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- El sistema de nombres p-àdics fou descrit per primera vegada per Kurt Hensel el 1897. Per a cada nombre primer p, el p-àdic estén l'aritmètica simple dels nombres racionals en una forma diferent de la manera tradicional en la qual s'estenen els nombres racionals als nombres reals o als complexos. Les principals aplicacions d'aquest sistema es produeixen en el camp de la teoria de nombres. Aquesta nova extensió es deu a una interpretació diferent del concepte de valor absolut. Els nombres p-àdics apareixeren com a resultat dels intents d'incorporar les idees, tècniques i mètodes de les sèries de potències a la teoria de nombres. La seva influència, però, avui en dia s'estén molt més enllà d'aquests objectius inicials. Per exemple, el camp de l' aporta una forma alternativa d'anàlisi matemàtica o càlcul infinitesimal. Més formalment, per una p donada, el cos p dels nombres p-àdics és una extensió de cossos dels nombres racionals. Si considerem col·lectivament totes les extensions p arribem al de Helmut Hasse, el qual ve a dir que certes equacions poden ésser resoltes sobre els nombres racionals si i només si poden ésser resoltes sobre els nombres reals i sobre els nombres p-àdics per a tot p primer. El cos p té una topologia derivada d'una mètrica, la qual ella mateixa prové d'una valoració dels nombres racionals. Aquesta mètrica és completa en el sentit que tota successió de Cauchy convergeix. Això és el que permet desenvolupar el càlcul en p i és la interacció d'aquesta estructura algebraica i analítica el que dona als nombres p-àdics la seva força i utilitat. En el context de les corbes el·líptiques als nombres p-àdics se'ls anomena habitualment nombres -àdics, degut al treball de Jean-Pierre Serre on el nombre primer p es reserva normalment per l'aritmètica modular d'aquestes corbes. (ca)
- في الرياضيات، نظام أعداد تقاربية بتردد p (بالإنجليزية: p-adic number) حيث p هو عدد أولي هو نظام يمدد الحسابيات الاعتيادية على الأعداد الجذرية بشكل يختلف عن النظام الذي مدد الأعداد الجذرية إلى الأعداد الحقيقية والأعداد العقدية. يتحقق هذا الامتداد بتفسير بديل لفهوم القرب أو بالتحديد مفهوم القيمة المطلقة. بشكل خاص، يقال عن عددين أنهما متقاربين بتردد p إذا كان الفرق بينهما قابلا للقسمة على أس عال للعدد p، وكلما كبر هذا الأس كلما ازداد القرب. انظر إلى كورت هانسل وإلى إرنشت كومر. (ar)
- P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorii čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp. Základem formálního zavedení p-adických čísel je alternativní pohled na funkci absolutní hodnoty. Ta je obvyklou metrikou, chceme-li uvažovat těleso racionálních čísel jako metrický prostor. Zavedení jiné metriky nám dává možnost zkonstruovat jiné zúplnění prostoru racionálních čísel. Vznikne nám tak alternativní topologický prostor k reálným číslům, v kterém je pro každou Cauchyovskou posloupnost obsažena i její limita. Tím je dána i možnost vybudovat alternativní kalkulus, totiž . Poprvé p-adická čísla popsal v roce 1897, přičemž motivací jejich zavedení byla snaha přenést do teorie čísel metody a myšlenky známé z práce s mocninnými řadami. Vliv p-adických čísel od té doby zasáhl mnohé oblasti matematiky, přičemž stále platí, že jejich hlavní význam tkví v propojování algebry s analýzou. (cs)
- Für jede Primzahl bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen und über allen gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer -adischen Analysis analog zur reellen Analysis. (de)
- En matemáticas, el sistema numérico p-ádico para cualquier número primo p extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números p-ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de p: cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números p-ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la del último teorema de Fermat por Andrew Wiles. Estos números fueron descritos por primera vez por en 1897, aunque, en retrospectiva, algunos de los trabajos anteriores de Ernst Kummer pueden interpretarse como el uso implícito de números p-ádicos. Los números p-ádicos fueron motivados principalmente por un intento de llevar las ideas y técnicas de los métodos de las series de potencias a la teoría de números. Su influencia ahora se extiende mucho más allá de este propósito inicial. Por ejemplo, el cuerpo del análisis