Con ia colaboraci6n de

FlSICAlf C[~y" Volumen I: Meciinica, radiacion y calor Richard P. Feynman y Robert B. Leighton California lnslirute of Technology Matthew Sands Stanford University Version en espaiiol de E:nrllJUC Delker L. y Hugo F..spinosa D. lnslilu/o Centrril de Ffsica Universidud de Concepcibn, Chile Carlos Alberio Heras Universidad de Orien/e, Venezuela Jmm Martiny Marfil Depar/amen/o de Ffsico Universidod. de Grieme, Venezuela Con ia colaboraci6n de Ricardo Gomez lnslitulo Tecno/Ogiro de California Addison ~ey il, 1 ~~ :t Versibn en espaftol de la obra tilulada The Feynman Lectures on Physics, Mainly Mechanics, Radiations and Heat, Volume I, por Richard P. Feynman, Robert B. Leigh Ion y Matthew Sands, publicadanriginalmente en ing!Cs en 1963 por Addison-Wesley Publishing Company, Reading, Massachusells, E.U.A. © 1963 por el Instituto Tecnolbgico de Cali-. fornia. Esta edicibn en espail.ol es la imica autorizada. c .. ;;>•'.A'f> u·I fJ.'&'. PRIMERA EDICl6N, 1971 Primera reimpresl6n en Mexico, 1998 © 1971 por Fonda Educativo lnterarnericano, S.A. da C.V. © 1987 por Addison Wesley lberoamericana S.A. D.R.© 1998 por Addison Wesley Longman de Mexico S.A. de C.V. Boulevard de las Cataratas No. 3 Cot Jardlnes del Pedregal Mexico 1900, D.F. ~·. CNIEM 1031 • Reservados todos los deredlos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacl6n pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperaci6n de informaciOn, de ninguna forma, ni por ningUn media, sea electr6nico, mecantco, fotoqulmico, magnetlco o electro6ptico, por fotocopla, grabaci6n o cualquier otro, sin permiso previo por escrlto del editor. El prestamo, alquiler o cualquier otra forma de ceston de uso de este ejemplar requerirS tambi6n la autririzaci6n del editor o de sus representates. ISBN 968444350 1 lmpreso en MBxico. Printed in Mexico Frsica - volumen I Se impriml6 y ern:uadem6 en septiembre de 1998 en IMPAESOAES Al.DINA, S. A. Obrero Mundlal N~ 201, Col. de1 Valle 03100 Mexico, 0. F. Laedici6n constade 1000ejemplares Prefacio La creciente importancia del estudio de la fisica pura en las universiaades latin0americanas, debido a la necesidad de incrementar. el desarrollo cientific0-industrial de estos paises, hace cada vez mlts imperiOsa la necesidad de contar con textos de es-_ tudio que den Cnfasis en el aspecto fundamental mas bien queen el tecnol6gico. El es unade las obrasdemayor prestigio y mejor conocidaeneste aspecto y, sin duda, una ayuda valiosa para los estudiantes de ciencias e ingenieria. Por esta raz6n, hemos acometido con gusto la traducdbn de los 40 primeros capitulos de esta obra, conscientes de las dificultacJes con que tropezariamos en esta empresa. Hemos tratado de seguir lo mas fielmente posible el texto original en ingles para permitir al lector encOntrar en cualquier instante la contrapartida de la traducci6n. En esto esta, en realidad, la dificultad mencionada anteriormente, ya que Feynman usa un !enguaje de la vida diaria, acompaflado de modismos e historietas, en general, muy poco famifuires para los hispanohablantes. Hemos, por Jo tanto, sacrificado parte de la elegancia en la traducci6n, en aras de la conservaci6n de! caracter de la obra original. Otra dificultad que podrlamos seftalar estriba en la falta de un equivalente U.nii::o en espW\ol para muches ti:rminos ingleses. En estos casos hemos utilizado los thminos de uso mas frecuentes, tanto en nuestro pa.is, como en otros de La!inoamerica. La realii.aciOn de esta traducci6n ha sidQ posible gracias al trabajo en equipo emprendido por varios docentes de! Instituto Central de Fisica de la Universidad de Conccpci6n. Agradecemos la colaboraci6n prestada por Jos colegas M.C. Bustos, R. Vera, M.A. d!! OrU.e, ·1. Villegas, G. de la Hoz, V. Sagredo y H. Sagner. Concepci6n mayodel97/ ENRIQUE OELKER L. HUGO ESPiNOSA 0. El prefacio de los profesores Espinosa y Oelker contiene casi todo lo que hubiCramos querido decir; sin embargo, creemos conveniente agregar algunas palabras. Por necesidades editoriales, nos encargamos de la traducci6n de los Ultimas doce capitulos de este volumen. Estftbamos conscientes de! peligro que se corria con respecto a la unidad de la obra. Bernos hecho lo posible, consultando con el profesor Oelker, para unificar la terminologia y, en cua.'lto ha sido posible, el estilo. Esperamos que el lector nos disculpar! si no hemos alcanzado plenamente nuestro objetivo, concedii:ndole mayor ;importancia al hecho de poder disponer de un texto en espaDoi de la calidad de Cste. Expresamos nuestro agradecimiento a los cohgas de! Departamcnto de Fisica de la Universidad de Oriente, procedentes de diversas partes de Latinoamhica y Espafta, por haber atendido nuestras frecuentes consultas sobre la terminologia. Cumanti mayo de 1971 CARLOS ALBERTO HERAS JUAN MARTiN y MARFIL Prefacio de Feyn1nan Estas son !as lecciones de f1sica que di el ailo pasado y el antepasado a los estudiantes de los primeros aii.os en cl Instituto TecnolOgico de California (Caltech). Por supuesto que estas no son textualcs~ ban sido editadas. a veces con gran extensiOn y a veces con muy poca. Las clases constituyen sOlo parte de! curso comp!eto. El grupo total de 180 estudiantes se reunia dos veces por semana en un aula grande para atender a las explicadones. y !uego se dividia en grupos pequeilos de 15 a 20 estudiantes en secciones de discusi{lll y priictica bajo la guia de un ayudante de docencia. Habia, ademils. una secciOn de laboratorio por semana. Con estas clases tratilbamos de resolver un problema especial: mantener el interes de los estudiantes muy entusiastas y b3.s1ante despiertos que regresaban de !a escuela sccundaria para entrar en el Caltech. Muchos habian oido hablar de lo interesante y estimulante que es la fisica: la teoria de la rclatividad, la mecitnica cu<intica y otras ideas modernas. Pero al terminar los dos afios de! curso anterior al nuestro. muchos de ellos sc sentian descorazonados porque realmcnte se lcs presentaban muy pocas ideas geniales, nuevas o interesantes. Se les hacia estudiar pianos inclinados. electrostii.tica y cues!iones por el estilo. 111.... y despudi de dos aiios era como para votverse tonto. Se trataba,. pues de ver si podiarnos hacer un curso que salvara a los estudiantes mis avanzados y animados manteniendoles el entusiasmo. Aunque mi intenciOn no fue co_nvertir las dase:; en Wl carnpo de estudio e investigaciOn prepare las lecciones para los mihs inteligentes de la clase a fm de asr.:guranne, si era posible, que aun los estudiantes mils inteligentes uo podrian abarc&r completamente el contenido de cada lecciOn; para ello introduje recomendaciones sobre la aplicaciOn de las ideas y conceptos en diversas direcciones, las cuales se apartaban de la linea principal de ataque. Por esta razOn, sin embargo, tratC concienzudamente de hacer que todos los enunciados fueran lo mis prccisos posibles de seiialar en cada caso dOnde encajaban las ecuaciones en el cuerpo de la fisica y c6mo -cuando aprendieron mis- se modificarian las cosas. Pense, adem8.s, que para los estudiantes es importante indicar quC es lo que debtn ser capaces ---si son suficientemente inteligentes- de comprender por deducci6n de lo que se ha dicho antes y que se estil introduciendo como cosa nueva. Cuando se presentaban nuevas ideas, tratC de deduciilas si eran deducibles o de explicar que em una nuc:va idea sin base alguna en lo que ya habian aprendido y que se suponia que no era demostrable, sino simplemente un agregado. Al comenzar estas lecciones supuse que los cstudiantes traian cierto conocimiento de la escuela secundaria ---tal como 6ptica geometrica, ideas simples sobre quimica, etc.-. Crei, tambifui, que no habia ninguna raz6n para dictar las lecciones en un orden determinado, en el sentido de que no deberia mencionar algo hasta que no estuviera en condiciones de estudiarlo en detalle. Habia abundante material que surgiria, pero sin discusiOn completa. Las. discusiones completas se harian mas tarde cuando hubiera mayor preparaciOn para seguirlas. Ejemplos de esto son el tratamiento de la inductancia y el de los niveles de energia, que primero se introducen en forma muy cualitativa y luego se desarrollan en forma mils detallada. Al mismo tiempo que me dirigia al estudiante mas activo, quise cuidar de! individuo para quien los adornos en demasia y las aplicaciones laterales son meramente intranquilizadores, cuando no se puede esperar, de ningUn modo, que aprendan la mayor parte de! material. Para ese estudiante trate que hubiera un nllcleo central o columna vertebral de material que pudiera captar. Tenia fa esperanza de que no se pondria nervioso aunque no entendiera todo el contenido de una lecci6n. No esperaba que comprendiera todo sino los rasgos centrales y mils directos. Naturalmente que se necesitaba cierta inteligencia de su parte para ver cuiles eran los teoremas e ideas centrales y cuiil.es los resultados y aplicaciones laterales mas avanzados que sO!o podria entender en_ aiios posteriores. Habia una dificultad sCria para dar estas lecciones: por la forma en que se daba el curso, no habia una retroacciOn de! estudiante hacia el profesor que indicara c6mo estaban yendo las lecciones. Esta es una dificultad muy seria que me impide saber con certeza hasta qui: punto, en realidad, fueron muy provechosas mis clases. Todo era esencialmente un experimento. Y si lo hiciera nuevamente no lo haria en la misma fonna -iespero que no tenga que hacerlo de nuevo!-. Creo, no obstante, que en lo que respecta a la fisica las cosas anduvieron muy satisfactoriamente el primer aiio. El segundo aiio no quedf tan satisfecho. En la primera parte del" curso, que trataba de la electricidad y el magnetismo, no pude encontrar ningUn modo realmente Unico o diferente de hacerlo -ninguna manera que fuera especialrnente mas estimulante que la forma habitual de presentarlo-. Por lo tanto, no creo que hice mucho en las clases sobre eJectricidad y magnet'ismo. Al final de! segundo aiio habia pensado originalmente continuar dando, despues de la electricidad y el magnetismo, algunas dases sobre las propiedades de los materiales, pero con el interes de explicar los modos fundamentales, las soluciones de la ecuaciOn de difusiOO, los sistemas vibrantes, ias funciones ortogonales,... desarrollando, asi, las primeras etapas de lo que usualmente se denomina .. mi:todos matemii.ticos de la fisica". Pensando retrospectivamente, creo que si lo hiciera de nuevo volveria a esa idea original. Pero como no se habia contemplado que yo daria estas clases nuevamente, se sugiri6 que seria conveniente tratar de dar una introducciOn a la mec8nica cuiintica ---que es Io que ustedes encontrariin en el tercer volumen. Queda perfectamente ~laro que los estudiantes que sigan fisica deberiin esperar hasta el tercer aiio para estudiar meciinica culintica. Por otra parte, se esgrimi6 el argumcnto de que muchos de los estudiantcs de nucstro curso estudian fisica como base para su especializaci6n en otros r campos. Y la form a habitual de tratar la. mecimica cuimtica hace que el tema sea casi inalcanzable para la gran mayoria de Ios estudiantes debido a que necesitan mucho tiempo para aprenderlo. No obstante, en sus aplicaciones concretas --especialmente en sus aplkaciones miis complejas, como en la ingenieria elOCtrica y en la quimica- realmente no se usa la maquinaria completa del tratamiento con ecuaciones diferenciales. Por ello, trate de describir los principios de la mecimica cuil:ntica de un modo que no exigiera un conocimiento b&ico de la matemittica de las ecuaciones diferenciales. Creo que aun para un fisico es muy interesante presentar la mec:inica cuitntica de esta manera inversa ---por varias razones que se pueden ve:r en las lecciones mismas-. Sin embar" go, creo que cl experimcnto en lo correspondiente a la mecinica cu:intica no tuvo Cxito completo -en gran parte dcbido a que no tuve tiempo al final (por ejemplo, deberia haber tenido tres 0 cuatro lecciones mas para tratar detenidamente temas tales como las bandas de energia y la dependencia espacial de las amplitudes}--. Ademiis, nunca habia presentado antes el tema de este modo, por lo que la falta de retroacciOn fue particularmente seria. Ahora c1eo que se debe dar la mecfuiica cu:imtica mas tarde. A lo mejor alglln dia tenga la oportunidad de hacerlo de nuevo. Entonces lo hare mejor. La razOn de que no haya lecciones sobre c6mo resolver problemas se debe a que habia secciones de discusi6n y pritctica. Aunque en el primer ai\o inclui ires lecciones sobre c6mo resolver problemas, en este curso no pude hacer!o. Tambi6t habia una lecciOn sobre guia inercial que debe estar ciertamente despuCs de la lecciOn sabre sistemas rotantes, pero quc desafortunadamente se omitiO. Las lecciones quinta y sexta fueron dadas por Matthew Sands porque yo estaba fuera de la ciudad La pregunta es, por supuesto, hasta quC punto este experimento ha tenido 6'.ito. Mi punto de vista -que, sin embargo, no lo comparten la mayoria de los que trabajaron con Jos estudiantes- es pesimista. No creo haber obtenido gran Cxito en lo que n:specta a ellos. Cuando rccuerdo el modo en que bitos manipulaban !os problemas en Ios exiunenes, pienso que el sistema es un fracaso. Por supuesto, mis amigos me indican que bubo una o dos docenas de estudiantes que -muy sorprendentemente- comprendieron ca5i todo d contenido en todas las lcx:ciones y que fueron muy actives trabajando con cl material y preocup811dose con animaciOn e interfs por muchos t6picos. Estos individuos tienen actualmente, creo, una base de primera linea en fisica. -y son, despues de todo, aquellos a quienes queria llegar-. Pero entonces "El pod.er de la instrucciOn es, en general, poco eficaz, excepto en las foIices disposiciones en que es casi superfluo" (Gibbons). De todos modes, no queria dejar IDngUn estudiante completamente atrasado, como quizis lo hice. Creo que un modo mas efectivo de ayudar al estudiante seria mediante la adici6n de tiempo y esfuerzo en el desarrollo de un conjunto de problemas que aclare a!gunas de las ideas contenidas en las lecciones. Los problemas dan la oportwridad de aumentar la comprensi6n de! material expuesto haciindolo mils real, estructurado y accesible para el proceso de fijaciOn. Pienso, sin embargo, que la soluciOn a este pr,...blema educativo no es otra que dar:re cuenta que la enseiianza s6lo puede realizarse cuando hay una relaci6n indivi1ua1 directa entre )ill estudiante y un buen profesor, situaci6n en la cual el estudiante discute las ideas, piensa en ias cosas y habla sobre ellas. Es imposib!e aprender simpJemente asistiendo a una clase, o simplemente resolviendo los problemas asignados. Pero en los actuales momentos tenemos tantos estudiantes a quienes enseiiar que tenemos que encontrar un sustituto de lo ideal. Quiz8s mis lecciones ejerzan alguna c'ontribuciOn. Quiz8s en algUn lugar pequeiio donde sea posible una relaci6n individual entre profesores y estudiantes, estos obtengan alguna inspiraciOn o algunos conceptos de estas \ecciones. Quiz.its entonces, tambii:n el proceso de fijar el material sea mils alegre y placentero para ellos y de origen al desarrol\o de algunas ideas. RICHARD P. FEYNMAN lntrodu.cci6n Este libro se basa en un curso de Jecciones de introducci6n a la fisica, dado por el profesor R. P. Feynman en el lnstituto TecnoJOgico de California (Caltech) durante el a.iio acadtmico 1961-1962; cubre el primer aiio de un curso introductivo de dos aiios seguido por todos los alumn.os de primero y segundo aiios de! Caltech, y continUa en 1962-63 con una serie similar que comprende el segundo aiio. Las lecciones constituyen la mayor parte de una revisiOn fundamental del curso introductorio desarrollado en un p..eriodo de cuatro aiios. La necesidad de una revisi6n bisica ha surgido debido tanto al r.9.pido desarrollo de la fisica en las dCcadas recientes, como al hecho que los estudiantes novicios ban demostrado una habilidad matemiltica cada vez mayor como resultado de mejoras dd contenido de los cunos matem&ricos en la escuela secundaria. Esperibamos ciertas ventajas de esta base matematica me'jorada y tambien de la introducci6n de suficientes temas modemos para que el curso fuera como un reto, interesante y mas representativo de la fisica actual. A fin de generar una variedad de ideas acerca de que material incluir y de c6mo presentarlo, se alentO a un nfunero sustancial de miembros de la facultad de fisica para ofrecer sus ideas en forma de bosquejos de los t6picos para un curso revisado. Varios de b>tos fueron presentados y discutidos exhaustiva y criticamente. Hubo acuerdo casi inmediato de que una revisi6n bilsica del curso no podia lograrse, ni por la simple adopci0.1 de un texto diferente, ni aun escribiendo uno ab initio, sino que el nuevo curso debia centrarse alrededor de un conjunto de leccione.s, que se presentarian a raz6n de dos o tres por semana; el material apropiado para el texto se produciria entonces como una operaci6n secundaria a medida quc el curso avanzara, y tambie.n se dispondria de los experimentos de laboratorio apropiados para completar el material de las lecciones. De acuerdo con esto, se estab!eci6 un bosquejo aproximado de! curso, pero se reconoci6 que 6ite era incomp!eto, tentativo y sujeto a modificaciones considerables por todos aquellos que tenian la responsabilidad de preparar realmente las lecciones. En lo que respecta al mecanismo por el cual se le daria vida al curso, se consideraron varios planes. Estos planes eran en su mayoria mas bien similares, comprendiendo el esfuerzo cooperativo de N miembros de\ personal que compartirian la carga total en form.a simf:trica e igual: cada persona tendria la responsabilidad de I IN de la materia, distribuiria las lecciones y escribiria su parte de! texto. Sin embargo, la falta de disponibilidad de personal suficiente y la dificultad de mantener un pm1to de vista unifonne dcbido a las diferencia.s en personalidad y en filosofia de cada uno de los participanu.i hizo parecer inoperantes tales planes. La idea de q~e poseiamos realmeate los medios para crear no s?!o un cur_so de fisica nuevo y diferente, sino uno posiblernente Unico, fue una inspiraci6n feliz del profesor Sands. E! sugiri6 que el profesor R. P. Feynman preparara e irnpartiera le lecciones, y qoo 6-tas fuer&.n grabadas; una vez tmnscritas y editadas, debim1 co11srituir el texto ae~ nuevo cur.so. Este es esencialm~te el plan que se adoptO. Se esperaba que el trabajo de ediciOn fuera menor, que consistiria principalmente en suministrar las figuras y revisar la puJJtuaciOn y la gram:itica; esto lo debian hacer uno o dos estudiantes graduados a tiempo por horas. Desafortunadamente, esta esperanza tuvo corta duraci6n. Result6 ser, en efecto, un trabajo editorial de mayor envergadura el transfonnar la transcripci6n verbal a una forma legible, aiin sin la reorganizaci6n y revisi6n de los temas que a veces eran necesarias. ;Mils aiin, no fue un trabajo para un editor tOCnico o un estudiante graduado, sino uno que requeria la atenci6n constante de un fisico profesional, de diez a veinte horas por Iecci6n! ' La dificultad de la tarea editorial. junto con la necesidad de poner el material ev manos de Jos estudiantes lo antes posible, puso un limite estricto al grado de "pulimento" de la materia y asi fuimos forzados a tender hacia un producto pre!i minar pero tOCnicamente correcto que pudiera usarse iJJmediatamente en vez de uno que pudiera considerarse final o terminado. Debido a la urgente necesidad de obtener mayor nilmero de copias para nuestros estudiantes y al animoso interCs por parte de los instructores y estudiantes de otras instituciones, decidimos publicar el material en su forma preliminar en vez de esperar una revisi6n posterior mayor, que bien podria no ocurrir nunca. No nos hacemos i!usiones en cuanto a lo completo, lo armonioso o a la organizaci6n 16gica de ia materia; en efccto, planeamo~ varias modificaciones menores del curso den.tro de un futuro inmediato y esperamos que no permanezca estil.tico en su forma o co10tenido. Ademils de las lecciones que constituyen una parte centralmente importante dd curso, fue necesario tambie:n agregar ejercicios adecuados para desarrollar la experiencia y habilidad de! estudiante, y experimentos adecuados para suministrar un contacto de primera mano con el material de las lecciones en el !aboratorio. Ninguno de estos aspectos estil. en un estado tan avanzado como e! material de las lecciones, pero se ha ido avanzando progresivamente. Algunos ejercicios se hicieron a medida que avan:r.aban !as leccioncs y t!stos fueron desarrollados y ampliados para el uso en el ailo siguientc. No obstante, debido a nuestra insatisfacci6n, pues creemos quc los ejercicios no suministran una variedad suficiente y una profundidad de aplicaci6n de! material de las lccciones para hacer al estudiante totalmente consciente de! tremendo poder que se pone a su disposici6n, los ejercicios se han publicado separadarnente y con car:icter transitorio para a!entar la revisiOn frecuente. Muchos nuevos experimentos para el nuevo curso ban sido diseilados por el profesor H. V. Neher. Entre c!stos hay varios que utilfa:an el roce extremadamente bajo que eJ1hibe un cojinete de gas: un novedoso canal lineal de aire, con el cual se pucden reali:r.ar mediciones cuantitativas del movimiento unidimensional, de los choques y dcl movimiento arm6nico, y un trompo de Maxwe!I sostenido en el aire y accionado por el, con el cual se puede estudlar el movimiento rotacional acelerado y la precesi6n y nutaciOn girosc6picas. E! desarro!Jo de nuevos ex:perimentos de lahoratorio se espera que continUe por un periodo considerable de tiempo. E1 programa de revisiOn estuvo bajo la dire.-;ciOn de los profesores R. B. Leighton, H. V. Neher y M. Sands. Participantes oficiales del programa fueron los profesores R. F. Feynman, G. Neugebauer, R. M. Sutton, H.P. Stabler", F. Strong y R. Vogt, de la secciOn de Fisica, Matem3.ticas y Astronomia, y los profesores T. Caughey, M. Plesset y C. H. Wilts de la seccion de Ciencias de la Ingenieria. Se reconoce con gratitud la valiosi.I. cooperaciOn de todos aquellos que contribuyeron al programa de revisi6n. Estamos particularmente reconocidos a la Fundaci6n Ford, sin cuya cooperaciOn financiera este programa no habria podido desarrollarse. ROBERT B. LEIGIITON 1961-62, mientras cstaba con permiso de! Williams College, Williamstown, Mass. Tabla de contenido C2pitu10 I 1- l 1-2 l-3 1-4' Capitulo 2 2-1 2-2 2-3 2-4 Capitulo 3 3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3- 7 Capitulo (!,) 4-1 4-2 4-3 4-4 Capitulo S 5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 Atomos en movhnienco In!roducci(m La materia estit forrnada de 2.tomos Procesos at6micos Reacciones quimicas l-l l-3 l-7 1-10 Fisica bliisica IntroducciOn La fisica antes de 1920 Fisica cuiintica Nllcleos y particulas ' 2-l 2-3 2-7 2-10 La rebcibn de la fisica eon otras cieneias IntroducciOn Quimica Biologia Astronomia Geologia Psicologia (.COmo se JlegO a eso? 3-l 3-l 3-3 3-9 3-JO 3-11 3-12 ConservaciOn de bi energia ;, Que es la energia? Energia potencial gravitacional Energia cinctica Otras formas de energla 4-1 4-3 48 4-9 Tiempo y distancia El movimiento El tiempo Tiempos cortos Tiempos largos Unidades y patrones de tiempo 5-l 5-2 53 55 5-7 5-6 5-7 Ci;ipirulo 6 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 Capitulo 7 7-J 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-S Capito.lo \ 8-2 {9-) 9-1 9-2 9-3 6-1 6-3 6-1 6-IO 6-14 La teoria de la gravitaciOn Movimientos planetarios Leyes de Kepler Desarrollo de la dinlimica Ley de la gra11itaci6n de Newton Gravitaci6n universal .. ~ . El experimento de Cavendish (.Que es la gravedad? Gravedad y relatividad 1-1 1-2 1-3 1-4 1-1 7-12 7-14 7-16 Descripci6n de! movimiento Velocidad La velocidad co mo derivada La distancia como una integral AceleraciOn 8-1 8-4 8-8 8-10 8-11 Leycs de Newton de la din.iimica 9-4 9-5 9-6 9-7 Mome;itum y fuerza La velocidad tiene direcci6n Componentes de la velocidad, de la ace!eraci6n y de la fuerza . . . . . . . . ;:Cui! es la fuerza? Significado de las ecuaciones de la dinfunica SoluciOn numtrica de las ecuaciones Movimientos planetarios )~ Conservaciim del momentum 10-1 10-2 10-3 10-4 !0-5 Capitulo Probabilid.sd PosibiliCad y probabilidad Fluctuaciones La caminata al azar Una distribuci6n de probabilidad El prindpio de indeterminaciOn - 8 ·3 8-4 8-5 Capitulo 5-8 5-ll -\8) El movimiento 8-1 Capitulo Distancias grandes Distancias pequeii.as 11 11 ·I 11·2 La tercera ley de Newton Conservaci6n del momentum jEI momentum se conserva! Momentum y energia Momentum relativista 9-1 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-10 10-1 I0-3 10-6 JO.JO 10-12 Vecto~es Simetria en fisica Tras!aciones 11-1 11-2 CONTENIDO 2 ll-3 11-4 ll-5 JI~ ll-7 Capindo 12 12-l 12-2 12-3 12-4 12-5 12-6 """"""' r9 13-1 13-2 13-3 134 ' """"""' ·~ 14-l 14-2 14-3 14-4 14-5 Capitulo 15 15-1 15-2 15-3 15-4 15-5 15-6 15-7 15-8 15-9 Capitulo 16 16-1 16-2 16-3 16·4 16-5 Capitulo 17 17-1 17-2 Rotaciones V<eto= Algebra vectorial I.eyes de Newton en notaci6n vec-..orial .Froducto escai&r de vectores ll-4 11.{) !l-8 11-11 11-12 Csncffristki;:ii; de Im fuerzm ;,Que es una fuerza? Roce F uerzas moleculares Fuenas fundamentales. Campos Seudofuerzas Fuerza.s nucleares 12-1 12-4 12-7 12-9 12-14 12-17 Tnbajo y eongia poteneial (A) Energia de un cuerpo que cae Trabajo realizado por la gravedad . La suma de energia . . . . . . . . _ .. Campo gravitacional de objetos grandes 13-1 13-5 13-8 13-11 Trabajo y energia poteru:iaJ (conclusi6n) Trabajo _ . . . . . . . . Movimiento con vinculos Fuerzas conservativas Fuerzas no conservativas Potenciales y campos 14-1 14-5 14-8 14-8 14-10 Tcoria especial de la relarividad El principio de la relatividad La transfonnaci6n de Lorentz El experimento de Michelson-Morley Transformaci6n del tiempo La contracci6n de Lorentz Simu!taneidad Cuadrivectores Dinimica relativista Equivalencia de masa y energia 15-i 15-4 15-5 15-7 15-10 15-11 15-11 15-12 15-14 Energia relativista y momentum La relatividad y los fil6sofos La paradoja de los mellizos Transformaci6n de ve!ocidades Masa relativista Energia rclativista 16-1 16-4 16-5 16-8 16-1 l Espacio - tiempo La geometria del espacio · tiempo lntcnalm; de cspacio·tiempo 17-! 17-3 17-3 17-4 17-5 Capitulo 18 18-1 18-2 18-3 18-4 Capitulo 20 20-1 20-2 20-3 20-4 Capitulo 22 22-1 22-2 22-3 22-4 22-S 22-6 Capitulo 23 23-1 32-2 23-3 23-4 Capitulo RotaelOn de dos dimensiones El centro de masas . . • . . . . . . • • • . . . . . , • RotaciOn de un cuerpo rigido . . . . . • . . . . . "' . Momentum angular . . . . , . . . , . . • . . . . . . . ConservaciOn del momentum angular . . . . . 18-1 18-3 18-7 18-9 Propiedades de1 .centro de masa •........ La ubica'ciiln del centro de masa , , . . . . . . . La obtenciOn del momento de inercia , . . . . . Energia cinetica de rotaciiln . • • • • , • • , . . . . . • 19-1 19-S 19-6 19-10 . . . . . . vectoriales . . . . . . . . . . . . 20-1 20-6 20-7 20-11 , . . • . . . . RotaciOn en el espacio Torques en tres dimensiones . . . . • • . . Las ecuaciones de rotaciOn usando productos ........... , . . . . El girOscopio Momentum angular de un cuerpo sOl.ido . . @ FJ oscilador annOnico 21-1 21-2 21-3 21-4 21-5 Capitulo 17-S 17-7 17-IO 19 Centro de masa; momento de ioereia 19-1 19-2 19-3 19-4 Capitulo Pasado, presente y futuro , . . . . • • . . . . . . . . . Miis acerca de los cuadrivectores • . . . . . . . . . . . Algcbradecuadrivectores., .. , . . . . . . . . . .. 24 24-1 24-2 24-3 Ecuaciones diferenciales linea1es El oscilador annOnico . . . . . . . . . . . . . . Movirniento annOnico y movirniento circular . , . Condiciones iniciales . . . . . . . . . . . . . . . . Oscilaciones forzadas . . . . , . . . . . . • . . . . . . . . . 21-1 21-2 21-5 21-6 21-8 Algebra AdiciOn y multiplicaciOn . . . . . . . Las operaciones inversas . . . . . . : . . . . AbstracciOn y generalizaciim . . . . . . . COmo obtener valores aproximados de nfuneros irracionales . . . . . . . . . . NU:meros complejos Exponentes imaginarios 0 22-1 22-3 22-3 22-5 22-9 22-12 Resonancia Niimeros complejos y movimiento armOnico El oscilador forzado amortiguado Resonancia e!Cctrica Resonancia en la naturaleza 23-1 23-4 23-7 23-IO Transitorios La energia de un oscilador Osdlaciones amortiguadas Transitorios elb:tricos 24-1 24-3 24-6 CONTENIOO 4 Capituio 25 25-1 25-2 25-3 25-4 25-5 Sistcmas linealez y repallO Ecuaciones diferenciales linea1es Superposici6n de soluciones Oscilaciones en sistemas lineal.es Analogias en fisica Impedancias en serie yen paralelo Capitulo 1.f6j Optica: el prindpio deJ tiUnpo minimo 26':( La luz 26-3 ReflexiOn y refracci6n .. __ . . . . . . . _ 26-3 El principio de Fermat del tiempo minimo . 26-4 Aplicaciones del principio de Fermat . . . . . . . . . . 26-5 Un enunciado mis preciso de! principio de Fermat .. 26-6 C6mo funciona Capitulo 27 Capitulo 28 28-1 28·2 28-3 28-4 Capitulo 29 29-1 29-2 29-3 29-4 29-5 Capitulo 30 30-1 30-2 30-3 30-4 30·5 30·6 30·7 25-9 25-12 26-1 26-3 26-4 26-7 26-11 26-13 Optica geometrica 27-1 ,- IntroducciOn . . 27-2 27-3 27-4 27-5 27-6 27-7 25-l 25-3 25-7 . . . . ....... . La distancia focal de una superficie esferica La distancia focal de una lente Aumento Lentes compuestas Aberraciones Poder de resoluci6n 27-l 27-2 27-6 27-8 27-9 27-10 27-11 RadiadOo electromagnetica Electromagnetismo Radiaci6n El radiador dipolar lnterferencia 28-1 28-4 28-6 28-8 lnterfereneia Ondas electromagneticas Energia de radiaci6n Ondas si1msoldales Dos radiadores dipolares La matem8.tica de la intelferencia 29- l 29-3 29-4 29-5 29-8 Di&acciOo La amplitud resultante debida a n osciladores iguales La red de difracci6n Poder de resoluciOn de una red La antena parab61ica Peliculas coloreadas; cristales Difracci6n por pantallas opacas El campo de un piano de cargas osci!antes 30-1 30-5 30-8 30-10 30-11 30· l 2 30-14 Capitulo 31 31- l 31-2 31-3 31-4 31-5 31-6 Capitulo 32 32-1 32-2 32-3 32-4 32-5 Capitulo 33 33-1 33-2 33-3 33-4 33-5 33-6 33-7 Capitulo 34 34 ·l 34-2 34-3 34-4 34-5 34 6 34- 7 34-8 34 9 Capitulo 35 El origen de! indice de refracciOn El indice de refracci6n El campo debido al mcdio Dispersi6n Absord6n La energia trnnsportada por una onda elOCtrica Difracci6n de la iuz por una pantalla 31-1 31-5 31-8 31-11 31-12 31-14 Amoriiguamicnto por radiaciOn. DispersiOn de la luz Resistenda de radiaci6n La rapidez de radiad6n de energia Amortiguamiento por radiaci6n Fuentes independientes Dispersi6n de la luz 32-1 32-2 32-4 32-6 32-8 PolarizadOn El vector eli:ctrico de !a tuz Polarizaci6n de luz dispersada Birrefringencia Polarizadores Actividad 6ptica Intensidad de !a luz reflejada Refracci6n an6mala 33-1 33-3 33-4 33-7 33-8 33-9 33-12 Efectos relativistas en la radiaciOn Fuentes en movimicnto Un modo de hallar el movimicnto "aparente" Radiaci6n sincrotr6nica . . . . . Radiaci6n sincrotrOnica c6smica Bremsstrahlung El efcl:to Doppler El cuadrivector 1,1, k Abcrraci6n El momentum de la luz 34-l 34-3 34-5 34-8 34.9 34-10 34-13 34-14 34.15 VisiOn de los colores 35-l 35-3 35 4 CONTENIDO 6 Capitulo 36 36-1 36-2 36-3 36-4 36-5 36-6 Capitulo 37 37- l 37-2 37-3 37-4 37-5 37-6 37- 7 37-8 Capitulo 38 32-1 38-2 38-3 38-4 38-5 38-6 C--C;pltulo 39 39-1 39-2 39-3 39-4 39-5 Capitulo 40 40-1 40-2 40-3 40-4 40-5 40-<i Capitulo 41 41 I 41-2 El mecanismo de la visiOn La sensaci6n de] color La fisiologia del ojo Las ce!ulas bastoncitos . . . El ojo compuesto (deJ insecto) .. , . . . Otros ojos Neurologia de la visi6n 36-1 36-4 36-8 36-IO 36-13 36-14 Comportamiento cwlntico Mecimica at6mica Un experimento con proyectiles Un experimento con ondas . , . . . . . . . . Un experimento con electrones . . . . La interferencia de ondas de electrones Observando los eJectrones Primeros principios de la mecimica cuMtica El principio de indetenninaci6n 37-1 3Vi 37-4 37-6 37-7 37-9 37-13 37-15 RelaciOn entre los p111ntos de vista ondulatorio y corpuscular Amplitudes de ondas de probabilidad Medida de la posici6n y de! momentum Difracci6n de cristales El tamaiio de un <ltomo Niveles de energia Implicaciones filos6ficas 38-1 38-2 38-6 38-8 38-10 38-12 La teoria einCtiea de los gases Propiedades de la materia La presi6n de un gas Compresibilidad de la radiaci6n Temperatura y energia cinetica La ley de los gases ideales 39-1 39-3 39-8 39-9 39-14 Los principios de la mecimica estadistiea La atm6sfera exponencial La ley de Holtzman . . . . . . . . ::~adi~~b~~?6ndde l~sli~cl~ctades· m~1e~~1ar~s. Calores especificos de gases El fracaso de la fisica clilsica 40-1 40-3 40-5 40-6 40-11 40-13 El movimiento browniano Equipartici6n de la energia Equilibria tfrmico de la radiaci6n 41-1 41-4 CONTENJDO 7 41-3 41-4 Capitulo 42 41-1 42-2 42-3 42-4 42-5 Capitulo 43 43-1 43-2 43-3 43-4 43-5 43-6 Capitulo 44 44-1 44- 2 44-3 44-4 44-5 44-6 Capitulo 45 45-1 45-2 45-3 Capitulo 46 46-1 46-2 46-3 46 4 46-5 Capitulo 47 47-1 47-2 47-3 47-4 47-5 La equipartici6n y el oscilador cu3ntico La caminata al azar 41-9 41-42 Aplicaciones de la teoria cinetica Evaporaci6n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Emisi6n termoi6nica Ionizaci6n t6rmica CinCt.ica quimica . . . . . . . . . . . . . Leyes de radiaci6n de Einstein 42-1 42-5 42-6 42-9 42-11 DifusiOn Colisiones entre mo!Cculas El camino libre medio La velocidad de arrastre Conductividad i6nica Difusi6n molecular Conductividad tf-rmica 43-1 43-4 43-6 43-8 43-9 43-13 Leyes de la termodin3mica M&quinas termicas; primera ley Segunda ley M&quinas reversibles Eficiencia de una mitquina ideal Temperatura lermodiniunica Entropia 44-1 44-4 44-6 44-10 44-13 44-15 Ejemplos de tennodiniimica Energia interna Aplicacioncs La ecuaci6n de Clausius-Clapeyron 45-1 45-5 45.g Rueda dentada y trinquete COmo trahaja una rueda dentada La rueda dentada como milquina Reversibilidad en mecilnica Irreversibilidad Orden y entropia 46-1 46-3 46-6 46-8 46-10 Sonido. La ecuaciOn de onda Ondas Propagaci6n del sonido La ecuaci6n de onda Solucioncs de la ecuaciOn de onda . Velocidad de! sonido 47-1 47-4 47-5 47-8 47-10 CONTENIDO 8 Capitulo 48 48-1 48-2 48-3 48-4 48-5 48-6 48-7 Capitulo SO 50-1 50--2 50-3 50-4 50-5 50-6 Cap;tulo Reflexi6n de ondas Ondas confinadas, con frecuencias naturales Modos en dos dimensiones Pt!ndulos acoplados Sistemas lineales 49-1 49-3 49-5 49-9 49-10 ArmOnicos Tonos musicales La serie de Fourier Timbre y consonancia Coeficientes de Fourier Teorema de la energia Respuestas no lineales SI Ondu 51-1 51-2 51-3 Ondas Ondas Ondas Ondas 5 1-4 Capitulo 48-1 48-4 48-5 48-8 48-10 48-12 48-14 Modos de vibraciOn 49 49-1 49-2 49-3 49-4 49-5 Capitulo Pulsaciones Sumando dos ondas Notas pulsadas y modulaciOn Bandas laterales Trenes de ondas localizados Amplitudes de probabilidad para particulas Ondas en tres dimensiones Modos normales de vibraci6n 52 5 2-1 52-2 52-3 52-4 52-5 52-6 52-7 52-7 52-9 de proa de choque en s6lidos superficiales 50-1 50-3 50-4 50-7 50-10 50-11 51-1 51-3 51-6 51-10 Simetria en las teyes fisicas Operaciones de simetria Simetria en el espacio y en el tiempo Simetria y !eyes de conservaci6n Reflexiones especulares Vectores polares y axiales lCuat mano es la derecha? 1La paridad nose conserva! Antimateria S1metrias rotas 52-1 52-2 52 5 52-6 52-9 52-11 52-12 52-14 52-16 Indice affabetico CONTENHX) 9 1 Atornos en rnovirniento ! ~J lntroducciOn 1-3 Procesos atOmicos 1-2 La materia esta formada de iltomos 1-4 Reacciones quimieas I- I lntroducdOn Este de fislca de dos af10s se presema desde el punto de vista de que va a ser un fisico. Este, desd.;: luego, no necesariamente es el caso, usted, el que supone cada profesor en cada tema! Si usted va a ser un fisico, pero, 1es tendril que estudiar mucbo: doscientos aiios del campo de conocimiento de mils r3.pido desarrollo que existe. Tanto conocimiento, en efecto, que usted pensaria que lo podria aprender todo en cuatro aiios y realmente no puede; idebera tr, adea la escuela de graduados ! Es bastante sorprendente que, a cantidad tremenda de trabajo que ha condensar en gran parte la enonne sido realizado eo todo este tiempo, es masa de resuitados --esto es, hallar !eyes que resumen todo nuestro conocimiento. Aun asi, las leyes son tan dificiles de entender que es injusto para usted comenzar a explorar este tremento tema sin algUn tipo de mapa o bosquejo de la re!aci6n de una parte a la otra de] contenldo de la ciencia. De acuerdo a estas notas preliminares, los primeros tres capitulos dar:ln, por lo tanto, un bosquejo de la relaci6n de la fisica con el resto de las ciencias, las relaciones de !as ciencias entre si y el significado de ciencia, para ayudarnos a desarrollar una mejor comprensi6n de este tema. Usted podria preguntar por que no podemos enseiiar fisica dando simp!emente las !eyes b<'tsicas en la p<'tgina uno y luego mostrar c6mo operan en todas las circunstancias posibles, ta! como lo hacemos en geomctria euclidiana, donde establecemos los axiomas y luego hacemos toda clase de deducciones. (Asi que, no satisfecho con aprender fisica en cuatro afios, t.la quiere aprender en s6lo cuatro minutos?) No lo podemos haccr de esta mancra por dos razones. Primero, a{m no conocemos todas !as leyes bitsica~: existe una frontera de ignorancia en expansi6n. Segundo, el planteamiento correcto de las ]eyes de la fisica contiene algunas ideas muy poco familiares que requiere matematica avanzada para su descripci6n. Por esta raz6n se necesita una cantidad aprcciable de entrenamiento preparatorio para entender lo que significan estas pa!abras. No, no es posible hacerlo de esta manera. S6!o podemos hacerlo parte por parte. Cada parte dcl todo de la naturaleza es siempre s6lo una aproximaci6n a la verdad completa o la verdad completa hasta donde la conocemos. En realldad, todo l-l es tar con aparato5 y no mente y se comprueban en todo~ menores, z,c6mo pueden siendo poco precis05. Por un trompo que gira t1ene una "ley'': la masa es esa "ley" es incorrecta. aumentos apreciables dera es: si un objeto la masa es constante pensar esta es una ley corrccta. diferencia apreciable. Bueno, y no. Para por cierto y usar la ley de masa constante como una buena velocidades altas nos equivocamo~ y micntra5 mayor sea equivocados estamos. Por Ultimo, es lo mas interesante,fllo.H~(icamen/e e~tumos '°"'ple>am''"" equii'ocados con ley aproximada. Nuestra imagen completa del rarse incluso si la masa cambia solamcnte un E~to es un asunto muy de la tilosofia ode las ideas que hay detr8.s de Aun un efecto muy requiere a veces profundos cambios en nuestras Ahora bien, ~que debcmos enseflar primero? ;,Debemo~ enseflar la ley correc/a, pero poco familiar con sus ideas extraOas y conceptualmente dificiles, por ejemplD, la teoria de la relatividad, el espacio-tiempo cuadrimcnsional, etc.? z,O dcbemos en seflar primcro la ley sencilla de '·masa constante'·, que es s61o aproximada, pero no inc':iye ideas tan dificilcs? Lo primero es mas excitante, ma~ maravillmo y mas en tretenido, pero lo segundo es ma~ facil de comprender de inmediato, y cs el primer paso para un vcrdadero entcndimiento de la segunda idea. E5te punto aparece repede tidas veces al enseiiar fisica. En diferentes ocasiones debemm diferentes, pero en cada paso vale la pena aprendcr lo que se sabe punto es exacto, cOmo ~e ajusta a todo lo dem1i.s, y c6mo podrii. aprendamos mas. I2 Sigamos ahora con nuestro bosquejo, o mapa general, de lo quc sabemos hoy dia de cicncia (en particular de la fisica, pero tambiCn de otras ciencias que cstim en la periferia), de manera que cuando nos concentremos mas tarde en a!gUn punto particular tcngamos alguna idea de los fundamentos, por que ese punto particular resulta interesante y c6mo se ajusta dentro de la gran estructura. De esta mancra, (.CUi! es nuestra visi6n general del mundo? 1-2 La materia esti formada de itomos Si en algUn cataclismo fuera destruido todo el conocimiento cientifico y solamente pasara una frase a la generaci6n siguiente de criaturas, t,cuhl enunciado contendria el maximo de informaci6n en el minimo de palabras? Yo creo que es la hipOtesis at6mica (o el hecho at6mico, o como quieran llamarlo), que todas las cosas esuin formadas por titomos -pequeiias partfculas que se mueven con movimiento perpetuo, atrayt?ndose unas a orras cuando estcin separadas por una pequeiia distancia, pero repelit?ndose cuando se las trata de apre/ar una contra otra, En esa sola frase, veriin ustedes, hay una cantidad enorme de informaci6n referente al mundo, si se aplica s6\o un poco de imaginaci6n y pensamiento. Fig. 1-1. Agua aumentada mil rnillones. Para ilustrar el poder de la idea at6mica, supongamos que tcnemos una gota de agua de mcdio centimetro de lado. Si la miramos muy de cerca, no vemos mas que agua ·--agua pareja y continua-. Jnduso si la aumentamos con el mejor microscopio mil veces- entonces la gota de agua va a 6ptico disponible -aproximadamente tan grande como una pieza grande, y si mitencr unos diez metros de tamai1o, r<'iramos de cerca, veriamos toda\.'fa agua relativamente pareja, pero de vez en cuan· do cucrpos parecidos a una pelota de flltbol nadando de aqui para all<'i. Muy interesamc. Estos son paramccios. Puedcn detenerse en estc punto y ponerse tan curiosos acerca de los paramecios con sus vibrantes cilios y cuerpos en contorsi6n, que no van a ir mils all:i, exccpto ta! vez para aumentar el tamailo del paramecio aim mas y ver su interior. F.sto. desde Juego, es un tema de la biologia, pero por el presente !o dejamos y miramos con mayor atenci6n aUn el material del agua misma, aumcn timdolo nuevamente dos mil veces. Ahora la gota de agua se extiende por unos veinte kil6mctros y si la miramos muy de cerca vemos una especie de hormigueo, algo quc ya no tiene una apariencia parcja; sc parecc a una multitud en un partido de fUtbol visto desde bastante distaocia. Para \Cf quC es este hormigueo, Jo aumentamos dos ciemas cincucnta vcces mils todavia y veremos algo parecido a lo que nos muestra la figura 1-1. Fsta es una representaciOn dcl agua aumentada unas mil millones de veces, ix:ro idcalizada en diferente~ aspectos. En primer lugar, las particulas estim dibujadas de manera sencilla con hordes definidos, lo cual no es exacto. Segundo, por simplicidad, est3.n bosquejadas en forma casl esquem3.tica en un arreglo de dos dimensiones, pero se mueven desde luego en tres dimens1ones. N6tese que hay dos tipos de "pompas" o circulos para representar los 3.tomos de oxigeno (negro) e hidr6geno (blanco) y que cada oxigeno tiene dos hidr6ge· nos urndos a CL (Cada pequeiio grupo de un oxigeno con sus dos hidr6genos se denomina una molCcula.) El dibujo estil idealizado mils alm en el sentido que las ver· daderas particu!as en la naturaleza vibran y rebotan continuamente, rotando y contorsionilndose la una alrededor de !a otra. Deben imaginarse esto mils bien coma una representaciOn dinilmica y no estiltica. Otra cosa que no puede representarse en un dibujo es que !as particulas estiln "pegadas entre si" --que se atraen unas a otras, Csta tirada par aquClla, etc.-. El grupo completo est3. "enco!ado en un conjunto", par decirlo as!. Por otra parte, las particulas no pueden atravesarse unas a otras. Si tratan dejuntar dos de ellas demasiado cerca, se repelen. Los iltomos tienen un radio de I 6 2 x IO ~ cm. Ahora bien, 10-~ cm se denomina un angstrom (un nombre coma cualquier otro), de manera que decimos que tienen un radio de I 6 2 angstrom (A). Otra manera de recordar su tamaiio es Csta: si una manzana se aumenta al tamaiio de !a tierra, entonces los inomos de la manzana son aproximadamente <lei tamaiio de la manzana original. Ahora imaginense esta gran gota de agua, con todas estas particula5 agitilndose unidas entre 5i y mm.-iCndose lentamente en con1unto. El agua mantiene su volumen; no se deshace debido a la atracci6n mutua entre las molCculas. Si la gota estit en una pendiente, donde se puede mover de un lugar a otro, el agua escurriril, pero no desaparece simplemente -las cosas no sc dcshacen asi tan facilmente-. deb1do a la atracci6n molecular. Ahora bien, el mov1miento de agitaci6n es lo que nosotros representamos por ca/or: cuando aumentamos la tempcratura, aumentamos el mov1miento. Si calentamos el agua. la agitaci6n aumenta y aumenta el volumen entre los ittomos, y si el calentamiento continUa llega el momenta en que la atracci(m en tre las molCculas ya no es suficiente para mantenerlas umdas y ellas, ahora sf, vuelan en todas direcciones y se separan unas de otras. Desde luego, Csta es la manera cOmo producimos vapor a partir dcl agua ~aumentando la temperatura-; las par ticulas vuelan en todas direcciones debido al aumento del movtmiento. En la figura 1-2 tenemos una representaci6n del vapor. Esta rcpresentac16n del vapor falla en un aspecto: a presiOn atmosferica ordinaria puede que haya s61o unas pocas mo!Cculas en toda la picza y scguramentc no habria tantas coma las tres en esta figura. La mayoria de los cuadrados de este tamaiio no contendriln ninguna, pero nosotros tenemos accidentalmente dos y media o tres en el dibujo (de csta ma nera no estaril completamente vacio). Ahora bicn. en el caso del vapor vemos las molCculas caracteristicas con mils clandad queen el caso del agua. Por simp!icidad, !as molCculas estim dibujadas de manera que haya un imgulo de 120" entre ellas. En realidad e! 3.ngulo es de 105". 3' y !a distancia entre el centro de un hidrOgeno y el centro del oxigeno es de 0,957 A, de manera que conocemos estil molCcula bas tante bien. Veamos cua.Jes son las propiedades del vapor de agua o de otro gas cualqu1era. Las mo!Ccula5, estando separadas entre si, van a rebotar contra !as paredes. Ima ginense una pieza con un nUmero de pelotas de tenis (unas cien o alga asi) rebotando en todas direcciones en movimiento perpetuo. Cuando bombardean la pared. esto empuJa la pared apartimdola. (Desde lucgo que tendremos que empujar la pared de vuclta.) Esto quiere decir que el gas ejerce 14 una fuerza a golpedtos que nuestros burdos sentidos (no habiendo sido aumentados nosotros mismos mil m.illones de veces) sienten como un empuje medio. Para confinar un gas debemos aplicar una presi6n. La figura 1-3 muestra un recipiente comlln para contener gases (empleado en todos los textos), un cilindro con un pist6n en 61. Ahora bien, no importa cuaJ sea la forma de las molOCulas de agua, de manera que por simplicidad las dibujaremos como pelotas de tenis o pequeiios puntos. Estos objetos est8:n en movimiento perpetuo en todas las direcciones. Asi muchas de ellas estan golpeando el pist6n superior todo el tiempo, de modo que para evitar que sea botado fuera de! tanque por este paciente y continua golpeteo, debemos sujetar el pist6n mediante una cierta fuerza que llamaremos presi6n (realmente, la presi6n multiplicada por el area es la fuerza). Estel claro que la fuerza es proporcional al area, porque si incrementamos el ilrea, pero mantenemos igual el nllmero de moli:culas por centimetro cU.bico, aumentamos el nllmero de colisiones con el pist6n en la misma proporci6n que hemos incrementado el area. 1,~~1 L__ ______s;i.. Vapor Figura 1·2 -- . J Figura 1-3 Coloquemos ahora doble cantidad de mol6culas en el tanque, manera de duplicar la densidad, y que tengan la misma velocidad, esto es, !a misma temperatura. Entonces, con bastante aproximaci6n, el nUmero de co!isiones serit doble, y coma cada una de ellas es tan "energ6tica" como antes, la presi6n es proporcional a la densidad. Si consideramos la verdadera naturaleza de las fuerzas entre los ;homos, podemos esperar un pequei'io decrecimiento de la presi6n debido a la atracci6n entre Jos iltomos, y un pequefio aumento debido al vo!umen finito que ocupan. Sin embargo, con una excelente aproximaci6n, sl la densidad cs suficientemente baja para que no haya demasiados <itomos, la presiOn es proporcional a la densidad. Podemos ver tambii:n algo mis: Si aumentamos la temperatura sin camb!ar la densidad del gas, esto es, si aumentamos ta velocidad de los <itomm, t,que le sucederit a la presiOn? Bueno, los <itomos pcgan mils fuerte porque se mueven mis r<ipido, y ademils pegan mils a mcnudo, de manera que la presiOn aumenta. Ven lo sencillas que son las ideas de la teoria at6mica. Consideremos ahora otra situaci6n. Supongamos que el pist6n se mueve hacia adent-ro, de modo que los il.tomos son comprimidos lentamentc a un espacio mas pequefio. t,Qu6 sucede si un <itomo choca contra el pist6n en movimiento? Eviden temente toma velocidad de la colisi6n. Pueden comprobar!o hacienda rebotar una pelota de ping-pong contra una paleta que se mueve hacia adelante, por ejemplo, y hallaritn que sale con mils velocidad con la que choc6. (Ejemplo especial: si un iitomo resultara estar en reposo y cl pistCm lo golpea, ciertamente sc moverit.) De csta ma, nera los <itomos resultan mils "calientes" cuando se alejan 1·5 del pist6n r-111e cuando lo chocaron. Por lo tanto, todos los ::'ttomos de! recipiente habr:in adquirido mils velocidad. Esto quiere decir que ctumdo comprimimos Ientamente un gas, la temperatura def gas aumenta. Asi que, bajo una lenta compresi6n, un gas aumentarti su temperatura, y bajo una lenta expansi6n disminuird la temperatura. Retornamos ahora a nuestra gota de agua y miramos en otra direcci6n. Supon· gamos que bajamos la temperatura de nuestra gota de agua. Suponga que la agitaci6n de las moleculas de los ittomos en el agua est<i. continuamente decreciendo. Sabemos que existen fuerzas de atraccl6n entre los <i.tomos, de modo que despues de un rato ya no estariln en condiciones de agitarse tan bien. Lo que suceder<i. a temperaturas muy bajas queda indicado en la figura 1-4; las moli:culas se acomodan en una nueva estructura que es el hielo. Este diagrama esquem<i.tico particular del hielo estii equivocado porque estil dibujado en dos dimensiones, pero cualitativamente estit bien. El punto interesante cs que el material ticnc un lugar definido para cada dtomo y se puede apreciar facilmente quc si de una manera u otra podemos mantener todos los ;itomos de un extremo de la gota en una cierta ordenaci6n, cada i.ttomo en un cierto lugar, entonces debido a la estructura de interconexiones, que es rigida, el otro extrema a kil6metros de distancia (en nuestra escala aumentada) tendril tambii:n una ubicaci6n definida. Asi, si sostenemos una aguja de hielo de un extrema. el otro extrema se resiste a ser dcsplazada, a diferencia del casa del agua, donde la estructura estil destruida debido al aumento de la agiiaci6n. de ma· nera que tados los <i.tomas se mueven en forma difercnte. La diferencia entre s6hdos y liquidos es entonces que en un s6lido los iitomos estiln ordcnados en un cierto tipo de estructura, Hamada estructura cristalina, y no tienen una posici6n al azar a gran distancia; la posici6n de los i.ttomos en un Iado de! cristal queda determ!nada por la de !os otro5 iltomos a distancia de millanes de <i.tomos al otro !ado de! cristal. La figura 1-4 es una ordcnaci6n inventada para el hielo, ya pesar de contener muchas de las caracteristicas correctas Jc! hiclo, no es la verdadera ordenaci6n. Uno de los aspectos correctos cs que hay una parte de la simetria que es hexagonal. Pueden ver que si giran el dibujo en l 20° alrcdedor de su cje, el dibujo resulta igual. Por lo tanto, hay una simetria en el hielo que cs responsablc del aspecto de seis caras de los copo~ de nieve. Otro asunto que podemos ver de la figura 1-4 es por quC el hielo se contrae cuando se derrite. La ordenaci6n crista!ina particular del hielo mostrada aqul tiene muchos "huecos'· dentro de ella, ta] como la cstructura verdadera del hielo. Cuando se desmorona la estructura, cstos huecos pueden ser ocupados por moleculas. La mayoria de las su~tancias simples. con la exccpci6n del agua y el metal de tipos de imprenta, se di/a/an a! fundirse. debido a que las ittomos est<i.n muy campacto& en e! cristal s6lido y al fundirse necesitan mayor espacio para agitarse, pcro una estructura abierta sufre un colapso. como en el caso de! agua. Ahora bien, a pesar que el h1ela tiene una forma cristalina ''rigida'", su temperatura puede cambiar -el hielo tiene calor-. Si queremos, podemos cambiar su c:i.n tidad de calor. ;,Que es el ca!or en el caso del hiela? Los iltomas no est<in quietos; estiln agititndose y vibrando. De manera que, a pesar de existir un orden definido en el cristal -una estructura definida-, todos los i.ttomos estiln vibrando ''en posi ci6n"'. S1 aumentamas la temperatura, vibran con amplitud cada vez mayor, hasta que finalmente se sacuden a si mismos fucra de su posici6n. A esto lo llamamos fusi6n. Si dccrccemos la temperatura, las vibraciones decrecen y decrecen hasta que, en el cero absaluto, queda una cantidad minima de vibraci6n que los <i.tomos pueden tener, pero no cero. Estc valor minima de mavimiento que pueden tener los iltomos no es suficientc para fundir las sustancias, con una excepci6n: cl helio. El helio solamente dccrece el movimiento iltomico lo mils que puede, pero aun en el ccro absoluto todavia queda suficiente movimiento como para evitar su congelaci6n. El helio, aun en el ccro absoluto, no se conge!a, a menos que la presi6n sc haga tan grande que los il.tomos se ap!asten entre si. Si aumentamos la presi6n. lo podemus hacer solidificar. • Oxigeno Fig. 1 4 1-3 H1elo hg 1-5. Agua evapori\mlose al a1rc Procesos atOmicos I 7 Qclom Q Sodio Figure 1-6 Fig 1-6 Sal d1solv1endose en agua una tapa, que ha estado ahi qui1iis por veinte ai'ios-. rcalmente contiene un fen6meno dinimico e interesante que prosigue todo el tiempo. A nuestros ojos, nuestros imperfectos ojos. nada cambia, pcro si pudiCramos verlo ampliado mil millones de veces, verlamos que desde su propio punto de vista cambia continuamcntc: mo1ecu!as abandonan la superficie, mo!eculas regresan. z.Por que no vemos alguno? jPorque tantas moltculas abandonan como regresan! A la larga ~ucede'". Si ahora sacamos la tapa de! recipiente y soplamos cl aire hUmcdo a otra parte. reemplazimdolo por aire seco, el nUmero de moleculas que abandonan el liquido ~iguc sicndo cl m1smo como antes. porque esto depende de la agitacion de[ agua, pero e! n0.mero de las quc regrcsan csta fucrtemente reducido porque hay tan pocas mo!C:culas de agua sobre el agua. Por consi guicnte, salen mils de las que entran y el agua se evapora. jLucgo, st desean evaporar agua, echen a andar cl vcntilador! Aqui hay algo mis. (,Cuitlcs mo\eculas se van'! Cuando una molt:cula se va es por una acumulac16n accidental extra de un poco mils de energia de lo normal quc ella necesita si debc cscapar de la atracciOn de sus vecinas. Por lo tanto. ya quc las que sc van ticncn m:is energia quc cl va!or mcdio. las que se quedan tienen menos moHmiento promedio de lo que teman antes. De csta mancra el liquido gradualmente se enfria si sc evapora. Desde luego, si una motecula de vapor baja desde cl airc al agua. hay una gran atracci6n rcpcntina a medida quc la molfrula sc acerca a la super!icie. l:.sto acelera la mo!Ccula que entra y da como resultado generaci6n de calor. De modo que cuando sc van quitan calor; cuando regresan gcncran ca!or. evaporaci6n neta, el resultado c~ nulo -el agua no camDesde luego cuando no el agua de manera de mantener una preponderanbia de temperatura-. <;;i cia del nlimero que ~e evapora, entonces el agua se enfria. j Lucgo sop!e la sopa para en fr i a r1 a ~ Dcsdc luego deben los procesos recien descntos son mils comsolamcnte pasa cl agua al airc, sino que tam plicados de lo quc hcmo~ biCn de cuando en cuando una de las mo!Cculas de oxigeno o mtrbgeno entrari y ··se perderi1" en !a masa de las mo!Cculas de agua y se las arrcglaril para entrar dcntro del agua. De estc modo el aire en el agua: molcculas de oxigeno agua, y cl agua contendrii. aire. Si retiray nitrbgeno ~e la~ arreglan para entrar mos repentinamente el aire de! recipient~. entonccs las mo!Cculas de aire saldriln mils rilpidamcntc de lo que cntran y hacienda csto produc1ritn burbujas. Esto es muy pehgroso para los buzos. como ustedcs ~abran. Ahora pasaremos a otro proceso. En la !igura l-6 \.-emos,desde el punto de vista at6mico. un ~Olido que se d1suclvc en agua. St ponemo~ un cristal de sal en agua, lqm! 1·8 ...• : D""": ' """" •' mas prox1mo • ' ' Figur; l-7 sucederil? La sal es un s6lido, un cristal, un sistema organizado de "iltomos de sal". La figura 1-7 es una ilustraci6n de la estructura tridimensional de la sal comUn, cloruro de sodio. Estrictamente hablando, el cristal no estil hecho de ;homos, sino de lo que llamamos iones. Un ion es un ci.tomo que tiene unos pocos electrones extra, o que ha perdido algunos electrones. En un cristal de sal encontramos iones cloro (ii.tomos de cloro con un electr6n extra) y iones sodio (<ltomos de sodio con un electr6n de menos). Los iones estitn unidos unos a otros por atracci6n electrostiltica en la sal s61ida, pero si los colocamos en agua, encontramos, debido a las atracciones del oxigeno negativo y de! hidr6geno positivo por los iones, que algunos iones se sueltan. En la figura 1-6 vemos un ion cloro so!tilndose y otros iltomos flotando en el agua en forma de iones. Este dibujo fue hecho con algU.n cuidado. N6tese, por ejemplo, que los terminales de hidr6geno de las mol6culas de agua estiln mils pr6ximas a! ion cloro. mientras que cerca de! ion sodio encontramos mils a menudo el terminal oxlgeno, debido a que el sodio es positivo y e! terminal oxigeno de! agua es negativo, y se atraen etectricamente. L,Podemos decir a base de este dibujo si la sal se est3. disolviendo en agua o cristalizando? Desde luego, que no lo podemos decir, porque mientras algunos de los <itomos abandonan el cristal otros <itomos se vue!ven a juntar con ei. El proceso es dincimico, tal como en el caso de la evaporaci6n y depende de si hay mas o menos sal en el agua que la cantidad necesaria para el equilibria. Entendemos por equilibria la situaci6n en la cual la rapidez con que se van !os :itomos iguala exactamente a la rapidez con que regresan. Si casi no hubiera sal en el agua. se van mils iltomos de los que retornan, y la saJ se disuelve. Si. por otro \ado, hay demasiados "ii.to mos de sat", regresan mils de los que se van y la sal se cristaliza. De paso. me~cionaremos que el concepto de mof~cula de una sustancia es s6lo aproximado y ex1ste sl)lo para una cierta clase de su~tancias. Estil claro, en el caso de! agua, que los tres <itomos estiln realmente pegados unos a otros. No est<i tan claro en el caso de! cloruro de sodio en el s6lido. Hay una ordenaci6n de iones sodio y cloro en el s6lido. No hay manera natural de agruparlos como "mo!eculas de sal". Retornando a nuestra discusi6n de soluci6n y precipitaci6n, si aumentamos la temperatura de la soluci6n salina, aumenta la rapidez con que los <itomos se retiran, y asi tambie.n la raJ?idez con que l?s 3.tomos retoman. Resulta, en .general, muy dificil predecir en que sentido se realiza, si se disuelve mils o menos solido. La mayoria de las sustancias se disuelven mis. pero algunas sustancias se disuelven menos al aumentar la temperatura. Fig. 1·- 8. !-4 Carbone ard1endo en mdgeno Fig. 1-9 Olor a v1oletas. Reacdones quimicas que han sido descritos hasta ahora, los atomos y los su~ compaiieros, pero desde luego hay circunstancias en cambian de cmnbinaciOn formando nuevas molCculas. Esto 1-8. Un en el cual reordenamicnto de lm Lo' Se supone que los ittomos de carbono est3.n en un crista! sOlido {que podria ser grafito o diamante*). Ahora, por ejcmplo, una las moleculas de oxigeno puede pasarse al carbono y cada <i.tomo puede tomar un de carbono y sa!ir volando en una nucva combinaci6n -"carbono oxigeno "- que es una molCcula de! gas llamado monOxido de carbono. Se le da el nombre quimico CO. Esto es muy ~cncillo: las letras •·co" son pr3.cticamente el dibujo de aque!la mol6cula. Pero cl carbono atrae al oxigeno mucho mas que el oxigeno al oxigeno o e! carbono al carbono. Puc de ser que el oxigeno llegue a este proceso con muy poca energia, pero el oxigeno y el carbono se unira con tremenda violencia y conmoci6n y todo lo que esti cerca de ellos captari esta energia. De este modo se genera una cantidad grande de ener gia de movimiento. encrgia cinCtica. Esto es, desde !uego, quemar: obtener ca/or de la combmaciOn del oxigeno y el carbono. El calor se tiene genera!mente en forma de movimiento molecular de! gas calientc, pcro en ciertas circunstancias puede ser tan enormc que genera luz. As1 es como se obtienen las llamas Adcm<i.s, el mon(ixido de carbono no esti satisfecho de! todo. Le es posible ligar otro oxigeno, de manera que podcmos tener una reacciOn mucho mis complicada en la cual el oxlgeno se combina con el carbono, mientras que a! mismo tiempo * Se puede quemar un diamante en el aire 1-10 se lleva a cabo una colisiOn con una molOCula de monOxido de carbono. Podria unirseun <homo de oxigeno al CO y formar finalmente una molecula compuesta por un carbono y dos oxigenos, que se designa por C0 2 y que se llama di6xido de carbono. Si quemamos el carbono con muy poco oxigeno en una reacci6n muy r<i.pida (por ejemplo, en un motor de autom6vil, donde la explosiOn es tan r<i.pida que no le queda tiempo para formar di6xido de carbono ), se forma una cantidad considerable de mon6xido de carbono. En muchos de estos nuevos arreglos se libera una cantidad bastante grande de energia, produciendo explosiones, llamas, etc., seglln la reacci6n Los quimicos han estudiado estas combinaciones de litomos, y han encontrado que todas las sustancias son algUn tipo de combinadones de citomos. Para ilustrar esta idea, consideremos otro ejemplo. Si entramos en un campo de pequetias violetas, sabemos cuat es su "o\or". Es un cierto tipo de molecula, o combinaci6n de litomos. que ha entrado en nuestras narices. Antes que nada, ,:c6mo pudo llegar hasta alli? Es bastante sencillo. Si el olor es algUn tipo de mo!ecula en el aire, que se agita en todos los sentidos y siendo chocada a cada trecho, podria haber entrado accidentalmente en nuestras nariccs. Ciertamente no tiene ning6n de· seo particular de entrar en nuestra nariz. Es solamente una parte desvalida de un tumulto de mo!eculas, y en su vagar sin rumbo estc pedazo de materia resulta que se encuentra en la nariz. Ahora bien, los quimicos pue<len tomar moleculas particulares como el olor a violctas, analizarlas y decirnos cu:il es el ordenamiento exacto de los <i.tomos en el espacio. Sabemos que la molff:ula de di6xido de carbono cs recta y simetrica: O-C-0. (Esto puede ser detcrminado facilmente tambiCn por medios fisicos.) Sin embargo, aun para las combinaciones enormemente mil.s complicadas de atomos que hay en la quimica, uno puede mediante un largo y notable proceso de trabajo detectivesco. hallar la eombinaci6n de !os <'ttomos. La figura 1-9 representa el aire en la ccrcania de una violcta; de nuevo encontramos nitrOgeno y oxigeno en el aire, y vapor de agua. ((.Por que hay vapor de agua? Porque la violcta esta hUmeda. Todas las plantas transpiran.) Pero tambien vemos un "monstruo" compuesto por litomos de carbono, Utomos de hidrOgeno y <'ttomos de oxigeno. que han tornado una cierta forma especial para ordenarsc. Es una ordenaci('m mucho m:is complicada que la del diOxido de carbono: es, en efecto. una combinacilm enormcmente comp!icada. Desgraciadamentc no podemos reprcscntar todo Jo. que rcalmente se conoce de ella quimicamen te. porque la combinacil'lO precisa de todo5 los fitomos se conoce en rcalidad en tres dimensiones, mientras que nuestro dibujo es solamente en dos. Los seis carbonos que forman un anillo no forman un anillo plano. sino una especie de anillo "arrugado'". Todos sus :ingu!os y distancias son conocidos. De este modo una f6rm11!a quimica es s6lo una representaci6n de !a mo!ecu!a. Cuando un quimico escribc una de esas cosas en el pizarrOn. trata de "dibujar", hablando llanamente. en dos dimensiones. Por ejemplo. nosotros vemos un ··anillo'" de seis carbonos y una "ca dcna ·· de carbonos colgando en el extremo. con un oxigeno en segundo lugar desde el extrema, tres hidrOgenos unidos a un carbono. dos carbonos y tres hidr6genos asomados por aqui, etc. ;,C6mo encuentra el quimico cu<'tl es la combinacilm? Me1cla botellas llenas de materiales y, si se vuelve rojo. le dice que consiste de un hidr6gcno y dos carbonos ligados aqul: si por otra parte se vuelve azul. se trata de un asunto tota!mente difcrente. Este es uno de los trabajos detectivescos m:is fant<'tsticos que se haya hecho 1-11 nunca -la quimica org<inica-. Para descubrir el ordenamiento de los atomos en esta~ combinaciones tan enormcmente complicadas, el quimico se fija en l..J que sucede si mezcla dos sustancias diferentes. El fisico jamii.s creeria que el c:uimico sabe de lo que esta hablando cuando descrihe las combinaciones de Jos iltomos. Por unos vcinte aiios ha sido posible en algunos cases observar estas moleculas (no tan comphcadas como esta, pero algunas que contienen parte de ella) mcdiante un mCtodo fisico, y ha sido posible localizar cada ittomo. no mirando colores, sino midiendo donde estcin. jY admirense!, los quimicos casi siempre est<in en lo cierto. Rcsulta, en cfecto, que en el olor de las vmletas hay tres moleculas levemente diferentes, que se diferencian solamente en la ordenaciOn de los iitomos de hidrOgeno. Un problcma de la quimica es darle nombrc a una sustancia, de mancra quc sepamos lo que es. ;Encuentre un nombre para e~ta forma! El nombre no solamente debe dar idea de la forma. sino dccir ademas que aqui hay un <itomo de oxigeno, allil un hidr6geno --exactamente lo que es cada <itomo y d6nde est<l colocado-. Asi podemos apreciar que los nombres quimicos deben ser complejos para quc scan completos. Ustedes ven que el nombre de esta cosa en su forma m<is completa que Jes indique la estructura es 4 (2, 2, 3, 6 tetramett! - 5 ciclohexanil) 3 buteno · 2 ona. y eso Jes dice que Csta es su ordenaciOn. Podemos apreciar las dificultades quc tienen los quimicos, y tambien apreciar !as razones para usar nombrcs tan largos. jNo es que ellos deseen ser oscuros, sino que tienen un problema extremadamentc dificil al tratar de describir las moleculas en palabras! Fig. 1-10 La sustancia representada es ~COmo sabemos que existen los <itomos? Mediante los trucos mencionados anteriormente: hacemos la hip6tesis de quc cxisten <itomos, y uno tras otro resultado sale coma lo hemos predicho, tal coma deberia ser s1 !as cosas estcin hechas de <'ttomos. Hay adem<ls evidencias alga mils dircctas. un buen ejcmplo de lo cual es lo siguiente: los <itomos son tan pequeiios que no se pueden vcr con un microscoplo Optico -de hecho, ni siquiera con un microscopic electr6nico-. (Con un microscopic Optico sOlo pueden verse objetos que son mucho mas grandes.) Ahora, si los <itomos estiin continuamentc en movimiento. digamos en agua, y colocamos una pclota grandc Jc algun material en el agua, una pelota mucho mils grande que los <itomos, la pelota se mmeri1 en todas direcciones -muy parecido a un juego de pc lota dondc mucha gcnte trata de empujar una pelota muy grandc-. La gente empuja en direcciones diferentes, y la pelota se mueve por el campo con una trayectoria irregular. Asi, de! mismo modo, la ··pelota grande ·· se movcr<i por las desigualdades de las colisiones de un lado para el otro, de un mstante al s1guiente. Por eso. si mi ramos particulas muy pequei'ias (coloidcs) en agua a travCs de un microscopio exce\ente. vemos I 12 una agitaciOn perpetua de !as particu!as que es el resultado de! bombardeo de los atomos. Esto se llama movimiento browniano. Podemos ver otra evidencia mils de la existencia de \os ittomos en la estructura de los cristales. En muchos casos las estructuras deducidas por anitlisis de rayos X estitn de acuerdo en sus "formas" espaciales con la forma que realmente presentan los cristales ta! como se encuentran en la naturaleza. Los itngulos entre las diferentes "caras" de un crista! concuerdan, a menos de segundos de arco, con los itngulos deducidos suponiendo que un Cristal estil formado por muchas "capas" de iltomos. Toda estti formado por i:itomm. Esta es !a hipOtesis dave. La hip6tesis mils im· portante de toda la bio!ogia, por cjemplo, es que todo lo que hacen los animates, lo hacen los citomos. En otras palabras, no hay nada que hogan los seres viFiemes que no pueda ser entendido desde el puma de vista de que estdn hechos de citomos que actUan segUn las !eyes de la fisica. Esto no se conocia desde un comienzo: fue necesaria alguna experimentacibn y teorizaci6n para sugerir esta hip6tesis, pero ahora es aceptada, y es !a teoria mils l1til para producir nuevas ideas en e! campo de la biologia. un trozo de sal, que consis!en de iltomos uno junta al Si un trozo de puede tener interesantes: si cl agua ·--que no cs sino estas pede lo mismo sabre la tierra- puede formar gotitas, y torrente y figuras extraiias cuando corrc sabre cede una corricnte de agua, pucde ser nada mils que es posible? Si en lugar de arreglar los iltomos en que ~c repita una y otra vcz. siempre de nuevo, o incluso grupos complejos tal como en el olor de las violetas, hacemos es siempre diferellte de !ugar a !ugar, con diferentes tipos de maneras que cambian continuamentc, no repitii:ndo mm"•llornmec>k es posible quc este objcto se comportc? .:,Es posicle un !ado a otro frente a ustedes habliindoles, arreglo muy complejo, de modo quc su acerca de lo quc puedc hacer'? Cuan no 4ueremos decir que somos meraporque un montOn de ittomos que no sc repiten de! tener las posibilidades que ven frente a ustedes en el I 13 2 Fisica btisica 2" I IntroducciOn 2-3 Fisica cuffntica 2-2 La fisica antes de 1920 2-4 NUcleos y particulas 2- i lntroducciOn En este capitulo cxaminaremos !as Ideas mils fundamentaies que tenemos sobre la fisica -la naturaleza de las cosas como lao. vemos en el p1esentc -. No discutirc mos la historia de c6mo sabemos que todas estas ideas son vcrdaderas; ustedes aprendcritn cstos detailes a su debido tiempo Las cosas de las' cuales nos prcocupamos en ciencra se de formas y con una multitud de atrlbutos. Por ejcmplo, si playa y observamos el mar. vcmos agua, el romper de las miento chapoteantc del agua. cl sonido, cl aire, los \'ientos cielo azul y luz; hay alli arena y rocas de diferente dureza y y 1cx tura. Hay animales' y algas, hambre y enfermedad, y el observador en play a: puede haber aun fclicidad y pensamicntos. Cualqmer otro lugar en la naturaleza tienc una variedad similar de e influencias. Siemprc ~era tan complicado como aquello, cualquiera que sea La curiosidad exige que formulemos preguntas. que intentemos enlazar las y tratemos de entender c~ta multitud de a~pcctos ta! como resultan quinls de accic"m de un nUmero relativamentc pequeiio de cosas elementa!es y fuerzas que en una variedad infinita de combinaciones. Por cjcmplo: ;,Es la arena difcrente a las rocas'! Es la arena qu1zas nada mils que un gran nl1mero de piedras muy dimmutas"? la !una una gran roca? Si entcndiCramos. las rocas, 1,entenderiamos tamb1Cn la arena el viento un chapoteo del aire anillogo al movimiento chapotcante mar? ;,QuC caracteristicas comunes tienen lo<; diferentes mUn a las diferentes clases de somdo'! ;,Cu<intos colores a~i en tantas otras cosas. De esta manera tratamos de anahzar gradualmente todas las cosas, de enlazar cosas que a primera vista parecen d1ferentes. con la espcranza de poder reducir e! nUmero de cosas diferentes y de csta manera comprendcrlas me1or. Hace algunos cientos de aftos, se estab!eciO un mCtodo para encontrar parciales a estas interrogantes. Obsen>aci611, razonamiemo y ""''''"""""'66" tituyen lo que llamamos el mlirodo cienriffro. Tendremos que descripciOn de nuestro punto de vista bilsico de lo que a veces se damenta/, o ideas fundamentales que han surgido de la aplicaciOn tifico. ,:.Que queremos dec!r por ··comprender" algo? Podcmos imaginar que cste con junta comp!icado de cosas en movimiento, que constituyen ··e] mundo ". es algo como un enorme juego de ajedrez jugado por dioses y nosotros somos observadores del juego. No conocemos las reglas de[ juego; la Unico que nos e~ta permitido es observar el juego. Por cierto, si observamos un tiempo suficiente, podcmos even· tualmentc darnos cuenta de alguna de [as reglas. Son las reg/as def juego lo que entendemos por fisica fundamental. Sin embargo, aun si entendieramos todas las reglas, podriamos no estar en condicioncs de comprender por que sc hace un movimiento particular en el juego, meramente porque es demasiado complicado y nues· tras mentes son ]imitadas. Si ustedes juegan ajedrez, deberftn saber que es fad! aprender todas las reglas, y aun asi es a veces muy dificil scleccionar la mejor juga da o comprender por que un jugador mueve de una manera determinada. Asi es en la naturateza, s6lo que en mayor grado: pero en Ultima instancia podriamos en contrar todas las reglas. En realidad, no tenemos ahora todas las reglas. (Alguna vez en algim momenta puede suceder algo como el enroque que todavia no comprendemos.) Aparte de no conocer todas las reglas, lo que podemos cxplicar realmente a base de aquella~ reglas es muy limitado. porque casi todas las situaciones son tan enormemente complit:adas que no podemos seguir las jugadas usando las reglas, mucho menos dccir quC suceder<'i. a continuaciOn. Debemos, por !o tanto. limitarnos al problema mils hitsico de las reglas dcl juego; Si conocemos las reglas, consideramos que "comprendemos'" el mundo. ~COmo podemos decir si las rcglas que "adivinamos"' son realmcnte correctas, si no podemos ana!izar el juego muy bien? Existen, hablando a grandcs rasgos, tres maneras. Primero, pueden cxistir situaciones donde la naturaleza ~e las ha arreglado. o nosotros arreglamos la naturalcza, para ser simple y tener tan pocas partes que podamos predecir exactamente !o que va a sucedcr. y de esta manera comprobar c6mo funcionan nuestras reglas. (En una esquina del tablero puede haber solamente unas pocas piezas de ajedrez en juego y eso lo podemos descifrar exactamcnte.) Una segunda manera Util para comprobar reglas es en tfrminos de reglas menos especificas derivadas de. aqud!as. Por ejemp!o, la regla del movimiento de un alfi! sabre un tablero de ajedrcz es qu,c sc mueve solamcnte en diagonal. Se puede deducir, sin importar cu<'i.ntos movimientos sc hayan realilado, que un cicrto alfil estaril siempre sobre un cuadro blanco. Asi, sin estar en condiciones de seguir los detalles, podemos comprobar siempre nucstra idea acerca de! movimicnto del alfil, averiguando si est:i siemprc sobre un cuadro blanco. Por supuesto que cstaril alli por largo tiempo, hasta que de sUbito encontramos que estit sobre un cuadro negro. (Lo que sucedi6, por supuesto, cs queen el interin fue capturado, otro pe6n atravcsO para ser coronado y se transform6 en un alfi! sobre un cuadro negro.) Asi son las cosas en fisica. Por mucho tiempo tendremos una regla que funciona excelentemente en forma global, incluso cuando no podemos captar Jos deta!!es, y luego en algUn momenta podemos .descubrir unu nueva regla. Desde e! punto de vista de la fisica b<'i.sica, !os fenOmenos mas interesantes se encuentran, por supucsto, en !as partes nuevas. las partes donde !as reglas no funcionan -ino las partes donde reulmente funcionan!·-. Es de esta manera como desc1,1brimos rcglas nucvas. La tercera manera de dedr si nuestras ideas son correctas es relativamentc tosca, pero probablemente la mils poderosa de todas. Esto es, en forma uproximada. Aunque no seamos capaces de decir por quC Alekhine mueve esa pieza particular, quiz3.s podamos entender de algUn modo que estii. juntando sus piezas alrededor <lei rey para protegerlo, mils o menos, ya que es lo scnsato hacer en estas circunstancias. De h 2-2 misma manera podemos a menudo seamos capaces de ver que hacc prensi6n de! jucgo. 2-2 la naturalcza, m3.s o menos, si11 quc pieza en tCrminos de nue,.tra com La fisica antes de 1920 23 eran de dos variedades: primero un ti po enormemente complicado y detail ado de fuerza de interacci6n que mantiene los diversos ;homos en diferentes combinaciones de una manera complicada, que determinaba si la sal se disolvia mils rilpidamente o mis lentamente cuando aumentamos la temperatura. La otra fuerza que se conocia era una interacci6n de largo alcance ~una atracci6n suave y tranquila~ que variaba inversamente con el cuadrado de la distancia y que se llam6 gravitaciOn. Esta ley se conocia y era muy simple. Por quC las cosas se mantienen en movimiento cuando se estitn moviendo o par qui ex:iste una ley de gravitaci6n, era desconocido, por supuesto. Una descripci6n de la naturaleza es lo que nos interesa aqui. Desde este punto de vista, entonces, un gas y por cierto toda la materia, es una miriada de particulas en movimiento. De esta manern., muchas de las cosas que hemos visto mientras permaneciamos de pie a la orilla del mar pueden ser relacionadas inmediatamente. Primero la presi6n: Csta proviene de los choques de los :i.tomos con las pared es, o lo que sea; el desplazamiento de los 8.tomos, si en general se mueven todos en una direcci6n, es e! viento; los movimientos internos al azar son el calor. Existen ondas de exceso de densidad, donde se han juntado demasiadas particulas, y asi, a medida que se descomprimen, provocan mils alli apilamientos de particulas y asi sucesivamente. Esta onda de exceso de densidad es el sonido. Es un logro tremcndo ser capaz de entender tanto. A!gunas de estas cosas fueron descritas en el capitulo anterior. lQut'.: clase de particu\as existen? En aquel tiempo se consideraban que existian 92: a la larga se encontraron 92 clases diferentes de ii.tomos. Tenian nombres diferentes asociados con sus propiedades quimicas. La parte siguicnte de\ problema era, ,!qui son lasfuerzas de corto a/cance? lPor que el carbono atrae un ox:igeno, o quiz8.s dos oxigenos, pero no tres oxigenos? lCuitl es el mecanismo de interacci6n entre los il.tomos? lSera la gravitaci6n? La respuesta es no. La gravedad es demasiado debil. Pero imaginemos una fuerza anil.loga a la gravedad, que varia inversamente con el cuadrado de la distancia, pero enormemente mis poderosa y que tiene una diferencia. En la gravedad, todo atrac a todo, pero ahora imaginemos que existen dos clases de "cosas", y que esta nueva fuerza (que es, supuesto, ia fuerza dt!ctrica) tiene la propiedad que los iguales se repelen y desiguales se atraen. La ''cosa" que lleva esta interacci6n fuerte se llama carga. Entonces, (.quC es lo que tenemos? Sup6ngase que tenemos dos desiguales que se atraen entre si, uno positivo y uno negativo, y que quedan unidos a una distancia muy corta. Sup6ngase que tenemos otra carga a cierta distancia. lSentir8. ella alguna atracci6n? Pnicticamente no sentini ninguna, porque si las dos primeras son iguales en magnitud, la atracci6n de una y la repulsi6n de la otra se compensan. Por lo tanto, hay muy poca fuerza a cualquier distancia apreciable. Por otra parte, si nos acercamos mucho con la carga extra, surge atracciOn, porque la repulsi6n de las iguales y la atracci6n de las desiguales tenderi a acercar las desiguales y a separar !as igua!cs. Entonces la repulsi6n sera menor que la atracci6n. Esta es la raz6n de que !os 8.tomos que est.in constituidos por cargas e\ectricas positivas y negativas sienten una fuerza muy debil cuando est8.n separados por una distancia apreciable (apartc de !a gravedad). Cuando se acercan mucho, cada una puede "mirar e! interior" de la otra y reordenar sus cargas, con el resultado de que tienen una interacci6n muy fuerte. La base Ultima de la interacci6n entre los 8.tomos es etectrica. Ya que esta fuerza es tan enorme, todos los positivos y todos los negativos se juntanin normalmente en una 2-4 combinaci6n tan intima coma sea posible. Todas las cosas, aun nosotros mismos, estim hechas de partes positivas y negativas finamente granuladas que interactUan de manera enormemente fuerte, todas perfectamente compensadas. A veces por accidente, podemos quitar por frotamiento unos pocos negativos o unos pocos positivos (corrientemente es mils filcil quitar los negativos) y en esas circunstancias encontramos la fuerza e!ectrica no compensada y entonces podemos ver los efectos de estas atracciones clCctricas. Para dar una idea de culinto mils fuerte es la electricidad que !a gravitaci6n, considfrese dos granos de arena, de un miHmetro de diilmetro, separados trCinta metros. Si la fuerza entre ellos no estuviera compensada, si todo atrae a todo, en vez de repelerse los iguales, de modo que no haya cancelaci6n, lCuilnta fuerza habril? 1Habril una fuerza de tres mil/ones de toneladas entre ambos! Ven que hay muy, pero muy poco exceso o dt!ficit en el nUmero de cargas negativas o positivas necesarias para producir efectos electricos apreciables. Esta es, ciertamente, la raz6n por que ustedes no pueden ver la diferencia entre una cosa cargada electricamente o sin carga -tan pocas particulas entran en juego que es dificil que produzcan una diferencia en el peso o en el tamailo de un objeto. Con esta imagen los fttomos eran mas f0.ciles de comprender. Se imaginaba que tienen un "nlldeo" en el centro, que est<i. cargado electropositivamente y es muy pesado, y el nllcleo esta rodeado por cieno nllmero de "electrones", que son muy livianos y estim cargados negativamente. Ahora avanzamos un poco mils en nuestra historia para hacer notar que en el nUcleo mismo se encontraron dos clases de particulas, protones y neutrones, casi de! mismo peso y muy pesados. Los protones est2n cargados e!ectricamente y los neutrones son neutros. Si tenemos un litomo con seis protones en el interior de su nU.cleo y este estil. rodeado por seis electrones Oas particulas negativas en el mundo ordinario de la materia son todos electrones, y es" tos son muy Jivianos comparados con los protones y neutrones que constituyen los nti:cleos), este seria el nti:mero at6mico seis en la tabla de Ja quimica, y se llama carbono. El nUmero at6mico ocho se llama oxigeno, etc., porque las propiedades quimicas dependen de los electrones exlernos y, en realidad, s61o de cwintos electrones hay. Asi las propiedades qufmicas de una sustancia dependen s6lo de un mimero, el nUmero de electrones. (La lista completa de elementos de los quimicos podria haberse realmente denominado I, 2, 3, 4, 5, etc. En vez de decir "carbono" podriamos decir "elemento seis", significando esto seis e!ectrones; pero, por supuesto, cuando !os elementos fueron descubiertos, no se sabia que pudieran ser numerados de esta manera, y en segundo lugar haria aparecer todo mils bien compticado. Es mejor tener nombres y simbolos para estas cosas, mas bien que lndicar todo por un nUmero.) Se descubri6 alin mlis acerca de las fuerzas el&:tricas. La interpretaciOn natural de la interacdOn electrica es que dos objetos simplemente se atraen: positivo contra :negativo. Sin embargo, se descubri6 que esto era una idea inadecuada para representarla. La representaciOn mils adecuada de la situaci6n es afirmar que la existencia de la carga positiva en cierto sentido distorsiona o crea una "condiciOn" en el espacio, ta!, que si introducimos una carga negativa, e\Ja siente una fuerza. Esta potencialidad para producir una ruerza se llama campo eMctrico. Cuando colocamos un electr6n en un campo e'ec · o decimos que "tira de ff'. Tenemos entonccs dos n campc_) y (b) las cargas en campos experimentan reglas: (a} las cargas produc fuerzas y se mueven. La r . para esto se aclararli cuando discutamos el siguiente ente un cuerpo, fen6meno: si cargamos elec 2-5 digamos un peine, y despues co!ocamos un trozo de papel cargado a cierta distancia y movemos cl peine de atr:ls para adclante, el papel respondera apuntando siempre had a e1 peine. Si lo agitamos mas ritpida_mente sc descubrira que el papel se queda un poco mis atrils, hay un retardo en la acci6n. (En la primcra etapa, cuando movemos el peine mas bien lentamente, encontramos una complicaci6n que es el magnetismo. Las inlluencias magn6ticas tienen quc ver con cargas en morimiento relativo, por lo que las fuerzas magneticas y e16ctricas pueden ser realmente atribuidas a un campo, como dos aspcctos difercntes- de cxactamente una misma cosa. Un campo el6ctrico variable no puede existir sin magnetismo.) Si retiramos mils el papel cargado, el retraso es mayor. Entonces se obscrva algo interesante. A pesar de que !as fuerzas entre dos objetos cargados deberian variar inversamente con el cuadrado de la distancia, se encuentra que cuando agitamos la carga la in!luencia se extiende mucho mcis allci de !o que podriamos suponer a primera vista. Esto es, el efecto decrece mucho mils !entame11te que !a invcrsa del cuadrado. si estamos en una piscina y hay muy cerca un corcho ··directamente" cmpujando el agua con otro corcho. ambos corchos, todo lo que verim es quc uno se mueve inm"di<n"""nn en respuesta al movimiento del otro --existe algUn tipo de "interentre ellos--. Por cierto, lo quc realmente hacemos es perturbar e! agua; el agua perturba cntoncc~ cl otro corcho. Podriamos establecer entonces una. "\ey" si ustcd empuja un poco el agua, un objeto prOximo en el agua se moverit. Si estuviera m:is alejado, por supucsto, el segundo corcho apenas se moveria, porque movemos localmente el agua. Por otra parte, si agitamos el corcho, un nuevo fen6meno estar:i implicado, en el cual el movimiento de! agua mueve el agua alli. etc. y se propagan ondas; asi que por agitaci6n hay una influencia de muclw mayor alcance; una influencia oscilatoria. ljUC no puede ser comprendida a partir de la interacci6n directa. Por lo tanto, la idea de interacci6n dirccta debc reemplazarsc por la existenc:ia de! agua, o en el caso e!Cctrico, por lo que llamamos el campo electromagnetico. electromagnetico puedc transportar ondas; algunas de estas ondas se en radiodifusi6n, pero el nombre genera! es ondas electrooscilatorias puedcn tcncr varias frecuencias. Lo tinico que una a otra onda es la frecuencia de oscilaci6n. Si sacudipara allit mils y mils rilpidamcntc v observamos los efectos, ima serie de diferentes tipos de efectos, -que estitn unificados por .;.e un solo nUmero, el nUmero de oscilaciones por segundo. La comUn que obtenemos de las corrientes el6ctricas de los circuitos en de un edificio tiene una frecuencia de alrededor de cien ciclos por seaumcntamos la frecucncia a 500 o 1000 kilociclos (un kilociclo = 1000 por s-:gundo, estamos "en el aire", ya que 6ste es el intervalo de frecuencias que se usa para radiodifusiOn. (; Por supuesto, ello no tlene nada que ver con el aire! Podemos tener radiodifusilm sin aire alguno.) Si aumentamos nuevamente la frecuencia, llcgamos al intervalo quc es usado para FM y TV. Yendo aUn mas all&, usamos radar. Aim m<'is altas, ya no necesitamos un cicnas ondas cortas, por cjcmplo vcr!a con cl ojo humano. En el intervalo :nstrumento paia "ver'" la cosa. de frecuencias de 5 x 10 14 a 5 ciclos por segundo nuestros ojos verian la oscilaci6n dd peine cargado, si lo pudieramos sacudir asi de rilpidamente, como lm rnja, azul o violeta, dependiendo de la frecuencia. Las frecuencias T<ribla 2-1 El espectro eleetromagni:tieo Frecuencia en oscilaciones/ seg. 10i 5 x 105 - 106 10s 10io 5 x 10 14 - J0 1 ~ 10 18 JQ2! JOH 1027 Nombre Comportamiento aproximado Perturbaci6n electrica Campo RadiodifmiOn FM -TV Radar Luz Ondas Rayos X Rayos r nucleares Rayos y artificiales R.ayo_s ~ en rayos Particula IX»' debajo de este intervalo se llaman infrarrojo y IX»' encima. ultraviole~a. El hecho de que podamos ver dentro de un intervalo particular de frecuencias no hace mas impresionante esa parte de! espcctro electromagnetico que las otras desde e! punto de \is ta fisico, pero desde el punto de vista humano, por supuesto, es mits intere~ante. Si subimos aUn mils la frecuencia, obtenemos rayos X. Los rayos X nu son otra cosa que luz de muy a!ta frecuencia. Si sub1mos todavia mits, obtenemos rayos gamma. Estos dos tfrminos, rayos X y rayos gamma, se usan casi en forma sinonima. ComUnmente los rayos electromagnCticos provenientes de los nllcleos se \laman rayos gamma, mientras que los de alta energia de !os 8.tomos se Haman rayos X, a la misma frecuencia son fisicamente indistinguibles, cualqu1era que sea que a frecuencias todavia miis altas. digamos JOH c1clos por podemos producir esas ondas artificialmente, por ejemplo el Caltech. Podemos encontrar ondas electromagni:ticas con encontradas mente altas -{:On oscilaciones aUn mil veces mis r3.pidas- en en los rayos c6smicos. Estas ondas no pueden ser controladas por nosotros. 2-3 Fisica eu3ntica Una vez de5crita la idea del campo electromagnetico y que este campo puede transportar ondas, pronlO nos damos cuenta que estas ondas se comportan real mente de una manera extraiia, que tienen una apariencia muy poco ondulatoria. jA frecuencias mas elevadas se comportan mucho mas come particulas.' Es la me ctinica cueintica descubierta poco despues de 1920 que explica este comportamiento extraiio. En los aii:os anteriores a 1920 la imagen de! espacio como un e~pacio tri dimensionaJ, y de! tiempo como una cosa separada, fue cambiada por Einstein, primero en una combinaci6n que llamamos cspacio·tiempo, y despues aUn mas en un espacio-tiempo cun>o, para representar ta grav1tad6ri. Asi, el "e~cenario" se cambia a espacio-tiempo y la gravitaci6n es presumiblemente un& modificaci6n del las reglas. para los movimientos espacio-tiempo. Entonces se encontr6 tambiCn de particulas eran incorrectas. Las reglas 1.-7 de "inercia" y "fuerzas ., estim equivocadas -las leyes de Newton estim equivocadas- en el mundo de los ii.tomos. En cambio, se descubri6 que las cosas a escala pequeiia nose comportan en absoluto como las cosa.:; a escala grande. Esto es Jo que hace dificil la fisica-y muy interesante-. Es dificil porque la manera como se comportan las cosas a escala pequeiia es tan '·innatural "; no tcnemos experiencia directa de eso. Aqui las cosas se comportan de un modo distinto a todo lo que conocemos; asi que es imposible describir cste comportamiento de ninguna otra manera que no sea !a analitica. Esto es dificil y requiere mucha imaginaci6n. La mec.inica cu.intica tiene muchos aspectos. En primer lugar, la idea de que una particula tiene una ubicaci6n definida y una velocidad definida ya no se acepta m.is; esto es err6neo. Para dar un ejemplo de lo errada que est.ii. la fisica cl<l.sica, existe una regla en la mec.inica cu.intica que dice que no se puede saber simult.ineamente d6nde cstil. algU.n objeto y a quC velocidad se mueve. La indeterminaci6n del momentum y la indeterminaci6n de la posici6n son complementarias y el producto de ambas es constante. Podemos escribir la !ey asi: dx tip :;::: h/27T, pcro la explicaremos con mas dctalles mils adelante. Esta regla es la explicaci6n de una paradoja muy misteriosa: si los atomos estil.n hechos de cargas positivas y negativas, lPOr que !as cargas negativas no se ubican simplemente sobre las cargas positivas (se atraen entre si) y se acercan tanto como para anularse completamente? ;,Por qui son Jan grandes los citomos? i,Por que estil. el nUcleo en el centro con los electroncs a su alredcdor? Se pensO en un comienzo que esto era porque el nU.cleo era tan grande: pero no, el nUcleo es muy pequeiio. Un ittomo tiene un diimetro de alrededor de 1o·B cm. El nUcleo tiene un difunetro de alrededor de 10-n cm. Si tuvif:ramos un ittomo y deseii.ramos ver el nU.cleo, tendriamos que aumentar!o hasta que todo el 3tomo fuera dcl tamaflo de una pieza grande y cntonces cl nUcleo no seria mas que un granito, que apenas se podria distinguir con el ojo, pero casi Jodo el peso del ittomo csta en csc nUcleo infinitesimal ;,Que impide a los e!ectrones caer simplemente sabre d? Este principio: si estuvieran en cl nUcleo, conoccrlamos exactamente su posici6n y cl principio de incertidumbre requeriria entonces que ellos tuvieran un momenlum grande (pero incierto), es decir, una energia cinetica muy se escaparian <lei nUclco. Asi !lcgan a un ;;icuerdo: se dcjan grande. incertidumbre y entonces ~e agitan con un cicrto mocon c~ta regla. {RecuCrdese que cuando se enfria un que los inomos no se detienen, todavia se agitan. dOnde sc cncuentran y que tienen movimiento de incertldumbre. No podcmos saber d6nde tanto Jcben estar meneandosc continuamente Otro cambio de! mayor intcrCs en las ideas y la filosotia de las ciencia~ introducido por la mecti.nica cuil.ntica es Cste: no es posible predecir exactamente qu~ sucedera en cualquier circunstancia. Por ejcrnplo. es posible disponer un :itomo de manera quc este a pun to de emitir luz y podemos medir cuando ha emitido luz. recogiendo una particu!a fotimica, que <lcscribiremo~ pronto. Sin embargo, no podemos predecir cutindo emitir:i la luz o. con varios ittomos. cuil.l cs.cl que lo hari1. Ustedes podrian decir que csto es porque hay algunos "engranajes ·· internos que no hcmos mirado suficientemente de ccrca. No, no exisren engranajcs internos: la naturaleza como la entendemos hoy se comporta de una manera tal, que esfu11damen1almen1e imposible hacer una predicci6n precisa de lo que va a suceder exaciamente en un experimento dado. Esto es unacosa horrible; en efecto, los fil6sofos habian die ho antes que uno de los requisitos fundamentales de la ciencia es que siempre que se ponen las mismas condicione,<, debe suceder lo mismo. Esto s1mplemente no es cierto, no es una condici6n fundamental de la ciencia. El hecho es que no sucede la misma cosa. quc podcrnos cnrnntrar s6lo un prornedio, estadisticamente, de lo que sucede. A p6ar de todo, la ciencia no se ha derrumbado cornpletamente. A prop6sito, los fil6sofos dicen mucho acerca de lo que es absolutamente necesario para la ciencia. y el!o resulta siempre, hasta donde uno puede ver. mis bien ingenuo y probablemente equivocado. Por ejemplo, alglln que otro fil6sofo decia que es fundamental para el lo gro cicntifico que si un experimento se rea\iza, digamos en Estocolmo, y luego el mismo experimento se realiza, digamos en Quito, deben encontrarse los mismm resultados. Esto es totalmente falso. No es necesario que la ciencia haga eso; puede ~er una rea/idad de la experiencia, pero no es necesario. Por ejemplo. si uno de !os experimentos consiste en observar el cielo y ver las auroras boreales en Esto" colmo, usted no las ver3 en Quito: aqueJ es un fen6meno diferente. "Pero. --dir.itn U<;tedes-, e<;tO cs a!go yuc tiene que ver con el exterior: (·,puede usted encerrarse en una caja en Estoco!mo, bajar las cortinas y obtencr alguna diferencia'?'- Por supuesto. Si tomamos un pendulo con una suspensiOn universal, lo desplazamos y lo soltamos, entonces el pCndulo oscilani. casi en un plano. pero no tota!mente. Lentamente el plano ir3 cambiando en Estocolmo, pero no en Quito. Las ce!os!as tambien est<ln bajas. El hecho que esto ocurra no trae consigo la destrucciOn de la ciencia. (.Cuill es la hip6tesis fundamental de la ciencia, !a filosofia fundamental? La establecimos en el primer capitulo: la Unica prueba de la \'afide:: de cua!quier idea es el experimento. Si sucede que la mayoria de !os experimentos se verifican lo misrnCl en Quito quc en Estocolmo. entonccs esta "mayoria de cxpcrimentos" se usar.it para formular alguna ley generaL y de aquel!o<; experimentos que no resulten lo mismo diremos que fueron el resultado de! medio en Estoco!mo. lnventaremos alguna manera de resumir los rnsultados de! expcrimento y no necesitamos que se nos diga con antici" paci6n que aspecto tendni esta manera. Si se nos dice que el m!smo expenmento estil. todo muy bien: pero, si cuando lo va a dar siempre el mismo resultado. ensayamos, no lo da. entonces no !o da. simplemente aceptar lo que vemos en tCrmmos de nuestra experien y entonce~ formular todo cl resto de nuestra~ cia real. Volviendo nuevamente a la mecii.nica cu<intica y la fisica fundamental. no pode~ mos entrar en dctal!c~ de los principios cuil.nticos en este memento, por ~upuesto. porque estos son bastante dific1les de comprender. Supondremos que existen y continuaremos describiendo cuil.les son algunas de ias consecuencias. Una de las con· secuencia~ e~ que cosas que consider3bamos como ondas, tambien se comportan como particulas y las particulas se comportan como ondas; en efecto, todo se comporta de la misma manern. No existe distincion entre ondas y particulas. Asi la mec<inica cuitntica unifica la idea de campo y sus onoas y la de particulas, todo en una. Ahora bien, cs cierto que si la frecucncia es baja, el aspecto de campo de! fenOmeno es mils evidente, o mils Util como una descripd6n miis aproximada en tCr· minos de la experiencia diaria. Pero a medida que la frecuencia aumenta, !m aspectos corpusculares del fenOmeno se hacen mas evidentes con el equipo con el que hacemos corrienternentc las mediciones. En efecto, a pe5ar de que hemos mencionado muchas frecuencias, no se ha detectado aUn ningUn fcnOmeno en el que inter· venga directamente una frecuencia por sobre aproximadamente 10 11 ciclos por segundo. Solamente deducimos las frecuencias m3s aJtas a partir de la energla de las particulas, por medio de una regla que supone que la idea corpUsculo-onda de la meciinica cuimtica es vii.Iida. Asi tenemos un nuevo punto de vista de la interacci6n electromagnf:tica. Tcne~ mos que agregar un nuevo tipo de particula al electr6n, al prolOn y al neutrOn. La nueva particula se llama fo£6n. El nuevo punto de vista de la interaccilm de electrones y protones, que es la teoria electromagnf:tica, pero con todo cuitnticamentc correcto, se llama electrodintimica cutintica. Esta teoria fundamental de !a interacci6n de luz y materia, o campo elf:ctrico y cargas, es nuestro mayor f:xito hasta ahora en' fisica. En esta sola teoria tenemos todas las reglas bitsicas para todos los fen6menos ordinarios, exccpto para !a gravitaci6n y los procesos nucleares. Por ejemplo, de la electrodinitmica cuitntica salcn todas las !eyes clf:ctricas, mc<.:itnicas y quimicas conocidas: las !eyes para la colisi6n de bolas de bi liar, el movimiento de alambres en campos magnf:ticos, el calor especlfico del mon6xido de carbono, el color de los !etreros de neOn, la densidad de la sal y las reacciones de hidr6geno y oxigeno para producir agua, son todas consecuencias de esta sola ley. Todos estos detalles se pueden elahorar si la situaci6n es lo suficientemente simple para que nos otros hagamos una aproximacic·m, lo que no sucede casi nunca, pero a menudo podemos comprender mas o menos lo que estit sucediendo. En el presente, no se han encontrado excepciones a las leyes de la elcctrodinlimica cuimtica fuera dcl nllcleo y no sabemos si hay una excepcilm ahi, porque simp!emente no sabemos quf: sucede en el nUcleo. En principio, entonces, la electrodinil.mica cuilntica es !a teoria de toda la quimica y de la vida, si la vida se reduce en llltima lnstancia a la quimica y por lo tanto precisamente a !a fisica, porque la quimica estit ya reducida (siendo ya cono cida la parte de la fisica que estit comprendida en la qulmica). Mils alln, la misma electrodinitmica cuilntica, esta cosa grandiosa, predicc muchas cosas nuevas. En primer lugar dn las propiedades de fotones de muy alta energia, rayos gamma, etc. Predijo otra cosa muy notable: adem3s del electrOn, deberia haber otra particula de la misma masa, pero de carga opuesta, llamada positrOn, y esas dos, al encontrarse, pueden aniquilarse entre si, con la emisi6n de luz o rayos gamma. (DcspuCs de todo, luz y rayos gamma son lo mismo, son s6!o puntos diferentes sabre una escala de frccucncias.) La genera!izaciOn de esto. que para cada particula existe una los elec!rones, la antiparticu!a ticnc antiparticula, resulta ser cicrta. En el otro nombrc -sc llama positr6n, pero para mayoria de las otras particulas se llama anti-tal-o-cual, como antiprotOn o antineutr6n. En electrodinitmica cuiintica se introduccn dos nUmeros y se suponc quc de alli sale la mayorta de !os otros nllme ros en el universo. Los dos nUmeros que se introducen sc llaman la masa de] electr(m y la carga del electrOn. En realidaJ, csto no es totalmente cierto, porque tenemos un conjunto completo de nUmeros para la quimica, que indican cuitl es el peso de los nUcleos. Esto nos conduce a !a part.c siguiente. 2-~ NUcleo$ y tparticu1a~ Sc cncucntra quc los Cstas se libcran. 2-JO la energia liberada es tremenda comparada con la energia quimica, en la misma relacilm que la cxplosi6n de la bomba at6mica con una explosiOn de TNT porque, por supuesto, la bomba atOmica tiene que ver con cambios en el interior dcl nllcleo, mientras quc la explosi6n de TNT tiene que ver con cambios de los electrones en el exterior de los ittomos. La pregunta es: t,cuit!es son las fuerzas que mantienen unido~ los protones y neutrones en el nllcleo? Tai como la interacciOn e1ectrica puede ser relacionada con una particula. un fotOn, Yukawa sugiriO que las fuerLas entre neutrones y protones tambien poseen un campo de alguna clase, y quc cuando sc agita. se comporta como una particula. Asi podria haber algunas este en el univcrso adern3.s de protones y neutrones y el pudo deducir estas particulas a partir de las caracteristicas ya conocida~ de Por CJemplo, Cl predijo que deberian tener 1 na masa dos o la de un electrOn; ;y he ahi. en los rayos cOsmicos se descubriO la 1"?-asa correcta~ Pero mas tarde resultO ser la particula equivo- 2-ll Tabla 2-2. Particulas elementales Masa cnMcV '·' _, Carga r.=t_._w-: '!/::/}~!!:: Agrupamiento y extrai1eza 0 ii< ,f ,,!;- ,,!;- Y.~A"•TT- --mi-s-- ~ -,Ii- ~ * 9~S -,!, .l!l:.!l'"!..'!'.:t!!: ,p;!rt.'!!'. {!~J!i!!. ~ ~ R'f:.1!£E ~ S•Oj S•O Sn~ ~ g " ~ ,ifs * ,. = + ~ Ji " hemos co!ocado las particulas con la misma carga eltttrica, todos los objetos neutros en una columna, todos los cargados positivamcnte, a la derecha de Csta, y todos los objetos cargados ncgativamente a la izquierda. Las particulas se indican con una !inea continua y las "resonancias" con una atrazos. Varias part!culas se han omit.ido en la tabla. Estas incluyen las importantes particulas de ma~a cer? y carga cero, el fot6n y el gravit6n, que no caen en el esquema de clas1ficacion de bariones-mesones-leptones y tambiCn algunas de las resonandas mils nuevas (K*, rp, 11). Las antiparticulas de los mesones estitn indicadas en la tabla, pero las antiparticulas de los leptones y bariones deberlan indicarse en otra tabla, que seria exactamente igual a Csta reflejada en la columna cero. A pesar de que todas las particulas, excepto cl electr6n, e! neutrino, el fot6n, e! gravit6n y el prot6n son inestables, los productos de desintcgrad6n sc han indicado sOlo para las resonancias. Asignaciones de extrai1eza no son aplicables para leptones, dado que estos no interactUan fuertemente con los nticleos. Todas las particulas que estim jumo con los neutrunes y protones se Haman bariones, y cxisten las siguientes: hay una "lambda", con una masa de 1154 MeV y otras tres Uamadas sigmas, menos, cero y mas, con diversas masas casi iguales. Hay grupos de multipletes con casi la misma masa dentro de! uno o dos por ciento. Cada pnrticula de un m!.!ltiplete ticnc la misma extraiieza. El primer multiplete es el doblete prot6n-neutr6n y en seguida hay un singlete (la lambda), despues el triplete sigma y finalmente el doblete xi. Muy recientemente, en 1961, se han encontrado algunas particulas mas. Pero, ison realmente particulas? Vivcn un tiempo tan corto, se desintegran casi instant.ineamente tan pronto como se han formado, que no sabcmm si se pucden comiderar como nuevas particulas o cierta espede de interaccl6n de '"resonancia" de una cierta energia definida entre los productos A y n en los cuales ellas se desintegran. Ademits de los bariones, las otras particu!as que intervienen en la interacciOn nuclear se tlaman mesones. Hay primero !os pioncs, que se presentan en tres variedades, positivo, negativo 'y neutro; forman otro multiplete. Hemos encontrado tambien algunas cosas nuevas, llamadas mesones K, y ~e presentan como un doblete, K+ y K°. TambiCn, cada partlcula tiene su antiparticula, sa!vo que una particu!a sea su propia antiparticula. Por ejemplos, el JC y el n+ son antiparticulas, pero el n° es su propia antiparticula. Son antipaniculas el x- y el K 1· y el K y el 'f(o . Adem<'i.s, en J 961 encontramos tambiCn algunos mcsones mii.s, o quizds mcsones quc se desintegran casi inmediatamente. Una cosa Hamada w, que se transforma en tres piones, tiene una masa de 780 en esta escala y algo menos seguro es un objeto que se de~integra en dos piones. Estas particulas, Jlamadas mesones y barioncs, y las anti particulas de los mesones estitn en el mismo cuadro, pero !as antiparticulas de Jos bariones deben colocarsc en otro cuadro, "rellejado" en la columna de carga cero. 0 Del mismo modo que la tabla de Mendeleev era muy buena, excepto por el hecho de que existia un nUmero de elementos, llamados tierras raras, quc quedaban colgando sueltos fuera de ella; aqui tenemos una cantidad de cosas que cuelgan sueltas fuera de esta tabla -particulas que no interactUan fuertemente en los nUcleos, no tienen nada que ver con una interacciOn nuclear y no tienen una interacciim fuer!e (me refiero al poderoso tipo de intcracciOn de energia nuclear). Se Haman lcptones y son los siguientes: cs tit el electr6n 2-13 que tiene una masa- muy pequeiia en esta escala, s6lo 0,510 MeV. Estil despuCs este otro, el mes6n µ, el mu On que tiene una mas a mucho mayor, 206 veces mils pesado que un electr6n. Has ta donde podemos decir, de acuerdo con todos los experimentos hechos hasta ahora, la diferencia entre el electrOn y el muOn no es mils que Ia masa. Toda se verifica exactamente igual para el mu6n que para el electr6n, excepto que uno es mils pesado que el otro. z.Por que exlste otro mils pesado? z.Para quC sirve? No lo sabemos. Ademils ex.iste un lept6n que es neutro, l\amado neut.lino, y esta particula tiene masa cero. En realidad, se sabc ahora que hay dos tipos diferentes de neutrinos, uno re!acionado con Jos electrones y el otro relacionado con los muones. Finalmente, tcnemos otras dos particulas que no interactllan fuertemente con las nucleares: una es el fot6n, y quili'1s, si el campo gravitacional tambiCn tiene un anillogo cu<intico (hasta ahora no se ha elaborado una teoria cuilntica de la gravitaciOn). entonces cxistiria una particula. un gravitim, que tendria masa cero. z.QuC es esta "masa cero"? Las masas dadas aqui son las masas de las particureposo. El hecho de que una particula tcnga masa cero significa, de cierto quc no puedc esfar en reposo. Un fotOn nunca estil en reposo. siemprc sc mueve a 300.000 ki!Ometros por segundo. Entenderemos mils lo que significa masa, comprendamos la teoria de la re!atividad, quc seril introducida a su debido asi frente a un gran nl1mero de particulas que pareccn ser en conjunto fundamentales de la matcria. Afortunadamente estas particulas no son en sus i111eraccio11cs mutuas. En realidad parccc haber pre cisamente cuatro lipos de interacci(m entrc particuias, las cualcs en orden de intensidad decreciente son la fuerza nuclear. !as interaccioncs e!Cctricas, la intcracci6n de desintegraci6n beta y la gravedad. El fot(m estil acoplado a todas las particulas cargadas la intensidad de la interacci6n estil medida por un cierto nUmero, que cs l/ 137 ley detallada de este acop!amicnto se conoce, constituye la electrodinitmica La gravedad c~til acoplada a toda la energia, pero su acoplamienes extremadamente dCbil, mils dtbil que el de !a clectricidad. Esta ley tamconoce. DcspuCs estitn asi llamadas desintegraciones dCbiles --!a desintehacc que un neutr6n se desintcgre en forma relativamente lenta en y neutrino. l::sta sOlo parcialmcnte. La asi llamada intertiene una intensidad I en csta escala y la Tabla 2-3. Intcracciones elementalcs Acoplamiento lntensidad* Ley FotOn a particulas cargadas ~ IO 1 Ley conocida Gravedad a toda energia ~ IO 40 Ley conocida Desintegraciones dfbilcs Mcsonc~ a bariones ~ IO ~ ~ I Ley parcialmente conocida Ley desconocida (algunas rcglas conocidas) " La mtensidad es una medida adimensional de !a constante de acuplamiento que inter v1cne en toda mteracciOn ( ~ significa ., aproximadamen!e '") 2-14 ci;impletamente, a pesar de que hay muchas conocidas, tal numero de hanonc~ no cambia en ninguna la h.orrible condici(m de nuesna fhica actual. Para resumirla< de! nuclco parece quc todo: dentro de CL e~ v:ilida la -no se ha cncontrado 4ue lo~ pnncipios de la mecil.nica cuil.ntica . escenano donde poncmos todo nuestro conocimiento, diriamos el espacio-tiempo relativistico: qui1:is la gra\edad este contenida en el tiempo. No ~abemos cOmo se rnicio el ~niverso y nunca hemOs hecho expenmentos quc c?mpr~eben precisamente nuestras ideas de! espacio y de! ticmpo, mils allit de una d1stancia muy pequeiia, por lo que asi sabemos solamente que nuestras ideas funcionan por cncima de esta distancm. Deberiamos tambiCn agregar que las reglas de! JUCgo son los principios de la mecilnica cuilntica y ews princ1pios se aplican, hasta donde podemos decir, tan to a las particulas nue' as como a las antiguas. El origen de las fuerzas en los nUcleos nos conduce a nueva~ particulas, pero dcsgraciadamente aparecen en gran profusiOn y nos falta una comprensic'm completa de sus mterrelacione~. a pesar Jc que ya sabemos que existen algunas relacioncs muy sorprendentes entre ellas. Parece que cstuviCramos tanteando gradualmente hacia una comprensiOn de! mundo de las particulas subat6micas, pero en realidad no sabemos hasta d6nde deberemos ir todavia en esta faena. 2-15 3 La relaciOn de la fisica con otras ciencias 3-1 lntroducdOn 3-5 Geologfa 3-2 Quimica 3-6 Psicoiogla 3-3 Biologia 3-1 t,COmo se UegO a eso? 3-4 Astronomia 3-' iniroduedOn La fisica mils fundamental y general de las ciencias, y ha tenido un profundo efecto en el desarrollo cientifico. En realidad, la fistca es el equivalente actual de lo que se acostumbra a llamar fikisofia natural, de !a cual provienen la mayoria de nuestras ciendas modernas. Estudiantes de muchas disciplinas se encuentran estudiando fisica a causa del rol bil.sico que esta juega en todos los fen6menos. En este capi!ulo trataremos de explicar cuaJes son los prob!emas fundamcntales en las otras ciencias, pero, por supuesto, es imposible realmente- tratar en un espacio tan reducido las materias complejas, suti!es y hermosas de esos otros campos. La falta de espacio tambien impide que discutamos la relaci6n entre la fisica y !a ingenieria, la industria, la sociedad y la guerra, o aun !a mis notable relaci6n entre la matemittica y la fisica. (La matemtitica no es una ciencia desde nucstro punto de vista, en el sentido que no es una ciencia natural. El experimento no es una prueba de su validez.) Debemos, incidentalmente, dejar en claro desde un comienzo que si una cosa no es una ciencia, no es necesariamente ma!a. Por ejemplo, el amor no cs una ciencia. De manera que, si se dice que algo no es ciencia, no significa que haya algo malo en esto; significa simplemente que no es una ciencia. 3-2 Quimica La cicncia quc es quizil.s la mils profundamente afectada por la fisica es la quimica. Hist6ricamcnte, en su comienzo, la quimica trataba casi enteramente de lo que ahora Uamamo~ quimica inorgitnica, la quimica de las sustancias que no estiln asociadas con !os objetos vivientes. Se necesit6 de un anitlisis considerable para descubrir la existcncia de muchos elementos y sus relaciones -c6mo forman Jos nume rosos compuestos relativamente 3-1 simples que se encuentran en las rocas, la tierra, etc.-. Esta quimica primitiva fue muy importante para la fisica. La interacci6n entre las dos ciencias era muy grande porque la teoria de los ittomos fue comprobada en gran parte con experimen· tos de quimica. La teoria de la quimica, es decir, de las reacciones mis mas, fue resumida ampliamente en la tabla peri6dica de Mendeleev, la cual establece numerosas relaciones extrafias entrc los diversos elementos, y fue la colecci6n de reg!as sobre que sustancia se combina con cuill otra y c6mo, lo que consti· tuy6 la quimica inorgimica. Todas estas reglas fueron Ultimamente exp!icadas en principio por la mecilnica cuitntica, de manera que la quimica teOrica es en reali· dad fisica. Por otro lado, debe ponerse enfasis en que esta explicaci6n es en principio. Ya hemos discutido la diferencia entre saber las reglas del juego de ajedrez y ser capaz de jugar. De manera que podemos conocer las reglas, pero no podemos jugar muy bien. Resulta asi muy dificil predecir precisamente que sucederil en una reacci6n quimica dada; sin embargo, la parte mils profunda de la quimica te6rica debe terminar en la mecilnica cuitntica. Hay tambien una rama de la fisica y la quimica que ambas ciencias desarrollaron conjuntamente y que es extremadamente importante. Este es el metodo estadistico aplicado a una situaci6n en que hay !eyes mecilnicas, que se llama proplamente, meclinica estadistica. En cualquier situaci6n quimica estil implicado un gran nllmero de itomos y hemos visto que los itomos se agitan todos en una forma complicada y casual. Si pudieramos analizar cada colisi6n y fueramos capaces de scguir en detalle el movimiento de cada molCcula, esperariamos poder deducir lo que sucede, pero los muchos nllmeros que se necesitan para seguir la trayectoria de todas esas molOCulas exceden tan enormemente la capacidad de cualquier computador, y ciertamente la capacidad de la mente, que fue necesario desarro\lar un metodo para tratar con tales situaciones complicadas. La mecimica estadistica es entonces la ciencia de los fen6menos de! calor, o la termodin3mica. La quimica inorgilnica es una ciencia, ahora reducida esencialmente a lo que se Haman la fisico-quimica y la quimica cuimtica; la fisico-quimica para estudiar las velocidades con que ocurren !as reacciones y que es lo que esta sucediendo en deta!le (lc6mo chocan las moletulas? lCmiles partes saltan primero?, etc.), y la quimica cuintica para ayudarnos a comprencier lo que sucede en ti:rminos de las !eyes fisicas. La otra rama de la quimica es la quimica orgtinica, la quimica de las sustancias que est3n asociadas con las cosas vivientes. Por un tiempo se crey6 que las sustancias que estiln asociadas con las cosas vivas eran tan maravillosas que no podian ser hechas a mano a partir de materiales inorginicos. Esto no es absolutamente cicr to; son exactamente lo mismo quc las sustancias hechas en quimica inorg<inica. pero comprenden disposiciones mis complicadas de los iltomos. Evidentemente, la quimica orgitnica tiene una relaci6n muy estrecha con la biologia que suministra sus sustancias y con la industria; mils alm, puecie aplicarse mucha fisico-quimica y meciinica cuimtica tanto a los compuestos orgilnicos como a los inorgilnicos. Sin embargo, los principales problemas de la quimica orgimica no estin en esos aspectos, sino mas bien en el an<ilisis y sintesis de !as sustancias que se forman en los sistemas biol6gicos, en las cosas vivas. Esto conduce imperceptiblemente, a pasos, hacia la bioquimica y luego a Ia biologia mis ma, o biologia molecular. 3-2 3-3 Biologia Asi llegamos a la ciencia de la biologia, que es el estudio de las cosas vivas. En los primeros dias de la biologia, los biOlogos tenian que tratar con problemas puramente descriptivos de buscar qui cosas vivas habia, y asi ellos tenian s6lo que contar cosas tales como los pelos de los miembros de las pulgas. Despui:s que estos asuntos fueron resueltos con gran interes, \os bi61ogos se fueron hacia la maquinaria interior de los cuerpos vivas, primero desde un punto de vista global, naturalmente, porque se requiere alglln esfuerzo para entrar en los detalles mils finos. Habia una interesante relaci6n primaria entre la fisica y la biologia en la cual la biologia ayudaba a la fisica en el descubrimiento de la conservaciOn de la energia, lo cual fue primeramente demostrado por Mayer en conexi6n con la cantidad de calor que recibe y cede una criatura viva. Si miramos mils de cerca a los procesos biol6gicos de los animales vivas, vemos muchos fen6menos fisicos: la circulaci6n de la sangre, bombas, presi6n, etc. Hay nervios: sabemos que es lo que pasa cuando nos paramos sobre una piedra puntiaguda, y que de una manera u otra la informaci6n va desde la pierna hacia arriba. Es interesante c6mo sucede. En sus estudios sabre los nervios, los bi61ogos han llegado a la conclusi6n que los nervios son tubos muy finos con una compleja pared, que es muy delgada: a traves de esta pared la ce!ula bombea iones: asi que hay iones positlvos en el exterior y negativos en el interior, como en un capacitor. Ahora bien, esta membrana tiene una propiedad interesante; si se "descarga" en un lugar, es decir, si algunos !ones son capaces de atravesar en alglln lugar de manera que alli se reduce el voltaje eJectrico, dicha influencia electrica se hace sentir sabre los iones vecinos y afecta la membrana de ta! manera, que deja pasar tambien los iones en los puntos vecinos. Esto a su vez la afecta mils allil., etc., y asi hay upa onda de "penetrabilidad" de la mcmbrana que recorre la fibra cuando estil. "excitada" en un extrema al pararse sobre una piedra puntiaguda. Esta onda es algo anil.logo a una !arga secucncia de fichas de domin6 verticales; si se empuja la del extrema, f!sta empuja a la pr6xima, etc. Por cierto, esto transmitirii solamente un mensaje, a no ser que las fichas de domin6 se paren de nuevo; y aniilogamente en una celula nerviosa hay procesos que bombeam lentamente de nuevo los iones hacia afuera para que el nervio quede listo para el pr6ximo impulso. Asi es c6mo sabemos lo que estamos hacienda (o por !o menos d6nde estamos). Por supuesto, los efectos electricos asociados con este impulso nervioso pueden ser captados con instrumentos electricos y, debido a que son efectos electricos, cvidentemente la fisica de los efectos elet:tricos ha tenido mucha influencia en la comprensi6n del fen6meno. El efecto opuesto es que, desde alglln lugar del cerebra, se envia hacia afuera un mensaje a lo largo de un nervio. lQue sucede en el extrema del nervio? Alli el nervio se ramifica en cositas finas, conectadas a una estructura cerca de un mU.sculo, Uamada placa terminal. Por razones que no son exactamente comprendidas, cuando un impulso llega al tCnnino de! nervio, se eyectan pequeiios paquetes (cinco a diez mo!f!culas de una vez) de un compuesto quimico llamado acetilcolina y ellos afectan la fibra muscular y la hacen contraerse ~iCuil.n simple! lQue hace que se contraiga un mllscu!o? Un mUsculo es un nllmero muy grande de fibras muy cerca unas de otras, que contiene dos sustancias diferentes, miosina y 3-3 actomiosina, pero e! mecanismo mediante el cual la reacci6n quimica inducida por la ace· tilcolina puede modificar las dimensiones de la molfcula es alm desconocido. Asl, !os procesos fundamentales en el mU.scu!o que producen los movimientos mednicos no son conocidos. La biologia es un campo tan enormemente vasto que Pay montoncs de blemas que ni siquiera podemos mencionar:- problemas de c6mo func1ona la (que produce la lu1 en el OJO), cOmo funciona el oido, etc. (La form a en que funciona el pensamiento Ia discutiremos mils tarde bajo psicologia). Bien, esas cosas concernientes a la biologia que hemos discutido aqui no son, desde un punto de vista biol6gico. realmcnte fundamentales en el fondo de la vida, en el sentido que aun si las comprendiCramos todavia no comprenderiamos la vida misma. Para dar un ejemplo: los hombres que estudian los nervios estiman que su trabajo es muy importante porque, despuCs de todo, usted no puede tener animales sin ncrvios. Pero se puede tener i•ida sin nervios. Las plantas no tiencn m nervios n1 mUsculos, peru estiln funcionando, estiln igualmente vivas. Asi, para los prnb!ema~ fundamentales de la biologia debemo~ observar mils profundamcnte; cuando asi hacemos, dcscubnmos que todos los vivientes tienen un gran nlm1ero de caracteristicas en comLln. El es que est3.n hechos de ci:/ulas. dentro de rnda una de la~ cuaks complejo para hacer cosas quim1camente. En las celulas de la~ hay un mccani~mo para recoger luz y gencrar sacarosa, la que es oscundad para mantener la planta viva. Cuando la planta estit '>icndo sacarosa genera en el animal una serie de reacciones quimicas muy relacionadas con la foto~inte~is (y su cfecto opuesto en la mcuridad) en En las cdula~ de los sistemas vivos das en las cuales un enormc c~fucrzo quc se 3-1 resume nuestro de !as muchas ~cm::s porcentaJC u alga asi Aqui vemos una serie entera de molCcu!as que cambian de una a otra en una secuencia o cic!o de pasos mils bien pequeii.os. Se le !lama el cido Krebs, el cido respiratorio. Cada uno de los compuestos qu[micos y cada uno de los pasos es bastante simple, en funci6n de quC .:::ambios se hacen en la molecula, pero -y esto es un descubrimiento central importante en bioquimica- estos cambios son refatil'Gmente dificiles de Ilevar a cabo en un laboratorio. Si tenemos una sustancia y otra muy similar, la primera no se convierte simplemente en la otra porque las dos formas estitn corrientemente separadas por una barrera o ··Joma" de energia. Consideren esta analogia: si queremos trasladar un objeto de un !ugar a otro que estit en el mismo nive! pero en el otro lado de una loma. podemos· empujarlo por encima de la cumbre; pero hacerlo asi requiere que se le agreguc alguna energia. Asi la mayoria de las reacciones quimicas no ocurren, porque hay lo que se llama una energia de actfraci6n de por medio. Para agregar un ittomo extra a nuestro compuesto quimico se necesita que lo acerquemos lo suficiente para que pueda ocurrir un reordenamiento: entonces se pegara. Pero si no podemos darle sufidente energia para acercarlo suficientemente, no comp!etara el prop6sito, realizarit parte de! camino hacia arriba de la Joma y vo!vera hacia abajo de nuevo. Sin embargo, si pudieramos literalmente tomar las mokculas en nuestras manos y empujar y tirar !os ittomos alrededor de ta! manera de abrir un· hueco para permitir la entrada de un nuevo ittomo. y lucgo dejar!os volver, habriamos encontrado otro camino a!rededor de la Joma, el cual no necesitaria de energ[a extra. y la reacci6n procederia facilmente. Ahora, realmente hay en las celulas mo!ecu!as muy grandes, mucho mas grand;::s que aquellas cuyos cambios hemos esiado describiendo, que en alguna forma complicada sujetan a las moleculas pcquciias en forma adecuada para que la reacci6n pueda realizarse facilmente. Esas cosas muy grandes y complicadas sc llaman enzimas. (Primeramente sc llamaron fennentos porque se descubrieron originalmente en la fermentaci6n de! azUcar. En rcalidad, algunas de las primcras reaccione~ en el ciclo fueron descubiertas al!i.) La rcacci6n procedera en presencia de una enzlma. Una enzima estit hecha de otra sustancia Hamada proreina. Las enzimas son muy complicadas y cada una es diferente, estando cada una construida para controlar cierta reacci6n especial. Los nombres de !as cnzimas estitn escritos en la figura 3- l en cada reacci6n. (Algunas veces la misma enzima pucde contro!ar dos reacciones.) Ponemos enfasis en que !as enzimas mismas no intervienen dircctamente en la reacci6n. Elias no cambian: solamente dejan pasar un .ittomo de un lugar a otro. Habiendo hecho esto, !a enzima estit lista para haccrlo con !a pr6xima molecula. como una mitquina de una fabrica. Por cierto, debe haber un suministro de cicrtos ittomos y una forma de disponer de otros ittomos. T6mese el hidr6geno, por ejemplo: hay enzimas que sobrc e!las tienen unidades especiales que transportan el hidr6geno para todas las reacciones qu[micas. Por ejemplo, hay tres o cuatro enzimas hidrOgcno-reducwras que se usan en diferentes lugares sobre todo nuestro ciclo. Es interesante que el mecanismo que libera algUn hidr6geno en un lugar tomaril aquel hidr6geno y lo usara en a!gUn otro lugar. La caracteristica mt\.s importante del ciclo de la figura 3-1 es la transformaci6n de GDP en OTP (di·fosfato de guanidina en trifosfato de guanidina) porque una sus" tancia contiene mucha mils energia que la otra. Justamentc, asi como hay una "caja ·· en ciertas enzimas para transportar ittomos de hidr6geno, hay ciertas "cajas" transportadoras de energia que implican al grupo trifosfato. Entonces, la GTP tiene mils energia que !a GDP y si el ciclo se desplaza en un sentido, estamos producien~ ~ie~eoleculas quc tienen una energia extra que puede movili:rnr otro ciclo que re- 3-5 energia, por ejemplo la contracciOn de un mUsculo. El mUsculo no se contraer;i a no ser que haya GTP. Podemos tomar fibra muscular, ponerla en agua y agregar GTP, y las fibras se contraerii.n transformando GTP en GDP ~i es1a presente la enzima correcta. Asi el sistema real esta en la transformaciOn GDP-GTP; en la oscuridad la GTP, que se ha estado almacenando durante el dia, se usa para producir el ciclo completo en la otra direcciOn. Una enzima, ustedes ven, no se preocupa en que direcci6n procede la reacciUn pues, si lo hiciera, violarla una de las ]eyes de la lisica. La fisica es de gran importancia en la biologia y otras ciencias por otra raz6n al.in que tiene que ver con t&nicas experimentales. En realidad, si no fuera por el gran desarrollo de la fisica experimental, estos cuadros bioquimicos no se conocerian hoy. La razOn es que la herramienta mas Uti! de todas para el ana.Jisis de rste sistema fantiisticamente complejo es marcar los iltomos que se usan en las reacciones. Asi, si pudiframos introducir en el ciclo algUn di6xido de carbono que tiene una "marca verde", y luego medir despuCs de tres segundos donde est<i. la marca verde, y de nuevo medir despuCs de IO segundos, etc., podriamos seguir el curso de las reacciones. lQuC son las '"marcas verdes"? Son is6topos diferentes. Recordemos que las propiedades quimicas de los 3.tomos est3.n determinadas por el nUmero de electrones, no por la masa de! nUcleo. Pero puede haber, en el carbono por ejemplo, seis neutrones o siete neutrones junto con los seis protones que tienen todos los nUcleos de carbono. Quimicamente, los dos 3.tomus c 1z y c 1i son iguales, pero difieren en peso y tienen propiedades nucleares diferentes, y por eso son distinguibles. Usando estos is6topos de pesos diferentes, o aun is6topos radioactivos como el C 4, lo que da un medio mils sensible para seguir cantidades muy pequeiias, es posible seguir las reacciones. 1 Ahora volvemos a la descripci6n de enzimas y proteinas. Todas las proteinas no son enzimas, pero todas !as encimas son proteinas. Hay muchas proteinas, tales como las proteinas de los mUsculos, las proteinas estructurales que est<in. por ejemplo, en los cartilagos, pe!o, pie!. etc., que no son enzimas en si mismas. Sin embargo, las proteinas son una sustancia muy caracteristica de la vida: en primer lugar forman todas las enzimas, y segundo forman gran parte del resto de la materia viviente. Las proteinas tienen una estructura muy interesante y simple. Son una serie, o cadena, de diferentes aminocicidos. Hay veinte aminoitcidos diferentes, y todos ellos pueden combinarse entre si para formar cadenas cuya espina dorsal es CO-NH, etc. Las proteinas no son otra cosa que cadenas de varios de estos veinte amino3.cidos. Cada uno de los amino!l.cidos sirve probablemente para algUn propOsito especial. Algunos, por ejemplo, tiene un 8.tomo de azufre en cierto lugar; cuando dos 3.tomos de azufre est<i.n en la misma proteina, forman un enlace, esto es, unen la cadena en dos puntos y fonnan un anil!o. Otro tiene 3.tomos de oxigeno extra que lo hace una sustancia 8.cida, otro tiene una caracteristica biisica. Algunos tienen grandes grupos colgando hacia afuera por un lado, de modo que ocupan mucho espacio. Uno de los amino3.cidos llamado prolina no es realmente un amino<i.cido, sino un imino3.cido. Hay una pequeiia diferencia, con d resultado que cuando la prolina esta en la cadena hay un retorcimiento en la cadena. Si quisiframos producir una proteina en particular, dariamos estas instrucciones: ponga uno de esos ganchos de azufre aqui; luego agregue algo que ocupe lugar; Juego prenda algo para poner una enroscadura eQ la cadena. En esta forma obtendremos una cadena de aspecto complicado, enganchada a si misma y teniendo una estructura compleja; presumiblemente f:sta es justamente la manera en que se forn;ian todas las variedades de enzimas. Uno de los grandes triunfos en lo~ tiempos rec1entes (desde 1960), fue descubrir por fin la disposici6n at6mica espacial exacta de ciertas proteinas, las que envu~lve'n unos 56 a 60 aminoacidos en hilera. M.is de un millar de <i.tomos (m<i.s cercano a dos mil, si contamos !os .itomos de hidr6geno) han sido localizados en una cstructura complcja en dos protcinas. La primera fue la hemoglobina. Uno de los aspectos tristes de este descubrimiento es quc no podemos ver cosa alguna de esta estructura; no comprendemos cOmo funciona y la forma en que lo hace. Por eierto. f:se es cl pr6ximo problcma por atacar. Otro problema es: ,:,cOmo saben las enzimas quf: cosa son? Una mosca de ojos rojos forma una mosca de ojos rojos, y asi la informaciOn de la estructura entera de cnzimas para hacer un pigmento rojo debe pasar de una mosca a la ~iguiente. Esto cs hecho por una sustancia en el nUclco de !a ef:lula, no una proteina, llamada DNA (abreviaci6n de ilcido desoxiribonucleico). Esta cs la sustancia clave que pasa de una cdula a otra (por ejemplo, las cdulas de semen consisten principalmcnte en DNA) y lleva informaci6n de cOmo hacer las enzimas. El DNA es el "programa". (.Quf: aspccto el y c6mo funciona? Primero, el programa debe ser capaz de Segundo. dcbe ser capaz de instruir a las proteinas. Respecto a la pensar que procede como en la reprodueci6n celular. de tamaii.o y luego se dividen por la DNA, entonces. de modo quc cllas lammitad. bif:n aumentan de tamailo y se por la mitad? jCada citomo por cierto no de tamaii.o y se divide por la mitad! No, es imposible reproducir una moC.\Cepto de un modo algo mils inteligente. DNA fue estudiada por un largo ticmpo, primcro composicf6n, y luego con rayos X para El resultado fue el siguiente descubrimicnto cs un par de cadenas enrolladas una ~obre la son anilogas a las cadenas cs una serie de grupos azUcar y vcmos cOmo la cadena pucde contener esta cadena por la mitad, tendriarnos una podria tener una serie diferente. Asi tal ve7, espceifieas para la manufactura de proteinas del DNA. ' ' h-B•A-ay ~ ! °..:t t,...o RIBOSA RIBOSA AZUCAR AZUCAR o'oH HO/b RIBOSA AZUCAR h-A•8-~ '-1 ~ HO/b RIBOSA AZUCAR o b'OH 1 I RIBOSA AZUCAR i;o o,~ -A•B- al I RIBOSA AZUCAR o,i i.;o HO/? b"-<»'> I0 -D•C- a'~ o,i ~_,o RIBOSA AZUCAR RIBOSA AZUCAR HO/b b'oH p-c·o-a I RIBOSA AZUCAR I Rll!OSA [ AZUCAR 0 ' Fig. 3 2 D1agrarna esquernilt1co del DNA 0 ' 38 sabemos cOmo leerlo. ',i conociCramos, por ejemplo, la '"alineaci6n" A, B, C. C. A, no podriamos decir!e a usted que proteina seni. prod_ucida. Ciertamentc ninguna otra materia o campo esta hacienda mils progresos en tantos nuevos frentes en el momenta presente que la biologia, y si tuviCramos que nombrar la suposiciOn ma~ poderosa de todas que conducen a uno mils y mils a un intento de comprendcr la vida, es aquella en que todas las cosas estdn hechas de dtomos, y en que todo lo que las co~as vivas hacen puede ser comprendido en tt!rminos de las agitaciones y movimientos de los ittomos. 3-4 Astronomia En esta explicaci6n fugaz de\ mundo entero. debemos ahora pasar a la astronomia. La astronomia es mas antigua que la fisica. En realidad, dio origen a la fisica al mostrar !a hermosa simplicidad del movimiento de las estrellas y planetas, cuya comprensi6n fue cl comienzo de la fisica. Pero el descubrimiento mas notable de toda !a astronomia es que las estrellas estdn hechas de dtomos de la naturale!iberan za que los que se encuentran en la tierra.* ;,C6mo ~e hizo esto? Los luz que tiene frecucncias definidas, algo asi como el timbre de un instrumento musical que tiene tonos definidos o frecuencias de sonido. Cuando estamos escuchando varios tonos diferentes podemos distinguirlos, pero cuando miramos con nuestros ojos mezcla de colores no podemos distinguir las partes de que estit hecha. pordiscernidor como el oido a cste respccto. Sin que no es m cercanamcnte !uembargo. con un cspectroscopio analizar las frecuencias de las di minosas y de esa manera podemos ver los tonos de los 3.tomos que hay en ferentes estrellas. De hecho, dos elementos quimicos se descubrieron en una antes se descubrieran en la tierra. El helio fue descubierto en el sol, y el tecnecio fuc descuhierto en ciertas estrellas fria~. Esto. progresar en la comprensi6n de las estrellas, porque ellas tipos de ittomos que existen en la tierra. Ahora sabcmos mucho acerca de especialmente en cuanto a su comportamiento bajo condiciones de alta temperatura. pero no de alta.densidad: asi podemos analizar con la mecitnica estadistica el comportamiento de la sustancia estelar. Aun cuando no podemos reproducir las condiciones en la ticrra usando \eyes bilsicas de la fisica, podemos a menudo decir precisamente, o muy aproximadamente, qui: suceder.3:. * iOuC manera de precipitarme a traves de esto! contenido 1iene cada frase de es ta breve historia. "Las estrellas estim hechas de mismos iltomo~ que los de la tierra''. Corrientememc yo tomo un pcqueiio t6pico coma t':ste para dictar una clasc. Los poetas diccn que la ciencia e!imina la belleza de las estrellas ··meros globos de ittomos de gas 0:ada es "mero ··. Yo tambiCn puedo vcr las cstrellas en una noche despejada y scntirla~. ~Pero veo yo mils o menos? La vastcdad de los cielos cnsancha mi imaginaci(in --clavado en este carru sel, mi pequefio ojo puede cager luz de un mil!On de aiios de edad. Una vasta cstructura de la cual yo soy una parte- quiz:i.s mi material fuc arrojado de alguna estrella ulvidada, como el que estil arrojando una alli. 0 verlas con el ojo mils grande de Palomar, apart:i.ndosc dcsdc un punto comUn de partida donde quiz:i.s estuvieron todas juntas. &Cu3.l es la estructura, o el significado. o el porqut!? No le hace daiio a[ misterio conocer un poco de Cl. ;Porque mucho mils ma ravillosa es la verdad quc la quc cualquier artista en el pasado imagin()! ~Por qut': !us poetas del presente no hablan de ella? lOue hombres son los poetas que pueden hablar de JUpitcr como si fuera un hombre, pcro si es una inmensa esfcra rotante de metano y amoniaco deben permane ccrmudos? 3-9 Asi es c6nto la fisica ayuda a la astronomia. Por extrafio que parezca, comprendemos la distribuci6n de materia en el interior de! so! mucho mejor que lo que comprendemos el interior de la tierra. Lo que sucede en el interior de una estrella se comprende mejor que lo que pudiera adivinarse de la dificultad de tener que mirar un pequefio punto luminoso a traves de un telescopio, porque podemos calcular que deben hacer los 3.tomos en las estrellas en la mayoria de las circunstancias. Uno de los descubrimientos mils impresionantes fue el origen de la energla de las estrellas. que las hace continuar quem<'indose. Uno de las hombres que descubri6 esto habia salido con su amiga la noche siguiente de haberse dado cuenta que en las estrellas se debian estar produciendo reacciones nucleares para que brillaran. Ella dijo: "iMira que bonito brillan las estrellas! ··El dijo: ··Si. y justamente ahora yo soy el Unico hombre en el mundo que sabe por qui brillan. ·· Ella simplemente se ri6 de Cl. Ella no estaba impresionada de haber sahdo con cl Unico hombre de! mundo que, en ese momenta, sabla por que bril!an las estrellas. Bueno, es triste estar solo, pero asi son las cosas en este mundo. Es la "combusti6n" nuclear del hidr6geno la quc suministra la energia de! sol: el hidrOgeno se conviertc en helio. Ademis, en Ultima instancia, !a producciOn de los divcrsos elementos qulmicos se verifica en los centros de las estrellas a partir del hidr6geno. El material del que estamos hechos no.mtros fuc ··cocinado ,. una vez en una estrella y escupido hacia afuera. .-,C6mo lo sabemos? Porque hay una clave. La proi)orci6n de las diferentes is6topos (cu<into C 12 , cu<into C 1 3, etc.) es algo que nunca cambia en las reacciones quimicas, porque las reacciones quimicas son tan idCnticas para las dos. Las proporcioncs son puramente el resultado de reacciones nucleares. Observando las proporciones de los is6topos en el rescoldo frio y apagado en que estamos, podemos descubrir c6mo fue el horno donde se formaron los materiales de que estamos hechos. Aque! homo fue como las estrellas, y asi es muy probable que nuestros elementos fueron "hechos" en las estrellas y es· cupidos en las explosiones que llamamos novas y supernovas. La astronomia est<i tan cerca de !a fisica que estudiaremos muchas cosas astron6micas a medida que prosigamos. 3-S Geologia Ahora pasemos a lo que se llama ciencias de fa tierra, o geologia. Primera la mcteorologla y el tiempo. Por cierto. que los instrumentos de metcorologia son instrumentos lisicos, y el desarrollo de la fis1ca experimental hizo posible estos instru· mentos, como se explico anteriormente. Sin embargo, la teoria de la meteorologia nunca ha sido investigada satifactoriamente por los lisicos. "Bien·-, dir<in ustcdcs "no hay otra cosa que aire, y conocemos las ecuaciones de los movimientos del aire". Si, es cierto. "Asi, si sahemos las condiciones del aire de hoy, (,por que no podemos calcular las condicioncs del airc de mafiana?" Primera, no sabemos real· mente cu<il es la cond1ci6n de porque el aire esti1 arremolin<indosc y dando vueltas por todas partcs. Resulta muy susceptible y aun inestab!e. Si han visto alguna vez correr suavemente el agua sobre una represa y luego convertirse en un gran nUmero de burbujai. y gotas cuando cae, comprenderin lo que quiero decir con inestable. Ustedes conocen la condici6n de! agua antes que traspase el vertedero: es perfectamente tranquila; pero en el momenta que comienza a caer, idOnde empie· zan !as gotas? lQuii: determina lo grande que van a ser los trozos y dOndc estar<'i.n? Esto no se sabe, porque el agua es inestable. Aun una masa de airc moviCndose suavcmente, al traspasar una montaiia se convierte en comp!ejos remolinos y torbellinos. En muchos campos encontramos esta situaci6n de jlujo turbulento que no podemos analizar actualmente. jDejemos ril.pidamentc yl asunto del tiempo y discutamos sobre gcolog[a! El asunto bitsico para la gcologia es: ;,que hace que la tierra sea lo que es? Los procesos mils obvios estitn al frente de nuestros ojos, los procesos de erosi6n de los rios, los vientos, etc. Es bastante f:icil comprenderlos, pero por cada poco de ero· si6n hay algo mils que est<i sucediendo. Las montailas no son mils bajas hoy en promedio de lo que fueron en el pasado. Debe haber procesosformadores de montaiias. formadores de montaiias y Encontraritn, si estudian gcologia, que hay los que nadie comprcnde pero que mitad de la geologia. E! fenbmeno volcanes no se comprendc realmente. que produce un terremoto, a la postre, no sc comprcndc. Se comprende quc si hay algo empujando a otra cosa, cede repentinamente y se desliza --eso estit bien-. Pero t,quC es lo que empuja, y por qui!:? La teoria es que hay corrientcs en el interior de la tierra --corrientes circulantes. debido a la diferencia de temperatura interior y exterior··, las cualcs en su movimiento empujan !igeramente la superficic. Asi, si hay dos circu!aciones opuestas vecinas, la materia se acumula en la regi6n donde se juntan y forman cadcnas de montaftas que estitn en condit:iones dcsafortunadas de tension y asi producen volcanes y terremotos. 3-6 Psicologia por un espiritu que la quinina quc vayan al hechicero, porque es enfermedades: por ntro !ado, su no es no ha sido cuidadosamentc comprobado por el experimenmanera encontrar una lista del ntimeru de ca~vs en los cuales rede casos en que no resulta, etc. 3-11 Las otras ramas de !a psico!ogia, que implican cosas coma !a fisiologia de las sensacione~ -que sucede en el ojo, y que sucede en el cerebro- son, si quieren. menos interesantes. Pero cierto progre-;o pequefio, pero real, se ha hecho al estudiarlas. Uno d<." los progrcsos tfrnicos mas intcresantes puede ser o no llamado psico!ogla. El problema central de la mente, si quieren, o de! sistema nervioso es este: cuando un animal aprende algo, puede haccr algo diferente de lo que podia hacer antes y sus celulas cerebrales deben haber cambiado tambiCn, si es que estti. hecho de atomos. ;,En que sentido es diferente? No sabemos d6nde mirar, que buscar, cuando en el sistema neralgo se memoriza. No sabemos que sigmfica o que cambio vioso cuando se aprende una realidad. Este es un problema muy importante que no ha sido resuelto en abso!uto. Suponiendo. sm embargo, que existe algo como la memona, el cerebro es una masa tan enorme de a!arnbres y nervios interconectados que probablemente no puede ser ana!izado en una forma directa. Hay uria analogia de esto con las mil.quinas computadoras y los elementos de computaci6n, en que tamb1en tienen muchas !ineas, y que tienen algUn tipo de elemento aniilogo, quiz<is, a la smapsis o conexi6n de un riervio con otro. Esto una materia muy intcrc~antc no tenemos ticmpo de d1<;cut1r ma~ allil -las entrc el pensam1ento miiqumas computadora~-. Debe aprec1arse, por que esta matcna nos de la~ complejidades reales de! comportamiento humano or seres humanos son tan diferentes. Pasara mucho tiempo antes Debcmos empezar mucho mii.s atras. Si pudiCramos siquiera un perro, habriamus avanzado bastante. Los perms son mils de comprender. pero nadie alin sabe c6mo fundonan los perros. 3-7 ;,COmo se !legO a eso? Para que la fisica sea Uul a !as otras ciencias en una una la mvencilm de instrumentos, !a c1encia en cuesti6n debe sa\ta en el !enguaje del fisico. Ellos pueden descripci6n del no pucde contestar. Si eUos le dicen lo que es una rana'!, y hay tanta5 que hay un nerv10 aqu1, etc., eso es d1fcrcntc. nos di· jeran. mas o mcno~, a quC se parecen la tierra y las estrellas. entonces podemos resolverlo. Para que la teorla fisica sea de alguna utilidad, dcbcmos saber cxactamente dondc e~tan co!ocados los 3.tomos. Para comprender la quim1ca. debemos saber exactamente que atomos est.itn presentc~. pucs de lo contrarior~o podemos analizarla. Esta e~ so!amente la primera hmitacion, por supuesto. Hay otro tipu de problema en las ciencias hermanas. que no existe en Jn faica; podemos llamarlo. a falta de un termino mejor. cl asunto h1st6rico. (,C6mo se l!eg6 a eso'? Si comprendemos todo acerca de la b1ologia, quis1tramos saber como toda~ las cosas que hay en la tierra fucron a dar en ella. Existe la teoria de la evoluc10n. una parte importante de la b1ologia. En geo!ogla. no s6!o quercmo~ saber c6mo se estan formando las montailas, ~mo como se form(J la tierra entera en el comienzo. cl origen del sistema 5olar, etc. Esto. por supuesto, nos conduce a qucrcr saber que llpo de matena cxi~tia en cl mundo. (,Cl>mo evolucionan las estreltas? ~Cuales fueron las condiciones iniciales? E-;te es el problema de la historia de la astronomia, 3-12 Se ha descubierto mucho acerca de la formaci6n de !as estrellas, de la formaci6n de los elementos de los cuales estamos hechos y hasta un poco acerca del origen del universo. No hay problemas hist6ricos que se estCn estudiando en la fisica actualmente. No tenemos una pregunta: •·Aqui estitn las !eyes de !a fisica, z.c6mo se lleg6 a ellas?" No nos imaginamos, por ahora, que las leyes de la fisica estan en cierto modo cambiando con el tiempo, que en el pasado fueran diferentes de Jo que son en el presente. Por supuesto que pueden ser, y en el momento en que encontremos que son, la pregunta hist6rica de !a fisica estara ligada con el resto de la historia del universo y entonces los fisicos estaran hablando de los mismos problemas que los astr6nomos, los ge6logos y los bi6logos. Finalmente, hay un problema fisico que es comUn a muchos campos, que es muy viejo y que no ha sido resuelto. No es el problema de encontrar nuevas particulas fundamentales, sino alga que qued6 desde hace mucho tiempo atras -mas de cien ai'ios-. Nadie en la tisica ha sido realmente capaz de analizarlo matematicamente en forma satisfactoria a pesar de su importancia para las ciencias hermanas. Es e! anitlisis de fluidos circulantes o turbulentos. Si observamos la evoluci6n de una estrella, se llega a u·n punto donde podemos deducir que va a comenzar la convecci6n, y a partir de esto ya no podemos deducir que va a pasar. Unos pocos millones de ai1os mii.s tarde la estrella hace explosi6n. pero no podemos explicar la raz6n. No podemos anatizar el tiempo. No conocemos los esquemas de los movimientos que deberia haber en el interior de la tierra. La forma mas simple del problema es tomar una cafleria que es muy Jarga y empujar agua a travCs de ella a gran velocidad. Pregunta'mos: para empujar una cantidad dada de agua a travCs de esa cai'ieria, lcuanta presi6n se necesita? Nadie puede analizarlo partiendo de principios primaries y de !as propiedades de! agua. Si cl agua fluyc muy lcntamcnte, o si usamos algo espeso coma la miel, entonces podemos hacer!o exactamente. Ustedes lo encontrarii.n en su texto. Lo que no podcmos realmente hacer es tratar con agua real y fresco que corre a traves de una caii.eria. Este es el problema central que deberia mos resolver algUn dia y quc no lo hemos hecho. Decia una vez un poeta: "El universo entero estit en un vaso de vino". Probablemente nunca sabremos lo que queria dedr, pues los poetas no escriben para ser comprendidos. Pero es cieno que si miramos un vaso de vino lo suficientemente cerca, vemos el universo entero. Ahi estan las cosas de la fisica: el liquido que se arremolina y se evapora dependiendo del viento y del tiempo. las reflexiones en el vidrio, y nuestra imaginaci6n agrcga las 8.tomos. El vidrio es un destilado de las rocas terrestres y en su composici6n vemos los secretes de la cdad de! universo y la evoluci6n de la~ estrellas. lQuC extraflo arreglo de elementos quimicos hay en el vino? lC6· mo llegaron a ser? Estiln los fermentos, !as enzimas, las sustratos y los productos. Alli en el vino se encuentra la gran generalirnci6n: toda vida es fermentaciOn. Na· die puedc descubrir la quimica del vino sin descubrir, coma lo hizo Louis Pasteur, la cama de much.JS enfermedades. jCuan vivido es el vino tinio que imprime su exis" tcncia dentro del conocimiento de quien lo observa! jSi nuestras pequeii.as mentes, par alguna con\'ivencia. dividen este vaso de vino, este universo, en partes -fisica, bio!ogia .. geologia, astronomia. psicolo.gia. etc.-, recuerden .que la. naturaleza. no lo sab~! A!>l, reunamo.s todo de nucvo sin ol~idar en U!ti.ma mstancia para que sirve. Oejemos que no~ de un placer final mils: ibeban!o y olvidense de todo! 3 13 4 Conservacion de la energia 4-1 ;.Que es la energia? 4-3 Energia cinE:tica 4-2 Energia potencial gravitacional 4-4 Otras formas de energia 4·1 ;.Que es la energia.? Habiendo terminado ya nuestra descripci6n general empezamos en este capitulo un estudio mas detallado de las diferentes aspectos de la fisica. Para ilustrar las ideas y la clase de razonamiento que se puede usar en fisica te6rica, examinaremos una de las !eyes mas basicas de la fisica: la conservaci6n de la energia. Hay un hecho, o si prefiere, una ley, que gobierna todos los fen6menos naturales conocidos hasta la fecha. No se conoce excepciOn a esta ley -es exacta hasta donde sabemos-. La !ey se llama la conservaciOn de la energia. Establece que hay cierta cantidad que llamamos energia, que no cambia en los mUltiples cambios que ocurre en la naturaleza. Esta es una idea muy abstracta, porque es un principio matemt'ttico; significa que hay una cantidad numerica que no cambia cuando alga ocurre. No es la descripci6n de un mecanismo, o de algo concreto; ciertamente es un hecho raro que podamos calcular cierto niimero y que cuando terminemos de observar que la naturaleza haga sus trucos y calculemos el nllmero otra vez, este serB. el mismo. (Algo asi como el alfil en un cuadro negro, que despues de cierto niimero de movimientos ---<:uyos detalles son desconocidos- queda en el mismo cuadro. Es una ley de esta naturaleza.) Puesto que esta es una idea abstracta, ilustraremos su significado mediante una analogia. Imaginemos un niiio, tal vez ''Daniel el Travieso", que tiene unos bloques que son absolutamente indestructibtes, que no pueden dividirse en partes. Cada uno es igual &l otro. Supongamos que tiene 28 bloques. Su madre lo co!oca con los 28 bloques en una pieza al comenzar el dia. Al final de! dia, por curiosidad, ella cuenta los bloques con mucho cuidado, y descubre una Icy fenomenal -haga lo que haga con los bloques, i siempre quedan 28 ! Esto continUa por varios dias, hasta que un dia hay s6lo 27 b!oques, pero una pequeiia investigaci6n demuestra que hay uno bajo la alfombra --ella debe mirar por todas partes para estar segura de que el nUmero de bloques no ha cambiado--. Un dia, sin embargo, el nUmero parece cambiar -hay s6lo 26 bloques-. Una cuidadosa investigadOn indica que la ventana estaba abierta. y al mirar hacia afuera se encontraron los otros dos bloques. Otro dia, una cuidadosa cuenta indica que jhay 30 bloques! Esto 4-1 causa una gran consternaci6n, hasta que se sabe que Bruce vino a visitarlo, trayendo sus bloques consigo y que dej6 unos pocos en la casa de Daniel. Despues de separar los bloques adicionales cierra la ventana, no deja entrar a Bruce, y entonces todo anda bien, hasta que una vez cuenta y encuentra s6lo 25 bloques. Sin embargo, hay una caja en la pieza, una caja de juguetes, y la madre se dirige a abrir la caja de juguetes, pero el niiio dice: "No, no abras mi caja de juguetes ", y chilla. A l~ madre no !c estaba pcrmitido abrir la caja de juguetes. Como es extremadamente cunosa, y al go ingeniosa, inventa un ardid. Sabe que un bloque pesa cien gramos, asi que pesa la caja cuando ve 28 bloques y encuentra 500 gramos. En seguida desea comprobar, pesa la caja de nuevo, resta 500 gramos y divide por cien. Ella descubre !o siguiente: ) ( nllmero de bloques vistas + (peso de la caja)- 500 gramos _ constante 100 gramos (4 .1) En seguida parece que hubiera algunas nuevas desviaciones, pero un estudio cuidadoso indica que el agua sucia de la baD.era estii. cambiando de nivel. El niiio est<i lanzando bloques al agua y ella no puede verlos porque est<i muy sucia, pero puede saber cuilntos bloques hay en cl agua agregando otro termino a su formula. Ya que la altura original de! agua era de 15 centimetros y cada bloque e!eva el agua medio centimetro, esta nueva formula seria: ) ( nllmero de bloques vistos (peso de la caja) -· 500 gramos 100 gramos (4.2) (altura del agua)- 15 centimetros __ Constante 0,5 centlmctro En el aumento gradual de la complcjidad de su mundo, ella encuentra una serie completa de tfrminos que representan modos de calcular cut'tntos bloques estt'tn en los !ugares donde no le estil. permitido mirar. Como rcsultado. encuentra una formula compleja, una cantidad que debe ser calculada, que en su situad6n siempre permanece la misma. (.Cut'tl es !a analogia de esto con la conservacic.ln de la energia? El mils notable aspecto que debe ser abstraido de este cuadro es que no hay bloques. Quitese cl primer termino en (4.1) y en (4.2) y nos encontraremos calculando cosas mil.so menos abstractas. La analogia tiene los siguientes puntos. Primera, cuando estamos calculando la energia, a veces alga de e!la deja el sistcma y se va, y a veces algo entra. Para vcrificar !a conservaci6n de la energia debemos tener cuidado de no agregar ni quitar nada. Segundo, la encrgia tienc un gran nUmero deformas diferen/es, y hay una formula para cada una. Estas encrgia gravitacional, energia cinetica, energia calOrica. energia dt'tstlca. c!Cctrica. energia quimica. cnergia radiante, energia nuclear, cncrgia de el total de las formulas para a excepci6n de la energia que entra cada una de estas contribuciones, no y que sale. Es importante es. No definido que en la flsica actual no ~abemos lo que la energia energia formada por pequeiias gotas de un tamaiio hay formula~ para calcular cierta cantidad niunerica, y cuando las juntamos todas nos da "28 ,. -siempre el mismo nU" mero-. Es algo abstracto en el sentido que no nos informa el mecanismo o las razones para las diversas f6rmulas. 4-2 Energia potencial gravitacional Puede entenderse la conservaci6n de la energia s61o si tenemos la formula para todas sus formas. Deseo discutir la formula para la energia gravitacional cerca de la superficie de la tierra, y deseo deducir esta formula de un modo que no tiene nada que ver con la historia, sino que es una simple !inea de razonamiento inventada para est a lecciOn en particular, es to a fin de darles a ustedes una ilustraciOn de\ notable hecho que puede extraerse mucho acerca de la naturaleza a partir de unos pocos hechos y con un razonamiento acabado. Es una ilustraci6n de la clase de trabajo que los fisicos te6ricos realizan habitualmente. Esta modelado segUn el excelente argumento del Sr. Carnot sobre la eficlencia de las milquinas de vapor*. Consideremos milquinas !evantadoras de pesos -milquinas que tienen la propiedad de levantar un peso bajando otro-. Hagamos, ademils, una hip6tesis: que no existe movimiento perpetuo para estas m8.quinas levantadoras de pesos. (De hecho, que no exista el movimiento perpetuo es un enunciado general de la !ey de la conservaci6n de la energia.) Debemos tener cuidado al definir el movimiento perpetuo. En primer lugar hagilmoslo para mUquinas levantadorns d.:: pesos. Si cuando hemos levantado y bajado muchos pesos y llevado la mUquina a su condici6n original, encontramos que el resultado neto es haber levantado un peso, entonces tenemos una milquina de movimiento perpetuo, porque podemos usar cl peso levantado para poner en movimicnto otra cosa. Es decir, debe cumplirse que la milquina que levant6 el peso vuelva a su exacta condici6n original, y ademils debe ser complctamente independiente --esto es, que no haya recibido la energ(a de una fuente externa para levantar el peso- como los bloques de Bruce. Fig. 4--1. pesos. Miiquina simple para levantar En la figura 4- l se muestra una milquina muy simple para levantar pesos. Esta milquina levanta pesos de tres unidades de "intensidad ". Colocamos tres unidades en un platillo y una unidad en el otro. Sin embargo, a fin de hacerla trabajar real~ mente, debemos quitar un pequeiio peso en el platillo de la izquierda. Por otra part.e, podriamos levantar una unidad de peso bajando el peso de tres unidades, si trampeamos un poco quitando a!go de peso del otro plato. Por supuesto, nos damos cuenta que con cualquier milquina elcvadora real debemos agregar una pequeiia cantidad extra para iograr su funcionamiento. Esto no lo consideramos, temporariamente. Las milquinas ideales, aunque no existen, no necesitan nada extra. Una m<'i.quina que usemos en la realidad puede ser, por asi decir, casi reversible: esto es, si levanta el peso de es tanto el resultado (4,3) el cual de hecho ustedes ya pueden el mediante un razonarnicnto tcOrico 4-3 tres al bajar el de una, entonccs tambiCn levantarti aproximadamente el pc~o de una en la misma cantidad al bajar el peso de tres. Imaginemos 9ue _hay dos clases de mitquinas, las que 110 son reversibles, que inclu ven todas las maqumas rcales. y las que son reversibles. que. por ~upuesto no se Consigucn en la _realidad a pesar del cuidado que pongamos en el diseii.o _de _cojinetcs. palancas, etc .. Sm embargo, suponemos que existe un~ cosa tal --una maquma rever siblc- que baJa una unidad de peso (un kilo o cualqmer otra unidad) en una umdad de distanci.a y que al mismo tiempo levanta un peso de tres unidades. Uamemos Miiquina A a esta mitquina reversible. Supongamos que esta miiquina reversible par ticular levante el peso de tres unidades una distancia X. A continuaciOn. supongan que tenemos otra m:lquina, la Mtiquina B. que no es necesariamente reversible, que baja el peso de una unidad en una unidad de distancia, pero que levanta el peso de tres unidade~ una distancia Y. Podemos probar ahora que Y no es mils alta que X: es decir. que es imposible construir una m::iquina que levante un peso mds alto que una mtiquina reven,ible. Veamos por que. Supongamos quc Y fuera mtis alta que X. Tomemos un peso de una unidad y bajemoslo una unidad de altura con la miiqulna B, con lo que se eleva el peso de tres unidades una distancia Y. Entonces podriamos bajar el peso de Y a X, obteniendo energ[a gratis, y usar la m3.quina reversible A, funcionando a la inversa, para bajar el peso de tres unidades una distancia X y levantar el peso de una unidad en una unidad de altura. jEsto retornariL el peso de una unidad a donde cstaba antes y dejara ambas m<lquinas listas para ser usadas de nuevo! Por lo tanto, tendriamos movimiento perpetuo si Y fuera mils alta que X, lo que asumimos que era imposible. Con csos supuestos debemos conclu~r que Y nu es mds a/ta que X, de modo que de todas las mil.quinas que puedan diseiiane la miiquina reversible es la mejor. que todas las mtiquinas reversibles dcben levantar hasta Supongan que B tambien fuera reversible. EI razonaque X es, por supucsto. tan bueno como antes. pero que Y no es podemos haccr nucstro razonamiento de otra manera usando las m<i.quinas en orden X no mcis alto que Y. Esta cs entonces una observaciOn analizar la altura a la cual diferentes mllquinas van en el interior de/ mecanismo. Sabemos de inmcdiato una seric enormemente complicada de palancas que levana una cicrta distancia al bajar una unidad en una unidad de dismismo y quc es fun con una palanca simple que hace su mtiquina no lo levantar<i. m<i.s. ta! vez menos. Si sabemos tambiec1 exactamentc hasta quC altura lo levanrnil4uina reversible, funcione como funcione, quc baje un de tres kilos, siempn: lo levantariL la misma una ley universal de gran utilidad. La pregunta vale X'! 13oN=j [ 1h ~ (a) Comienzo ~A (b)Carga de bola~ (c) I kg \evanta 3 kg unadistarmaX ,ljgj ~-LJ§l ~,!'u~_, ~~~ (d) Descargadebolas (e) Reagrupam1ento (f) Fin Fig. 4--2. Una rn<lquina reversible. X, (a). Primero, hacemos rodar horizontalmente las bolas dcsde la estanteria a las repisas, (b), y Suponemos que esto no demanda energia, porque no cambiamos la altura. La mit.quina reversible opera entonces: baja la bola que estil sola al suelo y levanta la plataforma una distancia X (c). M3.s alm, hemos arreglado ingeniosamente la estanteria de modo que estas bolas estitn de nuevo a la par con las repisas. Asidescargamos las bolas a la estantcria, (d); habiendo descargado las bolas podemos llevar la miquina a su condici6n original. Tenemos ahora tres bolas en las tres repisas superiores y una en el piso. Pero lo curioso es, por decirlo asi, que no hemos levantado de ninguna manera dos de ,ellas, ya que despues de todo, antes habia bolas en las repisas 2 y 3. El efecto resultante es haber levantado una bola la distancia 3X. Pues bien, si 3X excede un metro, podemos bajar la bola para retornar la miquina a la condiciOn inicial (t), y podemos hacer funcionar el aparato de nuevo. Por lo tanto, 3X, no puede exceder un metro, porque si 3X excediera un metro podriamos reatizar movimiento perpetuo. Asimismo, podemos probar que un metro no puede exceder a JX. cuando se hace funcionar la miquina al reves, ya que es una milquina reversible. Por lo tanto, JX no es ni mayor ni menor que un metro, y entonces hemos descubierto, sOlo con razonamientos, la ley X =- 1/J metro. La generalizaciOn es clara: un kilo" gramo cae cierta distancia aI operar una milquina reversible; entonces la miquina puede levantar p kilogramos a esta distancia dividida por p. Otra forma de indicar este resultado es que el producto de tres kilogramos por la altura alcanzada, que en nuestro problema era X, es igual al producto de un kilogramo por la distancia que fue bajada, que en este caso es un melro. Si tomamos todos los pesos y !os multiplicamos por las alturas a las cuales estin ahora por sobre el suelo, dejamos que la miquina funcione, y en seguida multiplicamos nuevamente todos los pesos por todas las alturas, no habrd cambio. (Tenemos que generalizar este ejemplo en que movemos sOlo un peso al caso en que al bajar uno levantamos otros pesos diferentes -pero esto es facil-.) Llamamos energia polencial grarilacional la suma de !os productos pesos por a1turas -la energia que tiene un objeto debido a su posiciOn en el espacio con relaciOn a la tierra-. Entonces la formula para la energia gravitacional, siempre que 4-5 no estemos muy Jejos de la tierra (la fuerza se debilita a medida que subimos) es ener~ia ~otencial) ( grav1tac10nal = (peso) x (altura) (4.3) para un objeto Es una bellisima linea de razonamiento. El imico problema es que ta! vez no sea verdadera. (Despues de todo, la naturaleza no tiene por que marchar con nuestro razonamiento.) Por ejemplo: quizits el movimiento perpetuo sea en efecto posible. Algunos de los supuestos pueden estar equivocados, o podemos haber cometido un error de razonamienfo, de modo que siempre es necesario comprobar. En efecto, resulta experimentalmente cierto. El nombre general para la energia que tiene que ver con la posici6n relativa a alguna otra cosa es energia potencial. Por supuesto, en este caso particular la llamamos energia potencial gravitacional. Si es cuesti6n de fuerzas electricas contra las que estamos trabajando, en vez de fuerzas gravitacionales, si estamos "levantando" cargas desde otras cargas, con muchas palancas, entonces el contenido de energia se llama energ[a potencial elictrica. El principio general es que el cambio en la energia es e! producto de la fuerza por la distancia que se desplaza la fuerza, y que esto es en general un cambio en la energia: ) ( cambio de energia = (fuerza) x ( distancia en que) la fuerza actUa (4 .4) Volveremos a muchas de estas otras formas de energia a lo largo de! curso. Fig. 4-3. Plano inclinado El principio de la conservaci6n de la energia es muy Util para deducir lo que ocurriril en numerosas circunstancias. En la enseilanza media aprendimos muchas \eyes acerca de poleas y palancas usadas de diferentes maneras. Podemos ver ahora que estas "]eyes" son todas fa misma cosa, y que no teniamos necesidad de memorizar 75 reglas para darnos cuenta de ello. Un simple ejemplo es un piano inclinado liso, que por suerte es un triilngulo tres-cuatro-cinco (Fig. 4-3). Colgamos el peso de un kilo sabre un piano inclinado con una polea, y un peso Wal otro !ado de la polea. Queremos saber cuilnto debe pesar W para equilibrar un kilo en el piano. ~COmo podemos calcularlo? Si decimos que estil justamcnte equilibrado, es reversible, y asi puede moverse hacia arriba y hacia abajo, y podemos considerar la siguiente situaci6n. En la situaci6n inicial (a), el peso de una libra est3. abajo, y el peso W estil arriba. Cuando W se ha deslizado hacia abajo en forma reversible, tenemos el peso de un kilo arriba y el peso W a una distancia deslizada (b ), o sea, cinco metros a partir de! nive! en que estaba antes. 4-6 Nosotros lerantamos el peso de un kilo solamcnte tres metros y bajamos W kilos en cinco metros. Por lo tanto, W = ~de un kilo. N6tese que hemos deducido esto a partir de la conservaci6n de la energia y no a partir de componentes de fuerzas. La habilidad es, sin embargo, relativa. Puede deducirse de una forma que es aUn mils brillante descubierta por Stcvin e inscrita en su tumba. La figura 4·4 explica que debe ser ·'/ 5 de un kilo, porque la cadena no da vuelta. Es evidente que la parte mils baja de la cadena est.ii equilibrada por si misma, de modo que la tracciOn de los cinco pesos por un [ado debe equilibrar la tracciOn de tres pesos por el otro. cualquiera que sea la proporciOn de los catetos. llstedes ven, al observar estc diagrama. que H, debc ser 1/ 1 de kilo. (Si logran un cpitafio como Cste en su l.ilpida, van por buen camino.) Fig. 4-4. El ePitafro de Stevm l!ustremos ahora el principio de conservaci6n de la energia con un problema mils complicado, el gato de tornillo que se muestra en la figura 4·5. Sc usa un mango de 50 centimetros de longitud para girar e! tornillo quc ticne cuatro hilos por centlmetro. Nos gustaria saber cuilnta fuerza se necesita en el mango para le· vantar una tonelada ( 1000 kilos). Si queremos levantar la tonelada dos ccntimetros y medio, digamos entonces debcmos girar el mango lO vcces. Cuando da una vuelta recorre aproximadamente 314 centimetros. El mango debe asi recorrcr 3140 ccntimetros, y ~i usamos varias polcas, etc., estariamos levantando nuestra tonelada con un peso menor desconocido W aplicado al extremo de! mango. Asi encontramos que Wes de aproximadamente 0,8 kilos. Este es un resultado de la conservaciOn de la energia. Consideremos ahora el ejcmplo algo mils complicado que se mucstra en la figura 4-6. Una varilla a barra de dos metros de longitud cst8. soportada en un extrcmo. En !a mitad de la barra hay un peso de 60 kilos y a una distancia de 50 ccntimctros de] soporte hay un peso de 100 kilos . .:,Cuinta fuerza debemos hacer para levantarel extrema de la barra a fin de mantenerla en equilibria. dcspreciando el peso de la barra? Supongamos que poncmos una polea en un extremo y colgamos un peso de la polea. t,Cuill debe ser el valor del peso W para ~~11~!~~1~' ' (4 kilos/ ccntimetro) , ,,. Fig_ 4- 5 _J Un gato de Torn1llo Fig. 4-6 Bcirra cargada soportada en un establecer et equilibrio? Imaginemos que e! peso cae a una distancia arbitraria -para quc sea mas facil para nosotros supongamos que baJa cuatro centimetros-; t.a que altura sc elevaritn las dos cargas? El centro se eleva dos ccntimetros y el punto a un cuarlo de la distancia de! cxtremo fijo sc eleva un centimetro. Por lo tanto, el principio que la suma de las alturas multiplicadas por los pesos no cambia nos dice que el peso W por los cuatro centimet.ros hacia abajo, mils 60 kilos por dos centimetros ha· cia arriba. mils JOO kilos por un centimetro tienen quc sumarse para dar cero: -4W + (2X60) + (1)(100) ~ 0, w= 55 kg. (4.5) Por lo tanto, debemos tener un peso de 55 kilos para equilibrar la barra. De este modo podemos deducir las !eyes del "equilibria,. -la estittica de complicadas estruc·· turas de puentes, etc.--. Este metodo se llama principio de !os trabajos dnuales, porque para aplicar este argumento tuvimos que imaginar que la estructura se mueve un poco -aunque no se mueva realmente ni se pueda mol'er-. Usamos el movimien· to imaginado muy pequeiio para ap!icar el principio de conservaciOn de la encrgia. 4-3 Energia cinetica Para i!ustrar otro tipo de encrgia consideremos un pendulo (Fig. 4- 7). Si cmpujamos la masa hacia un !ado y la soltamos, oscila de un !ado hacia el otro. En su movimiento pierde altura cuando va desde ambos extremos hacia el ccntro. t,A dOnde se fuc la energia potencial? La energia gravitacional desaparece cuando el cuerpo estit abajo; sin embargo, subiril de nuevo. La energla gravitacional debe haberse convertido en otra forma. Evidentementc, es en virtud de su movimienlo que es capaz de subir de nuevo, de modo que tcnemos conversi6n de energia gravitacional en otra forma cuando el cuerpo l!ega al fondo. Fig. 4- 7. Pi§ndulo Debemos obtencr una formula para la energia de movimiento. Al recordar nuestros argumentos acerca de las milquinas reversibles podemos ver filcilmentc que en el movimiento en !a parte inferior debe haber una cantidad de energia que le permite subir a cierta altura, y que no tiene nada que ver con el mecanismo mediante el cual subc ni con la truyectoria segii.n la cua! subc. De modo que tenemos una formula de equivalencia parecida a la que escribimos para los bloques de] niiio. Tenemos otra forma de representar !a encrgia. Es facil decir cuitl es. La encrgia cin6tica en el fondo es igual al peso multiplicado por la altura que puede alcanzar en correspondencia a su velocidad: E.C. = WH. Lo que nccesitamos es la formula que nos de la altura mediante a!guna regla que tenga que ver con el movimiento de los objetos. Si ponemos en marcha alga con cierta ve!ocidad, por ejemplo verticalmente hacia arriba, alcanzarit cierta altura: todavia no sabemos cuitl es, pero depende de la velocidad -hay una f6rmula para eso--, Entonces, para encontrar la f6rmula de la energia cinetica de un objeto que se mueve con velocidad V, debemos calcular la al~ tura que alcanzaria y multiplicarla por el peso. Encontraremos luego que podemos escribirla de esta manera: (4.6) Por supuesto, el hecho de que el movimiento tenga energia no tiene nada que ver con el de que estemos en un campo gravitadonal. No importa de d6nde vino el movimiento. Esta es una f6rmula general, para diversas velocidades. Las formulas ·(4.3) y (4.6) son ambas aproximadas, la primera porque es incorrecta cuando las alturas son grandes, es decir, cuando las alturas son tan grandes que la gravedad se debilita: la segunda debido a la correcci6n relativista para grandes velocidades. Sin embargo, cuando finalmente obtengamos la formula exacta para la energia, entonces la ley de conservaci6n de la energia es correcta. 4-4 Otras formas de energia Podemos, de este modo, continuar ilustrando la existencia de energia bajo otras formas. Primero, consideremos la energ[a elastica. Si comprimimos un resorte hacia abajo, debemos hacer cierto trabajo porque, una vez hecho eso, podemos levamar pesos con Cl. Por lo tanto, en su condici6n comprimida tiene la posibilidad de hacer cierto trabajo. Si calcularamos las sumas de los productos por las alturas, la ley no se verificaria -debemos agregar algo mits para tomar en cuenta el hecho de que el resorte esta bajo tensi6n-. Energia elistica es la receta para un resorte cuando estit comprimido. i,Cu<i.nta energia es? Si so!tamos la energia elilstica, a medida que el resorte pasa por e! punto de equilibria, se convierte en energia cinetica y Csta pasa alternativamente por compresiones o estiramientos del resorte y energia cinetica de movimiento. (Hay, ademas, cierta energia gravitacional que entra y sale. pero podemos hacer este experimento "de costado'" si lo deseamos.} Se man tendril en movimiento hasta que frene por pCrdidas. jAh! Hemos estado trampeando todo el tiempo, poniendo pequeOos pesos para mover cosas, o diciendo que las mitquinas son reversibles, o que se mueven permanentemente; pero podemos ver que las cosas se detienen a la larga. i,D6nde estit la energia cuando el resorte ha terminado de moverse de arriba a abajo? Esto introduce oJra forma de energia: la energia ca/Orica. Dentro de un resorte o de una palanca hay cristales formados por muchos ittomos y con gran cuidado y delicadeza en !a disposici6n de las partes uno puede tratar de ajustar las cosas de modo que ruede sobre algo sin que ninguno de los 8.tomos verifique agitaci6n alguna. Pero uno debe tener mucho cuidado. Ordinariamente cuando las cosas ruedan, hay sacudimiento y agitaci6n debido a las irregu!aridades del material y los atomos comienzan a menearse en el interior. Asi perdemos la pista de esa energia; encontramos que los 8.tomos esti\n mene8.ndose en el interior de una manera al azar y confusa despues que el movimlento se detuvo. Ai.Jn hay energia cinetica, por cierto, pero no es tit asociada a un movimiento visible. j Estamos soiiando! t.C6mo sabemos que aim hay energia cinCtica? Resuita que con term6metros pueden encontrar que, de hecho, el resorte o !a palanca estan mils calientes y que hay realmente un incremento de la energia cinetica en una cantidad definida. Uamamos energia ca/Orica a esta energia, pero sabemos que Csta no es realmente una nueva forma, es justamente energia cinCtica -movimiento intemo-. (Una de las dificultades con todos estos experimentos que hacemos con materia a gran escala es que no podemos demostrar realmente 4-9 la conservaci6n de la energia y no podemos construir realmente nuestras m<iquinas reversibles, porque en cada momento movemos una gran masa de sustancia y los <itomos no permanecen absolutamente imperturbados, y asi una cierta cantidad de movimiento al azar ocurre dentro del sistema atOmico. No podemos verlo, pero podemos medirlo con un term6metro. etc.) Hay muchas otras formas de energia, y, por supuesto, no podemos describir!as con mils detal!e ahora. Existe la energia electrica, que tienc que ver con el empuje y arrastre de cargas el&:tricas. Existe la energia radiante, la energia de la luz, que sabemos es una forma de la energia electrica, porque la luz puede representarse coma oscilaciones en el campo electromagnetico. Existe la energia quimica, la energia que es libcrada en las reaccioncs quimicas. Realmente, la energia elilstica es, hasta cierto punto, como la energLa quimica, porque !a energia quimica es la energia de atracciOn de los iltomos, de uno al otro, y asi cs energia elitstica. Nuestro conocimiento moderno es el siguiente: la energia quimica consta de dos partes, energia cinetica de los electrones en el interior de los ittomos, asl parte de ella es cinetica, y encrgia e!Cctrica de interacci6n de !os electrones y protones -por lo tanto, el resto de ella es. electrico-. En seguida llegamos a la energia nuclear, la energia involucrada en el arreglo de las particulas dentro de! nUcleo, y tenemos formulas para eso, pero no tcnemos sus !eyes fundamentales. Sabemos que no es e!Cctrica, no es gravitacional y no es puramente quimica, pero no sabemos lo que es. Parece ser una forma adicional de encrgia. Finalmente, asociada con la teoria de !a relatiuna modificaci6n de las lcyes de la energia cinetica, o como quieran modo tal que la energla cinCtica esta combinada con otra cosa llamada masa. Un objeto tienc cnergia a partir de su sola existencia. Si yo tengo un electr6n que permanecen quietos sin hacer nada -sin importar la importar cualquier otra cosa- y se juntan y desaparecen, se libera cantidad definida, y la cantidad puede calcularse. Todo lo es la masa del objeto. No depende de lo que sea -podemos obtcner cierta cantidad de encrgia, La formula fue dla es: E = mc1 . Es cvidente a partir de nuestrn discusiOn que la ley de conservadOn de la energla es enormemente Util para hacer an:ilisis, tal coma lo hcmos ilustrado con unos pocos ejcmplos sin conocer todas las formulas. Si tuvi6-amos todas las formulas para todas ias formas de encrgia, podriamos analizar cuilntos procesos deberian verificarse sin tener que entrar en detalles. Por eso las !eyes de conservaci6n son muy interesantes. La cuesti6n que naturalmente surge es qui: otras Jeyes de conservaci6n hay en fisica. Hay otras dos \eyes de conservaci6n que son anitlogas a la conservaci6n de la energia. Una sr. Barna la conservaci6n del momentum lineal. La otra se llama la conservaci6n del momentum angular. Nosotros averiguaremos mils acerca de Cstas m:is adelante. En Ultimo anfilisis no entendemos en profundidad las !eyes de conservr.ci6n. No entendemos la ley de conservaciOn de la energia. No entendemos la energia como cierto nUmero de pequeiias gotas. Puede que hayan oido que los fotones se manifiestan coma gotas y que la energia de un fot6n es la constante de Planck multip!icada por la frecuencia. Esto es cierto, pero ya que la frecuencia de la luz puede tomar cua!quier valor, no hay ninguna ley que diga que la energia tenga que ser una cierta cantidad definicla. A diferencia de los bloques de Daniel puede haber cualquier cantidad de energia, por lo mcnos como se entiende actualmente. De manera que, por ahora, no entendemos 4-10 esta energia como contar algo, sino como una cantidad matem3.tica, lo que es una circunstancia abstracta y mas bien peculiar. En medtnica cuitntica resulta que la conservaciOn de la energia esta muy estrechamcnte relacionada con otra importante propiedad del mundo, las cosas no dependen def tiempo absoluto. Podemos montar un experimento en un momenta dado y probarlo, y luego hacer el mismo experimento en un memento posterior, y eJ se desarrolla exactamente en !a misma forma, Si es to es estrictamente cierto o no, no lo sabemos. Si suponemos que es cierto y agregamos los principios de la mec::i.nica cu3.ntica, entonces podemos deducir el principio i;ie la conservaciOn de !a energia. Es una cosa mas bien sutil e intcresantc y no es facil de explicar. Las otras !eyes de conservaciOn estim tambien ligadas entre si. La conservaci(m de\ momentum esta asociada en mecimica cuii.ntica con la proposici6n que no importa d6nde se haga el experimento; los resultados serim siempre los mismos. Asi como la independencia en el espacio tiene que ver con la conservaci6n de! momentum, la independencia en el tiempo tiene que ver con la conservaciOn de !a energia, y finalmente si girdramos nuestros aparatos, esto tampoco implica diferencia, de modo que la invariancia de! mundo a la orientaci6n angular estit relacionada con la conservaci6n de! momentum angular. Ademt'ts de estas, hay tres [eyes de conservaci6n que son exactas hasta donde lo podemos afirmar hoy dia, que son mucho mils simples de entender, porque son de! mismo tipo que contar bloques. La primera de las tres es la conservaci6n de la carga, y que sencillamente fica que ustedes cuentan las cargas positivas, menos las cargas negativas tienen, y el nUmero no cambia nunca. Pueden deshacerse de una positiva con una negativa, pero no crean ninglln exceso neto de positivas sobre negativas. Hay dos !eyes anillogas a esta -una es la Hamada conservaci6n de bariones-. nUmero de particulas extraiias, son ejemplos un neutr6n y un prot6n, que bariones. En cualquier reacciOn en la naturaleza. si contamos cu'1ntos intervienen en un proceso, el nUmero de bariones* que resu!ta ser::i. mismo. Hay otra ley, la co11sen·aci611 de leptones. Podemos decir lJUe e~e de particulas llamadas leptones es: el electr6n, el meson mu, el neutrino. un antielectr6n, que cs un positr6n. esto es, -1 lcpt6n. Al el ntimero de leptones en una reacci6n resu!ta que el nllmero que entra y al menos por lo que sabemos hasta el presente. Estas son las seis !eyes de conservaci6n, tres de ellas sutiles, involucrando espacio y tiempo, y tres de ellas simples, en el sentido de contar cosas. Con relaci6n a la conservaci6n de la energia debit:ramos notar que la energia disponible es otro asunto -hay mucha agitaci6n de los atomos de! agua de mar, puesto que cl mar tiene cierta temperatura, pero es imposible reunirlos en un movimiento definido sin tomar energia de cualquier otra parte-. Es decir, aunque sabemos, de hecho, que la energia se conserva, la energia disponible para la utilidad humana no se conserva tan filcilmente. Las !eyes que gobiernan la cantidad de energia disponible se Haman {eyes.de la termodindmica y encierran un concepto llamado entropia para los procesos termodinil.micos irreversibles. • Contando los antibariones como -1 bari6n. 4-ll Finalmente, reparamos en el problema de dOnde podemos obtener nuestras fuentes de energia hoy dla. Nuestros abastec1mientos de energia provienen del sol, la lluvia, el carb6n, el uranio y el hidrOgeno. El sol forma la lluvia y tambien el carb6n, de modo que todo esto proviene del sol. Aunque la energia se conserva, la naturaleza no parece interesada en ello; libera gran cantidad de energia desde el sol, pero s61o una parte en dos mil millones cae sobre la tierra. La naturalez:a conserva !a energia, pero, realmente, no le importa; derrocha mucha en todas direccioncs. Ya hemos obtenido energia de! uranio, podemos obtenerla tambien de! hidr6geno, pero actua!mente s6lo en una condici6n explosiva y peligrosa. Si pudiera ser controlada en reacciones termonucleares, resulta que la energia que pueda obtenerse a partir de 10 litros de agua por segundo es igual a toda la potencia electrica generada en ios Estados Unidos. iCon 600 litros de agua corriente por minuto tienen suficiente combustible para abasteccr toda la energia que se usa hoy dia en !os Estados Unidos! Por lo tanto, concierne a !os fisicos resolver cOmo \iberarnos de la necesidad de tener energia. Esto puede hacersc. 4-12 5 Tiempo y distancia 5-l El movimiento 5·5 Unidades y patroncs de tiempo 5-2 El tiempo 5-6 Distancias grandes 5-3 Tiempos cortos 5- 7 Distancias pequeiias 5-4 Tiempc > largos 5-1 El movimiento En este capitulo consideraremos algunus aspectos de los conceptos de liempo ) distancia. Se ha puesto f:nfasis desde un comienzo que la fisica, coma todas las ciencias. depende de la obsen·aci6n. Se puede decir. tambiCn, que el desarrollo de las ciencias fisicas en su forma actual ha dependido en gran medida de! enfasis que se ha puesto en haccr obsen·aciones cuantitativas. SOio mediante observaciones cuan· titativas puede llegar uno a relaciones cuantitativas. quc son ci coral6n de la fis1ca Sett' ~ ' •'.'··:"Dos"-, "Tres" I I '•• '" Fig 5-1 Una bola baja rodando por una p1sta1nclinada A muchas personas le~ gusta co!ocar el de la foica en ci trabajo hccho hace 350 ai'ios por Galileo y llamarlo el primer Hasw esa epoca cl estuciio de! movimicnto habia ~ido !ilos6fico y ba~ado en argumcntos que podian idearse con !a cabeza. La mayoria de !os razonamientos habm sido presentada por Arist6teles y otros fillisofos griegos y sc tomaban como ··probados··. Galileo era csceptico. e hizo un experimento sabre el movimicnto. que fue esencialmente el siguiente: hizo radar una bola hacia abajo en un piano indinado y observ6 el movimiento. 5in embargo, no sO!o observO; midi6 la distancia que recorri6 la bo!a y en cu6nto tiempo. El modo de medir una distancia era bien conocido mucho antes de Galileo. pero no habia modos predsos de medir el tiempo. particularmente tiempos cortos. Aun que despuCs disei\O relojes mils satisfactorios (aunque no como los que eonocemos ahora), cl primer experimcnto de Galileo sobrc el movimiento fue hecho usando su pulso para contar intervalos iguales de tiempo. Hagamos lo mismo. Podemos contar los latidos del pulso mientras la bola rueda hacia abajo sobre la pista: ··uno ...dos ...tres... cuatro ...cinco... seis ... siete ...ocho ... ·• Pedimos a un amigo que haga una pequeiia marca en la ubicaci6n de la bola para cada cuenta; podemos entonces medir la distancia que se movi6 la bola desde el punto en que se soltO en uno, o dos, o tres, etc., intervalos iguales de tiempo. Galileo expres6 el resultado de sus observaciones de este modo: si la ubicaciOn de la bola es marcada a l, 2, 3, 4 ... unidades de tiempo desde el instante en que se suelta. esas marcas distan de! punto de partida en proporci6n a los nllmeros I. 4, 9, 16 ... Hoy diriamos que la distancia es proporcional al cuadrado de\ tiempo. El estudio del movimiento, que es bilsico para todos los fisicos, implica las preguntas (.dOnde?, y (.cu<i.ndo? 5-2 El tiempo Consideremos primero lo que queremos decir por tiempo. (.Que es el ticmpo? Seria estupendo encontrar una buena definici6n de\ tiempo. El diccionario Webster define ··un tiempo .. como ··un periodo ", y este Ultimo como ··un tiempo ... lo quc no parece ser muy Util. Quizils debi6-amos decir: "tiempo es !o que ocurre, cuando nada mils ocurre~. Lo que tampoco nos Ueva muy lejos. Puede ser que sea igualmente bueno que cnfrentemos el hecho que el tiempo es una de las cosas quc probablcmente no podemos definir (en el sentido del diccionario). y ~Olo decir que es lo que ya sabemos que es: jes cu:into esperamos! De todos modos, lo que realmente importa no es definir el tiempo sino como medirlo. Una manera de medir el tiempo es utilizar algo quc ocurra una }' otra vez de modo regular -algo que sea peri6dico-. Por ejemplo un dia. Una dia parece ocurrir una y otra vez. Pero cuando comienzan a pensar acerca de ello, bien pueden preguntar: "(.Son los dias periOdicos? (.Son regulares? (.Son todos los dias de la misma duraciOn?" Ciertamente, uno tien<: la impresiOn que !os dias Je verano son mas largos que los de invierno. Por supuesto, a!gunos dias de invierno parecen ser desagradablemente largos si uno estii. muy aburrido. Seguramente han oido decir a aJguien: "jCaramba, este si que ha sido un dia !argo!'" Sin embargo, parece ser quc los dias ~on casi del mismo iargo {'11 prumedio. (.Hay algUn modo para verificar si los dias son Jel mismo largo "'sea de un dia al siguiente-. o por lo menos en promedio? Una manera es hacer una comparaciOn con algUn otro fenOmeno periOdico. Vcamos cOmo puede haccrse tal comparaciOn usan do un reloj de arena. Con un reloj de arena podemos .. crear .. un suceso peri(Jdico siempre que tengamos a alguien ocupado durante el dia y la nochc para girarlo cuando el Ultimo grano de arena haya caido. Entonces podriamos contar las vucltas Jd reloj de arena desde cada maiiana a la siguiente. Encontrariamos esta vez que el nUmero de ··horas .. (es dccir, vueltas del rcloj de arena) no fue el mlsmo cada ··dia ... Podriamos desconfiar del :-.ol. o del re loj de arena o de ambos. Despues de pensar un poco, puede ocurrirsenos contar las "horas" de mediodia a mediodia (el mediodia no estil. definido aqui como las 12,00 horas, sino coma el instante en que el sol estil. en su punto mils alto). Encontrariamos esta vez que e! nU:mero de horas de cada dia es el mismo. Tenemos ahora, alguna confianza en que tanto la ''hara" como el "dia" tienen una periodicidad regular, es dedr, indican sucesivos intervalos iguales de tiempo, aunque no hemos probado que cada uno sea "realmente" peri6dico. Alguien puede preguntar si no pudiera haber alglln ser omnipotente que hiciera disminuir el flujo de arena cada noche y aumentarlo durante el dia. Nuestro experimento, por supuesto, no nos da una respuesta sabre esta clase de preguntas. Todo lo que podemos decir es que encontramos que una regularidad en una cosa lleva consigo una regularidad en la otra. Podemos s61o decir que basamos nuestra definici6n del tiempo en la repetici6n de algU.n evento aparentemente peri6dico. 5-3 Tiempos cortos Podr[amos indicar ahora que en el proceso de verificar la reproductibilidad de! dla, hemos recibido un importante subproducto. Hemos encontrado !a manera de medir en forma mas precisa fracciones de dia. Hemos encontrado un modo de contar el tiempo en pequeiias partes. lPodemos llevar mils lejos este proceso y aprender a medir intervalos de tiempo aU:n mas pequeiios? Galileo determin6 que un pendulo siempre osd!a en intervalos igua!es de tiempo, siempre que el tamailo de la oscilaciOn se mantenga pequeiio. Un ensayo que compare el nUmero de oscilaciones de un pendulo en una "horn., demuestra que Cste es efectivamcnte el caso. En esta forma podemos marcar fracciones de una hora. Si usamos un dispositivo mecanico para contar las oscilacioncs -y para mantener!as-, tenemos el reloj de pendulo de nuestros abuelos. Convengamos que si nuestro pCndulo oscila 3.600 veces en una hora (y sl hay 24 de tales horas en un dia) llamaremos a cada periodo de! pCndulo un "segundo". Hemos dividido cntonces nuestra unidad original de tiempo en aproximadamente JO' partes. Podemos aplicar los mismos principios para dividir el segundo en intcrvalos mits y mas pequeilos. Se daran cuenta que no es practico hacer pendulos mecanicos que funcioncn arbitrariamente rapido, pero ahora podemos hacer pCndulos ellictricos llamados osciladores. que pueden proporcionar sucesos pcriOdicos con un tiempo de oscilaciOn muy pcqueilo. En estos osciladores e!ectr6nicos hay una corriente elCc trica que osci!a en forma aitit!oga a la oscilaciim de la !enteja del pi:ndulo Podemos hacer una serie de talcs osciladores electr6nicos cada uno con un periodo JO veces mas corto que el precedente. Podemos "calibrar" cada oscilador con el siguiente mas lento, contando el nUmero de oscilaciones que hace por una oscilaci6n del mas lento. Cuando el periodo de oscilaciOn de nuestro reloj es menor quc una fracciim de segundo, no podemos contar las oscilaciones sin la ayuda de alglln dispositivo que extienda nuestro poder de observaci6n. Un dispositivo tal es un osci loscopio de haz e!ectr6nico. el cu al act Ua co mo una especie de microscopio para tiempos cortos. Este dispositivo traza en una pantalla fluorescentc un grilfico de la corricnte electrica (o el voltaje) en funciOn del tiempo. A! conectar el osciloscopio a dos de nuestros osciladores uno despui:s del otro de modo 5-3 (a) lb) Fig. 5-2. Dos vistas de la pantalla de un osciloscopio. En (a) el osciloscopio esta conectado a un oscilador, en (b) esta conectado a un oscilador con un perfodo de un decimo de duraci6n. que primero hace un grilfico de la corriente en uno de nuestros osciladores y despues de !a corriente en el otro, obtenemos dos grilicos como los que se muestran en la figura 5-2. Podemos determinar filcilmente el nUmero de periodos del oscilador mils rilpido en un perlodo de! oscilador mils lento. Con las modernas tecnicas electr6nicas se han construido osciladores que tiencn perlodos tan pequeflos como 10·-ti segundos, y han sido calibrados (por metodos de comparaciOn como los que hemos descrito) en tCrminos de nuestra unidad patr6n de tlempo, el segundo. Con la invenci6n y perfeccionamiento de! "laser" o amplificador de luz, en estos Ultimos ailos, ha llegado a ser posible construir osciladores con periodos aim mis cortos que 10- 12 segundos; pero no ha sido todavia posible calibrarlos mediame !os metodos que hemes descrito, aunque no hay duda que pronto sera posible. Se han medido intervalos de tiempo mils pequeii.os que 10- 12 segundos, pero mediantc una tCcnica diferente. En efecto, se ha usado una deflnici6n diferente de] "tiempo'", Una manera ha sido observar la distancia entre dos sucesos para un objeto en movimicnto. Si. por ejemplo, las luces delanteras de un autom6vil en movimiento se prenden y despues se apagan, podemos calcular cucinto tiempo estuvieron cargadas las luces, si sabemos d6nde fueron encendidas y apagadas y la velocidad con que se movl6 el autom6vil. El tiempo es la distancia durante la cual las luces estuvicron encendidas, dividida por la velocidad. En cstos Ultimas aiios justamente se utiliz6 una tecnica asi para medir el tiempo de vida dei mcsOn T 0 . Al observar en un microscopio las pequefias trazas dejadas en una cmulsi6n fotogrilfica, en la cual los mesones 7fG habian sido creados, se via que un mcsOn ,.,.o (se sabe que viaja a una vdocidad cercana a la de la luz) se movi6 una distancia de 10- 1 metros en promedio antes de desintegrarse. Vivi6 s6lo durante unos 10- seg. Debcri ponerse enfasis que aqui hemos utilizado una definiciOn un poco difercnte de! "tiempo" que las anteriores. Mientras no ha ya contradicciones en nuestra comprensi6n, nos sentimos bastante seguros que nuestras definiciones son suticicntcmente equivalentes. Extendiendo nucstras tecnicas aUn mils -y si es necesario nuestras definicionespodemos inferir el tiempo de duraci6n de acontecimientos aUn mis rilpidos. Podemos hablar de\ 1" periodo de una vibraci6n nuclear. Podemos hablar de! tiempo de vida de las recientemente descubiertas resonancias extraiias (particulas) mencionadas en el capitulo 2. Su vida entera dura un lapso de s61o 10- 24 segundos, el tiempo que aproximadamente tardaria la luz Oa que se mueve a la mayor de las velocidades conocidas) en atravesar el nllcleo de hidr6geno (el mas pequeiio de los objetos conocidos). z,Que hay de tiempos alm mas pequeiios? ,:.Existe el "tiempo" en una escala alm mas pequeiia? ,:. Tiene sen ti do hablar de tiempos men ores si no los podemos medir --o quizils incluso ni pensar en eilo sensatamente-, algo que sucede en un tiempo aUn mas pequeiio? Quizas no. Estos son algunos de los problemas no resueltos quc ustedes estarim preguntando y quizils contestando en los pr6ximos veinte o treinta aiios. 5-4 Tiempos largos Consideremos ahora tiempos mayores que un dia. La medida de tiempos largos es facil; s6lo contamos los dias sicmpre que haya alguien que lleve la cuenta. Desde luego encontramos que hay otra periodicidad natural: el aiio, de alrededor de 365 dias. Tambien hemos descubierto que la natura!eza entrega algunas veces un contador para los aiios, en forma de anillos de los <irboles o scdimentos de! fondo de los rios. En algunos casos podemos usar esos marcadores naturales de! tiempo para determinar el lapso que ha transcurrido desde algUn acontecimiento primitivo. Rod'"""''idod ' '~ ,. ' ;ffl 0 T 2T 3T Ticmpo Fig. 5-3. El decrec1rn1ento de la radioactividad en el tiernpo. La act1vidad decrece a la mitad en cada "v1da media", T Cuando no podemos contar los aiios para la medida de tiempos largos, debemos buscar otras formas de medir. Una de las que ha tenido mils exito es usar coma "reloj" un material radioactivo. En este caso no tenemos un acontecer peri6dico como el dia o cl pCndu!o, sino un nuevo tipo de "rcgularidad". Encontramos que la radioactividad de una muestra de material particular decrece la mismafracciOn para sucesivos aumentos iguales en su cdad. Si trazamos un grii.1lco de la radioactividad observada coma funci6n de\ tiempo (digamos en dias), obtenemos una curva coma la que se muestra en la figura 5-3. Observamos que si !a radioactividad decrece a la mitad en T dias (llamada la "vida media"). entonces decrece a un cuarto en otros T dlas, y asi sucesivamentc. En un intervalo de tiempo arbitrario l hay !/T "vida~ medias". entonccs la fracci6n que queda despues de este tiempo t es(!) r,1T. Si supieramos que un pcdazo de material, digamos un pedazo de madera, contenia una cantidad A de material radioactivo cuando se form6, y encontrilramos por una medida directa que ahora contiene una cantidad B. podriamos calcular la edad 5-5 TIEMPOS VIDA MEDIA OE ANOS SEGUNDOS 10 18 Edad del universo Edad de la tierra 10' ]015 Primeros hombres 1012 Edad de las pir<'irnides 10n Edad de los E.E.U.U Vida de un hombre Ra226 10' H' 10• 10 3 I 10-3 10-H 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-2~ Un dia la luz va del sol a la tierra Un lat1do del coraz6n Periodo de una onda sonora Periodo de una onda de rad'10 Neutr6n Muon Mes6n 'T' Meson 'T' la luz v1aia 30 centimetros Periodo de la rotac16n molecular Periodo de la vibrac16n at6mica la lu2 atrav1e.<.a u11 atorno Periodo de la v1brac16n 11uclear La lu1 atrav1esa un nt1cleo Particula extrar'ia (7)7"'!?7/() del objeto, I, rcsolvicnJo la ecuaci(m OJ'fT =BIA. Afortunadamente hay casos en los cuales podemos conocer la cantidad de ra dioactividad que tenia un objeto cuando se form6. Sabemos, por ejemplo, que el di6xido de carbono en el aire contiene una derta pequei'ta fracci6n de! is6topo radioactivo de! carbono, C 1 ~ (reabastecido continuamente por la acciOn de los rayos c6smicos). Si mcdimos cl contcniJo total de carbono de un objeto, sabemos que cierta fracciOn de esa cantidad era originalmente el C 14 radioactivo; conocemos, por lo tanto. la cantiJad inicial A a usar en la formula anterior. El carbono-14 tiene una vida media de 5.000 ailos. Con medidas cuidadosas podemos medir la cantidad que queda dcspuCs de 20 vidas medias o algo asi, y podemos por lo tanto "fechar .. ob" jetos orgitnicos que crecieron hace 100.000 ailos. ant1guas Nos gustaria conocer. y creemos conocer, la vida de cosas aU.n Mucho de nuestro conocimiento estit basado en las medidas de otros 5-6 radioactivos que tienen diferentes vidas medias. Si hacemos medidas con un is6topo de vida media mayor, entonces podremos medir tiempos mayores. Por ejemplo, el uranio tiene un is6topo cuya vida media es alrededor de 109 aiios, de modo que si algU:n material se form6 con uranio en CJ hace 109 aii.os, hoy en dia s6lo quedaria la mitad del uranio. Cuando el uranio se desintegra, se convierte en plomo. Consideren un pedazo de roca que se form6 mucho tiempo atr<is en algU:n proceso quimico. El plomo, siendo de naturaleza quimica diferente al uranio, apareceria en una parte de la roca y el uranio apareceria en otra parte de la roca. El uranio y el plomo estarian separados. Si observamos hoy ese pedazo de roca, donde debiera haber sblo uranio encontraremos ahora una cierta fracciOn de uranio y una cierta fracci6n de plomo. Por comparaciOn de estas fracciones podemos decir cuaJ es el porcentaje de uranio que desapareci6 y se transform6 en plomo. Con este mCtodo se ha determinado la edad de ciertas rocas, resultando ser de varios miles de millones de aiios. Una extensi6n de este mCtodo que no usa rocas particulares, pero que observa el uranio y plomo en los ocCanos y usa promedios sabre la tierra, ha sido usada para determinar (en los Ultimas aiios) que la edad de la tierra misma es aproximadamente de 5,5 mil millones de aiios. Es alentador que se haya encontrado que la edad de la tierra sea la misma que la edad de los meteoritos que caen sabre ella, segUn se determina por e! mCtodo de] uranio. Parece que la tierra surgi6 de las rocas que flotan en el espacio, y que \os meteoritos, muy probablemente, son algo de aquel material que qued6. En un cierto instante, hace mils de 5 mil millones de aiios, comenz6 el universo. Se cree ahora que por lo menos nuestra parte de! universo tuvo su comicnzo hace cerca de diez a veinte mil millones de aiios. No sabemos lo que ocurri6 antes de esto. De hecho, podemos muy bien preguntar de nuevo: (.Tiene alglln sentido la pregunta? (.Tienen los tiempos anteriores alglln significado? 5-5 Unidades y patrones de tiempo Hemes dado a entcnder que es conveniente comenzar con alguna unidad patr6n de tiempo, digamos un dia o un segundo, y referir todos los otros tiempos a algU:n mU:ltiplo o fracci6n de esta unidad . .-,Que tomarcmos como nuestrn patr6n bil.sico de tiempo? (.Tomaremos el pulso humane? Si comparamos los pu!sos, encontramos que ellos varian mucho. Al comparar dos relojes se cncuentra que no varian tanto. Ustedes podrian cntonces decir: bien, tomcmos un reloj. (.Pero el reloj de quien? los relojes de la ciudad so Hay una historia de un niiio suizo que queria que partes tratando de con naran al mediodia al mismo tiempo. Entonces fue a veneer a todos del valor de esto. jTodos pensaron que era una idea maravillosa que todos los otros rclojes sonaran al mediodia cuando lo hiciera el propio! Es mas bien dificil deciriir el reloj de quien debiCramos tomar como patrOn. Afortunadamentc todos compartimos un rcloj -la tierra -. Dcsdc hacc mucho tiempo se ha tornado el periodo rotacional de la tierra como el patr6n bilsico del tiempo. Sin embargo, a medida han ido hacienda medidas mas mils precisas se ha encontrado la se mide con la tierra no es pasan 57 Hasta hace muy poco no hemos encontrado nada mejor que el periodo de la tierra, asi todos los re\ojes se han referido a la longitud del dia y se ha definido el segundo coma I /86400 de un dia promedio. Recientemente hemos estado ganando experiencia con alguno~ osciladores naturales que creemos ahora podri.an pr?porcionar una referenda de tiempo mils constante que la tierra y que tambien estan basados en un fen6meno natural disponible para todos. Estos son las asi llamados ··relojes at6micos ". Su periodo interno b<lsico es el de una vibraci6n at6mica que es muy insensible a la temperatura o cuaksquiera otros efectos externos. Estos rclojes se mantienen en hora con una precisi6n de una pane en 109 , o mejor. Dentro de los dos Ultimas afios un reloj at6mico perfeccionado que opera basado en la vibraci6n de\ 3.tomo de hidrOgeno ha sido diseii.ado y construido par cl Profesor Norman Ramsey de la Universidad de Harvard. El piensa que este reloj podria ser 100 veces mas preciso aim. Las mediciones que se estitn realizando mostraritn si esto es verdad o no. Podemos esperar que ya que ha sido posib!e construir relojes mucho mils prcci sos que el tiempo astron6mico, habrit pronto un acuerdo entre los cientificos para definir la unidad de· tiempo en tCrminos de un reloj at6mico patr6n. 5-6 Distancias grandes Volvamos ahora al prob!ema de la distancia. ;,,A quC distancia estiln o quC tamai'io tienen las cosas? Cualquiera sabe que la manera de medir distancias es empezar con una regla y contar. 0 empezar con un pulgar y contar. Empiezan con una unidad y cuentan. ;,,C6mo mide uno cosas mas pequeiias? ;,,C6mo subdivide una distancia? De la misma manera quc subdivitlimos el tiempo: tomamos una unidad menor y contamos el nUmero de tales unidades que se necesitan para obtener la unidad mayor. Asi podemos medir longitudes mils y mas pequeiias. '*', (~~-m~~~~ Pero no siempre entendemos por distancia lo que se obtiene contando sucesivauna varilla metrica. Seria dificil medir la di~tancia horizontal entre las dos montaii.as usando s6lo una varilla mCtrica. Hemos encontrado por que la distancia pucdc mcdirse de otro modo: por triangu!aciOn. Aunque que realmente estamos usando una definici(m diferentc de distancia, cuando ambas pucden usarse. El espacio es mils o menos lo que Eucliquc era, de modo que las dos tipos de definici6n de distancia concuerhecho que concuerden en la tierra nos da confianza para usar la triangulaci6n para distancia~ aUn mils grandes. Por ejemplo, pudimos usar la triangu!acibn para medir la altura de! primer Sputnik. Encontramos que estaba aproximadamente a 5 x 10 1 metros de altura. Con medicionc~ m3s cuidadosas puede medirse de la misma manera la distancia a la luna. Dos 5·8 telescopios en diferentes lugares sobre la tierra nos pueden dar Jos dos <ingulos que necesitamos. De este modo se ha encontrado que la luna est8: a 4 x I 0 8 metros dedistancia. No podemos hacer Jo mismo con el sol, o al menos nadie ha sido capaz todavia. La exactitud con que se puede enfocar cierto punto del sol y con que se puede medir imgulos no es lo suficientemente buena para pennitirnos medir la distancia al sol. iC6mo podemos medir entonces la distancia al sol? Debemos inventar una ampliaci6n de la idea de triangulaci6n. Medimos las distancias relativas de todos los planetas par observaciones astron6micas de las posiciones aparentes de Jos planetas y obtenemos un cuadro del sistema solar con las distancias propias relativas de cada cosa, pero no con distancias absolutas. Se requiere, entonces, una medida absoluta que ha sido obtenida de varios modos. Una de esas formas, que se creian hasta hace poco ser la mas exacta, consisti6 en medir la distancia de la tierra hasta Eros, uno de los pequei'tos planeloides que pasa cerca de la tierra de vez en cuando. Por triangulaci6n sabre este pequefio objeto, se pudo obtener la escala de medida requeri· da. Conociendo las distancias relativas del resto, podemos, por ejemplo, indicar la distancia de la tierra al sol o de !a tierra a Plut6n. En los Ultlmos ai'tos ha habido un gran progreso en nuestro conocimiento de la escala del sistema solar. En el Jet Propulsi6n Laboratory se midi6 muy exactamente la distancia de la tierra a Venus mediante una observaci6n directa con radar. Esto, por supuesto, es un tipo todavia diferente de distanda deducida. Decimos que conocemos la velocidad a que viaja la luz (y, por lo tanto, a la que viajan las ondas de radar), y suponemos que es la misma velocidad en todas partes entre la tierra y Venus. Enviamos la onda de radio, y contamos el tiempo hasta que la onda reflejada regrese. A partir del tiempo inferimos una distancia, asumiendo que conocemos la velocidad. Tenemos en realidad otra definici6n de una medida de distancia. Fig. 5~ 5 la d1stanc1a de estrellas cerca- iCOmo medimos la d1stancia a una estrella que est<i mucho m;is Afonunadamente, podemos vo!ver a nuestro metodo de triangu!acilm. ya los obje su movimiento alrededor del so! nos da una gran linca de ba~c para tos que est<in fuera del sistcma solar. Si enfocamos un te!escopio hacia una estrella en verano y en invierno, esperariamos determinar con precisi6n sufic1ente estos dos iingulos para poder medir la distancia a una cstrel!a. Fig. 5-6. Un cUmulo de estrellas cerca del centro de nuestra galax1a Su distanc1a a la tierra es 30.000 afios luz. o alrededor de 3 x 1a2° metros. lQue pasa si las estrel\as est<in demasiado lejos como para usar la triangulaciOn? Los astrOnomos estil.n siempre inventando nuevos modos de medir distancias. Elias encuentran, por ejemplo, que pueden estimar el tamaiio y bril!o de una estrella por su color. Se ha medido el color y bri!!o de muchas estrellas cercanas --<:uyas distancias se conocen por triangu!aciOn~, y se ha encontrado que hay una pequei'ia re!aciOn entre el color y el brillo propio de las estrellas (en la mayoria de los casos). Si uno posee medidas de color de una estrella distante, se puede usar la relaciOn color-brillo para determinar ~l brillo propio de la estre!!a. Midicndo lo brillantc quc nos parece la estre!la desde la tierra (o tal vez deberiamos decir cuan diibil parece), podemos calcular lo alejada que estil.. (Para cierto brillo propio, el brillo aparente decrece con el cuadrado de la distancia.) Una hcrmosa confirmaciOn de lo correcto de este mCtodo para medir distancias estelares esta dado por los resultados obtenidos para grupos de estrellas, conocidos como cllmulos globulares. Una fotografia de un grupo tal se muestra en la figura 5-6. SOio con mirar la fotografia uno se convence que estas estrellas estti.n todas juntas. El mismo resultado se obtiene a partir de las medidas de distancia por el mCtodo color-brillo. Un estudio de muchos · cllmulos globulares da importantc informaci6n. Se encuentra que hay una alta concentraci6n de tales cllmulos en cierta parte de! cielo, y que la mayoria de ellas estil. aproximadamente a la misma distancia de nosotros. Juntando esta informaciOn con otra cvidencia, concluimos que esta concentraciOn de cUmulos marca el centro de nuestra galaxia. Conocemos entonces la distancia al centro de la galaxia -alrededor de I 010 metros. 5-10 Fig. 5-7. Una galaxia en esprral, coma la nuestra. Supornendo que su di.!imetro es s1mtlar al de nuestra prop1a galaxia, podemos calcular su d1stanc1a a partir de su tamaiio aparente. Esta a 30 millones de al'ios-luz (3 x 1023 metros) de la t1erra Conociendo el tamaiio de nuestra propia galaxia. tenemos una clave para !a medida de distancias aUn mayorcs --la distancia a otras galaxias--. La figura 5-7 es una fotografia de una galaxia. que tiene una forma muy parecida a la nuestra. Probablemente es del mismo tamaiio tambit'.:n. (Otras evidencias apoyan la idea que todas las galaxias son mils o menos del mismo tamaiio.) Si cs del mismo tamaiio que la nueslra, podemos indicar su distancia. Medimos el imgulo que subtiende en el cielo; conocemos su di:lmetro y calculamos su distancia jnuevamente triangulaciOn! Fotografias de galaxias sumamente distantes se han obtenido recientemente con el telescopio gigante de Palomar. La figura 5.8 muestra una. Se cree ahora que algunas de estas galaxias estitn alrcdcdor de medio camino dcl limite del universo -alejadas 1026 metros- jla mayor distancia que podemos contemplar~ 5- 7 Distancias pequeiias Pensemos ahora en distanclas menores. Subdividir el metro e~ faciL Sin mucha dificultad podemos marcar mil espacio;, iguales, que juntas hacen un metro. Con algo mii.s de dificultad, pero de una manera similar (usando un buen micrO'icopio), podemos marcar mil subdivisiones igualcs dcl milimctro. para hacer una escala en micrones (millonCsimas de metro). Es dificil continuar a escalas menores. porque no podemos ··ver" objetos mas pequeiios que la longitud de onda de la luz visible (ccr· ca de 5 x 10- 7 metro~). No necesitamos dctenernos, sin embargo. en lo croscopio electr6nico podemos continuar cl proceso. cala aUn menor, digamos 5-ll Fig. 5--8. El objeto mas distante a la fecha ( 1960), 3 C 295 en BOYE RO (serlalado por la flecha). medido por el telescopio de 200 pulgadas. hasta 10-x metros (Fig. 5-9). Mediante medidas indirectas -con una especie de triangulaci6n a escala microsc6pica- podemos continuar la medida a escalas mis y mis pequeiias. Primero, a partir de una observaci6n de c6mo la luz de pequeii.a longitud de onda (radiaci6n x) se refleja desde un conjunto de marcas de separaci6n conocida, determinamos la longitud de onda de las vibraciones de la luz. Entonces, a partir de! diagrama de dispersi6n de esa misma luz por un cristal, podemos determinar la posici6n relativa de los itomos en el cristal, obteniendo resultados que concuerdan con el espacio at6mico determinado tambien Fig. 5-9 Micrografia electr6nica de algunas molCculas de virus. La esfera "grande" es para la calibraci6n y se sabe que tiene un di.3metro de 2 x 107 metros (2000 A). 5-12 DISTANCIAS ANOS-LUZ METROS t 0~11 Borde del universo 10' 1024 IO' 1021 A laga!ax1avecma mascercana Al centro de nuestra galax1a lo' 1018 1015 1012 10' 10' 10' I 10-3 Alaestrellamascercana Radio de !a 6rbita de Plut6n Al sol A la luna Altura de un Sputnik Altura de una torre de TV Altura de un nii'io Un grano de sal 10-6 Un virus 10-9 Radio de un atomo 10-12 10-1s Radio de un nUcleo //)))}}}})/} por metodo quimicos. De este modo encontramos que los <itomos tienen un di<imetro de alrededor de 10- 10 metros. Existe una gran "laguna'" en los tamafios fisicos entre la dimensi6n at6m1ca tlpica de alrededor de 10- 10 metros y las dimensiones nudeares de JO 15 metros, JO 5 veces menores. Para los tamafios nucleares un metodo distinto para medir tamailos se hace conveniente. Medimos el cirea aparenle, r1, Hamada secci6n 1ransversa! efi caz efectiva. Si deseamos el radio, lo obtenemos de a ""' nr1 , puesto que el nllcleo es aproximadamente esforico. Pueden hacerse medidas de la secci6n eficaz nuclear hacienda pasar un ha.t de particulas de alta energia a traves de una pequefia J<imina de material y observando el nllmero de particulas que no la atraviesan. Estas particulas de alta energia se abren camino sin dificultad a traves de la delgada nube de electrone~ y se detcndr<in o deflectar<in s61o si chocan con el peso concentrado dcl nUcleo. Supongamos que tenemos un trozo de material 5-13 ~ ~ Fig. 5·-- 10. Vista imaginaria a traves de un bloque de carbono de 1 cm de espesor si s61o se observaran los nUcleos. de un centimetro de espesor. Habra cerca de Hf capas at6micas. Pero los nUcleos son tan pequei'ios que existe una pequeiia probabilidad de que algUn nU.cleo quede detnis de otro. Podemos imaginar que una vista de la situaci6n grandemente ampliada -mirada a lo largo de! haz de particulas- se veria co mo la figura 5-10. La oportunidad de que una pequeiiisima particula choque al nUcleo en la travesia es justamente el 3.rea total cubierta por !os pcrfiles de los nUcleos dividida por el 8.rea total en la figura. Supongamos que sabemos que en una ilrea A de nuestra l<imina de material ltay N iltomos (por supuesto, uno por cada nllcleo). Entonces el .firea total "cubierta" por Jos nllcleos es Na! A. Ahora hagamos que el nllmero de particulas de nuestro haz que llega a la lii.mina sea n 1 y el nUmero que sale al otro !ado sea n2 • La fracci6n que no atraviesa es (n 1-nJ/n 1 , quejustamente seril igual a la fracci6n de! ilrea cubierta. Podemos obtener el radio del nUcleo de la ecuaci6n* 7rr2 = 17 = ~ N n1 - n, n2. A partir de un experimento asi encontramos que los radios de !os nUcleos son alrededor de 1 a 6 veces 10- 15 metros. La unidad de longitud 10- 1 ~ metros se llama el fermi, en honor a Enrico Fermi (1901-1958). iQue encnntramos si vamos a distancias mils pequeiias'? iPodemos medir distancias mcnores '! Tales prcguntas no se pueden responder a Un. Se ha sugerido que e! misterio aim no resudto de las fuerzas nucleares puede ser desentraiiado sOlo mediante alguna modificaci6n a nuestra idea de espacio, o medidas de tales distancias pequeiias. Puede pensarse que seria una buena idea usar alguna longitud natural como nuestra unidad de longitud -·<ligamos el radio de la tierra o alguna fracci6n de e1. S\: intent6 originalmente que el metro fuera ta! unidad y se defini6 como (71"/2) x 10-7 veces el radio de la tierra. No es conveniente ni muy exacto determinar la unidad de longitud de este modo. Por mucho tiempo se ha convenido internacionalmente que el metro sea definido como !a dlstancia entre dos marcas en una barra guardada en un laboratorio especial en Francia. Miis reciemementc, se ha rcconocido que csta definici(m no es tan precisa como para ser Util. ni tan permancnte o universal como uno desearia. Se est:i considerando en la actualidad adoptar una nueva definiciOn, de acuerdo con cierto nUmero (arbitrario} de longitudes de onda de una determinada linea cspectral. ci(in de! tucal. si rrecd6n por cl frcnte a ellos. s61o si el area cubicrta por los nUcleos cs una pcquciia fraccs mucho menor quc 1. De otro modo debemos hacer una coque a!gunos nUdeus estarim parcialmente tapados por Jos nU:cleos 5-14 Las medidas de distancia y tiempo dan resultados que dependen de! observador. Dos observadores que se muevan uno con respecto al otro no mediritn las mismas distancias y tiempos, cuando miden lo que parece ser la misma cosa. Las distancias e intervalos de tiempo tienen diferentes magnitudes, segUn el sistema coordenado (o "marco de referenda") que se use para hacer las medidas. Estudiaremos este asunto con mas detalle en un capitulo posterior. Medidas perfectamente precisas de distancias o tiempos no estiLn permitidas por las !eyes de la naturaleza. Hemos mencionado anterionnente que los errores en una medida de la posici6n de un objeto deben ser al menos de! tamaiio de Ax~ h/op, donde hes una pequefia cantidad llamada "constante de Planck" y ti.pes el error en nuestro conocimiento de! momentum (masa por velocidad) de! objeto, cuya posici6n estamos midiendo. Se mencion6, ademits, que la indeterminaci6n en la medida de la posici6n estii relacionada con la naturaleza ondulatoria de las particulas. La relatividad de! espacio y el tiempo implica que la medida de! tiempo tiene tambien un error minima, dado de hecho por lJ.t = h/tJ.E, donde l!i.E es el error en nuestro conocimiento de la energia de! proceso, cuyo periodo de tiempo estamos midiendo. Si deseamos saber mds precisamente cwindo ocurri6 algo, debemos saber menos acerca de qui sucedi6, ya que nuestro conocimiento de la energia involucrada sera menor. La indeterminaci6n de! tiempo tambien estU relacionada con la naturaleza onduJatoria de la materia. 5-15 6 Probabilidad 6-1 Posibilidad y probabilidad 6-4 Una distribuciOn de probabilidad 6- 2 Fluctuaciones 6-5 El principio de indeterminaciOn 6-3 La caminata al azar "La verdadera l6gica de estc mun do estil en el citlculo de probabilidades." -James Clerk Maxwell 6-1 Posibilidad y probabilidad "Posibilidad" es una palabra de uso comlln en la vida diaria. Los reportajes de la 'radio al habiar del tiempo para maiiana suelen decir "hay un sesenta por ciento de posibilidad de lluvla ". Ustedes welen decir '·hay una pequeiia posibilidad de que yo viva hasta los cien aiios ". Los cientificos tambien usan la palabra posibilidad. Un sism6logo puedc cstar interesado en la pregunta: ";,Cui! es la posibilidad de que haya un terremoto de cierta magnitud al sur de California el pr6ximo aii.o?" Un fi. sico puede preguntarse: "(.Cuitl es la posibilidad de que cierto contador geiger regis· tre vcinte cuentas en los pr6ximos diez scgundos?" Un politico o un hombre de esta· do puede estar interesado en la pregunta: "(.Cu<il es !a posibilidad de que haya una guerra nuclear dcntro de los prOximos diez aiios?'' Ustedes pueden estar interesados en la posibilidad de que aprcndan algo en estc capitulo. Por posibilidad queremos exprcsar algo coma una conjetura. (.Por quC haccmos conjeturas? Haccmos conjeturas cuando deseamos hacer un juicio. pcro tenemos una informaci6n incompleta o un conocimiento incierto. Queremos hacer una con· jetura de cOmo son las cosas, o que cosas cs posiblc que ocurran. A mcnudo desea· mos haccr una conjetura, porque tenemos que tomar una decisi6n. Por ejemplo: "i,Llevare mi impermeable maiiana? (.Contra que movimientos de la tierra debo dise· ii.ar un nuevo edificio? (.Me construire un refugio contra el polvo radioactive? (,Debo cambiar mi posici6n frente a las negociaciones internacionales? lire hoy a clases?". A veces hacemos conjeturas porque deseamos, con nuestro limitado conocimien· to, decir tanto como podamos acerca de alguna situaci6n. En rcalidad, cualquier generalizaci6n es de !a naturaleza de una conjetura. Cualquier teoria fisica cs una especie de conjetura. Hay conjeturas buenas y malas. La teoria de la probabilidad es un sistema para hacer conjeturas mejores. El lenguaje de las probabilidades nos permite hablar cuantitativamente acerca de alguna situaci6n que puecie ser altamente variable, pero que tenga un comportamiento promeciio consistente. Consideremos el lanzamiento de una monecla. Si el lanzamiento -y la monedason "honestos", no hay manera de saber que esperar como resultado de un lanzamiento particular. Sin ~bar1m, esperariamos queen un gran nllmero de lanzamientos debiera haber aproximadamente iguaJ nlimero de caras y cruces. Decimos: "La probabilidad de que un lanzamiento resulte cara es 0,5." Hablamos de probabilidad s6lo para observaciones que contemplamos que se realicen en el futuro. Por "probabilidad" de un resu/tado particular de una observaci6n entendemos nuestra estimaci6n de la fracci6n mds probable de un nUmero de observaciones repetidas que dardn ese resultado particular. Si imaginamos repetir una observaci6n -ta! como mirar una moneda recientemente Janzada- N veces, y si llamamos NA nuestra estimaciOn del nU.mero mis probable de nuestras observaciones que dara alglln resultado especificado A. por ejemolo el resultado "caras ",entonces por P(A), la probabilidad de observar A, entendemos P(A) ~ NA(N. (6.1) Nuestra definici6n requiere varios comentarios. En primer lugar, podemos hablar de probabilidad de alglln suceso s6lo si la ocurrencia es un resultado posible de alguna observaci6n repetible. No esti daro que tenga alglin sentido preguntar: "~Cui! es la probabilidad de que haya un fantasma en esa casa?" Ustedes pueden objetar que ninguna situaci6n es exactamente repetible. Esto es cierto. Cada observaci6n diferente debe al menos ser en diferente tiempo o lugar. Todo Jo que podemos decir es que las observaciones "repetidas" deberian, para nuestros fmes, parecer equivalentes. Al menos, supondremos que cada observaci6n fue hecha en un situaci6n equiva!entemente preparada, y en especial con el mismo grado de ignorancia al comienzo. (jSi en un juego de naipes miramos disimuladamente las cartas de un oponente, la estimaci6n de nuestra posibilidad de ganar es diferente que si no lo hicieramos !) Debemos poner 6nfasis que Ny NA en la ecuaci6n (6.1) no pretenden representar nUmeros basados en observaciones reales. NA es nuestra mejor estimaci6n de lo que ocurrir{a en N observaciones imaginadas. La probabilidad depende, por lo tanto, de nuestro conocimiento y de nuestra habilidad para hacer estimaciones. En realidad, jde nuestro sentido comUn! Afortunadamente, hay clerto grado de acuerdo en el sentido comUn para muchas cosas, de modo que distinta gente hara la misma estimaci6n. Sin embargo, las probabilidades no necesitan ser nUmeros "absolutos··. Ya que dependen de nuestra ignorancia, pueden llegar a ser diferentes si nuestro conocimiento cambia. Pueden ustedes haber notado otro aspecto bastante "subjetivo" de nuestra definici6n de probabilidad. Nos hemos referido a NA como "nuestra estimaci6n del nUmero m.ii.s probable... ., No queremos decir que esperamos observar exactamente NA, sino que esperamos un nillnero cercano a NA, y que el ntimero NA es mds probable que cua!quier otro en la vecindad. Si lanzamos una moneda. digamos 30 veces, esperariamos quc no serla muy probable que el nUmero de cams sea exactamente 15, sino mils bien un nUmero ccrcano a 15, digamos 12, 13, 14,. 15, 16 6 17. Sin embargo, si tenemos quc clegir. decidiriamos que 15 caras es mas probable que ningUn otro nUmero. Escribiriamos P(caras) = 0,5. 6-2 iPor que elegimos 15 como mils probable que cualquier otro nUmero'! Debemos haber razonado con nosotros mismos de la siguiente manera: si el nUmero mils probable de caras es Ne en un nillnero total de lanzamientos N, entonces el nfunero mci.s probable de cruces Nz es (N-Nc). (iEstamos suponiendo que cada lanzamiento da o bien cµras o cruces, y no "otro" resultado!) Pero si la moneda es "honesta ", no hay pref¢i::encia por caras o cruces. Hasta que tengamos alguna raz6n para pensar que la moneda (o el lanzamiento) es deshonesta, debemos conceder igual probabilidad a caras y c~ces. De man era que ponemos N z= N c Por consiguiente N z= N c= N/2, o P(C) ~ P/Z) ~ 0,5. Podemos generalizar nuestro razonamiento a cua/quier situaci6n en que hay m resultados posibles diferentes pero ·•equivalentes" (esto es, igualmente probables) de una observaci6n. Si una observaci6n da m resultados diferentes, y tenemos razones para creer que cualquiera de ellos es tan probable como cualquier otro, entonces la probabilidad de un resultado particular A es P(A) = 1 /m. Si hay siete bolas de diferentes colores en una caja opaca y sacamos una "al azar" (esto es, sin mirar), la probabilidad de obtener una bola de un color particular es 1 / 1 • La probabilidad de sacar a degas el diez de corazones de un naipe barajado de 52 cartas es 1 / 51 • La probabilidad de !ograr dos ases con dados es h- En el capitulo 5 dcscribimos el tamaiio de un nllcleo en tfrminos de su itrea aparente, o "secci6n eficaz ". Cuando lo hidmos estilbamos hablando rea\mente acerca de probabilidades. Cuando disparamos una particula de alta energia contra una delgada !iimina de material, hay derta posibilidad de que pase derecho y cierta posibi!idad de que de en un nUcleo. (Ya que el nllc\eo es tan pequeii.o que no podemos verlo, no podemos apuntar derecho al nUcleo. Debemos "disparar a degas".) Si hay n iltomos en nuestra limina y el nllcleo de cada itomo tlene una sccci6n eficaz de iirea rr, entonccs cl ilrca total "sombreada ., por el nUcleo es na. Para un gran nUmero N de disparos al azar, esperamos que el nUmero de impactos Nccn algUn nUcleo sea a N como el itrea sombreada es al ilrea total de la lilmina: NcfN = nrr/A. (6.2) Podemos dedr, por lo tanto, que la probabilidad que cualquier particula proyectil sufra una colisi6n al pasar a travCs de !a liimina es Pc= Arr, (6.3) donde n! A es el nUmero de iltomos por unidad de irea en nuestra lilmina. 6-2 Fluctuaciones gustaria, ahora, usar nuestras ideas acerca de probabilidad para considerar con detalle la prcgunta: ··icuantas caras puedo realmente esperar si !anzo N veces una moneda ?'" Sin embargo, antes de contestar esta pregunta, veamos lo que pasa en ta\ "experimento". La figura 6-1 muestra los resultados obtenidos en las primcras tres corridas de ta! experimento en que N -- 30. Las secucncias de ··earns" dio 11 earns: Y ··cruccs" se muestran ta! coma se obtuvieron. El el segundo tambicn dio I I; el tercero 16. En los vcL obtllvimos 15 6-3 H-- Cara T =Cruz H ........... ------ - • ' " " ~~ "'2T ' " • ••" " • • • • 14 Fig 6-1. Secuenc1as observadas de caras y cruces en Ires Juegos de 30 lanzarn1encada uno tos earns. t,Debemos empezar a sospechar de la moneda? ;,O estabamos equivocados al pensar que el nUmero mas probable de earns en ese juego era 15'! Se hicieron noventa y siete corridas mas para obtener un total de 100 experimentos de 30 lanzamientos cada uno. Los resultados de los experimentos sedan en la Tabla 6-1.* Al mirar los nUmeros de la Tabla 6- J, vemo1> que la mayoria de Jus resultados ~on "pr6ximos" a 15, y 4ue sc encucntran entre 12 y 18. Podemos tener una mejor idea de los detalb de cstos resultados. si hacemos un grafieo de la distribuci6n de los resultado1>. Contamos el nlimero de juegos en que se obtuvo el resultado k, y gragicamos este nlimero para cada /.... En la figura 6 2 se muestra dieho grafico. El resultado de !5 caras se ohtuvo en 13 juegos. El resultado de 14 earns tambien se obtuvo 13 vcces. Los re1>ultados 16 y 17 se ohtuvieron mds de 13 veces. ;,Vamos a eoncluir que hay una tendenda hacia las earns'? t.No fue sufieientemente buena nuestra "mejor estimaci6n '"? Debemos concluir ahora que el resu!tado ··mas probable'' de una serie de 30 lanzamicntos es en realidad 16 caras? 1Esperen! En todo~ !os juegos tomados en eonjunto hubo 3.000 lanrnmicntos. Y el nUmero total de caras obtenidas fue l.492. La fracciOn de lanzamientos que dieron caras es 0,497, muy cercana, pero ligeramentc menor que la mitad. jPor eierto, no podriamos suponer que la probabilidad de obtener caras sea mayor que 0.5! El hecho que un conjunto particular de observaciones dio 16 caras mas a menudo es unaflucluaci6n. Alin esperamos que el nlimero mas probable de caras es 15. Tabla 6-1 Nii:mero de caras en ensayo~ sucesivos de 30 lanzamientos de una moneda. ~-~---- II II 16 16 16 14 16 19 17 16 17 12 12 10 14 II 15 17 17 17 15 II II 13 16 14 I' 15 12 10 22 13 16 14 12 IJ 17 20 18 12 14 15 17 18 14 16 23 17 21) 16 19 14 15 17 19 II 13 12 15 21 II 14 18 16 15 II 16 14 16 21 IJ 15 17 14 16 13 14 15 12 1.1 r.8 12 17 15 16 16 IJ 16 /·"· • Despues de los tres primeros juegos, el experimento fuc realmente hecho batiendo vio\entamente 30 monedas en una caja y luego contando el niimero de caras que resultaron. 