Sigma-algebra

Sigma-algebra (myös σ-algebra) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä

Olkoon $\Omega$ mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra perusjoukolla $\Omega$ on sen osajoukkojen joukkoperhe ${\mathcal {F}}$, joka toteuttaa ehdot:

1. $\varnothing \in {\mathcal {F}}$
2. jos $A\in {\mathcal {F}}$, niin $A$:n komplementtijoukko $A^{c}\in {\mathcal {F}}$
3. jos $A_{k}\in {\mathcal {F}}$ kaikilla $k\in K$, missä $K$ on numeroituva joukko, niin $\bigcup _{k\in K}A_{k}\in {\mathcal {F}}$.

Sigma-algebran ominaisuuksia

Sigma-algebran ${\mathcal {F}}$ ominaisuuksia:

• perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli $\Omega \in {\mathcal {F}}$
• Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos $A\in {\mathcal {F}}$ ja $B\in {\mathcal {F}}$, niin esimerkiksi $A\cup B\in {\mathcal {F}}$, $A\cap B\in {\mathcal {F}}$ ja $A\setminus B\in {\mathcal {F}}$
• jos $A_{k}\in {\mathcal {F}}$ kaikilla $k\in K$, missä $K$ on numeroituva, niin $\bigcap _{k\in K}A_{k}\in {\mathcal {F}}$
• sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä

Triviaali sigma-algebra on joukko $\{\varnothing ,\Omega \}$. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran ${\mathcal {F}}$ ali-sigma-algebra on joukkoperhe ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}$, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon ${\mathcal {B}}$ mielivaltainen joukkoperhe joukon $\Omega$ osajoukkoja. Joukkoperheen ${\mathcal {B}}$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma ({\mathcal {B}})$, on suppein sigma-algebra, jolla ${\mathcal {B}}\subset \sigma ({\mathcal {B}})$.

Olkoon $f$ kuvaus $\Omega \rightarrow \mathbb {R}$. Kuvauksen $f$ virittämä sigma-algebra, jota merkitään $\sigma (f)$, on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f$ on mitallinen. $\sigma (f_{1},f_{2})$ on suppein sigma-algebra, jonka suhteen $f_{1}$ ja $f_{2}$ ovat mitallisia.

Olkoon ${\mathcal {F}}$ sigma-algebra ja ${\mathcal {F}}_{n}$ sen alisigma-algebra jokaisella $n\in \mathbb {N}$. Jos ${\mathcal {F}}_{n}\subset {\mathcal {F}}_{n+1}$ jokaisella $n\in \mathbb {N}$, niin $({\mathcal {F}}_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ on historia tai informaatiovirta, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta

• Jalava, Väinö: Moderni analyysi I. (15) Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7

Aiheesta muualla

• MathWorld. Sigma-Algebra