p-ádico proporciona esencialmente una forma alternativa de cálculo infinitesimal. Más formalmente, para un primo p dado, el cuerpo Qp de los números p-ádicos es un completado de los números racionales. El cuerpo Qp también recibe una topología derivada de una métrica, que a su vez se deriva del orden p-ádico, una valoración alternativa en los números racionales. Este espacio métrico es completo en el sentido de que cada sucesión de Cauchy converge hasta un punto en Qp. Esto es lo que permite el desarrollo del cálculo en Qp, y es la interacción de esta estructura analítica y algebraica lo que le da a los sistemas numéricos p-ádicos su gran utilidad. La letra p en p-ádico es una variable y puede ser reemplazada por un número primo (lo que produce, por ejemplo, los números 2-ádicos) u otra expresión que represente a un número primo. El término "ádico" de "p-ádico" proviene de la terminación que se encuentra en palabras como diádico o triádico. (es)
- In mathematics, the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a different way from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, two p-adic numbers are considered to be close when their difference is divisible by a high power of p: the higher the power, the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory – including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles. These numbers were first described by Kurt Hensel in 1897, though, with hindsight, some of Ernst Kummer's earlier work can be interpreted as implicitly using p-adic numbers. The p-adic numbers were motivated primarily by an attempt to bring the ideas and techniques of power series methods into number theory. Their influence now extends far beyond this. For example, the field of p-adic analysis essentially provides an alternative form of calculus. More formally, for a given prime p, the field Qp of p-adic numbers is a completion of the rational numbers. The field Qp is also given a topology derived from a metric, which is itself derived from the p-adic order, an alternative valuation on the rational numbers. This metric space is complete in the sense that every Cauchy sequence converges to a point in Qp. This is what allows the development of calculus on Qp, and it is the interaction of this analytic and algebraic structure that gives the p-adic number systems their power and utility. The p in "p-adic" is a variable and may be replaced with a prime (yielding, for instance, "the 2-adic numbers") or another expression representing a prime number. The "adic" of "p-adic" comes from the ending found in words such as dyadic or triadic. (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier p fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres p-adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue p-adique. Un nombre p-adique peut aussi se concevoir comme une suite de chiffres en base p, éventuellement infinie à gauche de la virgule (mais toujours finie à droite de la virgule), avec une addition et une multiplication qui se calculent comme pour les nombres décimaux usuels. La principale motivation ayant donné naissance aux corps des nombres p-adiques était de pouvoir utiliser les techniques des séries entières dans la théorie des nombres, mais leur utilité dépasse maintenant largement ce cadre. De plus, la valeur absolue p-adique sur le corps est une valeur absolue non archimédienne : on obtient sur ce corps une analyse différente de l'analyse usuelle sur les réels, que l'on appelle analyse p-adique. (fr)
- Il sistema dei numeri -adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo , il sistema dei numeri -adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri. L'estensione è ottenuta da un'interpretazione alternativa del concetto di valore assoluto. Il motivo della creazione dei numeri -adici era il tentativo di introdurre il concetto e le tecniche delle serie di potenze nel campo della teoria dei numeri. Attualmente il loro utilizzo va oltre, per esempio l'analisi dei -adici rappresenta una forma alternativa di calcolo differenziale. Più concretamente per un dato numero primo , il campo dei numeri -adici è un'estensione dei numeri razionali. Se tutti i campi vengono considerati collettivamente, arriviamo al di Helmut Hasse, il quale a grandi linee afferma che certe equazioni possono essere risolte nell'insieme dei numeri razionali se e solo se possono essere risolte negli insiemi dei numeri reali e dei numeri -adici per ogni . Il campo possiede una topologia indotta da una metrica, che è, a sua volta, indotta da una norma alternativa sui numeri razionali. Questa metrica è completa, nel senso che ogni serie di Cauchy converge. Nel campo delle curve ellittiche, i numeri -adici sono conosciuti come numeri -adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve. (it)
