Filosofía de las matemáticas

Uno de los problemas más importantes de la filosofía de las matemáticas se refiere al estatuto
ontológico de los objetos matemáticos: ¿son independientes de la mente humana o solamente son ideas en
nuestra mente? La primera postura corresponde al platonismo o al realismo, la segunda al idealismo o
subjetivismo (también llamado ‘constructivismo’). En este artículo se presenta el realismo constructivista de
Karl R. Popper como una alternativa que supera a las otras: los objetos matemáticos son creados por los seres
humanos, pero se independizan de nosotros y algunas de sus consecuencias tienen que ser descubiertas.
Palabras clave: platonismo, realismo, subjetivismo, idealismo, ontología, constructivismo,
matemáticas.

El Hacer matemático tiene una componente axiológica: cuando un matemático construye o demuestra un teorema pretende que sea un teorema "bueno", que la demostración sea "bella". Eso implica una dimensión estética que no siempre se ha considerado como componente de la Matemática pero que es imprescindible para entenderla. Como Hacer, como producción, se puede enfocar como un arte y un arte bello.

Recordemos que los sistemas axiomaticos formales de la matematica son mas bien estáticos, ya que todo lo que se diga ya estaba implícitamente dicho en las reglas y axiomas originales, solo que al demostrar los teoremas o ecuaciones lo vamos haciendo explícito. En la programación orientada a objetos es a la inversa cada vez vamos agregando nuevos atributos y métodos y haciendo mas diversas y  poderosas las clases. O sea es mas natural  el recicaje de las ideas en los lenguajes orientados a objetos, y la solución a los problemas es constructiva y es posible ampliarla o mejorarla en cualquier momento simplemente definiendo una nueva clase  que  puede heredar los objetos y métodos de otra clase y con la posibilidad además de definir nuevos métodos , incluso sobrescribiendo o sobrecargando los que ya teniamos.

Dejas de ser un fanático de la matemática formal: cuando al conocer otras grandes manifestaciones del intelecto humano éstas logran impresionarte a tal grado que no dudas en afirmar o concluir: ”las matemáticas NO es el prototipo de la única o mejor verdad lógica posible, ni tampoco es el mejor entrenamiento disponible para el logro del desarrollo intelectual”, o bien, cuando te atreves a ubicar o concebir a la matemática como un simple lenguaje o producto cultural, y no como un lenguaje o producto cultural casi divino, entonces, estarás en mejores condiciones de aprender y apreciar el lado brillante y creativo de otras grandes proezas del (intelecto) humano.

¿Qué son las matemáticas? ¿Cuál es su fundamento? ¿Qué son los números, las figuras geométricas o los conjuntos? ¿En qué consiste una demostración? ¿Por qué funcionan las matemáticas cuando se aplican al mundo natural? Éstas son sólo algunas de las preguntas que pertenecen a la filosofía de las matemáticas. El objetivo del presente artículo es esbozar las novedosas respuestas que la teoría del cierre categorial de Gustavo Bueno ofrece a estas cuestiones.
What is mathematics? What is its foundation? What are numbers, geometric figures or sets? What is a mathematical proof? Why does mathematics work so well at modeling the physical world? These are just some of the questions that belong to the philosophy of mathematics. The main aim of this paper is to outline the original answers that Gustavo Bueno's categorical closure theory offers to these questions.

Tras los trabajos de Frege, Peano… surge una nueva noción de demostración en la matemática. Es la que se convertirá en concepto normativo a partir del formalismo hilbertiano frente a las críticas de los constructivistas y delos matemáticos creadores que la enfocan como una derivación formal estrictamente lógica. Tras los trabajos de Frege, de Peano... surge una nueva noción de derivación o demostración que cristaliza en los entornos de los 30 con Hilbert y su escuela, con Tarski, con el papel del Círculo de Viena... Noción de derivación formal que, por la crítica de Frege a los matemáticos, por la aceptación del logicismo y el neopositivismo, por su manejo en el Programa de Hilbert, se convierte en concepto normativo para el hacer matemático a lo largo del siglo a pesar de las primeras críticas de Poincaré, de los intuicionistas y de quienes practican, de hecho, el Hacer matemático. La apuesta de Quine por una epistemología naturalizada, el papel de las demostraciones asistidas por el ordenador, las críticas a la escuela Bourbaki..., han llevado a discusión en años recientes la noción de derivación formal y figuras como Manin o Tymoczko, entre otras, pretenden su modificación conceptual y, con ello, modificar lo que se entiende por Hacer matemático. Debates que justifican someter el concepto de derivación formal-o demostración de los lógicos, como se la puede calificar-a un análisis crítico de su estructura y limitaciones formales, de aquellos elementos ideológicos que subyacen a la misma, de la tesis de que esta noción la que capta el contenido esencial lógico del hacer matemático...

En este artículo describo la forma de trabajar de Newton ante los
textos descubiertos en la segunda mitad del siglo xx . Tradicionalmente se ha asociado a Newton con la metodología cartesiana, sin embargo, esto es una equivocación cronológica. Si bien la mecánica clásica es posible identificarla con el mecanicismo y también con el mecanicismo cartesiano, el sistema que desarrolla Newton tiene otros objetivos. El más importante es probar la magnificencia de Dios. Considero que los objetivos y la metodología de Newton son exactamente lo opuesto a Descartes, ya que para Descartes la ciencia parte de los principios a priori, mientras que Newton considera que la ciencia parte de la experimentación.

