Bazı Fark Denklemleri ve Uygulamaları

Bazı Fark Denklemleri ve Uygulamaları Murat Koptur 23 Kasım 2017 İÇİNDEKİLER İÇİNDEKİLER İçindekiler 1 Fibonacci Sayıları 1 2 Popülasyon Modelleri 2.1 Malthus Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Lojistik Büyüme Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 5 3 Diferansiyel Denklem Sistemleri 3.1 Euler Yöntemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Lorenz Denklemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 7 9 4 Bulaşıcı Hastalıklar 11 4.1 S-I-R Modeli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4.2 Yaşam Dinamikleri ve Düzenli Aşılama . . . . . . . . . . . . . . . 15 5 Kan Hücresi Popülasyonları 6 İlaç 6.1 6.2 6.3 6.4 Eliminasyonu Yarılanma Ömrü Emilim . . . . . . Dozaj . . . . . . Çözünme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 . . . . . . . . . . . . Kaynaklar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 20 20 21 i 1 1 FİBONACCİ SAYILARI Fibonacci Sayıları Leonardo Fibonacci (1170-1250), Liber Abaci (1202) adlı eserinde tavşan problemi olarak adlandırılan bir matematik probleminden bahsetmiştir. Elimizde biri erkek biri de dişi olmak üzere iki yeni doğan tavşan olduğunu düşünelim. Aşağıdaki koşullar altında bir yıl sonunda elimizdeki tavşan sayısı ne olur? • Her bir yeni doğan tavşanın olgunlaşması (üreyebilecek duruma gelmesi) bir ay sürer; • Her tavşan çifti, bir ay içerisinde, bir erkek ve bir dişi tavşan yavrular; • Yıl sonuna kadar hiçbir tavşan ölmez. İlk tavşan çiftinin 1 Ocak tarihinde doğduğunu varsayalım. Olgunlaşmaları 1 ay sürdüğünden, 1 Şubat tarihinde de elimizde yine 1 tavşan çifti olur. 1 Mart tarihinde, ilk tavşan çifti 2 aylık olurlar ve yeni bir tavşan çifti üretirler. Yani elimizde 2 tavşan çifti olur. Bu şekilde hesaplamaya devam edersek, Tablo 1’deki gibi bir sonuç elde ederiz: Çift Sayısı Yetişkin Yeni Doğan Toplam Tablo 1.1: Şub Mar 1 1 0 1 1 2 Oca 0 1 1 Tavşan Çifti Nis May 2 3 1 2 3 5 Sayısı Haz 5 3 8 Tem 8 5 13 Ağu 13 8 21 Tavşan Çifti Sayısı 140 120 100 80 60 40 20 2 4 6 8 10 12 Ay Şekil 1.1: Fibonacci Dizisi En alt satırdaki sayılar Fibonacci sayıları; 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... sayı dizisi ise Fibonacci dizisi olarak adlandırılır. n-inci ay sonundaki tavşan sayısını F(n) ile gösterirsek, Fibonacci dizisi aşağıdaki ikinci mertebeden doğrusal fark denklemi ile tanımlanır: F (n + 2) = F (n + 1) + F (n), F (1) = 1, 1 F (2) = 1, n ≥ 1. (1.1) 1 FİBONACCİ SAYILARI (1.1) denkleminin karakteristik denklemi λ2 − λ − 1 = 0. √ 1+ 5 2 (1.2) √ Buradan, karakteristik kökler α = ve β = 1−2 5 elde edilir ve denklemin genel çözümü  1 + √ 5 n  1 − √ 5 n F (n) = a1 + a2 , n≥1 (1.3) 2 2 olur. F (1) = 1 ve F (2) = 1 başlangıç koşullarını kullanırsak, 1 a2 = − √ 5 1 a1 = √ , 5 elde ederiz. Buradan da, √ √ 1 h 1 + 5 n  1 − 5 n i F (n) = √ − 2 2 5 (1.4) elde edilir. Bu formül, Binet formulü olarak da bilinir. Burada, limx→∞ FF(n+1) = α ≈ 1.618 dir ve bu sayı altın oran olarak adlandırılmak(n) tadır. Tablo 1.2: n F (n) 1 1 2 1 3 2 4 3 5 5 6 8 7 13 8 21 9 34 10 55 11 89 12 144 13 233 14 377 15 610 Altın Oran F (n) F (n−1) 1 2 1.5 1.666666667 1.6 1.625 1.615384615 1.619047619 1.617647059 1.618181818 1.617977528 1.618055556 1.618025751 1.618037135 2 2 2 2.1 POPÜLASYON MODELLERİ Popülasyon Modelleri Malthus Modeli Malthus’tan (1798, An Essay on the Principle of Population) beri popülasyon dinamikleri kapsamlı bir şekilde incelenmektedir. Çalışmaların amacı, temel ve önemli yaşam olaylarını (doğum, olgunlaşma, çoğalma ve ölüm) takip eden bir grup bireyin zaman içindeki evrimlerini incelemektir. Bu canlı grubu, bakteriler, hayvanlar ya da insanlar olabilir. Kolaylık olması için, popülasyon modellerinde genellikle nüfusun sadece