6-4 :~ .: . j-~A-[] 'f1 .~.~ ~;~': ."m,·JI ~::~,;:;~ t--- --~. ·I lr~~--- enquese ' -Numero probable 11 0 JO ,\ "" XI ~aNUmerodecaras Fig. 6--2. Resumen de los resultados de 100 1uegos de 30 lanzarn1entos cada uno. Las barras verticales indican el nUmero de juegos en los cuales se obtuvo un resultado de K caras. La curva punteada muestra los nUmeros esperados di; 1uegos con el resultado k obtenidos por un calculo de probabilidad. Podemos hacer la pregunta: "(,Cuill es la probabilidad que en un juego de 30 lanzamientos resulten 15 caras. 6 16, o cualquier otro nUmero?" Hemos dicho que en un ensayo de un lanzamiento, la probabilidad de obtener una cara es 0,5 y que la probabilidad de no obtener cara es 0,5. En un ensayo de dos lanzamientos hay cuatro resultados posibles: cara-cara, cara-cruz, cruz-cara, cruz-cruz. Ya que cada una de estas secuencias es igualmente probable, concluimos que (a) la probabilidad para lograr dos caras es i, (b) la probabilidad de obtener una earn es l, (c) la probabilidad de no obtcncr ninguna es ~- Hay dos modos de obtener una cara, pero uno s6lo para obtener cero o dos earas. tercer lanzamiento cs Consickren ahora un jucgo de tres lanzamientos. En igualmente probable que resulten earns o cruees. Hay un m0do de obtener tres caras: debemos haber obtcnido dos earns en los dos primeros lanzamientos, y cara en el tercero. Hay, sin embargo. Ires modos de obtem:r dos earns. Podriamos tirar cruz despuCs de haber tirado dos caras (un modo) o podriamos tirar cara despui!:s de tirar s6lo una earn en los dos primeros lanLamientos (dos modos). De manera que para !os resultados 3-caras, 2-caras, !-earn, 0-cara tencmos que e! nUmero de modo igualmente posible es I, 3. 3, I, con un total posible de oeho sccucncias difcrcntes. Las probabilidades son ~. ~. ~. A Lo~ razonamientos que hemos estado hacienda pucden rcsumirse en un diagraligura 6 3. Est.ii claro c(Jmo puede continuarse el diagrama para como cl de mayor de lanzamientos. La figura 6·4 muestra dicho diagrama con un para un juego de seis lanzamientos. El nUmero de '"modos" en cualquier punto del diagrama es justamcnte el nUmero de "caminos" diferentes (secuencias de earns y cruces) que pueden tomarse desde el punto de partida. La columna vi.-rtical nos da el nUmero total de cams logradas. Fl conjunto de nUmeros que aparcce en dicho diagrama se conoce como tritingulo de Pascal. Los nUmeros 6-5 Modru <:~·.S: I Ptim~r lanzam1ento Rcs11~Proh. "'° I.> Segundo ('- 1 lanzamienlo la~~~;,.ro Fig 6-4 Un dtagrama serne1ante al de la f1gura 6-3. para un 1uego de se1s lanzarn1entos Fig. &--3. Un d1agrama para demostrar el nUmero de modos en que se puede obtener un resultado de 0. 1. 2, 6 3 caras en un 1uego de tres lanzamientos. se conocen tambi&l como coeficienJes binomiales, porque tambien aparecen en el desarrollo de (a + bf. Si llamamos n al mi.mere de lanzamientos y k al nllmero de caras lanzadas, entonces Jes nllmeros del diagrama se designan usualmente con el simbolo Podemos notar de paso que los coeficientes binomiales pueden tambii:n calcularse de (r). ( k") = n' k!(n - k)! ' (6.4) donde n!, llamado "factorial n'', representa el producto (n) (n-1) (n-2)... (3) (2) (l). Ahora estamos listos para calcular la prohabilidad P(k.n) de obtener k caras en n lanzamientos, usando nuestra definiciOn (Ee. 6-1). El mi.mero total de secuencias posibles es 2" (ya que hay dos resultados para cada lanzamiento), y el nllmero de maneras de obtener k caras es ( ~ ) , todas igualmente probables, de mode que te- P(k,n) ~ ~- (6.5) Ya que P(k,n) es la fracciim de juegos que esperamos que den k caras, entonccs esperariamos encontrar en 100 juegos k caras 100 · P(k,n) veces. La curva punteada de la figura 6-2 pasa por los puntos calculados con IOO·P(k,30). Vemos que esperamos obtener un resultado de 15 caras en 14 6 15 juegos, mientras que este resultado fue observado en 13 juegos. Esperamos un resultado de 16 en 13 0 14 juegos, pero obtuvimos dicho resultado en 16 juegos. Tales fluctuaciones son "parte deljuego" El metodo que acabamos de usar puede aplicarse a la situaci6n mils general en que sO\o hay dos posibles resultados de una simple observaci6n. Designemos los dos resultados per G (por ··gana"') y P (por "'pierde,.). En el case genera!, la probabihdad de G o de P en un evento simple, no necesita ser igual. Sea p la probabi!idad de obtener el resultado G. Entonces q, la probabi!ldad para P, e~ necesariamente 6·6 (l-p). En un conjunto de n ensayos, la probabilidad P(k,n) que G se obtenga k veces (6.6) Esta funci6n de probabilidad se llama probabilidad de Bernouilli, o tambien binomial. 6-3 La caminata al azar Hay otro interesante problema en que se requiere la idea de probabilidad. Es el problema de la "caminata al azar". En su versiOn mils simple, imaginam.os un "juego ,. en que un "jugador" parte de! pun to x = 0, y en cada "movimiento" se requiere que de un paso, ya sea hacia adelante (hacia + x) o hacia atrii.s (hacia - x). La elecciOn debe hacerse al azar, determinada, por ejemplo, por ei \anzamiento de una moneda. l,C6mo describiremos el movimiento resultante? En su forma general el problema estil. relacionado con el movimiento de los litomos (u otras particulas) en un gas -llamado movimiento Browniano- y tambifo a la combinaci6n de errores en ias medidas. Ustedes verim que el problema de la caminata al azar estit estrechamente relacionado con el problema de! lanzamiento de una moneda que ya hemos discutido. En primer lugar, veamos unos pocos ejemplos de una caminata al azar. Podemos caracterizar el progreso del caminante por la distancia neta DN recorrida en N pasos. En el grifico de la figura 6-5 mostramos tres ejemplos de la trayectoria de un caminante al azar. (Hemos usado para la secuencia al azar de las elecciones los resultados de los lanzamientos de monedas que se muestran en la figura 6-1.) lQue podemos decir de tal movimiento? En primer lugar podemos preguntar: "lHasta d6nde iri en promedio?" Debemos esperar que su progreso promedio serii. cero, DIN) Distancia desdela paruda 'v' 'v' Pasos dados Fig. 6--5 El progreso real1zado en una caminata al arnr La coordenada horizontal N es el nUniero total de dados la coordenada vertical D(NJ e& la d1stancla neta 1n1c1al despla2ada desde la ya que es igualmente probable ir hacia ade!ante o hacia atr3s. Pero tenemos la impresi6n de t[ue al crccer N, es mas probable que se haya apartado del punto de partida. Por !o tanto, podemos preguntar cuii.I es la distancia media viajada en valor absoluto, es decir, cuii.I es el promedio del DI. Sm embargo, es mas comeniente tratar con otra medida del "progreso'', el cuadrado de la distancia: D2 es positivo, ya sea para el movimiento positivo o negativo. y por lo tanto es una razonable medida de dicho vagabundeo al azar. Podemos demostrar que el valor e1>perado para D,? ..:~ justamente N, el nUmero de pasos dados. Por "valor csperado,. queremos indicar el valor probable (nuestra me· jor estimaci6n), que podemos imaginar como el comportamiento promedio esperado de muchas secuencias repetidas. Representamos ese valor esperado por ( D"j. l , y podemos referirnos a et co mo la "media del cuadrado de la distancia ". Despues de un paso, D 2 es siempre + 1, de manera que tenemos por cierto (D~) = I. (Todas las distancias estar<in medidas en tfrminos de la unidad de un paso. No con tinuaremos escribiendo !as unidades de distancia.) El valor esperado de DN para N > I puede obtenerse a partir de D/'1-I· Si des pues de (N--l) pasos, tenemos DN-l· entonces despues de N pasos tenemos D" =DN-l + I 6 DN = DN.J - I. Para los cuadrados, DL, D'J. = + { 2DN-• + I, (6.7) or D.~-1 - 2DN-I + l. En cierto nUmero de secuencias independientes, esperamos obtener cada valor la mitad de las veces, asi nuestra expectaci6n promedio es justamente el promedio de los dos valores posibles. El valor esperado para DN es entonces DJ,_1 + I. En general podriamos esperar para Dfr. 1 su "valor esperado" (Dl.-1) (jpor definici6n!). Asi (6.8) Ya hemos demostrado que ( Df) = D't 1; se concluye entonces que =.' N, (6.9) jun resultado particularmente simple~ Si deseamos un nllmero tal como una distancia, en lugar de una distancta al cuadrado, para representar el "progreso hecho mils alla de! origen" en cl movtmiento casual, po<lemos usar la "d1stancla media cuadni.tica., Dmc: (6.10) Hemos indicado que Ia matem.ittica de Ia caminata al azar es muy similar a la de! jue¥~ dcl lanzamiento de !a mo~C<la que consideramos al comienzo de este capitulo .. ~1, 1maginamos que !a direccion de cada paso estii. en corre~pondencia con la apancion de o en un lanzamiento de mone<Ja, entonces D es justamcnte N.c - Nz, la cl nUmer? de caras y cruces. Ya que Ne + Nz - N, el numero total de pa~o.s de lanz~miento.s), tenemos D = 2Nc N. Hemos derivado antes una expresion para la d1stribuc16n esperada de Ne (llamada tambiCn k) y obtemdo el resultado de la ecuaci6n (6.5). Ya que N es justamente una Constante, tenemos la distribuci('Jn correspondiente para D. (Ya que por cada cara por sabre N/2 hay una cruz .. ausente"', tenemos cl factor 2 entre Ne y D.) Los graficos de la figura 6~2 representan la distribuci6n de las distancias que podcmos obtener en 30 pasos al azar (donde k-= l 5 debe lccrse D-'-- O; k. 16, D ,_-, 2; etc.) La variaci6n de Ne de su valor esperado N/2 es Ne-!{=~· (6.11) La desviaci6n media cuadriltica es (6.12) De acuerdo con nuestro resultado para Dmc, esperamos que la distancia "tipica" en 30 pasos deberia ser /3lf= 5,5 , o para un k tipico seria alrededor de 5,5/2 = 2,8 unidades a partir de 15. Vemos que el "ancho" de la curva en la figura 6-2, medido desde el centro, es justamente de a!rededor de 3 unidades, en concordancia con este resultado. Estamos ahora en situaci6n de considerar una pregunta que hemos evitado hasta ahora. (,COmo podremos decir si una moneda es "honesta" o estil .. cargada"? Al menos, podemos dar ahora una respuesta parcial. Para una moneda honesta, esperamos que la fracci6n de veces que aparecen caras sea 0,5, esto es 0,5. (6.13) Tambiin esperamos que un N,. real se desvie de N/2 en aproximadamente V/V/2, o quc lafracciOn se desvie en l ../fl NT~ l 2.JR. Cuanto mas grandees N, tanlo mils cerca esperamos que este la fracci6n Ne! Na un medio. En la figura 6-6 hemos pucsto la fracci6n Ne! N para los !anzamientos de moncda sei'ialados a! comienzo de cstc capitu\o. Vcmos la tendencia para la fracci6n de earns de aproximarse a 0,5 para N grande. Desafortunadamente, para cualquier corrida, o combinaci6n de corridas, no hay garantia que la desviaci6n observada estC siquiera cerca de la desviaci6n esperada. Crnccw;lzc: decar<i~.,.,~1-------==-~~,-. ~ 0 I l _....J....__[___~ 4 I 01 3> 14 ltO ~ ~· 10f4 r"""'OOff Existe siempre la posibilidad finita que una gran fluetuaeiOn -una larga ristra de earas o de eruees- dC una desviaeiOn arbitrariamente grande. Todo lo que podemos decir es que si la desviaciOn es eercana al valor esperado I /2 JN (digamos dentro de un factor 2 0 3 ), no tenemos razOn para sospeehar de la honestidad de la moneda. Si es mueho mayor, podriamos sospechar, pero no probar que la moneda estil eargada (jO que el que la lanza sea listo!). Tampoeo hemos considerado cOmo tratar el caso de una "moneda" o de algUn otro objeto de "suerte" similar (por ejemplo, una piedra que 5iempre cae en una de dos posiciones) ta] que tengamos una buena ra10n para ereer que tenga una probabilidad diferente para earas o cruces. Hcmos dcfinido P{C) - (Ne) IN. i,COmo sabremos quC esperar para Ne? En algunos casos, lo mcjor que podemos haeer es observar el nUmero de earns obtenidas en un gran nllmero de lanzamientos. A falta de algo mejor, debemos poner (Ne) = Ne (observa<lo). (i,COmo podriamos esperar algo mils?) Debemos comprender, sin embargo, que en tal easo un experimento diferente, o un observador diferente, podria concluir que P(C) era difcrente. Sin embargo, deberiamos esperar que las diferentes respuestas coneuerdan con la desviaei(m I /2 VN-si P(C) es cercano a un medial. Un fisico expcnmental d!ee eorrientemente que una probabilidad '"experimentalmente determinada tiene un "error ', y e;.cribe (6.14) Hay una implicaci6n en esta cxpresi6n que dice quc exi~te una probabihdad "vcrda dera ., o "correcta" que podria calcularse si supieramos bastante, y que la ciOn puede tener '"error" debido a una lluetuaei6n. Sm no hay de Es reconoeer hacer tal ra1onam1ento ll'ig1camente ha~ado quc cl conccpto de prohahilidad es en un en un conoc1rn1ento inc1erto, y a medida que obtenemos ma~ 6·4 Una distribuciOn de probabilidad Volvamos ahora a la caminata al arnr y considercmo~ una modificaci6n de dla. Supongamos que, adcm:b de una e!eccilm al azar de la direeemn l + o - ) de cada paso. la /ongitud de eada paso tamb1en varia de un modo 1mpredecible. ~icndo la umca eondiei6n que en promedio la longitud del paso sea una unidad. Este caso es mils reprcscntativo de algo como el mov1m1ento tcrm1co de una mo!Ccula en un gas. Si llamamos S a la longitud de 1.rn paso, entonces S puede tener cualquier ""alor, pero lo m3.s a menudo estara "cercano" a ! . Para ser especificos, hagamos ( S 1 ) - I ci, igualmcnte, S 11" 1. derivaci{m para ( D 2 ) proseguiria como antes cxccpto ahora cambiar~e y se leeril que la ecuaciOn Tenemos, coma antes, que (D.~,) = N. (6.16) 6 10 ;, QuC esperariamos ahora cjcmplo. la prohahilidad para La probabilidad que D sea bilidad alguna que la suma sea exactamente igual a la suma gritfico coma d de la figura 6-2. Sin embargo, podcmos ohtener una representaci6n similar a !a de la figura 6-2 si preguntamos, no por la probabilidad de ohtener D exactamenre igual a 0, l 6 2, sino en cambio cuitl es la probabilidad de D rercano a 0, I c'i 2. Definamos P (x,.1.x) como la probahilidad de que D en el intervalo jx ubicado en x (di gamos de x a x 1 c.'lx). Espcramos .\x pequeiiu la probabilidad de quc D caiga en dicho intervalo sea a -1x, cl ancho del intervalo. Asi podemos cscribir P(x, Lu) F11-1 de 6---7 ~ p(x) ~x. (6.17) La dens1dad de probaU1l1Lfad para alcar12ar la d1sl<mc1a 0 desrle el eri una cam1nata al azar de N pasos fO se nucle en u111dades del valor de la long1tur.J dc1 pciso ) 6-11 pequetios incrementos .1x y evaluando la suma de los terminos p(x) La para cada incremento. La probabilidad que D caiga en alguna parte entre x 1 y x 1 • que podemos escribir P(x 1 < D < x 2), es igual al area sombreada en la figura 6-8. Mientras mas pequeflo tomemos cl incrcmento .1.x mils correcto es nuestro resultado. Por lo tamo. podemos escribir, P(x 1 < D < x~) = L p(t).1x ~ { 2 p(x)d~. (6.18) El area bajo la curva completa es la probabilidad que D caiga en alguna parte (esto es, que tenga algUn valor entre x =-w y x = + oo). Esa probabilidad es ciertamente I. Debemos tener que L:"' p(x)dx = I. Ya que las curvas de la figura 6- 7 se hacen mas anchas en proporcl6n a turas deben ser proporcionalcs a J /v'N para mantener el area total La funci6n demidad de probahilidad que hemo5 de~crito es encuentran mas comunmente. Se conoce coma !a dens1dad de o gausswna. l"iene la forma matemiitica (6.19) sus alque se normal donde 1J se llar11a la desnaciOn rwnnal }" en nuestro caso esta dada por (F la raiz de la magnitud del paso medio cuadratico es diferente de I por rF = lndicamos antes quc el movimiento de una molecula, o de cualquier particula. en un gas es como una cammata al azar. Supongamos que abrimos una botclla de un compuesto orgilnico y dejamos que a!go de ~u vapor escape al aire. St hay corrientes las cornente5 lle\aran tambien con de aire, de mancra 4ue el aire qwl'lo, el vapor gradualmcntc ~e essigo el vapor. Pero aun en oirc parcirit -difund1ra ha~ta quc penetrado entcramente en !a ~ala. Podemos detectarlo por su color o. por Las mokculas individuales del vapor orgarnco a los IDO\imientos molcculares causados se esparcen en el aire quieto lisiones con otras mokculas. S1 conocemos el tamaiio del ··paso" medio y el de pasos que dan por segundo. podemos encontrar la probabi!idad que una. o de mokcu!as. sean cncontradas a cierta d1stancia de su punto de part1da cualquier intervalo de t1empo. A medida que pasa el tiempo, mas pasos se y el 6-12 gas se esparce como en ·las curvas succsivas de la figura 6-7. En un capitulo pos1erior, encontraremos que cl tamaiio de !os pasos y sus frecuencias estim relacionados con la temperatura y presi6n dcl gas. Dijimos antes que la. preskm de un gas se debe ~ que las moleculas rebota~ C?!1" tra las paredes de! recipiente. Cuando lleguemos mas tarde a hacer una descnpcton mils cuantitativa, descarcmos saber la rapidez con que sc mueven las mo!eculas cuando rebotan. ya que el impacto quc hacen depcnderit de esa velocidad. Sin embargo, no podemos hablar de la velocidad de las molCcu!as. Es necesario usar una descripci6.n probabilistic_a. L'na molecula puede tener ~u.alquier velocida?, pero algunas veloc1dades son mas probables quc otras. Dcscnbimos lo que esta ocurriendo diciendo que la probabilidad de que cualquier mo!Ccula particular tenga una veloddad entre p y v + ill' es p(v) JP, donde p(v), una densidad de probabilidad, es una funci6n dada de la ve!ocidad I'. Veremos miis tarde c6mo Maxwell, usando sentido comUn y las ideas de probabilidad. pudo encontrar una expresi6n matem.itica para p(y). La forma'" de la funci6n pi,.r) se mucstra en la figura 6-9. Las velocidades pueden tcner cualquier pero lo mils posib!e es que esten cerca del valor mils probable o esperado ( Fig. 6--9. La d1str1buc16n de velocidades de las mol8culas en un gas A menudo interpretamo~ la curva de la figura 6-9 de un modo algo diferente. Si consideramos las molCculas en un recipiente tipico (digamos con un vo!umen de un litro). entonces hay un nUmero muy grande de moleculas prescntes (N ""' 10~~). Ya que p(i').1r es la probabilidad de que una mo!Ccula tenga su .vebcidad en .~L', con nuestra definicion de probabilidad quercmos dccir que el nl1mero esperado ( . . '. .V) que se encuentra con una veloc1dad en el intervalo .J r esta dado por (6.21) Llamamos a i\"p(i) "distribuci6n de velocidad". El itrea bajo la curva entre dos velocidades v1 y v2, par ejemplo el area sombreada en la figura 6-9, representa [para la curva .Np(1')) el nU.mero esperado de molCculas con velocidades entre 1' 1 y 1'~· Ya que con un gas estamos tratando corrientemente con un gran nUmero de mo!eculas. esperamos que las desviaciones de Jos nUmeros esperados sean pequeiias (coma l/yfNJ. asi, a menudo, omitimos decir el nUmero "esperado ... y decimos, en cambio: "El nU.mero de * La expresi6n de Maxwell es p(v) = Ci,le-.:"·'. en que a es una constante relacionada con la temperatura y C se elige de modo que la probabilidad total sea uno. 6-13 moleculas con debemos babies. 6-5 es el itrea bajo la curva .. Sm embargo, son ~iemprc acerca de nUmcro~ pru El principio de indeterminacii:m Las ideas de probabilidad son cicrtamentc utiles para dcscnb1r cl comportamien to de alga asi coma 10 22 molecu!as en una muestra de gas, porque cs claramente impracticable siquiera !ratar de cscnbir la posici6n y vc!ocidad para cada mo!ccula. Cuando la probab1iidad ~e aphco por rmmcra ~eL a talcs problerna\ <.c con~1dcrli que era una com:eniencia -una manera de tratar situaciones muy compleja5-. Ahora creemos que las ideas de probabilidad son esenciales para la dcscripci6n del acontc cer at6mico. De acuerdo con la mecitnica cuimtica, la teoria matemittica de las particulas, hay siempre cierta indeterminacion en la especi)icaciOn de pos1cione~ y velo cidades. A lo miis podemos decir ljUC hay cierta probabilidad de que cualquier par ticula tenga una posicion cercana a cierta coordenada x. I'·"' ,, I '"' ~I~!____,__~.\~:~ -.Fig. 6--10 para la Dens1dades de probab1lidad observac16n de la pos1c1on y velo- c1dad de una particula Podemos dar una densidad de probabilidad pi{x), tal que pi{x)<lx sea la probabilidad de que la particulaseencuentrecntrcxy x + .1x. Si la particu!aestit razonablemen te bien loca!ilada,d1gamos cerca de x,, la funciOn p,(x) puedeestardada porel gritficode la figura 6- IO (a). En forma similar debemo~ especificar la velocidad de la particula mediante una densidad de probabilidad pi(v) con p 2(v)<l 11 la probab1lidad que se encuentre la velocidad entre v y v + j v. Es uno de los resultados fundamentales de la mecimica cuimtica que las dos fun· ciones p 1(x) y PiM no pueden elegirse independientemente y que, en particular, ambas no pueden hacerse arbitrariamente estrechas. Si llamamos l.1xl el "ancho" tipi· co de la curva p/x), y IDv; al de !a curva Pi(v) (como se indica en la figura), la naturaleza requiere que el producto de ambos anchos sea al menos del tamaiio de! nUmero him, donde m es la masa de la particula y h es una constante fisica fundamental Hamada consfante de Planck. 6 14 Podemos escribir esta relaci6n bilsica como [llx] · [~v] 2: h/m. (6.22) Esta ecuaci6n es un enunciado de! principio de indeterminad6n de Heisenberg que hemos mcncionado anteriormente. Ya. que el segundo miembro de la ecuaci6n (6.22) es un~ constante, esta ecuaciOn dice que si tratamos de "inmovilizar" una particula forzandola a estar en cierto lugar, ella acaba por ten er una gran veloddad. 0 si tratamos de forzarla a moverse muy lentamente o a una velocidad precisa, se "esparce·· de modo quc no sabemos muy bien justamente d6nde estil. jLas particulas se comportan de un modo divertido! El principio de indeterminaci6n describe una borrosidad inherente que debe existir en cualquier intento para describir la natura!eza. Nuestra descripci6n mils precisa de la naturaleza debe scr en ti!:rminos de probabilidades. Hay algunas personas a las que no les gusta esta mancra de describir la naturaleza. Crecn que si pudieran decir lo que realmente sucede con particula. podrian conocer su velocidad y posici6n simultilncamcnte. En los dias de! desarrollo de la mecilnica cuilntica, Einstein cstuvo muy con cste problema. Solia sacudir la cabeza no echa los dados para determinar c6mo deberian y dccir: '·jPero, seguro que mmer~e los electrones~ ··Se preocup6 de ese problema largo tiempo y probablemente nunca se resign6 realmcnte al hecho quc e~ta es la mejor descripciOn de la naturaleza que uno puede dar. Existen todavia uno o dos fisicos que trabajan en el problema, que ticncn una convicciOn intuitiva de que es posible describir cl mundo en una forma diferente y que toda indeterminaci6n acerca de c6mo son las cosas puede ser eliminada. Ninguno ha i:xito aU.n. La necesaria indeterminaci6n en nuestra especificaci6n de la posid6n de una particula cobra la mayor importancia cuando deseamos describir !a estructura de los .iitomos. En el <itomo de hidrOgeno, que tiene un nlicleo de un prot6n con un cicctrOn fucra del nUdeo, jla indeterminaci6n en !a posici6n del electr6n es tan grandc como el t'ttomo mismo~ Por lo tanto, no podemos hablar propiamente de! electr6n moviCndose en alguna ··Orbita" alrededor del protOn. Lo mils que podemos decir es quc hay cierta posibilidad f)(.r)!:J V de observar el e!ectr6n en un elemento de volumen JV a la distancia r dcl protOn. La densidad de probabilidad p(r) esta dada por la medtnica cuii.ntica. Para un iltomo de hidr6geno no perturbado f)(.r) = Ae-r'lu', que es una funci6n con forma de campana Fig. 6-11 Una manera de v1sLial1zar un 8tomo de hidr6geno. La dens1dad lblancural de la nube representa la densidad de probabilidad de observar el electr6n 6-15 coma la de la figura 6-8. El nUmcro a cs el radio "ti pico", donde la funciOn decrece ripidamente. Ya que hay una pequeiia probabilidad de encontrar el elcctr6n a distancias mayores que a a partir de! nUclco, podemos pensar que a es "el radio del iltomo ", alrededor de 10 10 metros. Podemos formarnos una imagen del itomo de hidrhgeno, imaginando una "nubc" cuya dcnsidad cs proporcional a la densidad de probabilidad de observar el electr6n. Una muestra de una nube ta! se indica en la figura 6-11. De modo que nuestro mejor "retrato" de un itomo de hidr6geno cs un nUclco rodcado de una "nube electr6nica" (aunque realmente queremos indicar una '·nubc de probabili dad"). E! electrOn esti alli en alguna parte, pero la naturaleza s6lo nos permite conocer la probabilidad de encontrarlo en algtin lugar particular En sus esfuerzos por aprender lo m3s posible accrca de la naturaleza, la fisica moderna ha encontrado que ciertas cosas no pueden nunca ser "conocidas" con cer teza. Muchos de nuestro~ conocimientos deben permaneccr siempre inciertos. Lo mris que podemos saber esta en U:rminos de probabilidades. 6-16 7 La teoria de la gruvitaciOn 7- I Movimientos planetarios 7. 5 GravitaciOn universal n Leyes de Kepler H El Cl:pcrimento de Cavendish 77 iOuf es la gravedad? 7-8 Gravedad y relatividad ,., Desarrollo de la dinilmica H L<y d< 7-1 '" gravitaciOn de Newton Movimientos planetarios En este capitulo discutiremos una de !as mas amplias generalizaciones de la mente humana. Mientras admiramos la mente humana deberiamos tomar algUn tiempo para venerar una natura/eza que pudo lograr en una forma tan acabada, y con ta! gene ralidad, un principio tan elegantemente simple coma la ley de la gravitaciOn. (.Que es esta ley de la gravitaciOn? Consiste en que todo objcto en el univcrso atrae a todo otro objeto con una fuerza que para dos cuerpos cualesquiera es proporcional a la masa de cada uno y varia inversamente con el cuadrado de la distancia entre ellos. Este enunciado puede expresarse matematicamente por la ccuaciim = G Si a esto agregamos el hecho que un objeto responde a una fuerza acclcrando en la din:cciOn de la fuerza en una cantidad que e~ invcroamcnte la rm. del objeto, habremos dicho todo lo necesario para que un talentoso pueda deducir entonces todas consccucncias de estos dos principius. Sin embargo, pucsto que no se supone que ustedes sean suficientemente talentosos, discutiremos las consecuencias con mas dctallc y no los dejaremos mcramcntc con estos dos principios escuetos. Rclataremos brcvcmcnte !a historia de! descubri miento de la Jey de la gravitaci6n y discutiremos algunas de sus consccuencias, sus refinamientos de cfcctos sabre la historia. los mistcrios que tal ley la ley hechos por Einstein; discutiremos tambiCn la lcy con otras leyes de Ia fisica. Todo esto no puedc hacersc en un trataran a su debido tiempo en los capitulo~ siguientes El cucnto comicnza con los antiguos obscrvando cl movimiento de !os planeta5 entre !as estrellas y dcducicndo finalmente que ellos ,;,:; ....,nvian alrededor del soL u;1 hecho que mas tarde fue redcscubierto 7-1 por Coptrnico. TomO un poco mils de trabajo descubrir exactamente c6mo los planetas se movian alrededor del sol y cxactamente con quC movimiento. En los comienzos del siglo xv hubo grandes debates 5obresi dlos realmcntcsemovian alrededordel solo no. Tycho Brahe tuvo una idea que fue diferente de cualquiera de las propuestas porlosanti· guos: su idea fue que estos debates acercade !a naturaleza de los movimientos de los planetas se resolverian meJOr si las realcs posiciones de los planetas en el cielo se midieran con suficientc precis16n. Si las medidas mostraran c6mo se mueven exactamcnte los planetas. entonce~ ta! vez scria po~ihlc establecer uno u otro punto de vista. Esta fue una idea tremenda --que para descubm algo es mejor rcaliLar aJgunos experimentos cuidadosos que continuar con profundos argumentos filosOficos-. Prosiguiendo con csta idea, Tycho Brahe estudi6 las posiciones de los planetas durante muchos aiios en su observatorio de la isla de Hven, cerca de Copcnhague. Confecc1on6 voluminosas tablas, que fucron estudiadas por el matem~t1co Kepler, despuCs de la muertc de Tycho, Kepler descubnO a partir de Ios datos algunas leycs muy bdlas y notables, pero ~imples, sobrc el movim1ento planetario. 7-2 Leyes de Kepler En primer lugar, Kepler encontrO que cada se mueve alrededor de! ~ol en una curva l!amada e/ipse, con el sol en un foco la elipse. Una elipse no es precimuy especifica y precisa que puede obtenerse usan samcnte un ovalo, sino una do dos tachuelas, una en un lazo de cuerda y un lilpi7: mas matemilt1calo~ puntos cuya suma de las distancias a dos mente cs cl lugar es constantc. 0, s1 lo prefiercn, es un circulo achatado puntos fijos (los (Fig. 7-1). Frg 7 1 Una elipse Fig 7-2 Ley de leis areas de Keple• La segunda observac16n de Kepler fue que los planetas mueven alrededor cuando estan mils del so! con velocidad uniforme, sino que sc mueven mils cerca dd so! y mas lentamente cuando estiln lejos del sol, prccisamcnte de esta manera: supor.gamos que se observa un planeta en dos tiempos sucesivos cualcsqmera, J1gamos separados una semana, y que el radio vector• se dibuja hacia el planeta para cada posicion observada. El arco orbital recorrido por el plancta durante una semana y los dos radio~ \ectores hmitan cicrta area plana. el iirea sombreada que se muestra en la figura 7-J. Si sc haccn dos obscrvacioncs s1m1lares L'n radio vector es una linea d1bujada desdc el <;O! a cualquier punto de la ''rb1ta de pl;ineta. 7-2 con una semana de scparaciOn, en una parte de la l1rbita el plancta se mueve mils lentamentc), cl 3.rea limitada en mente la misma que en el primer caso. Asi. de acuerdo con cidad orbital de cada plancta es ta[ que el radio "barre" :ireas iguales. Finalmente, Kepler dcscubriO mucho mils tarde una tercera ley; esta ley es de una categoria difcrente de las otras dos. ya que trata no st'Jlo con un planeta. sino que re laciona Esta ley dice quc cuando se comparan el periodo orbital y el planetas cualesquiera. los periodo~ son proporcionales a la. potencia tamai'ios orhita!es. En csta afirmacilm cl periodo es el intervalo de tiempo que le a un planeta completar su t'Jrbita y el tamai'io se mide por la longitud Jel diitmetro mayor de la t'Jrbita eliptica, conocido tCcnicamentc como el ejc mayor. Mils sencillamente, si los planetas sc movicran en circu!os, coma aproxirnadamcntc lo tiempo requerido para moverse alrededor del circulo seria propor cional a la 3/2 de! di3.metro {o cl radio). Por lo tanto. las tres lcycs de Kepler son: de dos planetas cualcsquiera son scmiejes mayore~ de sus respectivas Ill 7.3 Desarrollo de la dinamica Newton modifict'J esta idea, diciendo 4uc cl Unico modo de eambiar el movimiento de un cuerpo es usar unafuerza. Si un cuerpo aumenta su vclocidad, una fuerza ha sido ap!icada en la direccidn de! morimiento. Por otra parte, si su movimiento sc cambia a una nueva direcciOn, una fuerza ha sido aplicada lateralmente. Asi Newton agrcgO la idea quc se necesita una fuerza para cambiar la vclocidad o fa direc<iOn del movimiento de un l:Uerpo. Por ejemplo. si una piedra est<i amarrada a una cuerda y est.ii. girando en un circulo, se necesita una fuerza para mantenerla en el circulo. Tenemos quc tirar de la cuerda. De hecho, la ley es que la acelcracit'Jn producida por la fuerza es inversamente proporcional a la masa o que la fuerz.a es proporciona! a la masa por la acclaraciOn. Mientras mils masiva es una cosa, mayor es !a fuerza necc saria para producir una acelerackm dada. (Las 7-3 masas pueden medirse colocando otras piedras al extrema de la misma cuerda y hac1endolas girar en el mismo clrculo y a la mi~ma vcloddad. De este modo se encuentra que se reqmere una fuerza mayor o menor, requiriendo mii.s fuerrn los objetos mas masivos.) La brillante idea que resulta de estas consideraciones es que no sc neceista fuerza tangencial para mantener un planeta en su 6rbita, (los itngeles no tienen que volar tangencialmente), porque el planeta seguiria en esa direcci6n de todos modos. Si no hubicra ,na~a que l~ perturbara, el planeta sc. irla en linea ~ecta. Pero el movimiento real se desv1a de la lmca en que se habria mov1do el cuerpo SI no hubiera fuerLa. ~iendo la desviaciOn csencialmente en dngulos rectos al movimiento, no en la direcciOn del movimiento. En otras palabras, debido al principio de inercia, la fuerza necesaria para controlar mov1miento de un planeta alrededor del sol no es la fuerza alrededor del sol sino el sol. (jSi hay una fuerza haem el so!. este podria ~er el angel, por supuesto!) 7·4 Ley de la gravitaciOn de Newton su me,1or comprcnsion de la teoria de! movimicnto, Newton estimO el a5icnto o cl organismo de las fuerzas quc gobiernan el moviNewton probO para si m1smu (tal ve1 nosotros seamos pronto el hecho m1smo que areas scan barrida~ en t1empos prcci~a de la proposicic'm de todas las dc~viaciones son JUStamentc radia/c.\ que la ley de ]as areas direCta de la idea que todas las f'ucuw, c;.tan exactamcntc dirigidas analirnr la tercera ley de Kepler es pos1ble demostrar que mien planeta. m.i!s dCbiles son las fueuas. Si se comparan dos planetas del ~oL cl analisis muestra la;. fuerrn~ son inver~amente prnl'""""""'" a cuadrado~ de sus respcctivas Con la combmacion de Newton concluyo que debe haber una f'uerza. al cuadrado de la una lmea entrc los dos ohjc!o~. S1endo un hombre de ;.c muc\e en Ull no huh1era hab1do fuernl de la luna (que es aproxm1adamen1c cuanto tarda en ir alredcdor de la llerra (aproximadamente la luna ~obre ~u (1rbita ~1 7-4 en un segundo y podemos calcular entonces cuilnto cae en un segundo*. Esta distancia resulta ser aproximadamente l ,3 mm. en un segundo. Esto se ajusta muy bien con la ley de la inversa de! cuadrado, porque el radio de la tierra es 6.400 ki!Ometros, y si algo que esta a 6.400 kilOmetros de\ centro de la tierra cae cinco metros en un segundo, algo a 384.000 ki!Ometros, o 60 veces mas lejos, caeria I /3600 de cinco metros, lo que tambiCn es aproximadamente 1,3 mm. Deseando poner a prueba esta teoria de la gravitaciOn mediante c8.lculos sirnilares, Newton hizo sus calculos muy cuidadosamente y encontrO una discrepancia tan grande que consider6 la teoria en contradicci6n con los hechos y no public6 sus resultados. Seis aiios despues las nuevas medidas de! tamaiio de la tierra mostraron que los astr'.'momos habian estado usando una distancia a la luna incorrecta. Cuando Newton oyo acerca de esto, hizo sus cil!culos de nuevo, con las cifras corrcctas y obtuvo una hermosa concordancia. Fig. 7-3 dependencia horizontales Aparato para demostrar la inde mov1mientos vert1cales y Esta idea de que la luna "cae" es algo confusa, porque, coma ven, no se acerca en absoluto. La idea es lo suficiemcmente interesante para merecer mas explica ciOn: la luna cae en el scntido quc cae desde la !inea que habria seguido si no hubiera fuerzas. Consideremos un ejemplo en la Sltperficie de la tierra. Vn objeto que se suelta cerca de la superficie de la tierra caera cinco metros en cl primer segundo. Un objeto lanzado horiwntalmente tambiCn caer<i cinco metros; aun cuando se este moviendo borizontalmentc todavia caer<i Ios cinco metros en el mismo tiempo. La figura 7-3 ilustra un aparato que demuestra esto. En la pista horizontal hay una bola quc seril impelida hacia adelante en una pe4uciia distancia. A la misma altura bay una bola quc va a caer verticalmente y bay un interruptor c!Cctrico arreglado de modo que en el momenta que la primera bola deja la pista, se sue!ta la segunda bola. Que ellas IJegan a la misma profundidad en el mismo tiempo est<i atestiguado por el hecho de que chocan en medio de\ aire. Un objeto coma una bala. lanzado horizontalmente. moverse un camino largo en un segundo -tal vez 700 metros- pero siempre cinco metros si es apuntado horizotltalmente. ;, QuC ocurre si lanzamos una bala y mils r<ipido? No olviden que la superficie de la tierra es curva. Si la disparamos suficientcmente rilp1do, entonces cuando caiga cinco metros puede estar a la misma altura sabre la tierra que Io que estuvo antes. ~C6mo puede ser esto? Siempre cae. pcro la tierrn se cncurva. a5i que cae "alrededor" de la ticrra. El pro blema cs: ;,quc distancia tiene que moverse en un ~egundo para que la tierra estC cinco metros bajo el horizonte? En la figura 7-4 vemos la tierra con su radio de 6.400 kiJ6metros • Es deeir, en cuitnto cae el circulo de la Orbita lunar por debajo de la linea rccta tangente a Csta en el punto en que estaba la luna un segundo antes 7-5 y !a traycctoria tangcncial rcctilinea que la bala tomaria si no hubiera fucrzas. Ahora, si usamos uno de csos maravillosos teoremas de la geomctria, que dice que nuestra tangente es la media geomCtrica de las dos partes de! diitmetro cortado por una cuerda igual, vcrnos quc la distancia horizontal viajada es la media geomi:trica de los cinco metros caidos y los l 2.800 ki!Ometros de diitrnetro de la tierra. La raiz cuadrada de (5/1.000) x 12.800 rcsulta rnuy cercana a ocho ki!6metros. Vemos asi que si la bala se mueve a ocho kilOmetros por segundo, continuar<i cayendo hacia la tierra en la misrna razOn de cinco metros cac.la segundo, pcro nunca lograr<i acercarse, porque la tierra al encurvarse se aleja. Asi fue como el Sr. Gagarin se mantuvo en el espacio viajando 40.000 kilOmetros alredcdor de !a tierra a ocho kilOmetros por segundo aproximadamcnte. (El demoro un poco mils, porquc estaba un poco m.is alto.) plana. es el radio de la t1erra, 6400 d1stanc1a recormJa en un S cs la d1stanc1a "caida" en un segundo metros). Cualquier gran descuhrimiento de una nueva ley cs Util s6lo si podemos sacar mii.s de Cl que lo que ponernos. Pucs bien, Newton use) la segunda y la tercera de las !eyes de Kepler para deducir su ley de la gravitaciOn. (.Que prcdijo? Prirnero, an8.lisis de! movimicnto de la luna fue una predicci6n, porque relacionaba la de los pregunta objetos sobre la superficie de la tierra con la caida de )a luna. Segundo. es: i es la Orbita una elipse? Veremos en un capitulo posterior eOmo es posible calcu!ar exactamente el movimiento y. en efecto, uno puede probar debe scr una elipse*, de modo que no ~c necesitan hcchos adicionales ra ley de Kepler. Asi Newton hi70 su primera y poderosa La ley de !a gravitaci6n explica rnuchos fenOmenos no mareas. hasla cnton te. Por ejemplo, la atraccion de !a Juna sobre la tierra causa ces misteriosas. La luna atrae al agua quc estil por debajo de marcas -la habia pensado en eso antes. pero no fueron tan rawnaNewton y pensaron que debicra haber sOlo una marea durante el miento era que la tuna atrae al agua por dcbajo de ella, producicndo una m:irea alta y una marca baja y, como la tierra estil rolando debajo, csto la m:irea en un en 12 horas. Otra Jugar suba y baje cada 24 horas. Realmente la marea 5ube y el ntro la escuela de pensamiento afirmaba que la marea alta deberia ticrra porque. ~egUn ello~. ;la !una tiraba la tierra fuera del errUnea~. Rcalmente ocurre de este modo: la atracciim de sabre el agua est<i "equilibrada ·· en el ccnlro. Pero cl agua 4ue luna e~ * La demo<;1rae1hn no C\la dada en C\IC curoo 7-6 ,0 ,.,,,,.,,,"' Luna ~ ~::. ~"" •lmledoc de\ c"'J gm""'" y \""' F'g 7 5 El "'"m' ""'"-"'"'- '°" atraida mtis quc el promedio y cl agua que menos que el promedio. Mils alm, el agua pucde mils rigida, no pucdc. La verdadera descripciOn es t,Quf equilibra'! Si la luna nose precipita ··hacia" la !una'! Porque tierra se mueve en un circulo alredcdor de un punto que La iuna no gira prccisamente alredcdor en torno a una posiciOn central. cayendo se muestra en la figura 7-5. Estc movimiento cquilibra la caida de cada una. De modo que tampoco la tierra se mueve en una recta~ viaja en un circulo. El agua en la parte mits alejada estit •·Jcsequilibrada", porque la alracciOn de la luna allies mas dtbi! que en cl centro de !a tierra, donde equilibra justamente la "fuerza centrifuga". El resultado de este desequilibrio es que el agua sube alej3.ndose del centro de la tierra. En el !ado cercano, la atraccilm de la luna es mas fuerte y el desequilibrio est:i en direcci6n opuesta en cl espacio, pcro de nuevo alejtindose dcl centre de la ticrra. El rcsultado neto es que tenemos dos subidas de marea. 7-5 GravirnciOn universal la gravitaciOn? Si miramos las !unas de foen que se mucven alrededor del planeta. las luna~ de Jupi1er quc es digno con mucho cuidado por Roemer, quien estar adelantadas respecto de su horario, y a veccs 7-7 atrasadas. (Se pueden encontrar sus horarios esperando un tiempo muy largo y encontrando lo que demoran en promedio las tunas en girar.) Pues bien, ellas se adelantaban cuando JUpiter estaba particularmente cerca de la tierra y se atrasaban cuando Jtipiter estaba mas lejos de la tierra. Esto habria sido algo muy dificil de exp!icar con la teoria de !a gravitaci6n --habria· sido, de hecho, la muerte de esta maravillosa teoria, si no hubiera otra explicaci6n-. Si una ley no funciona siquiera en un lugar donde debiera hacerlo, esta simplementc equivocada. Pero la raz6n de esta discrepancia era muy simple y hermosa: requierc un pequei'lo instante i·er las lunas de Jllpiter debido al tiempo que demora la lul en viajar de JUpiter a la tierra. Cuando Jllpiter esta mits cerca de la tierra, cl tiempo cs un poco menor, y cuando cstil mils lejos de la tierra, el tiempo es mayor. Esta es la raz6n por la que las lunas parecen estar, en promedio, un poco adelantadas o un poco atrasadas, segUn si estan mas cerca o mas !ejos de la tierra. Este fen6meno demostr6 que la luz no viaja instant3 neamente, y proporcion6 el primer citlculo de !a velocidad de la !uz. Esto fue hecho en 1656. Si todos los planetas se empujan y tiran entre si, la fuerza que controla, digamos, JUpiter al ir alrededor del sol, no es precisamente la fuerza desde el sol: tambien hay un tir6n desde, digamos, Saturno. Esta fuerza realmente no es grande, ya que el so! es mucho mas masivo que Saturno, pero hay cierta atracci6n, de modo que la 6rbita de JUpiter no debia ser una elipse perfecta y no lo es; esta ligeramente corrida y "oscila ·• alrededor de una Orbita eliptica correcta. Tai movimiento es un poco mils complicado. Se hicieron intentos de analizar los movimientos de JUpltcr, Satumo y Urano sobre la base de la Icy de la gravitaci6n. Se calcularon !os efectos de cada uno de estos planetas sabre los demas, para ver si las !eves desviaciones e irregularidades de estos movimientos podrian ser completamente comprendidos a partir de csta Unica !ey. Para Jllpiter y Saturno todo andaba bien, pero Urano estaba •·raro ".Se comportaba de un modo peculiar. No se movla en una e!ipse exacta, pero eso era comprensible debido a las atracciones de fopiter y Saturno. Pero aun hacienda concesiones sobre estas atracciones, Urano todavia no marchaba. bien, de modo que las !eyes de la gravitaci6n estaban en peligro de zozobrar, una posibilidad que no podia ~er descartada. Dos hombres, Adams y Leverrier, en Inglaterra y Francia, independicntemente llegaron a otra pmibilidad: tal vez hay a otru planeta. oscuro e invisible, que los hombres no habian visto. Este plancta, N, atraeria a Urano. Calcularon d6nde deberia estar ta! p!aneta para causar las perturbaciones observadas. Enviaron mensajes a los respectivos observatorios, diciendo: ··seiiores, dirijan sus tclc~copios a lal y tal lugar y verii.n un nuevo planeta ,.. A menudo depende de con quien estfn ustedcs trabajando para que Jes presten atenci6n o no. Ellos le pusieron atenci6n a Leverrier; jmiraron y ahi eStaba el planeta N! Entonces otros observatorios tambitn se apresuraron en mirar en los dias siguientc~ y tambien lo vieron. 7-8 Fig. 7-6. Un sistema de estrella doble se muestran tal como aparecieron varios aiios ·mas tarde. Vemos queen relaciOn a la estrella "fija '', el eje del par ha rotado, es decir, las dos estrellas han ido una en torno a la otra. lRotariln de acuerdo a las !eyes de Newton? Cuidadosas medidas de las posiciones relativas de Wl ta! sistema <leestrellasdobles semuestranen la figura 7-7. Vemos alli una bella elipse, las medidas parten en 1862 y dando la vuelta completa hasta l 904 (ahora debe haber complctado una vuelta mils). Toda coincide con las !eyes de Newton excepto que la estrclla Sirio A no esri:i en elfoco. ;,Por que serit? Porque el piano d~ la elipse no estft en el "piano de! cielo". No cstamos mirando en :ingulo recto al piano de la 6rbita, y cuando una clipse se ve inclinada, sigue siendo una el!pse, pero cl foco ya no est:i mils en el mismo lugar. Asi podemos analizar las estrellas dobles, moviendose una respecto a la otra, de acuerdo a las exigencias de !a ley gravitacional. Fig. 7-- 7 Orb1ta de Sirius B respecto a Sirius A 7-9 Fig. 7-8. Un cUmulo globular de estreUas. Que la ley de la gravitaci6n es villida para distancias aUn ma.yores se indica en la figura 7-8. Si alguien no puede ver la gravitaci6n actuando aqui es que no tiene alma. Esta figura muestra una de las mils be!las cosas en el cielo --un cUmulo globular de estrellas-. Todos los puntos son es!rellas. Aunque parecen estar agrupadas en forma compacta hacia cl centro, csto se dcbe a la falibilidad de nuestros instrumentos. En realidad, las distancias entre las estrellas, aun las mils ccntrales, son muy grandes y raramente chocan. Hay muchas mas estrellas en cl interior quc alejadas, y a medida que nos alejamos hay cada vel menos. Es obvio que hay una atracci6n entre estas estrellas. Es evidente que la gravitaci6n existe a estas enormes dimensiones, ta] vez 100.000 veccs el tamaiio del sistema solar. Vamos ahora mis lcjos y obscrvemos una galaxia entcra, mostrada en la figura 7-9. La forma de csta galaxia indica una tendencia evidente de la materia a aglomerarse. Par supuesto, no podemos probar aqui que la ley sea precisamente la de la inversa del cuadrado, s6Jo que aUn existe una atracci6n a esta enorme dimensi6n Fig 7 9 Una galax1a 7-10 Fig. 7-10. Un cUmulo de galaxias que mantiene todo junto. Atguien podria decir: "Bien todo esto es muy ingenioso, pero, .:,por que no es justamente una bola?'' Porquc esta girando y t_iene momentum angular que no debe ceder al contraerse; debe contracrsc princ!palmente en un piano. (A propOsito, si andan buscando un buen problema, los detalles exactos de c6mo se forman los brazos y que determina la forma de cstas galaxias no se han elaborado alm.) Sin embargo, es claro que la forma de !a galaxia se debe a la gravitaci(m. aunquc !as complcjidades de su estructura no nos han permitido aU.n analizarlo completamentc. En una galaxia tenemos una escala de ta! vez 50.000 a 100.000 afios \uz. La distancia de la tierra al sol es 8 1/ 3 minutos luz, de modo que pueden ver lo grandcs que son estas dimensiones. La gravedad parece existir alm a dimensiones mayores como se indica en la figu· ra 7-10, que muestra muchas cosas "pequei'ias·· aglomeradas. Este es un r:Umulo de galuxias, ta] coma un cU.mulo de estrellas. Asi !as galaxias sc atraen unas a otras a tales distancias que Fig. 7-11 telar. Una nube de polvo mteres- 7-11 Fig. 7-12 lla forrnac1611 de nuevas estrellas7 7-6 El experimento de Cavendish 7-12 Fig. 7-13. Un diagrarna s1mplificado del aparato usado por Cavendish para verificar la ley de gravitaci6n universal para objetos pequei'los y medir !a constante gravitacional G. cuidado, lo que sig1ifica cubrir el aparato para mantener fuera el aire, asegurarse que no este cargado eJectricamente, etc; entonces la fuerza puede medirse. El primero en medirla fue Cavendish con un aparnto que esta Lndicado esquemii.ticamente en la figura 7-13. Este demostrO primero la fuerza directa entre dos grandes bolas fijas de plomo y dos bolas mils pequeiias de plomo en Jos extremos de un brazo suspendido de una fibra muv fina, Hamada !ibra de torsi6n. Midiendo cuiinto se tuerce la fibra se puede medir la magnitud de la fuerza, vcrificar que es inversamente proporcional al cuadrado de distancia y determinar su intensidad. Asi se puede determinar precisamente cl G de la formula F = ,, G mm'. Todas las masas y distancias se conocen. Ustedes diriin "Ya lo sabiamos para la tierra". Si. pero no conociamos la masa de la tierra. iConociendo Ga partir de este experimento y conociendo la fuerza con que la tierra atrae, podemos averiguar indirectamente cuiil es el valor de la masa de la tierra! Este experimento se ha llamado ''pesar la tierra ". Cavendish afirmO que estaba pesando la tierra, pero lo que 61 media era cl coeficiente G de la ley de gravedad. Este es el 11nico modo en que se puede determinar la masa de la tierra. G resu!tO ser 6.670 X 10- 11 newton· m 1 /kgm 2 . Es dificil exagerar la importancia de\ efecto producido en la historia de la ciencia por este gran faito de la teoria de la gravitaci6n. jComparen la confusiOn, la falta de confianza, el conocimiento incomp!eto que prevalecia en los primeros tiempos, cuando habia interminablcs debates y paradojas, con la claridad y simp\icidad de esta ley -este hecho que todas las \unas y planetas y estrellas tengan una regla tan simple que los gobierna, y mils alln que el hombre pueda entenderla y deducir cOmo se mueven Jos planetas! Esta es la razOn de! 6xito de las ciencias en ios aiios siguientes, porque dio la esperanza de que los demits fenOmenos del mundo tambi6n tengan Jeyes tan be!lamente simples. 7-13 7-7 i.OuC es la gravedad? ,:,Pero es i:sta una ley tan simple? (.Cuitl es su mecanismo? Todo lo que he?'os hecho es describir c6mo se mueve la tierra alrededor de! sol, pero no hemos d1cho qui Ia hace mover. Newton no hizo hip6t.esis sobre esto; eJ qued6 satisfecho con encontrar lo que hacia sin entrar en su mecanica. Nadie ha dado desde entonces ningUn mecanismo. Es caracteristico de las !eyes fisicas que tengan este caritcter abstracto. La ley de conservaci6n de la energia es un teorema concerniente a cantidades que deben calcularse y sumarse, sin menci6n del mecanismo, y en forma parecida las grandes !eyes de la mecilnica son !eyes matemitticas cuantitativas, para las cual~s no hay mecanismo disponible. (.Por quC podemos usar las matemitticas para describ1r la naturaleza sin un mecanismo tras ella? Nadie lo sabe. Tenemos que proseguir porque de esa manera descubrimos mils. Se han sugerido muchos mecanismos para la gtavitaci6n. Es interesante considerar uno de i:stos, ya que mucha gente ha pensado en ello de tiempo en tiempo. Al comienzo, uno se excita y se pone contento cuando lo ''descubre", pero pronto encuentra que no es correcto. Fbe descubierto alrededor de 1750. Supongamos que hay muchas particulas movifodose en el espacio a una velocidad muy grande y en todas direcciones y que son s6lo !igeramente absorbidas al moverse a traves de la materia. Cuando son absorbidas, dan un impulso a la tierra. Sin embargo, ya que hay tantas moviCndose de una forma y otra, los impulsos se compensan. Pero cuando el sol esta cerca, las particulas que vienen hacia la tierra a travi:s del sol son parcialmente absorbidas, de modo que hay menos partlculas viniendo de! sol que viniendo del otro !ado. Por lo tanto, la tierra siente un imp!uso neto hacia el sol y no le lleva mucho a uno ver que es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias --debido a la variaci6n de! itngulo s6lido que el sol subtiende cuando vanamos la distancia-. z.Que anda ma! en este mecanismo? Comprende algunas nuevas consecuenclas que no son verdaderas. Esta idea particular tiene la siguiente dificultad: la tierra al moverse alrededor de! sol chocaria COit mils particuJas que vienen de SU Jado deJanterO que de SU lado traSero (jcuando corren en la lluvia, la lluvia en su cara es mas fuerte queen la parte de atnis de su cabeza!) Por lo tanto se habria dado mas impu!so a la tierra por delante y la tierra sentiria una resistencia al movimiento y se estaria retardando en su 6rbita. Uno puede calcular cu<lnto tomaria para que la tierra se detenga como resultado de esta resistencia y este tiempo no seria lo suficientemente largo coma para que la tierra pennanezca en su 6rbita, de modo que este mecanismo no funciona. No se ha inventado ningim mecanismo que .. explique" la gravedad sin que prediga algunos otros fenOmenos que no existen. A continuaci6n discutiremos la posib!e relaci6n de la gravitaci6n con otras fuer· zas. No existe explicaci6n de la gravitaci6n en tc!rminos de otras fuerzas en el presente. No es un aspecto de la electricidad ni nada como eso, de modo que no tenemos expli· caci6n. Sin embargo, la gravitaci6n y otras fuerzas son muy similares, yes interesante notar analogias. Por ejemplo, la fuerza el6ctrica entre dos objetos cargados se parece exactamente a la ley de la gravitaci6n. La fuerza el6ctrica es una constante con un signo menos, por el producto de las cargas, y varla inversamente con el cuadrado de la distancia. Es tit en direcci6n opuesta -iguales se repelen-. l Pero no es sumamente notable que las dos !eyes contienen la misma funci6n de !a distancia? Tai vez la gravitaciOn 7-14 y la electricidad estitn mucho mas intimamente relacionadas de lo que pensamos. Se han hecho muchos intentos de unificarlas; la asi Hamada teoria de! campo unificado es s6lo un intento muy elegante de combinar electricidad y gravitaci6n; pero al comparar la gravitaci6n y la electricidad, lo mas interesante es la intensidad relativa de las fuerzas. Cualquier teoria que contenga ambas debe deducir ademits la intensidad de la gravedad. Atracci6n gravitatoria R~~~-~l~ctri~-- =/'f.J7·1on Fig. 7-14. Las intensidades relativas de las interacciones electrica y grav1tac1onal entre dos electrones Si tomamos, en ciertas unidades naturales, la repulsi6n de dos electrones (carga universal de la naturalcza) dcbida a la clectricidad, y !a atracci6n de dos electrones debida a sus masas, podemos medir el cociente entre la repulsi6n electrica y la atracci6n gravitacional. El cociente es independiente de la distancia y es una constante fundamental de la naturaleza. La figura 7-14 muestra ese cociente. i La atracci6n gravitacional comparada con la repu!si6n eiectrica entre dos electrones es I dividido por 4.17 x 10 41 ! La pregunta es, (,de dOnde sali6 ese nUmero tan grande? No es accidental. como el cociente entre el vo!umen de la tierra y el volumen de una pulga. Hemos considerado dos aspectos naturales de una misma cosa, un electr6n. Este nUmero fant.istico es una constante natural, de modo que encierra algo de naturaleza profunda. i:.De d6nde podria salir un nUmero tan tremendo? Algunos dicen que algUn dia encontraremos la '°ecuaciOn universal", y en ella una de !as raices sera este nUmero. Es muy dificil encontrar una ecuaci6n para la cual un nUmero tan fant<'tstico sea una raiz natural. Se han pensado otras posibilidades; una es relacionarla con la edad de! universe. Evidentcmente. debemos encontrar orro gran nUmcro en alguna parte. Pero, ;,queremos indicar la edad de! universe en aiios? No. porque los ai'ios no son .. naturales .. : fueron ideados por los hombres. Como cjemplo de algo natural. consideremos cl tiempo que dcmora la luz en atravesar un prot6n. 10- 14 seg. Si comparamos cste tiempo con la edad de/ universo, 2 x 10 10 ai'ios. la respuesta es 10-~'. Tiene alrededor del mismo nUmero de ceros. de modo que se ha propuesto que la constante gravitacional est;\ relacionada con la cdad de! universo. Si ta! fuera el caso. !a constante gravitacional deberia cambiar con el tiempo, porque a mcdida que el univcrso se hacc mas vicjo la razon entrc la edad del universe y el tiempo que demora la !uz en cruzar un protOn irii. aumentando gradualmcnte. i:.Es posible quc la constante gravitacional este cambiando con el tiempo? Por supuesto que los cambios serian tan pequei'ios que es bien dificil estar seguro. 7'·15 7-8 Gravedad y relatividad es, s1 mov1eramo~ una masa. va posiciOn de !a ma5a; por este finita. Einstein anticip6 argumentos que rdpidas que la relocidad de la luz, de equivocada. Al corregirla para considerar ley de gravitaci6n de Einstem. Un tender, es este: en la teoria de la de Einstein, todo lo que tiene tiene masa -masa en el sent1do que es atraida gravitacionalmente . Aun la Juz, que tiene una energ1a, 7-16 tiene una "masa ". Cuando un haz de luz, que contiene energia, pasa cerca de! sol, hay una atracci6n sobre eJ por el sol. Asi la luz no se mueve en lillea recta, sino que es desviada. Por ejemplo, durante un eclipse de sol, las estrellas que estil.n rodeando al sol aparecerian desplazadas de donde debieran estar si el sol no estuviera ahi, y esto ha sido observado. Finalmente, comparemos la gravitaciOn con otras tcorias. En los aiios recientes hemos descubierto que toda masa estil. hecha de pequeiias varticu!as y que hay muchas clases de interacciones, tales como fuerzas nucleares, etc. Se ha encontrado que ninguna de estas fuerzas nucleares o electricas explican la gravitacic"m. Los aspectos cuii.nticos de la naturaleza no se han aplicado a la gravitaci6n. Cuando la escala es tan pequeiia que necesitamos de los efectos cuitnticos, !os efectos gravitacionales son tan d6biles, que no se ha desarrollado aUn la necesidad de una teoria cuil.ntica de la gravitaci6n. For otra parte, para la consistencia de nuestras teorias fisicas serla importante ver si !a ley de Newton modificada en la ley de Einstein puede ser modificada aUn mils para ser consistente con el principio de incertidumbre. Esta Ultima modificaci6n no ha sido aUn completada. 7-17 8 El movimiento 8-1 Descrip<:iOn del movimiento 8-4 La distancia como una integral 8-2 Velocidad 8-5 AceleraciOn 8-3 La velocidad como derivada 8-1 DescripciOn del movimiento A fin de encontrar las leyes que gobiernan Jos diversos cambios que experimentan los cuerpos a medida que el tiempo transcurre, debemos estar en condiciones de describir los cambios y tener alguna manera de registrarlos. El cambio mas simple observable en un cuerpo es el cambio aparente en su posici6n con el tiempo. al cual llamamos movimiento. Consideremos a!glln objeto s61ido con una marca permancr.te que podemos observar, que llamaremos punto. Discutiremos el movimiento <lei pequef\o marcador, cl cual podria ser la tapa dcl radiador de un autom6vil o el centro de ~na pelota que estii. cayendo, y trataremos de describir el hecho de que se mueve y como se mueve. Estos ejemp!os pueden parecer triviales, pero en la descripcion de! cambio entran muchas sutilezas. Algunos cambios son mis dificiles de describir que el movimiento de un punto en un objeto s6lido, por ejemplo la velocidad de deriva de una nube que se mueve muy lentamente, pero formitndose o evaporitndose ritpidamente, o cl cambio de opini6n de una mujer. No conocemos una manera simple para analizir un cambio de opini6n, pero ya que la nubc se puede representar o describir por muchas moieculas. en princlpio, tal vez podamos describir el movimiento de la nube, describiendo el movimiento de eada una de sus molCculas. De la misma manera, quiz:its, los cambios en la opini6n pueden tener un paralelo con los cambios de los :ittomos dentro del cerebra, pero aUn no tenemos ta! conocimicnto. De todas maneras, esto es el motivo por el cua! comenzamos con el movimiento de puntos; tal vez debieramos imaginarlos como .iitomos, pero es probablemente mejor ser mils imprecisos al comienzo y simplemente pensar en alguna cspecie de pequci'tos objetos, es decir, pequeii.os comparados con la distancia rccorrida. Por ejemplo, para dcscribir el movimiento de un autom6vil que va a cien kil6metros. no tenemos que distinguir entre la parte delantera y la parte trasera de! autom6vil. Sin Juda, hay pcqucii.as diferencias, pero para prop6sitos aproximados dircmos '"cl autom6vil" y de! mismo modo no importa que nuestros puntos no sean puntos absoluws; para lo quc nos interesa no es neccsario ser extrcmadamcnte precise. Tam· bien. rnientras echamos una primera mirada a este tema. vamos a olvidar las tres dimcnsioncs de! mundo. Solamente nos concentraremos sabre el movimiento en una direcciOn, 8-1 Tabla 8-1 t(min) .310~~ s(m) ~.6201 0 400 1.300 3.000 3.170 3.200 4.300 6.000 7.850 8.000 '.. '·ooor 3.310 1.. 650 4 2 tiempo en Fig 8·-1 6 8 !O minute~ Gr8f1co t1cmpo pvra 8-2 J33LL 3 Tabla8-2 t(seg) s(m) JOO 66 5 20 45 ,··~~.­ 80 125 180 tiempoensegundos 8-2 Grat1co de lad1stanc1aenfunt1empo para un cuerpo quecae la bel!a indicada en la figura 8-2. La formula para esta curva puede S--=5t.' • 4ue Otra sutilcza ya e~tamos obscrvando ~ f(t), (8.1) (8.2) es que seria posible 1maginar que cl punto m6vil ubicado en alguna parte. 8·3 (Por supuesto, que cuando lo estamos observando, estit ahi, pero puede ser que cuando miremos hacia otro )ado no este ahi.) Resulta que en el movimiento de los ittomos esa idea tambiCn es falsa -no podemos encontrar un marcador en un ittomo y ver!o tnoverse-. A esas suti!ezas tendremos que !legar en la mecitnica cuintica. Pero primero vamos a aprender cuitles son los prob!emas antes de introducir las complicaciones, y entonces estaremos en una situaci6n mcjor para hacer correcciones a la Juz del m.is reciente conocimiento de! tema. Por lo tanto, tomaremos un punto de vista simp!e acerca del tiempo y del espacio. Sabemos to que son estos conceptos de una manera aproximada, y los que han manejado un autom6vil saben lo que significa velocidad. 8-2 Velocidad Aunque sabemos aproximadamente lo que significa "velocidad ··,hay aUn algunas sutilezas bastante profundas: tengan en cuenta que los estudiosos griegos nunca pudieron describir en forma adecuada los problemas relativos a la ve!ocidad. La sutileza nace cuando tratamos de comprender exactamente que se entiende por "velocidad ". Los griegos se confundieron mucho con esto, y una nueva rama de la matemittica tuvo que ser descubierta ademits de la geometria y el itlgebra de los griegos, itrabes y babilonios. Como ilustraci6n de la dificultad, tratemos de resolver este problema con illgebra pura: Se cstit int?ando un g!obo de modo que el volumen dcl globo aumenta a raz6n de 100 cm 1 por segundo: ~a que velocidad estit aumentando el radio cuando cl volumen cs de 1.000 cm 1 ? Los griegos se embrollaron bastante con tales problemas. siendo ayudados. por supuesto, por algunos griegos muy confusos. Para mostrar que existian dificultades al razonar acerca de la vdocidad en esa Cpoca, Zen6n produjo un gran nilmero de paradojas, de las cuales mencionaremos una para ilustrar este punto en el cual hay obvias dificultades en las ideas acerca dcl movimiento. "Escuchen ·--dice-· el siguiente razonamiento: Aquiles corre IO veces mils rilpido que una tortuga: sin embargo, nunca puede alcanzar a la tortuga. Para cllo, supongan quc inician una carrera donde la tortuga estil 100 metros delante de Aquiles: entonces cuando Aquiles ha corrido los 100 metros al lugar donde estaba la tortuga, la tortuga ha avanzado JO metros, habiendo corrido un dCcimO de ritpido. Ahora. Aquiles tiene que correr otros JO metros para alcanzar a la tortuga, pero al llegar al final de esa carrera, encuentra que la tortuga estit atm a un metro delante de e1: corriendo otro metro, encuentra a la tortuga 10 centimetres delante. v asi sucesivamente. hasta el inflnito. Por lo tanto, en cua!quier instante la tortug3. estil siemprc de!ante de Aquiles y Aquiles nunca pucde alcanzar a la tortuga." ~D6nde estii el error en esto? Esta en que una cantidad finita de tiempo puede ser dividida en un nUmero infinite de partes, tal como una longitud de Jinea puedc ser dividida en un nUmcro infinito de pedazos dividiCndo!a rcpetidamcnte en dos. Y asi. aunque hay un nUmero infinito de pasos (en el razonamiento) hasta el punto en el cual Aquiles alcanza a la tortuga. no significa que haya una cantidad infinita de tiempo. Podcmos ver con este cjcmplo quc hay en verdad algunas sutilezas en el razonamiento acerca de la velocidad. A fin de comprender las sutikzas en una forma clara. Jes quc scguramente debcn haber oido. En e! lugar donde un cl auto. el policia sc le accrca y dice: "jSei'i.ora. usted iba a Ella dice: "fao es imposible. sci'i.or. he estado \'iajando sOlo ~ietc minutos. 8-4 Es ridiculo, {.C6mo puedo ir a 100 kil6metros por hara cuando no he viajado una hora?" {. C6mo responderian si fueran el po Iida? Por supuesto, si fueran realmente el policla no habria sutilezas; es muy simple, dirian; -·icuenteselo aljuez!" Pero supongamos que nosotros no tenemos esa salida y hacemos un ataque intelectual mas honesto a! problema y tratamos de explicar a esta dama Jo que entendemos por la idea de que ella fuera a 100 kil6metros por hora. Precisamente. {.qui: entendemos? Decimos: ··Loque entendemos, seiiora, es esto; si usted siguiera yendo de la misma manera coma iba ahora, en la hora siguiente babria recorrido 100 ki16metros." Ella podria decir: ""Bien, mi pie no estaba sobre c! acelerador y el auto estaba deteniendose: asi que si yo continuara yendo de esa manera no recorreria 100 kilOmetros." 0 consideren la pelota quc cae y supongan que quercmos conocer su velocidad en el tiempo tres segundos, si la pe!ota sigue moviendose de la manera en que lo estii hacienda. {.Que. significa eso, scguir acelerando, ir mils r:'J.pido? No; seguir moviendose con la misma velocidad. iPero eso es to que estamos tratando de definir! Perque si la pelota sigue moviendose de !a manera en que lo estii hacienda, scguiril simplemente moviendose de la manera como lo est3 hacienda. Por lo tanto, necesltamos definir mejor la velocidad. {.Que de be seguir lo mis mo? La dam a puede tambien razonar de esta manera: "jSi siguiera moviCndome de la manera coma lo cstoy ha ciendo durante una hora mas, me iria contra esa pared al final de la ca!!e!" No es tan facil expresar 10 que queremos decir. Muchos fisicos piensan que !a mediciOn es la lrnica definiciOn de cualquier cosa. Evidentemente, entonces, debieramos usar el inst~umento que mide la ve!ocidad -el velocimetro- y decir: "Mir~ seiiora, su velocimetro marca 100". Y entonces ella dice, "Mi velodmetro est3 roto y no marcaba en absoluto". {.Significa esto que e! auto est3 detenido? Creemos que hay a!go que mcdir antes de construir cl velocimetro. SOio entonces podemos decir, por ejemplo: "E! velocimetro no csta funcionando bien ", o "el velocimetro csta roto ". Fsa scria una frase sin sentido si h velocidad no tuviera un significado independiente del ve!ocimetro. Asi. pues, tenemos en nuestras mentes, evidcntemente, una idea que es independiente de! velocimetro. y el vclocimetro est3 ideado sOlo para medir esta idea. Por lo cual veamos si podemos obtener una mejor definickrn de la idea. Dedrnos, '·Si, por supuesto, antes de andar una hara usted chocaria esa muralla, pero si anduviera un segundo, recorreria 28 metros; seiiora, usted iba a 28 metros por segundo y si siguiera andando. cl prOximo ~cgundo estaria a 28 metros y la rnura!la aque1ia est3 mils lejos,.. Ella dice, "jSi. pero no hay ninguna ley que prohiba ir a 28 metros por scgundo! Hay s6lo una que prohibe ir a JOO kil6metros por hora ", "pcro ,., replicamos la rnisma Si es la misma seria net:esario este circunloquio accrca de 28 metros por pclota que est<i cayendo no puede.~eguir moviCndose de la segundo. En un segundo. debido a quc c~taria cambiando la velocidad, vclocidad de alguna manera. 8-5 tan corto podrla tener durante una cs bastantc La defintciOn anterior envucivc una nucva idea, una idea que los griegos no tenian en una forma general. Esa idea foe tomar una distancia inflnltesimal y el correspondicnte infinitesimal, formar el cociente, y observar que sucede a ese cocicntc cuando quc usarnos lleguc a ser mils y m.is corto. En otras pala la distancia recorrida dividida por el ticmpo necesario, es cada vez mils pequei'io. hasta el infinito. Esta idea fue cuando el ticmpo inventada par Newton y Leibnitz, independientemente, yes el comienzo de una nueva rama de las matemilticas, Uamada ctilculo diferencial. El c<ilculo difcrencial fue inventado con el fin de dcscribir el movimiento. y su primera aplicaciOn fue al problema de definir quC significa ir "a 100 ki!Ometros por hora ··. Tratemos de ddinir la vclocidad un poco mcjor. Supongamos quc en un corto tiempo <. el automOvil u otro cuerpo recorren una corta distancia x; entonces la vclocidad. P, csta definida por t' = X/E, ,, Si v =Jim~~ ..... o E (8.J) 8-6 Tomemos corno ejcmplo el problema de deterrninar, al instante particular de cinco scgundo~, la veloc1dad de una pelota que cae. Una manera de haccr csto es ver en la tabla 8-2 lo que hizo en el 5. 0 segundo: fue 125-80 = 45 metros, asi quc iba a 45 metros/seg; sin embargo, eso es fa!so, debido a quc la vclocidad est<'i cambiando; es promedio de 45 metros/seg durantc cstc intervalo, pero )a pe!ota est<'i aumentando su veloc1dad y va realmente a mis de 45 metro~/seg. Queremos encontrar exaciamente a qui velocidad. La 1ecnica util.izada en este proceso es la siguiente: sabemos d6nde se encuentra la pclo ta a los cinco segundos. A lo~ 5. I segundos, la distancia quc ha caido es 5 (5.1) 2 = 130.05 metros (ver 8.1). A los cinco segunha caldo 125 metros; en el Ultimo d6cimo de cay6 130,05 - 125 = metros. Como 5,05 metros en 0,1 seg. es Jo que 50,5 m/s, Csa es mis o menos la velocidad, pero no es exactamcnte la correcta. LES la velocidad a los 5,0, a los 5,1. o en mitad de! camino a 5,05 seg, o a quc instante e~ 6sta !a ve!ocidad? No importa el problema fuc cncontrar la vclocidad Q los cinro segundos, y no tcnemos exactamente eso; tenemos que hacer un trabajo mejor. Asi tomamos un mi!Csimo de segundo miis que 5 segundos, o sea 5,001 segundos, y calculamos la caida total segUn s '--- 5(5,00lF = 5(25,0iOOOl) = 125,050005 m. En el Ultimo 0,001 seg. la pelota cay6 0,050.005 m. y si dividimos ese ntimero por 0,001 seg., obtenemos la velocidad de 50,005 mis. Esto es mas pr6ximo, muy pr6ximo, pero es todavia inexaclo. Deberia ser ahora evidente lo que debemos haccr para encontrar exactamente la velocidad. Para calcular esto matem3ticamente planteamos el problema en forma un poco mas abstracta: encontrar la velocidad en un tiempo especial 10, queen el problema original era 5 seg. Ahora la distancia corrcspondiente a l0 , que llamamos s0 , es 5 t0 2, o 125 metros en este caso. A fin de encontrar !a velocidad, preguntamos: "En el instante ! 0 -+ (un poquito). o l0 + E, (.d6nde csti el cuerpo'!" La nueva posici6n es 5 (! 0 + Ej2 ---, 5 t 0 2 -+ ~ 10 l 0 t + 5 t 2• Asi esta mil.s leJOS de lo que estaba antes, dcbido a que antes era s6Jo 5 /0 2 . Esta distancia la llamaremos s0 + (un poquito mis), o s0 + x (six es el poco extra dem<'is). Si ahora restamos la distancia correspondientc a / 0 de la distancia correspondiente a ! 0 + E, obtenemos x, la distancia adicional recorrida; x = IO l0 E + 5 ( 2 • Nuestra primera aproximaci6n para la vclocidad es V = fJ0/ 0 -+ 5E (8.4) La velocidad verdadera es el valor de este cociente, xh, cuando E se hace infinitamente pequeiio. En otras palabras. de~puti:s de formar el cociente, tomamos el limite cuando E se hace mas y mis pequeiio, esto es, tiende a 0. La ecuaci6n se reduce a i: (en el instante LJ = 10!0 En nuestro problema l0 = 5 scg, asi que !a soluci6n es v = 10 x 5 "--'- 50 m/s. Unas pocas !meas arriba, donde tomamos a E igual a 0,1 y 0,01 seg. sucesivamente, el valor que obtuvimo~ para l' fue un poco mayor que este, rero ahora vemos que la veloc1dad real es preci~amente 50 m /~eg. 8-7 8-3 I.a velocidad como derivada v = lim ~. (8.5) ll.1--->0!lt en In forma v= Jim~=<_!!_. t.r--.o M ror I t J.1 y notamo~ dt que 8-8 Tabla 8-3. Tabla abreviada de derivadas s, u, v, w, son funciones arbitrarias de t; a, b, c y n son constantes arbitrarias FunciOn Derivada ~ = 111n-l '!!.. = c dJ '!.!'. d' ~=~+~+'!ff+·· ~ s = = 0 ~=s(~~+~~+E_~+ ··) dt udr vdt wdr u"'" v w. s ha cambiado as+ cierto .1s; entonces encontramos el ...Is en terminos de i1t. Es decir, s + ti.s = A(t = At 3 + ti.t) 3 + B(t + Bt + C + + +C + B At + M) 3At 2 ti.t 3At(ti.t) 2 + A(At) 3 , pero ya que s = A1 3 + Bt + C, encontramos que As = 3At 2 M + B ti.I + Pero nosotros no qucremos j s ---queremos ciOn anterior por "11, oh1e11femlo ~~ = 3At 2 + B 3At(At) 2 js + A(ti.t) 3 • dividido por Jh Dividimos !a ecua- + 3At(ti.t) + A(M) 2. Cuando i11 tiende a 0, el limite de Js/ Jt es ds/dt yes igual a ~i = 3At 2 + B. Este es el proceso fundamental de! c:ilculo difercncial: derivar funciones. El proceso es aim mas simple de Jo que parece. Observemos que cuando estos desarrol!os contienen cualquier tCrmino con un cuadrado o un cubo o cualquiera potencia mas aJta de .1.t, tales tCrminos pueden ser eliminados de inmcdiato. ya que 1ender<i.n a 0 cuando se tome el limite. DespuCs de un pequetia prilct1ca el proceso se hace mils f8.cil, porque uno sabe lo que tiene que dejar de !ado. Hay muchas reglas o formulas para derivar los diversos tipos de funciones. Pucdcn scr memorizadas. o pueden encontrarse en tablas. Una pequeiia !ista se encucntra en la tabla 8-3. 8-9 8-4 La distancia como una integral Ahora tenemos que discutir e! problema inverso. Supongamos que. en vez de una tabla de distancias, tenemos una tabla de velocidades en diferentes tiempos, partiendo desde cero. Para la pelota que cae, tales velocidades y tiempos se muestran en la tabla 8-4. Una tabla similar podria construirse para la velocidad de! auto, anotando las lecturas del velocimetro cada minuto o cada media minuto. Si sabemos a quC velocidad estti. yendo el coche en cualquier instante, ;,podemos determinar hasta dOnde va? Este problema es justamente el Inverso del resuelto anteriormente; se nos da la velocidad y se nos pide encontrar la distancia. (,COmo podemos encontrar la distancia si conocemos la velocidad '! Si la velocidad de\ automOvil no es constante y ta seilora va a cien ki!Ometros por hara por un momenta, \uego disminuye la velocidad, la aumenta, y asl sucesivamente, (,cOmo podemos determinar hasta dOnde ha ido? Esto es facil. Usamos la misma idea y expresamos la distancia en ti:rminos de infinitesimales, Digamos: ··En el primer segundo su velocidad fue ta] y ta!, y de la formula .1.s = v .1.t podemos calcular hasta dOnde fue el auto en el primer segundo a esa vclocidad."' Ahora, en el segundo siguiente su velocidad es aproximadamente la misma, pero !igeramcnte diferente; podemos calcular hasta d6nde fue ella en el Segundo siguiente tomando la nueva velocidad multiplicada por el tiempo. Procedemos en forma similar para cada segundo, hasta el final de! viaje. Ahora tenemos un nUmero de pequeflas distanclas y la distancia total sera la suma de todos estos pequeilos pcdazos. Tabla 8-4 Veiocidad de una pelota que cae t(seg) v(m/seg) 0 10 20 30 40 Esto la distancia scril la suma de las velocidadcs por !os tiempos, o s = ~ r ~t, letra griega ~· (sigma) es usada para indicar la suma. Para ser mils preciso, es suma de la velocidad en un cierto instante, digamos en el instante i, multiplicada por J.t. s = ~v(l;)l:J.t. (8.6) La rcgla para !os tiempos es que t; + = t; + .1.t. Sin embargo, la distancia que obtenemos por este metodo no sera ·correcta, porque la velocidad cambia durante el intervalo de tiempo .1.t. Si tomamos los ticmpos suficientemente cortos, la suma es precisa, pues los tomamos mas y mas pequeilos hasta obtcner la exactitud dcseada. El verdadero s es ~ = Los matemti.ticos han la difcrencial. U .1 se 2:'.1.1o ~ v(t,) <.\/. (8.7) limite, an<ilogo al simbolo para quc el tiempo es tan pequei'io 8-10 como pueda ser; la velocidad se llama cntoi:1ces r en el r,:cribe como una suma con una gran "s ", } (de! latln s1onado y ahora, por desgracia. sc llama integral. Escribimos s = Jv(t)dt. t y la que se entonce~ (8.8) El proccso de sumar todos estos terminos se llama integraciOn y es el proceso inverso de la derivac19n. La derlvada de esta integral es l'. lo operador (d) elimina el otro (I). Uno puede obtener la formula tomando !as formulas para !as derivadas y aplic<indolas en el estim relacionadas inversamente entre si. Asi uno puede inteobtegrales derivando toda clase de fum:ioncs. Para cada nemos una formula de integral s1 la invertimos. Cada funciOn pue<lc ser dcnvada analiticamcntc. es dccir, el proceso se puedc rcalizar algebriticamente. y conduce a 1ma funciOn definida. Pero no es posible valor anahtico para cualquier integral de una manera simple escnbir hacicndo la ~uma anterior. y luego quiera. Pueden ca!cularlo. por i..ll y otra veL con un intervalo do!a otra vcz con un intcrvalo Jrnsta que esten cerca de lo correcto. En generaL dada alguna funcion particular. no cs posible cncontrar, analiticamcnte, cuilnto vaie la integral. t:no pucde siempre tratar de encontrar una funciOn deri\ a da funcion deseada: no el ser expresable en pcro podria no encontrarla y tCrmino de func1une1. a las males ya se les 8·5 Aceleracion 8-11 IPara derivar el termino lOt podemos uti\izar el resultado obtenido en un problema anterior, donde encontraremos que la derivada de Et es simp!emente B (una constante). Asi, si hacemos B = 10, tenemos inmediatamente que !a derivada de lOt es 10. I Esto significa que !a velocidad de un cuerpo que cae est<i. cambiando siempre a raz6n de JO metros por segundo, por segundo. TarnhiCn vemos en la tabla 8-4 que la velocidad aumenta en JO m/s en cada segundo. Este es un caso muy simple, porque las aceleradones usualmente no son constantes. La raz6n de que la acelera· ci6n es constante aqui es que la fuerza sobre el cuerpo que cae es constante, y la Ley de Newton dice que la aceleraci6n es proporcional a !a fuerza. Como un ejemplo mils, encontremos la acelcraci6n en el problema que ya hcmos resuelto para la velocidad. Partiendo con s obtuvimos, para v = = At 3 + Bt + C ds/ dt, v = 3At 2 + B. Como !a aceleraci6n es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, debemos derivar la Ultirtl.a expresi6n. Recordemos la regla que la derivada de los dos tfrminos de! segundo miembro es igual a la suma de las derivadas de los tfrminos individualmente. Para derivar el primero de estos tfrminos, en vez de ir a traves de! proceso fundamental, notemos otra vez que ya hemos derivado un tfrmino cuadril.tico cuando derivamos 5t 1 y el efecto fue doblar el coeficiente numfrico y cambiar el t~ por t; supongamos que !a misma cosa suceder<i. esta vez, y ustedes puedcn comprobar el resu!tado. La derivada de 3A t 2 seni 6A t. En seguida derivamos B, un termino constante; pero, por una regla establecida previamente, !a derivada de Bes cero; por lo tanto este tfrmino no contribuye a la aceleraci6n. El resultado final es. por lo tan to. a = dv/ dt = 6At. A titulo de referenda, establezcamos dos formulas muy ii.tiles, que se pueden obtener por integraci6n. Si un cuerpo parte del reposo y se mueve con una aceleraci6n constante g, su velocidad ~' en cualquier instante t esta ctada por v =gt. La distancia que recorre en el mismo tiempo es Hay varias notaciones matem<iticas para escribir derivadas. Ya que la velocidad es ds/dt y la aceleraci6n es 13 derivada de la velocidad con respecto al tiempo podemos tambifn escribir (8.10) que son maneras comunes de escribir una segunda derivada. Tenemos otra ley en que la velocidad es igual a la integral de la aceleraci6n. Esto es justamente lo inverso de a = dv/ dt; ya hemos visto que la distancia es la 8-12 integral de la velocidad, por lo que se puede encontrar la distancia por una doble integraci6n de la aceleraci6n. En la discusiOn anterior 1=1 movimiento fue en una sola dimensi6n, y razones de espacio s61o permiten una breve discusi6n del movimiento en tres dimensiones. Consid~remos una particula P, que se mueve en tres dimensiones de una manera cualquiera. Al comienzo de este capitulo, abrimos nuestra discusi6n del caso unidimensional de un autom6vil en movimiento, observando la distancia recorrida por el autom6vi\ desde su punto de partida en varios instantes. Luego se discuti6 la ve!oc.idad en terminos de los cambios de esta distil.ncia con el tiempo y la aceleraci6n en terminos de los cambios de la velocidad. Podemos tratar el movimiento tridimensional en forma aniiloga. Sera mas simple ilustrar el movimiento en un diagrama bidimensional y luego extender las ideas a tres dimensiones. Establezcamos un par de ejes en ingulo recto y determinemos la posici6n de !a particula en cualquier instante midiendo a que distancia est3. de cada uno de tos dos ejes. As[ cada posici6n esta dada en tfrminos de una distancia x y una distancia y, y el movimiento puede ser descrito construyendo una tabla en la cual estas distancias est3.n dadas en funci6n del tiempo. (La extensi6n de este proceso a tres dimensiones s6!o requiere otro eje, perpendicular a los dos primeros, y medir una tercerea distancia, !a distancia z. Las distancias se miden ahora desde pianos coordenados en vez de Jineas.) Habiendo construido una tabla con las distancias x e y, z.c6mo podemos determinar la velocidad? Primera encontramos las componentes de la velocidad en cada direcciOn. La parte horizontal de la velocidad, o componente x, es !a derivada de la distancia x con respecto al tiempo, o v,, = dx/dt. (8.11) En forma similar, la parte vertical de la velocldad. o componente y, es 1'y = dy/dt. (8.12) 11, = dz/dt. (8.13) En la tercera dimensi6n, Ahora bien, dadas las componentes de la velocidad, ;,c6mo podemos encontrar la ve\ocidad a lo largo de la trayectoria real del movimiento? En el caso bidimensional, consideremos dos posiciones succsivas de la particu!a, separadas por una corta ~istancia Lu y un pequeilo intervalo ~e tiempo 11 - t, = M. En el tiempo !':.! la part1cula se mueve horizontalmente una d1stancia !':.x - i'x ill y vert1ca!mente una distancia !':.y - v,. !J.l. (El simbolo '",._" se lee '"es aproximadamente ··.) La distancia real que se mueve es aproximadamente (8.14) como se muestra en la figura 8-3. La velocidad aproximada durante este interva!o pue<le ?bten~rse dividiendo por fl! y hacienda que /1! tienda a 0, como al comienzo del cap1tulo. Entonces obtenemos la ve!ocidad como v = ~ = v'(dx/dt)2 + (dy/dt2) = ~ (8.15) 8-13 Fig. 8-3 Descripc16n del movimiento de un cuerpo en dos dimensiones y cf!lculo de su velocidad Fig. 8- 4. La parabola descrita por un cuerpo que cae con una velocidad horizontal inicial. Para tres dimensiones el resu!tado es (8.16) De la misma manera como dcfinimos las velocidades, podemos definir las aceleraciones: tenemos una componente x de la aceleraciOn a.,, que es la derivada de vx, la componente x de la velocidad (esto es, a, = rPx/dl 2 , ta segunda derivada de x con respecto a 1), y asi sucesivamente. Consideremos un bonito ejemplo de un movimiento compuesto en un piano. T omaremos un movimiento en el cu al una pelota se mu eve horizontalmente con una velocidad constante u y al mismo tiempo cae verticalmente con una aceleraciOn (.Cuill es el rnovimiento? Podernos decir que dx/dt ~ v, ~ u. Ya que l'< es constante. x = ut, (8.17) y ya que !a aceleraci6n hacia abajo -g es constante, la distancia y que el objeto cae puede dcscribirse en la forma (8.18) (.Cu:i.l es la curva de su trnyectoria, es decir, cucil es la relaciOn entre y y x. Podemos eliminar t de la ecuaciOn (8.18). ya que t = x/u. Hacienda esta sustituci6n, encontramos que (8.19) Esta relaciOn entre y y x puede ser considerada como la ecuaci6n de la trayectoria de la pelota que se mueve. Dibujando esta ecuaciOn, obtenemos una curva que se llama parabola; todo cuerpo que cae !ibremente disparado en cualquiera direcci6n describir<l una par:i.bola, como se muestra en la figura 8-4. 8-14 9 Leyes de Newton de la dintimica 9~1 Momentum y fuer:m H iCu:il es la fuerza? n La velocidad tiene direcciOn 9~5 Componentes de la velocidad, de la aceleraciOn y de la fuerza H Significado d< las ecuaciones de la dimimica SoluciOn numfrica de las ecuaciones Movimientos planelarios 9~3 9~ 7 9-1 Momentum y fuerza El descubrimiento de las Jeycs de la dinilmica, o de las fue un momenta culminante en la historia de la ciencia. Antes ton, los movimientos de las cosas coma Jos planetas eran un pero de Newton hubo una comprensiOn completa. Aun las !eves desv1aciones de las de Kepler debido a las perturbaciones de los planetas, fueron computables. El movimiento de los pendulos, osciladores con resortes y pesos en ellos, etc. pudieron ser analizados completamente despues que las !eyes de Newton fueron enunc1ada~. Asi es con este capitulo: antes de este capitulo no pudimos calcu]ar cc"imo se moveria una masa fija a un resorte; mucho menos podriamos calcular las perturbac1ones de! planeta Urano debido a Ji.ipiter y Saturno. jDespul:s de este capitu!o podremos calcular no s6!o el movimiento de las masas que oscilan, sino tambien las perturba ciones produddas por J Upiter y Saturno sob re el p!aneta Urano ! Galileo hizo un gran avance en la comprensi6n de! movimiento cuando descubri6 el principio de inercia: si un objeto se abandona a si mismo, si no es perturbado, continUa moviendose con una velocidad constante en una linea recta si estaba originalmente movifodose, o continua en repose si estaba en reposo. Por supuesto, este nunca parece ser cl caso en la naturaleza, porque si hacemos deslizar un bloque a lo largo de una mesa se detiene, pero eso es debido a que no ha sido abandonado a si mismo -est<i rozando contra la mesa-. RequiriO cierta imaginaci6n encontrar la regla correcta y esa imaginaci6n !a tuvo Galileo. Por supuesto, la pr6xima cosa que se necesita es una regla para encontrar c6mo un objeto cambia su velocidad si algo lo estd afectando. Esta es la contribuci6n de Newton. Escribi6 tres ]eyes: La primera ley fue una mera reafirmaci6n del principio de inercia galileano recien descrito. La segunda ley dio una manern. especifica para determinar c6mo la velcx:idad cambia baJo diferentes influencias llamadas fuerzas. La tercera !ey describe las fuerzas con algUn detaJle y discutiremos eso 9-1 en otra oportunidad. Aqui discutiremos sOlo la segunda ley, la cual sostiene que las fuerzas cambian el movimiento de un objeto de este modo: fa variaciOn temporal de una cantidad !lamada momentum es proporcional a la fuerza. Enunciaremos esto en forma matemii:tica pronto, pero expliquemos primero la idea El momentum no es lo mismo que la velocidad. Muchas palabra~ se usan en fisica, y todas tienen significado preciso en ella. aunque no puedan tener ta! signifi" cado preciso en el !enguaje cotidiano. El momentum es un ejemplo y debcmos definirlo en forma precisa. Si ejercemos un cierto empuje con nuestros brazos sobre un objeto !iviano, este se mueve facilmente; si empujamos igualmente fuerte otro objeto mucho m:ls pesado en el sentido usual, se mueve mucho menos rapido. Realmente, debemos cambiar las palabras •·Jiviano" y ""pesado" a menos masil'O y mds masivo, porque hay una diferencia que debe entenderse entre e! peso de un objeto y su inercia. (Lo dlficil que es poner una cosa en movimiento y cuilnto pesa es algo diferente.) El peso y la inerda son proporcionales y sabre la superficie de la tierra se consideran a menudo numi.':ricamente iguales. lo cual causa una cierta confusiOn al estudiante. Sabre Marte lo~ pesos serian diferentes, pcro la magnitud de la fuer7.a necesaria para V!(ncer la incrcia seria la misma. Usamos el tCrmino masa coma mcdida cuantitativa de la inercia. y podemos medir mai.a, por ejemplo, hacienda girar un objeto en circulo a determinada velocidad y midiendo cuilnta fuerza necesitamos para mantenerlo en circu!o. De esta manera, encontramos cierta cantidad de masa para cada objcto. Ahora el momentum Jc un obieto es un producto de dos partes: su masa y su velocidad. Asi, pues, la segunda ley de Newton puede escribirse matemilticamente de esta manera: F = #, (mv). (9.1) Ahora hay varios puntos a considerar. Al escribir cua!quier ley como esta. usamos muchas ideas intuitivas, implicacioncs y suposicioncs. las cuales primero se cor:nbinan aproximadamente en nuestra ""ley". Posteriormente tenemos que volver atrils y estudiar con mayor deta11e lo que cada uno de los tCrminos significa exactamente, pero ,<>j tratamos de haccrlo dema~-iado pronto nos confundiremos. Asi, pues, al comienzo daremos varias cosas por supuestas. Primero, que !a masa de un objeto es constante; no lo es realmente, pero partlremos con la aproximaci6n newtoniana de que la masa es constantc. la misma todo el tiempo. y que, ademlis. cuando ponemos dos objetos juntas, sus masas se Estas ideas fueron por cierto insinuadas pucs de otro modo esta no time sentido. por Newton cuando escribi6 su Por ejemplo, supongamos que la ma~a variara invcrsamentc con !a velocidad; entonces el momentum no camhiaria nunca en circunstancia alguna; asi la ley no significa nada a menos lJ.UC sepan c6mo cambia la masa respecto a la vclocidad. Para comenzar decimos que no cambia Luego hay algunas implicaciones concernientes a la fuerza. Como una aproximaciOn, imaginamos !a fucrza coma una especie de empuje o tirOn que hacemos con nuestros mUsculos, pero podemos definirla mils exactamente ahora que tenemos esta ley de! movimiento. La cosa mils importante de reconoccr es que esta relaciOn comprende no s6lo el cambio en la magnilud del momentum ode la velocidad, sino que tambit!n en su direcci6n. 9-2 Si la masa es constante, la ecuaci6n (9.1) puede tambien escribirse en la forma F= m~~ =ma. (9.2) La aceleraci6n a es la variaci6n de la velocidad. y la segunda ley de Newton no dice s6lo que el efecto de una fuerza dada varia invcrsamente con la masa; dice tambifo que la direcci6n de! cambio de la velocidad y la direccibn de la fuerza son iguales. Asi debemos compr~nder que un camb.io de "'.elocidad, o. una acelerac.i6n, tiene u.n significado mils ampho que en el lenguaJe comun: la veloc1dad de un obJeto en mov1miento puede cambiar porque se mueve mils rilpido, o mas lento por su disminuci6n (en este caso, decimos que acelera con una aceleraci6n negativa), o cambiando su direcci6n de movimiento. Una aceleraci6n en imgulo recto con la velocidad fue discutida en el capitulo 7. Vimos alli que un objeto que se mueve en un c!rculo de radio R con una cierta velocidad v a lo largo de! circulo se desvia de una trayectoria rectilinea en una distancia 1gual a y-vi; R) ! 2 , si t es muy pequeiio. Asi la f6rmula para la ace!eraci6n en <ingulo recto al movimiento es a= v 2 /R, (9.3) y una fuerza en 3.ngulo recto. a la velocidad obligarla a un objeto a moverse en una trayectoria curva cuyo radio de curvatura se puede encontrar dividiendo la fuerza por la masa para obtener la aceleraci6n, y usando lucgo (9.3). Fig. 9-1 Un pequei'lo desplazamiento de un ob1eto 9-2 La ve!ocidad tiene direcciOn Con el prop6sito de hacer mas preciso nucstro !enguaje, haremos una definici6n mils en nuestro uso de la palabra velocidad. Ordinariamente pensamos que rapidez y velocidad son lo mismo, y en lenguaje ordinario ellas son Jo mismo. Podemos formular esto mils precisamente describiendo cOmo cambian las coordenadas x, y y z de un objeto con el tiempo. Supongamos, por ejemplo, que en un cierto instante un objeto se estil moviendo como se muestra en la figura 9- l. En un pequeiio intervalo de tiempo dado .:1t 9-3 se mover3. en una cierta distancia .1.x en la direcciOn x, .1.y en la direcciOn y, y .1.z en la direcciOn z. El efecto total de estos tres cambios en las coordenadas es un desplazamiento .1.s a lo largo de la diagonal de un paralelepipedo cuyos !ados son .dx, .1.y y .1.z. En terminos de la velocidad, el desplazamiento .1.x es la componente x de la velocidad por My sirnilarmente pa:ra .1.y y .:.1.z: ti.x = 9-3 t'x !:J.t, t:J.y = l'y t:J.t, !:J.z = l'z !:J.t. (9.4) Componentes de la velocidad, de la aceleraciOn y de la fuerza En la ecuaci6n (9.4) hemos descompueslo la ve/ocidad en componenles diciendo lo ritpido que el objeto se estii. moviendo en la direcci6n x, la direcci6n y, y la direcciOn z. La velocidad estii. completamente especificada, en mOdulo y direcciOn, si damos los valores numfricos de sus tres componentes cartesianas: 1·~ = dx/dt, 1·y = dy/dt, 1', = dz/dr. (9.5) Por otro \ado, el m6dulo de la velocidad del objeto es (9.6) A continuaci6n, supongamos que. debido a la acci6n de una fuerza, la velocidad cambia a alguna otra dirccdOn y a una magnitud diferente como se muestra en la figura 9-2. Podemos analizar esta situaci6n aparentemente compleja en forma m:is bien simple si calcu!amos la variaci6n de las componentes x, y y z de la velocidad. La variaciOn de la componente de la velocidad en la direcci6n x eri un tiempo fit es Ll vx - a_, CH, donde <I-1 es lo que llamamos la componente x de la aceleracic"m. Similarmente, vemos que .1v,. = a-' .1.1 y flv, =a, i1t. En estos tCrminos vemos quc la segunda ley de Newton, al decir que la fuerza est.ii en la misma direcci6n que la aceleraciOn, es rcalmente tres !eyes, en el sentido de que la componentc de !a fuerza en la direcciOn x, yo z es iguai a Fig_ 9-2Un camb10 en la velucidad en el cual su magnitud y d1recc16n camb1an 9-4 la masa por la variaciOn de la correspondiente componente de la velocidad: F,, = m(d11z/dt) = m(d~x/dt 2 ) = ma;, F 11 = m(dcy/dt) = F, ·oo = m(di',/dt) m(d~r/dt 2 ) = m(d 2 z/dt 2 ) = ma,. may, (9.7) Asi coma la velocidad y la acdcraciOn han stdo descompuestas en componentes proycctando un segmento de recta que represema la cantidad y direcci6n sabre tres eje<; coordenados. asi. de la m1sma manera, una fuer7a en una direcciOn dada sc re prescnta por cicrtas componenles en las direccione<> x, .r y z: F" = F cos (.\, F), F 11 '-=- Fcos (y, F). F, ~ F cos (z, F), (9.8) donde F es el mndulo (magmtud) de la fuerza y (x, F) representa el <ingulo entre el eje x y la direcci6n de F, etc La Newton est<i dada en su forma completa en la ecuaci6n (9. 7). Si conocemos que actUan sobre un ob.ieto y las resolvemos en componentes x, y } z, entonces podemos encontrar el mov1miento de! objeto a partir de cstas ccuaciones. Considercmos un ejemp!o simple. Supongamos que no hay fuerza en la~ direcciones y y :, la lmica fuerza est<i en la direcci6n x, digamos vertical mente. La ecuaciOn (9.7) nos dice habr<i cambios en la velocidad en la direcci6n vertical. pero no habri1 cambio direcciones hori1ontales. Esto fue demostrado con un aparato especial en el 7 (ver figura 7-3). Un cucrpo quc cae se muevc honzontalmente sin cambiar <>ll movim1ento mientras que se mueve vert1calmente de la misma mancra como se mov1miento horiiontal fuera cero. En otra~ palabras. los movimientos en dcpcnd1cntcs si lasjiwrzas no e~tan relacionadas. 9-4 ;.Cual es la focrrn'! 9-5 JJr po•;doo do <q"mhrio. Fig. 9-3. Una masa f1ia a un resorte es a velocidad constante. El movimiento interesante esta en la direcci6n vertical, y la segunda ley de Newton nos dice (9.9) Sirnplificando las m, encontramos que la aceleraci6n en la direcci6n x es constante e igual a g. Esta es, por supuesto, la bien conocida ley de la caida libre bajo la acci6n de la gravedad, la cual conduce a las ecuaciones Vx = V() x = x0 +gt, + v0 t + !gt 2• (9.10) Como otro ejemplo, supongamos que hemos podido construir un artefacto (figura 9-3) que aplica una fuerza proporcional a la distancia y dirigida en forma opuesta -un resorte-. Si olvidamos la gravedad, la cua! por supuesto est<i. balanceada por el estiramiento inici:il de! resorte y hablamos s6io de las fuerzas en exceso, vemos que si tiramos la masa hacia abajo, el resorte tira hacia arriba, mientras que si la eritpujamos hacia arriba el resorte empuja hacia abajo. Esta miquina ha sido diseIlada cuidadosamente de modo que la fuerza es tanto mayor mientras mis tiramos de ella, en proporci6n exacta al desplazamiento desde la condiciOn de equilibrio, y la fuerza hacia arriba es igualmente proporcional a cuanto tiramos hacia abajo. Si observamos la dinitmica de esta milquina, vemos un movimiento bastante hermoso -arriba. abajo. arriba, abajo .... -- La pregunta es, (,describirim correctamente las ecuaciones de Newton este movimiento'? Veamos si podcmos calcular exactamente c6mo sc mueve con csta oscilaciOn peri6dica, aplicando la !ey de Newton (9.7). En el caso presente, la ecuaci6n es -kx = m(dl'x/dl). (9.11) Aqui tenemos una situadOn donde la velocidad en la direcciOn x cambia propornumerosas constantes: asi que imagina cionalmente a x. Nada o que hay un accidcntc en las unidades, rcmos quc la escala de de modo que tengamos -- I. Asi trataremos de resolver !a ecuaciOn di'x/dl = -X. (9.12) Para proseguir dcbcmos saber quC es l\; pero, por supuesto. sabcmos que la vclo cidad es la variaciOn de la posiciOn con el tiempo. 9-5 Significado de las ecuaciones de la dinlimica 9-6 es la velocidad y cual es la posici6n en un tiempo t + ~ inmediatamente posterior? Si podemos responder a esta pregunta, nuestro problema esta resuelto, porque entonces podemos comenzar cOn las condiciones dadas y calcular cOmo cambian para el primer instante, el instante siguiente, el instante siguiente, y asi sucesivamente y de esta manera gradua!mente desarrollamos ei movimiento. Para fijar ideas, supongamos que en el tiempo t = 0 tenemos que x = I y l\ = 0. t,Por qui: se mueve el objeto? Porque hay una fuerza sobre el cuando esta en cualquiera posici6n, excepto en x - 0. Si x > 0. la fuerza esta hacia arriba. Por lo tanto la ve!ocidad que es cero comienza a cambiar, debido a la ley del movimiento. Una vez que comienza a estab!ecerse c!erta ve!ocidad, e! objeto empieza a moverse hada arriba. y as! sucesivamente. Ahora bien, en cualquier instante !, si l es muy pequei'to. podemos expresar la posici6n en el instante t + t en tfrminos de la posici6n en el instante t y la velocidad en el instante I con una muy buena aproximaci6n como x(t C uanto mas pequei'to es el + t) = x(t) + ev,,(t). (9.13) tan to m<i.s exact a es esta expresi6n, pero es de una exactitud Util al.in si r no es suficientememe pequeiio. Ahora bien ~que pasa con !a velocidad? A fin de obtener la velocidad posterior, la velocidad en el instante 1 + i, necesitamos conocer c6mo cambia la velocidad, la aceleraci6n. l. Y c6mo vamos a encontrar la aceleraci6n? Aqui es donde la ley de la din:imica interviene. La ley de la din3.mica nos dice lo que es la aceleraci6n. Nos dice que la ace!eraci6n es -·x. E, l'x(I + E) = 11,.(1) = + w,,{l) (9.14) i·h) - u(I). (9.15) La ecuaci6n (9.14) es meramente cinemii.tica: nos dice que una velocidad cambia debido a la presencia de la acelerad6n. Pero la ecuac16n (9.15) es dindmica, porque nos relaciona la aceleraci6n con ia fuerza: nos dice que en este instante particular, para este prob!ema particular, pueden reemplazar la aceleraci6n por -x(I). Por lo tanto, si conocemos la x y la r en el instante dado, conocemos la aceleraci6n, la cual nos da la nueva velocidad. y con i:sta la nueva posici6n -y asi es como trabaja el metodo·-. La velocidad cambia un poquito debido a la fucrza. y la posici{m cambia un poquito debido a la velocidad. 9-6 SoluciOn numCrica de las ecuaciones Resolvamos ahora rcalmente el problem a. Supongamos que tomamo<> 1 0. JOO seg. Despui:~ que hacemos todo el trabajo y <>i encontramos que c~te no es suficien 0,010 temente pequeiio, tendriamo~ que volver atrits y hacerlo de nue\O con 1 seg. Comcnzando con nuestro valor inicial x (0) """' l.00. ;.cuanto e' .\· (0.1 )? E~ la A~i. pos1cion antigua x (0) mas la vclocidad (que es multipl1ca<la por 0.10 x{O.I l cs aun LOO porquc aUn no ha a moverse. Pero la nucva dad a IDS 0.!0 'ieg. ~Cnl !a \e]ociJad ant1gua 0 mil~ I pOT )a ao::clcrac1on. aceleraci6n es -x(O) - --1,00. Asi 1(0 I)= 0.00 - 0.10 X I 00 = -0.!0 9-7 Ahora a 0,20 seg. x(0.2) = x(O.!) + a(O.I) I.OD - O.IO X 0.10 = 1•(0.2) = 1'(0.1) = 0.99 + M(O.l) -0.IO - 0.10 X 1.00 = -0.20. = y asi, una y otra vez mils, podemos calcu[ar el resto del movimiento y esto es justamente lo que haremos. Sin embargo. para fines pritcticos hay algunos pequeOos trucos con los cuales podemos aumentar la exactitud. Si continuti.ramos este citlculo como hemos comenzado, encontrariamos que el movimiento es bastante inexacto, ya que E -= 0,100 seg es bastante grande y tendriamos que ir a un intervalo muy pequeiio, E = 0,01 digamos. Entonces para pasar por un intervalo de tiempo total razonable tomaria muchos ciclos de computaciOn. Por eso organizaremos el trabajo de una maner.a que aumentarit la precisi6n de nuestros clliculos, usando el mismo tosco intervalo de r = 0, JO seg. Esto puede realizarse si hacemos un mejoramiento sutil en la tecnica de! an.ilisis. Ncten que la nueva posici6n es la posici6n antigua mfts el intervalo de tiempo E por la velocidad. Pero por la velocidad i cwindo? La velocidad al comienzo de! intervalo de tiempo es una vdocidad y la ve!ocidad al final de] intervalo de tiempo es otra velocldad. Nucstra mejora es usar !a velocidad media en.Ire. Si conocemos la veloddad ahora, pero ta· velocidad est cambiando, no obtendremas la respuesta correcta al ir a la misma camo ahora. Deberiamos usar alguna entre la rapidez "ahora'" y la ""despues"' al final del intervalo. Las mismas consideraciones se aplican tambiCn a la velocidad: para calcular los cambios de velocidad, deberiamos usar la aceleraciOn a mitad de! intervalo entre los dos tiempos a los cuales la velocidad dcbe ser encontrada. Asi las ecuaciones que rea!mente usaremos ser<in algo coma esto: la posiciOn posterior es igual a la posici6n anterior mas E por la velocidad en cl instan.te a mitad def intervalo. En forma similar. la velocidad en este punto media es la velacidad en el ticmpo < anterior (que estit en la mitad del intervalo anterior}, · por !a aceleraci6n en el instante t. Esto es. usamos las ecuaciones a + E) + f/2) x(t 1'(1 a(1) ~ x(t) ~ 1·(1 = + a(r + f/2). ~/2) + w(I), (9.16) -x(I). problema: ~cu<into vale r(E/2)'.' Al comienzo tenemos cilculo. usaremos una ecuaciOn especial. es Ahora estamos listos para !!evar a cabo nuestro cft!cula. Por conveniencia podecon columna~ para el tiempa. la posimos disponer el trabajo en forma de llncas intermedias para la velocidad. ci6n. la velocidad y la acelcrnciOn. manera con\'emcncoma se muestra en \a tabla 9-1. te de representar los va!ore~ conjunto de ecuaciones (9.16), y de hecha no mismas. Llenamos simplcrnente los di\ crsos 9-8 Tabla 9-1 Soluci6n de dv,jdt = - x Intervalo: f = 0.10 sec --· - - -- - -- - 0.0 l.000 0.1 0.995 0.2 0.980 0.000 -0.050 -1.000 --0.995 -0.150 -0.980 -0.248 0.3 -0.955 0.955 -0.343 -0.921 -0.435 0.5 0.877 -0.877 --------0.523---0.6 0.825 -0.825 -0.605 0.7 -0.764 0.764 -0.682 -0.696 0.8 0.696 -0.751 0.9 0.621 -0.621 -0.814 -0.540 1.0 0.540 - - - - - - ---0.868- - - I.I -0.453 0.453 -0.913 -0.362 1.2 0.362 -0.949 -0.267 1.3 0.267 -0.976 1.4 -0.169 0.169 -0.993 -0.070 1.5 0.070 0.4 0.921 ----· - - · - - --1.000- - - 1.6 -0.030 +0.030 ''~ '·' 0 O!i 10 l5 Hucl Fig. 9-4. Gratico del mov1m1ento de una masa fija a un resorte. Sol Fig. 9-5 La fuerza de gravedad sobre un planeta. y por Jo tan to la aceleraci6n ser.i! positiva. Asi, pues, la velocidad decrece. Es interesante comparar estos nUmeros con la funci6n x = cos t, que se da en la figura 9-4. jLa concod.ancia esta dentro de las tres cifras significativas de exactitud de nuestro cilci.: 10! Veremos posteriormente que x = cos t es la soluci6n matem3.tica exacta de nuestra ecuaci6n de movimiento, pero es una ilustraci6n impresionante del poder de! anii.lisis numfrico que un c:ilculo tan facil dC resultados tan precisos. 9- 7 Movimientos planetarios El anilisis anterior es muy bonito para el movimiento de un resorte que oscila: pero, l,podemos analizar el movimiento de un planeta alrededor del sol? Veamos si podemos llegar a la aproximaciOn de una elipse para la Orbita. Supondremos que el sol es infinitamente pe~ado, en el sentido de que no incluircmos su movimiento. Supongamos que un planeta parte de un cierto lugar y que se esta moviendo con una cierta velocidad; gira alrededor de! sol siguiendo alguna curva, y trataremos de analizar mediante las lcyes de Newton del rnovimiento y su ley de la gravitaciOn quC curva es. ,:,COmo? En un instante dado estti. en algUn lugar en el espacio. Si la distancia radial desde el sol a este lugar se llama r, sabemos que hay una fuerza dirigida hacia adentro que, de acuerdo a la ley de la gravcdad, es igual a una constante por el producto de las masas del sol y de! plancta dividido por el cuadrado de la distancia. Para analizar mils aUn esto dehemos encontrar que aceleracibn producini esta fuerza. Necesitaremos las componentes de la aceleraci6n segUn dos dircccion.::s. que l!amamos x e y. Asi, si especificamos la posici6n del planeta en un instante dado, dando x c y (supondrcmo~ que z es siempre cero porque no hay fuerla en la direcciOn z y, si no hay velocidad inicial v... no habrit m:i.s que hacer z igual a ccro), la fueru estil dirigida a Jo largo de la linCa que une al planeta con el wl. como se muestra en la figura 9-5. En esta figura vcmos que la componente horizontal de la fucrza cstil relacionada con la fuerza completa. de la misma manera que la di5tancia horizontal x lo estil a la hipotenusa completa r, porque los dos triitngulo~ son semcjantcs. Tambien, si .\· es positivo, 9-10 F, cs negativo. Esto cs, FJIFI = -x/r, 6 F, = -IFlx/r = -CMmx/r3 • Ahora usamos la Jey dinitmica para encontrar que esta componcntc de la fuerza es igua! a la masa del planeta por !a variaci6n temporal de su velocidad en !a direcciOn x. Asi encontraremos las siguientes leyes: m(d1',jd1) = -CMmx/r\ m(dv~/df) = -GMmy/r 3 , r = (9.17) ,/?+}?. Este es, entonces, el conjllnto de ecuaciones que dcbemos resolver. Otra vez, para simplificar el trabajo numfrico, supondremos que Ia unidad de tiempo. o la masa del sol, ha sido ajustada en forma tal {o que la suertc e~til con nosotros) que GM I. Para nuestro ejemplo cspecifirn supondremos que la posiciUn micial del planeta estit en x """"" 0.500 e y 0,000, y que la velocidad estit en un comicnzo en la direcci6n y, y que tiene una magnitud de I ,6300. Ahora. (.CC.mo haccmos el citlculo? Hacemos otra vez una tabla con co!umnas para cl tiempo. la posici('Jn x. la velocidad segim x v.r y la aceleraciOn scgUn x ax; lucgo, separadas por una doblc Ii nea, tres columnas para la posici6n, la velocidad y !a aceleraci6n en la direcci6n y. Para obtener las aceleraciones vamos a nccesitar la ccuaci6n (9.17); Csta nos dice que la aceleraci6n en !a direcci6n x es -x/r3, y la acelcraci6n en la dirccci6n y es -y/r3, y que r es la raiz cuadrada de x1 + y~ Asi, dado x e y, debemos hacer un pequefio citlculo por separado, tomando la raiz cuadrada de la suma de los cuadra dos para encontrar r y luego, para estar preparados para calcular las dos accleraciones, es Util tambien evaluar l/r3. Este trabajo puede ser hecho bastante facilmen necesitamos s6lo te usando una tabla de cuadrados, cubos c inversos: multiplicar x JXlf J/r 3 , lo cual haccmos con una regla de = . ·.:"'· . . • L.:·.· · ·"~ ·-"~ 1~2.0,. , 1•0 ~.1 -•.o ·os /J' o.~ Sol Fig. 9-·6. t:I mov1m1ento calculdrlo de un plarieW <ilredodor del sol Asi nuestro citlculo proccde con los 1 = 0,100: valores iniciales en t =-· pasos. u~ando intenalos de tiem po de x(O) = 0.500 1'AO) -= o.ooo y(O) = 1·v(O) = 0.000 +-1.630 A partir de Cstos cncontramos: r(O) = a, = 0.500 -4.000 l/r\O) '"'" 8.000 ay ~ 0.000 9-11 Asi podemos calcular las velocidades J',{0.05) y 1•.(0.05): i'_,-(0.05) = 0.000 - 4.000 i'y(0.05) = !.630 x + 0.000 x 0.050 = 0.100 '--' -0.200; 1.630. Ahora comienza nuestro ci1lcu!o principal: x(O. ! ) - 0.500 - 0.20 X Cl.I 0.480 y(O.I) = 0.0 t·· 1.63 X 0.1 0.!63 r = v/(l4S~·o.u;3·;; 0.507 l/r:1 7.67 aiO.l) = 0.480 X 7.67 -J.68 au(O.l) = -0.163 X 7.67 -- 1.256 l'-'(0.15) - y(0.15) = -0.200 - 1.630 - 3.68 x 0.1 1.26 x 0.1 x(0.2) '-' 0.480 - 0.568 X 0.1 y(0.2) = 0.163 ·I- 1.50 etc. x 0.1 ~ -0.568 1.505 0.423 0.313 De mam:ra obtencmos Jos valorcs dados en la tabla 9-2, iY en veintc pasos o algo hemos seguido la mitad del camino dd planeta alrcdedor del sol! En la figura estim dibujadas las rnordcnadas x c y dadas en la tabla 9-2. Los puntos rcpresentan las posicionc~ en la suce~i{m de ticmpos scparados en un dt':clmo de unidad; vcmos que al comienw el plancta se mueve r:ipidamente y al final se mueve lcntamcnte, y asi la forma de la curva qucda detcrminada. iAsi vemos quc realmenle sabemos ct°}mo calcular cl movimiento de los planetas! Ahora vcamos cOmo podcmo~ calcular el movimiento de Neptuno, Jiipiter, Urano o cua!quicr otro planeta. Si tenemos un gran nUmcro de planetas y hacemos que el sol sc mueva tambiCn, i,podcmos hacer la misma cosa? Por supuesto que podemos. Calcu!a:nos !a fuerza sobre un planeta particular, digamos p!aneta nUmero i, cl cual tiene una posici1in x,, y,, Z; (i I puede representar al sol, i = 2 a Mercurio, 1 -- 3 a Venus, y asi sucesivamcntc). Debemos conocer las posiciones de todos los planetas. La fucrza quc actUa sobre uno se debt: a todos los otros cucrpos quc cs tiln locali1ados, digamos, en las posiciones xl' yl' zj. Por lo tanto, las ccuacioncs (9.18) 9-12 Tabla9-2 SoluciOnde dv,/dr = -x/r", dt·.ldt Intervalo 1•~=0 Orbita "•=1.63 "· I t = = -y/r", r = Vx~ +-y•. 0.100 x=0.5 y=O at 1=0 , o.ss6 -2.4S 0,6H 3.942 0526-----·· -2.20 0.675 3.252 +0344 +OS62 +0.796 -0.968---+0.8$8 +o.90 +0.9] +094 -0Sl3----+0.9S +0.95 +09S +0.9S +095 -008 -0796----0.00 +o.96 +om l.022 0936 +0058 EJe xcruzado a los 2,!01 "x~ Oa2,086scg '"°''''"'"'"'""""'oo se~., perioOO -- 4,20 seg \,022.. l,022__+2Q,2QQ_ T>empopred1cho,.(O,l6l)'/ 1 o '1{0,66Jl- 2.082 9-IJ Ademils, definidos a ru como la distancia entre los dos planetas i y j; esto es igual a TambiE:n, l significa una suma de todos los valores dej-todos los otros cuerposexcepto, por supuesto, para j = i. Asi, todo Jo que tenemos que hacer es confecctonar m:ls columnas, muchas m:ls columnas. Necesitamos nueve co!umnas para el movimiento de JUpiter, nueve para el movimiento de Saturno, y asi sucesivamente. Entonccs cuando tenemos todas las posiciones y velocidades iniciales podemos calcu!ar todas las aceleraciones de la ecuaci6n (9.18) calculando primero todas las distancias, usando !a ecuaci6n (9,19). ;,Cuitnto tiempo tomaril para hacerlo? Si lo hacen en casa, jnecesitaritn un tiempo muy largo! Pero en los tiempos modernos tenemos milquinas que hacen la aritmi:tica muy r.i!pidamente; una m.iiquina computadora muy bucna puede tomar un microsegundo, esto es, una millonE:sima de un segundo, para hacer una suma. Para hacer una multiplicaciOn dcmora m.i!s, digamos 10 microsegundos. Puede que en un ciclo de c.i!lcu!o, dependiendo del problema, tengamos 30 multip!icaciones o algo asi, por lo que un ciclo demorani 300 microsegundos. Esto significa que podemos hacer 3.000 ciclos de computaci6n por segundo. Para obtener una exactitud, de, digamos, una parte en mil mlllones, necesitarlamos 4 x I 0 5 ciclos para corresponder a una revoluci6n de un planeta airededor del sol. Esto corresponde a un ticmpo de computaci6n de 130 segundos o alrcdcdor de dos minutos. iAsi, pues, lleva s6lo dos minutos para seguir a JUpiter alrededor de! so!, con todas !as perturbadones de todos !os planetas corregida a una parte en mil millones, por este mE:todo! (Resulta que el error varla casi como el cuadrado de! intervalo E. Si haccmos el intervalo mil veces mils pequeii.o, es un mi116n de veces mils exacto. Asi que hagamos el intervalo 10.000 veces mils pequeiio). Asi, pues, como dijimos, empezamos este capitulo sin saber aU.n cOmo calcular el movimiento de una masa en un resorte. Ahora, armadas con el tremendo poder de las !eyes de Newton, podemos no s(J)o calcular tales movimientos simples, sino tambifo, dada s6\o una mitquina para tratar la aritmCtica, aun los movimientos tremendamcnte complejos de Ios planetas, jhasta un grado de precisi6n tan alto coma queramos! 9-14 10 ConservaciOn del rnornentu1n IO-I La tercera ley de Newton 10-4 Momentum}' energia 10-2 ConservaciOn del momentum 10-5 Momentum relativista 10-3 iEI momentum se conserva! I 0-1 La tercera ley de Newton Sobre la base de la segunda ley del movimiento de Newton. la cual da la relaciOn entre la acelcraciOn de cualquier cuerpo y la fuerza actuando sobre CL c::ualquicr pro blema en mecitnica puede ser resuelto en principio. Por ejemplo. para determinar el movimiento de unas pocas particu!as, uno puede usar el mCtodo numCrico desarrollado en el capitu!o anterior. Pero hay buenas razoncs para haccr un estudio adicional de las !eyes de Newton. Primera, hay casos ba~tante simples de movimiento que pueden ser analizados no solamente por mCtodos numCricos. sino que tambien por anil.lisis matemil.tico directo. Por ejemplo, aunque sabemos que la ace!eraci6n de un cuerpo que cae es de JO m/seg 2 , y a partir de este hccho podriamos calcular el movimiento por mCtodos numCrico~. es mucho mas fac1l y satisfactorio analizar el movimiento y encontrar la soluci6n genera!, s = s0 + 1·0 t -+ 5 1! De la m1sma manera. aunque podemos calcu!ar !as posiciones de un oscilador arm6nico por mCtodos numfricos, es tam biCn po5ible demostrar analiticamente quc la so!uci6n general es una simple funci,'in co seno de I, y asi es innecesario recurrir a toda esa dificultad 3.ritmetica cuando hay una manera simple y mils exacta de obtener el resu!tado. De la misma manera, aunque el movimiento de un cuerpo alrededor del sol, determinado por la gravitaciOn, pucdc ser calcu!ado punto· por punto por los metodos numfricos de! capitulo 9. lo cual muestra la forma general de !a 6rbita, es interesante tambien obtener la forma exacta, que et anillisis revela como una perfecta elipse. Desgraciadamente existen en realidad muy pocos problemas quc pueden ser re sueltos cxactamente por anitlisis. En el caso del oscilador armOnico, por cjemplo. si la fuerza del resorte no es proporcional al desplazamiento, sino que es algo mils complicada, uno debe volver a caer en el mCtodo numerico. 0 si hay dos cuerpo~ gi rando alrededor del sol, de modo que el nUmero total de cuerpos es tres. entonces el anillisis no puede producir una f6rmula simple para el movimiento, y en la prilctica el problema debe ser resuelto numericamente. Ese es el famoso problema de 105 tres cuerpos, que durante tanto tiempo desafi6 la capacidad humana de anillisis; interesante cuilnto necesitO la gcnte para apreciar el hecho de que tal ve1 el anillisis matem<i.tico era limitado y que 10.l numtricos. Hoy dia, un enorme nurnero de analiticamente se resuelven por mttodos problema tres cuerpos. quc sc suponia difici!, se rutina de una manera exactamente igual a la que fue cs decir. haciendu bastante aritmetica. Sin embargo, ambos metodos fa!lan: lo~ prob!emas simples puedcn y problemas moderadarnente di!icilcs por metodos aritmetilos problcmas muy complicados no pueden resolverse por m~todos. L:n complicado es. por ejemplo, el choquc las moleculas de un gas. Hay innumey seria ridiculo tratar de hacer -un decimo milkm de hillones). o un pedacosa como d globular. en zo madera o hierro. o el ~el de s(1lo dos o trcs planetas no pueden resolverse directamente: asi que tenemos que En las situaciones en las cuales no podemos segui1 necesitamos saber a!guna> propicdade~ g:eneralcS. es decir, principios o tcoremas generales los cuales son consecuencias de las leyes de ;•-Jewton. lino de Cstos es el principio de conservadOn de la cnergia. que se discutil'i en el capitulo 4. Otro es el principio de la conservaciOn de! momentum el tema de este capitulo. Otra razOn para estudiar mils la mecimica es que hay ciertos modclos de movimiento que est3.n repctidos en muchas c1rcunstancias diferentcs. asi que es bueno estudiar estos modelos para una circunstancia particular. Por ejemplo, estudiaremos los choques; diferentes tipos de choques tienen mucho en comUn. En el flujo de fluidos, no hace mucha diferencia lo que el flUido es; las \eyes dcl f1ujo son similarc~. Otros problemas que estudiaremos son las vibraciones y oscilaciones y, en particular. los fen.'Jmenos singulares de las ondas mecitnicas -sonido, vibraciones de vari!!as, etc. En nuestra discusiOn de las leyes de Newton se explicO que estas !eyes son una especle de programa que dice ··Ponga atencilm a las fuerzas··. y que Newton nos dijo sO!o dos cosas acerca de la naturaleza de las fuerzas. En el caso de la gravitaciOn, nos dio !a ley de fuerza. En el caso de las fuerzas muy complicadas entre ii.tomos, d no las !eyes correctas para las fucrzas; sin embargo, descubri6 una regla, una propiedad general de las fuer7as. quc estil expresada en su tercera Icy, y que es el conocimiento total que Newton tenia acerca de la naturaleza de las fuerzas -la ley de la gravitaciOn y este principio, pero no otros detalles. Este principio cs que la acciiin es igual a la reacciiin. Lo que se quiere decir es alga de estc tipo: supongamos que tenemos dos peque iios cuerpo~. digamos particulas. y supongamos quc la primera ejerce una fuefla sobre la segunda, empujitndola con una cierta fucrza, Entonces simultilneamentc, de acuerdo a la tercern ley de Newton. la segunda particula empujaril a la primera con una fuerza igual. en dirccciOn opuesta: mis aim. estas fucrzas actUan efectivamente en la misma !Inca. Esta es la hipOtesis o ley que Newton propuso. y parece scr completamente precisa. aunque no es exacta (discutircmos los errore~ mits tarde). Por cl momenta 10-2 tomaremos por verdadero que la acci6n es igual a la reaccion. Por una tercera particula. no en la m1sma linea que las otras dos. la !ey la fucrza total ~obre la pnmera sea igual a la fuerza total sabre la tercera particula. por ejemplo, ejerce su propio empuje sobre una las otras dos. El resultado es que el efecto total sobre las primeras dos es en alguna otra direcci6n, y las fuerzas sabre las primeras dos particulas no son. en general, ni iguales ni opuestas. Sin embargo, las fuerzas sobre cada particula pueden descomponcrse esta en partes, habiendo una contribuci6n o pane dcb1da a cada otra particula interactuando. Entonces cada par de particulas tiene de interacci(.JD mutua que son iguales en mOdulo y opuesta~ en I0-2 ConservaciOn de! momentum i,Cu:'lles 5on ahora las gamos, por simphcidad, que de masas diferentes, opuestas; (,cuille~ son la fuerza es la riipideL variaci6n de! del momentum p, dpi/dt = -dp 2 /dt. (10.l) Ahora, s1 la rap1deL de variaci6n es siempre igua! y opuesta, se concluye que la ~·aria­ ci6n total de! momentum de la particu!a I es igual y opuesta a la variaci6n total de! momentum de la part1cula 2; esto sigmlica que s1 sumamo5 el momentum de la particula I al momentum de la particula 2, la rapidel de variaci6n de la suma de las dos, debido a las fuerzas mutuas (llamadas fuerzas internas) entre particula5, es cero; estoes (J0.2) Se ha supuesto que no hay otras fuerzas en el problema. Si la rapidcz de variaci6n de la cantidad esta suma es siempre cero, esto es s6lo otra manera de decir (p 1 + pJ no cambia. (Esta cantidad tambien sc escribe como m 1v1 + ~e llama que el momomentum de las do' particula,.) Bernos obtenido ahora el re5ultado mentum total de las dos particulas no cambia a causa de ningUn tipo de mteracc10nes mutuas entre ellas. Esta afirmaciOn expresa la ley de conservac10n del momentum en ese ejemplo particular. Concluimo~ que si hay cualquier tipo de fuerrn, no importa lo complicada que sea, entre dos particulas, y s1 med!mo~ o cakulamos m 1v1 + m 1P2 , esto es, la suma de los dos momenta antes y despues de que las fuerzas actUen, los resultados ser.im iguales, es decir, e! momentum total es una constante. Si extendemos el razonamiento a tres o mas particulas interactuando en circunstancias mas complicadas, es evidente que en lo que concieme a las fuerzas intcrnas, el momentum total de todas las particulas permanece constante, ya que un aumcnto de! momentum de una debido a otra esta exactamente compensado por la disminuci6n de! segundo 10-3 debido a la primera. Esto es, todas las fuerzas intcrnas se cquilibraran y por lo tanto el momentum total de las particulas no puede cambiar. Entonces, si no hay fuerzas desde el exterior (fuerz.as externas), no hay fuerzas que puedan camhiar cl momentum total; de aqui que el momentum sea una constante. Es importante describir !o que sucede cuando hay fuerzas que no acciones reciprocas de la~ particulas en cuestiim: que ticulas que interactllan. Si s61o hay fuerzas tum de las particulas no cambia, no importa tambitn que hay fuerzas fucrza ejercida por cuerpos cxternos externa. Demostraremos mils tarde que la suma a la rapidez de variacit'm del momentum total L1til. momentum total de un ntimero de particulas quc interactUan puedc ser expresada como una constantc m 1 v1 + m2v2 + m:il'3 + · · · = a constante (l0.3) si no hay fuerzas netas externas. Aqui las masas las particulas se numeran I, 2, 3, 4 .... El enunciado general de Newton para cada particula, f--c ~ (10.4) (mv), fuerza y momentum en fuerLa una particula del momentum de esa par- (!OS) z. Por lo tanto. la ecuaci6n (10.3) c~ real- hav otra interesante consccuen ·mas adelante, pcro que simes que lcyes de la fisica ser.irn las m1smas, ya sea que estemos con una velocidad uniforme en linea rccta. Por ejemplo, un quc hacc rebotar una pclota en un aviOn encuentra quc la pelota rebota lo mismo que si la estuviera hacienda rcbotar sabre !a tierra. Aun cuando el aviOn se estil moviendo con una vclocidad muy alta, a menos que camhie su velocidad, las lcyes parecen las mismas para el nii1o que cuando el aviOn estit en reposo. Esto es el asi llamado principio de relarividad. Tai comu lo usamos aqui lo llamaremos "rclatividad galileana ", para distinguirla de! an;llisis mas cuidadoso hecho por Einstein, que estudiaremos mas tarde Bernos ya deducido la ley de conservaciOn de! momentum a partir de las !eyes de Newton y podriamos continuar desde aqui para encontrar las !eyes especiales que describen los impactos y colisioncs. Pero por razones de variedad, y tambit:n como una ilustraciOn de un tipo de razonamiento que pucde scr usado en fisica en otras circunstancias, donde, por ejemplo, uno no puede conocer las leyes de Newton y pueda seguir un mt:todo diferente, 10-4 discutiremos las leye:. de los impactos y colisiones desde un punto de vista completa· mente diferente. Basaremos nuestra discusiim en el principio de la relatividad gali!eana, cnunciado ante~, y tcrminaremos con la ley de conservaci6n del momentum. ComenLaremos suponiendo que si corrcmos, la naturaleza se veril igual 4uc si e:.tamos quietos. Antes de discutir las colisiones en las cuales dos cuerpos chocan y sc pegan, o se juntan y rebotan apartandose, consideraremo.'> primcro dos cuerpos que .<,e mant1enen unidos por un resorte a algo por e! estilo, y luego se los suelta repentinamente y cl resortc o ta! vez una pequefia explosi6n los empuja. Mils al.in, consideraremos cl movimiento en una sola direcci6n. Supongamo~ primero quc los do~ son exactamente iguales, ~on objetos bien simetricos, y !uego tenemos cxplo~10n entre ellos. De5pues de la explo5i6n, uno de los cuerpos se mov1endo. digamos hacia la derecha, con una velocidad v. Entonces parece razonable que el otro cucrpo se estC moviendo hao:-ia la 1zquierda con una velocidad v, porque 51 los Objetos sun semeJantes, no hay razon para que la derecha o la izqu1erda scan prefcrida~ y, por lo tanto, los cucrpos harian algo que es simCtrico. E~to es un ejemplo de lin tipo de ideas que es muy Uti! en muchos problemas. pero no sc habria pue<,to al dcscubicrto si hubiCramo" comenzado con las formulas. nuestro expenmento es 4ue objetos iguales tendran velo supongamo~ que tenemo5 dos objdOs hecho~ de diferen alumin10, hacemos las dos masm· 1guales. Ahora con dos son iguaks. aun las velocidades Alguien podria no tenia por que suponer e5o. Usmasas quc adquieren velocidades en c~te cxpenmemo esta sugerencia y hagamos una pequefia explo~mn .:uue d cobu: y un pedazo muy grande de aluminio, tan pesado que el cobre vuela leJ05 y cl alumirno apcnas sc mueve. Eso es dema:.iado alummio, asi quc reduzcamos la cantaJad hasta (jltC hqya sOlo un pcdaw muy diminuto; entonces cuando hacemos la explos1im del alum11110 vuela leJOS y el cobre apenas se muevc. Esto no es suficiente alumm10. Evidenlcmente alguna cantidad corrccta intermedia; asi que seguimo.'> ajustando las cant1dades quc la5 velocidades lleguen a ser 1guale~. Muy bien: entonces, demos ~uelta a las cosas} digamos que cuando las velocidade5 son 1guales, !as son Jmtamente una definic16n, y parece notable meras defimcione~. Sin embargo. hay al accptamos esta definiciOn de masas iguales. inmc lcyes. tal como s1guc l0-5 de un cnunciado similar usado como postulado en rclaciOn con cantidades matemtiticu9 A partir de este ejcmplo pode~nos vcr lo r<lpido quc comenzamos a inferir cosas si somos descuidados. No es prec1samente una defirnci6n decir que las masas son iguales cuando las velocidadcs son iguales. porque dccir quc las masas son igua!cs implica las [eyes matemilticas de la igualdad. lo que a su vez hace una predicci6n acen;a de un experimcnto. Como segundo cjemplo, supongamos que se encuentra que A y B son iguales a! hacer d experimento con una cierta intensidad de explosiOn, que da una cierta velocidad; s! despuCs usamos una exp!osi6n mils fuerte, ;,sera vcrdad o no que las vclocidades obtcnidas ahora sean iguales? Otra vez. en lugica nada hay que pueda decidir esta cuestiOn, pero el experimento demuestra que es verdadero. Asi, hay otra ley que se puedc establecer: Si dos cuerpos tienen masas igualcs cuando se las mide por vclocicuando se las mide dades iguales a una vclocidad determinada, tendr<'tn a otra velocidad. A partir de cstos ejemplos, vemos que definici(m realmente encierra algunas !eyes de fisica. En el desarrolio que sigue supondremos que es verdad que masas iguales tienen veloddades iguales y opuestas cuando ocurre una explosiOn cntre ellas. Haremos otra suposic!On en cl caso inverso: si dos objetos idCnticos, moviCndose en dirccciones opuestas con velocidades lguales, chocan y se pegan por algUn tipo de cola. entonces (,de qui: manera se estar<'in moviendo despuCs de !a colision? Esta es otra vez una situaci6n de simetria, sin preferenr;ia entre derecha e izquierda: asi que suponemos que qucdan en rcpmo. Tamhitn que dos objetos cualesquicra de ma~as iguales.. aun ~i los ohjclo~ c~tirn matcriales difcrcntes, que chocan cuando se muevcn con la rnisma velocidad en direcciones opues.las. poso dcspuCs de la coli~inn. 10 1 V1stc1 desde un extrema de un de ciirc lineJI JO.J jEI momentum sc conserva! Podemos. vcrificar cxperimentaimente las hiplitesis antcriorc~: primero. quc si dos objetos en rcposo de masas igualcs son ~cparadm por una explosi('m, se alejariin con la misma velocidad: y segundo, si dos objetos de masas iguales se acercan con la mis ma velocidad chocan y sc pcgan, se detcndrlm. Esto podemos hacerlo con un maravilloso invento l!amado canal de airc*, que elimina el roce. la cosa que continuamente molestO a Galileo (Fig. !0.1). El no pudo haccr experimcntos deslizando las rnsas porque no des!itaban libremcnte: pero, por un toque miigico adicional. hoy podemo~ obtener la eliminaci(m de! roce. Nucstros objctos se deslizar<'tn sin Jificultad, conti nuamente a una velocidad constante, como fue anunciado por Galileo. Esto se hacc sosteniendo los objetos sobre aire. Debido a quc el aire ticne un rocc muy bajo: un objeto se desliza con veloi::idad prltcticamenk 0 H. V. Net\er y R. H_ Le1gh10n. Ama, )our. of Phy.1. 31. 2S) ( !%3). 10-6 fig. 10-2 con c1l111dro explos1va Corte de los deslizadores accesor10 de 1nteracc16n hay fuerza aplicada. Primera bloques deslizantes cuidadosamente para que tengan el peso o masa (realsus pesos, pero sabemos quc este pc~o e~ proporcional a la masa). mcntc ~c y colocamos una pequeii.a dtpsula explosiva en un cilindro cerrado entre los dos bloques (Fig. 10-2). Haremos partir los bloques desde el reposo en el centro de la pista y los ob\igaremo~ a apartarse haciendo explotar la dtpsula con una chispa c1ectrica. ,:,Que sucederil? S1 las ve!oddades son iguales cuando se apartan, llegarim a los extrema~ de! canal al mismo tiempo. Al llegar a los extremos rebotarllii pritc· detendrim en cl ccntro desde ticamente con veloc1dadcs opucstas, y se juntarit.n se realiza realmente el resuldonde partieron. Es una bucna comprobaci6n; tadu cs ju~tamentc como Jo hemos descrito (Fig. Ahora, la pr6xima cosa que nos gustaria rc~o!ver es que sucede en una situaci6n menos simple. Supongamos que tenemos dos rnasas iguale~, una movifndose con velocidad v y la otra en reposo, y que chocan y se pegan: ,:,que succdcril.? Hay una masa 2 m en total cuando hemos terminado, movifndose con una velocidad cida. ~Que velocidad? Esk cs cl prohkma. ":>ara encontrar la rcspuesta. supos1c16n que si \'iajamo~ en un coche, fo.icamcnte observaremos lo mismo que s1 cstuviCrnmos en reposo. Partimos ~abiendo que dos 1guales, opucsta~ con velocidades iguale~ r, se ahora que mientras sucede, se ve entonces'? V1stadesded V•O [}> a_____c=i rd :wtom6v1l en mo~1miento (Veloe1daddel automOvil = -v) ~____f]{a] ~ '[)(b) ~(t) Antes del choque (jjj 2 ~ fl(d) V•O V--+ @:lJ!:iJ Desput':s del choque~ Fig. 10-3 Vista esquemiit1ca del exper1mento acc1or1-re.icc1011 con mas.is 10-4 Dos v1st.is de u11 choque entren1as<1s1guales 1gualcs 10-7 velocidad y \as sumamos mv + 0, obtenemos el mismo resultado que cuando multiplicamos despues la masa y la velocidad de! conjunto, 2m por v/2. Asl esto nos dice lo que sucede cuando una masa de velocidad v choca con una que estti en reposo. Exactamente de la misma manera podemos deducir Jo que sucede cuando objetos iguales que tienen dos velocidades cualesquiera chocan entre si. Vistadesde elautomOvil Vista desde el "laboratorio" Antes de\ choque I mY: !DespuesdelchoqueL@ Fig. 10--5. Dos vistas de otro choque inerastico entre masas iguales. Supongamos que tenemos dos cuerpos iguales con velocidades v1 y v2 , respectivamente, que chocan y se pegan . .-,Cuitl es su velocidad v, despues de !a colisiOn? Otra vez pasamos en un automOvil, digamos a una velocidad v2, de manera ta! que uno de los cuerpos parece estar en reposo. Entonces el otro parece tener una velocidad v, · v1 , y tenemos el mismo caso que teniamos antes. Cuando todo este terminado, se estariln moviendo con una velocidad I /2 (v 1 -· v:J con respecto al coche. .-,cual es entonces la velocidad real respecto al sue!o? Ella es v cc- ~ (i' 1 - vJ + 11! 0 ~ (v 1 + vJ (Fig. 10-5). Otra vez notamos que (10.6) Asi, usando este principio, podemos analizar cualquier tipo de colisi6n en la cual dos cuerpos de masas iguales chocan entre si y se pegan. En realidad, aunque hemos trabajado sOlo en una direcciOn, podemos descubrir mucho acerca de colisiones mucho mils complicadas, imaginando que pasamos en un cache en alguna direcciOn oblicua. El principio es el mismo, pero los detalles se hacen alga complicados. Para verificar experimentalmente si un objeto que se mueve con velocidad choca con uno igual en reposo, forma un objeto que se mueve con velocidad demos rea!izar el siguientc experimento con nuestro aparato de! canal de aire. camos en el canal tres objetos. de igual masa, dos de los cuales cstiln inicialmente dos con nucstro dispositivo cilindrico explosivo, estando el tercero muy cerca pero ligeramente separado de aqu61Jos y provisto de un tope adhesivo de manera que se pegarti a otro objcto que lo choque. Ahora, un momenta despu6s de la explosi6n, tenemos dos objetos de masa m moviendose con velocidades v iguales y opuestas. Un momento despues de esto, uno de estos choca con el tercer objeto y hace moverse un objeto de masa 2m, creemos asl, con velocidad p/2 . .-,COmo podemos verificar que es realmente v/2'? Arreglando las posiciones iniciales de las masas sobre el canal de manera que !as distancias a los extremos no sean iguales, pero que esten en la razOn 2:1. Asi nuestra primera masa, la cua\ continUa moviendose con velocidad i', recorrera en un tiempo dado el doble de distancia que las dos que se han pegado (prescindiendo de la pequeiia distancia recorrida por el segundo objeto antes que choque con el tercero). La masa m y la masa 2111 alcanzar.'.m los extremo'i al mismo tiempo. y cuando lo ensayamos, encontramos que lo hacen (Fig. 10.6). 10-8 +--V V-+ 0 rr-:-zo_________..c:m: O!Drm::J-:------o---:-f! --v v'-+ (]Qii]~~~~~~~C~T!iCX~LII Fig. 10-6. Una expenencia para verif1car que una masa m con veloc1dad v que choca con una masa m con veloc1dad cero da 2m con veloc1dad v/2. El prOximo problema que queremos desarrol!ar es quC sucede si tenemos dos ma~ sas difcrentes. Tomemos una masa m y una masa lm y apliquemos nuestra interacci6n explosiva. lQue sucederit entonces? Si, como resultado de la explosi6n, m se mueve con velocidad v, lCOn que ve!ocidad se mueve lm? El experimento que hemos reciCn realizado se puedc repetir con separaci6n nula entre la segunda y tercera masa, y cuando lo ensayamos obtenemos el mismo resultado, es dccir, las masas que reaccionan my 2m alcanzan las vclocidades - v y ~,/2. Asi la rcacci6n dirccta cntre my 2m da el mismo resultado que !a reaccilm simCtrica entre m y m, seguida de una co lisi6n cntre m y una tercera masa m a la cua! se pega. Mils alm, encontramos que las masas m y 2m, al volver desde !os extremos de! canal con sus velocidades (aproximadamcnte) exactamente invertidas, se paran en seco si se pcgan. Ylstadcsdcel~1stcma V1stadesdeel automOvil delcentrodcmasa~ v §] -V/2 + §]Antes del choque §] o [§] 11n ... ~ C§:J Desput':s del choquc Fig 10 7. Dos vistas de m!"l<lst1co entre my 2m un choque Ahora la priJxima cue5ti0n quc podemos prcguntamos e" Csta: i.OuC sucedera si una masa m con velocidad v, digamos, choca y se pega a otra masa 2m en rcposo'! Esto es muy fa.cil de re~ponder usando el principio de relatividad galileana, porque simplemente obscrvamos la colisiOn que hemos reciCn descrito desde un autom6vil moviCndosc con velocidad-v/2 (Fig. I0.7). Desde el autom(Jvil, las velocidadcs son v' 1 v' 1 - = v v (auto)= v + v/2 = 3 v/2 v/2 v(auto) - -v/2-+- v/2=- 0 DespuCs de la colis1im la ma!.a Jm no~ parcce mover~e con velocidad v/2. Asi obtenemos la respucsta, cs decir, la razc"Jn de las vcloc1dades antes y dcspuC~ de la colisi6n es 3 a I: s1 un obJC!o de ma~a m choca con un objeto en rcposo de masa 2m, el conjunto se alcp, pcgado. con l /3 de velocidad. La regla general otra ve1 es que la suma de los productos de las rnasas y las vclocidades permanece igual: m<' ~ 0 igual a Jm por v/3, por Io que cstamos construyendo gradualmente el teorema de con~crvacibn del momentum partc por parte. 10-9 cfuJ r±J I ~x~ I f&i [Ki cfuJ cfu 0 ~ Fig. y3m 10-8. Acci6n y reacc16n entre 2m Ahora tenemos uno contra dos. Usando los mismos razonamientos, podemos predecir Jos resultados de uno contra tres, dos contra tres, etc. El caso de dos contra tres, comcnzando desde el reposo, se mucstra en la figura 10-8. En cada caso encontramos que la masa del primer objcto por su velocidad, mils la masa del segundo objeto por su velocidad, es igua! a la masa total del objeto final por su ve!ocidad. Estos son todos ejemplos, entonces, de la conservaci6n del momentum. Partiendo de casos simi:tricos simples, hemos demostrado la !ey para casos mas complejos. Podriamos, en realidad, haccrlo para cualquier fracci6n racional de masa, y ya que cada fracci6n estft sumamente pr6xima a una fracci6n raciona!, podemos manejar cualquier razOn tan precisamente como queramos. I0-4 Momentum y cnergia T odos los ejemplos anteriores son casos simples donde !os cuerpos ehoean y se quedan unidos o cstaban inicialmcnte unidos y posteriormente eran separados por una explosi6n. Sin embargo, hay situaciones en las cuales los cuerpos no se unen como, por ejemplo, dos cuerpos de masas igualcs que chocan con velocidades iguales y dcspu~s rcbotan. Por un breve instante est.in en contacto y ambos est.itn compri midos. En el instante de m.ii.xima compresi6n ambos tiencn vclocidad cero y se almacena energia en los cucrpos clilsticos, como en un resorte comprimido. Esta energia provienc de la energia cinCtica que tenian los cuerpos antes de la colisi6n, la cua! llega a ser cero en el instante en que su velocidad es cero. Sin embargo, la pfrdida de energia cinetica es ~Olo momentt\.nea. La condici6n en compresi6n es analoga a la cilpsula que libera energia en una explosi6n. Los cuerpos son inmediatamentc descomprimidos en una especie de explosiOn y se separan de nuevo; pero ya conocemos el caso -\os cuerpos se scparan con velocidadc~ iguales -. Sin embargo, esta velocidad de rcbote cs menor, en general, que la velocidad inicial, porquc no toda cnergia est.it disponible para la cxplosiOn. dcpcndiendo de! material. Si el material es como la masilla, la energia cinetica no se recobra; pero si es algo mt\.s rigido. algo de energia cinfaica se resupera corrientementc. En la colisiOn el rcsto de la energia cinetica se transforma en calor y energia de vibraci6n -los cuerpos estiin calientes y vibrando-. La energia de vibraci6n tambiCn se transforma pronto en calor. E~ posible hacer los cuerpos quc chocan de matcrialcs altamente el:isti.:os. tales como el accro con lopes de resorte poco calor y vibraciOn. En cuidadosamente diseilados. tal quc la colisi6n genera igualcs a las vclociestas circun~tancta~ la~ vclocidades de rebate son dades iniciales; ta! colisi(m se llama elristica. q~e las ve!ocidad_e_s antes y despuiis ~e una colisi6n e!~stica scan iguales no cs cuestion de conservacion del momentum, smo de conservacion de la energ[a cinfitica. 10~10 estos procesos. son especialmentc intcresantes para sistemas quc no teno partes"" internas. Entonces cuando hay una colisi6n no hay energia pucda scr encerrada. porque !os objetos que se separan condici6n que cuando chocaron. Por lo tanto, entre objetos muy colisiones siempre eiasticas o muy cercanamcnte elasticas. Por que las entre .itomos o mokculas en un gas son perfectaAunque esto es una excelente aproximaciim, hasta esas colisiones no clilsticas; de otra manera uno no podria entcnder cOmo la energia de luz o de radiaci6n tfamica pueda salir de un gas. De vez en cuando. en de se cmitc un rayo infrarrojo de baja cnergia. pero cste hecho es emitida cs muy pequeiia. Asi, la mayoria de ias veces, las co!igases se consideran pcrfectamente el.isticas. 10-11 Mientras se este expulsando mater.ial. el cohete .continlia aumentando su La propulsi6n de cohetes es escncialmente lo m1smo que el retroccso de un no hay necesidad de ningUn airc contra el cual empuj::tr. 10-5 Momentum relativista En los tiempos modernos, la ley de conservaci6n del momentum ha sufrido cier ta;. modificaciones. Sin embargo, aUn hoy la ley es cierta. encontr::rndose los cambios solamente en las definiciones. En la teoria de la rclatividad resulta que tcnemos conservaci6n dcl momentum; las partlculas ticnen masas y el momentum aUn estil dado por mv, la masa por la ve!ocidad, pero la masa cambia con la relocidad; por lo tanto. el momentum tambi6n cambia. La masa varia con la velocidad de acuerdo a la Icy (10.7) del la velocidad de la luz. Es facil ver a menos que 1· sea del momentum sc Las componentes del momentum para una particula se escriben en la forma p,---, momentum ~c (10.8) Si las componentes x ~e suman todas las particulas coma despuCs Jc una colisi(·in. sumas son iguales. conscrva en la dirccciOn x. Lo rn1smo vale para cualquicr conservacion de la encrgia no es v<ilida aparcce en rormas diferentes, energia encrgia cak1rica. y asi sucesivamentc. eJemplo encrgia caliJrica. sc pucdc decir que la cjcmplo pucde sugerir la pregunta: ··<·.Hay tambiCn de momentum escondidas --tal vez momentum calOricoT La respucsta es que es muy dificil e'>conder momentum por las razones siguienles: de un cuerpo dan una medida de la energ1a las vclocidades. Esta suma ser.it un resul tado direccional. El calor est.it alli. ya sea quc cl cucrpo \C mucva o no como un conservaciOn de la energia en la rorma de calor no c~ muy cvidentc. Por ntro ~i uno suma las Fclocidades, que ticncn cncurntra un rc~ultado quc no cs cero, esto significa quc hay un de~ cucrpo entero en alguna d1rccc1on particular. y un momentum tan sc facilmcntc. Asi no hay pCrdida al azar de momentum intcrno, a quc cl cuerpo tienc momentum ncto sOlo mueve como un todo tanto cl como cantidad mecilnica. c~ de esconder. Sin cm el momentum e~condido -en el campo elcctrumagnCtico, por de la rclatlvulad 10-12 Una de las proposiciones de Newton fue que las interacciones a distancia son instant3.neas. Resulta que este no es el caso; en situaciones en que intervienen fuerzas electricas, por ejmplo, si una carga elCctrica en un lugar se mueve repentinamente, el etecto sobre otra carga, en otro lugar, no aparcce instant3.neamente -hay un pequeiio retardo-. En esas circunstancias, aun si las fuerzas son iguales, las cosas no andan bien con el momentum; habr3. un corto tiempo durante el cual existir3. dificultad porque por un rato la primcra carga sentir:i una cierta fuerza de reacci6n, digamos, y tomar3. alglln momentum. pero la segunda carga no hr. sentido nada y no ha cambiado alm su cantidad de movimiento. Lleva tiempo para la influencia cruzar la di:>tancia que interviene, lo quc hace a 300.000 kil6metros por scgundo. En esc pcquenisimo tiempo el momentum de las particulas no se conserva. Por ~upue~to, despuCs que la segunda carga ha sentido el etecto de la primera y todo-se ha aquietado, se vcrificar<i. la ccuaci6n de! momentum, pero durante esc pequeiio mtervalo el momentum no sc conserva. Representamos esto di ciendo que durante este intervalo hay otro tipo de momentum adem<i.5 del de la pnrticu!a, mv, y ese es el momentum de! cam po clcctromagnCtico. S1 sumamos cl momentum del campo al momcnturp. de las particulas. el momentum se conscrva todo cl ticmpo y en cualqmer instante. fl hecho Je que el carnpo electromagnet1co pueda poseer una meJOf comprens16n, momentum y energia hacc-ese campo muy real, y asi. la idea original de que hay s61o las fuernis entre se debe transformar en la iJea de que una particula campo, y un campo act\ia sobre otra particub y el campo mismo tienc tan famihan::s como contcmdo de energia y momentum, tal coma las tomar otro ejcmplo: un campo electromagljllC la luz tamb1Cn netico ticne ondas. quc tum, de modo cuanclo la luz un objelO le por segundo; es eqwvalente a una porciOn de momentum por recogiendo una to est3. cambiando y la s1tuaci6n sabre el. La luz puedc cjcrcer pequei'ia, pero C!> mcd1ble con aparatos "'lio.ec1'meo\C 11 Vectores 11-1 Simelria en fisica 11-5 Algebra vectorial 11·2 Traslaciones 11-6 Leyes de Newton en notaciOn vectorial 11-3 Rotaciones 11·7 Producto escalar de vectores 11-4 Vectores 11-1 Simetria en fisica En este capltulo introducimos un tema quc se conocc 1Ccnicamente en fisica como simetria en lm· !eyes jlsicas. La palalira "simetria" aqui con un signiticado especial, y por esta ra7(m necesita ser definida. es s1metnca una cosa'! ~(,c6mo podemos dcfinirlo?-- Cuando tenemos un cuadro que es simdrico, un !ado es de algim modo igual al otru lado. El profesor Hermann Weyl ha dado csta dcfinici6n de simetria: una cosa es simCtrica si uno puedc someterla a una cicrta operaci6n y aparece exactamcntc igual despuCs de la operaciOn. Por ejemplo, si observamos un jarr6n que es simCtrico izquierda-derecha, luego si lo giramos ! 80" alrededor del eje vertical, s.c veri1 igual. Adoptaremus la detiniciim de simetria de Weyl en una forma mils general y -en esa forma discutiremos la simetr'ia de las lcyes fisicas. Supongan mfi4uina compleja en algUn Jugar. con muchas interaccioncs rchotando por doquier con rucrza5 entrc si, etc. Supongan ahora que exactamente la misma clase de equipo en algUn otro lugar igualando parte por parte, con las mismas dimensiones y Ia misma oricntaciim, todo igual sillo que des.plaLado lateralmente en cierta distancia. Entonccs, si hacemos foncionar !as dos mitquinas la~ mismas circunstancias inicialcs en correspondencia, nos a la otra'! i.Scguiran en exacto para!elismo? Por respuesta bien pucde ser no, porque si escoµ.emos un lugar cquivocado para nuc.\lra mii.quina, Cste podria cstar rodeado por una pared. e interfercncias dcsdc la pared harian que la mi1quina no trabajase. 11-1 entonces afirmamos que las \eyes de la fisica no tienen esta simetria. Por otro la do, podriamos encontrarlo --esperamos encontrar\o- si las leyes de la fisica tienen esa simetria; observando alrededor, podemos descuhrir, por ejemp1o, que la pared estit empujando el aparato. La cuesti6n bitsica es, si definimos las cosas lo suficientemente bien, si todas las fucrzas esenciales estfilt incluidas dentro de! aparato, si todas las partes pertinentes se mueven desde un lugar a otro, t,serfilt las leyes las mismas? (.La maquinaria trabajarit de la misma manera? Estit claro que lo que queremos hacer es mover todo el equipo e influencias esenciales, pero no todas las cosas del mundo --planetas, estrellas y todo- porque si hacemos eso, tenemos de nuevo el mismo fen6meno por la raz6n trivial de que hemos vuelto atrits exactamente donde comenzamos. No, no podemos mover cada cosa. Pero resulta en la pritctica que con una cierta cantidad de intcligencia acerca de quC mover, la maquinaria trabajarit. En otras palabras, si no estamos rodeados por una pared, si conocemos el origen de las fuerzas extemas y disponemos que Csas se muevan tambiCn, entonces la maquinaria trabajarit igual en un lugar como en otro. II -2 T raslaciones Limitaremos nuestro an:ilisis si>lo a la mecimica, para lo cual tenemos ahora suficiente conocimicnto. En los capitulos anteriores hemos visto que las leyes de la mecimica pueden ser resumidas en un conjunto de tres ecuaciones para cada particula: Ahora bien, esto significa quc cxiste una manera de medir x, y, z sobre tres ejes perpendiculares y las fuerrns segUn esas direcciones, de modo quc cstas !eyes scan villidas. Estas deben ser med id as desde algU.n origen, pero, ;, d6nde ponemos el origen? Todo lo que Newton nos diria al princ1pio es que hay alglln !ugar desde el cual podemos mcdir, quiz:is el cenlro del universo, tal que estas lcyes sean correc tas. Pero po<lemos demostrar inmediatamcntc quc nunca podcmos encontrar el centro, porque si usamos algUn otro origen no habria difcrcncia. En otras palabras, supongamos que hay dos personas: ·Juan, quien tiene su origen en un Jugar. y Pedro, quien tiene un sistcma paralclo cuyo origen cstit en alguna otra partc (Figu ra II-I). Ahora bien, cuando Juan mide la ubicaci6n del punto en el espacio. lo encucntra en x, \', z (usualmente dcjaremos a z fuera porque introduce demasiada confusi6n al dib~jarla en una figura). Pedro, por otro !ado. cuando mida el mismo punto, obtendrit un x difcrcnte (que pilra distinguirlo Lo llamarcmos x'), y en prmcipio un y difcrente, aun cuando en nuc;.tro ejcmplo son i:u~ i:<drn ~. 11-1 Dos s1stemas de coordenc1da~ 11-2 iguales en thminos numericos. Asi tenemos x' = x - a, y' = y, z' = z. (11.2) Ahora, a fin de complelar nuestro an<ilisis debemos saber lo que Pedro obtcndria para las fuerzas .. La ~uerza se suponc quc actUa a lo largo de alguna linea y J?Of la fuerza en la direccion x cntenderemos la parte del total que estU en la direcci6n x, la cual es el modulo de !a fuew-1 por el coseno de su irngulo con el eje x. Ahora vcmos que Pedro usaria cxactamente la misma proyecci(in que usaria Juan, asi que tenemos un conjunto de ecuaciones (11.3) Estas serian las re!aciones entre las cantidades vistas por Juan y Pedro. La pregunta es, si Juan conoce las !eyes de Newton y si Pedro trata de cscribir las leyes de Newton, t,serUn tambien correctas para el? t, Tiene alguna importancia desdc que origen medimos !os puntos? En otras palabras, suponiendo que las ecuaciones (I I.I) son verdaderas y que las ecuaciones (11.2) y ( 11.3) dan la relacii:m entre las medidas, t,es o no ~rdad que m(d 2x'/dt 2 ) m(d 2y'/dt 2 ) = Fz'• (b) (c) m(d 2z'/dt 2 ) = (3) = Fy,, (11.4) Fz·? Para verificar estas ecuaciones derivaremos la f6rmula para x' dos veces. Ante todo Ahora supondrcmos que el origen de Pedro est:i fijo (sin moverse) respecto al de Juan; por lo tanto a cs una Constante y daldt c- 0, asi encontramos que d.x' /dt = dx/dt' y por lo tanto d x'/dt = d 2 x/dt~; 2 sabemo~. 2 pues, que la ecuacic"m ( 1 l .4a) se hace m(d 2x/dt 2) = Fz'· (Tambien suponemos que las masas medidas por Juan y Pedro son iguales.) Asi la aceleraciOn por la masa es la misma que la dcl otro. Bernos encontrado tambien la formula para F_, ·, puesto que sustituyendo de la ecuaciOn (I !.I) encontramos que Por lo tanto, las leyes ta! como las ve Pedro aparecen iguales; d tambien puede escribir las !eyes de Newton, con difercntes coordcnadas, y siguen siendo correctas. Eso significa que 11··3 no hay una manera lmica de definir el origen de\ mundo, porque las \eyes tienen !a misma forma, cualquiera sea la posiciUn desde la cua! son observadas. Esto ~s tambiCn verdad: si hay un equipo en un !ugar con un cierto ti po de maquinaria en ei, el mismo equipo en otro lugar se comportart\. de la misma manera. ~Por que? Perque una mt\.quina, cuando es analizada por Pedro, tiene exactamente las mismas ecuaciones que la otra. analizada por Juan. Ya que las ecuaciones son las mismas, los fenOmenos son los mismos. Asi la prueba de que un aparato en una lo hacia en la antigua posici6n es la nueva posici6n se comporta igual a cuando han sido desplazadas en el esmisrna que la prueba de que las pacio, se reproducen. Par lo las /eyes de la jisica son simiitricas en el sentido de que las !eyes no para desplazamiento.1· de de nuestras coordenadas. Por 5upuesto, es cambian cuando hacemo!. una intuitivamente bastante obvio que esto cs verdad. pero cs intercsante y cntrctenido discutir su matemiltica. 11-3 Rotaciones proposiciones cada vcz mii.s comp!iLa anterior cs la primera de La siguicme proposici6n cs que no cadas relativas a la simetria de una importaria en que direcci6n e~cogemos ejes. En otras palabras. si construimos funcionar y ccrca construimos una parte de! equipo en algi.in lugar y lo el mismo tipo de aparato. pcro puesto en respecto al primero, (.funcionar:i de un reloj de pendu!o, por ejemplo! la misma manera? jEvidcntementc quc no Si un reloj de pendulo esta vertical. trabaja pero si estii. inclmado el pendulo cae contra el ]ado de la caja y nada sucede. El teorema es entooces falso en el caso del reloj de pCndu!o. a menos que incluyamos la tierra, que atrac al pi:ndulo. Por lo tanto, podemos hacer una predicciOn accrca de los rclojes de pendulo si creemos en !a simetria de las leyes fisicas para la rotaciOn: algo m<is intcrvicnc en cl funcionamiento de un rcloj de pCndulo. adcmils de la maquinaria del reloj, alga exterior a eJ que debemos buscar. Tambitn podemos predecir que los relojes de pCndulo no trabajariln de la misma manera cuando c~t:ln ubicados en lugares diferentes en relaci6n a esta mistcriosa fucnte de asimetria, tal vez la tierra. En verdad, sabcmos que un reloj de pCndulo en un satC!itc artificial, por cjcmplo. no haria ni tic porque no hay fuerza efectiva, y en Marte iria a una velocidad diferente. Los relojes de pCndulo ]X)T cierto comprenden algo mils que la pura maquinaria interna, comprenden a!go de! exterior. Una vez quc reconocemos este factor, vemos que debe· mos girar la tierra junto con el aparato. Por supuesto no debemos preocuparnos de eso, es facil de hacer; uno simplementc espera uno o dos minutos y la tierra gira; entonces el reloj de pendulo hace de nuevo tictac en la nueva posici6n igual que lo hacia antes. Mientras estemos rotando en el espacio, nuestros ilngulos estar<in cambiando siempre, en form.a absoluta; este cambio parece no molestarnos demasia do, porque en la nueva posiciOn nos parece estar en la misma condici6n que en la antigua. Esto tiene una cierta tendencia a confundir a uno, porque es verdad que en la nueva posiciOn girada las !eyes son iguales que en la posid6n no girada, pero no es verdad que cuando giramos una cosa, siga las rnismas ]eyes que cuando no la giramos. Si ejecutamos experimentos suficientemente delicados, 11-4 P«ko Ju~ Fig. 11-2 Dos s1stemas de coordenadas que tienen d1ferentes onentaciones angulares Fig. 11-3 Las compOflentes de una fuerza en los dos sistemas podemos decir que la tierra estci rotando, pero no que eila haya rotado. En otras palabras, no podemos localizar su posici6n angular, poro podemos decir que estit cambiando. Ahora podcmos discutir los cfectos de la orientaci6n angular sobre las !eyes fisicas. Averigiiemos si el mismo jucgo con Juan y Pedro funciona de nuevo. Esta vez, para evitar complicaciones innecesarias. supondremos que Juan y Pedro usan el mismo origen (hemos ya demostrado que los cjes pueden ser movidos por trasJaciOn a otro lugar). Supongamos que los ejes de Pedro han rotado con relaciOn a los de Juan en un itngulo (I. Los dos sistemas coordenados se muestran en la figura 1 l-2, que cstil restringida a dos dimensiones. Considercmos cualquier punto P que ticnc coordcnadas (x, y) en d sistema de Juan y (x', y') en el sistema de Pedro. Comcnzaremos, como en el caso amerior, por expresar las coordenadas x' e y' en tbrminus de x, y y 0. Para haccr!o asi, bajaremos primero perpendiculares desde P a los cuatro ejes y dibujaremos A- B perpendicular a P Q. La inspecci6n de la fimuestra quc x' puede cscribirse como la suma de dos longitudes segU.n el eje e v' como la diferencia de dos longitudes seglm AB. Todas estas longiludes estiln exprc~adas en tfrminos de x, _1· y () en las ecuaciones ( 11.5). a las cua\es hemos agregado una ecuaciOn para la tercera dimensiOn x' = xcos8 + ysen8, y' = ycos8 - xsen8, z' = (11.5) z. El pr6ximo paso es analizar la relaciOn de las fuerzas como las ven los dos observadores, siguiendo el mismo metodo general como antes. Supongamos que una fuerrn F, la cual ya ha sido analizada como teniendo componentes F_, y F,. (como la vc Juan). csta actuando sobre una particula de masa m, localizada en 'cl punto P en la figura 11-2. Por simpliddad movamos ambos conjuntos de ejes de modo que el origen este en P, como se muestra en la ligura I 1-3. Pedro ve las componentes de F seglm sus ejes como F_,-· y 1:,... Fx tiene componentcs segU.n ambos ejes x' e y' y Fy 1gualmente tiene componentCs scgUn <:Stos dos ejes. Para expresar Fx· en terminos de F,. y F,, sumamos estas componentes segUn el eje x', y en forma parecida podemos expresar F en terminos de F, y F,. Los resultados son F;,· = Fzcos8 + F"!lsen8, Fu·= F11 cos 8 - F;,senfJ, F~· = (11.6) F,. 11-5 una especie de accidemc. quc es de extrema importancia: las las coordenadas de Py las componcnte~ de F, respecComo antes. se supone que las son validas en el sistema de Juan y est3n expresadas por las pregunta, otra vez. es si Pedro puede aplicar !as leyes de Newton correctos Im resultados para su <;iqema las ecuaciones ( 11.5) y (11.6) de ejes rotados?-. En otras pa!abras, suponemos dan una relaci6n de las medidas, ;,es verdad o no m(d 2 x'/dt 2 ) F~·, = m(d 2y'/dr 2) = Fy,, (117) m(d 2 z'/dt 2 ) = F,·? independientemente los primeros y los Para calcuiar los primeros miem ( l 1.5) por my derivamos dos vece~ con respecto (I es constante. Esto da m(d 2 x'/dt 2 ) = m(d 2 x/dt 2 ) cos ti + m(d 2y/dt 2 ) sen ti, m(d 2y'/dt 2 ) = m(d 2y/dt 2 ) cos ti m(d 2 z'/d1 2 ) Calculamos los ecuaciones ( l 1.1) en = m(dix/dt 2 ) sen ti, miembros de las ecuaciones ( ! 1.7) por ecuaciones ( 11.6). Esto da F,. = m(d 2 x/dt 2 ) cos F~· = (11.8) m(d 2 z/dt 2 ). FJ + m(d 2y/dt 2 )sen ~ustituciOn de las e, m(d 2y/dr 2 ) cos ti - m(d 2 x/dt 2 ) ..en ti, (! !.9) /~. = m(d 2 z/dt 2 ). jMiren! Los scgundos miembros de las ecuaciones (I l .8) y ( l J .9) son idtnticos; un conjunto de asi que concluimos que si las leyes de Newton son correctas rc~ultado. quc ejes. serim tambiCn vitlida~ para cualquicr otro conjunto de cje~ ba sido ahora establecido tanto para tra5lacion t1ene ciertas consecucncia~; pnmero. nadic pucdc Umcos; pero, por supuesto, particulares. Por ejemplo, no cs fisicamcnte necesario. tamente autosuficiente. con 11-4 Vectores No solamente las !eyes de Newton, sino que tambii:n las otras leyes de la fisica, hasta donde sabemos hoy dia, tienen las dos propiedades que llamamos invariancia (o simetrla) frente a traslaciOn de ejes y rotaciOn de ejes. Estas propiedades son tan importantes que 11-6 una te<:nica matemiltica ha sido desarrollada para aprovecharlas para escribir y usar Jeyes fisicas. El anillisis precedente irtl.plicO considerable trabajo matemiltico tedioso. Para reducir los detalles a un minima en el anillisis de tales problemas, se ha diseiiado una maquinaria matem3.tica muy poderosa. Este sistema, llamado andlisis vectorial, da el titulo a este capitulo; estrictamente hablando, sin embargo, Cste es un capitulo sobre la simetria de las leyes fisicas. Por los met6dos del anillisis anterior pudimos hacer todo lo necesario para obtencr !os resultados que busc.ithamos, pero en la pril.Ctica nos gustaria hacer las cosas m:is facil y rilpidamente; por lo tanto. empleamos la tecnica vectorial. Comenzamos notando algunas caracteristicas de dos tipo~ de cantidades que son importantes en la fisica. (Realmente hay mils de dos, pero empecemos con dos.) Uno de cllus. coma el nLlmero de papas en un 5aco. lo l!amamos una cantidad ordinaria, o una cantidad no dirigida, o un escalar. La tempcratura es un ejemrlo de tal cantidad. Otras cantidades que son importantes en fisica tienen direcci :,n. por ejcmplo la velocidad; debemos estar al tanto de hacia donde un cucrpo se dirigc. no s6lo de su rapidez. El momentum y la fuerza tambiCn tiencn direcci6n, como lo tie ne el desplazamiento: cuando alguien camina de un lugar a otro en el espacio, podemos estar al tamo de cu;lnto se alcjO, pero si queremos tambit'-n saber hacia d6nde fue. tencmos lJ.UC especificar una direcci6n. Todas las cantidades que tiencn una direo::cic'm, como un paso en el cspacio, sc !laman vectores. Un vector es tres nlimeros. A fin de representar un paso desde el origen a algUn punto partirnlar P cuya ubicaci(m realmcnte tres nUmeros, pero vamos a inventar un Unico quc es distinto a todos Jos otros simbolos matcmilticos, quc ahora •. No cs un nUmero Unico, representa a trcs nlimeros: nUmeros, pero realmente ~)lo esos trcs nlimcros. porque coordenadas difcrentes, los tres nUmeros caml:liarian a queremos mantener nucstra matcmiltica simple bolo para rcpresentar los nUmeros (x, y, Esto es, usamos el mismo reprt'~entarii la misma cosa. giremos coma gircmm • En letra de imprcnta, los se usa una nccha: r. vcctore~ lo~ cjc-;. >C rcpresentan por lipos en ncgrita: en manu~crico 11-7 Ahora supongamos que hay otra cantidad fisica dirigida, cualquier otra cantidad, que tiene tambien tres nUmeros. asociados a ella. como la fuerz3:, y estos tres nUmeros se cambian a otros tres numeros por alguna regla matematica, si cambiamos los ejes. Debe ser la misma regla que cambia (x, y, z) a (x', y', z'). En otras palabras, cualquier cantidad fisica asociada con tres nllmeros que se transforman como lo hacen las componentes de un paso en el espacio es un vector. Una ecuaci6n como F = r scria asi vitlida en cualquier sistema de coordenadas si lo fucra en uno. Esta ecuacion, por supuesto. representa las tres ccuaciones Px = x, P11 = y, x', Py' = y', P, z, = o, equivalentemente, Px' = P,• = z'. El hecho de que una relaci6n fisica pueda ser expresada comu una ecuaci6n vectorial nos asegura que la rclaci6n no cambia por una simple rotaci6n del sistema de coordenadas. Esa es la razon de que lo" vectores ~can tan \1tiles en la fisica. Ahora exammaremos algunas propiedades de !os vectores. Como ejemplo de vectores podemos mencionar la velocidad. d mome/1111111, la fuerza y la acelcraci6n. Para muchos propositos es conveniente representar una cant1dad vectorial por una flecha que indica la direcci6n en la cual estit actuando. ~Por que podemos repre;,entar la fuer?a, digamo<;, por una flecha? Porque tiene las mismas propiedades de transformari6n matemiltica que ··un paso en cl espacio ·· Asi lo representamos en un diagrama como si fuera un paso, usando una escala ta! quc una unidad de fuerza, o un newton. corresponda a cicrta longitud convcniente. Una vez que hayamos hecho esto, todas las fuerns pueden estar representadas como longitudes, porque una ecuaciOn F = kr donde k es a!guna constante, es una ecuaci6n prefectamente legitima. Asl siempre podemos representar fuerzas por segmentos, lo cua! cs muy conveniente, porque una vez que hemos dibujado el segmento no necesitamos mils los ejes. Por consiguiente, podemos cakular rilpidamcnte las tres componentes a medida que cambian cuando giran los ejcs porque esto es sOlo un problema geomCtrico. 11-5 Algebra vectorial Debemos ahora describir las lcycs, o rcglas, para combinar vectores de diferentes maneras. La primera de combinaciones es la adiciOn de dos vectores: supon cual en algUn s1stcma de coordenadas particular tiene gamos que a es un vector las tres componentes (a,, a., a), y que b cs otro vector que tiene las tres componentes (b.v b,. b). lnventemos ahora tres nuevos nUmeros (ax+ by, a, + b,, az + + b,J. ,:.Forman Cstos un vector'! .. R1en'", podemos decir. "son tres nUmeros, y cada tres nllmeros fonnan un vector". jNo, no cada tres ni1meros forman un vector! Para que esto sea un vector. no s6lo debe haber Ires nUmeros, sino que estos deben estar asociados a un 11-8 sistema de coordenadas de tal manera que si giramos el sistema de coordenadas, \os tres nllmeros "se revuelven", "mezcl<indose'" entre si, seglln las !eyes precisas que ya hcmos descrito. Asi que la pregunta es, si ahora rotamos el sistema de coordenadas ta\ que (a,, a,, a) llegue a ser (a,., a,., a) y (b" b,, b) Jlegue a ser (bx'• ~-:·:· t)b,-~~~e ~lei:;aoan~; r;sp~~s~~ ~r.;~r :u;~:st~~t;~:~u! :~~r~t~ti;obd~ ea' ;s transformaciones de la ccuaciOn (11.5) constituye lo que llamamos una transformaciOn lineal. Si aplicamos esas transformaciones a a, y b, para obtener a,. + b,., encontramos que la transformada a, f b, cs por cierto la misma que a,- + b,-. Cuando a y b se "suman" en este sentido, formadtn un vector que podemos Hamar c. Escribiremos esto como C--a+b Ahora c ticne la interesante propiedad - b + a coma podemos ver inmcdi<llamentc a partir de sus componentes. Asi tambil:n. a + (b + c ) --= (a + b) f c Podemos sumar los vcctores en cualquicr orden. (.Cui! es el significado geomCtrico de a + b? Supongamos que a y b fueran representados por segmentos sobre un pedazo de papel'! t:OuC seria e? Esto se mucs tra en !a figura 11·4. Observamos que podemos sumar las componentes deb a aquellas de a mils convenientcmentc si colocamos el rcct<ingulo quc rcprcsenta las com ponentes de b junto al que representa las componcntes de a de la manera indicada Ya que b se "ajusta'" precisamente en su rcct<i.ngulo, como lo hace a en su rectim gulo, e~to es lo mismo que colocar la ''cola., de b sobrc !a "cabcza., de a siendo el vector c desde la '"cola" de a a la "cabeza" de b. Por supuesto, si sumamos a a b de la otra manera, pondriamos la "cola·· de a sobrc la "cabcza" de b, y por las propiedades geomCtricas de los paralelogramos obtendriamos el mi~mo rcsultado para c. NOtesc quc los vectores se pueden sumar en esta forma sin haccr referencia a cjes de coordenadas. Supongan que multiplicamm un vector por un nUmero 11. ;,quC significa e~to'! Lo definimos para indicar un nuevo cuyas componente~ ~on 1w,, iia, y Lo dejamos como problcma para quc estudiante demuestre quc C5 un vector. Fig_ 11-4 La sumac.le vectore~ Fl\:J 11-5 I.a rest<1 de vectores I l-9 Consideremos ahora la sustracci6n de vectores. Podemos definir a la sustracci6n de la misma manera como la adici6n, pero en lugar de sumar restamos las componentes. 0 podrlamos definir la sustracci6n definiendo un vector negativo, -b = - I b, y entonces sumarlamos las componentes. Se llega a la misma cos a. El resultado se muestra en la figura 11-5. Esta figura muestra d = a - b = a + (-b); tambien notamos que la diferencia a - b se puede encontrar muy f<icilmente a partir de a y b usando la relaci6n equivalente a = b + d. Asi, la diferencia es alm mils facil de encontrar que la suma: jsolo dibujamos el vector desde b hasta a para obtener a - b! A continuaci6n discutimos la velocidad. lPor qui: la velocidad es un vector? Si la posici6n estit dada por las tres coordenadas (x, y, z), t,que es la velocidad? La velocidad estil dada por dx/dt, dy/dt, dz/dt. lES esto un vector, o no? Podemos averi" guarlo derivando las expresiones en la ecuaci6n (11.5) para encontrar si la dx'/dt sc transforma de la mancra correcta. Vemos que las componentes dx/dt y dy/dt se tramforman de acucrdo a las mismas !eyes que x e y, y por lo tanto la derivada temporal es un vector. Asi, pues, la velocidad es un vector. Podemos escriblr la velocidad de una manera interesante como v = dr/dt. Lo que la velocidad es y por que es un vector tambiCn se puede entender en forma mils gritfica: ;,Hasta d6nde se moveril una particula en un tiempo corto lit? Respuesta: lir, asi. si una particuia estii "aqui" en un instante y "alli" en otro instante, entonces la diferencia vectorial de las posiciones lir ""- r 2 r 1 , que est:i. en la direcci(m del movimiento mostrado en la figura 11-6, dividido por el intervalo de tiempo lit-= t! - IP es el vector "velocidad media". ~"1,-7,. ' 0 Fig. 11-6. EJ desplazam1ento de una partfcul<> en un pequei\o 1ntervalo de t1empo Cit= ti - r, En otras pa!abras, por vector velocidad queremos indicar el liJnite para lit tendiendo a 0, de la diferencia entre los radios vcctores en el tiempo l + !1t y el tiempo t, dividido por lit: v ~ }~~o (dr/M) = dr/dt. (11.10) Asi la velocidad es un vector, porquc cs la diferencia de dos vectores. Es tambien la definiciim correcta de velocidad, porque sus componcntes son dx/ dt, dy/ dt y dz/ dt. En efecto, vemos conforme a estos razonamientos que si derivamos cualquier vector con respccto al t1empo. formamos un nucvo vector. Asl, tcnemos varias mancras de formar nuevos vcctores: (I) multiplicar por una constante, (2) derivar con respecto al tiempo, (3) sumar o restar dos vectores. 11-10 11-6 Las leyes de Newton en notaciOn vectoriaJ Para escribir las !eyes de Newton en forma vectorial, tenemos que avanzar un paso mils aim y definir el vector aceleraci6n. Este es la derivada temporal del vector velocidad y es facil de demostrar que sus componentes son las segundas derivadas de x, y y z con respecto a t: a = ~ = (£)(~) = ~~' (11.11) Con esta definici6n, entonces, las !eyes de Newton pueden escribirse de esta manera: ma= F (ll.13) (11.14) Ahora d problema de demostrar la invariancia de las !eyes de Newton frente a una rotaci6n de coordenadas es este: demostrar que a es un vector; esto ya lo hemos hecho. Demostrar que F e~ un vector; suponemos quc lo es. Asi. si la fuerza es un vector, entonces, ya que sabemos que la ace!eraci6n es un vector, la ecuacilm (IL t 3) serii la mis ma en cualesquier sistemas de coordenadas. Escribirla en una forma quc no cxplicitamcnte las x, y y z tiene la ventaja de que a partir de no escribir ires leyes cada vez que escribimos las ecuaciones de de la fisica. Escribimo~ !o que parece ser una ley; pero realla~ cualquier conjunto particular la afirmacic'm de que ('ada una F1l=J 11-7. Una trnyector1a curva !1-11 Fig. 11-8. ace!eraci6n. Diagrama para calcutar !a jEso solamente sucede cuando las colas de Jos vectores estiln en el mismo lugar! 1No tiene sentido si movemos el vector a algUn otro lugar y en seguida dibujamos una linea para unir Jos extremos, asl que jcuidado! Tenemos que dibujar un nuevo diagrama para restar los vectores. En la figura 11-8, v1 y v 2 estim ambas dibujadas paralelas e iguales a sus contrapartes en la figura 11 "7, y ahora podemos discutir la aceleraci6n. Por supuesto la aceleraci6n es simplemente !J.v/ .1.t. Es interesante notar que podemos componer la diferencia de velocidad de dos partes; podemos pensar que la aceleraciOn tiene dos componentes, tr. v11 en la direcci6n tangente a la trayectoria y .1.v · perpendicular a la trayectoria, como se indica en la figura 11-8. La aceleraci6n ti\ngente a la trayectoria es, por supuesto, justamente el cambio de longitud de! vector, es decir, et cambio de! m6dulo v: (11.15) a 11 = dv/dt. La otra rnmponente de la aceleraci6n, perpendicular a !a curva, es facil de calculal', usando las figuras 11- 7 y 11-8. En el corto tiempo .1! sea el cambio en itngulo cntre v1 y v1 cl pcqueiio ii.ngulo .10. Si el m6dulo de la velocidad se llama l!, entoflccs, por supuesto. y la aceleraci6n a scrii: a_j_ = v (DJJ/!:J.t). Ahora neccsitamos tonoccr .1.0/ .11, que se puede cncontrar de esta manera: si en un momcnto dado la curva se aproxima a una circunferencia de cierto radio R, entonces en un tiempo L!.t la distancia s cs, por supuesto, l! .11, donde v es cl mOdulo Je !a velocidad. MJ Por lo tanto, = v(!:J.t/R), M/b..t = v/R. encontramo~ (ll.16) como hemos visto antes. 11- 7 Producto escalar de vectores ahora un poco mils las propiedades de los vectores. F.s facil ver de un paso en el espacio seria la misma en cualquier sistema de por x, y, z, en un sistema Esto cs, si un paso particular r se coordenada~, seguramente la y por x', y", z', en otro sistema ;rl en ambos serian la misma. Ahora 11-12 y tambif:n r' = v"Xi2 + y'2~+-;-,-2·. Por Jo tanto, lo que queremos verificar es que esta~ dos cantidad~s son iguales. Es mucho m:is conveniente no preocuparse de la ra1z cuadrada; as1 hablemos del cuadrado de la distancia; esto es, averigi.iemos si (11.17) Seria bueno que fuera asi -y si sustituimos la ecuaci6n (l I.5) encontramos que realmenle lo es-. Asi, pues, vcmos que hay otras c\ases de ecuaciones que son vt'tlidas para dos sistemas de coordenadas cualcsquiera. Alguna cosa nueva est3. involucrada. Podemos produdr una nueva cantidad, una funci6n de x, y y z, llamada funci6n escalar, una cantidad que no tiene direcci6n, sino que es la misma en ambos sistcmas. A partir de un vector- podemos construir un escalar. Tenemos que encontrar una regla general para eso. Es claro lo que la regla es para el caso reciCn considerado: sumar los cuadrados de las componentes. Ahora definamos una nucva cosa, que llamaremo·s a · a. Esto no es un vector, sino un escalar; es un nllmero que es el mismo en todos Jos sistemas de coordcnadas y se define como la suma de los cuadrados de las tres componentes de! vector; a·a=a;+u~+a;. (11.18) Ahora ustedes dir3.n: ";,Pero con que ejes?" No depcnde de los ejes; la respuesta es la misma en !Odo conjunto de ejcs. Asi tcnemos un nuevo tipo de cantidad, un nuevo invariante o escalar, producido por un vector "al cuadrado". Si ahoradefinimos la siguiente cantldad para dos vectorcs cualesquicra a y b: (11.19) enconlramos que esta cantidad, calculada en sistemas con prima y sin prima, tambien sigue siendo la misma. Para probarlo notemos que cs v<ilido para a · a, b ·by c · c, dondc c = a + b. Por lo tanto, !a suma de !os cuadrados (a, + b)1 + + (a, + b)1 + (a, + b)1 sera invariante: (ax + hx) 2 + (ay + by) 2 + (a, + b,) 2 = (a,,,• + b,,,-) 2 + (a 11• + b11 ·) 2 +(a,•+ b,,) 2• (11.20) Si ambos miembros de esta ecuaciim se desarrol!an, habria productos mixtos de! mis mo ti po que aparece en la ecuaci6n ( 11.19), asi coma las sum as de los cuadrados de las componentes de a y b. La invariancia de tfrminos de la forma de la ecuaciOn (11.18) deja cntonces tambii:n invariantes los terminos con productos mixtos (ll.19). La cantidad a · b se llama producto escalar de dos vectores a y b, y tiene propiedades muy Utiles e interesantes. Por ejemplo, se prueba facilmente que a· (b + c) = a· b + a· c. (11.21) Adem3.s. existe una manera geomCtrica simple para calcu!ar a . b, sin tener que calcular 11-13 las componentes de a y b : a · b es el producto del largo de a por el largo de b por el co<;eno del imgulo entre ellos. t.Por quf? Supongamos quc cscogemos un sistema especial de coordenadas en el cuaJ el cje x queda a lo largo de a; en ese caso la lmica componente de a que existe es a,, que es, por supuesto, el largo total de a. Asi la ecuaciOn (I l.19) se reduce a a · b = aJJx para este caso, y este es el largo de a por la componente de b en la direcci6n de a, es to es, b cos (): a·b = abcosO. Por lo tanto, en este sistema especial de coordenadas, hemos prohado que a bes el largo de a por el largo de b por el cos 0. Pero si esto es verdad en un sistema de coordenadas, lo es en todo.~. porque a · b es independiente del sistema de coordenadas; 6se es nuestro razonamiento. lCuil es la ventaja del producto escalar? t.Existen casos en la fisica dondc lo necesitamos? SL, lo necesttamos todo el tiempo. Por cjcmplo, en el capitulo 4 la encrgia cinetica se mdic6 por ~mt• 2 , pero si cl ohjeto se c;,t;\ moviendo en el espacio seria el cuadrado de la velocidad en la direcci6n x, en la direcci6n y, y en la direcciOn z, y asi la formula para la energia cinetica de acuerdo con el d.lculo vectorial es K.E. !m(v · v) - !m(1''; = + 1'~ + 11~). (11.22) La energia no tiene dirccciOn. El momentum tiene dirccciOn, cs un vector y cs la masa por el vector vclocidad. Otro ejemplo de un producto escalar es el trabajo realizado por una fuerza cuando algo sc empuja desde un lugar a otro. No hcmos dcfinido aim el trabajo, pero este cs equivalente al cambio de encrgia como al levantar pews euando una fuerza F aetUa una distancia s: TrabaJU (11.21) F s A!gunas veccs es muy convenicnte hablar de la~ componcntcs de un vector en una cierta dlfecciOn (digamo5 la d1recca·m vertical, porque fsa es la dirccciOn de la gravedad). Para tale~ propi1sitos e~ lJtii mventar lo quc llamamos un l'ersor en la direcci(m que queremos e~tud1ar. Por un versor entendcmo<> un vector cuyo producto escalar consigo mismo es 1gual a la umdad. Llamemo\ a cstc vector i; entonces i i l Entonces si queremo~ la componcntc de alglm vector en la d1rec ciOn de i, vcmos que cl producto escalar a · i sera a cos 0, es decir la componcntc de a en la direcc16n de i. E5ta e" una bonita manera de obtener la componcnlc: en rea!idad, nos pcrmitc obtcncr !Oda~ las componcntes y cscribir una fOrmula ba\ tante entretenida. Supongan que en un sistema dado de coordcnada~, x, )', y z, mven en la direcciiin x; j. un vcrsor en la direcc1iin y; y k, tamos tres i·i- 1. ;,QuCc~i·j?Cuandodo\ ccro.A"i i i - I i j 0 ~ i!..~O j j - j!..~ I kk=! (11.24) 11-14 Ahora. con estas definiciones, un vector cualquiera pucde escribirse de esta a = a;ri + aui + a,k. (11.25) De este modo podemos ir desde las componentes de un vector al vector mismo. Esta discusiim de los vectores de ningim modo es completa. Sin embargo, en vez de tratar de cntrar ahora mas profundamente en cl tcma, aprenderemos primero a usar en situaciones fisicas algunas de las ideas discutidas hasta aqui. Entonces, cuando hayamos dominado debidamente este material bil.sico, cncontraremos mas fitcil penetrar mas profundamcnte en el tema sin llegar a confundirnos demasiado. Encontraremos mils tarde que cs ii.ti] dcfinir otra clase de producto de dos vec tores, llamado producto vectorial, y que se escribe a x b. Sin embargo, emprenderemos una discusiOn de tales cosas en un capitulo posterior. 11-15 12 Caracteristicas de la fuerza 12-1 ;. QuC es una fuerza '! 12·4 Fuen.as fundamentales. 12-2 Roce 12·5 Scudofuerzas 12-3 Fuerzas moleculares 12-6 Fuerzas nuclcares Campo~ 12-1 i, Que cs una ruerza? A pesar de que es mteresante y vale la pena estudiar las !eyes mente porquc nos ayudan a comprcnder y utilizar la naturalcza. uno nersc de ve7 en cuando y pensar: ";,QuC ~ignifican realmente?" El cualquier afirmaci6n es un tema que ha lntercsado e inquietado a los tiempos inmemoriales, y el significado de la~ leycs foicas es aUr: mtcresantc. porque generalmente sc cree quc csta~ leyes rcprcsentan a!guna forma de conoc1 micnto real. El significado dcl conocimicnto es un problema profundo en la filosofia y cs siempre importante preguntar: ··;,Que significa?" Prcguntcmos: ";Cuill cs el stgnificado de las leycs fisicas de h!mos como F -= ffl(J_? ;,Cu:il es el sig11ificado dt fuerza, masa y no, intuitivamente podcmos percihir el s.ignificado de lerac16n si conocemos el s1gnificado de posic.:m y ticmpo nificados de estos terminos, sino que nos concentraremos fuerza. La respucsta es igualmente simple: "Si un cucrpo acclerando, cntonces una fucrza acu:ia sobrc et". Eso e~ lo que dicen las !eyes de Newton. de manera 4ue la mils prec!sa y hella ·dcfinici(m de fucrza imaginable pucdc decir scncillamcnte que fuerza es !a masa de un objeto multiplicada por la aceleraciim. Supongan quc tenemos una lcy que dig.a que la conscrvaciOn dcl momentum cs v<'ihda si la :.uma de todas las fuerzas cxternas es cero; entonces surge la pregunta: ··(,Que si~nifica quc la suma de todas las fucrrns externas sea ccro?" Una forma c6moda de dcfinir csa afirmaciOn seria: "Cuando el momentum total es una constante. la suma de las fuer zas externas es cero." Dcbc haber a!go crr6neo en e~o, porque, s1mplemente, no dice nada nuevo. Si hemos descub1erto una ley fundamental que afirma que la fucrza es igua! al producto de la masa por la acelcraci6n, y despues se define que la fueria es masa por aceleractOn. no hemos averiguado nada. Podriamos tamhiCn definir la fuerza diciendo quc un objeto en mm·imiento sobre cl cual no actUan fuer7.as continua moviendose con velocidad constante en linea recta. Entonces, si ob~ervamos que un objeto no se mueve en linea recta con velocidad constante, podriamos decir que 12·1 CL Ahora. iales cosas ""'"''"m'c" contenido de porque son dcfiniciones que van en go, la newtoniana pr~~edcnte parece ser una fueua, y una q.ue atrae al matematio::o: .sin .emhargo. cs um1ple>com1octe de una detimcion no puede hm.;erse pred1ccton alguna. lmo en un siJJOn y definir tales palabras a voluntad, pero dos esferas. sc empujan mutuamente o cuando se cuelga un pletamentc distinto, porque la forma en sue se c:omportan !os cuerpos cs queda completamente fuera de toda defimc1on. Por ejemplo, si quisieramos dccir quc un cuerpo que se ahandona a si mismo manticne su posiciOn y no se muevc, cntonces cuando vemos que algo sc des p!a1a_ podriamos _decir que sc dcbe a una ··gucrza." - una giicrza es la velocidad de cambm de posic16n---. Ahora tenemos una rnarav1llosa ley nueva, todo permanccc en rcposo, a rncnos que actlJe una '"giicrza ,. Sc dan cuenta que es.to seria ana!ogo a la anterior definicic"m de fuerza v no contcndr!a inforrnaciOn alguna. El contenido real de las !eyes de Newton cs este: que s.c supone quc la fuerza tiene algunas propie dades independientes, ademi'ts de la Icy f ma; peru !as propicdades espec[flcas indepcndientes que tiene la fuerza no fueron descritas totalrnente por Newton o por persona alguna y, por consiguiente, la lcy fisica F =- ma e5 una lcy incompleta. Implica que si estudiamos la masa por la accleraci6n, y dcnorninarnos fuerza al producto, csto es, si estudiamos las caracteristicas de la fuerza como un programa de interCs, entonce!> cncontraremos que las fuerzas tienen algo de simplicidad; ;la ley es un buen programa para analizar la naturalcza, cs una sugcrencia de que las fuerzas serim scncillas! Ahora bien. el primer ejcmplo de tales fue la !ey completa de gravitaci6n, que fue dada por Newton y al enunciar la contcst6 la prcgunta ";,QuC cs la fucrza?'". Si no hubiera nada mils que combinaci6n de csta lcy y la Icy de la fucrza (segunda ley movimicnlo) una teorla completa. pero existe mucho mas que gravitacic·m y queremos emplear las !eyes de Newton en muchas situacioncs diferentes. Por consiguicntc, para poder continuar, tenemos que decir algo acerca de las propiedades de la fuerza. Por ejemplo, al tcncr que ver con las fuerzrri. siempre se supone tiicitamentc que la fuerza es igual a cero. a menos que sc eno::uentrc prescnte un cucrpo fi::.ico, e!>tO es, si cncontrarnos una fucrzn distinta de cero, tambiCn que existe algo a su alrededor que es una fuente de tal fucrza. Esta cs enteramentc dlfe rcntc dcl caw de !a ··gucrza ", quc introdujimm risticas miis importantes de una fuerza cs q•.1e tlcne un mcramente una definici6n ,'\'ewton tamhien dio 12-2 Toda idea sencil!a es aproximada; como ilustraci6n, consideren un objeto ... z.Que es un objeto? Los fi!Osofos siempre dicen: "Ricn. tome simplemente una silla, por ejemplo." En e! momenta que dicen eso, ustedes se dan cuenta que no saben mils de lo que est3.n hab!ando. z.QuC es una silla? Bueno, una silla es alga que est3. por ahi ... t,cierto?, i,cu.in cierto? U:is 3.tomos se est3.n evaporando de ella cada cierto tiempo -no muchos 3.tomos, pero algunos--, mugre cae sobre ella y se disuelve en la pintura; de mancra quc definir una silla con precisiOn, decir exactamente que <'ttomos son silla y que <'ttomos son aire, o que 3.tomos son mugre, o quC <'ttomos son pintura que pertenecen a la silla, cs imposible. De manera que la masa de una silla puedc definirse sOlo en forma aproximada. Del mismo modo, definir la masa de un objeto aislado es imposible, porque no hay objctos simples y ais!ados en el mundo --todo objeto es una mezda de muchas cosas, de manera que podemos trabajar con ellos sOlo coma una serie de aproximaciones e idea!izaciones. El artificio esta en las idealizaciones. En una excelente aproximaciOn de ta! vez de una parte en 10w, el nUmero de litomos en la silla no cambia en un minuto y, si no somos demasiado precisos. podemos idealizar la silla coma una cosa definida; en igual forma aprenderemos acerca de las caracteristicas de una fuerza de una manera ideal, si no soma~ demasiado precisos. Se puede estar insatisfecho con la visiOn aproximada de la naturaleza que la fisica procura obtener (el intento es siempre aum~ntar la exactitud ~e. la aproximaciOn), y se puede pre~erir una definiciOn matemiltica; pero las defimc1ones matem<'tticas no pueden funcmnar nunca en el mundo real. Una defimc1on matematica pucde ser buena para los matemliticos, en que toda la logica pucdc seguirse completamente. pero el mundo fisico es complejo, como lo hemos indicado e11 varios ejemplos, como los de las olas de! mar y una copa de vino. Cuando tratamos de aislar partes, hablar de una masa, el vino y la copa, z.c6mo podemos saber cmil es cu<ll, si uno se disuelve en cl otro? Las fuer· zas que actUan sohre una sola cosa ya cncierran aproximaciones, y si lenemos un sistema de razonamiento acerca dd mundo real, entonces ese sistema, al menos hoy en dia, debe contener aproximaciones de alguna especie. Este sistema cs bastante diferente del caso de la matemittica. en que todo pucde ser definido y entonces no sahemos de quC estamos hahlando. En realidad, !a gloria de la matem3.tica es que no tenemo.1· que decir de que estamos hablando. La gloria es que las ]eyes, los rawnamientos y la lOgica son independientes de su "contenido ". Si tenemos cuaJ..1uier otro conjunto de ohjetos que obedcccn el mismo sistema de axiomas que la geometria de Euclides, entonces, si hacemos nuevas definiciones y las utilizamos con una liJgica correcta. todas las consecuenrias seran corrccta~. sin importar cu3.l fue el tema. En la naturale1a, sin embargo. cuando trazamos una linea o e~tab!ecemos una linea empleando un de Jut ta! como lo hacemos en !evantamientos topogrilficos. en el sentido de Euclidcs? )\;o, estamos haciendo una tienen cierto grosor, pero una linea geomCtrica no puede o no emplear la cuclidiana fisico, no una cuesti(m mental, no un punto de vista se aplican a la c!ase de hipOtesis de que sea a~1. y nuestras linca~ de levantamiento no -;on en realidad 12-3 geometricas. Si esas lineas de Euclides, que en realidad son abstractas, se aplican o no a las lineas de la experiencia cs asunto de la experiencia; no es una cuesti6n que pueda contestarse s61o mediante razonamiento. Del mismo modo, no pbdemos decir que F = mo sea una definici6n, deducir todo de una manera puramente matemittica y hacer de la mec3.nica una teoria mate-mittica, cuando la mec3.nica es una descripci6n de la naturaleza. Estableciendo postulados adecuados, siempre es posible construir un sistema matemittico, tal como lo hizo Euclides, pero no podemos hacer una matemittica de! mundo. porque tarde o temprano tenemos que averiguar si los axiomas son v:ilidos para los objetos de la naturaleza. Asi que inmediatamente llegamos a enredarnos con estos complicados y '·sucios" objetos de la naturaleza, pero cdn aproximaciones siempre crecientes en exactitud. 12-2 Roce Las consideraciones anteriores demuestran que una verdadera comprensi6n de las !eyes de Newton requiere una discusi6n de las fuerzas, y el prop6sito de este capitulo es introducir tal discusi6n, coma una especie de complementaci6n de las !eyes de Newton. Ya hemos estudiado las definiciones de aceleraci6n e ideas relacionadas, pero ahora tenemos que estudiar las propicdades de las fuerzas, y este capitulo, a difcrencia de los capitulos precedentes, no ser:i muy preciso, porque las fuerzas son bastante complicadas. Para empezar con una fuerza en particular, consideremos la resistencia al avance que experimenta un aeroplano que vue!a pore! aire. (.Cu:il es la ley para esa fuerza? ~~Jr~~~o~u~:~!~~e ~~: l~~e~a~~r~a~:af~~~~:~ if:~~=~~~cti~~~r p~~~~;:~\~~;~;e~~: es !o que causa !a resistencia al avance de un aeroplano que vuela por el aire -el aire fluyendo velozmente sabre las alas, el remolino en el dorso, los cambios que se original alrededor de! fuselaje y muchas otras comp!icaciones-, y se dariln cuenta que no habr:i una ley sencilla. Por otro !ado, es un hecho notable que la fuerza de resistencia sobre un aeroplano sea aproximadamente igual a una constante por el cuadrado de la ve!ocidad, o F ,.._, cv 2 • Ahora, ,:,cu:il es la naturaleza de esa ley? ,:,Es an8.loga a F = ma? De ninguna manera, porque en primer lugar esta es una ley empirica que se obtiene "grosso modo" por pruebas efectuadas en un tUnel de vientO. Ustedcs diril.n: "Hien, puede que F ~ ma sea empirica tambifo." Esa no es raz6n para que exista diferencia. La diferencia no est:i en que sea empirica, sino que, comCY entendemos la naturaleza, esta ley e::; el resultado de un complejo enorme de eventOs y no es, fundamentalmente, una cosa sencilla. Si seguimos estudiitndola mii.s y mil.s, midiendo cada vez con mayor exactitud, la ley continuaril. tornitndose mtis complicada y no menos. En otras palabras, al estudiar esta \ey de resistencia al avance de un aeroplano mils y mils detenidamente, encontramos que es "mils y•mils falsa", y mientras mas profundamente !a estudiamos y mientras m:is exactamente midamos, tanto mas complicada Uega a ser la verdad; de manera que en ese sentido consideramos que no resulta de un proceso sencillo y fundamental, lo que concuerda con nuestra suposici6n original. Por ejemplo, si la velocidad es extremadamente baja, tan baja que un aeroplano comUn no vuela, ta! coma sucede cuando el aeroplane es arrastrado lentamente por el aire, entonces la ley cambia, y el race depende mils bien linealmente de la velocidad. Para considerar otro ejemplo, la fuerza de roce sobre una pelota o burbuja, o cualquier cosa que se mueva lentamcnte en 12-4 un liquido viscoso como la miel, es proporcional a la velocidad, pero para movimientos tan rilpidos que el fluido se arremolina (no sucede con la miel, pero si con el agua y el aire), entonces la resistencia por race es casi proporcional al cuadrado de la velocidad (F =- cv 2), y si !a velocidad continU.a aumentando, tambien esta ley empieza a fallar. Las personas que dicen: "Bien, el coeficiente varia muy poco ", estim esquivando la discusi{)n. Segundo. existen otras grandes complicaciones: (_puede descomponerse esta fuerza que actU.a sabre el aeroplano o ser analizada como una fuerza que actU.a sobre las alas, una fuerza al frente, y asi succsivamcnte? De hecho, esto puede hacerse. si nos preocupamos de los torques que actiian por aqui y por alla, pero entonces tendremos que obtcner ]eyes especiales para !as fuerzas en !as alas, etc. Es un hecho asombroso que la fuerza que actU.a en un ala dependa de la otra ala: en otras pa!abras, si desarmamos el aeroplano y co!ocamos una sola ala en el aire, la fuerza no es la misma que cuando el resto del aeroplane esti1 presente. La raz6n, por supuesto. es que parte del vicnto que da al frente se mueve alrededor de las alas y cambia las fuerzas sabre las alas. Parece un milagro que exista tal ley empirica sencilla y aproximada que pueda utilizarse en el diseiio de aeroplanes, pero esta ley no se encuentra en la misma clase de leyes bilsicas complicada. de la fisica, y un estudio mils amplio de ella s6lo la haril cada vez Un estudio sobre cOmo depende el coeficiente c de la forma de la partc frontal del aeroplane es. para ponerlo ·en tfrminos suaves, para dcsanimar a cualquiera. Simplemente no existe una ley sencilla para determinar el coeficiente en tfrminos de la forma del aerop!ano. Por el contrario, la Icy de la gravitaci6n e~ sencilla y un mavor estudio s6lo revela una mayor simplicidad. Acabamos de discutir dos casos de roce, que en el aire y el movimiento lento en la miel. Existe otra seco. o roce por deslizamicnto que ocurre cuando un otro. En este caso se necesita una fuerza para mantener fuerza de race y su origen tambien es un asunto muy complicado. Ambas supcrfi cies de contacto son irregularcs a nivcl atOmico. Hay muchos puntos de contacto en que los <itomos parecen pegarse unos a otros y entonces, al arrastrar el cucrpo de~ lizantc, los iltomos sc scparan y surge vibraci6n; algo asi tiene que suceder. Antes el mecanismo de este race se creia muy senci11o. que las superficies esraban solamentc llenas de irregularidades y el roce se originaba al \evantarsc cl cuerpo resbalante sobrc las protubcrancias; pcro esto no puede ser, porque no hay perdida de energia en ese proceso, ya que de hecho se consume potencia. El mecanismo de la pCrdida de potencia es que al pasar el deslizador por sobre los obstilculos. los obstilculos se deforman y entonces generan ondas y movimientos atOmicos y, despues de un rato, calor en los dos cuerpos. Ahora bien, es muy notable que de nuevo. empirica mente, este roce pucda scr descrito en forma aproximada mediantc una ley sencilla. Esta ley cs que la fuerza necesaria para veneer el roce y arrastrar un objeto sabre otro depende de la fuerza normal (esto es, perpendicular a la superficic) entre las dos superficie~ en contacto. En realidad, con una buena aproximaci6n, la fuerza de rocc es proporcional a la fuerza normal, y ticne un coeficiente mas o menos cons tante; esto es, F= µ.N, (12.I) en que µ se llama cqejiciente de roce (Fig. 12· 1). A pesar de que este coeficiente no es exactamente constante., la formula es una buena regla empirica para juzgar en forma aproximada 12-5 Fig. 12-1 La relac16n entre fue1za de roce y la fuerza normal para un contacto deslizante la cantidad de fuerza que se necesitaria en ciertas circunstancias prftcticas de la ingenieria. Si la fuerza normal o la rapidez de! movimiento aumenta demasiado, la ley falla, a causa de! excesivo calor generado. Es importante darse cuenta de 4ue cada una de estas !eyes empiricas tiene sus limitaciones, mas all<l de las cuales no dan resultado. Que la formula F-=- µN es aproximadamente correcta puede demostrarse por media de un sencillo experimento. Armamos un piano inclinado en un itngulo e pe· queiio y colocamos un b!oque de peso W sobrc el piano. Entonces inclinamos el piano para formar un ilngulo mayor, hasta que el bloquc apenas empicza a moverse a causa de su propio peso. La componente del peso hada abajo a lo largo de! piano es W sen 0, y esta debe ser igual a la fuerza de roce F cuando el bloque desliza es la uniformemente. La componente de! peso normal al piano es rF cos e y e, fuerza normal N. Con estos valores, la formula llega a ser rv sen fl _.,. de !a que obtenemos µ = ~~)i-~ = tgO. Si esta ley fuera exactamente vii.Iida, un se ha descrito, el roce es aproximadamente indecrcen que el roce que hay que veneer excede la fuerza necesaria para mantemetales ~ecus cs muy dificil demostrar tiene su origen probab!emente en las cantidades de accitc o lubricante, o en por resortes u otros soportes flexibles ta! 12-6 Es bastante dificil efectuar experimentos cuantitativos exactos sobre el roce, y las !eyes del rocc todavia no han sido muy bien analizadas, a pcsar de! alto valor que t1ene para la ingenieria un anati::.1:, cxacto A pesar de que la ley F = 11N es bastante exacta una vez que las supcrficies han sido estandarizadas, la raz6n para esta forma de ley en rcalidad no se comprende. Demostrar que I' es aproximadamcntc indcpendicnte de la velocidad cxigc cicrta cxpenmentac10n delicada, porque el roce aparente disminuye mucho si la superfic1e inferior' vibra muy rapido, Cuando el experimento se realiza a velocidades muy altas. hay que tencr cuidado en que los objctos no vibrcn uno rcspecto del otro, ya que !as disminuciones aparentcs de! roce a alta~ velocidades se deben a menudo a vibraciones. De todos modos. esta ley del roce es otra de esas !eyes semiempiricas que no se comprenden perfectamente, y en vista de todo el trabajo que se ha hccho, cs sorprendente que no se haya llegado a una mayor comprcnsiOn de este fenOmeno. Actualmente. es imposible aUn estimar cl coeficiente de roce entre dos sustancias. Ha quedado indicado mis arriba que ensayos para medir M hacienda sustancias puras, como cobre sobre cobrc, llcvan a resultados fa!:,o::., porque superficies en contacto no son de cobre puro, sino meiclas de Oxido y otras impure zas. Si procuramos obtener cobre absolutamente puro. si limpiamo::. y pulimos las superficics, desgasamos los materiales al vacio y tomamos todas las precaucionc:, posibles, todavia no se obt1ene l'· Porque, s1 inclmamos el aparato aUn ha~ta una posK:i6n vertical, cl cuerpo que dcsliza nova a cacr ~jlos dos pedazos de cobre se adhieren!-. jEI coeficientc µ, quc gcneralmente es menor quc la unidad para superfi cies razonablemcntc duras, llega a ser varias vcces la unidad! La raz6n de C5te comportamiento inespcrado es que cuando los <'itomos en contacto son todos de la misma naturaleza, no hay manera de que los <'itomos "sepan" quc estan en difercn tes pedazos de cobrc. Cuando hay otros <'itomos, en los Oxidos y en las grasas y l<'iminas superficiales delgadas mas complicadas de contaminantes entre ellas, los ittomos "sabcn·· cuando no e~tiin en la misma parte. Cuando considcramos que son las fuerzas cntre los 3.tomos las que mantienen unido el cobre como un solido, debe quedar daro que es imposiblc obtener el correcto cocficientc de roce para metales puros. El mismo fenOmeno puede observarse en un sencillo experimento casero, cjccutado con una p!ancha de vidrio y un vaso de vidrio. Si sc coloca cl vaso sabre !a plancha y se tira con un hilo desliza bastante bicn y uno puede sentir cl coeficiente de roce; es un poqu1to irregular, pero es un coeficiente. Si ahora mojamos la p!ancha y la parte inferior de! vaso y t:Jramos de eJ otra vez, encontramos que se adhieren y si observamos detenidamente, encontraremos que se rayan, porque el agua puede separar la grasa y otras materias extraiias de la plancha, y entonces tenemos en realidad contacto entre vidrio y vidrio; este contacto es tan bueno que se mant1enc ajustado y ::.c rcsiste tanto a la scparacion que el v1drio sc rompe; es decir, produce rayas. 12-3 Fuerzas moleculares A continuaciOn discutiremos las caracteristicas de las fuerrns moleculares. Estas son fuerzas entre los <'itomos y constituyen el origen Ultimo del roce. Las fuerzas moleculares nunca han sido explicadas satisfactoriamente sobrc la base de la fisica cllisica; se necesita de la mecilnica cuilntica para entenderlas plenamente. Sin embargo, empiricamente, la fuerza entre 12-7 Repulsion Atracci(m 12-2. La fuerza entre dos <itomos de su distancia de separacr6n Estas fuerzas molecularcs puedcn mostrarse de una manern bastantc directa: una de Cstas es el experimento de roce con un vaso de vidrio deslizante; otro consiste en tomar dos superficies cuidadosamente pulidas y limpias que son cxactamente planas, de manera que !as superficies puedan juntarse muy estrechamcnte. Un ejemplo de estas supcrficics son !os bloqucs Johansson que se emplean en talleres de maquinas como patrones para medir longitudes con precisi6n. Si uno de estos bloques se hace deslizar sobrc otro muy cuidadosamentc y el de arriba se levanta, el otro se adheririi y tambiCn sc levantar<'t dcbido a las fuerzas moleculares, constituycndo un ejemplo de atracci6n directa entrc los atomos de un bloque por los iltomos de] otro. Sin embargo, estas fuerzas moleculares de atracci6n no son todavia fundamenta)es. en el sentido en que la gravitaci6n cs fundamental; se deben a la vastamente compleja interacci6n de todos los electrones y nllcleos de una mo!Ccula con todos los electrones y nUcleos de !a otra. Cualquier formula de apariencia sencilla que obtengamos representa una suma de complicaciones, de manera que todavici. no hemos obtenido el fen6meno fundamental. 12-8 Como las fuerzas moleculares atraen a grandes di~tancias y repelen a distancias cortas, corno se muc~;tra en la figura 12-2, podemos formar sOlidos en que todos los atomos se mantienen unidos por sus atracciones, y se mantienen separados por la repulsiOn que se origina cuando estli.n demasiado juntas. A una cierta distancia d (donde el grli.fico de la figura 12-2 cruza el eje) las fuerzas son cero, lo que significa que estli.n equi!ibradas, de manera que las mOleculas se mantienen separadas a esa distancia entre si. Si las mo!eculas se comprimen hasta acercarse a una distancia inferior a d, todas mucstran una repulsi6n representada por la parte de! grli.fico que se enrnentra sabre el eje r. Comprimir las moJeculas s6lo ligeramcnte exige una gran fuerza, porque la repulsiim molecular se torna riipidamente muy grande a distancias inferiores a d. Si las moJeculas se separan ligeiamente. se suscita una lcve atraccil'm que aumenta al aumentar !a separacil'm. Si son separadas con fuerza suficiente, se separaritn permanentemcnte -!a ligadura se rompe. 12·4 Fuerzas. fundamentalcs. Campos 12-9 o negativas y en cualquier _aplicaciOn especifica de la formula, la direcciOn ?e la fuerza resultani correcta s1 a las q se les da el signo mas o menos apropiado; la fuerza cst<l dirigida a lo largo de la linea cntre las dos cargas. La constante en la formula depcnde, por supuesto, de !as unidades que se utiliccn para la fuerza, la carga y la distancia. Corrientemcnte la carga se mide en coulombs, la distancia en metros y la fuerza en newtons. Entonces, para obtener la fucrza en newtons, la Constante {que por razones histOricas se escribe l/47TE 0) toma el valor numerico fu = 8.854 X 10- 1 2 coul 2/newton · m 2 De manera que la ley de la fuerza para cargas estitticas es Para analizar esta en P produce es una ·•siente" la fuerza. en fuerza F sobre q2 en R puede ser cantidad E que estar[a ahi, cstuvicsc o no q 2 , demits cargas. 12-10 en sus respectivos lugares). Decimos que E es la "condiciOn ., producida por q 1 y F cs la respuesta de q1 a E. E se dcnomina campo e!ictrico yes un vector. La formula para el campo e!Cctrico E que se produce en el punto R debido a la carga q1 en P es la carga q 1 mu!tip!icada por !a constante l I 4?Tf 0 dividido por r2 (r cs la distancia de P a R) y actUa en la direcciOn del radio vector (el radio vector r dividido por su propia longitud). La expresiOn para E es asi: (12.4) Entonccs escribimos (12.5) que expresa la fuerza, el campo y !a carga en el campo. LCu.ll es el propOsito de todo esto? El propOsito es dividir el anitlisi~ en dos partes. Una partc dice que algo produce un campo. La otra partc dice que algo es injluenciado por el campo. Al observar estas dos partes independientemente, esta separaciim en el an:ilisis simplifica el cii.lculo de un prob!ema en mudrns situaciones. Si est.in prescntes muchas cargas, primero calculamus el campo electrico total producido en R por todas las cargas. y luegu, conociendo la carga qui: sc coloca en R, encontramos la fuerza quc actUa sobrc ella. En el caso de !a gravitaciOn podemos hacer exactamente lo mismo. En cste caso, en que ia fuerza F = -Gm 1 m1 r/r 3 • podemos hacer un an<llisis ani!ogo, coma sigue: la fuerza que actlla sobre un cuerpo en un campo gravitacional es igual a la masa de! cuerpo por e! campo C. La fucrLa sobre sobre m, es la masa m, mu!tiplicada por el campo C producido por m 1 ; esto cs F = m 1 C. Entonces el campo C producido por un cuerpo de masa m 1 es C = Gm 1 r/r 1 y estii dirigido radialmer.te como en el caso eJectrico. A pesar de lo que pueda parecer en un principio, este scparar una parte de la otra no es una trivialidad. Seria trivial, sOlo otra manera de escribir lo mismo. si las !eyes de fuerza fueran sencillas, pero las !eyes de fuerza son tan complicadas, que resulta que los campos tienen una realidad que es casi independiente de los objetos que los crean. Uno puede hacer al go as[ co mo agitar una carga y producir un efccto, un campo. a cierta distancia; si entonces uno deja de agitar la carga, cl campo sigue el curso de todo !o pasado, porque la interacciOn de !as dos particulas no es instant.inea. Es deseable tener alguna fonna de recordar !o que pasO prevlamente. Si la fuerza sabre alguna carga dependc de donde estaba otra carga ayer, y lo que es asi, entonces neccsitamos un mecanismo para seguir !a pista de lm,_que succdiO ayer, y esa es la indole dcl campo. De manera que, cuando las fuerzas se vue!ven mis complicadas, el campo se hace m.ls y m.is real y csta tecnica llega a ser menos y menos una separaciOn artificial. Al anali1ar las fuerrns por medio de campos, necesitamos dos clases de !eyes relacionadas con los Campos. La primera cs la respuesta a un campo, que da las ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, la ley de respuesta de una masa a un campo gravitacional es que la fucrza es igual a la masa por el campo gravitacional; o, si tambiC-n existe una carga en el cuerpo, la respuesta de la carga al campo electrico es igual a la carga por el Campo elCctrico. La segunda parte dcl anilisis de la natura!eza en estas situaciones es formular las !eyes que determinan la intensidad dcl campo y cOmo se produce. 12-11 A veces a esta~ !~ye~ se las denomina ecuaciones de campo. J\prcndcrcmos sobre ellas a su debido tiempo. pero escribiremos algunas cosas ahora. Primera, el hecho mas notable de todos, el cual es se puede comprcnder facilmente, es que el varias fuentes es la suma vectorial de !os campos En mera fucntc, !a segunda v asi sas cargas producicndo ~n puede producir cl campo Ei y para obtencr cl campo total. E~tc mils q"' poc pn (12.6) o, en vista de las dcfinicioncs dadas mils arriba. (12.7) <,Pucde aplicarse el mismo metodo a la gravitaciOn':' La fuerrn entre m 1 y m2 fue expresada por Newton como F- Gm 1 m2 r/rJ. Pero segUn cuncepto de campo, podemos decir que m 1 crca un campo C en todo cl espacio que la rodea. de manera que la fuerLU sobrc m 1 est<i dada por (12.8) Por analogla completa coli el caso e!ectrico C = -Gmcr,/r~ y cl campo gravitacional producido por vanas masas es (12.9) de ravos electr(micos (figura 12-3). En un extrema de esc tubo hay una fuente que cmite u.1 chorro Je dectrone~. Dentro de! tubo hay dispositivos para acelerar los electrones a una velocidad pita y enviar algunos de ellos en un haz estrecho a una pantalla fluorescente en el otro extrema de! tubo. Un punto lumlnoso hrilla en cl Centro de la pantalla los electrones y esto hace posible trazar la trahacia la pantalla, el haz de clcctrones pasa yectoria de los electrones. por un espacio c~trecho entre un de p!acas metii!icas parale!as diga un voltaje cntre las placas mos. horirnntalmente. Se ncgati'va a voluntad. Cuando nera que cualquicr placa a~i. cxi 1;tc un campo placas. Fig 12 3 Un tubo de haz de electrones 12-13 Para comprender este extraiio comportamiento, debemos tener una nueva combinaci6n de fuerzas. Lo explicamos asl: Entre los polos dcl im<'tn exi~te un cumpo magnCtico. Este campo tiene una direccic'm que siempre sale de un polo en particular (que podriamos marcar) y entra al otro. Al invertir e! imiln no ~ambiO la di_recci6n de! campo, pero al invertir los polos !ado por !ado, se invirtio la direccion. Por ejemplo, si la velocidad de los e!ectrones fuem horizont~l en__ la direcciOn x y el campo magnetico fuera tambien horizontaL pero en la direcc1on y, la fuerza magnetica sobre los eleclrones en movimienlo seria en la direcci6n z, csto es, hacia arriba o hacia abajo dependiendo de si cl campo cstaba en la d!recci6n y positiva o ncgativa. A pesar de que ahora no daremos la ley correcta de la fuerza entre las cargas que se mueven en forma arbitraria unas respecto a otras, porque es demasiado complicada, daremos un aspecto de ella: la Jey comp!eta de las fuerzas si se conocieran /05 campos. La fuerza que actUa sobre un objeto cargado depende de su movimieJJ.to; si existicse una fuerza, cuando cl objcto est<'t en reposo en un lugar determinado, tsta se torna proporcional a la carga; cl coeficiente es lo que llamamos campo elictrico. Cuando el objeto se mueve la fuerza ouede ser diferente y la correcciOn, la nueva '·parte" de la fuerza, resulta ser exactamente dependiente linealmente de la velocidad, pero perpendicular a v y a otra cantidad vectorial que llamamos inducciOn magnilica. B. Si !as componcntes de! campo clectrico E y la induccl6n magnetic a B son, respectivamente (F.,., E" £=) y \B" B,. [3,l, y sl la velocidad v tiene J~s componentes (i'x• vJ" v), en_tonces _la fuerza magnet1ca y elCctrica total que actua sabre una carga q en movimiento, tiene las componentes. F, = q(Ez Fu = q(Ey F, = q(E, + VyBz + v,B,. + 11~8y - v,By), - vxB,), - 11yBx). (12.ll) Si, por ejemplo. la lmica componente de! campo magnCtico fuera By y la imica com" poncntc de la velocidad fuera v_,, el {mico t6rmmo que queda en la fuerza magn6tica seria una fuerza en la direcci6n z, perpendicular a B y a v. 12-5 Seudofuerzas x = x' + s, y = y', z = z', s es el desplazamiento del sistema de Pedro relativo al de Juan. 51 suponemos de movimiento son eorrcctas para Juan, ;,quC aspecto tienen para Pcencontramus que dxid1 = dx'/dt + d.1/dt. 12-14 Anteriormentc comidcramos el caso en que s era constante y encontramos que s no int1um en las !eyes de movimiento, ya que ds/ di = O: en ultima instancia, entonces, las lcyes de la fisica eran !as misffias en ambos sistemas. Pero otro caso que podemos considerar es que s '- u I, en que u es una velocidad uniforme en linea recta. Entonces s no e5 constante y ds/dt no es cero, sino quc es u, una constantc. Sin embargo, la aceleraciOn rPx/dt 2 es alin igua! a d'x' /dt 2 , porque du/dt = 0. Esto demucstra la le}" que empleamos en el capitulo IO, esto cs, que si nos movemos en !inea recta con velocidad umforme, las leye5 de la fisica nos pareceriln las mismas que cuando estamos en repo::.o. Esta es la traiJsformaciOn de Galileo. Pero queremos discutir el interesante caso en que s es todavia miis complicado, digamos s = at 2 /2. Entonces ds! di = at y d's/ dt 2 = a, una aceleraciOn unifonnc; o en un caso todavia m<i.s complicado, la aceleraciOn podria ser funciOn de! tiempo. Esto significa que, a pcsar de que las leyes de fuerza desde el punto de vista de Juan serian la5 leyes de la fuerza como vistas por Pedro parecerian = F,· - ma. Esto es. como el si~tema de coordenadas de Pedro est<i. acelerando con respecto al de Juan, el termino extra ma entra en escena, y Pedro tendr<i. que corrcgir sus fucr· esa cantidad para conseguir que func1onen las leyes de Newton. En otras he aqui una nueva fuernl aparente y misteriosa de origcn dcsconocido, que aparece, por supuesto, porquc Pedro tiene un sistcma de coordenadas equivocado. Este es un cjcmplo de seudofucrza; otrm ejemplos ocurren en sistemas de coor denada~ que rotan. seudofuerza es la que a menudo se denomina "fuerLa centriun sistcma de coordenada::. quc rota, por ejemplo una caja mi~terio5as no explicadas por nmglin ongen de rucrza hacia afuera contra la:> parcdc~. Estas fuerzas sc que el observador no tiene de coordcnaes cl sislcma de coordenadas m~s sent1do contrario un imgulo perpendicular a a un nivel qut cmpu1a al ycl Cn aspecto muy importante ma~a~: lo mismo es le~ a las seudofucrLas es para la 12-15 quc la gravedad misma sea una seudofuer:a. ,:,No es posible. tal vez. que la gravitaci6n se deba simplemente al hecho de que no tenemos el s1stema de coord~nadas apropiado? Despues de todo, siempre po~emos obtener una _fueua proporcional a la masa si imaginamos que un cuerpo es~a acelerando. Por eJemplo, u~ hombre ~-n­ cerrado en una caja en reposo sobre _la t1erra se encuentra s~jeto al piso de! caJon con una cierta fuerza que es proporcional a su masa. Pero st no estuviera Ia tierra y el caj6n estuviese en _reposo, el. hombre dentro d~l caj~n flotaria en_ ~l espacio. Por otro !ado, si no ex1st1era la uerra y algo estuv1era llrando del caJOn proporcion<i.ndole la aceleraciOn g, el hombre en el cajOn, analizando la fisica, cncontraria una seudofuerza que lo tiraria al piso, tal como lo hace la gravedad. Fig. 12-4. EJemplo de seudofueria. Einstein propuso la famosa hip6tesis de que las aceleraciones imitan a !a gravitaci6n, que las fuerzas de ace!eraci6n (las seudofuerzas) no pueden distinguirse de las de gravedad; no es posiblc afirmar que parte de una fuerza cs gravedad y que parte es seudofuerza. Puede que este bien considerar la gravedad como una seudofucrza, decir que todos estamo~ sujctos a la t1crra. porque estamos acelerando hacia arriba. pcro ;,que diremos de la gente que vive en Madagascar, en el otro lado de la tierra, iaceleran tambiCn dlos? Einstein encontrO que la gravedad podria considerarse como una seudofuerza sOlo en un punto a la vez, y sus considcraciones lo condujeron a sugerir que la geumelria def mundo es mils complicada que la geometria euclidiana co· mi.in. La prescnte discusiOn es sOlo cualitativa y no pretende dar una idea general. Para dar una idea aproximada de c6mo la grav1taci6n podrla scr el resultado de seudofueu.as, presentamos un ejemplo que es solamente geometrico y no representa la situaciOn real. Supongan que vivimos en dos dimensiones y que no sabemos nada de una tercera. Pensamos que nos encontramos en un piano, pero supongan que estamos realmente en la superficie de una esfera. Y supongan que disparamos un objeto sobrc estc terreno, sin que actUe alguna fuerza sabred. ;,A dOnde ir<i.'! Parecena ir en una !lnea recta, pero tiencn que permanecer en la superficie de la esfera, en que la distancia mils corta entre dos puntos es a lo largo de un circulo mi1ximo: de manera que se mueve en un circulo m<i.ximo. Si disparamos en igual forma otro objeto, pero en otra direcciOn, avanza en otro circulo milximo. Porquc los do~ cucrpo~ conlinUcn que estamos en un piano. cspcramos linealmente con el tiempo, pero una zan suficientcmcnte cmpiezan Pero no se est:'tn atrayendo ejcmplo en particular no describe Euclides es "misteriosa ", tria cs posib!e que toda zas; esa es la idea 12-16 12-6 Fuerzas nucleares Finalizamos este capitulo con una breve discusi6n sabre las Unicas fuerzas restantes, que se denominan fuerzas nucleares. Estas fuerzas se encuentran dentro de los nUcleos de los ittomos y, a pesar de que han sido muy discutidas, nadie ha caloulado jamils la fuerza que actUa entre dos nUcleos y, en realidad. hoy dia no se conoce ninguna ley para las fuerzas nucleares. Estas fuerzas tienen un alcance muy peii.ueiio, que es mils o menos como el tamaiio de! nllcleo, tal vez 10- 1·1 cm. Con particulas tan pequeii.as y a distancias tan cortas, s61o son viilidas las !eyes de la mec3.nica cu3.ntica, no asi las leyes newtoniatias. En el an3.lisis nuclear ya no pensamos en funci6n de fuerzas y, en realidad, podemos reemplazar cl concepto de fuerza por el concepto de energia de interacci6n entre dos particulas, un tema que sc discutir3. miis tarde. Cualquier formula que se pueda escribir sobre fuerzas nuclcares es en cierto modo una burda aproximrici6n que omitc muchas complicaciones; una puede ser como la que sigue: las fuerzas dentro del nUcleo no varian en razOn inversa al cuadrado de la distancia, sino que se extinguen exponencialmente en cierta distancia r, como se exprcsa en. F= (l1r1) exp (-r/rfJ), en que la distancia r 0 es de! orden de 10- 13 centimetros. En otras palabras, la~ fuerzas desaparecen tan pronto coma las particulas se encuentren a una distancia mayor que esa a pesar de que son fuerzas muy grandes dentro de! alcance 10- 13 centimetros. Tai como se entienden hoy dia, las \eyes de las fuerzas nuclcares son muy complejas; no !as entendemos de una manera sencilla y el problema de anali1.ar el mecanismo fundamental de !as fuerzas nucleares no estii resuelto. lntentos de una so!uci6n han llevado al descubrimiento de numcrosas particulas extraiias, los mesones 7f, por ejemplo, pero el origen de estas fucrzas permanece oscuro. 12-17 13 Trabajo y energia potencial (A) 13-1 Energia de un cuerpo que cae 13-3 La suma de energia 13-2 Trabajo realizado por la gravedad 13-4 Campo gravitacional de objetos grand es 13-1 Energia de un cuerpo que cae En el capitulo 4 discutimos la conservaci6n de la energia. En esa discusi6n no empleamos las !eyes de Newton, pero es, por supuesto, de gran interes entender c6mo sucede que esa energia se conserve de hecho de acuerdo con estas leyes. Para mayor claridad empezaremos con el ejemplo mis simple posible, y despues desarro, llaremos ejemplos mis y mas dificiles. El ejemplo mil.s simple de conservaci6n de energia lo constituye un objeto que cae verticalmente, que se mueve s6Jo en dirocci6n vertical. Un objeto que cambia su nltura bajo la influencia de la gravedad solamente, tiene una energia cinetica T (o E.C.) debida a su movimiento durante la caida, y una energia potencial mgh, abreviada U o E.P., cuya suma es constante. ~~ + T 1- :;h =- constante, U = constantc. (13.1) Ahora nos gustaria demostrar la va!idez de esta afirmaciOn. (.QuC queremos dedr con demostrar su validez? A partir de la segunda Icy de Newton podemos decir fa:cilmente c[)mo se mueve c! ohjeto, y es facil averiguar que la velocidad cambia con el tiempo, es decir, que aumenta en proporciOn al tiempo y que la altura varia con el cuadrado dei tiempo. De manera que si medimos !a altura a partir de un punto cero donde el objeto est3 en rcposo, no es ninglln milagro que la altura sea igual al cuadrado de la ve!ocidad multiplicada por un nllmero de constantes. Sin embargo, observemos esto un poco mils detenidamente. Averigiiemos directamente a partir de la segunda Icy de Newton c6mo debe variar la energla cinetica, tomando la derivada de la energia cinetica con respectQ. al tiempo y despues empleando las !eyes de Newton. Derivando ! mv1 respecto al tiempo, obtenemos (JJ.2) 13-1 ya que m se supone constante. Pero segUn la segunda ley de Newton. m (di·/ dl) = F, de modo que dT/dt = h. (IJ.J) En general, resultaril ser F · v, pero en nuestro caso unidimensional dejemos!o coma fuerza por veloddad. Ahora bien, en nuestro ejemplo simple la fuerza es constante, igual a - mg, una fuerza vertical (el signo menos indica que actlla hacia abajo), y la velocidad, por supuesto, es la dcrivada de !a posici6n vertical: o altura h, respecto al tiempo. Asi la derivada de la energia cinetica es -mg (dh/ dt), cantidad que, milagro de milagros, jes la derivada de otra cosat jEs la derivada respecto al tiempo de mgh! Por consiguiente, a medida que pasa el tiempo, las variaciones de energia cinCtica y de !a cantidad mgh son iguales y opuestas, de manera que la suma de las dos cantidades permanece constante, Q.E.D. Fig 13-1 Un 1nov1endos<' sol!re la.Jcc1oridelagra- VC'dad Hemos demostrado. partiendo de !a segunda Icy de Newton de! movimiento. que la energia se conserva en los casos de fuerzas constantes, cu:mdo sumamos la energia un poco mas y veapotencial mgh a !a energia cinCtica ~mri. Ahora estudiemos mos si se puede generalizar y as! avanzar en nuestro t,Funcwna s6lo en la caida !ibre o es mils general? Esperamos de nuestra discusion sobre la conservaci6n de la energia. que esta de resultados para un objeto que se mun·e de un punto a otro en una especie de curva sin roce. bajo la inf1uencia de la gravedad (rig. 13-1 ). Si el objeto alcanza cierta altura h desde una altura original H, la misrna formula sena corrccta tambien, aunque la ve!ocidad sea ahora en alguna direcci6n d1strnta de tical. Nos gustaria comprender por que la ley es todav1a correcta. Sigamo~ cl arnilisis, averiguando la dcnvada de la energia cmCt1ca con respecto al ticrnpo. otra vez mt• (dvl di), pero m (d1,/dt) e~ la deri ... ada del modulo del lafuerza en la direcci6n def mol'im1e1uo, la fuerza tangencial F,. Ahora bien. la va. d.\/dt, y la la distancia ds a lo F1 - - mR sen dh fl ~ - mg (ti· . 13-2 de manera que F <!.~ = - mg (<!._~)(t_!_~) = - mg t_!__dl', 1 dt ds dr I ya que los ds se cancelan. Asi. pues, tenemos -mg (dh/dt), que es igual a la derivada de mgh como antes. Para poder entender exa~tam~nte c6mo fun~iona. !a co~servaci6n de la energia en la mecinica en general, d1scutiremos en segmda c1erto numero de conceptos que nos ayudarin a analizarlo. Primera, discutiremos la variaciim de la energia cinCtica en general en tres dimensiones. La energia cinetica en tres dimensiones es Si derivamos esta ecuaci6n con respecto al tiempo. obtenemos tres tCrminos espantosos: dT dt rj!.!_ di + 1'- ii 0_y dt + 1· ' <!!.!.). dt (13.4) Pero m(dvjdl) es la fuerza Fx que actU.a sobre el objeto en la direcci6n de x. De manera que el primer miembro de la ecuaci6n (!3.4) es Fx•'x + Fyvy + F 2 vz. Recordando nuestro c<i.!culo vectorial reconocemos esto como f · v: por consiguiente, (13.5) dT/dt = F · v. Este resultado puede deducirse mils ripidamente como sigue: si a y b son dos vectores que dependen de! tiempo, la derivada de a· b es, en general, d(a · b)/dr = a· db/dt Entonces usamos esto en la fonna a = b = + (da/dt) · b. (13.6) v: Debido a que los conceptos de energia cinetica y energia en general son tan importantes, se han dado diversos nombres a los importantes t6minos en ecuaciones tales como estas. ~mv 1 se denomina, como sabemos, energ{a ciniitica. F · v se llama potencia: la fuerza que actU.a sobre un objeto por la velocidad del objeto (producto escalar de vectores) es la potencia entregada al objeto por esa fuerza. Asi, pues, tenemos un maravilloso teorema: La variaciOn de la energia ciniitica de un objeto es iguaf a la potencia gastada por Iafuerza que actUa sobre et. Sin embargo, para estudiar la conservaci6n de la energia queremos analizar esto mis detenidamente. Calculemos la variaci6n de la energia cinetica en un tiempo dt muy corto. Si multiplicamos ambos miembros de la ecuaci6n (13.7) por dt, encontramos que la variaci6n diferencial de la energia cini:tica es la fuerza "'escalar" la distancia diferencial en que se ha movido dT = F·ds. (13.8) 13-3 Si ahora integramos, obtenemos, J.T = f (13.9) F·ds. ~Que signilica esto? Signilica que s\ un objeto se mueve de una manera cualquiera bajo la influencia de una fuerza, moviCndose en una cierta clase de trayectoria curva, entonces la variaci6n de E.C. cuando va de un punto a otro a lo largo de la curva es igual a la integral de la componente de la fuerza segUn la curva. por el despla1.amiento diferencial ds, efectuil.ndose !ti integraci6n de un punto al otro. Esta integral tambiCn tiene nombre; se llama trabajo efectuado por la fuerza sobre el objeto. Vemos inmediatamente que potencia es trabajo realizado por segundo. Vemos tambiCn que e~ s6lo una componente de la fuer1.a en la direcci6n de! mol'imiento la que contribuye al trabajo efectuado. En nuestro sencillo ejemplo. las fuerzas eran s61o verticales y tenian una sola componente, digamos F, igual a -mg. No importa c6mo se mueve el objeto en esas circunstancias, cayendo en parabola por ejemplo, F · ds, que se puede escribir como: F.,dx + F,dy + F dz, se reduce a F,dz- -m!! dz, porque las otras componentes de !a fuerza son cero. Por consiguiente, en nuestro caso sencillo: 7 fr·ds = { 2 -mgdz = -mg(z 2 - z 1 ), (13.lO) de manera que otra vez descubrimos que s6lo la altura vertical desde la que cae el objeto es la quc contribuye a la energia potencial. Una palabra sabre unidades. Puesto que !as fue;zas se miden en newtons y multiplicamos por una distancia para obtener trabajo, el trabajo se mide en newton · metros (n · m), pero a la gente no le gusta decir newton-metros, smo que prefiere decir joules (J). Un newton-metio se denoIT'Jna jou!e: el trabajo se mide en joules. Potencia, entonces, es JOUies por segundo y a esto se le llama watt (W). Si multiplicamos watts por el tiempo, el resultado es el trabajo efectuado. El trabajo que efectUa la compaiila electrica en nuestras casas, tecnicamente hablando, es igual a !os watts por el tiempo. De ahl obtenemos cosas tales como kilowatt-hara, 1.000 watts por 3.600 segundos o sea 3,6 x 106 joules. Tomemos ahora otro ejemplo de la ley de conservaciOn de la energia. Consideremos un objeto que tiene inicialmente energia cinetica y que se mueve muy rilpido y que resbala sobre el piso con race. Se detiene. Al comienzo la cnergia cinftica no es cero, pero al final es cero; hay trabajo efrctuado por las fuerzas, porque cuando hay roce siempre hay una componente de la fuerza en direcci6n opuesta a la del movimiento. de mancra que la energia se pierde paulatinamente. Pero ahora consideremos una masa ubicada en el extrema de un pivote que oscila sin roce en un piano vertical en un campo gravitacional. Lo que sucede aqui es diferente, porque cuando la masa se mue\e hacia arriba, !a fuerza actUa hacia abajo y cuando la masa baja, la fuerza tambiCn es hacia abajo. Asi F · ds tiene un signo al moverse hacia arriba y otro al bajar. En cada punto correspondieme en el camino hacia arriba y hacia abajo, !os valores de F · ds son exactamente iguales en m6dulo, pero de signos opuestos, de manera que el resultado neto de la integral serit cero para este case. La energia cinetica con que la masa vuelve al punto mils bajo es !a misma que tenia al partir; esto es el principio de la conservaci6n de !a energia. (Noten que cuando existen fuerzas de race. parece a primera vista que la rnnservaci6n de la energia noes vii.Iida. 134 Tcnemos que encontrar otra forma de energia. Resulta, en realidad, que se genera ca/or en un objeto cuando roza con otro, pero por el momento, segUn lo que se supone, eso no lo sabemos.) 13~2 Trabajo realizado por la gravedad El siguiente problema a discutir es mucho mils dificil que el anterior; tiene que ver con el caso en que las fuerzas no son constantes o simplemente verticales, como lo fueron en los casos que acabamos de resolver. Queremos considerar un planeta, por ejemplo, que se mueve alrededor de! sol o un satelite en el espacio alrededor de la tierra. 13-2. Una pequena rnasa m cae bajo acci6n de la gravedad hacia la rnasa grande M Primero consideremos el movimiento de un objeto que parte desde el punto I y cae, digamos, direciamente hacia el sol o bacia la tierra (Fig. 13.2). iHabr<i una ley de conservaci6n de la energia en estas circunstancias? La {mica diferencia es que en este caso la fuerza est<i cambiando a medida que avanzamos, no es prl!Cisamente una constante. Como sabemos, la fuerza es GM/ r 2 multiplicado por la masa m, en que m es la masa que se mueve. Ahora, ciertamente, cuando un cuerpo cae a la tierra, la energ[a cinetica aumenta al aumentar la distancia caida, ta! como sucedc cuando no nos preocupamos de la variaci6n de la fuerza con la altura. El asunto es, si es posible encontrar otra fOrmula para la energia potencial diferente de mgh, una funci6n diferente de la distancia a la tierra, para que la conservaci6n de la energla contlnlle siendo v<ilida. Este caso unidimensional es rad! de resolver porque sabemos que la variaci6n de la energia cinetica es igual a la integral, de un extremo de! movimiento al otro, de -GMm/ r 1 por el desplazamiento dr: (13.l!) No se necesitan cosenos en este caso porque la fuerza y e! desplazamiento tienen la misma direcciOn. Es foci! integrar dr/r 1 ; el resultado es -1/r, de manera que la ecuaci6n (13.11) se transforma en (13.12) Asi obtenemos una formula diferente para la energia potencial. La ecuaci6n (13.12) nos dice que la cantidad (~mv 2 -GMm!r) calculada en el punto l, en el punto 2 o en cualquier otro !ugar, tiene un valor constante. Ya tenemos la f6rmula de la energla potencial para el movimiento vertical en un campo gravitacional. Ahora se nos presenta un problema interesante. t.Podemos con_seguir movimiemo perpetuo en un campo gravitacional? El campo gravitacional vana: en lugares d1fercnles 13-5 tiene direcciones diferentes y tiene intensidades diferentes. (.Podnamos hacer algo asi como esto, usando una trayectoria fija y sin roce: cmpezar en algUn punto y levantar un objeto hasta alglin otro punto. luego moverlo en un arco hasta un tercer punto. !uego baJarlo cierta d1stancia. desputs moverlo oblicuamente y sacarlo por otro camino. para que al llevarlo al punto de partida cierta cantidad de trabajo haya s1do efectuada por la fuerza gravitacional y la energia cinttica del objeto haya aumelltado? t,Podemos idcar la curva de manera que el Objcto vuelva movifndose un poquito mils ni.pido que antes. de manera que df vueltas y vueltas y nos dC movimiento perpetuo? Como el movimiento perpetuo es imposiblc, debemos hallar que tambii:n esto es impostble. Debemos descubrir la s1guiente proposici6n: como no hay roce, el objeto dcbena volver con una velocidad ni mayor ni menor, deberia poder seguir dando vueltas y vueltas en cualquier trayectoria ccrrada. Expres<indolo de otra manera, el trabajo total efectuado al completar un ciclo debe ser cero para fuerrns de gravedad. porque si no e> cero, podemos sacar ener gia dando vueltas. (Si el trabajo resulta ser menor que cero, de manera que obtenemos menos velocidad al dar vuelta en una direcci6n, entonces s1mplemente damos vuelta en la otra direcciOn. porque las fuerrns. por supuesto, dependen sO!o de la posici6n, no de la direcci6n; ~1 en un sentido es positivo, en el otro sentido seril negativo, de manera que, a menos que sea cero, obtendremos movimiento perpetuo dandc vueltas en cualquier sentido.) .