Apostila: INTRODUÇÃO À LÓGICA COMPUTACIONAL, LÓGICA MATEMÁTICA E TEORIA DOS CONJUNTOS Organizado e Ajustado por: Felipe de Oliveira Lima Fortaleza (CE) 2020 APRESENTAÇÃO O pricipal objetivo desta apostila é complementar os conteúdos lecionados em sala de aula, para completar o livro de Matemática adotado pela escola. Entretanto, será um prazer ter essa apostila compartilhada para difundir os conteúdos nela presentes. Além disso, indico fortemente a leitura dessa apostila, não só para meus alunos, mas para qualquer pessoa que queira melhorar e formalizar seu raciocínio lógico, melhorar sua argumentação ou que queira simplesmente fazer uma revisão completa sobre os principais assuntos de questões de concursos públicos. Tudo o que está escrito aqui não é 100% autoral, mas tive o cuidado de pegar as melhores apostilas e livros que encontrei na Internet e melhorá-los ainda mais! Organizei os conteúdos do meu jeito, para satisfazer meu cronograma letivo. Também mudei alguns textos para satisfazer à minha didática e maneira que ensino. RESUMO Os conteúdos aqui presentes foram divididos em três unidades. Na primeira unidade, com o título: “Introdução à Lógica Computacional”, veremos os principais assuntos de Lógica Proposicional, pré-requisitos em concursos e no curso de computação. Veremos os que são sentenças e proposições, bem como a famigerada Tabela-Verdade. Na segunda unidade, intitulada: “Lógica Matemática”, daremos seguimento aos conteúdos da primeira unidade, porém focando mais em símbolos gráficos e em silogismos (argumentação básica para provas matemáticas). Nessa unidade, aproveitando temas relacionados, trago um apanhado de Falácias e Sofismas. Acredito muito que precisamos aprender esses conteúdos, dada a grande quantidade de desinformação disponível nessa Internet, principalmente em canais no Youtube. Na terceira e última unidade, “Teoria dos Conjuntos”, continuo os conteúdos de lógica, sob a perspectiva de conjuntos, além de definir tudo detalhadamente. Nessa unidade, em vez de trazer a definição comum de conjuntos numéricos, decidi colocar um texto meu adaptado de meu TCC de forma bem resumida. Também falamos de funções, mas sem aprofundar, para não fugir muito do tema central. Termino a unidade trabalhando com provas matemáticas, para exemplificar uma aplicação extraordinária de tudo o que se aprendeu nas outras unidades. Boa leitura! Palavras-chave: Lógica Computacional, Proposições Compostas, Problemas Envolvendo Verdades e Mentiras, Lógica Matemática, Silogística Aristotélica, Paralogismos e Sofismas, Proposições Associadas, Teoria dos Conjuntos, Operações entre Conjuntos, Problemas envolvendo Conjuntos, Conjuntos Numéricos, Funções, Provas Matemáticas. SUMÁRIO UNIDADE 1 - INTRODUÇÃO À LÓGICA COMPUTACIONAL................................ 5 1 Introdução......................................................................................................................... 6 2 Proposições Compostas.................................................................................................... 8 2.1 Conectivo “E”.................................................................................................................. 8 2.2 Conectivo “OU”...............................................................................................................11 2.3 Conectivo “OU... OU...”.................................................................................................. 13 2.4 Conectivo “Se..., então...”................................................................................................15 2.5 Conectivo “... se, e somente se, ...”..................................................................................19 2.6 Partícula “Não”................................................................................................................ 21 2.7 Negação de uma proposição composta............................................................................ 23 2.8 Tautologia, Contradição e Contingância..........................................................................26 3 Problemas Envolvendo Verdades e Mentiras................................................................ 30 4 Exercícios........................................................................................................................... 34 4.1 Problemas envolvendo Proposições.................................................................................34 4.2 Problemas envolvendo Tabelas-Verdade.........................................................................36 4.3 Problemas envolvendo Verdades e Mentiras................................................................... 37 UNIDADE 2 - LÓGICA MATEMÁTICA.........................................................................39 1 Introdução......................................................................................................................... 40 2 Silogística Aristotélica...................................................................................................... 42 2.1 Silogismos........................................................................................................................42 2.2 Enunciados Categóricos...................................................................................................48 2.3 Negação de Enunciados Categóricos............................................................................... 51 2.4 Validade de um argumento usando uma Tabela-Verdade............................................... 52 2.5 Validade de um argumento usando Diagramas............................................................... 54 3 Paralogismos e Sofismas...................................................................................................56 3.1 Tipos de Falácias..............................................................................................................57 3.2 Estratagemas.................................................................................................................... 64 4 Proposições Associadas.....................................................................................................68 4.1 Problemas envolvendo Condicionais...............................................................................70 4.2 Equivalências Lógicas..................................................................................................... 71 5 Exercícios........................................................................................................................... 73 5.1 Problemas envolvendo Frases Categóricas...................................................................... 73 5.2 Problemas envolvendo Silogismos.................................................................................. 76 5.3 Problemas envolvendo Equivalências..............................................................................81 UNIDADE 3 - TEORIA DOS CONJUNTOS....................................................................85 1 Introdução......................................................................................................................... 86 1.1 Relações entre Conjuntos e Elementos............................................................................ 87 1.2 Conjuntos Especiais......................................................................................................... 92 1.3 Conjuntos como Elementos............................................................................................. 94 1.4 Exercícios.........................................................................................................................95 2 Operações entre Conjuntos..............................................................................................96 2.1 União................................................................................................................................96 2.2 Interseção......................................................................................................................... 96 2.3 Diferença..........................................................................................................................97 2.4 Complementação..............................................................................................................98 2.5 Operações Avançadas...................................................................................................... 99 2.6 Propriedades.....................................................................................................................100 2.7 Exercícios.........................................................................................................................102 3 Problemas Envolvendo Conjuntos.................................................................................. 103 3.1 Número de Elementos do Conjunto União...................................................................... 103 3.2 Problemas Envolvendo Conjuntos...................................................................................104 3.3 Exercícios.........................................................................................................................108 4 Conjuntos Numéricos....................................................................................................... 109 4.1 Números Naturais............................................................................................................ 109 4.2 Números Inteiros..............................................................................................................109 4.3 Números Racionais.......................................................................................................... 110 4.4 Números Reais................................................................................................................. 111 4.5 Exercícios.........................................................................................................................113 5 Introdução ao Estudo de Funções................................................................................... 114 5.1 Representação Gráfica do Produto Cartesiano................................................................ 114 5.2 Relação.............................................................................................................................115 5.3 Domínio e Imagem de uma Relação................................................................................116 5.4 Função..............................................................................................................................117 5.5 Tipos de Função...............................................................................................................120 5.6 Exercícios.........................................................................................................................122 6 Provas Matemáticas..........................................................................................................123 6.1 Termos de uma Prova Matemática.................................................................................. 123 6.2 Tipos de Demonstração....................................................................................................124 6.3 Exercícios.........................................................................................................................128 CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................................. 129 REFERÊNCIAS...................................................................................................................130 ANEXO................................................................................................................................. 132 PRIMEIRA UNIDADE: INTRODUÇÃO À LÓGICA COMPUTACIONAL 5 1. Introdução O conceito mais elementar no estudo da lógica é o de Proposição. Proposição “vem de propor” que significa submeter à apreciação, fazer uma proposta, requerer um juízo. Trata-se de uma sentença declarativa – algo que será declarado por meio de termos, palavras ou símbolos – e cujo conteúdo poderá ser considerado verdadeiro ou falso. Então, se eu afirmar “a Terra é maior que a Lua”, estarei diante de uma proposição cujo valor lógico é verdadeiro. Fica claro que quando falamos em valor lógico estaremos nos referindo a um dos dois possíveis juízos que atribuiremos a uma proposição: verdadeiro (V) ou falso (F). E se alguém disser: “Feliz ano novo!”, será que isso é uma proposição verdadeira ou falsa? Nenhuma, pois não se trata de uma sentença para a qual se possa atribuir um valor lógico. Concluímos, pois, que...  Sentenças exclamativas: “Caramba!” ; “Feliz aniversário!”  Sentenças interrogativas: “como é o seu nome?” ; “o jogo foi de quanto?”  Sentenças imperativas: “Estude mais.” ; “Leia aquele livro”. ...não serão estudadas. Somente aquelas primeiras – sentenças declarativas – que podem ser imediatamente reconhecidas como verdadeiras ou falsas. Normalmente, as proposições são representadas por letras minúsculas (p, q, r, s, etc). São outros exemplos de proposições:  p: Pedro é médico.  q: 5 > 8  r: Luíza foi ao cinema ontem à noite. Na linguagem do raciocínio lógico, ao afirmarmos que é verdade que Pedro é médico (proposição p acima), representaremos isso apenas com: VL(p)=V, ou seja, o valor lógico de p é verdadeiro. No caso da proposição q, que é falsa, diremos VL(q)=F. Haverá alguma proposição que possa, ao mesmo tempo, ser verdadeira e falsa? Não! Jamais! E por que não? 6 Porque o Raciocínio Lógico, como um todo, está sedimentado sobre alguns princípios, muito fáceis de entender, e que terão que ser sempre obedecidos. São os seguintes: 1. Uma proposição verdadeira é verdadeira; uma proposição falsa é falsa. (Princípio da identidade); 2. Nenhuma proposição poderá ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo. (Princípio da Não-Contradição); 3. Uma proposição ou será verdadeira, ou será falsa: não há outra possibilidade. (Princípio do Terceiro Excluído). Proposições podem ser ditas simples ou compostas. Serão proposições simples aquelas que vêm sozinhas, desacompanhadas de outras proposições. Nada mais fácil de ser entendido. Exemplos:  Todo homem é mortal.  O novo papa é argentino. Todavia, se duas (ou mais) proposições vêm conectadas entre si, formando uma só sentença, estaremos diante de uma proposição composta. Exemplos:  João é médico e Pedro é dentista.  Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo.  Ou Luís é baiano, ou é paulista.  Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia.  Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar na loteria. Nas sentenças acima, vimos em destaque os vários tipos de conectivos – ditos conectivos lógicos – que poderão estar presentes em uma proposição composta. Conectivos Lógicos são expressões que servem para unir duas ou mais proposições. Estudaremos cada um deles a seguir, uma vez que é de nosso interesse conhecer o valor lógico das proposições compostas. Veremos que, para determinarmos se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, dependeremos de duas coisas: 1º) do valor lógico das proposições componentes; 2º) do tipo de conectivos que as une. 7 2. Proposições Compostas 2.1. Conectivo “E”: (Conjunção) Proposições compostas em que está presente o conectivo “e” são ditas CONJUNÇÕES. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por “∧”. Então, se temos a sentença: “Marcos é médico e Maria é estudante” ...poderemos representá-la apenas por: p∧q. onde: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Como se revela o valor lógico de uma proposição conjuntiva? Da seguinte forma: uma conjunção só será verdadeira, se ambas as proposições componentes forem também verdadeiras. Então, diante da sentença “Marcos é médico e Maria é estudante”, só poderemos concluir que esta proposição composta é verdadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Marcos é médico e que Maria é estudante. Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposições componentes seja falsa, e a conjunção será – toda ela – falsa. Obviamente que o resultado falso também ocorrerá quando ambas as proposições componentes forem falsas. Essas conclusões podem ser resumidas em uma pequena tabela. Trata-se da tabelaverdade, de fácil construção e de fácil entendimento. Retomemos as nossas premissas: p = Marcos é médico e q = Maria é estudante. Se tivermos que ambas são verdadeiras, a conjunção formada por elas (Marcos é médico e Maria é estudante) será também verdadeira. Teremos: Se for verdade apenas que Marcos é médico, mas falso que Maria é estudante, teremos: 8 Por outro lado, se for verdadeiro que Maria é estudante, e falso que Marcos é médico, teremos: Enfim, se ambas as sentenças simples forem falsas, teremos que: Ora, as quatro situações acima esgotam todas as possibilidades para uma conjunção. Fora disso não há outras! Criamos, portanto, a tabela-verdade que representa uma conjunção, ou seja, a tabela-verdade para uma proposição composta com a presença do conectivo “e”. Teremos: É preciso que a informação constante da terceira coluna (em destaque) fique guardada em nossa memória: uma conjunção só será verdadeira, quando ambas as partes que a compõem também forem verdadeiras. E falsa nos demais casos. Uma maneira de assimilar bem essa informação seria pensarmos nas sentenças simples como promessas de um pai a um filho: “eu te darei uma bola E te darei uma bicicleta”. Ora, pergunte a qualquer criança! Ela vai entender que a promessa é para os dois presentes. Caso o pai não dê nenhum presente, ou dê apenas um deles, a promessa não terá sido cumprida. Terá sido falsa! No entanto, a promessa será verdadeira se as duas partes forem também verdadeiras! Na hora de formar uma tabela-verdade para duas proposições componentes (p e q), saberemos, de antemão, que essa tabela terá quatro linhas. Começaremos, então, fazendo a seguinte estrutura: 9 Daí, a coluna da primeira proposição terá sempre a seguinte disposição: dois (V) “vês” seguidos de dois (F) “efes”. Assim: Enquanto a variação das letras (V e F) para a premissa p ocorre de duas em duas linhas, para a premissa q é diferente: “vês” (V) e “efes” (F) se alternando a cada linha, começando com um V. Assim: Essa estrutura inicial é sempre assim, para tabelas-verdade de duas proposições p e q. A terceira coluna dependerá do conectivo que as une, e que está sendo analisado. No caso do conectivo “e”, ou seja, no caso da conjunção, já aprendemos a completar a nossa tabela verdade: Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjunção “p e q” corresponderá à interseção do conjunto p com o conjunto q, teremos: 10 2.2. Conectivo “OU”: (Disjunção) Recebe o nome de DISJUNÇÃO toda proposição composta em que as partes estejam unidas pelo conectivo ou. Simbolicamente, representaremos esse conectivo por “∨”. Portanto, se temos a sentença: “Marcos é médico ou Maria é estudante” ...então a representaremos por: p∨q. Seremos capazes de criar uma tabela-verdade para uma proposição disjuntiva? Claro! Basta nos lembrarmos da tal promessa do pai para seu filho! Vejamos: “eu te darei uma bola OU te darei uma bicicleta”. Neste caso, a criança já sabe, de antemão, que a promessa é por apenas um dos presentes! Bola ou bicicleta! Ganhando de presente apenas um deles, a promessa do pai já valeu! Já foi verdadeira! E se o pai for rico e resolver dar os dois presentes? Pense na cara do menino! Feliz ou triste? Felicíssimo! A promessa foi mais do que cumprida. Só haverá um caso, todavia, em que a bendita promessa não se cumprirá: se o pai esquecer o presente, e não der nem a bola e nem a bicicleta. Terá sido falsa toda a disjunção. Daí, concluímos: uma disjunção será falsa quando as duas partes que a compõem forem ambas falsas! E nos demais casos, a disjunção será verdadeira! Teremos as possíveis situações: A promessa inteira só é falsa se as duas partes forem descumpridas! Observem que as duas primeiras colunas da tabela-verdade acima – as colunas do p e do q – são exatamente iguais às da tabela-verdade da conjunção (p E q). Muda apenas a terceira coluna, que agora representa um “ou”, a disjunção. Um outro exemplo interessante é o do médico obstetra que era programador nas horas livres. Esse médico foi fazer um parto para um casal que queria saber o sexo do bebê na hora do nascimento. Como o pai da criança decidiu esperar do lado de fora, quando o médico saiu 11 da sala do parto, ele perguntou ansioso: “E aí, doutor, é menino ou menina?”. O médio, com toda a calma do mundo, respondeu: “Sim!” e saiu. Sem entender, o marido correu para ver sua esposa. Podemos dizer que o médico mentiu? Logicamente falando, sua resposta foi satisfatória, porém não agradou ao pai, que deveria ter feito a pergunta de um jeito diferente, que veremos mais à frente. Outra coisa importante de se salientar é o porquê de usarmos a palavra “disjunção”. Na Gramática, disjunção é o mesmo que juntar palavras sem conectivos gramaticais, usando uma figura de linguagem chamada “assíndeto”; contudo, nessa matéria, consideremos disjunção como sendo a composição de proposições cuja dependência é não-obrigatória, daí chamada “disjunta”. Se ainda não ficou claro esse conceito, usando operadores de conjuntos, na próxima parte desta Apostila, será mais fácil de entender. Só uma pequena prévia: se as proposições p e q forem representadas como conjuntos por meio de um diagrama, a disjunção “p ou q” corresponderá à união do conjunto p com o conjunto q: 12 2.3. Conectivo “OU... OU...”: (Disjunção Exclusiva) Há um terceiro tipo de proposição composta, bem parecido com a disjunção que acabamos de ver, mas com uma pequena diferença. Comparemos as duas sentenças abaixo: “Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta” “OU Te darei uma bola OU te darei uma bicicleta” A diferença é sutil, mas importante. Reparemos que na primeira sentença vê-se facilmente que se a primeira parte for verdade (te darei uma bola), isso não impedirá que a segunda parte (te darei uma bicicleta) também o seja. Já na segunda proposição, se for verdade que “te darei uma bola”, então teremos que não será dada a bicicleta. E vice-versa, ou seja, se for verdade que “te darei uma bicicleta”, então teremos que não será dada a bola. Em outras palavras, a segunda estrutura apresenta duas situações mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verdadeira, e a restante será necessariamente falsa. Ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca poderão ser, ao mesmo tempo, falsas. Na segunda sentença acima, este tipo de construção é uma DISJUNÇÃO EXCLUSIVA, pela presença dos dois conectivos “ou”, que determinam que uma sentença é necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. E como fica a sua tabela-verdade? Ora, uma disjunção exclusiva só será verdadeira se obedecer à mútua exclusão das sentenças. Falando mais fácil: só será verdadeira se houver uma das sentenças verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjunção exclusiva será falsa. O símbolo que designa a disjunção exclusiva é o “⊻”. E a tabela-verdade será, pois, a seguinte: 13 Lembra daquele exemplo do médico obstetra que era programador? Então, se o pai tivesse perguntado para o médico desta forma: “E aí, doutor, ou é menino ou menina.”, o médico seria obrigado a responder especificando o sexo da criança já que ficou clara a disjunção exclusiva. Claro que, na vida real, quando o pai fez aquela primeira pergunta, já deveria ficar claro que se tratava de uma disjunção exclusiva, não sendo necessário usar a palavra “ou” duas vezes, contudo, para fins práticos, lembre-se da necessidade de uma a estrutura “ou... ou...” para deixar claro esse tipo de disjunção. Em conjuntos, a representaremos da seguinte forma: 14 2.4. Conectivo “Se..., então...”: (Condicional) Estamos agora falando de proposições como as que se seguem:  Se Pedro é médico, então Maria é dentista.  Se amanhecer chovendo, então não irei à praia. Muita gente tem dificuldade em entender o funcionamento desse tipo de proposição. Convém, para facilitar nosso entendimento, que trabalhemos com a seguinte sentença.  Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. Cada um de vocês pode adaptar essa frase acima à sua realidade: troque Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a quem nasce no seu Estado. Por exemplo:  Se nasci em Salvador, então sou baiano.  Se nasci em Curitiba, então sou paranaense. E assim por diante. Pronto? Agora me responda: qual é a única maneira dessa proposição estar incorreta? Ora, só há um jeito desta frase ser falsa: se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Ou seja, se é verdade que eu nasci em Fortaleza, então necessariamente é verdade que eu sou cearense. Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Fortaleza, e que é falso que eu sou cearense, então esse conjunto estará todo falso. É importante salientar que o exemplo trabalhado acima foi escolhido exclusivamente para fins didáticos. Na realidade, não é preciso que exista qualquer conexão de sentido entre o conteúdo das proposições componentes da condicional. Por exemplo, poderíamos ter a seguinte sentença: “Se a baleia é um mamífero, então o papa é alemão” 15 O que interessa é apenas uma coisa: a primeira parte da condicional é uma condição suficiente para obtenção de um resultado necessário. Perceba, pois, que se alguém disser que: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica”, então nós podemos reescrever essa sentença, usando o formato da condicional. Teremos: “Pedro ser rico é condição suficiente para Maria ser médica” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” Por outro lado, se ocorrer de alguém dizer que: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico”, também poderemos traduzir isso de outra forma: “Maria ser médica é condição necessária para que Pedro seja rico” Ou “Para que Maria seja médica é necessário que Pedro seja rico” é igual a: “Se Pedro for rico, então Maria é médica” Não podemos, pois, esquecer disto:  Uma condição suficiente gera um resultado necessário. Pensaremos aqui pela via de exceção: só será falsa esta estrutura quando houver a condição suficiente, mas o resultado necessário não se confirmar. Ou seja, quando a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa. Nos demais casos, a condicional será verdadeira. A sentença condicional “Se p, então q” será representada por uma seta: p→q ou p⇒q . Esse tipo de sentença também é conhecida como “Implicação Lógica” e pode ser traduzida como “p implica que q”. Ou seja, a sentença “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense” pode ser reescrita como “Eu ter nascido em Fortaleza implica que sou cearense”. Na proposição “Se p, então q”, a proposição p é denominada de antecedente, enquanto a proposição q é dita conseqüente. Sabendo disso, podemos escrever as proposições de forma invertida da seguinte forma: “q se p”, ou seja, no exemplo acima, poderíamos falar: “Sou cearense se eu nasci em Fortaleza”, apesar de termos invertido os termos, o valor lógico se manteve. Se pensarmos bem, a estrutura também é a mesma: “Então q se p”, só mudando a 16 ordem. Note que essa forma de representar a condicional tem a mesma ideia, a representaremos por “q ⇐ p” e a leremos como “q se p”. É muito importante você entender essa mudança de ordem pois a condicional tem ainda uma outra leitura, que é esta: “p somente se q”. Dessa forma, a frase anterior, ficaria: “Eu nasci em Fortaleza somente se sou cearense”. São muitas formas de representar a mesma coisa, não é mesmo? A seguir, farei uma resumo em forma de Tabela para deixar todas essas representações mais simples. ESTRUTURA SIMBOLOGIA FRASE DE APOIO Se p, então q. p⇒q Se nasci em Fortaleza, então sou cearense. p implica que q Eu ter nascido em Fortaleza implica que p⇒q sou cearense. p somente se q Eu nasci em Fortaleza somente se sou p⇒q cearense. p é condição suficiente para q Eu ter nascido em Fortaleza é condição p⇒q suficiente para que eu seja cearense. q, se p q⇐ p Eu sou cearense se eu tiver nascido em Fortaleza. q é condição necessária para p q⇐ p Eu ser cearense é condição necessária para eu tenha nascido em Fortaleza. Pois bem! Como ficará nossa tabela-verdade, no caso da proposição condicional? Como vimos até aqui, uma condição suficiente p gera um resultado necessário q, desse modo, caso a condição suficiente não se cumpra, então o resultado não pode se cumprir. Exemplificando, não tem como “eu ser cearense” se “eu não nasci em Fortaleza”. Em todos os outros casos, teremos uma condicional verdadeira. Considere a seguinte Tabela-Verdade: Muitos questionam a veracidade de uma condicional quando a condição suficiente não é atendida. Para explicar isso de forma simples, analisemos o seguinte exemplo: 17 Um rapaz vai em uma loja de tênis e decide comprar um par de sua preferência e, enquanto decidia a forma de pagamento, o vendedor falou: “Se o pagamento for à vista, então você terá dez por cento de desconto”. O rapaz gostou da proposta e comprou os tênis à vista, porém, quando viu a nota, reparou que não havia recebido o desconto prometido, ou seja, o vendedor deliberadamente mentiu. Revendo essa mesma situação sobre outra perspectiva: e se o rapaz tivesse pagado no cartão à prazo, ou seja, sem ter pagado à vista, nada teria impedido o vendedor de falar com seu gerente e garantir um desconto de dez por cento para esse rapaz e seria uma surpresa para ele ver na nota da compra o desconto. Ou seja, o senso comum nos diz que uma proposta será falsa caso a condição seja contemplada, mas o resultado não seja satisfatório. Por outro lado, se o resultado for satisfatório independente da condição, a proposta foi verdadeira. Se eu, por acaso, disser a um amigo: “Se meu salário cair na minha conta, então vamos ao cinema”, nada me impede de ir ao cinema e pagar tudo com cartão de crédito, caso meu salário não tenha caído; além disso, se não formos ao cinema, será justamente porque meu salário não caiu na conta e, em nenhuma das situações, eu teria mentido para meu amigo. Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição condicional “Se p, então q” corresponderá à inclusão do conjunto p no conjunto q (p está contido em q): 18 2.5. Conectivo “... se, e somente se, ...”: (Bicondicional) A estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo “se, e somente se,”, separando as duas sentenças simples. Trata-se de uma proposição de fácil entendimento. Se alguém disser: “Eduardo fica alegre se, e somente se, Mariana sorri”. É o mesmo que fazer a conjunção entre as duas proposições condicionais: “Eduardo fica alegre se Mariana sorri e Eduardo fica alegre somente se Mariana sorri”. Ou ainda, dito de outra forma: “Se Eduardo fica alegre, então Mariana sorri e se Mariana sorri, então Eduardo fica alegre”. São construções de mesmo sentido! A bicondicional é uma conjunção entre duas condicionais. Haverá duas situações em que a bicondicional será verdadeira: quando antecedente e conseqüente forem ambos verdadeiros, ou quando forem ambos falsos. Nos demais casos, a bicondicional será falsa. Sabendo que a frase “p se, e somente se, q” é representada por “p↔q” ou “p⇔q”, então nossa Tabela-Verdade será a seguinte: Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposição bicondicional “p se, e somente se, q” corresponderá à igualdade dos conjuntos p e q. 19 Simbologia: Uma proposição bicondicional “p se, e somente se, q” equivale à proposição composta: “p somente se q e p se q”, ou seja, “p⇔q” é a mesma coisa que “(p⇒q)∧(p ⇐ q)”. Dê atenção à posição das proposições, pois, como vimos anteriormente, dizer “p se q” (p⇐ q) é o mesmo que considerar a proposição q como condição suficiente. Sendo assim, dizer “p somente se q e p se q” faz a proposição q ser considerada condição necessária e suficiente ao mesmo tempo. E a proposição p também! Lembre-se que, numa condicional simples (p⇒q), consideramos a p condição suficiente e q condição necessária, mas na bicondicional (p⇔q), ambas as proposições são necessárias e suficientes! Para exemplificar, vamos adaptar aquele exemplo “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense” para se encaixar nessa lógica: “Se nasci no Ceará, então sou cearense”. Notou a adaptação? Você concorda comigo quando digo que poderíamos inverter os termos, fixando o conectivo? Desta forma: “Se sou cearense, então nasci no Ceará”, coisa que não poderíamos fazer com a frase original: “Se sou cearense, então nasci em Fortaleza”, pois não seria verdadeira! Caso isso ocorra, preferiremos escrever essas sentenças desta forma: “Nasci no Ceará somente se sou cearense” e “Nasci no Ceará se sou cearense” para então as aglutinarmos numa só sentença: “Nasci no Ceará se, e somente se, sou cearense”. Daí o uso do conectivo. Você percebeu que o uso desse conectivo é muito difícil de ser logicamente válido, a menos que tenhamos redundâncias ou quando a questão nos obriga a aceitar a bicondicional. Por exemplo, se uma questão falar: “Eu ganho dinheiro se, e somente se, eu trabalho”, seremos obrigados a aceitar que “Se eu ganho dinheiro, então eu trabalho” o que meio que nos indica que “Eu trabalho, porque eu ganho dinheiro” e não somente o contrário. Veremos mais adiante que essas bicondicionais se tornarão essenciais em Demonstrações Matemáticas. 20 2.6. Partícula “Não”: (Negação) Veremos algo de suma importância: como negar uma proposição. No caso de uma proposição simples, não poderia ser mais fácil: basta pôr a palavra não antes da sentença, e já a tornamos uma negativa. Exemplos:  João é médico. Negativa: João não é médico.  Maria é estudante. Negativa: Maria não é estudante. Reparemos que caso a sentença original já seja uma negativa (já traga a palavra não), então para negar a negativa, teremos que excluir a palavra não, como se dois “nãos” virassem um sim, ou, matematicamente falando, “menos com menos dá mais”. Assim:  João não é médico. Negativa: João é médico.  Maria não é estudante. Negativa: Maria é estudante. Pronto! Em se tratando de fazer a negação de proposições simples, já estamos craques! O símbolo que representa a negação é uma pequena cantoneira (¬) ou um sinal de til (~) antecedendo a frase. (Adotaremos o til). A tabela-verdade da negação é mais simplificada que as demais já vistas. Teremos: Podem-se empregar, também, como equivalentes de "não A", as seguintes expressões:  Não é verdade que A.  É falso que A. Daí as seguintes frases são equivalentes:  Matemática não é fácil. 21  Não é verdade que Matemática é fácil.  É falso que Matemática é fácil. Na representação de conjuntos, ~p é o complementar do p, isto é, todos os elementos externos de p. 22 2.7. Negação de uma proposição composta: Já sabemos negar uma proposição simples. Mas, e se for uma proposição composta, como fica? Aí, dependerá de qual é a estrutura em que se encontra essa proposição. Veremos, pois, uma a uma: 2.7.1. Negação de uma proposição conjuntiva: ~(p e q) Para entender bem essa situação, vejamos o seguinte exemplo: “Não é verdade que João é médico e Pedro é dentista” Analisemos: o começo da sentença é “não é verdade que...”. Ora, dizer que “não é verdade que...” é nada mais nada menos que negar o que vem em seguida. E o que vem em seguida? Uma estrutura de conjunção! Daí, como negaremos que “João é médico e Pedro é dentista”? Basta considerar que um deles não é o que se afirma, ou quem sabe os dois não sejam! Concluímos que “João não é médico ou Pedro não é dentista”. Notou o que aconteceu? Transformamos uma conjunção em uma disjunção. Portanto, para negar uma proposição no formato de conjunção (p e q), faremos o seguinte: 1. Negaremos a primeira parte (~p); 2. Negaremos a segunda parte (~q); 3. Trocaremos e por ou. Traduzindo para a linguagem da lógica, diremos que: ~(p∧q) = (~p)∨(~q) Conseguimos comprovar esse resultado com facilidade comparando as tabelas-verdade de ambas as sentenças. Inclusive, isso fico como exercício no final da unidade. 2.7.2. Negação de uma proposição disjuntiva: ~(p ou q) 23 Para negar uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos basicamente o contrário do que fizemos anteriormente: 1. Negaremos a primeira parte (~p); 2. Negaremos a segunda parte (~q); 3. Trocaremos ou por e. Se uma questão de prova disser: “Marque a assertiva que é logicamente equivalente à seguinte frase: Não é verdade que Pedro é dentista ou Paulo é engenheiro”. Pensemos: a frase começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí, obedecendo aos passos descritos acima, faremos: 1. Nega-se a primeira parte (~p) = Pedro não é dentista; 2. Nega-se a segunda parte (~q) = Paulo não é engenheiro; 3. Troca-se OU por E. E o resultado final será o seguinte: “Pedro não é dentista e Paulo não é engenheiro.” Na linguagem apropriada, concluímos que: ~(p∨q) = (~p)∧(~q) 2.7.3. Negação de uma proposição condicional: ~(p⇒q) Como é que se nega uma condicional? Da seguinte forma: 1. Mantém-se a primeira parte; 2. Nega-se a segunda parte; 3. Faremos a conjunção das duas partes. Por exemplo, como seria a negativa de “Se chover, então levarei o guarda-chuva”? 1. Mantendo a primeira parte: “Chove” 2. Negando a segunda parte: “eu não levo o guarda-chuva”. 24 3. Fazendo a conjunção, teremos o resultado final: “Chove e eu não levo o guarda-chuva”. Na linguagem apropriada, concluímos que: ~(p⇒q) = p∧(~q) Pode parecer estranho pensar assim: “transformar uma condicional em uma conjunção”, mas volte para aquele exemplo do rapaz que foi comprar o tênis e pense na insatisfação dele. A promessa foi: “Se o pagamento for à vista, então você terá dez por cento de desconto”, como o vendedor mentiu, o rapaz deve ter pensado: “eu paguei à vista e não tive o desconto de dez por cento, que raiva!”. Na sequência, apresento duas tabelas que trazem um resumo das relações vistas até o momento. Vejamos: Estrutura Lógica É Verdade quando É Falso quando p∧q p e q são, ambos, verdade um dos dois for falso p∨q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos p⇒q Nos demais casos p é verdade e q é falso p⇔q p e q tiverem valores p e q tiverem valores lógicos lógicos iguais diferentes p é falso p é verdade ~p Negativa das proposições compostas: Negativa de (p e q) ~p ou ~q Negativa de (p ou q) ~p e ~q Negativa de (p⇒q) p e ~q Negativa de (p⇔q) (p e ~q) ou (q e ~p) 25 2.8. Tautologia, Contradição e Contingência: 2.8.1. Tautologia: Do grego, “tautos” exprime a ideia de “mesmo”, de “idêntico”, desse modo, Tautologia trata-se de outra denominação para pleonasmo vicioso e se caracteriza pela repetição, por meio de termos diferentes. Quando dizemos “que surpresa inesperada”, estamos cometendo um vício linguístico, contudo, vendo do ponto de vista lógico, dizer: “Se foi surpresa, então foi inesperado”, trata-se de uma tautologia! Por quê? Porque não tem como uma surpresa não ser inesperada! Ou seja, essa condicional é Verdadeira em todos os casos. Isso que significa Tautologia, na Lógica, quando uma situação sempre será verdadeira independente da validade das condições, ou dos termos que a compõe. Para exemplificar, considere a seguinte sentença: “Eu estou acordado ou estou dormindo”. Podemos considerar, para fins práticos, que, quando eu não estou acordado, estou dormindo. Ou seja, essa disjunção será sempre verdadeira, em qualquer caso! Em símbolos, considere p = eu estou acordado e ~p = estou dormindo (aqui, escrevemos em símbolos o fato de “não estar acordado” significar “estar dormindo”), então teremos a seguinte disjunção: p∨(~p), agora analisemos sua Tabela-Verdade: p ~p p∨(~p) V F V F V V Já que os possíveis valores lógicos para p são V ou F, e ~p tem exatamente valores lógicos contrários, temos que a disjunção entre V e F ou F e V sempre será V (lembre-se que, numa disjunção, basta uma das proposições ser V para que ela toda seja V). 2.8.2. Contradição: Ao contrário da Tautologia, uma proposição composta formada por duas ou mais proposições será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições que a compõem. Ou seja, construindo a Tabela-Verdade de uma 26 proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem falsos, então estaremos diante de uma contradição. Um exemplo bem simples para entender é aquele mesmo usado para a Tautologia, mas trocando o conectivo “ou” pelo “e”, ficando a frase deste jeito: “Eu estou acordado e estou dormindo”. Já fica evidente a invalidade dessa sentença, contudo, iremos analisar sua Tabela-Verdade. Considere p = eu estou acordado e ~p = estou dormindo, levemos em conta todas as possibilidades para p, que são V ou F, teremos ~p como F ou V, respectivamente; portanto, ao fazer a conjunção, teremos: p ~p p∧(~p) V F F F V F Já que a sentença toda é considerada falsa quando uma das proposições componentes é falsa. Agora vejamos um exemplo um pouco mais complexo: (p∨q)∧[(~p)∧(~q)]. Essa sentença é uma contradição e, para mostrar isso, iremos analisar detalhadamente sua Tabela-Verdade. Inicialmente, iremos construir a Tabela considerando apenas as possibilidades para p e q: p q V V V F F V F F Agora iremos colocar mais duas colunas representando as possibilidades para (~p) e (~q), considerando os valores já imposto nas primeiras colunas: p q (~p) (~q) V V F F V F F V F V V F F F V V 27 Lembre-se que, quando p é V, (~p) é F e vice-versa. O mesmo se aplica para q. Agora iremos adicionar mais duas colunas, uma representando a disjunção de p com q, e a outra representando a conjunção de (~p) com (~q). Ficando assim: p q (~p) (~q) p∨q (~p)∧(~q) V V F F V F V F F V V F F V V F V F F F V V F V E, para finalizar, faremos a conjunção das duas últimas colunas. Note como ficou alternado os valores lógicos, quando uma é V, a outra é F e vice-versa. Nesse caso, a conjunção vai considerar sempre o valor F e resultará em F. p q (~p) (~q) p∨q (~p)∧(~q) (p∨q)∧[(~p)∧(~q)] V V F F V F F V F F V V F F F V V F V F F F F V V F V F Tendo, então, uma contradição, já que, considerando todos os possíveis valores lógicos para p e q, temos tudo F no final. Perceba que, se trocássemos a conjunção final por uma disjunção, teríamos exatamente uma Tautologia. Ou seja: (p∨q)∨[(~p)∧(~q)] é uma Tautologia. 2.8.3. Contingência: Para encerrar esse Tópico, lidaremos com proposições compostas que não resultam nem em Tautologias nem em Contradições, são as chamadas “Contingência”. Esse tipo de sentença também é considerada indeterminada. Veremos mais à frente que as Contingências e a análise das Tabelas-Verdade se tornarão ferramentas cruciais para resolver problemas envolvendo verdades e mentiras, silogismos, negações e sentenças mais complexas. 