Isaac Newton’s Methodology: Reversing Descartes
Abstract : In this article I show how Newton’s work is done, after Newton’s new discoveries in the second half of the 20th century. Traditionally, Newton has been associated with the Cartesian methodology, but this is a chronological error. It is posible to associate classical mechanics with the Cartesian mechanism, but Newton has other objectives. The most important thing is the proof of the magnificence of God. I believe that, the objectives and methodologies, are opposed between Newton and Descartes. Descartes proposed that the science start from the principles a priori, and Newton uses the experimentation as startingpoint.

Resumen El logicismo suele figurar de modo estándar en los manuales como una de las principales alternativas en la fundamentación de las matemáticas, si bien su atractivo disminuyó considerablemente desde aprox. 1950. Bien es cierto que la corriente neologicista ha revitalizado dicha tendencia sobre la base del Principio de Hume y el Teorema de Frege, pero aún así el neologicismo se limita a la aritmética y no aspira a dar cuenta de la matemática en su conjunto. En este trabajo no pretendemos centrarnos en el logicismo clásico de Frege y Dedekind, ni en el período de Russell y Carnap, ni tampoco en la corriente neologicista, sino que nuestra intención es llamar la atención hacia determinadas herencias del logicismo que suelen pasar inadvertidas. En las décadas de 1920, 1930 y 1940 aprox., la tesis logicista estimuló algunas innovaciones de bastante calado en la lógica matemática. Concretamente, puede argumentarse que dos ideas clave ligadas a la semántica formal tienen su origen en la idea de lógica promovida por el logicismo: la expansión de la metamatemática operada por Tarski, que abrió el camino hacia la teoría de modelos; y la insistencia en la semántica "plena" o conjuntista como "estándar" para la lógica de segundo orden. El artículo propone un análisis de dichas herencias e insiste en que la teoría lógica debería evitar algunas de sus implicaciones. Palabras clave: fundamentos de las matemáticas-lógica matemática-filosofía de la lógica-teoría de modelos-lógica de segundo orden-historia de la lógica y las matemáticas

Abstract Logicism finds a prominent place in textbooks as one of the main alternatives in the foundations of mathematics, even though it lost much of its attraction from about 1950. Of course the neologicist trend has revitalized the movement on the basis of Hume's Principle and Frege's Theorem, but even so neologicism restricts itself to arithmetic and does not aim to account for all of mathematics. The present contribution does not focus on the classical logicism of Frege and Dedekind, nor on the Russell-Carnap period, and also not on recent neologicism; its aim is to call attention to some forms of heritage from logicism that normally go quite unnoticed. In the 1920s, 1930s and 1940s, the logicist thesis became a stimulus for some deep innovations in the field of mathematical logic. One can argue, in particular, that two key ideas linked with formal semantics had their origins in the conception of logic associated with the logicist trend-the expansion of metamathematics brought about by Tarski, opening the way to model theory, and the insistence on the "full" set-theoretic semantics as "standard" for second-order logic. The paper proposes an analysis of those inheritances and argues that that logical theory ought to avoid some of their implications.
Keywords: foundations of mathematics-mathematical logic-philosophy of logic-model theory-second-order logic-history of logic and mathematics  Recibido: 4 de abril de 2018. Aceptado con revisiones: 13 de mayo de 2018.

Frente a lo Perceptivo y a lo Simbólico o mítico, la especie humana ha creado una Burbuja conceptual donde se plasman unas racionalidades de tipo analítico. En particular, la razón constructiva matemática. Creadora de modelos posibles, se manifiesta en distintos haceres con sus estilos propios. Como proceso constructivo no implica progreso lineal sino que se va realizando por rupturas apoyadas en la inversión epistemológica. En este cuadro cabe estudiar los conceptos-nucleares y, de esta forma, situar la Matemática conceptual como uno de los procesos constructivos de la especie humana. In contrast with what is Perceptible and what is Symbolical o mythical, human race has created a Conceptual Bubble within which some rationalities of the analytical kind are framed. One of these is the mathematical constructive reason which, being creator of possible models, is revealed by various ways of doing, each endowed with its own styles. Being a constructive process, it implies no linear progress, but is becoming realized by means of ruptures supported by epistemological inversons. In this framework, kernel-concepts can be studied and, by doing so, conceptual mathematics can be stated as one of the constructive processes of human race.

