T EORIA DOS C ONJUNTOS : APONTAMENTOS
1
Paulo de Tarso Salles
CMU/ECA-USP, 2016.
Muitos estudos de análise de música pós-tonal adotam a teoria dos conjuntos
como procedimento metodológico para a compreensão de certos procedimentos
harmônicos. Apesar de concebida para a análise de música dodecafônica – onde se
trabalha com conjuntos ordenados – a técnica pode ser empregada satisfatoriamente na
análise de música tendo por base apenas o sistema de afinação temperada. E pode até
mesmo ser usada na organização do material composicional, como ferramenta criativa.
A mera utilização de conjuntos de notas não garante a qualidade dos resultados
da análise. É necessário compreender o funcionamento desse sistema analítico para
entender como esses dados se processam de maneira significativamente musical. A
teoria dos conjuntos oferece uma série de operadores que são uma alternativa lógica à
ausência das hierarquias tradicionais do sistema tonal (fundamentado sobre as noções de
tríade, campo harmônico, modulação, consonância e dissonância). Considerando que a
noção de intervalo permaneceu importante para boa parte da produção musical do
século XX, é importante conhecer e organizar as formas possíveis de combinação entre
os intervalos.2 A teoria dos conjuntos é um procedimento simples e eficaz para analisar
essas combinações, ou ao menos para oferecer um esquema organizado delas.
De início são apresentadas as bases desse método: a numeração de 0 a 11 das
notas da escala cromática e a equivalência entre as oitavas, gerando a noção de classe de
altura [pitch class, ou pc], onde as notas são consideradas como entidades discretas
dentro do conjunto da escala temperada (Dó = 0, Dó# = 1, ..., Si = 11). Como
consequência, tem-se a noção das classes de intervalos [interval classes, ou ic] que
representam os intervalos pela distância em semitons. Assim, uma 3ª Maior,
classificação oriunda da teoria tonal, passa a ser considerada como uma classe de
intervalo |4| (quatro semitons).
1
Apostila elaborada como material de apoio para a disciplina Contraponto III (ECA/USP).
Outra noção retida da teoria tradicional é a de escala, embora por vezes esse termo seja substituído por
coleção. Na música da primeira metade do século XX, diversas escalas - além dos conhecidos modos
Maior e menor - foram empregadas na organização harmônica de diversas obras significativas, tornando
esse conceito uma consideração teórica importante. Assim como a noção de “modo” ou “escala”, em suas
aplicações composicionais, não têm uma ordenação dos elementos como no serialismo), a noção de
“conjunto” ou “coleção” se torna ainda mais precisa por prescindir da hierarquia ou centralidade típicas
dos sistemas Tonal e Modal. Pode-se ainda optar por conjuntos ordenados ou não-ordenados.
2
De modo a compreender as possibilidades mais finitas do universo cromático, os
subconjuntos possíveis são reduzidos à sua ordem normal [normal order] ou em sua
forma primária [prime form]. Assim é obtida uma representação numérica de quaisquer
subconjuntos da escala cromática, dispostos em uma tabela ordenada que permite uma
referência rápida. Considerando de tricordes a nonacordes, Forte estabeleceu uma tabela
com 220 formas primárias, às quais atribuiu um número de classificação, o FN (Forte
number). Robert Morris (1987) considera também conjuntos com duas e dez classes de
altura, o que eleva o número de formas primárias para 232; tais conjuntos de classes de
altura (CCA) serão designados como MN (Morris number). 3
Cada forma primária é agrupada de acordo com seu número cardinal, ou seja,
pela quantidade de elementos de cada conjunto. O conjunto 3-1 é a primeira forma
(cromática) do cardinal 3, ou seja, contém as classes de altura 0,1,2. A forma normal
expressa assim a menor relação intervalar possível entre os elementos de um conjunto,
sendo encontrada por meio da ordenação e permutação desses elementos. Já a forma
primária é encontrada quando uma forma normal é ajustada para que seu elemento
inicial, à esquerda, seja o “0”.
Uma boa forma de exercitar a compreensão sobre a numeração e ordenação dos
conjuntos é tomar estruturas bem conhecidas como a escala diatônica (7-35) ou as
tríades maior e menor (3-11) para uma avaliação de suas propriedades intervalares
(WILLIAMS, 1997, pp. 168-178).
A terminologia empregada é tomada de empréstimo da matemática. Assim, um
termo consagrado pela teoria musical como som comum será renomeado como
invariância,4 etc. As aludidas manipulações com os intervalos são chamadas de
operadores, dos quais os principais são: transposição (T), inversão (I) e multiplicação
(M).5
3
Cf. Forte (1973, pp. 179-181). A tabela de Forte é adotada aqui como referência. Oliveira (1998) e
Straus (2013) apresentam também versões expandidas, onde estão incluídas as transposições da forma
primária. John Rahn, Larry Solomon e Dmitri Tymoczko utilizam algoritmos que resultam em coleções
com 1, 2, 10 e 11 classes de altura, as quais também apresentam propriedades relevantes. O algoritmo de
Rahn (1980) resulta em seis CCA com forma primária diferente da de Forte: 5-20, 6-z29, 6-31, 7-20 e 826. Straus e Williams (1997) adotam o algoritmo de Rahn.
4
Straus (2013) mantém a nomenclatura original, neste caso, tratando as invariâncias como sons comuns
às coleções.
