Sobre la relación entre la Lógica Clásica y la Lógica Matemática (2) Gustavo Carlos Bitocchi, 2003 ÍNDICE GENERAL INTRODUCCIÓN (1) 1. Planteo inicial I. EL ESTADO DE LA CUESTIÓN 1. La terminología 2. El problema (discordia-concordia) 3. La necesidad de una indagación 4. Los objetos de la Lógica Clásica 4.1. Planteo Inicial. 4.2. El objeto material ordenable (Comparación con el de la Metafísica) 4.3. El objeto material dirigible 4.4. El objeto formal quod I I. LA INDAGACIÓN DE LA RELACIÓN (2) 1ª. Perspectiva. Desde la comparación de los objetos de ambas lógicas 1.1. Desde el objeto material ordenable 1.2. Desde el objeto material dirigible 1.3. Desde el objeto formal quod 2ª. Perspectiva. Desde los primeros principios 2.1. Planteo 2.2. Formulación lógico-clásica y re-formulación lógico-matemática de los primeros principios 2.3. El sistema axiomático para el cálculo de la lógica proposicional 3ª. Perspectiva. Desde la división de la LC en Lógica Material y Lógica Formal 3.1. Planteo III – LA CARACTERIZACIÓN DE LA LM (3) Planteo 1. Ciencia positiva 2. Hiperformalista o lógico-formalista 3. Pandeductivista 4. Autómata e irreflexiva 5. A-metafísica IV – LA RELACIÓN EN SÍ Y LAS PROPUESTAS DE COMPLEMENTACIÓN (4) A. LA RELACIÓN EN SÍ 1. El tipo de relación existente entre la LC y la LM B.LAS PROPUESTAS DE COMPLEMENTACIÓN 1ª. Una Semiótica Realista 2ª. Fundar la LM en lo real sin confusión con lo metafísico 3ª. Pensar lo real 4ª. Subalternación 5ª. La Lógica como Filosofía Racional CONCLUSIÓN 1. Planteo 2. Actitud y reflexión final II - INDAGACIÓN DE LA RELACIÓN 1ª. Perspectiva. Desde la comparación de los objetos de ambas lógicas 1.1. Desde el objeto material ordenable o denominable1 La Lógica Matemática no parece tener un objeto material ordenable, al menos explícitamente. No hay referencia a un ente real posible de estar en estado de razón en nuestra mente, y desde él, operar lógicamente. No pretende hundir sus raíces en lo real. Todo esto explícitamente, claro está. En cambio, de hecho o implícitamente, en muchas de sus partes (Lógica de Relaciones y Lógica de Predicados poliádicos y algunos sostienen también en Lógica de Clases) hay cierta confusión con el objeto material de la Metafísica2. Aunque manifiesten con fervor su neutralidad filosófica, o si se quiere su a-metafisicismo. Si bien es cierto, y es un tema harto remanido el origen neo-positivista de la Lógica Matemática (y nosotros no la impugnamos por eso, pero somos conscientes que su mala prensa en ambientes realistas tiene allí su origen), sus exponentes actuales no suelen tener una actitud anti-metafísica, sino más bien a-metafísica, pero se contrapone con la confusión que manifiestan respecto a su objeto. No se embarcan en un ars destruens sino que no se embarcan en nada (en realidad, algunos sí, pero ya no es la tendencia). Queda un hueco, una privatio (y no decimos negatio). Y aquí la clásica afirmación desde el mundo de la filosofía realista que sostiene que la Lógica Matemática se maneja con expresiones vacías o huecas de contenido real, y de aquí podemos esgrimir una apreciación: no piensa lo real, pero a veces lo considera directa o primointencionalmente. Nosotros sostenemos que, en tanto ciencia, debería tener un objeto material ordenable, hemos afirmado que no lo tiene al modo de la LC, y lo seguimos afirmando, pero queremos precisar esto. Podríamos decir que su objeto material ordenable son “estructuras” o “esquemas” vacíos. Ahora bien, una disciplina que sólo atiende a una “estructura vacía” como su objeto material nos presenta una paradoja, pues su materia es no-tener-materia. Muy lejos está la LM de proponer una quididad o un contenido quiditativo inteligible desde el cual comenzar a operar lógicamente. 3 Concretamente, creemos que es más ilustrativo sostener que tiene un objeto material ordenable pero con las aclaraciones que hemos hecho, y con la confusión ya indicada. Aquí entonces, nosotros, queremos agregar que la noción de objeto material ordenable en un contexto de LM es, al menos, un tanto ambiguo y confuso, pues se pueden admitir distintas interpretaciones sobre su objeto material. La Metalógica. El surgimiento de una Metalógica puede tener su explicación en cuanto que la LM se vio privada de un objeto material claro y preciso. Y la Metalógica se Según Casaubón podemos llamarlo así porque “las relaciones de razón que en él (concepto objetivo) se fundan, no siendo algo real, no lo cualifican intrínsecamente, sino que sólo lo ‘denominan’, esto es lo ‘ponen idealmente’ como predicable, como predicado, como sujeto, etc. Pero esa ‘denominación’ no es puramente verbal; es intelectual-intencional-objetiva.” Casaubón, J. ETF Nº2 p.164. Es decir, lo “denominan como” predicado, sujeto, etc. Pero de un modo meramente mental. 2 Salvo en la fluctuación del objeto formal ‘quod’ que trataremos páginas más adelante. 3 Así M. García Mendive : “La LM es una lógica puramente formal, o sea, que se limita a considerar la forma o estructura lógicas de las obras del pensamiento prescindiendo por completo de su materia o contenido inteligible.” Apuntes tomados de su Cátedra. 1 originó como solución a esta privación y como de una realidad de la que había que ocuparse. Estas expresiones vacías debían “llenarse”, y de esto, a su manera, se ocupa esta nueva disciplina. Inclusive entre líneas permanece el problema de los universales.4 Es más, según lo anterior, algunas expresiones ‘vacías’ ya están ‘llenas’ de primointencionalidad. Veamos de qué se trata la así llamada (por los lógico-matemáticos) Metalógica: Moreno afirma que son “teorías acerca de las teorías lógicas”, y su propósito es “ocuparse de las leyes lógicas”5, y en la otra punta Casaubón sostiene que se ocupa de “las fórmulas lógicas” y afirma que son “expresiones sobre expresiones de objetos”.6 La Metalógica es un estudio reflexivo de un sistema formal sobre sus propias características. No afirmamos en absoluto que esta Metalógica sea una “especie” de Metafísica, en todo caso sería un muy pobre sucedáneo metafísico. Sino que afirmamos que, la LM se maneja con signos. Y estos signos no son explicados y/o fundamentados por la LM, por lo tanto debe existir otra disciplina que los explique. Sostenemos que la Metalógica existe porque primeramente existió una LM. La LM ’hizo’ su Lógica sobre signos, pero no los explicaba. La Metalógica se ocupa de los signos, pretende explicar los signos de las fórmulas más primitivas que funda todo sistema axiomático fundacional de toda LM. Una ‘auténtica’ Lógica es un orden entre conceptos objetivos, y claro está, de las voces significativas que los expresan. Pero este orden tiene su fundamento último en el orden de los entes entre sí. Y precisamente, tanto los conceptos objetivos como las voces significativas hacen referencia a ese orden real entre los entes. Y hacen referencia significándolos. Ahora bien, de qué trata la Metalógica? De signos, obviamente. Y se establece una triple y clásica distinción en: Sintaxis, Semántica y Pragmática. Todas estas partes trataran de relaciones diferentes. La Sintaxis se abocará a estudiar las relaciones de los signos entre sí. Desde la sintaxis se construye el lenguaje lógico. Considera cómo un signo se relaciona respecto de otro. La Semántica se ocupará de la relación entre los signos y sus objetos. Y finalmente, la Prágmatica, tratará de las relaciones entre los signos y los que lo interpretan. La Semántica. “Desde luego en semántica la ‘verdad’ es una propiedad del símbolo” nos dice Moreno7. Finalmente, nuestra opinión respecto al florecimiento de la Metalógica como una disciplina independiente es la siguiente: La LM tiene un objeto material ordenable ambiguo o confuso. En el mejor de los casos es una mera estructura vacía. Nosotros agregamos: Signos, es decir ‘signos’ vacíos. Y estos signos deben justificarse, explicarse. He aquí la Metalógica. Pero los signos no dicen una referencia a la realidad, pues, recordemos, son vacíos de contenido, de quididades. En general los autores identifican Metalógica y Semiótica, algunos consideran que la Metalógica es una parte de la Semiótica, es decir, es un lenguaje específico que está sujeto a dimensiones sintácticas, semánticas y pragmáticas: Un lenguaje formal (la otra disciplina que se maneja con un lenguaje formal es la Matemática). Pero no se habla de lenguajes sin más ni más, sino que debe considerarse signos naturales (que el hombre descubre en la realidad) y signos convencionales (que el hombre construye, con todo lo que significa ‘construir’) o símbolos. Ahora bien, un lenguaje nos hace referencia, nos habla de una totalidad ordenada u organizada por el hombre según ciertas reglas. Pues bien, el lenguaje de la Lógica se edifica según ciertas reglas. “Actualmente la lógica se enfrenta con los mismo eternos problemas...” Agazzi, E.- Op.cit., p.329. Moreno, A. – Op.cit., p.42. 6 Casaubón, J. – Nociones generales de lógica y filosofía. Estrada, Buenos Aires, 1982, p.129. 7 Moreno, A. Op.cit, p.44. 