- ( 이 문서는 수론에 관한 것입니다. 십진법 등의 수를 표기하는 방법에 대해서는 위치 기수법 문서를 참고하십시오.) 수론에서 p진수(p進數, p-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 p에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다.보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 p진수에는 p진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다. (ko)
- p 進数（ピーしんすう、英: p-adic number）とは、1897年に始まるクルト・ヘンゼルの一連の研究の中で導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、位取り記数法である「N 進法(表記)」を指して「N 進数」と呼ばれることがあるが、これは「p 進数」とは別のものである。 (ja)
- W matematyce -adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby -adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę Ta własność sprawia, że liczby -adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata dokonanym przez Andrew Wilesa. Liczby -adyczne zostały po raz pierwszy opisane przez Kurta Hensela w 1897 roku, chociaż niejawne odwołania do nich można znaleźć także we wcześniejszych pracach Kummera. Hensel zajmował się nimi, gdyż chciał przenieść techniki stosowane normalnie wobec szeregów potęgowych do teorii liczb. Obecnie wpływ liczb -adycznych wykracza szeroko poza samą teorię liczb. Dla przykładu, analiza -adyczna jest alternatywą dla klasycznego rachunku różniczkowego i całkowego. Formalniej, dla ustalonej liczby ciało liczb -adycznych jest uzupełnieniem liczb wymiernych. Zadana jest na nim topologia pochodząca od metryki, która to zdefiniowana jest w terminach -adycznego rzędu, alternatywnej waluacji na liczbach wymiernych. Ta przestrzeń metryczna jest zupełna, to znaczy każdy ciąg Cauchy’ego zbiega do pewnego punktu w Umożliwia to rozwój analizy nad nowym ciałem. Właśnie interakcja analitycznej oraz algebraicznej struktury sprawia, że liczby -adyczne są takie użyteczne. (pl)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, vormen de -adische getallen voor elk priemgetal een uitbreiding van de rationale getallen geheel anders van aard dan de bekende uitbreidingen naar de reële- en de complexe getallen. In een -adische uitbreiding zijn de nieuwe elementen de equivalentieklassen van fundamentaalrijen in de -adische norm. De -adische getallen werden voor het eerst beschreven door Kurt Hensel in 1897. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie. Deze uitbreiding is gebaseerd op een gegeneraliseerde absolute waarde. De introductie van -adische getallen werd vooral ingegeven door een poging om de ideeën en technieken van machtreeksen ook in de getaltheorie in te voeren. De invloed van -adische getallen strekt zich nu echter veel verder uit. Het onderzoeksgebied van -adische analyse biedt voor -adische talstelsels bijvoorbeeld een alternatieve vorm van wiskundige analyse. (nl)
- Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita: O principal uso destes números é na teoria de números. (pt)
- Inom matematiken är de p-adiska talen, där p är ett primtal, en utvidgning av de rationella talen som har andra egenskaper än den utvidgning som inför de reella talen. Detta genomförs med hjälp av en alternativ definition av absolutbelopp. De introducerades av den tyska matematikern , primärt med avsikten att införa koncept från matematiska serier till talteorin. Sedermera har det utvecklats en gren av matematisk analys för de p-adiska talen. Formellt är för varje primtal p kroppen ett fullständigt metriskt rum med en topologi. Detta innebär att varje Cauchyföljd konvergerar mot en punkt i . Denna egenskap är anledningen till att de p-adiska talen är användbara. p:et i p-adisk är en variabel som kan ersättas med en konstant (till exempel de "2-adiska talen") eller en annan variabel (för till exempel de "i-adiska talen"). (sv)
- -адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої -адичної норми. -адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел. (uk)
- p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p. p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году. Поле p-адических чисел обычно обозначается или . (ru)
