Erroketa

Erroketak zer diren azaltzen duen bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu hemen.

Matematikan, erroketa a zenbaki baten n ordenako erroak aurkitzeko prozesua da.

Erroketa berreketaren alderantzizko eragiketa da.

Beraz, honako hau betetzen da; ${\sqrt[{n}]{a}}=x$, non n errotzailea edo ordena den, a errokizuna eta x n-garren erroa.

• $a$-ren bigarren ordenako erroari $a$-ren erro karratu deritzo eta ${\sqrt {a}}$ edota ${\sqrt[{2}]{a}}$ modura denotatzen da.

• $a$-ren hirugarren ordenako erroari $a$-ren erro kubiko deritzo eta ${\sqrt[{3}]{a}}$ modura denotatzen da.

• Goi-ordenako erroei zenbaki ordinalak deritze; adibidez, laugarren erroa, bosgarren erroa, seigarren erroa edo zazpigarren erroa.

Definizioa eta notazioa

a zenbaki baten n-garren erroa, ondorengo ekuazioaren n emaitza erreal edo konplexuetako edozeini esaten zaio,

$x^{n}-a=0$

non x ezezaguna den eta n zenbaki oso positibo bat den. Honela adierazten da: ${\sqrt[{n}]{a}}$. Horrela, ondoko baliokidetasuna lortzen da:

$x^{n}=a\iff x={\sqrt[{n}]{a}}$.

Erro karratua (n = 2) askotan goi-indize gabe idazten da, hau da, ${\sqrt {a}}$ , ${\sqrt[{2}]{a}}$ beharrean. n = 1 kasurako, erroa idaztea edo ez idaztea baliokidea da: ${\sqrt[{1}]{a}}=a$.

Zenbaki erreal positiboen barruan beti aurki daiteke n-garren erro positibo bakarra. Bestalde, a zenbakia negatiboa bada n errotzailea bakoitia denean soilik existituko da erro erreal bat. n errotzailea bikoitia denean, aldiz, zenbaki negatibo baten n-garren erroa ez da zenbaki erreala (ez dago zenbaki errealen barruan definituta).

Zenbaki konplexuen barruan, z zenbaki bakoitzerako zehazki n n-garren erro desberdin aurki daitezke.

Oinarri matematikoak

Berreketarekiko harremana

n ordenako erroketa eta ordena bereko berreketa elkarren artean baliogabetzen dira. a zenbaki erreal positiboetarako eta n arruntetarako erroaren definizio orokorra hartuz, hau lortzen da: $\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{n}=a$.

Zenbaki baten n ordena jakin bateko erroa, zenbaki hori ${\tfrac {1}{n}}$ alderantzizko berreketarekin berretzearen baliokidea da. Berreketa arauen arabera, $\left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{\frac {n}{n}}=a^{1}=a$.

Beraz, n ordenako erroketa, ${\tfrac {1}{n}}$ berretzailearen berreketa adierazteko beste modutzat uler daiteke: ${\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}$.

Zenbaki positiboen erroen singulartasuna

Zenbaki positiboen erroak aurkitu aurretik aipaturiko problemak, zeinu desberdineko bi ebazpen ditu n bikoitia denean. Hala ere, erroketari aplikaturiko ${\sqrt {\ }}$ ikurrak funtzio bat adierazten du eta, beraz, printzipioz emaitza positiborako den balio bakarra itzuli behar du. Adibidez, $x^{2}=4$ ekuazioak +2 eta -2 soluzioak ditu, baina ${\sqrt {4}}$-ri 2 soluzioa esleitzen zaio, eta ez -2 balioa.

Zenbaki negatiboen erroak

Zenbaki negatiboen erroekin ez da uniformeki lan egiten. Adibidez,

$(-2)^{3}=-8$

da, eta hortik lor dezakegu -2 dela zenbaki erreal bakarra zeinen kuboa -8 den. Oro har, berretzaile arrunt bakoitiko zenbaki negatiboen potentziek zenbaki negatiboak emango dituzte.

