| dbo:abstract
|
- يمكن تثليث الزاوية أحد حالات رسم الخطوط في الزوايا - أي قسمة الزاوية إلى أقسام متساوية. قد ثبت استحالة إيجاد حل عام لتلك المسائل باستعمال المسطرة والفرجار فحسب، إلا أنه توجد طرق عدة لحالات معينة منها مثلا أن رسم زاوية ما كالقائمة ثم أخذ البركار وتحديد قياس الزاوية ثم قسمته على 3 ثم تطبيقه على الزاوية. (ar)
- El problema de trisecar l'angle és un problema clàssic de construcció amb regle i compàs dels antics matemàtics grecs. Donat un angle, el problema consisteix a construir un altre angle que sigui una tercera part del primer, emprant només un regle no marcat i un compàs. Amb aquestes eines es demostra que el problema és . Això requereix dibuixar l'arrel cúbica d'un nombre donat, construcció impossible amb les eines donades. (ca)
- Trisekce úhlu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou kvadratura kruhu a duplikace krychle; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné. (cs)
- Angle trisection is a classical problem of straightedge and compass construction of ancient Greek mathematics. It concerns construction of an angle equal to one third of a given arbitrary angle, using only two tools: an unmarked straightedge and a compass. Pierre Wantzel proved in 1837 that the problem, as stated, is impossible to solve for arbitrary angles. However, although there is no way to trisect an angle in general with just a compass and a straightedge, some special angles can be trisected. For example, it is relatively straightforward to trisect a right angle (that is, to construct an angle of measure 30 degrees). It is possible to trisect an arbitrary angle by using tools other than straightedge and compass. For example, neusis construction, also known to ancient Greeks, involves simultaneous sliding and rotation of a marked straightedge, which cannot be achieved with the original tools. Other techniques were developed by mathematicians over the centuries. Because it is defined in simple terms, but complex to prove unsolvable, the problem of angle trisection is a frequent subject of pseudomathematical attempts at solution by naive enthusiasts. These "solutions" often involve mistaken interpretations of the rules, or are simply incorrect. (en)
- Unter dem Problem der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie die Frage, ob man einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal (mit den euklidischen Werkzeugen) in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar. Obwohl die Problemstellung der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht zu lösen ist. Der erste Beweis dieser Negativaussage stammt von Pierre Wantzel aus dem Jahr 1837. In ihm wird das Problem auf eine algebraische Gleichung dritten Grades reduziert und argumentiert, dass deren Lösungen keine konstruierbaren Zahlen sind, sie sich also nicht in endlich vielen Schritten mit Zirkel und Lineal aus der Länge 1 konstruieren lassen. Um zu zeigen, dass es keine allgemeine Konstruktion für die Winkeldreiteilung gibt, reicht die Angabe eines einzigen Gegenbeispiels: Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist. Es gibt jedoch auch Winkel, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert, aber mit diesen Mitteln gedrittelt werden können (Näheres in Abzählbarkeit der Menge der drittelbaren Winkel), wenn sie zu Beginn gegeben sind. Obwohl eine klassische Konstruktion nicht möglich ist, kann die Dreiteilung eines Winkels unter Zuhilfenahme von Hilfsmaterialien, wie eines markierten Lineals, exakt vollzogen werden. Einige dieser Techniken waren bereits in der Antike bekannt.In auffälligem Gegensatz zum Problem der Winkeldreiteilung steht die unter Verwendung der Winkelhalbierenden sehr leicht machbare Winkelhalbierung mit Zirkel und Lineal. (de)
