Απόσταση (γεωμετρία)

Απόσταση είναι μια αριθμητική περιγραφή του πόσο μακριά είναι τα αντικείμενα. Στη φυσική ή στην καθημερινή συζήτηση η απόσταση μπορεί να αναφέρεται σε μια φυσική διάρκεια ή μια εκτίμηση με βάση άλλα κριτήρια. Στα μαθηματικά η απόσταση ή μετρική είναι μια γενίκευση της έννοιας της φυσικής απόστασης. Μια μετρική είναι μια λειτουργία που συμπεριφέρεται σύμφωνα με ένα συγκεκριμένο σύνολο κανόνων, και παρέχει ένα συγκεκριμένο τρόπο να περιγράψει τι σημαίνει για τα στοιχεία κάποιου χώρου να είναι "κοντά>" ή "μακριά" το ένα από το άλλο.Στις περισσότερες περιπτώσεις, "απόσταση από το Α στο Β" είναι ισοδύναμο με το "απόσταση μεταξύ Β και Α".

Στη βασική Γεωμετρία η έννοια της απόστασης ορίζεται ως το ελάχιστο μήκος ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει σημεία, ευθείες ή επίπεδα μεταξύ τους. Συγκεκριμένα απαντάται στις ακόλουθες περιπτώσεις:

• Απόσταση μεταξύ δύο σημείων: λέγεται το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που συνδέει τα δύο αυτά σημεία.
• Απόσταση σημείου από ευθείας: λέγεται το κάθετο τμήμα που άγεται από το σημείο προς την ευθεία.
• Απόσταση δύο παραλλήλων ευθειών: λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου.
• Απόσταση μεταξύ δύο ασυμβάτων ευθειών(δηλαδή μη κείμενων στο αυτό επίπεδο): λέγεται το μήκος της μεταξύ αυτών κοινής καθέτου.
• Απόσταση σημείου από επιπέδου: λέγεται το μήκος της καθέτου που άγεται από το σημείο προς το επίπεδο.
• Απόσταση μεταξύ δύο παραλλήλων επιπέδων: λέγεται το μεταξύ τούτων τμήμα οποιασδήποτε κοινής καθέτου διέρχόμενης αμφοτέρων.
• Απόσταση μεταξύ δύο συνόλων από σημεία: λέγεται το τμήμα του οποίου τα ακρα είναι από το ένα και το άλλο σύνολο και έχει το μικρότερο μήκος.

Τυπικά η απόσταση ορίζεται ως απόσταση μεταξύ δύο σημείων. Σε όλες τις παραπάνω περιπτώσεις αυτό είναι που υπολογίζεται.

Μαθηματικά

Δες επίσης:Μετρική (μαθηματικά)

Γεωμετρία

Στην βασική Γεωμετρία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων (x₁) και (x₂) είναι το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος που τα συνδέει:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}.\,$

Στην Αναλυτική Γεωμετρία η απόσταση δύο σημείων που ανήκουν στο Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο της απόστασης.Η απόσταση μεταξύ των σημείων (x₁, y₁) και (x₂, y₂) δίνεται από:

$d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.\,$

Όμοια,δοσμένων σημείων (x₁, y₁, z₁) και (x₂, y₂, z₂) στον τρισδιάστατο χώρο,η μεταξύ τους απόσταση δίνεται από:

$d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$

Αυτοί οι τύποι προκύπτουν εύκολα από την κατασκευή ενός ορθογωνίου τριγώνου και εφαρμόζοντας το Πυθαγόρειο θεώρημα. Στη μελέτη πολύπλοκων γεωμετριών, καλούμε αυτόν τον τύπο της απόστασης Ευκλείδεια απόσταση, δεδομένου ότι προέρχεται από το Πυθαγόρειο θεώρημα, και ο οποίος δεν ισχύει σε μη Ευκλείδεια γεωμετρία.

Απόσταση σε Ευκλείδειους χώρους

Στον Ευκλείδειο χώρο Rⁿ η απόσταση μεταξύ δύο σημείων δίνεται συνήθως από την Ευκλείδεια απόσταση (2-νόρμική απόσταση d_2). Από ένα σημείο (x₁, x₂, ...,x_n) και ένα σημείο (y₁, y₂, ...,y_n), η Απόσταση Minkowski τάξης p (p-νορμική απόσταση) ορίζεται ως:

1-νορμική απόσταση	$d_{1}=\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|$
2- νορμική απόσταση	$d_{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{2}\right)^{1/2}$
p-νορμική απόσταση	$d_{p}=\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
∞- νορμική απόσταση	$d_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(|x_{1}-y_{1}|,|x_{2}-y_{2}|,\ldots ,|x_{n}-y_{n}|\right).$

όπου ο p δεν χρειάζεται να είναι ακέραιος αλλά δεν μπορεί να είναι μικρότερος από 1.