4 5 Veamos algo sencillísimo pero concreto a la vez. Un ejemplo podemos verlo cuando tratamos la Lógica Proposicional, al hablar de conectivas, enumeramos una serie de signos. Tomemos, la conectiva conjunción ‘y’. Este es un enunciado metalógico utilizado en LM. La Lógica nunca justifica este signo. La Metalógica debe ocuparse de esto en su dimensión sintáctica. Toda la Metalógica es un gran esfuerzo para justificar la LM y su independencia o autonomía o neutralidad o pureza de origen respecto de la Metafísica. Sobre todo en su dimensión sintáctica, pues en esta dimensión ‘se hace’ el fundamento de la LM, la matriz general: El sistema axiomático, desde el cual se resuelven, cálculo mediante, toda operación lógico-matemática. De aquí, su importancia. Sobre esto diremos algo, más adelante en nuestro desarrollo, en la consideración desde los primeros principios. La epistemología. En cambio la preocupación epistemológica, tal como se desarrolla actualmente, surge en la 3ª operación en un pandeductivismo y el problema de la inducción es reemplazado por la hipótesis en el afán y voracidad pandeductivista (va comiendo y devorando todo lo que no sea deducción) de la axiomática algebraica. 1.2. Desde el objeto material dirigible La primera y la segunda operación del entendimiento (aprehensión y juicio) se refieren al primer aspecto del entendimiento, el intellectus, su faz intelectiva. La tercera y última (razonar), su faz raciocinante. Ahora nos referiremos a la primera operación. La simple aprehensión capta la quididad de la cosa, lo que la cosa es. Captamos su quid, su qué. Y este acto de captar, de aprehender lo que la cosa es da lugar al producto lógico: el concepto objetivo. Y en tanto el concepto objetivo está presente en nuestra mente comenzamos a operar lógicamente. La LM no indica, no expresa, no sugiere, no dice que capta o aprehende de la realidad, pues su honra máxima es su hiperformalismo exarcebado. Se maneja con categorías vacías de contenido quididativo, no hace referencia a un status metafísico. Sólo es forma, entonces todo contenido que exprese el sentido o la esencia de algo no tiene cabida, se lo considera a veces como un brutal psicologismo insufrible8 o simplemente no interesa. Deja de lado el contenido, es más, no le preocupa sí lo tiene o no, pues quiere quedar des-ligada, dicen los lógico-matemáticos, de toda postura filosófica, se insiste en la neutralidad epistemológica. Esto es lo que dicen, insistimos, de hecho no es así. Y aquí surge, cual eterno retorno, el problema (pues sigue siendo un problema para los contemporáneos) de los universales. Al concepto objetivo, la quididad presente en nuestra mente le podemos predicar universalidad, pero si no tenemos ninguna quididad en nuestra mente, solo esquemas vacíos y vaciados de contenido quiditativo, evidentemente no hay propiedad universal de los conceptos objetivos. No se habla de nada en Lógica Matemática, y no es una ácida observación, es parte de su orgullo hiperformalista. De aquí la necesidad de una nueva disciplina que se ocupe del sentido de lo que se habla: Semiótica. Y también de otra, en cuánto qué interpretamos cuando se habla: la Hermenéutica. Además, es sintomático que el lógico-matemático tome el universal como hipotético y no como existencial. “Una característica de la LC y bueno es que el lector esté advertido de ella: en la mayoría de los casos estamos frente a un psicologismo bastante grosero que sumado a la pobreza de su contenido, lo hace verdaderamente digna de poca consideración.” Corti, E./Gianneschi,H.- Elementos de Lógica. Signo, Bs.As. 2002, p.24. 8 Hay en la segunda operación del entendimiento un asentimiento al juicio en cuanto co-responde a la realidad, no es meramente una expresión. En la Lógica Clásica hay una ad-aecuación a la realidad, hay una verdad lógica o gnoseológica fundada en la verdad metafísica. Pues bien, para la LM no hay semejante preocupación, porque su neutralidad cuasi-religiosa se lo impide. Y aquí vuelve la necesidad real de una Semiótica y una Hermenéutica que intenten llenar estos contenidos y expresiones vacías. Autores como Llanos hablan incluso de una ontosemántica como apertura a un diálogo fecundo. 9Y resulta un desafío plantear una Semiótica y Hermenéutica Realista, que no es más que volver a más de lo mismo y ya visto pero con otros ropajes.10 Los actos del entendimiento o razón en sentido amplio (y no restringido a ratio, sino ratio + intellectus) son tres, los dos primeros se refieren a lo intelectivo y el tercero a lo racional-discursivo. Los lógico-matemáticos no pretenden ordenar la razón con sus tres actos. Se abocan al acto de razonar prescindiendo de los primeros referidos precisamente al aspecto intelectivo (intellectus) y se quedan con el de la ratio, el razonar. Esto da lugar, entendemos, a un Pandeductivismo, pues la Lógica es sólo razonar-razonar, nada queda de aprehender ni de juzgar. Y los actos son tres y no uno. Aquí, vuelve a menguar la Lógica Matemática, nuevamente se ve “privada” de dos operaciones, al menos, podemos decir, se ve privada de considerarlas en su plenitud. Y si la Lógica Clásica ordena los (tres) actos de la razón (en sentido amplio) y la LM se refiere principalmente al tercero, luego está privada de los actos intelectivos o intuitivos. Pero no impugna, al menos de hecho, a estos actos intelectivos. Se prefiere la ratio por sobre el intellectus en el mejor de los casos. El ocio es reemplazado por un discurrir raciocinante. La Lógica como arte. Se dice que la Lógica es el arte directivo del acto mismo de la razón, por el cual podemos proceder con, facilidad y sin error en dicho acto. Es una cuasi-definición, pues su objeto formal (tanto sea el quod como el quo) no está expresado). Otro tanto ocurre con el objeto material ordenable. Solamente lo está su objeto material dirigible. Por eso, hemos situado aquí esta temática. Entendemos que, si bien la consideración del objeto material ordenable de la LM era por lo menos confuso, el objeto material dirigible es de algún modo parcial. No obstante, podemos y queremos decir que, la LM, al igual que la LC pretende discurrir con orden, facilidad y sin error pero haciendo hincapié en la tercera. Coloquialmente hablando, buscan lo mismo. 1.3. Desde el objeto formal quod Las relaciones de razón entre conceptos objetivos. Coincide con la Lógica Matemática en que ambas se refieren a relaciones que se dan en nuestra mente. Y en esto parecen coincidir y dar pie a decir: Que es una misma ciencia llamada Lógica a través de los siglos, que la Lógica es una a través del tiempo; que es un abuso del lenguaje hablar de “dos” lógicas”; que es la misma11. 9 Llano,A.-Metafísica y lenguaje. Eunsa, Navarra, 1997, pp. 25 y 26. “...es probable que, cuando haya desaparecido la desconfianza e incluso el auténtico horror que todavía sienten la mayoría de los lógicos matemáticos ante el mero nombre de la ontología (a pesar de que tratan problemas que, con distinto ropaje, son aún los problemas ontológico tradicionales)...” Agazzi, E. – Op.cit., p.304. 11 “Probablemente sea más sensato considerar que las relaciones entre la Lógica Tradicional y la Lógica Simbólica no son de oposición sino de evolución: las que hay entre una ciencia en su estado inicial de 10 Pues bien, parece no haber dificultad aquí en la consideración del objeto formal. Es más, parece darnos pie para afirmar que, teniendo el mismo objeto formal (las relaciones de razón de segunda intención), no puede haber más que una sola lógica, y esto nos permitía afirmar la unidad de la Lógica. Y esto es así en un sentido amplio. Veamos: la Lógica Matemática tiene una gran primera división en Lógica Proposicional y Lógica de Términos. La Lógica de Términos a su vez se divide en: Lógica de Predicados (o Cuantificacional o de Funciones), Lógica de Clases y Lógica de Relaciones. En la Lógica de Predicados, por ejemplo, hay según lo entendemos también nosotros, un objeto formal quod distinto. Veamos: La Lógica Proposicional trabaja con enunciaciones como objeto último de análisis pero no penetra en su estructura interna, convendría llamarla más bien Lógica Interproposicional. Luego la Lógica de Términos sí atiende a la estructura interna de las enunciaciones. Así en la Lógica de Predicados analiza la enunciación en “sujeto” y “predicado”y apunta al tratamiento de la comprensión de los términos. Luego en la Lógica de Clases, asumido el análisis anterior se trabaja con la extensión de los términos (sujeto y predicado) según clases, y se habla de pertenencia e inclusión. Sigue, por último, la Lógica de Relaciones. (Notemos de paso que la Lógica Clásica es toda ella una lógica de relación en cuanto a su objeto formal quod, pues se refiere a relaciones de razón entre conceptos, son relaciones, ya dijimos, secundo-intencionales). Pero aquí encontramos una objeción de peso: Las relaciones que tratan aquí los lógico-matemáticos (en su Lógica de Relación) no son solamente de razón sino también reales. Y lo que tanto evitamos (nosotros) de no confundir los objetos de la Lógica con los de la Metafísica, terminan por hacer los lógicomatemáticos. “...pero la moderna Lógica de Relaciones trata de todo tipo de relaciones, incluso y ante todo las primointencionales, ya matemáticas, ya reales; por lo cual, para el tomista, se produce una desnaturalización de la Lógica y una mayor o menor confusión con la Matemática o con ontologías generales.” Casaubón, J.