- La trisección del ángulo es uno de los tres problemas clásicos de la antigua matemática griega. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás. El problema es sencillo en algunos casos (por ejemplo, si el ángulo dado es recto o si en el barrido por la circunferencia total puede construirse un ángulo que sea la tercera parte del mismo), pero es imposible de resolver en general, como demostró Pierre Wantzel en su artículo Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas, de 1837. Su demostración utiliza la teoría de Galois. La trisección del ángulo es uno de los problemas clásicos de la antigüedad griega que sobrevivió sin ser resuelto hasta el siglo XIX, junto con la cuadratura del círculo y la duplicación del cubo. Este último fue resuelto en el mismo artículo por Wantzel, demostrando su irresolubilidad. La cuadratura del círculo también es imposible, como probó Carl Louis Ferdinand von Lindemann en 1882. Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, el método neusis, también conocido por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla graduada, lo que no se puede lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas en los siglos posteriores. Debido a que el problema de la trisección del ángulo está definido en términos simples, pero es complejo hasta el punto de ser irresoluble, se convirtió en un tema frecuente de intentos de resolución por parte de entusiastas ingenuos. Estas soluciones a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas. (es)
- La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas. Sous cette forme, le problème (comme les deux autres) n'a pas de solution, ce qui fut démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837. (fr)
- 수학에서 각의 3등분이란 주어진 각을 같은 크기의 세 각으로 나누는 일이다. 임의의 주어진 각을 3등분할 수 있는지 여부는 3대 작도 불가능문제 가운데 하나이다. 각의 삼등분 문제는 임의의 각을 삼등분하는 문제로, 임의의 크기의 각을 작도하는 사람이 자신이 의도한 크기의 각을 정확히 작도할 수 없기 때문에 일반적으로 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 작도할 수 없다. 종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용한다는 문제의 조건에 어긋난다. 이 문제는 프랑스의 수학자 피에르 방첼(Pierre Wantzel)이 1837년에 60도를 삼등분하는 작도가 불가능함을 보임으로써 끝이 났다. 이것은 주어진 어떤 각도 삼등분할 수 없다는 뜻이 아니다. 직각을 비롯한 무한히 많은 각을 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 있지만, 한편 자와 컴퍼스만으로 삼등분할 수 없는 각 또한 무수히 많다는 뜻이다. 예를 들어 60도의 경우 3배각 공식을 이용해 방정식으로 나타낼 경우 삼차 방정식의 형태로 나타낼 수 있고, 이 식에서의 양의 실수 해는 세제곱근이 들어가므로 60도를 3등분한 각인 20도는 작도할 수 없다. 임의의 각은 삼등분이 불가능하며, 특정 각의 경우에도 상술했듯 삼등분이 가능한 각과 불가능한 각이 있다. 삼등분이 가능한 각은 다음과 같다.
* 직각은 삼등분 작도를 할 수 있다.
* 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도가 가능하다.
* 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 2배각과 절반각도 삼등분 작도를 할 수 없다.
* 삼등분 작도를 할 수 있는 각의 3배각도 삼등분 작도를 할 수 있으나, 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없을 경우도 있다. (예: 직각 → 30도)
* 역으로, 삼등분 작도를 할 수 없는 각의 1/3 크기의 각은 삼등분 작도를 할 수 없으나, 3배각은 삼등분 작도를 할 수 있을 경우도 있다. 이 조건에 의하면 삼등분 작도가 가능한 각은 직각을 포함하여 45도, 22.5도, 11.25도, 135도, 67.5도, 33.75도 등이 있다. 즉, 9의 배수, 4.5의 배수, 2.25의 배수인 각이 삼등분 작도가 가능하다. (ko)
- 角の三等分問題（かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection）とは、古代における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。 1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分（即ち 30° の角の作図）は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。例えば、60° の三等分（即ち 20° の角の作図）の不可能性は複素数を使うことにより比較的単純に示すことができる。 定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、（目盛りなしの）定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。 この問題の内容自体は単純で理解に難くない一方、これが解けないことの証明は複雑である。そのため、角の三等分問題の解法はよく的な試みの対象となる。これらの「解法」はしばしばルールの誤解釈、あるいは単純に誤りを含んだものとなっている。 (ja)
- De driedeling of trisectie van een hoek, is een van de klassieke meetkundige problemen. De opgave bestaat eruit, enkel met behulp van passer en een ongemarkeerde liniaal (constructie met passer en liniaal) een willekeurige hoek in drie gelijke delen te verdelen, zoals de bissectrice de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Het vinden van een constructie die dat doet is onmogelijk. Dit is bewezen door de Franse wiskunde Pierre Wantzel in 1837. Hij toonde aan dat het construeren van een derdemachtswortel van een gegeven lengte onmogelijk is, en dat is noodzakelijk bij de driedeling van een hoek. In het algemeen zal men andere