A diagram of an alias table that represents the probability distribution〈0.25, 0.3, 0.1, 0.2, 0.15〉 In computing, the alias method is a family of efficient algorithms for sampling from a discrete probability distribution, published in 1974 by Alastair J. Walker.[1][2] That is, it returns integer values 1 ≤ i ≤ n according to some arbitrary discrete probability distribution pi. The algorithms typic
はじめに 指定された重みに従って離散的な値を確率的に選択したい、ということがよくある。例えば[1,4,5]という配列が与えられた時、確率10%で0、40%で1、50%で2というインデックスを返すような関数が欲しい。 普通に考えると部分和をとって乱数を一度振り、どの場所が選択されたか二分探索で調べる、というアルゴリズムが思いつくが、これは要素数Nに対して$O(\log(N))$の手間がかかる。logの手間というのは無視できることが多いが、この関数呼び出しが頻繁にある場合には無視できないコストになる。 さて、こんな用途のためにWalker's Alias Methodというアルゴリズムがある。この手法は一度$O(N)$の手間で配列を作ってしまえば、後は$O(1)$でインデックスを選ぶことができる。 例えば重みとして[3, 6, 9, 1, 2, 3, 7, 7, 4, 8]という10個の要素を
マルコフ連鎖モンテカルロ法は多自由度系に対する強力な数値積分手法として，さまざまな分野で広く用いられている．この手法では，積分変数を状態変数とみなして，状態を逐次的に更新するシミュレーションを行う．このとき状態遷移が確率的であることがモンテカルロ法の特徴である．十分長時間のシミュレーションにより，任意の分布（例えばボルツマン分布）からの状態サンプリングが可能となる． ここで確率的な状態遷移を，状態空間中でのランダムウォークとみなすことができる．遷移確率は，通常，詳細つりあいを満たすように決められる．これは状態空間に正味の確率流がないこと，つまりは平衡状態からのサンプリングに対応する．このときの時間発展ダイナミクスは可逆である． マルコフ連鎖モンテカルロ法では，ランダムウォークのおかげで，長時間待てばどんな複雑な分布からもサンプリングができるが，悩ましいことに，そのランダムさゆえに計算効率が
第1章 確率論の基礎 1.1 ランダム事象と確率 1.2 確率空間と確率変数 1.3 確率変数の独立性 1.4 確率変数の相関 1.5 確率変数の和 1.6 確率変数の変換 1.7 累積分布関数と特性関数 1.8 モーメントとキュムラント 1.9 多変量の確率変数 第2章 確率積分と確率微分方程式 2.1 ランダムな運動 2.2 確率過程 2.3 ブラウン運動とその性質 2.4 ブラウン運動と確率積分 2.5 確率微分方程式 2.6 伊藤の公式 2.7 確率微分方程式の具体例 2.7.1 オルンシュタイン・ウーレンベック過程 2.7.2 幾何ブラウン運動 2.7.3 一般化コーシー過程 2.7.4 多変数オルンシュタイン・ウーレンベック過程 第3章 マルコフ過程の性質 3.1 確率密度関数による表現 3.2 マルコフ過程 3.3 フォッカー・プランク方程式の導出 3.4 フォッカー・プラン
理解に近道はない．だからこそ，初学者目線を忘れないペース配分と励ましで伴走する入門書．可能な限り図に語らせ，道具としての統計手法を，しっかり数学として（一部は割り切って）学ぶ．独習・学び直しに最適 本書の使い方 統計学を学ぶ心がけ／予備知識／本書の学び方／のんびり取り組む／本書の難所／練習問題を解く／数学が得意なら／ご協力ください 序章 はじめに １．統計学の必要性 ２．散らばり（バラツキ） ３．基本的な用語と概念 ①観測値と標本 ②母集団 ③統計学の目的 ④統計学の理論を支える土台 ⑤単純無作為標本 ４．本書の２本柱 ①平均の比較 ②2変数の関係 ５．検定統計量 第Ⅰ部 統計的仮説検定の論理 １章 検定の論理（二項検定を教材として） １．例題1：B薬はA薬より有効か？ ①例題1.1：18人に効果がある場合 ②例題1.2：14人に効果がある場合 ③例題の解答 ２．二項分布 ①二項係数 nC
縦線が m+1m+1m+1 本，横棒が nnn 本であるようなあみだくじを考えます。 nnn 本の横棒は「ランダムに」引かれています。ここで言うランダムとは，各々の横棒が mmm 箇所のどこに引かれる確率も 1m\dfrac{1}{m}m1 であるという意味です。実現されうるあみだくじのパターンは mnm^nmn 通りあります。 このとき，aaa 番からスタートして bbb 番に到達する確率 Pm,n(a,b)P_{m,n}(a,b)Pm,n(a,b) がどうなるのかという問題を考えます（左端を 000 番，右端を mmm 番とします）。 実際に確率を計算する部分はけっこう大変な数学になるので後回しにして，まずは m=5m=5m=5（縦線が6本）の場合の計算結果を紹介します。 〜 n=10n=10n=10 の場合〜 下の表は縦がスタート地点の場所，横がゴール地点の場所，数値が確率を表し
第1章 機械学習による適応的実験計画とベイズ最適化 1.1 データ駆動型実験科学とベイズ最適化 1.2 ブラックボックス最適化とハイパーパラメータ最適化 1.3 ベイズ最適化 第2章 ブラックボックス関数のベイズモデリング 2.1 ベイズ線形回帰モデル 2.2 ガウス過程回帰モデル 第3章 ベイズ最適化のアルゴリズム 3.1 はじめに 3.2 改善確率量獲得関数 3.3 期待改善量獲得関数 3.4 信頼下限獲得関数 3.5 トンプソン抽出獲得関数 3.6 エントロピー探索獲得関数 3.7 予測エントロピー探索獲得関数 3.8 ベイズ最適化の終了条件 3.9 出力の生成方法 3.10 ハイパーパラメータの取り扱い 第4章 Optuna によるベイズ最適化の実装方法 4.1 Optuna とは 4.2 Optuna の基礎的な使い方 4.3 Optuna におけるベイズ最適化 4.4 BoTo
Read my manifesto on Code as an alternative to Mathematics. Code for this article can be found on this Colab Notebook should you choose to follow along. Why Kalman Filters? Kalman filters are ingenius. If you have never heard of them, then a very intuitive (and arguably reductive) way to think about them is to consider them as a funnel where you pour information from multiple noisy sources to cond
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