ARTÍCULOS

DIEGO TAJER
En defensa del argumento finitista

MAXIMILIANO ESCOBAR VIRE
La necesidad moral en Leibniz: su contenido alético y su significación específica

RAMIRO CASO
Una defensa de las aserciones suboracionales

LUIS MARIANO DE LA MAZA
Voluntad, razón práctica y reconocimiento en Hegel y Ricoeur


ESTUDIOS CRÍTICOS

RICARDO IBARLUCIA
La autonomía del arte en Benjamin y Heidegger: a propósito de la interpretación de Burkhardt Lindner


NOTAS

LEANDRO INDAVERA
Rousseau, Smith y las rudas selvas de la naturaleza


COMENTARIOS BIBLIOGRÁFICOS

LORENZINO DE’ MEDICI
Apología (F. Andrade Marambio)

LETICIA CABANAS y OSCAR M. ESQUISABEL (eds.)
Leibniz frente a Spinoza. Una interpretación panorámica (F. Raffo Quintana)

SERGIO SANCHEZ
La insensata fabrica de la vigilia. Nietzsche y el fenómeno del sueño (P. Hunziker)

MARIA CRISTINA DI GREGORI y FEDERICO E. LOPEZ (coords.)
Regreso a la experiencia: lecturas de Peirce, James, Dewey y Lewis (L. Mattarollo)

Resumen: Esta nota tiene como propósito introducir a los estudiantes interesados en el logicismo. Nuestro objetivo no es mostrar ninguna nueva interpretación o tesis sobre el logicismo o sobre su renacimiento entre los años 60 y 80 del siglo pasado. Lo que haremos es mostrar sistemáticamente la evolución del logicismo desde Frege hasta Russell-Whitehead, con mayor énfasis en este último desarrollo, y abordar algunos problemas que surgen en el seno de dicho movimiento, como por ejemplo: Las paradojas lógicas y el principio de comprehensión intuitiva, la definiciones impredicativas y las paradojas semánticas, la jerarquía ramificada y los números reales, el axioma de reducibilidad y la imposibilidad de la reducción de la matemática a la lógica, etc. Palabras clave: Logicismo, Matemática, Paradojas, Teoría de tipos, Axioma de Reducibilidad. Abstract: The following note has on purpose to introduce interested students to logicism. Our objective is not to show any new interpretation or thesis about logicism or its rebirth between the 60s and 80s of the last century. What we will do is systematically show the evolution of logicism from Frege to Russell-Whitehead, with greater emphasis on this latest development, and approach some problems that arise within that movement, for example: The logical paradoxes and the principle of intuitive comprehension, the impredicative definitions and the semantic paradoxes, the Ramified Hierarchy and real numbers, the axiom of reducibility and the impossibility of reducing mathematics to logic, etc.

Resúmenes de las XIV Jornadas Rolando Chuaqui Kettlun. Celebradas el 4, 5 y 6 de diciembre del 2013 en Concepción.

Índice:
CONFERENCIAS
- La Presencia de los Teoremas de Completud en la Obra de Leon Henkin / María Manzano (p.3)
- Interpretación informacional de la mecánica cuántica: ¿qué se entiende por información? / Olimpia Lombardi (p.4)

PONENCIAS
- El estatuto epistemológico de los instrumentos científicos / Francisco Covarrubias Villa y Ma. Guadalupe Cruz Navarro (p.6)
- ¿Cúmulos o sustratos? La estructura de los objetos particulares / José Tomás Alvarado Marambio (p.8)
- Racionalidad y engaño: porqué el egoísmo racional no nos hace morales / Alejandro Rosas Lopez (p.11)
- Justificación epistémica, contextos y prácticas / Eduardo Fuentes Caro (p.13)
- De la economía política a la ciencia económica: tres tensiones en el cambio de objeto de estudio de los fenómenos económicos / Daniel Jesús Durán Sandoval (p.15)
- Uma aplicação dos números transreais à Física / Walter Gomide (p.18)
- Gráficos Existenciales como Razonamiento Estructural / Javier Legris (p.21)
- Enunciados necesarios a posteriori, necesidad débil y racionalismo / Rafael Felipe Miranda Rojas (p.23)
- La idea de singularidad: Un ejemplo de transferencia epistemológica / Patricio Espinoza Cárcamo (p.26)
- La Filosofía para Niños como programa de desarrollo de habilidades del pensamiento científico / Carolina Arredondo Ramírez (p.28)
- Tiempo, cambio y el problema de congelar relojes / Rolando Núñez Pradenas (p.31)
- Individualismo psicológico; La unidad de análisis como presupuesto teórico / Pablo Contreras Kallens (p.33)
- Por una lógica dialógica de la ficción en la perspectiva artefactual / Juan Redmond (p.35)
- Problemas de ontología y causalidad en la física contemporánea / Wilfredo Quezada Pulido y Luis Pavez (p.37)
- Silogismos con términos indefinidos / Manuel Correia (p.39)

