. MCM-MCD

TEMA: MCM-MCD 1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.) El M.C.M. de varios enteros positivos es el menor entero positivo que sea divisible entre cada uno de ellos. 2. MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.) El M.C.D. de varios enteros positivos, es el mayor entero que sea divisor de cada uno de ellos. Ejemplo: Para los números 8 y 12 tenemos: Divisores Núm Múltiplos ero 1, 2, 4, 8 8 8, 16, 24, 32, 40, 48, … 1, 2, 3, 4, 6, 12 12 12, 24, 36, 48, 60, … 3. CASOS PARTICULARES Si A = B  M.C.M. (A, B) = A M.C.D. (A, B) = B Ejemplo:  Hallar el M.C.M. y M.C.D. de 180 y 60. A)   Solución: 180 = 60 Luego: M.C.M. (180, 60) = 180  M.C.D. (180, 60) = 60 B) Si A y B son PESI  M.C.M.(A, B) =AxB M.C.D. (A, B) = 1 Ejemplo:  Hallar el M.C.M. y M.C.D. de 15 y 16. Solución:15 y 16 son PESI Luego:M.C.M.(15, 16) = 240  M.C.D.(15, 16) = 1 4. MÉTODOS DE OBTENCIÓN DEL M.C.M. y M.C.D. A. Por descomposición canónica Dados varios enteros y obtenida la descomposición canónica de cada uno; entonces: EL M.C.M. Es igual al producto de los divisores primos comunes y no comunes elevadas a su mayor exponente. EL M.C.D. Es igual al producto de los divisores primos comunes, elevados de su menor exponente. B. Por descomposición simultánea Para calcular el M.C.M. y M.C.D. de varios enteros se disponen los enteros en fila y se extraen sus divisores comunes hasta que resulten PESI: El M.C.D. Es el producto de los divisores comunes extraídos. El M.C.M. Se continúa extrayendo todos los divisores no comunes y el M.C.M. se obtiene multiplicando los divisores comunes y no comunes extraídos. Ejemplo: Hallar el M.C.M. y M.C.D. de 84, 126, 315 84 – 126 – 315 3 M.C.D. = 3 x 7 = 21 28 – 42 – 105 7 4 – 6 – 15 2 M.C.M. = 22 . 32 . 5 . 7 2 – 3 – 15 2 = 1260 1 - 3 - 15 3 1 - 1- 5 5 1 - 1- 1 C. Método de divisiones sucesivas o algoritmo de Euclides para la obtención del M.C.D. para 2 números Se divide el mayor entre el menor obteniéndose que cociente y un primer residuo; sin considerar el cociente se divide el menor entre el residuo, obteniéndose otro cociente y un segundo residuo; en seguida se divide el primer residuo, entre el segundo así sucesivamente hasta que el residuo resulta cero. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 384 y 222 mediante el algoritmo de Euclides. Solución: 384 5. 1 222 1 162 2 60 1 42 2 18 162 60 42 18 6 3 6 M.C.D. 0 PROPIEDADES A. El producto de dos enteros es igual, al producto de su M.C.M. por su M.C.D. A x B = M.C.M.(A, B) x M.C.D.(A, B) Ejemplo: Si el M.C.M. de “A y B” es 48 y su M.C.D. es 2. Hallar el producto de los números. Solución: Sea los números: A=axq B=bxq Luego: M.C.D.(A, B) = q = 2 M.C.M.(A, B) = a . b. q = 48  a . b . (2) = 48 a . b = 24 Por lo tanto: A.B=a.b.q.q A . B = 24 . 2 . 2 = 96 Ahora observa: A x B = M.C.M.(A, B) x M.C.D.(A, B) A x B = (48) x (2) A x B = 96 B. Si el M.C.M. de varios enteros, se divide entre cada uno de ellos, los cocientes, obtenidos son primos entre sí. Ejemplo: El M.C.M. de 16, 6, 10 es 240. Dividiendo 240 entre cada uno de los números tenemos. 240 16 = 15 240 6 = 40 240 10 = 10 y efectivamente los cocientes obtenidos son PESI. C. Dados varios enteros, si a cada uno de ellos se divide entre el M.C.D., los cocientes que se obtienen son primos entre sí. Ejemplo: Si la suma de dos números es 504 y el M.C.D. es 84. ¿Cuáles son los números? Solución: Son los números: A = 84a B = 84b Del enunciado: A + B = 504 84a + 84b = 504 son PESI a + b = 6, a = 1, b =5 Luego: A = 84 x 1 = 84 B = 84 x 5 = 420 D. El M.C.D. de (An - 1), (Am - 1), P (A - 1) es igual a: (AMCD(n, m, p) - 1) Siendo A, n, m, p enteros positivos y (A > 1) Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 696 – 1 y 6108 – 1 Solución: 6M.C.D.