- 进数（英語：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域、复数域的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数，若两个数之差被的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使进数理论成为了数论研究中的有力工具。 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立进数分析，将数论和分析的工具结合起来，安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了进数理论。此外，进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。 (zh)
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- في الرياضيات، نظام أعداد تقاربية بتردد p (بالإنجليزية: p-adic number) حيث p هو عدد أولي هو نظام يمدد الحسابيات الاعتيادية على الأعداد الجذرية بشكل يختلف عن النظام الذي مدد الأعداد الجذرية إلى الأعداد الحقيقية والأعداد العقدية. يتحقق هذا الامتداد بتفسير بديل لفهوم القرب أو بالتحديد مفهوم القيمة المطلقة. بشكل خاص، يقال عن عددين أنهما متقاربين بتردد p إذا كان الفرق بينهما قابلا للقسمة على أس عال للعدد p، وكلما كبر هذا الأس كلما ازداد القرب. انظر إلى كورت هانسل وإلى إرنشت كومر. (ar)
- Für jede Primzahl bilden die p-adischen Zahlen einen Erweiterungskörper des Körpers der rationalen Zahlen; sie wurden 1897 erstmals von Kurt Hensel beschrieben. Diese Körper werden benutzt, um Probleme in der Zahlentheorie zu lösen, oftmals unter Verwendung des Lokal-Global-Prinzips von Helmut Hasse, das – vereinfacht gesprochen – aussagt, dass eine Gleichung genau dann über den rationalen Zahlen gelöst werden kann, wenn sie über den reellen Zahlen und über allen gelöst werden kann (was aber nicht so allgemein zutrifft, für die genaue Bedeutung siehe dort). Als metrischer Raum ist vollständig und erlaubt so die Entwicklung einer -adischen Analysis analog zur reellen Analysis. (de)
- ( 이 문서는 수론에 관한 것입니다. 십진법 등의 수를 표기하는 방법에 대해서는 위치 기수법 문서를 참고하십시오.) 수론에서 p진수(p進數, p-adic number)는 유리수의 체를 마치 어떤 소수 p에 대한 로랑 급수처럼 해석하여 완비시켜 얻는 체이다.보다 구체적으로 설명하면, 임의의 소수 p에 대해, p진수들을 전부 모은 p진체는 유리수체의 완비화이다. 또한 p진수에는 p진 값매김이 주어져 있기에 거리 공간이 되며 따라서 위상 공간이기도 하다. 이 거리 공간은 완비 거리 공간(즉, 모든 코시 수열이 수렴한다)이며, 그렇기에 p진체 상에서 마치 실수체 상에서와 같은 해석학을 전개할 수 있는 것이다. p진법 체계의 유용성은 상당 부분 이와 같은 대수적 구조와 해석적 구조 사이의 상호 연관성에서 나온다. (ko)
- p 進数（ピーしんすう、英: p-adic number）とは、1897年に始まるクルト・ヘンゼルの一連の研究の中で導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば p 進量子力学を参照）。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、位取り記数法である「N 進法(表記)」を指して「N 進数」と呼ばれることがあるが、これは「p 進数」とは別のものである。 (ja)
- Em matemática, o sistema dos números p-ádicos foi pela primeira vez descrito por Kurt Hensel em 1897. Dado um número primo p, um número p-ádico é representado como uma soma infinita: O principal uso destes números é na teoria de números. (pt)
- -адичне число — в математиці є поповненням поля раціональних чисел відмінним від дійсних чисел. Поповнення відбувається не щодо звичайної евклідової норми, як у випадку дійсних чисел, а щодо так званої -адичної норми. -адичні числа особливо широко застосовуються в теорії чисел. (uk)
- p-адическое число — теоретико-числовое понятие, определяемое для заданного фиксированного простого числа p как элемент расширения поля рациональных чисел. Это расширение является пополнением поля рациональных чисел относительно p-адической нормы, определяемой на основе свойств делимости целых чисел на p. p-адические числа были введены Куртом Гензелем в 1897 году. Поле p-адических чисел обычно обозначается или . (ru)
- 进数（英語：p-adic number），是数论中的概念，也称作局部数域，是有理数域拓展成的完备数域的一种。这种拓展与常见的有理数域到实数域、复数域的数系拓展不同，其具体在于所定义的“距离”概念。进数的距离概念建立在整数的整除性质上。给定素数，若两个数之差被的高次幂整除，那么这两个数距离就“接近”，幂次越高，距离越近。这种定义在数论性质上的“距离”能够反映同余的信息，使进数理论成为了数论研究中的有力工具。 进数的概念首先由库尔特·亨泽尔于1897年构思并刻画，其发展动机主要是试图将幂级数方法引入到数论中，但现今进数的影响已远不止于此。例如可以在进数上建立进数分析，将数论和分析的工具结合起来，安德鲁·怀尔斯对费马大定理的证明中就用到了进数理论。此外，进数在量子物理学、认知科学、计算机科学等领域都有应用。 (zh)
- El sistema de nombres p-àdics fou descrit per primera vegada per Kurt Hensel el 1897. Per a cada nombre primer p, el p-àdic estén l'aritmètica simple dels nombres racionals en una forma diferent de la manera tradicional en la qual s'estenen els nombres racionals als nombres reals o als complexos. Les principals aplicacions d'aquest sistema es produeixen en el camp de la teoria de nombres. (ca)
- P-adická čísla (značená Qp) jsou číselná struktura používaná v matematice, zejména v teorii čísel. Jsou definována pro libovolné prvočíslo p. přičemž pro různá p se jedná o různé struktury, které rozšířují racionální čísla jiným způsobem než klasická čísla reálná a komplexní. Písmeno p v názvu je tedy proměnná, do které můžeme dosazovat různé konstanty a tak získáme 2-adická čísla, 3-adická čísla, 5-adická čísla atp. (cs)