COMUNICACIONES
- El Círculo de Viena y Kurt Gödel: un acercamiento a su filosofía / Pablo Pérez Ayala (p.41)
- Dualismo Ontológico y Monismo Perceptivo: Consecuencias epistemológicas de las neurociencias / Nolberto Stoyan Salinas Vucina (p.44)
- Sistemas de Representaciones Implícitas en la Epistemología Profesional Docente de Profesores de Ciencias Experimentales / Alejandro Andrés Rocha Narváez y Ainoa Marzabal Blancafort (p.47)
- O Experimento e a Divulgação Científica: O Caso do anfiteatro da Royal Institution of Great Britain do século XIX / João Batista Alves dos Reis y
Ivoni de Freitas-Reis (p.49)
- Sobre el “Efecto de Gettier” y la Prueba Judicial: una repercusión epistemológica / Robert Calabria Díaz (p.51)
- Empatía y Otras Mentes: dos estrategias para el problema social de la mente ajena / Rodolfo Esteban Tapia León y Rodrigo González F (p.54)
- La válida presencia del creacionismo en el estudio dentro de las ciencias biológicas / Cristian Placencia Yáñez (p.56)
- Filosofía, Psicología y el Origen Evolutivo de las Capacidades Cognitivas / Victorino Javier Pérez Díaz (p.58)
- Relaciones entre Fleck y el post-empirismo / Elizabeth Padilla (p.60)
- Explicación científica y simulaciones computacionales / Juan Manuel Durán y Manuel Barrantes (p.62)
- Sobre indiscernibilidade dos idênticos segundo Willard Van Orman Quine / Kênio Angelo Dantas Freitas Estrela (p.64)
- Hacia un método de decisión para la Lógica de Predicados Monádicos de Primer Orden / Horacio Héctor Mercau y Andrés Hebrard (p.65)
- Scientia generalis en Leibniz: ¿ars demostrandi o ars inveniendi? / Javier Kasahara Barrientos (p.67)
- El Aspecto Normativo de las Leyes Fundamentales de la Matemática en el A System of Logic de John Stuart Mill / Ana Pía León Miranda (p.68)
- Lógica molecular difusa: concepto y aplicaciones en biología celular / Marco Lillo Unglaube, Andres Canales-Johnson y Claudio Fuentes Bravo (p.70)
- Ciencias de Diseño y racionalización de la acción / Rodrigo Antonio Lagos Vargas (p.71)
- La función biológica de la conciencia fenomenal
Nicolás Alarcón Zambrano. Universidad Andrés Bello / Ramiro Frick (p.73)
- Propiedades Emergentes en Ciencias Cognitivas Corporeizadas / Rodrigo Lagos y Ramiro Frick (p.74)
- A crítica ao holismo confirmacional de Quine em Penelope Maddy / Ronaldo Pimentel (p.75)
- El criterio de existencia relativa de B. Latour como una posible solución a los problemas ontológicos que plantea la historicidad del conocimiento científico / Federico Ricalde Sánchez (p.76)
- Evolución de los criterios para la clasificación de los elementos químicos. Perspectivas ontológicas y epistemológicas / Carlos Vergne y María Eugenia Márquez (p.77)
- Experimentos Mentales, Comprensión y la Tesis de la Pluralidad Lógica / Felipe Morales Carbonell (p.79)
- Dios y las probabilidades de un Universo finamente ajustado. ¿Por qué el Argumento del diseño no funciona? / Ramiro Frick y Leopordo Soto (p.80)
- Comprendiendo la selección natural, para entender la naturalización de la ética / Luis Adolfo Espinosa Soto (p.82)
- El problema de la variación semántica y la discusión entre composicionalistas y pragmatistas. Una alternativa al proposicionalismo semántico / Alfonso José Pizarro Ramírez (p.83)
- Los modelos científicos como artefactos cognitivos / Nora Schwartz (p.85)
- Los métodos matemático y trascendental: comentario sobre la matemática kantiana desde la interpretación de Jakko Hintikka / David Rojas Lizama (p.86)
- Información, creencia e inferencias default / Lautaro Elias Quiroga Aguilar (p.88)
- Epistemología Cognitivista desde R. Giere / Carlos Arturo Hernández (p.90)
-

El lenguaje natural occidental es fundamentalmente fonológico enfrentado a lo ideogramático. El hacer matemático invierte esa relación y se origina en el ideograma que no es transcripción de fonema sino potencialidad constructiva. Desde posiciones que parten del lenguaje fonológico, o de las sintáctico-formales, no se ha captado el papel que el ideograma posee en el hacer matemático por lo que su manejo se califica, sin más, de formalismo. El objetivo de este trabajo es analizar el papel específico del ideograma en el hacer matemático, y apuntar algunas consecuencias conceptuales que se derivan de dicho análisis. The natural western language is mainly phonological, as opposed to ideogrammatical things. Mathematical way of doing things reverse this relationship and originated in the ideogram, which is not a phoneme transcription but a constructive potentiality. From positions starting from the phonological language, or from the syntactic-formalism ones, the role of the ideogram in the mathematical way of doing things has not been realized, and because of that its use is simply called formalism. The purpose of this work is to analyze the specific role of the ideogram in the mathematical way of doing things, and to point out some conceptual consequences that deriving from this analysis.

