica a partir de un campo magnético. El físico y químico inglés M. Faraday fue el primero en obtener experimentalmente, en 1831, una corriente eléctrica a partir del magnetismo. Sus experiencias pusieron de relieve la estrecha relación entre los campos eléctrico y magnético. Primera experiencia: movimiento de un imán en el interior de una bobina Material: una bobina de hilo conductor, un imán y un galvanómetro. Procedimiento: Conectamos los extremos de la bobina a un galvanómetro para poder medir la corriente inducida al introducir y extraer el imán. 20 15 10 0 10 20 15 15 10 0 10 20 15 15 10 0 10 mA 15 20 mA 20 20 Faraday llevó un diario, sin interrupción desde 1820 a 1862, en el que describió sus experimentos. Este diario, de 3 236 páginas y varios miles de dibujos, es una de las obras clave de la historia de la física. 1. Inducción de la corriente eléctrica mA Prohibida su reproducción Resultados: a. Si acercamos el imán a la bobina, aparece una corriente inducida durante el movimiento del imán. b. El sentido de la corriente inducida en la bobina se invierte si alejamos el imán. c. Con la bobina y el imán ijos no observamos corriente inducida alguna. 132 Se obtienen los mismos resultados si mantenemos ijo el imán y movemos la bobina. En esta experiencia, la intensidad de la corriente inducida depende de la velocidad con la que movamos el imán (o la bobina), de la intensidad del campo magnético del imán y del número de espiras de la bobina. https://goo.gl/CJsF2I Faraday interpretó que para inducir una corriente eléctrica en un circuito es necesario variar el número de líneas de inducción magnética que lo atraviesan. Primera experiencia: movimiento de un imán en el interior de una bobina Material: una barra de hierro, dos bobinas, una batería, un galvanómetro y un interruptor. UE en cuenta que: yTen también: Inductor: Agente que crea el campo magnético variable (un imán en movimiento, un circuito eléctrico de intensidad variable…). Si se trata de un circuito, también recibe el nombre de circuito primario. Circuito inducido: Circuito donde aparece la corriente inducida. También se le denomina circuito secundario. B Procedimiento: Se enrollan las dos bobinas alrededor de la barra de hierro. La primera bobina se conecta a la batería con un interruptor K. La segunda bobina se conecta a un galvanómetro para medir la corriente inducida al cerrar y abrir el interruptor K. NT T Existen diferentes maneras de obtener una corriente inducida a partir de un campo magnético variable. Faraday realizó otra experiencia en la que se induce una corriente sin tener que alterar las posiciones relativas del circuito y de la fuente de campo magnético. IÉN y también: 20 15 10 0 10 20 15 15 10 0 10 15 10 0 10 mA 15 20 20 20 mA 20 15 mA Resultados: a. Al conectar el interruptor se induce una corriente eléctrica en la segunda bobina. Las corrientes en las dos bobinas circulan en sentidos contrarios. b. Al desconectar el interruptor se induce de nuevo una corriente eléctrica en la segunda bobina. Ahora la corriente inducida tiene sentido opuesto a la del caso anterior. c. Se induce corriente en la segunda bobina mientras aumenta o disminuye la intensidad de corriente en la primera bobina, pero no mientras se mantiene constante. Esto demuestra que la inducción de corriente eléctrica en un circuito es debida a campos magnéticos variables. En la primera experiencia de Faraday, podemos, sin modiicar ningún resultado, sustituir el imán por una espira (o solenoide) conectada a una batería. Al mover la espira o variar su intensidad de corriente, creamos una campo magnético variable e inducimos una corriente eléctrica en el circuito inducido. I Movimiento I G + Las dos experiencias descritas nos permiten comprender el fenómeno de la inducción electromagnética. inducida I - I 2. ¿Qué es necesario para inducir una corriente eléctrica en un circuito? 4. Al introducir un imán en una bobina se induce en ésta una corriente eléctrica. ¿Por qué la intensidad de la corriente inducida es mayor al aumentar la velocidad de desplazamiento del imán? 3. ¿Es necesario mover una espira para inducir en ella una corriente eléctrica? 5. Describe diferentes maneras de variar el campo magnético en las cercanías de un circuito formado por una espira conectada a un galvanómetro. Actividades 1. Explica en qué consiste el fenómeno de la inducción electromagnética. Prohibida su reproducción La inducción electromagnética consiste en la aparición de una corriente eléctrica en un circuito cuando varía el número de líneas de inducción magnética que lo atraviesan. 133 Líneas de Fuerza de campos.- Este concepto fue ideado por Michael Faraday (1791-1867), como recurso para observar campos eléctricos o magnéticos. Estas líneas en general son curvas imaginarias graicadas de tal manera que su dirección en cada punto (dirección de su tangente) coincida con la dirección del campo en dicho punto. La deinición matemática-analítica la construyó Karl Friederich Gauss (1777-1855), por medio del teorema llamado “Teorema de Gauss”, en donde expresa matemáticamente una propiedad importante de los campos electrostáticos. Este teorema, forma parte de las Ecuaciones de Maxwell. Las ecuaciones de Maxwell las reproducimos tan solo a modo ilustrativo, en el apartado 3.1, pág. 147. 1.2. Flujo magnético https://goo.gl/oZFxCx Faraday explicó de forma cualitativa el fenómeno de la inducción electromagnética. La ley matemática que explica este proceso físico, a la que se da el nombre de ley de Faraday, se expresa en función de una magnitud llamada lujo magnético. Lineas de fuerza de los campos de Faraday. El lujo magnético, Φ, a través de una supericie es una medida del número de líneas de inducción que atraviesan dicha supericie. Cálculo del lujo magnético Campo uniforme y superficie plana Campo variable y superficie cualquiera → Deinimos el vector S como un vector perpendicular a la supericie S y de módulo igual al valor de esta supericie. El lujo magnético es igual al producto escalar: → → Φ = B ⋅ S = B S cos α S′ α → → α = ángulo entre B y S α S  B  S Dividimos la supericie S en pequeños elementos → ininitesimales dS, de manera que en cada uno se puedan considerar la supericie plana y el campo magnético uniforme. Se deine el vector supericie dS perpendicular a la supericie ininitesimal y de → módulo dS. El lujo a través de una supericie ininite→ → simal es: dΦm = B ⋅ d S. El lujo total a través de la supericie S se obtiene sumando todas las contribuciones. Φ = ⌠ dΦ ⌡ S Ejemplo 1 134 Calculemos el flujo magnético a través de una bobina con 200 espiras de 40 cm2 de superficie cuyo eje forma un ángulo de 60° con un campo magnético uniforme de 2 ∙ 10-3 T. α = 60°  B  dS  B S   Φ = ⌠ B ⋅ dS ⌡ S  S dS La unidad de lujo magnético en el SI es el weber (Wb) y su relación con el tesla es: 1 T = 1 Wb/m2. El flujo magnético total a través de la bobina es la suma de los flujos a través de cada una de las espiras: Φ = N B ⋅ S = N B S cos α Sustituimos los valores numéricos del enunciado: Φ = 200 ⋅ 2 ⋅ 10-3 T ⋅ 4 ⋅ 10-3 m2 ⋅ cos 60° Φ = 8 ⋅ 10-4 Wb B IÉN 1.3. Ley de Lenz y también: De las experiencias de Faraday se deduce que la inducción de corriente eléctrica en un circuito es debida a la variación de lujo magnético a través del circuito. La ley de Lenz airma que el sentido de la corriente inducida en una espira al acercarle el polo norte de un imán es tal que se opone al incremento de lujo magnético. Observa que el mismo resultado se obtiene argumentando en términos de fuerzas magnéticas: El sentido de la corriente inducida es tal que la espira equivale a un imán con su polo norte enfrentado al polo norte del imán inductor. De este modo la corriente inducida diiculta el avance del imán, es decir, se opone a la causa que la origina. Hemos visto que el lujo de un campo magnético uniforme a través de un circuito plano viene dado por: Φ = B S cos α Podemos inducir una corriente en el circuito variando cada uno de los tres factores que intervienen en la expresión matemática del lujo: el campo magnético, B; la orientación del circuito respecto al campo, ángulo α; y el área de la supericie que limita el circuito, S, que puede ser modiicada deformando el circuito. La regla para determinar el sentido de la corriente inducida fue establecida por Lenz en 1834 y se conoce como ley de Lenz: I inducida El sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce. S G Al acercar el polo norte de un imán a una espira incrementamos el lujo magnético a través de la espira. Según la ley de Lenz, el sentido de la corriente inducida en la espira se opone a este incremento. Como vemos en la igura, el sentido es tal que el campo magnético creado por la corriente inducida tiende a compensar el incremento de lujo magnético. Con un razonamiento similar, podemos deducir que el sentido de la corriente inducida se invierte al alejar el imán. → B inducido N S G → N S I La ley de Lenz es una consecuencia del principio de conservación de la energía. Si el sentido de la corriente inducida fuese favorecer la causa que la produce, se generaría energía ilimitada de la nada. En el ejemplo anterior, si el sentido de la corriente inducida fuese el contrario, la espira equivaldría a un imán con el polo sur enfrentado al polo norte del imán inductor. Eso aceleraría de forma continua al imán inductor, aumentando ilimitadamente su energía cinética. Esto, simplemente, no es posible. B permanente S2 S1 G K + - Actividades 9. Determina el sentido de la corriente inducida en la bobina S2 al cerrar y al abrir el circuito S1 con el interruptor K. Prohibida su reproducción I inducida N 135 UE NT 1.4. Ley de Faraday T Ten en cuenta que: Fuerza electromotriz o fem de un generador, ε: es el trabajo que realiza el generador por unidad de carga eléctrica o, lo que es lo mismo, la energía que proporciona a la unidad de carga. Su unidad en el SI es el voltio (V). 1 T =1 N A ⋅m B En un circuito de corriente continua, la fuente de fem es generalmente una batería o pila, que convierte energía química en trabajo sobre las cargas. Un campo magnético variable induce una corriente eléctrica en un circuito. Por tanto, a lo largo del circuito inducido existe un campo eléctrico igual a la fuerza eléctrica por unidad de carga. La fuerza electromotriz inducida es el trabajo que realiza el generador por unidad de carga eléctrica, por lo que se relaciona con el campo eléctrico de esta manera:   ε = ⌠ E ⋅ dl ⌡ C La integral se extiende a lo largo de todo el circuito inducido. Prohibida su reproducción  E 136  E  dl  E  dl  E Para enunciar esta ley es preciso cuantiicar la corriente inducida mediante una magnitud física. Esta magnitud podría ser la intensidad de corriente, pero depende de la resistencia del material que forma el circuito. Por ello, es preferible utilizar la fuerza electromotriz inducida o fem inducida. Experimentalmente observamos que la fuerza electromotriz inducida es proporcional a la variación de lujo magnético, ∆Φ, e inversamente proporcional al tiempo invertido en dicha variación, ∆t. La fuerza electromotriz inducida media vale: ε =− IÉN y también:  dl Sabemos que un campo magnético variable induce una corriente eléctrica en un circuito. Este fenómeno, conocido como inducción electromagnética, puede ser formulado mediante una ley matemática, la ley de Faraday.  dl ΔΦ m Δt El signo negativo nos indica que la fuerza electromotriz inducida se opone a la variación del lujo magnético (ley de Lenz). Para un intervalo de tiempo ininitesimal la fuerza electromotriz instantánea viene dada por la ley de Faraday: La fuerza electromotriz inducida en un circuito es igual a la velocidad con que varía el lujo magnético a través de dicho circuito, cambiada de signo. ε =− dΦ dt Podemos calcular la intensidad de la corriente inducida en un circuito si conocemos su resistencia eléctrica, R, y la fuerza electromotriz inducida, ε. Para ello aplicamos la ley de Ohm: Ι=  dl  E Como vemos, el valor de la intensidad inducida depende, no sólo de la variación de lujo magnético, sino también de la resistencia eléctrica del circuito. dΦ ε 1 =− ⋅ R R dt Ι R G ε N S  B b. La intensidad de la corriente inducida si la bobina tiene una resistencia de 30 Ω.  — Datos: S  S  B Ejemplo 2 B = 0,3 T N = 200 espiras S = 2,5 ⋅ 10-3 m2 Posición inicial to = 0 s  90° B I Posición final t = 0,5 s Un campo magnético uniforme varía en el tiempo según la expresión B = 0,4 t - 0,3 (en unidades SI). Calculemos la fem inducida en una espira de 50 cm2 si el plano de la espira es perpendicular a las líneas de inducción. — Datos: I inducida a. Calculamos el lujo magnético a través de la bobina en el instante inicial: Φ0 = NB S cos 0° = 200 ⋅ 0,3 T ⋅ 2,5 ⋅ 10-3 m2 Φ0 = 0,15 Wb → → En la posición inal, B y S son perpendiculares; por tanto, Φ = 0. La variación de lujo magnético es: ∆Φ = Φ - Φ0 = -0,15 Wb La fem inducida viene dada por la ley de Faraday: 0,1 5Wb ΔΦ =− =0 , 3V 0 , 5s Δt b. Calculamos la intensidad de corriente inducida: − ² ³ Ι = ε 0 , 3V = =0 ,0 1A R 3 0 A partir de la regla de la mano derecha podemos ver que el sentido de la corriente inducida es tal que el campo magnético que crea tiene la dirección del eje y se opone a la disminución de lujo magnético. El lujo magnético a través de la espira varía en el tiempo según la expresión: Φ (t ) = B S cos 0° = (0,4 t - 0,3) ⋅ 5 ⋅ 10-3 Φ (t ) = (2t - 1,5) ⋅ 10-3 Wb La fem inducida en la espira es: ε =− B = 0,4 t - 0,3 S = 50 cm2 11. Una bobina situada en un campo magnético uniforme, con su eje paralelo a las líneas de inducción, gira hasta colocar su eje perpendicular a dichas líneas. Explica cómo varía la intensidad de la corriente inducida en la bobina en los siguientes casos: a. Doblamos la velocidad de giro de la bobina. b. Reducimos la intensidad del campo magnético a la mitad. c. Efectuamos los cambios anteriores simultáneamente. El signo negativo indica que el sentido de la corriente inducida es tal que se opone al aumento de lujo magnético a través de la espira. 12. Un campo magnético uniforme de 0,4 T atraviesa perpendicularmente una espira circular de 5 cm de radio y 15 Ω de resistencia. Calcula la fem y la intensidad de corriente inducidas si la espira gira un cuarto de vuelta alrededor de su diámetro en 0,1 s. 13. Calcula la fem inducida en una bobina con 200 espiras de 30 cm2 cuyo eje es paralelo a un campo magnético uniforme que varía en el tiempo según la ley B = (2t + 0,8) ∙ 10-3 (en unidades del SI). Actividades 10. ¿Qué es una fem? ¿Por qué un campo magnético variable induce una fem? dΦ = −2 ⋅1 0−3 V = −2 mV dt Prohibida su reproducción Ejemplo 1 Una bobina con 200 espiras de 25 cm2 está situada en un campo magnético uniforme de 0,3 T con su eje paralelo a las líneas de inducción. Calculemos: a. La fem inducida en la bobina cuando se gira hasta colocar su eje perpendicular a las líneas de inducción en un tiempo de 0,5 s. 137 Experiencia de Henry El físico norteamericano Joseph Henry descubrió, de forma simultánea e independiente de Faraday, que un campo magnético variable induce una fuerza electromotriz. En particular, Henry observó que, si un conductor se mueve perpendicularmente a un campo magnético, aparece una diferencia de potencial entre los extremos del conductor. B El interés de la experiencia de Henry reside en que la aparición de la fuerza electromotriz inducida puede ser explicada de forma clara por la ley de Lorentz, es decir, por las fuerzas que el campo magnético ejerce sobre las cargas del conductor. IÉN y también: Según la ley de Lorentz, la fuerza que actúa sobre una carga eléctrica q que se mueve con una velocidad v→ en una región donde existen un campo eléc→ trico E y un campo magnético → B viene dada por:     F = q (E + v × B) En el caso que sólo exista campo magnético, la fuerza → → → F viene dada por F = q(v→ × B) y su sentido se determina por la regla de la mano derecha (en el caso de una carga positiva).  F  v l r E  B -- N Como consecuencia de la ley de Lorentz, los electrones del interior del conductor, que son arrastrados a través de éste con una velocidad → v, experimentan una fuerza magnética de valor Fm = evB que los desplaza hacia el extremo inferior. La acumulación de carga negativa en el extremo inferior N y de carga positiva en el extremo superior M genera un → campo eléctrico E a lo largo del conductor. Fm = Fe ⇒ e v B = e E E = vB Este campo eléctrico E genera entre los dos extremos del conductor una diferencia de potencial o fuerza electromotriz dada por:  B ε = El ++ +  F  v l -   F = Ι (l × B) ε = vBl La fuerza electromotriz se mantiene sólo mientras el conductor se mueve dentro del campo magnético. Ahora, si acoplamos los extremos del conductor a un circuito, la fuerza electromotriz crea una corriente de cierta intensidad con sentido contrario al movimiento de los electrones, y aparece una fuerza F que se opone al avance del conductor. Ι Prohibida su reproducción ++ M + La separación de carga cesará cuando la fuerza magnética Fm que actúa sobre los electrones quede compensada por la fuerza eléctrica Fe que se opone a tal separación:  v 138 Consideremos un conductor rectilíneo de longitud l que se desplaza, como indica la igura, de izquierda a derecha con una velocidad → v constante en → un campo magnético B uniforme y dirigido hacia el interior del papel.  B Por tanto, para generar la corriente eléctrica necesitamos un agente externo que ejerza una fuerza sobre el conductor venciendo la fuerza de resistencia F. En otras palabras, necesitamos realizar un trabajo mecánico sobre el conductor para obtener la energía eléctrica de la corriente inducida. B b. El campo eléctrico en el interior de la barra. c. La fem inducida. (Carga del electrón: -e = -1,6 ∙ 10-19 C) a. La fuerza magnética que actúa sobre los electrones de la barra viene dada por la ley de Lorentz. Está dirigida hacia el extremo inferior N. m ⏐Fm⏐= e v B = (1,6 ∙ 10=-19 C) ∙=0, 4 ⋅ 0, 5 T = 3.2 ∙ 10 -20 N s b. El campo eléctrico en el interior de la barra crece hasta que las fuerzas eléctrica y magnética que actúan sobre los electrones se igualan: ⏐Fe⏐ = ⏐Fm⏐. En este instante el valor del campo eléctrico es: E =v B =0, 4 m V ⋅ 0, 5 T = 0, 2 s m c. Calculamos la fem inducida: ε = v B l = E l =0, 2 V ⋅ 0, 2 m = 4 ⋅ 10 −2 V m También podemos obtener esta fem inducida aplicando directamente la ley de Faraday. En un cierto intervalo de tiempo ∆t, la barra MN barre una superficie ∆S = l v∆t, con lo que el incremento de flujo magnético a través del circuito es ∆Φ = B ∆S = B l v∆t. Por tanto, el valor absoluto de ε es: ε = B l v Δt ΔΦ = =B l v Δt Δt 15. ¿Qué fem se induce en un conductor cuando lo desplazamos paralelamente a las líneas de inducción de un campo magnético uniforme y estacionario? Justiica tu respuesta. 16. Una barra metálica de 25 cm se mueve con una velocidad de 6 m/s perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,3 T. Calcula: a. la fuerza magnética que actúa sobre un electrón de la barra; b. el campo eléctrico en el interior de la barra; c. la diferencia de potencial entre los extremos de la barra. Actividades 14. En la experiencia de Henry, ¿por qué el conductor debe desplazarse perpendicularmente al campo magnético? y también: Joseph Henry Nació en Nueva York el 17 de diciembre de 1797. Murió en Washington D. C. el 13 de mayo de 1878. Las vidas de Michael Faraday y Joseph Henry tienen muchos elementos en común. Los dos provenían de familias muy humildes y se vieron obligados a trabajar desde muy jóvenes, por lo que no pudieron seguir sus estudios. Faraday fue aprendiz de encuadernador y Henry, aprendiz de relojero, ambos a los trece años. Como Faraday, Henry se interesó por el experimento de Oersted y, en 1830, descubrió el principio de la inducción electromagnética, pero dudó tanto tiempo en publicar su trabajo que el descubrimiento se concedió a Faraday. En 1831, Henry inventó el telégrafo y, en 1835, perfeccionó su invento para que pudiera usarse a muy largas distancias. Con todo, no patentó su invento. Fue Morse quien, ayudado personalmente por Henry, puso en práctica el primer telégrafo, en 1839, entre Baltimore y Washington, después de conseguir ayuda inanciera del Congreso de los Estados Unidos. Y Morse, aunque fue sólo un aicionado a los experimentos eléctricos, se llevó la fama —y los beneicios— como inventor del telégrafo. Henry destacó también como un excelente administrador. Ejerció cargos de máxima responsabilidad en varias instituciones cientíicas estadounidenses. Fomentó el desarrollo de nuevas ciencias y alentó el intercambio y la comunicación de ideas cientíicas a escala mundial. Prohibida su reproducción Ejemplo 3 La barra metálica de la M B = 0,5 T figura está dentro de un campo magnético uniforme de 0,5 T dirigido hav = 0,4 m/s cia el interior del papel. l = 0,2 m La barra mide 20 cm y se → desplaza sobre dos hilos E conductores con una velocidad de 40 cm/s. DeterN minemos: a. La fuerza magnética que actúa sobre un electrón de la barra. IÉN 139 2. Aplicaciones de la inducción electromagnética Antes del descubrimiento de la inducción electromagnética, la única fuente de energía eléctrica era la batería, como la pila de Volta o la de Daniell, que producían electricidad cara y en pequeñas cantidades. Gracias a la inducción electromagnética, una gran cantidad de trabajo mecánico puede transformarse de forma económica en energía eléctrica. 2.1. Generadores eléctricos La energía eléctrica es fundamental en nuestras vidas por su capacidad de transformación en otras formas de energía: mecánica, térmica, radiante… Para producir esta forma de energía usamos los generadores eléctricos. Un generador eléctrico es cualquier dispositivo que transforma una determinada forma de energía en energía eléctrica. Si el generador produce una corriente eléctrica continua, suele recibir el nombre de dinamo y, si la corriente es alterna, se le llama alternador. El alternador H7e A0 l/S g . oo S htt p:/ / g Consiste en una espira plana que se hace girar mecánicamente a una velocidad angular → ω constante en un campo magnético uniforme B creado por imanes permanentes. A  B  S E Prohibida su reproducción Alternador 140 A E N Los extremos de la espira están conectados a dos anillos (A) que giran solidariamente con la espira. Un circuito externo puede acoplarse a los anillos mediante dos escobillas (E). A medida que la espira gira en el campo magnético, el lujo magnético que la atraviesa varía y, por tanto, se induce una fem en la espira que hace circular una corriente eléctrica en el circuito exterior. Si la espira tiene un área S, el lujo magnético que la atraviesa en cada instante de tiempo → es: Φ = B S cos θ , donde θ es el ángulo que forma el vector supericie S con el campo mag→ nético B. S B θ Según la ley de Faraday, la fuerza electromotriz inducida es: dΦ ε= =BS ω se n (ω t) =ε 0 s en (ω t ) dt ε0 = BS ω es la fuerza electromotriz inducida máxima. La fuerza electromotriz inducida (fem) varía en el tiempo de forma sinusoidal. Es decir, es periódica y cambia alternativamente de polaridad. La frecuencia de la fuerza electromotriz coincide con la del movimiento de la espira y viene Ejemplo 4 dada por f = ω . 2´ Un alternador está formado por una bobina plana que gira con una frecuencia de 50 Hz en un campo magnético uniforme de 0,3 T. Si la bobina consta de 30 espiras de 40 cm2, calculemos: a. La fem inducida en función del tiempo. b. La fem inducida máxima. — Datos: f = 50 Hz B = 0,3 T N = 30 S = 4 ⋅ 10-3 m2 a. Calculamos en primer lugar la velocidad angular de la bobina: ω = 2 π f = 2 π ⋅ 50 Hz = 100 π rad⋅s-1 El flujo magnético que atraviesa la bobina es: Φ = NB S cos ω t Φ = 30 ⋅ 0,3 T ⋅ 4 ⋅ 10-3 m2 ⋅ cos (100 π t ) = 3,6 ⋅ 10-2 cos (100 π t ) Wb La fem inducida en función del tiempo es: dΦ µ ¶· ¶ N B S ω sen (ω t ) dt ε = 3,6 π sen (100 π t ) V IÉN y también: En los alternadores de uso común, en vez de una espira se usa una bobina de N espiras para aumentar en un factor N el lujo magnético y la fuerza electromotriz inducida. El electroimán Consiste en un solenoide en cuyo interior se ha introducido una barra de hierro dulce. El campo magnético generado por el electroimán es más intenso que el de la bobina, debido a que el hierro dulce se imanta y crea su propio campo magnético, que se suma al del solenoide. Si desconectamos la corriente, desaparece el campo magnético, ya que el hierro es un imán temporal. Esto hace que el electroimán sea muy útil en diversas aplicaciones, como timbres, frenos electromagnéticos, grúas magnéticas, alternadores, dinamos, motores eléctricos… b. La fem inducida máxima viene dada por la amplitud de la función senoidal: ε0 = 3,6 π V = 11,3 V Ι + - Prohibida su reproducción Φ = BS cos ωt B La espira gira con una velocidad angular constante ω. Por tanto, el ángulo θ puede escribirse como θ = ωt. Entonces, el lujo magnético que atraviesa la espira en cada instante de tiempo es: 141 2.2. Autoinducción Si la intensidad de corriente que recorre un circuito eléctrico varía, el campo magnético creado por la corriente y el lujo magnético a través del propio circuito experimentarán también variaciones. Así, existirá una fuerza electromotriz inducida por la variación de la intensidad del propio circuito. Este fenómeno se denomina autoinducción. Consideremos el circuito de la igura, formado por una batería, una bobina y un interruptor. Al cerrar el circuito, la intensidad de corriente tarda un cierto tiempo en alcanzar su valor estacionario I y el lujo magnético a través de la bobina varía en este tiempo desde cero hasta su valor máximo. En consecuencia, se induce una fuerza t electromotriz (llamada fuerza contraelectromoApertura del triz) que se opone al aumento instantáneo de la circuito intensidad en el circuito. Se dice que existe una contracorriente durante el inicio del paso de corriente por el circuito. Variaciones de intensidad en el cierre y apertura de un circuito Régimen estacionario B Cierre del circuito IÉN y también: Según la ley de Biot y Savart, el campo magnético B creado por una corriente eléctrica es proporcional a la intensidad de corriente Ι: B ∝ I. Así, el lujo magnético Φ debido a una corriente eléctrica a través del propio circuito también será proporcional a la intensidad de corriente Ι: Φ ∝ I De igual modo, al abrir el circuito, la intensidad tarda un cierto tiempo en anularse. En este caso, la fuerza electromotriz autoinducida se opone a que la intensidad caiga a cero de forma instantánea. Se dice que existe una extracorriente. Esta fuerza electromotriz puede ser de varios miles de voltios y, en ocasiones, produce una chispa en el interruptor. Inductancia La fuerza electromotriz autoinducida en un circuito depende de la variación del lujo magnético. Este lujo magnético es proporcional a la intensidad I que recorre el circuito: Φ = LI La constante de proporcionalidad, L, recibe el nombre de coeiciente de autoinducción o inductancia y depende de las características físicas del circuito eléctrico: del tipo de material que lo constituye y de su forma geométrica. Una variación de intensidad en el circuito, ∆I, causa una variación del lujo magnético, ∆Φ = L∆I. Si esta variación tiene lugar en un tiempo ∆t, la fem inducida es, según la ley de Faraday: Prohibida su reproducción ε= − 142 dΦ dΙ ; ε = −L dt dt Esta expresión indica que el coeiciente de autoinducción representa la fem autoinducida en un circuito cuando la intensidad de corriente varía un amperio en un segundo. La unidad de inductancia en el SI es el henrio, H. Un henrio es la autoinducción de un circuito en el cual una variación de intensidad de un amperio por segundo induce una fuerza electromotriz de un voltio. 1H =1 V⋅ s A A partir de la deinición del coeiciente de autoinducción, L, podemos calcularlo en el caso de una bobina de longitud l formada por N espiras de supericie S. El campo magnético en el interior de la bobina es uniforme y paralelo a su eje. Su módulo es:  B N ∙I l B = µ0 I El lujo magnético a través de la bobina es: N2 ∙ SI l B Φ= NBS = µ0 y también: Comparando este resultado con la deinición de L, Φ = LI vemos que el coeiciente de autoinducción de la bobina es: ¸ µ0 La permeabilidad magnética del vacío en unidades del SI es: ¹ N S l µ0 = 4 » ⋅10 −7 T ⋅m A Una bobina de 20 cm de longitud está formada por 100 espiras de 60 cm2 de superficie. Determinemos la fem inducida en la bobina cuando la intensidad varía de 10 A a 4 A en 1 ms. — Datos: l = 20 cm = 0,2 m Ι0 = 10 A N = 100S = 6 ⋅ 10-3 m2 Ι=4A Calculamos el coeficiente de autoinducción de la bobina: º ∆t = 1 ⋅ 10-3 s )2 N2 0 0 −4 −7T ⋅m (1 , 81 ⋅ 0 H π ⋅1 ⋅ ⋅ 0−3 m2= 3 = µ 0 S =4 0 61 , 2m A l 0 La variación de intensidad es ∆Ι = Ι - Ι0 = 4 A - 10 A = -6 A, y tiene lugar en un intervalo de 10-3s. Por tanto, la fem inducida en la bobina es: ε = −L Ι − 6A = −3 ,8 ⋅10 −4 H ⋅ = +2, 3 V t 10 −3 s El signo positivo indica que la fem se opone a la disminución de la intensidad. 