~· .~ t1g 13-3 Ur1a trayecto11a cerrad<J e1' un Cclmpo ;,Es el trabajo realmente cero? Procuremos y de~pues a explicar mils o menos por que es matemiiticamente. Supongamos que una se ve en la figura 13-3, en que una masa pequei'ia puCs da vuelta en un circulo hasta 3, sigue hacia 4. mente, vuelva a I. Todas !as lineas o son puramentc coma centro. "Cuitnto trabajo se reahza al llevar m por este to~ I y 2 es GMm por la d1ferencia de I Ir entre esto~ dm puntos· De 2 a 3 la fuerrn es exactamente perpendicular a la curva. luego W 11 trabajo entre 3 y 4 es WJ 4 = °'- 0. El _I_)· tF·ds = -GMm(J_ _ }3 r.1 r3 En igual forma encontramos que W 78 = -GMm(I/ rs - I/r1 ) y Wa 1 = = 0. W 50 = -GMm(l/r,, llr). ~V61 = 0. 13-6 Por consiguiente W = Pero notamos que GMm (-~ 'i r 3, r4 = r1 -~. + -~ - -~ + J. - -1-- + _!_ - r2 = 'i• ~ r4 '~ = r 7• r 8 rs -- r5 r1 - J_) · ~ r 1. Por consiguicnte If'= 0. Fig. 13-4. Una trayectona ccrrada mostrando un scgmcnto ampl1ado de ella con una serie de escalones forpor segmentos rad1ales y arcos de_ c1rcunferenua, y unci vista aumentada de un escal6n Naturalmente podriamos preguntarnos si esta es una curva demasiado trivial. ;,Quf pasa si consideramos una curva real'? Hagamos la prueba con una curva real. Antes quc nada podriamos afirmar que una curva real siempre se puede represen tar lo suficientemente bien por una serie de dientes de sierra los que se ven en la figura 13-4 por consiguicnte, etc .. Q.E.D., pero pequeii.o anilisi~ no es obvio al que el trabajo efectuado al rccorrer un pequciio tnilngulo sea cero. de !os triiingulos, como se muestra en figura 13-4. t.Scril el trabajo que se movcrsc dcsde a hasta b y desde b hasta c en un tri<i.ngulo el mismo que cfectuado al ir directamente desde a hasta e? Supongan que la fuerza en direcci6n; consideremos un triiingulo cuyo !ado como un ejemplo. Tambit:n be tienc esta direcciOn, el triimgulo el triiingulo. sea tan pequciio sea csencialrnentc (.Cuil.nto trabajo se moverse desde a ha>.ta W,, 0 = J.'F ds = Fscostl, ya que la fuerza es constante. Calculemos ahora el trabajo que se efectlla al reco~ rrer los otros dos !ados dcl triilngulo. En el !ado vertical ab la fuerza es perpendicular a ds, de manera que aqui el trabajo es cero. En el lado horizontal be, W11 c = J,,c F · ds = Fx. Se comprcnde entonccs. que el trabajo efectuado al moversc a lo largo de los ]ados de un triti.ngulo pequeiio es igual al efectuado al moverse en un plano inclinado. porque s cos 0 es igual a x. Hemos demostrado previamente que el resultado es cero para cualquicr trayectoria compuesta de una serie de muescas como las de !a figura 13-3 y tambicn que se efectUa e! mismo trabajo si atravesamos de csquina a esquina en vez de seguir las muescas (siempre que las muescas scan lo suficientemente finas. y siempre podemos hacerlas muy finas); por consiguiente, el trabajo efectuado al recorrer cualquier cerrada en un campo gravitacionul es eero. Este es un muy notable. Nos dice algo quc no sabiamo~ antes respccto al movimiento Nos dice que cuando un planeta se mueve alrededor del so! (sin que haya otros cuerpos cerca. ni otras fucrzas). se mueve en ta! forma. que 13-7 el Cuadrado de la velocidad en cualquier punto, menos ciertas constantes divididas por el radio en ese punto, es siempre igual en cada punto de su 6rbita. Por ejemplo, cuanto mis cerca de! sol se encuentre el planeta, mis riipido se moveril; pero, z.cuilnto mils? Tanto coma lo que sigue: si en vez de dejar que el planeta gire alrededor del sol, le cambiiramos !a direcci6n (pero no el m6dulo) de su velocidad y lo hicieramos mover radialmcnte y !uego lo dejitramos caer desde un radio especial al radio que intcresc, la nueva velocidad scria la mi~ma que la quc tenia en su c'irbita real, porque este es s6lo otro ejemplo de trayectoria complicada. Siempre que regresemos a la misma tlistancia, la cnergia cinCtica seril la misma. Asi. tanto si el movimiento es el real. no pcrturbado, coma si se le cambia la direcciOn por medio de canales, o vinculos sin roce, la encrgia cmCtica con que el planeta llega a cierto punto seril s1empre la misma. Por lo tanto, cuando hacemos un anillisis numCrico del movimiento de! planeta en su Orbita, como lo hicimos anteriormente, podemos verificar en cada paso si e~­ tamo~ o no comcticndo errore~ aprcciablcs al ca!cular e~ta cantidad constante, la energia. y esta no deberia cambiar. Para !a 6rbita de la tabla 9-2 la energia ~i ria*. vana en alrededor de 1.5 c1ento desde cl µrincipio hasta cl fin. (,Por Bien porque en el metoJo empleamos intcrvalos no infinites!malc;,, o porque cometimos un error en lo5 cakulos aritmeticos en a!guna pane. Estudiemos la energia en otro cam: Cuando desplarnmo5 la masa de es proporcional a! desplarnmicnto. ley para la conservaci6n de la fuerza como esa = { -kx dx = -1kx 2 . (!3.13) fija a un es una constante. c6mo funciona e;,to. Tiraestil dctemda alm. por lo quc su velocidad es cero. Pero x no es cero, x en su valor mitximo, entonces existe alguna energia, la encrgla potencial por Ahora soltarnos la masa y algo cmpieza a suceder (no va· mos a discutir pero en cualquier instante la energia cinetica mas la potcncial debe ser una constante. Por ejcmpio. una vez quc la masa en su recorrido pasa el punto original de equdibrio. la posiciOn x es igual a cero, pero esto ocurre cuando tiene su mayor i•', y a medida que logra mayor x 2 obtienc menos "r 2 , y asi sucesivamentc. De mancra que el balance de x~ y 1·' se manti<>ne cuando la masa se mueve bacia arriba y hacia abaJO. Asi tenemos ahora otra regla, quc la energia potencial para un resorte es \11.x', si la fuerza es -kx. 13-3 Suma de energias Entramos ahora en cons1derac10nes m:is generalcs sobre lo que sucede cuando hay un gran numero de objttos. Supongan que tenemos el comp!icado problema constituido por mucho5 objetos, que designaremo~ per i = t. 2, 3•... , todos cjerciendo a1racc10nes gravitac1onale~ cntre • La energia es l (1\' + v, ') l/ r en las unidades de la Tabla 9-2 13-8 si. ·QuC succde entonces'? Vamos a demostrar que si sumamos las enc~gias cineticas de ~odas las particu!as y agregamos a esra. la suma, extendida a todm los pares de particulas. de su energia potencial gravitatona mutua - GllJm 1rij, el total es una constante: = const. (13.14) L:~m,1,; + L - (parosi1) ,:,COmo lo dcmostramos? Derivamos cada miembro con respecto al tiempo y obtencmos cero. Al derivar ~m 1 i'i, encontramos derivadas de la velocidad que son las fuerrns tal como en la ecuaci6n ( 13.5). Rccmplazamos cstas fuerzas por la lcy de y observamos enfuerza que conocemos a partir de la ley de gravcdad de de tonces que lo que queda es lo mismo que la derivada respecto al 2: - <}_~'!_!!_1!1_. pares r;J La derivada respecto al tiempo de la cnergia ci110tica es d"' ' di~ 2111,1 1 = "£..: d,, (Ji 111 1v, (13.15) ~L ; (L _Gn"if""') ."· r,, J La derivada respecto al ticmpo de la encrgia potcncial es ~ ~' _ G1~'.1 ,;n) = ~. (-1 ~J,~:1~i~ )C~/). Pero de manera que d''" dt ~ I_ 2r,j [1cx ' - +2(y; - x) J (~ dt f;J. = r 11 v, - di YJ)(~' - +2(z, - z;) ( = - dxJ) ~~ - %) ~~/)J Vj r11 • 2+ r 1 ,- ~~, 13-9 ya que ru· = -rl', mientras que ru = rJ,. Asi ~'I: - ~~!_~ pare; Ahora debemos 'J = 2: [Q!?2~~!L~-~. v, + Gm;:;,r}! v1] r,, pare> (13.16) 'i' toma~ nota cuidadosamcnte de lo que significan ~ {~} y p~,' En la ecuaciOn (13.15) ~ {~} sigmfka que i to~1a todo~ los valores i = l. 2, 3, ... por valor de 1, el indice j toma todos los \alorcs excepto i. Asi. si 2. 4.... por otro !ado.~ signilica que "alores dados de i y dej par"' ocurren sOlo una vcz. Asi, el par de particulas I y 3 contribuye sOlo con un termino a la suma. Para seguir el hilo de esto, podemos ponernos de acuerdo que i asuma todos los valores l, 2. 3 .... , y que para cada i deJcmm quej se extienda sOlo sabre valores mayor('s que i. Entonces. si i -= 3.j podria tornar s6lo los valores 4. 5, 6 .. Pero notamos que para cada valor de i,j hay dos contribuciones a !a suma, una en que intc~viene v, } la otra en 4~e intervlene vr y quc estos tfrminos tienen la misma apanencia que !os de la ecuacion (13.14), en quc rodos los valores de i y dej(exccpto i - j) estim incluido~ en la suma. Por consiguiente. al aparear los terminos uno ror uno, observamos que las ecuaciones (13.16) y (13.15) son exactamente iguales, pcro de signo conlrario. de manera que la derivada respecto al tiempo de la energia cmetica mils la energia potencial es en realidad cero. Asi observamos que, muchos objetos. fa energia cinhica es la suma de las contribuciones de cada individual la encrgia potencial es tambien sencilla, siendo tambien s61o rnotcib<mooe;. las energias entre todos los pares. Podemos comprenenergia de cada par: supongan que queremos encontrar que ~c dcbe efectuar para traer los objetos a cicrtas hacer esto en varias etapas. trayendolos desde el infiuno por uno. Pnmero traemos al nUmcro uno, quc otros cuerpos presentes que ejerrnn fuerzas sonurncro dos, quc requiere algo de trabajo. a saber un punto 1mportante, supongan que traemos cualquicr momc!1!o !a fuerza que actUa sobre como la suma de dos fuerrns -la fuerza ejercida por el cl 2. Por consiguicntt!, et trabajo efectuado es par cada uno, porque s1 F 1 se.puede descompo- enlonccs cl trabajc' e" jF.i ·ds ~ jF1J ·ds + fF2J ·ds = Wl'l -i- W2.i· el trabaJO efectuado e5 la suma Jel trabajo efcctuado en contra de la pn) la 'egunda fucrza. como ;,i cada una actuara indepcndicntemente. Proe\ta rnanera. vemos que el trabajo total que se necesita para armar la Jada de los objctos cs preclsamente el valor dado en la ecuaciOn como energia potenciaL Es porque la gravedad obedece al principio de super de la;, fucrws que podcrnos escribir la energia potencial coma una suma sob1..:: cada par de part1cula~. 13-10 Fig. 13-5. La fuerza grav1tacronal F sob re una masa puntual producida por una l<im1na plana infinita de matena. 13-4 Campo gravitacional de objetos grandes Ahora vamos a calcular los campos que se encuentran en algunas circunstancias fisicas en que interviene una distribuci6n de masa. Hasta aquj no hemos considerado la distribuci6n de masas, sO\o particu\as, de manera que es interesante calcu\ar !as fuerzas cuando son producidas por mti.s de una sola particula. Primero encontraremos la fuerza gravitacional sabre una masa producida por una hoja plana de material, de extensi6n infinita. La fuerza sabre una unidad de masa en un punto dado P. producida por esta hoja de material (Fig. 13-5), estarti., por supuesto, dirigida hacia la hoja. Sea a la distancia de! punto a la hoja y seaµ la masa por unidad de superficie de esta gran hoja. Supondremos que µ es constante; es una hoja de material uniforme. Ahora, i,quC pequefio campo dC produce la masa dm que se en- ~ue~~~=st:~t~Cp! dr;m;t(;3)~c~~~oe~it~0c1~m~od:s~: ~i~t;id~a:e;i~c:,n~ s~b~~~~ :u: solamente quedarit la componente x al sumar todos los pequeilos vectores dC para producir C. La componente x de dC es dC,, = G d~rx = G lf7(!-. Ahora bien, todas las masas dm que se encuentran a la misma distancia r de P dariin la misma dC_,, de manera que podemos escribir inmediatamente que dm es la masa total del anillo entre p y p f dp, es decir. dm = p27rp dp (2n:pdp cs cl ti.rea de un anillo de radio p y ancho dp, si dp<~p). Por lo tanto dC, = Gµhp Entonces ya que r 1 =- Cx 11 1 = - a 1 , p dp '""' r dr. Por consiguiente J" J, l \ 2IrGµa u ,2 -· = 2JrGµa ('-a - --; 0() = 2IrGµ. (13.!7) 13-1 ! a causa de las variaciones inversas de la intensidad de la fuerza de una masa dada y la cantidad de masa incluida en el cono a! cambiar la distancia. La fuerza no es realmente constante, por supuesto, porque al pasar al otro !ado de la 13.mina cambia de signo. En efecto, tambien hemos resueito un problema elCctrko: si tenemos una placa cargada eli:ctricamente, con una carga a por unidad de superficie, el campo e!Cctrico en un punto fuera de la placa es igual a a/2t 0 y tiene direcciOn hacia afuera, si la placa esta cargada positivamente, y hacia adentro, si la p!aca est3. cargada negativamente. Para demostrar esto, ohservemOs sencillamente que G, la gravedad, juega el mismo papel que 1/ 4;u 0 en la electricidad. Supongan ahora que tenemos dos p!acas, con una carga positiva +a en una placa y una carga negativa -a en la otra a una distancia D de la primcra. lCuill es el campo? Fuera de las dos placas es cero. lPor quC? Porque una atrae y ta otra repele, siendo la fuerza independiente de la distancia, jde manera que las dos se anulan! TambiCn, la fuerza entre la dos placas es claramente el doble de la que produce una placa, a saber E = al lo, y estit dir1gida de la placa positiva a la negativa. Ahora llegamos a un problema intercsante c importante, cuya soluci6n hemos estado suponiendo todo e! tiempo, a saber, quc la fuerza producida por la tierra en un punto sobrc su supcrficie o fuera de ella es la misma que se tcndria si toda la masa de la tierra estuviera situada en su centro. La validez de esta suposici6n no es evidente, porque cuando estamos cerca, pane de la masa se encuentra muy cerca de nosotros y parte se cncuentra mils !ejos, y asi sucesivamente. jCuando sumamos todos los efectos, parece un milagro que la fuerza resultante sea exactamente igual a la que obtendriamos si cotocii.ramos toda la masa en el centro! Fig. 13-6. Una cascara esferica delgada de masa o de carga Demostremos ahora qut el milagro es correcto. Para hacer esto, sin embargo, vamos a considerar una cascara hucca, delgada y uniformc en vez de la tierra. Sea m la masa total de la cascara, y calculcmos la energia potencial de una particula de masa m' situada a una distancia R de la esfera (Fig. 13-6) y demostremos que la energia potencial es la mi~ma que si la masa m fuera un punto en el centro. (Es m.is facil trabajar con la energia potencial quc con el campo, porque no tencmos que preocuparnos de los 8.ngulos, s61o sumamos las energias potenciab de todos los trozos de masa.) Si designamos con x la distancia de cierta secciOn plana al centro, la masa que se encuentra en una rebanada dx cst:l a la misma distancia r de P, y la energia potencial producida por este anillo es Gm'dm/r. lCu<'inta masa se encuentra en esta pequefia rebanada dx? Una cantidad rim= 27ryµcl> en que o-- ml 4,,.a 2 general que = = superficial 27raµ dx, en la cascara es!Crica. es proporcional a su 13-12 Por consiguiente, la energia potencial debida a dm es dW = _ q!!!'...,.!!!!!_ = _ Gm'2;a!-' dx, Pero vemos que r2 = y2 + (R x)2 = y2 - = a2 + x2 + R2 + R 2 - 2Rx. 2Rx Por lo tanto 2rdr = -2Rdx dx dr r =Ii.' Por consiguiente, dW = Entonces W = - '!_m'27raµ R = Gm'2;aµ dr., _ f, R+o _ Gm 1~1ra~ 2a = Gm'm -R-· dr R-" _ ~J_~ira 2 µ) (13.18) Asi, para una cascara esferica la cnergia potencial de una masa m' fuera de la esfera cs la misma que se tendria si toda la masa estuviera concentrada en el centro. Podemos imaginar quc la tierra se compone de una serie de cascaras csfericas concCntricas, cada una de las cuales contribuye a la energia, que depende sO!o de su masa y la distancia al centro; sumilndolas todas obtcnemos la masa total, y por consiguiente, ;la tierra se comporta coma si toda su materia estuviera en el centro! Pero observen Jo que ocurre si el punto se encuentra dentro de la esfera. Hacicndo los mismos c3.lculos, pcro con P en el interior, todavia obtcnemos la diferencia de las dos r, pero ahora en la forma a + R - (a - R) = 2R, o sea el doble de la distancia al centro. En otras palabras. W se transforma en W = - Gm'm/ a, que es independiente de R e independiente de la posici6n, es decir, encontramos la misma energia independientemente de donde nos cncontremos en el interior. Por consiguiente no hay fuerza; no se efectUa trabajo cuando nos movemos en el interior. Si la energia potencial es la misma. no importa d6nde se coloca un objeto dentro de una esfera, no puede actuar ninguna fucrza sabre el objeto. Asi es que no existe fuerza en el interior, sOlo existe fuerrn en el exterior v esta es la misma · que habria si toda la masa estuviera concentrada en el centro. 13-13 14 Trabajo y energia potencial (conclusion) 14-1 Trabajo 14-4 Fuerzas no conservativas 14-2 Movimiento con vinculos 14-5 Potenciales y campos 14-3 Fuerzas conservativas 14-1 Trabajo En el capitulo anterior hemos presentado muchas ideas y resultados nuevos 4ue juegan un pajJel importantc en la fisica. Estas ideas son tan importantes que parece quc vale la pena dedicar un capitulo entero a examinarlas m<is detenidamcnte. En este capitulo no vamos a repetir las "demostrat:iones" o los uucos espccificos por Jos que sc obtuvierun los resu!tados, sino que mils bien nos concentraremos en la discusi6n de las ideas. En el aprendizaje de cualquier rama de naturaleza tii:cnica en que la matematica juega un papeL uno se enfrenta a la tarea de cntender y de almacenar en la memoria un enorme cuerpo de fen6menos e ideas, unidas por cicrtas relacione~ que puede "probarsc"" o ··demostrarsc"' que exi~ten entrc dlas. Es fo.cil confundir la demostra ciOn misma con la relaciOn cstablece. Claramente, lo importante que hay que aprender y no la demostraciOn. En cualquier circunstancia particular o ··se puede demostrar que" csto o aqucllo es verdadero, o lo Jcmo<;trar. En ca<;1 todo~ los ca~o~. la demo~tracion en particular quc de tal mancr::i que se pueda escribir facilmente en el aparezca lo mis Ilana posihlc. En consecucncia, ""'""""mrnto sencilla cuando, en rcalidad, el autor puc procurando de diferentes maneras calcular la mismanera mas clara para poder probar que se puede dcpo'iible! Loque hay que recordar, al vcr una demos. sino mas bicn que se puede demostrar cuando la demostraciOn implica . que uno no ha vista antes, se , sino a la idea matcm3.tica que cste, 14-1 es valida, y para explicar c6mo algo puede ser demostrado inventa una demostraci6n en e! momenta que la necesita. Cualquier persona que realmente ha aprendido una asignatura, deberia poder seguir un procedimiento similar, pero es inUtil recordar las demostraciones. Por esta razon, en este capitulo evitaremos dar pruebas de las diversas afirmaciones hechas previamente. y sOlo resumircmos los resultados. La prirnera idea que se debe asimilar es 1rabajo efectuado por una fuerza. El t6rmino fisico "trabaio" no es la palabra en el sentido ordinario como "jtrabajado· res dcl mundo unios!", smo que es una idea d1ferente. Trabajo fisico se expresa como ( F-ds y se llama "la integral de linea de F escalar ds ", que significa que si la fuerza; por ejemplo, tiene cierta direcciOn y el objeto sabre el cual se aplica se desplaza en otra direcciOn, entonces s6lo la componente de la fuerza en fa direcci6n def desplazamiento efcctU.a algUn trabajo. Si, por ejemplo, la fuerza fuera constante y e! desplazamiento fuera una distancia finita ~s, entonces el trabajo efectuado al mover la fuerza constante en esa distancia, es s6\o la componente de la fuerza en la direcci6n de ~s por d.s. La regla es "fuerza por distancia ", pcro en realidad queremos decir que s61o la componente de la fuerza en la direcciOn de! desplazamiento por Lis, o equivalentementc, la componente de! desplazamiento en la direcciOn de la fuerza por F. Es evidente que no se efectUa trabajo alguno por una fuerza que actita en il.ngu!o recto al desplazamiento. Ahora, si el vector desplazamiento Lis se resuelve en componentes, en otras palabras, si e! desplazamiento real es Lis y dcseamos considerarlo efectivamente como una componente <lx de! desp\azamiento en la direcci6n x, ~yen la direcci6n y, y Llz en la direcci6n z, entonces el trabajo efectuado al llevar un objeto de un lugar a otro se puede calcular en tres partes calculando el trabajo efectuado segUn x, segUn y, y segUn z. El trabajo efectuado al moverse a lo largo de x involucra s6lo esa componente de fuerza, es decir Fv y asi sucesivamente, de manera que el trabajo es F_/ix + F_/':.y + F r1z. Cuando la fuerza no es constante y tenemos un movimiento curvilinco comp\icado, debemos resolver !a trayectoria en un gran nU.mero de pequeiias ~s, sumar el trabajo efectuado al mover el objeto en cada ~s, y tomar el timite cuando Lis ticnde a cero. Este es el significado de "integral de linea ". Todo lo que acabamos de decir estit contenido en la formula W = ( F · ds. Esta muy bien poder decir que es una formula maravillosa, pero otra cosa es· comprender su significado, o cu3.Jes son a!gunas de sus consecuencias. La palabra "trabajo" en fisica tiene un significado tan diferente de! de la palabra que se usa en circunstancias ordinarias, que debe observarse cuidadosamente que hay circunstancias pecu\iares en las que no es lo mismo. Por ejemplo, segim la dcfinici6n fisica de trabajo, si alguien sujeta por un rato un peso de cien libras a cierta altura de! suelo, no estit hacienda trabajo. Sin embargo, todos saben que empieza a transpirar, temblar y perder el alicnto, como si subiera corriendo por una esca!era. Sin embargo, correr cscaleras arriba se considera trabajar (al correr escalera abajo uno obtiene trabajo de! mundo, seiim la fisica), pero al sujetar simplemente un objeto en una posici6n fija, no se realiza trabajo. Claramente, la definiciOn fisica de trabajo difiere de la definici6n fisio!Ogica. por razones quc explorarcmos brevemente. Es u~ hecho que cuando uno sujeta un peso, hace trabajo '·fisiolOgico ". qut habna de sudar'? (.Por que se neccsita consumir alimento5 para sujetar el ~Por 14-2 peso'! ;,Por que estii el mecan1;,mo que tiene dentro de s1 operando a toda marcha. s,1]0 para sujetar el peso? En realidad, el peso podria sujetarse sin esfuerzo s6lo colod.ndolo sobre una mesa, ientonces la mesa, calmadamcnte y sin ruidos, sin provisi6n de energia. puede mantener el mismo pc;,o a la misma altura! La situacion fisiolog1ca es a\go como lo que sigue. Hay dos clases de mllsculos en el cucrpo humano y en el de otros animales: una clase Hamada mllsculo estriado o esqueletico, es el tipo de mllsculo que tenemos en los brazm, por ejemplo, que estitn bajo control voluntario; !a otra c\ase, llamamos mllsculos lisos, cs como el mUsculo en lo~ intestinos, o en la almeja el gran mUsculo aductor quc cierra la concha. LI:is mllsculos !isos funcionan muy lcntamente, pero pueden sujetar una "p0sici6n"; es decir, si la almeja trata de cerrar su concha en cierta posici6n, mantendrit esa posiciim, aun cuando haya una fuerza grande que procura cambiar!a. Mantcndrft su posici6n bajo carga por horns y horas sin cansarse, porque es coma una mesa que sujeta un peso; .. fija,. cierta posi ci6n y las mo!ecu!as sencillamente se traban por cierto tiempo sin efcctuar trabajo, sin que la almeja genere esfuerzo alguno. El hecho de que tengamos que generar esfuerzo para sujetar un peso sencillamcnte se debe al disetlo de) mllscu!o estriado. Lo que sucede es que cuando un impulso ncrvioso llega hasta una fibra muscular, la fibra da una pcqueiia conlraccinn y de~pui:s se relaja. de manera que cuanJo sujctamos a!go, descargas enormes de 1mpulsos nerviosos llegan al mUsculo, un gran nUmero de contracciones sujeian el peso, mientras que las otras fibras se relajan. Podemos ver esto en rcalidad: cuando sujctamos un objcto pesado y nos cansamos, empezamos a temblar. La raz.6n es que las descargas llegan irregularmentc, y cl mllsculo esta cansado y no reacciona lo sufic1entcmenle r2.pido. ;,Por quC tencmos un disei:lo tan ineficiente? No sabemos bien por que, pero la evoluci6n no ha podido desarrollar mUscu!os li~os rdpidos. El mUsculo liso seria mucho m:is efectivo para sostener pesos, porque podrla pararse ahi y se trabajaria; no involucraria trahajo y no se necesitaria energia. Sin embargo, ticne el inconvcniente de que funciona demasiado lento. Volviendo ahora a la fisica, po<lemos preguntar por qui quercmo~ calcular el trabajo efectuado. La respuesta es que es interesante Util hacer!o. ya que cl trabajo las fuerzas que actlmn sob1e efectuado sobre una particula por la resultante de ella es exactamentc igual al cambio de energia de la particula. Esto es, si se empuja un objeto, aumcnta su velocidad y 14-2 Movimiento con "·incu]o~ Otro aspecto interesante de las fuerzas y el trabajo es este: supOngase que tenemos una pista indinada o curvilinea y tenemos una particula que debe movcrsc en esta pista, pero sin roce. 0 podemos tener un pendulo formado por una cuerda y un peso; la cuerda obliga al peso a movcrse en un circulo a!redcdor del punto de pivote. Se puede cambiar el punto de pivote haciendo que la cuerda golpee un obst:iculo de manera que la trayectoria de! peso sigue en dos circulos de difcrentes radios. Escos son ejemplos de lo que !lamamos vinculosflju.~ sin race. Fuerza devinculo Fueri:ade gravedad Fig. 14--1. Fuerias que actUan sobre un cuerpo que desliza (sin roce). En movimientos con un vinculo fijo sin roce no se hace trabajo por el vinculo, porque las fuerzas vinculares son siempre perpendiculares al movimiento. Por "fuerzas vinculares" entendemos fuerzas que el propio vinculo aplica directamente: la fuer" za de contacto con la pista, o la tensi6n en la cuerda. Las fuerzas que intervienen en el movimiento de una particula que se mueve sabre una pendiente bajo la int1uencia de la gravedad son bastante complicadas, porque hay una fuerza vincular, una fuerza gravitacional, etc. Sin embargo, si basamos nuestros cillculos de! movimiento en la conservaci6n de la energia y la fuerza gravitacional sofa, obtenemos el resultado correcto. Esto parece bastante extraiio, porque no es estrictamente la manera correcta de hacerlo -debiframos usar la fuerza resultante--. No obstante, el trabajo efectuado por la fuerza gravitacional sola resultaria ser el cambio de la energia cinetica, porque el trabajo efectuado por la parte que corresponde a la fuerza de vinculo es cero (Fig. 14-1 ). El aspecto importante en esto es que si una fuerza puede ser analizada coma la suma de dos o mils ·'partes ", e! trabajo efectuado por la fuerza resultante, al mover se en cierta trayectoria curvilinea, es la suma de los trabajos efectuados por las diversas "componentes" de las fuerzas en que la fuerza ha sido descompuesta. Asi, si analizamos la fuerza como la suma vectorial de varios efectos, gravitacional mils fuerzas de vinculo, etc., o la componente x de todas las fuerzas y la componente y de todas las fuerzas, o de cualquier otra manera que queramos dividirla, entonccs el trabajo efectuado por la fuerza resultante es igual a la suma de los trabajos efectuados por todas las partes en que hemos dividido la fuerza al hacer la descomposici6n. 14-3 Fuerzas conservativas En la naturaleza hay ciertas fuerzas, la de gravedad por cjemplo, quc tiene una caracteristica muy notable que llamamos "conservativa" (nada tiene que ver con ideas politicas, es otra vcz una de esas ··palabras loca~ '"). S1 calcularnm cuanto tra bajo efectU.a una fuerza al mover un objeto de un punto a otro siguiendo una trayec toria curva, en general el·· trabajo depende de la curva, pcro en casos esreciales no. Si no depcnde de !a curva, decimm que la fuerza es una fucrza conservativa. En otras palabras, si la mtegral de la fuerza multiplicada por la distancia rccorrida cntre la posici6n I a la posiciOn 2 en la figura 14 2 sc calcula a lo largo de la curva A y despuCs a lo largo de 8, obtenemos el mismo nUmero de joules, y si esto cs verdad para este par de puntos en toda curva y si la misma proposici6n se cumple, cualdecimos que la fuerza es con quiera que sea el par de puntos que scrvativa. En tales circun~tanc1as. la ~19. 14- 2 Trayecturias dos pur1tus en un carnpo ric µos11lles fuerza 144 al 1r de I a 2 pueJe ser para el resultado. En la curva. pero cuando entonccs, por supue~tn. de una mancra scnc1Jla y podcmos dar una formula no cs tan focil. porque tambiCn tenemos que especificar un caso en que el trabajo no depende de la curva. depende sOlo de las posiciones 1 y 2. Para demostrar est a idea, consideremos lo siguiente. C onsideramos un pun to P de refcrencia, en una uhicaciOn arbitraria (Fig. 14-2). Entonces, la integral de Enca de trabajo de l a 2, que deseamos calcular. puede ser cvaluada como el trabajo efectuado al ir de l a P mils el trabajo efectuado en ir de Pa 2, porque las fuerzas son conservativas y el trabajo no depende de la c.t.rva. Ahora bien. el trabajo efectuado al ir de la posiciOn P a una posici('rn particular en el espacio es una funciOn de esa posiciOn en el espacio. Por supuesto, depende tamb1cn de P, mantenemos el punto arbttrario P fijo permancntemente para r'I analis1s. Si se eso. el trabaJO efectuado al moverse cl punto P al punto 2 es cierta funckm de posiciOn final de 2. Depende de d6nde estil. 2; si vamos a alglm otro punto, obtendremos un resultado diferente. Designaremos - (_,'(x, y, z) esta funciOn de punto, } cuando queramos referirnos a algim punto en particular 2 cuyas coordenadas son (xi, Yi, ::J, escribiremos U(2), como abreviaci(m de U ('l'. 1 , y 1 , zJ. El trab<J.JO efectuado al ir del punto I al punto P tambiCn pucdc cscribirse yendo en el otro wnrido a lo largo de la integral, inYirtiendo todas las ds. Esto es. e! trabajo efectuado al ir de I a P es menos el trabajo efectuado al ir <lei punto Pal punto I: Asi, el trabajo efectuado al ir de Pa l es U(I). y de Pa 2 Por consiguiente. la integral de I a 2 cs igual a -U(2) m.its -+ U(l)-U(2)· U(I) = - f~ F · f ds, F·ds = U(2) = - U(l) - U(2). 1: F · ds, (14.1) La cantidad U(l) U(2l se llama variac16n de cncrgra potencial y llamamos ener gia potencial a U. Diremos qut: cuando el objeto estil. uhicado en la posiciOn 2. tiene la energia potencial C'(2) yen la posici(m !. t1ene la energia potencial U(!). Si el objeto se encuentra en P, tiene energia potcncial ecru. Si hubiCramos considcrado cualquier otro punto. digamos Q en vez de P, resultaria (y dejaremos que ustedes lo demuestren), que la enerxia potencial cambia s6/o en el agregado de una constante. Ya que la conscrvacion de la energ1a dependc sOlo de las variaciones, no importa quc le agregucmos una constante a la energia potencial. De manera que el punto P es arbitrario. Tencmos ahora la~ dos una fuerza es tgual a m.itticamcnte. para una ciOn de una funciOn dos, llegamos a !a gia c111erica T mUs 14-5 polencial U permanece cor,s1m11e· T -t- U = constante (14.2) Discutamos ahora las formulas para la energia potencial en vanos casos. Si tenemos un campo gravitacional uniforme, si no ascendemos a alturas comparables al radio de la tierra. la fucrza es una fuerza vertical constantc y el trabajo efectuado es sencillamente la fuerza por la distancia vertical. Asi. U(z) = mgz, (14.3) y el punto P quc corresponde a energia potenciat cero en el piano z = 0. Tambien podriamos haber dicho que (z~6) si lo hubiCramos deseado; todos los resultados ana!isis que el valor de la porque las dtferencias en se necesita para comprimir un resortc lineal una distancia x de! (14.4) y cl cero de 0, la posiciim de equilibno de! reconstante que deseiiramos. para puntos de masas A1 y m, separados por = U(r) """"' -GMm/r. Se ha (14.5) tal que el potencial sea cero en el infinito. Por cierpara cargas electricas, porque es la misma ley: (14.6) ahora una de estas formula;, en casos reales para ver si entendemos lo que Pregunta: ;,Con que velocidad debemos disparar un cohete desde la tierra para que pueda escapar? Soluci6n: la energia cinetica mils la potencial deben ser una constante; cuando "escapa" estarit a una distancia de millones de ki!Ometros y si apenas puede escapar, podemos suponer quc se mueve con velocidad cero allit lejos, apenas movifndose. Sea a el radio de !a tierra y M su masa. La energla cinet1ca mas al principio ~ml'~ - GmM!a. Al final de! movimiento las ser iguales. La e~erp,ia cinet1ca se considera cero al final del se supone que apenas se aleja a una velocidad esencialpotencial es GmlYf dividido por infinito, que es cero. De mancra es cero en un lado y eso nos dice que el cuadrado de la velocidad debe ser Pero G~\4/ a 2 es lo que llamamos aceleraciOn de gravedad g. En- de~e moverse un sa:elite para mantenerse girando alrededor de la t1empo que resolvimos esto y encontramos que t' 2 "" GM/ a. Por consiguiente, para alejarse 14-6 Fig 14--3. La dos ;Homos en lunc16n rotenc;al entree su d1stanc1a Si dibujamos la curva d~ la energia potencial U(r), como en la figura 14-3. partimos asi para r grande con la inversa de una sexta potencia. pero si nos acercamos lo suficiente, alcanzamos un punto d donde hay un minima de energia potencial El minima de energia potencial en r = d significa esto: si comenzamos en d y nos movemos una distancia corta. una distancia muy corta, el trabajo efectuado, que es la variaci6n de energia potcncial cuando nos movemos esta distancia, es ca~i cero, porque hay muy poca variaciOn de energia potencial en el fondo de la curva. Asi que no hay fuerza en este punto, de manera que es el punto de equilibria. Otra manera de comprender que este es el punto de equilibria es que se nccesita hacer trabajo para a!ejarse de den cualquiera de las dos direcciones. Cuando los dos ii.tomes de oxigeno se han ubicado. de manera que no se puede liberar mis energia a partir de la fuerza entre ellos, estii.n en e! estado mas bajo de energia y se encontrar<in con esta separacilm d. F.ste es el aspecto de una molCcula de oxigeno cuando est<i fria. Cuando la calentamos, los .ittomos se agitan y se alejan yen rea!idad los podemos separar. pero para hacerlo se necesita cierta cantidad de trabajo o energia, que es la energia potencial entre r ~ d y r = so. Cuando procuramos comprimir los ti.tomes para juntarlos la energia sube r:ipidarnente. porque se rcpelen. La razOn por la cual mencionamos esto es que el concepto defuerza no es par· ticularmente apropiado en la mecti.nica cu:intica; alli el conccpto de energia es mucho mas natural. Erlcontramos que, a pesar de que fuerzas y velocidades se "disuel" ven" y desaparecen al considerar las fuerzas mti.s avanzadas entre la materia nuclear y entre las moteculas, etc., el concepto de energia permanece. Por cons1guiente, encontramos curvas de energia potcncial en [os libros de mec.iinica cuilntica, pero muy rara vez vemos una curva para la fuerza entre dos mo!eculas, porq~e en esas ocasiones la gente que hace anali!.is estil pensando en termmos de energm en vez de fuerza. A continuaci6n notemos quc si varias fuerz.as conservativas actUan sabre un obal mismo tiempo, la energia potencial del objcto es la su~a de las en~r~~as potenciales de cada una de las fuerzas scparadas. Esta es la misma propos1c1on que mencionamos antes, porque si la fucrza se puede repre5entar como una suma vectorial de fuerzas, el trabajo efectuado por la fuerza total es la suma de los trabajos hechos por las fuerzas parciales, y se puede entonces analizar como variaciones de las energias potenc1ales de cada una separadamente. A~i, pues. la energia potencial total es la suma de todas las pequefia5 panes, Podriamos generalizar esto al caso de un sistema de muchos objetos que interactUan, tales como JUp1ter, Saturno, Urano, etc., u oxigeno, nitr6geno, carbooo, etc., pares. deb1do a fuerzas. todas las cuaies son conservativas. En que interactUan """'"'""'""'la energia cinCtica en todo el sistema es seocillamente la suma de todos los inomos part1culares o planetas o lo que sea y la sobre los pares de particulas, de la energia par. co mo si los otros no cstuvieran prefuerzas moleculares y la formula es alga por cierto para la gravitaci6n newtoniana y es vitlida las fuerzas mo!eculares. Para las fuerzas ruolecu!ares hay a veces es una funciOn mils complicada de la posici6n de una suma de tCrmmos de pare~.) En el caso especial la cnergia po1encial es la suma sabre todos los como se iodic6 en la ecuacibn (13.14), La ecuaci6n .nrntomitti_corn"H' la ~iguiente proposici6n: que la energia cinetica no varia en el tiempo, A medida que los diversos si calculamos la energia cinetica y se bambolean. total encontramos que suma total permanece constante, J~to 14-4 Fuerzas no conservativas Hemos dedicado bastante tiempo al estudio de las fuerzas conservativas: ~que hay de las fuerzas no comervativas? Daremos una mirada mils profuoda que lo comUn a esto. )' estableceremos que ino hay fuerza~ no conservativas! En realidad, todas las fuerzas fundamentales en !a naturaleza son conservativas. Esto no es uoa consecuencia de las \eyes de Newton. En realidad, hasta donde Newton mismo sahia, las fuerzas radian ser no conservativas, como aparentemente lo es el roce. Cuando decimos lo es el estamos tomando un punto de vista las fuerzas elementa!es, las fuerzas moderno. en que se entre las particulas en son conservativas. Por ejemplo, si analirnmos un sistema como el gran cUmulo globular de estrellas cuya fotografia hemos vista, con sus miles de estrellas, todas interactuando, la formula para la energia potencial total es sencillamentc un termino. miis otro tb-mino, etc., sumando sobre todos los pares de estrellas y la energia cinCtica es la suma de las energias cine1icas de todas y cada una de las estrellas. Pero el cUmulo globular, coma un todo, tambicn ~e mueve en cl espat:io, 14-8 termo<lin.itmica. no tomamos en de la energia Otra situac16n en que la conservaciL1n de la energla parecc ser falsa es cuando estudiamos s6lo una parte de un sistema. Natura!mente, el teorema de conservaciOn de !a energia parecer.it no ser v.itlido si algo interactUa con otra co~a en el exterior y omitimos el tomar en cuenta esa mteracciOn. 14-9 rricidad, ejemplo. podemos. fotOn y 14-5 Potenciales y campos F U = = mC. -JF·ds....,. -mjC·ds =mW. (14.7) l/', quc tenemos masas puntuales 1111' 111, ... en punto5 potencial lJI en cierto punto arbitrario P. Esto es senlos potenciales en P debido a las masas 14-10 tomadas una por una: '1!(p)~L;-Gm', ; i~l,2,. (14.8) r;p En el cap[tulo anterior usamos esta f6rmula, que cl potencial es la suma de to dos los potenciales de todos los diferentes objetos; para calcular el potencial debido a una cascara esffrica de materia sumamos ·las contribuciones aJ potencial en un punto de todas las partcs de !a cascara. El resultado de estc c.ilculo se muestra grilficamente en la figura 14-4. Es negativo, teniendo el valor cero cuando r = co y variando con I/ r hasta el radio a y luego es constante en el interior de Ia dtscara. Fuera de la cascara el potencial es - Gm/ r, en que m cs la masa de la cascara, que es exactamente el mismo que habria sido si toda la masa estuviera ubicada en el centro. Pero no es exactamente igual en todas partes, porque dentro de la cascara el potencial resulta ser -Gm/a y jes una constante! Cuando el potencial es cons· tante, no hay campo, o cuando la energia potencial es constante no hay fucrza, porque si movemos un objeto de un !ugar a otro cualquiera dentro de !a esfera. el tra· bajo efectuado por la fuerza es exactamentc cero. ~Por que? Por'que el trabajo efectuado al mover el objeto de un lugar a otro es igual a menos !a variaci6n de energia potencial (o bien la integral correspondiente de! campo es la variaciOn de potencial). Pero la energia potencial es la misma en cualquier par de puntos en el interior, de manera que la variaci6n de energ!a potencial es cero y por consiguiente no se efectUa trabajo al moverse entre dos punto~ dentro de la cascara. La Umca manera de que el trabajo sea cero para todas !as direcciones de! desp!azamiento, es que no haya ninguna fuerza. ~-oT----~ \_.,.(r)•-Gm/r -·<1>lrl• Fig 14--4. Potenc1al deb1do a una cara esferrca de radio a. •-Gm/o Constante cas- Esto nos da una clave acerca de c6mo podemos obtener !a fuerza o el campo, dada la energia potenciaL Supongamos que la energia potencial de un objeto se conocc en la posici6n {x, y, z) y Je~eamos saber cuill es la fuerza que actl1a sabre e! objeto. No basta conocer el potcncial sOlo en cste punto unico. como veremos; se requierc el conocimiento de! potencial en los puntos vecinos tambien. i,Por que? icOmo podemos calcular la componente x de la fucrza? (Por supuesto, si podemos hacer esto, tambiCn podremos encontrar las componentes y y z y entonces cono· ceremos la fuerLa total.) Ahora bien, si movieramos cl objeto una distancia pcquefia .1x, cl trabajo efectuado por la fuerza que actlla sobre e! obJeto seria la componen· te x de la fuerLa multiplicada por Jx, si .1.x cs lo suficientementc pequefio, y este producto serit igua! a la variaciOn de energia potencial al ir de un punto al otro: AW= -AU= F~dx. (14.9) /F · ds = - ,j U, pero s6lo para una trayecto Hemos usado simpkmcme la formula 14-11 Ahora dividimos por .1x y encontramos que la fuerza es F" = (14.10) -AU/Ax. Por cierto que esto no es exacto. Lo que en realidad deseamos es el limite de (14.10) cuando t.x se hace mils y mils pequeiio porque es sOlo e;::actamente correc· ta en el linlite de .1x infinitesimal. Reconocemos esto coma la denvada de Ucon respccto ax, y nos mclinariamos, por consiguiente, a escribir -dU!dx. Pero Udcpende de x, y y z, y los matem3ticos han invcntado un simbolo diferentc para recordarnos que debemos tener mucho cuidado cuando derivamos una funci6n como esa, de manera de rccordar que estamos considerando que s6lo x varia e y y z no va rian. En vez de una d sencillamente hacen "un 6 a! revCs" o C. (Un C dcbicra ha berse usado desdc el comienzo de! cil.lculo diferencial porque siempre queremos simplificar esa d, pero nunca queremos simp!ificar un 0 .) De manera que escriben C VI(} x, y adem<is. en Caso de apuro, si desean 1>er muy cuidadosos, colocan una linea al lado con una pequeiia yz abajo (3 U/ b.\iyz), que significa "Tome !a derivada de Ucon rcspccto ax, manteniendo constantes y y z". Muy a menudo omitimos !a observaciOn sobre lo quc &e mantiene constante, porque generalmcntc es evidente de! contexto. de manera que no usamos la linea con la y y la z. Sin embargo, siempre usamos un (! en vez de una d coma advcrtencia de que es una derivada con algunas otras variables quc se mantienen constantes. A esto se le llama derivada parcial; es una denvada en que s61o variamos x. Por consiguicntc, encontramos que !a fuerza que actUa en la direcciOn x es menos la derivada parcial de Ucon respccto ax: F, = -au;ax. (14.11) De maneia ~imi!ar, la fuerrn en la direcciOn y pue<le encontrarsc derivando Ucon rcspccto a y, mantenicndo x y z constantrs, y la tcrccra componentc, por supuesto. es la derivada con respecto a z, mantcniendo y y x constantcs: Fy = -aU/ay, Fz --' -aU/Jz. (14.12) Esta es la manera de Jlegar de la energia potencial a 1a fucrrn. Obtenemos el campo a partir de! potencial de cxactamente la mi~ma manera: Cx - -a..:v/ax, Cy= -a-.v/ay, Cz = -aw;az. (14.13) mencionarcmos aqui otra notacion, que no C es un vector y tiene componentes que producen las componentc~ x, y, z son han mventado un magnilico nuevo simbolo. que se llama que no cs una cantidad sino un opcrador. quc crea un vector Ticne las 1>1guientes "componcntes"': La componcnte y cs !:'/(', y la componcnte z es gu~to de e~cnbir nuestra formula de esta manera: J.'=-VU, C,.---V-.V. (14.14) 14-12 El usar V nos da una manera ni:pida de probar si tencmos o no una verdadera ecuaciOn vectorial, pero en realidad la ecuaciOn 04.14) significa precisamente lo mismo que las ecuaciones (14.11) y (14.12); es sO!o otra manera de escribirlas, y como no queremos escribir tres ecuaciones cada vez, usamos \U en su lugar. JIHiiil Fig lelas 14- 5 Campo entre dos placas para- Un ejemplo mas de campos y potencialc~ ver con el caso electrico objeto estiltico cs la carga En el caso de la elcctricidad !a fucrza que acllia por el campo e!Cctrico: F -cc qE. (En general. por supuesto. la componentc x de una fuerza en un problema de electricidad tienc tamhiCn una partc que depende de! campo magnCtico. fa fti.cil demostrar a partir de la ccuadOn (12.IO) que la fuerza que acttia s:::>bre una.particula debido a campos magnCticos es siempre perpendicular a su velocidad, y tambiCn perpendicular al campo. Como la fuerza debida al magnetismo sobre una carga mOvil es perpendicular a la velocidad, el no efectUa trabajo sabre la carga mbvil, porque el movimient:::> la fuerza. Por consiguiente, al calcular teoremas sobre cnergia electricos y magnCticos, podemos omitir la contribuciOn dd campo que no hace variar la energia cinCtica.) Suponemos que existe sO\o un trico. Entonces podemos calcular !a energia o el trabajo efectuado de !a nera quc para la gravedad y calcular una cantidad ¢ que es la y E · ds, desde el punto fijo arbitrario al punto donde hacemos el la energia potencial en un campo eiectrico es justamentc la carga por esta can tidad rji. cf>(r) = -E · ds, u= qcj>. Tomemos, como ejemplo, el caso de dos placas con carga superficial ± a por unidad de <'i.rca. Este se paralelas. Encontramos anteriormente que la fuerza es cero hay un campo e!Cctrico constante entre ellas, dirigido de f a (Fig. 14-5). Nos gustaria saber cullitto trabajo se cfcctuaria una placa a la otra. E! trabajo seria la integral de (fuerza) · birsc coma carga por valor del potencial en la placa I menos W = f F · ds q(r/>1 - ¢2). = En realidad podemos calcu!ar la integral, porque la fuerza es constante y si dcsig . namos por d la separaciOn de las placas, !a integral es f:lcil: J' i F·ds=Cf!!__ to J' 1 dx=qud. Eo 14-13 La diferencia de potencial, Lltl> = ad/E 0 se llama diferencia de voltaje, y tl> se mide en volts. Cuando decimos que un par de placas estitn cargadas a cierto voltaje, Io que queremos decir es que la diferencia de potencial e!OCtrico de las dos placas es de tantos voltios. Para un condensador hecho de dos placas paralelas que llevan una carga superficial ± a, el voltaje o diferencia de potencial de! par de placas es ad/ E 0 • 14-14 15 Teoria especial de la relatividad 15-1 El principio de relatividad 15-5 La contracciOn de Lorentz 15-Z La transformaciOn de Lorentz 15-6 Simultaneidad 15-3 El experimento d< MichelsonMorley 15-4 15-7 Cuadrivectores 15-8 rnnamlca relativista 15-9 Equivalencia de masa y e11crgia Transformacion de! tiempo 15-1 El principio de relatlvidad Por mils de 200 aiios se pens6 que las ecuaciones de\ movimiento formuladas por Newton describian correctamente la naturaleza ) cuando por primera vel se dcscubri6 un error en eslas !eyes, tambien se descubri6 la manera de correglflo. Tanto el error como su correcci6n fucron descubiertos por Einstein en 1905. La segunda ley de 0iewton que F hemo~ = e.xpresado por medio de la ccuaci6n d(mv)/dt, fuc estab!ecida con la hip6te~is m es una constante, pero que esto no es cierto ) que la masa un cuerpo aumenta con su formula corregida de Einstein m tiene el valor ahora En la donde la "masa en reposo" m 0 representa la masa de un cucrpo que no se mueve y c es la velocidad de la luz, que es alrededor de 3 x 10 1 km seg- 1 o sea a!rededor 186.000 mi·seg- 1• Para aquellos que quieren aprender solo lo suficiente en esta materia para poder resolver problcmas, esto es todo lo que hay que saber sabre la teoria de la relatividad -se cambian las !eyes de Newton introducicndo un factor de correcci6n para la masa-. De la formula misma se puede ver facilmente que este aumento de masa es muy pequeiio en circunstancias normale~. Incluso para vclocidades tan grandes como las de un sateJite que se mueve alrededor de la tierra con 8 km/ seg., se ticne vie - 8/300.000: al introducir este valor en la formula sc ve que !a correcci6n a la masa es solamente una parte en dos a tres mil millones que es casi imposihle 15-1 de observar. En realidad la exactitud de la formula ha sido confirmada ampliamente observando muchos tipos de particulas que se mueven con velocidades hasla pr3cticamente la velocidad de la \uz. Sin embargo, debido a que el efecto es nor~ malmente tan pequeiio, resulta notable que haya sido descubierto te6rica antes que experimentalmente. Emplricamente el efecto es muy grande a velocidades suficientemente elevadas, pero no fue descubierto de csta manera. Por esta raz6n es interesante ver c6mo una ley que implicaba una modificaciOn tan delicada (cuando fue descubierta por primera vez), se encontrO por medio de una combinaci6n de experimentos y razonamientos fisicos. Contribuciones al descubrimiento fueron hechas po; muchas personas cuyo resu!tado final fue el descubrimiento de Einstein. En realidad exi~ten dos te<?rias de _la relatividad de Einstein. Este capitulo solamente estil dedicac!o a la tcona especial de relatividad que foe formulada en 1905. En 1915 E!nstein pub_ticO una teoria adicional llama_da teoria general de la relatividad .. Esta u!tima teona da una. extensi?n de la teona especial al caso de la ley de grav1taci6n; no discutiremos aqm la teona general. ~[ principio de relatividad fue formu!ado por primera vez por Newton en sus corolan?s de ias ley_es de movimiento: "Los movimientos de cuerpos en un mismo espac10 dado son 1guales entre sL si este espacio estii. en t·eposo o si se mueve uniformemente sobre una linca recta ". Esto significa, por cjemp!o, que si una nave espacial se desplaza con una ve!ocidad uniforme. todos los experimcntos y los fenOmenos realizados en ella aparecenin igua!es a los observados si la nave no estit en movimiento, suponicndo naturalmente, que uno no mira hacia fuera. Este es el significado del principio de relatividad. La idea es bastante sencilla, y la Unica pregunta es si es J'etdad que en todos lm experimentos rcalizados en el interior de un sistema en movimiento las !eyes de la fisica aparecen iguales a las observadas si el sistema estii. en reposo. lnvestiguemos primero si !as !eyes de Newton son iguaies en el sistema m6vil. •P (x',y;z') or Fig. 1 5-1 Dos s1sternas de coordenadas en mov1m1ento umlormc 1elat1vo seg1'm sus e1es x (x,y,z) Supongan Pedro se est<i moviendo en la direcci6n x con velocidad uniforme u y que mide posici,'in de un cierto punto. indicado en la figura 15-l. El designa la .. distancia dcl punlo en su sistema de coordenadas con x'. Juan estil en. reposo, v mide la distancia del mismo punto. designando !.a coordenada x en su sistema con-.\.. La rcb~·n'll c111ri: la~ coordenadas en los dos ~1stcmas sc ve claramcntc en cl diagrama. Di:~puCs de un tiempo t el origen de Pedro se ha movido una distancia ut, y si originalmente los dos sistemas coincidieron. X' = X - y' ~ y,• z' = z, UI, (15.2) t' = 1,. 15-2 Si sustituimos esta transformaci6n de coordenadas en las !eyes de Newton encontramos que estas leyes se transforman en las mismas leyes en el sistema con raya; es decir, las !eyes de Newton tienen las mismas formas en un sistema en movimiento que en un sistema est<itico y por esta raz6n es imposible poder decir por media de experimentos mec<inicos si el sistema se est<i moviendo o no. El principio de relatividad se ha usado en mec<inica durante largo tiempo. Fue usado por diferentes personas, en particular por Huygens, para obtener las reglas de la colisi6n de bolas de billar pril.cticamente en la misma forma usada en el capitulo IO para discutir la conservaci6n de! mOmentum. En el siglo pasado aurnent6 el interes en aquel principio como resultado de las investigaciones de los fenOmenos de electricidad, magnetismo y luz. Una larga serie de experimentos cuidadosos acerca de estos fen6menos realizados por muchas personas, culminO en las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnetico, las cuales describen la electricidad, el magnetismo y la luz en un lmico sistema uniforme. Sin embargo, las ecuaciones de Maxwell no parecian obedecer el principio de relatividad. Es decir, si transformamos las ecuaciones de Maxwell por media de la sustituci6n de las ecuaciones 15.2, su forma no queda igual; por esta raz6n, los fen6menos electricos y 6pticos en una nave espacial en movimiento deberian ser diferentes a los mismos en una nave en reposo. Se podria usar entonces estos fen6menos Opticos para determinar la velocidad de !a nave; en particular se podria determinar !a velocidad absoluta de la nave, efcctuando mcdiciones 6pticas o c16ctricas adecuadas. Una de las consecucncias de las ecuaciones de Maxwell es que, si existe una perturbaci6n en el campo tal que se genera luz, estas ondas electromagneticas se alejan en todas las dirccciones en la misma forma y con la misma velocidad c, o sea 300.000 km/ seg. Otra consecuencia de las ecuaciones es que si la fuente de la perturbaci6n se mueve, la luz emitida atraviesa el espacio con la misma ve!ocidad c. Esto es an<ilogo al caso del sonido, donde la velocidad de las ondas sonoras es tambiCn independiente de la velocidad de la fuente. Esta independencia del movimiento de la fuente, en el caso de la !uz, nos plantea un problema intercsante. Supongan que nos encontramos en un automovil que se mueve con la velocidad u, y que la luz provcniente de su partc trasera pasa por el autom6vil con velocidad c. Derivando la primera ecuaci6n en (15.2) se obtiene dx'/dt = dx/dt - u, Lo que significa que, segUn la transformaci6n gali!eana, la ve!oc1dad aparente de la !uz que pasa, medida en el autom6vil, no deberia ser c sino c -u. Por ejemplo. si el automcivil se mueve a 200.000 km/seg y s1 la luz se muevc a 300.000 km/seg, entonces aparentemente la luz que pasa por el autom6vil deberia desplazarse a pasa por el 100.000 km/ seg. Por lo tan to midiendo la velocldad de la autom6vil {si la transformaci6n de Galileo es correcta para la puede deter· minar la velocidad de! autom6vil. Se realizaron varios experimentos basados en esta idea general. para dcterminar la velocidad de la tierra: pcro todos fa!!aron no estos expenmentos para d1cron ninguna velocidad-. Discutiremos exactamente quC sc hizo y quc naturalmente alga fall6 ecuaciones de la fisica. ;,Que podna 15-3 I 5-2 La transformaciOn de Lorentz Cuando se descubri6 el fracaso de las la faica en el caso citado eslar arriba, lo primero que sc pensO era que la de Maxwell de la electrodiniimica, que en esos tiempos \'emte Parecia evidcnte que estas ecuaciones debian cstar equivocadas, por lo cual habia qt1e cambiarlas de tal manera quc. en una transformacit'm de Galileo. se satisfaciera d principio de relatividad. Cuando se intentii esto, los nuevos tCrminos que habia colocar en las ecuaciones conducian a predicciones de nuevos fenOmcnos elecque no existian al ser buscados cxpcrimcntalmente. por lo cual este intento abandonado. Gradualmente se reconocit) entonccs quc las lcycs de Maxwell de la electrodin<i.mica eran eorrectas y que los problemas debian ser buscados en otra parte. Mientras tanto, H. A. Lorent? obser\'6 alga notable y curioso al efectuar las siguientcs sustitucioncs en las ecuacioncs de Maxwell· x' = y' -,-- y, ;:' = z, (15.J) 1' =- las ecuaciones de Maxwell mantienen la misma forma cuando se Jes tnm,,focmaciim. Las ccuaciones (15.3) son 1'mt.\/o,onadon de 1.orcni::.. Siguiendo una sugerencia hccha que 1odas fas /eyes fisicas debian ser una tran.~formaci6n de Loren/z. En otras palabras la mecimica y no las [eyes de la clcctrodini1mica. Newlon para que queden inalteradas por la ltoe"fr"·m,,c;on Lorentz'? Si nos csta meta. tendremos que reescribir las ton de ta! manera que las condiciones impuestas scan satisfcchas. Sc obticne asi que el lmico requisito es que la masa m en las ecuaciones de Newton dcbc scr rccmplaLada por la cxpresion indicada en !a ecuaciOn ( l 5.1 ). Si sc cfcctUa c.stc cam bio, armonizan la~ lcycs de Newton y las lcyes de la clectrodm.itmica. Si usamos entonces la transformaciOn de Lorentz para comparar las mcdiciones de Pedro con las de Juan. no detectar nunr:a quiCn se estli moviendo, porque la forma de todas las scr<'t la misma en ambos sistcmas de coordenadas. interesante discutir lo quc significa el reemplazo de la transformaci(m antigua coordcnadas y el tiempo por una nueva, dado que la antigua (Galileo) pala nucva (Lorentz) tiene un aspecto tan peculiar. Deseamos y experimentalmente posible. quc la nueva transformaciOn, no basta estudiar las !eyes de la sea !a corrccta. Para saber mec.itnica, s1no quc, tal como lo hizo Einstein, anali1.ar tambiCn nucstros conceptos sobre espucio 15-4 y tiempo para algim detalle mientras acuerdo con 15~3 poder comprender esta transfonnaci6n. Tendremos que discutir con estos conceptos y sus consecuencias para la mccti.nica; digamos que e! esfuerw sera justificado, dado que las resultados est<ln de expcriencia. El expcrimento de Mlchelson-Morley Como se menciona m:is arriba, se hicieron intcntos para determinar la veloddad absoluta de la tierra a travCs del hipoteti<;o "Cter ··, cl cual supuestamente se extiende por todo e! espaclo. El mas famoso de estos experimentos es uno realiLado por Michelson y Moricy en 1887. SO!o dieciocho aiios roils tarde Einstein finalmente explic6 los resultados ncgativos del experimento. del !1 = f,/(c 11) 15-5 (Este resultado es tambien· evidente bajo el punto de vista de que la velocidad de la luz con respecto al aparato es. c - u. de modo que el t~empo es el largo L divi?ido por c - u.) En una forma semeJante se puede calcu!ar el t1empo t 1. Durante este ttempo la placa B avanza una distancia ut 2 , por lo tanto la distancia de rcgreso de la !uz es L - ut 2 , Tenemos en consecuencia f2 = L/(c + u). Entonces el tiempo total es ti + t 2 = 2Lc/(c 2 - u 2 ). Por conveniencia en comparaciones postcriores de tiempo, escribimos esto en la form a t1 + 2L/c t2 '-'- 1=·u~;Ci · :-\uestro scgundo cillculo scra el de! ticmpo !, que emplea C. Como en el caso anterior, durante el tlempo el derecha una hasta la posici()n C: una distancia de la hipotcnusa de un ra este triitngulo (15.4) para ir de Bal C se mueve hatiempo la luz que es BC'. Pa- de lo cual obtenemos de regreso desde C' la distancia e~ la misma. corno puede dcducirse es cl mismo, de la figura; por esta razOn tambien el tiempo de total es 21 1 • Con un pcqueiio rcordenamiento de la podemos (15.5) cmp!eados por !os dos Estamos ahora en haces de la luz. En las numeradores son iguales y representan el tiempo estuviera en rcposo. En los de nominadores el tCrmino quc u ~ea de valor comparable a m0<Jlficodc>n°' en los tiempos causados por c. Los denominadores representan cl movimit:nto del aparato. Y vean. mo<l<lio"'"'"" no son iguales -el tiempo que el tiempo a E y viceversa, a para ir a C y viccversa es pesar de quc los espcjo~ B. y todo lo quc tenemos que hacer cs medir c~ta difcrencia con Aqui surge un aspecto mcnor de tipo tecnico --sup6ngase quc !os dos largos L no son exactamente iguales ··. De hecho seguramente no los podemos hacer exactamente iguales. estc caso simplemente giramos el aparato en 90 grados, ta! que BC cstC en la de movimiento y BE perpendicular al movimiento. Cua!quier pequei'ia diferencia longitud no tiene cntonces importancia, y lo quc observa mos es un corrimiento las franjas de interferencia cuando se gira el aparato. 15-6 Al efectuar cl cxpcrimento, Michelson y Morley orientaron el aparato de tal manera que la linea BE quedO casi paralela al movimiento de la tierra en su 6rbita (durante ciertos momcntos de! dia o de la noche). Esta velocidad orbital es aproximadamente 30 kil6metros por segundo y cualquier "desplazamiento deleter" dcberia ser por lo menos Cste en algim momento dd dia u de la noche y en alguna epoca del aiio. El aparato fuc lo suficientemente sensible para observar tal efccto, pero no se encontrO ninguna diferencia de tiempo -la velocidad de la tierra a traves de! titer no pudo ser detectada---. El resu!tado de! experimento fue cero. El resultado de! experimento de Michelson-Morley fue muy enigmiltico y des eoncertante. La primera idea fructifera para cncontrar una salida a este impase vino de Lorentz. Sugiri6, quc cuerpos materiales se contraen cuando se mueven, y que este acortamiento tiene lugar solamente en !a direcci6n del movimiento, y ademils. que si el largo es L 0 cuando el cucrpo est.ii en reposo. entonces si se mueve con velocidad u paralcla a su largo, c~te nuevo largo quc llamarcmos L 11 (L para!elo) estara dado por (15.6) ~ Ji~taa:~;~ad:s; am~.d~~~~e;~ndi~tai~~f;r~e6~e~o£ d8ee ~ci~;t~s~°L~r,~nu~~~:;~~ esta raz6n la ecuaciOn (15.5) no cambia. pero la L de la ecuaci6n 05.4) se debe cambiar de acucrdo con la ccuaci6n (15.6). Al hacer esto obtenemos (15.7) Comparando este resu\tado con !a ecuacibn (!5.5) vemos que t 1 + 12 - 21,. Asl que si el aparato se contrae en la forma rcciCn descrita tencmos una manera de comprendcr por que cl cxperimcnto de Michelson-Morley no da efecto alguno. A pesar de que la hip6tesis de contracciOn explica el resultado negativo del cxpcrimcn to, queda la objeciOn quc fue inventada expresamente para explicar esta dificultad y que es demasiado artificiosa. Sin embargo, en muchos otros experimentos enca minados a descubrir un viento de Cter. aparecieron dificu!tades simi!ares, hasta quc fue aparcntc quc la naturalcLa cstaba en una ··conspiraciOn ··para frustrar al hombre, mtroduciendo algunos tenc·imenos nuevos para anuiar todo fen6meno que et creia le iba a pennitir una medici6n de u. Finalmente se reconociO, como lo hizo ver Poincare. que una jconspiraci(m lo tat es de por si una ley de la nalura/eza! Entonces Poincare propuso que existe ta! ley de la naturaleza y que cs imposib!e detectar un vicnto de Ctcr con ningim experimento; es decir no existe manera para detenninar una velocidad absoluta. 15-4 TransformaciOn del tiempo Al tratar de probar si !a idea de la contraccic"m estaba en armonia con los hechos de otros experimentos. result6 que todo era corrccto si tambiCn se modificaban los tiempos en la forma exprcsada por la cuarta ecuacibn de! grupo ( 15.3). Fsto se debe a que el tiempo t 3 calculado para cl viajc de Ba Cy viceversa no es el mismo silo calcula un hombre que realirn el experimento en una na\C l·spacial 15-7 observador est8.tico, quien observa a la nave cspaciaL es simplemente 2L/c, pcro para el otro observaotras paiabra~. si el observador que estil fuenave espacial enciende un clgarro. todas las mientras que para cl hombre en el intePor lo tanto. no solamente las longi los instrumentos que miden tiempos dccir. si cl re!oj en la nave cspacial nave ha transcurrido un se.gundo. indicaril afocra. Veamos ahora que le pasa al reloj en movimiento. Antes de llevarlo a bordo el hombre esiaba de acuerdo en que era un hermoso rcloj patrOn y cuando se aleja en la no notarB nada peculiar. Si lo hiciera. podria saber que estaba en cualquier cosa camb1ara debido al movimiento, d podria decir que estaba en movimiento. Pero el prindpio de relatividad afirma que esto es imposible en un si~tema que se mueve uniformemente; por lo tanto. nada ha cambiado. Por otra parte, si el observador externo observa el reloj que pasa frente a et, ve que la luz al ir de espejo a _espejo, recorre ··en realidad" un camino en zigzag, dado que la varilla se mueve lateralmentc todo el tiempo. Hemos analizado ya tai movimiento en zigzag en conexiOn con el experimento de Michelson-Morley. Si en un tiempo dado la varilla ~e mueve una distancia proporciona! au (Fig. 15-3), la distancia que la luz recorrc en el mismQ_J:iel"l!Po es proporcional a c, y la di&tancia vertical es por lo tan to proporcional a V c2 - ui. 0 sea. la luz requiere un tiernpo mayor para ir de extremo a extreme en el reloj en movlmiento que en el reloj en reposo. Por esta raz6n, el tiempo aparente entre los clics es mayor para el reloj en movimiento, en la misma proporci6n que la indicada por la hipotenusa del triitngulo (este es tambien el origen de las raices cuadradas en nuestras ecuaciones). En la figura tambifo es evidente que mientras mas grande es 11, mas lentamente parece marchar el reloj en movimiento. No s6lo se mueve mils lentamente este reloj particular. sino que, si la teoria de la relatividad es correcta. cualquier otro reloj que funcione segUn cualquier principio l 5-8 1:::::1 r,,"em,s c:.:. Pulso emitido II 11 11 Jci=U'I I 11 ., ___u ,,, t- ~j Pulso recibido de luz" en reFig. 15---3. (aJ Un poso en el s1sterna El m1smo reloJ s1stema S. (c) en mov1m1ento a traves recomdo llustrac16n del caf'lmo iuz" en mopor el haz de IJZ en un "relo) s· casi cierto; jde otra manera se podria usar la velocidad de desarrollo del c:inccr para determinar la velocidad de la nave! Un ejemplo muy intercsante de la di!ataci6n de! tiempo con el movimiento es suministrado por los mesones mu (muones), que son particulas que se desintegran cspont:incamente despuCs de un tiempo de vida medio de 2,2 x 10- 6 seg. Llegan a la tierra en los rayos c6smicos, pero tarnbien pueden scr producidos artificia!mente en el laboratorio. Algunos se desintegran en medio de! aire, pero el resto se desintegra solamente dcspuCs de haber cncontrado un pedazo de material y haberse de" tenido. Esta claro que en vida tan corta e! mu6n no puede viajar mucho mas de 600 metros, incluso a la velocidad de la luz. Pero a pesar de que los muones se forman en la parte superior de la atm6sfcra, a unos IO ki!6metros de altura se los encuentra en el laboratorio aqui abajo en los rayos c6smicos. ;,C6mo puede ser csto? La contestaci6n es que los diferentes muones se mucven con varias velocidades, cercanas a la velocidad de la luz. Mientras que desalgunas de las cualcs son de su propio punto de vista solamente 2 11 seg. desde nuestro punto de vista viven considerablerncnte mas -lo suficicnte para que puedan llegar a la .tierra-~. El factor por el cual se aumenta el tiempo ya ha sido dado corno JI u1 /c 2• La vida media ha sido medida bastante exactamente para muones a diferentes velocidades. y Jos valores concucrdan bastante bien con la formula. No sabemos por quC cl mes~n .~e desintegr~ y cual es su i:iecanismo, pero sabemos quc su comportamiento sa11sfac-e al princ1pio de relatividad. Esta es la utili· dad del principio de relatividad: nos permite hacer predicciones, incluso sobre cosas de las cuales no sabemos mm:ho en otro aspecto. Por ejemp!o, antes de tener alguna idea sobre lo que hace desintegrar al rnes6n, podemos predecir que si se a nucve g_ecimas_~ la velocidad de la Juz, la durai;i6n aparente de su vida es x \0- 6 )/ .j 1-9 2 /10 2 scg; y nuestra predicci6n funciona ---esto es lo bueno. VJ - 15-5 La contrm::ciOn de Lorentz a la transformaci6n de Lorentz (15.3) y tratemos de entender entrc los sistemas de coordenadas (x,y,z,l) y (x',y',z'.t'J, a los que S y S'. o sistemas de Juan y Pedro, respectivamente. Hemos obprimcrn de las ccuacioncs esta basada en la sugerencia de Lode la direcci6n x; ;,c6mo podemos demostrar Ahora podernos darnos cuenta que debido al trunsrersal BC no puedc cambiar su longitud en Mic;he[,;on-Mrn-Jey; sin embargo, el resultado nulo del experimenEntonces, para qui:; el exP('.rimento de un rcBE debe aparecer \f'-1-/i~/c 2 - veces mas corto. en relaci6n con las rnediciones efectuadas por Juan que se mueve con el sistema S' en la direcci6n x, con un metro y aplica la varilla x' veces, metros. Dcsdc el punto de vista de Juan en cl usando una regla acortada. ta] que· la distancia metros. Entonces, si el sisterna S' se ha alejado d observador S diria que el mismo punto, medido 15-10 -distancia x ~ x' /I-=~+ U/, 0 x' = x - !If ~-~2;c2, que es la pnmera ecuaci(·m de la transformaciOn de Lorent/. 15-6 Simultaneidad De mancrn an;iloga. debido a la difcrencia en las si(m de! denominador se ha introducido en la cuarta de Lorentz. El 1ermino mas inten:sante en esta porque es nuevo e inesperado. Ahora bicn, situaci(m cuidadosamente vemos que lugares separados vistos por Pedro en no ocurren al ,en ados por Juan en S. 5i un 'uceso ocurre en el en Xi y r0 (al mismo tiempq), encontramos que difieren en la cantidad A este hecho se le llama de simultaneidad a distancia ', y para aclarar un poco miis la idea consideremos experimento siguiente. Supongan que un hombre que se mueve en una nave espacial (sisterna un reloj en cada extremo de la nave y est3 interesado en relojes esten sincronizados. ;,COmo se puede muchos caminos. Un camino que implica muy ramente el punto media exacto entre Jos relojes. luminosa que ir3 en ambas direcciones con la gar<I a ambos relojes a! mismo tiempo. Esta puede usar para sincronizar los relojes. Supongamos entonces que el sincroniza sus rclojes por medic de este mCtodo particular. Veamos un dor en el sistema S estaria de acuerdo que los dos re!ojes est.itn sincronirndos. El hombre en S' tiene derecho a pensar que lo est.itn, porque no sabe que se est<i mo se e~ta moviendo hacia viendo. Pero el hombre en S razona que, dado que la adelante, el reloj en la parte delantera se aleja de la por lo tanto, la \uz tiene que andar m.its que el medlo carnino para en cambio el re loj trasero avanza para encontrar a la seii.a! luminosa, por la distancia sera mas cona. La seii.al Uega entonces primero al reloj trasero. a pesar de que el hombre en S' pensaba que ambas seii.ales habian llegado simultaneamente, Vemos entonces que si un hombre en una nave espacial cree que los tiempos en dos posiciones son sUnultilneos, jvalores iguales de t' en su sistema de coordenadas deben corresponder a valores diferentes de ten otro sistema dt" coordenadas! 15-1 Cuadrivectore:ri Veamos quC otra cosa podemos descubrir en la ""'"frn·ma<cion interesante riotar que la trnnsfonnaci6n entre los ct y 15-11 la transformaci6n de los x y los y que estudiamos en el capitulo 11 para una ro· taciOn de coordenadas. Teniamos entonces x' y' dondc los un nuevo A~i. pues "rotacion prueba de + ysen 0, = xcos (J = ycos (J - x senO, (15.8) nucvos x' mezclan los antiguos x e y, y los nuevos y' tambien mezclan x e 1'; en forma similar encontramos en la transformaci6n de Lorentz que .es una mezcla de x y I y un nuevo r' que es una mezcla de I y x. la transformaciOn de Lorentz es an<iloga a una rotacion, s6!o que es una · en el espacio y el tiempo, lo que parece ser un concepto extraiio. Una la analogia con una rotaci6n se puede hacer c:i!culando la cantidad Esta e~ la modificaci6n de Einstein a las !eyes de Newton. En esta modificaci6n, acci6n y reacci6n son todavia iguales (posiblemente puedan no serlo en detalle. pero ~i en forma global), existir.i la conservaci6n dei momentum en la mlsma forma anterior, pero la cantidad que se conserva no es el antiguo mv con masa Constante, sino la cantidad indicada en (15.10) que contiene la masa modificada. Sise efectUa este cambio en la formula para el momentum, la conservaci6n del momentum todavia funciona. el momentum 'Con la velocidad. En la mec.inica newvelocidad y de acuerdo con (15.10), es casi el mismo considerable intervalo de velocidades, pequei1P.s raiz cuadrada difiere poco de I. Pero si v momentum tiende por sobre un cuerpo dusu velocidad de! binomio. Obtendremos Vemos claramentc de la fOrmula que la serie converge r3.pidamente cuando v es pequeiio, y los tCrminos despues de los dos primeros son despreciables. Asi podcmos escribir (15.11) donde el segundo tfamino de\ segundo miembro da el aumento de la masa debido a la velocidad molecular. Cuando la temperatura aumenta v1 crece proporcionalmen te, y asi podemos decir que el aumento de la masa es proporcional al aumento de la temperatura. Pero dado que i m0 v2 reprcsenta la energia cinetica en el sentido anticuado newtoniano, podemos decir tambien que el aumcnto de la masa de todo el gas cs igua! al aumento de la energia cinetica dividido porc 2 , 6.1 mo- j,(E.C.)/c1 15-9 Equivalencia de masa y energia La observaci6n de arriba condujo a Einstein a la sugerencia que la masa de un cuerpo se puede expresar de una manera mas simple que por media de la formula (15.1), diciendo que la masa es igual al contenido energetico total dividido por c2 . Si la ecuaci6n (15.11) se multiplica por c1 el resultado es (15.12) Aqui el primer miembro da la energia total de un cuerpo, y en el Ultimo tfamino rcconocemos la energia cinetica ordinaria. Einstein interprct6 el tfrmino grande y constantc m11 ci, que forma partc de la cnergia total del cucrpo. o::omo una cnergia intrinseca conocida como "energia de reposo ". Estudiemos mas las consecuencias que resultan al suponer con Einstein que la energia de un cuerpo es siempre mc1 • Como un resu!tado interesante encontramos la f6rmula (15.J) para la variaci6n de la masa con la ve!ocidad, que hasta ahora foe una mera suposici6n. Comenzamos considerando el cucrpo en rcposo, cuando su energia es m0 c1. Despues aplicamos una fuerza al cuerpo, que le hace mover, dindo!e energia cinetica; entonces, dado quc la energia ha aumentado, tambien !a masa ha aumentado --esto esta implicito en la suposiciOn original. Mientras la fucrza continUa actuando, la energia y !a masa continU.an aumentando. Hemos vista ya (cap!tu!o 13) que el cambio de energia con el tiempo cs igua! a la fuerza multipli cada por la velocidad, o (15.13) Ademas tenemos (capitulo 9, Ee. relaciones con la definici6n de £, quc ecuac16n Cuando se juntan cstas (15.14) l 5-14 Queremos despejar m de esla ecuaci6n, Para hacer esto usamos primero el truco matem3.tico de multiplicar ambos micmbros por 2m, lo que cambia la ecuaci6n a c 2 (2m) '!!ff- = Zmv d(';v) · (15.15) Tenemos que deshacer~os de las derivadas, \~ que puede lograrse integrando ambos miembros. La cant1dad (2m) dm/ dt se puede reconocer como la derivada de m 2 con respecto al tiempo. De esta manera la ecuaci6n (15.15) es lo mismo que (15.16) Si las dcrivadas de dos cantidades son iguales, las cantidades mismas difieren a lo sumo en una constante, por ejemplo C. Esto nos permite escribir (15.17) Es necesario definir mils explicitamente la constante C. Dado que la ecuaci6n ( 15.17) debe ser villida para todas las vclocidades, podemos elegir el Caso especial cuando v = 0, y decir que en este caso la masa es m0 • Sustiluyendo estos valores en la ecuaci6n (15.17) se obtiene m5c 2 =0+C: Ahora podemos usar cstc valor de C en la ecuaci6n (15.17), Jo que da (15.18) Dividiendo por c: y reordenando tCrminos resulta m 2 (l - v2 /c 2 ) = m~, de lo cual obtenemos (15.19) Esta es la formula ( l 5.1 ), y es exactamente lo necesario para la concordancia entre masa y energia en la ecuaci(m (15.12). Ordinariamente cstos cambios de encrgia representan cambios extremadameilte pequeiios en la masa. por4uc en la mayoria de los casos no podemos gcncrar mucha energia de una cil'rta cantidad de material; pero, por cjemp!o. en uma bomba atOmica. de una energla explosiva cquivalente a 20 kilotone!adas de TNT, se puede demostrar quc cl polvu dcspuCs de la explosiim es un gramo mils liviano que la masa inicial dcl material en reacci6n, de acuerdo con la relacit'm j,£ ~ J.(mc2). Esta teoria de c4uivalencia de masa y cnergia ha sido vcrificada maravillosamcnte con expcrimentos en los cuales sc aniquila la materia ··.convirtiendola totalmente en energia: un electron y un positrOn Hegan al reposo, cada uno con una masa de reposo m0 . Cuando se juntan sc desintegran y emergen dos rayos gamma cada uno con una energia m0c 1 . F.ste experimcnto proporciona una determinad6n directa de la cncrgia asociada a la masa en rcposo de una partlcula. 15~15 16 Energia relativista y momentuni !6-1 Lz; relatividad y los filOsofos 16-4 Masa relativi5ta 16-2 La paradoja de los mellizos 16-5 Energi~ 16-3 IransformaciOn de weloddades rclativlsta 16-1 Ahora bien, le5 ab~olutamente, definitivamente, filos6ficamente necesario que uno no sea capaz de declr con que velocidad se estii. moviendo sin mirar hacia afue· ra'! Una de las consecuencias de la relatividad fuc el desarrollo de una filosofia que decia: ··iLsted nuede definir ~6lo lo que puede mcdir! Ya quc cs patente qu~ uno no puede med!f una velocidad ~in ver respecto a que la esta midiendo, esta claro que no tiene sentido la velocidad absoluta. Los fisicos deberlan haberse dado cuenta que pueden hablar solamente de aquello 4ue pueden medir." Pero ahi eslci el problema: si uno puede deflnir o no velocidad absoluta es lo mismo que el problema de si uno puede o no detectar en un experimento, sin mirar afuera. si uno se estft moviendo. En otras palabras. ~i una cosa es med!b!e o no, no es alga que se dedda a priori por el solo pensamiento, sino algo que puede ser decidido solamentc por el experimento. Dado e! hecho de que !a velocidad de la luz es 300.000 Km /seg, uno va a encontrar pocos fil6sofos que vayan a decir calmadamente que es patente que si la luz va a 300.000 Km/seg dentro de un auto y el auto va a 200.000 Km/seg que la lul 16-2 tambifn va a 300.000 Km/seg con respecto a un observador en el suelo. Esto es un hecho chocante para ~llos; los mismos que claman que es evidente, encuentran que no lo es cuando se les da un hecho especifico. Finalmente, hay una filosofia que dice que uno no puede detectar ningUn movimiento excepto mirando hacia afuera. Simplemente, esto no es verdadero en fisica. Cierto, uno no puede percibir movimiento uniforme en una linea recto, pero si toda la pieza estuviera rotando lo sabriamos con toda seguridad, ya que todo el mundo seria arrojado hacia ia pared -habria toda clase de efectos "centrifugos "-. Que la tierra gira sobre su eje puede determinarse sin mirar a las estrellas, mediante el asi llamado pfodulo de Foucault, por ejemplo. Por lo tanto, no es cierto que "todo es relativo"'; es solamente la velocidad uniforme la que no se puede detectar sin mirar hacia afuera. La rotaciOn uniforme alrededor de un eje se puede detectar. Cuando se le dice esto a un fil6sofo queda muy contrariado porque realmente no lo entendi6, porque para 61 parece imposible que uno sea capaz de determinar la rotaci6n alrededor de un eje sin mirar hacia afuera. Si el fil6sofo es suficientemente bueno, despuCs de algUn ticmpo puedc volver y decir: "Yo entiendo. Realmente no tenemos una rotaciOn absoluta, estamos rea1mente rotando relativo a las estrellas, ve usted. Y alguna influencia ejercida por las estrellas sobre el objeto debe causar la fuerza centrifuga." Ahora bien, que nosotros sepamos eso es cicrto; no tenemos ninguna manera, en estos momentos, de determinar si habria habido fuerza centrifuga, si no hubiera estrellas y nehulosas alrededor. No hemos podido hacer la experiencia de sacar todas las nebulosas y dcspui:s medir nuestra rotaci6n; asi que sencillamente no sabemos. Debemos admitir quc el fi!Osofo puede tener raz6n. Vuelve entonces deleitado y dice, '"Es absolutamcnte necesario que el mundo resulte asi en Ultima instancia: rotaci6n absoluta no signilica nada; es solamente refativa a las nebulosas ". Entonces le decimos, "ahora, mi amigo, (.es o no evidente que una velocidad uniforme en linea recta, rdativa a las ncbulosas, no deberia producir efectos en el auto?" Ahora que el movimiento ya no es absoluto, sino que es un movimiento relativo a las nebulosas, la pregunta se hace misteriosa y una pregunta que puede ser contestada solamente mediante experimentos. (,Cu:iles son entonces !as influencias filos6ficas de la teoria de la rdatividad? Si nos limitamos a influencias en el sentido de qui close de nuevas ideas y sugerencias hace al fisico el principio de rclatividad, podriamos describir algunas como sigue. El primer descubrimiento es, esencialmcnte, que aun aquellas ideas que se han mantenido por mucho tiempo y que han sido verificadas precisamente, pueden estar equivo~ cadas. Fuc un dcscubrimiento chocante, por supuesto, que las !eyes de Newton estii.n equivocadas, despues de tantos ailos que parecian precisas. Por supucsto, que los experimentos no estaban ma!, s61o que fucron hcchos en un intcrvalo limitado de velocidades. tan pequeiias que los efectos relativisticos no podian evidenciarse. Sin embargo, ahora tenemos un punto de vista mucho mils humilde de nuestras leyes fisicas -·jtodo puedc estar ma\! En seg.undo lugar. si tenemos un conjunto de ideas "'cxtrai'las··, como que el tiempo avanza mi1s despacio cuando uno se mueve. elc., bien que nos gusren o no, pregunta fuera de lugar. La tinica pregunta pertinente es ~i la~ ideas son com las ··i<leas exencucntra experimentalmcntc. En otras estar de acuerdo con los y la tinica rael comportamiento 16-3 de los relojes y Jo, demiis, es demostrar que, aunque la nociOn de la dilataci6n del tiempo es extraii.a, es compatible con la manera en que mcdimos el tiempo. Finalmente, hay una terccra sugerencia que es un poco mils tecnica, pero que ha resultado ser de enorme utilidad en nuestro estudio de otras leyes fisicas, y clla cs observar la simetria de las !eyes o, mils especificamente, buscar las maneras de transformar las !eyes dejilndoles la misma forma. Cuando discutimos la teoria de los vectores, notamos que las leyes fundamcntales del movimicnto no cambian cuando rotamos el sistema de coordenadas, y ahora cncontramos que no cambian cuando cambiamos las variables de espacio y ti em po de una manera particular, dad a por la transformaci6n de Lorentz. Por lo tanto, esta idea de estudiar los esquemas u operaciones bajo las cuales las !eyes fundamentales no cambian, ha demostrado ser muy Util. 16-2 La paradoja de los me11izos Para continuar nuestra discusi6n de la transformaci6n de Lorentz y efcctos relativisticos, consideremos !a famosa '·paradoja" de Pedro y Pablo, quc se supone que son mellizos, nacido~ al mismo ticmpo. Cuando ticnen la cdad suficiente para manejar una nave espacial, Pablo hace u11 viaje a alta velocidad. Ya que Pedro, quc queda en tierra, ve a Pablo viajar a tan alta velocidad, todos los re!ojes de Pablo parece que se atrasan, su!. latidos son mils lentos, su5 pensamientos van mils despacio. todo va mils lento desde el punto de vista de Pedro. iPor supuesto, quc Pablo no nota nada fuera de lo comUn, pcro si viaja de un lado a otro por un tiempo y despuh vuclve, va a !.er mils joven que Pedro, el hombre que se qucd6 en la tierra! Esto c!. rcalmente vcrdadero; es una de las consecucncia.s de la tcoria de la rdatividad que ha sido demostrada c!aramcnte. Asl como los me!.one5 mu duran mils cuan do !.C cst.itn moviendo, tambiCn Pablo va a durar mils mientra~ "c mueve. A esto el principio de relatividad "paradoJa" solameme aquclla gentc quc cree que Loda movimiento es relativo; ellos eh. ch, desdc cl punto de de Pablo, (,no podriamos decir que e5 Pedro que se e~t.it movicndo y, por lo tanto, no deberia parccer quc eJ envejece mas lentamente? Por ~irnctria, el Unico re sultado pos1ble es quc tengan la misma cdad cuando se encuentren .,_ Pero para que se junten y se pueda hacer la comparaciOn, Pablo debe o detenerse al final del viaje y hacer una comparaciOn Jc rdojc!., o rniis scncillo, volvcr y el 4uc vuelve tlcnc que ~er el hombre que moviendo, y esto et lo sabe, porque tuvo que cambiar cl sentido de su Cuando carnbi6 e! sentido. todo tipo de cosas poco comunes succd1eron en su nave cspacial -los cohetes se apagaron, las co!.as se apretaron contra una pnred. etc.- rnientras que Pedro no ~inti(J nada que sinti6 las es el quc va a ser es la difcrencia entrc cllos en un y es, ciertamcnte, cl hecho (..jUC las mcsones mu que se mueven vivcn usamos como ~u movimiento rcctilineo en !a atm6sfera. Pero tambii:n haccr rne~ones mu en un laboratorio y hacerlos seguir una curva mediantc v aun con csic mov1micnto acclcrado, duran cxactamcnte lo mismo que ~e -e,tahan rnO\iendo en linea recta. Aunque nadie ha hecho !64 de manera que pudiframos deshacernos de la paraun mes6n mu que se ha: dejado quieto con uno que ha drculo, y seguramente se encontrnria que el que se realmente hemos realizado un experimento supuesto, pues todo ajusta insisten en que cada hecho ----·---· ---"--'-·-toda confianza el recompleto. x - ut uz;cz' x' =VI - y' z' -= = y, z, (16.1) !' = Estas ecuaciones corresponden al caso relativamente simple en que el movimiento relativo <le los observadores se realiza a lo largo de su eje comUn x. Por supuesto otras direccioncs de movimiento son posibles, pero la transformaci6n de Lorentz mir.s general es bastante complicada, con !as cuatro cantidades mezcladas entre si. Continuaremos usando esta manera mas slmple, ya que contiene los aspectos esenciales de la relatividad. Discutarnos mils .sabre las consecuencias de esta transformaciOn. Primera, es interesante resolver estas ecuaciones a la invcrsa. Esto es, aqui tenemos un conjunto de ecuaciones linea!es, cuatro ccuaciones con cuatro inc6gnitas y se las puede invertir para despejar x, y, z, I en funci6n de x!, y', z', t'. El resultado es muy interesante, ya que nos dice cOmo se ve un sistema de coordenadas "en reposo" dcsdc el punto de vista de 1.mo que se estir. "moviendo ". Por supuesto, ya que los movimientos son relativos y de velocidad uniforme, el hombre que se •· mueve., puede decir, si desca, quc realmentc es la otra persona la que se muevc, m!cntras que eJ esta en reposo. Y ya que se estit moviendo en direcci6n opuesta, d debc obtcncr la misma transformaci6n, pero con signo contrario de la velocidad. Esto es precisamente lo que encontramos al efectuar !os cilkulos, de manera 4uc esto es compatible. jSi no hubiera resultado as[, ahi sl que habriamos tenido una cau~a real para preocuparnos~ + x = x' ut' 0-~·-u2~· y = y', z = t = z', (16.2) t_f. ...'!x.'./c.~.-. VI= u2;ci 16-5 x' = (16,3) (16.4) (16.5) Ahora debemos encontrar el cociente entre x y I que es (16.6) habiendo simplificado las raices cw.1.dradas. resultante, la '"suma" de dos velocidades, no es velocidades no puede scr o rrcgida'" por Veamos ahora lo que pasa. Supongan que se a la mitad de \a velocidad de la Juz, y que la nave velocidad de 16-6 la luz. Luego u es 1 I 1 c y r es 1 I 2 c, pero en el denominador uv es un cuarto, de manera que Asi que, en relatividad, "un medio ,. mils "un medio" no es un ""entero ",es s6!o " 41, ". Por supuesto que velocidades bajas pueden sumarse con toda fadlidad de la manera acostumbrada, porque mientras las velocidades scan pequef1as comparadas con la velocidad de la luz, nos podemos olvidar del factor ( ! + uv/ c2); pero las cosas son bastante diferentes y bastantc intercsantes a aka veloddad. Tomemos un caso llmite. Para entretenernos, supongamos que el hombre estuviera observando !a luz misma dentro de la nave cspacial. En otras palabras, v = c, y, sin embargo, la nave espacial se estii moviendo. l Que le va a parecer al hombre en la tierra? La respuesta va a ser Por lo tanto, si algo se estit moviendo a la velocidad de la luz dentro de la nave, jva a parecer estarse movicndo tamhiCn con la vclocidad de la luz desde el punto de vista del hombre en la tiemd Esto esta bueno, porque es en realidad para lo quc ia teoria de relatividad de Einstein estaba diseii.ada en primer lugar jasi que mcis valia que resu!tara! Por supucsto, hay casos en los cuales el movimiento no es en la direcci(m de !a traslaci6n uniforme. Por ejemplo, podrla haber un objeto dentro de la nave quc sc cstit moviendo "hacia arriba" con velocidad v,, cnn respecto a la nave, y la nave se estii moviendo "horizontalmente". Ahora bicn, hacemos el mismo desarrollo, s()lo usando v en vez de x, con el resu!tado de manera que si Vx -~ 0, 1'11 (16.7) Luego, una vclocidad transver~al ya no c~ l'.•· sino r,.~'7?. Encontramo~ estc resultado sustituycndo y combinando las ecuaciones de transformaci6n, pero tambiCn podemos ver e! resultado directamente con el principio de rclatividad por la siguiente razUn (es siempre conveniente pensar de nuevo para ver si podemos encontrar la ra z6n). Ya hemos discutido (Fig. 15-3) cOmo un posible rcloj podria trabajar cuando se estit movicndo; la luz parcce desplazarse oblicuamente con velocidad c en el sistema fijo, cuando simp!emente se desplaza en forma vertical en el sistema m6vil. Encontra mos que la componeme vcrti_cal de la velocidad en el sistema fijo es menor que la de la luz por un factor /l - u1 /c 1 {vcr Ee. 15 3). Pero ~upongan ahora que dejamo~ una particula material ir hacia atra~ y hacia adelante en este mismo "reloj ", pcro a una fracci6n cntera I In de la velocidad de la luz (Fig. 16 I). Lucgo cuando la partlcula ha ido hacia atriis y hacia adelante una vez, la luz va a habcr ido exactamente n vece~. Es. dccir, cad a "tic" del reloj de particula va a coincidir con cl enCsimo '"lie" dcl rcloj de luz. Este hecho debe seguir siendo cierto ruando lodo el sistema se estci mm•iendo, porque el fen6meno fisico de coincidencia va a ser una coincidencia en cualquier sis tcma. Por lo tantu. vclocirJad c, es mcnor 4uc la vdocidad de lu lu1., jla velocidad ry de la 16-7 Ftg. 16---1. T rayectorias descntas por un 'ayo de luz y una particula dentro de un reloj menor que la velocidad correspondiente en la misma raz6n de la ralz cuadrada! Por eso es que la raiz cuadrada aparece en cualquier velocidad vertical. 16-4 Masa relativista Aprendimos en el Ultimo capitulo que la masa de un objeto aumenta con la velo~ cidad, pero no se dio ninguna demostraci6n en el sentido que no <limos razonamientos an<ilogos a aquellos acerca de la manera en quc los relojes debcn comportarse. Sin embargo, podemos demostrar que, como consecuencia de la relatividad m<is algunas otras hip6tesis razonables, la masa debe variar de esta manera. (Tenemos que decir "algunas otras hip6tesis" porque no podemos probar nada a menos que tengamos algunas !eyes que suponemos que sean ciertas, si queremos hacer deducciones con algU.n sentido.) Para evitar tener que estudiar las !eyes de transformaci6n de la fuerza, vamos a analizar una colisi6n, donde no necesitamos saber uada sobrc las leyes de la fuerza, solamente vamos a suponer la conservaci6n de! momentum y de la energia. Tambii:n vamos a suponer que el momentum de una particula que se muevc es un vector y est<i siempre dirigido en la direcci6n de la velocidad. Sin embargo, no vamos a suponer que momentum cs una constante multiplicada por la velocidad, como hizo Newton, sino que es alguna funciOn de la velocidad. Escribimos, pues, el vector momentum Como un cierto coeficiente multiplicado por el vector velocidad: p = m,v. (16.8) Pusimos un subindice v en el coeficiente para recordarnos que es una funci6n de la velocldad, y vamos a convenir Hamar "masa" a este cocficicnte m, .. Por supuesto, cuando la velocidad es pequeii.a, es la misma masa que mediriamos en los expenmen tos de movimientos lentos a quc estamos acostumbrados. Ahora vamos a tratar de demostrar que la formula para 111, dcbe ser mj ~. argumentando a partir del principio de la re!atividad que las !eyes de la fisica dcben ser las mismas en todo sistc ma de coordenadas. Supongamos que tenemos dos particulas, por ejcmplo dos protones, quc son ab~o lutamente iguales y que se est<in acercando con ve!ocidades exactamente 1guales. Su momentum total es cero. Ahora bien, &QuC puede suceder? DespuCs de la colisi6n, sus direcciones de movimiento deben ser exactamente opuestas porquc ~i no fueran exactamente opuestas, habria un vector momentum total diferente de cero, y el mo· mentum no ~e conservaria. Dcben tener tambii:n la misma velocidad, ya que 16-8 "' contrarios Fig. 16-3. Cos vistas mas de la colisi6n, desde autos en movimien-10. 16-9 (2, porque se muevc hacia arriba abajo). La ve en forma oblicua trado que son u tical de esta por tanto 1..\p' 21111i Jl u1/c 2 porque de acucnlo con la ley que hemos supuesto (16.8), !a componente dd momentum es siempre la masa correspondiente a la magnitud de la velocidad multiplicada por !a componente de la velocidad en la direcci6n de interes. Por lo tanto, para que el momentum total sea ccro, lo.<. momenta verticale.<. dcben anularse y el cociente entre !a masa que se mueve con \-Clocidad v y la ma&a quc se muevc con \-elocidad 11· dehe ~er entonccs ~ = m,. YI - u~/c 2 . (16.9) Tomcmos el caso limite que w sea infinitesimal. Si w es muy pequefia, cs claro que ~· y u son prti.cticamente igualc.<.. En este caso, m~ -• m,, y m,--. mu. El gran resultado es (16.10) fa un ejercicio interesantc verificar si !a ecuacion ( 16.9) es realmente vit!ida para arb1trarios de 11, suponiendo que la ecuaci6n (16.10) cs la formula correcta masa. NOtese que la \-elocidad v que se necesita en la ecuac16n (16.9) puede del trl.itngulo rect<lngulo: v2 = u1 + w2(1 - u"Jc2). Se encontrara que se verifica autominicamente, aunque lo usamos solarncnte en et caso limite de w pequei'io. ~ .-wm~Amcs~~ Despues JU Fig 16-4. Dos vistas de una cohs16n 1nelast1ca entre dos objetos rle 1gual !bJ Ahora aceptemos que el momentum se conserva y que !a masa depende de la velocidad de acuerdo con (16.IO) y sigamos aver quC mits podemos concluir. Consideremos lo que se llama comUnmcnte una colisiOn inelti5tirn. Para simplificar, vamos a suponer que dos objetos del mismo tipo, que se mueven en direcciones opuestas con la misma velocidad w. chocan ) quedan pegados. transformandose en a!gUn objeto nuevo, en reposo como se muestra en la figura 16-4 (_a)._ La masa m de cada uno corresponde a w, que segun sabcmos vale m 0 /C=-\?/c 2• Si suponemos la conservaciOn del momentum y el principio de relatividad, podemos demostrar un hecho interesante acerca de la masa dcl nuevo objeto que acaba de formar se. lmaginemos una velocidad Infinitesimal u formando un .itngulo recto con w (podemos hacer Jo mismo con valores finitos de u, pero es mils fil.cil entender con una velocidad infinitesimal) y despues miramos esta misma colisi6n mientras vamos en un ascensor con velocidad - u. Loque vemos se muestra en !a figura 16"4 (b). El objeto compuesto tiene una masa desconocida M. Ahora et objeto I se mueve hacia arriba con una componente vertical de velocidad u y una componente horizontal que es pr.itc· ticamente 16-10 igual a w, y lo mismo hace el objeto 2. Despu6s de! impacto tenemos la masa M moviCndose hacia arriba con velocidad u, considerada muy pequeila comparada con la velocidad de la luz y pequefia tambi6n comparada con w. El momentum debe conservarse, asi que hagamos una estimaci6n del f!lomentum en la direcciOn haciaarriba antes y despufs de la colisi6n. Antes de la colision tencmos p ...., 2 mwu, y despu6s de la colisi6n, el momentum es evidentemente p' """'M,,u, pero M 11 es esencialmente lo mismo que M 0 porque u es muy pequefia. Estos momenta deben ser iguales debido a la conservaci6n de! momentum, y por lo tanto (16.11) Mo= 2mw. La masa de! objeto que se forma cuando dos objetos iguales chocan debe ser el doble de la masa de los objetos que se juntan. Ustedes podrian decir: ·'Si, por supuesto, 6sa es la conservaci6n de la mas a,. Pero no "si, por supuesto ", tan facilmente, porque estas masas han sido aumentadas con respecto a las masas que tendrian si estuvieran en reposo y, sin embargo, ellas contribuyen al M total no s6lo la masa que tienen cuando estUn en reposo, sino que mds. Por muy sorprendente que es to pueda aparecer, para que la conservaciOn de! momentum resulte cu an do los dos objetos se juntan, ila masa que forman debe ser mayor que la masa en reposo de los objetos. aunque los objetos esten en reposo despues del choque! 16-5 Energia re!atlvista En el Ultimo capltulo demostramos que como consecuencia de la dependencia de la masa en la velocidad y de las !eyes de Newton, los cambios en la energia cine. tica de un objeto como resultado de\ trabajo total hecho par las fuerzas que actUan sobre d resultan ser t:.T = (m,, - m 0 )c 2 2 = moc Vi-_ u 2 /c 2 2 - m 0c . (16.12) Fuimos aim mils all<i, y supusimos que la energia total es la masa total multiplicada por c2. Ahora continuamos esta discusi6n. Supongamos que nuestros dos objetos de masas iguales que chocan, todavia pueden ser "vistas" dentro de Af. Por ejemplo, un protim y neutr6n "se mantienen uni dos", pero se est<'tn moviendo dentro de M. Por eso, aunque podriamos al principio esperar que la masa de M fuera 2m0 , hemos encontrado que no es 2m0 , sino 2mw. Ya que 2mw es lo quc hay adentro, pero 2m 0 son las masas en reposo de lo que hay adentro, el exceso de masa de! objeto compuesto es igua! a la energ!a cinCtica que se llev6 adentro. Esto significa, por supuesto, quc la energ!a tiene inercia. En el Ultimo capitulo discutimos el calentamiento de un gas y mostramos eso porque las mo!fculas de! gas que se estiin moviendo y las cosas que se mueven son mas pesadas; cuando entrega,-nos cncrgia a! gas sus mo!eculas se mueven mas rapido y el gas se hace mas pesado, Pero en realidad, e! razonamiento es completamente general, y nuestra discusi6n de! choquc inel3stico muestra quc la masa est<'t ahi, sea o no energia cinetica. En otras palabras, si dos particulas se juntan y producen energia potencial o cua!quier otra forma de energia; si los pedazos se frenan al subir pianos inclinados, a! realizar trabajo en contra de fuerzas internas, o lo que sea; entonces es todavia cierto que la masa es la energia total que se ha entregado. Vemos asi que la consenacion de ta masa que dedujimos mas arriba es equivalente a la conservadOn de la energia y, por lo tanto, no hay lugar en la teoria de la relatividad para choques completamente inelitsticos como habia en la medmica newtoniana. De acuerdo con la mecimica newtoniana, estit permitido que dos cosas d1oquen y asi formen un objeto de masa 2m 0 que nose dlstingue en nada de! que resultaria a[ juntarlas despacio. Por supuesto, nosotros sabemos por la !ey de conservaci6n de la energia, que hay mis energia cinCtica adentro pero que eso no afecta la masa, de acuerdo con las !eyes de Newton. Pero ahora vemos que esto es imposible: debido a la energia cinCtica que interviene en la co!isiOn, el objeto resultante va a ser mis pesado; por lo tanto seril. un objeto difereme. Cuando juntamos cstos objetos con cuidado forman algo cuya masa es 2m0 ; cuai1do los juntamos con fuerza forman algo cuya masa es mayor. Cuando la masa es diferente, podemos darnos cuenta que es dlferente. Por lo tanto, necesariamente la conservacibn de la energia debe cumplirse conjuntamente con la conservaci6n de! momentum en la teoria de la relatividad. Esto tiene consecuencias interesantes. Por ejemplo, si.;pongamos que tenemos un objeto cuya masa M se mide. y supongamos quc algo sucede de manera que se rornpe en dos pedazos iguales que se mueven con velocidad w, de manera que cada uno tiene una masa Mw· Supongamos ahora gue estos pedazos tropieLan con suficiente material para frenar!os hasta detenerlos. cntonccs tendriln una masa m0 . {. Cuimta energia van a haber entregado al material una vez que se han detenido? Cada uno va a dar una cantidad (m.,.-mo)c 2 , seglln el teorema que demostramos antes. Toda esta energ[a queda en el material de alguna manera. como calor, energia potencial, o lo que sea. Ahora bien, 2m,,, -,-- M, de manera que la energia liberada es E -= (M-2moJc 2 • Esta ecuaci6n fue usada para est1mar cu3.nta encrgia seria !iberada por fisi6n en la bomba atOmica, por ejemplo. (Aunque los fragmentos no son exactamente iguales, son casi iguales.) La masa del 3tomo de uranio era co" nocida --se habia medido con anterioridad- y los :itomos en los cuales se rompe, yodo, xenon, etc, eran todos de masa conocida. Por masa, no entendcmos las masas mientras los :itomos se est<l.n moviendo, sino las masas cuando los iitomos estftn en reposo. En otras palabras, M y m0 son conocidos. De manera que restando los dos nllmeros uno puede catcular cuii.nta cncrgia sera liberada si M sc puede romper por la "rnitad ". Por esta raz6n el pobre viejo Einstein fue llamado el "padre" de la bomba at6mica en todos los periOdicos. Por supuesto, todo lo que eso significa era que el podia decirnos con anticipaci6n cuilnta energia se podria libcrar si le dij6ramos qu6 proceso iba a ocurrir. La energia que deberia ser liberada cuando un :itomo de uranio se fisionara se estimO seis meses antes de la primera prneba directa, y tan pronto como la energia fue liberada, alguien la midi6 directamente (y si [a formula de Einstein no hubiera dado resultado, ellos la habrian medido de todos modos), y en el momento que la midieron ya no necesitaron m3.s la formula. LOgicamente, no debernos quitar merito a Emstein, sino criticar los peri6dicos y muchas dcscripciones populares de que cosa produce qu6 cosa en !a historia de la fisica y de !a tecnologia. Et problema de cOmo obtener que algo suceda de una manera efectiva y r:ipida es algo totalmente diferente. El resultado es igualmente signlficativo en quimica. For ejemplo, si pes:iramos la mo!ecu\a de diOxido de carbono y comparii.ramos su masa con la del carbono y de\ oxigeno, podriamos averiguar cuil.nta energia se !iberaria cuando el carbono 16~12 y e! oxigeno forman di6xido de carbono. El Unico problema es que las diferencias de masa son tan pequeflas que es muy dificil de realizarlo tOCnicamente. Volvamos ahora al problema de si debemos agregar m 0 c 2 a la energia cinCtica y decir de ahora en adelante que la energia total de un objeto es mc 2• Primero, si todavia podemos ver las partes componentes de masa en reposo m0 dentro de M, en~onces podriamos decir que alguna parte de la masa M de! objeto compuesto es la masa de reposo mecil.nica de las partes componentes, otra parte es energia cinf:tica de las partes, y otra parte es energia potencial de las partes. Pero hemos descubierto en !a naturaleza particulas de varios tipos que sufren reacciones como la que hemos tratado mis arriba, en las cuales, con todo el estudio en el mundo, no podemos ver las partes adentro. Por ejemplo, cuando un mesOn K se desintegra en dos piones lo hace de acuerdo con la ley (16.1 !), pero la idea que un K estti. hecho de 2n es una idea sin valor, jporque tambiCn se desintegra en h' Por lo ta.nto tenemos una nueva idea: no necesitamos saber de quC estti.n constituidas las cosas adentro; no podemos ni necesitamos identificar, dentro de una particula, qui: parte de la energia es energia de reposo de las partes componentes en las cuales se va a desintegrar. No es convenientc y a menudo no es posib!e separar la energia total mc2 de un objeto en energia de reposo de las partes de adentro. energia cinetica de las partes y energia potencial de las partes; en su lugar, sencillamente hablaremos de la energia to!a/ de la particula. °'Cambiamos el origen" de la energia agregando una constante m0 ci a todo y decimos que la encrgia total de una particula es !a masa en movimiento por cl, y cuando el objeto este quieto, la energia es la mas a en reposo por cl. Fina!mente encontramos que la velocidad r, ei momentum Py la energia total E estiln relacionadas de una manera simple~ue la masa en movimiento a velocidad v es la masa m0 en reposo dividida por 1-i' c, sorprendentemente. se usa muy raramente. En cambio las siguientes re aciones se prueban facilmente y resultan muy Utiles: (l6.13) Pc = E11/c. (16.14) 16-13 17 Espacio-tiernpo 17- l La geometria de! espacio-tiempo nl'-4 M3s actorca de !os cuadr!wectore.o; 17-2 lntervalos de cspaclo-tiempo 17-5 Algebra de euadrivectores 17-3 Pasado, presente y futuro 17-l La geometria de! esp.ado-tiempo La teoria de !a rdatividad nos muestra que las relaciones entre posiciones y tiempos medidos en un sistema coordcnado o en otro no son lo que habiamos csperado en base a nuestras ideas intuitivas. Es muy in:porrnnte que ~ntendamos concienzudamente las relaciones entre espacio y tiempo implicadas po~ la transforrnaci6n de Lorentz y, por !o tanto, vamos a considerar cste asunto con mils profundidad en este capitulo. La transformaciiln de Lorentz entre las posicioncs y el tiempo (x, y, z, t) medidos por un observador •·en reposo .,_ y las coordenadas y el tiempo correspondientes (x', y', z', t') medidos dentro de una nave espac!al "en movimiento", que se mueve con velocidad u, son y' = y, z' = (17.1) z, Cornparemos estas ecuaciones con la ecuaci6n (11.5), que tarnbien relaciona medidas en dos sistemas. uno de lo~ cuales, en cste caso, estii "rotado" con respecto al olro: x' = xcosO + ysen 0, y' = ycosO - xsenO, z' = (17.2) z. En este caso part.icular. Pedro y Juan est<in midicndo con .ejes que tienen u~ angu!o & enlre los ejes x' y x. En cada Caso notamos que las cant1dades "con prima · son "mezclas ., de las "sin primas ": la nueva x' es una mezcla de x e y, y la nueva ;l tambifo es una mezcla de x e y. 17-i un objeto hay una cosa evidente que poquc podemos IJamar "profundidad ··. Pero no son propiedades fundamentales de! objcel mismo objcto desdc un 3ngulo diferente, una profundidad difercnte, y podcmos desarrollar las a panir de las antiguas y de los son estas formulas. Uno podria decir mezcfa de toda la profundidad y de una profundidad dada es una espede el ancho. Si no pudieramos movernos nunca y sicmpre viernmos un objeto posici6n, todo estc razonamicnto no tendria objcto. veriamos desde un2 ancho y la ··verdadern" profundidad. los cualcs aparecerian siempre e! con cua!idades bastante diferentcs, porque uno aparec.:: como un itngulo (Jptico sub" tendido y la otra comprende un enfocamiento los ojos o alm intuici6n; pareccrian Es porque podemos caminar que ser cosas muy difcrentcs y nos damos cuenta que la de una manera u otra, s(i\o dos aspectos de una misma cosa. ;,No podemos mirar tambii:n tenemos una medida de espacio En otras palabras, un poco de tiempo, la "realidad" (hablando en que dependen nue~tra mente imncdi'''""""'' "'"''di,,1"meo" un mundo de natura\eza que los objetos en nues ser mirados desde diferentes ordinario son reales y despues que objetos que ocupan espacio y duran un cicrocupan una especie de "'burbuja" en un nuevo tipo de mundo y que mi "burbuja" dcsdc diferentes punlos de vista cuando nos estamos mo ve!ocidades. fate nuevo mundo, esta entidad geometrica en la existe al ocupar una posiciOn y tomar una cierta cantidad de espacio-tiempo. Un punto dado (x, y, z, t,) en el espacio-tiempo tiernpo, se se Barna un evento. Imaginen, por ejemplo, quc graficamos las pos!ciones x horizontalmente, y y z en otras. dos direcciones, ambas "perpendiculares ,. entre si" y "perpendicu!ares" al papd (!) y el tiempo vertica\mente. Ahora, (.C0mo se ve una particula en movimcnto en esle gr<ifico? Si la part!cula est3 en reposo, tiene una cierta x y a medida que el tiempo pasa tiene la misma x, la misma x, la misma x, de manera que su "trayectoria" es una linea parafela al eje I (Fig. 17-la). Por el contrario, si se desplaza, entonces a medida que el tiempo transcurre x aumenta (Fig. 17- lb}. De manera quc, por ejemplo, que parte con retarda una particula. que empieza a desplazarse despuCs va mas lenta, deberia tener un movimiento como el que se muestra en la figura 17-1 (c). Una particula, en otra~ palabras, que es permanente y no se desintegra estiL representada por una linea en el espacio·ticmpo. Una particula que se desintegra estaria representada por una linea en forma de horqueta, porque se transformaria en otras dos cosas que partirian de ese punto. ~ Y quC pasa con la luz? La luz viaja con velocidad c y cstarla representada por una linea con c1erta pendiente fija (Fig. 17-1 d). b1cn, de acuerdo con nuestra nueva idea, si una particula venfica un evento por ejemplo s1 se desintegrara sUbitamentc un cierto punto de! espacioen dos nuevas particulas que siguen nuevas trayectorias, y si este interesante ocurriera en un cierto valor de x y un cicrto valor de l, entonces podriamos esperar que. sicmpre que tenga algUn sentido. sencillamente tencmos que tomar un nuevo par de ejes y y eso nos dara el nuevo t y la nuevµ x en nuestro sc muestra en la figura 17-2 (a). Pero csto estil mal. porque es exactameme la misma transformac10n matemiltica que !a por CJCmplo, la diferencia de s1gno entre las dos y el hecho en tCnninos de cos 0 y sen 0, mien tr a~ la otra estil escrita (Por supucsto. no es imposiblc que las cantJ.dades algecorno coseno y seno, pero en rcalidad no se puede.) maneras, dos expresiones son muy similares. Como vamos aver. realmcnte no es posible pensar que el espacio-tiempo tenga una geomctria real y ordinaria, dcbido a csa d1fert:ncia de signo. En realidad. aunque no vamos a hacer Cnfasis en este punto, resu\ta que un hombre que se mucve ticnc que usar un conjunto de ejes quc cst<in igualmente inclinados con respccto al rayo de luz, usando un tipo de proyecciOn especia! paralela a los ejes x' y f', para su x' y t' como se mucstra en la figura 17· 2 (b). No vamos a trabajar con la geometria porque no ayuda mucho; es mils foci\ trabajar con las ecuaciones. Fig 17-2. Dos dcs1ntegrandosc 17"2 v1~tas de una part1cula lntervalos de espacio-ticmpo Aunquc la geometria de! espacio-ticmpo no cs euclideana en el sentJ.do ordmario, hay una geometria que es muy similar, pero peculiar en ciertos aspectos. Siesta idea de geometria estil correcta deberian existir algunas funciones de las coordenadas y el tiempo 17-3 que sean independientes de! sisterna de coordenadas. Si, por ejemplo, en rotaciones ordinarias, tomamos dos puntos, uno al origen para mayor sencillez, y el otro en cualqui.er otra parte, ambos sistemas tendrian el mismo origen y la distanda desde aqui hasta el otro punto es la misma para ambos. Esta es una propiedad que es independieme de la manern particular de medirla. El cuadrado de la distancia es x 1 + y 2 + z 2. ~ Y quC hay ahora en el espacio-tiempo? No es diflcil demostrar que aqul tenemos tambien algo que se mantiene igual, a saber, la r:ombinaci6n c212 x 2 - y 2 - z 2 es 1& mis ma antes y despues de la transformaci6n: Esta cantidad es, por lo tanto, algo que, Jo mismo que la distancia, es ··real" en cierto sentido; se !!ama inten,alo entre dos puntos de! espado-tiempo, uno de los cuales el origen. (Realmente, por supuesto, cs el intervalo al cuadrado, + z 2 es la distancia al cuadrado.) Le damos un nombre diferente geomet.ria diferente, pero Jo interesante es que s61o algunos sigque hay una c. Deshagfunonos de la c; es un absurdo si vamos a tener un espacio maravilloso con las x e y que pueden ser intercambiadas. Una de las confusiones que podria ser cam.ada por a\guien sin experiencia seria medir anchos, digamos, mediante el 3.ngulo subtendido por el ojo y medir profundidades de una manera diferente, como el esfuerzo muscular necesario para cnfocarlos, de rnanera que las profundidades esta rian medidas en pies y !os anchos en metros. Entonces uno obtendr\a un enredo enormemente comp!icado de ecuaciones al hacer transformaciones como la (17.2), y no seria capaz de ver la daridad y sencillez de la cosa por una simple raz6n tecnica, que la misma cosa se esta midiendo en dos unidades diferentes. Ahora bien en las ecuaciones (17.l} y (17.3) la naturaleza nos est:i. diciendo que el tiempo y el espacio son equivalentes; el tiempo se transforma en cspacio; dcben ser medidos en las mismas unidades. (.Que distancia es un "segundo"? Es facil de calcular a parlir de (17.3). Es 3 x 108 metros, la distancia que la luz rccorreria en un segundo. En otras palabras, si midieramos todas las distancias y tiempos en las mismas unida· des. segundos; entonces nuestra un!dad de distancia seria 3 x 108 metros y las ecuaciones serian mii.s sencillas. Otra manera de hacer las unidades iguales es que midiCramos el tiempo en metros. i,Que cs un metro de tiempo? Un metro de tiempo es el tiempo que demora la luz en avanzar un metro y, por lo tanto, es I /3 x 10- 8 segundos, o j3.3 milmillonCsimas de segundo! Deseariamos, en otras pa!abras, poner nuestras ecuaciones en un sistema de unidades en el cual c ·'- I. Si cl tiempo y e! espacio estii.n medidos en las mismas unidades, como se sugiri6, evidentemente las ecuaciones quedan mucho m:i.s simplificadas. Elias son x'= J2~· y' = y, z' = z, (17.4) 17-4 F1~1 17- 3 ld reg10" espac10-t1ernµo quemrlrJalmpuntoenelongion 17-5 Por lo tanto, eventos en esta regiOn pueden afectar el punto 0, pueden tener una influencia sobre d desde el pasado. En verdad, por supuesto, un objeto en P sobre el eje t negativo estil. precisamente en el "pasado" con respecto a O; es el mismo punto espacio que 0, s6lo que mas temprano. Loque sucedi6 ahi entonces afecta a 0 ahora. (Oesgradadamente, la vida es asi). Otro objeto en Q puede llegar a 0 movi6ndose con una cierta velocidad menor que c, de manera que si este objeto estuviera en una nave espacial y movi&idose, seria tambiCn el pasado de! mis mo pun to de espacio. 0 sea en otro sistema de coordenadas, el eje del tiempo podria pasar por 0 y Q. Luego, todos los puntos de la regi6n 2 estim en el pasado de 0, y cualquier cosa que suceda en esta regi6n puede afectar a O. Por lo tanto, la regi6n 2 se llama a veces pasado afectante, o pasado que puede afectar; es el lugar geometrico de todos los eventos que pueden afectar al punto 0 de alguna manera. La regi6n 3, por otro !ado, es una regi6n que nosotros podemos afectar df'sde 0 podemos "golpear'" cosas disparando "balas" a ve!ocidades menores que c. Lue_go es el mundo cuyo futuro puede ser afectado por nosotros y lo podemos Hamar el Juturo afectable. Ahora bien, lo interesante acerca de todo el resto de! espaciotiempo, es decir, la regi6n l, es que no podemos afectarla ahora des de 0, ni puede ella afectarnos a nosotros ahora en 0, porque nada puede ir mils rilpido que la luz. Por supuesto, lo que sucede en R puede afectarnos mtis tarde; es decir, si el sol est3. explotando "en este mismo momenta", nos toma ocho minutos antes que sepamos de ello, y no nos puede afectar de ninguna manera antes de entonces. Lo que entendemos por "en este mismo momenta·• es algo misterioso que no podemos definir y no podemos afectar, pero nos puede afcctar mils tarde, o podriamos haber afectado si hubieramos hecho algo con suficiente anterioridad en el pasado. Cuando miramos a la estrella Alfa Ccntauro, la vemos como era hace cuatro aiios, podriamos preguntarnos c6mo es "ahora ". ·• Ahora" sign!fica al mismo tiempo desde nuestro sistema de coordenadas especial. Podemos ver Alfa Centauro solamente mediante la luz que ha venido de nuestro pasado, hasta hace cuatro aiios, pero no sabcmos lo que estil haciendo ··ahora "; van a pasar cuatro aiios antes que lo que estit hacienda "ahora·' pueda afectarnos. A!fa Centauro "ahora" es una idea o concepto de nuestra mente; no es alga que sea rea!mente definib!e fisicamente en este momenta, porque tenemos que esperar para observarlo, no podemos siquicra definirlo "ahora" mismo. Ademiis, el •·ahora" depende de! sistema de coordenadas. Si, por ejemplo, Alfa Centaurq se estuviera moviendo, un observador aUi no estaria de acuerdo con nosotros porque pondria sus ejes formando un ingulo, y su "ahora" seria un tiempo ··diferente·'. Ya hemos hab!ado del hecho de que la 5imultaneidad no es una cosa Unica. Hay adivinos, o personas que nos dicen que pueden conocer el futuro y hay muchas hermosas historias acerca de! hombre que sUbitamente descubre que tiene conocimiento de! futuro ifectable. Bueno, hay muchas paradojas producidas por eso, porque si sabemos que algo va a suceder, podemos asegurarnos que lo evitaremos hacienda lo necesario en el momenta preciso, etc. Pero en realidad, no hay ningUn adivino que pueda decirnos ni siquiera el presente. No hay nadie que pueda decirnos qne estil sucediendo realmcnte en este mismo momenta, a una distancia razonable, porque no es observable. Podriamos hacernos esta pregunta que dejamos al estudiante que trate de contestar: &Se produciria alguna paradoja si sUbitamente se hiciera posible conocer cosas que estan en intervalos de tipo espacio en la regiOn l? 17-6 17-4 Mas acerca de loo cuadrivectores ahorn a nuestras consideraciones sobre la an&'ogia de la transLorentz y las rotaciones de ejes espaciaies. l-l emos aprcndido la uti· otras cantidades que· tienen las mismas prop1edades de transformacoordenadas, para formar lo que llamamos vectores, lineas dirigidas. En rotaciones ordinarias, hay muchas cantidades que se transforman de la z con una rotaci6n: !{or ejemplo, la velocidad tiene tres comcuando se las observa en un sistema diferente de comp-0nentes es la misma, sino que se han transformade alguna manera, la velocidad "misma" tiene mayor sus componentes particulares, y la representamos por un segmento Preguntamos por lo tan to: ;,Es verdad o no que existen cantidades que se trans· forman o que estan relacionadas en un sistema en movimlento y en un sistema inmOvil de ta misma manera que x, y, z y t? Por nuestra experiencia con vectores sabemos que tres de las cantidades como x, y, z constituirian las tres componentes de un vector espacial ordinario, pero la cuarta cantidad pareceria un simple escalar en una rotaci6n espacial, porque no cambia mientras no vayamos a un sistema de coordenadas en movimiento-. i,Es posible, entonces, asociar con algunos de nuestros "trivectorcs" un cuarto objeto, que !!amariamos !a "componente tiempo", de tal mancra que los cuatro objetos juntas "roten" de la misma manera que la posici6n y el tiempo en el e~pacm-tiempo? Vamos a mostrar ahora que hay ciertamente, por lo menos, un objeto asi (hay muchos en realidad): las tres componentes def mose rrans.forman conjuntamente mentum y la energ{a coma lu demostrar esto, ya que cs muy para !weer lo que llamamos 1111 inconveniente tener que escribir c en partes, usaremos cl mismo truco refcrente a unidadcs de energia, de masa y de momentum que usamos en la ecuaci6n (17.4). Energia y masa. por ejemplo, difieren sblo en un factor c 2 lo quc es simp!emente una cosa de unidades. de mancra que podemos decir que la energia es ia masa. En vez de tener que escribir la c 2 ponemos E = m, y entonces, por supuesto, si hay algUn contratiempo, pondremos de nuevo c en cantidad apropiada de manera que las unidades se corrijan en la U!tima ecuaci6n, pero no en las intermedias. Luego, nuestras ecuaciones para !a energla y la cantidad de movimiento son (17.6) p "-" mv = m 0 v/V I - v2. 1 ambiCn en estas unidades tencmos 17-7 lo tafllo. tamos que E' ~ (17.10) que rcconm:cmos q>Je tiene exauarncnte la misma fof'ma 4ue A co:llinuaci<in, simpkmente 12. cm:untrar la nueva can:idad de movim1ento p'x v', r; ;nu):ip!icada por E~to e~ 17-8 y es expresada tambi6i en forma simple en tfu-minos de E y p: mrJJ - mou ~V1-u 2 • Asi p~ ~/1 ~~ u~ ' = (17.11) que reconocemos que tiene precisamente la misma forma que x'=:1--u~2· Luego, las transformaciones para la nueva energia y momentum en tfu-minos de la energia y el momentum antiguos son exactamente lo mismo que las transformaciones para t' en tf:rminos de l y x, y de x' en tfu-minos de x y t: todo lo que tenemos que hacer es, cada vez que vemos ten (17.4) sustituirla por E, y cada vez que veamos x sustituir!a por Px, y entonces las ecuaciones (17.4) van a ser iguales a las ecuaciones (17.IO) y (17.11). Esto implicaria, si todo resulta bien, una regla adicional: JI y =Py y ff z =Pr Para probar esto, se necesitaria volver atras y estud~ar el caso de! mov1miento hacia arriba y hacia abajo. Realmente, nosostros estudiamos el caso de! movimiento hacia arriba y hacia abajo en el Ultimo capitulo. Analizamos un choque complicado y notamos, en realidad, que el momentum transversal no se cambia cuando se observa dcsde un sistema en mov1miento: asi que ya hemos verificado que p'} =pl' y p', =Pr La transformaciOn completa es entonces P~1 = p~ = P~· (17.12) p, E' = f_=-_~. VI~ 11 2 En estas transformaciones, por lo tanto, hemos descubierto cuatro cantidades que se transforman como x, y y t y que l!amamos cl cuadrivector momentum. Como el momentum es un cuadrivector, sc le puecle reprcsentar en un diagrama espaciotiempo de una particula en movimicnto como una "flecha" tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 17-4. Esta flecha tiene una componente temporal igual a la energia y sus componentes cspaciales representan su trivector momentum; esta flecha es mils "real" quc la cncrgia o cl momentum, porque i:stos dependen precisa mente de la mancra en que miramos el diagrama. Fig 17-4 El cuadnvector momentum de una pi11t1cula 17·9 17-5 Alegebra de ios c:iadriveir.tore§ 2.:P.11 -- LP11 (17.IJ) o, en una notaci6n Hgernmcntc diferente (17.14) 17-10 En analisis vectorial discutimos otra cosa, el producto escalar de dos vectores. Consideremos lo correspondiente en el espacio-tiempo. En una rotaciOn ordinaria descubrimos que habia una .cantidad que no cambiaba x 1 + y 1 + z~ En cuatro dimensiones la cantidad correspondiente es !2- x 1-y1- z1 (Ec. 17.3). ;,COmo podemos escribir eso? Una manera seria escribir alglm tipo de cosa cuadrimensional con un punto cuadrado en el medio, ta! como Aµ0Bµ; una de las notaciones que se usan realmentees (17.15) La prima en L significa que el primer tb'mino, el termino "'temporal''. es posrtivo pero Jos otros tres tfrminos tienen signo negativo. Esta cantidad, entonces, va a se( la misma en cualquier sistema de coordenadas, y podriamos llamarla cuadrado de la longitud del cuadrivector. Por ejemplo, t,cuhl es el cuadrado de la longitud del ~~~ri;:fi:~asmpm~~~~~::ueu~:b::~!c~~e? p~;!aE~g~~u:::fi ~ijr_?p2rJeb:1~r ~al~~ que es lo mismo en todo sistema de coordenadas. En particular, debe ser lo mismo para un sistema de coordenadas que se mueve junto con la partlcula, en el cual la particula estil en reposo. Si la particula estil en rep:.iso no tiene momentum. Luego en este sistema de coordenadas es su energia solamente, que es lo mismo que su masa en reposo. Por lo tanto, !::?-- p1- = m~, Vemos asi que el cuadrado de la longitud de este vector, el cuadrivector momentum, es igual am~. Del cuadrado de un vector, podemos proseguir e inventar el "producto escalar ", el producto que es un escalar: si aµ es un cuadrivector y b1, es otro cuadrivector. el producto escalar es Es el mismo en todos los sistemas de coordenadas. Finalmente mencionaremos algunas cosas cuya masa en repvm fot6n de luz, por ejemplo. Un fot6n es como una particula, en el energia y momentum. La energia de un fot6n es una cierta constante, t:imhleri tante de Planck, multiplicada por la frecuencia de! fotOn: E = hi'. Este Deva momentum, y el momentum de un fot6n (ode cualquier particula. en reahdad) es h dividida por la longitud de onda: p = hf.A. Pero para un fot6n, hay una relaciOn bien definida entre la frecuencia y la longitud de onda: i· = c/.l. (El nllmero de ondas por segundo multiplicado por la longitud de onda de cada una. es la distancia que la luz recorre en un segundo que es, por supuesto, c.) Vemos asi inmediatamente que la energia de un fotOn debe ser el momentum multiplicado por c, o sic~ I, la energia y el momemum son iguales. Es decir, L1 masa en reposo es Cl.'ro. Ob~erve mos esto de nuevo; es bastante curioso. Si tenemos una particula de ma~a en reposo cero, t,que pasa cuando se detiene? jNunca se detiene! Siempre va a .eloc,dad t,Podemos eke~ que La formula corriente para la energia es m0 / ,·ero; y v = I, de manera que la energia sea cero? No podemM declf que realmente puede (y debe) tener energia aunque no tenga masa en reposo; pero ila posee yendo perpetuamente a la velocidad de la luz! vr=vr: 17-11 TambiCn sabemos que el momentum de cualquier particula es igual a su energia total por su velocidad: si c = 1, p =- vE o, en unidades ordinarias, p "---' vE/c 2• Para cualquier particula que se mucve a la ve!ocidad de la \uz, p = E si c = l. Las formulas para !a energia de un fot6n vistas desde un sistema m6vil estin, por supuesto, dadas por la ecuaci6n (17.12), pero debemos sustituir cl momentum por la energia multiplicada por c (o por I en este caso). Las diferentes energias despuCs de la transformaci6n signilican que hay frecuencias diferentes. Esto se llama efecto Doppler, y se puede calcular facilmente a partir de la ecuaci6n (17.12). usando tambiCn E=py E= hi:. Como dijo Minkowski, "el espacio en si y el tiempo en si se van a sumergir en mera~ sombras, y s61o una cierta uni6n cnrre cllos va a sobrcvivir. 17-12 18 RotaciOn en dos dimensiones 18·1 El eentro dt masas 18-3' Momentum angular 18-2 RotaciOn de un cuerpo rigido 18-4 ConservaciOn del momentum angular 18-1 El centro de masa En los capitulos anteriores hemos estado estudiando la med.nica de las puntos o pequeiias particu!as cuya estructura intcrna no no~ preocupa. En los proximos capitu!os vamos a estudiar la aplicaciOn de las leyes de Newton a cosas mils complicadas. Cuando el mundo se pone mils comp!icado. se pone tambiCn mils interesante y vamos a encontrar que !os fenOmenos asociados con !a mecilnica de un objeto mas complejo que un punto son bastante sorprendentes. Por supuesto, estos fen6- menos encierran solamente combinaciones de las leyes de Newton, pero a veces es dificil decreer que solamente F = ma esta en juego. Los objetos mits complicados con que tratamos pueden ser de diferentes tipos: agua corriendo, galaxias arremolimi.ndose, etc. El objeto "complicado" mils simple de analizar, aI principio, es lo que llamamos un cuerpo rigido, un objeto s6lido que esta rotando a medida que se mueve. Sin embargo, aun un objeto tan simple puede tener el movimiento m8.s complejo, y por lo tanto vamos a considerar primero los aspectos m<is simples de este movimiento, en el cual un cuerpo extenso rota alrededor de un eje ftjo. Un punto dado en ese cuerpo se mueve entonces en un piano perpendicular a este eje. Esta rotaci6n de un cuerpo alrededor de un eje fijo se llama rotaci6n plana o rotaci6n en dos dimensiones. Despui:s generaJizaremos e! resultado a tres dimensiones, pero al hacerlo vamos a encontrar que, a diferencia de! caso de la meciutica ordinaria de particulas, las rotaciones SOIJ sutiles y dificiles de entender a menos que primero obtengamos un s6lido fundamento en dos dimensiones. El primer teorema interesante acerca de] movimiento de objetos complicados se puede observar en acci6n si tiramos al aire un objeto hecho de muchos bloques y paios unidos con cuerdas. Por supuesto sabemos que sigue una parabola porquc Jo estudiamos asi para una particula. Pero nuestro objeto ahora no es una particula; se bambolea y se agita, etc. Sin embargo, sigue una parcibola; uno lo pucdc ver. t,Qui: es lo que sigue una paritbola? Ciertamente no el punto en la esquina de! bloque, porque i:se estil. bamboleitndose; tampoco es el extrema del palo, o ia m11ad del palo, o la mitad del bloque. Pero algo sigue una paritbola, hay un "ccntro" efecti~o que se mueve en una parabola. Asi pues, nuestro primer teorema 18-1 complicados es demostrar que exisie una posiciOn media que sigue que es definible matemitticamente, pero quc no es necesariamcntc un material mismo. Sc llama tcorema del centro de masa y la demostraciOn Podemos c,;onsiderar c,;ualquier objeto como constituido por muchas particulas chicas, los iltomos, con diversas fuerzas entre ellas. Sea i el indice quc define a una de !as partkulas. {Hay milloncs de ellas, de mancra que i llega a lOH o alga por cl esti!o.) Entonces la fuerza sobre la particula i es, por supuuesto, la masa por la acdcrnci(m de esa particula: (18.1) capitulos nuestros objetos en movimiento van a ser objetos en las partes se estitn moviendo a velocidades mucho menores que la !uL, y vamos a usar las aproximaciones no relativistas para todas F n cstas circunstancias, la mas a es constante, luego (18.2) sobre todas las particulas, es decir, si tomamos la indices diferentes, obtenemos la fuerza total F. obtcncmos lo mismo que si hubicramos sumado °"F· ~ F ~ -'-;' 'J.nltiplica1ks por bien, ' d'(Lm"1. dt 2 (18.3) fui:rni total es la segunda derivada de la suma de las masas po:>icioncs. su~, total en todas !as particulas es la misma que la fuerza hay toda clase de fuerzas sobre las particulas debi!os tirones y los empujones y las fuerzas atOmicas que sumarlas, nos salva la tercera ley de :-:ewla acciOn y la reacciOn son igua\es, de mancra ~;;umamos \NUS ecuacioncs, si dos partlculas tienen fuerzas entre · u.nulan U' :.1 suma; luego, el resultado neto es solamcnte las fucrzas utrn~ µaniculas que no estil.n !ncluidas en el objeto cualquiera sobre l'or !o tanto si la ecuaciOn (18.3) es la suma sobre un cicren conjunto sc llama ··c] objeto ··, la fuerza externa a la suma de todas las fuerzas sabre todas sus particu(18.3) como la masa total que M es la suma de todas un cierto vector R como (18.4) eu.:m:i6n (18.3) va a <;er simplemente (18.5) 18-2 posici6n promedia de todas las ~Es, por lo tanto, la no podemos mover el para propulsar una parte botada. En otras palabras, un poco de gas desde la nave hacia un Jado mientra~ que estit todavia exactamcnte donde la parte en !a cual estamos interesados. El segundo runto acerca dd ctnlro Jc troducimos en nuestra mente de Jos movimicntos rar en nuestra discus1611 de !a 18·2 RotaciOn de un cu~rpo rigido rna~a. quc c~ la causa ne<:esita para describir la posicion de ese punto es un angulo. De manera que la rota· ci6n consiste en el estudio de la variaci6n de un imgulo cone! tiempo. Para estudiar la rotaci6n, observamos el 3.ngulo en el cual ha rotado el cuerpo. Por supuesto, que no nos estamos refiriendo a ningUn :ingulo particular dentro de! objeto mismo; no es que dibujemos alglln ilngulo en el objeto. Estamos hablando de! cambio angular de la posiciOn de todo el objeto, de un instantc al siguiente. Primera, estudiemos la cinemittica de las rotaciones. El itngulo va a cambiar con el tiempo y de la misma manera que hablilbamos de posici6n y velocidad en una dirnensi6n, podemos hablar acerca de posiciones angulares y velocidades angulares en la rotaci6n plana. De hecho. hay una relaci6n muy interesante entre la rotaci6n en dos dimensiones y el desplazamiento en una dimensi6n, en la cual casi toda cantidad tiene su an:i\ogo. Primera tenemos el <ingulo II que define en cu<into ha girado el cuerpo; csto recmplaza la distancia )', que define en cu<into se ha desplazado. De la misma manera, tenemos una velocidad de rotaci6n. r,, = dO lilt. que nos dice cu:into cambia el 3.ngulo en un segundo. asi como I'= ds!dt describe lo r<ipido que una cosa se mueve, o hasta d6nde se mueve en un segundo. Si el 3.ngulo se mide en radianes, la velocidad angular 1,1 va a ser tantos radianes por segundo. Mientras mayor es la vdocidad angular, mils rilpido gira el obJeto y mils rilpido cambia el :ingulo. Sigamos: podemos derivar la velocidad angular con respecto al tiempo y podemos llamar a rt = do1 ldt = d 1 0 /dt 2 la aceleraciim angular. Seria el an.iilogo de la aceleraci6n ordinaria Fig. 18-1 b1c111nens1unal C1nernat1ca de una rotac16n Ahora, por supuesto, vamos a tener que relacionar la dini1mica de la rotaci6n a las !eyes de la dinii.mica de las particulas de las cuales el objeto esta hecho, de manera que debemos averiguar cOmo se muevc una particula cuando la velocidad tomcmos una cicrta particula que estit !ocaliangular es tal y tal. Para hacer que est3. en una cierta posici6n P(x, _r) en zada a una distancia r del ejc y un instante dado. de la manera usual un momento ~! mils tardc el iliigulo del objeto total ha girado en es arra~trada con ti. Esta al mismo radio desde O que estaba Lo primero que deseacu.iinto cambia cambia la distancia r. riamos ~aber es Si llamamos r a cl largo de PQ es sc definen !Os <ingulos. El Je x, de rJll en la direcciOn x: J.x = l'Q sen 0 - r .11) (y/r) = - y Ll(}. (l8.6) Anillogamente, .1r l··x .ie. (18.7) 18-4 Si el objeto estil girando con una velocidad angular dada to, encontramos dividicn" do ambos miembros de (18.6) y (18.7) por jt, que la velocidad de la particula es 1·,,. = -wy (18.8) l'u = +wx. Por supuesto. si qucremos encontrar el m6dulo de la velocidad. escribimos simplemente I'~ +-~ = ,/W2y~-+~~Xl = w\/X~ = wr. (18.9) v,,; +YI No deberia ser un misteno que el valor de! m6dulo de la ve!ocidad es tur; de hecho, deberia ser patentc. porquc !a distancia quc s.e mueve es rJ(J y la distancia que se mueve por segundo es r_\0/Jr 6 rr.i. Pasemos a considerar la dini:im1ca de la rotac10n. Aqui debemos introducir un nuevo concepto. fucrrn. Jnvcstiguemos s1 podcmos inventar alga que Jlamaremos wrque (L. /orquere, que tiene la misma relaci6n con la rotacion que la fuerza L1na fucrza es. la cosa que se necesita para hacer un tiene con el mo~1rmcn10 movimiento lineal y la co~a quc hace rotar a alga es una "fuerza rotatoria ·· o una .. fuerza torcedora". es dccir. un torque. Cualitativamente, un torque es una '"torsiOn": «.quc es un torque cuant1tativamentc'! Vamos a !lcgar a la teoria de los tor qu.;s cuandtativamcnte r~tudiando el trabaJO realizado al girar un objeto. porque una manera bomta de defimr una fuerza es decir cuan!P trabajo rca!iza cuando actUa durante un dcsp1azamiento dado. Vamos a tratar de mantcner la ana!ogia entrc canel trabajo que hacemos cuando rotamos un tidadcs lineales y angulares poqu1to algo sobre el cua! actuando fucrnis al 101q11c multiplicado por el Ung11/o que gira. En otras \'amos. a arreglar la defimcion de torque de matenga una analogia fuerza por la disnera que el tcorema del nos dice lo que tancia e~ trabajo y el torque por cl i·mgulo va a ser cs cl torque. Considcrcn. por e.1emplo. un cuerpo lipo con divcrsas cuerpo ConcentrCmonos fuerzas actuando en Cl. y un eje alrededor del una fucua ) supongamos que e~ta sc aphca en un cierto punto trabajo se realizana s1 rotaramos el objcto en un .imgulo muy pequeiio? El trabaJo rcalilado cs (18.lO) .'\'ccc:,1tarnm obtencr ~lllamcnte sustituir las ecuacioncs (18.6) y (18.7) para J.x y .2iypara D.W = (xFu ~ yF_,.) ..'..&. (18.11) 0 sea, la cantidad de trabajo que hemos realizado es, de hecho, igua1 al ilngulo en el cua! hemos girado el objcto, multiplicado por una extrarla combinaciOn de fuerza y distancia. Esta "extraiia combinaciim" es lo que llamamos torque. De manera que definiendo cl cambio en el trabajo como cl torque multiplicado por el ingulo, tenemos ahora la formula de! torque en funciOn de las fuerzas. (Evidentemente. el torque no es una idea completameme nueva independiente de la mecarnca de Ne'-tton: el torque dcbc tcner una dcfmiciim definida en tCrminos de la fucrrn.) 18-5 Cuando hay varias fuerzas actuando, el trahajo cs, por supuesto_ la suma de los trabajos hechos por todas las fuerzas de manera que ...'!. W a ser de un montOn de ierrninos, correspondicntes a todas las fucr1as. cua/es cs proporcional, sin embargo. a 110. Podcmos sacar factor decir que el cambio en el trabajo cs igual a la suma de todos los todas las diversas fuerzas que estitn actuando. multiplicada por ...'!. 11. podriamos llamarla torque total T. Asi, los torques se suman mediante leycs ordinarias del illgebra, pcm mils tarde veremos quc csto sl)[o es asi porquc estamos trabajando en un piano. Es lo mismu que la cinemiltica unidimensional. donde las fuerzas simplemente se suman algebr.iticamente, pero sOlo porqt1e estan todas en la misma dirccciOn. Es miis complicado en tres dimensioncs. Asi. para una rotaci{in bidimcnsional. T; --c x 1Fyi - y,f~; (18.12) (18.13) Debe hacerse t:nfasis quc el torque es respecto a un eje Jado. Si se cligc un eje dife rente, de maneta que todos los x, c Y; cambian, cl valor de! torque cambia tambiCn en general. Detengitmonos ahora brevemente para notar que nucstra introducciOn anterior de torque a partir de la idea de trabajo nos da un resultado sumarnente importantc para un objcto en cquilibrio: si todas las fucrzas sobre un ohjcto cstitn cquilibradas tanto para traslaci(m coma para rotaciim. entonces no solamcnte 1afuer::.u re5ultante es cero, sino que tambiCn el total de todos los torques cs ccro, porquc si un objeto est3. en equi!ibrio, las fuer:as- no realizan ningUn trabajo [Jara un dcs[Jlu:u mienlo pequefio. Por lo tanto, ya quc ,1 W '----T .10 '--- 0, la suma de todos los torques es cero. De mancra quc existen dos condiciones para el equilibria: que la suma de la~ fuerLa~ sea cero y que la suma de los torque~ sea cero. Dcmuestren que cs suficicnte ascgurarse quc !a surna de los torques respecto a un eje cualquiera (en dos dimensiones) es cero. '~6~~-·----..__ , ,___, '· '\'~~ s ----------"---- p f F "I 18 2 ti lor<1wc p1uducnl" pu1 l>llcl fu1Jr/" Considercmos ahora fuerza y tratemos de avcriguar, gcomClricamente, a qui: corresponde esta xF, --yF,. En la figura 18 2 vcmus una fuef7a F actu1mdo en un punto r. el cibjeto ha rotado en un pequeilo <ingulo .1(1, el trabajo realizado. es la componente de 1a fucrza en la direccibn <lei desplazamiento ······:•··:· ••... ,.... cl dcsplazamiento. En otras palabras. es siJlo la componentc la la que cuenta y i:sta dcbc scr mu!tiplicada por !a distancia lo tanto, vemos que el torque tambien es igual a la componcnte fuerza (perpendicular al radio) multiplicada por cl radio. Esto de acuerdo con nuestra idea ordinaria Je 10rque, porque si !a fuerza c~n,plel.om<<n.te. radial, no daria ninguna "torsi.On" a! cuerpo; cs evidcntc que el incluir sOJo aque!!a parte de la fuena que no tira por d 1:eritro y eso signifir.:a la 18-6 componente langenciaL Ademits est a c!aro que una fuer za dada es mas cfectiva con un brazo largo quc ccrca de! cje. De hecho, ~i tomamos el caso de empujar justo sohre el eje, mo estamos torciendo en absoluto! De mancra que tiene sentido que la cantidad de torque sea proporcional tanto a la distanc1a radial cumo a la compola fuerza. nente I lay todavia una terccra formula para el torque que es muy interesante. Hemos recien que el torque es la fuerza por el radio y por el seno del iingulo n. en la 18-2. Pero si extendemos la linea de acci()n de la fuerza y dibujamos la linca perpendicular a la linea de accibn de la fuerza (el hra::o de palanca notamos que este bra10 de palanca es mas corto que r justamente en la m1sma proporciim que la parte tangencial de la fuerza e5 menor que la fuer1a total. Por lo tanto. la formula dcl torque tambiCn sc pucdc e~cribir como el mOdulo de la fuer za por el largo de! brazo de palanca. El lorqt1e ~e !lama tambicn a menudo el 1110111e11to de la fuerza. El origen de este tCrmmo es oscuro. rero pucde ser rclacionado al hecho que ··momenta·· se deriva dcl latin moFimcnrum, y quc la capacidad de una fuerza para mover un objeto (usan do la fucrrn en una palancal aumcnta con el largo del brazo de palanca. En matemii.ticas "momenta" significa ponderado por lo alejado que est ii de! eje. I 18-3 l\lomenmm angular Aunquc hasta ahora hemos considcrado solamcntc el caso especial de un cucrpo rigido. las propiedadcs de los torques y sus re!ac1ones matem3ticas ~on interesantes tamb1Cn, aun cuando un objcto no sea rigido. En realidad podemo~ demostrar un muy notable: de la m1sma mancra que una fucrza externa cs la rapidez de de una cantidad p quc llamamos momentum total de un conjunto de paras1 el torque externo es la rapidcz de variacion de una cantidad l que 11wme11111m a11g1dar del grupo de particulas. " m ',\ 0 f1c1 18-3 U1ld µdrtlCllld n1ueve cllredeclor de Lill E'JC 0 18-7 direcciOn x o yes la rnasa por la aceleracion en la Jireccion soy; 'T = = xFy - yFx xm(d 2y/dt 2 ) - ym(d 2 xjdt 2 ). (18.14) Ahora, aunque csto no parece ser la derivada de ninguna cantidad simple, es en realidad la derivada de la cantidad xm (dy/ dl) - ym (dx! dt): d[xm ("2'dt ) - ym (~)] ~ xm (d'y) + (~) m ("E) dt dt dt (~~) (1i) (*) xm (~;~) dt~ dt - ym - m = (18.15) ym (~:~) · iDe mancra que es cierto que el torque es la variacion de alga en el tiempo! ,""Jos fijamos cntonces en el "algo'", le damos un nombre: lo llamamos L, la cantidad de movimiento angular: L = xm(dy/dt) - ym(dx/dt) (18.16) Aunque esta discusi6n no es relativlsta, !a segunda forma para L dada mas correcta dcsde el punto de vista relativista. jHemos encontrado asi quc un ani!ogo rotacional para d momentum y que estc an.it!ogo, el momentum angular, esti1 dado por una cxpresi6n en terminos de 1:.~ :-cimponentes del momentum lineal quc es justamente igual que la formula para el torque en terminos de las componentes de la fuetza! Asi, si qucremos conocer el momentum angular de solamente la componente tangencial dcl una particu!a respccto a un eje, momcmtum y la multiplicamos En otras palabras, lo que vale para el momentum angular no es cu~m se mueve desde el origen, sino cuUnto se mueve a!rededor de[ origen. SOio parte tangcncial del momentum vale para el momentum angular. Adem:is m:is lcjos est<'t la linca de! momentum mayor cs el momentum angular. Y ya que los hechos geomCtricos son los mismos la cantidad por p o F, es cierto quc hay un brazo de el de la en la particula!) que se la y encontrar distancia perpendicular el momentum angular cs el mOdu!o dcl momentum por el brazo de De manera quc trcs formulas para cl momentum que tenemos tres para el torque: L = xp, 1 - YP" -_ p,!Jra::o de palnncu Lo respecto (18.17) quc d torque. el momentum angular depende de !a posiciOn de[ ejc con cual se va a Cillcular. esta la 18-8 La fucrza estii dirigida hacia el sol. t,Cu.ii! es, entonces, el torque en el objeto? Por supuesto. esto depende de donde tomemos el cje, pero obtenemos un resul· tado muy simple si lo tomamos en el sol mismo. ya que el torque es la fuerza por et brazo de pa!anca o [a componente de la fuerza perpendicular a r multiplicado por r. Pero no hay fuerza tangencial iluego no hay torque con respecto a un eje en e! sol! Por !o tanto, el momentum angular del p!aneta quc gira alrededor del so! debe quedar constante. Veamos lo que eso significa. La componente tangencial de la veloddad por la masa y por el radio va a ser constantc, po[que esto es el momentum angular, y la rap1dez de variaciOn del momentum angular es el torque y en este problema et torque es cero. Por supuesto. ya que In mas.a tamhi0n c<, una con~tantc. csto s1gnifica que la velocidad tangencia! por el radio es una constante. Pero esto es alga que ya sablamos en el movimicnto de un p!aneta. Supongan que consideramos una pequeila cantidad de tiempo ..11. i,Cuanw ~a a a~anzar el planeta cuando se mueve de Pa Q (Fig. 18-3)? (.Que drea va a barrer? Dcspreciando la muy pequeila 3.rea Q(!P frente a! iirca OPQ que es mucho miis grandc. es. simplementc la mitad de la base PQ por la a1tura OR. En otras palabras, el iirea barrida en la unidad de tiempo va a ser igual a la vclocidad por el brazo de palam.:a de la velocidad (por un medio). Asi, la velocidad de cambio del area es proporciona! al momentum angular, que es constante. De manera que la ley de Kepler sobre area~ 1gualc~ en t1cmpo\ igua!es es una descripciOn en palabras del enunciado de la !cy de conscrvaciOn dcl momentum angular, cuando no hay torque producido por !a fuerza. 18-4 Con.!>ervacion def momentum angular Ahora vamos a considerar quC sucede cuando hay un gran nUmero de particulas, cuando un objeto estii hccho de muchos pcdazos con muchas fuerzas actuando entre ellos y sobre ellos desde el extenor. Por supuesto, sabemos ya. que alredcdor de cualqu1er eje fijo dado, el torque sobre la particula i (que cs la fuerza sobre !a particu!a i por el brazo de palanca de esa fuerza) es igual a la rapidez de variac1on de! momentum angular de esa particula y que e! momentum angular de la particula i es su momentum por el brazo de pa!anca de su momentum. Supongamos ahora que sumamos [os torques T, para todas !as partfculas y Jo Jtamamos torque totalT. Entonces Cste va a scr la variacic'.m d~ la suma de los momenta angu]are~ L, de todas las particu!as, y esto define una nueva cantidad que llamamos el momentum angular total L. Asi coma cl momentum total de un objeto es la suma de los momenta de todas sus partes, asi e! momentum angular es la suma de los momenta angularcs de todas las partes. Luego la variaciOn de] l total es el torque total (18.18) Ahora bien, podria parecer que el torque total es una cosa comp!icada. Est<ln todas esas fuerzas internas y todas las fuerzas extemas a considerar. Pero, si hacemos quc la le} de Newton de acciOn reacc1on d1ga, no s1mplemente que la acc10n reacc10n son que cstiln d1rq:1das en 1en1ido1 a lo largo (~cv.ton pucdc habcr d1chu e>to lo supu<;o los dos torques sobre los ohjetos quc est<in reaccionando, debido a sus interacciones, van a ser iguales y opuestos porque los brazos de palanca para cualquier eje son iguales. Por lo tanto, los torques internos se anulan de a pares, y asi tenemos el notable teorema que jla rapidez de variaci6n del mome111um angular total respecto a cualquier eje es igual al torque externo respecto a ese eje! r = I: r; = T 0 x1 = dl/d1. (18.19) Tenemos entonces un teorema muy poderoso rcferente al movimiento de un gran conjunto de particulas, que nos permite cstudiar al movimiento en conjunlo sin tener que cx:aminar la dctallada maquinaria quc hay adentro. Este teorema es vitlido para cualquier conjunto de objetos, formen un cuerpo rigido o no. Un caso sumamente importante del teorema anterior es la ley de conservaci6n def momentum angular: si ningUn torque externo actUa sobre un sistema de particu !as, d momentum angular se mantiene constante. Un caso especial de gran importancia cs el de un cuerpo rigido, csto es. un objeto de una forma definida que estit rotando. Considerese un objeto que tienc sus dim~nsiones geomCtricas fijas y que estit rotando en torno a un eje fijo. I.as divcrsas panes dd objcto manticncn la misma relac!On entre si en lodo instantc. Tratemos ahora de encontrar el momentum angular total de este objeto. Si la masa de una de sus particulas es m,, y ~u posici('m o localizaci6n esta en (x,, _l',) entonccs cl pro blema es encontrar el momentum angular de c~a partintla. ya quc cl nwrncntum angular total c~ la suma de los momenta angulares de tales particulas en el cucrpo. Para un objcto que se mueve en un circulo, el momentum angular, por supucsto, es ta masa por la velocidad por la distancia al cjc, y la velocidad cs igua! a la velocidad angular por la distancia al eje· (18.20) o sumando con rcspecto a todas las particulas i, ohtenemos L donde I"""' lw, (18.21) L: m.r~. (18.22) = Este es cl ani1logo de la ley seglln la cual el momentum cs la masa por la veloci dad. La velocidad se reemplarn por la vciocidad angular y vemos que la masa queda reempla1ada por una cosa nueva quc llamamos el mnme/l/o de inercia /, que cs anii logo a la masa. Las ccuaciones (18.21) y (!8.22) dicen que un cucrpo ticnc inercia de rotaciOn que depende no precisamcnte de las masas, sino en lo !ejos que esuin def eje. Asi, si tenemos dos objetos con la misma masa, cuando ponemos las masas mas alejadas de! ejc, la inercia de rotaciOn va a ser mayor. Esto se demuestra facilmente mediante el dispositivo mostrado en la figura 18-4, donde se impide que un peso M caiga muy nipido porque debe haccr girar una larga barra pesada. Al principio. las masas m cstitn cerca de! eje y M aumenta su velocidad a un cierto ritmo. Pero cuando cambiamos el momcnto de incrcia al 18-10 poner las masas m mucho mils lejos del eje, entonces vemos que M acelera mucbo menos ritpidamente que antes, porque el cuerpo tiene mucho mils inercia contra la rotaciOn. El momento de incrcia es la inercia contra la rotacilm y es la suma de las contribuciones de todas las masas por el cuadrado de sus d1stancias aJ eje. 18-4. La ··1nerc1a de rotac1on dedel brazo de palanca doc Ids masas Hay una difcrencia 1mponantc entre masa y momento de inercia que e~ espectacular. la masa de un objeto no cambia nunca. pcro su momento de inerc1a se puede cambiar. Si nos paramos enc1ma de una tarima rotatona sm roce con nuestros brazos cxtendidos y sostenemos unos pesos en nucstras manos mientrns rotamo1> lentamente, podemos cambiar nuc~tro momt:nto de inercia juntando nuestros bra1os, pero nuestra masa no cambia. Cuando hacemos esto, todo tipo de cosas maravil:osa1> suceden debido a la ley de conscrvaciOn del momentum angular: 1>i cl torque externo es cero, entonces cl momentum angular. el momento de inercia por omega, se mantiene constante. Inicialmeme est<ibamos rotando con un momento de inercia grande / 1 a baja velocidad angular 01 1 y el momentum angular era / 1 ;,1 1. Despues cambiamos nucstro memento de incrcia a! juntar nuestros brazos a. digamos. un valor !!. Entonces el producto [,,,, que debe ·mantenerse igual porque el momentum angu[ai total debe permanecer coni;tante, fue 12 o) 2 • Por lo tanto / 1 1,1 1 -= 12 1,1 2. De manera que si disminuimoi el momenta de inercia debemos aumentar la velocidad angular. 19 Centro de rn<tsa; niornento de inercia 19-1 Propiedades del centro de masa 19-3 19-2 La ubicaciOn del. centro de masa 19-4 La obtenciOn de! momento de inercia Energia cinetica de rotaciOn 19-1 Propiedades del centro de masa un gran numero de fucrzas estii acoue las particulas integren otra cosa, y ca!culamos la por supuesto, porque las cuerpo en su totalidad y un cicrto punto "dcntro" del cuerpo, neta resultante produce una concentrada ahi. Discuta La ubicaciOn de\ centro de rnasa (abreviado CM) estii. dada por la ecuacion 19-1 nUmero de veces proporc1onal a !a masa, como si estuviera dividida en "pequeiios gramos''. De aqui es muy facil dcmostrar que X debc estar en algUn lugar entre la mayor y menor x y, por lo tanto, esta dentro de la envo!tura que incluye todo el cuerpo. No necesita estar en el m11tPrial del cuerpo. porque el cuerpo podria ser un circulo, como un aro, y el centro de masas estil en el centro de! aro y no en el aro Por supucsto que si un cucrpo es simetrico en alguna forma, por ejemp!o un rectfuigulo, de manera que tenga un piano de simetria, el centro de masa cst:i en alguna parte dcl piano de simctria. En el ca.<.o del rectilngulo hay dos pianos y eso lo localiza univocamente. Pero si es un objeto simetrico cualquiera, el centro de gravedad estit en alguna parte en el eje de simetria, porquc en estas cin:unstancias hay tantas x positivas como negativas. ,I F'g 19 1 El CM de un objeto compues10 se en.:uentra en la linea que unc los CM de las dos pa'1es compone11tes Otra interesantc proposiciOn muy curima es la siguiente. Supongan que imag1 nemos un objeto hecho de dos pedazos A y R (Fig. I()-!). Entonr:es, el centro de masas de todo el objeto se puede calcular como siguc Primera, encuentre~e el ccntro de masa de! pedazo A y despuCs el de! pedazo B. Encuentre tambiCn la masa cada pedazo MA y M 8. Luego considcren otro problema, en el cual la MA est.it en el ccntro de masa de! ohjeto A, y otra masa punrua! de masa del Objeto R. El de cstas dos masas el centro de masa de todo varias partes de un objeto sc para encontrar el centro de masa del los peda1os, tratando cada uno sa de esa pieza. Veamos por tro de rnasa de un objeto forman parte de un objeto y separarse en dos partes -!a suma 7. 8 m,x, para el objeto B de masa del objeto A y ;,abemos que C~ta es l\,f 1 X 1• la ma~a total d<: part1cula' de.! pN la de! ccntro de ma;,a de A. porque e;,e e~ cl teon•mn Jd L'ClllH> tk 1rn1\a". al objcto A. De la m1;,ma mancra, con ob~CI\ ar el uh1l'l<l H. ohle111:11w~ 1!1, \ 11 ~. p(1r supuesto. sumando lo" do\ ~e ohtien.- .\!.\ M, Y1 I· lif11Xi1 (192) 19-2 Ahora. como M cs evidentemcnte (19.2) se puede interpretar masa para dos objetos 1W ri ubicado en XI! El teorema respecto al jugado una pane importante en el Supongan hacemos la hipOtesis que la de un ubjcto iias partes de Newton tambien es correcta para un muestra que la que no estudiemos los detalles del objeto. sino solamente la sobre d y su masa. En otras pa!abras, !a ley de Newton quc si es vitlida en una cierta escala pequeiia tambiCn es Si no consideramos una pelota <le beisbol como una cosa '""""'lomeo<e hecha de miriadas de particulas que interac11:1an, sino que miento del centro de masa y las fuerzas externas sobre F = ma, donde F es la fuef?a externa sobre la pelota. m su raci6n de su centro de masa.- De manera que F en una escala mayor. (Deberia habcr una buena describir una Icy que reproduzca la misma Icy en 19-3 que no vemos en una escala grande. De manera que no podemos decir. "un iltomo es lo mis mo que un planeta girando alrededor del sol"', o nada por el estilo. Nose parece a nada con lo cual estemos familiarizados porque no hay nada como ii. A medidaqueapbcamos la mec<'tnica cuti.ntica a objetos cada vez mayore1,, las !eyes dcl comportamiento de muchos il.tomos juntas no se reproducen, pero producen nuems /eyes, quc "on las !eye" de Newton, que entonces continUan reproduciCndose desdc digamos tamailo de micro-microgramo. que ya son billones y billones de ti.tomos, hasta el tamailo de la tierra y mayores. Volvamos al centro de masa. El centro tle ma"a se llama a veccs centro de gravedad, porque en muchos casos la gravedad se puede considerar uniforme. Supongan que tenemos dimensiones sulicientcmentc chicas de mancra quc la fuer:rn gravitacional no s6lo es proporclonal a la masa, sino ademi!s es paralda en todas partes a una Iinea fija. Luego consideren un objeto en el cual hay fuerrns gravitacionalcs en cada una de !.us masa!. constituyentcs. Sea m, la masa de una parte. Entonces, la fuerza gravitacional en csa parte cs m, por g. La pregunta ahora es i,d6ndc podemos aplicar una fuerza Unica para contrarrestar la fuerza gravitacional sobre el con junta, de manera quc todo el objeto, si es un cuerpo rigldo, no gire? La respuesta es por el centro de masa y demostramos c5to de la siguicnquc e5ta fuerza debe te manera. Para cucrpo no gire, cl torque producido por todas las fuer1as debe sumar cero, pon.1ue si hay un torque hay una variaci6n en el momentum angular y por lo tanto una rotaci6n. Asi que dcbemos calcular el total de todos los torques relativo a toda!. las particulas y ver cu:into torque hay con respecto a un eJe dado; debc ser cero si c~te cjc cst:i en el centro de masa. Ahora, midiendo zonlalmentc e y verticalmente, sabemos quc los torques son las fuerzas en la ci6n y por el brazo de palanca x (cs decir, !a fuer1a por el brazo de palanca dor del cual qucrcmos mcdir cl torque). El torque cs la !.uma (19.1) de manera que si el torque total debc ser ccro, la suma debe ser cero. Pero Lm,x, = MX. la masa total por la distancia dcl ccntro masa al eJe. De manera que la distancia x dcl centro de masa desde el eje es cero. Por supuesto, que hemos comprobado cl resultado ~6lo para la distancia x. pero si usamos el vcrdadcro centro de masa, cl objeto se va a equ1hbrar en cualquier po~ic16n. porque s1 lo giramos en 90", tendrcmos )' en vcz de x. En otra~ palabras, cuando un objeto est<'i. soportado en su ccntro de ma1,a, no hay torque en el debido a un campo gravitac1onal parale!o. Fn el caso que el obJeto sea tan grande que el no paralehsmo de las fuerzas grav1tacionalcs sea apreciable, cl ccntro en cl cual separa ligeramente dcbe aplicar la fuerza equilibrante no es facil de describtr del centro de masa. Esta e" la raL6n por la cual liay que entre centro de masa y ccntro de gravedad. Fl hecho de quc un objeto exactamcrite en el centrn de ma~a este en equilibrio en todas las posiciones t1enc otra consecuenc1a interesante. Si en ve7 de la gravitaci6n tenemos una p~cudofucrza dcbida a la acelcracion. podemos usar exactamente el mismo procedim1ento matemi1tico para enconhaya torque producido por la trar la posici6n dondc sujetarlo de mancra que ~c mantiene de alguna mafocrza mercial de !a aceleraciim. Supongan quc el nera dentro de una caja y quc la caja y todo lo que contiene 194 est a acelerando. Sabemos que. desde el pun to de vista de alguien en reposo relativo a es ta caja acelerada, habd una fuerza efe\:tiva debida a la inercia. Esto es, para lograr que el objeto siga con la caja debemos empujar!o para acelerar!o y esta fuerza es .. equilibrada .. por la .. fuerza de inercia ", que es una pseudofuerza igual a la masa por la ace!eraciOn de la caja. Para el hombre en la caja, esto es lo mismo que si d objeto estuviera en un campo gravitacional uniforme cuyo valor de "g" es igual a la aceleraciOn a. Por Jo tanto, la fuerza inerdal debida a la aceleraci6n de un objeto no tiene torque con respecto al centro de masa. Este hecho tiene una consecuencia muy interesante. En un sistema inercial que no este acelerando, el torque es siempre igual a la rapidez de variaciOn de! momentum angular. Sin embargo, con respecto a un cje que pasa por el centro de masa de un objeto que estci acelcrando todavia es vcilido que el torque cs igual a la rapidez de variaciOn de! momentum angular. Alln si cl centro de masa esta acelerando podemos elegir un eje especial, a saber, e! que pasa por el centro de masa de manera que siga siendo verdadero que el torque es igual a la rapidez de variaciOn del momentum angular respecto a ese eje. De manera que el teorema que el torque es igual a la rapidez de variaci6n de! momentum angular es v3.lido en dos casos generales: (!) un eje fijo en un espacio inercia!; (2) un ejc a traves del centro de masa, aunque el objeto este acelerando. 19·2 COmo ubicar el centro de masa La t6cnica matematica para el caJ.culo de centros de masa queda en al ambito de un curso de matemiltica y estos prob!emas proporcionan un buen ejercicio en el cillculo integral. Sin embargo, despuCs que uno ha aprendido el cilculo integral, y desea saber cOmo !ocalizar el centro cie masa, es bueno conocer algunos trucos que pueden usarse para eso. Uno de estos trucos hace uso de lo que se llama teorema de Pappus. Funciona asi: si tomamos un area cerrada cualquiera en un piano y ge· neramos un s6lido movifodo!a en el espacio de manera que cada punto siempre se mueve perpendicular al p!ano de! li.rea, iel s61ido resultante tiene un volumen igual al area de la secciOn por la distancia que el centro de masas se ha movido! Por cierto que esto es vii.lido si movemos el li.rea en una Linea recta perpendicular a si misma, pero si la movemos en un circulo o en cualquier otra curva entonces genera un volumen bastante peculiar. En una trayectoria curva la parte de afuera gira mas lejos y la parte de adentro gira mas cerca y los efectos se compensan. De manera que si queremos !ocalizar el centro de masa de una ili.mina plana de densidad uniforme podemos recordar que el volumen generado al hacerla rotar alrededor de un eje es igual a la distancia que gira el centro de masa por el area de la lli.mina. Por ejemplo, si queremos encontrar cl centro de masa de un trifillgulo rectfillgulo de base D y altura H (Fig. 19-2), podemos resolver el problema de la siguiente manera. Imaginen un eje a lo largo de H y roten el triangulo alrededor de ese eje en 360 grados. Esto genera un cono. La distancia que la coordenada x del centro de masa se ha movido es 2nx. El li.rea que se ha movido es el area de\ tri3.ngulo !/lD. De manera que la distancia x de! centro de masa por el 3.rea de! tri3.ngulo es el volumen barrido, que es por supuesto nD 2H/ 3. As[ (2:rrx) (l)ID) = i/3::rD 2H, ox= D/3. De una manera anli.loga, rotando alrededor del otro eje o por 19-5 simetria encontramos y = JI /3. De hecho, el cemro de masa de cualqrner 3.rea uniforme triangular esta donde se cortan !as medianas, las lineas que van desde los vertices hasta la mitad de los !ados opuestos. Ese punto estft a l /3 de cada mediana. Clave: Rebanen el triilngulo en pequeilos pedazos paralelos a una base. Noten que la mediana bi sec ta cad a pedazo y, por lo tan to, el centro de masa de be es tar en esta linea. Fig. 19--2 Un tniingulo rectiingulo y un cono circular generado por rotac16n del tniingulo. Tratemos ahora una figura mas complicada. Supongamos que se desea encontrar la posici6n del centro de masa de un disco semicircular uniforme -un disco partido por la mitad-. lD6nde esta el centro de masa? Para un disco completo esta en el centro, por supuesto, pero para medio disco es mas dificil. Sea r el radio y x la distancia del centro de masa desde el borde recto del disco. Gfrenlo alrededor de e~te horde como un eje para generar una esfera. Entonces el centre de masa ha girado en 2nx1 el area es nr1/2 (porque es s6lo la mitad de un circulo). El volumen generado es, por supuesto, 4.,.r3/3 de donde encontramos x = 4r/37r. Hay otro teorema de Pappus que es un caso especial del anterior y, por Jo tanto, igualmente valido. Supongamos que, en vez de un disco s6lido semicircular, tengamos un pedazo de alambre semicircular con densidad de masa uniforme a lo largo del alambre, y quererrros encontrar su centro de masa. En este caso no hay masa en el interior, solamente en el alambre. Entonces resulta que el drea barrida por una curva plana, cuando se mueve como antes, es la d1stancia que el centro de masa se mueve por el largo de la linea. (La linea se puede cons1derar coma un Urea muy angosta y el teorema anterior se le puede aplicar.) 19-3 COmo obtener el momento de inercia Discutamos ahora e! problema de encontrar los momentos de inercia de vario.'. ob jetos. La formula para el momento de inercia alrededor del eje z de un objeto e.<. J = J(x 2 + y 2 ) dm = [ (x 2 + y 2 )p dv. (19.4) 0 sea, debemos sumar las masas cada una multiplicada por el cuadrado de su distancia 19-6 (xf+y;) a! eje. Noten que no es la distancia tridimensional, sO!o la distancia bidimensional al cuadrado aun para un objeto tridimensional. En la mayor parte nos vamos a restiingir a objctos bidimensionales, pero la formula para la rotaci6n alrededor de! eje z es la misma en tres dimensiones. 19-3. Una barra recta de largo L con respecto a un eie que pasa por Como un ejemplo simple, considercn una barra que rota alredcdor de un eje perpendicular a uno de sus e~tremos (Fig. 19-3). Ahora debemos sumar todas las masas multiplicadas por la~ d1stancias x al cuadrado (sicndo todas las y cero en este caso). Por supucsto lo que entendemos por •·suma" es la integral de x 1 por los pequeiios elementos de masa. Si dividimos la barra en pequellos elementos de largo dx. los elementos de masas correspondientes son proporcionales a dx, y si dx fuera el largo de toda la barra, la masa seria M. Por lo tanto dm y as1 I = f '· o x2 MLd~ =c- = Mdx/L 1 JL o xz dx = ~L '. (19.5) de inercia son sierr.pre distancia al cuadraque encontrar fue el factor vale I si el eje de rotaci6n esttl en el centro de la barra? Podriamos realizar la integral de nuevo hacienda variar x de -!£, a + j.L Pero cosas acerca del momenta de inercia. Podemos imaginar la barra co mo cad a una de mas a MI 2 y largo U 2; los momentos de inercia de dos barras pequefias son iguales y ambos estin dados por la formula (19-5). el momenta de inercia es Las do, (19.6) Por lo tanto es mils filcil girar una barra alrededor de su centro que balancearla a!rededor de un extremo Podriamos, por supuesto, proseguir calculando los momentos de inercia de varius otros cuerpos de interCs. Sin embargo, aunque estos citlculos proporcionan una cierta cantidad importante de ejercicios en el ca.Jculo integral, no son btlsicamente de interCs como tales para nosotros. Sin embargo, hay un teorema que es muy Util. Supongan que tenemos un objeto y queremos encontrar su momento de inercia con respecto a algUn eje. Eso significa que queremos la inercia necesaria para ponerlo en rotaci6n dlrcdcdor de ese eje. Si sujetamos el objeto en pivotes en el centro de masa de rnanera que el objeto no gire a medida quc rota alrededor de! eje (porque no hay torque en d debido a efectos inerciales y por lo tanto no va a girar cuando ill empczanios a mover), entonces las fuerzas necesarias para rotarlo son las mismas qui; s1 _la masa estuviera concentrada en el centro de masa y el momento de inercia ~cna simplemente 1, = MR 1o,1, donde RcM es la distancia desde el eje al centro de ~nasa. Pero, 19-7 por supuesto, esa no es la formula correcta para el momenta de incrcia de un objeto que realmente est.it rotando a mcdida que da vuelta, porque no so!amente estli. el centro de ma~a movifodose en un circulo que contribuir.it una cantidad 11 al momento de inercia, sino que tambien tenemos que girarlo respecto a su ccntro de masa. Asi que no e~ irrncional que debamos ~umar a ! 1 cl momenta de inerda le alredcdor del centro de masa. Asi que es una buena suposid6n que cl momenta de inercia total alrcdedor de cualquier eje serit (19.7) Este tcorcma se llama leorema de /os mentc. El momenta de inercia rcspccto a suma de las y las Yi cada una al las x; pcro, por ~upuesto, masa puntual de~dc el el CAI en vez de x dcsde el Entonce~ facil- simplemente clevamos al cuadrado Asi, ~qui: succdc cuando se multiphca esto por m, y sc suma para todo i? Sacando la~ ·constantcs afucra de! signo de surna obtenemos I.a tercera suma es tes, una de el!a~ cs masa. Pero esto masa y en estos Verifiquemos cje quc pasa por un calculamos. El centro lo barra a una distancia 12 -t M(L/2) 1 • Yaqueuncuarto ningUn error fundamental. Entre parentcsis. en realidad no el momenta de inercia (19.5). Si eficientc desconocido, y luego usamos argumento obtener ip, para (19.6), entonces con nuestro rencia de ejcs pudriamos probar que y -- !Y + jS1empre habr<i alguna otra manera de haccrlo! A! aplicar el teorema CJCS paralelos es por ~I cjc para [0 debe al eje con respecto al 19-8 Vale la pena mencionar olra propiedad de! momento de inercia porque a menudo es Uti! para encontrar el momenta de inercia de cierto tipo de objctos. Esta propiedad consiste en quc si uno tiene unafigura p/ana y un conjunto de ejes coordenados con origcn en el plar'io y cl eje z perpendicular al piano, entom:e~ el momento de inercia de esta figura con respecto al eje z es igual a la suma de Jos momentos de inercia con rcspecto a Jos ejcs x e y. Esto se demucstra fac!lmentc notando que (ya que z, = O). An8.logamente fy = L.: m,(x7 + z~) L.: m;x;, = pero I, = I: m,(xJ + y;) = L + L: m,J7 m;x~ =!~+111 • Como un ejemplo, el momento de inercia de una placa rectangular uniforme de masa M, ancho w y largo L con respecto a un eje perpendicular a la liimina y que pasa por su centro es simplerncnte I= M(w 2 + L 2 )/12, porque su momenta de inercia con respecto a un cjc en su piano y paralelo a su largo es Mw 1 / 12, es decir, precisamente como para una barra de largo w y el momcnto de inercia con respecto al otro eje en su p!ano es ML 2 / 12 precisamentc como para una barra de largo L. Para resumir d momento de inercia de un objeto con respecto a un eje dado y que ilamaremos cje z tienc las siguientes propiedadcs: (I) El momenta de inercia es !, (2) Si de son momentos de -= ~ m,-(x; + y~) = J(x 2 + y 2 ) dm de un cicrto nU.mero de partes. cuyos momentos el momenta de inercia total es la suma de Ios partes. (3) El momenta de inercia con respecto a cualquier eje dado es igual al momento de inercia con respecto a un ejc para!elo a travi:s del CM mas la masa total por el Cuadrado de la distancia de! e.ie al CM. (4) Si cl objeto es una figura plana, el momento de inercia con respecto a un cjc perpendicular al piano es igua! a la suma de los momcntos de inercia con respecto a dos ejcs perpendicolares entre si que estiln en el piano y se cortan en el eje perpendicular. Los momentos de inercia de unas cuantas formas elemcntalcs con densidad de m~sa uniforme sc dan en !_a tabla 19-1. JI los momentos de inercia de algunos _otros objetos que pueden deducirse de la tabla 19-1, usando las prop1edades antenores, est3.n dados en la tabla 19-2. 19-9 Tabla 19-1 Eje z Objeto Barra delgada, largo L Anillo circular delgado, radios, r 1 y r 2 Esfera, radio r l.. J_ a la barra en el centro al anillo en el Centro a trav,es de! centro 12 ML 2/12 M(r~ \ + r~)/2 2Mr2;5 Tabla 19-2 Objeto Litmina rect., !ados a, b LUmina rect., !ados a, b Ani!!o delgado, radios rp r 1 Paralelepipedo rect.. lados a, b, c Cilindro circular recto radio r, largo L Cilindro circular recto, radio r, largo L 19-4 II b en el centro l..a la !itmina en el centro cualquier di<imetro II c. a travCs de! centro II L, por el centro l.. por el centro Ma 2 /12 M(a 2 b2)/12 + + M(a'2 + M(r~ Mr 2/2 M(r2 / 4 + L2/12) Energia cinCtica de rotaciOn Prosigamos ahora dlscutiendo la din:l.mica. En la analogia entre movimiento lineal y mavimienta angular que diculimas en el capitula 18 usamas el teorema del trabajo, pero no hablamos de energia cinCtica. ,:.Cu<il es la energia cinetica de un cuerpo rigido quc rota alrededor de un cierto ejc con velocidad angular u1'? No podemos adivinar inmediatamcnte la respuesta correcta usando nucstras analagias. El momentu de inercia corresponde a la masa. la velocidad angular corresponde a la velocidad, asl que la energla cinCtica deberia ser ifo1 2, y realmente Jo es. como se va a demostrar ahora. Supongan que el objeto est<i rotando alrededar de cierta eje de manera que cada punto ticne una velocidad cuyo mOdulo es run, donde r, es cl radio desdc el punto en particular al cje. Entonces si m, masa de ese punto. la energia cinetica total del todo es simplemente la suma de ene1gias cineticas de todos las pequeiios pedazos: Ahora bien, w 2 es una Constante. la misma para todos las puntos. Asl (19.8) 19-10 Al final del capitulo 18 indicamos que existen algunos fen6menos interesantes asociados con un objeto que no es rigido, pero que cambia de una configuraci6n rigida con un mom en to de inercia definido a otra configuraci6n rLgida. A saber, en nuestro ejemplo de la mesa giratoria, teniamos un cierto momenta de inercia / 1, con nuestros brazos extendidos y una cierta velocidad angular w 1 • Cuando acercamos los brazos, teniamos un momenta de inercia I 2 y una velocidad angular diferente w 2, pero de nuevo estitbamos "rigidos''. El momentum angular se mantenla constante, ya que no habia torque con respecto al eje vertical de la mesa giratoria. Esto significa que / 1w 1 = / 2w 2• i,Y que pasa con la energia? Esta es una pregunta interesante. Con nuestros brazos recogidos giramos mils dpido, pero nuestro momenta de inercia es menor y parece como si las energias pudieran ser iguales. Pero no lo son, porque lo que se contrapesa es f(;J y no lu.> 2 . Asi. si comparamos la cnergia cinetica antes y despu6s, la energia cinetica antes es !J 1 w~ = !Lw 1, donde L = J 1wi = / 2 <~1 2 es el momentum angular. Despues, mediante el mismo razonamiento, tenemos T = !Lw 2 y co mo «1 2 > ru 1, la energia cinCtica de rotaci{m es mayor de lo quc era antes. De man era q ue teniamos una cierta energia cuando nuestros hrazos estaban extendidos y cuando !os recogiamos estii.bamos girando mils rii.pido y teniamos mas energia cinetica. i,QuC pasO con el teorcma de conservaci6n de la cncrgla? Alguien debe haber realizado un trabajo. jNosotros realizamos trabajo! i,Cuiindo realizamos ese trabajo? Cuando movemos un peso horizontalmente, no realizamos ningUn trabajo. Si sujetamos algo y lo acercamos no realizamos trabajo. jPero eso es cuando no estamos rotando! Cuando estamos rotando hay una fuerza centrifuga en los pesos. Estiln tratando de alejarse, de manera que cuando estamos girando tenemos que atraer los pesos en contra de la fuerza centrifuga. De manera que e! trabajo que realizamos en contra de la fucrza centrifuga debena cstar de acuerdo con la diferencia en la energia de rotaci6n y por supuesto lo estil. De ahi viene la energia cinetica adlcional. Hay todavia otro aspecto interesante que podemos tratar s6!o descriptivamente coma una cosa de interes general. Este aspccto cs un poco mils avanzado, pero vale la pena indicarlo porquc es bastante curioso y produce cfcctos interesantes. Consideren el experimento de la mesa rotatoria de nuevo. Considcren cl cuerpo y los brazos separadamente, desde el punto de vista de! hombre que est:l rotando. Despu6s que los pesos se han acercado. todo el objeto estil rotando mii~ nipidamente; pero, observcn, la parte central de/ cuerpo no ha cambiado; sin embargo, cstit rotando mils ritpido despuCs del suceso que ante~. De manera que si dibujamos circulo alrededor dcl cuerpo interno y consideramos objetos dentro del circulo mente su momentum angular va a cambiar; ellos van mlis r:lpido. Por lo tanto existir un torque ejercido sabre cl cuerpo mientras encogcmos nucstros brazos. gUn torque puede ser ejcrcido por la fuerza ccntrifuga, porque es radial. fica que entre las fuerzas quc sc desarrollan en un sistcma en rotaci(1n, la ccntrifuga no es toda la historia, exislt! otra fuerza. Esta otra fucrza ~c fuerza de Coriolis y ticne !a propicdad muy extraila de quc cuando movemos en un sisten_rn en rotaci6n, parece que lo cmpujaran hacia el !ado. Al igual que fuerza centnfuga es una fuerrn aparente. Pero si vivimos en un sistema que rotando Y movemos alga radia!_mentc, cncontramos que tambiCn dcbcmos empujarlo h.ac1a el lado para. r;ioverlo radialmente. Estc cmpuje hacia cl lado quc tenemos quc e1ercer es lo que giro nuestro cuerpo. Desarrollemos una formula para mostrar c6mo funciona realmente la fucua de Coriolis. Supongan que Pedro estii scntado sobrc un carruscl que a CJ le parece en reposo. Pero desde el 19-1 l punto de vista de Juan, que esta parado en el suelo y que conoce las !eyes correctas de la mec8.nica, el carrusel esta dando vueltas. Supongan que hemos dibujado una linea radial en el carrusel y que Pedro estil moviendo una masa radialmente a lo largo de esta linea. Deseariamos demostrar que se necesita una fuerza hacia el !ado para hacerlo. Podemos hacerlo obseFVando el momentum angular de la masa. Ella estil siempre dando vueltas con la misma velocidad angular que r.v, de manera que el momentum angular es L = mvtanef = mwr · r = mwr 2• Asi cuando la masa estil cerca de! centro, tiene un momentum angular relativamente pequeii.o, pero si nos movemos a una posiciOn mils Iejana, si aumentamos r, m tiene mayor momentum angular de manera que se debe ejercer un torque para mover]o a lo largo de! radio. (Para caminar a lo largo de un radio en un carrusel uno tiene que inclinarse y empujar hacia el !ado. Intentenlo alguna vez.) El torque que se neceslta es la rapidez de varfa.ciOn de L en el tiempo a medida que m se mueve a lo largo de! radio. Si m se mueve solamente a lo largo de! radio, omega se mantiene constante de manera que el torque es donde Fe es la fuerza de Coriolis. Lil que realmente deseamos saber es que fuerza hacia el !ado debe ejercer Pedro para que mueva m con una velocidad v, = dr/ dt. Es}~ = T/ r = 2mw1',. Fig 19-4 Tres vistas suces1vas de un punto que se mueve rad1almente en una mesa g1ratoria que esta rotando Ahora que tenemos una f6rmula para la fuerza de Coriolis, examinemos esta situaciOn con un poco mis de cuidado, para ver si podemos entender el origen de esta fuerza desde un punto de vista mils elemental. Observemos que la fuerza de Coriolis es la misma para cualquier radio iY esti presente aUn en el origenf Pero es especialmente facil de entender en el origen simplemente mirando quC sucede desde el sistema inercial de Juan que esti parado en el suelo. La figura 19-4 muestra tees vistas sucesivas de m justo cuando pasa por el origen para.! = 0. Debido a la rotaciOn de! carruscl vemos que m no se mueve en linea recta, sino que en una trayectoria curva tangente a un diilmetro de! carrusel donde r = 0. Para que m se mueva en una curva debe existir una fuerza que la acelere en eJ espacio absoluto. Esta es la fuerza de Coriolis. Este no es el lmico caso en el cual la fuerza de Coriolis aparece. Tambifo podemos demostrar que si un objeto se mueve con velocidad constante en una circunferencia, tambien hay una fuerza de Coriolis. iPor quC? Pedro ve una velocldad vM alredor de uo circulo. Por otra parte Juan ve a m mov1endose alrededor de un circu!o con veloc1dad v1 = i·M+ u>r, porque m tambien es arrastrada por el carrusel. Par lo tanto, sabemos lo que la fuerza es realmente, es decir, la fuerza centrlfuga total debida a la velocidad i:, o sea mvJr; esa es la fuerza real. Desde el pun to de vista de Pedro, esta fuerza 19-12 centripeta consta de tr es partes. Podemos escribir!a co mo sigue: Ahora bien, }~ es la fuerza que veria Pedro. Tratemos de entenderlo. (.Podria Pedro percibir el primer termino? "Si", diria Cl, "aunque yo no estuviera rotando, habria una fuerza centripeta si yo tuviera que correr alrededor de! circulo con velocidad v1,/'. Esta es simplemente la fuerza centripeta que Pedro esperaria, que no tiene nada que ver con la rotaci6n. Ademits, Pedro estit perfectamente consciente de que hay otra fuerza centripeta que actuaria aun en objetos que estitn quietos en su carrusel. Este es el tercer tfrmino. Pero hay adem<'is de estos otro tfrmino, o sea, el segundo tfrmino que es de nuevo 2m(uv. La fuerza de Coriolis Fe era tangencial cuando la velocidad era radial y ahora es radial cuando la velocidad es tangencial. De hccho una expresi6n tiene un signo negativo respecto a Ia: otra. La fuerza estil siempre en la misma direcci6n con respecto a la velocidad, cualquiera sea la direcci6n en que estil la velocidad. La fuerza forma un il.ngulo recto con la velocidad y es de mbdulo 2mt,)V, 19-13 20 RotaciOn en el espaciQ 20-1 Torques en tres dimensiones 20-3 El giroscopio 20-2 Las ecuaciones de rotaciOn usando productos vectoriales 20-4 Momentum anguJar de un cuerpo sOiido 20-1 Torques en tres dimensiones En este capitulo vamos a discutir una de las consecuencias mas notables y divertidas de la mecttnica, el comportamiento de una rueda en rotaci6n. Para hacer esto debemos ampliar la formulac16n matemiltica de! movimiento rotatorio, los principios de! momentum angular, el torque, etc., a un espacio tridimensional. No vamos a usar estas ecuaciones en toda su generalidad ni estudiar todas sus consecucncias porque esto tomaria muchos afios y pronto debemos abocarnos a otros temas. En un curso introductorio podemos presentar s6lo las leyes fundamenta!es y aplicarlas a unas pocas situaciones de interCs especial. Primera, notemos que si tenemos una rotaci6n en tres dimensiones, ya sea de un cuerpo rigido o de cualquier otro sistema, lo que dedujimos para dos dimenslones todavia es vii.lido. Es decir, todavia es cierto quexFy-YFxes cl torque "en el piano xy" o el torque en "torno al eje z". TambiCn resulta que este torque es todavia igual a la rapidez de variaci6n de xpy-YPx• porque si volVemos a la deducci6n de la ecuaci6n (18.15) a partir de las !eyes de Newton, vemos que no hemos tenido que suponer que el movimiento era en el p!ano; cuando derivamos xpy-YP:.:> obtenemos xFv-YFx- de manera que este teorema todavia es vii.lido. Entonces, a la cantidad xp;. - YPx la llamamos momentum angular correspondiente al piano xy, o momentum angular respecto al eje z. Asegurado esto, podemos usar cualquier otro par de ejes y obtener otra ecuaci6n. Por ejemplo, podemos usar el piano yz y estii. claro, por simetria, que sl simplemente sustituimos y por x y z por y encontrarlamos yF, - zFy para el torque y YPz-ZP>" seria el momentum angular asociado con el piano yz. Por supuesto que podemos tener otro plano, cl zx, y para Cste encontrariamos zF,-xF,-'-' = dldt (zpx-xp). Que estas tres ecuaciones puedan ser deducldas para el movimiento de una par ticula es bastante claro. Ademii.s si sumii.ramos cosas como los xpx-YPx para muchas particulas y las llamii.ramos momentum angular total, tendriamos tres tipm para los tres pianos xy, yz y zx; y si hiciCramos lo mismo con las fueflas, 20-1 hablariamos de] torque en l~s pianos xy, J!.Z y zx tamb.i6n. Asi tend~iamos !eye~ U~les que el torque externo asociado con cualqu1er piano es igual a l.a rap1dez de vanac10~ d J momentum angular asociado con ese piano. Esto es prec1samente una gcnerahz:ci6n de Jo que cscribimos en dos dimensiones. Pero alguien puede decir ahora: "Ah, p~ro ha_y mas pianos; despu6s de todo, (.IlO podemos acaso tomar otro plan~ en un c1crto. ~gulo y c'.l1cular el torq_ue en ese piano de las fuerzas? Ya que tendnamos que escnbrr otro COilJUnto de ecuac1ones para cada uno de estos planos jtendriamos muchas ecuaciones! ". Resulta sumamente interesante que si form:lramos la combinaci6n x'F_v· - y'F,· para otro piano, midiendo x', F,.., etcetera, en ese piano, el resultado puede escribirse como una cierta combinaci6n de 13.s tres expresiones para los pianos xy, yz y zx. No hay nada nuevo en ello. En otras palabras, si sabemos cu3.les son los tres torques en los pianos xy, yz y zx, el torque en cualquier otro piano y correspondientemente el momentum angular tambien se puede escribir como una combinaciOn de estos: 6 por 100 de uno y 92 por JOO de otro. etcetera. Ahora vamos a analizar esta propiedad. Supongan que en los ejes xyz, Juan ha calculado todos sus torques y sus momenta angulares en sus pianos. Pero Pedro tiene ejcs x', j, z' en alguna otra direcciim. Para hacerlo mas sencillo, vamos a suponer que sO!o los ejes x e y han sido rotados. Las x' e j de Pedro son nucvas pero su z' es la misma. Esto es, tiene pianos para, digamos, yz y zx. Por lo tanto, tiene nucvos torques y momenta para calcular. Por cjemplo, su torque en el piano x'j scria igual a etc. Lo que ahora tcnemos que haccr es encontrar la rclaciOn entre los tor4ues lo~ para que podamos hacer una concxiOn cntre de eje~ y podria decir: parece igual lo · que estamos ··--·····:::·.····; Juan son T;:y = T,x = zF,, - xFy - yF,,, zFv, ----" yF, - ' L\ (20.l) xF,. ' /\ :---.1 20-2 Pedro calcula ahora los torques en su sistema: Tx'y' = x'Fy· - y'F,·, Ty'z' = y'F,· - z'Fy·, T,'x' """ z'f<~, x'F,•. - (20.2) e Supongamos ahora que un sistema de coordenadas sc rota en un il.ngulo fijo de ta] manera que los ejes z y z' sean los mismo;;. (Este il.ngulo () no tiene nada que ver con objetos en rotaci6n o con lo que pasa dentro del sistema de coordenadas. Es simplcmentc la relaci6n cntre los cjcs usados p:>r un hombre y los ejes usados por el otro y se supone quc es Constante.) Lucgo las coordenadas de los dos sistemas estiln rc!acionadas mediante x' = xcosO + yscnO, (20.3) y' -~ ycos 0 - xsen e, z' = z. De la misma manera, como la fuerza es un vector, se transforma en cl nuevo sistema igual que x, y, y z, ya que una cosa cs un vector si y s6lo si las divcrsas componcntes se transforman de !a misma manera que x, y y z: F:1;' = F-'cosO Fy· = +- Fyc;os(J - Fyscne, (20.4) Fxscn(J, F,· = F,. Ahora podemos averiguar c6mo se transforma el torque simplemente sustituyen do en la (20.2) x', y' y z' por las expresioncs (20.3) y F.·, Fi, F,., por las dadas por (20.4). De manera que tenemos una fila bastante larga de tt'rminos para Tx_V y (bastantc sorprendente en un principio) resulta que sale xFy-YFy, que reconocemos como el torque en cl piano xy: r,,•y' + y 5en (J)(Fy cos 0 '-= (x cos B = xF,,(co<; 2 O -t- yFy(sen 0 cos 8 -· sen 8 co~ 11) = xF,, -- yF,, Tx 1r -(ycos B - x senB)(Fx ·- F~ co~(}+ 5en O) 1·,, sen(}) -+ ~en~ O) - yFAsen O + cos~ e) +xl~(-~en(/co<;(J + senflcos(J) 2 = (205) glramos. nuestro~ ejes en el p/ano, la torsi6n es el mismo alrededor de z en ese piano no e~ diferente de lo 4ue era antes, piano! Lo que va a ~er mas interc~ante c5 la cxpn:si6n cste piano es nuevo. Ahora hacemos exactamente lo rn1smo con cl El resultado cs claro, porquc si Ty'z' ~6Jo = (y COS 8 -- X = ,en (l)F, -z(F11 co~ e - F.c sen 8) (yF, -- zF11 ) cos (! (zF~ - xF,) 5en 0 + -_Tu, COS(!+ 72.1;,en 8. (20.6) 20-3 Finalmente lo hacemos para z' X: z(F:x cos() + F11 sen()) -(xcos() + ysen())F. = (zFx - xF,)cos() - (yF, = Tucos()- Ty,sCne. Tz':r' = zF11)sen() (20.7) Queriamos obtener una regla para encontrar los torques en nuevos ejes en funci6n de los torques en los ejes antiguos y ahora tenemos la regla. l,C6mo podremos recordar siempre esta regla? Si cxaminamos cuidadosamente (20.5), (20.6) y (20.7) vemos que hay una intima relaci6n entre estas ecuaciones y las ecuaciones para x, y y z. Si de alguna manera pudiCramos llamar T xr Ia componente z de algo, llamt'!mosla la componente z de r, entonces va a estai- bien, entenderiamos (20.5) como una transformaci6n de vectorcs ya que la componente z no variaria, como debe scr. De la misma manera, si asociamos con el piano yz la componente x de nuestro vector recientemente inventado y con el piano zx la componente y, estas expresiones de transformaci6n se lecrian T,' = T,, + r 11 sen 0, Tycos(J- Txsen(), Tx• = TxCOS () Ty'= (20.8) jque cs precisamente la regla para los vectores! Por lo tanto, hemos demostrado que podemos identificar la combinaci6n ::FJ-yF.x con_ lo que llamamos comUnmente la compon.ente z de un cierto vector mventado artificialmcnte. Aunquc cl torque es una tors16n en el piano y no tiene a priori car.iicter de vector, matem<'tticamcnte se comporta como vector. Este vector es perpendicular al piano de la torsiOn y su largo es proporcional a la intensidad de la torsilin. Las trcs componcntes de una cantidad ta! se transformar3n como un vector real. Asl quc representamos torques por vectores; con cada piano en el cua! se supone que el torque cst<'t actuando, asociamos una linea en itngulo recto, como regla, Pero "en ii.ngulo recto" deja cl signo sin especificar, Para ohtener el signo correcto debemos adoptar una rcgla tal quc nos diga que si cl torque fucra en un cierto sentido en el plano xy, el eje que queremos asociar con Cl tenga la direcci(m z ''hacia arriba". 0 sea. alguien ticne quc definir "dcrccha" e ·'izquicrda'· para nosotros. es x, y, z en un sistema derecho, entonSuponiendo quc cl sistema de ces la regla va a ser la siguientc· pensamos en la torsi6n como si cstuviCramos girando un torni!!o con filetc derecho, la direcci6n del vector que vamos a asociar con esa torsi6n es la direcciOn en quc avanzaria cl tornillo. , i_.Por quC es el torque un vector'! Es un milagro de buena suerte que podamos asociar un solo cje con un piano y que, por lo tanto, podamos asociar un vector con un torque; es una propiedad especial dcl cspacio tridimcnsional. En dos dimen no necesita tcncr una direcci6n asociada siones el torque es un escalar comlln tuviCramos cuatro dimensiones, tendriaa t'!L En trcs dimensioncs cs un mos grandes d11icultades porquc el ticmpo, por cjcmplo, como cuarta dimcnsi6n) no solamente tendriamos piano xy, yz y zx, tambit'!n tendriamos pianos Ix, ly, y tz. 20-4 Habria seis pianos y uno no puede representar seis cantidades como un vector en cuatro dimensiones. Vamos a estar viviendo en tres dimensiones por mucho tiempo; asi que estit bien notar que el tratamiento matemittic::o anterior no dependiO de! hecho que x era posiciOn y F fuerza; dependi6 sO!o de las !eyes de transformaciOn para vectores. Por lo tanto, si en vez de x usitramos la componente x de algU:n otro vector, no ~~~~~ an~g:~~n d~:~~~r~:·y ~~ l~~:ra~~~b~~~p~n!~~;~~! ~nae~~~~~ c~~fida~~ entonces estas nuevas cantidades forman un vector c. Necesitamos una notaciOn matemittica para la relaci6n entre el nuevo vector, con sus tres componentes, y los vectores a y b. La notaciOn que ha sido disei'iada para esto es c = a x b. Tendi;emos entonces, ademits de! producto escalar comU:n en la teoria de! citlculo vectorial, un nuevo tipo de producto, llamado producto vectorial. Asi, si c = a x b, esto es lo mismo que escribir aybz - a,b~, Cy = azbx - a,}J,, c,, = (20.9) Si invertimos el orden de a y b, !lamando b a a, y a a b, tendremos el signo c cambiado porque cz serfa b.Py-b_,a_,. Por lo tanto. el producto vectorial no es como la multiplicaci6n ordinaria, donde ab= ba; para el producto vectorial b x a = -a x x b. De esto, podemos demostrar inmediatamcnte quc si a"'- b, el producto vectorial es cero. Luego a x a = 0. El producto vectorial es muy importante para representar los aspectos de la rotaci6n y es importante que enlendamos !a relaciOn geometrica de los tres vectores a, b y c. Por supuesto, que la relaciOn entre las componentes estit dada por la ecuaciOn (20.9) y de ahi uno puede determinar cuit.! es la relaci6n geomCtrica. La respuesta es, primero, que el vector c es perpendicular tanto a a como a b. (Traten de calcular c ·a y vean si no se Jes reduce a cero.) Segundo, cl mOdulo de e resulta ser el mOdulo de a por el modulo de b por el seno del itngulo entre e\los. ~En que sentido apunta c? Imaginen que giremos a hasta b en un itngulo menor que J 80°; un tornillo con filete derecho girando de esta manera avanzarit en el sentido de c. El hecho que digamos un tornillo "derecho" en vez de un tornillo "izquierdo '' es una convenci6n y debe recordarse siempre que si a y b son vectores .. honestos" en el sentido ordinario, el nucvo tipo de "vector" que hemos creado hacienda ax b es artificial o de car<icter ligeramente diferente de a y b. pues fue formado mcdiante una regla especial. Si a y b se llaman vectores ordinarios, tenemos un nombre especial para ellos, los llamamos vectores po/ares. Ejemplos de tales vectores son la coordenada r, la fuerza F, el momentum P, la velocidad v, el campo e!ectrico E, etcetera; estos son vectores polares ordinarios. Los vectores que incluyen un producto vectorial en su definiciOn se llaman l'ectores axiales o se11do1•ectores. Ejemplo de seudovectores son, por supuesto, el torque T y el momentum angular L. Resulta que la velocidad angular u1 es un pseudovector como lo cs el campo magnCtico B. 20-5 Para completar las propiedades matematicas de los vectores, debemos saber todas las reglas para su multiplicaciOn, usando productos escalar y vectorial. Por ahora, vamos a necesitar muy poco de esto en nuestras aplicaciones, pero para que quede completo vamos a escribir todas las reglas de la multiplicaciOn de vectores para que podamos usar los resultados mils tarde. Estos son: a X (b + c) (aa) X b a· (b X c) (d) a X (b X c) = b(a c) - c(a · b), (e) (f) 20-2 a X b + a X c, a{a X b), (a X b) · c, (a) (b) (c) = = ~ (20.10) a X a = 0, a· (a X b) ~ 0. Las ecuaciones de rotaciOn usando productos vectoriales Preguntemonos ahora si hay alguna ecuaci6n en la fisica que pueda ser escrita usando el producto vectorial. La respuesta es, por cierto, que hay una gran cantidad de ecuaciones que se pueden escribir asi. Por ejemplo, vemos inmediatamentc que el torque es igual al producto vectorial de la posici6n por la fuerza: = r T X F. (20.11) Est~ es un resumen vectorial de las tres ecuaciones Tx = yF,- zFY' etc. Por la ~isma razon el vector momentum angular, si hay una so la particula presente, es la distancia desde el origen multiplicada por el vector momentum; L = r X p. (20.12) Para una rotaci6n en un espacio tridimensional, la Icy dinftmica anftloga a la ley F =- dp/ dt de Newton, es que el vector torque es la dcr!vada rcspecto al ticmpo del vector momentum angular: T = dL/dt. (20.13) Si sumamos (20.13) para muchas particulas, e! torque externo en un sistema es la derivada de! momentum angular total respecto al tiempo: Text = dLt t/dt. 0 (20.14) Otro teorema: si el torque total externo cs cero, el vector momentum angular total del sistema es una constante. Esto se llama la ley de conservaciOn de! momen tum angular. Si no existe torque en un sistema dado, su momentum angular no puede cambiar. iQue pasa con la velocidad angular? iEs un vector? Ya iiemos discutido !a rotaci6n de un objeto s6iido alrededor de un eje fijo, pero por el momcnto supongan quc lo estamos girando simult<lneamentc con respccto a dos ejes. Podria estar girando dentro de una caja micntras la caja estft girando con rcspecto a algUn otro eje. jEl resultado neto de 20-6 estos movimientos combinados es que el objeto simplemente gira con respecto a alglin eje nuevo! Lo maravilloso de este nuevo eje es que se puede imaginar de !a siguiente manera. Si escribimos la velocidad de rotaciOn en el piano xy como un vector en la direcciOn z rnyo largo es igual a la velocidad de rotaci6n en el piano, y si otro vector se dibuja en !a direcci(m y digamos. que es la velocidad de rotaciOn en cl piano zx, cntonces, si Jos sumamos vectorialmcnte mediante la regla del paralelogramo, el mOdulo del resultado nos dice con qui: vdocidad est<'i girando el objeto y la direcciOn nos dice en quC piano. Es decir, simplementc, la velocidad angular es un vector del cual obtenemo,s las magnitudes de las rotaciones en tres pianos como proyecciones en itngulo recto sobre estos pianos*. Como una aplicaciOn simple del uso del velocidad angular podcmos calcular la potcncia gastada por cl torque que sobre un cuerpo rigido. La potencia es, por cierto, la variaciOn dcl trabajo con relaci6n al tiempo; en tres dimenT · 10. siones, la potencia resulta scr P Todas l'as formulas quc c~cribimos para una rotacion plana pucdcn scr generalizadas a tres dimensiones. Por ejemplo. si un cuerpo rigido cstil girando con a un cierto eje con vclocidad angular 10, nos podemos preguntar. ··;,Cui1l es cidad de un punto a una cierta posiciim radial r?" Dejaremos como prob!cma para el estudiante el demostrar que la velocidad de una particula en un cuerpo rigido esta dada por v = (,, x r, donde r.1 cs la velocidad angular yr la posiciOn. Tambien. como otro ejemplo de productos vectoriales. tuvirnos una formula para !a fuerza de Coriolis, que tambien puede ser escrita usando productos vectoriales: Fe -- 2mv x 1,1. Es decir, si una particula "e mueve con velocidad v en un si~tcma de que estit en realidad rotando con vclocidad angular «J pensar en nos de un sistema coordenadu en rotaci6n. agregar la scudo fuerza Fe. Fig 20 1. Antes. el e1e es horizontal momentum a11gular :esrier:to al l'Je vert1ccil 0. Despurs: cl eJe es vertical; momentum anµular 1especto al e1e vertical es todavia el hombre y la sdla 1-1ircrn en d1recc16n oµuesta al giro de l<l rueda 20-3 El giroscopio Volvamos ahora a la ley de demostrarse con una rueda qtie gira gura (20-1 ). Si nos sentamo~ en cumo s1i::ue rueda que i;ira con su csto cs cierto punle dcduc·irsc compon1cndo Im. dc.,pl:i1.irn1c11to' ck durante un ...II. Fslo no cs cv1dcn1c y :1a1 ~c dCJll para 20-7 Fig. 20-2. Un g1roscop10. e horizontal, la rueda tiene un momentum angular con respecto al eje horizontal. I momentum angular con respccto a un eje vertical no puede cambiar debido al vote (sin fricci6n) de la silla, de manera que si giramos el eje de la rueda hacia la ~rtical, entonces la rued.a tendria momentum angular con respecto al eje vertical, )rque ahora estit girando alrededor de este eje. Pero el sistema (la rueda, nosotros la silla) 110 puede tener una componente vertical, de manera que nosotros y la silla ~bemos girar en la direcci6n opuesta a la rueda en rotaci6n, para compensarlo. Primera analicemos con mayor detalle lo que acabamos de describir. Loque es irprendente y que debemos entender es el origen de las fuerzas que nos giran a Jsotros y a la silla a medida que giramos el eje de! giroscopio hacia la vertical. La gura 20-2 muestra la rueda girando ritpidamente en torno al eje y. Luego su velodad angular es en torno a ese eje y resulta que su momentum angular tambi6n ;til. en esa direcci6n. Supongan ahora que queremos rotar la rueda alrededor del 1e x con una velocidad angular Q; t,que fuerzas se necesitan? Despues de un corto empo !J.t, el eje ha girado a una nueva posici6n, inclinada en un 8.ngulo Li. e con la orizontal. Ya que la mayor parte de! momentum angular se debe a la rotaci6n alreedor de\ eje (la rotaci6n lenta contribuye muy poco), vemos que el vector momen1m angular ha cambiado. t,Cuitl es el cambio de! momentum angular? El momentum ngular no cambia en m6dulo, pero cambia en direcciOn una cantidad MJ. El m6ulo del vector !J.L es entonces .J.L = L 0!J.O, de manera que el torque, que es la ariaci6n en el tiempo de! momentum angular, es T = !J.L/ M = L 0t10/ M = L 00. 'omando en cuenta las direcciones de las diversas cantidades vemos que T" = o X Lo. (20.15) )or lo tanto, si 0 y L0 son horizonta\es coma se muestra en la figura T es vertical. )ara producir este torque deben aplicarse a los extremos de! eje unas fuerzas torizontales F y -F. (. C6mo se aplican estas fuerzas? Con nuestras manos, mienras tratamos de rotar el eje de la rued.a hacia la direcci6n vertical. Pero la tercera ey de Newton exige que fuerzas iguales y contrarias (y torques iguales y opuestos) tctllen en nosotros. Esto nos obliga a rotar en el sentido opuesto con respecto al :je z vertical. Este resultado puede ser generalizado para un trompo que gira ritpidamente. En :I caso familiar de un trompo que gira, la gravedad que actlla en su centro de masa iroporciona un torque con respecto al punto de contacto con el suelo (ver figura ~0~3). Este torque es en la direcci6n horizontal y hace que el trompo precese con su :je moviendose en un cono circular respecto a la vertical. Si Q es la velocidad anguar (vertical) de precesi6n, encontramos de nuevo que -r = cfL/dt = D X Lo. 20-8 Fig.· 20--3. Un trompo girando rapidamente. Noten que la d1recc16n del vector torque es la direcc16n de la precesi6n Asi, cuando aplicamos un torque a un trompo que est<l girando muy r8.pidamente, la direcci6n de! movimiento precesional es en la direcci6n del torque, perpendicular a las fuerzas que producen el torque. Ahora podemos pretender que entendemos la precesi6n de los girosCopios y realmente lo entendemos matemii.ticamente. Sin embargo, esta es una cosa matemitica queen un sentido aparece como un "milagro". Va a suceder que a medida que nos adentremos en la fisica cada vez mis avanzada, muchas cosas simples van a poder ser deducidas en forma matem<i.ti.:a mas rii.pidamente que lo que se las puede entender en un sentido fundamental o simple. Esta es una caracteristica extrafia y a medida que entramos en trabajo mils y mas avanzado hay circunstancias en las cuales la matem<i.tica va a producir resultados que nadie ha sido realmente capaz de entender de una manera directa. Un ejemplo es la ecuaci6n de Dirac que aparece en una forma muy simple y hermosa, pero cuyas consecuencias son dificiles de entender. En nuestro caso particular, la precesi6n de un trompo parece algo coma un milagro incluyendo 8.ngulos rectos y circulos y torsiones y tornillos derechos. Lo que debemos tratar de hacer es entenderla de una manera mas fisica. iCOmo podemos explicar el torque en tl!rminos de las fuerzas reales y las aceleraciones? Notamos que cuando una rueda estii. precesando, las particulas que giran en la rueda no se est<i.n moviendo realmente en un piano porque la rueda est<i. precesando (ver figura 20-4). Como explicambs anteriormente (Fig. 19-4), las particulas que estan cruzando el eje de precesi6n se estan moviendo en trayectorias cun>as y esto requiere la aplicaci6n de una fuerza lateral. Esta es suministrada por nuestro empuje en el eje, que entonces comunica la fuerza al aro a traves de los rayos. "Espere ", dice alguien, "ique pasa con l~s partlculas que estan volviendo por el otro lado?" No toma mucho tiempo decidir que debe haber una fuerza en la direcci6n opuesta en ese !ado. La fuerza neta que debemos aplicar es, por Jo tanto, cero. Las fuerzas se anulan, pero una de ellas debe ser aplicada en un lado de la rueda y la otra debe ser aplicada en el otro !ado de la rueda. Podriamos aplicar estas fuerzas directamente, pero como la rueda es s61ida estii. pennitido hacerlo empujando en el eje ya que las fuerzas pueden ser llevadas hacia arriba por los rayos. Fig. 20--4. El movim1ento de las partfculas en la rueda en rotaci6n de la f1gura 20--2. cuyo eie esta rotando. es en lineas 20·9 Toda lo que hemos probado hasta ahora es que si !a rueda estit precesando, puede equilibrar e! torque debido a la gravedad o cua\quier otro torque aplicado. Pero todo lo que hemos demostrado es que esto es una soluci6n de una ecuaci6n. Esto es, si el torque estit dado y si logramos que la rotaci6n empiece bien, entonces la rueda va a precesar suave y uniformemente. Pero no hemos probado (y no es cierto) que una precesi6n uniforme es el movimiento mcis general que un cuerpo en rotaci6n puede tcner como resultado de un torque dado. El movimiento general incluye tambien un "tambaleo" con respecto a la precesi6n principal. Este "tambaleo .. se llama nutaci6n. A algunas personas Jes agrada dedr que si uno ejerce un torque en un giroscopio, este gira y precesa y que el torque produce la precesi6n. Es muy extraiio que cuando uno suelta de repeme un giroscopio, no cae bajo la acci6n de la gravedad jsino que se mueve hacia el \ado! z.Por quC sucede que la fuerza de gravedad que es hacia abajo, que conocemos y sentimos. lo hace ir hacia un !ado? Ninguna de las f6rmulas en el munda tales como la (20.15) nos lo van a decir, porque (20.15) es una ecuaci6n especial, vtilida solamente despues que el girascopio esti: precesando bellamente. Lo que realmente sucede, en detalle, es !a siguiente. Si mantuviCramas el eje totalmente fijo, de manera que no pueda precesar de ninguna mancra (pero el trompo estii. girando} entonces no hay ningO.n torque actuando, ni siquiera un torque producido por la gravedad porque estti cquilibrado por nuestros dedas. Pero si lo soltamos de repente, instanttineamente va a haber un torque debida a la gravedad. Cualquier persona cuerda pensaria que el trompe va a caer, y eso es lo que empieza a hacer, lo que puedc ser visto si el trompo no estit giranda muy r;lpido. --------~-~~ --~ Fig. 20-5. Mo"miooto ceel del e<tcemo del e1e del giroscopio bajo la acci6n de la graved.ad inmediatamente de~pues .. de soltar el eie que se habla mantenido f110 previamente El giroscopio realmente cac, coma era de esperar. Pero tan pronto como cae est.it girando y para que este giro continUe se necesitaria un torque. En la ausencia de un torque en esta direcci6n, el giroscopio empieza a "caer" en la direcciOn opuesta a la de la fuerza que fa!ta. Esto da al giroscopia una componente de! movimiento alrededor de! eje vertical. coma tendria en una precesiOn estable. Pero el movimiento real "sobrepasa ·· la velocidad de precesi6n estable y el eje realmente se levanta de nuevo al nivel del cual parti6. La trayectoria seguida por el extrema del eje es una cicloide (!a trayectoria seguida por un guijarro pegado en el neum.itico de un autom6vil). Ordinariamente, este movimiento es muy ritpido para ser seguido por el ojo y se arnartigua r.ipidamente debido al race en los rodamientos, dejando sola mente el movimienta de precesi6n estable (Fig. 20-5). Mientras m.is lento gira la rueda, la nutaciOn es mis evidente. 20-10 Cuando el movimiento se estabi!iza, el. eje de! giroscopio est<i un poco mas bajo de lo que estaba al principio. (.Por que? (Estos son los detalles mils complicados, pero los traemos a colaciOn porque no queremos que el lector se forme la idea que el giroscopio es un milagro absoluto. E~ una cosa maravillosa, pero no es un milagro.) Si estuvieramos sujetando el eje totalmente horizontal, y lo so!tilramos de repente. entonces la sencilla ecuaciOn de precesiOn nos diria que precesa. que gira en un piano horizontal. jPero eso es imposible! Aunque lo despreciamos antes, es cierto que la rueda tiene algUn momenta de inercia ,con respecto al eje de precesi6n y si se estil moviendo a!rededor de ese eje, aunque sea despacio, posee un debil momentum angular respecto al eje. (,De d6nde viene? Si los pivotes son perfectas no hay torque con respecto a! eje vertical. (.C6mo entonces se pone a precesar si no hay cambio de momentum angular? La respuesta es que el movimiento cicloidal del extrema del eje se amortigua hacia el movimiento promedio estable <lei centro del circulo rodante equivalentc. 0 sea. se estabiliza un poco mas abajo. Porque est3. bajo, el momentum angular de giro tiene ahora una componente vertical pequei'ia, que es exactamente lo que se necesita para !a precesi6n. Asi que ven ustedes que tiene que bajar un poco para poder dar vueltas. Tiene que ceder un poco a la gravedad; al bajar su eje un poquito, mantiene la rotaci6n alrededor de! eje vertical. Esa es, entonces, la manera en que un giroscopio funciona. Fig. 20-6. El momentum angular de ur1 cuerpo en rotac16n no es necesariamente paralelo a la velocidad angular 20-4 Momentum angular de un cuerpo sOlido Antes de dejar el tema de las rotaciones en tres dimensiones, vamos a discutir. por lo menos cualitativamente, unos cuantos efectos que suceden en las rotaciones tridimensionales, los cuales no son evidentes. El efecto principal es que en genera! el momentum angular de un cuerpo rigido no estti necesariamenre en la misma direcciOn que la velocidad angular. ConSideren una rueda que estil sujeta a un eje en forma asimCtrica; pero, eso si, con el eje que pasa por el centro de gravedad (Fig. 20-6). Cuando giramos la rueda en torno al eje, cualquiera sabe que va a haber una vibraci6n en los rodamientos debido a la manera ladeada que la montamos. Cuahtativamente, sabemos que en el sistema en rotaciOn hay una fuerza ccntrifuga actuando en la rueda, que trata de alejar su masa lo mils posible del eje. Esto tiendc a alinear el piano de la rueda de manera que sea perpendicular al eje. Para resistir esta tendencia, los rodamientos ejercen un torque. Si hay un torque ejercido por los rodamientos, debe haber una rapidez de variaci6n de! momentum angular. ,:,C6mo puecie haber una rapidez de variaci6n del momentum angular cuando e!.tamos simplemente rotando la rueda con respecto al eje? Supongan qui! separamus la veloci dad angular w en componentes w 1 y w 2 perpendicular y paralela al piano de la rueda. lCuill es el momentum angular? Los momentos de inercia con respecto a estos dos ejes son diferentes, de manera que las componcntes del momentum angular, que 20-11 (en estos ejes particulares y especiales solamente) son iguales a !os momentos de inercia por las componentes de la velocidad angular correspondientes, estitn en una raz6n dijl!rente de la que estitn las componentes de la vc!ocidad angular. Por lo tanto, el vector momentum angular estit en una direcci6n en el espacio que no es a lo largo de eje. Cuando giramos el objeto. tenemos que girar el vector momentum angular en el espacio, asi que debemos ejercer torques sobrc el eje. Aunque es muy complicado para dcmostrarlo aqui, hay una propicdad muy importante e interesante de! momenta de inercia que es facil de describir y usar y que es la base de nuestro anitlisis anterior. Esta propiedad es la siguiente: un cuerpo rigido cualquiera, aun uno tan irrcgulaLcomo una papa, posee trcs ejcs perpcndiculares entre si a travCs del CM, de manera tal que el momenta de inercia con respecto a uno de estos ejes es el valor mitximo posible para cualquier eje a travi:s de! CM, el momenta de inercia con respecto a otro eje tiene el menor valor posib!e y el momento de inercia con respecto al tercer eje es intermedio entre estos dos (o igual a uno de ellos). Estos ejes se Haman ejes principales de! cuerpo y tienen la importante propiedad que si el c~erpo estit H?tando con respecto a uno de ellos, ~u momentum angular estil. en la misma direccion que su velocidad angular. Para un cuerpo con ejes de simetria. los ejes principales estitn segU.n los ejes de simetria. Fig. 20-7. La velocidad angular el momentum angular de un cuerpo (A>B>CJ. Si tomamos los ejes x, y y z segUn !os ejes principales, y llamamos A, By Ca los momentos de inercia correspondientes, podemos ca!cular facilmente el momentum angular y la energia cinetica de rotaciOn del cuerpo para cualquier velocidad .~n con:iponentes <'ix, <i1y y <;J 2 s~g_Un los ejes x, y, angular w. Si descomponemos z v usamo~ versure' i, j, k lamb1en scgun x, _\', ::, podemos escnb1r el momentum angular coma «' (20.16) La energia cinetica de rotaciOn es KE = !(Aw; + Bw~ + Cw;) (20.17) = ~L· "'· 20-12 21 El oscilador arm.Onico 21-1 Ecuaciones diferenciales lineales 21-4 Condiclones iniciales 21-2 El oscilador armOnico 21-.5 Oscilaciones forzadas 21-3 Movimiento armOnico y movimiento circular 21-1 Ecuaciones diferenciales lineales En el estudio de la fisica, el curso comUnmente es dividido en una serie de temas coma mecilnica, electricidad, Optica, etc., y uno estudia un tema despues de otro. Por ejemplo, este curso hasta ahora ha tratado principalmente la mecimica. Pero una cosa rara sucede una y otra vez: las ecuaciones que aparecen en los diferentes campos de la fisica y aun en otras ciencias, son a menudo casi exactamente iguales, de manera que muchos fenOmenos tienen analogies en estos diferentes campos. Para dar un ejemplo mits sencillo, la propagaci6n de las ondas sonoras es en muchos aspectos anfiloga a la propagaci6n de las ondas luminosas. Si estudiamos acUstica con gran detalle, descubrimos que mucho del trabajo es el mismo que si estuvi6ramos estudiando Optica con gran detallc. Asi, el cstudio de un fen6meno en un campo puedc permitir la extensiOn de nuestro conocimiento en otro campo. Es mcjor darsc cucnta desde un principio que estas extensiones son posibles, porque de otra manera uno podria no entender la raz6n por la cual se gasta una gran cantidad de tiempo y energia en alga que parcce scr s61o una pequefia parte de la mecil.nica. El oscilador arm6nico, que estamos a pun to de estudiar, ticne analogias intimas en muchos otros campos; aunque empezamos con un cjemplo mecinico de una masa fija a un resorte o un p(:ndulo con una pequeiia amplitud o algunos otros dispositivos mccil.nicos, rea!mentc estamos estudiando una cierta ecuaci6n diferencial. Esta ecuaci6n aparecc una y otra vez en la fisica y en otras ciencias y de hecho pertenccc a tantos fen6menos que su estudio a fondo bien vale la pcna. Alguno de los fen6menos que incluye esta ccuaci6n son las oscilaciones de una masa en un rcsortc: las oscilaciones de las cargas que fluycn de una parte a otra en un circuito elCctrico; las vibraciones de un diapas6n que estii. generando ondas sonoras; las vibraciones anii.logas de los elcctroncs en un iitomo que gencran ondas luminosas; las ecuaciones de funcionamiento de un servosistema, coma un termostato tratado de ajustar una tempcratura; complicadas interacciones en reacciones quimicas; el cre-cimiento de una colonia de bacterias en interacci6n con et aprovisionamiento de alimcnto y los vencnos quc las bacterias producen; los zorros que sc comen los conejos que se comen el pasto, etc.; todos estos fen6menos obedecen a ecuaciones que son muy 21-1 similares entre si y t!sta es la raz6n por la cual estudiamos el oscilador mecanico con tanto detalle. Las ecuaciones se Haman ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes cons/antes. Una ecuaciOn diferencial lineal con coeficientcs constantcs cs una ecuaciOn diferencial que consiste en la suma de varios terrninos, siendo cada tCrmino una derivada de la variable dependiente con respecto a la variable independiente y multiplicada por alguna constante. Asi a,. d"x/dt" + a,,_ 1 d"- 1x/dt"- 1 + ··· + a1 dx.ldt + aox = f(t) (21.l) se llama una ecuaci6n diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes (cada a; es constante). 21-2 El oscilador armOnico Tai vez el sistema mec<inico mils simple cuyo movimiento sigue una ecuacl6n diferencial lineal con coeficientes constantes es una masa fija a un resortc: primero el resorte se estira para compensar la gravedad; una vez compensada, estudiamos el desplazamiento vertical de la masa desde su posici6n de equilibria (Fig. 21-1). Vamos a Hamar x a estc desplazamiento hacia arriba y vamos a suponer tambiCn que e! resorte es totalmente lineal, en cuyo caso la fuerza que tira en contra cuando e! resorte cstit estirado es precisamente proporcional a la cantidad de estiramiento. 0 sea, la fuerza es - kx (cori. un signo para recordarnos que tira en contra). Luego, la masa por la aceleraci6n debe ser 'igual a - kx: (21.2) Para simplificar, supongamos que suceda (o cambiamos nuestra unidad de medida de! tiempo) que el cociente k/m = I. Primera estudiaremos la ecuaci6n (21.3) Mils tarde vamos a volver a la ecuaciOn (21.2) con k y m presentes explicitamente. Fig. 21--1 un eiemplo simple de un Ya hemos analizado la ecuaciOn (21.3) en detalle numCricamente; cuando reciCn introducimos el tema de la meciinica resolvimos esta ecuaciOn (vean la ecuaci6n 9.12) para encontrar el movimiento. Mediante integraci6n numfaica encontramos una curva (Fig. 9-4) que mostraba que si m estaba inicialmente desplazada pero en reposo, bajaba y pasaba por cero; despues no seguimos mils lejos, pero por supuesto sabemos que sigue moviCndose hacia arriba y hacia abajo -oscila·-. Cuando calculamos el movimiento numi!ricamente, encontramos que pasaba por el punto de equilibrio en el t =- 1,570. La 21-2 duracibn de todo el ciclo es 4 veces m<i.s larga; o sea t 0 = 6,28 "seg". Esto fue encontrado numericamcnte, antes de que supieramos mucho ciilculo integral. Suponemus quc entretanto el Departamento de Matemiltica ha introducido una funciOn que cuando se deriva dos veces es igual a si misma con signo menos. (Por supuesto quc hay mancras de obtener csta funciOn de un modo directo, pcro son mils compll" que saber de antemano cuill es Iv respuesta.) La funci6n es x-= cos t. Si la encontramos dx/dt =--sen l y rPx/dt 2 =--cos t = -x. La funciOn \" -= cos t empleLa para t - 0 con x --= I y sin velocidad inicial; Csta fue la s1tuaci6n con la que cmpcrnmos cuando hicimos nuestro' trabajo numerico. Ahora que sabemos que x = podemos calcular un valor preciso de! tiempo en el cual debc por x respuesta est-- n/2 6 1,57108. Estuvimos equivocados en la cifra dcb1do a crrnres de cillculo num&rico: jpero fue muy aproximado! Ahora para seguir adelantc con cl prob!ema original. restauremos las unidades de reales. ~Cuill e!. la suluciOn entonces'! Primero que nada, podemo~ hacer aparecer las constantcs k y m multiplicando cos t por !a ecuaciOn x =A cos t, entonces encontramos dx/dt =---A Descubrimos asi con horror que no logramos obtuvimos de nuevo !a ecuaci6n (21.3)! E~te importantes de las ecuaciones difcrencrade lu ecuariii11 por wia esto matcm<i.tica de e~to es clara. x c~ una sola ecuaciOn por A, Jigamos, vemos que por A y por lo tanto Ax es una origmaL La fisica de dlo cs la sia un rcsortc y e~tiramos cl doble. la fuerza tame~ el doble. la ve!ocidad que adqulere en la recornda en un tiempo dado es el dob!e: dchc rccorrcr una d1stancrn para \'Olver al origen porque se esl!r6 el doc! mismo liempo en volver al ongen, prescmdiendo palabras, en una ecuaci6n lineal el mov1m1ento cualquiera que sea su intensidad. X = COS(;Jo/. (21.4) Lo siguiente que tenemos que investigar es el significado fisico de w 0• Sabemos que la funci6n coseno se repite cuando su argumento es 2n. De manera que x = cos w 0 t va a repetir su movimiento, va a realizar un ciclo completo, cuando el "3ngulo" cambie en 2n. La cantidad w 0 t se llama a menudo Jase de! movimiento. Para cambiar w 0t por 2n, el tiempo debe cambiar en una cantidad /0 llamada el periodo de una oscilaci6n completa; por supuesto, t6 debe ser ta! que w 0 t0 = 2n. Esto es, w 0 t0 debe corresponder a un ciclo de! ilngulo, entonces todo se va a repetir~ si aumentamos t en t 0 , agregamos 2n a la fase. Asi to = 27r/Wo = 21r..;mfk. (21.5) De manera que si tuviframos una masa mas pesada fija a un resorte, demoraria mils en oscilar de una parte a otra. Esto se debe a que tiene mayor inercia y asi, aunque las fuerzas son las mismas, demora mas poner la masa en movimiento. 0, si el resorte es mas duro, se va a mover mas rapido y esto esta bien: el periodo es menor si el resorte es mils duro. Noten que el periodo de oscilaci6n de una masa fija a un resorte no depende en forma alguna de c6mo se inici6, de cu3nto lo hemos estirado. El periodo esta determinado, pero la amplitud de la oscilaci6n no esta determinada por la ecuaci6n de movimiento (21.2). La amplitud queda determinada, de hecho, por la manera en que lo soltamos, por lo que llamamos condiciones iniciales o condiciones de partida. Realmente, no hemos encontrado completamente la soluci6n mas general posible de la ecuaci6n (21.2). Hay otras soluciones. Deberia estar claro el porquC: porque todos los casos representados por x = a cos w 0 t empiezan con un desplazamiento inicial y sin ve\ocidad inicial. Pero es posible, por ejemplo que la masa empieze en x = 0 y podriamos darle entonces un golpe impu!sivo de manera que tenga alguna velocidad para J = 0. Este movimiento no estil representado por un coseno -estil representado por un seno---. Para expresarlo de otra manera, si x = cos w 0 t es una soluci6n, entonces, .-,no es evidente que seguiria movit\ndose de la misma manera que si entrasemos en la sa\a en un cierto tiempo (que llamariamos ··1 = 0") y vieramos la masa en el momenta que pasa por x = O? Por Jo tanto, x .=..o cos (,J 0 t no puede ser la soluci6n miis general; debe ser posible corrcr el comienzo del tiempo, por decirlo asi. Como un ejemplo, podriamos escribir la soluciOn de esta manera: x = a cos w 0 (t - 1 1), donde J1 es a!guna constante. TambiCn esto corresponde a cambiar el orlgen de! tiempo a un nuevo instante. Ademils, podemos desarrollar 'cos (w 0 t + 6) = cos w 0 t cos 6 - sen w 0 J sen 6, y escribir x =A cos wot+ Bsenw 0 t, dondc A ~ a cos.1 y B '-'- --a sen.1. Cualquiera de estas formas es una manera posible de escribir la so!uciOn general completa de (21.2): es decir, toda soluciOn de la ecuaciOn diferencial d2x/dt 1 = -oilx quc cxista en el mundo se puede escribir (a) x (b) x = a cos (w 0 1 + 6), (c) x = A cos w 0t = acosw 0 (1 - + 11), (21.6) Bsen wot. 21-4 Algunas de las cantidades en (21.6) tienen nombres: w 0 se llamafrecuenda angular; es el nllmero de radianes que cambia la fase en un segundo. Eso queda determinado por la ecuaci6n diferencial. Las otras constantes no estiln determinadas por la ecuaci6n, sino por la manera en que comenz6 el movimiento. De estas constantes, a mide el desplazamiento mii.ximo alcanzado por la masa y se llama amplitud de la oscilaciOn. La constante .1 se llama a veces Jase de la oscilaci6n, pero esto es una confusi6n porque otras personas Haman fase a w 0 t + .1, y dicen que la fase cambia con el tiempo. Podriamos decir que .1 es un defasaje con respecto a alg(m cero definido. Expresemoslo de otra manera. .1 diferentes corresponden a movimientos con fases diferentes. Esto es cierto, pero si queremos o no llamar a .1 la fase, esto es otra cosa. Fig. 21-2. Una partfcula moviendose en una trayectona circular con velocidad constante. 21-3 Movimiento armOnieo y movlmiento circular El hecho que cosenos aparezcan en la soluci6n de la ecuaci6n (21.2) sugiere que a lo mejor hay alguna relaci6n con circulos. Esto es artificial por supuesto, porque realmente no hay ninglln circulo implicado en el movimiento rectilineo sencillamente va hacia arriba y hacia abajo. Podemos indicar que hemos, de hecho, resuelto ya esa ecuaci6n diferencial, cuando estiibamos estudiando la meciinica de! movimiento circular. Si una particula se mueve en un circulo a velocidad constante v, el radio vector desde el centro de! circulo a la particula gira en un ilngulo cuyo tamaiio es prOJJ9rCional al tiempo. Si llamamos este il.ngulo {J = v t!R (Fig. 21-2) entonces d()/dt = w 0 = v/R. Sabemos que hay una aceleraci6n a= v2 /R = w 2rfi hacia el centro. Tambifui sabemos que la posici6n x en un momenta dado esel radio del circulo por cos 0 y que el yes el radio por sen (): x = R cos fJ, y = R sen fJ. Y, lCon respecto a la aceleraci6n? {.Que es d2x/dt 2 , la componente x de la aceleraci6n? Esto ya lo hemos resuelto geometricamente; es el m6dulo de la aceleraci6n por el coseno det 3.ngulo de proyecci6n, con un signo menos porque es hacia el centro. Oz = -a cos fJ = -w 2R cos 8 = -w 2x. (21.7) En otras pa!abras, cuando una particula se esta moviendo en un circulo, la componente horizontal de su movimiento tiene una aceleraci6n que es proporcional al desplazamiento horizontal desde el centre. Por supuesto, tambiCn tenemos !a soluci6n para el movimiento en un circulo: x = R cos w 0 t. La ecuaci6n (21.7) no depende del radio de! circulo de manera que para un circulo de cualquier radio, se encuentra la misma ecuaci6n para un w 0 dado. Luego, 21-5 --->---c ~dol --------+proyector Fig. 21- 3. Pantalla Demostraci6n de la equiva- lencia entre movimiento arm6nico simple y movimiento circular uniforme por varias razones, esperamos que el desplazamiento de una masa fija a un resorte resultarft ser proporcional a cos w 0t y va a ser, en realidad, exactamente el mismo movimiento que el que veriamos si observilramos la componente x de la posici6n de un objeto que estuviera rotando en un circulo con velocidad angular w 0 • Como una verificaci6n de esto, uno puede disefiar un experimento para demostrar quc el movimiento hacia arriba y hacia abajo de una masa fija a un resorte es el mismo que el de un punto que da vueltas en un circulo. En la figura 21-3 una luz de arco proyectada sobre una pantalla forma las sombras de un perno de un volante solidario a un eje y de una masa que oscila verticalmente, uno al !ado de otro. Si soltamos la masa en el tiempo preciso desde la posici6n precisa, y si la velocidad del eje se ajusta cuidadosamente de manera que las frecuencias coincidan, cada uno deberia seguir al otro cxactamente. Tambien se puede comparar la soluci6n numCrica que obtuvimos antes con la funci6n coscno y vcr si concuerdan muy bien. Aqui podcmos indicar que, dado que el movimiento uniforme en un circulo est<i tan relacionado matem3.ticamente con el movimiento oscilatorio hacia arriba y hacia abajo, podemos analizar el movimiento oscilatorio de una manera m:is simple, si lo imaginamos coma la proyecci6n de alga que se mueve en un circulo. En otras palabras, aunque la distancia y no significa nada en el problema oscilatorio, de todos modos podemos complementar la ecuaci6n (21.2) con otra ecuaci6n en y y juntarlas. Si hacemos esto, podremos analizar nuestro oscilador en una dimensi6n con movimientos circulares, que es mucho m:is fitcil que tener que resolver una ecuaci6n diferencial. El truco para hacer esto es usar nUmeros complejos, un procedimiento que vamos a introducir en cl pr6ximo capitulo. 21-4 Condiciones iniciales Ahora veamos quC es lo que determina las constantes A y Bo a y ti. Estas est:in determinadas, por supuesto, por la mancra en que empczamos el movimiento. Si empezamos el movimiento simplemente con un pequeiio desplazamicnto, esto da un tipo de oscilaci6n; si empezamos con un desplazamiento inicial y empujamos hacia arriba al so!tar, obtenemos otro movimiento. Las constantes A y B o a y ti o cualquier otra manera de expresarlos, est:in determinadas, por supuesto, por la manera en que comenzCi el movimiento y no por ningUn otro aspecto de la situaci6n. Estas se Haman condiciones iniciales. Nos gustaria relacionar las condicioncs iniciales con las constantes. Aunque esto p4ede hacersc usando cualquicra de las formas (21.6), resulta mas sencillo si usamos !a ecuaci6n (21.6 c). Supongan que para t = 0 hemos empezado con un desplazamiento inicial x 0 y una cierta velocidad i:o21-6 Esta es la manera mas general en que podemos empezar el movimiento. (Es derto que no podemos especificar la aceleraciOn con que empez6, porque eso queda detenninado por el resorte, una vez que espedficamos x 0 ). Ahora, calculemos A y B. Empezamos con la ecuaci6n para x, ,.: = A cos w 0 t + B senw 0 t. Como mas adelante vamos a necesitar la velocidad tambiCn, derivamos x y obte v -w 0 A sen w 0 t = + woB cos Wot. Estas expresiones son va!idas para todo t, pero tenemos un conocimiento especifico respecto a x y i· para t =- 0. De manera que si ponemos t = 0 en estas ecuaciones, obtenemos x0 y v0 , porque ese es el valor de x y de v para t = 0; tambiii:n sabemos que el coseno de cero es uno y el seno de cero es cero. Por lo tanto, obtenemos Vo= -woA ·O + w0 B· l w0 B. = De manera que para este caso particular encontramos A = Xo, B = vo/wo. De estos valores de A y B podemos obtener a y .1. si qucremos. Esto es el final de nuestra soluci6n, pero existe un hecho fisico intercsante a verificar y este es la conservaci6n de la energia. Como no hay pCrdidas por fricci6n, !a energia deberia conservarse. Usemos la formula x =a cos (w 0 t luego v = + Ll.); -woa sen (wot+ Ll.) Avcrigi.iemos ahora cuill es la energia cinCtica Ty cuitJ. es la energia potencial U. La energia potencial en cualquier momento es ~ k x1, donde x es e\ desplazamiento y k es la constante de! resorte. Si sustituimos x, usando !a expresiim anterior, ob tenemos U = -!-kx 2 = !ka 2 cos 2 (w 0 t + Ll.). La energia potencial no es constante por supucsto; el potcncial nunca se hace negativo naturalmente ---siempre hay alguna energia en el pcro la cantidad de energia nuctUa con x. La energia cinetica, por otra parte, es m v2 y sustituyendo v obtenemos Ahora. bien !a energia no hay veloddad: por ces sc e~ta movicndo opuesta a la de la entonces ahi porque enton- ----:o·.-. - ... ··,-'Cf- e~j~:t~n~=-n~~ 21-7 observamos que k = mw~, vemos que T + U = !mw~a 2 [eos 2 (wof +ti.)+ sen 2 (wot+ ti.)]= !mw~a 2 • La energia depende del cuadrado de la amp\itud; si tenemos una amplitud doble, obtenemos una oscilaci6n con una energia cuatro veces mayor. La energ[a potencial media es la mi tad de! miximo y, por lo tan to, la mi tad de! total y la energia cinetica media tambien es la mitad de la energia total. 