| dbo:abstract
|
- En matemàtiques, un anell és una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binàries, que anomenarem suma (+) i producte (·) (tot i que no són necessàriament la suma i el producte de nombres reals habituals) i que compleixen les següents propietats:
* (A,+) és un grup commutatiu, és a dir:
* a+(b+c) = (a+b)+c per a tots els elements de A (associativitat).
* Existeix un element, 0, tal que 0+a = a+0 = a per a tot a de A (element neutre).
* Tot element a de A té un invers, −a, de manera que a+(−a) = (−a)+a = 0 (element invers).
* a+b = b+a per a tots els elements de A (commutativitat).
* (A,·) verifica que
* a·(b·c) = (a·b)·c per a tots els elements de A (associativitat).
* a·(b+c) = a·b+a·c i (a+b)·c = a·c+b·c per a tots els elements de A (propietat distributiva respecte a la suma). Alguns autors com Bourbaki, només consideren els anells unitaris, és a dir, aquells on l'operació producte admet un element neutre denotat 1 o explícitament 1A que compleix:
* 1⋅a = a⋅1 = a per a tot a ∈ A. Aquests autors acostumen a anomenar pseudo-anells als conjunts que no compleixen aquesta darrera condició. Fixem-nos que, en canvi, la commutativitat del producte (a·b = b·a) no és una condició dels anells. Els anells que sí que la compleixen s'anomenen anells commutatius. Fixem-nos també que l'element invers està definit per a la suma, però no per al producte. El conjunt d'elements invertibles d'un anell s'anomena el seu grup d'unitats, perquè té l'estructura de grup amb el producte. Quan l'element nul (zero) és l'únic element no invertible d'un anell, aquest s'anomena cos. (ca)
- Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy pologrupy. Navíc obě operace jsou svázány distributivitou - lze roznásobit součet. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení. (cs)
- في الجبر التجريدي، الحلقة (بالإنجليزية: Ring)، والتي يرمز إليها أحيانا هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع والجداء بحيث تحقق البديهيات التالية: 1.
* زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي والمتمم 2.
* مغلقة بالنسبة إلى الجداء: 3.
* تجميعية بالنسبة إلى الجداء: 4.
* توزيعية عملية الجداء على عملية الجمع من الجهتين، اليمنى واليسرى: و تُدعى الحلقة بالتبديلية أو التبادلية إن حققت الشرط الإضافي التالي: 5. تبديلية بالنسبة إلى الجداء: هاتان العمليتان رغم أنهما تشبهان الجمع والجداء المألوفين في مجموعات الأعداد إلا أنهما تختلفان عنهما: هما جمع وجداء مجازيان وليسا الجمع والجداء المتعارف عليهما. قد تكون عناصر حلقة ما أعدادا صحيحة وقد تكون أعدادا عقدية ولكن قد لا تكون أعدادا مطلقا كأن تكون على سبيل المثال متعددات للحدود أو مصفوفات مربعة أو دوالا أو متسلسلات للقوى. لكون حلقة ما تبادليةً (أي أن ناتج ضرب عنصرين اثنين في بعضهما لا يتغير عندما يتغير الترتيب الذي جاء العنصران به في العملية) من عدمه نتائج كبيرة وعميقة. يشكل الجبر التبادلي، كونه دراسة الحلقات التبادلية، فرعا أساسيا من نظرية الحلقات كاملة. الحلقات بنى جبرية قد تعمم إلى حقول إذا حققت شرطا إضافيا. أبسط أنوع الحلقات التبادلية تلك التي تقبل القسمة على العناصر المختلفة عن الصفر. تسمى هذه الحلقات حقولا. تضم الأمثلة على الحلقات التبادلية مجموعة الأعداد الطبيعية، مزودةً بعملية الجمع والجداء الاعتياديتين، كما تضم أيضا مجموعة متعددات الحدود مزودة بعمليتي جمع وجداء الحدوديات. تضم الأمثلة على الحلقات غير التبادلية مجموعة المصفوفات المربعة n × n ذات المداخل الحقيقية، وذات البعد n الذي يتجاوز الاثنين. طورت الحلقات على شكل نماذج بين سبعينات القرن التاسع عشر وعشرينات القرن العشرين. من أهم المشاركين في هذا العمل ريتشارد ديدكايند وديفيد هيلبرت وأبراهام فرانكل وإيمي نويثر. (ar)
- Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην αφηρημένη άλγεβρα, δακτύλιος είναι μια που αφαιρεί και γενικεύει τις βασικές , και συγκεκριμένα τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Οι δακτύλιοι μελετώνται κυρίως στον κλάδο των μαθηματικών, γνωστό ως άλγεβρα, αλλά χρησιμοποιούνται σε περισσότερους τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να εφαρμόσουν τις θεωρίες της σε μη-αριθμητικά αντικείμενα όπως πολυώνυμα, σειρές και συναρτήσεις. Ο επίσημος ορισμός των δακτυλίων είναι σχετικά πρόσφατος (τέλη 19ου αιώνα), και είναι ένα παράδειγμα της τάσης των σύγχρονων μαθηματικών για την εισαγωγή, τη μελέτη, και τη διαχείριση των αφηρημένων δομών. Ο Δακτύλιος είναι αλγεβρική δομή , η οποία αποτελείται από ένα μη κενό σύνολο R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς πράξεις και (οι οποίες αποκαλούνται συχνά πρόσθεση και πολλαπλασιασμός αντίστοιχα), ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα αξιώματα:
* Η δομή είναι αβελιανή ομάδα:
* για κάθε (προσεταιριστικότητα).
* Υπάρχει ένα στοιχείο ώστε για κάθε (ύπαρξη προσθετικού ουδέτερου στοιχείου).
* Για κάθε στοιχείο υπάρχει ένα στοιχείο ώστε (ύπαρξη αντιθέτου στοιχείου).
* για κάθε (μεταθετικότητα).
* Η δομη είναι μονοειδές:
* για κάθε (προσεταιριστικότητα).
* Υπάρχει ένα στοιχείο ώστε για κάθε (ύπαρξη πολλαπλασιαστικού ουδέτερου στοιχείου).
* Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση:
* για κάθε (αριστερός επιμεριστικός νόμος).
* για κάθε (δεξιός επιμεριστικός νόμος). Το πολλαπλασιαστικό ουδέτερο στοιχείο συνήθως ονομάζεται μονάδα. Συνήθως το γινόμενο δυο στοιχείων το συμβολίζουμε με αντί του για λόγους συντομίας.Πρέπει να τονιστεί ότι οι δύο πράξεις και που περιγράφονται εδώ μπορούν να είναι οποιεσδήποτε δύο πράξεις που ικανοποιούν τις συνθήκες που αναφέρονται πιο πάνω, όχι αναγκαστικά η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός. Έχει επικρατήσει να ονομάζονται "πρόσθεση" και "πολλαπλασιασμός" οι δύο αυτές πράξεις των δακτυλίων για λόγους απλότητας. (el)
- Ringo estas algebra strukturo tia, ke estas abela grupo (adicio), estas duongrupo (multipliko) kaj validas la aksiomoj de distribueco: (eo)
- Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B. in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. (de)
- En álgebra abstracta, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades. En términos más específicos, un anillo es una terna , donde es un conjunto y + y • son operaciones binarias internas en , en donde es un grupo abeliano, es un monoide y se verifica la distributiva bilateral de • respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0, el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto R dado, se denota como –a y el neutro del producto se designa como 1. Sería redundante decir que un anillo es un conjunto no vacío, pues una vez que se define como un grupo abeliano con la suma, esto queda claro. El producto en un anillo no necesariamente tiene una operación inversa definida, a diferencia de otras estructuras algebraicas como el cuerpo. Si el producto es conmutativo, tal anillo se denomina «anillo conmutativo». (es)
- Aljebra abstraktuan eraztuna da multzorako (gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta (biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen egitura aljebraikoa. (eu)
- In mathematics, rings are algebraic structures that generalize fields: multiplication need not be commutative and multiplicative inverses need not exist. In other words, a ring is a set equipped with two binary operations satisfying properties analogous to those of addition and multiplication of integers. Ring elements may be numbers such as integers or complex numbers, but they may also be non-numerical objects such as polynomials, square matrices, functions, and power series. Formally, a ring is an abelian group whose operation is called addition, with a second binary operation called multiplication that is associative, is distributive over the addition operation, and has a multiplicative identity element. (Some authors use the term "rng" with a missing i to refer to the more general structure that omits