18. Explica qué se entiende por fuerza contraelectromotriz de un motor. 19. Razona por qué el coeiciente de autoinducción de una bobina de 50 espiras es mucho mayor que el de una sola espira 20. Calcula la fem inducida en una bobina de 20 cm de longitud formada por 200 espiras de 40 cm2 de supericie cuando la intensidad que circula por ella decrece de 4 A a 0 A en 2 ms. Actividades 17. ¿Es la autoinducción un proceso físico distinto de la inducción electromagnética? Prohibida su reproducción Ejemplo 5 L IÉN 143 Inducción mutua La segunda experiencia de Faraday, que describimos al inicio de la unidad, consta de dos bobinas muy próximas con sus ejes alineados. Ι1 Φ2 Si por la primera bobina circula una intensidad de corriente I1, el campo magnético creado por esta corriente origina un lujo magnético F2 a través de la segunda bobina. 15 10 0 1 01 20 5 20 mA El lujo magnético F2 a través de la segunda bobina es proporcional a la intensidad de corriente de la primera bobina: Φ2 = M 12 Ι 1 De igual manera, una intensidad de corriente I 2 en la segunda bobina genera un lujo magnético F 1 a través de la primera bobina: Φ1 = M 21 Ι 2 Puede demostrarse que las constantes de proporcionalidad en ambos casos son iguales: M12 = M21. Esta constante recibe el nombre de coeiciente de inducción mutua o inductancia mutua, y depende de las características físicas de los circuitos y de su posición y orientación relativas. En consecuencia, una variación de la intensidad de corriente Ι 1 en el primer circuito provoca una variación del lujo Φ2 en el segundo circuito y la aparición de una fem inducida en éste. La variación de intensidad Ι 2 que se produce en el segundo circuito origina a su vez una fem inducida en el primero. La aplicación más importante del fenómeno de inducción mutua consiste en la variación de la tensión y de la intensidad de una corriente alterna sin pérdidas apreciables de energía, mediante el uso de transformadores. Transformadores 144 La corriente alterna que circula por el circuito primario produce un lujo magnético variable que origina, por inducción mutua, una fem inducida alterna en el circuito secundario. V1 Primario Ι1 Ι2 Secundario Prohibida su reproducción Un transformador consta de dos bobinas de hilo conductor enrolladas alrededor de un núcleo común de hierro dulce y aisladas entre sí. La bobina por la que se hace circular la corriente alterna de entrada recibe el nombre de circuito primario y la otra bobina, por la que circula la corriente transformada de salida, se llama circuito secundario. V2 La fuerza electromotriz inducida en la bobina secundaria tiene la misma frecuencia que la corriente alterna de entrada. Supongamos que el lujo a través de cada espira es Φ. Si la bobina primaria tiene N1 espiras y la bobina secundaria tiene N2, la tensión V1 de entrada y la tensión V2 de salida vienen dadas, según la ley de Faraday, por: dΦ dt De estas ecuaciones entre tensiones: V 2 = −N 2 resulta la dΦ dt siguiente relación V2 N2 = V1 N1 Por otro lado, las pérdidas de energía en el proceso de transformación son tan pequeñas que pueden despreciarse. En tal caso, la potencia de la corriente de entrada es igual a la potencia de la corriente de salida: P 1 = P 2; V 1 I 1 = V 2 I 2. De esta ecuación obtenemos la relación de transformación: V2 V1 = I1 I2 = N2 N1 Ejemplo 6 Observa que la tensión y la intensidad de la corriente de salida son inversamente proporcionales. Un transformador con mayor número de espiras en el circuito primario que en el secundario disminuye la tensión de la corriente alterna, pero aumenta su intensidad. En cambio, un transformador con mayor número de espiras en el circuito secundario aumenta la tensión, pero disminuye la intensidad. 21. ¿Qué unidades tiene el coeficiente de inducción mutua? Razona tu respuesta. 22.¿Podemos utilizar un transformador para variar la tensión o la intensidad de una corriente continua? Justifica tu respuesta. 23.Un transformador tiene 100 vueltas en su circuito primario y 500 vueltas en el secundario. Razona cómo modifica la tensión y la intensidad de la corriente de entrada. UE Corrientes de Foucault Cuando un trozo de metal es atravesado por un lujo magnético variable se inducen en él pequeñas corrientes eléctricas que reciben el nombre de corrientes de Foucault. Estas corrientes se ponen de maniiesto por el calentamiento del metal (efecto Joule). En el núcleo de hierro de un transformador aparecen corrientes de Foucault. En este caso estas corrientes son perjudiciales: suponen una pérdida de energía y, además, obligan a disipar el calor que generan. Para reducir estas corrientes se construye el núcleo del transformador mediante delgadas láminas de hierro unidas. En otras circunstancias, las corrientes de Foucault son muy útiles. El funcionamiento de los hornos de inducción se basa en la existencia de estas corrientes y también los frenos de emergencia de algunos camiones pesados utilizan estas corrientes inducidas. De la relación de transformación obtenemos la tensión y la intensidad máximas de salida: V 2 =V 1 Ι2 =Ι1 N2 30 =310 V = 15, 5 V N1 600 N1 600 =0, 14 A = 2, 8 A 30 N2 24.Las bobinas de un transformador tienen 400 y 50 vueltas. ¿Qué transformaciones de tensión e intensidad se pueden producir? 25.Por el circuito primario de un transformador circula una corriente alterna de tensión máxima igual a 3000 V e intensidad máxima igual a 2 mA. Calcula la tensión y la intensidad máximas de salida si el circuito primario tiene 900 espiras y el secundario 30 espiras. Actividades El circuito primario de un transformador tiene 600 vueltas y el circuito secundario tiene 30 vueltas. Si por el circuito primario circula una corriente alterna con una tensión máxima de 310 V y una intensidad máxima de 0,14 A, calculemos los valores máximos de la tensión y la intensidad de la corriente de salida. — Datos: N 1 = 600; V 1 = 310 V; Ι 1 = 0,14 A; N 2 = 30 Ten en cuenta que: Prohibida su reproducción V 1= −N 1 NT T Sin embargo, en función de las características de las bobinas empleadas, la tensión y la intensidad máximas de la corriente en los dos circuitos pueden ser distintas. 145 3. Síntesis electromagnética Hacia 1860, el desarrollo matemático de estas ideas condujo al físico escocés J. C. Maxwell a una descripción uniicada de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos: la teoría electromagnética. http://goo.gl/UlWDOw Las investigaciones de Oersted, Ampère y Faraday pusieron de maniiesto la estrecha relación existente entre campos eléctricos y magnéticos. Oersted y Ampère demostraron que una corriente eléctrica crea un campo magnético, y Faraday demostró que un campo magnético variable induce una corriente eléctrica en un circuito. J. C. Maxwell. El trabajo de Maxwell supuso un paso muy importante en la comprensión de los fenómenos electromagnéticos. Maxwell predijo que un campo eléctrico variable genera un campo magnético y, a su vez, un campo magnético variable genera un campo eléctrico. Postuló que las variaciones de los campos eléctricos y magnéticos se propagan por el espacio en forma de radiaciones electromagnéticas, a una velocidad dada por: C= 1 B µ0 ε 0 IÉN y también: Las ondas electromagnéticas son transversales y consisten en la propagación, sin necesidad de soporte material alguno, de un campo eléctrico y de un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Prohibida su reproducción E 146 Campo eléctrico B Campo magnético Dirección de propagación Esta velocidad es justamente la velocidad de la luz. Maxwell no creyó que esto fuera una coincidencia y, en 1865, sugirió que la luz es una onda electromagnética. Además, airmó que la luz visible era sólo una pequeña parte de todo un espectro de radiaciones electromagnéticas. Las predicciones teóricas de Maxwell fueron conirmadas en 1887 por el físico alemán H. Hertz, quien demostró experimentalmente que circuitos oscilantes emiten ondas electromagnéticas. Como vimos en la unidad dedicada a la luz, las ondas electromagnéticas se caracterizan por la frecuencia de oscilación de sus campos eléctrico y magnético. Cuanto más alta es esta frecuencia, más energética es la radiación electromagnética. El espectro electromagnético está formado por la secuencia de todas las ondas electromagnéticas conocidas, ordenadas según su longitud de onda o su frecuencia. 3.1. Ecuaciones de Maxwell Maxwell resumió todas las leyes de la electricidad y el magnetismo en sólo cuatro ecuaciones que, en su honor, son conocidas como ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones relacionan los campos eléctrico y magnético con sus fuentes: las cargas eléctricas, las corrientes eléctricas y las variaciones de los propios campos. La forma matemática de las ecuaciones de Maxwell es compleja y su deducción no forma parte de los objetivos de este curso. Por ello las reproducimos tan sólo a modo ilustrativo. Primera ecuación de Maxwell Es el teorema de Gauss para el campo eléctrico: el flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la carga eléctrica interior. ⌠ E ⋅ d S = Q ε0 ⌡ S +Q Su evidencia experimental es la ley de Coulomb. S Segunda ecuación de Maxwell El flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es cero (el número de líneas de inducción que entran es igual al número de líneas que salen). ⌠ B ⋅ d S =0 ⌡ S N S La evidencia experimental de esta ley está en el hecho de que las líneas de inducción magnética no convergen en ningún punto ni divergen de punto alguno. Esto es, no existen monopolos magnéticos, los polos magnéticos (norte y sur) siempre se presentan en parejas. S Tercera ecuación de Maxwell Es la ley de Faraday de la inducción electromagnética: un campo magnético variable genera un campo eléctrico a su alrededor.   ⌠ E ⋅ d l =− d ⌠ B ⋅ dS d t ⌡ ⌡ C S  E  B  E La evidencia experimental de esta ecuación es el fenómeno de la inducción electromagnética.  E  E  E  S  E  E Cuarta ecuación de Maxwell La evidencia experimental de esta ley está en las experiencias realizadas por Oersted, Ampère y otros científicos.    d ⌠ E ⋅dS B ⋅ d l = µ 0 Ι + µ 0 ε0 dt⌡ S I  B  B  B  B 28.Di cuáles son las fuentes o causas de los campos eléctricos y magnéticos. 29.¿Puede ser diferente de cero el flujo magnético que atraviesa una superficie cerrada? ¿Puede serlo el flujo eléctrico? Justifica tus respuestas.  B  B Actividades 26.Explica brevemente en qué consistió la unificación electromagnética de Maxwell. Di en qué hechos experimentales se basan las ecuaciones de Maxwell. 27. Describe qué perturbaciones produce en el espacio una carga eléctrica en movimiento. C Prohibida su reproducción Es el teorema de Ampère generalizado por Maxwell: un campo magnético puede ser producido por una corriente eléctrica o por un campo eléctrico variable. 147 4. Naturaleza de la luz La determinación de la naturaleza de la luz ha originado una de las controversias más apasionantes de la historia de la ciencia. Las diversas hipótesis, formuladas en diferentes momentos históricos para justiicar los fenómenos conocidos entonces, se iban desechando o modiicando a medida que se alcanzaban nuevos conocimientos. Las primeras hipótesis cientíicas merecedoras de atención surgieron casi simultáneamente durante el siglo XVII y fueron propuestas por dos grandes cientíicos: el inglés I. Newton (16421727) y el holandés C. Huygens (1629-1695). Las dos hipótesis, aparentemente contradictorias entre sí, se han denominado, respectivamente, la teoría corpuscular de Newton y la teoría ondulatoria de Huygens, y han servido de base a todas las opiniones posteriores. http://goo.gl/6uunPY Teoría corpuscular de Newton En su obra Óptica, publicada en 1704, Newton afirmó que la luz tiene naturaleza corpuscular: los focos luminosos emiten minúsculas partículas que se propagan en línea recta en todas las direcciones y, al chocar con nuestros ojos, producen la sensación luminosa. Los corpúsculos, distintos para cada color, son capaces de atravesar los medios transparentes y son reflejados por los cuerpos opacos. y r r′ Esta hipótesis justificaba fenómenos como la propagación rectilínea de la luz y la reflexión, pero no aclaraba otros como la refracción: ¿por qué unos corpúsculos luminosos son reflejados por la superficie de un cuerpo al mismo tiempo que otros penetran en ella refractándose? Para poder justificarlo, supuso que la luz viajaba a mayor velocidad en los líquidos y en los vidrios que en el aire, lo que posteriormente se comprobó que era falso. Teoría ondulatoria de Huygens Con anterioridad a Newton, Huygens, en su obra Tratado de la luz, publicada en 1690, propuso que: la luz consiste en la propagación de una perturbación ondulatoria del medio. Huygens creía que se trataba de ondas longitudinales similares a las ondas sonoras. Esta hipótesis explicaba fácilmente determinados fenómenos como la reflexión, la refracción de la luz y la doble refracción, descubierta por entonces. Pese a ello, no fue comúnmente aceptada. La mayoría de los científicos se adhirió a la teoría corpuscular de Newton, dado su gran prestigio. La mayor dificultad de la teoría ondulatoria residía en que no se habían observado en la luz fenómenos típicamente ondulatorios como la difracción. Hoy sabemos que su longitud de onda es tan pequeña que estos fenómenos, aunque se producen, no es fácil observarlos. Prohibida su reproducción Teoría ondulatoria de Fresnel A principios del siglo XIX diversos avances revalorizaron la hipótesis ondulatoria de la luz. Algunos de ellos fueron: las experiencias, en 1801, del médico y físico inglés T. Young (1773-1829) sobre interferencias luminosas; el descubrimiento, en 1808, de la polarización de la luz, o las experiencias, en 1815, del físico francés A. J. Fresnel (1788-1827) sobre la difracción. Fresnel mostró la insuficiencia de la teoría corpuscular para justificar estos descubrimientos e hizo una nueva 148 propuesta: la luz está constituida por ondas transversales. Más tarde, en 1850, el físico francés J. Foucault (18191868) midió la velocidad de la luz en el agua y comprobó que es menor que en el aire, lo que invalidaba la justificación de Newton para la refracción. La hipótesis corpuscular, después de 150 años de aceptación, fue prácticamente abandonada. Teoría electromagnética de Maxwell En 1864, el físico y matemático escocés J. C. Maxwell (1831-1879) estableció la teoría electromagnética de la luz. Adelantándose a la comprobación experimental de la existencia de las ondas electromagnéticas efectuada, en 1887, por el físico alemán H. Hertz (1857-1894), propuso que: la luz no es una onda mecánica sino una forma de onda electromagnética de alta frecuencia. Las ondas luminosas consisten en la propagación, sin necesidad de soporte material alguno, de un campo eléctrico y de un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Estos dos campos son funciones periódicas tanto de la coordenada en la dirección de propagación como del tiempo.  E  E Dirección de propagación Campo eléctrico P1  B P2 P3 Campo magnético  B P4 Un campo eléctrico variable genera un campo magnético también variable que, a su vez, genera un campo eléctrico variable y de este modo se propagan por el espacio. La teoría electromagnética de Maxwell tuvo aceptación general y, al parecer, podía considerarse como la teoría definitiva acerca de la naturaleza de la luz. Efecto fotoeléctrico de Einstein Luz Amperímetro El efecto fotoeléctrico, descubierto en 1887 por H. Hertz, consiste en la emisión de electrones de una cierta energía, al incidir la luz de una determinada frecuencia sobre una superficie metálica. Este efecto no podía ser explicado mediante la teoría ondulatoria. A partir de la hipótesis cuántica del físico alemán M. Planck (18581947), A. Einstein (1879-1955) propuso en 1905 que: la luz está formada por un haz de pequeños corpúsculos o cuantos de energía, también llamados fotones. Es decir, en los fotones está concentrada la energía de la onda en lugar de estar distribuida de modo continuo por toda ella. La energía de cada uno de los fotones es proporcional a la frecuencia de la luz. E = hf h = constante de Planck = 6,625 ⋅ 10-34 J⋅s Teoría dual de la luz A partir de la teoría cuántica de Einstein, se acepta que la luz tiene una doble naturaleza, corpuscular y ondulatoria. La luz se propaga mediante ondas electromagnéticas y presenta los fenómenos típicamente ondulatorios, pero en su interacción con la materia, en ciertos fenómenos de intercambio de energía, manifiesta un carácter corpuscular. Sin embargo, la luz no manifiesta simultáneamente ambas características, puesto que en un fenómeno concreto se comporta como onda o bien como partícula. 31. La energía de un determinado fotón vale 5,2 ⋅ 10-18 J. Calcula la frecuencia de la radiación luminosa correspondiente. 32.La aplicación tecnológica más importante del efecto fotoeléctrico es un dispositivo llamado célula fotoeléctrica. Infórmate sobre su funcionamiento y sobre sus aplicaciones en la vida cotidiana. Actividades 30.A partir de las diferentes teorías sobre la naturaleza de la luz, haz un esquema en el que se muestre qué características de la luz describe cada una de las teorías y cuáles no. Prohibida su reproducción Se ha comprobado posteriomente que la doble naturaleza de la luz es aplicable también al comportamiento de ciertas partículas, como los electrones. Esta naturaleza dual de la materia, a semejanza de la luz, fue propuesta en 1924 por el físico francés L. de Broglie (1892-1987) y constituye uno de los fundamentos básicos de la física moderna. 149 B IÉN y también: James Clerk Maxwell Nació en Edimburgo (Escocia) en 1831. Desde joven se sintió atraído por las matemáticas, pues estaba dotado de una sorprendente habilidad e intuición. Fue el mayor físico teórico del siglo XIX. Murió en Cambridge en 1879. Fue catedrático de física en Aberdeen, y después profesor del King’s College de Londres y de la Universidad de Cambridge. Organizó el célebre laboratorio Cavendish. Sus mayores contribuciones cientíicas fueron la teoría del campo electromagnético y la teoría electromagnética de la luz. 4.1. Ondas electromagnéticas J. C. Maxwell desarrolló su teoría del campo electromagnético entre 1861 y 1864, y predijo la existencia y las características de las ondas electromagnéticas. Maxwell halló que estas ondas se tenían que propagar a la velocidad de la luz y que la luz no era nada más que una forma de radiación electromagnética. Las ondas electromagnéticas son transversales y consisten en la propagación, sin necesidad de ningún soporte material, de un campo eléctrico y de un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. La predicción de Maxwell sobre la existencia de las ondas electromagnéticas fue conirmada en 1887 por el alemán H. Hertz, que produjo y detectó este tipo de ondas. Características de las ondas electromagnéticas — Son originadas por cargas eléctricas aceleradas. — Consisten en la variación periódica del estado electromagnético del espacio. Un campo eléctrico variable produce un campo magnético variable, éste a su vez origina un campo eléctrico y así, sucesivamente, ambos se propagan en el espacio. — No necesitan soporte material para propagarse. — En estas ondas, los vectores de los campos eléctrico y magnético, E y B, varían periódicamente con el tiempo y la posición. → Campo eléctrico E Ejemplo 7 Prohibida su reproducción  B Campo magnético Dirección de propagación ¼ B =c c = velocidad de la onda — La velocidad de las ondas electromagnéticas depende del medio de propagación. Su valor en el vacío viene dado por la expresión: c = 1 ε0 µ0 ε0 (constante dieléctrica del vacío) = 8,854 ⋅ 10-12 C2⋅N-1⋅m-2 µ0 (permeabilidad magnética del vacío) = 4 π ⋅ 10-7 T⋅m⋅A-1 Si se sustituyen estos valores en la expresión dada, se comprueba que c = 3 ⋅ 108 m⋅s-1. — Las ondas electromagnéticas también cumplen las relaciones entre velocidad, longitud de onda y frecuencia: λ=c ∙T λ= c f Una onda electromagnética se propaga en el vacío, siendo la frecuencia 2 ∙ 108 Hz y el valor máximo del campo eléctrico E0 = 500 N ∙ C-1. Calculemos: a. la longitud de onda y el período; b. el valor máximo del campo magnético. — Datos: f = 2 ⋅ 108 Hz; E 0 = 500 N⋅C-1; c = 3 ⋅ 108 m⋅s-1; a. Longitud de onda: λ= 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 c =1,5 m ;λ = f 2 ⋅ 10 8 Hz 1 1 = 5 ⋅10 −9 s Periodo T = ; T = f 2 ⋅ 10 8 Hz b. Amplitud del campo magnético, B0: B0 = 150 — Los módulos de los vectores E y B, en una posición y un tiempo determinados, cumplen: E0 500 N ∙ C-1 ; B0 = = 1,7 ∙ 10 -6 T C 3 ∙ 108 m ∙ s-1 Llamamos espectro electromagnético a la secuencia de todas las ondas electromagnéticas conocidas, ordenadas según su longitud de onda o su frecuencia. Todas las ondas electromagnéticas tienen en común su naturaleza. No obstante, cada grupo de ondas, caracterizado por un intervalo determinado de longitudes de onda y de frecuencias, tiene su propia forma de producción, y también unas aplicaciones prácticas especíicas. Los diferentes grupos de ondas del espectro... Se generan en... λ(m) 10 10-13 Emisiones nucleares radiactivas Choques de electrones de alta energía con átomos metálicos 10 Rayos γ 1021 1020 10-11 1019 10 1016 Ultravioletas -7 Visible 10-6 10-5 Infrarrojos 1013 1012 10-3 Investigación biológica, médica, química e industrial, fotografía... 1011 Microondas 10-2 1010 10-1 Ondas de radio cortas 1 109 10 107 Ondas de radio de AM 102 Telefonía, radar, radioastronomía, hornos... 108 Ondas de TV y radio de FM 1 106 103 Radio, televisión, telecomunicaciones... 105 104 Generadores con circuitos oscilantes Iluminación, láser... 1014 10-4 Generadores electrónicos Medicina, biología... 1015 10 Radiación térmica de los cuerpos Medicina, metalurgia, cristalografía... 1017 10-8 Transiciones electrónicas en los átomos Medicina, metalurgia... 1018 Rayos X 10-9 Descargas eléctricas en gases y el Sol 22 10-12 -10 Tienen su aplicación en... f (Hz) -14 104 105 Ondas de radio largas 106 NT Ten en cuenta que: T En la actualidad conocemos muchas clases de ondas electromagnéticas que cubren de forma continua un amplio margen de longitudes de onda, desde decenas de kilómetros hasta 10-14 m. UE Espectro electromagnético Contaminación electromagnética La radiación electromagnética que nos rodea puede tener efectos nocivos sobre nuestra salud. La exposición a las radiaciones ultravioletas, UV, emitidas por el Sol produce el bronceado de la piel, pero su abuso es peligroso para la salud humana, ya que están relacionadas con algunas formas de cáncer. Afortunadamente, la ina capa de ozono que rodea la Tierra en la atmósfera superior, o estratosfera, absorbe la mayor parte de las radiaciones ultravioletas procedentes del Sol. Las ondas electromagnéticas producidas por un teléfono móvil pueden dar lugar a interferencias en personas que llevan marcapasos. Asimismo, algunos estudios recientes efectuados con ratones parecen indicar que los individuos expuestos a radiaciones similares a las producidas por un teléfono móvil son más proclives a desarrollar ciertos tipos de cáncer. No obstante, los estudios realizados hasta ahora no son concluyentes. 103 UE 102 107 NT Ten en cuenta que: Espectro visible por el hombre (Luz) Ultravioleta Infrarrojo 400 nm 450 nm 500 nm 550 nm 600 nm 650 nm 700 nm 750 nm El espectro visible La banda del espectro electromagnético que el ojo del ser humano es capaz de percibir se conoce como espectro visible. Abarca, aproximadamente, las longitudes de onda comprendidas entre 400 y 700 nm. Sin embargo, hay personas que son capaces de captar la luz visible entre 380 y 780 nm. El esquema inferior recoge las longitudes de onda y los colores a los que corresponden. Prohibida su reproducción T 10 151 MB y también: 4.2. Propagación rectilínea de la luz IÉN Frentes de onda.- Se deine como el lugar geométrico formado por todos los puntos que se encuentran en la misma fase de vibración. Cuando las ondas de sonido se propagan en todas las direcciones, desde una fuente puntual, cualquiera de las supericies esféricas generadas, con centro en la fuente, es aproximadamente un frente de onda.  E Si la luz solar penetra por una pequeña abertura en un local oscuro, las partículas de polvo iluminadas al paso de la luz ponen de maniiesto que ésta se propaga en línea recta. La luz, de naturaleza ondulatoria, se propaga siguiendo trayectorias rectilíneas que llamamos rayos. Las ondas electromagnéticas son transversales y consisten en la propagación, sin necesidad de ningún soporte material, de un campo eléctrico y de un campo magnético perpendiculares entre sí y a la dirección de propagación. Así, el diagrama de los campos eléctrico y magnético de la onda puede representarse mediante la aproximación de rayos, tal como se hace para el movimiento ondulatorio en general. Frente de onda  B  B Rayos divergentes Rayos paralelos  E Rayo luminoso El rayo luminoso es perpendi→ → cular a los vectores E y B, que deinen los campos eléctrico y magnético, respectivamente. Frentes de onda Frentes de onda Un haz de rayos de luz paralelos es un conjunto de rayos paralelos entre sí cuyas supericies de onda son planas. Un haz de rayos de luz divergentes es un conjunto de rayos, procedentes de una fuente luminosa puntual, cuyas supericies de onda son esféricas. Un hecho comúnmente conocido nos muestra la utilidad y la validez de la aproximación de rayos en el caso de la luz: la producción de sombras proyectadas. Prohibida su reproducción Eclipses de Sol La producción de sombras explica el porqué de los eclipses de Sol total y parcial. El eclipse es total para las zonas de sombra y parcial para las zonas de penumbra. 152 Luna Tierra Sol Eclipse Eclipse total parcial (sombra) (penumbra) Penumbra F Foco puntual F Foco no puntual Cuerpo opaco Sombra Si un foco luminoso puntual ilumina un cuerpo extenso opaco, aparece tras él una región no iluminada o sombra que reproduce el contorno del objeto, deinido por los rayos tangentes a él. Cuerpo opaco Sombra Si un foco de luz de dimensiones initas ilumina el cuerpo opaco, aparece, además de la sombra, una zona llamada penumbra parcialmente iluminada por los rayos de luz. Durante muchos siglos se ha creído que la velocidad de la luz es ininita y que su propagación es instantánea. No obstante, hoy sabemos que es inita, aunque mucho mayor que cualquier otra velocidad conocida (aproximadamente, c = 3,0 ⋅ 108 m⋅s-1), y que su valor es una de las constantes más importantes de la naturaleza. A partir de inales del siglo XVII se han seguido dos tipos de métodos para medirla: métodos astronómicos, que utilizan distancias muy grandes para medir el tiempo empleado por la luz en recorrerlas, y métodos terrestres o directos, que utilizan distancias relativamente pequeñas y dispositivos muy precisos de medida del tiempo. B 4.3. Velocidad de propagación IÉN y también: La luz se propaga en cada medio material con una velocidad que le es propia y que depende de las características electromagnéticas de éste. Así, por ejemplo, la luz avanza a 225 408 km/s en el agua, a 176 349 km/s en el vidrio y se desplaza a 123 881 km/s en el diamante. Características de las ondas electromagnéticas En 1675, el astrónomo danés O. Roemer (1644 - 1710) midió la velocidad de la luz. Aunque el valor que obtuvo difiere notablemente del admitido en la actualidad, la medición tuvo el mérito de demostrar que la velocidad de la luz es finita. Roemer trató de medir el período orbital de Io (satélite de Júpiter) a partir del intervalo de tiempo transcurrido entre dos eclipses consecutivos. Sin embargo, encontró que este tiempo era variable: se hacía mayor cuando la Tierra se alejaba de Júpiter y menor cuando la Tierra se acercaba a él. Órbita Midió el período del de la Tierra satélite cuando la Órbita Tierra se halla en T1 de Júpiter y calculó con el valor T T1 2 obtenido el momenIo Sol to en que debía proIo ducirse un eclipse al cabo de medio año, cuando la Tierra se halla en T2. El retraso en la observación del eclipse es el tiempo que emplea la luz en recorrer la distancia desde T1 a T2, es decir, el diámetro de la órbita terrestre, 3 ∙ 1011 m. El retraso observado fue de 22 min (en realidad es menor, 16,5 min). Y el valor de c obtenido por Roemer fue: Interpretó el hecho admitiendo que, al aumentar la distancia entre la Tierra y Júpiter, la luz que procede del satélite debe recorrer una distancia mayor. c= ∆s 3 ∙ 1011 m ; c= = 2,3 ∙ 108 m∙ s-1 ∆t 22 ∙ 60 s El físico francés A. Fizeau (1819-1896), en 1849, hizo pasar un haz de luz entre dos dientes consecutivos de los 720 de una rueda dentada giratoria. Rueda Este haz se reflejaba Espejo posteriormente en un dentada giratoria espejo situado a una distancia de 8,63 km de la rueda, y volvía siguiendo la misma trayectoria. Para determinar la velocidad de la luz es preciso conocer cuál debe ser la velocidad angular de la rueda dentada para que la luz reflejada pase precisamente a través de la abertura siguiente de la rueda. Conociendo dicha velocidad angular (25,2 rev∙s-1), se calcula el tiempo que transcurre desde que la luz atraviesa la rueda hasta que regresa a ella: 2π ∆s 720 rad ∆t= ; ∆t= = 2,3 ∙ 108 m∙ s-1 ω 2π ∙ 25,2 rad ∙ s-1 c= ∆s ; c= ∆t 2 ∙ 8,63 ∙ 103 m = 3,1 ∙ 108 m∙ s-1 5,5 ∙ 10-5 s A bajas velocidades de rotación de la rueda, la luz reflejada era detenida por el siguiente diente. El valor obtenido es ligeramente superior al valor real. Prohibida su reproducción Método de Fizeau para la medida de la velocidad de la luz (un método terrestre) 153 B 5. Fenómenos luminosos IÉN y también: Leyes de la relexión 1. El rayo incidente, la normal a la supericie en el punto de incidencia y el rayo relejado están situados en el mismo plano. 