dişi kısmı göz önüne alınır. n anında, bir popülasyondaki dişi sayısı yn olsun. En basit popülasyon modeli, Malthus modeli, y0 başlangıç koşulu ile beraber aşağıdaki gibi tanımlanır: yn+1 = ryn , r > 0, n = 0, 1, 2, . . . . (2.1) Burada r parametresi, popülasyondaki doğum ve ölüm oranları arasındaki farktır ve büyüme oranı olarak adlandırılır. (2.1) denkleminin çözümü y n = r n y0 , n = 0, 1, 2, . . . . (2.2) Eğer |r| < 1 ise, n → ∞ için yn → 0 olur, yani popülasyon eninde sonunda yok olur. |r| > 1 ise de, n → ∞ için yn → ∞ olur ki bu da doğadaki kaynaklar sınırlı olduğundan mümkün değildir. Malthus modeli göçleri hesaba katmaz. Yukarıdaki modele bir göç sabiti (β) ekleyelim. β > 0 olması popülasyonun dışarıdan göç aldığını, β < 0 olması ise popülasyonun dışarı göç verdiğini göstersin. Bu durumda model, (2.3) yn+1 = ryn + β olur. Bu denklemin çözümü de,  yn = y 0 − β 1−r  rn + β 1−r (2.4) olur. Eğer r > 1 ve β > −(r − 1)y0 ise popülasyon sınırsız olarak büyür; r > 1 ve β < −(r − 1)y0 ise popülasyon eninde sonunda yok olur, yani, yeterince büyük dışarı göç miktarı, popülasyonun eninde sonunda yok olmasına sebep β olur. 0 < r < 1 ve β > 0 ise, nüfus (1−r) > 0 ifadesine yakınsar; 0 < r < 1 ve β < 0 ise nüfus eninde sonunda sıfır olur. Genel olarak doğrusal modeller, popülasyonların uzun dönem tahminleri için kullanılmazlar. Daha gerçekçi nüfus modellemeleri için çeşitli doğrusal olmayan fark denklemleri modelleri önerilmiştir. Problem 1. (Bakteri Popülasyonu) Laboratuar ortamındaki bakteri popülasyonlarının büyümeleri Malthus modeli ile modellenebilir. Başlangıçta bir bakteri kültüründeki bakteri sayısı 10000 olsun. 2 saat sonra bakteri kültüründe 60000 bakteri varsa, 4 saat sonraki bakteri sayısı ne olur? 3 2.1 Malthus Modeli 2 POPÜLASYON MODELLERİ Çözüm 1. yn = rn y0 olduğundan y2 = r 2 y 0 ve 60000 = r2 × 10000. Buradan r ≃ 2.44949 olur. 4 saat sonraki bakteri nüfusu ise y4 = r 4 y0 = (2.44949)4 × 10000 ≃ 360000 olur. Açıklama 1. Laboratuar ortamında bakteriler, n jenerasyon sayısı olmak üzere, 20 , 21 , 22 , . . . , 2n şeklinde büyürler. Doğada ise bakteri büyümesi dört evreden oluşur: hazırlık (lag phase), hızlanma (log phase), durgun (stationary phase) ve ölüm (dead phase). Şekil 2.1: Bakteriyel büyümenin evreleri Daha fazla bilgi için, Maier, Pepper ve Gerba tarafından yazılan Environmental Microbiology adlı kitaba bakılabilir. 4 2.2 Lojistik Büyüme Modeli 2.2 2 POPÜLASYON MODELLERİ Lojistik Büyüme Modeli Robert May, 1976 yılında Nature dergisinde yayınlanan Simple mathematical models with very complicated dynamics adlı makalesinde birinci mertebeden bir fark denklemi ile tanımlanan biyolojik modellerin dinamiğini incelemiştir. Lojistik denklem (Verhulst modeli, lojistik büyüme modeli) aşağıdaki şekilde tanımlanır:  yn  . (2.5) yn+1 = ryn 1 − K Burada K sayısı, ortamın taşıma kapasitesi olarak adlandırılır. Popülasyon büyüklüğü bu kapasiteye yaklaşmaya başladığında popülasyon küçülmeye başlar. Denklemin her iki tarafını K taşıma kapasitesine bölelim: yn  ryn  yn+1 1− . = K K K Ardından yeni bir x değişkeni tanımlayalım: x= y . K Böylece x, popülasyonun taşıma kapasitesine bölümü olur. Böylece (2.5) denklemi xn+1 = rxn (1 − xn ) (2.6) haline gelir. Burada xn sayısı, n anındaki popülasyonun taşıma kapasitesine oranıdır. Her n için 0 ≤ xn ≤ 1 dir ve xn = 0 olması popülasyonun yok olması, xn = 1 olması da popülasyonun taşıma kapasitesine ulaştığı ve bir sonraki zaman adımında yok olacağı anlamına gelir. Şimdi r > 0 sabitinin durumlarına göre denklemin davranışını inceleyelim: • r < 1 için popülasyon, popülasyonun başlangıç büyüklüğünden bağımsız olarak, eninde sonunda yok olmaktadır. • 1 ≤ r < 3 için popülasyon büyüklüğü, eninde sonunda r−1 r yakınsamaktadır. √ • 3 ≤ r < 1 + 6 için popülasyon büyüklüğü, iki değer arasında salınım yapmaktadır (2-periyodik). √ • r ≥ 1 + 6 için popülasyon büyüklüğü, farklı r değerleri için 4, 8, 16, . . . periyotlar yapmakta ve r ≃ 3.56995 için sonlu periyot gözlenmemektedir. Bu değerden büyük çoğu r değerleri için kaotik davranış gösterse de, belirli değerlerde kaotik davranış göstermemektedir. Bu değerler islands of stability olarak adlandırılır. 