(96, 108) – 1 = 612 - 1 PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el M.C.D. de 3185 y 2431 a) 2 b) 1 d) 7 e) 17 c) 13 2. Hallar el M.C.D. de 5648 y 4253 a) 5 b) 353 d) 1 e) 17 c) 13 3. Hallar el M.C.M. de 124 y 837. a) 108 b) 548 c) 1258 d) 31 e) 3348 2 4. Hallar el M.C.M. de 319 y 3509 a) 4 b) 319 d) 3509 e) 121 c) 29 5. Cual es el MCD de los números: 765; 935 y 1615. a) 5 b) 55 c) 85 d) 15 e) 65 6. Hallar el MCD de A y B si: A = 6 x 14 x 72 B = 21 x 11 x 9 a) 33 x 2 d) 23 x 32 b) 33 x 7 e) 11 x 32 c) 23 x 3 7. Relacione correctamente ambas columnas: I. 24 y 48 A) Su MCD es 24 II. 21 y 16 B) Su MCD es 1 III. 26 y 52 C) Su MCD es 26 8. Hallar el MCM de A y B si: A = 32 x 7 x 11 B = 2 x 72 x 3 a) 2 x 7 x 3 d) 7 x 11 x 32 b) 2 x 3 x 7 x 11 d) 2 x 32 x 72 x 11 c) 72 x 3 9. Cual es el MCM de los números 196; 70 y 500. a) 32500 b) 64500 c) 52400 d) 25400 e) 24500 10.Hallar el MCD de A y B: A = 4 x 9 x 15 B = 2 x 6 x 14 a) 12 d) 6 b) 10 e) 18 c) 4 11.Colocar verdadero (V) o falso (F) según corresponda: ii) MCD significa “mínimo común divisor” iii) El MCM de dos números contiene exactamente a dichos números siempre. iv) El MCM y MCD de dos números pueden ser iguales. 3 12.Hallar el MCD de A y B si: A = 72 x 113 x 5 B= 52 x 7 x 13 a) 25 d) 40 b) 30 e) 65 13.Hallar el MCD de A y B: A = 16 x 3 B= a) 20 d) 30 b) 16 e) 35 14.Hallar el MCD de A y B si: A = 22 x 33 x 7 x 1110 B = 23 x 34 x 56 x 1310 a) 2 x 32 b) 22 x 34 2 3 d) 2 x 3 e) 24 x 33 c) 35 8 x 15 c) 24 c) 23 x 33 15.Hallar el MCM de A y B si: A = 23 x 54 x 76 B = 22 x 5 x 11 a) 23 x 54 x 76 x 11 d) 54 x 76 x 22 x 11 b) 22 x 5 e) 54 x 116 x 7 3 6 c) 2 x 11 x 7 16.Hallar la suma de las cifras de sumar el MCM y MCD de los números: 120; 360 y 480. a) 1560 b) 120 c) 1440 d) 12 e) 8 17.Hallar el M.C.D. de 384 y 222 mediante el algoritmo de Euclides. a) 2 b) 1 c) 13 d) 7 e) 6 18.Hallar dos números cuyo M.C.D. es 12, sabiendo además que los cocientes sucesivos para hallar el M.C.D. por divisiones sucesivas fueron: 1; 2; 2; 3; 3. a) 672 y 1144 b) 144 y 948 c) 873 y 948 d) 672 y 948 e) 565 y 346 19.Calcular 2 números cuyo M.C.D. es 23. Si los cocientes obtenido al aplicar el algoritmo de Euclides fueron 1, 3, 2, 1, 1, 2. Dar la suma de ambos valores. a) 2300 d) 1040 b) 690 e) 3120 c) 2323 20.El cociente de dos números es 15. Si su M.C.D. es 18. Calcular el número mayor. a) 180 b) 240 c) 200 d) 270 e) 220 21.Si MCD( 5a, 4b ) = 14. Hallar (a + b) a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 30.Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B, tiene 60 divisores. A = 2n + 1 x 34 x 7 B = 22n x 35 a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 22.Si MCM ( 9a, 4b ) = 90. Hallar (a + b) a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 10 23.Si MCM ( 9a, 2a ) = 196 a) 8 b) 7 d) 5 e) 4 31.Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 48 divisores (“n” es un número primo) A = nn x 23 x 112 B = n x 11 x 22 c) 6 24.Si MCD ( 5a, 1b ) = 6; Hallar (a + b) a) 2 b) 5 c) 3 d) 4 e) 6 a) 1 d) 5 25. Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 15 divisores. A = 2n x 34 B = 2n–1 x 32 x 52 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 26.Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 24 divisores. A= a) 1 d) 4 3n x 52n+1 x7 b) 2 e) 5 B= 32n x2x 5n + 2 c) 3 27.Si MCD ( 7 a, (2a)a ) = 6. Hallar “a” a) 2 d) 5 b) 3 e) 6 29.Un negociante tiene 3 barriles de vino de 360, 480 y 600 litros, desea venderlos en recipientes pequeños de modo que no sobre ni falte vino en ninguno de los barriles. ¿Cuál es la máxima capacidad de los recipientes? a) 60 b) 80 c) 100 d) 120 e) 140 c) 4 28.El MCM de A y 36 es 180 y su MCD es 9. Hallar el valor de A. a) 45 b) 30 c) 35 d) 40 e) 48 b) 2 e) 7 32.Si MCD ( 1a7, 1(2a)9 ) = 21 Hallar el valor de “a” a) 2 b) 3 d) 5 e) 6 c) 3 c) 4 33.Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 12 divisores. A = 2n x 75 B = 22n x 72 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 34.Hallar el valor de “n” si el MCD de A y B tiene 20 divisores. A = 7n x 11 x 132 B = 2 x 72n x 11 x 13 a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 35.Hallar el valor de “n” si el MCM de A y B tiene 56 divisores. A = 11n – 1 x 13n B = 11n + 2 x 132 a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8 Abancay , lunes, 23 de abril de 2018 4