ದೂರ

ದೂರ ಎಂಬುದು ವಸ್ತುಗಳು ಅಥವಾ ಬಿಂದುಗಳು ಎಷ್ಟು ದೂರದಲ್ಲಿವೆ ಎಂಬುದರ ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕ ಮಾಪನವಾಗಿದೆ . ಭೌತಶಾಸ್ತ್ರ ಅಥವಾ ದೈನಂದಿನ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿ ದೂರವನ್ನು ಭೌತಿಕ ಉದ್ದ ಅಥವಾ ಇತರ ಮಾನದಂಡಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಅಂದಾಜು ಮಾಡಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ $|AB|$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ . ಹೆಚ್ಚಿನ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ, "A ನಿಂದ B ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ" ವನ್ನು "B ನಿಂದ A ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರ" ದೊಂದಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ದೂರದ ಕಾರ್ಯ ಅಥವಾ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಭೌತಿಕ ದೂರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವಾಗಿದೆ; ಕೆಲವು ಜಾಗದ ಅಂಶಗಳು ಪರಸ್ಪರ "ಹತ್ತಿರ" ಅಥವಾ "ದೂರ" ಎಂದು ವಿವರಿಸುವ ವಿಧಾನವಾಗಿದೆ. ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ಅಂತರವು ಸಂಖ್ಯಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಮಾಪನವಾಗಿದೆ. ಮಾನಸಿಕ ಅಂತರವನ್ನು "ಸಮಯ, ಸ್ಥಳ, ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕತೆಯಂತಹ ಆಯಾಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ ಸ್ವಯಂ "ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕಬಹುದಾದ ವಿವಿಧ ವಿಧಾನಗಳು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ^[೧]

ಅವಲೋಕನ ಮತ್ತು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು

ಭೌತಿಕ ಅಂತರಗಳು

ಭೌತಿಕ ಅಂತರವು ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಷಯಗಳನ್ನು ಅರ್ಥೈಸಬಲ್ಲದು:

ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರ: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸುವ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದ, ^[೨] . ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಹಳದಿ ಗೆರೆಯಲ್ಲಿ ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿ ನಡೆದಿದ್ದರೆ ಆತ ಆ ಚಕ್ರವ್ಯೂಹದಲ್ಲಿ ನಡೆಯುವಾಗ ನಡೆದಂತಹ ದೂರ ಆತ ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರವಾಗುತ್ತದೆ.
ನೇರ-ರೇಖೆಯ (ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್) ಅಂತರ: ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಮೂಲಕ ಸಾಧ್ಯವಾದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದ, ಯಾವುದೇ ಅಡೆತಡೆಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ (ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರ ಎಂದು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ)
ಜಿಯೋಡೆಸಿಕ್ ದೂರ: ಭೂಮಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ದೊಡ್ಡ-ವೃತ್ತದ ಅಂತರದಂತಹ ಕೆಲವು ಮೇಲ್ಮೈಯಲ್ಲಿ ಉಳಿದಿರುವಾಗ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಕಡಿಮೆ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದ
ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪಥದ ಉದ್ದವು ಪ್ರಾರಂಭದ ಹಂತಕ್ಕೆ ಹಿಂತಿರುಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ನೇರವಾಗಿ ಮೇಲಕ್ಕೆ ಎಸೆಯಲ್ಪಟ್ಟ ಚೆಂಡು ಅಥವಾ ತಿರುಗುವ ಭೂಮಿಯು ಒಂದು ಕಕ್ಷೆಯನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿದಾಗ .

"ವೃತ್ತಾಕಾರದ ದೂರ" ಎಂಬುದು ಚಕ್ರವೊಂದು ಚಲಿಸುವ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಇದು ವಾಹನಗಳು ಅಥವಾ ಯಾಂತ್ರಿಕ ಗೇರ್‌ಗಳನ್ನು ವಿನ್ಯಾಸಗೊಳಿಸುವಾಗ ಉಪಯುಕ್ತವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಚಕ್ರದ ಸುತ್ತಳತೆ 2 π ×ತ್ರಿಜ್ಯ ಆಗಿದೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಜ್ಯ ೧ ಎಂದು ಊಹಿಸುವುದು. ನಂತರ ಚಕ್ರದ ಪ್ರತಿ ಕ್ರಾಂತಿಯು ದೂರ 2 π ರೇಡಿಯನ್‌ಗಳಿಗೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಂಜಿನಿಯರಿಂಗ್ ω = 2 π ƒ ಅನ್ನು ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲಿ ƒ ಆವರ್ತನ .

ದೂರದ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಕೆಲವು ಭೌತಿಕ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಬಹುದು. ಈ ರೀತಿಯ ಬಳಕೆ ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

" ಮ್ಯಾನ್‌ಹ್ಯಾಟನ್ ದೂರ " ಎಂಬುದು ಒಂದು ರೆಕ್ಟಿಲಿನೀಯರ್ ದೂರವಾಗಿದ್ದು, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ನಗರದ ಕೆಲವು ಭಾಗಗಳಲ್ಲಿನ ಬೀದಿಗಳ ಗ್ರಿಡ್‌ನಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಗಮ್ಯಸ್ಥಾನವನ್ನು ತಲುಪಲು ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ಪ್ರಯಾಣಿಸಬೇಕಾದ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯ (ಉತ್ತರ, ದಕ್ಷಿಣ, ಪೂರ್ವ ಅಥವಾ ಪಶ್ಚಿಮ ದಿಕ್ಕುಗಳಲ್ಲಿ) ಹೆಸರಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ. .
"ಚೆಸ್‌ಬೋರ್ಡ್ ದೂರ", ಚೆಬಿಶೇವ್ ದೂರ ಎಂದು ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ, ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ರಾಜನು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಮಾಡಬೇಕಾದ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಲನೆಗಳು.