5 2.2 Lojistik Büyüme Modeli 2 xn 1.0 xn 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 POPÜLASYON MODELLERİ n 10 20 30 40 50 xn 1.0 xn 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 n 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 n 10 20 30 40 50 n Şekil 2.2: Farklı r değerleri için grafikler (x0 = 0.5 ve r = 0.5, 2.8, 3.0, r ≃ 3.449489) Genel olarak bu denklemin kapalı formda çözümü yoktur. r = −2, r = 2 ve r = 4 durumlarında kesin çözümleri bilinmektedir:   • r = −2 için genel çözüm: xn = 12 −cos 31 π − (−2)n π − 3 cos−1 1 2 {1 − exp [2n ln(1 − 2x0 )]},    • r = 4 için genel çözüm: xn = 21 1 − cos 2n cos−1 (1 − 2x0 ) . • r = 2 için genel çözüm: xn = Sadece 1 2 − x0

 Popülasyon modellerinde doğrusal modeller genel olarak sadece kısa dönem tahminleri için kullanılır. Uzun dönem tahminleri için doğrusal olmayan modeller tercih edilir. Ayrıca sabit oranlara (doğum, ölüm, göç vb.) sahip modellerin zayıf noktaları: • Parametreler değişir; doğal bir popülasyonda doğum ve ölüm oranları doğadaki koşullara bağlı olarak yıldan yıla değişmektedir. • Parametreler popülasyonun büyüklüğüne göre değişebilir; ekologlar bir çok popülasyonda doğum ve ölüm oranlarının, popülasyonun büyüklüğüne göre değiştiğini söylemektedirler. • Stokastik modeller daha gerçekçi sonuçlar verebilir; doğum ve ölüm oranlarını sabit sayılar almak yerine rastgele değişkenler olarak almak, daha gerçekçi sonuçlar verir. 6 , 3 3 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Diferansiyel Denklem Sistemleri 3.1 Euler Yöntemi Euler metodu, başlangıç değer problemlerini çözmek için kullanılan en temel tekniklerden biridir. Euler metodunun amacı iyi tanımlı dy = f (t, y), dt a ≤ t ≤ b, y(a) = α (3.1) başlangıç değer problemi için yaklaşık çözümler elde etmektir. Euler yöntemi ile sürekli bir yaklaşım elde edilmez, bunun yerine [a, b] aralığında çeşitli değerler (mesh points) elde edilir. Yaklaşık çözüm için noktalar elde edildikten sonra, enterpolasyon ile bir çözüm bulunabilir. İlk olarak bir pozitif N tamsayısı seçelim ve [a, b] aralığını N eşit parçaya bölelim: ti = a + ih, i = 0, 1, 2, . . . N. Noktalar arasındaki uzaklık h = (b−a) = ti+1 − ti , adım büyüklüğü olarak adN landırılır. (3.1) denkleminin tek çözümü olan y(t) fonksiyonunun, [a, b] aralığında iki sürekli türevi olsun. Buradan her i = 0, 1, 2, . . . , N − 1 ve bazı ξi ∈ (ti , ti+1 ) için y(ti+1 ) = y(ti ) + (ti+1 − ti )y ′ (ti ) + (ti+1 − ti )2 ′′ y (ξi ). 2 h = ti+1 − ti olduğundan, y(ti+1 ) = y(ti ) + hy ′ (ti ) + h2 ′′ y (ξi ). 2 y(t) fonksiyonu başlangıç değer probleminin çözümü olduğundan, y(ti+1 ) = y(ti ) + hf (ti , y(ti )) + h2 ′′ y (ξi ). 2 (3.2) h yeterince küçük seçilirse, h2 terimi sıfıra çok yakın olur ve kalan terim göz ardı edilebilir.. Böylece i = 0, 1, . . . , N − 1 için w0 =α, wi+1 =wi + hf (ti , wi ) yaklaşımını yapmış oluruz. 