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- En matemàtiques, el nombre 0,999… amb el 9 com un nombre decimal periòdic, denota el nombre natural u. En altres paraules, les notacions «0,999…» i «1» representen el mateix nombre en el sistema de nombres reals. Les demostracions d'aquesta igualtat s'han formulat amb diversos graus de rigor matemàtic, tot depenent del mètode preferit per definir els nombres reals, les hipòtesis i suposicions de partida, el context històric i l'audiència d'objectiu. Certs nombres reals es poden representar per més d'una cadena de dígits i aquest fet no és un cas que es limiti al sistema decimal. El mateix fenomen succeeix en totes les bases d'enters, i els matemàtics també han quantificat les formes per escriure 1 en . Aquest tampoc no és un fenomen únic de l'1: tots els nombres diferents de zero amb una representació decimal finita tenen un bessó periòdic pur acabat en xifres decimals iguals a 9, com 28,3287 i 28,3286999… Per a simplificar-ho, el decimal finit és gairebé sempre la representació preferida, contribuint a una mala interpretació el fet que sigui l'única representació. Fins i tot de manera més general, qualsevol sistema de numeració posicional conté una quantitat infinita de nombres amb representacions múltiples. Aquestes diverses identitats s'han aplicat d'aquesta manera per entendre més bé els patrons en les expansions decimals de fraccions i l'estructura d'un fractal simple, el conjunt de Cantor. També apareixen en la investigació ja clàssica de la infinitat del conjunt sencer dels nombres reals. La igualtat ha estat acceptada durant molt de temps pels matemàtics professionals i s'ha ensenyat en els llibres de text. En les darreres dècades, els experts en l'ensenyament de matemàtiques han estudiat la percepció d'aquesta igualtat entre els estudiants, molts dels quals inicialment qüestionen o rebutgen aquesta igualtat. Molts es basen en una apel·lació a l'autoritat d'acord amb determinats llibres de text i professors, o per raonaments aritmètics com els de no acceptar que els dos siguin iguals. Tanmateix, alguns sovint se senten prou molestos per buscar una altra justificació. El raonament dels estudiants per negar o afirmar la igualtat es basa típicament en un error –d'entre uns quants errors comuns–, provocat pel comportament contrari a la intuïció dels nombres reals. Per exemple, que cada nombre real té una expansió decimal única, que els nombres reals infinitesimals diferents de zero haurien d'existir, o que l'expansió de 0,999… finalment acaba. Es poden construir sistemes de nombres que compleixin algunes d'aquestes intuïcions, i en alguns d'aquests sistemes la igualtat és falsa. Cal considerar que aquests sistemes de nombres són diferents al sistema de nombres reals estàndard que es fa servir en matemàtica elemental, i que ja s'ha comentat. En efecte, algunes construccions de nombres contenen nombres que són "infinitesimalment" propers a 1; generalment no estan relacionats amb 0,999…, però són d'interès considerable en anàlisi matemàtica. (ca)
- في الرياضيات، التكرار العشري ...0.999 (يكتب في بعض الأحيان مع عدد أكثر أو أقل من التسعات قبل القطع النهائي، أو 0.9، أو (9).0، أو ) هو عدد حقيقي يساوي رقم واحد. وبعبارة أخرى، فإن رموز "...0.999" و "1" يمثلان نفس العدد. وقد وضِعت البراهين على هذه المساواة مع درجات متفاوتة من الصرامة الرياضية، مع مراعاة تقريب الأرقام الحقيقية، والافتراضات الاساسية، السياق التاريخي، والجمهور المستهدف. ماعدا الصفر، فإن كل الأعداد المُنتهية عشرياً لديها توأم مساواي لها متمثل بالعدد المتكرر عشريا من التسعات (على سبيل المثال، 8.32 و...8.31999). المساواة بين...0.999 و 1 يرتبط ارتباطاً وثيقا بغياب العدد الموحل في الصغر في نظام العدد الحقيقي. مع وجود أنظمة عددية أخرى مثل الأعداد الحقيقية الفائقة تشابه نظام العدد الحقيقة في عدم احتوائها على العدد الموحل في الصغر. في مثل هذه الانطة العددية (والتي تمثل معظم أنظمة التحليل الرياضي) فان العدد...0.999 يُعبر عنه على أنه مساوي ل1، ولكن في الأنظمة العددية الأخرى، رمز "...0.999" يأخذ تعريفاً آخر حيث الرقم ذو العدد الغير متناهي من التسعات يخفق في الوصول إلى العدد 1 بفارق العدد الموحل بالصغر. تم قبول المساواة بين...0.999 = 1 من قبل الرياضيين وأصبح جزءاً من التعليم الرياضي العام. لكن على الرغم من ذلك، تجد بعض الطلاب لاستغراب المساواة أو رفضها، وعادة ما تكون هناك صعوبة في إقناعهم بصحة هذه المساواة لذا فهي موضوع العديد من الدراسات في تعليم الرياضيات. (ar)