-Nociones generales de Lógica y Filosofía. Op.cit., pp.126/7. En conclusión, la LM no siempre coincide su objeto formal quod con el de la LC. En la Lógica de Relaciones, último escalón de la Lógica de Términos parecen confundirse y/o tomarse indistintamente tanto las primeras como las segundas intenciones. Y esto hace que muchos autores insistan en que son ciencias distintas: Una, filosófica, la LC; y otra, positiva, la LM. Las dos válidas, a su manera. No obstante, el problema pasaría ad intra de la LM, pues tendría un objeto formal quod fluctuante.12 Fluctúa de relaciones de razón a relaciones reales, y viceversa. Algunos autores creen que, en realidad, no hay confusión con la Metafísica sino con la Matemática, pero nadie soslaya el problema ni lo deja de admitir. Casaubón admite la constitución y esa misma ciencia en su estado de madurez, como las que sedan entre la matemática de Pitágoras o Euclides y la moderna matemática.” Garrido, M. – Op.cit., p.28 12 Inclusive Gabriel Zanotti admite que : “A esta altura de la investigación quedan aún muchas incógnitas por resolver. Por ejemplo, se habrá observado que no hemos hablado de la lógica de clases y de la lógica de relaciones. El problema es que hay razones de peso para ubicarlas dentro del campo de las segundas intenciones, pero también razones de peso para considerar que esos temas se refieren a relaciones reales más que de razón. Pero en ese caso también debemos analizar las relaciones entre la lógica y la matemática.[...]o si es necesario un replanteo total de la cuestión.” Zanotti, G.-La unidad de la teoría lógica en su forma no –matemática y en su forma matemática. Unsta, Bs.As., 1988, p.51. confusión tanto con la Matemática como con la Metafísica, en cambio otros sólo con la Matemática. Pero si es primointencional podemos referirnos tanto a cuestiones metafísicas como a matemáticas. Ahora, para no entrar en polémicas, el punto es: Tiene un objeto formal fluctuante, cuando fluctúa hacia las relaciones reales se aleja de la LC y traba la unidad de la teoría lógica, es decir, que haya “una” Lógica. Nosotros resolvemos respecto del problema expuesto de Lógica de Relaciones, u otros similares, diciendo que: Entendemos que es “una” la Lógica a partir de su objeto formal, si parte de su consideración fluctúa hacia otro objeto formal no quedará más remedio que separarla y expurgarla, pues el objeto formal especifica una ciencia, y no puede haber dos ciencias en una. Digamos que esta fluctuación es un extralimitarse epistemológicamente. No obstante el problema debe ser abordado en detalle y con todos los elementos. Nos interesa “entender” la actitud de algunos autores cultores de la LC, y todo lo anteriormente expuesto nos ayudará al respecto. Estos autores, no son adversos sin más ni más, sino que han advertido problemas difíciles de resolver y de complementar que es nuestra intención en esta indagación. Así, si repasamos textos, encontraremos afirmaciones contundentes: Son dos “cosas”, son dos ciencias distintas “esencialmente distintas”, son extrañas entre sí, están separadas, pues sus objetos material y formal son distintos con respecto a la LC. Pues tienen un objeto formal quod fluctuante (además de un objeto material ordenable ambiguo y un objeto material dirigible parcial). Por otra parte, el famoso problema de si son contradictorias ambas lógicas entre sí quedaría definitivamente resuelto: No pueden contradecirse porque trata de objetos distintos, afirman cosas distintas y solo hay contradicción si se afirma y se niega lo mismo de lo mismo, y esto no pasa. Maritain se lamenta en el texto que sigue, pues “... no siempre los logísticos comprenden tan sobriamente las cosas...” Maritain es contundente: *“Sea lo que fuere del saber si la Logística (LM) nos trae un método legítimo y viable, ella y la Lógica (LC) sólo pueden ser disciplinas separadas, extrañas una a otra, y que, si se las comprende bien, no podrían contradecirse, puesto que en realidad no versan sobre lo mismo. Pero no siempre los logísticos comprenden tan sobriamente las cosas, y formulan con respecto a alguna teoría de la Lógica Clásica críticas altaneras de las que es necesario decir algo en la Lógica Menor.” Maritain, J. – El orden de los conceptos. Club de lectores, Bs.As., 1982, p.289.  “Veremos que la Logística (LM) es esencialmente algo diferente de la Lógica (LC). En tanto que la Lógica (LC) se encamina hacia el acto mismo de la razón en su progreso hacia lo verdadero, por lo tanto, sobre el orden de los conceptos mismos y del pensamiento, la Logística (LM) se encamina hacia las relaciones entre signos ideográficos, por lo tanto, sobre los signos mismos tomados bastándose una vez establecidos.” El orden de los conceptos. Maritain, J. – Op.cit., p.288. Casaubón indica el porqué: No siempre el objeto formal quod es el mismo. Es una ciencia distinta. Una ciencia positiva. *”La que llamamos Lógica Clásica pertenece a la Filosofía. La Lógica Matemática, en cambio, no tiene fundamento filosófico ni menos metafísico. Es una técnica y una ciencia positiva. Casaubón, J.- Nociones de Lógica y Filosofía. Op.cit., p.115. Si es una ciencia positiva, entonces no es Lógica Clásica, es otra ciencia. Una ciencia, por cierto muy noble y muy válida, pero otra ciencia distinta. Y esto tiene su basamento en la fluctuación de su objeto formal quod principalmente, nosotros agregamos la ambigüedad de su objeto material. *“En cuanto a las relaciones entre la Lógica no-matemática de tipo aristotélicotomista y las lógicas matemáticas, cabe decir que, como lo indicamos ya, no tienen siempre el mismo objeto formal y son por eso ciencias o artes distintas, más que equivalentes o idénticas con menor o mayor desarrollo.” Casaubón, J.- Nociones de Lógica y Filosofía. Op.cit., p.130. En el texto arriba citado, se dice con todas las letras. Son ciencias distintas y la LM es una ciencia positiva más. Hacia 1950 surge un autor ‘antilogístico’ (que encabeza un ‘movimiento’ antilogístico) según los anti-lógico-clásicos y “acérrimo defensor de la lógica (Clásica)”13 según los más duros críticos lógico-matemáticos. Es Henry Veatch.14 Ya antes Maritain en la década del ‘30, como acabamos de leer, reaccionó duramente contra la LM. Veatch considera que la LM trata las relaciones de un modo no-intencional (primointencional) al contrario de la Clásica que las trata intencionalmente (secundointencional). Y como la Lógica debe tratar de entes intencionales (entendiéndose aquí como entes de razón de segunda intención objetiva) que existen en tanto que significan algo distinto de ellos. Y la única que lo hace es la LC. Luego, hay dos ciencias. Una de ellas es la Lógica, es decir, la LC y hay otra, que es una ciencia positiva, que bien pudiera llamarse Logística o hasta Lógica Positiva, por ejemplo. Insiste en que hay una omisión en distinguir una forma intencional de una que no lo es, con la consiguiente confusión lógicometafísica (se confunden y entremezcla lo primo y secundointencional). De algún modo sostiene que la LM es una mala Metafísica “logificada”. Veatch intenta forjar, por contraposición a la LM, una lógica basada en el realismo filosófico lo que genera los epítetos de “acérrimo defensor”, “antilogístico” de opinión “combativa”, etc. Si recordamos que los conceptos necesitan voces que los signifiquen en toda su realidad, veamos que la mismísima LM al surgir, el primer inconveniente fue su nombre y ya lo hemos tratado suficientemente al comienzo de este trabajo. No se encontró ni se encuentra un nombre satisfactorio “pues el concepto mismo de lo lógico está oscurecido y confuso” dice Veatch, a menos que, sea LA lógica, la única que evolucionó desde Aristóteles hasta Ferrater Mora, J. – Diccionario de Filosofía. Ariel, Bardelna, 1999. T.III “Logística”. Henry Babcock Veatch, que fuera profesor en la Universidad de Indiana, Estados Unidos. Publica hacia 1952: “Lógica Intencional” (“Intentional logic”. A Logic based on Philosophical Realism. New Haven, Yale University Press, 1952) Años más tarde, en 1959, Casaubón publica en Estudios Teológicos y Filosóficos Nº 1 / 2 y 3 su artículo “Lógica o ’lógicas’ ”. Casaubón parece fundamentarse en Veatch respecto a su postura ( que la LC y la LM son dos ciencias distintas). Casi veinte años más tarde, cuando Casaubón publica su célebre “Nociones generales de Lógica y Filosofía” incorpora en la unidad dedicada a la Lógica Matemática un texto clave de la obra de Veatch, donde se afirma la no-secundointencionalidad (la no-intencionalidad según la terminología de Veatch) de la Lógica Matemática. Veatch colaboró con John Wild, profesor de la Universidad de Harvard, en una serie de textos lógicos basados en el realismo filosófico. 