hulpmiddelen nodig hebben om een hoek in drie delen te delen. Dat wil niet zeggen dat van geen enkele hoek de driedeling te construeren is. Zo is bijvoorbeeld de driedeling van een rechte hoek wel mogelijk, een hoek van 30° kan men construeren (bijvoorbeeld met een rechthoekige driehoek waarvan de schuine zijde dubbel zo lang is als een van de rechthoekszijden). De driedeling van de hoek van 30° is echter niet mogelijk, want een hoek van 10° kan niet geconstrueerd worden zonder bijkomende hulpmiddelen. Dit probleem wordt vaak in één adem genoemd met de kwadratuur van de cirkel en de verdubbeling van de kubus, constructies waarvan eveneens is aangetoond dat ze onmogelijk zijn. Voor de trisectie werden wel constructies bedacht die buiten de regels van de constructies met passer en liniaal vallen, bijvoorbeeld door middel van de Archimedes-spiraal of de neusis. (nl)
- Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta kąt o mierze jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest rozkładalny w ciele (pl)
- La trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro angolo qualsiasi dato, assieme al problema della duplicazione del cubo e a quello della quadratura del cerchio, è uno dei tre problemi classici della geometria greca che, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze. (it)
- Vinkelns tredelning är ett klassiskt problem inom geometrisk konstruktion. Problemet består i att dela en vinkel i exakt tre lika stora vinklar med endast rätskiva och passare. Problemet bevisades vara olösbart i det allmänna fallet av Pierre Wantzel år 1837. Wantzels bevis använder sig av idéer från Galoisteorin — tredelningen av en vinkel motsvarar lösandet av en viss kubisk ekvation, vilket inte alltid är möjligt med de angivna metoderna. Dock kan en allmän lösning tas fram om man tillåter andra verktyg än rätskiva och passare. (sv)
- Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude. O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois dos seus vértices é de 120º, resulta daqui que o ângulo de 120º não pode ser trissectado somente com régua e compasso. No entanto Gauss nunca publicou uma demonstração do seu enunciado. (pt)
- Трисе́кція кута́ — задача про поділ заданого кута на три рівні частини за допомогою циркуля та лінійки. Інакше кажучи, необхідно побудувати трисектриси кута — промені, що ділять кут на три рівні частини. Поруч із задачами про квадратуру круга та подвоєння куба є однією з класичних задач на побудову, відомих з часів стародавньої Греції. П'єр Лоран Ванцель у 1837 році довів, що задача розв'язна тільки тоді, коли розв'язне в квадратних радикалах рівняння: Наприклад, трисекція здійсненна для кутів α = 360°/n при умові, що ціле n не ділиться на 3. Тим не менш, в пресі час від часу публікуються (хибні) способи здійснення трисекції кута циркулем та лінійкою. (uk)
- Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой.Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции. Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году.Несмотря на это, в прессе и даже в некоторых научных журналах время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой. (ru)
- 三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？” 三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。 如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。 (zh)
|
| rdfs:comment
|
- يمكن تثليث الزاوية أحد حالات رسم الخطوط في الزوايا - أي قسمة الزاوية إلى أقسام متساوية. قد ثبت استحالة إيجاد حل عام لتلك المسائل باستعمال المسطرة والفرجار فحسب، إلا أنه توجد طرق عدة لحالات معينة منها مثلا أن رسم زاوية ما كالقائمة ثم أخذ البركار وتحديد قياس الزاوية ثم قسمته على 3 ثم تطبيقه على الزاوية. (ar)
- El problema de trisecar l'angle és un problema clàssic de construcció amb regle i compàs dels antics matemàtics grecs. Donat un angle, el problema consisteix a construir un altre angle que sigui una tercera part del primer, emprant només un regle no marcat i un compàs. Amb aquestes eines es demostra que el problema és . Això requereix dibuixar l'arrel cúbica d'un nombre donat, construcció impossible amb les eines donades. (ca)