- Στα μαθηματικά, ο περιοδικός δεκαδικός 0,999…, ο οποίος μπορεί επίσης να γραφτεί ως ή , συμβολίζει ένα πραγματικό αριθμό που μπορεί να αποδειχθεί πως είναι ο αριθμός 1. Με άλλα λόγια, οι συμβολισμοί "0,999…" και "1" αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό. Η ισότητα 0,999… = 1 είναι εδώ και καιρό αποδεκτή από τους μαθηματικούς και συμπεριλαμβάνεται σε ακαδημαϊκά συγγράμματα. Τις τελευταίες δεκαετίες οι ερευνητές της μελέτησαν τον βαθμό στον οποίο το κοινό αποδέχεται την εν λόγω ισότητα. Μερικοί την απορρίπτουν λόγω των αντιλήψεων τους ότι κάθε αριθμός έχει μοναδική , ότι θα πρέπει να υπάρχουν μη-αρνητικοί αριθμοί, ή ότι η γραφή του 0,999… και κατ' επέκταση το πλήθος των ψηφίων του είναι πεπερασμένο. Γενικά, βάσει της ισότητας 0,999...=1 κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο τρόπους, ως απλός δεκαδικός αριθμός και ως περιοδικός αριθμός (επί παραδείγματι το 8,32 και το 8,31999... αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό). Η πρώτη αναπαράσταση είναι αυτή που προτιμάται σχεδόν πάντα με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί η λανθασμένη αντίληψη ότι είναι η μόνη αναπαράσταση. (el)
- In mathematics, 0.999... (also written as 0.9, in repeating decimal notation) denotes the repeating decimal consisting of an unending sequence of 9s after the decimal point. This repeating decimal represents the smallest number no less than every decimal number in the sequence (0.9, 0.99, 0.999, ...); that is, the supremum of this sequence. This number is equal to 1. In other words, "0.999..." is not "almost exactly" or "very, very nearly but not quite" 1 – rather, "0.999..." and "1" represent exactly the same number. There are many ways of showing this equality, from intuitive arguments to mathematically rigorous proofs. The technique used depends on the target audience, background assumptions, historical context, and preferred development of the real numbers, the system within which 0.999... is commonly defined. In other systems, 0.999... can have the same meaning, a different definition, or be undefined. More generally, every nonzero terminating decimal has two equal representations (for example, 8.32 and 8.31999...), which is a property of all positional numeral system representations regardless of base. The utilitarian preference for the terminating decimal representation contributes to the misconception that it is the only representation. For this and other reasons—such as rigorous proofs relying on non-elementary techniques, properties, or disciplines—some people can find the equality sufficiently counterintuitive that they question or reject it. This has been the subject of several studies in mathematics education. (en)
- Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) bezeichnet die reelle Zahl 1.Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar (siehe Stellenwertnotation). Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe. Ferner hat jede abbrechende Dezimalzahl ungleich 0 eine alternative Darstellung mit unendlich vielen Neunern, zum Beispiel 8,31999… für 8,32. Die abbrechende Darstellung wird wegen der Kürze meist bevorzugt, was die Fehlannahme begünstigt, sie sei die einzige. Das gleiche Phänomen tritt auch in anderen Basen auf. Gleichwohl wurden Systeme entwickelt, in denen die Gleichung nicht gilt. Dieser Artikel soll eine Übersicht geben, unter welchen mathematischen Regeln der Symbolfolge 0,999… welche mathematische Bedeutung gegeben werden kann. (de)
- Matematike, la 0,999…, kiu estas ankaŭ skribita kiel , aŭ , estas reela nombro egala al 1. Alie dirita, la skribaĵoj "0,999…" kaj "1" reprezentas la saman reelan nombron. Tiu egaleco estas sciita de profesiaj matematikistoj kaj skribita en matematikaj lernolibroj. Pluraj pruvoj de tiu idento estis kreita laŭ diversaj niveloj kaj gradoj de rigoro, preferata evoluo de la reelaj nombroj, jamscia fono, historia kunteksto, kaj celita aŭskultantaro. En la lastaj dekjaroj, esploristoj pri studis, kiel studentoj akceptas tiun egalecon. Multo da ili kontestas la egalecon, almenaŭ unue. Post legado de lernolibroj, klarigado de intruisto, kaj legado de pruvoj, multo opinias malsame kaj akceptas, ke la du nombroj estas samaj. Tamen, ili ofte estas tiel necerta, ke ili asertas pli da malpravaj pravigoj. La rezonado de la studentoj ofte rilatas al malĝustaj intuicioj pri reelaj nombroj. Ekzemple, ili ofte pensas, ke ĉiu reela nombro havas malsimilan decimalan ekspansion, ke ekzistas nenulaj malfiniomalgrandaj reelaj nombroj, aŭ ke la ekspansio de 0,999… finiĝas eventuale. La ne-malsimileca de tiaj ekspansioj ne videblas nur en la dekuma sistemo. La sama fenomeno okazas per aliaj entjeraj bazoj (alia ol 10), kaj matematikistoj trovis metodojn skribi 1 per ne-entjeraj bazoj. Tiu fenomenoj vidiĝas ankaŭ je aliaj nombroj: ĉiu nenula nombro, kies decimaloj finiĝas havas ĝemelon, kiu havas ne-finiĝantan naŭojn. Por esti simpla, la versio havanta finiĝantan decimalojn estas preskaŭ ĉiam preferata, kaj tial oni ofte pensas, ke ĝi estas la sola prezento. Fakte, kiam senfinaj ekspansioj estas permisataj, ĉiuj posiciaj numeralaj sistemoj enhavas senliman nombron da alternativaj prezentoj de ĉiu nombro. Ekzemple, 28,3287 estas 28,3286999…, kaj 28,3287000, kaj aliaj. Tiuj pluraj identoj estas helpiloj por la kompreno de la decimala ekspansio de frakcioj, kaj la strukturo de simplaj fraktaloj, la aro de Kantor. Numerala sistemoj per kiu la egaleco ne okazas povas esti konstruata, sed tiuj sistemoj estas ĉiam ekster la sistemo de reelaj nombroj. (eo)