this last requirement; see .) Whether a ring is commutative (that is, whether the order in which two elements are multiplied might change the result) has profound implications on its behavior. Commutative algebra, the theory of commutative rings, is a major branch of ring theory. Its development has been greatly influenced by problems and ideas of algebraic number theory and algebraic geometry. The simplest commutative rings are those that admit division by non-zero elements; such rings are called fields. Examples of commutative rings include the set of integers with their standard addition and multiplication, the set of polynomials with their addition and multiplication, the coordinate ring of an affine algebraic variety, and the ring of integers of a number field. Examples of noncommutative rings include the ring of n × n real square matrices with n ≥ 2, group rings in representation theory, operator algebras in functional analysis, rings of differential operators, and cohomology rings in topology. The conceptualization of rings spanned the 1870s to the 1920s, with key contributions by Dedekind, Hilbert, Fraenkel, and Noether. Rings were first formalized as a generalization of Dedekind domains that occur in number theory, and of polynomial rings and rings of invariants that occur in algebraic geometry and invariant theory. They later proved useful in other branches of mathematics such as geometry and analysis. (en)
- Dalam matematika, gelanggang (bahasa Inggris: ring) merupakan salah satu struktur aljabar yang dibahas dalam aljabar abstrak. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua operasi biner yang didasarkan pada operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada aritmetika diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti polinomial, deret, matriks, dan fungsi. Gelanggang adalah grup abelian dengan operasi biner kedua yang bersifat asosiatif, distributif terhadap operasi dari grup tersebut, dan memiliki unsur identitas. Mengambil istilah aritmetika, operasi yang berasal dari grup disebut penjumlahan dan operasi yang kedua disebut perkalian. Berlaku atau tidaknya sifat komutatif dalam suatu gelanggang memiliki akibat yang besar pada objek tersebut. Oleh karena itu, teori gelanggang komutatif, atau sering disebut juga , adalah topik penting dalam teori gelanggang. Perkembangannya dipengaruhi oleh permasalahan dan ide yang berasal dari teori bilangan aljabar dan geometri aljabar. Konseptualisasi gelanggang dimulai pada 1870-an dan diselesaikan pada 1920-an. Kontributor utama di antaranya Dedekind, Hilbert, Fraenkel, dan Noether. Gelanggang pertama kali dirumuskan sebagai bentuk umum dari yang terdapat di teori bilangan, dan dari dan gelanggang invarian yang terdapat di geometri aljabar dan . Selanjutnya, gelanggang dipergunakan di cabang-cabang matematika yang lain seperti geometri dan analisis matematis. (in)
- En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions différentes sont significativement représentées dans la littérature mathématique :
* la majorité des sources récentes définissent un « anneau » comme un anneau unitaire, exigeant que la multiplication ait un élément neutre ;
* un nombre non négligeable d'ouvrages, en revanche, n'exige pas la présence d'une unité multiplicative. La structure qu'ils appellent alors « anneau » est ailleurs dénommée pseudo-anneau. Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux). Comme pour toutes les structures algébriques, il est souvent d'usage de désigner de la même façon un anneau et son ensemble support. Enfin, on prendra garde à ce que les textes qui ne traitent que d'algèbre commutative utilisent souvent « anneau » comme un raccourci pour dire « anneau commutatif ». (fr)