2. El ángulo de incidencia y el de relexión son iguales. Leyes de la refracción 1. El rayo incidente, la normal a la supericie en el punto de incidencia y el rayo refractado están situados en el mismo plano. 2. La razón entre el seno del ángulo de incidencia i y el del ángulo de refracción r es una constante igual a la razón entre las respectivas velocidades de propagación del movimiento ondulatorio. v sen i = 1 sen r v2 Índice de refracción y ley de Snell Llamamos índice de refracción relativo del medio 2 respecto del medio 1 al cociente de dividir los correspondientes índices de refracción absolutos. Prohibida su reproducción n21= 154 n2 n1 Recordando la segunda ley de la refracción, obtenemos: n v sen i n21= 2 = 1 = v2 sen r n1 De donde se deduce una nueva expresión para la ley de Snell de la refracción: n1 sen i = n2 sen r Debido a la naturaleza ondulatoria de la luz, ésta presenta unos fenómenos característicos que veremos a continuación. 5.1. Relexión y refracción Rayo Cuando una onda luminosa alcanincidente za la supericie de separación de dos medios transparentes de distinta naturaleza, una parte es absorbida, Medio 1 otra parte se releja, mientras que Medio 2 otra parte se refracta. Es útil abordar los fenómenos de relexión y refracción de la luz considerando los rayos luminosos, ya que muestran los cambios de dirección que experimenta la luz. Normal Rayo reflejado Superficie de separación Rayo refractado Además, en el estudio de los fenómenos de refracción de la luz es importante considerar que: — La velocidad de la luz es mayor en el vacío que en los medios materiales. — En el vacío, la velocidad de las radiaciones luminosas no depende de su longitud de onda, sino que es constante. En cambio, en los medios materiales sí que depende de ella. — La frecuencia de las radiaciones luminosas es igual en el vacío que en los medios materiales, no así la longitud de onda. Índice de refracción En cuanto a la velocidad de la luz, cada medio material está caracterizado por un número que llamamos índice de refracción. El índice de refracción absoluto n de un medio es la razón entre la velocidad de la luz en el vacío c y la velocidad v de propagación en este medio. En el vacío, el índice de refracción es n = 1 y, aproximadamente, también en el aire. En los otros medios materiales, n es mayor que la unidad, ya que c es siempre mayor que v. Consideremos dos medios transparentes e isótropos distintos a los que llamaremos 1 y 2. Si dividimos sus índices de refracción, obtenemos: c n1= v1 y c n2= v2 c n2 n2 v = = 1 c n1 v2 v1 n2 v = 1 n1 v2 UE n1 sen i n2 sen r= 1,333 ∙ 30∘ = 0 6665 ; r= 41° 48′ 1 ; sen r= r Aire n2 = 1 Agua n1 = 1,333 O Longitud de onda e índice de refracción Si sustituimos en la fórmula del índice de refracción los valores de las velocidades por sus expresiones en función de la longitud de onda, vemos que, al ser la frecuencia independiente del medio material, cuando varía la velocidad también tiene que variar la longitud de onda. c λf λ n= = 0 = 0 v λf λ λ0 = longitud de onda de una radiación luminosa en el vacío λ n= 0 λ λ = longitud de onda en el medio Como n > 1, la longitud de onda de una radiación en el medio es menor que su longitud de onda en el vacío. Ángulo límite y relexión total Veamos un interesante fenómeno que se produce cuando la luz pasa de un medio a otro de índice de refracción menor. N r1 Aire n2 Vidrio n1 1 i1 2 i2 N r2 3 i3 N r3 = 90o 4 i 4 N n2 < n1 r4 T N i = 30o Índices de refracción medidos con luz de λ0 = 589 nm Sólidos y líquidos a 20 °C Diamante 2,419 de 1,460 Vidrio a 1,960 Cuarzo 1,458 Benceno 1,501 Glicerina 1,473 Agua 1,333 Gases a 0 °C y 1 atm Aire 1,000293 Dióxido de carbono 1,00045 1. Cuando un rayo de luz pasa de un medio a otro con menor índice de refracción, se refracta alejándose de la normal. 2. Al incidir con un ángulo mayor, el ángulo de refracción también se hace más grande. 3. Para un cierto ángulo de incidencia, llamado ángulo límite, el ángulo de refracción r vale 90°. 4. Para ángulos de incidencia mayores, la luz se releja totalmente. Es el fenómeno de la relexión total. El ángulo límite L es el ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de 90°. sen L = n2 = n21 n1 34.Un rayo de luz incide desde el vidrio (n = 1,52) sobre una supericie de separación con el aire. Determina: a. el ángulo de refracción si el de incidencia es de 30°; b. el ángulo límite; c. si se producirá relexión total para un ángulo de incidencia de 45°. Actividades 33.Di si son verdaderas o falsas estas airmaciones: a. la luz cambia su longitud de onda y su velocidad al pasar del aire al agua; b. la frecuencia de una onda luminosa no es la misma en todos los medios materiales; c. el índice de refracción de un medio nos permite calcular la velocidad de la luz en él. n1 sen L = n2 sen 90°; Prohibida su reproducción Ejemplo 8 Ten en cuenta que: Un pequeño objeto iluminado está situado en el fondo de un recipiente con agua. Si un rayo luminoso procedente del objeto incide sobre la supericie de separación con el aire ( i = 30°), calcula el ángulo de refracción. — Aplicamos la ley de la refracción de Snell: n1 sen i = n2 sen r. NT 155 5.2. Interferencia y difracción La óptica física se ocupa del estudio de los fenómenos característicos de las ondas luminosas como, por ejemplo, las interferencias y la difracción. Estos fenómenos no pueden interpretarse correctamente mediante una simple aplicación de la aproximación de rayos. Antes de trabajar estos fenómenos tenemos que conocer el principio de Huygens. Este principio establece una propiedad fundamental de cada uno de los puntos de un frente de onda que permite predecir cómo será el nuevo frente un tiempo más tarde. Así, conociendo los sucesivos frentes de onda, es posible saber cómo se va a producir la propagación de un movimiento ondulatorio determinado. Cualquier punto de un frente de onda se convierte en un centro puntual productor de ondas elementales secundarias, de la misma velocidad y frecuencia que la onda inicial, cuya supericie envolvente constituye un nuevo frente de onda. Foco puntual emisor Rayos C B A P1 P2 D Frente de onda inicial Rayos Frente de onda inicial A P1 P2 P3 D C Ondas elementales http://goo.gl/z8idoa Interferencia P3 B ∆r = v∆t Nuevo frente de onda Ondas elementales Nuevo frente de onda ∆r = v∆t Cuando dos ondas coinciden en un mismo punto del espacio se aplica el principio de superposición. Interferencia de la luz producida en las pompas de jabón. Un punto de un medio que es alcanzado simultáneamente por dos ondas que se propagan por este medio experimenta una vibración que es la suma de las que experimentaría si fuese alcanzado separadamente por cada una de las ondas. El efecto que producirá la superposición dependerá de la diferencia de fase que haya entre las ondas. Prohibida su reproducción Ondas en fase 156 Diferencia de fase Oposición de fase Interferencia destructiva, si las ondas están en oposición de fase. En este caso, la amplitud resultante es la diferencia de las amplitudes de las ondas y la intensidad es mínima. Se observa una debilitación o, incluso, una anulación de las ondas. r O O′ r r′ - O′ r r − λ = 2 Interferencias en láminas delgadas En las láminas delgadas como, por ejemplo, una ina capa de aceite, se ponen de maniiesto los fenómenos de interferencia en la forma de una serie de franjas. La interferencia se produce entre la luz relejada en la cara superior de la lámina y la que la atraviesa después de ser relejada en la cara interior. • Si la lámina tiene un grosor constante (como en el gráico de abajo) lo que determina la diferencia de fase es la inclinación, por lo que se obtiene un patrón de interferencia de franjas de igual inclinación, que usualmente tienen forma circular. r′ r O y también: P =λ P r′ • En el caso de que el grosor no sea constante, lo que determina la diferencia de fase es el grosor, por lo que se obtiene un patrón de interferencia de franjas de igual grosor, que tienen formas irregulares. Un procedimiento para obtener interferencias luminosas es el que llevó a cabo en 1801 el físico inglés T.Young (17731829). Este experimento, llamado experimento de Young de la doble rendija, conirmó el modelo ondulatorio de la luz y permitió a Young realizar una medición de su longitud de onda. a c f El experimento consiste en disponer de una fuente de luz monocromática F que ilumina una pantalla A que contiene dos rendijas R1 y R2. Las rendijas actúan como focos emisores y las ondas producidas que emergen de éstas son coherentes, ya que proceden de la misma fuente luminosa. Las ondas interieren y producen un patrón de interferencia en la pantalla B. Se aprecian una franja central brillante y otras franjas brillantes y oscuras paralelas. IÉN b Aire e Aire Lámina d B (pantalla) A R1 F R2 — Las franjas brillantes se deben a la interferencia constructiva de las ondas por haber alcanzado la pantalla B en fase. — Las franjas oscuras se deben a la interferencia destructiva de las ondas que alcanzan la pantalla B en oposición de fase. Prohibida su reproducción Interferencia constructiva, si las ondas están en fase. En este caso, la amplitud resultante es la suma de las amplitudes de las ondas y su intensidad, proporcional al cuadrado de la amplitud, es máxima. Se observa una intensificación de las ondas. B Supongamos que disponemos de dos focos que originan ondas armónicas de la misma frecuencia y longitud de onda. Si estas ondas se superponen en algún punto, como casos extremos puede producirse: Interferencia constructiva Interferencia destructiva 157 Difracción Si las ondas luminosas son interceptadas por un obstáculo de unas dimensiones iguales o inferiores a la longitud de onda, o por una supericie con un oriicio de un tamaño parecido, se observa que el contorno de la sombra no es perfectamente nítido. Se aprecian franjas claras y oscuras que contradicen el principio de propagación rectilínea de la luz. Se trata del fenómeno de la difracción. En efecto, las ondas luminosas rodean los obstáculos y llegan a puntos situados detrás de ellos y ocultos al foco. Patrón de difracción Pantalla A Rendija d α C L Gráfica de intensidad sobre la pantalla con los máximos y mínimos α α d Ejemplo 9 α Interferencia Consideramos, a continuación, el caso de la difracción producida por una rendija. Supongamos un haz de rayos paralelos de luz monocromática que atraviesa una estrecha rendija paralela al frente de onda de la luz incidente. En la pantalla debería aparecer una zona iluminada semejante a la rendija. No obstante, se forma una igura de difracción constituida por una ancha franja central brillante y, a los lados, otras franjas más estrechas y no tan brillantes alternadas con franjas oscuras. Las franjas pueden interpretarse a partir del principio de Huygens: cada punto de la rendija se convierte en emisor de ondas elementales en fase que interieren entre sí. De ahí la semejanza entre los fenómenos de interferencia y de difracción. El ángulo α bajo el que se observan las franjas oscuras (mínimos de interferencia) del patrón de difracción, tanto por encima como por debajo del centro de la pantalla, cumple: sen α = n Sobre una rendija de 0,25 mm de anchura incide luz de 560 nm de longitud de onda. Determinemos: a. las posiciones de las primeras franjas oscuras que aparecen en la pantalla situada a 2,0 m del resquicio; b. la anchura de la franja brillante central. — Datos: d = 0,25 mm = 2,5 × 10-4 m λ = 560 nm = 5,60 × 10-7 m; L = 2,0 m 158 sen α = 1 ∙ 5,60 ∙ 10-7 m = 2,24 ∙ 10-3 2,5 ∙ 10-4 m n = 1 , 2 ... Como el ángulo α es muy pequeño, tomaremos: y1 y1 L ; sen α ≃ L Luego la posición de los primeros mínimos será: y1 = L sen α y1 = 2,0 m ∙ 2,24 ∙ 10-3 = 4,48 ∙ 10-3 m = 4,48 mm sen α ≃ tg α = Los primeros mínimos están situados a 4,48 mm a ambos lados de la franja brillante central. b. La anchura de la franja central es igual a la distancia entre los dos primeros mínimos: 2y1 = 2 ∙ 4,48mm = 8,96 mm 35. Explica cuál es la diferencia entre los fenómenos de interferencia y de difracción. 36. Una luz naranja de 600 nm de longitud de onda incide sobre una rendija de 0,090 mm de anchura situada a 1,25 m de una pantalla. Calcula a qué distancia del centro de la banda central brillante aparece la primera franja oscura. Actividades Prohibida su reproducción a. Las primeras franjas oscuras corresponden a n = 1. λ Así, a partir de sen α = n d λ d B 5.3. Polarización IÉN y también: Los fenómenos de interferencia y de difracción demuestran la naturaleza ondulatoria de la luz pero no su carácter transversal. Los fenómenos de polarización, característicos de esta clase de ondas, ponen de maniiesto que las ondas luminosas son transversales.detrás de ellos y ocultos al foco. Las ondas electromagnéticas son ondas transversales; los campos eléctrico y magnético oscilan en planos perpendiculares entre sí y, a su vez, perpendiculares a la dirección de propagación. Un haz luminoso está polarizado linealmente si las oscilaciones del campo eléctrico tienen lugar siempre en la misma dirección. El plano de polarización de una onda electromagnética polarizada linealmente es el determinado por la dirección de propagación y la dirección de vibración del vector E. En la igura es el plano XY. La luz natural no está polarizada, ya que está formada por un gran número de trenes de ondas procedentes de átomos distintos; en cada uno de ellos, el campo eléctrico oscila en un plano diferente. El resultado es que las direcciones de vibración posibles para el campo eléctrico son ininitas y cambian aleatoriamente según el instante de tiempo considerado. Y → E c O X → Z B Para obtener luz polarizada linealmente se han de eliminar todas las vibraciones del campo eléctrico excepto las que tienen lugar en una dirección determinada. → → E E Polarización por reflexión En 1808, el físico francés E. L. Malus (1775 - 1812) descubrió que si la luz natural incide sobre una supericie pulimentada de vidrio, la luz relejada está total o parcialmente polarizada, dependiendo del ángulo de incidencia. En 1812, el físico escocés D. Brewster (1781 - 1868) descubrió que la polarización es total para un ángulo de incidencia tal que el rayo relejado y el rayo refractado forman un ángulo de 90°. Este ángulo de incidencia se llama ángulo de polarización o ángulo de Brewster. i se n i se n i se n i sen i = = = ο se n r s en (9 0 − r) co s r cos i t g i =n r Aire 90∘ Para un rayo que incide desde el aire sobre un medio con índice de refracción n: n= Rayo reflejado N Rayo incidente Vidrio Esta última expresión, denominada ley de Brewster, expresa que: La polarización es total cuando la tangente del ángulo de incidencia es igual al índice de refracción del medio en que tiene lugar la refracción. Prohibida su reproducción Rayo refractado 159 Problemas resueltos A Una bobina con 350 espiras de 4 cm de radio tiene una resistencia de 150 Ω y su eje es paralelo a un campo magnético uniforme de 0,4 T. Si en un tiempo de 10 ms el campo magnético invierte el sentido, calcula: a. la fem inducida; b. la intensidad de la corriente inducida; c. la carga total que pasa a través de la bobina. — Datos: N = 350 ; r = 4 cm = 0,04 m ; R = 150 Ω B = 0,4 T ; ∆ t = 10 ms = 10-2 s a Calculamos la supericie de las espiras y el lujo magnético a través de la bobina en el instante inicial: S = π r 2 = π (0,04 m)2 = 5 ⋅ 10-3 m2 Φ0 = N B S = 350 ⋅ 0,4 T ⋅ 5 ⋅ 10-3 m2 = 0,7 Wb 1. Una bobina con 240 espiras de 24 cm2 de superficie tiene una resistencia de 50 Ω y su eje es paralelo a un campo magnético uniforme de 0,5 T. Si en 4 ms se gira la bobina 180°, calcula: a. la fem inducida; b. la intensidad de la corriente inducida; c. la carga total que pasa por la bobina. En el instante inal, el lujo magnético es igual pero con signo negativo (lujo entrante): Φ = -0,7 Wb. La variación de lujo magnético en el proceso es, pues: ∆Φ = Φ - Φ0 = -1,4 Wb Según la ley de Faraday, la fem inducida es: − 1,4 W b ∆Φ =− = 140 V 10 −2 s ∆t ε =− b. La intensidad de la corriente inducida vale: Ι = ε 140 V = = 0, 9 A R 150 c. La carga total que circula por la bobina es: Q = Ι ∆ t = 0,9 A ⋅ 10-2 s = 9 ⋅ 10-3 C 2 La bobina del ejercicio anterior se orienta con su eje paralelo al campo magnético terrestre. Si se gira la bobina 180° en 4 ms, calcula: a. la fem inducida; b. la intensidad de la corriente inducida; c. la carga total que pasa por la bobina. (Intensidad del campo magnético terrestre: 7 ∙ 10-5 T) B Sobre el circuito de la igura actúa un campo magnético uniforme de 0,4 T, perpendicular al plano del circuito y hacia el interior del papel. La barra M N tiene una longitud de 1 m, una resistencia de 15 Ω y se desplaza con una velocidad de 2 m/s perpendicular a su eje. Determina: a. la fem inducida; b. el sentido y la intensidad de la corriente inducida; c. la fuerza que actúa sobre la barra. M  v Prohibida su reproducción l 160  B N — Datos: B = 0,4 T ; l = 1 m ; R = 15 Ω ; v = 2 m⋅s-1 3. Un alambre de 1 m de longitud y 20 Ω de resistencia se desplaza a 1,5 m/s sobre dos hilos conductores, perpendicularmente a un campo magnético uniforme de 0,6 T. Halla: a. la fem inducida; b. la intensidad de la corriente inducida; c. la fuerza sobre el alambre; d. el trabajo realizado en 15 s. a. Según la ley de Faraday, la fem inducida vale, en valor absoluto: ε = ⏐ε⏐ ΔΦ Δt = B ΔS B l vΔt = =B l v t Δt Δ ε = 0, 4 T ⋅1 m ⋅ 2 m ⋅ s −1 = 0, 8 V b. El sentido de la corriente inducida es de N a M, de manera que se opone al aumento del lujo magnético durante el movimiento de la barra. Su intensidad es: Ι = ε 0, 8 V = = 5, 3 ⋅10 −2 A R 15 c. La fuerza F que actúa sobre la barra se opone a su → → movimiento y viene dada por F = I l B, ya que l y B son perpendiculares. F = 5,3 ⋅ 10-2 A ⋅ 1 m ⋅ 0,4 T = 2,1 ⋅ 10-2 N 4. Un alambre de 1 m de longitud y 15 Ω de resistencia se desplaza a 2 m/s sobre dos hilos conductores formando un ángulo de 60° con un campo magnético uniforme de 0,5 T. Halla: a. la fem inducida; b. la intensidad de la corriente inducida; c. la fuerza sobre el alambre; d. el trabajo realizado en 15 s. C Un toroide de radio medio 8 cm y 10 cm2 de sección tiene 400 vueltas. Su núcleo posee una permeabilidad relativa de 1 500. Calcula: a. el coeiciente de autoinducción de la bobina; b. la fem inducida si la intensidad de la corriente que circula pasa de 2 A a 6 A en 1 ms. Φ =N S B = µ r µ0 Ι Ν S 2π r Si comparamos esta expresión con la deinición de coeiciente de autoinducción, Φ = L I, obtenemos: µ µ NS L = r 0 2½ r — Datos: r = 8 ⋅ 10-2 m ; S = 10-3 m2 ; N = 400 µ r = 1 500 ; ∆ Ι = 6 A - 2 A = 4 A 1500 ⋅ 4 ½ ⋅10 T ⋅m ⋅ A −1 ⋅ 400 ⋅10 −3 m 2 2 π⋅ 8 ⋅ 10 −2 m −7 L = a. En la actividad 57 de la unidad anterior vimos que la expresión del campo magnético en el inµr µ 0 Ι terior de un toroide es: B = 2π r Para calcular el lujo magnético a través de la bobina, consideramos que el campo magnético es uniforme y perpendicular a toda la sección de la bobina: 5. Calcula la fem inducida en el toroide del ejercicio resuelto C si la intensidad aumenta de 0 A a 10 A en 0,5 ms. L = 1, 5 ⋅10 −3 H b. Hallamos el valor de la fem inducida: ¾ ¿À L I t ¿ −1,5 ⋅ 10 −3 H 4A = − 6V 10−3 s El signo negativo indica que la fem se opone al aumento de la intensidad. 6. Un toroide de radio medio 10 cm y sección 10 cm2 tiene un núcleo con µr = 1 500. ¿Cuántas vueltas tiene el toroide si cuando variamos la intensidad a un ritmo de 20 A/s se induce una fem de 0,03 V? D Por el conductor rectilíneo indeinido de la igura circula una corriente de intensidad I. El lujo magnético que atraviesa una espira rectangular de lados a y b, situada a una distancia d del hilo, viene dado por: µ0 Ι b d +a a. La fem inducida en la espira cuando la intensidad I varía de 0 A a 10 A en 1 ms. b. La expresión del coeiciente de inducción mutua entre el conductor rectilíneo y la espira rectangular. d a. Inicialmente, la intensidad es nula (I = 0); entonces, el lujo inicial es cero. El lujo inal es: µ0 Ι b d +a Φ= Φ= Ι 4π ⋅ 10 −7 In 2π d T ⋅ A −1 ⋅ 10 A ⋅ 0, 1 m 0, 1 m In 0,05 m 2π Φ = 1, 4 ⋅ 10 −7 Wb La fem inducida es: d = 5 cm a = 5 cm 7. Calcula la fem inducida en la espira rectangular del ejercicio resuelto D si por el conductor rectilíneo indeinido circula la corriente alterna I = 10 sen (100 t ) (en unidades del SI). ε =− Δ Φ 1, 4 ⋅10 −7 W b −0 Wb = =1, 4 ⋅10−4 V Δt 10 −3 s b. De la expresión del lujo magnético obtenemos el coeiciente de inducción mutua entre los dos circuitos, ya que de Φ = M I se deriva: M = d +a µ0 b In d 2π 8. En el conductor rectilíneo del ejercicio resuelto D, la intensidad de la corriente pasa de 1 A a 0 A en 1 ms. Calcula: a. el valor del coeiciente de inducción mutua; b. la fem inducida en la espira.a Prohibida su reproducción Calcula: In 2π b = 10 cm Φ= — Datos: Ι = 10 A ; Ι 0 = 0 A ; ∆ t = 1 ms = 1 ⋅ 10-3 µ0 = 4π ⋅ 10-7 T A-1 m 161 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. Describe tres casos distintos de inducción electromagnética. Haz diagramas indicando las líneas de inducción magnética, la variación del lujo magnético y el sentido de la corriente inducida. 2. Razona si las siguientes airmaciones son verdaderas o falsas: a. una consecuencia de la ley de Lenz es que la corriente inducida en un circuito tiende siempre a disminuir el lujo magnético que lo atraviesa; b. la fem inducida en un circuito es proporcional al lujo magnético que lo atraviesa. 3. Explica el signiicado del signo menos de la ley de Faraday. 4. ¿Cómo debe moverse una barra metálica en un campo magnético para que aparezca una diferencia de potencial entre sus extremos? 5. Di en qué se basa el funcionamiento de: a. un generador eléctrico; b. un motor eléctrico. 6. Un campo magnético uniforme actúa sobre una espira. ¿En qué condiciones se puede generar una corriente alterna en la espira? 7. Una espira conductora circular gira en un campo magnético uniforme, alrededor de un diámetro perpendicular a la dirección del campo, con una velocidad angular de 300 rpm. Determina la frecuencia de la corriente alterna inducida y enuncia las leyes en que te basas para su justiicación. 8. Un circuito eléctrico consta de una pila, una bobina y un interruptor. ¿Qué le sucede a la intensidad de corriente al abrir y al cerrar el circuito? 9. Describe cómo funciona un transformador. Prohibida su reproducción 10. Si la tensión de salida de un transformador es cien veces menor que la de entrada, ¿qué relación existe entre las intensidades de entrada y salida? 11. Di cuál es la diferencia entre las distintas centrales de producción de energía eléctrica: térmicas, hidroeléctricas, nucleares... 12. Explica por qué se producen pérdidas de energía cuando se varía la tensión de una corriente alterna con un transformador. — ¿Cómo pueden reducirse estas pérdidas energéticas? 162 2 Practica lo aprendido 13. Determina el lujo magnético que atraviesa una bobina plana de 320 espiras y 4 cm de radio, cuyo eje es paralelo a un campo magnético uniforme de 0,2 T. 14. Una bobina de 220 espiras y 30 cm2 se sitúa en un campo magnético uniforme de 0,4 T con su eje alineado con las líneas de inducción. Calcula la fem inducida al girar la bobina 180o en 15 ms. 15. Determina el lujo magnético que atraviesa una bobina de 0,4 H cuando por ella circula una corriente de 2 A. Calcula la fem inducida cuando la intensidad varía de 2 A a 0 A en 3 ms. 16. Una espira cuadrada de 5 cm de lado se encuentra en un campo magnético uniforme, normal a la espira y variable con el tiempo B = 2 t2 (SI). Determina: a. la expresión del lujo magnético a su través; b. el valor de la fem para t = 4 s. 17. Calcula la diferencia de potencial entre los extremos de una barra metálica de 40 cm de longitud, perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,2 T, si la barra se mueve con una velocidad de 14 m/s perpendicular al campo y a ella misma. 18. La bobina de un generador tiene 200 espiras circulares de 10 cm de diámetro y gira en un campo magnético uniforme de 0,3 T a una velocidad de 3 000 rpm. Calcula: a. la fem inducida en función del tiempo; b. la fem inducida máxima. 19. Al abrir un circuito por el que circulaba una corriente de 24 A se induce en él una fem de 60 V. Calcula el coeiciente de autoinducción del circuito si la intensidad tarda 1 ms en anularse. 20. El circuito primario de un transformador es de 2 400 vueltas y por él circula una corriente de tensión eicaz 220 V e intensidad eicaz 4 A. Calcula: a. las vueltas que debe tener el secundario para obtener una corriente de salida de tensión eicaz 10 V; b. la intensidad de salida en ese caso. Piensa y resuelve 21. Enumera las semejanzas y las diferencias existentes entre las ondas de radio y los rayos X. 22. Enuncia las leyes de la relexión y de la refracción, y el principio de Huygens para la luz. 23. ¿Qué magnitudes se conservan y cuáles no en la refracción respecto de la onda incidente? 24. Explica en qué caso y por qué motivo el rayo refractado se acerca a la normal y en qué caso se aleja. 25. Describe en qué circunstancias en una lente delgada el tamaño de la imagen puede ser igual que el del objeto. En estas circunstancias, deduce si la imagen puede aparecer invertida. 26. Di si es posible distinguir con el tacto una lente convergente de otra divergente. 27. Deduce si es posible que el objetivo de una cámara fotográica sea una lente divergente. 28. Explica: a. ¿por qué vemos los objetos de diferentes colores? b. ¿Cómo inluye en el color de los objetos la luz utilizada para iluminarlos? 29. A partir de lo que has estudiado en la difracción, razona por qué suele emplearse luz azul para la iluminación del microscopio. 30. Cita dos métodos que conozcas para obtener luz polarizada linealmente y explica el fundamento. 31. Busca información sobre el defecto de la visión llamado presbicia o vista cansada, y explica en qué consiste. a. ¿Por qué un miope usa lentes divergentes y en cambio el hipermétrope y el présbita utilizan lentes convergentes? b. Explica la semejanza existente entre el ojo hipermétrope y el ojo présbita. 4 Practica lo aprendido 32. La amplitud del campo magnético de una onda electromagnética vale 6,5 ∙ 10-6 T. Calcula la amplitud del campo eléctrico correspondiente si la onda se propaga en el vacío. 33. La distancia del Sol a la Tierra es, aproximadamente, de 1,5 ∙ 1011 m. Calcula el tiempo que emplea la luz solar en recorrerla. 