A. El Programa: funciones del matemático 1. Estética 2. Física 3. Filosófica Algunos temas del pensamiento matemático de Poincaré 4. Al servicio de la sociedad a. Profesional b. Experto: el affaire Dreyfus c. Crítico social d. Divulgador científico B. Una respuesta insospechada: los 23 Problemas de Hilbert Ante todo, agradecer a la Real Academia de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales estar hoy, aquí, ante ustedes. No ya a la Real Academia sino a las personas que lo han hecho factible: a José Manuel Aroca y, muy en especial, a Manuel López Pellicer. Nos encontramos conmemorando un aniversario. Algo que puede convertirse en rutina, en autojustificación para reuniones; lo que, en cierta manera, está ocurriendo en otros campos. Aunque entre en esa rutina, me permito una sugerencia: Justamente este verano se cumplirá el centenario del nacimiento del Axioma de elección. Fue en 1904, en el Tercer Congreso Internacional de Matemáticos, cuando Zermelo lo formuló de manera explícita por vez primera. Y todos recordamos las inmediatas discusiones y polémicas a las que dio paso. Estaba en juego el papel de las definiciones y de las demostraciones existenciales, no constructivas. Y el problema, si cabe admitir o no la definición de un objeto sin poder mostrar, construir o calcular ese objeto. Es tema al que dedican su análisis, su crítica y rechazo, y entre otros, los matemáticos de la Escuela de París, los componentes de la denominada escuela semi-intuicionista francesa-Borel, Lebesgue, Baire-. Porque ligado al papel de las definiciones no constructivas se encuentra como problema la existencia o no del infinito actual, de si cabe ir más allá del infinito numerable. Como sugerencia, se podría dedicar una Sesión a conmemorar el nacimiento del Axioma de elección así como sus repercusiones, su papel en el Hacer matemático...

El último universalista, profeta del caos, genio impaciente, matemático visionario, científico revolucionario… La lista de epítetos para caracterizar a Henri Poincaré se extiende largamente. Matemático, ingeniero, filósofo, personaje público… Su vida y su obra presentan facetas polimorfas y multidimensionales. A la complejidad de su figura hay que sumar la mitología formada en torno a él ya durante su vida, particularmente a partir de su elección como miembro de la Académie Française, al entrar a formar parte de "les immortels".

En 1986 Lynn Steen señaló muy certeramente que: the computer revolution is a mathematical revolution. En este ensayo se analiza el papel que el ordenador, como intruso en el ecosistema matemático, ha jugado, juega y jugará en ese hacer. 1. En 1976 Appel, Haken y Koch hacen pública la demostración de la conjetura de los cuatro colores: bastan cuatro colores para colorear el plano con la condición de que dos regiones que poseen frontera común-no limitada a un punto-tengan colores diferentes. La conjetura de los 4C se convirtió así, desde 1976, en el teorema de los 4C. No tendría más importancia esta noticia-salvo la confirmación de una conjetura que llevaba como tal muchos años y cuya validez depende de la topología de la superficie a colorear-si no fuera porque, en esa demostración, se había empleado el ordenador. Algo que venía siendo corriente en temas próximos a la Teoría de números o en el cómputo de cifras decimales del desarrollo de números trascendentes como Ò, en test de primalidad, incluso en Análisis en el manejo de ecuaciones en diferencias finitas... Sin embargo, en la demostración del teorema 4C el ordenador parecía revestir un papel específico en el sentido de que se mostraba como factor constructivo al sugerir posibles estrategias al matemático y se hacía imprescindible en la verificación de 1482 configuraciones, verificación que no podía sustituirse por procesòhumano' alguno al exigir miles de páginas de programas de computación no publicadas y, de publicarse, no revisables o verificables paso a paso por algún matemático, revisión sólo factible por otro ordenador. En la misma línea, con las mismas características antes apuntadas, en 1986 se realizan demostraciones de teoremas en campos que parecían marginados a la faceta

El propósito que persigue este trabajo de grado consiste en aprovechar el uso de la Historia de las Matemáticas; para reconocer cambios conceptuales; en particular, se busca detectar cambios en el concepto de número antes y después de la segunda crisis de los fundamentos
de las Matemáticas. Por lo tanto, en este trabajo de grado, encontrarán varias transformaciones de carácter epistemológico u ontológico, que ejemplifican el estado dinámico respecto del número en los momentos referidos.
También se cuestiona si con la segunda crisis de los fundamentos de las Matemáticas, este concepto se preservó o presentó algún cambio, ya que, el hecho de que exista una segunda crisis (en la cual la noción de verdad cambia), puede incentivar la pregunta ¿qué es el número?, pues, si el concepto de verdad cambió, el concepto de número se espera que cambiase también, lo cual este trabajo pretende sustentar.

Este texto es una introducción crítica a las tres conversaciones
que sostuve en París, en el verano de 2017, con el matemático y
Tópicos se presenta una traducción de la primera mitad de la entrevista junto con ilustraciones y aclaraciones orientadas a hacer más comprensibles los conceptos matemáticos a los que se recurre constantemente. El tema central es la topología, en el sentido más amplio posible. Cercano a la obra de René Thom, Boi ha estudiado la topología y sus relaciones con campos muy diversos, como la filosofía, el arte y la ciencia.