- 数学における環（かん、英: ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある）やにおける対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるためにを導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。 (ja)
- In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli. (it)
- 추상대수학에서 환(環, 영어: ring)은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙 및 항등원의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, 영어: ring theory)이라고 한다. 가환환(곱셈의 교환법칙이 성립하는 환)은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다. 환에 대한 관련된 개념으로, 군의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편 포락 대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다. (ko)
- Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni. W literaturze spotyka się rozmaite definicje pierścieni różniące się stopniem uogólnienia. W artykule tym za najogólniejszą przyjmowana jest definicja tzw. pierścienia łącznego. Wnioskom płynącym z zawężenia definicji poprzez wymaganie elementu neutralnego mnożenia bądź warunku przemienności mnożenia również poświęcono osobne artykuły: pierścień z jedynką, pierścień przemienny. (pl)
- In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een ring een algebraïsche structuur, bestaande uit een verzameling waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die intuïtief overeenkomen met optellen en vermenigvuldigen. Deze bewerkingen zijn zodanig dat de ring met betrekking tot de optelling een abelse groep is en dat de vermenigvuldiging associatief is en distributief over de optelling. De gehele getallen , de vierkante matrices en de verzameling van polynomen zijn voorbeelden van ringen. De rationale getallen en de reële getallen zijn met de gebruikelijke optelling en vermenigvuldiging voorbeelden van ringen, maar dat zijn ook velden B of lichamen NL. Het begrip ring, dat uit onderstaande definitie van Emmy Noether afkomstig is, speelt een belangrijke rol in veel gebieden van de zuivere wiskunde, met name de abstracte algebra. Om zich te kwalificeren als een ring, moet de verzameling samen met de beide operaties voldoen aan bepaalde voorwaarden: de verzameling moet onder optelling een abelse groep en onder vermenigvuldiging een monoïde zijn. Hoewel deze operaties bekend zijn uit vele wiskundige structuren, zoals de talstelsels van de gehele getallen, kunnen zij ook zeer algemeen een breed scala van wiskundige objecten betreffen. Daardoor kunnen objecten van zeer verschillende wiskundige oorsprong op een flexibele manier, met behoud van essentiële structurele aspecten, in de abstracte algebra en daarbuiten bestudeerd worden. De tak van de wiskunde die ringen bestudeert staat bekend als de ringtheorie. Ringen komen fundamenteel overeen met de getaltheorie en de lineaire algebra. De getaltheorie kent verschillende overeenkomstige stellingen in de ringtheorie. De hoofdstelling van de rekenkunde komt bijvoorbeeld overeen met een bepaalde speciale klasse van ringen die bekend staan als unieke factorisatiedomeinen. De theorie van matrixringen is bijvoorbeeld een opvallend gevolg van de wijze waarop de niet-commutatieve ringtheorie kan worden gebruikt om de fundamentele natuurwetten die ten grondslag liggen aan de speciale relativiteitstheorie, en symmetriefenomenen in de moleculaire scheikunde, beter te begrijpen. Te beginnen bij Richard Dedekind in de jaren 1880, is het concept van een ring ontstaan uit pogingen om de laatste stelling van Fermat te bewijzen. Andere gebieden uit de wiskunde, voornamelijk de getaltheorie, droegen aan de ringtheorie bij, maar in de jaren 1920 kreeg de theorie door Emmy Noether, Emil Artin, Wolfgang Krull en anderen een vaste en algemene vorm. De moderne ringtheorie is een zeer actieve wiskundige discipline en geeft ringen hun eigen bestaansrecht. Ringtheoretici maken onderscheid tussen de theorie van de commutatieve ringen en . Deze laatste theorie behoort tot de algebraïsche getaltheorie en de