Aljabar sigma

Dalam matematika, khususnya dalam ilmu teori peluang dan teori ukuran, aljabar-σ pada himpunan X adalah koleksi dari subhimpunan X yang dilambangkan dengan Σ yang mengandung X itu sendiri, tertutup terhadap operasi komplemen, dan tertutup terhadap operasi gabungan hingga.

Aljabar-σ merupakan salah satu contoh dari aljabar himpunan.

Definisi

Misalkan $X$ himpunan dan ${\mathcal {P}}(X)$ himpunan kuasa. Keluarga bagian $\Sigma \subseteq {\mathcal {P}}(X)$ disebut aljabar-σ, jika memenuhi sifat-sifat:

1. $X\in \Sigma$,
2. Jika $A\in \Sigma$, maka $X\setminus A\in \Sigma$,
3. Jika $A_{1},A_{2},\ldots \in \Sigma$, maka $\bigcup _{k\in \mathbb {N} }A_{k}\in \Sigma$.

Dengan kata lain, kita punyai $\Sigma$ tertutup atas operasi gabungan terhitung dan komplemen. Dalam teori ukuran, pasangan $(X,\Sigma )$ disebut ruang terukur.

Contoh

• Untuk suatu himpunan $X$, $\{\emptyset ,X\}$ aljabar-σ yang terkecil dan ${\mathcal {P}}$ aljabar-σ yang terbesar.
• Untuk suatu ruang topologi $(X,\tau )$, aljabar Borel adalah aljabar-σ terkecil yang memuat semua himpunan dari $\tau$.