Η 2-νορμική απόσταση είναι η Ευκλείδεια απόσταση,δηλαδή μια γενίκευση του Πυθαγόρειου θεωρήματος σε περισσότερες από δύο συντεταγμένες. Είναι αυτό που θα μπορούσε να επιτευχθεί εάν η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μετρηθεί με ένα χάρακα.

Ο 1-νορμική απόσταση ονομάζεται και νορμική ταξί ή απόσταση Manhattan, επειδή είναι η απόσταση που διανύει ένα αυτοκίνητο σε μια πόλη που ορίζεται από οικοδομικά τετράγωνα (εάν δεν υπάρχουν μονόδρομοι).

Η απόσταση ∞- νορμική ονομάζεται επίσης και απόσταση Chebyshev. Στον δισδιάστατο χώρο, είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων που απαιτείται να μετακινείται ο βασιλιάς μεταξύ δύο τετραγώνων σε μια σκακιέρα.

Η p-νορμική σπάνια χρησιμοποιείται για τιμές του p διαφορετικές των 1, 2 και το άπειρο.

Στο φυσικό χώρο η Ευκλείδεια απόσταση είναι κατά κάποιο τρόπο η πιο φυσική, διότι στην περίπτωση αυτή το μήκος ενός στερεού σώματος δεν αλλάζει με την περιστροφή.

Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο (και) μπορεί να γραφτεί σε μια Μεταβολική μορφή όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία της αναπόσπαστο:

Μεταβολική διαμόρφωση της απόστασης

Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο σημείων στο χώρο ($A={\vec {r}}(0)$ and $B={\vec {r}}(T)$) μπορεί να γραφεί σαν μια μεταβολική μορφή,όπου η απόσταση είναι η ελάχιστη τιμή του ολοκληρώματος:

$D=\int _{0}^{T}{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}\,dt$

Εδώ ο ${\vec {r}}(t)$ είναι η τροχιά (διαδρομή) μεταξύ των δύο σημείων. Η τιμή του ολοκληρώματος (D) αντιπροσωπεύει το μήκος αυτής της τροχιάς. Η απόσταση είναι η ελάχιστη αξία αυτού του ολοκληρώματος και επιτυγχάνεται όταν $r=r^{*}$,όπου το $r^{*}$ είναι η βέλτιστη τροχιά. Στην γνωστή Ευκλείδεια περίπτωση (το παραπάνω ολοκλήρωμα),η βέλτιστη διαδρομή είναι απλά μια ευθεία γραμμή. Είναι γνωστό ότι η συντομότερη διαδρομή μεταξύ δύο σημείων είναι μια ευθεία γραμμή.Οι ευθείες γραμμές μπορούν τυπικά να ληφθούν με την επίλυση των εξισώσεων Euler-Lagrange, για την παραπάνω λειτουργία. Σε μη-Ευκλείδειες περιπτώσεις (κυρτοί χώροι), όπου η φύση του χώρου αντιπροσωπεύεται από μια μετρική $g_{ab}$ το ολοκλήρωμα πρέπει να τροποποιηθεί σε ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$, όπου έχει χρησιμοποιηθεί η σύμβαση άθροισης του Αινστάιν.

Γενίκευση σε υψηλότερα-τρισδιάστατα αντικείμενα

Η Ευκλείδεια απόσταση μεταξύ δύο αντικειμένων μπορεί επίσης να γενικευθεί σε περίπτωση που τα αντικείμενα δεν είναι πλέον σημεία, αλλά είναι υψηλότερων διαστάσεων πολλαπλότητες, όπως καμπύλες, έτσι ώστε εκτός από το να μιλάμε για απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να συζητήσει κάποιος έννοιες της απόστασης μεταξύ δύο συμβολοσειρών. Δεδομένου ότι τα νέα αντικείμενα που εξετάζονται είναι εκτεταμένα αντικείμενα (όχι πια σημεία) πρόσθετες έννοιες, όπως η μη-επεκτασιμότητα, περιορισμοί καμπυλότητας και μη τοπικές αλληλεπιδράσεις που επιβάλουν τη μη διέλευση να γίνουν επίκεντρο στην έννοια της απόστασης. Η απόσταση μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων είναι το βαθμωτό μέγεθος που προκύπτει από την ελαχιστοποίηση της γενικευμένης λειτουργικής απόστασης, η οποία αντιπροσωπεύει μια μετατροπή μεταξύ των δύο πολλαπλοτήτων:

${\mathcal {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial t}\right)^{2}}}+\lambda \left[{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial s}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\,ds\,dt$