Zenbaki negatiboen erro bakoitiei dagokienez, erroaren barruan ez da zeinu negatiboa jartzen, zehaztugabetzat jo daitekeelako edo txarto definituta egon daitekeelako. Irizpide hori erabiliz, $x^{3}=-8$ ekuazioaren emaitza $-{\sqrt[{3}]{8}}$ bezala adierazi behar da, eta ez ${\sqrt[{3}]{-8}}$ bezala. Horrela idatzita, zenbaki negatiboen erroak onartzen dira errotzailea zenbaki bakoitia bada, (3, 5, 7, ...), non

${\sqrt[{2n+1}]{-a}}=-{\sqrt[{2n+1}]{a}}$

den. Erroak horrela adierazteak erro positiboetarako baliagarriak diren propietate batzuekiko kontraesanak saihesten ditu. Horren erakusgarri izan daiteke:

$-2={\sqrt[{3}]{-8}}\neq {\sqrt[{6}]{(-8)^{2}}}={\sqrt[{6}]{64}}=+2.$

Mugagabetzat jotzen den adierazpenak ere ez du balio formula honekin,

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{a}}=a^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {1}{n}}\ln a\right)}$,

zenbaki negatibo baten logaritmoa ez dagoelako definituta (a ezin da negatiboa izan). Zenbaki negatiboen errotzaile bikoitidun erroak ezin dira zenbaki errealak izan, zenbaki horien berretzaile bikoitien berreturak ez baitira inoiz negatiboak. Ez dago x errealik non $x^{2}=-1$ betetzen den eta, beraz, zenbaki errealen barruan ezin da $x={\sqrt {-1}}$ aurkitu. Zenbaki negatiboen erroen beharrak zenbaki konplexuak sortzea ahalbidetu zuen. Hala ere, zenbaki konplexuen eremuan, zenbaki negatiboen erroek ere murrizketa batzuk dituzte.

Propietateak

Aurretik aipatutakoagatik, berreketaren propietateak erroketarekin ere betetzen dira. Propietate hauek bete daitezen, erroen errokizuna positiboa izatea eskatzen da.

Biderkadura baten erroa

Produktu baten erroa aurretik aipatutako biderkagaien erroen produktuaren berdina da:

${\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}$

Adibidez, ${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}$ = ${\sqrt {3^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{4}}}$ = ${\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {16}}=3\cdot 4=12.$

Hurrengo erara emaitza bera lortzen da:

${\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}={\sqrt {9\cdot 16}}={\sqrt {144}}=12.$

Zatidura baten erroa

Zatiki baten erroa zenbakitzailearen erroaren eta izendatzailearen erroaren zatiketaren berdina da.

${\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {a^{1/n}}{b^{1/n}}}$ = ${\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}$

Adibidez, ${\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}$ = ${\frac {3}{2}}.$

Erro baten erroa

Erro baten erroa kalkulatzeko, erroen errotzaileak biderkatzen dira eta errokizuna mantentzen da:

${\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}$ = ${\sqrt[{n\cdot m}]{a}}.$

Adibidez, ${\sqrt[{3}]{\sqrt[{2}]{64}}}={\sqrt[{3\cdot 2}]{64}}={\sqrt[{6}]{64}}=2$

Erro baten berretura

Erro baten berretura kalkulatzeko, errokizuna berreketa horrekin berretzen da:

$\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$

Adibidez, m = 3 eta n = 4 badira:

$\left({\sqrt[{4}]{x}}\right)^{3}={\sqrt[{4}]{x^{3}}}=x^{\frac {3}{4}}$.

Beste propietate batzuk

Oinarrizko propietateak erabiliz, beste propietate batzuk lor daitezke. Adibidez, errotzaile desberdinak baina errokizun bera duten erroen biderkadura, errotzaileak biderkatuz eta errotzaileen baturak sortzen duen erroa mantenduz lortzen den propietatea da.

${\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}=a^{\frac {m+n}{mn}}={\sqrt[{m\cdot n}]{{a}^{m+n}}}$.

Forma sinplifikatuak

Habiarik gabeko adierazpen erradikal bat (hau da, bere barruan beste erroketarik ez duen erro bat) forma sinplifikatuan dagoela esaten da baldin eta

1. Ez du errokizunenan biderkagairik non berretzailea errotzailea baino handiagoa edo berdina den.
2. Ez dago zatikirik erro barruan.
3. Ez dago erroketarik izendatzailean.