21-5 Oscilaciones forzadas A continuaci6n vamos a discutir el oscilador armOnico forzado, es decir, uno en el cual actUa una fuerza motriz externa. La ecuaci6n es entonces la siguiente: m d 2 x/dt 2 = -kx + F(t). (21.8) Nos gustaria averiguar que sucede en estos casos. La fuerza motriz externa puede tener diversos tipos de dependencia funcional en el tiempo; !a primera que vamos a analizar es muy simple -vamos a suponer que la fuerza est<i. oscilando: (21.9) F(t) = F 0 coswl. Noten, sin embargo, que estc (;.1 no es necesariamentc (,1 0 : tcnemos (1J bajo nuestro control. Se puede forzar a diferentes frecuencias. Asi quc tratamos de resolver la ecuaciOn (21.8) con !a fuerza particular (21.9). ;,Cu<i.1 es la soluci6n de (21.8)? Una soluci6n particular (vamos a discutir luego los casos mas generales) es (21.IO) x "-- Ccoswl, donde !a constante debe ser detcrminada. En otras palabras, podemos suponer que si seguimos cmpujando hacia atr:is y hacia adelante, la masa va a seguir hacia atrits y hacia adelante al compils de la fuerza. De todos modos podemos tratarlo. Asi que introducimos (21.10) en (21.9) y obtenemos - mw 2 Ccoswl ~ -mw~Ccoswt + F 0 coswt. (21.11) Tambien pusimos k -= m(11l, para que entendamos mejor la ecuacibn al final. Ahora bien, como los cosenos aparecen en todas partes, los podemos simplificar y eso muestra que (21.10) es en rcalidad una soluciOn con tal que elijamos c cxactamcn te. La respuesta es que c debe ser 0 (21.12) Esto es, m oscila a la misma frecuencia que la fuerza, pcro con una amp!itud que dcpcnde de la frecuencia de la fuerza y tambiCn de la frecucncia del muvlmiento natural del oscl!ador. Significa, primero, quc ~i ,,1 es muy pcqucilo comparado con '''o• entonces el de~plazamiento y la fucrza estiln en la misma direcciim. Por otro lado si lo sacudimos muy rilpido de una parte a otra entonces (21.12), nos dice que C es negativa si (,1 cslil por sobre la frL-cucncia natural '''o dcl osci!ador armimico. (Llamarcmos a 10 0 la frecucncia natural del oscilador armUnico y ,,1 la frccucncia 21-8 aplicada.) A muy alta frecuencia el denominador puede hacerse muy grande, entonces no hay mucha amplitud. Par supuesto que la soluci6n que hemos encontrado es una soluci6n s61o si las cosas se comienzan correctamente,. porque de otra manera hay una parte que por lo comim desaparece despues de un tiempo. Esta otra parte se llama respuesta transitoria a F(t), mientras que (21.10) y (2l.12) se l!aman respuesta de regimen estacionario. De acuerdo con nuestra formula (21.12), una cosa notable debe ocurrir tambifo: si w es casi igual a w 1» entonces c debe tender a infinito. De manera que si ajustamos la frecuencia de la fuerza para que este "a tiempo" con la frecuencia natural, entonces deberiamos obtener un enorme desplazamiento. Esto es bien conocido para cualquier persona que haya empujado un nifio en un columpio. No da resultado que cerremos los ojos y que empujemos con una cierta velocidad al azar. Si lo hacemos en el momenta oportuno, el columpio sube muy alto; pero si estamos a un ritmo malo, a veces podriamos estar empujando cuando deberlamos estar tirando, etcetera, y la cosa no resulta. Si hacemos <M exactamente igual a w 0 encontramos que deberla osci!ar con una amplitud infinita, lo que, por supuesto, es imposible. La raz6n por la cual no lo hace es que en la ecuaci6n hay alga malo, hay otros terminos de fricci6n y otras fuerzas que no aparecen en (21.8), pero que existen en el mundo real. De manera que la amplitud no llega a infinito por alguna raz6n; jpodria ser que el resorte se rompiera! 21-9 22 Algebra 22-1 AdiciOn y multiplicaciOn 22-2 Las operaciones inversas 22-3 AbstracciOn y generalizaciOn 22-1 22-4 COmo obtener valores aproximados de nU.meros irracionales 22-5 N Umeros complejos 22-6 Exponentes imaginarios AdiciOn y multiplicaciOn En nuestro estudio de los sistema oscilatorios vamos a tener la oportunidad de usar una de las formulas mas notable, casi asombrosa, de toda la matemiitica. Desde el punto de vista de! fisico podriamos introducir esta formula en dos minutos mils o menos y estar listos. Pero la ciencia cxiste tanto para el goce intelectual coma para la utilidad prii.ctica, de manera que en vez de demonrnos unos cuantos minutos en esta maravillosa joya, vamos a co[ocar la joya dentro de su marco apropiado en ct grandioso disei'io de aquel!a rama de la matemiltica que se llama algebra elemental. Ahora ustedes podrlan preguntar: "iQue hace !a matemiltica en una clase de fisica?" Tencmos varias excusas posibles; primcro, por supuesto, la matcm3.tica es una herramienta importante, pero Csta solamente nos excusaria por cntregar la f6rmula en dos minutos. Por otra parte, en fisica tec')rica descubrimos que todas nuestras !eyes pueden ser escritas en forma matemiltica; y que esto tiene cierta sencillez y hermosura. Asi, en Ultimo tCrmino para entendcr la naturaleza podria ser ncccsario tener una comprensl6n m:!s profunda de las rclacioncs matemiltlcas. Pero la ran:m verdadera es que el tema cs entretenido y aunque nosotros !os humanos dividimos la naturalcza de maneras diferentes y tenemos cursos diferentes en departamentos distinlos, esta departamentalizaci6n es rcalmcnte artificial y dcbcriamos disfrutar nuestros placeres lntelectuales donde los encontremos. Otra raz(m para examinar con mayor cuidado cl ti.lgebra, aunquc la mayoria de nosotros cstudi6 ti.lgebra en el colegio, es que Csa fue la primera vez que !a estudiii. hamos; todas !as ecuaciones eran poco familiares y era muy dificil, asi como lo es la fisica ahora, De vez en cuando es un gran placer mirar hacia atrii.s para vcr quC territorio ha sido estudiado y cuti.l es cl gran mapa o plan de todo cl conjunto. iOuizils, algUn dia, alguien en el Departamcnto de Matcm<ilica va a dar una clase de mec<inica de manera de mostrarnos quC era !o que estti.bamos tratando de apren der en el curso de fisica! El tema de algebra no va a ser desarrollado de5de el punto de vista del matemti. tico exactamente, porque los matem3.ticos estti.n intcrcsados mti.s que nada en c(imo se demuestran los divcrsos hechos matem:iticos, en culi.ntas suposicioncs son abso lutamente 22-1 dc lo y en lo que no es necesario. No estim tan interesados en e! rcsuldemuestran. Por ejcmplo. podemos encontrar el teorema de Pititla ;,uma de los cuadrados de los lados de un triitngula hipotenusa; Cse es un hecho interesante, una ser aprcciada sin discutir el hecho de cOmo Asi, en cl mismo espintu a dcscribir hacer!o asi, el sistema dcl rama de la matemi1tica coffio ab = ba se abandonan y pero no vamos a d1scutir e~to. suces1van1cntc S1 cmpezamo' con un c1erto una unidad b vccc,. cl nlimcro a ql1e } e~o de!ine la adicion de en term la adici(m, podemos constdcrar e;,to: ;,1 llamamos el + (b + c) = (a + b) +' + c) = ab + ac (a) a+h=b+a (b) a (c) ab= ba (d) a(b (o) (ab}c = a(hc) aha' = a(b+cl (f) (abY (h) (ai·y ~ a(bd (J) a I = a (g) (i) a+O=a = ache (22.l) (k) a 1 = a Estos resultados son muy y no vamos a insistir en ello~, sOlo los ind1capropiedadcs cspecialcs; por cjcmplo a + O es a, mos. Por supuesto que I y = a ya elevada a la pnmera potencia es a. a x I quc C> tl11,1lmcntc c1crlo quc escrito dcmasiada' de el las pucdcn 'er deduc1das de utra;. pero no nos \ amos a preocupar por cosw,. 22-2 22-2 Las operaciones inversas Adcmii.s de las operaciones direct~s de adiciOn, mu!tiplicaci6n y elevaci?n a una potencia, tambiCn tcnemos las operaciones inversas que se definen .coma s1gue: Supongamos que a y c estii.n dados y quc queremos encontrar c~ales valores de b l>atisfacen ecuaciones tales como a + b = c, ab = c, ba = c. S1 a + b = c, b se define co mo c - a que se \lama sustracci6n. La operaci6n llamada divisi6n tambiffi es clara: si ab ___,, c, entonces b = cla define la divisi6n -una soluci6n de la ecua' "hacia atrii.s". Si tenemos una potencia ba = c y nos preguntamos cion ab ,_,_ "lQue es b se llama la raiz a~Csima de c: b = ~C. Por ejemplo, si nos hacemos la siguiente pregunta: i,"Que entero, elevado a la tercera potencia, es igual a 8?", entonces la respuesta se llama raiz cUbica de 8; es 2. Como b'1 y ah no son iguales, hay dos problemas inversoi. asociados con las potencias y el otro problema inverso debe ser: ";,A que potencia debcmos clevar 2 para obtener 8?" Esto se llama tomar cl logaritmo. Si ah= c, escribimos b = logal'. El hecho que tenga una notaci6n mas trabaJOSa en relacion a los otros no sigmfica que sea menos elemental, por lo menos aplicado a los enteros, que los otros procesos. Aunque !os logaritmos aparecen tarde en un curso de ti.lgebra. por cicrto que en la pnl.ctka son tan scncillos coma las raices; son precisamente una soluci6n difcrcnte de una ecuaci6n algcbraica. Las opcraciones directas e invcrsas se resumen como sigue: (a) adici6n h~ (b) (c) ("') c multiplicaciUn ah= c potencia b" ~ c (d) sustraccion h= c-a (b') divlsi6n (c') raiz b~ b~ (d') c/a ?'' logaritmo logac b~ 22-3 AbstracciOn y generalizaciOn Cuando tratamos de resolver ecuaciones a!gebraicas simples, usando todas estas definicioncs, pronto descubrimos algunos problemas insolubles tal coma el siguiente. Supongan que tratamos de resolver la ecuaci6n b = 3 - 5. Esto significa, de acuerdo con nuestra definici6n de sustracci6n, que debemos encontrar un nllmero que cuando se suma a 5 da 3. Y por supuesto no existe tal nUmero, porque consideramos s6lo enteros positivos; Cste es un prob\ema insoluble. Sin embargo, el plan, la gran idea es Csta: abstracci6n 22-3 y genera!izaciOn. De la estructura comp!eta de! algebra, reglas mas enteros, abstrae mos las definiciones originales de adiciOn y multiplicacic·m, pero dejamos las reglas (22. l) y (22.2) y suponemos gue Cstas son v:ilidas en general para una clase de nUmeros mas amplia, aunque ellas fueron obtenidas originalmente en una clase menor. Asi, en vez de usar enteros simbO!icamente para definir las reglas, usamos las reglas como definiciOn de Jos simbolos, los quc entonces representan un tipo de nUmero miis general. Como ejemplo, trabajando solamente con las reglas, podemos demostrar que 3 - 5 =- 0 - 2. De hecho podemos demostrar que uno puede hacer t,odas las sustracciones siempre que definamos un Conjunto compkto de nucvos nUmeros: 0-1. 0-2, 0-3, 0-4, etc., Uamados enteros negativos. Entonces podemos usar todas las otras reglas, como a (b + c) = ab + ac, etc., para encontrar cuaJes son las reglas para multiplicar nUmeros negativos, y vamos a descubrir que todas las reg!as pueden ser mantenidas tanto con enteros negativos como positivos. De manera que hemos aumentado la extensibn de los objetos para los cuales las reglas dan resu!tado, pero el significado de los simbolos es diferente. Uno no puOOe decir, pOF cjemplo, que -2 por 5 rea!mente significa 5 sucesivamente -2 veces. Eso no tiene ningUn significado. Sin embargo, todo va a resultar bien de acuerdo con !as reglas. Un prob!ema interesante aparece al considerar las potencias. Supongan que queremos descubrir Jo que significa a' 3-- 21 • SO!o sabemos que 3 - 5 es una soluci(m del problema (3-5) + 5 = 3. Sabiendo eso, sabemos que a' 3-» ·al = a 3 • Por lo tanto 3 a' -'' = al/al por la definiciOn de divisibn. Con u;1 poco miis de trabajo, esto puede ser reducido a l/a 1 • De manera que encontramos que las potencias negativas son los reciprocos de las potencias positivas. pero I/ a 1 es un simbo!o sin significado porque si a es un entero positivo o negativo, su cuadrado es mayor que I y jtodavia no sabemos lo que entendemos por I dividido por un nUmero mayor que I! 0 jAdelante! El gran plan es continuar el proceso de generalizaci6n; cada vez que encontramcs otro prob!ema que no podcmos resolver extendemos nuestro reino de !os nUmeros. Consideren la divisi6n: no podemos encontrar un nUmero que sea un entero, aunque sea negativo, que sea igual al resultado de dividir 3 par 5. Pero si suponemos que todos los nUmeros fraccionarios tambien satisfacen las reglas, entonces podemos hablar de multiplicar y sumar fracciones y todo resulta tan bien como antes. Consideren otro ejemplo ~e_potencias: ique es a 1i 5? SOio sabemos que (3/,5)5 '---= 3, ya que esa fue la defimc16n de 3/5. De manera que sabemos que (aOi5))5 -, =--c. a'J/5)(l• ~- ai porque ~sta es un_!l de las reglas. Entonces por la definiciOn de ra1ces encontramos que a' 11 5 ' = \(Qi. De esta manera podemos definir lo que queremos decir al poner fracciones en Jugar de los diversos simbolos. usando las reglas mismas para ayudarnos a determinar la defin~c.i6n -no es arbitrario-·. jEs un hecho sorprcndente que todas las reglas sigan vahdas tanto para los enteros positlvos y negativos como para las fracciones! Sigamos con e! proceso de genernlizaci6n. iHay alguna otra ecuaci6n quc no podamos resolver? Si, hay otra. Por ejemplo, es imposible resolver esta ecuaci6n: b = 21/2 "" ../2. Es imposible encontrar un nUmero que sea racional (una fracci6n) cuyo cuadrado sea igual a 2. Es muy facil para nosotros en los tiempos modemos responder a esta pregunta. Conocemos el sistema decimal, de manera que no tenemos dificultad en entender 22-4 el significado de un decimal sin tfrmino como ~n tipo de ap~oximacil)n a la r~[l. cuadrada de 2. HistOricamente, esta idea presen_to una ?ran d_ihcultad par~ los gnc gos. Para definir en fortna precisa lo que se qu1ere decrr aqut, es necesano agregar alguna esencia de continuidad y orden, y esto es, de hecho, exactamente en este punto casi el pa:;o mas dificil en el proceso de generalizaci6n. Fue hecho formal y rigurosamcnte por Dedekind. Sin embargo. sin preocuparnos de! rigor matemtitico de! asunto, es muy facil de entender que lo que queremos decir es que vamos a encontrar una sucesiOn completa de fraccioncs aproximadas, fraccioncs perfectas (porque .:;ualquier decimal, rnando sc corta en alguna pane es ciertamente racional), que sigucn y siguen, acerd.ndose cada vez mils al resultado deseado. Esto es suficiente para lo que 4ueremos discutir y ello permite enredarnos con los nllmeros irracionales y calcular con bastante esfuerzo cosas como la raiz cuadrada de 2 con toda la precisiOn que deseamos. 22-4 COmo obtener valorcs aproximados de nUmeros irracionales problema surge cuando averiguamos que sucede con las potencias que qucremos definir, por ejemplo. 10Vi: En principio la ressencilla. Si aproximamos la raiz cuadrada de 2 a un cierto nUmero la potencia es racional y podemos extraer la raiz aproanterior, y obtener una aproximaci6n para IOv'f. Despues cuantas cifras decimalcs m:is (de nuevo e!!a es racional), esta vez una raiz de orden mucho mayor porque hay un fracci6n, y obtener una mejor aproximacibn. Por supuesto, enormes y el trabajo es bastante dificil. <,C6mo vamos a En el cuadradas, raices cllbicas y otras raices pequeiias hay el cual podemos obtener una cifra decimal despues trabajo necesario para calcular potencias irracionales ellas (el problema inverso) es tan grande que no hay que podamos usar. Por lo tanto, se han construido nos penruten estas potencias; y Cstas se llaman tablas delogaritde potcncia'i depcndiendo de la manera que estim construidas. Es sencimos o llamente un problema de ahorrar tiempo: si tenemos que elevar un nUmero a una po· tencia irracional es mejor buscarlo tjue tener que calcularlo. Por supuesto, este ciilculo no e~ mtis que un problema tCcnico, pero interesante y de gran valor hist6rico. En primer lugar, no s6lo tcncmo~ el problema de resolver x = JO V~ sino tambiCn el problema de resolver JOx -' 2, 6 x - log 10 2. Este no cs un problema en el tengarnos que definir un nuevo tipo de nU.mero para el resultado, es simplemente un problcma de c:ikulo. La simplemente un nilmero irracional, un deci mal sin tfrmino, noun problema de calcular ~oluciones de tales ecuaciones. La JOl y 10 4 10 lQ'\·~ y esta ""bdcrnmrnto muy simple. Si pudierarnos calcu!ar multipliciiramos, obtendriamos 10 t,414 ..., o csto funnona. Pero en vez 22-5 de calcu!ar 10 1 / 10 y los dem:ls, vamos a calcular 10 1n, 10 114 , etc., Antes quc empecemos, debemos explicar por quC hacemos tanto trabajo con !O, en vez de con otro nUr:iero. N<;>s _damos cuenta, por supuesto, que las tablas de Jogaritmos son de gran utihdad practica, aparte dcl problema matemittico de extraer raices, ya que con cualquier base Jog 0 (ac) = logo a + logb c. (22.J) Todos sabemos que podemos usar este hecho de una mancra pritctica para multi plicar nUmeros si tenemos una tabla de logaritmos. La Um ca pregunta es: i",con que base h vamos a calcular? No importa quC base se use; podemos usar e! mismo principio todas las veces y si estamm usando logaritmm con una base detenninada, podemos encontrar !os logaritmo~ con respecto a cualquier otra base simplemcnte cambiando la escala, un factor de multiplicaci6n. Si multiplicamos la ecuaciOn (22.3) por 6 ! , sigue siendo igualmente vitlida; y si tuviframos una tabla de logaritmos con base b y si alguien multiphcara toda nuestra tabla por 61, no habria d1ferencia esenciaL Supongan que conocemos los logaritmos de todos los nUmeros en la base h. En otras palabras, podcmos resolver la ecuaci6n bQ -- c para cualquier c porque tenemos una tabla. El problema es encontrar el Jogaritmo de! mismo nUmcro c con respecto a otra base, digamos x. Nos gustaria resolver x<'.-= c. Ello es facil de hacer, porque stcmpre podemos escribir x - b', que define a l, conocicndo x y h. De hecho l = logbx. Si reemplazamos este valor y dcspejamos para a', vemos que (bl}Q' =-= bta' ~ c. En otras palabras, ta' es el logaritmo dc c en base b. Asia'-= alt. Luego los logaritmos en base x son simplemcnte 1 It, que es una constante, por los logaritmos en base b. Por lo tanto, cualquier tabla de logaritmos cs equivalente a cualquier otra tabla de logaritmos si multiplicamos por una constante y la constante cs 1/IOg[>X. Esto nos permite elegir una base particular y por convenicncia tomamos la base 10. (La pregunta puede surgir de si existc alguna base natural, una base en la cual las cosas sean mas sencillas y vamos a tratar de encontrar una respuesta a eso mas tardc. Por el memento vamos a usar la base 10.) Veamos ahora c6mo calcular Iogantmos. Empczamos calculando raices cuadradas sucesivas de 10 por el metodo de aproximac16n. Los resu!tados se muestran en la tabla 22-l. La primera columna da las potencias de JO y el resultado, 10', se da en la tercera columna. Asi, 10' - JO. La potcncia a un med10 de JO la pode mos calcular facilmente porque es la raiz cuadrada de 10 y hay un proceso conocido y ~imple para extraer la raiz cuadrada de cualqmer nLimero*. Usando este proccso. encontramos quc la pnmera rai7 cuadrada cs 3.16228. t,De que nos sirve eso'? Ya nos dice alga, nos dice c6mo extraer 10°15, asi conocemos por lo menos un loga ritmo, si sucede que neces1tamos e! logaritmo de 3.16228 sabemos lJ.Ue la respuesta est:i ccrca de 0,50000. Pero tencmos que mejorar un poco; se ve que necesitamos mils informaci6n. De manera que extraemos la raiz cuadrada de nuevo y encontramos J0 114 que es 1,77828. Ahora tencmos el logaritmo de mil.'> nUmeros que antes, 1,250 es el logaritmo de 17,78 y, entre parentesis, • Exi~te un proced1miento arltmetico dcfinido, pero la manera ma' fkil de cuadrada de cualqu1cr nUmero N es elegir un a ba~tante cerca del cncontrar usar e~tc valor promediado a' para la eleccdm med1ar a' "' 1/2 !a + 22-6 Tabla 22-1 Raiees euadradas sucesivas de diez Exponentc f°24!r-----W:·~ --1--=-=1-cl02-:--1~~00o---~0 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 1/256 1/512 1/1024 I I 512 I 256 128 64 32 16 8 3.16228 1.77828 1.33352 l.15478 1.074607 1.036633 1.018152 l.0090350 1.0045073 1.0022511 (10' - 1)/s ·- 9.oo ""--== 4.32 3.113 2.668 2.476 2.3874 2.3445 2,3234211 2.3130104 2.3077 ~3 2.3051 26 '" .:l/1024 (.:l-> 0) I + .00224866 si alguien pregunta por 10° 75 !o podemos obtcner porque es 10• 0 -i+o.ll•; es, por lo tanto, el producto de los nUmeros segundo y tercero. Si podemos obtener nUmeros en la columna s para podcr construir casi cualquier nUmero, entonces al multiplicar los elementos adecuados en !a columna 3, podcmos obtener 10 elevado a cualquier potencia; Cse es cl plan. Asi que calculamo~ diez raices cuadradas sucesivas y Cse cs el trabajo principal de estos c:ilculos. i.Por quC no seguim.os para obtener cada vez m;'.is a darnos rnenta de algo. Cuando elevamos cs tenemos I mils una pequei'ia cantidad. La tencr que tomar !a potencia I .OOO"'•irna de para volver a manera que mejor que no empccemos con un nllmero tan grandc; tiene que ser cerca de I. Lo que notamos es que los pequeilos nUmeros que sumamos a I empie?an a apareccr como si cstuviCramos simplemente dividiendo por 2 cada vez; vemos que 1.815 se hace 903; dcspuC~ 450, 225; de manera que cst3 quc si cxtraemos otra raiz, me nos, y en vcz de cx/racr con excelcnte aproximaci6n obtendremos 1,00 ! 12 realmente todas las raices cuadrada~. eslimamos cl Ultimo. Cuando tomamos una pequcila fracci6n ,1 de 1.024. lCuii.I va a ser la respucsta a rncdida que .---" tienda a cero? Por supuesto va a ser algUn nUmero cerca de 0,0022511 .:1. No exactamente 0,0022511 J.; sin embargo. podemo~ obtcncr un valor mcjor mcdiantc cl si guiente truco: restamos cl I y dcspuC~ dividimos por la potcncia s Esto dchcria corregir todos los exccsos en el mismo valor. Vcmos que son muy cipio de la tabla no. pcro a mcdida que bajan, se constantc. lCulil cs cl valor? De nuevo mirarnm ~on biado cons. Cambi6 en 2J I, en 104, en 53. en en forma muy aproximada la mitad el uno dcl olro a mcdida que ba1amo~. tanto, si seguimos adelante, los cambios scrian 13, 7, 3. 22-7 2, I, mils o menos, o un total de 26. De manera que tenemos que avanzar solamente en 26 y asi encontramos que el nUmero verdadero es 2,3025 (realmente veremos mils tarde que el nUmero exacto deberla ser 2,3026, pero para no quitarle realidad no vamos a alterar nada en la aritmetica). A partir de esta tabla podemos calcular ahora cualquier potencia de JO, componiendo las potencias a partir de la l.024"'a. Cakulemos ahora realmente un logaritmo, porque el proceso que vamos a usar es el proccso de d6nde provienen las tablas de logaritmos. El procedimiento se muestra en !a tabla 22-2 y Jos valores numericos se muestran en la tabla 22-1 (columnas 2 y 3 ). I abla 22-2 Calculo de un logaritmo: log,.,z 2 + 1.77828 = 1.124682 1.124682 + 1.074607 = 1.046598, etc . . . 2 = (l.77828)(1.074607)(1.036633)(1.090350)(1.000573) = 10[-2- (256 1024 = 1003010:1 + 32 + 16 + 4 + 0.254] = 10[~~] 1024 (~ 2249 = 0.254) .·. Jog 1 o 2 = 0.30103 Supongan que queremos cl logaritmo de 2. Es decir. queremos saber a que tcncia debemos elcvar 10 para obtener 2. ;,Podemos elevar JO a la potencia No: es muy grande. En palabras. podemos ver que !a rcspuesta va a ser mayor que I /4 y menor que Saqucmos el factor 10 1. 4 : dividimos 2 por 1.778 .... y que hemos sacado 0.250000 del logaritmo. obtenemos l. l 24 ... , ct<:: .. y El nU.mero l,[24 ... es ahora cuyo logaritmo necesitamos. Cuando hayamos terminado. agrcgaremos de nuevo el ! /4. o 256/1.024. Ahora buscamos en la tabla el nUmero siguicnte. justo debajo de !.!24 .... y e~ 1.074607. Por lo tanto. dividimos por 1.074607 y obtcnemos 1.046598. De ah"1 descubrimos que 2 puede ser formado por un producto de nl1mcros quc est:"m en la tabla 22-l. como sigue: 2 = (I. 77828)( 1.074607)( 1.036633)( t .0090350)( 1.000573) SobrO un factor (1,000573). naturalmentc. que est:l m:ls allit del alcance tabla. Para obtencr cl logaritmo de estc factor usamo~ nuestro 10 l, 1024""" I + 2.3025 _\/ 1024. Encontramos J. =- 0.254. Luego es lO a la siguientc potcncia: (256 + 32 -1 16 + 4 -1 0.254)/1024. ob tencmos 308.254/1024. Dividiendo obtencmos 0.30103. de manera que sabemus quc log 10 2 0.30103: jquc resulta correcto hasta 5 cifras! Esta cs la manera ciJmo los logaritmos fueron calculado~ por cl Sr. Briggs de Halifax. en 1620. Dijo. "rnmputC sucesivamcnte cuadradas de !O". Sabemm que realmcntc cakulO la~ primcras 27. porquc el resto ~e puedc obtcner por cstc 22-8 truco con el j,, Su trabajo consistiO en calcular la raiz cuadrada de 10 veintisiete veces, que no ~s mucho mils que las diez veccs que lo hicimos nosotros; sin embargo. fue mucho mas trabaJo porque el calculO hasta dieciseis cifras dec1males y luego redujo su rcsultado a catorce cuando lo publicO, de manera que no habia errores de redondeo. Hizo tablas de Jogaritmos con catorce cifras dccimales mediante este mCtodo, que es bastante tedioso. Pero todas las tablas de logaritmos por trescientos ailos fucron tomadas de las tablas de] Sr. Briggs, reduciendo el nllmcro de cifras decimales. SOlo en los tiempos contempor<'tncos con la WPA y las milquinas computadoras, sc han calculado nuevas tablas independientemente. Hay metodos mucho m<'ts eficicntes de calcular Jogaritmos hoy en dia, usando ciertos desarrollos en serie. En el proceso anterior descubrimos alga bastantc intercsante y es que para pc queilas potencias c podemos calcular JOf facilmente; hemos descubierto que JO' = = I + 2,3025f por simple an<'tlisis numCrico. Esto tambiCn significa, por supuesto, quc 10"12.3025 l -+ fl si 11 es muy pequcila. Ahora bicn los logaritmos en cualquier otra base son simples mUltiplos de los logaritmos en base 10. La base 10 fue usada solamente porquc tenemos IO dedos y !a aritmCtica es facil. pero si preguntamos par una base matem.iiticamente natural, una que no tenga nada que ver con el nUmero de dedos en los seres humanos. podriamos tratar de cambiar nuestra escala de naturnl y conveniente y el mCtodo que la gente ha elelogaritmos de una gido es redefinir los multiplicando todos los logaritmos en base IO por 2,3025. a usar otra hase y que se llama base natural n o f'n ~ J 1- fl a medida que n • 0. o base e. Es bastante facil averiguar Jo que es !Oll2.3025 O I00.434294 ... , una potencia irracional. Nuestra tabla de raices sucesivas de IO se puede usar para 10 elevado a cualquier potencia; asi que calcular no s\'1!0 logaritmos. sino e. Por conveniencia. trnnsformamos usi:mosla para calcular base Ahora. cs 256 + 128 , 32 + 16 + 2 + 0.73. 0,434294 ... en 444,73/ Entonces e, ya que es un exponentc de una suma, va a ser cl producto de los (El Unico problema es el Ultimo. que es 0.73, y quc nu est.ii en la tabla. pero sabemos que si .1 es pequeiio, la respuesta es 1 ·•- 2.3025 j .) Cuando los multiplicamos, obtenemos 2,7184 (deberia ser 2,7183, pero est.ii bastante bicn). El uso de estas tablas es. entonces. !a manera mediante la cual se calculan las potencias irracionales y los logaritmos de nUmeros irracionales. Y con esto terminamos con los nUmeros irra cionales. 22-5 NUmeros complejos Y ahora resulta que, despuCs de todo ese trabajo. ;todaria nu podcmos resolver todas Ia ecuaciones! Por ejemplo. (.cu.iii es la raiz cuadrada de -1? Supongan que tcnemos que encontrar xi ~- -1. El cuadrado de ningUn racional, de ningUn irracio nal, de nada que hayamos descubierto hasta ahora es igual a --l. De manera que de nuevo tenemos que generalizar nucstros numcros a una clase aUn mlls amplia. Supongamos que una soluci6n especifica de x 1 = - I se !lama de alguna manera, nosotros la llamarcmos i; i tiene por definici6n la propiedad de que su cuadrado es -1. Esto es 22-9 (r + is)(p + iq) = = = + + + + + + rp r(iq) (is)p (is)(iq) rp i(rq) i(sp) (ii)(sq) (rp - sq) + i(rq + sp), (22.4) todos los nUmeros que ohedecen ahora las rcglas (22.5) 22-10 Pero ya sabemos como caJcuiar 10' y siempre podemos multiplicar _alg? por cualquier otra cosa; luego el problema es calcular solamcnte !01-'. lnd1quemoslo por algUn nUmero complejo x 1 iy. Problcma: dado ~. cncontrar x, encontrar y. Ahora ,, IO" = x + iy, entonces el complejo conjugado de esta ecuaciim tambifo debe ser cierto, de manera quo w-" = x - iy. (Vemos asi que podemos deducir una cantidad de cosas sin realmente calcular nada, utilizando nuestras reglas.) Deducimos otra cosa interesante al multiplicarlas 10 1•10-i• = 10° = 1 = (x + iy)(x - iy) = x 2 + y 2• (22.6) De manera que si cncontramos x tambien encontramos y. Ahora el problema es cOmo calcular 10 elevado a una potencia imaginaria. ~Qui: gula existe? Podemos trabajar basandonos en nuestras reglas hasta que no podamos ir mas alla, pero hay una guia razonable: si podemos calcu!arlo para una s particular podemos obtenerlo para todo el •resto. Si conocemos 10 11 para una s cualquiera y desputs lo quercmos para el doble de esa s, podemos elevar el mimero al cuadrado, y asi sucesivamente. Pero, ;,c6mo encontrar JOis aun para un valor especial de s? Para lograrlo vamos a hacer una hip(Jtesis adicional quc no csta pre cisamente en la categoria de todas las otras reglas, pero que lleva a rcsultados razonab!es y nos permite progresar: cuando la potencia es pequeiia vamos a suponer que la "ley" 10' = I + 2.3025 i es correcta, a medida que ,• se hacc muy pcqueila. no sO!o para 1 real, sino lambiin para E comp/ejo. Por lo tan to, empezamos con la hip6tesis de que esta ley es va!ida en general, y esto nos dice quc IOis-= 1 + 2.3025 · ·is, para s---> 0. De manera que suponemos que si s es muy pequeila, digamos uno en 1024, tenemos una buena aproxirnaciOn a J0 1s. Ahora hacemos una tabla mediante la cual podemos calcular todas las potencias imaginanas de 10. csto es ca!cular x e y. Esto se hace como sigue. La primera potencia con que empernmos es la potencia l I !024, que suponemos que tiene un valor muy cercano a I + 2,3025i/ 1024. A~i empezamos con ]Qi/IOZ·l = 1.00000 + 0.0022486i, (22.7) y si seguimos multiplicando el nUmero por si mismo, podemos Jlegar a una potencia imaginaria mayor. De hecho, basta con invertir el procedimiento quc usamos al hacer nuestrn tabla de logaritmos y calcular cl Cuadrado. la 4.". la 8." potencia. etc., de (22.7) y asi construir los valures mostrados en la tabla 22-3. Notamos un hecho interesante. que los nUmeros x son positivos al principio, pero dcspues se hacen nega, tivos. Vamos a examinar esto un poco mas demro de un momenta. Pero primero podriamos tener la curiosidad de averiguar para que nUmero s la parte real de 10'' ~s ce~o. El valor y podria ser i y asi tendriamos JOa = i O is"'' log 10 i. Como ejcmplo je como usar esta tabla, tal como calcu!amos antes log 10 2 , usamos la tabla 22-3 para encontrar log 10 i. ;,Cu1i.! de los numeros de la tabla 22·3 debcmos multiplicar para obtener un reimaginario? Despufs de tantear un poco, descubrimos que para reducir x lo que se pueda. es mejor multiplicar "'512"' por'" 128 "".Esto da 0.13056 ~ 0.99144i ;u~tado TI as 22-11 Entonces descubrimos que debemos multiplicar esto por un nUmero cuya parte ima· ginaria sea casi igual a la dimensi6n de la parte real que estamos tratando de eliminar. Por lo tanto, elegimos "64" cuyo valor de yes 0,14349, ya que es el mils cercano a 0,13056. Esto da-0,01350 + 0,99993 i. Ahora nos pasamos de largo y debemos dividir por 0,99996 + 0,00900i. i,C6mo lo hacemos? Cambiando el signo de i y multiplicando por 0,99996-0,00900 i (que funciona si x 2 + y 2 =I). Siguiendo de esta manera encontramos que la potencia a que debemos elevar IO para que de i es i (512 + 128 + 64 -~ 4 - 2 + 0,20)/ l.024, 6 698,20 if I.024. Si e!evamos JO a esa potencia obtenemos i. Luego log 10i = 0,"68226i. Tabla22-3 Cuadradossucesivosde 16 i14 i,12 i/1 ! 32 64 128 256 512 1024 tOi/ioi 4 = J + 0,0022486i 1.00000 I .00000 0.99996 0.99984 0.99936 0.99742 0.98967 0.95885 0.83872 0.40679 -0.66928 + 0.00225i* + 0.004501 -+- 0.00900i + O.Jl800i -+- 0.07193i + 0.14349i + 0.28402i + 0.54467i + 0.9\365i + 0.74332i ___ J~~e.r_ ~~o-~:,2~86i 22-6 10 11 • x+iy + 0.03599i Figura22-l Exponentes imaginarios Para seguir investigando el tema de elevar a potencias complejas imaginarias, echemos un vistazo a las potencias de JO al elevar a potencias sucesivas, no duplicando cada vez la potencia con el fin de continuar con la tabla 22-3 y ver quC pasa con esos signos menos. Esto se muestra en la tabla 22-4 en la cual tomamos 101 '8 y lo seguimos multiplicando. Vemos que x disminuye, pasa por cero, llega casi a - I (si pudiCramos introducirnos entre p = 10 y p--= 11 evidentemente alcanzaria -·I) y vuelvc atril.s. El valor y tambien va de un !ado a otro. En !a figura 22-1, los puntos representan los nUmeros que aparecen en la tabla 22-4 y las lineas se dibujaron precisamente para ayudarles visualmente. Vemos asi que los nUmeros x e y oscilan; JOi> se repite, es alga peri6dico y Como ta! es fitcil de explicar, porque si una cierta potcncia es i, entonce.<. la cuarta potencia de ello serit i2 al cuadrado. Scril + I de nuevo y por !o tanto, ya que J00.6 81 es igual & i, al tomar la cuarta potencia descubrimos que lQ2.72 1 es igual a + I. Por lo tanto, si quisii:ra 22-12 Tabla 22-4 Potencias sucesivas de IOi/8 _!_:__.;ex~·-~ 10 11 12 14 16 18 20 22 24 ·~-~.-~10~"~'"~~~1 + O.OOOOOi 1.00000 0.95882 0.83867 0.64944 0.40672 0.13050 -0.15647 -0.43055 -0.66917 -0.85268 -0.96596 -0.99969 -0.95104 -0.62928 -0.10447 + 0.28402i + 0.54465i + 0.76042i + 0.91356i + 0.99146i + 0.98770i + 0.90260i + 0.74315i + 0.52249i + 0.258801 - 0.02620i - 0.30905i - 0.77717i - 0.99453i - 0.89098i - 0.49967i + 0.05287; +0.80890 + 0.58836i lQ3,00i, por ejemplo, podriamos escribirlo como 102.w por 100,281. En otras palabras, tiene un periodo, se repite. i Por supuesto, reconocemos a que se parecen las curvas ! Se parecen al seno y al coseno y las vamos a llamar, mientras tanto, el seno algebraico y el coseno algebraico. Sin embargo, en vcz de usar la base 10, las vamos a poner en nuestra base natural. lo que cambia so\amente_ Ja escala horizontal; de manera que reemplazamos 2,3025 s por t y escribimos 10" ,----, e'1, donde t es un nUmero real. Ahora e11 = x + iy, y lo vamos a escribir coma el coseno algebraico de t mas i veces el seno algebraico de r. Asi e' 1 ---o~t+i~I. (22.8) son las propiedades de ffi§. t y g;n 1? Sabemos primero. por ejemplo, que x1 + y 1 = 1; lo hemos demostrado antes y cs tan v<ilido para la base e como para la base 10. Luego ~ 1 t + g_n2 t -~ I. Tambien sabemos que, para t pe4ueiio, ei 1 = -'--- 1 + it y, por lo tanto ~ t es casi l y ~res casi 1, y asi resulta que todas las diversas propiedades de estas notables funciones, que provienen de elevar a poten~ias imaginarias, son fas mismas que las de seno y coseno de {a trigonometria. ~Cu.iles ,:,Es el pcrlodo el mismo? AverigUCmoslo. ;,Elevado a quC potencia e es iguaJ :. i? z.Cual es el logaritmo de i en base e'! Ya resolvimos esto anteriormentc. en la Jase 10 era 0.68226i, pero cuando cambiamos nuestra escala logaritmica a e, nos que multiplicar por 2.3025, y si lo haccmos resulta 1,5709. De manera que rnmos a llamar ··71"/2 algebraico". 22-13 Pero vemos que se diferencia del n/2 regular s61o por una unidad en la Ultima cifra; iY eso, por supuesto, es el resultado de errores en nuestra aritm6tica! Por lo tanto, hemos creado dos funciones nuevas de una manera puramente algebraica, el coseno y el seno, que pertenecen al algebra y s6lo al itlgebra. Despertamos al final descubricndo las mismas funciones que son propias de la geometria. De manera que aqui hay una conexi6n, en llltima instancia, entre el .ilgebra y la geometria. Resumimos con esto la f6rmula mas notable de la matemittica: e'~ = cos() -f isen IJ. (22.9) Esta es nuestra joya. Podemos relacionar la geometria con el ii:Jgebra, representando los nllmeros complejos en un piano; la posici6n horizontal de un punto es x, la posici6n vertical de un punto es y (Fig. 22-2). Representamos cualquier ntimero complejo x + iy. Luego si la distancia radial a este punto la llamamos r y el lingulo se designa por 0, la ley algcbraica es que x +- iy se escribe de la forma rel~ donde las relacioncs geomt':tricas entre x, y, r y 0 son como se indican. Esta es, entonces, la unificaci6n de! itlgebra y la geometria. Fig. 22-2. x + iy ~ re'''. C uando empezamos este capitulo, provistos s61o con las nociones bfisicas de enteros y de con tar, no teniamos idea de! poder del proceso de abstracci6n y gene ralizaci6n. Usando el conjunto de "!eyes" algebraicas o propiedades de los nUmeros, {Ee. 22.1) y las definiciones de operaciones invcrsas (22.2), hcmos sido capaces, nosotros mlsmos, de fabricar no s61o ntimeros, sino cosas L1tiles como tablas de logaritmos, potencias y funciones trigonomdricas (porquc esto es lo que potencias imaginarias de nUmeros reales), todo jsimplcmente extrayendo diez cuadradas sucesivas de diez! 22-14 23 Resonancia 23-1 NU:meros complejos y movimiento armOnico 23-3 Resonancia electrica 23-2 El oscilador forzado amortiguado 23-4 Resonancia en la naturaleza 23-1 Nllmeros complejos y movimiento armOnico En este capitu!o vamos a continuar nuestra discusiOn del oscilador arm6nico y en particular cl oscilador arm6nico forzado, usando una nueva tecnica en el an.ilisis. En el capitulo anterior introdujimos la idea de nUmeros complejos, que tienen partcs real e imaginaria y que puedcn ser representados en un diagrama en el cual la ordenada representa Ia parte imaginaria y la abcisa representa la parte real. Si a es un nUmero complejo, podemos escribirlo como a = a, + ia;. donde el subindice r significa la parte real de a y el subindice i significa la parte imaginaria de a. Refiriendonos a la figura 23-1 vemos que tambien podemos escribir un nllmero complejo a= x + iy [en la forma x + iy =re ff/ donde r 2 = x2 + y 2 ~ (x + iy) (x-iy)I =a a*. (El complejo conjugado de a, escrito a*, se obtiene cambiando el signo de i en a.) Vamos asi a reprcsentar un nUmero complejo en cualquiera de las dos formas, una parte real mas una parte imaginaria o un m6dulo r y un asl llamado <ingulo de fase e. Dado r y 8. x e y son clar!:l,mente·n:Os 0 yr sen e inversamentc, dado un n-Umero complejo x + iy, r = V.:2 y tan fl= y/x, el cociente entre la parte imaginaria y la real. +7 Eje imaginario Fig. 23-1 Un nUmero puede representar con un punto en Ejereal compleJo". Vamos a aplicar nUmeros complejos a nuestro anitlisis de fen6menos fisicos mediante e! siguiente truco. Tenemos ejemplos de cosas que oscilan; la oscilaci6n puede tener una fuerza impulsora, que cs una cierta Constante por cos wt. Ahora, esta fuerza F = F0 cos ,,if sc pucdc escribir coma la parte real de un nUmero complejo F = F 0 e;,.'1, porque e"•'1 -- cos o>l + i sen wl. La razOn por la cual hacemos esto cs 23-1 que es mils fitcil trabajar con una funci6n exponencial que con coseno. De manera que todo el truco es representar nuestras funciones oscilantes como partes reales de ciertas funciones complejas. El nllmero complejo F que hemos definido asi no es una fuerza fisica real, porque ninguna fuerza en fisica es realmente compleja; las fuerzas real es no ti enen. partes imaginarias, s6lo una parte real. V amos, sin embargo, a hablar de la "fuerza" F 0 eJwt, pero por supuesto la fuerza verdadera es la parte real de esa expresi6n. Tomemos otro ejemplo. Supongan que queremos representar una fuerza que es una onda cosinusoidal, que estt\. defasada con un atraso de fase L1. Esta seria, por supuesto, 18: parte real .de Fqei (wt-'1), pero siendo las exponencialcs Jo que son, podemos escribir e' (wi - M = e'"''e ·· '"'· Ve mos asi que el t\.lgebra de las exponenciales es mucho mils fitcil que la de los senos y cosenos; esta es la raz6n por la que clcgimos el uso de nllmeros complejos. Vamos a escribir muy a menudo (23.1) Escrihimos un acento circunflejo ( ·) sabre F para recordarnos que esta cantidad es un nilmero complejo: aqui el nilmero es f = F 0 e-d. Ahora rcsolvamos una ecuaci6n usando nllmeros complejos para ver si podemos resolver un problema en alglln caso real. Por ejemplo, tratemos de resolver F m F" Iii coswr, (23.2) donde F es la fuerza quc impulsa al oscilador y x el desplazamiento. Ahora, aunque parezca absurdo, supongamos que x y F son realmcnte nilmeros complejos, esto con un prop6sito matem.itico solamente. Es decir, x tiene una parte real y una parte imaginaria por i, y F tiene una parte real y una parte imaginaria por i. Abora, si tuvi6ramos una soluci6n de (23.2) con nllmcros complejos y sustituyframos los nUmeros complejos en la ecuaciOn, ohtendriamos -~~xT + ix;)+ _"J_~ _cf.:_!_+~+ dt- m + ix;)= m dtZ ;(dd/2x, + ~) m 2 Fr + iF_; m = !:r.m + ~!J.. m Ahora bien, ya que si dos nilmeros complejos son iguales sus partes reales deben ser iguales y sus partes imaginarias deben ser iguales, deducimos que fa parte real de x sastiface la ecuaci6n con la parte real de la fuerza. Debemos hacer i!:nfasis, sin embargo, que esta separaciOn en una purte real y una parte imaginaria 110 es v:ilida en general. sino que es vii.Iida sOlo para ecuaciones que son !ineales. es decir, para e?uaciones en l~s cuales x aparece en cada tCrm!no s6!o_en primera potencia o termino . \x 2, entonces. potencia cero. Por CJemplo. si hubiera en la ccuacion pero cuando separitracuando sustituyi!:ramos x, + ix; obtendriamos _\(x, + mos en partes real e imaginaria esto daria. \ (x,:: - x/) como la parle real y 2i. I x, x, co mo la parte imaginaria. Vemos asi q ue 23-2 la parte real de la ecu~ci6n no inc!uiria s61o .lx/ sino tambien - Ax?, En este caso obtenemos una ecuacion diferente que la queriamos resolver, mezclada con Xi, esa cosa completamente artificial que introdujimos en nuestro anillisis. Probemos ahora nuestro nuevo metodo para el problema del oscilador forzado, que ya sabemos resolver. Queremos resolver la ecuaci6n (23.2) como antes, pero decimos que vamos a tratar de resolver (23.3) donde Fe1« 11 es un nUmero complejo. TambiCn x va a ser compleja por supuesto, pero recuerden la regla: tomen la parte real para averiguar to que esta pasando realmente. De manera que tratamos de resolver (23.3) para la soluci6n forzada; vamos a discutir despuCs otras soluciones. La soluci6n forzada tiene la misma frecuencia que la fuerza aplicada y tiene una cierta amplitud de osci!aci6n y una cierta fase, de manera que tambiCn se puede representar con algim nllmero complejo X, cuyo mOdulo representa el balanceo de x y cuya fase representa el atraso en el tiem· po de la misma manera que para la fuerza. Ahora bien, un aspecto maravilloso de una funci6n exponencial es que d(Xeiwt)/dt = iwXe1w1• Cuando derivamos una funci6n exponencial, bajamos el exponente como un simple factor. La segunda derivada hace lo mismo, baja otro foi de manera que es muy sencillo escribir inmediatamente, por sola inspecci6n, la ecuaci6n para X: cada vez que vemos una derivaci6n simplemente multiplicamos por iw (jLa derivaci6n es ahora tan fa.cl! como la multiplicaci6n! Esta idea de usar exponenciales en ecuaciones diferenciales lineales es casl tan grande como la invcnci6n de Jos logaritmos, donde la multiplicaci6n se reemplaz.a por la suma. Aqul la derlvaci6n se reemplaza por la multiplicaci6n.) Asi nuestra ecuaci6n resulta (iw) 2 X + (kX/m) = ft/m. (23.4) (Hemos simplificado el factor comlln e;w1). jVean lo simple que es! Ecuaciones dife" renciales se convierten inmediatamente a simple vista en meras ecuaciones algebraicas; pr3.cticamente tenemos la soluci6n a simple vista, a saber: f = __ F/m (k/m) - w2 ya que (foi)2 4ue da = -r,i 2 • , Esto se puede simplificar un poco sustituyendo k/m - Mi lo (23.5) Esta, por supuesto, es la soluci6n quc teniamos antes; porque ya quc m(1.1,1 .. ,.,') es un nllmero real, los imgulos de fase de F y de Xson los mismos (o a Jo mejor 180° si (;J 2 > (,;~), Como Se habia dicho previamcnte. El m6dulo de X, que mide hasta don· de oscila, est3. relacionado con el tamaiio de /' mcdiante el factor l /m (r,i~ - ,,i 1), y este factor se hace enorme cuando r.i cs casi igual a Mw Asi obtenemos una rcspue~ta muy fuerte cuando aplicamos !a frecuencla apropiada (si sostcnemos un pCndulo al extrema de una cucrda y lo sacudimos co11 la frecuencia adecuada, lo podcmos ha· cer balancearse muy alto). 23-3 23-2 El oscilador forzado amortiguado Asi es, entonces. como analizamos cl movimicnto oscilatorio con la ti:cnica matem.ittica m.is elegante. Pero la elegancia de la ti:cnica de ninguna manera se manificsta en un problema que se puede resolver filcilmente por otros mCtodos. Sc manifiesta s(1!0 cuando se aplica a problemas mas dificiles. Resolvamos, por lo tanto, otro problema m:is dificil, que adcmfts agrega un aspccto un poco mfts real al anterior. La ccuaci6n (23.5) nos dice que si la frecuencia 10 fuera exactamente igual a 1,i 11 , obtendriamos una respuesta infinita. En rcalidad e~ta rcspuesta infinita nose produce. por supuesto. porque otras cosas, comu cl roce, quc hcmo~ ignorado hasta ahora. limitan la respuesta. Agrcguemos entonces a la ecuaciOn (23.2) un ti:rmino de roce. Ordinariamente tal problema es muy dificil debido al car.itcter y a Ia complejidad del ti:rmino de roce. Sin embargo. hay muchas circunstancias en las cuales la fucrza de roce es proporciona! a la velocidad con se muevc el objeto. Un cjemplo de este roce es el roce en el movimiento lento un objeto en aceite o liquido espeso. No existe fuerza cuando esti1 en miis r.3.pido se mueve mas ri1pi do debe pasar el aceite junto al resistencia. l'or Io tanto, vamos a suponcr que hay. ademii.s de los sistcncia proporcional a la vdocidad: anilisis matem.itico, escribir !a ecuaciOn. E5te es precisamentc emplazamos por 1r11,1 70 para nucstra ecuacibn va a ~e1 m(d 2x/dt 2 ) o, escribiendo c - 111}' y k = m1,1~1 + c(dx/dt) + kx = F (23.6) y dividiendo por !a masa m, (23.6a) Ahora tenemos la ecuaciOn en !a forma m.its conveniente para resolverla. Si F es muy pequeilo. inJica muy poco wee; si F es muy grande. hay una enorme canecuaciOn diferencial lineal'! Supongan quc la tidad de race fuer.rn impulsora sea a /~ + !1); podriamos introducirla en (23.fia) y tratar de resolvcrla, pero en vcz de eso, vamos a resolvcrla mediantc nucstro nuevo mC Por lo tanto. escribirnos F como la partc real de f'e 1"' 1 y x como la parte real de y los sustituimos en !a ecuaciim (23.ha). Ni siquiera es necesario realizar la sustituci6n, porque podernos ver por inspecciOn que la ecuaciOn resultarla I De hccho si tratilramos de desire. realmenle apreciariamos e'""1 en ambos miembros. podemos clla es 1:· ~ i':m(u.!~ pe - w2 + i'tw) (23.8) 23-4 De manera que X de nuevo queda dada por f P?r un cierto f~ctor. No hay nombre tCcnico para este factor, ninguna letra en particular para el, pero lo podemos Hamar R para fines de discusi6n: R = _____ .____J_ __ _ w2 + iYw) m(wg - .X =FR. (23.9) (Aunque !as letras ?' y w 0 son de uso muy com Un, esta R no tiene nombre particular.) Este factor R ~e puede escribi_r ya sea como p +. iq o coma un cierto modulo p por e'e. Si se escnbc coma un cicrto m6dulo par e18 , veamos lo que significa. Ahora P = f'oei!'l, y la fuerza real F es la pa rte real de Foed ei"' 1• es 9ecir, F0 cos (oJt -:-- ti). A continuaci6n la ecuaci6n (23.9) nos dice que X es igual a FR. Asi que escrib1endo R = peie como otra expresi6n para R, obtenemos i = RF= peiuFoeill = pFoe'<6 +M. Finalmente, volviendo aUn mas atr<ls, vemos que lax fisica, que es la parte real de la X complcja, cs igual a la partc real de pI'Qei(e + "'J ei<.' 1• Pero p y F 0 son reales y la parte real de ei(e + ·' + "'1) cs simplemente cos (Mt+ 6. + tJ). Asi (23.10) x = pFocos(wt +A+ 8). Esto nos dice que la amplitud de la respuesta es el m6dulo de la fuerza F multiplicada por un cierto factor de amplificaci6n p; esto nos da la "cantidad" de oscilaci6n. TambiCn nos dice, sin embargo, que x no esta oscilando en fase con la fuerza que tiene una fase 6., sino que estil defasada en una cantidad adicional A. Por lo tanto p y 8 representan el tamaiio de la respuesta y cl defasaje de la respuesta. Ahora busquemos lo que esp. Si tenemos un nllmero complejo, el cuadrado de su mOdulo es igual al nllmero por su complcjo conjugado; asi p' = m 2 (w~ - I Y + fYw)(wX-=--:?-=-·i~:) (23.ll) ~--~-'---. m2[(w2 _ wg)2 + "Y2w2] Adem.its, cl .iingulo de fase Ii es facil de encontrar, porque si escribimos 1/R = 1/pe'~ = (l/p)e-iu = m(w~ - w2 + i"Yw), vemos que tan Es e= -i'w/(w~ - w 2 ). (23.12) tg (- 0) = - tg (i. Resulta un valor negativo para 0 para todo M, y esto coa que el desplaLamiento x se rctrasa con respecto a la fuerza F. 23-5 A ,.l UL" "'• Fig. w Gratico de p 2 23-2. en funci6n dew La figura 23- 2 muestra co mo p 2 varia en funci6n de la frecuencia (p 2 es fisicamente mas interesante que p, porque p 2 es proporcional a.I cuadrado de la amplitud o, mils o menos, a la ener::~ia que la fuerza desarrol\a en el oscilador). Vemos que si yes muy pequeii.o, entonces l /(w5-w 2)2 es el t6nnino m:is importante y la respuesta tien de a irse a infinito cuando w se hace igual a w 0 • Ahora, el "infinito" no es realmente infinito porque si w = U\1, todavia queda el I /y 2 w 2• El defasaje varia como se muestra en la figura 23-3. 'Ee ' -90° w "'· -iso -~·~~-----~ Fig, 23--3. Grafico de Ii en func16n de 1,, En ciertas circunstancias, obtenemos una f6rmula un poco diferente de (23.8), tambien llamada f6rmula de resonancia y uno podria pensar que representa un fen6-meno diferente, pero no es asi. La razOn es 4ue si yes muy pequefia, la parte mas in· teresante de la curva esta cerca de r..• = (;Jo y podemos reemplazar (23.8) por una formula aproximada que es muy precisa si F es pequefia y uJ esta cerca de <•Jo· Ya que {jo--~~)~ <;;:,~ ~;~£~i1o+;;t;:r,~i q~e e;~o~~~:n~~ ~~t~s:~ (~3~~),1 ~~m:i:~~e ~;~~~ + iyw,.., 2uJ 0 (w 0 -UJ + iy/2), de manera que X ""i/2mwo(w 0 - w + i'Y/2) si 'Y « w0 y w ""wo. (23.13) Es facil encontrar la f0nm.1la correspondiente para p 2• Es Vamos a dejar al estudiante que demuestre lo siguiente: si designamos por la unidad a la altura maxima de la curva de p 2 en funci6n de uJ y pregun1amos por el ancho LI. w de la curva a la mi tad de la altura maxima, el ancho total a mi tad de la altura maxima de la curva es L!,(v = y, suponiendo que y es pequeno. La resonancia se hace cada vez mils aguda a medida que los efectos de roce se hacen cada vez mas pequei1os. 23-6 Como otra medida dd ancho, a!gunas personas usan una cantidad Q que se define como Q --.,-- r,J 0 /r- ~ientras mils angost.a la resoi;i~ncia, mils alta la Q: Q = l._000 sig nifica una resonancia cuyo ancho es solo 1.000es1mo de !a escala de frecuencta. La Q de la curva de resonancia mostrada en la figura 23-2 es 5. es que aparece en muchas otras cir· este capitulo va a describir algunas de cstas 23-3 ,-- - Resonancia elfctrica .--- Capacitor Il Resistor Inductor Fig. 23-4. de Los tres elenientos pas1vos c1rcuito Los tres tipos principales de elementos de circuito son los siguientes. El primero se llama capaciror (Fig. 23-4); un cjcmplo es dos placas planas met31icas separadas una muy pequeil.a distancia por un material aislador. Cuando las placas se cargan se pro· duce entrc cllas un voltaje, cs decir, una cierta diferencia de potencial. La misma dife· de potencial aparece entre terminales A y B, porque si hubicra alguna <life· entre los alambres de electricidad se escaparia. Por lo tanto, existe voltajc las una cicrta carga + q y -q en ellas, respcc tivamcntc. Entrc las un cierto campo eJectrico; hasta hcmos encontrado una formula y 14): V JonJ.: d c~ = ud/€0 c"' qd/EoA, (23.14) la separaciOn y A cl itrea de las plarns. Noten que !a difercncia 23-7 de potencial es una funciOn lineal de la electrodos aislados de cualquier otra fonna, cisamente proporcional a la carga, pero la constante ser tan f!l.cil de calcular. Sin embargo, todo lo que cia de potencial a travCs de un condcnsador es constante de proporcionalidad es 1 /C, donde El segundo tipo de elemento de circuito se ······.:.············-. paso de la corriente. Sucede que los alambres resisten el pa so de la corricnte de est a mancra: si cada a un pedazo de alguna sustancia, existe una proporcional a la difcrencia dcl potcncia! elCctrico: (23.15) V =RI= Rdq/dt. El coeficiente de proporcionalidad se llama resistencia R. Esta relaciOn puede ya ser familiar para ustedes; es la ley de Ohm. Si pensamos que la carga q en sistema mec!l.nico, vemos ouc la es analoga a Ia k dcl V = L d!/dt = L d 2q/dt 2 • (23.16) El coeficiente L es la autoinductancia y es analoga a la masa en un circuito mecanico oscilante. Fig. 23 -5. Un r10 con res1stenc1a elec1r1co 1nductancia v Supongan que hacemos un circuito en el cual hemos conectado elementm de circuito en serie (Fig. 23-5); luego el voltaje en los extremos del de 1 a 2 es el trabajo realizado al llevar una carga a trav~s de Cl y consiste en suma de varias partes: en el inductor, VL = L d2/q/df; en la resistencia VR = R dq/dt; en el capacitor V, = q/C. Su suma es igual al voltaje aplicado V: L d 2q/dt 2 + R dq/dt ·+ q/C = V(t) (23.17) Ahora vemos que esta ecuaciOn es exactamente igual a la ccuacicin medtnica (23.6), y por supuesto se puede resolver exactamente de la mis ma manera. Supongamosquc V(r) 21-8 es oscilatorio: estamos impulsando el circuito con un genera~or con ~na oscilaci6n sinusoidal pura. Entonces podemos escribir V (!) como un. V compleJO en el entendimiento que se debe multiplicar por e'"' 1 en Uiti.ma instancta y luego se debe tomar la parte real para encontrar el verdadero ~· Asimismo se puede analizar la carga q y emonces, exactamente coma en la ecuac16n (23.8), escribimos la ecuaci6n corrcspondiente: la segunda derivada de ij es (i<,J)2 ij; la primera derivada es (iw) ij. Por lo tanto, la ecuaci6n (23.17) se traduce en [L(iw)2 + R(iw) +~Jlj = V v q = L(iw) 2 -j- ·~(iw) -~ que podcmos escribir en la forma //.-= V/L(w5 don de en cl =--= w2 + fYw), (23.18) RI L i Es exactamente el mis mo denominador que teniamos exactamente !as mismas propiedadcs de resonancia! La cases electricos y mccanicos cst<i delineada en la tabla 23-1. Tabla 23-1 Propiedad mecinica Caracteristica general variable indep. ~aria?le dep. resistencia rigidez frccuencia de resonanda periodo factor de merito tiempo (l) posici6n (x) masa(m) coef. de arrastre (c rigidez (k) r,;,i=--=.k/m t" =-- 2nv'm/k Q Propiedad e!Cctrica pm) ticmpo (r) carga {q) inductancia (L) rcsistencia (R = vL) (capacitanciat 1 (I /C) <,;~---co 1/L C 1,, 00 2m,/L C Q '-" r,;,.L/R = ,,;,/)' Debemos mencionar un pcqueiio detalle tCcnico. En la literatura elCctrica se usa una notaci6n diferente. (De un campo a otro el tcma en rcalidad no es muy difcren te, pero la manera de escribir las notaciones es a menudo diferente)'. _Primera, se usa comUnmente j en vcz de i en ingcnieria ckctrica para designar J=---1. <iDespuCs i dcbc ser la corriente!) TambiCn los ingcnieros prefieren tencr una relaci6n de entre c I en vez de cntre y· y q_ simplerncnte porque cst3.n mas acostumbrados a esa manera. As[, ya quc I coo dij/dt ~- i<,11/. basta con sustituir ij por //foJ y obtener V= (iwl + R + l/iwC)i= ii. (23.19) Otra manera cs reescribir la ecuacibn (23.17) de manera que parezca m<is familiar; uno lave 23-9 a menudo escrita de esta manera: Ldl/dt +RI+ (l/C) t Jdt = V(t). (23.20) En todo caso encontramos la relaci6n (23.19) entre el voltaje Vy la corriente i, que es preclsamente la misma que (23.18) excepto que esta dividida por iw y esto de la ecuaci6n (23.19). La cantidad R + iwL + l /iwC es un nllmero complejo y se usa tanto en ingenieria el6ctrica que tie_n,e un nombre: se llama impedancia compleja t. Asi, pues. podemos escribir V eo- Zf. La ra·z6n por la cual a !os ingenieros Jes gusta hacer esto es que aprendieron algo cuando eranj6venes: V = RI para las resistencias cuando s6lo sabian de resistencia y C.C. Ahora han llegado a ser mas educados y tienen circuitos CA de manera que quieren que la ecuaci6n se vea igual. For eso escriben V = ti con la lmica diferencia que la resistencla se reemplaza por algo mas complicado, una cantidad compleja. Asi, pues, insisten en que no pueden usar lo que todo el resto del mundo usa para los nl1meros imaginarios, tienen que usar j para eso; Jes un milagro que no insistieran tambien que la letra Z fuera una R! (Entonces se meten en !ios cuando hab!an de densidad de corriente, para la cual tambi6n usanj. Las difi· cultadcs de la ciencia son. en gran parte, las dificultades de las notaciones, las unidades y todas !as otras artificialidades inventadas por el hombre y no por la naturaJeza.) 23"4 Resonancia en la naturaleza Aunque hemos discutido el caso e1ectrico en detalle, podriamos presentar un caso tras otro en muchos campos y mostrar exactamente que la ecuaci6n de resonancia es la misma. Existen muchas circunstancias en !a naturaleza en donde algo est<i "oscilando ·· y sucede el fen6meno de resonancia. Lo dijimos en un capitulo anterior; demostremoslo ahora. Si paseamos por nuestro estuJio sacando libros de los estantes y simplemcnte los hojcamos para encontrar un ejemplo de una curva que corresponda a la figura 23-2 y que provenga de la misma ecuaci6n, lque encontramos'! Precisamente para demostrar el amplio campo abarcado al tomar.Ja muestra mils pequeii.a posible se necesitan tomar s61o cinco o seis libros para obtener toda una serie de fen6menos que muestran resonancia. Los dos primeros son de la mecanica, el primero en gran escala: la atm6sfera de toda la ticrra. Si la atm6sfera. que suponcmos que rodea la tierra en forma parcja por todos !ados, es atraida hacia un lado por la luna. o mas bien aplastada alargtindola en una doblc marea y si pudit':ramos despu6s soltarla se pondria a chapotear de arriba a abajo; es un oscilador. Este osci!ador es impulsado por la !una, la que est<i.., efectivamente, dando vueltas alrededor de la tierra; cualquier componente de la fuerza, digamos en la direcci6n x, tiene una componcnte coseno, de manera que la respuesta de la atm6sfera terrestre a la atracci6n de marea de la luna es la de un oscilador. La respuesta esperada de la atm6sfera se muestra en la figura 23-6 curva b (la curva a es otra curva teOrica discutida en el libro de donde hemos sacado esto). Podria pensarse que tenemos s61o un punto en esta curva de resonancia, ya que tenemos s6lo aquella frccucncia que corresponde a !a rotaci6n de la ticrra bajo la luna que ocurre en un periodo de 12,42 horas- 12 horas para la tierra (la marea es un doble chich6n) y un 'o['~ J~:- '._'•,,hc_·.,_'~"' _ > " =-__ _,__ i · ! : . ' poJcdi,_, -• Fig. 23-6. Respuest<i de la atm6sfera a una excitaci6n externa_ a es la respucsta es de del '---- -·-- ·--- w____-_;:__:-_-==1i>,2J 1,_,.°" io•1-0 poco mas porque la luna esta dando vucltas. Pero, a partir de! tamafio de las mareas atmosffricas y de lafase, cl monto dcl retraso, podemos obtener tanto p como 0. De estos podemos obtener tJJ 0 y y y asi jdibujar la curva entera! Este es un ejemplo de ciencia muy pobre. De dos nUmeros obtenemos dos nlimeros y a partir de estos dos nllmeros dibujamos una hermosa curva que, par supuesto, ipasa por el mismo punto que determin6 la curva! Esto no vale nada a menos que podamos medir otra cosa y en el ca.so de la geofisica eso es a mcnudo muy dificil. Pero en este ca.so particular cxiste otra cosa de la cual podemos demmtrar tc6ricamcnte que debe tener el mismo sincronismo que la frecuencia natural r.J 0 , o sea, si alguien perturbara la atmOsJCra Csta oscilarla con una frecuencia '''o· Ahora bien, hubo una tal perturhaciiln intensa en 1883; el volciln Krakatoa hizo explosiOn y la mitad de la isla sali6 volando. c hizo una cxplosi6n tan tremenda en la atm6sfera que se pudo medir el periodo de oscila ci6n de la atm6sfera. Rcsult6 ser IO 1/2 horas. El ,,1 0 que se obtuvo de la figura 23-6 resulta JO horas y 20 minutos, de mancra que por lo menos tenemos una prueba de la realidad de nuestra comprensi6n de las mareas atmosfericas. A conlinuaci6n pasamos a las oscilaciones medtnicas en pequei1a escala. Esta vez tomamos un cristal de cloruro de sodio, que tiene iones sodio y iones doro uno junta al otro como lo describimos en un capitulo anterior. Estos ioncs estii.n cargados e1ectricamente, alternando positivos con negativos. Ahora es posihle una oscilaci6n intere sante. Supongan que pudieramos mover todas las cargas positivas hacia la derecha y todas las cargas negativas hacia la izquierda y soltarlas: entonces oscilarian de un lado para el otro, la red de sodio contra la red de cloro. (.COmo podemos alguna vez inducir tal cosa? Esto es facil, porque si apli<.:amos un campo e!Cctricu al cristal jva a empujar las cargas positivas hacia un !ado y las negativas hacia el otro! Asi, tcniendo un campo el6ctrico externo podremos a lo mcjor obtener que el cristal oscile. Sin em bargo, jla frecuencia del campo elOCtrico neccsaria cs tan alta, quc corresponde a las radiaciones infrarrojas! De manera que tratamos de encontrar una curva de resonancia midiendo la absorCiOn de luz infrarroja por el cloruro de sodio. Tai curva se muestra en la figura 23- 7. La abcisa no es frecuencia, sino que cst:l Jada en tCrminos de la longitud de onda; pcro cso, por supuesto, es s61o un problema tCcnico, ya que para una onda existe una relacl6n bien definida entre frecuencia y longitud de onda: de manera que es realmente una escala de frecuencia y una cierta frecuencia corresponde a la frecuencia de resonancia. Pero (.que pasa con el ancho? ,:.Que determina el ancho? Hay muchos casos en los cualcs el ancho quc sc ve en [a curva no es realmente el ancho natural 23-11 " ··.--.-.-~~-+~~ " ·•t--+-+---+---+--'1---+--' ~ E E i!: ~ 100• . r t " 0 40 o.zl-t--+--1---1--4--'--l lH ,··r-+-+-+-+-~'"""1"1""'"'-I ~ o.6·r---+-+--t--+-+H-l--I ~ 60 E ~., /: :l-t--+--l-+-4-1--l "5 ~~ ~eo Lr---+--+--+--+t-HH--1 45 50 55 Long1tud de onda en micrones 60 65 fljf 4cm) 10 n Z··-·a.. Fig. 23-7. Transm1s16n de rad1ac16n 1nfrarroja a travCs de una II \ ~ Campo rnagnftico estiltJco en oerste<ls i:E 23--8. PCrd1da de energia magen cornpuestos pararnagn8ticos en funci6n de intensidad del carnpo rnagnCtico aplicado. [Holden et af., Phvs. Rev 75, 1614 ( 1949).I V que uno obtendria te6ricamente. Hay dos razones por las cua!es puede haber una curva mas ancha quc la curva teOrica. Silos objetos no tienen todos la misma frccuen· cia, como podria suceder si el crista! estuviera dcformado en cicrtas regiones de manera que en esas regiones la frecuencia de oscilaciOn fucra ligeramente diferente queen otras regiones. entonces lo que tenemos son varias curvas de resonancia una encima de la otra; asi que aparentemente obtenemos una curva mils ancha. El otro tipo de ancho es simplemente Cste: a lo mejor no podemos medir la frecucncia con suficiente precisiOn; si abrimos bastante la rendija del espectrOmetro, entonces, aunque pensibamos que teniamos una sola frecuencia. realmcnte tenLamos un cierto rango <lw, luego podriamos no tener el poder de rcsoluciOn necesario para ver una curva angosta. De antemano. no podemos decir si el ancho de la figura 23-7 es natural, o si se debe a inhomogeneidades en cl cristal o al ancho finito de la rendija en el espectrOmetro. Ahora cambiemos a un ejemp!o mis esoterica: el balanceo de un im<ln. Si tenemos un imii.n con polos norte y sur en un campo magnetico constante, el extrema N de! imii.n va a ser atraido hacia un !ado y el extrema S hacia el otro, yen general actuara un torque sobre d de manera que va a oscilar en torno a su posiciOn de equilibria como la aguja de una hrU.jula. Sin embargo, \os imanc~ de que estamos hablando son dtomos. Estos Utomos tienen un momentum angular, el torque no produce por cierto un movimiento simple en la direcckm del campo, sino una precesi6n. Ahora bien, mi rado desde d ]ado, cualquier componente se estil '·balanceando" y podemos perturbar o inducir cse balanceo y medir una absorciOn. La curva en la figura 23-8 reprcsenta una curva de resonancia tipica. Lo quc se ha hccho aqui es ligeramente diferente des· de el punto de vista tCcnico. 23-12 Fig 23--9 La intensidad de la rad1ala ener- 23- 10_ ICor!esia del Dr. R 23-J 3 La frecuencia del campo lateral que se usa para inducir este balancco se rnantienc siempre igual, mientras nosotros habiamos esperado que los investigadorcs la variaran e hicieran la curva. Ellos podrian haberlo hecho asi. pero tCcnicamcnte para ellos fue mils focil dejar la frecuencia ,,, fija y variar la intensidad del campo magnCtico constante, lo que corresporn;le a variar 1,1 0 en nucstra formula. Dibujaron la curva de resonancia con respecto a '''o- De todos rnodos Csta cs una resonancia tipica con un c1erto '"o y /"· Vamos mils aUa alm. Nuestro pr6ximo ej'emplo tiene quc ver con nUcleos atOmicos. Los movimientos de protones y neutrones en los micleos son en cierto modo oscilatorios y podemos demostrar esto mediante el siguiente experimento. Bombardeamos un ittomo de litio con protones y descubrimos que cierta reacciOn, que produce rayos ~. tiene en realidad un mitximo muy agudo tipico de resonancia. Notamos en la figura 23-9, sin embargo, una difcrencia con respecto a los otros casos: jla escala horizontal no representa una frecuencia, sino una energ[a! La raz6n es que en mect'tnica cuitntica lo que consideramos cl.ii.sicamente como la energia resulta estar rea!mente relacionada con una frecuencia de una amplitud de onda. Cuando analizamos algo quc en la simple fisica a gran escala tienc que ver con una frecuencia, cncontramos quc cuando hacemos los experirnentos cuitnticos con materia at(1mica obtencmos la curva corrcspondiente en funciOn de la energia. De hccho, en cicrto scntido esta curva es una demostraci6n de esta relaciOn. Ella muestra que !a frecuencia y la ener· gia ticnen cierta interrelaciOn profunda. que por cierto poseen. Cambiemos ahora a otro ejemplo que tambien incluye un nivel de energia nuclear, pero ahora uno mucho. mucho mils estrecho. La (•Jo en la figura 23-10 corresponde a una energia de I00.000 electronvolts, micntras que el ancho p es aproximadamente 10-s clectronvolts; en otras palabras jesto tiene un Q de 10 10 ! Cuando se midiO esta curva, fue el Q mils grande de cualquicr oscilador que se hubiera medido jamits. Fue medida por el Dr. Mi:issbauer y fue la base de su premio Nobel. Aqui la escala horizontal es la velocidad. porque la recnica para obtener las frecuencias ligeramente di· fercntes consistiO en usar el efc-cto Doppler moviendo la fuente con rcspecto al absorbedor. Uno puede ver cu.iin delicado es el experimento cuando nos damos cuenta que jla vclocidad en juego es de unos pocos centimetros por scgundo! En la escala real de la ligura la frecuencia cero corresponderia a un punto a unos 10 10 cm hacia la izquicrda. iligcramente fuera del papel! Fina!mcntc. si examinamos un nUmero del Physical Review, digamos cl del 1.0 de enero de 1962, (.encontraremos una curva de resonancia? Cada nUmero tiene una curva de rcsonancia y la figura 23-11 es la curva de resonancia para Cste. Esta curva de resonancia resulta muy interesante. Es la resonancia encontrada en una cierta reacciOn entre particulas extraiias, una reacci6n en !a cua! un K y un prot6n interactUan. La resonancia se detecta viendo cuitntas particulas de algUn tipo salen y dependiendo de cut'tks y cuitntas sa!en. uno obtiene diferentes curvas, pero de la misma forma y con el m<iximo agudo en la misma energia. Determinamos asi que hay una resonancia a una cierta encrgia para el mesOn K-. Esto significa probablemente que existe algUn tipo de estado o condici6n correspondiente a esta resonancia que sc puede alcanzar poniendo juntos un K· y un prot6n. Esta es una nueva particu!a o resonancia. Hoy dia no sabemos si llamar un chich6n como Cs Le, una "particula" o simplemente una rcsonancia. Cuando existe una resonancia muy aguda. corresponde a una energ[a bien definida, 23-14 justamente como si hubicra una panicula con esa energia presente en la naturaleza. Cuando la resonanda se hace mii.s ancha entonces no sabemos si decir que hay una particula que no dura mucho o simplemente una resonancia en la probabilidad de reacciOn. En el segundo capitulo sc indica csto para las particulas, pcro cuando ~c escribiO el segundo capitulo esta resonancia no era conocida jde manera quc nuestra tabla deberia contener aim otra particula mis! 23-15 24 Transitorios 24-1 La energia de un oscilador 24-2 Oscllaciones amortiguadas 24-1 '24-3 Transitorios eltttricos La energia de un oscilador Aunque este capitulo se titula "transitorios", algunas partes de e1 son, en cierto modo, parte de\ capitulo anterior sobre oscilaciones forzadas. Uno de los aspectos de una oscilaciOn forzada que no hemos discutido todavia es la energia de la oscilaci6n. Consideremos ahora esa energla. iCuitnta energia cinetica hay en un oscilador mecinico? Es proporcional al cua drado de la vclocidad. Ahora llegamos a un punto importante. Consideren una cantidad arbritraria A que punk ser la velocidad o alguna otra tosa que queremos d1scutir. Cuando escribamos A = Ae 1"'', un nUmero complejo, la A verdadera y honesta en cl es sOlo real; por lo tanto, si por alguna razim queremo~ usar el clcvar a! cuadrado cl nUmcro complejo y luego parte real dcl Cuadrado de un nllmero complejo no es parte real, sino que tambien incluye la partc imaginasimplemente cl cuadrado de ria. De manera que cuando queremos encontrar la energia tenemos que apartarnos de la notaciOn complcja por un rato para ver cu<i.les son los funcionamientos intcrnos. La yerdadcra A fisica cs la parte real de A 0 e'("' 1 + -'i;o sea, A= A0 cos (wt+ Ci), dondc A, el nUmero compkjo, se escribe coma A 0eh'I. Ahora bien, el cuadrado de esta cantidad fisica real cs A 1 ,...., Al cos' ((vf + ti). El cuadrado de la cantidad va entonces hacia arriba y hacia abajo dcsde un m<i.ximo a cero, como ei cuadrado dcl cosenu. El cuadra:do del coseno t1ene un maxima de I y un mlnimo de 0 y su valor medm cs ;/ ,. no estamos intere<;ados en la energia en un momento especifico un gran nUmero de aplicaciones sOlo queremos el promedio cuadrado de A en un periodo de tiempo grande comparado con En e~tas circunstancias se puede usar el promedio de! coseno mancra tcncmos el siguiente teorema: si A est<i. rcprcscntado por el promedio de A 1 es igual a ~A~. Ahora bien, A~ cs complejo A. (Esto se puede escribir de varias maneras· personas gusta escribir IAl 2; otras escriben AA*, A e~ su complcjo conVamos a usar este teorema varias veces. 24-1 Consideremos ahora la ent;:rgia de un oscilador forzado. La ecuaci6n para el oscilador forzado es m d2x/dt 2 + I'm dx/dt + mw~x = F(t). (24.l) En nuestro problema, por supuesto, F (l) es una funci6n·coseno de! l. Analicemos ahora Ja situaci6n: lCmlnto trabajo realiza la fuerza externa F? El trabajo realizado por la fuerza por segundo, es decir, la potencia, es la fuert.a por la velocidad. (Sabemos que el trabajo diferencial en el tiempo dt es F dx y la potencia es F dx/ dt.) dx = m p = F dt [(dx)(d' x) + , (dx)] (dx)' dt dt + (ii . -d/2 wux I'm .. (24.2) Pero los dos primeros tfaminos de! segundo mi embro tambii:n pueden escribirse d I dt [~. m(dx/ dtY + ~ mw~' I que se puede verificar inmediatamente por diferenciaciOn. Es decir, el ti:rmino entre corchetes es una derivada pura de dos ti:rminos muy faciles de comprender -uno es la energia cini:tica del movimiento y el otro es la energla potencial de! resorte--. Llamemos a esta cantidad ta energia almncenada, es dedr, la energia almacenada en la oscilaciOn. Supongan que queremos la potencia media en muchos ciclos cuando el oscilador estti. siendo forzado y ha estado funcionando durante un tiempo largo. A la larga, !a energia almacenada no cambia -su derivada da un efecto promedio cero-. En otras palabras, si promediamos la potencia en un ticmpo largo, toda la energia termina en Ultima instancia en el tirmino resisti\'O pm(dx/ dt)2. Hay una cierta energia almacenada en !a oscilaci6n, pero 6sta no cambia con el tiempo si promediamos sob re muchos ciclos. Luego potencia media ( P > es (P) ~ (Ym(dx/dt)'). (24.3) Usando nuestro metodo de escribir nllmeros complejos y nuestro teorema que ( A2 ) = }4~ podemos encontrar esta potencia media. Asi, si x = -~eiwr,entonces dx/ dt = iwXe•wr. Por lo tan to, en estas circunstancias, la potencia promedio se puede escribir como (24.4) En la notaci6n de circuitos electricos dx/ dt se rcemplaza por la corriente I (I es dq/ dt donde q corresponde a x) y mp corresponde a la resistencia R. Asi, la velocidad de pi:rdida de energia -la potencia consumida por la funci6n forzante-- es la resistencia en el circuito por cl promcdio de la corriente al cuadrado: (P) = R(/ 2} = R · !f~. (24.5) Esta energia, por supuesto, va a calentar la resistencia; se Uama a veces pCrdida de ca!or o calcntamiento de Joule. Otro aspecto interesante a discutir es cu:inta energia esta almacenada. Esto no es lo mismo que la potencia, porque aunque la potencia al principio se usO para almacenar algo de energia, despues de eso el sistema continU.a absorbiendo potencia mientras existan pfrdidas por calentamiento (resistivas). En cualquier instante hay una cierta cantidad de energia a!macenada, asi que nos gustaria calcular tamhiCn la encrgia media almacenada ( E } . Ya hemos 24-2 calculado cuitl es el promedio de(dx I dt)2, asique encontramos + !mw~(x 2 ) + w~Hx~. (E) = fm((dx/dt) 2 ) = !m(w 2 (24.6) Ahora bien, cuando un oscilador es muy eficiente y w es muy cercano a w 0 de manera que jXj sea grande, la energia almacenada es muy alta -podemos obtener una energia almacenada grande a partir de ima fucrza relativamente pequeiia-. La fuefza realiza -gran cantidad de trabajo para empezar la oscilaci6n, pero para mantener!a constante todo lo que tiene que hacer es combatir el roce. El oscilador puede tener una gran cantidad de energia si el race es muy bajo y aunque este oscilando intensamente no se pierde mucha energia. La eficencia de un oscilador se puecle medir por la cantidad de energia almacenada comparada con cuanto trabajo realiza la fuerza en cada oscilaci6n. l CO mo se compara la energia a!macenada con el trabajo realizado en un ciclo? Esto se llama el Q del Sistema y Q se define como 2n por la energia almacenada promedio dividida por el trabajo realizado por ciclo. (Si hab!:iramos de trabajo realizado por radidn en vez de por ciclo, desaparecerla el 27r.) - 2'lf fm(w2 + w~). (x2) = w2 + w~ . Q 'Ymw2(x2) · 2'lf/w 2'Yw (24.7) Q no es un nUmero muy Util, a menos que sea muy grande. Cuando es relativamente grande da una medida de lo bueno que es el osci!ador. La gente ha tratado de definir Q de la manera mils simple y Util; varias definiciones sc diferencian un poco una de otra, pero si Q es muy grande todas las definiciones estiin de acucrdo. La definici6n mils accptada comUnmentc es la ecuaciOn (24.7) que dependc de 10. Para un buen oscilador cerca de la resonancia, podemos simplificar un poco (24. 7) hacienda (JJ = ''Jo y entonces tenemos Q = 111 0 /'Y que es la definiciOn de Q que usa mos antes. lQuf: es Q en un circuito ekctrico'! Para averiguarlo basta que cambicmos /11 por L, mp por R y m«Jij por l/C (ver tabla 23-1). La Q en la resonancia es Lw/ R, donde w es la frecuencia de resonancia. Si consideramos un un Q grande esto significa quc Ia cantidad de rnergia almacenada en es muy grande compa'rada con !a cantidad de trabajo realizado por ciclo por la ma quina que impulsa las oscilaciones. 24-2 Oscilaciones amortiguadas Volvamos ahora a nuestro tema principal de discusiim: los transitorios. Por transitorio se entiende una soluciOn de la ecuaciOn diferencial cuando no hav fuerza presente, pero el sistema no estii simplemente en reposo. (Por supuesto. -que si estfi. en reposo en el origen sin quc actlle ninguna fuerza, esto si es un problema bonito -jse queda ah[!--) Supongan que la oscilaciOn empieza de otra manera: di gamos que fue impulsada por una t'uerza durante un rato y despuCs quitamos la fuerza. iQuf: sucede entonces? Obtengamos primero una idea aproximada de lo que va a pasar en un sistema con un Q muy grande. Mientras la fuerza estC actuando. la energia almacenada permanecer:i igual y se realiLa una c1er1a camidad de trabaJO para mantenerla. Supongan ahora que quitamos la fucrza y no ~e realiza mils trabajo: entonccs las pcrdida~ que c~lan co11~um1cnd\i 24-3 !a energia de la fuentc ya no las consumen .mas }a no hay. ningUn i~pulsor-. Las pCrdidas van a tener que consumir. por decirlo as1. la energia que esta almacenad.a. Supongan que Q /2:tr = 1000. Lu ego el trabajo realizado porciclo es I I I .ODO de laenergm almacenada. j,No es razonable acaso, ya que estil oscilando sin fuerza impulsora, queen un ciclo el sistema seguiril perdiendo un milesimo de su energia E que ordinariamente se habria estado suministrando desde el exterior y que con tin uaril oscilando, siempre perdiendo I/ I.ODO de su energja por ciclo? Asi que, coma hip6tcsis, para un sistema con un Q relativamente alto, supondremos que la siguiente ecuaci6n podria ser aproximadamente villida (m.its ade!ante lo haremos exactamente iY va a resultar que era correcta!): dE/dt ~ (24.8) -wE/Q. Esto es aproximado porque cs vii.lido s6lo para Q grande. En cada radian, el sistema pierde una fracci6n I IQ de la energia almacenada £. Luego, en una cantidad de tiempo dada di la energia va a cambiar en una cantidad t;Jdt! Q. ya que el nUmero de radianes asociados con el tiempo dt es Mdt. i,Cuii.l es la frecuencia? Supongamos que el sistema se mueve tan de!icadamente, casi sin fuerza, que si lo soltamos va a oscilar esenda!mente con la misma frecuencia por si mismo. Vamos a estimar entonces que <u sea la frecuencia de resonancia <,10 • Deducimos asi de la ecuaci6n (24.8) que la energia almacenada va a variar scgUn · (24.9) Esta seria le medida de la energia en cua!quicr instante. (,Cuill scria la formula, aproximada, para la amp!itud de la oscilacion en funcil'm del tiempo'? ;,La misma'! iNo! La cantidad de encrgia en uA resorte, digamos, cs proporcional al cuadrado del desplazamiento; la energia cinCtica es proporcional a! cuadrado de la velocidad; de manera que la energia total es proporcional a! cuadrado del desplazamiento. Luego el desplazamiento, la amplitud de la oscilaci6n, va a disminuir la mitad de rii.pido debido al cuadrado. En otras palabras, intuimos que la solucl6n para el movimiento amortiguado transitorio va a ser una oscilaci6n de frecuencia cerca de la frecuencia de resonancia r,10- en la cual la amplitud de! movimiento sinusoidal va a disminuir segUn e->'112 x = A 0 e-T 112 cos w 0 t. (24.10) Esta ecuacii:m y la ligura 24 I nos dan una idea de lo que debcmos esperar; tratemos ahora de analizar el movimiento exucwmenle resolviendo la ecuaci6n diferencial de] movimiento mismo. ·~'·.·-"''· "'-...._/______ e-Tt/i'coow,,! .... ---/ _.---- - F-19 24--1 amor11guildil Un;i osc1lac16n cos1nusrndal 24A Asi, partiendo de la ecuaci6n (24.1) sin fuerza externa, l.C6mo la resohcmos? Siendo fbicos no tenemos por que preocuparnos tanto acerca de! metodo como acerca de cu3.i es la soluci6n. Armadas de nuestra cxperiencia previa, ensayemos como solucion una curva exponencial x =A e'" 1• {l,Por que ensayamos Csta? iEs la cosa mils fiicil de derivar!) La reemplazamos en (24.1) (con F (t) = 0), usando la regla de que cada vez quc derivemos x con respecto al tiempo multiplicamos por i a. Asi que es realmente muy 5imple de sustituir. Luego nuestra ecuaci6n tiene el siguiente aspecto: + i'Ya + :.,ii)Ae"'' (-a 2 = (24.ll) 0. El resu!tado neto debc scr cero para todo tiempo, lo que es imposible a menos que (a) A = O. lo que no es ninguna wluci6n-permanece quieto. o (b) -a2 + ia'Y + wii (24.12) 0. = Si podemos resolver esto y encontrar un a, jentonccs tendremos una soluciOn, en la cual A no necesita ser cero! a= i'Y/2 ± Vwg - Por un momenta vamos a suponer que de manera que 1vi - (/4 extraer la raiz cuadrada. Lo a 1 = i'Y/2 a2 = + i'Y/2 - Vw~ 'Y 2 /4. (24.13) es bastante pequeflo comparado con positivo y no hay ningun es jQue obtenemos dos + w-, - 'Y 2 /4 = i'Y/2 v;:;-r= 'Y 2 /4 = i'Y/2 - Wr. (24.14) (24.15) Consideremos la primera, suponiendo que no nos hemos dado cuenta que la raiz cuadrada tiene dos valores posibles. Entonces sabcmos que una solucicin para x es x 1 = Aei", 1, donde A es una constante cualquiera. Ahora, al sustituir a 1 llamaremos ../ w5-1' 2/4 = wr, ya que va a aparecer tantas veces y d~mora escribirse. Asi i..x1 = -r/2 + iwy y obtcnemos x = Ae' rl2 + "··1·' 1• o lo que es dcbido a las propiedades maravillosas de una exponem:ial (24.16) Primcro. reconocemos esto como una oscilacicin, una oscilaci6n a una frecuencia W)' que no cs exactamente la frecuencia r,J,, pero estol bastantc cerca de "'" ~i es un buen sistema. Segundo. jla amplitud de la oscilaci6n cstit decreciendo exponcn cialmente! Si tomamos, por ejemplo. la parte real de (24. l 6). obtenemos (24.17) Esto se parece mucho a la soluci(m que intuimos (24. IO) a cia que es realmente <;!)'. Estc es cl Unico error. as1 que sc tenemos la idea correcta. jPero 110 todo es1ii bien! Loque c~ta ma! es que soluci6n. 24-5 La otra soluci6n es esta cambiado: it; y vemos que la lmica diferencia es que e! signo de w,. (24.18) significa esto? Vamos a demostrar pronto que si x 1 y x 2 .s_on soluciones P?de la ecuacion (24.1) con F-=-- 0. ientonces x 1 ·- x 2 tambicn es una solucion misma ecuaci6n! Asi la soluciOn general x tiene la forma matemittica (24.19) Ahora nos podemos preguntar por que nos molestamos en dar esta otra soluciOn, ya que estitbamos tan contentos coo la primera. ;,Para que nos sirve la so!uciOn extra ya que sabemos que debemos tomar s61o la parte real? Sabemos que debemos tomar la parte real, pero, (.C6mo iba a saber la matem6tica si sOlo queriamos la parte real? Cuando teniamos una fuerza impulsora no nula F (t), introdujimos una fuerza artificial junto con ella y la parte imaginaria de la ecuaci6n, por decirlo asi, era, impulsada de una manera definida. Pero cuarido hicimos F(t) = 0, nuestra convenciim que x fuera s6lo la parte real de todo lo que escribiframos es solo cosa nuestra. y las ecuaciones matemilticas no lo saben todavia. El mundo fisico tiene una soluciOn real, pero la respuesta con la que estilbamos tan coqtentos antes no es real, es compfeja. La ecuaci6n no sabe que vamos a tomar arbitrariamente la parte real_; asi q~e tiene quc present<'irsenos, por decirlo asi, con una so1uci6n de! tipo compleJo conJugado de manera que a! juntarlas podamos hacer una soluci6n verdaderamente real; eso es que a, estil hacienda por nosotros. Para que x sea real, Be ~'"'1' 1 va a tcner ser el complejo conjugado de At'"'I' de manera que las partes Resulta as1 quc B es el complejo conjugado de A y nuestra (24.20) que nuestra soluci(m real es una oscilaciOn con un defasaje y una amortal como la anunci<iramos. De Fig. 24-2. Un circurto electrico para demostrar trans1torios. 24-3 Transistorios elOCtricos Veamos ahora si lo anterior realmente funciona. Construyamos el circuito e!Cctrico mostrado en la figura 24-2 en el cual aplicamos a un osciloscopio el vo!taje a traves de la inductancia L despues de haber aplicado instantitneamente un vo!taje cerrando el interruptor S. Es un circuito oscilatorio y genera un transitorio de algUn tipo. Corresponde al caso en que aplicamos sllbitamente una fuerza y el sistema empieza a oscilar. Es el anilogo elOCtrico de un oscilador mecitnico amortiguado, y nosotros observamos la oscilaci6n en un osciloscopio donde deberiamos ver las curv as quc estamos tratando 24-6 Figura 24-3 Figura 24-5 \r- l- Figura 24-4 Figura 24- 6 de analizar (El movimicnto horizontal del osciloscopio cs a velocidad constante. mien tras que el movimiento vertical es el voltaje a travl:s del inductor. El resto de! circuito es s6lo un detallc tCcnico. Nos gustaria rcpetir cl experimento muchas. muchas vccc~. ya que la persistencia de Ia visi6n no es suficientemente buena para ver sO!o una traza en la pantalla. Asi, pues, hacemos el experimento una y otra vez cerrando el intcrrup tor 60 veces par segundo; cada vez que cerramos el interruptor empezamos el barrido horizontal de! osciloscopio que dibuja la curva una y otra vez.) En las figuras 24-3 a 24-6 vemos ejcmplos de oscilaciones amortiguadas, fotografiadas. rcalmente, de la pantalla de un osciloscopio. La figura 24-3 muestra una oscilaci6n amortiguada en un circuito Q grande y i" chico. No muerc muy riipido, oscila muchas vcces al ir disminuycndo. Pero veamos qui: pasa cuando disminuimos Q, de manera que la oscilaci6n se extinga mas rapidamente. ·Podemos disminuir Q aumentando la resistencia R en et circuito. Cuando aumentamos la resistencia en cl circuito, se extingue mils rapi damente (Fig .. 24· 4). Luego, si aumentamos a Un mas la resistencia en el circuito. sc extingue mas rapidamente todavia (hg. 24·5). iPero si vamos mas allil. de una cierta cantidad no podemos ver oscilaci6n alguna! La pregunta es: (.sucede esto porque nuestros ojos no son suficientemente buenos? Si aumentamos la resislencia aUn mas, obtenemos ~n~ curva c~mo la de la figura 24-6, que no parece tener oscila ciones, excepto qu1zas una. (.Como lo podemos explicar matcmliticamente? . La resis!encia es, por supuesto, proporcional al ti:rmino r en el dispositivo mecitnico. Espec1ficamente r es R Ahora bien, si aumentamos }' en las solucioncs (24.14) y (24.15) con las que estlibamos tan contcntos, se establecc un caos cuando rll exccde w 0 ; tencmos que escribirlo de una maner'a diferente: µ.,. i'Y/2 + i'v''Y 2 /4 - w~ and i'Y/2 - iv''Y 2 /4 - wg. 24-7 Estas son ahora las dos soluciones y siguiendo la misma linea de razonamiento matem<itico que antes, de nuevo encontramos dos soluciones: e10 , 1 y eia.1• Si ahora sustituimos a 1, obtenemos x = Ae-(Y12+../1 2 J4--«5)t, una hermosa caida exponencial sin oscilaci6n. Anil.logamente la otra soluci6n es Noten que la raiz cuadrada no puede ser mayor que y/2, porque aun cuando w 0 = 0, un ti:rmino es exactamente igual al otro. Perow~ se resta de y1/ 4 , de manera que la raiz cuadrada es menor que rl1 y el t6'mino entre parfotesis es, por lo tanto, siempre un nllmero positivo. jGracias a Dios! lPor que? Porque si fuera negativo, encontrariamos •a e elevado a un factor positivo por t, jlo que significaria que estaba hacienda exp!osi6n! Al poner mils y mils resistencia en e! circuito sabemos que no , va a hacer explosi6n -muy por el contrario-. De manera que ahora tenemos dos soluciones, cada una por si una exponencial decreciente, pero una con "velocidad de extinci6~" mucho mayor que la otra. La soluci6n general es, por supuesto, una combinaci6n de las dos; !os coeficientes de la combinaci6n dependen de c6mo se empieza el movimiento --cufiles son las condiciones iniciales del problema-. En la forma particular seg{m la cual este circuito se pone en funcionamiento, sucede que A es negativa y B es positiva; asi que obtenemos la diferencia de dos curvas exponenciales. Discutamos ahora c6mo podemos encontrar los dos coeficientes A y B (o A y A"') si sabemos cbmo empez6 el movimiento. Supongan que para 1 = 0 sabemos que x = x0 y dx/dt = v0• Si ponemos t = 0, x = x0 y dx/dt = v0 en las expresiones. x = e-1112(Ae;,.,y1 dx/dt = e-11 1 2 [(-Y/2 encontramos, ya que eO .o.c + A*e-;,.,'1), + iw.,)Ae;..,11 + (-Y/2 ~ iw 1)A•e-""' 1J, eiO = I, + A* Xo = A Vo= (-Y/2)(A +A*)+ iw 1 (A - A*) -'Yxo/2 + iw1 (2iA1), = = 2Alt, donde A= AR+ iA 1 y A*= AR-iA 1_. Encontramos asi (24.21) Esto determina completamente a A y A• y por lo tanto la curva completa de la soluciOi:i. transitoria en tfrminos de c6mo comienza. A pro;J6sito, podemos escribir la solucwn 24-8 de otra manera si notamos que Podemos entonces escribir la soluci.6n completa en la forma x = e- 1112 [ Xo cos w1 t + Vo +w:xo/2 sen W1tJ. (24.22) donde wy = + Vw~-yi/4. Esta es la exPresi6n matem3.tica para la forma en que una oscilaci6n se extingue. No vamos a hacer uso directo de ella, pero hay una serie de puntos en los cuales nos gustaria poner 6nfasis, que son viilidos en casos mas generales. Primero que nada el comportamiento de un sistema ta! sin fuerzas externas se expresa mediante una suma, o superposici6n, de exponenciales puras en el tiempo (que escribimos e'"'). Es una buena soluci6n a probar en esas circunstancias. Los valores de a pueden ser complejos en general, representando las partes imaginarias el amortiguamiento. Finalmente, la intima relaci6n matem3.tica de l<!-s funciones si nusoidales y exponenciales discutidas en el capitulo 22 apareccn muy a menudo fisicamente como en cambio del comportamiento sinusoidal o exponencial cuando alglln para.metro fisico (en este caso la resistencia) excede cierto valor critico. 24-9 25 Sisternas lineales y repaso 25-1 Ecuaciones diferenciales lineales 25-4 Analogias en fisica 25-2 SuperposiciOn de soluciones 25"5 Impedancias en serie y en paralelo 25-3 Oscilaciones en sistemas lineales 25-1 Ecuaciones diferencialcs lineales En este capitulo discutiremos ciertos aspectos de los sistemas oscilantes, que se encuentran con una generalidad algo mayor que precisamente en los sistemas particulares que hemos estado estudiando. Para nuestro sistema particular, la ecuaci6n diferencial que hemos estado resolviendo cs (25.1) Ahora bien, esta combinaci6n particular de "operaciones" con la variable x tiene la interesantc propiedad que si sustituimos x por (x + y), obtenemos la suma de !as mismas operaciones con x c y; o si multip!icamos x por a entonces obtenemos a por la misma combinaci6n. Esto es faci] de dcmostrar. A! igual que en una notaci6n "taquigrB.fica", como nos cansamos de escribir todas esas lctras en (25.l), usaremos el simbo!o L(x) en su lugar. Cuando veamos csto, significa el primer miembro de (25.l) en !a cual ha sido sustituido x. Con csta manera dcescribir,[:(x + y) significaria lo siguiente: !:_(x + y) = m if(xdtt YJ + 'Ym d(x ;J; y~ + mw~(x + y). (25.2) (Subrayamos la L para acordarnos que no es una funciOn ordinaria.) A veces llamamos ~ esto n~taci6n operacional pero no tiene importancia c6mo lo llamemos, es ·'taqmgrafia" simplemente. Nuestra primera afirmaci6n fue que !h + y) ~ £(x) + £(y), que por supuesto se deduce del hccho quc a(x ..- y) = dx/dt + dy/dt, etcetera. (25.3) ay, d(x "' y)/ dt = 25-1 N uestra segunda aftrmaci6n fue, para a constante !;.(ax) = a[:(x). (25.4) IRealmente (25.3) y (25.4) estin muy relacionadas porque si ponemos x + x en (25.3), es lo mismo que poner a = 2 en (25.4), etcetera. i En problemas mas complicados puede haber mas derivadas y mas tfrminos enb lo interesante es si se mantienen o no las dos ecuaciones (25.3) y (25.4). Si lo hacer - ta! problema lo llamamos problemp. lineal. En este capitulo vamos a discutir algunas propiedades que existen debidas al hecho que el sistema es lineal, para apreciar la generalidad de algunos de los resultados que obtuvimos en nuestro aniilisis especial de una ecuaci6n especial. Estudiemos ahora algunas propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales habiendolas ya ilustrado con la ecuaci6n especifica (25.l) que estudiamos tan exhaustivamente. La primera propiedad de interes es la siguiente: supongan que tenemos que resolver la ecuaci6n diferencial de un transitorio, la oscilaci6n libre sin fuerza impulsora. Es decir, queremos resolver. (,(x) ~ (25.5) 0. Supongan que por alguna artimaiia hemos encontrado una soluci6n particular, que Jlamaremos x 1 • Es decir, tenemos una x 1 para la cual-1:.._(xJ= 0. Ahora notamos quc ax 1 tambien es una soluci6n de la misma ecuaci6n, podemos multiplicar esta soluci6n especial por cualquier constante y obtener una nucva soluci6n. En otras palabras, si tuvieramos un movimiento de un cierto "tamailo", un movimiento el doble de "grande" tambien es una soluciOn. Demostraci6n: .b_(ax 1 ) = aL(x,) = =a· 0 -=o 0. En seguida supongan que por otra artimaila hemos encontrado no s6lo una soluci6n Xp sino que tambien otra so!uci6n x 2• (Recuerden que cuando sustituimos x = e"'' para encontrar los fenomenos transitorios cncontramos dos valores de 11, es decir, dos solucioneS x 1 y Xi.) Mostremos ahora que la combinaci6n (x, + x 2) tambien es una soluci6n. En otras palabras. si hacemos x x ~ x 2 , x tambren es una soluci6n de la ecuaciOn. i,Por que? Porque, si L_(x,) = 0 y L_(.'1: 2 ) - 0, entonces L(x, + Xi) '--- .L.(x: 1) + L(x 2) = 0 + 0 = 0. Lucgo. si hemos encontrado un cierto nUmero de soluciones para el movimiento de un sistema lineal, las podemos sumar. 1 Combinando estas dos ideas, vemos por supuesto que podcmos tambien sumar seis de una y dos de otra: si x 1 es una so!uci6n tambien lo es ax!" Por lo tanto, cualquier suma de estas dos soluciones, como (rrx, + 1f)xi), es tambien una soluciOn. Si sucede que podemos encontrar tres so!uciones encontramos entonces que cual quier combinaci6n de estas tres soluciones es tambien una soluci6n, etc. Rcsulta que el nUmero de lo quc llamamos soluciones independientes* que hemos obtenido para nuestro problema de! oscilador es solamente dos. El nUmero de soluciones independientcs quc uno encuentra en el caso general depende de lo que se llama el nUmero de grados de libertad. No vamos a discutir csto en detalle ahora; pero si tenemos una ecuaci6n diferencial de segundo orden. hay s6lo dos * Las solucioncs que no pueden ser expresadas como combinaciones lineales, las unas de las otras, sc llaman independiente& 25-2 soluciones independientes y hemos encontrado ambas; tenemos asi la soluci6n mils general. Vamos ahora a otra proposici6n que se aplica a la situaci6n en la cual el sistema estil. sometido a una fuerza externa. Supongan que la ecuaci6n es £(x) ~ (25.6) F(t), y supongan que le hemos encontrado una soluci6n especial. Digamos que la so!u~i.6n de Juan es X; y que JJxJ) = F(t). ~upongan que queremos encontrar otra so!u_c1on; supongan que sumamos a la solucmn de Juan una de las que era una solucion de la ecuaci6n libre (25.5), digamos x 1• Entonces vemos, segUn (25.3) que !JxJ +xi)= b_(xJ) + {;,(x 1) = F(t) +0 = F(t). (25.7) Por lo tanto, a la soluci6n "forzada" le podemos sumar cualquier soluci6n •·Jibre" y aUn tenemos una soluci6n. La soluci6n •·Jibre" se llama soluci6n transitoria. Cuando no tenemos ninguna fuerza actuando y sUbitamente ponemos una, no obtenemos inmediatamente la soluci6n estacionaria que resolvimos con la soluci6n sinusoidal, sino que por un tiempo hay un transitorio que tarde o temprano se extin gue si esperamos lo suficientc. La soluci6n •·forzada" no se extingue ya que sigue siendo impulsada por la fuerza. En Ultimo tfrmino, para periodos grandcs de tiempo la soluci6n es Unica, pero inicialmente los movimientos son diferentes por circunstancias diferentes dependiendo de la manera como empez6 el sistema. 25-2 SuperposiciOn de soluciones Ahora nos encontramos con otra proposici6n interesante. Supongan que tenemos una cierta i'uerza impulsora particular F0 (digamos que es oscilatoria, con un cierto w = Wa aunque nuestras conduslones van a ser villidas para cua!quier forma funcional de F,) y que hemos encontrado la soluci6n para el movimiento forzado (con o sin !os transitorios; no tiene importancia). Supongan ahora que actlla alguna otra fuerza, digamos Fb, y que resolvemos el mismo problema pero con fuerza diferente. Entonces supongan que viene alguien y dice '"tengo un nuevo prob!ema para que ustedes lo resuelvan; tengo la fuerza F0 = Fb ". t,Podemos hacerlo? Por su puesto que lo podemos hacer, porque la soluciOn es la suma de las dos soluciones x 0 y xb para las fuerzas tomadas separadamente -una circunstancia por cierto muy notable"-. Si usamos (25.3), vemos que Esto es un ejemplo de lo que se llama principio de superposiciOn para sistemas lineaJes, y es muy importante. Significa lo siguiente: si tenemos una fuerza compli· cada que se puede descomponer de cua!quier manera conveniente en la suma de partes separadas, cada una de las cuales es en cierto modo simple en el sentido de que para cada parte especial' en que hemos dividido la fuerza podemos resolver la ecuaci6n, entonces el resultado es villido para la fuerza total, porque simplemente podemos volver a juntar las partes de la soluci6n de la misma manera como la fuerza totaJ estii. formada de partes (Fig. 25-1). 25-3 Fig_ 25 1 Un cjemplo del pr1nc1p10 de superposic16n para s1sternas lineales Demos otro ejemplo del principio de superposici6n. En el capitulo 12 dijimos que era uno de los grande~ hechos de las !eyes de la electricidad que si tenemos una cierta distribuci6n de cargas % y calculamos el campo eltctrico Ea producidas por estas cargas en un cierto lugar P y si, por otro !ado, tenemos otro conjunto de cargas % y calculamos el campo Fb debido a estas en el lugar correspondiente; entonccs, si ambas distribuciones de cargas cstitn presentes al mismo tiempo, el campo E en P ts la suma de Ea debido a un conjunto ma~ Eh debido al otro. En otras palabras, si conocemos el campo debido a cierta carga, el campo debido a muchas cargas es simplemente el vector suma de los campos de estas cargas tomados individualmente. Esto es exactamente anillogo a la proposici6n anterior que si conocemos el resultado de do~ fuerzas dadas tomadas una a una, entonces, si la fuerza se considera como la suma de ellas, la respuesta es una suma de las respuestas individuales correspondicntcs. Fig 25-2. El princ1p10 de superposici6n en electrosttitica La razOn de que esto sea vti.Jido en la electricidad es que las grandes \eyes de la e!ectricidad. las ecuaciones de Maxwell, que determinan el campo eltctrico, son ecuaciones diferenciales lineales. es decir, que tienen la propiedad (25.3). Loque corresponde a la fuerza es la carga que genera cJ campo electrico y la ecuaciOn que determina el campo eltctrico en terminos de la carga es lineal. Como otro ejcmp\o interesante de esta proposici6n, preguntamos c6mo es po~i­ ble "sintonizar" cicrta estaci6n de radio al mismo tiempo que todas las otras emiso" ras est.iin transmitiendo. La estaci6n de radio transmite, fundamentalmente, un campo electrico oscilante de muy alta frecuencia quc .actUa subre nuestra antena de radio. Es cierto que la amplitud de osci\aci6n de! campo cs modlficada. modulada. para transportar la seftal de la voz, pero cso es muy lento y no nos vamos a preocupar por cllo. Cuando uno escucha "Esta estaciOn estii: transmiticndo con una frecuencia de 780 kilocic!os", ello indica que 780.000 oscilacioncs por segundo es la frecuencia de! campo electrico de la antena de la estaci6n y esto arrastra en nuestra antena los clcctrones hacia arriba y hacia abajo con esa frecuencia. Podemos tener ahora al mismo t1empo otra estaci6n de radio 25-4 en el mismo pueblo radiando con una frecuencia diferente, digamos 550 kilociclos por segundo; luego, los electrones en nuestra antena tambien estii.n siendo arrastrados a esa frecuencia. La pregunta ahora es, lc6mo podemos separar las seiiales que llegan a una radio a 780 kilociclos de las que Hegan a 550 kilociclos? Ciertamente no escuchamos ambas estaciones al mismo tiempo. Por el principio de superposici6n, la respuesta del circuito elOCtrico de la radio, la primera parte de! cual es un circuito lineal, a las fuerzas que est<in actuando debido al- campo elOCtrico Fa + Fb, es Xa * xb. Pareciera entonces como que nunca las vamos a desenredar. De hecho, el mismo enunciado de superposici6n parece insistir que no podemos evilar tener a ambas en nuestro sistema. Pero recuerden, para un circuito resonante, la curva respuesta, la cantidad de x por unidad de Fen funcion de la frecuencia, se ve como la de la figura 25-3. Si fuera un circuito con un Q muy alto, la respuesta mostraria un mliximo muy agudo. Supongan ahora que las dos estaciones son comparables en intensidad, o sea, que las dosfuerzas scan de la misma magnitud. La respuesta que obtenemos es la suma de x,, y xh. Pero en la figura 25-3, xa es tremenda mientras que xb es pequeiia. Asi, a pesar de que las dos sei'iales tienen la misma intensidad, cuando pasan por el circuito resonante agudo de la radio sintonizada para wa, la frecuencia de transmisi6n de una estaci6n, entonces la respucsta a esta estaci6n es mucho mayor que a la otra. Por lo tanto, la respuesta completa con las dos seiiales, est!'t casi toda formada por wa y hemos seleccionado la emisora que querlamos. 25-3. Una curva de resonancia aguda lY que pasa con la sintonia? lC6mo sintonizamos? Cambiamos (,; 0 cambiando la L o la C de! drcuito porque la frecuencm dcl circuito tiene que ver con la com binaciOn de L y C. En particular, la mayoria de las radios estitn construidas de modo que uno pueda cambiar la capacitancia. Cuando rcsintonizamos la radio podemos cambiar la posici6n de! dial de manera que la frecuencia natural <lei circuito se desplaza digamos, a «i,- En este caso no escuchamos ni una ni otra emisora; obtencmos silencio siempre que no haya otra emisora con frecuencia We· Si seguimos cambiando la capacitancia hasta que la curva de rcsonancia estC en (,;b, entonces por cierto escuchamos la otra emisora. Asi es cOmo funciona la sintonia de una radio; es de nuevo el principio de superposici6n combinado con una respuesta rcsonante. * 25~5 Para terminar esta discusi6n, describamos cualitativamente lo que sucede si proseguimos analizando un problema lineal con una fuerza dada cuando la fuerza es bastante complicada. De los muchos metodos posibles hay dos maneras generales especialmente Utiles segim las cuales podemos resolver el problema. Una es esta: supongan que podemos resolverlo para fuerzas especiales conocidas tales como sinusoides de diferentes frecuencias. Sabemos que es juego de niiios resolverlo para sinusoides. Asi tencmos ios que llamaremos casos de "juego de niiio ". Ahora bien, la pregunta es si nuestra fuerza tan complicada se puecie representar coma la suma de dos o mils fuerzas de "juego de nii'ios". En la figura 25-1 ya teniamos una curva bastante complicada y, por supuesto, la podemos hacer aim m.is comp!icada si agregamos mils sinusoides. De manera que es ciertamente posible obtener curvas muy complicadas. Y, de hecho, lo inverso tambien es cierto: se puede obtener prilcticamente cualquier curva sumando un nUmero irifinito de sinusoides de diferentes longitudes de onda (o frecuencias) para cada una de las cuales conocemos el resultado. Simplemente tenemos que conocer cuil.nto poner de cada sinusoide para formar la F dada, y entonces nuestra respucsta x es la suma correspondiente de las F sinusoides, cada una multiplicada por su respectiva raz6n de x a F. Este metodo de soluci6n se llama metodo de la transformada de Fourier o andlisis de Fourier. Realmente no vamos a realizar este anitlisis ahora; sOlo deseamos describir la idea en juego. Otra manera muy interesante de resolver nuestro problema tan complicado es la siguiente. Supongan que mediante un esfuerzo mental tremendo, fuera posible resolver nuestro problema para una fuerza especial, a saber, un impulso. La fuerza se aplica ritpidamente y en seguida se elimina; desaparece completamente. En realidad necesitamos resolver s6lo para un impulso de cierta intensidad unitaria; cualquier otra intensidad se puecie obtener multiplican<lo por un factor apropiado. Sabemos que la respuesta x a un impulso es una oscilaci6n amortiguada. lQue podemos decir de alguna otra fuerza, por ejemplo una fuerza como la de la figura 25-4? Fig. 25-4. Una fuerza complicada se puede tratar coma una sucesi6n de impulsos agudos Tai fuerza puede asemejarse a una sucesi6n de go!pes con un martillo. Primera no hay fuerza y de sUbito hay una fuerza constante -impu\so, impulso, impulso, impulso, ... - y luego cesa. En otras pa!abras, imaginamos que la fuerza continua es una serie de impulsos muy juntas. Sabemos el resultado para 1m impulso, de manera que el resultado para toda una serie de impulsos va a ser toda una serie de oscilaciones amortiguadas: va a ser la curva para el primer impulso y luego (un poquito despues) le sumamos la curva para el segundo impulso y la curva para el tercer impulso, y asi sucesivamente. Por lo tanto, podemos representar matemil.ticamente la soluciOn completa para funciones arbitrarias. si conocemos la respuesta para un impulso. Obtenemos la respuesta para cualquier otra fuerza simplemente por integraci6n. Este metodo se _llama miitodo de lafunci6n de Green. Una funci6n de Green es una respucsta a un 1mpulso y el metodo 25-6 para analizar cUalquier fuerza juntando las respuestas de impulsos se llama metodo de la funci6n de Green. Los principios fisico~ cncerrados en estos dos esquemas son tan simples, incluyendo s6lo la ecu.aci6n lineal, que se pueden comprcnder inmediatamcnte, pero los problemas matematicos que entran en juego, las integraciones complicadas, etc., son demasiado avanzadas para atacarlas ahora. Con toda seguridad ustedes van a volver sabre esto a!gUn dia, cuando hayan tenido mas practica en matematica. Pero la idea es en rcalidad muy simple. Finalmente, hagamos algunas observaciones de por que !os sistemas lineales son tan importantes. La respuesta es simple: jporque los podemos resolver! De ma· nera que !a mayor parte de! tiempo resolvemos problemas lineales. Segundo (y mas importante), resulta que las !eye.\· fundamentales de la fisica son a menudo lineales. Por ejemplo, las ecuaciones de Maxwell para las !eyes de la elcctricidad son !ineales. Las grandes !eyes de la medmica cuantica resultan ser hasta donde sabemos ecuaciones lineales. Por eso es que gastamos tanto tiempo en ecuaciones lineales: porque si entendemos las ecuaciones lineales. estamos listos, en principio, para entender una cantidad de otras cosas. Mencionemos otra situaci6n donde se encuentran ecuaciones lineales. Cuando los desplazamientos son pequciios, muchas funclones pueden ser aproximadas linealmcnte. Por ejemplo, si tenemos un pendulo simple, la ecuaci6n correcta para su movimiento es (25.9) d 2 e/dt 2 = -(g/L) sen e. Esta ecuaci6n se puede resolver mediante funciones elipticas, pero !a manera mas facil de resolverla es numericamente como se dcmostr6 en el capitulo 9 en las [eyes de movimiento de Newton. Corrientemente una ecuaci6n no lineal no se puede resolver mits que en forma numfrica. Ahora bien para fl pequeiio, scnO es practicamente igual a 0 y tcnemos una ecuaciOn lineal. Resulta que hay muchos casos dondc pequeiios efectos son lineales: como este ejemplo, el balanceo de un pendulo en pequciios arcos. Como otro ejemplo. si tiramos un poco de un resorte, la fuerza es proporcional al estiramiento. Si tiramos muy fuerte, rompemos el resorte y ;la fuerza es una funciOn completamente diferente de la distancia! Las ccuaciones lineales son importantes. En realidad son tan importantes que a lo mejor el cincuenta por ciento de! tiempo estamos resolviendo ecuaciones lineales en fisica e ingenier[a. 25-3 Oscilaciones en sistemas lineales Repasemos ahora las cosas sabre las cuales hemos estado hablando en los Ultimas capitu!os. Es muy facil que la fisica de los osciladores se haga oscura por la matemii.tica. La fisica es realmente muy simple y si pudiframos olvidamos de la matemiitica por un momenta veriamos que podemos entender casi todo lo que sucede en un sistema o~cilan'.e. Primera: si tenemos s61o el resorte y el pes?, cs foci! de entender por que el s1stema osc1la -es una consecuencia de la inercta-. Tiramos la masa hacia abajo y la fucrza la tira hacia arriba: cuando pasa por cero, que es el lugar en que Jc gusta estar. no puede detenersc slibitamente; debido a su momentum sigue moviendose y oscila hacia el otro lado y continlia de un !ado a otro. De manera que si no hubiera roce. seguramentc esperariamos un movimiento oscilatorio y efectivamcnte obtenemos uno. 25-7 Pero si hay un poco de race siquiera, entonces en el ciclo de vuelta la oscilaci6n no va a ser tan grande coma fue la primera vez. l Que es lo que pasa ahora, ciclo a ciclo? Eso depende del ti po y de la can ti dad de roce. Supongan que pudifaamos confeccionar un tipo de fuerza de roce que siempre se mantiene en la misma proporci6n con respecto a las otras fuerzas, la de iner cia y la de! resorte, a medida que la amplitud de la oscilaci6n varia. En otras palabras, para oscilaciones pequeOas el roce deberia ser mas dCbil que para oscilaciones grandes. E! roce ordinario no tiene esta propiedad, de manera que se debe invcntar un ti po especial de roce cuidadosamente ·con el especial prop6sito de erear un roce que es directamente proporcional a la velocidad, de manera que para grandes oscilaciones sea mayor y para pequeiias oscilaciones sea mils debil. Si sucede que tc" nemos ese tipo de roce, al final de cada ciclo sucesivo el sistema esti en la misma condici6n en que estaba al principio, excepto que es un poco mils chico. Todas las fuerzas son mis chicas en la misma proporci6n: la fuerza de! resorte se reduce, las efectos inerciales son menores porque las aceleraciones son ahora mils debiles y el roce es menor tambien porque asi lo concebimos cuidadosamente. Cuando realmente tenemos ese tipo de roce, encontramos que cada oscilacilm es exactamente la misma que la primera, excepto que estil reducida en amplitud. Si el primer ciclo disminuy6 la amplitud a, digamos, el 90 por 100 de lo que era al principio, la siguiente lava a disminuir a 90 por 100 de! 90 par 100, etc.: el tamaiio de las osci!aciones se reduce en la mis ma fracci6n en cada ciclo. Una funci6n exponencial es una curva que hace exactamente eso. Cambia en el mismo factor en cada interva!o igua! de ti em po. Es decir, si la amplitud de un ciclo relativa a la anterior se llama a, entonces la amplitud de la siguicnte es a 2 y de la siguiente a3 . De man era que la amplitud es alguna constante elev ad a a una potencia igual al nUmero de ciclos recorridos: A= A 0 a". (25.IO) Pero, por supuesto, que estil perfectamente claro que la soluci6n general va a ser algUn tipo de seno o coscno wt, por una amplitud que varia mas o menos coma b 1• Pero se puede escribir como e--<' si b es positivo y menor que I. Por esto es que la soluci6n aparece como e-cl cos wt. Es muy simple. lQue sucede si el race no es tan artificial, por ejemplo, la fricci6n comUn de una mesa, de manera que la fuerza de roce cs una cierta cantidad constante c independiente de la magnitud de la oscilaci6n que invierte su direcci6n cada medio ciclo? Entonces la ecuaci6n ya no es mils lineal, se hace dificil de resolver y debc ser resue!ta por el metodo numerico dado en el capitulo 2, o considcrando cada media ciclo scparadamente. El metodo numerico es el mas poderoso de todos y puede resolver cualquier ecuaci6n. Solamente cuando tenemos un problema simple podemos usar el anftlisis matemfttico. El anitlisis matem<itico no es la cosa las ecuaciones m::i.s simples. Tan pronto como comp!icadas, nada mas quc un poquito Pero el metodo numerico, al cual se le puede hacerse cargo de cualquier ecuaci(m A continuaci6n, z.que pasa con la curva de resonancia? z.D6nde estit la resonancia? Primera, imaginen por un momento que no hay race y tenemos algo que pueda 25-8 oscilar por si mismo. Si golpearamos el pCndu!o en forma precisa cada vez que pasa, por supuesto que podriamos hacerlo mover coma loco. Pero si cerramos los ojos y no lo miramos y lo golpeamos a intervalos iguales arbitrarios, (.que va a suceder? A veces nos vamos a encontrar go!peando cuando va en el sentido contrario. Cuan· do sucede que tenemos el ritmo correcto, por supuesto, cada golpe va a ser dado justo a tiempo de manera que va cada vez mas alto y mas alto y mas alto. De manera que sin race obtendr[amos una curva como la curva llena de la figura 25·5 para diferentes frecuencias. Cualitativamente, comprendemos la curva de resonancia: con el fin de obtener la form a exacta de la curva prabablememe lo mas apropiado sea hacerlo matem:iticamente. La curva tiende a infinite cuando '-" --> w,1 donde (.<J 11 es la frecuencia natural del oscilador. )(. _JL_ _ 25-5. Curvas de resonanc1a en prede d1versas cant1dades de roce Supongamos ahora que hay un poco de roce; cuando el desplazamiento del oscila<lor es pequeiio. el race no lo afocta mucho; la curva de resonancia es la misma, excepto cuando estamos cerca de la resonancia. En vez de hacerse infinita cerca de la resonancia la curva va a alcanzar solamente una altura ta! que el trabajo rea!izado por nucstros golpes cada vez es suficiente para compensar la pCrdida de energia por race durantc el ciclo. De manera que el :lpice de la curva es redondeada -no va a infinito-. Si hay m:is rocc, el iipicc de la curva se redondea aUn mits. Ahora bien. alguien podria decir: "yo crcia que los anchos de las curvas dependian del roce ... Eso es porque la ~urva se traza comUnmente de manera que su apice se representa por una unidad. Sin embargo, la expresiOn matem<'itica es alln mils simple de entender, si trazamos todas las curvas con la misma escala; entonces jtodo lo que sucede es que el roce rebaja el 3.picc! Si hay mcnos roce, podemos subir mas por ese pico antes que el roce lo carte, de manera que se ve relativamente mt'ts angosto. Esto e~. mientras mils alto es el milximo de la curva, tanto mas angosto es el ancho en la mitad de la altura maxima. Finalmente, tomcmos cl caso de que haya una enorme cantidad de roce. Resulta quc si hay demasiado roce, el sistema no oscila en absoluto. La energia de] resorte cs apenas capaz de mover!o en contra de las fuerzas de roce, y a~i. se desliza lentamente hasta el punto de equilibria. 25-4 Analogias en fisica El siguiente aspecto a seilalar en este repaso es que masas y resortes no son los lmicos sistemas lineales; hay otro~. En particular, hay sistemas etectricos 25-9 llamados circuitos lineales, en los cuales encontramos una analogia completa con los sistemas medmicos. No hemos aprendido exactamente por que cada uno de !os objetos en un circuito eJectrico funciona en la forma que lo hace -no tiene por que entenderlo en este momento--; podemos establecer!o como un hecho verificable experimentalmente que se comportan .como se ha dicho. Por ejemplo, tomemos el ca so mas simple posible. T enemos un pedazo de alambre, que cs una resistencia, y hemos aplicado a el una diferencia de potcncial V. Ahora bien V tiene este significado: si llevamo~ una carga q a lo largo de] alambre desde un terminal al otro terminal, el trab:;ijo realizado es qV. Cuanto mils alta la diferencia de voltaje tanto mas trabajo se realiza cuando la carga, como decimos, "cae" del extremo <lei terminal de potencial alto al extremo de potencial bajo. De manera quc las cargas entregan energia al ir de un extremo al otro. Ahora bien, las carga~ no vuelan simplemcnte derecho desde un cxtrcmo hasta el otro; los :'ltomos del alambre ofrecen alguna resistencia a la corricnte y esta resistencia obedece la siguiente ley para casi todas las sustancias ordinarias: si hay una corricnte /, o sea, tantas cargas por segundo tropezando, cl nllmero por segundo que atraviesa tropezando el a!ambre es proporcional a lo fuertemcnte que las empujan -en otras palabras, proporcional a cuilnto voltaje existe: V = JR = R(dq/dt). (25.11) El coeficiente R se llama resistencia y la ecuacilm se llama Ley de Ohm. La unidad de resistencia es el ohm; es igual a un volt por ampere. En situaciones meclinicas es dificil obtener ta! fuerza de roce proporcional a la velocidad; en un sistcma eiectrico es muy fil.cil y esta ley es extremadamente precisa para casi todos los metales. Estamos a menudo interesados en culinto trabajo se realiza por segundo, !a pfrdida de potencia o la energia 1iberada por las cargas a mcdida que tropiezan a lo largo del cable. Cuando llevamos una carga q a traves de un voltaje V, el trabajo es qV, de manera que el trabajo realizado por segundo seria V(dq/dt), que es lo mis" mo que VJ o tambien JR . I ~ PR. Esto ~e llama phdida por cale111amiento; es cuanto calor se genera en la rcsistcncia por segundo, debido a la conservaciim de la energia. Es este calor el que hace que funcione una l<lmpara incandescente ordinaria. Por supuesto, hay otras propicdadcs interesantes de sistcmas meclinicos, como la masa (inercia), y resulta que hay tambien una analogia electrica para la inercia. Es posible hacer algo llamado inductor que tiene una propiedad Hamada inductancia tal que una corriente, una vcz cstablccida en la inductancia no quiere detenerse. jSe necesita un voltaje para cambiar la corriente! Si la corriente es constante no hay voltaje a traves de una inductancia. Los circuitos CC no saben nada de inductancia; es s61o cuando cambiamos la corricntc quc se manifie.5tan los efectos de la inductancia. La ecuaci6n es V = L(dJ/dt) = L(d 2q/dt 2 ), (25.12) y la unidad de inductancia, llamada henry, es ta! que un volt aplicado a una inductancia de un henry produce un cambio de un ampere por segundo en la corriente. La ecuaci6n (25.12) es la analogla de la Icy de Newton para la electricidad, si asi lo deseamos: i V correspondc 25-10 a F, L corrcsponde a m, e I corresponde a la velocidad! Todas las ecuaciones siguientes para los dos tipos de sistemas van a tener la misma deducci6n, porque en todas las ecuacioncs podcmos cambiar cualquicr letra por su lctra anii.loga correspondicnte y obtenemos la misma ccuaci6n~ cualquier cosa quc dcduzcamos \'ft a tcner Ul'a corrcspondencia en lo~ dos sistemas. Ahora bien, ;,que cosa eJCctrica corresponde al resorte mec<inico, donde existia una fuerza proporcional al estiramicnto? Si empezamos con F """"'" kx y reemplazamos F--• Vy x--+q, obtcncmos V-= a:q. Resulta que cxiste tal cosa, de hecho es el Unico de los tres elemcntos de circuito que podemos entender realmcnte, porque hemos estudiado un par de placas paralelas y encontramos que si hubiera una carga de cierta cantidad igual y contraria en cada placa, el campo eli:ctrico entre ellas seria proporcional al tamaiio de la carga. De manera que el trabajo realizado al mover una carga unitaria a travCs de la separaci6n de una placa a la otra es pre· cisamente proporcional a la r.:arga. Este trabajo es la definici6n de diferencia de potencial y es la integral curvilinea del campo electrico de una placa a la otra. Rcsulta que por razones hist6ricas, la constante de proporcionalidaJ i:.O sc llama C sinu l/C. Pudo habcr sido llamada (', pero no !o fue. Tencmus entonces V = q/C (25.IJ) La unidad de capacitancia C cs el farad: una carga de un coulomb en cada placa de un capacitor de un farad produce una difercncia de potential de un volt. Ahi estim nucstras analogias y la ecLacion correspondiente al circuito oscilantc se transforma en lo siguientc, mcdiantc sustituciOn dirccta de m por L, x por q, etc.: m(d 2 x/d1 2 ) L(d 2q/d1 2 ) + 'Ym(dx/d!) + kx ...=cF, + = R(dq/dt) + q/C V. (25.14) (25. !S) para a!go rnccilnico bastante complicado, no sOJo una masas en varios resortcs todos enganchados A lo mcjor: pero mirc11, podemos hacer un ecuacioncs quc el objcto quc cstamos analinir una rna~a en un rc~nrtc. usamos una inductani.:ia proal correspondicntc. I IC circuito ckctrico va nuestro en el sentido que coal sc hacc corrc~pondcr a !as fuera la fucu.a! De mancra 4uc a~i clcrncnto~ podcmos para im1tar prohlcma c~ tan 25-11 equivalcntcs. La ventaja no es que sea mis ficil resolver las ecuaciones matemillicas despues que descubrimos que tenemos un circuito electrico (jaunque Cse es el mCtodo usado por !os ingenicros eli:ctricos!), sino que en vez de e!lo, la verdadera raz6n para mirar al anitlogo es que es mit.s ficil hacer el circuito elCctrico y cam biar algo en el sistema. Supongan que hemos diseii.ado un autom6vil y queremos saber cuit.nto se va a sacudir cuando pase por un cierto tipo de camino Ueno de baches. Construimos un circuito e\ectrico con inductancias que rerresenten la inercia de la~ ruedas, las constantes de rcsorte como condcnsadores para representar los resortes de la~ rucdas y resistencias para representar los amortiguadores, etc., para las otras partes del autom6vil. A continuaci6n neccsitamos un camino lleno de baches. De acuerdo, aplicamos un voltaje de un generador que represente ta! y ta! tipo de bachc y desput':s miramos c6mo se sacudc la rueda izquierda midiendo la carga en algUn con densador. Habiendola medido (lo que es foci! de hacer) encontramos que se est<i sacudiendo mucho. ;,Necesitamos mils amortiguamicnto o mcnos'! Con una cosa tan complicada como un autom6vil, (.realmente cambiamos el amortiguador y lo resohe mos todo de nucvo? jNo!, simplementc movernos un dial; el dial nllmero diez es el amortiguador nUmero tres. Asi que introducimos mils amortiguamiento. Las sacudidas son peores -de acuerdo, probamos con menos-. Las sacudidas son peores alm; cambiamos la dureza de! resorte (dial 17) y aju~tamos todas estas cosas electricame,ue, simplemcntc girando una perilla. imita el problema Esto se llama computadora anal6gica. Es un dispositivo ecuac1on, pero en que queremos resolver, creando otro problema que tiene !a otras circunstancias de la naturaleza y jque es mucho de construir. de medir, de aju~tar ~· de Jcs1ruir! 25-5 lmpedancias en serie yen paralelo Finalmente hay un dctalle Tiene que ver con un circuito to. Por cjemplo. cuando tenemos un inductor, una rcsistcnc1a \ conectados como en la figura 24-2. notamos que toda la de los tres, de manera que en un objeto tal conectado tan es la misma en todos !os puntos del alambre. Como la uno. el voltaje a tra\·e~ de R c~ IR: cl manera que la caida total del potencial es suma y ecuaci6n (25.15). Usando nUmeros complejos, encontramos que la ccuaciOn para el movimiento estacionario en respuesta a Encontramos aqui que V '-- ii. Ahora 7. sc llama la impedan~ia particular. Nos dice que si aplicamos un voltaje sinusoidal V. corriente i. 25-12 . l®L, ~Z (a)cnserie (b) en paralelo Fig. 25-6. Dos 1mpedancias conectadas en ser1e y en paralelo y es igual a V = V1 + V2 = .(t~ -.- ~ 1) i. Esto sign_ifica q~e el voltaje ~n el circuito completo se puede es_cribir V = IZ,. donde la Zs del s1stema combmado en serie es !a suma de los dos Z de cada parte: (25.16) Esta no es !a lmica manera de conectar las cosas. T ambifo las podemos conectar de manera, llamada conexiOn en paralelo (Fig. 25-6b). Ahora vemos que un voltaje aplicado a los termina!es, si los alambres de conexi6n son conductores pcrfrctos, estil ap!icado efectivan:ente a ambas impedancias y va a 9ar o~igen a corrientes en cada una independientemente. Luego, la corriente en Z 1 es 1gual a i, = V/i 1 • La corriente en Zc es / 2 ___, V!i 2 • Es el mismo voltaje. La corriente total que se entrega a los terminales es la suma de !as corrientes en las dos seccioV/2 1 + V!i. 1 • Esto se puede escribir nes: i V= A;A (l;Z1) Asi l/ip = f + A A (!;Z2) =iZP. t/i 1 + l/iz. (25.17) Circuitos mas complicados pueden simplificarse a veces tomando partes de ellos, trabajando con las impedancias sucesivas de las partes y combinando el circuito paso a paso, usando las reglas anteriores. Si tenemos cualquier tipo de circuito con muchas impedancias conectadas de todas !as maneras posibles y si incluimos los voltajes en forma de pequeiios generadores sin impedancia (cuando pasamos carga a traves de ei, e! generador agrega un voltaje V), entonces se aplican los siguientes principios: (I) En cualquier nudo la suma de las corrientes hacia el nudo es cero. 0 sea, toda la corriente que entra debe salir. (2) Si llevamos una carga alrededor de cualquier malla, vo!viendo al punto de partida, el trabajo neto realizado es cero. Estas reglas se ll!!.man {eyes de Kirchhoff para circuitos el6ctricos. Su aplicaci6n sistemtitica a circuitos complicados a menudo simplifica su anitlisis. Los mencionamos aqui junto con las ecuaciones (25.16) y (25.17), en el caso que ustedes ya hayan encontrado tales circuitos que necesitan analizar en el trabajo de laboratorio. Van a ser discutidas de nuevo con mayor detalle el pr6ximo aiio. 25·13 26 Optica: el principio del tiempo minimo 26-1 La luz 26-2 Renexi6n y rcfracciOn 26-3 El principio de Fermal del tiempo minimo 26-4 Aplicaciones Fermat 26-1 dcl 26-5 Un enunciado mas prcciso del principio de Fermat 26-6 COmo funciona principio de La luz tecnicamcntc en un gran que las usadas en las '"'''odil'"'"""' tienen longitudes de ondas corrcspondientes a unos las asi llamadas '"onda~ curtas "', por ejemplo. etcftcra. No existe ningtin !imite definido entrc uno '! de ondas, porque la naturaleza no sc nos prcscnta con nUmero asociado con un nombre dado para las ondas tambien lo son por supuesto los nombres quc damos a los A continuaciOn, despues de un largo camino por la~ ondas milimCtricas. llega mos a lo que llamamos el in.frarroju y, por lo tanto, al cspcctro visible. A continua ci6n, avanzando hacia el otro lado llegamoi. a la regi(in que se llama u/trm·ioleta. Donde termina el ultravioleta, empiczan los rayos X, pero no podcmos dcfinir pre cisamente d6nde sucede esto; es aproximadamente a JO• m. u 10 '//. E~to~ ~on rayos X "blandos"; luego est3.n los rayos X ordinarios y rayos X muy Juros; lucgo Jos rayos p, etc., para valores cada vez mcnorcs de esta dimensi6n llamada longitud de onda. Dentro de esta vasta gama de longitudes de onda, hay tres o mils regiones de aproximaciim que son especialmente interesantcs. En una de Cstas, existe una condiciOn en la cual las longitudes de onda quc intervicnen son muy pequefias comparadas con las dimensiones de! equipo disponible para su estudio; ademils las energias de los fotoncs, usando la teoria cuilntica, son pequcfias comparadas con la sensibilidad energCtica del equipo. En estas condiciones podemos hacer una primera aproximaciOn por un mctodo llamado 6ptica geomitrica. Si, por otro !ado, las longitudes de ondas son comparables a las dimensiones del equipo. lo que es dificil de obtencr con la !uz visible pero mi1s facil con ondas de radio, y si las energias de los fotones son todavia desprcciablcmente chicas, entonces se puedc hacer una aproximaciOn muy titil estudiando el comportamiento de las ondas. aun sin tomar en cuenta !a mecitnica cuitntica. Este mCtodo se basa en la teoria cli:isica de la radiaci6n e!ectromagni.'tica, en un capitulo mils adelante. A continuamii.s cortas, donde podemos desprcciar el tienen una energia muy grande compahacen sencillas de nuevo. Esta cs la sOlo muy aproximadamente. La imamoddo no nos seril. asequible por mucho se limita a la rcgiOn de la Optica geometrica, ondulatorio y fotOnico de la luz, !o que va a siquiera nos preocupamos de decir lo que es comporta en escala grande comparada esto debe ser para poner enfasis en es una mera aproximaciOn; es uno de los capitulos que vamos a tencr quc •·desaprender" de nuevo. Pero lo vamos a desaprender muy pronto. porque vamos a scguir casi inmediatamente con un metodo mils preciso. ser la Aunque la es sO!o una aproximaciOn, es de una gran imporhist6rico. Vamos a presentar este tema m:ls hist6una idea del desarrollo de una teoria fisica o de una Primera. la \u7 es, por supucsto. familiar para todo el mundo y ha sido familiar tiempo inmcmoria!. Ahora bien, un prob!ema es: ;,mediante quC proceso 1•emos Ha habido teorias, pero finalmente se asent(J una segUn la cual es algo que entra ojo --que rebota de los objetos y entra al ojo. Hemos c~a idea por tanto tiempo que la aceptamos y es casi imposible para noscuenta que hombres muy inteligentes hayan propuesto tcorias contrasale del ojo y palpa d objeto. por ejemplo·-. Algunas otras observason que cuando la luz va de un !ugar a otro, va en lineas rectas, en el camino, y no pareccn interfcrir unos con otros. se entrecruza en la pieza, pero la \uz que estit por nuestra linea de que nos llega de algUn objeto. en contra de la teoria corpuscular; como muchas flcchas disparadas, z.c6mo por Huygens. Si la luz otras flcchas pasar entre ellas tan facilmente'? Tales argumentos filos6ficos no son de rnucho peso. j Uno ~icmpre podria decir que la luz estit formada por flechc1s que pasan a traves de ellas mismas! 26-2 Fig. 26-1. El i'lngulo 1gual al i'lngulo de reflex16n 26-2 de incidencia es RetlcxiOn y refracciOn era: cs relaciOn entrc los !aciim muy simple, descubicrta viaja de ta] manera que los dos alguna raz(m se acostumbra pejo. De mancra que la !lamada 0, = 0,. (26.1) Esta es una proposiciOn bastante simple, pero sc cncuentra un problema m.its dificil cuando !a lu7 va desde un medio a otro, por ejemplo desde cl aire al aqui lamb1Cn vemos que nu va en linca En el ci6n con respccto a su trayectoria en el que se acerque a la vertical, entonccs el de. Pero si indinamos cl rayo de luz en un ci6n es muy grandc. I.a pregunta cs: cs la rclacil'ln entrc uno y utro 3.ngulo'! biCn a los antiguus rnucho tiernpo ;y aqui nunca Es, sin embargo, uno los pocos lugares de toda la puede encontrar algunos resultados experimcntales hizo una !ista dcl .imgulo en el agua para ferentes en el aire. La tabla 26 I muestra 3.ngulo correspondiente medido en el agua. gricgos fl(' haci<in nunca expcrimcntos. Pero Tabla 26·2 Tabla 26-1 Angulo en el aire 10° 20· 30° 4-0• 50° 60" 70° so• Angulo en el agua s• 15-1/2° 22-1/2° 28" 35' 40-1/2" . 45° 50° Angulo enel aire Angulo en el agua 10· 20° 30° 40" 50° 7-1/2° 15' 22· 29• 60' 40° 48° 70° so• ,,. 49-1/2° esta tabla de valores sin conocer la ley duradera, excepto mediante el experimento. Debe anotarse, sin embargo, que estos no representan medidas cuidadosas indeptndientes para cada ingulo, sino s6lo algunos nU:meros interpolados de unas pocas medidas, porque todos ellos se ajustan perfectamentc a una parabola.) Este es entonces uno de los pasos m.is importantes en el desarrollo de una ley fisica: primero observamos un efecto, luego lo medimos y Jo registramos en una tabla; luego tratamos de cncontrar la reg/a mediante la cual una cosa est.i conectada con la otra. La tabla numfrica anterior fue hecha en el ai'lo 140 D.C., jpero no fuc sino en 1621 cuando alguien encontr6 finalmente la regla que conecta a los dos ingulos! La regla, encontrada por Willebrord Snell, un rnatemittico ho!andes, es como sigue: si 0, es el 8.ngulo en el aire y (},el itngulo en el agua, entonces resulta que el seno de 8 1 es igual a un cierto mU!tiplo constante del seno de 8,: sin 8; = n sen 8,. (26.2) Para el agua el nUmero n es aproximadamente 1.33. La ecuaci6n (26-2) se llama fey de Snell; nos permlte predecir cOmo se va a inclinar cuando va desde el aire al agua. La tabla 26-2 muestra los ilngulos en el aire y en el agua de acuerdo con la !ey de Snell. N6tesc el notable acuerdo con la lista de Tolomeo. 26-3 El principio de Fennat del tiempo minimo Ahora bicn, en un mayor desarrollo de la ciencia queremos mils que una formula. Primera tenemos una observaci6n, luego nllmeros que medimos, luego tenemos una ley que resume todos los nUmeros. Pero la verdadera gloria de la ciencia es que podemos encontrar una manera de pensar ta] que la ley sea eridente. La primera manera de pensar que hizo evideme la ley del comportamiento de la luz fue descubierto por Fermat cerca de 1650. y se llama el principio def tiempo minima o principio de Fermat. Su idea es t':sta: que de todos los posibles Caminos que puede tomar para ir de un punto a otro, la luz toma el camino que requiere el tiempo mds corto. Mostremos primero que esto es cierto para el caso de! espejo, que este principio sencillo contiene tanto la ley de la propagaci6n rectilinea como la Jey del espejo. ;De manera que nuestra comprensiOn est3. aumentando! Tratemos d~ encontrar la soluciOn 26-4 FiQ. 26-3. llustraci6n del pnncipio de! tiempo mfnimo. para el siguiente problema. En la figura 26-3 se muestran dos puntos A y B y un espejo plano MM'. icual es la manera de ir de A a Ben el tiempo mas corto? jLa respuesta es ir directamente de A a B! Pero si agregamos una regla extra que la luz tiene que chocar con el espejo y volver en el tiempo mas corto, la respuesta no es tan senci\la. Una manera podria ser ir lo mas rapidamente posible al espejo y despues ir a B por el camino A D B. Por supuesto obtenemos entonces un camino largo D B. Si nos movemos un poco hacia !a derecha, a E, aumentamos ligeramente la primera distancia, pero disminuimos mucho la segunda y asi el largo del camino total, y por !o tanto el tiempo de viaje es men or. l COmo se puede encontrar el punto C para el cual el tiempo es el mils corto? Lo podemos encontrar de una manera muy bonita mediante un truco geometrico. Construimos al otro lado de MM' un punto artificial B' que esta a la misma distancia debajo del piano MM' que el punto B estit sobre el piano. Entonces dibujamos la linea EB'. Ahora bien, como BFM es un angulo recto y BF = FB'. EB es igual a EB'. Luego la suma de las dos distancias AE + EB, que es propor· cional al tiempo que se va a demorar si la luz viaja con velocidad constante, tambien es la suma de las dos longitudes AE + EB'. Por lo tanto el problema se convierte en: (,cuitndo es minima !a suma de estas dos longitudes? La respuesta es facil: jcuando la linea pasa por el punto C como una linea recta de A a B'! En otras palabras tenemos que encontrar el punto a partir del cual vamos hacia el punto artificial y ese serit e! correcto. Ahora, si ACB' es una llnea recta, entonces el <ingulo BCF es igual al itngulo B'CF y por lo tanto al itngulo ACM. Por Jo tanto, la afirmaciOn de que el <lngulo de incidencia es igual al itngulo de reflexiOn es equivalente a la afirmaci6n de que !a luz va al espejo de manera ta! que vuelve al punto B' en el menor tiempo posible. Originalmente HerOn de Alejandria afirmO que la luz viaja de tal manera que va al espejo y al otro punto en la menor distancia posible; asi que no es una teoria modema. Fue esto lo que inspirO a Fermat a sugerir que tal vez la refracciOn funcionaba con bases similares. Pero para la refracci6n la luz evidentemente no usa el camino de menor distancia, asi Fermat ensay6 la idea de que toma el tiempo mils corto. Antes que prosigamos analizando la refracci6n, debieramos hacer una observaciOn mils acerca del cspejo. Si tenemos una fuente de luz en el punto B y envia luz hacia el espejo, vemos que la luz que va a A desde el punto B llega a A exactamente de la misma manera como habrla \Jegado a A si hubiera habido un objeto en B' y ningUn espejo. Por supuesto, que el ojo detecta sOlo la luz que entra fisicamente; asi que si tenemos un objeto en B y un espejo que hace que la !uz llegue 26-5 Fig. 26-4. llustrac1on del pnncip10 de Fermat para la refracc16n al ojo exactamente de la misma mancra como habria llegado al ojo si el objeto hubiera estado en B', entonces cl sistema ojo-cerebro interpreta eso, suponiendo que no sabe mucho, como si hubicra un objeto en B'. De manera que la ilusiOn que hay un objeto detrits del espejo se debe simplemente a que la luz quc estit entrando al ojo estit entrando de la misma manera, fisicamente, como habria entrado si hubiera habido un objeto detrits (con excepci6n de la suciedad en el cspcjo y de nuestro conocimiento de la existencia det espejo, etc., lo que se corrige en el cerebra). Demostremos ahora que el primcipio del tiempo minima va a dar la ley de Snell de la refracciOn. Debemos, sin embargo, hacer una suposici6n acerca de la velocidad de la luz en el agua. Vamos a suponer que la velocidad de !a luz en cl agua es mcnor que la velocidad de la luz en el aire en un cierto factor n. En la figura 26-4 nuestro problema es de nuevo ir de A a B en el tiempo mils corto. Para demostrar que lo mejor no es ir simplemente en linea recta, supongamos que una hermosa jovencita se ha caido de un botc y est.it gritando pidiendo ayuda en el agua en el punto B. La linea marcada X es la ori!la. Nosotros estamos en un punto A en tierra y vcmos cl accidcntc y podcmos corrcr y tambien nadar. Pero podemos correr mils r:i.pido de lo que podemo~ nadar. (.Que hacemos? i.Vamos en lmea recta'! (;Si, sin duda!) Sin embargo, si usitramos un poco m.its de inteligencia nos dariamos cuenta que es ventajoso seguir una distancia un poco mayor por tierra para disminuir la distancia en el agua, porque nos movemos m:is lentamente en el agua. (;Siguiendo esta linea de razonamiento, diriamos que lo correcto seria calcular muy cuidadosamente lo que debe hacerse!) En fin, tratcmos de dcmostrar que la soluciOn final del prob!cma es el camino ACB, y que este camino toma el menor de los tiempos posibles. Si cs el camino mils corto, eso significa que si tomamos cualquier otro, va a ser mils largo. De mancra que si grafidtramos el ticmpo que demora en funciOn de la posiciOn dcl punto X, obtendriamos una curva algo parecida a la quc sc muestra en la figura 26-5 donde et punto C correspondc al Fig. 26-5. El tiempo mimmo correspon de al punto C, pero puntos cereanos correspomien a casi el mismo tiempo 26-6 menor de las tiempos posibles. Esto significa que si movemos el punto X hasta puntos cercanos a C, en primera aprox.imaciOn no hay esencialmente ningUn cambio en el tiempo, porque la inclinaCiOn es cero en el fondo de la curva. Asi, pues, nuestra manera de encontrar la \ey va a ser considerar que movemos el lugar en una pequeii.a cantidad y ex.igir que no haya .esencialmente ningUn cambio en el tiempo. (Por supuesto, que hay un cambio infinitesimal de segundo orden; deberiamos tener un aumento positivo para desplazamientos en cualquiera direcci6n desde C.) De manera que consideramos un punto vecino X y calculamos cuitnto tomaria en ir de A a B por los dos caminos y comparamos el nuevo camino con el antiguo. Esto es muy f3.cil de hacer. Queremos que la diferencia sea, por supuesto, casi cero si la distancia XC es pequeiia. Primera, (tjense en el camino en tierra. Si dibujamos una perpendicular XE vemos que este camino estil. acortado en una cantidad EC. Digamos que ganamos por no tener que ir esa distancia adicional. Por otro !ado, en el agua, dibujando una perpendicular correspondiente CF, encontramos que tenemos que avanzar la distancia adicional XF, y eso es Jo que perdemos. 0 sea que en tiempo, ganamos el tiempo quc habria tornado avanzar la distancia EC, pero perdemos el tiempo que habria tornado avanzar la distancia XF. Estos tiempos deben ser iguales, ya que en primera aproximaci6n no debe haber cambio en el tiempo. Pero suponiendo queen el agua la ve!ocidad es l/n veces la de! aire, debemos tener EC=n·XF. (26.3) Por lo tanto, vemos que cuando tenemos el punto preciso, XC sen EXC = nXC sen XCF o, simplificando el largo de la hipotenusa comim XC y notando que EXC = ECN = 8; XCF = BCN' = Or. tenemos sin 8; = n sen 8,. (26.4) De manera que para ir de un punto a otro en el tiempo minima cuando el cociente entre las velocidades es n, la luz debe entrar en un itngulo ta! que el cociente entrc los senos de los itngulos 0, y 0, sea el cociente entre las velocidades en los dos medias. 26-4 Aplicaciones del principio de Fermat Consideremos ahora alguna de las consecuencias interesantes del principio de\ tiempo minimo. Primera estil el principio de reciprocidad. Si al ir de A a B hemos encontrado el camino de tiempo minima, al ir en la direcci6n opuesta (suponiendo que !a luz va con la misma velocidad en cualquier direcci6n) el tiempo mas corto correspondera al mismo camino y, por lo tan to, si la luz puede ser enviada en un sentido, puede ser enviada en el otro. Un ejemplo interesante es un bloque de vidrio con earns paralelas planas formando un 3.ngulo con el haz de \uz. La luz al ir a traves del bloque desde el punto A al punto B (Fig. 26-6), no va en linea recta, sino que disminuye el tiempo en el b!o· Fig. 26-6. Un rayo de luz se desvia cuando pasa por un bloque transparente. Fig. 26-7 Cerca de\ horizonte el sol aparente est<i mas alto que el sol verdadero en cerca de 1/2 grado que haciendo el 3:ngulo en el mismo menos inc!inado, aunque pierde un poco en el aire. El rayo se desplaza senci!lamente paralelo a si mismo porque los 3.ngu!os de entrada y de salida son los mismos. Un tercer fenOmeno interesanle es que cuando vemos ponerse el sol, iYa estit bajo el horizonte! No parece coma si estuviera debajo de\ horizonte, pero estit (Fig. 26-7). La atm6sfera de la tierra es enrarecida arriba y densa abajo. La luz viaja mas lentamente en el aire que en el vado, y asl la luz de! so! puede llegar al punto S mas all3. del horizonte mils ril.pidamente sl en vez de ir simplemente en linea recta, evita las regiones densas donde va mas lentamente, atraves3:ndolas con una mayor inc!inacilm. Cuando parece ponerse tras el horizonte, rea!mente estil. hace rato bajo cl horizonte. Otro ejemplo de este fcnOmeno es cl cspejismo que uno ve a menudo cuando mancja en caminos calurosos. Uno ve "agua" en el camino, pero cuando llega ahi jestii. tan seco como el desierto! Lo que estamos viendo realmente es la luz de! cielo "reflejada'" en el camino: !a luz de! cielo, con rumbo al camino, pliede terminar en el ojo como se muestra en la figura 26-8. lPor que? El aire esta muy caliente justo sobre el camino, pcro esta mas frio mas arriba. El aire caliente esta m.is expandido que el aire frio y cs mils enrarecido y cs menor !a disminuciOn de va mils ritpido en la regiOn caliente queen la regi6n la velocidad de la luz. 0 dt>cidir irsc de una manera directa. tiene tambii§n fria. Por lo tamo. la luz en vcz un camino de tiempo minima, por el cual entra por un rato en la rcgi6n donde se mueve ma~ rapido a fin de ahorrar ticmpo. Asi, pues, puede seguir una curva. t Camino o arena caliente Fig 26-8. Un espej1smo Como otro cjemplo importante de! principio de tiempo minima, supongan que quisieramos disponer una situaciOn en la cual tenemos que toda la !uz que sale de un punto P se reco!ecta en otro punto P' (Fig. 26-9). Eso significa. por supuesto, que la luz puede ir en una linea recta de P a P'. Eso esta bien: pero, lCOmo podemos arreglarnos para que no solamente vaya derecho, sino que la luz que parte de P a Q tambli§n terminc en P'? Queremos juntar toda la luz en lo que llamamosfoco. lCOmo'.' Si la luz toma siempre el camino de tiempo minima. 26-8 ~:;:::::;_:;_::~ ·~·· I P I Sistema Optico I "p' fl' R i_ _ _ _ _ _ _ _J Fig. 26-10. Fig. 26-9. Una "caja negra" 6pt1ca Un sistema 6pt1co de en- t'oque entonces ciertamente no dcberia querer seguir todos esos caminos. jLa imica mancra para que la lu7 pueda esrar perfectamente satisfecha de tomar varios caminos adyacentes es hacer aquellos tiernpos C'Xilctwnente iguales! De otra mancra, selet:cionaria el de tiernpo minimo. Por lo tanto. el problema de hacer un sistema de enfoque e~ sencillamente arreglar un di~positivo tal jque le toma a la luz cl mismo tiempo para ir por todos los Caminos diferentes! Esto es fitcil de hacer. Supongan que tuviframos un pedazo de vidrio en cl cuat la luz va mils despacio queen el aire (Fig. 26-IO). Ahora consideren un rayo que va por el aire por el camino PQP'. Ese es un paso mds largo quc desde P dircctamente <l P' y sin duda demora un tiempo mayor. Pero si introdujeramos un pedazo de vidrio del grosor justo (despues averiguaremos quC grosor) jpodria compensar exactamentc el cxceso de tiempo quc dcmoraria la luz ycndo oblicua! En estc caso podcmos haccr quc el ticmpo que la luz demora en atravesar dcrecho sea el mismo que el tiempo que demora en ir por cl camino PQP'. lgualmcnte, si tomamos un rayo PRR'P' quc cslit alga inclinado, no cs tan largo como PQP' y no tenemos que compcnsar tanto coma para el recto, pero tenemos que compensar algo. Terminamos con un pedazo de vidrio como el de la figura 26-10. Con esta forma toda !a luz que virne de P va a P'. Esto, por supuesto. c~ bicn conocido por nosotros y llamamos a ta] dtsposnivo !ente convcrgente. En el capitulo siguicnte vamos a calcu!ar rcalmente qui: forma debe tener la )ente para hacer un enfoque perfecta. Fig 26-11. Un espe10 elipsoidal. otro eJemplo: que deseamos disponer algunos cspejos de manera que luz de P vaya P' (Fig. 26 l I). Por cualquier camino clla va a algUn espejo y vuelve y dchen ser iguales. Aqui siempre la luz viaja en cl airc de mancra que proporcionales. Por lo tanwn iguales es 1gual a la afirmaci(m que la disto, la afirmaciOn que todos los suma de las dos distancias r 1 y r 1 debc ser tancia total cs la misma. Por lo Una efipse es la curva que tiene la propiedad de que la suma de las dos puntos cs constante para todo punto sobrc la elipsc; a~i po demos estar scguros quc la luz de un foco va air al otro. El mismo principio funciona Jescopio de Palomar de cinco Imaginen un estrella alejada miles El gran teprincipio. 26-9 Fig. 26-12. Un espejo paraboloidal. kil6mctros; dcseariamos !ograr que toda la luz que entra !legue a un foco. Por cierto que no podemos dibujar los rayo~ que llegan hasta la estrel!a, pero de todos modos dcseamos verificar si los tiempos son iguales. Por supuesto, sabemos que cuando los divcrsos rayos han llegado a un piano KK', perpendicular a los rayos, todos !o~ tiempos en este piano son iguales (Fig. 26-12). Los rayos deben entonces bajar hasta el espcjo y proseguir a P' en tiempos iguales. Esto es, debemos encontrar una curva que tenga !a propiedad de que la suma de las distancias XX' ~- X'P' sea una constante, cualquicra sea la c!ecci6n X. Una manera facil de encontrarla cs prolongar !a !inea XX' hasta un piano LL'. Ahora bien, si disponemos nuestra curva de manera que A 'A" = A 'P', B'JJ" = B'P', C'C" -o- C'P', etc., tendrcmos nuestra curva, porque entonces. por supuesto, AA'-! A' P' -- AA'+ A 'A" va a ser constante. Asi, pues, nuestra curva es el !ugar geometrico de todos !os puntos equidistantcs de una linea y un punto. Esa curva ~e llama parabola; el espejo se hace en forma de pa rabola. Los ejemplos anteriorcs ilustran el principio con el cual pueden ser disefiados esos dispositivos Opticos. Las curvas exactas pueden ser calculadas usando el principio scgim el cual, para cnfocar perfectamente, los tiempos de viaje deben ser exactamente iguales para todos los rayos de luz, al mismo tiempo que son menorcs quc para cua!quier otro camino vecino. Vamos a discutir mas estos dispositivos 6pticos de enfoque en el capitulo siguiente; discutamos ahora el desarrollo subsiguiente de la teor!a. Cuando se desarrolla un nuevo principio te6rico, coma el principio del tiempo minima, nuestra primera inclinaciOn seria querer decir: "Bueno, cso es muy bonito; es delicioso, pero la pregunta es l,ayuda en algo a comprender !a fisica?'" Alguien podria decir: "Si, jvean cuantas cosas podcmos comprcnder ahora!" Otro dice: "Muy bien, pero yo puedo comprender los espcjos tambiCn. Necesito una curva ta! que todo piano tangente forme angulos iguales con los dos rayos. Puedo idcar una lente tambifo, porque cada rayo que llega a C! se dobla en Ungulo por !a ley de Snell." Evidentemente la afirmaciOn de que el tiempo es minima y la afirmaciOn de que los angulos son iguales en la reflexi6n y que los senos de los iingulos son proporcionales en la refracci6n son lo mismo. De manera que, [,es s6lo una prcgunta filosOfica o estCtica? Puede haber argumentos para ambos bandos. Sin embargo, la importancia de un principio poderoso es que predice nuevas cosas. Es facil demostrar que hay una cantidad de cosas nuevas predichas por el prin" cipio de Fermat. Primera, supongamos que hay tres medias, vidrio, agua y aire; 26-10 realizamos un experimento de refracci6n y medimos el indice n de un media respecto al otro. Llamemos nii el indice de! aire (l) respecto al agua (2), n 13 el indice de! aire (1) respecto al vidrio (3). Si midiframos agua respecto a vidrio, deberiamos encontrar otro indice que llamaremos n 21 • Pero no hay ninguna raz6n a priori por que habria de haber alguna conexi6n entre nw n 13 y n23 • Por otro !ado, de acuerdo con la idea de! tiempo minima, existe una relaci6n bien definida. El indice n 12 es el cociente entre dos cosas, la velocidad en el aire y la velocidad en el agua; n13 es el cociente entre la velocidad en el aire y la velocidad en el vidrio; n 13 es el cociente entre la velocidad en el agua y la velocidad en el vidrio. Luego simplificamos el aire y obtenemos (26.5) En otras palabras, predecimos que el indice para un nuevo par de materiales se puede obtener de los indices de los materiales individuales, ambos respecto al aire o respecto al vacio. Asi si medimos la rapidez de la luz en todos los materiales y de ahi obtenemos un solo nllmero para cada material, a saber su indice relativo al vacio, llamado n 1 (n 1 es la velocidad en el aire relativa a la velocidad en el vacio, etci:tera), entonces nuestra f6rmula es facil. El indice para dos materiales cualesquiera i y j es (26.6) Usando s6lo la !ey de Snell, no hay base para una predicci6n de este tipo.* Pero, por supuesto, esta predicci6n funciona. La realci6n (26.5) se conoci6 desde muy temprano y fue un poderoso argumento a favor del principio de! tiempo minima. Otro argumento para el principio del tiempo minima, otra predicci6n, es que si medimos la velocidad de la Juz en el agua, va a ser menor que en el aire. Esta es una predicci6n de un tipo totalmentc diferente. Es una predicci6n brillante, porque todo lo que hemos medido hasta ahora son 6.ngulos; aqui tenemos una predicci6n te6rica, que es bastante diferente de las observaciones de las cuales Fermat dedujo la idea de! tiempo minimo. jResulta, de hecho, que la velocidad en el agua es menor que la velocidad en el aire en la proporci6n justa que se necesita para tener el indice correcto! 26-5 Un enunciado mils preciso de! principio de Fermat Realmente dcbemos hacer el enunciado de! principio del tiempo minimo un poco mas preciso. No fue expuesto correctamente mis arriba. Se le llama incorrectamente principio del tiempo minimo y hcmos seguido con la dcscripci6n incorrecta por conveniencia. pero ahora debemos ver cua! es el cnunciado correcto. Supongan quc tuvii:ramos un espejo como en la figura 26-3. 1,Qui: le hace pensar a la luz quc tiene que ir al espejo? El camino dcl tiempo minima es claramente AB. Asi. algunas personas podrian decir: "A veces es un tiempo 26-11 mitxima··. j1\io es un t1empo mhimo, porque ciertamente un camino curvado tomaria un t1empo aUn m35 largo! El enunciado correcto es el siguiente: un rayo que va en cierw cammo particular uene la propiedad de que si hacemos un pequeii.o cambio (digamos un cornmiento de! l por 100) en el rayo de cualquier manera que sea, digamos en el lugar en cl cual llega al espejo o en la forma de la curva o cualqu1er cosa, 110 va a haber camb1os de primer orden en el tiempo; va a haber s61o un cambio de seg1111do orden en el tiempo. En otras palabras, el principio es que la luz toma un camino tat que hay muchos otros caminos vecinos que demoran casi exactamente el mismo 1iempo. La siguiente es otra dificulta<l con el principio del las personas que de este tipo de teorias nunca teoria de Snell '"cntender'" la !uz. La luz va en la supcrficie. La idea de es facil de entender. Pero el 26-12 Uno puede hacer lo mismo con la luz, pero es dificil demostrarlo a una escala grande. El efecto se puede ver en las siguientes condiciones simples. Encuentren una luz pequeiia y brillante, digamos una 13.mpara no esmerilada en un faro\ callejero lejano, o la reflexi6n de! sol en el parachoques curvado de un autom6vil. Entonces pongan dos dedos frente a un ojo de manera de mirar por la hendidura y estrujen la luz hasta cero muy suavemente. Van a ver que la imagen de la luz, que era un pequeiio punto antes, se hace bastante alargada y aun se estira en una larga linea. La raz6n es que los dedos estim muy juntas, y la luz que se supone que viene en linea recta se abre en un 3.ngulo de manera q1::1e cuando llega al ojo entra desde varias direcciones. Ademlis notarian, si son muy cuidadosos, m<iximos laterales, muchas franjas a lo largo de los hordes tambii:n. Mis aim, todo estil coloreado. Todo esto va a ser explicado a su debido tiempo, pero por el momenta es una demostraci6n de que la luz no siempre va en lineas rectas, y es una que se rea!iza muy filcilmente. 26-6 COmo funciona Finalmente, damos una visi6n muy somera de lo que verdaderamente sucede, de c6mo el todo funciona realmente a partir de lo que ahora creemos correcto, el punto de vista preciso de la diniunica cuimtica, pero por cierto descrito s6lo cualitativamente. Al seguir la luz de A a B en la figura 26"3, encontramos que la luz no parece estar en forma de ondas. Por el contrario, los rayos parecen estar hechos de fotones y realmente producirian dies en un contador de fotones, si es que estuvii:ramos usando uno. El brillo de la luz es proporcional al nllmero promedio de fotones que llega por segundo, y lo que calculamos es la probabilidad de que un fot6n llegue de A a B, digamos, al golpear el espejo. La ley de esa probabilidad es muy extrafla. Tomen cualquier camino y encuentren el tiempo para ese camino, luego formen un nllmero complejo o dibujen un pequefio vector complejo peifJ cuyo cingulo (} sea proporcional al tiempo. El nUmero de vueltas por segundo es la frecuencia de la luz. Ahora tomen otro camino; tiene, por ejemplo, un tiempo diferente. de manera que su vector estil. girado en un 3.ngulo diferente -siendo el 3.ngulo siempre proporcional al tiempo-. Tomen todos los caminos disponibles y agreguen un pequeiio vector por cada uno; jentonces la respuesta es que la probabilidad de llegada de! fot6n es proporcional al cuadrado de! largo del vector final, desde el principio hasta el final! Mostremos ahora c6mo esto implica el principio de! tiempo minima para un espejo. Consideramos todos los rayos, ~odos los caminos posibles ADB, AEB, ACB. etcetera, en la figura 26-3. El camino ADB hace una cierta contribuci6n pequeiia, pero el camino siguiente AEB demora un tiempo bastante diferente, de manera que su imgulo (} es bastante diferente. Digamos que el punto C corresponde al tiempo minima, donde si cambiamos los caminos los tiempos no cambian. Asi que por un rato los tiempos cambian y entonces empiezan a variar cada vez menos a medida que nos acercamos al punto C (Fig. 26.14.) De manera que las flechas que tenemos que sumar vienen con casi exactamente fig. 26-14. La suma de amplitudes de probabilidad para muchos cammos vecinos. 26-13 el mismo ingulo por un rato cerca de C y entonces gradua!mente el tiempo empieza a aumentar de nuevo y las fases giran hacia el otro \ado, etc. A la larga, tenemos un nudo bastante apretado. La probabilidad total es la distancia de un extrema al otro al cuadrado. Casi toda aquella probabilidad acumulada se presenta en la regi6n donde todas las jlechas estdn en la mismn direcci6n (o en la misma fase). Todas las contribuciones de los caminos que tienen tiempos muy diferentes cuando cambiamos de camino, se anulan al apuntar en direcciones opuestas. Esto es porque, si escondemos las partes externas del espejo, todavia refleja casi exactamente !o mismo, porque todo lo que hicimos fue sacar un pedazo del diagrama dentro de los extremos de la espiral, y esto s6io produce un cambio muy pequeilo en la luz. De manera que i:sta es la relaci6n entre la imagen Ultima de los fotones con una probabilidad de llegada que depende de una acumulaci6n de flechas y el principio de! tiempo minimo. 26-14 27 Optica geometrica 27-1 lntroducclOn 27-4 Aumento 27-2 La distancia focal de una su- 27-5 Lentes compuestas perficle esrenca 27-3 La distancia focal de una lente 27-1 27-6 Aberraciones 27-7 Poder de resoluciOn lntroducciOn En este capitulo vamos a discutir algunas aplicaciones elementales de las ideas de! capitulo anterior a algunos dispositivos prilcticos, usando la aproximaci6n llamada Optica geometrica. Es una aproximaci6n muy Util en el diseiio priictico de muchos sistemas e instrumentos 6pticos. La Optica geomCtrica es o bien muy simple o bien muy complicada Esto significa que o la podemos estudiar s6Jo superficialmente de manera que podamos disellar instrumentos burdamente usando reglas que son tan simples que es escasamente necesario tratarlas aqui, ya que son pr<icticamente de nivel de enserianza secundaria; o bien, si queremos saber de los pequefios errores en las lentes y detalles similares, el tema se hace tan complicado jque es muy avanzado para discutirlo aqui! Si uno tiene un problema real y detallado en el diseiio de lentes, incluyendo el analisis de aberraciones, entonces se le aconseja leer sobre el tema, o bien simplemente trazar rayos a traves de las diversas superficies (que es lo que el libro ensefia c6mo hacer), usando la ley de refracci6n de un !ado a otro, y encontrar c6mo salen y ver si forman una imagen satisfactoria. La gente ha dicho que esto es demasiado tedioso, pero hoy dia la manera correcta de hacerlo es con computadores. Uno puede plantear el problema y hacer e! calculo para un rayo despues otro muy racilmente. De manera que el tema es, en Ultimo termino, realmente muy simple y no encierra nuevos principios. Ademas, resulta que las reglas, ya sea de la 6ptica elemental o de la avanzada, son rara vez caracteristicas de otros campos, de manera que no hay ninguna raz6n especial para seguir mas con el tema, con una excepci6n importante. La teoria mas avanzada y abstracta de la 6ptica geometrica fue desarrollada por Hamilton y resulta que esta tiene aplicaciones muy importantes en mecti.nica. Es realmente aim mas importante en mecinica que en 6ptica; as[ que dejamos la teoria de Hamilton para el tema de mecinica analitica avanzada que se estudia en cuarto afio o en la escuela de graduados. Asi, estimando que la 6ptica geometrica contribuye muy poco, excepto por sl misma, vamos ahora 27-1 a seguir discutiendo las propiedades elementales de sistemas 6pticos simples sabre la base de los principios delineados en el capitulo anterior. Para seguir, debemos tener una f6rmula geometrica que es la siguiente: si tenemos un trifuigulo con una pequefia altura h y una base grande d, la diagonal s (la vamos a necesitar para encontrar la diferencia de tiempo entre dos caminos diferentes) es mils larga que la base (Fig. 27-1). lCuii.nto mils larga? La diferencia .d = = s - d se puede encontrar de varias maneras. Una manera es i:sta. Vemos que s2 - cP = h 1 , 6 (s - d) (s + d) = h 2 • Peros - d = .d y s + d....., 2s. Asi (27.1) jEsta es toda la geometria que necesitamos para discutir la formaci6n de imfigenes por superficies curvas ! Fig. 27- 1 27-2 Fig. 27-2. Enfoque mediante una superficie refractante Unicau La distancia focal de una superficie esfi:rica La primera situaci6n y la mas simple a discutir es una superlicie refractante Uni.ca, que separa dos medias con diferentes indices de refracci6n (Fig. 27-2). Dejamos el caso de indices de refracci6n arbitrarios al estudiante, porque los conceptos son siempre lo mils importante, no la situaci6n especifica, y el problema es suficientemente filcil de resolver en cualquier caso. Asl que vamos a suponer que a la izquierda la velocidad es I y a la derecha es l/n, donde n es el indice de refracci6n. La luz viaja mils lentamente en el vidrio en un factor n. Ahora supongan que tenemos un punto 0, a una distancia s de la superficie frontal de! vidrio, y otro punto O' a una distancia s' dentro de! vidrio, y deseamos arreglar la superficie curva de ta! manera que todo rayo desde 0 que toque la superficie en cualquier punto P se doble de ta! manera que siga hacia el punto a. Para que eso sea cierto, tenemos que darle forma a la superficie de ta1 manera que el tiempo que demora la luz en ir de 0 a P, o sea la distancia OP dividida por la velocidad de la luz (la velocidad aqui es uno) mii.s n · O'P, que es el tiempo que demora en ir de P a O', sea igual a una constante independiente de! pun to P. Esta condici6n nos propon:iona una ecuaci6n para determinar la superficie. La respuesta es que la superficie es una curva de cuarto grado muy complicada, y el estudiante se pue<le entretener tratando de calcularla mediante la geometria analitica. Es mils fitcil tratar un caso especial que corresponde a s ~ oo, porque entonces la curva es de segundo grado y mas reconocible. Es interesante comparar esta curva con la curva parab6lica que encontramos para un espejo de enfoque cuando la luz viene del infinito. 27-2 Asi que la superficie apropiada no se puede hacer facilmente; para enfocar la luz desde un punto a otro se necesita una superficie bastante complicada. Resulta en la pni.ctica que no tratamos de hacer superficies tan complicadas ordinariamente, sino que en su lugar hacemos un compromiso. En vez de tratar que todos los rayos lleguen al foco, nos arreglamos de manera que s6lo los rayos bastante cerca del eje O<Y vayan al foco. Los mas lejanos se pueden desviar si quieren, desgraciadamente, porque la superficie ideal es complicada, y usamos en su lugar una superficie esfCrica con la curvatura correcta en el eje. Es tanto mils filcil fabricar una esfera que otras superficies, que es Util para nosotros averiguar que sucede a los rayos que chocan con una superficie esfCrica, suponiendo que s61o los rayos que pasan cerca del eje van a ser enfocados perfectamente. Estos rayos cerca del eje se llaman a veces rayos paraxiales, y lo que estamos analizando son las condiciones para el enfoque de los rayos paraxiales. Vamos a discutir despuCs los errores que se introducen por el hecho de que no todos los rayos estiln siempre cerca de! eje. Asl, suponiendo que P esta cerca de\ eje, bajamos una perpendicular PQ ta! que la altura PQ sea h. Por un momento imaginamos que la superficie es un piano que pasa por P. En ese caso el tiempo necesario para ir de 0 a P va a exceder el tiempo de 0 a Q y tambifo el ti em po 9e P a fY va a exceder el tiempo de Q a fY. Pero esa es la raz6n de por que el vidrio debe ser curvo, iporque el exceso de tiempo total debe ser compensado por el atraso al pasar de Va Q! Ahora bien, e! exceso de tiempo a lo largo del camino OP es h 2 /2s y el exceso de tiempo en el otro camino es nh 2 /2s'. Este tiempo de exceso, que debe ser igualado por el retraso al ir a lo largo de VQ, es diferente de lo que hubiera sido en el vacio, porque hay un medio presente. En otras palabras, el tiempo para ir de V a Q no es como si se fuera derecho en el aire, sino que es mas lento en un factor n, de manera que el exceso de atraso en esta distancia es entonces (n - l)VQ. Y ahora, (,Que largo tiene VQ? Si el punto C es el centro de la esfera y si su radio es R, vemos por la mis ma f6rmula que la distancia VQ es igual a h 1(2R. Por lo tanto, descubrimos que la ley que conecta las distancias s y s' y que nos da el radio de curvatura R de la superficie que necesitamos, es (h 2/2s) + (nh 2 /2s') = (n - l)h 2/2R (27.2) (27.3) Si tenemos una posici6n 0 y otra posici6n fY y queremos enfocar la luz de O en fY, podemos calcular el radio de curvatura R necesario mediante est a formula. Ahore. bien, resulta interesante que la misma lente, con la misma curvatura R, va a enfocar para otras distancias, a saber, para cualquier par de distancias tales que la suma de las dos inversas, una multiplicada por n, sea una constante. Asl, una lente dada va (mientras nos limitemos a rayos paraxiales) a enfocar no s61o de 0 a 0'. sino que entre un nUmero infinito de otros pares de puntos, siempre que estos pares de puntos cum plan la reJaciOn que I/ s + n! s' sea una constante caracteristica de In lente. En particular, un caso interesante es cuando s ..... oo. Podemos ver en la formula que a medida que una s aumenta, la otra disminuye. En otras pafabras, si el punto 0 27·3 se aleja, el punto O' se acerca y viceversa. A medida que el punto 0 va al infinito, el punto O' se sigue acercando hasta que alcanza una cierta distancia, llamada la distanda focal f', dentro de! material. Si Jlegan rayos paralelos, cortan el eje a una distancia f'. lgualmente podriamos imaginarlo al reves. (Recuerden la regla de la reciprocidad: si la luz va de O a 0' tambi6n irit por supuesto de CY a OJ Por lo tanto, si tuvi6ramos una fuente de \uz dentro de\· vidrio, nos gustaria saber d6nde estit el foco. Particularmente, si la luz en el vidrio estuviera en el inftnito (el mismo problema) l,d6nde se enfocaria afuera? Esta distancia se llama/ Por supuesto que lo podemos plantear al reves. Si tuvii:ramos una fuente de luz en J y la luz pasara a traves de la superficie., entonces seguiria como un rayo paralelo. Podemos encontrar filcilmente que son/y f' n/f' ~ (n - 1)/R f' ~ Rn/(n - 1), (27.4) 1/f ~ (n - 1)/R J ~ R/(n - 1). (27.5) Vemos alga interesante: iSi dividimos cada distancia focal por el indice de refracci6n correspondiente, obtenemos el mismo resultado! Este teorema, en efecto, es general. Es vitlido para cualquier sistema de lentes, por complicado que sea, de manera que es interesante reCordarlo. Aqui no demostramos que fuera general --sencillamente lo hicimos ver para una superficie {inica, pero resulta ser v3.lido en general que las dos distancias focales de un sistema est3.n relacionadas de esta manera-. A veces la ecuaciOn (27.3) se escribe de la siguiente manera lls + n/s' = l/f (27.6) Esta es mas Util que (27.3), porque podemos medir fmucho m3.s f3.cilmente que la curvatura y el ind.ice de refracci6n de la Jente: si no estamos interesados en diseiiar una Jente o en saber c6mo se hizo, sino simplemente en sacarla de! estante, la cantidad interesante es/ino la n, ni el 1 ni la R! Fig. 27-3. Una imagen virtual. Ahora se presenta una situaci6n interesante cuando s se hace menor quef l,Que sucede entonces? Si s < J, entonces (l/s) > (l/j) y, por lo tanto, s' es negativa; jnuestra ecuaci6n dice que la luz se va a enfocar s6lo para un valor negativo de s', no importa Jo que eso significa! Significa algo muy interesante y bien definido. Todavia es una fOrmula Util, en otras palabras, aun cuando los nllmeros sean negativos. Lo que significa se muestra en la figura 27-3. Si dibujamos los rayos que divergen de 0, es cierto que se van a inclinar. en la superficie, y no llegar3.n a un foco porque 0 estil. tan cerca que est3.n "mcls all3. de lo paralelo". Sin embargo, divergen, como si hubieran venido de un punto <Y fuera de! ·victrio. Esta es una imagen aparente, a veces llamada imagen virtual. La imagen <Y en la figura 27-2 se llama imagen real. Si la luz realmente llega 27-4 a un punto, la imagen es real. Pero si la luz parece venir desde un punto, un punto ficticio, diferente de! punto original, la imagen es virtual. De manera que cuando s' sale negativa, significa que O' est3. al otro !ado de la superficie y todo est:i correcto. Ahora consideren el caso intei'esante cuando R es igual a infinito; entonces tenemos (I/ s) + (n/ s') = 0. En otras palabras s' = -ns, lo que significa que si miramos desde un medio denso a un medio menos denso y vemos un punto en el medio menos denso, aparecera estar mas p~ofundo en un factor n. lgualmente, po" demos usar la misma ecuaciOn al reves de manera que si miramos hacia el interior de una superficie plana a un objeto que esta a una cierta distancia dentro de! medio denso, aparecer:i como si la luz no viniera de tan atrits (Fig. 27-4). Cuando miramos al fondo de una piscina desde arriba, no parece ser tan profunda como lo es realmente en un factor de 3/ 4, que es la inversa de! indice de refracci6n de! agua. Fig. 27-4. Una superficie plana corre la imagen de la luz desde O' hasta 0. Podriamos continuar, por supuesto, discutiendo el espejo esferico. Pero si alguien se da cuenta de las ideas puestas en juego deberia ser capaz de desarrollarlo solo. Por lo tanto, dejamos al estudiante que desarrolle la f6rmula para el espejo esferico, pero mencionamos que estit bien adoptar ciertas convenciones respecto a las distancias en juego: (I) La distancia objeto s es positiva si el punto 0 est ii: a la izquierda de la superficie. (2) La distancia imagen s' es positiva si el punto a estil a la derecha de la superficie. (3) El radio de curvatura de la superficie es positivo si el centro estit a la derecha de la superficie. En la figura 27-2, por ejemplo, s, s' y R son todas positivas; en la figura 27-3, s y R son positivas, pero s' es negativa. Si hubi6-amos usado una superficie c6ncava, nuestra fOrmula (27.3) todavia daria el resultado correcto si hici6-amos simplemente R igual a una cantidad negativa. Desarrollando la formula correspondiente para un espejo, usando las convenc.iones anteriores, encontrarian que si ponen n = -· l en toda la formula (27.3) (como si la sustancia detrits del espejo tuviera un in dice - I) j se obtiene la formula correcta para un espejo ! Aunque la deducci6n de la formula (27.3) es simple y elegante, usando el tiempo minimo, uno tambiCn puede, por supuesto, desarrollar la misma formula usando la ley de Snell, recordando que los 8.ngulos son tan pequeii.os que los senos de los 8.ngulos pueden ser reemplazados por los 8.ngulos mismos. 27-5 Fig. 27-5. Formaci6n de imagen por una lente de dos superficies 27-3 Fig. 27-6. Lente delgada con dos radios positivos La distancia focal de una lente Ahora continuemos considerando otra situaciOn muy prii.ctica. La mayoria de las lentes que usamos .tienen dos superficies, no una solamente. ,:,COmo afecta esto las cosas? Supongan que tenemos dos superficies de diferente curvatura y el espacio entre ellas lleno de vidrio (Fig. 27-5). Queremos estudiar cl problema de enfoque desde un punto 0 a otro punto O'. ;,COmo lo podemos hacer? La respuesta es esta: primero, usen la formula (27.3) para la primera superficie, o!vid<indose de la segunda superficie. Esto nos va a decir qlie la luz que divergia de 0 va a parecer con vergicndo o divergiendo des<lc algUn otro punto, d!gamos O', lo que depende de\ signo. Considercmos ahora un nuevo problema. Tenemos una superficic difcrente. entre vidrio y aire, en la cual los rayos estim convergien<lo hacia un cierto punto la misma formula de nuevo! VeO'. z.DOnde van a converger realmente? mos que convergen en 0 11 • jAsi, si es podemos ir a traves de 75 superficies simplemente usando la misma formula en sucesi6n. de una a la otra! Hay algunas formulas de alta categoria que nos ahorrarian una energia c:onside rable en las pocas veces que en nuestras vidas necesitiramos perseguir la luz a tra ves de cinco superticies. pero es mils f:i.ci! perseguirla a travCs de cinco superficies cuando surge el problema. que mcmorizar muchas formulas. porquc iPOdria suceder que nunca tuvieramos que perseguirla a traves de superficie alguna! En todo caso, el principio es que cuando vamos a traves de una superficic encontramos una nueva posiciOn, un nuevo punto focal, y entonces tomamos ese pun to como el punto de partida para la superficie siguiente y asl sucesivamente. Para hacer esto realmente, ya que en la segunda superficie vamos de n a l en vez de I a n y ya que en muchos sistemas hay mis de un tipo de vidrio, de manera que hay indices n" nz, ... , realmente necesitamos una 'generalizaci6n de la formula (27.3) para el caso cuando hay dos indices diferentes n 1 y n2 en vez de n solamente. Luego no es dificil demostrar que la fonna general de (27.3) es (27.7) Particularmente simple es el caso en el cual las dos superficies est<in muy juntas --tan juntas que podemos ignorar pequefios errores debido al grosor~. Si dibujamos la lente coma se muestra en la figura 27-6, nos podemos hacer esta pregunta: z.C6mo debe construirse la lente para que enfoque la luz de 0 a O'? Supongan que la luz llega exactamente 27-6 al horde de la lente en el punto P. Luego, el exceso de tiempo en ir de 0 a O' es (n 1 h 2 /2s) + (n 1 h2 /2s'), Lgnorando por un instante la presencia del grosor T de! vidrio de indice n 2• Ahora bien, para hacer el tiempo de! camino directo igual al de! camino OPO', tenemos que usar un pedazo de vidrio cuyo grosor Ten el centro sea tal que la demora introducida al ir .a travCs de este grosor sea suficiente para compensar el exceso de tiempo indicado. Luego, el grosor de la lente en el centro debe estar dado por la relaci6n (27.8) Tambi6i podemos expresar T tt!rminos de los radios R 1 y R 1 de las dos superficies. Poniendo atenci6n a nuestra convenci6n (3) encontramos asi, para R 1 <R 2 (lente convexa), (27.9) Por lo tanto, obtenemos finalmente Notamos de nuevo que si uno de Jos puntos estil en el infinito, el otro va a estar en un punto que !lamamos distancia focalf La distancia focalfestit dada por l/f ~ (n - 1)(1/R, - l/R,). (27.11) donde n = n1/nl. Ahora, si tomamos el caso opuesto, que s vaya a infinito, vemos que s' estit a la distancia focal f'. Esta vez las distancias focales son iguales. (Este es otro caso especial de la regla general que el cociente entre las dos distancias focales es el cociente entre los indices de refracci6n de los dos medias donde los rayos se enfocan. En este sistema 6ptico particular, los indices inicial y final son los mismos, de manera que las dos distancias focales son igua!es.) Olvidando por un momenta la formula real para la distancia focal, si compr:iramos una Jente que alguien diseii6 con ciertos radios de curvatura y cierto indice, podriamos medir la distaneia focal, digamos, vicndo donde se enfoca un punto en el infinite. Una vez obtenida la distancia focal, seria mejor escribir nuestra ecuaci6n, directamente en funci6n de la distancia focal y entonces la f6rmula es (I/>) + (!/>') ~ l/f (27.12) Veamos ahora c6mo funciona !a f6rmula y Jo que implica en diferentes circunstancias. Primera, implica que si s o s' es infinita, la otra es f Esto significa que la Juz parale!a se enfoca a una distancia f y esto, en efecto, dejine a f Otra cosa interesante que dice es que ambos puntos se mueven en la misma direcciOn. Si uno se mueve hacia la derecha el otro tambi6n lo hace. Otra cosa que dice es que s y s' son iguales si ambos son iguales a 2f En otras palabras, si queremos una situaci6n sim6trica encontramos que ambas se enfocan a una distancia 2f 27-7 :rs-~t~. . ~. ' o''<" ~ t-,,· I ' .':,,. ~~ T s 27-4 Fig. 27-7. Geometrfa de la producci6n de 1magen por una lente delgada Aumento Hasta aqui hemos discutido solamente el enfoque para puntos en el eje. Discutamos ahora la formaci6n de im3.genes de objetos que no estitn en el eje exactamente, sino que un poco corrido, de manera que podamos entender las propiedades de! aumento. Cuando disponemos de una lente para enfocar !a luz proveniente de un pequeiio filamento en un •·punto" de una pantalla, encontramos que en la pantalla obtenemos una "fotografia" del rnismo filamento excepto que es de tamafto mayor o mcnor que e! filamento verdadero. Esto debe significar que la luz llega a un foco desde cada punt a de! filamento. Para entender es to un po co mejor, analicemos el sistema de lente delgado que se muestra esquemitticamente en la figura 27-7. Conocemos los siguientes hechos: (I) Cualquier rayo que Uegue paralelo por un ]ado prosigue hasta un cierto pun- to particular llamado foco en el otro lado a una distanciafde la lente. (2) Cualquier rayo que llega a la lente desde el foco de un !ado sale paralelo al eje por el otro !ado. Esto es todo lo que necesitamos para establecer la f6rmula (27.12) por geomctria, como sigue: supongan que tenemos un objeto a cierta distancia x de! foco: sea y la altura de! objcto. Entonces sabemos que uno de los rayos, a saber PQ, se va a inc!inar de manera de pasar por el foco R en el otro !ado. Ahora bien, si la lente va a enfocar el punto P de cualquicr mancra, podcmos averiguar d6nde, si avcriguamos por d6nde pasa un rayo mils solamente, porque el nuevo foco va a estar donde los dos se vuelven a cortar. Necesitamos s6Jo usar nuestro ingenio para cncontrar la direcci6n exacta de a/gUn otro rayo. Pero nos acordamos que un rayo paralelo pasa por el foco y viceversa: jun rayo que pasa por el foco va a salir paralelo! Asi que dibujamos el rayo PT pasando por U. (Es cierto que los verdaderos rayos que est.in hacienda el enfoque puedcn ser mucho mils limitados que los dos que hemos dibujado, pero son mils dificiles de imaginar, asi hacemos creer que po<lemos hacer este rayo.) Ya que saldrla paralelo dibujamos TS paralelo a XW. La intersecci6n S es el punto que necesitamos. Esto va a determiriar el lugar correcto y la altura correcta Llamemos la a!tura Y y la distancia al foco x'. Ahora podemos deducir una formula de !a lente. Usando los triitngulos semejantes PVU y TXU, encontramos y' y 7~- (27.ll) lgualmente, de los triitngu!os SWE y QXR, obtenemos r~ x' = ~f (27.14) 27-8 Despejando y' I y de cada una encontramos que (27.15) f La ecuaci6n (27.15) es la famosa fOrmula de la lente: en ella est.it todo lo que necesitamos saber de las lentes: nos da el aumento y' I y en tCrminos de las distancias y las distancias focales. Tambifo relaciona las dos distancias x y X conf' xx' =i (27.16) 2, que tiene una forma m.is sencilla para trabajar con ella que la ecuaci6n (27.12). Dex + f y s' = X + f. la jamos al estudiante, que demuestra que si llamamos s ecuaciOn (27.12) es lo mismo que ta ecuaci6n (27.16). 07 27-5 Lentes compuestas Sin deducirlo rea!mente, vamos a describir en forma breve el resultado general cuando tenemos varias !entes. Si tenemos un sistema de varias lentes, (.c6mo es posible analizarlo'! Es facil. Empezamos con algim objeto y calculamos dOnde est.it su imagen para la primera lente usando la formula (27.16) o (27.12) o cualquier otra formula equivalente o dibujando diagramas. Asi encontramos una imagen. DespuCs tratamos esta imagen como la fuente para la \ente siguiente y usamos la segunda lente, sea cualquiera su distancia focal, para encontrar de nuevo una imagen. Simplemente perseguimos la cosa a travCs de la sucesi6n de lentes. Y eso es todo lo que hay que hacer. No encierra nada nuevo en principio; asi que no vamos a entrar en detalles. Sin embargo, hay un resultado neto muy interesante de los efectos de cualquier sucesi6n de lentes acerca de la luz que parte y termina en el mismo media, aire, digamos. Cualquier instrumento 6ptico -un telescopio o un microscopic con una serie de lentes y espejos- tiene la siguiente propiedad: existen dos pianos llamados pianos principales del sistema (estos pianos est:in a menudo muy cerca de la primcra superficic de la primera lente y de la Ultima superficie de !a Ultima lente), que tienen las siguientes propiedades: (I) Si la luz Jlega al sistema paralela por el primer lado, llega a un cierto foco a una distancia de! scgundo piano principal igual a la distancia focal, exactamente como si el slstema fuera una lente delgada situada en este plano. (2) Si !a luz l\ega paralela por el otro lado, llega a un foco a la misma distancla f del primer piano principal, de nuevo como si hubiera una lente delgada co!ocada ahi. {Vean la Figura 27-8.) Por supuesto, si medimos !as distancias x y x' e y e y' como antes, la f6rmula (27.16) que hemos escrito para una lente delgada es absolutamente general, ' -·-~ ---~ ~'1- --_-_- . Fig. 27-8. · """"'i6" de lo' '""o' wio- c1pales de un sistema 6pt1co. 27-9 siempre que midamos la distancia focal desde los pianos principales y no desde el centro de la lente. Sucede que para una lente delgada los pianos principales son coincidentes. Es como si pudit':ramos tomar una lente delgada, rebanar\a por la mi" tad y separar!a y no nos dit':ramos cuenta que se habia separado. jCada rayo que llega salta inmediatamente por el otro !ado del segundo piano por el mismo punto que entr6 en el primer piano! Los pianos principales y la distancia focal pueden ser encontrados, ya sea por experimento o por cilcu!o y entonces todo el conjunto de propiedades de! sistema 6ptico queda descrito. Es muy interesante que el resultado no es complicado cuando hemos termlnado con un sistema 6ptico tan grande y comp!icado. 27-6 Aberraciones Antes de que nos estusiasmemos mucho con lo maravi\losas que son las lentes, debemos apresurarnos en agregar que tambif:n hay serias limitaciones, debido a que nos hemos limitado estrictamente hablando a rayos paraxiales, los rayos cerca del eje. Una lente real con tamafio finito presentari, en general, aberraciones. For ejemplo, un rayo que esta en el eje por supuesto que pasa por el foco. Un rayo que est<l muy cerca de! eje todavia pasara muy bien por el foco. Pero, a medida que nos alejamos, e! rayo se empieza a desviar de! foco, quizii.s porque queda corto, y un rayo que da con el horde superior baja y yerra el foco por una cantidad bastante grande. Asi, en vez de obtener una imagen puntual, obtcnemos un manch6n. Este efecto se llama aberraci6n esf<!rica porque es una propiedad de las superficies esfericas que usamos en vez de la de forma correcta. Esto podria ser remediado para cualquier distancia de! objeto especifica, cambiando la forma de la superficie de la lente o ta! vez usando varias lentes arregladas de modo que las aberraciones de las \entes individuales tiendan a cancelarse. Las lentes tienen otro defecto: la luz de diferentcs colores tiene velocidades diferentes o indices de refracci6n diferentes en el vidrio, y por lo tanto la distancia focal de una lente dada es diferente para diferentes colores. De mancra que si imaginamos un punto blanco, la imagen va a tener colores, porque cuando enfocamos para el rojo, el azul estii. fuera de foco o viceversa. Esta propiedad se llama aberraci6n cromtitica. Hay todavla otros defectos. Si el objeto estil fuera de! eje, entonces realmente el foco ya no es mfts perfecta, cuando aqueJ se aleja bastante del cje. La manera mas fii.cil de verificarlo es enfocar una lente y despues inclinarla de manera que !os rayos l!eguen formando un illlgulo grande con el eje. Entonces la imagen que se forme sera corrientemente muy aproximada y puede que no haya ningUn lugar donde se enfoque bien. Hay asi varios tipos de errores en las lentes que el diseflador 6ptico trata de remediar usando muchas lentes para compensar los errores de unas con Jos de las otras. (.Cuftnto cuidado debemos tener para eliminar las aberraciones? (.Es posible hacer un sistema 6ptico perfecta? Supongan que hemos construido un sistema 6ptico que se supone que va a traer la luz exactamente a un punto. Ahora bien, razonando desde el punto de vista de! tiempo minima, (.podemos encontrar una condici6n que indique lo perfecta que debe ser el sistema? El sistema va a tener cierto tipo de abertura de entrada para la luz. Si tomamos el rayo mils alejado del eje que puede !legar al foco (si el sistema es perfecta, por supuesto), los tiempos para todos los rayos son exactamente iguales. Pero nada es perfecta de manera que la pregunta es (·,hasta qui: punto puede ser errado el tiempo para este rayo tal que no valga la pena 27-10 hacer una correci6n mayor? Eso depende de lo perfecta que queramos hacer la imagen. Pero supongan que queremos hacer la imagen tan perfecta como se pueda. Entonces nuestra impresi6n, por supuesto, es que tenemos que arreglar que cada rayo se demore un tiempo lo mas parecido posib!e. Pero resulta que esto no es cierto, que mas all<i. de un cierto punto estamos tratando de hacer algo que es demasiado fino jporque la teoria de la 6ptica geometrica no funciona! Recuerden que el principio de\ tiempo minimo no es una formulaci6n precisa, a diferencia del principio de la conservaci6n Q_e la energia o del principio de conservaci6n de! momentum. El principio del tiempo minimo es s6lo una aproximadOn y es interesante saber cuanto error puede permitirse y todavia no producir una diferencia aparente. La contestaci6n es que si hemos dispuesto que entre el rayo maximo -el peor rayo, el rayo que estil mils !ejano- y el rayo central, la diferencia de tiempo sea menor que mas o menos el periodo que corresponde a una oscilaciOn de la luz, entonces es inllti! un mayor mejoramiento. La luz es algo oscilatorio con una frecuencia definida que esta relacionada con la longitud de onda y, si hemos dispuesto que la diferencia de tiempo para rayos diferentes sea menor que un periodo mas o menos, es inUtil ir mas alla. 27-7 Poder de resolueiOn Otra pregunta interesante -una pregunta te6rica muy importante para todos !os instrumentos 6pticos- es que poder de resolucicin tienen. Si construimos un microscopio, queremos ver los objetos que estamos mirando. Eso significa, por ejemplo, que si estamos mirando una bacteria con un punto a cada !ado, queremos ver que hay dos puntos cuando los aumentamos. Uno podria pensar que todo lo que tenemos que hacer es obtener suficiente aumento -siempre podemos agregar otra lente y siempre podemos aumentar una y otra vez y, con la inteligencia de los disefiadores, todas las aberraciones esfericas y aberraciones cromilticas pueden ser anuladas y no existe raz6n alguna para que no podamos seguir aumentando la imagen-. De manera que las limitaciones de un microscopio no son que sea imposible construir una lcnte que aumente mt'ts de 2.000 diitmetros. Podemos construir un sistema de lentes que aumenta 10.000 diilmetros, pero aUn podriamos n" ver dos puntos que estitn muy juntas debido a las limitaciones de la 6ptica geometrica, debido a que e! tiempo minima no es preciso. Para descubrir la regla que determina a que distancia deben estar dos puntos de manera que en la imagen aparezcan como puntos separados, puede establecerse un procedimiento muy hermoso en relad6n con el tiempo que demoran los diferentes rayos. Supongan que despreciamos las aberraciones ahora e imaginen que para un cierto punto P (fig. 27-9) todos !os rayos desde el objeto a la imagen T demoran exactamente el mismo tiempo. (Esto no es cieno, porque no es un sistema perfecta, pero eso es otro problema.) Ahora tomen otro punto ' ~·~, P'~-" ! Fig .. 27-9. R tema opl!co. Poder de resoiuci6n de un sis- 27-11 cercano P y pregunten si su imagen va a ser distinta de T. En otras palabras, si podemos notar la diferencia entre ellos. Por supuesto, de acuerdo con la 6ptica geometrica, deberia haber dos puntos-imagen, pero lo que vemos puede ser bastante borroso y podriamos no ser capaces de darnos cuenta que hay dos puntos. La condici6n para que el segundo punto sea enfocado en un lugar c\aramente diferente de! primero, es que los dos tiempos para ir de un e~tremo a otro de los rayos extremos PST y P'RT a cada !ado de la abertura grande de las !entes, no deben ser iguales desae \os dos puntos-objeto posibles hasta un punto imagen dado. t,Por que? Porque si los tiempos fueran iguales, por supuesto, ambos se eefocarian en el mismo punto. De manera que los tiempos no seriin iguales. Pero, t,en cuitnto tienen que diferir para que podamos decir que ambos no Hegan a un foco comUn, de manera que podamos distinguir los dos puntos-imagen? La regla general para la resoluci6n de cualquier instrumento 6ptico es est a: dos fuentes puntuales diferentes pueden ser resueltas s61o si una fuente es enfocada en un punto ta! que los tiempos en que los rayos mll.ximos de la otra fuente l!eguen a ese punto, comparado con su punto imagen propio, difieran en mils de un periodo. fa necesario que la diferencia de tiempo entre el rayo superior y el inferior al foco equivocado exceda una cierta cantidad, a saber, aproximadamente el periodo de oscilaci6n de la luz (27.17) donde v es la frecuencia de la luz (nUmero de oscilaciones por segundo; tambii:n la velocidad dividida por la longitud de onda). Si la distancia de separaci6n de los dos puntos se !lama D _y si el ingulo de abertura de la lente se llama e, uno puede demostrar que (27.17) es exactamente equivalente a !a afirmaci6n de que D debe exceder Jj n sen e, donde n es el indice de refracci6n en Py A es la longitud de onda. Las cosas mils pequeflas que podemos ver son por lo tanto aproximadamente la longitud de onda de la luz. Una formula correspondiente existe para los telescopios, que nos da la menor diferencia angular entre dos estrellas que justo alcancen a distinguirse*. * El 8.ngulo es alrededor de.\/ D, donde Des el di:imetro de la lemc. ~Puedcn vcr por que? 28 Radiaci6n electrornagnetica 28-1 Electromagnetismo 28-3 El radiador dipolar 28-2 RadiaeiOn 28-4 lnterferencia 28-1 Electromagnetismo Los momentos mas espectaculares en el desarrollo de la fisica son aquellos en los cuales se producen grandes sintesis, donde se descubre stibitamente que fen6menos que antes habian parecido diferentes no son sino aspectos diferentes de la misma cosa. La historia de la fisica es la historia de tales sintesis y la base del Cxito de la ciencia fisica esti principalmente en que somos capaces de sintetizar. Quizas el momenta mis espectacular en el desarrollo de la fisica durante el siglo XIX se !e present6 a J.C. Maxwell un dia alrededor de 1860 cuando combin6 las !eyes de la electricidad y de! magnetismo con las leyes de! comportamiento de la luz. Como resultado, las propiedades de la luz fueron desenredadas parcialmente --esa antigua y sutil materia que es tan importante y misteriosa que se crey6 necesario arreglar una creaci6n especial para ella al escribir el Genesis-. Maxwell pudo decir, al tenninar su descubrimiento: "jQue haya electricidad y magnetismo y alli esta la luz!" Para este momento culminante hubo una larga preparaci6n en el descubrimiento y el dcsarrollo gradual de las !eyes de la electricidad y del magnetismo. Esta historia la vamos a reservar para un estudio detallado el pr6ximo aiio. Sin embargo, la historia es, brevemente, como sigue. Las propiedades de la electricidad y de! magnetismo, de las fuerzas eiectricas de atracci6n y repulsi6n y de las fuerzas magneticas descubiertas gradualmente, mostraron que, aunque estas fuerzas eran bastante complejas, todas disminuian con el cuadrado de la distancia. Sabemos, por ejemplo, que la sencil!a ley de Coulomb para cargas estil.ticas es que el campo de fuerza ekctrica varia inversamente con el cuadrado .de la distanda. Como consecuencia para distancias suficientemente grandes hay poca influencia de un sistema de cargas sobre otro. Maxwell not6 que las ecuaciones o !eyes que se habian descubierto hasta ese momenta eran incompatibles entre si cuando trat6 de juntarlas, y para que todo el sistema fucra compatible tuvo que agregar otro tfrmino a sus ecuaciones. Con este nuevo termino surgi6 una predicci6n asombrosa que fue que una parte de los cam" pos e1ectricos y magni:ticos disminuiria mucho mils lentamente con la distancia que la inversa de! cuadrado, a saber, jinversamente con la primera 28-l potencia de la distancia! Y asi se dio cuenta que las corrientes elfctricas en un lugar pueden afectar a otras cargas lejanas y predijo los efectos bilsicos con los que estamos familiarizados hoy dia -transmisi6n de radio, radar, etc. Parece un milagro que alguien hablando en Europa pueda, con simples influen~ cias elfctricas, ser oido a miles de kil6metros en Los Angeles. iC6mo es posible? Lo es porque los campos no varian con la inversa de! cuadrado, sino que s6lo inversamente con la primera potencia de la distancia. Finalmente, entonces, se reconoci6 que incluso la Iuz consistia en influencias electricas y magnfticas, que se extienden sobre grandes distancias, generadas por una oscilaci6n increiblemente ritpida de los electrones en los ittomos. Todos estos fen6menos los resumimos mediante la palabra radiaciOn o mils especificamente radiaciOn electromagnitica, habiendo tambifn uno o dos tipos mils de radiaci6n. Casi siempre radiaci6n significa radiaci6n dectromagnftica. Y asi estil. enlazado el universo. Los movimientos at6micos de una estrella distante todavia tienen suficiente influencia a esta gran distancia para poner Jos electrones de nuestro ojo en movimiento y asi sabemos de las estrellas. ;Si esta ley no existiera estariamos literalmente a oscuras con respecto al mundo exterior! Y los oleajes elfctricos en una galaxia distante cinco mil millones de aflos luz -que es el objeto mas iejano que hemos encontrado hasta ahora-· puede influenciar todavia de una manera significativa y detectable las corrientes en el gran ·'plato" frente a un radiotelescopio. Y asl es cOmo vemos !as estrellas y las galaxias. Este notable fen6mcno es lo que vamos a discutir en el presente capitulo. Al comienzo de este curso de fisica delineamos un amplio cuadro del mundo, pero ahora estamos mas preparados para entender algunos aspectos de t:l y asi vamos a vo!ver ahora sobre a!gunos puntos con mayor detalle. Empezamos describiendo la posiciOn de la fisica al final de! siglo XIX. Todo lo que se conocia entonces de las !eyes fundamentales se puede resumir como sigue. Primera, hubo leycs de fuerzas: una fuerza estaba dada por la !ey de gravitaci6n que hemos escrito varias veces; la fuerza sobre un objeto de masa m debida a otra masa M esta dada por (28.1) donde e, es un versor dirigido de m a My r es la distancia entre ellas. A continuaci6n, las !eyes de la electricidad y del magnetismo, como se conocian al final de! siglo XIX son fstas: las fuerzas c!fctricas que actllan sabre una carga q pueden ser dcscritas mediante dos campos, llamados E y B y la velocidad v de la carga q mediante la ecum:iOn F=q(E+vXB). (28.2) Para completar esta ley, tencmos que decir cuii.les son las fOrmulas para E y Ben una circunstancla dada: si varias cargas estii.n presentes, E y B son cada una la suma de contribuciones, una por cada carga individual. jOe manera que si podemos encontrar el E y el B producido por una carga so!a necesitamos solamente sumar todos los efectos de todas las cargas del uni verso para ob ten er el E y el B total! Este cs el principio de superposici6n. t.Cuitl es la formula para el campo elfctrico y magnetico producido por una carga individual? Resulta que esto es muy complicado y se necesita mucho 28-2 estudio y muchos refinamientos para apreciarlo. Pero Cse no es el punto. Escribimos ahora la ley s61o para impresionar al lector con la belleza de la naturaleza, por asi decirlo, o sea, que es posible resumir todo el conocimiento fundamental en una pilgina con notaciones con las cuales ahora estil fam.iliarizado. Esta ley para los campos de una carga individuaJ es completa y exacta, hasta donde sabemos (a excepci6n de la mecinica cuintica), pero se ve bastante complicada. No vamos a estudiar todas las partes ahora; s61o la escribimos para dar una impresi6n, mostrar que se puede escribir y de manera que podamos ver con anticipaci6n c6mo se ve aproximadamente. De hecho, la manera mis Util de escribir las !eyes correctas de la electricidad y de! magnetismo no es la manera en que las vamos a escribir ahora, pero encierra lo que se llama ecuaciones de campo, que vamos a aprender el pr6ximo afi.o. Pero las notaciones matemiticas para Cstas son diferentes y nuevas. Asi que escribimos la ley en una forma inconveniente para los cillculos, pero en una notaci6n que conocemos ah ora. El campo e!Cctrico E estil dado por -q ['" 72 E "" 4'lrfo d' e,, + ,,C dtd (''') 72 + CZI dr2 l · (28.3) (.Que nos dicen las diversos tfrminos? Tomen cl primer tfrmino E "'° -qe,../4nt 0 r' 2 • Es, por supuesto, la ley de Coulomb que ya conocemos: q es la carga que cstil produciendo el cam po; e,.. es el versor en la direcci6n desde el punto P donde se mide E, r la distancia de Pa q. Pero, la ley de Coulomb estil cquivocada. Los descubrimientos de! siglo XIX demostraron que las influencias no puedcn viajar mils rilpido que una cierta ve\ocidad fundamental c, que ahora !lamamos velocidad de la luz. No es correcto que cl primer tCrmlno sea la ley de Coulomb, no sOlo porque no es posib!e conocer d6nde estil la carga ahora y a que distanda est.it ahora, sino tambifn porque Jo l.mico que puede afeclar el campo en un lugar y en un ticmpo dados es el comportamiento de la_s cargas en el pasado. (.Cuilnto en el pasado? La dcmora en el tiempo, o el asi \lamado tiempo retardado, es el tiempo que se necesita a la velocidad de la luz para llegar desde la carga hasta el punto P del campo. El atraso es r le. Asi, para permitir este atraso en el tiempo ponemos una pequeiia comilla en r significando lo lejos que estaba cuando la informaciOn que ahora !!ega a P dejO a q. SOio por un momenta supongamos que la carga llevara una luz y que la luz pudiera llegar solamente con la velocidad c. Entonces, cuando miramos a q, no veriamos donde estil ahora, por supuesto, sino dOnde estaba en cicrto tiempo anterior. Lo que aparece en nuestra formula es la direcciOn aparente Or -la direcci6n que era- la asl llamada direcciOn retardada-·· y a la distancia retardada r'. Esto seria suficientemente facil de entender tambien, pero tambiCn estil equivocado. Todo es mucho m.its complicado. Hay varios tfrminos mils. El termino siguiente es como si la natura!eza estuviera tratando de tomar en cuenta el hecho de que el efecto es retardado, si podemos decirlo tan burdamente. Sugiere que dcberiamos calcular el campo coulombiano retardado y agregarle una correcci6n que es su rapidcz de variaci6n por cl tiempo retardado que usamos. Parece que la naturaleza cstuviera tratando de adivinar lo que va a ser cl campo en este momenta tomando la rapidez de variaci6n y multiplicando por el tiempo en que estil retardado. Pero no hemos terminado aim. Hay un tercer tCrmino - !a segunda derivada, con respecto at 28-3 del versor en la direcci6n de la carga-. Ahora la formula estti completa y eso es todo lo que hay con relaci6n al campo e1ectrico de una carga que se mueve arbitrariamente. El campo magnetico estit dado por B = -e,, X E/c. (28.4) Hemos escrito esto s6io con el prop6sito de mostrar !a belleza de la naturaleza o, en cierto sentido, el poder de la matemittica. No pretendcmos entender por que es posible escribir tanto en un espacio tan pequefio, pero (28.3) y (28.4) contienen el mecanismo seglln el cual funcionan los generadores etectricos, c6mo funciona la luz, todos los fen6menos de la electricidad y cl magnetismo. Para completar la historia tambiCn necesitamos conocer, por supuesto, a!go acerca de! comportamiento de los materiales que intervienen -las propiedades de la materia- que no estin descritas en forma apropiada por (28.3). Para terminar nuestra descripci6n de! mundo de! siglo XIX debemos mencionar otra gran sintesis que ocurri6 en ese siglo, una con la cual Maxwe!l tambiCn tuvo mu· cho que ver: fue la sintesis de los fen6menos de! calor y la mecimica. Estudiaremos pronto ese tema. Lo quc debi6 agregarsc en e! siglo xx fue que se encontr6 que las lcyes din3.micas de Newton estaban todas erradas y hubo que introducir la mecitnica cuitntica para corregirlas. Las teyes de Newton son villidas aproximadamente cuando la escala de las cosas es suficientemente grandc. Estas !eyes cuitnticas, combinadas con las !eyes de la electricidad, s61o recientemente han sido combinadas para formar un conjunto de !eyes Hamada efectrodintimica cutintica. Ademits, se descubrieron varios fen6menos nuevos de los cuales el primero foe la radioactividad descubierta por Becquerel en 1898 -justo alcanzO a meterla de contrabando en el siglo xix-. Se investig6 este fen6meno de la radioactividad hasta producir nuestro conocimiento de los nllcleos y nuevos tipos de fuerzas que no son gravitadonales ni e!Cctricas, sino nuevas particulas con diferentes interacciones, un tema que aim no ha sido desenredado. Para aquellos puristas que saben mils (los profesores que podrlan estar leyendo esto) deberiamos agregar que cuando dccimos que (28.3) es una expresi6n completa de! conocimiento de la electrodinitmica, no estamos siendo completamente rigurosos. Hubo un prob!ema que no fue completamente resuelto a fines del siglo XIX. Cuando tratamos de calcular el campo de todas las cargas incluyendo la carga misma sobre la cual queremos que actUe el campo. encontramos dificultades tratando de encontrar la distancia, por ejemp1o, de una carga con respecto a si misma y dividiendo algo por esa distancia que es cero. El prohlema de c6mo manejar la parte de este campo que es gcncrada por la misma carga en la cual qucrcmos que actiie el campo nose ha resuelto todavia. As[ que lo dejamos ahi; no tenemos aUn una soluci6n completa de ese enigma y, por lo tanto, vamos a evitar el enigma mientras podamos. 28-2 RadiaciOn Ese es entonces un resumen de la imagen del mundo. Usemosla ahora para dis· cutir los fen6menos llamados radiaci6n. Para discutir estos fen6menos, debemos selec" cionar de la ecuaci6n (28.3) s6lo la parte que varia inversamcnte con ladistancia y no con el cuadrado de la distancia. Resulta que cuando finalmente cncontramos esa parte, 28-4 es tan simple en su forma que es iegitimo estudiar 6r ,ira y electrodinilmica de una man era elemental tomilndo!a co mo "la ley., de! cam po elb:trico producido por una carga !ejana en movimicnto. Vamos a considerarla temporalmente como una ley dada que vamos a aprender en detalle el pr6ximo aiio. De los terminos que aparecen 'en (28.3) el primero evidentemente varia inversamente con el cuadrado de la distancia y el segundo cs s6lo una correcci6n por el re tardo; asi que es facil demostrar que ambos varian inversamente con el Cuadrado de la distancia. Todos los efectos en los que C§tamos interesados provienen del tercer tfrmino, que no es nmy complicado, dcspues de todo. Lo que este tfrmino dice cs: miren a la carga y obscrvcn la direcd6n de! versor (podemos proyectar su extrema sabre la superficie de una esfera unitaria). A mcdida que la carga se mueve, el versor se mueve ril.pidamente y cs la ace!eraciUn de ese versor lo que andamos buscando. Eso es todo. Asi (28.5) es una expresiOn de las de la rad!aci6n, porque este es cl Unico tfrmino importante cuando nos alejamos sufi.ciente para que los campos varien inversamentc con la distancia. (Las partcs que varian con el cuadrado han disminuido tanto que no estamos interesados en ellas.) Ahora podcmos ir un poco mils allit en cl estudio de (28.5) para ver que significa. Supongan que una carga se estfi moviendo de una manera cualquiera y que la estamos observando de~de cierta distancia. Imaginamos por un momcnto queen un cierto sentido estit "encendida" (a pesar que es la !uz lo que estamos tratando de explicar); la imaginamos como un pequeiio punto b!anco. Entonces veriamos cstc punto b!anco co rriendo de un !ado a otro. Pero no vcmos c6mo anda corriendo ahora mismo dcbido al atraso de que hcmos Lo que importa es c6mo se posiciOn aparente de la carga. estaba moviendo an/es. El versor e,, apunta El extremo dee,.., por supuesto. se mueve sabre una pequei\a curva de mancra que su aceleraci6n tenga do~ componcntes. Una es la parte transversal. porque su extrema una parte radial porque se manticne sobre va hacia arriba y hacia abajo y la una esfera. Es filcil dcmostrar que cs mucho menor y que varia inversamente con el cuadrado de r cuando r cs muy grandc. Esto es f:i.cil de \'Cr porque cuando imaginamos quc alejamos cada vez mils una fuemc dada. entonccs los movimientos de cada vez mas chicos, inversamente con la distancia, pero la componente radial aceleracibn estit variando mucho mils ri1pido que con la inversa de la distancia. que para fines prii.cticos todo lo que tencmos quc hacer cs proyectar el mo vimicnto en un piano a distancia 11nitaria. Por lo tanto, encontramos la siguiente regla: imaginen que miramos a !a carga en movimicnto y ljUe todo lo quc vcmos est3 atrasado -<:omo un pintor tratando de pintar una escena en una pantalla a una distancia unitaria--. Un pintor real. por supuesto. no toma en cucnla el hccho quc la luz vaya con una cierta velocidad, sino que pinta el mundo como lo vc. Dc~eamos vcr c6mo !uciria su cuadro. De manera que vemos un la carga movicndose en el cuadro. La ace!eraci6n de esc punto cs al campo elCctrico. Eso es todo ~todo lo que neccsitamos. e,, Asi, pues, la aun los efectos 28-5 a circunstancias alm mas simples en las cuales las cargas se mueven s6lo una pequeiia distancia con una velocidad relativamente baja. Ya que se est<in moviendo !entamente, no se mueven una distancia muy apreciable desde donde parten, de manera que el tiempo de retraso es pr8.cticamente constante. Entonces la ley es alm mils simple, porque el atraso en el tiempo es fijo. Asi, imaginamos que la carga est<i ejecutando un movimiento muy pequeiio a una distancia efectivamente constante. El atraso a la distancia res r/c. Entonces nuestra regla se convierte en la siguiente: si el objeto cargado se est<i moviendo con un movimiento muy pequeiio y se desplaza lateralmente, la distancia x (t), el :ingulo en que el versor e,, se desplaza es x/r y como res practicamente constante, la componente x de d 2 e,,/dti es simp\emente la aceleraci6n de x misma en un tiempo anterior. de manera que finalmente obtenemos la ley que queremos, que es (28.6) SOio la componente de ax perpendicular a la visual es importante. Veamos por que. Evidentemente, si la carga se estit moviendo hacla y desde nosotros, el versor en csa direcci6n no cambia y no tiene aceleraci6n. Asl, pues, s6lo el movimiento transversal es importante, s6\o la aceleraci6n que vemos proyectada en la pantal!a. 28-3 El radiador dipolar Como nuestra ··1ey" fundamental de la radiaci6n electromagnetica vamos a suponer la validez de la (28.6), es decir, que el campo electrico producido por una carga acelerada que se estil moviendo en fonna no relativista a una distancia r muy grande se aproxima a esa forma. El campo e!ectrico varia inversamente con ryes proporcional a la aceleraci6n de la carga, proyectada en el "piano de visi6n" y esta aceleraci6n no es la aceleraci6n de hoy, sino la aceleraci6n que tenLa en un tiempo anterior, siendo el monto de! atraso un tiempo r!c. En lo que queda de este capitulo vamos a discutir esta ley de manera que la podamos entender mejor fisicamente, porque la vamos a usar para entender todos los fen6menos de la propagaci6n de luz y radio, coma reflex.i6n, refracci6n, interferencia, difracci6n y dispersi6n. Es la ley central y es todo lo que necesitamos. Todo el resto de la ecuaci6n (28.3) fue escrito s6lo para montar el escenario, de manera que pudib-amos apreciar d6nde encaja (28.6) y c6mo surge. Vamos a discutir mils la (28.3) el pr6ximo aiio. Mientras tanto la vamos a aceptar como verdadera, pero no precisamente sobre una base te6rica. Podemos diseiiar varios experimcntos que ilustran el caracter de la ley. Para hacerlo, necesitamos una carga acelerada. Deberia ser una sola carga, pero si podemos lograr que muchas cargas se muevan en conjunto todas de la misma manera, sabemos que el carnpo va a ser la suma de los efectos de cada una de las cargas individuales; sencil!amente las sumamos. Como ejemplo, consideren dos pedazos de alambre conectados a un generador como se muestra en la figura 28-1. La idea es que el generador produce una diferencia de potencial o un campo, el cual arranca electrones de la porci6n A y los empuja hacia B en un cierto instante y luego, un tiempo infinitesimal mils tarde, invierte el efecto iY arranca los electrones de By los bombea de vue\ta a A! De manera queen estos dos alambres las cargas, por asi decir, est:i.n acelerando por un momenta hacia arriba en el alambre A y en el B, y un instante despub.; 28-6 Fig. 28-1. Un generador de seiial de alta frecuencia impulsa cargas hacia arriba y hacia abajo en dos alambres. estiln ace!erando hacia abajo en el alambre .{ y en el B. El que necesitemos dos a\ambres y un generador es simplemente que esa es una manera de hacerlo. El resultado neto es que simplemente tenemos una carga acelerada hacia arriba y hacia abajo .como si A y B fueran un solo alambre. Un alambre que es muy corto comparado con la distancia que viaja la luz en el periodo de una oscilaciOn se llama un oscilador dipolar e/ictrico. Asi tenemos la circunstancia que necesitamos para aplicar nuestra ley, que nos dice que esta carga produce un campo el6ctrico, de manera que necesitamos un instrumento para detectar un campo eJectrico y el instrumento que usamos es la mismacosa: jun par de alambres como A y B! Si un campo electrico se aplica a tal dispositivo, va a producir una fuerza que va a arrastrar los electrones hacia arriba en ambos alambres o hacia abajo en ambos alambres. Esta seiia! se detecta mediante un rectificador co!ocado entre A y B y un alambre diminuto y fino !!eva la informaci6n a un amplificador donde es amplificada de manera que podamos oir el tono de audiofrecuencia con el cual la radiofrecuencia est<i modulada. Cuando esta sonda siente un campo elfctrico saldrB. un ruido fuerte del amplificador y cuando no haya campo electrico que la excite no habrB. ruido. Como la pieza donde estamos midiendo las ondas contiene otros objetos, nuestro campo el6ctrico va a agitar electrones en estos otros objetos; el campo el6ctrico hace que estas cargas vayan hacia arriba y hacia abajo y al ir hacia arriba y hacia abajo tambi6n producen un efecto de nuestra sonda. Luego, para un experimento exitoso debemos mantener las cosas bastante juntas de manera que las influencias desde las paredes y desde nosotros mismos -las ondas reflejadas- sean relativamente pequeiias. Asi resultara que los fen6menos parecen no estar de acuerdo en forma precisa y perfecta con la ecuaci6n (28.6), pero seran lo suficientemente parecidos para que podamos apreciar la ley. Ahora conectamos e1 generador y escuchamos la seiial de audio. Encontramos un campo intenso cuando el detector D estil para1elo a1 generador G en el punto I. (Fig. 28-2). Tambi6n Fig. 28-2. El campo electrico instantaneo sobre una esfera centrada en una carga localizada que oscila linealmente. 28-7 campo en cualquier otro <ingulo azimutal alrededor de! eje de direccionales. Por otto !ado, cuando el detector est<i. en 3 estil. correcto, porque nuestra formula deda que el campo de la carga proyectada perpendicuiarmente a la visual. Por haci.a G la carga se est0. moviendo hacia y desde D, y no verifica la primera regla, que no hay efecto cuando hacia nosotros. En segundo lugar, la formula ---~----- _------- ser perpendicular a r y en el piano de G y r; rotamos en 90°, no deberiamos recibir serial. el e1ectrico es por cierto vertical fuigulo intermedio, vemos 28-3, llustr&ci6n de la intelierenda 28-8 Fig. 28-4. llustraci6n del car8cter VBCtorial de la combinaci6n de fuentes vemos el movimiento de la otra. De manera que las dos juntas pueden producir cero si todo se ajusta correctamente. Ahora bien, es muy interesante demostrar que la suma de dos campos es en realidad una suma vectorial. Ya lo hemos verificado para el movimiento hacia arriba y hacia abajo, pero probemos dos direcciones no paralelas. Primera, volvemos S 1 y S 2 a la misma fase; o sea se estan moviendo juntas nuevamente. Pero ahora giramos S l en un {mgulo de 900 como se muestra en la figura 28.4. Ahora deberiamos tener en el punto 1 la suma de dos efectos, uno de los cuales es vertical y el otro horizontal. El campo elCctrico es la suma vectorial de estas dos seiiales en fase -ambos son intensos al mismo tiempo y pasan por cero juntas; el campo total deberia ser una seiial R a 45°-. Si giramos D para obtener el mt\:ximo de ruido, deberia estar cerca de 45" y no vertjcal. Y si lo giramos en 8nguio recto con respecto a esa direcci6n, deberiamos obtener cero, que es facil de medir. jObservamos precisamente tal comportamiento! tQue pasa ahora con el atraso? (.C6mo podemos demostrar que la seiial esta atrasada? Podrlamos con una gran cantidad de equipo, medir el tiempo que tarda en !!egar, pero hay otra manera mucho rn<i.s simple. Rcfiriendonos de nuevo a la figura 28-3 . supongan que S 1 y S 1 esten en fase. Am bas se est<in sacudiendo ju:itas y producen campos di!ctricos iguales en el punto I. Pero supongan que vamos a un derto lugar 2 que est& m:i.s cerca de S 2 y mils lejos de St. Entonces, de acuerdo con cl principio de que la aceleraciOn deberia estar atrn.sada en una cantidad igual a r/c, silos atrasos no son iguales las sefi.ales ya no estin m3.s en fase. Asi deberia ser posible encontrar una posiciOn en la cual las distancias a D desde S 1 y S 2 difieren en una cantidad .1., de ta! mancra que no haya sefial neta. Esto es, la distancia il. debc ser la distancia que avanza la luz en media oscilaciOn dd generador.. Podemos ir mils all& aim y encontrar un punto doode la diferencia es mayor en un ciclo completo; o sea, la serial de la primera antena l!ega al punto 3 con un atraso en el tiempo que es mayor que el de la segunda antena que es Justo el tiempo que demora la corriente eJectrica en oscilar una vez y, por to tanto, los dos campos elkctricos producidos en 3 est:i.o en fase de nuevo. En el punto 3 la seiial es intensa nuevamente. Esto completa nuestra discusi6n de la verificaci6n experimental de algunos aspectos importantes de !a ecuaci6n (28.6). Por cierto que no hemos verificado la variaci6n de la intensidad del cam po electrico con 1 Ir o el hecho de que existe un cam po magn4!tico que va junto con el campo elict:rico. Para hacerlo se necesitar!a de t6cnicas bastante refinadas y dificilmente ayudaria a nuestra comprensl6n de este punto. En todo caso hemos veri.ficado Jos aspectos que son de mayor importanr.ia para r.uestras aplicaciones poster:iores y vamos a volver a estudiar a!gunas propiedades de las oodas electromagnE\ticas el prOIDino aiio. 28-9 29 lnterferencia 29-1 Ondas electromagnCticas 29-4 Dos radiadores dipolares 29-2 Energia de radiaciOn 29-5 La matem8tica de la interferencia 29-3 Ondas sinusoidales 29-1 Ondas electromagnCticas En este capitulo discutiremos el tema de\ capitulo anterior en forma mas matemfttica. Hemos demostrado cualitativamente que hay mii.ximos y minimos en el campo de radiaciOn de dos fuentes, y ahora nuestro prob!ema es describir e! campo con detalles matem3.ticos, no sO!o cualitativamente. Fig. 29-1. El campo elilctrico E debido a una carga positiva cuya aceleraci6n retardada esa'. Ya hemos analizado fisicamente el significado de la formula (28.6) en forma bastante satisfactoria, pero hay unos cuantos puntos a elaborar respecto a ella matem3.ticamente. En primer Jugar, si una carga estit acelerando de arriba hacia abajo a lo largo de una linea en un movimiento de amplitud muy pequeii.a, el campo a un cierto il.ngu!o 0 desde el eje de! movimiento estit en una direcci6n- perpendicular a la visual, y en un piano que contiene tanto a la aceleraci6n como a la visual (Fig. 29· l ). Si la distancia se llama r, entonces en el tiempo t el campo electrico tiene el m6dulo (29.\) donde a (t~r/c) es la· aceleraci6n en el tiempo (t~r/c) llamada aceleraciOn retardada. 29-1 Seria interesante dibujar una imagen de! campo en diferentes condiciones. Lo interesante, por supuesto, es el factor a (t-r/c) y para entenderlo podemos tomar el caso mas simple, e = 90°. y trazar el campo graficamente. Lo que hemos estado pensando antes es que estamos en un lugar dado y prcguntamos cOmo varia el campo ahi con el tiempo. Pero en vez de eso vamos aver ahora c6mo es el campo en diferentes posiciones en el espacio en un instante dado. Por lo tanto, lo que queremos es una "instantanea" que nos muestre lo que es el campo en lugares diferentes. Depende por cierto de !a aceleraciOn de la carga. Supongan que la carga al principio tenia algim movimiento particular; estaba inicialmente en reposo y sllbitamente acelerO de alguna man era co mo se muestra en la figura 29-2 y Juego se detuvo. Luego, un poquito despues, medimos el campo en un lugar diferente. Entonces podemos asegurar que el campo va a ser como se muestra en la figura 29-3. En cada punto el campo estil determinado por la aceleraciOn de la carga en un tiempo anterior, sicndo el monto de la anticipaciOn e! atr a so r I c. El cam po en puntos mas y mas lejanos esta determinado por la aceleraciOn de la carga en tiempos m:i.s y mas anteriores. De mancra que la curva en la figura 29-3 es realmente, en cierto sentido, un diagrama "invertido'" de la aceleraciOn en funciOn de! tiempo; la distancia esta relacionada con el tiempo mediante un factor de escala constante c que a menudo tomamos como unidad. Esto es facil de ver considerando el comportamiento matemti.tico de a (t-r/c). Evidentemente, si agregamos un pequeiio tiempotl t obtenemos los mismos valores para a (t-r/c) que habriamos obtenido si hubieramos restado una distancia pequeiia:t. r = -ctl t. F1g. 29-2. La aceleraci6n de una cierta carga en funci6n del tiempo. Fig. 29-3. El campo el8ctrico en funci6n de la posici6n en un tiempo posterior. {Se ignora la variaci6n 1 Ir.) Expresado de manera diferente: si agregamos un pequeiio tiempo !:J t, podemos vo[ver a(t-rlc) a su valor anterior sumando una pequefia distancia t.r = c!:Jt. O sea, a medida que pasa el tiempo, el campo se mueve como una onda alejcindose de la fuente. Esta es la razOn por la cual a veces decimos que la luz se propaga como onda. Es equivalente a decir que el campo se atrasa o decir que el campo electrico se mueve hacia afuera mientras pasa el tiempo. Un caso interesante es aquel en que la carga se estil moviendo de arriba hacia abajo de una manera oscilatoria. En el caso que estudiamos experimentalmente en el Ultimo cap1tulo, el desplazamiento x en un tiempo cualquiera t era igual a una constante x 0 , la magnitud de la oscilaciOn, por el cos wt. Lue go la aceleraciOn es a= -w 2 x 0 coswt = a 0 coswt, (29.2) donde a0 es ta aceleraciOn milxima - r.oJ 1 x 0 • Reemplazando esta f6nnula en (29.J) 29-2 encontramos (29 __<) el iingulo {) y los factores constantes, veamos c6mo se prcsenta eso posici6n o en funci6n del tiempo. la intenanterior;c····:··-··-·-··-·:·-- \os efec- pco1ponoiooaks al cuao un oscilador oscilador lo hace y el desplazamiento son proporcionales a! en la carga es proporque la encrgia que un campo algun11 manera al cuadrado r Dande se mide. 29-3 por otros sistemas. Vamos a estudiar esta "'pfrdida'· de energia aUn mas en el capitulo 32. ahora mii.s cuidaJosamente c6mo varia la onda (29.3) en funciOn en funci6n de la posicibn en un tiempo dado. De dol las constantes (?.9.4) rcpr<:~cntar Hay muclws ,\ O:i misma cos«, t.o,les coma ~ - ck que es la longituJ de (2 1.f/1) wt, = he (29.S) igual a c por el pc1iodo? Eso es muy faciL por porque si nos quedamos quietos y esperamos que transcurra un periodo, las ondas, viajando a velocidad c, van a moverse una distancia c · t 0 y se habriln movido por supuesto, justo en una longitud de onda. En una situaci6n fisica diferente a !a de la luz, k no estil relacionada necesariamente con w de esta manera tan simple. Si llamamos x la distancia a lo largo de un eje, entonces la f6rmula para una onda cosinusoidal que se mueve en una direcci6n x con un nUmero de onda k y una frecuencia angular w se escribiril en general como cm; (w t-k x). Ahora que hemos introducido la idea de longitud de onda podemos decir algo mils acerca de los casos en los cuales (29 .1) es una formula legitima. Recordemos que el campo estil formado por varias partes, una de las cuales varia inversamente con r, otra parte que varia inversamente con r2 y otras que varian aUn mas rilpido. Valdria la pena saber en que casos la parte l/r de! campo es la parte mils importante y las otras son relativamente pequefias. Naturalmente la respuesta es "si nos retiramos Jo 'suficientemente lejos'", porque los tfrmlnos que varian inversamente con el cuadrado a la larga se hacen despreciables comparados con el tfrmino l /r. ~Cuilnto es "suficientemente lejos "? La respuesta es, cualitativamente, que los otros tCrminos sean del orden.l/r mcnores que el termino 1/r. Asi, mientras estemos m<is allil de unas cuantas longitudes de onda (29.1), es una excelente aproximaci6n al campo. Algunas veces la regi6n mils allil de unas cuantas longitudes de onda se llama "zona de onda '". 29-4 Dos radiadores dipolares Discutamos a continuaci6n la matemiltica puesta en jucgo al comb!nar los efec· tos de dos osciladores para encontrar el campo resultante en un punto dado. Esto es muy facil en los pocos casos que considcramos en el capitulo anterior. Describiremos primero los efectos cualitativamente y \uego mils cuantitativamente. Tomcmos cl caso sencillo en que los osciladores est.lo situados con sus ccntros en el mismo piano horizontal que el detector y la linea de vibraciOn es vertical. ,,~' /' 4~-~----·4 2// -,--"'-2 ' Fig. 29-5. Las intens1dades en varias direcciones desde dos osciladores dipolares media de onda. lzquierda: =- 01 defasados mr:d10 = '1') La figura 29- 5 ejemplo particular y estan oscilando con .:onocer la intensidad de la demos la cantidad de por segundo. queremos Luego lo que cs cl cuadrado del campo elcctrico. no el campo da la intens1dad de la tucrza que experimenta una 29-5 carga estiltica, pero la cantidad de energia que va pasando en watts por metro cuadrado es proporcional al cuadrado del campo elOCtrico. Vamos a deducir la constante de proporcionalidad en el prOximo capitulo.) Si miramos al conjunto por el lado 0, ambos osciladores contribuyen igualmente y en fase de manera que el campo el€:ctrico es dos veces mils intenso de Jo ,que habria sido para un oscilador Unico. Por lo tanto, la intensidad es cuatro veces mayor de lo que habria sido si hubiera hahido un solo oscilador. (Los nUmeros en la figura 29-5 representan el valor que habria tenido la intensidad en este caso comparada con el que hubiera tenido si existiera alli un oscilador Unico de intensidad unitaria.) Ahora bien, en cualquiera de las direcciones N o S a lo largo de la linea de los osciladores, como estan separados media longitud de onda, el efecto de un oscilador resulta estar fuera de fase en exactamente media oscilaci6n con respecto al otro, y por lo tanto Jos campos suman cero. A un cierto angulo particular intermedio (concretamente a 30") la intensidad es 2 y disminuye, 4, 2, 0, etc, Tenemos que aprender a encontrar estos nUmeros para otros ilngulos. Se trata de sumar dos oscilaciones con fases diferentes. Examinemos rti.pidamente otros casos de interes. Supongan que los osciladores esten nuevamente separados media longitud de onda, pero la fase a de uno sc atrasa medio periodo con respecto a la otra en su osci!aci6n (Fig. 29-5 b). En !a direcci6n oeste la intensidad es cero ahora, porque un oscilador esta "empujando" cuando el otro est<i "tirando ". Pero en la direcci6n norte la seii.al del mas cercano llega en un cierto tiempo y la de! otro llega media periodo mils tarde. Pero el Ultimo estaba originalmente atrasado en medio periodo y por lo tanto csta exactamentc a tiempo con cl primero y por lo tanto la intcnsidad en esta dlrecci6n es 4 unidades. La in tcnsidad en la direcci6n 30" sigue siendo 2, coma podemos dcmostrar luego. Ahora llegamos a un caso interesante que muestra un aspecto posiblemente Util. Observcmos que una de las razones por la cua! las relaciones de fase de los osciladores son interesantes cs que se usa esto para dirigir las transmisiones de radio. Por ejemplo, si construimos un sistema de antenas y queremos mandar una selial de radio, digamos a Hawaii, ponemos las antenas coma en la figura 29-5 (a) y transmitimos con nuestras dos antenas en fase porque Hawaii estil al oeste de nosotros. Luego decidimos que maii.ana vamos a transmitir a Alberta, Canada. Como estil al norte, no al oeste, todo lo que tenemos que hacer es invertir la fase de una de nuestras antenas y podemos transmitir para cl norte. Asi podemos construir sistemas de antena con diversos arreglos. El nuestro es uno de los mas simples posibles; podemos haccrlos mucho mas complicados, y cambiando las fases en las diversas antcnas podemos mandar los haces en divcrsas direcciones y cnviar la mayor partc de la potencia en la direcci6n que queremos transmitir jsin mover mrnca !a antena~ En ambos casos precedentes, sin embargo, mientras estamos transmitiendo hacia Alberta estamos gastando mucha potencia hacia la Isla de Pascua y serLa intcresante preguntar si es posible mandarla en una so!a direcci6n. A primera vista podriamos pensar quc con un par de antenas de esta naturaleza el resultado va a ser siempre simetrico. Asi, pu<!s, considercmos un caso en que sale asimetrico, para mostrar !a posible varicdad. Si las antenas est:in separadas un cuarto de longitud de onda y s1 la de! N estil atrasada un cuarto de periodo en el tiempo con respecto a la Jel S, .-,que sucede entonccs (Fig. 29-6)? En la direcci6n 0 obtenemos 2, como veremos luego. En la direcci6n S obtenemos cero porque la sefial de S llega en un cierto tiempo; !a de! N llega 90" atrasada en 29-6 el liempo, pero ya esta atrasada en 90° en su fase impuesta, luego llega con un defasaje total de 180° y no hay efecto. Por otro \ado, en la direcci6n N, la seiial N llega mas temprano que la seiial S en 90° en el tiempo, porque esta un cuarto de longitud de onda mils cerca. Pero su fase esta puesta de ta! manera que estil oscilando 90" atrasada en el tiempo, lo que compensa justamente la diferencia de atraso y, por !o tanto, las dos seiiales aparecen juntas en fase hacienda la intensidad del campo el doble de grande y la energia cuatro veces mayor. ·+· Fig. 29-6. U11 par de antenas dipolares que dan potencia maxima en una direcci6n Por lo tanto, usando cierta inteligencia al separar y defasar nuestras antenas. podemos cnviar toda la potencia en una direcci6n. Pero todavia esta distribuida sabre un gran intervaJo de itngulos. ~Podemos arreg\ar las cosas de manera quc este enfocada aim m:is nitidamente en uria direcci6n particular? Consideremos el caso de Hawaii nucvamente, donde estamos enviando el haz hacia el este y e! oeste, pero estii. esparcido eri un <ingulo baslante grande, porque aUn a 30° todavia cstamos obteniendo la mltad de la imensidad --esrnmos malgastando potencia-. t.Podemos mejorar eso'! Tomcmos la situaci6n en que l2. separaci6n es diez longitudes de onda (Fig. 29-7), que es mas cercaname:ite comparable a la situaciim con que experimentamos en el capitulo atJterior con separaciones varias longitudes de onda Aqui el cuadro es bien en vez de una pequeiia fracci6n de una longitud de difercnte. diez longitudes de onda (tomamos el caso en Silos fase para ia dirccci6n E"O estim en fase y ob1eneque habriamos obtenido si uno de eUos de separaci6n pequeiio, los tiempos de ccro. Para ser precisos, sl trazamos una y !a diferencia L!. en las dos distancias a estar fuera de fase. Asi quc este primer no estit dibujada a escala; es s6\o un bosqueJo r,,fl. ;o• Un con1unto de se1s anteV parte de su diagrania de 29-7 un rayo muy agudo en la direcciOn que queremos, porque si nos movemos sO!o un poco, perderemos toda nuestra intensidad. Desgraciadamente para fines pr3.cticos, si estuvieramos pensando en hacer un aparato de transmisiOn de radio y dobliiramos la distancia ti, entonces estariamos un cido completo fuera de fase jque es lo mismo que estar en fase de nuevo! Asi encop.tramos muchos milximos y minimos sucesivos justamente como encontramos con la separaci6n de 2 I /2 .A en el capitulo 28. lC6mo podemos deshacernos de estos m3.ximos adicionales, o "16bulos", como se Jes llama? Nos podriamos deshacer de los !6bulos indeseables de una man era bastante interesante. Supongan que pusieram,Os otro conjunto de antenas entre los dos que ya tenemos. 