13 14 acá. Le quita, le “roba” el nombre a la ‘auténtica’ lógica (siempre según el modo de escribir de Maritain). Veamos un poco más detenidamente qué nos propone Veatch. Distingue entre intencional y no-intencional. Lo intencional se refiere a lo secundointencional y nointencional a lo primointencional. La Lógica (con L mayúscula) es la que tiene por objeto formal lo secundointencional. Esta Lógica es la que tiene sus fundamentos en una filosofía realista. Todo lo que se refiera a lo primointencional no es Lógica. Es otra disciplina. La LM tiene por objeto formal lo no-intencional (al menos por momentos). La LM está en un mundo “enteramente diferente” al de la LC. “Volviendo ala consideración de la moderna lógica matemática, casi enseguida tomamos conciencia de hallarnos en un ambiente y clima de opinión enteramente diferentes de aquellos que caracterizan a la Lógica intencional (LC)...” Diferente porque no trata de: “...entes de razón, [...] el orden de las formas y estructuras lógicas en relación a lo real, todas estas cosas parecen ser extrañamente remotas y ajenas respecto de aquello que la LM está inclinada a discutir y tratar.” La LC trata de cosas “extrañamente remotas y ajenas” de las de la LM. Tratan de cosas distintas y no es una mera cuestión terminológica, “por el contrario” es una cuestión de fondo. Ignoran o son indiferentes a lo que las cosas mismas significan. “No es solamente la terminología de una lógica intencional (LC) la que es ajena a la LM; por el contrario, son las cosas mismas que los términos significan las que parecerían ser ignoradas, o por lo menos miradas con indiferencia por el lógico matemático.” No obstante, el lógico-matemático, trabaja con lo intencional (secundointencional)?. Y esto tiene dos respuestas según Veatch: 1ª. En parte sí, porque trabaja con proposiciones, funciones proposicionales, reglas de formación, etc., que son de naturaleza intencional (secundointencional); “...es verdad, ella ciertamente trata de formas y entidades intencionales.” 2ª. En parte no. “...hay un sentido en el que la LM aparecería como no siendo una Lógica intencional de manera alguna.” Notemos que dice: “hay un sentido” en que “aparecería” “de alguna manera”, no es taxativo ni tan acérrimo defensor de la LC ni antilogístico. Dice: Parece que no es Lógica (Lógica intencional) la LM. Cuestiona el tratamiento que hace la LM de la secundointencionalidad. Se cuestiona si trabaja realmente con una secundointencionalidad. “...pero pese a ello (que ciertamente trata de formas y entidades intencionales), es posible poner en cuestión si ella trata de las mismas como intenciones, o si incluso reconoce su carácter propiamente intencional tal como verdaderamente es.” De alguna manera, parecería que no trata lo secundointencional, y cuando dice que lo trata, ellos creen que lo trata, pero podemos “cuestionarlo”. Hasta aquí cautela. “Además, la LM parece tratar también de gran número de formas y relaciones y estructuras que no son, obviamente, intencionales.” Una curiosidad: Confunde y mezcla lo primo y secundointencional como objeto formal. Una conclusión contundente: La LM es indiferente respecto a la distinción entre primointencional y secundointencional (he aquí el nudo del problema). “Pero lo curioso es que, dentro del contexto de la LM, parece no hacerse ninguna distinción entre formas no-intencionales y las que la son. Por el contrario, todas son tratadas conjuntamente, como si fueran de algún modo del mismo tipo. En consecuencia, nos encontramos forzados a concluir que el lógico matemático en gran medida se ha olvidado y es indiferente respecto de toda clase de imprecisión “de alguna manera”.“Parece” que la LM trata también con primointencionalidades distinción entre formas y relaciones intencionales y formas y relaciones no-intencionales.” La conclusión contundente es un condicional y es una sospecha. Bajo condición que esté bien fundada. Si está bien fundada es indiferente respecto a la distinción. Y de ahí que el ‘concepto’ de lógica, la logicidad estaría oscurecido y confuso”. Recordemos lo que hemos afirmado nosotros al respecto: La LM tiene un objeto formal quod fluctuante. “Nos encontramos forzado a concluir” de esta manera. “Por eso, desgraciadamente, si estas sospechas están bien fundadas, ello significa que el concepto mismo de lo lógico está (en la LM) oscurecido y confuso.” Recapitula repreguntándose sobre la distinción “exacta” entre lo lógico y lo real y se contesta: “¿Qué es lo que exactamente diferencia lo lógico de lo real? ¿De qué manera, en otras palabras, son distinguidas las formas y relaciones lógicas propiamente dichas –por ejemplo la relación del sujeto al predicado- de las formas y relaciones reales – por ejemplo la relación de congruencia entre segmento y línea. ? Si todos los análisis del precedente capítulo son indudables, las bases para tal distinción deben residir en el hecho de que una relación lógica como la del sujeto al predicado es simplemente una intención o signo formal, porque su total naturaleza es la de ser, simplemente, la representación de algo otro que sí misma.” La LM trata de relaciones racionales pero también de relaciones reales, y luego concluye (“Por lo tanto...”): “En cambio, la relación real ordinaria, como la de que una cosa esté al Norte de otra o la de que un segmento de línea sea congruente de otro, éstas parecen ser cualquier cosa menos intenciones (o segundas intenciones). Por lo tanto, el que una línea sea congruente respecto de otra o el que ese determinado hombre sea padre de otro, no son ciertamente cosas que sean entera y completamente de o sobre algo otro. Por el contrario, son solamente lo que en sí mismas son. Ciertamente, son relaciones; empero, no son relaciones intencionales. Es decir, no son meras significaciones o representaciones de algo otro.” Veatch, H. Capítulo III: La Lógica Matemática y el descuido de la intencionalidad. a) La omisión de distinguir de lo real y lo lógico. entre las formas intencionales y las formas no-intencionales, y la consiguiente confusión. (Tomado de un texto auxiliar citado por Casaubón en su Nociones generales de Lógica y Filosofía. Op.cit., pp. 132/33) La así llamada LM es otra disciplina distinta de la Lógica (con L mayúscula) o de la LC, como se quiera, pero distinta. Es una ciencia positiva. Así también Millán Puelles (en su célebre “Fundamentos de Filosofía”, cuya primera edición es de agosto de 1955, tres años después de la obra de Veatch) y después Casaubón hacia 1959. “Examinadas las relaciones de la lógica con la psicología, la crítica y la ontología, podemos añadir, a modo de apéndice, unas consideraciones sobre las diferencias entre la lógica filosófica (LC) y la LM o logística. La lógica que aquí nos interesa es, por supuesto, una disciplina filosófica, no una ciencia positiva (1ª diferencia). Al estudiar el artificio científico, trata, pues, de conocer, pues de conocer su naturaleza y su esencia, es decir, lo que esa estructura es y lo que son los elementos de que se compone. Esta investigación es muy distinta de la que puede hacer una ciencia “positiva” que, por definición, renuncia al conocimiento de la naturaleza entitativa de sus objetos (2ª diferencia). La LM es la ciencia positiva del razonamiento, a la cual no interesa la aclaración esencial de lo que esta sea, ni la ordenación del razonamiento al ser, sino tan solo el cálculo positivo de su validez, independientemente de todo supuesto ontológico. [...] Los Principa Mathematica, de A. Whitehead y B. Russell, son la obra clásica de la moderna lógica positiva, la cual en nuestros días ha logrado un notable incremento.”. Millán Puelles, A. – Fundamentos de Filosofía. Rialp, Madrid, 1981. Pp.88/9. * “La que llamamos LC pertenece a la Filosofía, la LM, en cambio, no tiene fundamento filosófico ni menos metafísico, es una técnica y una ciencia positiva.” Casaubón, J.- Nociones generales de Lógica y Filosofía. Op.cit., p. 115. También hacia la década del ’50 José Dopp sostiene que son diferentes: “...responden a dos ideales científicos diferentes; pero en vez de contradecirse, se complementan. La Lógica antigua es una disciplina filosófica; la moderna es una disciplina científica y positiva. La lógica filosófica ha desarrollado sistemáticamente la teoría del juicio de predicación; en cambio la lógica moderna ha estudiado otras muchas relaciones.” (¡) Sapientia Nº 55, Bs.As., 1960 Año XV, p.50, en ‘Lógica Moderna y Lógica Clásica’ de José Sanabria, citando a Vicente Muñoz – La Lógica antigua y medieval a la luz de la logística. Salmantinencensis, 1957 (Obra, a la cual, lamentablemente no pudimos acceder) Ya antes Maritain, hacia la década del ’30: “... disciplina cuyos fundamentos son en sí absolutamente extraños a la verdadera Lógica, o arte del trabajo racional, y se originan de hecho, en la mayoría de los logísticos, en una concepción general (‘Lógica de Relación’) destructiva de una sana filosofía del raciocinio. Maritain, J. – Op.cit., p.367. Se vuelve a insistir en dos ciencias distintas. No lo explicita, pero se vuelve al tema de las relaciones, es decir, que la LM a veces fluctúa su objeto formal quod hacia las relaciones no ya de razón sino reales. Y esto es “destructivo” nos dice Maritain, de una “verdadera” lógica. Así hablan de una ‘auténtica’ lógica para referirse a la LC. Conviene que hagamos una breve pero importantísima digresión aclaratoria sobre el accidente relación. La relación: La relación es un accidente, y en cuanto tal, pertenece a la consideración metafísica. Todo accidente es un esse-in (su ser-en o su inherir en la sustancia) , pero en el accidente relación además es un esse-ad. Propiamente hablando la relación es un ‘referirse a’ (esse-ad), un salirse de sí hacia otro. Es ‘un respecto a’. Es un ‘ordo unius ad aliud’, un orden o referencia a otro, de una cosa a otra. “Cuando alguna cosa, según su naturaleza, se ordena a otro, o cuando dos cosas se ordenan entre sí.” Sto. Tomás de Aquino- Suma Teológica. I q.28, a.1. Una relación es real entre dos cosas si hay: 1. Los extremos de la relación: 1.1. Un sujeto (hijo)15, la substancia en la que inhiere la relación; 1.2. Un término (padre); con el que el sujeto se relaciona. 