34. Galileo realizó el primer intento (fallido) de medir la velocidad de la luz. Situó dos personas en lo alto de dos colinas durante la noche; uno de ellos destapaba una lámpara y el otro hacía lo mismo en el instante en que observaba la luz del primero. Éste medía el tiempo transcurrido desde que destapaba su lámpara hasta que veía la luz del segundo observador. A partir del valor aceptado actualmente de la velocidad de la luz, calcula el tiempo necesario para que la luz hiciera el recorrido de ida y vuelta si la distancia entre los dos observadores era de 2 km. ¿Por qué fracasó la experiencia? 35. Un rayo de luz incide sobre la supericie que separa dos medios de manera que el rayo relejado y el refractado forman un ángulo de 90°. Halla la relación entre el ángulo de incidencia y el índice de refracción relativo de los medios. 36. Determina la frecuencia de las radiaciones cuyas longitudes de onda son 650 y 480 nm. ¿A qué zona del espectro electromagnético pertenecen? 37. El espectro visible comprende las radiaciones de longitud de onda entre 380 y 760 nm. Determina: a. El intervalo de frecuencias correspondiente. b. El intervalo de longitudes de onda del espectro visible en un medio en el que la velocidad sea 3/4 de la velocidad de la luz en el vacío. 38. Una onda electromagnética se propaga en el vacío con una amplitud de su campo eléctrico de 10-3 N ∙ C-1 y su frecuencia de 7,96 ∙ 109 Hz. Determina la amplitud del campo magnético y la longitud de onda. 39. Calcula la velocidad de la luz con el método de Fizeau suponiendo que la rueda utilizada tenía 460 dientes, que los destellos se anulaban cuando la velocidad de giro era de 20,2 rev · s-1 y que la distancia hasta el espejo plano era de 7 700 m. 40. Un haz de luz de 500 nm de longitud de onda incide desde el aire sobre un material transparente con un ángulo de 42° con la normal y se refracta con un ángulo de 25°. Calcula: a. El índice de refracción del material. b. La velocidad de la luz y la longitud de onda en el medio. Prohibida su reproducción 3 163 Práctica de laboratorio N•4 Inducción electromagnética. Primera experiencia de Faraday investigamos: A N S La inducción electromagnética consiste en la aparición de una fuerza electromotriz inducida e en un circuito debido a la variación del lujo magnético Φm a través del circuito y que se puede manifestar en forma de intensidad de corriente eléctrica. La fem inducida es proporcional al ritmo de variación del lujo magnético: e = − dFm/dt, donde el signo negativo indica que la fem inducida siempre se opone a la causa que la provoca. Este fenómeno se observa cuando aproximamos y alejamos un imán respecto de una bobina conectada a un circuito como el de la igura, provisto de un microamperímetro. Prohibida su reproducción Las variaciones de lujo magnético a través de las N espiras de la bobina causadas por el movimiento del imán originan la aparición de una intensidad de corriente inducida. 164 objetivo: En esta experiencia comprobaremos que la variación del lujo magnético que atraviesa una bobina induce una intensidad de corriente eléctrica en el circuito y que esta intensidad de corriente depende del número de espiras de la bobina, de la velocidad de movimiento del imán y de la intensidad del campo magnético del imán. • 2 imanes iguales de forma cilíndrica • microamperímetro • 2 bobinas de 400 y 2000 espiras • cables de conexión Procesos: 1. En esta práctica tendrán que trabajar por parejas. Empiecen preparando el montaje de la igura 1. Utilicen la bobina de 400 espiras y comprueben que la lectura del microamperímetro es 0. 2. Uno de ustedes se encargará de mover el imán y el otro anotará la lectura del amperímetro. Tomen uno de los imanes y anoten las intensidades de corriente resultantes del movimiento de acercamiento y alejamiento del imán respecto de la bobina a diferentes velocidades. El movimiento del imán se va a producir manualmente, primero a una velocidad lenta y después a una más rápida. 3. A continuación, repitan el paso anterior utilizando dos imanes solidarios en lugar de uno. Intenten que las velocidades de acercamiento y alejamiento del imán sean aproximadamente iguales a las utilizadas antes. Anoten las nuevas lecturas del amperímetro. 4. Repitan todos los pasos anteriores pero sustituyendo la bobina de 400 espiras por la de 2000 espiras. Midan los nuevos valores de la intensidad de corriente intentando que las velocidades de acercamiento y alejamiento del imán sean aproximadamente iguales a las utilizadas antes. 5. ¿Se induce corriente en la bobina si el circuito está abierto? Práctica de laboratorio N•4 materiales 6. Enuncien la ley de Lenz. 7. Un campesino airma que las líneas de transmisión de alto voltaje que se extienden paralelas a su cerca inducen voltajes peligrosos en la cerca. ¿Es posible que ocurra algo así? Expliquen su respuesta. 8. Pongan ejemplos de aplicaciones de la inducción electromagnética en la ciencia y la tecnología. Cuestiones: b. ¿Cómo depende la intensidad de la corriente inducida del número de espiras de la bobina, de la velocidad del imán y de la intensidad del campo magnético? Interprétenlo teóricamente. c. Razonen si el sentido de la corriente inducida depende del sentido del movimiento del imán. d. Indiquen cómo variaría la intensidad si se utilizasen bobinas de diferentes radios con el mismo número de espiras. Prohibida su reproducción a. Indiquen las principales diicultades que han encontrado en la ejecución de esta práctica. ¿Por qué las lecturas no son tan iables para velocidades muy elevadas? 165 ZONA TECNOLOGÍA Rayos X Los rayos X son un tipo de radiación electromagnética, invisible para el ojo humano, que puede atravesar cuerpos opacos y de imprimir las películas fotográicas. El físico alemán Wilhelm Conrad Röntgen descubrió los rayos X en 1895, mientras experimentaba con los tubos de Crookes, para investigar la luorescencia que producían los rayos catódicos. Röntgen utilizó placas fotográicas para demostrar que los objetos eran más o menos transparentes a los rayos X dependiendo de su espesor y realizó la primera radiografía humana, usando la mano de su mujer. Los llamó "rayos incógnita", o "rayos X" porque no sabía qué eran. Prohibida su reproducción ://g oo.g http http://goo.gl/nSZ3Vw La aplicación de este descubrimiento, abarca desde aplicaciones a la medicina, al usarse en la visualización de los huesos en el diagnóstico de traumatismos; hasta en técnicas de investigación de moléculas orgánicas. 1. Relexiona. a. Investiga qué longitud de onda le corresponde a los rayos X. b. Calcula qué frecuencia en Hz tienen los rayos X. c. Consulta en qué otros dispositivos se utilizan los rayos X 166 l/GmKpuF Por este descubrimiento Röntgen ganó el premio Nobel de Física en 1901. 4 Inducción de la corriente eléctrica Resumen Flujo magnético Es una medida del número de líneas de inducción que atraviesan una supericie   S : Φ m =⌠ B ⋅ dS ⌡ S Experiencias de Faraday y Henry Ley de Lenz Cuando varía el número de líneas de inducción magnética que atraviesan la supericie de un circuito eléctrico, se origina una corriente eléctrica inducida. El sentido de la corriente inducida es tal que se opone a la causa que la produce. Ley de Faraday La fuerza electromotriz inducida se relaciona con la variación de lujo magnético de esta manera: ε =− dΦ dt Inducción de la corriente eléctrica Generadores eléctricos Autoinducción Inducción mutua El alternador y la dinamo transforman energía mecánica en energía eléctrica gracias a la inducción electromagnética. En todos los circuitos aparece una fem inducida por la variación de la intensidad de corriente del propio circuito: La variación de la intensidad de corriente en un circuito, I1, provoca la aparición de una fem inducida en otro circuito cercano. La variación de intensidad que se produce en el segundo circuito, I2, origina a su vez una fem inducida en el primero. Receptores eléctricos Un motor eléctrico transforma energía eléctrica en energía mecánica gracias a la fuerza de un campo magnético sobre una corriente. −L dΙ dt L es el coeiciente de autoinducción o inductancia. Síntesis electromagnética Los transformadores modiican la tensión y la intensidad de la corriente alterna. Se cumple la relación de transformación: Producción y transporte de la corriente eléctrica La electricidad se produce a gran escala en las centrales eléctricas. El transporte de electricidad se lleva a cabo a alta tensión y baja intensidad, con la inalidad de minimizar las pérdidas energéticas. V2 N Ι = 1 = 2 V1 N1 Ι2 La energía eléctrica no contamina ni produce residuos tóxicos. Sin embargo, las centrales eléctricas sí pueden afectar al entorno.transformación: Ley de Faraday de la inducción electromagnética: un campo magnético variable genera un campo eléctrico a su alrededor. Teorema de Ampère generalizado por Maxwell: un campo magnético puede ser producido por una corriente eléctrica o por un campo eléctrico variable. Maxwell resumió todas las leyes de la electricidad y el magnetismo en cuatro únicas ecuaciones. Teorema de Gauss para el campo eléctrico: el lujo del campo eléctrico a través de cualquier supericie cerrada es proporcional a la carga eléctrica interior. El lujo magnético a través de cualquier supericie cerrada es cero. Prohibida su reproducción Ecuaciones de Maxwell 167 Para finalizar 1 Explica qué es el coeficiente de autoinduc- 7 Un carrete de hilo conductor de 500 espiras ción de una bobina y di en qué unidades se mide. 2 Dos espiras muy próximas tienen en común su eje perpendicular. La intensidad que circula por la primera espira se puede variar a voluntad con un reostato R. Haz un esquema cualitativo del lujo magnético que atraviesa la segunda espira y determina el sentido de la corriente inducida en ella cuando la corriente en la primera espira: a. aumenta; b. disminuye; c. se mantiene constante. S2 I S1 G + - 3 Resume las ideas fundamentales de cada una de las teorías que conoces sobre la naturaleza de la luz. 4 Contesta si es verdadero o falso que: a. Una lente divergente no puede formar una imagen real de un objeto real. b. Una distancia imagen negativa indica que la imagen es virtual. 5 Explica cuál es la causa de la dispersión de Prohibida su reproducción la luz. 168 8 En el circuito de la igura actúa un campo magnético uniforme de 0,4 T. La barra tiene una longitud de 1 m, una resistencia de 15 Ω y una velocidad de 2 m/s. Determina: a. la fem inducida; b. el sentido y la intensidad de la corriente inducida; c. la fuerza magnética sobre la barra. I I R de 0,005 m de radio está en un campo magnético uniforme de 0,1 T de modo que el lujo que lo atraviesa es máximo. Halla la fem media inducida si: a. en 0,02 s el campo dobla su valor; b. el carrete gira 180o en 0,02 s respecto a un eje que pasa por su centro y es perpendicular al campo. 6 Una onda electromagnética de 50 MHz de frecuencia se propaga en el vacío. Si la amplitud del campo eléctrico es de 800 N⋅C-1, determina: a. la longitud de onda; b. el período; c. la amplitud del campo magnético. M  v N 9 Calcula el ángulo límite para la luz que pasa de una determinada sustancia (n = 2) al aire (n = 1). 10 Una persona no ve claramente los objetos situados más allá de 2,5 m, su punto remoto. Determina: a. el defecto que padece su vista; b. la distancia focal de las lentes que debe usar; c. el tipo de lentes; d. su potencia. 11 En el fondo de una piscina de 2 m de profundidad hay un foco luminoso puntual. Emite luz en todas direcciones de modo que en la supericie se observa un círculo de luz debido a los rayos refractados (fuera del círculo los rayos no emergen pues se relejan totalmente). Calcula el radio del círculo si el índice de refracción del agua es n = 1,33. 12 El lujo magnético que atraviesa una espira varía, entre t = 0 s y t = 2 s , según la expresión Φ = t 2 - 2 t (SI). 14 La bobina de un alternador de 40 Ω de resistencia total consta de 150 espiras de 3 cm de radio. Calcula la frecuencia con que debe girar en un campo magnético uniforme de 0,6 T para producir una corriente de intensidad máxima 2 A. a. Representa el lujo magnético y la fem inducida en la espira en función del tiempo; b. determina en qué instante Φ es máximo en valor absoluto; c. determina el instante en que la fem inducida en la espira es 15 Calcula el coeiciente de autoinducción de máxima; d. comprueba si coinciden los dos una bobina de 30 cm de longitud y 1 000 máximos anteriores en el mismo tiempo y espiras de 60 cm2 de sección. razona por qué. — ¿Cuál sería su autoinducción si introdujéramos un núcleo de hierro, μr = 1 500, en su interior? 13 Describe qué ocurre cuando una barra metálica perpendicular a un campo magnético uniforme gira sobre un extremo ijo como se muestra en la igura. Determina 16 Con una hoja de cálculo y el editor de grála dirección y el sentido de las fuerzas que icas, diseña la gráica que mostraría la actúan sobre los electrones de la barra y la pantalla de un osciloscopio aplicado a un distribución inal de cargas. alternador cuyos parámetros de diseño se introducen en celdas de entrada de información. ω 17 Prepara una exposición sobre los distintos tipos de centrales que generan electricidad (busca y compara, sobre todo, los datos de carácter técnico). Utiliza para ello un programa de presentación. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 169 5 Física moderna I contenidOS: 1. Sistemas de referencia 2. La relatividad en la mecánica clásica 2.1. Transformaciones de Galileo Prohibida su reproducción 3. Limitaciones de la física clásica 3.1. Mecánica relativista: relatividad especial 5.1. Teoría cuántica de Einstein 6. Espectros atómicos 6.1. Modelo atómico de Bohr 7. Mecánica cuántica 3.2. Postulados de Einstein 7.1. Dualidad onda-partícula 3.3. Transformaciones de Lorentz 7.2. Aplicaciones de la mecánica cuántica 4. Radiación térmica del cuerpo negro 4.1. Hipótesis de Planck 4.2. Ondas electromagnéticas http://goo.gl/OGEKuk 170 5. Efecto fotoeléctrico Noticia: Física atómica. Ciencia que estudia las propiedades y el comportamiento de los átomos. John Dalton(1766-1844), generalmente reconocido como el fundador de la teoría atómica de la materia, pese a que el atomismo tuvo continuados exponentes desde el tiempo de Demócrito. Dalton dio a la teoría contenido cientíico sólido y la transformó así en la base de la física y de la química. Los átomos de un elemento, dijo, son iguales pero el átomo de un elemento diiere del átomo de otro. http://goo.gl/jkRFHA En contexto: a. ¿Qué estudias la física atómica? b. Menciona los logros alcanzados por esta ciencia en la tecnología. c. Investiga los Premios Nobel en esta rama y cuál fue el descubrimiento, por el cual fueron otorgados. Prohibida su reproducción 1. Luego de leer el artículo, responde: 171 1. Sistemas de referencia El pasajero de un tren que sale de una estación observa los bancos de dicha estación y tiene la sensación de que éstos se mueven. Sin embargo, para otro pasajero situado en el andén, los bancos están en reposo. Esto es así porque el movimiento de un cuerpo depende del sistema de referencia escogido. Pero, ¿son iguales todos los sistemas de referencia? Sistema de referencia inercial Sistema de referencia no inercial Un observador O sentado en el andén de una estación observa una pelota en reposo sobre el suelo de un vagón de mercancías. Sentado en el vagón, un observador O′ ve la misma pelota. Cuando el tren se pone en movimiento… Observador O′  u S′ S′ Observador O S El observador O ve que la pelota permanece en reposo hasta que el tren ejerce una fuerza sobre ella y la arrastra. La estación es un sistema inercial y el observador O recibe el nombre de observador inercial. — En los sistemas inerciales se cumple la primera ley de Newton o principio de inercia. — Las únicas fuerzas que causan variaciones en los movimientos son fuerzas reales, es decir, fuerzas que cumplen la tercera ley de Newton (tienen reacción). — Todos los sistemas inerciales están en reposo o en MRU respecto a otros sistemas inerciales. S El observador O′ ve que la pelota se pone en movimiento y retrocede sin que actúe ninguna fuerza sobre ella. El tren es un sistema no inercial y el observador O′ es un observador no inercial. — En los sistemas no inerciales no se cumple la primera ley de Newton o principio de inercia. — Aparecen fuerzas icticias, caracterizadas por no tener reacción, es decir, por no cumplir la tercera ley de Newton o ley de acción y reacción. — Todos los sistemas no inerciales están acelerados respecto a cualquier sistema inercial. Prohibida su reproducción 172 a Resuelve las siguientes cuestiones como si fueses el observador O: — ¿Quién ejerce la fuerza sobre los pasajeros? — Di si aparece una fuerza de reacción. — Dibuja de forma esquemática el autobús, sitúa a uno de los pasajeros y dibuja las fuerzas de acción y de reacción. b. A continuación, resuelve las siguientes cuestiones como si fueses uno de los pasajeros del autobús: — ¿Quién ejerce la fuerza sobre ti? ¿Aparece una fuerza de reacción? — Dibuja de forma esquemática tu situación y todas las fuerzas que eres capaz de observar. Actividades 1. Una persona (observador inercial O) se ija en los pasajeros de un autobús que arranca y observa que estos son impulsados hacia su asiento. 2. La relatividad en la mecánica clásica El pasajero de una nave espacial se despierta en su cabina y mira a su alrededor. Si la cabina no tiene ventanas al exterior, ¿cómo averiguará si la nave se mueve a velocidad constante o si está en reposo? La solución a esta pregunta la encontramos en el principio de relatividad, enunciado por Galileo Galilei (1564-1642) en el siglo XVII. Cualquier experimento mecánico realizado en un sistema en reposo se desarrollará exactamente igual en un sistema que se mueva a velocidad constante con relación al primero. De este principio se deduce que no podemos distinguir si un sistema de referencia está en reposo o si se mueve con velocidad constante. Sólo podremos conocer si se mueve o permanece en reposo en relación con otro sistema de referencia. Además, permite asegurar que todos los sistemas inerciales son equivalentes. 2.1. Transformaciones de Galileo Las ecuaciones de transformación de Galileo permiten a un observador O′ (sistema de referencia inercial S′) interpretar la información que le llega procedente de un observador O (sistema de referencia inercial S), y viceversa. Consideraremos que S′ se aleja con veloci→ dad u de S. Y′ Y S′ y′ S y  OO = u t z r→ O __ OO′ x′ z′ Z′ Z O′ (x, y, z) (x′, y′, z′) → r′ • El observador O′ se aleja con velocidad → u respecto del observador O. • El transcurso del tiempo es igual para todos los sistemas. Si escogemos t 0 = = t 0′ = 0: t′ = t • Cuando t = t′ = 0, ambos sistemas de referencia coinciden. x′ x → → → X  u = (u, 0, 0) • Para simplificar, el movimiento relativo tiene lugar a lo largo de los ejes XX′. Por tanto: y′ = y z′ = z • En el momento t, la relación  entre las posiciones es: x = x′ + OO Por tanto: x = x′ + u t x′ = x - u t Así, las transformaciones de Galileo son: x′ = x - u t ; y′ = y ; z′ = z ; t′ = t X′ Y se resumen en la ecuación vectorial: r′ (t′) = r (t ) - u t, donde t′ = t. Prohibida su reproducción Una nave espacial se acerca a la Luna con MRU. Su capitán conoce la trayectoria de la Luna respecto a un sistema de referencia ijo en la Tierra, pero quiere calcular la trayectoria de la Luna con su nave como sistema de referencia. ¿Cómo efectuará las transformaciones? 173 Transformaciones de velocidad y aceleración de Galileo Hemos hallado la relación entre las posiciones de un móvil en dos sistemas de referencia inerciales.Veamos ahora la relación entre las velocidades. Para ello, derivaremos la ecuación vectorial de las transformaciones de Galileo respecto al tiempo.Tendremos en cuenta que el tiempo es el mismo para ambos observadores (t = t′ ) y que u es constante:    v = v −u S′ S Esta ecuación vectorial recibe el nombre de fórmula clásica de adición de velocidades. http://goo.gl/EzF7ac Derivamos la fórmula clásica de adición de velocidades con respecto al tiempo para hallar la relación entre las aceleraciones:    v = v−u      v dv dv du dv = = − = −0 dt dt dt dt dt a′ = a La aceleración de un cuerpo tendrá el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Por último, como la aceleración y la masa no varían al pasar de un sistema de referencia inercial a otro, es fácil deducir que la fuerza medida en los dos sistemas de referencia tampoco varía. → ⃗ = F⃗ Como →a′ = →a y m′ = m, entonces m′ →a′ = m a. Por lo tanto: F Todos los observadores inerciales miden la misma fuerza y aceleración para un cuerpo, aunque registren trayectorias diferentes. Es decir, en todos los sistemas inerciales se cumple la segunda ley de Newton. Y, dado que todas las fuerzas son iguales, también lo son los pares de fuerzas acción-reacción, por lo que también se cumple la tercera ley de Newton. Observa que el tiempo, la masa, la aceleración y la fuerza son magnitudes que no cambian cuando pasamos de un sistema inercial a otro. Por eso reciben el nombre de invariantes de Galileo. 174 2. Dos niñas juegan a lanzarse una pelota en el andén de una estación. En cada lanzamiento, ven que la pelota sigue una trayectoria parabólica. Ambas niñas suben a un tren y siguen jugando. Si dicho tren avanza en línea recta a 180 km/h, ¿cómo ven ahora la trayectoria de la pelota? Justiica tu respuesta. 3. Una pelota cae desde la ventana de un ediicio. La ven caer un observador sentado en un banco de la calle y un observador situado en un coche con MRU. a. Identiica los sistemas S y S′. b. Dibuja la trayectoria de la pelota según el sistema S y según el sistema S′. 4. Al decir que un auto circula por una carretera a 72 km/h, ¿qué sistema de referencia utilizamos? — Un segundo auto circula por la misma carretera a 38 km/h respecto al primer auto. ¿Signiica esto que circula a menor velocidad que el primero? Justiica tu respuesta. Actividades Prohibida su reproducción Como consecuencia, también son invariantes de Galileo los intervalos de tiempo y la distancia entre dos puntos ijos. a. La señora sentada en el vagón está en reposo en el sistema S′. Por tanto, observa que el pasajero tiene una velocidad:  v = (2 , 0) km/h Para hallar la velocidad observada por el jefe de estación, aplicamos la adición clásica de velocidades: Y O S X b. La velocidad observada por la señora, en el sistema S′, es:  v = (−2, 0) km/h Para hallar la velocidad observada por el jefe de estación, aplicamos la adición clásica de velocidades:       v = v −u ; v = v +u   v = (−2, 0 ) km/h + (8, 0) km/h ; v = (6 , 0) km/h Un bote navega por un río con una velocidad de 5,7 m/s, respecto al sistema de referencia S de la orilla, y de 7,5 m/s, respecto al sistema de referencia S′ del río. Si la orilla y las trayectorias del bote y del río son paralelas: a. Determina la velocidad relativa del río respecto a la orilla. b. Si el bote recorre 100 m respecto a la orilla, ¿qué distancia ha recorrido respecto al río? — Datos: v = 5,7 m/s v′ = 7,5 m/s x = 100 m a. Consideramos sólo la dirección del movimiento y aplicamos la fórmula clásica de adición de velocidades: v′ = v - u ; u = v - v′ ; u = 5,7 m/s - 7,5 m/s ; u = -1,8 m/s El signo negativo indica que el sentido de avance del río respecto a la orilla es contrario al sentido de avance del bote respecto a ella. b. Primero hemos de calcular el tiempo transcurrido. Para ello, suponemos x 0 = x 0′= 0 y aplicamos la ecuación del MRU en el sistema S: x =v t ; t = X′ O′ 100 m x = =17, 54 s v 5,7 m /s A continuación, aplicamos la ecuación del MRU en el sistema S′: NT Ten en cuenta que: Transformaciones inversas Permiten al observador O interpretar las mediciones efectuadas por O′. Se deducen de las transformaciones conocidas si se tiene en cuenta que es el observador O quien se mueve con → → velocidad opuesta, -u, respecto a O′ : x = x + ut ; y = y ; z = z ; t = t    v = v +v Deduce la transformación inversa de la posición r. x = v t ; x =7, 5 m ⋅ s −1 ⋅ 17, 54 s = 131, 6 m a. La velocidad relativa entre los dos coches si el primero circula a 90 km/h y el segundo, a 80 km/h. b. ¿Y si circulan en sentidos contrarios? c. Explica en qué circunstancias dos observadores miden la misma velocidad para un móvil. 6. Un avión se mueve a 349 m/s respecto al sistema de referencia de la Tierra y a 340 m/s respecto al sistema de referencia del viento. a Si la trayectoria del avión, la dirección del viento y la supericie de la Tierra son paralelas, determina la velocidad del viento respecto a la Tierra. b. Si el avión recorre 20 km respecto a la Tierra, ¿qué distancia ha recorrido respecto al viento? Actividades 5. Dos coches circulan en el mismo sentido por una carretera recta. Determina: Prohibida su reproducción Ejemplo 2       v = v −u ; v = v +u   v = (2 , 0) km/h +(8, 0) k m/h ; v = (10 , 0) km/h  v = (2, 0) km/h UE b. Las velocidades anteriores en el caso de que el pasajero camine en sentido contrario al movimiento del tren.  u = (8, 0) km/h S′ Y′ T Ejemplo 1 Un tren entra en una estación con una velocidad de 8 km/h. En el interior de uno de sus vagones un pasajero camina con una velocidad de 2 km/h respecto al tren y en la dirección y el sentido de éste. Calcula: a. La velocidad del pasajero observada por una señora, que está sentada en ese vagón, y por el jefe de estación, situado en el andén. 