- Matematikan, 0,999... (koma bereizle hamartarra izanik) bat balio duen zenbaki hamartar periodikoa da. Bestela esanda, "0,999..." eta "1" sinboloak zenbaki erreal beraren bi errepresentazio ezberdin dira. Berdintasun honen frogapen matematikoak zehaztasun maila ezberdinekin formulatu dira, zenbaki errealak, hasierako hipotesiak eta suposizioak, testuinguru historikoa edo hartzailea definitzeko aukeratutako metodoaren arabera. Zenbaki erreal batzuk digitu sekuentzia batez baino gehiagoz irudikatu ahal izatea ez da sistema hamartarrera mugatzen. Fenomeno bera oinarri guztietan gertatzen da, eta matematikariek ere 1 idazteko moduak oinarri ez-osoetan kuantifikatu dituzte. 1 zenbakira mugatutako fenomenoa ere ez da: zenbaki hamartar ez-baliogabe orok biki bat du, bederatzi amaigabeekin, adibidez: 2 eta 1,999... bi zenbaki naturala ordezkatzen dute; 28,3287 eta 28,3286999... zenbaki hamartar bera ere ordezkatzen dute. Sinpletasunaren mesede, hamartar finitua, ia beti, irudikapen gogokoena da, irudikapen bakarra dela oker interpretatzen lagun dezakeena. Bestalde, zenbaki baten forma ez terminalak zati batzuen hedapen hamartarraren patroiak errazago aztertzeko aukera ematen du; , adibidez, egitura hirutarra adierazteko aukera ematen du, fraktal sinple bat. Errepresentazio anizkoitza kontuan hartu behar da zenbaki errealen zenbakitasun ezaren demostrazio klasikoan. Modu orokorragoan, zenbaki errealen edozein zenbaketa posizionalek errepresentazio anizkoitzak dituzten zenbakien kopuru infinitua dauka. 0,999... = 1 berdintasuna aspalditik onartu dute matematikariek eta testuliburuetan sartu dute. Azken hamarkadetan, matematikako irakasleek ez dute ikasleen artean berdintasun horren pertzepzioa aztertu nahi izan, eta horietako askok zalantzan jarri edo ukatu egin dute. Asko testuliburuen eta irakasleen autoritatearekiko apelazio baten bidez edo arrazonamendu aritmetikoen bidez konbentzitzen dira. Hala ere, batzuk ez dira konformatzen eta, beraz, geroko justifikazio bat bilatzen dute. 0,999... = 1 berdintasuna oso lotuta dago baliogabeak ez diren zenbaki erreal infinitesimalen gabeziarekin. Zenbaketa-sistema alternatibo batzuek, adibidez, bai dituzte infinitesimal ez-deusezak; sistema horietan, errealetan ez bezala, egon daitezke zenbaki batzuk 1etik zenbaki arrazionaletara dagoen aldea baino txikiagoa dutenak. Beste sistema batzuek, adibidez , "hedapen hamartarraren" beste forma bat dute, zenbaki errealen hedapenaren oso bestelakoa dena. Nahiz eta zenbaki errealak analisi matematikoaren esparruan aztergairik ohikoena izan, hipererrealek eta p-adikoek aplikazioak dituzte arlo honetan. (eu)
- En matemáticas, 0,999... (siendo la coma un separador decimal) es el número decimal periódico que denota al número 1.[cita requerida] En otras palabras, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintas del mismo número real. Las demostraciones matemáticas de esta igualdad han sido formuladas con diferentes grados de rigor, dependiendo del método elegido para definir los números reales, las hipótesis y suposiciones de partida, el contexto histórico o el público al que se dirige. El hecho de que ciertos números reales puedan ser representados por más de una secuencia de dígitos no se limita al sistema decimal únicamente. El mismo fenómeno ocurre en todas las bases enteras, y los matemáticos también han cuantificado los modos de escribir 1 en bases no enteras. Ni siquiera se trata de un fenómeno restringido al número 1: todo número decimal finito no nulo tiene un gemelo con infinitos nueves, por ejemplo: 2 y 1,999... representan al número natural dos; 28,3287 y 28,3286999... también representan al mismo número decimal. Por simplicidad, el decimal finito es casi siempre la representación preferida, lo que puede contribuir a una equivocada interpretación de que es la única representación. Por otra parte, la forma no terminal de un número permite estudiar más fácilmente los patrones de la expansión decimal de ciertas fracciones; en base tres, por ejemplo, permite expresar la estructura ternaria del