Stewart Shapiro, Thinking about mathematics. The philosophy of mathematics, Oxford, Oxford University Press, 2000, cap. 10. Traducción: Oscar M. Esquisabel 10. ESTRUCTURALISMO Este capítulo final presenta una filosofía de la matemática denominado estructuralismo, que emergió recientemente en este siglo a partir de los desarrollos en lógica y matemática. Sus principales defensores incluyen a Paul Benacerraf (1965), Geoffrey Hellman (1989), Michael Resnik (por ejemplo, 1997) y yo mismo (por ejemplo, Shapiro 1997). 1 Su slogan es que la matemática es la ciencia de la estructura. La mayor parte de los estructuralistas son realistas de los valores de verdad, sosteniendo que toda oración no-ambigua de, digamos, la aritmética y el análisis es verdadera o falsa, independientemente del lenguaje, la mente y las convenciones sociales de los matemáticos. Sin embargo, los estructuralistas difieren acerca de la existencia de los objetos matemáticos. Benacerraf y Hellman articulan y defienden versiones de la concepción que no presuponen la existencia de objetos matemáticos, mientras que Resnik y yo mismo somos realistas en ontología, en cierto modo. Nuestras versiones del estructuralismo tiene ramificaciones para nociones básicas como la de existencias, objeto e identidad, al menos tal como esos ítems se utilizan en matemática. 1. La idea subyacente Recuérdese que el platónico tradicional, o realista en ontología, sostiene que el asunto de una rama dada de la matemática, como la aritmética o el análisis real, es una colección de objetos que tienen algún tipo de independencia ontológica. Resnik (1980: 162) define al "platónico ontológico" como alguien que sostiene que los objetos físicos y los números están "a la par". Para uno filósofo de esa clase, los números son del mismo género de cosas-objetos-que los automóviles, sólo que hay más números que automóviles, y los números son abstractos y eternos. Para proseguir con la analogía, nuestro platónico podría atribuir algún tipo de independencia ontológica a los números naturales individuales. Del mismo modo en que 1 Este capítulo se basa de una manera muy amplia en Shapiro 1997, caps. 3 y 4

Resumen Hacia finales del siglo XIX se llevó a cabo una gran revolución conceptual y metodológica en la matemática. En tal revolución se empezaron a emplear conceptos, métodos y técnicas que dejaban de lado la antigua forma de hacer matemática, propia del siglo XVIII y principios del siglo XIX, y a su vez proponían un Hacer abstracto, es decir, una forma abstracta de ocuparse del ente matemático. Pero no sólo se trataba de un cambio metodológico, sino que la pregunta por los fundamentos se vuelve cada vez más importante y trae consigo interrogantes de carácter filosófico, como es el caso de la inquietud por la naturaleza del objeto matemático (la interrogante ontológica), y la posibilidad de conocimiento de dicho objeto (la interrogante epistemológica). Nuestro interés en este artículo es mostrar cómo la filosofía que respalda las investigaciones matemáticas de Cantor trata de dar respuestas a las interrogantes ontológicas y epistemológicas. Para ello hemos tratado de ofrecer un contexto histórico-conceptual que gira en torno a la pregunta por los fundamentos, y dentro de dicho contexto hemos señalado como se presenta el Abstract A great conceptual and methodological revolution in mathematics was carried out by the end of nineteen century. In that revolution people began to use concepts, methods and techniques which set aside the old way of doing mathematics, typical of the eighteenth and early nineteenth century, and in turn they proposed an Abstract Make, i.e., an abstract form of dealing with the mathematical entity. But it was not only a methodological change, but the question of the foundations is becoming increasingly important which arises more philosophical questions, such as the concern about the nature of the mathematical object-the ontological question-and the * Universidad Central de Venezuela

El presente trabajo pretende abordar el concepto de verdad en Alain Badiou a partir de dos esferas reconocibles del conocimiento filosófico: por un lado, el espacio central que ocupa la poesía desde Nietzsche hasta Heidegger en la disposición  filosófica; y, por otro, la necesidad de transportarlo al campo de la lógica matemática. De esta manera, podemos analizar la propuesta de Badiou como un pensamiento superador de “las dos culturas” y, a su vez, como un intento por unificar aquello que había sido clausurado bajo el nombre de “la guerra de las ciencias”. Por ello, en este trabajo no son ajenas las estéticas rupturistas de  finales de siglo xix y principios del xx, así como tampoco las influencias de matemáticos como Brouwer, Cantor y Gödel. De este modo, para que la  filosofía salga del ostracismo metafísico del siglo pasado, y como salto fundacional sobre el enunciado  fin de la  filosofía, es imperativo un retorno clásico que vuelva a poner en diálogo poema y matema: literatura y matemáticas.

Dejas de ser un fanático de la matemática formal: cuando al conocer otras grandes manifestaciones del intelecto humano éstas logran impresionarte a tal grado que no dudas en afirmar o concluir: ”las matemáticas NO es el prototipo de la única o mejor verdad lógica posible, ni tampoco es el mejor entrenamiento disponible para el logro del desarrollo intelectual”, o bien, cuando te atreves a ubicar o concebir a la matemática como un simple lenguaje o producto cultural, y no como un lenguaje o producto cultural casi divino, entonces, estarás en mejores condiciones de aprender y apreciar el lado brillante y creativo de otras grandes proezas del (intelecto) humano.

Apoyado en la experiencia personal, se esboza una historia tanto de la matemática a mediados del siglo XX como de la metodología utilizada a mediados de los años cincuenta de ese siglo. Esa experiencia condujo al autor a establecer la existencia de tres tipos de Hacer matemático: Figural, Global, Computacional con sus estilos propios que no son, por modo exclusivo, de lenguaje.

