Lógica Matemática

Church's Undecidability Theorem is one of the meta-theoretical results of the mid-third decade of the last century, which along with other limiting theorems such as those of Gödel and Tarski have generated endless reflections and analyzes, both within the framework of the formal sciences, that is, mathematics, logic and theoretical computation, as well as outside them, especially the philosophy of mathematics, philosophy of logic and philosophy of mind. We propose, as a general purpose of this article, to formulate Church's Undecidability Theorem and present the main ideas of its demonstration. In order to carry out the first objective, we need to introduce and explain the notions of recursive function and numbering used by Gödel, which will allow to formally and rigorously enunciate Church's Theorem. After we enunciate Church's Theorem of Unspeakability in a formal and rigorous manner, we will present the main ideas of the proof of Church's Undecidability Theorem for First Order Logic, which uses Robinson's axiomatic system for arithmetic and four facts about himself: (a) In Robinson's system for arithmetic recursive functions are representable (b) Robinson's system is undecidable, (c) The number of axioms proper to the Robinson system is finite and (d ) The logical calculation of the Robinson system is equal (formally) to the calculation of the first-order logic.

Resumen

El Teorema de indecidibilidad de Church es uno de los resultados meta-teóricos de mediados de la tercera década del siglo pasado, que junto a otros teoremas limitativos como los de Gödel y Tarski, han generado todo un sinfín de reflexiones y análisis tanto en el marco de las ciencias formales, esto es, la matemática, la lógica y la computación teórica, como fuera de ellas, en especial la filosofía de la matemática, la filosofía de la lógica y la filosofía de la mente. Nos proponemos, como propósito general del presente artículo, formular el Teorema de indecidibilidad de Church y presentar las ideas principales de su demostración. Para llevar a cabo el primer objetivo necesitamos introducir y explicar las nociones de función recursiva y la numeración de Gödel, que permitirán enunciar de manera formal y rigurosa el Teorema de Church. Luego que enunciemos el Teorema de indecibilidad de Church de manera formal y rigurosa, pasaremos a presentar las ideas principales de la prueba del Teorema de indecidibilidad de Church para la Lógica de primer orden, en la cual se utiliza el sistema axiomático de Robinson para la aritmética y cuatro hechos sobre él mismo: (a) En el sistema de Robinson para la aritmética las funciones recursivas son representables, (b) El sistema de Robinson es indecidible, (c) El número de axiomas propios del sistema de Robinson es finito y (d) El cálculo lógico del sistema de Robinson es igual (formalmente) al cálculo de la lógica de primer orden.

El objetivo de este artículo es presentar cuatro ejemplos de aplicación del Teorema de Herbrand para decidir la validez de razonamientos en lenguaje de primer orden, en conformidad con el Teorema de Indecidibiliad de Church. Y además decir cuál es el principal problema que se presenta al respecto. En este artículo se trabaja con el cálculo lógico por resolución, un método utilizado en inteligencia artificial.
Palabras clave: Decibilidad, Herbrand, indecibilidad, Church, Cálculo por Resolución, Lógica de primer orden.

The present paper has three objectives: (1) Presenting an actualization of a proof of the decidability of monadic predicates logic in the contemporary model theory context; (2) Show examples of decidable and undecidable fragments inside First order logic, Following Nerode and Shore's suggestions in their book Logic for applications, offering an original proof of the following theorem: Any formula of First of order logic is decidable if its prenex normal form is in the following form: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ymφ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presenting a theorem that characterizes the validity of First order logic by the tautologicity of Propositional logic, said result is interesting since immediately arises the doubt of how to conciliate said characterization with Alonzo Church’s Undecidability Theorem for First Order Logic (1936).

Resumen

El siguiente artículo tiene tres objetivos: (1) Presentar una actualización de una prueba de la decidibilidad de la Lógica de predicados monádicos en el contexto de la teoría de modelos contemporánea; (2) Mostrar ejemplos de fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden. Siguiendo las sugerencias de Nerode y Shore en su libro Logic for applications, ofrecemos una prueba original del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym); (3) Presentar un teorema que caracteriza la validez de la Lógica de Primer orden mediante la tautologicidad de la Lógica proposicional, dicho resultado es de interés, pues inmediatamente surge la duda de cómo conciliar tal caracterización con el Teorema de indecidibilidad de la Lógica de Primer orden de Alonzo Church (1936).

Fe de errata

(1) En el Resumen del artículo, en el punto dos (2) debe decir: “(2) Mostrar ejemplos de
fragmentos decidibles e indecidibles dentro de la Lógica de primer orden y ofrecer una
demostración, siguiendo las sugerencias de Nerode y Shore en su libro Logic for
applications, del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de
primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera:
∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym)”.

(2) En el Abstract del artículo original, en el punto dos (2) debe decir: “(2) how examples of decidable and undecidable fragments inside the First-orderLogic and provide a demonstration, following the suggestions of Nerode and Shore in their book "Logic for Applications", of the following theorem: Any formula of First of order logic is decidable if its prenex normal form is in the following form:
∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ymφ(x1,…,xn,y1,…,ym)”.

(1) En la introducción, página 91, en las tercera y cuarta líneas del tercer párrafo, debe decir: “ofreciendo una prueba, siguiendo las sugerencias que hacen Nerode y Shore en su libro Logic for applications, del siguiente teorema: Son decidibles todas las fórmulas de la Lógica de primer orden tal que su forma normal prenexa quede de la siguiente manera: ∀x1,…,∀xn∃y1,…,∃ym φ(x1,…,xn,y1,…,ym)”.

Atentamente
Los autores.