7 (3.3) 3.1 Euler Yöntemi 3 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Şekil 3.1: Euler Metodu Problem 2. y ′ = y−t2 +1, 0 ≤ t ≤ 2, y(0) = 0.5 başlangıç değer problemini Euler metodu ile h = 0.2 alarak çözünüz ve yaklaşımı y(t) = (t + 1)2 − 0.5et tam çözümü ile karşılaştırınız. Çözüm 2. h = 0.2, ti = 0.2i ve w0 = 0.5 olduğundan i = 0, 1, . . . , 9 için wi+1 =wi + hf (ti , wi ) =wi + 0.2(wi − t2i + 1) =wi + 0.2(wi − 0.04i2 + 1) =1.2wi − 0.008i2 + 0.2. Buradan, w1 =1.2(0.5) − 0.008(0)2 + 0.2 = 0.8, w2 =1.2(0.8) − 0.008(1)2 + 0.2 = 1.152, ve bu şekilde hesaplamaya devam edersek Tablo 3.1’i elde ederiz: ti 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 wi 0,50000000 0,80000000 1,15200000 1,55040000 1,98848000 2,45817600 2,94981120 3,45177344 3,95012813 4,42815375 4,86578450 Tablo 3.1: yi = y(ti ) 0,50000000 0,82929862 1,21408765 1,64894060 2,12722954 2,64085909 3,17994154 3,73240002 4,28348379 4,81517627 5,30547195 8 |yi − wi | 0,00000000 0,02929862 0,06208765 0,09854060 0,13874954 0,18268309 0,23013034 0,28062658 0,33335566 0,38702251 0,43968745 3.2 3.2 Lorenz Denklemi 3 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ Lorenz Denklemi Kapalı bir kap içerisinde bir sıvı ya da gaz düşünelim. Kap alttan ısıtılır ve üstten soğutulur ise, kabın içerisindeki akışkan, silindir şeklinde bir rulo halinde dönmeye başlar (Şekil 3.2) ve bu dönme hareketi kısmi türevli diferansiyel denklemler ile modellenir. Şekil 3.2: Bir sıvı ya da gaz alttan ısıtıldığında, akışkan silindir şeklinde bir rulo halinde örgütlenme eğilimi gösterir (solda). Sıcak akışkan bir taraftan yükselir, ısı kaybeder ve diğer taraftan aşağı doğru iner; bu konveksiyon sürecidir. Isı biraz daha artırılınca (sağda), dengesizlik gelişmeye başlar ve rulolarda silindir boyunca ileri geri hareket eden bir yalpalama ortaya çıkar. Daha da yüksek sıcaklıklarda akış iyice şiddetli ve çalkantılı hale gelir. Edward N. Lorenz, 1963’te yayınladığı Deterministic nonperiodic flow adlı makalesinde, atmosferdeki ısı aktarımının basitleştirilmiş bir matematiksel modelini sundu. Lorenz’in modeli  dx   dt = σ(y − x) dy (3.4) dt = rx − y − xz   dz dt = xy − bz şeklinde bir doğrusal olmayan adi diferansiyel denklem sistemidir. Burada x, y, z değişkenleri sırasıyla, iki katman arasındaki akışkan hareketinin hızı, yatay eksendeki sıcaklık değişimi ve dikey eksendeki sıcaklık değişimidir. σ, r, b sabitleri ise sırasıyla, Prandtl sayısı (ısıl iletkenlik ve viskozite katsayısı), Rayleigh sayısı ve akışkanların içinde bulunduğu bölgenin şekline bağlı bir geometrik çarpandır. Problem 3. σ = 10, r = 28, b = 38 ve başlangıç koşulları x(0) = y(0) = z(0) = 0.1 olmak üzere Lorenz sistemini Euler metodu ile h = 0.01 alıp çözünüz. Çözüm 3. Denklem sisteminin çözümlerini iteratif olarak, f1 (t, x, y, z) = f2 (t, x, y, z) = f3 (t, x, y, z) = 9 σ(y − x) rx − y − xz xy − bz 3.2 Lorenz Denklemi 3 DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ olmak üzere xi+1 = xi + hf1 (ti , xi , yi , zi ) yi+1 zi+1 = = yi + hf2 (ti , xi , yi , zi ) zi + hf3 (ti , xi , yi , zi ) ve xi+1 = yi+1 zi+1 = = xi + hσ(yi − xi ) yi + h(rxi − yi − xi zi ) zi + h(xi yi − bzi ) şeklinde hesaplayabiliriz. σ, r, b ve h sabitlerini yerine yazarsak xi+1 yi+1 = = zi+1 = xi + 0.01 × 10(yi − xi ) yi + 0.01(28xi − yi − xi zi ) 8 zi + 0.01(xi yi − zi ) 3 fark denklemi sistemini elde ederiz. N = 1000 ve i = 0, 1, . . . N için hesaplamaları yaparsak Şekil 3.3 elde edilir. y x 30 20 20 10 10 t 200 400 600 800 1000 200 -10 -10 -20 z 50 40 30 20 10 t 200 400 600 800 1000 Şekil 3.3: Lorenz sistemi 10 400 600 800 1000 t 4 4 BULAŞICI HASTALIKLAR Bulaşıcı Hastalıklar Bulaşıcı hastalıklara karşı geliştirilen modern yöntemler gelişmiş ülkelerde hastalıkları kontrol altına alma konusunda önemli başarılar göstermesine rağmen, bu hastalıklar halen az gelişmiş veya gelişmekte olan ülkelerde büyük miktarda ölümlere sebep olmaktadırlar. Bulaşıcı hastalıkların dinamiklerini anlama konusunda ilk çalışma, 1760 yıllarında matematikçi Daniel Bernoulli tarafından yapılmıştır. Bernoulli, çiçek hastalığı ve varyasyonlarının dinamiğini incelemiştir. 