175 3. Limitaciones de la física clásica Las transformaciones de Galileo y las ecuaciones de Newton constituyen la base de la mecánica clásica. Las ecuaciones de Maxwell, publicadas en 1869, pusieron el último cimiento a la física del siglo XIX. Sin embargo, fueron también, sin saberlo, el punto de inicio de una de las grandes revoluciones de la física del siglo XX. Veamos cómo sucedió. Las ecuaciones de Maxwell conirmaron de manera deinitiva el carácter ondulatorio de la luz y permitieron calcular de forma teórica su velocidad, c, en el vacío. La visión fundamentalmente mecanicista de los físicos del siglo XIX les hizo formular hipótesis sobre la naturaleza de la luz basadas en una comparación de la luz con las ondas mecánicas conocidas en ese momento (por ejemplo, las del sonido). De este modo, se atribuyeron a la luz características similares a las del sonido. Características atribuidas a la luz — Las ondas sonoras necesitan un medio mecánico para propagarse, el aire. — Las ondas sonoras se propagan con una velocidad ija respecto a su medio de propagación, el aire. — La velocidad del sonido en un sistema que se mueve con respecto al aire puede hallarse a partir de la fórmula clásica de adición de velocidades. — Las ondas de luz debían de necesitar un medio mecánico para propagarse que recibió el nombre de éter. — Las ondas de luz debían de propagarse con una velocidad ija, de módulo c, con respecto a su medio de propagación, el éter. — La velocidad de la luz en un sistema que se mueve respecto al éter podría hallarse a partir de la fórmula clásica de adición de velocidades. B Características del sonido IÉN Prohibida su reproducción y también: 176 Según el principio de relatividad de Galileo, no puede determinarse el movimiento absoluto de un cuerpo a partir de experimentos mecánicos. Sin embargo, a inales del siglo XIX parecía que sería posible determinar este movimiento absoluto a partir de experimentos con la luz. Para llegar a esta conclusión, los cientíicos habían supuesto que la luz se propagaba a velocidad c sólo en el éter y que las ecuaciones de Maxwell únicamente eran válidas en el sistema del éter. Como consecuencia de estas hipótesis se hizo necesario suponer la existencia de una misteriosa sustancia, el éter, cuyas características eran casi contradictorias: — No debía de tener masa, puesto que la luz viaja por el vacío. — Debía de tener propiedades elásticas, propias de un sólido, puesto que transmitía las vibraciones transversales inherentes al movimiento ondulatorio de la luz. Otra de las consecuencias de esta visión mecanicista de la física fue la necesidad de considerar un sistema de referencia privilegiado para el electromagnetismo, el sistema del éter. Este sistema, ijo en el éter, se consideraba el único en el que la velocidad de la luz era c y el único en el que se cumplían las ecuaciones de Maxwell tal como estaban escritas. Era un sistema en reposo absoluto, por lo que cualquier velocidad medida respecto a él sería una velocidad absoluta. Este experimento fue uno de los más importantes y famosos de la historia de la física. Se realizó en 1887 por Albert Abraham Michelson (Premio Nobel de Física, 19071 ) y Edward Morley. Es considerado como la primera prueba contra la teoría del éter. El resultado de este experimento constituiría a la postre, la base experimental de la teoría de la relatividad especial del Físico Albert Einstein. Durante un tiempo, se buscaron soluciones cada vez más soisticadas con el objeto de salvar la hipótesis del éter, a pesar de no haber sido detectado. Sin embargo, sólo se consiguió que crecieran las diicultades y las incoherencias. Fue el físico alemán A. Einstein (1879-1955) quien valientemente impulsó a los físicos de su época a abandonar el concepto erróneo del éter y quien modiicó las transformaciones de Galileo, lo que ocasionó una auténtica revolución en la física. Al desestimar el concepto de éter, tampoco puede existir el sistema del éter y, en consecuencia, el único sistema de referencia con sentido para un observador debe ser el sistema ijo a él mismo. Por tanto, no es extraño que cualquier observador obtenga, siempre, el mismo resultado para la velocidad de la luz. Postulado 1. Las leyes de la física son las mismas en todos los sistemas de referencia inerciales. Este postulado es una generalización del principio de relatividad de Galileo, aplicable sólo a la mecánica. De él se desprende que no existe ningún sistema de referencia especial (sistema del éter) para los fenómenos electromagnéticos y que todos los sistemas de referencia inerciales son equivalentes en la descripción de cualquier fenómeno físico. Además, las leyes de la física deben ser invariantes al pasar de un sistema inercial a otro, es decir, deben tener la misma expresión matemática en todos los sistemas inerciales. Postulado 2. La velocidad de la luz es la misma en todos los sistemas de referencia inerciales, cualquiera que sea la velocidad de la fuente. S TIC Para saber más del experimento Michelson-Morley, visita el siguiente link: https://goo.gl/66krwW IÉN y también: La relatividad engloba dos ramas fundamentales: La teoría especial de la relatividad, desarrollada por Einstein en 1905, se ocupa del estudio de los sistemas inerciales. La teoría general de la relatividad, desarrollada por Einstein en 1916, se ocupa del estudio de los sistemas no inerciales y de la teoría de la gravitación. Prohibida su reproducción El experimento de Michelson-Morley Einstein elaboró esta nueva concepción de la física en su teoría especial de la relatividad, publicada en 1905. Esta teoría, aplicable a todos los fenómenos físicos, tanto mecánicos como electromagnéticos, estaba basada en dos postulados: B Las transformaciones de Galileo, uno de los pilares de la mecánica clásica, no podían explicar la constancia de la velocidad de la luz. Por ello, el resultado del experimento de Michelson-Morley provocó un grave conlicto entre dos teorías centrales de la física, el electromagnetismo y la mecánica clásica. 3.2. Postulados de Einstein IC 3.1. Mecánica relativista: relatividad especial 177 3.3. Transformaciones de Lorentz Las transformaciones de Galileo debían ser reemplazadas teniendo en cuenta que la velocidad de la luz era la misma para todos los observadores inerciales. Einstein observó que las transformaciones válidas eran las transformaciones de Lorentz, propuestas en 1892 por el físico holandés H. A. Lorentz (1853-1928). Estas ecuaciones permiten a un observador inercial O′ (sistema S′ ) interpretar la información procedente de un observador inercial O (sistema S), y viceversa. Para simpliicarlas se deinen las siguientes constantes auxiliares: β= u 1 ;γ = c 1 − β2 Y Así, las transformaciones de Lorentz para un sistema S′ que se aleja a velocidad u de un sistema S son: x = γ (x − ut ) ; y = y ; z =z ; t = γ t − Y′ y → r O t Z — El tiempo que mide cada observador es diferente (t′ ≠ t ), por lo que el tiempo pierde el carácter absoluto que tenía en la mecánica clásica (t′ = t ). O′ → r′ x′ x X X′ → u = (u, 0, 0) z De ellas se interpreta que: (x, y, z) (x′, y′, z′) S′ S β x c y′ Z′ z′ t′ En el instante inicial las coordenadas XYZ de O coinciden con las X′Y′Z ′ de O′ y sus relojes están sincronizados (t0 = t0′ = 0). — No es posible superar la velocidad de la luz, c. Si la velocidad u fuera igual o superior a la velocidad de la luz c, la constante γ sería ininita o imaginaria, algo sin ningún sentido físico. Ejemplo 3 Prohibida su reproducción — Las transformaciones de Lorentz se reducen a las de Galileo en el límite de velocidades pequeñas respecto a la de la luz. Si u es mucho menor que c, la constante β se hace cero, de modo que γ = 1 y recuperamos las transformaciones de Galileo. 178 Compara las transformaciones de Galileo con las de Lorentz para dos observadores O y O′ que se separan a una velocidad igual al 10 % de la velocidad de la luz. — Datos: u = 0,1 c β — Calculamos las constantes β, y γ : c β= β u s 1 ≈ 1,005 = 0, 1; = 3 ,3 ⋅10 −10 ;γ= c c m 1 −β 2 Transformaciones de Galileo x′ = x - 0,1ct y′ = y z′ = z t′ = t′ Transformaciones de Lorentz x′ ≈ 1,005 (x - 0,1c t ) y′ = y z′ = z t′ ≈ 1,005 (t - 3,33 ⋅ 10-10 x) Podemos considerar que las dos transformaciones son prácticamente equivalentes. IC S TIC Consecuencias de las transformaciones de Lorentz Simultaneidad Las transformaciones de Lorentz permiten dar respuesta a cuestiones como las siguientes: No se puede decir con sentido absoluto que dos acontecimientos hayan ocurrido al mismo tiempo en diferentes lugares. Si dos sucesos ocurren simultáneamente en lugares separados espacialmente desde el punto de vista de un observador, cualquier otro observador inercial que se mueva respecto al primero los presencia en instantes distintos. — Si dos sucesos son simultáneos en un determinado sistema de referencia inercial S, ¿lo serán también en otro sistema de referencia inercial S′ que se mueva respecto al primero? — Si un suceso tiene una duración determinada en el sistema de referencia S, ¿tendrá la misma duración en el sistema de referencia S′? — Si un cuerpo tiene una determinada longitud ∆x en el sistema de referencia S, ¿tendrá la misma longitud en el sistema de referencia S′? Visita: http://goo.gl/05CvFG Estas cuestiones se reieren a conceptos tan cotidianos como el espacio y el tiempo. Las respuestas que obtendremos podrán parecernos extrañas, pero debemos tener en cuenta que sólo pueden apreciarse a velocidades comparables a la de la luz, algo muy alejado de nuestra experiencia cotidiana. Simultaneidad en la relatividad Y′ Rayo X′ S′ t′ A′ t O′ O A  u Vagón B′ B c A X S O c A′ B O′ B′ t Andén Y t′ Y′ c Rayo X′ X t0 = t0′ = 0 Y Cuando O observa los relámpagos, O′ ya ha visto el relámpago procedente de B′ pero todavía no ha observado el procedente de A′. Un tren se desplaza con MRU y velocidad u respecto a una estación. Un pasajero, observador O′, se encuentra exactamente en el centro de uno de los vagones. El jefe de estación, observador O, se encuentra en la estación. En un momento dado (t 0 = t 0′ = 0), ocurre que: a. Del jefe de estación, observador O, en un sistema inercial S ijo al andén. El observador O percibe los dos relámpagos al mismo tiempo. Como sabe que las distancias recorridas son iguales (AO = BO) y que la velocidad de la luz es constante, calcula que el tiempo tardado por los dos relámpagos en llegar hasta él es el mismo. Y como los ha percibido al mismo tiempo, deduce que ambos rayos cayeron simultáneamente. b. Del pasajero, observador O′, en un sistema inercial S¢ solidario con el vagón. El observador O′ se mueve hacia B mientras se aleja de A. Por ello, percibe antes el relámpago procedente de B que el de A. Como sabe que las distancias recorridas son iguales (A′O′ = B′O′) y que la velocidad de la luz es constante, calcula que el tiempo tardado por los dos relámpagos en llegar hasta él es el mismo. Y como los ve en momentos diferentes, deduce que los dos rayos no cayeron simultáneamente. Prohibida su reproducción • El jefe de estación, observador O, se encuentra frente al pasajero, observador O′. • Caen dos rayos sobre los puntos A y B que chamuscan los extremos, A′ y B′, del vagón. Analizaremos esta situación desde el punto de vista: 179 S t x X c = 3 ⋅ 108 m/s x = 1 000 m u = 3 m/s X′ UE t′ NT Ten en cuenta que: T Ejemplo 4 Una mujer camina por un parque Y a una velocidad de 3 m/s. Cuando S pasa por delante de un anciano sentado en un banco, caen dos rayos: uno a 1 km por delante del banco y O otro a 1 km por detrás. a. Analiza, desO de el punto de vista de ambos obserZ vadores, si los dos relámpagos se ven x = 1 000 m simultáneamente. b. Calcula con qué diferencia de tiempo le llegan los dos Y′ relámpagos a la mujer. S′ a. El anciano, situado en el sistema S, ve los relámpagos simultáneamenO′ te, pues la velocidad de la luz es Z′ constante y ambos rayos recorren la misma distancia. — La mujer, situada en el sistema S′, camina hacia el relámpago anterior y se aleja del posterior. Por ello, verá antes el relámpago anterior. Los rayos no serán simultáneos para ella. b. El primer relámpago le llega a la mujer cuando ha pasado un tiempo t1. En este tiempo, ella ha recorrido un espacio x1 = ut1. Por tanto, el relámpago sólo ha recorrido un espacio: x - u t1 Para hallar el tiempo que tarda el relámpago en recorrer este espacio, aplicamos la ecuación del MRU, teniendo en cuenta que su velocidad es c: Cualquier móvil con MRU cumple la siguiente ecuación: x = vt Es decir, el espacio recorrido es igual al producto de la velocidad por el tiempo. x −uÁ 1 = t1 ; x =  Á 1 +ut 1 ; x = (c + u ) t 1 El segundo relámpago le llega a la mujer cuando ha pasado un tiempo t2. En este tiempo, ella ha recorrido un espacio x2 = ut2. Por tanto, el relámpago ha recorrido un espacio: x + u t2 Para hallar el tiempo que tarda el relámpago en recorrer este espacio, aplicamos la ecuación del MRU, teniendo en cuenta que su velocidad es c: x − ut 2 = ct 2 ; x = ct 2 + ut 2 ; x = (c + u )t 2 t2 = 3 3 x m 1 0 1 0 ; t2 = = s 8 8 c −u 3 ⋅1 m/s − 3 m/s 31 ⋅ 0 −3 0 Prohibida su reproducción 180 7. Desde el punto de vista de la mecánica clásica si dos sucesos son simultáneos para un observador: a. ¿Lo serán también para cualquier otro observador que se mueva respecto al primero? b. ¿Y desde el punto de vista relativista? 8. Mientras un globo asciende a gran velocidad, su ocupante observa dos relámpagos simultáneamente. Uno de los rayos cayó 100 m por debajo del globo y el otro, 100 m por encima. — Un observador en tierra, ¿verá simultáneamente los dos relámpagos? Razona tu respuesta. IÉN y también: Longitud propia: la medida en un sistema inercial en reposo con el objeto estudiado. Tiempo propio: el medido en un sistema inercial en reposo con el fenómeno estudiado. 9. Un vagón de 60 m de longitud propia se mueve con una velocidad de 0,8c respecto a un sistema ijo en la Tierra. Al pasar por una estación, se encienden simultáneamente dos focos en ésta, cuya posición coincide en ese instante con los extremos del vagón. a. Razona si un observador ijo en la Tierra vería ambos rayos como simultáneos. b. Razona si un pasajero situado en el centro del vagón percibiría ambos destellos simultáneamente. En caso contrario, indica la diferencia de tiempo que mediría. Actividades Así, la diferencia de tiempo que percibe es: t2 - t1 ≈ 10-13 s B x 10 3 m 10 3 ; t1 = = s 8 c +u 3 ⋅ 10 m/s + 3m/s 3 ⋅ 10 8 + 3 t1 = Momento de inercia de un sólido rígido discreto → IC Un autobús se desplaza a velocidad constante u respecto a una estación de servicio. Un pasajero del autobús observa que su corazón late una vez por segundo. S TIC Comprueba los efectos de la teoría de la relatividad en lo referente al tiempo mediante el simulador de la página: Y′ S t Y Z′ Visita: http://goo.gl/1eI9VJ O Z x′1 S′ O′ t′ X′  u X Analizaremos el intervalo de tiempo ventre dos latidos consecutivos del corazón del pasajero desde el punto de vista: a. Del pasajero, O′, en un sistema inercial S′ solidario con el autobús. El observador O′ percibe los latidos en el mismo sitio, su propio corazón, x′1 = x′2 = x′. Si un latido ocurre en el instante t′1 y el siguiente en t′2, el intervalo de tiempo entre dos latidos consecutivos será: ∆t′ = t′2 - t′1 = 1 s Éste es un tiempo propio para el pasajero. b. De un empleado de la estación, O, en un sistema inercial S fijo a la estación de servicio. El observador O ve que los dos latidos ocurren en sitios diferentes debido al movimiento de O′ (x1 ≠ x2). Las transformaciones inversas de Lorentz permiten obtener el tiempo medido por O a partir de las coordenadas y el tiempo medido por O′: t = t 2 − t 1= γ t 2 + β β x − t1 + x = γ ( t 2 − t1 ) ; ∆t = γ ∆ t c c Como γ > 1, ∆t > ∆t′. Por tanto, el empleado observa que el corazón del pasajero aparentemente late más despacio, pues tarda más de un segundo en efectuar dos latidos consecutivos. Un avión se mueve al 90 % de la velocidad de la luz. u 1 El corazón del piloto late una vez por segundo (interβ= =0, 9 ; γ = = 2, 2 c 1 −β 2 valo medido en el avión). a. Calcula el intervalo entre latidos observado por un controlador aéreo en repo∆t = γ ∆ t =2, 29 ⋅ 1 s = 2, 29 s so en el aeropuerto. b. Si el corazón del controlador aéreo late una vez cada 1,2 s (intervalo medido en b. Los efectos relativistas son simétricos. Para el piloel aeropuerto), calcula el intervalo observado por el to, el controlador aéreo se mueve con velocidad u piloto del avión. hacia la cola del avión. Por ello, el piloto observa — Datos: a. ∆t′ = 1 s; u = 0,9c; b. u = 0,9c; ∆t = 1,2 s un intervalo de tiempo dilatado respecto al intervalo de tiempo propio del controlador: a. Calculamos las constantes β y γ para obtener el intervalo de tiempo observado por el controlador ∆t = γ ∆t′ = 2,29 ⋅ 1,2 s = 2,75 s aéreo: 11. El período de un péndulo es de 8,4 s si se mide en un tren que viaja con una velocidad igual al 80% de la velocidad de la luz. a. ¿Qué período observaríamos desde un sistema ijo en la Tierra? b. ¿Cuánto vale el período propio en este caso? Actividades 10. Un muchacho tarda 5 min en desayunar en la cafetería de la estación. ¿Cuánto tiempo tardaría respecto a un viajero que pasa por la estación en un tren a una velocidad igual a 0,7c? Prohibida su reproducción Ejemplo 5 El tiempo de un sistema en movimiento parece dilatarse respecto al tiempo medido en un sistema en reposo solidario con el observador. 181 Contracción relativista del espacio IC Un yate se desplaza a velocidad constante u respecto a un puerto. El patrón del yate mide una longitud de 60 m de eslora. S TIC S x′ ∆x1 ′= x 2 Y′ ′- x 1 ′ x2′ Z′ Comprueba los efectos de la teoría de la relatividad en lo referente al tiempo mediante el simulador de la página: Y S′ t′ Z O O′ X′  u = (u, 0, 0) t Visita: X http://goo.gl/zx9OwS Analizaremos esta longitud desde el punto de vista: a. Del patrón del yate, O′, en un sistema S′ solidario con el yate. El patrón, observador O′, mide la coordenada x′1 del extremo posterior del yate y, luego, la del anterior, x′2, de donde obtiene la longitud del yate: ∆x′ = x′2 - x′1 = 60 m Ésta es una longitud propia en el sistema S′. b. De un estibador, O, ijo en el puerto. El estibador, observador O, debe medir la longitud marcando los extremos del yate simultáneamente porque de lo contrario el movimiento falsearía la observación. Las transformaciones de Lorentz permiten obtener las coordenadas en S de los extremos del yate, x1 y x2, en el mismo instante, t 1 = t 2 = t, a partir de las coordenadas en S′: ∆x′ = x′2 - x′1 = γ (x 2 - ut ) - γ (x 1 - ut ) = γ (x 2 - x 1) ; ∆x′ = γ ∆ x Puesto que γ > 1, ∆x < ∆x′. El estibador observa que el yate aparentemente es más corto, pues para él mide menos de 60 m. La relatividad no afecta a las longitudes perpendiculares al movimiento, pues en las transformaciones de Lorentz: y′= y ; z′ = z. 182 Un pasajero del AVE (tren de alta velocidad que viaja a 225 km/h) mide la longitud y la altura del vagón, y obtiene 87 m de largo y 2,3 m de alto. a. Determina los valores que mediría un observador en reposo en la estación. b. Determina los valores que mediría este mismo observador si se tratara de un tren que viajara a una velocidad igual a 0,75 c. — Datos: a. u = 225 km/h = 62,5 m/s ∆x′ = 87 m; ∆ y′ = 2,3 m b. u = 0,75 c a. Calculamos las constantes β y γ para una velocidad relativa u = 225 km/h = 62,5 m/s: β= 62, 5 m/s u = = 2, 08 ⋅ 10 −7 ; γ = c 3 ⋅ 10 8 m/s 1 1− β 2 ≈1 Calculamos las longitudes que mediría un observador en la estación: ∆y à ∆ y´ 2, 3 Ã Ä ; ∆x 1 ∆ x à ∆ x´ ; ∆ x γ ´ = 87 Ä Los efectos relativistas son inapreciables a velocidades pequeñas comparadas con la velocidad de la luz. b. Calculamos las constantes β y γ para u = 0,75 c: β Å u c 0, 75 ; γ Å Å 1 1 Æβ2 = 1, 51 Calculamos las longitudes que mediría un observador situado en la estación: ∆y Ç ∆y´ Ç 2, 3 m ; ∆ x 1 87 m ∆ x´ = ; ∆ x = 57, 6 m γ 1, 51 12. Un avión cuyas dimensiones propias son 340 m de largo y 21 m de alto viaja a una velocidad u = 0,6c respecto a la Tierra. Determina las dimensiones que mediría un observador ijo en la Tierra. Actividades Prohibida su reproducción Ejemplo 6 En un sistema en movimiento las longitudes paralelas al desplazamiento parecen contraídas respecto a las longitudes propias de los cuerpos. Este fenómeno también se conoce como contracción de Fitzgerald-Lorentz. 4. Radiación térmica del cuerpo negro A inales del siglo XIX aparecieron algunos fenómenos físicos experimentales que pusieron en duda las leyes clásicas aplicadas a la interacción entre la radiación electromagnética y la materia. Tres de estos fenómenos fueron claves para el desarrollo de la denominada revolución cuántica: la radiación térmica del cuerpo negro, el efecto fotoeléctrico y los espectros atómicos. Ultravioleta VISIBLE Infrarrojo Microondas Ondas de radio cortas Ondas de TV y radio de FM Ondas de radio de AM UE Ondas de radio largas NT T Ten en cuenta que: Radiación térmica en una cavidad Si un cuerpo absorbe toda la radiación que le llega, tiene las características de un cuerpo negro. Por ello, una cavidad con un pequeño oriicio en una de sus paredes y con las paredes interiores pintadas de negro actúa como un cuerpo negro: cualquier radiación que entra rebota hasta ser absorbida. 4 ⋅ 10-7 m Esta radiación térmica varía tanto con la temperatura como con la composición del cuerpo. 4,5 ⋅ 10 m -7 5 ⋅ 10-7 m Existe, sin embargo, un conjunto de cuerpos cuya radiación térmica sólo depende de su temperatura. Se denominan cuerpos negros, y su radiación presenta las siguientes características: 5,5 ⋅ 10-7 m 6 ⋅ 10-7 m 6,5 ⋅ 10-7 m 7 ⋅ 10-7 m — La potencia total P emitida a la temperatura T por una supericie S cumple la ley de Stefan-Boltzmann: P = σT 4 S σ: constante de Stefan-Boltzmann; σ = 5,6703 ⋅ 10-8 W⋅m-2⋅K-4 — La longitud de onda λmáx para la que se produce mayor emisión de energía es inversamente proporcional a la temperatura T, según la ley del desplazamiento de Wien: λmáx T = 2,897755 ⋅ 10-3 m⋅K λmáx λmáx 1 450 K λmáx 1 2 1 200 K 1 000 K 3 4 5 λ (µm) Prohibida su reproducción Rayos X La energía electromagnética que emite un cuerpo debido a su temperatura se denomina radiación térmica. Energía emitida por metro cuadrado y por segundo f (Hz)102210211020 10191018 1017 10161015 1014 10131012 10111010 109 108 107 106 105 104 103 102 10 Aumento de energía λ (m) 10-1410-1310-1210-1110-1010-910-810-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1 101 102 103 104 105 106 107 Rayos γ ¿Has observado cómo cambia de color una barra de hierro al ser calentada? Al principio sólo emite radiación infrarroja, que no vemos; después empieza a emitir luz roja y, a temperaturas superiores, presenta color blanco, e incluso blanco-azulado. La potencia emitida por el cuerpo negro es proporcional al área bajo la curva. 183 Energía emitida por metro cuadrado y por segundo Puntos experimentales 4.1. Hipótesis de Planck A principios del año 1900 dos físicos ingleses, lord John W. Rayleigh (1842-1919) y sir James H. Jeans (1877-1946), utilizaron los principios del electromagnetismo y la termodinámica clásicos para describir la radiación del cuerpo negro. Obtuvieron una expresión matemática (ley de Rayleigh-Jeans) en la que la energía de la radiación disminuye al aumentar la longitud de onda, pero aumenta indeinidamente al disminuir ésta. Predicción de Rayleigh-Jeans Predicción de Planck 1 2 3 4 5 6 7 8 λ(µm) En cambio, según los resultados experimentales, la energía tiende a cero para longitudes de onda muy pequeñas, como las correspondientes al ultravioleta, que era la zona de mayor energía del espectro electromagnético conocida en ese momento. Este fracaso de la teoría clásica fue tan importante que se denominó catástrofe ultravioleta. A inales de ese mismo año, el físico alemán Max Planck (1858-1947) formuló las siguientes hipótesis como punto de partida para intentar explicar la radiación del cuerpo negro: — Los átomos que emiten la radiación se comportan como osciladores armónicos. — Cada oscilador absorbe o emite energía de la radiación en una cantidad proporcional a su frecuencia de oscilación f: E 0 = hf h: constante de Planck = 6,625 ⋅ 10-34 J⋅s Así, la energía total emitida o absorbida por cada oscilador atómico sólo puede tener un número entero n de porciones de energía E0: E = n E 0 ; E = n hf n = 1, 2, 3... Los paquetes de energía h f se llamaron cuantos, de manera que la energía de los osciladores está cuantizada y n es un número cuántico. Ejemplo 7 Prohibida su reproducción Al desarrollar esta hipótesis cuántica, Planck obtuvo una expresión que le permitió reproducir la distribución de energías observada experimentalmente. 184 Un átomo de masa 1,99 ⋅ 10-26 kg oscila linealmente con una frecuencia propia de 4,84 ⋅ 1014 Hz. a. ¿Cuál es el valor de un cuanto de energía del oscilador? b. ¿Cuál es la amplitud máxima que adquiere con 20 cuantos de energía? b. Calculamos la energía de 20 cuantos y la frecuencia angular para hallar la amplitud máxima: E = 20 hf =20 ⋅ 6, 62 ⋅ 10 −34 J ⋅s ⋅ 4, 84 ⋅ 10 14 H z E = 6, 4 1 ⋅ 10 −18 J — Datos: m = 1,99 ⋅ 10-26 kg; f = 4,84 ⋅ 1014 Hz ω = 2 f =3, 04 ⋅ 10 15 rad ⋅s −1  a. La energía de un cuanto del oscilador es E0 = hf: E0 = 6,62 ⋅ 10-34 J⋅s ⋅ 4,84 ⋅ 1014 Hz E0 = 3,21 ⋅ 10-19 J 1 E = m ω 2A 2 ; A = 2 A= 2E m ω2 2 ⋅ 6, 41 ⋅ 10 −18 J = 8, 35 pm 1, 99 ⋅ 10 −26 kg ⋅ (3, 04 ⋅ 10 15 rad ⋅s −1) 2 A inales del siglo XIX, el físico alemán Heinrich Hertz (18571894) efectuó unos experimentos que conirmaron la existencia del espectro electromagnético. En el transcurso de estos experimentos observó un efecto que sería utilizado posteriormente por Einstein para contradecir otros aspectos de la teoría electromagnética clásica. En 1887, Hertz descubrió que al someter a la acción de la luz (visible o ultravioleta) determinadas supericies metálicas, éstas desprendían electrones (llamados fotoelectrones). Este fenómeno se denomina efecto fotoeléctrico. y también: MB 5. Efecto fotoeléctrico IÉN Electrón-voltio (eV): unidad de energía equivalente a la energía potencial que adquiere una carga de un electrón al colocarla en un punto cuyo potencial es 1 V. 1 eV = 1,6022 ⋅ 10-19 J Es una unidad adecuada para los procesos atómicos. Características de las ondas electromagnéticas Los electrones emitidos al iluminar el cátodo originan una corriente eléctrica de intensidad I al chocar con el ánodo. La intensidad medida es, por tanto, proporcional al número de electrones arrancados. El número de electrones que alcanzan el ánodo se mide por la corriente que circula por el amperímetro. El trabajo W necesario para arrancar el electrón del metal depende de su energía de enlace con éste. La energía más pequeña, correspondiente a los electrones más débilmente unidos, recibe el nombre de función trabajo del metal o trabajo de extracción, W0. W0 = h ⋅ fu Luz incidente Si el ánodo es positivo, atraerá a los electrones. Para un cierto ∆V, todos los electrones emitidos llegarán al ánodo y conoceremos la intensidad I proporcional al número total de electrones. Si el ánodo es negativo, los electrones serán repelidos, y sólo llegarán a él aquellos que tengan una energía cinética inicial suficiente para vencer el potencial de repulsión. Para cierto valor de este potencial de repulsión, denominado potencial de detención o potencial de frenado, VD, ningún electrón llegará al ánodo. Este potencial VD multiplicado por la carga del electrón nos da el valor de la Ecmáx del fotoelectrón más rápido: Ecmáx = eVD e- Ánodo A V + - porcional a la intensidad de la radiación incidente. Sin embargo, su energía cinética máxima es independiente de la intensidad de la luz, lo cual no tiene explicación en la teoría clásica. — La emisión tiene lugar sólo si la frecuencia f de la radiación supera una frecuencia mínima, propia de cada metal, llamada — Nunca se ha podido medir un tiempo de retraso entre la iluminación del metal y la frecuencia umbral, fu. emisión de los fotoelectrones. Sin embarSegún la teoría clásica, el efecto fotoelécgo, según la teoría clásica, si la intensidad trico debería ocurrir para cualquier frede luz es muy débil, debe existir un tiemcuencia de la luz siempre que ésta fuese po de retraso entre el instante en que la lo suicientemente intensa. luz incide sobre la supericie metálica y la — Si la frecuencia f de la luz incidente es emisión de fotoelectrones. mayor que la frecuencia umbral fu (f > fu), el número de electrones emitidos es pro- Prohibida su reproducción Existen tres hechos en este experimento que no pueden explicarse mediante la teoría electromagnética clásica: Cátodo 185 5.1 Teoría cuántica de Einstein Así, para explicar el efecto fotoeléctrico, Einstein supuso que: — La cantidad de energía de cada fotón se relaciona con su frecuencia f mediante la expresión: E = hf — Un fotón es absorbido completamente por un fotoelectrón. La energía cinética del fotoelectrón es: Ec = hf - W hf: energía del fotón incidente absorbido W: trabajo necesario para que el electrón escape del metal. El electrón que está más débilmente enlazado escapará con energía cinética máxima, que viene determinada por la expresión de la ecuación fotoeléctrica: Ec máx = hf - W0 Prohibida su reproducción W0: función de trabajo, o trabajo de extracción, característica del metal 186 Cada fotón extrae un electrón del metal, por lo cuál la corriente es inmediata (no existe retraso). Si actuara la luz bajo la naturaleza ondulatoria debería existir un retraso en la corriente, hasta que se reuna la energía necesaria para que el electrón se desprenda, pero en realidad no existe un retraso, por lo tanto se usa el concepto de fotón (paquete de energía) para explicar este fenómeno. — Un fotón es absorbido completamente por un fotoelectrón. La energía cinética del fotoelectrón es: Ec máx = 0, el fotón deberá aportar como mínimo una energía hf = W 0 (donde f = f u ). Si la frecuencia de la radiación es inferior a fu, ningún fotoelectrón podrá ser extraído. — Al duplicar la intensidad de la luz, se duplica el número de fotones y, por tanto, la intensidad de corriente. Esto no varía la energía hf de los fotones individuales y, en consecuencia, tampoco la energía cinética de cada fotoelectrón. Cuando Einstein publicó su teoría en 1905, no existían datos experimentales suicientes para conirmarla. Hubo que esperar a los trabajos del físico norteamericano Robert A. Millikan (1868 - 1953), efectuados entre 1914 y 1916, para disponer de datos suicientes. En este momento quedó demostrado que la ecuación fotoeléctrica de Einstein (Ecmáx = hf − W0) era correcta y que las medidas de h en el efecto fotoeléctrico coincidían con el valor encontrado por Planck. Puntos experimentales 3 2 Ecuación de Einstein 1 0 30 40 fu 50 60 70 80 90 100 110 120 Frecuencia f (1013 Hz) Experimento de Millikan. IC Según la hipótesis de Planck, únicamente está cuantizada la energía al ser emitida o absorbida por los osciladores. En cambio, según Einstein, toda la energía emitida por una fuente radiante está cuantizada en paquetes que se denominan fotones. Así, la teoría cuántica de Einstein da respuesta a los aspectos del efecto fotoeléctrico que no tienen explicación bajo el punto de vista clásico: Potencial de detención VD (V) En 1905, el físico alemán Albert Einstein (18791955) puso en duda la teoría clásica de la luz. Propuso una nueva teoría y utilizó el efecto fotoeléctrico para probar cuál de las dos teorías era la correcta. S TIC Einsten ganó un premio Nobel de física por el efecto fotoeléctrico. Visita: https://goo.gl/XWJmJn Características de los fotones. Efecto Compton Aunque los experimentos de Millikan corroboraron las hipótesis de Einstein, la conirmación deinitiva de la existencia de los fotones la dio el físico norteamericano Arthur H. Compton (1892-1962) al analizar teóricamente el efecto que lleva su nombre. En 1932, Compton hizo incidir un haz de rayos X de longitud de onda l sobre una lámina de graito y observó que la radiación dispersada tenía dos longitudes de onda, una igual a la incidente, λ, y otra mayor, λ′. Según la teoría clásica, la onda dispersada debería tener la misma longitud de onda que la onda incidente. Para explicar estos hechos, Compton consideró la radiación electromagnética como un conjunto de partículas relativistas, los fotones, cada una de ellas con masa en reposo nula (m0 = 0), con energía E = hf, y con un momento lineal p: hf E h p = = = c c λ El efecto Compton conirma tanto la validez de la mecánica relativista como la existencia de los fotones. Y Fotón (E,p) Y Electrón X λ0 ϕ Antes Después El fotón incidente, de longitud de onda λ0 y energía E = hc , λ0 λ′ Θ Fotón (E′,p′) X Electrón  v choca con un electrón en reposo. El fotón emergente tiene una longitud de onda mayor λ′, lo que equivale a una energía menor E = hc , pues λ ha La función de trabajo del potasio vale 2,22 eV. Calcula: a) la frecuencia umbral del potasio y di a qué color de luz corresponde; b) la energía de un fotón de λ rojo = 700 nm y la de uno de λ azul = 465 nm. c) Di si ambos fotones serán capaces de arrancar electrones del potasio. d) ¿Qué energía cinética máxima podrá tener un electrón arrancado por esta luz azul? λ rojo = 700 nm = 7 ⋅ 10-7 m λazul = 465 nm = 4,65 ⋅ 10-7 m a. La frecuencia umbral del potasio es: fu = fu = 3,55 ⋅ 10 −19 J 6, 62 ⋅ 10 −34 J ⋅s W0 h = 5, 36 ⋅10 14 Hz Esta frecuencia corresponde a una longitud de c onda umbral λ u = . fu λu = 3 ⋅ 10 8 m ⋅ s −1 5, 36 ⋅ 10 14 Hz E rojo = hc λ rojo 6,62 ⋅10 −34 J ⋅ s ⋅ 3 ⋅10 8 m ⋅ s −1 7 ⋅10 −7 m E rojo =1, 77 eV E azul =h f = E azul = W0 = 2,22 eV = 3,55 ⋅ 10-19 J — Datos: E rojo= hf = = 2, 84 ⋅10 −19 J hc λ azul 6,62 ⋅10 −34 J ⋅ s ⋅ 3 ⋅10 8 m ⋅ s −1 −7 4, 65 ⋅10 m E azul = 2, 67 eV = 4, 27 ⋅10 −19 J c. Como λu < λrojo ⇒ W 0 > E rojo, por tanto la luz roja no arrancará electrones del potasio. Y como λu > λazul ⇒ W 0 < E azul, por tanto la luz azul sí arrancará electrones del potasio. d. Calculamos la energía cinética máxima de un electrón arrancado por la luz azul: Ec máx = hf - W0 ÈÉ má x =6, 62 ⋅10 −34 J ⋅ s ⋅ 3 ⋅10 8 m ⋅ s −1 4, 65 ⋅10 −7 m −3,55 ⋅10 −19 J Ec m á x =4, 27 ⋅10 −19 J −3, 55 ⋅10 −19 J = 560 nm (luz verde) Ec m á x =0, 72 ⋅10 −19 J =0, 45e V Prohibida su reproducción Ejemplo 9 entregado parte de su energía original al electrón que ahora se mueve con velocidad v.r 187 6. Espectros atómicos A inales del siglo XIX se disponía de muchos datos sobre la luz emitida por los átomos de un gas excitados por una descarga eléctrica. El análisis espectroscópico de esta radiación mostraba el aspecto de un conjunto discreto de líneas de diferentes longitudes de onda. Características de los fotones. Efecto Compton Espectro de emisión. Los elementos emiten energía en forma de radiación electromagnética pero únicamente de algunas frecuencias determinadas. Hδ Hγ 400 Hβ 450 500 Hα 550 600 650 Espectro de absorción. Los elementos absorben algunas frecuencias especíicas al ser iluminadoscon radiación electromagnética. λ (nm) Un elemento absorbe y emite el mismo conjunto discreto de frecuencias de radiación electromagnética. Este espectro, de absorción o de emisión, es característico para cada elemento. El espectro completo del átomo de hidrógeno está formado por cinco series de líneas espectrales que reciben el nombre de sus descubridores. 