Sigma algebra

$\sigma$ -algebra (sigma-algebra, též $\sigma$ -těleso) je v matematice libovolný neprázdný systém množin, který je uzavřený na spočetné sjednocení a na rozdíl dvou prvků a obsahuje sjednocení všech svých prvků. Prefix $\sigma$ v názvu vyjadřuje uzavřenost na spočetné sjednocení.

Definice

Systém ${\mathcal {A}}$ podmnožin množiny $X$ nazveme $\sigma$ -algebrou, jestliže obsahuje prázdnou množinu a je uzavřený na spočetné sjednocení a doplněk, tj.:

$\emptyset \in {\mathcal {A}}$
jestliže $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})$ , pak $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$
jestliže $A\in {\mathcal {A}}$ , pak $X\setminus A\in {\mathcal {A}}$

Vlastnosti

$\sigma$ -algebra obsahuje sjednocení všech svých prvků, tj.: $X\in {\mathcal {A}}$ , což dostaneme dosazením prázdné množiny za $A$ v poslední části definice
$\sigma$ -algebra je uzavřená na spočetný průnik svých prvků, tj. pro $(\forall n\in \mathbb {N} )(A_{n}\in {\mathcal {A}})$ platí $\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}$

Použití

Koncept $\sigma$ -algebry je důležitý především v teorii míry a v teorii pravděpodobnosti. Míra je libovolná nezáporná funkce, která je $\sigma$ -aditivní a má na prázdné množině hodnotu $0$ . Pravděpodobnost je míra, která má na množině $X$ hodnotu $1$ .

Měřitelná množina

V teorii míry se dvojice $(X,{\mathcal {A}})$ , kde $X$ je libovolná množina a ${\mathcal {A}}$ je $\sigma$ -algebra na $X$ nazývá měřitelný prostor a množiny ${\mathcal {A}}\in {\mathcal {A}}$ nazýváme měřitelné množiny.

Související články

$\sigma$ -okruh