28 Para exemplificar uma Contingência, observe a seguinte sentença: p⇔(p∧q). Temos aqui uma contingência, pois essa sentença não é uma Tautologia, nem uma Contradição. E para justificar, usaremos sua Tabela-Verdade: 29 3. Problemas Envolvendo Verdades e Mentiras Em várias questões de Lógica, é comum aparecerem argumentos com premissas verdadeiras ou falsa. Deve-se começar a análise pelas afirmativas que carreguem mais informações. Em cada problema, você deverá interpretar e fazer uma análise lógica das situações, identificando possíveis contradições para, no fim, apresentar uma resposta coerente. Recomenda-se que você faça uma Tabela-Verdade contendo apenas os valores lógicos contemplados pelo problema, em vez de considerar todos os possíveis valores. Para exemplificar e sugerir um passo a passo, considere o seguinte exemplo: “Em um grupo de quatro pessoas que estão conversando, sabe-se que exatamente uma delas fala a verdade e as demais mentem. Segue descrita uma conversa: Adriano: － Todos aqui falam a verdade. Beatriz: － Adriano fala a verdade. Carlos: － Beatriz mente. Daniel: － Carlos mente. Quem falou a verdade?” Nesse exemplo, vamos considerar uma Tabela-Verdade combinando apenas os valores F, F, F e V, pois, como diz a questão, apenas uma das quatro pessoas fala a verdade. Agora, exatamente onde se encaixarão esses valores? Para responder a essa pergunta, teremos que arbitrariamente inserir esses valores para cada pessoa e procurar por contradições considerando que apenas uma pessoa fala a verdade. Em termos práticos, considere o seguinte passo a passo: 1. Traduza as proposições para símbolos; Adriano = A, Beatriz = B, Carlos = C e Daniel = D. As frases ficariam: “Todos aqui falam a verdade” = A, B, C, D é F 30 “Adriano fala a verdade” = A é V “Beatriz mente” = B é F “Carlos mente” = C é F 2. Escreva a Tabela-Verdade na forma transposta; A diz: A, B, C, D é F 3. B diz: AéV C diz: BéF D diz: CéF Considere os Valores Lógicos Coerentes com o Problema; A diz: A, B, C, D é F V F F F B diz: AéV F V F F C diz: BéF F F V F D diz: CéF F F F V Note que, aqui, consideraremos apenas um valor V, porém precisaremos deduzir onde esse V deve se encaixar para não termos contradições. 4. Elimine as colunas que geram contradições evidentes; A diz: A, B, C, D é F F F F B diz: AéV V F F C diz: BéF F V F D diz: CéF F F V Aqui, eliminamos a primeira coluna que supunha que A era V, pois evidentemente é F, já que, caso fosse V, teríamos que todos mentem, e já sabemos que um deles fala a verdade. 5. Divida seu problema em Tabelas separadas para cada coluna restante; Esse passo poderia ser o primeiro, se você já estiver familiarizado com esse tipo de problema e já capta as contradições evidentes de primeira só pela leitura do enunciado. Desse modo, teremos as seguintes tabelas: 31 1º Situação A diz: A, B, C, D é F F B diz: AéV V C diz: BéF F D diz: CéF F 2º Situação A diz: A, B, C, D é F F B diz: AéV F C diz: BéF V D diz: CéF F 3º Situação 6. A diz: A, B, C, D é F F B diz: AéV F C diz: BéF F D diz: CéF V Faça a negação dos que forem F; 1º Situação A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V B diz: AéV V C diz: BéF F BéV D diz: CéF F CéV 2º Situação A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V B diz: AéV F AéF C diz: BéF V D diz: CéF F 32 CéV 3º Situação 7. A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V B diz: AéV F AéF C diz: BéF F BéV D diz: CéF V Analisemos cada situação, considerando os valores lógicos supostos. 1º Situação A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V B diz: AéV V Errado, pois A é F. C diz: BéF F BéV Correto! D diz: CéF F CéV Errado, pois C é F. Correto! 2º Situação A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V Correto! B diz: AéV F AéF Correto! C diz: BéF V D diz: CéF F Correto! CéV Correto! 3º Situação A diz: A, B, C, D é F F Alguém é V Correto! B diz: AéV F AéF Correto! C diz: BéF F BéV Errado, pois B é F. D diz: CéF V Correto! Após essa análise, chegamos a conclusão que a única situação em que nenhum dos valores entra em contradição com os outros é a segunda situação. Portanto, concluímos que o que C diz é V. Em outras palavras, concluímos que quem falou a verdade foi o Carlos e todos os outros mentiram. 33 4. Exercícios 4.1. Problemas envolvendo Proposições: 1) Dê o valor lógico verdadeiro (V) ou falso (F), nas sentenças que são proposições abaixo, e marque um X quando não for possível: a) Salvador é a capital da Bahia ( ) b) -5 pertence ao conjunto Z ( ) c) Que raiva!( ) d) Todos os animais são mamíferos ( ) e) Quero tirar férias! ( ) f) Mercúrio não é um planeta do sistema solar. ( ) g) Pitágoras era um grande matemático. ( h) Henrique é físico. ( ) i) Ela é uma boa professora. ( ) j) Gostaria de uma xícara de chá. ( k) Qual é o seu nome?. ( ) ) ) l) As nuvens são feitas de algodão. ( ) 2) Transforme as proposições simples em proposições compostas: a) p: Ana estuda matemática q: Caio estuda história p∧q: _______________________________________________________________ b) p: Faz frio q: Faz calor p∨q: _______________________________________________________________ c) p: Bia estudou veterinária q: Bia gosta de animais p⇒q: _______________________________________________________________ d) p: x pertence ao conjunto dos números naturais 34 q: x é um número inteiro e positivo p⇔q: _______________________________________________________________ e) p: Gosto de sorvete q: Gosto de refrigerante p∧(~q): _______________________________________________________________ f) p: Vou ao restaurante q: Vou ao cinema p∨q: _______________________________________________________________ 3) Sejam as proposições p: Paulo é feliz e q: Paulo é atleta. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Paulo é feliz e atleta: _________________ b) Paulo é feliz e não é atleta: _________________ c) Se Paulo é feliz então Paulo é atleta: _________________ d) Não é verdade que Paulo é triste ou atleta :_________________ e) Paulo não é feliz e não é atleta: _________________ f) Paulo é atleta se, e somente se é feliz: _________________ g) Paulo é feliz ou é triste e atleta: _________________ h) É falso que Paulo é feliz ou que não é atleta: _________________ 35 4.2. Problemas envolvendo Tabelas-Verdade: 1) Mostre que ~(p∧q) = (~p)∨(~q) comparando as tabelas-verdade. 2) Mostre que ~(p⇒q) = p∧(~q) comparando as tabelas-verdade. 3) Mostre que ~(p⇔q) = [p∧(~q)]∨[q∧(~p)] comparando as Tabelas-Verdade. 4) Mostre que (p∧q)⇒(p∨q) é uma Tautologia analisando sua Tabela-Verdade. 36 4.3. Problemas envolvendo Verdades e Mentiras: 1) Um crime foi cometido por uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos: André, Bernardo, Caio, Daniel e Edu. Perguntados sobre quem era o culpado cada um deles afirmou:  André: “Sou inocente”;  Bernardo: “Caio é o culpado”;  Caio: “Edu é o culpado”;  Daniel: “André disse a verdade”;  Edu: “Bernardo mentiu”. Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e que todos os outros disseram a verdade, pode-se concluir que o culpado é? 2) Quatro amigos vão ao museu e um deles entra sem pagar. Um fiscal quer saber quem foi o penetra: – Foi o Carlos, diz o Mário. – O Mário não tem razão, diz o Pedro. – Foi o Pedro, diz o Carlos. – Eu não fui, diz o Benjamim. Só um deles mentiu. Quem não pagou a entrada? 3) Ana, Beatriz, Célia e Dora apostaram uma corrida. Ana disse: Célia ganhou, Beatriz chegou em 2º lugar; Beatriz disse: Célia chegou em 2º lugar e Dora, em 3º; Célia disse: Dora foi a última; Ana, a 2ª; Cada uma das meninas disse uma verdade e uma mentira. Qual a colocação de cada menina? 4) Roberto, Toni e Hipácia são irmãos. Indagados sobre a veracidade das afirmações dos três, obteve-se as seguintes declarações: “Hipácia mente”, diz Roberto “Toni mente”, diz Hipácia. “Roberto e Hipácia mentem”, diz Toni. Quem é então que fala a verdade? 37 5) Quatro suspeitos de praticar um crime fazem as seguintes declarações: João: Carlos é o criminoso; Pedro: eu não sou criminoso; Carlos: Paulo é o criminoso; Paulo: Carlos está mentindo. Sabendo que apenas um dos suspeitos disse a verdade, determine quem é o criminoso e quem falou a verdade. 6) Na porta da minha casa, passam dois ônibus, em A e outro B. Um deles passa pelo Ministério da Fazenda; o outro, não. Na casa ao lado da minha, moram dois irmãos. Um só diz a verdade, outro só diz mentira. Ao indagar sobre qual ônibus tomar para chegar ao Ministério da Fazenda, um dos irmãos me disse: “Se meu irmão estivesse aqui, mandaria você tomar o ônibus A”. Que ônibus devo tomar? 7) Eu tenho 3 bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, uma de branco e outra de azul, não necessariamente nessa ordem. Somente uma das afirmações é verdadeira: I. A é vermelha II. B não é vermelha III. C não é azul Qual a cor de cada bola? 8) Numa certa comunidade mítica, os políticos sempre mentem e os não políticos sempre falam a verdade. Um estrangeiro encontra-se com três nativos e pergunta ao primeiro deles se é político. Este responde à pergunta. O segundo nativo informa, então, que o primeiro nativo negou ser um político. Mas, o terceiro nativo afirma que o primeiro é, realmente, um político. Quais desses três nativos eram políticos? 9) Cada um dos cartões abaixo tem de um lado, um número, do outro lado uma letra. Alguém afirmou que todos os cartões que tem uma vogal numa face tem um número par na outra. Como é possível verificar se tal afirmação é verdadeira? 38 SEGUNDA UNIDADE: LÓGICA MATEMÁTICA 39 1. Introdução O que é lógica? As palavras “lógica” e “lógico” nos são familiares. Falamos freqüentemente de comportamento lógico, de explicação lógica em contraste com comportamento ilógico, de explicação ilógica. Nestes casos, a palavra é usada no mesmo sentido de “razoável”. Uma pessoa com “espírito lógico” é uma pessoa razoável. Esses usos podem ser considerados como derivativos de um sentido mais técnico do termo para caracterizar os argumentos racionais. O estudo de Lógica é o estudo dos métodos e princípios usados para distinguir o raciocínio correto do incorreto. Isto não significa que só se tem raciocínio lógico quem estuda lógica. Mas uma pessoa que estuda lógica tem maior probabilidade de raciocinar corretamente. A Lógica Matemática é conhecida também por Lógica Proposicional ou Lógica Simbólica Clássica. Seu objetivo é a formulação de critérios que permitam a análise da legitimidade dos argumentos usados na demonstração de determinadas afirmações. Assim, usando argumentos “legítimos”, se conseguirmos mostrar que uma afirmação segue de afirmações anteriores já estabelecidas, passamos a considerar essa afirmação como estabelecida também. Isso dá o modelo geral de uma teoria matemática acerca de determinado assunto, onde tomamos como verdadeiras certo número de afirmações iniciais (axiomas ou postulados) e a partir daí, usando argumentos logicamente válidos, começamos a deduzir outras afirmações construindo a teoria. (Isso fica bem claro na construção da geometria euclidiana, da teoria dos conjuntos, etc.). Uma parte do estudo da lógica consiste no exame e na análise dos métodos incorretos do raciocínio, ou seja as falácias. O estudo de lógica dá uma visão mais profunda dos princípios do raciocínio em geral e proporciona, através da aplicação de algumas técnicas, determinar a correção ou incorreção de todos os raciocínios. Exemplos: “Ou você é a favor do presidente ou você é contra a reeleição. Você é contra a reeleição. Você não é a favor do presidente.” “Criança que tem brinquedo estrela é feliz. 40 A criança é feliz. A criança tem brinquedo estrela.” O primeiro argumento tem um erro de falsa dicotomia e o segundo induz a pensar que o antecedente segue do consequente, ou seja, a condição suficiente é também necessária. Para quem estuda lógica é interessante corrigir o processo do raciocínio. Sua pergunta é sempre essa: a conclusão a que se chegou deriva das premissas usadas ou pressupostas? Se as premissas fornecem base ou boas provas para a conclusão, se a afirmação da verdade das premissas garante a afirmação de que a conclusão também é verdadeira, então o raciocínio é correto. No caso contrário, é incorreto. A distinção entre o raciocínio correto e o incorreto é o problema central de que se incube a lógica. 41 2. Silogística Aristotélica 2.1. Silogismos: Aristóteles (384 - 322 a.C) definiu silogismo como sendo uma série de palavras em que, sendo admitidas certas coisas, delas resultará necessariamente alguma outra coisa, pela simples razão de se terem admitido aquelas. De modo geral, o silogismo funciona quando temos duas proposições, chamadas “premissas”, das quais se tira uma terceira chamada “conclusão”. Mais adiante veremos como identificar silogismos inválidos. Exemplos de silogismos: “Hoje está quente ou frio. Bem, não está quente. Hoje está frio.” “Sabemos que 1 + 4 = 5 Mas 2 + 3 = 5 também. Concluímos que 1 + 4 = 2 + 3.” 2.1.1. Inferência e Argumento: Chamamos de inferência o processo pelo qual chegamos a uma conclusão. Divagação, associações de idéias, imaginação são recursos válidos para o pensamento, cujos resultados podem ser desde crença e opiniões até sentenças científicas. Para a lógica interessa o argumento que corresponde à inferência. Ou seja, após o processo de descoberta, qualquer que tenha sido o caminho percorrido, cabe ao lógico examinar a forma da inferência a fim de verificar se é justificável chegar a determinada conclusão. Argumento é uma seqüência de proposições, na qual um das proposições é a conclusão e as demais, chamadas premissas ou hipóteses, formam as provas ou evidências para a conclusão. Exemplos: 42 Argumento 1: Como todo brasileiro é sul-americano e todo paulista é brasileiro, então todo paulista é sul-americano. Neste caso, “Todo brasileiro é sul-americano” e “Todo paulista é brasileiro” são as premissas e “Todo paulista é sul-americano” é a conclusão desse argumento. Argumento 2: Como todo matemático é louco e eu sou matemático, então eu sou louco. Neste caso, a argumentação é válida embora as premissas sejam falsas. 2.1.2. Dedução e Indução: Os argumentos podem ser classificados em argumentos dedutivos ou indutivos. Exemplos:  Dedutivo: Todo mamífero tem coração. Todos os cavalos são mamíferos. Portanto, todos os cavalos tem um coração.  Indutivo: Todos os cavalos até hoje observados tinham coração. Portanto, todos os cavalos tem coração. Argumento dedutivo é um argumento cuja conclusão é inferida necessariamente de suas premissas. Existe uma ligação entre as premissas e a conclusão tal que a conclusão se torna necessária, ou seja, tem que ser esta e não outra. Além disso, o enunciado da conclusão não excede o conteúdo das premissas, isto é, não se diz mais na conclusão do que foi dito nas premissas. Argumento indutivo é um argumento cuja conclusão não é derivada necessariamente de suas premissas. A indução é uma argumentação na qual, a partir de dados singulares suficientemente enumerados, inferimos uma verdade universal. Exemplos: 43 “Esta porção de água ferve a 100 graus e esta outra, e esta outra... Logo, a água ferve a 100 graus.” “Ontem e anteontem havia nuvens no céu. Depois Choveu. Hoje, também há nuvens no céu. Então, hoje choverá.” Diferentemente do argumento dedutivo, em um argumento indutivo, o conteúdo da conclusão excede o das premissas. A conclusão da indução tem apenas probabilidade de ser correta. Esta forma de argumento é responsável pela fundamentação de grande parte de nossos conhecimentos na vida diária e de grande valia nas ciências experimentais. Além disso, todas as previsões que fazemos para o futuro tem base na indução. 2.1.3. Validade de um Argumento: Um argumento dedutivo é válido quando suas premissas, se verdadeiras, fornecem provas convincentes para sua conclusão, isto é, quando as premissas e a conclusão estão de tal modo relacionadas que é absolutamente impossível as premissas serem verdadeiras se a conclusão tampouco for verdadeira. A validade de um argumento depende exclusivamente de sua forma, e não do seu conteúdo ou da verdade ou falsidade dos enunciados que nele ocorrem. Todo raciocínio (ou argumento) dedutivo é dito válido ou inválido. Exemplos: “Todos os baianos gostam de carnaval. Ora, eu gosto de carnaval. Logo, eu sou baiano.” “Todos os homens são homofóbicos. Ora, eu sou homem. Logo, eu sou homofóbico.” “Toda baleia é mamífero. Nenhum mamífero é peixe. Logo, a baleia não é peixe.” “Todos os gatos são mamíferos. Todos os mamíferos têm pulmão. Portanto, todos os gatos têm pulmão.” 44 “Todas as aranhas tem seis pernas. Todos os seres de seis pernas tem asas. Portanto, todas as aranhas têm asas.” “A água provoca câncer pois todas as pessoas que morreram de câncer bebiam água.” Nos exemplos acima, o primeiro e o último argumento são inválidos. Note que alguns desses exemplos, apesar de válidos, possuem premissas falsas. Verdadeiro e falso são propriedades das proposições, nunca dos argumentos, assim como propriedades de validade ou invalidade só podem pertencer a argumentos dedutivos, mas nunca a proposições. Alguns argumentos válidos contém apenas proposições verdadeiras, mas um argumento pode conter exclusivamente proposições falsas e, mesmo assim, ser válido. No exemplo da aranha, o argumento é valido, pois, se suas premissas fossem verdadeiras, sua conclusão também seria verdadeira. Para ficar mais claro, considere o seguinte exemplo: “Se eu possuísse todo o ouro de Serra Pelada, então eu seria muito rico. Não possuo o ouro de Serra Pelada. Portanto, não sou muito rico.” Embora possamos considerar que as premissas sejam verdadeiras, o argumento é inválido, pois a negação de uma condicional é uma conjunção, ou seja, é uma estrutura diferente. Mais à frente veremos como analisar estruturas com negação. Assim, pode-se observar que existem argumentos válidos com conclusões falsas, bem como argumentos inválidos com conclusões verdadeiras. Logo, a verdade ou falsidade da sua conclusão não determinam a validade ou invalidade de um argumento. Há raciocínios perfeitamente válidos que tem conclusão falsa mas, para que isso ocorra, devem ter pelo menos uma premissa falsa. Os argumentos inválidos ou aqueles válidos que contenham pelo menos uma premissa falsa são chamados de Falácias ou Sofismas. Estudaremos cada um detalhadamente mais à frente. 2.1.4. Como reconhecer Argumentos? 45 Para se reconhecer se um argumento é válido ou inválido, deve-se em primeiro lugar saber reconhecer os argumentos, quando eles ocorrem e identificar as suas premissas e conclusões. A conclusão de um enunciado não tem que ser enunciada necessariamente no seu final ou começo. Por exemplo: “Como a moral tem influência nas ações e afeições, segue-se que ela não pode ser derivada da razão; e isso porque a razão, por si só, como já provamos, jamais pode ter tal influência.” (David Hume) Podemos transcrever esse argumento válido na seguinte forma: Premissa 1: A moral tem influência nas ações e afeições. Premissa 2: A razão não pode, isoladamente, influenciar as ações e afeições. Conclusão: Logo, a moral não pode ser derivada da razão. Observação: nenhuma proposição é isoladamente uma premissa ou conclusão. Só é premissa quando ocorre como pressuposição num argumento ou raciocínio. Só é conclusão quando ocorre num argumento em que se afirma decorrer das proposições pressupostas nesse argumento. Exemplos: “Tudo que é predeterminado é necessário. Todo evento é predeterminado. Logo, todo evento é necessário.” “Todo evento causado por outros eventos é predeterminado. Todo evento é causado por outros eventos. Logo, todo evento é predeterminado.” No primeiro argumento a proposição “todo evento é predeterminado” é uma premissa enquanto no segundo argumento ela é a conclusão. Além disso, nem tudo que é dito no decorrer de um argumento é premissa ou conclusão desse argumento. Um trecho que contém um argumento pode também conter outro material que tanto pode ser irrelevante quanto fornecer importantes informações sobre os antecedentes do argumento. Por exemplo: 46 “Se o código penal proíbe o suicídio, esta proibição é ridícula; pois que penalidade pode assustar um homem que não teme a própria morte?” A proposição “o código penal proíbe o suicídio” não é premissa nem conclusão do argumento mas auxilia a se ter conhecimento de que proibição se refere o texto. Podemos escrever esse argumento na forma: Premissa 1: Nenhuma penalidade pode assustar um homem que não teme a própria morte. Premissa 2: O código penal proíbe suicídio. Conclusão: A proibição do suicídio do código penal é ridícula. 47 2.2. Enunciados Categóricos: Além dos argumentos falaciosos, existe ainda o problema das frases ambíguas. Consideremos a declaração: “Políticos são Corruptos”. Do ponto de vista lógico, esta declaração é imprecisa. Surge então a questão: como podemos eliminar esta imprecisão? Segundo o filósofo grego Aristóteles (séc. IV a.C) isso somente é possível se enunciarmos as sentenças na forma categórica, usando quantificadores. 