algebraïsche meetkunde. De niet-commutatieve delingsringen zijn hiervan een onderwerp. Sinds de ontdekking in de jaren 1980 door Alain Connes van een mysterieus verband tussen de niet-commutatieve ringtheorie en de meetkunde is de niet-commutatieve meetkunde uitgegroeid tot een bijzonder actieve discipline binnen de ringtheorie. Om ringen te onderzoeken hebben wiskundigen verschillende begrippen bedacht om ringen in kleinere, beter begrijpelijke stukken op te delen, zoals idealen, en enkelvoudige ringen. Maar er is ook een hiërarchie van deelverzamelingen tussen de ringen en de velden B of lichamen NL. Lichamen/velden euclidische domeinen hoofdideaaldomeinen unieke factorisatiedomeinen integriteitsdomeinen commutatieve ringen ringen. De lichamen/velden worden ook apart bestudeerd. Ieder lichaam/veld is per definitie een commutatieve ring. (nl)
- Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição. Embora essas operações sejam familiares em muitas estruturas matemáticas, tais como sistemas de números ou números inteiros, elas também são muito gerais, tomando uma ampla variedade de objetos matemáticos. A onipresença dos anéis os torna um princípio organizador central da matemática contemporânea. O ramo da matemática que estuda os anéis é conhecido como teoria dos anéis. (pt)
- Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел (целых, вещественных, комплексных), совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом. Понятие кольца было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся. Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии, алгебраической теории чисел, алгебраической -теории, теории инвариантов. (ru)
- En ring är en algebraisk struktur betecknad R(+,·), på vilken finns två operatorer + och · sådana att: 1. R är en abelsk grupp under addition, +.2. Multiplikationen ·, är binär, sluten, associativ och distributiv med avseende på addition. Om multiplikationen har ett neutralt element, ofta betecknat med 1, så sägs ringen vara unitär. Om multiplikationen är kommutativ, så kallas ringen kommutativ. Z, Q och R är kommutativa unitära ringar. Mängden 2Z av jämna heltal utgör en ickeunitär kommutativ ring. (sv)
- Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, в якій визначено дві бінарні операції з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Властивості кілець вивчає теорія кілець. (uk)
- 环（Ring）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作 和 ，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。 环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- Okruh je v matematice algebraická struktura s dvěma binárními operacemi běžně nazývanými sčítání a násobení. Přitom sčítání splňuje axiomy Abelových grup a násobení axiomy pologrupy. Navíc obě operace jsou svázány distributivitou - lze roznásobit součet. Typickým příkladem okruhu je množina celých čísel s běžně známými operacemi sčítání a násobení. (cs)
- Ringo estas algebra strukturo tia, ke estas abela grupo (adicio), estas duongrupo (multipliko) kaj validas la aksiomoj de distribueco: (eo)
- Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, wie z. B. in den ganzen Zahlen , Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind. Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. (de)
- Aljebra abstraktuan eraztuna da multzorako (gehiketa) eragiketak elkartze eta trukatze propietatea eta elementu alderantzizko eta neutroaren existentzia betetzen dituen, eta (biderketa edo produktua) elkartze propietatea eta banatze propietateak betetzen dituen egitura aljebraikoa. (eu)
- In matematica, in particolare in algebra astratta, un anello è una struttura algebrica composta da un insieme su cui sono definite due operazioni binarie, chiamate somma e prodotto, indicate rispettivamente con e , che godono di proprietà simili a quelle verificate dai numeri interi. La parte della matematica che li studia è detta teoria degli anelli. (it)