5
O operador de multiplicação é apresentado em maiores detalhes por Oliveira (1998, pp. 30-34). Destacase a transformação da escala cromática em ciclos de quintas e de quartas, através dos operadores M7 e M5,
respectivamente. Os operadores de transposição e inversão são mais comumente investigados nos tratados
de Forte (1973), Straus (2013), Williams (1997) e do próprio Oliveira.
2
Uma vez expostas essas noções básicas, passa-se a abordar as operações
possíveis entre os diversos conjuntos.6
COMPLEMENTARIDADE
Todo conjunto tem seu equivalente complementar. Por complementaridade
entende-se a quantidade de classes de altura que completa o todo cromático. Um
conjunto qualquer com sete classes de altura (septacorde) tem como complemento um
pentacorde. A numeração da tabela de Forte alinha os pares complementares, por
exemplo: o septacorde 7-35 (coleção diatônica) é complementar ao pentacorde 5-35
(coleção pentatônica).
Nas séries dodecafônicas pode-se observar a consequência natural dessa
propriedade: divididas em dois hexacordes (H1 e H2), vê-se que H2 é obrigatoriamente
o complemento de H1. Os hexacordes podem estar relacionados por uma entre três
possibilidades: transposição, inversão ou relação “Z”. O conhecimento dessas relações é
essencial para a exploração de potencialidades da série na geração de estruturas
composicionais a partir do método dodecafônico.
T RANSPOSIÇÃO
Esta operação é análoga à noção de transposição da teoria musical tradicional,
ou seja, por meio de um fator intervalar se eleva ou abaixa todo um agrupamento de
notas. Se o tricorde “cromático” Dó-Dó#-Ré (012), FN 3-1, é transposto por 1 semitom
(t=1), então temos: [1,2,3]; se t=5 o resultado será: [5,6,7]. Percebe-se que no primeiro
caso (t=1) o conjunto resultante apresentou 2 invariâncias em relação ao original; no
segundo caso (t=5) não houve invariâncias. De qualquer forma, ambos conjuntos
resultantes são versões transpostas de 3-1, denominadas T1 e T5. A versão inicial, por
coincidir com a forma primária, é denominada T0.
I NVERSÃO
O conceito de inversão também é análogo ao da teoria musical tradicional.
Como se opera em módulo 12, a soma das inversões sempre será 12. Esse mesmo
critério estabelece o fator (ou eixo) de inversão. Frequentemente uma forma normal é
encontrada em relação de inversão.
6
Doravante, os subconjuntos da escala cromática serão chamados de conjuntos, para serem tratados
autonomamente e em relação a seus eventuais subconjuntos.
3
Se na representação dos conjuntos em forma primária o “0” está à esquerda, a
forma normal de um conjunto em inversão posiciona o “0” à direita. Por exemplo,
tome-se o tetracorde 4-3, cuja forma primária (T0) é: (0134); sua inversão (T0I) é:
[8,9,11,0]. Comparando as tríades maior e menor, que correspondem ao tricorde 3-11
(037), pode-se verificar isso: T0 [0,3,7] (tríade menor); T0I [7,4,0] (tríade maior). As
figuras a seguir mostram as operações sequenciadas de inversão e transposição que
mapeiam Dó maior em Dó menor (Fig. 1 e 2).
Fig. 1: inversão da tríade de Dó maior, resultando em Fá menor (T0I).
7
Fig. 2: transposição de Fá menor para Dó menor (T ).
Vemos então que as operações combinadas e sequenciais de inversão e
transposição mostram que de Dó maior para Dó menor ocorre a operação T7I, que
transforma um no outro. Dada a relevância dessa transformação e da distinção entre
versões relacionadas por inversão, há autores que nomeiam 3-11A (tríade menor) e 311B (tríade maior), recurso que pode ser aplicado sempre que for necessário distinguir
entre conformações de um conjunto de classes de altura (CCA).
4
C ONJUNTOS DE RELAÇÃO Z
As relações de complementaridade entre conjuntos se dão mediante os conceitos
de transposição, inversão ou mesmo de inclusão. Mas há CCA cujo único traço comum
é compartilhar do mesmo vetor intervalar, já que ambos não apresentam relação de
transposição ou inversão, como por exemplo os tetracordes 4-z15 e 4-z29, cujo vetor é
<111111>. Tal relação é chamada de relação Z. Há um par de tetracordes, três pares de
pentacordes e quinze pares de hexacordes sob essa relação (STRAUS, 2013, p. 98-100).
A relação Z foi provavelmente identificada no contexto da música dodecafônica;
uma série tem dois hexacordes (H1 e H2), logo H1 é complementar a H2. Consultando a
tabela de Forte (ver ao final), vê-se que há hexacordes que são complementares a si
mesmos, logo, numa série dodecafônica isso implica que nesse caso H2 é transposição
de H1. Mas há outros hexacordes complementares que não se relacionam por
transposição (e nem por inversão). O único fator que os relaciona é a propriedade Z, ou
seja, o compartilhamento do mesmo vetor intervalar.