- En matemáticas, el sistema numérico p-ádico para cualquier número primo p extiende la aritmética ordinaria de los números racionales de una manera diferente a la extensión de los números racionales a los sistemas numéricos real y complejo. La extensión se logra mediante una interpretación alternativa del concepto de cercanía o valor absoluto. En particular, se considera que dos números p-ádicos están cerca cuando su diferencia es divisible por una potencia elevada de p: cuanto mayor es la potencia, más cerca están. Esta propiedad permite que los números p-ádicos codifiquen la información de congruencia de una manera que resulta tener aplicaciones de gran alcance en teoría de números, incluida, por ejemplo, la del último teorema de Fermat por Andrew Wiles. (es)
- In mathematics, the p-adic number system for any prime number p extends the ordinary arithmetic of the rational numbers in a different way from the extension of the rational number system to the real and complex number systems. The extension is achieved by an alternative interpretation of the concept of "closeness" or absolute value. In particular, two p-adic numbers are considered to be close when their difference is divisible by a high power of p: the higher the power, the closer they are. This property enables p-adic numbers to encode congruence information in a way that turns out to have powerful applications in number theory – including, for example, in the famous proof of Fermat's Last Theorem by Andrew Wiles. (en)
- En mathématiques, et plus particulièrement en théorie des nombres, pour un nombre premier p fixé, les nombres p-adiques forment une extension particulière du corps des nombres rationnels, découverte par Kurt Hensel en 1897. Le corps commutatif des nombres p-adiques peut être construit par complétion de , d'une façon analogue à la construction des nombres réels par les suites de Cauchy, mais pour une valeur absolue moins familière, nommée valeur absolue p-adique. (fr)
- Il sistema dei numeri -adici è stato descritto per la prima volta da Kurt Hensel nel 1897. Per ogni numero primo , il sistema dei numeri -adici estende l'aritmetica dei numeri razionali in modo differente rispetto all'estensione verso i numeri reali e complessi. L'uso principale di questo strumento viene fatto nella teoria dei numeri. Nel campo delle curve ellittiche, i numeri -adici sono conosciuti come numeri -adici, a causa dei lavori di Jean-Pierre Serre. Il numero primo è spesso riservato per l'aritmetica modulare di queste curve. (it)
- W matematyce -adyczny system liczbowy dla dowolnej liczby pierwszej stanowi rozszerzenie arytmetyki liczb wymiernych w sposób istotnie różny od rozszerzenia do liczb rzeczywistych bądź zespolonych. Rozszerzenie to uzyskuje się przez alternatywną interpretację pojęcia „bliskości” czy też wartości bezwzględnej. W szczególności, dwie liczby -adyczne są bliskie, gdy ich różnica jest podzielna przez wysoką potęgę Ta własność sprawia, że liczby -adyczne dobrze służą do opisu kongruencji. Okazuje się, że dzięki temu znajdują zastosowanie w teorii liczb, w tym w słynnym dowodzie Wielkiego Twierdzenia Fermata dokonanym przez Andrew Wilesa. (pl)
- In de getaltheorie, een deelgebied van de wiskunde, vormen de -adische getallen voor elk priemgetal een uitbreiding van de rationale getallen geheel anders van aard dan de bekende uitbreidingen naar de reële- en de complexe getallen. In een -adische uitbreiding zijn de nieuwe elementen de equivalentieklassen van fundamentaalrijen in de -adische norm. De -adische getallen werden voor het eerst beschreven door Kurt Hensel in 1897. Zij spelen een belangrijke rol in de getaltheorie. (nl)
- Inom matematiken är de p-adiska talen, där p är ett primtal, en utvidgning av de rationella talen som har andra egenskaper än den utvidgning som inför de reella talen. Detta genomförs med hjälp av en alternativ definition av absolutbelopp. De introducerades av den tyska matematikern , primärt med avsikten att införa koncept från matematiska serier till talteorin. Sedermera har det utvecklats en gren av matematisk analys för de p-adiska talen. (sv)
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