1855 yılında, modern epidemiyolojinin kurucusu olarak kabul edilen Dr. John Snow, kolera vakalarını incelemiş ve hastalığın sebebinin Broad Caddesindeki su pompası olduğunu keşfetmiştir. Snow, salgına ait istatistikleri ve vakaların konumlarını yetkililere sunup pompanın değiştirilmesini sağlamıştır. Bulaşıcı hastalıkların sebebini kesin olarak bulan Pasteur (1822–1895) ve Koch (1843–1910) ’a kadar, matematiksel epidemiyoloji çok yavaş gelişti. Pasteur ve Koch, bulaşıcı hastalıkların, mikroorganizmalar ile bulaştıklarını gösterdiler. 1900’lerin başında Kermack, McKendrick, Hamer, Ross, Greenwood, Reed, Frost ve diğerleri bulaşıcı hastalıkların matematiksel modellerini kurma konusunda çalışmalara başlamışlardır. Matematiksel epidemiyoloji çalışmalarının amaçları: 1. Salgının yayılma hızı nedir? 2. Kaç kişiye bulaşacaktır ve kaç kişiye bulaşmayacaktır? 3. Salgın ne kadar sürecektir? İlk olarak bu sorulara yanıt vermek, modelleri geliştirmek ve test etmek açısından iyi bir başlangıç noktasıdır. Ancak sadece bu sorulara yanıt vermek, pratik olarak pek bir anlam ifade etmemektedir. Gerçekten yanıtlanmak istenen sorular: 1. İnsanlar, hastalığa karşı aşı olmalı mı? 2. Eğer aşı olmalılarsa, nüfusun ne kadarı aşı olmalıdır? 3. Kaynakların ne kadarı hastalıkları önlemek için, ne kadarı ise hastalıkları tedavi için ayrılmalıdır? 4. Hastalığı tamamen ortadan kaldırmak mümkün mü? 4.1 S-I-R Modeli S-I-R modeli, 1927 yılında Kermack ve McKendrick tarafından geliştirilmiştir. Model popülasyonu üç sınıfa ayırır: • Sağlamlar (Susceptible): Hasta olmayan ama hasta olabilecek insanlar. • Enfektifler (Infective): Hasta olan ve diğer insanlara bulaştırabilecek olan insanlar. 11 4.1 S-I-R Modeli 4 BULAŞICI HASTALIKLAR • Geçirenler (Removed): Hastalığı artık başkalarına bulaştıramayan insanlar. Bu gruptakiler hastalığa yakalanmış ve iyileşip bağışıklık kazanmış veya hastalığa yakalanıp ölmüş olabilirler. S, I ve R sayıları sırasıyla, sağlamlar, enfektifler ve geçirenler gruplarına ait insan sayıları olsun. Bu durumda toplam insan sayısı N N =S+I +R (4.1) olur. İlk olarak salgın boyunca popülasyonun sabit kaldığını varsayalım. Yani popülasyonda doğum, ölüm (yaşlanma veya farklı bir nedenle) ve göç olmadığını varsayalım. Salgın kısa dönemli (örneğin kış mevsimindeki grip salgınları gibi) ise bu varsayımımız kabul edilebilir olacaktır. İkinci varsayımımız ise, bir kişi iyileştikten sonra hastalığı tekrar geçirmesin. Dolayısıyla geçirenler grubundan sağlamlar grubuna geçiş olmasın. İlk olarak görece kısa dönemli salgınları modelleyeceğimiz için zaman birimini gün olarak seçelim ve • S(t): t gün sonra sağlam insan sayısı • I(t) : t gün sonra enfektif insan sayısı • R(t) : t gün sonra hastalığı geçiren insan sayısı. Modelimizin akış diyagramı Şekil 4.1’deki gibidir. Şimdi aşağıdaki iki parametreyi belirlememiz gerekiyor: 1. Enfekte olan bir insanın sağlam bir insana hastalığı bulaştırması ne kadar kolaydır? 2. Enfekte olan bir insan ne kadar süre enfekte kalır? Şekil 4.1: S-I-R modeli için akış diyagramı İlk soru için, etkin temas oranı (effective contact rate) β parametresini tanımlayalım. β parametresi, enfekte bir insanın, bir günde, hastalığı bulaştırabilecek kadar samimi olduğu ortalama kişi sayısı olarak tanımlayalım. «Hastalığı bulaştırabilecek kadar samimi» olarak tanımlanan şey, hastalığa göre değişmektedir. Bir hastalıkta kalabalık bir odada öksürmek hastalığı bulaştırmak için yeterli olabilirken, başka bir hastalık için el sıkışmak yetebilir. Pratikte β parametresini doğrudan belirlemek oldukça zordur. Hijyen, nüfus yoğunluğu ve sosyal gelenekler gibi birçok faktör bu parametreyi etkiler. Kalabalık bir okulda bir kış mevsiminde β parametresi çok büyük olabilirken, el 12 4.1 S-I-R Modeli 4 BULAŞICI HASTALIKLAR sıkışma ile bulaşan bir hastalık için, el sıkışma geleneğinin