VETOR INTERVALAR
Como mencionado acima, o vetor intervalar é uma tabela que expressa todas as
classes de intervalo (IC) presentes em um determinado conjunto. Tome-se o tricorde
Dó-Ré-Mi (024), FN 3-6, por exemplo:
PC1
0
0
2
PC2
2
4
4
Intervalo
-2 ou 10
-4 ou 8
-2 ou 10
IC
2
4
2
Como somente as classes de intervalo contam, a averiguação irá fazer o censo
das ICs entre 1 e 6, posto que os intervalos entre 7 e 12 são inversões. No exemplo
dado, vimos que há duas IC 2 e uma IC 4, portanto o vetor intervalar do tricorde 3-6 é
expresso da seguinte forma:
IC
1 2 3 4 5 6
Ocorrências 0 2 0 1 0 0
Como não há ocorrência de intervalos de classes 1, 3, 5 e 6, essas são expressas
com zeros, assim, o vetor de 3-6 é representado como: <020100>.
Straus (2013, p. 15) demonstra o cálculo do vetor intervalar da coleção diatônica
(7-35) por meio de um quadro:
5
Assim o vetor intervalar de 7-35 é: <254361>. Nota-se a predominância das
quintas (IC5) com 6 ocorrências, denotando a estrutura dessa coleção. A classe de
intervalo 6 (trítono) apresenta resultado diferente, pois o trítono é sua própria inversão.
7-35
T11 (“dó maior”)
T5 (“fá# maior”)
Forma normal
[11,0,2,4,5,7,9]
[5,6,8,10,11,1,3]
Transposição
t=6; 11+6=17=5
A transposição t=6 aplicada a 7-35 resulta em duas invariâncias, ou seja, o dobro
do indicado na tabela de vetor intervalar para essa classe de intervalo.
CÁLCULO DAS INVARIÂNCIAS
Na música tonal as invariâncias (sons comuns) são significativas na ordenação
das escalas maiores por meio do ciclo de quintas. Os chamados tons vizinhos são
aqueles que apresentam seis sons comuns entre si, em um universo de sete. A
intersecção entre dois tons vizinhos de quinta representa as invariâncias entre as duas
escalas/tonalidades (Fig. 3). Esse dado é importante para a composição tonal, que baseia
suas relações composicionais e articulações formais por meio das modulações reguladas
pelo ciclo de quintas. A ideia de tom vizinho baseia-se na distância entre as
6
transposições pelo ciclo das quintas, e da correspondência de modo (maior X menor),
que pode ser vagamente associada à ideia de inversão (tom relativo).7
Fig. 3: Intersecção entre os conjuntos “Sol Maior” e “Dó Maior”.
Para a música pós-tonal – incluindo o dodecafonismo – também são
significativas as a ausência ou ocorrência de invariâncias (sons comuns) resultantes de
transposição ou inversão. Isso pode determinar a homogeneidade ou heterogeneidade do
conteúdo harmônico, por meio de maior ou menor contraste em relação às classes de
altura. Na música dodecafônica isso é essencial para o estabelecimento de estratégias
composicionais, desde a segmentação da série em hexacordes ou unidades menores
(tetracordes, tricordes, díades).8
O número de invariâncias pode ser calculado de duas formas, de acordo com o
método ao qual o conjunto de classes de alturas for submetido, ou seja, por transposição
e inversão. Quando um conjunto mapeia a si próprio completamente, por T ou I,
significa que as classes de altura/intervalo que resultam em invariância completa são
também os eixos de simetria desse conjunto.
INVARIÂNCIAS POR TRANSPOSIÇÃO: SUBTRAÇÃO
O vetor intervalar informa facilmente as invariâncias obtidas por transposição. O
tetracorde 4-27 (0258) por exemplo, tem vetor <012111>. Além de informar quanto às
IC presentes, o vetor nos informa que, se transposto por 1 semitom não haverá
invariância: T1 = [1,3,6,9]. Já em T2 temos uma invariância: T2 = [2,4,7,10] e T3 tem
duas: [3,5,8,11]. Como a classe de intervalo 6 (o trítono) é a única cujo complementar é
ela mesma (6+6=12), então nesse caso teremos duas invariâncias: T6 = [6,8,11,2].
7
8
A analogia é válida se lembrarmos que as tríades maior e menor são relacionadas entre si por inversão.
Ver Babbitt (1960).
7
Quando a transposição resulta em invariância total, então significa que a
subtração entre os componentes de um conjunto é da mesma ordem, o que resulta em
eixo(s) de simetria. Por exemplo o tricorde aumentado (048): 8-4=4-0=0-8. Seu vetor
intervalar é <000300>, indicando que IC4 resulta em 3 invariâncias.
Aum. (3-12)
Dim. (4-28)
0-0=0
0-3=-3=9
0-4=-4=8
0-6=-6=6
0-8=-8=4
0-9=-9=3
4-8=-4=8
3-6=-3=9
3-9=-6=6
6-9=-3=9
Fig. 4: eixo de simetria por transposição (subtração) na tríade aumentada e na tétrade diminuta.
INVARIÂNCIAS POR INVERSÃO: SOMA
O cálculo das invariâncias obtidas por inversão é feito por meio da soma dos
componentes do conjunto. Se houver combinação por pares de elementos cuja soma
resulte em eixos de simetria, há invariância completa. Ou seja, se o conjunto for
simétrico, então há um fator de transposição associado à inversão que resulta em
invariância total. É o que ocorre por exemplo com as tríades aumentadas (FN 3-12) ou
tétrades diminutas (FN 4-28). Esses conjuntos resultam em invariâncias tanto por
transposição quanto por inversão. A representação circular no “mostrador de relógio”
(clockface) demonstra rapidamente a ocorrência dos eixos de simetria e sua consequente
invariância total.