Το παραπάνω διπλό ολοκλήρωμα είναι η γενικευμένη λειτουργική απόσταση μεταξύ δύο μετατροπών plymer. Το $s$ είναι η παράμετρος του χώρου και η $t$ είναι ο ψευδο-χρόνος. Αυτό σημαίνει ότι το ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ είναι η πολυμερής / συμβολοσειρά μετατροπή τη στιγμή $t_{i}$ και παραμετροποιείται σε όλο το μήκος της συμβολοσειράς από το $s$. Ομοίως,το ${\vec {r}}(s=S,t)$ είναι η πορεία από ένα απειροελάχιστο τμήμα της συμβολοσειράς κατά τη μετατροπή ${\vec {r}}(s,0)$ στην μετατροπή ${\vec {r}}(s,T)$.Ο όρος με τον συμπαράγοντα λ είναι ένας πολλαπλασιαστής Lagrange και ο ρόλος του είναι να διασφαλίσει ότι το μήκος του πολυμερούς παραμένει το ίδιο κατά τη διάρκεια του μετασχηματισμού. Εάν δύο διακριτά πολυμερή είναι μη επεκτάσιμα,τότε η ελάχιστη απόσταση-μετασχηματισμού μεταξύ τους δεν περιλαμβάνει πλέον μια καθαρά ευθεία κίνηση, ακόμα και με μια Ευκλείδεια μετρική. Υπάρχει μια πιθανή εφαρμογή της εν λόγω γενικευμένης απόστασης από το πρόβλημα της αναδίπλωσης των πρωτεϊνών. Αυτή η γενικευμένη απόσταση είναι ανάλογη με την Nambu-Goto δράση στη θεωρία συμβολοσειρών, ωστόσο, δεν υπάρχει ακριβής αντιστοιχία, επειδή η Ευκλείδεια απόσταση σε 3διάστατο-χώρο είναι ισότιμη με την απόσταση του χωροχρόνου όταν ελαχιστοποιείται για την κλασική σχετικιστική συμβολοσειρά.

Αλγεβρική Απόσταση

Η αλγεβρική απόσταση είναι μια μετρική που χρησιμοποιείται συχνά στην όραση υπολογιστών, η οποία μπορεί να ελαχιστοποιηθεί με την εκτίμηση των ελάχιστων τετραγώνων. [1][2] Για τις καμπύλες ή τις επιφάνειες που δίνονται από την εξίσωση $x^{T}Cx=0$ (όπως σε μια κωνική με ομογενείς συντεταγμένες), η αλγεβρική απόσταση από το σημείο $x'$ στην καμπύλη είναι απλώς $x'^{T}Cx'$. Μπορεί να χρησιμεύσει ως "αρχική υπόθεση" για τη γεωμετρική απόσταση,ώστε να βελτιώσει τις εκτιμήσεις της καμπύλης με πιο ακριβείς μεθόδους, όπως η μη-γραμμική ελαχίστων τετραγώνων.

Γενική περίπτωση

Στα μαθηματικά, ειδικότερα στη γεωμετρία, η απόσταση σε μια συγκεκριμένη σειρά Μ είναι μια συνάρτηση d: M×M → R,όπου το R συμβολίζει το σύνολο των πραγματικών αριθμών, που πληροί τις ακόλουθες προϋποθέσεις:

• d(x,y) ≥ 0 και d(x,y) = 0 αν και μόνο αν x = y. (Η απόσταση είναι θετική ανάμεσα σε δύο διαφορετικά σημεία, και είναι ακριβώς μηδέν από το ένα σημείο στον εαυτό του.)
• Είναι συμμετρική: d(x,y) = d(y,x). (Η απόσταση μεταξύ x και y είναι η ίδια από οποιαδήποτε κατεύθυνση.)
• Ικανοποιεί την τριγωνική ανισότητα:d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) . (Η απόσταση μεταξύ δύο σημείων είναι η συντομότερη απόσταση κατά μήκος οποιασδήποτε διαδρομής).

Μια τέτοια απόσταση είναι γνωστή ως μετρική. Μαζί με το σύνολο, κάνει έναν μετρικό χώρο.

Για παράδειγμα, ο συνήθης ορισμός της απόστασης μεταξύ δύο πραγματικών αριθμών x και y είναι: d(x,y) = |x − y|. Ο ορισμός αυτός πληροί τις τρεις ανωτέρω προϋποθέσεις, και αντιστοιχεί με το πρότυπο της πραγματικής γραμμής στην τοπολογία. Όμως, η απόσταση σε ένα δεδομένο σύνολο είναι μια ορισμένη επιλογή. Μια άλλη πιθανή επιλογή είναι να καθορίσει: d(x,y) = 0 if x = y, και 1 διαφορετικά. Αυτή ορίζει επίσης μια μετρική, αλλά δίνει μια εντελώς διαφορετική τοπολογία, τη διακριτή τοπολογία; Με τον ορισμό αυτό οι αριθμοί δεν μπορούν να είναι αυθαίρετα κοντά.