ಬ್ರಹ್ಮಾಂಡದ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಮತ್ತು ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸಿದ್ಧಾಂತದಿಂದ (ಚಲಿಸುವ ವಸ್ತುಗಳ ಉದ್ದದ ಸಂಕೋಚನದಂತಹ ) ವಿವರಿಸಿದ ಪರಿಣಾಮಗಳಿಂದ ವಿಶ್ವವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ದೂರದ ಅಳತೆಗಳು ಸಂಕೀರ್ಣವಾಗಿವೆ.

ಸೈದ್ಧಾಂತಿಕ ಅಂತರಗಳು

"ದೂರ" ಎಂಬ ಪದವನ್ನು ಕೆಲವು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭೌತಿಕವಲ್ಲದ ಘಟಕಗಳನ್ನು ಅಳೆಯಲು ಸಾದೃಶ್ಯದಿಂದ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ, ಎರಡು ತಂತಿಗಳ ನಡುವೆ " ಸಂಪಾದಿಸು ಅಂತರ " ಎಂಬ ಕಲ್ಪನೆ ಇದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಡಾಗ್"(dog)" ಮತ್ತು "ಡಾಟ್(dot)" ಎಂಬ ಪದಗಳು ಕೇವಲ ಒಂದು ಅಕ್ಷರದಿಂದ ಬದಲಾಗುತ್ತವೆ. ಇದು ಮೂರು ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವ "ಡಾಗ್"(dog)" ಮತ್ತು "ಕ್ಯಾಟ್(cat)" ಗಿಂತ ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ. ಈ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಕಾಗುಣಿತ ಪರೀಕ್ಷಕಗಳಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಕೋಡಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ಹಲವಾರು ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳಲ್ಲಿ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ:

ಲೆವೆನ್ಸ್ಟೈನ್ ದೂರ
ಹ್ಯಾಮಿಂಗ್ ದೂರ
ಲೀ ದೂರ
ಜಾರೋ-ವಿಂಕ್ಲರ್ ದೂರ

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸ್ಪೇಸ್ ಎನ್ನುವುದು ಸೆಟ್‌ನ ಎಲ್ಲಾ ಸದಸ್ಯರ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವ ಒಂದು ಸೆಟ್ ಆಗಿದೆ. ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ, ಗ್ರಾಫ್‌ಗಳ ಅಡ್ಡಹಾಯುವಿಕೆ, ವಿತರಣೆಗಳು ಮತ್ತು ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳ ಹೋಲಿಕೆ ಮತ್ತು "ಸ್ಪೇಸ್" ನ ಅಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್ ಅಥವಾ ಪ್ರತಿಫಲನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು) ನಂತಹ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ "ದೂರ" ಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಬಹುದು. ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ದೂರದ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ಸಾಮಾಜಿಕ ನೆಟ್‌ವರ್ಕ್‌ಗಳನ್ನು ವಿವರಿಸಲು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಎರ್ಡೋಸ್ ಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಬೇಕನ್ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿಗೆ - ಒಬ್ಬ ವ್ಯಕ್ತಿಯಿಂದ ದೂರವಿರುವ ಸಹಕಾರಿ ಸಂಬಂಧಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮೃದ್ಧ ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರಜ್ಞ ಪಾಲ್ ಎರ್ಡಾಸ್ ಮತ್ತು ನಟ ಕೆವಿನ್ ಬೇಕನ್ ಅವರಿಂದ.

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನ, ಮಾನವ ಭೌಗೋಳಿಕತೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾಜಿಕ ವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ, ದೂರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ವಸ್ತುನಿಷ್ಠ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿ ಸಿದ್ಧಾಂತಗೊಳಿಸಲಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ವ್ಯಕ್ತಿನಿಷ್ಠ ಅನುಭವವಾಗಿ. ^[೩]

ದೂರದ ವಿರುದ್ಧ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೂರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರ

ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರ

ದೂರ ಮತ್ತು ಸ್ಥಳಾಂತರ ಎರಡೂ ವಸ್ತುವಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತವೆ. ದೂರವು ನಕಾರಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಾರದು ಮತ್ತು ಎಂದಿಗೂ ಕಡಿಮೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ದೂರವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣ ಅಥವಾ ಪರಿಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಪರಿಮಾಣ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕು ಎರಡನ್ನೂ ಹೊಂದಿರುವ ವೆಕ್ಟರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ. ಇದು ಋಣಾತ್ಮಕ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರಬಹುದು. ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ದೂರವು ಚಲನೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುವುದಿಲ್ಲ; ಇದು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ಪ್ರತ್ಯೇಕತೆಯನ್ನು ಅಳೆಯುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಧನಾತ್ಮಕ, ಶೂನ್ಯ ಅಥವಾ ಋಣಾತ್ಮಕ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರಬಹುದು. ^[೪]

