Àlgebra
Gerard Fortuny Anguera
Alfonsa García López
Ángel Alejandro Juan Pérez
Àgata Lapedriza Garcia
Núria Parés Mariné
Francesc Pozo Montero
Cristina Steegmann Pascual
Yolanda Vidal Seguí
Coordinació a càrrec de:
M. Antonia Huertas Sánchez
Àgata Lapedriza Garcia
Carles Serrat Piè
PID_00151928
Material docent de la UOC
© FUOC • PID_00151928
M. Antonia Huertas Sánchez
Doctora en Matemàtiques per
la Universitat de Barcelona (1994).
Ha estat professora agregada del
Departament d’Ensenyament de la
Generalitat de Catalunya i professora
associada del Departament de
Matemàtiques de la Universitat
Autònoma de Barcelona. Des de
2002, és professora dels Estudis
d’Informàtica i Multimèdia de
la UOC.
Alfonsa García López
Doctora en Matemàtiques per la
Universitat Complutense de Madrid.
És catedràtica de l’Escola
Universitària d’Informàtica de la
Universitat Politècnica de Madrid
en l’Àrea de Matemàtica Aplicada.
Va ser pionera en l’ús, en la docència
universitària, dels sistemes
informàtics de càlcul matemàtic
com Derive i Maple, i és autora
d’algunes publicacions sobre aquests
sistemes. També ha publicat altres
llibres de text i diversos articles
d’investigació.
Cristina Steegmann Pascual
Llicenciada en Matemàtiques per la
Universitat Autònoma de Barcelona
(1993). Actualment, treballa en la
seva tesi doctoral en l’àmbit de
l’e-learning dins del programa de
doctorat sobre la Societat de la
Informació i el Coneixement de
la UOC. Des de 1993, és funcionària
de carrera del cos de professors
d’ensenyament secundari, en la
especialitat de Matemàtiques, tasca
que compagina amb la de
professora consultora de la UOC.
Així mateix, ha publicat diversos
articles sobre ensenyamentaprenentatge de les matemàtiques.
Àlgebra
Àgata Lapedriza Garcia
Llicenciada en Matemàtiques per la
Universitat de Barcelona i doctora en
Informàtica per la Universitat
Autònoma de Barcelona (UAB). Ha
estat professora a la UAB de 2003 a
2008 i, arran de la seva experiència
professional, ha publicat diversos
articles sobre innovació docent en
l’àmbit universitari. Des de 2008 és
professora dels Estudis d’Informàtica,
Multimèdia i Telecomunicació de la
UOC, on coordina assignatures de
Matemàtiques i Informàtica. Com a
investigadora, la seva línia de recerca
se centra en el reconeixement facial i
l’aprenentatge artificial, dins de
l’àmbit de la intel·ligència artificial.
Ángel Alejandro Juan Pérez
Llicenciat en Matemàtiques per
la Universitat de València, màster
enTecnologies de la Informació
per la UOC i doctor en Enginyeria
Industrial per la UNED. Ha cursat
postgraus a les universitats
de Harvard, Alacant i València.
Ha estat professor i director
acadèmic en una high school de
Boston, professor associat a la
Universitat d’Alacant i professor
coordinador a la UOC. Des de l’any
2003, és professor associat
d’Estadística aplicada a la
Universitat Politècnica de Catalunya
i professor d’Informàtica en CFGS.
Carles Serrat Piè
Doctor en Matemàtiques per la
Universitat Politècnica de Catalunya
(UPC) (2001) i professor titular
d’universitat del Departament de
Matemàtica Aplicada I de la UPC.
Col·labora amb la UOC des de 1996,
com a consultor de Matemàtiques
en diferents titulacions de grau i
màster. Coautor de diverses
publicacions docents de la UPC i de
la UOC. La seva línia de recerca se
centra en l’àrea de l’estadística,
concretament en l’anàlisi de la
supervivència, tant des del punt de
vista metodològic com aplicat.
Núria Parés Mariné
Llicenciada en Matemàtiques per la
Universitat Politècnica de Catalunya
(UPC) (1999) i doctora en
Matemàtica Aplicada per la UPC
(2005). Des de l’any 2000 és
professora del Departament de
Matemàtica Aplicada III de la UPC,
actualment com a professora
agregada. Com a membre del
Centre Específic de Recerca LaCàN
(www-lacan.upc.edu) la seva recerca
se centra en els mètodes numèrics en
ciències aplicades i enginyeria. També
és membre del Grup d’Innovació
Matemàtica E-learning (GIMEL bibliotecnica.upc.edu/gimel), amb
el qual ha participat en nombrosos
projectes d’innovació docent.
Gerard Fortuny Anguera
Llicenciat en Matemàtiques per la
Universitat de Barcelona el 1998,
ha cursat estudis de tercer cicle a la
Universitat Politècnica de Catalunya.