5 000 2 000 Balmer 1 000 500 250 200 150 125 100 Lyman Paschen Pfund Brackett Prohibida su reproducción El físico sueco Johannes R. Rydberg (1854-1919) estudió el espectro del hidrógeno y desarrolló la siguiente expresión, conocida como fórmula de Rydberg: 188 1 1 1 = RH − 2 2 λ m n RH: constante de Rydberg = 1,096776 ⋅ 107 m-1 m: número natural que indica la serie. n: número natural mayor que m. Indica la línea dentro de la serie. Así, por ejemplo, para m = 2 y n = 3, 4, 5…, se obtienen las líneas del espectro visible, serie de Balmer. 6.1. Modelo atómico de Bohr Una de las aplicaciones más destacables de la cuantización de la energía fue llevada a cabo por el físico danés Niels Bohr (1885-1962). Estudió detenidamente el modelo atómico del hidrógeno propuesto por Rutherford y lo comparó con el espectro atómico de este elemento. Se dio cuenta de que desde el punto de vista de la teoría clásica no podía interpretarlo. Optó por aplicar la teoría cuántica para interpretar el espectro del hidrógeno y, en 1913, propuso un nuevo modelo atómico que tenía en cuenta los espectros atómicos. De este modo, la fórmula de Rydberg se deduce a partir del modelo atómico de Bohr, que postula lo siguiente: — El electrón se mueve, sin emitir ni absorber radiación, en órbitas circulares estacionarias que sólo pueden tener ciertas energías y ciertos radios. Las órbitas se caracterizan por tener el momento angular cuantizado Ln, según la expresión: L n = n h– (n ∈ ℕ) — donde h = h 2π — El electrón sólo puede cambiar de órbita emitiendo o absorbiendo un fotón con energía y longitud de onda determinadas. La energía de estos fotones es igual a la diferencia de energías entre las órbitas de la transición (niveles de energía): hf = ∆E. Esta cuantiicación de la energía justiica que las líneas espectrales estén separadas, es decir, que el espectro sea discreto. En el átomo de Bohr, el número natural n, o número cuántico principal, identiica a los estados estacionarios del electrón: — El estado con energía más baja (n = 1) se conoce como estado fundamental. — Los demás (n > 1) son estados excitados. El electrón puede emitir un fotón, pasando de un nivel de energía En a otro nivel más bajo Em (decaimiento), o bien puede absorber el mismo fotón para pasar del nivel Em al En (excitación). Éste es el motivo por el que los espectros de absorción y emisión contienen las mismas frecuencias discretas. La serie de Lyman aparece cuando el electrón pasa al nivel 1 desde niveles de energía más externos. Las series de Balmer, Paschen... resultan de procesos análogos en los que el electrón salta a los niveles 2, 3... El modelo atómico de Bohr sólo resultó válido para el átomo de hidrógeno y los átomos hidrogenoides (He+, Li2+...). No podía explicar espectros más complejos como, por ejemplo, el del mercurio. E ( eV) 0 -0,85 -1,51 -3,39 n ∞ 4 3 2 1 -13,6 Pfund Balmer PaschenBrackett Lyman 100 130 3 000 2 400 200 300 1 700 1 000 Ultravioleta 500 500 1 000 2 000 5 000 λ (nm) 200 f (1012 Hz) Visible Infrarrojo Asimismo, tampoco explicaba el desdoblamiento de las líneas espectrales que aparecían al someter los átomos a un campo magnético externo. Prohibida su reproducción Las series espectrales del hidrógeno aparecen cuando el electrón salta de una órbita a otra de distinto nivel de energía. 189 7. Mecánica cuántica Hasta principios del siglo XX, la comunidad cientíica consideraba el electrón como una partícula y la radiación electromagnética como una onda. Sin embargo, ya hemos visto que la radiación electromagnética se comporta en ocasiones como un conjunto de fotones. Este hecho, junto con otros resultados experimentales obtenidos alrededor de 1900, no estaba de acuerdo con lo establecido hasta entonces por la comunidad cientíica. Ello llevó a los físicos de la época a desarrollar una nueva teoría, la mecánica cuántica. A continuación describiremos dos aspectos característicos de esta teoría: la dualidad onda-partícula y el principio de indeterminación. Luego, expondremos las distintas formulaciones de la mecánica cuántica para, inalmente, ver cómo los resultados de la mecánica cuántica permiten interpretar la estructura del átomo y el comportamiento de las partículas subatómicas. 7.1. Dualidad onda-partícula UE En 1924, el físico francés Luis V. de Broglie (1892-1987) sugirió, en su tesis doctoral, que los electrones podían tener características ondulatorias. Su hipótesis, conocida como hipótesis de De Broglie consistió en ampliar el comportamiento dual de la radiación a la materia, es decir, consideró que la materia, especialmente los electrones, también presentarían un aspecto corpuscular y un aspecto ondulatorio. NT T Ten en cuenta que: Experimento de Davisson y Germer Al dirigir un haz de electrones con energía E y momento lineal p bien definidos contra un cristal de níquel, los científicos Davisson y Germer observaron la difracción de electrones (λ = 0,50 Å), un comportamiento ondulatorio similar al de los rayos X (λ = 0,71 Å). Prohibida su reproducción La longitud de onda medida fue justamente la predicha por De Broglie para las ondas de materia. 190 a b c Según esta hipótesis, la energía, tanto de la materia como de la radiación, se relaciona con la frecuencia f de la onda asociada a su movimiento mediante la expresión: E = hf Y el momento lineal p, con la longitud de onda: p = hf E h = ;p = c c λ Así pues, la longitud de onda λ asociada a una partícula material o a un fotón de momento lineal p será: λ= h p ; λ= h ÊË Esta propuesta fue considerada inicialmente como carente de realidad física por su falta de evidencias experimentales. Sin embargo, en 1927, los físicos norteamericanos C. Davisson (1881-1958) y L. A. Germer (1896-1971) la comprobaron experimentalmente después de haber observado la difracción de electrones de forma casual. Ese mismo año, el físico inglés G. P. Thomson (1892-1975) conirmó la relación obtenida teóricamente por De Broglie, λ = h , p mediante la difracción de haces de electrones a través de hojas metálicas delgadas. Espectro de difracción producido por: a. rayos X; b. electrones; c. neutrones. El diagrama obtenido al hacer incidir un haz de electrones sobre dos rendijas estrechas coincidía con el obtenido con fotones de la misma longitud de onda. IC S TIC Comprueba como se genera un rayo láser con la simulación de la página: Visita: http://goo.gl/4jj0Cx 7.2. Aplicaciones de la mecánica cuántica Los postulados y los resultados de la mecánica cuántica pueden parecernos extraños y alejados de la realidad cotidiana. Sin embargo, hoy en día sus aplicaciones llegan a todos los ámbitos de la vida moderna. Arco iris primario Dispositivo basado en el efecto fotoeléctrico. Cuando la radiación incidente alcanza la célula fotoeléctrica, provoca una emisión de electrones que dan lugar a una corriente eléctrica. Esta corriente se utiliza para poner en funcionamiento otro circuito más potente, que, a su vez, abre puertas automáticamente, vela por la seguridad en los ascensores, dispara alarmas, contabiliza unidades en cadenas de montaje... Luz incidente Fotoelectrones - + Electrodo colector + Amperímetro Batería Microscopio electrónico Fuente de luz Fuente de electrones Lente del condensador Lente del objetivo Objeto Imagen intermedia Ocular Magneto del condensador Magneto del objetivo Magneto del proyector Placa fotográfica Microscopio óptico Microscopio electrónico Este tipo de microscopio utiliza las características ondulatorias de los electrones. Así, se consiguen longitudes de onda de hasta 3 Å, muy inferiores a los 400 nm mínimos de los microscopios ópticos que usan luz visible. La longitud de onda de los electrones se controla ijando su velocidad; para ello se les impulsa mediante una diferencia de potencial determinada. El haz de electrones es enfocado mediante lentes magnéticas (electroimanes). El haz atraviesa la muestra, que debe ser muy delgada, y la imagen se recoge en una pantalla luorescente o en una emulsión fotográica. Muchos avances en biología y medicina se deben al microscopio electrónico. Con él se han observado los virus de la gripe, de sólo 30 nm. Asimismo, la microscopía electrónica es fundamental para la industria. Láser El láser (ampliicación de luz por emisión estimulada de radiación) es luz monocromática, es decir, de una frecuencia determinada, coherente, muy intensa y concentrada. Proceso de generación de un láser contínuo Espejo Emisión incoherente Semiespejo Energía de bombeo Emisión incoherente Estado fundamental Un haz muy intenso de luz verde proporciona energía a muchos iones de cromo y los lleva a estados excitados de vida corta (10 ns). Los iones pierden energía y pasan a un estado metaestable, donde pueden permanecer más tiempo (103 ns). Emisión coherente (láser) La emisión de un fotón por un ion provoca una reacción en cadena, la cual genera el pulso láser. Haz coherente (láser) Para concentrar los fotones en un único sentido, se dirigen mediante un espejo y un semiespejo. El láser emite radiación visible. Actualmente, el láser se aplica en campos tan dispares como en las telecomunicaciones (ibras ópticas), en los lectores de discos compactos, en cirugía (bisturís), en la industria (soldadores y cortadores de precisión)... Existe otro dispositivo, el máser, que emite radiación de microondas. Prohibida su reproducción Estado metaestable 191 Problemas resueltos A Un átomo emite dos electrones en la misma dirección y sentidos opuestos, con velocidades iguales a 0,75c. a. Desde el punto de vista clásico, ¿a qué velocidad relativa se separarían? ¿Es esto posible? b. Desde el punto de vista relativista, ¿a qué velocidad relativa se separan? — Datos: Y′ S′ Y O′ X′  v 2 = u = (− 0, 75 c, 0)    v 1 = v 1 − u = (0 ,75 c , 0) − (−0 ,75 c , 0) =(1,5 c , 0) Desde el punto de vista clásico, los electrones se separarían a una velocidad superior a la de la luz, pues, en módulo, v′1 = 1,5c. Según la teoría especial de la relatividad, esto no puede ser correcto. b. Aplicamos la adición relativista de velocidades para hallar la velocidad del primer electrón en S′: S O a. Aplicamos la adición clásica de velocidades para hallar la velocidad del primer electrón en S′, que es igual a la velocidad con que se separarían los electrones: v 1Ï X Ð Ì 1Ï 1− v1 = (0,75c, 0) −Í Ì 1Ï Í Î 0, 75 Î − (−0,75 Î ) = 0, 96 c 0, 75 c − (−0 , 75 c ) 1− c2 = 0 p o Ñ Ò e r v 1y =0 = 2 v 1x La velocidad relativa entre los electrones es de 0,96c. 1. Un muón, que se mueve a 0,7c respecto al laboratorio, se desintegra dando lugar a un electrón y dos neutrinos. El electrón es emitido a una velocidad de 0,8c respecto al muón. Si se mueve en la misma dirección y sentido que el muón original, halla la velocidad del electrón respecto al laboratorio desde el punto de vista clásico y desde el punto de vista relativista. B El neutrón libre es una partícula inestable que al cabo de 15 min de vida media se descompone en un protón, un electrón y un antineutrino. Si un neutrón generado en el Sol viaja hacia la Tierra a una velocidad de 0,6 c, determina: a. El tiempo medio que tarda en desintegrarse desde el punto de vista terrestre. b. La distancia recorrida por el neutrón desde su propio punto de vista. (Distancia media Tierra-Sol: x = 1,5 ⋅ 1011 m) Prohibida su reproducción — Datos: 192 ∆t′ = 15 min = 900 s v n = 0,6c u = v n = 0,6c β = 0,6 x = 1,5 ⋅ 1011 m a. Aplicamos la dilatación temporal para calcular la vida media del neutrón desde el punto de vista terrestre: t = t 900 s = = 1 −β 2 1 − 0, 6 2 900 s = =1125 s 0, 8 b. Desde el punto de vista del neutrón, la Tierra se le acerca con una velocidad de 0,6c. Aplicamos la contracción de longitudes para determinar la distancia recorrida por el neutrón en S′: x = x 1 −β 2 = 1, 5 ⋅10 11 m 1 − 0, 6 2 =1, 2 ⋅ 10 11 m 2. Los piones son partículas inestables con una vida media muy corta, de 2,6 ⋅ 10-8 s. Si aceleramos un pión hasta una velocidad de 0,9c, calcula: a. la vida media y la distancia media recorrida en ese tiempo, observadas en el laboratorio; b. la distancia media que recorre un pión antes de desintegrarse, desde su propio punto de vista. C Sobre un cuerpo de 1 g, inicialmente en reposo, actúa una fuerza constante de 1000 N. Calcula: a. El tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de la luz, según la mecánica clásica. b. La velocidad real que adquiere en ese tiempo, según la mecánica relativista. b. Aplicamos de nuevo el teorema del impulso para hallar la velocidad real, teniendo en cuenta que en la mecánica relativista la masa varía con la velocidad: Ft = mv donde v =c β y m = γ m 0 Ft = — Datos: F = 1000 N m0 = 1 ⋅ 10-3 kg v 0 = 0 m/s a. Aplicamos el teorema del impulso en la dirección del movimiento para hallar el tiempo que tarda este cuerpo en alcanzar la velocidad c, según la física clásica: F t = Ó =Ô 0 Õ −Ô 0 v 0 ; F t =m0 c m c 1 ⋅ 10 t = 0 = F −3 m0 c β 1 −β 2 ; F 2t 2 m 02 c 2 = β2 1 −β 2 Despejamos β y sustituimos los datos del enunciado: 1 β= 1+ m 02 c 2 = F 2t 2 1 = 8 kg ⋅ 3 ⋅ 1 0 m/s = 300 1000 N 1+ (1 ⋅ 10 −3 kg ⋅ 3 ⋅ 10 8 m/s) 2 = 0, 71 (1 000 N ⋅ 300 s )2 Es decir, el cuerpo sólo alcanza una velocidad de 0,71c, el 71 % de la velocidad de la luz. 3. Un campo eléctrico constante de 500 N/C actúa sobre un electrón inicialmente en reposo. Calcula: a. el valor de la fuerza eléctrica; b. el tiempo que tarda en alcanzar la velocidad de la luz, según la mecánica clásica; c. la velocidad real que adquiere en ese tiempo (carga del electrón: -e = -1,6 ⋅ 10-19 C; masa en reposo del electrón: m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg). D a. La energía relativista mínima de cada protón para que en el choque se genere un par protónantiprotón (p+ + p-) según la ecuación: (p+ + p+) → (p+ + p+) + (p+ + p-) b. La masa relativista del protón. c. La energía cinética del protón. d. La velocidad del protón. (Masa del protón y del antiprotón: mp = 1,67 ⋅ 10-27 kg) — Datos: m p = 1,67 ⋅ 10 -27 kg a. La energía relativista mínima se obtiene cuando los protones originales crean un par protón-antiprotón y los cuatro quedan en reposo. Aplicamos el principio de conservación de la energía relativista: E inicial = E final ; E inicial = 4 m p c 2 E inicial = 4 ⋅ 1,67 ⋅ 10-27 kg ⋅ (3 ⋅ 108 m/s)2 = 6 ⋅ 10-10 J Luego la energía relativista de cada protón Ep es: Ep = mp c 2 4 E inicial 0 −1 J = =2 m p c 2 =31 ⋅ 0 2 2 b. Calculamos la masa relativista de un protón a partir de su energía relativista: E = mc2 Ö = Ep c 2 = 2Öp × 2 c2 = 2 Ö p =3,34 ⋅ 10 −27 kg c. Hallamos la energía cinética de cada protón incidente a partir del incremento de masa: Ec = ∆mc 2 = (2 m p - m p )c 2 = m p c 2 = 1,5 ⋅ 10-10 J d. Igualamos la masa obtenida con la deinición de masa relativista para hallar la velocidad del protón: Ø = 2Ø p ; Ø p 1 −β 2 = 2 Øp 1 − β 2 =0, 5 ; β = 0, 866 Es decir, la velocidad de cada protón es 0,866c, el 86,6 % de la velocidad de la luz. 4. Dos haces de electrones colisionan con velocidades iguales. Determina: a. la energía relativista mínima de cada electrón para que en el choque se genere un par electrón-positrón, (e- + e-) → (e- + e-) + (e- + e+) b. su masa relativista; c. su velocidad. (Masa del electrón y del positrón: m e = 9,1 ⋅ 10-31 kg) Prohibida su reproducción Un experimento consiste en hacer chocar dos haces de protones con velocidades iguales. Determina: 193 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. Supón que estás en un auto detenido en un semáforo y ves que el auto de al lado parte y se aleja de ti. ¿Por qué en este caso no habrá duda sobre cuál de los dos vehículos se ha puesto en marcha? — ¿Se vulnera el principio de relatividad? 2. La velocidad de la luz, ¿depende de la velocidad relativa entre la fuente y el observador? ¿Depende de la dirección de propagación? Razona tus respuestas. 3. ¿Qué fuerza deberíamos aplicar a un cuerpo, según la mecánica relativista, para que éste alcance la velocidad de la luz? 4. ¿Qué airma el principio de equivalencia entre la masa y la energía? 2 Practica lo aprendido 5. Supón que viajas en automóvil por autopista a 100 km/h y una motocicleta te adelanta a una velocidad de 10 km/h (respecto a tu coche). Diez segundos después la motocicleta ha aumentado su velocidad a 12 km/h. Determina: a. La velocidad de la motocicleta respecto a la autopista cuando te adelanta y 10 s después. b. La aceleración de la motocicleta respecto a la autopista y respecto a tu coche. c. El tiempo que tarda la motocicleta en superar el límite de velocidad de la autopista, 120 km/h. Prohibida su reproducción 6. La posición de un cuerpo de 10 kg de masa respecto a un observador O en la Tierra viene dada por el vector → r (t ) = (10 t + t 2, 8 t - t 2) m, donde t se mide en segundos. Determina los vectores de posición, velocidad, aceleración y fuerza para otro observador O′ que se mueve respecto al primero con velocidad → u = (10, 0) m/s. 194 7. Un hombre navega en un bote por un río corriente arriba. Al pasar bajo un puente se le cae al agua un paquete. El hombre continúa navegando durante 15 min hasta que nota su ausencia y vuelve aguas abajo a buscarlo. — Si recoge el paquete a un kilómetro del puente, ¿a qué velocidad luye el agua del río? (Supón que el hombre no consume tiempo en girar.) 8. Un río de 2 km de ancho luye hacia el Sur a 3 km/h. Un bote sale de la orilla Oeste y se dirige hacia el Este. El bote desarrolla un velocidad de 4 km/h en aguas quietas. Determina: a. La velocidad del bote visto desde la orilla. b. El tiempo que tarda en atravesar el río. 9. Un astronauta se dirige a la estrella Sirio, que se encuentra a 9 años luz de distancia de la Tierra. Su nave desarrolla una velocidad de 0,8c. Halla: a. El tiempo que dura el viaje para un observador en la Tierra y para el astronauta. b. La distancia recorrida desde el punto de vista del astronauta. 10. Un genio A vuela en una alfombra voladora de 115 cm de largo y 89 cm de ancho a una velocidad de 0,8c. Otro genio B, cuyo corazón late a 85 pulsaciones por minuto, está posado en tierra. Halla: a. Las dimensiones de la alfombra que observa el genio B. b. Las pulsaciones por minuto del corazón del genio B que observaría el genio A. 11. Una nave espacial A vuela con una velocidad de 0,8c respecto a la Tierra. Otra nave espacial B parte de la Tierra con una velocidad de 0,9 c. Calcula la velocidad de B medida por A si: a. La nave B persigue a la nave A moviéndose en su misma dirección y sentido. b. La nave B huye en sentido contrario a la nave A. c. La nave B se mueve perpendicularmente a la nave A. 12. Una nave espacial lanza una sonda sobre Titán, satélite de Saturno. La sonda, vista desde Titán, se mueve con una velocidad de 0,6c en la misma dirección y sentido que la nave. Determina la velocidad de la sonda respecto a la nave si ésta se mueve a una velocidad de 0,4c respecto a Titán. 13. Calcula la velocidad que debe adquirir un cuerpo para que su masa se multiplique por nueve. — ¿Depende esta velocidad de la masa en reposo? a. La diferencia de potencial necesaria, según la mecánica clásica. b. La velocidad que adquiere realmente el electrón al aplicar esta diferencia de potencial. c. La masa relativista del electrón. 16. Un electrón que parte del reposo es acelerado por una diferencia de potencial de 400 000 V. Calcula: a. La energía cinética que adquiere. a. La fuerza eléctrica aplicada al ion. b. La velocidad adquirida por el ion. c. La masa y la energía cinética relativistas al cabo de este tiempo. (Carga del ion 12C = +1,6 ⋅ 10-19 C; masa en reposo del ion 12C = 2 ⋅ 10-26 kg) 22. Se hacen chocar dos haces de electrones con velocidades iguales. Determina: a. La energía relativista mínima de cada electrón para generar tres pares electrón-positrón. b. Su masa relativista. c. Su energía cinética y su velocidad. (Masa del electrón y del positrón: me = 9,1 ⋅ 10-31 kg) S b. La velocidad que adquiere, desde los puntos de vista clásico y relativista. TIC c. Su masa y su energía relativistas. 23. Mediante un programa de representación de gráicas dibuja la curva de la energía cinética clásica y de la energía cinética relativista para una masa de 1 kg en función de la velocidad en el intervalo (0,c). 17. El momento lineal de una partícula con velocidad constante v se deine como p = mv = γm 0 v, y su energía relativista es E = mc 2 = γm 0 c 2. Demuestra que entre estas dos magnitudes se cumple la siguiente relación: E 2 = p 2 c 2 + m 02 c 4 18. Para estudiar el lanzamiento de un cohete al espacio tomamos los sistemas de referencia S, ijo en la Tierra, y S′, ijo en el cohete. Di si: a. alguno de estos sistemas puede considerarse inercial; b. se cumplen las leyes de Newton en el sistema S′. 19. Un pescador vive en la orilla de un río, 6 km aguas abajo de la ciudad. En su bote, tarda 1 hora en ir de su casa a la ciudad y 36 min en volver. Determina: a. la velocidad a la que luye el río; b. la velocidad que desarrollaría el bote en aguas tranquilas. 20. Explica la diferencia entre el principio de relatividad de Galileo y el principio de relatividad de Einstein. 24. Usando un programa de presentaciones recoge opiniones sobre la teoría de la relatividad. Elabora una exposición y preséntala en clase. 25. Calcula a qué velocidad la masa de un cuerpo será el triple de la que tiene en reposo. 26. ¿Cómo cambiaría nuestro mundo cotidiano si la velocidad de la luz fuera tan sólo de 10 m/s? —Describe algunos de los fenómenos que ocurrirían. 27. Calcula a qué velocidad deben colisionar dos partículas de masa en reposo m0 para que resulte una partícula en reposo de 7m0. a. ¿Cambia el resultado si las partículas son electrones o protones? b. ¿Cambia la energía cinética por partícula si se trata de electrones o protones? Prohibida su reproducción 15. Se desea acelerar un electrón hasta la velocidad de la luz. Calcula: 21. Un ion de carbono 12 es acelerado desde el reposo por un campo eléctrico uniforme de 80 V/m durante 5 s. Determina: TIC 14. Deduce las componentes v x′ y v y′ de la fórmula relativista de adición de velocidades a partir de las transformaciones de Lorentz, para el caso particular en que tanto v como v′ sean constantes. Recuerda que en este caso las componentes de la velocidad se deinen sencillamente como: vx = x/t, v y = y/t, v x′ = x′/t′, v y′ = y′/t′ 195 Práctica de laboratorio N•5 Radiación del cuerpo negro A principios del año 1900 dos físicos ingleses, lord John W. Rayleigh y sir James H. Jeans, utilizaron los principios del electromagnetismo y la ter-modinámica clásicos para describir la radiación del cuerpo negro. Obtuvieron una expresión matemática (ley de Rayleigh-Jeans) en la que la energía de la radiación disminuye al aumentar la longitud de onda, pero aumenta indeinidamente al disminuir ésta, cosa que no estaba de acuerdo con los hechos experimentales. Fue el físico alemán Max Planck quien formuló una hipótesis que constituyó el punto de partida para explicar la radiación del cuerpo negro. Haz de luz Prohibida su reproducción Cuerpo aislado que absorbe la radiación 196 investigamos: ¿Cómo depende la radiación térmica de un cuerpo negro de su temperatura? • Comprobar la ley de la radiación del cuerpo negro, realizando una aproximación a las leyes de Stefan-Boltzmann y a la ley de Wien. materiales • Laboratorio virtual para realizarlo en la web. Práctica de laboratorio N•5 objetivo: Procesos: IC • El link para la realización de la práctica de laboratorio es: S TIC Cuestiones: • Pon ejemplos de cuerpos negros en la naturaleza. • ¿En qué consiste la predicción de Rayleigh-Jeans? • ¿En qué consiste la hipótesis de Planck sobre la radiación del cuerpo negro? Prohibida su reproducción http://labovirtual.blogspot.com/p/fisica.html 197 ZONA SOCIEDAD Semiconductores Superconductores http://goo.gl/qxEoGL La conductividad eléctrica de los materiales semiconductores aumenta con la temperatura. Esta característica los diferencia claramente de los metales, cuya conductividad disminuye al aumentar la temperatura, y de los aislantes, que prácticamente no son conductores. Para explicar este hecho fue necesaria la mecánica cuántica. Transistores Una aplicación de los semiconductores la encontramos en la fabricación de transistores. Estos elementos electrónicos se construyen sobre un sustrato de material semiconductor (generalmente silicio), dopado con impurezas, y de dimensiones muy reducidas. Así, por ejemplo, el primer transistor plano construido en 1959 medía 764 mm de diámetro y podía ser observado a simple vista, mientras que actualmente se fabrican transistores tan pequeños que pueden caber millones en la cabeza de un aliler y sólo pueden ser observados mediante el microscopio electrónico. Transistor moderno 198 La mecánica cuántica muestra que, a pesar de su carga negativa, existe una débil atracción indirecta entre electrones debida a los iones positivos del metal. Si la agitación térmica es suicientemente baja (T < Tc ), algunos electrones quedan ligados formando pares, llamados pares de Cooper (dos electrones con igual celeridad pero sentido y espín opuestos). Estos pares tienen espín 0 y se comportan como bosones. Además, no experimentan ninguna resistencia y circulan libremente por el material. Inicialmente, se utilizaron materiales como la aleación Nb3Sn de Tc = 19,2 K. Las aplicaciones desarrolladas fueron pocas y muy especíicas, básicamente porque este tipo de materiales debe enfriarse con helio líquido, de difícil obtención. Sin embargo, desde 1986 se conoce una nueva familia de superconductores cerámicos, las peroskitas, cuyas temperaturas críticas permiten refrigerarlos con nitrógen líquido, más rentable económicamente. Un ejemplo es el YBa2Cu3O7 de Tc = 92 K. https://goo.gl/sPtWXa Prohibida su reproducción La revolución electrónica introducida por el transistor se maniiesta principalmente en la miniaturización de los dispositivos. Sin embargo, también se avanza en la obtención de transistores capaces de manejar mayores potencias eléctricas. Así, existen transistores en un teléfono móvil, en un tren de alta velocidad… Existe un conjunto de materiales que, al ser enfriados por debajo de una cierta temperatura, denominada temperatura crítica Tc, presentan una resistencia nula al paso de corriente eléctrica. Son los superconductores. Resumen Fórmulas Aplicación Desde el punto de vista clásico, permiten a un observador O′ interpretar la información que le llega procedente de un observador O que se mueve a velocidad constante respecto a O′. Transformaciones de Galileo ; ; ÜÞ Ü ;Û Ý Þ Ý ÞÛ Desde el punto de vista clásico, permite relacionar las velocidades medidas por dos observadores en movimiento relativo. Fórmula clásica de adición de velocidades  v à   v áu Transformaciones de Lorentz Desde el punto de vista relativista, permiten a un observador O′ interpretar la información que le llega procedente de un observador O que se mueve a velocidad constante respecto a O′. β x = γ (x − u t ) ; y = y ; z = z ; t = γ t − x c u 1 donde β = ; γ = c 1 −β 2 Adición relativista de velocidades vx Desde el punto de vista relativista, permite relacionar las velocidades medidas por dos observadores en movimiento relativo. v y 1 −β 2 v 1 −β 2 v −u ;vy = ;vz = z = x v u v u v u 1 − x2 1 − x2 1 − x2 c c c Masa relativista mr = m0 Energía cinética relativista E Energía relativista total Permite determinar la masa relativista de un cuerpo en movimiento. 