conjunto de Cantor, un fractal simple. La representación múltiple debe tomarse en cuenta en la demostración clásica de la no numerabilidad de los números reales. De manera más general, cualquier sistema de numeración posicional de los números reales, contiene una cantidad infinita de números con representaciones múltiples. La igualdad 0,999... = 1 ha sido aceptada desde hace tiempo por los matemáticos y se la incluye en los libros de texto. No ha sido hasta las últimas décadas en que los enseñantes de matemática se han inclinado por estudiar la percepción de esta igualdad entre los estudiantes, muchos de los cuales inicialmente la cuestionan o la niegan. Muchos se persuaden por una apelación a la autoridad de los libros de texto y los profesores, o por razonamientos aritméticos. Sin embargo, algunos no se conforman, por lo que buscan una justificación ulterior. La igualdad 0,999... = 1 está íntimamente relacionada con la ausencia de números reales infinitesimales no nulos. Algunos sistemas de numeración alternativos, como los números hiperreales, sí contienen infinitesimales no nulos; en estos sistemas, a diferencia de los reales, puede haber números cuya diferencia con el 1 sea menor que cualquier número racional. Otros sistemas, como por ejemplo los números p-ádicos, tienen otra forma de «expansión decimal», que se comporta de manera muy distinta a la expansión de los números reales. Aunque los números reales son el objeto de estudio más común en el campo del análisis matemático, tanto los hiperreales como los p-ádicos tienen aplicaciones en esta área. (es)
- En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé. Le fait que certains nombres réels peuvent être représentés par plus d'une chaîne de « décimales » n'est pas limité au système décimal, c'est-à-dire de base dix. Le même phénomène a lieu dans toutes les bases entières, et les mathématiciens ont aussi repéré la manière d'écrire 1 dans des systèmes à base non entière. Ce phénomène n'est d'ailleurs pas spécifique au nombre 1 : tout nombre décimal non nul a une écriture finie et une autre écriture avec une infinité de 9, comme 18,32 = 18,31999…. L'écriture avec un nombre fini de décimales est plus simple, et est presque toujours celle que l'on préfère, ce qui contribue au préjugé que c'est la « seule » représentation. Cependant, l'autre forme, avec une infinité de décimales, est parfois plus utile pour la compréhension du développement décimal de certaines fractions, ou, en base 3, pour caractériser l'. La forme « non unique » doit être prise en compte dans certaines démonstrations du fait que l'ensemble des réels n'est pas dénombrable. Plus généralement, tout système de représentation numérique positionnelle pour les nombres réels contient une infinité de nombres ayant des représentations multiples. L'égalité 0,999… = 1 est depuis longtemps acceptée par les mathématiciens et enseignée dans les manuels. Ce n'est que dans les dernières décennies que les chercheurs en enseignement des mathématiques ont étudié comment les élèves perçoivent cette égalité. Certains la rejettent, à cause de leur « intuition » que chaque nombre a un développement décimal unique, qu'il doit y avoir des nombres infinitésimaux non nuls, ou bien que le développement 0,999… finit par se terminer. Ces intuitions sont erronées dans le système des nombres réels, mais il existe d'autres systèmes de nombres qui peuvent en admettre certaines. (fr)
- 0,999… dalam matematika adalah suatu bilangan desimal yang memuat angka 9 berulang tak terhingga. Juga bisa ditulis sebagai , , atau . Bilangan ini merupakan sebuah bilangan real yang secara matematis memiliki nilai sama dengan 1. Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1". Persamaan ini telah lama diterima oleh para matematikawan dan diajarkan di buku-buku teks pelajaran. Beberapa pembuktian matematis mengenai identitas ini telah dirumuskan. Ketidaktunggalan ekspansi bilangan real 0,999… tidaklah terbatas hanya pada sistem bilangan desimal. Fenomena yang sama juga terjadi pada semua sistem berbilangan pokok bulat, dan para matematikawan juga telah mengkuantifikasi cara penulisan 1 ke dalam representasi takbulat. Fenomena ini juga tidak hanya terjadi pada 1: setiap bilangan desimal berakhir bukan nol, memiliki kembaran dengan angka 9 tak terhingga, misalnya 28,3287 adalah sama dengan 28,32869999…. Atas alasan kesederhanaan, bilangan desimal berakhir tersebut hampir selalu dipilih, yang pada akhirnya terjadi miskonsepsi bahwa ia adalah satu-satunya representasi bilangan tersebut. Bahkan lebih luas lagi, sistem bilangan posisional apapun mengandung sejumlah tak terhingga bilangan dengan