Entre 2000 i 2003, ha estat membre
del cos de professors d’ensenyament
secundari i col·laborador de la UOC.
Des de l’any 2003, és professor
titular d’escola universitària
a la Universitat Rovira i Virgili.
Francesc Pozo Montero
Llicenciat en Matemàtiques per la
Universitat de Barcelona (2000) i
doctor en Matemàtica Aplicada per
la Universitat Politècnica de
Catalunya (2005). Ha estat professor
associat a la Universitat Autònoma
de Barcelona, i professor associat,
col·laborador i actualment professor
agregat a la Universitat Politècnica
de Catalunya. Cofunfador del Grup
d’Innovació Matemàtica E-learning
(GIMEL) i responsable de diversos
projectes d’innovació docent i autor
de diverses publicacions. Membre del
grup de recerca consolidat CoDAlab
(www-ma3.upc.es/codalab), la seva
recerca se centra en la teoria de
control i les seves aplicacions a
l’enginyeria mecànica i civil.
Yolanda Vidal Seguí
Llicenciada en Matemàtiques (1999)
i doctora en Matemàtica Aplicada
per la Universitat Politècnica de
Catalunya (2005). Ha estat
professora associada, col·laboradora,
i actualment és professora agregada
del Departament de Matemàtica
Aplicada III de la Universitat
Politècnica de Catalunya. És
coautora de diverses publicacions
docents de la UPC i ha participat en
nombrosos projectes d’innovació
docent en l’àmbit de l’aprenentatge
virtual (e-learning). La seva línia de
recerca se centra en la teoria del
control i en mètodes numèrics en
ciències aplicades i enginyeria.
Tercera edició: febrer 2010
© Gerard Fortuny Anguera, Alfonsa García López, Ángel Alejandro Juan Pérez, Àgata Lapedriza Garcia, Núria Parés Mariné, Francesc Pozo Montero,
Cristina Steegmann Pascual, Yolanda Vidal Seguí
Tots els drets reservats
© d’aquesta edició, FUOC, 2010
Av. Tibidabo, 39-43, 08035 Barcelona
Disseny: Manel Andreu
Material realitzat per Eureca Media, SL
ISBN: 978-84-692-9408-6
Dipòsit legal: B-3.977-2010
Cap part d’aquesta publicació, incloent-hi el disseny general i de la coberta, no pot ser copiada,
reproduïda, emmagatzemada o transmesa de cap manera ni per cap mitjà, tant si és elèctric, com
químic, mecànic, òptic, de gravació, de fotocòpia, o per altres mètodes, sense l’autorització
prèvia per escrit dels titulars del copyright.
© FUOC • PID_00151928
3
Introducció
Aquest material didàctic està pensat per a ser utilitzat en assignatures del
Grau d’Enginyeria Informàtica, el Grau de Tecnologies de Telecomunicació,
o altres enginyeries. Pretén ser, d’una banda, un pont cap a coneixements
matemàtics de nivell preuniversitari i, d’altra banda, abastar els temes bàsics
d’àlgebra que són un instrument per a altres assignatures específiques de l’enginyeria informàtica.
Els continguts es divideixen en dos grups: els nombres (mòdul 1) i l’àlgebra
lineal i la geometria (mòduls 2 a 5). Atès que formen part d’una primera assignatura universitària de matemàtiques, s’hi inclouen continguts que formen
part del currículum de secundària per a revisar-los i ampliar-los i també d’altres totalment nous.
El primer mòdul està dedicat als nombres. En primer lloc s’hi revisen conceptes i propietats importants dels nombres naturals amb aplicació a la informàtica. En particular, s’hi estudia el principi d’inducció. La segona part del mòdul
està dedicada als nombres complexos. Aquest tipus de nombres, que es fan servir per a la modelització matemàtica de processos físics, els utilitzareu en altres
assignatures relacionades amb la física i el tractament de senyals.
Els mòduls 2, 3 i 4 es dediquen a revisar i ampliar les eines d’àlgebra lineal i
geometria utilitzades especialment per a la resolució de sistemes lineals i la
seva interpretació geomètrica. S’hi introdueixen els conceptes nous de les aplicacions lineals i de diagonalització de matrius, i també els de vectors, ortogonalitat i projecció, d’aplicació en la informàtica gràfica, i en general quan
calgui treballar amb canvis de base i projeccions.
El cinquè mòdul tracta de les transformacions geomètriques més importants,
que tenen una evident relació amb la informàtica gràfica.