2 1 - v2 c c =m0 c2 1 2 1 - v2 c -1 E = mr c2 Permite determinar la energía cinética de un cuerpo en movimiento. Permite relacionar la energía y la masa relativistas de un cuerpo. Limitaciones de la física clásica Principio de indeterminación Radiación térmica del cuerpo negro — Expresiones del principio de indeterminación para la relación entre posición y momento lineal, y energía y tiempo: — Ley de Stefan-Boltzmann: P = σ T 4 S — Ley del desplazamiento de Wien: λmáx T = 2,897755 ⋅ 10 m⋅K -3 ä ⋅ å ≥ h ; 4π æ ⋅ ç ≥ h 4π — Energía de un cuanto: E0 = h f Formulaciones de la mecánica cuántica Efecto fotoeléctrico — Relaciones que determinan la cuantización de los tres números cuánticos: — Ecuación fotoeléctrica de Einstein: Ec máx = h f - W 0 Espectros atómicos 1 1 1 — Fórmula de Rydberg: λ = R H m 2 − n 2 Energía del electrón en el nivel nè E né E ê 0 Z 2 n2 Módulo del momento angular del electrón en el subnivel l: L2 = l (l + 1) –h 2 Mecánica cuántica Componente z del momento angular del electrón en función de ml : Lz = ml –h Dualidad onda-partícula Resultados de la mecánica cuántica: el espín — Longitud de onda asociada a una partícula material o a un fotón de momento lineal â : λ= ã â — Reglas de selección para la transición de un electrón entre dos orbitales: ∆l = ±1 ; ∆m = 0 ó ±1 Prohibida su reproducción Ù Þ Ù ß ÚÛ 199 Para finalizar 1 Explica por qué al extraer una barra de hie- 11 ¿Qué signiica el concepto dualidad onrro al rojo vivo de un horno deja lentamente de brillar. 2 Cita tres maneras de comunicar energía a dapartícula? a. Enuncia la hipótesis de De Broglie y coméntala. b. ¿Qué hecho experimental conirmó esta hipótesis? un metal para que pueda emitir electrones. 12 La longitud de onda asociada a una pelota de 140 g es 1,9 ⋅ 10-24 Å. ¿Con qué velocidad se 3 Si se triplica la frecuencia de la radiación mueve esta pelota? ¿Sería posible medir esta incidente sobre un metal, ¿puede airmarlongitud de onda? se que se triplicará la energía cinética de los fotoelectrones? 13 Describe brevemente las aportaciones del 4 Describe las características más importantes de la hipótesis de Planck, que explica la radiación del cuerpo negro. 5 ¿Qué aspecto de la naturaleza de la luz conirma la teoría cuántica de Einstein? efecto Compton a las características corpusculares de la radiación electromagnética. 14 Explica las diferencias fundamentales que se dan entre el concepto de órbita y el de orbital. 6 Plantea y explica brevemente la ecuación 15 Describe el funcionamiento de una célula que rige el efecto fotoeléctrico. Indica el signiicado de cada término. fotoeléctrica. a. Haz un esquema de ella. b. Cita tres aplicaciones. 7 Un metal emite electrones al ser iluminado 16 Describe el funcionamiento del microscocon luz verde pero no emite electrones si se ilumina con luz amarilla. ¿Emitirá electrones si la luz es naranja? ¿Y si es azul? Justiica tu respuesta. pio electrónico. a. Compáralo con el del microscopio óptico. b. Investiga cómo ha inluido este instrumento en el avance de la medicina, elabora un informe y exponlo en clase. 8 Supón que en un metal se produce efecto 17 Haz un esquema que represente la formafotoeléctrico al incidir luz de frecuencia f. ¿Se producirá si duplicamos la frecuencia de la radiación? Prohibida Prohibida su su reproducción reproducción 9 Describe las semejanzas y las diferencias 200 ción de un pulso láser. a. Investiga y explica las diferencias fundamentales entre la luz emitida por una bombilla y la emitida por un láser. b. Cita cinco aplicaciones del láser. entre un espectro de absorción y uno de 18 El intervalo de longitudes de onda del esemisión. pectro visible está entre 4 ⋅ 10-7 m y 7 ⋅ 10-7 m. Calcula: a. el intervalo de frecuencias del 10 Razona: a. ¿Qué representan las órbitas en espectro visible y de energías fotónicas; b. la el modelo atómico de Bohr? b. ¿Qué signilongitud de onda de un fotón cuya energía es ica, en el modelo de Bohr para el átomo 5,6 eV. c. ¿En qué parte del espectro se sitúa? de hidrógeno, que la energía de las órbitas está cuantizada? 19 La onda asociada a un electrón acelera- 23 Un rayo gamma tiene una energía de 1020 eV. ¿Cuál es su longitud de onda en do por una cierta diferencia de potencial el vacío? tiene una longitud de onda de 1 Å. ¿Cuánto vale la diferencia de potencial que lo 24 El cátodo metálico de una célula foaceleró? toeléctrica se ilumina simultáneamente con dos radiaciones monocromáticas 20 Las longitudes de onda λmáx de la radiación λ1=300nm y λ2=450nm. El trabajo de extérmica emitida para diferentes temperatracción de un electrón de este cátodo es turas por una cavidad son: 75 pm (rayos W = 3,70 eV. X); 750 nm (rojo) y 7,5 mm (microondas). a. Di cuál de las radiaciones produce efecto Calcula en cada caso: a. la temperatura fotoeléctrico. Razona la respuesta. de la cavidad; b. la potencia emitida por b. Calcula la velocidad máxima de los elecunidad de supericie. trones emitidos. ¿Cómo variaría dicha velocidad al triplicar la intensidad de la radiación 21 Se dispone de luz monocromática capaz incidente? de extraer electrones de un metal. ¿Qué sucede a medida que aumenta la longitud 25 Un electrón (m = 9,1 ⋅ 10-31 kg) y una persoe de onda de la radiación incidente? na de 65 kg de masa se mueven libremente a a. Los fotoelectrones son más energéticos. una velocidad de (1,5 ± 5 ⋅ 10-3) m⋅s-1. b. Los fotoelectrones son menos energétia. ¿Cuál es su energía y su momento lineal? cos. b. ¿Qué indeterminación tiene su momento c. La luz no es capaz de extraer electrones. lineal? Justiica tu elección. c. Calcula la indeterminación mínima en su posición. El ojo humano presenta su mayor sensibili22 dad para luz con λ = 560 nm. 26 La energía umbral de cierto metal es 1 eV. a. Calcula la energía del fotón corresponAl iluminar una supericie de dicho metal, diente. se observa que los electrones emitidos b. Si la mínima intensidad que el ojo detecposeen una energía cinética máxima de ta es de unos 10-10 W⋅m-2 y el diámetro de la 1,5eV. ¿Cuál es la frecuencia de la radiapupila es de unos 8 mm, calcula a cuántos ción incidente? fotones por segundo equivale. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 201 6 Física moderna II contenidOS: 1. Radioactividad 1.1. Radiaciones alfa, beta y gamma 1.2. Desintegración radiactiva 1.3. Efectos biológicos y aplicaciones de la radiactividad Prohibida su reproducción 2. El núcleo atómico 202 2.1. Fuerzas nucleares 2.2. Energía de enlace 3. Reacciones nucleares 3.1. Reacciones nucleares y radiactividad 3.2. Fisión nuclear 3.3. Fusión nuclear Película: Observarás un video del XXXI Congreso Nacional de Ingeniería Hospitalaria. José Luis Fernández Barbón. Investigador Cientíico del Instituto de física teórica CSIC/UAM. Teóilo Calvo Barquillo. Farmacéutico, bioquímico e investigador. Fundador y director técnico de Laboratorios Taxón. Manuel Lozano Leyva. Físico nuclear, escritor y divulgador cientíico. En contexto: 1. Luego de ver el video contesta: a. ¿Cómo se aplica la física atómica y nuclear en la medicina? b. ¿Cuál es el futuro en estas aplicaciones? Prohibida su reproducción https://www.youtube.com/watch?v=6B-CnfYihhQ 203 1. Radioactividad En 1895, el físico alemán W. Roentgen (1845-1923), en el transcurso de su estudio sobre descargas eléctricas en gases, descubrió la existencia de una radiación invisible muy penetrante que era capaz de ionizar el gas y provocar luorescencia en él. Puesto que desconocía el origen de esta radiación, le dio el nombre de rayos X. B En 1896, el físico francés A. H. Becquerel (1852-1908) observó que unas placas fotográicas que había guardado en un cajón envueltas en papel oscuro estaban veladas. En el mismo cajón había guardado un trozo de mineral de uranio. Becquerel comprobó que lo sucedido se debía a que el uranio emitía una radiación mucho más penetrante que los rayos X. Acababa de descubrir la radiactividad. IÉN y también: Pierre y Marie Curie Marie Curie, cuyo nombre de soltera era Marie Sklodowska, nació en Varsovia (Polonia) en 1867. Pese a vivir en condiciones muy humildes, consiguió reunir algunos ahorros para estudiar física en la Universidad de la Sorbona (París). En 1894 Marie conoció a Pierre Curie (1859-1906), químico francés conocido por sus investigaciones sobre magnetismo y por haber descubierto la piezoelectricidad. Pierre y Marie se casaron en 1895. Prohibida su reproducción Poco después, Marie inició su tesis doctoral, dedicada al estudio de la radiación descubierta por Becquerel, y propuso el nombre de radiactividad para dicho fenómeno. Pierre se incorporó más tarde a la investigación de su esposa. En su trabajo, el matrimonio Curie descubrió la radiactividad del torio, del polonio y del radio. En 1903 el matrimonio Curie y Becquerel compartieron el premio Nobel de física. En 1906 Pierre Curie murió atropellado por un coche de caballos. Marie prosiguió sus investigaciones y, en 1911, le fue otorgado el Nobel de química. Murió en Alta Saboya (Francia), en 1934, víctima de la leucemia causada por la radiación. La radiactividad es la propiedad que presentan determinadas sustancias, llamadas sustancias radiactivas, de emitir radiaciones capaces de penetrar en cuerpos opacos, ionizar el aire, impresionar placas fotográicas y excitar la luorescencia de ciertas sustancias. Al poco tiempo de descubrirse la radiactividad del uranio, se descubrieron nuevos elementos radiactivos: torio, polonio, radio y actinio. En la actualidad se conocen más de cuarenta elementos radiactivos. 1.1. Radiaciones alfa, beta y gamma Las distintas radiaciones emitidas por las sustancias radiactivas se clasiicaron inicialmente, según el poder de penetración, con los nombres de radiación α, β y γ (de menos a más penetrante). Hoy en día conocemos las características de las distintas radiaciones y sabemos que se originan en el núcleo atómico. Radiación α Son núcleos de helio (partículas alfa) formados por dos protones y dos neutrones. Carga eléctrica: Q = + 2e = + 3,2 ⋅ 10-19 C Masa: m = 6,7 ⋅ 10-27 k Radiación β Son electrones rápidos (partículas β) procedentes de neutrones que se desintegran en el núcleo dando lugar a un protón y un electrón. Son radiaciones electromagnéticas (fotones) de mayor frecuencia que los rayos X. Carga eléctrica: Masa: m = 0 Q = - e = -1,6 ⋅ 10-19 C Carga eléctrica: Q=0 Tienen energías Son emitidos con una Masa: m = 9,1 ⋅ 10-31 kg cinéticas comprenenergía cinética del ordidas entre el keV y Su energía cinética del den del MeV. el MeV. orden del MeV. Radiación α Piel del cuerpo humano Radiación β Radiación γ Poder de penetración de las distintas radiaciones 204 Radiación γ Aluminio Hormigón 1.2. Desintegración radiactiva Cuando un núcleo atómico emite radiación α, β o γ, el núcleo cambia de estado o bien se transforma en otro distinto. En este último caso se dice que ha tenido lugar una desintegración. La desintegración radiactiva es un proceso aleatorio gobernado por leyes estadísticas. Si llamamos N al número de núcleos que aún no se han desintegrado en un tiempo t, el número de emisiones por unidad de tiempo será proporcional al número de núcleos existentes: dN = −λ N dt λ = constante radiactiva, característica de cada isótopo radiactivo El signo menos indica que el número de núcleos disminuye con el tiempo. De la integración de la expresión anterior, se obtiene la ley de emisión radiactiva. Esta ley nos da el número de núcleos N que aún no se han desintegrado en un instante de tiempo t: dN = −λ dt N In N = −λt N0 N = N 0 e-λ t N 0 = número de núcleos sin desintegrar en el instante inicial El número de emisiones de una sustancia por unidad de tiempo recibe el nombre de actividad, A, o velocidad de desintegración. Su unidad en el SI es el becquerel (Bq), que es una desintegración por segundo. De las ecuaciones anteriores se deduce: A = dN dt =λ N ; A = A 0 e −λ t A 0 = λ N 0 = actividad en el instante inicial El tiempo necesario para que se desintegre la mitad de los núcleos iniciales N0 recibe el nombre de período de semidesintegración, T, o también, semivida. Su expresión se deduce de la ley de emisión radiactiva: El número de núcleos radiactivos de una muestra se reduce a tres cuartas partes de su valor inicial en 38 h. Halla: a. la constante radiactiva; b. el período de semidesintegración. 3 — Datos: N = N 0 ; t = 38 h = 136 800 s 4 a. Para hallar la constante radiactiva, sustituimos los datos del enunciado en la ley de emisión radiactiva: 2. Describe las diferencias existentes entre las radiaciones α, β y γ. In 2 λ N =N0 e −ë t 3 In = −ì ⋅ 136 800 s 4 3 N =N 0 e −ë ⋅136800s 4 0 4 In 3 =2, 10 ⋅ 10−6 Bq ì = 136 800 s b. Calculamos el período de semidesintegración: T = In 2 In 2 = = 330 070 s =3, 82 día s λ 2, 10 ⋅ 10 − 6 s −1 3. El número de núcleos de una muestra radiactiva se reduce a siete octavas partes de su valor inicial en 1,54 días. Halla: a. la constante radiactiva; b. el período de semidesintegración. Actividades 1. Di cuáles son las principales propiedades de las sustancias radiactivas. T = Prohibida su reproducción Ejemplo1 N0 = N 0 e −λT 2 205 B IÉN y también: Los rayos X también son radiaciones ionizantes. Se originan cuando electrones muy energéticos arrancan otros electrones de las capas internas del átomo. Las radiografías de huesos y dientes se realizan a partir de rayos X. Se basan en el hecho de que estos rayos son absorbidos por los huesos, de alto contenido en calcio, y en cambio no son absorbidos por otros tejidos. 1.3. Efectos biológicos y aplicaciones de la radiactividad Durante millones de años, los seres vivos han soportado la radiactividad natural de la corteza terrestre y de los rayos cósmicos. Además, a partir del siglo XX la producción de rayos X y la radiactividad artiicial han aumentado las radiaciones ionizantes. La exposición a altas dosis de radiación aumenta la tasa de cáncer y puede producir otros trastornos de carácter genético. El grado de peligrosidad de un isótopo radiactivo o radioisótopo depende del tipo de radiación ionizante que emita, de su energía y de su período de semidesintegración. Grado de peligrosidad de las distinta radiaciones para el ser humano Fuentes externas al organismo Fuentes internas al organismo Si la fuente de la radiación se sitúa fuera del organismo, los rayos γ son la radiación más peligrosa, por ser la más penetrante. En cambio, las partículas α no penetran más allá de la piel. Si la fuente de la radiación está localizada dentro del organismo, las partículas α son la radiación más peligrosa. Por su corto alcance y su mayor masa, producen ionizaciones locales y alteraciones químicas muy importantes. α β Aumento de peligrosidad γ γ β Aumento de peligrosidad α Medida de los efectos biológicos de la radiación Dosis absorbida: cantidad de energía absorbida por unidad de masa de la sustancia irradiada. Su unidad en el SI es el gray (Gy). Un gray equivale a 1 J/kg. Dosis equivalente: producto de la dosis absorbida por el coeiciente de eicacia biológica relativa, una constante característica de cada tipo de radiación. Su unidad en el SI es el sievert (Sv). Un sievert es la cantidad de radiación que produce el mismo efecto biológico que la absorción de un julio de rayos g en un kilogramo de materia orgánica. Otra unidad para la dosis equivalente es el rem: 1 Sv = 100 rem Para trabajadores de laboratorios nucleares se recomienda no superar los 20 mrem diarios. Para el resto de la población se aconseja no superar los 0,5 rem anuales. Para minimizar los efectos de una radiación conviene aumentar la separación entre la fuente radiactiva y el individuo, reducir al máximo el tiempo de exposición a la radiación y utilizar pantallas o escudos. Prohibida su reproducción Aplicaciones de la radiactividad Los efectos de la radiactividad no siempre son perjudiciales. Si se emplea en la dosis y la forma adecuadas, la radiactividad tiene muchas utilidades en distintos campos: 206 — En medicina, se utiliza para el tratamiento y diagnóstico del cáncer, el estudio de órganos y la esterilización de material quirúrgico. — En la industria, se emplean radiografías para examinar planchas de acero, soldaduras y construcciones. — En química, se emplea para investigar mecanismos de reacción y para fabricar productos químicos. — En otros campos se usa para esterilizar especies nocivas en la agricultura, datar muestras orgánicas, fabricar relojes de precisión y generadores auxiliares para satélites… UE NT Ten en cuenta que: Todos los experimentos que se realizaron tras el descubrimiento de la radiactividad indicaron que las emisiones radiactivas no dependían del estado físico o químico de la sustancia (por ejemplo, de si estaba pulverizada o si era atacada por ácidos). Es decir, la radiactividad se producía en el núcleo atómico. El descubrimiento del núcleo condujo a E. Rutherford a establecer un nuevo modelo atómico. Propuso que: T 2. El núcleo atómico Los átomos están constituidos por electrones que giran alrededor de un núcleo atómico. En el núcleo se concentra prácticamente toda la masa atómica (más del 99 %). En cambio, el volumen del núcleo es una parte muy pequeña del volumen atómico (105 veces más pequeño). El núcleo está formado por protones y neutrones, partículas que denominamos nucleones. Un núcleo atómico se caracteriza por su número atómico, Z (número de protones del núcleo), y su número másico, A (número de nucleones del núcleo). — La mayor parte de la masa y toda la carga positiva del átomo se concentran en una minúscula zona central de gran densidad, el núcleo. — El átomo, mucho mayor que el núcleo, incluye la corteza electrónica, que es la región donde los electrones describen órbitas circulares alrededor del núcleo. — El átomo es neutro porque el número de electrones es igual al de protones. Protón Neutrón Electrón He Núcleos atómicos Es decir, el núcleo atómico está formado por Z protones y (A − Z) neutrones. Así pues, el núcleo posee una carga eléctrica positiva +Z e. Cuando un núcleo pasa de un estado excitado a otro menos energético, emite energía en forma de rayos g y rayos X. Es un proceso análogo a la emisión de radiación en las transiciones electrónicas. Los valores de los niveles energéticos nucleares son del orden del megaelectronvoltio (MeV), mientras que los valores de los niveles electrónicos son del orden del electronvoltio (eV). Partícula Electrón Protón Neutrón 2.1. Fuerzas nucleares A distancias muy pequeñas (del orden de 10-15 m), se perciben los efectos de un nuevo tipo de fuerzas, además de las fuerzas gravitatoria y electromagnética ya conocidas. Son las llamadas fuerzas nucleares, de muy corto alcance pero muy intensas. Carga eléctrica (C) Masa (kg) -1,602 ⋅ 10-19 9,1 ⋅ 10-31 +1,602 ⋅ 10-19 0 y también: B Como los electrones de los átomos, los núcleos presentan distintos niveles cuánticos de energía. Órbitas electrónicas H IÉN 1,673 ⋅ 10-27 1,675 ⋅ 10-27 Un isótopo de un elemento químico se representa por AZ X: X = símbolo del elemento A = número másico Z = número atómico Los isótopos de un mismo elemento difieren sólo en el valor de A. Prohibida su reproducción Con los experimentos de Rutherford y el descubrimiento, en 1932, del neutrón (partícula de masa similar a la del protón y sin carga eléctrica), se determinó de forma deinitiva la estructura del átomo. Modelo atómico de Rutherford (1911) 207 B IÉN y también: 2.2. Energía de enlace En los núcleos pequeños se observa que el número de protones es aproximadamente igual al número de neutrones: Z ≈ A − Z; pero en núcleos mayores, el número de neutrones es mayor: A − Z > Z para compensar la mayor repulsión electrostática. 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 A-Z A-Z=Z Según la mecánica relativista, un cambio de energía ∆E está asociado a un cambio de masa ∆m. Así, los nucleones pierden parte de su masa al formarse el núcleo. Experimentalmente se comprueba que la masa de un núcleo cualquiera formado por Z protones y A − Z neutrones (masa nuclear) es siempre inferior a la suma de las masas de los protones y los neutrones libres. La diferencia, denominada defecto de masa (∆m), viene dada por: Z 40 80 El equivalente energético de la unidad de masa atómica, 1 u, vale: E = 1 u ⋅ c 2 = 931 MeV ∆m = (Z mp + (A - Z ) mn ) - MN E A (Me V ) 7 Mg O Ca Fe Zn Kr 20 Mo Te Sm Lu Ne Hg 12 4 He C 24 16 6 mp = masa del protón mn = masa del neutrón MN = masa del núcleo La energía asociada al defecto de masa es la energía de enlace, ∆E: Ra Li Li 7 5 ∆E = ∆m c 2 6 4 La energía de enlace por nucleón es el cociente entre la 3 He 3 2 1 H 0 Prohibida su reproducción 208 energía de enlace y el número másico, Energía de enlace por nucleón en función del número másico 2 Ejemplo 2 0 La energía de enlace de un núcleo es la energía liberada cuando sus nucleones aislados se unen para formar el núcleo. El núcleo es más estable (menos energético) que el conjunto de sus nucleones aislados, ya que al formarse se libera energía. Número de neutrones frente a número de protones para núcleos estables a 0 Si se quiere romper un núcleo para aislar sus nucleones, hay que aportar una cierta energía. Esta energía coincide con la energía liberada al formarse el núcleo a partir de sus componentes y recibe el nombre de energía de enlace. 50 100 150 20 A E . A Cuanto mayor es este cociente, más estable es el núcleo. Su valor medio es aproximadamente de 8,3 MeV. La masa atómica del isótopo hierro 56 es Ar(Fe) = 55,9394 u y su número atómico es Z = 26. Halla: a) el defecto de masa; b) la energía de enlace. (Masa del protón: mp = 1,0073 u; masa del neutrón: mn= 1,0087 u) Z = 26; mp = 1,0073 u; mn = 1,0087 u — Datos: A = 56; Ar (Fe) = 55,9394 u a. Debido a que la masa de los electrones es muy pequeña, generalmente se toma como masa nuclear la masa atómica: Calculamos el defecto de masa: ∆ m = (Z mp + (A - Z ) mn ) - MN = (26 ⋅ 1,0073 u + (56 - 26) ⋅ 1,0087 u) - 55,9394 u = 0,5114 u b. Calculamos la energía de enlace teniendo en cuenta que una masa de 1 u tiene asociada una energía de 931 MeV: Me V E = Δ m c 2 = 0, 5114 u ⋅931 ⋅ = 476, 1 MeV 1u 3. Reacciones nucleares 14 7 N + 42He → 17 8 UE En 1919 Rutherford bombardeó núcleos de nitrógeno con partículas α y observó cómo estas partículas eran absorbidas por el núcleo, que se transformaba en otro distinto y emitía un protón. Fue la primera reacción nuclear provocada por el ser humano: NT T Ten en cuenta que: Familias radiactivas Actualmente se conocen tres familias radiactivas constituidas por isótopos naturales: O + 11H — La del uranio-radio: va desde el uranio 238 hasta el plomo 206. — La del uranio-actinio: va desde el uranio 235 hasta el plomo 207. — La del torio: va desde el torio 232 hasta el plomo 208. Las reacciones nucleares son procesos en los que intervienen directamente los núcleos atómicos transformándose en otros distintos. En toda reacción nuclear, la suma de los números atómicos y la suma de los números másicos se mantienen constantes. 3.1. Reacciones nucleares y radiactividad Cuando un núcleo es inestable, tiende a transformarse de forma que los productos resultantes sean más estables (menos energéticos). El proceso es una reacción nuclear en la que se libera energía. Los núcleos radiactivos son muy inestables. De forma espontánea producen emisiones radiactivas según distintas reacciones nucleares: Reacciones nucleares que producen emisiones radiactivas Emisiones de partículas α Un núcleo de helio (partícula α), formado por dos protones y dos neutrones, abandona el núcleo padre. Así, el número másico disminuye en cuatro unidades y el número atómico en dos unidades. A N → Z A -4 Z -2 Y + 42He (ley de Soddy) Emisiones de partículas β Un neutrón del núcleo padre se transforma en un electrón (partícula β), un protón y un antineutrino (partícula sin masa ni carga eléctrica): n → β- + p+ __ +νe. El número másico no se altera y el número atómico aumenta en una unidad. A N → Z A Z +1 Y+ 0 e (ley de Fajans) -1 En la desintegración del torio 232 se emite una partícula α seguida de una partícula β. Escribamos las reacciones nucleares sucesivas que tienen lugar. (Número atómico del torio: Z = 90) — Datos: A = 232 Z = 90 En la emisión de la partícula α , el número másico se reduce en cuatro unidades y el número atómico se reduce en dos unidades: 232 Th → 22888Ra + 42He 90 En la emisión de la partícula β, el número másico no varía y el número atómico aumenta en una unidad: 228 Ra → 88 228 Ac + -10e 89 Prohibida su reproducción Ejemplo 3 Tras una desintegración, el núcleo hijo suele ser también inestable y sufrir una nueva desintegración dando lugar a otro núcleo distinto. En general, tienen lugar varias desintegraciones sucesivas hasta que el núcleo final es estable. El conjunto de todos los isótopos que forman parte del proceso constituye una serie o familia radiactiva. 209 3.2. Fisión nuclear Algunos núcleos atómicos pueden liberar gran cantidad de energía si se dividen para formar dos núcleos más ligeros. El proceso se denomina isión nuclear. La isión nuclear es una reacción nuclear en la que un núcleo pesado se divide en otros dos más ligeros al ser bombardeado con neutrones. En el proceso se liberan más neutrones y gran cantidad de energía. UE En 1938, los físicos alemanes Hahn y Strassmann consiguieron dividir un núcleo de uranio 235 según la reacción: 235 1 141 92 1 92 U NT 56 Ba + 36Kr +3 0 n T Ten en cuenta que: + 0n → Prohibida su reproducción Centrales nucleares En las centrales nucleares, el calor provocado en la isión se utiliza para producir vapor que mueve las turbinas donde se genera energía eléctrica. Una central nuclear consta de: 1. Reactor: donde se produce la isión del combustible nuclear. Moderador: está dentro del reactor. Frena los neutrones liberados en la isión para que así puedan isionar a más átomos. 