representasi berganda. Berbagai identitas ini telah diterapkan untuk membantu memahami pola ekspansi desimal pecahan dan struktur fraktal sederhana seperti . Pada beberapa dekade ini, para peneliti pendidikan matematika telah melakukan kajian sejauh mana tingkat penerimaan para siswa dalam menerima persamaan ini. Walaupun telah diyakinkan oleh buku teks, guru pengajar, dan penjelasan aritmetika mengenai persamaan ini, para siswa tetap merasa tidak yakin dan melakukan pembenaran lebih lanjut untuk menolak persamaan ini. Alasan penolakan para siswa biasanya didasarkan pada miskonsepsi umum mengenai bilangan real; yakni setiap bilangan real mempunyai ekspansi desimal yang tunggal, bahwa bilangan real kecil tak terhingga haruslah ada, ataupun ekspansi 0,999… pada akhirnya akan berakhir. Sistem bilangan yang menghapuskan intuisi yang salah ini dapat dibangun, tetapi hanya dapat dibangun di luar sistem bilangan real standar yang digunakan dalam matematika dasar. (in)
- 수학에서 순환소수인 0.999…는 소수점 뒤로 9가 무한히 반복되는 소수로, 실수 1의 또 다른 십진법 소수 표현이다. 즉 "0.999…"와 "1"은 같은 수이다. 이러한 증명은 실수론의 전개, 배경이 있는 가정, 역사적 맥락, 대상이 되는 청자(듣는 사람) 등에 맞는 수준에 따른 것으로서 여러 단계의 수학적 엄밀함을 적절하게 고려한 다양한 정식화가 있다. 0.999는 줄임표 앞의 9의 개수를 다소 늘리거나 줄여서 0.99999…처럼 쓰기도 한다. 또는 순환마디를 명확하게 하기 위해 또는 와 같이 표기하기도 한다. 일반적으로 임의의 0이 아닌 유한소수(말미에 무한개의 0을 붙여서 무한소수로 봄)는 소수 부분이 있는 자리부터 9가 연속해서 반복되는 소수 표시(예를 들어 8.32, 8.31999…)를 가진다. 보통은 유한소수 표시를 선호하는 것으로서 그것이 하나의 뜻만 가진 표시라는 오해로 이어지기 쉽다. 이와 같은 현상은 임의의 다른 밑에 관한 위치 기수법이나 같은 실수의 표기법에서도 발생한다. 0.999…와 1의 등가성은 실수의 체계(해석학에서 가장 일반적으로 이용되는 체계)에 0이 아닌 무한소가 존재하지 않는 것과 깊이 관련되어 있다. 한편 초실수의 체계와 같이 0이 아닌 무한소를 포함한 다른 수 체계도 있다. 그런 체계의 대부분은 표준 해석에 따른 등식에서 0.999…의 값은 1과 같아지지만 일부 체계에서는 기호 "0.999…"에 다른 해석을 주면서 1보다 무한소만 작도록 만들 수 있다. 등식 0.999… = 1은 수학자들에게 오랫동안 받아들여져 일반적인 수학 교육의 일부였음에도 불구하고 이를 충분히 직관에 반하는 것으로 간주하고 의심하거나 거부 반응을 보이는 일부 학생들이 있다. 이와 같은 회의론은 이러한 등식을 그들에게 납득시키는 것이 얼마나 어려운가가 수학 교육의 여러 연구 주제가 되는 것에 정당성을 부여하는 정도로 당연하게 존재한다. (ko)
- In matematica, la notazione decimale periodica 0,999..., scritta anche: oppure oppure , denota il numero reale 1. In altre parole, le notazioni "0,999…" e "1" rappresentano lo stesso numero reale. Nel tempo sono state derivate numerose dimostrazioni di questa identità, a diversi livelli di rigore matematico, adottando diversi sviluppi del sistema dei numeri reali, assunzioni e contesti storici, e rivolte a diversi tipi di pubblico. Negli ultimi decenni i ricercatori nel campo dell'insegnamento della matematica hanno studiato la recettività degli studenti verso questa uguaglianza. Benché essa sia stata da tempo accettata dai matematici e insegnata nei libri di testo, molti studenti la discutono o la rifiutano, almeno inizialmente. Molti vengono guidati ad accettare l'uguaglianza dai libri di testo, dagli insegnanti e da ragionamenti aritmetici. Le ragioni degli studenti nel negare o affermare l'uguaglianza sono solitamente basate su alcune intuizioni errate sui numeri reali; per esempio, che ogni numero reale ha un'unica rappresentazione decimale, che gli infinitesimi diversi da zero esistono o che l'estensione di 0,999… ha un termine. La non unicità di tale rappresentazione non è limitata al sistema decimale. Lo stesso fenomeno si presenta in tutte le basi intere e i matematici hanno anche quantificato i diversi modi di scrivere 1 in basi non intere. Questo fenomeno non è neppure ristretto al solo numero 1: ogni numero razionale diverso da zero avente una rappresentazione decimale limitata può essere scritto in una forma che ha periodo 9. La forma decimale limitata è adottata più spesso per semplicità, e ciò contribuisce all'idea sbagliata che questa sia l'unica rappresentazione. Di fatto, una volta che si permettono le periodicità, tutti i sistemi numerici posizionali contengono un numero infinito di numeri con rappresentazioni duplici. Per esempio 28,3287 è uguale a 28,3286999... e a 28,3287000. Queste rappresentazioni duplici sono state usate per capire meglio gli schemi nelle rappresentazioni decimali delle frazioni e nella struttura di un semplice frattale, l'insieme di Cantor. Bisogna tenerne conto per studiare il grado di infinito (cardinalità) dell'insieme dei numeri reali. Possono essere costruiti sistemi numerici in cui non vi è più questa identità, ma solo fuori dai sistemi convenzionali di numerazione reale usati nella matematica elementare. (it)