ವಾಹನವು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಓಡೋಮೀಟರ್‌ನಿಂದ ದಾಖಲಿಸಲ್ಪಟ್ಟಂತೆ), ವ್ಯಕ್ತಿ, ಪ್ರಾಣಿ ಅಥವಾ ವಸ್ತುವು A ಬಿಂದುವಿನಿಂದ B ವರೆಗಿನ ಬಾಗಿದ ಹಾದಿಯಲ್ಲಿ ಆವರಿಸಿರುವ ದೂರವನ್ನು A ನಿಂದ B ವರೆಗಿನ ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಅಂತರದಿಂದ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸಬೇಕು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, A ನಿಂದ B ಗೆ ಮತ್ತು A ಗೆ ಹಿಂತಿರುಗುವ ಸುತ್ತಿನ ಪ್ರಯಾಣದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ದೂರವನ್ನು ಕ್ರಮಿಸಿದರೂ, ಪ್ರಾರಂಭ ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ಬಿಂದುಗಳು ಸೇರಿಕೊಳ್ಳುವುದರಿಂದ ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ದೂರವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರಯಾಣವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ಪ್ರಯಾಣಿಸಿದ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ದೂರ

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಮತ್ತು ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬಹುದು.

ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ದೂರಗಳು ವಾಹಕಗಳಾಗಿವೆ, ಅದು ಪ್ರಾರಂಭದ ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಅಂತ್ಯದ ಬಿಂದುವಿನ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ AB ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ B ಯ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ C ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೂರವು A ಯಿಂದ C ಗೆ ಇರುವ ಅಂತರವಾಗಿದೆ AB ಕಿರಣದ ಮೇಲೆ C ಬಿದ್ದರೆ ಆದರೆ C ಬಿದ್ದರೆ ಆ ದೂರದ ಋಣಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಕಿರಣ BA (ಅಂದರೆ, A ಯ ಬದಿಯಲ್ಲಿ C ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ B ಯಂತೆಯೇ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ನ್ಯೂಯಾರ್ಕ್ ನಗರದ ಮುಖ್ಯ ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಧ್ವಜ ಕಂಬದಿಂದ ಸ್ಟ್ಯಾಚ್ಯೂ ಆಫ್ ಲಿಬರ್ಟಿ ಫ್ಲ್ಯಾಗ್ ಪೋಲ್‌ಗೆ ನಿರ್ದೇಶಿಸಿದ ದೂರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಆರಂಭದ ಹಂತ: ಗ್ರಂಥಾಲಯದ ಧ್ವಜ ಕಂಬ
ಅಂತ್ಯದ ಬಿಂದು: ಪ್ರತಿಮೆ ಧ್ವಜ ಸ್ತಂಭ
ದಿಕ್ಕು: -38°
ದೂರ: 8.72 ಕಿ.ಮೀ

ಮತ್ತೊಂದು ರೀತಿಯ ನಿರ್ದೇಶಿತ ಅಂತರವೆಂದರೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕಣಗಳು ಅಥವಾ ಬಿಂದು ದ್ರವ್ಯರಾಶಿಗಳ ನಡುವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಭೂಮಿಯ A ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಮತ್ತು ಚಂದ್ರ B ಯ ಗುರುತ್ವಾಕರ್ಷಣೆಯ ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ದೂರವು (ಇದು A ನಿಂದ B ವರೆಗಿನ ಚಲನೆಯನ್ನು ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವುದಿಲ್ಲ) ಈ ವರ್ಗಕ್ಕೆ ಸೇರುತ್ತದೆ.

ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೂರವು ವೆಕ್ಟರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆ ಬಾಗಿದ ರೇಖೆಯ ಒಂದು ಭಾಗದಿಂದ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಎಂಡ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ, ಕೆಲವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಮಾಹಿತಿಯೊಂದಿಗೆ ಆದರ್ಶ ಅಥವಾ ನೈಜ ಚಲನೆಯ ಅರ್ಥವನ್ನು (ಅಥವಾ ದಿಕ್ಕನ್ನು) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಇನ್ನೊಂದಕ್ಕೆ ವಿಭಾಗ (ಚಿತ್ರ ನೋಡಿ). ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ಅಂತಿಮ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು A ಮತ್ತು B ಎಂದು ಲೇಬಲ್ ಮಾಡುವುದರಿಂದ, ಆದೇಶದ ಅನುಕ್ರಮವನ್ನು ( A, B ) ಊಹಿಸಿದರೆ, ಅರ್ಥವನ್ನು ಸೂಚಿಸಬಹುದು, ಇದು A ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಸ್ಥಳಾಂತರ

ಸ್ಥಳಾಂತರವು ಯಂತ್ರಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ವಿಶೇಷ ರೀತಿಯ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೂರವಾಗಿದೆ. ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಯಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಇರುವ ಅಂತರ (ಕನಿಷ್ಠ ದೂರ) ಮತ್ತು ಎ ಮತ್ತು ಬಿ ಒಂದೇ ಕಣವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಕ್ಷಣಗಳಲ್ಲಿ ಆಕ್ರಮಿಸಿಕೊಂಡಿರುವ ಸ್ಥಾನಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ನಿರ್ದೇಶಿತ ದೂರವನ್ನು ಸ್ಥಳಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಕಣದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಒಂದು ಕಣವು ಚಲಿಸುವ ದೂರವು ಯಾವಾಗಲೂ ಅದರ ಸ್ಥಳಾಂತರಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿರಬೇಕು ಅಥವಾ ಸಮನಾಗಿರಬೇಕು, ಕಣವು ನೇರವಾದ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಚಲಿಸಿದಾಗ ಮಾತ್ರ ಸಮಾನತೆ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ.