Adibidez, ${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}$ adierazpen erradikala forma sinplifikatuan idazteko, hurrengo pausoak jarraitu behar dira. Hasteko, karratu perfektuak bilatzen dira erro karratuaren barruan eta kanpora ateratzen dira:

${\sqrt {\tfrac {32}{5}}}={\sqrt {\tfrac {16\cdot 2}{5}}}=4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}$

Ondoren, zatiki bat dago erro karratuaren barruan eta honela aldatzen da:

$4{\sqrt {\tfrac {2}{5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}$

Azkenik, izendatzailearen erroketa honela ezabatzen da:

${\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {2}}}{\sqrt {5}}}\cdot {\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {5}}}={\frac {4{\sqrt {10}}}{5}}={\frac {4}{5}}{\sqrt {10}}$

Erroketen batuketa eta kenketa

Sinplifikatu ostean errotzaile eta errokizun bera duten erroketei antzeko erroketa deritzegu. Antzeko erroketak batzeko eta kentzeko, termino guztiek amankomunean duten erroketa ateratzen da biderkagai komun gisa. Antzekoak ez badira, ezin izango dira terminoak batu edota kendu. Adibidez,

$7{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{3}}+10{\sqrt[{4}]{3}}=(7+1+10){\sqrt[{4}]{3}}=18{\sqrt[{4}]{3}}.$

Arrazionalizazioa

Adierazpen bat arrazionalizatzea izendatzailearen erroketa ezabatzean datza, hasierako adierazpena adierazpen baliokide batera bihurraraziz. Kasurik sinpleena izendatzailean ${\sqrt[{n}]{a^{p}}}$ n-garren erro bakarra dagoenean da, non izendatzailea sinplifikatzen den zenbakitzailea eta izendatzailea ${\sqrt[{n}]{{a}^{n-p}}}$ adierazpenarekin biderkatuz.

Erroketak dituen izendatzaile bat dagoenean, beti aurki daiteke biderkagai bat izendatzailea eta zenbakitzailea biderkatzeko, eta horrela adierazpena sinplifikatzeko. Adibidez, bi erro kubikoren baturaren faktorizazioa erabiliz:

${\frac {1}{{\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{\left({\sqrt[{3}]{a}}+{\sqrt[{3}]{b}}\right)\left({\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}\right)}}={\frac {{\sqrt[{3}]{a^{2}}}-{\sqrt[{3}]{ab}}+{\sqrt[{3}]{b^{2}}}}{a+b}}\,.$

n-garren erroaren kalkulua

Funtzioen bidez

Erroaren kalkulu eraginkorra logaritmo eta esponentzial funtzioen bidez egiten da:

${\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}=\exp \left({\frac {\ln {x}}{n}}\right)$

non x zenbaki erreal positiboa den.

n-garren erroaren algoritmoa

A zenbaki baten n-garren erroa Newtonen metodoaren kasu berezia den n-garren erroaren algoritmoa erabiliz kalkula daiteke. Algoritmoa x₀ hasierako balioarekin hasten da, eta ondoren $x_{k+1}={\frac {1}{n}}\left({(n-1)x_{k}+{\frac {A}{x_{k}^{n-1}}}}\right)$ errepikapen-erlazioa erabiliz iteratzen da, nahi den zehaztasuna lortu arte.

Erabileraren arabera, nahikoa izan daiteke soilik Newtonen metodoaren lehen hurbilketa erabiltzea:

${\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}\approx x+{\frac {y}{nx^{n-1}}}.$

Adibidez, 34ren bosgarren erroa aurkitzeko, kontuan izan 25 = 32 dela. Beraz, aurreko formulan x = 2, n = 5 eta y = 2 aukeratuz:

${\sqrt[{5}]{34}}={\sqrt[{5}]{32+2}}\approx 2+{\frac {2}{5\cdot 16}}=2.025.$

Hurbilketaren errorea %0,03koa baino ez da.