- 추상대수학에서 환(環, 영어: ring)은 덧셈과 곱셈이 정의된 대수 구조의 하나이다. 환은 덧셈에 대하여 아벨 군을 이루고, 분배법칙과 곱셈의 결합법칙 및 항등원의 존재를 만족시키지만, 곱셈에 대한 역원은 존재하지 않을 수 있다. 환을 연구하는 추상대수학의 분야를 환론(環論, 영어: ring theory)이라고 한다. 가환환(곱셈의 교환법칙이 성립하는 환)은 비가환환보다 훨씬 많은 성질이 알려져 있으며, 이들의 연구를 가환대수학이라고 한다. 가환대수학은 대수기하학 및 대수적 수론과 깊은 관련이 있다. 1980년대 이후에는 비가환 기하학과 양자군 등의 이론이 나타나면서 비가환환에 대해서도 상당한 연구가 이루어지고 있다. 환에 대한 관련된 개념으로, 군의 표현(혹은 가군)이나 군환, 나눗셈환, 보편 포락 대수 등의 특수한 환 및 인접 분야인 호몰로지 대수학 등이 있다. (ko)
- En ring är en algebraisk struktur betecknad R(+,·), på vilken finns två operatorer + och · sådana att: 1. R är en abelsk grupp under addition, +.2. Multiplikationen ·, är binär, sluten, associativ och distributiv med avseende på addition. Om multiplikationen har ett neutralt element, ofta betecknat med 1, så sägs ringen vara unitär. Om multiplikationen är kommutativ, så kallas ringen kommutativ. Z, Q och R är kommutativa unitära ringar. Mängden 2Z av jämna heltal utgör en ickeunitär kommutativ ring. (sv)
- Кільце́ — в абстрактній алгебрі це алгебрична структура, в якій визначено дві бінарні операції з властивостями, подібними до додавання і множення цілих чисел. Властивості кілець вивчає теорія кілець. (uk)
- 环（Ring）是由集合R和定义于其上的两种二元运算（记作 和 ，常被简称为加法和乘法，但与一般所说的實數加法和乘法不同）所构成的，符合一些性质（具体见下）的代数结构。 环的定義类似于交换群，只不过在原来「+」的基础上又增添另一种运算「·」（注意我们这里所说的 + 與 · 一般不是我们所熟知的四则运算加法和乘法）。在抽象代数中，研究环的分支为环论。 (zh)
- في الجبر التجريدي، الحلقة (بالإنجليزية: Ring)، والتي يرمز إليها أحيانا هي مجموعة من العناصر مزودة بعمليتين ثنائيتين هما الجمع والجداء بحيث تحقق البديهيات التالية: 1.
* زمرة أبيلية حيث العنصر الحيادي والمتمم 2.
* مغلقة بالنسبة إلى الجداء: 3.
* تجميعية بالنسبة إلى الجداء: 4.
* توزيعية عملية الجداء على عملية الجمع من الجهتين، اليمنى واليسرى: و تُدعى الحلقة بالتبديلية أو التبادلية إن حققت الشرط الإضافي التالي: 5. تبديلية بالنسبة إلى الجداء: (ar)
- En matemàtiques, un anell és una estructura algebraica formada per un conjunt A d'elements on hi ha definides dues operacions binàries, que anomenarem suma (+) i producte (·) (tot i que no són necessàriament la suma i el producte de nombres reals habituals) i que compleixen les següents propietats: Alguns autors com Bourbaki, només consideren els anells unitaris, és a dir, aquells on l'operació producte admet un element neutre denotat 1 o explícitament 1A que compleix:
* 1⋅a = a⋅1 = a per a tot a ∈ A. (ca)
- Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στην αφηρημένη άλγεβρα, δακτύλιος είναι μια που αφαιρεί και γενικεύει τις βασικές , και συγκεκριμένα τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού. Οι δακτύλιοι μελετώνται κυρίως στον κλάδο των μαθηματικών, γνωστό ως άλγεβρα, αλλά χρησιμοποιούνται σε περισσότερους τομείς των μαθηματικών, συμπεριλαμβανομένης της γεωμετρίας και της μαθηματικής ανάλυσης. Επιτρέπουν στους μαθηματικούς να εφαρμόσουν τις θεωρίες της σε μη-αριθμητικά αντικείμενα όπως πολυώνυμα, σειρές και συναρτήσεις. Ο επίσημος ορισμός των δακτυλίων είναι σχετικά πρόσφατος (τέλη 19ου αιώνα), και είναι ένα παράδειγμα της τάσης των σύγχρονων μαθηματικών για την εισαγωγή, τη μελέτη, και τη διαχείριση των αφηρημένων δομών. (el)
- En álgebra abstracta, un anillo es un sistema algebraico formado por un conjunto y dos operaciones internas, llamadas usualmente «suma» y «producto», que cumplen ciertas propiedades. En términos más específicos, un anillo es una terna , donde es un conjunto y + y • son operaciones binarias internas en , en donde es un grupo abeliano, es un monoide y se verifica la distributiva bilateral de • respecto de +. Suele denominarse «suma» y «producto» a las operaciones + y •, respectivamente. En esta convención, el elemento neutro de la suma se designa como 0, el opuesto con respecto a la suma de un elemento a, perteneciente al conjunto R dado, se denota como –a y el neutro del producto se designa como 1. Sería redundante decir que un anillo es un conjunto no vacío, pues una vez que se define c (es)