Con ocasión del fallecimiento del filósofo de origen argentino Mario Augusto Bunge (1919-2020), se analiza su materialismo sistémico emergentista desde las coordenadas del materialismo filosófico de Gustavo Bueno. Tras criticar su concepción de la filosofía exacta o filosofía científica, se discuten su filosofía de las matemáticas (el ficcionismo moderado) y su filosofía de las ciencias fácticas (el realismo crítico y el cientificismo), confrontándolas con el materialismo formalista y la teoría del cierre categorial. A continuación, se analiza la ontología del materialismo sistémico emergentista, clasificando las ideas de materia, sistema y emergencia que comporta, e indicando cómo el pluralismo continuista bungeano en gnoseología termina resolviéndose en un monismo en ontología, en las antípodas del pluralismo discontinuista propio del materialismo filosófico en ambos planos. Por último, se exponen algunos de los pensamientos de Bunge sobre ética, moral y política, mostrando cómo en ellos el fundamentalismo científico se da la mano con el fundamentalismo democrático.

Resumen: El ser humano, desde que nace hasta que muere, vive en un espacio geométrico euclídeo formado por su casa, por la ciudad… En sus interrelaciones sociales, pesa y cuenta. Se trata de un espacio vivencial, junto al conceptual, construido y superpuesto al de la physis, al físico. Esa superposición con-diciona lo perceptivo y obliga al manejo del diagrama figural para elaborar la geometría con la cual, y de modo simultáneo, ha construido su nicho ecológico. Este diagrama, en su cons-trucción y captación, depende del propio espacio al que quiere representar, del contexto en el cual se construye y se interpreta. Palabras clave: geometría, espacio, diagramas, axioma, filo-sofía de las matemáticas Abstract: The human being, from birth to death, lives in a Euclidean geometric space formed by his house, his city ... In his social interrelations, he weighs and counts. This is an experien-tial space, along with the conceptual, constructed and superimposed on the physis, namely, on the physical space. That super-position conditions perception and forces to manage the figural diagram in order to elaborate the geometry with which, and simultaneously, he has built his ecological niche. This diagram, in its construction and acquisition, depends on the same space it wants to represent and on the context in which it is constructed and interpreted.

Resumen: Al final de su libro "La conciencia inexplicada", Juan Arana señala que la nomología, explicación según las leyes de la naturaleza, requiere de una nomogonía, una consideración del origen de las leyes. Es decir, que el orden que observamos en el mundo natural requiere una instancia previa que ponga ese orden específico. Sabemos que desde la revolución científica la mejor manera de explicar dicha nomología ha sido mediante las matemáticas. Sin embargo, en las últimas décadas se han presentado algunas propuestas basadas en modelos matemáticos que fundamentarían muchos aspectos de la realidad. Dos claros ejemplos provienen de Roger Penrose y Max Tegmark. Esto lleva a pensar en una posición no solo nomológica sino además nomogónica de la matemática. ¿Puede la Naturaleza estar fundada por las matemáticas como señalan algunos físico-matemáticos? Y en ese caso, ¿sería pertinente buscar una nomo-génesis de esta índole en la constitución de la conciencia?

Palabras clave: Método científico, Filosofía de la Naturaleza, Filosofía de la Matemática, Conciencia, Metafísica, Penrose, Tegmark.

Abstract: At the end of his book "La conciencia inexplicada", Juan Arana points out that nomology, explanation according to the laws of nature requires a nomogony, an account of the origin of the laws. This means that the order that we can observe in the natural World demands something prior to posit that specific order. Since the scientific revolution we know that the best way to explain that nomology has been through mathematics. Anyway, in recent decades a number of proposals based on mathematical models that found many aspects of reality has been offered. Two clear examples come from Roger Penrose and Max Tegmark. This drives us to think of a position of mathematics as not only nomological but also nomogonical. Can Nature be founded by mathematics as some physicists and mathematicians point out? And, in this case, would be relevant this kind of approach to search a nomo-genesis in the constitution of consciousness?

Keywords: Scientific Method, Philosophy of Nature, Philosophy of Mathematics, Consciousness, Metaphysics, Penrose, Tegmark.

El presente artículo expone la filosofía de Albert Lautman (1908-1944)
señalando sus puntos de vista centrales, explicándolos brevemente, y mostrando cómo estos se relacionan entre sí en un todo. Esta exposición es distinta de las que se encuentran en la literatura dedicada al autor por su afán de sistematicidad. El objetivo es ofrecer una presentación lo más clara posible de la filosofía lautmaniana para introducir en ella a quien aún no la conozca y para clarificarla un poco más a quien ya le es familiar.

Inside the conceptual buble, the constructives mathematical reason appears to me in three different ways of doing: figural, global and computational ones. Each of them is a briefly analysed, together with the corresponding methodological, epistemological and styles problems. S-P logical form with regard to the figural case, function-argyment in relation to the global one and algorithmic rules with respect to the computational way will cinsidered, as well as some shades of the meanig of proof, definition, truth...

El primer libro publicado de Edmund Husserl, Filosofía de la aritmética, contiene una serie de tesis que el fundador de la fenomenología desarrollará, con detalle, en textos posteriores, por ejemplo en las Investigaciones lógicas y en Lógica formal y lógica trascendental. Del mismo modo, Filosofía de la aritmética se presenta como uno de los primeros intentos husserlianos por pensar filosóficamente problemas propios de la ciencia, con lo que, el texto en cuestión se reviste de un valor fundamental que vale la pena hacer explícito.