2.2.1. Quantificadores: Acrescentando as expressões “todos”, “alguns”, “nenhum” à afirmação acima, obtemos enunciados categóricos, ou seja, enunciados precisos, no sentido de que podemos atribuir-lhes um e somente um valor lógico. Chamaremos essas expressões de quantificadores lógicos. A declaração: “Políticos são corruptos” adquire as seguintes formas enunciativas, quando acrescidas de uma dos quantificadores: todo, nenhum e alguns: “Todos os políticos são corruptos.” “Nenhum político é corrupto.” “Alguns políticos são corruptos.” ou “Existem políticos corruptos.” “Alguns políticos não são corruptos.” ou “Existem políticos que não são corruptos.” As sentenças assim formuladas são chamadas de proposições categóricas. Segundo a classificação de Aristóteles elas podem ser de quatro tipos: Tipo de Enunciado Categórico Afirmação Universal Negação Universal Afirmação Particular Negação Particular Forma Lógica Todo S é P Nenhum S é P Algum S é P Algum S não é P 2.2.2. Símbolos Gráficos e Representação por Diagramas: Iremos resumir os quantificadores lógicos particulares usando o símbolo ∃, que significa “existe”, e pode ser interpretado como qualquer um de seus sinônimos (pelo menos um, ao menos um, algum). Já os quantificadores lógicos universais serão representados pelo 48 símbolo ∀, que significa “para todo e qualquer que seja”, e pode ser traduzido como simplesmente “todos”. Para exemplificar: “Toda pessoa que nasce em Fortaleza é cearense.” Considere como M o conjunto de todas as pessoas que nasceram em Fortaleza e como N o conjunto de todos os cearenses. Então poderíamos transcrever a frase acima em códigos: ∀M é N. Para facilitar o entendimento desse tipo de enunciado, usaremos diagramas, assim como o matemático Leonard Euler (séc. XVIII), que utilizou-se de diagramas para explicar a uma princesa alemã o significado dos quatro enunciados categóricos. Para isso ele utilizou desenhos que se revelaram muito eficientes e ficaram conhecidos como diagramas de Euler. Esses diagramas são bastante utilizados no estudo de conjuntos. Um conjunto é uma coleção de elementos que têm uma mesma característica, uma propriedade que os distingue. Quando falamos no conjunto M das pessoas que nasceram em Fortaleza, estamos reunindo em um só grupo todos os elementos que apresentam a característica: ter nascido em Fortaleza. Assim, podemos representar o conjunto M por uma região limitada do plano, que tal um círculo? Os pontos do seu interior representam os elementos de M, isto é, as pessoas. Os pontos externos a essa região formam o conjunto ~M, ou seja, as pessoas que nasceram em outras cidades, conforme a figura: Agora, considere o conjunto de todos os cearenses N. Como a sentença nos diz ∀M é N, devemos ter diagramas assim desenhados: 49 Alguns anos mais tarde, no século XIX, o matemático e filósofo britânico John Venn, usando os diagramas de Euler fez um trabalho de lógica formal intitulado “Da representação mecânica e diagramática”, que trouxe um método que superava todos os outros em termos de clareza e simplicidade. Desde então nos referimos a esses diagramas como “diagramas de Venn”. A grande sacada de Venn foi usar os diagramas para relacionar conjuntos que possuem interseção, ou seja, propriedades em comum com outros. Para exemplificar, considere que A é o conjunto de todas as pessoas que têm ansiedade e que D é o conjunto de todas as pessoas que têm depressão. Sabe-se que algumas pessoas ansiosas têm depressão, ou seja, em símbolos, ∃A é D. Em diagramas, devemos ter: Nesses diagramas, temos três regiões, que, representando em códigos, fica assim: Amarela: A∧(~D); Verde: A∧D; Azul: (~A)∧D; Sentença: [A∧(~D)]∨[A∧D]∨[(~A)∧D]. Vejamos agora, em diagramas, todas os possíveis enunciados categóricos, considerando S o conjunto de pessoas saudáveis e A o conjunto de atletas: 50 2.3. Negação de Enunciados Categóricos: 2.3.1. Negação de sentenças quantificadas universalmente: Qual é a negação de “todos são”? A resposta é: “nem todos são”, o que equivale a: “pelo menos um não é” ou “algum não é”. Um erro muito comum é achar que a negação de “todos são” é “todos não são”. A negação de uma sentença quantificada universalmente é uma sentença quantificada particularmente. Ou seja, o quantificador universal transforma-se em particular e nega-se o complemento. Por exemplo, a negação de “todos gostam de futebol” é “pelo menos um não gosta de futebol”. 2.3.2. Negação de sentenças quantificadas particularmente: E a negação de “algum é”? Resposta: “nenhum é”, o que equivale a: “todos não são”. A negação de uma sentença quantificada particularmente é uma sentença quantificada existencialmente. Ou seja, o quantificador particular transforma-se em existencial e nega-se o complemento. Por exemplo, a negação de “pelo menos um gosta de futebol” é “todos não gostam de futebol”. Cuidado para não cometer um erro análogo ao anterior e achar que a negação de “algum é” é “algum não é”, pois está incorreto! 51 2.4. Validade de um argumento usando uma Tabela-Verdade: Usando quantificadores, universal ou existencial, e a letra “x” como variável, podemos reescrever os enunciados categóricos do seguinte modo: Todo S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x é P. Nenhum S é P Qualquer que seja x, se x é S, então x não é P. Algum S é P Existe x, x é S e x é P. Algum S não é P Existe x, x é S e x não é P. Com isso, podemos testar a validade de argumentos categóricos usando tabela-verdade ou equivalências. Por exemplo, sejam argumentos: 1) Todo animal é mortal. O homem é um animal. Portanto, o homem é mortal. 2) Todo animal é mortal. O homem é mortal. Portanto, o homem é um animal. Agora transcrevamos para símbolos usando operadores lógicos: 1) ∀x, se x é animal, então x é mortal. ∀x, se x é homem, então x é animal. Portanto, ∀x, se x é homem, então x é mortal. 2) ∀x, se x é animal, então x é mortal. ∀x, se x é homem, então x é mortal. Portanto, ∀x, se x é homem, então x é animal. Fazendo: p: ∀x, x é animal q: ∀x, x é mortal r: ∀x, x é homem Considerando a conjunção das premissas, usando o símbolo ∧, o formato dos argumentos fica assim: 52 1) [(p⇒q)∧(r⇒p)]⇒(r⇒q). 2) [(p⇒q)∧(r⇒q)]⇒(r⇒p). Agora, analisemos detalhadamente as suas Tabelas-Verdade, considerando todos os possíveis valores lógicos para p, q e r: Argumento 1 p q r p⇒q r⇒p (p⇒q)∧(r⇒p) r⇒q [(p⇒q)∧(r⇒p)]⇒(r⇒q) V V V V V V V V V V F V V V V V V F V F V F F V F V V V F F V V V F F F V F V V F V F V V V V V F F V V F F F V F F F V V V V V Argumento 2 p q r p⇒q r⇒q (p⇒q)∧(r⇒q) r⇒p [(p⇒q)∧(r⇒q)]⇒(r⇒p) V V V V V V V V V V F V V V V V V F V F F F V V F V V V V V F F V F F F V F V V F V F V V V V V F F V V F F F V F F F V V V V V Note que as Tabelas-Verdade nos indicam que o Argumento 1 é uma Tautologia e o Argumento 2 é uma Contingência. Usamos esses fatos para concluir que o Argumento 1 está correto e que o Argumento 2 está incorreto. 53 2.5. Validade de um argumento usando Diagramas: Se você preferir, usar diagramas de Venn pode até ser bem mais simples, porém é necessário entender o padrão de transitividade desse tipo de problema. Para entender a transitividade, tente separar as premissas em termo pequeno, termo médio e termo grande. Por termo pequeno, nos referimos ao menor conjunto; termo médio, o conjunto intermediário, e termo grande, o maior conjunto, ou o conjunto universo. Desse modo, aquele Argumento do tópico anterior: 1) Todo animal é mortal. O homem é um animal. Portanto, o homem é mortal. ...pode ser ser representado em diagramas da seguinte forma: Premissas: Todo homem é animal: Todo animal é mortal: Conclusão: Todo homem é mortal: Note que, usando diagramas, conseguimos facilmente identificar qual é o conjunto menor, qual é o conjunto intermediário e qual é o maior conjunto, e conseguimos encaixar perfeitamente um dentro do outro e a esse fato damos o nome de Propriedade Transitiva. Mais adiante veremos a aplicação dessa propriedade na Matemática. 54 Agora vejamos como ficaria o outro Argumento: 2) Todo animal é mortal. O homem é mortal. Portanto, o homem é um animal. Premissas: Todo homem é mortal: Todo animal é mortal: Conclusão: Todo homem é animal: Nesse caso, não ficou claro qual era o maior conjunto. Nas premissas, quando dizemos “Todo homem é mortal”, temos que o termo “homem” é menor que o termo “mortal”; porém, quando dizemos que “Todo animal é mortal”, temos que o termo “animal” também é menor que o termo “mortal”. Quando isso acontecer, é porque o argumento é inválido. Para ficar mas claro, pensemos em números: 3 < 5 e 2 < 5, não podemos dizer que 3 < 2. 55 3. Paralogismos e Sofismas Para encerrar o estudo de Silogística Aristotélica nessa apostila e ver suas aplicações junto com a Lógica Proposicional, precisamos entender o conceito de Falácias. Falácia é todo o raciocínio aparentemente válido que é, na realidade, incorreto, que faz cair em erro ou engano. Na lógica, uma falácia é um argumento logicamente incoerente, sem fundamento, inválido ou falho na tentativa de provar eficazmente o que alega. Argumentos que se destinam à persuasão podem parecer convincentes para grande parte do público apesar de conterem falácias, mas não deixam de ser falsos por causa disso. Tradicionalmente, distinguem-se dois tipos de falácias: o paralogismo e o sofisma. O paralogismo é uma falácia cometida involuntariamente, sem má-fé; já o sofisma, uma falácia cometida com plena consciência, com a intenção de enganar. Essa distinção não é, no entanto, aceitável, pois introduz um critério exterior à lógica - a Ética. Dito de outro modo, não compete à lógica apreciar as intenções de quem argumenta. Por isso, tornam-se como sinônimos os termos falácia e sofisma. A seguir, apresentaremos os principais tipos de falácias. 56 3.1. Tipos de Falácias: 3.1.1. Apelo à Força (argumentum ad baculum): Definição: Consiste em ameaçar com consequências desagradáveis se não for aceita ou acatada a proposição apresentada. Exemplos: - Você deve se enquadrar nas novas normas do setor. Ou quer perder o emprego? - É melhor exterminar os bandidos: você poderá ser a próxima vítima. - Cala essa tua boca, ou não te dou o dinheiro para o show. - Ou nós, ou a desgraça, o caos. Contra-argumentação: Argumente que apelar à força não é racional, não é argumento, que a emoção não tem relação com a verdade ou a falsidade da proposição. 3.1.2. Apelo à Misericórdia, à Piedade (argumentum ad misericordiam, ignorância de questão, fuga do assunto): Definição: Consiste em apelar à piedade, à misericórdia, ao estado ou virtudes do autor. Exemplo: Ele não pode ser condenado: é bom pai de família, contribuiu com a escola, com a igreja, etc. Contra-argumentação: Argumente que se trata de questões diferentes, que o que é invocado nada tem a ver com a proposição. Quem argumenta assim ignora a questão, foge do assunto. 3.1.3. Apelo ao Povo (argumentum ad populum): Definição: Consiste em sustentar uma proposição por ser defendida pela população ou parte dela. Sugere que quanto mais pessoas defendem uma ideia, mais verdadeira ou correta ela é. Incluem-se aqui os boatos, o “ouvi falar”, o “dizem”, o “sabe-se que”. Exemplo: Dizem que um disco voador caiu em Minas Gerais, e os corpos dos alienígenas estão com as Forças Armadas. 57 Contra-argumentação: Os educadores, os professores, as mães têm o argumento: se todos querem se atirar em alto mar, você também quer? O fato de a maioria acreditar em algo não o torna verdadeiro. 3.1.4. Apelo à Autoridade: Definição: Consiste em citar uma autoridade (muitas vezes não-qualificada) para sustentar uma opinião. Exemplo: Segundo Schopenhauer, filósofo alemão do séc. XIX, “toda verdade passa por três estágios: primeiro, ela é ridicularizada; segundo, sofre violenta oposição; terceiro, ela é aceita como autoevidente”. (De fato, riram-se de Copérnico, Galileu e outros. Mas nem todas as verdades passam por esses três estágios: muitas são aceitas sem o ridículo e a oposição. Por exemplo: Einstein). Contra-argumentação: Mostre que a pessoa citada não é autoridade qualificada. Ou que muitas vezes é perigoso aceitar uma opinião porque simplesmente é defendida por uma autoridade. Isso pode nos levar a erro. 3.1.5. Apelo à Novidade (argumentum ad novitatem): Definição: Consiste no erro de afirmar que algo é melhor ou mais correto porque é novo, ou mais novo. Exemplo: Saiu a nova geladeira Pólo Sul. Com design moderno, arrojado, ela é perfeita para sua família, sintonizada com o futuro. Contra-argumentação: Mostre que o progresso ou a inovação tecnológica não implica necessariamente que algo seja melhor. 3.1.6. Apelo à Antiguidade (argumentum ad antiquitatem): Definição: É o erro de afirmar que algo é bom, correto apenas porque é antigo, mais tradicional. Exemplo: Essas práticas remontam aos princípios da Era Cristã. Como podem ser questionadas? 58 Contra-argumentação: Argumente que o fato de um grande número de pessoas durante muito tempo ter acreditado que algo é verdadeiro não é motivo para se continuar acreditando. 3.1.7. Falso Dilema: Definição: Consiste em apresentar apenas duas opções, quando, na verdade, existem mais. Exemplos: - Brasil: ame-o ou deixe-o. - Você prefere uma mulher cheirando a alho, cebola e frituras ou uma mulher sempre arrumadinha? - Você não suporta seu marido? Separe-se! - Quem não está a favor de mim está contra mim. Contra-argumentação: Simples. Mostre que há outras opções. 3.1.8. Falso Axioma: Definição: Um axioma é uma verdade auto-evidente sobre a qual outros conhecimentos devem se apoiar. Por exemplo: duas quantidades iguais a uma terceira são iguais entre si. Outro exemplo: a educação é a base do progresso. Muitas vezes atribuímos, no entanto, “status” de axioma a muitas sentenças ou máximas que são, na realidade, verdades relativas, verdades aparentes. Exemplo: Quem cedo madruga Deus ajuda. Contra-argumentação: Mostre que muitas frases de efeito, impactantes, bombásticas, retóricas, muito respeitadas podem ser meras estratégias mediantes as quais alguém tenta convencer, persuadir o ouvinte/leitor em direção a um argumento. No caso dos provérbios, mostre que se contradizem - “Ruim com ele, pior sem ele” vs “Antes só do que mal acompanhado”. - “Depois da tempestade vem a bonança” vs “Uma desgraça nunca vem sozinha”. - “Longe dos olhos, perto do coração” vs “O que os olhos não vêem o coração não sente”. 3.1.9. Generalização Não-Qualificada (dicto simpliciter): 59 Definição: É uma afirmação ou proposição de caráter geral, radical e que, por isso, encerra um juízo falso em face da experiência. Exemplo: A prática de esportes é prejudicial à saúde. Contra-argumentação: Mostre que é necessário especificar os enunciados. Othon Garcia (Comunicação em Prosa Moderna, FGV, 1986, p. 169) ilustra como se pode especificar a falácia acima, dada como exemplo: A prática indiscriminada de certos esportes violentos é prejudicial à saúde dos jovens subnutridos. 3.1.10. Generalização Apressada (erro de acidente): Definição: Trata-se de tirar uma conclusão com base em dados ou em evidências insuficientes. Dito de outro modo, trata-se de julgar todo um universo com base numa amostragem reduzida. Exemplos: - Todo político é corrupto. - Os padres são pedófilos. - Os mulçumanos são todos uns fanáticos. Contra-argumentação: Argumente que dois professores ruins não significam uma escola ruim; que, em ciência, é preciso o maior número de dados antes de tirar uma conclusão; que não se pode usar alguns membros do grupo para julgar todo o grupo. Faça ver que se trata, na maioria das vezes, de estereótipo: imagem preconcebida de alguém ou de um grupo. Faça ver também que são fonte de inspiração de muitas piadas racistas, como as piadas de judeus (visto como avarento), de negro (vista como malandro ou pertencente a uma classe inferior), de português (visto no Brasil como sem inteligência), etc. É por isso que essa falácia está intimamente relacionada ao preconceito. 3.1.11. Ataque à Pessoa (argumentum ad homimem): Definição: Consiste em atacar, em desmoralizar a pessoa e não seus argumentos. Pensa-se que, ao se atacar a pessoa, pode-se enfraquecer ou anular sua argumentação. Exemplo: - Não dêem ouvidos ao que ele diz: ele é um beberrão, bate na mulher e tem amantes. 60 Observação: Uma variação de “argumentum ad homimem” é o “tu quoque” (tu também): Consiste em atribuir o fato a quem faz a acusação. Por exemplo: se alguém lhe acusa de alguma coisa, diga-lhe “tu também”! Isso, evidentemente, não prova nada. Contra-argumentação: Mostre que o caráter da pessoa não tem relação com a proposição defendida por ela. Chamar alguém de corrupto, nazista, comunista, ateu, pedófilo, etc. não prova que suas ideias estejam erradas. 3.1.12. Bola de Neve (derrapagem, redução ao absurdo, reductio ad absurdum): Definição: Consiste em tirar de uma proposição uma série de fatos ou consequências que podem ou não ocorrer. É um raciocínio levado indevidamente ao extremo, às últimas consequências. Exemplos: - Mãe, cuidado com o Joãozinho. Hoje, na escolinha, ele deu um beijo na testa de Mariazinha. Amanhã, estará beijando o rosto. Depois... Quando crescer, vai estar agarrando todas as meninas. - O álcool e uma dieta pobre também são grandes assassinos. Deve o governo regular o que vai à nossa mesa? A perseguição à indústria de fumo pode parecer justa, mas também pode ser o começo do fim da liberdade. (Veja, agosto 2000, p.36) Contra-argumentação: Argumente dizendo que as consequências, os fatos, os eventos podem não ocorrer. 3.1.13. Depois Disso, logo por Causa Disso (post hoc engo propter hoc): Definição: É o erro de acreditar que em dois eventos em sequência um seja a causa do outro. No extremo, é uma forma de superstição: eu estava com gravata azul e meu time ganhou; portanto, vou usá-la de novo. Exemplo: - O chá de quebra-pedra é bom para cálculos renais. Tomei e dois dias depois expeli a pedra. Observação: uma variação deste sofisma é o chamado “non sequitur” (não se segue, “nada a ver”) em que uma conclusão nada tem a ver com a premissa: Venceremos, pois Deus é bom (os inimigos podem dizer a mesma coisa, então Deus não seria bom para quem perde?). 61 Contra-argumentação: Mostre que correlação não é causa: o fato de que dois eventos aconteçam em sequência não significa que um seja a causa do outro. Diga que pode ter sido apenas uma coincidência. 3.1.14. Falsa Analogia: Definição: Consiste em comparar objetos ou situações que não são comparáveis entre si, ou transferir um resultado de uma situação para outra. Exemplos: - Sempre faço minhas provas pescando. Os advogados não consultam os códigos? Os médicos não consultam seus colegas e livros? Não levam as radiografias para as cirurgias? Os engenheiros, os pedreiros não consultam as plantas? Então? - Os empregados são como pregos: temos que martelar a cabeça para que cumpram suas funções. - Tomei dipirona e fiquei bom. Tome você também. Contra-argumentação: Argumente que os dois objetos ou situações diferem de tal modo que a analogia se torna insustentável. Mostre que o que vale para uma situação não vale para outra. 3.1.15. Mudança do Ônus da Prova: Definição: Consiste em transferir ao ouvinte o ônus de provar um enunciado, uma afirmação. Exemplo: Se você não acredita em Deus, como pode explicar a ordem que há no universo? Contra-argumentação: Mostre que o ônus da prova, isto é, a responsabilidade de provar um enunciado cabe a quem faz a afirmação. 3.1.16. Falácia da Ignorância (argumentum ad ignorantiam): Definição: Consiste em concluir que algo é verdadeiro por não ter sido provado que é falso, ou que algo é falso por não ter sido provado que é verdadeiro. Exemplos: 62 - Ninguém provou que Deus existe. Logo, Deus não existe. - Não há evidências de que os discos voadores não estejam visitando a Terra; portanto, eles existem. Contra-argumentação: Argumente que algo pode ser verdadeiro ou falso, mesmo que não haja provas. 3.1.17. Exigência de Perfeição: Definição: É o erro de reivindicar apenas a solução perfeita para qualquer plano. Exemplo: A automação cada vez maior dos elevadores desemprega muitas pessoas. Isso, portanto, é ruim, economicamente desaconselhável. Contra-argumentação: Argumente que planos medidas ou soluções não devem ser vistos como integralmente perfeitos ou prejudiciais. Mostre que podem existir objeções para qualquer medida. Que os desvantagens de um plano são suplantadas pelas vantagens. 3.1.18. Questão Complexa (pergunta capciosa, falácia da interrogação, da pressuposição): Definição: Consiste em apresentar duas proposições conectadas como se fossem uma única proposição, pressupondo-se que já se tenha dado uma resposta a uma pergunta anterior. Exemplos: - Você já abandonou seus maus hábitos? - Você já deixou de roubar no mercado onde trabalha? Contra-argumentação: Mostre que existem duas proposições e que uma pode ser aceita e outra não. 63 3.2. Estratagemas: Estratagemas são manobras ou planos em que são estudados os objetivos para serem colocados em prática. Também podem ser consideradas como artimanhas, manobras ardis ou estratégias, muito usadas pelos militares em guerras. Em Lógica, um estratagema é uma argumentação que pode ser utilizada tanto para chegar a verdade sobre um assunto quanto para o convencimento puro e simples “por bem ou por mal”. O filósofo alemão do século XIX Arthur Schopenhauer compilou uma lista de estratagemas cujo objetivo único é vencer discussões, por bem ou por mal. Para termos consciência plena e sejamos capazes de discernir entre argumentações que intencionam a verdade ou apenas o convencimento é interessante conhecermos alguns destes estratagemas. 3.2.1. Expansão: A afirmação do adversário é generalizada ao máximo para que fique o mais exposta possível a limitações e contradições, enquanto isso minhas afirmações são mantidas bem delimitadas e controladas. 3.2.2. Homônimos: Aplico a afirmação do adversário a outra coisa com o mesmo nome, mas que não tem nada em comum com o objeto da discussão. Refuto o homônimo e digo que refutei a afirmação original. 3.2.3. Condução da argumentação: Faço com que o adversário admita certas premissas de forma desordenada e confusa. Já sei onde quero chegar mas não mostro de antemão e procuro fazer com que o adversário aceite tudo o que é necessário para minha demonstração. 3.2.4. Premissas falsas: Utilizo a maneira de pensar do adversário e utilizo premissas falsas com as quais ele concordaria. 3.2.5. Perguntas: 64 Faço muitas perguntas de uma só vez e exponho minha argumentação de maneira rápida a partir daquilo que foi admitido. 3.2.6. Raiva: Provoco raiva no adversário para que não consiga julgar corretamente. 3.2.7. Confusão: Faço perguntas em uma ordem diferente daquela lógica. 3.2.8. Contrário: Quando o adversário responde propositadamente com negações às perguntas, cuja resposta afirmativa poderia ser utilizada para minha proposição, pergunto-lhe o contrário da proposição que nos serve, como se quisesse sua aprovação. 3.2.9. Geral pelo particular: Se o adversário admitir casos particulares, assumimos que ele também admitiu o caso geral. 3.2.10. Semelhanças: Se houver conceitos semelhantes, escolhemos aqueles que nos favoreçam na discussão. 3.2.11. Oposto: Apresentamos o oposto de nossa proposição de forma tão ofuscante que o adversário se vê obrigado a aceitar nossa proposição. 