A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T OULOUSE T.-J. S TIELTJES Sur la réduction en fraction continue d’une série procédant suivant les puissances descendantes d’une variable Annales de la faculté des sciences de Toulouse 1re série, tome 3 (1889), p. H1-H17 <http://www.numdam.org/item?id=AFST_1889_1_3__H1_0> © Université Paul Sabatier, 1889, tous droits réservés. L’accès aux archives de la revue « Annales de la faculté des sciences de Toulouse » (http://picard.ups-tlse.fr/~annales/) implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions). Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente mention de copyright. Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques http://www.numdam.org/ SUR LA RÉDUCTION EN FRACTION CONTINUE D’UNE SÉRIE PROCÉDANT SUIVANT LES PUISSANCES DESCENDANTES D’UNE VARIABLE, PAR M. T.-J. STIELTJES. 1. Soit . série procédant suivant les puissances descendantes de x. Il est clair qu’on pourra, en général, la transformer en fraction continue de la manière une suivante : En désignant alors par les réduites de cette fraction puissances descendantes de coïncident avec ceux de S. Pn Qn développement de suivant les x donnera une série dont les n premiers termes continue, le H.I La fraction continue F peut et,’ en transformer encore en F’ l I ? p;L ~ ~ ~ ~ les réduites de cette seconde frac72014 == 2014~2014 x -~-- c1 ~,z désignant par g i Qi1 continue, se on a c ~ identiquement 2. Il est clair que les coefficients Co, c,~ ... , c~, sont des fonctions tionnelles de a0, a1, ..., an, ...; Cn, du reste, ne dépend que de a0, a1, ..., an. Posons ... ra- on aura La démonstration de ces formules ne présente aucune difficulté, et nous y arrêterons pas, renvoyant le lecteur qui désire plus de détails sur ce sujet aux Mémoires suivants: ne nous FROBENIUS und STICKELBERGER, Ueber die Addition und tischen Functionen. (Journal de Borchardt, t. 88.) Multiplication der ellip- FROBENIUS, Ueber Relationen zwischen den Näherungsbrüchen von Potenzreihen. (Journal cle Borchardt, t. 90.) - 3. Mais le problème de la transformation de la série en fraction continue est susceptible d’une autre solution que nous allons développer. Envisageons d’abord le problème inverse , c’est-à-dire cherchons à Nous proposons, pour ce exprimer réciproquement les an au moyen des problème, la solution suivante : Calculons d’abord une série de quantités rLi,k, d’après les formules suivantes : Si l’on on en dispose ces quantités dans le Tableau suivant voit que chaque colonne verticale effectuant le calcul, on a se : déduit de celle qui la précède, et, posé, les quantités an, s’expriment au moyen des qu’il est indiqué par le théorème suivant: I La forme quadratique à une infinité de variables Ceci ... ~31,k, ainsi . égale à de même la f est orme quadratique égale à 4. Pour démontrer Ce sont là des formes suivantes ce théorème, soient quadratiques qu’on pourra mettre sous les formes Nous remarquons d’abord que En effet, la valeur de Ai+f ,k est c’est-à-dire, d’après les relations (7’/), tandis que la valeur de Bi,k est c’est-à-dire, d’après les relations ( ~’~, L’identité des Il expressions (8) et (g) est évidente. est clair qu’on aura de la même façon donc d’où l’on conclut que généralement la condition 1 + k r + s. On voit par là qu’il existe une série de sous telles que l’on = a identiquement quantités De on plus, si l’on remarque que, d’après notre algorithme, on a conclut directement les valeurs des déterminants les formules que nous avons rappelées dans le n° 2 montrent alors que, en réduisant en fraction continue la série et on obtient la fraction continue Le théorème énoncé est ainsi démontré. 5. On voit, par ce qui précède, que l’on pourra écrire immédiatement la fraction continue F, dès que l’on aura obtenu les décompositions en carrés des formes quadratiques . Nous ajoutons que, en connaissant seulement la décomposition en carrés de pourra écrire immédiatement la fraction continue F’. En fraction continue figurent seulement les quantités on Les premières sont connues immédiatement. Quant aux autres, il suffit d’ob- server pour que en Sous conclure une forme II Si l’on . on a rn a même légèrement modifiée, nous pouvons dire: identiquement temps 6. Nous allons donner maintenant quelques rèmes. Considérons pour cela le développement On effet, dans cette trouve applications de ces théo- facilement Généralement an nômes est très polynôme du degré n en k; mais la loi de ces polycompliquée. Nous allons voir que la réduction en fraction est un continue de conduit à des Soit expressions très simples pour les c". calculant les dérivées successives f’, en f ", ... , on obtient Posons, pour abréger, voit facilement que l’on on ?w aura généralement 03C8m étant des polynômes du degré m en z. En prenant les dérivées, on trouve les relations et Nous désignons ici par c~m les dérivées de Ces relations permettent de calculer de proche et ~, et si nous posons maintenant il en résulte les relations suivantes : de ~,n par rapport à .