2. Controlador: consiste en barras de cadmio que capturan los neutrones en exceso. Se introduce si la isión es muy rápida y hay riesgo de explosión. 3. Blindaje: sirve para que la radiación no se escape y contamine el exterior. 4. Sistema de refrigeración: evita el calentamiento excesivo del reactor. Otros elementos: Regulador de presión (5), intercambiador de calor (6), turbina (7), alternador (8), bombas (9). 2 6 7 1 3 210 5 9 4 8 El neutrón se representa por 10n. Los productos de esta reacción nuclear presentan un defecto de masa de 0,2154 u, que corresponde a una energía liberada de unos 200 MeV por núcleo de uranio 235. Neutrón 10n Captura del neutrón Núcleo de 23592U Núcleo de 14156 Ba Neutrones Núcleo de 9236Kr Escisión del núcleo A pesar de que el uranio 235 es energéticamente menos estable que sus productos de isión, no se isiona de forma espontánea. Es necesaria una energía de activación que se obtiene de la captura de un neutrón por el núcleo. Los núcleos más adecuados para la isión son los de elevado peso atómico. Los isótopos más utilizados son: uranio 235 y plutonio 239. Los neutrones liberados por la isión de un núcleo pueden isionar otros núcleos dando lugar a una reacción nuclear en cadena. En 1942 Fermi produjo la primera isión nuclear en cadena controlada. Fisión nuclear en cadena Controlada No controlada Si el número de neutrones liberados en la fisión es muy alto, se introduce un material que absorbe el exceso de neutrones y evita que la reacción prosiga de forma explosiva. En este caso, no existe ningún elemento controlador que absorba los neutrones en exceso, y la reacción tiene lugar de forma explosiva. Se produce en las centrales nucleares y en los generadores auxiliares de submarinos y cohetes. Se produce en las bombas atómicas. UE 3.3. Fusión nuclear NT T Ten en cuenta que: 2 1H + 13H → 4 2H e + 10 n En esta reacción los productos presentan un defecto de masa de 0,0189 u, que corresponde a una energía liberada de 17,6 MeV por átomo de helio 4. Núcleo de 21H (deuterio) Núcleo de 42He (helio) 1 Núcleo de 31H (tritio) Fusión de los núcleos n (neutrón) 0 Tal como sucede en la isión, para iniciar un proceso de fusión nuclear es necesaria una energía de activación. En el caso de la fusión, la energía necesaria para que los núcleos se unan venciendo las repulsiones electrostáticas es proporcionada por una energía térmica muy elevada (correspondiente a temperaturas superiores a 106 K). Los núcleos de pequeño peso atómico 2H y 3H son los más adecuados para producir la fusión nuclear. Las reacciones de fusión (también llamadas termonucleares) tienen lugar de forma natural en el Sol y las estrellas, gracias a las altas temperaturas de su interior. De forma artiicial, en cambio, el ser humano sólo ha conseguido la fusión en cadena de forma explosiva. IÉN y también: A temperaturas muy altas, los átomos se ionizan y se crea un nuevo estado de la materia, el plasma, formado por cationes y electrones. IÉN y también: La fusión controlada presenta múltiples ventajas frente a la isión: existen grandes reservas de combustible (el hidrógeno del agua de los océanos), se obtiene una energía más de tres veces mayor que en la isión y no se producen residuos contaminantes. Fusión nuclear en cadena Controlada No controlada Aún no se ha conseguido de forma rentable, debido a la dificultad técnica que supone confinar los reactivos, que, a temperaturas tan elevadas, están en estado de plasma. Se produce en la bomba atómica de hidrógeno (bomba H). Mediante una bomba atómica de fisión se alcanza la alta temperatura necesaria para llevar a cabo la reacción de fusión. Actualmente se investiga el confinamiento magnético de plasma. Prohibida su reproducción Un ejemplo de reacción de fusión lo constituye la unión del deuterio y el tritio (isótopos del hidrógeno) para formar helio 4: En el interior de las estrellas, la enorme presión (más de 1 012 veces la atmosférica) y la elevada temperatura (107 K) existentes hacen que el hidrógeno se fusione para producir helio mediante un ciclo de reacciones nucleares. La radiación liberada llega hasta la Tierra dando lugar al espectro electromagnético de la estrella. B La fusión nuclear es una reacción nuclear en la que dos núcleos ligeros se unen para formar otro más pesado. En el proceso se libera gran cantidad de energía. ¿Por qué brillan las estrellas? En 1938, los físicos alemanes H. Bethe y C. F. von Weizsäcker dieron respuesta a esta antigua cuestión. B Algunos núcleos atómicos pueden liberar gran cantidad de energía si se unen para formar un núcleo más pesado. El proceso se denomina fusión nuclear. 211 6 Resumen Radiactividad Las sustancias radiactivas se caracterizan por emitir radiaciones capaces de penetrar en cuerpos opacos, ionizar el aire, impresionar placas fotográicas y excitar la luorescencia de ciertas sustancias. Radiaciones alfa, beta y gamma Efectos biológicos y aplicaciones de la radiactividad Desintegración radiactiva La exposición a altas dosis de radiación aumenta la tasa de cáncer y puede producir otros trastornos de carácter genético. La radiación más peligrosa para N = número de núcleos iniciales N = N0 e -λ t λ 0 = constante radiactiva el ser humano cuando la fuente Estas radiaciones se ordenan es externa al organismo es la raEl período de semidesintegración, T, es según su poder de penetración diación γ, y cuando la fuente es el tiempo necesario para que se desintede esta manera: α, β y γ (de meinterna al organismo, es la radiagre la mitad de los núcleos iniciales. nos a más penetrante). ción α. ln 2 La radiactividad también tiene T = λ muchas utilidades en distintos campos: medicina, industria, química, agricultura, ingeniería… Los núcleos radiactivos emiten radiación α (núcleos de helio), β (electrones rápidos) o γ (ondas electromagnéticas más energéticas que los rayos X). La desintegración radiactiva es un proceso aleatorio. El número de núcleos, N, que aún no se han desintegrado en un instante de tiempo t viene dado por: El núcleo atómico Las sustancias radiactivas se caracterizan por emitir radiaciones capaces de penetrar en cuerpos opacos, ionizar el aire, impresionar placas fotográicas y excitar la luorescencia de ciertas sustancias. Desintegración radiactiva Fuerzas nucleares La fuerza nuclear fuerte mantie- La desintegración radiactiva es un proceso aleatorio. El número de núne cohesionado el núcleo. La cleos, N, que aún no se han desintegrado en un instante de tiempo t viene fuerza nuclear débil es respon- dado por: mp = masa del protón sable de la desintegración β. ∆m = (Zm p + (A - Z ) mn ) - M N mn = masa del neutrón Ambas fuerzas son de muy corMN = masa del núcleo to alcance, pero muy intensas. La energía de enlace se relaciona con el defecto de masa: Radiactividad ∆E = ∆mc 2 Prohibida su reproducción Son procesos en los que los núcleos atómicos se transforman en otros distintos. 212 Reacciones nucleares y radiactividad Los núcleos radiactivos se desintegran espontáneamente emitiendo radiación α y β. El conjunto de todos los isótopos que se suceden hasta llegar a un núcleo estable constituye una serie o familia radiactiva. Fisión nuclear Fusión nuclear Es una reacción nuclear en la que un núcleo pesado se divide en otros dos más ligeros al ser bombardeado con neutrones. En el proceso se liberan más neutrones y gran cantidad de energía. Es una reacción nuclear en la que dos núcleos ligeros se unen para formar otro más pesado. En el proceso se libera gran cantidad de energía. Problemas resueltos A Disponemos de una muestra de 3 mg de radio 226. Sabiendo que el radio 226 tiene un período de semidesintegración de 1 600 años y una masa atómica de 226,025 u, calcula: a. el tiempo necesario para que la muestra se reduzca a 1 mg; b. los valores de la actividad inicial y de la actividad inal. — Datos: M = 226,025 u; m0 = 3 ⋅ 10 g; m = 1 ⋅ 10 g -3 = días horas min s ⋅ 24 ⋅ 60 ⋅ 60 año día hora min T = 5, 046 ⋅10 10 s a. Las masas m y m0 se relacionan con el número de núcleos en el instante t (N) y en el instante inicial (N0): N M NM ; m0 = 0 NA NA N N e − λt =m 0 e NA 0 −λ t ;t = 1 m0 ln λ m Hallamos la constante radiactiva del radio 226, λ, y sustituimos los datos en la expresión de t: λ = -3 T =1600 años ⋅365 m = N = N 0 e −λ t = ln 2 0, 693 = T 5, 046 í 10 10 s 1 1, 37 ⋅ 10 −11 s −1 ⋅ ln î 1, 37 í10 −11 s −1 3 ⋅ 10 −3 g = 8, 0 ⋅10 10 s 1 ⋅ 10 −3 g b. Calculamos el número de núcleos iniciales, N0, y inales, N: N0 = m0 N A M N = = 3 ⋅ 10 −3 g ⋅ 6, 022 ⋅ 10 23 = 7, 99 ⋅1 0 18 226, 025 g mN A 1 ⋅ 10 −3 g ⋅ 6, 022 ⋅ 10 23 = = 2, 6 6 ⋅ 10 18 226, 025 g M donde M es la masa molar y NA la constante de Calculamos las actividades inicial, A0, y inal A: Avogadro. A 0 = λN 0 = 1,37 ⋅ 10-11 s-1 ⋅ 7,99 ⋅ 1018 = 1,10 ⋅ 108 Bq De la ley de emisión radiactiva deducimos: A =213 λN = 1,37 ⋅ 10-11 s-1 ⋅ 2,66 ⋅ 1018 = 3,65 ⋅ 107 Bq 213 1. Sabiendo que el radón 222 tiene un período de semidesintegración de 3,82 días y una masa atómica de 222,0175 u, calcula: a. el tiempo necesario para que una muestra de 2 mg de radón se reduzca a 0,25 mg; b. los valores de la actividad inicial y la final. B — Datos: M (6Li) = 6,0151 u M (3 H) = 3,0160 u M n = 1,0087 u E = 4,84 MeV a. En toda reacción nuclear, la suma de los números atómicos y la suma de los números másicos se mantienen constantes. Es decir: 3 + 0 = 1 + Z → Z = 2 ; 6 + 1 = 3 + A → 213 A = 4 2. Determina el isótopo que falta en las siguientes reacciones nucleares y di de qué tipo de reacción se trata: a) 27 13 Al + 42He → AZ X + 10n b ) 147 N +11H → 42He + ZA X So l. : a ) 30 15 P; b) 11 6C Así pues, el isótopo resultante es: A ZX = 42H e b. Hallamos el valor del defecto de masa de la reacción a partir del valor de la energía liberada: 1u m = 4, 84 Me V ⋅ = 0, 0052 931 Me V Este defecto de masa es la diferencia entre la masa total de los reactivos y la de los productos: ∆m = (M (6Li) + Mn ) - (M (3H) + M (4He)) Despejamos la masa atómica del helio: M (4He) = (M (6Li) + M n ) - M (3H) - ∆m M (4He) = 6,0151 u + 1,0087 u - 3,0160 u - 0,0052 u M (4He) = 4,0026 u 3. Dada la reacción nuclear: 11H + 31H → 42He, determina: a. de qué tipo de reacción se trata; b. la energía liberada por átomo de 11H. (M (11H) = 1,0078 u, M (31H) = 3,0160 u, M (42He) = 4,0026 u) Prohibida su reproducción Dada la reacción nuclear 63Li + 10n → 31H + AZX, determina: a. el isótopo X a partir de sus números atómico y másico (Z y A); b. la masa atómica del isótopo X sabiendo que en esta reacción se libera una energía de 4,84 MeV por átomo de litio 6. (Masas atómicas: litio-6: 6,0151 u, tritio: 3,0160�u; masa del neutrón: 1,0087 u) 213 Ejercicios y problemas 1 Piensa y resuelve 1. ¿En qué consiste el fenómeno de la radiactividad? ¿Qué tipo de radiaciones pueden emitir las sustancias radiactivas? 2. Un individuo A come una manzana contaminada con un radioisótopo emisor de radiación γ y otro individuo B come una pera contaminada con un radioisótopo emisor de radiación α. ¿Cuál de los dos individuos corre mayor peligro? Justiica tu respuesta. 3. Compara el valor de la masa, del volumen y de los niveles energéticos del núcleo con los del átomo. 4. Describe los distintos tipos de fuerzas nucleares. Explica cómo actúan y compáralas con la fuerza electromagnética. 5. La masa de un núcleo, ¿es superior o inferior a la suma de las masas de los protones y neutrones que lo forman? Di qué relación existe entre este defecto de masa y la energía de enlace del núcleo. 6. Explica qué es una reacción nuclear. ¿Cómo se explica la radiactividad mediante reacciones nucleares? 7. Explica en qué consiste la isión nuclear y pon un ejemplo. ¿Cómo se obtiene energía mediante isión nuclear en las centrales nucleares? 8. Explica en qué consiste la fusión nuclear y pon un ejemplo. ¿Por qué aún no se utiliza la fusión nuclear en cadena controlada como fuente de energía? 9. Di qué se entiende por partículas elementales y por antipartículas. ¿Cómo se clasiican? Prohibida su reproducción 10. Cita las fuerzas fundamentales de la naturaleza. Compara su intensidad y su alcance. 214 2 Practica lo aprendido 11. En una muestra radiactiva se observa que el número de núcleos emisores decrece con el tiempo según la ley: N = N 0 ⋅ e-2,1 ⋅ 10 t en unidades SI -6 Determina el período de semidesintegración. 12. Disponemos de una muestra de 3 mg de yodo 131. Sabiendo que el yodo 131 tiene un período de semidesintegración de ocho días, calcula el tiempo que debe transcurrir para que: a. la muestra se reduzca a 0,5 mg; b. la actividad se reduzca a la cuarta parte de su valor inicial. 13. La masa de una muestra radiactiva se reduce a nueve décimas partes de su valor inicial en 20 s. Halla: a. el período de semidesintegración; b. el tiempo necesario para que la actividad se reduzca a una tercera parte de su valor inicial. 14. La actividad de un radioisótopo disminuye a una octava parte de su valor inicial en 7,5 min. Calcula: a. el período de semidesintegración; b. la vida media del radioisótopo. 15. Sabiendo que el oxígeno 16 tiene una masa atómica de 15,9949 u, halla: a. su defecto de masa; b. la energía de enlace; c. la energía de enlace por nucleón. (Masa del protón: 1,0073 u, masa del neutrón: 1,0087 u) 16. El torio 234 se desintegra emitiendo dos partículas β seguidas de dos partículas α. a. Escribe las reacciones nucleares que tienen lugar. b. Determina el isótopo resultante. (Número atómico del torio: Z = 90) 17. Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear: 12 6C + 21H → 1 1H + 13 6C se liberan 2,71 MeV por átomo de carbono 12, determina la masa atómica del carbono 13. (Masas atómicas del carbono 12: 12 u, hidrógeno: 1,0078 u, deuterio: 2,0141 u) 18. Un electrón y un positrón chocan con una energía cinética despreciable y se aniquilan generando dos fotones de igual energía. Calcula: a. la energía total de los dos fotones; b. su frecuencia. (Masa del electrón: me = 9,1 ⋅ 10-31 kg, constante de Planck: h = 6,62 ⋅ 10-34 J⋅s) ZONA SOCIEDAD Radiactividad a la carta Son muchos los beneicios que se obtienen de la radiactividad. Hoy en día, está presente en múltiples ámbitos de nuestra vida. Por ejemplo, cuando recibimos noticias sobre la prueba del carbono 14, debemos saber que se trata de una técnica para la datación de fósiles basada en la radiactividad. También se utiliza la radiactividad en los departamentos de medicina nuclear de los hospitales.un teléfono móvil, en un tren de alta velocidad… Datación de fósiles oo. gl / XuIs EA El carbono 14 es un isótopo radiactivo con un período de semidesintegración de 5 730 años. Se origina en la atmósfera a partir del nitrógeno cuando inciden sobre él los neutrones procedentes de los rayos cósmicos. En cada especie, la proporción de átomos de carbono 14 frente a la de carbono 12 es un valor constante (aproximadamente una parte entre un billón). Sin embargo, cuando un ser vivo muere, deja de incorporar carbono del exterior. Entonces, la cantidad de carbono 14 de sus restos va disminuyendo a medida que se va desintegrando. De esta manera se puede conocer la edad de un fósil midiendo la proporción de carbono 14 que contiene. https://g El potasio 40, que tiene un período de semidesintegración de 1 310 millones de años, proporciona un método preciso para datar fósiles muy antiguos. Medicina nuclear — El cobalto 60, que emite radiación γ y se usa como fuente externa. — El yodo 131, que emite radiación β y γ, y se usa como fuente interna. Los radioisótopos también se utilizan para efectuar diagnósticos médicos. Para ello se inyecta en el cuerpo humano una dosis controlada del isótopo radiactivo y se deja transcurrir un tiempo para que se distribuya en el organismo. Después, con una cámara de detección de rayos γ, se mide la radiación procedente del interior del cuerpo. Así se obtiene una gammografía o imagen de los tejidos y los órganos internos. Prohibida su reproducción http://goo.gl/LPvgpX En el tratamiento del cáncer se utilizan radioisótopos para destruir las células malignas. Los radioisótopos más empleados son: 215 Práctica de laboratorio N•6 Ley de la desintegración radiactiva La ley de la desintegración radiactiva predice el decrecimiento con el tiempo del número de núcleos de una sustancia radiactiva dada que van quedando sin desintegrar. β - Electrón neutrón Antineutrino β- protón investigamos: Prohibida su reproducción La ley de la desintegración radiactiva. 216 objetivo: Estudiar experimentalmente la ley de desintegración radiactiva, calculando el período se semidesintegración de diferentes radioisótopos, así como la determinación de la constante de desintegración de los mismos. Práctica de laboratorio N•6 materiales • Computadora IC Procesos: TIC Cuestiones: • ¿Cómo se clasiican los diferentes tipos de desintegraciones radiactivas teniendo en cuenta las partículas emitidas? Prohibida su reproducción http://goo.gl/ADiIzM • Cita algunos ejemplos de aplicaciones de la física nuclear en la medicina. 217 Para finalizar 1 Enuncia la ley de emisión radiactiva y deine período de semidesintegración, constante radiactiva y vida media de un radioisótopo. 2 Di qué efectos puede tener en los seres vivos la exposición a altas dosis de radiación. a. ¿Cuáles son los radioisótopos más peligrosos para el ser humano? b. ¿Es siempre perjudicial la radiactividad? 3 9 (Masa del electrón: me = 9,1 · 10−31 kg, constante de Planck: h = 6,62 · 10−34 J·s) 10. El carbono 14 tiene un período de semidesinte- gración de 5 730 años y una masa atómica de 14,0032 u. Si disponemos de una muestra de carbono 14 con una actividad de 4,93 ⋅ 109 desintegraciones por minuto, calcula: La constante radiactiva de un radioisótopo es igual a 1,7 ⋅ 105 s-1. Calcula: a. La vida media del radioisótopo. a. La masa inicial de la muestra; b. El tiempo que debe transcurrir para que una muestra de este radioisótopo se reduzca a una cuarta parte de su masa inicial. 4 5 Describe la estructura de un núcleo atómico. ¿Cómo se transforman los núcleos al emitir radiación α, β o γ? La masa atómica del bario 138 es 137,9050u, y su numero atómico es Z = 56. Calcula: a. el defecto de masa; b. la energía de enlace; c. la energía de enlace por nucleón. (Masa del neutrón: mn = 1,0087 u, masa del protón: mp = 1,0073 u) Sabiendo que en la siguiente reacción nuclear: Un fotón cuya longitud de onda es de 1,6 · 10−13 m se materializa en un par electrón-positrón. Calcula la energía cinética del par en julios y en MeV. b. Su actividad al cabo de 1010 s; c. La masa de carbono 14 al cabo de 1010 s. 11 Disponemos de una muestra del radioisótopo A y otra del radioisótopo B. En el instante inicial hay el mismo número de núcleos de A y B. Transcurridos 1 350 s, el número de núcleos de A es el doble que el de B. Halla el período de semidesintegración del radioisótopo B, TB, sabiendo que el de A es TA = 150 s. 12 Determina el número total de partículas α y β necesarias para completar la siguiente reacción: X + 11H → 3 42H e 6 se liberan 11,47 MeV de energía, determina: a. el isótopo, AZX, que falta en la reacción; b. su masa atómica. (Masas atómicas: hidró geno: 1,0078 u, helio 4 = 4,0026 u) Compara las reacciones de fisión y fusión nuclear. ¿Qué ventajas e inconvenientes presenta su uso como fuentes de energía a gran escala? Cita las cuatro fuerzas fundamentales y explica en qué consiste la unificación de éstas. Prohibida Prohibida su su reproducción reproducción 7 218 8 Mediante un programa de presentación que permita incorporar pequeñas animaciones prepara una explicación acerca de las reacciones de isión y fusión nuclear. Mediante un programa para realizar gráicas dibuja algunas gráicas de la curva de desintegración radiactiva para N0 = 100. 238 92 U → 206 82P b 13 Una muestra de material arqueológico tiene una actividad radiactiva de 8,55 · 10−3 Cu. Se sabe que la actividad que corresponde a esta muestra en el momento en que dejó de ser materia viva era de 0,01 Cu. Sabiendo que el período de semidesintegración del carbono 14 (responsable de la actividad radiactiva) es de 5 730 años calcula: a. La masa de materia radiactiva que hay en la muestra en la actualidad. b. La masa radiactiva que había cuando dejó de ser materia viva. c La antigüedad de la muestra. d. La actividad radiactiva de la muestra dentro de 1 000 años. 14 Un núcleo de número másico 84 y masa atómi- 17 En la isión de un núcleo de uranio 235 se liberan a. Expresa la energía de enlace en J a partir de la carga del electrón. a. la energía liberada en la isión de 100 g de uranio 235; b. Calcula el defecto de masa del núcleo res pecto a sus componentes. c. Calcula el número atómico del núcleo a partir de los parámetros calculados anteriormente. ca 83,8 u tiene una energía de enlace, DE, de 819,65 Mev. 200 MeV. Calcula: b. la cantidad de uranio 235 que consume en un día una central nuclear de 700 MW de potencia. (Masa atómica del uranio 235: 235,0439 u) 18 Un núcleo de uranio 235 puede experimentar una isión cuando se bombardea con un neutrón y formar estaño 132 y molibdeno 101. Escribe la reacción nuclear que tiene lugar y determina el número de neutrones liberados en el proceso. 19 Suponiendo que la energía liberada en la isión del uranio 235 es de 210 MeV/núcleo, calcula la masa de uranio consumida en un día por un reactor atómico de 6 700 kW de potencia y rendimiento igual al 58 %. 20 Para la siguiente reacción nuclear: 15 En las capas más altas de la atmósfera los neutrones provenientes de la radiación cósmica generan protones al colisionar con los núcleos del nitrógeno presente en el aire. a. Escribe la reacción completa de este pr ceso en el que se producen protones e indica cuál es el otro núcleo que se produce como resultado de la reacción. b. Calcula el defecto de masa del proceso. (Consulta las masa atómicas con exactitud.) c. Calcula la energía que se absorbe o libera en esta reacción e indica si se trata de un proceso exotérmico o endotérmico. d. Calcula la energía absorbida o liberada por el consumo de 500 g de nitrógeno. 16 Un núcleo de litio 7 emite una partícula a con una energía cinética de 9,5 MeV cuando se bombardea con un protón. a. Escribe la reacción nuclear que tiene lugar. b. Determina la masa atómica del litio 7. (Masa atómica del helio 4: 4,0026 u, masa del protón: 1,0078 u. Ten en cuenta que la energía liberada en la reacción se convierte en energía cinética.) 2 1H + 12H → AZ X + 11H E =4, 03 Me V a. Determina el isótopo que falta y di de qué tipo de reacción nuclear se trata. b. Calcula la energía liberada en la formación de 1,5 kg del isótopo desconocido. 21 En la siguiente reacción nuclear desconocemos uno de los isótopos iniciales. 2 1H + AZ X +42 He + 10 n E =17, 59 Me V a. Determina el isótopo que falta y di de qué tipo de reacción nuclear se trata. b. Calcula la energía liberada en la formación de 3 kg del producto inal. Relexiona y autoevalúate en tu cuaderno: • Trabajo personal ¿Cómo ha sido mi actitud frente al trabajo? • Trabajo en equipo ¿He cumplido mis tareas? ¿Qué aprendí en esta unidad? • Escribe la opinión de tu familia. ¿He compartido con mis compañeros y compañeras? ¿He respetado las opiniones de los demás? • Pide a tu profesor o profesora sugerencias para mejorar y escríbelas. Prohibida su reproducción EVALUACIÓN 219 Proyecto CONSTRUCCIÓN DE UN ELECTROIMÁN elegiMOS Alguna vez te has preguntado cómo se construye un electroimán o por qué un electroimán tiene la capacidad de atraer objetos metálicos, así como qué tipo de material debemos utilizar para fabricarlo. En este proyecto, responderás tú mismo estas inquietudes investigando y construyendo un electroimán. PlanifiCAMOS Materiales: - Alambre de cobre con aislante de calibre 50 aproximadamente. Debes investigar por qué tiene que ser un alambre con aislante - Alambre grueso, puede ser un clavo, tornillo, etc. Debes investigar por qué debe ser de una sustancia ferromagnética - Una batería C o D de 1,5 V Prohibida su reproducción http://goo.gl/aZ13iz - Cinta de papel 220 desarrollAMOS Una vez que hayas hecho las mediciones: 1. Organiza los pasos que debes seguir para la construcción del electroimán 2. Comprueba si es capaz de atraer a otras sustancias ferromagnéticas 3. Analiza si puede atraer a sustancias como la madera, el plástico, el papel, el vidrio. http://goo.gl/zkT2iD 4. Realiza un análisis de todas las actividades desarrolladas y elabora un informe por escrito donde expliques los fenómenos observados lk .gl/M /goo http:/ 0TEIa .g oo htt /g p:/ Prohibida su reproducción nx p l/W 221 Un alto en el camino 1. El lujo magnético que atraviesa una espira varía, entre t = 0 s y t = 2 s , según la expresión Φ = t 2 - 2 t (SI). a. Representa el lujo magnético y la fem inducida en la espira en función del tiempo; b. determina en qué instante Φ es máximo en valor absoluto; c. determina el instante en que la fem inducida en la espira es máxima; d. comprueba si coinciden los dos máximos anteriores en el mismo tiempo y razona por qué. 2. Un buceador observa desde el agua (n = 1,33) un avión que pasa a 250 m sobre la supericie del agua. ¿A qué altura el buceador ve el avión? 3. Si nos miramos en un espejo cóncavo de 40 cm de radio y estamos situados a 15 cm del espejo, ¿dónde se forma la imagen? Construye el diagrama de rayos. 4. Un espejo cóncavo forma una imagen real, invertida, tres veces más grande que el objeto y está situada sobre el eje a 10 cm del polo del espejo. Calcula el radio de curvatura y la posición del objeto. Construye el diagrama de rayos. 5. Calcula el coeiciente de autoinducción de una bobina de 30 cm de longitud y 1 000 espiras de 60 cm2 de sección. — ¿Cuál sería su autoinducción si introdujéramos un núcleo de hierro, μr = 1 500, en su interior? Prohibida su reproducción 6. Prepara una exposición sobre los distintos tipos de centrales que generan electricidad (busca y compara, sobre todo, los datos de carácter técnico). Utiliza para ello un programa de presentación. 222 7. Infórmate sobre las características del espectro de la luz del Sol y de las rayas de Fraunhofer. Descubre la causa por la que aparecen y explica tus conclusiones en un trabajo. Expón el trabajo en clase utilizando un programa de presentaciones. 8. Un objeto está a la izquierda de una lente convergente de 8 cm de distancia focal sobre su eje. Calcula la distancia imagen y describe cómo es ésta si la distancia objeto vale: a. 32 cm; b. 6 cm. 9. Un objeto está situado ante un sistema óptico formado por dos lentes convergentes iguales alineadas y colocadas cada una en el foco de la otra. Determina la dirección de los rayos si se sitúa el objeto a una distancia de la primera lente superior a su distancia focal e indica las características de la imagen final resultante. 10. Dos lentes convergentes, de distancias focales 10 cm y 20 cm, están alineadas a 20 cm una de otra. Si se sitúa un objeto 15 cm a la izquierda de la primera lente, determina: a. la posición de la imagen final; b. el aumento total del sistema; c.las características de la imagen final obtenida. 11. Describe el funcionamiento del microscopio electrónico. a. Compara con el del microscopio óptico. b. Investiga cómo ha inluido este instrumento en el avance de la medicina, elabora un informe y exponlo en clase. 12. Explica la diferencia de comportamiento entre bosones y fermiones. Da ejemplos de representantes de las dos familias. 13. Cita tres maneras de comunicar energía a un metal para que pueda emitir electrones. 14. Describe las características más importantes de la hipótesis de Planck, que explica la radiación del cuerpo negro. 15. Plantea y explica brevemente la ecuación que rige el efecto fotoeléctrico. Indica el signiicado de cada término. 16. Supón que en un metal se produce efecto fotoeléctrico al incidir luz de frecuencia f. ¿Se producirá si duplicamos la frecuencia de la radiación? 17. Razona: a. ¿Qué representan las órbitas en el modelo atómico de Bohr? b. ¿Qué signiica, en el modelo de Bohr para el átomo de hidrógeno, que la energía de las órbitas está cuantizada?