- In de wiskunde duidt 0,999... de herhalende decimaal aan die bestaat uit oneindig veel 9's na de komma (en een 0 ervoor). Deze herhalende decimaal vertegenwoordigt het kleinste getal van niet minder dan elk decimaal getal in de reeks (0,9, 0,99, 0,999, ...). Dit nummer is gelijk aan 1. Met andere woorden, "0,999..." en "1" vertegenwoordigen hetzelfde nummer. Er zijn veel manieren om deze gelijkheid te bewijzen, van intuïtieve argumenten tot wiskundig rigoureuze bewijzen. De gebruikte techniek is afhankelijk van de doelgroep, achtergrondaannames, historische context, en geprefereerde constructie van de reële getallen, het systeem waarin 0,999... algemeen wordt gedefinieerd. (In andere systemen kan 0,999... dezelfde betekenis hebben, een andere definitie hebben of ongedefinieerd zijn.) Meer in het algemeen heeft elke decimale breuk die niet nul is, twee gelijke weergaven (bijvoorbeeld 8,32 en 8,31999...), wat een eigenschap is van alle basisrepresentaties. De utilitaire voorkeur voor de afsluitende decimale representatie draagt bij aan de misvatting dat dit de enige representatie is. Om deze en andere redenen - zoals rigoureuze bewijzen op basis van niet-elementaire technieken, eigenschappen of disciplines - kunnen sommige mensen de gelijkheid voldoende contra-intuïtief vinden om ze in twijfel te trekken of te verwerpen. Dit is het onderwerp geweest van verschillende studies in het wiskundeonderwijs. (nl)
- 数学において"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。 (ja)
- 0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów. (pl)
- Inom matematiken representerar 0,999… (även betecknat eller ) en periodisk decimalutveckling som är exakt lika med talet 1. Med andra ord, symbolerna 0,999… och 1 representerar samma reella tal. Ju fler nior man tar hänsyn till i talet 0,999…, desto mindre skiljer det sig från 1. När oändligt många nior får vara med finns ingen skillnad kvar. Matematiker har formulerat ett antal matematiska bevis för denna likhet, som varierar genom deras nivå av stringens, föredragen konstruktion av de reella talen, bakgrundsantaganden, historiskt sammanhang och målgrupp. Likheten 0,999… = 1 har länge lärts ut i läroböckerna, och under de senaste årtiondena har forskare inom matematikpedagogik studerat mottagandet bland studenter, som ofta ljudligt motsätter sig denna likhet. Studenternas resonemang kan baseras på förväntningen att infinitesimala kvantiteter skulle finnas, att aritmetiken kanske är felaktig, eller helt enkelt att 0,999… skulle ha en sista 9:a. Dessa idéer är falska när det kommer till reella tal, vilket kan bevisas genom att explicit skapa de reella talen från de rationella talen, och ur sådana konstruktioner följer också direkt att 0,999… = 1. Samtidigt kan vissa av de intuitiva fenomenen studenter ibland väntar sig framträda i andra talsystem. Det finns även system där ett objekt, som skulle kunna kallas för "0,999…" är strikt mindre än 1. Att talet 1 har två decimalexpansioner är inte någon säregenhet för decimalsystemet. Samma fenomen påträffas i alla heltalsbaser, och matematiker har även studerat sätt att skriva 1 i icke-heltalsbaser. Fenomenet är inte heller unikt för 1: varje ändlig decimalexpansion har en tvilling med efterföljande 9:or. De facto innehåller alla positionssystem ett oändligt antal tal som saknar unik decimalrepresentation. Dessa identiteter har använts för att bättre förstå mönster inom decimalutvecklingen för bråktal och strukturen hos en enkel fraktal, Cantormängden. De bör också beaktas i det klassiska beviset för att mängden av reella tal är överuppräknelig. (sv)
- 0,(9) или 0,999… («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами, Существует много доказательств этого равенства. Несмотря на то, что правильность этого равенства является доказанным фактом и не вызывает сомнений в научном сообществе, многие люди пытаются доказать обратное. В таких доказательствах обычно допускаются арифметические и логические ошибки. Такое ярое несогласие вызвано тем, что данное равенство противоречит интуиции. Из-за этого оно приобрело большую популярность. (ru)
- 0,999…, número decimal representado como dízima periódica simples, também escrito como 0,9, ou 0,(9), equivale ao número real "1". Logo, os numerais (ou símbolos matemáticos) "0,999…" e "1" representam o mesmo número (a mesma ideia matemática). Provas variadas dessa igualdade, com diferentes graus de rigor matemático, têm sido formuladas, considerando-se, entre outros pontos essenciais, o desenvolvimento (e a apresentação) preferencial dos números reais, os pressupostos básicos, o contexto histórico e, também, o público-alvo. Assim, essa relação de identidade passou a ser acolhida e considerada pelos matemáticos e, em consequência, tem sido transmitida aos aprendizes, na dinâmica didático-pedagógica da matemática. (pt)
- 0.999…，也可写成、或，是一个具有特殊意义的无限循环小数。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。 (zh)