2. El fundamento de la relación entre ambas substancias (la generación), es lo que origina o causa la relación misma; 3. La relación misma (la relación filial, la filiación). Ahora bien, la relación real se divide en: 1. Según el ser. Si una substancia depende de otra en su existir; 2. Según la acción y la pasión. Si una cosa recibe algo de otra; 3. Según la cantidad. Si la cantidad de una cosa puede ser medida por la de otra. (Según magnitudes). Son las relaciones de igualdad, de inferioridad o superioridad cuantitativa, de distancia, etc. Así, si decimos esto es el doble de aquello o tal cosa es la mitad de tal otra. Por último, no toda relación es real, hay relaciones de razón. Una relación es de razón cuando falta uno de los cuatro elementos que se necesitan para que una relación sea real. Ya sea que uno u otro extremo o ambos no son reales (o no son realmente distintos entre sí); ya sea porque el fundamento no es real. La relación de razón se divide en: 1. Relaciones con algún extremo o ambos irreales. 2. Relaciones de razón, a las que corresponde en sentido contrario una relación real; 15 El ejemplo de la relación filial es tomado como paradigmático por autores como Alvira/Melendo/Clavel y Gómez Pérez. 3. Relaciones lógicas. Las relaciones entre especie-género y especie-individuo. Volvamos sobre el punto: Su objeto formal quod a veces se confunde o versa sobre primeras intenciones16: Puede referirse o a lo matemático o a lo metafísico. Y esto ya no es Lógica, al menos en la concepción lógico-clásica. Se señala que esto ocurre en: a) La Lógica de Predicados: Cuando considera predicados diádicos o triádicos, etc.17 donde se entremezcla lo primo y secundo intencional; y b) La Lógica de Relaciones18: Donde se simbolizan relaciones reales y no de razón. c) La Lógica de Clases. a) Lógica de Predicados. La Lógica de Predicados distingue intraprosicionalmente en individuo y predicado. Analiza la estructura interna de la proposición. Hay individuos determinados e indeterminados. Tomemos los determinados para el caso que pretendemos explicar. Podemos decir, por ejemplo, ‘Luis es filósofo’ (que se simboliza Fa, donde ‘F’ es ‘ser filósofo’ y ‘a’ es ‘Luis’) y así. Esto es un predicado monádico, es decir, de un solo individuo. Pero encontramos además predicados diádicos y triádicos (n-ádicos o poliádicos). Así, si decimos: ‘Marcial es hermano de Luis’, ‘ser hermano de ‘es un predicado que involucra a dos individuos: ‘Marcial’ y ‘Luis’ ( y se simboliza Fab). Y aquellos predicados que involucran a dos individuos se llaman diádicos. Ahora bien, la relación ‘ser hermano de’ existe aunque no esté presente en mi mente, es extra-mental, es real. Es una relación real según el ser. En otros ejemplos podríamos apreciar relaciones reales según magnitudes. b) Lógica de Relaciones. Pretenden los lógico-matemáticos que las proposiciones de relación (tratadas en su Lógica de Relaciones) serían una especie irreductible a las de atribución o predicación y que habría sido ignorada por Aristóteles y los escolásticos.19 Entonces, por ejemplo, relaciones como: ‘padre de’, “mayor que”, “a la izquierda de” son consideradas relaciones lógicas. Las relaciones tienen propiedades: Reflexividad, irreflexividad, simetría, asimetría, transitividad, y por último intransitividad. Tomaremos, por ejemplo, la asimetría. “Agustín es padre de Adeodato”. Tenemos dos individuos: “Agustín” y se simboliza “x” y “Adeodato” y se simboliza “y” y tenemos la relación asimétrica “ser padre de” (y se simboliza a R asimétrica  (x)(y) [xRy  - yRx] ).20 Y estas relaciones, en realidad, no conectan ni vinculan lógicamente, son primointencionales, pues ‘ser padre de’ no es secundointencional.. Esto trae una consecuencia metafísica. Sostienen que las proposiciones de relación por ellos utilizada nada tienen que ver con las relaciones reales. Que son irreductibles, ¿a qué no se reducen o no se pueden reducir? Pues bien, en Casaubón, J. – Nociones generales de Lógica y filosofía. Op.cit., p. 130. Casaubón, J. – Nociones generales de Lógica y filosofía. Op.cit.. Pp. 126 y 129. 18 “A esta altura de las investigaciones queda aún muchas incógnitas por resolver. Por ejemplo, se habrá observado que no hemos hablado de la lógica de Clases ni de Relaciones,. El problemas es que hay razones de peso para ubicarlas dentro del campo de las segundas intenciones, pero también razones de peso para considerar que esos temas se refieren a relaciones reales más que de razón.” Zanotti, G. –La unidad de la teoría Lógica en su forma no-matemática y en su forma matemática. Op.cit., p.51. 19 Casaubón, J. – ETF Nº2, p. 143 y p.158, nota al pie nº 75. 20 Cfr. con Salama, A. – Lógica Simbólica y elementos de metodología de la ciencia. El Ateneo, Bs. As., 1984, p.183 ss. 16 17 toda relación real hay un ser en y un ser hacia. Esta irreductibilidad implica negar a la relación real este ser en y reducir todo a un ser hacia.21 Estas proposiciones de relación las consideran, así lo dicen distintos manuales y autores de LM, como ‘más útiles que las proposiciones de predicación’ y también ‘más recientemente descubiertas’, por poner ejemplos. Ahora bien, no se está ‘predicando’ a estas relaciones en cuestión su ser ‘más útiles’ y ‘más recientemente descubiertas’ como su ser en? Están, paradójicamente, afirmando lo que niegan, pues solamente su naturaleza intrínseca las puede hacer mejores que las otras. Es decir, las proposiciones de relación a causa de otra proposición de relación terminan siendo predicativas que es lo que pretenden negar o afirmar como irreductible. Tenemos, pues una relación real según el ser, en otros ejemplos podríamos apreciar también relaciones reales según magnitudes. c) Lógica de Clases. También podemos observar cuestiones similares en la Lógica de Clases.22 La LM suele sostener que no debemos decir ‘Enzo es trabajador’, sino ‘Enzo es un trabajador’. Pues su cuna neopositivista no admite el universal ‘trabajador’, que a Enzo le podemos predicar ‘ser trabajador’. Pues no. Insisten en que debe decirse ‘Enzo es un trabajador’. Es un individuo que pertenece a una clase, la clase de los trabajadores. Obviamente que el problema de los universales para la LM no es un problema. Simplemente no es. La ‘clase’, permítasenos decir, la ‘claseidad’ es un concepto primitivo, y en cuanto tal indefinible. “El concepto de clase o conjunto es un concepto primitivo dentro de la lógica (LM): no se da de él una definición. No obstante es posible caracterizarlo en forma intuitiva. Una clase es una colección de individuos [...], las clases son colecciones abstractas de individuos.” Salama, A. – Lógica simbólica y elementos de metodología de la ciencia. El Ateneo, Bs. As., 1984, p.105. ¿Qué objetamos? ¿’Ser un trabajador’ no tiene implícito ‘ser trabajador’? No sólo debe hablarse de individuos, lo cual es correcto. ‘Enzo es un trabajador’, es uno de tantos: Es un individuo, y esto es real. Pero también, ‘ser trabajador’ no está acaso individuado en Enzo? No está el universal referido a un singular? Individuado en un singular? Creemos que sí. Antes de pertenecer a alguna clase Enzo, no es un trabajador? Y en cuanto tal le puedo predicar pertenecer a una ‘clase’? Ser está antes que pertenecer. Pues, de no ser así, no cabría entonces la posibilidad de que ‘Enzo’ sea el único trabajador? O cuando afirmamos que ‘Enzo es un trabajador’ podamos confundirlo con ‘Don Francisco es un trabajador’? Concluimos: Si no aceptamos el universal no queda más que hablar individuos que pertenecen a una clase. Aunque, de hecho para operar, la LM supone ‘de hecho’ el universal. En última instancia, ‘Enzo es un trabajador’ es un predicado monádico (Lógica de Predicados): Fa (‘a’ es Enzo y ‘F’ es ‘ser trabajador’). Y hay dos modos de caracterizar las clases. O con predicados monádicos, en donde, dado un predicado, todos los individuos que posean esa propiedad (en este caso ‘ser un trabajador’) pertenecen a una clase determinada. O con la enumeración de individuos que pertenecen a una clase. Tenemos:   , en donde ‘a’ es ‘Enzo‘ y ‘A’ la ‘clase de los trabajadores’. Y ‘ ’ indica pertenencia. Si   , tenemos entonces ‘ A = { ŷ/ y es un trabajador} ’ (‘ŷ’ es llamado operador de 21 22 Casaubón, J. - ETF Nº 2, p.143. Casaubón, J. - ETF Nº 2, p.146. abstracción) y lo leemos ‘la clase de todas las y tales que y es un trabajador’. También aquí deberían incluirse otros tantos problemas referidos a la universalidad de los conceptos. Tenemos principalmente estos tres: a) De los 19 modos válidos del silogismo, la LM, solamente reconoce 15. Excluye DARAPTI (3ª), BARALIPTON (1ª indirecta) (o BAMALIP [4ª] ), FAPESMO (1ª indirecta) (o FESAPO [4ª] ) y FELAPTON (3ª). De proposiciones hipotéticas no se siguen existenciales. Veamos un BARALIPTON (1ª Indirecta) Paradójicamente, y lo tomamos (adaptado) de Casaubón: Todo lógico-clásico silogiza en A-A-I (V) Todo el que silogiza en A-A-I se equivoca (V) Alguno que se equivoca es lógico-clásico (V) Ahora un DARAPTI (3ª) Todo el que silogiza en A-A-I es de tendencia lógico-clásica (V) Todo el que silogiza en A-A-I se equivoca (V) Alguno que se equivoca es de tendencia lógico-clásica (V) La LM niega afirmando (¿?) este punto en cuestión. Dice que es inválido concluir de dos universales una particular, pero, de hecho, lo hacen para sostenerlo. b) Sostienen que la subalternación en el cuadrado de la oposición es ilegítima o falsa. (‘De la verdad del subalternante se sigue la verdad del subalternado pero no a la inversa’ y ‘de la falsedad del subalternado se sigue la falsedad del subalternante’) c) La conversión parcial o por accidente Conversión: Es una propiedad de la enunciación y consiste en la inversión del sujeto y del predicado de una enunciación, conservándose la cualidad (afirmativa o negativa) y el valor de verdad de la enunciación. (Hay tres tipos de conversión: Simple, Por accidente y Por contraposición: ‘Simpliciter fEcI convertitur, EvA per acci, AstO per contra. Sic fit conversio tota’) Conversión por accidente: Consiste en invertir sujeto y predicado y la enunciación pasa de universal a particular. Podemos ejemplificar diciendo: ‘Todo chapista es un trabajador’ se convierte en ‘Algún trabajador es chapista’, en donde se mantiene el mismo valor de verdad en ambas, que es la propiedad de la conversión. O también ‘Ninguna blonda es pensante’ se convierte en ‘Alguna pensante no es blonda’, donde se mantiene el mismo valor de verdad, aquí, en este caso, F. No la aceptan por el mismo motivo citado en a). Concluimos: No aceptan pasar de una universal a una existencial, pues la pseudouniversal (y no un universal) no implica existencialidad (que exista), sólo dice que si se da esto entonces se da lo otro, lo cual no implica una existencia, solo dicen que si ‘x’ tiene la propiedad ‘F’, entonces tiene la propiedad ‘G’ ( Si decimos ‘Todo hombre es mortal’ tenemos (x) (Fx  Gx) en donde cada vez que se da ‘x’ es hombre y si ‘x’es hombre, entonces ‘x’ es mortal). Inclusive en el así llamado cuadrado de la oposición complejo de la lógica de Predicados con la introducción de una clase vacía en F siguiendo el ejemplo anterior, podemos ‘suspender’ las reglas del cuadrado de la oposición, excepto el de contradicción. Así tenemos que las universales podrían ser verdaderas a la vez o las particulares falsas a la vez). De ahí el artificio lógico-matemático de introducir una singular en ese tipo de razonamiento, con respecto a los silogismos supuestamente inválidos, para concluir con verdad existencial, pues a la manera de la LC es inválido.23 Así DARAPTI de 3ª. (x) (Fx  Gx) (x) (Fx  Hx) (Ex) (Hx . Gx) Aplicando las Reglas y las Leyes Lógica jamás llegaríamos a probar su validez, a menos que introduzcamos una proposición existencial: (Ex) Fx 1. (x) (Fx  Gx) 2. (x) (Fx  Hx) 3. (Ex) Fx/ (Ex) ( Hx . Gx) 4. Fa de 3 por EE (Ejemplificador Existencial) 5. Fa  Ga de 1 por EU (Ejemplificador Universal) 6. Ga de 5 y 4 por MPP 7. Fa  Ha de 2 por EU 8. Ha de 7 y 4 por MPP 9. Ha . Ga de 6 y 8 por CONJ 10. (Ex) ( Hx . Gx) de 9 por GE (Generalizador Existencial) En el fondo está el viejo problema de los universales. Y en el trans-fondo la Metafísica (o más bien su a-metafísica de cuna neopositivista). 2ª Perspectiva. Desde los primeros principios 2.1. Planteo En esta perspectiva nos abocaremos a considerar la LM a partir de los primeros principios. Asumimos ‘principio’ como aquello de lo que algo procede, sea cual sea esta procedencia. “La palabra principio no significa otra cosa que aquello de lo cual procede algo; en efecto, todo aquello de lo cual procede algo de cualquier modo, decimos que es principio.” Santo Tomás- Suma Teológica, I parte q.33. a.1, corpus. Los principios se muestran, se entienden, no se prueban. Partimos, del ya famoso por mérito propio, sujeto esencial existente. La primera afirmación que realizamos (via separatio) es que el ente es (aquello que es). La primera negación posible, en consecuencia, será que el ente no es (aquello que no es). Ahora bien, entre ese primer juicio afirmativo 23 Maritain, J. – Op.cit.. Pp. 289-301; y Casaubón, J. - ETF Nº 2. Pp. 142-150. aquello que es y el primer juicio negativo aquello que no es surge un problema, una contradicción. La misma puede ser resuelta aplicando las variables de tiempo (simul) y de respecto (respectum). Obtenemos, así, el primer principio: el principio de no-contradicción. Y se enuncia: Un ente no puede ser y no ser al mismo tiempo (simul) y bajo el mismo respecto (respectum). De éste se desprenden otros dos muy importantes: El principio de identidad (No nos detendremos aquí en la consideración sobre cuál es el primero de los principios, si el principio de no-contradicción o el de identidad, no porque no lo creamos de poca importancia sino porque no es objeto de este trabajo) y el principio de tercero excluido. El principio de identidad se enuncia: Todo ente es igual o idéntico a sí mismo; o también como lo que es, es. En cambio el principio de tercero excluido se enuncia: Entre ente y no ente no existe (o se excluye) una tercera posibilidad. Existen otros principios: Principio de causalidad; principio de finalidad y el principio del obrar práctico, pero no son objeto de una formulación lógica ni de una reformulación lógico-matemática. Por lo tanto no los consideraremos. Los principios arriba establecidos son principios metafísicos. Se establecen desde la realidad. Y se establecen vía inducción, tan negada por los lógico-matemáticos y tan cara para los lógico-clásicos. Ahora bien, estos principios pueden ser reformulados secundointencionalmente y tenemos principios lógicos. Veamos las formulaciones desde la LC y las reformulaciones lógicas desde la LM. 2.2. Formulación lógico-clásica y reformulación lógico-matemática de los primeros principios a) El principio de no-contradicción. Desde la LC: No es posible afirmar y negar a la vez un mismo sujeto a un mismo predicado. Y la LM lo reformula a su vez así: - (A . – A ) “no es cierto A y no A” b) El principio de identidad. Desde la LC: Toda proposición es idéntica a sí misma. Y la LM lo reformula: A  A o también A  A “A es equivalente a A” o “A implica A” c) El principio de tercero excluido. Desde la LC: Entre una proposición V y otra F no existe una tercera posibilidad. Y la LM lo reformula: A v – A “A o no A (pero no puede haber una tercera posibilidad entre ambas)” Pues bien, he aquí, los primeros principios utilizados en la LM. Tomando como cabeza (princeps) el principio de no-contradicción.24 Estos principios son reconocidos por todos los metalógicos y lógico-matemáticos. No tenemos que entrar en discusión sobre este tema, pero sí podemos precisar que para la LM los principios son meramente lógicos, así se considera la no-contradictoriedad por la no-contradictoriedad misma sin atender al ente, del cual se parte para establecerla. La verdad lógico-formalista es la no-contradictoriedad meramente mental. Estos tres principios son primeramente y originariamente metafísicos, luego son lógicos. (No obstante sí hay principios lógicos, aunque remotamente fundados ‘in re’ como el ‘dictum de omni’ o ‘dictum de nullo’ como ejemplos). “Los auténticos principios lógicos son, como se habrá visto, determinaciones de los universalísimos principios metafísicos al campo lógico. [...] porque el ser-lógico no es sino la versión intencional del ser-metafísico, y los principios lógicos, principios del ser traducidos al campo secundointencional de lo lógico, que en el primointencional se funda: principios de lo pensado, ‘ut sic’, en el hombre que piensa el ser; ser que es lo más íntimo y común – analogice- a todo, como vimos.” Casaubón, J. – ETF Nº 2, p.153/4. Nota 67. Ahora bien, cómo llegamos a conocer estos principios? Por un procedimiento mediante el cual la razón alcanza los primeros principios a partir de los cuales se deducen conclusiones. El procedimiento es la inducción. La inducción tiene por fin llegar a los primeros principios que nos permiten efectuar deducciones o de generalizaciones que son fuente de previsiones. Nos queda claro que, los primeros principios se obtienen por via de inducción. Y la inducción parte de lo