- En algèbre, un anneau est un ensemble muni de deux lois de composition interne appelées addition et multiplication, qui vérifient des propriétés analogues à celles de ces opérations sur les entiers relatifs. Plus précisément, deux définitions différentes sont significativement représentées dans la littérature mathématique : Les théories des anneaux unitaires et des pseudo-anneaux sont à bien des égards voisines, avec nombre d'énoncés communs. Elles divergent pourtant significativement en quelques points (par exemple les propriétés des idéaux maximaux). (fr)
- Dalam matematika, gelanggang (bahasa Inggris: ring) merupakan salah satu struktur aljabar yang dibahas dalam aljabar abstrak. Sebuah gelanggang terdiri dari sebuah himpunan dan dua operasi biner yang didasarkan pada operasi aritmetika penjumlahan dan perkalian. Pendasaran tersebut memudahkan teorema-teorema yang berlaku pada aritmetika diterapkan juga dalam objek-objek non-numerik, seperti polinomial, deret, matriks, dan fungsi. (in)
- In mathematics, rings are algebraic structures that generalize fields: multiplication need not be commutative and multiplicative inverses need not exist. In other words, a ring is a set equipped with two binary operations satisfying properties analogous to those of addition and multiplication of integers. Ring elements may be numbers such as integers or complex numbers, but they may also be non-numerical objects such as polynomials, square matrices, functions, and power series. (en)
- 数学における環（かん、英: ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある）やにおける対称現象の理解にも寄与する。 (ja)
- In de ringtheorie, een deelgebied van de abstracte algebra, is een ring een algebraïsche structuur, bestaande uit een verzameling waarop twee bewerkingen zijn gedefinieerd die intuïtief overeenkomen met optellen en vermenigvuldigen. Deze bewerkingen zijn zodanig dat de ring met betrekking tot de optelling een abelse groep is en dat de vermenigvuldiging associatief is en distributief over de optelling. Lichamen/velden euclidische domeinen hoofdideaaldomeinen unieke factorisatiedomeinen integriteitsdomeinen commutatieve ringen ringen. (nl)
- Pierścień – struktura formalizująca własności algebraiczne liczb całkowitych oraz arytmetyki modularnej; intuicyjnie zbiór, którego elementy mogą być bez przeszkód dodawane, odejmowane i mnożone, lecz niekoniecznie dzielone. Badanie pierścieni umożliwiło uogólnienie innych pojęć matematycznych takich, jak np. liczby pierwsze (przez ideały pierwsze), wielomiany, ułamki oraz rozwinięcie teorii podzielności i wskazania przy tym najogólniejszej struktury, w której możliwe jest stosowanie algorytmu Euklidesa (tzw. pierścień Euklidesa). Dział matematyki opisujący te struktury nazywa się teorią pierścieni. (pl)
- Em matemática, um anel é uma estrutura algébrica que consiste em um conjunto associado a duas operações binárias, normalmente chamadas de adição e multiplicação, em que cada operação combina dois elementos para formar um terceiro elemento. Para se qualificar como um anel, o conjunto e suas duas operações devem satisfazer determinadas condições; especificamente, o conjunto deve ser um grupo abeliano sob adição e um monoide sob multiplicação tal que a multiplicação distribui sobre a adição. (pt)
- Кольцо́ (также ассоциативное кольцо) в общей алгебре — алгебраическая структура, в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения, по свойствам похожие на соответствующие операции над числами. Простейшими примерами колец являются совокупности чисел (целых, вещественных, комплексных), совокупности числовых функций, определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом. (ru)
|