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರ

ರೇಖಾಗಣಿತ

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, xy-ಪ್ಲೇನ್‌ನ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವನ್ನು ದೂರ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ( x ₁, y ₁ ) ಮತ್ತು ( x ₂, y ₂ ) ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಇವರಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ^[೫] ^[೬]

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.

ಅದೇ ರೀತಿ, ಮೂರು ಜಾಗದಲ್ಲಿ ( x ₁, y ₁, z ₁ ) ಮತ್ತು ( x ₂, y ₂, z ₂ ) ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ನೀಡಿದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ: ^[೫]

d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.

ಈ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಲ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್‌ನಲ್ಲಿ ನಿರ್ಮಿಸುವ ಮೂಲಕ (1 ನೇ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಇನ್ನೊಂದು ಕಾಲಿನ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್‌ನೊಂದಿಗೆ ) ಮತ್ತು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಅನ್ವಯಿಸುವ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ದೂರದ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಆರ್ಕ್-ಉದ್ದದ ಸೂತ್ರಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇತರ ಸೂತ್ರಗಳೊಂದಿಗೆ ಇತರ ದೂರಗಳನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ದೂರ

ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಸ್ಪೇಸ್ R ⁿ ನಲ್ಲಿ, ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (2-ಸಾಮಾನ್ಯ ದೂರ). ಇತರ ಮಾನದಂಡಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ಇತರ ದೂರಗಳನ್ನು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಬದಲಿಗೆ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ( x ₁, x ₂, ..., x _n ) ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದು ( y ₁, y ₂, ..., y _n ) ಗಾಗಿ ಮಿಂಕೋವ್ಸ್ಕಿ ದೂರ ಕ್ರಮದ p ( p -norm ದೂರ ) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ :

1-ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರ	$=\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|$
2-ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರ	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{2}\right)^{1/2}$
p - ರೂಢಿ ದೂರ	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
ಅನಂತ ರೂಢಿಯ ಅಂತರ	$=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(\|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{2}-y_{2}\|,\ldots ,\|x_{n}-y_{n}\|\right).$

p ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ, ಆದರೆ ಅದು 1 ಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿರಬಾರದು, ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆ ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ.

2-ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣವು ಎರಡು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಆಡಳಿತಗಾರನೊಂದಿಗೆ ಅಳತೆ ಮಾಡಿದರೆ ಅದು ಏನನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತದೆ : ದೂರದ "ಅರ್ಥಗರ್ಭಿತ" ಕಲ್ಪನೆ.

1-ನಾರ್ಮ್ ದೂರವನ್ನು ಹೆಚ್ಚು ವರ್ಣರಂಜಿತವಾಗಿ ಟ್ಯಾಕ್ಸಿಕ್ಯಾಬ್ ನಾರ್ಮ್ ಅಥವಾ ಮ್ಯಾನ್‌ಹ್ಯಾಟನ್ ದೂರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಇದು ಚದರ ಬ್ಲಾಕ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಒನ್-ವೇ ಸ್ಟ್ರೀಟ್‌ಗಳಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ) ನಗರದಲ್ಲಿ ಕಾರು ಓಡಿಸುವ ದೂರವಾಗಿದೆ.

ಅನಂತ ರೂಢಿಯ ದೂರವನ್ನು ಚೆಬಿಶೇವ್ ದೂರ ಎಂದೂ ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. 2D ಯಲ್ಲಿ, ರಾಜರು ಚದುರಂಗ ಫಲಕದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಚೌಕಗಳ ನಡುವೆ ಪ್ರಯಾಣಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಕನಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚಲನೆಗಳು.

p- ನಾರ್ಮ್ ಅನ್ನು 1, 2 ಮತ್ತು ಇನ್ಫಿನಿಟಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ p ನ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ವಿರಳವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸೂಪರ್ ದೀರ್ಘವೃತ್ತವನ್ನು ನೋಡಿ.

ಭೌತಿಕ ಜಾಗದಲ್ಲಿ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ನೈಸರ್ಗಿಕವಾಗಿದೆ, ಏಕೆಂದರೆ ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಕಟ್ಟುನಿಟ್ಟಾದ ದೇಹದ ಉದ್ದವು ತಿರುಗುವಿಕೆಯೊಂದಿಗೆ ಬದಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ದೂರದ ವಿಭಿನ್ನ ಸೂತ್ರೀಕರಣ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರ ( $A={\vec {r}}(0)$ ಮತ್ತು $B={\vec {r}}(T)$ ) ಅಂತರವು ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿರುವ ವ್ಯತ್ಯಾಸದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬಹುದು:

D=\int _{0}^{T}{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(t) \over \partial t}\right)^{2}}}\,dt