Pocos matemáticos han ejercido una influencia tan grande como Riemann, cuya obra contribuyó a reformular la concepción de esta disciplina en su momento y en las décadas posteriores, además de crear nuevos dominios de trabajo. Pese a la brevedad de su vida, falleciendo a los 39 años, tuvo un desarrollo intelectual excepcional, entrando en el panteón de los más brillantes matemáticos de la historia.

La literatura de Isidore Ducasse está atravesada por los saberes que han monopolizado el conocimiento científico del siglo XIX. Sin embargo, probablemente sea la matemática la que se erige como una fuente inagotable de conocimiento a partir de su búsqueda o domesticación del infinito. Ahora bien, esto no pretende anular o abrogar este problema matemático de envergadura filosófica, sino subrayar el rol activo de la literatura para aprehender, interrogar y proyectar el conocimiento científico sobre el entramado cultural y epistemológico. Por este motivo, el presente artículo pretende analizar la influencia de la matemática en Ducasse, la metáfora del mar como signo del infinito y la mirada poética que discurre entre lo discreto y lo continuo bajo el signo de Proteo.

split between Mathemagtical Doing-Philosophical Thought: the Mathematician's Work, Mistakes, Philosophy;Non-accumaltive doing: The mathematician's error; Some exemplary schemes: Lagrange, The "italian school" of projective or Algebraic Geometry; French school or School of París, Current situation (Petefr Lax, Reflexive judgement; Summing Up.
Escisión Hacer matemático-Pensar filosófico. El matemático en su trabajo con sus errores, su filosofía. Algunos esquemas ejemplares. A modo de conclusión

La publicación de Filosofía de la aritmética (1891) trajo consigo un notable avance en las investigaciones fenomenológicas de E. Husserl, a la vez que se abrió paso entre las indagaciones ya existentes sobre la fundamentación de las matemáticas. Fue precisamente dentro de esta constelación de publicaciones donde se originó una de las polémicas filosóficas más interesantes de las postrimerías del siglo XIX: la recensión de Filosofía de la aritmética hecha por Frege en 1894. Lo que ofreceré en este texto son algunas claves de interpretación que permitirán hacer una revisión juiciosa de aquellos aspectos filosóficos no vistos por Frege en su crítica. Todo ello a través del intercambio epistolar entre ambos, de la exposición de la reseña de 1894 y de las recensiones de Filosofía de la aritmética que han permanecido desconocidas hasta ahora.

Presentación usada durante el Encuentro Internacional de Didáctica de la Lógica: Simposio Lógica y Argumentación (2016).

En Priest (1987) hay una defensa de las siguientes dos tesis: (I) Hay inconsistencias en el mundo y (II) el movimiento fìsico es posible en la medida en que uno acepta la posición que postula inconsistencias en el mundo. Mientras que el objetivo principal de Priest es establecer (I), la tesis (II) es filosóficamente interesante en sí misma en la medida en que mostrar que los argumentos de Priest fallan en establecer (II) sugiere que estrategias similares estàn abiertas para quienes buscan reconstruir de manera clásica otros supuestos casos de inconsistencias en el mundo.

Priest motiva (II) mediante un ataque a la teoría Russelliana del movimiento, que sostiene a grandes rasgos que para que el que un objeto X se mueva no es otra cosa que el que X tenga diferentes posiciones en diferentes tiempos arbitrariamente cercanos, esta posición ha adquirido el estatus de ortodoxia. En lugar de la teoría Russelliana de movimiento Priest sugiere otra manera de explicar el movimiento que requiere la suposición de que hay inconsistencias en el mundo.

Aquí me concentraré en la defensa de la teoría Russelliana (1903, 1914) respondiendo a las objeciones de Priest, para hacer esto primero detallare la posición Russelliana extrayendo sus compromisos metodológicos y metafísicos desde el punto de vista del realismo estructural, que es a grandes rasgos la posición de que lo que sobrevive el cambio científico y explica el éxito científico es la estructura de nuestras mejores teorías científicas. En esto sigo a grandes rasgos la interpretación exegética de Landini (2011) sobre la filosofía de Russell como realista estructural en espíritu. Con estos detalles explicados muestro que los argumentos de Priest pueden ser neutralizados y que existe una visión, o familia de visiones, más metafísicamente conservadoras que facilitan la explicación del movimiento sin requerir del mundo que instancie inconsistencias metafísicas.

El artículo aborda un examen las diversas formas que asume el concepto de lo infinitesimal o infinitamente pequeño a largo del desarrollo del pensamiento matemático de Leibniz. Este enfoque evolutivo tiene como marco general el concepto de noción simbólica y de ficción matemática entendida como "noción sin denotación". Así, el análisis descriptivo reconoce cuatro caracterizaciones sucesivas de los infinitesimales: como cantidades inasignables, como un error o diferencia menor que la dada, como cantidad incomparable y como cantidad evanescente. También se propone una hipótesis general para comprender las relaciones entre matemática y realidad fáctica en el pensamiento matemático de Leibniz. Dentro de esta propuesta, el principio de continuidad asume un papel central.