3.2.12. Conclusão falsa: Após o adversário ter respondido a várias perguntas sem favorecer a conclusão que temos em mente, exclamamos triunfantes que nossa proposição foi demonstrada. 3.2.13. Razoável após o absurdo: 65 Se nossa proposição for paradoxal, afirmamos algo razoável e fazemos o adversário pensar que daquela proposição razoável decorre nossa proposição esperando que o adversário não perceba. 3.2.14. Falsa contradição: Procuramos encontrar no passado do adversário ou em qualquer grupo a que pertença ou que tenha pertencido proposições contrárias àquela que tenta provar agora. 3.2.15. Interrupção: Se a argumentação do adversário nos derrotará, o interrompemos e tentamos conduzi-lo a outras questões para que não conclua sua linha. 3.2.16. Apelo à erudição: Quando um especialista discute com um leigo, o especialista introduz objeções inválidas que só podem ser percebidas por alguém versado no assunto. 3.2.17. Digressão: Se percebermos que seremos vencidos, recorremos a digressões e começamos de repente com algo totalmente diferente, como se pertencesse ao assunto e fosse um argumento contra o adversário. 3.2.18. Apelo à autoridade: Utiliza-se o apoio de uma autoridade que o adversário respeita. 3.2.19. Apelo à incompetência: Quando não se souber apresentar nada contra os fundamentos expostos pelo adversário, nos declaramos incompetentes para julgar a veracidade das proposições do adversário. 3.2.20. Rotulação: Rotulamos a proposição do adversário e a colocamos em uma categoria odiada (isto é neo-nazismo, racismo, etc...). 66 3.2.21. Teoria e prática: Dizemos que isto pode ser correto na teoria, mas na prática é falso. 3.2.22. Ponto fraco: Se o adversário emudecer sobre alguma questão, é nela que devemos insistir. 3.2.23. Apelo ao prejuízo possível: Fazemos o adversário crer que seu ponto de vista poderá levá-lo a prejuízos ou constrangimentos (isto é, a maioria tem opinião contrária à sua). 3.2.24. Palavrório: Se o adversário estiver acostumado a escutar coisas que não entende, agindo como se entendesse, podemos impressioná-lo ao tagarelar, com expressão séria, palavras “difíceis”, mas sem sentido. 3.2.25. Argumento ruim: Se o adversário escolher um argumento ruim, mas tiver razão, refutamos o argumento e o fazemos acreditar que refutamos o assunto em si. 3.2.26. Ofensas pessoais: Se o adversário tiver razão e for muito superior a nós o insultamos ou iniciamos uma campanha de difamação para desvalorizarmos sua argumentação. 67 4. Proposições Associadas Neste capítulo, revisaremos proposições condicionais e veremos suas proposições associadas. Uma condicional “Se p, então q”, que é representada por p⇒q, pode ser interpretada como “p somente se q” ou “p implica que q”. Mas também podemos inverter os termos sem mudar a lógica da condicional, “q se p”, nesse caso, lembre-se de inverter o símbolo: q ⇐ p. Já tratamos da equivalência dessas afirmações nessa apostila. Agora iremos estudar suas associadas. Para cada proposição condicional p⇒q, correspondem três proposições:  q⇒p (Recíproca)  (~p)⇒(~q) (Contrária)  (~q)⇒(~p) (Contrapositiva) Exemplo: Seja T um triângulo, considere a condicional p⇒q: Se T é equilátero, então T é isósceles. Na geometria, essa condicional é verdadeira. Agora analisemos suas associadas. Recíproca: q⇒p: Se T é isósceles, então T é equilátero. (F) Contrária: (~p)⇒(~q): Se T não é equilátero, então T não é isósceles. (F) Contrapositiva: (~q)⇒(~p): Se T não é isósceles, então T não é equilátero. (V) Com este exemplo, pode-se observar que a condicional p⇒q não é equivalente à sua contrária nem à sua recíproca. A tabela-verdade das quatro proposições mostra facilmente este fato. Além disso, duas importantes propriedades podem ser demonstradas:  A condicional p⇒q e sua contrapositiva, (~q)⇒(~p), são equivalentes;  A recíproca, q⇒p, e a contrária, (~p)⇒(~q), da condicional p⇒q são equivalentes. Vejamos mais este exemplo: Seja a condicional: Se x é menor que zero, então x não é positivo. Fazendo p = x é menor que zero; q = x é positivo, teremos: 68 p⇒(~q) = Se x é menor que zero, então x não é positivo. Recíproca: (~q)⇒p = Se x não é positivo, então x é menor que zero. Contrária: (~p)⇒q = Se x não é menor que zero, então x é positivo. Contrapositiva: q⇒(~p) = Se x é positivo, então x não é menor que zero. Outros exemplos:  A contrapositiva da recíproca de x = 0 ⇒ x < 1 é x ≠ 0 ⇒ x ≤ 1;  A contrapositiva da contrária de x < 1 ⇒ x < 3 é x < 3 ⇒ x < 1. Em resumo, a Recíproca inverte os termos da condicional enquanto que a Contrária apenas nega ambos os termos. Podemos então dizer que a Contrapositiva é a Recíproca da Contrária. 69 4.1. Problemas envolvendo Condicionais: Muitas questões de concurso ou vestibulares que cobram problemas de Lógica acabam por querer confundir através de inversão de termos, contudo, acredito que já temos bastante bases para ler cada frase e interpretar de maneira crítica em termos lógicos. Para exemplificar, considere a seguinte proposição condicional: “Se chover, então eu levo o guarda-chuva.” Assumindo essa proposição como verdade, qual é a melhor frase que se encaixa em: “Se não levei o guarda-chuva, então _______.” A resposta é: “não choveu”, mas entendamos porquê. Lembra que uma condicional e sua contrapositiva são equivalentes? Isto quer dizer que se eu assumo uma condicional como verdadeira, ao inverter os termos e negá-los, também teremos uma condicional verdadeira. Entenda:  Condicional: “Se chover, então levo o guarda-chuva.”  Contrária: “Se não chover, então não levo o guarda-chuva.”  Recíproca da Contrária: “Se não levo o guarda-chuva, então não vai chover.” (contrapositiva) Sendo assim, quando assumimos que “não levei o guarda-chuva”, temos exatamente a contrapositiva, apenas mudando o tempo verbal para o passado. Analogamente, considere a sentença a seguir: “Se nasci em Fortaleza, então sou cearense.” Se falarmos “não sou cearense”, só podemos falar com toda a certeza, com a segurança lógica da condicional, que “não nasci em Fortaleza”, pois estamos interpretando pela sua contrapositiva, que é equivalente. 70 4.2. Equivalências Lógicas: Duas sentenças lógicas são ditas equivalentes se tiverem mesmos valores lógicos, segundo sua Tabela-Verdade. Já trabalhamos com algumas sentenças dessas, as bicondicionais, nesta apostila, contudo vamos nos aprofundar um pouco mais nessa questão. Considere a sentença: “Se chover, então levo o guarda-chuva é equivalente a dizer: não chove ou levo o guarda-chuva.” Ao interpretar a frase, você concorda que essa sentença é verdadeira? Agora façamos sua Tabela-Verdade. Seja p = chove, q = levo o guarda chuva. Teremos, em símbolos: (p⇒q)⇔(~p∨q). Aqui usamos o símbolo ⇔ (se, e somente se), para representar equivalência, já que é logicamente a mesma coisa. Agora façamos a Tabela-Verdade: p q (~p) p⇒q ~p∨q (p⇒q)⇔(~p∨q) V V F V V V V F F F F V F V V V V V F V V V V F Temos uma Tautologia evidente, contudo, não precisamos dessa última coluna para saber que p⇒q é equivalente a ~p∨q, já que as duas últimas colunas possuem exatamente os mesmos valores lógicos. Também concluímos que equivalência e bicondicional são logicamente a mesma coisa. Agora considere a sentença: “Se nasci no Ceará, então sou cearense e reciprocamente.” ou “Se nasci no Ceará, então sou cearense e vice-versa.” 71 A palavra “reciprocamente” nos indica que temos uma bicondicional, mas também percebemos que uma bicondicional é uma conjunção de duas condicionais recíprocas. A frase acima pode ser facilmente escrita dessa forma: “Se nasci no Ceará, então sou cearense e se sou cearense, então nasci no Ceará.” Em símbolos, temos: p⇔q = (p⇒q)∧(q⇒p). É muito comum, na Matemática, usarmos equivalências para definir termos e provar teoremas. Por exemplo: ∀x, y inteiros, 3 x  y  x  y 3 é uma equivalência verdadeira, mesmo considerando os números negativos. Contudo, se fosse uma raiz quadrada, não seria uma equivalência. Seria assim: ∀x, y inteiros, x  y  x  y 2 . Note que apenas a recíproca é verdadeira, pois, quando calculamos a potência quadrática de y, obtemos sempre um número positivo como resposta; desse modo, assumimos que x é positivo, caso fosse negativo, não seria possível extrair sua raiz quadrada. É muito comum confundir igualdade com equivalência. Na realidade, igualdade é um tipo de equivalência. Para encerrar essa unidade, veremos quais são as propriedades das equivalências:  Reflexiva: p⇔p  Simétrica: p⇔q = q⇔p  Transitiva: Se p⇔q e q⇔r, então p⇔r Já comentamos sobre a propriedade transitiva anteriormente. Também vemos que a igualdade tem as mesmas propriedades. Pois, por exemplo, 5 = 5; se x = 5, então 5 = x, e se x = 5 e 5 = y, então x = y. Essa propriedade transitiva se aplica em muitas situações. Por exemplo, em comparações de números: se 2 < 5 e 5 < 11, então 2 < 11. Lembre-se que é muito importante você saber essa propriedade principalmente para verificar a validade de argumentos. No próximo tópico, temos uma lista de exercícios com os assuntos da unidade. 72 5. Exercícios 5.1. Problemas envolvendo Frases Categóricas: 1) Seja a proposição: “Todos os produtos importados são caros”. a) Represente esta proposição usando diagramas de Euler. b) Localize no diagrama os produtos caros que não são importados. c) Localize no diagrama os produtos que não caros. d) Localize no diagrama os produtos que não são importados. e) Quais são as conclusões que podemos tirar da proposição acima? - Podem existir produtos importados que não são caros. - Podem existir produtos caros que não são importados. - Se um produto não é caro, então ele não é importado. - Se um produto não é importado, então ele não é caro. 2) Assinale a alternativa que contém uma negação lógica para a seguinte afirmação: Todos os servidores públicos usam gravata. a) Existe servidor público que não usa gravata. b) Nenhum servidor público usa gravata. c) Alguns servidores públicos usam gravata. d) Todos os que usam gravata não são servidores públicos. e) Ninguém que não usa gravata é servidor público. 3) Dadas as proposições: I. toda mulher é boa motorista; II. nenhum homem é bom motorista; III. todos os homens são maus motoristas; IV. pelo menos um homem é mau motorista; V. todos os homens são bons motoristas. A negação da proposição V é: a) I b) II c) III d) IV e) nenhuma das alternativas. 4) Se é verdade que “nenhum artista é atleta”, então também será verdade que: a) todos não-artistas são não atletas; 73 b) nenhum atleta é não-artista; c) nenhum artista é não-atleta; d) pelo menos um não-atleta é artista; e) nenhum não-atleta é artista. 5) Represente cada uma das seguintes proposições através do diagrama de Venn: (simbolizar cada classe pela primeira letra da palavra que a designa). a) Alguns pintores são escultores. b) Todos os gatos são mamíferos. c) Nenhum paulista é mineiro. 6) Assinale a alternativa em que figure a negação lógica da frase “Todos vão passar no concurso”. a) Ninguém vai passar. b) Todos são eliminados. c) Todos passam em todos os concursos. d) Alguém não passa no concurso. e) O concurso não tem vagas. 7) Supondo que fadas e bruxas existem, e que nem todas as fadas são bruxas, é possível concluir, logicamente, que: a) Nenhuma fada é bruxa. b) Alguma fada não é bruxa. c) Nenhuma bruxa é fada. d) Não existe fada que seja bruxa. e) Todas as fadas não são bruxas. 8) A negação da sentença “algum assistente social acompanhou o julgamento” está na alternativa: a) Algum assistente social não acompanhou o julgamento. b) Todos os assistentes sociais acompanharam o julgamento. c) Nem todos os assistentes sociais acompanharam o julgamento. d) Nenhum assistente social acompanhou o julgamento. e) Pelo menos um assistente social não acompanhou o julgamento. 74 9) A negação da proposição “Todas as lâmpadas estão acesas” é: a) todas as lâmpadas estão apagadas. b) apenas uma das lâmpadas está apagada. c) apenas uma das lâmpadas está acesa. d) pelo menos uma lâmpada está apagada. e) pelo menos uma lâmpada está acesa. 75 5.2. Problemas envolvendo Silogismos: 1) Verifique se os silogismos seguintes são válidos ou sofismas: a) Todos os franceses são europeus. Descartes era francês. Logo, Descartes era europeu. b) Alguns engenheiros são professores. Nenhum engenheiro não comete erros. Logo, nenhum professor não comete erros. c) Nenhum agricultor é rico. Todos os ricos são saudáveis. Logo, nenhum agricultor é saudável. d) Alguns bolivianos são índios. 25 Alguns índios vivem no Brasil. Logo, alguns bolivianos vivem no Brasil. e) Todo a é b. Todo c é b Logo, todo c é a. 2) Verifique a validade dos silogismos seguintes, aplicando o diagrama de Venn: a) Alguns estudantes de matemática são excelentes alunos. Todos os jogadores de xadrez estudam matemática Logo, todos os jogadores de xadrez são excelentes alunos. b) Todo retângulo é paralelogramo Todo quadrado é retângulo Todo quadrado é paralelogramo c) Todos os contos são tristes Nenhum verso é um conto 76 Nenhum verso é triste d) Algum homem é inteligente Algum homem é burro Algum burro é inteligente e) Nenhum A é B Nenhum B é C Nenhum A é C f) Todo A é D Nenhum D é V Nenhum V é A. 3) Considere os seguintes argumentos: Argumento I P1: Todos os inscritos no COREN são profissionais de Enfermagem. P2: Todos os profissionais de Enfermagem são diplomados. C: Todos os inscritos no COREN são diplomados. Argumento II P1: Todos os inscritos no COREN são profissionais de Enfermagem. P2: Nenhum profissional de Enfermagem é bem remunerado. C: Nenhum inscrito no COREN é bem remunerado. Argumento III P1: Todos os profissionais de Enfermagem são diplomados. P2: Débora é diplomada. C: Débora é uma profissional de Enfermagem. Argumento IV P1: Todos os profissionais de Enfermagem são diplomados. P2: Débora não é profissional de Enfermagem. C: Débora não é diplomada. Assinale a afirmativa correta. a) Apenas um desses argumentos é válido. b) Todos os argumentos são válidos. 77 c) Apenas três desses argumentos são válidos. d) Apenas dois desses argumentos são válidos. e) Nenhum desses argumentos é válido. 4) Considere as seguintes proposições: I. Todos os que moram em Palmeiras das Missões gostam de comer bolo; II. Alguns moradores de Palmeiras das Missões gostam de tomar café; III. Pedro mora em Palmeiras das Missões. A partir disso, conclui-se que: a) Pedro gosta de comer bolo e tomar café. b) Pedro gosta de comer bolo. c) Pedro não gosta de comer bolo. d) Pedro não gosta de tomar café. e) Pedro gosta de tomar café. 5) Identifique qual é o tipo de Falácia em: a) Deve-se coibir usos como estes: “Me dá um cigarro”, “eu vi ele”, “tu foi”, etc., porque, com essa permissividade, vamos reduzir a língua de Camões a uma falação de brutos, a uma língua pobre, de poucas palavras e alguns grunhidos. b) Sabia que o casal X está se separando? Mas cuidado: em briga de marido e mulher ninguém mete a colher. c) Aqui se faz, aqui se paga. d) Você confia num dentista que foi aprovado com média cinco no vestibular? e) É perigoso viajar em carro dirigido por mulher. f) Crentes, muçulmanos, são todos uns fanáticos. g) Os padres são pedófilos, os padres são mulherengos, os padres só pensam em dinheiro, os advogados são uns enroladores, os políticos são corruptos, os médicos uns açougueiros, os alunos são uns deitados, etc. 78 h) O elo perdido entre o homem e o macaco não foi encontrado: por isso a teoria da evolução está errada e a Bíblia está certa. i) A ingestão de vinho faz bem. j) O vinho é uma bebida saudável, que faz bem ao coração. É estimulante. Assim foi reconhecido por todos os povos antigos. Inclusive o Apóstolo São Paulo recomendava vinho em suas epístolas. k) Tratava-se de discutir e eleger o perfil do professor ideal: ele seria autoritário ou deveria dar plena liberdade aos alunos? l) A egiptóloga Fulana de Tal é uma principiante, obteve o doutorado há pouco tempo, tem limitada experiência: não pode julgar um descobrimento tão importante. m) Não vou votar nele para presidente: ele bebe. n) Todo nordestino é hábil, L. é nordestino, L. é hábil - Toda pessoa hábil é bom político. Ele é hábil. Ele é bom político, - Todo bom político é bom administrador. Ele é bom político. Ele é bom administrador. - Todo bom administrador merece ser eleito. Ele é bom administrador. Ele merece ser eleito. o) Dez milhões de pessoas não podem estar erradas. Junte-se a nossa igreja você também. p) Isso é uma verdade tão sublime que um milhão de pessoas já a aceitaram como regra de fé. q) A Astrologia é uma arte adivinhatória praticada há milhares de anos no Oriente. Conta-se que os antigos reis da Babilônia teriam feito uso dela para saberem os dias mais propícios para as batalhas. Até os antigos imperadores chineses recorriam aos astros para guiarem seus passos no governo. É inadmissível que ainda hoje não a considerem uma ciência. 79 r) Essas práticas remontam aos primeiros séculos de nossa igreja. Como você pode questioná-las? s) Milhares de pessoas acreditam no poder das pirâmides. Sem dúvida, elas devem ter algo especial. t) Os índices de analfabetismo têm aumentado muito depois do advento da televisão. Obviamente ela compromete a aprendizagem. u) A grande maioria das pessoas deste país são favoráveis à pena de morte como meio de reduzir a violência. Ser contra a pena de morte é, pois, ridículo. v) Não acredite nos linguistas: eles estão a serviço de uma ideologia de esquerda; são liberais, revolucionários e populistas. w) Não é preciso conhecer matemática para vencer na vida. Meus conhecimentos dessa matéria não vão além das quatro operações e das frações ordinárias; no entanto, tenho um salário maior do que o de muitos engenheiros. x) O senhor não tem autoridade para criticar nossa política educacional, pois nunca concluiu uma faculdade. y) Espero que o senhor aceite o portfólio e dê uma ótima nota, pois passei cinco noites sem dormir e ainda por cima cuidando de minha avó, que está muito doente. z) Professor, eu preciso tirar boa nota. Se eu aparecer em casa com nota tão baixa, minha mãe pode sofrer um ataque cardíaco. 6) Tente argumentar a favor do vegetarianismo usando o máximo de argumentos possíveis, depois argumente contra o vegetarianismo, para então comparar os argumentos. Faça uma lista das falácias que você conseguir identificar. 80 5.3. Problemas envolvendo Equivalências: 1) Mostre que A condicional p⇒q e sua contrapositiva, (~q)⇒(~p), são equivalentes através da tabela verdade. 2) Analisando a proposição “Se não estudarmos o conteúdo de Raciocínio Lógico por ser extenso ou não estudarmos por considerarmos complicado, então não nos sairemos bem no concurso”, assinale a alternativa correta no que se refere ao estudo de Estruturas Lógicas: a) A negação da proposição “não estudamos o conteúdo de Raciocínio Lógico por ser extenso ou não estudamos por considerarmos complicado” está expressa corretamente por “estudamos o conteúdo de Raciocínio Lógico por ser extenso ou estudamos por considerar complicado”. b) A proposição é logicamente equivalente à proposição: “Se nos sairmos bem no concurso, estudaremos o conteúdo de Raciocínio Lógico por ser extenso e por considerarmos complicado”. c) A proposição é logicamente equivalente à proposição “Estudaremos o conteúdo de Raciocínio Lógico por ser extenso ou estudaremos por considerarmos complicado ou não nos sairemos bem no concurso”. d) Se a proposição for verdade, então será verdadeira a proposição “estudaremos o conteúdo de Raciocínio Lógico para não nos sairmos bem no concurso”. 3) Considere a seguinte afirmação: “Existe servidor público que não é mulher ou que gosta de questões de raciocínio lógico”. Uma negação lógica para a afirmação apresentada acima está contida na alternativa: a) Alguns servidores públicos são mulheres ou não gostam de questões de raciocínio lógico. b) Existe servidor público que não é mulher ou que não gosta de questões de raciocínio lógico. c) Existe servidor público que é homem e gosta de questões de raciocínio lógico. d) Todo servidor público é mulher e não gosta de questões de raciocínio lógico. e) Existe servidor público que é mulher e gosta de questões de raciocínio lógico. 4) A frase “Se o agente administrativo arquivou os documentos, então o trabalho foi realizado” é equivalente à frase: 81 a) O agente administrativo arquivou os documentos ou o trabalho foi realizado. b) O agente administrativo arquivou os documentos e o trabalho foi realizado. c) O agente administrativo não arquivou os documentos ou o trabalho foi realizado. d) O agente administrativo arquivou os documentos ou o trabalho não foi realizado. 5) Durante um curso de formação, o instrutor emitiu a seguinte proposição: “As guias são todas timbradas ou o relatório não é válido”. Entre as afirmações abaixo, qual é logicamente equivalente? a) Se as guias são todas timbradas, então o relatório não é válido. b) Se as guias não são todas timbradas, então o relatório é válido. c) Se o relatório é valido, então as guias são todas timbradas. d) As guias não são todas timbradas e o relatório é válido. 6) Se não é verdade que, se o carro é um Fiesta, então sua cor não é azul, é correto afirmar que: a) o carro é um Fiesta e sua cor é azul. b) ou o carro não é um Fiesta ou sua cor não é azul, nunca ambos. c) se o carro é azul, então ele não é um Fiesta. d) ou o carro é um Fiesta ou o carro é azul, nunca ambos. e) o carro não é um Fiesta e sua cor não é azul. 7) Uma proposição equivalente de “Se Pedro é estudioso, então Maria estuda junto com Pedro para a prova” é: a) Se Pedro não é estudioso, então Maria não estuda com Pedro para a prova. b) Pedro é estudioso ou Maria estuda junto com Pedro para a prova. c) Pedro é estudioso se e somente se Maria estuda junto com Pedro para a prova. d) Pedro é estudioso e Maria estuda junto com Pedro para a prova. e) Se Maria não estuda junto com Pedro para a prova, então Pedro não é estudioso. 