olmadığı bir toplumda β parametresi oldukça düşük olur. İkinci soru için, enfektivite süresi (duration of infectivity) δ parametresini tanımlayalım. δ parametresi, bir kişinin enfektif kaldığı süreyi ifade eder. Belirtiler ortaya çıkmadan önce bir kişi bulaşıcı olabildiğinden ve bir kişi artık bulaşıcı olmadığı halde hastalığın semptomları halen devam edebildiğinden, bu parametre hastalığın süresi ile aynı değildir. Etkin temas oranının tersine, bu parametre hastalığı gözlemleyerek doğrudan ölçülebilir. Popülasyonda bir günde gerçekleşebilecek maksimum temas sayısı β × I dir. Ama bu temasların hepsi enfeksiyon ile sonuçlanmayacaktır. Sadece sağlam insanlarla enfektiflerin temasları enfeksiyon ile sonuçlanacağından, sağlam insanS S . Yani her bir gün, βI N ların tüm popülasyona oranı ile bu sayıyı çarpalım: βI N sayıda birey, sağlam grubundan enfektifler grubuna geçmektedir. Enfektif grubundan geçiren grubuna geçen insan sayısı enfeksiyonun süresi δ ’ne bağlıdır. Bunu da bir örnek ile açıklayalım. Örnek 1. Bir salgında δ = 4 ve 20 enfektif insan olduğunu varsayalım. Ertesi gün kaç insan iyileşir? İnsanların eşit olarak dört gruba ayrıldıklarını varsayabiliriz: bugün enfektif olanlar, dün enfektif olanlar, 2 gün önce enfektif olanlar ve 3 gün önce enfektif olanlar. Bu durumda 41 × 20 = 5 kişi yarın iyileşir. Yukarıdaki örnekten, her bir gün sınıfına geçer. 1 δI sayıda birey, enfektiflerden geçirenler Şekil 4.2: S-I-R modeli için akış diyagramı Böylece modelimizi aşağıdaki denklem sistemi ile yazabiliriz: S(t − 1) N S(t − 1) 1 − I(t − 1). I(t) =I(t − 1) + βI(t − 1) N δ 1 R(t) =R(t − 1) + I(t − 1) δ S(t) =S(t − 1) − βI(t − 1) (4.2) Tanım 1. (Temel Üreme Oranı) Temel üreme oranı R0 , enfektif bir kişinin, sağlam bir popülasyonda üreteceği ortalama ikincil enfeksiyon sayısını temsil eder. R0 için bir denklem bulmak, hastalık için bir model oluşturduktan sonra yapılan ilk iştir. S-I-R modeli için R0 = β × δ diyebiliriz. Teorem 1. R0 , hastalığın temel üreme oranı olmak üzere, sağlam insanların oranı 1 R0 13 4.1 S-I-R Modeli 4 BULAŞICI HASTALIKLAR değerinin altına düştüğünde salgın sonlanmaya başlar. Teorem 2. R0 , hastalığın temel üreme oranı ve N, toplam popülasyon büyüklüğü olmak üzere, sağlam insanların sayısı N R0 sayısının altına düştüğünde salgın sonlanmaya başlar. Teorem 3. Bir salgını önlemek için, aşılanan nüfusun toplam nüfusa oranı en az 1 − R10 olmalıdır. Problem 4. R(0) = 0, N = 5000, I(0) = 5, β = 0.9, δ = 5 olmak üzere S-I-R modelinin grafiğini çizip aşağıdaki soruları yanıtlayınız. a. Salgın tepe noktasına ne zaman ulaşır? b. Salgının tepe noktasında kaç kişi hastadır? c. Salgın ne kadar sürer? d. Salgın boyunca hastalık kaç kişiye bulaşır? Çözüm 4. Bilgisayar ile hesaplamaları gerçekleştirirsek: a. 9. günde. b. 432. c. Yaklaşık olarak 27. günde salgın sonlanır. d. 987. Şekil 4.3: Problem 3 için grafik 14 4.2 4.2 Yaşam Dinamikleri ve Düzenli Aşılama 4 BULAŞICI HASTALIKLAR Yaşam Dinamikleri ve Düzenli Aşılama Öncelikle modelimize yaşam dinamiklerini (doğum ve ölüm) ekleyelim. Kolaylık açısından toplam nüfusun değişmediğini, yani doğan ve ölen birey sayısının eşit olduğunu varsayacağız. µ, popülasyonun günlük doğum oranı olsun, yani her gün µN sayıda sağlam birey dünyaya gelsin. Toplam nüfus değişmediğinden, her gün, µS sağlam, µI enfektif ve µR geçirmiş birey hastalık dışındaki nedenlerden dolayı (ölüm yada göç) popülasyondan ayrılsın. ρ, yenidoğanların aşılanma oranı olsun. Her gün µN birey doğduğundan, ρµN sayıda birey doğrudan geçirenler grubuna geçer. Geriye kalan µN − ρµN = (1 − ρ)µN sayıda birey ise sağlamlar grubuna geçer. O halde S-I-R modelimiz S(t − 1) + (1 − ρ)µN − µS(t − 1) N S(t − 1) 1 I(t) =I(t − 1) + βI(t − 1) − I(t − 1) − µI(t − 1) N δ 1 R(t) =R(t − 1) + I(t − 1) + ρµN − µR(t − 1) δ S(t) =S(t − 1) − βI(t − 1) olur. Tanım 2. Yukarıdaki model için, R0 , temel üreme oranı R0 = β µ+ 1 δ ile hesaplanabilir. Şekil 4.4: Güncellenmiş S-I-R modeli 15 (4.3) 5 5 KAN HÜCRESİ POPÜLASYONLARI Kan Hücresi Popülasyonları Kan, plasma olarak adlandırılan bir sıvı ve kan hücrelerinden oluşur. Kan hücreleri temel olarak üç çeşittir: • Kırmızı kan hücreleri, akciğerlerden dokulara oksijen taşırlar, • Beyaz kan hücreleri, enfeksiyonlara karşı vücudun savunma mekanizmasının bir parçasıdırlar ve • Trombositler, kanın pıhtılaşmasına yardımcı olurlar. Şekil 5.1: Kan hücreleri çeşitleri Kan hücreleri (lenfositler hariç), kemik iliğindeki kök hücrelerde üretilirler. Kan hücreleri yaşlanmadan, enfeksiyondan veya bir hastalıktan dolayı ölürler. Hücrelerin üretilmesi ve yok edilmesi, döngüsel bir süreçtir. Kan hücresi popülasyonu için ayrık model cn+1 = f (cn ) = cn + θ + p(cn ) − d(cn ) (5.1) şeklindedir. Burada θ, pozitif bir sabit; cn , n anındaki kan hücresi sayısı (mikrolitre başına ya da vücut ağırlığına göre kilogram başına); p fonksiyonu, bir zaman aralığında üretilen hücrelerin sayısını ve d fonksiyonu ise bir zaman aralığında yok edilen hücrelerin sayısını ölçer. Her bir zaman aralığında öldürülen hücre sayısının sabit olduğu varsayılır ise, d(cn ) = acn , 0 < a ≤ 1. 17 5 KAN HÜCRESİ POPÜLASYONLARI Burada a, yok edilme katsayısı olarak adlandırılır. Üretim fonksiyonu hücre tipine göre belirlenir, her bir hücrenin farklı bir hücresel ve biyokimyasal süreçleri vardır. Bununla birlikte, ortak bir forma sahip oldukları düşünülmektedir. Mackey, Glass ve Lasota tarafından bulunan üretim fonksiyonu, b, c, r ve s pozitif sabitler olmak üzere p(cn ) = bcrn e−scn (5.2) şeklindedir. O halde modelimiz cn+1 = (1 − a)cn + θ + bcrn e−scn , 0 < a ≤ 1, (5.3) b, c, r, s > 0 olur. P x Şekil 5.2: x, üretilen kan hücresi sayısı, P, toplam kan hücresi sayısı 18 6 6 İLAÇ ELİMİNASYONU İlaç Eliminasyonu Bir ilaç vücuda alındığı anda, vücut ilacı vücuttan atmaya başlar. İlacın vücuttan atılması işlemi, enzimlerin ilacı farklı metabolitlere ayırması ya da nefes, ter veya boşaltım yoluyla olabilir. Normal dozlarda alınan çoğu ilacın eliminasyonu, vücutta mevcut olan ilaç miktarının sabit bir oranında gerçekleşir. Yani, her birim zamanda, ilacın plazma konsantrasyonu, bir önceki zaman diliminin yarısına düşer. Bu tür eliminasyon sürecine birinci derece eliminasyon denir. Buna karşılık, bazı ilaçlar, vücutta bulunan ilaç miktarından bağımsız olarak, belirli bir oranda vücuttan atılır. Yani, her birim zamanda, vücuttan atılan ilaç mikarı aynıdır. Bu tür eliminasyon sürecine de sıfırıncı derece eliminasyon denir. Birinci derece eliminasyon modelini göz önüne alalım. r, ilacın vücuttan atılma oranı, B(t), t anında vücutta bulunan ilaç miktarı dersek modelimiz, B(0) başlangıç koşulu ile beraber B(t) = B(t − 1) − rB(t − 1) (6.1) olur. Şekil 6.1: Birinci derece eliminasyon modeli 6.1 Yarılanma Ömrü Yarılanma ömrü, vücudun bir ilacının yarısını vücuttan atabilmesi için gereken süredir. Örneğin, bir ilaç 4 saat yarılanma ömrüne sahip olsun ve başlangıçta vücutta 500 mg ilacının bulunduğunu varsayalım. O halde, 4 saat sonra, vücuttaki ilaç miktarı 250 mg olacaktır. Yarılanma ömrü T1/2 ile gösterilir. 