Els diferents mòduls han estat elaborats perquè els estudiants se centrin a
aprendre els conceptes matemàtics i la manera d’aplicar-los a la resolució de
problemes. Per això, s’ha volgut donar un enfocament eminentment conceptual i pràctic, apostant per l’ús intensiu del programari matemàtic existent i
per l’aplicació dels conceptes a la resolució de problemes d’àmbits relacionats
amb assignatures dels estudis d’Enginyeria. Al mateix temps, s’ha pretès mantenir el rigor característic de les matemàtiques, que és per ell mateix un valor
afegit, encara que mirant d’evitar l’excés d’algorísmica i de formalisme que puguin fer inviable un text per a estudis tècnics.
Àlgebra
© FUOC • PID_00151928
4
Els mòduls tenen estructura similar, encara que alguns d’aquests apartats poden no aparèixer:
• Coneixements previs aconsellables per a un bon aprofitament de l’aprenentatge del mòdul i exercicis perquè els estudiants puguin comprovar el
seu grau d’adquisició.
• Exemple introductori al tema del mòdul. Amb aquest element es pretén insistir en l’enfocament aplicat d’aquest material.
• Exposició dels conceptes i les seves aplicacions, i també l’ús de programari
matemàtic com a ajuda a l’aprenentatge, i nombrosos exemples que els
il·lustren. En alguns mòduls també hi ha activitats suggerides que inclouen
la solució al final.
• Resum amb els conceptes més significatius del mòdul.
• Exercicis d’autoavaluació de l’aprenentatge dels conceptes fonamentals.
• Solucionari dels exercicis d’autoavaluació.
• Glossari de termes.
• Bibliografia recomanada.
Àlgebra
© FUOC • PID_00151928
5
Objectius
Aquests mòduls didàctics formen part dels recursos docents d’una assignatura
introductòria d’àlgebra per a enginyeries. Per tant, els objectius perseguits
s’emmarquen en els mateixos del pla docent de l’assignatura corresponent; en
particular, es pretén assolir els objectius següents:
1. Revisar i completar els conceptes sobre els nombres naturals i les seves propietats. Conèixer el principi d’inducció i la seva aplicació a la informàtica.
2. Introduir el conjunt dels nombres complexos i entendre’n la utilitat. Conèixer com es representen i aprendre a manipular-los.
3. Revisar i completar els conceptes bàsics d’àlgebra i geometria (matrius, determinants, vectors, sistemes d’equacions).
4. Introduir alguns temes nous d’àlgebra lineal com les aplicacions lineals i la
diagonalització de matrius.
5. Introduir alguns temes nous de geometria com l’ortogonalitat i les transformacions geomètriques.
6. Conèixer les aplicacions dels conceptes matemàtics tractats amb diferents
exemples.
7. Aprendre a utilitzar el programari matemàtic com a part integrant de les
matemàtiques per a enginyeries.
Àlgebra
© FUOC • PID_00151928
6
Continguts
Mòdul didàctic 1
Els nombres
Alfonsa García López, Àgata Lapredriza Garcia, Núria Parés Mariné, Francesc
Pozo Montero, Yolanda Vidal Seguí
1. L’origen dels nombres
2. Els nombres naturals: el principi d’inducció
3. Els nombres complexos
Mòdul didàctic 2
Elements d’àlgebra lineal i geometria
Gerard Fortuny Anguera, Ángel Alejandro Juan Pérez
1. Exemple introductori
2. Espais vectorials
3. Matrius
4. Determinants
5. Equacions de rectes i plans
6. Producte escalar i ortogonalitat
Mòdul didàctic 3
Sistemes d’equacions lineals
Ángel Alejandro Juan Pérez, Cristina Steegmann Pascual
1. Exemple introductori
2. Sistemes d’equacions lineals (SEL)
3. Expressió matricial d’un SEL
4. Discussió de SEL
5. Sistemes lineals homogenis
6. Resolució de SEL per Gauss
7. Sistemes de Cramer. Resolució de SEL per Cramer
8. Interpretació geomètrica dels SEL
Mòdul didàctic 4
Aplicacions lineals
Ángel Alejandro Juan Pérez, Cristina Steegmann Pascual
1. Exemple introductori
2. Concepte d’aplicació lineal
3. Matriu associada a una aplicació lineal
4. Nucli i imatge d’una aplicació lineal
5. Morfismes i endomorfismes
6. Canvis de base en una aplicació lineal
7. Vectors i valors propis
8. Diagonalització d’endomorfismes
Àlgebra
© FUOC • PID_00151928
7
Mòdul didàctic 5
Transformacions geomètriques
Ángel Alejandro Juan Pérez, Cristina Steegmann Pascual
1. Exemple introductori
2. Translació en 2D
3. Rotació en 2D
4. Escalatge en 2D
5. Notació matricial eficient
6. Composició de transformacions
7. Transformacions afins en 2D
8. Transformacions geomètriques en 3D
Àlgebra