singular y concreto y se eleva hacia lo general o universal: Es el paso de los singulares al universal siguiendo el camino del raciocinio. Y el raciocinio es la tercera operación del entendimiento. Y valga la insistencia, la LC se ocupa en su objeto material dirigible de ordenar las tres operaciones. Pues bien, debe ordenar también al raciocinio en cuanto induce. La inducción es la otra forma de argumentar. La LM no considera en absoluto la argumentación inductiva pero admite los primeros principios (¿?). La LM pretende establecer principios puramente lógicos, neutrales filosóficamente, desde su propia mente sin abrevar en la realidad. Su pandeductivismo le impide reconocer otro camino. El camino inductivo e inventivo. En el caso de la LC no hay conflicto pues, reconoce su subalternación a la Metafísica. En otras palabras, simplemente formula lógicamente lo que es metafísico: “...porque el ser-lógico no es sino la versión intencional del ser-metafísico... “. Sin embargo, el pandeductivismo (que analizaremos más adelante) hiperformalista de la LM supone (sin saberlo) los primeros principios, metafísicamente considerados, cuando establece sus axiomas para construir el método axiomático. Pero no admite haber llegado por inducción sino por el contrario sostiene que son “esquemas interpretativos” o “construcciones ideales”, con lo cual, de algún modo, los reconoce in-evidentes. Aquí está en juego toda una actitud filosófica ante la realidad. Nosotros entendemos que el entendimiento humano puede contemplar ociosamente en la experiencia las huellas inteligibles de las cosas, por lo tanto, desde ahí formular juicios universales acerca de la naturaleza de los entes. “La lógica formal se fundamenta en el principio de no-contradicción, ley lógica y principio real del ente.” Sanguineti, J. – Op.cit., p.218. 24 Y para esto hay dos caminos: Uno ascendente y otro descendente. Y aquí, en este punto, solamente hay un camino posible, el primero. El ascendente es un camino desde lo sensible o desde las verdades particulares a lo inteligible (verdades universales): Y esta es la inducción. El descendente es un camino que va de verdades universales a otras universales o a particulares: La deducción. “La inducción y la deducción no deben entenderse como dos modos de conocer separados: se entrecruzan continuamente, pues la experiencia amplía el radio del proceder racional, y las demostraciones pueden sugerir nuevos campos de experiencia. Sin embargo, el momento inicial corresponde, por naturaleza, al ascenso inductivo.” Sanguineti, J.- Op.cit., p.148. Hay dos tipos de argumentaciones: Inductiva y Deductiva. La primera que se da es la inductiva, y sin ésta no hay deducción posible. En la LC la argumentación inductiva tiene un espacio y un desarrollo. En la LM no lo tiene, lo indico como un hecho. En la LM no está. Ahora bien, entendemos incongruente sostener con vehemencia un sistema axiomático netamente deductivista por un lado y negar expresamente la inducción por el otro. ¿De dónde surgen los axiomas que hacen al método axiomático? En la así llamada por los lógico-matemáticos Deducción Natural se insiste en señalar la utilización de una regla llamada introducción del generalizador (que su aplicación se ve en el cálculo del método derivativo en la Lógica de Predicados) que se enuncia: todo lo que vale para un caso ‘x’, vale para todo caso. ¿Cómo “validar” esta regla sin reconocer un proceso inductivo e inductivo-esencial? Pero hasta aquí hemos considerado, en cuanto a los primeros principios se refiere, la inducción esencial (o en materia necesaria o abstractiva) y afirmamos que la LM tiene prejuicios metafísicos, pues basta con admitir como lo hace la LC una subalternación hacia la Metafísica, pero aún no estamos en la argumentación inductiva. A continuación, haremos una referencia a la inducción argumentativa (o en materia contingente o inducción experimental). Ahora sí nos vemos en un plano secundointencional, la inducción es una argumentación. Entendemos a la inducción argumentativa como la generalización de un hecho repetido en la naturaleza, no siendo evidente para nosotros la conexión entre el sujeto y la propiedad25, este hecho repetido requiere enumerar casos, y según sea la enumeración de los casos total o no, tenemos la inducción completa o incompleta. No tenemos por objeto un desarrollo con profundidad de esta distinción, pues nuestro objeto primario es penetrar en la relación LC-LM y establecer qué tipo de relación existe entre ellas. Pero creemos de suma importancia indicar que en la LC hay una preocupación por desarrollar esta temática y en la LM no, y esto es una diferencia muy importante. Tampoco queremos dejar de decir que la inducción incompleta abre múltiples interrogantes y temáticas dignísimas de tratar en un trabajo aparte donde se apunte a una comparación entre una Filosofía de Ciencia “Clásica” (podríamos decir) con una Epistemología “Moderna”. Pero, a pesar de las problemáticas que presente la inducción incompleta, también queremos decir siguiendo a Sanguineti: 25 Sanguineti, J.- Op.cit., p.154. “El fundamento de la inducción empírica es nuestro conocimiento inductivo esencial de la causalidad, del orden del mundo, de la relación naturalezaoperaciones.” Sanguineti, J. – Op.cit., p.156. Concretamente, la LM está privada de inducción. No obstante la realidad siempre es contundente y aún cuando se pueda no considerar o reconocer una cuestión, ésta se impone de todas maneras tarde o temprano. Queremos decir que la problemática que resolvía (aún imperfectamente a veces) la inducción no teniendo una solución esperable dio impulso a un desarrollo epistemológico. Y la poda que comenzó a hacerse en la LC quitándole aquí y allá terminó impulsando el florecimiento de disciplinas como la Metalógica (es decir, Semiótica aunque también Hermenéutica) y la moderna Epistemología. No queremos indicarlas de un modo impugnante, insistimos, pues han enriquecido el quehacer filosófico, solamente tratamos de entender la relación posible entre la LC y la LM y cómo el recortar a la LC generó que la LM impulsara muy poderosamente a estas disciplinas. Todo lo anterior nos lleva a confirmar a la LM como pandeductivista, pero además queremos mostrar mejor este exclusivismo deductivista y para esto tomaremos como ejemplo un sistema axiomático aplicado para el cálculo de la Lógica Proposicional. Veamos, brevemente, qué es un sistema axiomático. 2.3. Sistema Axiomático para el cálculo de la Lógica Proposicional26 Encontramos en todo sistema axiomático una lógica subyacente o presupuesta (Colacilli de Muro, M. y J.27), y esta lógica es la de Aristóteles. Podemos, así, enunciar tres supuestos: a) Supuesto de deducibilidad. (O Todo axioma es deducible). (O, también, porqué los axiomas son deducibles). Los metalógicos suponen el rigor y eficacia de los razonamientos deductivos, y esto viene de considerar el “silogismo perfecto”: “Llamo silogismo perfecto aquel que no tiene necesidad de ninguna otra cosa que las que ya están puestas en las premisas, para que la necesidad de la conclusión sea evidente.” Aristóteles - Anal. Prim. I, 1 ,b,24. (La cita es propuesta por W. Beth). La ciencia demostrativa debe partir, pues de ciertos principios: por una parte, los términos primitivos o no-definibles, que servirán para definir cualquier otro término en esa ciencia; por otra, los axiomas, a partir de los cuales deben ser demostradas (deducidas) todas las otras verdades de esa ciencia mediante el empleo de Reglas de Inferencia. Y en el fondo de la cuestión: la inducción. Agazzi, E. Op.cit...P.212 ss.; Salama, A. – Op.cit... Pp.203 a 210. Obiols, G. – Lógica y Epistemología (para un pensamiento científico). Ed. Kapelusz, Buenos Aires, 2001. Pp. 110/1. Colacilli de Muro, M y Colacilli de Muro, J. – Elementos de Lógica Moderna y Filosofía. Estrada, Buenos Aires, 1985. Pp.269 a 275. Además puede consultarse con provecho: Nüdler, O. / Nüdler, T. de- Elementos de Lógica Simbólica. Ed. Kapelusz, Buenos Aires, 1978, p. También en Sanguineti, J .- Op.cit., pp.218/9. 27 Colacilli de Muro, M y J – Op.cit., p.269. Los autores citan a W. Beth en una obra conjunta con Piaget, J. (“Epistemología, Matemática y Psicología”, cap. III, del 1961”) donde se indican los tres supuestos indispensables para un sistema axiomático. 