- У математиці, періодичний дріб 0.999…, який можна також записати як 0.9, або 0.(9), позначає дійсне число, яке, як можна показати, є одиницею. Інакше, символи 0.999… і 1 репрезентують одне й те ж число. Доведення цієї рівності були сформульовані з різними мірами математичної точності, залежно від цільової аудиторії, історичного контексту тощо. (uk)
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- 数学において"0.999…"は、小数点の後に無限に"9"が続く循環十進小数である。 (ja)
- 0,(9) (lub 0,999...) – alternatywny zapis liczby 1 w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego. Równość 0,(9) = 1 można udowodnić na kilka sposobów. (pl)
- 0,(9) или 0,999… («ноль и девять в периоде») — периодическая десятичная дробь, представляющая число 1. Другими словами, Существует много доказательств этого равенства. Несмотря на то, что правильность этого равенства является доказанным фактом и не вызывает сомнений в научном сообществе, многие люди пытаются доказать обратное. В таких доказательствах обычно допускаются арифметические и логические ошибки. Такое ярое несогласие вызвано тем, что данное равенство противоречит интуиции. Из-за этого оно приобрело большую популярность. (ru)
- 0,999…, número decimal representado como dízima periódica simples, também escrito como 0,9, ou 0,(9), equivale ao número real "1". Logo, os numerais (ou símbolos matemáticos) "0,999…" e "1" representam o mesmo número (a mesma ideia matemática). Provas variadas dessa igualdade, com diferentes graus de rigor matemático, têm sido formuladas, considerando-se, entre outros pontos essenciais, o desenvolvimento (e a apresentação) preferencial dos números reais, os pressupostos básicos, o contexto histórico e, também, o público-alvo. Assim, essa relação de identidade passou a ser acolhida e considerada pelos matemáticos e, em consequência, tem sido transmitida aos aprendizes, na dinâmica didático-pedagógica da matemática. (pt)
- 0.999…，也可写成、或，是一个具有特殊意义的无限循环小数。在数学的完备实数系中，「0.999…」所表示的数与「1」相同。 (zh)
- У математиці, періодичний дріб 0.999…, який можна також записати як 0.9, або 0.(9), позначає дійсне число, яке, як можна показати, є одиницею. Інакше, символи 0.999… і 1 репрезентують одне й те ж число. Доведення цієї рівності були сформульовані з різними мірами математичної точності, залежно від цільової аудиторії, історичного контексту тощо. (uk)
- في الرياضيات، التكرار العشري ...0.999 (يكتب في بعض الأحيان مع عدد أكثر أو أقل من التسعات قبل القطع النهائي، أو 0.9، أو (9).0، أو ) هو عدد حقيقي يساوي رقم واحد. وبعبارة أخرى، فإن رموز "...0.999" و "1" يمثلان نفس العدد. وقد وضِعت البراهين على هذه المساواة مع درجات متفاوتة من الصرامة الرياضية، مع مراعاة تقريب الأرقام الحقيقية، والافتراضات الاساسية، السياق التاريخي، والجمهور المستهدف. (ar)
- En matemàtiques, el nombre 0,999… amb el 9 com un nombre decimal periòdic, denota el nombre natural u. En altres paraules, les notacions «0,999…» i «1» representen el mateix nombre en el sistema de nombres reals. Les demostracions d'aquesta igualtat s'han formulat amb diversos graus de rigor matemàtic, tot depenent del mètode preferit per definir els nombres reals, les hipòtesis i suposicions de partida, el context històric i l'audiència d'objectiu. (ca)
- In mathematics, 0.999... (also written as 0.9, in repeating decimal notation) denotes the repeating decimal consisting of an unending sequence of 9s after the decimal point. This repeating decimal represents the smallest number no less than every decimal number in the sequence (0.9, 0.99, 0.999, ...); that is, the supremum of this sequence. This number is equal to 1. In other words, "0.999..." is not "almost exactly" or "very, very nearly but not quite" 1 – rather, "0.999..." and "1" represent exactly the same number. (en)
- Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten geschrieben oder als 0,9 oder 0,(9)) bezeichnet die reelle Zahl 1.Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar (siehe Stellenwertnotation). Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe. Dieser Artikel soll eine Übersicht geben, unter welchen mathematischen Regeln der Symbolfolge 0,999… welche mathematische Bedeutung gegeben werden kann. (de)
- Στα μαθηματικά, ο περιοδικός δεκαδικός 0,999…, ο οποίος μπορεί επίσης να γραφτεί ως ή , συμβολίζει ένα πραγματικό αριθμό που μπορεί να αποδειχθεί πως είναι ο αριθμός 1. Με άλλα λόγια, οι συμβολισμοί "0,999…" και "1" αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό. (el)
- Matematike, la 0,999…, kiu estas ankaŭ skribita kiel , aŭ , estas reela nombro egala al 1. Alie dirita, la skribaĵoj "0,999…" kaj "1" reprezentas la saman reelan nombron. Tiu egaleco estas sciita de profesiaj matematikistoj kaj skribita en matematikaj lernolibroj. Pluraj pruvoj de tiu idento estis kreita laŭ diversaj niveloj kaj gradoj de rigoro, preferata evoluo de la reelaj nombroj, jamscia fono, historia kunteksto, kaj celita aŭskultantaro. Numerala sistemoj per kiu la egaleco ne okazas povas esti konstruata, sed tiuj sistemoj estas ĉiam ekster la sistemo de reelaj nombroj. (eo)