8
Aum. (3-12)
Dim. (4-28)
0+0=0
0+3=3
0+4=4
0+6=6
0+8=8
0+9=9
4+8=0
3+6=9
3+9=0
6+9=3
Fig. 5: eixo de simetria por inversão (soma) na tríade aumentada e na tétrade diminuta.
A simetria fica expressa porque a soma dos elementos resulta nos próprios
elementos constituintes dos conjuntos. Quando não há eixo simétrico, pode-se deduzir a
invariância máxima obtida pela maior resultante decorrente da soma de pares.9
Straus (2013, pp. 89-93) apresenta uma tabela de adição para facilitar o cálculo
das invariâncias sob inversão. No exemplo o tetracorde 4-23 (0257) é posicionado na
horizontal e na vertical de modo que o cruzamento entre essas coordenadas irá somar
todos os componentes do conjunto entre si. Como a classe de altura 7 ocorre quatro
vezes, então são quatro as invariâncias em T7I; a classe de altura 10 ocorre apenas uma
vez, portanto em T10I o conjunto 4-23 apresenta apenas uma invariância, [3,5,8,10].
0
0
2
5
7
0
2
5
7
2
2
4
7
9
5
5
7
10
0
7
7
9
0
2
Por exemplo, se tomarmos o tetracorde 4-27 (0258) podemos apreciar a
operação de inversão sem resultar em invariância completa:
0
2
5
8
0
0
2
5
8
2
2
4
7
10
5
5
7
10
1
8
8
10
1
4
Nesse caso temos que se destacam com T10I ocorrem três invariâncias.
Conjunto original
0,2,5,8
9
Inversão
0,10,7,4
Transposição
t=10: 10,8,5,2
Ver Forte, 1973, pp. 38-46.
9
Conjunto resultante
[2,5,8,10]
Total de invariâncias
3
O tetracorde 4-27 em forma primária (0258) corresponde à tétrade tonal “ré
meio-diminuto”, enquanto sua inversão com invariância máxima (3 notas no caso)
corresponde ao acorde de “sib com sétima menor” (dominante com sétima).
Fig. 6: duas versões com invariância máxima do tetracorde 4-27.
Richard Wagner explorou parcialmente as invariâncias (apenas duas das três
possíveis) entre acordes do mesmo tipo no início do prelúdio de Tristão e Isolda,
passagem conhecida como “acorde de Tristão”.
Fig. 7: Início do Prelúdio de Tristão e Isolda.
Alguns conjuntos apresentam diferenças significativas quanto às invariâncias
obtidas (ou ausentes) por transposição e por inversão mais transposição. Forte observa
que o vetor de 4-z29 (0137) é <111111>, ou seja, qualquer valor de t resultaria em uma
invariância por transposição. Mas a inversão desse conjunto – 0,11,9,5 – ao ser
transposta por um valor não encontrado nas somas dos elementos do conjunto original
(por exemplo, t=5) resulta em não-invariância completa: T5I = [10,2,4,5].10
Há casos em que a operação de inversão pode resultar em número maior de
invariâncias que a transposição simples, como no conjunto 4-4 (FORTE, 1973, p. 42).
Inversão: 0,11,10,7
t=2: 2,1,0,9
T2I: [9,0,1,2]
Invariâncias
4-4 (0125) <211110>
0 1 2 5
0 0 1 2 5
1 1 2 3 6
2 2 3 4 7
5 5 6 7 10
3, número maior que o valor obtido por transposição
(comparar com o vetor intervalar).
10
Forte (1973, p. 40) remete a um exemplo dado à p. 10 (trecho de The Unanswered Question), onde duas
versões de 4-z29: T2I [7,11,1,2] e T9 [9,10,0,4] não apresentam invariância.
10
MULTIPLICAÇÃO
Operador não discutido por Forte, a multiplicação merece maior atenção por
parte de Oliveira (1998).11 A aplicação do operador multiplicação sobre as classes de
altura da escala diatônica (FN 7-35) resulta em algumas entidades harmônicas
significativas para a música do Ocidente. Neste caso, os índices de multiplicação (M1,
M2, etc.) se organizam simetricamente em torno do trítono (M6), indo da escala
diatônica até os dois septacordes cromáticos complementares.12
Conjuntos (sets)
M1: escala diatônica
M2: tons inteiros
M3: tétrade diminuta
M4: tríade aumentada
M5: escala cromática: heptacorde 1
M6: trítono
M7: escala cromática: heptacorde 2
M8: tríade aumentada
M9: tétrade diminuta
M10: tons inteiros
M11: escala diatônica (inversão)
Número de FORTE (FN)
Classes de altura (pitch classes)
7-35
6-35
4-28
3-12
7-1
2-6
7-10
3-12
4-28
6-35
7-35
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
3
6
9
0
3
6
9
0
3
8
9
5
10
3
8
1
6
11
4
9
2
7
6
0
6
0
6
0
6
0
6
0
6
8
4
0
8
4
0
8
4
0
8
4
10
8
6
4
2
0
10
8
6
4
2
Tabela 1: Mapeamentos do operador M (multiplicação) sobre a coleção diatônica (7-35).