ಇಲ್ಲಿ ${\vec {r}}(t)$ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಪಥ (ಮಾರ್ಗ) ಆಗಿದೆ. ಅವಿಭಾಜ್ಯ (ಡಿ) ಮೌಲ್ಯವು ಈ ಪಥದ ಉದ್ದವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ. ಅಂತರವು ಈ ಅವಿಭಾಜ್ಯತೆಯ ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಯಾವಾಗ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ $r=r^{*}$ ಎಲ್ಲಿ $r^{*}$ ಸೂಕ್ತ ಪಥವಾಗಿದೆ. ಪರಿಚಿತ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ (ಮೇಲಿನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ) ಈ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಪಥವು ಸರಳ ರೇಖೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಮಾರ್ಗವು ಸರಳ ರೇಖೆ ಎಂದು ಎಲ್ಲರಿಗೂ ತಿಳಿದಿದೆ. ಮೇಲಿನ ಕಾರ್ಯಕ್ಕಾಗಿ ಯೂಲರ್-ಲಾಗ್ರೇಂಜ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವ ಮೂಲಕ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಔಪಚಾರಿಕವಾಗಿ ಪಡೆಯಬಹುದು. ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಲ್ಲದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳಲ್ಲಿ (ಬಾಗಿದ ಸ್ಥಳಗಳು) ಅಲ್ಲಿ ಜಾಗದ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಟೆನ್ಸರ್ ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ $g_{ab}$ ಇಂಟಿಗ್ರ್ಯಾಂಡ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ${\sqrt {g^{ac}{\dot {r}}_{c}g_{ab}{\dot {r}}^{b}}}$ , ಅಲ್ಲಿ ಐನ್ಸ್ಟೈನ್ ಸಂಕಲನ ಸಮಾವೇಶವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗಿದೆ.

ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ವಸ್ತುಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ

ಎರಡು ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವಿನ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವನ್ನು ಆಬ್ಜೆಕ್ಟ್‌ಗಳು ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿರದೆ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಯಾಮದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸಬಹುದು, ಆದ್ದರಿಂದ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವುದರ ಜೊತೆಗೆ ಎರಡರ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಬಹುದು. ತಂತಿಗಳು. ವ್ಯವಹರಿಸಲಾದ ಹೊಸ ವಸ್ತುಗಳು ವಿಸ್ತೃತ ವಸ್ತುಗಳಾಗಿರುವುದರಿಂದ (ಇನ್ನು ಮುಂದೆ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲ) ಹೆಚ್ಚುವರಿ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳಾದ ನಾನ್-ವಿಸ್ತರಣೆ, ವಕ್ರತೆಯ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ಮತ್ತು ದಾಟದಿರುವುದನ್ನು ಜಾರಿಗೊಳಿಸುವ ಸ್ಥಳೀಯವಲ್ಲದ ಪರಸ್ಪರ ಕ್ರಿಯೆಗಳು ದೂರದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗೆ ಕೇಂದ್ರವಾಗುತ್ತವೆ. ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಪ್ರಮಾಣವಾಗಿದೆ, ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ದೂರದ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕತೆಯನ್ನು ಕಡಿಮೆ ಮಾಡುವುದರಿಂದ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ, ಇದು ಎರಡು ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ರೂಪಾಂತರವನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ:

{\mathcal {D}}=\int _{0}^{L}\int _{0}^{T}\left\{{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial t}\right)^{2}}}+\lambda \left[{\sqrt {\left({\partial {\vec {r}}(s,t) \over \partial s}\right)^{2}}}-1\right]\right\}\,ds\,dt

ಮೇಲಿನ ಡಬಲ್ ಅವಿಭಾಜ್ಯವು ಎರಡು ಪಾಲಿಮರ್ ಹೊಂದಾಣಿಕೆಯ ನಡುವಿನ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕೃತ ದೂರ ಕ್ರಿಯಾತ್ಮಕವಾಗಿದೆ. $s$ ಒಂದು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು $t$ ಹುಸಿ ಸಮಯ. ಇದರ ಅರ್ಥ ಅದು ${\vec {r}}(s,t=t_{i})$ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಮರ್/ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಕಾನ್ಫರ್ಮೇಶನ್ ಆಗಿದೆ $t_{i}$ ಮತ್ತು ಮೂಲಕ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಉದ್ದದ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ $s$ . ಅಂತೆಯೇ ${\vec {r}}(s=S,t)$ ಸಂಪೂರ್ಣ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ನ ಅನಂತವಾದ ವಿಭಾಗದ ಪಥವಾಗಿದೆ ${\vec {r}}(s,0)$ ಅನುಸರಣೆಗೆ ${\vec {r}}(s,T)$ . ಕೊಫ್ಯಾಕ್ಟರ್ ಜೊತೆಗಿನ ಪದ $\lambda$ ಲ್ಯಾಗ್ರೇಂಜ್ ಗುಣಕವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ರೂಪಾಂತರದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಪಾಲಿಮರ್‌ನ ಉದ್ದವು ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಅದರ ಪಾತ್ರವಾಗಿದೆ. ಎರಡು ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಪಾಲಿಮರ್‌ಗಳು ಅವಿಸ್ತೃತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕನಿಷ್ಠ-ದೂರ ರೂಪಾಂತರವು ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಮೆಟ್ರಿಕ್‌ನಲ್ಲಿಯೂ ಸಹ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ನೇರ-ರೇಖೆಯ ಚಲನೆಯನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಪ್ರೋಟೀನ್ ಫೋಲ್ಡಿಂಗ್ ಸಮಸ್ಯೆಗೆ ಅಂತಹ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ದೂರದ ಸಂಭಾವ್ಯ ಅನ್ವಯವಿದೆ. ^[೭] ^[೮]

ಈ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ದೂರವು ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿನ ನಂಬು-ಗೋಟೊ ಕ್ರಿಯೆಗೆ ಹೋಲುತ್ತದೆ, ಆದಾಗ್ಯೂ ನಿಖರವಾದ ಪತ್ರವ್ಯವಹಾರವಿಲ್ಲ ಏಕೆಂದರೆ 3-ಸ್ಪೇಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಅಂತರವು ಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಸಾಪೇಕ್ಷತಾ ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗೆ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಿದ ಸ್ಪೇಸ್‌ಟೈಮ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂತರ

ಇದು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಬಳಸಲಾಗುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದ್ದು, ಇದನ್ನು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಅಂದಾಜಿನ ಮೂಲಕ ಕಡಿಮೆಗೊಳಿಸಬಹುದು. [೧] [೨] ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾದ ವಕ್ರಾಕೃತಿಗಳು ಅಥವಾ ಮೇಲ್ಮೈಗಳಿಗಾಗಿ $x^{\text{T}}Cx=0$ (ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಏಕರೂಪದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿನ ಶಂಕುವಿನಾಕಾರದ ), ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಬೀಜಗಣಿತದ ಅಂತರ $x'$ ವಕ್ರರೇಖೆಗೆ ಸರಳವಾಗಿದೆ $x'^{\text{T}}Cx'$ . ರೇಖಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳಂತಹ ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾದ ವಿಧಾನಗಳ ಮೂಲಕ ವಕ್ರರೇಖೆಯ ಅಂದಾಜುಗಳನ್ನು ಪರಿಷ್ಕರಿಸಲು ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ದೂರಕ್ಕೆ "ಆರಂಭಿಕ ಊಹೆ"ಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಮೆಟ್ರಿಕ್

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸೆಟ್ M ನಲ್ಲಿನ ದೂರದ ಕಾರ್ಯವು ಒಂದು ಕಾರ್ಯವಾಗಿದೆ d: M × M → R, ಇಲ್ಲಿ R ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ, ಅದು ಈ ಕೆಳಗಿನ ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ:

d(x,y) ≥ 0, ಮತ್ತು d(x,y) = 0 ಮತ್ತು x = y ಆಗಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ . (ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಧನಾತ್ಮಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಸ್ವತಃ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ.)
ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ : d(x,y) = d(y,x) . ( x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಎರಡೂ ದಿಕ್ಕಿನಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. )
ಇದು ತ್ರಿಕೋನದ ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ: d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) . (ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಯಾವುದೇ ಮಾರ್ಗದಲ್ಲಿ ಕಡಿಮೆ ಅಂತರವಾಗಿದೆ). ಅಂತಹ ದೂರದ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸೆಟ್ ಜೊತೆಗೆ, ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಎರಡು ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ x ಮತ್ತು y ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: d(x,y) = ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Abs . ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಮೇಲಿನ ಮೂರು ಷರತ್ತುಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ನೈಜ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಮಾಣಿತ ಟೋಪೋಲಜಿಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿನ ಅಂತರವು ಒಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಆಯ್ಕೆಯಾಗಿದೆ. ಇನ್ನೊಂದು ಸಂಭಾವ್ಯ ಆಯ್ಕೆಯನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುವುದು: d(x,y) = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ x = y, ಮತ್ತು 1 ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ. ಇದು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅನ್ನು ಸಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸುತ್ತದೆ, ಆದರೆ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ವಿಭಿನ್ನವಾದ ಟೋಪೋಲಜಿಯನ್ನು ನೀಡುತ್ತದೆ, " ಡಿಸ್ಕ್ರೀಟ್ ಟೋಪೋಲಜಿ "; ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದೊಂದಿಗೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿ ಮುಚ್ಚಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರ

ವಸ್ತುಗಳ ನಡುವೆ ವಿವಿಧ ದೂರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಆಕಾಶಕಾಯಗಳ ನಡುವೆ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಮೇಲ್ಮೈ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಮಧ್ಯದ ಅಂತರವನ್ನು ಗೊಂದಲಗೊಳಿಸಬಾರದು. ಕಡಿಮೆ ಭೂಮಿಯ ಕಕ್ಷೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಮೊದಲನೆಯದು ಎರಡನೆಯದಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆಯಿದ್ದರೆ, ಮೊದಲನೆಯದನ್ನು ಉಲ್ಲೇಖಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (ಎತ್ತರ), ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಭೂಮಿ-ಚಂದ್ರನ ಅಂತರಕ್ಕೆ, ಎರಡನೆಯದು.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಎರಡು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳಿವೆ:

ಎರಡು ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಒಂದು ಆವೃತ್ತಿಯು ಅವುಗಳ ಯಾವುದೇ ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಅಪರಿಮಿತವಾಗಿದೆ, ಇದು ಪದದ ದೈನಂದಿನ ಅರ್ಥವಾಗಿದೆ, ಅಂದರೆ