- En matemáticas, 0,999... (siendo la coma un separador decimal) es el número decimal periódico que denota al número 1.[cita requerida] En otras palabras, los símbolos «0,999...» y «1» son dos representaciones distintas del mismo número real. Las demostraciones matemáticas de esta igualdad han sido formuladas con diferentes grados de rigor, dependiendo del método elegido para definir los números reales, las hipótesis y suposiciones de partida, el contexto histórico o el público al que se dirige. (es)
- Matematikan, 0,999... (koma bereizle hamartarra izanik) bat balio duen zenbaki hamartar periodikoa da. Bestela esanda, "0,999..." eta "1" sinboloak zenbaki erreal beraren bi errepresentazio ezberdin dira. Berdintasun honen frogapen matematikoak zehaztasun maila ezberdinekin formulatu dira, zenbaki errealak, hasierako hipotesiak eta suposizioak, testuinguru historikoa edo hartzailea definitzeko aukeratutako metodoaren arabera. (eu)
- En mathématiques, le développement décimal périodique qui s'écrit 0,999…, que l'on dénote encore par ou ou , représente un nombre réel dont on peut montrer que c'est le nombre 1. En d'autres termes, les deux notations 0,999… et 1 sont deux notations différentes pour le même nombre. Les démonstrations mathématiques de cette identité ont été formulées avec des degrés variés de rigueur mathématique, et selon les préférences relatives à la définition des nombres réels, les hypothèses sous-jacentes, le contexte historique et le public visé. (fr)
- 0,999… dalam matematika adalah suatu bilangan desimal yang memuat angka 9 berulang tak terhingga. Juga bisa ditulis sebagai , , atau . Bilangan ini merupakan sebuah bilangan real yang secara matematis memiliki nilai sama dengan 1. Dengan kata lain, "0,999…" mewakili bilangan yang sama dengan angka "1". Persamaan ini telah lama diterima oleh para matematikawan dan diajarkan di buku-buku teks pelajaran. Beberapa pembuktian matematis mengenai identitas ini telah dirumuskan. (in)
- In matematica, la notazione decimale periodica 0,999..., scritta anche: oppure oppure , denota il numero reale 1. In altre parole, le notazioni "0,999…" e "1" rappresentano lo stesso numero reale. Nel tempo sono state derivate numerose dimostrazioni di questa identità, a diversi livelli di rigore matematico, adottando diversi sviluppi del sistema dei numeri reali, assunzioni e contesti storici, e rivolte a diversi tipi di pubblico. (it)
- 수학에서 순환소수인 0.999…는 소수점 뒤로 9가 무한히 반복되는 소수로, 실수 1의 또 다른 십진법 소수 표현이다. 즉 "0.999…"와 "1"은 같은 수이다. 이러한 증명은 실수론의 전개, 배경이 있는 가정, 역사적 맥락, 대상이 되는 청자(듣는 사람) 등에 맞는 수준에 따른 것으로서 여러 단계의 수학적 엄밀함을 적절하게 고려한 다양한 정식화가 있다. 0.999는 줄임표 앞의 9의 개수를 다소 늘리거나 줄여서 0.99999…처럼 쓰기도 한다. 또는 순환마디를 명확하게 하기 위해 또는 와 같이 표기하기도 한다. 일반적으로 임의의 0이 아닌 유한소수(말미에 무한개의 0을 붙여서 무한소수로 봄)는 소수 부분이 있는 자리부터 9가 연속해서 반복되는 소수 표시(예를 들어 8.32, 8.31999…)를 가진다. 보통은 유한소수 표시를 선호하는 것으로서 그것이 하나의 뜻만 가진 표시라는 오해로 이어지기 쉽다. 이와 같은 현상은 임의의 다른 밑에 관한 위치 기수법이나 같은 실수의 표기법에서도 발생한다. (ko)
- In de wiskunde duidt 0,999... de herhalende decimaal aan die bestaat uit oneindig veel 9's na de komma (en een 0 ervoor). Deze herhalende decimaal vertegenwoordigt het kleinste getal van niet minder dan elk decimaal getal in de reeks (0,9, 0,99, 0,999, ...). Dit nummer is gelijk aan 1. Met andere woorden, "0,999..." en "1" vertegenwoordigen hetzelfde nummer. Er zijn veel manieren om deze gelijkheid te bewijzen, van intuïtieve argumenten tot wiskundig rigoureuze bewijzen. De gebruikte techniek is afhankelijk van de doelgroep, achtergrondaannames, historische context, en geprefereerde constructie van de reële getallen, het systeem waarin 0,999... algemeen wordt gedefinieerd. (In andere systemen kan 0,999... dezelfde betekenis hebben, een andere definitie hebben of ongedefinieerd zijn.) (nl)
- Inom matematiken representerar 0,999… (även betecknat eller ) en periodisk decimalutveckling som är exakt lika med talet 1. Med andra ord, symbolerna 0,999… och 1 representerar samma reella tal. Ju fler nior man tar hänsyn till i talet 0,999…, desto mindre skiljer det sig från 1. När oändligt många nior får vara med finns ingen skillnad kvar. Matematiker har formulerat ett antal matematiska bevis för denna likhet, som varierar genom deras nivå av stringens, föredragen konstruktion av de reella talen, bakgrundsantaganden, historiskt sammanhang och målgrupp. (sv)
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