単項式とは？ わかりやすく解説

数学における単項式（たんこうしき、英: monomial）とは、大ざっぱに言えばただひとつの項しかもたない多項式（整式）のことをいう。単項式は多項式（あるいは形式冪級数）の項として、一般の多項式（形式冪級数）を構成する構成ブロックの役割を果たす。"polynomial"（多項式）という単語は「多数」を意味する接頭辞 "poly-" に（「部分」を意味する）ギリシャ語 "νομός" (nomós) を足したものに由来するので、monomial（単項式）は理論上は "mononomial" と呼ばれるべきであり、"monomial" は "mononomial" の語中音消失 (haplology) である^[1]。

定義

単項式とは、変数の冪積（べきせき、power product）^{[注釈 1]}と係数と呼ばれる定数との積として書ける多項式の一種を言う。任意の変数 x に対する x⁰ に関して空積の規約のもと 1 (=x⁰) と見なされるから、定数も定数項のみからなる単項式と考えるのが普通である。

変数を x, y, z とし、係数を複素数にとれば

−7x⁵ や (3 − 4i)x⁴yz¹³

などを単項式の例に挙げることができる。多項式における変数の冪指数は非負整数に限られるから、ここでの冪積に現れる冪指数もそのようなものに限る。ただし、特定の文脈において多項式を一般化する概念を単に「多項式」と呼ぶような場合には、それに対応する意味での「単項式」の冪指数も非負整数以外の値を取り得る。例えばローラン級数の文脈における「単項式」（ローラン単項式）の指数は負でもよく、ピュイズー級数（英語版）の文脈における「単項式」（ピュイズー単項式）の指数は有理数となり得る。

係数を持たない変数の（非負整数冪の）冪積という意味に限って「単項式」と呼ぶ場合も少なからずある^{[注釈 2]}。この意味における単項式は、一変数の場合 非負整数 n を冪指数とする x の冪 xⁿ に限られる（n = 0 のときは 1 になる）。多変数の場合、例えば変数が x, y, z のとき任意の単項式は a, b, c を非負整数として

${\displaystyle x^{a}y^{b}z^{c}}$Category:多項式