Décimo problema de Hilbert (Lógica Matemática)
Juan Camilo Garzón1. Introducción "Dada una ecuación Diofántica (i.e ecuación algebraicaó polinómica de varias variables con coeficientes en Z y soluciones en Z) idear un proceso con el cual se pueda determinar, en un número finito de operaciones, si la ecuación es resoluble en Z." Este fue el planteamiento del décimo problema presentado por Hilbert, en el congreso internacional de Matemáticas en París, año 1900. El problema consiste en hallar un algo-ritmo de la forma: (input) : D(x 1 , ..., x m) = 0 f initos pasos (output) : Si D(x 1 , ..., x m) = 0 tiene solucion en los enteros N o D(x 1 , ..., x m) = 0 N o tiene solucion en los enteros Donde D(x 1 , ..., x m) = 0 es una ecuación Diofántica de variables x 1 , ..., x m ∈ Z. Yuri Matiyasévich probó en 1970 la imposibilidad del décimo problema de Hilbert: Ningún algoritmo es capaz de determinar la resolubilidad de cualquier ecuación Diofántica. Tenemos entonces que el décimo problema de Hilbert es un ejemplo de un problema de decisión, que en general consiste de contables subproblemas individuales, para los cuales se debe dar una respuesta "Si"ó "No". Cada subproblema individual esta especificado por una cantidad finita de información. En el caso del décimo problema de Hilbert esta información es el polinomio: D(x 1 , ..., x m) = 0.
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