O operador M11 é um operador de inversão, de acordo com a delimitação do
universo cromático em módulo 12 (OLIVEIRA, 1998, p. 31). Vê-se assim que a escala
diatônica é mapeada para si própria em um conjunto invertido de classes de altura, ao
ser multiplicada por esse fator. A escala diatônica é uma entidade harmônica simétrica,
se observarmos a constituição de seus tetracordes: [0,1,3,5] e [5,6,8,10], cujas distâncias
intervalares têm o mesmo padrão: 1-2-2.13 A simetria resultante dos fatores de
multiplicação acima apenas reproduz e amplifica a simetria inicial latente da própria
escala. Da mesma forma, as entidades harmônicas resultantes (escala de tons inteiros,
acordes diminuto e aumentado, trítono e escala cromática) são estruturas com simetria
interna.
11
Straus discute a multiplicação – segundo Pierre Boulez – nas edições mais recentes de seu livro
(STRAUS, 2013, pp. 255-260).
12
Complementares no sentido em que ambos septacordes se complementam para formar a escala
cromática. O septacorde 7-1 tem papel importante no início da Sonata para dois pianos e percussão de
Bartók (STRAUS, 2013, pp. 151-2).
13
FORTE (1973) chama essa maneira de categoriza a disposição intervalar de padrão intervalar básico,
ou bip (basic interval pattern).
11
S UBCONJUNTOS
As operações com subconjuntos são importantes para o estabelecimento de
relações entre conjuntos aparentemente disparatados. No prelúdio La Cathédrale
engloutie (Livro I, nº 10), Debussy explora a interação entre conjuntos de tricordes,
tetracordes, pentacordes, hexacordes e septacordes por meio desse tipo de relação
(Tabela 2).
Conjunto
5-35
7-35
5-35
5-29
6-z25
7-35
5-35
6-32
4-23
7-35
7-35
7-35
4-22
4-16
5-29
5-29
4-27
3-8
4-25
7-35
7-35
7-35
6-32
Forma normal
[7,9,11,2,4]
[11,0,2,4,5,7,9]
[7,9,11,2,4]
[8,10,1,3,4]
[8,10,11,1,3,4]
[11,0,2,4,5,7,9]
[11,1,3,6,8]
[10,0,2,3,5,7]
[7,9,0,2]
[11,0,2,4,5,7,9]
[4,5,7,9,10,0,2]
[11,0,2,4,5,7,9]
[7,10,0,2]
[7,8,0,2]
[8,10,1,3,4]
[1,3,6,8,9]
[7,10,1,3] D#7
[5,8,1,11] C#7
[3,6,9,11] B7
[1,4,7,9] A7
[0,3,6,8] G#7
[6,8,0]
[0,2,6,8]
[11,0,2,4,5,7,9]
[4,5,7,9,10,0,2]
[11,0,2,4,5,7,9]
[7,9,11,0,2,4]
Compasso
1-2
3-4
5-6
7-10
11-13
14-15
16-18
19-21
22
23-32
33-37
38-41
42-43
44-45
46-54
55-62
62-67
68-69
70-71
72-76
77-82
83
84-89
Tabela 2: ordenação dos conjuntos em La Cathédrale Engloutie de Debussy.
SIMILARIDADE
Outra propriedade associada à noção de complemento é a similaridade, a qual é
observada tanto em classe de alturas (pc) como classe de intervalos (ic). A similaridade
de classe de intervalos é mais significativa e pressupõem uma invariância máxima (4
vetores) que pode ser dos tipos R1 ou R2 (FORTE, 1973, pp. 46-60; 80-81).14
14
Essa propriedade não é comentada por Straus (2013) ou Oliveira (1998), nem ocorre em outros textos
do próprio Forte, dando a entender que essas relações são menos significativas.
12
S EGMENTAÇÃO
Ao empreender uma análise por meio da teoria dos conjuntos, é importante
proceder segundo uma metodologia que resulte em uma segmentação eficaz dos
conjuntos escolhidos. Certas estruturas convencionais tais como figurações rítmicas,
segmentações naturais (trechos entrecortados por pausas ou unidos por ligadura de
expressão, por exemplo), padrões de ostinato e acordes, podem ser designados como
segmentos primários. Mas a música atonal não é estruturada apenas no nível mais
obviamente superficial, por isso se considera outras possibilidades técnicas de gerar
conjuntos, como a imbricação, ou seja, a “extração sistemática de subcomponentes de
alguma configuração” (FORTE, 1973, pp. 83-84).15 A técnica de imbricação gera assim
uma interação entre segmentos primários que são chamados de segmentos compostos.
A maneira como Allen Forte procede em suas análises baseia-se na segmentação
e classificação dos conjuntos. Os conjuntos são denominados segundo a tabela de
cardinais e expressos em sua forma normal, entre colchetes, sendo os integrantes do
conjunto separados por vírgulas. Por exemplo: 4-7: [8,9,0,1].16 A forma primária é
usada principalmente para demonstrar as operações, mas não (ou menos
frequentemente) em demonstrações analíticas.
C OMPLEXOS DE C ONJUNTOS
Em artigo de 1964 e na segunda parte de The Structure of Atonal Music (1973),
Forte desenvolveu a teoria dos complexos de conjuntos Kh, os quais envolvem as
relações recíprocas de interação entre conjuntos e seus complementos. Relações mais
simples, envolvendo inclusão parcial entre conjuntos e complementos, são chamadas de
K. A representação dos complexos é feita em função desse tipo de avaliação em seções
ou mesmo movimentos inteiros de obras musicais, desvendando as relações de inclusão.
15
A definição dada ao termo “imbricação” pelo Dicionário Aurélio é esclarecedora: “disposição que
apresentam certos objetos quando se sobrepõem parcialmente uns aos outros, como as telhas de um
telhado ou as escamas do peixe”.