8) Camila estava conversando com suas amigas sobre um possível namoro com um amigo da escola e disse o seguinte: “Se Reginaldo me pedir em namoro, então mudarei de sala”. Sabendo que a afirmação anterior é verdadeira, é possível afirmar que uma proposição equivalente seria: a) Reginaldo irá me pedir em namoro e mudarei de sala. 82 b) Reginaldo irá me pedir em namoro ou mudarei de sala. c) Se Reginaldo não me pedir em namoro, então não mudarei de sala. d) Se eu não mudar de sala, então Reginaldo não terá me pedido em namoro. 9) Considere a sentença: “Se João gosta de goiaba, então gosta de abacate”. Uma sentença logicamente equivalente à sentença dada é: a) João não gosta de goiaba ou gosta de abacate. b) Se João não gosta de goiaba, então não gosta de abacate. c) Se João gosta de abacate, então gosta de goiaba. d) João gosta de goiaba e não gosta de abacate. e) João gosta de goiaba ou gosta de abacate. 10) Afirmar que “João joga futebol na sexta feira ou João joga futebol no sábado e no domingo” é equivalente a afirmar, por definição de equivalência de proposições, que: a) João joga futebol na sexta-feira ou no domingo e João joga futebol na sexta-feira ou no sábado. b) João não joga futebol na sexta-feira ou no domingo e João joga futebol na sexta-feira ou no sábado. c) João joga futebol na sexta-feira ou no domingo e João não joga futebol na sextafeira ou no sábado. d) João joga futebol na sexta-feira e no domingo se, e somente se, João joga futebol na sexta-feira ou no sábado. e) João nunca joga futebol na sexta-feira. 11) A contrapositiva da condicional: “Se não chove, então ocorre o jogo de futebol no parque” será dada por: a) Se ocorre o jogo de futebol no parque, então chove. b) Se não ocorre o jogo de futebol no parque, então chove. c) Se não ocorre o jogo de futebol no parque, então não chove. d) Se chove, então ocorre o jogo de futebol no parque. e) Se não chove, então não ocorre o jogo de futebol no parque. 12) Uma afirmação equivalente a: “Os cantadores da madrugada saíram hoje ou eu não ouço bem”, é: 83 a) Os cantadores da madrugada não saíram hoje ou eu ouço bem. b) Os cantadores da madrugada não saíram hoje e eu ouço bem. c) Se os cantadores da madrugada não saíram hoje, então eu não ouço bem. d) Se os cantadores da madrugada saíram hoje, então eu não ouço bem. e) Os cantadores da madrugada saíram hoje e eu ouço bem. 13) Considere a sentença: “Gosto de doce e não gosto de refrigerante”. Uma sentença logicamente equivalente à negação da sentença dada é: a) Não gosto de doce e gosto de refrigerante. b) Se gosto de doce então gosto de refrigerante. c) Se não gosto de refrigerante então gosto de doce. d) Não gosto de doce e não gosto de refrigerante. 14) Considere a seguinte proposição: “José é funcionário público ou Maria é empresária do ramo de roupas”. Assinale a alternativa que apresenta uma equivalência lógica a essa proposição. a) Se Maria é empresária do ramo de roupas, então José é funcionário público. b) José não é funcionário público e Maria não é empresária do ramo de roupas. c) José é funcionário público e Maria é empresária do ramo de roupas. d) José é funcionário público e Maria não é empresária do ramo de roupas. 15) Sempre que vai à feira, Márcia compra laranja e toma um caldo de cana. Hoje Márcia não foi à feira. Assim: a) Márcia não comprou laranja mas pode ter tomado um caldo de cana. b) Márcia não tomou um caldo de cana. c) Márcia não tomou um caldo de cana nem comprou laranja. d) Márcia pode ter tomado um caldo de cana ou ter comprado laranja. e) Márcia comprou laranja ou tomou um caldo de cana. 84 TERCEIRA UNIDADE: TEORIA DOS CONJUNTOS 85 1. Introdução Nessa Unidade, daremos continuidade ao nosso estudo com algumas noções da Teoria dos Conjuntos, aprendendo alguns símbolos universais que nos ajudarão a nos expressar em linguagem Matemática e, a partir disso, resolver tanto os problemas já vistos anteriormente, como muitos outros! Primeiramente devemos ter a real noção de conjunto. Pode-se dizer que um conjunto pode ser considerado como qualquer coleção de objetos, apresentados ou caracterizados pela enumeração ou por uma propriedade que apresentem, não sendo essa propriedade necessariamente compartilhada entre todos os seus elementos. Cada um desses objetos é chamado elemento do conjunto e é bem determinado, distinto dos outros, e satisfaz às condições do conjunto. Por exemplo, podemos enumerar o conjunto dos países da América do Norte, o conjunto dos móveis em uma sala de estar, ou o conjunto das vogais. Mas também podemos pegar objetos totalmente não relacionados e juntarmos em um conjunto. Para isso, representaremos um conjunto por uma letra maiúscula qualquer e seus elementos com letras minúsculas separados por vírgulas e colocados entre chaves. Assim: P = {Estados Unidos, Canadá}, conjunto P cujos elementos são os países da América do Norte; M = {sofá, mesa, cadeira, televisão, aparelho de som, aparelho de DVD}, conjunto M cujos elementos são os objetos em uma sala de estar; V = {a, e, i, o, u}, lê-se: conjunto das vogais cujos elementos são as vogais do alfabeto português; X = {casa, caneta, vaca, número 1, Fortaleza, verde}, conjunto X cujos elementos são aleatórios. Podemos dizer que os elementos que fazem parte desses conjuntos, pertencem ao conjunto que determinam. Daí podemos dizer que “televisão” pertence ao conjunto dos objetos em uma sala de estar, mas que “cama” não pertence a esse conjunto. Daremos a esse fato o nome de Relação de Pertinência. 86 1.1. Relações entre Conjuntos e Elementos: 1.1.1. Relação de Pertinência: Quando queremos indicar que um elemento x pertence a um conjunto A, escrevemos: x ∈ A (lê-se: x pertence a P) Se x não for elemento de A, escrevemos: x  A (lê-se: x não pertence a A). Há três formas de representar um conjunto usando seus elementos como referência:  Por Extenso: É quando enumeramos cada elemento, de preferência em ordem pré-determinada. Exemplos: A = {a, e, i, o, u} B = {a, b, c, d, e, ..., z} C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Note que, quando um conjunto tem muitos elementos, ou quando tem infinitos elementos, usamos o símbolo de reticências (...) para denotar a extensão desses números, mas só se o padrão ficar claro a partir dos primeiros elementos citados. Por exemplo, no conjunto B, a partir dos cinco primeiros elementos, fica mais do que claro que temos um conjunto formado pelas letras do nosso alfabeto, e no conjunto C, temos os números naturais, que são infinitos, mas ficou claro que o padrão é “de um por um”, ou seja, o próximo elemento depois do 12 seria 12 + 1, que é o 13.  Por Propriedade ou Compreensão de seus elementos: É quando enunciamos uma propriedade característica que todos os elementos possuem em comum, isto é, quando há essa propriedade (quando os elementos não foram escolhidos aleatoriamente). Considere os mesmos exemplos de antes: A = {vogais do alfabeto} B = {nosso alfabeto} C = {números que usamos para contar} 87 Essa forma de representação pode ser escrita matematicamente desta forma: A = {x | x = vogal do alfabeto} B = {x | x = letra do alfabeto} C = {x | x = número natural} Usando o símbolo “ | ” (barra vertical), que significa “tal que”. Desse modo, leremos o conjunto A = {x | x = vogal do alfabeto} como sendo “o conjunto dos x tal que x é vogal do alfabeto”.  Por Diagrama de Venn: É quando representamos graficamente, através de um círculo, seus elementos. Exemplo: Já trabalhamos com esses diagramas nas outras unidades. Nesta unidade iremos nos aprofundar em sua utilização. Note que, em vezes de usar dois diagramas separados, colocamos o diagrama representando o conjunto das vogais dentro do diagrama representando o conjunto das letras do alfabeto. Neste caso, diremos que o conjunto das vogais está contido no conjunto das letras do alfabeto. Veremos essa relação mais detalhadamente mais adiante. Cuidado ao comutar as notações de conjunto! Se você tiver um conjunto denotado por propriedade, alguns cuidados devem ser tomados. A saber: seja o conjunto H = {letras da palavra “banana”}, representando por propriedade. Se queremos representar esse mesmo conjunto por extenso, então a forma correta é: H = {a, b, n} e não H = {b, a, n, a, n, a}, pois cada elemento é único e deve ser escrito apenas uma vez, e dê preferência para a escrita em ordem, no caso, a ordem alfabética. 88 1.1.2. Cardinalidade de um Conjunto: A “Cardinalidade de um Conjunto” é a medida da quantidade de elementos de um conjunto e é denotada por “#” (octotorpe) seguido da letra maiúscula que representa o conjunto, ou com a “n” seguido pela letra do conjunto dentro de parênteses. Exemplo: A = {a, e, i, o, u} ⇒ #A = 5 (5 elementos ou 5 vogais) B = {a, b, c, d, e, ..., z} ⇒ n(B) = 26 (26 letras do alfabeto) C = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} ⇒ #C = ∞ (infinitos elementos) Note que, quando um conjunto possui infinitos elementos, usaremos o símbolo “∞” (infinito) para representar sua cardinalidade. É muito comum, ao representar por diagramas, usarmos a cardinalidade do conjunto previamente representado por propriedade dentro dos diagramas, em vez de seus elementos. Sendo assim, aquele exemplo das letras do alfabeto, ficaria assim: Note que, em vez de listar todas as letras do alfabeto, escrevemos apenas os números 5, 21 e 26, para esses diagramas, porque queremos dizer que o conjunto A tem 5 elementos, ou seja, 5 vogais. Fora de A, mas ainda dentro de B, escrevemos o número 21, porque queremos dizer que o conjunto B, que tem um total de 26 elementos, tem 21 “não vogais”, que seriam as consoantes (no caso, usamos o fato de que o alfabeto possui 5 vogais e 21 consoantes, num total de 5 + 21 = 26 letras). Note ainda que o número 26 está escrito fora do conjunto B, mas que o traço nos indica que esse número representa a cardinalidade de B. Essa forma de representar conjuntos através de sua cardinalidade se torna muito útil ao resolver problemas de conjuntos em que o que nos interessa é apenas a quantidade de elementos. 89 1.1.3. Relação de Inclusão: Dados dois conjuntos A e B, se todo elemento de A for também elemento de B, diremos que A está contido em B (está dentro), ou seja, que A é parte de B ou que A é subconjunto de B. Em símbolos, teremos: ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ B ⇔ A⊂B Leitura: Para todo x, se x pertence a A, então x pertence a B é equivalente a dizer que A está contido em B. Aqui usamos o símbolo “⊂” (está contido) para representar essa inclusão. Caso haja um elemento de A que não esteja em B, usaremos o símbolo “  ” (não está contido) para representar essa não-inclusão. Lembre-se que a negação de uma frase categórica universal é uma frase particular, então a sentença acima, representando a inclusão, tem sua negativa escrita da seguinte forma: ∃x | x ∈ A ∧ x  B ⇔ A  B Leitura: Algum x é tal que x pertence a A e x não pertence a B é equivalente a dizer que A não está contido em B. Também podemos inverter os termos e usar o símbolo ⊃ sem mudar a lógica da sentença. Ou seja, se dissermos que A⊂B (A está contido em B), podemos dizer também que B⊃A (B contém A). Caso A  B, diremos B   A (B não contém A). Ou seja: A⊂B ⇔ B⊃A A B ⇔ B  A Essa relação de inclusão tem três propriedades:  Propriedade Reflexiva: A⊂A  Propriedade Antissimétrica: (A⊂B)∧(B⊂A)⇔ A = B  Propriedade Transitiva: (A⊂B)∧(B⊂C)⇒ A⊂C A Propriedade Reflexiva pode ser facilmente entendida através de um exemplo: “Se nasci em Fortaleza, então eu nasci em Fortaleza”. Em símbolos: ∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ A ⇔ A⊂A. E isso é fato. Já a Propriedade Antissimétrica, para entendê-la bem, precisamos analisar os códigos com calma. Esse propriedade nos diz que: ∀x, (x ∈ A ⇒ x ∈ B)∧(x ∈ B ⇒ x ∈ A). Ou seja, temos que cada elemento do conjunto A é também elemento do 90 conjunto B e reciprocamente. Na unidade anterior, vimos que isso nos leva a uma equivalência, que, aqui, trataremos como igualdade e faremos: A = B. Por fim, a Propriedade Transitiva já foi estudada também na unidade anterior, mas lá a chamamos de “Argumento” num silogismo. Em demonstrações matemáticas, é muito comum usarmos a propriedade antissimétrica para provar que dois conjuntos são iguais. Para isso, basta mostrar que todo x de A goza da propriedade de B e vice-versa. 1.1.4. Subconjuntos: Um subconjunto é um conjunto que está contido em outro conjunto. Isto é, sempre que tivermos A⊂B, diremos que A é subconjunto de B, ou que A é parte de B. Considerando que ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} é o conjunto dos números naturais, que são os número que usamos para contar, dentro dele, podemos identificar vários conjuntos, como o conjunto dos números pares {0, 2, 4, 6, 8, ...}, o conjunto dos ímpares {1, 3, 5, 7, 9, ...}, o conjuntos dos números menores que 5 {0, 1, 2, 3, 4} e todos eles serão chamados de subconjuntos de ℕ. Pergunta: Quantos subconjuntos diferentes um conjunto finito pode ter? Exemplo: o conjunto J = {1, 2, 3}, formados por três elementos tem os seguintes subconjuntos: { }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3} e {1, 2, 3} (ele mesmo). Total: 8 subconjuntos. Aqui, consideramos o próprio conjunto como subconjunto de si mesmo, por causa da Propriedade Reflexiva. Também consideramos um conjunto como nada dentro como subconjunto, chamado de conjunto vazio. Mais adiante falaremos mais sobre esse conjunto. Mais um exemplo: Qual é o conjunto de todas as partes de {a, b, c, d}? Resposta: P = {{ }, {a}, {b}, {c}, {d}, {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c} {a, b, d}, {a, c, d}, {b, c, d}, {a, b, c, d}}. n(P) = 16. Esse conjunto é chamado de “Conjunto das Partes” de {a, b, c, d}, que é um conjunto formado com todos os subconjuntos tratados como elementos. No próximo subtópico, falaremos mais sobre esse conjunto. 91 1.2. Conjuntos Especiais: 1.2.1. Conjunto Universo (U): O universo que conhecemos hoje pode ser designado como a totalidade de planetas, estrelas, buracos negros e quaisquer outros corpos cósmicos encontrados no espaço sideral. Essa noção também pode ser aplicada a um conjunto, que recebe o nome de Conjunto Universo, quando é formado pela totalidade dos elementos que estão sendo considerados, representado pela letra U. Dependendo da situação, o conjunto Universo pode ser diferente, por isso é bom sempre ter esse conjunto especificado. Além disso, definiremos que, para todo e qualquer x, x pertence ao conjunto Universo. ∀x, x ∈ U Quando o problema não especifica qual é o conjunto universo, devemos pensar no maior conjunto possível que tenha todos os elementos considerados. Por exemplo, quando temos um problema envolvendo conjuntos numéricos, é comum considerarmos U = ℝ (conjunto dos números reais). 1.2.2. Conjunto Unitário: Se um conjunto é constituído por apenas um elemento, ele é chamado conjunto unitário. Exemplo: X = {números primos que são pares}, este conjunto é unitário, pois, X = {2}. 1.2.3. Conjunto Vazio: Se um conjunto, por sua vez, não possuir elementos, então será chamado de conjunto vazio e será denotado de duas formas: { } ou Ø . Exemplo: Y = {x ∈ℕ| x > 5 e x < 3}, este conjunto é vazio, pois não existe número que seja ao mesmo tempo maior do que 5 e menor do que 3. Logo, Y = Ø. Conseguimos provar que este conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto, inclusive dele mesmo! Teremos um tópico dedicado ao estudo de demonstrações matemáticas, onde faremos essa prova usando argumentos válidos. 92 1.2.4. Conjunto das Partes: É um conjunto formado por todos os subconjuntos de dado conjunto. Por exemplo: seja A = {1, 2, 3}, já vimos quais são todos os possíveis subconjuntos formados por esses três elementos, agora basta organizá-los em um conjunto maior, chamado P(A), “partes de A”: P(A) = {{ }, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} É bom salientar que, neste conjunto, cada um de seus elementos são conjuntos! Isso mesmo, um conjunto pode ser considerado como elemento de outro conjunto, e isso é muito confuso! Mais à frente, tentaremos organizar essas definições para evitar futuras confusões. Um fato curioso e interessante de se demonstrar é que conseguimos calcular exatamente quantas partes um conjunto pode ter. Por exemplo, um conjunto com quatro elementos, como já vimos, terá um total de 16 subconjuntos diferentes. Um conjunto com três elementos terá 8 subconjuntos. E um conjunto com apenas dois elementos, terá quantos subconjuntos? Resposta: 4. Você está raciocinando em potências de 2. Fórmula: # P ( A)  2 # A Por essa fórmula, podemos deduzir que um conjunto com 5 elementos terá 2 elevado a 5 subconjuntos. 25  32 É natural de ser pensar que, quantos mais elementos um conjunto tem, ainda mais subconjuntos diferentes poderão ser identificados. 93 1.3. Conjuntos como Elementos: Neste subtópico, é interessante revisarmos quando devemos usar o símbolo ∈ e o símbolo ⊂. Precisamos entender que o primeiro símbolo é usados apenas para ver a relação elemento-conjunto, enquanto que o segundo símbolo é usado para ver a relação conjunto-conjunto. Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3}, jamais poderemos dizer que 2⊂A, já que 2 é um elemento. O correto seria: 2∈A. Entretanto, se estivermos falando de {2}, isto é, um subconjunto de A contendo o elemento 2, aí sim poderemos dizer que {2}⊂A. Exemplo: Sendo A = {1, 2, 3} e B = {1, {2}, 3}, não podemos dizer que A = B, pois o elemento 2 é considerado diferente do elemento {2}. Aqui, estamos considerando que o conjunto {2} é elemento de B, neste caso, somos obrigados a dizer que {2}∈B, mas não podemos dizer que {2}∈A. Por outro lado, assim como no exemplo anterior, dizemos que {2}⊂A, mas não podemos dizer que {2}⊂B. O correto seria: {{2}}⊂B!!! Exemplo: Considere X = {4, 5, 6, {6}, 7, 8, {7, 8}}. Marque V ou F: a) 4∈X ( ) f) {6}⊂X ( ) b) {4}∈X ( ) g) 7⊂X ( ) c) 6∈X ( ) h) {7}⊂X ( ) d) {6}∈X ( ) i) {7, 8}⊂X ( ) e) {5}⊂X ( j) {6, {6}}⊂X ( ) ) A resposta é a) V, b) F, c) V, d) V, e) V, f) V, g) F, h) V, i) V e j) V. 94 1.4. Exercícios: 1) Represente o conjunto A = {x | x = 2n + 1, n∈ℕ e n < 5} por extenso. 2) Represente o conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12} por propriedade. 3) Seja M ={x | x é divisor do 45} e N ={x | x é divisor do 15}, marque V ou F: a) 9∈M ( ) e) M⊂N ( b) 9∈N ( ) f) N⊂M ( ) c) #M = 4 ( ) ) g) {1, 15}⊂M ( d) #N = 4 ( ) ) h) Ø∈N ( ) 4) Determine o conjunto P(X), onde X = {m, n}. 5) Quantos subconjuntos o conjunto Y = {a, b, c, d, e, f, g} possui no total? 6) Usando diagramas, represente os conjuntos: G = {8 primeiros múltiplos de 6} e H = {12 primeiros múltiplos de 4}. Cuidado para não representar elementos repetidos! 7) Considere o conjunto T = {Ø, 1, {1}, 2, {{2}}, {1,2}, 3}. Marque V ou F: a) Ø∈T e Ø⊂T ( ) e) {1}∈T, mas {1}  T ( ) b) #T = 6 ( f) {1, 2}⊂T e {1, 2}∈T ( ) c) #P(T) = 128 ( ) d) {{2}}∈T, mas {{2}}  T ( ) ) g) {1, 3}⊂T, mas {1, 3}  T ( h) {1, 2, 3}⊂T ( 95 ) ) 2. Operações entre Conjuntos Nessa parte do nosso estudo de conjuntos, aprenderemos que eles também podem operar entre si. As operações básicas entre os conjuntos são: União, Interseção, Diferença e Complementação. 2.1. União: Dados dois conjuntos A e B, a união, ou reunião, de A com B é o conjunto formado por todos os elementos de A junto com os de B, sem repetição. Logicamente falando, diremos que a união de A com B é o conjunto dos elementos de A ou dos elementos de B e temos uma disjunção lógica. Usaremos o símbolo “  ” para representar essa operação. Em códigos, a união é assim representada: A  B = {x | x∈A∨x∈B} Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, teremos A  B = {1, 2, 3, 4, 5}, pois juntamos todos os elementos dos dois conjuntos sem repetições (no caso, o 3 é escrito apenas uma vez). Exemplo: C = {1, 3, 4, 6} e D = {3, 5, 6, 8, 9}, teremos C  D = {1, 3, 4, 5, 6, 8, 9}. Negação: x  (A  B) ⇒ x  A∧x  B (a negação de uma disjunção é uma conjunção) Representação em Diagramas: 2.2. Interseção: Dados dois conjuntos A e B quaisquer, o conjunto interseção é o conjunto formado pelos elementos comuns de A e B, ou seja, os elementos que pertencem tanto ao conjunto A quanto ao conjunto B. Logicamente falando, diremos que a interseção de A com B é o conjunto dos elementos de A e dos elementos de B e temos uma conjunção lógica. Usaremos o símbolo “  ” para representar essa operação. Em códigos, a união é assim representada: A  B = {x | x∈A∧x∈B} 96 Exemplo: A = {1, 2, 3} e B = {3, 4, 5}, teremos A  B = {3}, pois o elemento 3 é o único repetido, é o elemento comum. Exemplo: C = {1, 3, 4, 6} e D = {3, 5, 6, 8, 9}, teremos C  D = {3, 6}. Negação: x  (A  B) ⇒ x  A∨x  B (a negação de uma conjunção é uma disjunção) Representação em Diagramas: Caso ocorra A  B = Ø, diremos que os conjuntos A e B são disjuntos. 