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

ಇದು ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಪ್ರಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಆಗಿದೆ. ಕೆಲವು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅಥವಾ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ, ಅದು "ಬೇರ್ಪಡಿಸುವುದಿಲ್ಲ", ಏಕೆಂದರೆ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಆದರೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುವ ಅಥವಾ ಅತಿಕ್ರಮಿಸುವ ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಲ್ಲದೆ ಇದು ಹೆಮಿಮೆಟ್ರಿಕ್ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ, ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಹೊರತುಪಡಿಸಿ, ತ್ರಿಕೋನ ಅಸಮಾನತೆಯು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಈ ಅಂತರವು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಸಂಗ್ರಹವನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಹೌಸ್‌ಡಾರ್ಫ್ ಅಂತರವು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್‌ನ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಇನ್‌ಫಿಮಮ್‌ನ, ಇನ್ನೊಂದು ಸೆಟ್‌ಗಿಂತ ಎರಡನೇ ಬಿಂದುವಿಗೆ, ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ, ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯವು ಹಾಗೆಯೇ ಇರುತ್ತದೆ. ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ಅಂತರವು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗದ ಖಾಲಿ-ಅಲ್ಲದ ಕಾಂಪ್ಯಾಕ್ಟ್ ಉಪವಿಭಾಗಗಳ ಗುಂಪನ್ನು ಮೆಟ್ರಿಕ್ ಜಾಗವನ್ನು ಮಾಡುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ಸೆಟ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಅಂತರದ ಅಂತರವಾಗಿದೆ. ಸೆಟ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರದ ಮೇಲಿನ ಮೊದಲ-ಸೂಚಿಸಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸೆಟ್‌ನಿಂದ ಇತರ ಸೆಟ್‌ಗೆ ಇದು ದೂರಕ್ಕೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿದೆ.

ಇದರ ಪರಿಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ, ಹೌಸ್‌ಡಾರ್ಫ್ ದೂರದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಸರಳೀಕರಿಸಬಹುದು: ಇದು ಎರಡು ಮೌಲ್ಯಗಳಲ್ಲಿ ದೊಡ್ಡದಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಅತ್ಯುನ್ನತವಾಗಿದೆ, ಒಂದು ಸೆಟ್‌ಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗೆ, ಪಾಯಿಂಟ್ ಮತ್ತು ಸೆಟ್ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ಮೌಲ್ಯ ಅದೇ ರೀತಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ ಆದರೆ ಎರಡು ಸೆಟ್‌ಗಳ ಪಾತ್ರಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತ

ಗ್ರಾಫ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಆ ಶೃಂಗಗಳ ನಡುವಿನ ಚಿಕ್ಕ ಮಾರ್ಗದ ಉದ್ದವಾಗಿದೆ.

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂತರಗಳು

ಅಂಕಿಅಂಶಗಳು ಮತ್ತು ಮಾಹಿತಿ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ, ಹಲವು ವಿಧದ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂತರಗಳಿವೆ, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಭಿನ್ನತೆಗಳು, ವಿಶೇಷವಾಗಿ ಬ್ರೆಗ್ಮನ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಮತ್ತು <i id="mwAdU">ಎಫ್</i> - ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್. ಇವುಗಳು "ಎರಡು ಸಂಭವನೀಯತೆ ವಿತರಣೆಗಳ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸ" ದ ಅನೇಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಬಹುದ್ವಾರಿಗಳಾಗಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅವಕಾಶ ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತವೆ. ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಾಥಮಿಕವು ವರ್ಗದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರವಾಗಿದೆ, ಇದು ಕನಿಷ್ಠ ಚೌಕಗಳ ಆಧಾರವಾಗಿದೆ; ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಬ್ರೆಗ್ಮನ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ. ಮಾಹಿತಿ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಅತ್ಯಂತ ಪ್ರಮುಖವಾದದ್ದು ಸಾಪೇಕ್ಷ ಎಂಟ್ರೊಪಿ ( ಕುಲ್‌ಬ್ಯಾಕ್-ಲೀಬ್ಲರ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ), ಇದು ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಭವನೀಯತೆಯ ಅಂದಾಜನ್ನು ಸಾದೃಶ್ಯವಾಗಿ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಲು ಅನುವು ಮಾಡಿಕೊಡುತ್ತದೆ; ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಮೂಲಭೂತವಾದ ಎಫ್ -ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬ್ರೆಗ್‌ಮನ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಕೂಡ ಆಗಿದೆ (ಮತ್ತು ಎರಡೂ ಆಗಿರುವ ಏಕೈಕ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್ ಆಗಿದೆ). ಬ್ರೆಗ್‌ಮನ್ ಡೈವರ್ಜೆನ್ಸ್‌ಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಸಂಖ್ಯಾಶಾಸ್ತ್ರೀಯ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳು ಅನುಗುಣವಾದ ರೇಖಾಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಸಮತಟ್ಟಾದ ಮ್ಯಾನಿಫೋಲ್ಡ್‌ಗಳಾಗಿವೆ, ಇದು ಪೈಥಾಗರಿಯನ್ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನಲಾಗ್ ಅನ್ನು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ (ಇದು ವರ್ಗದ ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ದೂರಕ್ಕೆ ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕವಾಗಿ ನಿಜ) ಆಪ್ಟಿಮೈಸೇಶನ್ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಕ ರೇಖಾತ್ಮಕ ವಿಲೋಮ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಅನುಮಿತಿಯನ್ನು ಬಳಸಲು ಅನುಮತಿಸುತ್ತದೆ.

ಇತರ ಪ್ರಮುಖ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ಅಂತರಗಳು ಮಹಾಲನೋಬಿಸ್ ದೂರ, ಶಕ್ತಿಯ ದೂರ ಮತ್ತು ಇತರವುಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿವೆ.