16
Todavia não há consenso quanto a formatação da análise. Joseph Straus (1990) apresenta as coleções
sem vírgulas e entre parênteses, adotando ainda as letras T e E para os números 10 e 11, respectivamente.
Por exemplo: 6-35: (02468T). A tabela das classes de conjuntos fornecida por Straus (1990, pp. 180-183)
baseia-se livremente na de Forte, alterando a ordem de apresentação dos pares complementares de
conjuntos.
13
G ENERA
A classificação dos conjuntos e subconjuntos pode ser feita por meio de
“famílias” de genus formados segundo critérios de “espécies” de materiais musicais.
Forte (1988) oferece uma classificação desse tipo, organizando o sistema temperado a
partir de tricordes de diferentes espécies. Os tricordes formam a base desse sistema de
classificação, seguidos sucessivamente por tetracordes, pentacordes e hexacordes. As
demais formações cardinais são complementares, preservando as mesmas propriedades
de seus complementos.17
A tipologia desenvolvida por Forte apresenta 12 tipos de genus, agrupados
segundo seu grau de parentesco em supragenus (FORTE, 1988, p. 201).
Genus
SUPRA I
SUPRA II
SUPRA III
SUPRA IV
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Tipo
Progenitor
Atonal
Tons-inteiros
Diminuto
Aumentado
Croma
Semicroma
Croma-dia
Atonal
Atonal-atonal
Atonal-atonal
Dia
Dia-tonal
3-5
3-8
3-10
3-12
3-1
3-2
3-2
3-3 e 3-4
3-3 e 3-11
3-4 e 3-11
3-7 e 3-9
3-7 e 3-11
Contagem
Tri/Tetra/Penta/Hexa
1/9/24/29
1/9/24/30
1/5/16/21
1/2/8/9
2/2/10/15
2/3/16/24
2/3/15/25
2/3/15/21
2/3/15/21
2/3/15/21
2/2/10/15
2/3/16/24
TOTAL
63
64
43
20
29
45
45
41
41
41
29
45
Tabela 3: genus e supragenus segundo a tipologia de Allen Forte.
Assim como em The structure of atonal music, Forte oferece uma relação
completa dos conjuntos que integram cada genus e supragenus no apêndice do artigo
(FORTE, 1988, pp. 264-266), possibilitando rápida referência.
*
*
*
Apesar de certa resistência ao emprego da teoria dos conjuntos como ferramenta
analítica – afinal isso implica na aquisição de uma série de novos códigos e sistemas
notacionais – pode-se observar que a análise de obras pós-tonais a partir desses termos é
expressa de maneira discreta e objetiva, principalmente quando se abandona uma
17
As proposições iniciais da teoria dos conjuntos (FORTE, 1973) são consideravelmente refinadas na
apresentação dos genera (FORTE, 1988), conforme observa Latham (1997). Já em 1985, Forte anunciava
uma etapa mais sofisticada, em relação à segmentação analítica da teoria dos conjuntos (LATHAM, 1997,
§ 11).
14
nomenclatura híbrida entre os sistemas modal, tonal e suas variantes.18 A própria noção
de um pandiatonalismo19 supõe que a ausência de uma hierarquia entre as coleções
escalares requer uma nomenclatura que contemple essa concepção diferenciada do
material harmônico.20
A edição mais recente de Introdução à teoria pós-tonal de Joseph Straus (2013),
incorpora diversos desdobramentos de teorias aplicáveis à música do século XX e XXI,
como a teoria dos contornos ou mesmo noções da teoria transformacional (derivada do
neo-riemannianismo). As teorias transformacionais agregam importantes contribuições
para o entendimento da distância tonal, analisando os processos envolvidos nas
transformações harmônicas.
Outro conceito desenvolvido na nova edição de Straus é o de coleções
referenciais, ou seja, CCA que têm se revelado importantes no repertório de
compositores desde o século XX, seja em sua forma integral ou no manejo de seus
subconjuntos. Straus destaca as coleções de tons inteiros (6-35), hexatônica (6-20),
octatônica (8-28) e diatônica (7-35); poder-se-ia adicionar a coleção pentatônica (5-35),
tão importante em Stravinsky e Villa-Lobos, por exemplo (Salles 2016). Dmitri
Tymoczko (2011) investiga formações escalares que se relacionam por parcimônia –
isto é, transformam-se umas nas outras por movimentos mínimos, de semitom – que ele
denomina escalas “Pressing”: diatônica, acústica (7-34), harmônica maior e harmônica
menor (7-32) (TYMOCZKO, 2011, p. 135); o conceito é de certa forma análogo ao de
coleções referenciais, pois Tymoczko estabelece uma narrativa analítica em torno
dessas transformações. Do mesmo modo, os ciclos intervalares de George Perle (1996)
e Elliott Antokoletz (1992 e 1984) e o estudo dos ciclos hexatônicos de Richard Cohn
(2012) apontam para o que se pode chamar “novo conceito de tonalidade”.
18
Apesar de bem aceita pela musicologia americana, a teoria de Forte recebeu críticas de peso, como em
Haimo (1996) e Perle (1990).
19
Williams (1997, pp. 185-186) observa que o pandiatonalismo ocorre quando “algumas passagens [...]
claramente baseadas em uma coleção diatônica [...] permanecem com tonalidade ambígua porque nenhum
grau da escala pode ser identificado como tônica”.