26 b) Supuesto de evidencia. (O Todo axioma es evidente) Se supone fundamental garantizar la cualidad de las premisas de la deducción. “Es necesario que la ciencia demostrativa parta de premisas que sean verdaderas, primeras e inmediatas, más conocidas que la conclusión, anteriores a ella, y de lo cual ellas son sus causas.” Aristóteles -Anal. Post. I, 2, a 20. (La cita es propuesta por W. Beth). Se supone que debe haber un grado de evidencia en los axiomas que no puedan ser rechazados. Deben ser evidentes los términos primitivos y los axiomas. Y las definiciones deben ser verdaderas. c) Supuesto de realidad (o Todo axioma es real) Partir de las cosas, de la realidad, de lo singular y sensible y embarcarse en un camino ascendente e inductivo. Sus términos y proposiciones deben hacer referencia a la realidad para constituirse un saber real y científico. Los distintos géneros (conceptos) se obtienen por sucesivas abstracciones a partir de las cosas individuales que se nos presentan a los sentidos. Como los conceptos se abstraen a partir de realidades y éstas son de naturaleza diversa e incomunicable, los sucesivos procesos de abstracción deben conducir a un género primero e incomunicable. d) Supuesto de inducción. Hasta aquí los tres supuestos propuestos por W. Beth. Nosotros completaríamos con un cuarto supuesto que en realidad debiera ir en primer lugar: La inducción. Y aquí no queremos volver a repetir todo lo arriba expuesto, pero con ello se relaciona. Simplemente recordaremos que no hay una deducción pura, es decir, sin ningún paso previamente inductivo. Los metalógicos lógico-matemáticos no admiten supuestos, así el gran lógico argentino Moreno: “La autonomía de la LM está garantizada por su formalización. Hay, además, una razón de fondo muy importante. La LM como lógica formal que es, explicita los supuestos tácitos de las argumentaciones, y pretender admitir un supuesto sería contradecir la naturaleza misma de la lógica. La admisión de supuestos nos conduciría a un círculo vicioso, pues esos supuestos pertenecerían a la teoría filosófica que usaría necesariamente lógica formal en la prueba o demostración de que la lógica necesita supuestos. Me parece que éste es el motivo fundamental de la autonomía de la lógica. [...]Por todo lo dicho, podemos decir que el LM se comporta de un modo neutral con respecto a los diversos sistemas filosóficos.” Moreno, A. – Op.cit., pp. 67/8. No obstante, los lógico-matemáticos basan su preciada neutralidad en que la LM es sin supuestos. Y esto se debe a la ‘pureza’ o ‘neutralidad’ de su sistema axiomático. Pues bien, veamos algunas cuestiones sobre el sistema axiomático que nos puedan ilustrar en algo respecto a lo que venimos diciendo28: 28 Entre los términos definidos y los teoremas tenemos las Reglas Derivadas. (RD) 1.Términos primitivos o no-definibles. No tienen significación, son variables. Son puestos (‘positum’). No son enunciados sino esquemas de enunciados o funciones proposicionales. Simples símbolos abstractos para los cuales sólo se señala su carácter sintáctico. (Recordemos todo lo dicho con relación a lo sintáctico cuando tratamos el problema de la Metalógica). Las expresiones que se construyen son funciones proposicionales: Variables: p, q, r, s, etc. ; y constantes: -, v , ( ), [ ]. 2. Reglas de Formación. (RF). Definen el conjunto de fórmulas bien formadas ffbbff. Nos indican cómo se forman las reglas y cuando están bien formadas. Se establecen, no se deducen. (¿?).(Se inducen?) Tenemos. RF1: Cualquier variable (p, q, r, s, etc.) es una fbf; RF2: Si A es una fbf, también lo es – A; RF3: Si A es una fbf, también lo es A v B; RF4: Ninguna otra cosa es una fbf; y 3. Axiomas. (Ax). Son formas proposicionales sin interpretar o funciones proposicionales según el caso. Son postulados o principios indemostrables. Se aceptan al modo de los primeros principios en la LC. Pero con la diferencia siempre permanente y transversal en todos estos ítems referidos al sistema axiomático: No hacen referencia a la inducción, pero de algún modo y paradójicamente la admiten de hecho.29 Su elección no depende de su V, sino del hecho de que a partir de ellos puede deducirse el mayor número de consecuencias, es más todas las consecuencias posibles surgen de los axiomas. Se aceptan sin establecer su V o F. Razonando a partir de ellos obtenemos teoremas. Son formas o funciones proposicionales: Ax.1: - ( A v A ) v A Ax.2: - A v ( A v B ) Ax.3: - ( A v B ) v ( B v A ) Ax.4: - ( - B v C ) v [ - ( A v B ) v ( A v C ) ] 4. Reglas de Inferencia (o Lógicas). (RI) Son prescripciones que deben seguirse al efectuar deducciones. No están formalizadas. Más que reglas, están como “flotando” por encima del sistema. Son provistas por la Lógica aristotélica subyacente o presupuesta, y sólo a ellas debe recurrirse para las demostraciones de los teoremas. Regla de Sustitución (uniforme): Cualquier variable puede ser sustituida por cualquier otra variable. Regla de Separación: Cualquier variable puede separarse y constituirse en otra variable. 5. Términos definidos (o definiciones). (df): Son los que se definen en el sistema. Colacilli de Muro las llama “definiciones reales” RD1: Si A v A es un teor., entonces A también es un teor.;RD2: Si A es un teor., y B otra fórmula cualquiera, entonces A v B es también un teor.;RD3: Si A v B es un teor., B v A es un teor.;RD4: Si A  B es un teor., y C otra fórmula cualquiera, entonces (C v A)  (C v B) es también un teor.;RD5: Si (A  B) y ( B  C) son teor., entonces (A  C) es también un teor. 29 Así Casaubón habla de una actitud parásita de la LM con respecto a la LC. Def.1: ( A . B ) = df – ( - A v – B ); Def.2: ( A  B ) = df ( - A v B ); Def.3: ( A  B ) = df (A  B) . ( B  A); 6. Teoremas (o proposiciones demostradas). (teor). Son formas proposicionales demostradas obtenidas por aplicación de las Reglas de Inferencia a partir de axiomas y RI o partir de otro teorema ya demostrado. Se trata aquí de transformaciones sintácticas donde no tienen cabida las nociones semánticas de V y F. Resolución de Teoremas1.Partir de uno de los 4 Ax.;2. Aplicar al Ax. Elegido las RI + df;3.[No siempre un ítem de desarrollo del teor se sigue del anterior, pues puede tomarse otro de los 4 Ax para seguir demostrando]. Ahora bien, este sistema axiomático, tiene propiedades sintácticas, son las propiedades formales del sistema. Todo sistema axiomático tiene propiedades formales. Nos detendremos en algunas de sus propiedades: 1. Consistencia o coherencia o no-contradictoriedad. Un sistema axiomático es consistente si ninguno de sus axiomas lleva a la contradicción. El principio de nocontradicción es sumamente tratado por los metalógicos. Es piedra angular de su sistema. La no-contradictoriedad reemplaza a la verdad lógica. Ya no se habla de adecuación sino de no-contradictoriedad entre esquemas vacíos. Y la nocontradictoriedad no es ciencia infusa sino contacto con la realidad sensible, con la experiencia y tiene que ver con lo inductivo. 2. Independencia. Un sistema axiomático es independiente si ningún axioma puede derivarse de otro. La independencia no es necesaria para la validez, pero sí lo es por economía. Ningún axioma debe derivarse de otro, pues no sería un axioma sino un teorema. 3. Completitud. Un sistema axiomático es completo si de 2 enunciados contradictorios uno puede ser demostrado como teorema a partir de los axiomas. Además si se pueden derivar todos los teoremas de los axiomas. Volvemos a la nocontradictoriedad. 4. Modelo. Si todos los axiomas se hacen verdaderos, la interpretación es adecuada, es decir, que es un modelo de ese sistema, en este caso del axiomático. Pueden haber muchos modelos posibles. La interpretación de un sistema axiomático es un modelo. En este ejemplo, el modelo es de la Lógica Proposicional. 5. Isomorfismo. Si un sistema (axiomático o hipotético-deductivo) tiene más de un modelo se dice que es isomorfo. (“igual forma”). 3ª Perspectiva. Desde la división de la Lógica Clásica en Lógica Material y Lógica Formal 3.1. Planteo A partir de esta distinción de objetos de la Lógica, autores de la monta de Juan de Santo Tomás30 han dividido la Lógica en dos grandes partes: La Lógica Material (o Gran 30 Ferrater Mora, J. – Diccionario de Filosofía. Op.cit. , Tomo III “Logística”. Lógica o Lógica Mayor) y la Lógica Formal (Pequeña Lógica o Lógica Menor). División que no se encuentra en Santo Tomás. La Lógica Material, o permítasenos decir, Lógica Filosófica, se aboca a penetrar la correspondencia entre el orden real y el orden lógico, nada más y nada menos. Aquí está la preocupación por lo real. Desde las operaciones del entendimiento se pretende y se busca entender lo real. Abriendo un promisorio planteo epistemológico realista y real. Hay preocupación por la verdad del ente y no sólo por la no-contradictoriedad formal a modo de una postnumeración neotrascendental. La Lógica Formal, en cambio, sólo analiza y desmenuza formalmente los productos lógicos (concepto, enunciación y argumentación) de las operaciones del entendimiento. Y esto es extraordinario si no se olvida la Lógica Material. * “Tal vez la denominación más adecuada sea sencillamente lógica formal. Y agregamos ‘formal’ no porque creamos que se da también una lógica material sino para distinguir el uso que aquí tiene la palabra ‘lógica’ de otro, tales como ‘lógica dialéctica’, ‘lógica trascendental’, etc. “ Moreno, A. – Op.cit., p.22. ” Se excluye implícitamente la lógica material en la definición de la LM.“Históricamente la LM no es otra cosa que una fase del desarrollo superior de la Lógica Formal, la cual antes de poder llegar a su perfeccionamiento debió apartar las vagas especulaciones filosóficas que durante tanto tiempo detuvieron su progreso; felizmente pudieron apartarse gracias a la cooperación de los matemáticos.” Moreno, A. – Op.cit. p.24.