~. proche les polynômes ’? et en et En comparant ces relations avec l’algorithme que nous avons exposé dans le n° 3, on reconnaît que les quantités sont exactement celles qu’on aurait obtenues là en partant des valeurs et l’on en conclut, sans la moindre difficulté, En remarquant que et que, par donne on ce conséquent, l’intégrale développement ( divergent) obtient enfin ce résultat Nous nous bornerons ici à considérer la transformation de la série en fraction continue au point de vue purement formel. Dans une autre occa- ferons voir que la fraction continue que nous venons d’obtenir o, convergente et représente effectivement l’intégrale si l’on sion, est nous Notons, positif. en passant, le La formule cas particulier If = (l.o) se réduit alors à cette 7. Nous allons donner maintenant sidérons pour cela la fonction une l2~ 12 étant un nombre entier identité algébrique - application du théorème IL Con- le module étant A comme (Tordinaire. En calculant les dérivées successives, on voit qu’on où nous avons Il ct, est ’ a posé, pour abréger, clair ensuite que d’après la série de Taylor, on les formules a ( T I ), = k sin am2 x. D’autre part, La on a, d’après les formules d’addition, comparaison avec (12) fait voir que (Fou l’on conclut, par intégration, h sin Si l’on sc rappelle que z s’écrire ta formule (12) peut = tandis que le premier membre est am2 x, on voit que lc second membre de La comparaison de deux ces expressions donne cette relation remar- quable ou, cc qui revient au même, x Ayant ainsi obtenu la décomposition en carrés de £ o peut écrire immédiatement la réduction en ; b" b.,; c2, n’a aucune difficulté, à l’aide des formules (i3). En modifiant légèrement le résultat ainsi obtenu, l’on écrit (divergente) qui provient de l’intégrale donne la fraction continue en posant, pour abréger, (convergente) 1 + k2 == l. 8. La considération des dérivées successives de cosamx, on 0 fraction continue de la série a0 x - a1 a2 +.... Il suffit pour cela de calculer la série co 0394am x nous c3, ..., trouvons ce (lui que, si conduit à des résultats analogues, mais qui offrent encore une application du théorème I. Soit J( x) cosamx :: en introduisant encore la quantité = == ~ les dérivées d’ordre pair se présentent sous la forme suivante = et il estclair que Le théorème de ou bien, en Taylor donne ensuite introduisant les valeurs ( I ~ ), D’autre part, les formules d’addition donnent La comparaison avec (16) montre que ( hl voit par là que lc second membre de la formule te premier membre est égal La ou, (16) peut s’écrirc à comparaison de ces deux expressions conduit à la ce relation qui revient au mêrne, 9. La considération des dérivées d’ordre donner une formule analogue. On sous la forme suivante : trouve impair de f = cos am x va nous que ces dérivées se présentent 11 est à remarquer que a., a.,, a3, ont ici les mêmes valeurs que dans les formules (15), mais il n’cn est pas de même des bl, ci, Cette ouon à si l’on est car marque peu près évidente, prend encore ao i, tire des formules (i)) le développement ... .... == La formule de Taylor donnc et, si l’on introduit les valeurs ( r ç~ ), or on a donc, par comparaison avec (20 ), Le second membre de la formule tandis que Je (On en (20) s’écrit donc premier membre est conclut ou encore carrés données par les formules (18) et ( 2 2) permettent maintenant d’écrire immédiatement la fraction continue F, qui résulte de la série Les décompositions en En changeant ainsi: soit légèrement alors la série (divergente) qui provient de l’intégrale les notations, nous écrivons le résultat final H.I7 donne la fraction continue Et une écrit analyse la série (divergente ) toute ( convergente ) semblable conduit encore à ce résultat que, si l’on qui provient de l’intégrale donne la fraction continue (convergente) La démonstration que ces fractions continues convergentes représentent effectivement les intégrales dépend de considérations toutes différentes que nous nous réservons de développer dans un autre Mémoire.