Απόσταση μεταξύ συνόλων και μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου

d(A, B) > d(A, C) + d(C, B)

Διάφοροι ορισμοί της αποστάσεως είναι δυνατοί μεταξύ αντικειμένων. Για παράδειγμα, μεταξύ των ουράνιων σωμάτων δεν θα πρέπει να συγχέουμε την επιφάνεια-σε-επιφάνεια απόσταση και την από-κέντρο-σε-κέντρο απόσταση. Αν η πρώτη είναι πολύ μικρότερη από την τελευταία αναφέρεται η πρώτη,διαφορετικά, π.χ. για την απόσταση Γη-Σελήνη ,αναφέρεται η τελευταία. Υπάρχουν δύο κοινοί ορισμοί για την απόσταση μεταξύ δύο μη κενών υποσυνόλων μιας δοσμένης ομάδας:

• Μια εκδοχή της απόστασης μεταξύ δύο μη κενών συνόλων είναι το infimum των αποστάσεων μεταξύ δύο οποιονδήποτε αντίστοιχων σημείων τους, η οποία είναι η καθημερινή έννοια της λέξης. Αυτή είναι μια συμμετρική premetric. Με μια συλλογή από σύνολα εκ των οποίων ορισμένα άπτονται ή επικαλύπτουν το ένα το άλλο, δεν είναι "διαχωριστικό", επειδή η απόσταση ανάμεσα σε δύο διαφορετικά, αλλά εφαπτόμενα ή επικαλυπτόμενα σύνολα είναι μηδέν. Επίσης, δεν είναι hemimetric εκτός από ειδικές περιπτώσεις. Συνεπώς, μόνο σε ειδικές περιπτώσεις, η απόσταση κάνει μια συλλογή από σύνολα έναν μετρικό χώρο.
• Η απόσταση Hausdorff είναι η μεγαλύτερο από δύο τιμές, μία είναι η supremum για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο, του infimum για ένα δεύτερο σημείο που κυμαίνεται πάνω από το άλλο σύνολο, η απόσταση μεταξύ των σημείων, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν. Αυτή η απόσταση καθιστά το σύνολο των μη-κενών συμπαγών υποσυνόλων του μετρικού χώρου το ίδιο μετρικό χώρο.

Η απόσταση μεταξύ ενός σημείου και ενός συνόλου είναι το infimum των αποστάσεων μεταξύ του σημείου και εκείνων στο σύνολο. Αυτό αντιστοιχεί στην απόσταση, σύμφωνα με το πρώτο από τους προαναφερόμενους ορισμούς της απόστασης μεταξύ των συνόλων, από το σύνολο που περιέχει μόνο αυτό το σημείο σε ένα άλλο σύνολο.

Όσον αφορά αυτό, ο ορισμός της απόστασης Hausdorff μπορεί να απλοποιηθεί:είναι η μεγαλύτερη από τα δύο τιμές, η μία είναι η supremum ,για ένα σημείο που κυμαίνεται πάνω από ένα σύνολο,της απόσταση μεταξύ του σημείου και του συνόλου, και η άλλη τιμή ορίζεται ομοίως,αλλά με τους ρόλους των δύο συνόλων που ανταλλάχθηκαν.

Θεωρία γραφημάτων(γράφων)

Στη θεωρία γραφημάτων, η απόσταση μεταξύ δύο κόμβων είναι το μήκος του συντομότερου μονοπατιού μεταξύ των κορυφών.

Άλλες αποστάσεις

• E-statistics, ή energy statistics, είναι λειτουργίες αποστάσεων μεταξύ στατιστικών παρατηρήσεων.
• Mahalanobis distance χρησιμοποιείται στην στατιστική.
• Hamming distance και Lee distance χρησιμοποιούνται στην θεωρία κωδικοποιησης(coding theory).
• Levenshtein distance
• Chebyshev distance
• Canberra distance

Circular distance είναι η απόσταση που διανύεται από έναν τροχό. Η περιφέρεια του τροχού είναι 2π × radius,και υποθέτοντας ότι η ακτίνα είναι  1, τότε κάθε περιστροφή του τροχού είναι ισοδύναμη με της απόστασης 2π ακτίνια. Στη Μηχανική το ω = 2πƒ χρησιμοποιείται συχνά, όπου ƒ είναι η συχνότητα.

Αναφορές

• Deza, E.; Deza, M. (2006), Dictionary of Distances, Elsevier, ISBN 0444520872 .
• Distance,Wikipedia