0 sea, las exteriores alm estiln separadas 10 .A, pero entre ellas, digamos cada 2 A, hemos puesto otra antena y las excitamos a todas en fase. Existen ahora seis antenas y si observilramos la intensidad en la direcci6n E-0 seria, por supuesto, mucho mayor con seis antenas que con una. El campo seria seis veces y !a intensidad treinta y seis veces mayor (el cuadrado de! campo). Obtenemos 36 unidades de intensidad en esa direcci6n. Ahora bien, si observamos en los puntos vecinos, encontramos un cero como antes, aproximadamente, pero si avanzamos hasta donde. teniamos una gran "protuberancia", obtenemos ahora una "protuberancia" mucho menor. Tratemos de ver por que. La raz6n es que, a pesar de que podriamos esperar una gran protuberancia cuando la distancia Li es exactarnente igua1 a la longitud de onda, es cierto que los dipolos 1 y 6 estfln entooces en fase y estim cooperando en tratar de obtener alguna intensidad en esa direcci6n. Pero los nUmeros 3 y 4 estim aproximadamente a I /2 longitud de onda fuera de fase con I y 6 y, aunque 1 y 6 empujan juntos, 3 y 4 empujan juntos tambien, pero en la direcci6n opuesta. Luego hay muy poca intensidad en esa direcci6n -pero hay algo, ella no se compensa exactamente-. Este tipo de cosas si.gue sucediendo; obtenemos protuberancias muy chicas y tenemos el haz lfuerte en la direcci6n en que lo queriamos. Pero en este ejemplo particular, algo mas va a suceder: a saber, como la distancia entre dipolos sucesivos es 2 .\,es pcsible encontrar un imgulo donde 1111. dislancia 8 entre dipoios sucesivos es exactamente una longitud de onda de manera que los efectos de cada uno de ellos esten de nuievo en fase. Cada uno esta atrasado con respecto al sl.guiente en 360", de manera que todos vuelven en fase JY tenernos otro haz mayor en esa direcciOn! Es fflcil evitar esto en la prilctica, porque es posible poner los dipolos mils cerca que a una separaci6n de una longitud de onda. Si ponemos mils antenas, mil.s cerca que una longitud de onda, esto no puede suceder. Pero el hecho de que esto pueda suceder para ciertos una longitud de onda, es un fenOmeno muy itngulos, si la separaciOn es -no en la trn.nsmisi6n de radi0, sino en redes lnteresante y Uti! en otras de difracci6n. 29-S La matem:iitica de la interferem:ia Ahora hemos terminado nuestro anf1Ji5is de los fen6menos de radiadores dipolares cualitativamente y debemos aprender c6mo analizarlos cuantitatinmente. Para encontrar el efecto de dos fuentes a un cierto .ilngulo particular en el caso mas general, donde los dos osciladores tienen un defasaje intrinsecoay las intensidades A 1 y A 2 no son igua!es, encontramos que tenemos que sumar dos cosenos que tienen la misma frecuencia pero con fases diferentes. Es muy f3.cil encontrar esta diferencia de fase; estii. constituida por el atraso debido a la diferencia de distancias y la fase 29-8 intrinseca impuesta a la oscilaci6n. Matem8.ticamente debemos encontrar la suma R de dos ondas: R = A 1 cos (wt+ ¢ 1) + A 2 cos (uJ! + ¢ 2) lCOmo hacerlo? Es realmente muy facil y ptesuponemos que ya sabemos c6mo hacerlo. Sin embargo, vamos a delinear cl procedimiento con cierto detal\e. Primero podemos, si somos h8.biles en matem8.tica y sabemos suficiente de cosenos y senos, desarrollarlo simplemente. El caso mils simple es aquel en que A J y A 2 son iguales, digamos ambos iguales a A. En estas circunstancias, por ejemplo (podriamos llamarle mi:todo trigonometrico de resoluci6n de! problema), tenemos R = A[cos (wt+ rf>i) + cos (wt + rf>2H· (29.9) Alguna vez, en nuestra clase de trigonometria, habremos aprendido la regla que cos A + cos B = 2 cos!(A + B) cos !(A - B). (29. to) Si sabemos eso, podemos inmediatamente escribir R en la forma Encontramos asi que tenemos una onda oscilatoria con una nueva fase y una nueva amp!itud. En general, cl resultado scr.i una onda oscilatoria con una nueva amplitud AR, que podriamos Hamar amplitud resultante, y que oscila con la misma frecuencia pero con un defasaje ¢R, llamado fase resultante. En vista de esto, nuestro caso particular tiene cl siguiente resultado: que la amplitud resultante es (29.12) y la fase resultante es el promedio de las dos fases y hemos resuelto completamente nuestro problema. Fig. 29-9. Metodo geometrico para comb1nar dos ondas cosinusoidales. Se supone que todo el diagrama esta girando en sentido antihorario con trecuencia angularw. Supongan ahora que no podemos recordar que la surua de dos cosenos es el doble de! coseno de la semisuma por el coseno de la semidiferencia. Entonces po~ demos usar otro mi:to<lo de an<i.lisis que es m3.s geomi:trico. Cualquier funci6n coseno de <•JI se puede considerar coma la proyecci6n horizontal de un vector rotante. Supongan que existiera un vector A 1 de largo A 1 rotando en el ti em po de man era que el 3.ngulo con el eje horizontal es 1vt + ¢ 1• (Vamos a dejar de !ado el wt por un momenta mas y veremos quc ello no tiene importancia.) Supongan que tomamos una instant<i.nea en el tiempo r = 0, aunque de hecho la fotografia esta rotando c.on velocidad angular w (Fig. 29-9). La proyecciOn 29-9 de A 1 seglln el eje horizontal es precisamente A 1 cos (<vt + ¢ 1). Ahora bien, para t = 0 la segunda onda podria estar representada por otro vector Ai de largo Ai y con un ii.ngulo ¢ 2, y que tambii:n rota. Ambos estii.n rotando con la misma velocidad angular w y, por lo tanto, las posiciones relativas de ambos son fijas. El sistema gira coma un cuerpo rigido. La proyecci6n horizontal de A 2 es Ai cos (wt+ cb 1 ). Pero sabemos par la teoria de vectores que si sumamos las dos vectores de la manera acostumbrada mediante la regla de! paralelogramo y dibujamos el vector resultante AR , la componente x de la resultante es la suma de las componentes x de los otros dos vectores. Eso resuelve nuestro problema. Es· fiLcil verificar que esto da el resultado correcto para el caso especial que consideramos mils arriba don de A 1 =- Ai = A. En este caso vemos en la figura 29-9 que AR estii. a medio camino entre A 1 y A 2 y forma un il.ngulo!{¢i-cb 1 ) con cada uno. Por lo tanto vemos que AR= 2 Acos~f<f>i-<;\) co~o antes. Tam_bii:n, seglln vemos en el tric\:ngulo, la fase de AR mientras gira, es el angulo promed10 A 1 y A 1 cuando las dos amplitudes son iguales. Sin duda tambiei_i. podemos resolver el caso en q_ue las amplitudes no son igua!es con la misma fac1hdad. Podemos llamar a lo anterior la manera {.:eomhrica de resolver el prob!ema. Hay todavia otra mancra de resolver el problema: la manera analitica. 0 sea, en vez de tener quc hacer realmente un dibujo como el de la fi.gura 29-9, podemos escribir algo que diga lo mismo que el dibujo: en vcz de dibujar los vectores, escribimos un nUmero complejo para rcpresentar cada uno de !os vectores. La parte real de las nllmeros complejos son las cantidades fisicas verdaderas. Luego, en nuestro caso particular las ondas podrian escribirse de esta manera: A 1 ei ("'1 + ¢1) !Ia parte real de esto es Ai cos (wt + <fl 1)1 y A 2 ei <"'1 + ",l. Ahora podemos sumar los dos: Esto resuelve el problema que queriamos resolver, porque representa el resultado como un nUmero complejo de m6dulo AR y fase cb11.Para ver c6mo funciona este metodo encontremos !a amplitud AR que es el "largo" de R. Para obtener el "largo" de una cantidad compleja. slempre mult1plicamos la cantidad por su complejo conjugado que da el largo a! cuadrado. El com" plejo conjugado es la misma expresiOn, pero con el slgno de i invert1do. Tenemos asi A~= (A 1e' 9 ' + Azei" 2 )(A 1e-i.;, Al hacer la mu!tiplicaci6n obtene nos A tCrminos cruzados tenemos i+ + e-'" 2 ). A2 (29.15) A l {aqui sc cancclan )as e) y para los Ahora bien, e'' + e-ia =cos 0 + isen 0 +cos(} - isen 0. 0 sea e111 + e'" = 2 cos 0. Nuestro resultado finale~ por lo tanto 29-10 Como vemos, esto estit de acuerdo con el largo de AR en la figura 29-9 usando las reglas de trigonometria. Luego la suma de los dos efectos tiene la intensidad de A ~que obtendriamos con uno de ellos solo mils la intensidad Aique obtendriamos con el otro solo, mils una correcciOn. Esta correcci6n la llamamos efecto de interferencia. Es realmente s61o la diferencia entre lo que obtenemos por simple suma de las intensidades y Jo que realmente sucede. Lo llamamos interferencia, sea positiva o negativa. (Interferencia en lenguaje comUn usualmente sugiere oposici6n o impedimento, ;pero en la fisica a menudo no usamos el lenguaje de la manera en que.fue diseiiado originalmente!) Si el tCrmino de interferencia es positivo llamamos ese caso interferencia constructiva jpor muy horrible que pueda sonar a toda persona que no sea un fisico! El caso opuesto se llama interferencia destructiva. )¢.. Ae;(..,t+~ igualalpun.toP ~ r -..~-1 11~;=~/ ~de seri 0 Fig. 29-10. Dos osciladores de igual amplitud defasados en a <!>2 - = ru + 27rdseri8(A. (29.17) es recmplazar todos 1os diver- 29-11 Veamos ahora que sucede en nuestros diversos casos. La raz6n que sepamos, por ejemplo, que la intensidad cs 2 para 30° en la figura 29-5 es la siguiente: Los dos osciladores estitn separados l/2 ;1, de manera que a 30", d sen (} = Al 4. Luego r;; 2 - © 1 = 2nA/ 4.l -,,- ;r/ 2 y, por lo tan to, el termino de interferencia cs cero. (Estamos sumando dos vectores a 90":) El resultado es la hipotenusa de un triitngulo rectitngulo de 45° que es yl2 por la unidad de ~plitud; elevitndolo al cuadrado, obtenemos el doble de la intensidad de un solo osct!ador. Todos los otros casos se pueden desarrollar de la misma manera. 29-12 30 Difraccion 30-1 La amplitud resultante debida a n osciladores iguales 30-2 La red de difracciOn 30-3 Poder de resoluciOn de una red 30-4 La antena parabOJica 30-1 30-5 Peliculas coloreadas; cristales 30-6 DifracciOn por pantaDas opacas 30-7 El campo de un piano de cargas oscilantes La amplitud resultante debida a n osciladores iguales Este capitulo es una continuaci6n directa de! anterior, aunque se haya cambiado el nombre de lnteiferencia a Difracci6n. Nunca nadie ha sido capaz de definir la diferencia entre la interferencia y difracci6n satisfactoriamente. Es s6lo un problema de uso y no hay ninguna diferencia fisica cspecifica importante entre ellas. Lo mejor que podcmos hacer, hablando a la ligera, e~ decir que cuando hay s6lo unas pocas fucntes que intcrficren, digamos dos, entonces el resultado se llama comllnmentc interferencia. Pero si hay un gran nllmero, parcce que la palabra difracci6n se usa mis a menudo. For consiguiente, no nos vamos a preocupar si es intcrferencia o difracci6n, sino que continuamos directamente a partir de donde dejamos el tema en su mitad en el Ultimo capitulo. Entonces discutiremos ahora la situaci{m cuando hay n osciladores igualmente espaciados, todos de la misma magnitud pcro difercntes unos de otros en la fase, ya sea porque ellos est<in excitados con una fase diferentc o porque los estamos mirando dcsde un ilngulo tal que hay diferencia de tiempo de atraso. For una raz6n u otra tenemos que sumar algo como esto; R = A[cos wt + cos(wt + <P) + cos(wl + 2.p) + · · · + cos(wt + (n - l)<P)J, (JO.I) dondc tp es cl defasaje cntrc un oscilador y el siguiente, tal como se ve desde una direcci6n particular. fapecificamentc ¢=a+ 2n d sen qi/k Ahora debemos su· mar todos los tf:rminos. Haremos esto geometricamente. El primero es de largo A y tiene fase cero. El siguiente tambien es de largo A y tiene una fase igual a¢· El siguiente nuevamente es de largo A y tiene una fase igual a 2 ¢ y asi sucesivamente. Por consiguiente, nos estamos moviendo evidentemcnte alredcdor de un poligono equiangular den !ados (Fig. 30-1). 30-1 ' '() 0' ' M A. .. Jr" .\ ,' • I - - .r,, 0 t, s '· F1g. 30-1. Amphtud resultante de n = 6 fuentes 1gualmente espac1adas con defasa1es suces1vosnetosf/J ~ Ahora bien, todos los vertices estiln, por supuesto, sobrc una circunferencia y podemos encontrar la amplitud resultante m3.s faci!mente si encontramos el radio de esa circunferencia. Supongan que Q cs el centro de la circunferencia. Entonces sabemos que e! iLngulo OQS es justamente un ilngulo de fase </J. {Esto es porque el radio QS tiene la misma relaciim geometrica con A 2 que QO con A 1, de manera que forman un :ingulo ¢ entre si.) Luego el radio r debe ser tal que A -= 2r sen tp/2 !o que da r. Pero el 3.ngulo grande OQT cs igual a mp y encontramos asi que AR= lr sen mp/2. Combinando estos dos resu!tados para eliminar r, obtenemos A sen n~/}:. sen q,12 (30.2) 2 1 = 1 sen ntji/2. 0 seni t/!/2 (30.3) A = R La intensidad resultante es asi Analicemos ahora esta expresi6n y estudiemos algunas de sus consecuencias. En primer lugar la podemos verificar para n = I. Ella se verlfica: I= / 0 • En seguida la verificamos para n-= 2: escribiendo...'>en r/J -"'= 2 sen ¢/2 cos ¢/2 encontramos que A11 = 2A cos rfJ/2, lo que estil de acuerdo con (29.12). Ahora bicn, !a idea que nos llev6 a considerar la suma de varias fuentes fue quc podriamos obtener una intensidad mucho mayor en una direcciOn quc en cualquier otra; que los mil.ximos cercanos que habrian estado presentes si hubiera habido sO!o dos fuentes, habrian disminuido en intensidad. Para ver este efecto, dibujamo.s la curva que prm1ene de (30.3), tomando n enormemente grande y trazando la regiOn cerca de <ti-= 0. En primer lugar. si <{!es exactamente cero tencmos 0/0, pcro si <f> es infinitesimal e! cociente entrc !os Jos senos al cuadrado cs simplemente ni, ya que el scno y el 3.ngu!o son aproximadamente iguales. Lucgo, !a intensidad del mil.ximo de la curva es igual a n 1 por la intens1dad de un oscilador. Eso es fi1cil de ver, porque si estitn todos en fase. los pequeiios vectores no forman 3.ngulo rc!ativo y todos los n se surnan de manera quc la amplitud cs n veces mayor y la intensidad ni veces mayor. A medida que la fase <{! aumenta, el cocicnte entrc !os dos senos empieza a disminuir y la primera vez quc llcga a cero es cuando n r/i/2 = 71"; porque sen 1f -- 0. En otras palabras, r:p -" 2-rr/n corresponde al primer minima de la curva (Fig. 30-2). En tCrminos de lo que sucede con las flechas en la figura 30-l, el primer minima sucede cuando todas las flechas vuelven a! punto de partida; esto significa que el itngulo total acumulado 30-2 Fig. 30-2. la intensidad en funci6n del angulo de fase para un gran nUmero de osc1ladores de igual intens1dad por todas las tlechas, el defasaje total entrc el primer oscilador y el Ultimo, debe ser 2:rr para completar la circunferencia. Ahora vamos al proximo mm..imo y queremos ver si es realmente mucho mas chico que el primero, como habiamos esperado. No vamos a ir precisamente a la posiciOn mitxima porque tanto el numerador como el denominador de (30.3) son variables, pero sen ip/2 \·aria bastantc lentamente comparado con sen n .p/2 cuando n es gr:mde, de manera que cuando sen n <:f!/2 = I, estamos muy cerca de! milximo. El siguiente mitximo de sen 1 n <P/2 se produce a /1 cfl/2 = 3TC/2 6 rp = 3:7/n. Esto corresponde las flechas hayan recorrido la circunferencia una vez y media. Al poner <P = en !a formula para encontrar el tamaito del maximo, encontra---, I en el numerador (por eso elegimos este itngulo) yen el demos que sen 2 nominador tenemos sen 2 3:rr /2n. Ahora bien, si n cs suficientemente grande, este ilngulo es muy chico y el seno es igual a! 3.ngulo; luego. para todo fin pnictico podcmos poner sen 3"!f/2n = 3:rr/2n. Encontramos asi que !a intensidad de este maximo es/= / 0 (4n 2 /9"!f 2 ). Pero nl / 0 era la intensidad mitxima y tenemos asi 4/9n: 1 veces la intensidad mitxima, lo que es cerca de 0,047. jmenos del 5 por 100 de la intensidad mitxima! Por supuesto, que hay intensidades dccrccientes mils all<i. Por con siguicnte, tencmos un milximo central muy agudo con milximos subsidiarios muy d6biles a los !ados. Es posible dcmostrar que el area de toda la curva, incluyendo todas las pcqueiias protuberancias, es igual a 2"lfnl 0 o el doble de! area de! rectilngulo con linea punteada en la figura 30· 2. Consideremos ahora ademils cOmo podemos aplicar !a ecuaciOn (30.3) en diferentes casos y tratemos de entcnder lo quc sucede. Considcremos quc nuestras fucntes est<in todas en una linea como estll dibujado en la figura 30-3. Hay n de e!!as, todas separ.adas una distancia d y yamos a suponer que e! defasajc. intr!seco, entre una y ta s1gu1ente. es 1r. Luego, si estamos observando en una direcc1on (I desde la normal, hay una fase Fig. 30-3. Un dispos1t1vo lmeal den oscilaOOres iguales exc1tados ~n fases (ts = sa- 30-3 adicional 2nd sen ¢/J.. debido al tiempo de atraso entre cada dos sucesivas, de lo que hablamos antes. Asi 4> = a+ =a+ 2rrdsen 8/'l>. (30.4) kdsen8. Primero, tomaremos el caso (t ~- 0. Esto .es, todos los osciladores estim en fase y queremos saber cuti.I es la intensidad en fund6n de! ::ingulo 8. Para averiguarlo s6lo debemos poner ¢ = kd sen 8 en la formula (30.3) y ver que sucede. En primer Jugar, hay un miLximo cuando ¢ = 0. Eso significa que cuando todos los osci!adores est::in en fase hay una intensidad grande en la direcciOn fJ = 0. Por otro !ado, una pregunta interesante es 6d6nde estil el primer minima'! Se produce cuando $ ~--= br /n. En otras palabras, cuando 27fd sen 8/ J_ '----" 27f/ n, obtenemos el primer minima de la curva. Si nos deshacemos de !os br, de manera que podamos apreciar un poco mejor, esto dice qur ndsen 8 = A. (30.5) Tratemos ahora de comprender fisicamente por que obtenemos un minima en esa posici6n: nd es el largo total L de! conjunto. Refiriendonos a la figura 30-3. vemos que nd sen 8 = L sen 8 - .1. Loque dice (30.5) es que cuando Ci es igual a una longitud de onda, obtenemos un minima. 6Por que obtenemos un minima cuando .1 ----= A? Porquc las contribuciones de los diversos osciladores estti.n distribuidas entonces uniformemente en fase de O" a 360°. Las tlechas (Fig. 30-l) se desplazan alrededor de un circulo completo ---estamos sumando vectores iguales en todas direccioncs y esa suma es cero-. De manera que cuando tenemos un 3.ngulo tal que ~ = >l, obtenemos un minimo. Ese es el primer minima. Hay otro aspecto importante de la formula (30.3) que es que si el :i.ngulo ¢o es aumentado en cualquicr mllltiplc de 27f, no introduce ninguna diferencia a la formula. Por consiguicnte, obtenemos otros m:i.ximos grandes para 1.j) = 2,., 4'1", for, etc. Cerca de cada uno de estos m.iximos grandes el diagrama de la figura 30·2 se repite. Nos podemos preguntar 6Cuti.l es la circunstancia geometrica que lleva a estos otros mii.ximos grandes? La condici6n es que qi'---- 2-n:m, donde mes cualquier entero. 0 sea, 2nd sen B/.l'""' 27rm. Dividiendo por 2-n:, vemos que d~en(J = mA. (30.6) Esta se parecc a la formula (30.5). No, esa formula era nd sen (! = .l. La diferencia es que aqui tenemos que observar a lasfuentes indh'iduales cuando dccimos d sen (J = mA, eso significa que tenemos un 3.ngulo (J ta! quc b --'En otras palabras, sucesivas estiin cada fucnte cst:i. ahora contribuyendo en una cicrta cantidad y defasadas en un mllltiplo cntero de 360° y, por lo tanto, c~tan contribuyendo en j'ase, porque defasados en 360u cs lo mismo que estar en fase. Por consiguientc. todos contribuyen en fasc y producen un m<ixim~ tan bueno coma el de '!! = 0 que discutimos antes. Las protuberandas subsidianas, toda la forma del diagrama cs justamcnte igual a la ccrcana a op= 0, con cxactamente los mismos minimos a cada lado, etc. Luego ta! dispositivo 30-4 va a mandar rayos en varias direcciones --cada rayo teniendo un miximo central fuerte y un cierto nUmero de "\Obulos latcrales·• d6biies. Uno se refiere a los diver~m rayos intensos coma rayos de orden cero, primer orden, etc., de acuerdo con el valor de m · m se llama el orden de! rayo. Liamamos la atenei6n sabre el hecho de que si d es menor que .l., la ecuaci6n (30.6), no puede tener soluciOn excepto para m -,~ 0, de modo que si la scparaci6n es demasiado chica hay s61o un rayo posible, el de orden cero centrado en (),,... 0. (Por supuesto, tambiCn hay un rayo en la direcciOn opuesta.) Para obtener m<'lximos subsidiarios grandes debemos tener !a separaci6n d de! conjuntu mayor que una longitud de onda. 30-2 La red de difracciOn En el trabajo tecnico con antenas fases de los pequefios oscilaJores o la luz. podemos hacer algo ~imilar literalmente pequeiias alambres infinitcsimales y muy facil de hacer algo qlie poc iESIO lambitin se zo piano de v1drio y perse en fornrn ligeramente vidrio, cada una Je las en forma muy fina, pero modos casi tecnicamcnte la \uz no s(ilo va a pasar llngulo distinto de eero que se han hecho realmente y son En una de sus formas, una red de difracci6n consiste simp!emente en una l<'lmina de vidrio piano transparcnte e incolora con rayas. Hay a menudo varios 30-5 cientos de rayas por milimetro dispuestas muy cuidadosamente para que esten igua1mente separadas. El efecto de es ta red se puede observar disponiendo un proyector para que proyecte una angosta linea vertical de luz (la imagen de una rendija) en una pantalla. Cuando ponemos la red en el haz, con los rayos verticales, vemos que la linea todavia esta ahi, pero adcmas a cada !ado tenemos otra mancha intensa de luz que esta coloreada. Esta, por supuesto, es la imagen de la rendija extendida en un amplio intervalo angular, porque el imgulo 0 en (30.6) dcpende de J. y luces de diferentes colores, como sabemos, corresponden a diferentes frecuencias y por lo tanto a diferentes longitudes de onda. La longitud de onda mits larga visible es el rojo y como d sen 0 = .l, eso requiere un itngulo 0 mayor. jY cfectivamente encontramos que el rojo forma un itngulo mayor desdc la imagen central! Deberia haber un rayo en el otro !ado tambien y efectivamente vemos uno en la pantalla. Luego, podria haber otra soluciim de (30.6) cuando m = 2. Vemos efectivamente que hay algo vago ahi -muy dCbil- y hay aim otros rayos mils all.i. ReciCn hemos dicho que todos cstos rayos deberian ser de la misma intcnsidad, pero vemos que en realidad no lo son y en efecto i ni siquiera los primeros a la derecha y a la izquierda son iguales! La raz6n es que la red ha sido construida cuidadosamente para hacer precisamcnte esto . .;C6mo? Si la red consiste en rayas muy finas, de ancho infinitesimal, separadas uniformemente, cntonces las intensidades serian realmente iguales. Pero de hecho, aunquc hemos tornado el caso mas simple, tambifo podriamos haber considcrado un dispositivo de pares de antenas en el cual cada integrante de! par tiene una cierta intensidad y cierta fase relativa. En este caso, es posible obtener intensidades que son diferentes en los difercntes 6rdenes. Una red se hace a menudo con pequeiios cones de "dientes de sierra" en vez de pequeiias muescas simCtricas. Disponiendo cuidadosamente los "dientes de sierra", se puede enviar mils luz a un orden particular del espectro que a otros. En una red real deseariamos tener toda la luz posible en uno de los Ordenes. Esto podria parecer dificil de conseguir, pero es algo que conviene mucho rcalizar porquc hace la red mils Util. Fig. 30-4. La diferencia de trayectoria para rayos d1spersados por rayas adyacentes de una red esdsen0 501 -dsenOent Hasta ahora hcmos considerado el caso en que las fases de las fuentes son iguales. Pero tambifo tenemos una formula para $ cuando las fases dificren entre si en un il.ngulo rr. Esto requiere conectar nuestras antenas con una pequeiia diferencia de fase entre si. ;,Podemos hacer csto con la luz? Si, lo po<lemos hacer muy facilmcnte, para lo cual supongan que existe una fuente de luz en el infinito a un dngulo ta] que la luz llega en un ilngulo o.m y, digamos que, descamos discutir e! haz dispersado que se alcja en un <i.ngulo 1/,31 • El fl,,u es el mismo (I que teniamos antes, pero el ()em es s61o un media para arreglar quc !a fase de cada fuentc sea 30-6 diferente: la luz provenie.nte de la fuente excitadora lejana toca primero una raya, luego otra, luego la otra y asi sucesivamente con un corrimiento de fase. de una a la otra que es como vemos a= - d sen (Jent/ ...t. Por lo tanto, tenemos la formula para una red en la cual la luz llega y se aleja a un ilngulo: (30.7) Tratemos de averiguar d6nde obtenemos gran intensidad en este caso. La condici6n para intensidad grande es, por supuesto, que © sea un mUltiplo de 2n. Hay varios puntos interesantes que deben notarse. Un c.aso de interes bastante grande es el que corresponde a m = 0, donde des men or que A; en realidad, Csta es la {mica soluci6n. En este caso vemos que sen Osa1 = sen Bent• lo que significa que la luz sale en la misma direcci6n que la luz que estaba excitando !a red. Podriamos pensar que la luz "pasa de largo". No, estamos hablando de luz diferente. La luz que pasa de largo proviene de la fuente original; de lo que estamos hablando es de la nueva luz que se genera por dispersiOn. Resulta que la luz dispersada va en la misma direcci6n que la luz original; en realidad, puede intcrferir con ella -un aspecto que vamos a estudiar mils tarde. Hay otra soluciOn para este mismo caso. Para un Rent dado, 11,a1 podria ser el sup/emento de &ent· Asi que no s61o vamos a obtener un rayo en la misma dirccci6n que el rayo que llega, sino tambifo otro en otra direcciOn, el cual, si lo consideramos cuidadosamente, es ta] que el tingu/o de incidencia es igual al tingu/o de dispersi6n. Lo llamamm rayo rejlejado. Asi empezamos a entender el mecanismo b.isico de la reflexi6n: la luz que llega genera movimiento de los 0.tomos en el reflector y entonces cl reflector genera una nueva onda y una de las soluciones para la direcci6n de dispersi6n, la Unica soluciOn si la separaciOn de los dispersores es pequefia comparada con una longitud de onda, es que jel ilngulo con que sale la luz es igual al itngulo con que llegaf En seguida, discutimos el ca so especial cuando d -• 0. O sea, tenemos p1 ecisa mente un pedazo s6lido de material. por decirlo asi, pero de largo finito. Ademii.s queremos que el defasaje enlre un dispersor y el siguiente tienda a cero. En otras pa!abras, ponemos cada vez m.is antenas entre las anteriorcs de manera que cada uno de los defasajes se vaya haciendo meuor, pero el nUmero de antenas crezca en forma tal que el defasaje total, entre un extremo de la linea y el otro, sea constante. Veamos que sucede ..::on (30.3) si mantenemos constante el defasajc mllde un extrema al otro (digamos n© -- ©), haciendo que el nUmero ticnda a infinito y el defasaje r;, de cada una tienda a cero. Pero ahora c es tan pequciio que sen c = ,7, y si tambien reconocemos ni10 como /= la intensidad mitxima en cl centro de! rayo, encontramos (30.8) Este caso limite es lo que se muestra en !a figura 30-2. 30-7 En estas circunstancias encontramos el mismo tipo general de figura que para separaci6n finita con d >.t. todos los 16bulos laterales son pr~cticarnente los mismos que ante~, pero no hay m.iximos de orden superior. Si los dispersores estitn todos en fase, obtenemos un mitximo en la direcci6n 0, 31 = 0 y un mlmmo cuando la distancia L\ es igual a .l, tal coma para d y n finitos. Asi que hasta podemos analizar una distribuci6n continua de dispersores u osciladores, usando integrales en vez de suma. T~);i l: I f~ , __ ----i l~=..:~. 1 Fig. "30-5. El d1agrama de 1ntens1dad de una f1la continua de osciladores tiene un Urnco m8x1mo grande y muchos "16bulos laterales" deblies o~o 30-3 Poder de resoluciOn de una red roja, mu) prox1ma, ;,cmm proximas pueden estar? Esto se llama el poder de resoluciOn de la red, y una manera de analizar el prob!ema es la siguiente. Supongan que para luz de un cierto color sucede que tenemos el milximo de haz difractado en un cierto :ingulo. Si cambiamos la longitud de onda, la fase 2nd sen 8 / ..l es diferente, de manera que el milximo se produce por cierto a un ilngulo diferente. Por es to es que el rojo y el azul estiln separados. l QuC diferencia de ilngulo de be haber para que seamos capaces de verlo? Si los dos milximos est<in uno encima del otro, por supuesto que no los podemos ver. Si el m<iximo de uno est<i suficientemente alejado de! otro, entonces vemos que hay una doble protuberancia en la distribuciOn de la luz. Para poder discernir la doble protuberancia, se usa gencralmente el siguiente criterio simple llamado criterio de Rayleigh (Fig. 30-6). Este consiste en que el primer m[nimo de una protuberancia debe estar sobre el milximo de la otra. Ahora es muy facil calcular cmil es la diferencia de longitud de onda, cu<indo un minima estii sobre el miximo·de la otra. La mejor manera de hacerlo es gcomt':tricamente. El m<iximo de un mer mini model otro Para tener un milximo para lafongitud de onda X, la distancia .1 (Fig. 30-3) dcbe ser n.X y si estamos observando el rayo de orden m, es mnX. En otras palabras, 2nd sen OIX = 2nm; por lo tanto nd sen 0, que es .1, es X por n o mn J.'. Para el otro rayo, de longitud de onda .A, queremos tener un mfnimo a cstc :'ingulo. Esto es, queremos que .1 sea exactamente una longitud de onda A mils que mn,1.. 0 sea, .1 = mM + A mnX. Luego si X = A + .1.A, encontramos 6A/A = i/mn. (30.9) El cociente I/.1.,1 se llama poder tie resoluci6n de una red; vemo~ yuc cs igua! al nU.mero total de lineas de !a red multiplicado par el orden. No es dificil probar que esta f6rmula es equivalente a la formula quc el error en la frecuencia es igua! a la inversa de la diferencia de tiempo entre trayectorias extremas que se permite interferir*: D.v = l/T. De hecho, esta es la mejor manera de recordarla, porque la formula general funciona no s6lo para redes, sino para cualquier otro instrumento, mientras que la formula especial (30.9), depende del hecho que estamos usando una red. v = • En nuestro caso c/.l, asi quc jv = mnJ)c, donde c es la velocidad de la luz. La frecuencia 30-9 30-4 La antena pa.rabOlica C onsideremos ahora otro problema en relaci6n con el poder de resoluci6n. Esto tiene que ver con la antena de un radio-telescopio, usado para determinar la posici6n de fuentes de radio en el cielo, es decir, cuin grandes son ellas en 3.ngulo. Por supuesto, si us3.ramos cualquier antena comU.n y encontritramos las seiiales, no sabriamos de quC direcci6n venian. Estamos muy interesados en saber si la fuente estil en un !ugar o en otro. Una manera de averiguarlo es co!ocar toda una serie de alambres dipolares igualmente espaciados •en el paisaje australiano. Luego tomamos todos los alambres de estas antenas y los conectamos al mismo receptor de ta1 manera que los atrasos en las lineas de alimentaciOn sean iguales. As~ el receptor recibe sei\ales de todos los dipolos en fase. 0 sea, suma todas las ondas de cada uno de los dipolos en la misma fase. {.Que sucede ahora? Si la fuente estil directamente encima de! dispositivo, en el infinito, o aproximadamente asi, entonces sus ondas de radio van a excitar a las antenas en la misma fase de manera que todas alimentan al receptor en conjunto. Supongan ahora que la fuente de radio forme un pequei\o ii.ngulo 0 con la vertical. Entonces !as diversas antenas estim recibiendo sefiales un poco defasadas. El receptor suma todas estas sei\ales defasadas. y por lo tanto no obtenemm nada si el angulo 0 es demasiado grandc. ,:,Que tamafto puede tener el ilngu!o'! Respuesta: obtenemos cero si el Eingulo J/L = O (Fig. 30-3) corresponde a un defasaje de 360", o sea si ~ es la longitud de onda .\. Esto se debe a que las contnbucior.es de los vectores forman en conjunto un poligono completo con resultante cero. El menor ilngulo que se puede resolver mediante un dispositivo de antenas de largo Les 0 = )./ L. Noten que el diagrama de recepci6n de una antena como esta es exactamente igua! que la distribuci6n de intensidad que obtendriamos si invirtieramos el receptor y lo transform<i:ramos en un emisor. Esto es un ejemplo de lo que se llama principio de reciprocidad. De hecho resulta vidido en genera! para cualquier arreglo de antenas, ilngulos, etc., es decir, si primero resolvemos cu ill es sedan !as intensidades relativas en diversas direccioneS si el receptor fuera en su lugar un transmisor, entonces la sensibilidad direccional relativa de un receptor con las mismas conexiones externas, el mismo arreg\o de antenas, es la misma que lo que seria la intensidad relativa de em1si6n si fuera un t:ansmisor. Algunas antenas de radio estii.n hechas de otro modo. En vez de tener un mont6n de dipolos >!n una larga linea, con muchos alambres de alimentaciOn, podemos disponerlos no en una Hnea. sino en una curva y poner el receptor en un cierto punto donde pueda detectar las ondas dispersadas. Esta curva estit disei\ada inteligentemente de manera que si las ondas de radio Hegan desde arriba y los alambres dispersan formando una nueva onda, los alambres estiln dispuestos de tal modo que las ondas dispersadas llegan al receptor todas a! mismo tiempo (Fig. 26· I 2). En otras pa!abras, la curva es una paritbola y cuando la fuente estC exactamente en su eje, obtenemos una intensidad muy grande en el foco. En este caso entendcmos muy claramente cuill es el poder de re~oluci6n de este instrumento. El arreglo de las antenas en una curva parab61ica no es un punto esenciat. Es sc"ilo una manera conveniente de llcvar las seiiales a un mismo punto ~in atrasos rc!ativos y sin alambres de alimentac16n. El Ungulo que ese instrumento puede re5oher es todavia {) - _\/L, donde L es la separaci6n entre la primera y la iiltima antena. No dcpende de laseparaci6n de la~ antena~ que pueden estar muy juntas o, de hccho, ser un 30-IO pedazo de metal. Ahora estamos describiendo un espejo telesc6pico, por supuesto. jHemos encontrado el poder de resoluci6n de un telescopio! (A veces el poder de resoludOn se escribe 8 = 1,22 AIL, donde Les el diii.metro de! telescopio. La raz6n que no sea exactamente AIL es Csta: cuando ca!culamos que 6 =AIL, supusimos que todas las Jineas de dipolos eran iguales en intensidad, pero cuando tenemos un telescopio circular que es la manera en que corrientemente disponemos un telescopio, no llega tanta seiial desde !os hordes exteriores, porque no es como el caso de un cuadrado, donde obtenemos la misma intensidad a lo largo de todo un !ado. Recibimos algo menos, porque estamos usando s6lo una parte de] telescopic ahi; podemos asi apreciar que el diilmetro efectivo es un poco mas corto que el di9.metro verdadero, y eso es lo que nos dice el factor J,22. En todo caso parece un poco pedante poner tanta precisi6n en la f6rmula de! poder de reso!uci6n.)* 36-.5 Pelicu!as coloreadas; cristai!!s 30-11 decir cu3.nto estaban separadas las Jineas de la red si conocieramos la !ongitud de onda de la luz. Por la diferencia de intensidad de !as distintas im&genes podriamos encontrar la forma de las rayas de la red, bien que la red estuviera hecha de alambres, muescas de dientes sierra, o lo que sea, sin poder verlas. Este principio se usa para descubrir !as posiciones de tos citomos en un cristal. La {mica complicaci6n es que un cristal es tridimensional; es un arreglo tridimensional repetido de 3.tomos. No podemos usar luz ordinaria, porque debemos usar algo cuya longitud de onda sea menor que el espacio entre los itomos o no obtenernos ningUn efecto; asi que debemos usar iadiaciOn de longitud de onda muy corta, es decir rayos X. Asi hacienda incidir rayos X en un cristal. y notando lo intensa que es la reflexi6n en los diferentes 6rdenes, podemos determinar el arreglo de los 3.tomos dentro iSirl que podamos verlos jamiis con el ojo! Es en esta forma que conocemos el arreglo de los 3.tomos en diversas sustancias, lo que nos permitiO trazar aquellos dibujos en el primer capitulo, mostrando el arreglo de los iltomos en la sal, etc. Volveremos mas tarde a este tema para discutirlo en mayor detalle y, por lo tanto, no diremos mils por ahora acerca de esta notabilisima idea. fig. 30-7 Objetooparo 81 8 lJna fuente de luz d•stant2 opi!co sobre Pantal1a ~~~Y:~~~ 1 ~ ,somDra de un cb1eto 30-12 Fig. 30--8. La suma de amplitudes para muchos osciladores en fase cuyos retardos en las fases varian con el cuadrado de la distancia desde el punto D de la figura anterior un poco complicadas. Fuera de eso, es exactamente lo mismo que hemos estado haciendo todo el tiempo. Todos los fen6menos de interferencia son los mismos, nose induye nada mucho mas avanzado, s6lo las circunstancias son mils complicadas yes mas dificil sumar los vectores, eso es todo. Supongan quc tenemos una luz que vienc del infinito proyectando la sombra de un objeto. La figura 30-7 muestra una pantalla en la cual la somhra de un objeto AB esta producida por una fuente de luz muy lejana 'comparada con una longitud de onda. Podriamos ahora cspcrar que por fuera de la sombra este todo iluminado y por dentro todo oscuro. De hecho, si graficamos la intensldad en funci6n de la posici6n cerca del borde de la sombra, la intensidad aumenta y [uego se sobrepasa, se bambolea y oscila de una mancra muy peculiar cerca de este horde (Fig. 30·8). Ahora vamos a discutir la raz6n de esto. Si usamos el teorema que no hemos demostrado todavia, podemos rcemplazar el problema real por un conjunto de fuentes efectivas distribuidas uniformemente en el espacio abierto mils ana del objeto. Imaginamos un gran nlimero de antenas muy poco distantes y deseamos la intensidad en un cierto punto P. Esto se parece justamente a lo que hemos estado hacienda. No tota!mcnte; porque nuestra pantalla no estil en el infinito. No queremos !a intensidad en el infinito, sino en un punto finito. Para calcular la intensidad en un lugar particular. tenemos quc sumar las contribuciones de todas las antenas. Primero, hay una antena en D, opuesta exactamente a P; si subimos un poco en ii.ngulo, digamos una altura h, entonces hay un aumento en el atraso (tambien hay un cambio en la amplitud debiJo al cambio en la distancia, pero estc e~ un efccto muy pequeiio si estamos lcjos y es mucho menos importante que el defasaje). La diferencia en la trayectoria EP- DP es ahora h 2 /2s, de mancra que el defasaje cs de cuii.nto nos alejamos de D, mientras que en nuestro proporcional al trabajo y cl defasaje era !inea!menre proporcional a h. Cuando las fases son proporcionales, cada vector se suma formando un ii.ngulo Lo que necesitamos ahora es una ourva que se hace suinfinitesimales con la condici6n de que e! ilngulo que for~ino con el Cuadrado de la Jongitud de la curva. aumente, no csa curva pone en juego una matcm3.tica ligeramente avanzada, pcro poderno> con,tnur J1bujando efectivamente las flechas y midiendo Jos 3{}-J 3 l;i [\ _ IL ~ ,:, ____ ____ 0 .., I\ A \}\JR\I 0 ~ <rv F;g. 30-9. La ;,,.,.;d•d " " ' dol bo,do de una sombra. El borde de la sombra geomel tricaest~enx11 . obtenemos la maravillosa curva (Hamada espiral de Cornu) que se muestra en !a figura 30..8. Ahora bien, (,cOmo usamos esta curva? Si queremos la intensidad, digamos en el punto P, sumamos una serie de contribuciones de fases diferentes desde el punto D hacia arriba hasta infimto y desde D hacia abajo s61o hasta el punto BP. De manera q~e partimos de BP en la figura 30-8 y dibujamos una serie de flechas con ii.ngulos siempre crccientes. Por lo tanto, la ~~Yat;~1:;~~6~etoi~:e:r':r se~~r~geJ/~";~r,Bfa·:~~li~~dl8t~~1 dseer\: ~~rv:e~:1orcsg!~~~ ~ hasta ese punto; en este problema particil.lar vamos hasta infinito, de manera que la respuesta total es el vector Brw· Ahora bien, la posici6n sabre la curva que corresponde al punto BP en el objeto depende de donde est6 ubicado P, ya que el punto D, el punto de mllexion, s1empre corresponde a la pos1c1on del punto P. Ast. dependiendo de donde estC ubicado P sobre B, cl punto de partida va a caer en diferentes posiciones sabre la parte izquierda inferior de la curva y el vector resultantc Bp_,, "a a tener muchos mitximo~ y minimo.s (Fig. 30·9). Por otro lado, si estamos en Q. al otro lado de P, esui,mos usando sOlo un extrema de la curva espiral y no el otro extrema. En otras p.ilabras. ni siquiera empezamos en D sino en RQ' ~si que en este !ado ?btenemos una intensidad que disminuye continuamente a med1da que Q se aleja mas en la sombra. Un punto que podcmos calcular inrnediatamente con facilidad para mostrar que realmente !o entendemos es la intensida1:1 cxtactamentc opuesta al borde. La mtensidad es aqui I/ 4 de la Iuz incidente. RazOn: Exactamente en el borde (por consiguiente, e! extrema B de la Oecha esta en Den figura 30-8! tenemos la mitad de la curva que habriamos tenido si hubi6ramos estado lejos en la regiOn brillantc. Si nuestro punto R esta lejos dentro de la luz. vamos desde un extremo de !a curva al otro, es decir. un vector unitario completo: pero si estamos en el borde de la sombra, tenemos solo la mitad de !a amp!itud (I /4 de la intensidad). En estc capitulo hemo~ encontrado !a intensidad producida en d1ferentes direcciones a partlr de divcrsas d1stribuciones de fuentes. Como ejernplo final deduciremos una formula que vamos a necesitar para el prOximo capitulo sabre la teoria de! indice de refracciOn. Hasta c~te punto las intcnsidades relati\'as han sido suficientes para nucstros fines. pero esta vel encontraremos la formula completa de\ campo en la situaciOn siguiente. 30· 7 El campo de un piano de cargas oscilantes Supongan que tenemos un piano Ueno de fuentes. tcdas oscilando juntas. con su movimiento en un piano y todas con la misma amplltud y fasc. t,Cu<il es cl campo a una distancia finita. pero muy grande a partir del piano? (\'.o nos podcmos 30-14 Fig. 30- l 0. Campo de radiaci6n de una 13mina de cargas oscilantes. acercar mucho, por supuesto, porque no tenemos las f6rmulas correctas para el campo cerca de las fuentes.) Si dejamos que el piano de las cargas sea el X Y, queremos enoontrar el campo en un punto P lejos en el eje Z (Fig. 30-10). Suponemos que hay r1 cargas por unidad de 3.rea de! piano y cada una de el!as tiene una carga q. Todas las cargas se mueven con movimiento arm6nico simple con la misma direcci6n, amplitud y fase. Hacemos que el movimiento de cada carga, con respecto a su propia posici6n intermedia, sea x0 cos wt. 0 usando la notaci6n compleja y recordando que la parte real representa el movimiento verdadero, el movimiento puede ser descrito por x~e"·'1. Ahora encontramos el campo en el punto Pde todas las cargas, encontrando el campo ahi de cada carga q y despues sumando las contribuciones de todas las cargas. Sabemos que el campo de radiaci6n es proporcional a la aceleraci(m de !a carga que es -o.1'x0 e"·' 1 (y cs la misma para cada carga). El campo clectrico que deseamos en el punto P debido a la carga en el punto Q es proporcional a la aceleraciOn de la carga q, pero debemos recordar que e! campo en cl punto P en el instantc t cst3. dado por la aceleraciOn de la carga en el tiempo anterior t' = t-r/c, donde r/c es el tiempo que demoran las ondas en viajar la distancia r desde Q a P. Por lo tanto, el campo en el punto P es proporcional a (JO.JO) Usando este valor para la aceleraciOn vista desde P en nuestra formula para el campo eiectrico a distancias grandes de una carga que irradia, obtenemos ( Campo e!Cctrico en de carga en Q P) ~ (aprox.) (JO.II) Esta formula no es totalmente correcta porque no deberiamos haber usado la ace!eracil);1 de la carga, sino su componente perpendicular a la linca QP. No ohstante, supondremos que el punto P est<i tan lcjano comparado con la distancia <lei punto Q al eje (la distancia p en la figura 30-9) de las cargas que necesitamos considerar quc podemos omitir cl factor coseno (que de todos modos deberia ser muy cercano a I). Para obtener el campo total en P, sumamos ahora los efectos de te;das las cargas en el piano. Deberiamos, por supucslo, hacer una suma vectorial. Pero ya que la direcciOn del campo clCctrico es casi la misma para todas las cargas, manteniendo la aproximaci~rn ya hecha. podemos sumar Ios mc">dulos de los campos. En nuestra aproximacwn 30-15 el campo en P depende s61o de la distancia r de manera que todas las cargas a Ia misma distancia r producen campos iguales. Asi, pues, sumamos primero los campos de todas las cargas en un anL_. de ancho dp y radio p. Integrando luego sobre todo p obtendremos el campo total. El nUmero de cargas en el an.illo es el producto del ilrca de la SHperficle de! anillo 2np dp y 11 1 el nUmero de cargas por unidad de Urea. Tenemos entonccs Campo total en P = . T1. 27rp dp. (30.12) Deseamos calcular esta integral desde p = 0 hasta /! =- CCJ. La variable r, por supuesto, debe mantenerse fija mientras efectuamos la integral de manera que las imicas cantidades variables son p y r. Dejando de lado por cl momento todos los factores constantes, incluyendo el}Qclor e'"' 1• la integral que deseamos es ~--·:"r,lc p dp. (30.13) Para realizar esta integral debemos usar la relaci6n entre rye: (30.14) Ya que z es independiente de r1, cuando derivamos esta ecuaci6n obtcnemos 2r dr -, 2p dp. lo que es afortunado, porque en nuestra y la r va a cancelar !a de! denominador. lo mils simple reemplazar (30.15) lntegrar una exponencial es muy faciL Dividimos por cl de r en el exponente y calculamos la exponencial en los limites. Pero los de r no son los '--'- 0. tenemos r =· ::: de manera que lo~ limitcs mismos que los lim1tes de/!· de r son de z a infinito. Ohtenemos - I~ (e_;,, - (J0.!6) donde escribimo~ ,.r en ve1 de (r /c) u~, ;ya que ambos ~ignifican un nUmero grande! m1stenosa. Su partc reaL cs totalmcnte indefinido --o en todas panes(?)- entre + l y muy razonable y usualmente se en nuestro caso. \"Oin:mus a 30-16 I Eje imaginario Fig 30-11 Jz'""e-iwric dr. Soluci6n graf1ca de Fig. 30-12. Soluc16n grilfica de rry•r•w•kd,, Podemos entender (30. l 5) como la suma de muchos nUmeros complejos pequeiics, cada uno de m6dulo Jr y con un ii.ngulo 0 = - wr/c en el piano complejo. Podemos tratar de calcular la suma por un metodo gr<i.fico. En la figura 30-11 hemos dibujado los primeros cinco pedazos de !a suma. Cada segmento de !a curva tiene un largo i1r y est<i colocado en un .ingulo J.O = -(,1/'o.r/c con respecto al pedazo anterior. La sum a de estos cinco primeros pedazos est<i. representada por la flee ha desde el punto de partida hasta el extrema del quinto segmento. A medida que seguimos sumando pedazos, vamos a trazar un poligono hasta que volvemos al punto inicial (aproximadamente) y despues vamos a empezar la vuelta de nuevo. Al sumar mils pedazos s6lo damos vuelta y vuelta, manteniendonos cerca de un circulo cuyo radio se demuestra facilmente ser c/w. iAhora podemos ver por que la integral no da una respuesta definida! Pero ahora debemos volver a la fisica de la situaciOn. En una situaci6n real el plano de cargas .no puede ser de extensi6n infinita. sino que debe terminar alguna vez. Si terminara sUbitamente y fuera exactamente de forma circular. nuestra integral tendria algUn valor en el circulo de la figura 30-11. Sin embargo, si dejamos que el nUmero de cargas en et piano vaya disminuyendo gradualmente a una cierta distancia grande de! centro (o bien que termine de repente, pero en una forma irregular de manera que para p grande todo el anillo de ancho dp no contribuya m<i.s), entonces el coeficiente 'I en la integral exacta va a decrecer hasta cero. Ya que estamos sumando pedazos mils pequeiios, pero aUn girando en cl mismo <i.ngulo el gr.ifico de nuestra integral resultaril.. ser entonces una curva que es una espiral. La espiral terminara finaimente en el centro de nuestro circulo original corno se muestra en la figura 30-12. La integralfisicamente correcta es el nUmero complejo A representando en la figura por el intervalo desde el punto inicial a! centro de! circulo que es igual a (30.17) como ustedes mismos pueden desarrollar. Este es el mismo resultado que obtendriamos de la ecuaci6n (30.16) si hacemos c ix = O. 30-17 (Existe adem8.s otra raz6n por qui: la contribuci6n a la integral disminuye para valores grandes de r y i:se es el factor que hemos omitido para la proyecci6n de la aceleraci6n en el piano perpendicular a la linea PQ.) Estamos interesados, por supuesto, s61o en situaciones fisicas, asi que vamos a tomar e-~cr:i igual a cero. Volviendo a nuestra f6rmula original (30.12) para el campo y volviendo a poner todos los factores que acompaiian !a integral, tenemos el resultado Campo total en P = - :!'c iwx 2 0/ " ' 1-•l"l (30.18) (recordando que 1 /i = -i). Es interesante notar que (iwx0 ei'"1) es igual a la velocidad de las cargas, asi que tambii:n podemos escribir la ecuaci6n de! campo como Campo total en P= - ~ [velocidad de las cargas] en t-z/c, (30.19) lo que es un poco extrari.o, porque el retardo es justamente en la distancia z, que es la distancia mil.s corta desde P al piano de cargas. Pero asi es como resulta, afortunadamente, una f6rmu!a bastante simple. (Podemos agregar, entre pari:ntesis, que aunque nuestra derivaci6n es vaJida s6lo para distancias alejadas de! piano de cargas oscilantes, resulta que la formula (30.18) 0 (30.19) es correcta para cualquier distancia, aun para z < A). 30-18 31 El origen del indice de refraccion 31.1 El indlce de refracciOn 31-2 El campo debido a1 medio 31-3 DispersiOn 31-4 AbsorciOn 31-1 31-5 La energia transportada por una onda electrica 31-6 DifracciOn de la luz por una pantalla El indice de rerracciOn Hemos dicho antes que la luz va mils lenta en el agua que en el aire y ligeramente mils Jenta en el aire que en el vacio. Este efecto estit descrito por el indice de refracci6n n. Ahora nos gustaria entender c6mo se origina esta velocidad m3.s baja. En particular, deberiamos tratar de ver qut\ relaci6n hay con algunas hip6tesis fisicas o afirmaciones que hicimos anteriormente y que eran las siguientes: a) Que el campo elb:trico total en cua1quier circunstancia fisica siempre se puede representar por la suma de los campos de todas las cargas del universo. b) Que el campo de una sola carga estil. dado siempre por su aceleraci6n calculada con un retardo a la velocidad c (para el campo de radiaci6n). Pero para un trozo de vidrio ustedes podrian pensar: "Ah, no, usted deberia modificar todo esto. Deberia decir que estil. retardada a la velocidad c/n. "Eso, sin embargo, no es correcto y debemos entender por que no lo es. Es aproximadamente verdadero que la luz o cualquier onda el6ctrica parezca viajar a la velocidad c/n a traves de un material cuyo indice de refracci6n es n; pero, sin embargo, los Campos son producidos por los movimientos de todas las cargas --incluyendo las cargas que se mueven en el material~ y con estas contribuciones bilsicas de! campo que en Ultima instancia viaja a la velocidad c, nuestro problema es entender c6mo se origina la velocidad aparentemente mils baja Trataremos de entender el efecto en un caso muy simple. Una fuente que vamos a llamar "la fuente externa "se coloca a una gr an distancia de una delgada placa de material transparente, digamos vidrio. Queremos el campo a una gran distancia en el !ado opuesto de la placa. La situaci6n queda ilustrada por el diagrama de la figura 31-1, donde se imagina que Sy P est<i.n muy lejos de la placa. De acuerdo con los principios que hemos establecido anteriormente, un campo electrico en cualquier parte que este lejos de todas las cargas en movimiento es la suma (vectorial) de los campos producidos por la fuente externa (en SJ y los campos producidos por cada una de las cargas en la placa 31-1 Fig. 31-1. Ondas electrrcas atrav1esan una.capademater1altransparente de vidrio, cada uno con su retardo propio a la vefocidad c. Recuerden que la concargas. Estos ~on nue~· tribuciOn de cada carga no cambia por !a presencia de tros principios b<isicos. El campo en P se puede escribir E = Ecadacarga (31.1) (31.2) donde Es es el campo debido a la fuente sola y seria precisamente el campo en Psi no hubiera material presente. Esperamos que el campo en P sea diferente de E, si hay otras cargas en movimiento. lPor que habria de haber cargas moviendose en el vidrio? Sabemos que todo material consiste en <itomos que contienen electrones. Cuando el campo e!ectrico de la fuente actU.a sobre estos <itomos mucve los clectrones de arriba abajo porque ejerce una fuerza sabre ellos. Y electrones en movimiento generan un campo ---constituyen nuevos radiadores-. Estos nuevos radiadores est<in relacionados con la fuente S, porque estiln accionados por el campo de la fuente. El campo total no es exactamente el campo de la fuente S, sino que est<i modificado por la contribuciOn adicional de otras cargas en movimiento. Esto significa que el campo no es el mismo que el que habia antes que el vidrio se colocara ah[, sino que se modifica y resu!ta que se modifica de tal manera que el campo dentro del vidrio pareciera estar moviendose a una velocidad diferente. Esta es la idea que nos gustaria desarrollar cuantitativamente. Ahora bien, esta es bien complicado en el caso exacto, parque a pesar de haber dicho que todas las otras cargas en movimiento son accionadas por el campo de la fuente, eso no es totalmente cierta. Si consideramas una carga en particular, no sOla siente la fuente, sino que, como cua!quier otra cosa en el mundo, siente todas las cargas que se est<in moviendo. Siente, en particular, !as cargas que se estli..n maviendo en cualquier otro lugar del vidrio. Por cansiguiente, el campo total que est<i actuando en una carga particular es una combinaciOn de !os campos de las otras cargas iCuyos moi·imientos dependen de lo que este hacienda esta carga particular! Pueden apreciar que se necesitaria un complicado conjunto de ecuaciones para obtener la fOrmula completa y exacta. Es tan complicado que postergamas este problema hasta el prOxi moaiio. En cambio, desarrollaremos un caso muy simple para entender muy claramente los principios fisicas. Tomamas un caso en el cual los efectos de las otros <itamos son muy ;>equeiios comparados con los efectos de la fuente. En otras p:ilabras, tomamos un material en el cual el campa total no se modifica mucha par el mavi1T1Jento 31-2 de las otras cargas. Eso corresponde a un material en el cual el indice de refracci6n esta muy cerca de I, lo que sucederil, por ejemplo, si la densidad de los ittomos es muy baja. Nuestro citlculo va a ser v0.\ido para cualquier caso en el cual el indice estit por cualquier raz6n muy cerca de I. De esta manera evitaremos las complicaciones de la soluci6n completa mas general. A prop6sito, deberian notar que hay otro efecto causado por el movimiento de las cargas en la placa. Estas cargas tambi6t van a irradiar ondas para atras hacia la fuente S. Este campo que va hacia atrits es la luz que vemos reflejada por las superficies de materiales transparentes. No proviene solamente de la superficie. La radiaci6n hacia atr0.s proviene de todas partes del interior, pero resulta que el efecto total es equivalente a una reflexi6n desde las superficies. Por ahora estos efectos de reflexi6n estiln mils allit de nuestra aproximaci6n porque estaremos limitados a un citlculo para un material cuyo indice estit tan cerca de I que se refleja muy poca luz. Vidrio Fig. 31-2. Relaci6n entre refracci6n y cambio de velocidad. Antes que prosigamos con nuestro estudio de c6mo se genera el indice de refracci6n, debemos comprender que todo lo que se necesita para entender la refracci6n es entender por que la velocidad de la onda aparente es diferente en materiales diferentes. La desviaci6n de los rayos de luz se produce porque la rapidez efectiva de las ondas es diferente en los materiales. Para recordarles c6mo sucede eso hemos dibujado en la figura 31-2 varias crestas sucesivas de una onda e1ectrica que Jlega desde un vacio a la superficie de un bloque de vidrio. La flecha perpendicular a las crestas de la onda indica la direcci6n de movimiento de la onda. Todas las oscilaciones en la onda deben tener ahora la mismafrecuencia. (Hemos vista que osci!aciones forzadas tienen la misma frecuencia que la fuente excitadora.) Esto significa, tambiCn, que las crestas de las ondas para las ondas en ambos lados de la superficie deben tener la misma separaci611 a lo largo de la superficie porque dcben viajar juntas de manera quc una carga situada en la separaci6n perciba una sola frecuencia. La distancia mcis corta entre crestas de la onda, sin embargo, es la !ongitud de onda que es la velocidad dividida por la frecuencia. En el lado del vacio es ..:1. 0 = 2n:c/d;i yen el otro lado es J. __, 27Tr/1,, 6 2n: c/1,in si v = c/n es la velocidad de la onda. A partir de la figura podemos ver que !a lmica manera de que las ondas "encajen" apropiadamente en la superficie de separaci6n es que las ondas en el material estCn viajando a un itngulo diferente con respccto a la superficie. Por la geometria de la figura, pucdcn ver que para un "encaje" debemos tener ,.\ofsenOn-= .l/senO 31-3 o sen 8of sen() = n que es la ley de Snell. Va mos a considerar, para el res to de nuestra discusi6n, s61o JX)f que la luz tiene una velocidad efectiva cl n en un material de indice n y no nos preocuparemos mils en este capitulo de la desviaci6n de la luz. Volvamos ahora a la situaci6n que se muestra en la figura 31-1. Vemos que lo que tenemos que hacer es calcular el campo producido en P por todas las cargas oscilantes en la placa de vidrio. Vamos a Hamar Ea esta" parte del campo el6ctrico y ella es justamente la suma escrita como segundo t6nnino en la ecuaci6n (31.2). Cuando lo sumemos al tfrmino Es debido a la fuente, vamos a tener el campo total en P. Esto es probablemente lo mils dificil que haremos este aiio, pero es complicaclo s6lo en que hay muchas partes que deben juntarse; cada parte, sin embargo, es muy simple. A diferencia de otras deducciones, donde dedmos "olviden la deducci6n, miren s6lo el resultado ", en este caso no necesitamos tanto el resultado como la deducci6n. En otras palabras, lo que debemos entender ahora es el mecanismo fisico para la producci6n de! indice. Pera ver a d6nde vamos, averiguamos primero cuitnto deberia ser el "campo correctivo" Ea, si el campo total en P se va a parecer a una radiaci6n desde la fuente que se frena a medida que pasa por una placa delgada. Si la litmina no tuviera efect-o en 61, el campo de una onda que se prnpaga hacia la derecha (segUn el eje z) seria (31.3) E, = E 0 cosw(t - z/c) o usando la notaci6n exponencial (31.4) Ahora bien, ique pasaria si la onda se propagara mils Jentamente al ir a trav6s de la placa? Llamemos .1.z el espesor de la placa. Si la placa no estuviera ahi la onda atravesaria la distancia .1.z en un tiempo t.i.z/ c. Pero si se propagara con la velocidad cl n, entonces deberit demorarse un tiempo mayor n!J.z/ c o el tiempo adl· cional t.i. 1 "" (n - 1) D.z/c. Despues de eso seguiria propagitndose nuevamente con velocidad c. Podemos tomar en cuenta el atraso adicional al pasar por la placa reemplazando ten la ecuaci6n (31.4) por (t-M) o por lt (n - l)t.i.z/c]. Por consiguiente, despues de intercalar la placa la onda deberia escribirse E d"'puOsdelaplaca = £[1/"'ll-(n-l)~z/r-zlc)• (31.5) Tambifo podemos escribir esta ecuaci6n como (31.6) que dice que la onda despues de la placa se obtiene de la onda que podria existir sin la placa, es decir de £ 5 , multiplicando por el factor e-i"'(n - JU.z/ c. Ahora sabemos que multiplicar una funci6n oscilante coma eiwt por un factor eiO s6lo significa cambiar la fase de oscilaci6n en un itngulo de (), que es, por supuesto, lo que ha hecho el atraso extra al pasar por un espesor ilz. Ha retardado la 314 fase en una cantidad w (n - I )J.z/ c (retardado debido al signo menos en el exponemc). H.:mos dicho anteriormente que la placa debiera su111ar un campo E" al campo original E, = ErJ?'"lfl - clcJ, pero hemos encontrado, en cambio. que el efecto de la placa es multiplicar el campo por un fac tor que cambia su fase. Sin embargo, eso estit en realidad muy bien, porque podemos obtener el mismo resultado sumando un nllmero complejo apropiado. En particular es fitcil encontrar el nUmero correcto a sumar en el caso que .1.z sea pequefif!, porque deben recordar que si x es un nUmero pequefio entonces ex es casi igual a (1 + x). Podemos escribir, par lo tanto e-i.,(n-lJ<1.z/c = 1 - iw(n - l)ti.z/c. (Jl.7) Usando esta igualdad en la ecuaci6n (31.6) obtenemos E de•pue,delaplaca= ------------- Eoe'"'(t-z/cJ - fw(n ~ ~~ E 0 e'"'O-•ln. _______., £~, (31.8) E,, El primer t6rmino es just:unente el campo de la fuente y el segundo t6rmino debe ser, justamente, igual a ;;,·11, el campo producido a la derecha de la placa por las cargas oscilantes de la placa --expresado aqui en t6rminos de! indice de refracci6n n y dependiendo, por supuesto, de la intensidad de la onda de la fuente. Lo que hemos estado hacienda se visualiza filcilmente si observamos el diagrama de nUmeros complejos en la figura 31-3. Primera dibujamos el nUmero E, (elegimos algunos valores de z y t de manera que E 5 resulte horizontal, pero esto no es necesario). El atraso debido a la reducci6n de la velocidad en la placa retrasarit la fase de este nUmero, o sea, harit rotar E 5 en un itngulo negativo. Pero esto es equivalente a sumar el pequefio vector Eo. a un itngulo casi recto con E,. Pero esto es justamente lo que significa el factor - i en el segundo tCrmino de la ecuaci6n (31.8). Ella dice que si E 5 es real, entonces Eo. es imaginario negativo o que, en general E 1 y E,., forman un itngulo recto. Eje imagimftio Angulo •.,1n- l)llz/c Fig. 31-3. Diagrama para la onda transmitlda para un t y z particular. 31-:Z El cam.po debido al medio Ahora debemos preguntar: lES el campo obtenido en el segundo t6rmino de la ecuaci6n (31.8) de! tipo que uno esperaria de cargas oscilantes en la placa? Si podemos demostrar que lo es, jentonces habremos calculado Jo que debe ser el indice n! [Ya que n es el Unico nUmero que no es fundamental en la ecuaci6n (31.8)1. Calculemos ahora que 31-5 Tabla 31-1 Simbolos usados en los dlculos E, Ea .1 z z n w N 71 q,, m «10 = campo de la fuente = campo producido por las cargas en la placa = espesor de la placa = distancia perpendicular desde la placa = indice de refracci6n = frecuencia (angular) de la radiaci6n = nllmero de cargas por unidad de volumen en la p\aca = nUmero de cargas por unidad de superficie de la placa = carga de un electr6n = masa de un electr6n = frecuencia de resonancia de un electr6n ligado a un 3-tomo campo Ea van a producir las cargas en el medio. (Para ayudarles a estar al tanto de los muchos simbolos que hemos usado hasta ahora y que estaremos usando durante el res to de nuestro citlculo, los hemos re uni do en la tabla 31-1 ). Si !a fuente S (de la figura 31-1) estit lejos a la izquierda, entonces el campo E, tendril la misma fase en toda la placa, de manera que podemos escribir queen la vecindad de la placa (31.9) Justo en la placa, donde z -= 0, vamos a tener E, = E 0 e;"' 1 (en !a placa) (31.10) Cada uno de los electrones de los ittomos de la placa pcrcibirit este campo etectrico y sera forzado hacia arriba y abajo (suponemos que la direcci6n de E 0 es vertical) por la fuerza ekctrica qE. Para encontrar que movimiento esperamos de los clectrones supondrcmos que los 3.tomos son pequeiios osciladores, esto es, que Jos electrones estitn sujetos elitsticamente a los ittomos, lo que significa que si se aplica una fuerza a un electrOn, su desplazamiento de la posici6n normal sera proporcional a la fuerza. Ustedcs pueden pensar que este es un modelo raro'\de un ittomo fil..han oido de elcctrones que g1ran en orbitas. Pero ese es s6lo una imagen muy simplificada. La imagen correcta de un iltomo que est<i dada por !a teoria de la mecimica ondulatoria indica que, en fo que se rejiere a los probfemas que incluyen a la luz, los electrones se comportan como si estuvieran sujetos por resortes. Asi, supondremos que los electrone~ tienen una fuerza restauradora lineal que junto con su masa m los hace comportarse como pcqueiios osciladores con una frecuencia de resonancia w 0 • Ya hemos estudiado tales osciladores y sabemos que la ecuaci6n de su movimiento se escribe asi: d'x , ) m ( (J(i"+woX =F, (JI.II) donde F es la fuerza impulsora. 31-6 Para nuestro problema la fuerza impulsora proviene de! campo elOCtrico de la onda de la fuente, por lo tanto usamos (31.12) donde qe e~ la carga e!OCtrica del electr6n y para E, usamos la expresi6n £ 5 = £,#fr"' de (31.10). Nuestra ecuaci6n de movimiento para el electr6n es entonces m ( d'x d(T + wox ') '"' =q. E oe. (31.13) Ya hemos resuelto esta ecuaci6n anteriormente y sabemos que la soluci6n es (31.14) donde, sustituyendo en (31.13), encontramos que (31.15) de manera que (31.16) Tenemos lo que necesit3.bamos conocer -el movimiento de los electrones en la placa-. Y es el mis mo para cada electrOn, excepto que la posiciOn media (el "cero" del movimiento) es, por supuesto, diferente para cada electr6n. Ahora estamos listos para encontrar el campo Ea que estos iitomos producen en en el punto P, porque ya hemos encontrado (al final del capitulo 30) el campo pro" ducido por una hoja de cargas que se mueven en conjunto. Refiriendonos de nuevo a la ecuaciOn (30.19) vemos que el campo Ea en P es justamente una constante negativa por la velocidad de las cargas retardadas en el tiempo en la cantidad zl c. Derivando x en la ecuaci6n {31.16) para obtener la velocidad e introduciendo el retardo Io simplemente introduciendo x 0 de (31. J 5) en l) I. l 8). resulta E " - - .!l!l..!...[iw~e'"'< 1 -•lrl]. 2toc m(w~ - w2 ) (31.17) Tai como esper3.bamo§. el movimiento forzado de los electrones produjo una onda adicional que viaia hacia la derecha (eso es lo que dice el factor ei,,,(1 - ~lcJ) y la amplitud de esta onda es proporcional al nUmero de 3tomos por unidad de superficie en la placa (el factor 11) y tambien proporcional a la intensidad de! campo de la fuente (el facrnr £,,). Luego hay algunos factores que dependen de las propiedades at6micas (qe> my 111~) como habiumos esperado. Lo mas imponante. sin embargo, es que esta formula (31.17) para £ 0 se parece mucho a la expresi6n para Ea que obtuvimos en la ecuaciOn (3 J .8). diciendo que la onda original se retrasO al pasar por un material con un indice de refracciOn 3 l-7 n. Las dos expresiones seritn, en efecto, id6nticas si (31.18) Noten que ambos !ados son proporcionales a L'l.z, ya que T/, que es el nU:mero de ittomos por unidad de drea, es igual a NJ.Z donde N es el nll:mero de iltomos por unidad de volumen de la placa. Sustituyendo NL'l.Z por 'ff y simplificando los L'l.z, obtenemos nuestro resultado principal, una f6rmula para el indice de refracci6n en terminos de las propiedades de los ittomos del material y de la frecuencia de la luz: (31.19) Esta ecuaci6n da la "explicaci6n"' de! indice de refracciOn que queriamos obtener. 31-3 DispersiOn Noten que en el proceso anterior hemos obtenido algo muy interesante. Porque no s6lo tenemos un nU:mero para el indice de refracciOn que puecle calcularse a partir de las cantidadcs at6micas b:i.sicas, sino que tambien hemos aprendido cOmo varia el indice de refracci6n con la frecuencia <-<> de la luz. Esto es algo que no entenderiamos nunca de la simple afrrmaciOn que "la luz se propaga mis lentamente en un material transparcnte". Todavia tenemos el problema, por cierto, de saber cuimtos itomos hay por unidad de volumen y coil\ es su frecuencia w 0• No sabemos esto todavia, porque es diferente para cada material diferente y no podemos obtener una teoria general de eso ahora. La formulaciOn de una teoria general de las propiedades de diferentes sustancias -sus frecuencias naturales, etc.,- es posible sO!o con la medtnica at6mica cuitntica. Ademiis materiales diferentes tienen propiedades diferentes e Indices diferentes; por lo tanto, no podemos esperar obtener una f6rmula general para el indice que se aplique a todas las sustancias. Sin embargo, discutiremos la formula que hemos obtenido, en varios casos posibles. Ante todo, para la mayoria de los gases ordinarios (por ejemplo aire, la mayoria de los gases incoloros, hidr6geno, helio etc.) las frecuencias naturales de !os osciladores electr6nicos corresponden a la luz ultravioleta. Estas frecuencias son mayores que las frecuencias de la luz visible, o sea, w, es mucho mayor que el w de la luz visible y en una primera aproximaci6n podemos despreciar «>' en comparaci6n con oil. Entonces encontramos que el indice es casi constante. Por consiguiente, para un gas el indice es casi constante. Esto tambien es cierto para !a mayoria de otras sustancias transparentes. como el vidno. Sin embargo, si observamos nucstra expresi6n mils de cerca, notamos que a medida que w aumenta, disminuyendo asi un poquito el denominador. el indicc tambien aumenta. Por consiguiente, n aumenta lentamente con la frecuencia. E! indice es mayor para la luz azul que para la !uz roja. Esa es la razon por la cual un prisma desvia mits la luz en el azul que en el rojo, El fen6meno que el indice dependa de la frecuencia se llama fen6meno de dispersiOn (NT) porque es la base de! hecho que !a luz sea "dispersada" un medio con el proce~o de dispersi6n de la luz por 31-8 en un espectro por un prisma. La ecuaci6n para el indice de refracci6n en funci6n de la frecuencia se llama una ecuaciOn de dispersiOn. Hemos obtenido asi una ecuaci6n de dispersi6n. (En \os Ultimas aifos, las "ecuaciones de dispersi6n" han encontrado un nuevo uso en la teoria de las particulas elementales.) Nuestra ecuaci6n de dispersi6n sugiere otros efectos interesantes. Si tenemos una frecuencia natural w 0 que est.ii en la regi6n visible, o si medimos el indice de refracci6n de un material como vidrio en el ultravioleta, donde w se acerca a w 0 , vcmos que a frecuencias muy cercanas a la frecuencia natural el indice se puede hacer cnormemente grande, porque el denominador puede hacerse cero. A continuaci6n, supnngan que w es mayor que w Esto sucederia, por ejemplo, si tomilramos un material tal como vidrio y lo ilumin3.ramos con radiaci6n de rayos X. En efecto, ya quc muchos matcriales que son opacos a la luz visible, como el grafito por ejemplo, son transparentes a los rayos X, tambi6n podemos hablar de! indice de refracci6n de! carbono para los rayos X. Todas las frecuencias naturales de los iitomos de carb6n son mucho mils bajas que Ia frecucncia que estamos usando en !os rayos X ya que radiaci6n de rayos X tiene una frecuencia muy alta. El indice de refracci6n es el dado por nuestra ecuaci6n de dispersi6n, si hacemos w, igual a cero (despreciamos w~ comparado con w 1 ). 0• Una situaci6n similar ocurriria si dirigi6ramos ondas de radio (o luz) sobre un gas de electrones libres. En la atm6sfera superior los electrones son liberados de sus <itomos por luz ultravioleta del sol y permanecen ahi como e!ectrones libres. Para electrones libres w 0 = 0 (no hay fuerza elistica restauradora). Hacienda M 0 = = 0 en nuestra ecuaci6n de dispersiOn se obtiene la formula correcta para el indice de refracci6n para ondas de radio en la estratosfera, donde N representa ahora la densidad de electrones libres (nUmero por unidad de volumen) en la estratosfera. Pero observcmos nuevamente la ecuaciOn, si haccmos incidir rayos X sabre la materia u ondas de radio (o cualquier onda e\Cctrica) sabre elcctrones libres, el tCrmino (w~ w 2 ) se hace negativo y obtenemos el resultado que n es menor que 11no. iEsto significa que la velocidad efectiva de las ondas en la sustancia es mayor que c! (.Puede esto ser correcto? Es correcto. A pesar de que se dice que no se pueden mandar seiiales a velocidad mayor que la velocidad de la Juz, es, sin embargo, cierto que cl indice de re· fracciOn de materiales de una derta frecuencia particular puede ser mayor o menor que l. Esto significa s6\o que el cambio de Jase que es producido por la luz dispersada puede ser positivo o negativo. Se puede demostrar, sin embargo, quc la velocidad a la cual se puede mandar una seiial no est<i determinada por e! indice a una frecuencia, sino que depcnde de lo que es el indice a diferentes frecuencias. Lo que el indice nos indica es la velocidad a la cual se propagan los nodos (o crestas) de !as ondas. El nodo de una onda no es una seiial por si mismo. Es una onda perfecta, que no tiene modulaciones de ningUn tipo, es decir, quc cs una oscilaci6n estacionaria, no se puede decir realmente cuitndo •·empieza "; asi que no sc puede usar como seiial para mcdir tiempo. Para enviar una seiial se tiene que cambiar la onda de alguna manera, hacer una ranura en ella. hacer!a un poco m<is ancha o dclgada. Eso significa que se debe tcner m<is de una frecuencia en la onda y se puede demostrar que la velocidad a la cual se propagan las seiiales no depcnde sOlo de! indice, sino de la manera como el indice cambia con la frecucncia. Este tema tambiCn que postergarlo (hasta el capitulo 48). Entonces ca!cularemos para cidad real de las sefiales a traves de un pedazo de vidrio y ver.itn que no que la vdocidad de la luz, aunque los nodos, que son puntos matemitticos, se propagan mils ritpidamente que la luz. S6lo para dar una pequeiia indicaci6n de c6mo sucede eso, ustedes notaritn que la verdadera dificultad tiene que ver con el hecho de que las respuestas de las cargas son opuestas al campo, es decir, !a seiial se ha invertido. Asi, en nuestra expresi6n para x (ecuaci6n 31.16), el desplazamiento de la carga tiene direcci6n opuesta a la del campo impulsor, porque (wii - w 2 ) es negativo para w 0 pequeiio. La formula dice que cuando el campo e1ectrico est3. tirando en una direcci6n, la carga se estii moviendo en la direcci6n opuesta. ~C6mo sucede que la carga este yendo en la direcci6n opuesta? Ciertamente que no parte en la direcci6n opuesta cuando se aplica el campo al comienzo. Cuando el movimiento recien empieza hay un transitorio que se extingue despues de un rato y s6lo entonces est3. la fase de oscilaci6n de Ia carga opuesta a la de! campo impulsor. Y es entonces que la Jase de! cam po transmitido puede aparecer co mo adelantada con res pee to a la onda de la fuente. Es a este adelanto de Jase que nos referimos cuando decimos que la "velocidad de fase" o velocidad de los nodos es mayor que c. En la figura 31-4 damos una idea esquem3.tica de c6mo se verian las ondas para el caso en que la onda se pusiera en marcha sllbitamente (para hacer una seiial). Van a ver en el diagrama que la seiial (es decir, el comienzo de la onda) no estit primero para la onda que termina con un adelanto de fase. 101 E~(Co~ienzo1 ' Onda sin material Oo~~ : ' 1ransnut1da con·~· : !:~ iA 1 i I 1 'A : (; ~y· El i ,~atmrelafase l ~~~:mitida ~~-r 1 adelamo de la fase Fig. 31-4 "Seiiales" ondulatorias Obscrvemos de nuevo nuestra ccuaci6n de dispersiOn. Dcbemos haccr notar quc nuestro anillisis de refracciOn da un resultado que es algo mas simple de lo que rcalmente sc encuentra en la natura!eza. Para ser totalmente prccisos, debemos agregar algunos rcfinamientos. Primera, deberiamos e~perar que nuestro modelo de osci!ador atlJmico tuviera alguna fuerza de amortiguamiento (de otra manera, una vez puesto en movimiento osci!aria para siempre y no podemos ·esperar que esto suceda). Bernos desarrollado antes (Ee. 23.8) el movimiento de un oscilador amortiguado y el resultado el denominador en la ecuaci6n (31.16) y, por lo tanto, en (31.19) se cambia de - M 1) a (1~'~ - 1,1 1 + iru1), donde i" es cl coefic1entc de amortiguauna segunda modificaci6n para tener en de resonancia para un tipo particular de el hecho fa facil 3 l-10 Fig. 31-5. El [ndice de refracci6n en funci6n de la frecuencia ecuaci6n de dispersi6n, imaginando que hay varios tipos diferentes de osciladores, pero que cada oscilador actUa separadamente y por lo tanto simplemente sumamos las contribuciones de todos los osciladores. Digamos que hay Nk electrones por unidad de volumen cuya frecuencia natural es wk y cuyo factor de amortiguamiento es y k" Entonces tendriamos para nuestra ecuaci6n de dispersi6n (31.20) n=l+ Tenemos finalmente una expresi6n completa que describe el Lndice de refracci6n observado para muchas sustancias*. El indice descrito por esta formula varia con la frecuencia aproximadamente coma en la curva mostrada en la figura 31-5. Van a notar que mientras <,; no cste demasiado cerca a una de !as frecuencias de resonancia, !a pendiente de la curva es positiva. Tai pendiente positiva se llama dispersi6n "normal" (porque claramente es la quc se presenta mils comUnmente). Muy cerca de las frecucncias de resonancia, sin embargo, hay un pequeiio intervalo de los w para los cuales la pendiente es negativa. Tat pendiente negativa se le llama a mcnudo dispersi6n "an6mala", porque parecia poco usual cuando se observo por primera vez mucho antes de quc nadie ni slquiera supiera que existtan cosas como los electrones. jOesde nuestro punto de vista ambas pendientes son perfec· tamente "normales "'! 31-4 AbsorciOn Quizits ustedes se hayan percatado de algo un poco estrailo acerca de la Ultima forma (Ee. 31.20) que obtuvimos para nuestra ecuaci6n de dispersi6n. Debido al tCrmino ir que introdujimos para tener en cuenta la amortiguaci6n jel indicc de refracci6n es ahora un nUmero complejo! z.QuC significa eso? Calculando las partcs real e imaginaria de n podriamos escribir n = n' - in", (31.21) donde n' sun nUmeros reales. (Usamos el signo menos frente a in", porque resultarit un nUmero positivo, como ustedes mismos pucdcn Jcmostrar.) entonces Podcmos ver lo que significa este indicc complejo volviendo a la ecuaci6n (31.6). que es la ecuaci6n de la onda despuCs de que pasa por una placa Jc material con 31-1 I indice n. Si ponemos nuestro nUmero complejo n en esta ecuaci6n y reordenamos, obtenemos Ei:1espuCsdelaplaca·= e-"''"'!lzfc e-'"''"'-!J!lz/c E 0 e"•U-zic) (31.22) ~~ A B Los Ultimas factores, Uamados B en la ecuaci6n (31.22), son de la forma que teniamos antes y de nuevo describen una onda cuya fase ha sido atrasada en el itngulo (J) (n' -1)4z/c al atravesar el material. El primer termino (A} es nuevo yes un factor exponencial con exponente real, porque habia dos i que se simplificaron. Ademils, el exponente es negativo de manera que el factor es un nU:mero real menor que uno. Describe una disminuci6n de! m6dulo del campo y, como deberiamos esperar, en una cantidad que es mayor mientras mayor es dz. A medida que la onda pasa a travCs de! material se debilita. El material est<i "absorbiendo" parte de la onda. La onda sale al otro !ado con menos energia. Esto no debe sorprendemos porque la amortiguaci6n que introdujimos para los osciladores es en realidad una fuerza de roce y debe esperarse que cause pCrdida de energia, Vemos que la parte imaginaria n" de un indice de refracci6n complejo representa una absorci6n (o "atenuaci6n") de la onda. De hecho, n "a veces se llama '"indice de absorciOn ". Tambien podriamos indicar que una parte imaginaria de! indice n corresponde a inclinar la flee ha Ea en la figura 31-3 hacia el origen. Esta clam por que el cam po transmitido estil entonces disminuido. Normalmente, como en el vidrio, por ejemplo, la absorci6n de luz es muy pequei'ia. Esto era de esperar a partir de nuestra ecuaciOn (3 I.20), porque la parte imaginaria de! denominador, ip,,w, es mucho menor que el termino (w' cw 2), Pero si la frecuencia w de la luz est:i muy cercana a wk, entonces, el tibrmino de resonancia (w't-«.1'J puede hacerse pequeiio comparado con irk w y el indice se hace casi completamente imaginario. La absorciOn de la luz llega a ser el efecto dominante. Es justamente este efecto que da las !meas negras en el espectro de ta luz que recibimos de! sol. La luz de la superficie solar ha pasado a traves de la atmOsfera del sol (como tambien la de la tierra) y la luz ha sido absorbida fuertemente a la frecuencia de resonancia de los iltomos en la atmOsfera solar. La observaciOn de tales lineas espectrales en la luz solar nos permite conocer las frecuencias de resonancias de los <itomos y, por lo tan to, la composiciOn quimica de la atmOsfera de! sol. El mismo tipo de observaciones nos informa de los materiales en las estrellas. De tales medidas sabemos que los elementos quimicos en el sol y en las estrellas son los mismos que encontramos en la tierra. 31-S La energla transportada por una onda elCctrica Hemos visto que la parte imaginaria de! indice significa absorciOn. Usaremos ahora este conocimiento para encontrar cuilnta energia transporta una onda luminosa. Hemos dicho anteriormente que la energia transportada por la luz es proporcional a P, el promedio temporal del cuadrado del campo elOCtrico de la onda. La disminuci6n de E debida a la absorciOn debe significar una perdida de energia que se podria atribuir a cierto roce entrc los electroncs y poclriamos adivinar que terminaria como calor en el material. 31-12 Si consideramos la tuz que llega por unidad de 3.rea, digamos un centimetro cuadrado de nuestra placa en la figura 31- I. entonces podemos escribir la siguiente ecuaciOn de energia (isi suponemos ta! coma lo estamos hacienda que la energia se conserva!) Energia que entra por seg = energia que sale + trabajo rea\izado por seg por seg (31.23) Para el primer termino podemos escribir aEi donde a es la constante de proporcionalidad, aim desconocida, que relaciona el valor promedio de E' con la energia ~:;~~~~:· !~r~ f~ra~r~~~ ~i~~e0 d~~~~~~s u~~~1~~i~ ~ar~ye01(~a~1~1:'Jod:: cuadrado) a:CE[ + 2 !;Ea + £i). T odos nuestros cillculos han sido hechos para una ca pa delgada de material, cuyo indice no es muy diferente de I, de manera que Ea seria siempre mucho menor que Es (para hacer nuestros cillculos mils faciles). Manteniendo nuestras aproximaciones deberiamos,. por lo tanto, dejar de !ado el termino ff>; porque es mucho menor que £, Ea- Ustedes podrian decir: "I\ntonces deberian dejar de lado Es··-r,, tambien, porque es mucho menor que ~ ''Es cierto que E 5 Ea es mucho menor que Bi;, pero debemos mantener E, Ea ;en caso contrario nuestra aproximaciOn seria la que se aplicaria si despreciil.ramos totalmente la presencia del material! Una manera de verificar que nuestros cil.lculos son compatibles es que siempre mantengamos t6rminos que sean proporciona1es a N!J.z, la densidad de los iltomos en el material, pero dejemos de !ado t6rminos que son proporcionales a (N!J.z)2 o cualquier otra potencia superior de N!J.z. La nuestra es lo que debiera llamarse "aproximaciOn de baja densidad ". En el mismo espiritu, podriamos hacer notar que nuestra ecuaciOn de energia ha despreciado la energia de la onda reflejada. Pero eso estil bien. porque este termino tambibl es proporciona\ a (N!J.z)2, ya que la amplitud de la onda reflejada es proporcional a N.tlz. Para el Ultimo t6rmino en la ecuaciOn (31-23) deseamos calcular la velocidad con que la onda incidente realiza trabajo sobre los dectrones. Sabemos que trabajo es fuerza por distancia, de manera que la velocidad de realizar trabajo (tambit!n llamada potencia) es la fuerza por la velocidad. Realmente es F-V, pero no necesitamos preocuparnos por d producto escalar cuando la velocidad y la fuerza estiln en la misma direcci6n como lo est8.n aqui (con excepci6n de un posible signo menos). Asi que para cada 8.tomo tomamos q,.E""j como la velocidad promedio de realizar trabajo. Como existen N!J.z iltomos por unidad de ilrea, el Ultimo t6rmino en la ecuaci6n (31.23) debe ser N!J.zq,£, v. Nuestra ecuaci6n de energia es ahora cx"Ef Los terminos ~ = cxEf + 2aE,E~ + N t.z q, ""E;V. (31.24) se simplifican y tenemos (31.25) Ahora volvemos a la ecuaci6n (30.19) que nos dice que para z grande £,. = ~~~:" r(retard. en z/ c) (3 l.26) 31-13 (recordando que 'I = N!iz). lntroduciendo la ecuaciOn (31.26) en el primer miembro de (31.25) obtenemos 2(1' Sin embargo,£$ (en es independiente del il.tomo). v, el mismo miembros son por lo ;¥!;- £ 5 (en ~) · v (retard. en z/ c) z) es£, (en los .itomos) retardado en z/c. Ya que el promedio tiempo, ser.i igual ahora que retardado en z/c, o sea Es (en el promedio que aparece en el segundo miembro de (31.25). Los tanto iguales, si · -~- = (31.27) I, foC Hemos descubierto que si la energia ha de conservarse, la energia transportada en una onda eiectrica por unidad de .irea y por unidad de tiempo (o sea, lo que hemos llamado intensidad) debe estar dada por l 0 c£f. Si llamamos Sa la intensidad, tenemos S-"' I inten<idad 0 -= energia /il.rea /t1emJXl l E;, clfi, (31.28) donde la barra significa promedio temporal. jTenemos un bonito resultado adicional de nuestra teoria del in dice de refracciOn ! 31-6 DifracciOn de la luz por una pantalla Ahora es un buen momenta para tratar un tema ligeramente d!ferente quc podemos manejar con el mecanismo de cste capitulo. En el capitulo Ultimo dijimos que cuando se tiene una pantalla opaca y la !uz puede pasar a traves de algunos agujeros, la distribuciOn de la intensidad · d diagrama de difracciOn- podia obtenerse imaginando en su !ugar que los agujeros eran reemplazados por fuentes (osciladores) uniformemente distnbuidas sabre el agujero. En otras palabras, la onda difractada cs la misma que si cl agujero fuera una nueva fucnte. Tencmos que explicar la razOn de eso, porque el agujero est<i., por supuesto, prccisamente donde no hay fuentes, donde no hay cargas que acelercn. Preguntemos primero; (.Que es una pantalla opaca?'• Supongan que tenemos una pantalla completamentc opaca entre una luente S y un observador en P. como en la figura 31 6 (a). Si la pantalla es "opaca" no hay cam po en P. ~Por quC no hay campo ahi? De acuerdo con II tapOn E=E,+ I 1-pared i' Pancallaopaca E=E, Fig 31-6 D1frdcc16n por uria pantalla pared 31-14 Jos principios bilsicos deberiamos obtener el campo en P como el campo retrasado E. de la fuente mils el campo de todas las otras cargas alrededor. Pero como hemos vista antes, las cargas de la pantalla senin puestas en movimiento por el campo E, y estos movimientos generan un nuevo campo que, si !a pantalla es opaca, dcbe anular exactamente el campo E, en la parte trasera de la pantal\a. Ustedes dir<in:"'jQuC milagro que se anulen exactamente! ;Sup6ngase que no fuera exactamentc cierto!" Si no fuera exactamente cierto (recuerden que esta panta!la opaca tiene alglln espesor), el campo hacia la partc de atr<is de la pantalla no seria exactamente cero. For con· siguiente, no siendo cero, pondria en movimiento algunas otras cargas en el material de la panta!la y produciria asi un poco mas de campo, tratando de romper el balance. Por lo tanto. si hacemos la pantalla lo suficientemente gruesa no hay campo residual, porque hay suficiente oportunidad para conseguir que las cosas se aquieten finalmente. En tBrminos de nuestras formulas anteriores diriamos que la panta!!a tiene un indice imaginario grande, de manera que la onda es absorbida exponencialmentc a medida que atravicsa. Ustedes saben, por supuesto, que una l:i.mina suficientemcnte delgada de! material mils opaco, aun oro, es transparente. Veamos ahora qui: pasa con una pantalla opaca que tiene agujeros como en la figura 31·6 (b} lQuC espcramos para el campo en P? E! campo en P se puede repre· sentar como !a suma de dos partes -el campo debido a la fuente S mas el campo dcbido a la pared-·, es decir, debido al movimiento de las cargas en las paredes, Podemos esperar que el movimiento de las cargas en las paredes sea corilplicado, pero podemos averiguar qui campos producen de una manera bastante simple. Supongan quc tomaramos la misma pantalla, pero le taponamos Jos agujews coma se indica en la parte (c) de la figura. lmaginamos que los tapones son exac· tamente de! mismo material que la pared. Noten ustedes que los tapones van donde estaban los agujeros en el caso (b). Calculemos ahora cl campo en P. El campo en P es ciertamentc cero en el caso (c), pero tambfrin es igual al campo de la fuente mils el campo debido a todos los movimientos de los :ltomos en las paredes y en los tapones. Podemos escribir las ecuaciones siguientes: caso (b): Een p = Es + Epared· caso (c): E;n = 0 p = Es + ~ed + Etap6n, donde las primas se ~efieren al caso cuando los tapones est<'m en su lugar, pero E"' por supuesto, es el m1smo en ambos casos. Si restamos ambas ecuaciones, obtenemos EenP = (Epared-£'pared)-£'tapiln. Ahora bien. si los agujeros no son demasiado chicos (digamos varias longitudes de onda transversalmente), no deheriamos esperar que la presencia de los tapones cambiara los campos que Hegan a las paredes, excepto posiblemente en un pequeiio mon· to alrededor de los hordes de los agujeros. Despreciando este pequeiio efecto, podemos poncr £pared = £'pared y obtenemos que EenP = -£\ap&n jTenemos cl resultado que el campo en p cuando existen agujeros en una pantalla (caso b) es el mismo (con excepci6n de! signo) que el campo producido por la parte de una pared completamente opaca que est3. localizada donde estcin los agujeros! (El signo no es muy interesante ya que corrientemente estamos interesados en la intensidad que es proporcional al cuadrado de! campo.) 31-15 Esto parece una sorprendente argumentaci6n en reverso. Sin embargo, es no solamente vii.lido (aprox.imadamente para agujeros no demasiado pequetlos), sino Util y es la justificaci6n de la teoria corriente de difracci6n. El campo E'1ap0 0 se calcula en cualquier caso particular recordando que el movimiento de las cargas en todas partes en la pantalla es aquel que va a anular el campo Es en la parte de atrits de la pantalla. Una vez que conocemos estos movimientos, sumamos los campos de radiaciOn en P debido s61o a las cargas en los tapones. Hacemos notar nuevamente que esta teol'ia de la difracciOn es s61o aprox.imada y serit vitlida s6lo si los agujeros no son demasiado pequeii.os. Para agujeros que son demasiado pequeiios al termino E'1ap0n serit pequetlo y entonces la diferencia entre £'pared y Epared (cuya diferencia hemos tornado como cero) pue<ie ser comparable o mayor que el pequeii.o termino E' iapOn y nuestra aproximaci6n ya no serit vitlida. 31-16 32 Amortiguamiento por radiaci6n. DispersiOn de la luz 32-1 Resistencia de radiaciOn 32-4 Fuentes hidependientes 32-2 La rapidez de radiaciOn de energia 32-5 DispersiOn de la luz 32-3 Amortiguamiento por radiaciOn 32-1 Resistencia de radiaciOn En el Ultimo capitu!o aprendimos que cuando un sistema oscila sale energia, y dedujimos una formula para la energia irradiada por un sistema oscilante. Si conocemos el campo e1ectrico, cl promedio de! cuadrado de! campo multiplicado por f 0 c es la can ti dad de energia que pasa por metro cuadrado por segundo a traves de una superficie nonnal a la direcci6n en que va la radiaci6n: (32.I) Cualquier carga oscilante irradia energia; por ejemplo, una antena excitada irradia energia. Si el sistema irradia energla, entonces, a fin de dar cuenta de !a conscrvaciOn de la encrgia. debemos encontrar que sc estit alimentando potencia a traves de los alambres que conducen a la antena. 0 sea. para el circuito de alimentaciOn la antena actlla como una resistencia, o un lugar donde la encrgia puede "perderse" (la energia no se pierde realmente. se irradia hacia afuera. Pero en lo que concierne al circuito, la energia se pierde). En una resistencia ordinaria, la energia que se "picrdc" se transforma en calor; en este caso la cncrgia que se "pierde" sale al espacio. Pero desde el punto de vista de la teoria de circuitos, sin considerar a d6nde va la energia, el efecto neto sobre el circuito es el mismo -se •·pierde"' energia de ese circuito-. Por lo tanto, para el generador, la antena parece como si tuviera una resistencia, aun cuando puede estar hecha de cobre per!ectamente bueno. En realidad si estit bien construida, sera casi como una resistencia pura. con muy poca inductancia o capacitancia, porque nos gustaria radiar la mayor cantidad de energia posible con la antena. Esta resistencia que exhibe la antena se !Jama resisten.cia de radiaci6n. Si a la antena llega una corriente /, la rapidez media con que se suministra potencia a la antena es el promedio de! cuadrado de la coniente multiplicado por la resistencia. Por cierto, la rapidez con que la antena irradia potencia es proporcional al cuadrado de la corricnte en la antena, porque todos los campos son proporcionales a las conientes, y la energia liberada es proporcional al cuadrado 32-1 del campo. El coeficiente de proporcionalidad entre la potencia irradiada e ( F) es la resistencia de radiaci6n. Una pregunta interesante es: ~a que se debe esta mos un cjemplo sencillo: digamos que las corrientes otro en una antena. Encontramos que debemos cargado y irradie energia. Si tomamos un abajo, irradia energia; si no calcular a partir de la e~ contestar la pregunta, pregunta interesante y contestada para los electrones, es esto: en una antena los parte de la antena reaccionan na. Podemos calcular esas fuerzas y la regla correcta para la rcsistencia de !ar", eso no es correcto; !eyes de electricidad para mos cuitnto vale el campo masiado complicado para nosotros Por cierto, puesto que la resultado pcrfcctamentc conocer campo~ a usando este razonamiento hacia atrits, resulta que uno campo a muy para las fuerzas a cortas distancias, s61o conocicndo Iargas, usando las !eyes de conservaciOn de la energia, pero no entraremos en ese particular.) En el de un simple electr(m cl problema es este: si hay solamente una carga, ~sobrc puede actuar la fuerza? Ha sido propucsto, en la vicja teoria clitsica, que la carga era una pequcila bola y que una parte de la carga actuaba sabre la otra parte. Debido al retardo de la acciOn a traves de! pequeilisimo electron. la fuerza no esta exactamente en fase con cl movimiento. Esto es, si tenemos el electrOn quieto, sabemos que la "acci6n es igual a la reacciOn". Asi las varias fuerzas internas son iguales y no hay una fucrza re~ultante. Pero si el elcctrOn est3 acelerando, hay un retardo de tiempo a traves de et y, por lo tanto, la fuerza que esta actuando sobre el frente desde atni.s no es la misma que la fuerza sabre la parte de atnis desde el frente, debido al retardo en cl efecto. Este retardo en el tiempo es responsable de una falta de equi librio, de mancra que, como efecto neto. j la cosa es coma si uno quisiera levantarse tirando de los cordones de los zapatos~ Este modelo del origen de la rcsistencia a la aceleraci6n, la resistencia de radiaci6n de una carga m6vil, ha encontrado muchas dificultades, porque nuestro punto de vista actual es quc el elcctrOn no es una "pequeila bola"; este prob!ema nunca ha sido resue!to. Sin embargo, podemos calcu!ar exactamente, por supuesto, cu.it] debe ser la rcsistcncia de radiaci6n resultante, es decir, cuitnta pfrdida debe haber cuando aceleramos una carga a pcsar de no conocer direc tamente e! mecanismo de cOmo funciona esa fuerza. 32-2 La rapidez de radiaciOn de energia Ahora calcu]aremos la energia total irradiada por una carga acelerada. Para mantener la generalidad de la discusiOn tomaremos el caso de una carga acelcrando de 32-2 cualquier forma, pero no en forma relativista. En el momenta en que la acelcraci6n es, digamos, vertical, sabemos quc el campo electrico generado es la carga multiplicada por la proyecci6n de la aceleraci6n retardada, dividida por la distancia. Asi, pues, conocemos el campo el&:trico en cualquier punto y, por lo tanto, conocemos cl Cuadrado de! campo etectrico y, en consecuencia, la energia 1. 0 cE 1 que cscapa por uni dad de itrea por segundo. La cantidad l 0 C bastantc frecuentemcntc vcr con propagac1on de radio. Su inversa sc e~ un nUmcro fitcil de tienc cl valor l / 10 0 c = ohms. en watts por metro cuadrado es igual al promedio del cuadrado de! campo por 377. Usando nuestra expresi6n (29-1) para el campo clectrico, cncontramos que Fig 32-1 El area de un sector brr sen()· rdll. esfer1co es Asi, pucs, el 3.rca del pe4ucflo peda70 de esfera es brr sen(/ multiplicado por rdO dA "--' 21rr 2 sen fJ dfJ. P = (32.3) (32.4) JS dA '"""' Ii. no cs dificil dcmostr::ir quc _1 0"' \Crl' /! di! (32.5) Esta exprcsi6n merece algunas observacione'>. Ante todo, puesto quc el vector a' tcnia 32-3 cierta direcci6n, el a' 2 en (32.5) deberia ser el cuadrado del vector a, esto es. a'. a', la !ongitud del vector a! cuadrado. Segundo. el f1ujo (32.2) fue calculado usando la ace· !eracic'm rctardada. e~to es, la aceleraci6n en el tiempo en el cual la energia. quc ahora cst:'t pasando a travCs de la esfera, fuc irradiada. ;-.;os gustaria decir que esta energia fue en rea!idad !iberada en este tiempo anterior. Esto no es exactamente verdadcro: es s61o una idea aproximada. El momento exacto en que la energia es liberada nose puede definir precisamente. Todo lo quc podemos realmente calcular en forma precisa es que sucede en un movimLento completo, como una osciiaci6n o a!go donde la ace· Jeraci(1n finalmente cesa. Entonces, lo que em;ontramos es que el flujo total de energia por ciclo es el promedio de la aceleraci6n al cuadrado para un ciclo completo. Esto es lo que deber[a realmente aparecer en (32.5). 0 bien. si es un movimiento con una aceleraci6n que es inicial y finalmente cero, la energia total que ha escapado es la integral de (32.5) sabre el tiempo. Para t!ustrar las consecuencias de la formula (32.5) cuando tenemos un sistema oscilante, veamos quC sucede si el desplazamiento x de la carga estti. oscilando, de manera que la acelcraci6n a es··· <;i 2x 0 eiwt. El prornedio de la aceleraci6n al cuadra do sobrc un ciclo (recuerden que tenemos que scr muy cuidadosos euando elevamos al cuadrado cosas que cstti.n escritas en una notaciOn compleja ~realmcnte es el coseno-, y el promedio de cos"wt es un medic) es entonces ( a 12 ) = !w 4 x 0 2 • Por lo tanto (32.6) Las formulas quc cstamos discutiendo son relativamente avanzadas y mils o menos modernas; datan de! comienzo de! siglo xx, )" son muy famosas. Debido a su valor histOrico, es importantc que nosotros podamos leer acerca de ellas en libros mti.s antiguos. En realidad, los libros antiguos tambien usaban un sistema de unidades difcrcntes de nuestro sistema MKS actual. Sin embargo, todas esas complicaciones pueden ser arreg!adas en las fOrmulas finales quc tratan de electrones mediantc la siguicnte regla: La cantidad q~/ 47Tf 0 donde qe es la carga electr6nica (en coulombs). ha sido hist6ricamente escrita coma e 2• Es muy facil calcular que e en el sistema MKS cs nU.mericamente igual a 1,5188 x 10- 14 , porque sabemos que nU.mericamente q = 1,60206 x IO 1 ~ )" 114T1 0 = 8,98748 x 10~. Por lo tanto, a menudo usaremos la abrcviatura conveniente. e2 q~ = 4:irEo' (32.7) Si usamos cl valor numCnco anterior en las formulas antiguas y las tratamos como si estuvicran e~critas en umdades MKS, obtendremos los resultado~ numCricos correctos. Por ejemplo, la forma antigua de (32.5) es P = j e2a 1/c 3• De nuevo la energ[a potencial de un protOn y un electr6n a una distancia r es q} / 47Tf-ur o e2/ r con e 1.5188 x IO '"mks. 32-3 Amortiguamiento por la radiaciOn Ahora bien, el hecho de quc un oscilador pierda cierta energia deberia significar que si tuviCramos una carga en el extremo de un resorte (o un clectrOn en un i1tomo), el cual tiene una frecuencia natural <.v 0 , y comenzti.ramos a oscilarlo y lo so!tti.ramos, no oscilaria indefinidamente, 32-4 aun si estuviera en un Cspacio vacio a miUones de kil6metros de cualquier cosa. No hay aceite, ninguna resistencia, en un sentido ordinario; no hay "viscosidad". Pero, sin embargo, no oscilarii., como podriamos haber dicho en una ocasi6n, "para siempre ", porque si estii. cargado, est3 irradiando energia, y por lo tanto la oscilaci6n lentamente se detendr3. lCon quC lentitud? lCu:il es el Q de taJ oscilador, causado por los efectos electromagneticos, la asi llamada resistencia de radiaci6n o amortiguamiento por radiaci6n de un oscilador? El Q de cualquier sistema oscilante es el total de! contenido de energia de un oscilador en cualquier momenta dividido por la energia perdida por radiitn: Q ~ d.::;d•. 0 bien (otra forma de escribirlo), puesto que dW/dl(J = (dW/dt)/(d1p/dt) = (dW/ dt)/1.J, wW Q ~ dW/dt. ( 32 ·8) Si para un Q dado esto nos dice c6mo se extingue la energia de la oscilaci6n, dW/dt ~= -(<,i/QJ W, que tiene la soluci6n W = W 11e-WIIQgj W0 es la energia inicial (para t = 0). Para encontrar el Q de un radiador, volvemos a (32.8) y usamos (32.6) para dW/dt. Ahora bien, i,quC usamos para la energia W de! oscilador? La energia cinCtica del oscilador es! mv~, y la energia cinetica media es mw1xij/4. Pero recordemos que la energia total de un oscilador es, en promedio mitad energia cinCtica y mitad energia potencial, por lo que duplicamos nuestro resultado y encontramos para la energia total del oscilador (32.9) (.Que usamos para la frecuencia en nuestras formulas? Usamos la frecuencia natural w 0 , porque, para todo fin pr:ictico, Csa es la frecuencia a la cual nuestro <i.tomo esta irradiando, y para m usa'mos la masa m, del electr6n. Luego, hacienda las divisioncs y cancelaciones necesarias, la formula se reduce a (32.10) Para verlo mejor y en una forma mils histOrica la escribimos usando nuestra abrevia tura q}/4m 0 = e1 y el factor r,1 0/c que sobrO ha sido escrito como br/.I. Como Q es adimensional, la combinaci6n ei/ mct 1 debe ser una propicdad solamente de la carga Y de !a masa del electron, una propiedad intrinseca del electron, y debe ser una {011gitud. Se le. ha _dado un nombre~ el radio c/Qsico de! electn.in, yorq~c los ati>micos pnmit1vos, quc fucron mventados para explicar la res1stenc1a de sobre_ !a base de la fuerza de un~ parte del _electr'.·m actuando sobrc las otras partc:o;, necesi_taban todos tener un electron cuyas tl1mcns1ones eran de este orden general de magm_tud. Sin embargo, esta cantidad _ya no tiene el significado de qu~ creemos que cl electron realmcntc tiene tal radio. Numencamente, la magnrtud del radio e~ (32.11) 32-5 Calculemos ahora realmente e! Q de un itomo que estft emitiendo luz --digamos un itomo de sodio-. Para un 3.tomo de sodio, la Jongitud de onda es aproximadamente 6.000 angstrom, en la parte•amarilla de! espectro visible, y es una longitud de onda tipica. Entonces (32.12) asi el Q de un 3.tomo es de! orden de !0 Esto significa que un oscilador atOmico oscilar:i. por 108 radianes. o ccrca de 107 oscilaciones, antes de que su energia dccrezca en un factor de lie. La f,ecuencia de oscilaciOn de Juz correspondiente a 6.000 angstrom v '-- cl A, es de! ordcn de 10 ciclos/ seg, y por lo tanto la vida media, el tiempo que demora la energia de un :i.tomo radiante en disminuir en un factor de 1/ e, es del orden de IO- segundos. En circunstancias ordinarias, !os iitomos que emiten libremcnte demuran por lo general este tiempo en irradiar. Esto es v3lido solamente para ittomos que estin en el espacio vacio, no estando perturbados en forma alguna. 5i el electrOn cstit en un ;,Olido y ticne que golpear a olros ittomos o electrones, entonces hay resistencias adicionales diferente amortiguamiento. El tenrnno de encontrarse lo ancha ctsamente Como.l =8• LlA 32-4 = 27tc Llw/w 2 -= 2?rc'Y/w~ = 27tc/Qwo = A/Q =- 4?rr 0 /3 = 1.18 X 10- 14 m. (32.13) Fuentes independientes En preparaci6n para nue5tro segundo tOp1co, la dispersi6n de la !uz, debemos discutir ahora un cicrto aspccto dd fen6meno de interferencia que omitimos discutir antcriormente. Esta es la interrogante de cu:i.ndo la intcrferencia no tiene lugar. Si tenemos dos fucntcs S 1 y S 2 , con amplitudes A 1 y A2 , y hacemos una observaciOn en una cierta direcc16n en la cual las fa5es de llegada de !as dos seii.ales son IJJ 1 y 1.i1 2 (una combmac16n del tiempo real de oscilaci(m y tiempo rctardado, dependienrecibimos se puede en do de la posic1Un de ohscrvaci6n). cntonces la contrar componiendo los dos. vectores o nUmeros y A,_ uno con 3.ngulo <iJ 1 y el otro con :i.ngulo 2 (como hicimos en el y encontramos que la energia resultante es proporcional a 1' 2 ) no cstuvicra. la encrgia total Ahora bicn si el tCrmino cruzado 2A 1A2 cos (¢ 1 que seria recibida en una dirccciUn dada scria simplemente la suma de las energias, + Al, que seria liberada por cada fuente separadamente, que es lo que csperamos cornentcmente. Esto es, la intensidad combinada de lul brillando sabre algo pro vemente de dos fuentcs es !a ;,uma de las intensidades de las dos luces.. Por otro !ado, si tencmos las cosas en forma corrccta y tcncmos un tfrmino cruzado, no es ta! suma, porque hay tambien alguna interferencia. Si hay circunstancias en !as cuales este tCrmmo Ai no es de importancia, d!remos que aparentemente se ha perdido la interfercncia. Por cierto, en esencia est<i. siempre ahl, pero puede ser que no scamos ca paces de dctcctarla. Consideremos algunos ejemplos. Supongamos, primero, que las dos fuentes estiln 7 .000.000.000 longitudes de onda una de otra, una disposici6n no imposihle. Entonces en una direcci6n dada cs cierto quc hay un valor muy definido de estos defasajes. Pero, en cambio, si nos movemos solamente un pelo en una direccic"m, unas pocas longiludes de onda, lo cual no es distancia en ahsoluto (nuestro ojo ya tiene un orificio que es tan grande que estamos promediando los efectos sobre un intervalo muy amplio comparado con una !ongitud de onda), cntonces cambiamos la fasc relativa, y el coseno cambia muy r<ipldamente. Si tomamos el promedio de la intensidad sobre una regi6n pequefia, entonces el coseno, que toma valores mas. menos, mils, menos, cuando nos desplazamos, da un promedio nulo. Luego, si promediamos sabre regiones donde la fase varia muy rilpidamente con la posici6n, no obtenemos interferencia. Otro ejemplo. Supongamos que las dos fuentes son dos osciladores de radio independientes - no un solo oscilador alimentado por dos alambres, que garantiza que las fases se mantienen juntas, sino dos fuentes independientes-.. y que no estUn exactamente sintonizados a la misma frecuencia (es muy dificil hacerlas coincidir exactamente en la misma frecuencia sin interconectarlos realmente). En este caso tenemos lo que Uamamos dos fuentes independientes. Naturalmente, como las frecuencias no son exactamente iguales, aunquc partieron en fase, una de ellas comienza a estar un poco adelante de la otra, y muy pronto ellas estiln defasadas, y luego adelanta aUn mas, y muy pronto estil.n en fase de nuevo. Asl, el defasaje entre las dos estii. gradua!mente desplazffildose con el tiempo, pero si nuestra observaciOn es tan tosca que no podemos observar aquel pequeiio tiempo, si promediamos sohrc un tiempo mucho mils largo, cntonces aunque la intensidad aumente y disminuya como lo que llamamos "pulsaciones" en sonido, si estos aumentos y disminuciones son demasiado rilpidos para que los sigan nuestros equipos, entonces de nuevo .este tfrmino sc promedia eliminilndose. En otras palabras. jen cualquicr circunstancia en que el defasaje se promedia a cero, no obtenemos interferencia! Se encuentran muchos !ibros que dicen que dos fuentes de luz diferentes nunca interlieren. Esto no es un enunciado lisico, sino mcramentc un enunciado sobre el grado de sensibilidad de la tecnica de los experimentos en la epoca en que se escri bi6 el libro. Lo que sucede en una fuente luminosa es que primero un iltomo irradia, !ucgo otro iltomo irradia, y asi succsivamente, y ya hemos vista que los atomos irradian ~n tren de ondas en solamente alrede~or de 10--s seg; despues de 1~- 8 seg, algUn atomo probablemente ha entrado en JUego, \uego otro iltomo, y as1 sucesiva mente. Asi. pucs, las fases pueden en rcalidad permanecer iguales s6lo por aproximadamcnte 10-~ seg. Por lo tanto, si promediamos por mucho mils de 10-a seg. no vemos una intcrfcrencia de dos fuentes difercntcs, porquc no pueden mantener Su~ fascs fijas por mils de 10-x seg. Con fotoce\u]as es posible la detecci6n de muy alta rapideL. y se puede demostrar que hay una interferencia que varia con el tiempo, aumentando y disminuyendo en alrededor de 10 8 seg. Pero la mayoria de los equipos de dctecciOn. desde luego, no observan intervalos de tiempo tan finos y, por tanto. no ven interferencia. Ciertamente con cl ojo. quc promedia sabre un tiempo de un dCcimo de segundo. no hay posibilidad alguna de vcr intcrfcrencia entre dos fuentes ordinarias diferentes. fuemes luminosas que evitan este efecto Recientementc ha haciendo quc todos los en el tiempo. El dispmitivo quc hace 32-7 una cosa muy complicada, y debe ser comprendida en una manera cuilntica. Se llama ldser, y es posible producir a partir de un 10.ser una fuente en la cual la frecuencia de interferencia, el tiempo en el cual la fase se mantiene Constante, es mucho mas larga que 10-a seg. Puede ser del orden de un cent6simo, un d6cimo, o aun de un segundo, y asi, con fotoce!u!as ordinarias, se puede detectar la frecuencia entre dos diferentes lit.seres. Se puede detectar f<icilmente el latido de las pulsaciones entre dos fuentes 18.ser. ;Pronto, sin duda, alguien sera capaz de mostrar dos fuentes iluminando una pared, en las cuales las pulsaciones son tan lentas que uno pueda ver que la pared se ilumina y se oscurece! (N< de! T.) Otro caso en el cual la interferencia promedio se anula es aquel en el cual, en vez de tener solamente dos fuentes, tenemos muchas. En este caso, escribiriamos la expresi6n para A 2R como la suma de muchas amplitudes, nllmeros complejos, elevada al cuadrado, y obtendriamos el cuadrado de cada uno, todos sumados, mas t6rminos cru:rndos entre cada par, y si las circunstancias son tales que ios Uitimos se promedian a cero, entonces no habr8. efectos de interferencia. Puede ser que las diversas fuentes esten ubicadas en posiciones tan al azar que, aunque el defaSaje entre A 2 y A 1 sea tambi6n definido, es muy diferente del que hay entre A 1 y A 2 , etc. Obtendriamos asl muchos cosenos, muchos positivos, muchos negativos, todos promediando a cero. Asi es que en muchas circunstancias no vemos los efectos de interferencia, sino que vemos s6\o una inte.nsidad total colectiva, igual a la suma de todas las intensidades. 32-5 DlspersiOn de la !w: Lo anterior nos conduce a un efecto que ocurre en el aire como consecuencia de las posiciones irregulares de Jos <itomos. Cuando estilbamos discutiendo el indice de refracci6n, vimos que un haz de luz que Uega haril que los 1itomos irradien de nuevo. El campo eli!ctrico de! haz que llega mueve los electrones de un !ado al otro, e irradian debido a sus aceleraciones. Esta radiaciOn dispersada se combina para dar un haz en la misma direcciOn de! haz original, pero de una fase algo diferente, y 6ste es el origen del indice de refracciOn. t,Pero que podemos decir acerca de la cantidad de luz re-irradiada en alguna otra direcci6n? Ordinariamente, si los 8.tomos est3.n colocados muy hermosamente en una bella red, es facil demostrar que no obtendremos cosa alguna en otra direcci6n porque estamos sumando muchos vectores con sus fases siempre cambiantes, y el resultado se hace cero. Pero si los objetos estim ubicados al azar, la intensidad total en cua!quier direccilin es la suma de intensidades dispersadas por cada 8.tomo. coma ya hemos discutido. Ademti.s, los iltomos de un gas est::i.n realmente en movimiento, asl que aunque la fase relativa de los iltomos sea ahora una cantidad detinida. mils tarde serit bastante difercnte y. por lo tanto, cada tCrrnino coseno se pro" mediara a cero. Por lo tanto, para encontrar cuimta luz es dispersada por un gas en una direcciOn dada, simplemente estudiamos los efectos de un citomo y multiplicamos la intensidad que Cste irradia por el nUmero de ittomos. Antcriormente seii.alamos que e! fenOmeno de dispersiOn de la luz de esta naturaleza es el origen del azul dcl cielo. La luz del so 1 pasa a travCs 1.lcl airc. y cuando miramos hacia un !ado de! sol -digamos a 90" con respecto al haz- vcmos luz azul: lo que tenemos ahora que calcular es cuci/1/a luz vemos y [XJr qud es a::ul. /I/. de/ T.: Esto ya se ha logrado. 32-8 I~ : Atomo /1~ Radiaci6n dispersada Fig. 32-2. Un haz de radiaci6n incide sobre un <'itomo y hace que las cargas (electrones) del atomo se muevan. Los electrones en movi- t miento a su vez irradian en varias drrecciones. Si el haz incidente tiene el campo electrico E = E 0ei"'1 en el punlo donde estit ubicado el 8.tomo, sabemos que un electr6n en el iltomo vibrant de un !ado a otro en respuesta a este E (Fig. 32-2). Conforme a la ecuaci6n (23.8), la amplitud serti i: = qeEo m(w~ - w2 + iw1') . (32.15) Podriamos incluir el amortiguamiento y la posibilidad de que el litomo actlle como varios osciladores de frecuencias diferentes y sumar sobre las diversas frecuencias, pero por simplicidad tomemos simplemente un oscilador y despreciemos el amortiguamiento. Entonces la respuesta a1 campo electrico extemo, la cual hemos ya usado en el c8.lculo de! indice de refracciOn, es simplemente (32.16) Ahora podriamos calcuJar f3.cilmente la intesidad de luz emibda en varias direcciones, usando la fOrmula (32.2) y la aceleraciOn correspondiente al i anterior. En vez de hacer esto, calcularemos simplemente la cantidad total de luz dispersada en todas direcciones, a fin de ahorrar tiempo. La cantidad total de energia luminosa por segundo., dispersada en todas direcciones por un iltomo simple, estil naturalmente dada por la ecuaciOn (32.7). Asi, reuniendo las diversas partes y reagrupilndolas, obtenemos P = [{q~w 4 /12:itEoc 3 )q~EZ/m~(w 2 = - wgfi] (iEoCEg)(87r/3){q!/I67r 2 Eg_m~c 4 Xw 4 /{w 2 = (-!EocEg)(811"rg/3)[w 4 /(w 2 - wg) 2] - wg) 2] (32.17) para la potencia tota1 dispersada, irradiada en todas direcciones. Hemos escrito el resu\tado en la forma anterior porque entonces es filcil de re-cordar: primero, la energia total dispersada es proporcional al cuadrado del campo incidente. <..QuC significa eso? Evidentemente, el cuadrado de! campo incidente es proporcional a la energia que estil llegando por segundo. En realidad, la energia incidente por metro cuadrado por segundo es EoC veces el promedio ( E2) del cuadrado de\ campo eJCctrico, y si Eo es el valor milximo de £, ( £ 2 ) = !£20• En otras palabras, la energia total dispersada es proporcional a la energia por metro cuadrado que llega: cuanto mils bril\ante sea la luz del sol que ilumina el cielo, mils brillante va a parecer el cielo. 32-9 Entonces. ~que fracci(m de la !uz que !lega es dispersada '! lmag1ncmos un "'blanco" con una cierta :i.rea. digamos "·en cl haz (noun hlanco real o material. porque Cste difractaria luz. etc .. queremo~ dccir un :1rea imagmana dibujada en el espacio). La cantidad total de energ!a que pasaria a tra\-Cs de e~ta superficie "en una circunstancia dada es proporcional tanto a la intensidad que llega como a rJ, y seria (32.18) Ahora inventamos un concepto: decimos que el iitomo di5persa una cantidad total de intensidad que es la cantidad que cacria en una cicrta Urea geometrica, y damm la respuesta dando esa ilrea. Esa respuesta. entonces, es independiente de la intensidad incidente; da el cociente entre la energia dispersada y la energia incidente por metro cuadrado. En otras palabras. el cociente El significado de esta itrea es quc, si toda la energia que incide ~obre la mi~ma fuera arrojada en todas direcciones, entonces esa es la cantidad de energia que seria dispersada por el ii.tomo. Esta iirea se llama secciOn eflcaz de di5persi6n; el concepto de secci6n eficaL se usa constantemente, dondcquiera que ocurra algUn fcn6meno proporciona[ a la in tensidad de un hal. En tales casos. siempre se describe el monto de! fen6mcno diciendo cuti.l deberia ser el Urea efectiva para recoger esa cant1dad de! haz. No ~ig­ nifica de manera alguna que este oscilador tenga realmente tal area. S1 no hubiera cosa alguna prescnte sino un electrOn libre sacudiCndose de un lado al otro, no ha bria area dlfectamcntc asociada con et lhicamcnte. Es ~implcmente una forma de expresar la respuesta a cierto t1po de problema: nos dice cuitnta area del haL incidentc deberia golpcar a fin de dar cuenta de cu<inta energia sale. Luego para nuestro (32.19) ~uhindlcc s indica di5pcr~ion).* Examinemos algunos ejemplos baJa o a clectronc~ complctamcnte no s1mplifica y la secc16n eficaz es cficaz del clcctrOn lihre. se jEs un area cuyas metros. mas o menos por lado. es decir_ tante pcquerio! Por otra pane. si tomamos lasfrecuencias (e! * .V. de/ T.: Por4ue en inglCs d1sper~10n para los Este la con~tante. e~ sca11ert11K. 32-10 cuarra porencia de !a frecuencia. Es decir, la !uz que es de frecuencia mas alta en un factor de dos, digamos. es diecisiis i'eces m<'ts !ntensamente dispersada, lo que es una diferencia bastante considerabk:. Esto significa que la luz azul, que tiene alrededor de! dob!e Ce la frecuencia del extremo rojizo de! espectro, es dispersada en una proporciOn mucho mayor que la luz roja. ;Entonces, cuando miramos al cido, aparece aqud azul esplendido. que vemos todo el tiempo! Hay varios puntos a se;lalar acerca de los resultados anteriores. Una pregunta interesante es: (.por que llegamos aver las nubes? &De dOnde vienen las nubes? Todos saben que es la condensaciOn del vapor de agua. Pero naturalmente el vapor de agua estil ya en la atmOsfera antes de que sc condense; asi que, (.por que no lo vemos entonces? Despues que se condensa es perfectamente visible. No estaba ahi, ahora estd ahi. Asi que el misterio de dOnde vienen las nubes no es rea!mente un misterio infantil como cl de ··;,de d(mdc viene el agua, papito? ", sino que tiene que scr explicado. Acabamos que todo atomo dispersa luz, y naturalmente el vapor de agua tambii:n luz. El misterio es: wor que, cuando el agua se condensa en nubes, dispersa una cantidad tremendamente grande de luz? Consideren que succderia si, en vez de un iltomo simple, tuviCramos un aglomerado de iltomos, digamos dos, muy cerca uno del otro comparado con !a longitud de onda de la !uz. Rccucrdcn, los 3.tomos son solamente de alrededor de un angstrom, mientras que la longitud de onda de la luz es de unos 5.000 angstroms, de modo que cuando forman un racimo, unos pocos iltomos juntas, pueden estar muy cerca comparados con la longitud de onda de la luz. Entonces, cuando el campo d&:trico actlla, ambos dtomos se movercin juntas. El campo elCctrico dispersado seril entonces la suma de \os dos campos e!Cctricos en fase, es decir, duplica la amplitud que habia con un 3.tomo simple, iY la energia que se dispersa es por lo tanto cuairo veces la correspondiente a un atomo simple, no dos veces! Asi, pues, racimos de iltomos irradian o dispersan mils energia de lo que hacen cuando estiln como 3.tomos simples. Nuestro argumento de que las fases son indepcndientes estil basado en !a suposiciOn que hay un defasaje real y grande entre dos iltomos cualcsquicra, lo cual es cierto solamente si estiln a varias longitudes de onda uno de otro y espaciados al azar, o moviendose. Pero si est3.n prOximos unos con otros, forzosamente dispersan en fase y tienen una interferencia coherente que produce un aumento en la dispersiOn. Si tenemos N iltomos en un racimo, lo cual es una pequeiilsima gota de agua, cada uno sera forzado por el campo e!Cctrico aproximadamente de la misma manera que antes (el efecto de un iltomo sobre otro no es importante; es s6lo, en todo caso, para tener una idea) y la amplitud de dispersiOn de cada uno es la misma, de manera que el campo total dispersado aumenta N veces. La intensidad de la luz que se dispersa se incrementa entonces en el cuadrado, o sea JV'!. veces. Habriamos esperado, si tos iltomos estuvieran dispersos en el espacio, solamente N veces I. jmientras que obtenemos ~ veces I ! Es decir, la dispersi6n de agua en racimos de N moleculas cada uno es N veccs mils intensa que la dispersiOn de \os <itomos simples. Asi, a medida que el agua se aglomera, la dispersi(m aumenta. (.Sc incrementa ad infini tum? jNo! (.Cu<'tndo comienza este an<'tlisis a fallar? &Cu<'tntos ittomos podemos reunir antes de que no podamos llevar este razonamiento mils adclante? Respuesta: Si la gota de agua llega a ser tan grande que de un extrema al otro haya una longitud de onda o alga parecido, los iltomos no estaritn mils en fase porque est<in demasiado separados. Asi, a medida que seguimos aumcntando cl tamai'io de las gotas, obtenemos mils y mils dispersiOn, hasta un instante ta! en que una gota llega alre dedor del tamaii.o de una longitud de onda, y entonccs la dispcrsic)n no aumenta ni siquiera cercanamente tan rilpido 32-11 como aumenta la gota. Ademas, el azul desaparece, porque para longitudes de onda grandes las gotas pueden ser mayores, antes de que este limite sea alcanzado, de lo que pueden ser para longitudes de onda cortas. Aunque por iltomo, las ondas cortas se dispersan mils que las ondas Jargas, hay un mayor realce para el extrema rojo del espectro que para el extremo azul cuando las gotas son mils grandes que la !ongitud de onda, de manera que el color se corre del azul hacia el rojo. Ahora podemos hacer un experimemo que demuestra esto. Podemos hacer particulas que son muy pequei'las al comienzo, y,luego crecen gradualmente en tamafio. Usamos una soluci6n de tiosulfato de sodio (hipo) en ilcido sufUrico, que precipita granos muy finos de azufre. A medida que el azufre precipita, los granos primero comienzan muy finos, y la dispersi6n es un poco azulada. A medida que precipita mils, se pone mils intenso, y luego se pondril blancuzco cuando las particulas se hacen mils grandes. Ademils. la luz que atraviesa directamente tendr3. eliminado el azul. Es por esto que la puesta del so! es roja, naturalmente, porque la luz que pasa a traves de mucho aire para ilegar al ojo tiene eliminada mucha luz azul por dispersi6n, por lo que es rojo-amarillenta. Elelectr6n semueveen ~ unplano k + Atomo J / ;r-La radiaci6n dispersada k est3. polarizada en un' piano Fig. 32-3. l!ustraci6n del origen de la polarizaci6n de la ra~ra~16n dispersada en angulo recto con el rayo 1nc1dente. Finalmente, hay otro aspecto importante que realmente penenece al pr6ximo capitulo sabre polarizaci6n, pero es tan interesante que lo destacamos ahora. Es que el cam po eiectrico de I~ luz dispersada tiende a vibrar en una direcci6n particular. El campo e!ectrico de la luz que llega estil oscilando de alguna manera y el osci!ador excitado va en esta misma direcci6n, y si estamos situados aproximadamente en ilngulo recto con el haz, veremos luz polarizada, es dedr. luz en la cual el campo el&:trico va solamente de una manera. En general. los iltomos pueden vibrar en cualquier direcci6n perpendicular al rayo, pero si estiln forzados directamente hacia nosotros o alejitndose, no los vemos. jAsi, si la luz que llega tiene un campo electrico que cambia y oscila en cualqui~r direcci6n, la cual llamamos luz no polarizada. en· tonces la luz que sale a 90° respecto de! rayo vibra solamente en una direcci6n ! (Vean la Fig. 32,J). Existe una sustancia llamada polaroide que tiene la propiedad de que cuando la luz pasa por ella, solamente la parte del campo etectrico que est:i a lo largo de un ejq particular puede pasar. Podemos usar esto. para demostrar la polarizaciOn. y en verdad encontramos que la luz dispersada por la soluci6n hipo esta fuertemente polarizada. 32~12 33 PolarizaciOn 33-1 El vector electrico de la Juz 33-5 Actividad Optica 33-2 PolarizaciOn de luz dispersada 33-6 lntensidad de la luz reflejada 33-3 Birrefringeneia 33-7 RefraeciOn anOmala 33-4 Polarizadores H-1 El vector electrico de la luz En este capitulo consideraremos los fen6menos que depcnden de\ hecho que el cam po electrico que describe !a luz es un vector. En capitulos anteriores no hcmos estado Lnteresados en la direcciOn de osci!aci6n del campo electrico, excepto para notar que el vector e\ectrico yace en un plano perpendicular a la direcci6n de propagaci6n. La direcci6n particular en este piano no nos ha interesado. Consideramos ahora aquellos fen6menos cuyo aspecto central es !a direcci6n particular de oscilaci6n de! campo elCctrico. En la luz idealmente monocromiltica, el campo eJectrico debe oscilar a una frecuencia definida. pero corno la componente x y la componente y pueden oscilar independientemente a una frecuencia definida, debemos considerar primero el efecto resultantc producido al superponer dos oscilaciones independientes perpendiculares ,entre :o;i ~Que clase de cam po elCctrico est<i compuesto de un componcnte x y una componente y que oscila a la mis ma frecuencia? Si se suma a una vibraci6n x una cierta cantidad de vibraciOn y con la misma fase, el resultado es una nueva vibraci6n en el piano xy. La figura 33-1 ilustra la superposici6n de amplitudes diferentes para la Fig. 33· 1 Superposic16n de v1bracionesx y v1brac1ones yen fase 33-1 vibracibn x y la vibraci6n y. Pero las resultantes mostradas en la figura 33-1 no son las {micas posibilidades; en todos estos casos hemos supuesto que la vibraciOn x y la vibraci6n y estiln enfase, pero n.o tiene por que ser de esa manera. Podria ser que la vibraci6n x y la vibracion y estuvieran fuera de fase. Cuando la vibraci6n x y la vibraci6n y no est3n en fase, el vector campo e!Cctrico Se mueve en una elipse, y podemm ilustrar esto de una manera familiar. Si colgamos una bola de un soporte mediante una !arga cucrda de manera que pueda oscilar libremente en un piano horizontal, ejecutaril oscilaciones sinusoidales. Si imaginamos coordenadas x ,e y horizontales con sus origenes en la posici6n de reposo de la bola, esta puede oscilar sea en la direcci6n x o la direccibn y con la misma frecuencias pendu!ar. Seleccionando el desplazamiento inicial y !a velocidad inicial apropiados, podcmos poner la bola en oscilaci6n, sea a lo largo del eje x o de! eje y, o a lo largo de cualquier linea recta en el piano xy. Estos movimientos de la bola son ana!ogos a las oscilaciones de! vector etectrico ilustrado en la figura 33-1. En cada ejemp!o, como las vibraciones x y las vibraciones y a!canzan sus milximos y minimos en el mismo momento, las osci!aciones x e y estil.n en fase. Pero ahora sabemos que el movimiento mas general de la bola es ci movimiento en una elipse, lo que corresponde a oscilaciones en que !as direcciones x e y no estiln en la misma fase. La superposici6n de vibraciones x e y que no est3n en fase estil ilustrada en la figura 33·2, para una variedad de ilngulos entre la fase de vibraci6n x y la vibraci6n y. El rcsultado general es que el vector e!Cctrico se mueve en una elipse. El movimiento en linca recta un caso particular que corresponde a un defasaje cero el movimiento en clrculo corresponde a amplitudes igua (o un mUltiplo entero de Jes con un defasajc de o cualquier mU!tiplo entero impar de :ir/2l. d /0 l!:r. = coa mt; l z,. .. 2Jl : 2y <:!Oii ...t; coamt; coelllt; 1 -sen alt; 1 l h ~ COii CI (circular izquierda) fl:lt;_ 1 COii = -cOli{wt.+"/•J; -c 1rr./• cut; l sen <Gt; -1 CQ8 COG ~ mt; 1 • ~ coaait; cos(ait~ ~')".,), ein/., i 0/ mt; l co.a:it; 1 -<=oe(mt+ 311/,); -c 1 ' • /4 Superposici6n de v1brac1ones x y v1brac1ones v con a1npl1tucles 1guales Las componentes E~ y Ey se expresan tanto en las nota 33-2 En la figura 33-2 hemos rcpresentado los vectores de campo eJectrico en las dirccciones x e y por nUmeros complejos, que son una representaci6n conveniente para expresar el defasajc. No confundan las componcntes reales e imaginarias de! vector e!ectrico complejo en esta notaciOn con las coordenadas x e y del campo. Las coordenadas x e y graficadas en la figura 33-1 y la fig.urn 33-2 son campos eli:ctricos reales que podemos medir. La3 componentes reales e imaginarias de un vector campo ekctrico complejo son solamente una conveniencia matem:itica y no tienen significado fisico Ahora alga de terminologia. La lul esta linea!mente pofarizada (a veces se llama po!arizada en un piano) cuando el vector ekctrico oscila en una linea recta; la figura 33-1 ilustra la po!arizaci(m lineal. Cuando el extrema de! vector campo eli:ctrico viaja en una elipsc. la luz cst<1 elipticamente polarizada. Cuando el extrema de! vector e!ectrico viaja en un circulo, tenemos polarizaci<Jn circular. Si e! extrema de! vector e1ec1rico, cuando lo observamos a medida que la luz se acerca derecho hacia nose mueve en la dirccciOn antihoraria, lo llamamos polarizaci6n circular derefigura 33 2 (g) ilustra la polarizaci6n circular derecha, y la figura 33-2 (c) muestra la polarizaci6n circular izquierda. En ambos casos la lul sale del papcl. Nuestra convenci6n para designar la po!arizaci6n circular izquierda y derecha es compatible con usa hoy dia para todas las otras particulas que muestran polarizaciOn en ejemplo, electrones). Sin embargo, en algunos libros sabre opt1ca se usan opuestas. asi quc ~c dcbe tener cuidado. y clipticamente polariLada, lo que cubre Ahora bien, {,C6mo puede la luz no estar en una u otra de esas elipses? Si la luz fases x e y no se mantienen perfectavibra primero en una direcciOn y luernn>tontcm<ontc cambiando. Recucrdcn que un <1tomo con cierta polarizaciUn, y lucgo otro las polarizaciones cambiaran cada de lo que podemos detectarla, de la polarizaci6n se promela polarizaciOn se manifescomo se de la deficinic6n, la luz es no de averiguar si la luz esta polarirnda o no. 33-2 PolarizaciOn de luz dispersada efecto de polarizaci6n que ya hemos discutido cs la disrayo de luz, por cjemplo del sol, brillando en el oscilaciones de cargas en el aire, y el movimicnto con ~u maxima intensidad en un plano normal a la dicargas. El rayo proveniente de! sol no estit polarizado, por !o quc la polarizaciOn cambia constantemente y la dirccci6n de vibraci6n de las cargas en el aire cambia constantementc. Si consideramos luz disper sada a 90°, la vibraci(m de las particulas cargadas irradia hacia el observador solarnente cuando la direcci6n de 33-3 vibraci6n es perpendicular a la linea de visi6n de! observador, y entonces la luz estarii polarizada segUn la direcci6n de vibraci6n. As~ la dispersi6n es un ejemplo de uno de los medios para producir polarizaci6n. ;33-3 Birrefringencia Otro efecto interesante de la polarizaci6~ es que hay sustancias para las cuales el indice de refracci6n es diferente para luz linealmente polarizada en una direcci6n y linealmente polarizada en otra. Supongan que tengamos alglln material que consista en moli!culas largas, no esfi:ricas, mils Jargas que anchas, y supongan que esas mol6culas esti:n dispuestas en la sustancia con sus e_jes largos paralelos. Entonces, iquC sucede cuando el vector e!6ctrico oscilante pasa a travCs de esta sustancia? Supongamos que debido a la estructura de la mo16cula, los electrones de la sustancia responden mils facilmente a oscilaciones en la direcci6n paralela a los ejes de las mo!i:culas que a lo que responderian si el campo e!Cctrico tratara de empujarlos perpendicular al eje molecular. En esta forma esperamos una respuesta diferente para polarizaci6n en una direcci6n que para polarizaci6n perpendicular a esa direcci6n. Llamemos eje 6ptico a la dlrecci6n de los ejes de la mo!6cu!a. Cuando la polarizaci6n estii en la direcci6n de! eje Optico, el indice de refracci6n es diferente que el que seria si la direcci6n de polarizaci6n fuera perpendicular a et. Ta! sustancia se llama birrefringente. Tiene dos refringencias, es decir, dos indices de refracci6n, que dependen de la direcci6n de polarizaci6n dentro de la sustancia. iQuC tipo de sustancia puede ser birrefringente? En una sustancia birrefringente debe haber una cierta cantidad de alineamiento por una raz6n u otra, de mo!Cculas asimCtricas. Naturalmente, un crista! cllbico, que tiene la simetria de un cube, no puede ser birrefringente. Pero cristales en forma de agujas !argas indudablemente contienen moli!culas que son asimftricas, y se observa este efecto muy facilmente. Veamos quC efectos esperariamos si tuviCramos que hacer pasar luz polarizada a travi:s de una p!aca de sustancia birrefringente. Si la polarizaci6n es paralela al eje 6ptico, la luz atravesarii con una velocidad; si la polarizaci6n es perpendicular al eje, la luz se transmite con una velocidad diferente. Una situaci6n interesante se produce cuando, digamo.s, la luz estil. linealmente poJarizada a 45° con el eje 6ptico. Ahora bien, la polarizaci6n a 45°, lo hemes observado ya. se puede representar como superposici6n de polarizaciones x e y de igua! amplitud y en fase, como se muestra en la figura 33-2 (a). Como las polarizaciones x e y viajan con velocidades diferentes, sus fases cambian con velocidades diferentes cuando la luz atraviesa la sustancia. Asi, aunque al comienzo las vibraciones x e y estim en fase, dentro del material el defasaje entre las vibraciones x e y es proporciona! a la profundidad en la sustancia. A medida que la luz avanza a travfs del material, la polarizaciOn cambia en la forma que se muestra en la serie de diagramas de la figura 33-2. Si el cspesor de la placa es el precise para introducir un defasaje de 90" entre las polarizaciones x e y, como en la figura 33-2 (c), la luz saldr<l. polarizada circularmentc. Ese espesor se llama placa de un cuarto de onda, porque introduce un defasaje de un cuarto de ciclo entre las polarizaciones x e y. Si se envia luz linealmente polzrizada a travCs 33-4 de dos placas de un cuarto de onda, saldri nuevamente polarizada plana, pero perpendicularmente a la direcci6n original, coma podemos ver en la figura 33-2 (c). Se puede ilustrar facilmente este fen6meno con un pedazo de celof<i.n. El celofan est<i hecho de moleculas Jargas, fibrosas, y no es isotropo puesto que las fibras yacen preferencialmente en cierta direcci6n. Para demostrar la birrefringencia, necesitamos un haz de luz linealmente polarizada, y podemos obtenerlo convenientemente hacienda pasar \uz no polarizada a travi:s de una 13.mina de polaroide. El polaroide, que trataremos con mils detalle mis tardc. tienc la propiedad Util de que transmite \uz que estit linealmente polarizada paralela al eje de! polaroide con muy poca absorci6n, pero la luz polarizada en una direcci6n perpendicular al cje de! polaroide es absorbida fuertemente. Cuando hacemos pasar luz no polarizada a traves de una lilmina de polaroide, solamentc pasa aquella parte del rayo no polarizado que estil vibrando paralelo al eje del polaroide, por Jo que el rayo transmitido estil. linealmente polarizado. Esta misma propicdad dcl polaroide es tambien Util para detectar !a direcci6n de polarizaci6n de un rayo Jinealmente polarizado, o para determinar si un rayo estil. liryealmente polarizado o no. Simplemente sc hace pasar el rayo de luz a travi:s de la lilmina de polaroide y se rota el po!aroide en e! piano normal al rayo. Si el rayo estit Jinealmente polarizado, no ser3. transmitido a traves de la l<lmina cuando el eje dcl polaroide c~ normal a la direcci6n de polarizaci6n. El rayo transmitido se atem:1a s6lo ligeramentc cuando el eje de la litmina de polaroide se rota en 90°. Si la intensidad transmitida es independiente de la orientaci6n de! polaroide. el rayo no est:i linealmente polarizado. Fig. 33-3 Una demostraci6n experimental de la birrefringencia del celoffln. Los vectores e18ctricos de la luz se 1ndican con lineas de trazos. Los ejes de pasada de las l{lminas de polaroide y los ejes 6pticos del celotan se indican por flechas El haz mcidente no estil polanzado. 33-5 quido las dirigidas en una Jecula5 tendcrim a y en cl momento en que se alincan, birrefringente, Con dos J<i.minas de polaroide y una celda transparente que contiene ese liquido polar, podemos inventar un dispositivo con la propiedad de que la luz es transmitida solamente cuando se aplica el campo e1ectrico. Asi tenemos un interrupter etectrico para la lU7., que se llama celda de Kerr. Este efecto, que un campo e1ectrico puede producir birrefringencia en ciertos liquidos. se llama efecto Kerr. 33-4 Polarir.adores 33-7 en absoluto. S6lo si el rayo incidente esta polarizado normalmente al piano de incidencia seni. reflejado. Es muy f;lcil entender la raz6n. En el material reflector la luz esta polarizada transversalmente, y sabemos que es el movimiento de las cargas en el material lo que genera el rayo emergente, al cual llamamos rayo reflejado. La causa de la asi Hamada luz reflejada no es simplemente que el rayo incidente sea reflejado; nuestra comprensi6n mils profunda de este fen6meno nos dice que el rayo incidente provoca una oscilaci6n de las cargas en el material, lo que a su vez genera el rayo reflejado. Esta claro en la figura 33-4 que solamente las oscilaciones normales al papel pueden radiar en la direcci6n de. reflexi6n, y consecuentemente el rayo reflejado estaril polarizado normalmente al piano de incidencia. Si el rayo incidente estil po!arizado en el piano de incidencia, no habril luz reflejada. Este fen6meno se demuestra filcilmente reflejando un rayo de luz Jinealmente polarizada en un pedazo de vidrio piano. Si el vidrio se gira para presentar diferentes ilngulos de incidencia al rayo polarizado, se observa atenuaci6n aguda de la intensidad reflejada cu an do el imgulo de incidencia pasa a tr aves de! ilngulo de B1 ewster. Esta atenuaci6n se observa solamente si el piano de polarizaci6n yace en el piano de incidencia. Si el piano de polarizaci6n es normal al piano de incidencia, la in" tensidad reflejada usual se observa en todos los ilngulos. 7777777/71 90• /?/TT/ ' ·' I"·" Fig. 33-4. Reflex16n de luz linealmente polarizada en el clngulo de Brewster. La d1recci6n de polanzac16n se md1ca por flechas de trazos; los c1rculitos md1can polanzac16n normal al papel. 33-5 que no es s1mi'ltrica espeJO Un rayo de luz. rizado en l<i d1recc1on y, molecula Actividad Optica Otro notabilisimo efecto de la polanzacion se obscrva en materiales compuestos de mo!eculas que no ticnen simetria de reflexi6n: moleculas semejantes a un saca corchos, o como una mano enguantada. o de cualquier forma que m1rada a traves de un espejo cstaria mvertida en la misma forma que un guante izquierdo se relleja coma un guante derecho. Supongamos que todas las moleculas de la sustancia son iguaks, cs decir, ninguna es una imagen e~pe<:ular de otra. Esa sustancia puede mostrar un interesante efecto l!<imado actividad 0pt1ca. en el cual. cuan<lo la luL polan zada pasa a travCs de la sustancia, la direcci6n de polarizacilm rota a!rededor del eje del rayo. 33-8 Para comprender el 1enOmeno de actividad Optica se requiere algUn cii.lculo, pero podemos ver cualitativamente cOmo se produce el efecto sin haccr rcalmcntc cilku· los. Considere una mo!ecula asimetrica en la forma de una espiral, como muestra la figura 33-5. Las molCculas no necesitan realmente tener formas como un saca· corchos para exhibir actividad Optica, pero esta es una forma simple que tomaremos coma ejemplo tipico de las que no tienen simetria de reflexiOn. Cuando un rayo de luz linealmente polarizado segim la direcciOn )' cae sobrc esta molecula. cl campo el~ctrico forzara las cargas hacia arriba y hacia abajo de la he!ice, generando asi u_na corriente en la direcciOn y e irradiando un campo electrico Ey polarizado en la d!fecciOn y. Sin embargo, si los elcctrones estiln constrei'i.idos a moverse a lo largo de la espira!, tambien deben moverse en !a direcciOn x cuando son forzados hacia arriba y hacia abajo. Cuando una corriente fluye haem arriba de la espiral, tambien estit fluyendo hacia dentro del papel en z-'-- z 1 , y hacia afuera del papel enz _,_ z + +A si A es el diimetro de nuestra espiral molecular. Se puede suponer que la corriente en la dirccciOn x no produciri radiaciOn neta puesto que las corrientes estin en direcciones opuestas en \ados opuestos de la espiral. Sin embargo, si consideramos las componentes x del campo clb:trico que llcgan a z = z 1 , vemos quc el campo irradiado por la corricnte en z = z 1 + A y cl campo irradiado en z = z 1 Hegan a z 2 separados en el tiempo por la cantidad Ale, y por lo tanto separados en fase en 7l + wA/ c. Como la diferencia de fase no es exactamcnte 71", los dos campos no se anulan exactamente, y nos queda una pequeiia componente x en cl campo elfctrico generado por el movimiento de los electrones en la mo!Ccula, mientras que el campo electrico excitador tcnia solamentc una componente y. Esta pequeiia componente x, sumada a la gran componente y, produce un campo resultante que cstil inclinado ligcramcnte respecto al eje y, la direcci6n original de polarizaciOn. A medida que la luz se mueve a travfs de! material, !a direcci6n de polarizacOn rota a!rededor de! eje de! rayo. Dibujando unos pocos ejcmplos y considerando las corrientes que u;i campo e!fctrico incidente pondrii. en movimiento, uno se puedc convencer que la existencia de la actividad Optica y el signo de rotaciOn son indepcndientcs de la oricntaci6n de las moleculas. La miel de maiz cs una sustancia comim que posee actividad Optica. El fenOmcno se demuestra facilmente con una !3.mina de polaroide para producir un rayo Jinca!mente po~arizado, una celda de tra.~smisi6n que contiene mid de ll_laiz, y un sc· gundo polaroide para detectar la rotac1on de la direcci6n de polarizaci6n a mcdida que la luz pasa a traves del jarabe de maiz. 33-6 lntensidad de la lul reflejada Consideremos ahora cuantitativamente e( coeficicnte de reflexiOn en funci6n dd ilngulo. La !igura 33 6 (a) mucstra una rayo de luz incidicndo sobre una superficie de vidrio, donde se retlcja parcialmente y se refracta parcialmcnte en el vidrio. Supongamos que cl rayo incidente, de amp!itud unitaria, estit linealmente polarizado normal al piano del papel. Llamaremos h a la amptitud de la onda reflejada, y a a la amplitud de !a onda refractada. Las ondas refractadas y reflcjadas estariln, por supueslo. linealmente polariLadas, y los vectores campo clectrico de las ondas inci· dcnte, reflejada y refractada soo todos paralelos cntre si. La figura 33-6 (b) mucstra la misma situaci6n, pero 33-9 'J '.·', . ";,\t: ;:..-.< -- /Jvidrio Fig. 33-6. Una onda 1ncidente de arn~litud unitana se refleja y refracta en una superficie de vidrio. En (al la onda mcidente esta lmealmente polariiada normalmente al piano del papel. En (b) la onda mc1dente esta lmealmente polarizada en la d1recci6n ind1cada por el vector electncoentrazos ahora suponemos que !a onda incidente, de amplitud unitaria, esti polarizada en cl piano de papel. Llamemos ahora B y A a las amplitudes de las ondas reflejada y refractada, respectivamente. Dcscamos calcular la intcnsidad de la reflexi6n en las dos situaciones ilustradas en las figuras 33-6 (a) y 33-6 (b). Sabemos ya que cuando el 3.ngulo entrc cl 1ayo reflejado y el rayo refractado cs un imgulo recto, no habrit onda reflejada en !a fi. gura 33-6 (b), pero veamos si no podemos obtener una respuesta cuantitativa, una formula exacta para B y b en funcilm del :l.ngulo de incidencia i. El principio que dcbcmos comprendcr cs el o.iguiente. Las cornentes que se gene-ran en cl vidrio producen dos ondas. Primero, producen la onda reflejada. Adem:l.s, sabemos que si no bubiera cornentes gencradas en d vidrio, la onda incidente cont.inuaria directamente hacia el interior de! vidrio. Recuerden que todas las fuentes en el mundo forman el campo resu!tante. La fuente de! rayo de luz incidente produce un campo de amplitud umtaria que sc movcria hacia el interior de! vidrio a Io largo de !a !inea punteada en la figura. Este cam po no se observa y, por lo tan to, las corrientes generadas en el vidrio deben produclr un campo de amplitud - I que se mueve a lo largo de la linea punteada. Usando csto, calcularcmos la amplitud de las ondas refractadas a y A. En la figura 33-6 (a) vemos que el campo de amplitud b cs irradiado por el movimiento de cargas dentro dcl vidrio quc estiin respondiendo a un campo a dentro de! vidrio, y que por lo tanto bes proporcional a a. Podriamos suponer, puesto que nuestras dos figuras son exactamcntc igualcs, excepto para la direcciOn de polarizaci(m, quc cl cociente Bl A seria la misma que la railm h/ a. Esto no es completamentc cierto, sin embargo, porque en la figura 33-6 (b) las direcc1ones de polarizaci6n no son todas paralelas cntre si, coma lo son en la figura 33-6 (a). Es ,,Qlo la componente de A la que es perpendicular a B.A cos (i-+ r), la quc es efectiva en producir B. La expresilm correcta para la proporcionalidad es entonces B Acos(i + f) (ll.l) Ahora usamos un truco. Sabemos que tanto en como en (b) de la figura 33 6, cl campu clectrico en el vidrio dcbc produclr de las cargas que !, polariLado paralelo al rayo incidente, gcncran un t:ampo cloi:ctncu de amplitud y moviendose en la direcci6n de la linea punteada. Pero vemos en la parte (b) de la figura quc solamcntc la componentc de A, normal a la !inea de traws, tiene la po!arizaciOn correcta para producir este campo, mientras que en la figura 33-6 {a) la amplitud completa a cs cfcctiva, pucsto que la polarizaci6n de la onda a es paralela a la polarizacibn de la onda de amp!itud - I. Por lo tanto. 33-10 podemos escribir Acos(i - r) --- - -a---· - = -I -=-f ' (ll.2) puesto que las amplitudes en el primer miembro de la ecuaci6n (33.2) producen cada una la onda de amplitud - I. Dividiendo la ecuaci6n (33. l) por la (33.2), obtenemos B b cos(i + r) = cos(T~' (33.3) un resultado que podemos comparar con el que ya conocemos. Si hacemos (i + r) = 90°, la ecuaci6n {33.3) da B = 0, coma Brewster dice que deberia ser, por lo que nuestros resultados hasta ahora por lo menos no estim evidentemente equivocados. Hemos supuesto amplitudes unitarias para las ondas incidentes, as! que [BI 2 / l 2 es el coeficiente de reflexi6n para ondas polarizadas en el piano de incidencia, y Ibl 2 /1 2 es el coeficieme de reflexi6n para ondas polarizadas perpendicularmente al piano de incidencia. El cociente de estos dos coeficientes de reflexi6n estit determinado por la ecuaci6n (33.3). jAhora realizamos un milagro, y calcu!amos no s6lo e! cociente, sino cada coeficiente IBl 2 y Ibl 2 individualmcnte ! Sabemos por la conservaci6n de la energia que la energia c\e la onda refractada debe ser igual a la energia incidentc menos la energia de la onda reflejada, I - IB I1 en un caso, I - Ib I2 en el otro. Ademiis, la energia que pasa al interior de] vidrio en la figura 33-6 (b) es a la energia que pasa al vidrio en la figura 33-6 (a), como la raz6n de los cuadrados de las amplitudes rcfractadas, I A I 2/ Ia j 2. Uno podria preguntar si realmente sabcmos c6mo calcular la energia en el interior del vidrio, porque, despues de todo, hay energias de movimientos de los itomos ademiis de la cnergia de! campo elfctrico. Pero es evidente que la totalidad de las diversas contribuciones a la energia total sera proporcional al cuadrado de la amplitud dcl campo elfctrico. Por lo tanto, podemos escribir (33.4) Ahora sustituimos la ecuaci6n (33.2) para eliminar Ala de la expresiOn anterior, y expresamos B en funci6n de b mediante la ecuaciOn (33.3) l-lhl 2 ~~ --" I - IW (33.5) Esta ecuaci6n contiene so!amente una amplitud desconocida, h. Despejando I hi~ obtenemos (33.6) y con la ayuda de (33.3) (33.7) ;Asi, pues. hemos encontrado el coeficiente de ref1exi6n Ib I~ para una onda incidcn te po!arizada 33-11 perpendiculannente al piano de incidencia, y tambit!n el coeficiente de reflexi6n jbj'2 para una onda incidente polarizada en el piano de incidencia! Es posible seguir con argumentos de esta naturaleza y deducir que b es real. Para demostrar esto, debe considerarse un caso donde !a luz llega desde ambos !ados de !a superficie de! vidrio en el mismo instante, una situaci6n no facil de disponer experimentalmente, pero divertida de analizar te6ricamente. Si analizamos este caso general, podemos probar que b debe ser real, y por lo tanto, de hecho, que b = ± sen (i - r)/sen (i + r). Es alm posible determinar el signo conslderando el caso de una litmina, muy, muy delgada, en que hay fctlexi6n desde las superficies frontal y trasera, y calculando cuimta luz se refleja. Sabemos cu<inta luz deberia ser reflejada por una capa delgada, porque sabemos cuil.nta corriente se genera, y hasta bemos determinado !os campos producidos por esas corrientcs. Se puede demostrar por estos argumentos que B= _ tan(i~2. tan (i + r) (33.8) Estas expresiones para los coeficientes de reflexiOn en funci6n de los ii.ngulos de incidencia y de refracci6n se llaman f6rmulas de reflexi6n de Fresnel. Si consideramos el limite cuando los :ingulos i y r se aproximan a cero, encontramos, para el caso de incidencia normal, que B 2 """ b 2 """ (i - rY I (i + r)2, para ambas polarizaciones, puesto que los senos prilcticamente iguales a \os ii.ngulos, como tambien lo son las tangentes. Pero sabemos q•Je sen i/sen r=n, y cuando los ithgulos son pequeiios, i/ r~ n. Asi, pues, es fitcil demostrar que el coeficiente de reflexi6n para incidencia normal es _B2 = b2 = ~: ~ :tz. Es interesante determinar cuii.nta !uz se refleja en incidencia normal en la superficie de! agua, por ejemplo. Para el agua, n es 4/ 3, asi que et coeficiente de reflexi6n es (l/7) 2 ""' 2%. En incidencia normal, solamente un dos por JOO de la luz se refleja en una superficie de agua. 33-7 RefracciOn anOmala El Ultimo efecto de polarizaci6n que consideraremos fue efectivamente uno de los f:l~~~s t:aje:~~ ~~c~e~ire;:~: ~aE~e:~;~ci~r~st~?~m~~a~s~;t~8 d~a{~faC:di~ (C:cg~)~~~ tenian la divertida propiedad de hacer que cualquier cosa vista a traves de! cristal apareciera duplicada, es decir, como dos imil.genes. Esto llam6 la atenci6n de Huygens, y jug6 un importante papel en el descubrimiento de la polarizaci6n. Como corrientemente sucede, los fen6menos que se descubren primero son \os mils dificiles, en Ultima instancia, de exp!.icar. Es solamente despues que comprendemos enteramente el concepto fisico, que podemos seleccionar cuidadosamente aquellos fen6menos que demuestran el concepto m8.s clara y simplemente. La refracci6n an6mala es un caso particular de la misma ~irrefringencia que consideramos anteriormente. La refracci6n an6mala se produce cuando el eje 6ptico, el eje largo de nuestras moleculas asimetricas, no cs paralelo a la superficie de! cristal. 33-12 Fig. 33-7. El diagrama superior muestra la trayectoria del rayo ordinario a traves de un cristal b1rrefringente. El rayo extraordinario se muestra en el diagrama inferior. El eJe 6ptico yaceen el piano del papel En la figura 33-7 estin dibujadas dos piezas de material birrefringente, con el eje 6ptico, ta! como se muestra. En la figura superior, el rayo incidente que cae sobre el material estil linealmente polarizado en una direcci6n perpendicular al eje 6ptico de! material. Cuando cste rayo choca con la superficie de! material, cada punto de la superficie actUa como una fuente de una onda que viaja dentro de! cristal con velocidad v1 , la velocidad de la luz en el cristal cuando el piano de polarizaci6n es normal al eje 6ptico. El frente de onda es justamente la cnvolvente o Jugar geometrico de todas estas pequei'las ondas esfericas, y este frente de onda sc mueve derecho a traves de! cristal, y sale por el otro lado. Este es prccisamente el comportamicnto ordinario que esperariamos, y este rayo se llama rayo ordinario. En !a figura inferior, la luz linealmente polarizada que incide sabre el cristal tiene sudlrecci6n de polarizaci6n girada en 90°, asi que e! eje (Jptico yacc en el piano de polarizaci6n. Si ahora consideramos !as pcqueilas onda~ que se originan en cualquier punto de la superficie del cristal. vemos que no se esparcen como ondas esfericas. La luz viajando a lo largo del eje l'lptico viaja con velocidad v1 , porque !a polarizaciOn es perpendicular al ejc Optico, mientras que la luz viajando perpendicular al eje Optico viaja con velocidad 1• 11 , porque la polarizacilin es paralela al eje Optico. En un material birrefringentc v11 v1 , yen la figura v1 < V_i_. Un anillisis mils comp!eto demostraril que las ondas se esparcen en la superficie de un elipsoide. con el eje optico i.:orno cje mayor del elipsoide. La cnvolvente de todas esas pequeiias vndas elipticas es el frentc de onda que avanza a traves del cristal en la direcciOn mostrada. De nucvo. en la superficie posterior. el rayo serii detlectado justamente como lo fue en la superfic1e frontal, asi que la luz emerge paralcla al rayo incidente. pero desplazada de Cste. C!aramente. este rayo no siguc la ley de Snell. sino quc sigue en una direcci6n extraordinaria. Por lo tanto sc le llama rayo extraordinario. * Cuando un rayo no polarizado incide sobre un cristal separa en un rayo ordinario, que atraviesa directamente de manera y en un rayo cxtraordinario que se desplaza a medida quc atra\'iesa el cristal. Esos dos rayos emergentes estiln lincalmente polarizados perpendicularmcnte entre si. Que esto es verdad se puede demostrar facilmente con una li1mina de polaroide para ana \izar la 33-13 polarizaci6n de los rayos emergcntes. Podemos tambifo demostrar que nuestra interpretaci6n de este fen6meno es correcta, enviando luz linealmente polarizada dentro de! cristal. Mediante una orientaci6n adecuada de !a direcci6n de po!arizaci6n de! rayo incidente, podemos hacer que esta luz atraviese directamente sin desdoblamiento, o podemos hacer que atraviese sin desdoblamiento, pero con un desplazamiento. Fig. 33-8. Dos vectores de 1gual arnplitud rotando en sent1do oµuesto se suman para produc1r un vector en una direcc16n f11a. pero con amplitud oscilante. 33-9. Una carga rnov1endose en un en respuesta a luzc1rcularrnente polanzada Hemos representado todos los casos diferentes de po!arizaci6n en las figuras 33-1 y 33-2, como superposiciones de dos casos especialcs de polarizaci6n, especificamente x e y, en cantidades y fase~ diversas. Otros pares podrian haberse usado igualmcnte bicn. Polarizaci6n seglln cualquier par de ejes x' e y' perpendiculares, inclinados con respecto a x e y, scrvirian igualmente 'por cjcmplo, cua!quier polari1acl6n pucde estar forrnada de la superposici6n de casos (a) y (e) de la figura 33 21 Es interesante, sin embargo, que esta idea puede ser ampliada tambien a otros casos. Por ejemplo, cualqu1er polarizaci6n lineal puede estar formada por la superposici6n de cantidade~ adecuadas con fases adecuadas de polarizaciones circulares derecha e izquierda lcasos (c) y (g) de la figura 33-21, puesto que dos vectores iguales rotando en direcciones opuestas se suman para dar un vector Unico oscilando en una linea recta (figura 33-8). Si la fase de uno estit desplazada respecto de! otro, la Hnea es inclinada. Asi, pues, todos los dibujos de la figura 33-l podrian rotularse "la superposici6n de cantidadcs iguales de luz circularmente polarizada derecha e izquierda con diferentes fases relativas". Cuando la componente izquierda sc corre detrits de la derecha en fase, la dirccciOn de la polarizaci6n lineal cambia. Por lo tanto, los materiales 6pticamentc act1vos son, en un sentido, birrefringentes. Sus propiedades pueden ser descritas diciendo que tienen diferentes indices para luz circularmcnte polarizada derecha e izquierda. La superposici6n de luz circularmcnte polarizada derecha e izquierda de diferentes intensidades produce lul ellpticameme polarizada. La luz circularmcnte polarizada tiene otra propiedad intcresante -transporta momentum angular (respccto a la dirccci6n de propagac1(m). Para ilustrar esto, supongamos que esa !uz cae sobre un iltomo rcprescntado por un oscilador armOnico que se puede desplazar igualmentc bicn en cualquier direcciOn en el piano xy. Entonces el desplazamiento x del electron responderii. a la componente E, de! campo micntras que la componentc y responde, igualmente, a la componentc E, del campo pero retrasado de fase en 90°. 33-14 Esto es, el e!ectr6n q~e responde gira en un circulo con velocidad angular u>, en respuesta al campo electrico rotatorio de la luz (figura 33-9). Dependiendo de las caracteristicas de amortiguamiento de la respuesta de! oscilador, la direcci6n de! desplazamiento a de electr6n y la direcci6n de la fuerza qe E sobre e1 no necesitan ser las mismas, sino que rotan juntas. El E puede tener una componente perpendicular a, de modo que se hace trabajo sobre el sistema y se ejerce un torque r. El trabajo hecho por segundo es n.i. En un periodo de tiempo T, la energia absorbida es <wT, mientras que TT es el momentum angular cedido a la materia que absorbe la energia Vemos, por lo tanto, que un rayo de luz circularmente polarizado que contiene una energ{a total l transporta un momentum angular (con vector dirigido segtin la direcciOn de propagaci6n) r/w. Porque cuando este rayo es absorbido secede ese momentum al absorbente. La luz circularmente polarizada a izquierda transporta momentum angular de signo opuestc, - t: Ir,). 33-15 34 Efectos relatfoistas en la radiacion 34-1 Fuentes en movimiento 34-5 Bremsstrahlung 34-2 Un modo de hallar el movimien- 34-6 El efecto Doppler 34-7 El cuadrivector w, k to "aparente" 34-3 RadiaciOn sincrotrOnica 34-4 Radiacii>n sincrotrOn.ica cOsmica 34-1 34-8 Aberracion 34-9 El momentum de la luz Fuentes en movimiento En este capitulo describiremos varios efectos miscelitneos relacionados con la radiaci6n, y entonces habrcmos terminado con la teoria c1asica de la propagaci6n de la luz. En nuestro anitlisis de !a luz, hemos ido bastante lejos, y con considerable detalle. El Unico fenOmeno de alguna consecuencia asociado con la radiaci6n electromagni:tica que no hemos discutido, es qui: sucede si ondas de radio estB.n contenidas en una caja con paredes reflectoras. sicndo el tamaiio de la caja comparable con una \ongitud de onda, o si Cstas son transmitidas en un tubo largo. Los fcnOmenos de los asi !!amados resonadores de cavidad y guias de ondas scr<ln discutidos mas tarde; usaremos primero otro ejemplo fisico -el somdo- y luego volveremos a este tema. Este capitu!o, excepto en esto, es nuestra Ultima consideraci6n de la teoria cli\.sica de la luz. Podemos resumir todos los efectos que discutiremos ahora, haciendo notar que ellos tienen que ver con los efectos defuentes de movimienlo. Ya no supondrcmos mils que la fuente estit localizada, con todo su movimiento a una velocidad relati vamente baja alredcdor de un punto fijo. Recordemos que las leyes fundamentales de la electrodinimica dicen que. a grandes distancias de una carga m6vil, el campo el6ctrico estit dado por la formula (34.1) La segunda derivada del versor eR. que apunta en la direcci(m aparente de la carga. es el aspecto determinante del campo e!Cctrico. Este versor no apunta hacia la posici6n presenre de la carga, naturalmente, sino mils bien en la direcciOn en que la carga pareceria estar, s1 !a informacl6n viaja solamentc con !a velocidad fimta e desde la carga al observador. 34-1 34-1. La trnyector1a de una carga La verdadera pos1c16n en el tiempo r esta en T, pero la posic16n retardada esta en A. Asociado con el campo electrico hay un campo magnetico, siempre perpendicu" Jar al campo electrico y perpendicular a la direcci6n aparente de la fuente, dado por la formula. (34.2) B = -ew X E/c. Hasta ahora hemos considerado solamente el caso en que los movimientos son a velocidades no relativistas; asi que no hay movimiento apreciable a considerarse en la direcci6n de la fuente. Ahora seremos mils generales y estudiaremos el caso en que el movimiento tiene una velocidad arbitraria, y vercmos que efcctos diferentes pueden esperarse en aquellas circunstancias. Dejaremos que el movimiento tenga una velocidad arbitraria, pe(o naturalmente supondremos aim que el detect.or esta muy lejos de la fuente. Ya sabemos, por nuestra discusi6n en el capitulo 28, que las imicas cosas que cuentan en d2· eR,/ dt 2 son los cambios en !a direcdOn de eR'· Sean (x. y, z) !as coordenadas de !a carga, con z medida a lo largo de la direcci6n de observaci6n (Figura 34-1). En un momenta dado en cl tiempo, digamos el instante -r, las tres componentes de la posici6n son x (T), y (T), y z (T). La distancia R es muy aproximadamente igual a R (T) = R 0 + z ('r). Ahora bien, la direcci6n de! versor eR' depende principalmente de x e y, pero muy poco de z; las componentes transversales de! versor son xi R e y/ R, y cuando derivamos esas componentes, obtenemos tCrminos como R 2 en el denominador: d(x/R) - "di-- = dx/dt ~ - dz x Ji R.2 . Asi, cuando estamos sulicientemente lejos, los imicos tfaminos de los que tenemos quc prcocuparnm son las variacioncs de x e y. As1, pues, eliminamos el factor Ro y obtenemos q d 2 x' Ex = - 41reoc 2 Ro di2 ' Ey = - 47re! 2 R 0 ~fr' (34.J) la distancia a q; tomemosla como la distancia OP al oriy, z). Entonces el campo el6ctrico es una constante mul· por una co~a muy ~imple. las segundas derivadas de las coordenadas xe y. m;is matematicamente, llamando x e y las componentes vector de posiciOn r de la carga, pero esto no agrega mayor clacuenta que las coordenadas deben ser mc<lidas en el encontramos que z (T) si afecta al retardo. ;,Cuii.l es el tiem I al tiempo de observaci6n (el tiempo en Pl. entonces 34-2 esto corresponde en A, no es el tiempo t sino retard ado por la distancia t~tal que la luz tiene 4ue viajar,.dividido por la de !a luz. En primera aproximaci6n, este retardo es R 0 /c, una constante (una caracter1~tica no mtercsantc). pero en la aproximaci6n siguiente debemos induir los efectos de la posicic'm en la direcciOn z en el tiempo T, porque si q estil un· poco alcjada hacia atriis, hay un retardo un poco mayor. Este es un efecto que hemos dcspreciado anteriormente, yes el lmico cambio que se necesita para hacer vii.lidos nuestros resultados para todas las velocidades. Lo que debemos hacer abora es escogfr cierto valor t y calcu:ar el valor T a partir de el, y enContrar donde estaban x e y en aquel T. Estes son entonces los x e y retardados, que llamaremos x' e y', cuyas derivadas segundas determinan el campo. Asi, pues, Testa determinado por x'(t) ~ x(r), y'(t) ~ y(r). (34.4) Ahora bien, f:stas son ecuaciones complicadas, pero es suficientemente facil hacer un cuadro geomf:trico para describir su soluci6n. Este cuadro nos darii una buena idea cualitativa de c6mo funcionan !as cosas, pero aUn se requiere mucha matem:itica detallada para deducir los resultados precisos de un problema complicado. Al observador Fig. 34-2. 34-2 Una soluci6n geomCtrica de la ecuaci6n (34.5) para encontrar x'(t). Un modo de hallar el movimicnto "aparente" La ecuaci6n anterior tiene una simplificaciOn interesante. Si despreciamos el retardo constante R 0 / c. que no interesa, que s6lo significa que debemos cambiar el origen de t en una constante, entonces esto dice que ct = CT + z(T), x' = x(T), y' = y(T). (34.5) Ahora necesitamos eneontrar x' e y' como funciones de t, no de T, y podemos hacer esto de la manera siguiente: la ecuaci6n (34.5) dice que deberiamos tomar el movimiento real y agregar una constante (!a velocidad de la )uz) multiplicada por T. Lo que esto quiere decir estil mostrado en la figura 34-2. Tomamos el movimiento real de la carga (mostrado a la izquierda) y nos imaginamos que a medida que se mueve estil siendo arrastrada desde el punto P con la velocidad de la luz c (no hay contrac ciones relativistas o cualquier cosa coma f:sta; esto es sO!o una sur:1a matemiltica de !os CT). En esta forma obtenemos un nuevo movimiento donde la 34-3 coordenada segtin la visual es ct como se muestra a la derecha. (La figura muestra el resultado para un movimiento ba~tante complicado en un piano, pero, por supuesto, el movimiento puede no estar en un piano; pucde ser atin mas complicado que el movimiento en un piano.) La cuesti6n es que ahora la d!stancia horizontal (cs decir. seglln la visual) no es mis la antigua z, sino z + CT, y por lo tanto es ct. jAsi que hemos cncontrado una represcmaci6n de la curva, x' (e y') en funci6n de t! Todo Jo que tenemos que hacer para encontrar el Campo es buscar la aceleraci6n de esta derivar dos veces. A~i. pues, la rcspuesta final es: para encontrar el de m6vil t6mese el movimiento de la carga y tras!Udeselo c para '·abrirlo"; luego la curva asi dibujada es una e y' en funci6n de t. La aceleraci6n de esta curva da el de t. O. si queremos, podemos ahora imaginar que toda se mueve hacia adelante con velocidad c a traves del piano vi;.i el de intersecci6n con el piano visual tiene las coordenac~te punto produce d campo electrico. Esta soluciOn como la fr1rmula de que partimos --es simplemcnte una rcpresentaci6n v Fig. 34-3. La curva x'(t) para una particula que se mueve con velocidad constante 0,94c, un circulo ~ Si el movimiento es relativamente lento. si tenemos, por ejemp!o, un oscilador que s6lo sube y baja lentamente, entonces, cuando disparamos ese movimicnto con la velocidad de la !uz, obtcndriamos por supuesto una simple curva coseno, y eso da una formula que habiamos cstado buscando por mucho tiempo: da el campo producido por una carga oscilante. Un ejemplo mis intcresante es un electron movitndose rii.pidamente, casi a la velocidad de la luz, en un c!rculo. Si miramos en el piano de! circulo, cl x'(f) retardado aparcce como muestra la figura 34-3. (,Que es esta curva? Si imaginamos un radio vector desde el centro de\ circuio a la carga y si cxtendemos esta linea radial un poco mis allt't de la carga, s6\o un poquito si se mucve rt'tpido, entonces llegamos a un punto de la linea que va a la velocidad de la luz. Por lo tanto, cuando trasladamos este movimiento hacia atrits con la velocidad de la \uz, eso corresponde a tener una rueda con una carga sabre ella rodando hacia atr.is (sin deslizar) con la velocidad de la luz; asi encontramos una curva que es muy parecida a una cicloide -se llama hipocfc!oide-. Si la carga va con una velocidad muy cercana a la <le la luz, las "cUspides,. son en 'verdad muy agudas; si fuera a exactamente la velocidad de la luz, serian cllspides reales, infinitamente agudas. ··Jnfinitamente agudas" es interesante; significa que cerca de una cUspide, la segunda dc_rivada es enorme. Una vez en cada ciclo obtenemos un pubo agudo de campo electrico. Esto no es todo lo que obtendriamos de un movimiento no rdativista. donde cada vcz que la carga da vueltas, hay una 34-4 oscilaci6n de aproximadamente la mbma ··intensidad" todo el tiempo. En camb10, hay pulsos muy agudos de campo elCctrico a intervalos de tiempo I /T0 donde T 0 es el periodo de revo!uci6n. Estos intensos campos electricos son emitidos en un estrccho cono en la direcc16n del movimiento de la carga. Cuando la carga se aleja de P, hay muy poca curvatura y hay muy poco cam po irradiado en la dirccci6nde P. 34-3 RadiaciOn sincrotrOnica En el sincrotr6n tenemos electrones muy riipidos moviendose en trayectorias circulares: estila viajando casi a la velocidad c jy es posible ver la radiaci6n antedicha coma luz real! Discutamos esto con mayor detalle. En el ~incrotrOn tenemos electroncs que dan vueltas en cm:u!os en un magnetico uniforme. Veamos primcro por que ellos van en circu!os. Conforme ecuaci6n (12-10), sabemos que la fuerza sabre una particula en un campo tico estil dada por (34.6) F = qv X B, y es perpendicular al campo y a la velocidad. Como ~iempre, la fueua a la arriba dcrivada de! momentum respecto a! tiempo. Si el campo esta dirigido sahendo del papel, el momentum de !a particula y la fuerza sabre e~ta. son muestra la figura 34-4. Como la fuerla es perpendicular a la velocidad, la cinf:tica. y por lo tanto la velocidad. permanece Toda lo camp{) magnCtico es cambiar la direcci6n de! el vector momentum cambia en ilngulo = FJ1, y por lo tanto p g1ra en un IF!-= qvB. Pero en este m1smo tiempo part1cula ha viajado una = v .1t. Evidentcmente, las dos lineas AB y CD se Lntcrceptariln en un que OA ~ OC "'""""' R, donde 6.s = R .18. lombmando esto con las expresiones anteriores,encontramos R !J.fJ/ ill= R(,i = v = qvBR! p, de donde encontramos (34.7) p = qBR w = (34.8) qi•B/p. Como este mismo razonamiento 5e puede aplicar durante el !nstante siguiente. el que sigue, y asi succsivamente, concluimos que la particula debe estar mov1f:ndose en un circulo de radio R con velocidad angular ro. ' ., ---_R --- ______ :::_.v_-.:-:--o Fig. 34-4. Una partlcula cargada se muehel1coidal) en ve en una trayectona circular (o un campo magnetico urnforme 34~5 El rcsultado de que el momentum de la particula sea igual a la carga por cl radio por el campo magnftico, es una ley muy importa.tJ.te que se usa mucho. Es importante para fines pritcticos, porque si tenemos particulas elementales que tienen todas la misma carga y las observamos en un campo magnftico, podemos medir los radios de curvatura de sus 6rbitas y, conociendo el campo magnftico, determinar asi el momentum de las partlculas. Si multiplicamos ambos \ados de la ecuaci6n (34.7) por c, y expresamos q en tfrminos de la carga electr6nica, podemos medir el momentwn en unidades electronvolt. En esas unidades nuestra f6rmula es: pc(ev) = 3 X l0 8 (q/q,)BR, (34.9) donde B, R y la velocidad de la !uz, estitn todas expresadas en el sistema MKS, siendo !a Ultima numfricamente igual a 3 x I0 8 • La unidad MKS de campo magnftico se llama weber·por metro cuadrado. Hay una unidad mils antigua que estil alm en uso corriente, llamada gauss. Un weber/ m- 2 es igual a 104 gauss. Para dar una idea de lo grandes que son los campos magneticos, el campo magnftico mils intenso que se puede producir en el hierro es de l,5 x 10 4 gauss: mils allit de eso, la ventaja de usar hierro desaparece. Hoy dia los electroimanes con bobinas superconductoras son capaces de producir campos constantes de intensidad superior a 10' gauss, csto es, IO unidades MKS. El campo de la ticrra en el ecuador es de unas pocas dCcimas de gauss. Volviendo a la ecuaciOn (34.9) podriamos imaginar el sincrotr6n funcionando con mil millones de e!ectronvolts, asi pc seria 10 9 para mil miliones de electronvolts. (Volveremos a la encrgia dentro de un momento.) Luego, si tuviframos un B correspondiente a. digamos, 10.000 gauss, que es un campo bien considerable, una unidad MKS, entonces vemos que R deberia ser 3,3 metros. El radio real dcl sincrotn"m de! Caltech es de 3,7 metros, el campo es un poco mas grande y la energia es de 1.500 mi!lones, pero la idea es la misma. Asi, pues, tencmos ahora una idea de por que cl sincrotr6n ticnc el tamai'io que tiene. Hemos calculado el momentum, pero sabemos ~---1~~-nergia total, incluyendo la energia en reposo, estil dada por W =--= y'P'T+ m 1 c4, y para un electr6n la energia en rcposo correspondiente a mc1 es de 0,511 x IO" eV, de modo que cuafr do pc es 10 9 eV podemos despreciar mc1, y asi, para todos los fines pr<'icticos, rv = pc cuando las vdocidades son relativistas. Es prilcticamente lo mismo decir que la energia de un electrOn es mil millones de electronvolts que decir que e! momentum per c es mil millones de electronvolts. Si W = 109 eY jes facil demostrar que la velocidad difiere de la velocidad de la luz en s6\o una parte en ocho millones! Volvarr.os ahora a la radiaciOn emitida por ta! particula. Una particu!a movi6ndose en un circu!o de radio 3,3 metros, o sea 20 metros de circunferencia, da vuelta una vez en alrededor de! tiempo que demora la !uz en viajar 20 metros. Entonces la longitud de onda que esa particula deberla emitir deberia ser de 20 metros -en la regi6n de onda corta de radio-. Pero debido al efecto de amontonamiento que hemos estado discutiendo (Fig. 34-3) y debido a que la distancia en la cual debemm extender el radio para alcanzar la velocidad c es solamente de una parte en ocho mi!lones del radio, las cUspides de las hipococicloides son enormcmente agudas comparadas con la distancia entre ellas. La aceleraci6n que implica una scgunda dcrivada con respecto al tiempo, se hace dos veces el .. factor de compresi6n" de 8 x 106, debido a que !a escala de tiempo se reduce en ocho milloncs dos veces en las 34-6 Frg. 34-5 1nc1cie sobre agm1o en d1versas tes colores Frg. 34-6. ti rl.o a una scr1e de (a) electrrco total rleb1- agudos y 1:h) pul- lo) Para apreciar mayormente qui: observariamos, supongan quc ful:ramos a tomar esa luz (para simplificar las cosas, dado que pulsos est.in tiempo, tomaremos solamente un pulso) y la sobre una que consiste en muchos alambres dispersores. reticulo, {,que vemos? (Deberiamos ver luz roja, luz na !uz.) {,Qui: vcmos efectivamente? El pulso golpea red centralmentc, y todos los osciladores de la red, juntos, son violentamente movidos hacia arriba y hacia ·abajo de nuevo, solamente una vez. Producen cntonces efectos en varias cioncs, como muestra la figura 34-5. Pero el punto P est<i mas cerca extremo de! reticulo que del otro, por lo que en este punto el campo elCctrico primcro desde el alambre A, despues desde B, y asi sucesivamente; finalmente, el pulso de! Ultimo alambre. En resumen, la suma de las ref1exiones de todos alambrcs sucesivos se muestra en la figura 34-6 (a); es un campo elCctrico quc es una serie de pulsos, y es muy parecido a una onda sinusoidal, cuya longitud de onda es la distancia cntre los pulsos, jjustamente como lo seria para luz monocrom<itica incidicndo sobre la red! Asi, obtenerpos luz coloreada. de veras. Pero, con el mismo razonamiento, {,no obtendremos luz a partir de cualquier ti po de "pulso '"'! No. Supongan que la curva fuera mucho m:is suave; entonccs sumariamos todas las ondas dispersadas, separadas por un pequeiio tiempo entre ellas (Fig. 34"6 b). Luego vcmos que el campo no se sacudiria en abso!uto, seria una curva muy suave porque cada pulso no varia mucho en el intervalo de tiempo entre los pulsos. 34-7 Fig, 34-7. La nebulosa del cangrejo vista con todos colores (sin filtro) La radiaci6n electromagnetica emitida por particulas re!ativistas cargadas lando en un campo magnfaico, sc llama radiaciOn sincrotrr)nica. Se llama razones obvias. pero no esta especificamente limitada a los sincrotrones. o a laboratorios terrestres. iES excitante e interesante que lambien ocurra en turaleza! 34-4 RadiaciOn sincrotrOnica cOsmica En el ai'lo 1054, las civilizaciones china y japonesa estaban entre las mils avanzadas del mundo; cstaban conscientes de! universo externo, y registraron aquel aflo alga muy notable, una cstrella explosiva y brillante. (Es extraordinario que ninguno de los monjes europcos, quienes escribian todos los libros en la edad media, ni si quiera se molestaran en escribir que explot6 una estrclla en cl cielo, pero no lo hicieron.) Hoy podemos tomar una fotografia de aquella estrel\a, y lo que vemos se muestra en la figura 34-7. En cl exterior hay una gran masa de filamentos rojos, que se produc'e por los ittomos de! gas diluido "sonando" con sus frecucncias naturales; esto forma un brillante espectro de lineas con diferentes frecuencias en e1. Resulta que, en este caso, el rojo se debe al nitrligeno. En cambio, en la regi6n central hay una misteriosa mancha de !uz borrosa con una distribuci6n conlinua de frecuencias, es decir, no hay frecuencias especiales asociadas con ti.tomos individuales. Tampoco es polvo "encendido" por las cstrellas vecinas, lo que es una manera de obtener un espectro continua. Podemos ver estrellas a traves de ella: asi que cs transparente, pero est:i emiliendo luz. En la figura 34-8 observamos el mismo objeto, usando luz en una regi6n del espectro que no tienc lineas espectra!es brillantes, asi que podemos ver solamente la regi6n central. Pero en este caso, tambiCn se han puesto polarizadores en el telescopio, y las dos vistas corresponden 34-8 (ii a (b) .... Fig. 34-8. La nebulosa del cangrejo vista a traves de un filtro azul y un polaroide. (a) El vector electrico vertical. (b) El vector eltl:ctrico horizontal. a dos orientaciones, diferentes en 90°. jVemos que las fotografias son diferentes! Es decir, la luz estil polarizada. La raz6n es, presumiblemente, que hay un campo magnE:tico local, y muchos electrones muy ritpidos movi6tdose en aquel campo magnetico. Hemos ilustrado ya c6mo los electrones pueden dar v4eltas alrededor de! campo en un circulo. A esto podemos agregar, naturalmente, cualquier movirniento unifonne en la direcci6n de! campo, puesto que la ruerza qv x B, no tiene comoonente en esta direcci6n, y como hemes indicado, la radiaci6n sincrotr6nica est3 evidentemente polarizada en direcci6n perpendicular a la proyecci6n del campo magnCtico sobre el piano visual. Reuniendo estos dos hechos, vemos que en una regi6n donde una fotografia es brillante y en la otra es negra, la luz debe tener su campo e!Cctrico completamente polarizado en una direcci6n. Esto significa que hay un campo magnCtico perpendicular a esta direcci6n, mientras en las otras regiones, donde hay una fuerte emisi6n en la otra fotografia, el campo magnetico debe estar de la otra manera. Si observamos cuidadosamente la figura 34-8, podemos notar que hay, en tCrminos aproximados, un conjunto general de "lineas" que van en una direcci6n en una foto, y perpendicularmente a Csta en la otra. Las fotografias muestran un tipo de estructura fibrosa. Presumiblemente, las lineas de! campo magnCtico tenderim a extenderse a distancias relativamente grandes en su propia direcci6n, y asi, presumiblemente, hay grandes regiones de campo magnCtico con todos los electrones dando vueltas en espiral en un sentido, mientras en otra regi6n el campo estil. en otro sentido, y los electrones estim tambiCn dando vueltas en espiral en ese sentido. lQuC es lo que mantiene tan alta la energia de los electrones durante tanto tiempo? DespuCs de todo ya hace 900 aiios que se produjo la explosi6n. lC6mo pueden seguir moviCndose tan ril.pido? C6mo mantienen su energia y c6mo toda esta cosa sigue evolucionando no se entiende todavia completamente. 34-5 .. Bremsstrahlung" A continuaci6n mencionaremos brevemente otro interesante efecto de una particula en movimiento ril.pido que irradia energia. La idea es muy similar a la que ya hemos discutido. Supongan que en un pedazo de materia hay particulas cargadas y un electr6n muy ril.pido, digamos, se aproxima (figura 34-9). Entonces, debido al campo elCctrico alrededor de! nUcleo at6mico, el electr6n es atraido. acelerado. de manera que la curva de su movimiento tiene un ligero coda o dobladura en ella. Si el electr6n estit viajando casi a la velocidad de la luz, lcufil seril el campo e!6ctrico producido en direcci6n c? Recuerden nuestra regla: tomamos el movimiento real, lo 1rasladamos hacia atras con la ve\ocidad c, y eso da una curva cuya curvatura mide el campo ele~trico. Esta~a aproximimdose hacia nosotros con la velocidad v, asi obtcnemos un mov1micnto hacia atni.s con el cuadro completo comprimido dentro de una distancia menor en la propor ci6n en que c-v es menor que c. Asi, si 1--v/c «I, hay una curvatura muy aguda y ritpida en B', y cuando tomamos la segunda derivada de aquella, obtenemos un c.ampo muy fuertc e~ la direcci6n del movimiento. Asl, cuando ~lectroncs muy ritpidos se mueven a traves de la materia, lanzan radiaci6n en la direccion hacia adelante. Esto se llama bremsstrahlung.* En realidad, cl sincrot6n sc usa, no tanto para producir e\ectrones de alta en~rgia {rcalmente si pudihamos sacarlos de la milquina mils nientementc, no diriamos esto) como para producir fotones de energia muy gamma) hacienda pasar los electrones a traves de un "blanco" de tungsteno y dejilndo!os irradiar fotones mediante este efccto de bremsstrahlung. (al Fig. 34-9 Un electr6n r<'ipido al pasar cerca de un ni'.icleo irradia energfa en la direcci6n de su movimiento. (bJ Fig. 34- 10. Las curvas x - z y x' de un oscilador en movimiento. ·~ t 34-6 El ereeto Doppler Pasemos ahora a considerar algunos otros efectos de fuentes en movimiento. Supongan que la fuente es un ittomo quieto que estit oscilando a una de sus frecuencias naturales, (JJ 0 • Entonces sabemos que la frecuencia de la luz que observariamos es w 0 • Pero ahora tomemos otro ejemp!o, en el cual tenemos un oscilador similar oscilando con una frecuencia UJ 1' y al mismo tiempo el ittomo entero, todo el oscilador, se muevc con velocidad yen direcci6n hacia el observador. Entonces, el movimiento real en el espacio es, naturalmente, como se muestra en la figura 34-10 (a). Ahora hacemos nuestro juego usual, sumamos er; es decir, trasladamos la curva entcra hacia atrils y encontramos entonces que oscila como en !a tigura 34-10 (b). En una cantidad dada de tiempo T, cuando el oscilador deberia haber viajado una distancia vr, sabre el diagrama x' en funci6n de ct viaja una distancia (c - v) T. Asi, pues, todas las oscilaciones de frecuencia w 1 en el tiempo .1.T se cncuentran ahora en el interva!o .1.T = (I-vie) .1.T; se aplastan ya mcdida que esta curva pase por nosotros a velocidad c, veremos luz de una frecuencia mcis alta, mils alta en justamente el factor de compresi6n (I - v/c). Entonces observamos (34.10) N aturalmente, podemos analizar esta situaci6n de varias man eras. Supongan que el iltomo estuviera emitiendo, en vez de ondas sinusoidales, una serie de pulsos, pi, pi, pi, pi, con cierta frecuencia wl' iCon que frecuencia los recibiriamos? El * N. de/ T.: Palabra alemana que significa radiaciOn de frenado y que usan los lisicos de todas laslenguas. 34-10 primero llega con cierto retardo, pero el pr6ximo e:stil menos retardado porque en el interin el ii to mo se mu eve mils cerca del receptor. Por lo tan to, el ti em po entre \os "pi" disminuye por el movimiento. Si anallzamos la geometria de la situaci6n, encontramos que la frecuencia de los pi aumenta en el factor 1/(1 -v/c). t,Sera entonces w = w 0 /(l-v/c) la frecuencia que se observaria si tomilramos un iltomo ordinario, que tuviera una frecuencia natural w 0 , y se moviera con velocidad v hacia el observador? No; sabemos la frecuencia natural W1 de un iltomo en movimiento no es la misma que la medida cuando esta quieto, debido a la dilataci6n relativista de la ve!ocidad del transcurrlr del tiempo. Entonces, si (o 0 fuera la frecuencia natural modificada, u) 1 seria W1 = Wo vT - r2/c2. (34.11) Por lo tanto, la frecuencia observada w es (34.12) El corrimicnto de frccucncia observado en la situaci6n anterior, sc llama Doppler: si algo se mueve hacia nosotros, la luz que emite aparece mils violeta, y se aleja, aparece mils roja. Daremos ahora dos deducciones mils de este mismo intercsantc c importante resultado. Supongan ahora que la fuente estii. quieta y esti emitiendo ondas de frecuencia ro 0 , mientras quc el observador cstii moviendose hacia la fuentc a la velocidad v. Dcspue~ de cierto periodo de tiempo t, el observador se habrit movido a una nueva posiciim, una distancia vt desdc donde el estaba en t = 0. t,Cuintos radianes de fase habri vista pasar'.' Un cierto nU.mero, r,1 01, pasaron por cualquier punto fijo, y ademis el observador ha barrido en su pasada algunos mis debido a su propio movimiento, precisamcnte Un nU.mero de vt~ (el nUmero de radianes por metro multiplicado por la distancia). Asi, el nU.mero total de radianes en el tiempo t, o sea la frecuencia observada seria (,J 1 -- w 0 + k0v. Hemos hecho este anfilisis desde el punto de vista de un hombre en reposo; nos gustaria saber qui: le pareceria al hombre que estft moviendosc. Aqui tcnemos que preocuparnos de nuevo acerca de la diferencia en la rapidez de marcha del reloj para _los d~s observadores, y esta vez eso significa que tenemos que dividir por VT-=-v2 /c 1 • Asi, si k 0 es el nUmero de onda, el nU.mero de radianes por metro en la direcciOn de! movimiento. y w 0 es la frecuencia, entonccs Ia frccuencia observada por el hombre en movimiento es: (34.13) Para el caso de la luz, sabemos que ku ticular, la ecuaci6n se !ecria -~ (.<J 0 / c. Asi que en estc problema par- (34.14) jque parece completamente difr:rcnte a la formula (34.12)! La frccuencia que observariamos si nos movemos hacia una fuente, iseri diferente de la frecuencia quc verlamos si la fuente se moviera hacia nosotros? jNaturalmcnte que no! La teoria de la relatividad dice que las dos deben ser exaclamenle iguales. jSi fueramos matemiiticos suficientemente expertos 34-11 probablcrneme nos d<iriarnos cuenta de que esas dos expresiones matemitticas son iguales! De hecho, la igualdad necesaria de las do~ expresiones es una con que a algunas personas Jes gusta demostrar que la re!atividad exige de! tiempo, porque si no hubiCramos puesto aquellos factores de raiz una cuadrada, no seguirian siendo iguales. Puesto que sabemos re!atividad, analicemoslo aU.n de una tcrcera mancra, que puedc parecer un poco mis genera!. (jEs realmente la misma cosa, puesto que no importa c6mo !o hacemos!) De acuerdo con la teoria de la relatividad, hay una relaci6o entrc la posici6n y el tiempo observado por un hombre, y la posici6n y el tiempo visto por otro que esta movi&idose respecto a ei. Escribimos esas relacioncs largo tiempo atrits (capltulo 16). Es la transj0rmaci6n de Lorentz y su lnversa: x' = (34.15) t' = Si estuvieramos inm6viles en el suelo, la forma de una onda seria cos - kx): todos los modos y mitximos y minimos seguirian esta forma. Pero, veria un hombre en movimicnto, observando la misma onda fisica? Donde el cam po es las posiciones de todos los nodos son las mismas (cuando el Campo cs cero, miden el campo como cero); es un invariantc relativista. Asi, pues, la forma es misma tambien para el otro hombre, excepto que debemos transformarla a su sistema de referencia: cos(wt - kx) =cos [w -k Si reagrupamos los terminos dcntro de los parCntesis, obtenemos co<(w1 - kx) ~ ,o,[~£~ , - ~S x'] =cos[ w' 11 - k' x']. (34.16) Esta es una onda de nuevo, una onda coscno, en la cual hay una cierta frecuencia 10', una constante multiplicando a t' y otra constante, k', que multiplica a x'. Llamamos /.:' el nU.mero de onda, o nUmero de ondas por metro, para el otro hombre. Por lo tanto. el otro hombre veril una nueva frecuencia y un nuevo nUmero de onda dado por Si w' = (34.17) k' (34.18) ~ que es la misma formula {34.13) que obtuvimos con 34-12 34-7 El cuadrivector (o, k Las relaciones indiroadas en las ecuaciones (34.17) y (34.18) son muy interesantes, porque dicen que !a nueva frecuencia r./ es una combinaci6n de la antigua fn.-cuencia (.LJ y el antiguo nllmero de onda k, y que el nuevo nllmero de onda es una combinaciOn de los anliguos nllmeros de onda y frecuencia. Ahora bien, el nllmero de onda es la velocidad de cambio de fase con la distancia, y la frecuencia es la velocidad de cambio de fase con el tiempo, y en esas expresiones vemos una estrecha analogia con la transformaci6n de Lorentz de la posici6n y de! tiempo: si se piensa que w es como t, y si se piensa que k es como x dividido por c1 , el nuevo w' seria como t' y el nuevo k' seria como x'/c2. Es decir, frente a la transformaci6n de Lorentz, (;1 y k se transforman en la misma forma que t y x. Elias constituyen lo que llamamos un cuadrivector; cuando una cantidad tiene cuatro componentes que se transforman como tiempo y espacio, es un cuadrivector. Toda parece bien, entonces, cxccpto en una pequefia cosa: dijimos que uk cuadrivector tiene que tener cuatro componentes; ~d6nde estiln las otras dos componentes? Hemos vista que w y k son como tiempo y espacio en una direcci6n espacial, pero no en todas direcciones, y asi debemos estudiar a continuaci6n el problema de !a propagaci6n de la luz en tres dimensiones espaciales, no s6lo en una direcci6n, como lo hemos estado hacienda hasta ahora. Supongan que tenemos un sistema de coordenadas. x, y, z, y una onda quc se propaga y cuyos frentes de ondas son coma se muestra en la figura 34· 11. La longltud de onda de la onda es A, pero la direcci6n de movimiento de la onda no estil en la direcci6n de uno de las ejes. (.Cuit! es la formula para esa onda? La respuesta es claramente cos (wl - ks), donde k = 2n/ A y s es la distancia segUn la direcci6n de movimiento de la onda -!a componente de la posici6n espacial en la direcci6n de movimiento-. Pongilmoslo de esta manera: si res el vector pos1ci6n de un punto en el espacio, s es r · ek, donde ekes un ver~or en la direcciim de movtmiento. 0 sea, s es justamente r cos (r · ek), la componcnte de !a distancia en la direcci6n de movimiento. Pur lo tanto, nm:~tra onda es cos (r,J/ - k ek • r). Resulta ahora conveniente definir un vector k, llamado vector de onda, que tienc un m6dulo igual al nUmcro de onda, 2>r/.1., y est:i. dirigido seglln la direcciOn de propagaci6n de las ondas: (34.19) este vector. nuestra onda puede escribirse como co~ (r.il - k r) o como k.,x - kyY ~Cua] es el significado de una componente de k, digaes !a velocidad de defasaje con respecto ax. RefiriendoEvidentemente, nos a figura 34-11, quc la fase varia cuando variamos x, ta! como si hubiex, pero de wia longitud de onda mcis larga. La "longitud ra una onda a lo largo de onda en la direcc10n m3s larga que una longitud de onda natural verdadera, en la secante del imgulo a entre la direcci6n real de propagaci6n y cl cje x· Ax = A/cos"· (34.20) Por lo tanto, la vclocidad de cambio de fase, .l.t es mcis pequeiia por el factor cos n; asi el m6dulo de k multiplicado por el coseno del 34-13 Esa es, entonces. la naturaleza del vector de onda que usamos para representar una onda en tres dimensiones. Las cuatro cantidades w, k» kro k,, se transforman en relatividad como cuadrivector. donde t,, corresponde al tiempo, y k,, kr, y k, corresponden a las componentes x, y y z del cuadrivector. En nuestra discusi6n anterior de la relatividad especial (Cap. 17), aprendimos que hay formas de hacer productos escalares relativistas con cuadrivectores. Si usamos el vector posici6n xi" donde 11 rcprescnta las cuatro cor:1ponentes (tiempo y tres cspaciales), ! si llamamos vector de onda kw donde el lndice ,u de nuevo tiene cuatro valores, t1empo ! tres cspaciales, lucgo el producto escalar de x" y k 1, se escribe 'k.u x 1, (ver capitulo 17). Este i:iroducto escalar es un i~v~riante, lndependiente de! sistema de coordenadas: ~a que es igual? Por la defimcion de este producto escalar en cuatro dimensioncs, cs I 1: 1 k~x~ = wl - k,,x - k 11 y - k,z. (34.21) rc:r nuestro estudio de vectores que }.:' k'-' x 1, es invariante frente a la tran~formarn'.m de Lorent7. puesto que k1, es un cuadrivector. Pero csta cantidad es prec1samente lo que aparcce dentro del coseno para una onda plana, y deberia ser invariantc frcnte a una transformaci6n de Lorentz. No podemos tener una formula con a!go que cambia en el interior del coseno, puesto que sabemos que la fase de una onda no puede cambiar cuando cambiamos el sistema de coordenadas. Sabcmos 34-8 AberraciOn Al dcrivar las (34.17) y (34.18), hcmos tornado un simple cjemplo donde k result6 estar en direcciOn de movimiento, pero naturalmente podemos generalizarlo tambien a otros casos. Por ejemplo. supongan que hay una fuente emltiendo lul en cicrta direcciOn desde el punto de vista de un hombre en reposo. pero sabre la tierra, digamos (Fig. 34-12). .-,De que direcci6n parePara averiguarlo tcn<lremos quc escribir las cuatro componentes de la tran~formaciOn de Lorentz. La respuesta, sin embargo, pucde cncon ~iguiente ra10namicnto: tenemos que apuntar nuestro te!escopio en un para ver la luz t,Por quC? Porque la \UL se aproxima con la velocidad de la nos cstamos moviendo hacia cl ]ado con la velocidad v, y asi que hay el telescopio hacia adelante de tal manera que cuando la luz llegue, '-34-14 '] !? ilv' ,,, Fig. 34-12. Una fuente S distante seobserva con {a) un teiescop10 qu1eto y (b) tm telescopio que se mueve hac1a un lado. lbl pase "derecho" por el tubo. Es muy facil ver que la distancia h&rizontal ~s vt cuando la distancia vertical es ct, y por Jo tanto, si O' es el ilngulo de inclinacion, tan 0 = = vi c. jQue bonito! Que bonito, realmente excepto en una pequeiia cosa: O' no es el ingulo en que se debe colocar el telescopio, respecto a la tierra, porque hemos hecho nuestro anil.!isis desde el punto de vista de un observador "fijo". Cuando dijimos que la distancia horizontal es vt, el hombre sobre la tierra habria encontrado una distancia diferente, puesto que d ha medido con una regla "aplastada". Resulta que, debido al efecto de esa contracci6n tan()= (34.22) que es equivalente a sen()= v/c. (34.23) Sera instructivo para el estudiante deducir este resultado, usando la transformaci6n de Lorentz. Este efecto, que un telescopio tiene que ser inclinado, se llama aberradOn, y ha sido observado. lC6mo podemos observarlo? ~QuiCn puede decir d6nde deberia estar una estrella dada? Supongamos que tenemos que mirar en la direcci6n equivocada para ver una estrella; lC6mo sabemos que es una direcci6n equivocada? Porque la tierra da vueltas alrededor del sol. Hoy tenemos que apuntar el telescopio de una manera; seis meses mas tarde tenemos que inclinar el telescopio de otra manera. Asi es como podemos decir que existe tal efecto. 34-9 El momentum de la luz Cambiemos ahora a un t6pico diferente. Nunca hemos dicho, en todas nuestras discusiones de los pocos capitulos pasados, cosa alguna acerca de los efectos del campo magnetico que esta asociado con la \uz. Ordinariamente, los efectos del campo magnetico son muy pequefios, pero hay un efecto interesante e importante, que es una consecuencia de! campo magnetico. Supongan que viene luz de una fuente y esta actuando sabre una carga, y forzindola de un !ado a otro. Supondremos que el campo ekctrico esta en la direcci6n x, asl que el movimiento de la carga esta tambien en la direcci6n x: tiene una posici6n x y una velocidad v, como muestra la figura 34-13. El campo magnetico es perpendicular al campo elCctrico. Ahora bien, a medida que el campo electrico actUa sabre la carga, y 34-15 Fig. 34- 13. La fuerza rnagnetica sobre una carga 1mpulsada por un campo electr1co est8 en la direcci6n del rayo de luz. la mueve hacia arriba y hacia abajo, ,:,quC hace el campo magnCtico? El campa magnCtica actUa sobre la carga (digamas un electr6n) salamente cuanda Csta se mueve; pero el electr6n estd maviCndose, estil forzada por el campo e!Cctrico, asi que ambos trabajan juntos: mientras la cosa viaja hacia arriba y hacia abajo, tiene una velocidad y hay una fuerza sobre clla, B por v par q; pero, (,en que direcci(m estil esta fuerza? Estd en la direcci6n de propagaci6n de la luz. Par lo tanto, cuando la !uz estil iluminando una carga, y oscila en respuesta a esa carga. hay una fuerza impulsora en la direcci6n de! rayo de luz. Esto se llama presi6n de radiaci6n o presi6n de !a luz. Determinemos cuti.nto vale la presi6n de radiaci6n. Evidentemente, Csta es F = qvB, o puesta que todo estil ascilando, es e! promedio en el tiempo de esto, ) . SegUn (34.2) la intensidad dcl campo magnetico es igua! a la intensidad de! campo electrico dividida por c, as! que necesitamos encontrar el promedio del campo eJectrico, por !a vclocidad, por la carga, por I I c: <F ) -=- q < vE I c. i Pero la carga q por el campo E es la fuerza e!Cctrica sabre la carga, y la fuerza sabre la carga por la velocidad es el trabajo dW/dt rea!izada sabre la carga! jPor lo tanto, la fuerza, el '·momentum impulsor" que se entrega por segundo por la luz, es igual a l/c por la energ[a absorbida de la luz por segundo! Esa es una regla general, puesto que no dijimos cuUI era la intensidad de la radiaciOn, o si algunas de las cargas se anulaban. En cualquier circunstancia donde fa fuz estd siendo absorbida, hay una presiJn. El momentum quc entrcga la !uz es sicmprc igual a la energia absor· bida, dividida por c: = <F > (F)=_i_~~. (34.24) Ya sabemos que la luz transporta cncrgia. Ahora comprcndemos que tambiCn transporta momentum, y ademti.s, quc el momentum transportado es siempre igual a I/ c veces la energia. ~ Cuando una fuente emite luz. hay un efecto de retroce.<.o: la misma cosa a la invcrsa. Si un ii.tomo esta emitiendo una cnergia W en alguna direcci6n, entonces hay un momentum de retroceso p '--- WI c. Si se refleja lu7 perpendicularmente en un espejo, abtenemos dos veces la fuerza. Hasta aqui llegamos usando la teoria clilsica de la luz. Por cicrto 4uc sabcmos quc hay una teoria cuUntica, y que en muchos aspcctos la Juz acttia coma una particula. La energia de una particula de luz es una constante multip!icada por la frc· W=h11=ltw (34.25) ~hora notamos que la luz tambien transporta un momentum igual a la cncrgia divi· d1da 34-16 por c, asi que tambien es verdad que esas part!culas efectivas, estos fotones, 1\evan momentum. p = W/c = hw/c = lik. (34.26) La direcciOn de! momentum es, natU:ralmente, la direcci6n de propagaci6n de la !uz. Asi, para ponerlo en forma vectorial, (34.27) ' Sabemos tambiCn, naturalmente, que la energia y el momentum de un particu!a deberian formar un cuadrivector. Hemos descubicrto recii:n que (J) y k for:nan un cuadrivector. Por lo tanto, es bucno que (34.27) tenga la m1sma comtantc en ambos casos; significa que la teoria cu1i.ntica y la teoria de la relatividad son mutuamente compatibles. La ecuaci6n (34.27) sc puede escribir e\egantemente como pp flf...,", una ecuaci6n relativista, para una particuia una onda. Aunque hemos discutido esto sOJo para fotones, para los m6dulo de k) es igual a t,,/ c y p = W/ c, la re!aci6n es mucho mils general. En mccilnica cuilntica, todas la~ particulas, no solameme los fotones, muestran propiedades ondulatona~, la frccucncia y el nUmero de onda de las ondas estil rel2c1onado con la mr:ntum de las particulas por (34.27) (que se llaman rclacioncs de cuando p no e~ igual a WI c. En el l1lt1mo capitu\o, vimos que un rayo de cha o izquierda, tambiCn a la energia t de la onda. mente polariLada se considera lleva un momentum angular ± h tlega a ser la po!arizaciOn desde momentum angular como balas de ''balistica'" es rea!mente tan incomplcta como la que discutir cs as ideas mas exhau5tl\ amente en un tamicnto Cuilntico 34-17 35 Vision de los colores 35-1 35-2 35-3 El ojo humano El color depende de la intensidad MediciOn de la sensaclOn de color 35-1 35-4 35-5 35-6 El diagrama cromlitico El mecanismo de la visiOn de los colores Fisioquimica de la visiOn de los colores El ojo humano El fenOmeno de Jos colores depende parcialmente de! mundo fisico. Discutimos los colores de peliculas de jabOn, y de otras cosas, como producidos por interferencia. Pero tambien, por cierto. depende de\ ojo, o lo que suceda dctds del ojo, dentro de] cerebro. La fisica caracteri:rn la luz que cntra a! ojo, pero despuCs de esto, nuestras sensaciones son el resultado de procesos neuro·fotoquimicos y de respuestas psicol6gicas. Existen muchos fenOmenos interesantes asociados con la visiOn que comprenden una mezcla de fenOmenos fisicos y procesos fisiolCigicos, y la total apreciaci6n de los fen6menos naturales, cuando nosotros los vemos, debe ir mas ana de la fisica en el sentido usual, No damos mayores justificaciones para hacer estas excursiones en otros campos, porquc la separaci6n de campos, como lo hemos reca!cado, es meramente una conveniencia humana, y no un'a cosa natural. La Natura!cza no est3. interesada en nuestras divisiones, y muchos fen6menos interesantes tienden un puente sobre las brechas entre campos. En el capitulo 3 ya hemos discutido la relaci6n entre la fisica y las otras ciencias en tfrminos generates, pero ahora vamos a mirar con algUn detallc un campo especifico en el cual la fisica y otras ciencias est<in muy, pero muy relacionadas. Tal 3.rea es !a visiOn. En particular discutiremos la visiOn de los co/ores. En el capitulo presente discutiremos principalmente los fenOmenos observables de la visi6n humana, y en el capitulo siguiente consideraremos las aspectos fisio!CJgicos de la visi(m, tanto en el hombre como en otros animales. Todo comienza con el ojo; asi, con cl fin de entcndcr cu<il fen6mcno vemos, se requiere cierto conocimiento del ojo. En el capitulo siguiente di~cutiremos con a!gim detalle cOmo trabajan las diferentes partes del ojo, y c6mo est<'tn interconectadas con el sistema nervioso. Por ahora, describiremos s61o hrevemcnte c6mo funciona el ojo (Fig. 35-1 ). La luz entra al ojo a traves de la c6rneu; ya hemos discutido c6mo sc dcsvia para formar imagen en una capa Hamada retina en la parte po~terior del ojo, de modo que diferentes partes de la retina reciben luz desde diferentcs partes del campo visual exterior. La retina no es absolutamcnte uniformc: cxiste un lugar. un punto, en el centro de nuestro campo 35-1 Fig. 35-2. Fig. 35-1. El ojo. La estructura de la retina. (La luz entra desde abdjo.) visual, que utilizamas cuanda tratamas de ver muy cuidadosamente las casas, y en el cual tenemas la visl6n mii.s aguda; se llama laf6vea o mcicula. Las partes late· rales de! ojo, como podemos apreciar inmediatamente a partir de nuestra experiencia al mirar las cosas, no son tan efectivas para ver deta!!es, coma lo es el centro de! ajo. Existe tambien un punto en la retina de donde salen los nervias que llevan la informaci6n; este es un punta ciego. No existe aqui parte sensible de la retina, y es posible demostrar que si cerramas, digamos, el ojo i7quierda y miramas directamente un objeta, y en seguida mavemos un dedo u otro abjeto pequeiio lentamcnte hacia fuera de! campo visual, sUbitamente desaparece en alguna parte. El Unica uso pritctica que de este hecho conocemos es que cierto fisi6logo lleg6 a ser todo un favorito en la carte de[ rey de Francia, a quicn se lo dio a conocer; en las aburridas seslones con sus cortesal'los, el rey podia divenirse ··cortii.ndoles la cabeza ··, mirando a a!guno y viendo desaparecer la cabeza del otro. La figura 35-2 muestra una vista ampliada del interior de la retina en forma alga esquemittica. En diferentes partes de !a retina existen difcrcntcs clases de estructuras. Los objetos que se prescntan mils densamente cerca de la periferia de la retina se Haman bastoncitos. Mii.s cerca de !a/Oi·ea encontramos. adem<'ts celulas bastoncitos, las cdulas conos. Describiremos m<'ts adelantc cstas A medida que nos aproximamos a la fovea. aumenta el nlnnero de conos. y en la misma no hay otra cosa que cdulas conos, empaquetados en forma muy compacta. tan compacta que !as ce!ulas conos son aqui mucho mils fina> o dclgadas. en cualquier otra parte. Debemos asi apreciar quc vemos con los en cl ccntro de! campo vi1.ual. pero a medida que nos vamos a la las otras cdulas, los bastoncitos. Ahora la cosa interesantc es quc en la cetula sensible a la lu7 no estii concctada por una fibra al que estit conectada a muchas otras cClu!as. Hay varlas clases de cflulas: hay cdulas que 6ptico,' pero hay otras que estiln principalmentc mtcccmwctocb' '"honrnotelme<Hc Existcn esencialmente cuatro clascs de cdulas. ~hora. 35-2 Lo principal en que ponemos Cnfasis es que la seii.al luminosa ha sido ya ··pensada ". Esto quiere dedr que la informaci6n desde las diferentes cdulas no va inmediatamente al cerebra, µunto por punto, sino que en la retina una cierta cantidad de la informad6n ya ha sido digerida, por una combinaci6n de la informaciOn desde diversos receptores visuales. Es importante comprender que ciertos fen6mcnos de la funci6n cerebral ocurren en el ojo mismo. 35-2 El colot depende de la intensidad Uno de los fenOmenos mas sorprcndcntes de la vi~iOn es la adaptaciOn de! ojo a la oscuridad. Si nos introducimos en la oscuridad desde una pieza brillantemente iluminada, no podemos vcr muy bien durante un instante, pero paulatinamcnte, las se hacen mis y mas notorias, y finalmente podremos ver algo donde antes no nada. Si !a intcnsidad de la luz es muy baja, las cosas que vemos son Es sabido visiOn dcbida a !a adaptaciOn a la oscuridad se debe, mientras que la visiOn en la luz brillante, muchos fen6menos que podemos aprede funciones de lq.~ conos y baston- aparcntemente, los bastoncitos son de sensibilidad muy baja, a medida que pasa el tiempo adquieren su habilidad para ver intensidad de la luz para las cuales uno puede adaptarse que un a uno. La naturaleza no hace todo esto con sO!o una clase de sino que traspasa su tarea desde las cC!ulas que ven la luz brillante, las celu!as que ver; !os colores, los conos, a las celulas adaptadas a las intensidades bajas, a la oscuridad. los bastoncitos. Entre las consccuencias interesantes de este desplazamiento est:'tn. primcro, que no existe color. y segundo, que hay una diferencia en ta brillantez relativa de objetos co!oreados diferentemente. Resulta entonces que los bastoncitos ven mejo~ hacia el azul que los conos, y los conos pueden ver, por ejemplo. luz roja profunda. mientras que los bastoncitos la encuentran absolutamente imposible de ver. Asi. pues, la luz roja es negra en lo que concierne a !os bastoncitos. Por lo tanto. dos trows de papel coloreado, digamos azul y rojo, donde el rnjo podria ser aUn mas brillante que e! azul bajo una buena luz, apareceril.n, en la oscuridad. completamente invertidos. Se trata de un efecto bastante sorprendente. Si estamos en la oscuridad y podemos encontrar una revista o algo que tenga coloy. antes de que sepamos con seguridad cuiiles son, juzgamos las iireas daras y oscuras. y si luego llevamos la revista a la luz, podriamos ver este corrimiento bien notable entre el que era el color mis brillante y el que no lo era. El fen6meno se !lama efecto Purkinje. 35-3 ' ,, I/ \ I/ ,, I ~· I I\ I/ I\ <:1100 !;'..--411~"",,,, '500 # .. u a 400 .. -...- H Longitud de onda en mµ Fig. 35~3. La sensibilidad espec:tral del OJC. Curva de trazos, bastoncitos; curva conti- nua, conos. En la figura 35-3, la curva de trazos represema la sensibilidad del ojo en la oscuridad, es decir, utilizando los bastoncitos, mientras que la curva continua representa la sensibilidad a la lllz. Vemos que la sensibilidad m<ixima de los bastoncitos estli. en la regi6n verde y la de los conos estli m.0.s en la regi6n amarilla. Si se tiene una piigina de color rojo (el rojo esta aproximadamente a 650 mp) la podemos ver si estii. brillantemente iluminada, pero en la oscuridad es casi invisible. Otto efecto del hecho de que los bastoncitos entran en juego en la oscuridad y de que no existen bastoncitos en la f6vea, es que cuando miramos directamente algo en la oscuridad, nuestra visiOn 110 es tan aguda como cuando miramos hacia un lado. Una estrella tenue, o una nebulosa, se puede ver a veces mejor mirando un poco hacia el !ado en vez de directamente hacia ella, porque no tenemos bastoncitos sensibles en el medio de la fOvea. Otro efecto interesante del hecho que el nUmero de conos decrece a medida que vamos mils hacia el lado de! campo de visiOn, es que aun en una luz brillante, el color clesaparece cuando el objeto se aleja hacia un !ado. La manera de comprobar esto es mirar en alguna direcciOn lija particular, hacer que un amigo entre desde un !ado con tarjetas coloreadas, y tratar de definir de que color son antes de que esten exactamente frente a usted. Se encuentra que uno puede ver que las cartas estim alli mucho antes de que se pueda determinar el color. Al hacer esto, es aconsejable entrar desde el !ado opuesto del punto ciego, porque de otra manera resulta bastante confuso ver casi el color, entonces no ver nada y despues ver el color otra vez. Otro fenOmeno interesante es que la periferia de la retina es muy sensible al movimiento. A pesar de que no podemos ver muy bien con el rabillo del ojo, si un pequeiio bicho se mueve y nosotros no esperilbamos que alp:o se moviera alli, somos inmediatamente sensibles a ello. Dentro de nosotros todo se conecta •· para mirar algo que se agita a un !ado del campo. 35-3 MedielOn de la sensaclOn de color Ahora pasamos a la visiOn mediante los conos, a la visiOn de lo brillante. y lie· gamos al asunto que es mils caracteristico de la visiOn mediante los conos. y Cste es el color. Como sabemos, la luz blanca se puede descomponer por mcdio de un prisma en todo un espectro de longitudes de onda que nos parecen tener diferentes colore~; esto es lo queson loscolores, porsupuesto: apariencias.Cualquierfuente luminosa se puede ana!izar por medio de una red de difracci6n o un prisma y se puede dcterminar la distribucion espectraL es decir, la "cantidad .. de cada longitud de onda. Una cierta luz puede tener muL:ho a.zul. bastante rojo y muy poco amarillo, o cua!quier otra combinaci6n. Eso es todo muy precise en el sentido de la fisica, pero el problema cs (.de que color aparecera la luz? Es evidente que los diferentes colores dependen de alguna mancra de !a distribuci6n espectral de la Juz, pero el problema es encontrar cuilles caracteristicas de la distribuci6n espectral producen las diversas sensaciones. Por ejcmplo, (.quC tenemos quc hacer para obtener un color verde? Todos sabemos que podcmos tomar simplemente una parte del espectro que sea verde. Pero, (.CS esta la Unica manera de obtener verde, o anaranjado, o cualquier otro color'! (.Hay mas de una distribuci6n espectra! que produzca el mismo efecto visual aparente? La respuesta es dcfinitivamcnte, si. F.xistc un nlimero muy limitado de efectos visuales, de hecho. una varicdad tridimensional de ellos. como veremos en breve, pero existe un nUmero infinite de curvas diferentes que podemos trazar para la luz que proviene de diferentcs fuentes. Ahora bien. el asunto que debemos discutir es: (.en que condiciones aparecen diferentes distribuciones de luz como exactamente del mismo color para el ojo? La tecnica psico-fisica mils poderosa para juzgar colores es usar el ojo como inslrumento de cero. Esto es. no tratamos de definir quC constituye una sensaciOn verde, o de medir en que circunstancias obtenemos una sensaci6n verde, porque resulta que esto es extremadamente complicado. En su !ugar estudiamos las condiciones en las cuales do~ estimulos son indistinguibfes. Entonces no tenemos que decidir si dos personas ven la misma sensaci('m en circunstancias diferentes, sino Unicamente, que si para una persona dos sensaciones son las mismas, son tambifo las mismas para otra. :-.lo tenemos que decidir. cuando uno ve algo verde, si lo que siente en su interior es lo mismo que siente en su interior alguien distinto, cuando ve algo verde; no sabcmos nada acerca de esto. Para i!ustrar !a~ posibilidades, podcmos usar una scric de cuatro lti.mparas proyectoras que tienen filtros y cuyas intensidades se pueden ajustar en forma continua sabre un amplio intervalo; una tiene un fi!tro rojo y produce una mancha de luz roja sobre la pantaJla. la siguiente tiene un filtro verde y produce una mancha verde. la terccra tiene un liltro azul y la cuarta es un circulo blanco con una mancha negra en su centro. Ahora bien. si encendemos alguna luz roja y a continuaci6n ponemos algo de verde. vemos quc en la superficie de traslape se produce una sensaci6n que no es lo que l!amamos verde rojizo. sino que un nuevo color. amarillo en este Caso particular. \ambiando las proporciones de rojo y de verdc. podemos pasar por varies matices de anaranjado. etc. Si hemos ajustado un cierto amarillo, podemos obtener tambiCn el mismo amarillo no mezclando estos dos colores, sino mezclando algunm otros. quizti.s un filtro amarillo con luz blanca, o algo parecido, para obtener la misma scnsaciOn. En otras palabras es posible formar varies colores de mils de una manera. mezdando las luces de diversos filtros. Lo que hemos descubierto recifo se puede expresar analiticamente como sigue. Un amarillo particular, por ejemplo, se puede representar por un derto simbolo Y, que es la "suma" de ciertas porciones de luz roja filtrada (R) y luz vcrde filtrada (V). 35-5 Usando dos nUmeros, digamos r y v para describir la intensidad de (R) y (V), podemos escribir una formula para este amarillo: Y = rR + vV (35.1) El problema es wodemos formar todos los diferentes colores sumando dos o tres luces de diferentes colores fijos? Veamos que se puede hacer en relaciOn a esto. Ciertamente no podemos obtener todos !os dif~rentes colores mezclando s6lo rojo y verde, porque, por ejemplo, el azul nunca aparece en tal mezcla. Sin embargo, introduciendo algo de azul, la regi6n central, donde las tres regiones traslapan, se puedc hacer aparecer de un blanco bastante hermoso. Mezclando los diversos colores y observando esta regi6n central, encontramos qiie podemos obtener una gama considerable de colores en esta regi6n cambiando las proporciones, y as[ no es imposible que todos los colores se puedan formar mezclando estas tres luce~ coloreadas. Discutiremos hasta d6nde esto es verdadero; es en efecto esencialmente correcto y veremos en breve c6mo definir mejor ese enunciado. Para ilustrar nuestro propOsito, movamos las manchas sobre la pantalla de manera que todas caigan una sobre la otra y tratemos entonces de aparear con un color particular que aparece en e! anillo producido por la cuarta lii.mpara. Lo que antes pensilbamos que era "blanco" al salir de la cuarta lilmpara, parece ahora amarillento. Podemos tratar de aparear este, ajustando el rojo y el verde y el azul lo mejor que podamos en una especie de aproximaciones sucesivas y encontramos que podemos aproximarnos bastante a este matiz particular de color "crema ". Asi, pues, no es dificil convencerse de que podemos formar todos los colores. Trataremos de formar el amarillo en breve, pero antes de hacer esto, hay un color que podria ser dificil formar. Las personas que dan clases sabre los colores, forman todos los colores "brillantes", pero nunca forman e! castaiio, y es dificil acordarse de haber vista alguna vez luz castafla. De hecho, este color no se usa nunca para algUn efecto escenico, uno no ve nunca un reflector con luz castafla; as[ que pensamos que pudiera ser imposible formar el castaflo. Para averiguar si es posible formar castafio, sefialemos que luz castafla es simplemente alga que no estamos acostumbrados a ver sin su fondo. De hecho, podemos formarla mezclando algo de rojo y amarillo. Para demostrar que estamos observando luz castafla, aumemamos simplemente la luminosidad del fondo anular contra el cual vemos exactamente la misma luz iY vemos que esta es, en efecto, lo que llamamos castaflo! El castaiio es siempre un color oscuro al lado de un fondo mils luminoso. Podemos cambiar facilmente la caracteristica de! castaflo. Por ejemplo, si eliminamos algo de verde, obtenemos un castaiio rojizo, aparentemente un castaiio rojizo chocolate, y si agregamos mils verde, en proporci6n, obtenemos aquel horrible color de que est3.n hechos todos los uniformes de! Ejercito, pero la luz de este color no es tan horrible en si misma; es de un verde amarillento, pero vista contra un fondo luminoso. Ahora colocamos un filtro amarillo frente a la cuarta luz y tratamos de aparearla. (La intensidad de be estar, por supuesto, dentro de las posibi!idades de las diversas lilmparas; no podemos aparear algo que sea demasiado luminoso, porque no tenemos suficiente potencia en la Jilmpara). Pero ]XJdemos aparear el amarillo; usamos una mezcla de verde y de rojo y ponemos un toque de azu! para hacerlo aUn mils perfecta. Estamos quizii.s listos para creer que, en buenas condidones, podemos hacer un perfecto apareo de cualquier color dado. 35·6 Discutamos ahora las !eyes de la mezcla de colores. En primer lugar, encontramos que distribuciones espectrales diferentes pueden producir el mismo color; a continuaci6n, vimos que "cua!quier" color puede formarse mezclando tres colores especiales, rojo, azul y verde. El aspecto mils interesante de la mezcla de colores es Cste: si tenemos una cicrta luz, que podriamos llamar X y si ella aparece al ojo indistinguible de Y (puede ser una distribuci6n espectral diferente, pero aparece como indistinguible), llamamos cstos co!ores "iguales", en el sentido de que los ojos !os ven como iguales, y escribimos X = Y. (35.2) Aqui estil una de las grandes !eyes de! color: si dos distribuciones espectrales son indistinguibles, y si agregamos a cada una una cierta luz, digamos Z (si escribimos X + Z, esto significa que iluminamos ambas !ilmparas sabre la misma mancha) y tomamos entonces y y agregamos la misma cantidad de la misma Ju~, Z, las nuevas mezclas son tambilin indistinguihles: X+Z= Y+Z. (35.3) Hemos aparcado reden nuestro amarillo; si ahora iluminamos todo con Luz rosada, todavia habril apareo. Asl, agregando cualquier otra luz a las luces apareadas, quedan apareadas. En otras palabras, podemos resumir todos estos fen6menos de color, diciendo que una vcz que se tenga apareo entre dos \uces coloreadas, vista una pr6xima a la otra en las mismas circunstancias, entonces este apareo permanecer:i, y una luz puede ser sustituida por la otra luz en cualquier otra situaci6n de mezcla de colores. En efecto, resulta, y esto es muy importante e interesante, que este apareo de color de las !uces no depende de las caracteristicas del ojo en el momento de la observaci6n: sabemos que si miramos por largo tiempo una superficie roja brillante, o una luz roja brillante, y miramos a continuaci6n un pape! blanco, Cste se ve verdoso, y otros colores tambiCn se distorsionan, por haber estado mirando tanto tiempo e! rojo brillante. Si tenemos ahora un apareo entre, digamos, dos amaril!os y !os miramos y los apareamos, en seguida miramos una superficic roja brillante por largo tiempo, y !uego volvemos al amari!lo, ya no se verii. mils amari!lo; no si: de quC color se ven'!., pero no se veril amarillo. Sin embargo, los amarillos todavia aparecerdn apareados, y asi. a medida que el ojo se adapta a \os diversos niveles de intensidad, el aparco de colores todavla funciona con la excepciOn evidente de cuando vamos a una regiOn donde la intensidad de la luz se hace tan baja que nos hcmos corrido de los conos a los bastoncitos; entonces el apareo de colores no seril mils un apareo de colores, porque estamos usando un sistema diferente. El segundo principio de la mezcla de colores es Cste: cualquier color puede formarse a partir de tres co/ores diferentes, en nuestro caso luces roja, verde y azul. Mezclando convenientemente las tres, podemos hacer cualquier cosa, coma demostramos con nuestros dos ejemplos. Ademii.s estas leyes son muy interesantes bajo el punto de vista matemiltico. Para los que estiin interesados en las matemilticas del asunto. resulta coma siguc. Supongan que tomamos nuestros tres colorcs que son rojo, vcrdc, y azul, pero los indicamos por A, B y Cy los llamamos nuestros colores primarios. Entonces cualquier color pucde formarsc con ciertas cantidades de estos tres: digamos una cantidad a de color A, una cantidad b de color B y una cantidad c de color C forma X: X = aA + bB + cC. (35.4) 35-7 Supongan ahora que se forma otro color Y a partir de los mis mos tres colores: Y= a'A + b'B+ (35.5) c'C. Resulta entonces que la mezcla de las dos luces (esto es una de las consecuencias de las !eyes que ya hemos mencionado) sc obtiene hacienda la suma de las componentes de Xe Y: Z = X + Y = (a + a')A + (b + b')B + (c + c')C. (35.6) Es predsamente como la matemil.tica de la suma de vectores, donde (a, b, c) son las componentes de un vector y (a', b', C) son las de otro vector, y la nueva tuz Z es entonces !a "suma" de los vectores. Este tema ha interesado siempre a los fisicos y matcmitticos. En efecto, SchrOdinger escribi6 un maravilloso trabajo sobre la visi6n de los colores, en el cual desarrollii esta teorla del anitlisis vectorial aplicado a la mezcla de colores. Un problema sc presenta ahora: (.cu:i.les sun los colores primarios correctos a usar? No hay tal cosa como "ios'' colores primarios correctos para la mezcla de luces. Podria haber, por razoncs pritcticas. tres pinturas que son mas Uti!es que otras para obtener una mayor variedad de pigmentos mezdados, pero no estamos discutiendo esta materia ahora. Tres luces diferentemente coloreadas cualesquiera"' pue· den mezclarse siempre en la proporci6n correcta para producir cua/quier color t,Podemos demostrar este hecho fantistico? En lugar de usar rojo, verde y azul, usemos rojo, azul y amaril!o en nuestro proyector. (.Podemos usar rojo, azul y amarillo para formar, digamos verde? Al mezclar estos tres colores en varias proporciones, obtenemos toda una gama de "tliferentes colorcs, abarcando todo un cspectro. Pero de hecho, despues de muchos tanteos, no encontramos nunca nada similar al verdc. El problcma cs: ;,podemos formar cl verdc? La respuesta es si. l,Ciimo? Proyectando a/go de rojo sabre el i•erde, icntonces podemos hacer un apareo con una cierta mezcla de amarillo y azu! 1 Asi los tenemos apareados, excepto que tuvimos que hacer trampa, introduciendo el rojo al otro !ado. Pero, ya quc tenemos cierto refinamiento matemil.tico, podemos darnos cuenta que lo que realmentc demostramos no fue que X puede formarse siempre, digamos a partir de rojo, azul y amarillo, sino que al introducir el rojo al otro ]ado, encontramos que rojo mils X podia formarse a partir de azul y amarillo. Poniendo!o en el otro miembro de la ecuaci6n, podemos interpretar eso Como una cantidad negativa; asi que, si admitimos que los coeficientes en ecuaciones como la (35.4) pueden ser tanto positivos como negativos, y si interpretamos las cantidades negativas como quc tenemos que sumar esas en el otro miembro, entom:es cualquier colo'r se puede aparcar mediante tres cua!esquiera, y no hay ta! cosa como "los" primarios fundamentales. Podemos preguntarnos si cxisten tres colores que s6!o aparczcan con cantidades positivas para todas las mezclas. La respuesta es no. Todo conjunto de tres primarios requiere cantidades negativas para algunos colores, y por eso no existe una manera lmica de definir un primario. En los libros elementales se dice que son el rojo, el verde y el azul, pero esto es s6lo porque con esos se dispone de una gama mcis amplia de colores sin signos menos para algunas combinaciones. * Excepto por supuesto, si alguno de los tres se puede aparear mezclando los otros dos. 35-8 Fig. 35-4. El d1agrama crom<lt1co normal 35-4 · El diagrama cromiitico Discutamos ahora la combinaci6n de colores a un nive! matem3.tico, como una proposiciOn geometrica. Si se representa cualquier color por la ecuaci6n (35.4), po· demos graficarlo coma un vector en el espacio, trazando sobre los tres ejes las cantidades a, by c y entonces cierto color seril un punto. Si otro color es a', b', c', este color estarll ubicado en alguna otra parte. La suma de ambos, como sabemos, es el color que resulta de sumarlos coma vectores. Podemos simplificar este diagrama y representar todo en un piano. bas<indonos en la siguiente observaci6n: si tuviCramos una cierta luz de color, y duplidramos simplemente a y b y c, esto es, si los hacemos todos mils intensos en !a misma proporci6n, serit el mi~mo color, pero mils bri!lante. Por lo tanto, si convenimos en reducir todo a la misma intensidad luminosa, podemos proycctar todo sabre un piano, y esto es lo que se ha hecho en la figura 35-4. Resulta que cualquicr color quc se obtenga, mezclando otros dos en a!guna proporcion. c~tarit en alguna partc sobrc la linca trazada entre los dos puntos. Por ejemplo, una mezcla por mitades apareceria a la mitad entre ellos, y l /4 de uno y 3 /4 del otro apareccria a l /4 de camino de un punto al otro, y asi sucesivamente. Si usamos un azul y un verde y un rojo como primarios, vemos que todos los colores que podemos formar con coeficientes positivos est:in en, el interior del triimgulo de trazos, que contiene casi tod0s los colores quc podamos ver alguna vez, porque todos los colores que podcmos alguna vez ver estllil encerrados en el il.rea de forma extraiia. !imitada por !a curva. (,De dOnde proviene esta area? De una vez que alguien hizo un apareo muy cuidadoso de todos Jos colores que podemos ver en relaci6n a otros tres cspeciales. Pero no tenemos que comprobar todos los colores que podcmos ver: tenemos que comprobar s6lo los colores espectrales puros, las lineas de! espectro. Una !uz cualquiera se puede considerar como suma de diversas cantidades positivas de diversos colores espectrales puros ···puros desdc el punto de vista fisico-. Una luz dada tendr<i una cierta cantidad de rojo, amarillo. azu!, etc. -<:Olores espcctrales-. AsL, si sabemos cuitnto de cada uno de nuesiros tres primarios escogidos se necesita para formar cada uno de estos componentes puros, podemos calcular cuimto de cada uno se necesita para formar nuestro color dado. 35-9 •a• ... ., 1.o V A ,, _-:; Tl0'°°°640600.ni0~4llO""*'d00 Fig. 35-5. Los coef1c1entes de color de los colores espectrales puros en terminos de un cierto con1unto de colores primaries de refe- Longitud de onda m,u Asi, si averiguamos cu:iles sun los coeficientes de color de todos los colorese&pectrales para tres colores primarios dados cualesquiera, podemos elaborar la tabla completa de mezcla de colores. Un ejemplo de tales resultados experimentales al mezclar tres luces se da en la figura 35-5. Esta figura muestra la cantidad de cada uno de los tres diferentes primaries particulares, rojo, verde y azul que se necesita para formar cada uno de los colores espectrales. El rojo estit en el extrema izquierdo de! espectro. el amari!.lo es el ~iguiente y asi sucesivamente, hasta llegar al azuL N6tese queen algunos puntos se necesitan signos menos. Es a partir de tales datos que es posible ubicar la posiciOn de cada uno de los colores en un diagrama, donde las coordenadas x e y estim relacionadas a !as cantidades de los diferentes primarios que se utilizan. Esa es la manera c6mo se ha encontrado la linea curva de contorno. Es el lugar geometrico de los colores espectrales puros. Ahora bien, cualquier otro color se puede formar sumando lineas espectrales, por supuesto, y asl encontramos que todo !o que se pueda producir, uniendo una parte de esta curva con la otra, es un color que se encuentra en la naturaleza. La linea recta une el extrema violeta de! espectro con el extremo rojo. Es el lugar geometrico de los pUrpuras. En el interior del contorno estim los colores que se pueden formar mediante luces, y en el exterior est.in !os colores que no se pueden formar mediantc luces, y nadie los ha visto nunca (jexcepto, posiblemente, co mo im.igenes residuales !). 