20
Joseph Straus (2013, pp. 143-5) discute a questão da terminologia adequada ao repertório atonal, ao
tratar de centricidade.
15
TABELAS DE FORTE (1973) E MORRIS (1987)
As tabelas de Allen Forte e Robert Morris aqui reproduzidas contém: numeração
(FN e MN), forma prima e vetor intervalar. Forte classifica apenas os CCA entre três e
nove elementos; Morris amplia essa classificação, considerando CCA com dois e dez
elementos. Foram acrescentados campos com nomes tradicionalmente aplicados a
algumas coleções mais significativas, muitos deles sugeridos por Larry Solomon
(http://solomonsmusic.net/pcsets.htm), além dos “modos de transposição limitada” de
Olivier Messiaen (1944).
Conjuntos com dois e dez elementos (Morris)
MN
Forma
prima
Vetor
Tradicional
MN
Forma
prima
Vetor
Tradicional
2-1
2-2
2-3
2-4
2-5
2-6
(01)
(02)
(03)
(04)
(05)
(06)
100000
010000
001000
000100
000010
000001
2m/7M
2M/7m
3m/6M
3M/6m
4J/5J
4A/5d (trítono)
10-1
10-2
10-3
10-4
10-5
10-6
(0123456789)
(012345678A)
(012345679A)
(012345689A)
(012345789A)
(012346789A)
988884
898884
889994
888984
888894
888885
Pretas + brancas; ciclo de 5ªs
Messiaen, modo 7
Os vetores dos CCA complementares se relacionam de acordo com sua
cardinalidade, por exemplo: 2-5 e 10-5; a diferença entre 10 e 2 é 8; o vetor de 2-5 é
000010; as entradas do vetor de 10-5 somam 8 às entradas do vetor de 2-5: 888894
(lembrar que a última entrada do vetor é o trítono, que divide por dois o valor original).
Tricordes e nonacordes
FN
Forma
prima
Vetor
3-1
3-2
3-3
3-4
3-5
3-6
3-7
3-8
3-9
3-10
3-11
3-12
(012)
(013)
(014)
(015)
(016)
(024)
(025)
(026)
(027)
(036)
(037)
(048)
210000
111000
101100
100110
100011
020100
011010
010101
010020
002001
001110
000300
Tradicional
Frígio ou menor
Maior/menor
Tons inteiros
Acorde m7 incompleto
Quartal
Diminuta
Menor ou maior
Aumentada
FN
Forma
prima
Vetor
9-1
9-2
9-3
9-4
9-5
9-6
9-7
9-8
9-9
9-10
9-11
9-12
(012345678)
(012345679)
(012345689)
(012345789)
(012346789)
(01234568A)
(01234578A)
(01234678A)
(01235678A)
(01234678A)
(01235679A)
(01245689A)
876663
777663
767763
766773
766674
686763
677673
676764
676683
668664
667773
666963
Tradicional
Ciclo de quintas
Messiaen, modo 3
A diferença entre os cardinais 9 e 3 é 6. Logo, as entradas dos vetores dos
nonacordes somam 6 às entradas dos vetores dos tricordes. Exemplo: 3-1, 210000 → 91, 876663.
16
Tetracordes e octacordes
FN
Forma
prima
Vetor
4-1
4-2
4-3
4-4
4-5
4-6
4-7
4-8
4-9
4-10
4-11
4-12
4-13
4-14
4-z15*
4-16
4-17
4-18
4-19
4-20
4-21
4-22
4-23
4-24
4-25
4-26
4-27
4-28
4-z29*
(0123)
(0124)
(0134)
(0125)
(0126)
(0127)
(0145)
(0156)
(0167)
(0235)
(0135)
(0236)
(0136)
(0237)
(0146)
(0157)
(0347)
(0147)
(0148)
(0158)
(0246)
(0247)
(0257)
(0248)
(0268)
(0358)
(0258)
(0369)
(0137)
321000
221100
212100
211110
210111
210021
201210
200121
200022
122010
121110
112101
112011
111120
111111
110121
102210
102111
101310
101220
030201
021120
021030
020301
020202
012120
012111
004002
111111
Tradicional
Maior ou frígio
Todos os intervalos
Maior/menor
Aum. + 2ªm
Maior c/ 7ªM
Tons inteiros
Quartal
Aum. + 2M
Tons inteiros
Menor c/ 7ª
V7/ø7
Diminuto
FN
Forma
prima
Vetor
8-1
8-2
8-3
8-4
8-5
8-6
8-7
8-8
8-9
8-10
8-11
8-12
8-13
8-14
8-z15*
8-16
8-17
8-18
8-19
8-20
8-21
8-22
8-23
8-24
8-25
8-26
8-27
8-28
8-z29*
(01234567)
(01234568)
(01234569)
(01234578)
(01234678)
(01235678)
(01234589)
(01234789)
(01236789)
(02345679)
(01234579)
(01345679)
(01234679)
(01245679)
(01234689)
(01235789)
(01345689)
(01235689)
(01245689)
(01245789)
(0123468A)
(0123568A)
(0123578A)
(0124568A)
(0124678A)
(0124579A)
(0124578A)
(0134679A)
(01235679)
765442
665542
656542
655552
654553
654463
645652
644563
644464
566452
565552
556543
556453
555562
555553
554563
546652
546553
545752
545662
474643
465562
465472
464743
464644
456562
456553
448444
555553
Tradicional
Messiaen, modo 4
Óctade diatônica
Messiaen, modo 6
Octatônica
São dois pares de tetracordes e octacordes relacionados em Z. A diferença
cardinal é 8-4=4; logo as entradas dos vetores dos octacordes somam 4 às entradas dos
vetores dos tetracordes. Exemplo: 4-1, 321000 → 8-1, 765442.