n-garren errorako, Newtonen metodoa alda daiteke zatiki jarraitu orokor bat sortzeko. Hainbat modutan adieraz daiteke hau,esate baterako:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{x^{n}+y}}=x+{\cfrac {y}{nx^{n-1}+{\cfrac {(n-1)y}{2x+{\cfrac {(n+1)y}{3nx^{n-1}+{\cfrac {(2n-1)y}{2x+{\cfrac {(2n+1)y}{5nx^{n-1}+{\cfrac {(3n-1)y}{2x+\ddots }}}}}}}}}}}};$

${\sqrt[{n}]{z}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{n(2z-y)-y-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-1)y^{2}}{3n(2z-y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-1)y^{2}}{5n(2z-y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-1)y^{2}}{7n(2z-y)-\ddots }}}}}}}}.$

Serie infinituak

n-garren erroa serie infinitu baten bidez adieraz daiteke:

${\sqrt[{n}]{1+x}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {1/n}{k}}x^{k}$

non

${\binom {1/n}{k}}={\frac {{\frac {1}{n}}\left({\frac {1}{n}}-1\right)\left({\frac {1}{n}}-2\right)\cdots \left({\frac {1}{n}}-k+1\right)}{k!}}$

den ${\tbinom {1/n}{0}}=1$ hasierako balioarekin, biderketa hutsa delako. Serie honek | x | < 1 denean konbergitzen du eta haren adierazpena serie binomialetik dator.

Zenbaki konplexuak

z zenbaki konplexua bada, modulu eta argumentu bidez (forma polarra) adieraz daiteke:

$z=a+bi=\rho e_{}^{i\theta }$, non $\;\rho ={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}eta\quad \theta =\arg(a+bi)$ diren.

Era honetan, forma polarrean, $x_{}^{n}=z$ ekuaziorako behar diren z-ren n-garren erroak formula honen bidez kalkula daitezke:

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{\rho e^{i\theta }}}\,=\,{\sqrt[{n}]{\rho }}\,e^{i{\theta +2\pi k \over n}},\ k\in \{0,1,\cdots ,n-1\}$

Beraz, zenbaki konplexu batek n erro desberdin ditu. Plano konplexuan, jatorrian zentroa duten n aldeko poligono erregular baten erpinetan daude erroak. erro kubikoa eta poligono horren erdigunetik erpinetara dagoen distantzia ${\sqrt[{n}]{\rho }}$ da.

Adibidez,

${\sqrt[{3}]{1}}={\sqrt[{3}]{1\,e^{i0}}}=\left\{{\begin{array}{ccc}{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 0 \over 3}}&=&1+0i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 1 \over 3}}&=&-{1 \over 2}+{{\sqrt {3}} \over 2}i\\{\sqrt[{3}]{1}}\,e^{i{0+2\pi \cdot 2 \over 3}}&=&-{1 \over 2}-{{\sqrt {3}} \over 2}i\end{array}}\right.$

Ariketak

• Erroketa
• Erroen batuketak eta kenketak lantzeko bideoa.
• Erroen arteko eragiketa sinpleak.
• Erroak errotzaile komunera laburtzea.
• Erroak erroetatik faktoreak ateratzea.
• Erro baliokideak lantzen.
• Erroen forma esponentziala lantzen.
• Errokarietan biderkagaiak sartzen ikasten.
• Errokarietan biderkagaiak ateratzen ikasten.
• Erroen arteko eragiketak.
• Erroen arteko biderketak eta zatiketak.
• Ngarren erroak lantzeko ariketak.
• Arrazionalizazioa azaltzen duen bideoa.
• Arrazionalizazioan batuketak eta kenketak lantzeko ariketa.
• Arrazionalizazio ariketak.
• Biderketa baten erroa.

Bibliografia

• Andoni Blanco, Suárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.

Ikus, gainera

• Erro karratua
• Erro kubikoa
• Unitatearen erroa
• Funtzio esponentziala
• Erradikal hierarkizatua
• Erradikalen arrazionalizazioa

Kanpo estekak

• (Ingelesez) Weisstein, Eric W.: "nth Root" MathWorld-en.

• Datuak: Q601053