35-5 El mecanismo de la visiOn de los colores El s1guiente aspecto dcl problema es ahora la pregunta ;.por qui los colores se comportan de esta manera'! La teoria mas simple, propuesta por Young y Helmholtz, suponc que en el ojo hay tres pigmentos diferentes que recibcn la luz y quc los mismos tienen espectros de absorci6n diferentes, de manera que un pigmento absorbe fucrtemente, digamos, en el rojo, otro absorbe fuertemente en el azul, otro absorbe en el vcrde. Entonces, cuando hacemos incidir luz sobre ellos, vamos a obtener cantidades diferentcs de absorcilm en !as tres regiones y estas tres partes de informa ci6n son manejadas de alguna manera en el cerebro o en el ojo, o en alguna partc, para decidir cuil.I es el color. Es facil demostrar que todas las reglas de mezcla de colores sedan una consecuencia de esta proposici6n. Ha habido grandes debates accrca del tema porque el problcma siguiente, naturalmentc, es encontrar !as carac teristicas de absorciOn de cad a uno de los ti es pigmentos. Resulta, desgraciadamcnte, que debido a que podemos transformar las coordenadas del color como queramos, slJlo podemos encontrar todo tipo de 35-10 combinaciones iincales de !as curvas de absorciOn mediante experimentos de mezcla de colores, pero no !as curvas para !os pigmentos individuales. Se ha tratado de varias maneras de obtener una curva especlfa:a quc describa alguna propiedad fi. sica particular dei ojo. Una de curvas se llama cun·a de fuminosidad, mostrada en la figura 35-3. En hay dos curvas, una para los ojos en la oscuridad, la otra para ojos a Ultima cs la curva de Juminosidad del cono. Esto se mide encontrando cuitl es menor cantidad cie !uz de color que necesitamos para apenas verla. Esto mide la scnsibilidad dcl ojo en las diferentcs regiones espec· trales. Hay otra manera muy interesantc de medir esto. Si tomamos dos colores y los hacemos aparecer en una supcrficie. hacicndo aparecer alternativamentc uno tras otro, un centel!co si la frecuencia es muy baja. Sin embargo, a medida que la 1.Jltimo a una cicrta frccuencia a 16 repeticiones por segundo. un color respecto al otro, apaciclos desaparece. Para obtencr ir a una frecuencia mucho lo que llamamos un centcy, a una frecuencia mils baja, un a "luminosidad igual"' por medio son casi. pero no exactamentc, los mis sensibi!idad dd ojo para ver luz debil usan el sistema centellco como una color en ei ojo. el problema cs decada uno. ,:,COrno? Sabemos que ciento de la poblaciOn masculi La mayoria de las persona~ en la visiim del color, tiencn un 35-11 Fig 35- 7 El !i..gar geom8tr1co de los co1lores confund1dos por 10s protanopes otro~ a una variacu'm del colo~, aparear. Sin embargo, hay algunos a cualquier color se puede rencia evidcntc e~. Si podemos para mezclar '" de color de un tipo el lugar geomCtnco largo de cada una de la~ cuales de 4ue et estil pcrdiendo una de las tres estas lineas se dcberian cortar en un punto. perfcctamente. Es ev1dente, entonccs, que no representa datos rea!es! En rea!idad, si verdaderos, resulta que en el gr.ifico de la las lineas no estii. cxactamcnte en el lugar mii.s arriba, no podemos encontrar especnegativas y pos1tivas en difcrentes regiones. resulta que cada una de las curvas de a 35-12 A(Ai:ul) Fig. 35-8. las curvas de sensibilidad espectral de un receptor normal tricrom<ltico. la idea de los tres pigmentos es correcta, de si el daltonismo resulta por la perdida de uno de los pigmentos, y aun si los dates de mezcla de color en el daltonismo son correctos. Diferentes investigadores obtienen diferentes resultados. Este campo se encuentra grandemente en desarro\lo todavia. 35-6 Fisioquimica de la visiOn de los colores Ahora bien, ~que ta! si verificamos estas curvas con los pigmentos reales en cl ojo? Los pigmentos que se pueden obtener de una retina consisten principa!mente de un pigmento llamado pUrpura visual. Sus caracteristicas mils prominentes son, primero, que se encucntra en el ojo de casi todos los animales vertebrados, y segundo, que su curva de respuesta se ajusta maravillosamente con la sensibilidad del ojo, como se ve en la figura 35·9, en la cual estil.n graficados en la misma esca!a la absorci6n de! pUrpura visual y la sensibilidad de! ojo adaptado a la oscuridad. Este pigmento es evidcntemcntc cl pigmento con el que vemos en la oscuridad: el pUrpura visual es el pigmento para los bastoncitos y no tiene nada que vcr con la visiOn del color. Este hccho fuc descubierto en 1877. A Un hoy en dia se puede dccir quc los pigmentos de color de los conos nunca han sido obtenidos en un tubo de ensayo. En 1958 se podia decir que !os pigmento~ de color nunca habian sido vis tos. Pero de~de entonces, dos de ellos han sido detcctados por Rushton por medio de una tecnica sencil!a y hermosa. La dificultad estil.. presumiblemente, en que como el tan di:bilmente sensinecesita mucha ble a la luz brillante comparado con la luz de baja pUrpura visual para ver, pero no muchos de los pigmentos color para ver !os colores. La idea de Rushton es dejar el pigmento en el <~jo y medirlo de todas neras. Lo que hace es csto. Existe un instrumento llamado oftalmoscopio luz dentro del ojo a traves de las lentes y luego enfocar la lu1 que uno puede medir que cantidad § '·"~-I ~""-, ,._ .l ~ a4 o.z - -- - ·- : --+-"· ···- L ... ' ,.•. -~ .. La curva de sens1bil1dad de un adaptado a la oscur1dad, cornparada con curva de absorc16n de la p1'npura visual Fig. 35-9. OJO la L{)[1g11ud de onda 35-13 se refleja. Asi uno mide el coeficiente de reflexi6n de la luz que ha pasado dos veces a traves de] pigmento (reflejada por una capa posterior en cl globo del ojo, y saliendo a traves de! pigmento de! cono nuevamente). La naturaleza no esta siempre tan maravillosamente diseiiada. Los conos estiln diseiiados en forma intcresante para que la Juz que llega a los conos rebote alrededor y busque su camino hacia abajo, hacia los pequetios puntos sensibles en el itpice. La luz baja derecho hacia el punto sensible, rebota en el fondo y regresa hacia afuera nuevamente, habiendo atravesado una cantidad considerable del pigmento de visiOn de color; tambifo. examinando la f6vea, donde no existen bastoncitos, el pllrpura visual no nos confunde. Pero el color de la retina se vio hace mucho tiempo: es algo como un rosado anaranjado; luego estin todos Jos vasos sanguineos y el color de la sustancia del fondo, y todo lo demits . .;C6mo sabemos cuilndo estamos mirando el pigmento? Respuesta: Primera tomamos a una persona dalt6nica, quien tiene menos pigmentos y para quien, por !o tanto, es mils foci! hacer el aniilisis. Segundo, los diversos pigmentos, como la pUrpura visual, tienen un cambio de intensidad cuando son blanqueados por la lu1; cuando los alumbramos cambian su concentraci{m. As~ mientra~ miraba al cspcctro de absorci6n de! ojo, Rushton introdujo otro rayo en todo el ojo, lo que cambia la concentraci6n del pigmento, y midi6 el cambio en el e~pectro, y la diferencia, por supuesto, no tcnia nada que ver con la cantidad de sangre o el color de las capas rcflectoras, u otras cosas, sino solamente con el pigmento, y en esta forma Rushton obtuvo una curva para el pigmento de! ojo protanope, la cual se da en la figura 35-10. Densidaddoble Densidaddoble °* FH "' Fig. 35-10. Espectro de absorc16n del p1gmento del color de un dalt6nico protanope (cuadrados) y dP un OJO normal (puntosl. Se de la figura 35- JO e~ una curva obtenida con un OJO normal. OJO normal y, habiendo ya detcrminado cu<il era uno de los el otro en cl rojo, donde el primero es insensible. La !uz roja ~1 el ojo normal, y asi uno pucdc obtcncr la curva de una curva se aJUSta marav1\Josamente a que curva del rojo est<i un poquito desp!azada. 0 ta] vez no -los Ultimos trabajos con deuterap1gmento <lefinido. 35-14 blanca y luz roja (todo lo que podemos hacer con el blanco y cl rojo es rosado. evidentemente), podemos mostrar que la luz blanca puede aparecer azul. Si colocamos un objcto en los da dos sombras -una ilum1nada por ~Olo la luz b!a&;ica y la otra por el rojo-. la mayoria de !as personas la sombra ""blanca'" de un objeto se ve azul, pero seguimos cxtendiendo hasta que cubra toda la pantalla ;vemos que de rcpente ~c \'e blanca, no obtener efectos Las de la misma naturaleza mezclando luces roja, amariHa y blanca pueden producir solamente amarillos si mezclamos estas luces aproximadamentc en forma luz naranja. Sin embargo, al proyectar diferentes tipos diihentes colores traslapado~, uno obtiene una serie bastante la luz misma (que e~ solamente en nuestras colorcs quc no estiln muchos diferentes que son totalmeme difeen el rayo. muy importante apreciar que una retina luz; est<i comparando lo que ve en una regiOn con consciente. Lo quc sabemos acerca de como lo BIBLIOGRAFIA The Science of Color, Thomas Physiological Psychology, 2nd ed., McGraw- Her Majesty's Stationery Office, London, 1958. of the Human Fovea in Colour Blind and Normal," presented at Symposium 8, Visual Problems of Colour, Vol. I, National Physical Laboratory, Teddington, England, September 1957. Published by Her Majesty's Sta!ionery Office, London, 1958. WoooWORTH, ROBERTS., Experimental Psychology, Henry Holt and Company, New York, 1938. Revised edition, 1954, by Robert S. Woodworth and H. Schlosberg. 35-15 36 El rnecanisrno de la visiOn comp~1esto 36· 1 La sensaciOn del color 36·4 E,l ojo 36-2 La fisiologia del ojo 36-5 Otros ojos J6-3 Las cClulas 36-6 T\leurologia de la vision 36- l ba~toncitos (del insecto) La sensaciim de color expcriencia e::. la visi6n que son de diferentes panes de lo una interpretaci~'m de una elapas de !a uni(in de ll'l e::.tc capitulo nos vamo~ a tambien vamos a menciom1r Un ejemplo elemental. desde trol ~oluntano o blanca. cuando cfccto por lo mc110~ do. aunque cuando a un punto particular en cl M1entras mas completo ) las pcculia.ridadcs. De hecho. ha 4uc s, rente y el rojo en diferentes propon.:i'-me~. rncd1a11tc el u~o fotogrll.ficas quc t1ene11 difaente absorcinn frcnte al :ii que represente una esccna rcaL con objctus rculcs, obtenemos tambicn muchm colores aparcntes driamos al combmar roJO :- azul-\ erde: parccc quc un de co lores. pero s1 lo:. miranw~ mudm. 1 c1110s Llll<C 110 -,e'.I tan 36-1 sorprendente todo lo que podemos obtener de sO!o el rojo y el blanco. Mientras mils se parece la escena a una situaciOn real, jtanto mils uno puede compensar el hecho de que toda la luz no es rea\mente nada mils que rosado! Otro ejemplo es la aparici6n de ··colores" en un disco blanco y negro en rotaci6n, cuyas ilreas negras y biancas se muestran en la figura 36-1. Cuando el disco se rota. las variaciones de luz y sombra en cua!quier radio son exactamente iguales: es s6\o el fondo el que es diferente para las dos clases de ··franjas ". Sin embargo, un0 de los "'anillos" aparece coloreado con un color y el otro con otros*. Nadie entiende aim la raz6n de estos colores, pero estit claro que la informaci6n es reunida a un nive\ muy elemental. en el ojo mismo probablemente. Fig. 36-1. Cuando se hace rotar un disco como el de arriba, aparecen colores en s61o uno de los dos "arnllos" mas oscuros. Si se mvierte el sentido de rotac16n. los colores aparecen en el otro anillo Casi todas las teorias modernas de la visi{m de los coloi"es estiln de acuerdo en que los datos de mezcla de colores indican quc hay s6lo tres pigmentos en los conos del ojo y que es la absord6n cspectral en estos tres pigmentos lo que fundamentalmente produce el sentido del color. Pero la sensaciOn total asociada con las caracteristlcas de absorcit"in de los tres pigmentos actuando conjuntamcnte no es. necesariamente, la suma de las sensacioncs individuales. Todos estamos de acuerdo en que el amarillo 110 parccc ser verde mjizo: de hecho podria ser una tremenda sor pre~a para mw.:ha gcnte descubrir quc la luz es. en rca!idad, una mezcla de colores. porque probablemente la scnsaci()n de luz se debe a algUn otro proceso distinto al de una simple mezcla eomo un acorde en mUsica. donde las trcs nota~ esw.n ahi al miswo tiempo y. si e~cuchamos con cuidado. podemos oirla~ individualmcnte. No podemos mirar con cuidado y ver el ro_jo y el verde. Las primeras teorias de la visi6n decian que hay tres pigmentos y tres tipos de conos. cada tipo conteniendo un pigmento; que un nervio va desde cada cono al cerebro, de manera que las tres partes de la informaci(m son llevada- al cerebro, y entonces en el cerebro pucdc suceder cualquier cosa. Esta. por supuesto, es una idea incompleta: no sirve de nada descubrLr que el nervio 6ptico lleva la informaci6n al cerebro. porque al.in no hcmo~ cmpezado ni siquiera a rcsoh-er e! problema. Debemos plantearnos preguntas mils bitsicas: ;,Hace alguna diterencia dOnde se junta la informaci6n? ~Es importante que sea llcvada directamente el nervio 6ptico ha~ta el ccrebro, o podria la retina hacer primero algUn Hemo<; visto un cuadro de la retina como una cosa muy complicada, con muchas interconexiones (figura 35-2) y ella podria hacer algunos an:ilisis. 36-2 De hecho, las personas que estudian anatomia y el desarrollo del ojo, han demostrado que la retina es, en realidad, el cerebro: en el desarrollo del embri6n, un pedazo de! cerebro sa1e hacia adelante y fibras largas crecen hacia atrits, conectando el ojo con el cerebro. La retina estit organizada de la misma manera que estit organizado el cerebro y, como lo ha -dicho a1guien en forma tan bclla, "el cerebro ha desarrollado una manera de mirar hacia el mundo ". El ojo es un pedazo de cerebro que es tit tocando la luz, por decirlo asi, en el exterior. De manera que no seria raro que algU:n anitlisis de! color ya se haya hecho en la retina. Esto nos da una oportunidad muy interesante. Ninguno de los otros sentidos implica ta] cantidad de citlculo, digamos, que uno pueda hacer medidas antes quc la seiial entre a un nervio. Los citlculos para todos los otros sentidos gcneralmente se realizan en el cerebra mismo, dondc es muy dificil llegar a lugares especificos para hacer medidas; porque hay tantas interconexiones. Aqui, con el sentido de la vista, tenemos la luz, tres capas de cdulas hacienda citlculos y los resultados de estos cii.lcuios son transmitidos a traves del nervio Optico. De manera que tenemos la primera oportunidad de observar fisio16gicamente, quizits, c6mo las primeras capas de! cerebra trabajan en sus primeras etapas. Es asi de doble interes, no solamente interesante para la visi6n, sino intcresante para todo el problema de fisiologia. w Respuestas neurales Absorciones fotoquimicas , .... •k,11•,-2.:i r-g • ~ 1 (o• 1 -21J w-blc•k,le•r+l)-~Jo•,l'tr) Fig. 36-2. Conexiones neurales de acuerdo con una teoria "de los opuestos" de la vis16n del color. El hecho de que haya tres pigmentos no significa que deba haber tres tipos de sensaci6n. Otra de las teorias de la visi6n de Jos colores dice que hay esquemas de colores que realmcnte se oponen (Fig. 36·2). 0 sea, una de las fibras nerviosas lleva muchos impulsos si se cstit vicndo amarillo y mcnos de lo usual para cl azul. Otra fibra nerviosa !leva informacic"m verde y roja de la misma manera, y otra, blanca y negra. En otras palabras. en csta teorla alguien ha empezado ya a tratar de adivinar el circuito, el metodo de citlculo. Los problemas que estamos tratando de resolver estimando estos primeros c3.lculos son problemas sobre los colores aparentes que se ven en un fondo rosado, que pasa cuando el ojo se adapta a diferentes colores y tambien los asi llamados fen&menos sico!6gicos. Los fen6menos sicol6gicos son de! tipo, por ejemplo, que el blanco no "se siente" como rojo y amarillo y azul y esta teorla fue propuesta porque los sic61ogos dicen que hay cuatro colores puros aparentes: '"Hay cuatro estimulos que tienen una gran capacidad para evocar sicol0gicamente los simples colorcs, a:wl. amarillo, verde y rojo, respectivamente. En contraste con el ticrra de Siena, el magenta, el pUrpura o la mayoria de los colores discriminables. estos colores no son mcz dados en el sentido que 36-3 ninguno comparte !a naturnleza de! otro: espcdficamente, el azul no es amarillento, ni roji:w o verdoso y asi sucesivamente. son colores slcokigicamente primarios ". Este es un hecho sicol6gico, asi sc llama. Para encontrar de qu~ evidencia se dcdujo este hecho sicol6gico, debemos buscar en forma realmente afanosa en toda la literatura. En la literatura moderna, todo lo que encontramos sobre cl tema, son repeticiones de !::i misma afirmaciOn o de una de un sic6logo alemitn que usa coma una de sus autoridades a Leonardo da Vinci, quicn, todos sabemos por supuesto. era un gran artista. El dice ··Leonardo pens6 que habia cinco colores ... Entonces, buscando aUn m8.s, encontramos en un iibro aUn mils viejo la evidencia para e\ tema. El libro dice alga por este estilo: "El pUrpura es azul rojizo, el naranp es amarillo rojizo, (,pero puede el roju verse como naranja purpUreo? (,No son el rojo y el amarillo mfls unitarios que el pllrpura y el naranja? Una persona promedio, a quien se le pide que diga cuales colores son unitarios, nombra el rojo, el amarillo y el azul, estos tres, y algunos observadores agregan un cuarto, el verde. Los sic6logos estiut acostumbrados a aceptar los cuatro co!ores salientes ··. Asi que estc es el estado en el anftlisis sicol6gico de este tema: si todos dicen que hay tres y alguien dice que hay cuatro, y ellos quieren que sean cuatro, seran cuatro. Esto muestra la dificultad con las investigaciones sico16gicas. Esta claro quc tenemos talcs sensaciones, pero es muy dificil 9btener mucha informaci6n acerCa de ellas. 36-2 La fisiologia del ojo Empezamos hablando no s6Jo de la visi6n de los colores, sino tambifo de la visi6n en general, s6lo para recordarnos de las interconexiones que hay en la retina, mostradas en la figura 35·2. La retina es realmente como la superficie del cerebra. Aunque la fotografia real a traves de un microscopic se ve un poco mas complicada que este dibujo un tanto esquematizado, mediante un anlilisis cuidadoso, uno puede vcr todas estas interconexiones. No hay duda que una parte de la superficie de la retina estit conectada a otras partes y que la informaci6n que sale de los largos producen el nervio 6ptico, son combinaciones de informaci6n de muHay tres capas de ce!ulas en la sucesiOn de funciones: las celulas de la retina, que son las afecta la luz, una celula intermedia que toma la informaci6n ctlulas de la retina y que la entrega a varias ci:!ulas en una de una o unas de y la lleva al cerebra. Hay todo tipo de interconcxi6n entre las ca pas. 36-4 entre el indice de la c6rnea, que es 1,37, y el de! agua, que es 1,33. Detr<is de la Ahora consideramos algunos aspectos de la estructura y comportamiento de! ojo (ver figura 35-1). El enfoque de la luz es realizado principalmente por la c6rnea, de bido a que tiene una superficie curva que "dobla '' la Juz. Por esto es que no podemos ver claramente bajo e! agua, porque entonces no tenemos suficiente diferencia c6rnea hay agua, pricticamente, con un indice 1,33 y mils atras hay una lente que tiene una estructura muy interesante: es una serie de capas como una cebolla con la diferencia de que es transparente y que tiene un indice 1,40 en el medio y 1,38 exteriormente. (Seria bueno si pudicramos hacer un vidrio 6ptico en el cuai pudieramos ajustar el indice en todas partes, porque entonces no tendriamos que curvarlo tanto como lo hacemos cuando tenemos un indice uniforme.) Ademiis. la forma de la c6rnea no es la de una esfera. Una lente esfCrica tiene una cierta cantidad de aberraci6n esforica. La c6mea es "mils p!ana" por afuera que una esfera, de manera ta!, jque la aberraci6n e~ferica es menor para la c6rnea de lo que seria, si pusii:ramos una lente esforica ahl! La luz es enfocada por el sistema c6rnea·lente en la retina. Cuando miramos cosas que est<i.n mils cerca y m<is lejos, la len~ se aprieta y se sue!ta y cambia el !Oco para ajustarse a las diferentes distandas. Para ajustar la cantidad total de !uz, estit el iris, que es lo que llamamos el color del ojo, castaiio o azul, depende de quien sea; a medida que la cantidad de luz aumenta y disminuye, el iris se t:ierra y se abre. Observemos ahora el mecanismo nervioso para contro!ar la acomodaciOn de la lente, el movimiento del ojo. Jos mUsculos que mue\en !os ojos en !a~ Orbitas y el iris, mostrado esquem.ii.ticamente en la figura 36-3. De toda la informaci6n que sale de! nervio Optico A la gran mayoria se distribuye en uno de dos manojos (de los cuales vamos a hablar despues) y de ahi al cerebra. Pero hay unas cuantas fibraso de interes ahora para nosotros, que no van directamente a la corteza \lSual del cerebro donde "vemos" las imil.genes, sino al cerebra medio H. Estas son las fibras que miden la luz promedio y ha:cen ajustes para el iris; o si la imagen se ve borrosa 1.ratan de corregir ia lente; o, si hay una imagen doble, tratan de ajustar el ojo para visi6n binocular. En todo Caso, atraviesan el cerebra medio y realimentan el ojo. En K est.in los mUsculos que gobiernan las acomodaciim de la lente } en L otro va al iris. El iris tiene dos sistemas de mUsculos. Uno es un mlisculo circular L do es exdtado, tira y cierra el iris; actUa muy r<'ipidamente y los nervios Los nectados directamente desde el cerebro a traves de cortos axones con el mUsculos opuestos son mUsculos radiales, de manera que cuando oscurece y lo~ mUsculos circu!ares se relajan, estos mUsculos radia!es tiran hacia afuera. Aqui te nemos, como en muchos lugares del cuerpo, un par de mUsculos que trahajan en dl recciones opuestas y en casi todos estos casos los si5temas nerviosos que controlar: a ambos estitn ajustados muy delicadamente, de manera que cuando sc envian seiia !es para contraer uno, automitticamente se envian seiiales para dilatar el otro. El iris es una excepci6n peculiar: los nervios que hacen contraerse el iris son los que hemos descrito recien. pero los nervios que hacen que el iris se dilate, nad1e sabe exacta mente de dOnde salen, bajan por la espina dorsal detrits dcl pecho hasta las secciones tor3.cicas, salen de la espina dorsal, suben a travCs de los gangllo~ <lei cue!lo ) dando toda la vuelta retornan a la cabeza. de modo de accionar el otro extrema <lei iris. 36-5 Fig. 36-3. Las interconexion'es neurales para el funcionamiento rnecanico de los ojos. Fig. 36-4. Las conexiones neurales de los ojos a la corteza visual. De hecho, la sen.al va por un sistema nervioso completamente diferente, no el sistema nervioso central en absoluto, sino el sistema nervioso simpatico, asi que i:sta es una man era bastante extraiia de hacer funcionar las cos as. Ya hemos seiialado otra cosa extraOa acerca de! ojo, que las ci:lulas sensibles a la luz est<'m en el !ado equivocado, de manera que la luz debe atrevesar varias capas de otras ci:\ulas antes de llegar a los receptores -iesta construido al revi:s!-, De manera que algunos aspectos son maravillosos y otros aparentemente estllpidos. La figura 36-4 muestra las conexiones de! ojo con la parte de! cerebra que esta mils directamente relacionada con el proceso visual. Las fibras de! nervio 6ptico van a una cicrta .irea justo mas all<i. de D, Hamada el geniculado lateral, desde donde van a una secci6n de! cerebra \lam ad a corteza visual. N 6tese que algunas de las fibras de cada ojo se mandan al otro \ado de! cerebra, de manera que el cuadro formado es incompleto. Los nervios 6pticos de! !ado izquicrdo de! ojo derecho pasan a traves de! quiasma Optico B, mientras que los del !ado izquierdo del ojo izquierdo dan la vuelta y van por este mismo camino. De manera que el !ado izquierdo del cerebra recibe toda la informaci6n que vienc dcl !ado izquierdo de! globo de cada ojo, es decir, en el Iado derecho de! cam po visual, mientras que el !ado derecho de! cerebra vc cl lado izquierdo de! campo visual. Esta es la mancra cOmo la informaci6n de los dos ojos se junta para dccir a quC distancia cst<i.n las cosas. Este es el sistema de visi6n binocular. Las conexiones entre la retina y la corteza visual son interesantes. Si un punto de la retina se saca o se destruye de alguna manera, entonces toda la fibra muere y podemos asi encontrar dOnde estii conectada. Resulta que, csencialmcnte, las conexiones son una a una -por cada punto de la retina hay un punto de la corteza visual- y puntos que est3n muy juntas en la retina, estiin muy juntos en la corteza visual. De manera que la corte:rn visual todavia representa 36-<; el arreglo e!.pac1al de los bastoncitos y conos, pero. por supue~to, mu) d1stoViionado. Casas que est3.n en el centro de! cam po, que ocupan un lugar muy pequefio en la retina, estitn extendidas sobre muchas, muchas cdulas en la corteza visual. Esta claro que es Util ten er cosas que estaba.n originalmente juntas, m.is juntas aim. E! aspecto mils notable de! tema, sin embargo, es el siguiente. El lugar donde podria pensarse que seria m<is impor tante tener cosas juntas seria exactamente en el media de! campo visuaL CrCanlo o no, la Iinea vertical en nuestro campo de visi6n cuando miramos algo es de ta! naturaleza quc la informaci6n de todos los puntos en el lado dcrecho de esa linea va al ]ado izquierdo del cerebra y la informaciOn de los puntos de! lado izquierdo va al lado dcrecho de! cerebra, y de la manera como esta regi6n estil hecha, hay un corte justo en el medio, de manera que las cosas que est.in muy juntas en el medio iest.in muy separadas en cl cerebra! De alguna manera, la informaciOn tiene que ir desde un !ado del cerebra a! otro por algUn otro conducto, lo que es bastante sorprendente. El problema de cOmo esta red llega a "'armarse" es muy interesante. El problema de cuimto est:i ya armada y cufl.nto se aprendc es muy antiguo. Se pensaba hace mucho quc a lo mejor no necesitaba en absoluto estar armada cuidadosamente, que cstil interconcctada s61o superficialmentc y luego, mediante la experiencia, el nifio aprende que cuando una cosa est.it ·'ahi arriba" produce alguna scnsaciOn en cl cere bro. (Los doctorcs siempre nos dicen lo que "51ente" un niilo; pero, (.c6mo saben ellos lo que sicnte un niilo a la edad de un aiio?) El niilo, a la edad de un ailo, se supone que ve que un objeto estil "ahi arriba ", obtiene una cierta sensaciOn y aprende c6mo alcanzar hasta "ahi", porque cuando a!canza hasta "aqui", no resulta. Este cnfoque probablemente no cs corrccto, porque ya vcmos 4uc en muchos casos est.in estas interconexiones cspecialmentc detalladas. Muy aclarativas son algunas notables experiencias realizadas con salamandras. (A prop6sito, en la salamandra hay una conexi6n cruzada directa. sin el quiasma Optico, porque !os ojos est.in a cada !ado de la cabeza y no tienen regi6n en comUn. Las salamandras no tJcnen visiOn binocular.) La experiencia es Csta. Podemos cortar el nervio Optico de una salamandra y el nervio va a crecer de nuevo desdc los ojos. Miles y miles de fibras celularcs se regeneran asi. Ahora bien, en el ncrvio 6ptico las fibras no est.in adyacentcs --es como un gran cable telef6nico he<:ho descuidadamente con todas las fibras tordCndose y dando vueltas-; pero, cuando Hegan al cerebro, se ordenan de nuevo. Cuando cortamos el nervio Op ti co de la sa!amandra, la pregunta interesante es: (.podr:i ordenarse a!guna vez? La respuesta es notable: si. Si cortamos el nervio 6ptico de la salamandra y Cste crece de nuevo, la salamandra tiene de nuevo buena agudeza visual. Sin embargo, si cortamos el nervio Optico y damos vuelta al ojo de arriba para abajo, y dejamos crecer aquCl de nuevo, otra vez tendr.i una agudeza visual correcta, pero con un terrible error: cuando la salamandra ve una mosca "ahl arriba" salta sobre ella "allil abajo"' y nunca aprcndc. Por lo tanto, ha\ una manera misteriosa mediante !a cual los miles y m!les de fibras cncuentran ·su lugar adecuado en el cerebra. Este problema de cu3nto est3 armada y cu.into no lo est.it, es un prob!ema im· portante en la teoria de! desarrollo de las criaturas. La respuesta no se conoce, pero se estil estudiando intensivamente. 36-7 El mismo experimento, en el caso de! pez dorado, demuestra que se produce un terrible nudo, coma una gran cicatriz o complicaci6n dondc cortamos el nervio iiptico: pero, a pesar de todo csto, la~ fibras crccen de nuevo a sus lugares correctos en el cerebra. Para hacer csto, a medida que crecen en los vicjo~ canales del nervio Optico. deben hacer una serie de decisiones respecto a la direcci6n en que deben crecer. ;,COmo haccn esto'! Parece que hay claves quimicas a !as cuales diferentes fibras rcsponden en forma diferente. Piensen en el enorme m'.1mero de fibras en crecimiento, cada una de las cuales es un individuo que difiere de alguna manera con sus vccinos: al responder a cualquicra que 5ean las claves quimicas jresponde de un moOo lmico su lugar apropiado para la conexi6n definitiva suficiente para bro! Esto es un hecho -fantii.stico-. Es uno de los grandes de la biologia descubierto y cstit conectado indudab!emente con otros antiguos probkmas no crecimiento. organizaci(m y desarrollo de organismos y particularmcnte de un tos, de manera que los dos excitaci6n va a producir ci6n paralela. Cualquier hacia la nariz, pero ojos hacia afuera, al mane:a de mandar una mos tenido un accidcnte o haya pasado algo, por ejcmplo. que un nervio mUsculos de un ojo pueden, ciertamente. dirigir un ojo para cual es capaz Jc mover umbos ojos libremente hacia afuera control porquc parece ser que no hay mancra de hacerlo. Estamos ya armadas hasta cierto punto. Estc cs un punto importante. porque la mayoria de los primeros libros de anatomia y de sicologia, etc., no aprecian o no poncn fnfasis en el hecho que ya estamos armados tan complctamente --dicen que todo se aprende. 36-3 Las ci:lulas bastoncitos Analicemos ahora con mayor Jetalle quC ~uccde en las ce!ulas bastoncitos. La figura 36-5 muestra una microfotografia electr6nica dcl medio de una cClula has toncito (la ceiula hastoncito se extiendc fuera de! campo). Hay capa tras capa de estructuras planas. que se muestran ampliadas a la derecha, que contienen la sustancia rodopsina (pUrpura visual), !a tintura o pigmento, que produce los efcctos de visiOn en los bastoncitos. La rodopsina, quo: cs el pigmento. cs una proteina grandc que contiene un grupo especial llamado retineno, que sc pucdc extraer de la proteina y que es, indudablemente. la causa principal 36-8 ~ -1 --- r • Fig 36-5. M1crofotografia electr6nica de una c81ula bastonc1to. -4oA• -===ro- 1 ~"'~ .120AJ==o:I ·:::: Fig 36-6 La estructura del de la absorci6n de la !uz. No cntendemos la raz6n de los planos, pero es muy posible que haya alguna raz6n para mantener paralela<> todas las mokculas de rodopsina. La quimica de! fen6mcno ha sido estudiada extensamente. pero podria haber algo de fisica en e1. Pudicra ser que todas las moJeculas est6n ordenadas en una especicde fila, de manera que cuando una se cxcita se genera un electron, digamos.que puede recorrerlas todas hasta algim lugar al final para sacar la seiial, o algo por el estilo. Este tema es muy importante y no ha sido estudiado. E:s un cam po en el cual tanto la bioquimica como la faica de\ estado s6lido, o algu parecido, se ;a a usar a la larga. quesecaen,y 36-9 aunque cada uno se mueve sOlo una pequeita distancia (es de esperar que, en un i.ttomo simple, podamos mover el electrOn sO!o una pequeita distancia) jel efecto neto es el mismo que si el que estit en un extrema se hubiera movido al otro extremo! Es Jo mismo que si un e\ectrOn recorriera toda la distancia hacia adelante y hacia atrits y asi, de esta manera, obtenemos una absorciOn mucho mils fuerte bajo la influencia de! campo e\ectrico que si sOlo pudieramos mover el electrOn una distancia que estit asociada a un ittomo. De manera que, como es facil mover Jos electrones hacia atrits y hacia adelante, el retineno absorbe la luz muy fuertemente: ese es el mecanismo de su parte fisico-quimica. 36-4 El ojo eompuesto (de! inseeto) Volvamos a la biologia. El ojo humano no es el lmico tipo de ojo. En los vertebrados, casi todos los ojos son esencialmente como !os ojos humanos. Sin embargo, en los animales inferiorcs hay muchos otros tipos de ojos: manchas oculares, diferentes copas de ojos y otras cosas menos sensibles, que no tenemos tiempo de discutir. Pero hay otro ojo muy desarrollado en los invertebrados, el ojo compuesto de! insecto. (La mayoria de los inscctos que tienen grandes ojos cornpuestos, tambien tienen varios ojos adicionales mits simples.) La abeja es un insecto cuya visiOn ha sido estudiada cuidadosamente. Es facil estudiar las propiedades de la visiOn de las abejas, porque son atraldas por la miel y podemos hacer experimentos en los cuales identificamos la mie!, poniendola en pape! arnl o papel rojo y vemos a cuii.1 vienen. Mediante este mCtodo, se han descubierto algunas cosas muy interesantes respecto a la visiOn de la abeja. En primer lugar, al tratar de medir con cuitnta agudeza pueden las abejas ver la diferencia de color entre dos pedazos de papel "'blanco", algunos investigadores encontraron que no era muy buena y olros encontraron que era fantitsticamente buena. Aun cuando los dos pedazos de papel blanco cran casi exactamente iguales. las abejas podian distinguir la diferencia. Los investigadores usaron blanco de zinc para un pedazo de papel y blanco de plomo para otro y, aunque para nosotros seven exactamente iguales, la abeja podla distinguirlos perfectamente, porque reflejan en cantidades diferentes el ultravioleta. De esta manera se descubriO que el ojo de la abeja es sensible a un intervalo mayor del espectro que los nuestros. Nuestro ojo trabaja entre 7.000 y 4.000 angstroms, desde el rojo a! violeta. pcro la abeja alcanza aver hasta 3.000 angstroms ien el ultravioleta! Esto produce una serie de difercntes efectos interesantes. En primer lugar, las abejas pueden distinguir entre muchas flore~ que a nosotros nos parecen iguales. Por supuesto, debemos darnos cuenta que los colores de las flores no estitn disei'iados para nuestros ojos, sino para los de la abcja; son seitales para atracr las abejas a una flor especifica. Todos sabemos que hay muchas flcres "blancas ... Parece ser que el blanco no es muy interesante para las abejas, porque resulta que todas las flores blancas tienen diferentes proporciones de reflexiOn en el ultravioleta; no reflejan el cien por ciento del ultravioleta, como lo haria un blanco verdadero. No toda la luz vuelve, falta el ultravioleta y Cse es un color, ta! como para nosotros cuando faltara el azul, parece amarillo. De mancra que todas las flores ticnen colores para las abejas. Sin embargo, tambiCn sabemos que las abejas no pueden ver el rojo. Por lo tanto podriamos esperar que todas las flares rojas parecicran negras a la abeja. jOe ningUn modo! Un cstudio cuidadoso de las !lores rojas muestra, primero, que aun con nuestros ojos podemos ver que la mayoria de las !lores rojas tienen un tinte azulado, 36-10 principalmente porque estitn reflejando una cantidad adicional de azul, que es la parte que ven las abejas. Ademits, los experimentos demuestran tambien que las flores varlan segim su reflexiOn en el ultraviolcta, en las diferentes secciones de los petalos, etcetera. i De man era que si pudit!ramos ver las flores co mo las vcn las abejas, serian aim mas bonitas y variadas! Se ha dcmostrado, sin embargo, que hay unas cuantas flores rojas que no reflejan el azul o el ultravioleta y por lo tanto iparecerian negras a la abeja! Esto era de sumo interCs para las personas que se preocupan de este tema, porque el negro no parece un color interesante. ya quc es dificil distinguirlo de una vieja sombra sucia. ResultO ser que estas flores no eran visitadas por las abejas. son las flores visitadas por los colibries iY los colibries pueden ver cl rojo! Otro aspecto interesantc de la visiOn de la abeja es que las abejas pucden, aIJa· rentemente, indicar la direcci6n del sol mirando u.n pedazo de cielo azul, sin ver el sol mismo. Nosotros no podemos hacer esto fii.cilmente. Si miramos el cielo por la ventana hacia afuera y vemos que es azul, .:,en que direcciOn est<i. el sol? La abeja puede decirlo, porque la abeja es muy sensible a la polarizaci6n de la luz y la luz dispersada de! cielo est<i. polarizada*. Todavia existe a!guna discusiOn sobre cOmo funciona esta sensibilidad. Aim no se sabc si es porque las reflexioncs de la luz son diferentes en diversas circunstancias o porque el ojo de la abeja es sensible directamente1. Tambien se dice que la abeja puede apreciar un centelleo de hasta 200 oscilaciones por segundo, mientras que nosotros no vemos mas que hasta 20. Los movimientos de las abejas en las colmena~ son muy ril.pidos; las pies se mucvcn y las alas vibran, pero es muy dificil para nosotros ver estos movimientos con nuestros ojos. Sin embargo, si pudieramos ver mils rilpidamente veriamos el movimiento. Probablcmentc cs muy importante para la abeja que su ojo tenga una respuesta tan rii.pida. Discutamos ahora quC agudeza visual podriamos csperar de la abeja. El ojo de la abeja es un ojo compuesto y esta hecho de un gran nUmero de cdulas especiales llamadas omalidio5, que estiln arregladas en forma c6nica en la superficie de una esfera (aproximadamente) en la parte de afuera de la cabeza de la abeja. La figura 36-7 muestra un dibujo de uno de estos omatidios. En la parte de arriba hay un ii.rea transparentc, un tipo de "lentc "', pero realmente es mils bien un filtro o guia de luz, que hace que la Juz baje por la fibra delgada donde, probablemente, se produce la absorci6n. Al otro extrcmo estit la fibra nerviosa. La fibra central estii. ro· deada en sus !ados por seis cdulas que, de hecho, han secretadq la fibra. Esta descripciOn es suficiente para nuestros propOsitos; lo importante es que es algo c6nico y muchas de ellas pueden encajar una al Jado de la otra en toda la superficie de! ojo de la abeja. Discutamos ahora la resoluci6n de! ojo de la abeja. Si dibujamos lineas (Fig. 36-8) para representar los omatidios en la superficie, que suponemos que es unaesrera • El ojo humano tambiCn tiene una !eve sensibilidad a la polarizaciOO de la Im: iY uno puede aprender a ubicar la direcciOO del sol! El fenOmeno implicado se llama cepillo de Haidinger; es una figura muy dCbil amarillenta, con fonna de vidrio de reloj, que se ve en el centro de\ campo visual, cuando uno observa una gran ex;tcnsiim sin rasgos distintivos, usando anteojos polarizantes. Tamb1Cn se puede ver en el cielo azul, sin \os anteojos de polarizaciOO, si uno rota la cabeza de uno a otro [ado alrcdedor del eje de visiOn. ' Ev1dencia obtcmda dcspuCs que esta clase foe dtctada, indica que el ojo es sensible directamcntc. 36-11 fig. 36-8. Vista esquemiltica de la disposici6n de los omatidios en el ojo de una abeja. Fig. 36-7. La estructura de un omatidio Fig. 36-9. El tamaiio 6ptimo de un (una clllu!a simple de tm ojo compuesto). omatidio esS.,., de radio r, podemos ca[cular realmente el ancho de cada omatidio usando nuestro cerebro iY suponiendo que la evoluci6n es tan inteligente co mo nosotros ! Si tenemos un ornatidio muy grande, no tenemos mucha resoluci6n. 0 sea, una c6lula obtiene una parte de informaci6n desde una direcciOn y la c6lula adyacente obtiene una parte de informaci6n de otra dirccci6n y as! succsivamente. y la abeja no puedc ver muy bien las cosas que estiln por e! media. De manera que la indeterminaci6n en la agudeza visual del ojo va a corresponder, seguramente, a un Mgulo, el 3ngulo del extrema de! omatidio con respecto al centro de curvatura de! ojo. (Las cClulas del ojo existen, por supuesto, s6lo en la superficie de la esfora; dentro de Csta estil la cabeza de la abcja.) Este <ingulo desde un omatidio al siguiente es, por supuesto, el di<imetro del omatidio dividido por el radio de la superficie del ojo: (36.1) De manera que podemos decir "Mientras mils delgado hagamosO, mayor seril !a agudeza visual. Entonces, ~por que la abeja no usa omatidio muy, pero muy fino?" Respuesla: sabemos suficiente fisica para darnos cuenta de que si queremos hacer pasar luz por una ranura angosta, no podemos ver con precisi{m en una direcci6n dada. debido al efecto de difracciOn. La luz que viene de diferentes direcciones puede entrar y, debido a la difracci6n, 36-12 vamos a tener luz entrando en un <ingulo d ()d tal que (36.2) Ahora vemos que si hacemos ,) demasiado pequei'to, iC<ada omatidi0 no ve solacn una direccion, debido a la difracciOn! Si los hacemos demasiado grandcs, uno ve en una dire;;dOn definida. pero no hay suficiente nllmero de ellos para tcner una bucna visi6n de la escena. Por lo tanto, ajustamos la distancia d para haccr mm1mu el efccto total de estos dos. Si los sumamos y buscamos el lugar donde la suma ticnc un minimo (Fig. 36-9) encontramos que (36.3) lo que nos da una distancia (36.4) St suponemos que r mide alrededor de 3 milimetros, tomamos la luz que ve la abeja como de 4.000 anp.troms, juntamo~ ambas y extraemos la raiz cuadrada, obtenemos 0 = (3 X 10- 3 X 4 X 10·- 7) 112 m '""" 3.5 X 10- 5 m = 35 µ. (36.5) ei di3.metro es 30,11 ;asi que esto es una concordancia bastante aparcntcmente, en realidad funciona iY podcmos entender que deterdel ojo de la abeja! Tambien es facil volver a introducir los nllm~­ encontrnr de 4ue ca!idad rea!mente cs \a reso!udOn angular de! ojo de la abeja: con la de nosotros. Podemos ver cosas que son treinta la abeja; \a abeja tiene una imagcn borrosa podemos vcr. Sin embargo, estit bien, preguntarnos por que las abejas no desarroUan cl nuestro con una lente, etc. Hay varias razones interesantes. abeja es demasiado chica; si tuviera un ojo coma el nuestro, abertura seria del orden de 30/' y la difracciOn seria tan imporbien de todos modos. El ojo no sirvc si cs muy chico. grandc coma la cabeza de la abeja. el ojo ocuparia Lo hermoso del ojo compuesto es que no o<:upa lugar, capa en la superficie de la abeja. De manera quc cuando alegamos que haberlo hecho de nuestra manera, jdebemos recordar que e\las tcnian ~u~ prop1os problcmas! 36-5 Otro~ ojos muchos animales pueden ver color. Los peces, las mariporeptiles pueden ver color, pero se cree que la mayorla de los Los primates pueden ver coloL Los p<i.Jaros por cieno que los colores de los pitjaro~. iNo tendria ningUn ~entido tcnc1 con tan brillantes. s1 !as hembras no pudieran ver!o! Esto es, la evo lucam de .. lo que sea·· ~exual 36-13 que tienen los p<ijaros es el resultado de la capacidad de la hcmbra de ver el color. De manera que la pr6xima vez que veamos un pavo real y pensemos en el brillante despliegue de colores maravillosos que es y en lo delicados que son los colores y qui: maravilloso sentido cstetico se necesita para apreciar todo esto, no debcmos felicitar al pavo real, sino ensalzar la agudeza visual y sentido estetico de la hembra jporqiJe eso cs lo que ha generado tan bella escena! Todos los invertebrados tienen ojos pobremente desarrollados u ojos compues tos, pero todos los vertcbrados tienen ojos muy similares a los nuestros con una excepci6n. Si consideramos la forma mils evolucionada de animales, decimos corricntemente, "jAqui estamos!", pero si tomamos un punto de vista de mcnos pre juicios y nos restringimos a los invertebrados, de modo que no podamos inc!uirnos, y preguntamos cmll es el animal invertebrado mils evolucionado, la mayoria de los zo61ogos estiln de acuerdo que jel pufpo es el animal mils desarrollado! Es muy interesante que, ademits del desarrollo de su cerebro y sus reacciones, etc., que son bastante buenas para un invertebrado, ha desarrollado, en forma independiente, un ojo diferente. No es un ojo compuesto ni es un ojo puntual --tiene c6rnea, pitrpados, iris, una lente, tiene dos regiones de agua y tiene una retina atrils-. jEs esencialmente igual al ojo de los vertebrados! Es un notable ,ejemplo de coincidencia en la evoluci6n, donde la naturaleza ha descubierto dos veces la misma soluci6n para un problema, con un pequeiio mejoramiento. Rcsulta tambiCn sorprendente que en el pulpo la retina es un pedazo de cerebro, que ha salido de la misma manera en su desarrollo embri6nico que en los vertebrados, pero lo interesante y diferente es que las celulas que son sensibles a la luz estim en el interior y las ce!ulas que hacen los c:i.lculos estiln detr:i.s de aqu6llas, en vez de "al revCs'', como en nuestro ojo. Asi vemos que por lo menos no hay ninguna buen a razOn para que esti: al rev Cs. j La otra vcz que la naturaleza lo ensay6, lo puso al derccho! (Ver figura 36.10). Los ojos mas grandes de! mundo son los de\ calamar gigante; ;se han encontrado de hasta cerca de 40 ccntimetros de diilmetro! Fig. 36-10. 36-6 El ojo de un pulpo Neurologia de la visiOn Uno de los puntos mils importantes de nuestro tema es la interconcxi6n de la informacLOn de una parte del ojo a la otra. Consideremos e! ojo compuesto de[ cangrejo gigante limulo. sobre c·l cual se ha hecho gran cantidad de experimcntos. Primero, tenemos que apreciar 36-14 que tipo de informaciOn puede venir a lo largo de !os nervios. Un nervio lleva un t1po de perturbaci6n que tiene un efecto el6ctrico facil de detectar, un tipo de perturbaci6n ondulatoria que baja por el nervio y produce un efecto en el otro exlremo: un largo pedazo de la cC!ula nerviosa, llamado el ax6n. lleva la informaci6n y un cierto impulso, llamado "espique""', se propaga si e.s excitado en un extremo. Cuando un espique baja por un nervio, otro no puede seguir inmediatamente. Todos los espiques son del mismo tamai'to, de manera que no tenemos espiques mds altos cuando la cosa sc ex cita m<is fuertemente, sino que obtenemos mds espiques por segundo. El tammio del espique queda determinado por la fibra. Es importante darse cuenta de esto para ver que sucede a continuaci6n. Fig. 36-11. El ojo compuesto del cangrejo gigante llmulo. !a) Vista normal. (b) Secci6n transversal. La figura 36-11 (al muestra cl OJO compucsto de! timulo; no tiene mucho de ojo, tiene solamcnte cerca de mil omatidios. La figura 36-11 (b) es una seccion transversal de! sistema; se puede ver el omatidio con las fibras nerviosas que salen de ellos y van al cerebra. Pero n6tese que aun en un limulo hay pequeiias interconexiones. Son mucho mcno~ claboradas quc cl ojo humano y nos dan la oportunidad de estudiar un ejemplo mils simple. los experimentos que se han hccho poniendo finos electrodos en el nerv10 un limulo y hacienda incidir luz en un solo omatidio. lo que es facil de hacer con lentes. Si encendemos la [u7 en un instante t 0 y medimos los pulsos ekctricos que salen. encontramos que hay un pequeiio retraso y luego una r<'i.pida serie de descargas que gradualmente disminuye a una rapidez uniforme, como se muestra en la figura 36-12 (a). Cuando la luz se apaga, la descarga se detiene. Ahora bien, es muy interesante que si, mientras nuestro amplificador estil. conectado a esta misma fibra nerviosa, iluminamos un omatidio diferente, no sucede nada; no hay seiia!. Ahora hacemos otro experimento: iluminamos d omatidio angina] y obtenemos la misma respuesta, pero s1 ahora iluminamos otro cercano tambii:n, los pu!sos se interrumpen brevemcnte y despuCs se suceden a una rapidcz mucho menor (figura 36- I 2 b). jLa rapidez de una es inhibida por los impulsos que vienen del otro! En otra~ palabras, cada fibra ncrviosa lleva la informaci6n desde un omatidio. * N. def T.-La palabra inglesa <<spike», para designar un pulso rilpido de muy cona dura ci6n, cs tarnbiCn de vasto uso en la terminologia castellana. 3'6-15 'ljl,,j1111!!'11 1 11:(1 1 jl1ijli!MiL 1 1lil1!:1:!:i1! 1 i 1 r1!j~ Receptores .J<;.Al amplificad~~ luz 1 I~ luz ill I Receptores Al amplificador pww11mm111m111q11111111111·11·1111:·11lFig. 36-12. la respuesta a la luz de \as fibras nerviosas del ojo del lfmulo. cantidad que lleva es inhibida por las seiiales de los otros. De manera que si,por todo el ojo esta iluminado en forma mas o menos uniforme, la informaci6n de cualquiera de los omatidios va a ser relativamente debi!, porque esta por muchos otros. De hecho, la inhibici6n es aditiva -si iluminamos varies rnuy cercanos. la inhibicion es muy grandc-. La inhibici6n es mayor cuanomatidios esni.n mas juntos, y si los omatidios estan lo suficientemente alejacntre si, la inhibici6n es pr:icticamente cero. De manera que es aditiva y depende la distancia; aqui tencmos un primer ejemplo de c6mo la informaci6n provede difcrentes partes de! ojo se combina en el ojo mismo. Podemos ver, quiz<is, un rato, quc cs un dispositivo para deslacar los conlrastes en los porque si una parte de la escena est& iluminada y una parte entonces omatidios en el itrea lluminada producen impulsos que son por la otra luz en la vecindad, de manera que es relativamentc ctebil. Por un omatidio en el horde, al cual sc le: da un impulso "blanco '', tambien por otros en la vecindad, pero no existen tantos, ya que a!gunos son seiial resultante es, por lo tanto, mAs fuerte. El resultado seria una curva, como la de la figura 36-13. El crust&ceo va a percibir un realce de! borde. un realce de los hordes, sc conoce desde hace mucho; notable que ha sido comentado muchas veces los un objcto, basta que dibujemos un csboLo. jC6mo ~Que es el !a difercncia de contorno entre luz y sombra o un color y otro. iNO es, crCanlo o no, que cada objeto tenga una linea "'o'"""'brn,do' a mirar cuadros que tienen s.61o el esbozo! 36-13. la respuesta neta de los rlel lirnulo cerca de un camb10 brusco cJe ilum1noc:16n 36-16 alrededor de e1. No existe tal linea. Es s6Jo en nuestra propia construcci6n sicol6gica donde hay una linea; cmpczamos a entender la raz6n por la cua! la "linea" es clave suficiente para lie gar al toao. Probablemente nuestros propios ojos trabajan en form a similar -mucho 1i11ls compli~<tda. pero similar. Finalmente, describiremos brevemente el trabajo mas detallado. el trabajo her moso y avanzado realizado en el sapo. Hacicndo un cxperimcnto correspondiente en un sapo, colocando en el nervio Optico del sapo unas sondas en forma de agujas muy finas y construidas muy hellamente, uno puede obtener las sefiales que van a lo largo de un ax(m particular y, lo mismo qi.ie en cl caso del cangrcjo gigante. encontramos quc la informaci6n no dcpende de s(llo un punto de! ojo, sino quc es la suma de la informaci6n de varios puntos. El cuadro mas reciente de la manera en que funciona el ojo del sapo es el siguiente. Uno puede encontrar cuatro tipos diferentes de fibras nerviosas 6ptica~. en el sentido de que hay cuatro tipos de respuestas diferentes. Estos experimentos no se h!cicron iluminando con pulsos de luz, porquc cso no cs lo que vc un sapo. El se queda sentado simplemente y sus ojos no se mueven nunca. a menos que la de lirio se bambolcc de un lado a otro, y en ese caso sus ojos oscilan en fonna que la imagen queda fi.ja. El no mueve sus ojos. Si algo se mueve en su campo sual. como un pequefio insecto (tiene que ser capaz de ver alga moviendose en un fondo fijo). resulta que hay cuatro tipos diferentes de fibras que descargan, propiedades se resumcn en la tabla 36-1. La detecci6n sostcnida dcl horde. rrable, significa que si introduc:imos un objeto con un bordc dentro del campo visilm dcl sapo, cntonces hay muchos impubos en esta fibra particular, micntras el objeto se cstii. movicndo, pcro disminuyen hasta ser un impulso sostenido. que permanece mientras el horde este ahi. aun si est:i quieto. Si apagamos la lu7, los impulsos se detienen. Si la prendemos otra ve7 mientras el borde aUn cst.1 a la vista. empiczan de nucvo. No son borrables. Otro tipo de fibra es muy similar, salvo que si el borde es recto, no funciona. jOcbc ~er un horde convexo con fondo oscuro! jCOmo debe de ser de complicado cl sistema de interc;onexiones en la retina del ojo del sapo, para entcnder que una superficie convexa ha aparecido! Adem:is, aunque csta fibra mantiene a!go, no mantiene tanto como la otra y si Tabla 36-1 Tipos de respuestas en fibras nerviosas Opticas de un sapo Ti po I. Detecci6n sostenida del borde (imborrablc) Velocidad 0.2·0,5 m/seg Campo angular I" 2. Detecci6n de! borde convexo (borrable) 0.5 m/seg 2"·3" 3. DetecciOn de contraste cambiante l-2 m/seg 7"-10" 4. Detecci6n de penumbr~ 5. Deteccion de oscundad Hasta ~ ml seg ha~ta l 5" muy grande 36-17 apagamos la !uz y la volvemos a encender, no vuelve a producirse el impulso. Depende de! movimiento de la superficie convexa. El ojo lo ve entrar y recuerda que estli ahi, pero si simplemente apagamos la luz por un momenta, sencillamente se olvida y no lo ve mis. Otro ejemplo es la detecci6n del cambio de contraste. Si hay un horde entrando o saliendo, hay pulsos; pero si el objeto se mantiene inm6vil, no hay pulsos. Tambifn existe un detector de penumbra. Si la intensidad de la \uz baja, produce pulsos, pero si permanece baja o aumenta, los pulsos se detienen; funciona s61o cuando la luz se estli debilitando. Fina\mente, tambiCn existen unas cuantas fibras, que son detectores de oscuridad ~algo de lo mis sorprendente- idisparan todo el tiempo! Si aumentamos la luz, disparan menos rti.pido, pero todo el tiempo. Si disminuimos la luz, disparan mis rlipido, todo el tiempo. En la oscuridad, disparan como locos, diciendo en forma perpetua: "jEst.ii oscuro! jEsti oscuro! jEst.ii oscuro!" Ahora bicn, estas respue&tas son bastante dificiles de clasificar y podriamos pensar que a lo mejor estos experimcntos fueron ma! interpretados. jSin embargo, es muy intercsante que estas mismas clases esten separadas muy claramente en la anatomia de! sapo ! Mediante otras medicioncs, despufs que estas respuestas fueron clasificadas (de~puris, esto es lo importante) se descubri6 que la velocidad de las seiiales en las diferentes fibras no era la misma, jde modo que aqui tenemos otra manera independiente de comprobar que tipo de fibra hemos encontrado! Otra pregunta interesante es: ~desde que tamaiio de lirea hacc una fibra particular sus cil.kulos? La respuesta es diferente para difcrcntes clases. La figura 36-t4 muestra la superficie del asi llamado tectum de un sapo, dondc los nervios entran al cerebra desde el nervio Optico. T odas las fibras nerviosas que Hegan Fig. 36 14 El tecturn de un sapo 36-18 de! nervio 6ptico se conectan en diversas capas del tectum. Esta estructura en capas es amiloga a la retina; esto es, en parte, la raz6n por la que sabemos que el cerebro y la retina son muy similares. Ahora bien, tomando un electrodo e intro~ duciiindolo sucesivamentc a traves de las capas, podemos averiguar d6nde termina cada tipo de nervio 6ptico, jy el resultado, hermoso y maravilloso, es que los diferentes tipos de fibras terminan en ca pas diferentes r Las primeras terminan en el ti po nllmero I, las segundas en el nU.mero 2, las terceras y quintas terminan en el mismo lugar y la mis profunda de todas cs la nllmero cuatro. (jQue coincidencia, tienen los nllmeros casi en el orden correcto! No, esa es la raz6n por la cual las enumeraron de esa manera, jla primera publicaci6n tenia los nllmeros en diferente orden!) Podemos resumir brevemente lo que hemos aprendido, de esta manera: probable· mente hay tres pigmentos. Puede haber muchos tipos diferentes de ce!ulas recepto· ras que contienen los tres pigmentos en diferentes proporciones, pero hay muchas interconexiones que permiten sumas y restas mediante adiciones y refuerzos en el sistema nervioso. De manera que antes de que entendamos la visi6n de Jos colores, tendremos que entender la sensaci6n final. Este tema est:i. aim abierto, pero estas investigacioncs con microe!ectrodos y otros instrumentos, a lo me;cir nos dar:i.n, en Ultimo tc!rmino, mayor infonnaci6n sabre c6mo vemos el color. BIBLIOGRAFiA Committee on Colorimetry, Optical Society of America, The Science ofCofor, Thomas Y. Crowell Company, New York, 1953. "Mechanisms of Vision," 2nd Supplement to Journal of General Physiology, Vol. 43, No. 6, Part 2, July 1960, Rockefeller Institute Press. Articulos especiales DEROBERTIS, E., "Some Observations on the Ultrastructure and Morphogenesis of Photoreceptors," pp. 1-15. HURVICH, L. M. and D. JAMESON, "Perceived Color, Induction Effects, and Opponent-Response Mechanisms," pp. 63-80. RosENBLITH, W. A., ed., Sensury Communication, Massachusetts Institute of Technology Press, Cambridge, Mass., 1961. "Sight, Sense of," Encyclopaedia Britannica, Vol. 20, 1957, pp. 628-635. 36-19 37 Cornportamiento cutintico 37-1 Mecfutica atOmica 37-5 La interferencia d• ondas d• electrones 37-2 Un experimento con proyectiles 37-6 Observando los electrones 37-3 Un experimento con ondas 37-7 Primeros principios de la mecilnica cu:intica 37-4 Un experimento con electrones 37-1 37-8 El principio de indeterminaciOn Mec3nica atOmica En los Ultimas capltulos hemos tratado las ideas esenclales necesarias para la comprensi6n de la mayor[a de los fen6menos importantes de la luz --o en general, de la radiaci6n electromagnetica~. (Hemos dcjado algunos tbpicos especia!es para el pr6ximo afto. Especificamente. la teoria de !os indices de !os materiales densos y la reflexi6n total interna.) En lo que estamos interesados es en la l!amada ··teorla clitsica ,. de las ondas electricas, la cual llega a ser una adecuada y completa descripci6n de la naturak:za para un gran nUmero de efoctos. Todavia no nos hemos preocupado del hecho quc la luz llega en grinulos o •·fotones". Nos gustaria considerar coma nuestro siguiente tema el problema de! comportamiento de relativamente grandes pedazos de materia -por ejemp!o, sus propiedades mecanicas y tCrmicas-. En su discusi6n, encontraremos que la teoria "cl{isica" (o antigua) falla casi inmediatamente, ya que la materla estii realmente constituida de particulas de tamaD.o at6mico. Sin embargo, trataremos·solamente la parte cliisica ya que es la lmica parte que podemos entender, usando la mecinica cliisica que hemos estado aprendiendo. Pero no tendremos mucho exito. Encontraremos que en el caso de la materia. a difercncia de! caso de !a luz, nos encontraremos relativamente pronto en dificultades. Podriamos, por supuesto, evadir continuamente los efectos at6micos, pcro en vez de ello interpondremos aqui una corta excursi6n, en la cual describiremos las ideas bilsicas de las propiedades cuilnticas de la materia, es decir, las ideas cuilnticas de la fisica at6mica, de modo que ustedes se den cuenta de aquello que dejamos de \ado. Porque tendremos que dejar de \ado algunos temas importantes que no podemos evitar que se nos presenten. De modo que daremos ahora la inlroducci6n al tcma de la mecanica cuilntica, pero no podremos entrar realmente en el tema hasta mis adelante. La "mecilnica cu<intica,. es !a descripci6n del comportamiento de la materia en todos sus detalles y en particular de lo que sucede a escala at6mica. A una escala 37~1 muy pequefla, las cosas se comportan de un modo distinto a aquello en lo que ustedes tengan alguna experiencia directa. No se comportan como ondas, no se comportan co mo particulas, no se comportan co mo nu bes, o bolas de bi liar. o pesos sobre resortes, o come nada que hayan vista alguna vez. Newton pensaba que la luz estaba constituida de particulas. pero entonces se descubri6, como hemos visto aqui, que se comporta como una onda. Mas tarde, sin embargo (en los comienzos de! siglo XX), se descubri6 que en realidad la luz se comporta algunas veces como una particula. Hist6ricamente, se pens6 que e! electr6n. por ejemplo, se comportaba como una particO.la, y entonces se encontr6 que en muchos aspectos se comportaba como una onda. Asi que realmente no se comporta ni como !o uno ni como lo otro. Ahora nos dames por vencidos. Decimos: "No es ni lo uno ni lo otro ". Sin embargo, hay un hecho afortunado -los electrones se comportan exactamente como la !uz~. El comportamiento cuti.ntico de objetos at6micos (electrones, protones, neutrones, fotones, etc.) es el mismo para todos, todos e!!os son "ondas corpuscu!ares", o como quieran llamarlas. De modo que lo que aprendamos respec to a las propiedades de !os electrones (los cuales usaremos para nuestros ejemplos) se aplicarti. a todas las "particulas·• induyendo los fotones de la luz. La acumulaci6n gradual de informacibn sabre el comportamiento at6mico y a pequefla escala durantc el primer cuarto de este siglo, lo cual dio algunas indicaciones de c6mo se comportan las objetos pequeflos, produjo una confusi6n creciente, que finalmente se resolviO en 1926 y 1927 por SchrOdinger, Heisenberg y Born. Elles, finalmente, obtuvieron una descripci6n sistemti.tica de! comportamiento de la materia a escala pequefla. En el prescnte capltulo trataremos los principales aspectos de esa descripci6n. Como el comportamiento at6mico es tan diferente a la experiencia comlm, es muy dificil acostumbrarse y a todos aparece como algo peculiar y misterioso, tanto al novicio como al fisico experimentado. Aun los expertos no Jo entienden en la forma en que Jes gustaria hacerlo, y esto es perfectamente razonab!e, ya que toda la experiencia humana y !a intuici6n humana se aplican a objetos grandes. Nosotros sabemos c6mo actuarti.n estos objetos grandes; pero cosas a escala pcquetia no actUan precisamente en esa forma. De modo que tenemos que aprender respecto a ellas en una cierta forma abstracta o imaginativa y no en conexi6n con nuestra experiencia directa. En este capitulo abordaremos en forma inmediata el elemento bilsico de! misterioso comportamiento en su mils extraiia forma. Elijamos examinar un fen6meno que es imposible, absolutamente imposible, de explicar en cualquier forma clti.sica, y que contiene !a esencia de la mecti.nica cuimtica. En realidad, contiene el Unico misterio. No podemos explicar el misterio en el sentido de una "explicaci6n., de c6mo funciona. SOio Jes diremos c6mo funciona. DiciCndoles c6mo funciona esto, Jes habremos dicho las particularidades bti.sicas de toda la mecti.nica cuti.ntica. 37-2 Un experimento con proyeetiles Para tratar de entender el comportamiento cuti.ntico de los electrones. compararemos y confrontaremos su comportamiento, en un dispositivo experimental particular, con el comportamiento mils familiar de particulas, tales como proyectiles y con el comportamiento de ondas, tales como las ondas del agua. En primer lugar consideraremos el comportamiento de los proyectiles en el dispositivo experimental mostrado esquemti.ticamente en la figura 37-l. Tenemos una ametralladora que dispara un chorro de proyectiles. No es un arma muy buena, ya que esparce Jos proyectiles (al azar) sabre un 37-2 Fig. 37-1. Experimento de interierencia con proyectiles intervalo angular bastante amplio, coma se indica en la figura. Frente al can6n tenemos una pared (hecha de l<imina blindada) que tiene dos agujeros suficientemente grandes para dejar pasar un proyectil. Mils al!a de la pared hay una contenci6n (digamos una gruesa pared de madera), la cual "absorbe" los proyectiles cuando estos la golpean. Frente a la pared tenemos un objeto que llamaremos "detector" de proyectiles. Este puede ser una caja que contenga arena. Cualquier proyectil que penetre al detector ser<i detenido y acumulado. Cuando lo deseemos podemos vaciar la caja y contar el nllmero de proyecti!cs que han sido atrapados. El detector puede moverse hacia adelante y hacia atr<i.s (la que llamaremos direcci6n x). Con este dispositivo podemos encontrar experimentalmente la respucsta a la pregunta: "(.Cuat es la probabilidad de que un proyectil que atraviese los agujeros en la pared llegue a la eontenci6n a un distancia x del centro?" En primer lugar, deben darse cuenta que tenemos que hablar de probabilidad, ya quc no podemos decir en forma definitiva a d6nde ir<i un proyectil particular. Un proyectil que por casualidad golpea uno de los agujeros, puede rebotar en los hordes de! agujero y puede tcrminar en cualquier parte. Por "probabilidad" queremos decir !a posibilidad de queel proyectil llegue al detector, que podemos medir contando el nllmero que llega al detector en un cierto tiempo, y luego hacienda el cocicnte entre este nllmero y el nllmero total que golpea la contenci6n durante ese tiempo. 0, si suponemos quc cl arma sicmpre dispara con la misma rapidez durante las medidas, la probabilidad que queremos es exactamente proporcionat al nllmero que alcanza el detector durante alglln intervalo patr6n de tiempo. Para nuestros prop6sitos actuales nos gustaria imaginar alglln experimento idealizado en el cual los proyectiles no sean proyectiles reales, sino proyectiles indes: tructibles --que no puedan partirse en mitades-. En nuestro experimento encontramos que los proyecti!es siempre l!egan en gninulos, y cuando encontramos algo en el detector, siempre es un proyectil entero. Si la rapidez con la cu al la ametralladora dispara se hace muy baja, encontramos que en cualquier momento dado no llega ninglln proyectil a la contenci6n, o bien llega uno y solamente uno --exactamente uno--. Tambien el tamaii.o de los gritnulos ciertamente no depende de la rapidez de disparo de! arma. Diremos: "Los proyectiles siempre Hegan en gr<i.nulos idi:nticos". Lo que medimos con nuestro detector es la probabilidad de llegada de un grfillulo y medimos ia probabilidad en funci6n de x. El resultado de tales medidas con este aparato (no hemos realizado todavia el experimento, asi que realment~ estamos imaginando el 37-3 resultado) estit trazado en el gritfico dibujado en la parte (c) de la figura 37-1. En el gritfico dibujamos la probabilidad hacia la derecha y verticalmente x, de modo que la escala de x se ajusta al diagrama del dispositivo. Llamamos Pn a la probabilidad porque los proyectiles pueden haber venido ya sea a traves de! agujero 1 6 a ttaves de! agujero 2. Ustedes no se sorprenderitn de que P 12 sea grande cerca del media del gritfico, pero que se haga chico si x es muy grande. Sin embargo, podrian preguntarse por que P 11 tiene su mit.ximo valor en x = 0. Podemos entender este hecho, si hacemos otra vez nuestro cxperimento,..,,despues d? cubrir e! agujero 2, y una vez mas mientras se cubre i:?l agujero I. Cuando el aguJero 2 esta cubierto, los proyectiles pueden pasar solamente a traves de! agujero 1 y obtenemos la curva indicada por P 1 en la parte (b) de la figura. Como podrian esperar, el mitximo de P 1 ocurre en el valor de x que est<i en linea recta con el caii6n y el agujero 1. Cu!lldo el agujero 1 estit cerrado, obtcnemos la curva simetrica P2 , trazada en la figura. P 2 es la distribuci6n de probabilldad para los proyectiles que pasan a traves de! agujero 2. Comparando las panes (b) y (c) de la figura 37-1, encontramos el importante resultado que (37.1) Las probabilidades justamente se suman. El efecto con ambos agujeros abiertos es la suma de los efectos con cada agujero abierto separadamente. Llamaremos este resultado una observaci6n de "no interferencia ·; por una raz6n quc ustedcs mas tarde veritn. Hasta aqu[ los proyectiles. Llegan en granulos y su probabilidad de llegada no muestra interferencia. (o( Fig. 37-2. 37-3 '"' '" Expenmento de mterferenc1a con ondas de agua. Un experimento con ondas Ahora deseamos considerar un experimento con ondas en agua. El aparato se muestra esquemitticamente en la figura 37-2. Tenemos un recipiente poco profundo con agua. Un pequefio objeto indicado por "fuente de ondas" est.ii v1brando hacia arriba y abajo mediante un motor y produce ondas circulares. A la dcrecha de la fuente tenemos otra vez una pared con dos agujeros y mils allit de el!a hay una segunda pared, la cual, para mantener simples las cosas, es un "absorbente", de modo que no hay reflexiOn de las ondas que llegan aili. Esto puede hacerse construyendo una "playa" gradual de arena. frente a la playa colocamos un detector, el que 37-4 coma antes se puede mover para adelante y para atnis, en la direcciOn x. El detector es ahora un dispositivo que mide la '"intensidad" de! movimiento ondulatorio. Pueden imaginar un dispositivo que mide la altura de! movimiento ondulatorio, pero cuya escala est<i calibrada en proporciOn al c:uadrado de la altura real, de modo que la lectura es proporcional a la intensidad de la onda. Entonces nuestro detector lee en proporciOn a la energia transportada por la onda --o m8.s bien la cantidad de energia que llega al detector por unidad de tiempo. Con nuestro aparato de ondas, la primera cosa que se observa es que la intensidad puede tener cualquier tamafto. Si la fuente mueve sO!o una muy pequeiia cantidad, hay sOlo un poco de movimiento ondulatorio en el detector. Cuando hay mis movimiento en la foente, mils intensidad hay en el detector. La intensidad de la onda puede tener cualquier valor. No diriamos que hay alguna "granulaciOn"' en la intensidad de la onda. Ahora midamos la intensidad de la onda para varios valores x (cuidando que la fuente de ondas funcione siempre en la misma forma). Obtenemos la curva de aspecto interesante indicada con / 12 en la parte (c) de la figura. Hemos calculado ya cOmo tales figuras pueden producirse, cuando estudiamos la interferencia de ondas eJectricas. En este caso observamos que la onda original se difracta en los agujeros y nuevas ondas circulares se propagan desde cada agujero. Si cubrimos un agujero un instante y medimos la distribuci6n de intensidad en el absorbente, encontramos las curvas de intensidad bastante simples, mostradas en la parte (b) de la figura. / 1 es la intensidad de la onda proveniente de! agujero I (que encontramos haciendo la medici6n cuando el agujero 2 estit bloqueado) e / 2 es la intensidad de la onda proveniente de! agujero 2 (vista cuando el agujero 1 estit bloqueado). La intensidad observ~a / 12 cuando ambos agujeros estim abiertos ciertamente no es la suma de / 1 e / 2• Decimos que hay "interferencia"' de las dos ondas. En algunos lugares (donde la curva / 12 tiene sus m8.ximos) las ondas estim "en fase" y \os milximos de las ondas se suman para dar una gran amplitud y, por lo tan to, una gran intensidad. Decimos que las dos ondas estitn "interfiriendo constructivamente" en tales lug ares. Habra ta! interferencia constructiva siempre que la distancia desde el detector a uno de los agujeros sea mayor (o menor), en un nUmero entero de longitudes de onda. que la distancia desde el detector al otro agujero. En aquellos lugares donde las dos ondas Hegan al detector con un defasaje de n (don de estim "fuera de fase ") el movimiento ondulatorio resultante en el detector seril la diferencia de las dos amplitudes. Las ondas "interfieren destructivamente", y obtenemos un valor bajo para la intensidad de onda. Esperamos tales vaJores dondequiera que la distancia entre el agujero l y el detector difiere de la distancia del agujero 2 al detector en un nU.mero impar de semilongitudes de ondas. Los vaJores bajos de / 12 en la figura 37-2 corresponden a los lugares donde las dos ondas interfieren destructivamente. Recordaritn que la relaci6n cuantitativa entre / 1 , 12 e / 12 puede expresarsee en la siguiente forma: la altura instantimea de la onda de agua en el detector puede ser escrita para la onda proveniente de\ agujero l como Oa parte real de) /i 1 elwt donde la "amplitud" /i 1 es, en general, un nU.mero complejo. La intensidad es proporcional al cuadrado media de la altura, o cuando usamos los nUmeros complejos, a I Ii 1 I 2 • Similarmente, para el agujero 2, la altura es /i 2 e1w 1 y la intensidad cs proporcional a I /i1 I 2. Cuando ambos agujeros estitn abiertos, las alturas de las ondas se suman para dar la altura 37·5 1 " 11 y la intensidad I Ji 1 + nalidad para nuestros propOsitos (Ji 1 + li2) e 2• Omitiendo la constante de proporcionalas relaciones apropiadas para 011das que interfiere11 son 11 = lli1] 2, /2 = ih2l 2 , donde cribir b lh1 + li2l 2 = iz 1 y es el defasaje entre /12 = lh1 + h2l 2 • (37.2) d1ferente de\ obtcdido con proyectiles (Ee. Notarfl.n que el 37.1). Si desarrollamos lh1l 2 + lh2l 2 -t 21li1llli2I cos 8, h1 • (37.3) En funci6n de las intensidades, podriamos es(37.4) E! Ultimo tfrmino en (37.4) es cl "termmo de interferencia". Suficientecon lasondas de aguas. La intensidad puede tcncr cualquier valor y muestra intcrfcrencia. 37-4 Un experimento con electrones Imaginemos ahora un experimento similar, pero con electrones. Se muestra esquemilticamente en la figura 37 3. Construyamos un cai't6n de electrones que consiste en un alambre de tungsteno calentado mediante una corriente e!ectrica y rodeaun agujero en clla. Si el alambre estfl. a un voltaje do por una caja de metal negativo con respecto a la los electrones emitidos el alambre seriln aceleTodos los electrones rados hacia las parcdes y algunos pasar<in a trm. es de! que saldrti.n de! cai't6n tendr<in (aproximadamcntc) la se tiene otra vez una pared (simplemente una delgada jcros en ella. Mils allii de la pared hay otra litmma ciOn". Frcnte a la contcnci6n colocamos un detector contador geiger, o quizas mcjor, un rnultiplicador de parlantc. Debenamos decirles inmediatamente que no traten de disponcr dicho cxperi mento (como pudicron haberlo hecho con los dos ya descnto~). E<;te expenmento nunca ha sido hccho en esta forma. El problema es que el aparato tendria quc Pared (a) Fig. 37-3 rontencicin P,'"l+,12 lj.mJf>/ P, 2 •lf>1 •+,l (b) (cl Experimento de 1nterferenc1a con electrones 37-6 ser construido a una escala imposiblemente pequena para mostrar los efectos en los que estamos interesados. Estamos haciendo un "experimento pensado", el cual hemos elegido porque es facil pensar en el. Sabemos los resultados que se obtendrian ya que hay muchos experimentos que han sido hechos, en los cuales la escala y las proporciones han sido elegidas para mostrar los efectos que describiremos. La primera cosa que notamos con nuestro experimento de electrones es que oimos marcados "clic '' provenientes de! detector (esto es, del a\to-par1ante). Y todos los "clic" son iguales. No hay "medios die". Tambien deberiamos notar que los "die'' Uegan muy err3.ticamente. Algo coma: die .... clic-clic ..... clic ..... die ..... clic-clic..... clic ..... etc., ta! como ustedes, sin duda, han oido funcionar un contador geiger. Si contamos los clic que Hegan en un tiempo suficientemente largo -muchos minutos, digamos- y luego contamos otra vez durante otro periodo igual, encontramos que los dos nllmeros son muy aproximadamente iguales. De modo que podemos hablar de una frecuencia media a la cua\ Jos clic se escuchan (tantos clic por minuto en promedio). A medida que movemos el detector, la frecuencia a la cual los clic aparecen es mayor o menor, pero .el tamaiio (sonoridad) de cada clic es simpre el mismo. Si bajamos la temperatura de! alambre en el canon, la frecuencia de los clic baja, pero todavia cada clic suena igual. Tambien podriamos notar que si ponemos dos detectores separados sobre la contenci6n, uno u otro sonaria, pero nunca ambos al mismo tiempo. (Excepto que en algUn momenta, si hubiera dos die muy cerca en el tiempo, nuestro oido no pudiera sentir la separaciim.) Por lo tanto concluimos que dondequiera que lleguen a la contenciOn, llegan en "grMulos'·. Todos los "gr3nu!os" son de! mismo tamaiio: solamente llegan "gr3nulos" enteros, y Hegan uno a uno a la contenci6n. Diremos: "Los electrones Hegan siempre en gr3nulos identicos ". Al igual que en nuestro experimento con pr.oyectiles, podemos ahora proseguir para encontrar experimentalmente la respuesta a la pregunta: "t,Cu3\ es la probabilidad relativa de que un "grilnulo" electr6nieo llegue a la contenci6n a diversas distancias x del centro? Como antes, obtenemos la probabilidad relativa, observando la frecuencia de los clic, manteniendo constante el funcionamiento de! caii6n. La probabilidad con la cual los "gr<inulos" Hegan a un x particular es proporcional a la frecuencia media de los clic en ese x. El resultado de nuestro experimento es la interesante curva, marcada P 12 en la parte (c) de la figura 37"3. jSl! Esa es la fonna en que se comportan Jos electrones. 37-5 La interferencia de onda de electrones Tratemos ahora de analizar la curva de la figura 37-3 para ver si podemos entender el comportamiento de \os electrones. Lo primero, que deberiamos decir es que, ya que ellos llegan en grii.nulos, cada gr3nulo que podemos llamar igualmente bien un electrOn, ha pasado, o a travCs de! agujero I o del agujero 2. Escribamos esto en la forma de "Proposici6n ": ProposiciOnA: Cada electr6n pasa, ya sea a traves de! agujero I 0 a traves de! agujero 2. Suponiendo la Proposici6n A, todos los electrones que lleguen a la contenci6n pueden ser divididos en dos clases: (!) los que llegan a traves de! agujero I y (2) !osque Hegan 37-7 a traves de! agujero 2. De modo que nuestra curva observada dcbc ser la suma de los efectos de los electrones que pasan a traves de! agujiro I y !os electrones que pasan a traves del agujero 2. Verifiquemos esta idea mediante un experimento. Primera, realizaremos una medida para los electrones que pasan a traVes de! agujero I. Taparemos el agujero 2 y realizarem~s nuestras cuentas de los clic de! detector. De la frecuencia de los clic obtenemos P 1• El resu\tado de la medida se muestra mediante la curva marcada P 1 en la parte (b) de la figura 37-3. El resultado parece bastante razonable. En una forma similar, medimos P~, la distribuci6n de probabilidad para los electrones que pasan a traves de! agujero i. El resultado de esta medida est:i tambien trazado en la figura. El agujero P 12 obtenido con ambos agujeros abiertos claramente no es la suma de P 1 y Pz, las probabilidades para cada agujero por separado. Por ana!ogia con nuestro experimento de ondas de agua, decimos: "hay interferencia,. Para electrones: (37.5) l,C6mo pudo producirse esa interferencia? Quiz:is podriamos decir: "Bien, eso significa presumiblemente que no es verdad que los griLnulos pasan. ya sea a travi:s del agujero 1 o de! agujero 2, porque si Jo hicieran, las probabilidades deberian sumarse. Quiziu. van en una forma mils complicada. Se separan en mitades y ... " jPero no! No pueden, siempre llegan en gr:inulos ... "'Bien, quizils algunos de ellos pasen a traves de I y luego den la vuelta a traves del 2, y !uego den vueltas algunas veces mils, o mediante a\gUn otro camino complicado ... entonces cerrando el agujero 2 cambiariamos la probabilidad de que un electr6n que partiera a traves de! agujero I llegara fina!mente a la contenci6n ... " jPero observen! Hay algunos puntos a los cuales Hegan muy pocos electrones, cuando ambos agujeros estiln abiertos, pero que reciben muchos electrones si cerramos un agujero, de modo que cerrando un agujero aumenta el nUmero proveniente desde el otro. Sin embargo, n6tese que en el centro de la figura, P 11 es mils de\ doble de grande que P 1 + Pi- Se ha pensado que cerrando un agujero disminuiria el nUmero de electrones que pasan a traves de! otro agujero. Parece dificil de explicar ambos efectos, al proponer que los electrones viajen segUn complicadas trayectorias. Todo es bastante misterioso. Y mientras mils lo miran, mils misterioso parece. Muchas ideas han sido inventadas para tratar de explicar la curva P 12 en funci6n de los electrones individuales que pasan a traves de los agujeros en formas complicadas. Ninguna de ellas ha tenido exito. Ninguna de ellas ha podido obtener la curva correcta para P 12 en funci6n de P 1 y P 1 . Sin embargo, es bastante sorprendente que la matemtitica para relacionar P 1 y P 2 con Pu sea extremadamente simple. Porque Pn es precisamente como la curva / 12 de la figura 37-2 y isa era simple. Lo que sucede en la contenci6n puede describirse con dos nllmeros complejos que podemos llamar {p 1 y i'p 2 (son funciones de x, por supuesto). El mOdulo al cuadrado de (~ 1 da el efecto con s6lo el agujero I abierto. Esto es, P 1 =I ~Ji. El efecto con sOlo el agujero 2 abierto estil dado por &2 en la misma forma. Esto es ~ lip 2 p. Y el efecto combinado de las dos agujeros es justamente P 12 = lp 1 + (pil1- iLa matemtitica es la misma que la que teniamos para las ondas de agua! (Es dificil ver c6mo se pudo obtener un resultado tan simple de un complicado juego de electrones que van y vienen a traves de la lilmina con alguna extraiia trayectoria.) Concluimos lo siguiente: los electrones llegan en grimulos como particulas y la probabilidad de llegada de esos gr3nulos esta distribuida como la distribuci6n de la intensidad de una onda. En este sentido es que los electrones se comportan "algunas veces como una particula y algunas veces como una onda ". A prop6sito, cuando est:ibamos tratando ondas ciMicas, definimos la intensidad como el promedio temporal de! cuadrado de la amplitud de la onda y usamos nllmeros complejos como un artificio matemRtico para simplificar el an8.lisis. Pero en mec8.nica cuintica resulta que las amplitudes deben ser representadas por nllmeros complejos. S6lo las partes reales no serviriln. Por el momenta esto es un punto tecnico, ya que las f6rmulas se ven exactamente iguales. Ya que la probabilidad de llegada a traves de ambos agujeros est<l dada tan simplemente, a pesar de que no es igual a (P1 + PJ, eso es realmente todo lo que hay que decir. Pero hay un gran nllmero de sutilezas implicadas en el hecho de que la naturaleza funciona en esa forma. Nos gustaria ilustrar ahora algunas de esas sutilezas para ustedes. Primcro, como el nllmero que llega a un punto particular fW es igual al nllmero que llega a travf:s de I mas el nUmero que llega a travf:s de 2, como podriamos haber concluido de la Proposici6n A, indudablemente concluiriamos que la Proposici6n A es falsa. No es verdad que los electrones van bien a traves de! agujero I o bien de! agujero 2. Pero ta! conclusi6n puede ser comprobada mediante otro experimento. 37-6 Observando los eleetrones Ensayemos ahora el siguiente experimento. Agreguemos a nuestro aparato electr6nico una fuente de luz muy intensa, colocada detrii.s de la pared y entre los dos agujeros, como se muestra en la figura 37-4. Sabemos que las cargas electricas dispersan la luz. Asi que cuando un eiectr6n pasa, siempre que pase, en su camino al detector, dispersara algo de luz hacia nuestro ojo, y podremos ver d6nde va el electr6n. Si, por ejemplo, un electr6n tomara la trayectoria via agujero 2 esquematizada en la figura 37-4, deberiamos ver un destello de luz proveniente de la vecindad de! lugar marcado A en la figura. Si un electr6n pasa a traves del agujero I deberiamos esperar ver un destello desde la vecindad del agujero (o( Fig. 37-4 (b( ,,, Un exper1mento diferente con electrones 37-9 superior: Si su~e_diera q~e obtenemo~ luz desde ambos lugares al mismo tiempo, porque el electron se divide en rrutades... jMe1or hagamos el experimento ! He aqui lo que vemos: cada vez que escuchamos un "clic" de nuestro detector de electrones (en la contenci6n), tambien vemos un destello de luz o bien cerca de! agujero l o bien cerca de! agujero 2, jpero nunca de ambos a la vez! Y observamos el mismo resultado sin que importe donde colocamos el detector. De esta observaci6n c?ncluimos ,que, si obs~vamos .electrones, encontramos que los electrones pasan 0 b1en a traves de un agu1ero a b1en de! otro. Experimentalmente la propasici6n A es necesariamente verdadera Entonces, lque est3 errado en nuestro argumento en contra de la proposici6n A? t.Por que P 12 no es simplemente igual a P 1 + P 2 ? jDe nuevo al experimenta! Sig8.mosles la pista a los electrones y averigi.iemos qui: estin hacienda. Para cada posici6n (posici6n x) de! detector cantaremas los electrones que llegan y tambiin tomaremos nota a travCs de cua! agujero pasaron, observando los destellos. Podemos seguir el curso de las cosas de esta manera: siempre que escuchamos un "clic", colocaremos una cuenta en la calumna 1, si vemos un destello cerca de! agujera l, .y si vemos un destello cerca de! agujero 2 regi~traremos una cuenta en la columna 2. Cada electr6n que IJega se registra en una de las dos clases: Jos que pasan a tr aves de 1 y los que pasan a traves de 2. A partir de! nllmero registrado en la columna l, obtenemos la probabilidad P' 1 de que un electrOn llegue al detector via agujero l; ya partir del nUmero rcgistrada en la ca!umna 2. obtenemas P' 2, la probabilidad que un electr6n llegue al detector via agujero 2. Si repetimos ahora ta! medida, para muchos valores de x, obtenemas !as curvas para P' 1 y P' 2 que se muestran en la parte (b) de la figura 37-4. jBien, esto no es tan sorprendente! Obtenemos para P' 1 alga muy similar a lo que obtuvimos antes para P 1 bloqueando el agujero 2; y P' 1 es similar a lo que obtuvimos, bloqueando el agujera 1. Asi que no cxiste ninglln asunto complicado como el de pasar a travCs de ambos agujeros. Cuando los observamos, los electrones atraviesan exactamente como habriamos esperado de ellos que pasaran. Sea que las agujeros esten cerrados o abiertas, las que hemos visto pasar a traves de! agujero I estim distribuidos en la misma forma, sea que el agujero 2 este abierto o cerrado. jPero csperen! ~Que tenemos ahora para la probabilidad total, la probabilidad de que un electrOn llegue al detector por cualquier ruta? Ya tenemos esta informaci6n. Simp\emente pretendemos que no observamos nunca las destellas !uminosos y junta mos los clic del detector que hemos separado en dos columnas. Debemos sumar simplemente los nllmeros. Para la probabilidad de que un electr6n llegue a la cantenciOn, pasando a travCs de cualquier agujero, encontramos P' 12 -= P 1 + P 2 . Esto es, a pesar de que pudimos ver a travCs de cu.11 agujero pasan nuestros elcctrones. no obtenemos mas !a antigua curva de interferencia P 12 sino que una nueva, P'w jque no mucstra interferencia! Si apagamos la luz, se restab!ece la P 12 • Dcbcmos conduir que cuando obsen:amos los electrones, ~u distribuci6n sobrc la pantalla es diferente que cuando no los abservamos. ~Es quiz8.s el encendida de nuestra fuente luminosa el que perturba las cosas? Debe ser que los electrones son muy delicados y cuando !a luz dispersa los electrones, !cs da una sacudida quc cambia sus movimientos. Sabemos que el campo elCctrico de la luz al actuar sobre una carga ejercera una fuerza sabre e!la. Asi, pues, deberiamos esperar quiz8.s que el movimiento cambie. De todas maneras, la luz ejerce una gran influencia sabre los electrones. Al tratar de "mirar" los e\cctrones, 37-10 hemos cambiado sus movimientos. Eso es, la sacudida dada al electr6n cuando el fot6n es dispersado por aquel es ta! que cambia el movimiento de! electr6n lo suficiente, de modo que si hubiera podido ir hacia donde P 12 era un mil.ximo id., en cambio,dondeP12 era un minima; por esto es que no vemos mas los efectos ondu!atorios de interferencia. Puede que esten pensando: "jNo use una fuente tan brillante! jBaje la intensidad! Entonces las ondas luminosas serii.n mils dCbiles y no perturbar.in tanto los electrones. Seguramente, hacienda la luz mis y mis mortecina, eventualmente la onda seri lo suficientemente debil de modo que tendril un cfccto despreciable ''.De acuerdo. Ensayemoslo. Lo primero que obscrvamos es que los destellos de luz dispersados por los elcctroncs a mcdida que pasan no se hacen mil.s dCbiles. Es siempre un destello de la misma intensidad. Lo Unico que sucede cuando la luz se hace mils debil es que algunas veces escuchamos un "clic'" de! detector, pero no vemos ningUn destello. El electr6n ha pasado sin ser "visto ". Lo que estamos observando es quc la luz tambiin actlla como los elcctrones: sabfamos que era "ondulosa '", pero ahora encontramos que tambien es "granulosa ". Siempre llega --o es dispcrsada- en granulos que llamamos "fotones ". Cuando bajamos la intensidad de la fuente luminosa, no cambiamos el tamario de Jos fotones, solamente la frecuencia a la cual se emiten. F.so explica por que, cuando nucstra fuente es dCbil, algunos electrones pasan sin ser vistas. No dio la casualidad de que hubiera un fot6n cerca en cl instante en 4ue el e!ectr6n pasara. Todo esto es un poco desalentador. Si es cierto que siempre que "vcmos" el electr6n, vemos un destello de la misma intcnsidad, entonces los electrones que vemos son siempre los perturbados. Ensayemos de todos modos el experimento con una luz debiL Ahora, siempre que escuchamos un die en el detector, registraremos una cuenta en tr cs columnas: en la columna (I) los electrones vistos por el agujero I, en la columna (2) los electrones vistos por cl agujero 2. y en la columna (3) los electrones que no sc han visto en absoluto. Cuando elaboramos nuestros datos (calcu!ando las probabilidades) encontramos estos resultados: los "vistas por el agujero 1 "tienen una distribuci6n como P',; !os "vistos por cl agujero 2" tienen una distribuci6n coma P' 1 (de modo que los "vistas tanto pore! agujero I como por el 2" tienen una distribuclOn coma P' 12 ); jy los ··no vistos en absoluto'' tlenen una distribuciOn "ondulosa" ta] como P 11 de la figura 37-3! jSi los electrones nose \!en, tenemos inteiferencia! Eso es comprensiblc. Cuando no vemos el electr6n, ningtin fot6n lo perturba y, si lo vemos, un fotim lo ha pcrturbado. Sicmpre existe el mismo monto de perturbaci6n porque los fotones de !uz producen todos efectos de la misma intensidad y el efecto de los fotones dispersados es suficiente para borrar cua!quier efecto de interferencia. ,:,No existirii. alguna manera de que podamos ver los electrones sin perturbarlos? Aprendimos en un capitulo anterior que el momentum transportado por un "fot6n" es inversamente proporcional a su !ongitud de onda {p =hf .A). Ciertamente la sacudida dada al electr6n cuando cl fotOn es dispersado hacia nuestro ojo dependc del momentum que transporta el fotOn. iAh! Si queremos perturbar los electrones s6lo ligeramente, no deberiamos haber bajado la intensidad de la luz, deberiamos haber bajado su frecuencia (lo mismo que aumcnt&r su longitud de onda). Usemos luz de un color mils rojo. Podriamos usar alm \uz infrarroja u ondas de radio (como el radar), y "ver "d6nde fue el electrim con la ayuda de algtin equipo quc pueda "ver" 37-1 t Juz de estas longitudes de onda mils larga. Si usamos luz "mils suave" podemos qulzils evitar de perturbar tanto los electrones. Ensayemos el experimento con ondas mils Jargas. Continuaremos repitiendo nuestro experimento cada vez con luz de una longitud de onda mits larga. Al comicnzo, nada parece cambiar. Los resultados son los mismos. Entonccs sucede una cosa terri ble. Ustedes recordariln que cuando discutimos el microscopio recalcamos que, debido a la naturaleza ondulatoria de Ia luz, existe una limitaci6n en cuanto a lo cerca quc pueden estar dos manchas y todavla ser vistas como dos manchas separadas. Esta distancia es de! orden de la longitud de onda de la luz. Asi ahora, cuando hacemos la longitud de onda mayor que la distancia entre nuestros agujeros vemos un destello grande borroso cuando !a luz es dispcrsada por los electrones. jNo podemos decir mils a traves de cua.J agujero pas6 el electr6n! jS6lo sabemos que se fue a alguna parte! Y es precisamente con luz de este color que encontramos que las sacudidas dadas al electr6n son lo suficientemente pequei'ias para que P' 12 empiece a parecerse a P 1i -que empezamos a obtener algUn efecto de interferencia-. Yes solamente para longi tudes de onda mucho mas grande que la separaci6n de los dos agujcros (cuando no tenemos posibilidad alguna de decir por donde pas6 el electr6n) que la perturbaci6n debida a la luz se hace lo suficientemente pequeiia como para que obtengamos de nuevo la curva P 12 mostrada en la figura 37-3. En nuestro experimento encontramos que es imposible disponer Iii' luz de mancra ta\ que se pueda decir por cua.J agujcro pas6 el electr6n y al mismo tiempo no perturbar cl diagrama. Heisenberg sugiri6 que las entonces nuevas !eyes de la naturaleza s6lo podian ser compatibles. si existiera alguna limitaci6n basica en nuestra capacidad experimental, no reconocida previamente. Propuso como un principio general su principio de indeterminaci6n, que podemos enunciar en tfrminos de nuestro experimento como sigue: "Es imposible disei'iar un dispositivo para determinar a travCs de cuitJ. agujero pasa d clectrcin, que no pcrturbe al mismo tiempo los electroncs lo suficiente para destruir el diagrama de interferencia ". Si un dispositivo cs capaz de determinar a traves de cuitJ. agujero pasa el electr6n, no puede ser tan delicado que no perturbe el diagrama de una manera esencial. Nadie ha cncontrado jamas (ni aun imaginado) una manera de obviar el principio de indeterminaci6n. Asi, pues, debemos suponer que describe una caractcristica basica de la naturaleza. La teoria completa de la mec.iinica cu.intica que u1.amos ahora para descnbir los atomos y, de hccho, toda la materia, depende de !a validez de! principio de indeterminaci6n. Dado que la mednica cu.intica es una teoria de tanto Cxlto, nuestra confianza en el principio de indeterminaci6n se refuerza. Pero si 1.C dcscubriera alguna vez una manera de '·abatir" el principio de indetcrminaci6n. la mecitnica cuimtica daria resultados incompatibles y deberia descartarse como teoria vitlida de la naturaleza. '·Bien", Jiran ustedes, ique hay con la proposicion A? Es verdad o no es verdad, que el electr6n pase, ya sea por el agujero l o por cl agujero 2?" La Unica respuesta que sc pude dar es que hemos encontrado a partir del experimento que hay cierta manera especial en que debemos pensar para no caer en contradicciones. Lo que debemos dccir (para evitar hacer prediccmnes erradas) cs lo siguiente. Si uno ob~erva los agujeros. o mas preci~amente, si uno tiene un aparato que sea capaz de determinar si los electrones pasan por el agujcro I o por cl agujero 2, uno puede decir quc pasa, ya sea por el agujero 1 o por el agujero 2. Pero si uno 37-12 no trata de decir que camino toman los electrones, cuando no hay nada en el experimento para perturbar los electrones, entonces uno no puede decir que un electr6n pase, ya sea por el agujero I o por el agujero 2. Si uno dice eso,y comienza ahacer deducciones cualesquiera a partir de esta afirmaci6n, haril errores en el anillisis. Este es el filo !6gico por el cual debemos caminar si deseamos describir con fxito la naturaleza. Si el movimiento de toda la materia -como tambifn de los electrones- debe ser descrito en tfrminos de ondas, (.que hay con los proyectiles en nuestro primer experimento? ;,Por que no vimos alli un diagrama de interferencia? Resulta que para proyectiles las longitudes de onda eran tan diminutas que los diagramas de interferencia se hacian muy finos. Tan finos, en efecto, que con cualquier detector de tamaiio distinto de cero uno no podria distinguir ios maximos y minimos separados. Lo que vimos era sOlo una especie de promedio, que es la curva clasica. En la figura 37-5 hemos tratado de indicar esquematicamente que sucede con objetos a escala grande. La parte (a) de la figura muestra la distribuci6n de probabilidad que uno podria predecir para proyectiles, usando la mecitnica cu<intica. Las rilpidas oscilaciones se suponen representar el diagrama de interferencia que se obtiene para ondas de longitud de onda muy corta. Cualquier detector fisico, sin embargo, se monta sobre varias oscilaciones de la curva de probabilidad, ta! que las mediciones muestran la curva suave dibujada en !a parte (b) de la figura. lfi Suavizada Fig. 37-5. Figura de interferencia con proyectiles: (a) real lesquernilt1ca). (b) obser(ol (b) 37-7 vada. Primeros principios de la mecimica cuintica Escribiremos ahora un resumen de las principales conclusiones de nuestros experimentos. Sin embargo, pondremos los resultados en una forma quc los haga validos para un tipo general de tales experimentos. Podemos escribir nuestro resumen en la forma mas simple, si primero definimos un "experimento ideal" como aquel en el cual no hay influencias externas inciertas, es decir, no sucedcn pequei1as agitaciones u otras cosas que nosotros no podamos tomar en cuenta. Scriamos completamente prccisos si dijframos: "Un experimento idea! es aquel en el cual todas las condiciones iniciales y finales del experimento estan completamente especificadas ''. Lo que ''un even to" es, en general, un conj unto especifico de condicioncs iniciales y (Por ejemplo, ''un electr6n deja el cai10n, llega al detector, y nada mas Ahora nuestro resumen. 37-13 RESUMEN (1) La probabilidad de un evento en un experimento ideal estii dada por el cuadrado del valor absoluto de un nUmero complejo rp el cual se llama amplitud de proba" bilidad. P = probabilidad <fJ = amplitud de probabilidad P~~F· (2) (3) (37.6) Cuando un evento ocurre en varias formas altcrnativas, la amplitud de probabilidad del evento es la suma de las amplitudes de probabilidad para cada uno considerado separadamente. Hay interferencia. ¢ = rP1 p l¢1 = + </>2, + ¢21 2 · (37.7) Si se ejecuta un experimento que sea capaz de determinar si una u olra alternativa es la que realmente ocurri6. la probabilidad de! evento es la suma de las probabilidades de cada alternativa. La interferencia se picrde. (37.8) A uno todavia le gustaria preguntar: "~C6mo funciona esto? i.Cuiil es el mecanismo detriis de la Jey?., Nadie ha encontrado ningUn mecanismo detras de la ley. Nadie puede '·explicar'" nada mas de lo que ya hemos "explicado"'. Nadie les dara una represcntaci6n mas profunda de la situaciOn. No tenemos idea acerca de un mecanismo mas basico de! que puedan deducirse estos resultados. Nos gustaria poner iinfasis en una diferencia muy importante entre mecdnica cldsica y cudntica. Hemos estado hablando sobre la probabilidad de que un electrc"in llegue en una circunstanda dada. Hemos supuesto que en nuestro dispositivo experi mental (o aun en el mejor posible) deberia ser imposible predecir exactamente que va a suceder. jSolamente podcmos predecir las probabilidades! Esto significa que, de ser verdad, la fisica ha desistido del problema de tratar de predecir exactamente lo que sucederit en una dctcrmmada circunstancia. ;Si! La fis1ca ha de5istido. 1Vo sabemos c6mo predecir qut! sucederia en una circun~tancia dada, y ahora crcemos quc esto es imposible, que lo Unico que pucde scr predicho es la probabilidad de diferentes even tos. Debe reconocerse que esto es una disminuci6n en nucstro primitivo ideal en la comprenskm de la naturalcza. Puixle ser un pa so atras, pero nadie ha encontrado un modo de evitarlo. Ahora haremos algunas observanonc~ rcspecto a una cho algunas veces para tratar de C>itar la descripci6n que el electr6n tiene alg\m tipo de capacidad interna -a!gunas variable~ no conocemos aUn. Es por esto tal ve?, que no podemos predecir pudieramos observar de ma~ ccrca el electr6n, podriamos estar en a dOnde iril. a parar'" Hasta donde sabemos, esto es imposible. dlficultades. Supongan quc hic1Cramm la hipOtesis de que en el hay cierto tipo de mecanismo que determina a d6nde ir:i. a parar. debe tambii?n determinar a travCs de cual agujern pasara en su camino. Pero no debemos olvidar que lo que esta dentro de! electr6n no deberia depender de lo que iwsotros hacernos y, en particular, de si abrimos o cerramos uno de !as agujeros. Par lo tanto, si un electr6n antes de partir tiene ya en mente (a) cuaJ agujero va a usar y (b) dcinde id a parar, encontrariamos P 1 para !os electrones que han ele· gido el agujero 1, P1 para las que han e!egido el agujero 2, y necesariamente la suma P 1 + P 2 para los que llegan a traves de los dos agujeros. Parece que no hay otro camino para obviar esto. Pero hemos verificado experimentalmente que este no es el caso. Y nadie ha encontrado una salida a este enigma. De manera que actualmente debemos limitarnos a calcular probabilidades. Decimos "actuaimente", pero sospechamos fuertemente que es alga que estar:l con nosotros para siempre -que es imposible resolver ese enigma- que esta es la manera c6mo la naturaleza realmente es. 37-8 El principio de indeterminaciOn Esta es la forma en que Heisenberg origina!mente cnunci6 el princ!pio de indcterminaci6n: si hacen la medida sabre cualquier objeto, y pueden determinar la componcnte x de su momentum con una indeterminaci6n !J.p, no pueden al mismo tiem" po conocer su poslci6n x en forma mas prcdsa que !J.x = h/ !J.p. Las indeterminaciones en !a posici6n y el momentum en cua\quier instante deben tener su producto mayor que la constante de Planck. Este es un caso especial del princlpio de indeterminaciOn que fue enunciado anteriormente con mas generalidad. El enunciado mas general fue que de ningUn modo uno puedc diseiiar un equipo quc determine cual de las dos a!ternativas debc tomarse, sin que al mismo ticmpo se destruya el diagrama de interferencia. / I i Rodillo> '• <flt.f'· ~:'~;-:~-~:=~~~toe elec~;~~;iento libre l 1?36p• l"'-L.., Pared Fig. 37-6. Uo "pecimeoto eo Contenci6n de el retroceso de la pared Dcmostremo<;. para un 1.:aso berg debe ser verdadero. del expcrimcnto de la figura una lamina montada sabre arriba y hacia abajo (en la vando cuidadosamente cl cu<il agujero o"' "mi- momentum igual en la direcci6n opuesta. La litmina recibiril un empujc hacia arriba. Si el electr6n pasa a travCs del agujero inferior, la litmina deberia experimentar un empuje hacia abajo. Esta claro que para cada posici6n de! detector, el momentum recibido por la lilmina tendril un valor diferente para una travesia via agujero 1 que para una travesia via agujero 2. iAsi es! Sin perturbar en ninguna forma los electrones. sino s6lo observando la ldmina, podemos decir quC trayectoria us6 el electr6n. Ahora bien, para hacer esto es necesario conocer el momentum de la lilmina. antes de que el electr6n la atraviese. De manera que cuando medimos el momentum despues que el electr6n haya pasado, podemos calcular cuilnto ha cambiado el momentum de la lilmina. Pero recuerden, segim el principio de indeterminaci6n, no podemos conocer al mismo tiempo la posici6n de la lilmina, con una precisi6n arbitraria. Pero si no sabemos exactamente d6nde esta la lilmina, no podemos decir con precisi6n d6nde cst3n !os dos agujcros. Estaran en un lugar diferente para cada electr6n que atraviesa. Esto quiere decir que el centro de nuestra figt.ra de interferencia tendril una ub1caci6n diferente para cada electr6n. Las vibraeiones de las figuras de interferencia se hariln mas borrosas. En el pr6ximo capitulo demostraremos cuantitativamente que si determinamos el momentum de la lilmina con suficiente precisi6n, para detenninar a partir de !a medida de! retroceso. cuiil agujcro fue utilizado. emonces la indeterminaci6n en la posici6n x de la lilmina sera, de acuerdo al principio de indeterminaci6n, suficiente para desplazar la figura obscrvada en el detector hacia arriba y hacia abajo en la direcci6n x en aproximadamente la distancia de un m3.ximo a su minimo mils cercano. Tai corrimiento al azar es suficiente para emborronar la figura, de modo que no se observa interferencia. El principio de indeterminaci6n "protege .. a la mec3.nica cuitntica. Heisenberg reconoci6 que, si fuera posible medir el momentum y la posickm simult3neamente con una precisi6n mayor, la mecitnica cu3.ntica sufriria un colapso. Asi que propuso que esto debe .ser imposiblc. Entonces la gcntc se sent6 y trat6 de imaginar formas de hacerlo, pero nadie pudo imaginar alguna manera de medir la posicilm y el momentum de alguna cosa -una pantal!a, un dectr6n, una bola de blllar. cualquier cosa- con mayor precisiOn. Asl la mec:lnica cuimtica mantiene su pcligrosa pero precisa existencia. 37~16 38 RelaciOn entre los puntos de vista ondulatorio y corpuscular El tamaiio de un li.tomo 38-1 Amplitudes de ondas de probabilidad 38-4 38-3 Medida de la posicii:m y de! momentum 38-5 Niveles de energia 38-3 Difracci6n en Cristales 38-6 lmplicaciones filosOficas 38-1 Amplitudes de ondas de probabilidad En este capitulo discutiremos la relaciOn entre los puntos de vista ondulatorio y corpuscular. Ya sabemos. por el Ultimo capitulo, que ni el punto de vista ondulatorio ni el punto de vista corpuscular son correctos. Usualmente hemos tratado de presentar las cosas en forma precisa, o al menos, tan precisas que no tengan que ser cambiadas cuando aprcndamos m:i.s ~jpueden ser extendidas, pero no seran cambiadas !-- Pero cuando tratamos de hablar sob re la representaciOn ondulatoria o la representaci6n corpuscular, am bas son aproximadas y am bas cambiariln. Por lo tan10. lo que aprendamos en este capitulo no serit preciso, en cierto sentido: es una especie de argumento semiintuitivo que mils tarde se hara mas preciso, pero ciertas cosas cambiaran alga cuando las interpretemos correctamente en mecanica cu3.ntica, Por supuesto, la razOn de hacer ta! cosa es que no estamos entrando directamente a la mecanica cuimtica, sino que deseamos tener por lo menos alguna idea de los tipos de cfectos que encontraremos. Mils aUn, todas nuestras experiencias son con ondas y con particulas, y asi es bastante prilctico usar las ideas ondulatorias y corpusculares para obtener alglln conocimiento de lo que sucede en circunstancias dadas, antes de conocer la matemiltica completa de las amplitudes cu3.nticas. Trataremos de ilustrar los puntos mils d6biles a medida que avancemos, pero la mayor parte de esto es casi correcto -es s6Jo asunto de interpretaciOn. Ante todo, sabemos que la nueva fonna de representar el mundo en mec3.nica cuilntica -la nueva estructura- es dar una amplitud a cada evento que pueda ocurrir, y si el evento involucra la recepciOn de una particula, podemos dar la amplitud de encontrar e~a particula en diferentes lugares y en diferentes tiempos. La probabilidad de encontrar la particula es, entonces, proporcional al cuadrado del valor absoluto de la amp!itud. En general, la amplitud de encontrar una particula en diferentes iugares y en diferentes tiempos varia .:on la posiciOn y el tiempo. En un caso especial la amplitud varia sinusoidalmente en el espacio y en el tiempo como ei(wi - k · •l (no olvidar que estas amplitudes son nUmeros complejos, no nUmeros 38-1 reales) y comprende una frecuencia definida y un nU.mero de onda k. Entonces resulta que esto corresponde a la situaci6n limite clllsica donde podrlamos haber creido tener una particula cuya energia E fuese conocida y estuviese relacionada a la frecuencia por E = liw, (38.1) y cuyo momentum p es tambi6i conocido y estuviese relacionado con el nllmero de onda por p = lik. (38.2) Esto significa que la idea de particula es limitada. La idea de una partiqila -su ubicaci6n, su momentum, etc.- que usamos tanto, es en cierta forma insatisfactoria. Por ejemplo, si una amplitud de encontrar una particula en lugares diferentes estit dada por ei(w1 - k •l, cuyo mOdulo al cuadrado es una constante, esto significaria que que la probabilidad de encontrar una particula es la misma en todos los puntos. Esto significa que no sabemos dimde estit -puede estar en cualqmer parte- hay una gran indeterminaci6n en su ubicacion. Por otra parte, si la posici6n de una particula se conoce mils o menos bien po<'lemos predecir esto con bastante precisi6n, entonces la probabilidad de encontrarla en lugares diferentes debe estar restringida a una cierta regiOn, cuya longitud Hamamos Llx. Fuera de esta regi6n, la probabilidad es cero. Ahora bien, esta probabilidad es el cuadrado de1 mOdulo de una amplitud, y si el cuadrado del m6dulo es cero, la amplitud tambii:n es cero, de manera que tenemos un tren de ondas cuya longitudes ,1 x (Fig. 38· l ), y la longitud de onda (la distancia entr·e nodos de las ondas en el tren) de este tren de ondas es Jo que corresponde al momentum de la particula. --~x-- Fig. 38-1. Un paquete de ondas de lar- go~x Aqui encontramos un hecho extraiio respecto a las ondas; algo muy simple, lo cual no tiene nada que ver estrictamente con la mecilnica cuitntica. Es alga que todos aquellos que trab~jan con ondas, aun si no conocen la mecitnica cuilntica, saben: es decir, no podemos definir una Unica longitud de onda para un tren de ondas corto. Tal tren de ondas no tiene una longitud de onda definida; hay una indefinici6n en el nllmero de onda, la cual estil relacionada con la longitud finita del tren y por ello hay una indefinici6n en el momentum. 38-2 Medida de la posiciOn y del momentum Consideremos dos ejemplos de esta idea para ver la raz6n de por qui: existe una indeterminaci6n en la posic16n y /o en el momentum, siempre que la med.nica cuitnbca esti: correcta. Hemos visto antes tambilin, que si no hubiera tal cosa -si fuera posible medir simultilneamente la posiciOn y el momentum de algo- tendriamos una paradoja; es una fortuna que no tengamos tal paradoja y el hecho 38-2 Fig. 38-2. Difracci6n de partfculas que pasan a traves de una rendija. de que ta! indeterminaciOn llegue naturalmente a partir de la representaci6n ondulatoria muestra que todo es intemamente compatible Aqui hay un ejemplo que muestra la relaciOn entre Ia posici6n y el momentum, en una circunstancia que es fitcil de entender. Supongamos tener una sola rendija y particulas que llegan desde muy lejos con una cierta energia -de modo que llegan esencialmentc en forma horizontal (Fig. 38-2}-. Nos concentraremos en la componentes verticales del momentum. Todas estas particulas tienen un cierto momentum horizontal, digamos p0 en un sentido clilsico. De modo que, en el sentido clilsico, e! momentum vertical py, antes de que la particula pase por el agujero, es perfectamente conocido. La partlcula no se mueve ni hacia arriba ni hacia abajo porque vienc de una fuente leiana -y asi e! momentum vertical es, por supuesto, cero-. Pero supongamos ahora quc pasa a traves de! agujero de ancho 8. Entonces, despuCs que ha salido de! agujero conocemos la posiciOn en el sentido vertical -la posici6n y- con considerable precisiOn. es decir, + B. Esto es, la indetcrminaci6n en la posiciOn, tly, es de! orden de B. Aho'"a quisieramos tambien decir, ya que sabemos ~~~. e~:~~~~t~~a e~e:~~~~r~a:Se~~~ ~r;~~~~tu~ee~{h~:iz~~~~1,r;:~oe;:on~s !~~~ bemos mils. Antes de que las particulas pasaran a traves de! agujero, no conociamos sus posiciones verticales. jAhora que hemos encontrado la posiciOn vertical, hacienda que la partlcula pase a traves de! agujcro, hemos perdido nucstra informaciOn sobre el momentum vertical! ;,Por quC? De acucrdo a la teoria ondulatoria, hay un esparcimiento o difracci6n de las ondas despues que pasan la rendija asl como para la luz. Por lo tanto, existe una cierta probabilidad de que las particulas que Salen de la rendija no sigan exaetamentc derccho. El diagrama se ensancha por el efecto de difracc16n y el ilngulo de ensanche, que podemos definir coma el ilngulo de! primer minima, es una medida de la indeterminaciOn en el ilngulo furn!. (,COmo llcga a cnsancharse el diagrama? Decir que se ensaneha significa que hay alguna probabilidad de que la particula se este moviendo hacia arriba o hacia abajo. Esto es. que tenga una componente dcl momentum hacia arriba o hacia abajo. Decimos probabilidad y part[cula porque podemos detectar este diagrama de difracciOn con un contador de particulas, y cuando el contador recibe la particula, digamos en C en la figura 38-2, recibe !a particula entera, de modo que, en un sentido dilsico. la particula tiene un momentum vertical para alcanzar desde la rendija el punto C. Para obtener una .;;ierta idea de cuimto se esparce el momentum, el momentum vertical Py se esparce en p,jJ.O, donde p 0 es el momentum horizontal. ;,_Y de que tamaiio es d.O en cl diagrama ensanchado? Sabemos que el primer mmimo ocurre para uo iingulo Mi tal que las ondas que provienen de un horde de la rendija tienen que viajar una longitud de onda mils lejos que las oodas que provienen del otro \ado ---hemos desarrollado esto 38-3 antes-(Cap. 30). Por lo tanto !J() es .l/B y asi !J.py en este experimento es p0.l/B. N6tese que si hacemos B m<is pequeii.o y hacemos una medida mis precisa de la posici6n de !a particula, el diagrama de difracci6n se ensancha. Recuerden que, cuando cerramos las rendijas en el experimento con las microondas, teniamos mas intensidad a angulos mas grandes. De modo que mientras mas angosta hacemos la rendija tanto mas ancho se hace el diagrama, y mayor es la probabilidad de que encontremos que la particula tiene momentum hacia el !ado. Asi, pues, la indeterminaci6n dei momentum vertical es inversamente proporcionat a la inrleterminaci6n de y. En efecto, vemos que el producto de las dos es igual a Pw·1. Pero J es la longitud de onda y p 0 el momentum y, de acuerdo con la mecil.nica cuantica, la longitud de onda por el momentum es la constante de Planck h. Asi, pues, obtenemos la regla que la indeterminaci6n en el momentum vertical y en la posici6n vertical tienen un producto dd orden de h: (38.3) sic16n. Algunas veces la gente dice que la mecil.nica cuimtica esta completamente equivocada. Cuando la particula llcgaba desde la izquierda su momentum vertical era cero. Y ahora que ha atravesado !a rendija, su posici6n cs conocida. Tanto sici6n como el momentum parecen conocerse con precisi6n arbitraria. Es mente cierto que podemos recibir una particula y al recibirla dcterminar su posici6n y cuii.l es el momentum quc deberia habcr tenido para lograr llegar Esto es verdad, pero eso no es a lo que se refierc la relaci6n de indeterminaci6n (38.3). La ecuaci6n (38.3) se refiere a la predictibilidad de una situacilm, no sc refiere al pasado. No estil. bien decir "Yo sabia cu:i.l era el momentum antes quc atravesara la rendija, y ahora conozco su posici6n'", porque conocimiento del momen tum se ha perdido. El hecho de que haya pasado por rendija no nos permitc ya predecir el momentum vertical. Estamos hablando respecto a una teoria predictiva, no de medidas, despues del hecho, de modo que debemos hablar sobre lo quc podemos predecir. Ahora tomcmos el asunto de otra forma. Tomemos otro cjemplo de! mismo fen6meno, un poco mas cuantitativamente. En el ejemplo anterior medimos el momentum por un mCtodo clasico. Es decir, considcramos la direcci6n, la velocidad, los <ingulos, etc., de ta! modo quc obtuvimos el momentum mediante un ar.illisis- clil sico. Pero, ya que el momentum esta relacionado al nUmero de onda, todavia existe en la naturaleza otro camino para medir el momentum de una particula -fot6n u otra cosa-, el cual no tiene analogia clasica, ya que utiliza la ecuaci6n (38-2). Me~ dimos la longitud de onda de las ondas. Tratemos de medir el momentum en csta form a. Supongan que tenemos una red de difracci6n con un gran nUmero de lineas (Fig. 38-3), y enviamos un haz de particu!as hacia la red. A menudo hemos discutido este problema: si las particulas tienen un momentum definido, entonces obtenemos una figura muy marcada en cierta direcci6n debido a la interferencia. Y tambiCn hemos hablado de la precisiOn con que podemos determinar esc momentum, es decir, cui:il es el poder de reso!uci6n de esa red. En vez de deducirlo otra vez, nos referimos a1 capitulo 30, donde 38-4 Fig. 38-3. Determinaci6n del momentum, usando una red de difracci6n. encontramos que la indeterminaci6n relativa en la longitud de onda que se puede medir con una red dada es I I Nm, don de N es el nUmero de llneas de la red y mes el orden de! diagrama de difracci6n. Esto es, !::.A/A= I/Nm. (38.4) Ahora bien, la formula (38.4) se puede reescribir en la forma t::.AjA 2 = 1/NmA = l/L, (38.5) donde L es la distancia mostrada en la figura 38.3. Esta distancia es la diferencia entre la distancia total que la particula u onda o lo que sea tiene que atravesar si se refleja desde la base de la red, y la distancia que tiene que atravesar si es reflejada desde el tape de la red. Es decir, las ondas que forman el diagrama de difracci6n son ondas que provienen de diferentes partes de la red. Las primeras que Hegan provienen de la parte inferior de la red, de! comicnzo del tren de ondas, y el resto proviene de partes posteriores del tren de ondas, proviniendo de diferentes partes de la red, hasta que la Ultima finalmente llegue. y esto implica un punto en el tren de on· das a una distancia L detrti.s de! primer punto. Asi, pues, para que tengamos una linea definida en nuestro espectro correspondiente a un momentum definido, con una indeterminaci6n dada por (38.4), tenemos que tener un tren de ondas de una [ongitud de al menus L. Si el tren de ondas es demasiado corto, no estaremos usando toda la red. Las ondas que forman el espectro se reflejan solamente en un corto sector de la red si el tren de ondas es demasiado corto y !a red no trabajart't correctamente -encontrarcmos una gran extensi6n angular-. Para obtener uno mils angosto, necesitamos usar toda la red de modo que al menos en alglln momenta el tren de ondas completo sea dispersado simultilneamente desde todas las p~rtes _de la red. Asi el tren de onda debe ser de longitud L para tener una indetermmacion en la longitud de onda menor que la dada por (38.5). A propOsito, (38.6) Por lo tanto, t::.k = 21r/L, (38.7) donde L es la longitud de! tren de ondas. Esto significa que si tenemos un tren de ondas cuya longitud e~ menor .que. -?-• la indeterminaci6n en el nUmero de onda debe exceder a 2n/L 0 la mdetenrunac1on en el producto de un nllmero de onda por la longitud de! tren de ondas -lo llamaremos por un momenta .1 x38-5 excede 2n. Lo llamaremos L\x porque es la indeterminaci6n en la posici6n de la particula. Si el tren de ondas existe solamente en una \ongitud finita, entonces es ahi donde podriamos encontrar la particula dentro de una indeterminaci6n L\x. Ahora bien, esta propiedad de las ondas de que el producto de la longitud de\ tren de ondas por la indeterminaci6n de\ nUmero de onda asociada con eJ es por lo menos 2n, es una propiedad conocida por cualqmera que las haya estudiado. Esto no tiene nada que ver con la mec:inica cuimtica. Es simplemente, que si tenemos un tren finito no podemos contar las ondas en eI en fonna muy precisa. Tratemos otra forma de ver la raz6n de ello. Supongan que tenemos un tren finito de longitud L; entonces, debido a la forma en que decrece hacia los extremos, como en la figura 38-1, el nllmero de ondas en la longitud L es incierto, en algo como ± I. Pero el nUmero de ondas en L es kL/2n. Asi, k es incierto y otra vez obtenemos el resultado (38.7), una propiedad nada mas que de las ondas. La misma cosa se cumple, ya sea si las ondas est:in en el espacio y k es el nlimero de radianes por centimetro y L es la longitud de! tren, o bien las ondas est:in en el tiempo y 1.i es el nUmero de oscilaciones por segundo y T es la "longitud" de! tiempo en que llega el tren de ondas. Esto es, si tenemos un tren de onda que dura solamente por un cierto tiempo finito T, indeterminaci6n en la frecuencia csta dada por ti.w = 211"/T. Hemos tratado de recalcar que esas son las propiedades de las ondas solamente, las cuales son bien conocidas, por cjemplo en la teoria de! sonido. E! punto es que en la mecimica cuitntica interpretamos el nUmero de onda coma una medida de! momentum de una particula con la regla p = hk, de modo que la relaci6n (38.7) nos dice que d.p"" h/d.x. Entonces, esto es una limitaci6n de la idea cl:isica del momentum. (iNaturalmente esto tiene que estar limitado en alguna for" ma, si nosotros vamos a representar particulas por ondas!) Es agradable haber enc~:mtrado una regla que nos de alguna idea de cu:indo hay fracaso de las ideas cl:i- 38"3 DifracciOn en cristales A continuaci(m considcremos la rellexiOn de ondas corpusculares en un cristal. Un cristal es alga grucso que contiene muchos ii.tomos similares -mils tardc incluiremos a!gunas complicaciones- en un arreglo bonito. La cuesti6n es c(1mo ubicar el arreglo de modo quc ohtengamos una fucrtc rcf1exi0n m.itxima en una direcci6n dada para un hai dado de, digamos, lui (rayos X), electrones, neutrones o cualquier cosa. Para obtencr una fucrtc reflexion, la dispersiOn desde todos !m iltomos dcbc estar en fase. No puede haber numerns iguales en fase y fuera de fase, o las ondas se anularftn La forma de la~ cosas es encontrar las regiones de fase Constante, pianos que forman ftngulos iguales con las direccio- Si conslderamos dos pianos paralelos, coma en la figura 38-4, las ondas dispersadas desdc !os dos pianos estaran en fasc sicmpre que la diferencia de distancia recorrida por un frente de onda sea un nUmero entero de longitudes de onda. Esta diferenda se pucdc ver que es 2d sen 0, donde d es la distancia perpendicular entre Jos pianos. Asi, pues, la 38-6 Fig. 38-4. cristalinos Dispers16n de ondas par pianos condici6n para retlexi6n coherente es 2dsenO=nA (n=l,2, ... ). (38.9) Si, por ejemp!o, el cristal es tal que los ittomos yacen en pianos que obedecen la condici6n (38.9) con n -= I, habrit una fuerte retlexi6n. Si, por otro !ado, hay por el media otros il.tomos de la misma naturaleza (igual en densidad), entonces los pianos intermedios tambien dispersaritn en forma igualmente fucrtc e interfeririln con !os otros y no sc producirit cfecto alguno. Asi, den (38.9) debe referirse a pianos adyacentes; jno podemos tomar un piano cinco capas mils atrits y usar esta formula! Es de inter..!s que los cristales reales usualmente no son tan simples como un solo tipo de ittomo repetido en cierta forma. En cambio, si hacemos un anitlogo en dos dimensiones, son muy similares al papel mural, en el cual hay algUn tipo de figura quc sc repitc sabre todo el papel mural. Por "figura" entendemos en cl caso de {ltomos algUn arreglo --calcio, un carbono, tres oxigenos, etc., para el carbonato de calcio, etc.-, el cual puedc comprendcr un nUmcro relativamente grande de ittomos. Pero, sea lo que sea, la figura se repite en una estructura. Esta figura b::i.sica se llama celda unitaria. La figura bitsica de repetici6n define lo que llamamos e! tipo de red cristalina; el tipo de red se puede inmediatamcntc dctcrminar examinando las retlexiones y vien do culli es su simetria. En otras palabras, donde encontramos alguna reflexiOn esto determina el tipo de red, pero para determinar cua!es son cada uno de los elementos de la red uno debe tomar en cuenta la intensidad de la dispersi6n en varias direcciones. En que direcciones hay dispersiOn, depende del tipo de red, pero lo intema Fig. 38-5 Fig. 38-6 38-7 Neu1ronesde.\ corta // Pila= Grafito ~~~~~--~ -No.woo" - de I larga ~~ Neutronesde.lcorta Fig 38-7. 01fus16n de neutrones de una pila a traves de un bloque de graf1to 4---+= . ' Fig. 38-8. lntens1dad de neutrones que salen de una barra de graf1to. en func16n de la long1tud de onda. que es cada dispersi6n, queda determinado por lo que hay dentro de cada celda unitaria y de esta manera se detcrmina la estructura de ios Cristales. En las figuras 38-5 y 38-6 se muestran dos fotografias de diagramas de difracci6n por rayos X; ilustran la dispersi6n en sal comUn y mioglobina, respectivamente. A prop6sito. ocurre un hecho interesante. si los espac1os entre los pianos mils cercanos son menores que J /2. En este caso. la (38.9) no tiene so!uciOn para n. Asi, si A es mayor que el doble de la distancia entre pianos adyacentes. no hay dia grama de difracci6n lateral y la !uz --o lo que sea- atravesara derechamente el material sin rebotes o perdidas. De modo que en el caso de la luz, donde . l es muchQ. mayor que cl espaciado, par ~upuesto, atraviesa y no hay figura de reflexiOn en los pianos del cristal. Este hecho tiene tambitn una consecuencia interesante en el caso de las pilas que neutrones (ev1dentemente estas son particu!as, para cualquier persona). Si esos neutrones y los introducimos dentro de un gran bloque de grafito, se difunden y se abren cammo (Fig. 38-7). Se difunden porque rebotan cstrictamcntc. en la tcoria ondulatoria. rcbotan en los .itomos en los pianos cristalinos. jRcsulta que si tomamos un pedazo lo~ ncutrones que salen de! extrema mils lejano tienen todos onda! En efecto. si uno hacc un gr<ifico de la intcnsidad en de onda. no obtenemos nada exccpto para longitudes de que un mimmo (Fig. 38-8). En otras palabras. en csa forma poncutronc~ muy lentos. Solamente atraviesan los neutrones m:is lentos; no son ni dispersados por los pianos cristalinos del grafito, sino quc continUan atravesando derechamente como la llll a travts del vidrio, y no son dispersados hacia los !ados. Hay mucha~ otras dcmostraciones de la re.m.!idad de las ondas de neutrones y de las ondas de otras particubs. 38-4 El tamai1o de un :ltomo otra aplicaciOn de la re!aci6n de indeterminaciOn. as1 Esto no debe ser tornado demasiado seriamente: !a idea cs cono cs muy prcciso. La idea tiene que ver con la dcterminaci6n y el hecho de que. clasicamente, los electrones irradiarian luz y describirian una cspiral hasta depositarse sabre el nUcleo. Pero eso no puede ser corrccto desde punto de vista de !a mec.inica cu:intica. porque entonccs sabriaelectron y con que velocidad se estii moviendo. 38-8 Supongamos que tenemos un ittomo de hidr6geno y que medimos la posici6n de! electr6n; no debemos poder predecir exactamente d6nde estit el electr6n, o, de lo contrario, el ancho de la distribuci6n de! momentum serit infinito. Cada vez que rniramos el electr6n, este est<i. en alguna parte, pero tiene una amplitud de estar en diferentes Jugares, de modo que hay una probabilidad de encontrarlo en diferentes lugares. Esos lugares no pueden estar todos en el nllcleo; supondremos que hay una distribuci6n de la posici6n de! orden a. Es decir, la distancia del electr6n al nllcleo es comllnmente alrededor de a. Determinaremos a minimizando la energia total del <i.tomo. El ancho de la distribuci6n de! momentum es de aproximadamente h/a debido a la relaci6n de indeterminaci6n, de modo que si tratamos de medir en alguna forma el momentum de! electr6n, por ejemplo, mediante dispersi6n de rayos X y mirando desde un dispersor m6vil el efecto Doppler, no esperariamos obtener cada vez cero -el electr6n no est<i. detenido-; pero Jos momenta deben ser del orden de p ""' hIa. Entonces, la energia cinCtica es aproximadamente 1!1 mv 2 = p2am = h2,'2ma 2 . (En cierto sentido, esto es una especie de amilisis dimensional para encontrar en que forma la energia cinCtica depende de la constante de Planck, de m y de! tamai'io de! ittomo. No necesitamos confiar en nuestra respuesta a menos de factores tales coma 2, n, etc. Ni siquiera hemos definido muy precisamente a.) Ahora bien, la energia potencial es menos e2 dividido por la distancia al centro, es decir - e 2 I a, don de, recordemos, e2 es el cuadrado de la carga de! electr6n, dividida por 4m 0 El caso es ahora, que la energia potencial se reduce si a disminuye, pero mientras menor es a tanto mayor es el momentum necesario, debido al principio de indeterminaci6n, y por lo tanto mayor es la energia cinetica. La energia total es (38.10) No sabemos cu<i.nto es a, pero sabemos que el ;homo se arreglaril por si mismo y hara cieno compromiso de modo que la energia sea tan pequci'ia como sea posiblc. Para minimizar E derivemos con rcspecto a a, pongamos la derivada igual a cero y despejemos a. La deriYada de E es: (38.11) y poniendo dE/da"" 0, da a a el valor a0 = 0,528 angstrom 0,528 x 10- 10 metro. (38.12) Er.ta distancia particular se llama el radio de Bohr, y hemos aprendido asi que las dimensiones at6micas son del orden de los angstroms, lo cu al es correcto: i Esto es alga estupendo: en realidad, es sorprendente, ya que hasta ahora no teniamos base para entender el tamafio de los iltomos! Los 3tomos son algo comp!etamente imposible desde el punto de vista cl.isico, ya que los electrones dcberian cacr en cspiral hacia el nUcleo. Si ahora introducimos e! valor (38.12) para a en (38. IO) para encontrar la energia, resulta En = -e 2 /2a 0 = -me 4 /2h 2 = -13.6 ev. (38.13) 38-9 z.Que significa una energia negativa? Significa que el electr6n tiene menor energia cuando esjii en el iltomo que cuando estil libre. Significa que estil ligado. Significa que se requiere energia para expulsar el e!ectr6n; se requiere una energia de! orden de 13,6 eV para ionizar un iltomo de hidr6geno. No tenemos raz6n para pensar que no sea dos o tres veces esto --o la rnitad de esto- o (1 /n) veces esto, ya que hemos usado un razonamiento tan poco cuidadoso. jSin embargo, hemos trampeado. ya quc hemos usado todas las constantes de tal manera de lograr que resulte el nUmero exacto! Este nUmero. 13,6 electronvolts, se llama un Rydberg de energia; es la energia de ionizaciOn de! hidn'.1geno. De modo que ahora comprendemos por que no caemos a traves del piso. Cuando caminamos, nuestros zapatos con sus masas de $tomos empujan contra el piso con su masa de .Stamos. Para apretar los {J.tomos, los electrones deberian estar confinados en un espacio menor, y, por el principio de indeterminaci6n, sus momenta deberian ser mayores en promedio. y esto significa mayor energia; la resistencia a la compresi6n atOmica es un efccto cuilntieo y no un efecto d<lsico. Clilsicamente, esperariamos que si tuvieramos quc juntar todos los electrones y protones m:is cerca unos de otros, la energia deberia reducirse aU.n mas, y el mejor arreglo de cargas positivas y ncgativas en la fisica clilsica es de que todas esten una encima de la otra, Esto era en la fisica clasica y fue un rompecahezas debido a la existencia de! ittomo. Por supucsto, los primeros cientificos inventaron alglln camino para salir de! problema -jpero no se preocupen; nosotros tenemos ahora la salida correcta.I (Tai vez.) A propOsito, aunquc no tcnemos raz6n para entenderlo por el momenta, en una situacic'm donde hay rnuchm electrones, resulta que tratan de mantenerse alejados unos de otros. Si un e!ectr6n est<i ocupando un cierto espacio, otro no ocupa el mis mo cspado. Mas precisamente, hay dos maneras de girar, de modo que pucden ubicarsc dos, uno arriba de! otro. uno girando en un sentido y el otro en el otro sentido. Pero despues de esto no podemos poner ninguno mas. Tencmos que poner otros en otro !ugar, y esta es la raz6n vcrdadera de por que la materia tiene resistencia. Si pudieramos poner todos los electrones en el mismo lugar, se condensaria aUn mas de lo quc csttl.. Es el hecho de que los ek:ctrones no pueden estar uno encima de! otro, que hace s01idas las masas y todo !o dem&s. para entendcr las propiedades de la materia tendremos que usar y no quedarnos satisfechos con la mecilnica dilsica. !a 38-5 Niveles de energia Hemos hablado de! atomo en su condiciOn de mas baja energia posible, pero resulta que cl electr6n puede hacer otras cosas. Puede moverse y agitarse de una manera m;is r<ipida y, por lo tanto, hay muchos movimientos diferentes y posibles para el :itomo. De acucrdo con la mccilnica cuantica. en una condiciOn estacionaria puede haber solamente energias definidas para un iltomo. Hacemos un diagrama (Fig. 38-9) en d cual dibujamos verticalmente !a energia y trazamos una linea horizontal para cada valor pcrmitido de la energia. Cuando el electrOn estil !ibre. es decir, cuando su energia es positiva. pucde tener cualquier encrgia; se puede estar moviendo a cualquier velocidad. Pero las energias ligadas no son arbitrarias. El <itomo debe uno u otro de un conjunto de valorcs permitidos, tales como los de la figura 38-10 Fig. 38-9. Diagrama energ8tico para un mostrando varias transiciones posi- ~tomo, bles L!amemos £ 0 , E" E 1 , £ 3 a los valores permitidos de la energia. Si un :itomo est<I inicialmente en uno de esos .. estados excitados", £ 10 £ 2 , etc. no permanece en ese estado para siempre. Tardc o temprano caera a un estado mils bajo e irradiara energia en forma de luz. La frecuencia de la \uz emitida estil determinada por la conscrvaciOn de la energia mils el conocimiento cuilntico de que la frecuencia de la luz estii. re!acionada con la energla de la luz por la (38.l). Por lo tanto, la frecuencia de la luz liberada en una transiciOn desdc la energia E 3 a la energia E 1 (por ejemplo ), es (38.14 Esto es entonces una frecucncia caracteristica del lltomo y define una linea de cmisiOn espcctral. Otra posible transiciim scria de E 3 a Eu- Tendria una frccuencia diferente (38.15) Otra posibilidad es que si el fundamental F 0 emitiendo un fuera excitado al cstado £ de frecuencia 1, podria caer al estado (38.16) La razOn por la cual tfaemos a colaci6n estas lres transiciones cs para sei'ialar una relaciOn interesante. Es f.lcil ver a partir de (38.14). (38.15). y (38.16) que (38.17) En general, si cncontramos dos !ineas espcctrales esperaremos encontrar otra linea correspondiente a la suma de las frecucncias (o a la diferencia de las frecuencias) y que todas !as lineas puedan ser entendidas encontrando una serie de nivc!es tales. que cada linea correspondc a la di(erencia de energia de algUn par de nive!es. Esta coincidencia notable en las frecuencias esp~ctrales fue notada antes de que la mecitni ca cuii.ntica fuera descubierta, y se llama principio de comhinaciOn de Ritz. Estc es otra vez un mistcrio desde el punto de vista de la mec3nica cl<isica. No insistamos en el punto de que la mec3.nica clilsica es un fracaso en el dominio atOmico; nos parece haberlo demostrado muy bien. Hemos va hablado sohre la mecitnica cu3nt1ca como amplitudes, -las cuales sc comportan como ondas. con ros de onda. Obscrvcmos cOmo llegamos desde cl punto a que el ii.tomo tiene estados energeticos delinidos. Esto es cntender con lo que hemos dicho hasta aqui. pero todo5 estamos el hccho de que ondas cncerradas tienen 38-11 frecuencias definidas. Por ejemplo, si e! sonido esta confmado en un tubo de 6rgano o alga parecido, hay mas de una forma en que el sonido pueda vibrar, pero para t..:ada una de esas formas hay una frecuencia definida. Asi, un objeto en el cual las ondas estan encerradas tiene ciertas frecuencias de resonancia. For lo tanto, es una propiedad de las ondas en un espacio confinado -una materia que discutiremos en detalle, con formulas, mas tarde- que existan solamente a frecuencias definidas. Y, ya que existe la relaci6n general entre las frecuencias de la amplitud y la energia, no nos sorprende encontrar energias definidas asociadas con electrones ligados en los <homos. 38-6 Implicaciones tilosOficas Consideremos brevemente algunas implicaciones filos6ficas de la mecitnica cu<'tntica. Como siempre. hay dos aspectos de! prob!ema: uno es !a implicaci6n filos6fica para la fisica y el otro es la extrapolaci6n de asuntos filos6ficos a otros campos. Cuando las ideas filos6ficas asociadas con la ciencia son arrastradas a otro campo, usualmente ellas son completamente distorsionadas. Por lo tanto, limitaremos nuestras consideracioncs tanto como sea posible a la fisica misma. En primer lugar el aspecto mils interesante cs !a idea del principio cie indetenninaci6n; el hacer una obscrvaci{Jn afecta el fenOmeno. Siempre se ha sabido que el hacer observacioncs afecta un fenomeno, pcro el punto es que el cfccto no pucde ser dejado a un lado. o minimizado o disminuido arbitrariamente mediante un nuevo arreglo <lei aparato. Cuando investigamos cierto fen6meno no nos queda mils reme· dio que perturbarlo en ciena forma minima, y la perturbaciOn es necesaria para la compatibilidad def punto de rista. En la fisica precuilntica el observador fue algunas veces importante. pero solamente en un sentido m<'ts bien trivia!. El problema ha sldo cstablecido: s1 un <'trbol cac en un bosque y no hay nadie ljUC Jo escuche. ;,hace ruido? Un ilrbol real cayendo en un bosque real, hace, por supuesto, ruido aunque nadie estC ahi. Aunque no haya nadie presente para escucharlo. ljUedan otras huellas. E! sonido agitarli algunas hojas y si fuCramos lo ~ufil:ientcmente cuidadosos. podriamos encont(ar en alguna parte que alguna espina ha raspado contra una hoja y hecho una rayadura fina que no podria ser explicada. a menos que supongamo~ que la hoja estaba vibrando. De modo que en cierto sentido deberiamos admitir que hubo sonido. Podemos preguntarnos: (,hubo una 5e11saci011 de sonido? No. las ~ensaciones ticncn que ver, prc~umiblemcnte. con la concicncia. Y si las horm1gas son conscientes y si habia horm1gas en el bosque, o s1 los :lrboles tuvieran concicncia, no lo sabcmo~. DcJemos cl problema en esa forma. Otra cosa que la gente ha rccalcado dcsde que la mecitnica cuilntica ~c ha desarrol!ado, es la idea de que no deberiamos hablar de las cosas que no podemos medir. (Realmente la tcoria de la relatividad tambiCn decia esto.) A menos que una cosa pueda ser definida por la medida, no tiene cabida en una teoria. Y, ya que un valor preciso del momentum de una particula localizada no puede ser definido por medici6n, no tendril, por lo tanto, cabida en la teorla. La idea de que esto es lo que sucedia con la teoria cl:lsica es una posicfr)n fa Isa. Es un anillisis sin cu1dado de la situaci6n. Que nosotros no podamo~ medir pos1ci6n y momentum en forma precisa, no significa a priori que 110 podamos hablar de cllo. Solamente s1gnifica que no necesitamos hab!ar de ello. La situaciOn en las ciencias es Csta: un concepto o una idea que no pueden ser medidos 38-12 o no pueden ser referidos directamente a un experimento, pueden o no pueden ser Utiles. No necesitan existir en una teoria. En otras palabras, supongamos que cor,Jparamos la teoria clilsica de! mundo con la teoria cuilntica del mundo y supongamos que experimentalmente es verdad que podemos medir posici6n y momentum s6lo en forma imprecisa. La cuesti6n es silos conceptos de posici6n exacta de una partlcu!a y de momentum exacto de una particula son vii.lidos o no. La teoria cl<isica admite estos conceptos; la teoria cu<intica no. Esto en sl no significa que la fisica dilsica est<i equivocada. Cuando la nueva mec<inica cu<intica se descubri6, la gente clasicista --que incluia a todos, excepto a Heisenberg, Schr6dinger y Born --dijeron: "Miren. su teoria no es nada buena, porque ustedes no pueden contestar ciertas preguntas como: t,cual es la posiciOn exacta de la particula?. (.por cuill hueco pas6?. y algunas otras mils". La respuesta de Heisenberg foe: "Yo no necesito contestar tales preguntas, porque usted no puede experimentalmente formu!ar ta! pregunta~. Es eso lo que no tenemos que hacer. Consideremos dos teorias (a) y (b); la (a) contiene una idea que no se puede verificar directamente, pero que se usa en el an<ilisis, y la otra (b) no contiene la idea. Si est<in en desacuerdo en sus predicciones. no se podria pretender que (b) sea falsa, porque no puede exp!icar esta idea que estil en (a), porque ta! idea es una de las cosas que no se pueden vcrificar directamente. Es siempre bueno saber cuill de las ideas no pucde ser verificada directamente, pero no es necesario eliminarlas todas. No es verdad que nosotros podamos proseguir con la ciencia en forma completa usando s6lo conceptos que estiln expuestos directamentc al expcrimento. En la mec:inica cuilntica misma existc una amplitud de funci6n de onda, existe un potencial y cxisten muchas construcciones mentalcs que no puedcn ser medidas directamente, La base de una ciencia est<i en su capacidad para predecir. Predecir significa decir que sucederii en un experimento que no ha sido nunca hecho. ,:,C6mo podemos hacer eso? Suponiendo que sabemos lo que hay, independientemente de! experimento. Debemos extrapolar los experimentos a una regi6n donde no han sido aU.n verificados. Si no haccmo~ eso, no tenemos predicci6n. De modo que era perfectamente razonable para \os fisicos d<isicos proseguir con toda fe!icidad y suponer quc la posici6n la cual obviamente significa algo para una pelota de baseball- sig" nifica algo tambien para un electr6n. No era una cstupidez. Era un procedimiento razonable. Hoy en dia decimos que la ley de la relatividad sc supone v<ilida para to das las energias, pero algUn dia alguicn pucde llegar a decir lo estUpidos que fuimos. No sabemos en quC ~omos "estUpidos'' hasta que no "vamos hasta las Ultimas con secuencias ". de modo quc la idea global es ir hasta las Ultimas consecuencias. Y la Lmica forma de encontrar que est<ibamos equivocados es encontrar cuciles son nues tras prediccioncs. Es abwlutamente necesario construir. Hemos expuesto ya algunas observaciones respecto a la indeterminaci6n de la mecilnica cuilntica. Es decir, que ahora somos incapaces de predecir lo que sucedera en fisica en una circunstancia fisica dada, que ha sido dispuesta lo mas cuidadosamente posible. Si tomamos un atomo en un estado excitado, de modo que este por emitir un fot6n, no podemos decir cutindo lo emitir<i. Tiene una cierta amplitud de emitir el fot6n en cualquier instante y podemos predecir solamente una probabi\idad de cmisi6n; no podemos predecir exactamentc el futuro. Esto ha dado origcn a todo tipo de disparates y preguntas respecto al significado de\ libre albedrio, y a la idea de que el mundo es incierto. 38-13 Por supuesto, debemos recalcar que la mecinica clcl:sica es tambii:n en cierto sentido indeterminada. Se piensa generalmente que ta! indeterminaciOn, que no podamos predecir el futuro, es un importante asunto cuintico y se dice que esto explica el comportamiento de la mente, el sentimiento de! libre albedrio, etc. Pero si el mundo fuera clii.sico -si las !eyes de la mecii.nica fueran c!cl:sicas-, no es tan obvio que la mente no se sentiria mas o menos igual. Es clasicamente verdadero que si conocemos la posici6n y la velocidad de cada particula en el mundo, o en una caja con gas, podriamos predecir exactamente lo que sucederia. Y, por lo tan to, el mundo cl<isico es determinista. Supongamos, sin embargo, que tenemos una precisiOn finita y no sabemos exactamente d6nde esta un atomo, digamos dentro de una parte en mil millones. Entonces, a medida que avanza choca a otro atomo y, dado que no conociamos la posiciOn mejor que una parte en mil millones, encontraremos un mayor error aUn en la posiciOn despui:s de! choque. Y esto, por supuesto, es amplificado en el choque siguiente, de modo que si comenzamos con sO\o un ligero error i:ste aumenta r3.pidamente a una indeterminaciOn muy grande. Para dar un ejemplo: si el agua cae sobrc una represa, salpica. Si nos paramos cerca, entonces de vez en cuando alguna gota caerii. sabre nuestra nariz. Esto parece ocurrir completamente al azar; sin embargo. tal comportamiento podria ser predicho mediante \eyes puramente cl.isicas. La posiciOn exaGta de todas las gotas depende de las ondulaciones precisas de! agua antes de llegar a la represa. i,COmo? Las mas pequeiias irregularidades son itumentadas en la caida, de modo que obtenemos una situaciOn completamente al azar. Por supuesto, no podemos realmente predecir la posiciOn de las gotas a menos que conozcamos el movimiento de! agua en forma absolutamente exacta. Hablando en forma mils precisa, dada una precisiOn arbitraria, tan grande como se quiera, uno puede encontrar un tiempo suficientemente largo que no podemos hacer predicciones vitlidas para ese tiempo asi de largo. Ahora bien, el asunto es que ese intervalo de tiempo no es muy grande. No se trata de que el tiempo sea millones de aiios si la precisiOn es de una parte en mil millones. En efecto, el tiempo varia sOlo logaritmicamente con el error y resulta que s6lo en un intervalo de tiempo muy, pero muy pequeiio, perdemos toda nuestra informaciOn. Si la precisiOn se toma coma una parte en miles de millones y miles de millones -no importa cuantos miles de millones queramos, siempre que nos detengamos en alguna parte- podremos entonces encontrar un tiempo menor que el que se tomO para establecer la precisiOn jdcspui:s de! cual no podemos predecir mas qui: es lo que suceder3.! Por lo tanto, no es honesto decir que de la libertad aparente y de la indeterminaci6n de ta mente hu mana nos hubiframos dado cuenta que la lisica ci3.sica "determinista ·· nunca podria esperar entenderlo, y dar la bienvenida a la mectinica cu3.ntica coma una liberaci6n de un universo "completamente mecanicista". Porque ya en la mec:i.nica cf:i.sica desde el punto de vista pr3.ctico hubo indetermlnaciOn. 38-14 39 La teoria cinetica de los gases 39- l Propiedades de la materia 39-4 Temperatura y energia cinCtica 39-2 La presiOn de un gas 39-5 La ley de los gases ideales 39-3 Compresibilidad de la radiaciOn 39- l Propiedades de la maieria Con este capitulo comenzamos con un nuevo tema que nos ocupara algUn tiempo. Es la primera parte de! anil.lisis de las propiedades de la materia bajo un punto de vista fisico, en la que, reconociendo que la materia est8. hecha de una gran cantidad de !itomos o partes elementales, que interactUan el6ctricamente y obedecen las leyes de la med:nica, tratamos de entender por quC los diversos agregados de ittomos se comportan en la forma que lo hacen. Es evidente que Cste es un tema dificil, y ponemos fnfasis desde el comienzo en que es en realidad un tema extremadamente dificil, y que tenemos que tratarlo de manera diferente a como hemos tratado hasta ahora los otros temas. En el caso de la mecimica y en el caso de la luz pudimos comenzar con un enunciado preciso de algunas \eyes, como las !eyes de Newton, o la f6rmu\a para el campo producido por una carga que acelera, a partir de las cuales pudimos comprender esencialmente un sinnUmero de fen6menos, y que dieron, desde cse momento, una base para nuestra comprensi6n de la mecii.nica y de la luz a partir de entonces. Esto es, mas tarde podemos aprender mii.s, pero no sera una fisica diferente, solamente aprenderemos mejores metodos de analisis matematico para tratar la situaci6n. No pod~mos usar este m6todo en fonna efectiva para el estudio de las propiedades de la materia. Podemos discutir la materia s6\o en una forma mas elemental; es un tema demasiado complicado para ser analizado directamentc a partir de sus !eyes basicas especificas, que no son otras que las !eyes de la mecitnica y de la elcctricidad. Pero Cstas estan bastante alejadas de las propiedades quc dcseamos estudiar; se requieren demasiados pasos para obtcner a partir de !as !eyes de Newton las propiedades de la materia, y estos pasos son, en sl, bastante complicados. Comenzaremos ahora a dar aigunos de estos pasos, pero mientras que muchos de nuestros an<ilisis sen'm bastante exactos, se har<i.n a !a larga menos y mcnos exactos. S6Jo tendremos una comprensi6n aproximada de las propiedades de la materia. Una de las razones de que tengamos que realizar el ana!isis en forma tan imperfccta es quc su matemiltica requicrc una comprensi6n profonda de la teoria de probabilidadcs; 39-1 no desearemos saber por d6nde se mueve realmente cada iltomo, sino mils bien, cuilntos se mueven aqui y allil en promedio y cuitles son las probabilidades de diferentes efectos. Asi, este tema comprende un conocimiento de la teoria de pro" babilidades y nuestra matemittica todav1a no estil bien preparada y no deseamos forzarla demasiado. En segundo lugar, y m.is importante desde el pun to de vista fisico, el comportamiento real de los .itomos no es de acuerdo con la mec.inica cl.isica, sino de acuerdo con la mecilnica cu.intica, y una comprensiOn correcta de! tema no se puede alcan· zar hasta que comprendamos la mednica cuilntica. Aqui, a diferencia del caso de las bolas de billar y de los automOviles, la diferencia entre las !eyes de la mec.inica cliisica y las !eyes de ta mecimica cuitntica es muy importante y muy significativa, de manera que muchas de las cosas que deduciremos por medio de la mec1inica clilsica ser:in fundamentalmente incorrectas. Por lo tanto, habra ciertas cosas que tendrim que ser parcialmente desaprendidas; sin embargo, indicaremos en cada ca.so cu:indo un resultado es incorrecto, de modo que sabremos exactamente d6nde estfili los "limites". Una de las razones para discutir la mecitnica cu.intica en !os capitulos anteriores fue la de dar una idea de por quC, mils o menos, la mecti.nica clil.sica es incorrecta en las diversas direcciones. z.Por que tratamos el tema ahora? z.Por que no esperamos medio aiio o un aiio. hasta que conozcamos mejor la matemil.tica de las probabilidades, y que aprendamos un poco de mecil.nica cuimtica, y entonces podamos hacerlo de una manera mas fundamental? La respuesta es que es un tema dificil iY la mejor manera de apren· derlo, es haciendolo lentamente! Lo primero que hay que hacer es lograr alguna idea, mas o menos, de lo que debiera suceder en diferentes circunstancias, y luego, mils tarde, cuando conozcamos mejor las !eyes, las formularemos mejor. Cualquiera que desee analizar las propiedades de la materia en un problema real, querria comenzar escribiendo las ecuaciones fundamentales y tratar luego de resolverlas matem3.ticamente. Aunque hay personas que tratan de usar estc metodo, estas personas son las que fallan en este campo; el exito real proviene de aquellos que comienzan desde un pun to de vista jisico, personas que tienen una idea aproximada de hacia d6nde van y que luego comienzan haciendo el tipo correcto de aproximaciones, sabiendo que es grande y que es chico en una situaci6n dada complicada. Estos problemas son tan complicados que es Uti! tener una comprensi6n siquiera elemental, aunque inexacta e incompleta, y asi el tema ser.il uno sobre el que volveremos una y otra vez, cada vez con mas y mils exactitud. a medida que avancemos en nuestro curso de fisica. Otra razOn para comenzar el tema precisamente ahora es que ya hemos usado muchas de estas ideas en, por ejemplo, la quimica. y hasta hemos oido acerca de algunas de e!las en la segunda enseiianza. Es interesante conoccr la base fisica de estas cosas. Como un ejemplo interesante, todos sabemos que volUmenes iguales de gases a la misma presi6n y temperatura contienen el mismo nUmcro de mokculas. La Icy de las proporciones mUltip!es, que cuando dos gases se combinan en una reacci6n qui· mica, los vol6menes necesarios est.iln siempre en proporciones enteras simples. fue entendida en llltima instancia por Avogadro como significando que volUmenes iguales contienen nllmeros iguales de .itomos. Ahora bien, ;.por qui contienen igual nllmero de .iltomos? (.Podemos deduclr a partir de las leyes de Newton que el nUmc rode .iltomos debe ser igual? Nos preocuparemos de 39-2 esta materia especifica en este capitulo. En los capitulos siguientes discutiremos varios otros fen6menos que comprenden presiones, vohi.menes, temperatura y calor. Encontraremos tambi61 que el tema puede atacarse desde un punto de vista no at6mico, y que existen muchas interrelaciones de las propiedades de las sustancias. Por ejemplo, si comprimimos alguna cosa, se calienta; si la calentamos, se dilata. Existe una relaci6n entre estos dos hechos que se pue<le deducir independientemente de! mecanismo involucrado. Este tema se llama termodindmica. La comprensi6n mils profunda de la termodinimica proviene, por supuesto, de la comprensi6n del mecanismo real involucrado, y esto es lo que haremos: tomaremos el punto de vista at6mico desde el comienzo y Jo usaremos para comprender las diversas propie<lades de la materia y las !eyes de la termodin!lmica. Discutamos, entonces, las propiedades de los gases desde el punto de vista de las leyes de la mec!lnica de Newton. 39-2 La presiOn de un gas En primer lugar, sabemos que un gas ejerce una presi6n y debemos comprender claramente a que se debe esto. Si nuestros oidos fueran unas pocas veces mils sensibles, podriamos escuchar un zumbido perpetuo. La evoluci6n no ha desarrollado el oido hasta ese punto, porque seria inUtil si fuera tan sensible --oiriamos un jaraneo perpetuo-. La raz6n es que el timpano est!l en contacto con el aire, y el aire consiste en muchas mol6culas en movimiento perpetuo, y 6stas golpean contra los timpanos. Al golpear contra los timpanos producen un tamborileo irregular -bum, bum, bum- que no escuchamos porque los !ltomos son muy pequefios, y la sensibilidad de! oido no es suficiente para notarlo. El resultado de este bombardeo perpetuo es desplazar la membrana, pero por supuesto existe un bombardeo perpetuo igual de iltomos por el otro !ado dei timpano; asi la fuerza neta sobre 61 es cero. Si sac!lramos el aire de un \ado o cambiilramos las cantidades relativas de aire en los dos lados, el timpano desplazaria entonces hacia un !ado u otro, porque el bombardeo por un \ado seria mayor que por el otro. A veces sentimos este efecto molesto cuando subimos demasiado rilpido en un ascensor o en un avi6n, especialmente cuando tenemos un resfrio grande (cuando estamos resfriados, la inflamaciOn cierra el tubo que conecta el aire en el interior de! timpano con el aire exterior a trav6s de la garganta, de modo que las dos presiones no pueden igualarse prontamente). . -'- I-·--· "--,Id•\- Fig. 39~ 1. Atomos de un gas en una caja con un pist6n sin roce. Al considerar c6mo analizar cuantitativamente la situaciOn, imaginemos que tenemos en una caja un volumen de gas, en un extrema de la cual hay un pist6n que se puede mover (Fig. 39-1). Nos gustaria encontrar que fuerza resu\ta sobre el pist6n de! hecho que existen iltomos en esta caja. El volumen de la caja es V, y a me<lida quelos 39-3 atomos se mueven en el interior de la caja con diferentes velocidades, go\pean contra el pist6n. Supongamos que no hay nada, un vacio, en el exterior de] pist6n. l Que pasa? Si el pist6n se dejara solo y nadie lo sostuviera, cad a vez que fuera golpeado adquiriria un pequeflo momentum y gradualmente seria empujado hacia afuera de la caja. De modo qu~ para evitar que sea expulsado fuera de la caja, debemos sostenerlo mediante una fuerza F. El problema es lcuil.nta fuerza? Una forma de expresar la fuerza es hablar de la fuerza por unidad de il.rea: si A es el il.rea del pist6n, la fuerza sabre el pist6n se escribiril. como un nUmero multiplicado por el ii.rea Entonces, definimos la presi6n como igual a la fuerza que tenemos que aplicar al pist6n, dividida por el il.rea del pist6n: P ~ F/A. (39.1) Para estar seguros de que entendemos la idea (tenemos que deducirla de todos modos para otros propOsitos), el trabajo diferencial dW hecho sobre el gas al comprimirlo moviendo el pist6n en una cantidad diferencial ---dx, seria el producto de la fuerza por la distancia que Jo hemos comprimido, el cual seria de acuerdo a (39.l) el producto de la presi6n por el ii.rea multiplicada por la distancia, que es igual a menos el producto de la presi6n por la variaci6n en el vo\umen: dW = F(-dx) = -PAdx = -PdV. (39.2) (El producto de! ii.rea A por la distancia dx es la variaci6n de volumen.) El signo menos estil. ahi porque a medida que comprimimos, disminuimos el volumen; si pensamos en ello, podemos ver que, si se comprirr.e un gas. se rea!iza un trabajo sabre el. lCui.i.nta fuerza tenemos que aplicar para equilibrar el go!peteo de las mo!Cculas? El pist6n recibe de cada colisi6n cierto momentum. Cierto momentum por segundo se comunicarii. al pist6n y este comenzaril. a moverse. Para evitar que se mueva, debemos impartir en sentido contrario el mismo momentum por segundo, mediante nuestra fuerza. Por supu~to, la fuerza es el momentum por segundo que debemos comunicar hacia dentro. Hay otra forma de decirlo: si dejamos ir al pist6n, adquiririi. velocidad debido a Jos bombardeos; con cada colisi6n obtenemos un poco mas de velocidad, por lo que la velocidad aumenta. La raz6n a la cual el pist6n adquiere velocidad, o acelera, es proporcional a la fuerza sabre el. De modo que vemos que la fuerza que, como ya dijimos, es el producto de la presi6n por el iLrea, es igual al momentum por segundo entregado al pist6n por las moJeculas que chocan. Calcular el momentum por segundo es facil; podemos hacerlo en dos partes: primero, encontramos el momentum entregado al pist6n por un 3.tomo particular durante una colisi6n con el pistOn; a continuaci6n, tenemos que multiplicar por el nUmero de colisiones por segundo que los 3.tomos realizan con la pared. La fuerza serti. el producto de esos dos facto res. Ahora veil.mos cu ill es son esos dos facto res: en primer lugar supondremos que el pist6n es un "reflector" perfecta para los 3.tomos. Si no lo es, toda la teoria es err6nea y el pist6n comenzara a calentarse y las cosas cambiarti.n, pero eventualmente cuando se haya establecido el equilibria, el resultado neto es que las colisiones son efectivamente perfectamente eli.i.sticas. En promedio, cada particula que llega, sale con la misma energia. De modo que imaginaremos que el gas esta en una condici6n estacionaria y que no perdemos energia en el pist6n porque el pist6n estli detenido. En esas circunstancias, 39-4 si una particula llega con una cierta velocidad sale con la misma velocidad, y dire-mos que con la misma masa. Si v es Ja ve\ocidad de un iltomo y vx es la componente x de v, entonces mvx es la componente x del momentum "'hacia "; pero tambien tenemos igual componente de! momentum "desde" y asl el momentum total entregado al pist6n por la particula en una colisi6n es 2mvx, ya que esta se "refleja". Ahora bien, necesitamos el nllmero de colisiones hechas por los 1i.tomos en un segundo, o un cierto ti em po dt; entonces, dividimos por dt. l Cuitntos it to mos est<in golpeando? Supongamos que hay N iltomos en el volumen V, o n = N IV en cada unidad de volumen. Para encontrar cu<intos iltomos golpean el pist6n notemos que, dado un cierto tiempo t, si una particula tiene una cierta velocidad hacia el pist6n, lo golpearil durante el tiempo t siempre que este suficientemente cerca. Si estil demasiado lejos, harit solamente parte de! camino hacia el pist6n en el tiempo t, pero no alcanza el pist6n. Por lo tanto, estit claro que solamente las molOCulas que est<in dentro de una distancia v; de! pist6n golpear<in el pist6n en el tiempo t. Asi, pues, el nllmero de colisiones en un tiempo t es igual al nllmero de <itomos que estiln en una regi6n dentro de una distancia v; y, ya que el area de! pist6n es A, el volumen ocupado por los <itomos que iriln a golpear el pist6n es vµ. Pero el nUmero de <itomos que ir<in a golpear el pist6n es ese volumen multiplicado por el nllmero de 3.tomos por unidad de volumen, nv;A. Por supuesto, nosotros no queremos el nllmero que golpea en un tiempo t, queremos el nllmero que golpea por segundo; asi que dividimos por el tiempo t para obtener nv_,A. (Este tiempo t pudo haberse hecho muy corto; si deseamos ser mils elegantes, lo llamaremos dt y entonces derivamos, pero es la misma cosa.) De modo que encontramos que la fuerza es F = nv,,A · 2mv,,. (39.3) jVean, la fuerza es proporcional al area si mantenemos fija la dens.idad de particulas a medida que variemos el area! La presi6n es, entonces (39.4) Ahora bien, notamos un pequeiio prob\cma con este anillisis: primero, todas las moleculas no tienen la misma velocidad y no se mueven en la misma direcciOn. jDe modo que todas las v2x son diferentes! Asi que lo que debemos hacer, por supuesto, es to mar un promedio de las v2x> ya que cad a una hace su propia contribuciOn. Lo que queremos es el cuadrado de las vx promediado sabre todas las mole<:ulas. P = nm(v~). (39.5) iOlvidamos induir el factor 2? No, de todos los iltomos solamente la mitad se dirige hacia el piston. La otra mi tad est<i dirigida en otra direcci6n, y si tomamos ( v~ ) , estamos promediando los vx negativos al cuadrado como tambien los vx positivos. De modo que cuando tomamos simplemente ( v2 x) sin fijarnos estamos obteniendo el doble de lo que queremos. El promedio de v1 x para vx positivos es igual al promedio de las v2xpara todo vxmultiplicado por un media. 39-5 Ahora bien, como los <homos rebotan por todas partes, estil claro que no hay nada especial respecto a la "direcci6n x"; los iltomos se pueden estar moviendo tambi6n hacia arriba y hacia abajo, hacia adelante y hacia atrits, hacia adentro y hacia afuera. Por lo tanto, seril cierto que ( vi x ) , el movimiento promedio de los ittomos en una direcci6n y el promedio en las otras dos direcciones, seritn todos iguales: (v~) = (v!) = (v~). (39.6) Es solamente un asunto de matemiltica mis bien artificiosa notar, por lo tanto, que son todos iguales a un tercio de su suma, que es, por supuesto, el cuadrado de! mOdulo de la velocidad: (39.7) (v~) = !(v~ v! v~) = (v 2 )/3. + + Esto tiene la ventaja de que no tenemos que preocuparnos de ninguna direcci6n particular, y asi escribimos nuevamente nuestra f6rmula para la presi6n en esta forma: (39.8) P = (!)n(mv 2 /2). La raz6n de que escribamos el Ultimo factor como ( mvi /2) est:i en que esto es la energia cin€tica de! movimiento de! centro de masa de la moli:cula. Por lo tanto, encontramos que (39.9) Con esta ecuaci6n podemos calcular cmil es la presi6n si conocemos las velocidades. Como un ejemplo muy simple tomemos el gas hello o cualquier otro gas como vapor de mercurio, o vapor de potasio a temperatura suficientemente al ta, o arg6n,en Joscuales todas las moli:culas son iltomos simples, por lo coal podemos suponer que no hay movimiento interno en el ittomo. Si tuvi6ramos una moli:culacompleja podriahaber alglln mo· vimiento interno, vibraciones mutuas o algo. Supongamos que podemos despreciar eso; esto es realmente un asunto serio, al cual tendremos que volver, pero resulta sercorrecto. Supongamos que el movimiento intemo de los iltomos se puede despreciar, y por lo tanto, para este prop6sito, la energia cin6tica de! movimiento del centro de masa es toda la energia existente. Asi, para un gas monoat6mico, la energla cinecica es la energia total. En general llamaremos U a la energia total (algunas veces se llama energia total interna; podemos preguntarnos por que, ya que no hay energia externa al gas), es decir, toda la energLa de todas las mol6culas del gas o del objeto o lo que sea. Para un gas monoat6mico supondremos que la energla U es igual al nUmero de il.tomos multiplicado por el promedio de la energia cinetica de cada uno, porque hemos despreciado cualquier posibilidad de excitaci6n o movimiento interno en los iltomos mismos. Entonces, en esas circunstancias tendriamos PV ~ jU. (39.10) A prop6sito, podemos detenernos aqui y encontrar la respuesta a la siguiente pregunta: supongamos que tomamos una lata con gas y comprimimos !entamente el gas, i,CUitnta presi6n necesitamos para reducir el volumen? Es facLI calcularlo ya que la presi6n es 2/3 de la energia, dividido por V. A medida que lo comprimimos estamos realizando un trabajo sobre el gas, y por lo tanto 39-6 aumentamos la energia U. De modo que tendremos algtin tipo de ecuaci6n diferencial: si comenzamos en una circunstancia dada con una cierta energia y un cierto volumen, conocemos la presi6n. Ahora comenzamos a comprimir, pero en el momenta que lo haccmos. la energia U aumenta y el volumen V disminuye, de modo que la preskm aumenta. Asi, tenemos que resolver una ecuaci6n diferencial y la resolveremos dentro de un momento. Primeramente debemos haccr, sin embargo, enfasis en que a medida que comprimimos este gas, estamos suponiendo que todo el trabajo va a aumentar la energia de !os ittomos internos. Podemos preguntarnos: "~Acaso no es eso necesario? ;,Dlmde mas pudo ir'?" Resulta que puede ir a otra parte, existe lo que llamamos "pfadida de calor" a traves de las paredes: los <itomos calientes (es decir, de movimiento r<ipido) que bombardean las paredes, calientan las paredes, y la energia se va. Supondremos por ahora que este no es el caso. Para mayor generalidad, aunque todavia estamos hacienda algunas consideraciones muy especiales respecto a nuestro gas, escribiremos, no PV = iU, sino PV ~ (> - (39.11) l)U. Esta cscrito (r-l) multiplicado por U por ra7:ones convencionales, P?rquc trataremos mils tarde algunos otros casos donde el numero frcnte a Uno sera j- sino que ser<i un nUmcro diferentc. Asi, para hacer la cosa en general. lo llamaremo~ 1·-l, porque la gente !o ha estado llamando asi por casi cicn afios. Este r es cntonces ~ porque ~ - ! es ~. para un gas monoat6mico como cl helio. Ya hemos hecho notar que cuando comprimimos un gas, el trabajo realizado es - PdV. Una compresi6n en !a cual no se ha agregado ni sacado energia cal6rica, se llama compresi6n adiabdtica, del griego a (no)+ dia (a travCs) -r bainein (ir). (La palahra adiabiltica se usa en fisica de varias maneras y algunas veces es dificil ver 4ue tienen de comUn entre ellas.) Esto es, para una compresi6n adiab:\.tica, todo el trahajo rea!izado ir3 a variar la cnergia intcrna. Esta cs la clave --que no hay otras perdidas de energia- pues entonces tencmN PdV -dU. Pero como U = PVi('p-l}, pudcmos escribir dU ~ (P dV + V dP)/(> - 1). (39.12) De modo que tenemos PdV = -(PdV + VdP)/(p-1), o reagrupando los terminos rPdV = -VdP, o sea (39.13) (> dV/V) + (dP/P) ~ 0. Afortunadamente, suponiendo que r es constante, como lo es para un gas monoat6mico, podemos integrar esto: ~e obtiene r ln V-.. ln P = ln C, donde ln C es la constante de integraci6n. Si tomamos exponcncialcs de ambos !ados, obtenemos la ley (39.14) PVY = C (una Constante) iEn otras palabras. en condicioncs adiabilticas donde la temperatura aumenta a medida que comprimimos porque no hay pCrdidas calOricas. la presibn multiplicada por cl volumen a la potencia \ es una constante para un gas monoat6mico~ Aunque lo dedujimos te6ricamente, Csta es, en realidad, la forma en quc los gases monoatl1micos se componan expcrimentalmente. 39.7 39-3 Compresibilidad de la radiaciOn Podemos dar otro ejemplo de la teoria cinetica de un gas, uno que no se usa mucho en quimica, pero si en astronomia. Tenemos un gran nUmero de fotones en una caJa en la cual la temperatura es muy alta. (Por supuesto, la caja es el gas en una estrella muy caliente. El sol no es lo suficientemente caliente; hay todavia muchos <ltomos, pero a temperaturas aUn mayores en ciertas estrellas muy calientes, podemos despreciar los <ltomos y suponer que los U.nicos objetos que tenemos en la caja son fotones.) Ahora bien, un fot6n tiene cierto momentum p. (Siempre encontramos que estamos en un terrible di!ema cuando hacemos teoria cini:tica: p es la presi6n, pero p es el momentum; I' es cl vo!umen, pero v es la velocidad; Tes la temperatura, pero T es la energia cinetica, o el tiempo, o el torque; juno debe mantenerse alerta re spec to a e\lo n Este p es el momentum. es un vector. Realizando el mismo an:ilisis anterior, es la componente x del vector plaque genera el "go!pe" y el doble de la componentc x de\ vector p es el momentum entregado en el golpe. Asi, 2 Px reemplaza a 2 mv-"' y, en el cti.lculo de! nUmero de colisiones, vx es todavia v"" de modo que cuando hacemos todo el camino. encontramos que la presi6n en la ecuaci6n (39.4) co. eu camb10 (39.15) En promedio, entonces, esto llega a ser n veces el promedio de PxV.~ (el mismo factor 2) y finalmente, introduciendo las otras dos direcciones, encontramos PV = N{p · v)/3. (39.16) Esto concuerda con la formula (39.9) porque e! momentum es mv; esto es un poco mis general, eso es todo. La presi6n multiplicada por el volumen es el promedio de! producto entre el nUmero total de <ltomos y 1 / 3 (p·v). Ahora bien, t,que es p · v para los fotones? El momentum y la vclocidad tiencn la misma direcci6n y la vclocidad es la velocidad de la !uz, de modo que aquella es el momentum de cada uno de los objetos, multiplicado por la velocidad de la luz. El momentum. multiplicado por la velocidad de la luz de cada fot6n, es su energia: E = pc, de modo que esos tCrminos son las energfas de cada uno de los fotones y, por supuesto, deberiamos tomar una energia promedio, multiplicada por el nUmero de fotones. Asi tenemos 1 / 3 de la energia dentro de] gas: PV = U/3 (gas de fotones) (39.17) Entonces para fotones (F -·!) en (39. J l) es 1 /r ya que tenemos 1 / 1 al frente, o sea y = 4 / 1 , y hemos descubierto que la radiaci6n en una caja obedece la Jey PV413 = C. (39.18) jOe modo que conocemos la compresibilidad de la radiaci6n! Esto es lo que se usa en un anillisis de la contribuci6n de la presi6n de radiaci6n en una estrella, asi es c6mo la calcu!amos y c6mo cambia cuando la comprimimos. jQue cosas maravillosas est<i.n ya dentro de nuestro pod er! 39-8 39-4 Temperatura y energia cinftica Hasta aqui no nos hernos preocupado de la temperatura; hemos estado evitando a prop6sito la temperatura. A medida que comprimimos un gas, sabemos que la energla de las mo!Cculas aumenta, y acostumbramos a decir que el gas se calienta; nos gustarla entender quC tiene que ver esto con la temperatura. ~QuC estamos haciendo, si tratamos de hacer el experimento, no adiabaticamente, sino a lo quc llamamos temperatura constame? Sabemos que si tomamos dos cajas de gas y las ubicamos una al !ado de la otra por un tiempo suficicntemente largo, aunque en un comienzo estuvieran a lo que llamamos temperaturas diferentes. terminar<'tn por llegar a la misma temperatura. Ahora bien, lque significa eso? iESo significa q~e llegaron a una condici6n igua! a la que llegarian si se los dejara solos un tiempo suficientemente largo! Lo que queremos decir por igua! temperatura es s6lo eso -la condici6n final cuando las cosas se han asentado interactuando entre si durante un tiempo suficientemente largo. Fig. 39-2. Atomos de doo; gases monoat6micos diferentes estfln separados por un pist6n m6vil. "' Consideremos ahora lo que sucede si tenemos dos gases en dep6sitos separados por un pist6n m6vil, como en la figura 39-2 (s61o por simplicidad, tomaremos dos gases monoatOmicos como hello y ne6n). En el dep6sito (1) los atom~s tienei:i masa IT1e1rie~el~~~i~n 1 ~ 1 v~l~~i~aJ ;,,0 ~ u~l~a~ 2 d~t~~~~;~~ ~~~a~ ~:~o~~::es~~o~~~a~:~~~~ las condiciones de equilibria'! Es evidente que el bombardeo desde el !ado izquierdo debe ser ta!, que mueve el pistOn hacia la derecha y comprime el otro gas hasta que su presi6n adquiere cierto valor y el objeto se moverit hada adclante y atrits y gradualmente llegara a detenerse en un lugar donde las presiones a ambos !ados sean iguales. Asi podemos hacer que las presiones scan iguales; esto s6\o significa que las energias internas por unidad de volumen son iguales o quc los nUmeros n multiplicados por el promedio de las energias cinCticas a cada !ado son iguales. Lo que debemos tratar de probar fina!mente, es que los 111.imeros mismos son iguales. Hasta aqui todo lo que sabemos es que los productos de los nUmeros y las energlas cinCticas son igua!es, segUn (39.8), porque las presiones son igualcs. Debemos darnos cuenta que l:sta no es !a lmlca condici6n a la larga, sino que algo mas debe sucedcr mas lentamente, a mcdida que el verdadero equilibrio completo correspondiente a temperaturas igua!es se establece. Para comprender el concepto, supongamos que la presi6n sobre el lado izquierdo se desarrollaril debido a una muy alta densidad, pero haja velocidad. Teniendo una gran n y una pequetia v podemos obtener la misma presiOn que si tuviCramos una pequefia n y una gran ~·. Los atomos pucden estar moviCndose lentamente ya que estiln agrupados casi s61idamente, o bien puede haber menos, pero golpeando mils fuertemente. iPodril permanecer esto asi para siempre? A primera vista podemos pensar eso, pero pens<'tndolo otra vez encontramos haber olvidado un punto importante. Esto es, que el pist6n intermedio no recibe una presi6n constante; vibra justamente como e! 39-9 t1mpano. del cual hemos hablado primero, porque los golpeteos no son absolutamentc uniformes. No hay una perpetua y constante presi6n. sino un tamborileo -la presi6n varia y por lo tanto el pist6n se sacude-. Supongamos que los iltomos de! !ado derecho no se estin agitando mucho, pero los de la izquierda son pocos, y muy alejados entre si y muy rilpidos. E! pist6n recibir<i. de vez en cuando un gran impulso desde la izquierda y seri impulsado contra los atomos lentos de la derecha, d3.ndoles mas velocidad. (A medida que cada atomo choca con el pist6n, este o gana o pierde energia, dependiendo de si el pist6n se mueve en uno u otro sentido cuando el 3tomo Jo golpea.) De modo que como resu\tado de !as coli~iones e! pist6n se sacudc. se sacude. se sacude, y esto agita al otro gas -le da energia a Jos otros iltomos y ellos establecen movimientos mils rilpidos hasta que equilibran la agitaci6n que el pist6n Jes esti dando-. El sistema llega a alglln equilibria donde el pist6n se esta moviendo con una velocidad media cuadrii.tica ta!, que saca energia de los atomos en aproximadamente la misma proporci6n que Jes devuelve energla. De modo que el pistlm adquiere una cierta irregularidad media en la velocidad y nuestro problema e1. cncontrarla. Cuando la encontremos podemos resolver mcjor nuestro problema, porque los gases ajustarim sus velocidades hasta que la rapidez a la cual e~tcn tratando de entregar energia uno al otro. a tra'ves de! p1st{m. llcgue a ser igual. Es bien dificil imaginarse los deta!!es del pist6n en esta circunstancia particular; aunque es simple entenderlo idealmente resulta que es un poco mils d!ficil analizarlo. Antes de hacer el anillisis, estudiemos otro problema en el cual tenemos una caja de gas, pero ahora tenemos dos tipos diferentes de mo!eculas en ella, que tienen masas m 1 y m2 , ve!ocidades v1 y v2, etc.: ahora hay una relaci6n mucho mas intima. Si todas las mo!eculas n. 0 2 estan detenidas, ta! condici6n no va a durar, porque son golpeadas por las mo!ecu!as n. 0 l y asi adquieren velocidad. Si todas fueran mucho m:is rcipidas que las molCcu!as n. 1, puede ser que eso tampoco dure ··devolvercin la cnergia a las mo!Ccula~ n.° I. De modo que cuando ambos gases est.in en la rmsma caja, el problema es encontrar la regla que determina las velocidades rclativas de los dos. 0 Fig 39-3. Una cohs16n entre rnol8culas des1guales. vista desde el s1stema CM Este es todavia un problema muy difici], pero lo solucionarcmos en la forma siguiente. Primera, consideraremos el subproblema siguiente (otra vez se tiene uno de aquellos casos donde ---{:Ualqu1era que sea la deduccwn- al final el resuhado es bastante simple de recordar, pero su deducciOn es bastante ingeniosa). Supongan que tenemos dos mokculas, de diferente masa, chocando y que la colisi6n se observa con respecto al sistcma de! centre de masa (CM). Para eliminar una complicaci6n, examinamos la colisi6n en el CM. Como sabemos por las \eyes de colisiones, debido a la conservaci6n del momentum y de la energia. despues que las mokculas chocan el Unico modo en que pueden moversc cs ague! en que cada una mant1cnc su propia \Cloc1dad ongmal -~olo carnh1an su d1rccc11i11 De modl) quc tcncmo~ 39-10 una colision promedio quc se parccc a la de la figura 39-3. Sup0ngan. ror un momenlo. que miramos toda~ las coli:.iones con el CM en reposo. lmagineme. que toda~ scc~tii.n moviendo inicialmente en forma horizontal. Por supuesto, despues de la primera colisi6n algunas se estiln moviendo ob\icuamente. En otras palabras, si todas ellas fueran horizontalmente, por lo menos algunas de ellas mas tarde se moverian verticalmente. Ahora bien, en alguna otra colisiOn vendrian desde otra direcciOn y entonces se desviarian alm a otro ilngulo. De modo que, aunquc estuvieran en un comienrn completamente organizadas, se dispersarian en todos los ilngulos, y !uego las dispersadas se dispersarian alga mils y algo mils y algo mas. Finalmente, ;,cuill scra la distribuci6n? Respuesta: serei igualmente probable encontrar un par cualquiera moviindose en una direcciOn cualquiera en el espacio. Despues de esto las colisiones posteriores no podrian cambiar la distribuci6n. Tienen la misma probabi!idad para ir en toda~ direccioncs. pero ;,c()mo decimos eso? Por supuesto no hay ninguna probabllidad de que vayan en una direcci6n espe· cifica cualquiera, ya que una direcci6n especifica es demasiado exacta, de modo que tenemos que hablar de una unidad de "algo"'. La idea es que cualquier ilrea sobre una esfera centrada en el punto de colisi6n tendril tantas mokculas atravesUndola como cualquicr o"tra ilrea igual sobre la esfera. De modo quc el resultado de las colisiones seril distribuir las direcciones de modo que areas iguales sabre la esfera tendriln probabilidades iguales. A propOsito, si sOlo queremos discutir la direcci6n original y alguna otra direcci6n en un iingulo 11 con respecto a ella, es una propiedad intcresante que el area diferencial de una esfera de radio unitario es sen /id/I multiplicado por 2r y qi/(' eso es lo mismo que el diferencial de cos n. Asi, lo que esto significa, es que cs igualmente probable que el coseno de! imgulo 0 entre dos direcdones cualesquiera tenga cualquier valor entre -1 y + I. A continuaci6n. tenemos que pn:ocuparnos de! caso real, donde no tenemos la colisi6n en el sistema CM. sino que tenemos dos iltomos que se acercan con velocidades vectoria!cs ;,Que sucede ahora'! Podemos analizar esta colisi6n con v 1 y v 2 en la siguiente forma: primero diremos que hay las velocidades de! CM c~ta dad a por la velocidad "promedio --. con los prnponciooal" a las masas, de modo que la velocidad del CM es vcM =+ mJ. Si observamos esta colisi6n en el sistema CM, vemos como en la figura 39 3. con una cierta velocidad rclativa w. es justamente v 1 - v 2• Ahora la idea es, primero. que todo el y en cl CM hay una vclocidad relativa w. y las moltculas chocan y salen en una nueva direcci6n. Todo esto sucede mientras cl CM continUa movitndosc sin ningUn cambio. 39-11 particular alguna entre !a direcci6n del movimiento de la velocidad re!ativa y la del movimiento del CM. Por supuesto, si la hubiera, !as colisiones la esparcirian de modo que todo se derramaria en derredor. Asi, el coseno del itngulo entre w y vcM es cero en promedio. Esto es, (w·vcM) = (39.19) O. Pero w.v cMse puede tambien expresar en funci6n de v 1 y v1 : w. Ve~ = ~!!._::___~~ (~1~ 2 + m2v2~ = ~~_!v~ - m2t'~) + (m2 - m1)(v1 · v2). (39.20) Examinemos primero el producto v 1 • v 2 ; lCu.il es el promedio de v1 • v1 ? Esto es lCu.il es el promedio de las componentes de la velocidad de una molecula en la direcci6n de otra? Seguramente hay tanta probabilidad de encontrar cualquier mo1ecula dada moviendose en una forma u otra. El promedio de la velocidad v2 en cualquier direcci6n es cero. Ciertamente entonces en la direcci6n de v 1, v1 tiene promedio cero. De modo que je] promedio de v 1 . v1 es cero! Por lo tanto concluimos que el promedio de m 1 v11 debe ser igual al promedio de m 1 i· 1'. Es decir, las energias cini?ticas promedio de ambas deben ser iguales: !m1v~ = fm2v~. (39.21) Si tenemos dos tipos de ittomos en un gas, se puede dcmostrar, y supondremos que lo hemos demostrado, que el promedio de la energia cinCtica de uno es igual al promedio de la energia cinetica del otro, cuando ambos esten en el mismo gas, en la misma caja, en equilibria. Esto significa que el m.is pesado se moverft mfts lento que el mils liviano; esto es focilmente demostrable mediante experimentaci6n con "3.tomos" de diferentes masas en un canal de aire. Fig. 39-4. Dos gases en una caja con una membrana semipermeab!e. Nos gustaria ahora avanzar un paso mils y dccir que, si tenemos dos gases diferentes, separados en una caja, tendrim tambien iguale:. energias cineticas promedio cuando Hegan finalmente al equilibria, aunque no estCn en la misma caja. Podemos hacer el razonamiento en muchas formas. Una forma es aducir que si tenemos una separaci6n fija con un pequciio agujero en ella (Fig. 39-4) de modo que un gas pueda pasar a travCs de! agujero, mientras que el otro no, porque las mo!i:culas son demasiado grandcs y estas han alcanzado e! equi!ibrio. entonces sabemos que en una parte donde estan mezcladas tienen la misma energia cinCtica promedio, pero algunas atraviesan cl agujero sin pCrdida de energia cinCtica, de modo que la energia cinetica promcdio en el gas puro y en la mczcla debe ser la misma. Esto no es muy satisfactorio, porque puede no haber agujeros, para estc tipo de molCculas. quc se· paren un tipo de otro 39-12 Volvamos ahora al problema del pist6n. Podemos dar un argumento que muestre que ia energ[a cinetica de este pist6n de be ser tambien im 2 v2 2 • En realidad, es ta seria la energia cinetica debida al movimiento puramente horizontal del pist6n, de modo que, olvidando su movimiento hacia arriba y hacia abajo, debe ser igual a imlvix· Anillogamente, del equilibrio al otro lado, podemos deducir que la energia cinetica de! pist6n es !m 1vfx· A pesar de que este no estil en el medio de] gas sino a un lado del gas, alm podemos hacer el razonamiento, aunque sea algo mils dificil, de que la energia cinCtica promedio de! pist6n y de las mo!ecu!as de! gas son iguales como resultado de todas las colisiones. Si esto aim no nos satisface, podemos hacer un ejemplo artificial mediante el cual el equilibrio es generado por un objeto que puede golpear sobre todos los lados. Supongamos tener una barra corta con una bola en cada extrema que atraviesa el pist6n por una articulaci6n universal, que desliza sin roce. Cada bola es redonda como una de las mo!Cculas y puede ser go\peada por todos !ados. El objeto completo tiene una cierta masa total m. Tencmos ahora las mo!eculas de! gas con masas m 1 y m 2 como antes. El resultado de las colisiones, por el anii.lisis que hemos hecho antes, es que la energia cinCtica de m, debido a las colisiones con las moleculas por un lado, debe ser !mJv2 1 en promedio. Analogamente debido a las co!isiones con mokculas en el otro !ado, tiene que ser !m 2i•/ en promedio. En consecuencia, ambos !ados tienen que tener la misma energia cinetica cuando estii.n en equilibria termico. Asi, aunque solamente lo hemos demostrado para una mezcla de gases, se puede extender filcilmente al caso en que hay dos gases diferentes, separados, a la misma temperatura. Asi, cuando tenemos dos gases a la misma temperatura, la energfa cinitica media de los movimientos de! CM son iguales. La energia cinetica media molecular es una propiedad solo de la "temperatura ". Siendo una propiedad de la "tcmpcratura" y no de! gas, podcmos usarla como una definici6n de temperatura. La energia cinetica media de una mo!ecula es asi alguna funci6n de la temperatura. Pero ~quien nos va a decir que escala usar para la temperatura? Podemos dejinir arbitrariamente la escala de temperatura, de mancra que la energia media sea linealmcntc proporcional a !a tempcratura. La mejor manera de hacerlo seria !!amar a la energia media mi~ma "la tcmperatura". Esta seria la funciOn mils simple posible. Desgraciadamente, la escala de temperatura se ha elegido en forma difcrentc: asi que. en vez de llamarla directamente temperatura. usamos un factor de conversi6n constante entre la energia de una molecula y un grado de temperatura abso\uta, llamado un grado Kelvin. La constante de proporcionalidad es k--c-c 1,38 x 10- 13 joule por cada grado Kehin*. Asi. si Tes la temperatura absoluta. nuestra definici6n dice que !a energia cinCtica molecular media es ~ kT (El ~ sc ha puesto por Conveniencia, para librarnos de el en alguna otra parte.) Subrayamos que la energia cinetica asociada con la componente del movimiento en cualquier direcciOn particular es solamente ~ kT. Las tres direcciones indcpcn dientes imp!icadas la hacen ~ kT. • asiT La escala = escala Kelv111 con el ccroclcg1do a 273.16 K. 273.16 + 39-13 39-5 La ley de los gases ideales Ahora, por supuesto, podemos poner nuestra definici6n de temperatura en la ecuaci6n (39.9) y encontrar asi la \ey para la presi6n de gases, en funci6n de la temperatura: esta es, que la presi6n multiplicada por el volumen es igual al ni.tmero total de <itomos, multiplicado por la constante universal k, mu!tiplicado por !a temperatura. PV = NkT. (39.22) Adem<is, a la misma temperatura y presiOn y volumen, se determina el nUmero de titomos; j6ste es tambi6n una constante universal! Asi, pues, vo!Umenes iguales de gases diferentes, a la misma presi6n y temperatura, contienen el mismo nUmero de moJeculas debido a las !eyes de Newton. jEsta es una conclusiOn asombrosa! En la priictica, al tratar con moJeculas, debido a que los nUmeros son tan grandes, los quimicos han elegido artificialmente un nUmero especifico, un nllmero muy grande, y !o llamaron de alguna manera. Tienen un nU.mero que Haman un mol. Un mol es simplemente un nllmero pdi.ctlco. Por que no eligieron 1014 objetos, para que resultara redondo, es una cuestiOn hist6rica. Sucedi6 que eligieron, para el nllmcro conveniente de objetos a tomar como referencia. N 0 = 6,02 x 10 23 objetos, y eso se llama un mol de objetos. AsL en ve; de medir el nllmero de mol61.:u\as en unidades, miden en t6rminos de nllmeros de moles.+ En ti:rminos de NQ podemos escribir e! nUmero de moles, multiplicado por el nllmero de <i.tomos en un mo!, multiplicado por kT, y si deseamos, podemos tomar el nU.mero de <itomos en un mol, mu!tiplicado por k, que es un equivalente en moles de k y llamarlo de alguna manera, y lo hacemos -lo llamamos R-. El equivalentc en moles de k es 8.317 joules: R N 0 k = 8,317 j. moJ- 1 • K 1• Asi encont.ramos tambii:n la ley de los gases escrita como el nUmero de moles (tambiCn llamado AO multiplicado por RT, o el mimero de :ltomos, multiplicado por kT: -,0- PV = NRT. (39.23) Es la misma cosa, s6lo una esca!a diferente para la medida de los nUmeros. jUsamos I como unidad, y los quimicos usan 6 x 1023 como unidad! Hacemos ahora una observaciim mas sobre nuestra ley de los gasc~; tiene que ver con la ley para objetos que no son mokculas monoatOmicas. Hemos tratado s6lo el movimicnto del CM de los :ltomos de un gas monoatOmico. ;,Que sm:edcril si hay fuerzas presentes? En primer lugar, consideremos el caso en que el pistOn se sujeta por un resorte horizontal, y que existen fuerzas sobre i:\. E! intercambio dcl movimiento de agitaci6n entre los iltomos y el pistOn en cualquier momenta no depende de donde cst.i el pist6n en esc momenta, por supuesto. Las cond1ciones de equilibria son las mismas. No importa dimde se encuentre el pistOn, la velocidad de! movimiento debe ser tal quc pasc energia a los moli:cula5 JUStamente de la manera correcta. Asi, no tiene ninguna importancia cl La relocidad la cual debe moverse el plstOn es, en promedio, la misma. que el valor medio de la energia cinetica en una d1recci6n es fuerzas presente5. t Lo que los quimicos llaman una molOCula detcrminada. El mol carbono de! is6toJXl 12 (c~ dec1r. que mentel2gramos lt~ne 39-14 Consideremos, por ejemplo, una molecula diatOmica, compuesta de ittomos mA y m 8. Lo que hemos demostrado es que el movimiento del CM de la parte A y el de la parte B es ta] que ( imAv 2A) = ( !m8vill) = i kT. iCOmo puede ser esto si estiln unidas? A pesar de que estim unidas, cuando giran en to mo a si mis mas y una en tomo a la otra, cuando algo las golpea, intercambiando energia con ellas, lo Unico que cuenta es con que velocidad se estdn moviendo. Eso sO!o determina lo rfi.pido que intercambian energia en las colisiones. En el instante particular, la fuerza no es algo esencial. Por lo tanto, el mismo principio es correcto aUn cuando haya fuerzas. Demostremos finalmente, que !a ley de los gases es compatible tambiCn en la emisi6n de! movimiento interno. No incluimos antes rea!mente los movimientos internos; tratamos sOlo un gas monoat6mico. Pero demostraremos ahora que un objeto completo, considerado como un Unico cuerpo de masa M, tiene una velocidad de! CM tal que (39.24) 1En otras palabras, podemos considerar las partes separadamente o el objeto entero! Veamos la razOn de esto: la masa de la mo!ecula diat6mica es M = mA + m8 y la velocidad de! centro de masas es igual a "cM = (mAvA + m8 v8 )/ M. Ahora necesitamos (v 2 0~). Si elevamos vcM al cuadrado, obtenemos Ahora multiplicamos por W y tomamos el promedio, y obtenemos asi = mA~kT = ikT !MvEM + + 2mAmBzA ·Vs/ + mBfk?,: 2mAmB:;A. Vn). (Hemos usado el hecho de que (mA + m8 ) IM = I.) Ahora bien, lque es ( vA . v 8 )? (jMejor que sea cero!) Para averiguarlo, usemos nuestra hip6tesis de que la velocidad relativa, w = "A - v8 , no esta dirigida mils probablemente. en una direcci6n que en otra -esto es, que su componente promedio en cualquier direcci6n es cero. Asl, pues, suponemos que (w · vc~1> = 0. Pero lquC es w . vcM? Es _ mAv~ +(mu - - Por lo tanto. dado que (mAv1A) !an en promedio, y nos queda mA)(vA · Vn) - M = (m 8 1>2n), el msv1 . primero y el Ultimo tennino se anu- 39-15 * Asi, si mA m8 encontramos que ( vA • v 8 ) = 0, y que por lo tanto el movimiento de la mo!Ccula como un todo, considerada como una particula simple de masa M, tiene una energia cinCtica en promedio igual a ~ kT. Entre parentesis, jhemos demostrado tambiCn, al mismo tiempo, que la energia cinCtica media de los movimientos internos de la molCcu\a diatOmica, sin considerar el movimiento en conjunto de! CM, es i kTl Porque la energia cinCtica de las partes de la molCcula es ~mAv 2 A + !m 8 vi 8 , cuyo promedio es 1kT + ~kT, 6 3kT. La energia cinCtica de! movimiento de! centro de masas es ikT; por lo tanto, la energia cinCtica media de los movimientos de rotaciOn y vibraciOn de los dos :i.tomos en el interior de la mol&:ula es la diferencia, {kT. El teorema refente a la energla media del movimiento del CM es general: para cualquier objeto considerado coma un todo, con fuerzas presentes o no, para toda direcciOn independiente de movimiento que haya, la energia cinCtica media en ese movimiento es ~ kT. Estas ••direcciones independientes de movimiento", se llaman a veces Jos grados de libertad de! sistema. El nUmero de grados de libertad de una molCcula compuesta de r iitomos es 3r, ya que cada atomo necesita tres coordenadas para definir su posiciOn. La energia cinCtica entera de la motCcula se puede expresar, ya sea como la su!lla de las energias cinCticas de los <i:tomos scparados, o como la suma de la energia cinCtica de! movimiento de! CM mils la energia cinCtica de los movimientos internos. Esta Ultima puede a veces expresarse como una suma de la energia cinCtica de rotaci6n de la molCcula y la energia de vibraciOn, pero Csta es una aproximaci6n. Nuestro teorema, aplicado a la moJCcula de r iltomos, dice que la molCcula tendri en promedio 3rkT/ 2 joules de energla cinCtica. de los cuales i kT es energia cinCtica de! movimiento del centro de masas de la molCcula cntera. yet resto,i (r-l)kT,esenergiacinCtica interna de vibraci6n y de rotaciOn. 39-16 40 Los principios de la mectinica estadistica 40~1 La atmOsfera exponencial 40-2 La ley de Boltzmann 40-3 EvaporaciOn de un Jiquido 40-1 40-4 La distribuciOn de las velocidades moleculares 40-5 Calores especiticos de gases 40-6 El fracaso de la fisica cl8sica La atmOsfera exponencial Hemos discutido algunas de las propiedades de nUmeros grandes de ittomos que chocan entre si. El tema se llama teoria cin6tica, una descripci6n de la materia desde el punto de vista de choques entre 3.tomos. Fundamentalmente, afirmamos que las propiedades macrosc6picas de la materia deberian ser explicables en tfaminos de! movimiento de sus partes. Nos limitaremos por el presente a condiciones de equilibria t6rmico, esto es, a una subdase de todos !os fon6menos de la naturaleza. Las !eyes de la mecinica que se ap!ican al equilibrio tennico mismo se Haman meccinica estadistica, y en esta secci6n queremos familiarizarnos con algunos de los teoremas centrales de este tema. Ya tenemos uno de los teoremas de la mecitnica estadistica, es decir, que el valor medio de la energia dnetica para cualquier movimiento a la temperatura absoluta T es ~kT para cada movimiento independiente, esto es, para cada grado de libertad. Esto nos dice alga acerca de las medias de! cuadrado de las velocidades de los atomos. Nuestro objetivo es ahora aprender mits acerca de las posiciones de los 8.tomos, descubrir cu:intos estariln en lugares diferentes en el equilibrio tkrmico y tambii:n entrar un poco mils detalladamente en la distribuci6n de las velocidades. A pesar de que tenemos la media de1 cuadrado de la velocidad, no sabemos c6mo responder a una pregunta ta! como cu:'tntos se mueven tres veces mils ril.pido que !a velocidad media cuadr3.tica (raiz de la media del cuadrado de la velocidad) o cuil.ntos se mueven con un cuarto de la velocidad media cuadriltica. iO es que todos tienen exactamente la misma velocidad? Asi, estas son las dos preguntas que trataremos de responder: ~C6mo estiln distribuidas las moleculas en el espacio cuando hay fuerzas que actllan sobre ellas, y c6mo estitn distribuidas en cu an to a la velocidad? Resulta que las dos preguntas son comp\etamente independientes y quc la distribuci6n de velocidades es siempre la misma. Ya hcmos recibido una indicaci6n de! Ultimo hecho cuando encontramos que la energia cini:tica media cs la misma, ~kT por grado de libertad, actUen las fuerzas que actUen sabre las molCcu!as. La distribuci6n ~e ve!oci~ades de las moleculas es independiente de las fuerzas, porque las frecuenc1as de cohsi6n no dependen de !as fuerzas. 40-1 Comencemos con un ejemplo: la distribuci6n de las moleculas en una atm6sfera como la nuestra, pero sin vientos y otros tipos de perturbaciones. Supongan que tenemos una columnas de gas que se extiende a una gran altura y en equilibria tfrmico --a diferencia de nuestra atm6sfera que, como sabcmos, se hace mas fria a medida que ascendemos-. Podriamos observar que si la temperatura fuera diferente a diferentes alturas, podriamos demostrar la falta de equilibria, conectando una barra a alguna de las bolas del fondo (Fig. 40" I), donde Cstas sacarian ~kT de las moleculas y sacudirian, a traves de la barra en el tope y t\stas sacudirian las moleculas en el tope. Asi, por supuesto, la temperatura finalmente llega a ser la misma a todas las alturas en un campo gravitacional. 40-1. a la gas que 1nterv1ene a la altura h debe en h--dh en el peso de Si la temperatura es la misma a todas las alturas, el problema es descubrir la ley por la cual la atmiisfera se hace mas tenue, a medida que ascendemos. Si N es el nUmero total de molt\culas en un volumen V de un gas a presiOn P, sabemos que PV = NkT, o P = nkT, donde n = NI V es el nllmero de molt\culas por unidad de volumen. En otras palabras, si conocemos el nUmero de mo\Cculas por unidad de volumen, conoceremos la presi6n. y viceversa: son proporcionales entre si, dado que la temperatura es Constante en este problema. Pero la presi6n no es- constante, debe aumentar a medida que la altura se reduce, porque tiene que soportar, por decirlo asi, el peso de todo el gas que hay por encima. Esa es !a clave para determinar C()mo varia la presi(m con Ia altura. Si tomamos un ilrea unitaria a la altura h. la fuerza vertical desde abajo sabre esta ilrca unitaria es la pre silln P. La fuerza vertical por unidad de i.lrea que empuja hacia abajo a una altura h + dh seria la misma, en ausencia de la gravedad. pero aqul no lo es. porque la fuerzn dcsde abajo debe exccder la fuerza desde arriba en el peso de! gas en la secci6n entre h y h + dh. Ahora bien, mg es la fuerza de gravedad sobre cada mokcula. donde g es la aceleracion debida a la grn1 cJad y ndh cs el nl1111cro total de mo!eculas en la seccilin unitaria. Asi que esto nos da la ecuaciOn diferencial Pn + dlr ·- Ph = dP = - mgn dh. Como P = nk"f' y T es constante, podemos ehminar ya sea P o n, digamos P, ~' obtener 40-2 para la ecuaci6n diferencial, que nos dice c6mo disminuye la densidad a medida que aumenta la energia. Tenemos asi una ecuaci6n para la densidad de particulas n, que varia con la altura, pero que tiene una derivada que es proporcional a si misma. Ahora bien. una funci6n que tiene una derivada proporcional a si misma. es una exponcncial y la soluci6n de esta ecuaci6n diferencial es (40.l) Aqui la constante de integraci6n. n0 , es evidentemente la densidad a h = 0 (que se puede e!egir en cualquier parte). y la densidad decrece exponencialmente con la altura. ~(hi j;(O) ~ 20 40 60 Altura (KilOmetro) BO Fig. 40-2. La densidad normalizada en funci6n de la altura en el campo gravitacional de la tierra para oxlgeno y para h1dr6geno, a temperatura constante. NOtese que si tenemos diferentes tipos de molCculas con masas diferentes, disminuyen con cxponenciales diferentes. Las mils pesadas disminuiritn con la altura mils ritpidamente que las livianas. Por lo tanto, esperariamos que, debido a que el oxigeno es mils pesado que el nitr6geno, a medida que vamos mils y mas arriba en una atm6sfera, con nitr6geno y oxigeno, la proporci6n de nitr6geno aumentari Esto no sucede rea\mente en nuestra atm6sfera, por lo menos a alturas razonables, dado que hay tanta agitaci6n que vuelven a mezclar nuevamente los gases. No es una atm6sfera isotertnica. Sin embargo, hay una tendencia de los materiales mils livianos, coma el hidr6geno, a predominar a alturas muy grandes en la atm6sfera, porque las masas mas pequeiias continUan existiendo, mientras que las otras exponenciales se han extinguido todas (Fig. 40- 2). 40-2 La ley de Boltzmann Notemos aqui el hecho interesante de que el numerador en el exponente de la ecuaci6n (40-1) es la energia pote11cial de un <itomo. Por lo tanto, podemos formular tambien esta ley particular como: la densidad en cualquier punto es proporcional a e ~ (la energia potencial de cada litomo/ kn. 4().3 Eso puede ser una casualidad, es decir, puede ser v3.lido s61o para este caso particular de un campo gravitacional uniforme. Sin embargo, podemos demostrar que es una proposici6n mas general. Supongamos que existiera algUn tipo de fuer za distinta de la gravedad, que actUa sobre !as molf:culas en un gas. Por ejemp!o. las molOCulas pueden estar cargadas electricamente y pueden ser actuadas por un campo electrico u otra carga que las atraiga. 0 bien, debido a las atracciones mutuas de Jos 3.tomos entre si, o por la pared, o por un s61ido, o alguna cosa. existe alguna fuerza de atracci6n que varia con la posici6n y que actUa sobre todas las moleculas. Supongamos ahora. para simplificar. que todas las molOCulas son igualcs y que la fuerza actUa sobre cada una individualmente, de modo que la fuerza total sabre una porcibn de gas sea simplemente el nUmero de moleculas multiplicado por la fuerza sabre cada una. Para evitar una complicaci6n innecesaria, elijamos un sistema de coordenadas con el eJe de las x en ia direcci6n de la fuerza. F. De la misma manera que antes, si tomamos dos pianos paralelo~ en el gas, separados por una distancia dx, la fuerza sobre cada iltomo. multiphcada por lo~ n iltomos por cm' (la generalizaci6n del nmg anterior). multiphcado por dx, debe ser equilibrada por la variaciim de presi6n: Fn dx = dP - kT dn. 0 bicn, para poner esta ley en una forma que nos ser.it Util m3s adelante, F= krfxonn). (40.2) Observen ahora que - F dx es el trabajo quc realizariamo~ al llcvar la molecula desde x a x + dx, y s1 F proviene de un pott'ncial. e~ decir, si el trahaJO realirndo se puede representar por una energia potencial, entonces c~ta seria tambitn la diferencia de energia potenc1al {E.P.J. El difercncial ncgativo de la energia potencial es el trabajo realizado, F dx, y encontramos quc d(ln n) = - d(E.P.)! kT, o despues de intcgrar n = (constante)e-EP. 1kT. (40.3) Por lo tanto lo que habiamos notado para un caso especial resulta ser vii.lido en general. (;.Que pasa si F no proviene de un potencial? Entonccs (40.2) no ticne soluciOn alguna. Puede gencrarse energia. o perderse por parte de los iltomos que sc mueven en trayectorias ciclicas para las que el trabajo rea!izado no es cero. y no se puede mantener ningUn equilibria. El equi!ibrio tCrm1co no pue<Je existlr, cuando las fuerzas cxternas sobre los iltomos no son con~ervativas.) La ecuacit'm (40.3), conocida como fey de Boltzmann, e~ otro de lo~ principios de la med.nica estadistica: que la probabilidad de encontrar mokculas en un arreglo espacial dado varia exponencialmente con menos la cncrgia potencial de ese arreglo, dividida por kT. Esto podria mdicarnos cntonces la distribucion de las moltculas: supongan que tuvitramos un ion positivo en un liquido. que atrae los iones negativos a su alrededor, t,cu:i.nt0s estarian a d1fcrentes distancias? Si se conoce la energia potcncial en funci6n de la distancia. la proporci6n de ellos a diferentes distancias e~ta dada por esta ley. y asi suce~ivamente, para muchas aplicaciones. 40-4 40-3 Evaporacii>n de un liquido En mec8.nica estadistica mils avanzada, uno trata de resolver el siguiente problema importante. Consideremos un conjunto de moleculas que se atraen entre si y supongamos que la fuerza entre dos cualesquiera, digamos i y j, depende s6lo de su separaci6n ry y puede representarse como la derivada de una funci6n potencial V(r;). La figura 40-3 muestra una forma que podria tener ta! funci6n. Para r > r 0 la energia decrece a medida que las moleculas se acercan, porque se atraen, y luego la energia crece muy abruptamente a medida que se acercan alln m:is, porque se repelen fuertemente, lo que es caracteristico de la manera como se comportan las mo!eculas, hablando someramente. E.P.~Vt•I .. ----. Fig. 40-3. Una funci6n de energfa potencial para dos molBculas, que depende s6Jo de su separaci6n. Supongamos ahora que tenemos una caja llena de estas moleculas, y nos gustaria saber c6mo se disponen entre si, en promedio. La respuesta es e-E.P./l<T. La energia potencia\ total, en este caso, seria la suma sobre todos los pares, suponiendo que las fuerzas est:in todas en pares (podria haber fuerzas de tres cuerpos en cosas m:is complicadas, pero en la electricidad, por ejemplo la energia potencial es enteramente en pares). Entonces la probabilidad de encontrar moleculas en cualquier combinaci6n particular de !os r y ser:i proporcional a Ahora bien, si la temperatura es muy alta, de modo que kT>iV(r,JI. el exponcnte ser:i relativamente pequeiio en casi todas partes, y la probabilidad de encontrar una motecu!a es casi independiente de la posici6n. Tomemos el caso de s6lo dos mol6culas: !a e-·E.P./kT seria la probabilidad de encontrarlas a varias distancias mutuas r. C\aramente, donde el potencial se hace mas negativo, la probabilidad es mayor y donde el potencial va a infinito la probabilidad es cero, lo que ocurre para distancias muy pequeiias. Eso significa que para tales iitomos en un gas no hay ninguna pos!bilidad de que esten uno encima del otro, ya que se repelen muy fucrtemente. Pero hay una probabilidad mayor de encontrfillos por unidad de JJolumen en el punto r 0 que en cualquier otro punto. En cuilnto mayor, depende de la tcmperatura. Si la temperatura es muy aJta comparada con la diferencia en energia entre r = r, y r = w, la exponenciaJ es siempre cercanamente unitaria. En este caso, donde la energia cinetica media (alrededor de kT) excede grandemente a la energia potencial, las fuerzas no importan mucho. Pero a medida que la temperatura desciende. la probabilidad de encontrar las moleculas a la distancia preterida r, aumenta gradualmente respecto a la probabilidad de cncontrarlas 40-5 en cua!quier otra parte, y de hecho, si kT es mucho menor quel V(rJI tenemos un exponente positivo relativamente grande en esa vccindad. En otras palabras, en un volumen dado tienen murha mcis probabilidad de estar a la distancia de energm minima que muy separadas. A medida que la tempcratura disminuye, los <i.tomos se juntan, se amontonan, y se reducen a liquidos y Sl'llidos y molCculas, y cuando se calientan, se evaporan. Los requisitos para la determinaci6n de c6mo exactamente las cosas se evaporan, exactamente c6mo suceden las cosas en una circunstancia dada, comprenden lo siguicnte. Primero descubrir la ley correcta de la fuerza molecular V(r), que debe provenir de alguna otra cosa, digamos la medinica cu<i:ntica o el experimento. Pero, dada la Icy de fuerza entre las molCculas, descubrir quC van a hacer un bi!J6n de mol&ulas consiste meramente en estudiar la funciOn e-r.ViJ1AT. Es bastante sorprendente ya que se trata de una funci6n tan simple y de una idea tan sencilla, dado el potencial, que la labor sea tan enormemente complicada; la dificultad es el tremendo nfunero de variables. A pesar de tales dificultades, el tema es muy excitante e interesante. A menudo se le denomina un ejemplo del "problema de muchos cuerpos" y ha sido realmente una cosa muy interesante. En esta simple formula deben estar contenidos todos !os detalles, por ejemplo, sabre· la solidificaci6n de un gas, o las formas de los cristales que un s6lido puede adoptar, y la gente ha tratado de exprimirla, pero las dificultades matemtiticas son muy grandes, no en escribir la ley, sino en tratar con un nUmerto tan enorme de variables. Esa entonces, es la distribuci6n de particulas en el espacio. Ese es e! final de la mectinica estadistica cl3sica, hablando en forma prtictica, porque si conocemos las fuerzas podemos, en principio, encontrar la distribuci6n en el espacio, y la distribuci6n de las velocidades es algo que podemos detenninar de una vez por todas y no algo que sea diferente para los diferentes casos. Los grandes problemas esttin en obtener informaci6n particular a partir de nuestra soluci6n formal y 6ste es et objeto principal de la mectinica estadistica cltisica. 40-4 La distn"buciOn de las velocidades moleeulares Ahora pasamos a discutir la distribuci6n de velocidades, porque a veces es interesante o Util saber cutintas se mueven a velocidades diferentes. Para hacer eso, podemos hacer uso de lo que hemos descubierto en relaci6n al gas en la atm6sfera. Lo consideramos un gas perfecta, como ya lo hemos supuesto al escribir la energia potencial, despreciando la encrgia de atracci6n mutua de los titomos. La linica energia potencial que incluimos en nuestro primer ejemplo fue la gravedad. Tendriamos, por supuesto, algo mis complicaJo si existieran fuerzas entre los 8:tomos. Asi. pues, suponemos que no hay fuerzas entre los titomos y por un momenta despreciamos tambi6n las colisiones, volviendo mas tarde a la justificaci6n de esto. Ahora bien, vimos que hay menos mol&ulas a la altura h que a la altura O; de acuerdo a la f6nnula (40..1), decrecen exponencialmente con la altura. l,C6mo puecie haber menos a alturas mayores? t.Despues de todo, no llegarii.n a h todas las mol&ulas que se mueven hacia arriba a la altura O? iNo!, porque algunas de las que se mueven hacia arriba en 0 van demasiado lento y no pueden escalar la montai'ia de potencial hasta h. Con esta clave, podemos calcular cu8:ntas deben estar movi6ndose 40-6 '~.'·-~----1. ' ' 1 "'" ··~1·· I I Fig. 40-4. SOio las moleculas que se mueven hacia arriba en h ~ 0 con veloc1dad suficiente pueden llegar a la altura h a diversas velocidades, porque segim (40.I) sabemos cudntas se mueven con una velocidad menor que la suficiente para escalar una distancia h, dada. Esas son precisamente las que explican el hecho de que la densidad en hes menor queen 0. Pongamos ahora esta idea en una forma un poco mas precisa: contemos cu.iotas moli:culas pasan desde abajo hacia arriba del piano h = 0 (al llamar!o altura = 0, no queremos decir que el piso este ahi; es sOlo una refercncia convenientc y existe gas a h negativo). Estas moleculas de gas sc mueven en todas direcciones, pero algunas se mueven a traves del piano, yen cada instante un cierto mimero por segundo pasa a traves de! p!ano desde abajo hacia arriba, con diferentes velocidades. Notamos ahora lo siguiente: si llamamos u la velocidad que se necesita precisamente para alcanzar la altura h (energia cinf:tica mu'/2 -= mgh), entonces el nUmero de mokculas por segundo que pase hacia arriba a traves del plano inferior en una direcci6n vertical con una componente de la velocidad mayor queues exactamente el mismo que el nUmero que pasa a traves de! piano superior con cualquier velocidad hacia arriba. La mol&ulas cuya velocidad vertical no excede u no pueden atravesar el piano superior. Por lo tanto, vemos que N Umero que pas a por h = 0 con v, > u = nllmero que pas a por h = h con i·, > 0. Pero el nllmero que pasa por h con cu;;,Jquier velocidad mayor que 0, es menor que el nllmero que pasa por la altura inferior con cualquier velocidad mayor que 0, porque el nUmero de iltomos es mayor; eso es todo lo quc necesitamos. Sabemos ya que la distribuci6n de velocidades es la misma, seglln el razonamiento que hicimos antes respecto a la constancia de la temperatura a traves de toda la atm6sfera. Asi, como las distribucioncs de velocidades son las mismas, y quc ademil.s existen mds dtomos mils abajo, c\aramente el nllmero n >o (h), que pasa con veloddad positiva a la aJtura h y el nUmero n > 0 (0) que pasa con ve\ocidad positiva a la altura 0, estiln a la misma raz6n que las densidades a las dos alturas, que es e-mch/kT. Pero n > n(h! -n > ~ (0), y, por lo tanto. encontramos que n>u(O) = n>o(O) e-mgh/kT = e-mt< 2/2kT' ya que ! mui ,,_, mgh. Asi, en palabras, el nllmero de mo!eculas por unidad de 8.rea por segundo que pasan la altura 0 con un componente z de la velocidad mayor. que u es e-""''!ZkT multiplicado por el nUmero total que pasa por el piano con veloc1dad mayor que cero. Ahora bien, esto no es s6lo villido a la altura 0 elegida arbitrariamente, sino, por supuesto, que es villido para cualquier otra aJtura y, por lo tanto, jlas distribuciones de velocidades son todas iguales ! (En el enunciado finaJ no interviene la altura h que aparece solamente en el razonamiento intermedio.) El resultado es una proposici6n general que nos da la distribuciim de velocidades. Nos dice que si perforamos un pequeiio agujero en el costado de una caiicria de gas, un agujero muy chiquito, tal que las colisiones sean pocas y distanciadas, es decir, estCn mils distanciadas que el di3.metro de\ agujero, entonces las particulas que salen tendriLn velocidades diferentes, pero la fracci6n de particulas que sale a una velocidad mayor que u es e~mu'/lkT. Volvamos ahora al hecho de haber despreciado los choques: t.Por quC esto no tiene importancia? Podriamos habcr seguido el mismo razonamiento, no con una altura finita h, sino que con una altura infinitesimal h, que es tan pequefla que no hubiera lugar para colisioncs entre 0 y h. Pero eso no fue necesario: el razonamiento est3. evidentemente basado sabre un anillisis de las energias comprendidas, la conservaci6n de la energia, y en las colisiones que ocurren hay un intercambio de energias entre las moli:culas. Sin embargo, no nos preocupamos realmente, si seguimos la misma molCcula, si !a energia se intercambia meramente con otra mol6cula. Resulta asi que, aun si el problema se analiza mils cuidadosamente (y es mis dificil, naturalmente, hacer un trabajo mils riguroso ), ello todavia no introduce diferencia en el resultado. Es interesante que ia distribucion de velocidades que hemos encontrado sea precisamente n >ua e-energiacinoitica/kF, (40.4) Esta manera de describir la distribuci6n de velocidades, dando el nUmero de moJeculas que pasa por un area dada, con una cierta componente z minima, no es la manera mils conveniente para dar la distribuci6n de velocidad. Por ejcmplo, dentro de! gas, uno dcsea mils a menudo saber cu<intas mo!Cculas se mueven con una componente z de la velocidad entre dos valore~ dados, y esto por supuesto no estil dado directamente por la ccuaci6n {40.4). Nos gustaria establecer nueslro resultado en la forma mils convencional. a pesar de quc lo que ya hemos cscrito es bastantc general. lVoten que 110 es po~ihle decir que cualquier molicu{a tenga exactameme cierta i>efocidad establecida; 40·5 Una func1on de d1s1r1buc16n de El <Jrea somb1eada es flu) du, quet1enenve1ntervalo du en rnrno --------+---O,<C--·~-- loc1dades dentro la fracc16n de las 40..8 ninguna de el!as tiene una velocidad exactamente igual a 1,7962899173 metros por segundo. Asi, para hacer una afirmaci6n que tenga sentido, tenemos que preguntar cuii.ntas se encuentran en algUn intervalo de velocidades. Debemos decir cuilntas tienen velocidadcs entre 1,796 y 1,797, y asi sucesivamente. En t6-minos matemii.ticos, seaf(u) du la fracci6n de todas las mol&:ulas que tienen velocidades entre u y u + du, o lo que es lo mismo (si du es infinitesimal), todas las que tienen una velocidad u en interva\o du. La figura 40-5 muestra una forma posible para la funci6n f(u), y la parte sombreada de ancho du y altura media f(u), representa esta fracci6n f(u) du. Esto es, el cociente entre cl area sombreada y el area total de la curva es la proporciim relativa de mo!eculas con velocidad u dentro de du. Si definimos f(u) de modo que la fracci6n que tiene una velocidad en ese intcrvalo este dada directamente por el area sombreada, entonces el iLrea total debe ser 100 por ciento de ellas, eso es J:., f(u) du= I. (40.5) Ahora tenemos que obtener solamente esta distribuci6n, comparandola con el teorema que hemos deducido anteriormente. Preguntamos primero: lcuaJ es el nUmero de moleculas que atraviesa un area por segundo con una velocidad mayor que u, expresado en t6rrr1inos de j(u)? Al comienzo podrlamos pensar que sea simplemente la integral de Ju j(u) du, pero no lo es, porque sueremos el nUmcro que atraviesa el ilrea por segundo. Las mas r.iip1das pasan mas a menudo, por dccir asi, que las mas lentas, y para exprcsar cu.iintas pasan, dcben multiplicar por la velocidad. (Discutimos esto en el capitulo anterior al hablar de\ nUmero de colisiones.) En un tiempo dado I, el nUmero total 4_UC atraviesa la superficie es el de todas aquellas que han podido llegar a la superficie y el mimero que llega viene desde una distancia ut. Asi. pues. el nUmero de moleculas que llega no es simplemente el nUmc ro que est.ii alH, sino el nUmero que estii alli por unidad de volumen, multiplicado por la distancia que barren al moverse hacia el 8.rea a traves de la cual se supone que van, y csa distancia es proporcional a u. Por lo tanto, necesitamos la integral de u multiplicado /XH f (u) du, una integral infinita, con un limite inferior u, y esto debe ser lo mismo que hemos encontrado antes, es decir, e-m~'·"J.~· con una constante de proporcionalidad que obtendrcmos mils adelante: [ uf(u) du "' const · e-mu'tu 1·. (40.6) Ahora bien, si derivamos la integral con respecto a u. obtenemos lo que est<i de la intcg~al, es decir, el integr.ando (con un signo menos, ya gue u es cl hmite inferior), y s1 denvamo~ cl otro m1embro. obtenemos u vcces la misma exponencia! (y algunas con~tantes). Las u sc simplifican y encontramos ~entro j(u) du Retencmos Io~ ciUn, quc dice = ce-mu',12kr du. en ambos micmbros para recordar que se lrata !a proporciOn para una velocidad cntre u y u + (40.7) distrihu- e~ 40-9 La constante C debe determinarse de manera que la integral sea la unidad, de acuerdo a la ecuaci6n (40.5). Ahora podemos demostrar"' que J m/2 7T kT. Usando este hecho, es fitcil encontrar que C = Como la velocidad y el momentum son proporcionales. podemos decir que la distribuciOn de momenta es tambiCn proporcional a e E.C./J.T por unidad de intervalo de momentum. Resu\ta que este teorema es vitlido tambiCn en relatividad, si esui en tCrminos de! momentum, mientras que no lo es si estil en tCrminos de la velocidad, asi que es mejor aprender\o en tCrmino de momentum en vez de velocidad: f(p) dp = ce-K.K/kT dp. (40.8) Encontramos asi que las probabilidades de diferentes condiciones de energia, cinCtica y potencial, est<in ambas dadas por rnergia/kT, algo muy f<icil de recordar y una proposici6n bastante bella. Hasta ahora tcnemos, por supuesto, s6\o la distribuci6n de las vdocidades .. verticalmente ... Podriamo1. prcguntar: (,cuil! es la probabilidad de que una mo!Ccula se mueva en otra direcciOn? Por supuesto. estas distribuciones estan concectadas y se puede obtener !a distribuci6n completa a partir de la que tcnemos, porque la distribuci6n completa depende solamente de! cuadrado del m6dulo de Ia velocidad, no d!l la componente z. Debe ser algo que sea independiente de la dirccci6n y hay s6lo una funci6n que interviene, la probabilidad de diferente~ m6dulos. Tenemos la distribuci6n de la componente z y por lo tanto podemos obtener la distribuci6n de otras componentes a partir de ella. El resultado es que la probabilidad es todavia proporcional a e-E.C.lkT, pero ahora la energia cinCtica comprende tres partes, mvV2; mv0/2, mv"i/2, sumadas en el exponente. 0 podemos escribirlo coma un producto: f(11,,1'y,V,)d11rdi•ydi'z OC e-mv~/2kT. e-mv~/2kT e-mv,!2kT diix dv~ dvz. (40.9) Pueden ver que esta formula debe ser correcta, porque, primero, es una funci6n de v 2 solamente, como sc rcquicrc. y segundo. las probabilidades de los diversos valores de l'z obtenidas_ por integracibn sabre todos los I', y I\, es precisamente (40. 7). jAsi esta so!a funcion (40.9) pue<lc haccr ambas cosa~! • Para nbtener el \Jlor de IJ m\cgrnl. 1 = f~.,,,e-~' dx. que es una mtegral doble >obre wdo el piano\\". Pero c>ta puede escnbir>e tamb1cn en coordenadas polarescomo 40.10 40·5 Calores especificos de gases Examinemos ahora algunas maneras de comprobar la teoria, y ver hasta que punto ha tenido i:xito la teoria clilsica de gases. Vimos anteriormente que si U es la energia intern a de N molCculas, entonces PV = NkT = (y -1) U es cierto, algu· nas veces, para algunos gases, quizils. Si es un gas monoat6mico, sabemos que esto es igual a l de !a energia cinCtica del movimiento del centro de masa de los iitomos. Si es un gas monoat6mico, la energia cinCtica es igual a la energia interr.:i y, por lo tanto, Y-1 = j. Pero supongamos que es, digamos, una mo!Ccu\a mils complicada, que puede rotar en torno a si misma y vibrar, y supongamos (resulta ser cierto de acuerdo a la mecilnica clilsica) que las energias de los movimientos internos son tambiCn proporcionales a kT. Entonces, a una temperatura dada, ademils de la energia cinCtica kT, tiene energia interna de vibraci6n o de rotaci6n. Asi pues, el total U no s61o incluye la energia cini:tica interna, sino tambiCn la energia de rotaciOn, y obtenemos un valor diferente de Y. TCcnicamente, la mejor manera de medir y es midiendo el calor especifico, que es la variaci6n de energia con la temperatura. Volveremos a este mi:todo mis adelante. Para nuestros fines presentes, podemos suponer que Y se encuentra experimentalmente a partir de la curva PV" para la compresi6n adiabiltica. Hagamos un cillcuio de r para algunos casos. Primero, para un gas monoat6mico U es la energia total, igual a la energia cinetica, y ya sabemos que deberia ser j . Como un gas biat6mico, podemos tomar, coma ejemplo, oxigeno, ioduro de hidr6geno. hidr6geno, etc., y suponer que el gas biat6mico puede representarse coma dos iltomos unidos por algUn tipo de fuerza coma la de la figura 40-3. Podemos su· poner tambiCn, y resulta ser bien cierto, que a las temperaturas que son de interCs para el gas biat6mico, los pares de ittomos tienden fuertemente a estar separados por r 0• la distancia de potencial minima. Si esto no fuera verdad, si la probabilidad no variara lo suficientemcnte fuerte coma para lograr que la gran mayoria estC situada cerca de! fondo, tendriamos que recordar que el gas oxigeno seria una mezcla de 0 1 y iltomos simples de oxigeno en una proporci6n significativa. Sabemos. en efecto. que hay muy pocos ittomoS simples de oxigeno, lo que significa que el minima de la energia potencial es mucho mayor en valor absoluto que kT, como hemos visto. Como estitn fuertemcnte acumulados alrededor de r 0, la Unica pane de la curva que se necesita es la parte cerca del minima, que puedc aproximarse por una paritbola. Un potcncial parabOlico implica un oscilador armOnico. y de hecho.-con una aproximaci6n excelente. la mo!Ccula de oxigeno se puede representar coma dos <itornos co· nectados por un resorte. ;,Cua! es ahora la energia total de est a molCcula a la temperatura T? Sabemos que pa" ra cad a uno de los ittomos, cad a una de las energias cint:ticas deberia ser ~k T, de modo que la energia cinCtica de ambos es \kT -1 ~kT. Podemos poner esto tambii:n de una manera diferente: el mismo ~mils~ puede conSiderarse coma la energia cint:tica del centro de masa(~) energia cinCtica de rotaci6n (i).y energia cinCtica de vibraciOn (~). Sabcmos que la energia cinCtica de vibraciOn es 1 i· ya que hay ~Olo una dimcnsiOn en juego. y cada grado de libertad tiene ~ kT. Rcspeeto a la rotacion. ella puede rotar alrededor de dos ejes cualesquiera. pOr lo que hay dos movimientos independientes. Suponcmo~ que los iitomos son una cspccie de puntos y no puedcn girar alrededor de la linea que !os une: esto es alga quc hay que tencr en mente. porque si obtenemos al gUn desacuerdo, 40-11 quiz3.s estC ahi el problema. Pero tenemos una cosa mas; la energia potencial de vibraci6n; lCuitnto es? En un oscilador arm6nico, la energia cincti.ca media y !a energia potencial media son iguales y, por lo tan to, la energia potencial de vibraci6n es tambit!n ~ kT. El gran total de la energia es U = j k1 ', o kT es ' U por :ltomo. Eso sig°nifica, entonces, que }' es ; en lugar de i, es decir p = 1,286. Podemos comparar estos nUmeros con los valores pertinentes medidos mostrados en la tabla 40-1. Mirando primero el helio, que es un gas monoat6mico, encontramos muy cercanamente '; 3 , y el error es probablemente experimental, a pesar de que a temperatura tan baja puedc haber alguna fuerza entre los 3.tomos. Cript6n y arg6n, ambos monoat6micos, concuerdan tambiCn, dentro de la precisi6n de! experimento. Pasamos a los gases biat6micos y encontramos hidr6geno con l,404, lo que no estil de acuerdo con la teoria, 1,286. Oxigeno, 1,399, es muy similar, pero de nuevo en desacuerdo. Yoduro de hidrOgeno es nuevamente similar a 1,40. Empieza a parecer como si la respuesta correcta fuera 1,40, pero no lo es, porque si seguimos mirando en el bromo vemos 1.32, y en el yodo vemos 1,30. Como 1,30 est:\ razonablementc cerca de 1.286. se puede decir que el yodo concuerda bastante bien, pero el oxigeno est:l lejos. Tenemos aqui, por Jo tanto, un dilema. Lo tcnemos correcto para una mo!Ccula, no lo tcncmos correcto para otra mo!Ccula y necesitarlamos ser bas· tante ingeniosos para explicar ambas circunstancias. Tabla 40-1 V alores del cociente de los calores especificos, y, para diversos gases. G" T(°C) H< K' -180 19 15 100 100 100 300 185 IS 15 M H, o, HJ "" 1, NH,1 C2H,, 1.68 1.668 1.404 1.399 1.40 1.32 1.30 1.310 1.22 Sigamo~ mirando una molf:cula todavia mils complicada, con gran nUmero de partes. por ejemplo, C 2 H 6 • que es etano. Tiene ocho ii.tomes diferente~. y todos e~tiln vibrando y rotando en diversas combinaciones. de modo que el monto total de !a energia intern a debe ser un nUmero enorme de kT, por lo menos ! 2kT solo para la cnergia cinf:tica, y I debe estar muy cerca de cero, o 1· es casi exactamente I. En efecto. es menor. pero 1,22 no es tanto menor,) es superior a I ti calculado a partir de la energia cinCtica solamente. iY esto es simp!emente incomprensible! r- Mils aUn. complete es profundo. porque la mo!Ccula biatOmica no puedc hacerse el limite. Aun si hicil:ramos los acoplamientos indefinidamente rigidos, a pesar que 40-12 ---<>---H~ 1.6 \ ,'::,_ --•--0, 1.'<-ll,.