2.3. Diferença: Dados dois conjuntos A e B, chamamos conjunto diferença A – B ao conjunto dos elementos de A que não pertencem a B e da mesma forma é chamado conjunto diferença de B – A ao conjunto dos elementos de B que não pertencem a A. Em símbolos: A – B = {x | x∈A∧x  B} B – A = {x | x∈B∧x  A} Exemplo: C = {1, 3, 4, 6} e D = {3, 5, 6, 8, 9}, teremos C – D = {1, 4}. Já D – C = {5, 8, 9}. Portanto, essa operação não é comutativa. Perceba que, para fazer a diferença entre dois conjuntos, basta você escrever os elementos do primeiro conjunto e remover os que são comuns, ou seja, os que fazem parte da interseção. Ou seja, x∈(A – B) ⇔ x∈A∧x  A  B. Para fazermos essa demonstração, usaremos os recursos aprendidos em lógica: primeiramente, devemos mostrar que x∈(A – B) ⇒ [x∈A∧x  A  B], depois mostramos que [A∧x  A  B] ⇒ x∈(A – B). Desse modo, pela propriedade antissimétrica dos conjuntos, mostraremos que A – B = A∧x  A  B. x∈(A – B) ⇒ x∈A∧x  B Como consideramos que x pertence a A, podemos dizer que “é verdade que x não pertence a A ou x não pertence a B”, pois o valor dessa sentença seria V, pois mesmo como “x não pertence a A” sendo F, a disjunção (ou) de V com F dá V. Sendo assim, podemos dizer que: x∈A∧x  B ⇒ x∈A∧(x  A∨x  B). Lembre-se que dizer que “é verdade que x não pertence a A ou x não pertence a B” é o mesmo que dizer “é falso que x pertence a A e 97 x pertence a B”, mas “x pertence a A e x pertence a B” é a interseção dos conjuntos A com B. Concluímos que x não pertence à interseção. Em símbolos:x  A∨x  B ⇒ x  A  B. Desse modo, nossa sentença fica: x∈(A – B) ⇒ x∈A∧x  B ⇒ x∈A∧(x  A∨x  B) ⇒ x∈A∧x  (A  B) Como queríamos demonstrar! Agora basta testar sua recíproca, o que será ainda mais fácil, pois, supondo que x∈A∧x  (A  B), já temos que x  (A  B), ou seja, que x  A∨x  B. Como temos necessariamente que x∈A, então tiramos a parte “x  A” da disjunção. Ficando assim: x∈A∧x  (A  B) ⇒ x∈A∧(x  A∨x  B) ⇒ x∈A∧x  B ⇒ x∈(A – B) Desse modo, como testamos a validade da condicional e de sua recíproca, temos então a equivalência: x∈(A – B) ⇔ x∈A∧x  A  B E acabamos de fazer uma demonstração matemática. Mais adiante, veremos mais exemplos de demonstrações. É importante reforçar que a operação da diferença não é comutativa, ou seja, A – B ≠ B – A, a menos que A = B, donde teríamos A – B = B – A = Ø. Diferentemente das outras operações, união ou interseção, que são comutativa, na diferença, a ordem dos conjuntos operados muda o resultado. Negação: x  (A – B) ⇒ x  A∨x∈B Representação em Diagramas: 2.4. Complementação: Dados dois conjuntos A e B, com B⊂A, chamamos conjunto C AB de complementar de B em relação a A, o que equivale à diferença A – B. Em outras palavras, podemos definir o conjunto complementar de B em relação a A assim: Se um conjunto B está contido em um conjunto A, então sabemos que todo elemento de B também é elemento de A, mas podem existir elementos em A que não estão em B. O 98 conjunto formado por estes elementos é chamando de complementar de B em relação a A e sua representação é: C AB = A – B. Podemos calcular também o complementar de um conjunto B, sem precisar dizer “em relação a”. Nesse caso, fica subentendido que é em relação ao conjunto universo, e calculamos assim: U – B. Representação: U – B = CUB = CB = B c Representação em Diagramas: 2.5. Operações Avançadas: 2.5.1. Diferença Simétrica: A∆B = {x | x∈A  B∧x  A  B} Chamamos essa operação de “diferença simétrica”, pois a calculamos da seguinte forma: A∆B = (A – B)  (B – A). Negação: x  A∆B ⇒ x  A  B∨x∈A  B Representação em Diagramas: 2.5.2. Produto Cartesiano: Esta é uma outra operação não-comutativa. O produto cartesiano de A com B, é o conjunto formato pelos pares ordenados de todas as combinações dos elementos de A com os elementos de B, nessa ordem. Para entender bem essa definição, primeiro precisamos entender o que são pares ordenados. 99  Chamaremos (a, b) de par ordenado, onde a representa o 1º termo, também chamado de primeira entrada ou de “abscissa” e b representa o 2º termo, também chamado de segunda entrada ou de “ordenada”. Basicamente, um par ordenado é um conjunto formado por dois elementos em que a ordem dos termos importa muito. Aqui, vale a relação binária: (a, b) ≠ (b, a) Por exemplo, usando os elementos do conjunto {x, y}, podemos formar quatro pares ordenados diferentes: (x, y), (y, x), (x, x) e (y, y). Tendo isso em mente, definiremos o Produto Cartesiano: A×B = {(a, b) | ∀a∈A e ∀b∈B} Aqui, usamos o símbolo “×” para representar o produto cartesiano “A×B”, que leremos como A cartesiano B. O Produto Cartesiano é o conjunto formado por todos os pares ordenados das combinações dos elementos do primeiro conjunto com os do segundo conjunto. Desse modo, considere este exemplo: A = {m, n} e B = {1, 2, 3}, teremos A×B = {(m, 1), (m, 2), (m, 3), (n, 1), (n, 2), (n, 3)} e B×A = {(1, m), (1, n), (2, m), (2, n), (3, m), (3, n)}. Fica mais fácil de entender através da representação em diagramas. Mas, para isso, usaremos setas para indicar o sentido do par ordenado, já que a ordem importa. Pela definição, vemos que se um conjunto tem 2 elementos e o outro tem 3, seu produto cartesiano terá 6 elementos (2 vezes 3). E isso vale para quaisquer quantidades, ou seja: #(A×B) = #A ∙ #B 2.6. Propriedades: Três conjuntos A, B e C, relativamente às suas operações, obedecem as seguintes propriedades: 100 2.6.1. Fechamento: A união e a interseção de A com B são conjuntos contidos no Universo. 2.6.2. Reflexividade: Tem-se que A  A = A e que A  A = A. 2.6.3. Inclusão: Tem-se que A⊂A  B, B⊂A  B, A  B⊂A e que A  B⊂B. 2.6.4. Inclusão Relacionada: Caso ocorra A⊂B, então A  B = B e A  B = A. 2.6.5. Associatividade: Tem-se que (A  B)  C = A  (B  C) e que (A  B)  C = A  (B  C). 2.6.6. Comutatividade: Já comentamos sobre isso, mas vamos reforçar: A  B = B  A e A  B = B  A. 2.6.7. Elemento neutro para a União: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a União de conjuntos, tal que, para todo conjunto A, se tem: A  Ø = A. 2.6.8. Elemento nulo para a Interseção: Já a interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio como resultado. Ou seja: A  Ø = Ø. 2.6.9. Elemento neutro para a Interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que, para todo conjunto A, se tem: A  U = U. 2.6.10. Distributividade: Tem-se que A  (B  C) = (A  B)  (A  C) e que A  (B  C) = (A  B)  (A  C). 101 2.7. Exercícios: 1) Dados os conjuntos A = {0, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 5, 6, 9} e C = {0, 3, 6, 9, 10}, determine: a) A  B b) A  B d) (A  B)  C e) A  (B  C) c) A  C 2) Dados os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f, g}, B = {b, d, g, h, i} e C = {e, f, m, n}, determine: a) A – B b) B – C c) B – A d) (A – B)  (B – A) 3) Considerando que A  B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A  B = {4, 5} e A – B = {1, 2, 3}, determine o conjunto B. 4) Considerando os conjuntos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {1, 2}, B = {2, 3, 4}, C = {4, 5}, determine (U – A)  (B  C). 5) Considerando A = {4, 5, 6} e B = {1, 2, 3, 4}, determine: a) A∆B b) A×B. 6) Sabendo que A = {0, 1, 2, 3, 4, 5,7}, B = {0, 2, 5}, e C = {1, 3, 7} determine: a) C AB c) C AC d) CCA 7) Dado que A = {x∈ℕ | 1 < x < 4} e B = {x∈ℕ | 2 < x < 20}, então A  B é igual a: a) { } b) {2} c) {3} d) {2,3} e) {3,4} 102 3. Problemas Envolvendo Conjuntos 3.1. Número de Elementos do Conjunto União: Consideremos A o conjunto dos números ímpares de 0 a 10 e B o conjunto dos números primos de 0 a 10. Então: A = {1, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A) = 5 e B = {2, 3, 5, 7} ⇒ n(B) = 4 Agora analisemos suas operações básicas: A  B = {3, 5, 7} ⇒ n(A  B) = 3 (número de elementos da intersecção é igual a 3) e A  B = {1, 2, 3, 5, 7, 9} ⇒ n(A  B) = 6 Observe que n(A  B) ≠ n(A) + n(B), pois há três elementos comuns a ambos os conjuntos [n(A  B) = 3] e esse elementos não são contados duas vezes! 6 Assim: ↓ = ↓ 5 + ↓ 4 – 3 ↓ n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) De modo geral, quando A e B são conjuntos finitos, tem-se: n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Para demonstrar esse fato, usaremos a diferença simétrica e verificaremos a seguinte sentença: n(A – B) = n(A) – n(A  B). Esta sentença é verdadeira, pois ela se sustenta numa equivalência demonstrada no tópico anterior: x∈(A – B) ⇔ x∈A∧x  A  B. Além disso, usaremos a seguinte sentença: A  B = {x | (x∈A ⊻ x∈B) ⊻ x∈A  B}. Usando a Tabela-verdade, conseguimos demonstrar essa sentença (fica como exercício no final do tópico). Podemos ainda dizer que x∈A ⊻ x∈B é o mesmo que dizer x∈(A – B)∨x∈(B – A), ou seja: x∈A ⊻ x∈B ⇔ x∈(A – B)∨x∈(B – A). Portanto, x∈A  B ⇔x∈(A – B)∨x∈(B – A)∨x∈A  B. Desse modo, n(A  B) = n(A – B) + n(B – A) + n(A  B) ⇔ 103 n(A  B) = [n(A) – n(A  B)] + [n(B) – n(B  A)] + n(A  B) ⇔ n(A  B) = n(A) – n(A  B) + n(B) – n(B  A) + n(A  B) ⇔ n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) Como queríamos demonstrar. Usando um raciocínio parecido, conseguimos demonstrar o caso para três conjuntos. Veremos isso mais à frente. Entretanto, é interessante vermos essa fórmula que acabamos de demonstrar na sua representação de diagramas: Agora vejamos o caso para três conjunos A, B e C: n(A  B  C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(A  B) – n(A  C) – n(B  C) + n(A  B  C) 3.2. Problemas Envolvendo Conjuntos: Para aplicar essas fórmulas, vejamos os seguintes exemplos: 1) Em uma sala de aula, 10 alunos gostam de Matemática, 16 gostam de Arte, 5 gostam das duas disciplinas e 8 não responderam. Quantos alunos há nessa sala? Para resolver, identifiquemos primeiro a interseção: n(A  B) = 5 (5 gostam das duas disciplinas. Agora identifique o total por disciplina: n(A) = 10 e n(B) = 16. Apliquemos a fórmula: 104 n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) ↓ n(A  B) = 10 + ↓ ↓ 16 – 5 = 21 Como temos 8 alunos que não responderam, há 21 + 8 = 29 alunos na sala. Outra forma de resolver é usando diagramas. Para isso, sugere-se que comecemos a preencher os diagramas pela interseção, colocando o número dentro dessa região para representar a quantidade de alunos que gostam das duas disciplinas. O desenho fica assim: Nesse desenho, representamos o conjunto universo como um retângulo e calculamos a quantidades de elementos das regiões disjuntas, isto é, que não têm elementos comuns. 2) Das 40 pessoas que participaram de uma pesquisa, 30 gostam do jornal A, 20 gostam do jornal B e 5 não gostam de nenhum. Qual é a quantidade de pessoas que gostam dos dois jornais? n(A  B) = x (não foi dito quantos gostam dos dois jornais) n(A) = 30, n(B) = 20 e n(U) = 40 Quando o enunciado diz que “5 não gostam de nenhum”, está nos indicando que, além dos n(A  B) pessoas que gostam de jornais, há n(U) – n(A  B) = 5 gostam, ou seja, n(U) – n(A  B) = 5 ↓ ↓ ↓ 40 – n(A  B) = 5 ⇒ n(A  B) = 40 – 5 = 35 Apliquemos a fórmula: 105 pessoas que não n(A  B) = n(A) + n(B) – n(A  B) ↓ ↓ ↓ ↓ 35 = 30 + 20 – x ⇒ x = 30 + 20 – 35 = 15 Logo, 15 pessoas gostam dos dois jornais. Agora veja a resolução usando diagramas: Usar diagramas deixa questões envolvendo três conjuntos mais fáceis! Na imagem abaixo, temos um resumo de quais números colocar em qual região do diagrama, além do significado de cada região: Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/diagrama-de-venn-problemas-de-raciocinio-logico/ 106 Além disso, na próxima imagem, temos um resumo das operações com três conjuntos e suas respectivas regiões nos diagramas: Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/diagrama-de-venn-problemas-de-raciocinio-logico/ 3) Em uma escola, foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos. Após as entrevistas, os resultados foram os seguintes:  416 alunos disseram que gostam de Rock;  320 alunos optaram por Pop;  116 alunos afirmaram que gostam de MPB;  93 alunos gostam de Rock e Pop;  52 alunos gostam de Pop e MPB;  Nenhum entrevistado gosta de “Rock e MPB”;  Nenhum entrevistado gosta dos três gêneros. Quantos foram entrevistados? Resposta: 707 alunos. 107 3.3. Exercícios: 1) Se n(A  B) = 14, n(A) = 10 e n(B) = 9, determine n(A  B). 2) Uma prova com duas questões foi dada a uma classe de 40 alunos. Dez alunos acertaram as duas questões, 25 acertaram a primeira questão e 20 acertaram a segunda questão. Quantos alunos erraram as duas questões? 3) Se n(A) = 18, n(B) = 23 e n(A  B) = 7. Determine n(A  B). 4) Numa pesquisa com 83 pessoas sobre programas de televisão, 41 responderam que gostam do programa A, 56 que gostam do programa B e 7 que não gostam de nenhum deles. Quantos pesquisados gostam de ambos? 5) O Departamento de Economia de uma determinada instituição de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolução de exercícios. Foi feita uma pesquisa com 800 alunos e foram obtidos os seguintes dados:  Disciplina A: 490 alunos apontaram dificuldades.  Disciplina B: 320 alunos apontaram dificuldades.  Disciplina C: 160 alunos apontaram dificuldades.  Disciplinas A e C: 90 alunos apontaram dificuldades.  Disciplinas A e B: 22 alunos apontaram dificuldades.  Disciplinas B e C: 78 alunos apontaram dificuldades.  Todos os alunos apontaram dificuldades em pelo menos uma dessas disciplinas. Determinar a quantidade de alunos simultaneamente. 108 com dificuldades nas três disciplinas 4. Conjuntos Numéricos A proposta deste Tópico é redefinir a construção dos Números Reais de modo que fique acessível para os estudantes da Educação Básica. Considerando a complexidade que esse conjunto apresenta, devemos pensar em uma maneira bem simples de explicar não somente a questão do fechamento das operações mais avançadas, como logaritmos e raízes, mas também a definição pura e simples de número real. Para isso, iremos explorar as quatro operações básicas, relacionando sempre ao seu conjunto inato, para então chegar nas operações mais avançadas, que devem ser fechadas nos Reais. O principal objetivo deste texto é mostrar que há a possibilidade de comentar definições avançadas, como sequências de Cauchy, para alunos de 9º Ano e Ens. Médio, e redescobrir operações como “raiz quadrada” sob outra perspectiva. Pré-requisitos: As quatro operações básicas, operações como “seno”, raízes e logaritmos, Progressões Geométricas, Relação Binária e Classes de Equivalência. 4.1. Números Naturais: Para simplificar, podemos revisar as operações da Adição e da Multiplicação, que são ambas fechadas dentro desse conjunto, relembrando a Propriedade Distributiva. Para uma pessoa mais criteriosa, pode-se falar dos Axiomas de Peano, para axiomatizar a infinitude desse conjunto. ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …} Aqui, é bom avaliar a questão da inclusão do número zero dentro desse conjunto. Já que ele não é considerado “contável”. Porém, por convenção, consideraremos o zero como número natural, já que ele entra como elemento neutro da Adição e elemento nulo da Multiplicação. 4.2. Números Inteiros: 109 Nessa etapa, precisaremos usar conceitos mais avançados de Relações de Equivalência e Classes de Equivalência, mas sem precisar aprofundar. Em vez de apresentar os Inteiros como sendo simplesmente: ℤ = {…, - 3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}, o que deixa em branco a questão da existência dos números naturais, seria mais interessante os apresentar assim: ℤ = {x | x + m = n, ∀m, n∈ℕ} Desse modo, não só fica clara a existência dos números negativos, já que um número inteiro que, somado com 5, dê 2, só pode ser o “- 3”, mas também fica clara a necessidade de uma operação que consiga gerar quaisquer inteiros, chamada de “Operação da Subtração”, calculada por x = n - m. Nessa definição, fica subentendido a relação (n, m) ~ (a, b) de ℕ×ℕ, que considera n + b = a + m. Entretanto, a pessoa mais criteriosa pode considerar avaliar as propriedades dessa operação, concluindo a questão do fechamento. 4.3. Números Racionais: Uma grande crítica que podemos tirar da definição convencional do conjunto dos Racionais é que ele é definido em cima de uma operação que não é fechada nos inteiros. Sendo assim, dizer que ℚ = { p/q | p∈ℤ e q∈ℤ*} não é natural de se pensar. Entretanto, dizer que os Racionais é o conjunto das classes de equivalência do produto cartesiano ℤ×ℤ de acordo com a relação (p, q) ~ (a, b) | p∙b = a∙q também não é nada intuitivo. Sendo assim, o ideal seria definir desta forma: ℚ = { x | x∙q = p, ∀ p∈ℤ e q∈ℤ*} Desse modo, somos desafiados a pensar que um número, que, multiplicado por 5, dá igual a 40 só pode ser o 8, por exemplo, e naturalmente pensamos na operação da divisão. Além disso, a questão de o porquê de “q” não poder ser zero também se explica naturalmente, posto que o elemento nulo já foi trabalhado durante a explicação da operação da multiplicação nos Naturais. Explorando essa definição de conjunto, somos encorajados a pensar em que número deve ser multiplicado por 3 para dar 5. Esse número não é inteiro, mas é racional, por definição. Daí vem a definição das frações e da operação da Divisão como sendo x = p/q. 110 A pessoa mais criteriosa pode explorar bastante as 4 operações básicas usando frações e números decimais racionais, fazendo uma revisão completa. Outra coisa interessante a se fazer é demonstrar a racionalidade de números decimais não exatos do tipo “dízimas periódicas”, mostrando a fórmula básica de obtenção da fração geratriz. 4.4. Números Reais: Tendo definidas as quatro operações básicas, já devemos ter nossos horizontes expandidos e devemos estar aptos a compreender uma definição extraordinária para número. Contudo, antes disso, seria interessante explicar a existência dos números irracionais, que são números que não se comportam como resultado de alguma divisão. Para isso, é interessante a demonstração da irracionalidade de √2. Note que é crucial a apresentação de novas operações matemáticas, como as Raízes e Potências com expoentes inteiros (ou racionais, se for o caso). Também podem ser apresentadas operações mais avançadas, como logaritmos e arco seno, por exemplo. Após isso, uma breve discussão sobre sequências lógicas pode ser apresentada com os seguintes exemplos: A) (2, 4, 6, 8, __, __) B) (6, 11, 16, __, __) C) (A, C, E, G, __, __) D) (M, P, S, __, __) E) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, __, __) F) (S, T, Q, Q, S, S, __) G) (J, F, M, A, M, __, __) H) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19,__) Soluções: E) 21, 34 - sequência de Fibonacci F) D - dias da semana G) J, J - meses do ano H) 200 - números que começam com “dê” 111 Então, após vermos o conceito de sequência, devemos explorar as sequências numéricas infinitas usando números racionais. Exemplos: A) (0,9; 0,09; 0,009; 0,0009; …) 4 4 4 4 4   B)  4, , , , , ,  3 5 7 9 11    1 1 1 5 7 (1) n 1 (2n  2)!  C) 1, , , , , , , ,  n!(n  1)!2 2 n 1  2 8 16 128 512  1   1 1 1 1 , , ,  D) 1,1, , , , n!   2 6 24 120 Após isso, devemos explorar a definição de Séries de Sequências, ou simplesmente tentar somar os elementos dessas sequências até onde der, onde for humanamente possível. No caso, ao usar o raciocínio infinitesimal, trabalhado no conjunto dos Naturais, podemos argumentar que a soma desses números racionais geram números reais. A saber: A) 0,9 + 0,09 + 0,009 + 0,0009 + … = 1 4 4 4 4 4 B) 4          3 5 7 9 11 C) 1  1 1 1 5 7       2 2 8 16 128 512 D) 1  1  1 1 1 1      e 2 6 24 120 O que pode ser sustentado pela construção dos Reais usando sequências de Cauchy. Entretanto, falar disso já se torna um grande convite para explorarmos sequências bem complexas e procurar somar seus termos, obtendo números reais. Pensando dessa forma, fica mais fácil definir esse conjunto numérico, usando apenas as quatro operações básicas já trabalhadas anteriormente, o que garante não só uma boa definição como o fechamento de qualquer outra operação que pode ser calculada usando esses números, como potências com expoentes irracionais, por exemplo. Então chegamos nesta definição: ℝ = {x | x = Σyi, ∀yi∈ℚ} 112 Note que yi deve ser uma sequência convergente, caso contrário, somar seus termos não geraria um número finito. Desse modo, não só fica muito bem definido o conceito de número real como também as brechas das definições encontradas são tampadas. Caso tenha ficado alguma dúvida sobre essa construção não-formal, é aconselhável uma boa olhada nos livros convencionais de escola onde se fala de Conjuntos Numéricos, para compreender com mais detalhes as categorias de número. 4.5. Exercícios: 1) Quais são os Axiomas de Peano e o que é o Princípio da Indução? 2) Mostre que √2 é irracional. 3) Dê a representação decimal dos seguintes números racionais: a) 7/8 b) 3/4 c) 7/5 d) 2/3 4) Determine a geratriz a/b dos seguintes decimais periódicos: a) 0,333... b) 0,1666... c) 0,242424... d) 0,125777... 5) Entre os números reais -√3 e √5 existem: a) quantos números naturais existem? E números inteiros? b) quantos números racionais existem? E números irracionais? 6) Identifique como decimal exato (finito), decimal infinito periódico ou decimal infinito não periódico cada um dos números a seguir: a) 0,555 b) 0,11454545 c) 0,1231251271291211... d) 0,26666... e) 0,020020002... f) 0,789145 113 5. Introdução ao Estudo de Funções 5.1. Representação Gráfica do Produto Cartesiano: O produto cartesiano pode ser representado por meio de flechas (Diagrama de Venn) ou pelo plano cartesiano. A representação por meio de flechas já foi representada num Tópico anterior, então dos concentremos na representação por meio do plano cartesiano. Cartesiano é um adjetivo que se refere ao matemático e filósofo francês René Descartes que, entre outras coisas, desenvolveu uma síntese da álgebra com a geometria euclidiana. Os seus trabalhos permitiram o desenvolvimento de áreas científicas como a geometria analítica, o cálculo e a cartografia.  Representação no meio cartesiano: Podemos representar os pares ordenados de um produto cartesiano em um gráfico denominado plano cartesiano, que é assim construído: Da reta horizontal (x), também chamada eixo das abscissas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de A, e da reta vertical (y), ou eixo das ordenadas, saem as linhas perpendiculares referentes aos valores de B. Os pares ordenados são representados pela interseção das paralelas aos eixos, traçadas a partir dos pontos que representam os elementos de A e de B. Por exemplo: Sejam A = {1,3,5} e B = {2,4, 5, 6}, teremos: A×B = {(1,2), (1,4), (1, 5), (1,6), (3,2), (3,4), (3,5), (3,6), (5,2), (5,4), (5,5), (5,6)}. O gráfico que representa o produto cartesiano de A×B é assim representado: 114 Fonte: https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt Os pares ordenados, localizados no plano cartesiano, são chamados de coordenadas cartesianas. 