- Trisekce úhlu je jeden ze tří nejslavnějších antických konstrukčních problémů (zbylé dva jsou kvadratura kruhu a duplikace krychle; souhrnně jsou nazývány Tři klasické problémy antické matematiky). Tyto úlohy byly formulovány již v 5. století př. n. l. a odolávaly po dlouhá staletí všem pokusům o vyřešení, než bylo v 19. století dokázáno, že jsou neřešitelné. (cs)
- La trisection de l'angle est un problème classique de mathématiques. C'est un problème géométrique, faisant partie des trois grands problèmes de l'Antiquité, avec la quadrature du cercle et la duplication du cube. Ce problème consiste à diviser un angle en trois parties égales, à l'aide d'une règle et d'un compas. Sous cette forme, le problème (comme les deux autres) n'a pas de solution, ce qui fut démontré par Pierre-Laurent Wantzel en 1837. (fr)
- Trysekcja kąta – jeden z trzech (obok podwojenia sześcianu i kwadratury koła) wielkich problemów matematyki greckiej. Polega on na podziale kąta na trzy równe części jedynie przy użyciu cyrkla i liniału. W roku 1837 Pierre Wantzel udowodnił, że konstrukcja taka w ogólnym przypadku jest niewykonalna. Posługując się narzędziami teorii Galois można wykazać, że dla danego kąta kąt o mierze jest konstruowalny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian jest rozkładalny w ciele (pl)
- La trisezione di un angolo, vale a dire la costruzione di un angolo di ampiezza un terzo di un altro angolo qualsiasi dato, assieme al problema della duplicazione del cubo e a quello della quadratura del cerchio, è uno dei tre problemi classici della geometria greca che, come ha dimostrato algebricamente Pierre-Laurent Wantzel nel 1837, non si può risolvere con riga e compasso, ossia con costruzioni geometriche che impiegano solo rette e circonferenze. (it)
- Vinkelns tredelning är ett klassiskt problem inom geometrisk konstruktion. Problemet består i att dela en vinkel i exakt tre lika stora vinklar med endast rätskiva och passare. Problemet bevisades vara olösbart i det allmänna fallet av Pierre Wantzel år 1837. Wantzels bevis använder sig av idéer från Galoisteorin — tredelningen av en vinkel motsvarar lösandet av en viss kubisk ekvation, vilket inte alltid är möjligt med de angivna metoderna. Dock kan en allmän lösning tas fram om man tillåter andra verktyg än rätskiva och passare. (sv)
- Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой.Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части. Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции. Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году.Несмотря на это, в прессе и даже в некоторых научных журналах время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой. (ru)
- 三等分角是古希臘平面几何里尺規作圖领域中的著名问题，與化圓為方及倍立方問題並列為尺规作图三大難題。尺规作图是古希腊人的数学研究课题之一，是对具体的直尺和圆规画图可能性的抽象化，研究是否能用规定的作图法在有限步内达到给定的目标。三等分角问题的内容是：“能否仅用尺规作图法将任意角度三等分？” 三等分角问题提出后，在漫长的两千余年中，曾有众多的尝试，但没有人能够给出严格的答案 。随着十九世纪群论和域论的发展，法国数学家首先利用伽罗瓦理论证明，這個問題的答案是否定的：不存在仅用尺规作图法将任意角度三等分的通法。具体来说，汪策尔研究了给定单位长度後，能够用尺规作图法所能达到的长度值。所有能够经由尺规作图达到的长度值被称为规矩数，而汪策尔证明了，如果能够三等分任意角度，那么就能做出不属于规矩数的长度，从而反证出通过尺规三等分任意角是不可能的。 如果不将手段局限在尺规作图法中，放宽限制或借助更多的工具的话，三等分任意角是可能的。然而，作为数学问题本身，由于三等分角问题表述简单，而证明困难，并用到了高等的数学方法，在已被證明不可能实现后，仍然有许多人尝试给出肯定的证明。 (zh)
- Unter dem Problem der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie die Frage, ob man einen beliebigen Winkel mit Hilfe von Zirkel und Lineal (mit den euklidischen Werkzeugen) in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar. Obwohl die Problemstellung der Winkeldreiteilung bis in die Antike zurückreicht, konnte erst im 19. Jahrhundert mit Methoden der Algebra gezeigt werden, dass sie mit Zirkel und Lineal im Allgemeinen nicht zu lösen ist. (de)