~ 1.2es--------- - ~-fc-~-*'~'*'~~ TEMPERATURA C°C) Fig. 40-6. Valores experirnentales de p en funci6n de la temperatura para hidr6geno y oxigeno. La teor1a cl<'isica predice 1' = 1.286, independienternente de la temperatura. no podria vibrar mucho, se mantendria de todos modos vibrando. La energia de vibraci6n interna es todavia kT, dado que no depende de la intensidad de acomplamiento. Pero si pudiCramos imaginar rigidez absoluta, deteniendo toda vibraciim para e!iminar una variable, entonces obtendriamos U = ~kT yr= 1,40 para el caso biatomico. Esto parece bren para H~ u O,. jPor otro !ado. codavia tendriamos problemas. porque r varia ianto para hidrOgeno coma oxigcno con la temperatura! De !os valores medidos mostrados en la figura 40-6 vemos que 2.00U"C. La variaci6n para H,. varia desdc alredcdor de L6 a -185"C. es mils sustancial en el caso del hidr6geno que para pero. sin embargo. alm para el oxigeno. )' tiendc definidamcnte a crecer. a quc descendemos en tcmperatura. r 40-6 El fraca~o de la fisica cliisica Asi, en suma, podemos decir que tenemos alguna alguna Icy de fuerza diferentc a la de un resorte. pero har:·1 so!amente F mayor. Si incluimos mils formas de unidad. contradiciendo los sc'ilo 40-13 Diez aflos mils tarde. en una clase, dijo, "He expuesto ahora ante ustedes Jo quc considero la diticultad mits grande encontrada has ta ahora por la teoria molecular". estas palabra~ rcprc~cntan el primer descubrimiento de que las !eyes de la fisica clitsica cstaban erradas. Esta fue la primera indicaci6n de que habia alga fundamentalmente imposible, porque un teorema demostrado rigurosamente no concordaba con el expcrimento. Alrededor de 1890, Jeans tuvo que hablar de nuevo sobrc este enigma. Uno oye a menudo decir que lo~ fisicos en la Ultima parte de\ siglo XIX pensaban que conocian todas las !eyes fisicas significativas y que tc?do lo que tenian que haccr era calcular mis cifras decimales. Alguien puede haber dicho esto alguna vez, y otros lo copiaron. Pero una iectura minuciosa de la literatura de ese tiempo, muestra que todos estaban preocupados de algo. Jeans decia respecto a ese enigma que es un fen6meno muy misterioso y parece coma que si a medida que la temperatura baja, ciertos tipos de movimiento "se congelan ". Si pudiframos suponer que el movimiento vibratorio. por decir, no existe a temperatura baja y existe a temperatura alta, entonces podriamos lmaginar que un gas pueda existir a una temperatura suficientemente baja coma para que el movimiento de vibraci6n no ocurra, de modo que r-,- 1,40, o a una tcmperatura mayor, a la cua! comienza a aparecer de modo que F disminuye. Lo mismo podria argumentarsc para la rotaci6n. Si podemos ehminar la rotaci6n, digamos que .. se congela" a temperatura suficientcmente baja, entonces podemos entender el hecho que cl F dd hidr6geno se aproxima a 1,66 a medida que bajamos en temperatura. (.COmo podemos entender ta! fen6meno? Por supucsto e! quc cstos movimientos •·se congelen '", no se puede entender con !a mec<inica c!ilsica. Fue comprendido solamcntc cuando se descubri6 la mecinica cuilntica. Sin demostraci6n, podemos enunciar los resultados de la teor[a cuintica para la mec<inica estadlstica. Recordemos que. de acuerdo con la medmica cuimtica, un sistema que est<i ligado por un potencial. para !as vibraciones, por cjemplo, tendr<i un conjunto discreto de niveles energeticos, es decir. estados de diferente energia. El problema es ahora: lCOmo se modifica la mecilnica estadistica de acucrdo a la teoria cu3.ntica? jRcsulta, y cs bastante intcrcsante, quc a pesar de que !a mayoria de los problemas son mils dificiles en la mec<inica cu<intica que en la mecinica clisica, los problemas en la mec3.nica estadistica son mucho mas f<'i.ciles en la teoria cu<'i.ntica! El resultado sencillo que tenemos en la mecimica c!3sica, que n = n 0 e--energia/k7, pasa a ser el siguiente teorema muy importante: Si las cncrgias del conjunto de es tados moleculares se llaman, digamos, Eu, E" £ 2 , •••• E, ...... , entonces en el equilibria termico la probabilidad de cncontrar una molecula en un estado particular 4uc tiene energia E, es proporcional a e £,,kl. Eso da la probabilidad de estar en diversos estados. En otras palabras, la po~ibilidad relativa. la probabilidad de cstar en el estado £ 1 relativa a la posibilidad de estar en el estado £ 0 es (4-0.10) que es. por supuesto, lo m1smo que (4-0.11) ya quc P 1 = co mils allo penor al es menos probable estar en un estado energetiraz6n del numero de Utomos en el c~tado su- 40-14 (menos la diferencia de las vibraciones de una armlmico. Prcguntcmos en el estado E 1 en vez de de encontrarla en el estado £ 1 di~minuye coma e-tr .. ,:u. Supongamos una situaci6n a baja temperaE 1 es extremadamente pc Eo- Si camhiamos !a ternmantenemos muy haja, entonccs la probabilidad de que infinitesimal ---la energia del oscilador permala temperatura sea mumils bajo. y sus movino har ninj;1111a co111rfbuci611 suya al a partir de la rnbla 40-1 que a l00°C. menor que la energia vibracional en las no asi en la molecula de yodo. La raz.{m de muy pesado, comparado con cl hidr6geno. y en cl hidr6geno pueden ser comparables, que la frecuencia natural de vihraciOn es muy natural de! hidr6geno. Con -/r,,1 mayor que kT a baja comparada con la tcmpcratura ambiente para el hidrOgeno. pero menor para el yodo, solamente el Ultimo, el yodo, exhibc la energia clii.sica de vibraeiOn. A medida que aumentamos la temperatura de un ga~. panicndo de un valor muy bajo de T, con easi todas las mo!Cculas en su estado m<'1~ bajo, ellas comienz.an gradualmente a tener una proba· bi!idad apreciable de cstar en el Segundo estado, y lucgo en el estado siguiente, y asi sucesivamente. Cuando la probabilidad es apreciable para estados, el comse aproxima al dado por la lisica porque los estados portamiento <lei casi indistinguibles de un continuo de energias, y el sis1ema cuantizados se medida que aumenta la tempera" cnergia. Por lo la !isica clitsica. coma realmentc misma forma, que pero los estados que el espaciade rotaciOn en el cual esto no es tan quc rcalmente hemo~ dcducido, por comparaciOn con el en la f1~ica clii.sica y hemos buscado una solucn cuii.ntica de manera muy similar a como fue Pasaron treinta o cuarenta ailos antes de que ~e Jcscubriera la c~to nucvamcnte tuvo 4ue ver con la mecii.nica cstadis1ica. pero de fotones. Este problema fue re~uelto por Planck de ll!l de este 40-15 41 El m.ovirniento browniano 41-1 EquiparticiOn de la energia 41-3 41-2 Equilibrio tfu-mico de la radiaci6n La equiparticiOn y el oscilador cuilntieo 41-4 La caminata al azar 41-1 EquiparticiOn de la energia E! movimiento browniano fue descubierto en 1827 por el bot3nico Robert Brown. Mientras estudiaba la vida microsc6pica, not6 pequei'ias particulas de polen de plantas que zigzagueaban por eil liquido que cstaba examinando al microscopio, y fue lo suficientemente inteligente coma para darse cuenta que las mismas no eran vivientes, sino trocitos de suciedad movifndose por el agua. De hecho, ayud6 a demostrar que esto no tenia nada que ver con la vida, tomando de la tierra un viejo pedazo de cuarzo en el que habla un poco de agua atrapada. Dcbia haber estado atrapada por millones y millones de ail.as y, sin embargo, vio en e\la el mismo movimiento. Lo que se ve es particulas muy pequei1itas zigzagueando todo el ticmpo. Mils tarde se probO que este era uno de los efectos de! moi'imiento molecular; podemos entendcrlo cualitativamente imaginando una gran pelota en una cancha vista desde gran distancia, con mucha gente abajo tirando la pelota en diversas direcciones. No podemos ver la gente porque imaginamos estar demasiado lejos, pero podemos ver la pelota y notamos que se mueve bastante irrcgularmente de un !ado a otro. Tambien sabemos por los teoremas discutidos en capitulos precedentes, que la energia cinetica media de una pequeil.a partlcula en suspens!On en un Jiquido o un gas ser3. ~kT aunque sea muy pesada en comparaci6n con una molCcu!a. Si ·es muy pesada, las velocidades son relativamente bajas, pero en la realidad resulta que la ve!ocidad no es tan baja. De hecho. no podemos ver muy facilmente la velocidad de esas particulas porque, aunque la energia cinetica media es ~kT, que representa una velocidad de un milimetro por segundo mils o menos para el caso de un objeto de uno o dos micrones de diii.metro, esto es muy dificil de ver aun con un microscopio, porque la part[cula estit continuamente cambiando de direcciOn y nunCa llega a ninguna parte. Al final de este capitulo discutiremos hasta dOnde llega. El primcro en resolver este problema fue Einstein a comienzos de este siglo. Entre parfotesis, cuando decimos que la energia cinCtica media de esta particu!a es }kT, sostenemos haber deducido este resultado de la tcoria cinCtica. o sea de las 41-1 leyes de Newton. Encontraremos que se puede deducir toda clase de cosas -cosas maravillosas- de la teoria cinetica, y Jo mis interesante es el que aparentemente po<lamos obtener tanto a partir de tan poco. Naturalmcnte no queremos decir quc !as !eyes de Newton son "poco" ---kstas son·realmente suficientes-; lo que queremos decir es que nosotros no hicimos gran cosa. ;, Y cOmo obtcnemo~ tanto'? La respucs ta es quc hemos estado continuamente hacienda una suposiciOn importante: si un sistema determinado estii en equilibria tCrmico a cierta temperatura, tambiCn estarll en equi!ibrio tCrmico con cua!quier otra cosa a la misma temperatura. Por ejemplo. si quislCramos ver cOmo se moveria una particu!a si estuviese realmente chocando agua, podriamos imaginar que hay un ga~ compuesto de otra clase de particu· municiones pequeiiisimas que (suponemos) no interactllan con el agua, sino que golpean la particuia con choques "violentos". Supongan que la particula tiene sa!iente: todo lo que nuestras municiones tienen que haccr es golpear la saliente. todo lo que hay que saber de este gas imaginario de municiones a tempees un gas ideal. El agua es complicada, pero un gas ideal es simple. Ahora particula tiene que es1ar en equilibria con el gas de municiones. En el movirniento media de Ia particula debe ser el quc se ohticnc de las en un gas. porque si no se estuviera moviendo a la velocidad adecuada sino que, digamos, s.; estuviera moviendo mas rapidamente. eso municiones tomarian energia de ella y se pondrian mas calientes comenzado con ellas a la misma tcmperatura y suponemos una vez en equilibrio, se queda en equilibria --espontimeamente, no que se ca!ienten y panes que se enfrien. 41-2 lo iluminamos y buscamos la posici6n de la mancha de Juz, no tenemos un instrumento perfecta porque el e~pejo siempre se esti sacudiendo. z.Por que? Porque la energia cinetica media de rotaci6n de cste espejo tiene que ser, en promedio, ~kT. z.Cuil es el imgulo medio cuadritico dentro de! cual se balancea el espejo? Supongan que hallamos el penodo natural de vibraci6n de! espejo golpeandolo levemente en un !ado y viendo cuilnto tarda en oscilar ida y vuelta, y que tambiCn conocemos el momenta de lnercia /. Conocemos la expresi6n de la energia cinetica de rotaci6n --estii dada por la ecuaci6n (19.8): T = ~foJ 2 • Esta es la energia cinCtica; la energia potencial que la acompaiia seril proporcional al cuadrado de! ilngulo -es V = ~at!2-. Pero si conocemos el periodo t0 y calculamos a partir de d la frecuencia natural (•Jo = 2n/ /0 , la energia potencial es V = !Jw~0 2 • Ahora bien, sabemos que la energia cinCtica media es µ:r, pero como es un oscilador arm6nico la energia potencial media tambiCn es !kT. Luego, (41.1) De este modo podemos calcular las oscilaciones del espejo de un galvan6metro y a partir de ello encontrar cu&es ser8.n las limitaciones de nuestro instrumento. Si queremos tener oscilaciones mis pequeiias, tenemos que enfriar el espejo. Una cuesti6n interesante es d6nde enfriarlo. Depende de d6nde estil recibiendo los "empujones". Si es a travCs de la fibra, lo enfriamos en !a parte de arriba -si el espejo estt't rodeado por un gas y estt't siendo golpeado !a mayor parte de las veces por colisiones en el gas, lo mejor es enfriar el gas-. En realidad, si sabemos de d6nde viene el amortiguamiento de las oscilaciones, ocurre que tambiCn Csa es siempre la fuente de las fluctuaciones; Cste es un punto sobre el cual volveremos mas adelante. "' Fig. 41-2. C1rcu1to resonante de alto Q (a) C1rcu1to real a temperatura T. (b) Circu1to f1cticio con una res1stenc1a ideal (sm ru1do) y un "generadorde ru1do" G. Aunque parezca sorprendente. pasa lo mi~mo en !os circuitos gan 4uc estamos hacienda un amplificador muy sensible y preciso para una cia definida y tcnemos un circuito resonante (Fig. 41-2) a la entrada para hacerlo muy sensible a esta frecuencia determinada, ta! como un radiorreceptor, pero uno verdaderamente bueno. Supongan que queremos llegar al limite mils bajo posible. asi que tomemos el vo!taje, digamos de la inductancia, y lo mandamos a! resto del amplificador. Naturalmentc que en cualquier circuito coma f>ste hay pCrdidas. es un circuito resonante perfecta, cs s6lo muy bueno y hay. digamos. una resistcncia (introducimos el resistor para podcr verla. pero se supone que es muy pequetia). Ahora nos gustaria saber: ~cuimto fluctUa la diferencia de potcncial entrc los extremos de la inductancia'! Respuesta: Sabemo~ que Ur- es la ··energia cinCtica" -la energia asociada con una bobina en un circuito ~esonante 25)-. En consccuencia, el valor medio de iLf es igual a ikT. Esto nos dice es el \'alor medio cuadrcitico de la corriente Ypodemos halla-r cmil es el voltaje correspondiente me a partir de la corriente me. 41-3 Puesto que si 'lueremos 1!'1 diferencia de potencial entre los extremos de la inductancia la f6rmula es VL = iwLI, y el valor medio de! mOdulo al cuadrado de la diferencia Uw 20 < P); insertando este valor de potencial en Ja inductancia es< V2L) en !£ ( P ) = !kT, obtenemos <~> ~ Lwikr. (41.2) Por lo tanto, ahora podemos diseiiar circuitos y decir cu8.ndo vamos a tener lo que se llama ruido de Johnson, jel ruido asociado con las fluctuaciones tfamicas! lY ahora de d6nde provienen las fluctuaciones? Vienen de! resistor -provienen de! hecho de que !os electrones del resistor andan zigzagueando porque estin en equilibrio ti:rmico con la materia de! resistor, y provocan fluctuaciones en la densidad de electrones-. Producen entonces pequeiiisimos campos eli:ctricos que excitan el circuito resonante. Los ingenieros eli:ctricos representan la respuesta de otra manera. Desde el punto de vista fisico, el resistor es efectivamente la fuente de ruido. Sin embargo, podemos rccmpla:rnr el circuito real, que tiene un verdadero resistor fisico, por un circuito artificial que contiene un pequeiio generador que representarci el ruido, por Jo que ahora el resistor es ideal en este aspecto: ninglln ruido proviene de i:l. T odo el ruido estil. en el generador artificial. Y asL si conocii:ramos las caracteristicas de! ruido generado por un resistor, si tuvi6semos la f6rmula, podriamos calcular que es lo que el circuito va a hacer en respuesta a ese ruido, Luego, necesitamos una f6rmula para las fluctuaciones de ruido. Ahora bien, el reuido generado por el resistor contiene todas las frecuencias, ya que ei resistor no es de por si resonante. Es claro que el circuito resonante sO!o "escucha" la parte que esta cerca de la frecuencia justa, pero el resistor contiene muchas frecuencias diferentes. Podemos describir cuil es la intensidad de! generador de la manera siguiente: la polencia media que absorberia el resistor si estuviera conectado directamente al gencrador de ruido seria ( £ 2 ) IR, si E fuese el voltaje de! generador. Pero querriamos conocer con m<is detalles cuinta potencia hay en cada frecuencia. En una sola frecuencia hay muy poca potencia; se trata de una distribuci6n. Sea P(<v)dw la potencia que entrcgaria el generador a ese mismo resistor en cl intervalo de frecuencia dr,1. Podemos demostrar (lo demostraremos para otro caso. pero la matem.:i.tica es exactamente la misma) que la potencia resulta P(w) dw = (2/n)kT dw, (41.3) y es independienle de la resistencia si se la expresa de este modo. 41-2 Equilibrio tCnnico de la radiaciOn Ahora vamos a considerar un problema alm mas avanzado e interesante, que es el siguiente. Supongan quc tenemos un oscilador cargado, como los que mencionamos al estudiar la luz, por ejemplo un clectr6n oscilando de aqu[ para allil en un iltomo. Si oscila de aqu[ para allil, irradia luz. Supongamos ahora que este oscilador estil en un gas de :homos muy enrarecido y que de vez en cuando los iltomos chocan con et. En el equilibria, despui:s de un largo tiempo, este osci!ador ganarii cnergia. de modo que su energia cinCtica de oscilaci6n sera lj<.T, y como es un oscilador 41-4 arm6nico, toda su energia de movimiento sera kT. Esta es, naturalmente. una des· cripci6n incorrecta hasta aqui, porque el oscilador tiene carga eMctrica y si tiene energia kT se esta sacudiendo de un lado para otro y radiando luz. En consecuencia es imposible tener equilibria de la materia real sola, sin que las cargas contenidas en ella emitan luz, y a medida que se emite la luz. la energia se pierde, el osci\ador pierde su kT, y asi todo el gas que esta chocando con el oscilador se cnfria gradua!mente. Y esta es, naturalmente, la manera en que una estufa muy caliente se enfria en una noche fria, radiando la \uz hacia el cielo, porque los atomos estiln sacudiendo su carga y radian continuamente, y poco a poco, a causa de esta radiaci6n, el movimiento disminuye. Por otra parte, si encerramos todo dcntro de una caja de modo que la luz no se vaya al infinito, podemo5 finalmente obtener equilibrio termico. Podriamos poner el gas en una caja en cuyas paredes podcmos decir que hay otros radiadore~ devol· viendo la luz o, para dar un ejcmplo mas lindo, podemos decir que las parcdes de la caja son espejos. Es mas facil pensar en este caso. Suponemos entonces que toda la radiaci6n que sale de! oscilador se queda moviendo dentro de la caja. Luego, na· turalmente, es cierto que el oscilador comienza a radiar, pero muy pronto puede conservar su kT de energia cinetica a pesar de que est3. radiando, porque esta iluminado, por asi decir, con su propia luz rcncjada en las paredes de la caja. Es decir, que despues de un rato hay una gran cantidad de luz aglomeril.ndosc en la caja, y aunque el oscilador radie un poco, la luz vuelve y restituye pane de la energla radiada. Determinaremos ahora cuanta luz debe haber en esa caja a la temperatura T para que la luz que cae sabre este o~cilador genere precisamente la energia nccesana para compensar la luz que ha irradiado. Supongamos que los atomos del gas sean muy pocos y esten muy separados. de modo que tengamos un oscilador ideal sin resistencia a excepci6n de la resistencia de radiaci6n. Luego consideramos que en el equilibria termico el oscilador esta haciendo dos cosas a! mismo tiempo. Primera: tiene una energia media kT y podemos calcular cuanta radiaci6n emite. Segundo: esta radiaciOn debe ser exactamente la cantidad que resultaria del hecho de que la luz que incide sabre el oscilador se dispersa. Como no hay ningim otro !ado a donde pueda ir la energia, esta radiaci6n efectiva es, en realidad, luz dispersada proveniente de la luz presente. Por lo tanto, calculemos primero la energia radiada por el oscilador en un segundo, si el osci!ador tiene cierta energla. (Tomamos unas cuantas ecuaciones de! capitulo 32 sabre la resistencia de radiaci6n sin volver a derivarlas.) La energia radiada por radian dividida por la energia del oscilador se denomina l /Q (Ee. 32.8): 1/Q = (dW/dt)/w 0 W. Usando la constante de amortiguamiento y, tambiCn se puede escribir 1/Q = rft,1 0, donde r,J 0 es la frecuencia natural del oscilador -si yes muy pequeiia, Q es muy grande. La energia radiada por segundo es entonces ~ dt = woW = WoW'Y = 'YW Q Wo . (41.4) La energia radiada por segundo es, pues, simplemente gamma por la energia del oscilador. Ahora bien, el oscilador deberia tener una energia media kT, por lo que vemos que 41-5 gamma kT es la cantidad medta de energia radiada por segundo: (dW/dt) ~ >kT. (41.5) Ahora s6lo tenemos que saber que es gamma. Se puede encontrar gamma fii.cilmente con la ecuaci6n (32.12). Es (41.6) donde r 0 = e2 /mc 2 es el radio clii.sico de! electr6n, y hemos puesto.A = 2nc/rvw N uestro resultado final para la radiaci6n media de luz par uni dad de ti em po cerca de la frecuencia r,> 0 es entonces (41.7) Ahora preguntamos cu<inta luz debe estar incidiendo sobre el oscilador. Debe bastar para que la energia absorbida de la Juz (y despues dispersada) sea exactamente esa cantidad. En otras palabras, la luz emitida se explica como luz dispersada proveniente de la luz que incide sobre el oscilador en la cavidad. Por lo tanto, tenemos que calcular ahora cuilnta luz se dispersa en el oscilador si hay cierta cantidad --desconocida- de radiaci6n incidiendo sabre e1. Sea I{r.u)dw la cantidad de energia luminosa que hay a la frecuencia w, dentro de un interva!o dw (porque no hay luz a una frecuencia exacta; esta distribuida par todo el espectro). Asi, I(w) es cierta distribuci6n espectral que ahora vamos a hallar -es el color de un horno a temperatura T que vemos al abrir la puerta y mirar por el agujero-. Ahora bien, icuii.nta luz se absorbe? Ya calculamos la cantidad de radiaci6n absorbida de un haz dado de luz incidente y lo hicimos en terminos de una secci6n eficaz. Es justamente coma si dijeramos que se absorbe toda la luz que incide sabre cierta sccci6n transversal. Asl, pues, la cantidad total que sc vuelve a radiar (se dispersa) es la intensidad incidente I(w)d(.u multiplicada par la secci6n eficaz u. La f6rmula que obtuvimos para la secci6n eficaz (Ee. 31.19) no contenia el amortiguamiento. No es dificil repetir la derivaci6n incluyendo el tfrmino de resistencia que despreciamos. Si lo hacemos y cakulamos la secci6n eficaz en la misma forma obtenemos (41.8) Ahora bicn, en funci6n de la frecuencia, as tiene un valor apreciable s6\o para w cerca de la frecuencia natural «1 0 . (Recuerden que el Q de un oscilador radiante es el orden de 108 .) El oscilador dispersa fuertemente cuandowes igual aw 0 y muy ctebilmente para otros valores de w. Por lo tanto, podemos reemplazar w por w 0 y uJ 2 - w& par 2(v 0(w ·· o> 0 ), obteniendo " ~ _ _2_1r!:~_i- - . 8 3[(w - w0 )2 + 1'2/4] Ahora toda la curva estii. localizada cerca de w que hacer = (41.9) w 0• (En realidad no tenemos 41-6 ninguna aproximacion pero es mucho mas focil las imegrales s1 mo.<. un poco las ecuaciones.) Ahora multiplicamos intens1dad en un dado de frecuencia por la seccic"m eficaz de c.hspersiOn para obtcner la energia dispersada en el intervalo dtv. La energia rota{ dispersada es entonces la integral sobre todo 01. Luego, ~! = lo"' I(w')tr (w) dw 8 (41.10) 27rr~w~/(w) dw = . 0 }[(;.;--=..~-·+ -y2/4J. ( ., Hagamos ahora dW/dt = 3rkT. (.Por que tres? Porque cuando h1cimm el anti.lisis de la secciOn eficaz en el capitulo 32, supusimos que la polariLaciOn era ta! quc la luz podia forLar el osci!ador. Si hubieramos usado un oscilador que s6\o se pu diera mover en una direcciOn y la luz estuviera, por cjemplo, polarizada en direcci6n errada, no podrla dar dispersi6n. Por lo tanto, o debemos promediar la seccion efi caz de un oscilador que s6lo puede ir en una direcciOn sobre todas las direcciones de incidencia y de polarizaci6n de la luz, 0, !o que es mas facil, podemos imaginar un oscilador quc seguirii. el campo, cualqmera sea !a direcciOn en que apunte el campo. Este oscilador que puede oscilar de igual modo en tres direcciones, tendria 3kT de energia media porque hay tres grados de libertad en el mismo. Es porque hay tre~ grados de libertad que usamos 3rkT. l·JfC" t---= -w" ~=~-+[~I Wo-Y lw,,+y w, Fig. 41-3 Los factores del mtegrando de 141.10), El pico es la curva de resonancia 1/(w - Wo) 1 + r 1 /4 Con buena aprox1ma- ci6n se µuede reemplazar el factor /((,,) por l(woJ Ahora tenemos que hacer la integral. Supongamos quc la distribucion espec· tra! desconocida de la luz, l(t_o), es una curva suave y que no varia mucho en la estrechisima regi6n de frecuencia donde a, tiene el pico (Fig. 41-3). Entonces la {mica contribuci6n apreciable proviene de cuando w estti. muy ccrca de «J 0 , dentro de una cantidad gamma que es muy pequeiia. En comecuencia. aunque J(ro} sea una fonciOn desconocida y complicada, el Unico lugar dof'Je c~ importante es cerca de w = ,,J 0 y alli podemos reemplazar la curva suave por una horizontal -una constante- a la misma altura. En otras palabras, sacamos /(<,!) fuera de la integral y la llamamos !(too). Tambien podemos sacar el resto de las constantes fuera de la integral y lo que nos queda es ~7rr~w~/(w 0 ) r ___:!_w_ _ + Y2/4 Jo (w - wo)2 = 3-YkT. (41.l l) 41-7 Ahora bien, la integral deberia ir de 0 a oc, pero el 0 es ta tan lejos de r.ua que para entonces la curva ya se ha acabado, por lo que en su lugar iremos hasta menos oo --da practicamente lo mismo y es mucho _mas racil hacer la integral-. La integral es una funci6n arcotangente de la forma Jdx/ (x 2 + a 2). Si la buscamos en un libro vemos que es igual an/a. Por lo tanto, en nuestro caso resulta 2n/y. En consecuencia, reordenando un poco obtenemos (41.12) Luego sustituimos la expresi6n (41.6) de gamma (no se molesten en escribir (,ia; como es valida para cualquier wa, la podemos Hamar simplemente w) y la f6nnula que resulta para l(r,i) es l(w) = ::~; · (41.13) Y esta es la distribuci6n de luz en un homo muy caliente. Se llama radiaciOn de cuerpo negro. Negro, porque cuando la temperatura es cero el agujero del homo al cual estamos mirando es negro. Seglln la teoria ciasica, la ecuaci6n (41.l3) es la distribuci6n de energia de radiaci6n dentro de una caja cerrada a temperatura T. En primer lugar, notemos una caracteristica notable de esa expresi6n. La carga del osci!ador, la masa de! oscilador, todas las propiedades especificas del oscilador, se cancelan porque una vez a!canzado el equilibrio con un oscilador, debe haber equilibria con cualquier otro oscilador de masa diferente, o nos encontraremos en dificultades. Asi, pues, este es un tipo importante de verificaci6n del aserto: el equilibria no depende de con quC estemos en equihbno, smo Unicameme de la temperatura. Dibujemos ahora la curva de J(w} (Fig. 41-4). Nos dice cuanta luz tenemos para cada frecuencia. "•'lL'-, ' --, ', To ', "' ' """"0111,.,s•oc•----W-~R X ayos Fig. 4 1-4. Distribuci6n de intensidad de la radiaci6n de cuerpo negro a dos temperaturas, segUn la fisica cl.:\sica (curvas llenas) Las curvas de trazos muestran la distribuci6n real. La intensidad contenida en nuestra caja por unidad de intervalo de frecuencia, varia, como vemos, con el cuadrado de la frecuencia, lo cual significa que si tenemos una caja a temperatura cualquiera y miramos los rayos X que salen, jhabra una gr an cantidad ! Naturalmente, sabemos que esto es falso. Cuando abrimos el homo y le damos una ojeada no nos qucmamos los ojos con los rayos X. Es completamente fa!so. Ai.In mas, la energia total que hay dentro de la caja, el total de toda esta intensidad sumada sobre todas las frecuencias, seria el 8.rea debajo de esta curva infinita. Por lo tanto, algo esta fundamental, poderosa y absolutamente errado. Es asi como la teoria clasica fue absofu1amen1e incapaz de describir correctamente la distribuciOn de la luz proveniente de un cuerpo negro, ta! como fue incapaz de describir correctamente 41-8 los calores especificos de Jos gases. Los fisicos volvieron una y otn. vez sobre esta derivaciOn desde muchos puntos de vista y no habia escapatoria: es !a predicciOn de la fisica clitsica. La ecuaciOn (41.13) se llama ley de Rayleigh, es la predicciOn de la fisica clilsica y es evidentemente absurda. 41-3 La equiparticiOn y el oscilador cuil.ntieo La dificultad anterior es otro aspecto de! prolongado problema de la fisica clitsica que comenzO con la dificultad de los calores especificos de los gases y que ahora ha sido enfocado sobre la distribuci6n de la luz en un cuerpo negro. Ahora bien, como es natural, en la ;!poca en que los teOricos estudiaron esto hab[a tambifo muchas medidas de la curva verdadera. Y ocurria que la curva correcta era como las curvas de trazos de la figura 41-4. Es decir que no habia rayos X. Si bajamos la temperatura, toda la curva se baja proporcionalmente a T, de acuerdo con la teoria clisica, pero la curva observada tambien se corta mas pronto a baja temperatura. Por lo tanto, el extrema de baja frecuencia de la curva es correcto, pero el extrema de alta frecuencia estil ma!. t,·Por que? Mientras Sir James Jeans se preocupaba de los calores especificos de los gases, notO que los movimientos que tienen frecuencia alta se "congelan" cuando la temperatura se hace muy baja. 0 sea, que si la temperatura es muy baja, si la frecuencia es muy alta, los osciladores no tienen kT de energia en promedio. Ahora bien, recordemos c6mo funcionaba nuestra deducciOn de (41.13): todo depende de la energia de un oscilador en equilibria tfrmico. Lo que el kT de (41.5) era y lo que es el mismo kT en (41.13), es la energia media de un oscilador armOnico de frecuencia r,J a temperatura T. Cl3.sicamente es kT pero jexperimentalmente no! -no cuando la temperatura es demasiado baja o la frecuencia del oscilador es demasiado alta-. Asi pues, la raz6n de que la curva caiga es la misma razOn de que los calores especificos de los gases estCn errados. Es mils fitcil estudiar !a curva de\ cuerpo negro que los calores espedficos de los gases, que son tan complicados, por lo que enfocaremos nuestra atenciOn en determinar la verdadera curva de\ cuerpo negro, porque nos dice correctamente, a cada frecuencia, cuitl es verdaderamente la energia media de un oscilador armOnico en funciOn de la temperatura. Planck estudiO esta curva. Primera hallO la respuesta empiricamente ajustando la curva observada con una linda funciOn que andaba muy bien. Asi, tenia una f6rmula empirica para la energia media de un oscilador en funciOn de la frecuencia. En otras palabras: tenia la formula correcta en lugar de kT y despues de ju gar un poco encontr6 una derivaci6n simple basada en una hipotesis muy extraiia. Esa hipOtesis era que el oscilador arm6nico s6fo puede adquirir energfa de liw por vez. La idea de que puedan tencr absolutamente cualquier energia es falsa. Por supuesto que aquello fue el principio del fin de la medinica clii.sica. Oerivaremos ahora la primerisima formula cu:intica determinada correctamente. Supongan que los niveles de energla permitidos en un oscilador armOnico esten igualmente espaciados a una distancia hw0 de modo que el oscilador sOlo pueda tomar estas diversas energias (Fig. 41·5). Planck hizo un razonamiento algo mils complicado que el que vamos a dar aqui, ya que era el mismisimo comienzo de la mec:inica cu:intica y tuvo que demostrar algunas cosas. Pero nosotros tomaremos como un hecho (que en este caso eJ demostr6) que la probabilidad de ocupar un nivel 41-9 ~E.•41\0I P,•At•P(-41\0l/~T) ~Ei•3l'>w P,•Aeop(-3l'>OllH) -~-Ea•21IOI Pi"'Ae.<P(-etiwlkY-1 ~E 1 •1IOI P1 •t.f•P(-'l'>w/llT) -'-'-Ec'"'O P0•A de energia E es P(E) correcto. Fig. 41-5. Los nive!es de energ!a de un oscilador arm6nico est<ln igualmente espaciados: En = n'hw. = 1.:ie·f."/kT. Si procedemos asi, obtendremos el resultado Supongan ahora que tenemos muchos osciladores, siendo cada uno un vibrador de frecuencia ui. Algunos de estos vibradores estarlin en el estado cuilntico mils bajo, otros en el siguiente y asi sucesivamente. Lo que querriamos conocer es !a energia media de todos estos osci!adores. Para encontrarla calculemos la energla total de todos los osci!adores y dividilmosla por el nU.mero de osciladores. Esa serit la energia media por oscilador en el equilibria tCrmico, y tambien sera la energia que estli en equilibria con la radiaci6n de cuerpo negro y que debe ir en la ecuaci6n (41.13) en vez de kT. Asi, sea N 0 el nUmero de osciladores que estil.n en el estado fundamental (el estado de energia mils baja); N 1 el nUmero de osciladores en el estado £ 1 ; Ni el nU.mero de los que estii.n en Ei, etc. Conforme a la hip6tesis (que no hemos demostrado) de que en la mec8.nica cu8.ntica la ley que reemplaza fa probabilidad rE.P.! kT o rl:.".c.! k1" de la mec<lnica clii.sica, es que la prob ab iiidad decrece como c!J.1:."/ kr, donde .1£ es la energia en exceso, supondremos que el nllmero N 1 de los que estii.n en el primer estado ser8. el nUmero N0 de los que est<ln en el estado fundamental, multiplicado par cfiw/ kT. Anii.logamente, el nUmero Ni de osciladores en el segundo estado es N 2 = N 0 e-lhw/kT, Para simplificar el 8.lgebra, pongamos rh,,J/kT = x. Entonces tendremos simplemente N 1 .,,... N 0x, N 1 = N 1y?, ... , Nn = = N0 x". Primero se debe calcular la energia total de todos los osciladores. Si un oscilador est8. en el estado fundamental, no hay energia. Si esta en el primer estado, la energia es fir,) y hay N 1 de ellos. Luego, N 1fio), 6 fiuiN0x, es la cantidad de energia que obtenemos de ellos. Los que estitn en el segundo estado tienen 21lu.1 y son N 2 en total, por lo que N 1 • 21lw = 2/JwN0 x 1 es la cantidad de energla que obtenemos, y asi sucesivamente. Luego los surnames todos obteniendo £ 101 - Nof!ro (0 + x + + 2x 1 + 3x3 + ... ). Y ahora, lCLiilntos osci\adores hay? NaLUralmente, N0 es el nllmero de !os que est8.n en el estado fundamental, N 1 en el primer estado, etc., y los sumamos: Nwc ~ N 0 ( I + x + x2 + x3 + ... ). La energia media es entonccs Dejamos al lector las dos sumas que aparecen aqul para que jueguen y se diviertan. Una vez terminadas las sumas, reemplazando x en el resultado, debemos obtener -si no cometemos errores en la suma(£) = ~r;~!~~ . (41.15) 41-10 Esta fue, pues. la primera formula cuantica que se conoci6, o se discutiO, y fue la magnifica culminaci6n de dCcadas de rompederos de cabern. Maxveil sabia que alga estaba ma! y el problema era ~que era lo que estaba bien? Aqui esta la respuesta cuantitativa de lo que est<l bien en vez de kT Naturalmente, esta expresi6n se debe aproximar a kT cuando M ---> 0 o cuando T---> oo. Vean si pueden demostrar que es asi -aprendan a usar la matemiitica. Este es el famoso factor de cone que Jeans estaba buscando y si lo usamos en lugar de kT en (41.13), obtencmos para la distribuci6n de la luz en una caja negra (41.16) Vemos que para w grande, aunque tengamos (,r1 en e! numerador hay una e elevada a una potencia enorme en el denominador. por lo que la curva vuelve a bajar y no "salta por el aire" -jno obtenemos ni luz ultravio!eta ni rayos X donde no losesperan10s! A!guien podria quejarse de quc en nuestra derivaci6n de (41.16) empleamos la teoria cu<intica para los niveles de energia de! oscilador y !a teoria d<isica en la determinaci6n de la secci6n eficaz as. Pero la teoria cuantica de la luz en interacci6n con un oscilador armc'mico da exactamente el mismo resultado que la teoria cl<isica. En realidad es por eso que sc justificaba gastar tanto tiemp-o en nuestro an<llisis de! indice de refracci6n y de la dispersi6n de la luz utilizando un modclo de 3.tomos como pequcflos osciladores: las formulas cuanticas s-on sustancia!mente las mismas. Volvamos ahora al ru1do de Johnson en un resistor. Ya hemos seflalado que la teoria de esta potcncia de ruido es en rcalidad la misma que la teoria de la di~tribuci6n d<isica de cuerpo negro. En verdad. bastante sorprendentemente, ya hemos dicho que si la resistencia de un circuito no fuera una resistencia real, sino una antcna (una an tcna acti.ta como una resistencia porque radia energia), una resistencia de radiaci6n, nos resultaria facil calcular cual seria !a potencia. Seria justamente la potencia que entra en la antena proveniente de !a luz que la rodea, y obtendriamos la misma distribuci6n, a excepci6n de uno o dos factores. Podemos suponer que el resistor es un generador con un espectro desconocido P (w) de potencia. El espectro estil determinado por ei hecho de que este mismo generador, conectado a un circuito resonante de cualquier frecuencia, como en la figura 41-2 (b), genera en la inductancia un voltaje dado por la ecuaciOn (41.2). Se llcga entonces a la misma imegral quc en (41.10) y el mismo metodo da la ecuaci6n (41.3). Para temperaturas bajas, el kTde (41.3) se debe recmplazar, naturalmcnte, por (41.15). Las dos teorias (radiaci6n de cuerpo negro y ruido de Johnson) tambiCn estan intimamente relacionadas desde el punto de vista fisico, ya que por ~upuesto. podemos concctar un circuito resonante a una antena, por lo que la resistencia R sera exclusivamcnte una resistencia de radiaciOn. Como (41.2) no depcnde del origcn fisico de la resistencia, sabemos que el generador G para una resistencia real es el mismo que para una resistencia de radiaci6n. ;,Cua! es el origen de la potencia P ((o) gencrada si la resistencia Res s(}lo una antcna ideal en equilibria con el medio a temperatura T? Es la radiaci6n /(M) en el espacio a tcmperatura T que incidc sabre la antena y, como "seflales recibidas", hace un generador efectivo. Por lo tanto. sc puede deducir una relaci6n directa entre P(w) c l(w), que l!eva entonces de (41.13) a (41.3). 41-11 T odas las cosas de que hemos estado hablando -el llamado ruido de Johnson y la distribuci6n de Planck, y la teoria correcta del movimiento browniano que estamos por describir- son desarro\los de la primera dOCada de este siglo, mils o menos. Ahora, con estos puntos y esta historia en mente, volvamos al movimiento browniano. 41-4 La caminata a1 azar Consideremos c6mo debe variar en el ticmpo la posici6n de una particula que se agita. para tiempos muy largos respecto al tiempo entre "golpes'·. Consideren una pequeiia particula en movimiento browniano que esta zigzagueando porque las mo!Cculas de agua, en zigzagueo irregular, la bombardean de todos !ados. Pregunta: despuCs de un intervalo dado de tiempo, z.a quC distancia de donde sali6 es probable quc se encuentre? Este problema fue resuelto por Einstein y Smoluchowski. Si imaginamos dividir el tiempo en pequeiios intervalos, digamos quc de un centCsimo de segundo mas o menos, despuCs de! primer centCsimo de segundo se mueve hasta aqui, en el siguiente eentCsimo se mueve un poco mils, en el siguiente centCsimo se mueve para otro !ado, y asi sucesivamente. Frente a la rapidez de! bombardeo, un centCsimo de segundo es un tiempo muy largo. Ei lector puede verificar f<icilmente que el rnimero de colisiones que una sola molCc.ula de agua recibe en un segundo es del orden de 10 14 , por lo que en un centCsimo de segundo sufre 10 12 colisiones, jque es bastante! Por lo tanto, dcspuCs de un centCsimo de segundo no recordarit lo que le pas6 antes. En otras palabras, las colisiones son todas al azar, de modo que un "paso" no csta relacionado con el ·'paso" precedente. Es como el famoso problema de! marinero borracho: el marinero sale de! bar y da una serie de pasos, pero da cada uno a un itngulo arbitrario, al azar (fig. 4!-6). La pregunta es: despuCs de mucho tiempo. z.d6ndc estit el marinero'! Naturalmente, jno lo sabemos! Es imposible decirlo. z.Que entendemos por esto que esta en alguna parte mils o menos al azar? Bueno, i,d6nde esta el promedio entonces? En promedio, 1.a qui distancia de! bar ha llegado? Ya hemos contestado e~ta pregunta, porque una vez ci6n de !a Juz provcniente de muchas fuentes diferentes significaba sumar una gran cantidad de flechas a diversos descubrimos que el promedio del cuadrado de la distancia era la suma de de la cadena de pasos al azar, que era la intensidad de la intensidadcs de los pedazos separados. Asi, pues, con el mismo tipo de matcm3.tica. podemos inmediata.mente que si R\ es el vector distancia al origen despw~s de N pasos, promedio de! cuadrado de la distancia al origen es proporcional al mimero N de pasos. Es decir, ( R~·) =NL; donde Le~ la longitud de cada paso. Como el nllmero de pasos es proporcional al tiempo en nuestro prohlema actual. el mfor 111edio de! cuadrado 41-12 de la distancia es proporcional al tiempo: (41.17) Esto no significa que la distancia media sea proporcional al tiempo. Si la distancia media fuera proporciona1 a1 tiempo, eso significaria que el movimiento neto se realiza a una buena velocidad uniforme. El marinero estd avanzando de manera relativamente apreciable, pero Unicamente de modo que el promedio del cuadrado de la distancia es proporcional al tiempo. Esta es la caracteristica de una caminata al azar. Podemos demostrar muy filcilmente que en cada paso sucesivo el cuadrado de la distancia aumenta £ 2 en promedio. Puesto que si escribimos RN= RN-I + L, entramos que Rfe es R\ ·RN= R} = R.R-1 + 2RN_ 1 ·L + L 2 , y promediando sobre muchos intentos, tenemos ( R'/;) que (RN-I· L) = 0. Luego, por inducci6n, R~ = NL 2• = <R'j,_ 1 ) + £2 , ya (41.l8) Ahora querriamos calcular el coeficiente a quc aparece en la ecuaci6n (41.17) y para hacerlo tenemos que agregar alga. Vamos a suponer que si le aplidtsemos una fuerza a esta particula (que no tiene nada quc ver con el movimiento browniano --estamos encarando un problema marginal por el momenta), la misma reaccionaria contra la fuerza de la siguiente manera. Primeramente, habria inercia. Sea m el coe· ficiente de inercia, ia masa efectiva del objeto (no necesariamente igual a la masa real de la particula real, porque el agua se tiene que mover alrededor de la par· ticula si tiramos de ella). Asi, pues, si hablamos de movimiento en una direcci6n hay por un !ado un tfrmino m(t:Px/dt2). Y tambiCn queremos suponer que si continu3.ramos tirando regularmente del objeto, habrla una resistencia al avance, proveniente del fhii· do, la cual es proporcional a la velocidad. Adem:is de la inercia de! flUido, hay una resistencia al movimiento debida a la viscosidad y a la complejidad de! fltiido. Es ab· solutamente escncial que haya alguna pfrdida irreversible, algo parecido a una resistencia, para que haya fluctuaciones. No hay manera de producir e! kT a no ser que tambien haya perd1das. La fuente de las fluctuaciones est3. intimamentc re!acionada con estas perdidas. Dentro de poco discutiremos el mecanismo de esta resistencia al avance -hablaremos de fuerzas proporcionales a la velocidad y de d6nde provienen-. Pero por ahora supongamos que esta resistencia existe. Entonces, cuando estamos tirando de la particula de mancra corriente, la formula para el movimiento bajo la acci6n de una fucrza externa es (41.19) La cantidad 11 se pue<le determinar dircctamente del experimenlo. Por ejemplo, podemos obscrvar la caida de la gota por gravedad. Entonces sabemos quc la fuerza es mg y µ es mg dividido por la velocidad de caida que adquiere finalmente la gota. 0 tambiCn podriamos poner la gota en una centrifuga y ver cuil.nto tarda en sedimentar. 0 si est3. cargada, le podemos aplicar un campo e16ctrico. Por lo tanto, µ es algo medib!e, no una cosa artificial, y se conoce para muchos tipos de part[culas coloi· dales, etc. 41-13 Usemos ahora la misma formula en el caso en que la fuerza no es cxtcrna, sino igual a las fuerzas irregulares <lei movimiento browniano. Trataremos entonces de determinar el valor media del cuadrado de la distancia que recorre el objeto. En vez de tomar las distancias en tres dimensiones, tomcmos sencillamente una dimensi6n y hallemos e! valor medio de x2, simplemente para prcpararnos. (Evidemcmente el promedio de x2 es igual al promedio de J,i es igual al promedio de z 2 y por lo tan to el promedio del cuadrado de la di!.tancia es justamentc 3 por lo que vamos a calcular). La componente x de !as fuerzas irregulares es, naturalmente, tan irregular como cualquiera de las otras componentcs. lCu<'tl es la rapldez de variaciOn de x 2 ? Es d(x 2 ) / /dt = 2x(dx/dl), y as[, lo que tenemos que hallar es el promedio de la posici6n por la velocidad. Demostraremos que es una constante y que por lo tanto el promedio del cuadrado del radio aumentara proporcionalmentc al tiempo, y vcrcmos con quC rapidez. Ahora bien, si multiplicamos la ecuackm (41.19) por x, mx(tPx/d1 2) t µx (dx/dt) = xFr Queremos el promedio temporal de x(dx/dt); hagamos entonces el prornedio de toda la ecuaciOn y estudiemos los tres tCrminos. Ahora bien. ~que pasa con x multiplicada por la fuerza? Si ocurre que laparticula ha recorrido cicrta distancia x, cl siguientc impulso pucde estar en cualquier direcci6n respccto a x, ya que la fuerza irregular es completamente irregular y no sabe de dOnde partiO !a partlcula. Si x es positiva, no hay razOn para que la fuerza media estC tambiCn en esa JirecciOn. Es tan probable que este en una como en otra. Las fuer:zas de bombardeo no la estiln arrastrando en una direcciOn determinada. Por lo tanto el valor media de x por F cs cero. Por otro !ado, tendremos que usar un poco de imaginaciOn con el tfrmino mx(d1-x/dt 2) y cscribirlo en !a forma mx ~ d/2 = m d[x(d_::f!!~rJ dt - m (~)'· dt Asi, introducimos estos dos tfaminos y hacemos el promedio de ambos. Veamos entonces cu<lnto debe ser x por la velocidad. Ahora bicn, x por la velocidad tiene un promedio que no varia en el tiempo, porque cuando llega a una posiciOn no sc acucrantes y de ahi que las cosas ya no cambicn con el tiempo. Por lo da de d6nde tanto. esta es, en promcdio, ccro. Nos queda la cantidad mv2 v 6sta es la Unica cosa que el valor media de mv2 /2 cs ! /2kT. En consccuencla, encontramos quc implica =215!:_, (41.20) µ En consecuencia, despuCs de un cierto tiempo do de la distancia, <R 2 ) , igual a £, el objeto tiene una media del cuadra- (R 2 ) = 6kT t_. µ (41.21) 41-14 JY asi podemos determina1 realmente a que distancia llegan las particulas! Debemos determinar primero c6mo reaccionan a una fuerza constante, a que velocidad sc desp\azan bajo la acci6n de una fuerza conocida (para hallar !1), y entonces podemos determinar hasta d6nde Uegan en sus movimientos a! azar. Esta ecuaci6n tuvo una importancia hist6rica considerable porque fue una de las primeras maneras de determinar la constante k, Despufs de todo, podemos medir p, el tiempo, hasta d6nde !legan las particu!as, y podemos hacer el promedio. La raz6n de que la determinaci6n de k fo.era importante es queen la ley PV '-'-'RT para un mo!, sabemos que R, que tambiCn se puede medir. es igual al nUmcro de iitomos que hay en un mo! multiplicado por k. El mo! fue definido origina!mente como wntos gramos de oxigeno i 6 (ahora sc usa el carbono), por Jo que origina!mentc no se conocia el nllmero de iitomos quc hay en un mo!. NaturaJmente, es un problcma muy interesante e importante. (.C6mo son de grandes los iitomos'! (.Cuimtos hay'.' Asi, pues, una de las primeras determinacioncs de! nUmero de Utomos fue por media de la determinaci6n de hasta d6nde se mueve una particulita sucia. observUndola pacie:1temente al microscopio durante un cierto intervalo de tiempo. Y asi sc determin6 la constante k de Boltzmann y el nUmero de Avogadro N 0 porque R ya habl& sido medida. 41-15 42 Aplicaciones de la teoria cinBtica 42-1 EvaporaciOn 42-4 Cinetica quimica 42-2 EmisiOn tennoiOnica 42-5 Leyes de radiaciOn de Einstein 42-3 lonizaciOn termica 42-1 EvaporaciOn En este capitulo discutiremos algunas aplicaciones mii.s de la teoria cinetica. En el capitulo anterior recalcamos un aspecto en particular de la teoria cinCtica: la energia cinetica promedio correspondiente a cualquier grado de libcrtad de una moJecuh,t u otro objeto es ~kT. Por otro lado, la caracteristica central que disculiremos ahora es que la proba~ilidad de encontrar una_particula en lu?ares diferentes, pm unidad de volumen, varia como e --.::rl<:rgra potencial/.l!; haremos un cicrto numero de aphcaciones de ello. Los fenOmenos que queremos estudiar son relativamente complicados: un Jiquido que se evapora, o electrones que est<'in salicndo de !a supcrficie de un metal. o una reacci6n quimica en la que intcrviene un gran nllmero de ii.tom.as. En tales casos, ya no es posible haccr cualquier afirmaci6n correcta y simple a partir de la teoria cinCtica, ya que !a situaciOn es demasiado complicada. Por lo tanto, este capilulo no ticne mucha exactitud, excepto donde lo digamos expresamente. La idea que hay que recakar es solamente quc a partir de la teorla cinCtica podemos entender mds o menos, c6mo deberian comportarse las cosas. Usando razonamientos termodinilmicos, o ciertas medidas empiricas de algunas cantidades criticas. podcmos obtener una representacibn mas precisa de los fenbmenos. Sin embargo, es muy Util conocer aunque sea poco mils o menus por quC algo se comporta como lo hacc, y asi, cuando nos encontremos con una situaciOn nueva o una quc no hayamos comcnzado aUn a analizar, podemos dccir mils o menos lo que debe succder. Por ello esta discusibn es imprecisa en grado sumo, pero esencialmentc buena -buena en la idea, pero digamos que un poquito simplificada en los detalles espccificos. El primer ejemplo que considerarcmos e~ la evaporaciUn de un liquido. Supongan que tencmos una caja de gran volumen, parcialmente llena con liquido en equilibria y c~n cl vapor a una cierta tcmperatura. Supondremos guc. las m?ICculas de vapor estan relativamente alepdas unas. de otras y que las del hqu1do estan amonto nadas. El prohlema es. cncontrar cufmtas molCculas hay 42-1 en la fase vapor, en comparaciOn con el nllmero de molttulas de! liquido. i,Cu:il es la densidad del vapor a una temperatura dada y cOmo depende de ella? Uamemos n al nllmero de mo!eculas por unidad de volumen de\ vapor. Natu" ralmente, este nllmero varia con la temperatura. Si calentamos, tendremos una evaporaciOn mayor. Digamos tambii:n que I/ V,, es el nUmero de citomos del liquido par unidad de volumen: suponemos que cad a molecula del liquido ocupa un cierto volumen, de modo que si hay mas moli:cu\as de Hquido, todas juntas ocupan un volumen mayor. Por lo que si Va es el vo\umen ocupado por una molCcula, el nUmero de molttulas en una unldad de volumen es una unidad de volumen dividida por el volumen de cada moli:cula. Ademils, suponemos que hay una fuerza de atracciOn entre las moli:culas que las mantiene juntas en el liquido. De otra forma no podemos entender por qui: se condensa. Asi, suponemos que hay esa fuerza y que hay una energia de ligadura de las mo!eculas en el liquido que se pierde cuando pasan a vapor. 0 sea, varnos a suponer que se tiene que hacer una cierta cantidad de trabajo W para pasar una sola mol&:ula de! liquido al vapor. Hay una cierta diferencia W entre la energia de una molecula en el liquido y la que tendria si estuviese en e! vapor, ya que hernos tenido que separarla de las otras moli:cu\as que la atraian. Ahora usamos el principio general de que el nUmero de <i.tomos por unidad de volumen en dos regiones diferentes es nifn 1 = i;{E,EJ/kT. Por lo que el nUmero n por unidad de volumen en el vapor, dividido por el nUmero I IV,, por unidad de volumen en el !iquido, es igual a (42.l) ya que i:sta es la regla general. Es coma la atm6sfera en equilibria bajo la acciOn de la gravedad, donde el gas es mils denso abajo que arriba debido al trabajo mgh que se necesita para levantar las mo!eculas de gas a la altura h. En el liquido. las moli:culas son mas densas que en et vapor porque tenemos que sacar!as atravesando la "Joma" de energia W, y la razOn de las densidades es e--n/r..T Esto es lo que queriamos deducir: que !a densidad de! vapor varia como e ele vado a alguna energia negativa sabre kT. Los factores que se encuentren delante no son realmente interesantes, ya que en la mayoria de los casos la densidad de! vapor es mucho mils pequefla que la del liquido. Bajo estas circunstancias, en que no estamos cerca del punto critico donde las dos son casi iguales, sino que la den· sidad de\ vapor es mucho mils pequeiia que la de! !iquido. el hecho de que 11 es mucho mils pequeilo que I/ Va se debe a que Wes muchisimo mils grande que J,, T. Por lo tanto, las formulas como (42.1) son interesantes so!amente cuando Wes muchisimo mas grande que kT, porque asi. como estamos elevando e a una cantidad negativa tremenda, si cambiamos Tun poquito, ese enorme exponente cambia un poco, y el cambio producido en el factor exponencial es muchisimo mas importante que cualquier otro cambio que pueda ocurrir en los factores que hubiese delante. ~Por qui: puede ser que haya cambios en factores tales como VQ? Porque nuestro analisis sOlo fue aproximado. Despui:s de todo, no hay realmente un volumen definido para cada mol&:ula; a medida que cambiamos la temperatura. el volumen Va no permanece constante -el Jiquido se dilata-. Hay otras pequeilas caracteristicas parecidas y la situaciOn real es m:is complicada. Hay en todo cl volumen factores que dependen de la temperatura y que varian muy despacio. 42-2 De hecho, podriamos decir que la misma W varia un poquito con la temperatura, ya que a una temperatura mils a1ta y con un volumen molecular diferente, habria diferentes atracciones promedio, etc. Asi, aunque pensilramos que tener una formula en la que todo varia de un modo desconocido con la temperatura, es como no tener formula, si nos damos cuenta que el exponente WI kT es en general muy grande, ve" mos que en la curva de la densidad de vapor en funci6n de la temperatura la mayor parte de la variaci6n es ocasionada por el factor exponencial, y el tomar W como constante y el coeficiente l / V0 casi co mo constante, es una buen a aproximaci6n para pequeilos intervalos de la curva. La naturaleza general de la mayor parte de la variaci6n es, en otras palabras, e-Wl~T Resulta que hay muchos, muchos fen6menos en la naturaleza que se caracterizan porque tienen que tomar prestada energia de alglln lugar y en los que el distintivo central de la variaci6n de temperatura es e elevado a menos la energia sobre kT. Esle es un hecho Util solamente cuando la energia es grande comparada con kT, por lo que la mayor parte de la variaci6n estil contenida en la variaci6n de kT y no en la constante u otros factores. Consideremos ahora otro modo de obtcner un resultado bastante similar para la evaporaci6n, pero estudi:indolo con mils detalle. Para llegar a (42.1) simplemente aplicamos una regla que es vii.Iida en el equilibrio, pero con el fin de entender las cosas mejor, no hay ningUn inconveniente en tratar de considerar los detalles de lo que estil. ocurriendo. Tambien podemos describir lo que estil. ocurriendo dd modo siguiente: las mo!eculas de! vapor estil.n continuamente bombardeando la superficie de! liquido; cuando lo hacen, pueden ser rechazadas o pueden quedar pegadas. Hay un factor desconocido para esto, quizils 50 a 50, quizil.s 10 a 90 -no lo sabemos-. Digamos que siempre se quedan pegadas; lo podemos volver a analizar mils tarde suponiendo que no siempre se quedan pegadas. Puesto asi, en un cierto momenta habrit un cierto ni.imero de ittomos que se estil.n condensando en la superficie de! liquido. El ni.imcro de las mo!eculas que se condensan, el ni.imero que llega por unidad de itrea, es e! nUmero n, las que hay por unidad de volumen. por la velocidad r. Esta velocidad de las moleculas estit relacionada con la temperatura, ya que sabe mos qie ¥nv2 es igual a !kT en promedio. Por lo que v es una especie de ve!ocidad media. Naturalmente deberiamos integrar sobre los <i.ngulos y obtener algo parecido a un promedio, pero es aproximadamente proporcional a la raiz cuadrada de la media de la velocidad al cuadrado, por algi.in otro factor. Asi (42.2) es el ni.imero que llega por unidad de itrea y que se condensa. Al mismo tiempo, sin embargo, los Utomos del liquido estii.n vagando y de ve7 en cuando uno de ellos e,<, empujado fuera. Ahora tenemos que estimar con quC rapidez son empujados fuera. La idea serit que en el equilibria, el ni.imero de los quc salen por segundo es igual al nUmero de Jo,<, que llegan por segundo. ~Cuirntos son empujados fuera? Para que una molCcula sa!ga. tiene que habcr adquirido accidenta!mente un cxceso de energia sobre sus vecinos -un exceso de energia considerable, ya que es atraida muy fucrtcmente por las otras molCcu!as de! liquido-. Ordinariamente no sale debido a csta fuerte atracciOn, pero algunas veces una de el!as adquiere accidentalmente una energia adicional en las colisiones. Y la probabilidad de quc adquiera !a energia adicional W que se neecsita en nuestro caso es muy pequei1o si W ' ."» kT 42-3 De hecho, e-Wk/T es la probabilidad de que un :homo haya tornado m:ls de esa cantidad de energia. Este es el principio general de la teoria cinetica: para que se pueda tomar prestada una energia adicional W sobre el promedio, las probabilidades son e e\evado a menos la energia que tenemos que tomar prestada sobre kT. Supongamos ahora que algunas moleculas han tornado prestada esta energia. Tenemos a continuaci6n que estimar cuilntas abandonan la superficie por segundo. El que una molecula tenga la energia necesaria no significa, naturalmente, que se va a evaporar en realidad, ya que podia estar enterrada muy profundamente en el Jiquido o, aunque estuviese muy cerca de la superficie, podia estar viajando en una mala direcci6n. El nllmero que va a abandonar una uni dad de 3.rea por segundo va a ser algo asi: el nllmero de 3.tomos que hay cerca de la superficie, por unidad de 3.rea, dividido por el tiempo que necesita una para escapar, multiplicado por la probabilidad e-W/kT de que esten listos para escapar, entendiendo por es to que ti enen energia suficiente. Supondremos que cada mol6cula de la superficie del liquido ocupa una secci6n efectiva de 3.rea A. Luego, el nUmero de mo\6culas por unidad de 3.rea de la superficie de! liquido ser<l l/ A. Y ahora, (.Cuilnto necesita una molecula para escapar? Si tienen una cierta velocidad promedio v1· y tienen que moverse, digamos, un diilmetro molecular D, espesor de la primera capa, el tiempo que les l\eve atravesar este espesor es el ti cm po necesario para escapar, si la molCcula ti enc energia suficiente. Sera Div. Asi, pues, el nllmero de las que se evaporan sera aproximadamente (42.J) Ahora bien el iirea de cada iitomo por el espesor de la capa es aproximadamente lo mismo que e! volumen Va ocupado por un solo iltomo. Y por lo tanto, para que N., es decir, pueda haber equilibria, debemos tener que Ne 0--0 (42.4) Podemos cance\ar las v puesto que son iguales; aunque una sea la velocidad de una mokcula en el vapor y la otra Ia de una molecula que se esta evaporando, son iguales, ya que sabemos que su energia cinCtica media (en una direcci6n) es ~kT. Pero alguien puede objetar: "1No! jt\'o! fatas son especialmente las mils rilpidas; son las que han tornado energia adicional". Realmente no es asi, ya queen el momenta en que cmpiezan a separarsc de! li4uido tlenen que perder esta encrgia adicional en favor de la energla potenciaL Por ello, a medida que llegan a la superficie, jreducen su ve\ocidad a v! Es lo mismo que vimos en nuestra discusiOn de la distribuciOn de velocidades molecu!ares en la atmOsfera -abajo, las mol6culas tienen una cierta di~­ tribuciOn de energia. Las que llegan arriba tienen la misma distribuciOn de energia, puesto que las lentas no l!egaron y las rii.pidas perdieron velocidad. Las mo\eculas que se estii.n evaporando tienen la misma distribuciOn de energla quc las quc estiln dentro -un hecho bastante notable-. De todos modos, es inutil seguir discutiendo con tanto detalle nuestra formula a causa de otras inexactitudes, tales como la probabilidad de ser rechazadas en lugar de entrar en el liquido, etc. Tenemos. pues, una idea vaga de la rapidez de evaporaciOn y condensaciOn y vemos. naturalmentc. que la densidad de vapor n varia en la misma forma que antes, pero ahora lo hemos comprendido en mils detalle en lugar de tenerlo como una formula arbitraria. 42·4 Esta comprensiOn mils profunda nos permite analizar algunas cosas. Por ejemplo, supongan que bombeilsemos el vapor a una velocidad ta! que sacii.semos e! vapor en cuanto se forma (si tuvifaemos bombas buenas y el liquido se evaporase muy despacio), ~con que rapidcz ocurriria la evaporaciOn si mantuviesemos el liquido a una temperatura T? Supongan que medimos antes experimentalmente la densidad de vapor en equilibria, por lo que sabemos, a la temperatura dada, cuilntas moleculas por unidad de volumen estan en equilibria con e! liquido. Ahora querriamos saber con qui rapidez se evaporara. Aunque solamente hemos uti!izado un aniilisis aproximado en lo que concierne a la evaporaciOn, el nUmero de mo16culas de vapor que llegaban no se cstudi6 tan mal, aparte de! factor desconocido del coeficiente de reflexiOn. Por lo tanto, podemos usar e! hecho de que e! nUmero de las que estim salicndo, en el equilibria, es igual .al nllmero de las que llegan. Es verdad que estamos quitando el vapor por lo que s6!o hay moleculas que salen, pero si no se tocase el vapor, se alcanzaria la densidad de equilibria para la cual e! nUmero de las que vuelven seria igual al nUmero de las que se est3.n evaporando. En resumen, podemos ver facilmcntc que el nUmero de las que abandonan la superficie por segundo es igual al coeficiente de reflexi(m desconocido R por el nUmero de las que volverian a la superficie por segundo si el vapor estuviese presente, porque asi es coma se ba!ancearia la evaporaci6n en el cquilibrio: (42.5) El nllmero de moleculas provenientes del vapor que chocan con la superficie del !iquido es, naturalmence, facil de calcular, ya que no necesitamos conocer tanto acer, ca de las fuerzas como cuando nos preocupamos de c6mo logran escapar a traves de la superficie del !iquido: es mucho mils facil hacer el razonamiento en el orden 42-2 EmisiOn termoiOnica Podemos dar otro ejemplo de una situaci6n muy pr<lctica que es semejante a la evaporaci6n de un liquido -tan semejante que no vale la pena hacer un an<ltisis scparado-. Es esencialmente el mismo problema. En una villvula de radio hay una fuente de electrones, un filamento de tungsteno calentado, y una placa cargada positivamente para atraer a los electrones. Cualquier e\ectr6n que escn.pa de la superficie de tungsteno es inmediatamente arrastrado a la placa. Esta es nuestra "'bomba" ideal, que estit "bombeando" fuera los electrones todo el tiempo. Ahora la pregunta es: LCu3.ntos electrones pueden satir por segundo de un pedazo de tungsteno y c6mo varia este nllmero con la temperatura? La respuesta a este problema es la misma de (42.5). porque resulta que en un pedazo de metal los e\ectrones son atraidos hacia los Lones, o hacia los iltomos de! metal. Podemos decir grosso modo que son atraidos hacia el metal. Para que un electr6n salga de un pedazo de metal, se necesita una cierta cantidad de energia o trabajo para sacarlo. Este trabajo es diferente para diferentes clases de metales. De hecho, varia incluso con el estado de la superficie de una clase dada de metal, pero el trabajo total puede ser de unos pocos electronvolts. que es. entre parentesis, tipico de la energia involucrada en reacciones quimicas. Podcmos recordar el Ultimo hecho recordando 42-5 que el voltaje en una celda quimica tal como una pila de linterna, que se produce mediante reacciones quimicas, es de alrededor de un voltio. lC6mo podemos saber cuimtos electrones salen por segundo? Seria bastante dificil analizar los efectos en los electrones que salen; es mils filcil analizar la situaci6n de modo inverso. Asi, podriamos comenzar imaginando que no nos llevisemos los electrones y que ellos fuesen como un gas y pudiesen volver al metal. Luego, habria una cierta densidad de electrones en equilibrio que por supuesto estaria dada por exactamente la misma f6rmula que (42.1), donde V0 es el volumen por electr6n en el metal, aproximadamente, y W es igual a %'P• donde <p es el llamado potencial de arranque, o sea el voltaje que se necesita para sacar un electr6n de la superficie. Esto nos diria cuilntos electrones tendria que haber en el espacio circundante incidiendo sobre el metal para balancear a los que estiln saliendo. Y entonces es filcil calcular cuantos estan saliendo si quitamos los que rodean el metal, ya que el nUrriero de los que salen es exactamente igual al nUmero de los que incidirian con la densidad anterior de\ "vapor" electrOnico. En otras palabras, la respuesta es que la corriente de electricidad que entra por unidad de area es igual a la carga de cada uno por el nUmero que llega por segundo por unidad de area, lo cual es el nU.mero por unidad de volumen por la·velocidad, como hemos visto muchas veces: (42.6) Ahora bien, un electronvolt corresponde a kT a una temperatura de 11.600 grados. El filamento de! tubo puede estar trabajando a una temperatura, digamos, de 1.100 grados, por Jo que el factor exponencial es algo asi como et 0 ; cuando variamos la temperatura un poquito, el factor exponencial cambia mucho. De nuevo tenemos que la caracteristica central de la formula es e-q.,tp/ kT. En realidad, el factor que va delante estit totalmente errado --resulta que el comportamiento de los electrones en un meial no se describe correctamente mediante la teoria clilsica, sino mediante la mec3.nica cuimtica, pero esto no hace sino cambiar un poco dicho factor-. En rea\idad, nadie ha sido capaz de obtener correctamente esto, aunque muchos han usado la mecitnica cuimtica de alta categoria para sus citlculos. El gran problema es: ~cambia W ligeramente con la temperatura? Si es asL, nose puede distinguir una W que cambia lentamente con la temperatura, de un coeficiente diferente delante. Esto es, si W cambia linealmente, digamos. con la temperatura, de manera que W = W0 + a.kT, tendriamos 0 sea, una W que depende linealmente de la temperatura es equivalente a una "constante •· diferente.' Es realmente muy dificil y de ordinario inU.til obtener exactamente el coeficiente que va delante. 42-3 IonizaciOn termica Veamos ahora otro ejemplo de la misma idea; s1empre la misma idea. Tiene que ver con la ionizaciOn. Supongan que tenemos en un gas un mont6n de ittomos en estado neutro, digamos, pero que el gas est3. caliente y los ii.tomos se pueden 42-6 ionizar. Querriamos saber cu3.ntos iones hay en una circunstancia determinada si tenemos una cierta densidad de 3.tomos por unidad de volumen a una cierta temperatura. Consideramos de nuevo una caja en la que hay N 3.tomos que pueden contener electrones. (Si un electr6n ha salido de un 3.tomo, i:ste se llama ion y si el ittomo es neutro se llamarit simplemente ittomo.) Supongan entonces que, en un momenta dado, el nU.mero de 3.tomos neutros es na, el m.i.mero de iones es 11 1 y el nUmero de electrones es 11 •• todos por unidad de volumen. E! problema es: ~Cuill es la relaci6n entre estos tres nUmeros'? En primer lugar, tenemos dos condiciones de vinculo para los nUmeros. Por ejemplo, segUn variemos diferentes condiciones, como la temperatura u otras cosas, nu + n1 permanecerit constante, ya que esto es simp!emente el nllmero N de nU:cleos atOmicos que hay en la caja. Si conservamos fijo el nU:mero de nllcleos por unidad de volumen y cambiamos, por ejemplo, la temperatura, a medida que la ionizaci6n tiene lugar a!gunos ittomos pasaritn a iones, pero el nU:mero total de itomos mils iones seril constante. Esto es, na + n; = N. Otra condiciOn es que si el gas total tiene que estar eiectricamente neutro (y no tenemos en cuenta una doble o triple ionizaci6n), esto significa que el nllmero de iones es igual al nllmero de electrones para cualquier tiempo, o sea n; = n,,. Estas son ecuaciones subsidiarias que expres.an simplemente la conservaci6n de la carga y la conservaci6n de los ittomos. Estas ccuaciones son ciertas y las usaremos fina!mente cuando consideremos un problema real. Pero queremos obtener otra relacic"in entre las cantidades. Lo pode nuevo la idea de que se necesita una cierta demos hacer como sigue. electr6n de! <'ttomo. que llamaremos energia de cantidad de energia para sacar ionizaci6n, y la escribiremos como W para que todas las formulas se parezcan. Asi. W es la energia necesaria para sacar un electr6n de un :itomo y convertirlo en un ion. Ahora decimos de nuevo quc el nUmcro de e!ectrones libres por unidad de volumen en el "vapor" es igual al nllmero de electroncs ligados a los 3.tomos por unidad de volumen por e elevado a menos la diferencia de energia entre estar ligado y estar libre, sobre kT. Otra vez tenemos la ecuaciOn bitsica. iC6mo podemos escribirla? El nUmero de electrones libres por unidad de volumen seria, naturalmente, n., ya que esta es la definici6n de n•. Ahora bien, &que hay de! nllmero de electrones ligados a los itomos por unidad de volumen'? El nUmero total de lugares donde podriamos colocar los e!ectrones es aparentemente na + n1 y supondremos que cuando estitn ligados, cada uno de ellos lo est3. dentro de un cierto vo\umen V.,. Luego, la cantidad total de volumen disponible para los electrones que estarian ligados es (na + n;) Va, y de ese modo podriamos querer escribir nuestra formula en la forma Sin embargo, la formula es err6nea en un punto esencial, que es el siguiente: cuando ya hay un electrOn en un .itomo, iOtro electr6n no puede venir jamis a ese volumen! En otras palabras, todos los volllmenes de todos Jos lugares posibles no est:in realmente dlsponibles para aquel electrOn que esta tratando de decidir si estar o no en el vapor o en la posiciOn condensada, porque en este problema hay una caracteristica adicional: cuando un electrOn se encuentra donde esti otro electr6n, no se le permite ir -es repelido-. Por esta raz6n, resulta que deberiamos contar solamente aquella parte del volumen que esti disponible para que un electr6n se quede o no. Esto es, las partes que ya esdn ocupadas no cuentan en el volumen total disponible, sino quc el Unico volumen que se permite es el de los iones, dOndc hay lugares vaclos para que el electr6n vaya. Luego, en estas circunstam:ias, encontramos que un modo mejor de escribir nuestra formula es (42.7) Esta formula se llama ecuacfr)n de ionizaci6n de Saha. Veamos ahora si podemos entender cualitativamente por que una formula coma esta es cierta, hacienda uso de las cosas cineticas que estiln ocurriendo. En primer lugar, de vez en cuando un electr6n llega a un ion y se combinan para formar un iltomo. Y tambicn de veL en cuando, un iltomo sufre una colisi6n y se separa en un ion y un electrOn. La rapidez de ambos procesos debe ser igual. t.Con que rapidez se encuentran los electrone~ y Jos iones? La rapidez aumenta cier tamente si aumenta el nUmero de elcctrones por unidad de volumen. Tamb1en aumenta si aumenta el nUmero de mnes por urndad de volumen. Esto es. la rapidez total a la cual ocurre la recombinaci(m es ciertamente proporcional al nUmero de electrones por el nllmero de iones. Ahora bien, la rapidez total a !a que esti ocurriendo la ionizaciOn debido a las colis10nes debe depender linealmente del nUmcro de itomos que hay para se' ionizados. Y por consiguiente ambas rapideces se balancearim cuando haya alguna relacion entre el producto n,n, y el nUmcro de 3.tomos n0 . El hecho de que suceda quc esta relaciOn estil dada por esta formula particular. donde W es la energia de ionizaci6n, es naturalmentc algo mas de mformac16n, pero podemos entender fitcilmente que la formula contendria necesariamente las concentraciones de los electrones, ione~ y <i.tomos en la combinacion nen/ na para producir una constante independicnte de las n, y dependiente solamente de la temperatura, de las secciones eficaces at6micas y otros factore~ constantes. TambiCn podemos notar que, puesto que en la ecuaciOn intervienen los nllmeros por unidad de vofumen, si tuvii:semos que haccr dos expenmentos con un nUmcro total N de atomos mils iones, o sea con c1erto nllmcro fijo de nUcleos, pero usando cajas de vo\Umenes diferentes, !as n serian mis pequeii.as en la caja mas grande. Pero, puesto que el cociente n,J1.Jn0 pcrmanece igual, el nUmero total de iones y electrones debe ser mayor en la caja mils grande. Para ver esto, supongan que hay N nUcleos dentro de una caja de volumen Vy que una fracciOnfde ellos estil ionizada. Entonces, ne =JN/Vy n0 = (1-j)N/V. Nuestra ecuaci6n se convierte en 12 N 1=7 j7 e-W/kT ~ -v;- . (42.8) En otras palabras, si tomamos una densidad de iltomos cada vez mils pequeiia, o hacemos el volumen donde estin encerrados cada vez mayor, la fracci6nfde iones y electrones debe aumentar. Esta ionizaci6n, sO\o por "cxpansiOn" a medida que la densidad disminuye, es la raz6n por la cual creemos que a densidades muy bajas, tales como en el espacio frio entre las estrellas, puede haber iones presentes, aunque no lo podamos entender desde el punto de vista de la energia disponible. Aunque se necesitan muchos, muchos kT de energia para hacerlos, hay iones presentes. z.Por que puede haber iones presentes cuando hay tanto espacio alrededor, mientras que si aumentamos la densidad los iones tienden a desaparecer? Respuesta: Consideren un .itomo. De vez en cuando, luz, u otro :itomo, o un ion o cualquier cosa que sea la que mantiene el equilibria termico, lo golpea. Muy raramente, ya que se necesita una cantidad tremenda de energla adicional, un electrOn sale y queda un ion. Ahora bien, si el espacio es enorme, ese electrOn vaga y vaga y quizils no llega cerca de algo en aiios. Pero a!guna vez en un tiempo muy grande, sl vuelve a un ion y se combinan para formar un :itomo. Por lo que la rapidez a la que los electrones salen de los .itomos es muy pequefia. Pero si el volumen es enonne, un electrOn que ha escapado toma tanto tiempo en encontrar otro ion para recombinarse, que su probabilidad de recombinaciOn es muy, pero muy pequefia; asi, a pesar de la gran energia adicional que se necesita, puede haber un nUmero razonable de electrones. 42-4 CinCtica quimica La misma s!tuaciOn 'Lue acabamos de Hamar "ionizaciOn" se encuentra tambiffi en una reacciOn quimica. Por ejemp!o, si dos objetos A y B se combinan para formar un compuesto AB, entonces si pensamos por un momenta, vemos que AB es lo que hemos llamado un itomo, B es lo que llamamos un electrOn y A lo que llamarrios un ion. Con estas sustituciones, las ecuaciones de equilibria tienen exactamente la misma forma: ~-'~ = ce-11" 1'' 1·. (42.9) n.111 Desde luego, esta formula no es exacta puesto que la "constante" c depende del volumen que se permita a A y B para combinarse, etc., pero mediante razonamientos termodinilmicos se puede identificar el significado de W en el factor exponencial, y resulta que es muy prOximo a la energia que se necesita en la reacciOn. Supongan que hemos intentado entender esta formula coma resultado de coli" siones, muy parecido al modo como entendimos la formula de evaporaciOn, argumentando acerca de cuilntos electrones salian y cu.intos volvian por unidad de tiempo. Supongan que A y B se combinan de vez en cuando mediante una co!isiOn para formar un compuesto AB. Y supongan que el compuesto AB es una mo!ecula complicada que camina al azar y que es go!peada por otras mole<:ulas, y que de vez en cuando obtiene energia suficiente para explotar y romperse de nuevo en A y B. Ahora bien, en las reacciones quimicas resulta realmente que si los 3.tomos se acercan con energias muy pequeiias, aun cuando se pueda emplear alguna energ[a en la reacci6n A + B---> AB, et hecho de que A y B se puedan tocar no hace que la reacciOn comience necesariamente. Se requiere usualmente que la colisiOn sea bastante dura, de hecho, para hacer que la reacciOn comience -una colisi6n "suave" entre A y B puede no originarla, aunque se utilice alguna energia en el proceso---. Asi, pues, supongamos que es· muy comUn en reacciones quimicas que, para que de A y B se forme AB, no basta que choquen entre si, sino que tienen que hacerlo con energia suficiente. Esta energia se llama energia de activaci6n --energia que se necesita para "activar" la reacci6n-. Llamemos A"' a la energia de activaci6n, energia adicional necesaria en una colisiOn 42-9 Fig 42-1. Relaci6n de energia para la reacc16nA + B -•AB. para que la reacciOn pueda ocurrir realmente._Entonces, en la vel~dad R1 a la que A y B produce AB intervendria el nUmero de atomos de A por el numero de Utomos de B, por la velocidad a la cual un solo Utomo golpearia una cierta secciOn eficaz uAB• por un factor e--A*'J. 1, que es la probabilidad de que tengan energ[a suficiente: (42.10) Ahora tenemos que encontrar la velocidad opuesta R,. Hay una cierta probabilidad de que AB se desintegre. Para que pueda hacerlo. no solarnente debe tener la energia W que necesita para que se ~eparen. sino que asi corno era dificil que A y B se juntasen, hay una especic de lama sabre la rnal A J B tienen que pasar para ~epa­ rarse de nucvo: no solo deben tener bastante energia para cstar en condiciones de separarse, sino adcmils una cierta energia adicional. Es como trepar una loma para llegar a un \alle profundo; tienen que trcpar la loma para entrar y tieflen que tre par para salir del vallc y volver atr<'is (Fig. 42-1 ). Por lo tanto, la vclocidad con la que AB vuelve a B scril proporcional al numero n.-18 que hay presente por e(W + A•JikT. (42.l 1) La c' incluiril el volumen de los <itomos y las colisiones por unidad de tiempo que podemos calcular con areas y tiempos y espesores, como hicimos en el caso de evaporacion; pero no lo haremos. La caractcnsLica principal de interes para Dosotros cs que cuando estas dos velocidade1. son iguales, su cociente nos da la unidad. Esto nos dice que nAn8 /nAJJ - ce-W 1 ~ 1 , igual que antes, donde c involucra las secciones efoctivas, las velocidades y otros factores independientes de las n. Lo interesante es que la vclocidad de la reacciOn tambiCn varia como e -const!n; aunque la constantc no es la misma que la que rige las concentraciones: la energia de activaciOn A* es muy diferente de la cnergia W. W rige las proporciones de A, B y AB que tenemos en equilibria, pero si queremos saber con que velocidad A+ B pasa a AB, esto no es una cuesti6n de equilibria y por consiguiente una energia diferente, la energia de activaci6n, nge la velocidad de reacci6n mcdlante un factor exponencial. Adem<is, A* no es una constantc fundamental como W. Supongan queen la superficie de la pared ~-() en alglm otro lugar- A y B se pudiescn adherir temporalmente de ta! modo quc pudiesen cornbinarse mils fitcilmcntc. En otras palabras, podriamos encontrar un "t\inel'" a travC5 de !a loma o qu11ils una loma mils baja. Por conservaci6n de la energia, cuando este todo terminado habremos hecho AB a partir de A y B. por lo quc la diferencia de energ1a rv seril enteramente independicnte del modo en que ocurriO la rcacci6n. 42-10 pero la energia de activaci6n A* dependerit muchisimo de! modo en que ocurre la reacci6n. Esto explica por que las reacciones quimicas son muy sensibles a las condiciones exteriores. Podemos cambiar la velocidad colocando una superficie de una clase diferente, podemos colocar\a en un "barril diferente '', por ejemplo, y ocurririt a una velocidad diferente, si esta depende de la naturaleza de la superficie. 0 si colocamos dentro un tercer objeto diferente, puede cambiar muchisimo la velocidad; algunas cosas producen enormes cambios en la velocidad simplemente cambiando A* un poquito -se Jes llama catalizadores-. Puede ocurrir que una reacci6n practicamente no se lleve a cabo porque A* es demasiado grande a la temperatura dada, pero cuando introducimos esta sustancia especial, el catalizador, entonces la reacci6n es verdaderamente r:ipida porque A* se ha reducido. Entre parentesis, hay alguna dificultad con ta! reacci6n, A mas B da AB, porque no podemos conservar a la vez energia y momentum cuando tratamos de colocar juntas dos objetos para formar uno que es mas estable. Por consiguientc, necesitamos por Jo menos un tercer objeto C y por ello la verdadera reacci6n es mucho m:is complicada. En la velocidad hacia adelante interviene el producto nAnBnc y podria parecer que nuestra f6rmula va a ser err6nea, pero jno! Cuando consideramos lavelocidad a la que AB va en la otra direcci6n, encontramos que tambiCn necesita colidir con C, por lo que en la velocidad inversa interviene nA 8 n(; las nc se cancekm e;1 la f6rmula para las concentraciones de equilibria. La Icy de equilibria (42.9) que escribimos primero est:i absolutamente garantizada como verdadera jcualquiera sea el mecanismo de la reacci6n! 42-.5 Leyes de radlaeiOn de Einstein Volvemos ahora a una interesante situaci6n ana\oga que tiene que ver con la ley de radiaci6n de cuerpo negro. En el capitu!o anterior calculamos la \ey de distribuci6n para la radiaci6n en una cavidad de\ modo que Planck lo hizo, considerando la radiaci6n de un oscilador. El oscilador tiene que tener una cierta energia media, y como est:i oscilando, radiaria y seguiria bombeando radiaci6n a la cavidad hasta que amontonase tanta que balancease la absorci6n emisi6n. Asi encontramos que la intensidad de radiaciOn a la frecuencia w estaba dada por la formula l(w)dw = --cc~cc~~­ ·- I) (42.12) Este resultado contenia la suposici6n de que el oscilador que generaba la radiaci6n tenia niveles de energia definidos e igualmente espaciados. No dijimos que la luz tenia que ser un fot6n o algo parecido. No discutimos acerca de c6mo, cuando un atomo pasa de un nivel a otro, la energia tiene que salir en una unidad de energia, hw, en forma de luz. La idea original de Planck fue que era la materia la que esta ba cuantizada y no la luz: los osciladores materiales no pucden to mar simplemenle cualquier energia, sino que lo ticnen que hacer en bloques. Adcmtis, el problema con la derivaci6n es que era parcialmente cl:isica. Calculamos la rapide1 de radia ci?n de un oscilador de acuerdo a la fisica c\asica; despues le dimos !a vue\ta y diJ1mos: "No, este osci!ador tiene muchos nivelc~ de energia'". Asi que gradualmentc, con el fin de encontrar el resultado correcto, e! resultado completamente cu:intico, hubo un desarrollo lento que culmin6 en la mecii.nica cu<'intica de 1927. Pero entretanto, Einstein inlent6 convertir el punto de vista de Planck de que sola mente los osciladores 42-l l m__:_ Absorciim EmisiOnespontii.nea ~"=~--;:'-EmisiOninducida deF~~er:~-~eu~~~:~c~~nes entre dos niveles de materia estaban cuantizados, a la idea de que la luz era realmente fotones y podia ser considerada de alg(m modo coma particulas con energia /fw. Ademils, Bohr habia indicado que cualquier sistema de <itomos tiene niveles de energia, pero que 6stos no se encuentran necesariamente igualmente espaciados como el oscilador de Planck. Asi que fue necesario volver a derivar o por lo menos volver a discutir la ley de radiaci6n desde un punto de vista cuilntico mas completo. Einstein supuso que la f6rmula de Planck estaba bien y la us6 para obtener alguna informaci6n nueva., desconocida anteriormente, acerca de la interacci6n de la radiaci6n con la materia. Su discusi6n fue como sigue: Consideren dos cualesquiera de los muchos niveles de energia de un :'ttomo, digamos Jos niveles m-6simo y n-6simo (Fig. 42-2). Ahora bien, Einstein propuso que cuando luz de frecuencia apropiada incide sabre ese :itomo, 6ste puede absorber ese fot6n de luz y efectuar una transici6n <lei estado n al m, y que la probabilidad de que ocurra asi por segundo depende naturalmente, de los dos niveles, pero es proporcional a Ia intensidad de la luz que est:i incidiendo. Llamemos a esta constante de proporcionalidad Bnm' simplemente para tener presente que no es una constante universal de la naturaleza, sino que depende del par particular de niveles: algunos niveles son f:iciles de excitar y otros dificiles. Ahora bien, (.cuti.l va a ser la fOrmula para la probabilidad de emisi6n de m a n? Einstein propuso que debe constar de dos partes. En primer lugar, aun cuando no hubiese luz presente, habria alguna probabilidad de que un :itomo en un estado excitado pasase a un estado m:is bajQ emitiendo un fot6n; a esto !o llamaremos emisi6n espontdnea. Es ana!ogo a la idea de que un oscilador con una cierta cantidad de energla, aun en fisica cl:isica, rro la guarda sino que la pierde por radiaci6n. Asi, lo an:ilogo de la radiaci6n espontinea de un sistema cl:isico es que si un ittomo estit en un estado excitado hay una cierta probabilidad Arnn> que tambifo depende de los niveles, de que baje de m a n y esta probabilidad es independiente de si hay luz iluminando el :itomo o no. Pero entonce~ Einstein fue mis lejOS y mediante la comparaciim con la teoria clisica y otros argumentos concluy6 que la emisi6n tambien se vela influenciada por la presencia de luz --que cuando la luz de frecuencia apropiada ilumina el :itomo, este tiene una probabilidad mayor de emitir un fot6n, la cual es proporcional a la intensidad de la luz, con la constante de proporcionalidad Bm,,-· Mils tarde, si deducimos que este coeficiente es cero, habremos demostrado que Einstein estaba equivocado. Pero, naturalmente, encontraremos que tenia raz6n. AsL, Einstein supuso que hay tres clases de procesos: una absorci6n proporcional a la intensidad de la !uz, una emisi6n proporcional a la intensidad de la luz Hamada emisi6n inducida y algunas veces emisi6n estimulada, y una emisi6n espontitnea independiente de !a luz. Supongan ahora que tenemos, en el equilibria a una temperatura T, un cierto nUmero de titomos Nn en cl estado n y otro nUmero Nm en el estado m. Entonces, el nUmero total de :itomos que van a pasar de n a m es el nUmero de los que est<i.n en el estado n 42-12 por Ja probabilidad por segundo de que si uno esta en n pase a m. La f6rmula para el nU.mero de Jos que van a pasar de n a m por segundo es: (42.13) Del mismo modo, el nU.mero de los que pasar<in de m a n se expresa, como el nU.mero Nm de los que est an en m multiplicado por la probabilidad por segundo de que cada uno baje a n. La expresi6n es R,,, . .,, ~ N ... [A ... ., + B.,,l(w)]. (42.14) Supondremos ahora que en el equilibrio termico el nU.mero de ;homos que suben debe ser igual al nU.mero de los que bajan. Por lo menos es un modo de asegurarse que el nU.mero de :homos permanezca constante en cada nivel"'. Consideramos entonces que estas dos probabilidades son iguales en el equilibrio. Pero tenemos aUn otra informaci6n: sabemos lo grande que es Nm comparado con N" -su cociente es e-iEm-E.llkT-. Ahora supuso Einstein que la lmica luz que efectivamente produce la transici6n de n a m es aquella que tiene la frecuencia correspondiente a la diferencia de energia, por lo que Em-E~ = ffw en todas nuestras f6rmulas. Entonces (42.15) Y si igualamos las dos probabilidades, N 11 B,.,,,I(r,1) = 1V,..[A"'"-,. Bmnl(w)] y dividimos por N.,,, obtenemos B .,nl(w)ell"'/kT = A,,,,. Bmnl(w). (42.16) A partir de esta ecuaci6n, podemos calcular l(r,,). Es simplcmente + 1 l(w) = ~-~.,,4?----Bnme - B,,.,. · (42.17) Pero Planck nos ha dicho antes que la formula debe scr (42.12). Por lo que podemos que de otra forma deducir algo: en primer lugar, B,,,,, debe ser igual a B,,,,,, no podemos obtener (efl,,,/J.T _. J). Asl, Einstein dcscubriO cOmo calcular, en especial que fa probabifidad de emisiOn de absorci6n deben ser iguales. Esto es interesante. Y (42.12) concuerden, debe ser (42.18) Asi, por ejemplo, si conocemos la probabilidad de absorci6n para un nivel dado. podemos deducir la probabllidad de emisi6n espont.iinea y la de emisi(m inducida o cualquicr combinaci6n. Hasta aqui es hasta donde Einstein o cualquier otro podia llegar usando tales ra]'.Onamientos. Hoy en dia. computar la probabilidad absoluta Jc cmisi6n csponti1· nea o las otras probabilidades para cualquier transici6n at()mica especifica requiere, naturalmente, un conocimiento de la maquinaria del ittomo. llamada electrodinitmica cuilntica, que no sc dcscubri6 hasta once aiios mils tarde. Este trabajo de Einstein sehizoen 19!6. '" Este no es el Unico modo de arreg!itrnoslas para mantcner con st ante el numero de iHomos en los diversos niveles. pero es el que fum.:iona. El hecho de queen cl equilibri(1 tCrmico cada proceso debaser balanceado por su opuesto exacw e., lo que se llama principio de halairce detal/ado. 42-13 La posibilidad de emisi6n inducida ha encontrado actua!mente aplicaciones interesantes. Si hay luz presente, tenderil a inducir la transici6n hacia abajo. La transiciOn aliade su fir,J a la energia de luz disponible. si hay algunos ittomos situados en el estado superior. Podemos., hacer, mediante algUn metodo no termodinilmico, que un gas tenga el nUmero en el estado m mucho mas grande que el nUmero en el estado n. Esto estil muy lejos de! equilibr:io y no est3. dado entonces por la fOrmula cn,,.;rr de\ equilibria. Tambien podemos hacer que el nUmero en el estado ~uperior sea muy grande, mientras que el de! estado inferior sea prilcticamente cero. En este caso, la luz que tlene !a energia correspondiente a la diferencia de energias Em-En no seril fuertemente absorbida, ya que no hay muchos il.tomos en el estado n que la puedan absorber. Por otro !ado. cuando esta luz estil presente. jinduciril !a emisi6n desde este estado superior! Por !o tanto. si tenemos muchos ii:tomos en el estado superior. habrit una especie de reacci6n en cadena en la cual. dcsde el momenta en que los il.tomos comiencen a emitir, otros mils se veritn forzados a emitir y todo el conjunto de iltomos caeril de golpc. Esto es lo que se llama un ldser o, en el caso del infrarrojo !ejano. un mGser. Fig. 42-3. Exc1tando un estado mas alto h, mediante !uz azul d1garnos, que puede Awl Roja,luzdell<lser emitir un fot6n dejando atomos en el estado m, e! nUmero en este estado se hace lo suftc1entemente grande como para comenzar la acc16n l<!ser Se pueden usar diversos artif,cios para obtener los <i.tomos en el estado m. Podria haber mve!cs mils altos a los cuales los iitomos podrian ir si ilumin:isemos con un haz fuerte de Juz de alta frecuencia. De esto~ nivcle~ podnan gotcar emitlendo varios fotones, hasta que todos se queden parados en e! estado m. Si tienden a permanecer en e! estado m sin emitir, el estado se llama metastable. Y luego se hace que todos caigan de golpe por emisiones inducidas. Otro punto tecnico mils: si colocamos este sistema en una caja ordinaria. radiaria espont:ineamente en tantas direcciones diferentes, comparado con el efecto inducido. que aim tendriamos problemas. Pero podemos acrecentar el efecto inducido, aumentar su eficiencia, colocando espejos casi perfectas en cada !ado de la caja, de modo que la luz que es emitida tenga otra oportunidad, y otra oportunidad, y otra oportunidad, de induclr mils emi· siOn. Aunque los espCJOS son casi un den por ciento reflectores. hay una pequelia cantidad de transmisiOn y un poco de luz sale fucra. Al final. a causa de la conservaci6n de la energia, toda la luz sale uniformemente en una linda linea recta, !o cual da lugar a los haces de luz intcnsos que son posibles hoy en dia con los !ii.seres. 42-14 43 Difusion 43- I Colisiones entre moleculas 43.4 Conductividad iOnica 43-2 El camlno llbre medio 43-S Difusi6n molecuJar 43·3 La veloeidad de arrastl'f' 43-6 Conductividad tCrmica 43-1 Colisiones entre molCculas Hasta ahora s6lo hemos considerado !os movimientos moleculares en un gas que se encuentra en equilibria tfrmico. Ahora queremos estudiar lo que ocurre cuando se estii cerca del equilibria, pero no exactamente en el equilibria. En un estado muy apartado del equilibria, las cosas son extremadamente complicadas, pero muy cerca de! equilibria podemos examinar filcilmente lo que sucede. Para verlo debemos, sin embargo, volver a la teoria cinetica. La mecilnica estadistica y la termodinilmica se ocupan de! estado de equilibria, pero fuera del equilibria s6Io podemos analizar lo que ocurre iltomo por 3.tomo, por asi decir. Como ejemp!o sencillo de una situaci6n de falta de equilibria, consideraremos la difusi6n de iones en un gas. Supongan que en un gas hay una concentraci6n rela· tivamente baja de iones -mol6culas cargadas el6ctricamente-. Si aplicamos un campo elOCtrico al gas, sobre cada ion actuarii una fuerza que es diferente de las fuerzas entre las mol6culas neutras del gas. Si no hubiera otras mol6culas presentes, un ion tendria una aceleraci6n constante hasta alcanzar la pared de! redpiente. Pero no lo puede hacer debido a la presencia de las otras mol6cu!as; su velocidad aumenta tinicamente hasta que choca con una mo!Ccu!a y pierde su momentum. Comienza de nuevo a adquirir mayor velocidad y de nuevo pierde su momentum. El efecto resultante es que un ion se abre camino a lo largo de una trayectoria irregular, aunque con un movimiento neto en la direcci6n de! campo elCctrico. Veremos que el ion experimenta un "arrastre" media, con una velocidad media proporcional al campo e!Cctrico- cuanto mils intenso es el campo elCctrico, mils nipido va. Mientras el campo estil. ap!icado y mientras el ion se estit moviendo, no estii, por supuesto, en equilibria t6rmico: estit tratando de llegar al equilibria, que consiste en quedarse en el extrema del recipiente. Podemos ca!cular la velocidad de arrastre por media de !a teoria cinCtica. Resulta que con la matemittica que sabemos actualmente, en rea!idad no podemos calcular con precisiOn lo que sucederit, pero podemos obtener resultados aproximados que muestran los rasgos esenciales. Podemos descubrir c6mo varian !as cosas con la presi6n, 43-1 con la temperatura, etc., pero no seril posible obtener exactamente los factores numericos correctos que hay delante de todos los terminos. En consecuen_:ia, en nuestras derivaciones no nos preocuparemos del valor preciso de los factores numb-icos. SOio se los puede obtener con un tratamiento matemiltico mucho mils refinado. Antes de considerar Jo que sucede cuando no hay equilibria, tendremos que examinar un poco mils de cerca lo que pasa en un gas en equilibria termico. Tendremos que conocer, por ejemplo, cuill es el tiempo media entre colisiones sucesivas de una mo!Ccula. Cualquier mol&:ula experimenta una serie de colisiones con otras moleculas -naturalmente que al azar-. En un largo periodo de tiempo T, una mol&::ula determinada sufriril un cierto nU:mero N de choques. Si duplicamos la duraciOn del intervalo habril el doble de choques. Luego, el nUmero de colisiones es proporciona\ al tiempo T. Lo escribiremos asi: N = T/T (43.1) Hemos escrito la constante de proporcionalidad en la forma 1/T, donde T tiene dimensiones de tiempo. La constante T es el tiempo media entre colisiones. Supongan, por ejemplo, que hay 60 colisiones en una hora; T es entonces un minuto. Diriamos que T (un minuto) es el tiempo medio entre las colisiones. Muchas veces deseamos hacer la siguiente pregunta: "lCuill es laprobabilidad de que una mol&:ula experimente una colisi6n en el siguiente intervalo pequeiio de tiempo dt?"La respuesta, que la podemos entender intuitivamente, es dth. Pero tratemos de hacer un razonamiento mcl.s convincente. Supongan que habia un gran nU:mero N de moleculas. l Cuil.ntas tendriln colisiones en el siguienteintervalo dt ?Si hayequilibrio, nada varia en promedio con el tiempo. Por lo tanto, N moleculas esperando durante" dt sufririln el mismo nU:mero de colisiones que una molOCula durante el tiempo N dt. Sabemos que ese nUmero es N dth. Luego, el nUmero de choques de N molOCulas es N dt h en el tiempo dt y la probabilidad de un choque para cualquier molecula es simplemente l/N por ese valor, o sea (I/N) (N dt/T)=dth, como habiamos supuesto mils arriba. Es decir, la fracci6n de moJeculas que sufririn una colisi6n en el tiempo dt es dth. Para dar un ejemplo, si T es un mlnuto, la fracciOn de moleculas que sufriril colisiones en un segundo es 1 /60. Esto significa, naturalmente, que I /60 de las molOCulas estim por casualidad lo bastante cerca de donde van a chocar como para que sus colisiones ocurran en el minuto siguiente. Cuando decimos que T, el tiempo medio entre colisiones, es un minuto, no queremos decir que todas las colisiones ocurririm a interva\os exactos de un minuto Una particula determinada no tiene una colisi6n, espera un minuto y tiene otra colisi6n. Los tiempos entre colisiones suce~ivas son completamente variables. No lo necesitaremos para el trabajo que sigue, pero podemos hacer una pequefia digresi6n para contcstar la pregunta: "i,Cuiles son los tiempos entre colisiones?" Sabemos que para el caso anterior, el tiempo medio es un minuto, pero nos gustaria saber, por ejemplo, cuil.l es la probabilidad de que no tengamos ninguna colisi6n durante dos minutos. Encontraremos la respuesta a la pregunta general: "(.Cui.I.I es la probabilidad de que una moJecula ande durante un tiempo t sin tener una colisiOn?" En un instante arbitrario --que llamamos t = 0-comenzamos a obser.,rar una mo!ecula determinada. lCuil.les 43-2 la probabilidad de que llegue has ta t sin chocar con otra molOCula? Para calcular esta probabilidad, observamos lo que est<i ocurriendo con todas las N 0 moIOCulas dentro de un recipiente. Despues de haber esperado un tiempo t, encontraremos que algunas habr8.n tenida colisiones. Sea N(t) el nUmero que no ha tenido colisiones hasta el instante t. N(t) es, por supuesto, menor que N0 • Podemas hallar N(t) parque sabemos c6mo varia en el tiempa. Si sabemos que N(t) moleculas ban Jlegado hasta t, el nUmero que llega hasta t + dt, N(t + dt), es menor que N(t) en el nUmero que ha tenido colisianes durante dt. Hemos escrito mas arriba el nUmero que colide en dt en funci6n de! tiempo media T: dN = N(t) dt/T. Tenemos la ecuaci6n N(t + dt) = N(t)~· N(I) - (43.2) La cantidad de! primer miembro, N(t + dl), se puede escribir, de acuerdo con las definiciones de! c:llculo infinitesimal, en la forma N(t) + (dN/dt)dt. Hacienda esta sustituci6n, la ecuaci6n (43.2) da N(r) dN(I) dt=-7-· (43.J) El nUmero de las que se pierden en el intervalo dt es proporcianal al nUmero de las presentes e inversamente proporcional a la vida media T. La ecuaci6n (43.3) se puede integrar f8.cilmente si la escribimos en la forma dN(r) dr 'fi(ij (43.4) Cada miembro es un diferencial exacto, por Jo que la integral es In N(t) = ~t /T + (una constante), (43.5) que es lo mismo que N(t)--= (canstante)e-1t•. (43.6) Sabemos que la constantc debe ser precisamente N 0, nllmero total de maleculas presentes, puesta que a t .,..,- 0, todas empiezan a esperar su colisi6n "siguiente". Podemos escribir nuestro resultado en la forma (4J.7) Si deseamos la probabilidad P(t) de que no haya colisiones, la podemos obtener dividiendo N(t) par N0 : (43.8) Nuestro resultado es: la probabilidad de que una molCcula dctcrminada sobreviva un tiempo t sin sufrir colisiones es e-t/T, donde Tes el tiempo media entre colisianes. La probabilidad camienza en I (o sea ccrteza) en I --= 0 y disminuye a mcdida quc t aumenta. La probabilidad de que la molecula evite colisiones durante un tiempo igual a Tes e·· 1 = 0,37 ... La probabilidad de que lo haga durantc un ticmpo mayor que el t1empa medio 43-3 es menor que un media. Eso est3. muy bien, porque hay bastantes molCcu\as antes de chocar no sufren colisiones durante tiempos muchos mds largos quiu~ ti em po media, por lo que el tiempo medio puede seguir siendo T. Al principio definimos T como el tiempo medio entre colisiones. El resultado obtenido en la ecuaci6n (43.7) dice tambi6n que el tiempo libre entre un instante inicial arbilrario y la colisi6n siguiente es tambiin T. Podemos demostrar este hecho un tanto sorprendente de la manera que sigue. El nU.mero de mokculas que sufren su colisi6n siguiente en e! intervalo dt a un liempo t a partir de un instante inicial elegido arbitrariamente, es N(t) dt/T. Su '•intervalo de tiempo hasta la siguiente colisi6n" es, por supuesto, precisamente 1. El "tiempo medio hasta la colisi6n siguiente" se obtiene de la man era habitual: tiempo medio hasta la colisi6n siguiente - I N__(f di. Empleando el N(l) obtenido en (43.7) y calculando la integral, encontramos verdaderamente que T es el ticmpo medio desde cualquier mstante hasta !a colisi6n siguiente. 43-2 El eamino libre medio Otro modo de describir las colisioncs moleculares es hablar. no de\ tiempo entrc colisiones, sino de! camino que recorre la particu!a entre colisione5". Si decimos el tiempo media entre colisiones cs T y que !a~ mokculas ticnen una velocidad v, podemos esperar que la distancia media entre colisiones, que llamaremos sea simplcmcnte cl producto de T y F. Esta distancia entre colisioncs se denomina comUnmente ('amino fibre mediv: camino hbre medio l - TV. (43.9) En este capitulo seremos un poco imprccisos acerca de qui clase de promedio entendemos en cua\quier caso particular. Los diversos promedios posibles -el valor medio, el valor medio cuadrii.tico, etc. son todos casi igua!es y difiercn en factorcs cercanos a uno. Como de todas maneras se necesita un an3.lis1s detallado para obtener los factores numt':ricos correctos, no es prcciso que nos prcocupemos de qut': promedio se necesita para cualquier problema en particular. Tambien podemos ad vertir al !ector que los simbolos algebraicos que estamos usando para algunas cantidades lis1cas (por ejemplo, I para el camino libre medio) no siguen una convenci6n de aceptaciOn general, pnnc1palrnente porque no hay acucrdo general. Asi como la probabilidad de que una mol6cula tcnga una colisi6n en un intervalo breve di es igual a dt/T, la probabilidad de que tenga una colisi6n a! recorrer una distancia dx es dx/l. Usando los misrnos razonam1entos que anteriormentc, el lector puede demostrar que la probabi!idad de que una mokcula recorra por lo mcnos una distancia x antes de tener el choque siguicnte es e ' 11. La d1stancia media que una mol6cu!a rccorre antes de chocar con otra -el cami no libre media l- depender.il de cu.ilntas mo\eculas hay alrededor y de! "tamaii.o" de ~~:C~:~e~~la~~ e~1 ~~~~ ~~ ~0 =r~~;iL~1:ee~:~c~il~~c~a~i~~:l~~~~~n~:· ~~~-;~;::%~ eficaz de colisi6n '', el mismo concepto que se usa en la fisica nuclear o en problcmas de dispersi6n de luz. 43-4 el area de colisiOn :s a c el nUmero total de el irea total cubierta es on 0 dx moleculas es n0 dx Fig. 43-1. Secci61"! eficaz de colisi6n. Consideremos una particula en movimimento que recorre una distancia dx a traves de un gas que tiene n0 dispersores (molfculas) por unidad de volumen {Fig. 43-1). Si observamos cada unidad de ilrea perpendicular a la direcciOn de movimiento de la particula que hemos seleccionado, encontraremos que hay n 0 dx molfculas. Si cada una presenta un area efectiva de colisiOn, o como se llama comllnmente, "secciOn eficaz de colisiOn" a,,, el area total cubierta por los dispersores es a..nudxPor "secciOn eficaz de colisiOn" entendemos el area dentro de la cual debe estar ubicado el centro de nuestra particula para que choque con una mo!Ccula determinada. Si las 1110Ifculf\s fuesen pequeiias esferas (representaciOn clilsica) esperariamos que ac= n(r 1 + rJ2, donde r 1 y r 2 son los radios de los dos objetos que chocan. La probabilidad de quc nuestra particula sufra una colisiOn es el cociente entre el il.rea cubierta por las molfculas dispersoras y el il.rea total, que hemos tornado igual a uno. Entonces, la probabilidad de una colisi6n al recorrer una distancia dx es simplemente a 0n 0 dx: probabilidad de una colisiOn en dx = acno dx. (43.IO) Hemos visto mas arriba que la probabilidad de una colisi6n en dx tambifn se puede escribir en funciOn del camino libre medio l como dx/l. Comparando esto con (43.l), podemos relacionar el Camino libre medio con la secci6n eficaz de colisiOn: (43.11) que es m:is facil de recordar si la escribimos en la forma (43.12) Se puede interpretar que esta formula dice que debe haber una colisi6n, en promedio, cuando la particula recorre una distancia l ta! que las moteculas dispersoras podrian cubrir exactamente el il.rea total. En un volumen cilindrico de !ongitud I y base de il.rea unitaria, hay n 0 l dispersores; si cada uno tienc un .itrea Uc el il.rca total cubierta es n0 lac, quc es precisamente una unidad de il.rea. Toda el .itrea no esta cubierta, naturalmente, porque algunas mokculas estin parcialmente escondidas detras de otras. Es por csto que algunas mo!Cculas van m.its ana de l antes de tener una co lisi6n. Es s6!o en promedio que las mo!fculas tienen una colisiOn cada vez que recorren la distancia {. Podcmos determinar la secci6n eficaz de colisi{m ac a partir de medidas dcl camino libre mcdio {, y comparar el resultado con cillculos basados en una teoria detallada de la estructura at6mica. jPero esto ya es otro tema! Volvamos, pues, al problema de los estados fuera del equilihrio. 43-5 43-3 La velocidad de arrastre Queremos describir lo que le sucede a una molecula, o a varias moleculas, que en algim aspecto son diferentes de la gran mayoria de las moleculas de un gas. Nos referiremos a las moleculas "de la mayoria" coma mo!OCulas "de fondo ~ y llamare mos mo!eculas "especiales", o molOCulas S, para abreviar, a las molCculas diferentes de las molOCulas de fondo. Una molecula puedc scr especial por cualquier nllmero de razones: podria ser m3.s pesada que las molOCulas de fondo; podria ser un compuesto quimico diferente: podria tener carga ekctrica -es decir, podria ser un ion en un fondo de molCculas no cargadas-. A causa de sus masas o cargas diferentes, las moleculas S pueden estar sujetas a fuerzas diferentes de las que actllan sobre las molOCulas de fondo. Considerando Jo que Jes sucede a estas moli:culas S podemos comprender los efcctos fundamentales que entran en juego de manera similar en muchos fen6menos diferentes. Para nombrar algunos: difusibn de gases, corrientes eli:ctricas en baterias, sedimentaci6n, separaci6n centrifuga, etc. Comencemos concentr3.ndonos en el proceso fundamental: una molCcula S en un gas de fondo est3. sujeta a alguna fuerza cspecificable F (que podria ser, por ejemplo, gravitacional o e\Cctrica) y ademtis a otras fuerrns no tan especificables debidas a las colisiones con las molCculas de fondo. Querriamos describir el comportamiento general de la molecula S. Lo que le ocurrc, en detalle, es que se precipita de un lado para otro a medida que choca continuamente con otras moleculas. Pero si la observamos atentamente, vcmos que hay cierto avance en la direcci6n de la fuerza F. Decimos que hay un arrastre superpuesto a su movimiento al azar. Querriamos saber cu3.J cs la velocidad tie su arrastre -su velocidad de arrastre-- debida a la fuerza F. Si comenzamos a observar una mo!ecula S en cualquier instantc, podemos csperar que estC en alguna parte entre dos colisiones. Adem3.s de la velocidad con quc qued6 despues de su illtima colisi6n, esta adquiriendo una cierta componente de velocidad debido a la fuerza F. En un corto tiempo (un tiempo Ten promedio) esperimentar3. una colisi6n y empezar3. un .nuevo tramo de su trayectoria. Tendr3. una nueva velocidad inicial pero la misma aceleraci6n debida a F. Para no complicar las cosas por el momento, supondremos que despues de cada colisi6n nuestra molCcula S tiene un comienzo completamente "nuevo ". Es decir que no conserva el recucrdo de la accleraci6n pasada dcbida a F. Esta podria ser una hip6tesis razonable si nuestra moli:cula S fuera mucho mas liviana que las moIOCulas de fondo, pero seguramente no es v3.lida en general. Mis adelante discutiremos una hip6tesis mejorada. Por el momenta, entonces, nuestra hip6tesis es que la molOCula S sale dt: cada co\isibn con una velu1Cidad que puede estar en cualquier direcci6n con igual probabilidad. La vdocidad imcial la llevarii. igualmente en todas direccioncs y no contribuir:i a ninglln movimiento neto, por lo que no nos preocuparemos mils de su velocidad inicial despues de una colisiim. Adem3.s de su movimiento al azar, cada mo!Ccula S tendr3., en cualquier momento, una velocidad adicional en la direcci6n de la fuerza F, quc ha adquirido desde su Ultima colisi6n. i,Cu3.J es el valor medio de esta parte de la velocidad? Es simplemente la aceleraci6n F/m (donde mes la masa de la moli:cula S) multiplicada por el tiempo media transcurrido desde la Ultima colisi6n. Ahora bien, el tiempo medio desde la Ultif1lll colis16n debe ser igual al tiempo medio hasta la colisi6n siguiente, al cual hemos llamado 43-6 mils arriba. Por supuesto, la ve!ocidad media debida a F es precisamente lo que hemos llamado velocidad de arrastre, por lo que tenemos la relaci6n T (43.12) Esta relaci6n bilsica es el nudo de nuestro argumento. Puede haber alguna complicaci6n para determinar T, pero el proceso fundamental estit definido por la ecuaci6n (43.13) Notar.itn ustedes que la velocidad de arrastre es proporcional a la fuerza. Desafortunadamente no hay ningUn nombre de uso general para la constante de proporcionalidad. Se han usado difcrentes nombres para cada uno de !os diversos tipos de fuerza. Si en un problema de electricidad la fuerza se escribe coma la carga por el campo el6ctrico, F = qE, la constante de proporcionalidad entre la velocidad y el campo e!Cctrico E se denomina comllnmente '"movilidad ". A pesar de la posibilidad de un poco de confusiOn, uti\izaremos el tCrmino movilidad para el cociente entre la velocidad de arrastre y la fuerza, cualquiera que sea la fuerza. Escribamos Varrnsuc= µF (43.14) en general, llamando movilidad a 11. SegUn la ecuaci6n (43.13) tenemos µ = T/111. (43.15) La movilidad es proporcional al tiempo media entre colisiones (hay menos colisiones para frenar!a) e inversamente proporcional a la masa (mayor inercia significa menor velocidad adquirida entre colisiones). Para obtener el coeficiente numfaico correcto en la ecuaci6n (41.13), que est3. correcta ml co mo esti, se necesita alglln cuidado. Sin intenci6n de confundir, debcmos alin seilalar que los razonamientos tienen una sutileza que s6lo se puede apreciar por medio de un estudio cuidadoso y detallado. Para ilustrar que hay dificultades a pesar de las aparicncias, repetiremos el camino que nos llev6 a la ecuaci6n (43.13) de un modo razonable pero errado (iY es el que se encontrara en muchos !ibros de texto!). Podriamos habcr dicho: el tiempo media entre colisiones es T. DespuCs de una colisiOn la particula parte con una velocidad al azar, pero adquiere una velocidad adicional entre colisiones que es igual a la aceleracion por el tiempo. Como tarda el tiempo Ten llegar a la colisilm siguiente, llega con la vclocidmi (F/m)T. En el momenta de la colisi6n tcnia velocidad nula. Luego entre las dos colisiones tiene en promedio una velocidad que es la mitad de la velocidad final, por lo que la velocidad media de arrastre es ~FT/m. (iErrado!) Este resultado es incorrecto y el de la ceuaciL1n (43.13) es correcto. aunque los argumentos puedan parecer igualmente el segundo resultado estC errado cs alga sutil y tiene satisfactorios. La razOn razonamiento se hace como si todas las colisioncs estuque ver con lo siguiente: vicsen ~cparada~ por e! intervalo media T. El hecho es que a\gunos tiempos son mils corto~ y otros m~·is largos que el medio. Los tiempos cortos se presentan mcis n me1111do pero dan una menor a la velocidad de arrastre porque dan menos oportunidad de "ponerse a andar realmente ". Si se toma debida cuenta de la distribuci611 de tiempos libres entre colisiones, ~e puede demostrar que no debe estar el factor 1· obtenido en cl scgundo razonamiento. El error se cometi6 al tratar de relacionar mediante un argumento simple la velocidad final media con la velocidad media misma. 43-7 La relaci6n no es simple, de modo que es mejor que nos concentremos en lo que queremos: !a velocidad media misma. El primer razonamiento que hicimos determina la velocidad media directamente -iY correctamente!-. jPero quizits ahora podemos ver por que en general no trataremos de obtener los coeficientes numericos correctos en nuestras derivaciones elementales! Volvamos ahora a nuestra hipOtesis simplificativa: cada colisi6n suprime el recuerdo de\ movimiento pasado --despues de cada co\isi6n se tiene una nueva partida-. Supongan que nuestra molecula S es un objeto pesado en un fondo de moleculas mils ligeras. Por lo tanto nuestra mokcula S no perderci su momentum "hacia adelante .. en cada colisi6n. Serian necesarias varias colisiones para que su movimiento se "azarizara" de nuevo. En su lugar deberiamos suponer queen cada colisi6n -en cada intervalo T en promedio- pierde cierta fracciOn de su momentum. No elaboraremos los detalles, sino que diremos simplemente que el resultado es equivalcnte a reemplazar T, tiempo medic de colisi6n, por un T nuevo -y mils largoque corresponde al "tiempo media de olvido", el tiempo medio que tarda en olvidar su momentum hacia adelante. Con esta interpretaci6n de T podemos usar nuestra f6rmula (43.15) en situaciones que no son tan simples como la que supusimos iiiicialmente. 43-4 Conductividad iOnica Apliquemos ahora nuestros resultados a un caso particular. Supongan que .tenemos un gas en un recipiente en el que tambien tiay algunos iones -iitomos o molCcu!as con una carga electrica neta-·. Mostramos esquemiiticamente !a situaci6n en la figura 43-2. Si dos paredes opuestas del recipiente son p!acas metillicas, podemos conectarlas a los terminales de una bateria y producir asi un campo elCctrico en el gas. El campo elCctrico daril lugar a una fuerza sobre \os iones. por Jo que comenzaritn a desplazarse hacia una u otra de las placas. Se induciril una corriente e\Cctrica y el gas con sus iones se comportar<i como un resistor. Cakulando el flujo de iones a partir de la velocidad de arrastre podemos determinar la resistencia. Preguntamos especificamente: ~c6mo depende el flujo de corriente elCctrica de la diferencia de potencial V que aplicamos a las dos placas? Fig. 43-2. A la bateria de voltajc V Comente elE!ctrica en un gas iomzado. 43-8 Consideremos el caso de que nuestro recipiente es una caja rectangular de longitud b y secciOn transversal A {Fig. 43-2)- Si la diferencia de potencial, o voltaje, entre una placa y otra es V, el campo eJOCtrico E entre las placas es V!b. (El potencial eli:ctrico es el trabajo que se hace al llevar una carga unitaria de una placa a la otra. La fuerza sobre una carga unitaria es E. Si E es el mismo en todos los puntos entre las placas, lo cua1 es una aproximaci6n suficientemente buena por ahora, el trabajo realizado sobre una carga unitaria es simplemente Eb, de donde V =Eb.) La fuerza especia1 sobre un ion de! gas es qE, de donde q es la carga de! ion. La velocidad de arrastre del ion es entonces I' por esta fuerza, o sea Varrastre = µF = µqE = µq f (43.16) Una corrientc eli:clrica I es el flujo de carga en la unidad de tiempo. La corriente elOCtrica hacia una de las placas cstti. dada por la carga total de Jos iones que lleguen a la placa en la unidad de tiempo. Si los iones se desplazan hacia la placa con la velocidad varrasrre• los que estim dentro de una distancia (va.,-astr• • 1) llegariln a la placa en el tiempo T. Si hay un n; iones por unidad de volumen, el nllmero que llega a la placa en el tiempo Tes (n 1 -A · varra.mo • 7). Cada ion lleva una carga q, por lo que tenemos carga recogida durante T= qn;Ararrasirc T. (43.17) La corriente I es la carga recogida durante T dividida por T, de donde (43.18) Sustituyendo v=asire dada por (43.16), tenemos I = µq1n;. * V. (43.19) Encontramos que la corriente es proporcional al voltaje, lo cual es precisamente la fonna de la ley de Ohm, y que la resistencia Res la inversa de la constante de proporcionalidad: l , A (43.20) R=µqn;b· Tenemos una relaci6n entre la resistencia y las propiedades moleculares n;, q y µ, que a su vez depende de m y de T. Si conocemos n1 y q por mediciones at6micas, se podria usar una medida de R para detenninar µ, y de µ tambii:n T. 43-5 DifusiOn molecular Pasamos ahora a un problema y a un anillisis de diferente tipo: la teoria de la difusi6n. Supongan que tenemos un recipiente con gas en equilibria ti:rmico y que en alglin lugar del recipiente introducimos una pequeiia cantidad de gas de un tipo diferente. Llamaremos gas "de fondo" al gas original, y gas "especial" al nuevo. El gas especial comenzaril a extenderse 43-9 por todo el recipiente, pero lo hara lentamente debido a la presencia del gas de fondo. Este lento proceso de extensi6n se llama difusi6n. La difusi6n esta controlada principalmente por los golpes que las molecu!as de! gas especial redben de las moleculas de! gas de fondo. Despues de un gran nllmero de colisiones, las mo16culas especiales acaban extendidas mils o menos uniformemente por todo el volumen. Debemos tener cuidado de no confundir la difusi6n de un gas con el transporte macrosc6pico que pue<le ocurrir debido a corrientes de convecci6n. Lo mas comUn es que la mezcla de dos gases ocurra me<liante una combinaci6n de convecci6n y difusi6n. Ahora s6lo estamos interesados en el caso en que no hay corrientes "de viento ''. El gas se extiende Unicamente por los movimientos moleculares, por difusi6n. Queremos calcular a que velocidad tiene lugar la difusi6n. Calculemos ahora elflujo neto de mo!OCulas de! gas "especial'' debido a los movimientos mo\eculares. S6lo habra un flujo neto cuando hay una distribuci6n no uniforme de las moieculas; de lo contrario todos los movimientos moleculares se prome<liarian sin dar ningUn flujo neto. Consideremos primero el flujo en la direcci6n x. Para hallar\o consideremos un piano imaginario perpendicular al eje x y contemos el nUmero de molfculas especiales que atraviesan este piano. Para obtener el flujo neto, debemos contar coma positivas las mol6cu\as que cruzan en la direcci6n positiva de x y restar de este nUmero el de las que cruzan en la direcci6n x negativa. Como hemos visto muchas veces, el nUmero de las que atraviesan el area de una superfioie en un tiempo .1 Testa dado por el nllmero de las que al comienzo de! intervalo .1 T estan en un vo!umen que se extiende a una distancla v.1 T del piano. (Observen que aqui v es la verdadera velocidad molecular y no la velocidad de arrastre.) Simplificaremos nuestra algebra dando un circa unitaria a nuestra superficie. Luego, el nUmero de mol6culas especiales que pasan de izquierda a derecha (tomando la direcci6n + x hacia la derecha) es n_ v .1 T, donde n_es el nltmero de moleculas especiales que hay por unidad de volumen a la izquierda (a menos de un factor 2 o algo asi, pero jestamos ignorando esos factores!). Anilogamente, el mimero que cruza de derecha a Lzquierda es n+v.1T, donde n+ es la densidad numerica de molOCulas especiales a ta derecha de! piano. Si llamamos J a la corriente molecular, con lo cual entendemos el nujo neto de moJC.Culas por unidad de itrea y por unidad de tiempo, tenemos (43.21) J = (n_ - n+)v. (43.22) iQue usar para n_ y n-t ? Cuando decimos "la densidad a la izquierda", ihasta que distancia a la izquierda entendemos? Deberiamos elegir la densidad en el lugar desde donde las moteculas empezaron su "vuelo ", porque el nUmero de las que empiezan esos viajes esta determinado por el nUmero de las que estitn presentes en ese lugar. En consecuencia, debemos entender por n~ la densidad a una distancia a la izquierda igual al camino libre media /, y por n+ la densidad a una distancia l a la derecha de nuestra superficie imaginaria. Es conveniente considerar que la distribuciOn espacial de nuestras moleculas especiales estit descrita por una funci6n continua de x, y y z que llamaremos n0 • Por na(x, y, z) entendemos la densidad numerica de moleculas especiales en un pc4ueiio elemento 43-10 de volumcn centrado en (x, y, z). En tCrminos den", podemos expresar la diferencia (n+ - n_) en la forma (n+ - n_) = ~~, Llx = <!Ji· 21. (43.23) Sustituyendo este resultado en la ecuaci6n (43.22) y despreciando el factor 2, obteJ,. =-Iv~· (43.24) Hemos encontrado que el flujo de moleculas especiales es proporcional a la derivada de la densidad, o sea a lo que a veces se denomina "gradiente" de la densidad. Esta c!aro que hemos hecho varias operaciones aproximadas. Ademits hemos dejado de \ado varios factores dos, hemos usado v donde deberlamos haber usado l',,y hemos supuesto que n+ y n _ se refieren a puntos a una distancia perpendicular l de nuestra superficie, mientras que para las molfculas que no viajan perpendicularmente a! elemento de superficie, I deberia corresponder a la distancia oblicua desde la superficie. Es posible hacer todos estos refinamientos; el resultado de un analisis mas cuidadoso muestra que el segundo miembro de la ecuaci6n (43.24) se debe multiplicar por 1 I 3 • Luego, una respuesta mejor es J " =_I!_~, (43.25) 3 dx Podemos escribir ecuaciones similares para las corrientes en las direcciones y y z. La corriente J..- y el gradiente de densidad dn"/dx se pueden medir por media de observaciones macrosc6picas. Su cociente determinado experimentalmeme se denomina "coeficiente de difusi6n" D. Esto es, J,, = -D~i· (43.26) Hemos podido demostrar que para un gas es de esperar que (43.27) D =~·hi. Hasta aqui, en este capitulo, hemos considerado dos procesos distintos: movilidad, o sea el arrastre de mo\eculas dcbido a fuerzas "de afuera ", y difusiOn, o sea el extenderse determinado lmicamente por las fuerzas internas, las colisiones a! azar. Hay, sin embargo, una relaci6n entre ellos, ya que ambos depcnden bitsicamente de los movimientos termicos, y el camino !ibre media I aparece en ambos c<i.lculos. Si en la ecuaci6n (43.25) sustituimos I= VT y T = µm, tenemos (43.28) Pero mv1 depende Unicamente de la temperatura. Recordemos que !mv 2 = ikT, (43.29) por lo que (43.30) 43-11 Encontramos que el coeficiente de difusi6n D es sencillamente kT por el coeficiente de movilidad µ: D ~ µkT. (43.31) Y resulta que el coeficiente numCrico en (43.31) es exactamente correcto -no es ne-cesario introducir factores adicionales para compensar nuestras operaciones aproximadas-. Podemos demostrar, en verdad, que (43.31) siempre debe ser correcta-aun en situaciones complicadas (por ejemplo, el caso de una suspensi6n en un Jiquido) donde los detalles de nuestro dtlculo simple no servirian de ninguna manera. Para demostrar que (43.31) debe ser correcta en general, la deduciremos de un modo diferente, empleando Unicamente nuestros principios b3.sicos de medtnica estadistica. Imaginen una situacii:m en que hay un gradiente de mo!eculas '·especiales" y tenemos una corriente de difusi6n proporcional al gradiente de densidad, conforme a la ecuacj6n (43.26). Aplicamos ahora un campo de fuerzas en la direcci6n x de modo que cada moli:cula especial sienta la fuerza F. Conforme a la definici6n de movilidad fl habra una ve!ocidad de arrastre dada por (43.32) Varrastre= µF. SegUn nuestro razonamiento habitual, la corriente de arrastre (nUmero neto de moli:culas que atraviesan la unidad de area en la unidad de tiempo) sera (43.23) (43.34) Ahora ajustamos la fuerza F de modo que la corriente de arrastre debida a F compense exactamente la difusi6n y no haya flujo neto de nuestras mo!Cculas especiales. Tenemos Jx + larrastre = 0, o sea D <!J&: = n,.µF. (43.35) En condiciones "de compensaci6n" encontramos un gradiente de densidad ftjo (en cl tiempo) dado por dn,. a~ n"µF --v· (43.36) jPero vean ustedcs! Estamos describiendo un estado de equilibrio por lo que sirven las leyes de equilibrio de la meciinica estadistica. SegUn estas !eyes la probabilidad de encontrar una mo!Ccula en la coordenada x es proporcional a ru lkT, donde U es la energia potencial. En funci6n de la dcnsidad numfrica n", esto significa que (43.37) , Si derivamos (43.37) respecto ax, encontramos (43.38) dn,, c1-r n., dU - ktdx· (43.39) 43·12 En nuestra situaci6n, coma la fuerza Festa en la direcci6n x, la energia potencial U es simplemente -Fx, y -dU/dx = F. La ecuaci6n (43.39) da entonces (43.40) Esta es exactamente la ecuaci6n (40.2), de la cual dedujimos e-UlkT inicialmente. por lo que volvemos al punto de partida. Comparando (43.40) con (43.36) obtenemos exactamente la ecuaci6n (43.31). Hemos demostrado que la ecuaci6n (43.31), que da la corriente de difusi6n en funci6n de la movilidad, tiene el coeficiente correcto y es valida en forma muy general. La movilidad y la difusi6n estiln intimamente relacionadas. Einstein fuc el primero en deducir esta relaci6n. 43·6 Conductividad tc!rmica Los metodos de !a teoria cinCtica que hemos estado emp!eando mas arriba tambien se pueden emplear para calcular la conductividad ti!rmica de un gas. Si cl gas que estii en la parte de arriba de! recipiente esta mis caliente que el que estii abajo. habril un flujo de calor desde arriba hacia abajo. (Consideramos que !a parte de arriba estii mils caliente porque de otra manera se establecerian corrientes de con" vecci6n y el problema ya no seria de conducci6n de! calor.) La transferencia del calor desde e\ gas mas ca\iente al miis frio se debe a Ja difusi6n de las mo\eculas "caJientes" -las de energia mayor- hacia abajo ya la difusi6n de las moleculas "frias" hacia arriba. Para calcular el flujo de energia termica, podemos buscar la energia transportada hacia abajo a traves de un elemento de superficie por las mo!ecuJas que se mueven hacia abajo, y la energia transportada hacia arriba a travCs de dicho elemento por las mokculas que se mueven hacia arriba. La diferencia nos dara el flujo neto de energia hacia abajo. Se define la conduclividad t6-mica If como el cociente entre la rapidez con que se transporta energla ti:rmica a travi:s de un Urea unitaria, y el gradiente de temperatura: -~-q-2_ =-Kt}!_· A dt dz (43.41) Como los deta!!es de los dlculos son muy similares a los que hemos realizado antes al considerar el flujo de corriente e!Cctrica en un gas ionizado, dejaremos al lector como ejercicio demostrar que K=~, (43.42) >-1 don de ()' ~ 1)kT es la energia media de una moJecula a la temperatura 7'. Si usamos nuestra relaci6n nlac = I, se puede escribir la conductividad ca16rica en la forma K = _ __I__ ~__'.! 'Y - 1 Ur • (43.43) T enemas un resultado bastante sorprendente. Sabemos que la velocidad media de las moli:culas de gas depende de la temperatura pero no de la densidad. Es de esperar que ac s6!o dependa de! tamalio de las mo!Cculas. Por lo tanto, nuestro simple resultado dice que la conductividad ti:rmica If (y por lo tanto, la rapidez de flujo de calor en cualquier circunstancia particular) 43-13 jes independiente de la densidad de! gas! La variaciOn del nllmero de "portadores" de energia con una variaciOn de la densidad estti compensada por la distancia mayor que Jos ''portadores" pueden andar entre colisiones. Se podria preguntar: "t.Es el tlujo de calor independiente de la densidad de! gas en el Jimite de la densidad tendiendo a cero? (.Cuando no hay nada de gas?" iPor cierto que no! La formula (43A3) fue obtenida, como todas las otras de este capitulo, en la hipOtesis de que el camino libre media entre colisiones es mucho menor que cualquiera de las dimensiones de! recipiente. En cuanto la densidad de! gas es tan baja que una mol6cula tiene una buena' probabilidad de cruzar de una pared a otra de! recipiente sin tener una colisiOn, dejan de ser vtilidos todos los citlculos hechos en este capitu!o. En esos casos debemos vo!ver a la teoria cinetica y calcular de nuevo los detalles de lo que ocurrir3.. 43~14 44 Leyes de la termodintimica 44-1 Maquinas tfrmicas: primera ley 44-4 Eficiencia de una maquina ideal 44-2 Segunda Icy 44-5 Temperatura termodinilmica 44-3 M3quinas reversibles 44-6 Entropia 44-1 MHquinas tCrmicas; primera ley las propiedades de la materia desde un m.1s o menos lo que succderit si supoque obedecen ciertas !eyes. Hay, cntre propiedades de las sustancias que se pucden calcular tencr en cuenta una estructura detallada de los materiales. La determinaci6n de las relacioncs entrc las diversas propicdades de los materiales, sin tener en interna, es el objeto de la termodincimica. La termodih.stoncam<,nte. antes de que sc hubiese alcanzado una commatena. 44-1 Ahora bien, nuestro instinto nos puede sugerir que si calentilsemos una banda, esta podria encogerse; que el hecho de estirar una banda la caliente podria implicar que el calentarla causase su contracci6n. Y en realidad, si aplicamos una llama de gas a una banda elilstica que sostiene un peso veremos que la banda se contrae abruptamente (Fig. 44-1). Por consiguiente es verdad que cuando calentamos una banda elilstica, se encoge y este hecho esta ciertamente relacionado con el otro de que cuando le suprimimos la tensi6n, se enfria. Fig. 44-1 La banda el8st1ca calentada La maquinaria interna de la goma causante de estos efectos es bastante complicada. La describiremos con alguna extensi6n desde un punto de vista molecular, aunque nuestra principal intenci6n en este capitulo sea entender ta relaci6n de estos efectos independientemente de! modelo molecular. A pesar de ello, podemos mostrarles a partir de! modelo molecular que estos efectos estiin intimamente relacionados. Un modo de entender el comportamiento de la goma es reconoccr que esta sustancia consiste en un gran enredo de cadenas largas de mol6culas. una especie de "espagueti molecular", con una complicaci6n adicional; entre las cadenas hay en\aces --como un espagueti que algunas veces se suelda con otro cuando lo cruza--, magnifico enredo. Cuando tiramos de ta! enredo, algunas de las cadenas tienden a alinearse en la direcci6n de! tir6n. Al mismo tiempo, estarido las cadenas en movimiento ti:rmico chocan continuamente una con otra. De lo que se siguc que si se ha alargado una cadena, no permaneceni por si misma alargada ya que las otras cadenas y mo!6culas la golpeariln lateralmente y tenderia a encogcrse de nuevo. Asi, la verdadera raz(m por la que una banda elist.i.ca tiendc a contraerse cs 6sta: cuando se tira de ella, las cadenas se alargan y las agitaciones tfrrnicas de las mo!eculas circundantes t1enden a contraer las cadena& y hacer quc sc acorten. Sc puede apreciar que si se mantiene las cadenas estiradas y se aumenta !a temperatura, con lo que tambi6n se aumenta la intens!dad del bombardeo airededor de la~ cadenas, Cstas tienden a encogcrse y son capaces de arrastrar un peso mils grande cuando ~e las calienta. Si se le permite a una banda elilstica que se relajc, despuCs de haber estado estirada por algUn tiempo, cada cadena se suaviza y las mo16culas que !a gol pean pierden cnergia a medicia que golpean la cadena que se relaja. Por lo cual, la temperatura c&.e. Hemos visto c6mo se puede relacionar estos dos !entamiento y enfriamiento durante la rclajaci6n, seria un tremendo desafio para e!la determinar la driamos que saber cuilntas colisiones ocurririan nas, y tendriamo<> que tcner en cuenta otras nismo detallado es tan comp!ejo que no podemos tc lo que sucede mediante la teoria cmCt1ca; aun dctcrmmada entre 105 dos '°"'""'"'"'"" efectos que observamos sin conocer nada de la maquinaria interna! Todo el objeto de la termodinimtlca depende esencialmente de la siguiente consideraci6n: ya que una banda elastica es "m3.s fuerte" a altas que a bajas temperaturas, deberla ser posible levantar pesos y hacerlos girar y, por lo tanto, rcalizar un t:abajo con calor. De hecho, hemos vista ya experimentalmente quc una banda calentada puede levantar un peso. El estudio de c6mo se realiza trabajo con calor es el comienzo de la ciencia de la termodinfunica. t,Podemos hacer que una milquina que utiliza el efecto de calentamiento de una banda realice trabajo? Se puede construir una m;iquina que parece tonta y que realiza esto exactamente. Consiste en una rueda de bicicleta en la que todos los radios son bandas el3.sticas (Fig. 44-2). Si calentamos las bandas de un lado de la rueda con un par de 13.mparas, las bandas se hacen '·mas fuertes" que las del otro !ado. El centro de gravedad de la rueda se desviar3. a un !ado, apartilndose del eje, por lo que la rueda girarli. A medida que gira, bandas frias se mueven hacia cl calor, y las calientes sc alejan y se enfrian, y de ese modo la rueda gira despacio mientras tengamos aplicado calor. La eficiencia de esta milquina es extremadamcnte baja. Cuatrocientos vatios de potencia se meten en las lilmparas, iY solamente es posible levantar una mosca con esa mtiquina! Una cuesti6n mtis intcresante es si podemos o no obtener calor para realizar trabajo de maneras mils eficientes. Fig. 44-2. el<lstica La milquina tl!rmica de banda La ciencia de la termodinilmica comenz6, en realidad, con un anil.lisis que el gran ingeniero Sadi Carnot hizo de! problcma: c6mo construir la milquina mejor y mils cficiente: y 6ste es uno de los pocos casos famosos en los que la ingcnieria ha contribuido fundamentalmente a la tcoria fisica. Otro ejcmplo que nos viene a la mernoria es cl aniilisis mils reciente de la teoria de la informaci6n por Claude ShanEntre parCntesis. resulta que estos dos anilisis estiln intimamente relacionados. bicn, e! modo en que una miiquina de vapor trabaja ordinariamcnte cs que de un fuego evaporn agua y el vapor asi formado se expande y empuja un que hace que una rueda gin:. Asi que el vapor empuja el pist6n -z.y enlonces quf?-. Hay que terminar el trabajo: un modo tonto de completar el ciclo seria dejar que el vapor cscapase al aire, pero entonces hay que cstar suministrando agua. Es mils barato -mils eficicnte- enviar el vapor a otra caja, donde se lo condensa mediantc agua fria, y entonces bombear 44-3 el agua de nuevo a la caldera de modo que circu!e continuamente. Se suministra, pues, calor a ia mitquma y se lo convierte en trabajo. Pero. (.no seria mejor usar alcohol? LQuC propiedad deberia tener una sustancia para que la maquina fuese la mejor posible'! E~ta fuc la pregunta que Carnot se hizo y uno de los resultados adicionalcs fue el descubrimiento del tipo de relaci6n que hemo5 explicado antes. Los resultados de la termodinUmica estim todos implicitamcnte contcnidos en c1ertas proposiciones, aparentemente simples, llamadas !eyes de la termodiruimica. En la Cpoca en quc vivi6 Carnot, la _p_rimera ley de la termodinftm1ca, la conservas_0.ruJi;: !a energia, no era conocida. Los razonamientos de Carnot, sin embargo, fueron hechos tan cuidadosamente que jSon vatidos aunque en su Cpoca no se conociesc la primcr,a ley ! AlgUn ti em po despuCs, Clausius hizo una derivacicin mas sencilla y que se pudo entender mas racilmente que el razonamiento tan sutil de Carnot. Pero resull6 quc Clausius ~upuso, no la comervacicin de la energia en general, sino que cl ca/or se conscrvaba de acucrdo a la teoria cal6rica, que sc demostr6 mils tarde que era falsa. Por esto se ha d1cho con frecucncia que el razonamiento de Carnot era errcineo. Pero su razonamiento era totalmente correcto. Solamente la vcrs16n simp!ificada de Clausius, que todo cl mundo lee, era incorrecta. Asi, pues, jla llamada segunda ley de la termodin<lmica fue descubierta por Carnot &ntes que la primera ley! Seria intcrcsante darles el razonamicnto que hizo Carnot sin usar la primera ley, pero no lo haremos porque queremos aprender fisica y no historia. Usarcmos la pnmera Icy desde el principle, a pesar de que sc pucde hacer una gran cantidad de cosas sin ella. Comencemos estableciendo la primera Icy , la comervaci6n de la encrgia: si se tiene un sistema y se lo calienta y se realiza trabajo sobrc er, entonces su energia aumenta en el calor que se le ha dado y en el trabajo que se ha efectuado. Podemos escribir esto como siguc: El calor Q dado al sistema mils el trabajo W cfcctuado sobre el s1stema. es el aumcnto de energia U dcl mismo; esta encrgia se !lama a veces energia mterna: (44.l) VariaciOn de U=- Q + W La variaci6n de Use puede representar c0mo ai'iadiendo un poco de calor .1Q y aiia d1endo un poco de trabajo .1. W: !!.U = 6Q + !!.W, (44.2) quc cs la forma diferencial de la misma Icy. Sabcmos esto muy bien por un capitulo anterior. 44-2 Segunda ley Ahora, i,Y quC pasa con la segunda ley de la termodinitmica'! Sabcmo~ que si realirnmos un trabajo contra el roce, digamos, el trabajo perdido es igual al calor producido. Si realizamos trabajo en una habitaci6n a tempcratura Ty lo realizamos muy dcspacio, la temperatura de la habitaci6n no cambia mucho y hemos convertido trabajo en calor a una tcmperatura dada. LQuC hay de la pos1bilidaJ mversa? LES pos1ble convenir calor en trabajo a una tempcratura dada? La '.;:cgunda ley de la ~ermodinitmica afirma que no es posible. Seria muy conveniente que pudiCsemos 44-4 calor en trabajo simplemente invirtiendo un proceso como el de roce. Si consideramos solamente la conservaci6n de la energia, podriamos pensar que la energia cal6rica, como la de los movimientos vibracionales de las moteculas, podria dar un suministro muy bueno de energia Uti\. Pero Carnot supuso que es imposible extraer energia del calor a una sola temperatura. En otras palabras, si todo el mundo estuviese a la misma temperatura, no se podria convertir nada de su energia cal6rica en trabajo: mientras que el proceso de convertir trabajo en calor puede ocurrir a una temperatura dada, el proceso inverso de que el calor nos produzca trabajo no puede ocurrir. Especfficamente, Carnot supuso que n? se _puede_ t.<;n_nar.3oa1or a una cierta_ temperatura y convertirlo en trabajo sin ningUn otro cambio en_ el sistema o_ en el triedio ambiente. La Ultima frase es muy importante. Supongan que tenemos una lata de aire comprimido a una cierta temperatura y dejamos que el aire se expanda. Puede realizar un trabajo; puede, por ejemplo, mover un martillo. Se enfria un poco en la expansi6n, pero si tuviesemos un gran mar, como el oceano, a una temperatura dada ---un dep6sito de calor- lo podriamos calentar de nuevo. Por lo tanto, hemos sacado calor de! mar y hemos realizado un trabajo con el aire comprimido. Pero Carnot no estaba equivocado, ya que no lo hemos dejado todo como estaba. Si volvemos a comprimir el aire que dejamos expandir, encontraremos que estamos realizando un trabajo adicional, y cuando hayamos terminado descubriremos que no s61o no hemos obtenido ningU:n trabajo de! sistema a la temperatura T, sino que realmente hemos puesto alguno dentro. Debemos hablar solamente de situaciones en las que el resultadn neto de todo el proceso es sacar calor y convertirlo en trabajo, del mismo modo que el resultado neto de realizar un trabajo contra el roce es tomar trabajo y convertirlo en calor. Si nos movemos en un camino cerrado, podemos llevar el sistema precisamente a su punto de partida, con el resultado neto de que realizamos trabajo contra el roce y produjimos ca1or. t,Podemos invertir el proceso? Accionen un interruptor para que todo vaya al reves, t,es que el roce realiza trabajo en contra nuestra y enfria el mar? SegUn Carnot: ino! Por consiguiente, supongamos que esto es imposible. Si ello fuera posible, significaria, entre otras cosas, que podriamos sacar ca!or de un cuerpo frio y d<i.rselo a un cuerpo caliente sin ningU.n gasto, por asi decir. Pero nosotros sabemos que es natural que una cosa caliente de calor a una fria; si colocamos simplemente juntos un cuerpo caliente y otro frio, y nada mas, jnucstra experiencia nos asegura que no va a suceder que el cuerpo caliente se ponga mas Caliente y el frio mas frio! Pero podriamos obtener trabajo extrayendo calor del oceano, digamos, o de cualquier otra cosa a una sola temperatura, y ese trabajo se podria convertir de nuevo en calor mediante fricci6n a otra temperatura Por ejemplo, el otro brazo de una maquina que produce trabajo podria estar frotando algo que ya esta caliente. El resultado neto seria sacar calor de un cuerpo "'frio '', el oceano, y darselo a un cuerpo caliente. Ahora bien, ~-a h_ip6te_sis de Carnot, segunda Jey de la termodinamica, algunas veces se enuncia coffio sigue: El calor no puede, par si mismo, fluir de un objeto frio a uno caliente. Pero, como acabamos de ver, estos dos enunciados son equivalentes: en primer lugar, que n,9 s~ P!!ede idear un proceso cuyo Unico resultado es convertir calor en trabajo a una sola temperatura, y en segundo lugar que no se puede hacer que el calor por si mismo pase de un cuerpo frio a uno caliente. U saremos principalmente la primera form a. El analisis de Carnot de las maquinas tfamicas es muy semejante al razonamiento que hicimos sobre las m;iquinas elevadoras de peso en nuestra discusi6n de la conservaci6n de la energia en el capitulo 4. En realidad, dicho razonamiento tom6 como modelo el de Carnot sobre las mii.quinas termicas, por lo que el presente anii.lisis Jes sonar.it muy parecido. Supongan que construimos una m.iquina termica que conticne en alglln lugar una "caldera" a una temperatura T.. Se saca un cierto calor Q 1 de la caldera, la milquina de vapor realiza algUn trabajo W, y tambien se entrega cierto calor Q2 a un "condensador" a otra temperatura T 2 (Fig. 44-3). Carnot no dijo cu.into calor ya que no conocia la primera ley, ni tampoco us6 la ley de que Q 1 era igual a Q 2 porque no creia en el!a. Aunque todo el mundo pensaba que de acuerdo a la teoria cal6rica los calores Q 1 y Q2 tendrian que ser igualcs, Carnot no lo dijo --esto es pane de lo habilidoso de su razonamiento-. Si nosotros si usamos la primera Jey, encontramos que el calor entregado Q2 es iguaJ al calor sacado Q 1 menos el trabajo realizado W: (44.3) (Si tenemos una especie de proceso ciclico donde se devuelve el agua a la caldera despues de haber sido con'densada, dircmos que hemos absorbido el calor Q 1 y hemos realizado el trabajo W, durante cada ciclo, para una cierta cantidad de agua que ha completado el ciclo.) Fig. 44-3. Mi!iquinaterm1ca Ahora construiremos otra m.iquina y veremos si no podemos obtener mas trabajo entregando la misma cantidad de calor a la temperatura T 1, con el condensador aim a la temperatura Tr Usaremos la misma cantidad de calor Q 1 de la caldera y trataremos de obtener mti.s trabajo de! que obtuvimos de la m<iquina de vapor, quizii.s usando otro fluido, por ~ ejemplo alcohol. 44~3 Mii.quinas reversibles Ahora debemos analizar nuestras milquinas. Hay una cosa clara: perderemos alga si las mitqumas contienen partes en las que haya roce. La mejor maquma sera una sin roce. Suponemos, entonces, la misma idealizaci6n que hicimos cuando estudiiimos la conservaci6n de la energia, esto es, una milquina sin roce de ninguna clase. Debemos considerar tambien lo an&logo del movimicnto sin roce: transferencia de ca!or "sin race". Si colocamos un objeto caliente a una alta temperatura junto a uno frio, para que fluya el calor, entonces no es posible hacer que el calor fluya en direcci6n opuesta mediante un cambio muy pequeiio en la temperatura de cualquiera de los dos objetos. Pero cuando tenemos una mti.quina pr<i.cticamente sin race, si la empujamos con una pequei'\a fuerza en una direcci6n, marcha en esa direcci6n, y si la empujamos con una pequei'\a fuerza en la otra direcci6n, marcha en esa otra direcci6n. Necesitamos encontrar lo an<ilogo aJ movirniento sin race: transferencia de calor cuya direcci6n podemos invertir con s61o un cambio pequeiiito. Si la diferencia de temperaturas es finita, ello es imposib!e, pera si nos aseguramos de que e! calor fluya siempre entre dos cosas 44-6 esencialmente a. la misma temperatura, con una diferencia infinitesimal solamente para que el flu10 vaya en la direcci6n deseada, se dice que el flujo es reversible (Fig. 44-4). Si calentamos .un poco el objeto de la izquierda, el calor fluiril hacia la derecha; si lo endriamos un poco, el calor fluiril hacia la izquierda. Por lo que encontramos que la milquina ideal es la llamada milquina reversible, en la que todo proceso es reversible en el sentido que mediante cambios minimos, cambios infinitesimales, podemos hacer que la milquina vaya en la direcci6n opuesta. Esto significa que en ninglm lugar de la milquina debe haber roce apreciable, y queen ninglln lugar de la misma debe haber un sitio donde el calor de los depOsitos, o la llama de la caldera, este en contacto directo con algo decididamente mils frio o mils ca· liente. 44-4. Transferencia reversible de calor. Consideremos, pues, una milquina idealizada en la que todos los procesos son reversibles. Para mostrar que ta! ccsa es posible en principio, !es daremos un ejemplo de un ciclo de miiquinas que puede ser o no pr:ictico, pero que por lo menos es reversible seglln la idea de Carnot. Supongan que tenemos un gas en un cilindro equipado con un pistOn exento de roce. El gas no es necesariamente un gas perfecto. El fluido ni siquiera tiene que ser un gas, pero para especificar digamos que tenemos un ghs perfecto. Supongan, tambifn, que tenemos dos fuentes de calor T, y T, -dos cosas enormes que tienen ternperaturas fijas T, y T,-. Supondremos en este caso que T 1 es mayor que T2• Calentemos primero el gas dejando que se expanda al mismo tiempo, mientras esta en contacto con la fuente de calor T 1• Mientras hacemos esto, tirando de! pist6n muy despacio cuando el calor fluye dentro de! gas, nos aseguraremos de que la temperatura de! gas seril muy parecida a T 1• Si tiramos de! pist6n muy ril.pido, !a temperatura del gas sed mucho mits baja que T 1 y asi el proceso no sera muy reversible, pero si tiramos de eJ Jo suficientemente despacio, la temperatura de! gas nunca se apartara mucho de T 1• Por otro ]ado, si empujamos el pist6n hacia dentro muy despacio, la temperatura serit solamente un infinitesimo mas alta que T 1 y el calor sera devuelto. Vemos que una expansi6n isoterrnica de esta clase (temperatura constante), efectuada despacio y suavemente, es un proceso reversible. Para entcnder lo que estamos haciendo, usaremos una represcntaci6n (Fig. 44-6) de la presi6n del gas en funci6n del volumen. Cuando el gas se expande la presi6n cae. La curva marcada (l) nos dice c6mo varian la presi6n y el volumen si la temperatura se conserva ftja en T 1• Para un gas ideal esta curva seria PV = NkT1• Durante una expansi6n isotfarnica, la presi6n disminuye cuando el volumen aumenta hasta que nos detenemos en el punto b. A! mismo tiempo, un cierto calor Q 1 debe fluir desde el dep6sito al gas, ya que si el gas se expandiese sin estar en contacto con el dep6sito, se enfriaria, como ya sabemos. Habiendo terminado !a expansi6n ism6nnica, deteniendonos en el punto b, quitemos e! cilindro de! depOsito 44-7 ~ m 1701 r, •bw'1><d<filo<Q,~ P777l T, paso (I) Expansi6n isoti!rmica a T 1 ; ',' ~ ~ ~ r, Tl paso (3) Compres16n isoti!-rmica a T · 1,,!,.I '"'"'"'"lo<Q, " ~ ~ ~ ~ompresi6n paso (2) Expansi6n adiabittica; la t:mper,atut;t paso (4) adiab<itica; r, cae de T, a T 2 [a temperatura aumenta de T 2 a T 1 Fig. 44-5. Pasos en el c1clo de Carnot y continuemos la expam16n. Ahora no permitimos que entre calor en el cilindro. De nuevo realizamos la expansi6n despacio, por lo que no hay raz6n para que no podamos invertirla y suponemos de nuevo que no hay roce. El contmUa expan diendose y la temperatura d1sminuye, puesto que ahora no el c!lindro. temperatura temperatura bien cada paso, y repetir el ciclo. Vemos que en este diagrama hemos lie\ ado el gas alrededor to, y durante el mismo le hemos dado Q 1 a la tempcratura Q1 a la temperatura Ti· Lo intcresante es que cstc ciclo es driamos representar todos los pasos al revCs. Podnamos lugar de hac1a adelante: podriamos haber empcLado en el punto a, a tcmpcrmura 7;, expandir seglln la cuna (4), expandtr al.in mas ha'ita la temperatura T absorbiendo calor Q2 • etc., haciendo el ciclo al TC\ cs. 51 completamos el ciclo en un sent1do, debemos cornumcarle trabajo al gas: ~i lo hacemo~ en cl otro 'ienndo cl ga~ n0~ devuelve el trabaJO. 44-8 L,o, -"------rJ o, ~·&·· LI o,-w Fig, 44-6. Cicio de Carnot . 1 Areautil o,-w' Fig. 44-7. Maquina reversible A puesta a funcionar al reves por la maquina 8. Entre parentesis. es facil calcular cuitl es la cantidad total de trabajo, ya que el trabajo durante cualquier expansi6n es la presi6n por la variaci6n de volumen, IPdV. En este diagrama particular, hcmos representado P verticalmente y V horiZontalmente .. Por consiguiente, si llamamos ya la distancia vertical y x a la horizontal, nos da (ydx -en otras palabras, e! itrea bajo la curva-. Por lo que el itrea bajo cada una di= las curvas numeradas es una medida de! trabajo·cfoctuado por o sabre el gas en el paso correspondiente. Es facil ver que el trabajo neto efectuado es el area sombreada de la figura. Ahora que hemos dado un solo ejemplo de una mit.quina reversible, supondremos que son posibles otras maquinas de la misma especie. Supongamos que tenemos una mi\quina reversible A quc toma Q 1 a TP hace el trabajo W y entrega algUn calor a T 2• Supongamos ahora quc tenemos cualquier otra mitquina B, hecha por un hombre, ya diseiiada o aUn no inventada, formada de bandas elitsticas, vapor o lo que sea, reversible o no, que estit construida de ta! forma que toma la misma cantidad de calor Q1 a T1 y !o cede a la temperatura inferior Ti (Fig. 44-7). Suponemos que la mti.quina B efectlla alglln trabajo W. Demostraremos ahora que W no es mayor que W --que ninguna m3.quina puede efectuar mils trabajo que una reversible-. ~Por quf? Supongan que en realidad W fuese mayor que W. Entonces podriamos tomar el calor Q1 del dep6sito a T 1 y con la m3.quina B podriamos efectuar el trabajo W y entregar algUn calor al dep6sito a T 2 : no nos importa cuitnto. Hecho esto, podriamos ahorrar alga de! trabajo W, que se supone mayor que W; podriamos usar una parte W de fl y guardar el resto W - W para trabajo Util. Con el trabajo W podr!amos hacer que la m3.quina A funcionase a! reves ya que es una mtiquina reversible. Absorbed algUn calor de! dep6sito a Ti y devolveril Q1 al depOsito a T 1• Despufs de este doble ciclo, el resultado neto seria que hemos puesto todas las cosas como las teniamos al principio y que hemos realizado a!glln trabajo adicional, W - W, y todo lo que ha.briamos hecho seria jextraer energia de! dep6sito a T 1 ! Tuvimos cuidado de devolver el calor Q 1 al dep6sito a T1• Por lo tanto, dicho dep6sito puede ser pequefto y estar ··dentro" de nuestra mftquina combinada A + B, cuyo efecto neto es por lo demits extraer un calor neto W - W del dep6sito a T, y r..:onvertido en trabajo. Pero obtener trabajo Util - 44-9 de un dcpOsito a una sola temperatura sin 11ingU11 otro cambio e~ imposible de acucrdo a! postulado de Carnot; no se puede hacer. Por consigu1ente, ninguna m:lquma que absorbe una cantidad determinada de calor a una temperatura mayor T, y la entrega a la temperatura T, puede efectuar mas trabajo que una m3.quina reversible trabajando bajo las mismas condicmm;s de temperatura. Supongan ahora que la m3.quina B tambiri:n es reversible. Entonces, naturalmente, no s6lo no debe ser W' mayor que W, sino que ahora podemos mvcrt1r el razonamicnto y demostrar que W no puede ser mayor que W. Por lo tanto, si las dos m3.quinas son reversibles, ambas debcn rcalizar la misma cantidad de trabajo y as! llegamos a la brillante conclusiOn de Carnot: si una m3.quina es reversible, no importa cOmo estil diseiiada, porque la cantidad de trabajo que se obtendr<i si la m:iquina absorbe una determinada cantidad de calor a la temperatura T 1 y entrega calor a alguna otra temperatura T 2 no depende en nada de! diseiio de la mdquina. Es una propiedad de! mundo y no de una milquina en particular. Si pudiri:semos encontrar la ley que determina cuilnto trabajo se obtiene cuando se absorbe el calor Q1 a T 1 y se entrega calor a T1 , esta cantidad seria alga universal, independiente de la sustancia. Naturalmente que si conociri:scmos las propiedades de una sustancia particular, podriamos calcularlo y decir entonces que todas las demits sustancias dan la misma cantidad de trabajo en una mitquina reversible. Esta es la idea clave, la pista mediante la cual podriamos encontrar, por ejemplo, la relaciOn entre cuilnto se contrae una banda elilstica cuando la calentamos y cuilnto se enfria cuando la dejamos contraer. lmaginen que colocamos dicha banda en una m<iquina reversible y hacemos que complete un ciclo reversible. El resultado neto, cantidad total de trabajo efectuado, es esa funci6n universal, esa gran funci6n que es independiente de la sustancia. Yemos asi que las propiedades de una sustancia deben estar limitadas de un cierto modo; no se puede hacer todo lo que uno quiere, o si no se podria inventar una sustancia que se pudiese usar para producir mas que el mix.imo trabajo pennitido cuando se llevase en un ciclo reversible. Este pnnc1p10, esta limitaci6n, es la {mica regla real que sale de la termodinilmica. 44-4 Eficiencia de una m3quina idea1 Ahora trataremos de encontrar la ley que determina el trabajo W en funci6n de Q 1, T 1 y Tr Es obvio que Wes proporcional a Qp ya que si consideramos dos mitquinas reversibles en paralelo, ambas trabajando juntas y ambas m3.quinas doblcs, la combinaci6n es tambiCn una mitquina reversible. Si cada una absorbe el ca!or QP las dos juntas absorben 2Q 1 y el trabajo efectuado es 2 W, etc. Por lo que es razonable que Wsea proporcional a Q1• El siguiente paso importante es encontrar esta !ey universal. Podemos y queremos hacerlo estudiando una mitquina reversible con una sustancia particular cuyas !eyes conocemos, con un gas perfecta. Tambiri:n es posible obtener la regla med~ante un razonamiento puramente 16gico, sin usar de ninglln modo una sustancia particular. Esta es una de las piezas maestras de! razonamiento fisico y estamos deseosos de mostr<irsela, por lo que la discutiremos dentro de un momenta para aquellos que de seen verla. 44-10 Pero antes, usaremos el metodo mucho menos abstracto y simple del citlculo directo para un gas perfecta. Necesitamos solamente obtener formulas para Q1 y Q 2 (porque Wes justamente Q 1 - QJ, calores intercambiados con los dep6sitos durante la expansi6n o contracci6n isotermicas. Por ejemplo, z.cuitnto calor Q 1 se ha tornado de! dep6sito a tempera· tura T 1 durante la expansi6n isotfrmica I mare ad a (I) en la figura 44-6 I des de el punto a, a presi6n p 0 , volumen Vay temperatura T 1, hasta el punto b a presi6n p~ volumen Vb y la misma temperatura T 1 ? Para un gas perfecto cada mo!Ccula tiene una energia que depende solamente de la temperatura, y puesto que la temperatura y el nllmero de mo!eculas son iguales en a y b, la energia interna es la misma. No hay cambio en U; todo el trabajo efectuado por el gas, W=tpdV, durante la expansi6n es energia Q 1 tomada del dep6sito. Durante la expansi6n, pV= NkT1, o sea y tenemos Qi o sea que = lb" p dV = lb" NkT1 '!!'_ v (44.4) es el calor tornado del dep6sito a T1• Del mismo modo, para la compresi6n a T 2 Icurva (3) de la figura 44-6 I el calor entregado al dep6sito a T 2 es (44.5) Para completar nuestro anitlisis necesitamos solamente encontrar una relaci6n entre Vc/Vd y Vb/VQ. Esto lo hacemos observando que (2) es una cxpansi6n adiabittica dcsde b hasta c y durante ella pV"' es una constante. Como pV = NkT, podemos es cribir esto en la forrrla (pV)VY-' = const o, en funci6n de Ty V, en la forma TVY l = = const, es decir (44.6) De modo semejante, como (4), "Jx:·p~~~i6ri dcsde d hasta a, es tambiCn adiabittica, encontra mos (44.6a) Si dividimos esta ecuaci6n por la anterior, encontramos que Vb/Va debe ser igual a VcfVw por lo que los logaritmos de (44.4) y (44.5) son iguales y resulta (44.7) 44-11 o, j ' //l///• Fig. 44-8. Las m.3quinas 1 y 2 1untas son equ1valentesalamflquina3. Esta es la relaci6n que andilbamos buscando. Aunque se ha probado para una milquina de gas perfecta, sabemos que debe ser villida para cualquier mdquina reversible. Ahora veremos c6mo esta ley universal se pudo tambien haber obtenido med1ante un razonamiento 16gico, sin conocer las propiedades de una sustancia particular, co mo sigue. Supongan que tenemos tr es milquinas y tres temperaturas, digamos T 1, T, y T,. OigaIT)os que una milquina absorbe el calor Q de la temperatura T y que efectlla una cierta cantidad de trabajo WIJ y que entrega el calor Q1 a la temperatura T 1 (Fig. 44-8). Supongamos que otra milquina va al reves entre T 2 y T 1 , y que es de un tamailo ta1 que absorbed el mismo calor Q.1 y entregarit Q 2 • Tenemos que darle una cierta cantidad de trabajo W 32 --que serit negativo porque la mitquina va al rcves. Cuando la primera miiquina completa un ciclo, absorbe el calor Q 1 y entrega Q 1 a la temperatura T,; pero la segunda miiquma toma el mtsmo calor Q, del dep6sito a temperatura T 1 y lo entrega al dep6sito de temperatura T 2• Por Jo tanto el resultado neto de las dos mit.quin«,s en tandem es tomar el calor Q 1 de T 1 y entregar Q2 a T2 • Las dos son, pues, equivalentes a una tercera que absorbe Q a T,, efectlla el trabaJO W 12 y entrega Q2 a T 2, ya que W12 = WD - Wn, como se puede demostrar inmediatiunente a partir de la primera ley, co mo sigue: Ahora podemos obtener las !eyes que relacionan las eficiencias de las miiquinas, porque claramente debe haber alguna clase de relaci6n entre las eficiencias de las m3.quinas que funcionan entre las temperaturas T1 y T 1 , y entre T 1 y T 1 , y entre T 1 y T 2• Podemos aclarar mucho el razonamiento de! siguiente modo: acabamos de ver que siempre p<>demos relacionar el calor absorbido a T1 con el entregado a T 2 , 1wcontrando el calor entregado a cualquier otra temperatura T1 • Por consiguiente, podemos obtener todas las propiedades de las miiquinas si introducimos una temperatura patr6n y analiz!l:ndolo todo con ella. En otras palabras, si conociesemos la eficiencia de una mit.quina que funciona entre una cierta temperatura T y una cierta temperatura patr6n arbitraria, p<>driamos calcular la eficiencia para cualquier otra difercncia de temperatura. Como suponemos que estamos usando solamente milquinas reversibles, podemos trabajar bajando desde la temperatura inicial a la temperatura patr6n 44-12 y subir de nuevo a la temPeratura final. Definiremos la temperatura patr6n arbitrariamente como de un grado. Tambien adoptaremo~ un simbolo especial para el calor que es entregado a esta temperatura patrOn: lo !lamaremos Qs. En otras pa!abras, cuando una m<iquina reversible absorbe el calor Q a la temperatura T, entregar<i; a la temperatura unitaria, un calor Qs- Si una mdquina que absorbe Q 1 a Tl' entrega el calor Qs a un grado, y si una mdquina que absorbe Q2 a la temperatura T 2 entrega tambien la misma camidad de ca/or Qs a un grado, se sigue que una milquina que absorbe el calor Q 1 a la temperatura T 1 entregard el ca/or Q2 si funciona entre T 1 y T2, como ya habiamos demostrado considerando mitquinas que funcionan entre tres temperaturas. Por lo que todo lo que tencmos rcalmente que hacer es encontrar cuitnto calor Q, necesitamos dar a la temperatura T, para entregar una cierta carttidad de calor Qs a la tempcratura unitaria. Si descubrimos esto, lo tenemos todo. El calor Q es, por supucsto, una funci6n de la temperatura T. Es f<icil ver que el calor debe aumentar cuando lo hace la temperatura, porque sabemos que se necesita trilbajo alta. para que una m<iquina funcione al reves y entregue calor a una temperatura Es tambifo facil ver que el calor Q1 debe ser proporciona! a Qs- Asi, la gran ley es alga como esto: para una cantidad dada de calor Qs entregada a un grado por una m<iquina que funciona a la temperatura de T grados, el calor Q absorbido debe ser esa cantidad Qs por una funci6n creciente de la temperatura: mas Q ~ Qsf(T). (44.9) 44-5 Temperatura termodiniimica A estas alturas no vamos a tratar de encontrar la formula para esa funciOn creciente de la temperatura en tCrminos de nuestra familiar cscala de temperatura de mercuric. sino que definiremos la temperatura mediante una nueva escala. En un tiempo se definia "la temperatura" arbitrariamcnte dividiendo la dilataciOn de! agua en grados igualcs de un cierto tamai'io. Pero cuando se mide la temperatura con un termometro de mercurio, se cncuentra que ya los grados no son iguales. Pero ahora podemos dar una deflniciOn de temperatura que es independienle de cual quier sustancia particular. Podemos usar aquella funci6n fl..71 que no depende de lo que usemos. ya que la eficiencia de estas milquinas reversibles es independiente de las sustancias con que trabajan. Como la funciOn que encontramos aumenta con la temperatura, definiremos la funciOn misma como temperatura, medida en unidadcs de la temperatura patr6n de un grado, en la forma siguiente: (44.10) donde Qs = S· 1°. (44.11) Esto significa que podemos decir lo caliente que cst<i un objcto encontrando cu<into calor es absorbido por una m<iquina reversible que trabaja entre la temperatura del objeto y la temperatura unitaria (Fig. 44-9). Si se toma de una caldera siete veces mas ca!or del que es entregado a un condensador de un grado, la temperatura de la caldera se diril. que es de siete grados, y asi sucesivamente. Por consiguiente, midiendo cuitnto calor es absorbido a diferentes tempcraturas, determinamos la temperatura. La temperatura 4-13 w-c-s·l' Fig. 44-9. absoluta. Temperatura termodinflmica definida de este modo se denomina temperatura termodindmica absoluta, y es independiente de la sustancia. Desde ahora en adelante, usaremos exclusivamente esta definici6n*. Ahora nos damos cuenta que cuando tenemos dos milquinas, una trabajando entre T, y un grado, la otra cntre T, y un grado, y entregan el mismo caJor a la temperatura unitaria, los calores absorbidos deben estar relacionados mediante (44.12) Pero esto significa que si tcncmos una sola mitquina que funciona entre T, y T,, entonces el resultado del anitlisis total, el gran finale, es que Q, es a T, como Q, e:. a T,, si la m<iquina absorbe Q, a la temperatura T, y entrega el calor Q, a la temperatura T,. Siempre quc la mii.quina sea reversible, se debe seguir esta relaci6n entre los calores. Esto es todo lo que hay: f:stc cs el centro de\ uni verso termodin3mico. Si todo esto es lo que hay en termodinilmica. (.por qui: se la considera una materia tan dificil'.' Al resolver un problema quc envuclve una masa dada de una sustancia, cl estado de la sustancia en cualquier momento se puede describir diciendo cuitl es su temperatura y cual es su volumcn. Si conocemos la tempcratura y el volumen de una sustancia, y quc la presiOn es una cierta funci6n de la temperatura y dcl volumen, conocemos cntonces !a cncrgia interna. Alguicn podria decir: '"Yo no quiero hacerlo asi. Digame la temperatura y la prcsi6n y yo le dirf: el vo!umcn. Yo puedo la considerar el vo!umcn como una func16n de la interna como una funci(m de la tempcratura la cual la termodinamica es dificil. porque uno usa solamente pud1esemos reunirno~ por una ~ola vez y dccidir variables y aceptarlo asi siempre, seria bastantc f<'icil. Comenzamos. Para pbtener nuestra primcra conclusi6n, combinamos ambas leyes, la ley de la conservaci6n de la energia y esta ley que relaciona los calores .Q. y Q,, y podemos obtener facilmente la eficiencia de una mciquina reversible. Segun la primera ley, tenemos que W"""""' Q,-Q,. SegUn nuestro nuevo principio, por !o que el trabajo resulta ser W = Q1 (1 - ~) ~ !Lt"1 T2 • Eficiencia = = T1 = Qi Ti T1 Tz • (44.13) (44.14) La eficiencia no puede ser ffiayor que la unidad y la temperatura absoluta no puede ser menor que cero, cero absoluto. Asi, pues, coma T, dcbe ser positiva, la eficiencia es siempre menor que la unidad. Esta es nuestra primera conclusi6n. 44-6 Entropia La ecuaci6n (44.7) o la (44.12) pueden ser interpretadas de una manera especial. Trabajando siempre con mii.quinas reversibles, un calor Q, a !a temperatura T, es "equivalente., a Q, a T, si Qj T, = Q,/ T,, en el sentido de que cuando se absorbe uno se entrega el otro. Esto sugiere que si le damos algUn nombre a QI T, podemos decir: en un proceso reversible se absorbe tanto QIT coma se libera; no hay ganancia o pfadida de QI T. Este QI T se !lama entrop[a y entonces decimos que .. no hay variaci6n neta de entropia en un cido reversible". Si Tes 1°, la entropia es QI 1° o usando el simbolo que le dimos, Q 5/ 1° = S. ComUnmente S es la letra usada para entropia y es numfaicamente igual al calor (que hemos Hamada Q5 ) entregado a un dep6sito de I 0 (la emropia no es un calor, es un calor di vi dido por una temperatura, por lo que se mide en joules por grado). Ahora bien, es interesante que ademii.s de la presi6n, que es funci6n de la temperatura y de! volumen, y la energia interna, que es funci6n de temperatura y volumen, hayamos encontrado otra cantidad que es una funci6n de! estado, esto es, la entropia de la sustancia. Tratemos de exp!icar c6mo la calculamos y que queremos decir cuando la llamamos una "funci6n de! estado". Consideren el sistema en do::. estados diferentes, muy parecido a lo que teniamos en el experimento donde realizarnos las expansiones adiabii.ticas e isotermicas. (Entre parentesis, no hay necesidad de que una rnilquina termica tenga solamente dos dep6sitos, podria tencr tres o cuatro temperaturas diferentes a las que toma y entrega calor, etc.) Podemos movemos sobre un diagrama pV en todo momento e ir de un estado a otro. En otras palabras, podriamos decir que el gas estii. en un derto estado a 44-15 y luego pasa a otro b, y nosotros exigiremos que esta transici6n, de a a b, sea reversible. Supongan ahora que a todo lo largo de\ camino desde a hasta b tenemos pequefios dep6sitos a temperaturas diferentes, de modo que el ca!or dQ sacado de la sustancia en cada uno de los pequefios pasos se entrega a cada dep6sito a la temperatura correspondiente a! punto del camino. Conectamos entonces estos dep6sitos, mediante miiquinas termicas reversibles, a un solo dep6sito a la temperatura unitaria. Cuando hayamos terminado de llevar la sustancia desde a hasta b, llevaremos todos los dep6sitos a su estado inicial. Cualquier cantidad de calor dQ que se ha absorbido de !a sustancia a temperatura T ha sido convertida ahora por una mitquina reversible y se ha entregado una cierta cantidad de entropia dS a la temperatura unitaria: dS ~ dQ/T. (44.15) Calculemos la cantidad total de entropia que ha sido entregr..da. La diferencia de entropia, o entropia necesaria para ir de a a b mediante esta transformaci6n reversible particular, es la entropia total, el total de entropia que sc ha tornado de los pequefios dep6sitos y que se ha entregado a la tcmperatura unitaria: (44.16) Hay una pregunta: ,:,Depende la difercncia de entropia de! camino seguido? Hay mils de un camino para ir de a a b. Recuerden que en el ciclo de Carnot podiamos ir de a a c, en la figura 44-6, expandiendo primero isotCrmicamente y luego adiabitticamente; o podiamos expandir primero adiabiiticamente y luego isotl!rmicamente. La pregunta cs si !a variaci6n de entropia que tiene lugar cuando vamos de a ab, en la figura 44-10, es la misma seglln sigamos un camino u otro. De be ser igual, puesto que si hiciesemos el cic!o completo, yendo hacia adelante por un camino y hacia atrits por el otro, tendriamos una mliquina reversible y no habria perdida de calor en el dep6sito a temperatura unitaria. En un ciclo totalmente reversible, no se debe tomar ningU.n calor del dep6sito a temperatura unitaria, por lo que la entropia ··-~. Dep0'it°'1 Milquinas Fig. 44-10. Variaci6n de entropfa durante una transformac16n reversible. (_/AS . St>-s~ Cambio total de entropia -o Fig. 44-11. Variaci6n de entropia en un c1clo completamente reversible. 44-16 necesaria para ir de a a b es igual siguiendo diferentes caminos. Es independiente def camino y depende solamente de los puntos extremos. Podemos decir, por consiguiente, que hay una cierta funci6n, que !lamamos entropia de la sustancia, que depende solamente de! estado, es decir, solamente de! volumen y de la temperatura. Podemos encontrar una funci6n S( V,1) que tiene la propiedad de que si calculamos la variaci6n de entropia en termino<; del ca!or dcjado a la temperatura unita ria, cuando la sustancia se mueve segUn cualquier camino reversible, entonces (44.17) donde dQ es el calor sacado de la sustancia a la temperatura T. Esta variaci6n total de entropia es la diferencia entre la entropia calculada en los puntos inicial y final: (44.18) Esta expresi6n no define completamente la entropia, sino mils bien solamente la diferencia de entropia entre dos estados diferentes. Unicamente si podemos evaluar la entropia para un estado especial, podemos en realidad definir S en forma absoluta. Durante mucho ticmpo se creyU que la entropia absoluta no significaba nada --que s61o se podrian definir diferencias--, pero por fin Nernst propuso lo que llamO teorema ca!Orico, que tambiCn se llama tercera ley de la termodin<imica. Es muy senci!!o. Diremos en quC consiste, pero no explicaremos por que es v<ilido. El postulado de Nernst afirma simplemente que la entropia de cualquier objeto es cero en el cero absoluto. Sabcmos de un caso de r y V, cuando T = 0, donde S es cero; y asi podemos obtener la cntropia en cualquier otro punto. Para ilustrar estas ideas, calculemos la entropia de un gas perfecto. En una ex pansi6n isotermica (y, por lo tanto, rever~ible), I dQ/ Tes Q/ T, puesto que Tes constante. Por consiguiente, segim (44.4) la variaciOn de entropia es y por lo tanto S(V,7) = Nk ln V mas alguna funci6n de T imicamente. t,COmo depende S de T! Sabemos que para una expansiOn adiabiltica reversible. no se intercambia ca/or. Luego, la entropia no cambia aunque V lo haga, siempre que T tambien cambie. de tal forma que TVI - 1 -'--" const. c:,Puedcn ver que esto implica que S(V, T) = Nk [1n V + ;y-~J ln r] +a, don de a es una constante independiente tanto de V co mo de T? Ia se llama constante quimica. Depende de\ gas en cuesti6n y se puede determinar experimentalmente a partir de\ teorema de Nernst midiendo el calor liberado al enfriar y condensar el gas hasta que ha pasado a s6lido (o en el caso del hello, a liquido) a o~, intcgrando 44-17 rdQ/ T. Tambifo se puede determinar te6ricamente mediante la constante de Planck Yla mecitnica cuitntica, pero no lo estudiaremos en este curso]. Ahora selialaremos algunas propiedades de la entropia de las cosas. Re<::ordemos, en primer lugar, que si vamos segUn un c!clo reversible de a ab, la entropia de la sustancia cambiarit en Sb - Sa. Y tambi6n recordamos que a medida que recorremos el camino, la entropia --calor entregado a la temperatura unitaria- aumenta de acuerdo a la regla dS --,- dQ/T, donde dQ es el calor que quitamos de la sustancia cuando ~u temperatura es T. Ya sabemos que si tenemos un ciclo reversible, la entropja total de todo no varia, ya que el calor Q, absorbido a T, y el calor Q, entregado a T, corresponden a variacioncs igualcs y opuestas de entropia, por lo que la variaci6n neta de entropia es cero. En consecuencia, en un ciclo reversible no hay cambio en la entropia de nada, incluyendo los dep6sitos. Esta regia se puede pare.:er a la conservaci6n de la energia, pero no lo es; se aplica solamente a ciclos reversibles. Si incluimos ciclos irreversibles no hay ley de conservacibn de la entropia. Daremos dos ejemplos. En primer lugar, supongan que hacemos trabajo irreversible sabre un objeto mediante r6ce, generando un ca!or Q en a!glln objeto a tcmperatura T. La cntropia aumenta en Q/ T. El calor Q es igual a! trabajo y asi cuando efectuamos una cierta cantidad de trabajo por roce contra un objeto cuya temperatura es T, la entropia de todo el mundo aumenta en WIT. Otro ejemplo de irreversibilidad es 6ste: si juntamos dos objetos que estitn a temperaturas diferentes, T, y T, digamos, una cierta cantidad de calor fluirit de! uno al otro espontilneamente. Supongan, por cjcmplo que colocamos una piedra caliente en agua fria. Entonces, cuando una cierta cantidad de calor dQ ha pasado de T, a T,, z.cuilnto cambia la cntropia de la piedra caliente'! Disminuye en !J.Q/T,. ;,Cuimto cambia la entropia de! agua? Aumenta en dQ/T. El ca\or fluini., naturalmente. s61o desde la temperaturn mils alta T, a la mils baja T, por lo que L'iQ es positiva si T, es mayor que T,. Asi, pues. la variaciOn de entropia de todo el universo es positiva yes la diferencia entre las dos fraccioncs: (44.19) Vale entonces la sigmente proposiciOn: la entropia de todo el universo aLJmenta en cualquier proccso que es irreversible. Solamcnte en procesos reversibles la entropia si permanece constante. Como ningtin proceso cs absolutamente reversible. siempre hay por lo meno~ una pcqucii.a ganancia en la entropia: un proceso reversible es una idealirnc10n en la que hemos hecho minima la ganancia de entropia. Dcsafortunadamente, no vamos a ir muy lejos dentro del campo de la termodinilmica. Nuestro propOsito es solamente ilustrar las ideas principales mvolucradas. asi coma las razones de por quC es posible hacer tales argumentos, pero no u~are­ mos mucho la termodinilmica en este curso. Los ingeniero~ y particularmente lo~ quimicos usan la termodinilmica con mucha frecuenc1a. A~i quc dcbcmo<; aprender nuestra termodinii.mica priictica en quimica o en ingemeria. Como no vale la pena repetir las cosas, solamente discutiremos algo del origen de la teoria en lugar de entrar en detalles de aplicaciones particulares. 44-18 Tabla44-l Resumen de las !eyes de la termodin3mica Primera ley: Calor dado a un sistema + Trabajo efectuado sabre el sistema = Aumento en la energia interna de! sistema: dQ + dW = dV. Segunda fey: Es imposible un proceso cuyo Unico resultado final sea tomar calor de un dep6sito y convertirlo en trabajo. Ninguna m3.quina tfrmica que toma calor Q 1 de T 1 y que entrega calor Q2 a T2 puede efectuar mils trabajo quc una m3.quina reversible, para la cual W = Q1 - Q~ = Qi (~1-;1 T2). La entropia de un Sistema se define asi: (a) Si se aiiade reversiblemente ei cal or .:1 Q a un sistema a la temperatura T, el aumento de entropia de\ sistema es .1S = .1Q IT. (b) AT= 0, S = 0 (tercera ley). En un cambio reversible, la entropia total de todas las partes del sistema (incluyendo dep6sitos) no varia. En un cambio irreversible, la entropia total de! sistema siemprc aumenta. Con frecuencia las dos !eyes de la termodin3.mica se enuncian asi: Primera ley: la energia del universo es siempre constante. Segunda fey: la entropia de! universo siempre est.it aumentando. No es un buen enunciado el de la segunda ley; no dice, por ejempio, que en un ciclo reversible la entropia perrnanece constante. ni tampoco dice exactarnente que es la cntropia. Es s61o un rnodo ingenioso de recordar las dos ]eyes. pero no nos dice en realidad exactarnente de 4ue tratan. Hcmos resumido !as !eyes discutidas en este capltulo en la tabla 44-1. En el prOxirno capitulo aplicarcrnos estas !eyes para descubrir la relaciOn entre cl calor generado en la expansic'm de una banda e!Ustica y la tensiOn adicional cuando se la ca!ienta. 44-19 45 Ejernplos de terrnodimirnica 45-1 Energia interna 45-2 Aplicaciones 45-1 45-3 La ecuaciOn de Clausius-Clapeyron Energia intcrna La termodin<i.mica es bantante dificil y compleja cuando llegamos a aplicar!a y no nos compete en este curso profundizar mucho en las aplicacioncs. El tema es de muchis1ma importancia, naturalrncnte. para ingenleros y quimicos. y los que esten mtere~adm en el mismo pueden enterarse de las aplicaciones en fisicoquimica y en termodin:imica para ingenieros. Hay tambiCn buenos libros de referencia, tal como Heat and Thermodynamics de Zemansky. donde se puede profundizar el tema. En la Fncyc!opedia Britannica, dcc1mocuarta ed1c16n, se puede encontrar articulos excelentes sabre termodinii.mica y termoqulmica, y en el articulo sobre quimica. las secciones de fisicoquirnica, vaponwcion. licucfaccion de gases y otros. La tcrmodinil.mica cs complicada porque hay muchas mancras diferentes de describir la rnisrna cosa. Si deseamos describir el comportamiento de un gas. podemos decir que la prcsiOn depcnde de la tempcratura y del volumen o que el volumcn depende de la temperatura y la presi6n. Si consideramos la energia interna U, podriamos decir que dcpcnde de la temperatura y e! volurnen, si esas sun las variables que hemos elcgido; pcro tambifo podriamos dccir que depende de la temperatura y la presi6n, o !a presi6n y t'I volumen. y asi sucesivamente. En el Ultimo capitulo discutimos otra funci6n de ill temperatura y cl volumcn llamada entropia S; de~de luego podemos construir tantas funciones de esas variables como queramos: U--TS es una funci6n de la temperatura y el volumen. Tenemos, pues, un gran nUmero de cantidades diferentcs que puedan ser funciones de muchas combinaciones difercntes de variables. 45-1 En primer lugar, consideraremos entonces Unicamente un sistema de variables independientes: temperatura y volumen. En segundo lugar, s6lo discutiremos dos funciones dependientes: la energia interna y la presi6n. Todas las otras funciones se pueden obtener a partir de estas, por lo que no es necesario discutirlas. Aun con estas !imitaciones, la termodinitmica es un tema bastante dificil jpero no de! todo imposible! Recordemos primero un poco de matemittica. Si una cantidad es funci6n de dos variables, el concepto de derivada de la cantidad requiere un examen mas cuidadoso queen el caso en quc hay una sola variable. ~Que entendemos por derivada de la presi6n respecto a la temperatura? El cambio de presi6n que acompaila a un cambio de temperatura depende en parte, por supuesto, de lo que le ocurre al volumen mientras T cambia. Debemos especificar la variaci6n de V para que el concepto de derivada rcspecto a T tenga un significado preciso. Podria interesarnos. por ejemplo. la rapidez de variaci6n de P con T si sc mantiene V constante. Este cociente es simplemente la derivada ordinaria que escribimos comUnmente como dPldT. Habitualmente, se usa un simbolo especial, aPl 0 T, para recordar que P depende de otra variable V adema~ de T, y que esa otra variable se mantienc constante. No s6lo usaremos el slmbolo C para Hamar la atenci6n sobre el hecho de que la otra variable se mantiene constante, sino que tambiCn escribiremos como subindice la variable que se mantiene constante: ( 8 Pl 8 T)v- Como tenemos s61o dos variables independientcs, es ta notaci6n es redundante, pero nos servirii. para no pcrder el camino de la jungla termodin<'tmica de derivadB parciales. Supongamos que la funci6n j(x, y) dependc de las dos variables independicntes x, \'. lndicamos con UJ/ Ox), la derivada ordinaria obtenida de\ modo habitual. tratan· do y como constante: ("!) iJx = y limit f(x__± .6.x, y) --:__f!:.x, y). 11x-•O .6.x Anit.iogamente definimos Por ejcmplo, si j(x, y) = x·· + yx, se tiene (i'f/ i;x)r = 2x + y, y (OJI (;•yJ., = x. Podemos extender este conccpto a derivadas de orde·n superior: ?J/ 0 )" o ;. fl ('y( x. El Ultimo slmbolo indica que primero derivamosfrespecto ax tratando y coma cons tante y luego derivamos el resultado respccto a y tratando x como constante. El orden de derivaci6n no importa: i·f/(;xi·y = i'f/i')'i'X. Sera necesario calcular el incremento d.f de f(x, y) cuando x pasa ax + dx al mismo tiempo que y pasa a y ~ Jy. Supondremos en lo que sigue que _\x y Jy ~un infinitesimos: .6.f = f(x '- j(x + .6.x,y t+ 6.x, r..;.. .:.'l,r) - j(x,y) !iy) - j(x,l ~xC:{}, + 2.y) + ~ • ti.ycnI (45.l) La llltima ecuaci6n es la relaci6n fundamental que expresa t,,f en tCrminos de Jx y ~y. Como ejemplo del uso de esta relaci6n, calculemos el incremento de la energia interna U(T, V) cuando la temperatura varia de T a r + .1 T y el volumen varia de Va V + !J. V. Empleando la ecuaci6n (45. l) escribimos (45.2) Efl el capitulo anterior encontramos otra expresi6n para e_Lincrcmento .1 Ude la energia interna cuando se agrega al gas una cantidad de calor .1Q: t:.U = t:.Q - Pt:.V. (45.3) Comparando las ecuaciones (45.2) y (45.3) se podria creer a primera vista que P '--- (( U/ i: Y)T, pcro esto no es correcto. Para obtener la relaci6n correcta, suponga mos primero que agregamos una cantidad de calor .1.Q al gas manteniendo el volumen constante, de modo que !J.V= 0. Si .1.V= 0, la ecuaci6n (45.3)nosdiceque.1U= = .1.Q y la ecuaci6n (45.2) nos dice que .1 U = ( 0 VI(! 1/v.1. T, de donde ((;)VI 0 T)v = = .1.Q/!J.T. E! cociente !J.Q/.1.T, cantidad de calor que se debe entregar a una sustancia para cambiar su temperatura en un grado manteniendo el volumen constante, se llama calor especifico a volumen constante y se indica con el simbolo Cv. Hemos demostrado, pues, quc (45.4) Ahora agreguemos de nuevo al gas una cantidad de calor j Q, pero esta veL manteniendo T constante y dejando que el volumen cambie en .1 V. En este caso el anii.lisis cs mils complejo, pero podemos calcular LI.Ucon el razonamiento de Carnot, hacienda uso del ciclo de Carnot quc introdujimos en el capitulo precedcnte. La figura 45-l muestra el diagrama presi6n·volumen para el ciclo de Carnot. Como ya hemos visto. el trabajo total realizado por et gas en un ciclo reversible es lJ.(!...tJ.T/T), donde .1.Q es la cantidad de cnergia cal6rica suministrada al gas a mt--dida que se expande isotCrmicamente a la temperatura T dcl volumen V al V .,- LI. V, y T-.1 Tes la temperatura final que alcanza el gas cuando se cxpandc adiabitticamente en el segundo tramo de! ciclo. Demostraremos ahora que este trahajo rea!izado tambif:n estit dado por do se agrega el calor .J.Q al gas a ternperatura Constante T. d T es la variac16n de presi6n a volurnen constante que resulta cuando la ternperalllra del gas varia de Ta T-6.T. 45-3 el 8.rea sombreada de la figura 45-1. En cualquier caso, el trabajo realizado por el gas es P dV y es positivo cu an do el gas se ex pande y negativo cuando el gas se comprime: Si hacemos el diagrama de Pen funci6n de V, la variaciOn de Py V esti representada por una curva que da el valor de P correspondiente a un valor deterrninado de V. A medida que el volumen cambia de un valor a otro, el trabajo realizado por el gas, o sea la integral P dV, es el area que est<i bajo la curva que une los valores inicial y final de V. Aplicando esta idea al ciclo de Carnot, vemos que al recorrer el ciclo poniendo atenci6n en el signo de! trabajo realizado por el gas, el trabajo total realizado por el gas es justamente el :irea sombreada de la figura 45-1. r f Fig. 45-2. Area sornbreada ,-- area encetrazos = area de\ rec- rrada por las llneas de t8ngulo = .1.P .1 V. Ahora calcularemos geometricamente el :irea sombreada. El ciclo usado en la figura 45-1 difiere de\ usado en el capitulo anterior en que ah ora suponemos que !1 T y !1 Q son infinit6simos. Estamos trabajando entre adiab:iticas e isotermas muy cercanas y la figura formada por las lineas gruesas de la figura 45-1, tendera a un paralelogramo cu an do Jos incrementos L\ T y L\ Q tiendan a cero. El area de este paralelogramo es L\ VL\P, don de .1. V es la variaci6n de volumen que resulta de entregar la energia /'.J. Q al gas a temperatura Constante, y 11P es la variaciOn de presiOn cuando la temperatura varia en .1. T a volumen constante. Se puede demostrar f:icilmente que el :irea sombreada de la figura 45-1 esta dada por L\ V11P observando que es equivalente al :irea encerrada por las lineas de trazos de la figura 45-2, que a su vez difiere de! rectitngulo formado por /'.J.P y /1 V Unicamente por la suma y la resta de las :ireas triangulares iguales de la figura 45-2. Resumamos los resultados obtenidos hasta ahora: Trabajo realizado por el gas= area sombreada "-- i1V11P = L\Q ( 41-· · (calor necesario para cambiar Ven /1 ¥) VJTconstante (45.5) = j_ V · (variaci6n de P cuando T varia .17/vcon•tante .1\" · (ca!or necesario para cambiar Ven /1 Vh = 7YlJP/ 8T)v. La ecuaciOn (45.5) expresa el resu!tado escncial del razonamiento de Carnot. Toda 454 la termodin3.mica se puede deducir de la ecuaci6n (45.5) y de la Primera Ley, expresada en la ecuaci6n (45.3). La ecuaci6n (45.5) es esencialmente la Segunda Ley, aunque Carnot la dedujo originariamente en una fonna Iigeramente diferente, ya que no utiliz6 nuestra definici6n de temperatura. Ahora podemos proceder al c3.lculo de (bU/bV)r- i:.En cuilnto variaria la energia interna U si el volumen variase en .1 V? Primera: U varia porque se agrega calor, y segundo: U varia porque se realiza trabajo. El calor agregado es ~Q = T (~)v ~v, de acuerdo con la ecuaci6n (45.5) y el trabajo realizado sobre la sustilncia es -Pti V. En consecuencia, la variaci6n ti Ude la energia interna tiene dos partes: (45.6) Dividiendo ambos miembros por .1 V, encontramos para la variaci6n especifica de U con V a T constante (au) av r ~ r("P) ar v - P. (45.7) En nuestra presentaci6n de la termodinilmica, en la cual Ty V son las lmicas variables y Py U las imicas funciones, las ecuaciones (45.3) y (45.7) son las ccuaciones fundamentales de las quc se pueden deducir todos los resu!tados. 45-2 Aplicaciones Discutamos ahora el significado de la ecuaci6n (45.7) y veamos por quC nos da la respuesta a las preguntas formuladas en el capitulo precedente. C onsideramos el siguiente problema: en la teoria cinCtica es evidente que un aumento de temperatura induce un aumento de presi6n debido al bombardeo de los 3.tomos sobrc un pist6n. Por la misma raz6n fisica, cuando hacemos retroceder e! pist6n se saca calor del gas, y para mantener la temperatura constantc, hay quc restituir calor al gas. El gas sc enfria al expandirse y la presi6n aumenta al calentarse. Tiene que haber alguna conexiOn entre ambos fenOmenos y la misma cstil dada explicitamente por la ecuaciOn (45. 7). Si mantenemos el volumen fijo y aumentamos la temperatura, la presiOn aumenta a razOn de (tiP//'iT)v. El hecho que sigue estil relacionado con esto: si aumentamos el volumen, el gas se cnfriara a no ser que agreguemos calor para mantener la temperatura constante y (t~ U/ b V)i- dice cu<into ca!or se necesita para conservar la tempcratura. La ecuaciOn (45. 7) expresa la intcrre!aciOn fundamental entre estos dos efectos. Esto es lo quc prometimos encontrar cuando iniciamos el estudio de las ]eyes de la termodinilmica. Sin conocer los mecanismos internos del gas y sabiendo Unicamcnte quc no puede haber movimicnto perpctuo de scgunda especie, jpodemos deducir la relaciOn entre la cantidad de calor necesaria para mantener Constante la temperatura cuando cl gas sc expande. y la variaciOn de presiOn cuando el gas se calicnta! 45-5 Ahora que tenemos el resultado que queriamos en lo que respecta a un gas, consideremos el de la banda elitstica. Cuando estiramos una banda elitstica encontramos que su temperatura baja, y cuando calentamos una banda elitstica encontramos que se encoge. iCuitl es la ecuaci6n que expresa para una banda elitstica la misma relaci6n que la ecuaci6n (45.3) expresa para un gas? En el caso de una banda elitstica la situaci6n es mils o menos como sigue: cuando se agrega una cantidad de calor .1.Q, la energia interna cambia en .1.U y se realiza un trabajo. La {mica diferencia serit que el trabajo realizado por la banda elitstica es -F!J.L en vez de P.1 V, donde F es la fuerza que se ejerce sobre la banda y L la longitud de la banda. La fuerza F es funci6n de la temperatura y de la longitud de la banda. Reemplazando P j V por -F tJL en la ecuaci6n (45.3), obtcnemos t:..U = t:..Q + Ft:..L (45.8) Comparando las ecuaciones (45.3) y (45.8) vemos quc la ecuaci6n de !a banda elitstica se obtiene por simple sustituci6n de una letra por otra. Mils al.in, si sustituimos V por L y P por -F, toda nuestra discusiOn de! ciclo de Carnot sirvc para la banda elitstica. Por ejcmplo, podemos deducir inmcdiatamcnte que el calor J.Q necesario para cambiar la !ongitud en /J.L estit dado por la anitloga de la ecuaci6n (45.5): .1.Q = -T(l>F/bTh.1.L. Esta ecuaciOn nos dice que si mantenemos fija la longitud de una banda elilstica y !a calentamos, podemos calcular cuitnto aumentar:i la fuerz!l en funci6n de! calor necesario para mantener la temperatura constante cuando la banda se estira un poquito. Vemos, pues, quc la misma ecuaciOn sirve tanto para un gas coma para una banda elil.stica. Verdaderamente. si se pucde escribir J.U -'---' = L'i.Q + A.1B, donde A y B representan diversas cantidades, fuerza y longitud, presiOn y volumen, etc., se puede aplicar los resu!tados obtenidos para un gas sus" tituyendo P y V por A y B. Por ejemplo, consideremos la diferencia de potencial elCctrico o "voltaje ·· E de una bateria y la carga c'i.Z que atraviesa la bateria. Sabemos que el trabajo realizado en una celda eloi:ctrica reversible, tal como un acumu!ador. es t::).Z. (Como no incluimos un termino P.1Ven el trabajo, requerimos que nuestra bateria mantenga el volumen constante.) Veamos quC nos puede decir la termodin:imica sobrc el funcionamiento de una bateria. Si reemplazamos P por E y V por Zen la ecuaci6n (45.6), obtenemos (45.9) La ecuaci(in (45.9) dice que la energia interna U cambia cuando una carga !iZ atraviesa la ce\da. ;,Por que !iU/C.Z no es simplemente el voltaje Ede la bateria? La rcspuesta es que una baterla real se ca!ienta cuando la atraviesa una carga. La energia interna de !a bateria cambia. primero porque la bateria realiz6 un trabajo sabre el circuito cxterno, y segundo porque la bateria se calienta. Lo notable es que tambioi:n se puede expresar la segunda parte en funci6n de la manera en que el voltaje de la bateria cambia con la temperatura. Entre parCntesis, cuando la carga atraviesa la bateria, hay reacciones quimicas y la ecuaciOn (45.9) sugiere un modo elegante de medir la cantidad de energia necesaria para producir una reacci6n quimica. jTodo lo que tenemos que hacer es construir una celda cuyo funcionamiento se base en esa reacci6n. mcdir el voltaje y medir cuitnto cambia Cste con la temperatura cuando no extraemos cargas de la bateria! 45-6 Ahora bien, hemos supuesto que se puede mantener constante el volumen de la bateria, ya que hemos omitido el termino P!J. V al escribir que el trabajo rea\izado por la bateria es ElJ.Z. Pero resulta que es muy difici! tecnicamente mantener el volumen constante. Es mucho mils filcil mantener la celda a presi6n atmosferica constante. Es por ello que a los quimicos no Jes gusta ninguna de las ecuaciones que hemos escrito mils arriba: prefieren ecuadones que describan el comportamiento a presiOn constante. Al principio de este capitulo elegimos V y T como variables independientes. Los quimicos prefieren P y T, por lo que ahora consideraremos c6mo se puede transformar los resultados obtenidos hasta aqui al sistema de variables de Jos quimicos. Recuerden que en el tratamiento que sigue es facil que haya confusi6n debido al cambio de engranaje de Ty V a T y P. Partimos de la ecuaci6n (45.3) con !J.U = !J.Q - PilV; se puede reemplazar Pt1 V por E6..Z o A:O.B. Si de alguna manera pudieramos reemplazar e! Ultimo tfrmino, P!J. V, por V!J.P, habriamos intercambiado Vy Py !os quimicos se pondrian contentos. Bien, un hombre inteligente not6 que el diferencial del producto PV es d(PV) = PdV + VdP y que si sumaba esta igualdad a la ecuaci6n (45.3) obtenia A(PV) = PAV+ VAP = AQ - PAV t:.U A(U + PV) ~ AQ + VAP Para que el resultado se parezca a la ecuaci6n (45.3) definimos U + PV como algo nuevo: !a entafpia H, y escribimos ilH = !J.Q + V!:JP. Ahora estamos listos para traducir nuestros resultados al !enguaje de los quimicos con las siguientes reglas: U-+ H, P ...... -V, V-+ P. Por ejemplo, la relaci6n fundamental que usarian los quimicos en vez de (45.7) es ('!f) aP r ~ T ("') ar P - V. Ahora debe estar claro c6mo se transforma a las variables Ty P de los quimicm. Volvamos a nuestras variables originales: en lo que queda de! capitulo Ty V seriln las variables independientes. Apliquemos ahora los resultados obtenidos a un cierto ni.tmero de situadones fisicas. Consideremos primero el gas ideal. Por la teoria cinetica sabemos 4ue la energia interna de un gas s6lo depende del movimiento de las mo!eculas y del ni.tmero de estas. La energia intema depende de T pero no de V. Si cambiamos V manteniendo T Constante, U no cambia. En consecuencia (b UI b V)r =- 0 y la ecuaciOn (45.7) nos dice que para un gas ideal (45.10) La ecuaciOn (45.10) es una ecuaci6n diferencial que nos puede decir algo acerca de P. Consideremos la derivada parcial del siguiente modo: como la derivada parcia! es a volumen constante, la reemplazaremos por una derivada 45-7 ordinaria y para acordarnos escribiremos explicit:lmentc ·· V constance· . Entonces, la ecuaci6n (45. lO) se convierte en T~~ ~ P = O: canst V, (45.11) que podemos integrar obteniendo + const; In P = In T P = const X T; const V, const V. (45.12) Sabemos que para un gas ideal la presi6n cs igua! a (45.13) que es compatible con (45.12) puesto que Vy R son constantes. (.Para que nos tomamos el trabajo de hacer este ca.J.culo si ya sabiamos los resultados? iPorque hemos estado usando dos definiciones independientes de temperatura! En un cierto momenta supusimos que la energia cinetica de las molOCulas era proporcional a la tcmperatura, suposici6n que define una escala de tcmperatura que llamaremos escala de! gas ideal. La T de la ecuaci6n (45.13) se basa en esta escala. Tambi{:n llamamos temperaturas ciniticas a las temperaturas basadas en la escala de gases. Mas tarde definimos la temperatura de ui:i segundo modo completamente independiente de cua\quier sustancia. A partir de razonamientos basados en la Segunda Ley definimos lo que podriamos Hamar "gran temperatlira termodiniunica absoluta" T; es la T que aparece en la ecuaci6n (45.12). Lo que hemos demostrado aqui es que la presi6n de un gas ideal (definido como aqucl en que la energia interna no depende de! volumen) es proporcional a la gran temperatura termodiniunica absoluta. Tambien sabemos que la presi6n es proporciona1 a la temperatura medida en la escala de gases. En consecuencia podemos deducir que la temperatura cinetica es proporcional a la ··gr an temperatura termodinamica absoluta ". Esto significa., naturalmcnte, que si ruesemos sensatos podriamos hacer concordar 1as dos escalas. En este caso, al menos, las dos escalas han sido elegidas de modo que coincidan; se ha cscogido I para la constante de proporcionalidad. La mayoria de las veces el hombre se busca las dificultades, pero en este caso jha hecho las dos esca1as iguales! 45-3 La ecuaciOn de Clausius-Clapeyron La vaporizaciOn de un liquido es otra aplicaciOn de los resultados que hemos obtenido. Supongan que tenemos un liquido en un cilindro, de modo que lo podemos comprimir empujando el pistOn, y que nos preguntamos: "Si mantenemos la temperatura constante, lC6mo varia la presi6n con el volumen?" En otras palabras, queremos dibujar una isoterma en el diagrama P-V. La sustancia que hay en el cilindro no es el gas idea] que consideramos antes; ahora pue<ie que estc!: en la fase liquida o en la fase vapor, o ambas pueden estar presentes. Si aplicamos presi6n suficiente, la sustancia se condensa y se vuelve liquida. Si ahora apretamos aim mis fuerte, el volumen cambia 45-8 .§l:,' ~ ~ vl Volumen Fig. 45-3. lsotermas de un vapor condensable en un crl1ndro. A la lasustanc1aestflenlafase derecha, la sustanc1a estfl vaporizada. Al centro. l1qu1do y vapor coex1sten en el c1lindro. "• Volumen Fig. 45-4. 01agrama pres16n-volumen para un c1clo de Carnot con un vapor condensable en el cilindro A la 1zqu1erda, la sustanc1a estfl en estado liqu1do Se agrega una cant1dad de calor La temperatura T para el El vapor se expande cuando T pasa a T-t:.T. muy poco y !a 1sotcrma sube rilpidamcntc al disminmr el volumen. coma muestra la parte izquierda de la figura 45-3. Si aumentamos el vo!umen tirando del pist6n, la cae hasta que alcana formar~e vapor. zamos el punto en que e! liquido comienza a hen·ir y Si tiramos aim mils del pist6n, todo lo que ocurre es que se cvapora mils !iquido. Cuando hay en parte liquido y en parte vapor en el cilindro, las dos fases estiln en equilibria -el liquido se evapora a la misma velocidad que el gas se condensa-. Si hacemos mils espacio para el vapor, sc necesita ma~ vapor para mantener la presi6n, por lo que se evapora un poco mils de liquido, pero la presi6n se mantiene constante. En la parte horizontal de la curva de la figura 45-3 la presi6n no cambia; este valor constante se denomina presiOn de va[XJr a la temperatura T. A medida que seguimos aumentando el volumen ~e llega a un punto en que ya no l1ay mis liqui..io para evaporar. En este punto, si expandimos el volumen aUn mas la presi6n bajara coma en un gas ordinario, coma muestra la parte derecha dcl diagrama P-V. La curva inferior de la figura 45-3 es la isoterma correspondiente a una temperatura T - .1. T ligeramente menor. La presiOn de la fase liquid a se reduce ligeramente porque el liquido se expande al aumentar la temperatura (para la mayoria de las sustancias, pero no para el agua cerca del punto de congelaci6n) y natur<il mente la presi6n de vapor es menor a la temperacura menor. Ahora haremos un ciclo con las dos isotermas umCndolas (con adiabil.ticas, diga mos) por los extremos de las secciones honzontales, coma muestra la figura 45-4. La pequetla oscilaci6n en el extrema inferior derecho de la figura no altera practicamente nada y la despreciaremos. Vamos a usar el razonam1ento de Carnot que nos dice que el calor agregado a la ~ustancia para hacerla pasar de liquido a vapor estil. relacionado con el trabajo realizado por la sustancia al recorrer el ciclo. Llamemos L al calor necesario para vaporizar la sustancia contenida en el cilindro. Por el razonamiento inmediato anterior a la ecuaciOn {45.5) sabemos quc L(,J, TIT)= = trabajo 45-9 realizado por la sustancia. Como antes, el trabajo realizado por la sustancia es el area sombreada, que es aproximadamente LlP(Vc - VJ, donde J.P es la diferencia de presi6n de vapor a las dos temperaturas Ty T - .1. T, V c es el volumen del gas y VL el del liquido, ambos medidos a la presi6n de vapor. lgualando estas dos expresiones del area, obtenemos L.1.T/T = .1.P(Vc- VJ, o sea (45.14) La ecuaci6n (45.14) da la relaci6n entre la rapidez de variaci6n de la presi6n de vapor con la temperatura y la cantidad de calor necesaria para evaporar el !iquido. Esta relaci6n fue deducida por Carnot pero se llama ecuaci6n de Clausius-Clapeyron. Comparemos ahora la ecuaci6n (45.14) con los resultados deducidos de la teoria cinetica. Por lo comUn, Ve es mucho mayor que V1.. Asi, pues, Ve - VL""' Ve= = RT/ P por mol. Si ademas suponemos que L es constante, indcpendiente de la temperatura -no muy buena aproximaci6n- tendremos bP/bT = L!(RT'P). La soluci6n de esta ecuaci6n diferencial es P = const e-LI NT . (45.15) Comparemos esta con la variaci6n de presi6n con la temperatura, deducida anteriormente de !a teorLa cinftica. Al menos aproximadamente, !a teoria cinftica indicaba la posibilidad de que el nUmero de mo!Cculas de vapor encima de! liquido fuese n = (~) e-a:u-1.'t)IR1', (45.16) donde Uc - UL es !a energia interna por mo! gas menos la energia interna por mo! del liquido, es decir, la energia necesaria para vaporizar un mol de liquido. La ecuaci6n (45.15) proveniente de la termodinitmica, y la ecuaci6n (45.16), proveniente de la teoria cinetica, estan estrechamente relacionadas porque la presi6n es nkT, pero no son exactamente iguales. Sin embargo, resultaran cxactamente iguales si supone· mos L - U{; = const en vez de L = canst. Si suponemos L ·- Uc = canst independiente de la temperatura, el razonamicnto que nos llev6 a la ecuaci6n (45.15) tambien llevara a la ecuaci6n (45.16). La comparaci6n muestra la ventajas y desventajas de la termodin.imica sobrc la teoria cinetica: primero, la ecuaci6n (45.14), obtenida termodinllmicamente es exacta, mientras que !a ecuaci6n (45.16) s6lo se puede aproximar. por ejemplo, si U es casi constante y si el modelo es vii.lido. Segundo, no podemos comprender co" rrectamente cOmo es que el gas pasa a! cstado liquido; no obstante, la ecuaci6n (45.14) es exacta mientras que la (45.16) es s6lo aproximada. Tercero, aunque nues· tro tratamiento se aplica a un gas que se condensa en un liquido. el razonamiento es valido para cualquier otro cambio de estado. Por ejemplo. la transici6n solidoliquido tiene el mismo tipo de curva que el mostrado en la fi.gura 45.3 6 45-4. lntroduciendo el ca!or latente de fusi6n, M/mol, la formula analoga a la ecuaciOn (45.14) es ,rtiPru/liT)v = M/:T_(Vi;q - V, 01 ) 1,. Aunqu~ no podamos comprender la teoria cini:t1ca del proceso de fusion tenemos una ecuac16n exacta. Sm embargo, cuando comprender la tcoria cinCtica tenemos otra ventaja. La ecuaci6n (45.14) es una relaci6n d1ferencial y no hay manera de detenninar las constantes mtegraci6n. En la tcoria cinCtica podemos obtener las constantes tambien si tenemos un buen mode!o que describa completamente el fen6~ meno. Cada una tiene, pues, ventajas y desvcntajas. Cuando el conocimiento es y la situaci6n comphcada, las relaciones termodin<lmicas son realmente las puderosas. Cuando la situaci6n es muy simple y se puede hacer un anitli~is e<; mejor tratar de obtencr mils informaci6n con cl anilhsis te6rico. Un ejemplo mas: la radiaci6n de cuerpo negro. Hemos estudiado una caja que cont1ene radiaci6n y nada mils. Hemos hablado del equilibrio entre el oscilador y la radiaci6n. Tambien encontramos que los fotones que chocan contra las paredes de la caja deben ejercer una presi6n Py hallamos PV = U/3, donde U es la energia total de todos los fotones y V es el volumen de la caja. Si introducimos U = 3PV en la ecuaci6n b<isica (45.7), cncontramos ~ (Of{) av r JP~ T(~p) ar v - P. (45.17) Como el volumen de nucstra caja es constante, podemos reemplazar (/5P/<">T)v por dP/ dT obteniendo una ecuaci6n diferencial ordinaria que podemos integrar: In P = '""" 4 1n '/' + const. o sea P = const x T4. La presi6n de radiaci6n varia co mo la cuarta potencia de !a temperatura y la densidad de energia de !a radiaci6n, U/ V = -=- 3P, tambien varia coma 1 4 . Se acostumbra escribir U/V -- (4u/c)T4, donde c es la velocidad de la luz y u es una constante. No es posible obtener u Unicamente con la termodinitmica. Este es un buen ejemplo de su fuerza y su limitaci6n. Saber que U/ V varia como T4 ya es mucho, pero saber cu<into vale verdaderamente U/ V a cualquier temperatura requiere que entremos en un tipo de detai1es que s61o una teoria completa nos pucdc dar. Tenemos esa teoria para la radiaci6n de cuerpo negro y podemos obtener una expresi6n para la constante a de la siguiente manera. Sea !(01) dw la distribuci6n de intensidad, o sea el flujo de energia de frecuencia entre (;) y w + dw a traves de 1 m2 en un segundo. La distribucibn de densidad de energia = energia/volumcn = I(w) d(,>fc es * = densidad de energia total = i~o densidad de energia entre w y w + dw Por nuestras discusiones anteriores sabemos que 45~1 l Sustituyendo esta expresi6n de I(w) en nuestra ecuaci6n para U/ V obtenemos -I Si ponemos x = tfw/ kT, la expresi6n se transforma en Esta integral es simplemente un nUmero que podemos obtener aproximadamente dibujando una curva y cakulando el area contando cuadrados. Vale 6,5 mas o menos. Los matematicos que esten entre nosotros pueden demostrar que la integral es exactamente ::rr 4 /15"'. Comparando esta expresi6n con U/V-,--- (4a/c)T1 encontramos a=~zr_2___ 567 x 10-s ~-~ 2 601l3 c -- ' (metro)- (grado)4 Si hacemos un pequeilo agujero en nuestra caja, z.cuanta energia saldra por segundo por e! agujero de area unitaria? Para pasar de la dcnsidad de energia al flujo de energia, multiplicamos la densidad de energia VIV por c. Tambien multiplicamos por !, que proviene de' lo que sigue: primero, un factor~ porque s61o escapa la energia que fluye hacia el agujero, y segundo, ouo factor ~ porquc la energia que se acerca al agujero en direcci6n oblicua tiene menos posibilidades de salir por estar afectada de un factor coseno. El valor media de! coseno es i- Ahora se ve claro por que escribimos VIV= (4a/c)1"<l: para que al final podamos decir que el flujo que proviene de un pequefio agujero es aT' por unidad de area. Como (ex -1)- 1 = e ·' + e-2x + ... ,la integral es Pero J~e-nx dx = 1/n, que derivada tres veces respecto an daJ~ x:le-nxdx= 6/n',porl? que !a integral es 6(1 + -i\- + -ir- + ... ) y se obtiene una buena aproximaciOn sumando los pnmeros terminos. En el capitulo 50 encontraremos una manera de demostrar que la suma de las inversas de la cuarta potencia de los enteros es, en efecto, n4/90. Rueda dentada y trinquete 46-1 COmo trabaja una rueda dentada 46-2 La rueda dentada eomo m3quina 46-1 46-3 Reversibilidad en med.nica 46-4 Irreversibilidad 46-5 Orden y entropia CC.mo trabaja una naeda dentada En este capitu!o discutiremos la rueda dentada y trinquete, un disposittvo muy simple que permite que un eJe gire solamente en un sentido. La posibilidad de que tengamos algo que gire 1.olamentc en un ~entido rcquiere un cierto an.ilisis detallado y cuidadoso y hay algunas consecuencias muy interesantes. El plan de la discusi6n surgi6 ·cuando se trat6 de inventar una explicaci6n elemental, desde e! punto de vista molecular o cinetico, para el hecho de que hay una camidad miixima de trabaJo que se puede extraer de una miiquina t6rmica. Naturalmente, hcmos visto la esencia de! razonamicnto de Carnot, pero seria bueno encontrar una explicaciOn que sea elemental en el sentido de que podamos ver lo que esta succdiendo fisicamente. Ahora bien, hay demostraciones matem3.ticas complicadas tomando como base las leyes de Newton para demostrar que sOlo podemos obtener una cicna cantidad de trabajo cuando el calor lluye de un lugar a otro, pcro es muy dificil hacer esto en una demostraciOn elemental. Abrcviando, no lo entendemos aunque podamos seguir el proceso matem<i.tico. En el razonamiento de Carnot, el hecho de que no se pueda extraer mas que una cierta cantldad de trabajo al ir de una temperatura a otra se deduce de otro axioma: si todo estii. a la misma temperatura el calor no se puede convertir en trabajo mediante un proceso ciclico. En primer lugar. vo!vamos atr3.s y tratemos de ver. al menos en un ejemplo elemental, por quC es verdadera esta afirmaciOn tan simple. Tratemos de inventar un d1sposi11vo que v1ole la Segunda Ley de Termodinii.mica. csto es. un artcfacto que saque trabajo de un depOsito de estando todo a la misma temperatura. Digamos que tenemos una caja de gas a una cierta tempcratura y quc dcnlru hay un eje con aspas. (Vean figura 46-1. pero tomen T, = --o T 1 = T, por ejemplo). A causa de! bombardeo de las molCculas de gas sobre las aspas. Cstas oscilan y se mueven con pequeiias sacudidas. Todo lo que tcnemos que hacer es colocar en el otro extremo del eje una rucda que s6lo pucda moverse en un sentido -rueda dentada y trmquete--. Ast, cuando 46-1 Fig. 46- 1. tnnquete. La mllquina rueda dentada- el eje trate de vibrar en un sentido, no girarit, y cuando vibre en el otro, s( girara. La rueda girar3. !entamente, y jquiz3.s hasta podriamos atar una pulga a una cuerda que pende de un tambor en el eje y levantar!a! Preguntemonos si esto es posib!e. SegUn la hipOtesis de Carnot es imposible. Pero si la miramos, a prima facie parece muy posib\e. Por lo tanto, tenemos que considerarlo mils cuidadosamente. Verdaderamente, si consideramos la rueda dentada y trinquete vemos muchas complicaciones. En. primer lugar, nuestra rueda dentada idealizada es lo mils simple posible, pero aun asi hay un trinquete y este debe tener ·un resorte. El trinquete debe volver despues de pasar un diente, por !o que es necesario el resorte. Otro rasgo de esta rueda dentada y trinquete, que la figura no muestra, es comp\etamente esencial. Supongan que el dispositivo estuviese formado de partes perfectamente el<isticas. Despues que _el trinquete ha sido levantado hasta el final de! diente y es empujado por el resorte, rebotarli. contra la rueda y continuarit rebotando. Entonces, cuando llegue otra fluctuaci6n. la rueda podria girar en el otro sentido, jya que el diente podria pasar por debajo durante el momento en que el trinquete estuvo levantado! Por lo cual, una parte esencia\ de la irreversibilidad de nuestra rueda es un mecanismo amortiguador que pare \os rebotes. Cuando hay amortiguamiento. naturalmente, la energia que habla en el trinquete pasa a !a rueda y se transforma en calor. De modo que la rueda se irit ca!entando a medida que gira. Para simplificar las cosas, podemos colocar un gas alrededor de la rueda para que tome parte del calor. De todas formas, digamos que el gas aumenta en temperatura al mismo tiempo que la rued!l. ~Seguirit esto asi para siempre? jNo! El trinquete y la rueda? ambos a cierta temperatura T, tambien _tienen movimiento browniano. Este mov1miento es tal que de vez en cuando, acc1dentalmente. el trinquete se levanta sobre un diente exactamente en el momento en que el movimiento browniano de las aspas estit tratando de girar el eje hacia atrits. Y cuanto mas se calienta todo, mils frecuentemente ocurre esto. Por lo tanto. esta es la raz6n por la que este dispositivo no trabaja en movimiento perpetuo. Cuando las aspas son empujadas, algunas veces el trinquete se levanta sobre un diente. Pero otras veces, cuando trata de girar en el otro sentido. el trinquete se ha Jevantado ya debido a las fluctuaciones de los movimicntos en el extremo de la rueda jy esta se vuelve en el otro sentido! El resultado neto es nada. No es dificil demostrar que cuando la temperatura en los dos !ados es igual, no habrit movimiento promedio neto de la rueda. Naturalmente la rueda vibrarit mucho en un sentido y en el otro, pero no harit lo que nosotros querriamos, que es girar s61o en un sentido. Veamos la raz6n. Es necesario realizar trabajo contra el resorte para que se levante el trinquete hasta el tape de un diente. Llamemos t a esta energia y sea (} el <ingulo entre dientes. La probabilidad de que el sistema pueda acumular suficiente energia E para llevar el trinquete hasta el tope de un diente es e-<lkT. Pero la probabilidad de que el trinquete este accidentalmente levantado es tambien e- d kT. Por lo cual el nllmero de veces que el trinquete estii levantado y la rueda puede girar hacia atrils libremente es igual al nllmero de veces que hay suficiente energia para girarla hacia adelante cuando el trinquete estit abajo. Asi obtenemos un "equilibria" y la rueda no girarit. 46-2 La rueda dentada como mliquina Demos ahora un paso mils. Tomemos como ejemplo cuando la temperatura de las aspas es T 1 y la temperatura de la rueda, rueda dentada, es T 2 y que T 2 es menor que T 1 • Como la rueda estit fria y las fluctuaciones del trinquete no son relativamente frecuentes, serit muy dificil que el trinquete alcance una energia t. A causa de la alta temperatura Tl' las aspas alcanzar<in con frecuencia la energia E, por lo que nuestro dispositivo irit en una direcci6n, como se lo diseii6. Ahora querriamos ver si podemos levantar pesos. Atamos una cuerda al tambor del media y colocamo5 un pe5o en la cuerda, como nuestra pulga, por cjcmplo. Diga mos que L es el torque debido al peso. Si L no es muy grande, nuestra m8.quina levantarU el peso porque las fluctuaciones brownianas hacen que se mueva con mas probabilidad en un sentido que en otro. Queremos encontrar qui: peso puede levantar, con que rapidez gira, etc. Consideremos, en primer lugar, un movimiento hacia adelante, que es el modo corriente en que se diseiia una rueda dentada para que gire. Para que de un paso hacia adelante, lCU8.nta energia se tiene que tomar prestada de las aspas? Tenemos que tomar prestada una energia E para levantar el trinquete. La rueda gira un iingulo 0 contra el torque L, par lo que tambien necesitamos la energia LO. La cantidad total de encrgia quc tenemos que tomar es, pues, f + LO. La probabilidad de que la obtengamos es proporcional a e-( + UJ)I kr,. En realidad, no es s6lo cuestiOn de obtener la energia, sino que tambien querriamos saber el nUmero de veces por segundo que tiene csta energia. La probabilidad por segundo es proporcional a e-(< + LOJkT, y llamaremos l/T a la constante de proporcionalidad. De todos modos se cancelarU al final. Cuando sucede un paso hacia adelante, el trabajo efectuado sabre el peso es L(}. La energia tomada de las a spas es i + L8. El re so rte se pone tenso con energia E y luego catap!Un, se dispara y esta energia se transforma en calor. Toda la encrgla que se ha tomado se emplea en levantar el peso y en accionar el trinquete, que luego cae y da calor al otro !ado de! diente. 1 Consideremos ahora el caso contrario que es el movimiento hacia atr8.s. ;,QuC sucede aqui? Para hacer que la rueda vaya hacia atras todo lo que tenemos que hacer es dar energia para levantar el trinquete lo bastante alto para que !a rueda se escape. Esta es al.in la energia l. La probabilidad par segundo de que el trinquete se levante esa altura es ahora (l/T)e- 11 kT,. La comtante de proporciqnalidad es la misma, pero ahora aparece kT2 porque !a temperatura es difercntc. Cuando esto ~ur.:cdc, ~e libera trabaJO ya que la rueda va hacia atrits. P1erde una libera el trabajo LO. La energia tornada del 5isterna dentado es f, y la al gas a T, dondc cstim la5 aspas es 46-3 Tabla 46-1 Resumen del funcionamiento de la rueda dentada y trinquete. Hacia adelante: Necesita la energia E + L() de las aspas. · . probabilidad por segundo e -{LO+ ' 11 ~F, Toma de las as pas LO + EfectU.a el trabajo LB Da a la rueda dentada c Jlacia atrtis: =+ E para el trinquete. lidad por segundo Necesita la energia Toma de la rueda Libera e! trabajo Da a las aspas ' L& LO+ t l probabi= f e - I u; 1 lo rnismo que antes con signos opuestos. Si cl sistcma es reversible, las probabilidadcs por segundo son iguales, por lo que L +Lt! T1 Calor a la Calor de las aspas ' LH-+ t. LO + E. Hay que pcnsar un poco para ver la raLOn de e~to. Supongan quc el trinquete se ha levantado por si mismo accidentalmente debido a una fluctuaciOn. En tonces, cuando vuelve a cacr y cl resorte lo empuja contra el diente, hay una fucrza trata de girar la rueda porque el dicnle est:i empujando en un piano oblicuo. Esta realiza trabajo y lo mismo hace la fuerza debida a los pesos. Por lo cual las forman la fuerza total y toda la encrgia que se va libcrando lentamcnte aprecc en el extremo con aspas en forma de calor. (Naturalmcnte debc ser asi por la conservaciOn de la energia, jpero se debe tener cuidado de considerar las cosas en su totalidad!) Vemos que todas cstas encrgias son exactamente iguales pcro invertidas. Por lo que, segU.n cmll de cstas dos probabilidades por segundo sea mayor, el peso seri levantado lentamentc o dejado caer lenlamente. Natura!mcnte estani sacudiCndose constantcmente, ycndo hacia arriba durantc/un instante y hacia abajo durante otro, pero estamos hablando del comportamiento,..medio. Supongan que para un pe~o particula~· sucedc que las probabilidades son iguales. aiiadimos un reso infinitesimal .la la cuerda. El peso descenderii lentamcnte trabajo en la _m.ilqu.ina. Se'. tomar.il energia de la rueda ~ se lo clan\. ~ el contrano quitamos ,un poquito de peso, el desajuste ocurrira es lcvantado, y se toma calor de las aspas y se lo da a la rucda. las condiciones de un ciclo reversible de Carnot, siemsea que las dos probabilidades son iguales. Esta condiciOn es cvipre que dentemente que (r -t LO)/T1 = f/"F2 • Digamos que la milquina cstii lcvantando el peso. Se una encrgia Q1 de las aspas y sc entrega una energia en la proporci6n (~ + LA)/ L Si cstamos bajando cl y las dos 1 46-4 tambii:n tenemos Q 1/ Q2 = (E + LO)/ r. Entonces (tabla 46-1) tenemos AUn mils, el trabajo que obtenemos es a la energia tomada de las aspas como Lf} es a LO + E, y por lo tanto como (T 1 - T 2)/T!' Vcmos que nuestro artefacto no puede extraer mils trabajo que este, operando revcrsiblemente. Estc es el resultado que esperibamos de! razonamiento de Carnot y el principal resultado de esta !ecci6n. Sin embargo, podemos usar nuestro artefacto para entender algunos otros fen&menos, aunque sea fuera del equilibria, y por lo tanto mils alli del imbito de la termodinitmica. \ lw -~--~----'-' Fig. 46-2. Velocidad angular de la rueda dentada en funci6n del torque. C alculemos ahora con que rapidez giraria nuestro artefacto de un solo sen ti do si todo estuviese a la misma temperatura y colgilsemos un peso del tambor. Si tiramos muy, pero muy fuerte, naturalmentc, hay toda clasc de complicacionc~. El trinquetc se desliza por encima de la rueda. o el resorte se rompe, o cualquier otra cos«.. Pero supongan que tiramos lo suficientemente sua\'C como para que todo trapara la baje pcrfectamente. Es estas circunstancias, el an<'ilisis anterior es recordamos probabi!idad de que la rueda vaya hacia adelante o hacia atrlls, que las dos temperaturas son igualcs. En cada paso se obtiene un ilngulo 0, por lo que !a velocidad angular cs IJ por la probabilidad de uno de eslos saltos por segundo. Va hacia adelante con una probab1lidad (I I ;)e- (, + U!!' kT y hacia atnis con una probab•lidad (I/ T)e _,'At, ~ obtenemo~ para la velocidad angular w = (8/T)e-(•Tf,!)/kT - = (B/ry-•ikT(e-L9/kT _ I). e-•/kT (46.1) Si representamos 1,1 de L, obtcncmos la curva que muc~tra la figura 46-2. Vemos que es que L sea pos1tiva o negativa. Si L aumenta positiva..:uando tratamos de llevar la rueda hacia atrils, !a velocidad mente, lo que a una constante. Cuando L se hace negativa, w realmente hacia atrils sc "de5pega". ya que ;ea una enorme potencia es muy grande! muy quc sc obturn de en un scntido es muy largramleparauna 46-5 fuerza pequeiia. Yendo en el otro, podemos aplicar una fuerza muy grande y aUn asi apenas gira la rueda. Encontramos lo mismo en un rectijlcador etectrico. En lugar de la fuerza tenemos un campo elb:trico y en lugar de la velocidad angular, una corriente e!Cctrica. En el caso de un rectificador, el voltaje no es proporcional a la resistencia y la situaci6n es asim6trica. El mismo an81isis que hicimos para el rectificador mec0:nico, servir0: tambiCn para un rectificador e!Cctrico. De hecho, la formula que acabamos de obtener es tipica de la capacidad de los rectificadores para conducir corriente en funci6n de sus voltajes. Quitemos ahora todos los pesos y consideremos la m<i.quina original. Si Ti fuese menor que T 1, la rueda dentada iria hacia adelante, cosa que cualquiera est0: dispuesto a creer. Pero lo que es dificil de creer, a primera vista, es lo contrario. Si Ti es mayor que Tl' jla rueda gira en sentido opuesto! Una rueda dentada dinitmica con un mont6n de calor gira por si misma hacia atris, ya que su trinquete est0: rebotando. Si el trinquete esti inclinado por un momenta en algUn punto, empuja el piano inclinado lateralmente. Pero siempre estil empujando en un piano inclinado, porque si sucede que se levanta lo bastante para que pase el tope de un diente, el piano inclinado tambiCn se des!iza y vuelve a caer en un piano inclinado. Por consiguiente, juna rueda dentada y su trinquete, calientes, estim idealmente construidos para girar en una direcci6n exactamente opuesta a aquella para la cual fueron diseli.ados originalmente! A pesar de toda nuestra maestria en diseiios desequilibrados, si las dos tempcraturas son exactamente iguales, no hay mayor propensi6n a girar en un sentido que en otro. En el momenta en que estemos observando puede que estC girando en un sentido o en otro, pero a lo largo de la carrera no llega a ningUn sitio. Este hecho de que no llega a ningUn sitio es realmente el profundo principio fundamental en el que se basa toda la termodinitmica. 46-3 Reversibilidad en meciinica lQu6 principio mecilnico mils profundo nos dice que, a la Jarga, si se conserva la temperatura igual en todas partes nuestro artefacto no girara ni a la derech<> ni a la izquierda'! Tenemos evidentemente una proposici6n fundamental: no hay modo de diseiiar una mBquina que, abandonada a si misma, tenga mis probabilidad de girar en un sentido que en otro despues de un tiempo suficientemente largo. Debemos ver c6mo esto es una consecuencia de las !eyes de la mecil.nica. Las leyes de la mecilnica son mils o menos asi: la masa por la aceleraci6n es la fuerza, y !a fuerza sobre una particula es una funci6n comp!icada de las posiciones de todas las otras particulas. Hay otras situaciones en las que la fuerza depende de la velocidad, coma en el magnctismo, pero no consideremos esto ahora. Tomemos un caso mil<> sencillo, como la gravedad, donde las fuerzas dcpcnden llnicamente de la posic16n. Supongan, pues, que hemos resue!to nuestro conjunto de ecuac1oncs y obtenido un cicrco movimicnto x(I) para cada partk:ula. En un sistema lo suticientementc complicado, las solucwnes son muy complicadas y lo que sucedc en el tiempo resulta muy sorprendente. Si escribimos cualquier arrcg!o que deseemos para las particu!as, iVcrcmos que este arreglo ocurre realmente si esperamos un tiempo su ficientemente largo! Si seguimos nuestra soluci6n durante un tiempo suficicntcmcntc largo, ella intenta hacer todo lo quc pucde, por asi dccir. Esto no cs :.1bsnlu111mcntc 46-6 necesario en los dispositivos mas simple~. pero cuando los sistcma> se haccn lo >uficientemente complicados, con .3.tomos sufidentes, sucede asl. L2.. soluciOn tambien puede hacer algo mas. Si resolvemos las ecuaciones de movimiento, podemN obtener ciertas funcioncs taJes como t + P + 13 • Sostenemos que otra soluci6n tambiCn seria -t + t 1 ~tJ. En otras palabras, si sustituimos i en todas por en la soluci6n completa, tambien obtendremos una soluci6n de la una consecuencia de! hecho de que si sustituimos t por -t en original, nada se cambia, va que aparecen solamente las a /. Esto sigoifica que si tencmos un cierto movimiento, opuesto tambifo es posib!e. En la confusi6n total que rcsu!ta de esperar un ~uficientemente largo, se encuen:ra que unas veces va en una direcciOn y e! direcciOn opuesta. Ninguno de los dos movimientos es to, es imposible diseiiar una m.iquina que, a !a larga, una direcciOn que en !a opuesta, si la mil.quma es lo rnfioicc't""'"" Uno podria pensar en un ejemplo para el cual esto es tomamos una rueda. por ej"Cmplo, y hacemos que gire en el en el mismo sentido para siempre. Por ello. hay algunas servaci6n dcl momentum angular, que violan el razonarniento solamente que el razonamicnto se haga c-on un poquito mils paredes toman el momentum angular, o algo parecido, y de este modo no teyes de conscrvac!On especia!es. Entonccs. si el sistema es suficientcmente cado, el razonamiento es villido. Se basa en el htcho de que las !eyes de la ca son reversibles. Por inter<:s histOrico, quernamos seiialar un dispositivo inventado por que fue el primero en desarrollar la teoria dinii.mica de los gases. Supuso la siguiente: tenemos dos cajas de gas a la misma temperatura. con un pequcifo entre ellas. En e! agujero se sienta un pequefi.o demonio {;que puede ~er una na, naturalmente!). E! agujero tiene una puerta que el dcmonio puedc abrir El observa las mo!eculas que vienen de la izquierda. Siempre que ve pida, abre la puerta. Cuando ve una lcnta, deja Ia puerta cerrada. sea un demonio de primera, puede tener ojos en la nuca. y hacer lo mo!eculas de la dcrecha. Deja quc pasen las lentas a la iLquierda y derecha. Muy pronto la parte izquierda estarii. fria y la dcrecha caliente. ;,se han vio!ado !as ideas de la termodinil.mica porque podemos tcner monio? Resu[ta que, si construimos un demonio de tamaii.o finito, el mismo se pondril calicnte dcspues de un. momento que no podrit ver claro. El sencillo pNiblc seria, por ejemplo, una puerta trampa sujeta a la parte agujero mediantc un resortc. Una mo!ecula rilpida atraviesa tar la puerta trampa. La molecula lenta no puede esto no es otra cosa que nuestra rueda y trinquete un poco el mecanismo se calentaril. Si suponemos que el calor infinito, se debe calentar. Ticne solamente un nUmero internos, por lo que no se puede desembarazar del calor observaciOn de !as molfrulas. Pronto se vcr.3. tan sacudido por el niano que no puede decir si viene o va, y mucho menos ~i las van, por lo que no sirve. 46·4 lrreversibilidad ;,Son reversibles todas las !eyes de la fisica? ;Evidentemente no! jTraten sola· mente de desbatir un huevo! Pasen una pelicula hacia atras, y solamente se tarda unos minutos para que todo el mimdo comience a reir. La caracteristica mils natu ral de todos los fenOmenos es su obvia irreversibilidad. (;De dOnde provienc !a irreversibi!idad? No de !as leyes de Newton. Si sostene· mos quc e! comportamiento de todo se tiene que emender en Uitimo termino median· tc la~ ]eyes de la fisica, y si tambien resulta que todas las ecuaciones tienen !a fami1stica propiedad de que si ponemos I = ·I tenemos otra soluci6n. entonces todo fen6rneno es reversible. i,COmo es entonces queen la naturaleza en gran escala, las cosas no son reversibles? Obviamente debe haber alguna ley, alguna ecuaciOn fun· damental aunque quinis en electriddad, quin\.s en la fisica del neutrino, en la cua! sf importa de modo marcha el tiempo. Discutamos esta pregunta ahora. Ya conocemos una de estas leyes. la que dice que la entropia siempre estil aumentando. Si tenemos una cosa caliente y otra fr!a, el calor pasa de la caliente a la fria. Por esto !a !ey de la entropia cs una de tales \eyes. Pero esperamos entender la !ey de la entropia desde el punto de vista de la mec.imca. De hecho, acabamos de lener txito al obtener todas las consecuencias del razonamicnt0 de que el calor no puedc fluir hacia atras por si mismo exclusiva· mentc por razones mec.inicas, y con e!