ಇತರ ಗಣಿತದ "ದೂರಗಳು"

ಕ್ಯಾನ್‌ಬೆರಾ ದೂರ – ಮ್ಯಾನ್‌ಹ್ಯಾಟನ್ ದೂರದ ವಿಭಿನ್ನ ಆವೃತ್ತಿ. ಇದನ್ನು ಕಂಪ್ಯೂಟರ್ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ

ಮನೋವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ

ಮಾನಸಿಕ ಅಂತರವನ್ನು "ಸಮಯ, ಸ್ಥಳ, ಸಾಮಾಜಿಕ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಕಾಲ್ಪನಿಕತೆ" ಯಂತಹ ಆಯಾಮಗಳ ಜೊತೆಗೆ "ವಸ್ತುವನ್ನು ತೆಗೆದುಹಾಕುವ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನಗಳು" ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗಿದೆ. ^[೧] ಮಾನಸಿಕ ಅಂತರ ಮತ್ತು ಚಿಂತನೆಯು ಅಮೂರ್ತ ಅಥವಾ ಕಾಂಕ್ರೀಟ್ ನಡುವಿನ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಕನ್ಸ್ಟ್ರಲ್ ಲೆವೆಲ್ ಥಿಯರಿಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಇವನ್ನೂ ನೋಡಿ

ಲೈಬ್ರರಿ ಬೆಂಬಲ

ಪೈಥಾನ್ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆ)
- ಇಂಟರ್‌ಸ್ಪೇಸ್ -ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು, ಸಂಖ್ಯೆಗಳು, ಸ್ಟ್ರಿಂಗ್‌ಗಳು ಇತ್ಯಾದಿಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಪ್ಯಾಕೇಜ್.
- SciPy -ದೂರ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರಗಳು ( scipy.spatial.distance )
ಜೂಲಿಯಾ (ಪ್ರೋಗ್ರಾಮಿಂಗ್ ಭಾಷೆ)
- ಜೂಲಿಯಾ ಅಂಕಿಅಂಶಗಳ ದೂರ - ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು (ಮೆಟ್ರಿಕ್ಸ್) ಮೌಲ್ಯಮಾಪನ ಮಾಡಲು ಜೂಲಿಯಾ ಪ್ಯಾಕೇಜ್.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ ^೧.೦ ^೧.೧ "Construal-level theory of psychological distance". Psychological Review. 117 (2): 440–63. April 2010. doi:10.1037/a0018963. PMC 3152826. PMID 20438233. ಉಲ್ಲೇಖ ದೋಷ: Invalid <ref> tag; name "psych" defined multiple times with different content
↑ "What is displacement? (article)". Khan Academy (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Retrieved 2020-07-20.
↑ "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Retrieved 2020-07-20.
↑ "The Directed Distance" (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Archived from the original (PDF) on 10 November 2016. Retrieved 18 September 2018.
↑ ^೫.೦ ^೫.೧ Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Retrieved 2020-09-01. ಉಲ್ಲೇಖ ದೋಷ: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content
↑ "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-01.
↑ "Generalization of distance to higher dimensional objects". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 104 (38): 14899–904. September 2007. Bibcode:2007PNAS..10414899P. doi:10.1073/pnas.0607833104. PMC 1986585. PMID 17848528.
↑ "Minimal folding pathways for coarse-grained biopolymer fragments". Biophysical Journal. 95 (12): 5496–507. December 2008. Bibcode:2008BpJ....95.5496M. doi:10.1529/biophysj.108.135046. PMC 2599856. PMID 18820236.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

Deza E, Deza M (2006). Dictionary of Distances. Elsevier. ISBN 0-444-52087-2.

[psych-1] ೧.೦ ^೧.೧ "Construal-level theory of psychological distance". Psychological Review. 117 (2): 440–63. April 2010. doi:10.1037/a0018963. PMC 3152826. PMID 20438233. ಉಲ್ಲೇಖ ದೋಷ: Invalid <ref> tag; name "psych" defined multiple times with different content

[2] "What is displacement? (article)". Khan Academy (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Retrieved 2020-07-20.

[3] "SOCIAL DISTANCES". www.hawaii.edu. Retrieved 2020-07-20.

[ittcKU-4] "The Directed Distance" (PDF). Information and Telecommunication Technology Center. University of Kansas. Archived from the original (PDF) on 10 November 2016. Retrieved 18 September 2018.

[:0-5] ೫.೦ ^೫.೧ Weisstein, Eric W. "Distance". mathworld.wolfram.com (in ಇಂಗ್ಲಿಷ್). Retrieved 2020-09-01. ಉಲ್ಲೇಖ ದೋಷ: Invalid <ref> tag; name ":0" defined multiple times with different content

[6] "Distance Between 2 Points". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-09-01.

[pmid17848528-7] "Generalization of distance to higher dimensional objects". Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 104 (38): 14899–904. September 2007. Bibcode:2007PNAS..10414899P. doi:10.1073/pnas.0607833104. PMC 1986585. PMID 17848528.

[pmid18820236-8] "Minimal folding pathways for coarse-grained biopolymer fragments". Biophysical Journal. 95 (12): 5496–507. December 2008. Bibcode:2008BpJ....95.5496M. doi:10.1529/biophysj.108.135046. PMC 2599856. PMID 18820236.

[೧]

[೨]

[೩]

[೪]

[೫]

[೬]

[೭]

[೮]

1-ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರ	$=\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|$
2-ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂತರ	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{2}\right)^{1/2}$
p - ರೂಢಿ ದೂರ	$=\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
ಅನಂತ ರೂಢಿಯ ಅಂತರ	$=\lim _{p\to \infty }\left(\sum _{i=1}^{n}\left\|x_{i}-y_{i}\right\|^{p}\right)^{1/p}$
	$=\max \left(\|x_{1}-y_{1}\|,\|x_{2}-y_{2}\|,\ldots ,\|x_{n}-y_{n}\|\right).$