5.2. Relação: Consideremos os conjuntos: A = {1,2,3} e B = {1,2,3,4,5,6} e determinemos o produto cartesiano A×B. A×B = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)} Os elementos de A×B são pares ordenados no formato (x,y). Agora, desses pares ordenados, selecionemos os que possuem a característica: “y é múltiplo de x”, teremos o conjunto R tal que: R = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,2), (2,4), (2,6), (3,3), (3,6)} Perceba que este conjunto R é subconjunto de A×B, ou seja, R⊂A×B. Chamaremos esse conjunto de “Relação” de A em B.  Definição: 115 Dados dois conjuntos A e B, dizemos que um conjunto R é relação de A em B, se R for um subconjunto de A×B. Simbolicamente: R : A → B ⇔ R⊂A×B Para que haja relação, é necessário que (x,y)∈A×B, ou seja, que o 1º elemento (x) do par ordenado pertença ao conjunto A e o 2º elemento (y), ao conjunto B. Assim: (x,y)∈A×B ⇔ x∈A e y∈B Há, ainda, outras condições a que as relações podem obedecer. Por exemplo, se, em vez de “y é múltiplo de x”, quiséssemos “y é dobro de x”, R seria tal que: R = {(1,2), (2,4), (3,6)} E poderíamos escrever R por compreensão da seguinte forma: R = {(x,y)∈A×B | y = 2x} 5.3. Domínio e Imagem de uma Relação: Domínio de uma relação é o conjunto formado pelo primeiro elemento de cada par ordenado (x) que satisfaz a essa relação. O domínio está contido no conjunto A. Simbolicamente, escrevemos: D(R)⊂A. Imagem de uma relação é o conjunto constituído pelo segundo elemento de cada par ordenado (y) que satisfaz à relação. A imagem está contida em B. Simbolicamente, escrevemos: Im(R)⊂B. Exemplo: A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}. Considere a relação: R = {(x,y)∈A×B | x - 1 = y} Apesar de o produto cartesiano A×B conter 36 elementos, R = {(2,1), (4,3), (6,5), (8,7), (10,9)}, pois satisfaz à condição x - 1 = y. Então, D(R) = {2, 4, 6, 8, 10} e Im(R) = {1, 3, 5, 7, 9}. Em diagrama: 116 5.4. Função: Função é um tipo muito particular de relação. Para que uma relação se configure como função, alguns pré-requisitos devem ser obedecidos:  D(R) = A;  ∀(x,y)∈R∧(a,b)∈R ⇒ x ≠ a. Em outras palavras, uma relação será dita função, se todos os elementos do conjunto A forem elementos do Domínio da Relação e se, para cada elemento desse domínio, corresponder um único elemento na Imagem da Relação, ou seja, cada abcissa não pode aparecer mais do que uma vez em cada par ordenado da relação. Vejamos um exemplo: Sendo A = {0, 2, 4, 6, 8, 10} e B = {1, 3, 5, 7, 9, 11}, R = {(x,y)∈A×B | x < y} não se configura como função, pois: R = {(0,1), (0,3), (0,5), (0,7), (0,9), (0,11), (2,3), (2,5), (2,7), (2,9), (2,11), (4,5), (4,7), (4,9), (4,11), (6,7), (6,9), (6,11), (8,9), (8, 11), (10,11)} tem abcissas repetidas. Porém R = {(x,y)∈A×B | x + 1 = y} é uma função, pois R = {(0,1), (2,3), (4,5), (6,7), (8,9), (10,11)} usa todos os elementos de A uma única vez. Quando isso ocorrer, chamaremos R de f.  D(f) = A é chamado domínio da função;  O conjunto B é chamado contradomínio da função;  Imf é chamado de imagem da função. Para ficar mais claro, pensemos em objetos. Que tal se chamarmos nosso conjunto A de conjunto de pessoas e nosso conjunto B de conjunto de cadeiras. Como poderíamos relacionar esses dois conjuntos? Função exprime essa resposta: “as pessoas sentam nas cadeiras”. Para que essa relação se configure como função, precisaremos necessariamente ter:  Cada pessoa se senta dentro da sala;  Cada pessoa se senta em uma única cadeira. 117 Quando dizemos que “cada pessoa se senta”, estamos garantindo que não restará pessoas em pé, ou seja, que o Domínio dessa relação é o próprio conjunto de pessoas. Quando dizemos que cada pessoa senta em uma única cadeira, garantimos que não ocorra de uma mesma pessoa sentar em duas cadeira ou mais. Exemplo: É uma função! Note que, nesse exemplo, duas pessoas sentaram numa mesma cadeira, e não há problemas! O problema é uma pessoa sentar em duas cadeiras ou mais. Mais exemplos: Não é função, pois uma pessoa não sentou! É uma função sim! Também é! Também é! Não é, pois uma pessoa sentou em duas cadeiras! Também é! 118 Podemos dizer que “dois conjuntos A e B e uma relação f de A em B, f é uma função de A em B se todo elemento x de A estiver associado a um único elemento y de B, tal que (x,y) ∈ f ”. Simbologia: f : A → B | f = {(x,y)∈A×B | condição} ou simplesmente f : A → B | f (x) = y (leitura: f de A em B é tal que f de x é igual a y) Quando tivermos a representação em diagramas, para que uma relação seja função é necessário partir uma flecha de todo elemento de A. Exemplo: Dados A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, vamos construir o gráfico da função f : A → B | f (x) = 3x – 5. Fazendo o cálculo para cada elemento de A: 3∙1 – 5 = 3 – 5 = – 2 3∙2 – 5 = 6 – 5 = 1 3∙3 – 5 = 9 – 5 = 4 3∙4 – 5 = 12 – 5 = 7 3∙5 – 5 = 15 – 5 = 10 Logo Imf = {- 2, 1, 4, 7, 10}. Agora identifiquemos, num plano cartesiano, os pares ordenados: (1,-2), (2,1), (3,4), (4,7) e (5,10). Fonte: https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt Caso esta função fosse de ℝ em ℝ, a identificação no plano seria bem diferente! 119 f : ℝ → ℝ | f (x) = 3x – 5 Fonte: https://www.geogebra.org/graphing?lang=pt 5.5. Tipos de Função: 5.5.1. Injetora: Função injetora é aquela em que cada elemento da imagem está ligado a um único elemento do domínio. Ou seja, cada pessoa se senta em uma cadeira desocupada, não acontecendo de duas pessoas sentarem na mesma cadeira. Esse tipo de função também é chamada de função 1 por 1 ou injetiva. Exemplos: São injetoras: 120 Não são injetoras: Característica: #B ≥ #A e #Imf = #A. Definição Formal: f é injetora ⇔ [a ≠ b ⇒ f(a) ≠ f(b), ∀a,b∈D(f )] 5.5.2. Sobrejetora: Função Sobrejetora, ou sobrejetiva, é aquela cujos elementos do contradomínio estão necessariamente relacionados com algum elemento do domínio, ou seja, o conjunto imagem da função é igual ao contradomínio. Em outras palavras, uma função sobrejetora é aquela em que não restam cadeiras desocupadas. Note que, para que isso ocorra, é necessário haver mais pessoas que cadeiras. Característica: #B ≤ #A e #Imf = #B. Exemplos: São sobrejetoras: Não são sobrejetoras: 121 Definição Formal: f : A → B é sobrejetora ⇔ [∀y∈B, ∃x∈A | f(x) = y] 5.5.3. Bijetora: As funções bijetoras, também chamadas de funções bijetivas ou bijeções, são funções que são tanto injetoras quanto sobrejetoras. Ou seja, elas herdam as propriedades das funções injetoras e sobrejetoras. Característica: #A = #B. É como se cada pessoa tivesse sua própria cadeira e ninguém mais pudesse sentar nela. 5.6. Exercícios: 1) Podemos classificar uma função sobrejetora como sendo aquelas que possuem o: a) Domínio constituído apenas de números naturais. b) Contradomínio com valores dobrados em relação ao conjunto imagem. c) Conjunto imagem nulo. d) Domínio diferente do conjunto contradomínio. e) Contradomínio igual ao conjunto imagem. 2) Dada a função f:ℝ →ℝ+ definida por: f (x) = x². Determinar f (0), f (-1), f (-2), f (1), f (2) e o tipo de função. 3) Dada a função f:A →ℝ definida por: f (x) = 4x - 3, com A = {1, 2, 3, 5, 9}. Determinar Im f . 4) Marque a alternativa que representa a função abaixo: a) f (x) = 2x + 2, bijetora; b) f (x) = x² + 2, injetora; c) f (x) = 2x² - 1, sobrejetora; d) f (x) = 2x², bijetora; e) f (x) = x², injetora. 122 6. Provas Matemáticas Em matemática, uma prova é uma demonstração de que, dados certos axiomas, algum enunciado de interesse é necessariamente verdadeiro. Utiliza como base premissas intrínsecas a um modelo conceitual e um silogismo que, a partir de uma série de operações, chega-se ao resultado. Costuma-se marcar o final de uma prova com a abreviação c.q.d. (como queríamos demonstrar), q.e.d. (quod erat demonstrandum - seu sinônimo em latim) ou simplesmente um quadradinho preenchido ■, ou não . Ao chegar ao final da prova, é comum substituirmos o símbolo ⇒ (implica que) pelo símbolo ∴ (portanto). Para entender bem o que é uma prova, precisamos primeiro definir alguns termos muito comuns em Matemática: Definição, Axioma, Demonstração e Teorema. 6.1. Termos de uma Prova Matemática: 6.1.1. Definição: Definição é um enunciado que descreve o significado de um termo. Exemplos:  Segundo Euclides, reta é o que tem comprimento e não tem largura.  Se a divide b, dizemos que b é múltiplo de a. 6.1.2. Axioma: Axioma é uma sentença usada como de partida de um raciocínio, uma proposição assumida como verdadeira. Exemplos:  (Primeiro postulado de Euclides) Pode-se traçar uma única reta passando por dois pontos distintos.  (Axioma de Peano) Todo número natural possui sucessor. 6.1.3. Demonstração: 123 Demonstração é o processo pelo qual fazemos uma prova de que um teorema é verdadeiro, obtida por regras e operações válidas. Em geral, existem várias formas de demonstração. Veremos cada um detalhadamente mais à frente. 6.1.4. Teorema: Teorema é uma proposição que se demonstra ser verdadeira, baseada em proposições anteriores. Exemplos:  (Teorema de Pitágoras) Em um triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos equivale ao quadrado da hipotenusa.  (Teorema de Pitot) Em um quadrilátero convexo circunscritível (isto é, um em que um círculo pode ser inscrito) o resultado da soma dos comprimentos dos lados opostos é o mesmo. É importante salientar que, quando um teorema pe comprovado, ele pode ser usado como premissa para a demonstração de outros teoremas. 6.2. Tipos de Demonstração: Para falarmos de demonstrações, é interessante lembrarmos da condicional p⇒q. Neste tópico, chamaremos p de “Hipótese” e q de “Tese”. 6.2.1. Demonstração Direta: A demonstração direta é a forma mais simples de demonstração, e a mais óbvia: para demonstrar que p ⇒ q, assuma que p é verdadeiro e, através de uma série de etapas, cada uma seguindo das anteriores, conclui-se q. Exemplos: 1) Demonstre que, se m e n são pares, então m + n é par. Hipótese: m e n são pares; Tese: m + n é par. Demonstração: Como m e n são pares, assume-se que m,n∈ℕ e sabe-se que cada número par é múltiplo de 2, logo ∃a,b∈ℕ tais que m = 2a e n = 2b. Desse modo, 124 m + n = 2a + 2b = 2(a + b) que é um múltiplo de 2, logo também é par . 2) Demonstre que o quadrada de qualquer número ímpar também é ímpar. Aqui, a proposição não está no formato “se p, então q”, mas dá para alterar a frase, sem mudar o seu sentido: Demonstre que, se n é ímpar, então n² também é ímpar. Hipótese: n é ímpar Tese: n² é ímpar Demonstração: n sendo ímpar, então é sucessor de algum par. Assim como no exemplo anterior, podemos escrever esse par na forma 2a, obtendo-se n = 2a + 1 (seu sucessor). Desse modo: n é ímpar ⇒ n = 2a + 1 ⇒ n² = (2a + 1)² ⇒ n² = 4a² + 4a + 1 ⇒ n² = 2∙2a² + 2∙2a + 1 ⇒ n² = 2∙(2a² + 2a) + 1 ⇒ n² = 2∙b + 1 ⇒ n² é ímpar . (supondo 2a² + 2a = b) 6.2.2. Demonstração por Contraposição: Da unidade anterior: “p ⇒ q” é equivalente à sua contrapositiva “não q ⇒ não p”. Disto, resulta que, se “~q ⇒ ~p” for verdadeira, então “p ⇒ q” também é, e vice-versa; ou seja, se demonstrarmos a contrapositiva, a proposição original estará automaticamente demonstrada. Exemplos: 3) Sejam n e m números inteiros para os quais n + m é par, então n e m tem a mesma paridade (ou seja, ambos são pares ou ambos são ímpares). Proposição: n + m é par ⇒ n e m tem mesma paridade (note que o universo do discurso são os números inteiros). Contrapositiva: n e m não tem mesma paridades ⇒ n + m é ímpar (o universo do discurso ainda é o mesmo). Hipótese: n e m não tem mesma paridades Tese: n + m é ímpar Demonstração: Pela hipótese, um dos números é par e o outro é ímpar. Para simplificar, façamos n = 2a e m = 2b + 1, para inteiros a e b (o caso n ímpar e m par pode ser obtido apenas trocando-se n por m). Logo, n + m = 2a + 2b + 1 = 2(a + b) + 1 = 2c + 1, onde c = a + b é inteiro. Portanto, n + m é ímpar . 125 4) Demonstre que, se n² é par, então n também é. Proposição: n² é par ⇒ n é par. Note que a proposição é bem simples, e poderíamos usar uma demonstração direta. Contudo, ao observarmos a contrapositiva: n não é par ⇒ n² não é par. Demonstração: A contrapositiva é verdadeira, conforme demonstramos no exemplo 2. Portanto, a proposição original também é verdadeira. Observação: aqui, usamos o fato de que um número natural que não é par, então é ímpar . 6.2.3. Demonstração por Redução ao Absurdo: Uma demonstração por redução ao absurdo é uma técnica de demonstração no qual se demonstra que, se alguma proposição do tipo p fosse verdadeira, ocorreria uma contradição lógica, e portanto p só pode ser falso, disto resultado que ~p é verdadeiro. Exemplos: 5) Algum dia será possível criar um programa de computador que sempre ganhe no xadrez? Suponha, por um momento, que a seguinte proposição é válida: p = “existe um programa de computador que sempre ganha no xadrez”. Supondo que tal programa existe, instale a mesma cópia em dois computadores e coloque um para jogar contra o outro. Ou o jogo terminará empatado (sem nenhum ganhador), ou um dos computadores perderá. Em qualquer destes casos, pelo menos uma das duas cópias do programa não vai ganhar o jogo, o que é uma contradição, já que assumimos que o programa sempre ganha. Portanto, não existe (nem nunca existirá) um programa que sempre ganhe no xadrez . 6) Demonstre que existem infinitos números primos. Hipótese: (todo e qualquer resultado que não depende deste) Tese: p = “Existem infinitos números primos” Demonstração: Vamos deixar de lado a tese por um momento e supor o seguinte: Hipótese (absurda): ~p = “existe uma quantidade finita de números primos”. Vejamos até onde ela nos leva. Por esta nova hipótese, há apenas n números primos, onde n é natural. Podemos colocar os primos p1, p2, ..., pn em ordem, de tal forma que: p1 < p2 < ... < pn. Com isto, teríamos que pn é o maior primo de todos. 126 Considere o número p1·p2·...·pn + 1. Ele não é divisível por nenhum dos primosp1, p2, ..., pn; portanto, ele também é primo e, além disso, é maior do que todos os demais números primos, incluindo pn. Mas isto contradiz a afirmação de que pn é o maior primo de todos, o que é um absurdo! Como o nosso raciocínio foi construído corretamente após a hipótese ~p, isto nos leva a concluir que ~p é falsa, consequentemente a proposição p = “existem infinitos números primos” é verdadeira . 7) Demonstre que √2 é irracional. Demonstração: Suponha, por absurdo, que √2 é racional. Portanto, seria possível encontrar números inteiros a, b, com b ≠ 0, tais que √2 poderia ser representado como fração 2 irredutível 2= a2 a a . A partir disto, podemos afirmar que: 2 = (√2)² =   = 2 . Disto temos: b b b a2 ⇒ a² = 2b², b2 ou seja, a² é par e, pelo que demonstramos no exemplo 4, a também é par. Como a é par, a = 2k para algum inteiro k, e daí: 2b² = a² = (2k)² = 4k² ⇒ 2b² = 4k² (÷2) ⇒ b² = 2k² o que nos diz que b também é par. Mas isto é uma contradição, pois, se a e b são ambos pares, a fração irredutível a poderia b ser reduzida, o que é um absurdo! Logo, podemos concluir que o número real √2 não pode ser racional, portanto é irracional . 6.2.4. Demonstração do tipo “Se, e somente se”: Como já vimos na unidade anterior, uma bicondicional “p⇔q” equivale a duas proposições condicionais: “se p, então q” e “se q, então p”. Simbolicamente, “(p⇒q)∧(q⇒p)”. Cada uma das duas proposições deve ser demonstrada separadamente. Exemplo: 8) Demonstre que dois números inteiros a e b possuem paridades diferentes se, e somente se, a + b é número ímpar. Demonstração: Temos que provar as implicações: a) a e b possuem paridades diferentes ⇒ a + b é ímpar b) a + b é ímpar ⇒ a e b possuem paridades diferentes 127 Note que a implicação “a)” é a contrapositiva da proposição do exemplo 3; portanto, já foi demonstrada ser verdadeira. Resta agora demonstrar a implicação “b)”, usando algum dos métodos vistos (demonstração direta, por contrapositiva ou por redução ao absurdo). O que ficará como exercício a seguir. 6.3. Exercícios: 1) Mostre que, para quaisquer a e b inteiros, se a + b é ímpar, então a e b possuem paridades diferentes. 2) Mostre que √3 é irracional. 3) Demonstre que Ø é subconjunto de qualquer conjunto. 4) ∀n∈ℤ, se n é par e 4 ≤ n ≤ 30, então n pode ser escrito como a soma de dois números primos. 5) Se n é um inteiro e 3n + 2 é ímpar, então n é ímpar. 6) Não existe um inteiro que seja o maior de todos os outros. 7) Mostre que existem números irracionais x e y tal que xy é racional. 8) Se n é um inteiro positivo, então n é par se, e somente se, 7n + 4 é par. 9) Se n é um inteiro positivo, então n é ímpar se, e somente se, 5n + 6 é ímpar. 10) Se n∈ℕ, então n² + 3n + 4 é par. 128 CONSIDERAÇÕES FINAIS A principal proposta desta apostila é trazer um compilado completo dos temas cobrados em sala de aula complementares aos do livro. Entretanto, ficarei muito feliz em ter essa apostila compartilhada para difundir os conhecimentos nela presentes. Tudo o que está escrito aqui não é 100% autoral, mas muito do que está escrito, tive o cuidado de detalhar e explicar do meu jeito, até porque é dessa forma que leciono, então seria um prazer meu fazer adaptações e melhorar ainda mais essa apostila. Para mais sugestões e correções, favor entrar em contato através do endereço: feilee200@gmail.com. Muito obrigado pela atenção! 129 REFERÊNCIAS APOSTILA DE ARGUMENTAÇÃO E FALÁCIAS. São Paulo: Escola da Artes, Ciências e Humanidades (USP). Disponível em: <http://www.each.usp.br/rvicente/TADI01_Argumentacao_e_Falacias.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. CÁSSIO, professor. Apostila de Sofismas e Falácias. Colégio Progresso de Araraquara. Disponível em: <http://www.progresso.org.br/2016/cassio/texto41em.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contexto & aplicações. São Paulo: Ática, 2013. DIAGRAMA DE EULER. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Euler>. Acesso em 21 jun. 2020. DIAGRAMA DE VENN. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Venn>. Acesso em 21 jun. 2020. FALÁCIA. Disponível em: <https://pt.wikipedia.org/wiki/Fal%C3%A1cia>. Acesso em 21 jun. 2020. FARO, Sérgio Destácio. Apostila de Raciocínio Lógico Matemático. (NEAD) - Uniban Brasil, Capítulo 3. Disponível em: <https://matematicauniban.files.wordpress.com/2010/10/cap-3-tautologias-contradicoes-e-con tingencias.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. GUIA, Alexandre Assemany da. Apostila de Matemática. Federação de Escolas Simonsen, 1ª Unidade. Disponível em: <http://www.simonsen.br/eja/arquivos-pdf/mat-und1.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. 130 HAUSEN, Rodrigo. Bases Matemáticas - Métodos de Demonstração. Aula 2. Disponível em: <http://compscinet.org/hausen/courses/bm/aulas/aula2.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. LIMA, Cleone Silva de. Apostila de Lógica. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Norte. Disponível em: <https://docente.ifrn.edu.br/cleonelima/disciplinas/fundamentos-de-programacao-2.8401.1m/f undamentos-de-logica-e-algoritmos-1.8401.1v/apostila-proposicoes-tabelas-verdade-conectiv os-logicos>. Acesso em 21 jun. 2020. MELLO, Diego. Notas de Aula 2: Métodos de Prova - Matemática Discreta. Minas Gerais: IFMG Campus Formiga, 2012. Disponível em: <http://computacao-ifmg.weebly.com/uploads/5/9/4/6/5946176/notas-aula-provas.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. NEGREIROS, Talita Daniele Vieira; MIRANDA, Dimas Felipe de. Caderno de Atividades Raciocínio Lógico, Uma Contribuição Para a Organização do Pensamento. Disponível em: <http://www1.pucminas.br/imagedb/documento/DOC_DSC_NOME_ARQUI2016031714131 0.pdf>. Acesso em 21 jun. 2020. 131 ANEXO Recíproca de uma implicação lógica e equivalência Dada a implicação p ⇒ q, chamamos de sua recíproca a implicação q ⇒ p. Observe que nem sempre a recíproca de uma implicação verdadeira é também verdadeira. No exemplo “todo losango é paralelogramo”, temos que p ⇒ q é verdadeira, mas sua recíproca q ⇒ p é falsa, pois nem todo paralelogramo é losango. Quando a implicação p ⇒ q e sua recíproca q ⇒ p são ambas verdadeiras, escrevemos p ⇔ q e lemos: p é equivalente a q ou p se, e somente se, q ou p é condição necessária e suficiente para q. Por exemplo: p: propriedade de um número natural x ser igual a 2 (x = 2) q: propriedade de o dobro deste x ser igual a 4 (2x = 4)  p ⇒ q, pois, se x = 2, multiplicamos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos 2x = 4.  q ⇒ p, pois, se 2x = 4, dividimos ambos os membros da igualdade por 2 e obtemos x = 2. Assim, p ⇒ q e q ⇒ p são verdadeiras. Logo, p ⇔ q e podemos escrever x = 2 ⇔ 2x = 4. Contrapositiva Já vimos que, se p é a propriedade que define o conjunto A e q é a propriedade que define o conjunto B, dizer que A⊂B é o mesmo que dizer que p ⇒ q (p implica que q). Vamos representar por ~p a negação de p e por ~q a negação de q. Assim, dizer que um objeto x goza da propriedade ~p significa afirmar que x não goza da propriedade p (isso vale também para ~q em relação a q). Dessa forma, podemos escrever a equivalência: A⊂B ⇔ Bc⊂Ac da seguinte maneira: p ⇒ q se, e somente se, ~q ⇒ ~p 132 ou seja, a implicação p ⇒ q (p implica que q) é equivalente a esta outra implicação: ~q ⇒ ~p (a negação de q implica a negação de p). A implicação ~q ⇒ ~p chama-se contrapositiva da implicação p ⇒ q. Por exemplo, consideremos o universo U o conjunto dos quadriláteros convexos, p a propriedade de um quadrilátero x ser losango, e q a propriedade de ser paralelogramo. Assim, ~p é a propriedade que tem um quadrilátero convexo de não ser losango, e ~q a de não ser paralelogramo. Logo: (1) p ⇒ q: Se x é losango, então x é paralelogramo. (2) ~q ⇒ ~p: Se x não é paralelogramo, então x não é losango. As afirmações (1) e (2) são equivalentes, isto é, são duas maneiras diferentes de dizer a mesma coisa. Para refletir: O que é um polígono convexo? 133