\o obtuvimos una comprensiOn de la Segunda Ley. Aparentemente podemos obtener irreversibi!idad de ecuaciones reversibles. Pero, Jue solamente un razonamiento mecimico el que usamos? ConsiderCmoslo con mas cuidado. Ya que nuestra pregunta tiene que ver con la entropia, el prob!ema es tratar de encontrar una descripciim microsc6pica de la cntropia. Si decimos que tenemos una cierta cantidad de cnergia en algo, como en un gas, entonces podemos obtener una irnagen microsc6pica de ello y decir que cada 3.tomo tiene una cierta energia. Todas cstas energias sumadas nos dan la energla total. De! mismo modo, quiz:is cada <ilomo ticne u:ia cierta entropia. Si !o sumamos iodo, tendremos la entropia total. La cosa no es tan facil, pero veamos lo que sucede. Como ejemplo, calculemos !a difcrencia de entropia entre un gas a una cicrta tempcratura a un volumcn, y un gas a la misma temperatura a otro vo!umen. Re· cordemos que en el capitulo 44 teniamos para la variaci6n de entropia En el caso presente. la energia de! gas es la misma antes y despues de la expansi6n, ya quc la temperatura no varia. De manera que tenemos que aiiadir calor suficientc para igualar el trabajo efcduado por el gas; o sea, para un cambio pequeiio en volumcn, tenemos dQ = PdV. Sustituyendo en la ecuacion anterior, obtcnemos iJ.S = NkT dV V T Nkln ~~46-8 como obtuvimos en el capitulo 44. Por ejemplo, si expandimos el volumen en un factor 2, la variaci6n de entropia es Nk In 2. Consideremos ahora otro ejemplo interesante. Supongan que tenemos una caja con una barrera en el medio. En un !ado hay ne6n (mo!eculas "'negras~) yen el otro arg6n (molt!culas "blancas"). Quitamos ahora la barrera y permitimos que se mezclen. (, Cuimto ha variado !a entropia? Es posible imaginar que en lugar de la barrera tenemos un pist6n con agujeros que permiten que pasen las blancas pero no las negras, y otro pist6n que hace lo contrario. Si colocamos cada pist6n en un extrema, vemos que para cada gas el problema es parecido al que acabamos de resolver. Asi, pues, obtenemos una variaci6n de entropia de Nk In 2, Jo que significa que la entropia ha aumentado en k 1n 2 por molfcula. El 2 tiene que ver con el espacio adicional que tiene !a molecula, lo cual es bastante extraflo. No es una propiedad de la misma mo!ecula, sino de cucinto espacio tiene la molCcu\a para moverse. Es una situaci6n extraiia donde la entropia aumenta, pero jdonde todo tiene la misma temperatura y la misma energia! La Unica cosa que ha variado es que las molfculas estiln distribuidas de otra manera. Sabemos bien que si so!amente quitamos la barrera, todo estarii. mezdado despuCs de un tiempo largo, debido a las colisiones, a las vibraciones, a los golpes, etc. De vez en cuando una mo!t!cu!a blanca va hacia una negra y una negra hacia una blanca y puecle ser que se crucen. Las blancas gradualmente se abren paso, accidentalmente, en el espacio de las negras, y las negras se abren paso, accidentalmente, en el espacio de las blancas. Si esperamos !o suficiente obtcndremos una mezcla. C\aramente, este es un proceso irreversible en el mundo real y deberia implicar un aumento de entropia. Aqui tenemos un ejemplo simple de un proceso irreversible que estil. completamente formado de eventos reversibles. Cada vez que hay una colisiOn entre dos mo!ecu\as cualesquiera, salen en ciertas direcciones. Si tomamos una pelicula de una colisi6n hacia atrils, no habria nada err6neo con la pe!icula. En reaiidad, una clase de colisi6n es tan probable coma otra. Por lo que la mezcla es completamente reversible y no obstante es irreversible. Todo el mundo sabe que si comenzitsemos con blancas y negras, separadas, obtendriamos una mezcla en unos pocos minutos. Si nos sentitscmos y siguifsemos contemplil.ndolas por unos cuil.ntos minutos m:'ts, no se separarian de nucvo, sino que permaneccrian mezcladas. Asi nos encontramos con una irreversibilidad basada en situaciones reversibles. Pero tambiCn vemos ahora la razOn. Empezamos con una distribuci6n que estil, en alglln sentido, ordenado. Debido al caos de !as colisiones, se desordena. Lafuente de la irreversibilidad es el cambio de una distribuci6n ordenada a una desordenada. Es verdad que si tom3.scmos una pelicula de esto y la proyectil.semos hacia atriis veriamos que gradualmente se ordena. Alguien diria: "jEsto es contra las leyes de la fisica!" Pasamos la pelicula de nuevo y miramos cada colisi6n. Cada una seria perfecta y cada una estaria obedeciendo las !eyes de la fisica. La raz6n es, naturalmente, que las velocidades de cada moJecula son exactamente correctas, por lo que si seguimos los caminos hacia atrils, vuelven a su condici6n inicial. Pero esto es una circunstancia muy poco probable. Si empezamos con el gas sin distribuci6n especial, s61o blancas y negras, nunca volveril. atriis. 46-9 46-5 Otden y entropia pues, que hablar de lo que entendemos por ordcn desorden. un orden agradable o de un desorden desagradable. que es casos mezclados y sin mezclar es lo siguiente. Supongan que en pequeftos elementos de volumen. Si tenemos mo!eculas blancuti.ntas podrlamos distribuirlas entre los e\ementos de las estuvicsen en un !ado y !as negras en el otro i maneras podr;amos distribuirlas sin ninguna restricci6n hay muchas m3.s rnaneras de colocarlas en el por el nUmero de maneras en que podemos dispomodo que parezca lo mismo desde el exterior. La ese nUmero de maneras. El nUmero de maneras en el es menor, por lo que la entropia es menor, o el "des- tOCnica de desorden podemos entender la entropia mide el desorden. En segundo lugar, el a "desorden", por lo que la entropia siempre ausentido de que el arreglo nos agrada, sino en el sentido diferentes en que lo podemos lograr, conservando el es relativamente restringido. En el caso en que inmezdillldose, no habia tanto desorden como pens<ibatenia exactamente la velocidad y direcci6n correctas no era alta despuCs de todo, aunque parecia serlo. !eyes fisicas? Al hablar del campo por una carga se dijo que debiamos tomar el campo t a distancia r de la carga, tomamos el campo debido no a t + r/ c. Asi parece, a primera vista, como no reversible. Muy extraiiamente, sin embargo, las un conjunto de ecuaciones l\amadas ecuaciones de reversibles. Ademti.s, es posible argumentar que si soque usar ei campo adelantado, el debido al estado de cosas a r/ c, y en forma absolutamente compatible en un espacio completamente cerrado, itodo sucede exactamente del mismo modo que si usamos campos retarda" dos! Esta aparente irreversibilidad en electricidad, al menos en un recinto, no es una irreversibilidad de ninguna especie. Ya tenemos alguna in dicaci6n de esto, sabemos que cuando tenemos una carga oscilante que genera campos que son rechazados por las paredes de un recinto, llegamos finalmente a un equilibrio en el que no hay ninguna unilateralidad. La aproxirnaci6n del campo retardado es solamcntc una conveniencia en el metodo de la soluci6n. En cuanto a lo que sabemos, todas las !eyes fundamentales de la fisica, como las ecuaciones de Newton, son reversibles. Entonces lde d6nde sale la irreversibilidad? Viene del orden volviendose desorden, pero no entenderemos esto hasta que separnos el origen del orden. lPor que las situaciones en que nos cncontramos diariamente est3.n siempre fuera del equilibria? Una explicaci6n posible es la siguiente. Examinemos de nuevo nuestra caja de mo!OCulas blancas y negras mezcladas. Bien, si esperamos un tiempo suficiente, es posible que por puro accidente, muy improbable pero posible, la distribuciOn de mo!eculas llegue a ser principalmente de blancas en un lado y p1incipalmente de negras en el otro. Despues de esto, a medida que pa:,a el ticmpo y los acddentes contintian, se vuelven a mezc!ar de nuevo. 46-10 de! alto grado de orden en el mundo de hoy suerte. Quizi.s sucedi6 que nuestro mundo tuvo clase en la que las cosas se separaron de a unirse de nuevo. Esta clasc de teoria no es tiene el gas separado o un pou otro ca~o, vemos una manse cst:in mezclando de nuevo. gris en la interfase dcbido a que las se mezcla, cualquiera sea el sentido en que transcurre el tiempo. Esta teoria pues. que la irreversibilidad es solamente uno de los accidentes de la vie.la. separadas. deduciriamos de mirado? Si creemos realmcnte que proviene a una fluctuaciOn. debcmos seguramente tomar !a que podria producirla, y !a condici6n mits probable jllo se haya dr.senredado! Por consiguir.ntc, a partir de la hipO" es una fluctuaci6n, todas las predicciones son st m1ramos mezclada y a una parte del quc nunca hcmos visto antes, la no como e! trnzo que arnbamos de consideraL Si nuestro se debiese a una fluctuaci6n, no esperariamo~ orden en ninguna parte, sino solamente donde Jo hemos notado. Ahora suponemos que la separaci6n es porque realmente ordcnado. No dcbido a una fluctuaciOn, y negm Esta teoria que habr3. orden en otros a una fluctuac!On, a un ordcnamiento mils alto Entonces esperariamos encontrar orderi en lugares donde Los astrimomos, ejcmplo, han mirado enlocan sus a e~trellas y nuevas m1smo que Por tanto, nosouos concluimos que no cs una fluctuaci6n y 4ue orden es un recuerdo de las condiciones empezb. Esto no es decir que cntc11demos su i6gica. Por alguna raz6n, tuvo en un tiempo una entropia muy baja para su contenido de entonces la entropia ha aumentado. Y asi. este es el camino hacia es el origen de toda irreversibilidad, esto es lo que hace el de Y decadencla, esto lo que nos hace recordar el pasado no cosas quc estiin mils cercanas a aquel momenta en la urnverso el orden em mayor que ahora, y el por que no podemos recordar cosas donde el desorden es mayor que ahora, a las cuales llamamos futuro. Por ello, como comentitbamos en un capitu[o anterior, el universo entero estit en un vaso de vino. si lo miramos suficientemente cerca. En este caso el vaso de vino es complejo porque hay agua y vidrio y luz y todo lo dem:is. Otra de las delicias de la fisica es que aun las cosas la rueda dentada y trinquete. trabajan solamente porquc rueda dentada y trinquete funcionan Unicamente en una 46·1 l contacto fundamental con el resto de! universo. Si estuviesen en una caja aisladas durante un tiempo suficiente, la rueda no tendria mils probabilidad de girar en un sentido que en el otro. Pero, porque quitamos las sombras y dejamos la luz, porque nos enfriamos en la tierra y obtenemos calor de! sol, las ruedas dentadas y trinquetes que construimos pueden girar en un sentido. Este sentido Unico estil interrelacionado con el hecho de que la rueda dentada es parte de! universo. Es parte de! un\verso no solamente en el sentido de que obedece las !eyes fisicas de! nniverso, sino que su comportamiento de sentido Lmico estil ligado al comportamiento de seqtido lmico de! universo entero. Esto no se podril entender completamente hasta que el misterio de los comienzos de la historia de! universo se reduzca aim mils de la especulaci6n a la comprensi6n cientifica. 46-12 47 Sonido. La ecuaciOn de onda 47-1 Ondas 47-4 Soluciones de la ecuaciOn de onda 47-2 PropagaciOn de! sonido 47-5 Velocidad de! sonido 47-3 La ecuaciOn de onda 47-1 Ondas En este capitulo estudiaremos cl fen6meno de las ondas. Es un fen6meno que aparece en muchos contextos en toda la foica por Jo que nuestra atenci61:1 se debe concentrar en Cl no s6!o por el ejemplo particular considerado aqui. el sonido, smo tambifn por el amplio campo de _aphcaci6n de cstas idea;, en todas las ramas de la fisica. Al estudiar el oscilador arm6nico seiialamos que no hay ejemplos mccim cos de sistemas oscilantes, sino tambif:n e[f:ctricos. Las estitn relacionadas con sistemas oscilantes, s61o que !as o;,cilaciones ondu!atonas, ademits de apareccr como oscilaciones temporales en un punto, se propagan en el espacio. En realidad ya hemos estudiado ondas. Cuando cstudi3bamos la luz, al enterarnos de las propiedades pertinentes de las ondas, prestamos atenci6n en particular a la interfercncia espacial de ondas provenientes de varias fuentes colocadas en diferentes puntos, todas de la misma frecuencia. Hay dos fen6menos ondulatorios importantcs que aim no hemos estudiado y que ocurren tanto en la luz, es decir, ondas electromagneticas, coma en cualquier otro tipo de ondas. El primero es el fen6meno de interferencia temporal en vez de interferencia espacial. Si tenemos dos fuentes de sonido con frecuencias ligeramente diferentes y escuchamos las dos al mismo t1empo, algunas veces las ondas v1enen con las crestas juntas y otras con la cresta y el va1le juntos (vean la figura 47-1). El aumento y disminuci6n dcl sonido que resulta es e! fen6meno de pulsaci6n, o sea de interferencia en el tiempo. Ei Segundo fen6meno cs e! concermente a los diagramas de ondas que resultan cuando las ondas est.in confinadas en un volumen determinado y se ref1ejan de un ]ado a otro en las paredes. Desde luego que podriamos haber discutido estos fen6menos en e! caso de las ondas e!ectromagnCticas. La raz6n de no haberlo hecho es que usando un solo ejemplo no hubieramos provocado la sensaci6n de estar verdaderamente aprendiendo muchos temas diferentes al mismo tiempo. Para hacer resaltar la aplicabilidad general de las ondas 47-1 !\ !\ [\ 81 !Lil_ VVVVVV ~ A_~ lJV Fig. 47-1. vvv lot•rt"oool' tempo"\ de do• ondas sonoras de frecuencia ligerarnente d1- ferente, dando lugar a pu\saciones. mas allS. de !a electrodinamica, consideramos aqui un ejemp\o diferente, en particular ondas sonoras. Otros ejemplos de ondas son las ondas de agua consistentes en los largos abu!tamientos que vemos acercarse a la costa, o las ondas de agua mils pequeiias conen un rizado por tensi6n superficial. Como otro ejemp!o est3n las dos clases ondas elil.sticas en sO!idos: una onda de compresi6n (o longitudinal) en la que las particu!as de! s6lido oscilan en la direcci6n de propagaci6n de la onda (las ondas sonoras en un gas son de este tipo), y una onda transversal en la que !as particu\as del s61ido oscilan perpendicularmente a la direcci6n de propagaci6n. Las ondas de !os terremotos contienen las dos dases de ondas cl<'tsticas, generadas por un movimicnto en algUn punto de la corteza terrestre. Un ejemplo de ondas se cncucntra en la fisica moderna. Estas son ondas que dan la amplitud de probabilidad de encontrar una particu!a en un lugar determinado -las "ondas de materia" que ya hemos discutid()--. Su frecuencia es proporcional a la energla y su nUmero de onda es proporcional al momentum. Son las ondas de la mecitnica cuantica. En cste capitulo considerarcmos Unicamente ondas cuya velocidad es independiente de la longitud de onda. Estc es el caso, por cjemp!o, de la luz en el vado. La velocidad es entonces la misma para las ondas de radio. para !a luz azul, para la !uz vcrde o para cualquier otra longitud de onda. A causa de este comportamiento, cuando comenzamos a describir los fen6menos ondulatorios no nos <limos cuenta al principio de que teniamos propagaciOn de ondas. En vez de e!lo dijimos que si una carga se mueve en un lugar, el campo elCctrico a una distancia x era 47-2. La curva llena rnuestra el asque podria tener el carnpo elec1r1co en c1erto instante y la curva de trazos rnuestra cuiil es el carnpo electr1co un t1ernpo t mils tarde 47-2 '(--ct - f(x - 3 o ~<:ax=-- ci} --, f(x + Llx 3 - 4 c(t cl. + L\I)), sabemos que se propag'a por el aire ent_rc la fuente y el que ~scucha, y es totalmente 'natural que se pregunte cuil.l es la pres16n del aire en cualqmer momento determinado. Ademas, querriamos saber exactamente c6mo se mueve el aire. En el caso de la electriddad podiamos aceptar una regla, puesto que podiamos decir que todavla no conociamos las leyes de la electricidad, pero no podemos decir lo mismo respecto al sonido. No quedariamos satisfechos con una reg!a ~:iue estableciese c6mo se mueve por el aire la presi6n de! sonido, J?Orque se debena c~mprender el proceso como consecuencia de las !eyes de mccftmca. En suma, el somdo es una rama de la mednic:i y por lo tanto hay que comprenderlo con las leyes de Newton. La propagat:i6n del sonido de un lugar a otro es sencillamente una consecuencia de la mednica y de las propiedades de los gases, si se propaga en un gas, o de las propiedades de liquidos o s61idos si se propaga en esos medias. Mas adelante dedm:iremos las propiedades de la luz y su propagaciDn ondulatoria en forma anil.loga a partir de las leyes de la elcctrodinimica. 47-2 PropagaciOn del sonido Daremos una derivaci6n de las propicdades de la propagaci6n de] sonido entre la fuente y cl receptor como una consecuencia de las !eyes de Ncwtol), sin considc rar la interacci6n con la fucntc y el receptor. De ordinario recalcamos un resultado mas bien que una derivaciOn particular de e1. En cste capitulo adoptamos el punto de vista opuesto. Aqui lo importante es, en cierto sentido, la derivaci6n en si. Este problema de explicar nuevos fen6menos en funci6n de los viejos, cuando conocemos !as !eyes de los viejos, es posiblemente el mayor arte de la fisica matcmfttica. El fisico matemfttico tiene dos prob!emas: uno es encontrar soluciones dadas las ecuaciones y otro es cncontrar !as ecuaciones que describen un fen6meno nuevo. La derivaci6n que daremos aqui es un ejemplo del segundo tipo de problema. Tomaremos aqui el ejemplo mils simple: la propagaci6n del sonido en una dimensi6n. Para !!cvar a cabo esa derivaci6n es necc;;ario tencr primcro algUn conocimiento de lo que estft pasando. Fundamentalmente. lo que interviene es que si se muevc un objeto en un µunto en el airc, obscrvamos quc hay una pcrturhaci(m que viaja por el aire. Si prcguntamos que clase de perturbaci6n, diriamos que es Jc c~ perar que el movimiento del objeto produzrn un cambio de presion. Desde si el objeto se mueve suavemente, el aire fluye a su alrcdcdor simplcmcntc, que nos interesa es un movimiento nipido, de modo que no hay tiempo para ese flujo. Entonces el aire se comprime con cl movimicnto y cambio de presiOn que empuja mis aire. A su vez, este aire se vuelve a dar una presi6n adicional, y se propaga una onda Ahora queremos formular tal proceso. Tenemos sitamos. En nuestro problcma necesitariamos saber lo quc cl desplazamiento del airc en la onda lcvante. Ademas querriamos describir c6mo que se desp!aza. La presiOn del aire tambien de intcri:s. Naturalmente, el aire tambi6n tiene una que describ!r I~ velocidad de las particulas del airc. tienen aceleracwnes -pero al dar la l1~ta de todas 47-4 estas variables, pronto nos damos cuenta que se conoceria la velocidad y la aceleraci6n si supii:ramos c6mo varia en el tiempo el desp/azamiento de! aire. Como dijimos, consideraremos la onda en una dimensi6n. Lo podemos hacer si estamos suficientemente lejos de la fuente como para que lo que llamamos Jrentes de onda sean casi pianos. De esta manera sirnplificamos nuestro razonamiento tomando el ejemp!o menos complicado. Entonces podremos decir que el desplazamiento )C s6lo depende de x y de t y no de y o z. En consecuencia la descripci6n del l). aire esta dada por ~Es completa es ta descripci6n? Pareceria que estit muy lejos de serlo, puesto que no conocemos ningim dctalle de c6mo se mueven las moli:culas de! aire. Se estitn moviendo en todas direcciones y ciertamente este estado de cosas no estit descrito con esta funci6n x(x, t). Desde el punto de vista de la teoria cini:tica, si tenemos una dcnsidad mils alta de mo!Cculas en un lugar y una mils baja en la regi6n adyacente, las moJeculas se mudaran de la regi6n de alta densidad a la de baja, d~ modo que la diferencia se compense. Aparentemente, no obtendriamos una oscilaci6n y no habria sonido. Lo que se necesita para obtener la onda sonora es esta situaci6n: cuando las moli:cu!as se precipitan fuera de la rcgi6n de densidad y presi6n mas altas, entregan momentum a las mo!eculas de la regi6n adyacente de densidad m?,s baja. Para quc sc genere sonido, las regiones en las que varian la densidad y la presi6n deben ser mucho mayores que la distancia recorrida por las moli:culas antes de chocar con otras mo\Cculas. Esta distancia es el camino libre medio y la distancia entre !as crestas y valles de presi6n debe ser mucho mayor que eL De otro modo las moJeculas sc moverian libremente de la cresta al valle, a\isando inmediatamente la onda. x<x. Esta claro que vamos a describir el comportamiento del gas en una e~cala grande respecto al camino libre medio. por lo que las propiedades de\ gas no estaran descritas en terminos de moli:cu!as individua!es. El desplazamiento, por ejemplo, scr:i el dcsplaLamiento del centro de masa de un pequeiio e!emento de! gas y la presi6n o la densidaJ scrim la presi6n o la densidad en esta regi6n. Llamaremos Pa la presi6n y p a la densidad, y arnbas seran funciones de x y de t. No debemos olvidar quc esta descripci6n es una aproximaci6n valida Unicamente cuando estas propiedades de\ gas no varian demasiado r:ipidamcnte con la distancia. 47-3 La ecuaciim de onda La fis1ca del fen6meno de !as ondas sonoras comprende entonces tres caracteristicas: I. IL III. El gas se mucvc y varia la densidad. La variaci6n de densidad corresponde a una variaciOn de presi6n. Las desigualdades de presi6n generan el movimiento del gas. Consideremos primero el punto II. Para un gas, un liquido o un s6lido, la prcsi6n es cicrta funci6n de la densidad. Ante~ de que llegue !a onda sonora, tcnemos equilibrio a una pres16n P,. y una densidad correspondiente Pw Una presi6n Pde\ medio esta ligada con la dcnsidad por una relaci6n caractcristica P = f(pJ y, en particular, la presi6n P0 de equilibno esta dada por = J(11,J. En el somdo, las variaciones de presi6n respccto al valor de equilibria extrcmadamentc pequeii:as. Una unidad siendo I bar = !O' N/m.: La presi6n conveniente para medir presiones es el de I atm6sfera patr6n es muy 47-5 el sonido usamos una escala logaritoido es aproximadamente logaritmica. cual el :nivel de presi6n acUstica para la ,.,...._ I (n1vet de presiOn acUstica) = 20 !og"(P/ Pr.r) en db, (47.1) Po +Po = f(Po + p,) = (47.3) P. donde K = ilPc. = f(po) + pJ'(Po), f'(po) = (dP/dp) 0 . (fl) (47.4) ll(•,I) ,~!1t:1:noriginal :~~'.:'... volumen ' ' ' ' ' ' 1-i.i(o•d:<,t)--' El desplazamiento del a1re en x en x + .Jx es x(x , Jx, t). El de aire para un area un1taria es i'.l.x; el nuevo volumen es t)-x(x, t). • . Con esta elecci6n de P" 1, la P no es la presi6n de pico en la onda sonora sino la presi6n ··med!a cuadri!tica", que es l/(2) 112 por la presi6n de pico. 47-6 Po 6.x = p[x + 6.x + X(x + 6.x, 1) - x - X(x, t}] ( 47.5) (47.6) Poll.x = (47.7) de modo que !a p,-= -po f! ax AX - ax Pc ;)X' (47.8) y/ <'ix lrente a p,,b xi i\x. Obtc<Jemos asi la rel0.ci6n que ne- 47-7 sen\ igual a p0 !1x(/Yx!Ot 2}. En x tenemos la fuerza en la direcci6n + x. de m6dulo P(x, t) por unidad de area, y en x + fix tenemos la fuerza en direcciOn opuesta, de m6dulo P(x + jx, t) por unidad de area (Fig. 47-4): P(x, t) - P(x + 6.x, t) = - ~~ dx = - ¥;. 6.x, (47.10) ya que ilx es pequeiio y que la lmica pane de P que varia es la presiim en exceso Pe Ahora tenemos III: Po a'x aiz = (47.11) (Ill) - interconectar las cosas y reducir a una P,. de HJ usando II, con lo que obtenemos y as1 tenemos variable, a X (47.12) y lucgo poJemos usar I para eiiminar /le· De este modo encontramos que p, sc simplifica y nos queda (47.13) Llamaremos c11 = K, por lo quc podcmos escrihir (47.14) Esta es !a ecuaci6n de onda que describe el comportamiento de! sonido en la materia. 47-4 Soluciones de la ecuaciOn de onda Ahora podemos ver si ecuaci6n describe rea!mente las propiedades esencia\es de las ondas sonora~ en Queremos dcducir que un pulso sonoro, o perturbaci6n, se mover:i con Queremos verificar que dos pulsos Jiferentes se pueden mover otro ·el principio de superposici6n-. Tambien queremos verificar que puede ir tanto a la derecha como quierda. Todas estas propiedades estar contenidas en esta Unica encontramos 8 = f"(x - I) (47. !5) 47-8 La derivaci6n de es ta misma funci6n respecto a t da -11 por la derivada de la funci6n, o sea 1> xi tit = -vf'(x - vt), y la segunda derivada respecto al tiempo es ~ = v2 f"(x-vt). (47.16) Es evidente que flx - vt) satisfarii. la ecuaci6n de onda siempre que la veloddad de onda v sea igual a c,. En consecuencia, partiendo de las !eyes de la mecdnica encontramos que cualquier perturbaci6n sonora se propaga con velocidad c, y ademii.s encontramos que c. = K 112 = (dPldp'k/ 2 , y asi hemos relacionado la velocidad de onda con una propiedad de! medio. Si consideramos una onda que viaja en direcci6n opuesta, de modo que x(x, t) = frtx + vt), es filcil ver que esa perturbaci6n tambifn satisface la ecuaci6n de onda. La imica diferencia entre una onda de este tipo y una que viaja de izquierda a derecha es el signo de v, pero sea que tengamos x +vi o x-w coma variable en la funci6n, el signo de oixlOt2 nose altera, ya queen esta s6lo interviene 11 2 • Se sigue que tenemos so!uciones para ondas que se propagan en una u otra direcci6n con velocidad c,. Una cuesti6n extremadamente importantc es la de la superposici6n. Supongan que se ha encontrado una soluci6n de la ecuaci6n de onda, Xi digamos. Esto significa que la segunda derivada de X• respccto a x es 1/ Cs' por la segunda derivada de x1 respecto a l. Ahora bien, cualquier otra soluci6n tiene la misma propiedad. Si superponemos estas dos soluciones, tenemos X(x, 1) = X 1(X, 1) + X2(X, 1), (47.17) y deseamos verificar que x(x, t) tambien es una onda, es decir que satisface la ecuaci6n de onda. Podemos demostrar fii.cilmente este res1J.ltado, puesto que tenemos (47.18) y ademii.s (47.19) Se sigue que 0 2 xlhx 1 = (lie~') h 2 xl0t>, por lo que hemos verificado el principio de superposici6n. La demostracion de! principio de superposici6n proviene de que la ecuaci6n de onda es lineal en X· Podemos esperar ahora que una onda luminosa plana propag3.ndose en la direcci6n x po!arizada de modo que el campo elCctrico este en la direcci6n y, satisfaga la ecuaci6n de onda (47.20) ecuacilm de onda es una de las consecuenecuaciones de la electrodinilmica llevariln a como las ecuaciones de la mecitnlca llevan a la 4 ~/ -5 La veloddad del !lonido onda para d una/6rmu- a la rapidez pres1on con (47.21) P = const p\ dP/ dp - rPI ri. Para la velocidad del c~ TambiCn podemo~ escribir c/ = vemos quc p V es la masa del u, donde m es la masa de una = "!!_. p (47.22) ~onido tenemos en ton- (47.23) utilizar la relaciOn PV "--- NkT. Ademils puede expresar tambiCn como Nm, o como y ,II es el peso molecular. J::n esta 47-10 forma encontramos 2 'YkT m -YRT c,=--=~· µ (47.24) SegUn la cual es evidente que la velocidad del sonido depende Unicamente de la temperatura del gas y no de la presi6n ode la densidad. Tambien hemos observado que (47.25) donde ( 1•2 ) es el promedio de los cuadrados de la velocidad de !as moleculas. Por lo tanto c}""""" (r/3)( r 1 ) , o sea (47.26) Esta ecuaciOn estab!ece que la velocidad del sonido vale aproximadamente I /(3) 1! 2 multiplicado por cierta velocidad media lime de las moleculas (la raiz cuadrada de la media de lm cuadrados de la ve!oddad). En otras palabras, la velocidad del sonldo cs del mismo orden de magnitud que la ve!ocidad de las molecu!as; en realidad es un poco menor que esta velocidad media. Naturalmente que ese resultado era de esperar, porque una perturbadOn ta! como una variaciOn de presilm se propaga, despuCs de todo. debido al movimiento de la~ moleculas. Sin embargo, csc argumento nos da la velocidad precisa de propagaciOn: podria haber resultado que el sonido fuese transportado principalmente por las molCculas mas rftp1das, o por las mils lentas. Es razonable y satisfactorio que !a vcloc1dad del somdo sea aproxunadamente l de la velocidad molecular media l'mc 47-11 48 Pulsaciones 48-1 Sumando dos ondas 48-2 Notas pulsadas y modulaciOn 48-3 Bandas iaterales 48-4 Trenes de ondas localizados 48-1 48-5 Amplitudes de prohabilidad para particulas 48-6 Ondas en tres dimensiones 48-7 Modos normales de vibraci6n Sumando dos ondas Hace algU:n tiempo discutimos con mucho detalle las propiedades de las ondas de luz y su interferencia --esto es, los efectos de la superposici6n de dos ondas provenientes de fuentes diferentes-. En todos estos anillisis supusimos que las frecuencias de las Fuentes eran iguales. En este capitulo discutiremos algunos de los fenOmenos que resultan de la interferencia de dos fuentes que tienen frecuencias diferentes. Es faci! imaginarse Jo que va a pasar. Procediendo de la misma manera que antes, supongan que tenemos dos fuentes oscilantes iguales de la misma frecuenda cuyas fases estiln ajustadas de modo ta!, Cigamos, que las seiiales Hegan en fase a a!gim punto P. En dicho punto, si se trata de luz, la luz es muy intensa; si se trata de sonido, es muy fuerte; o si de electrones. Hegan muchos de el!os. Por otro !ado, si las seriales que Hegan estuviesen defasadas 180°, no obtendriamos serial en P, ya que la amplitud total es entonces un mlnimo. Supongan ahora que alguien gira el ''bot6n de fase" de una de las fuentes y cambia la fasc en P hacia adelante y ha" cia atrii.s, digamos, haciendola primero 0°, luego 180° y asi sucesivamente. En este caso encontrariamos, naturalmente, variacioncs en la intensidad de la sei'ial total. Pero tambi6n vcmos que si la fase de una fuente varia lentamente con rc!aci6n a la de otra de una manera uniforme y gradual, cmpezando en cero, subiendo a diez, veinte, treinta, cuarenta grados, etc., entonces lo que mediriamos en P serla una serie de "pulsaciones" fuertes y dCbiles, puesto que cuando la fase se mueve en 360° la amp!itud vuelve a un m<lximo. Naturalmente, decir que una fuente est3 variando su fase relativa a otra fuentc a una velocidad uniforme, es lo mismo que dccir quc el nllmero de oscilaciones por segundo cs Jevemente difcrente para las dos. A~i, sabemos la rcspuesta: si tenemos dos fuentc~ con frecucncias levcmente diferentes encontrariamos, como resultado neto, una oscilaci6n con una !enta intensidad pulsantc. jEsto es, rea!mente, todo lo que hay respccto a csta materia! 48-1 Fig. 48-1 Superpos1c16n de dos ondas coseno1dales cuyas amplitudes estan en la relac16n 8: 10. La repe11c16n exacta del d1agrama dentro de cada "pulsac16i:i". noestip1ca del caso general TambiCn es muy fiicil formu!ar matemiiticamente este resultado. Supongan, por ejemplo, que tencmos dos ondas y analizamos simplemente lo que llega a P, sin preocuparnos por el momento de todas !as relaciones espaciales. De una fuente, digamos, tendrlamos cos w 1t y de la otra cos w 2t, donde las w no son :.:xactamentc iguales. Naturalmente las amplitudes podrian no ser iguales tampoco, pero podemos resolver el problema general m3.s tarde; tenemos primero el caso en que las amplitudes son iguales. Entonces, la amplitud total en P es la suma de esos dos cosenos. Si representamos las amplitudes de !as ondas en funci6n de! tiempo, como en la figura 48-1, vemos que donde las crestas coinciden obtenemos una onda fuerte y donde coinciden una cresta y un valle obtenemos priicticamente cero y cuando vuelvcn a coincidir las crestas obtenemos de nuevo una onda fuerte. Matemitticamente, necesitamos sotamente sumar dos cosenos y arreglar el resultado de alguna forma. Existe una cantidad de relaciones Utiles entre los cosenos, que no son dificiles de derivar. Naturalmente sabemos que (48.1) y que eia tiene una parte real, cos a, y una parte imaginaria, sen a. Si tomamos la parte real de eifa+b), obtenemos cos (a + b). Si efectuamos la multiplicaci6n e'ae•b =(cos a+ isena)(cosb + isenb), obtenemos cos a cos b - sen a sen b, mfts algunas partes imaginarias. Pero ahora necesitamos solamente la parte real, o sea cos(a + b) = cosacosb - senasenb. (48.2) Ahora bien, si camhiamos el signo de b, como el coseno no cambia el signo y el seno si, la misma ecuaciOn para b negativo es cos(a - b) = cosacosb + senasenb. (48.J) 48-2 Si sumamos estas dos ecuaciones, desaparecen los senos y vemos que el producto de dos cosenos es un media del coseno de la suma mils un medio de! coseno de la diferencia: cos a cos b = ! cos (a + b) + ~cos (a - b). (48.4) Ahora podemos invertir la f6rmula y encontrar una para cos a '+ cos fJ si hacemos simplemente a= a+ by fJ =a - b.Estoes,a ={(a+ {J)y b ={(a - fJ), de modo que cos a+ cos (3 = 2 COS !(a + (3) cos !(a - (3). (48.5) Podemos ahora analizar nuestro problema. La suma de cos w 1t y cosw 1 t es Pero supongamos que las dos frecuencias son casi iguales, de modo que !('£<1 1 + wJ es la frecuencia promedio y es, mils o menos, igual a ambas. Pero w 1 - w 2 es mucho menor que w 1 o M 2 porque, como supusimos, w 1 y w 2 son casi iguales. Esto significa que podemos representar la soluci6n diciendo que hay una onda cosenoidal de alta frecuencia mils o menos como las que teniamos, pero que su "tamaii.o" varia despacio ~~o:·t~:~~: ~:::e~~i~~01~0;u~0~ ~~~er:;ap~~:c~~:e~~t~~nq~ee(/s~) dic~tu~ la amplitud varia como cos ,Yw 1 - wJ lo que realmente nos estil diciendo es que las oscilaciones de alta frecuencia estitn contenidas entre dos curvas cosenoidales opuestas (las de trazos en la figura 48-1 ). Basitndose en es to se podria decir que la amplitud varia a la frecuencia i('w 1 - wJ, pero si hab\amos de la intensidad de la onda, debemos considerar que tiene el doble de esta frecuencla. Es decir, la modulaci6n de la amplitud, en el sentido de la magnitud de su intensidad, es a la frecuencia w 1 - w 1 , aunque la f6rmula nos diga que multiplicamos por una onda cosenoidal a mitad de dicha frecuencia. La base tOCnica de esa diferencia es que la onda de alta frecuencia tiene una relaci6n de fase un poco diferente en el segundo semiciclo. Ignorando esta pequeiia complicaci6n, podemos concluir que si sumamos dos ondas de frecuencias w 1 y w 2, obtendremos una onda resultante de frecuencia promedio ¥w 1 + wJ que oscila en in_tensidad con una frecuencia w 1 - w 1. Si las dos amplitudes son diferentes, lo podemos volver a hacer todo de nuevo multiplicando los cosenos por amplitudes diferentes A 1 y A 2 y hacer muchas operaciones, reordenando, etc., usando ecuaciones como (48.2}-(48.5). Sin embargo, hay otras maneras mils fil.ciles de efectuar el mismo anil.lisis. Por ejemplo, sabemos que es mucho mils fad\ trabajar con exponenciales que con senos y cosenos y que podemos representar A1 cosw 1t como la parte real de A 1e1t,.,1. La otra onda seria ami.logamente la parte real de A 2e "'>1. Si las sumamos, obtenemos A 1fiw,1 + A 2e'w,t. Si sacamos factor comlln la frecuencia promedio, obtenemos 1 Tenemos de nuevo la onda de alta frecuencia con una modulaci6n a la frecuencia mils baja. 48-3 48·2 Notas pulsadas y modulaciOn Si nos preguntan ahora por la intensidad de la onda de la ecuaciOn (48.7), podemos tomar o el mOdulo al cuadrado del primer miembro o el de! segundo. Tomemos el de! primer miembro. La intensidad es entonces Vemos que la intensidad se infla y se desinfla a una frecuencia w 1 ~ wi, variando Ai, la intensidad minima no es entre los Jirnites (A 1 + AJi y (A 1 ~ AJ1. Si A 1 '* ~· 7 fig. 48-2. Resultante de dos vectores complejos de 1gual frecuencia. 8 Fig. 48-3. Resultante de dos vectores complejos de frecuenc1a des1gual. vista desde el sistema dereferenc1a rotante de un vector. Se muestran nueve pos1c1ones suces1vas del vector que rota lentamente. Otra manera de representar esta idea es mediante un dibujo, como e! de la figura 48-2. Dibujando un vector de longitud A 1 que rota a una frecuencia w 1 para representar una de las ondas en el piano complejo. Dibujamos otro vector de longitud Ai que rota a una frecuencia wi para representar la segunda onda. Si las dos frecuencias son exactamente iguales su resultado tiene una longitud fija y sigue rotando, y obtenemos de las dos una intensidad fija y definida. Pero si las frecuencias son levemente diferentes, los dos vectores complejos rotan con velocidades diferentes. La figura 48-3 muestra a que se parece esta situaciOn con relaciOn al vector A 1eJw, 1• Vemos que A 2 gira apartilndose lentamente de A 1 y asi la amplitud que obtenemos sum<indolos, es primero fuerte y luego, a medida que se aleja, cuando la posiciOn relativa es de 180" la resultante se hace particularmente debil, y asi sucesivamente. A medida que los vectores rotan, la amplitud del vector suma se hace mayor y menor y de este modo la intensidad pulsa. Es una idea relativamente simple y hay muchos modos diferentes de representarla. Es muy filcil observar experimentalmente el efecto. En el caso acU.stico, podemos disponer dos altoparlantes accionados por dos osciladores individuales, uno por cada altoparlante, de modo que cada uno de ellos da un tono. Asi, recibimos una nota de una fuente y otra nota diferente de la otra fuente. Si hacemos que las frecuencias sean exactamente iguales, el efecto resultante tendril una intensidad definida en una posiciOn dada 48-4 de! espacio. Si entonces Jos desintonizamos un poquito, apreciamos ciertas variaciones en la intensidad. Cuanto mis los desintonizamos, mas r<ipidas son las variaciones de sonido. El oldo tiene alguna dificultad en seguir variaciones mis ripidas que unas diez por segundo. Tambi6n podemos observar el efecto en un osciloscopio que dcsdobla simp!emente la suma de tas corrientes que entran a \os dos altoparlantes. Si la frecuencia de pulsaci6n es relativamente baja, vemos sencillamente un tren de ondas sinusoidal cuya amplitud pulsa, pero cuando hacemos las pulsaciones mis rtipidas vemos la clase de onda que muestra la figura 48-1. Cuando hacemos las diferencias de frecuencia mayores, las "jorobas" se mucvcn mas juntas. Tambi6n, si las amplitudes no son iguales y hacemos una sefial mas fuerte que la otra, entonces obtenemos una onda cuya amplitud no se hace nunca cero, que es exactamente Jo que esperamos. Todo marcha como es debido, tanto acllstica como e!Cctricamente. jEI fen6meno opuesto tambiCn se da! En radiotransmisi6n, usando la llamada modulaci6n de amp!itud (AM), la estaciOn de radio emite el sonido como sigue: el radiotransmisor tiene una oscilaci6n e!Cctrica CA a una frecuencia muy alta, por ejemplo 800 ki!ociclos por segundo, en la banda de emisi6n. Si se pone a funcionar esta seiial portadora, la estaci6n de radio emite una onda de amplitud uniforme a 800.000 oscilaciones por segundo. La manera de transmitir la ·•informaci6n ", el tipo inUtil de informaci6n acerca de qu6 clase de autom6vil comprar, es que cuando aJguien habla por el micr6fono la amplitud de la sefial portadora cambia al comptis de las vibraciones acllsticas que entran en el micr6fono. tomamm como el caso matemitico mils simple la situaci6n en que una soprano dando una nota perfecta, con oscilaciones sinusoidales perfectas de sus cuerdas vocales, obtenemos entonces una seii.al cuya intensidad varia como muestra Ia figura 48"4, La alternaci6n de la audiofrecuencia se recobra entonces en el receptor; nos libramos de la onda portadora y solamente consideramos la envolvente, que reprelas osci!aciones de las cuerdas voca!es o sonido de la cantante. El altoparlante vibraciones correspondientes a la misma frecuencia en el aire y el oyente es esencialmente incapaz de distinguir Ia diferencia, eso es lo que dicen. Debido a un nUmero de distorsiones y otros efectos sutiles es posible, en realidad, decir si estamos escuchando la radio o una soprano en persona; de todos modos la idea es la que hemos indicado. ~~7\tirnJr !T[jJSl'ijl 48"3 Fig. 48-4. Una onda portadora rnodulada En este dibujo esquemiltico, «•clu!m = 5. En una onda real de radio, ("ci Wm ~ 100. Bandas laterales Matemilticamente. la onda modulada descrita anteriormente se expresaria en la S = (I + b COS w,,.t) COS w t, donde LI\, representa la frecuencia de la portadora y 0 <.1m (48.9) es la frecuencia de audio. De 48-5 nuevo usamos todos Jos teoremas de los cosenos, o podemos usar eiO; da igual -es mas facil con e10 , pero es lo mismo. Tenemos entonces S = COS Wei + !b COS (We + Wm)I + tb COS (we - Wm)!. (48.10) Asi, desde otro punto de vista podemos decir que la onda de salida de! sistema consiste en tres ondas superpuestas: primero, la onda regular de frecuencia w,., es decir frecuencia de la portadora. y luego dos ondas nuevas a dos frecuencias nuevas. Una es la frecuencia portadora mas la frecuencia de modulaci6n y la otra es la frecuencia portadora menos la frecuencia de modulaci6n. Por lo tanto, si hacemos una especie de representaci6n de la intensidad generada por el generador en funci6n de la frecuencia, encontrariamos una gran cantidad de intensidad a la frecuencia de la portadora, natura!mente, pero cuando un cantante empieza a actuar tambien encontrariamos de repente intensidad proporcional a la intensidad del cantante h; a frecuencias we + u.im y we- wm, como muestra la figura 48-5. Esto es lo que se Uama bandas la/era/es; cuando hay una seiial modulada proveniente del transmisor, hay bandas laterales. Si hay mas de una nota al mismo tiempo, digamos wm y wm·, hay dos instrumentm tocando. o si hay cualquier otra onda complicada con cosenos, entonces por supucsto podemos ver matematicamente que obtenemos mas ondas que corresponden a las frecuencias ,,,, + Fig. 48-5. Espectro de frecuencia de una onda portadora "ic modulada por una Un1ca onda coseno1dal "'m· Por lo tanto, cuando hay una modulaci6n complicada que se puede representar como la suma de varios cosenos•, encontramos que el transmisor n;:al esta transmi· tiendo en un intervalo de frecuencias, es decir !a frecuencia portadora mas o menos la frecuencia milxima que cont1ene la seiial de modulaci6n. Aunque al princ1pio podamos pensar que un radiotransmisor transmite solamente a !a frecuencia nominal de la portadora, puesto que hay grandes y superestables os" ciladores de cristal y todo esta ajustado para que sean precisamente 800 kilociclos desde el momenta en que alguien anuncie que estan a 800 kilociclos, modula los 800 kilociclos y por consiguiente jya no estan precisamente a 800 kilociclos! Supongan que • Una pequeila nota al margen: i.En que circunstancias se puede rcpresentar una curva como suma de un gran numero de cosenos? Respuesra: En todas las c1rcunstancias ordinarias, excepto para ciertos casos que los matemitticos pueden inventar. Naturalmente. la curva debe tener solamente un valor en un punto dado, y no debe ser una curva loca quc salta un numero inlinito de veces en una distancia infinitesimal, o algo parecido. Pero aparte de estas restncciones. cualquier curva razonable (una que un cantante es capaz de hacer agitando sus cuerdas vocales) siempre se puede componer sumando onda~ cosenoidales. 48-6 Jos amplificadores estim construidos en tal forma que transmitan en un buen intervalo de la sensibilidad del oido (el oido puede percibir hasta 20.000 ciclos por segundo, pero corrientemente los transmisores y receptores de radio no trabajan mas allil de 10.000, por lo que no oimos las partes m:is altas), entonces. cuando un hombre habla, su voz puede contener frecuencias mils altas. digamos. que !0.000 ciclos. por lo que el transmisor esta transmitiendo frecuencias que pucden ir desde 790 hasta 810 kilociclos por segundo. Ahora bien, si hubiese otra estaci6n a 795 kc/seg .. habria mucha confusi6n. Tambien, si hicieramos nuestro receptor tan sensible que solamente tomase 800 y no los IO kilociclos de ambos !ados, no oiriamos lo que el hombre dijese, iYa que la informaciOn estaria en esas otras frecuencias! Por lo tanto, es absoJutamente esencia! colocar las estaciones algo separadas para que sus bandas laterales no se superpongan y ademas el receptor no debe ser tan selectivo que no permita la recepci6n de las bandas laterales asi coma de la frecuencia nominal principal. En el caso de! sonido, este problema no causa realmente mucha dificultad. Podemos oir en un rango de ± 20 kc/seg y corrientemente tenemos desde 500 hasta 1.500 kc/seg en la banda de emisi6n, por Jo que hay lugar suficiente para muchas estaciones. El problema de la televisi6n es mas dificil. Cuando el haz electr6nico atraviesa la carga de! tubo de imagen, hay varias manchas pequeiias de luz y sombr . Esta "Juz"' y "sombra"' es la "seiial'". Ahora bien, el haz barre de ordinario toda la imagen. 500 lineas. en una trigesima parte de segundo aproximadamente. Consideremos que la resoluci6n de la imagen vertical y horizontalmente es mas o menos igual, por lo que hay el mismo nUmero de manchas por centimetro segUn una linea de barrido. Queremos ser capaces de distinguir sombra de luz, sombra de \uz, sombra de luz. en 500 lineas digamos. Para que podamos hacer esto con ondas cosenoida!es, la mils pequeiia longitud de onda que se necesita corresponde entonces a una longitud de onda. de maxima a maximo, de una 250-ava parte del tamai'to de la pantalla. De este modo tenemos 250 x 500 x 30 informaciones por segundo. La frecuencia mas alta que vamos a transportar, por lo tanto, es pr6xima a 4 megaciclos por segundo. En la realidad. para conservar las estaciones de televisi6n independientes tenemos que usar un poquito mas que esto, alrededor de 6 me /seg; parte se usa para llevar la sei'ta! de sonido y otra informaci6n. Por lo que los canales de televisi6n tienen seis megaciclos por segundo de anchura. Ciertamente no seria posible transmitir TV en una portadora de 800 kc /seg, ya que no podemos modular a una frecuencia mas alta 4ue la portadora. De cualquier modo, la banda de televisi6n comienza en 54 megaciclos. El primer canal de transmisi6n, que es el canal 2 (?). tiene un intervalo de frecuencias desde 54 hasta hasta 60 mc/seg, que da 6 mc/seg de anchura. "Pero -podria decir alguienacabamos de probar que habia bandas laterales a ambos !ados, y por Jo tanto deberia ten::r anchura doble." Resu\ta que los ingenieros de radio son bastante inteligentes. Si analizamos la sefial de modulaci6n usando terminos en senos y cosenos en lugar de s61o cosenos, para permitir diferencias de fase, vemos que hay una reJaci6n invariante definida entre la banda lateral en el !ado de la alta frecuencia y la banda lateral en el lado de la baja frecuencia. Loque queremos decir es que no hay informaci6n nueva en la otra banda lateral. Asi, lo que se hace es suprimir una banda lateral y el receptor estit conectado dentro en una forma tal que la infonnaci6n omitida se reconstituye examinando la Unica banda lateral y la portadora. La transmisi6n de banda lateral Unica es un esquema inteligente para disminuir los anchos de banda necesarios para transmitir informaci6n. 48-7 48-4 T renes de ondas localizados El pr6ximo tema que discutiremos es la interferencia de ondas en el espacio y en el tiempo. Supongan que tenemos dos ondas viajando en el espacio. Sabemos, naturalmente, que podemos representar una onda que viaja en el espacio mediante e(i,.,1-kx). Esto podria ser, por ejemplo, el desplazamiento de una onda de sonido. Es una soluciOn de la ecuaci6n de onda siemprequew 2 = k 2&, dondecesla velocidad depropagaciOn de la onda. En este caso lo podemos escribir en la foram etk(x·ct), que es de Ja·forma generalj{x- ct). Por lo tanto, Csta debe ser una onda que estil viajando a esta velocidad, w/k, que es c y todo estil bien. Ahora queremos sumar dos de estas ondas. Supongan que tenemos una onda que estit viajando con una frecuencia y otra onda viajando con otra frecuencia. Dejamos al !ector la consideraci6n de! caso en que las amplitudes son diferentes: no hay diferencia sustancial. Nosotros queremos efectuar ei6,,,i-k,x) + ei(w,1-k,x). Podemos hacerlo usando la misma matemittica que cuando sum3.bamos ondas de sei'\al. Naturalmente que si c es la misma para ambas esto es facil, puesto que es id6ntico a lo que hicimos antes: ei"'i(l-:./c) + ei"'2(l-x/c) = e""i!' + ei"2'', (48.11) excepto que ahora la variable est'= t-x/c en lugar de t. Asi, obtenemos !a misma clase de modu!aciones. pero vemos, natura!mente, que estas modulaciones se estim trasladando con la onda. En otras palabras, si sumilsemos dos ondas y estas ondas no s6lo estuviesen oscilando sino tambi6n movl6ndose en el espacio, entonces la onda resultante tambien se trasladaria en el espacio a la misma velocidad. Ahora querriamos generalizar esto al caso de ondas en las que la relaci6n entre la frecuencia y el nUmero de ondas k no sea tan simple. Ejemplo: un material que tenga un indice de refracci6n. Ya estudiamos la teoria del indice de refracci6n en cl capitulo 31. donde encontramos que podiamos escriblf /.. 11<0/c, siendo 11 el indice de refracciOn. Como ejemplo mteresante. encontramos que para los rayos X el indice 11 es (48.12) Dedujimos realmente una formula mils complicada en el capitulo 31, pero como ejemplo Csta es tan buena como cualquiera. Entrc parCntesis, sabemos que aim cuando u1 y /.. no son proporcionales linea\mente, el cociente r,1/k es ciertamente la vclocidad de propagaci6n para una frecuencia y nUmero de ondas particulares. Llamamos relocidad de jGse a este cociente: es la veloc1dad a la que la fase, o los nodos de una lmica onda. se trasladarian: (48.13) Esta velocidad de fase, para el caso de los rayos X en vidrio, es mayor que la velocidad de la luz en el vacio (ya que n en 48.12 es menor que I), y esto es un poco incOmodo, porque jno creemos que se pueda enviar seiiales mas r:ipido que la velocidad de la luz! 48-8 Lo que vamos a discutir ahora es la interferencia de dos ondas en las que "' y /.:. tienen una f6rmula definida quc las relaciona. La f6rmula anterior para n dice que k estit dado como una funci6n dcfinidau de M. Para scr precisos, en este problcma particular la formula para/.:. en funci6n de 10 es (48.14) donde a= Nq~/2t 0 m, es una constante. De cualquier modo, para cada frecuencia hay un nfunero de onda definido y queremos sumar dos de estas ondas. Hagilmoslo exactamente como hicimos en la ecuacion (48. 7): Tem:mo~ de nue\O una onda modulada. una onda que viaja con la frecuencia pro media y el nllmero de onda promedio. pero cuya intensidad est.it variando con una forma que depend..:: de la frec1;1encia difcrencia y de! nUmero de onda difcrencia. Tomemos ahora el caso en que la diferencia entre las dos ondas es rclativamente pequefia. Supongamos que estamos sumando dos ondas cuyas frecuencias son casi iguales; entonces (w 1 + w 2)/2 es prilcticamente igual a cualquiera de las dos ,,_, y lo mismo ocurre con (/.:. 1 + /.:. 2)/2. Entonces !a velocidad de la onda, de las oscilaciones rftpidas, de !os nodos, es esencialmente r,i/k. Pero, ojo, jla velocidad de propagaci6n de la modulaci6n no es la misma! ;,Cuilnto tenemos que cambiar x para dar cuenta de cierta cantidad de t? La velocidad de esta onda de modulaci6n es el cociente (48.16) La velocidad de modulaci6n se llama algunas veces i·elocidad de grupo. Si tomamos el caso en que la diferencia de frecuencia es relativamente pequciia y la difercncia de nUmero de onda es entonces tambii:n relativamcnte pequeiia. esta cxpresi6n tiende en .:l limitea (48.17) En otras palabras, para la modu1aci6n mils lenta para las pulsaciones mas lentas,hay una velocidad definida a la que viajan que no es igual a la velocidad de fase de las ondas -jque cosa tan misteriosa! La velocidad de grupo es la derfrada de r,i respecto a k y la velocidad de Jase es w/k. Veamos si podemos emender el porque. Consideren dos ondas, de nuevo con longitudes de ondas levemente diferentes, como en la figura 48-1. Estiln defasadas, en fase, defasadas, y asi sucesivamente. Pero estas ondas representan, realmente, ondas en el espacio que viajan con frecuencias levemente diferentes tambii:n. Ahora bien, ya que la velocidad de fase, velocidad de los nodos de estas dos ondas, no es precisamente la misma, sucede algo nuevo. 48-9 Supongan que cabalgamos sobrc una de las ondas y miramos la otra; si ambas fuesen a la misma velocidad, entonces la otra onda permaneceria con la misma posici6n respecto a nosotros, segUn cabalgamos en la cresta. Caba!gamos en esta Cresta y justo frente a nosotros vemos una cresta; si las dos velocidades son iguales las dos crestas permanecen una encima de otra. Pero no es asi: las dos velocidades no son realmente iguales. Hay solamente una pequefia diferencia de frecuencia y por lo tanto solamente una pequeiia diferencia de ve!ocidad, pero a causa de esta diferencia de velocidad, a medida que cabalgamos, la otra onda se mueve despacio hacia adelante. digamos, o hacia atr<'ts, con relaci6n a nuestra onda. Asi, segUn pasa el tiempo, lque sucede al modo? Si movemos un tren de ondas s6lo un ilpice hacia adelante, el nodo se mueve hacia adelante (o hacia atr<'ts) una distancia considerable. Es decir, la suma de estas dos ondas tiene una envolvente, y a medida que las ondas avanzan, la envolvente cabalga sobre ellas a una ve!ocidad diferente. La velocidad de grupo es la velocidad a la que se transmitirian las seiiales moduladas. Si hiciesemos una setlal, decir una especie de cambio de la onda quc sc pudiese una cspecie de modulaci6n, entonces esta modulareconocer cuando ~e la ci6n viajaria siempre que las modu!aciones fucsen relati· vamente lentas. mucho m.is dificil hacer el anillisis.) Ahora podemos mostrar (por fin) que la velocidad de propagaci6n de los rayos X en un bloque de carbono no es mayor que la velocidad de la luz, aunque la velocidad de fase es mayor que la velocidad de la luz. Para hacer esto, debemos encontrar dw/dk que obtenemo1> denvando (48.14): dk/dw = l /c + a/w 2 c.La velocidad de grupo, por lo tanto. es la mver5a, o sea, Vu= 1 + 'a/w2' (48.18) jque es menor que c! Asi, aunque las fases pueden viajar mils n'l.pido que la velocidad de la luz, las seriales de modulaci6n viajan mis despacio, y jesta es la soluci6n de la paradoja aparente! Naturalmente que 1>i tcncmos el caso simple en que U! =-- kc, entonces dw/dk es tambien c. Por lo tanto, cuando todas las fases tienen la misma velocidad, el grupo tiene por supuesto la misma velocidad. 48-5 Amplitudes de probabilidad para particulas Consideremos ahora un ejemplo m:is de la velocidad de fase que es en extrema interesante. Tiene que ver con la mec.inica cuantica. Sabemos que la amplitud de encontrar una particula en el lugar puede variar, en algunas circunstancias, en el e1>pacio yen el tiempo, digamos queen una dimcnsi6n. en la siguiente forma: (48.19) donde 1,1 es !a frecuencia, que se relaciona con la idea cl:isica de cncrgla mediante E - ffo1. y k cs el nUmero de onda. que sc rclaciona con el momentum mediante p = hk. Dir·amos que la particula tiene un momentum definido psi el numero de onda fuese exactamente k, esto es, una onda perfecta que marcha con la misma amplitud en todos lm lugares. La ecuaci6n (48.19) da la amplitud y si tomamos cl cuadrado del m6dulo. obtenemos la probabilidad relativa de encontrar !a particula en funciOn de la posici6n 48-10 y del tiempo. Es una constante, que indica que la probabilidad de encontrar una particula en cualquier lugar es la misma. Supongan ahora, por el contrario, que tenemos una situaci6n donde sabemos que es mils probable que la particula este en un lugar que en otro. RepresentarLamos ta! situaci6n por una onda que tiene un m:iximo y se anula por ambos !ados (Fig. 48-6). (No es bastante parecido a una onda como (48.1) que tiene una serie de m<lximos, pero es posible anular todos los m:iximos excepto uno sumando ondas de casi los mismos w y kJ Fig. 48-6. Un tren de ondas localizado. Ahora bien, en estas circunstancias, puesto que el cuadrado de (48.19) representa la probabilidad de encontrar una particula en algUn lugar, sabemos queen un instante dado es mils probable que la particu\a se encuentre cerca de! centro de! '"mont6n" donde la amplitud de la onda es m:ixima. Si esperamos ahora unos instantes, las ondas se mover0.n y despues de alglln tiempo el '·mont6n" estarit en algtin otro lugar. Si supi6semos que !a particu!a originalmente estaba situada en algtin lugar, clitsicamente esperariamos que mils tarde estuviese en otro lugar como cosa sabida. porque despuCs de todo tiene una velucidad y un momentum. La teoria cu.imtica se reducirit entonces a la teoria correcta para la relaci6n de momentum, energia y velocidad, solamente si la velocidad de grupo, velocidad de la modulaci6n, es igual a la ve\ocidad que obtendriamos clitsicamente para una particula de id6ntico momentum. Ahora es necesario demostrar si este es o no el caso. SegUn la teoria cl<lsica, la energia se relaciona cop la velocidad mediante me' E~---. (48.20) V~v2/c2 Del mismo modo, el momentum es (48.21) Esta es la teoria cl<isica y como consccuencia de ella. eliminando 1', podemos ver que Este es el gran resultado cuadridimcnsional de! que hemos estado hablando v hablan do: que p,.pµ = 111: esta cs la relacion entre energia y momentum en !a tcori'a cbsica. Pero esto significa. puesto que estas E y p van a ser ,,, y k, sustituyendo E = fi,,) y p = Ilk, que para la mecitnica cuimtica es necesario que (48.22) Lsta es, pues, la relacion entre la frecuencia y el nllmero de onda de una onda cuitntica de amplitud que representa una particula de masa m. De esa ecuaci6n podemos deducir que <o es jAqui de nuevo la velocidad de fase, t.1/k, es mayor que la velocidad de la luz! Considcremos ahora la ve\ocidad de grupo. La velocidad de grupo deberia ser dw/dk, 'velocidad a la que se mueven las modulaciones. Tenemos que derivar una raiz cuadrada. lo cua! no es muy dificil. La derivada es dw dk = kc v'k2 + m2c2/h2 · Pero la raiz cuadrada es despuCs de todoro. por lo que podemos escribir esto en laforma dtu/d/,. - c2 k/v1. Mils aun k/«1 esp/E, por lo que V9=$· Pero de acuerdo con (48.20) y (48.2l)c 2p/E = v, velocidad de la particu\a seglln la mec3.nica clitsica. Asi, vemos que la relaci6n cu:intica fundamental E = fiw y p = fik para la identificackm de to y k con los E y p clii.sicos, solamente produce la ecuaci6n w 2 -k2c2 = m 1 c4 /h 1 , mientras que ahora tambien entendemos las relaciones (48.20) y (48.21) que relacionan E y p con la velocidad. La velocidad de grupo, natura\mente, debe ser la velocidad de la particula si es que la interpretaci6n va a tener alglm sentido. Si pensamos que la particula estil aqui en un instante y luego diez minutos mils tarde pensamos que est8. allil, como dijo la mecfillica cu.ii.ntica, la distancia recorrida por el "mont6n" dividida por el intervalo de tiempo debe ser, clisicamente, la velocidad de la part[cula. 48-6 Ondas en tres dimensiones Concluiremos ahora nuestra discusi6n de las ondas con unas pocas observaciones generales acerca de la ecuaci6n de onda. Se pretende con estas observaciones dar una visi6n del futuro -no es para que podamos entender todo exactamente ahora mismo, sino mils bicn vcr q ue as pee to van a ten er las cos as cu an do estudiemos ondas un poco mas-. Ante todo. la ecuaci6n de onda para el sonido en una dimensi6n era de cualquier cosa que sea !a onda -en el caso del sonido, es en el caso de la luz, e~ la velocidad de la luz-. Demostramos que para una de somdo lo~ dcsplazam1entos sc propagarian a una cierta vclocidad. Pero el exce~o de presi(m tamb1Cn se propaga a una cierta velocidad y lo mismo ocurre con el exceso de densidad. Por ello, deberiamos espcrar que la presiOn satisficiese la misma ecuac16n, como ocurrc en realidad. 48-12 Se lo dejaremos al lector para que lo demuestre. Sugerencia: Pe es proporcional a la rapidez de variaci6n de x respecto ax. Por lo que si derivamos la ecuaci6n de onda respecto a x, descubriremos inmediatamente que ~I 0x satisface la mis ma ecuaci6n. Es decir que Pe satisface la misma ecuaci6n. Pero Pe es proporcional a Pe y en consecuencia Pe tambien la satisface. En una palabra, la presi6n, los desplazamientos, todo, satisface !a mis ma ecuaci6n de onda. Corrientemente se ve la ecuaci6n de onda para sonido escrita en t6rminos de presi6n en Ju gar de en funcii:m de desplazamiento, porque la presi6n es un escalar y no tiene direcci6n. Pero, el desplazamiento es un vector y tiene direcci6n y entonces resulta mii.s fii.cil analizar la presi6n. El pr6ximo punto a discutir tiene que ver con la ecuaci6n de onda en tres dimensiones. Sabemos que la soluci6n para una onda sonora en una dimensi6n es, eil" 11 -kx1, con w = kc., pero tambiCn sabemos que en tres dimensiones una onda estaria representada por ei("'1-kxx-k_,,y-kzzl, donde en este caso uJ 2 = k1ci, que es, naturalmente (k; + ki + JS)c;. Ahora lo que queremos hacer es conjeturar cuii.l es la ecuaci6n de onda correcta en tres dimensiones. Para el caso de! sonido csto se puede deducir, natura\mente, a traves del mismo razonamiento dinii.mico en tres dimensiones que hicimos en una dimensi6n. Pero no haremos esto; en su lugar, escribimos so!amente el resu\tado: la ecuaci6n para la presi6n (o desplazamiento, o lo que sea) es (48.23) Podemos ver que esto es verdad sustituyendo ei\wr-k.r). Es claro que cada vez que derivamos respecto a x. mu!tiplicamos por -ikX' Si derivamos dos veces, es equivalente a multiplicar por -k~ por lo que el primer tfrmino se convertiria en -~.,?f!' para esa onda. Del mismo modo, el segundo tCrmino se hace "k_~Pe, y el tercero -k;I'e- A la derecha obtenemos -(<,iYci,>Pe. Entonces, si simplificamos las Pe y cambiamos e! signo, vemos que la relaci6n entre Ky<,; es la que nosotros queremos. Haciendo tambien las cosas hacla atras, no podemos resistir la tentaciOn de escribir la gran ecuaciOn que corrcsponde a la ecuaci6n de dispersi6n (NT) (48.22) para ondas cuii.nticas. Si ~·J representa la amplitud de encontrar una particula en la posici6n x, y, z, en el tiempo l, cntonces la gran ecuaci6n de la mccti.nica cuintica para particulas libres es esta: ¢. (48.24) En primer lugar, el carii.cter relativista de est a expresi6n est ii sugerido por la aparici6n de x, y, z y l en la combinaciOn habitual que la relatividad usa corrientemente. En segundo lugar, es una ecuaci6n de onda que, si probamos una onda plana, produciria co mo consecuencia que - k 2 + <u 2/ c 2 = m2c2/ h 2, que es la relaci6n correcta para la mecii.nica cuii.ntica. Hay aUn otra gran cosa contenida en la ecuaci6n de onda:el hecho de que cualquier superposici6n de ondas es tambien una soluci6n. Porlotanto,estaecuaci6n contiene todo lo que hemos estado discutiendo hasta ahora de mecii.nica cuii.ntica Y relatividad, jpor lo menos siempre que se trate de una {mica particula en el espacio vacio sin potenclales 0 fuerzas extemas en eu Ver Nota del Traductor al final del capilulo (p3g. 48- l 5) 48-13 48-7 Modos norm.ales de vibraciOn Volvemos ahora a otro ejemplo del fen6meno de pulsaciones que es bastante curioso y un poco diferente. Imaginen dos pendulos iguales que tienen, entre ellos, una conexi6n eliistica bastante ctebil. Han sido construidos en lo posible de la misma longitud. Si apartamos uno y lo soltamos, se mueve hacia adelante y hacia atrii.s y cuando realiza ese movimiento tira del resorte de conexi6n, por Jo que realmente es una mii.quina para generar una fuerza que tiene la frecuencia natural del otro pendulo. Ademiis, como consecuencia de la teoria de la resonancia, que ya estudiamos, cuando aplicamos una fuerza sobre algo a la frecuencia apropiada, lo ariastrarii. Por lo que, con toda seguridad, un pendulo moviendose hacia adelante y hacia atriis arrastraril el otro. Sin embargo en este caso sucede algo nuevo, ya que la energia total del sistema es finita y asi, cuando un pendulo da parte de su energia al otro para arrastrarlo, se encuentra a si mismo perdiendo energia hasta que, si hay una sincronizaci6n apropiada con la velocidad, pierde toda su energia y jpasa a un estado estacionario! Entonces, naturalmente, es el otro pendulo el que tiene toda la energia y el primero no tiene nada, y segUn pasa el tiempo vemos que todo funciona en sentido opuesto y que la energia se devuelve al primero; este es un fen6meno muy interesante y divertido. Dijimos, sin embargo, que estit relacionado con la teoria de las pulsaciones y ahora debemos explicar c6mo podemos analizar este movimiento desde el punto de vista de dicha teoria. Observamos que el movimiento de cualquiera de las dos esferitas es una oscilaci6n con una amplitud que varia ciclicamente. Por lo tanto, el movimiento de una de las esferitas se puede analizar presumiblemente en una forma diferente: como suma de dos oscilaciones, presentes al mismo tiempo pero que tienen dos frecuencias levemente diferentes. Por lo tanto, deberia ser posible encontrar otros dos movimientos en este sistema y sostener que lo que vimos era una superposicl6n de dos soluciones ya que f:ste es, por supuesto, un sistema lineal. Verdaderamente, es fitcil encontrar dos maneras en las que podria empezar el movimiento, siendo cada una un movimienlo perfecta de una sola frecuencia -absolutamente peri6dico--. El movimiento con el que empezamos antes no era estrictamente peri6dico, puesto que no dur6; pronto una esferita pasaba energia a la otra y asi cambiaba su amp\itud; pero hay maneras de comenzar el movimiento para que nada cambie y, naturalmente, tan pronto como lo vemos entendemos por que. Por ejemplo, si hiciesemos que ambos pfodulos marchasen juntos, entonces, puesto que ambos son de la misma longitud y el resorte en este caso no hace nada, continuarian por supuesto oscilando para siempre, suponiendo que no hay roce y que todo es perfecta. Por otro \ado, hay otro movimiento posible que tambifo tiene una frecuencia definida: esto es. si movemos opuestamente los pendulos separindolos la misma distancia exactamente, estarian de nuevo en movimiento absolutamente peri6dico. Podemos apreciar que el resorte aiiade solamente un poco a la fuerza restauradora que proporciona la gravedad, eso es todo, y el sis" tema sigue justamente oscilando a una frecuencia levemente mils alta que en el primer caso. z.Por que mils alta? Porque el resorte estil tirando, adem<i.s de la gravedad, y ha· ce que el sistema sea un poco "mils rigido ", por lo que la frecuencia de su movimiento es s6!o una pizca m8.s alta que la de! otro. Este sistema, pues, tiene dos man eras de oscilar sin variar de amplitud: o puede oscilar de una manera ta! que ambos pendulos sigan el mismo camino o oscilen todo 48-14 el tiempo a una frecuencia, o podrian ir en direcciones opuestas a una frecuencia levemente mils alta. Ahora bien, el movimiento real de! sislema, ya que es lineal, se puede repre-sentar como una superposici6n de dos. (Recuerden que el tema de este capitulo es Ios efectos de sumar dos movimientos con frecuencias diferentes.) Por el!o, piensen lo que sucederia si combinitsemos estas dos soludones. Si a t = 0 los dos movimientos ban empezado con amplitudes iguales y en la misma fase, la suma de los dos movimientos significa que una esferita, habi6ndosele dado un sentido por el primer movimiento y el otro sentido por el segundo movimiento, esti a cero, mientras que la otra esferita, habiendo sido desplazada en el mismo sentido por los dos movimientos, tiene una gran amplitud. A medida que pasa el tiempo, sin embargo, los dos movimientos bisicos actUan independientemente, por lo que la fase de uno relativa al otro se esti corriendo lentamente. Esto significa entonces, que despu6s de un tiempo bastante largo, cuando el tiempo es suficiente para que un movimiento pueda haber realizado "900 l /2" oscilaciones mien tr as el otro realiza solamente "900 ", la fase relativa estaria justamente invertida con relaci6n a como estaba antes. Esto es, el movimiento de gran amplitud se habri hecho cero, y mientras tanto, naturalmente. !a esferita inicialmente sin movimiento jhabril alcanzado intensidad completa! Asi, vemos que podriamos analizar este movimiento complicado bien mediante la idea de que hay resonancia y que uno entrega energia al otro, bien mediante la superposici6n de dos movimientos de amplitudes constantes a dos frecuencias diferentes. N. de! T.: Dispersi6n estit usada aqui en un sentido anitlogo a la dispersi6n de un prisma; no debe confundirse con la dispersi6n de ondas o particulas al chocar contra un objeto. 0 sea. que estrictamente dispersi6n en este caso quiere dccir cl fcnOmeno por el cua! !a velocidad de fase de una onda depende de su frecuencia. 48-15 49 Modos de vibracion 49-1 ReflexiOn de ondas 49-4 Ptltdulos acoplados 49-2 Ondas confinadas, con frecuenclas naturales 49-5 Sistemas lineales 49-3 Modos en dos dimensiones 49-1 ReflexiOn de ondas Este capitulo consideranl a!gunos fen6menos notables que resultan de confinar ondas en una regi6n finita. Esto nos llevarit primero a descubrir algunos aspectos particulares relativos a las cuerdas vibrantes, por ejemplo, y luego la generalizaciOn de estos hechos nos dara un principio que es probablemente el principio de mayor alcance en la fisica matem.ittica. Nuestro primer ejemplo de confinamiento de ondas sert\. limitar una onda por un solo lado. Tomemos el ejemplo simple de una onda unidimensional en una cuerda. Del mismo modo se podria considerar el sonido en una dimensi6n contra una pared, u otra situaci6n de naturaleza similar, pero el ejemp!o de una cuerda serit suficicnte para los fines que nos hemos propuesto. Supongan que se sujetc la cuerda por un extrema, por ejemplo atitndola a una pared "infinitamente s61ida ,.. Esto se pucdc expresar matemiiticamente diciendo que en la posici6n x-= 0 cl dcsplazamiento y de la cuerda debe ser nulo. porque cl extrema no se mueve. Ahora bien. sabemos que si no fucra por la pared la soluci6n general para el mmimiento es la suma de dos funciones, F(x-cl) y G(x -t ct), la primcra rcprescntando una onda que viaja en un sentido en la cuerda y la segunda una onda quc viaja en el otro sentido en la cuerda: y = F(x - er) + G(x + er) (49.1) es la soluci6n general para cualquier cuerda. Pero ahora tenemos quc sa.tisfacer la condici6n de que la cuerda no se mueve en un extrema. Si ponemos x =- 0 en la ecuaci6n (49.l) y examinamos y para todo valor de t, obtenemos y - F( - ct) + + G( -t ct). Bien, si esto debe ser cero para todo tiempo. la funci6n G(cl) debe ser -F( - ct). En otras palabras. G de cualquier cosa debe ser -F de menos la m1sma cosa. Si se introduce este resultado 49-1 _/~.'.-----,, I -c::v Fig. 49-1. Reflexi6n de una onda como superposici6n de dos ondas viajeras. en la ecuaci6n (49.1), encontramos que la soluci6n de! problema es y = F(x - ct) - F(-x - ct). (49.2) Es fitcil verifi.car que obtendremos y = 0 si poncmos x = 0. La figura 49-1 muestra una onda que viaja en la direcd6n x negativa cerca de x ~~ O y otra onda hipotetica que viaja en direcciOn opuesta con el signo invertido y de! otro lado de! origen. Decimos hipotCtica porque natura!mente, no hay cuerda vibrando de ese \ado del origcn. Se dcbc considerar el movimiento total de la cuerda coma la suma de estas dos ondas en la regi6n de las x positivas. Cuando llegan al origen, siempre se anular:in una a otra en x = 0 y finalmente la segunda onda (la rcflejada) serit la lmica que existe para x positiva y, naturalmente, estara viajando en direcciOn opuesta. Estos resultados son equivalentes a la siguiente afirmaci6n: si una onda llega al extrema fijo de una cuerda, se refleja con un cambio de signo. Sicmpre se puede comprender esa reflexiOn imaginando que lo que viene del extremo de la cuerda sale invertido desde atr<'is de la pared. En suma, si suponemos que la cuerda es infinita y que siempre que tenemos una onda que va en un sentido tenemos otra que va en sentido opuesto con la simetria anotada, el dcsplazamiento en x "" 0 siempre serf! nulo y da lo mismo que fijemos o no la cuerda a!H. El siguiente punto a discutir es la reflexiOn de una onda peri6dica. Supongan que la onda representada por F(x-ct) es una onda sinusoidal y que se ha reflejado; entonces la onda reflejada -F(-x-ct) tambien es una onda sinusoidal de la misma frccucncia, pero que viaja en direcci6n opuesta. El modo m:i.s simple de describir la situaci6n es usando la notaci6n de funcioncs complcjas: J.Yx-ct) = e'°"' (Hie) y F(-x-ct) = e;,,. (I' .vc). Se puede ver que si se sustituye estas expresiones en (49.2) y si se pone x igual 0, resulta y = O para todo valor de t, por lo que satisface la condici6n necesaria. Por la propiedad de los exponenciales esto se puede describir en una forma mas simple: y = e""1(e-i"r/c - eiwr/o) = -2iei"tsen (wx/c). (49.3) 49-2 Aqui hay alga interesante y nuevo: esta soluci6n nos dice que si observamos en cualquier x fijo, la cuerda oscila con frecuencia w. jCualquiera sea este punto, la frecuencia es la misma! Pero hay algunos lugares, en particular cuando sen (wx/c)= = 0, donde no hay ningUn desplazamiento. Mils aUn, si en cualquier instante t tomamos una instantilnea de la cuerda vibrante, la fotografia ser8. una onda sinuosidal. Sin embargo, el desplazamiento de esta onda sinusoidal depender8. del tiempo t. Examinando la ecuaci6n (49.3) podemos ver que la longitud de un ciclo de la onda sinusoidal es igual a la longitud de onda de cualquiera de las ondas superpuestas: X = 27rc/w. (49.4) Los puntos donde no hay movimiento satisfacen la condici6n sen (wx/c) = 0, lo cual significa que (wx/c) = 0, n, 2n... Estos puntos se llaman nodos. Entre dos nodos sucesivos cualesquiera, cada punto se mueve de arriba para abajo sinusoidalmente, pero el diagrama del movimiento permanece fijo en el espacio. Esta es la caracteristica fundamental de lo que l!amamos modo de vibraci6n. Si podemos hallar un diagrama de movimiento que tenga la propiedad de que en cualquier punto el objeto se mueva en forma perfectamente sinusoidal y que todos !os puntos se muevan con la misma frecuencia (aunque algunos se moveriln mils que otros), entonces tenemos lo que se llama un modo de vibraci6n. 49-2 Ondas confinadas, con frecuencias natura1es El siguiente problema interesante es considerar lo que ocurre si se sujeta la cuerda por los dos extremos, digamos en x = 0 y x = L. Podemos comenzar con la idea de la reflexi6n de las ondas, empezando con alglln tipo de protuberancia movitndose en una direcci6n. A medida quc pasa cl tiernpo es de esperar que la protuberancia se acerque a un extrema, y cuando pase mils tiempo se convertir8. en una especie de pequei'lo bamboleo, porque se combina con la imagen invertida de la protuberancia, que vlene del otro !ado. Finalmentc la protuberancia original desaparecer8. y la protuberancia imagen se mover8. en el otro sentido para repetir el proceso en el otro extremo. Este problema tiene una so\uciOn foci!, pero una cuesti6n intere~ante es si podemos tener un movimicnto sinusoidal (la soluci6n que acabamos de describir es periOdica; pero, por supuesto, no es sinusoidalmente peri6dica). Probemos poner una onda sinusoidalmente periOdica en una cuerda. Si se ata un extrema de la cuerda, sabemos que debe tener cl aspccto de nuestra soluciOn anterior (49.3). Si se ata el 01~0 extrema, tiene que tener el mismo aspecto en ese otro extrema. Lucgo, la lmica , osibilidad de movimiento pcri6dico sinusoidal cs que la onda sinusoidal se ajuste perfectamente a la !ongitud de la cuerda. Si no se ajusta a la longitud de la cuerda. no es una frecuencia natural a la que la cuerda puecle seguir oscilando. En resumen. si inicialmcnte sc da a !a cuerda una forma de onda sinusoidal que se le ajusta perfectamente, seguir8. teniendo esa forma perfecta de onda sinusoidal y oscilar8. arm6nicamente con cierta frecuencia. Matem<'i.ticamente, podemos representar la forma por sen kx, donde k es igual al factor (w/c) de las ecuaciones (49.3) y (49.4). y esta funciOn seril cero en x = 0. Sin embargo, tambitn debe ser ccro en el otro extrema. Lo significativo de esto es que k ya no es arbitrario, como en el caso de la cuerda fija en un solo extrema. Con la cuerda fija en ambos cxtrcmos. la lmica posibilidad es que sen (/.:L) = 0. porque esta es la 49-3 Unica condici6n que mantendni ambos extremos fijos. Ahora bien, para que un seno sea cero, el lingulo debe ser 0, n, 2n o cualquier otro mUltiplo entero de n. La ecuaci6n (49.S) kL = mr dar:i., por lo tanto, todos los k posibles, seglln que entero se introduzca. Para cada k hay cierta frecuencia w que, conforme a la ecuaci6n (49.3), es simplemente w = kc = mrc/L. (49.6) Hemos encontrado asi lo siguiente: una cuerda tiene la propiedad de poder tener movimientos sinusoida!es, pero s6/o a ciertas frecuencias. Esta es la propiedad mils importante de las ondas confinadas. Cualquiera sea la complicaci6n de! sistema, sicmpre resulta que hay ciertos diagramas de movimiento quc tienen una dependencia temporal perfecta, pero con frccuencias que son una propiedad de cada sistema en natura\eza de los Hmites. En el caso de la cuerda tenemos muchas particular y frecuencias diferentes, correspondiendo cada una, por definici6n, a un modo de vibraciUn. porque un modo es un diagrama de movimiento que .se repite sinUsoidalmente. La figura 49- 2 muestra los tres primeros modos de vibraci6n de una cuerda. La longitud de onda .l de! primer modo es 2L. Esto se puede ver continuando la onda hasta x '--- 2L para obtener un ciclo complcto de la onda sinusoidal. La frecuencia angular r,, es 2nc dividido por la !ongitud de onda en general, y en este caso. coma .<l es 2L. la frecuencia es rrc/ /,, lo cual estt't de acuerdo con (49.6) para n = I. L!amemos w 1 a la frecuencia de! primer modo de vibraci6n. Ahora bien, el modo de vibraci6n siguiente muestra dos !azos con un nodo en el medio. Entonces, la longitud de onda de este modo de vibraciOn es simplemente L. El correspondiente valor de k es el doble de grande y la frecuencia es dos veces mayor; es 2f~J 1 • La de! tercer modo es 3w 1 y asi sucesivamente. Luego. todas las diversas frecuencias de la cuerda son mUltiplos, l, 2, 3, 4, y asi sucesivamente, de la frecuencia mils baja w 1• Volviendo ahora· al movimiento genera! de la cucrda, resulta que cualquier movimiento posible siempre se puede analizar diciendo que hay mas de un modo de vibraciOn Fig. 49-2. Los primeros tres rnodos de una cuerda vibrante. Primer modo -de vibraci6n -Onda compuesta --- Segundo modo de vibraci6n Fig. 49-3. Dos modos de vibraci6n se combinan dando una onda viajera. 49-4 al mismo tiempo. En verdad, en un movimiento general un nUmero infinito de modos de vibraci6n debe estar excitado al mismo tiempo. Para tener una idea de esto, mostremos lo que ocurre cuando hay dos modos oscilando al mismo tiempo: supongan que el primer modo estil oscilando como muestra la serie de dibujos de la figura 49·3, que representa la deflcxi6n de la cuerda a intervalos iguales de tiempo durante medio ciclo de la frecuencia mas baja. Ahora bien, suponemos que al mismo tiempo hay una osci!aci6n de! segundo modo de vibraci6n. La figura 49-3 tambiCn muestra una sucesi6n de gr8.ficos de este modo de vibraci6n, el cu al est ii, al empezar, defasado en 90° del primer modo de vibraci6n. Esto significa que al comienzo no tiene desplazamiento, sino que las dos mitades de la cuerda tienen velocidades opuestas. Recordemos ahora un principio general relativo a sisternas lineales: si hay dos soluciones cualesquiera, su suma tambiCn es soluci6n. En consecuencia, un tercer movimiento posib!e serla el desplazamiento obtenido sumando las dos soluciones mostradas en la figura 49-3. El resultado, que tambiCn se muestra en la figura, comienza a dar la impresi6n de una protuberancia que corre de un \ado a otro entre Jos extremos de la cuerda, aunque con s61o dos modos de vibraci6n no podemos dar una buena representaci6n; se necesitan mils modos. Este resu\tado es en realidad un caso especial de un gran principio para sistemas lineales: Absolutamente cualquier movimiento se puede analizar suponiendo que es la suma de los movimientos de todos los modos de vibraci6n diferentes, combinados con amplitudes y fuses apropiadas. La importancia del principio proviene de que cada modo de vibraci6n es muy simple -es nada mils que un movimiento sinusoidal en el tiempo-. Es verdad que aun el movimiento general de una cuerda no es realmente muy complicado, pero hay otros sistemas, la oscilaci6n de! ala de un avi6n, por ejemplo, en Jos cuales el movimiento es mucho mas complicado. No obstante, aun en el ala de un avi6n, encontramos que hay cierta manera particular de torcerse que tiene una frecuencia y otras maneras de torcerse que tienen otras frecuencias. Si se puede encontrar estos modos, siempre se puede analizar el movimiento completo como superposici6n de oscilaciones arm6nicas (excepto cuando la vibraci6n es de intensidad tal que ya no se puede considerar que el sistema es lineal). 49-3 Modos de vibraciOn en dos dimensiones El siguiente ejemplo a considerar es la interesante situaciOn de modos de vibra· ci6n en dos dimensiones. Hasta ahora hemos hablado Unicamente de situaciones unidimensionales --una cuerda tensa o las ondas sonoras en un tubo--. Finalmente tendremos que considerar tres dimensiones, pero un paso m8.s f3.cil es el de dos dimensiones. Consideren para fijar ideas un parche rectangular de tambor, de goma, limiLado de manera que no haya ning(m desplazamiento sobre el contorno rectangu· lar, y sean a y b las dimensiones del rect3.ngulo, como muestra la figura 49-4. Ahora preguntamos: lCU3.ies son las caracteristicas de los movimientos posibles? Podemos empezar con el mismo procedimiento utilizado para la cuerda. Si no hubiese limitaci6n alguna, esperariamos ondas propagilndose con algUn movimiento ondulatorio. Por ejemplo, (eiw 1) (1!" 1k.XX + ik._p) representaria una onda sinusoidal viajando en una direcci6n que depende de los valores relativos de kx y ky Ahora bien, ;,c6mo podemos hacer que el eje x, o sea la linea y = 0, sea un nodo? Empleando las ideas 49-5 desarrolladas para la cuerda unidimensional, podemos imaginar otra onda representada por la funci6n compleja (-e'"' 1) (e-ikxx-ikyY). La superposiciOn de estas ondas dar8. desplazamiento nulo para y = ~ independientemente de Jos valores de x y de t. (Aunque estas funciones estitn defimdas para y negativa donde no hay parche de tambor vibrando, esto se puede ignorar ya que el desplazamiento es verdaderamente cero para y-= 0.) En este caso podemos considerar a la segunda funci6n como onda reflejada. Bordesfijos Fig. 49-4. Lamina rectangular vibrante. Sin embargo, quercmos una lmea nodal en y o-c b aoemits de en y = 0. t,C6mo haccrlo? La soluci6n estit relacionada con que hicimos al estudiar la reflexiOn en cristales. Estas ondas que se cancelan en 0 haril.n lo mismo en y = b sO!o si 2b sen 11 es un mllltiplo entero de J., dondc 11 es el 3.ngulo mostrado en la figura 49.4: .5~-, / mA = 2bsen8, m = 0,1,2, .. (49.7) Ahora podemos hacer en la misma forma que e! eje y sea una linea nodal agre· gando dos funciones m<is,-(ei< 1) (e + ikx-'" + ny.') y + (ei'"t) (e + ikx~-•kvY), cada una de las cuales representa una reflexi6n de una de las otras dos ondas en la linea x = 0. La condiciOn de quc haya una linca nodal en x ~ a es similar a la que teniamos para)'-= b. Es que 2a cos 0 tambien dcbe ser un mUltiplo entero de.-\: 0 nA = 2acos8. (49.8) El resultado final es entonces que las ondas que rebotan de un !ado a otro en la caja producen un diagrama de ondas estacionarias, o sea un modo de vibraci6n definido. Asi, pues, debemos satisfacer las dos condiciones anteriores si queremos tener un modo de vibraciOn, Encontrcmos primero la longitud de onda. Se puede obtener eliminando el itngulo 0 con (49.7) y (49.8), obteniendo la longitud de onda en funciOn de a, b, n y m. La manera mas facil de hacerlo es dividir ambos miembros de las ecuaciones por 2b y la respectivamente, elevar las ecuaciones al cuadrado y sumarlas. E! resultado es sen 2 8 + cos 2 = 1 = (n.l/2a)1 + (m)./2bY, de donde se puede despejar A: e (49.9) De esta manera hemos determinado la longitud de onda en funci6n de dos enteros, y de la longitud de onda obtenemos inmediatamentc la frecuencia <;.J porque, como sabcmos, la frecuencia es igua\ a 2'.>fc dividido por la longitud de onda. e importante que deberiamos deducirlo con un puramcntc en vez de hacerlo razonando sabre la~ reflexiones. 49-6 Representemos la vibraci6n con una superposici6n de cuatro ondas elegidas de ma nera que las cuatro lineas x = 0, x """" a, y --" 0, y = b sean nodos. Adem3s, haremos que todas las ondas tengan la misma frecuencia de manera que el movimiento resultante represente un modo de vibraci6n. Conforme al tratamiento que dimos anteriormente de la reflexi6n de la luz, sabemos que (e'"'9 (e-ikxx + lkyY) representa una onda que se propaga en la direcci6n indicada en la figura 49-4. La ecuaci6n (49.6), es decir /.. = w/c, sigue siendo vii.Iida siempre que (49.10) = k sen fJ. Estil darn en la figura que k, "-- /.. Ahora nucstra ecuaci6n para el deo1>la"'"''''nto. rp digamos, de! parche rectangular de tambor adopta la forma (49.lla) Aunque esto parece mis bien un lio, la suma de estas cosas no es tan dificil. Se puede combinar las exponencia!es para dar funciones seno, de modo que el desplazamiento resulta (49.llb) En otras palabras. es una oscilaci6n sinusoidal, si, con un diagrama que tambil:n e~ ~inusoidal tanto en la direcciOn x como en la y. Por supuesto que nuestras cond1ciones de contorno cstUn satisfechas en x = 0 yen y = 0. Tambien qucrerno~ quc¢ ~ea cero para x "-- a y para y = b. En consecuencia tenemos que introducir otras ~~:er~o~~i~i~~~~~'~e~~~ ~~~t~nq:U~:~ ;n~~~oe ~'e ~,.:tls~~~~ ~~te~~~~~~~~~ diatamente las ecuaciones (49.7) y (49.8) y de ellas Cl resultado final (49.9). T omcmos ahora co mo ejemplo un rectitngulo cu yo largo es dos veces su alto. Si tom"amos a= 2b y uti\izamos las ecuaciones (49.4) y (49.9), podemos ca\cu!ar la frecucncia de todos los modos de vibracion: (49.12) La tabla 49-1 da algunos de Jos modos de vibraci6n simples y muestra tambiCn su forma de manera cualitativa. El pumo mils importante a recalcar sobre este caso particular es que las fre· cuencias no son mUltiplos unas de las otras, ni son mU!tiplos de ningUn nUmero. La idea de que las frecuencias natura!es estim relacionadas arm6nicamente no es cierta en general. No es cierta para un sistema de mis de una dimensi6n ni es c1erta para ,istemas unidimensionales que sean mils complicados que una cuerda con densidad y tensi6n uniformes. Un ejemplo de esto Ultimo es una cadena colgante en la cual la tensi6n es mayor arriba que abajo. Si se pone esa cadena a oscilar arm6nicamente, hay varias frecuencias y modos de vibraci6n, pero ni las frecuencias son mUltiplos simples de algun numero, ni la forma de los modos de vibraci'--11 es sinusoidal. 49-7 Tabla 49-1 Forma de! modo de vibraci6n (w/wo) 2 w/wo 1.25 1.12 2.00 1.41 3.25 1.80 4.25 2.06 5.00 2.24 Los modes de vibraci6n de sistemas mas ,complicados son aim mas complejos. Pot ejemplo, dentro de la boca tenemos una cavidad encima de las cuerdas vocales. y moviendo la lengua y los labios, etc., hacemos un tubo con el extreme abierto o uno con el extrema cerrado de diferentes di!l.metros y formas; es un resonador terriblemente complicado, pero no obstante es un resonador. Ahoia bien, cuando se habla, las cuerdas vocales producen cierto tipo de tono. El tono es bastante complicado y hay muches sonidos que salen, pero la cavidad de la boca modifica a Un mas ese to no de· bido a las diversas frecuencias resonantes de la cavidad. Por ejemplo, un cantante puede can tar varias vocales: a, o, u, etc., todas a !a mis ma altura, pero suenan diferentes porque en esta cavidad Jos diversos arm6nicos estM .en resonancia en grados diferentes. La grandlsima importancia de las frecuencias resonantes de una cavidad en la modificaci6n de los sonidos de la voz se puede demostrar por media de un experimento simple. Como la velocidad de! sonido varia con la inversa de la ralz cuadrada de la densidad, se puede variar la velocidad de! sonido usando gases diferentes. Si se usa helio en vez de aire, de modo que la densidad es menor, la velocidad del sonido es mucho mayor y todas las frecuencias de una cavidad se elevaran. Por consiguiente, si uno se llena los pulmones de helio antes de hablar, las caracteristicas de la voz se alteraritn totalmente aun cuando las cuerdas vocales esten vibrando a la misma frecuencia. 49-8 49-4 PCndulos acoplados Finalm~nte debemos recalcar que no solamente existen modos de vibraci6n en sistemas continuos complicados, sino tambii:n en sistemas mecit.nicos muy simples. Un buen ejemplo es el. sistema de dos pi:ndulos acoplados discutido en el capitulo precedente. En ese cap1tulo se demostr6 que se podia analizar el movimiento como superposici6n de dos movimientos arm6nicos de frecuencia diferente. Asi, pues, hasta este sistema se puede analizar en ti:rminos de movimientos arm6nicos o modos. La cuerda tiene un nfunero infinito de modos y la superficie bidimensional tambii:n tiene un nllmero infinito de modos. En cierto sentido es una doble infinidad, si es que sabemos c6mo contar infinitos. Pero un simple objeto mecit.nico que tiene Unicamente dos grados de libertad y que s6lo necesita dos variables para ser descrito, tiene solamente dos modos. R Fig. 49-5. Dos pilndulos acoplados. Hagamos un anfilisis matemiltico de estos dos modos para el caso en que los pendulos tengan la misma longitud. Sea x el desplazamiento de uno e y el de! otro, como muestra la figura 49--5. Sin el resorte, la fuerza sobre la primera masa es proporcional al desplazamiento de la misma a causa de la gravedad. Si no hubiera resorte, habria cierta frecuencia natural UJ~ para este pi:ndulo solo. La ecuaci6n de movimiento sin el resorte seria m d2 x di2 = 2 (49.13) -mw 0 x. El otro pi:ndulo oscilaria de la misma manera si no hubiera resorte. Ademils de la fuerza restauradora debida a la gravedad, hay una fuerza adicional que tira de la primera masa. Esa fuerza depende de la distancia en exceso de x respecto a y y es proporcional a esa diferencia, por lo que es cierta constante que depende de la geometria, multiplicada por (x-y). La misma fuerza en sentido inverso acttia sabre la segunda masa. Las ecuaciones de movimiento a resolver son, por lo tanto, m ~ = -mw~x - k(x - y), m ~ = -mw~y - k(y - x). (49.14) Para hallar un movimiento en que las dos masas se mucvan a la misma frecuencia, dcbemos detcrminar cuilnto se mueve cada masa. En otras palabras, el pendulo x y el pC:ndulo y oscilarfui con !a misma frecuenda, pero sus amplitudes 49-9 deben tener ciertos valores, A y B, cuya relaci6n es fija. Probemos esta so\uci6n: (49.15) Si se sustituyen en la ecuaci6n (49.14) y se junta los terminos anilogos, los resul- tados son (w 2 - ( w2 - w~ - ~)A= - ~ B, w~ - ~) B - = (49.16) ~ A. Para obtener las ecuaciones ta1 como estim escritas, se ha eliminado el factor comlm ei"'' y se las ha dividido por m. Ahora bien, vemos que tenemos dos ecuaciones para lo que aparentemente son dos inc6gnitas. Pero en realidad no hay dos inc6gnitas porque la amplitud total de! movimiento es algo que no podemos determinar a partir de estas ecuaciones. Las ecuaciones precedentes s6lo pueden determinar el cociente entre A y B, pero ambas deben dar el mismo cociente. La necesidad de que estas dos ecuaciones sean compatibles requiere que la frecuencia sea algo muy especial. En este caso particular, esto se puede hacer bastante f3.cilmente. Si se multiplica una ecuaci6n por otra, el resultado es k)' AB (k)' m AB. (' ' m w - Wo - = (49.17) El factor AB se puede eliminar de ambos miembros a no ser que A y B sean cero, lo cual significa que no hay ningU.n movimiento. Si hay movimiento, los otros factores deben ser iguales dando una ecuaci6n cuadriitica a resolver. El resultado es que hay dos frecuencias posibles: (49.18) Mils alm, si se vuelve a sustituir estos valores de la frecuencia en la ecuaci6n (49.16), encontramos que para la primera frecuencia A = B y para la segunda, A = -B. Estas son las "formas de los modos de vibraci6n", como se puede verificar fii.cilmente con el experimento. Estii. claro que en el primer modo, para el cual A = B, el resorte nunca se estira y ambas masas oscilan con frecuencia w 0 como si el resorte estuviera ausente. En la otra soluci6n, para la cual A = -B, el resorte contribuye con una fuerza restauradora y aumenta !a frecuencia. Resulta un caso mas interesante si los dos pendulos tienen longitudes diferentes. El anil.lisis es muy parecido al dado mils arriba y se deja al lector como ejercicio. 49-5 Sistemas lineales Resumamos ahora las ideas discutidas precedentemente, que son todas aspectos de lo que posiblemente sea el principio mils general y maravilloso de la fisica matemil.tica. Si tenemos un sistema lineal cuyas caracteristicas son independientes del tiempo, el mov~miento 49-10 no tiene por quC tener ninguna simplicidad particular; en realidad puede ser extremadamente complejo, pero hay movimientos muy cspeciales, por lo comU.n una serie de movimientos cspcciales, en los ·cuales el diagrama global de! movimiento varia exponcncialmente con el tiempo. En los sistemas vibrantcs de que hemos estado hablando ahora, la exponcncial es imaginaria y en vez de decir ··cxponencialmente'·, preferimos decir "sinusoidalmente" con el tiempo. Sin embargo, se puede ser mis general y decir que los movimientos variaritn exponencialmente con el tiempo en modos muy especiales, con formas muy especiales. Siempre se puede reprcsentar e! movimiento miis general de un sistema como una superposici6n de movimientos en los que interviene cada una de las diversas exponenciales. Vale la pena reafirmar esto para el caso de un movimiento sinusoidal: un sistema lineal no tiene por que moverse con un movimiento puramente sinusoidal, es decir con una sola frecuencia definida, pero cualquiera sea la forma en que se mueva, se pucdc rcpresentar este movimiento como superposici6n de movimientos puramente sinusoidales. La frecuencia de cada uno de estos movimientos es una caracteristica de! sistema, y el perfil, o forma de onda, de cada uno de estos movimientos tambien es una caracteristica del sistema. El movimiento general de cualquiera de estm sistemas se puede caracterizar dando la intensidad y la fase de cada uno de modos y sumiindolos todos. Otra manera de decir esto es que cualqt,1ier sistema lineal es equivalcnte a un conjunto de osciladores arm6nicos independientes, con frccuencias naturales correspondientes a los modos de vibraci6n. Concluimos cslc notar la conexion cntre modos de vibraciOn cuiintica, lo quc vibra, o lo que varia en el de probabilidad que da la probabi\idad de electrones, en una configuraci6n detcrminaen el espacio y en d tiempo y satisface, de da. fata funci6n amplitud puede hccho, una ecuaci6n lineal. Pero en la mec3.nica cuiintica hay una transformaci6n: ioque llamamos frecuencia de la amplitud de probabilidad es igual, en el concepto cliisico, a energia En consecuenc1a pock:mos traducir a este caso el principio emmciado miis arriba tomando la palabra frC'cuencia y reemplaz3.ndola por energia. Se convierte en alga asi como: no es necesario que un sistcma cu<intico, un ittomo por ejcmplo, tenga una energia delinida, tal como no es necesario que un sistema mecilnico simple tenga una fre~ cuencia defimda; pero, sea cualquicra !a mancra en que se comporta el sistema, sicmpre puede rcprcsentar su , •mportamiento como una superposicion de estados de delinida. La energia de cada estado es una caracteristica de! :i.tomo y lo mis1110 c~ cl diagrama de amplitud que determina la probabilidad de encontrar particu" l;is en !ugares. El movirnicnto se puede describir dando la arnplitud estos estados d1ferentes energia. Este es el origen de los niveles en meciinica cu:i.ntica. Como la mccanica cuiintirn est:i representada cuando el electr6n no tiene energia 5uliciente para escapar a la larga en las ondas confinadas de una esas son ondas conflnadas. Tai de la ecuac16n de onda para la frecuencias delinidas para cu<intica. I .a interpretacion cs que Cstas son energ(as delinidas. En consecuencia. cuiintico puede tener cstados definidos de energia lija por ondas: ejemplos de esto son los niveles de energia de porque esta lo~ diver~o~ 50 A.rmOnicos 50-l Tonos musicales 50-4 Coeticientes de Fourier 50-2 La serie de Fourier 50-5 Teorema de la energia 50-6 Respuestas no lineales 50-3 . Timbre y consonancia 50-1 T onos musicales Se dice que Pititgoras descubri6 que cuando se hace sonar a la vez dos cuerdas similares bajo la misma tensi6n y diferentes sO!o en longitud, dan un efecto que es !lgradable al oido si las longitudes de las cuerdas estfi.n en proporci6n de dos mimeros enteros pequeii.os. Si las longitudes son coma uno es a dos, corresponden entonces a la octava en mU.sica. Si las longitudes son como dos es a tres, c01Tesponden al intervalo entre do y sol, que se llama una quinta. Estos intervalos se aceptan generalmente coma acordes que suenan ''agradable". Pitagoras se impresion6 tanto con este descubrimiento que lo hizo la base de una escuela -se llamaron pitag6ricos- que tuvo creencias misticas en los grandes poderes de los nllmeros. Se crey6 que algo parecido se encontraria en los planetas -o "esferas"-. Algunas veces oimos la expresi6n: "la mllsica de las esferas". La idea foe que habria algunas relaciones numfu-icas entre las 6rbitas de los planetas o entre otras cosas en la naturaleza. La gente cree generalmente que esto foe solamente una especie de superstici6n mantenida por los griegos. Pero, les esto tan diferente de nuestro inter6s cientifico en las re!aciones cuantitativas? El descubrimiento de Pitilgoras foe el primer ejemplo, fuera de la geometria, de una relaci6n numfuica en la naturaleza. Debe haber sido muy sorprendente el descubrir de repente que habia un hecho de la naturaleza que involucraba una relaci6n num6-ica senC"illa. Simples medidas de longitudes dieron una predicci6n de algo que no tenia conexi6n aparente con la geometria -la producci6n de sonidos agradables-. Este descubrimiento condujo a la extensi6n de que quizils una buena herramienta para la comprensi6n de la naturaleza seria el anfilisis aritmCtico y matemiltico. Los resultados de la ciencia moderna justifican este punto de vista. Pititgoras solamente pudo haber hecho su descubrimiento mediante una observaci6n experimental. No obstante, este aspecto importante, parece no haberle impresionado. De lo contrario, la fisica hubiera tenido un comienzo mils temprano. (iSiempre es fiicil reconsiderar lo que alguien ha hecho y decidir lo que 61 deberia haber hecho!) 50-1 Presi6n Ti em po 101 Fig. 50-1. Unruido Presi6n en funci6n del tiempo para (a) un ruido, y (b) una nota musical. Podemos observar un tercer aspecto de este interesante descubrimiento: que el descubrimiento tiene que ver con dos notas que suenan agradable al oido. Podemos preguntarnos si nosotros hemos avanzado mlis que Pitilgoras en la comprensi6n de por qui s6lo ciertos sonidos son agradables al oido. La teoria general de la est6tica no estci probablemente mas adelantada ahora que en el tiempo 00 Pitcigoras. En este descubrimiento de los griegos encontramos los tres aspectos: experimento, relaciones matem8.ticas y estCtica. La fisica ha tenido un gran adelanto solamente en las dos primeras partes. Este capitulo trataril. sobre nuestra comprensi6n actual de! descubrimiento de Pitigoras. Entre los sonidos que oimos hay una clase que 11amamos ruido. El ruido corresponde a una especie de vibraci6n irregular de! timpano producida por una vibraci6n irregular de algUn objeto cercano. Si hacemos un diagrama para indicar la presi6n de! aire en el timpano (y, por lo tanto, el desplazamiento de! mismo) en funci6n del tiempo, la grafica que corresponde a un ruido puede parecerse a la que representa la figura 50- l(a). (Tal ruido podria corresponder aproximadamente al sonido de un zapatazo.) El sonido de la mUsica tiene un car8.cter diferente. La mUsica se caracteriza por la presencia de to nos mas o menos prolongados --o "notas" musicales-. (jLos instrumentos musicales tambifo pueden hacer ruidos!) El tono puede durar un tiempo rdativamente corto, como cuando se presiona una tecla en un piano, o se puede prolongar casi indefinidamente, como cuando un flautista mantiene una nota Jarga. iCuiil es el car&cter especial de una nota musical desde el punto de vista de la presi6n en el aire? Una nota musical difiere de un ruido en que hay una periodicidad en su gril.fica. Hay una cierta forma irregular de la variaci6n de presi6n de! aire con el tiempo y la forma se repite una y otra vez. La figura 50-l(b) muestra un ejemplo de funci6n presi6n-tiempo que corresponderia a una nota musical. Los mUsicos hablan corrientemente de un tono musical en tfrminos de tres caracterLsticas: intensidad, tono y "timbre". La "intensidad" corresponde a la magnitud de los cambios de presi6n. El "tono" corresponde al periodo de tiempo para una repetici6n de la funci6n bil.sica de presi6n. (Las notas "bajas" tienen periodos mas grandes que las notas "altas''.) El "timbre" de una nota tiene que ver con las diferencias que somos capaces de oir entre dos notas de la misma intensidad y tono. Un oboe. un violin, y una soprano .se pueden distinguir aun cuando den notas de! mismo tono. El timbre tiene que ver con la estructura de! diagrama que se repite. Consideremos por un momenta el sonido producido por una cuerda vibrante. Si accionamos la cuerda, tirando de ella y so!tandola, el movimiento subsiguiente estar;i determinado por !os movimientos de las ondas que hemos producido. Sabemos que 50-2 estas ondas viajariin en ambas direcciones y que se reflejarii.n en los extremos. Irii.n hacia adelante y hacia atris durante mucho tiempo. Aunque la onda sea muy complicada, se repetirii.. El periodo de repetici6n es justamente el tiempo T necesario para que la onda viaje dos longitudes completas de la cuerda. Porque este es exactamente el tiempo que necesita cualquier onda, una vez que ha comenzado, para reflejarse en cada extremo, volver a su posici6n inicial y seguir en la direcci6n original. El tiempo es el mismo para ondas que comiencen en cualquier direcci6n. Cada punto de la cuerda volverii, pues, a su posici6n inicial despu&s de un periodo, y de nuevo un periodo mils tarde, etc. La onda de sonido producida debe tener tambien la misma repet:ici6n. Vemos por que una cuerda accionada produce una nota musical. 50-2 La serie de Fourier Discutimos en el capitulo precedente otro modo de considerar el movimiento de un sistema vibrante. Hemos visto que una cuerda tiene diversos modos naturales de oscilaci6n y que cualquier clase particular de vibraci6n que se pueda originar por las condiciones originales, se puede considerar como una combinaci6n -en proporciones convenientes --de varios de los modos naturales oscilando a la vez. Encontramos quelos modos normales de oscilaci6n para una cuerda tenian las frecuencias w 0 , 2(.u0 , 3w0 , ... El movimiento mils general de una cuerda que ha sido pu\sada, por lo tanto, esta compuesta de la suma de una oscilaci6n sinusoidal a la frecuencia fundamental w 0, otra a la frecuencia de! segundo ann6nico 2w 0, otra a la de! tercer arm6nico 3w0 , etcetera. Ahora bien, el modo fundamental se repite cada periodo T1 = 2n Iw 0• El segundo arm6nico se repite cada T 2 = 2n /2wo- Tambien se repite cada T 1 = 2T2, despues de dos de sus periodos. Anitlogamente, el tercer modo arm6nico se repite despues de un tiempo T 1 equivalente a 3 de sus periodos. Vemos de nuevo por que una cuerda pulsada repite todo su diagrama con periodicidad T 1 • Produce una no ta musical. Hemos estado hablando de! movimiento de una cuerda. Pero el sonido, que es el movimiento d.::I aire, es producido por el movimiento de la cuerda, por lo que sus vibraciones tambiCn deben estar compuestas de los mismos arm6nicos -aunque no estamos pensando ya en los mod9s normales de! aire-. lgualmente, la intensidad relativa de los arm6nicos puede ser diferente en el aire que en la cuerda, particularmente si la cuerda estit "acoplada" al aire mediante una caja de resonancia. La eficicncia dcl acoplamiento al aire es diferente para diferentes arm6nicos. Si f(t) representa !a presi6n dcl airc en funci6n de! ticmpo para una nota musical lcomo la de la figura 50-I(b)l, entonces esperamos que se pueda escribir f(t) como suma de un cierto nUmero de funciones arm6nicas simples de! tiempo -como cos 1,1f- para cada una de las diversas frecuencias arm6nicas. Si el periodo de la vibraci6n es 7', la frecuencia angular fundamental serit w """"' br IT y los arm6nicos serii.n 2t.1. 31,J. etc. Hay una pequeiia complicaciOn. Para cada frecuencia podemos esperar que las fases iniciales no serii.n necesariamente las mismas para todas las frecuencias. Por lo tanto deberiamos usar funciones como cos (rot +- ¢). Sin embargo, es mits sencillo usar en su !ugar funciones seno y coseno para cada frecuencia. Recordemos que cos(wl +rt>)= (cosq)coswt - senqisenwt) (50.l) 50-3 y como ¢ es una constante, cualquier oscilaciOn sinusoidal de frecuencia w se puede escribir como suma de un tfrmino con cos wt y otro tCrmino con sen wt. Concluimos, entonces, que cualquier funciOn f(t) periOdica con periodo T se puede escribir matemiticamente en la forma f(t) = ao + a 1 cos wt+ b 1 senwr + a 2 cos2wt + b 2 sen2wt + a 3 cos3wt + b sen3wt +. + .. 3 (50.2) donde w = 2n IT y las a y b son constantes numi:ricas que nos dicen cu:lnto de cada oscilaciOn componentc esti presente en la oscilaciOn/(t). Hemos puesto el termino a0 de "frecuencia cero" para que nuestra formula sea completamente general, aunque corrientemente es cero para una nota musiC:aL Representa una desviaciOn de! valor promedio (es decir, el nivel "cero ")de la presiOn de sonido. Con e1 nuestra fOrmula se puede aplicar a Cualquier caso. La igualdaJ de la ecuaci6n (50.2) estti. representada esquemiticamente en la figura 50-2. (Se debe escoger convenientemente las amplitudes an y bn de las funciones armOnicas.- Est:'tn mostradas esquem:'tticamente y sin una escala particular en la figura.) La serie (50.2) se llama serie de Fourier def(t). ""h~ f\h'' = + + .b_ ,• ·~. •'·f'=-· ·w-· tvv-· + Fig. 50-2. Cualquier funci6n peri6dica f(t) es igual a una suma de funciones arm6- nicas simples. Hemos dicho que cualquier funciOn periOdica se puede construir de este modo. Deberiamos corregir eso y decir que cualquier onda de sonido, o cualquier funci6n de las que ordinariamente encontramos en lisica se puede construir mediante ta! suma. Los matem:'tticos pueden inventar funciones que no se pueden construir a partir de funciones armOnicas simples -por ejemplo, una funci6n que tiene una "vuelta hacia atras··-. jde modo que tiene dos valores para a!gunos valores de t! No tenemos pvr quC preocupamos de esas funciones aqui. 50-3 Timbre y consonancia Ahora estamos en condiciones de describir que es lo que determina el "timbre" de una nota musical. Es la cantidad relativa de los diversos arm6nicos -los valores de las a y b-. Una nota con el primer arm6nico solamente es una nota "pura ". Una nota 50-4 con muchos arm6nicos fuertes es una nota "rica ".Un violin produce una proporci6n de arm6nicos diferente de la que produce un oboe. Podemos "fabricar" diversas notas musicales si conectamos diversos "osciladores" a un altoparlante. (Un oscilador produce corrientemente una funci6n arm6nica simple casi pura.) Deberiamos escoger las frecuencias de los osciladores de manera que sean "'' 2w, 3w, etc. Ajustando entonces el control de volumen de cada oscilador, podemos aiiadir cualquier cantidad que deseemos de cada arm6nico -y por consiguiente producir notas de diferente timbre-. Un 6rgano elOCtrico trabaja de un modo parecido. Las "teclas" seleccionan la frecuencia de\ oscilador fundamental y las "clavijas" son Haves que controlan la proporci6n relativa de los arm6nicos. Usando estas Haves se puede hacer que el 6rgano suene como una flauta, un oboe o un violin. Es interesante que para producir tales notas "artificiales" necesitamos solamente un oscilador para cada frecuencia -no necesitamos osciladores separados para las componentes seno y coseno. El oido no es muy sensible a las fases relativas de los arm6nicos. Presta atenci6n principalmente al total de las partes seno y coseno de cada frecuencia. Nuestro anaJ.isis es mils exacto de lo necesario para explicar el aspecto subjetivo de la mUsica. Sin embargo, la respuesta de un micr6fono o de cualquier otro instrumento fisico si depende de las fases y nuestro anaJ.isis com· pleto se puede necesitar para tratar tales casos. El "timbre" de un sonido hablado tambii:n determina los sonidos de vocales que reconocemos en e! lenguaje. La forma de la boca determina !as frecuencias de los modos naturales de vibraci6n del aire en la boca. Algunos de estos modos se ponen en vibraci6n mediante las ondas de sonido provenientes de las cuerdas vocales. De manera que las amplitudes de algunos de los arm6nicos del sonido se aumentan respecto a otras. Cuando cambiamos la forma de nuestra boca, damos preferencia a arm6nicos de frecuencias diferentes. Estos efectos cuentan para la diferencia cntre un sonido "e-e-e" y un sonido "a"a-a ". Todos sabemos que un sonido vocal particular -"e-e-e'', digamos- alm "suena coma" la misma vocal, ya lo digamos (o cantemos) en un tono alto o bajo. De! mecanismo que describimos, esperariamos que se acentuasen frecuencias particulares cuando colocamos nuestra boca para una "e-e-e" y que no cambiasen cuando nosotros cambiamos el tono de nuestra voz. Asi, la relaci6n de Jos arm6nicos importantes al fundamental -esto es, el "timbre.,_ cambia cuando nosotros cambiamos el tono. Aparentemente el mecanismo mediante el cual reconocemos el lenguaje no se basa en relaciones arm6nicas especificas. l.Que diriamos ahora acerca de! descubrimiento de Pitilgoras? Comprendemos que dos cuerdas semejantes con longitudes en la proporci6n de 2 a 3 tendriln frecuencias fundamentales en la proporci6n de 3 a 2. Pero, l,por quC deberian "sonar agradable" juntas? Quizils deberiamos buscar la explicaci6n en las frecuencias de los arm6nicos. El segundo arm6nico mils bajo de la cuerda mils corta tendril igual frecuencia que el tercer arm6nico de la cucrda mils larga. (Es fiicii demostrar ---0 creer~ que una cuerda pulsada produce con mucha intensidad los diversos armOnicos mils bajos.) Quizils deberiamos dar !as siguientes reglas. Las notas son consonantes cuando tienen arm6nicos de la misma frecuencia. Las notas son disonantes si sus arm6nicos superiores tienen frecuencias cercanas, pero lo bastante separadas para que haya 50-5 pulsaciones ni.pidas entre las dos. Por que las pulsaciones no suenan agradab!es y por que los unisonos de los arm6nicos superiores suenan agradables es algo que no sabemos definir o describir. No podemos decir a partir de este conocimiento de lo .que suena bien, Jo que deberia, por ejemplo, oler bien. En otras palabras, nuestro conocimiento de ello no es algo mils general que el aserto de que cuando estin al uni sono, suen~ ?ien. No nos permite deducir nada mils que las propiedades de la arEs filcil comprobar las relaciones armonicas que hemos descrito mediante algunos experimentos sencillos con el piano. Llamemos a las trcs do sucesivos par la mitad del teclado dop do 2 , do 1 , y a las sol inmediatamente superiore~, sol]> sol 2 , so! 1 . Entonces tendremos kls frecuencias relativas fundamentales como sigue: do 1-2 sol 1- 3 do 1-4 sol 2- 6 do 3 -8 ~;0!3· l2 Estas relaciones arm6nicas se puc<len dcinostrar en !a ~iguiente forma: Supongan que presionamos do 2 despacio -de esa manera no suena, pero hacemos que el amortiguador se levante-. Si entonces hacemos sonar do 1 producmi su fundamental propio y algunos armCmicos secundarios. El segundo armOnico pondni. en \'1braci6n las cuerdas de dor Si soltamos do 1 (presionando alm do 2) el amortiguador drtendrii la vibraciOn de las cuerdas de dop y podemos 01r (suavemente) la nota do 1 que sc va apagando. De un modo semejante, cl tercer armlmico de do 1 puede causar una v1braci6n de sol2' 0 el sexto de do 1 (haciendose ahora mucho mils debil) puede ocasionar una vibraciOn de! fundamental de sol 3 • Se obtiene un resultado algu difcrente ~1 presiunamos. mos sonar do 2 • E! tercer armOnico de do 1 so!P por lo que solamente se cxcitar<'i el cuarto escuchamos de cerca) el sonido de sol 3 jque que hcmos apretado! Es facil imaginar otras con'b;narnme" Podemos seiialar de paso quc la escala mayor diAnte la condiciOn de que los Ires acordes mayores re) rcpresenten cada uno secuenc1as de notas con la Estas relaciones -ademits de! hecho de que una ne la relaci6n l :2- determina la esca!a total para caso se llama ··entonaci6n justa ··. Los instrumentos de teclado nan usualmente asi, pero se hace un poco de ··fraude .. para aproximadameme corrcctas para todos los posiblcs tono~ esta afinaci6n, que se llama "templado". la octava (atin 1 los iguales para los cua!cs la relaciOn de frecuencia es ne la relaciOn de frecuencia 3 , 2 , sino 27 1 ~ = I 499, que aparentemente aproximada para la mayoria de los oidos. ya no t1ee~ ba~tante Hcmos establecido una regla de consonancia en armOnicos. i,Es qui1its esta coinc1dcncia la raz011 de quc -notas tes? Un invcstigador ha sostenido que dos mente para estar libres de armOnicos- no sonancia cuando 50-6 las frecuencias relativas estlin colocadas en o cerca de las relaciones esperadas. (Tales experimentos son dificiles porque es dificil fabricar notas puras por motivos que mils adelante veremos.) Alln no podemos estar seguros de si el oido estii. apareando arm6nicos o hacienda aritmf:tica cuando nosotros decidimos que nos agrada un sonido. S0-4 Coelicientes ~e Fourier Volvamos ahora a la idea de que cualquier nota --esto es, un sonido peri~dico­ se puede representar mediante una combinaci6n apropiada de arm{micos. Querriamos demostrar c6mo podemos encontrar que cantidad se requiere de cada arm6nico. Es f.icil, naturalmente, calcular j(t) usando la ecuaci6n (50.2), si se nos da todos los coeficientes a y b. La cuesti6n es ahora: si se nos daf(t), (.c6mo podemos conocer cu.iles deberian ser los coeficientes de los diversos tCrminos arm6nicos? (Es f<'iciJ hacer una torta siguiendo una reccta; pero, (.pod~mos escribir la receta si se nos da la torta ?). Fourier descubri6 que en real id ad no era muy dificil. El tfamino a 0 es fiicil. Acabamos de decir que es justamente el valor promedio de f(t) en un periodo (desde t = 0 hasta t = Podemos ver que esto es realmente asi. El valor medio de una funci6n seno o coseno sobre un periodo es cero. Sohre dos, o tres, o cualquier nUmero entero de periodos, tambifo es· cero. Por lo que el valor medio de todos los tfrminos de! segundo miembro de la ecuaci6n (50.2) es cero, excepto para a 0 • {Recuerden que debemos tomar r11 = 2n /T.) n. Ahora bien, el promedio de una suma es la suma de los promedios. Por lo que el promedio de j(t) es solamente el promedio de a 0 • Pero a 0 es una constante, por lo que su promedio es justamente su valor. Recordando ta definici6n de promedio, te- ao = ~ iT (50.3) f(t) dt. Los otros coeficientes son solamente un poquito m.is dificiles. Para encontrarlos podemos usar un truco descubierto por Fourier. Supongan que multiplicamos los dos miembros de la ecu.aci6n (50.2) por alguna funci6n arm6nica -por cos 7wt digamos-. Tenemas entonces /(1) cos 1wt = a 0 ·cos 1wt + a cos wt· cos 1wt + b sen wt· cos 1wt + a2 cos 2wt ·cos 1wt + b 2 sen 2wt cos 1wt +· +· + a 7 cos 1wt cos 1wt + b 1 sen1wt cos 1wt +· +· 1 1 (50.4) Ahora, promcdiemos ambos miembros. El promedio de a 0 cos 1wt sabre el tiempo T es proporcional al promedio de un coseno sabre 7 periodos enteros. Pero esto es justamente cero. El promedio de casi todos los tf:rminos restantes tambilin es cero. Consideremos el 50-7 tetmino a 1 • Sabemos, en general, que cos A cos B = ! cos (A + B) + ! cos (A - B). (50.5) El tennino a 1 se convierte en !a 1 (cos Bwt + cos 6wt). (50.6) Tenemos entonces dos cosenos, uno con 8 periodos completes en Ty el otro con 6. Ambos promedian cero. El promedio de! tennino a 1 es por lo tanto cero. Para el tfrmino a 2 , encontrariamos ai cos 9wt y a 2 cos 5(1Jf, cada uno de los cuales tambi6n promedia cero. Para el t6'mino a 9 , encontrariamos cos 16wt y cos (-2wt). Pero cos (-2wt) es igual a cos 2wt, por lo que los dos tienen promedio cero. Resulta claro que todos los terminos en a tendriln un promedio cero, excepto uno. Y este es el tfrmino a 7• Para eJ tenemos !07(COS 14wt + cos 0). (50.7) El coseno de cero es uno y su promedio, naturalmente, es uno. Por lo que resu!ta que el promedio de todos los tfrminos en o de la ecuaci6n (50.4) es igual a ! a 7 . Los tfrminos en b son aUn mils fitciles. Cuando multiplicamos por cualquier tennino en coseno tal coma cos nwt, podemos demostrar siguiendo el mismo mi=· todo, que todos los terminos en b tienen el valor promedio de cero. Vemos que el "truco" de Fourier ha actuado como una criba. Cuando mu!tiplicamos por cos 7wt y promediamos, todos los ti=nninos desaparecen excepto o 7 y encontramos que promedio de IJ(t). cos 7wtl = 0 112. (50.8) Q7 = ?iT f(t) 'COS 1wt dt. (50.9) Dejaremos que el lector demuestre que el coeficiente b7 se puede obtener multiplicando la ecuaciOn (50.2) por sen 7wt y promediando ambos miembros. El resul· tado es _,. b1 = } }0 f(t)·sen7wtdt. (50.10) Ahora bien, lo que es verdad para 7 esperamos que sea verdad para cualquier entero. Por ello, podemos resumir nuestra demostraciOn y nuestro resultado en la slguiente forma matemiltica mils elegante. Si m y n son enteros distintos de cero. y si w = 2n- /T, entonces I. lo T sen nwt cos mw! dt II. },{ 1 0 , cos = nwt cos mwt dt = ( III. Jo l 0. {O (50.11) if n r:!'. m. (50.12) T1 2ifn = m. seiinwtsenmwtdt = 50-8 + 'j;1 On cos nwt + j; bn sen nwt. (50.IJ) IV. f(t) V. ao = ~ iT f(t)·dt. (50.14) On = ~ iT f(t) ·cos nwt dt. (50.15) JT f(t) · sennwtdt. (50.16) = Oo 2 b,. = T 0 En capitulos anteriores fue conveniente usar notaci6n exponencia\ para representar un movimiento ann6nico simple. En lugar de cos wt usamos Re eiwt, la parte real de !a funci6n exponencial. Hemos usado funciones seno y coseno en este capitulo porque hace un poco m:is claras quiz:is las derivaciones. Sin embargo, nuestro resultado final de la ecuaci6n (50.13) se puede escribir en la forma compacta (50.17) donde an es el nU.mero complejo an-ibn (con ho= O~ Si deseamos usar la misma notaci6n en todo el proccso, podemos escribir tambien (50.18) Ahora sabcmos c6mo ··ana1izar" una onda peri6dica en sus componentes arm6nicas. El procedimiento se llama andlisis de Fourier y los tl!rminos por separado se Haman componentes de Fourier. No hemos demostrado, sin embargo, que una vez que hemos encontrado y sumado todas las componentes de Fourier, obtenemos nuevamcnte nuestra f(I). Los matemilticos han demostrado, para una amplia gama de funciones y en realidad para todas aquellas que son de interes para los fisicos, que si podemos hacer las integrales obtenemos de nuevo f(t). Hay una pequefia excepci6n. Si la funci6n f(l) es discontinua, esto es, si salta de repente de un valor a otro, la suma de Fourier dari un valor en el punto de ruptura a medio camino entre el valor superior e inferior de la discontinuidad. Asi, si tenemos la extrafla funci6nf(t) = 0, 0 :S:: t < t 0 y f(r) ~ 1 para t 0 S t:::;;: T, la suma de Fourier dara el valor correcto en todos los puntos excepto en t 0 , donde tendr8: el valor ~ en lugar de l. No es bastante fisico, de todas formas, insistir en que una funci6n debe ser cero hasta t 0 y I exactamente en t 0 • Por lo que quizils deberiamos dar la "regla" para los fisicos de que cualquier funci6n discontinua (que solamente puede ser una simplificaci6n de una funci6n fisica real) se deberia definir con el valor de! punto media de cada discontinuidad. Entonces, cualquier funci6n parecida ---con cualquier nllmero finito de tales saltos~ asi como todas las otras funciones fisicamente interesantes, estfill dadas correctamente por la suma de Fourier. Como ejercicio, sugerimos que el lector determine la serie de Fourier de la funci6n mostrada en la figura 50-3. Como la fimci6n no se puede escribir en una 50-9 forma algebraica explicita. no podriln hacer las integrales desde cero hasta t en la forma corriente. Sin embargo, las integrales son f!lciles si las separamos en dos partes: la integral desde cero hasta T/2 (donde fW = I) y la integral desde T/2 hasta T(dondef(t)= -1). El resultado debe ser f(t) = ~ (senwt +fi-sen 3wt +}sen5wt +···), (50.19) con «1 = 271" IT. Encontramos asi que nuestra onda c1.1adrada (con la fase particular escogida) tiene solamente arm6nicos 1mpares y sus amplitudes estiin en proporci6n inversa a sus frecuencias. Fig. 50-3. Funci6n onda cuadrada +1 paraO < t < t/2, -1 para T/2 < t < T. f(t)= f{t) = Comprobemos que la ecuaci6n (50.19) nos da verdaderamente f(t) de nuevo para alglln valor de t. Escojamos t = T/4, o sea wt x 71"/2. Tenemos f(t) =~(sen 1+~sen~~ sen~+··) (50.20) =~(1-~+!-~+··)· (50.2!) La serie"' tiene el valor 71"/4 y encontramos quef(l) = L Teorema de la energia 50-S La energia de una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud. P:,i.ra una onda de forma compleja, la energia en un periodo serit proporcional a J/f(t)dt. Tambien podemos relacionar esta energia con los coeficientes de Fourier. Escribimos } {T / 0 2 (r) dt = } {T [ a0 0 + ,E• an cos nwt + ,t:• 1bn sen nwt]' dt. (50.22) • La serie se puOOe evaluar del sigmente modo. Pnmero observamos que J~ldx/(l + x')ltan-'x En segundo lugar. desarroUamos el integrando en serie: 1/(1 + x')= l ·-x' + x"-x" + ... lntegramo~ la serie til:rmino a tCrmino (desde cero ax) para obtener tan·• x 0 ~ l -x' I, + x' I, - x' I, ~ Hacien tan-1 I= ,,.;4 do x = I, 1enemos el resultado establecido, puesto que 50-10 Cuando desarrollamos el cuadrado del corchete obtendremos todos los dobles productos posibles, tales como a~ cos 5wt b1 cos 7(;Jf. Hemos demostrado antes, sin embargo IEcs. (50.11) y (50.12)1, que las integrales de: todos esos tfrminos sobre un periodo son cero. Hemos dejado solamente los tfrminos cuadritticos como a;cos 25wt. La integral de cualquier coseno o seno al cuadrado sobre un periodo es igua! a T/2, por lo que obtenemos l' .(2(1) dt = = + Tafi 2 Tuu r (af + a~ + · · · + bi + b~ + · · ·) f--. (an2 + b') + 2' ,f;: "· 1 T (50.23) Esta ecuaciOn se llama "teorema de la energia" y dice que la energia total de una onda es justamente la suma de las encrglas de todas las componentes de Fourier. Por ejemplo, aplicando este tcorema a la serie (50.19) y puesto que lf(t/ 2 = 1 obte- T = ~ · (~) 2 (I + ~ + ~2 + ·7~ · · -) .' de donde aprcndemos que la suma de los cuadrados de los inversos de los nUmeros enteros impares es '1" 2 /8. De un modo semejante, obteniendo primero la serie de Fourier para la funciOn y usando el teorema de la encrgia podemos probar quc J + l /2 4 + 1 /3 4 + ... cs >r 4 /90, resultado que necesittibamos en el capitulo 45. 50-6 Respuestas no lineales Finalmente, hay un fen6meno importante en la teoria de los arm6nicos que se debe seiialar a causa su importancia pnictica ·d de los efectos no linea!es-. En estado considerando hasta ahora, hemos supuesto que todos los sistemas quc todo era lineal, que. las respucstas a las fuerzas, digamos los desplazamientos o las aceleraciones, eran sicmpre proporcionales a las fuerzas. 0 que las corrientes en los circuitos eran proporcionales a los voltajes. etc. Quercmos considerar ahora casos dunde no hay una estricta proporcionalidad. Consideramos, por el momento, algUn dispositivo en el que la respuesta. que llamaremos x,ai al tiempo t, estit determinada por la entrada x.,"' al tiempo t. Por ejemplo, Xem podria ser la fuerz.a y x,a1 podria ser el desplazamiento. 0 .\·,,, 1 podria ser la corriente y x,ai el voltajc. Si el dispositivo es lineal, tendriamos donde K es una constante independientc de t y de xent· Supongan, sin embargo, que el dispositivo es casi. pero no exactamente, lineal, de modo que podamos escribir x,.i(l} =" Klxent(t) + EX 2 enltJJ, donde < es pequeii.o frente a la unidad. Las grilficas de la figura 50-4 muestran respuestas lineales y no lineales. 50-11 tot Lineal i~1 • Sal. Fig. linea!. Ent 50-4. Nolineal -~( .... 1-.t) Sal. Respuestas Ent. Ent lineal y no Fig. 50-5. Respuesta de un dispositivo no lineal a la entrada cos wt. Para comparar se muestra una respuesta lineal. Las respuestas no !ineales tienen muchas consecuencias pr<i.cticas importantes. Ahora discutiremos algunas de ellas. En primer lugar, consideramos lo que sucede si aplicamos una nota pura a la entrada. Hacemos Xent = cos wt. Si representamos xw en funci6n del tiempo, obtenemos la curva continua que .muestra la figura 50-5. La curva de trazos da, por comparaci6n, la respuesta de un sistema lineal. Vemos que la salida ya no es una funci6n coseno. Es mis aguda arriba y mis llana abajo. Decimos que la salida esta distorsionada. Sabcmos, sin embargo, que tal onda ya no es mis una nota pura, que tendr<i. armOnicos. Podemos encontrar cufi.les son Jos arm6nicos. Usando Xent = cos wt con la ecuaci6n (50.25), tenemos XsaJ = K(cos wt +f cos 2 wt). (50.26) De la igualdad cos 2 ()=.!(I -cos 28), tenemos Xsal = K (cos wt+~~~ cos 2wt) · (50.27) La salida no s6lo tiene una componente a la frecucncia fundamental, que estaba presente a la entrada, sino que tambi6n tiene alga de su segundo arm6nico. Tambien ha aparecido a la salida un terntlno constante K(t /2) que corresponde al corrimiento de! valor media, mostrado en la figura 50-5. El proceso de producir un corrimiento del valor promedio se llama rectiflcacidn. Una respuesta no lineal rectificara y producira arm6nicos de las frecuencias de su seiial de entrada. Aunque la falta de linealidad que supusimos produjera solamente segundos arm6nicos, la falta de linealidad de orden mas alto --aquellas que tienen tertninos como xJem y x4e 111 • por ejemplo- produciran arm6nicos mas altos quc cl segundo. Otro efecto que resulta de una respuesta no lineal es la modulaciOn. Si nuestra runci6n de entrada contiene dos (o mils) notas puras, la salida tendra no solamente sus arm6nicos, sino tambien otras componentes de frecuencia. Hagamos xem = A cos ~~:: A~~s:~tde1~~n~~~:~'lq~e~~ ;op~~ 1 irsee~~~ete~~~e~~!n en relaci6n ar- 50-12 una componente a la salida dada por X,ai = Kf(Acoswit + Bcosw 2 t) 2 = K~(A 2 cos,w 1 t + B 2 cos 2 w 2 r (50.28) + 2ABcosw 1 tcosw 2 t). (50.29) Los dos primeros tfaminos dentro del parentesis en la ecuaci6n (50.29) son justamente los que dieron los tfaminos constantes y los segundos arm6nicos que encontramos antes. El Ultimo termino es nuevo. Podemos considerar este nuevo "termino cruzado" AB cosuJ 1t cosw 2 t de dos modos. En primer lugar, si las dos frecuencias son muy diferentes (por ejemplo, si w 1 es mucho mayor que (1i 2) podemos considerar que el tCrmino cruzado representa una oscilaci6n cosenoidal de amplitud variable. Esto es, podemos considerar los factores en esta forma: (50.30) C(r) = AB cos w 2t. (50.31) Decimos que la amplitud de cos w 1 est<i. modulada con la frecuencia (.tJ:i,. Alternativamente, podemos escribir el tfamino cruzado en otra forma: Ahora diriamos que se han producido dos nuevas componentes, una a la frecuencia suma (1,1 1 + 111 2 ). otra a la frecuencia diferencia (w 1 -w 2). Tenemos dos modos diferentes, pero equivalentes, de considerar el mismo resultado. En el caso especial en que w 1 > w 2, podemos relacionar estos dos puntos de vista diferentes seftalando que como (w 1 + w 2 ) y (w 1 -w 2) son pr6ximas esperariamos observar pulsaciones entre elias. Pero estas pulsaciones tienen solamente e! efecto de modular la amplitud de la frecuencia promedio w 1 en la mitad de la frecuencia diferencia 2(.u 2 • Vemos entonces por que las dos descripciones son equivalentes. En resumen, hemos encontrado que una respuesta no lineal produce varios efectos: rectificaciOn, generaci6n de armOnicos y modulaciOn o generaciOn de componentes con las frecuencias suma y diferencia. Deberiamos notar que todos estos efectos (Ee. 50.29) son proporcionales no solamente al coeficiente de falta de linealidad E, sino tambien al producto de dos amplitudes ....-bien A1, bien B1, bien AB-. Es de esperar que estos efectos sean mucho mas importantes para las seiialesfuertes que para las dCbiles. Los efectos que hemos estado describiendo tienen muchas aplicaciones prilcticas. En primer lugar, respecto al sonido, se cree que el oido no es lineal. Se cree que esto explica el hecho de que con los sonidos fuertes tenemos la sensaci6n de que ofmos arm6nicos y tambien frecuencias suma y diferencia aunque las ondas sonoras contengan solamente notas puras. Los componentes que se usan en equipos de reproducci6n de sonido -amplificadores, altoparlantes, etc.- siempre tienen algo de falta de linealidad. Producen distorsiones en 50-13 el sonido -generan arm6nicos, etc.- que no estaban presentes en el sonido original. El oido oye esta~ nuevas componentes, que son aparentemente objetables. Es por esta raz6n que los equipos "Hi-Fi" est.in disefi.ados para que sean lo mas lineales posible. (Por que la falta de linealidad del oido no es objetable del mismo modo, o c6mo sabemos que la falta de linealidad estii. en el aftoparlante y no en el oldo, ino csta claro!) Las faltas de linealidad son muy necesarias y, en la realidad, se hacen intencionalmente grandes en ciertas partes de los equipos radiotransmisores o receptores. En un transmisor AM la sefial "voz" (con frccuencia de algunos kilociclos por se~ gundo) se combina con la seiial "portadora" (con una frecuencia de algunos megaciclos por segundo) en un circuito no lineal llamado modulador, para producir la oscilaci6n modulada que se transmite. En el receptor, !as componentes de la seiial recibida alimentan un circuito no lineal quc combina las frecuencias suma y diferencia de la portadora modulada para generar de nuevo la seiial voz. Cuando discutimos la transmisi6n de la luz, supusimos que las oscilaciones inducidas de cargas eran proporcionales al campo electrico de !a luz --que la respuesta era lineal-. Esto es en verdad una aproximaciOn muy buena. Ha sido solamente en los Ultimas aiios que sc ha diseiiado fuentes de lu:z (l.ilscrcs) que producen una intensidad de luz lo bastante fuerte como para que se pueda observar los efectos no \ineales. Ahora es posible generar armOnicos de las frecuencias de la luz. Cuando una luz roja intensa atraviesa un trozo de vidrio, jsa!e un poquito de luz arnl --segundo armOnico! 50-14 51 Ondas 51-1 Ondas de proa 51-3 Ondas en sOlidos 51-2 Ondas de choque 51-4 Ondas superficiales 51-1 Ondas de proa Aunque hemos terminado nuestro ani!isis cuantitativo de las ondas, este capitulo adicional sobre el tema esta destinado a dar cierta visi6n cualitativa de diversos fen6menos asociados con las ondas, Jos cuales son demasiado complicados como para analizarlos en deta!le aqui. Como hemos estado tratando ondas durante varios capitulos, un nombre mils apropiado de! tema seria "algunos de !os fen6menos mas complejos asociados con las ondas". '• Fig. 51-l. El frente de onda de choque yace sabre un cono con vertice en la fuente y semiabertura(} = arcsenc 0 /v · E! primer t6pico a discutir se refiere a las efectos producidos por una fuente de ondas que se mueve a una velocidad mayor que la de la onda, o velocidad de fase. Consideremos primero ondas que tienen una velocidad definida, tal como el sonido y la luz. Si tenemos una fuente de sonido moviendose a una velocidad mayor que la de! sonido, ocurre algo asi: supongan que en cierto momenta se genera una onda sonora en la fuente en el punto x1 de la figura 51-1; entonces, en el instante siguiente, a medida que la fuente se traslada hasta x 1 la onda proveniente de x 1 se expande hasta un radio r 1 menor que la distancia recorrida por Ia fuente; y por su· puesto, otra onda sale de x 2• Cuando la fuente de sonido se ha movido al.in mils, hasta x 3, y una onda estil saliendo alli, la onda proveniente de x 2 se ha expandido ahora hasta r2 y la proveniente de x 1 has ta r3• 51-1 Naturalmente, la cosa ocurre continuamente, no a saltos, yen consecuencia tenemos una serie de ondas circulares con una recta tangente comlm que pasa por el centro de la fuente. Vemos que en vez de una fuente que genera ondas esfericas, como ocurriria si estuviese quieta, genera un frente de onda que forma un cono en tres dimensiones, o un par de rectas en dos dimensiones. El ;lngulo de! cono es muy ffi.cil de hallar. Durante un intervalo dado de tiempo la fuente se mueve cierta distancia, digamos que x.i - x 1 , proporcional a v, velocidad de la fuente. Mien tr as tan to, el frente de onda se ha movido una distancia r 3 proporcional a c0 , velocidad de la onda. En consecuencia es evidente que el semiitngulo de abertura tiene un seno igual al cociente entre la velocidad de las ondas y la velocidad de la fuente, y este seno tiene soluci6n solamente si c0 es menor que v, o sea que la velocidad de! objeto es mayor que la de la onda: sen8=-%"-· (51.1) Entre parfotesis. aunque hemos supuesto implicitamente que es necesario tener una fuente de sonido, resulta, y esto es muy interesante, que una vez que el objeto se mueva mils rilpidamente que el sonido, producird sonido. Esto es, no es necesario que tenga un carilcter vibracional con cierto tono. Cualquier objeto que se mueva en un media con una velocidad mayor que la velocidad a la cual el medio transporta ondas, generaril ondas a cada !ado, automitticamente, simplemente por el movimiento mismo. Esto es sencillo en el caso de! sonido, pero tambi61 ocurre en el caso de la luz. A primera vista se podria pensar que nada se puede mover mils rilpido que la tuz. Sin embargo, la luz tiene en el vidrio una velocidad de fase menor que la velocidad de la luz en el vacio y es posible disparar una particula cargada de energ!a muy alta a travCs de un bloque de vidrio de modo que la velocidad de la particula sea cercana a la velocidad de la luz en el vacio, mientras que la velocidad de la luz en el vidrio puecle ser s61o j de la velocidad de la luz en el vacio. Una particula que se mueve mils rilpido que la luz en el meclio produciril una onda c6nica de luz con vertice en la fuente, como la onda de la estela de un bote (que en realidad proviene de! mismo efecto). Midiendo el imgulo del cono, podemos determinar la velocidad de la particula y es uno de los m6todos 51-2 para determinar su energia en la investigaci6n de alta energia. Todo lo que se necesita medir es la direcci6n de la luz. Esta luz se llama a veces radiaci6n de Cerenkov porque Cerenkov fue el primero en observarla. Franck y Tamm analizaron te6ricamente cu0.I deberia ser la intensidad de esta luz. El Premio Nobel de Fisica 1958 fue otorgado conjuntamente a los tres por este trabajo. La situaci6n correspondiente en el caso de! sonido estB. ilustrada en la figuta 51-2, que es una fotografia de un objeto movii:ndose a travi:s de un gas con una velocidad mayor que la velocidad de! sonido. Las variaciones de presi6n producen una variaci6n del indice de refracci6n y con un sistema 6ptico apropiado es posible hacer visibles los hordes de las ondas. Vemos que el objeto que se mueve mils rilpido. que el sonido produce, verdaderamente, una onda c6nica. Pero una observaci6n mils atenta revela que en realidad la superficie es curva. Es recta asint6ticamente, pero es curva cerca de! vi:rtice, y tenemos ahora que discutir c6mo puede ser esto, lo cual nos Deva al segundo t6pico de este capitulo. 1b~~ Distancia Fig. 51-3. "lnstantaneas'" del frente de onda en instantes sucesivos de tiempo. 51-2 Ondas de ehoque A menudo, la velocidad de las ondas depende de la amplitud; en el caso de! sonido la velocidad depende de la amplitud en la siguiente forma. Un objeto que se mueve en el aire, tiene que apartar a i:ste de su camino, por lo que la perturbaci6n producida en este caso es una especie de escal6n de presi6n, siendo la presiOn mils alta detrils del frente de onda que en la regi6n no perturbada que aim no ha alcanzado la onda (que se mueve a velocidad normal, digamos). Pero el aire dejado atrils despui:s que pasa el frente de onda, se ha comprimido adiabilticamente y en consecuencia la temperatura aumenta. Ahora bien, la velocidad de! sonido aumenta con la temperatura, por lo que en la regi6n que estil detrils de! salto, la velocidad es mayor que en el aire que estil al frente. Esto implica que cualquier otra perturbaciOn que se haga detrils de este esca16n, digamos que empujando continuamente el cuerpo, o cualquier otra perturbaci6n, se moveril mils rilpido que el frente, aumentando la velocidad con el aumento de presi6n. La figura 51-3 ilustra la situaci6n, con algunas pequeiias protuberancias de presi6n agregadas al perfil de presi6n para ayudar a visualizar. Vemos que las regiones de mayor presi6n en la parte posterior sobrepasan el frente con el transcurrir del tiempo, hasta que finalmente la onda de compresi6n desarrolla un frente bien definido. Si la intensidad es muy alta, "finalmente" significa repentinamente; si es mils bien debil, tarda mucho tiempo; tanto que, puede ocurrir que el sonido se difunda y se extinga antes de que tenga tiempo de desarrollar este frente. Los sonidos que hacemos al hablar son extremadamente di:biles respecto a la presi6n atmosffrica -sOlo I en un mill6n m.is o menos-. Pero para variaciones de presi6n de! orden de una atm6sfera, la vclocidad de la onda aumenta en a!rededor de 20 por 100 y el frente de onda 51-3 se hace bien definido con una rapidez correspondientemente alta. Es de presumir que nada ocurre en la naturalez.a infinilamente rt'tpido, y lo que llamamos frente "bien definido" tiene, en realidad. un pequeiHsimo espesor; no es infinitamente abrupto. Las distancias sobre las cuales varia son del orden de un camino libre medio, para las cuales la teoria de la ecuaciOn de onda comienza a faUar porque no hemos considerado la t\Structura del gas. Ahora bi en, refiriCndonos de nuevo a la figura 5 1- 2, vcmos que se puede comprender la curvatura si nos damos cuenta que cerca de! vCrtice las presiones son mayores de lo que son mas atris, por Jo que el ingulo ()es mayor. Esto es, la curva es el resu!tado del hecho de que la velocidad depende de la intensidad de la onda. Por consiguicnte la onda producida por la explosiOn de una bomba at6mica viaja por un corto tiempo a una veloddad mucho mils alta que la de! sonido, hasta que esti tan alejada que es debilitada por la difusiOn, a ta! punto, que el pico de presi6n es pequeiio comparado con la presi6n atmosfCrica. La velocidad de la perturbaciOn se aproxima a la velocidad dcl sonido en el gas donde sc propaga. (Entre par6ntesis, siempre resulta que la velocidad de la onda de choque es mis alta que la velocidad de! sonido en el gas que estt't delante, pero cs m3.s baja que !a velocidad de! sonido en el gas que estil atrils. Es decir, los impulsos provenicntes de atr3.s llegariin al frcnte, pcro Cstc avanza hacia el media en el cual se mueve con velocidad mayor quc !a velocidad normal de las scii.ales. Asi, pues,- no se pucde saber acU.sticamente que la onda estil viniendo hasta que es dcmasiado tarde. La luz provcnientc de la bomba !lega primero, pero no se pucde saber que viene la onda de choque hasta que llega, porque no hay seii.al sonora que ia preceda.) Figura 51-4 51-4 por el pist6n se adelanta y se amontona al frente. De nue".'o: lo que tenemos finalmente es simplemente agua con un frente bien delineado, teoncamente. Sin embargo, como muestra la figura 51-4, hay complicaciones. Se ha fotografiado una onda que recorre un canal; el pist6n est.i en el extremo derecho de! canal. Al principio puede que haya aparecido como una onda que se porta bien, como seria de esperar, pcro mils adelante en el canal se ha vuelto mils y mils puntiaguda hasta que ocurri6 lo que se ha fotografiado. La superficie se revuelve terriblemente a medida que caen porcion.es de agua, pero e.sencialmente es una elevaci6n bien neta sin ninguna perturbacion de! agua que esta adelante. En realidad, el agua es mucho mils complicada que el sonido. Sin embargo, s6lo para dar un ejemplo de esto, trataremos de ana!irnr la velocidad de esta gran ola en un canal. Este pumo no tiene ninguna importancia b:isica para nucstros fines -no es una gran generalizaciOn·-" es solamente para dar un ejemplo de que las !eyes de la medtnica que ya conocemos son capaces de explicar el fenOmeno. Fig. 51-5. Dos secciones transversales de una gran o!a en un canal, siendo (b) un intervalo 4t posterior a (a) tl.magmen por un momenta quc el agua tiene mB.s o de la figura 1• y quc e! frcnte 51-5(a), que cl agua a la altura m:is alta h, se mueve con se mueve con velocidad u hacia el agua nO perturbada que la a!tura h 1• Que· un tiempo !'o.!, un rriamos determinar la vclocidad a la que se mueve el frente. piano vertical inicialmente en x 1 se mueve a una distancia I'..'./ hasta x 2 mientras el frente de la onda se ha movido u .11. Ap!iquemos ahora las ecuaciones de !a materia y de! momenpnmera: vemos que por ancho del canal la cantum. F,n primer quc ha pasado por x 1 (que sc rnuestra rayada) es.compensatidad h,rJt de rayada de magnitud (hi ~ hJ u M. Luego, divtdiendo por da por ·1a Jt, rh! =-Esto no no~ basta. porquc aunque tenernos h 2 y h 1, no conocetrntando de obtener las dos. 51-5 multiplicada por g, multiplicada por la profundidad desde la superficie. Como la presi6n aumenta linealmente con la profundidad, la presi6n media sobre el piano que estit en x 1, digamos, es ~ pgh 2, que es tambifo la fuerza media por unidad de ancho y por unidad de altura, que empuja el piano hacia x 2• Por lo tanto multiplicamos por otra h2 para obtener la fuerza total que se ejerce sobre el agua que cmpuja desde la izquierda. Por otro lado, estil tambien la presi6n en el agua de la derecha que ejerce una fuerza opuesta sobre la regiim en cuesti6n, que por el mismo tipo de anitlisis es 1 pgh 2 1• Ahora debemos cquilibrar las fuerzas con la rapidez de variaci6n de\ momentum. Asi, pues, tenemos que calcular cuilnto momentum en exceso hay en la situaciOn (b) de la figura 51-5 respccto al que habia en (a). Vemos que la masa adicional que ha adquirido la velocidad v es simplemente ph 2uM-ph 2v.1t (por unidad de ancho ); multiplicando esta masa por v se obtiene el momentum adicional a igualar con el impulso FM: (ph 2u t::..t - Ph2v t::..t)v = npgh~ - fpgh~) t::..t. Si eliminamos r de csta ecuaci6n sustituycndo l'h, = do, y simplificamos, obtenemos finalmenteque ul ~ Si la diferencia de alturas es muy pequeiia, de modo que h 1 y h2 son casi iguales, esto nos dice que la velocidad = Jg!I. Como veremos mils adelante, esto es verdad Unicamente si la longitud de onda de la onda es mayor que la profundidad de\ canal. Tambien podriamos haber hecho Jo mismo para las ondas sonoras -~incluyendo la conservaci6n de la energia interna, no la conservaci6n de la entropia porque la onda de choque es irreversible-. Verdaderamente, al fijarse si se conscrva la energia en el problema de la gran ola, se encuentra que la energia no se conserva. Si la diferencia de alturas es pequeiia, se conserva casi perfectamente, pero tan pronto como la diferencia de alturas se hace muy apreciable, hay una pfrdida neta de energia. Esto se mani!iesta coma calda de agua con e! consiguiente revoltijo mostrado en la figura 51-4. En las ondas de choque hay una correspondiente perdida aparente de energia, desde el punto de vista de las reacciones adiabilticas. La energia de la onda sonora, detrits de la onda de choque, se transforma en calentamiento de! gas despues que pasa la onda de choque, lo cual corresponde al revoltijo del agua en la ola. Al calcular esto resulta para el caso dcl sonido que son necesarias tres ecuaciones para la soluci6n, y la temperatura detrii.s de la onda de choque no es igual a la temperatura al frente, como hemos visto. Si tratamos de hacer una ola invertida (h 1 < h 1), encontramos que la petdida de energia por segundo es negativa. Como no hay energia disponible de ninguna parte, esa ola no se puede mantener; es inestable. Si formitramos una onda de ese tipo, se achataria porque la dependencia de la velocidad con la altura que daba lugar al frente bien delineado en el caso discutido, tendria ahora el efecto opuesto. 51-3 Ondas en sOlidos La siguiente clase de ondas a estudiar es la de las ondas mils complicadas en s61idos. Ya hemos tratado ondas en gases y en liquidos y hay una analogia directa con una onda sonora en un s6lido. Si se aplica a un s61ido un golpe repentino, se comprime. Resiste la compresi6n y se establece una onda anitloga al sonido. Sin embargo, hay otro tipo de onda posib\e en un s6lido, y que no es posible 51-6 en un flliido. Si se defoirna un s61ido tirando de eJ lateralmente (de[ormaciOn de corte) trata de volver a su forma original. Esto es por definici6n lo que distingue un s61ido de un liquido: si deformamos un liquido (internamente), lo mantenemos un minuto para que se calme y luego lo soltamos, se queda asi, pero si tomamos un s6lido y lo deformamos, ta! como deformar lateralmente un pedazo de gelatina, y luego lo soltamos, vuelve a como estaba iniciando una onda de corte que viaja de la misma manera que las compresiones. En todos los casos la velocidad de la onda de corte es menor que la de las ondas longitudinales. Las ondas de corte son parecidas, en lo que respecta a sus polarizaciones, a las ondas luminosas. El sonido no tiene polarizaci6n, es simplemente como una onda de presi6n. La luz tiene una orientaci6n caracteristica perpendicular a su direcci6n de propagaci6n. En un s6lido, las ondas son de ambos tipos. Primero, hay una onda de compresi6n aniiloga al sonido, que corre a una velocidad. Si el s6lido no es cristalino se propagara una onda de corte polarizada en cualquier direcci6n a una velocidad caracteristica. (Por supuesto que todos los s6lidos son cristalinos, pero si usamos un bloque hecho de microcristales en todas las orientaciones posib!es, las anisotropias cristalinas se promedian y desaparecen.) Otra pregunta interesante referente a las ondas sonoras es la siguiente: lquf: ocurre si la longitud de onda en el s6lido se acorta mas, y mas, y mas? lHasta d6nde se puede acortar? Es interesante que no se puede hacer mas corta que el espaciamiento entre Jos atomos, porque si se supone que hay una onda en la que un punto va para arriba y el siguiente para abajo, etc., la longitud de onda mils corta posible es evidentemente el espaciamiento at6mico. En tfrminos de modos de oscilaci6n decimos que hay modos longitudinales y modos transversales, modos de ondas Jargas, modos de ondas cortas. Cuando consideramos longitudes de onda comparables al espaciamiento entre atomos, las velocidades ya no son constames: hay un efecto dispersivo en el que la velocidad no es independiente de! nUmero de onda. Pero en Ultima instancia, el modo de vibraci6n mas alto de ondas transversales seria aquel en que cada :homo esta haciendo lo contrario de los ittomos vecinos. Ahora bien, desde e! punto de vista de los il.tomos, la situaci6n es como los dos pf:ndulos de que estuvimos hablando, para los cuales hay dos modos: uno en el que ambos van juntos y otro en el que van en sentidos opuestos. Es posible analizar las ondas en s61idos de otra manera, en tCrminos de un sistema de osciladores arm6nicos acoplados, como una cantidad enorme de pf:ndulos, siendo el modo mas alto ta! que oscilan en forma opuesta y habiendo modos mits bajos con diferentes relaciones de sincronizaci6n. Las longitudes de onda m:i.s cortas !o son tanto que de ordinario no son tf:cnicamente accesibles. Sin embargo, son de gran interf:s, porque en la teoria termodin<imica de un s6lido, las propiedades t6rmicas de un s6lido, por ejemplo los ca!orcs especificos, se pueden analizar en funci6n de las propiedades de las ondas sonoras cortas. Yendo al extremo de ondas sonoras de longitud de onda siempre mas corta. se llega necesariamente a los movimientos individuales de los ittomos; en Ultima ins, tancia las dos cosas son lo mismo. Un ejemplo muy interesante de ondas sonoras en un s6Jido, tanto longitudinales como transversales, es el de las ondas que hay en la tierra s61ida. No sabemos quien hace los ruidos, pero de tiempo en tiempo, dentro de la tierra hay terremotos -alguna roca se des!iza sobre alguna otra-. Esto es como un pequeiio ruido. Asi, de esa fuente parten ondas como las sonoras de longitud de onda mucho mils larga de lo que comllnmente S{; considera en ondas sonoras, pero aUn son ondas sonoras y se pro pagan 51-7 por la tierra. Sin embargo, la tierra no es homogfnea y las propiedade~ de presi6n, densidad. compresibilidad, etc., varian con la profundidad } en comecuencia la ve locidad varia con la profundidad. Entonces las ondas no v1ajan en linea recta -hay una especie de indice de refracci6n y siguen lineas curvas-. Las ondas longitudinales y las transversales tienen velocidad distinta, por lo que hay soluciones difercntes para las diferentes ve\ocidades. En consecuencia, si colocamos un sismligrafo en algU.n sitio y observamos c6mo se sacude despucs de que ha habido un terremuto en alguna parte. no obtenemos simplemente una agitaci6n irregular. Podriamos obtener una agitaci6n, luego un aquietamiento. y luego otra agitaci6n -!o que ocurre depen de de la ubicaci6n"". Si estuviframos lo bastante cerca, primero recibiriamos ondas longitudinales proveniente~ de la perturbaci6n. y luego, unos instantes mas tarde. ondas transvcrsales ya que viajan mils lentamente. Midiendo la diferencia de tiempo entre las dos, podemos decir a quC distancia est<i el terremoto si conocemos lo ~u ficiente acerca de las velocidades y de la composici6n de las reglones internas afectadas. Fig. 5i-6. Representaci6n esquem.3t1ca de la t1erra, que muestra el recomdo de ondas sonoras longitudinales y transversales La figura 51-6 muestra un ejemp!o del diagrama de comportamiento de ondas terrestres. Las dos clases de ondas estUn representadas por simbolos distintos. Si hubiera un terromoto en el lugar marcado ·•fuente", las ondas transver~alcs y las longitudes llegarian en tiempos diferentes a la estaciOn por !as rutas mils directas. y tambiCn habria reflexioncs en !as discontinuidades, dando lugar a otros recorridos y tiempos. Resulta que !a tierra tiene un nU.cleo que no transporta ondas transversales. Si la estaciOn estti. opuesta a la fuente, las ondas transversales siguen llegando. pero el tiempo no es el que corresponde. Lo que ocurre es quc la onda transversal llega al nUcleo y siempre que las ondas transversales llegan a ur;a superficie oblicua entre dos materiales, se generan dos nucvas ondas, una transversal y una longitudinal. Pero una onda tranversal n_o se propaga dentro del_nucleo tcrresue (o gor lo menos no hay evidencia de ello; solo la hay de ondas Jongitudinales): sa!e de nuevo en ambas formas y llega a la estaci6n. Es a partir del comportamiento de estas ondas de terremotos-·que se ha determinado quc las ondas transversales no se pucden propagar dentm de\ circulo interior. Esto significa que el centro de la tierra es liquido en el sentido de que en Cl no se pueden P.ropagar ondas transversales. La Unic~ manera de saber lo que hay dentro de la tiei-ra es estudiando los terremotos. As1, pues. usando una gran cantidad de observacioncs de muchos terremctos en diferentes 51-8 estaciones ha sido posible los detalles -se conoce la ve\ocidad, las curvas, elcetera-. Sabemos cuilles son velocidades de diversos tipos de ondas a cada profun.dtdad. Conoctendo esto, en consecuencia, es posible det.erminar Jos modos normales de la tierra, porque la velocidad de propagaciim de las ondas sonoras -en otras palabras, las elilsticas de ambos tipos de ondas a cada profundidad-. Supongan que se 1a tierra en forma de elipsoide y se la soltara. Es simplernente cuesti6n de superponer ondas que viajan por el elipsoide para deterrninar el periodo y las formas de un modo de oscilaci6n libre. Hemos calculado que si hay t.ma penurbaci6n, hay un mont6n de modos, desde el mils bajo, que es elipsoidal, hasta los modos mils altos con mils complejidad. El terremoto chl!eno de mayo de 1960 hizo un "ruido ., lo suficientemente fuerte que las sei'ia!es dicran vuelta a la tierra varias veces, y hubo nuevos de gran delicadeza terminados justo a tiempo para determinar la freJos modos fundamentales de la tierra y compararlos con los valores partir de la teori.a de! sonido con las velocidades conocidas, medidas en terremotos independientes, El resultado de este experimento esta ilustrado en la figura 51-7, que es una tepresentaci6n de la intensidad Fig. 51-7. Potencia en funci6n de la ffecuencia registrada por sism6grafos en Nana, Peru, e Isabella, California. La coherencia es una medida de! acoplamiento entre las estaciones. [Tornado de Benioff, Press y Smith, J. Geoph. Research 66, 605 ( 1961 )l Fig. 51-8. Anillisis con alta resoluci6n de uno de los registros sisrnogrilficos, mostrando un doblete espectral. 51-9 de la seiia] en funci6n de la frecuenda de su osci!aci6n (un andlisis de Fourier). Observen que a ciertas frecuencias determinadas se recibe mucho mils que a otras frecuencias; hay mflximos muy definidos. Estas son las frecuencias naturales de la tierra, porque son las frecuencias principales a las cuales pucde oscilar la tierra. En otras palabras, si el movimiento entero de la tierra est& construldo con muches modos diferentes, seria de esperar que en cada estaci6n se obtuvieran sacudidas irregulares que indican superposici6n de muchas frecuencias. Si analizamos esto en terminos de frecuencias, tendriamos que poder encontrar las frecuendas caracteristicas de la tierra. Las lineas oscuras verticales de la figura son las frecuencias caiculadas: encontramos un acuerdo notable, acuerdo debido a que la teoria de! sonido es correcta para el interior de la tierra. Hay un punto muy curioso que revela la figura 51-8, la cual muestra una medida muy cuidadosa, con mejor resoluci6n del modo de vibraci6n mas bajo: el modo elipsoidal de la tierra. Observen que no hay un mfucimo Unico, sino dob!e: 54,7 minutos y 53,1 minutos -ligeramente diferentes-. La causa de las dos frecuenrias diferentes nose conocia en la epoca e.n que se midi6. aunque puede que haya sido encontrada desde entonces. Hay por lo menos dos explicaciones posib\es: una seria quc puede haber asirnetria en la dlstribuci6n de la tierra, lo cual daria lugar a dos modos similares. La otra posibilidad, aUn mas interesante, es esta: imaginen las ondas dando vue\ta a la tierra en dos direcciones partiendo de !a fuente. Las velocidades no scrim iguales debido a los efectos de la rotaci6n de la tierra en las ecuaciones de movimiento, Jos cuales no se han tenido en cuenta al hacer el anillisis. En un sistema rotante el movimiento est.ii modificado par las fuerzas de C ·riolis, y estas podrian originar el desdoblamiento observado. Respecto al metodo con d cual se ha analizado estos terremotos. lo que se obtiene en el sismOgrafo no es una cun-a de amplitud en funcion de la frecuencia, sino desplazamiento en funci6n de! tiempo, que siempre es una traza muy irregular. Para hallar la cantidad de todas las ondas sinusoidales diferentes para todas las frecuencias diferentes, sabemos que el truco es multip!icar los datos por una onda sinusoidal de frecuencia determinada a lntegrar, es decir promediar, y en el promedio desaparecen todas las otras frecuencias. Las figuras eran. pues, representaciones de las integrales encontradas multiplicando los datos por ondas sinusoidales de diferentes ciclos por minuto e integrados. 51-4 Ondas superficiales Ahora, !as s1guientes ondas de interes, quc cualquiera puede ver facilmente y que se usan comUnmente coma ejemplo de ondas en los cursos elementa!e~. son !as ondas de agua. Como veremos inmediatamente, son el peor cjemplo poslble porque no son de ninguna manera coma el sonido y la luz: tienen todas las complicaciones que las ondas pueden tener. Comencemos con ondas de agua largas en aguas profundas. Si se considera e! oceano como infinitamente profundo y se hace una perturbaci6n en la superficie. se generan ondas. Ocurre toda clase de movimientos irregulares, pero el movimiento tipo sinusoidal con una perturbaciOn muy pequella, podria parecersc a las ondas lisas comunes del oceano que vienen hacia la costa. Ahora bien, en esa onda el agua, naturalmente, permanece quieta en promedio, pero la onda se mueve. ~C6mo es el movimiento?, les transversal o longitudinal? 51-10 Ni lo uno ni lo otro; no es ni transversal ni longitudinal. Aunque en un lugar dado el agua sea alternadamente un valle y una cresta, no puede estar simplemente moviendose hacia arriba o hacia abajo debido a la conservaci6n de! agua. Esto es, si va para abajo, la dOnde va air el agua? El agua es esencialmente incompresible. La velocidad de compresiOn de las ondas -es decir el sonido en el agua- es mucho, pero mucho mils alta, y no estamos considerando eso ahora. Como el agua es incompresible en esta escala, cuando una loma baja, el agua tiene que salir de! lugar. Lo que ocurre en realidad es que las particulas de agua cercanas a la superficie se mueven aproximadamente en circunferencias. Cuando se acerca una ola lisa, una persona flotando en un neum<itico puecie IT.irar un objeto cercano y ver que esti movj6ndose en una circunferencia. Asi, es una mezcla de longitudinal y transversal, para aumentar la confusiOn. A profundidades mayores en el agua, los movimientos son circunferenciB.s mas pequefias hasta que, razonablemente abajo, no queda nada del movimiento (Fig. 51-9). Fig. 51-9. Las ondas en aguas profundas estfln formadas de partlculas que se mueven en circunferencias.' Notar los desfasajes sistemat1cos de circunferencia a circunferencia. (C6rno Se mover(a un objeto flotante? .·-c:.-<"""""""'---_---,_.--v-:V''7'"'<:-, Hallar la velocidad de esas ondas es un problema interesante: debe ser alguna combinaci6n de la densidad del agua, la aceleraci6n de la graveciad, que es la fuerza de restauraci6n que genera las ondas, y posiblemente la longitud de onda y la profundidad. Si tomamos el caso en que la profundidad se hace infinita, ya no dependera de la profundidad. Cualquiera sea la formula que obtengamos para !a velocidad de las fases de las ondas, debe combinar los diversos factores para dar las dimensiones apropiadas, y si intentamos esto de varias maneras, s6lo encon· tramos una manera de C()mbinar la densidad, g y .l. para formar una velocidad: \;g::T;" que de ningUn modo incluye !a densidad. En realidad, esta formula para la veloddad de fase no es del todo correcta; un an:ilisis dinilmico completo, en el cual no entraremos. muestra que los factores son los que tenemos, exceptuando 12n: Vrasc = ygAf'Iii, (para ondas gravitacionales) Es interesante que las ondas Jargas van mas r.iipido que las cortas. Por lo tanto, si una lancha crea ondas a !o lejos, porque hay un piloto de carros deportivos en una lancha a motor que est3. pasando, entonces, un poco despuCs, las ondas llegailan a la costa con chapa!eos lentos al principio y luego m.iis y mils rilpidos, porque b~ primeras ondas que Hegan son Jargas. Las ondas se aconan mas y mas a meciida que pasa el tiempo porque !as velocidades son proporcionales a la raiz cuadrada de la longitud de onda. Se podria objetar: "Eso no est:i b!en, ;tenemos que considerar la velocidad de grupo en el ct\.lculo." Claro que si. La formula para la velocidad de fase no nos dice que es lo que va a l\egar primero; la velocidad de grupo es la que nos Jo dice. Asi, pues, tcnemos que calcular la velocidad de grupo, y se deja como problema demostrar que es la mitad de la velocidad de fase, suponiendo que la velocidad es proporciona! a la raiz cuadrada 51-11 de la longitud de onda, que es todo lo que se necesita. La velocidad de grupo tamhiCn es proporcional a la raiz cuadrada de la longitud de onda. lC6mo puede ser que la velocidad de grupo sea la mitad de la de fase? Si se examina cl manojo de ondas que hace una Jancha en movimiento, siguiendo una cresta particular, se encuentra que avanza en el grupo y se hace gradualmente mils dCbil y desaparece al frente, y mistica y misteriosamente una dCbil de atriis Se abre camino hacia adelante volviCndose mils fuerte. En suma, las ondas se estiin moviendo a travCs de! grupo mientras que Cste s61o se mueve a la mitad de la velocidad que se mueven las ondas. Fig. 51-10. la estela de una lancha. Como las velocidades de grupo y las de fase no son iguales, las ondas producidas por un objeto en movimiento ya no son un cono simplemente, sino alga mucho mils interesante. Podemos ver esto en la figura 51-10, que muestra las ondas producidas por un objeto en movimiento sobre el agua. Observen que es completamente diferente de lo que tendriamos para el sonido, en el cual la velocidad es independiente de la lontigud de onda, donde tendriamos frentes de onda imicamente a lo largo de! cono viajando hacia afuera. En lugar de eso tenemos ondas atriis con frentes que se mueven paralelamente al movimiento de la lancha, luego tenemos onditas laterales a otros itngulos. Con ingenio. todo este diagrama de ondas se puede analizar conociendo Unicamente esto: que la velocidad de fase es proporcional a la raiz cuadrada de la longitud de onda. El truco es que el diagrama de ondas es estacionario respecto a la lancha (a velocidad constante); cualquier otro diagrama se distanciaria de la lancha. Las ondas de agua que hemos estado considerando hasta ahora eran ondas Jargas en las que la fuerza de restauraci6n se debe a la gravedad. Pero cuando las ondas en el agua se acortan mucho, la principal fuerza de restauraci6n es la atracci6n capilar, es decir, la energia de la 51-12 superficie, la tensiOn superficiaL Para ondas de tensiOn superficial resulta que la velocidad de fase es Vrase = J2rrT/Jip (para los rizos). donde T es la tensiOn superficial y p la densidad. Es exactamente lo contrario: la velocidad de fase es mds alta cuanto mils corta cs la longitud de onda, cuando la longitud de onda se hace muy pequeiia. Cuando tenemos tan.to la acci6n de la gravedad como la capilar, como ocurre siempre, obtencmos la combinaci6n de estas dos: donde k = 27T IA es el nllmero de onda. Asi, pues, la velocidad de las ondas de agua es bastantc complicada. La figura 51-11 muestra la velocidad de fase en funci6n de la !ongitud de onda; para ondas muy cortas es grande, para ondas muy Jargas es grande, habiendo una velocidad minima a la que las ondas pueden avanzar. Se pue· de calcular la velocidad de grupo a partir de la formula: es j de la velocidad de fase para los rizos y ! de la ve\ocidad de fase para las ondas gravit~cionales. A la izquierda de! minimo la velocidad de grupo es mils alta que la veloc1dad de fase; a la derecha, la velocidad de grupo es menor que la velocidad de fase. Hay una cantidad de fen6menos interesantes asociados con estos hechos. En primer lugar, como la ve!ocidad de grupo aumenta tan ril.pidamente a! disminuir la longitud de onda, si hacemos una perturbaciOn habrt't un extremo mas lento de la perturbaci6n yendo a la velocidad minima con la longitud de onda correspondiente, y lucgo al frente, yendo a la velocidad mas alta, habrt't una onda corta y una onda muy larga. Es muy dificil ver las Jargas, pero es facil ver las cortas en un tanque de agua. Vemos asi que \os rizos qtte se usan a menudo como ejemplo de ondas simples son completamente interesantes y complicados; no tiencn de ninguna manera un frente de onda definido, como en el caso de las ondas simples como el sonido y la \uz. La onda principal tienc pequeiios rizos que corren hacia adelante. Una perturbaci6n bien definida del agua no produce una onda bicn definida debido a la dis· persi6n. Primera vienen las ondas menudas. Entre par6ntesis, si un objeto se mueve en el agua a cicrta vdocidad, resulta un diagrama bastante complicado porque las diversas ondas andan con velocidades diferentes. Se puede demostrar esto con una bandeja con agua y ver que las mils rilpidas son las ondas capilares menudas. Hay ondas lentas, de cierto tipc, que rnarchan detras. Inclinando el fondo se ve que donde la profundidad es menor la velocidad cs menor. Si entra una onda a cierto t'tngulo respecto a la linea de mt'txima pendiente, se tuerce y tiende a seguir esa linea. De este modo se puede demostrar diversas cosas y concluimos que las ondas son mft.s complicadas en el agua que en el aire. La velocidad de las ondas !argas en agua con movimientos circulares es menor cuando la profundidad es mcnor, mayor en aguas profundas. Por lo tanto, cuando el agua avanza hacia una playa donde la profundidad disminuye, las ondas andan mas lentamente. Pero donde el agua es mils profunda, las ondas son m8.s r8.pidas por lo que obtenemos los efectos de ondas de choque. Aqui, como la onda no es tan simple. las ondas de choque son mucho mils retorcidas, y ia onda se repliega sabre si misma en la forma familiar mostrada en la figura 51-12. Esto es lo que ocurre cuando las olas llegan a la playa, y la verdadera complejidad de la naturaleza se revela bien en esa circunstancia. Nadie ha podido todavia calcular que fonna deberia tomai· laolri 51-l 3 ~.cm Fig. 51-11. Veloc1dad de fase en funci6n de la long1tud de onda para el aguai. Fig 51-12. Onda de agua. al romper. Es bastante facil cuando las olas son pequcil:i.s, pero cuando una se agranda y rompe es mucho mils complicado. Se puede ver una caracterlstica interesante de capilares en las perturbaciones producidas por un objeto que se mueve en agua. Desde el punto de vista de! objeto mismo, el agua esta pasando y las ondas que a la larga se establecen a su alrededor siempre son ondas que tienen justo la veloddad apropiada para permanecer quietas en el agua respecto al objeto. Anil.logarnente, alrededor de un objcto en una corriente, con la corriente pasando, el dlbujo de las ondas es estil.tico y con las longitudes de onda justas para andar a la misma velocidad a que estii. pasando el agua. Pero si la velocidad de grupo es menor que la veloddad de fase, la pcrturbaci6n se propaga hacia atrits por la coniente, porque la velocidad de grupo no es exactarnente suficiente como para mantenerse el paso de la corrientc. Si la velocidad de grupo es mayor que la velocidad de fase, el diagrama de ondas aparecerti al frente de! objeto. Si se observa atentamente un objeto en una corriente, se puede ver que hay pequeii.os rizos al frente y largos "remolinos" atril.s. Otrn caracteristica interesante de esta clase se puede observa.r vertiendo liquidos. Por ejemp!o, si se vierte leche de una botella Jo bastante r3.pido, se puede ver una gran cimtidad de lineas atravesando en ambos sentfidos la corriente que sale. Son ondas que parten de la perturbaci6n en los bordes y se extienden en forma muy parecida a las ondas alrededor de un objeto en una corriente. Hay efectos prove· nientes de ambos !ados que producen el dibujo cruzado. Hemos investigado algunas propiedades interesantes de las ondas y las diversas complicaciones de c6mo la velocidad de fase depende de la iongitud de onda, la velocidad de las ondas en profundidad, etc., que producen !os fen6menos realmente complejos, y por lo tanto interesantes, de la naturaleza. 51-14 52 Simetria en las leyes flsicas 52-1 Operaciones de simetria 52-6 ;,Cuat mano es la derecha? 52-2 Slmetria en el espacio y en el tiempo 5 2-7 l La paridad no se eonserva I 52-3 Simeb'ia y leyes de conservaciOn 52-4 Reflexiones especulares 52-5 Vectores polares y axiales 52-1 52-8 Antimateria 52-9 Simetrias rotas Operaciones de simetria El tema de este capitulo es lo que podemos llamar simetria en las /eyes fisicas. Ya hemos discutido ciertos rasgos de simetria en las !eyes fisicas en conexi6n con el anitlisis vectorial (Cap. 11), la teoria de la relatividad (Cap. 16) y la rotaci6n(Cap. 20). lPor que nos debe preocupar la simetria? En primer lugar, la simetria es fascinante para la inteligencia humana y todo el mundo gusta de objetos o diagramas que son de algU:n modo simf:tricos. Es un hecho interesante el que la naturaleza nos ofrezca con frecuencia ciertos tipos de simetria en los objetos que encontramos en el mundo que nos rodea. Quizils el objeto mils simetrico imaginable sea una esfera, y la naturaleza est8. llena de esferas --estreUas, planetas, gotitas de agua de las nubes-. Los cristales encontrados en las rocas presentan muchas clases diferentes de simetria, y el estudio de las mismas nos dice algunas cosas importantes acerca de la estructura de los s6lidos. Aun los mundos animal y vegetal muestran algUn grado de simetria, aunque la simetria de una flor o de una abeja no sea tan perfecta o tan fundamental como la de un cristal. Pero nuestro principal interes aqui no es el hecho de que los objetos de la naturaleza son con frecuencia simetricos. Mils bien, deseamos examinar algunas silnetrias, mils notables alm, de! universo --las simetrias que existen en las mismas /eyes basicas que gobiernan la marcha de! mundo fisico. Ante todo t,que es simetria? t,C6mo puede una ley fisica ser "simetrica "?El problema de definir simetria es interesante y ya hemos apuntado que Wey! dio una buena definici6n, cuya esencia es: una cosa es simetrica si hay a.Igo que podamos hacer con ella de tal modo que despues que lo hemos hecho parece la misma cosa que antes. Por ejemplo, un jarr6n simetrico es ta! que reflejtindolo o ginindolo tendr!'t el mismo aspecto que antes. La cuesti6n que queremos considerar 52-1 Tabla 52-1 Operaciones de simetria Traslaci6n en el espacio Traslaci6n en el tiempo Rotaci6n en un itngulo fiJO Velocidad uniforme en !inea recta (transformaci6n de Lorentz) lnversi6n de] tiempo Reflexi6n del espacio Intercambio de .iltomos identicos o particulas identicas Fase cu3.ntica Materia-antimateria {conjugaci6n de carga) aqui es: que podemos hacer a los fen6menos fisicos o a una situaci6n fisica en un experimento, y no alterar el rcsultado. La tabla 52-1 muestra una lista de operaciones conocidas frente a las cuales diversos fen6menos fisicos pcrmanecen invariantes. 51-2 Simetria en el espacio y en el tiempo La primera cosa que podriamos tratar de hacer, por ejemplo, es trasladar el fen6meno en el espacio. Si reali7amos un experimento en una cierta regi6n y luego construimos otro aparato en otro lugar del espacio (o trasladamos alli el original), cualquier ::osa que pas6 en un aparato, en un cierto ordcn de tiempo. ocurrini. del mismo modo si hemos arreg!ado la misma condici6n, con las atenciones debidas a las restricciones que mencionamos antes: que todas las caracteristicas del ambiente que estorban para quc se comporte igual se han quitado -hemos hablado de cOmo definir cu3.nto deberiamqs incluir en estas circunstancias y no entraremos en estos detalles de nuevo-. Del mismo modo. tambien creemos hoy que el desplazamiento en el tiempo no produce ningUn efecto en las !eyes fisicas. (Esto es, en cuanto a lo que sabemos hoy dia -todas estas cosas son asi jen cuanto conoccmos hoy en dia!-) Esto significa que si construimos un cierto aparato y lo hacemos funcionar en un cierto tiempo, digamos el jueves a las 10 de la maiiana, y luego construimos el mismo aparato y lo ponemos a tuncionar. digamos, tr es dias mils tar de en las mismas condiciones, los dos aparatos experimentart'tn los m1smos movimientos cxactamente en la misma forma en funcion del tiempo, cualquiera sea el instante de inicio de funcionamiento, teniendo presente de nuevo, naturalmente, que las caractcristicas pertincntcs dcl ambicnte estt'tn tambien modificadas apropiadamente en el tiempo. Esta simetr!a significa, por supuesto, que si alguien compr6 las acciones Jc General Motors hace tres meses, jlo mismo le sucederia si las comprase ahora! Tamb1Cn tenemos que tener en cucnta las difcrencias gcogrt'tficas, ya que hay, por supucsto, variaciones en las caracteristicas de la superficie de la tierra. Asi, por ejem plo, si mcdimos el campo magnCtico en una cierta regiOn y movemos el aparato a al guna otra regi6n, puede ser que no trabaje precisamente de\ mismo modo ya que el campo magnetico es diferente, pero decimos que esto ocurre porque el campo magnCtico est3. asociado con la 52-2 DespuE:s de una lista tan !arga de cosas que se puc<len hacer sin cambiar los fen(Jmenos, uno podria pcnsar que se podria hacer cua!quier cosa; demos algunos cjcmp!os en contra para ver la diferencia. Supongan que preguntarnos: •·;,Son las leyes fisicas simetricas frente a un cambio de cscala?". Supongan quc construimos una cierta pieza de[ aparato y que luego construimos un aparato cinco veces mayor en cada una de sus partes, ;,1rabajaril cxactamente del mismo modo'! La respucsta, en cstc caso, es ino! La longitud de onda emitida, por ejemplo. por !os iitomos dentro de una caja de iltomos de sodio y la longitud de onda de luz emitida por un gas de iltomos de sodio con un volumcn cinco veces mayor, no es cinco veces mis !arga, sino que es en realidad exactamente igua! a la otrn. Por lo que e! cociente entre la longitud de onda y el tamano del emisor cambiari. Otro ejemplo: vemos en el periOdico, de vez en cuando, fotos de alguna gran catedral construida con palillos de fosforos --una obra de arte fantilstica realizada por algUn tipo jubiladu quc se entreticne encolando palillos de fosforos-. Es mucho mils elaborada 52-3 y maravillosa que cualquier catedral real. Si imaginam.os que esta catedral de madera se construyese en realidad a escala de una catedral verdadera, vemos donde se en~ cuentra la dificultad; no duraria; el conjunto se desplomaria debido a que los palillos de fOsforo construidos a escala no son lo suficientemente resistentes. "Si", alguien podria decir, "pero tambi6n sabemos que cuando hay una influencia extema, tambien se debe cambiar proporciona!mente •·. Estamos hablando de la habilidad de! objeto para resistir la gravitaci6n. For lo tanto, lo que deberiamos hacer en primer lugar es tomar la catedral modelo de f6sforos reales y la tierr.a real, y entonces sabemos que es estable. Luego deberiamos tomar la catedral mils grande y una tierra mayor. Pero en.tonces es alm peor, jporque la gravitaciOn ha aumentado aim mils! Hoy en dia, por supuesto, comprendemos el hecho de que los fen6menos dependen de la escala bas<indonos en que la materia es atOmica por naturaleza y ciertamente si construyesemos un aparato que fuese tan pequei'io que s61o contuviera dnco ii.tomos, seria da:ramente algo que no podriamos hacer a una esca!a mayor o mer'.Or arbitrariamente. La escala de un :itomo individual no es arbitraria de ninglln modo --es algo definidc. El hecho de que las leyes fisicas no quedan invariantes frente a un cambio dee;, cala fue descubierto por Ga!i!eo. ComprobO que las r·esistencias de los materiales no estaban cxactamente en proporci6n justa a sus tamaiios e llustrO esta propicdad que acabamos de d1scutir, acerca de la catedral de palillos de fosforos, dibujando dos huesos, el hueso de un perro en la proporci6n justa para sostener su peso, y el hueso imaginario de un "super perro" que seria, digamos, diez o cien ve(,es mayor -dicha htieso era una cosa grande y sOlida con proporciones muy diferentes-, No sabemos si llev6 su argumento hasta la conclusiOn d~ que las leyes de la naturaleza deben tener una escala definida, pero se impresionO tanto con su descubrimiento que lo conslder6 tan 1mportantc como d dc~cubrimiento de las !eyes de! movimiento, ya que los publicO en el mi~mo volumcn, tituiado "Sohre dos nuevas ciencias". ejemplo en el que las leyes no son simetrica~, y que conocemos bastante bien, es un sistema en rotaci6n a velocidad angular uniforme no da las mismas lcyes aparemes qur uno que no rota. Si hacemos un experime~to y !uego lo colocamos en una nave cspacial y la tenemos girando en el espaclo vacio, completamente sola a una velocidad angu~ar constante. el aparato no trabajara en !a misma forma porCJue, como sabemos, ias cosas dentro del equipo seriln lam.adas hacia afuern, etc., debido .a la fuerza centrifuga o de Coriolis, etc. De hecho, podemos decir que la tierra esta girando sin mirar fuera, si usamos un pendulo de Foucault. Mencionaremos ahora una simetria muy interesante que evidcntcmente es falsa, es decir, la reversibilidad en el tiempo, La~ \eyes fisicas aparentemente no pueden ser reversibles en el tiempo porque, como sabemos, todos las fenOmenos evidentes son irreversibles en una escala grande: .. E! dedo que se mue"e escrlbe, y habicndu e~c1ito continUa". En cuanto a lo quc pudcmos dedr, esta irrcversibi!idad es debida al gran nU.mero de particulas involucradas y si pudiesemos ver las mokculas individua!es, no seriamos capaces de discerrnr si la maquinaiia estaba trabajando hacia adelante o hacia atriis. Para scr mils precisos: construirnos un peque?io aparato en el que sabemos Jo que estil.n haciendo todos los il.tomos, en el que podemos observarlos agi~fmdo­ se. Ahora construimos otro aparato como el anterior, pero que empieza su mov1mien· to en el estado final de! otro, con todas las velocidades exactamente invertidas. 52-4 Entonces, ejecutard los mismos movimientos, pero exactamente al revis. Dicii:ndolo de otro modo: si tomamos una pelicula, con detalle suficiente, de todos Jos mecanismos internos de un trozo de material y la proyectamos hacia atr<ls en una prntalla, ningUn fisico seriL capaz de decir: "Esto es contra las !eyes de la fisica, jesto estit hacienda al go errOneo ! ". Si no vemos todos los deta11es, naturalmente, la situaci6n es tar ii perfectamente clara. Si vemos un huevo estrelliindose en la acera y la cascara que se abre resquebrajilndose, etc., entonces seguramente diremos: "Esto es irreversible, ya que si proyectamos la pelicula hacia atr<ls el huevo se volveril a formar y la cilscara a ser entera, !Y eso evidentemente es ridicu!o! Pero si consideramos a Jos ittomos mismos individualmente, las !eyes se presentan completamente reversibles. Este es, naturalmente, un descubrimiento mucho mis dificil de llevar a cabo, pero aparentemente es verdad que las leyes fisicas fundamentales, a nivel microsc6pico y fundamental, iSOn completamente reversibles en el tiempo! 52-3 Simetria y !eyes de conscrvaciOn Las simetrias de las leyes fisicas son muy interesantes a este nivel, pero resulta, al fin, que son al.in mas interesantes y excitantes cuando llegamos a la med:nica cuii.ntica. Por una raz6n que no podemos aclarar al nivel de la presente discusi6n -un hecho quc la mayoria de los fisicos aim encuentran alga desconcertante, una cosa muy profunda y bel\a-, es que, en med.nica cuii.ntica, para cada una de las reglas de simetria hay una fey de conservaci6n correspondiente: hay una conexi6n definida entre las leycs de conservaci6n y las simetrias de las !eyes fisicas. S6lo podemos decir esto por ahora sin ningim intento de explicaci6n. Por ejemplo, el hecho de que las lcycs son simetricas para la traslaci6n en el espacio, cuando ai'ladimos los principios de mecii.nica cuii.ntica, resulta que significa que el momentum se conserva Que las !eyes son simetricas frente a una traslaci6n en el tiempo, significa en med:nica cuilntica que la energia se conserva. La invariancia frente a una rotaci6n de un ilngulo fijo en cl espacio corresponde a la conservaci6n def momentum angular. Estas conexiones son cosas muy intere" santcs y bellas, entre las cosas mii.s bellas y profundas de la fisica. Entre parentesis, hay una cantidad de simetrias que aparecen en med:nica cuiintica que no ticncn anii.Jogo cl3sico, que no tienen metodo de descripciOn en fisica clii.sica. Una de ellas es la siguiente: Si .µ es la amplitud de algUn proceso, sabcmos que el cuadrado de! m6dulo de l/J es la probabilidad de que el proceso ocurra. Ahora bien, si algUn otro ruvicse que hacer sus cii.lculos, no con esta · 1'' que difiere simplemente en un cambio de fase (digamos que i'!. una constante y mu!tipliquemos eii:. por la vieja qJ), el cuadrado del m6dulo de que es la probabilidad del evento, es entonces igual al cuadrado de! m6dulo de (52.1) Por tanto, las ]eyes fisicas no varian si la fase de la funci6n de onda est.ii corrida en una constante arbitraria. Esta es otra simetria. Las leyes fisicas deben ser de tal naturaleza que un corrimiento de la fase cuilntica no altere nada. Como acabamos de decir, en med:nica cuUntica hay una ley de 52-5 conservaci6n que se relaciona con la fase cargo elictrica. jTodo esto en COOJunto es 52-4 Reflexio11es e~peculares resto de este El problema Lo podemos decir asi: montones de ruedas y dentro. Contemplano es que aspecto en el espcjo. Pero igual al aspecto que el primero tiene el filete a la derecha en uno, usamos correspondiente del otro; donde uno la esfera del otro; cada resorte est.ii opuesto en el rdoj imagen; cuando ambos fisicos, que guardan entre si la ambos son, recalcamos, objerelojes comienzan en la miscuerda, z.haran tic tac y especulares perfectas'? (Esta de las !eyes fisicas nos relojes, la reflexion en cambiamos todo de no podemos notar la diferenesto cs verdad. Si fuera verdad. "izqmcrda" mediante cualquie; definir una vclocidad absoluta seria imposible defimr abso!u· par "derecha" en oposi- 52-6 Otro punto es que nuestra definiciOn de "derecha" no deberia depender de la historia. Un modo fBcil de distinguir derecha de izquierda es ir a una ferreteria y tomar un tornillo al azar. Las probabilidades son que tenga el filete a derecha -no necesariamente, pero es mucho mils probable que lo tenga a derecha que a izquierda-. Esto es una cuest16n hist6rica o convendonal, o de! modo en que oeurre que son las cosas, y tamp.om aqui cs cuesti(m de !eyes fundamentales. Como podemos apredar bien, jtodo el mundo podria haber comenzado a fahricar tornillos izquierdos! De este modo, debcmos tratar de encontrar alg{m. fenOmeno en el que '·a derecha" sea una cosa ·fundamental. La pr6xima posibilidad que discutimos es el hecho de que luz polarizada rota su piano de polarizaciOn cuando atraviesa. digamos, agua azucarada. Como vimos en el eapitulo 33, rota, digamos a la derecha, en una cierta soluciOn de azUcar. Este es un modo de definir "a la derecha", ya que podemo8 disolver un poco de azUcar en agua y entonces la poiarizaciOn va a la derecha. Pero el azllcar proviene de cosas vivientes y si uatamos de fabricar azllcar artificialmente, descubrimos que ino rota el piano de polarizaci6n! Pero si tomamos esta misrna azticar que hemos fabricado artificialmente y que no rota el piano de po!arizaci6n, y colocarnos en ella bacterias (se comen un poeo de azilcar) y luego filtramos las bacterias, encontramos que nos queda aim azUcar (casi la mitad de la que teniamos antes) y ahora si rota el piano de polarizaciOn, jpero hacia el otro !ado! Parece muy c.onfuso, pero se ha exolicado sencillamente. Fig. 52-1. (a) alanina L (1zquierdaL v (b) atanina D (derecha) Tomenos otro ejemplo: una de las sustancias que es comU:n a todas las criaturas vivientes y fundamental para la vida es la proteina. Las proteinas consisten en cadenas de aminoitcidos. La figura 52-1 muestra un modelo de aminoitcido que resulta de una proteina. Este aminoilcido se llama alanina, y el arreglo molecular se pareceria al de la figura 52-1 (a) si proviniera de una proteina de un ser viviente real. Por otro !ado, si tratamos de hacer alanina a partir de diOxido de carbono, etano y amoniaco {y la podemos hacer, no es una mol6cula complicada), jdescubrimos que estamos formando cantidades iguales de i:sta mo!ecula y de la que muestra la figura 52-l(b)! La primera molecula. la que proviene de un ser viviente, se llama alanina-L. La otra, quimicamente igual, porque tiene las mismas dases de 3.tomos y las mismas conexiones entre ellos, es una molecula "a derecha ", comparada con la alanina-L '"a la izquierda'', y se 52-7 parece como si los fenOmenos de la vida p-ermiten una distinci6n entre "dee "izquierda ", o la qu!mica permite una distincion ya que las dos mol6culas son quimicamente diferentes. Pero no, ino ocurre asi! En tanto se puedan realizar medidas fisicas, tales como de energia, velocidades de reacciones quimicas, etc., las dos clases funcionan exactamente igual si realizamos todo tambien en una imagen especular. Una mo!ecula rotar:i la luz a la derecha, y la otra la rotaril. a la izquierda precisamente en la misma cantidad, si utilizamos la misma cantidad de flllido. Asi, pues, en Jo que respecta a la fisica, estos dos aminoicidos son igua\mente satisfactorios. Como nosotros entendemos las cosas hoy en dia, los fundamentos de la ecuaci6n de SchrOdinger exigen que las dos mul6culas se deberian comportar de modos exactamente correspondientes, de manera que una es a derecha y otra a izquierza. No obstante, jen la vida todo ocurre de un solo modo! Se presume que la raz6n de esto es la siguiente. Supongamos, por ejemplo, que de alguna manera la vida estit en un momenta en una cierta condici6n, en la que todas las proteinas en algunas criaturas tienen amlnoilcidos a izquierda, y que todas las enzimas son desequllibradas --toda sustancia en la criatura viviente es desequilibrada, no es simetrica-. Asi, cuando las enzimas digestivas tratan de carnbiar los compuestos qulmicos de la comlda de una clase a otra, una clase de compuesto "le viene bien" a la enzima, pero no a&i el otro (como la Cenicienta y la zapatilla, excepto que es un "pie izquierdo" el que estamos probando ). En cuanto a lo que sabemos, en principio, podriamos construir una rana, por ejemplo, en la que cada mo!ecula estuviese invertida, todo es como la imagen especular "iz· quierda" de una rana real; tenemos una rana izquierda. Esta rana izquierda andaria bien durante un momento, pero no encontraria nada que comer, porque si se traga una mosca sus enzimas no estiln construidas para digerirla. La mosca tiene la clase "equivocada" de aminoilcidos (a menos que le demos una mosca a izquierda). Por lo tanto, hasta donde nosotros sabemos, los procesos quimicos y vitales continuarian de! mismo modo si todo se invirtiese. Si la vida es enteramente un fen6meno fisico y quimlco, podemos entender que las proteinas estiin todas formadas con el mismo tirabuz6n, so\amente a partir de la idea de que al comienzo de todo algunas mol6culas vivientes, accidentalmente, empezaron y unas pocas vencieron. En alglln lugar, una vez, una mol6cula orgfuiica se desequilibr6 de una cierta manera, y de esta cosa particular sucedi6 que "derecha" empez6 a evoluclonar en nuestra geografia particular; un accidente hist6rico particular fue unilateral, y por siempre desde entonces el desequilibrio se ha propagado. Una vez que ha llegado al estado en que se encuentra ahora, naturabnente, continuarii siempre -todas. las enzimas digieren las cosas a derecha, fabrican las cosas a derecha~; cuando el di6xido de carbono y el vapor de agua, etc., Hegan a las hojas de las plantas, las enzimas que hacen el azllcar los desequilibran porque ellas 52-8 estim desequilibradas. Si cualquier clase nueva de virus o cosa viviente se originase en un tiempo posterior, sobreviviria solamente si pudiese "comer" la clase de materia viviente ya presente. Por lo tanto, eJ tambiCn debe ser de la misma clase. No hay conservaci6n del nUmero de mo!Cculas a derecha. Una vez empezado, podriamos seguir aumentando el nU.mero de mo16culas a derecha Por consiguiente, la suposici6n es, entonces, que en el caso de la vida los fen6menos no demuestran una falta de simetria en las !eyes fisicas, pero si demuestran, por el contrario, la naturaleza universal y lo comlln de! origen Ultimo de todas las criaturas de la tierra, en el sentido anteriormente descrito, 52-5 Vectores polares y axiaies Ahora avanzamos mils. Observam.os que hay una gran cantidad de lugares en fisica donde tenemos reglas "de la mano derecha" y "de la mano izquierda ". De hecho, al estudiar anil.lisis vectorial, aprendimos las reglas de la mano derecha que teniamos que usar parn poder obtener el momentum angular, el torque, el campo magnetico, etc. Por ejemplo, la fuerza sobre una carga que se mueve en un campo magnetico es F= qv x B. En una situaci6n dada, en la que conocemos F, v y B, Lno es esta ecuaci6n suficiente para definir la derecha? En realidad, si volv_emos atrits y miramos de d6nde provenian Jos vectores, sabemos que la "regla de la mano derecha" era simplernente una convenciOn; era un truco. Las magnitudes originales, como !os momenta angulares y las velocidades angulares, y otras cosas de esta especie, jno eran realmente vectores! Todos ellos estfui de algUn modo asociados con un cierto piano, y es solamente porque hay tres dimensiones en el espacio por lo que podemos asociar la cantidad con una direcci6n perpendicular a aquel piano. De las dos direcciones posibles, escogemos la direcci6n "mano derecha ". Asi, s1 las leyes de la fisica son simCtricas, encontrariarnos que si se escurriese alglm demonio dentro de todos los laboratorios y reemplazase la palabra "derccha ·· por ·'Lzquierdu" en todos los libros donde se dan las ·'reglas de la mano dcrecha ", y en su lugar tuvi6semos que usar ··rcglas de la mano izquicrda" uniformemente, cs to no implicaria ninguna diferencia en las ]eyes fisicas. Q ~Tu . _ Fig. 52-2. Un paso en el espacio y su 1magen especular. Demos un ejemplo. Hay do~ clases de vectores. Hay vectorcs "honorables"", por ejemplo, un paso L\r en el espacio. Si en nuestro aparato hay aqui una pieza y allil algo mils, entonccs en el aparato imagen estarit la pieza imagen y el algo mils imagen, y si dibujamos un vector desdc la "picza ·· al "algo mils", un vector es la imagen especular dcl otro (Fig. 52-2). La flecha del vector cambia su cabern, tal como si todo e! espacio se da vuelta; este vector se llama vector [XJlar. Pero la otra dase de vector, quc tienc quc ver con las rotaciones, cs Je natura!eza dlfcrente. Por ejemplo, supongan quc algo estit rotando en trc~ dimensioncs. como 52-9 Fig. 52-3. Una rueda que gira v su imagen especu!ar. Observen que el "vector'" velocidad angular no ha invert1do su direcci6n. Fig. 52-4 pecular. Un im8n v su imagen es- muestra la figura 52-3. Entonces silo miramos en un espejo, estara rotando como se indica, es decir coma la imagen especular de la rotaci6n original. Ahora bien, esta" mos de acuerdo en representar la rotaci6n especular mediante la mis ma reg la: es un "vector" que, en la reflexi6n, no cambia como ocurre con el vector polar. sino que estii. invertido con relaci6n a Jos vectores polares y a la geometria dcl espacio; tal vector se llama vector axial. Ahora bien, si la ley de simetda por reflexi6n es correcta en foica, debe scr verdad que las ecuaciones se dcbcn expresar de tal modo que si cambiamos el signo de cada vector axial y de cada producto vectorial, que scria lo que corresponde a la reflexiOn, nada sucederit. Por ejemplo, cuando escribimos una formula que dice quc: el momentum angular es L -= r x p, esta ecuaci6n es muy correcta. porquc si cam biamos a un sistema de coordenadas a izquicrda, cambiamos el signo de L, pero p y r no cambian; se ha cambiado el signo de! producto vectorial, puesto que debemos cambiar de una regla derecha a una izquierda. Otro ejemp!o: sabemos que la fuerza sobre una carga que se mueve en un campo magnetico es F = qv x B, pero si cambiamos de un sistema derecho a uno izquierdo, coma sabemos que F y v son yectores polares, el cambio de signo requerido por el producto vectorial se debe cancelar por un cambio de signo en B, lo que significa que B debe ser un vector axial. En otras palabras, si efectuamos esa reflexil'm, B debe pasar a -B. Por lo que si cambiamos nuestras coordenadas derecha por izquierda. tambiCn debemos intercambiar los polos norte y sur de los imanes. Veamos cOmo funciona esto en un ejemplo. Supongan que tenemos dos imanes, como en la figura 52-4. Uno es un imitn con el bobinado en un sentido y corrientc en una direcciOn dada. El otro imitn parece la rd1exi6n de\ primero en un espejo -el bobinado irii en el otro scntido, todo lo que sucede dcntro del alambre cs cxactamen· te a !a inversa y la corriente va como se muestra-. Ahora bien. a partir de las !eyes para la producciOn da campos magnCticos, que no conocemos aUn oficialmente, pero que aprendimos muy probablemcnte en la escuela secundaria, resulta que el campo magnCtico es como el que muestra !a figura. En un caso el polo es un polo magnetico sur, mientras que en el otro imfut la corriente va en el otro sentido y el campo magnCtico esta invertido -es un polo magnCtico norte-. Asi vemos que cuando intercambiamos derecha e izquierda, jpor cierto debemos intcrcambiar norte y sur! No les importe cambiar el norte al sur: tambiCn Cstos son meras convencioncs. Hablemos de fen6menos. Supongan ahora que tenemos un electron mov!Cndose en un campo que entra en la pilgina. Si usamos cntonces la fOrmula para la fuerza. v x B 52-10 (recuerden que la carga es negativa), encontramos que el electrOn se desviara en la direcd6n indicada de acuerdo a la ley flsica. Por lo tanto, e! fen6meno es que tenemos un arrollamiento con corriente en un sentido espedfico y un electr6n que se desvia en un cierto camino -esto es ia fisica-, no importa c6mo llamemos a cada cosa. Hagamos ahora el mismo experimen.to con un cspejo: enviamos un electrOn en una direcci6n correspondiente y ahora la fuerza esta invertida si la ca\culamos siguiendo la misma regla, y esto estit muy bueno jporque los movimientos correspondientes son entonces im<igenes especulares! 52-6 ;,Cuill mano es la dereeha? Asi, pues, la realidad de las cosas es que al estudiar cualquier fen6meno hay siempre dos reglas de la mano dcrccha, o un nUmero par de ellas. y el resultado final es que el fen6meno siempre parece simCtrico. En resumen, no podemos distinguir, por io tanto, derecha de izquierda si tampoco somos capaces de distinguir no rte de sur. Sin embargo, pucdc pareccr que podemos dccir cu ill es el polo no rte de un imim. El polo norte de la aguja de una bri.ijula, por ejemplo, es el que apunta al norte. Pero naturalmentc esto es de nuevo una propicdad local que tienc quc ver con la geografia de la tierra; esto es lo mismo quc hablar de la direcci6n en que se cncuentra Chicago, por lo que no cuenta. Si hemos vista agujas de bri.ijulas, puede que hayamos notado que el polo que mira al nortc cs de una especic de color azulado. Pero sc de be justamente al hombre que pint6 el imitn. T odos estos criterios son locales y convencionalcs. Sin embargo si un im3.n tuviese la propicdad de que si lo miritsemos muy de cerca, viibscmos pe!itos saliendo de su polo no rte y no en su polo sur, si Cs ta fuese la regla general, o si hubicre algUn modo Unico de distinguir el polo norte de! sur en un im:in, entonces podriamos decir cuUI de los dos casos tendriamos realmente, y esto seria elfin de la fey de simetria por reflexidn. Para ilustrar aUn mas claramcntc todo el problema, imagincn que estuviCsemos hablando a un marciano por tekfono, o a quienquiera que sea, pero muy lejos. No se nos permitc cnviarle ninguna muestra real para que la inspeccione; por ejemplo, si pudi6semos enviar !uz, podriamos enviarle luz polarizada circularmcntc a derecha y decir, "Esto es luz a derecha; observe simplemen'te el modo en que \lega". Pero no podemos darle nada, solamente podcmos hablarle. Esta muy lejos, o en alguna ubir.aci6n cxtraii.a, y no puede ver nada de !o quc nosotros vemos. Por ejcmplo, no podemos decir: "Mire a la Osa Mayor; ahora mire cOmo est3.n dispuestas estas estrellas, Lo que nosotros entendemos por "derecha" es ... ". Solamente sc nos pennite hablar por te!t':fono. Ahora bien, nosotros queremos contar!e todo lo nuestro. Naturalmente, comenzamos defini6ndole en primer lugar !os nUmeros y decimos: "Tic, tic, dos; tic, tic, tic, Ires; ... ", de modo quc gradualmente puedcn entender un par de palabras, etc. Desput':s de alglln tiempo puede ser que nos hagamos muy amigos de ese tipo y eJ nos diga: "Com padre, t,4ut': aspecto tienen ustedes? ", Comenzamos a dcscribirnos y decimos: "Bueno. tenemos un metro setenta de estatura". El nos corta: "Un momento, ,:,qut': es un metro setenta?''. i,Es posible explicarlc lo que es un metro setenta? iCiertamente! Decimos: "USted conoce el diiimetro de los <itomos de hidr6gcno; j nosotros tenemos 17 .000,000.000 de 3.tomos de hidr6geno de altura!" Esto es posible ya que las !eyes fisicas son invariantes frente a un cambio de escala y, por lo tanto, podemos defin!r una long.itud absoluta. Y de! mismo modo 52~1 l defin:imos el tamaiio de! cuerpo y le decirnos cuiil es el aspecto general -tiene salientes con cinco bultos colgando en los extremos, etc.- y nos sigue; y terminamos describi6ndole nuestro aspecto externo, presumiblcmente sin encontrar dificultades mayores. Es mils, estii. haciendo un modelo nuestro a medida que avanzamos. Nos dice: "Oye, ustedes son ciertamente tipos muy buenos mozos; pero, lque tienen dentro? Comenzamos a describirle !os diversos 6rganos internos, y llegamos al coraz6n y le describimos cuidadosamente su forma y decimos: "Ahora coloca el coraz6n en -el !ado izquierdo". Nos responde: "jQueeeeC!, lei !ado Izquierdo?" Nuestro prob\ema ahora es describirle de que lado va el coraz6n sin que eJ vea nada de lo que nosotros vemos y sin enviarle jamils una muestra de lo que entendemos por "derecha" -ningUn objeto patr6n de derecha-. lPodemos hacer eso? 52-7 1La paridad nose conserva! Resulta que las !eyes de gravitaci6n, las !eyes de electricidad y magnetismo, las fuerzas nucleares, todas satisfacen el principio de la simetria por reflexi6n, por lo que no se puede usar estas !eyes, o cualquier cosa que se derive de ellas. Pero hay un fenOmeno Jlamado desintegraci6n beta, o desintegraci6n dlibil, asociado con las muchas particulas que se han descubierto en la naturaleza. Un ejemplo de desintegraciOn d6bil, en conexi6n con una particula descubierta alrededor de 19 54, origin6 un enigma extraiio. Hab!a cierta particu!a cargada que se desintegraba en tres mesones n, como muestra esquem3.ticamente la figura 52-5. A esta particula se le llam6 durante algUn tiempo mes6n T. Ahora bien, vemos tambien otra particula, en la figura 52-5, que se desintegra en dos mesones; uno debe ser neutro, debido a la conservaci6n de la carga. A esta part[cula se le llam6 mes6n e. Por lo que tenemos una particula Hamada T que se desintegra en tres mesones n. y una particu!a () que se desintegra en dos mesones n. Pero pronto se descubri6 que Ty 0 tienen una masa casi igua!; de hecho son igualcs, dentro del error experimental. Luego se encontr6 que el tiempo que tardaban en desintegrarse en tres n y en dos JT era casi exactamente el mismo; viven el mismo periodo de tiempo. DespuCs, que siempre que se formaban lo hacian en la misma proporci6n; digamos 14 por 100 de Ty 86 por 100 de&. Fig. 52-5. D1agrama esquemat1co de la desintegraci6n de una particula T' y de una part!cu!ae+ Cualquiera con sentido cabal se da cuenta inmediatamente que deben ser la misma particula, que producimos simplemente un objeto que tiene dos modos diferentes de desintegrarse; no dos particulas diferentes. Este objeto que se puede desintegrar de dos modes diferentes tiene, en consecueneia, el mismo tiempo de vida y la misma probabilidad de producd6n (ya que es sencillamente el cociente de las probabilidades con las cuales se desintegra en esas dos clases). Sin embargo, fue posible probar (y aqui de ningim modo podemos explicar c6mo) a partir de! principio de reflexi6n en meciinica cuiintica, quc era imposible 52-12 que los dos provengan de la misma particula -la misma particula no podia desintegrarse de ambos modos-. La ley de conservaci6n correspondiente al principio de la simetria por reflexi6n es algo que no tiene an3logo clii.sico y por lo tanto esta c\as.e de conservaci6n cuilntica se Uam6 conservaci6n de la paridad. Asi, fue un resultado de la conservaci6n de la paridad o, mas precisamente, de la simetria de las ecuaciones cuiinticas para la desintegraci6n debil frente a reflexi6n, el que la misma particula no pudiese obrar de los dos modos, por lo que debia ser una especie de coincidencia de masas, tiempos de vida, etc. Pero cuanto mas se estudiaba, mas notable era la coincidencia y gradualmente surgi6 la sospecha de que posiblemente la profunda ley de la simetria de la naturaleza respecto a reflexi6n pudiese ser falsa. Como resultado de este fracaso aparente, los fisicos Lee y Yang sugirieron que se deberian hacer otros experimentos en desintegraciones relacionadas para tratar de probar si la ley era correcta en otros casos. El primer cxperimento de esta clase lo hizo Miss Wu de Columbia y es como sigue. Usando un imin muy potente a una temperatura muy baja, resulta que un cierto is6topo de cobalto que se desintegra emitiendo un electr6n, es magnetico, y si la temperatura es lo bastante baja para que las oscilaciones termicas no sacudan demasiado los imanes at6micos, estos se alinean en el campo magnCtico. Asi, pues, Jos atomos de cobalto se alineariin en este campo intenso. Luego se desintegran emitiendo un electr6n y se descubri6 que cuando los itomos estaban alineados en un campo cuyo vector B apunta hacia arriba, la mayoria de los electrones se emitian hacia abajo. Si no se esta al tanto de los Ultimas adelantos del mundo, ta! observaci6n no parece nada significativa, pero si se aprecia los problemas y cosas interesantes de! mundo, entonces se ve que es el descubrimiento mas sorprendente: cuando colocamos atomos de cobalto en un campo magnetico extremadamente intense, van mils electrones de desintegraci6n hacia abajo que hacia arriba. Por lo que si lo pusi6ramos en un experimento correspondiente en un "espejo", en el que los iltomos de cobalto estarian alineados en la direcci6n opu:!sta, escupirian sus e\ectrones hacia arriba y no hacia abajo; ia acci6n es asimetrica. jLe han crecido pelos al imtin! El polo sur de un imiin es de ta! suerte que los electrones de una desintegraci6n fi tienden a alejarse de Cl; esto distingue, de un modo fisico, el polo norte de! sur. Despues de Cste se hicieron muchos otros experimentos: la desintegraci6n de A en prot6n y n; desintegraci6n de las L.; y muchas otras desintegraciones. De hecho, en casi todos los casos donde se podia esperar, jse ha encontrado que ninguno de ellos obedece la simetria de reflexi6n! La ley de la simetrla de reflexi6n es incorrecta, fundamentalmente a este nivel de la fisica. n en µ y v; .11 en un electr6n y dos neutrinos; hoy en dia En resumen, podemos decirle a un marciano d6nde colocar el coraz6n: decimos, "Escuche, constrUyase un imiin, p6ngale las bobinas y haga pasar corriente; tome entonces un poco de cobalto y baje la temperatura. Arregle el experimento de modo que los electrones marchen de sus pies a su cabeza; entonces, la direcci6n en la que !a corriente recorre las bobinas es la direcci6n que entra en lo que nosotros llamamos la derecha y sale a la izquierda ". En consecuencia, es posible definir derecha e izquierda, ahora, haciendo un experimento de esta clase. Se predijeron tambi6n muchas otras caracteristicas. Por ejemplo, resulta que el espin, el momentum angular, del ni.icleo de cobalto antes de la desintegraci6n es 5 unidades Ii y despues de la desintegraci6n es 4. El electr6n lleva momentum angular de espin y tambifo interviene un neutrino. Es f3.cil ver a partir de esto que el electr6n debe llevar su momentum angular de espin alineado seg(m su direcci6n de movimiento, y asimismo el neutrino. De este modo, parece como si el electr6n estuviese girando a la izquierda y esto tambifo se comprob6. De hecho, se comprob6 precisamente aqui en Caltech por Boehm y Wapstra que el electr6n gira principalmente a la izquierda. (Hubo otros experimentos que dieron la respuesta opuesta, jpero estaban equivocados!) El problema siguiente, por supuesto, fue encontrar la ley de! fracaso de la conservaci6n de la paridad. lCuitl es la regla que nos dice c6mo va a ser de grande el fracaso? Esta: ocurre solamente en estas reacciones muy lentas, llamadas desintegraciones debiles, y cuando ocurre, la regla es que las particulas que tienen espin, como el electr6n, el neutrino, etc., salen con un espin que tiende a la izquierda. Es una regla desequilibrada; relaclona un vector polar velocidad y un vector axial momentum angular, y dice que es mas probable que el momentum angular sea opuesto a la velocidad que segUn ella. Esta es, pues. la regla, pero hoy no entendemos realmente !os por que y los por consiguiente de ella. ;.Por qui es 6sta la regla correcta, cual es la raz6n fundamental de ello, y c6mo se relaciona con cualquier otra cosa? Por el momenta nos hemos quedado tan sorprendidos por el hecho de que es asimetrica, que no nos hemos podido recobrar lo suficiente para entender lo que significa con respecto a todas las otras reglas. Sin embargo, es un asunto interesante, moderno y alm sin resolver, por lo que parece apropiado discutir algunas cuestiones asociadas con el. 52-8 Antimateria Lo primero que hay que hacer cuando se pierde una de las simetrias es volver inmediatamente a la lista de simetrias conocidas o supuestas y preguntar si se pierde alguna de las otras. Ahora bien, no mencionamos una operaci6n en nuestra lista, que debe ser necesariamente investigada, y es la re1aci6n entre materia y antimateria. Dirac predijo que ademits de los electrones debe haber otra particula, llamada posi~ tr6n (descubierta en Caltech por Anderson), que se relaciona necesariamente con el electr6n. Todas las propiedades de estas dos particu\as obedecen ciertas reglas de correspondencia: las energias son iguales; las masas son iguales; las cargas son opuestas; pero, lo mils importante de todo, las dos cuando se juntan se pueden aniquilar entre si y liberar su masa completa en forma de energia, digamos rayos y. El positr6n se llama antiparticula del electr6n, y esas son las caracteristicas de una particula y su antiparticula Result6 claro del razonamiento de Dirac que todas las demcl.s particulas de! mundo deberian tener tambifo antiparticulas correspondientes. Por ejemplo, para el prot6n deberia haber un antiprot6n, que se simboliza ahora con p. El j5 tendria una carga electrica negativa, la misma masa que un prot6n, etc. Sin embargo, el rasgo mils importante es que cuando se unen un prot6n y un antiprot6n se pueden aniquilar entre si. La raz6n por la que recaJcamos esto es porque la gente no lo entiende cuando decimos que hay un neutr6n y tambifo un antineutr6n, ya que dicen: "'Un neutr6n es neutro; por lo tanto (.c6mo 52-14 puede tener una carga opuesta?" La regla del "anti'' no es solamente que tiene la carga opuesta, tiene cierto conjunto de propicdades y el wrijunto total de las mismas es opuesto. El antincutrOn se distingue del neutr6n de! siguiente modo: si colocamos dos neutrones juntos, permanecen simplemente como dos neutroncs, pero si colocamos un neutr6n y un antineutr6n juntas, se aniquilan liberfuidosc una gran explosi6n de energ[a, con diversos mesones 7T, rayos y y muchas cosas mils. Ahora bien, si tenemos antineutrones, antiprotones y antielectrones, en principio podemos hacer antiiltomos. No se han hecho aim, pero es posible en principio. Por ejemplo, un iltomo de hidr6geno tiene un prot6n en el centro con un electr6n dando vueltas. Ahora bien, imaginen que en a1glln lugar podemos hacer un antiprot6n con un positr6n dando vue!tas alrededor: i,daria vueltas? Bien, en primer Jugar, el antiprot6n es e!ectricamente negativo y el antielectr6n es electricamente positivo, por lo que se atraen uno al otro de una manera correspondiente -las masas son iguales; todo es igual-. Es uno de los principios de la simetria de la fisica, las ecuaciones parecen demostrarlo, que si un reloj, digamos, se hiciese de materia por un !ado, y luego hiciesemos el mismo reloj de antimateri.a, funcionaria de este modo. (Naturalmente, si colocamos los dos relojes juntos, se aniquilarian, pero esto es diferente.) Entonces surge una cuesti6n inmediata. Podemos construir dos relojes de materia, uno que es "izquierdo" y uno que es "derecho". Por ejemplo, podriamos construir un reloj que no se construye de un modo simple, sino que tiene coba\to e imanes y detectores de electrones que detectan la presencia de electrones de desintegraci6n /J y los cuentan. Cada vez que se cuenta uno, el segundero se mu eve. Entonces el reloj imagen, que recibe menos electrones no iril a la misma velocidad. Pero evidentemente podemos construir dos relojcs en forma ta! que el reloj izquierdo no concuerda con el derecho. Construyamos de materia, un reloj que Hamaremos patrOn o reloj derecho. Ahora construyamos, tambien de materia, un reloj que Uamaremos re!oj izquierdo. Acabamos de descubrir que, en general, los dos no funcionariln de! mismo modo; anteriormentc a este famoso descubrimiento fisico, se pensaba que lo harian. Pero tambien se supuso que la materia y la antimateria eran equivalentes. Esto es, si construyesemos un reloj de antimateria, derecho, de la misma forma, entonces funcionaria lo mismo que e! reloj de materia derecho, y si hiciesemos el mismo reloj izquierdo funcionaria igual. En otras palabras, al principio se crey6 que todos estos cuatro relojes eran iguales; ahora naturalmente sabemos que los de materia derecho e izquierdo no son iguales. En consecuencia es presumible que los de antimateria derecho e izquierdo no son iguales. Por lo tanto, la pregunta es: (.Cua.I va con cu3.l, si es que lo hacen? En otras palabras, (.Se comporta el de matcria derecho como el de antimateria derecho? i,O es que e! de materia derecho se comporta co mo el de antimateria izquierdo? Los experimentos de desintegraci6n p que usan desintegraci6n en positrones en lugar de desintegraci6n en e!ectrones, indican que lbsta es la interconexi6n: la materia "dere· cha" funciona lo mismo que la antimateria "izquierda ". En i::onsecuencia, por fin, jes realmente verdad que la simetria derecha e izquierda se mantiene a Un! Si hicilbsemos un reloj izquierdo. pero hecho de la otra clase de materia, antimateria en lugar de materia, funcionaria lo mismo. Asi, lo que ha 52-15 sucedido es que en lugar de tener dos reglas independientes en nuestra !ista de sime" trias, dos de estas reg!as se unen para formar una nueva rcgla: la materia a derecha es simCtrica de la antimateria a izquierda. Por lo que si nuestro marciano estii formado de antimateria y le damos instrucciones para construir aquel mode!o "a derecha" como nosotros, saldr<i, naturalmente, al rev es. i, Que sucederia cuando, despuf:s de mucho charla que te charla, nos hemos enseiiado el uno a1 otro a construir naves espacia!es y nos encontramos a mitad de camino en el espacio vado? Nos hemos aleccionado uno al otro acerca de nuestras costumbres, etc., y los dos nos apresuramos a estrecharnos las manos. Bien, si eJ ofrece su mano izquierda, itenga cuidado! 52-9 Simetrias rotas La pregunta siguiente es: i,quC podemos construir con las leyes que son casi simCtricas? Lo maravllloso de todo esto es que para una gama tan amplia de fen6menos intensos e importantes -fuerzas nucleares, fen6menos eJCctricos, y aun los dCbiles como la gravitaci6n- en una enorme variedad de campos de ta fisica, todas sus !eyes parecen ser simetri.cas. Por otro !ado, este pequeiio trozo adiciona! dice: "No, jlas !eyes no son simCtricas!". i,C6mo es que la naturaleza puede ser casi sim6trica y no perfectamente simetrica? l.QnC haremos con esto? En primer lugar, ltenemos algUn otro ejemplo? La respuesta es que de hecho si tene.mos unos pocos ejempl?s mils. Por ejemplo, la parte nuclear de la fuerza emre proton y prot6n, entre neutron y neutr6n, y entre neutr6n y prot6n, es exactamente igual -hay para las fuerzas nucleares una simetria, y nueva: que podemos intercambiar neutr6n y prot6n-, pero evidentemente no es una simetria general, ya que la repu!si6n elf:ctrica entre dos protones a distancia no existe para neutrones. Por lo que no es generalmentc verdad que siempre podemos reemplazar un prot6n por un neutr6n, es s6!o una buena aproximaci6n. i,Por que buena? Porque las fuerzas nucleares son mucho mas intensas que las fuerzas ei&:tricas. Asi, i:sta es tambiCn una "casi" simetria. Tenemos entonces ejemplos en otras cosas. Tendemos, en nuestro interior, a aceptar la simetria como cierta clase de perfecci6n. De hecho es como la vieja idea de los griegos de que las circunfcrencias eran perfectas y fue bastante horrible creer que las 6rbitas planetarias no eran circunferencias, sino s61o casi circunferencias. La diferencia entre ser una circunferencia y una casi circunferencia, no es una diferencia pequei'ia, es un cambio fundamental en lo que respecta a la inteligencia. En una circunferencia hay un signo de perfecci6n y simetria que no se encuentra en el momenta en que la circunferencia varia ligeramente -es el fin-, ya no es mils simetrica. La cuesti6n es entonces por quC es solamente casi una circunferencia -Csta es una pregunta mucho mils dificil-. El movimiento real de los planetas, en general, deberia ser elipses, pero a travCs de las edades, a causa de las fuerzas de marea, etc., se han transformado en casi simetricas. La cuesti6n es ahora ver si tenemos aqui un caso parecido. El prob\ema desde el punto de vista de las circunferencias es que si fuesen circunferencias perfectas no habria nada que explicar, eso es claramente sencillo. Pero puesto que son so\amente casi circunferencias, hay mucho que explicar, y el resultado lmplic6 un gran problema dininnico y ahora nuestro problema es explicar por qui: son casi simetricas considerando las fuerzas de marea, etc. 52·16 Asi, pues, nuestro problema es explicar de d6nde proviene la simetria. lPor quC Ia naturaleza es tan casi simi=trica? Nadie tiene una idea de por quC. Lo imico que podemos sugerir es algo como esto: Hay una puerta en Jap6n, en Neiko, que Jos japoneses llaman algunas veces la puerta m.is hermosa de todo Jap6n; se construy6 en una Cpoca en que habia una gran influencia del arte chino. Esta puerta es muy ornamentada, con muchos timpanos y hermosas estatuas y columnas y cabezas de dragones y principes esculpidos en los pilares, etc. Pero cuando se mira de cerca se ve que en el dibujo elaborado y complejo de uno de Jos pilares, uno de Jos pequeiios elementos de diseiio est.i esculpido cabeza abajo; por Jo d~m.is todo es completamente simCtrico. Si se pregunta por quC es asi, la historia es que se esculpi6 cabeza abajo para que los dioses no estuviesen celosos de la perfecci6n humana. Asi, a prop6sito cometieron un error en ella, para que los dioses no estuviesen celosos y se enfadasen con !os seres humanos. Nos gustaria invertir la idea y pensar que la verdadera explicaci6n de la casi simetria de la naturalcza es Csta: jDios hizo las leyes solamentc casi simCtricas para que asi nosotros no estuviCsemos celosos de Su perfecci6n! 52-17 lndice alfabetico Aberraciones, 27- 7, 34-10 Absorci6n, 31-8 ss Acci6n capilar, 51-8 Aceleraci6n, 8-8 ss componentes de la, 9-3 de la gravedad, 9-4 Adams, J.C., 7-5 Adiabittica, compresi6n, 39-5 expansi6n, 44-5 Algebra, 22-1 ss vectorial, 11-6 s Amplitudes de oscilaci6n, 21-3 Amilisis de Fourier, 50-2 ss Anderson, C. D., 52- IO Angstrom (unidad), 1-3 Angulo, de Brewster, 33-6 de incidencia, 26-3 de reflexi6n, 26-3 Antena parab6lica, 30-6 s Antimateria, 52-10 s Antiparticula, 2-8 Arist6teles,5-1 Arm6nico, movimiento, 21-4, 23-1 ss oscilador, IO-I, 21-1 s forzado, 21-5 s, 23-3 ss Arm6nicos, 50-1 ss Atenuaci6n, 31-8 Atm6sfera, exponencial, 40-1 s isotfrmica, 40-2 At6mica, hip6tesis, 1-2 At6mlcos, procesos, l-5 s Atomo, 1-2 metaestable, 42-10 Atracci6n molecular, 1-3, 12-6 s Aumento, 27-5 Avogadro, A., 39-2 Avogadro, nUmero de, 41-10 Bandas laterales, 48-4 s Bastoncitos, 35-1, 36-6 Becquerel, A. H., 28-3 Birrefringencia, 33-3 ss Boehm, 52-10 Bohr, N., 42-9 Bohr, radio de, 38-6 Boltzmann, 41-2 Boltzmann, ley de, 40-2 s Born, M., 37-1, 38-9 Boyle, ley de, 40-8 Bremsstrahlung, 34-6 s Briggs, H., 22-6 Brown, R., 41-1 Citlculo, diferencial, 8-4 numCrico, 9-6 vectorial, 11-5, 52-2 Calor, 1-3, 13-3 especifico, 40-75, 45-2 Caminata al azar, 6-5 ss, 41-8 ss Camino libre medio, 43-3 s Campo, elfctrico, 2-4, 12- 7, s electromagnetico, 2-2, 2-5, 10-9 magnftico, 12-9 s Campos, 2-2, 2-4, 2-5, I0-9, 12-7 ss, 13-8s,14-7ss superposici6n de, 12-9 Canal de aire, IO 5 Capacitancia, 23-5 Capacitor, 14-9, 23-5 Capilar, acci6n, 51-8 Carga, conservaci6n de la, 4- 7 de! electr6n, 12-7 Carnot, S., 4-2, 44-3 ss Catalizador, 42-8 Cavendish, H., 7-9 Cavendish, experimento de, 7-9 Celda unitaria, 38-5 Ce!ula de Kerr, 33-5 Centro de masa, 18-1 s, 19-1 ss Cerenkov, P.A., 51-2 Cerenkov, radiaci6n de, 51-2 Cero absoluto, 1-5 Cicio de Carnot, 44-5 s, 45-2 Cinctica quimica, 42-7 s Clausius, R., 44-2, 44-3 Clausius-Clapeyron, ecuaci6n de, 45-6 ss Coeficiente, gravitacional, 7-9 de roce, 12-4 Colisi6n, 16-6 elilstica, 10-7 lNDICf J Compresi6n, adiabatica, 39-5 isotertnica, 44-5 Computadora ana16gica, 25-8 Conductividad, i6nica, 43-6 s tennica de un gas, 43-9 s Conos, 35-1 Conservaci6n, de la carga, 4-7 de la energia, 3-2, 4-1 ss de! momentum angular, 4-7, 18-6 ss, 20-5 del momentum lineal, 4-7, iO-l ss Contracci6n, hip6tesis de, 15-5 de Lorentz, 15-7 cornea, 35-1 Corteza visual, 36-4 Cop6nico, 7-1 Coulomb, ley de, 28-2 Cromaticidad, 35-6 s Cuadrivectores, 15-8 s, 17-5 ss Cuerpo negro, radiaci6n de, 41-5 s Cuerpo rigido, 18-1 momentum angular del, 20-8 rotaci6n de un, 18-2 ss Dedekind, R., 22-4 Densidad, l -4 Derivada, 8-5 ss parcia!, 14-9 Desfasaje, 21-3 Desviaci6n normal, 6-9 Dicke, R.H., 7-1 l Difracci6n, 30-1 ss en cristales, 38-4 s por una pantalla, 31-10 s red de, 29-5, 30-3 ss Difusi6n, 43-1 SS molecular, 43- 7 ss Dinfuuica, 7-2 S, 9-1 SS relat!vista, 15-9 s Dipolar, radiador, 28-5 s, 29-3 ss Dirac, P., 52-10 ecuaci6n de, 20-6 Dlspersi6n de !a luz, 32-5 ss Dispersi6n (de un medio), 31-6 ss Distancia, 5-5 ss medida de, por la re!aci6n brillocolor, 5-6 por triangulaci6n, 5-6 Distancia focal, 27-1 ss media cuadril.tica, 6-6 Doppler, efecto, 17-8, 23-9, 34- 7 s, 38-6 Efecto, Doppler, 34-7 s, 38-6 Purkinje, 35-2 Eficiencia de una mitquina ideal, 44- 7 s Einstein, A., 2-6, 7-ll, 12-12, 15-1, 16-1, 41-8, 42-8, 42-9 Eje Optico, 33-3 Ejes paralelos, teorema de los, 19-6 Electrodinitmica cu<intica, 2- 7, 28-3 Electromagn6tica, energia 29-2 radiaciOn, 26-1, 28-1 ss Electr6n, 2-4, 37-1, 37-4 ss carga de!, 12-7 radio dii.sico del, 32-4 Electronvolt (unidad), 34-4 Elipse, 7-1 EmisiOn espont:inea, 42-9 Energia, cal6rica, 4-2, 4-6, JO- 7, J0-8 cinCtica, 4-2, 4-5 s, 39-4 conservaci6n de la, 3- 2, 4-1 ss de activacci6n, 42- 7 de ionizaci6n, 42-5 de mas a, 4- 2, 4-7 de rotaci6n, 19-7 ss e1istica, 4-2, 4-6 elOCtrica, 4-2 e!ectromagn6tica, 29-2 gravitacional, 4-2 ss nuclear, 4-2 potencial, 4-4, 13- I ss, 14-1 ss quimica, 4-2 radiante, 4-2 relativista, 16-1 ss teorema de la, 50- 7 s Entalpia, 45-5 Entropia, 44-10 SS, 46- 7 SS Ei:itvOs, 7-11 Equilibria, 1-6 termodinitmico, 41-3 ss Escalar, 11-5 Espacio, 8-2 Espacio-tiempo, 2-6, 17-1 ss Estrellas dob!es, 7-6 Euclides, 5 -6 Evaporaci6n, l-5 s de un liquido, 4-3 s, 42-1 ss Expansi6n, adiabitica, 44-5 isotCrmica, 44-5 "ExtraOeza", nUmero de, 2-9 Farad (unidad), 25-7 Fase de oscilaciOn, 21-3 Fermat, P .. 26-3 lNDICE 2 Fermi, E.,5-10 Fermi (unidad}, 5-10 Fisicoqulmica de la visi6n de los colores, 35-9 s Fluctuaciones estadisticas, 6-3 ss Foco, 26-5 Fot6n, 2-7, 26-1, 37-8 Fourier, J., 50-2 s analisis de, 5-2 ss transformada de, 25-4 Fovea, 35-1 Frank, I., 51-2 Frecuencia, angular, 21-3 de osci!aci6n, 2-5, 29-2 Frente de onda, 47-3 Fuerza, centrlfuga, 7-5, 12-11 componentes de una, 9-3 conservativa, 14-3 ss de Coriolis, 19-8 s ekctrica. 2-3 s& gravitacional, 2-3 molecular, l-3, 12-6 s momento de, 18- 5 no conservativa, 14-6 s nuclear, 12-12 seudo, 12-IO ss Funci6n de Green, 25-4 Future afectable, 17-4 Galileo, 5-1, 7-2, 9-1, 52-3 Gas monoat6mico, 39-5 Gases idealcs, ley de !os, 39-10 ss Gato de tomillo, 4-5 Gauss (unidad), 34-4 Gell-Mann, M., 2-9 Geomctria cudidiana, 12-3 Girmcopio, 20-5 ss Grados de libertad, 25-2, 39-12 Gravedad, 13-3 ss aceleraciim de la, 9-4 Gravitaci6n, 2-3, 7-1 ss, 12-2 Gravitacional, aceleraci6n, 9-4 campo, 12-8 ss, 13-8 s coeficiente, 7-9 energia, 4-2 ss Green, funci6n de, 25-4 Heisenber, W., 6-IO, 37-1, 37-9, 37-11, 37-12, 38-9 Helmholtz, H., 35-7 Henry (unidad), 25-7 Hipocicloide, 34-3 Hip6tesis, at6mica, 1-2 de contracci6n, 15-5 Hooke, ley de, J 2-6 Huygens, 15-2, 26-2 Impedancia, 25-9 s compleja, 23- 7 Incidencia, ilngulo de, 26-3 Indeterminaci6n, principio de, 2-6, 6-10 s, 37-9, 37-11, 38-8 s Jndice de refracci6n, 31-1 ss Inducd6n magnetica, 12-10 Inductancia, 23-6 Inductor, 23-6 Inercia, 2-3, 7-11 momento de, 18-7, 19-5 ss principio de, 9-1 Infrarroja, radiaci6n, 23-8, 26-1 Integral, 8-7 s !nterferencia, 28-6, 29-1 ss Interfer6metro, 15-5 ?on, 1-6 Ionizaci6n, energia de, 42-5 tE:nnica, 42-5 ss Isotermica, atm6sfera, 40-2 compresi6n. 44-5 expansi6n, 44-5 Is6topos. 3-4 ss Jeans, J., 40-9, 41·6 ss Joule (unidad), !3-3 Joule, calentamiento de, 24- 2 Kepler, J., 7-l Kepler, !eyes de, 7-l s, 9-1, 18-6 Kerr, celula de. 33-5 Kirchhoff, !eyes de, 25-9 Laplace, P .. 47-7 Liiser, 32-6, 42-IO Leibnitz, G. W., 8-4 Lente, formula de la, 27-6 Leverrier, U., 7-5 Logaritmos, 22-4 Longitud de onda, 26-1 Lorentz, H. A., 15·3 Lorentz, contracci6n de, 15· 7 transformaci6n de, 15-3, 17-1, 34-8, 52-2 Luz, dispersion de la, 32-5 ss momentum de la, 34-10 s polarizada, 32-9 INDICE 3 Magnetico, campo, 12-9 s Magnetismo, 2-4 M3.quinas tt!rmicas, 44-1 ss Mareas, 7-4 s Masa, 9-1, 15-1 centro de, 18-1 s, 19-1 ss cero, 2-10 energia de, 4-2, 4- 7 relativista, 16-6 ss Masa-energia, equivalencia, 15-10 s Milser, 42-10 Maxwell, J.C., 6-1, 6-9, 28-1, 40-8, 41-7, 46-5 Maxwell, ecuaciones de, 15-2, 25-3, 47-7 Mayer, J. R., 3-2 Mecimica cuimtica, 2-2, 2-6 ss, 6-10, 10-9, 37-1 SS, 38-1 SS Mecimica estadistica, 3-1, 40-1 ss Media de! cuadrado de la distancia, 6-5, 41-9 Media cuadratica, distancia, 6-6 Mendeleev, 2-9 Metodo cientifico, 2-1 s Metro (unidad), 5- IO MeV (unidad), 2-9 Michelson-Morley, experimento de, I5-3ss Miller, W.C.,35-2 Minkowski, 17-8 Modos de vibraciOn, 49-1 ss Modulaci6n de amplitud, 48-3 Mol (unidad), 39-10 Mol&:ula, 1-3 Momenta, dipolar, 12-6 de fuerza, 18-5 de inercia, 18-7, 19-5 ss Momentum, 9-1 s, 38-2 ss angular, 7-7, 18-5 ss, 20-1 conservaci6n de!, 4-7, I 8-6 5S, 20-5 de la Juz, 34-10 s lineal, 4-7, 10-1 ss relativista, 10-8 s, 16-1 ss MOssbauer, R., 23-9 Movimiento, 5-1, 8-1 ss arm6nico, 21-4, 23-1 ss browniano, 1-8, 6-5, 41-1 ss circular, 21-4 con vinculos, 14-3 molecular, 41-1 parab61ico, 8-10 perpetuo, 46-2 planetario, 7-1 ss, 9-6 s, 13-5 MUsculo, estriado, 14-2 liso, 14-2 MUsica, 50-1 Nernst, teorema cal6rica de, 44-11 Nervio 6ptico, 35-2 Neutrones, 2-4 Newton, I., 8-4, 15-1, 37-1 Newton, !eyes de, 2-6, 7-3, 7-11, 9-1 ss 10-1SS,11-7 S, 12-1, 39-2, 41-1, 46-1 Newton-metro (unidad), 13-3 Nishijima, 2-9 Niveles de energia, 38- 7 s Nodos, 49-2 Nube electr6nica, 6-11 Nuclear, energia, 4-2 fuerza, 12-12 secci6n eficaz, 5-9 NUcleo, 2-4, 2-8 ss NUmero, de avogadro, 41-10 de onda, 29-2 NUmeros complejos, 22-7 ss, 23-1 ss Nutaci6n, 20-7 Ohm (unidad), 25-7 Ohm, ley de, 25-7, 43-7 Ojo, compuesto, 36-6 ss humano, 35-l s, 36-3 ss Onda, ecuaci6n de, 47- l ss frente de, 47-3 longitud de, 26- l nfunero de, 29-2 Ondas, 51-1 ss de corte, 51-4 interferentes, 374 sinusoidales, 29-2 s Ondas electromagneticas, infrarrojas, 2-5, 23-8, 26-l luz, 2-5 rayos c6smicos, 2-5 rayos gamma, 2-5 rayos X, 2-5, 26-1 ultravioletas, 2-5, 26-1 Optica, 26-1 ss geometrica, 26-J, 27-1 ss OscilaciOn, amortiguada, 24-3 s amplitud de, 21-3 fase de, 21-3 JNDICE 4 frecuencia de, 2-5 peri6dica, 9-4 periodo de, 21-3 Oscilador, 5-2 arm6nico, 10-1, 21-1 forzado, 21-5 s, 23-3 ss Pappus, teorema de, 194 Paradoja de los mellizos, 16-3 ss ~::~~~~s4 ~~~dsamentales, 2-9 s Periodo de oscilaci6n, 21-3 Pitagoras, 50-1 Planck, M., 41-6, 42-8, 42-9 constante de, 5-10, 6-10, 17-8, 37-11 Plano inclinado, 4-4 Poder.de resoluci6n, 27-7 s, 30-5 s Poincare, H., 15-3, 15-5, 16-1 Polarizaci6n, 33-1 ss Potencia, 13-2 Presi6n, 1-3 Principia, de combinaci6n de Ritz, 3 8-8 de reciprocidad, 30- 7 de! tiempo minimo, 26-3 ss, 26-8 Principia, de indeterminaci6n, 2-6, 6-10 s, 37-9, 37-11, 38-8 s de inercia, 9-1 de los trabajos virtuales, 4-5 Probabilidad, 6-1 ss densidad de, 6-8 s distribuci6n de, 6-7 ss Problema de los tres cuerpos, 10-1 Procesos at6micos, 1-5 s Producto vectorial, 20-4 Prot6n, 2-4 Pllrpura visual, 35-9 Radiaci6n, amortiguamiento por, 32-3 s de Cerenkov, 51-2 de cuerpo negro, 41-5 s efectos relativistas en la, 34-1 ss electromagnetica, 26-1, 28-I ss de frenado, 34-6 s infrarroja, 23-8, 26-1 resistencia de, 32-1 ss sincrotr6nica, 34-3 ss, 34-6 ultravioleta, 26-1 Radiador dipolar, 28-5 s, 29-3 ss Radio, de Bohr, 38-6 de! electr6n, 32-4 Ramsey, N., 5-5 Rayleigh, criteria de, 30-6 ley de, 41-6 Rayos paraxiales, 27-2 Rayos X, 2-5, 26-1 Reacci6n quimica, 1-6 ss Reciprocidad, principio de, 30-7 Rectificaci6n, 50-9 Reflexi6n, 26-2, s Wtgulo de, 26-3 f6rmula de Fresnel para la, 33-8 Refracci6n, 26-2 s an6mala, 33-9 s indice, 31-1 ss Relatividad, galileana, 10-3 teoria de la, 7-11, 17-1 teoria especial de la, 15- l ss Relativista, dinfilnica, 15-9 s energia, 16-1 ss masa, 16-1 ss momentum, 10-8 s, 16-1 ss Reloj, at6mico, 5-5 de pfndulo, 5-2 radioactivo, 5-3 ss Resistencia, 23-5 Resistor, 23-5 Resonancia, 23-1 ss elfctrica, 23-5 ss en la naturaleza, 23- 7 ss Resonancias, 2-9 Respuesta transitoria, 21-6 Retina, 35-1 Roce, 10-5, 12-3 ss coeficiente de, 12-4 Roemer, 0., 7-5 Rotaci6n, de un cuerpo rigido, 18- 2 ss en dos dimensiones, 18-1 ss de ejes, 11-3 s en el espacio, 20-1 ss plana, 18-1 Rueda dentada y trinquete, 46-1 ss Ruido, 50-1 de Johnson, 41-2, 41-8 Rushton, 39-5 Rydberg (unidad), 38-6 Schr~.dinger, E., 35-6, 37-1, 38-9 Secc1on eficaz de dispersi6n, 32-7 de Thompson, 32-8 Segundo (unidad), 5-5 Seiial portadora, 48-3 Seudofuerza, 12-1 O ss INDICE 5 Shannon, C., 44-2 Simetria, l-4, II-I SS, 52-1 SS de las !eyes fisicas, !6-3 Simultaneidad, 15-7 s Sincrotr6n, 15-9, 34-3 ss, 34-6 Sism6grafo, 51-5 Sistemas lineales, 25-1 ss Smolochowski, 41-8 Snell, W., 26-3 Snell, ley de, 26-3, 31-2 Sonido, 2-3 Stevin, S., 4-5 Superposici6n de campos, 12-9 principio de, 25-2 ss Tamm, l, 51-2 Temperatura, 39-6 ss Teorla cinCtica, 42-1 ss de gases, 39-l ss Termodinfunica, 39-2, 45-I ss leyes de la, 44- r Tiempo, 2-3, 5-1 ss, 8-2 patrOn de, 5.. 5 periOdico, 5-1 s transformaci6n de!, 15-5 ss Tiempo mi."'l.imo, principio dcl, 26-3 ss, 26-8 de! tiempo, 15-5 ss de la velocidad, 16-4 ss Transformada de Fourier. 25-4 Transitorio, 24- l ss e!Cctrico, 24-5 s Traslaci6n de ejes, 11-1 ss Tri3:ngulo de Pascal, 6-4 Tubo de rayos elcctr6nicos, J 2-9 Tycho Brahe, 7-1 Ultravioleta, radiaci6n, 26-1 Vector, 11-5 ss Vector axial, 52-6 s Velocidad, 8-2 SS, 9-2 s componcntes de la, 9-3 de la luz, 15-J transfonnaci6n de la, 16-4 ss Velocidad, de fase, 48-6 del sonido, 4 7- 7 s Versor, 11·10 Vinci, Leonardo da, 36-2 Visi6n, 36-1 SS binocular, 36-4 de los colores, 35-1 ss Wapstra, 52·10 Watt (unidad), 13-3 Weyl, H., !l-1 principio de los, 4-5 Fourier, 25-4 Young, 35·7 Yukawa, H., 2-8 Yustova, H., 35-8 Zenon, 8-3 !NOICE 6