17
Pentacordes e septacordes
FN
Forma
prima
Vetor
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
5-7
5-8
5-9
5-10
5-11
5-z12*
5-13
5-14
5-15
5-16
5-z17**
5-z18***
5-19
5-20
5-21
5-22
5-23
5-24
5-25
5-26
5-27
5-28
5-29
5-30
5-31
5-32
5-33
5-34
5-35
5-z36*
5-z37**
5-z38***
(01234)
(01235)
(01245)
(01236)
(01237)
(01256)
(01267)
(02346)
(01246)
(01346)
(02347)
(01356)
(01248)
(01257)
(01268)
(01347)
(01348)
(01457)
(01367)
(01378)
(01458)
(01478)
(02357)
(01357)
(02358)
(02458)
(01358)
(02368)
(01368)
(01468)
(01369)
(01469)
(02468)
(02469)
(02479)
(01247)
(03458)
(01258)
432100
332110
322210
322111
321121
311221
310132
232201
231211
223111
222220
222121
221311
221131
220222
213211
212320
212221
212122
211231
202420
202331
132130
131221
123121
122311
122230
122212
122131
121321
114112
113221
040402
032221
032140
222121
212320
212221
Tradicional
“Varèsiano maior”
Sub Tons Inteiros
PENTA
FN
Forma
prima
Vetor
7-1
7-2
7-3
7-4
7-5
7-6
7-7
7-8
7-9
7-10
7-11
7-z12*
7-13
7-14
7-15
7-16
7-z17**
7-z18***
7-19
7-20
7-21
7-22
7-23
7-24
7-25
7-26
7-27
7-28
7-29
7-30
7-31
7-32
7-33
7-34
7-35
7-z36*
7-z37**
7-z38***
(0123456)
(0123457)
(0123458)
(0123467)
(0123567)
(0123478)
(0123678)
(0234568)
(0123468)
(0123469)
(0134568)
(0123479)
(0124568)
(0123578)
(0123569)
(0123569)
(0124569)
(0123589)
(0123679)
(0124789)
(0124589)
(0125689)
(0234579)
(0123579)
(0234679)
(0134579)
(0124579)
(0135679)
(0124679)
(0124689)
(0134679)
(0134689)
(012468A)
(013468A)
(013568A)
(0123568)
(0134578)
(0124578)
654321
554331
544431
544332
543342
533442
532353
454422
453432
445332
444441
444342
443532
443352
442443
435432
434541
434442
434343
433452
424641
424542
354351
353442
345342
344532
344451
344433
344352
343542
336333
335442
262623
254442
254361
444342
434541
434442
Tradicional
Sub OCTA
Menor harmônica
Acústica
DIATÔNICA
São três pares de pentacordes e septacordes relacionados em Z. A diferença
cardinal é 7-5=2; logo, as entradas vetoriais dos septacordes somam 2 às entradas
vetoriais dos pentacordes. Exemplo: 5-35, 032140 → 7-35, 254361.
18
Hexacordes
FN
Forma
prima
Vetor
6-1
6-2
6-z3
6-z4
6-5
6-z6
6-7
6-8
6-9
6-z10
6-z11
6-z12
6-z13
6-14
6-15
6-16
6-z17
6-18
6-z19
6-20
6-21
6-22
6-z23
6-z24
6-z25
6-z26
6-27
6-z28
6-z29
6-30
6-31
6-32
6-33
(012345)
(012346)
(012356)
(012456)
(012367)
(012567)
(012678)
(023457)
(012357)
(013457)
(012457)
(012467)
(013467)
(013458)
(012458)
(014568)
(012478)
(012578)
(013478)
(014589)
(023468)
(012468)
(023568)
(013468)
(013568)
(013578)
(013469)
(013569)
(013689)
(013679)
(013589)
(024579)
(023579)
543210
443211
433221
432321
422232
421242
420243
343230
342231
333321
333231
332232
324222
323430
323421
322431
322332
322242
313431
303630
242412
241422
234222
233331
233241
232341
225222
224322
224232
224223
223431
143250
143241
6-34
6-35
(013579)
(02468A)
142422
060603
Tradicional
FN
Forma
prima
Vetor
6-z36
6-z37
(012347)
(012348)
433221
432321
6-z38
(012378)
421242
6-z39
6-z40
6-z41
6-z42
(023458)
(012358)
(012368)
(012369)
333321
333231
332232
324222
6-z43
(012568)
322332
6-z44
(012569)
313431
6-z45
6-z46
6-z47
6-z48
(023469)
(012469)
(012479)
(012579)
234222
233331
233241
232341
6-z49
6-z50
(013479)
(014679)
224322
224232
Tradicional
Messiaen, modo 5
Hexatônica
Sub DIA
Sub OCTA
“Petruchka”
Acorde “místico”,
Scriabin
Ciclo de quintas
Tons inteiros
São 30 hexacordes relacionados em Z (15 pares), os quais são complementares
entre si; os demais 20 hexacordes, sem essa relação, são complementares a si mesmos.
19
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