6.2 Emilim Enjeksiyon veya intravenöz yolla alınan ilaçlar doğrudan kana karışır. Bu tür ilaçlar için yukarıdaki model uygundur. Fakat tıpta kullanılan bir çok ilaç, ağız yoluyla alınır. Ağızdan alınan ilaçlar doğrudan kan dolaşımına girmez, önce sindirilmeleri gerekir. Dolayısıyla bu ilaçların gastrointestinal yoldan (mide ve bağırsak) ne kadar emildiğini hesaba katmamız gerekir. GI(t), t anında gastrointestinal yolda bulunan ilaç miktarı ve α, emilme oranı olsun. GI yoldan emilim, birinci derece bir emilinasyondur. O halde modelimiz GI(t) = B(t) = GI(t − 1) − αGI(t − 1) B(t − 1) − rB(t − 1) + αGI(t − 1) olur. 19 (6.2) 6.3 Dozaj 6 İLAÇ ELİMİNASYONU Şekil 6.2: Emilim ile emilinasyon 6.3 Dozaj Çoğu ilaç tek bir doza sahip değildir. «6 saatte bir hap» gibi kullanımlara sahiptirler. Bu nedenle modelimize, D(t), dozaj fonksiyonumuzu ekleyelim. O halde modelimiz GI(t) = B(t) = GI(t − 1) − αGI(t − 1) + D(t) B(t − 1) − rB(t − 1) + αGI(t − 1) (6.3) olur. Şekil 6.3: Dozaj ile eliminasyon t değişkenini saat olarak düşünürsek, 6 saatte bir 400mg alınacak bir ilaç için doz fonksiyonunu ( 400, t ≡ 0(mod 6) D(t) = 0, diğer tanımlayabiliriz. 6.4 Çözünme Ağız yoluyla alınan ilaçların emilmesi için önce çözünmesi gerekmektedir. Bir ilacın gastrointestinal yolda çözünmesi için gereken süre, çözünme süresi olarak adlandırılır ve δ ile gösterilir. O halde, dozaj fonksiyonumuzu, f dozaj sıklığı olmak üzere, ( d t mod(60f ) < δ D(t) = δ 0 diğer olarak güncelleyebiliriz. Problem 5. Bir hasta 6 saatte bir 200-mg ibuprofen almaktadır. İlk dozdan 24 saat sonra, hastanın vücudunda ne kadar ibuprofen bulunur? Zaman birimi olarak dakika alınız. 20 KAYNAKLAR KAYNAKLAR Kaynaklar [1] Linda J. S. Allen. An Introduction to Mathematical Biology. PRENTICE HALL, 2006. [2] Jeffrey T. Barton. Models for Life: An Introduction to Discrete Mathematical Modeling with Microsoft Office Excel. JOHN WILEY & SONS INC, 2016. [3] Fred Brauer and Carlos Castillo-Chavez. Mathematical Models in Population Biology and Epidemiology. Springer New York, 2012. [4] Ching Shan Chou and Avner Friedman. Introduction to Mathematical Biology. Springer International Publishing, 2016. [5] Paul Cull, Mary E. Flahive, and Robby Robson. Difference Equations. Springer-Verlag GmbH, 2005. [6] Saber N. Elaydi. An Introduction to Difference Equations. Springer-Verlag GmbH, 2005. [7] David P. Feldman. Chaos and Fractals. Oxford University Press, 2012. [8] Glenn Fulford, Peter Forrester, and Arthur Jones. Modelling with Differential and Difference Equations. CAMBRIDGE UNIV PR, 1997. [9] James Gleick. Chaos: The Making of a New Science. Viking Adult, 1987. [10] W. O. Kermack and A. G. McKendrick. A contribution to the mathematical theory of epidemics. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, 115(772):700–721, aug 1927. [11] Thomas Koshy. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. JOHN WILEY & SONS INC, 2001. [12] V. Lakshmikantham and Donato Trigiante. Theory Of Difference Equations Numerical Methods And Applications (Pure and Applied Mathematics). CRC Press, 2002. [13] Edward N. Lorenz. Deterministic nonperiodic flow. Journal of the Atmospheric Sciences, 20(2):130–141, mar 1963. [14] S. LYNCH. ANALYSIS OF a BLOOD CELL POPULATION MODEL. International Journal of Bifurcation and Chaos, 15(07):2311–2316, jul 2005. [15] Martelli. Introduction to Discrete Dynamical Systems and Chaos. JOHN WILEY & SONS INC, 1999. [16] Robert M. May. Simple mathematical models with very complicated dynamics. Nature, 261(5560):459–467, jun 1976. [17] Ronald E. Mickens. Difference Equations. Taylor & Francis, 2015. 21 KAYNAKLAR KAYNAKLAR [18] J. Douglas Faires Richard L. Burden. Numerical Analysis. BROOKS COLE PUB CO, 2010. [19] Panos M. Pardalos Sergiy Butenko. Numerical Methods and Optimization. Taylor & Francis, 2014. [20] Angela B. Shiflet. Introduction to Computational Science. Princeton University Press, 2014. [21] Colin Sparrow. The Lorenz Equations. Springer, 1982. [22] Soo T. Tan. Applied Calculus for the Managerial, Life, and Social Sciences. Brooks Cole, 2010. [23] John H. Vandermeer and Deborah E. Goldberg. Population Ecology: First Principles, Second Edition. Princeton University Press, 2013. 22