- Angle trisection is a classical problem of straightedge and compass construction of ancient Greek mathematics. It concerns construction of an angle equal to one third of a given arbitrary angle, using only two tools: an unmarked straightedge and a compass. Because it is defined in simple terms, but complex to prove unsolvable, the problem of angle trisection is a frequent subject of pseudomathematical attempts at solution by naive enthusiasts. These "solutions" often involve mistaken interpretations of the rules, or are simply incorrect. (en)
- La trisección del ángulo es uno de los tres problemas clásicos de la antigua matemática griega. El problema consiste en encontrar un ángulo cuya medida sea un tercio de otro ángulo dado, utilizando únicamente regla y compás. Debido a que el problema de la trisección del ángulo está definido en términos simples, pero es complejo hasta el punto de ser irresoluble, se convirtió en un tema frecuente de intentos de resolución por parte de entusiastas ingenuos. Estas soluciones a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas. (es)
- 수학에서 각의 3등분이란 주어진 각을 같은 크기의 세 각으로 나누는 일이다. 임의의 주어진 각을 3등분할 수 있는지 여부는 3대 작도 불가능문제 가운데 하나이다. 각의 삼등분 문제는 임의의 각을 삼등분하는 문제로, 임의의 크기의 각을 작도하는 사람이 자신이 의도한 크기의 각을 정확히 작도할 수 없기 때문에 일반적으로 눈금 없는 자와 컴퍼스를 이용하여 작도할 수 없다. 종이를 접거나 특수한 도구를 사용하여 주어진 각을 삼등분하는 각을 만들 수는 있지만, 이것은 눈금없는 자와 컴퍼스만을 이용한다는 문제의 조건에 어긋난다. 임의의 각은 삼등분이 불가능하며, 특정 각의 경우에도 상술했듯 삼등분이 가능한 각과 불가능한 각이 있다. 삼등분이 가능한 각은 다음과 같다. 이 조건에 의하면 삼등분 작도가 가능한 각은 직각을 포함하여 45도, 22.5도, 11.25도, 135도, 67.5도, 33.75도 등이 있다. 즉, 9의 배수, 4.5의 배수, 2.25의 배수인 각이 삼등분 작도가 가능하다. (ko)
- 角の三等分問題（かくのさんとうぶんもんだい、英: angle trisection）とは、古代における古典的な定規とコンパスによる作図問題である。この問題は、与えられた任意の角に対しその三分の一の大きさの角を、目盛りのない定規とコンパスのみを用いて作図せよというものである。 1837年にピエール・ヴァンツェルにより、一般にはこの問題を解くことが不可能であることが示された。ただし、これは定規とコンパスのみを用いて角を三等分する方法が一般には存在しないということであり、特別な場合として三等分が可能な角は幾つか存在する。例えば、直角の三等分（即ち 30° の角の作図）は比較的単純に行うことができる。逆に、三等分が不可能な角で不可能性を容易に証明することができるものが幾つか存在する。例えば、60° の三等分（即ち 20° の角の作図）の不可能性は複素数を使うことにより比較的単純に示すことができる。 定規とコンパス以外の道具を用いて任意の角の三等分を行うことは可能である。例として、古代ギリシャから知られていたネウシス作図がある。これはスライドと同時に回転が可能な目盛り付きの定規を用いる作図であり、（目盛りなしの）定規とコンパスでは不可能な作図である。その他数々の方法が数学者達により何世紀にもわたって考案されてきた。 (ja)
- De driedeling of trisectie van een hoek, is een van de klassieke meetkundige problemen. De opgave bestaat eruit, enkel met behulp van passer en een ongemarkeerde liniaal (constructie met passer en liniaal) een willekeurige hoek in drie gelijke delen te verdelen, zoals de bissectrice de hoek in twee gelijke delen verdeelt. Het vinden van een constructie die dat doet is onmogelijk. Dit is bewezen door de Franse wiskunde Pierre Wantzel in 1837. Hij toonde aan dat het construeren van een derdemachtswortel van een gegeven lengte onmogelijk is, en dat is noodzakelijk bij de driedeling van een hoek. In het algemeen zal men andere hulpmiddelen nodig hebben om een hoek in drie delen te delen. (nl)
- Trissecção do ângulo é um dos problemas clássicos da geometria sobre construções com régua e compasso e consiste em, dado um ângulo qualquer, construir um outro com um terço de sua amplitude. O problema era conhecido dos antigos gregos e a resposta — negativa — só foi obtida em 1837 pelo matemático francês Pierre Laurent Wantzel que mudou o foco da questão, passando a buscar uma prova de que o problema não teria solução. Wentzel apoiou-se sobretudo nos resultados de Gauss o qual afirmara no seu livro Disquisitiones Arithmeticae (publicado em 1801) que não era possível construir com régua e compasso um polígono regular com nove lados. Como é possível construir um triângulo regular com régua e compasso e como, para um tal triângulo, o ângulo formado pelos segmentos que unem o centro a dois d (pt)
- Трисе́кція кута́ — задача про поділ заданого кута на три рівні частини за допомогою циркуля та лінійки. Інакше кажучи, необхідно побудувати трисектриси кута — промені, що ділять кут на три рівні частини. Поруч із задачами про квадратуру круга та подвоєння куба є однією з класичних задач на побудову, відомих з часів стародавньої Греції. П'єр Лоран Ванцель у 1837 році довів, що задача розв'язна тільки тоді, коли розв'язне в квадратних радикалах рівняння: (uk)
|
